Skolem<sup>27</sup>), die weniger Grundbegriffe als $\mathfrak{S}$ haben, sich aber dafür nicht auf endlich viele Axiome stützen; infolgedessen ist der Beweis in bezug auf solche Systeme keineswegs eine genaue Wiederholung des vorangehenden; um ihn durchzuführen, muß man vielmehr mehrere Beweismethoden der modernen Metamathematik in Betracht ziehen<sup>28</sup>.

## Sur quelques transformations biunivoques de la droite en elle-même.

Par

W. Sierpiński (Warszawa).

Comme j'ai démontré<sup>1)</sup>, si $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, il existe une fonction biunivoque $f(x)$ transformant la droite en elle-même qui transforme chaque ensemble $E$ de mesure nulle en ensemble $f(E)$ de I-e catégorie et dont la fonction inverse $f^{-1}(x)$ transforme, réciproquement, tout ensemble $E$ de I-e catégorie en ensemble $f^{-1}(E)$ de mesure nulle.

Une telle fonction $f(x)$ ne peut pas être mesurable. En effet:

(1) Si $f(x)$ est une fonction mesurable (d'une variable réelle), il existe un ensemble $N$ de mesure nulle, tel que le complémentaire de l'ensemble $f(N)$ (par rapport à la droite) est de I-e catégorie<sup>2)</sup>.

Donc, si la fonction mesurable $f(x)$ transforme chaque ensemble de mesure nulle en un ensemble de I-e catégorie, elle transforme aussi toute la droite en un ensemble de I-e catégorie et par conséquent ne peut pas transformer d'une façon biunivoque la droite en elle-même.

Or, je vais démontrer ce

**Théorème 1.** Si $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, il existe une fonction mesurable $f(x)$ qui transforme d'une façon biunivoque la droite en elle-même en transformant tout ensemble de I-e catégorie en un ensemble de mesure nulle.

<footnote><sup>27)</sup> Vgl. T. Skolem, *Über einige Grundlagenfragen der Mathematik*. Skrifter utgitt av Det Norske Videnskaps Akademi i Oslo. I. Mat.-Nat. Kl. (1929), nr 4.</footnote>

<footnote><sup>28)</sup> Vgl. hiezu meine unter <sup>14</sup>) angeführte Arbeit sowie die unter <sup>13</sup>) zitierte Mitteilung.</footnote>

<footnote><sup>1)</sup> W. Sierpiński, *Hypothèse du continu*, Monografie Matematyczne **4**, Warszawa-Lwów 1934, p. 77; v. aussi ma Note dans Fund. Math. **27** (1936), p. 276.</footnote>

<footnote><sup>2)</sup> Cf. loc. cit., p. 83, lemme 2, dont (1) est une conséquence immédiate.</footnote>
Démonstration. M. N. Lusin a déduit<fnref n="1" />) de l'hypothèse que $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ la conséquence suivante:

L. Il existe un ensemble linéaire $L$ de puissance $2^{\aleph_0}$ qui ne contient aucun sous-ensemble indénombrable de $I$-e catégorie.

On démontre qu'un tel ensemble $L$ est de mesure nulle. Il existe donc un $G_\delta$ linéaire de mesure nulle contenant $L$; désignons-le par $E_1$. Soient $H_1$ et $H_2$ deux ensembles linéaires de mesure nulle, parfaits et disjoints. L'ensemble $CE_1$ étant un $F_\sigma$ de puissance $2^{\aleph_0}$, il existe, comme on voit sans peine, une fonction de Baire $\varphi(x)$ qui transforme d'une façon biunivoque l'ensemble $CE_1$ en l'ensemble $\varphi(CE_1)=H_1$. Les ensembles $L, E_1-L, H_2$ et $C(H_1+H_2)$ étant chacun de puissance du continu, il existe une transformation biunivoque $\psi(x)$ de $L$ en $C(H_1+H_2)$ et une transformation biunivoque $\theta(x)$ de $E_1-L$ en $H_2$. Posons:

$$f(x) = \begin{cases} \varphi(x) & \text{pour } x \in CE_1, \\ \psi(x) & \text{pour } x \in L, \\ \theta(x) & \text{pour } x \in E_1 - L. \end{cases}$$

La fonction $f(x)$ transforme, comme on voit sans peine, la droite en elle-même et elle est mesurable, en tant qu'égale à une fonction de Baire sur l'ensemble $CE_1$, dont le complémentaire est de mesure nulle.

Soit maintenant $K$ un ensemble linéaire quelconque de $I$-e catégorie. D'après la définition de $L$, l'ensemble $KL$ est au plus dénombrable. On a évidemment $K \subset KL + (E_1 - L) + CE_1$, donc $f(K) \subset f(KL) + f(E_1 - L) + f(CE_1) = f(KL) + H_1 + H_2$. L'ensemble $f(KL)$ étant au plus dénombrable (de même que $KL$) et les ensembles $H_1$ et $H_2$ étant de mesure nulle, l'ensemble $f(K)$ est de mesure nulle. La fonction $f(x)$ transforme par conséquent chaque ensemble de $I$-e catégorie en un ensemble de mesure nulle, c. q. f. d.

Considérons la proposition suivante:

T. Il existe une fonction $f(x)$ qui transforme d'une façon biunivoque la droite en elle-même en transformant tout ensemble de $I$-e catégorie en un ensemble de mesure nulle.

Je dis que si la fonction $f(x)$ d'une variable réelle satisfait à $T$, sa fonction inverse $f^{-1}(x)$ est non mesurable. En effet, si la fonction $f^{-1}(x)$ était mesurable, il existerait, d'après (1), un ensemble $N$ des mesure nulle, tel que $Cf^{-1}(N)$ serait un ensemble de $I$-e catégorie. La fonction $f(x)$ satisfaisant à $T$, l'ensemble $f(Cf^{-1}(N))=CN$ serait de mesure nulle, ce qui est impossible.

On peut aussi démontrer qu'une fonction $f(x)$ satisfaisant à $T$ est dépourvue de la propriété de Baire au sens large <fnref n="1" />). C'est une conséquence immédiate d'un lemme que j'ai établi ailleurs <fnref n="2" />) et qui peut être énoncé de la façon suivante:

(2) Si $f(x)$ est une fonction d'une variable réelle satisfaisant à la condition de Baire au sens large, il existe un ensemble $K$ de $I$-e catégorie, tel que l'ensemble $f(KK)$ est de mesure nulle.

Or, je vais démontrer ce

Théorème 2. Si $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, il existe une fonction $f(x)$ satisfaisant à la condition de Baire au sens large et qui transforme d'une façon biunivoque la droite en elle-même en transformant chaque ensemble de mesure nulle en un ensemble de $I$-e catégorie.

Démonstration. J'ai déduit <fnref n="3" />) de l'hypothèse que $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ la conséquence suivante:

S. Il existe un ensemble linéaire $S$ de puissance $2^{\aleph_0}$ ne contenant aucun sous-ensemble indénombrable de mesure nulle.

On démontre qu'un tel ensemble $S$ est de $I$-e catégorie. Il existe donc un $F_\sigma$ linéaire de $I$-e catégorie contenant $S$; désignons-le par $E_1$. Soient $H_1$ et $H_2$ deux ensembles linéaires disjoints, non-denses et parfaits. L'ensemble $CE_1$ étant un $G_\delta$ de puissance $2^{\aleph_0}$, il existe, comme on voit sans peine, une fonction de Baire $\varphi(x)$ qui transforme d'une façon biunivoque l'ensemble $CE_1$ en l'ensemble $H_1=\varphi(CE_1)$. Les ensembles $S, E_1-S, H_2$ et $C(H_1+H_2)$ étant chacun de puissance $2^{\aleph_0}$, il existe une transformation biunivoque $\psi(x)$ de $S$ en $C(H_1+H_2)$ et une transformation biunivoque $\theta(x)$ de $E_1-S$ en $H_2$.

<footnote n="1">¹) Cf. C. R. Paris 158 (1914), p. 1259.</footnote>

<footnote n="1">¹) c. à d. n'est pas continue, même en négligeant un ensemble de $I$-e catégorie.</footnote>

<footnote n="2">²) W. Sierpiński, Mathematica 1 (Cluj 1929), p. 115.</footnote>

<footnote n="3">³) W. Sierpiński, Fund. Math. 5 (1924), p. 184.</footnote>
Posons:

$$f(x) = \begin{cases} \varphi(x) & \text{pour } x \in CE_1, \\ \psi(x) & \text{pour } x \in S, \\ \theta(x) & \text{pour } x \in E_1 - S. \end{cases}$$

La fonction $f(x)$ transforme, comme on voit sans peine, la droite en elle-même et elle satisfait à la condition de Baire au sens large, en tant qu'égale à une fonction de Baire sur l'ensemble $CE_1$, dont le complémentaire est de I-e catégorie.

Soit maintenant $N$ un ensemble linéaire quelconque de mesure nulle. D'après la définition de $S$, l'ensemble $NS$ est au plus dénombrable. On a évidemment $N \subset NS + (E_1 - S) + CE_1$, donc $f(N) \subset f(NS) + f(E_1 - S) + f(CE_1) = f(NS) + H_1 + H_2$. L'ensemble $f(NS)$ étant au plus dénombrable (de même que $NS$) et les ensembles $H_1$ et $H_2$ étant non-denses, l'ensemble $f(N)$ est de I-e catégorie. La fonction $f(x)$ satisfait donc à la thèse du th. 2, c. q. f. d.

Ceci établi, soient $f(x)$ une fonction satisfaisant à la proposition $T$ et $S$ un ensemble linéaire quelconque satisfaisant à la proposition $S$.

Je dis que l'ensemble

$$L = f^{-1}(S)$$

satisfait à la proposition $L$.

En effet, soit $K$ un ensemble linéaire quelconque de I-e catégorie. L'ensemble $LK$ est donc aussi de I-e catégorie et, d'après la définition de la fonction $f(x)$, l'ensemble $f(KL)$ est de mesure nulle, de sorte que l'ensemble $Sf(KL)$ est au plus dénombrable, de même que l'ensemble $f^{-1}(Sf(KL)) = f^{-1}(S)f^{-1}(KL) = LKL = KL$. Ainsi l'ensemble $L$ satisfait à la proposition $L$.

En désignant par $\rightarrow$ l'implication, par $XY$ l'affirmation simul-
tanée des propositions $X$ et $Y$, et par $H$ l'hypothèse que $2^{\aleph_0}=\aleph_1$
(hypothèse du continu), nous pouvons donc écrire $TS \rightarrow L$, donc aussi
$TS \rightarrow LS$. M. F. Rothberger a démontré<fnref n="1" />) que $LS \rightarrow H$. On a
ainsi $TS \rightarrow H$. Or, nous avons démontré (cf. p. 253) que $H \rightarrow T$;
comme, d'autre part, on a $H \rightarrow S$, on trouve $TS \rightleftarrows H$, c. à d. que la
réunion des propositions $T$ et $S$ équivaut à l'hypothèse du continu<fnref n="2" />).

Il en résulte qu'une démonstration de la proposition $T$ sans l'hypothèse du continu serait en même temps une démonstration que la proposition $S$ équivaut à l'hypothèse du continu. On doit donc regarder comme un problème très difficile celui de démontrer la proposition $T$ sans faire appel à l'hypothèse du continu.

Envisageons à présent la proposition

$T^*$. Il existe une fonction $f(x)$ qui transforme d'une façon biunivoque la droite en elle-même en transformant tout ensemble de mesure nulle en un ensemble de I-e catégorie.

D'une façon analogue à l'équivalence $TS \rightleftarrows H$, on peut démontrer que $T^*L \rightleftarrows H$, c. à d. que la réunion des propositions $T^*$ et $L$ équivaut à l'hypothèse du continu<fnref n="1" />).

Pour terminer, je vais démontrer ce

**Théorème 3.** Si $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, il existe une fonction $f(x)$ qui transforme d'une façon biunivoque la droite en elle-même en transformant à la fois chaque ensemble de mesure nulle en un ensemble de I-e catégorie et chaque ensemble de I-e catégorie en un ensemble de mesure nulle.

Démonstration. Si $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, il existe, comme on sait, deux ensembles, $L_1$ et $S_1$, satisfaisant aux propositions $L$ et $S$ respectivement. L'ensemble $L_1$ étant de mesure nulle, l'ensemble $L_1S_1$ est au plus dénombrable, Il en résulte que les ensembles $L=L_1-S_1$ et $S=S_1-L_1$ satisfont encore aux propositions $L$ et $S$ respectivement. L'ensemble $L$ étant de mesure nulle, l'ensemble $CL$ contient un sous-ensemble parfait $P$ de mesure nulle. L'ensemble $PS$ est donc au plus dénombrable et par suite l'ensemble $P-S$ est de puissance $2^{\aleph_0}$. Donc, à plus forte raison, l'ensemble $C(L+S) \supset P-S$ est de puissance $2^{\aleph_0}$.

Or, comme on voit sans peine, il existe une décomposition de la droite en une somme d' trois ensembles dis joints $H_1+H_2+H_3$ dont chacun est de puissance $2^{\aleph_0}$ et dont $H_1$ est de I-e catégorie, $H_2$ de mesure nulle et $H_3$ à la fois de I-e catégorie et de mesure nulle. Les ensembles $L$, $S$ et $C(L+S)$ étant chacun de puissance $2^{\aleph_0}$, il existe trois fonctions $\varphi(x), \psi(x)$ et $\theta(x)$, qui transforment d'une façon biunivoque $L$ en $H_1$, $S$ en $H_2$ et $C(L+S)$ en $H_3$ respectivement.

<footnote n="1">1) F. Rothberger, Fund. Math. 30 (1938), p. 215.</footnote>

<footnote n="2">²) D'après une remarque due à Mlle S. Braun, on peut remplacer ici la proposition T par la proposition U qu'on obtient en supprimant dans T les mots „d'une façon biunivoque“. Pour montrer que $US \rightleftarrows H$, il suffit de modifier un peu la démonstration précédente, en entendant par $f^{-1}(y)$, pour tout y réel, un x quelconque tel que $f(x)=y$.</footnote>

<footnote n="1">1) Ici on peut encore remplacer $T^*$ par la proposition $U^*$ qui s'obtient de $T^*$ en y supprimant les mots „d'une façon biunivoque“.</footnote>
Posons:

$$f(x) = \begin{cases} \varphi(x) & \text{pour } x \in L, \\ \psi(x) & \text{pour } x \in S \\ \theta(x) & \text{pour } x \in C(L+S). \end{cases}$$

On prouve comme dans la démonstration des théorèmes 1 et 2 que la fonction $f(x)$ satisfait à la thèse du th. 3.

Toutefois, même en admettant l'hypothèse que $2^\aleph=\aleph_1$, le problème reste ouvert, s'il existe une fonction $f(x)$ qui transforme d'une façon biunivoque la droite en elle-même et qui, de même que sa fonction inverse $f^{-1}(x)$, transforment simultanément chaque ensemble de l-e catégorie en un ensemble de mesure nulle et chaque ensemble de mesure nulle en un ensemble de l-e catégorie.

## Sur les espaces à connexité $n$-dimensionnelle<fnref n="1" />).

Par

C. Kuratowski et E. Otto (Warszawa).

Soit $\mathcal{X}$ un espace métrique séparable (contenant plus d'un point). $\mathcal{X}$ est dit à connexité $\leqslant n$-dimensionnelle lorsqu'il existe une décomposition en deux ensembles fermés $M$ et $N$ telle que

$$ (1) \qquad \mathcal{X}=M+N, \quad M\neq\mathcal{X}\neq N, \quad \dim MN\leqslant n-1, $$
autrement dit, lorsqu'il existe un ensemble ouvert $G$ tel que

$$ (2) \qquad 0\neq G, \quad \bar{G}\neq\mathcal{X}, \quad \dim Fr(G)\leqslant n-1, $$
ou encore: lorsqu'il existe un ensemble fermé de dimension $\leqslant n-1$ qui sépare $\mathcal{X}$.

Le plus petit entier $n$ de ce genre (fini ou infini) est nommé dimension de la connexité de $\mathcal{X}$ et est désigné par $dc\mathcal{X}^2$). Par conséquent — si $dc\mathcal{X}<\infty$ — il existe un séparateur fermé de dimension $dc\mathcal{X}-1$, mais il n'en existe aucun de dimension $dc\mathcal{X}-2$.

Convenons, en outre, que $dc(p)=0$ et $dc0=-1$.

On constate aussitôt que $dc\mathcal{X}\leqslant \dim \mathcal{X}$ et que l'inégalité $dc\mathcal{X}\geqslant 1$ équivaut à l'hypothèse que $\mathcal{X}$ est connexe et contient plus d'un point. Les espaces *compacts* $\mathcal{X}$ satisfaisant à l'égalité $dc\mathcal{X}=\dim \mathcal{X}$ coïncident avec les multiplicités cantoriennes (au sens d'Urysohn).

Par exemple, pour deux cubes qui n'ont en commun qu'un seul sommet, on a $dc=1$; s'ils ont une arête commune, on a $dc=2$; enfin, s'ils ont une face commune, on a $dc=3$.

<footnote n="1">¹) Présenté à la Soc. Polon. de Math., Section de Varsovie, le 27. I. 1939.</footnote>

<footnote n="2">²) Voir C. Kuratowski, *Sur la compactification des espaces à connexité $n$-dimensionnelle*, Fund. Math. **30** (1938), p. 242 (on y remplacera $n$ par $n+1$).</footnote>