# Non-validité du théorème de Lévy-Cramer sur le cercle

Henri Carnal

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Henri Carnal. Non-validité du théorème de Lévy-Cramer sur le cercle. Annales de l'ISUP, 1964, XIII (1), pp.55-56. hal-04085135

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Submitted on 28 Apr 2023

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# NON-VALIDITÉ DU THÉORÈME DE LÉVY-CRAMER
## SUR LE CERCLE

Henri CARNAL

L'étude des lois de probabilité indéfiniment divisibles sur certains groupes topologiques localement compacts (p.ex. abéliens, compacts ou de Lie) permet de généraliser plusieurs théorèmes connus pour les lois de probabilité sur la droite réelle. Cependant l'analogie n'est pas complète : l'exemple suivant prouve que le théorème de Lévy-Cramer n'est pas valable sur le cercle.

Soit $T$ le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1 et $\chi_n$ (n entier) le caractère $\chi_n(\alpha) = \alpha^n$. Nous posons, pour une mesure $F$ sur $T$,

$$ \chi_n(F) = \int_T \chi_n(\alpha) dF(\alpha) $$

On appelle généralement lois de Laplace-Gauss sur $T$ les lois $G$ données par

$$ \chi_n(G) = \alpha_1^n e^{-a_1^n} \quad (\alpha_1 \in T, a \ge 0) \quad \text{Cf. [1]} \quad (1) $$

Pour $a > 0$, la loi $G$ ainsi définie est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue $\lambda \left( \int_T d\lambda(\alpha) = 1 \right)$ sur $T$ et sa fonction de répartition donnée par $g(\alpha) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \alpha^{-n} \chi_n(G)$. Si $a$ est suffisamment grand, $g(\alpha)$ est pour tout $\alpha$ assez proche de 1. Prenons donc p.ex. $\alpha_1 = 1$ et $a = a_0$ assez grand pour que la loi de Laplace-Gauss $G_0$ donnée par ces paramètres ait une fonction de répartition $g_0(\alpha)$ satisfaisant à $\frac{1}{2} \le g_0(\alpha) \le \frac{3}{2}$. Soit $H$ la mesure qui a une masse $2/3$ en $\beta_1 = \exp(2\pi i/3)$, $2/3$ en $\beta_2 = \exp(4\pi i/3)$, $-1/3$ en $\beta_0 = 1$ et qui est nulle sur $T - \{\beta_0, \beta_1, \beta_2\}$. Nous avons $\chi_n(H) = 1$ ou $-1$ suivant que $3|n$ ou $3|n$, donc $\chi_n(H \cdot H) = 1$. La mesure $H \cdot G_0$ est alors donnée par la fonction de répartition
$$g'(\alpha) = \frac{2}{3} g_0(\alpha \beta_1^{-1}) + \frac{2}{3} g_0(\alpha \beta_2^{-1}) - \frac{1}{3} g_0(\alpha) \geq \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} > 0$$

$$\int_{\Gamma} g'(\alpha) d\lambda(\alpha) = \chi_0(H \cdot G_0) = \chi_0(H) \chi_0(G_0) = 1$$

Donc $H \cdot G_0$ est une loi de probabilité. Elle n'est pas de la forme (1) car les paramètres $\alpha$ et $\alpha_1$ devraient satisfaire aux relations

$$a = -\log|\chi_1(H \cdot G_0)| = -\log|\chi_1(G_0)| = a_0$$

$$\alpha_1^n = \exp(a_0 n^2) \chi_n(H \cdot G_0) = \chi_n(H)$$

ce qui est impossible. Mais $(H \cdot G_0) \cdot (H \cdot G_0) = (H \cdot H) \cdot (G_0 \cdot G_0) = G_0 \cdot G_0$ est une loi de Laplace-Gauss de paramètres $a = 2a_0$ et $\alpha_1 = 1$. Il est donc possible de décomposer une telle loi en deux facteurs qui ne sont pas gaussiens.

*Remarque* : Si l'on définissait les lois de Laplace-Gauss par la propriété suivante : "Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de loi F, XY et $XY^{-1}$ sont également indépendantes", on obtiendrait un ensemble un peu plus large que celui défini par (1) ; F serait de la forme $G \cdot e_{2\kappa+1}$ (K entier positif), G étant du type (1) et $e_\kappa$ une loi de probabilité de masse $\frac{1}{K}$ en chacun des points $x_\kappa = \exp(2\pi i k / K)$, $k = 1, 2, \dots$, K, c'est-à-dire $\chi_n(e_\kappa) = 1$ ou 0 suivant que $K|n$ ou $K \nmid n$. Il est clair que la loi $H \cdot G_0$ construite plus haut n'est pas non plus de cette forme, puisque $\chi_n(H \cdot G_0) \neq 0$.

REFERENCES

[1] K. URBANIK - Gaussian measures on locally compact abelian topological groups, *Studia Math.*, **19**, (1960), 77-88.

Ecole Polytechnique Fédérale
Zurich, Suisse
&

Courant Institute of Mathematical Sciences
New-York University, Etats-Unis

Reçu le 15 Avril 1963