# Analyse numérique de l'équation de Bellman stochastique

Jean-Pierre Quadrat

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Jean-Pierre Quadrat. Analyse numérique de l'équation de Bellman stochastique. [Rapport de recherche] IRIA-RR-140, IRIA. 1975, pp.97. hal-04716083

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Analyse numérique
de l'équation de Bellman
stochastique

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J.P. Quadrat

ARCHIVES

Rapport de Recherche n°140
Octobre 1975
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# ANALYSE NUMÉRIQUE DE L'ÉQUATION DE BELLMAN STOCHASTIQUE

J.P. Quadrat

présenté par A. Bensoussan

## RÉSUMÉ :

Nous étudions la résolution numérique des problèmes de contrôle optimal de diffusion stochastique arrêtée ou réfléchie.

Pour cela, nous faisons l'analyse numérique de l'équation de Bellman correspondante, essentiellement par des méthodes d'éléments finis.

Nous obtenons des majorations d'erreur et la convergence des problèmes discrétisés. Nous donnons l'interprétation probabiliste des problèmes discrets obtenus.

## ABSTRACT :

We study the numerical solving of optimal control for stochastic diffusion. For that, we make a numerical analysis of the corresponding Bellman equation essentially by finite element methods.

We obtain error estimation and a convergence theorem.

We give a probabilistic interpretation of the discretized problem we build.
# INTRODUCTION

Considérons les deux exemples de contrôle stochastique suivants :

## - Contrôle d'une diffusion arrêtée

Etant donnée une diffusion stochastique

$$dx_t = b(x_t, u_t)dt + \sigma(x_t)dw_t$$

où $u_t$ est le contrôle et $w_t$ un brownien.

$x_t$ est la variable d'état.

et un critère :

$$J(u) = E \int_{0}^{\tau} e^{-\lambda t} f(x_{t}, u_{t}) dt + e^{-\lambda \tau} g(x_{\tau})$$

où $\tau$ désigne le temps de sortie d'un ouvert $\Omega$ de frontière $\Gamma$.

On se propose de résoudre le problème Min $J(u)$
$u$

$u_t$ étant un processus adapté à $F_t$, $F_t$ étant la famille de tribus sur laquelle est défini le brownien.

Soit alors l'équation aux dérivées partielles suivante :

$$ (o) \quad \begin{cases} - \lambda V + \frac{1}{2} \text{tr}[\sigma \sigma^* D^2 V] + \min_u \{ b(x,u) \cdot DV + f(x,u) \} = 0 \\ V|_{\Gamma} = g \end{cases} $$

Suivant FLEMING [8], RISHEL [17], supposons que $V$ soit $C^2$.

En appliquant la formule d'Ito à $e^{-\lambda t} V(x)$ avec $u(x) = \argmax_{u} DV.b + f$ on obtient :

$$E \{ e^{-\lambda \tau} V(x_{\tau}) \} - V(x) = E \int_{0}^{\tau} e^{-\lambda t} \left( -\lambda V + \text{tr} \left[ D^2 V \sigma \sigma^* \right] + DV.b \right) dt$$

<figure><img src="image_6.png" /></figure>
V étant solution de (o) on a alors :

$$V(o) = E \int_{0}^{\tau} e^{-\lambda t} f(x_{t}, u_{t}) + e^{-\lambda \tau} g(x_{\tau}) dt$$

Si l'on suppose que le système est gouverné par un autre contrôle que $u^*$
(o) $\Rightarrow$
$$V(x) \le E \int_{0}^{\tau} e^{-\lambda t} f(x_{t}, u_{t}) + e^{-\lambda \tau} g(x_{\tau}) dt$$

et donc, résout le problème de contrôle stochastique.

Un lemme de RISHEL [17] amélioré par BENSOUSSAN-LIONS [4] montre que l'hypothèse de régularité (très restrictive en pratique) $V \in C^2$ peut être remplacée par :

$$V \in H^1(\Omega) \cap C^0(\bar{\Omega}) \\ - \lambda V + \frac{1}{2} \text{tr}[\sigma\sigma^* D^2 V] \in L^2(\Omega)$$

On voit donc que le problème de contrôle stochastique revient à résoudre (o).

## Contrôle d'une diffusion réfléchie

Etant donné un ouvert $\Omega$ convexe de frontière $\Gamma$ BENSOUSSAN-LIONS [4] montre que l'on peut donner un sens à la diffusion.

$$dx_t = b(x_t, u_t)dt + dw_t - n(x_t)d\xi_t$$

où n désigne la normale à $\Gamma$ dirigée vers l'extérieur.

On peut également se reporter à FELLER [9], MANDL [15], STOOK-VARADHAN [18], CIHMAN-SKOROHOD [11] pour la définition d'un tel processus.

$\xi_t$ est un processus continu croissant sur $\Gamma$ défini de façon unique.
$u_t$ est le contrôle.

On se pose le problème :

$$
\min_{u} E \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t} f(x_t, u_t) dt + E \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t} g(x_t) d\xi_t
$$

Considérons l'équation aux dérivées partielles :

$$
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
& - \lambda V + \frac{1}{2} \Delta V + \min\{\mathrm{DV}.b(x,u) + \mathrm{F}(x,u)\} = 0 \\
& \frac{\partial V}{\partial n} \Big|_{\Gamma} = g
\end{aligned}
\right.
\tag{o'}
\end{equation}
$$

Faisons le même raisonnement que pour l'exemple précédent.

Supposons que V solution de (o') soit C²(Ω) et appliquons la formule
d'Ito à e⁻⁷t V(x), on obtient avec :

$$
\begin{gather*}
\displaystyle \frac{*}{u} \epsilon \arg \min_{u} \text{DV.b}(x,u) + f(x,u) \\
\displaystyle - V(x) = E \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t} \left( - \lambda V + \frac{\Delta V}{2} + \text{DV.b}(x,u) \right) dt + e^{-\lambda t} \text{DV.n} \, d\xi_{t}
\end{gather*}
$$

En utilisant (o') on obtient :

$$
V(x) = E \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t} f(x_{t}, u_{t}) dt + e^{-\lambda t} g(x_{t}) \, d\xi_{t}
$$

et donc, sous l'hypothèse de régularité $C^2$, V solution de (o') résoud
le problème de contrôle stochastique.

Cette hypothèse peut être affaiblie BENSOUSSAN-LIONS [4]

$$
\begin{cases}
v \in H^1(\Omega) \cap C^1(\bar{\Omega}) \\
- \lambda v + \Delta v \in L^2(\Omega)
\end{cases}
$$
Dans la suite nous nous proposons de résoudre numériquement les équations
(o) et (o').

KUSHNER-CHEN-FU-YU [10] résout ce problème en approximant les diffusions
par des chaînes de Markov et montre la convergence en loi du processus approxi-
mant, il en déduit la convergence du coût optimum.

Ici, on prendra l'attitude inverse : on utilise la théorie de l'approxi-
mation des équations aux dérivées partielles pour résoudre le problème. En par-
ticulier, on étudiera une approximation interne (par éléments finis) des
équations aux dérivées partielles (o) et (o') et on donnera un algorithme
de résolution du problème discrétisé. Le contrôle sera approximé par des
fonctions constantes par morceaux, la solution par des fonctions linéaires
par morceaux et par composantes.

Cette approche nous permet d'obtenir, dans le cadre coercif, des
résultats plus forts que ceux obtenus dans KUSHNER CHEN-FU-YU [10] en particulier
- convergence dans H¹ du coût optimal,
- majoration de la norme H¹ de la différence entre la solution du
problème continue et du problème discrétisé.

Ces auteurs obtiennent un feedback meilleur que tout feedback lipschit-
zien ; ici, cette dernière restriction est supprimée.

Plusieurs exemples numériques confirment les majorations d'erreurs
obtenues, et donnent une idée de la rapidité de convergence de l'algorithme
de résolution.

On montre également que dans certains cas, pour l'approximation par
éléments finis, et toujours pour l'approximation par différence finie, le
problème discrétisé s'interprète de façon probabiliste comme un problème de
contrôle de chaîne de Markov et l'algorithme de résolution comme un algorithme
de Howard généralisé.

En appliquant des résultats de STROOK-VARADHAN [18] on montre que la
méthode exposée dans KUSHNER CHEN-FU-YU [10] s'applique encore aux diffusions
réfléchies et à la discrétisation par éléments finis (nous le faisons en
dimension 1).
Enfin, on applique cette méthode d'analyse fonctionnelle au cas parabolique. En particulier, nous montrons ici la convergence et les majorations d'erreurs dans $L^2(o,T;H^1)$ pour le schéma implicite et de CRANK NICHOLSON.

Nous suivrons le plan suivant :

1. NOTATION ET FORMULATION PRECISE DU PROBLEME

2. EXISTENCE ET UNICITE DE LA SOLUTION

3. CONSTRUCTION D'UN PROBLEME APPROCHE

4. EXISTENCE ET UNICITE DU PROBLEME APPROCHE

5. CONVERCENCE DES SOLUTIONS APPROCHEES ET MAJORIZATION D'ERREUR

6. EXEMPLE D'APPROXIMATION

7. ALGORITHM DE RESOLUTION DU PROBLEME APPROCHE

8. TESTS NUMERIQUES

8.1. Test en dimension 1

8.2. Test en dimension 2

8.3. Exemple

8.4. Application à un modèle de croissance de firme

9. INTERPRETATION PROBABILISTE

10. CAS EVOLUTIF

ANNEXE 1 - PROBLEMES DE MESURABILITE

ANNEXE 2 -

ANNEXE 3 - PRINCIPE DU MAXIMUM DISCRET

ANNEXE 4 - SUR L'APPROXIMATION EXTERNE

BIBLIOGRAPHIE
# 1. - NOTATIONS ET FORMULATION DU PROBLEME

Dans ce paragraphe, nous allons préciser les hypothèses que nous ferons continuellement dans la suite, et nous définirons précisément l'équation aux dérivées partielles que nous désirons résoudre.

Soit $\Omega$ un ouvert régulier de frontière $\Gamma$

$$ (1) \qquad u : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}^m $$

Multi-application de graphe borélien*, à valeurs fermées, dans un compact fixe.

$$ (2) \quad b: \Omega \times \mathbb{R}^m \longrightarrow \mathbb{R}^n \\ x, u \quad b_i(x, u) \quad \text{Application borélienne vérifiant :} $$

$$ \sup_{x,u} |b_i(x,u)| \le M \qquad i = 1, \dots, n $$

$$ |b_i(x, u_1) - b_i(x, u_2)| \le k |u_1 - u_2| $$

$$ (3) \quad \varphi : \Omega \times \mathbb{R}^m \longrightarrow \mathbb{R} \quad \text{Application borélienne vérifiant :} $$

$$ \sup_{x,u} |\varphi(x,u)| \le M $$

$$ |\varphi(x, u_1) - \varphi(x, u_2)| \le k |u_1 - u_2| $$

On définit alors l'application :

$$ (4) \quad F: \Omega \times \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} \\ x, u, p \quad \sum_i b_i(x,u)p_i + \varphi(x,u) $$

<footnote>* On peut prendre de graphe souslinien</footnote>
Alors les hypothèses (1) (2) (3) permettent de définir l'application

$$ \Pi: \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l@{\quad}l} \Omega & \xrightarrow{m} & \mathbb{R} & \\ x, p & \rightarrow & \Pi(x,p) & = \ \min_{u \in \mathcal{U}(x)} F(x, u, p) \end{array} $$

En effet, $u \rightarrow \Pi(x, u, p)$ est continue et $\mathcal{U}(x)$ est compact.

Donnons maintenant quelques propriétés de $\Pi$.

**Lemme 1 :** L'application $\Pi: \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l@{\quad}l} \Omega & \xrightarrow{m} & \mathbb{R} & \\ x, p & \rightarrow & \Pi(x,p) & = \ \min_{u \in \mathcal{U}(x)} F(x, u, p) \end{array}$ est universellement radon mesurable et lipschitzienne en $p$ et $p$.

De plus, il existe $u(x,p)$ borélienne vérifiant :

$$ \Pi(x,p) = F(x, u(x,p)) \mu \text{ p.p. ; ou } \mu \text{ désigne une mesure de radon quelconque sur } \Omega \times \mathbb{R}^n $$

## Démonstration

Les propriétés de mesurabilité proviennent du principe du maximum. Nous donnons la démonstration tiré d'EKELAND [7] dans l'annexe I.

$\Pi$ est lipschitzienne en $p$ sauf sur un $\mu$ négligeable ; en effet, $\exists N, \mu$ négligeable, borélien tel que :

$$ \forall (x,p) \in \mathbb{N} \exists u: \Pi(x,p) = F(x,u,p) $$

Alors, soit $p$ et $\bar{p} \in \mathbb{N}$ tels que $\Pi(x,p) \ge \Pi(x,\bar{p})$

Il existe alors $u$ et $\bar{u}$ :

$$ \begin{align*} |\Pi(x,p) - \Pi(x,\bar{p})| &= F(x,u,p) - F(x,\bar{u},\bar{p}) \\ &\le F(x,\bar{u},p) - F(x,\bar{u},\bar{p}) \\ &= \sum_i (b_i(x,\bar{u})p_i - b_i(x,\bar{u})\bar{p}_i) = M\Sigma_i |p_i - \bar{p}_i| \end{align*} $$

<figure><img src="image_7.png" /></figure>
Grâce aux propriétés de mesurabilité obtenues dans le lemme 1, on montre (annexe 2) que l'on peut définir l'opérateur :

$$ \underset{z}{\Pi: L^p(\Omega, \mathbb{R}^n) \longrightarrow L^p(\Omega)} \\ x \longrightarrow \Pi(x, z(x)) $$

et qu'il est de lipschitz

$$ |\Pi(z_1) - \Pi(z_2)| \leqslant_k |z_1 - z_2| \quad \underset{L^p(\Omega)}{L^p(\Omega, \mathbb{R}^n)} $$

De même l'opérateur

$$ U: L^p(\Omega, \mathbb{R}^n) \longrightarrow L^p(\Omega, \mathbb{R}^m) \\ x \longrightarrow u(x, z(x)) $$

est bien défini et on a :

$$ \Pi(x, z(x)) = F(x, u(x, z(x)), z(x)) \text{ p.p.} $$

ce qui montre que

$$ \Pi(z) = \min_{u \in \mathcal{U}} F(u, z) $$

avec les notations suivantes :

$$ F: L^p(\Omega, \mathbb{R}^m) \times L^p(\Omega, \mathbb{R}^n) \longrightarrow L^p(\Omega) \\ \underset{u}{\mathrm{z}} \quad \underset{x}{\longrightarrow} \quad F(x, u(x), x(x)) $$

et l'abus de notation :

$$ \mathcal{U} = \{ u \in L^p(\Omega, \mathbb{R}^m) \mid u(x) \in \mathcal{U}(x) \} \blacksquare $$

Soit alors :

$$ \lambda \in \mathbb{R} $$

$$ a_{ij} \text{ i=}1, \dots, n; \quad j = 1, \dots, n \quad \in \quad C^1(\bar{\Omega}) $$
(6) $f \in L^2(\Omega)$

(7) $g \in H^{1/2}(\Omega)$

et les espaces
$V \subset H \subset V'$
H étant $L^2(\Omega)$ ; $V = H^1(\Omega)$ ou $H_o^1(\Omega)$

On définit :

- la forme bilinéaire $a_{\lambda}:V \times V \to \mathbb{R}$

$$
a_{\lambda}(y,v) = \int_{\Omega} \left\{ \sum_{i,j} a_{ij} \frac{\partial y}{\partial x_i} \frac{\partial v}{\partial x_j} + \sum_j a_{ij,i} \frac{\partial y}{\partial x_j} v + yv \right\} d\Omega
$$

$$
\text{où } a_{ij,i} \equiv \sum_{i} \frac{\partial a_{ij}}{\partial x_i}, \quad j,i
$$

et l'on suppose :

$$
(8) \quad \exists \alpha > 0 \text{ et } \mu: a_{\lambda}(y,y) \ge \alpha |y|^2_{V} + \mu |y|^2_{H}
$$

On remarque que si (8) est vérifiée pour $\lambda$, elle est vérifiée pour tout
$\lambda' \ge \lambda$.

$$
\cdot 1(v) = \int_{\Omega} fvd\Omega + \int_{\Gamma} gvd\Gamma \quad \text{forme linéaire continue sur V.}
$$

désignons par $D$ l'opérateur gradient.

$$
D : V \to H^n
$$

$$
y \qquad \frac{\partial y}{\partial x_i} \qquad i = 1, \dots, n
$$

On peut alors énoncer **le problème** :

On cherche $y \in V$ tel que

$$
(9) \quad a_{\lambda}(y,v) - (\Pi(Dy),v) = 1(v) \quad \forall v \in H^1(\Omega)
$$
En notant $A_{\lambda}$ l'opérateur de $V$ dans $V'$

$$A_{\lambda} = \sum_{i} a_{ij} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial}{\partial x_j} + \lambda I$$

$$- \text{Si } g = 0 \text{ et } V = H_o^1(\Omega)$$

le problème (9) équivaut à chercher $y \in H_o^1(\Omega)$ vérifiant :

$$(9') \quad A_{\lambda} y - \Pi(Dy) = f$$

$$- \text{Si } V = H^1(\Omega)$$

le problème (9) équivaut à chercher $y \in H^1(\Omega)$ vérifiant :

$$(9'') \quad \left\{ \begin{array}{l} A_{\lambda} y - \Pi(Dy) = f \\ \left. \frac{\partial y}{\partial \nu_A} \right|_{\Gamma} = g \\ \text{où } \frac{\partial}{\partial \nu_A} \text{ désigne la dérivée selon le vecteur } \nu_A \text{ défini au point x} \\ \text{par } \nu_A = (a_{ij}(x)) \cdot \vec{n}(x) \text{ où } \vec{n}(x) \text{ désigne la normale extérieure à } \Gamma. \end{array} \right.$$

## 2. - EXISTENCE ET UNICITE DE LA SOLUTION

Dans ce paragraphe, nous appliquons la méthode de monotonie LIONS [12] pour montrer l'existence et l'unicité de la solution de (9).

L'étude approfondie de ce problème est faite dans BENSOUSSAN-LIONS [4].

Notons :

$$c_{\lambda}(y,v) = a_{\lambda}(y,v) - (\Pi(Dy),v)$$

et étudions les propriétés de cette application.
## MONOTONIE

$$ \exists \lambda_0 \text{ et } \beta \ge 0 : \forall \lambda \ge \lambda_0, c_\lambda(y,y-v) - c_\lambda(v,y-v) \ge \beta |y-v|_V^2 $$

En effet, $\Pi: H^n \to H$ étant lipschitzienne de constante k, on a :

$$ (\Pi(Dy) - \Pi(Dv), y-v) \le |y-v|_H |\Pi(Dy) - \Pi(Dv)|_H \le k_1 |y-v|_H |Dy - Dv|_H^n $$

$$ \le \frac{k_1 \epsilon}{2} |Dy - Dv|_H^2 + \frac{k_1}{2\epsilon} |y-v|_H^2 \le k_1 \frac{\epsilon}{2} |y-v|_V^2 + \frac{k_1}{2\epsilon} |y-v|_H^2 $$

où $\epsilon$ est une constante arbitraire.

En choisissant $\lambda$ et $\epsilon$ de façon à ce qu'il existe $\alpha$ et $\mu$ vérifiant :

$$ \alpha - \frac{\epsilon k_1}{2} = \beta > 0 $$

$$ \mu - \frac{k_1}{2\epsilon} \ge 0 $$

on obtient le résultat

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

## HEMICONTINUITE

$$ \lim_{\rho \to 0} c_{\lambda}(y-\rho w, v) = c_{\lambda}(y,v) $$

immédiat d'après la propriété de Lipschitz de $\Pi$. ■

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

## BORNE

$c_\lambda(y,v)$ est borné sur tout borné de $V \times V$ ; en effet :

$$ (\Pi(Dy), v)_H \le |\Pi(Dy)|_H |v|_H \le M |v|_H (|y|_V^{1+1}) $$

Enfin, les coefficients $a_{ij}$ étant $C^1(\Omega)$ donc bornés et à dérivées bornées, on obtient le résultat

<figure><img src="image_10.png" /></figure>
## FAIBLE INF-COMPACITE DE $c_λ(y,v)$

On a en effet :

$$ (\Pi(Dy), y) \le |\Pi(Dy)|_H |y|_H \le M |y|_H (|Dy|_H^{n+1}) \\ \le \frac{M\varepsilon}{2} |y|_V^2 + \frac{M}{2} + \left(\frac{M}{2} + \frac{M}{2\varepsilon}\right) |y|_H^2 $$

et donc, en utilisant (8) :

$$ \exists \lambda_o \text{ et } \varepsilon \quad \forall \lambda \ge \lambda_o $$

$$ c_{\lambda}(y,v) \ge \beta |y|_V^2 - \frac{M}{2} $$

en prenant :

$$ \alpha - \frac{M\varepsilon}{2} = \beta > 0 $$

$$ M - \frac{M}{2\varepsilon} - \frac{M}{2} > 0 \quad \blacksquare $$

## PROPOSITION 1

Sous les hypothèses (1) (2) (3) (6) (7) (8), il existe $\lambda$ tel que le problème

$$ c_{\lambda}(y,v) = l(v) \quad \forall v \in V $$

ait une solution unique $y \in V$

Cette proposition résulte de l'application du théorème 2.1. LIONS [12].

## Remarque 1

Les hypothèses de régularité (6) (7) donne $y \in H^2(\Omega)$ ; en effet, $\Pi(Dy) \in L^2(\Omega)$ grâce à LIONS-MAGENES [14], on obtient le résultat.
Il peut être très utile de savoir que $y \in C^0(\Omega)$ pour montrer que la solution de l'équation aux dérivées partielles est solution du problème de contrôle stochastique.

Les majorations obtenues dans BENSOUSSAN-FRIEDMAN [3] montrent que
$y \in W^{2, p}(\Omega)$, p quelconque. On obtient alors la régularité $C^0(\Omega)$ grâce au
théorème de SOBOLEV (Cf. LIONS [13]). ■

3. - PROBLEME APPROCHE

Nous allons construire maintenant une approximation en dimension finie
dé (9).

Soit $V_\xi$ un espace de dimension finie

$p_{\xi}$ un opérateur injectif continu de $V_{\xi}$ dans $V$

$r_{\xi}$ un opérateur de $V$ dans $V_{\xi}$

$p_{\xi}, r_{\xi}$ possédant la propriété suivante :

$$
\forall v \in V \lim_{\xi \to 0} p_{\xi} r_{\xi} = v \text{ dans } V \text{ fort.}
$$

Du théorème de BANACH STEINHAUSS, on déduit que l'opérateur $p_{\xi}r_{\xi}$ est
borné indépendamment de $\xi$.

Le triplet $(V_\xi, p_\xi, r_\xi)$ est appelé approximation interne de $V$
AUBIN [1], TEMAM [19], CIARLET-RAVIART [5].

De même, soit : $(H_n, q_n, s_n)$ une approximation interne de $H$ telle que :

$$
f_1 \ge f_2 \in H \Rightarrow q_n s_n f_1 \ge q_n s_n f_2
$$

$(W_n, \bar{q}_n, \bar{s}_n)$ une approximation interne de $W$ qui sera l'espace de
$L^p(\Omega, \mathbb{R}^m)$ avec $2 < p < \infty$. Ce sera l'espace contenant $\mathcal{U}$ dans lequel on
approximera les contrôles.

A ces deux dernières approximations on imposera de plus :

$$
\Pi_n(z) = \min_{u \in \mathcal{U}} q_n s_n F(\cdot, \bar{q}_n \bar{s}_n u(\cdot), z(\cdot)) \text{ d'exister } \forall z \in L^2(\Omega, \mathbb{R}^n) \blacksquare
$$
On définit alors le problème approché de (9)

$$
(10) \quad a_{\lambda}(p_{\xi} y_{\xi}, p_{\xi} v_{\xi}) - (\Pi_{\eta}(D(p_{\xi} y_{\xi}), p_{\xi} v_{\xi})) = \mathbf{1}(p_{\xi} v_{\xi}) \forall v_{\xi} \in V_{\xi}
$$

On notera :

$$
c_{\eta}^{\lambda}(p_{\xi} y_{\xi}, p_{\xi} v_{\xi}) \text{ le premier membre de (10)} \blacksquare
$$

Donnons maintenant une estimation qui nous servira plusieurs fois dans
la suite.

Notons :

$$
F_{\eta}(u,z) = F(., \bar{q}_{\eta} \bar{s}_{\eta} u(.), z(.))
$$

$$
F(u,z) = F(.,u(.),z(.))
$$

Lemme 2 :
(11)

∃ C > 0 indépendante de η

$$
\begin{align*}
|\Pi_{\eta}(z_1) - \Pi(z_2)|_{H} &= |(I - q_{\eta} s_{\eta}) \Pi(z_2)|_{H} + C |z_2 - z_1|_{L^2(\Omega, \mathbb{R}^n)} \\
&\quad + C |(\bar{q}_{\eta} \bar{s}_{\eta} - I) u_2|_{L^2(\Omega, \mathbb{R}^m)}
\end{align*}
$$

$$
+ C |z_2|_{L^p(\Omega, \mathbb{R}^n)} |(\bar{q}_n \bar{s}_n - I) u_2|_{L^q(\Omega, \mathbb{R}^m)} .
$$

$$
p \ge 2 \text{ avec } \frac{2}{p} + \frac{2}{q} = 1
$$

$$
u_2 \underline{\text{vérifiant}} \Pi(z_2) = F(u_2, z_2)
$$

Enfin :

$$
(12) \quad \left| \Pi_{\eta}(z_1) - \Pi_{\eta}(z_2) \right|_{H} \le C |z_2 - z_1| \quad L^2(\Omega, \mathbb{R}^n)
$$
Démonstration

$$
\exists u_1 \in \mathcal{U} : \Pi_{\eta}(z_1) = q_{\eta} s_{\eta} F_{\eta}(u_1, z_1)
$$

$$
(13) \quad \begin{aligned}
|\Pi_{\eta}(z_1) - \Pi(z_2)|_{H} &= |q_{\eta} s_{\eta} F_{\eta}(u_1, z_1) - F(u_2, z_2)|_{H} \\
&\lesssim |q_{\eta} s_{\eta} (F(u_1, z_1) - F(u_2, z_2))|_{H} + |(I - q_{\eta} s_{\eta}) F(u_2, z_2)|_{H}
\end{aligned}
$$

or

$$
\begin{equation} \tag{14}
\begin{aligned}
\left| q_n s_n (F_n(u_1, z_1) - F(u_2, z_2)) \right|_H &= \left| \left[ q_n s_n (F_n(u_1, z_1) - F(u_2, z_2)) \right]^+ \right|_H \\
&\quad + \left| \left[ q_n s_n (F_n(u_1, z_1) - F(u_2, z_2)) \right]^- \right|_H \\
&\lesssim \left| q_n s_n (F_n(u_2, z_1) - F(u_2, z_2)) \right|_H + \left| q_n s_n (F_n(u_1, z_1) - F_n(u_1, z_2)) \right|_H
\end{aligned}
\end{equation}
$$

en effet l'approximation vérifie la propriété suivante :

$$
f_1 \ge f_2 \Rightarrow q_n s_n f_1 \ge q_n s_n f_2
$$

$$
\text{D'autre part } |q_n s_n|_{\mathcal{H}(H)} \le M_1 \text{ et } (14) \Rightarrow
$$

$$
\begin{align*}
|q_n s_n (F_n(u_2, z_1) - F(u_2, z_2))|_H &\le M_1 (|F_n(u_2, z_2) - F(u_2, z_2)|_H + \\
& \qquad |F_n(u_2, z_1) - F_n(u_2, z_2)|_H )
\end{align*}
$$

enfin $\exists C > 0$
$$
(15) \quad \left| F_{\eta}(u_2, z_1) - F_{\eta}(u_2, z_2) \right|_{H} \le C |z_1 - z_2| L^2(\Omega; \mathbb{R}^n)
$$

d'autre part

$$
|F_{\eta}(u_2, z_2) - F(u_2, z_2)|_{H} \le |\varphi(\overline{q}_{\eta} \overline{s}_{\eta} u_2) - \varphi(u_2)|_{H} + |(b(q_{\eta}s_{\eta}u_2) - b(u_2)).z_2|_{H}
$$

or en utilisant la propriété de Lipschitz de $\varphi$

$$
|\varphi(\overline{q}_{\eta} \overline{s}_{\eta} u_2) - \varphi(u_2)| \le C |u_2 - \overline{q}_{\eta} \overline{s}_{\eta} u_2| L^2(\Omega, \mathbb{R}^m)
$$

1'inégalité de Holder donne alors

$$
| (b(\overline{q}_{\eta} \overline{s}_{\eta} u_2) - b(u_2)) \cdot z_2 |_{H} \le |z_2| L^{p(\Omega, \mathbb{R}^n)} | b(\overline{q}_{\eta} \overline{s}_{\eta} u_2) - b(u_2) | L^{q(\Omega, \mathbb{R}^n)}
$$

avec
$$
\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2}
$$

la propriété de Lipschitz de b donne $\exists C > 0$

$$
| b(\overline{q}_{\eta} \overline{s}_{\eta} u_2) - b(u_2) |_{L^q(\Omega, \mathbb{R}^n)} \le C |\overline{q}_{\eta} \overline{s}_{\eta} u_2 - u_2|_{L^q(\Omega, \mathbb{R}^n)}
$$
d'où

$$
\begin{align*}
|F_{\eta}(u_2, z_1) - F(u_2, z_2)|_{H} &\le C|z_1 - z_2| L^2(\Omega, \mathbb{R}^n) + C|(\bar{q}_{\eta} \bar{s}_{\eta} - I)u_2| L^2(\Omega, \mathbb{R}^m) \\
&\quad + C|z_2| L^p(\Omega, \mathbb{R}^n) |(\bar{q}_{\eta} \bar{s}_{\eta} - I)u_2| L^q(\Omega, \mathbb{R}^m)
\end{align*}
$$

avec $$ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2} $$ d'où (11).

La démonstration de l'inégalité (12) provenant de (15) et de
$|F_{\eta}(u_i, z_2) - F_{\eta}(u_i, z_1)| \le C|z_1 - z_2|$ avec $\Pi_{\eta}(z_2) = q_{\eta} s_{\eta} F_{\eta}(u_2, z_2)$ cette fois.

4. - EXISTENCE ET UNICITE DE LA SOLUTION DU PROBLEME APPROCHE

Munissons $V_{\xi}$ du produit scalaire euclidien habituel dans $\mathbb{R}^n$ que nous
noterons $[\cdot, \cdot]$

(10) se réécrit

$$
(16) \quad p_{\xi}^{*} A_{\lambda} p_{\xi} y_{\xi} - p_{\xi}^{*} \Pi_{\eta} (D p_{\xi} y_{\xi}) = f_{\xi}
$$

avec $f_{\xi}$ définie par

$$
[f_{\xi}, v_{\xi}] = 1(p_{\xi}v_{\xi})
$$

Nous noterons (16)

$$
(17) \quad C_{\xi n}^{\lambda} y_{\xi} = f_{\xi}
$$

Et donc (10) se ramène à la résolution du système non linéaire (17).

Nous allons montrer l'existence et l'unicité de la solution de (17). Pour
cela on commence par étudier les propriétés de $C_{\xi n}^{\lambda}$.
Propriétés de l'opérateur $C_{\xi\eta}^{\lambda}$ et de la forme $c_{\eta}^{\lambda}$ :

• CONTINUITE DE $C_{\xi\eta}^{\lambda}$

Il suffit de montrer ( $\mathbb{R}^n$ fort et faible sont identiques) $y_{\xi}^{n-\eta} \xrightarrow{\eta \to \infty} y_{\xi}$
dans $V_{\xi} \to [C_{\xi}^{\lambda}(y_{\xi}^{n}), v_{\xi}] \xrightarrow{\eta \to \infty} [C_{\xi\eta}^{\lambda}(y_{\xi}), v_{\xi}] \forall v_{\xi} \in V_{\xi}$ donc que :

$$
c_{\eta}^{\lambda}(p_{\xi} y_{\xi}^{n}, p_{\xi} v_{\xi}) \xrightarrow{n \to \infty} c_{\eta}^{\lambda}(p_{\xi} y_{\xi}, p_{\xi} v_{\xi}) \quad \forall v_{\xi} \in V_{\xi}
$$

Le résultat découle de la continuité de l'application $z \to \Pi_{\eta}(z)$ et de
la continuité de l'application $p_{\xi}$.

$\exists \lambda_0 > 0, \chi, x > 0 \text{ indépendantes de } \xi \text{ et de } \eta \text{ telles que } \forall \lambda \ge \lambda_0$
$$ \frac{c_{\eta}^{\lambda}(p_{\xi}y_{\xi}, p_{\xi}y_{\xi}) \ge \beta |p_{\xi}y_{\xi}|_V^2 - \chi}{c_{\eta}^{\lambda}(p_{\xi}y_{\xi}, p_{\xi}y_{\xi}) \ge \beta |p_{\xi}y_{\xi}|_V^2} $$

$$
( \Pi_{\eta} (D p_{\xi} y_{\xi}), p_{\xi} y_{\xi} ) \le |\Pi_{\eta} D p_{\xi} y_{\xi}|_{H} |p_{\xi} y_{\xi}|_{H}
$$

$\exists u \in \mathcal{U} : \quad \leq |F_{\eta}(u, D p_{\xi} y_{\xi})|_{H} |p_{\xi} y_{\xi}|_{H} \chi$

$$
\le \chi \left( |D p_{\xi} y_{\xi}|_{L^2(\Omega, \mathbb{R}^n)}^2 + 1 \right) |p_{\xi} y_{\xi}|_{H} \le \chi \left( |p_{\xi} y_{\xi}|_{V} + 1 \right) |p_{\xi} y_{\xi}|_{H}
$$

et la démonstration s'achève comme dans la démonstration de l'infcompacite de
$c^{\lambda}(y,y)$.

• MONOTONIE DE C_η^λ

$$
c_{\eta}^{\lambda}(p_{\xi}y_{\xi}, p_{\xi}y_{\xi} - p_{\xi}y_{\xi}) - c_{\eta}^{\lambda}(p_{\xi}v_{\xi}, p_{\xi}y_{\xi} - p_{\xi}v_{\xi}) \geq \beta |p_{\xi}y_{\xi} - p_{\xi}v_{\xi}|_{V}^{2}
$$

$\beta$ indépendant de $\xi$ et de $\eta$.
Le lemme 2 donne

$$|\Pi_{\eta}(Dp_{\xi}y_{\xi}) - \Pi_{\eta}(Dp_{\xi}v_{\xi})| \le |Dp_{\xi}y_{\xi} - Dp_{\xi}v_{\xi}| \quad \chi$$

La démonstration s'achève comme dans la démonstration de la monotonie de $c^{\lambda}$.

Il existe $\lambda_0 : \forall \lambda \ge \lambda_0 \exists k > 0 : |y_{\xi}|_{V_{\xi}} = k \Rightarrow [c_{\xi n}^{\lambda} y_{\xi}, y_{\xi}] - [f_{\xi}, y_{\xi}] \ge 0$

Utilisant (18) on obtient

$$c_{\eta}^{\lambda}(p_{\xi}y_{\xi}, p_{\xi}y_{\xi}) \ge \beta |p_{\xi}y_{\xi}|_{V}^{2} - \chi$$

et donc

$$[c_{\xi n}^{\lambda} y_{\xi}, y_{\xi}] - [f_{\xi}, y_{\xi}] = c_{\eta}^{\lambda}(p_{\xi}y_{\xi}, p_{\xi}y_{\xi}) - 1(p_{\xi}y_{\xi}) \\ \ge \beta |p_{\xi}y_{\xi}|_{V}^{2} - \chi - |p_{\xi}y_{\xi}|_{V} |1|_{V'}$$

d'où le résultat en utilisant l'injectivité de $p_{\xi}$.

## PROPOSITION 2

Il existe $\lambda_0 : \forall \lambda \ge \lambda_0$ le problème approché (10) admet une solution unique.

L'existence découle de la dernière propriété et du lemme 4.3 LIONS [12].

L'unicité :

La propriété de monotonie entraîne

$$c_{\eta}^{\lambda}(p_{\xi}y_{\xi}, p_{\xi}y_{\xi} - p_{\xi}v_{\xi}) - c_{\eta}^{\lambda}(p_{\xi}v_{\xi}, p_{\xi}y_{\xi} - p_{\xi}v_{\xi}) \ge \beta |p_{\xi}y_{\xi} - p_{\xi}v_{\xi}|_{V}^{2}$$
soit alors deux solutions $y_{1\xi}$ et $y_{2\xi}$ notons $w = y_{1\xi} - y_{2\xi}$

$$c_{\eta}^{\lambda}(p_{\xi}y_{1\xi}, p_{\xi}w_{\xi}) - c_{\eta}^{\lambda}(p_{\xi}y_{2\xi}, p_{\xi}w_{\xi}) = 0 \geq \beta |p_{\xi}y_{1\xi} - p_{\xi}y_{2\xi}|^2$$

d'où le résultat grâce à l'injectivité de $p_{\xi}$.

## 5. - CONVERGENCE DE LA SOLUTION APPROCHÉE MAJORA TION D'ERREUR.

### THEOREME 1

Elle : Si $y_{\xi}$ est solution de (10), y solution de (9) on a la majoration pour $\lambda \geq \lambda_{0}$: il existe $C > 0$ indépendant de $\xi, \eta$:

$$ \frac{c|y-p_{\xi}y_{\xi}|_{V} \le |y-p_{\xi}r_{\xi}y|_{V} + |(I-q_{n}s_{n}) \Pi(Dy)| + |(I-\overline{q}_{n}\overline{s}_{n}) u|_{L^{q}(\Omega,R^{m})}}{(1 + |y|_{H^{2}(\Omega)})} $$

$$ \text{avec } q \ge n \text{ et } \Pi(Dy) = F(Dy,u) $$

$$ \text{et donc } p_{\xi}y_{\xi} \rightarrow y \text{ fortement dans } H^{1}(\Omega). $$

### Démonstration

Utilisant la monotonie des problèmes approchés.

$$ (19) \quad c_{\eta}^{\lambda}(p_{\xi}y_{\xi}, p_{\xi}y_{\xi} - p_{\xi}r_{\xi}y) - c_{\eta}^{\lambda}(p_{\xi}r_{\xi}y, p_{\xi}y_{\xi} - p_{\xi}r_{\xi}y) \geq \beta |p_{\xi}y_{\xi} - p_{\xi}r_{\xi}y|^2 $$

$$ (10) \text{ et } (9) \Rightarrow $$

$$ (20) \quad c^{\lambda}(y, p_{\xi}y_{\xi} - p_{\xi}r_{\xi}y) - c_{\eta}^{\lambda}(p_{\xi}y_{\xi}, p_{\xi}y_{\xi} - p_{\xi}r_{\xi}y) = 0 $$

$$ (19) + (20) \Rightarrow $$
$$
(21) c^{\lambda}(y, p_{\xi}y_{\xi} - p_{\xi}r_{\xi}y) - c_{\eta}^{\lambda}(p_{\xi}r_{\xi}y, p_{\xi}y_{\xi} - p_{\xi}r_{\xi}y) \geq \beta |p_{\xi}y_{\xi} - p_{\xi}r_{\xi}y|_{V}^{2}
$$

$$
(21) \text{ les définitions de } c^{\lambda} \text{ et de } c_{\eta}^{\lambda} \Rightarrow \exists M_2
$$

$$
(22) M_2|y - p_\xi r_\xi y|_V |p_\xi y_\xi - p_\xi r_\xi y|_V + |\Pi_n(Dp_\xi r_\xi y) - \Pi(Dy)|_H |p_\xi y_\xi - p_\xi r_\xi y|_V \\
\geq \beta |p_\xi y_\xi - p_\xi r_\xi y|_V^2
$$

$$
(23) M_2|y - p_\xi r_\xi y|_V + |\Pi_n(Dp_\xi r_\xi y) - \Pi(Dy)|_H \geq \beta |p_\xi y_\xi - p_\xi r_\xi y|_V
$$

qui donne une majoration de l'erreur discrète.

Utilisant l'inégalité triangulaire :

$$
(24) \quad |p_{\xi}y_{\xi} - p_{\xi}r_{\xi}y|_{V} \geq |p_{\xi}y_{\xi} - y|_{V} - |y - p_{\xi}r_{\xi}y|_{V}
$$

(23) et (24) donnent une majoration de l'erreur dans V.

$$
(25) (M_2 + \beta) |y - p_\xi r_\xi y|_V + |\Pi_n(Dp_\xi r_\xi y) - \Pi(Dy)|_V \geq \beta |y - p_\xi y_\xi|_V
$$

Utilisant le lemme 2 on obtient :

$$
|\Pi_n(Dp_\xi r_\xi y) - \Pi(Dy)|_H \le |(I - q_n s_n) \Pi(Dy)| + k (|p(I - p_\xi r_\xi) y|_{L^2(\Omega, \mathbb{R}^n)} \\
+ |(\bar{q}_n \bar{s}_n - I)u|_{L^2(\Omega, \mathbb{R}^m)} + |Dy|_{L^p(\Omega, \mathbb{R}^m)} |(\bar{q}_n \bar{s}_n - I)u|_{L^q(\Omega, \mathbb{R}^m)}
$$

avec $\displaystyle \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2}$ et $\Pi(Dy) = F(Dy,u)$.
Utilisant le résultat de régularité $y \in H^2(\Omega)$

$$ \exists c > 0 : |Dy|_{L^p(\Omega, \mathbb{R}^n)} \le c|Dy|_{(H^1)^n} \le c|y|_{H^2} $$

à condition que $\frac{1}{p} > \frac{1}{2} - \frac{1}{n}$ si $n > 2$

et donc en prenant $q > n$ on obtient la majoration cherchée.

### COROLLAIRE 1

De toute suite $(\xi_n, \eta_n) \dashrightarrow (0,0)$ on peut extraire une sous suite encore notée $(\xi_n, \eta_n)$ telle que :

$$ b(\cdot, q_{\eta_n} u_{\eta_n}(\cdot)) \dashrightarrow b^*(\cdot) \text{ dans } \sigma(L^\infty, L^1) $$

$$ \varphi(\cdot, q_{\eta_n} u_{\eta_n}(\cdot)) \dashrightarrow \varphi^*(\cdot) \text{ dans } \sigma(L^\infty, L^1) $$

$$ \text{avec} \qquad b^* Dy^* + \varphi^* = H(Dy^*) $$

où $y^*$ désigne la solution du problème continue (9).

D'autre part il existe une sous suite $q_{\eta_n} u_{\eta_n} \dashrightarrow \bar{u}$ dans $\sigma(L^\infty, L^1)$.
En général $\bar{u}$ n'est pas un contrôle optimal cependant si :

$$ (24^1) \quad u(x) \text{ est convexe sur } \forall x $$

$$ (24^2) \quad u \dashrightarrow b(x,u) \text{ est convexe sur } \{x/Dy^* \ge 0\}, \text{ concave sur } \{x/Dy^* < 0\} $$

$$ (24^3) \quad u \dashrightarrow \varphi(x,u) \text{ convexe sur } \forall x $$

alors $u$ est un contrôle optimal.
Plus précisement la restriction de $\bar{u}$ à l'ensemble des x sur lequel à la fois $b(x,.)$ convexe et $Dy^* \ge 0$, ou $b(x,.)$ concave et $Dy^* \le 0$ est optimale.

### Démonstration

Soit une suite $(\xi_n, \eta_n)_{n \to \infty} \to (0,0)$

Appelons $u_n^* \in \text{Arg max}_{\eta_n} \Pi_n (Dp_{\xi_n} y_{\xi_n})$

$b(.,q_n u_n^* (.)$) reste dans un borné de $L^\infty(\Omega)$ par hypothèse.

Il existe alors une sous suite encore indéxée par $n$ convergente vers $b^*$ dans $\sigma(L^\infty, L^1)$.

Il en est de même pour $\varphi(\cdot, q_n u_n^* (.)_{n \to \infty}) \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \varphi^*$

D'autre part le théorème précédent nous permet d'affirmer que
$Dp_{\xi_n} y_{\xi_n} \longrightarrow Dy^*$ fortement dans $L^2(\Omega)$, $y^*$ étant solution de (9).

Soit alors $\Psi$ appartenant à $H^1(\Omega)$ on a :

$q_{\xi_n} s_{\xi_n} \Psi \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \Psi$ fortement dans $H^1$

$s'_{\eta_n} q'_{\eta_n} q_{\xi_n} s_{\xi_n} \Psi \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \Psi$ fortement dans $L^2$

$$ (24)^4 \quad (b(.,q_n u_n^* (.)_{n \to \infty}) Dp_{\xi_n} y_{\xi_n} + \varphi(.,q_n u_n^* (.)_{n \to \infty}), s'_{\eta_n} q'_{\eta_n} q_{\xi_n} s_{\xi_n} \Psi) $$

$$ \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} (b^* Dy^* + \varphi^*, \Psi) $$
or :

$$
(24^4) = 1(p_{\xi_n} \Psi) - a_{\lambda}(p_{\xi_n} y_{\xi_n}, p_{\xi_n} \Psi) \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 1(\Psi^*) - a_{\lambda}(y^*, \Psi)
$$

et donc :

$$
(24^5) \quad b^* Dy^* + \varphi^* = \Pi(Dy^*)
$$

Faisons maintenant les hypothèses (24¹), (24²), (24³) qₘ u*ₘ restant
dans un borné de L∞ converge vers ū pour la topologie σ(L∞, L¹).

U(x) étant convexe et fermé ∀x, U est faiblement fermé et donc ū ∈ U.

Soit alors $\Psi \ge 0$.

L'application $u \longrightarrow (F(u, Dy^*), \Psi)$ est convexe fortement continue donc
faiblement s.c.i. et donc :

$$
(F(\bar{u}, Dy^*), \Psi) \le \lim_{n \to \infty} \left( b(., q_{\eta_n} u_{\eta_n}^* (.) Dy^* + \varphi(., q_{\eta_n} u_{\eta_n}^*), \Psi) \right)
$$

et donc grâce à (24^5) :

$$
(F(\bar{u}, Dy^*), \Psi) \le (b^* Dy^* + \varphi^*, \Psi) = (\Pi(Dy^*), \Psi) \quad \forall \Psi \ge 0 \in L^2(\Omega)
$$

et donc $\bar{u}$ est optimal.

En prenant maintenant des $\Psi$ ayant leurs supports inclus dans l'ensemble des $x$ où $(24^3)$ et $(24^4)$ sont vérifiés on obtient la fin du corollaire.

Remarque 1

Ce résultat améliore légèrement les résultats de KUSHNER CHEN FU YU [10]
qui au moyen de technique purement probabiliste obtient un contrôle qui est
meilleur que tout contrôle lipschitzien. Ici cette restriction est inutile.
Remarque 2

Ce résultat montre clairement que seule la convergence des b et $\varphi$ est utile et non pas celle des u pour obtenir la convergence des coûts. On obtient le contrôle optimal par section après passage à la limite sur b et $\varphi$ et non pas directement sur les u, excepté hypothèses particulières. ■

6. — EXEMPLE D'APPROXIMATION

Dans ce paragraphe nous allons donner un exemple d'approximation.

Nous supposerons $\Omega$ parallélépipédique. L'extension à $\Omega$ polyèdre convexe est immédiate. Pour des domaines courbes on peut prendre les éléments isoparamétriques CIARLET RAVIART [5].

Nous nous donnons deux partitions $\Omega_\xi$ et $\Omega_\eta$ de $\Omega$ en parallélépipèdes.

$$ \Omega = \bigcup_{i} \Omega_{\xi}^{i} = \bigcup_{j} \Omega_{\eta}^{j} $$

Nous supposons que $\Omega_\eta$ est une sous partition de $\Omega_\xi$ c'est-à-dire que chaque élément $\Omega_\xi^i$ de $\Omega_\xi$ est une union de $\Omega_\eta^i$. En général on prendra $\Omega_\xi = \Omega_\eta$.

L'hypothèse $\Pi_\eta(z) = \min_{u \in \mathcal{U}} q_\eta s_F(., \overline{q}_\eta \overline{s}_\eta} u(.), z(.))$ existe, nous impose le choix des approximations $(H_\eta, q_\eta, s_\eta)$ et $(W_\eta, \overline{q}_\eta, \overline{s}_\eta)$. $q_\eta s_F$ devra être constante sur chaque élément $\Omega_\eta^i$. Il devra en être de même pour $\overline{q}_\eta \overline{s}_\eta$. Il est alors clair que $\Pi_\eta(z)$ existe. On voit alors que ce genre de discrétisation conserve au problème approché le caractère local de la minimisation. De plus nous ne connaissons pas d'autre type d'approximation assurant l'existence de $\Pi_\eta(z)$ pour n'importe quelle fonction F.

Donc les éléments finis destinés à approximer le contrôle u serons les fonctions constantes sur les $\Omega_\eta^j$.
Pour l'approximation de V on peut prendre n'importe quel type d'élément.
Cependant la majoration (18) montre qu'il est inutile de prendre des éléments
plus compliqués que les éléments $Q_i$ (fonctions de bases linéaires par rapport
à chaque composante) la précision de l'approximation étant limitée par la qua-
lité de l'approximation du contrôle.
■

I - Approximation de V : ($V_\xi, P_\xi, r_\xi$)

$V_\xi = R^N$ où N est le nombre de noeuds (sommet des parallèlesépipèdes de
la partition) :

$$
P_{\xi} : \mathbb{R}^{N} \longrightarrow \mathbb{H}^{1}(\Omega)
$$
$$
y_{\xi} \qquad p_{\xi}(y_{\xi}) = \sum_{k=1}^{N} y_{\xi}^{k} \varphi^{k}(x)
$$

avec $\varphi^k(x)$ fonctions de base, linéaires par rapport à chacune des composantes,
valant 1 au noeud k, 0 ailleurs.

$$
r_{\xi} : H^{1}(\Omega) \longrightarrow \mathbb{R}^{N}
$$
$$
y \qquad y_{\xi} : P_{\xi}^{H^{1}}(\Omega) \qquad (y) = \sum_{k=1}^{N} y_{\xi}^{k} \varphi^{k}(x)
$$

$P_{\xi}^{H^1}(\Omega)$ désigne la projection au sens de la norme $H^1$ sur l'espace engen-
$(\varphi^k, k=1...N)$
dré par $(\varphi_k, k=1...N)$.
■

Remarque
=========

Si on veut approximer $H^1(\Omega)$ il suffit de se restreindre à un sous espace
de $V_\xi$ obtenu en imposant les contraintes $y^k = 0 \text{ k } \in \Gamma(\text{noeuds appartenant à la frontière}).$
■
## THEOREME 2

$$|y - p_{\xi} r_{\xi} y|_{H^1(\Omega)} \leq c \frac{\xi^2}{\rho} |y|_{H^2}^2$$

avec :

• $\xi$ rayon de la plus grande boule circonscrite à un parallélépipède de la partition.

• $\rho$ rayon de la plus petite boule inscrite dans les parallélépipèdes de la partition.

démonstration dans CIARLET RAVIART [5].

Le théorème précédent prouve que pour tout $y \in H^2$ on a :
$$ \lim_{\xi \to 0} |y - p_{\xi} r_{\xi} y| \to 0 \quad \text{dans } H^1. $$

$H^2$ étant dense dans $H^1$, $I - p_{\xi} r_{\xi}$ étant un opérateur linéaire continu borné, on a le :

## COROLLAIRE 2

$$\forall y \in H^1(\Omega)$$

$$\lim_{\xi \to 0} |y - p_{\xi} r_{\xi} y|_{H^1} = 0$$
## 2 - Approximation de H et de W

L'approximation de H est notée $(H_n, q_n, s_n)$

L'approximation de W est notée $(\overline{W_n}, \overline{q_n}, \overline{s_n})$

Avec $H_n = R^o, N_o$ est le nombre de parallélépipèdes de la partition $\Omega_n$

$$W_n = (R^o)^m$$

$$q_n : R^o \rightarrow L^2(\Omega)$$

$$y_n = \sum_{i=1}^{N_o} y_n^i \Psi_i(x)$$

$$\Psi_i(x) = \mathbf{1}_{\Omega_n} y_n^i(x)$$

$$\overline{q}_n : (R^o)^m \rightarrow L^p(\Omega, R^m)$$

$$u_n = \sum_{j=1}^{N_o} u_n^j, \quad i=1 \dots m)$$

$$s_n : L^2(\Omega) \rightarrow R^o$$

$$y_n = y_n$$

$$\text{avec} \quad P_{(\Psi_i, i=1 \dots N_o)}^{L^2}(y) = \sum_{j=1}^{N_o} y_n^i \Psi_j(x)$$

$$\overline{s}_n : L^p(\Omega, R^m) \rightarrow R^o$$

$$u_n = u_n$$

$$\text{avec} \quad P_{(\Psi_i, i=1 \dots N_o)}^{L^2}(u_i) = \sum_{j=1}^{N_o} u_n^j \Psi_j(x)$$
On a alors les résultats de convergence suivant :

### THEOREME 3

$$ \left| y - q_{\eta} s_{\eta} y \right|_{L^2} \le \frac{c \eta^2}{\Theta} \left| y \right|_{H^1} $$

$$ \left| u - \bar{q}_{\eta} \bar{s}_{\eta} u \right|_{L^p(\Omega, \mathbb{R}^m)} \le \frac{c \eta^2}{\Theta} \left| u \right|_{L^p(\Omega, \mathbb{R}^m)} $$

avec :

* η rayon de la plus grande boule circonscrite aux parallélépipèdes de la partition Ω.

* Θ rayon de la plus petite boule inscrite dans les parallélépipèdes de la partition Ω.

### COROLLAIRE 3

$$ \forall y \in L^2(\Omega) $$

$$ \lim_{n \to 0} \left| y - q_{\eta} s_{\eta} y \right|_{L^2} = 0 $$

$$ \frac{n}{\Theta} \le M $$

$$ \forall u \in L^p(\Omega, \mathbb{R}^m) $$

$$ \lim_{n \to 0} \left| u - q_{\eta} s_{\eta} u \right|_{L^p(\Omega, \mathbb{R}^m)} = 0 $$

$$ \frac{n}{\Theta} \le M $$

### 3 - Une majoration d'erreur

Les théorèmes 1,2,3 et les corollaires 2 et 3 permettent alors d'affirmer :
COROLLAIRE 4

Si y est solution de (9) vérifie les conditions de régularité suivantes :

$y \in H^2$

$\Pi(Dy) \in H^1$

Êu réalisant $\Pi(Dy) = F(Dy,u) \quad u \in W^{1,q}(\Omega, R^m)$ avec $q>n$

Alors :

$$|y - p_{\xi} y_{\xi}|_{H^1} \le c \left( \frac{\xi^2}{\rho} + \frac{\eta^2}{\theta} \right)$$

De plus si :

$y \in H^1(\Omega)$

$\Pi(Dy) \in L^2$

$u \in L^q(\Omega, R^m)$

$$\text{alors :} \quad \lim_{\substack{\eta, \xi \to 0 \\ \xi/\rho < c \eta/\theta < c}} |y - p_{\xi} y_{\xi}| = 0$$

Remarque

On obtient des résultats équivalents avec des éléments finis tétra-édriques. Nous avons donné les résultats dans le cadre des éléments paralléléptiques, car pour les applications que nous ferons (à l'économie) les domaines sont de forme simple.
4 - Exemple

$$
\Omega = ]0,1[
$$

$$
U = [m, M]
$$

$$
(25^1) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} a(x) \frac{\partial y}{\partial x} + \lambda y \min \{ b(x, u) \frac{\partial y}{\partial x} + \varphi(x, u) \} = f(x) \\[1em]
\frac{\partial y}{\partial x} (0) = g(0) \\[1em]
\frac{\partial y}{\partial x} (1) = g(1)
\end{array}
\right.
$$

Prenons $\xi = \eta$ et $n\xi = 1$.

Le problème discrétisé se ramène à la résolution du système non
linéaire suivant :

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \left\{
  \begin{array}{@{}l@{}}
    \displaystyle \int_{0}^{\xi} y_{\xi}^{0} \left(\frac{1}{\xi^2} - \frac{\lambda\xi}{3}\right) a(x) \, dx + \frac{\lambda\xi}{3} + \int_{0}^{\xi} y_{\xi}^{1} \left(-\frac{1}{\xi^2} - \frac{\lambda\xi}{6}\right) a(x) \, dx + \frac{\lambda\xi}{6} - \frac{1}{2} \min_{u_{\xi}^{0}} \frac{y_{\xi}^{1} - y_{\xi}^{0}}{\xi} \int_{0}^{\xi} b(u_{\xi}^{0}, x) \, dx + \\
    \displaystyle \qquad + \int_{0}^{\xi} \varphi(u_{\xi}^{0}, x) \, dx = \int_{0}^{\xi} f(x) \left(1 - \frac{x}{\xi}\right) dx - a(0)g(0) \\[4ex]
    \text{pour } j=1 \dots N-1 \\[1.5ex]
    \displaystyle \int_{0}^{\xi} y_{\xi}^{j-1} \left(-\frac{1}{\xi^2}\right) \int_{(j-1)\xi}^{j\xi} a(x) \, dx + \frac{\lambda\xi}{6} + y^{j} \left(2\frac{\lambda\xi}{3} + \frac{1}{\xi^2}\right) \int_{(j-1)\xi}^{(j+1)\xi} a(x) \, dx + \\
    \displaystyle \qquad + y^{j+1} \left(-\frac{1}{\xi^2}\right) \int_{(j-1)\xi}^{j\xi} a(x) \, dx + \frac{\lambda\xi}{6} - \frac{1}{2} \min_{u_{\xi}^{j-1}} \frac{y_{\xi}^{j} - y_{\xi}^{j-1}}{\xi} \int_{(j-1)\xi}^{j\xi} b(u_{\xi}^{j-1}, x) \, dx + \\
    \displaystyle \qquad + \int_{(j-1)\xi}^{j\xi} \varphi(u^{j-1}, x) \, dx - \frac{1}{2} \min_{u_{\xi}^{j-1}} \frac{y_{\xi}^{j+1} - y_{\xi}^{j}}{\xi} \int_{j\xi}^{(j+1)\xi} b(u_{\xi}^{j}, x) \, dx + \int_{j\xi}^{(j+1)\xi} \varphi(u^{j}, x) = \\
    \displaystyle = \int_{(j-1)\xi}^{j\xi} f\left(\frac{x}{\xi} - j+1\right) \, dx + \int_{j\xi}^{(j+1)\xi} f\left(-\frac{x}{\xi} + j+1\right) \, dx
  \end{array}
\right.
\end{aligned}
\tag{25}
\end{equation}
$$
$$y_{\xi}^{n-1} \left(-\frac{1}{\xi^2} \int_{(n-1)\xi}^{n\xi} a(x)dx + \frac{\lambda\xi}{6} \right) + y_{\xi}^{n} \left(-\frac{1}{\xi^2} \int_{(n-1)\xi}^{n\xi} a(x)dx + \frac{\lambda\xi}{3} \right) -$$

$$-\frac{1}{2} \min_{u_{\xi}^{n-1}} \frac{y_{\xi}^{n} - y_{\xi}^{n-1}}{\xi} \int_{(n-1)\xi}^{n\xi} b(u_{\xi}^{n-1}, x)dx + \int_{(n-1)\xi}^{n\xi} \varphi(u^{n-1}, x)dx =$$

$$= \int_{(n-1)\xi}^{n\xi} f(x) \left(\frac{x}{\xi} - n + 1\right) dx + a(1)g(1)$$

Nous remarquons la forme particulière du système qui peut s'interpréter comme un problème de Bellman discret.

## 7. - ALGORITHME DE RESOLUTION

Le problème discrétisé obtenu étant non linéaire, il faut maintenant construire un algorithme pour le résoudre. En utilisant la remarque précédente sur l'interprétation du problème discrétisé, il vient immédiatement à l'esprit l'algorithme suivant :

### Algorithme

Étape 1 : $u_0^n$ donné

Étape 2 : $u_n^n \rightarrow y_n^n$ par résolution de (26)

$$(26) \quad a_{\lambda}(p_{\xi}y_{\xi}^{n}, p_{\xi}v_{\xi}) - (q_{n}s_{n}F(Dp_{\xi}y_{\xi}^{n}, q_{n}u_{n}^{n}), p_{\xi}v_{\xi}) = 1(p_{\xi}v_{\xi})$$

Étape 3 : $y_{\xi}^{n} \rightarrow u_{\eta}^{n+1}$ par (27)

$$(27) \quad u_2^{n+1} \in \mathcal{J}(y_{\xi}^{n}) \text{ où } \mathcal{J} \text{ est défini par (28)}$$
$$
(28) \quad \mathcal{J}(y_{\xi}^{n}) = \{\hat{u}_{n}^{*} : q_{n} s_{n} F(Dp_{\xi} y_{\xi}^{n}, \bar{q}_{n} \hat{u}_{n}^{*}) = \Pi_{n} (Dp_{\xi} y_{\xi}^{n}) \}
$$

Etape 4 : retourner à l'étape 2 jusqu'à convergence.

Notons $A_{\xi, \eta}^u$ la matrice définie par :

$$
[y_{\xi}, A_{\xi, n}^{u} v_{\xi}] = a_{\lambda}(p_{\xi} y_{\xi}, p_{\xi} v_{\xi}) - (q_{\eta} s_{\eta} F(Dp_{\xi} y_{\xi}, \bar{q}_{\eta} u_{\eta}), p_{\xi} v_{\xi}) \quad \forall y_{\xi}, v_{\xi} \in V_{\xi}
$$

Nous faisons l'hypothèse :

(29) $A_{\xi, \eta}^u$ a tous ses termes hors diagonaux négatifs ou nuls

$$
\forall u_n : \bar{q}_n u_n \in u.
$$

Remarque

Cette hypothèse est réalisée en dimension 1 ou 2 dès que ξ est suffisam-
ment petit par le type d'approximation utilisé, pour un opérateur dont la par-
tie principale est le Laplacien. En dimension 3 cela dépend des termes du pre-
mier ordre, en dimension supérieure elle n'est pas vérifiée. Pour plus de dé-
tails, on se reportera à l'annexe 3.

Par contre les schémas différences finis possèdent cette propriété pour un
pas suffisamment petit.

THEOREME 4
---

$\exists \lambda_0 : \forall \lambda \ge \lambda_0$ sous l'hypothèse (29) alors $y_\xi^n$ tend en décroissant vers $\tilde{y}_\xi^*$
solution de (10), toute suite convergente de $\{u_n^n\}$converge vers un élément de
$\mathcal{J}(\tilde{y}_\xi^*)$
## Démonstration

$$a) \quad \underline{y}_{\xi}^{n+1} \leq \overline{y}_{\xi}^{n}$$

En effet (26) $\Rightarrow$

$$ (30) \quad a(p_{\xi}(y_{\xi}^{n} - y_{\xi}^{n+1}), p_{\xi}v_{\xi}) + \lambda(p_{\xi}(y_{\xi}^{n} - y_{\xi}^{n+1}), p_{\xi}v_{\xi}) \\ \qquad - (q_{n}s_{n}(b(\bar{q}_{n}u_{n}^{n}))Dp_{\xi}y_{\xi}^{n} - b(\bar{q}_{n}u_{n}^{n+1}))Dp_{\xi}y_{\xi}^{n+1} + \varphi(\bar{q}_{n}u_{n}^{n}) - \varphi(\bar{q}_{n}u_{n}^{n+1}), p_{\xi}v_{\xi}) = 0 \\ \forall v_{\xi}, \epsilon > 0 $$

d'autre part :

$$ (31) \quad b(\bar{q}_n u_n^n) Dp_\xi y_\xi^n - b(\bar{q}_n u_n^{n+1}) Dp_\xi y_\xi^{n+1} = (b(\bar{q}_n u_n^n) - b(\bar{q}_n u_n^{n+1})) Dp_\xi y_\xi^n \\ \qquad + b(\bar{q}_n u_n^{n+1}) (Dp_\xi(y_\xi^n - y_\xi^{n+1})) $$

$$ (32) \quad \theta_{\xi}^{n} = (b(\bar{q}_{n}u_{n}^{n}) - b(\bar{q}_{n}u_{n}^{n+1}))Dp_{\xi}y_{\xi}^{n} + \varphi(\bar{q}_{n}u_{n}^{n}) - \varphi(\bar{q}_{n}u_{n}^{n+1}) \geq 0 $$

Posons :

$$z_{\xi}^{n} = y_{\xi}^{n} - y_{\xi}^{n+1}$$

$$ (30) \quad (31) \quad (32) \quad \Rightarrow $$

$$ (33) \quad a(p_{\xi}z_{\xi}^{n}, p_{\xi}v_{\xi}) + \lambda(p_{\xi}z_{\xi}^{n}, p_{\xi}v_{\xi}) - (q_{n}s_{n}b(\bar{q}_{n}u_{n}^{n+1}))Dp_{\xi}z_{\xi}^{n}, p_{\xi}v_{\xi}) = (\theta_{\xi}^{n}, p_{\xi}v_{\xi}) \\ \forall v_{\xi}, \epsilon > 0 \quad \text{avec } \theta_{\xi}^{n} \geq 0 $$

(33) se réécrit :
$$
(34) \quad A_{\xi, \eta}^{u^{n+1}} z_{\xi}^{n} = \theta_{\xi}^{n} \qquad \theta_{\xi}^{n} \ge 0
$$

Montrons que $z_{\xi}^{n} \ge 0$

Multiplions (34) par $z_{\xi}^{n-}$

$$
(35) \quad z_{\xi}^{n-} A_{\xi, \eta}^{u^{n+1}} z_{\xi}^{n} = -z_{\xi}^{n-} A_{\xi, \eta}^{u^{n+1}} z_{\xi}^{n-} + z_{\xi}^{n-} A_{\xi, \eta}^{u^{n+1}} z_{\xi}^{n+} = [\theta_{\xi}^{n}, z_{\xi}^{n-}]
$$

Or l'hypothèse (29) :

$$
z_{\xi}^{n-} A_{\xi, n}^{u^{n+1}} z_{\xi}^{n+} \le 0
$$

d'autre part la coercivité de $A_{\xi, \eta}^{u}$ entraîne :
$$
z_{\xi}^{n-} A_{\xi, n}^{u^{n+1}} z_{\xi}^{n-} \ge \alpha |p_{\xi} z_{\xi}|_{V}^{2}
$$

$$
z_{\xi}^{n-} A_{\xi, n}^{u^{n+1}} z_{\xi}^{n-} \geq \alpha |p_{\xi} z_{\xi}|_{V}^{2}
$$

L'injectivité de $p_\xi$ assure alors que (35) est vérifiée si et seulement
si $z_\xi^{n-} = 0$ d'où le résultat.

b) La suite {$y_{\xi}^{n}$} reste dans un borné de $V_{\xi}$

$$
(26) \quad \Rightarrow \exists c > 0
$$

$$
c |p_{\xi} y_{\xi}^{n}|_{V} \leq |1|_{V'} + |q_{\eta} s_{\eta} \varphi(u_{n})|_{H}
$$

or

$$
(36) \quad |q_{\eta} s_{\eta}|_{\mathcal{L}(H,H)} \le M_1
$$

$\varphi(u) \le M$ indépendant de $u$.

L'injectivité de $p_\xi$ donne alors le résultat.
c) $y_{\xi}^n \dashrightarrow y_{\xi}^*$ solution du problème (10)

. $y_{\xi}^n$, étant une suite décroissante bornée de $R^n$, converge vers un élément de $R^n$ noté $y_{\xi}^*$.

• $p_{\xi}$ étant un opérateur continu de $V_{\xi} \dashrightarrow V$

$Dp_{\xi} y_{\xi}^n \dashrightarrow Dp_{\xi} y_{\xi}^*$ dans H

• $\Pi_{\eta}$ étant continu comme opérateur de $H \dashrightarrow H$

$\Pi_{\eta}(Dp_{\xi} y_{\xi}^n) \dashrightarrow \Pi_{\eta}(Dp_{\xi} y_{\xi}^*)$ dans H

(26) peut se réécrire :

$$
\begin{equation} \tag{37}
\begin{split}
& a(p_{\xi} y_{\xi}^{n}, p_{\xi} v_{\xi}) + \lambda(p_{\xi} y_{\xi}^{n}, p_{\xi} v_{\xi}) - (\Pi_{\eta}(Dp_{\xi} y_{\xi}^{n-1}), p_{\xi} v_{\xi}) \\
& \qquad - (q_{\eta} s_{\eta} b(\bar{q}_{\eta} u_{\eta}^{n})) (Dp_{\xi} y_{\xi}^{n} - Dp_{\xi} y_{\xi}^{n-1}), p_{\xi} v_{\xi}) = 1(p_{\xi} v_{\xi})
\end{split}
\end{equation}
$$

Or (36) et le fait que $b(u)$ est uniformément borné en $u$ entraîne en passant à la limite dans (37) que :

$$
(38) \quad a(p_{\xi} y_{\xi}^*, p_{\xi} v_{\xi}) + \lambda(p_{\xi} y_{\xi}^*, p_{\xi} v_{\xi}) - (\Pi_{\eta} (Dp_{\xi} y_{\xi}^*), p_{\xi} v_{\xi}) = 1(p_{\xi} v_{\xi})
$$

et donc la première partie du théorème en découle.

d) Toute suite convergente de {$u_n^n$} converge vers un élément de $J(y_*^*)$

• En effet l'application $\mathbb{R} \times V_\xi \dashrightarrow \mathbb{R}$
$(u_\eta^i, y_\xi) \dashrightarrow s_\eta^i (b(\bar{q}_\eta u_\eta^i) Dp_\xi y_\xi + \varphi(\bar{q}_\eta u_\eta^i))$
est continue.
s'est fermé borné dans W_n donc compact et donc EKELAND [7]
l'application y_ξ —> J(y_ξ) est s.C.s d'où le résultat.

8. - TESTS NUMERIQUES

1 - Exemple 1

Soit l'ouvert $\Omega = ]0,1[$

$$
u = [m,0] \quad m \le -2\lambda
$$

$$
\lambda y - \Delta y - \min_{u \in u} \left[ u \frac{\partial y}{\partial x} + u^2 \right] = 0
$$

$$
(38) \quad \frac{\partial y}{\partial x} (0) = 0
$$

$$
\frac{\partial y}{\partial x}(1) = -2\lambda
$$

(38) se discrétise en utilisant (25).

$$
y_{\xi}^{0}\left(\frac{1}{2}+\frac{\lambda}{3}\right)+y_{\xi}^{1}\left(-\frac{1}{2}+\frac{\lambda}{6}\right)-\frac{1}{2} \min _{u_{\xi}^{0}}\left(\frac{y_{\xi}^{1}-y_{\xi}^{0}}{\xi} u_{\xi}^{0}+u_{\xi}^{0}^{2}\right)=0
$$

$$
(39) \quad y_{\xi}^{j-1}\left(-\frac{1}{2}+\frac{\lambda}{6}\right)+y_{\xi}^{j}\left(\frac{2\lambda}{3}+\frac{2}{\xi^{2}}\right)+y_{\xi}^{j+1}\left(-\frac{1}{2}+\frac{\lambda}{6}\right)-\frac{1}{2} \min _{u^{j-1} \xi}\left(\frac{y_{\xi}^{j}-y_{\xi}^{j-1}}{\xi} u_{\xi}^{j-1}+u_{\xi}^{j-1}^{2}\right)
$$

$$
- \frac{1}{2} \min_{u^j \xi} \left( \frac{y^j - y^j}{\xi} u^j + u^j \right) = 0
$$

$$
y_{\xi}^{n-1}\left(-\frac{1}{2}+\frac{\lambda}{6}\right)+y_{\xi}^{n}\left(\frac{1}{\xi^{2}}+\frac{\lambda}{3}\right)-\frac{1}{2} \min _{u_{\xi}^{n-1}}\left(\frac{y_{\xi}^{n}-y_{\xi}^{n-1}}{\xi}+u_{\xi}^{n-1}+u_{\xi}^{n-1}^{2}\right)=\frac{-2 \lambda}{3}
$$
(39) a pour solution :

$$y = -\lambda x^2 - 2$$

$$u = -x\lambda$$

en effet (39) est équivalent au problème suivant :

$$ (40) \quad \begin{cases} \lambda y - \Delta y + \frac{1}{4} \frac{\partial y^2}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial y}{\partial x}(0) = 0 \\ \frac{\partial y}{\partial x}(1) = -2\lambda \end{cases} $$

Résultat numérique pour $\lambda = 1$

<table><thead><tr><th>i</th><th>y</th><th>|y<sub>ξ</sub><sup>i</sup> - ŷ(i<sub>ξ</sub>)|</th><th>u</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>-2.00</td><td>0.278E-2</td><td>0.05</td></tr><tr><td>1</td><td>-2.01</td><td>0.279E-2</td><td>0.15</td></tr><tr><td>2</td><td>-2.04</td><td>0.282E-2</td><td>0.25</td></tr><tr><td>3</td><td>-2.09</td><td>0.286E-2</td><td>0.35</td></tr><tr><td>4</td><td>-2.16</td><td>0.293E-2</td><td>0.45</td></tr><tr><td>5</td><td>-2.25</td><td>0.302E-2</td><td>0.549</td></tr><tr><td>6</td><td>-2.36</td><td>0.312E-2</td><td>0.649</td></tr><tr><td>7</td><td>-2.49</td><td>0.324E-2</td><td>0.749</td></tr><tr><td>8</td><td>-2.64</td><td>0.337E-2</td><td>0.849</td></tr><tr><td>9</td><td>-2.81</td><td>0.352E-2</td><td>0.949</td></tr><tr><td>10</td><td>-3</td><td>0.368E-2</td><td></td></tr></tbody></table>
Si l'on fait la différence entre $u_{\xi}^i$ et $u(i\xi + \frac{\xi}{2})$ on obtient une erreur de l'ordre de $10^{-3}$.

Pour un test de l'ordre de $10^{-10}$, pour la norme $L_1$ de la différence de deux itérés successifs, de l'algorithme décrit au paragraphe précédent 4 itérations ont été nécessaires. Chaque itération coûte la résolution d'un système linéaire de dimension $n$ et la résolution de $n-1$ minimisations en dimension 1.

## 2 - Exemple 2

On fait ici un test en dimension 2, le contrôle étant lui même en dimension 2.

$$ \Omega = ]0,1[ \times ]0,1[ $$

$$ \left\{ \begin{array}{l} -\lambda y + \Delta y + \min_{u_1} \left\{ u_1 \frac{\partial y}{\partial x_1} + u_2 \frac{\partial y}{\partial x_2} + u_1^2 + u_2^2 \right\} + g(x) = 0 \\ \\ \frac{\partial y}{\partial x} \Big|_{\Gamma} = 0 \end{array} \right. $$

$$ \text{avec } g(x) = (\lambda + 2\Pi^2) \cos\Pi x_1 \cos\Pi x_2 + \frac{1}{4} \Pi^2 (\cos^2\Pi x_2 + \cos^2\Pi x_1) $$

La solution analytique de ce problème est :

$$ V = \cos\Pi x_1 \cos\Pi x_2 $$

Pour un pas de discrétisation de 1/10 nous donnons les tableaux respectifs des erreurs pour la solution et les 2 composantes du contrôle.
<table><tbody><tr><td>1.49E-2</td><td>1.43E-2</td><td>1.22E-2</td><td>9.04E-3</td><td>4.94E-3</td><td>2.98E-4</td><td>4.45E-3</td><td>8.81E-3</td><td>1.23E-2</td><td>1.46E-2</td><td>1.54E-2</td></tr><tr><td>1.43E-2</td><td>1.36E-2</td><td>1.17E-2</td><td>8.59E-3</td><td>4.67E-3</td><td>2.48E-4</td><td>4.26E-3</td><td>8.39E-3</td><td>1.17E-2</td><td>1.39E-2</td><td>1.46E-2</td></tr><tr><td>1.22E-2</td><td>1.17E-2</td><td>9.95E-3</td><td>7.28E-3</td><td>3.89E-3</td><td>1.17E-4</td><td>3.69E-3</td><td>7.16E-3</td><td>9.92E-3</td><td>1.17E-2</td><td>1.23E-2</td></tr><tr><td>9.04E-3</td><td>8.59E-3</td><td>7.28E-3</td><td>5.25E-3</td><td>2.72E-3</td><td>4.56E-5</td><td>2.78E-3</td><td>5.23E-3</td><td>7.16E-3</td><td>8.39E-3</td><td>8.81E-3</td></tr><tr><td>4.94E-3</td><td>4.67E-3</td><td>3.89E-3</td><td>2.72E-3</td><td>1.31E-3</td><td>1.77E-4</td><td>1.58E-3</td><td>2.78E-3</td><td>3.69E-3</td><td>4.26E-3</td><td>4.45E-3</td></tr><tr><td>2.98E-4</td><td>2.48E-4</td><td>1.17E-4</td><td>4.56E-5</td><td>1.77E-4</td><td>2.27E-4</td><td>1.77E-4</td><td>4.56E-5</td><td>1.17E-4</td><td>2.48E-4</td><td>2.98E-4</td></tr><tr><td>4.45E-3</td><td>4.26E-3</td><td>3.69E-3</td><td>2.78E-3</td><td>1.58E-3</td><td>1.77E-4</td><td>1.31E-3</td><td>2.72E-3</td><td>3.89E-3</td><td>4.67E-3</td><td>4.94E-3</td></tr><tr><td>8.81E-3</td><td>8.39E-3</td><td>7.16E-3</td><td>5.23E-3</td><td>2.78E-3</td><td>4.56E-5</td><td>2.72E-3</td><td>5.25E-3</td><td>7.28E-3</td><td>8.59E-3</td><td>9.04E-3</td></tr><tr><td>1.23E-2</td><td>1.17E-2</td><td>9.92E-3</td><td>7.16E-3</td><td>3.69E-3</td><td>1.17E-4</td><td>3.89E-3</td><td>7.28E-3</td><td>9.95E-3</td><td>1.17E-2</td><td>1.22E-2</td></tr><tr><td>1.46E-2</td><td>1.39E-2</td><td>1.17E-2</td><td>8.39E-3</td><td>4.26E-3</td><td>2.48E-4</td><td>4.67E-3</td><td>8.59E-3</td><td>1.17E-2</td><td>1.36E-2</td><td>1.43E-2</td></tr><tr><td>1.54E-2</td><td>1.46E-2</td><td>1.23E-2</td><td>8.81E-3</td><td>4.45E-3</td><td>2.98E-4</td><td>4.94E-3</td><td>9.04E-3</td><td>1.22E-2</td><td>1.43E-2</td><td>1.49E-2</td></tr></tbody></table>

ERREUR SUR Y

<table><tbody><tr><td>5.83E-4</td><td>1.62E-3</td><td>2.32E-3</td><td>2.58E-3</td><td>2.41E-3</td><td>1.96E-3</td><td>1.39E-3</td><td>8.54E-4</td><td>4.34E-4</td><td>1.29E-4</td></tr><tr><td>4.56E-4</td><td>1.28E-3</td><td>1.88E-3</td><td>2.16E-3</td><td>2.12E-3</td><td>1.84E-3</td><td>1.42E-3</td><td>9.71E-4</td><td>5.49E-4</td><td>1.76E-4</td></tr><tr><td>2.44E-4</td><td>7.12E-4</td><td>1.12E-3</td><td>1.42E-3</td><td>1.59E-3</td><td>1.59E-3</td><td>1.42E-3</td><td>1.12E-3</td><td>7.13E-4</td><td>2.44E-4</td></tr><tr><td>1.21E-5</td><td>8.09E-5</td><td>2.59E-4</td><td>5.49E-4</td><td>8.88E-4</td><td>1.17E-3</td><td>1.28E-3</td><td>1.17E-3</td><td>8.15E-4</td><td>2.92E-4</td></tr><tr><td>1.75E-4</td><td>4.41E-4</td><td>4.90E-4</td><td>2.78E-4</td><td>1.29E-4</td><td>5.83E-4</td><td>9.10E-4</td><td>9.78E-4</td><td>7.46E-4</td><td>2.78E-4</td></tr><tr><td>2.78E-4</td><td>7.46E-4</td><td>9.78E-4</td><td>9.10E-4</td><td>5.83E-4</td><td>1.29E-4</td><td>2.78E-4</td><td>4.90E-4</td><td>4.41E-4</td><td>1.75E-4</td></tr><tr><td>2.92E-4</td><td>8.15E-4</td><td>1.17E-3</td><td>1.28E-3</td><td>1.17E-3</td><td>8.88E-4</td><td>5.49E-4</td><td>2.59E-4</td><td>8.09E-5</td><td>1.21E-5</td></tr><tr><td>2.44E-4</td><td>7.13E-4</td><td>1.12E-3</td><td>1.42E-3</td><td>1.59E-3</td><td>1.59E-3</td><td>1.42E-3</td><td>1.12E-3</td><td>7.12E-4</td><td>2.44E-4</td></tr><tr><td>1.76E-4</td><td>5.49E-4</td><td>9.71E-4</td><td>1.42E-3</td><td>1.84E-3</td><td>2.12E-3</td><td>2.16E-3</td><td>1.88E-3</td><td>1.28E-3</td><td>4.56E-4</td></tr><tr><td>1.29E-4</td><td>4.34E-4</td><td>8.54E-4</td><td>1.39E-3</td><td>1.96E-3</td><td>2.41E-3</td><td>2.58E-3</td><td>2.32E-3</td><td>1.62E-3</td><td>5.83E-4</td></tr><tr><td>5.83E-4</td><td>4.56E-4</td><td>2.44E-4</td><td>1.21E-5</td><td>1.75E-4</td><td>2.78E-4</td><td>2.92E-4</td><td>2.44E-4</td><td>1.76E-4</td><td>1.29E-4</td></tr><tr><td>1.62E-3</td><td>1.28E-3</td><td>7.12E-4</td><td>8.09E-5</td><td>4.41E-4</td><td>7.46E-4</td><td>8.15E-4</td><td>7.13E-4</td><td>5.49E-4</td><td>4.34E-4</td></tr><tr><td>2.32E-3</td><td>1.88E-3</td><td>1.12E-3</td><td>2.59E-4</td><td>4.90E-4</td><td>9.78E-4</td><td>1.17E-3</td><td>1.12E-3</td><td>9.71E-4</td><td>8.54E-4</td></tr><tr><td>2.58E-3</td><td>2.16E-3</td><td>1.42E-3</td><td>5.49E-4</td><td>2.78E-4</td><td>9.10E-4</td><td>1.28E-3</td><td>1.42E-3</td><td>1.42E-3</td><td>1.39E-3</td></tr><tr><td>2.41E-3</td><td>2.12E-3</td><td>1.59E-3</td><td>8.88E-4</td><td>1.29E-4</td><td>5.83E-4</td><td>1.29E-4</td><td>8.88E-4</td><td>1.59E-3</td><td>1.84E-3</td></tr><tr><td>1.96E-3</td><td>1.84E-3</td><td>1.59E-3</td><td>1.17E-3</td><td>5.83E-4</td><td>1.29E-4</td><td>8.88E-4</td><td>1.59E-3</td><td>2.12E-3</td><td>2.41E-3</td></tr><tr><td>1.39E-3</td><td>1.42E-3</td><td>1.42E-3</td><td>1.28E-3</td><td>9.10E-4</td><td>2.78E-4</td><td>5.49E-4</td><td>1.42E-3</td><td>2.16E-3</td><td>2.58E-3</td></tr><tr><td>8.54E-4</td><td>9.71E-4</td><td>1.12E-3</td><td>1.17E-3</td><td>9.78E-4</td><td>4.90E-4</td><td>2.59E-4</td><td>1.12E-3</td><td>1.88E-3</td><td>2.32E-3</td></tr><tr><td>4.34E-4</td><td>9.49E-4</td><td>7.13E-4</td><td>8.15E-4</td><td>7.46E-4</td><td>4.41E-4</td><td>8.09E-5</td><td>7.12E-4</td><td>1.28E-3</td><td>1.62E-3</td></tr><tr><td>1.29E-4</td><td>1.76E-4</td><td>2.44E-4</td><td>2.92E-4</td><td>2.78E-4</td><td>1.75E-4</td><td>1.21E-5</td><td>2.44E-4</td><td>4.56E-4</td><td>5.83E-4</td></tr></tbody></table>

ERREUR SUR U ET U2
Nous donnons maintenant un tableau indiquant l'évolution de l'erreur quadratique moyenne discrète en fonction du pas de discrétisation :

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

L'erreur est satisfaisante, la pente est d'environ 3. Or, l'erreur $H^1(\Omega)$ étant en $\xi$, l'erreur $L^2(\Omega)$ est en $\xi^2$ par exemple CIARLET RAVIART [5]. On sait de plus DOUGLAS [6] qu'il y a super convergence aux noeuds.

### Extrapolation de RICHARDSON

Nous avons essayé l'extrapolation de RICHARDSON sur cet exemple, à savoir :

Soit $y_\xi$ la solution avec le pas $\xi$,

Soit $y_{\xi|2}$ la solution avec le pas $\xi|2$.

$$ \sim_{\xi} y_{\xi} = \frac{4y_{\xi} - y_{\xi|2}}{3} $$

L'erreur quadratique moyenne discrète de $y_\xi$ est de l'ordre de $10^{-4}$ pour des pas respectifs de 1/10 et 1/5 alors qu'elle est de l'ordre de $10^{-2}$ pour $y_\xi$.
MARCHUK-SHAYDOUROV [16] donne des résultats théoriques pour d'autres équations.

### 3 - Exemple 3

On se pose le problème de contrôle stochastique suivant : On considère le carré $\Omega = ]0,1[ \times ]0,1[ \text{ de frontière } \Gamma = \Gamma_1 U \Gamma_2 U \Gamma_3 U \Gamma_4$

La diffusion réfléchie contrôlée suivante :

$$dx_t^1 = u_t^1 dt + dw_t^1 + dA_t^1$$

$$dx_t^2 = u_t^2 dt + dw_t^2 + dA_t^2 - dA_t^3$$

$w_t^1$ et $w_t^2$ indépendants.

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Le contrôle u étant soumis aux contraintes :

$$U_{\text{min}} \le u_1 \le U_{\text{max}}$$

$$U_{\text{min}} \le u_2 \le U_{\text{max}}$$
On définit alors $\tau$ comme le temps d'atteinte de la frontière $\Gamma_4$.

De plus on partitionne $\Omega$ en deux zones $\Omega_1$ et $\Omega_2$. On pénalisera les trajectoires passant dans $\Omega_2$ par PEx temps passé dans $\Omega_2$.

Le problème consiste alors à réaliser :

$$ \min_{(u_1, u_2)} E \left( \int_0^\tau PEx \mathbf{1}_{\Omega_2} (x_t) e^{-\lambda t} dt + e^{-\lambda \tau} \right) $$

compromis entre le temps d'atteinte de $\Gamma_4$ et le coût de passage dans $\Omega_2$.

Nous donnons maintenant les résultats obtenus pour différentes valeurs des paramètres $\lambda$, $Umax$, $Umin$, $PE$.

Les flèches dans les figures suivantes indiquent la direction du champ $(u_1, u_2)$, l'intensité étant toujours, à l'optimum, maximum dans la direction considérée.

## 4 - Exemple 4

Application du contrôle stochastique à un problème de croissance de firme.

Nous donnons ici quelques résultats numériques sur un modèle de croissance de firme donné dans BENSOUSSAN LESOURNE [3].

### Modèle

Les variables d'état sont :

$y(t)$ la trésorerie disponible à l'instant $t$;

$x(t)$ capital investi à l'instant $t$.
<figure><img src="image_13.png" /></figure>

λ=0
PE=10
Umax=1
Umin=-1

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

λ=0
PE=10
Umax=5
Umin=-5

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

λ=0
PE=100
Umax=1
Umin=-1

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

λ=0
PE=10
Umax=10
Umin=-1

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

λ=0
PE=10⁵
Umax=1
Umin=-1

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

λ=0
PE=10
Umax=2
Umin=-1
Les variables de contrôle sont :

$v(t)$ l'investissement par unité de temps ;

$w(t)$ dividendes distribués aux actionnaires.

Les contraintes :

$v \ge 0$ il est interdit de revendre le capital investi ;

$w \ge 0$ les dividendes sont toujours $> 0$.

Les équations d'évolution :

$$ egin{cases} dy_t = vdt \\ dx_t = (\lambda dt + \epsilon dB_t)f(y_t) - (v_t + w_t)dt. \end{cases} $$

($\lambda dt + \epsilon dB_t)f(y_t)$ représente les dividendes rapportés par le capital investi qui sont supposés stochastiques ($B_t$ est un brownien), à rendement décroissant $f(y)$ du type $1-\alpha e^{-\beta y}$

Les conditions initiales $y_0$ et $x_0$.

On définit alors le temps d'arrêt (faillite) :

$$ \tau = \inf(t: x(t) < 0) $$

On se pose alors le problème de la maximisation des dividendes versés :

$$ \text{MaxJ} = E \int_{0}^{\tau} e^{-it} w(t) dt $$

sous la contrainte $v_t + w_t \le \lambda f(y_t)$ investissement + dividendes versés $\le$ dividendes moyens reçus.
On fait alors le changement de variables :

$$y_1 = f(y)$$

$$y_1 \epsilon]_1 - \alpha, 1 [ \quad \text{et} \quad y = \frac{-1}{\beta} \log \frac{1-y}{\alpha}$$

Le problème de contrôle se réécrit :

$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \dot{y}_1 = \beta(1 - y_1)v \\[1em]
\displaystyle x = (\lambda + \epsilon v)y_1 - v - w \\[1em]
\text{Min} \quad \int_0^T e^{-it} w dt \\
v \ge 0 \\
w \ge 0 \\
v + w \le \lambda y_1
\end{array}
\right.
\qquad \text{v_t bruit blanc}
$$

L'équation de BELLMAN s'écrit :

$$-iV + \frac{\epsilon^2}{2} y_1^2 \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \lambda y_1 \frac{\partial V}{\partial x} + \max_v \left\{ \beta \frac{\partial V}{\partial y_1} (1-y_1)v - \frac{\partial V}{\partial x} (v+w)+w \right\} = 0;$$

$$v(0, y_1) = 0$$

Faisons les changements de variable successifs suivants : (leur but étant de faire apparaître que des nombres sans dimension dans l'équation de BELLMAN).

Posons :

$$x_1 = 1 - e^{-x \frac{\sqrt{i}}{\epsilon}} \qquad x = \frac{-\epsilon}{\sqrt{i}} \log(1-x_1)$$

$$\epsilon_1 = \frac{\epsilon}{\sqrt{2}}$$

$$U = \frac{iV}{\lambda}$$
$$v_1 = \frac{v}{\lambda}$$

$$w_1 = \frac{w}{\lambda}$$

$$\Pi_1 = \frac{\lambda\beta}{i}$$

$$\Pi_2 = \frac{\lambda}{\varepsilon\sqrt{i}}$$

L'équation de BELLMAN devient :

$$ \left\{ \begin{array}{l} -U + y_1^2(1-x_1)^2 \frac{\partial^2 U}{\partial x_1^2} + \frac{\partial U}{\partial x_1} (1-x_1)y_1(\Pi_2-y_1) + \max_{v_1 \ge 0} \frac{\partial U}{\partial x_1} \Pi_1 v_1 (1-y_1) \\ \qquad + w_1 \ge 0 \\ \qquad + w_1 \le y_1 \\ - \frac{\partial U}{\partial x_1} (1-x_1)(v_1+w_1)\Pi_2 + w_1 = 0 \end{array} \right. \\ U(0,y_1) = 0 $$

en effectuant les minimisations, on obtient :

$$\frac{\partial U}{\partial y_1} (1-y_1) \Pi_1 \geq \max \left( \frac{\partial U}{\partial x_1} (1-x_1) \Pi_2, 1 \right) \implies v_1 = y_1, w_1 = 0$$

$$\frac{\partial U}{\partial x_1} (1-x_1) \Pi_2 \geq \max(1, \frac{\partial U}{\partial y_1} (1-y_1) \Pi_1) \implies v_1 = 0, w_1 = 0$$

$$1 \geq \max\left(\frac{\partial U}{\partial y_1} (1-y_1) \Pi_1, \frac{\partial U}{\partial x_1} (1-x_1) \Pi_2\right) \implies w_1 = y_1, v_1 = 0$$
En supprimant les indices 1 on obtient :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
-U + y^2(1-x)^2 \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} - \frac{\partial U}{\partial x}(1-x)y^2 + \text{ymax}(1, \frac{\partial U}{\partial x}(1-x)\Pi_2, \frac{\partial U}{\partial y}(1-y)\Pi_1) = 0 \\[1em]
U(0,y) = 0 \\[1em]
\text{sur } 0 < x < 1 \\
1-\alpha < y < 1
\end{array}
\right.
\\
\underline{\text{Cas particulier } \Pi_1 = 0 \quad \Pi_2 = 0}
\\
\left\{
\begin{array}{l}
-U+y^2(1-x)^2 \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} - \frac{\partial U}{\partial x}(1-x)y^2 + y = 0 \\[1em]
U(0,y) = 0
\end{array}
\right.
$$

Ce système s'intègre facilement ; en conservant la solution bornée
on obtient :

$$
U = y(1-(1-x)^{\frac{1}{y}})
$$

Cette solution analytique nous sert de test pour l'intégration numé-
rique. Avec un pas en x et en y de 1/10 on obtient le tableau d'erreur suivant :
<table><tr><td>2.95E-24</td><td>4.50E-2</td><td>2.99E-2</td><td>2.83E-2</td><td>2.83E-2</td><td>2.87E-2</td><td>2.88E-2</td><td>2.89E-2</td><td>2.89E-2</td><td>2.89E-2</td></tr><tr><td>2.58E-21</td><td>8.44E-5</td><td>1.42E-3</td><td>4.00E-3</td><td>6.05E-3</td><td>7.22E-3</td><td>7.67E-3</td><td>7.76E-3</td><td>7.74E-3</td><td>7.73E-3</td></tr><tr><td>7.42E-20</td><td>2.67E-3</td><td>4.73E-3</td><td>5.57E-3</td><td>5.28E-3</td><td>4.37E-3</td><td>3.36E-3</td><td>2.58E-3</td><td>2.17E-3</td><td>2.07E-3</td></tr><tr><td>8.83E-19</td><td>5.81E-4</td><td>1.26E-3</td><td>1.83E-3</td><td>2.13E-3</td><td>2.06E-3</td><td>1.62E-3</td><td>9.47E-4</td><td>2.16E-4</td><td>3.53E-4</td></tr><tr><td>5.91E-19</td><td>5.21E-4</td><td>1.10E-3</td><td>1.65E-3</td><td>2.07E-3</td><td>2.32E-3</td><td>2.34E-3</td><td>2.11E-3</td><td>1.64E-3</td><td>9.97E-4</td></tr><tr><td>3.27E-18</td><td>2.87E-4</td><td>6.44E-4</td><td>1.03E-3</td><td>1.41E-3</td><td>1.73E-3</td><td>1.95E-3</td><td>2.02E-3</td><td>1.91E-3</td><td>1.61E-3</td></tr><tr><td>9.75E-18</td><td>1.72E-4</td><td>4.01E-4</td><td>6.69E-4</td><td>9.57E-4</td><td>1.24E-3</td><td>1.51E-3</td><td>1.72E-3</td><td>1.87E-3</td><td>1.98E-3</td></tr><tr><td>6.80E-18</td><td>1.86E-4</td><td>4.14E-4</td><td>6.79E-4</td><td>9.72E-4</td><td>1.28E-3</td><td>1.61E-3</td><td>1.93E-3</td><td>2.27E-3</td><td>2.75E-3</td></tr><tr><td>3.62E-18</td><td>1.64E-4</td><td>2.91E-4</td><td>3.81E-4</td><td>4.37E-4</td><td>4.60E-4</td><td>4.50E-4</td><td>4.02E-4</td><td>2.87E-4</td><td>7.55E-5</td></tr><tr><td>1.49E-17</td><td>8.73E-4</td><td>1.76E-3</td><td>2.67E-3</td><td>3.58E-3</td><td>4.51E-3</td><td>5.46E-3</td><td>6.41E-3</td><td>7.39E-3</td><td>8.53E-3</td></tr><tr><td>1.02E-17</td><td>2.96E-3</td><td>5.89E-3</td><td>8.79E-3</td><td>1.17E-2</td><td>1.45E-2</td><td>1.73E-2</td><td>2.01E-2</td><td>2.29E-2</td><td>2.57E-2</td></tr></table>
9. - INTERPRETATION PROBABILISTE DES PROBLEMES DISCRETISES OBTENUS

Nous supposerons ici que la propriété (29) (condition suffisante pour que
le principe du maximum discret soit vrai) est vérifiée.

Autrement dit nous serons capable d'interpréter de façon probabiliste
les problèmes discrétisés que dans le cas où ils satisfont au PMD (principe
du maximum discret).

Commençons par formaliser un peu ces problèmes discrétisés.

On considère :

u compact de R<sup>n</sup>.

$$
(40) \text{ A:} u \subset \mathbb{R}^m \quad \longrightarrow \quad \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) \quad \text{continue} \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad u \qquad A(u)
$$

avec A(u) vérifiant le PMD et non singulière $\forall u \in u$

$$
(41) \quad f: \mathcal{U} \quad \longrightarrow \quad \mathbb{R}^n \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \text{continue positive.} \\
\qquad u \qquad \qquad f(u)
$$

On suppose que (A,f) satisfait à la propriété :

$$
(42) \quad y \ge 0 \in \mathbb{R}^n \quad \begin{array}{l} \text{Max } A(u)y - f(u) \\ u \in \mathcal{U} \end{array}
$$

existe pour la relation d'ordre usuelle de $\mathbb{R}^n$ et est continue comme application de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^n$ qui à y $\longrightarrow \text{Max } A(u)y - f(u)$.

Proposition 1

$$
(43) \quad \left|
\begin{array}{l}
\text{Sous les hypothèses (40) (41) et (42) il existe y unique positif vérifiant.} \\
\\
\max (A(u)y - f(u)) = 0 \\
u
\end{array}
\right.
$$
# Démonstration

## 1) Existence

On reprend la démonstration de convergence de l'algorithme du chapitre 7.

## 2) Unicité

Soit $y_1$ et $y_2$ deux solutions de (43).

Soit alors $u_1$ (resp. $u_2$) $\text{Argmax}_A A(u)y_1 - f(u)$ (resp. $\text{Argmax}_A A(u)y_2 - f(u)$)

On a :

$$A(u_1)y_1 - f(u_1) = 0$$

$$A(u_2)y_2 - f(u_2) = 0$$

et donc :

$$A(u_1)y_1 - A(u_2)y_2 + f(u_2) - f(u_1) = 0$$

$$A(u_1)(y_1 - y_2) + y_2(A(u_1) - A(u_2)) + f(u_2) - f(u_1) = 0$$

or :

$$A(u_2)y_2 - f(u_2) \geq A(u_1)y_2 - f(u_1)$$

ce qui prouve $y_1 - y_2 \geq 0$

De même en intervertissant le rôle de $y_1$ et $y_2$ on obtient $y_2 \geq y_1$ d'où l'unicité.

<figure><img src="image_19.png" /></figure>
En utilisant la condition suffisante pour qu'une matrice satisfasse au PMD (annexe 2) le résultat précédent s'applique aux matrices :

D-$S^t(u)$ avec D diagonale > I (dont les éléments ≠ 0 sont notés $d_k$)

$S(u)$ stochastique satisfaisant à (42).

Le problème (43) s'interprète alors comme le problème de contrôle suivant :

$$ \begin{array}{ll} \underset{u \in \mathcal{U}}{\operatorname{Min}} & E \sum_{i=0}^{\infty} \Pi_{j \le i} \left( \frac{1}{1+d_k(j)} \right) f(u)_k(i) \\ \text { et } & \quad \sum_{j \le i} \Pi_{k(j)} \frac{1}{1+d_k(j)} = 1 \end{array} $$

La loi de probabilité étant définie par la chaîne de Markov dont les états sont les indices $k=1 \dots n$ de probabilité de transition $S(u)$, partant du point $k(0) = k_0$.

Et donc :

Les problèmes discrétisés qui possèdent la propriété (29) s'interprètent comme des problèmes de contrôle de chaîne de Markov, l'algorithme du chapitre 7 comme l'algorithme de HOWARD [20] associé.

### Remarque

En général la propriété (42) est assurée grâce au fait que pour chaque $i$ $S_{.i}$ (probabilités de transition) dépend de composantes différentes du contrôle. Le problème (10) bien que vérifiant (42) ne vérifie pas cette propriété de dépendance. ■

Il est alors naturel de penser que la chaîne de Markov ainsi obtenue approxime la diffusion initiale, et qu'il existe donc des méthodes purement probabilistes pour montrer la convergence des problèmes approchés vers le problème initial. KUSHNER CHEN FU YU [10] utilise cette approche pour des diffusions arrêtées et pour des discrétisations du type différence finie. Montrons que cette méthode s'applique ici également. Nous le ferons sur l'exemple du chapitre 6 diffusion réfléchie en dimension 1, approximation par éléments finis.
Reprenons donc l'exemple du chapitre 6 avec $f = 0, g = 0$.

Notons :

$$a_{\xi}^{i} = \frac{1}{\xi} \int_{i\xi}^{(i+1)\xi} a(x) dx$$

$$b_{\xi}^{i}(u_{i}^{\xi}) = \frac{1}{\xi} \int_{i\xi}^{(i+1)\xi} b(u_{\xi}^{i}, x) dx$$

$$\varphi_{\xi}^{i}(u_{i}^{\xi}) = \int_{i\xi}^{(i+1)\xi} (u_{\xi}^{i}, x) dx$$

Les équations (25²) se réécrivent :

$$ \left. \begin{aligned} & y_{\xi}^{0} \left( \frac{a_{\xi}^{0}}{\xi} + \frac{\lambda \xi}{3} \right) + y_{\xi}^{1} \left( \frac{-a_{\xi}^{0}}{\xi} + \frac{\lambda \xi}{6} \right) - \frac{1}{2} \min_{u_{\xi}^{0}} \left( (y_{\xi}^{1} - y_{\xi}^{0}) b_{\xi}^{0}(u_{\xi}^{0}) + \varphi_{\xi}^{0}(u_{\xi}^{0}) \right) = 0 \\ & y_{\xi}^{i-1} \left( \frac{-a_{\xi}^{i-1}}{\xi} + \frac{\lambda \xi}{6} \right) + y_{\xi}^{i} \left( \frac{a_{\xi}^{i-1}}{\xi} + \frac{a_{\xi}^{i}}{\xi} + 2 \frac{\lambda \xi}{3} \right) + y_{\xi}^{i+1} \left( \frac{-a_{\xi}^{i}}{\xi} + \frac{\lambda \xi}{6} \right) \\ & \qquad - \frac{1}{2} \min_{u_{\xi}^{i-1}} \left( (y_{\xi}^{i} - y_{\xi}^{i-1}) b_{\xi}^{i-1}(u_{\xi}^{i-1}) + \varphi_{\xi}^{i-1}(u_{\xi}^{i-1}) \right) = 0 \\ & - \frac{1}{2} \min_{u_{\xi}^{i}} \left( (y_{\xi}^{i+1} - y_{\xi}^{i}) b_{\xi}^{i}(u_{\xi}^{i}) + \varphi_{\xi}^{i}(u_{\xi}^{i}) \right) = 0 \\ & y_{\xi}^{n-1} \left( \frac{-a_{\xi}^{n-1}}{\xi} + \frac{\lambda \xi}{6} \right) + y_{\xi}^{n} \left( \frac{a_{\xi}^{n-1}}{\xi} + \frac{\lambda \xi}{3} \right) - \frac{1}{2} \min_{u_{\xi}^{n-1}} \left( (y_{\xi}^{n} - y_{\xi}^{n-1}) b_{\xi}^{n-1}(u_{\xi}^{n-1}) + \varphi_{\xi}^{n-1}(u_{\xi}^{n-1}) \right) = 0 \end{aligned} \right\} (44) $$
Définissons la matrice stochastique $S^{\xi, \omega}(u_{\xi})$ par :

$$S_{i,i-1}^{\xi, \omega}(u_{\xi}) = \frac{\frac{a_{\xi}^{i-1}}{\xi} - \frac{\lambda_{\xi}}{6} - \frac{1}{2}b_{\xi}^{i-1}(u_{\xi}^{i-1})}{\frac{a_{\xi}^{i-1}}{\xi} + \frac{a_{\xi}^{i}}{\xi} + \frac{\omega}{\xi}}$$

$$S_{i,i}^{\xi, \omega}(u_{\xi}) = \frac{\frac{\omega}{\xi} + \frac{\lambda\xi}{3} - \frac{1}{2}(b_{\xi}^{i}(u_{\xi}^{i}) - b_{\xi}^{i-1}(u_{\xi}^{i-1}))}{\frac{a_{\xi}^{i-1}}{\xi} + \frac{a_{\xi}^{i}}{\xi} + \frac{\omega}{\xi}}$$

$$S_{i,i+1}^{\xi, \omega}(u_{\xi}) = \frac{\frac{a_{\xi}^{i}}{\xi} - \frac{\lambda\xi}{6} + \frac{1}{2}b_{\xi}^{i}(u_{\xi}^{i})}{\frac{a_{\xi}^{i-1}}{\xi} + \frac{a_{\xi}^{i}}{\xi} + \frac{\omega}{\xi}}$$

$$S_{0,0}^{\xi, \omega}(u_{\xi}) = \frac{\frac{\omega}{\xi} + \frac{\lambda\xi}{6} - \frac{1}{2}b_{\xi}^{0}(u_{\xi}^{0})}{\frac{a_{\xi}^{0}}{\xi} + \frac{\omega}{\xi}}$$

$$S_{0,1}^{\xi, \omega}(u_{\xi}) = \frac{\frac{a_{\xi}^{0}}{\xi} - \frac{\lambda\xi}{6} + \frac{1}{2}b_{\xi}^{0}(u_{\xi}^{0})}{\frac{a_{\xi}^{0}}{\xi} + \frac{\omega}{\xi}}$$

$$S_{n,n}^{\xi, \omega}(u_{\xi}) = \frac{\frac{\omega}{\xi} + \frac{\lambda\xi}{6} + \frac{1}{2}b_{\xi}^{n-1}(u_{\xi}^{n-1})}{\frac{a_{\xi}^{n-1}}{\xi} + \frac{\omega}{\xi}}$$
$$S_{n-1,n}^{\xi, \omega}(u_{\xi}) = \frac{\frac{a_{\xi}^{n-1}}{\xi} - \frac{\lambda_{\xi}}{6} - \frac{1}{2}b_{\xi}^{n-1}(u_{\xi}^{n-1})}{\frac{a_{\xi}^{n-1}}{\xi} + \frac{\omega}{\xi}}$$

On remarque que $S_{n-1,n}^{\xi, \omega}(u_{\xi})$ ainsi définie est bien stochastique. D'autre part (44) se réécrit :

$$\max_{u_{\xi}} ((1 + \lambda^{\sim}_{\xi, \omega}) I-S(u_{\xi}))y - f^{\xi, \omega}(u_{\xi}) = 0$$

avec $f^{\xi, \omega}(u_{\xi})$ et $\lambda^{\sim}_{\xi, \omega}$ définis par :

$$f_{i}^{\xi, \omega}(u_{\xi}) = \frac{1/2 \varphi_{\xi}^{i-1}(u_{\xi}^{i-1}) + 1/2 \varphi_{\xi}^{i}(u_{\xi}^{i})}{\frac{a_{\xi}^{i-1}}{\xi} + \frac{a_{\xi}^{i}}{\xi} + \frac{\omega}{\xi}}$$

$$f_{o}^{\xi, \omega}(u_{\xi}) = \frac{1/2 \varphi_{\xi}^{o}(u_{\xi}^{o})}{\frac{a_{\xi}^{o}}{\xi} + \frac{\omega}{\xi}}$$

$$f_{n}^{\xi, \omega}(u_{\xi}) = \frac{1/2 \varphi_{\xi}^{n-1}(u_{\xi}^{n-1})}{\frac{a_{\xi}^{n-1}}{\xi} + \frac{\omega}{\xi}}$$

$$\lambda^{\sim}_{\xi, \omega} = \frac{\lambda_{\xi}^{2}}{a_{\xi}^{i-1} + a_{\xi}^{i} + \omega}$$
$$ \lambda_{\xi, \omega}^{\sim 0} = \frac{\lambda_{\xi}^2}{a_{\xi}^{\circ} + \omega} $$

$$ \lambda_{\xi, \omega}^{\sim n} = \frac{\lambda_{\xi}^2}{a_{\xi}^{\circ} + \omega} $$

On considère la chaîne de Markov $X_j$ de probabilité de transition $S^{\xi, \omega}(u_{\xi})$ et d'états $[0, \xi, 2\xi, ..., n\xi]$.

Nous oublierons dans la suite, lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, les indices $\xi$ et $\omega$. Notons :

$$ \bar{b}_{\xi}^{i}(u_{\xi}) = \frac{1}{\xi^2} E_{j}^{X_{j}=i\xi} (X_{j+1} - X_{j}) = \frac{(\xi S_{i, i+1} - \xi S_{i, i-1})}{\xi^2} $$

$$ = \frac{\frac{1}{\xi}(a_{\xi}^{i} - a_{\xi}^{i-1}) + 1/2b_{\xi}^{i}(u_{\xi}^{i}) + 1/2b_{\xi}^{i-1}(u_{\xi}^{i-1})}{a_{\xi}^{i-1} + a_{\xi}^{i} + \omega} $$

$$ \bar{a}_{\xi}^{i}(u_{\xi}) = \frac{1}{\xi^2} E_{j}^{X_{j}=i\xi} (X_{j+1} - X_{j})^2 = \frac{(a_{\xi}^{i-1} + a_{\xi}^{i}) + \frac{\lambda_{\xi}^2}{3} + (b_{\xi}^{i} - b_{\xi}^{i-1})\xi}{a_{\xi}^{i-1} + a_{\xi}^{i} + \omega} $$

$$ \Delta_{\xi}^{i}(u_{\xi}) = \frac{1}{\xi^2} E_{j}^{X_{j}=i} (|X_{j+1} - X_{j}|^3) = \xi \bar{a}_{\xi}^{i}(u_{\xi}) $$

$$ i = 1, ..., n-1 $$

$$ \bar{b}_{\xi}^{\circ}(u_{\xi}) = \frac{a_{\xi}^{\circ} - \frac{\lambda_{\xi}}{6} + 1/2b_{\xi}^{\circ}}{a_{\xi}^{\circ} + \omega} $$
$$ \bar{a}_{\xi}^{0}(u_{\xi}) = \xi \bar{b}_{\xi}^{0} $$

$$ \Delta_{\xi}^{0}(u_{\xi}) = \xi^{2} \bar{b}_{\xi}^{0} $$

$$ \bar{b}_{\xi}^{n}(u_{\xi}) = - \frac{a_{\xi}^{n-1}}{a_{\xi}^{n-1} + \omega} - \frac{\lambda_{\xi}}{6} - \frac{1/2b_{\xi}^{n-1}}{a_{\xi}^{n-1} + \omega} $$

$$ a_{\xi}^{n}(u_{\xi}) = -\xi \bar{b}_{\xi}^{n} $$

$$ \Delta_{\xi}^{n}(u_{\xi}) = - \xi^{2} \bar{b}_{\xi}^{n} $$

On définit alors les fonctions $\bar{a}, \bar{b}, \Delta$ de $R \rightarrow R$ par interpolation des coefficients $\bar{a}^i, \bar{b}^i, \Delta^i$.

### Remarque 1

Notons :

$$ \rho_{\xi, u_{\xi}}(\theta i \xi + (1-\theta)(i+1)\xi, \xi\theta. + (1-\theta)\xi.) = \theta S_{.,i} + (1-\theta)S_{.,i+1} $$

Les fonctions $\bar{a}^{\xi, u_{\xi}}$ (resp. $\bar{b}^{\xi, u_{\xi}}$) (resp. $\Delta^{\xi, u_{\xi}}$) s'interprètent comme
$$ \int (y-x) \rho_{\xi, u_{\xi}} (x, dy) \left( \text{resp} \int (y-x)^2 \rho_{\xi, u_{\xi}} (x, dy) \right) \left( \text{resp} \int |(y-x)|^3 \rho_{\xi, u_{\xi}} (x, dy) \right). \blacksquare $$

On note $P_T^{\xi, u_{\xi}}$ la mesure sur $D(0, T; [0,1])$ engendrée par le processus de Markov $X^{\xi, u_{\xi}}(t)$ constant par morceaux ($X^{\xi, u_{\xi}}(t) = X^{\xi, u_{\xi}}([t/\xi^2] + 1)\xi^2$) les probabilités de transition étant $\rho_{\xi, u_{\xi}}$ et $X^{\xi, u_{\xi}}(0) = x_0$.
On a le :

**Théorème 5**

La suite $P_T^{\xi, u_\xi}$ est étroitement relativement compacte comme mesures sur $D(O,T; [0,1])$.

De plus toute limite de $P^{\xi, u_\xi}$ lorsque $\xi \to 0$ à son support contenu dans $C(O,T; (0,1))$.

**Démonstration**

Il suffit de remarquer que :

$$ \limsup_{\xi \to 0} \sup_{x} \Delta^{\xi, u_{\xi}} (x) \longrightarrow 0 $$

et d'appliquer le théorème 6.1. de STROOK VARADHAN [18].

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

Supposons que :

$b(x,u)$ est uniformément lipschitzienne en $x$ et $u$,

$a(x)$ est $C^1$ et de dérivée uniformément lipschitzienne,

$(\xi_n, u_n) \longrightarrow (0,0)$ où $u \in \mathcal{U}$ ensemble des fonctions uniformément lipschitziennes de $R \longrightarrow R$ ; $\xi_n \in R$.

On a alors les majorations suivantes :

En indépendante de $n$ telle que :

$$ \sup_x \left| \bar{a}_{\xi_n, q_{\xi_n}} - \bar{s}_{\xi_n} u_n(x) - \frac{2a(x)}{2a(x) + \omega} \right| \le k \xi_n $$
$$
\sup_x \left| \bar{b}_{\xi_n} - \bar{q}_{\xi_n} \bar{s}_{\xi_n} u_n(x) - \frac{a'(x)+b(x,u(x))}{2a(x) + \omega} \right| \le k (\xi_n + \sup_x |u_n(x)-u(x)|)
$$

Et donc lorsque $n \rightarrow \infty$ :

$$
\bar{a}_{\xi_n}, \bar{q}_{\xi_n}, \bar{s}_{\xi_n} u_n \quad \rightarrow \quad \frac{2a}{2a + \omega} \quad \text{uniformément en } x
$$

$$
\bar{b}_{\xi_n}, \bar{q}_{\xi_n}, \bar{s}_{\xi_n} u_n \quad \rightarrow \quad \frac{a' + b(\cdot, u(\cdot))}{2a + \omega} \quad \text{uniformément en x}
$$

$$
\text{SI } x_o \xrightarrow{\xi_n} \xrightarrow{---} x_o \text{ on a alors :}
$$

**Théorème 6 - STROOK VARADHAN [18] th. 6.3.**

La suite $P_T^{\xi_n, \bar{q}_\xi, \bar{s}_\xi, u_n}$
$\quad \rightarrow \quad P_T^u$ étroitement avec $P_T^u$ solution du pro-
blème de surmartingale $(x_o, \frac{a'+b(\cdot,u(\cdot))}{2a+\omega}, \frac{2a}{2a+\omega})$ de temps passé sur la fron-
tière nul.
■

Remarque

Le problème de surmartingale signifie ici qu'en munissant $C(0,T; [0,1])$ de
la mesure de probabilité $P_T^u$, il existe $W_t$ brownien tel que le processus cano-
nique sur $C(0,T;(0,1))$ soit une diffusion réfléchie du type :

$$
(45) \qquad \begin{aligned}
dx_t &= \frac{a'(x_t) + b(x_t, u(x_t))}{2a(x_t) + \omega} dt + \sqrt{\frac{2a(x_t)}{2a(x_t) + \omega}} dW_t + d\alpha_t^1 - d\alpha_t^2 \\
x(0) &= x_o
\end{aligned}
$$
Avec $\alpha_t^1$ (resp. $\alpha_t^2$) continus croissants, croissants strictement lorsque $x(t) = 0$ (resp. $x(t) = 1$).

### Remarque

Si l'on effectue le changement de temps suivant :

$$d\tau = \frac{dt}{2a(x_t) + \omega}$$

et si l'on pose :

$$\sigma(x) = \sqrt{2a(x)}$$

(45) devient :

$$dx_{\tau} = (a'(x_{\tau})+b(x_{\tau},u(x_{\tau})))d\tau + \sigma(x_{\tau})dW_{\tau} + d\alpha_{\tau}^{1} - d\alpha_{\tau}^{2}$$

$$x(0) = x_0$$

qui est bien la diffusion réfléchie que l'on voulait contrôler.

Montrons brièvement que la méthode purement probabiliste, utilisée par KUSHNER-CHEN-FU-YU [10], pour montrer la convergence du coût optimal du problème discrétisé vers celui du problème continu, s'applique ici.

Nous ferons les abus de notation suivants :

$$u_{\xi} = s_{\xi}u$$

$$x(j\xi^2) = x(j)$$
Or $\exists k(T)$ :

$$
\left| E \sum_{n}^{\xi_n, u_n} \left[ J(T, \xi, u^n) - J(T, u) \right] \right| \leq k(T) \left( \sum_n \sup_{x \in [0, 1]} |u^n(x) - u(x)| \right)
$$

D'autre part :

$$
\sum_{n \to \infty}^{\xi_n, u_n} E \sum_{T}^{p_T} \left( J(T,u) - E \sum_{T}^{p_T} J(T,u) \to 0 \right)
$$

$$
\text{car : } -P_{T} \xrightarrow{\xi_{n}, u_{n}} P_{T}^{u} \text{ étroitement}
$$

- la fonctionnelle $X \dashrightarrow J(T,u)$ est continue bornée de $D(0,T;(0,1)) \dashrightarrow R$
$\xi, u$

Le lemme montre donc que l'application $(\xi, u) \dashrightarrow E \sum_{T}^{p_T} J(T, \xi, u)$ est
continue.

Et donc l'application $\xi \dashrightarrow V(T,\xi) = \inf_{u \in \mathcal{U}} E \sum_{T}^{p_T} J(T,\xi,u)$ est continue,
grâce au théorème du maximum EKELAND [7].

Et donc on a :

Lemme 4

$$
\liminf_{\substack{\xi, S_\xi^u \\ \xi \to 0, u \in \mathcal{U}}} E \sum_{T}^{p_T} J(T, \xi, u) = \inf_{u} E \sum_{T}^{p_T} J(T, u)
$$

Montrons maintenant la convergence des coûts optimaux stationnaires.
Appelons $\alpha = \inf a(x)$

Comme on a : $\exists M$ indépendante de T et $\xi$ :

$$ \inf_{u} V(T, \xi, u) + M \left[ \frac{1}{(2\alpha + \omega)} \right]^{[T/\xi^2]} \geq \inf_{u} V(\infty, \xi, u) \geq \inf_{u} V(T, \xi, u) $$

et :

$$ \inf_{u} \left[ V(T,u) + M e^{-(2\alpha+\omega)T} \right] \geq \inf_{u} V(\infty,u) \geq \inf_{u} V(T,u) $$

Il vient :

$$ \left| \inf_{u} V(\infty, \xi, u) - \inf_{u} V(\infty, u) \right| \leq \left| \inf_{u} V(T, \xi, u) - \inf_{u} V(T, u) \right| \\ + M \sup \left( \left( \frac{1}{2\alpha + \omega} \right)^{[T/\xi^2]} , e^{-(2\alpha+\omega)T} \right) \forall T $$

et donc :

$$ \inf_{u} V(\infty, \xi, u) \quad \begin{array}{r} \rightarrow \\ \rightarrow \infty \end{array} \quad \inf_{\xi} V(\infty, u) $$

Théorème 7

On a convergence du coût optimal des problèmes discrétisés vers le coût optimal du problème continu pour le problème (25) avec $f=0 g=0$ lorsqu'on se restreint aux feedbacks lipschitzien uniformément sous les hypothèses.

Les fonctions $(x,u) \longrightarrow \varphi(x,u)$, $b(x,u)$, $a'(x)$ sont uniformément lipschitzienne, $a(\cdot) C^1$

<figure><img src="image_21.png" /></figure>
## Remarque

Cette démonstration s'étend au cas où les schémas vérifient la propriété (29).

On remarque que le résultat obtenu ici est moins fort que celui obtenu par l'analyse fonctionnelle. Ici on est obligé de se restreindre à un ensemble de feedback lipschitzien pour pouvoir appliquer le théorème du maximum et le théorème de STROOK VARADHAN. Cependant certains problèmes dégénérés sont résolus par la méthode probabiliste KUSHNER CHEN FU YU [10] alors que les méthodes d'analyse fonctionnelle appliquées sont inutilisables.

Il est à remarquer que les méthodes d'analyse fonctionnelle sont plus simples lorsqu'elles s'appliquent.

# 10. - CAS PARABOLIQUE

## Introduction

Un raisonnement analogue à celui fait dans l'introduction du cas stationnaire montre que la solution de l'équation parabolique :

$$ egin{cases} 
\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} r(\sigma\sigma^* D^2 V) + \min_u \left(b(t,x,u) \cdot DV + \varphi(t,x,u)\right) = 0 \\ 
V(T,x) = g(T,x) \\ 
V|_{\Gamma}(t) = g(t, \cdot)|_{\Gamma} 
\end{cases} 
$$

donne le coût du problème de contrôle optimal stochastique :

$$ egin{cases} 
\mathrm{d}x_t = b(t,x_t,u_t)\mathrm{d}t + \sigma(t,x_t)\mathrm{d}W_t \\ 
\underset{u \in \mathcal{U}}{\mathrm{Min}} \quad E \int_0^{T\Lambda\tau} (t,x_t,u_t)\mathrm{d}t + g(T\Lambda\tau, x_{T\Lambda\tau}) 
\end{cases} 
$$
à condition que V soit continue et H¹,².

(Les notations sont celles de l'introduction du cas stationnaire).

De même l'équation parabolique :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial V}{\partial t} + \Delta V + \min(b(t,x,u) \cdot DV + \varphi(t,x,u)) = 0 \\[1.5ex]
V(T,x) = V_T(x) \\[1.5ex]
\displaystyle \frac{\partial V}{\partial n} \Big|_{\Gamma} (t) = g(t, \cdot) \Big|_{\Gamma}
\end{array}
\right.
$$

résout le problème de contrôle stochastique

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\mathrm{d}x_t = b(t,x_t,u_t)\mathrm{d}t + dW_t - n(x_t)\mathrm{d}\xi_t \\
\\
\displaystyle \underset{u \in \mathcal{U}}{\operatorname{Min}} \quad E \int_0^T \varphi(t,x_t,u_t) \mathrm{d}t + V(x_T) + \int_0^T g(t,x_t) \mathrm{d}\xi_t
\end{array}
\right.
$$

si V est C¹∩H¹,².

Dans ce paragraphe nous nous proposons de faire l'analyse numérique de cette équation. Nous passerons rapidement sur tout ce qui est similaire aux résultats des paragraphes précédents, nous nous attacherons essentiellement à construire le problème approché et à montrer sa convergence vers le problème initial.

<figure><img src="image_22.png" /></figure>
Notons alors

$$
\Pi : Q \times \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}
$$
$$
t, x, p \qquad \Pi(t, x, p) = \min \quad F(t, x, u, p)
$$
$$
u \in U(t, x)
$$

Le lemme 1 est encore valable en remplaçant x ∈ Ω par (t,x)∈Q.

On peut alors définir l'opérateur encore noté $\Pi$ :

$$
U : L^P(Q; \mathbb{R}^n) \longrightarrow L^P(Q, \mathbb{R}^m)
$$
$$
z \qquad (t,x) \longrightarrow u(t,x,z(t,x))
$$

et l'opérateur encore noté $\Pi$;

$$
\Pi : L^P(Q; \mathbb{R}^n) \longrightarrow L^P(Q)
$$
$$
z \qquad (t,x) \longrightarrow \pi(t,x,z(t,x))
$$

Ils sont tous deux bien définis.

On notera encore :

$$
u : \{ u \in L^p(Q; \mathbb{R}^m) \mid u(t,x) \in u(t,x) \}
$$

Soit alors :

$$
a_{ij}^{(x,t)} \quad i = 1 \dots n \quad j = 1 \dots n \quad C^{1,0}(\bar{Q})
$$

$f \in L^2(Q)$

$$
g \in H^{1/2}(\Sigma)
$$

$$
y_o \in H^1(\Omega)
$$
Les espaces :

V C H C V'

H étant L²(Ω).

V étant H¹(Ω) ou H(Ω).

On définit alors la famille de forme bilinéaire :

$$
a_t : V \times V \longrightarrow \mathbb{R} \\
(y,v) \qquad a_t(y,v) = \int_{\Omega} \sum_i a_{ij}(t,x) \frac{\partial y_i}{\partial x_j} \frac{\partial v_j}{\partial x_i} + \sum_j a_{ij}(t,x) \frac{\partial y_j}{\partial x_i} + \\
\qquad \qquad + \lambda v \, d\Omega
$$

et l'on suppose qu'il existe α et λ indépendants de t :

$$
a_t(y,y) \geq \alpha |y|^2_v \quad \forall t
$$

On désigne par :

$$
l_t(y) = \int_{\Omega} f_t v + \int_{\Gamma} g_t v d\Gamma
$$

Notre problème s'énonce : chercher

$$
y \in W(0,T) = \{y \in L^2(0,T;V) \text{ et } \frac{dy}{dt} \in L^2(0,T;V')\}
$$

tel que :

$$
(46) \quad (y(t),v) + \int_0^t a_s(y_s,v) - (\Pi(Dy_s),v)ds = \int_0^t l_s(v) + (y_D,v) \forall v \in V
$$
En notant :

$$A_t = - \sum_{i,j} a_{ij}(t,x) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} + \lambda I$$

(46) est équivalent à :

$$Si g = 0 et V = H_0^1(\Omega)$$

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{dy}{dt} - A_t y - \min \left( b(t,x,u) \cdot Dy + \varphi(t,x,u) \right) = f(t,x) \quad \text{u} \in \mathcal{U} \\[1.5ex] y(o,x) = y_o \\[1.5ex] y|_{\Sigma} = 0 \end{array} \right.$$

$$Si V = H^1(\Omega)$$

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{dy}{dt} - A_t y - \min \left( b(t,x,u) \cdot Dy + \varphi(t,x,u) \right) = f(t,x) \quad \text{u} \in \mathcal{U} \\[1.5ex] y(o,x) = y_o \\[1.5ex] \frac{\partial y}{\partial v_A}|_{\Sigma} = g|_{\Sigma} \end{array} \right.$$

où $\frac{v\partial}{\partial v_A}(x)$ désigne la dérivée (au point x) selon la direction $=[a_{ij}(x)]_n(x)$
où n désigne la normale extérieure à Γ.

L'existence et l'unicité sont obtenues par les méthodes de monotonie LIONS [12].

La régularité $H^1,2$ est obtenue en utilisant LIONS-MAGENES [13].
La régularité $C^0(Q)$ est obtenue dans BENSOUSSAN-FRIEDMAN [2].

<figure><img src="image_23.png" /></figure>
2) **Problème approché**

On construit une approximation de V notée $(V_\xi, p_\xi, r_\xi)$.

Notons $Q_h^i = \Omega x((i-1)h, ih)$

$(H_n^i, q_n^i, s_n^i)$ désignera une approximation interne de $L^2(Q_n^i)$ telle que :

$$f_1 \ge f_2 \in L^2(Q_n^i) \implies q_n^i s_n^i f_1 \ge q_n^i s_n^i f_2$$

$(W_n^i, q_n^i, s_n^i)$ une approximation interne de W qui sera l'espace des contrôles $L^p(Q_n^i; \mathbb{R}^m)$ avec $2<p<\infty$.

A ces deux dernières approximations on imposera de plus
$$ \Pi_n^i(z) = \min_{u \in U} q_n^i s_n^i F(q_n^i s_n^i u, z) \text{ d'exister } \forall z \in L^2(Q_n^i; \mathbb{R}^m) . $$

On définit alors les problèmes approchés suivants : prenons $\theta \in [0,1]$

$$ (47) \quad \begin{cases} (p_{\xi} y_{\xi}^{i+1} - p_{\xi} y_{\xi}^{i}, p_{\xi} v_{\xi}) + \int_{t_i}^{t_{i+1}} a_t (p_{\xi} (\theta y_{\xi}^{i+1} + (1-\theta)y_{\xi}^{i}), p_{\xi} v_{\xi}) dt \\ - h(\Pi_n^i (D p_{\xi} (\theta y_{\xi}^{i+1} + (1-\theta)y_{\xi}^{i})), p_{\xi} v_{\xi}) = \int_{t_i}^{t_{i+1}} l_t (p_{\xi} v_{\xi}) dt \\ y_{\xi}^0 := r_{\xi} y_{\xi}^0 \end{cases} $$

$\theta=1$ sera le schéma implicite,

$\theta=1/2$ schéma de Crank-Nicholson,

$\theta=0$ schéma explicite.
Dans la suite nous étudierons le cas θ = 1 et montrerons la convergence
de la solution approximée vers la solution du problème initial.

Le cas θ = 1/2 conduit à la même démonstration de convergence.

Le cas θ = 0 ne sera pas étudié ici, car il n'est pas aussi facile
d'obtenir des majorations d'erreur dans ce cas. La démonstration de la conver-
gence peut néanmoins être menée à bien en adaptant YVON [21] ou RAVIART [20]
et en se rappelant la démonstration d'existence de solution pour les opéra-
teurs monotones LIONS [12].

Notons :

$$
q_{\eta}^{h} \text{ l'opérateur de } H_{\eta}^{N} \text{ --- \rightarrow } L^{2}(Q)
$$
$$
z_{\eta} = (z_{\eta}^{0}, \dots, z_{\eta}^{N-1}) \quad q_{\eta}^{h}(z_{\eta}) = q_{\eta}^{i} z_{\eta}^{i} \quad \text{t \epsilon} \left[ \sum_{i=1}^{N} (i-1)h \right] \text{h, ih} \rightarrow
$$

$$
s_{\eta}^{h} \text{ l'opérateur } L^2(Q) \longrightarrow H_{\eta}^{N}
$$
$$
z \qquad z_{\eta}
$$
$$
\text{avec } z_{\eta}^{i} = s_{\eta}^{i} z_{\eta} \mid_{L^2(Q_{\eta}^{i})}
$$

On définit de la même façon les opérateurs $\overline{q}_n^h$, $\overline{s}_n^h$,

Soit également les opérateurs ;

$$
p_{\xi}^{h} : V_{\xi}^{N} \longrightarrow L^{2}(0,T;V)
$$
$$
y_{\xi} = (y_{\xi}^{1}, \dots, y_{\xi}^{N}) \qquad p_{\xi}^{h}(y_{\xi}) = p_{\xi}(y_{\xi}^{i}) \quad \text{sur } t \in [(i-1)h, ih]
$$

$$
r_{\xi}^{h} : L^{2}(0,T;V) \rightarrow V_{\xi}^{N}
$$
$$
y \qquad y_{\xi} \text{ avec } y_{\xi}^{i} = r_{\xi} y(ih)
$$
$$
\bar{p}_{\xi}^{-h} : V_{\xi}^{N} - \dots - L^2(0,T;V) \\
y_{\xi} \qquad \bar{p}_{\xi}^{-h}(y_{\xi}) = p_{\xi} y_{\xi}^{i-1} + (t-(i-1)h)p_{\xi}(y_{\xi}^{i}-y_{\xi}^{i-1}) \\
\qquad \qquad \text{pour } t \in ](i-1)h, ih] \quad i = 1, \dots, N
$$

$$
\Pi_{n}^{h}(z) = \Pi_{n}^{i}(z) \text{ pour } t \in ](i-1)h, ih]
$$

On a alors le :

Lemme

Il existe $C > 0$ telle que :

$$
C |\Pi_n^h(z_1) - \Pi(z_2)|_{L^2(Q)} \le |(I-q_n^h s_n^h) \Pi(z_2)|_{L^2(Q)} + |z_1 - z_2|_{L^2(Q;R^n)} \\
\qquad \qquad \qquad \qquad |(q_n^h s_n^h - I)u_2|_{L^2(Q;R^n)} + |z_2|_{L^p(Q;R^n)} |(q_n^{-h} s_n^{-h} - I)u_2|_{L^q(Q;R^n)}
$$

$$
\text{avec } \frac{2}{p} + \frac{2}{q} = 1 \qquad p > 2
$$

$$
u_2 \text{ vérifiant } \Pi(z_2) = F(u_2, z_2)
$$

Enfin :

$$
C |\Pi_{n}^{h}(z_{1}) - \Pi_{n}^{h}(z_{2})|_{L^{2}(Q)} \le |z_{1} - z_{2}|_{L^{2}(Q;R^{n})}
$$

On peut alors montrer l'existence et l'unicité d'une solution au problème approché, par récurrence en temps, grâce à la méthode utilisée dans le cas stationnaire à chaque étape.

3) <u>Convergence des problèmes approchés</u>

On a le théorème analogue au cas stationnaire suivant :
Théorème 8

Il existe $k > 0$ indépendante de $\xi, n, h$.

$$
k |p_{\xi}^{h} y_{\xi} - y|_{L^{2}(O, T; V')^{1}} \le |y - p_{\xi}^{h} r_{\xi}^{h} y|_{L^{2}(O, T; V)} + \left| \frac{dy}{dt} - \frac{d}{dt} \bar{p}_{\xi}^{h} r_{\xi}^{h} y \right|_{L^{2}(O, T; V')} \\
+ \left| (q_{n}^{h} s_{n}^{h} - I) \Pi(Dy) \right|_{L^{2}(Q)} + \left| (\bar{q}_{n}^{h} s_{n}^{h} - I) u \right|_{L^{p}(Q)} \left| (|Dy| + 1) \right|_{L^{q}(Q)}
$$

$$
\text{avec } \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2}
$$

y solution de (46).

$y_{\xi}$ solution de (47).

u un contrôle optimal quelconque du problème continu.

Démonstration

Notons :

$$
e_{\xi}^{i} = y_{\xi}^{i} - r_{\xi} y(ih)
$$

$$
c_t(y,v) = a_t(y,v) - (\Pi_t(Dy),v)
$$

$$
c_t^{\eta}(y, v) = a_t(y, v) - (\Pi_t^{\eta}(Dy), v).
$$

En utilisant la coercivité de $c_t$ on a :

Il existe $\beta > 0$ tel que :

$$
\begin{align*}
& (p_{\xi} e_{\xi}^{i+1} - e_{\xi}^{i}, p_{\xi} e_{\xi}^{i+1}) + \int_{ih}^{(i+1)h} c_{t}^{\eta}(p_{\xi} y_{\xi}^{i+1}, p_{\xi} e_{\xi}^{i+1}) - c_{t}^{\eta}(p_{\xi} r_{\xi} y(ih), p_{\xi} e_{\xi}^{i+1}) \\
\ge & \beta \int_{ih}^{(i+1)h} |p_{\xi} e_{\xi}^{i+1}|_{V}^{2} + \frac{1}{2} |p_{\xi} (e_{\xi}^{i+1} - e_{\xi}^{i})|_{H}^{2} + \frac{1}{2} |p_{\xi} e_{\xi}^{i+1}|_{H}^{2} - \frac{1}{2} |p_{\xi} e_{\xi}^{i}|_{H}^{2} \\
& i=0 \cdots \cdots N-1
\end{align*}
$$
et donc en sommant en i on obtient :

$$ \left(\frac{d}{dt}\frac{\overline{p}_{\xi}^{h}}{e_{\xi}^{h}, p_{\xi}^{h}e_{\xi}^{h}}\right) + \int_{0}^{T} c_{t}^{\eta}(p_{\xi}^{h}y_{\xi}, p_{\xi}^{h}e_{\xi}^{h}) - c_{t}^{\eta}(p_{\xi}^{h}r_{\xi}^{h}y, p_{\xi}^{h}e_{\xi}^{h})dt \geq \beta \int_{0}^{T} |p_{\xi}^{h}e_{\xi}^{h}|_{V}^{2} dt $$

d'autre part :

$$ \left(\frac{dy}{dt} - \frac{d}{dt}\overline{p}_{\xi}^{h}y_{\xi}, p_{\xi}^{h}e_{\xi}^{h}\right) + \int_{0}^{T} c_{t}^{\eta}(y, p_{\xi}^{h}e_{\xi}^{h}) - c_{t}^{\eta}(p_{\xi}^{h}y_{\xi}, p_{\xi}^{h}e_{\xi}^{h})dt = 0 $$

en additionnant les deux dernières relations on obtient :

$$ \left(\frac{d}{dt}(y-\overline{p}_{\xi}^{h}r_{\xi}^{h}y), p_{\xi}^{h}e_{\xi}^{h}\right) + \int_{0}^{T} c_{t}^{\eta}(y, p_{\xi}^{h}e_{\xi}^{h}) - c_{t}^{\eta}(p_{\xi}^{h}r_{\xi}^{h}y, p_{\xi}^{h}e_{\xi}^{h}) \geq \beta \int_{0}^{T} |p_{\xi}^{h}e_{\xi}^{h}|_{V}^{2} dt $$

On obtient alors grâce à la continuité des formes bilinéaires $a_t(y,v)$ :

$$ \left|\frac{d}{dt}(y - p_{\xi}^{h}r_{\xi}^{h}y)\right|_{L^2(O,T;V')} + M|y - p_{\xi}^{h}r_{\xi}^{h}y|\left|_{L^2(O,T;V)} + \int_{0}^{T} |\Pi_{t}(Dy) - \Pi_{t}^{\eta}(Dp_{\xi}^{h}r_{\xi}^{h}y)|_{H} \geq \beta |p_{\xi}^{h}e_{\xi}^{h}|_{L^2(O,T;V)}^{2} \right. $$

or grâce à l'inégalité triangulaire :

$$ |p_{\xi}^{h}e_{\xi}^{h}|_{L^2(O,T;V)} = |p_{\xi}^{h}y_{\xi} - p_{\xi}^{h}r_{\xi}^{h}y| \geq |p_{\xi}^{h}y_{\xi} - y| - |y - p_{\xi}^{h}r_{\xi}^{h}y| $$
On obtient alors :

$$
\begin{align*}
\beta |y - p_{\xi}^{h} y_{\xi}^{h}|_{L^2(O, T; V)} &\le \frac{d}{dt} |(y - p_{\xi}^{h} r_{\xi}^{h})|_{L^2(O, T; V')} + |y - p_{\xi}^{h} r_{\xi}^{h} y|_{L^2(O, T; V)} (M+\beta) \\
&\quad + |\Pi(Dy) - \Pi^n(Dp_{\xi}^{h} r_{\xi}^{h} y)|_{L^2(O)}
\end{align*}
$$

Le lemme donne alors le résultat.

Corollaire 1

Si $y \in H^1, \Omega \cap L^2(O,T; W^1, P(\Omega))$, $p > 2$, alors :

$$
|y - p_{\xi}^{h} r_{\xi}^{h} y|_{L^2(O, T; V)} \xrightarrow{h, \xi, n \to 0} 0
$$

où :

y désigne la solution du problème continu (46)

$y_{\xi}$ la solution du problème discret (47).

Démonstration

Il nous suffit de montrer que :

$$
|y - p_{\xi}^{h} r_{\xi}^{h} y|_{L^2(O, T; V)} \xrightarrow{h, \xi \to 0} 0
$$

$$
\left| \frac{d}{dt} \left( y - p_{\xi}^{h} r_{\xi}^{h} y \right) \right|_{L^2(O, T; V')} \xrightarrow{h, \xi \to 0} 0
$$

$$
W^1, P = \{y : y \in L^P, Dy \in L^P\}
$$
$$1) \quad \left|y - p_{\xi}^{h} r_{\xi}^{h} y\right|_{L^2(O, T; V)}^{h, \xi \to 0} \quad \text{--- \textemdash \textemdash} \to 0 \quad \forall y \in H^{1, 2}$$

Soit $y \in H^{1,2}$ alors $y \in C(O,T;V)$ LIONS MAGENES [13].

Supposons dans un premier temps que $y \in C(O,T;V) \cap L^\infty(O,T;H^2)$.

Notons $L_i$ l'espace $L^2(\{(i-1)h,ih\};V)$. On a :

$$|y - p_{\xi}^{h} r_{\xi}^{h} y|_{L^2(O, T; V)}^2 = \sum_i |y - p_{\xi}^{i} r_{\xi}^{i} y|_{L_i}^2$$

Or :

$$|y - p_{\xi}^{i} r_{\xi}^{i} y|_{L_i}^2 \le 2|y - y(ih)|_{L_i}^2 + 2h|y(ih) - p_{\xi} r_{\xi} y(ih)|_V^2$$

Si l'on note $\omega(h,y)$ le module de continuité de $y$ comme élément de $C(O,T;V)$ et si l'on utilise le théorème 2, on obtient :

$$|y - p_{\xi}^{i} r_{\xi}^{i} y|_{L_i}^2 \le 2h\omega(h,y)^2 + 2hC_{\xi}^2 |y(ih)|_{H^2(\Omega)}^2$$

et donc :

$$(48) \quad |y - p_{\xi}^{h} r_{\xi}^{h} y|_{L^2(O, T; V)}^2 \le 2T\omega(h,y)^2 + 2TC_{\xi}^2 |y|_{L^{\infty}(O, T; H^2)}^2$$

d'autre part :

$$(49) \quad |I - p_{\xi}^{h} r_{\xi}^{h}|_{L^{\infty}(O, T; V); L^2(O, T; V)} \le M_1$$

(48) et (49) et la densité de $L^\infty(O,T;H^2)$ dans $L^2(O,T;V)$ donnent le résultat.
D'autre part :

$$|(I - p_{\xi}^{h} r_{\xi}^{h})_{\omega}|_{h} \mathcal{L}(L^2(Q), L^2(Q)) \le M_1$$

En effet on peut choisir $p_\xi$ et $r_\xi$ tels que $|I - p_\xi r_\xi| \mathcal{L}(L^2(\Omega), L^2(\Omega))$ borné et que $(V_\xi, p_\xi, r_\xi)$ soit une approximation convergente de $H^1_{\text{AUBIN}}[I]$.

En utilisant alors la densité de $\{y: y \text{ et } \frac{dy}{dt} \in L^2(0,T;V)\}$ dans $H^{1,2}$ on obtient le résultat.

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

### Corollaire 2

De toute suite $(\xi_n, \eta_n)_{n \to \infty} \subset (0,0)$ on peut extraire une sous suite encore notée $(\xi_n, \eta_n)$ telle que :

$$b(., q_{\eta_n} u_n^* (.)) \quad \dashrightarrow_{n \to \infty} \quad b^*(.) \quad \text{dans } \sigma(L^\infty(Q), L^1(Q))$$

$$\varphi(., q_{\eta_n} u_n^* (.) ) \quad \dashrightarrow_{n \to \infty} \quad \varphi^*(.) \quad \text{dans } \sigma(L^\infty(Q), L^1(Q))$$

$$\text{avec } b^* D y^* + \varphi^* = \Pi(D y^*)$$

où $y^*$ est solution du problème continu

$u_n^*$ contrôle optimal du problème discret $\eta_n$.

### Remarque 1

La suite du corollaire 1 chapitre 5 reste encore valable ici.
3) Un exemple

Soit :

$$
\Omega = ]0,1[
$$

$$
\Gamma = \{0\} \cup \{1\}
$$

$$
u = [m, M]
$$

$$
Q = ]0,1[ x [0,T]
$$

$$
\Sigma = \{0\} \times [0, T] \cup \{1\} \times [0, T]
$$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{dy}{dt} - \frac{\partial i}{\partial x}(t,x) \frac{\partial y}{\partial x} - \min_{u \in \mathcal{U}} (b(t,x,u) \frac{\partial y}{\partial x} + \phi(t,x,u)) = f(x) \\[1.5ex]
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial x}(t,0) = g(t,0) \\[1.5ex]
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial x}(t,1) = g(t,1) \\[1.5ex]
y(0,x) = 0
\end{array}
\right.
$$

Notons :

i indice de temps,

j indice d'espace.

$$
\xi = \frac{1}{n}
$$

$$
h = \frac{T}{N}
$$

$$
a_{\cdot j}^{\cdot i} = \frac{1}{\xi^2} \int_{ih}^{(i+1)h} \int_{j\xi}^{(j+1)\xi} a(t,x) dx dt
$$
$$b_j^i(u_j^i) = \frac{1}{\xi} \int_{ih}^{(i+1)h} \int_{j\xi}^{(j+1)\xi} b(t,x,u_j^i) \, dx \, dt$$

$$\varphi_j^i(u_j^i) = \int_{ih}^{(i+1)h} \int_{j\xi}^{(j+1)\xi} \varphi(t,x,u_j^i) \, dx \, dt$$

$$g_o^i = \int_{ih}^{(i+1)h} a(t)g(t,0) \, dt$$

$$g_n^i = \int_{ih}^{(i+1)h} a(t)g(t,l) \, dt$$

$$f_j^i = \int_{ih}^{(i+1)h} \int_{i\xi}^{(j+1)\xi} f(t,x) \left(-\frac{x}{\xi} + j + 1\right) dx \, dt$$

$$\bar{f}_j^i = \int_{ih}^{(i+1)h} \int_{(j-1)\xi}^{j\xi} f(t,x) (x-j+1) \, dx \, dt$$

Le problème discrétisé s'écrit alors :

$$\begin{align*}
& y_j^{i+1} (1+a_j^i + a_{j-1}^i) - a_j^i y_{j+1}^i - a_{j-1}^i y_{j-1}^i \\
& \qquad - \frac{1}{2} \min_i \left( (y_{j+1}^{i+1} - y_j^{i+1}) b_j^i (u_j^i) + \varphi_j^i (u_j^i) \right) \\
& \qquad - \frac{1}{2} \min_{u_{j-1}^i} \left( (y_j^{i+1} - y_{j-1}^{i+1}) b_{j-1}^i (u_{j-1}^i) + \varphi_j^i (u_{j-1}^i) \right) \\
&= y_j^i + \bar{f}_j^i + \bar{f}_j^i
\end{align*}$$

i = 0 ... N-1
$j = 1 \dots n-1$

$$y_j^o = 0 \quad j=0 \dots n$$

$$y_o^{i+1} (1+a_o^i) - y_l^{i+1} a_o^{i-1/2} \min \left( \left(y_l^{i+1} - y_o^{i+1}\right) b_o^i (u_o^i) + \varphi_o^i (u_o^i) \right)$$

$$= y_o^i + \bar{f}_o^i - g_o^i \quad i = 0 \dots N-1$$

$$y_n^{i+1} (1+a_{n-1}^i) - y_{n-1}^{i+1} (a_{n-1}^i) - 1/2 \min \left( \left(y_n^{i+1} - y_{n-1}^{i+1}\right) b_{n-1}^i (u_{n-1}^i) + \varphi_{n-1}^i (u_{n-1}^i) \right)$$

$$= y_n^i + \bar{f}_n^i + g_n^i \quad i = 0 \dots N-1$$

### Remarque 2

On voit qu'à chaque étape de temps il est nécessaire de résoudre un système non linéaire. Il possède les mêmes propriétés que le système stationnaire correspondant. On pourra donc utiliser le même algorithme pour le résoudre. On pourra à chaque étape de temps initialiser avec le contrôle optimal de l'étape précédente.

### Remarque 3

Le schéma de CRANK NICHOLSON conduit à un système non linéaire ayant encore les mêmes propriétés que le système stationnaire, et donc, peut lui aussi être résolu de la même façon.

### Remarque 4

Le schéma explicite se résout de façon immédiate par récurrence. La démonstration de convergence (que nous n'avons pas faite ici) montrerait la nécessité de réaliser une condition de stabilité du type $\frac{h}{\xi^2} \le k$. Cette contrainte impose un très grand nombre de pas en temps.
## CONCLUSION

Deux méthodes nous semblent possibles pour résoudre numériquement les problèmes de contrôle sochastique de diffusion :

- l'approximation de la diffusion par une chaîne de Markov KUSHNER - CHEN FU YU [10] ,

- les méthodes d'analyse numérique des équations aux dérivées partielles.

L'avantage de la seconde méthode (celle étudiée ici) est l'obtention aisée des majorations d'erreurs, d'une démonstration de la convergence du problème discrétisé. Son inconvénient (au moins pour l'approximation interne) est la perte dans certain cas de la propriété 29 (elle revient à dire que le problème approximé s'interprète en terme de chaîne de Markov) assurant la convergence de l'algorithme de résolution.

Il est à remarquer également l'extrême rapidité de convergence de l'algorithme (point fixe en partant d'une sursolution) qui est beaucoup plus rapide que celui consistant à rechercher la solution asymptotique du problème évolutif associé ; ce dernier problème étant résolu par la programmation dynamique appliquée aux chaînes de Markov.

On remarque également que les résultats obtenus par l'analyse fonctionnelle sont plus forts que ceux obtenus par la méthode probabiliste. On converge dans $H^1(\Omega)$ vers le coût optimal. La méthode probabiliste donne la convergence simple vers un coût meilleur que tous ceux obtenus au moyen de feedbacks lipschitziens KUSHNER-CHEN FU YU [10].
# ANNEXE I

Démonstration des propriétés de mesurabilité énoncées dans le lemme 1
EKELAND [7].

a) $\Pi$ est universellement mesurable

$$A \equiv \{x,p/\Pi(x,p) \leq \lambda\} \text{ est la projection sur } \Omega x R^n \text{ de}$$

$$B = \{x,p,u/u \in \mathcal{U}(x) \} \cap \{(x,p,u)/F(x,p,u) \leq \lambda\}$$

or B est borélien comme intersection de boréliens et donc A est souslinien comme projection de borélien et donc $\Pi$ est universellement radon mesurable.

b) $\exists u^*(x,p)$ borélienne vérifiant $\Pi(x,p)=F(x,u^*(x,p),p) \mu p.p. \text{ où } \mu$ désigne une mesure de radon gcq sur $\Omega x r^n$.

Munissons $\Omega x R^n$ d'une mesure de radon $\mu$, d'après a) $\exists N$ borélien $\mu(N)=0$, $\Pi'(x,p)=\Pi(x,p) \forall (x,p) \notin N$ avec $\Pi(\cdot, \cdot)$ borélienne.

L'ensemble $\Omega x R^n - N$ est borélien donc souslinien, on peut alors introduire l'ensemble :

$$C = \{(x,p,u) / F(x,u,p) = \Pi'(x,p)\} \cap \{(x,p,u) / (x,p) \in \Omega x R^n - N\} \cap \{(x,p,u) / u \in \mathcal{U}(x)\}$$

Cet ensemble est souslinien car intersection de 3 ensembles, dont les 2 premiers sont boréliens et le dernier est souslinien (lorsque $\mathcal{U}$ est souslinienne).

Et donc si l'on désigne par $\Sigma$ la multi-application

$$(x,p) \longrightarrow \{u/(x,p,u) \in C\}$$

elle est de graphe souslinien et donc admet une section universellement radon mesurable $\tilde{u}(x,p)$.

Il existe donc un borélien $N' \mu(N')=0$ et $u^*(x,p)$ borélienne telle que
$$u^*(x,p) = \tilde{u}(x,p) \quad \forall (x,p) \notin N'$$

<figure><img src="image_25.png" /></figure>
ANNEXE 2

Π : L<sup>P</sup>(Ω, R<sup>n</sup>) ——> L<sup>P</sup>(Ω) est bien définie.

Soit z ∈ L<sup>P</sup>(Ω) admet un représentant z̃ ∈ L<sup>P</sup>(Ω) borélien.

En notant :

v la mesure de Lebesgue sur (Ω, B_Ω)

v_0 la mesure induite par z̃ sur (R<sup>n</sup>, B<sup>n</sup>)
z

i l'application identité de Ω ——> Ω

on a le schéma suivant :

$$
(i, \tilde{z}) \qquad (\Omega, \mathcal{B}_{\Omega}, \nu) \qquad \nu \cdot v_{\nu}(N)=0 \quad \Pi' \text{ borélienne et } \Pi(x,p)=\Pi'(x,p) \forall x,p \notin N \text{ et donc} \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Rightarrow \quad (\Omega \times \mathbb{R}^n, \mathcal{B}_{\Omega} \otimes \mathcal{B}^n, \nu \otimes v_{\nu}). \atop \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \zeta
$$

D'autre part Π est universellement radon mesurable grâce au lemme 1 et
donc : $∃N, Π'$ avec $v_0 \nu_Ω(N)=0$ Π' borélienne et $Π(x,p)=Π'(x,p) ∀x,p \notin N$ et donc
$Π^0(i, \tilde{z})$ est borélienne comme $v_0 v_Ω(N)=v((i, z)^{-1}(N))$ on a le résultat.
$z$
# ANNEXE 3

## PRINCIPE DU MAXIMUM DISCRET

### Définition 1

Soit $A \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$ non singulière.

On dira que $A$ satisfait au principe du maximum discret (PMD) si $f \ge 0$ et $\text{Aut} = f \Rightarrow u \ge 0$.

Il revient au même de dire que $A^{-1}$ envoie le cône positif de $\mathbb{R}^n$ sur le cône positif.

### Proposition 1

Une CNS pour que $A$ satisfasse au PMD est que $A^{-1}$ ait tous ses coefficients positifs.

La démonstration est immédiate.

Soit $B$ une matrice dont tous les coefficients sont positifs, notons $D(B)$ la matrice diagonale définie par :

$$d_{ii} = \sum_{j} b_{ij}$$

Alors la matrice $S=BD^{-1}(B)$ est stochastique ($s_{ij} \ge 0 \quad \sum_{i} s_{ij} = 1$).

### Proposition 2

Une CNS pour que $A$ satisfasse au PMD est que $A$ se factorise sous la forme $DS^{-1}$ avec $D$ diagonale positive $S$ stochastique.

Malheureusement cette proposition n'est pas très utilisable. Donnons maintenant une CS plus maniable qui n'est rien d'autre que la propriété (29).
### Proposition 3

Une CS pour qu'A satisfasse au PMD est qu'elle se factorise sous la forme $D(I-\lambda S^t)$ avec D diagonale positive, S stochastique $\lambda < 1$

### Démonstration

En effet :

$$(D(I-\lambda S^t))^{-1} = (I-\lambda S^t)^{-1} D^{-1} = (\sum_{i=0}^{\infty} (\lambda S^t)^i)D^{-1}$$

et cette dernière matrice a forcément tous ses coefficients positifs.

### Remarque 1

On peut également utiliser la démonstration faite dans celle de l'algorithme du chapitre 8 pour obtenir la proposition 3.

Utilisons cette CS pour montrer que dans le cas où la partie principale de l'opérateur est le Laplacien les matrices $A_{\xi,\eta}^{\lambda}$ de la propriété (29) satisfont au PMD.

Commençons par rappeler la définition d'une matrice de rigidité d'un élément fini $\Omega_i$ pour une forme $a:VxV \longrightarrow R$.

Appelons $A|_{\Omega_i}$ la restriction à $\Omega_i$ de la forme a.

$\varphi_1, \dots, \varphi_n$ les vecteurs de base de $p_{\xi}V_{\xi}$ ayant un support d'intersection non vide avec $\Omega_i$.

### Définition 2

On appelle matrice de rigidité de l'élément $\Omega_i$ pour la forme a, la matrice $R^i$ nxn définie par :

$$R_{kl}^i = a|_{\Omega_i}(\varphi_k, \varphi_l) \quad k, l=1 \dots n$$
On remarque alors que les éléments apparaissant hors de la diagonale dans la matrice $A_{\xi,\eta}^u$ sont des sommes d'éléments hors diagonaux des matrices de rigidité associée à la forme $a_{\lambda}(y,v)-(q_{\eta}s_{\eta}F(Dy),v)$. Et donc il suffira que toutes les matrices de rigidité aient leurs éléments hors diagonaux négatifs pour que $A_{\xi,\eta}^u$ satisfasse au PMD.

D'autre part la contribution de la partie principale de l'opérateur est prépondérante car ses termes sont en $\frac{1}{\xi^2}$ alors que les autres termes ont des contributions en $\frac{1}{\xi}$. Et donc :

**Proposition 4**

Une CS pour que $A_{\xi,\eta}^u$ satisfasse au PMD pour $\xi$ suffisamment petit est que les matrices de rigidité pour tous les éléments finis, pour la forme $a$ (associée à la partie principale de l'opérateur) aient tous leurs éléments hors diagonaux strictement négatifs.

**Remarque 2**

Les éléments diagonaux seront strictement positifs à cause de la coercivité de $a$.

L'élément diagonal est dominant.

Nous donnons maintenant les matrices de rigidité d'un élément fini $(0,!)^n$ (où n désigne la dimension de l'espace auquel appartient) pour la forme associée au Laplacien :

**Dimension 1**

<table><tr><td>1</td><td>-1</td></tr><tr><td>-1</td><td>1</td></tr></table>
Dimension 2

<table><thead><tr><th>(0,0)</th><th>(0,1)</th><th>(1,0)</th><th>(1,1)</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>2/3</td><td>-1/6</td><td>-1/6</td><td>-1/3</td><td>(0,0)</td></tr><tr><td>-1/6</td><td>2/3</td><td>-1/3</td><td>-1/6</td><td>(0,1)</td></tr><tr><td>-1/6</td><td>-1/3</td><td>2/3</td><td>-1/6</td><td>(1,0)</td></tr><tr><td>-1/3</td><td>-1/6</td><td>-1/6</td><td>2/3</td><td>(1,1)</td></tr></tbody></table>

Dimension 3

<table><thead><tr><th>(000)</th><th>(001)</th><th>(010)</th><th>(011)</th><th>(100)</th><th>(101)</th><th>(110)</th><th>(111)</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>1/3</td><td>0</td><td>0</td><td>-1/12</td><td>0</td><td>-1/12</td><td>-1/12</td><td>-1/12</td><td>(000)</td></tr><tr><td>0</td><td>1/3</td><td>-1/12</td><td>0</td><td>-1/12</td><td>0</td><td>-1/12</td><td>-1/12</td><td>(001)</td></tr><tr><td>0</td><td>-1/12</td><td>1/3</td><td>0</td><td>-1/12</td><td>-1/12</td><td>0</td><td>-1/12</td><td>(010)</td></tr><tr><td>-1/12</td><td>0</td><td>0</td><td>1/3</td><td>-1/12</td><td>-1/12</td><td>-1/12</td><td>0</td><td>(011)</td></tr><tr><td>0</td><td>-1/12</td><td>-1/12</td><td>-1/12</td><td>1/3</td><td>0</td><td>0</td><td>-1/12</td><td>(100)</td></tr><tr><td>-1/12</td><td>0</td><td>-1/12</td><td>-1/12</td><td>0</td><td>1/3</td><td>-1/12</td><td>-1/12</td><td>(101)</td></tr><tr><td>-1/12</td><td>-1/12</td><td>0</td><td>-1/12</td><td>0</td><td>-1/12</td><td>1/3</td><td>0</td><td>(110)</td></tr><tr><td>-1/12</td><td>-1/12</td><td>-1/12</td><td>0</td><td>-1/12</td><td>-1/12</td><td>0</td><td>1/3</td><td>(111)</td></tr></tbody></table>
En dimension 4 des termes hors diagonaux positifs apparaissent. Et donc dans le cas où la partie principale de l'opérateur est le Laplacien, en dimension 1 et 2 les matrices $A_{\epsilon, \eta}^u$ vérifieront le PMD, en dimension 3 la condition suffisante 3 n'est déjà plus vérifiée.

### Remarque 3

Pour des opérateurs dont la partie principale s'écrit :

$$ \frac{\partial}{\partial x_1} a_1(x_1) \frac{\partial}{\partial x_1} + \frac{\partial}{\partial x_2} a(x_2) \frac{\partial}{\partial x_2} $$

on peut donner des conditions sur le pas de discrétisation pour que la proposition 4 puisse s'appliquer.
# ANNEXE 4

## APPROXIMATION EXTERNE

Nous avons vu que l'approximation interne du problème à un problème approché dont on n'est pas toujours sur qu'il vérifie l'hypothèse (29) (assurant la convergence de l'algorithme de résolution du problème discret).

Nous allons construire ci-dessous une approximation externe du problème dont on saura que, pour un pas suffisamment petit, elle vérifie l'hypothèse (29). Pour cela nous utiliserons AUBIN [1].

Soit le schéma suivant :

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

$$V_i = \{y/y \in L^2(\Omega) \text{ et } D_i y \in L^2(\Omega)\}$$

$$V_o = L^2(\Omega)$$

$(p_{\xi}y_{\xi})_i$ sera une fonction linéaire par morceaux pour la composante $i$ et constante par morceaux pour les autres coordonnées où $y_{\xi} \in V_{\xi} = \mathbb{R}^N$, $i=1...n$; $(p_{\xi}y_{\xi})_o$ constantes par morceaux $r_{\xi}$ désigne la restriction optimale c'est-à-dire la projection sur $p_{\xi}V_{\xi}$ au sens $\bar{V}$ :

$\omega$ l'injection canonique

$\omega C_{\lambda} \omega'$ l'opérateur à approximer.

On supposera que $(V_{\xi}, p_{\xi}, \hat{r}_{\xi})$ forme une approximation externe de $V$ c'est-à-dire :

$$\cdot (I - p_{\xi} \hat{r}_{\xi}) y \rightarrow 0 \text{ fortement } \forall \bar{y} \in \bar{V}$$

$$\cdot p_{\xi} y_{\xi} \rightarrow \bar{y} \text{ faiblement dans } \bar{V} \Rightarrow \bar{y} \in V.$$
On définit alors la forme sur $\bar{V}$ :

$$ \bar{c}^{\lambda}(\bar{y}, \bar{v}) = \sum_{ij} \bar{a}_{ij}(\bar{y}_i, \bar{v}_j) + \lambda(\bar{y}_o, \bar{v}_o) + (\Pi(\bar{D}\bar{y}), \bar{v}) $$

avec :

$$ \bar{D}\bar{y} = \begin{bmatrix} D_1 \bar{y}_1 \\ \vdots \\ D_n \bar{y}_n \end{bmatrix} $$

$$ \bar{a}_{ij}(y,v) = \int_{\Omega} a_{ij}(x) D_i y \cdot D_j v \, d\Omega $$

Définissons de même :

$$ \bar{c}_{\eta}^{\lambda}(\bar{y}, \bar{v}) = \sum_{ij} \bar{a}_{ij}(\bar{y}_i, \bar{v}_j) + (\bar{y}_o, \bar{v}_o) + (\Pi_{\eta}(\bar{D}\bar{y}), \bar{v}) $$

avec :

$$ \Pi_{\eta}(\bar{z}) = \begin{cases} q_{\eta} s_{\eta} F(z, \bar{q}_{\eta} \bar{s}_{\eta} u) & u \\ 0 & v \end{cases} $$

Si on définit $\bar{l}$ par :

$$ l = \omega' \bar{l} $$

on a le problème approché :

$$ (10') \qquad \bar{c}_{\eta}^{\lambda}(p_{\xi} y_{\xi}, p_{\xi} v_{\xi}) = \bar{l}(p_{\xi}^{o} v_{\xi}) \quad \forall v_{\xi} \in V_{\xi} $$
Ce problème se réécrit :

$$
\bar{R}_{\xi} \bar{C}_{\bar{P}_{\xi}}^{\lambda} = \bar{C}_{n, \xi}^{\lambda} y_{\xi} = g_{\xi}
$$

On peut alors montrer la propriété de monotonie ;

$$
\bar{c}_{n}^{\lambda}(p_{\xi} y_{\xi}, p_{\xi} y_{\xi} - p_{\xi} v_{\xi}) - \bar{c}_{n}^{\lambda}(p_{\xi} v_{\xi}, p_{\xi} y_{\xi} - p_{\xi} v_{\xi}) \geq \alpha |p_{\xi} y_{\xi} - p_{\xi} v_{\xi}| \frac{2}{\bar{v}}
$$

On peut également montrer l'existence et l'unicité d'une solution au problème approché.

Majoration d'erreur

Donnons maintenant une majoration de l'erreur entre la solution du problème approché et celle du problème exacte.

Remarquons que la monotonie entraîne la "stabilité" de l'approximation
$\bar{c}_{\xi,n}^{\lambda}$ de $\bar{c}^{\lambda}$. En effet ;

$$
\bar{c}_{n}^{\lambda}(p_{\xi} y_{\xi}, p_{\xi} y - p_{\xi} r_{\xi} \bar{y}) - \bar{c}_{n}^{\lambda}(p_{\xi} r_{\xi} y, p_{\xi} y_{\xi} - p_{\xi} r_{\xi} \bar{y}) \geq \alpha |p_{\xi} y - p_{\xi} r_{\xi} y|^{2} \bar{v}
$$

La définition de $\bar{c}_n^\lambda$ entraîne :

$$
(p'_{\xi} \bar{c}_{n}^{\lambda} p_{\xi} y_{\xi} - p'_{\xi} \bar{c}_{n}^{\lambda} p_{\xi} r_{\xi} \bar{y}_{\xi}, y_{\xi} - r_{\xi} \bar{y}_{\xi}) \geq \alpha |p_{\xi} y_{\xi} - p_{\xi} r_{\xi} \bar{y}_{\xi}|^{2} \underset{\bar{V}}{\Rightarrow}
$$

$$
| p'_{\xi} \bar{c}_{n}^{\lambda} p_{\xi} y_{\xi} - p'_{\xi} \bar{c}_{n}^{\lambda} p_{\xi} r_{\xi} \bar{y}_{\xi} |_{V_{\xi}} \geq \alpha | p_{\xi} y_{\xi} - p_{\xi} r_{\xi} \bar{y}_{\xi} |_{\bar{V}} = \alpha | y_{\xi} - r_{\xi} \bar{y}_{\xi} |_{V_{\xi}}
$$

car on a muni $V_{\xi}$ de la norme $|p_{\xi}y_{\xi}|_{\bar{V}} = |y_{\xi}|_{V_{\xi}}$ et $V'_{\xi}$ de la norme $|\hat{f}'_{\xi}y_{\xi}|_{V'} = |y_{\xi}|_{V'_{\xi}}$

on a donc le résultat souhaité :
$$
\frac{|\hat{p}_{\xi}^{\prime} \overline{c}_{n}^{\lambda} p_{\xi} y_{\xi} - \hat{p}_{\xi} \overline{c}_{n}^{\lambda} p_{\xi} r_{\xi} \overline{y}|}{|y_{\xi} - r_{\xi} \overline{y}|_{V_{\xi}}} \geq \alpha
$$

$\alpha$ indépendante de $\xi$ et $\eta$ (stabilité).

Majoration de l'erreur

Soit $y$ solution de (9), $\bar{y} = \omega y$ et $y_{\xi}$ solution de (10').

L'inégalité précédente se réécrit :

$$
\begin{align*}
| \hat{r}_{\xi}^{\prime} p_{\xi}^{\prime} \overline{c}_{n}^{\lambda} p_{\xi} y_{\xi} - \hat{r}_{\xi}^{\prime} p_{\xi}^{\prime} \overline{c}^{\lambda} \overline{y} |_{\bar{V}} &+ | \hat{r}_{\xi}^{\prime} p_{\xi}^{\prime} \overline{c}^{\lambda} \overline{y} - \hat{r}_{\xi}^{\prime} p_{\xi}^{\prime} \overline{c}_{n}^{\lambda} p_{\xi} r_{\xi} \overline{y} |_{\bar{V}} &\ge &\alpha | p_{\xi} y_{\xi} - p_{\xi} r_{\xi} \overline{y} |_{\bar{V}} \\
&\ge & - \alpha | \overline{y} - p_{\xi} r_{\xi} \overline{y} |_{\bar{V}} &+ \alpha | p_{\xi} y_{\xi} - \overline{y} |_{\bar{V}}
\end{align*}
$$

$$
| \hat{r}_{\xi}^{\prime} p_{\xi}^{\prime} \overline{I} - \hat{r}_{\xi}^{\prime} p_{\xi}^{\prime} \overline{C}^{\lambda} \overline{y} |_{\bar{V}} + \alpha | \overline{y} - p_{\xi} r_{\xi} \overline{y} |_{\bar{V}} + | \hat{r}_{\xi}^{\prime} p_{\xi}^{\prime} (\Pi(\overline{Dy}) - \Pi_{n}(\overline{Dp_{\xi}r_{\xi}y})) |_{\bar{V}} \geq \alpha | p_{\xi} y_{\xi} - \overline{y} |_{\bar{V}}
$$

En utilisant le lemme 2 on obtient :

$$
\begin{align*}
| \Pi(\overline{Dy}) - \Pi_{n}(\overline{Dp_{\xi}r_{\xi}\overline{y}}) |_{H} &< | (I - q_{n}s_{n})\Pi(\overline{Dy}) |_{H} + C | \overline{y} - p_{\xi}r_{\xi}\overline{y} |_{\bar{V}} \\
&\quad + C | (\overline{q}_{n}\overline{s}_{n} - I)u |_{L^{q}(\Omega; \mathbb{R}^{m})} + C | y |_{H^{2}}^{2} | (\overline{q}_{n}\overline{s}_{n} - I)u |_{L^{q}(\Omega; \mathbb{R}^{m})}
\end{align*}
$$

D'où la majoration d'erreur :

$$
\alpha |\bar{y} - p_{\xi} y_{\xi}|_{\bar{V}} \le C |\bar{y} - p_{\xi} r_{\xi} \bar{y}|_{\bar{V}} + |\hat{r}_{\xi}^{\prime} p_{\xi}^{\prime} - \hat{r}_{\xi}^{\prime} p_{\xi}^{\prime} \overline{c}^{\lambda} \bar{y}|_{\bar{V}} + |(I - q_{n} s_{n}) \Pi(\overline{Dy})|_{H} \\
+ C |(q_{n} s_{n} - I)u|_{L^{q}(\Omega, \mathbb{R}^{m})} (1 + |y|_{H^{2}(\Omega)}^{2})
$$
Utilisant AUBIN [1] on obtient :

$$|\bar{y} - p_{\xi} r_{\xi} y|_{\bar{V}} \le c_{\xi} \quad \text{et} \quad |\hat{r}_{\xi} P_{\xi}' (\bar{1} - c_{\xi}^{\lambda} \bar{y})|_{V'} \le c_{\xi}.$$

Il vient alors un résultat analogue au corollaire 4.

On peut également montrer que l'hypothèse (29) est toujours vérifiée pour un pas $\xi$ suffisamment petit (la partie principale de l'opérateur vérifie cette hypothèse et "absorbe" les autres termes lorsque le pas décroit) pour ce type d'approximation.
BIBLIOGRAPHIE

[1] AUBIN - Approximation of elliptic boundary value problems
Wiley interscience.

[2] BENSOUSSAN FRIEDMAN - Nonlinear variational inequalities and differential games with stoppin times. Journal of fonctionnal analysis - Juillet 1974.

[3] BENSOUSSAN-LESOURNE - Un irreversible investissement (à paraître).

[4] BENSOUSSAN-LIONS - Livre à paraître.

[5] CIARLET-RAVIART - Cours sur les éléments finis, Paris 6, 1972.

[6] DOUGLAS - Some superconvergent result for $H^1$ galerkin procedure
for heat equation, congrès IRIA, décembre 1973.

[7] EKELAND - Théorie des jeux, Cahier des mathématiques de la décision,
Paris 9.

[8] FLEMING - Contrôle stochastique. Livre à paraître.

[9] FELLER - The parabolic differential equations and the associated semi-group of transformations, Annals of mathematics, may 1952.
Diffusion process in one dimension.

[10] KUSHNER CHEN FU YU - Approximation existence and numerical procedure for optimal stochastic control, Report 1973, Brown university.

[11] GIKHMAN-SKOROHOD - Stochastic differential equation, Springer
Verlag 1972.
[12] LIONS - Quelques problèmes aux limites non linéaires, Dunod 1969.

[13] LIONS - Problèmes aux limites dans les équations aux dérivées partielles, Presses de l'université de Montreal.

[14] LIONS-MAGENES - Problèmes aux limites non homogènes, Dunod 1968.

[15] MANDL - One dimensionnal Markov processes, Springer Verlag 1968.

[16] MARCHUK-SHAYDOUROV - Increase of accuracy of projective difference schemes, Congrès IRIA, décembre 1973.

[17] RISHEL - Weak solution of a partial differential equation of dynamic programming SIAM, J. control Novembre 1971.

[18] STROOK-VARADHAN - Diffusion process with boundary condition. Comm. on pure and applied math. 1971.

[19] TEMAM - Analyse numérique, collection sup., Presses universitaires de France 1970.

[20] HOWARD - Dynamic programming and Markov process M.I.T. 1960.

[21] YVON - Contrôle optimal - Cours ENSI Toulouse.

[22] RAVIART - Thèse Paris.