RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION COHOMOLOGIQUE
DISCRÈTE D'UN $\mathbb{C}^2$-AUTOMORPHISME SINGULIER

ADOU TANO ERIC <fnref n="1" /> AND HASSIMIOU DIALLO <fnref n="2" />

18 January 2018

Laboratoire de Mathématiques Fondamentales,
École Normale Supérieure d'Abidjan, Côte d'Ivoire.

1991 Mathematics Subject Classification : 53C12; 37C85.

**Key words and phrases** : Feuilletage, système dynamique, équations cohomologiques discrète et continue.

Nos remerciements à Aziz Elkacimi pour tous les échanges combien fructueux qu'on a eus ensemble

Abstract. Dans notre travail, nous nous intéressons à la résolution sur $\mathbb{C}^2$ de l'équation cohomologique $f(z, w) - f(e^{2i\pi\theta}z + w, e^{2i\pi\theta}w) = g(z, w)$. Nous résolvons l'équation homogène qui lui est associée. Pour l'équation avec second membre, nous exhibons l'ensemble des séries formelles solutions, et la résolvons pour une large classe de fonctions g. Cependant, la résolution générale de l'équation avec second membre, reste encore ouverte.

<footnote n="1">1. adoueric007@yahoo.fr</footnote>

<footnote n="2">2. diallomh@yahoo.fr</footnote>
<figure><img src="image_1.png" /></figure>
# SOMMAIRE

<table><tr><td>Dédicaces</td><td>ii</td></tr><tr><td>Remerciements</td><td>iii</td></tr><tr><td>Introduction</td><td>iv</td></tr></table>

## 1 Éléments de feuilletages, d'équations cohomologiques, d'arithmétique et présentation de Hol(C²)

1

### 1.1 Éléments de feuilletages

1.1.1 Généralités sur les feuilletages 1

1.1.2 Définition et exemples de feuilletages 3

1.1.3 Système différentiel 4

1.1.4 Quelques constructions classiques de feuilletages 7

1.1.5 Feuilletage de G. Reeb 13

### 1.2 Autour des équations cohomologiques

1.2.1 Équations cohomologiques discrètes-Équations cohomologiques continues 16

1.2.2 Cohomologie discrète 17

1.2.3 Cohomologie feuilletée 20

### 1.3 Quelques éléments d'arithmétique

### 1.4 Présentation de Hol(C²)

1.4.1 lim inf et lim sup 25

1.4.2 Suites doubles 25

1.4.3 Séries doubles 27

1.4.4 Présentation et quelques décompositions utiles de Hol(C²) 27

1.4.5 Topologie de Hol(C²) 28

## 2 Présentation et résolution du problème

30

### 2.1 Nature des équations

### 2.2 Résolution des équations homogène et générale

2.2.1 Résolution de l'équation homogène ou détermination des fonctions constantes sur les orbites de $\gamma_A$ 34

2.2.2 Résolution de l'équation avec second membre 36

2.2.3 Résolution dans Hol_w(C) [z] 53

2.2.4 Cas holomorphe 57

2.2.5 L'espace des fonctions holomorphes A-solubles sur C² 59
DÉDICACES

À l'Éternel mon Dieu, qui donne de savoir et de chercher à savoir. Lui, Qui nous inspire
dans toutes nos œuvres et sans lequel nous ne serions pas arrivés au terme de ce travail.

Je tiens à dédier cette thèse à mes très chers parents : mon père Hugues ADOU, ma mère adoptive Solange ADOU et ma mère biologique Victoria DJEGBA ; eux qui ce sont donnés corps et âme pour mon bien-être, depuis ma naissance jusqu'à aujourd'hui. Cette thèse est le fruit de leurs efforts.

À mes enfants Hanniel et Aurore ADOU qui ont été très sages, me permettant ainsi de faire tranquillement mes recherches.

Finalement à mon épouse, qui, pendant ces années de recherche, m'a fait confiance et a fait preuve d'une grande patience. Ses encouragements quotidiens m'ont donné de la force pendant les périodes difficiles de cette thèse. Merci mon amour !
REMERCIEMENTS

Mes remerciements vont en premier lieu au professeur DIALLO Mamadou Hassimiou pour avoir accepté de diriger mes recherches pendant ces années de thèse. On a été confronté à un sujet passionnant. Tout au long de ce chemin, il m'a consacré un temps inestimable, ainsi que de nombreuses et longues discussions mathématiques, au cours desquelles il a beaucoup contribué à enrichir ma culture mathématique.

Mes remerciements vont également au professeur FEDIDA Edmond pour avoir proposé ce sujet et co-dirigé cette thèse, ensuite pour sa contribution sans retenue et constante tant mathématique que morale, par ses remarques pertinentes et ses encouragements filiaux, ainsi que par ses conseils très avisés et très optimaux ; cette thèse leur doit beaucoup et je suis heureux d'avoir travaillé sous leur direction.

Merci aux professeurs AZIZ El Kacimi et DATHE Hamidou pour avoir accepté de s'intéresser à ce travail.

Merci au doyen de l'UFR de mathématiques et informatique de l'UNIVERSITÉ FÉLIX HOUPHOUËT BOIGNY (UFHB) d'Abidjan-Cocody le professeur ADJÉ Assohoun, au Directeur Général de l'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (ENS) d'Abidjan le professeur SIDIBÉ Valy.

Mes remerciements vont également au ministre de l'enseignement supérieur et de la recherche scientifique le professeur BAKAYOKO LY Ramata dont les efforts inlassables ont permis le maintien en poste de certains professeurs d'université de mathématiques parmi lesquels les professeurs FEDIDA Edmond et DIALLO Mamadou Hassimiou ; cette thèse et tant d'autres en sont les fruits.

Je suis très touché de l'honneur que me font les professeurs DATHE Hamidou et SOHOU Toussaint en ayant accepté de rapporter sur ma thèse.

Merci au professeur KOUROUMA Moussa d'avoir accepté d'être examinateur dans le jury.

J'exprime également toute ma gratitude au professeur N'ZI Yao Modeste, vice doyen de l'UFR de mathématiques et informatique de l'UNIVERSITÉ FÉLIX HOUPHOUËT BOIGNY (UFHB) d'Abidjan-Cocody, pour avoir accepté de présider le jury.

Je suis très reconnaissant envers tous les membres du laboratoire de mathématiques et applications de l'UFR de mathématiques et informatique de l'UNIVERSITÉ FÉLIX HOUPHOUËT BOIGNY (UFHB) d'Abidjan-Cocody.
INTRODUCTION

Soit $M$ une variété différentielle de dimension $n > 0$. Un feuilletage $\mathcal{F}$ de codimension $q \le n$ (ou de dimension $n-q$) sur $M$ est la donnée d'un recouvrement d'ouverts $\{U_i\}_{i \in I}$ sur $M$, d'une famille de submersions $f_i : U_i \to T$ au-dessus d'une variété $T$ de dimension $q \le n$, et de difféomorphismes locaux $\gamma_{ij} : f_i(U_i \cap U_j) \to f_j(U_i \cap U_j)$ tels que sur les composantes connexes $U_{ij}$ de $U_i \cap U_j \ne \emptyset$, on a $f_j = \gamma_{ij} \circ f_i$. Soit $\mathcal{F}$ un feuilletage de dimension $m$ sur $M$. On note $T_{\mathcal{F}}$ son fibré tangent, $T_{\mathcal{F}}^*$ son dual (fibré cotangent à $\mathcal{F}$) et pour tout $r \in \mathbb{N}$, $\Lambda^r(T_{\mathcal{F}}^*)$ le fibré des $r$-formes extérieures. Une section de $\Lambda^r(T_{\mathcal{F}}^*)$ est appelée *forme feuilletée de degré r* sur $(M, \mathcal{F})$. (Rappelons qu'une section d'un fibré vectoriel $\tau : E \to M$ est une application différentiable $\alpha : M \to E$ telle que, pour tout $x \in M$, on ait $\alpha(x) \in E_x$ (fibre de $E$ en $x$) et $\tau(\alpha(x)) = x$). On note $\Omega_{\mathcal{F}}^r(M)$ l'espace vectoriel des $r$-formes feuilletées. Pour $r = 0$, $\Omega_{\mathcal{F}}^r(M)$ est l'espace $C^\infty(M)$ des fonctions $C^\infty$ sur $M$.

On a un opérateur de différentiation extérieur $d_{\mathcal{F}} : \Omega_{\mathcal{F}}^r(M) \to \Omega_{\mathcal{F}}^{r+1}(M)$ le long des feuilles défini (comme dans le cas classique), pour $X_0, \dots, X_r$ des champs de vecteurs tangents à $\mathcal{F}$, par la formule :

$$d_{\mathcal{F}} \alpha (X_0, \dots, X_r) = \sum_{i=0}^{r} (-1)^i X_i \cdot \alpha (X_0, \dots, \hat{X}_i, \dots, X_r) \\ + \sum_{\substack{i,j \in 0; r \\ i < j}} (-1)^{i+j} \alpha ([X_i, X_j], X_0, \dots, \hat{X}_i, \dots, \hat{X}_j, \dots, X_r)$$

où $\hat{X}_i$ signifie qu'on a omis l'argument $X_i$. On vérifie facilement que l'opérateur $d_{\mathcal{F}}$ est de carré nul. On obtient ainsi un complexe différentiel (dit complexe feuilleté) :

$$0 \to \Omega_{\mathcal{F}}^{0}(M) \xrightarrow{d_{\mathcal{F}}} \Omega_{\mathcal{F}}^{1}(M) \xrightarrow{d_{\mathcal{F}}} \dots \xrightarrow{d_{\mathcal{F}}} \Omega_{\mathcal{F}}^{m-1}(M) \xrightarrow{d_{\mathcal{F}}} \Omega_{\mathcal{F}}^{m}(M) \xrightarrow{d_{\mathcal{F}}} 0.$$

On note $\mathcal{Z}_{\mathcal{F}}^r(M)$ le noyau de $d_{\mathcal{F}} : \Omega_{\mathcal{F}}^r(M) \to \Omega_{\mathcal{F}}^{r+1}(M)$ et $B_{\mathcal{F}}^r(M)$ l'image de $d_{\mathcal{F}} : \Omega_{\mathcal{F}}^{r-1}(M) \to \Omega_{\mathcal{F}}^r(M)$.

Le quotient $\mathcal{H}_{\mathcal{F}}^r(M) = \frac{\mathcal{Z}_{\mathcal{F}}^r(M)}{B_{\mathcal{F}}^r(M)}$ est le $r$-ième espace vectoriel de la cohomologie feuilletée de $\mathcal{F}$. C'est un invariant important du feuilletage. Par exemple le dual topologique de l'espace $\mathcal{H}_{\mathcal{F}}^m(M)$ contient les cycles feuilletés au sens de [37] et donc, en particulier, les mesures transverses invariantes (cf. [2]); la nullité (resp. non nullité) de $\mathcal{H}_{\mathcal{F}}^m(M)$ est liée à l'holonomie des feuilles de $\mathcal{F}$ (resp. à l'existence pour $\mathcal{F}$ d'une feuille compacte) [2].
Le calcul de $H_{\mathcal{F}}^*(M)$ est souvent très ardu. Pour une utilisation intéressante de la cohomologie
feuilletée dans l'étude de la rigidité de certaines actions de groupes de Lie voir [36]. Dans le
cas où $\mathcal{F}$ est un flot (i.e. feuilletage de dimension 1 définit par un champ de vecteur $X$ sans
singularité sur $M$), le calcul de $H_{\mathcal{F}}^1(M)$ est une obstruction cohomologique à la résolution de
l'équation $Xu = v$ (1) (dite équation cohomologique continue) où $v \in C^\infty(M)$ est donnée
et on cherche $u \in C^\infty(M)$. Si en particulier $\mathcal{F}$ est un flot suspension sur $M$ obtenu par un
difféomorphisme $\phi : N \to N$ alors on montre dans [3] que le calcul de $H_{\mathcal{F}}^1(M)$ se réduit au
calcul de $H^1(\mathbb{Z}, C^\infty(N))$ la cohomologie discrète à valeur dans le $\mathbb{Z}$-module $C^\infty(N)$ que nous
définirons plus loin ; et résoudre l'équation (1) revient à résoudre l'équation $f - f \circ \phi = g$ (2) où
$g \in C^\infty(N)$ est donnée et on cherche $f \in C^\infty(N)$. L'équation (2) à été résolue dans [5] par Aziz
El Kacimi et Sohou Toussaint lorsque $\phi$ est un $\mathbb{C}^2$-automorphisme linéaire associé à une matrice
$A$ ayant toutes ses puissances différentes de l'identité, pour $A$ diagonalisable (i.e. $A$ conjuguée à
$\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ ou $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ avec $a \neq b$) et partiellement pour $A$ non diagonalisable (i.e. $A$ conjuguée à
$\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$) dans le cas où $|a| \neq 1$.

Dans notre travail nous étudions le cas $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ avec $|a| = 1$ laissé en suspens dans [5]. La majorité des résultats obtenus sont contenus dans une publication [33] dans *Africa Mathematics Annals*.

Le chapitre 1 est consacré aux rappels. On y trouve quelques éléments portant sur les feuilletages, la cohomologie, l'arithmétique, et sur les suites numériques doubles et une présentation utile de $\mathcal{Hol}(\mathbb{C}^2)$.

Dans le chapitre 2, nous nous attaquons au problème laissé en suspens. Nous commençons par déterminer la formule fondamentale donnant une relation entre les coefficients de $f$ et de $g$.

Nous résolvons ensuite l'équation homogène associée à (2) et pour l'équation avec second membre, nous exhibons l'ensemble des séries formelles solutions. Nous résolvons aussi l'équation sur l'ensemble des polynômes en $z$ à coefficient fonctions holomorphes en $w$. Enfin, nous définissons l'ensemble des fonctions holomorphes $A$-solubles sur $\mathbb{C}^2$, en donnons quelques propriétés et exemples d'éléments de cet ensemble.
<figure><img src="image_2.png" /></figure>
# CHAPITRE 1

## ÉLÉMENTS DE FEUILLETAGES, D'ÉQUATIONS COHOMOLOGIQUES, D'ARITHMÉTIQUE ET PRÉSENTATION DE $HOL(\mathbb{C}^2)$

Tous les objets considérés (variétés différentielles, applications différentiables, feuilletages, systèmes différentiels, champs de vecteurs ...), dans ce chapitre et les suivants, sont de classe $C^\infty$. Les variétés sont en plus connexes et orientables sauf mention contraire.

Pour toute matrice $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$, on notera par $\gamma_A$, le $\mathbb{C}^2$-endomorphisme associé à $A$ défini par : $\gamma_A(z, w) = (az + bw, cz + dw)$, pour tout $(z, w) \in \mathbb{C}^2$. Enfin, tout nombre complexe $a$ de module 1 sera appelé une rotation.

...

### 1.1 Éléments de feuilletages [8] [9] [10] [18] [24] [26] et [27]

#### Généralités sur les feuilletages

#### Un peu d'histoire

À la fin du 19ème siècle H. Poincaré constate qu'il est impossible d'intégrer explicitement une équation différentielle générale. On est donc amené à étudier les propriétés des trajectoires sur l'équation elle-même. On étudie donc les équations différentielles du point de vue qualitatif à défaut d'une étude quantitative : par des méthodes géométriques et topologiques, on essaie de déterminer l'allure générale des solutions et leurs positions relatives. Ainsi par exemple, pour une équation différentielle $\dot{x} = f(x, t)$ avec $f(x, t)$ une fonction différentiable définie sur $M \times I$ (où $M$ est une variété différentielle et $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$), le théorème de Cauchy-Lipschitz affirme que par tout point $x$ d'un ouvert $U$ de $M$ passe une courbe intégrale unique locale.

Cette approche qualitative est alors développée par I. Bendixon, Denjoy, Painlevé,... et aboutit à la notion de système différentiel de rang $p$ complètement intégrable (feuilletage
de dimension $p$) sur $M$, où les solutions sont des variétés immergées de dimensions $p$ maximales, appelées feuilles du feuilletage, introduite par G. Reeb, C. Ehresmann et

A. Haefliger dans les années 1940-1950, et bien d'autres. Depuis lors, le sujet est devenu un large champ d'investigation en mathématiques. Plus le nombre de paramètres de $f$ est important, plus la résolution de l'équation différentielle sus mentionnée est complexe.

Soit $M$ une variété différentielle de dimension $n$. Intuitivement, un *feuilletage* $\mathcal{F}$ de dimension $p$ (de codimension $n-p$) sur $M$ est une partition de la variété $M$ en sous-variétés connexes immergées appelées *feuilles* qui sont localement empilées comme une famille de sous espaces affines parallèles. C'est-à-dire que :

* Par tout point $x \in M$ passe une sous-variété $L_x$ de $M$, de dimension $p$;

* la sous-variété $L_x$ dépend différentiablement du point $x$;

* pour tous points $x, y \in M$ les sous-variétés $L_x$ et $L_y$ sont, ou bien disjointes, ou bien confondues;

* Pour tout point $x \in M$, la sous-variété $L_x$ de $M$, est appellée *feuille* passant par $x$. On demande à chaque feuille $L_x$ d'être connexe et immergée.

Pour avoir une idée de cette représentation, prenons un livre épais. Si on oublie son contour, on peut le voir comme un ouvert de l'espace euclidien $\mathbb{R}^3$ ; c'est donc une variété connexe de dimension 3. Mais on peut aussi le voir comme la réunion disjointe de toutes les feuilles qui le composent. Si on convient qu'une feuille n'a aucune épaisseur, ce livre pourra être vu comme une variété de dimension 2 non connexe, ses composantes connexes sont précisément ses feuilles. On dira alors que notre livre est une variété de dimension 3 munie d'un feuilletage de dimension 2 (dimension des feuilles) ou de codimension 1 (la dimension complémentaire à celle des feuilles). Un feuilletage $\mathcal{F}$ de dimension 2 sur une variété $M$ de dimension 3 est localement de ce type : Autour de chaque point on peut découper un petit morceau ressemblant à notre livre !

Grosso modo, un feuilletage de dimension $p$ sur une variété $M$ de dimension $n$ est une décomposition de $M$ en sous-variétés connexes de dimension $p$, appelées *feuilles* du feuilletage, qui sont localement empilées comme des sous-ensembles de $\mathbb{R}^n = \mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^{n-p}$ avec la seconde coordonnée constante. L'entier $n-p$ est appelé codimension du feuilletage.

Un exemple simple d'un feuilletage de dimension $p$ est le feuilletage de $\mathbb{R}^n = \mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^{n-p}$ où les feuilles sont des $p$-plans de la forme $\mathbb{R}^p \times \{c\}$ avec $c \in \mathbb{R}^{n-p}$.

C'est un feuilletage trivial sur l'espace euclidien $M = \mathbb{R}^{p+q}$ défini par le système différentiel $dy_1 = \cdots = dy_q = 0$.

En effet l'ensemble $M = \mathbb{R}^{p+q}$ peut être vu comme le produit d'ensembles $\mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^q$. On peut équiper l'ensemble $M$ de la topologie produit de la *topologie usuelle* sur les deux facteurs ; elle est en fait une variété différentiable connexe de dimension $p+q$. Mais on peut aussi équiper l'ensemble $M$ de la topologie produit de la *topologie usuelle* sur le premier facteur et de la *topologie discrète* sur le second ; il devient alors une variété différentiable de dimension $p$ non connexe, ses composantes connexes étant les sous espaces horizontaux définis par le système différentiel $dy_1 = \cdots = dy_q = 0$ qui peuvent être vus comme des *feuilles*.
On peut donc définir un feuilletage de dimension *p* et de codimension *q* sur *M* comme une structure géométrique telle qu’autour de chaque point on retrouve quelque chose qui ressemble à ce modèle.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Feuilletage modèle sur $\mathbb{R}^n$ défini par $dy_1 = \cdots = dy_q = 0$</figcaption></figure>

Définition et exemples de feuilletages

**Définition 1.1.1.** Soit une variété *M* différentielle de dimension *n* > 0. Un feuilletage *F* de codimension *q* ≤ *n* sur *M* est la donnée d'un recouvrement d'ouverts {*U*<sub>*i*</sub>}<sub>*i*∈*I*</sub> de *M*, d'une famille de submersions *f*<sub>*i*</sub> : *U*<sub>*i*</sub> —> *T* au-dessus d'une variété *T* de dimension *q*, et des difféomorphismes locaux

*$\gamma_{ij} : f_i (U_i \cap U_j) \to f_j (U_i \cap U_j)$ tels que sur les composantes connexes $U_{ij}$ de $U_i \cap U_j \neq \emptyset$, on a $f_i = \gamma_{ij} \circ f_j$ ; c'est-à-dire que le diagramme suivant est commutatif*

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Diagramme commutatif</figcaption></figure>

Les $\gamma_{ij}$ vérifient la condition dite du cocycle, i.e. $\gamma_{ij} \circ \gamma_{jp} = \gamma_{ip}$ sur les composantes connexes $U_{ijp}$ de $U_i \cap U_j \cap U_p \neq \emptyset$; On dit que $\{U_i, f_i, T, \gamma_{ij}\}$ est un cocycle **feuilleté** définissant $\mathcal{F}$ et la variété $T$ est appelée **variété transverse** au feuilletage $\mathcal{F}$.
Les composantes connexes des fibres de $f_i$ sont appelées les **plaques**. L'ensemble des plaques forment une base pour une topologie $\mathcal{T}_F$ sur $M$, plus fine que la topologie initiale de $M$. Les composantes connexes de $M$ pour cette topologie sont appelées les **feuilles**. Ce sont des sous variétés immergées connexes de $M$ de dimension $n-q$.

**Exemple 1.1.1.** 1. Si $T$ est un groupe de Lie et les $\gamma_{ij}$ sont les translations à gauche, alors on dira que $\mathcal{F}$ est un feuilletage transversalement de Lie ou feuilletage de Lie. Les feuilletages de Lie ont été étudiés par Edmond FEDIDA (voir [14], [15], [16], et [17]).

2. Si $T$ est une variété analytique complexe et les $\gamma_{ij}$ sont les biholomorphismes, alors on dira que $\mathcal{F}$ est un feuilletage transversalement holomorphe.

3. Si $T$ est une variété Riemannienne et les $\gamma_{ij}$ sont des isométries, alors on dira que $\mathcal{F}$ est un feuilletage Riemannien. Les feuilletages Riemanniens ont été étudiés par Mamatou Hassimiou DIALLO (voir [21], [22] et [23]).

**Exemple 1.1.2.** Soient $M$ et $T$ des variétés différentielles de dimensions respectives $n > 0$ et $k \le n$. Une submersion $f: M \to T$ définit un feuilletage $\mathcal{F}$ de codimension $k$ sur $M$ par le cocycle singleton $\{M, f, T, \text{id}_M\}$. Les feuilles sont les composantes connexes des fibres de $f$, et sont donc des sous-variétés pures de $M$ de dimension $n-k$.

En particulier si $M$ et $N$ sont deux variétés différentielles de dimensions finies, les 1ère et 2ème projection de $M \times N$ définissent sur celui-ci respectivement le **feuilletage vertical** et le **feuilletage horizontal**. Ici les feuilles sont des sous variétés plongées fermées.

**Exemple 1.1.3** (Feuilletages triviaux). Soit $M$ une variété différentielle de dimension $n > 0$. À la structure différentiable sur $M$ correspond deux structures de variétés feuilletées : l'une de dimension 0 ou de codimension $n$ dont les feuilles sont les points de $M$ et l'autre de dimension $n$ ou de codimension 0 dont les feuilles sont les composantes connexes de $M$.

En général les feuilles peuvent être beaucoup plus complexes.

Voici une autre définition des feuilletages équivalente à la première (voir [18]).

**Définition 1.1.2.** Un feuilletage $\mathcal{F}$ de dimension $p$ ou de codimension $q = n-p$ sur une variété différentielle $M$ de dimension $n > 0$ est la donnée d'un atlas $\{(U_i, \varphi_i)\}_{i \in I}$ de $M$ où les difféomorphismes $\varphi_i: U_i \to \varphi_i(U_i) \subseteq \mathbb{R}^{p+q}$, sont tels que sur toute intersection non vide $U_i \cap U_j$, les changements de cartes :

$$ \varphi_i \circ \varphi_j^{-1} : \varphi_j(U_i \cap U_j) \subset \mathbb{R}^{p+q} \longrightarrow \varphi_i(U_i \cap U_j) \subset \mathbb{R}^{p+q} \\ (x, y) \longmapsto (x', y') $$

sont tels que localement, $x' = g_{i,j}(x, y)$ et $y' = h_{i,j}(y)$.

## Système différentiel

Soient $M$ une variété différentielle, $x \in M$, et $U$ un ouvert de $M$. On notera $T_x(M)$ l'espace tangent à $M$ au point $x$ et $\mathcal{X}(U)$ (resp. $\Lambda^1(U)$) l'espace des champs de vecteurs (resp. 1-formes différentielles) sur $U$.
**Définition 1.1.3.** Soit $M$ une variété différentielle de dimension $n > 0$. Un système différentiel $S$ de dimension $p \le n$ sur $M$, est la donnée en chaque point $x \in M$, d'un sous-espace vectoriel $F_x$ de $T_x(M)$ de dimension $p$, tel que :

$\forall x_0 \in M, \exists U \text{ un voisinage ouvert de } x_0, \text{ et } p\text{-champs de vecteurs } X_1, \dots, X_p \in \mathcal{X}(U) \text{ linéairement indépendants tels que } F_y = \langle (X_1)_{y}, \dots, (X_p)_{y} \rangle \text{ pour tout } y \in U.$

On dit que $X_1, \dots, X_p$ engendre $S$ sur $U$.

On dira qu'une base de $\mathcal{X}(U)$, $(X_1, \dots, X_n)$ est un repère local sur $U$ adapté à $S$ si $X_1, \dots, X_p$ engendre $S$ sur $U$.

**Définition 1.1.4.** Soient $M$ une variété différentielle de dimension $n > 0$ et $S$ un système différentiel de dimension $p \le n$ sur $M$. Une variété intégrale de $S$ est une sous-variété immergée $W$ de dimension $p$ de $M$ telle qu'en chaque point $x \in W$, $\text{di}(x)[T_x(W)] = F_x$ où $i : W \to M$ est l'injection canonique. Si pour tout autre sous-variété immergée $W'$ de dimension $p$ de $M$ telle qu'en chaque point $x \in W'$, $\text{di}(x)[T_x(W')] = F_x$, on a nécessairement $W' \subseteq W$, alors $W$ est dite maximale.

S'il existe une variété intégrale maximale de dimension $p$, passant par un point $x$, elle est unique.

On ne peut pas toujours se donner un système différentiel sur une variété $M$. Il n'existe pas sur $S^2$ de système différentiel de dimension 1 car sur la sphère $S^2$ il n'existe pas de champ de vecteurs sans singularité (i.e. $X_x \ne 0, \forall x$).

**Théorème 1.1.1** (de Frobenius). Soient $M$ une variété différentielle de dimension $n > 0$ et $S$ un système différentielle de dimension $p \le n$ sur $M$.

Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

1. Pour tout repère local adapté $(X_1, \dots, X_n)$ à $S$, on a $[X_j, X_k] = \sum_{i=1}^p C_{jk}^i X_i$ où $j, k = 1, \dots, p$, où les $C_{jk}^i$ sont des fonctions différentiables.

2. Pour tout point $x \in M$ il existe un voisinage $U$ de coordonnées locales $(x^1, \dots, x^n)$ pour lequel le repère naturel $(\frac{\partial}{\partial x^1}, \dots, \frac{\partial}{\partial x^n})$ est un repère local sur $U$ adapté à $S$.

3. Par tout point $x$ de $M$ passe une variété intégrale maximale $W$ unique de dimension $p$.

Ce théorème est un lien fort entre feuilletage et système différentiel.

**Définition 1.1.5.** Un système différentiel $S$ de dimension $p > 0$ sur $M$ une variété différentielle paracompacte de dimension $n \ge p$ qui satisfait à l'une des conditions équivalentes du théorème 1.1.1 est dit complètement intégrable.[18] [10]

**Remarque 1.1.1.** Un système différentiel $S$ de dimension $p > 0$ sur $M$ une variété différentielle paracompacte de dimension $n \ge p$ complètement intégrable définit un feuilletage sur $M$ de dimension $p \le n$ (dont les feuilles sont ses variétés intégrales maximales) et réciproquement un feuilletage sur $M$ de dimension $p \le n$ est équivalent à la donnée d'un système différentiel $S$ de dimension $p$ complètement intégrable sur $M$. [18] [10]
**Exemple 1.1.4.** Tout champ de vecteurs sans singularité X sur M une variété différentielle de dimension $n > 0$ détermine un feuilletage $\mathcal{F}$ sur M de dimension 1 appelé flot. Les feuilles sont les orbites de X.[18] [10]

**Exemple 1.1.5.** Deux champs de vecteurs linéairement indépendants X et Y sur M une variété différentielle de dimension $n \ge 2$ déterminent un système différentiel sur M de dimension 2 non nécessairement complètement intégrable. Par exemple sur $\mathbb{R}^3$, avec le système de coordonnées globales $(x, y, z)$, si on prend $X = \frac{\partial}{\partial x}$ et $Y = \frac{\partial}{\partial y} + x \frac{\partial}{\partial z}$, on a $[\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y} + x \frac{\partial}{\partial z}] = \frac{\partial}{\partial z}$. X et Y définissent bien un système différentiel qui n'est pas complètement intégrable (premier point du théorème 1.1.1).

**Exemple 1.1.6.** Soit M une variété différentielle de dimension $n > 0$. Toute 1-forme $\omega$ sur M fermée, sans singularité ($\forall x \in M, \omega_x \neq 0$), détermine un feuilletage $\mathcal{F}$ sur M de dimension $n - 1$. Les feuilles sont les variétés intégrales maximales du système différentiel complètement intégrable associé à $\omega$.

En effet il suffira de prendre pour tout $x \in M$, $F_x = \ker \omega_x$.

L'application $\omega_x : T_x(M) \to \mathbb{R}$ étant surjective, on a que $\dim \ker \omega_x = n - 1$. Soit $x \in M$ et $U$ un ouvert de coordonnées locales de M contenant $x$. En posant $\omega_1 = \omega_U$, on peut le compléter en une base sur $\Lambda^1(U)$. Soient $(\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n)$ cette base et $X_1, \dots, X_n$ sa base duale associée sur $\mathcal{X}(U)$ : i.e. $\forall i, j = 1, \dots, n$ $\omega_i(X_j) = \delta_i^j$ où $\delta_i^j$ est le symbole de Kronecker. Il est alors clair que $X_2, \dots, X_n$ sont $n - 1$ champs de vecteurs sur $U$ qui engendrent un système différentiel $S$ de dimension $n - 1$. On utilisera le premier point du théorème de Frobénius pour montrer la complète intégrabilité de $S$. En effet, $\omega$ fermée et $\omega(X_i) = 0$ pour $i = 2, 3, \dots, n$ entrainent par l'égalité $2d\omega(X, Y) = X\omega(Y) - Y\omega(X) - \omega([X, Y])$ que, $\forall 2 \le i, j \le n$ :

$$ \begin{aligned} \omega([X_i, X_j]) &= X_i\omega(X_j) - X_j\omega(X_i) - 2d\omega(X_i, X_j) \\ &= 0. \end{aligned} $$

Pour tout $z \in U$, $\forall 2 \le i, j \le n$, on a :

$$ \begin{aligned} \omega_z([X_i, X_j]_z) &= \omega([X_i, X_j])(z) \\ &= 0; \end{aligned} $$

et donc $[X_i, X_j]_z \in \ker \omega_z$. Par suite, $\forall 2 \le i, j \le n$, il existe $C_{jk}^i \in C^\infty(U)$ tels que $[X_i, X_j]_z = \sum_{k=2}^n C_{jk}^i(z)X_{kz}$.

D'où, $\forall 2 \le i, j \le n$, $[X_i, X_j] = \sum_{k=2}^n C_{jk}^i X_k$ sur $U$. Donc $S$ est complètement intégrable.
Quelques constructions classiques de feuilletages

Il existe plusieurs manières de multiplier les exemples de feuilletage ; soit par construc-
tion de nouvelles variétés, soit en poussant le feuilletage par les applications différen-
tiables. Bon nombres de constructions présentées ici sont dues aux "pères" fondateurs
de la théorie des feuilletages : C. Ehresmann, G. Reeb, A. Haefliger. Pour plus de détails
voir [10]. Nous considèrerons que M est une variété différentielle de dimension p + q.

a) Feuilletage induit

Soient $\mathcal{F}$ un feuilletage de dimension $p$ et de codimension $q$ sur la variété $M$. Si $U$
est un ouvert de $M$, alors les cartes de $\mathcal{F}$ dont la source est contenue dans $U$ constituent
une structure de variété feuilletée $\mathcal{F}_U$ de même nature que $\mathcal{F}$ et ayant pour feuilles les
composantes connexes des traces sur $U$ des feuilles de $\mathcal{F}: \mathcal{F}_U$ est le feuilletage induit
par $\mathcal{F}$ sur $U$ ou encore feuilletage restriction de $\mathcal{F}$ à l'ouvert $U$.

En effet, si $\mathcal{F} = \{(U_i, \phi_i)_i\}$, alors $\{(U \cap U_i, \phi_i)_i\}$ est un atlas feuilleté et définit un
feuilletage de dimension $p$ sur $U$ dont les feuilles sont les composantes connexes des
traces sur $U$ des feuilles de $\mathcal{F}$. Cette construction est transitive : si $V$ est un ouvert de $U$,
alors on a $\mathcal{F}_V = (\mathcal{F}_U)_V$.

b) Feuilletage produit

Soient $M$ et $M'$ deux variétés différentielles de dimensions respectives $n = p + q$ et $n' = p' + q'$. Soient $\mathcal{F} = \{(U_i, \phi_i)_i\}$ et $\mathcal{F}' = \{(V_j, \psi_j)_j\}$ deux structures de variétés feuilletées respectivement de dimension $p$ et $p'$ sur respectivement les variétés $M$ et $M'$. L'ensemble $\{(U_i \times V_j, \phi_i \times \psi_j)_{(i,j)}\}$ (modulo l'identification de $\mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^q \times \mathbb{R}^{p'} \times \mathbb{R}^{q'}$ à $\mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^{p'} \times \mathbb{R}^q \times \mathbb{R}^{q'}$) est une structure de variété feuilletée $\mathcal{F} \times \mathcal{F}'$ de dimension $p+p'$ et de codimension $q+q'$ sur la variété produit $M \times M' : \mathcal{F} \times \mathcal{F}'$ est le feuilletage produit des feuilletages $\mathcal{F}$ et $\mathcal{F}'$. On le note également $\mathcal{F} \times M'$ lorsque $\mathcal{F}'$ est le feuilletage trivial de $M'$ par ses composantes connexes. Les feuilles de $\mathcal{F} \times \mathcal{F}'$ sont les produits des feuilles de $\mathcal{F}$ et de celles de $\mathcal{F}'$. Le feuilletage horizontal (resp. vertical) de $M \times M'$ est le feuilletage produit par $M$ (resp. $M'$) du feuilletage trivial de $M'$ (resp. $M$) par ses points.

c) Feuilletage image directe

**Définition 1.1.6.** Deux feuilletages $\mathcal{F}$ et $\mathcal{F}'$ respectivement sur les variétés $M$ et $N$, sont topologiquement (resp. $C^\infty$-) conjugués s'il existe un homéomorphisme (resp. difféomorphisme de classe $C^\infty$) $f$ de $M$ sur $N$ tel que $f_*\mathcal{F} = \mathcal{F}'$, i.e. $f$ envoie une feuille de $\mathcal{F}$ sur une feuille de $\mathcal{F}'$. En particulier, si $f_*\mathcal{F} = \mathcal{F}$, on dit que $\mathcal{F}$ est invariant par $f$. Dans ce cas $f$ envoie une feuille de $\mathcal{F}$ sur une feuille de $\mathcal{F}$.

Soit $\mathcal{F} = \{(U_i, \phi_i)_i\}$ un feuilletage de dimension $p$ sur une variété $M$ de dimension $p+q$. Si $h$ est un difféomorphisme de $M$ sur une variété $N$ alors l'atlas $h_*\mathcal{F} = \{(h(U_i), \phi_i \circ h^{-1})_i\}$ est un feuilletage de $N$, de même nature que $\mathcal{F}$. $h_*\mathcal{F}$ est le feuilletage image directe de $\mathcal{F}$ par $h$ et ses feuilles sont les images directes par $h$ de celles de $\mathcal{F}$.
### d) Feuilletage quotient

Soient $G$ un groupe discret de difféomorphismes d'une variété différentielle $N$ de dimension $n$, opérant proprement et librement sur $N$ et $\pi$ la projection de $N$ sur la variété quotient $M = N/G$. $\pi$ est alors un revêtement, donc un difféomorphisme local.

Si $\mathcal{F}$ est un feuilletage de dimension $p \le n$ sur $N$ invariant par $G$ (i.e tel que $g_*\mathcal{F} = \mathcal{F}$ pour tout $g \in G$), alors il existe un feuilletage $\mathcal{F}/G$ de $M$ de même nature que $\mathcal{F}$ et un seul tel que si $\pi$ est un difféomorphisme d'un ouvert $U$ de $N$ sur un ouvert $V$ de $M$, on ait $(\mathcal{F}/G)_V = \pi_*\mathcal{F}_U$.

$\mathcal{F}/G$ est appelé le *feuilletage quotient* du feuilletage $\mathcal{F}$ par le groupe $G$.

Si $F$ est une feuille de $\mathcal{F}$ alors $\pi(F)$ est une feuille de $\mathcal{F}/G$. Les feuilles de $\mathcal{F}$ sont des revêtements de celles de $\mathcal{F}/G$.

**Exemple 1.1.7 (Feuilletage linéaire sur le tore $\mathbb{T}^2$).** *Sur $\mathbb{R}^2$, le champ de vecteurs*

$X = \lambda_1 \frac{\partial}{\partial x} + \lambda_2 \frac{\partial}{\partial y}$ avec $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}^*$, est complet et sans singularité. Il défini donc un feuilletage $\mathcal{F}_{\lambda_1, \lambda_2}$ sur $\mathbb{R}^2$ dont les feuilles sont les orbites de $X$.

Intégrer $X$ revient à résoudre le système d'équations différentielles suivant :
$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l} 
\dot{x}(\tau) = \lambda_1 \\ 
\dot{y}(\tau) = \lambda_2 
\end{array} 
\right. 
$$ 
avec les conditions initiales $x_0, y_0$. On obtient 
$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l} 
x(\tau) = \lambda_1 \tau + x_0 \\ 
y(\tau) = \lambda_2 \tau + y_0 
\end{array} 
\right. 
. 
\text{Les images des so-} 
$$ 
lutions $\gamma : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ sont donc les droites $d_c : y = ax + c$, avec $a = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ et $c \in \mathbb{R}$.

$\mathbb{Z}^2$ opère proprement et librement sur $\mathbb{R}^2$ par l'action suivante :

$$ 
\begin{array}{ccc} 
\mathbb{Z}^2 \times \mathbb{R}^2 & \to & \mathbb{R}^2 \\ 
(p, s, x, y) & \mapsto & (x + p, y + s) 
\end{array} 
$$

Le tore $\mathbb{T}^2$ est la variété quotient de $\mathbb{R}^2$ par cette action et notons $\pi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{T}^2$ la projection canonique.

Pour tout $c \in \mathbb{R}$, $\forall (p, s) \in \mathbb{Z}^2$, $(p, s)_*d_c = d_{s-ap+c}$, donc $X$ se projette par $\pi$ en un champ $\bar{X}$ sur $\mathbb{T}^2$. Comme toutes les orbites de $X$ sont difféomorphes, il nous suffira d'en projeter une seule pour avoir la forme des orbites de $\bar{X}$.

La projection de $d_c$ par $\pi$ est $K = \frac{d_c}{H_a}$, où $H_a = \{(p, s) \in \mathbb{Z}^2 : ap = s\}$ est le sous groupe de $\mathbb{Z}^2$ qui laisse invariant $d_c$. Alors $d_c$ est un revêtement de $K$.

Si $a$ est irrationnel alors $H_a = \{(0; 0)\}$ et par suite $K$ est une droite. Si $a$ est rationnel alors $H_a \simeq \mathbb{Z}$ et par suite $K$ est le cercle $S^1$. En conclusion toutes les orbites de $\bar{X}$ sont des cercles si $a$ est rationnel, et toutes des droites sinon (dans ce cas partout denses dans le tore $\mathbb{T}^2$).

### e) Suspension d'un feuilletage par un groupe de difféomorphismes

Soient $B$ une variété connexe, $\tilde{B}$ son revêtement universel, $F$ une seconde variété, et $\rho$ une représentation de $\pi_1(B)$ dans $Diff(F)$ le groupe des difféomorphismes de $F$.
$\pi_1(B) = \text{Aut}(\tilde{B})$ opère sur $\tilde{B} \times F$ de façon canonique sur le premier facteur et à travers la représentation sur le second facteur ; cette action est propre et libre ; la variété suspension par la représentation $\rho$ est la variété quotient $\frac{\tilde{B} \times F}{(\tilde{b}, f) \sim (\tilde{s}\tilde{b}, \rho(s)f)}$ qu'on notera $M_\rho$. La projection canonique $p_F$ de $\tilde{B} \times F$ sur $M_\rho$ est un revêtement.

La projection canonique de $\tilde{B} \times F$ sur $\tilde{B}$ donne par passage au quotient une projection $\pi$ de $M_\rho$ sur $B$, qui est une fibration localement triviale de fibre $F$ [30].

On a le diagramme commutatif suivant, où les flèches sont des applications canoniennes :

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

On utilise généralement cette construction en prenant pour $\mathcal{F}$ le feuilletage trivial de $F$ par ses points. Le feuilletage horizontal de $\tilde{B} \times F$ est invariant par l'action de $\pi_1(B)$ et se projette donc sur $M_\rho$ en un feuilletage de dimension $\dim B$ et ce feuilletage est transverse à la fibration $\pi$ ; c'est le feuilletage suspension de la représentation $\rho$ et on le notera $\mathcal{F}_\rho$.

Dans ce cas les feuilles de $\mathcal{F}_\rho$ correspondent biunivoquement aux orbites de $\rho$ dans $F$, et chaque feuille de $\mathcal{F}_\rho$ est, pour la projection $p_F$, le revêtement de $B$ associé au sous-groupe de stabilité de l'orbite correspondante. Pour être plus précis, cela veut dire que si $K$ est la feuille passant par un point dont un représentant est $(\tilde{x}; f)$ ; alors $K$ est un revêtement de $B$ à fibres difféomorphes à $\frac{\pi_1(B)}{G_f}$, où $G_f = \{s \in \pi_1(B) : \rho(s)f = f\}$. En effet, compte tenu de l'invariance du feuilletage horizontal de $\tilde{B} \times F$ par l'action de la représentation $\rho$, la feuille $K$ passant par $(\tilde{x}; f)$, est le projeté de la feuille $\tilde{B} \times \{f\}$ du feuilletage horizontal. Comme le sous-groupe de $\pi_1(B)$ préservant la feuille $\tilde{B} \times \{f\}$ est $G_f$, le sous-groupe de stabilité de $f$, alors $\tilde{B} \times \{f\}$ est un revêtement régulier de $K$ de groupe $G_f$ (avec $K = \frac{\tilde{B} \times \{f\}}{G_f}$) ; il vient alors que $K$ est un revêtement de $B$ à fibres difféomorphes à $\frac{\pi_1(B)}{G_f}$. Tout ceci se clarifie avec le diagramme suivant :

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

où $p_{\tilde{B} \times \{f\}}$ est la restriction de $p_F$ à $\tilde{B} \times \{f\}$.

Ainsi il vient clairement que :

* si $G_f$ est un sous-groupe normal de $\pi_1(B)$, $K$ est un revêtement galoisien de $B$;
• si $f$ est un point fixe de la représentation $\rho$, alors la feuille $K$ est isomorphe à $B$;

• si $\frac{\pi_1(B)}{G_f}$ est fini alors la feuille $K$ est un revêtement fini de $B$;

• Enfin si $G_f$ est réduit à l'élément neutre, la feuille $K$ est simplement connexe et isomorphe à $\tilde{B}$.

**Remarque 1.1.2.** Cette méthode permet, dans le cas $B$ compact, de construire un feuille-tage qui comprend des feuilles compactes et des feuilles simplement connexes, donc des feuilles revêtements finis ou pas de $B$.

### f) Orbites d'une application et d'un champ de vecteurs

**Définition 1.1.7 (Points : fixe, périodique et injectif).** Soient $M$ une variété différentielle, une application bijective $\varphi : M \to M, x \in M, G_x = \{p \in \mathbb{Z} : \varphi^p(x) = x\}, \text{ et } r \in \mathbb{N}^*$.

L'ensemble $G_x$ étant un sous-groupe de $\mathbb{Z}$, est nécessairement de l'un des trois types suivants : $\{0\}$ ou $\mathbb{Z}$ ou $r\mathbb{Z}$ avec $r \in \mathbb{N}^*$.

$$ \text{Si } G_x = \begin{cases} \{0\} & \text{alors } x \text{ est un point injectif de } \varphi \\ \mathbb{Z} & \text{alors } x \text{ est un point fixe de } \varphi \\ r\mathbb{Z}, r \ge 1 & \text{alors } x \text{ est un point périodique de } \varphi \text{ de période minimale } r \end{cases} $$

**Remarque 1.1.3.** Un point fixe est donc un point périodique de période minimale 1.

On remarque que, par l'action $\mathbb{Z} \times M \to M, (p, x) \mapsto \varphi^p(x)$, $G_x$ est le sous-groupe de stabilité de $x$. Les orbites de cette action sont appelées les orbites de $\varphi$. Si on note $O_x$ l'orbite d'un point $x \in M$, alors on a les définitions suivantes :

**Définition 1.1.8.** Soient $M$ une variété différentielle, une application bijective $\varphi : M \to M, x \in M, G_x = \{p \in \mathbb{Z} : \varphi^p(x) = x\}, \text{ et } r \in \mathbb{N}^*$.

Soit $O_x$ l'orbite d'un point $x \in M$. Alors on dira que :

• $O_x$ est injective si $x$ est un point injectif de $\varphi$.

• $O_x$ est périodique de période $r$ si $x$ est un point périodique de $\varphi$ de période minimale $r$.

**Définition 1.1.9.** Soient $X$ un champ de vecteurs sur une variété différentielle $M$ de dimension $n > 0$. Une courbe intégrable de $X$ est une courbe différentiable $c : I \to M$ telle que pour tout $t \in I$, $c'(t) = X(c(t))$, où $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$.

Soit $(y_1, \dots, y_n)$ un système de coordonnées locales sur un ouvert $U$ de $M$. Si $\sum_{i=1}^n a_i \frac{\partial}{\partial y_i}$ est l'expression locale de $X$, les courbes intégrales ou trajectoires de $X$ dans $U$ sont les solutions de l'équation différentielle $x'_i = a_i(x)$, $i = 1, \dots, n$.

Une courbe intégrale est dite maximale si aucune autre n'est son prolongement. Deux courbes intégrales sont soit égales, soit disjointes et l'image d'une courbe intégrale maximale s'appelle une orbite de $X$.
Si y est un point singulier de X (i.e. $X(y) = 0$), l'application constante $t \mapsto y$ de $\mathbb{R}$ dans M est une courbe intégrale maximale de X. L'orbite associée à cette courbe intégrale maximale est appelée orbite constante ou singulière.

Si y n'est pas un point singulier de X, l'orbite associée à la courbe intégrale maximale passant par y est appelée orbite non singulière. Cette orbite est dite injective si la courbe intégrale maximale passant par y est une immersion injective.

Les orbites de X sont soit constantes, soit injectives, soit ni injectives ni constantes.

On rappelle à fins utiles que toute orbite non singulière compacte est périodique.

### g) Suspension d'un feuilletage par un difféomorphisme

C'est un cas particulier de la suspension d'un feuilletage par un groupe de difféomorphismes. On a $B = S^1$, $\tilde{B} = \mathbb{R}$, $\pi_1(B) = \mathbb{Z}$, $F = M$ et la représentation

$$ \rho: \begin{array}{rcl} \mathbb{Z} & \to & \mathrm{Diff}(M) \\ s & \mapsto & h^s \end{array} \quad \text{où } h \in \mathrm{Diff}(M) \text{ et } h^s \text{ est la composée } s \text{ fois de } h.$$

La variété $M_h$ suspension de $h$ s'obtient en quotientant le produit $\mathbb{R} \times M$ par l'action du groupe $\mathbb{Z}$ engendré par le difféomorphisme $(t, x) \mapsto (t+1, h(x))$.

Dans ces conditions, si $\mathcal{F}$ est un feuilletage de $M$ invariant par $h$, le feuilletage produit $\mathbb{R} \times \mathcal{F}$ est invariant par l'action du groupe $\mathbb{Z}$ et détermine un feuilletage $\mathcal{F}_h$ de $M_h$ de même nature que $\mathcal{F}$.

$\mathcal{F}_h$ est le feuilletage suspension du feuilletage $\mathcal{F}$ par le difféomorphisme $h$. Lorsque $\mathcal{F}$ est le feuilletage trivial de $M$ par ses points, $\mathcal{F}_h$ est le feuilletage de $M_h$ par les orbites du champs suspension de $h$.

Soient $N$ une variété différentielle et $h$ un difféomorphisme de $N$. $\frac{\partial}{\partial t}$ est un champ de vecteurs sans singularité sur $\mathbb{R} \times N$. $\mathbb{Z}$ opère proprement et librement sur $\mathbb{R} \times N$ par l'action suivante :
$$ \begin{array}{rcl} \mathbb{Z} \times (\mathbb{R} \times N) & \to & \mathbb{R} \times N \\ (p, t, x) & \mapsto & (t+p, h^p(x)) \end{array} $$
Notons $M_h$ la variété suspension par $h$ et $\pi_h: \mathbb{R} \times N \to M_h$ la projection canonique.

Intégrer $\frac{\partial}{\partial t}$ sur $\mathbb{R} \times N$ revient à résoudre le système d'équations différentielles suivant :
$$ \begin{cases} \dot{i}(\tau) = 1 \\ \dot{x}(\tau) = 0 \end{cases} \quad \text{avec les conditions initiales } t_0, x_0, \text{ où } \frac{\partial}{\partial x} \text{ un champ de vecteurs de } \mathcal{X}(N). $$
On obtient :
$$ \begin{cases} t(\tau) = \tau + t_0 \\ x(\tau) = x_0 \end{cases} $$
Les solutions $c: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \times N$ sont constantes par rapport à $N$ et leurs images qui sont les orbites de $\frac{\partial}{\partial t}$ sont de la forme $\mathbb{R} \times \{x\}$, donc des droites. L'action définie plus haut envoie droite sur droite, donc $\frac{\partial}{\partial t}$ se projette par $\pi_h$ en un champ de vecteurs $X_h$ sur $M_h$ appelé champ suspension de $h$. Comme toutes les orbites de $\frac{\partial}{\partial t}$ sont difféomorphes, il nous suffira d'en projeter une seule pour avoir la forme des orbites de $X_h$.

La projection de $\mathbb{R} \times \{x\}$ par $\pi_h$ est $K = \frac{\mathbb{R} \times \{x\}}{G_x}$ l'orbite passant par $(t, x)$, où $G_x$ est le sous groupe de stabilité de $x$. Nous avons donc une bijection entre les orbites de $X_h$ et celles de $h$.

Comme $\mathbb{R} \times \{x\}$ est invariant par $G_x$, alors $\mathbb{R} \times \{x\} \to K$ est un revêtement galoisien de groupe $G_x$.
En considérant le diagramme commutatif suivant :

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

on a que $K$ est un revêtement de $S^1$ de fibre $\frac{Z}{G_x}$.

On obtient donc les résultats suivants :

1. si $G_x$ est un sous-groupe normal de $Z$, $K$ est un revêtement galoisien de $S^1$;

2. si $x$ est un point fixe de $h$, alors la feuille $K$ est isomorphe à $S^1$;

3. si $\frac{Z}{G_x}$ est fini alors la feuille $K$ est un revêtement fini de $S^1$;

4. Enfin si $G_x$ est réduit à l'élément neutre, la feuille $K$ est simplement connexe et isomorphe à $\mathbb{R}$.

**Exemple 1.1.8.** Pour toute rotation $a$, notons $\mathcal{F}_a$ le flot holomorphe obtenu par suspension de $\gamma_A$ avec $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$, sur la variété suspension (non compacte)

$$M_a = \frac{\mathbb{R} \times \mathbb{C}^2}{(t, (z, w)) \sim (t + 1, \gamma_A(z, w))) \text{ et } X_a \text{ le champ suspension.}}$$

On part de :

1. $A\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ pour toute rotation $a$;

2. $A\begin{pmatrix} z \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z \\ 0 \end{pmatrix}$ pour $a = 1$;

3. $A^p\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} \iff (a^p z + pa^{p-1}w, a^p w) = (z, w)$ pour tous $p \in \mathbb{N}$, $(z, w) \in \mathbb{C}^2$ et pour toute rotation $a$;

4. $A^p\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} \iff p = 0$ pour $w \neq 0$.

Il en découle que :

* Pour tout $a$, le flot $\mathcal{F}_a$ admet une orbite 1-périodique passant par $m_0 = \pi(0, 0, 0)$;

* $\mathcal{F}_a$ admet une seule orbite 1-périodique si et seulement si $a$ est une rotation irrationnelle;

* $\mathcal{F}_a$ admet deux orbites 1-périodiques si et seulement si $a = 1$;

* $\mathcal{F}_a$ admet une orbite r-périodique ($r \ge 2$) si et seulement si $a$ est une rotation rationnelle d'ordre $r$.

Enfin on a que pour toute rotation $a$, la réunion des orbites injectives forment un ouvert $\pi(U_a)$ qui est précisément le projeté sur $M_a$ de l'ouvert $\mathbb{R}\times\mathbb{C}\times\mathbb{C}^*$ et son complémentaire $V_a$ est la réunion des orbites périodiques. Où $\pi : \mathbb{R}\times\mathbb{C} \to M_a$ est la projection canonique.
Le feuilletage de G. Reeb dont la construction est présentée ci-dessous fournit un exemple de feuilletage sur la sphère unité de dimension 3, $S^3$, ayant une seule feuille compacte et toutes les autres simplement connexes autour de la feuille compacte.

## Feuilletage de G. Reeb

Nous allons aborder brièvement les notions de : variétés à bords, feuilletages tangent et transversal au bord sur les variétés à bord.

Soient les demi-espaces de $\mathbb{R}^n$ suivants munis de la topologie induite par celle de $\mathbb{R}^n$ :

$$ \mathbb{H}^n = \{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n : x_1 \ge 0\} \text{ et } \mathbb{K}^n = \{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n : x_n \ge 0\}. $$

**Définition 1.1.10.** Une variété topologique à bord de dimension $n$ ($n \in \mathbb{N}^*$), notée $M$, est un espace topologique tel que chacun de ses points est dans un ouvert homéomorphe à un ouvert de $\mathbb{H}^n$.

**Définition 1.1.11.** Soient $M$ une variété topologique à bord de dimension $n$ et $I$ un ensemble quelconque. Un atlas de classe $C^k$, $0 \le k \le \infty$, sur $M$ est une famille $\{(U_i, \varphi_i)\}_{i \in I}$ avec $\varphi_i(U_i) \subset \mathbb{H}^n$ ouvert qui possède les propriétés suivantes :

1. $\cup_{i \in I} U_i = M$;

2. pour $U_i \cap U_j \neq \emptyset$, $\varphi_j \circ \varphi_i^{-1} : \varphi_i(U_i \cap U_j) \subset \mathbb{H}^n \to \varphi_j(U_i \cap U_j) \subset \mathbb{H}^n$ est un $C^k$-difféomorphisme.

$M$ est appelée variété différentiable à bord de dimension $n$ et de classe $C^k$.

**Définition 1.1.12.** Un feuilletage $\mathcal{F}$ de dimension $p$ et de codimension $n-p$ tangent au bord sur une variété $M$ à bord de dimension $n$ est la donnée d'un atlas $\{(U_i, \varphi_i)\}_{i \in I}$ où les difféomorphismes $\varphi_i : U_i \to \mathbb{R}^p \times \mathbb{K}^{n-p}$, sont tels que sur toute intersection non vide $U_i \cap U_j$, les changements de cartes sont localement de la forme :

$$ \varphi_i \circ \varphi_j^{-1} : \varphi_j(U_i \cap U_j) \subset \mathbb{R}^p \times \mathbb{K}^{n-p} \to \varphi_i(U_i \cap U_j) \subset \mathbb{R}^p \times \mathbb{K}^{n-p} \\ (x, y) \mapsto (g_{i,j}(x, y), h_{i,j}(y)). $$

On peut donc généraliser toutes les notions vues dans les paragraphes précédents ainsi que les constructions (feuilles, feuilletage induit, feuilletage produit, feuilletage image directe, ...). Un tel feuilletage définit par restriction sur le bord de $M$, un feuilletage $\mathcal{F}_{|\partial M}$ de même dimension et de même classe que $\mathcal{F}$. En particulier lorsque $\mathcal{F}$ est de codimension 1, $\mathcal{F}_{|\partial M}$ est le feuilletage trivial de $\partial M$ par ses composantes connexes.

**Définition 1.1.13.** Soient $M$ une variété différentielle à bord de dimension $n > 0$, et $U$ un ouvert de $M$. Un plongement $k : \partial M \times [0; +\infty] \to U$, est appelé collier du bord de $M$ dans $M$.

**Définition 1.1.14.** Soient $M$ une variété différentielle à bord de dimension $n > 0$, et $U$ un ouvert de $M$. Un feuilletage $\mathcal{F}$ de classe $C^r$ et de codimension $q \le n$ tangent au bord de $M$, est tangent à l'ordre $s$, $0 \le s \le r$ au bord de $M$, s'il existe un collier
$k : \partial M \times [0; +\infty[ \to U$ du bord de $M$ dans $M$ et un feuilletage $\mathcal{G}$ de classe $C^s$ et de codimension $q$ du produit $\partial M \times \mathbb{R}$ égal $k^*(\mathcal{F}_U)$ sur $\partial M \times [0; +\infty[$ et à $\mathcal{F}_{|\partial M} \times \mathcal{J}$ sur $\partial M \times ]-\infty; 0]$, où $\mathcal{J}$ est le feuilletage trivial de $]-\infty; 0]$ par ses points.

Le résultat qui suit explique le principe de recollement de deux feuilletages tangents aux bords de deux variétés à bord.

**Proposition 1.1.1.** Soient $M_1$ et $M_2$ deux variétés différentiables à bord de même dimension avec des feuilletages $\mathcal{F}_1$ et $\mathcal{F}_2$ de classe $C^r$ et de dimension $p$ tangents à l'ordre $s$, $s \le r$, aux bords. Si $h$ est un difféomorphisme de classe $C^s$ de $\partial M_1$ sur $\partial M_2$ conjuguant $(\mathcal{F}_1)_{\partial M_1}$ à $(\mathcal{F}_2)_{\partial M_2}$, il existe sur la variété $M = M_1 \cup_h M_2$ obtenue par recollement de $M_1$ à $M_2$ au moyen de $h$, un feuilletage $\mathcal{F}$ de classe $C^{r-1}$ et de dimension $p$ induisant $\mathcal{F}_1$ sur $M_1$ et $\mathcal{F}_2$ sur $M_2$.

**Exemple 1.1.9** (Feuilletage de Reeb 1). En identifiant $\mathbb{R}^4$ à $\mathbb{C}^2$, la sphère $S^3$ peut être définie ainsi

$$S^3 = \{(z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2 : |z_1|^2 + |z_2|^2 = 1\}.$$

On note par $\mathbb{D} = \{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\}$ le disque ouvert unité de $\mathbb{C}$ et $\bar{\mathbb{D}} = \{z \in \mathbb{C} : |z| \le 1\}$

son adhérence. Les ensembles $M_+ = \{(z_1, z_2) \in S^3 : |z_1|^2 \le \frac{1}{2}\}$ et

$M_- = \{(z_1, z_2) \in S^3 : |z_1|^2 \ge \frac{1}{2}\}$ qui, par construction, forment un recouvrement de $S^3$, sont tous deux difféomorphes à $\bar{\mathbb{D}} \times S^1$ (ce sont donc des tores pleins), selon le cas, par les difféomorphismes suivants :

$$\varphi : \begin{array}{ccc} M_+ & \to & \bar{\mathbb{D}} \times S^1 \\ (z_1, z_2) & \mapsto & \left(z_1 \sqrt{2}, \frac{1}{|z_2|} z_2\right) \end{array} \quad \text{et} \quad \varphi : \begin{array}{ccc} M_- & \to & S^1 \times \bar{\mathbb{D}} \\ (z_1, z_2) & \mapsto & \left(\frac{1}{|z_1|} z_1, z_2 \sqrt{2}\right) \end{array}.$$

Il est alors clair que la sphère $S^3$ peut être obtenue en recollant $M_+$ et $M_-$ le long de leur bord commun par le difféomorphisme $\partial M_+ \to \partial M_-$, i.e. on identifie $(z_1, z_2)$ à $(z_2, z_1)$ dans la réunion $M_+ \cup M_- :$ on recolle en fait deux tores pleins en identifiant un méridien du bord du premier à une parallèle du bord du second !

Soit $f : \mathbb{D} \to \mathbb{R}$, la fonction définie par $f(z) = \exp\left(\frac{1}{|z|^2-1}\right)$.

Notons t la deuxième coordonnée dans $\mathbb{D} \times \mathbb{R}$. La famille de surfaces $(S_t)_{t \in \mathbb{R}}$, obtenue en translatant le graphe $S = \{(z, f(z)) : z \in \mathbb{D}\}$ de $f$ le long de l'axe des $t$ définit un feuilletage $\mathcal{F}$ de codimension 1 (feuilletage trivial par les composantes connexes) sur $\mathbb{D} \times \mathbb{R}$. Les feuilles de $\mathcal{F}$ sont les surfaces $S_t$ ($t \in \mathbb{R}$) qui sont difféomorphes au plan $\mathbb{R}^2$.

Si on rajoute le cylindre $S^1 \times \mathbb{R}$, où $S^1$ est vu comme le bord de $\bar{\mathbb{D}}$, on obtient un feuilletage (feuilletage trivial par les composantes connexes) $\tilde{\mathcal{F}}$ aussi de codimension 1 sur $\bar{\mathbb{D}} \times \mathbb{R}$. Les feuilles de $\tilde{\mathcal{F}}$ sont les surfaces $S_t$ ($t \in \mathbb{R}$) qui sont difféomorphes au plan $\mathbb{R}^2$, excepté une qui est le cylindre $S^1 \times \mathbb{R}$. $\tilde{\mathcal{F}}$ est invariant par toute translation sur l'axe des $t$, en particulier par les translations entières (ou $\mathbb{Z}$). Ces dernières définissent
une action propre et libre sur $\overline{\mathbb{D}} \times \mathbb{R}$ et $\tilde{\mathcal{F}}$ induit donc un feuilletage $\mathcal{F}_0$ sur le quotient
$$ \frac{\overline{\mathbb{D}} \times \mathbb{R}}{(z,t) \sim (z,t+p)} = \overline{\mathbb{D}} \times \mathbb{S}^1. $$
Les feuilles de $\mathcal{F}_0$ sont les surfaces $S_t$ ($t \in \mathbb{R}$) qui sont
difféomorphes au plan $\mathbb{R}^2$, excepté une qui est le tore $\mathbb{T}^2$. Notons $\mathcal{F}_+ = \varphi_*^{-1}(\mathcal{F}_0)$ (resp. $\mathcal{F}_- = \varphi_*^{-1}(\mathcal{F}_0)$). Ces deux feuilletages ont les mêmes types de feuilles : elles sont les surfaces $S_t$ ($t \in \mathbb{R}$) qui sont difféomorphes au plan $\mathbb{R}^2$, excepté une qui est le tore $\mathbb{T}^2$.
Le feuilletage obtenu par recollement de $\mathcal{F}_+$ et $\mathcal{F}_-$ sur $\mathbb{S}^3$, en appliquant le théorème 1.1.1, est appelé feuilletage de Reeb;

toutes ses feuilles sont difféomorphes au plan $\mathbb{R}^2$ à l'exception de celle qui provient des
bords de $M_+$ et $M_-$ qui est difféomorphe au tore $\mathbb{T}^2$; donc une seule feuille compacte,
les autres tournent autour d'elle.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Feuilletage sur $\overline{\mathbb{D}} \times \mathbb{S}^1$ ou composante de Reeb</figcaption></figure>

Une autre façon de construire le feuilletage de Reeb est donnée par :

**Exemple 1.1.10** (Feuilletage de Reeb 2).

**Proposition 1.1.2.** *Si $N$ est une variété différentiable à bord et si $M$ est une variété différentiable sans bord possédant une 1-forme fermée sans singularité, il existe un feuilletage $\mathcal{F}$ de codimension 1 du produit $M \times N$ tangent au bord.*

*Démonstration.* En effet, si $\alpha$ est une 1-forme fermée sans singularité de classe $C^r$, $1 \le r \le \infty$, sur $M$ et si $f$ est une fonction de classe $C^{r+1}$ sur $N$ s'annulant sur le bord et ayant 0 pour valeur régulière, la 1-forme $\omega = df - fe^{\frac{-1}{r^2}}\alpha$ sur $M \times N$ est intégrable et sans singularité. Elle détermine un feuilletage $\mathcal{F}$ de codimension 1 et de classe $C^r$ de $M \times N$ tangent à l'ordre $r$ au bord.

$\square$

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

Si $M = \mathbb{S}^1$ et $N = \overline{\mathbb{D}}$, $\alpha$ la 1-forme $d\theta$, et $f$ la fonction $1 - r^2$, on obtient ainsi
le feuilletage $\mathcal{F}_0$ du tore plein $\mathbb{S}^1 \times \overline{\mathbb{D}}$ tangent à l'ordre infini au bord de dimension 2.
Recollant deux tels feuilletages des tores pleins $\mathbb{S}^1 \times \overline{\mathbb{D}}$ et $\overline{\mathbb{D}} \times \mathbb{S}^1$ le long de leur bord
commun $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1$, on obtient un feuilletage de Reeb de la sphère $\mathbb{S}^3$.
## 1.2 Autour des équations cohomologiques [12], [34]

Équations cohomologiques discrètes-Équations cohomologiques continues

**Définition 1.2.1.** Un système dynamique discret (SDD en abrégé) est la donnée d'un couple $(M, \lambda)$ où $M$ est une variété différentiable et $\lambda$ un difféomorphisme de $M$.

On dira que deux SDD $(M, \lambda)$ et $(N, \sigma)$ sont conjugués s'il existe un difféomorphisme $h : M \to N$ tel que $\sigma = h_0\lambda_0h^{-1}$.

**Définition 1.2.2.** Un système dynamique continu (SDC en abrégé) est la donnée d'un couple $(M, X)$ où $M$ est une variété différentiable et $X$ un champ de vecteurs sur $M$.

Deux SDC, $(M, X)$ et $(N, Y)$ sont dits conjugués s'il existe un difféomorphisme $h : M \to N$ tel que $h_*X = Y$.

**Définition 1.2.3.** On se donne un SDD $(M, \lambda)$ et un SDC $(M, X)$. On note $C^\infty(M)$ l'espace des fonctions de classe $C^\infty$ sur une variété différentiable $M$. On s'intéresse aux problèmes suivants. Soit $g \in C^\infty(M)$.

— Existe-t-il $f \in C^\infty(M)$ telle que $f - f \circ \lambda = g$ (1) ?

— Existe-t-il $f \in C^\infty(M)$ telle que $X.f = g$ (2) ?

L'équation (1) est appelée équation cohomologique discrète du SDD $(M, \lambda)$ et l'équation (2) équation cohomologique continue du SDC $(M, X)$.

**Remarque 1.2.1.** Soient deux SDD $(M, \lambda)$ et $(N, \sigma)$ conjugués par un difféomorphisme $h : M \to N$, alors $v \in C^\infty(N)$ est solution de l'équation $v - v \circ \sigma = g$ si, et seulement si, $u = v \circ h$ est solution de l'équation $u - u \circ \lambda = g \circ h$.

**Démonstration.** Soient deux SDD $(M, \lambda)$ et $(N, \sigma)$ conjugués par un difféomorphisme $h : M \to N$, et $v \in C^\infty(N)$ une solution de l'équation $v - v \circ \sigma = g$.

On a :

$$ 
\begin{align*}
v - v \circ \sigma &= g \Leftrightarrow v \circ h - v \circ h \circ h^{-1} \circ \sigma \circ h = g \circ h \\
&\Leftrightarrow v \circ h - (v \circ h) \circ (h^{-1} \circ \sigma \circ h) = g \circ h \\
&\Leftrightarrow u - u \circ \lambda = g \circ h.
\end{align*}
$$

□

En particulier, si $(M, \lambda) = (\mathbb{C}^2, \gamma_A)$ où $A \in GL_2(\mathbb{C})$, alors on peut se permettre de travailler sur la base des vecteurs propres.

**Remarque 1.2.2.** De même si deux SDC $(M, X)$ et $(N, Y)$ sont conjugués par un difféomorphisme $h : M \to N$, alors $v \in C^\infty(N)$ est solution de l'équation $Y.v = g$ si, et seulement si, $u = v \circ h$ est solution de l'équation $X.u = g \circ h$.
**Démonstration.** Soient deux SDC $(M, X)$ et $(N, Y)$ conjugués par un difféomorphisme $h : M \to N$, et $v \in C^\infty(N)$ une solution de l'équation $Y.v = g$.

On rappelle que $h_*X = h^T \circ X \circ h^{-1}$ où l'application $h^T : T(M) \to T(N)$ est définie par $h^T((x, X_x)) = (h(x), dh(x)(X_x))$ pour tout $(x, X_x) \in T(M)$ et $T(M) = \{(x, X_x) : x \in M, X_x \in T_x(M)\}$.

On a :

$$
\begin{align*}
Y.v = g &\iff (Y.v) \circ h = g \circ h \\
&\iff \forall x \in M, [(Y.v) \circ h](x) = (g \circ h)(x) \\
&\iff \forall x \in M, (Y.v)[h(x)] = (g \circ h)(x) \\
&\iff \forall x \in M, dv[h(x)](Y_{h(x)}) = (g \circ h)(x) \\
&\iff \forall x \in M, dv[h(x)](dh(x)(X_x)) = (g \circ h)(x) \\
&\iff \forall x \in M, d(v \circ h)(x)(X_x) = (g \circ h)(x) \\
&\iff \forall x \in M, X.(v \circ h)(x) = (g \circ h)(x) \\
&\iff \forall x \in M, X.(v \circ h) = (g \circ h) \\
&\iff \forall x \in M, X.u = (g \circ h).
\end{align*}
$$

□

Pour résoudre ce problème, on peut donc se donner la liberté de remplacer un système
dynamique par tout autre qui lui est conjugué.

Cohomologie discrète [6]

**Définition 1.2.4.** Soit $G$ un groupe topologique localement compact séparable. Un $G$-module est un espace vectoriel topologique localement convexe séparé $E$ sur lequel $G$ opère continument. C'est-à-dire que l'application $G \times E \to E$, $(g, x) \mapsto g.x$ est continue.

**Définition 1.2.5.** Soit $\Gamma$ un groupe discret (dénombrable) agissant sur un espace vectoriel $E$ de dimension quelconque à priori. L'action d'un élément $\gamma \in \Gamma$ sur un élément $x \in E$ sera noté $\gamma \cdot x$. Avec cette action $E$ est un $\Gamma$-module.

Pour tout $k \in \mathbb{N}$, soit $C^k(\Gamma, E)$ l'ensemble des fonctions de $\Gamma^k$ dans $E$. $C^k(\Gamma, E)$ est non vide.
En effet pour tout $x \in E$, on obtient par l'action de $\Gamma$ sur $E$, l'application $\varphi_x : (\gamma_1, \dots, \gamma_k) \mapsto \gamma.x$ avec $\gamma = \gamma_1 \cdots \gamma_k$, est un élément de $C^k(\Gamma, E)$. L'application linéaire $d_k : C^k(\Gamma, E) \to C^{k+1}(\Gamma, E)$ définie par :

$$
\begin{align*}
d_k c (\gamma_1, \dots, \gamma_{k+1}) &= (d_k c) (\gamma_1, \dots, \gamma_{k+1}) \\
&= \gamma_1 \cdot c (\gamma_2, \dots, \gamma_{k+1}) \\
&\quad + \sum_{i=1}^k (-1)^i c (\gamma_1, \dots, \gamma_{i-1}, \gamma_i \gamma_{i+1}, \gamma_{i+2}, \dots, \gamma_{k+1}) \\
&\quad + (-1)^{k+1} c (\gamma_1, \dots, \gamma_k)
\end{align*}
$$

vérifie $d_{k+1} \circ d_k = 0$. Les quotients $\mathcal{H}^k(\Gamma, E) = \frac{\mathbb{Z}^k(\Gamma, E)}{B^k(\Gamma, E)}$ pour $k \in \mathbb{N}$ sont les groupes de cohomologie de $\Gamma$ à valeurs dans $E$, où $\mathbb{Z}^k(\Gamma, E) = \text{Kerd}_{d_k}$ et $\mathcal{B}^k(\Gamma, E) = \text{Imd}_{k-1}$.

**Remarque 1.2.3.** Lorsque $\Gamma = \mathbb{Z}$, si on note $T$ l'automorphisme de $E$ définit par l'élément $1$ de $\mathbb{Z}$ et $\langle x - T(x) \rangle$ l'ensemble des éléments de $E$ de la forme $x - T(x)$ avec $x \in E$ alors on a le résultat suivant :

$$
\mathcal{H}^k(\mathbb{Z}, E) = \begin{cases} E^\Gamma & \text{si } k=0 \\ \frac{E}{\langle x-T(x) \rangle} & \text{si } k=1 \\ 0 & \text{si } k \ge 2 \end{cases} .
$$

Finalement le seul groupe de cohomologie non trivial est $\mathcal{H}^1(\mathbb{Z}, E)$ et c'est lui qu'on déterminera dans pareils cas. En clair, ce groupe mesure l'obstruction à la résolution de l'équation dite cohomologique discrète $x - T(x) = y$; $y \in E$ donné et où on chercherait $x \in E$.

Exemple d'utilisation du $\mathcal{H}^1(\mathbb{Z}, E)$ dans le cas d'un flot obtenu par suspension d'un difféomorphisme.

On va rappeler ce qu'est un flot obtenu par suspension d'un difféomorphisme et voir le
groupe de cohomologie qui s'y attache. Un cas concret où on est amené à déterminer ce
groupe est le cas d'un flot obtenu par suspension d'un difféomorphisme. Plus précisément
soient $B$ une variété compacte et connexe, $\tilde{B}$ son revêtement universel, et $N$ une seconde
variété, $\rho$ une représentation de $\pi_1(B)$ dans $Diff(N)$ le groupe des difféomorphismes
de $N$. $\pi_1(B)$ opère sur $\tilde{B} \times N$ de façon canonique sur le premier facteur et à travers la
représentation sur le second facteur; cette action est propre et libre; la variété suspension
est la variété quotient $\frac{\tilde{B} \times N}{(\tilde{b}, f) \sim (s\tilde{b}, \rho(s)f)}$ qu'on notera $M_\rho$.

On a le diagramme commutatif suivant, où les flèches sont des applications canoniques
et $\pi$ la fibration de fibre $N$ :

$$
\begin{array}{ccc}
\tilde{B} \times N & \to & \tilde{B} \\
\downarrow & & \downarrow \\
N \hookrightarrow M_{\rho} & \xrightarrow{\pi} & B
\end{array}
$$
Le feuilletage horizontal de $\tilde{B} \times N$ est invariant par l'action de $\pi_1(B)$ et se projette donc sur $M$ en un feuilletage de dimension $\dim B$ et ce feuilletage est transverse à la fibration $\pi$ ; c'est le feuilletage suspension de $\rho$. La nature topologique des feuilles correspond à la nature des sous-groupes de stabilité de $\rho$. En clair, la feuille passant par la classe $(b; f)$ est un revêtement de la base $B$ de fibre isomorphe au quotient $\pi_1(B)/G_f$ où

$$G_f = \{s \in \pi_1(B)/\rho(s)f = f\}.$$

cohomologie associée à ce type de flot.

Dans le cas particulier où $B = S^1$ et qu'on se donne $\phi \in \text{Diff}(N)$ et on prend pour $\rho$ la représentation de $\pi_1(S^1) = \mathbb{Z}$ dans $\text{Diff}(N)$ définie par

$$\rho(s) = \phi^s = \begin{cases} \underbrace{\phi \circ \dots \circ \phi}_{s \text{ fois}} & s \in \mathbb{Z}_+ \\ \underbrace{\phi^{-1} \circ \dots \circ \phi^{-1}}_{-s \text{ fois}} & s \in \mathbb{Z}_- \end{cases};$$

le feuilletage suspension correspondant est un flot. En effet, le champ canonique $\frac{\partial}{\partial t}$ de $\mathbb{R} \times N$ étant invariant par translation se projette sur la variété suspension en un champ $X$ tangent à ce flot.

Notons $E$ le $\mathbb{Z}$-module des fonctions réelles ou complexes sur $N$ de classe $C^r$, $r = \infty$ ou $r = \omega$, et où l'action de $\mathbb{Z}$ sur $E$ est donnée pour $s \in \mathbb{Z}$ et $h \in E$ par $s \cdot h = h \circ \phi^s$ ; ou si on préfère comme $\mathbb{Z}$ est monogène, $1 \cdot h = h \circ \phi$.

On peut envisager la résolution du système continu $Xu = v$, où $v \in E$ est donnée et on cherche $u \in E$, $(Xu$ étant la dérivée de $u$ suivant le champ de vecteurs $X)$.

Par relèvement de l'équation cohomologique continue sur $\mathbb{R} \times N$ et par intégration on montre dans [3] que la résolution de ce système continu est équivalente à la résolution sur $E$ de l'équation du système cohomologique discret $h - h \circ \phi = k$; il s'agit, pour $k \in E$ donnée, de trouver $h \in E$ telle que $h - h \circ \phi = k$. On voit bien que l'obstruction à la résolution de cette équation est donnée par le groupe $\mathcal{H}^1(\mathbb{Z}, E) = \frac{E}{\langle h - h \circ \phi \rangle}$ où le sous-espace $\langle h - h \circ \phi \rangle = \{h - h \circ \phi / h \in E\}$.
Cohomologie feuilletée

Soit $\mathcal{F}$ un feuilletage de dimension $m$ sur $M$. On note $T_{\mathcal{F}}$ son fibré tangent, $T_{\mathcal{F}}^*$ son dual (fibré cotangent à $\mathcal{F}$) et pour tout $r \in \mathbb{N}$, $\Lambda^r(T_{\mathcal{F}}^*)$ le fibré des $r$-formes extérieures. Une section de $\Lambda^r(T_{\mathcal{F}}^*)$ est appelée *forme feuilletée de degré r* sur $(M, \mathcal{F})$. (Rappelons qu'une section d'un fibré vectoriel $\tau: E \to M$ est une application différentiable $\alpha: M \to E$ telle que, pour tout $x \in M$, on ait $\alpha(x) \in E_x$ (fibre de $E$ en $x$) et $\tau(\alpha(x)) = x$). On note $\Omega_{\mathcal{F}}^r(M)$ l'espace vectoriel des $r$-formes feuilletées. Pour $r=0$, $\Omega_{\mathcal{F}}^r(M)$ est l'espace $C^\infty(M)$ des fonctions $C^\infty$ sur $M$.

On a un opérateur de différentiation extérieur $d_{\mathcal{F}} : \Omega_{\mathcal{F}}^r(M) \to \Omega_{\mathcal{F}}^{r+1}(M)$ le long des feuilles défini (comme dans le cas classique), pour $X_0, \cdots, X_r$ tangents à $\mathcal{F}$, par la formule :

$$d_{\mathcal{F}} \alpha (X_0, \dots, X_r) = \sum_{i=0}^{r} (-1)^i X_i \cdot \alpha (X_0, \dots, \hat{X}_i, \dots, X_r) \\ + \sum_{\substack{i,j \in 0; \\ i<j}} (-1)^{i+j} \alpha ([X_i, X_j], X_0, \dots, \hat{X}_i, \dots, \hat{X}_j, \dots, X_r)$$

où $\hat{X}_i$ signifie qu'on a omis l'argument $X_i$. On vérifie facilement que l'opérateur $d_{\mathcal{F}}$ est de carré nul.

On obtient ainsi un complexe différentiel (dit complexe feuilleté) :

$$0 \to \Omega_{\mathcal{F}}^{0}(M) \xrightarrow{d_{\mathcal{F}}} \Omega_{\mathcal{F}}^{1}(M) \xrightarrow{d_{\mathcal{F}}} \dots \xrightarrow{d_{\mathcal{F}}} \Omega_{\mathcal{F}}^{m-1}(M) \xrightarrow{d_{\mathcal{F}}} \Omega_{\mathcal{F}}^{m}(M) \xrightarrow{d_{\mathcal{F}}} 0.$$

On note $\mathcal{Z}_{\mathcal{F}}^r(M)$ le noyau de $d_{\mathcal{F}} : \Omega_{\mathcal{F}}^r(M) \to \Omega_{\mathcal{F}}^{r+1}(M)$ et $\mathcal{B}_{\mathcal{F}}^r(M)$ l'image de $d_{\mathcal{F}} : \Omega_{\mathcal{F}}^{r-1}(M) \to \Omega_{\mathcal{F}}^r(M)$.

**Définition 1.2.6.** Le quotient $\mathcal{H}_{\mathcal{F}}^r(M) = \frac{\mathcal{Z}_{\mathcal{F}}^r(M)}{\mathcal{B}_{\mathcal{F}}^r(M)}$ est le $r$-ième espace vectoriel de la cohomologie feuilletée de $\mathcal{F}$.

Exemple d'utilisation du $\mathcal{H}_{\mathcal{F}}^r(M)$.

Le cas qui nous intéressera est le cas d'un flot défini par un champ sans singularité sur une variété $M$.

Soit $X$ un champ de vecteurs sur une variété $M$, alors $X$ définit un opérateur différentiel du premier ordre (c'est la dérivation induite par $X$)

$$X : \begin{array}{rcl} C^\infty(M) & \to & C^\infty(M) \\ f & \mapsto & Xf \end{array}, \text{ où } (Xf)(x) = d_x f(X_x).$$

L'équation $Xf = g$ est l'équation cohomologique continue associée à $X$. Un champ non singulier $X$ sur $M$ induit un feuilletage (ou flot) $\mathcal{F}$ de dimension 1.
Notons $\tau$ le fibré tangent à $\mathcal{F}$, et $\nu$ un sous fibré supplémentaire à $\tau$ dans $TM$ (i.e. $TM = \tau \oplus \nu$). Soit $\chi$ la 1-forme telle que $\chi(X) = 1$ et $\chi|_{\nu} = 0$. Il est facile de voir que, pour tout $r \in \mathbb{N}$, on a :

$$ \Omega_{\mathcal{F}}^{r}(M) = \begin{cases} C^{\infty}(M) & \text{si } r = 0 \\ C^{\infty}(M) \otimes \chi & \text{si } r = 1 \\ 0 & \text{si } r \ge 2 \end{cases} $$

et que le complexe feuilleté se réduit à :

$$ 0 \longrightarrow \Omega_{\mathcal{F}}^{0}(M) \xrightarrow{d_{\mathcal{F}}} \Omega_{\mathcal{F}}^{1}(M) \longrightarrow 0, $$

où $d_{\mathcal{F}}$ est défini par $d_{\mathcal{F}}f = d_{\chi}f = (Xf) \otimes \chi$ pour $f \in C^{\infty}(M)$.

On a :

$$ \mathcal{H}_{\mathcal{F}}^{1}(M) = \frac{C^{\infty}(M) \otimes \chi}{\mathrm{Imd}_{\mathcal{F}}} $$

et son calcul se ramène à la détermination de $\mathrm{Imd}_{\mathcal{F}}$ ; or la détermination de $\mathrm{Imd}_{\mathcal{F}}$ revient à la résolution de l'équation cohomologique $Xf = g$.

$$ \text{Ainsi } \mathcal{H}_{\mathcal{F}}^{1}(M) = \frac{C^{\infty}(M) \otimes \chi}{\langle Xf, f \in C^{\infty}(M) \rangle \otimes \chi} = \frac{C^{\infty}(M)}{\langle Xf, f \in C^{\infty}(M) \rangle}. $$

Le calcul de l'espace $\mathcal{H}_{\mathcal{F}}^{1}(M)$ revient exactement à la résolution de l'équation cohomologique continue pour le champ $X$. Il faut noter que dans le cas d'un flot obtenu par suspension, le théorème ci-après montre que les deux groupes de cohomologie coïncident et que résoudre l'un des systèmes revient à résoudre l'autre. Mais ici, on se contentera de vérifier la deuxième partie et l'autre admise (voir [3] pour la démonstration complète).

**Théorème 1.2.1.** Soient $N$ une variété et $\mathcal{F}$ un flot obtenu par suspension d'un difféomorphisme $\phi \in \text{Diff}(N)$ sur la variété suspension $M$ associée.

Les deux espaces vectoriels topologiques de cohomologie associés $\mathcal{H}^1(\mathbb{Z}, C^\infty(N))$ et $\mathcal{H}^1_M(M)$ sont canoniquement isomorphes. Par conséquent l'équation cohomologique continue $Xf = g$ a une solution sur $M$ si, et seulement si, l'équation cohomologique discrète $K - K \circ \gamma = \Phi$ a une solution sur $N$ pour

$$ \Phi(x) = \int_{0}^{1} g(t, x)dt. $$

**Démonstration.** Les fonctions $C^\infty$ sur $M$ sont les fonctions $C^\infty : \mathbb{R} \times N \xrightarrow{f} \mathbb{C}$ qui vérifient la condition d'invariance :

$$ (CI) \qquad f(t+1, \phi(x)) = f(t, x) \text{ pour tout } (t, x) \in \mathbb{R} \times N. $$

Soit $g \in C^\infty(M)$ ; on cherche $f \in C^\infty(M)$ telle que $X.f = g$, c'est-à-dire $\frac{\partial f}{\partial t}(t, x) = g(t, x)$ pour tout $(t, x) \in \mathbb{R} \times N$. On intègre :

$$ f(t, x) = \int_{1}^{t} g(u, x)du + K(x). $$
Il est clair que $f$ ainsi définie est une fonction $C^\infty$ sur $\mathbb{R} \times N$ ; elle doit vérifier en plus la condition (CI) i.e :

$$ \int_{1}^{t+1} g(u, \gamma(x)) du + K(\gamma(x)) = \int_{1}^{t} g(u, x)du + K(x). $$

Un calcul immédiat utilisant la $\gamma$-invariance de $g$ donne :

$$ K(x) - K(\gamma(x)) = \int_{0}^{1} g(t, x)dt. $$

Nous sommes donc amenés à trouver une fonction $K \in C^\infty(N)$ telle que :

$K - K \circ \gamma = \Phi$ où $\Phi = \int_{0}^{1} g(t, x)dt$. L'existence de $K$ est donc équivalente à l'existence de la solution $f$ qu'on cherche. $\square$

Donc résoudre l'équation cohomologique continue $Xf = g$ sur $M$ revient à résoudre l'équation cohomologique discrète $K - K \circ \gamma = \Phi$ sur $N$ pour

$$ \Phi(x) = \int_{0}^{1} g(t, x)dt. $$

Dans ce genre de situation on résout l'équation qui donne le plus d'informations et le plus souvent il s'agit de l'équation cohomologique discrète.

...

## 1.3 Quelques éléments d'arithmétique [19],[28], [32]

**Définition 1.3.1.** On dira qu'un nombre irrationnel $\theta$ est diophantien s'il existe deux constantes $M > 0$ et $\delta \ge 2$ telles que pour tout $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*$, on ait

$$ \left| \theta - \frac{p}{q} \right| > \frac{M}{q^{\delta}}. $$

Un nombre irrationnel $\theta$ non diophantien est dit de Liouville : $\theta$ est donc de Liouville si pour toute constante $M > 0$ et tout entier $s \ge 2$ il existe des entiers $p_s \in \mathbb{Z}$ et $q_s \in \mathbb{N}^*$ tels qu'on ait

$$ \left| \theta - \frac{p_s}{q_s} \right| \le \frac{M}{q_s^s}. $$

Pour $a = e^{2i\pi\theta}$ et $0 < \theta < 1$, on dira que $a$ est une rotation rationnelle d'ordre $r$ (resp. diophantienne, resp. de Liouville) suivant que le nombre réel $\theta$ est rationnel de la forme $\frac{s}{r}$ avec

$$ (s, r) \in \mathbb{Z}^* \times \mathbb{N}^* \text{ tels } \text{pgcd}(r, |s|) = 1 \text{ (resp. diophantien, resp de Liouville).} $$

**Exemple 1.3.1.** • Les nombres réels irrationnels suivants sont diophantiens : $e, \pi, \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (le nombre d'or) et $\sqrt{a}$ où $a \in \mathbb{R}_+^*$.
• Pour tout entier $b > 1$, et toute suite $(a_k)_{k>0}$ d'entiers compris entre 0 et $b-1$ non tous nuls à partir d'un certain rang, le nombre réel

$$x = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{a_k}{b^k}$$

est un nombre de Liouville.

En particulier, si $b = 10$ et $a_k = 1, \forall k > 0$, on obtient la constante de Liouville. Et on a :

$$\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{10^k} = 0,1100010000000000000001000......... .$$

**Remarque 1.3.1.** $\{e^{2i\pi n\theta}, n \in \mathbb{Z}^*\}$ est un groupe monogène fini d'ordre $r$ si $a$ est une rotation rationnelle d'ordre $r$. Ainsi une rotation rationnelle d'ordre 1 correspond à la rotation identité. Dans la littérature, pour le cas où $a$ est une rotation irrationnelle, les réels de la forme $|1 - e^{2i\pi n\theta}|$ sont appelés petits diviseurs et à l'aide de ces petits diviseurs, on a la caractérisation utile suivante.

**Proposition 1.3.1.** Un nombre réel $\theta$ est diophantien si et seulement si il existe deux constantes $M > 0$ et $\delta \ge 2$ tels que pour tout $m \in \mathbb{Z}^*$, on ait

$$|1 - e^{2i\pi m\theta}| > \frac{M}{|m|^{\delta-1}}.$$

*Démonstration.* Pour le voir on considère le cercle $|z| = 1$ centré en $O$ du plan complexe, $A$ et $B$ les points d'affixes $1$ et $e^{2i\pi m\theta}$ et on observe que le demi périmètre du cercle de diamètre $AB$ est supérieur ou égal à la longueur de la corde $\widehat{AB}$ porté par le cercle unité. On a donc $AB \ge \frac{2}{\pi}mes \widehat{AOB}$ et ainsi il vient

$$\begin{aligned} |e^{2i\pi p} - e^{2i\pi m\theta}| &= |1 - e^{2i\pi m\theta}| = AB \ge \frac{2}{\pi}mes \widehat{AOB} = \frac{2}{\pi} |2p\pi - 2\pi m\theta| \\ &= 4|p - m\theta| \end{aligned}$$

où $p$ est le plus grand entier proche de $m\theta$. Avec le Théorème des accroissements finis on a aussi

$$|1 - e^{2i\pi m\theta}| = |e^{2i\pi p} - e^{2i\pi m\theta}| \le 2\pi |p - m\theta|.$$

Finalement on a la double majoration

$$4|p - m\theta| \le |1 - e^{2i\pi m\theta}| \le 2\pi |p - m\theta| (\alpha).$$

Ce qui permet d'établir cette caractérisation.

**Condition nécessaire**
Soit $\theta$ un nombre réel diophantien. Alors il existe deux constantes $M > 0$ et $\delta \ge 2$ telles que pour tout $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*$, on ait

$$ \left| \theta - \frac{p}{q} \right| > \frac{M}{q^{\delta}} . $$

Soit $m \in \mathbb{Z}^*$. Alors $q = |m| \in \mathbb{N}^*$ et on a successivement

$$
\begin{align*}
\left|\theta - \frac{p}{q}\right| &> \frac{M}{q^{\delta}} \\
\left|q\theta - p\right| &> \frac{M}{q^{\delta-1}} \\
4\left|q\theta - p\right| &> \frac{4M}{q^{\delta-1}} \\
\left|1 - e^{2i\pi q\theta}\right| &> \frac{4M}{q^{\delta-1}} \quad \text{par l'inégalité (\alpha)} \\
\left|1 - e^{2i\pi|m|\theta}\right| &> \frac{4M}{|m|^{\delta-1}} \\
\left|1 - e^{2i\pi m\theta}\right| &> \frac{M'}{|m|^{\delta-1}} .
\end{align*}
$$

## Condition suffisante

Soit $\theta$ vérifiant : il existe deux constantes $M > 0$ et $\delta \ge 2$ tels que pour tout $m \in \mathbb{Z}^*$, on ait

$$ \left|1 - e^{2i\pi m\theta}\right| > \frac{M}{|m|^{\delta-1}} . $$

Alors $q = |m| \in \mathbb{N}^*$ et on a successivement

$$
\begin{align*}
\left|1 - e^{2i\pi q\theta}\right| &> \frac{M}{q^{\delta-1}} \\
2\pi \left|p - q\theta\right| &> \frac{M}{q^{\delta-1}}, \quad \forall p \in \mathbb{Z}, \text{ par l'inégalité (\alpha)} \\
2\pi \left|\frac{p}{q} - \theta\right| &> \frac{M}{q^{\delta}}, \quad \forall p \in \mathbb{Z} \\
\left|\theta - \frac{p}{q}\right| &> \frac{M}{2\pi q^{\delta}}, \quad \forall p \in \mathbb{Z} \\
\left|\theta - \frac{p}{q}\right| &> \frac{M'}{q^{\delta}}, \quad \forall p \in \mathbb{Z}.
\end{align*}
$$

□

**Proposition 1.3.2.** Un nombre irrationnel $\theta$ est de Liouville si et seulement si, pour tout réel $M > 0$ et pour tout $s \in \mathbb{N}$, $s \ge 2$, il existe un entier $p_s \in \mathbb{Z}^*$ vérifiant

$$ \left|1 - e^{2i\pi p_s \theta}\right| \le \frac{M}{|p_s|^{s-1}} . $$
**Remarque 1.3.2.** On dit que les nombres réels diophantiens sont mal approchés par les rationnels et que les nombres de Liouville sont quant à eux très bien approchés par les rationnels !

L'intérêt de caractériser ainsi ces nombres vient du fait que ces petits diviseurs, comme dans le cas des séries de Fourier, s'inviteront ici pour perturber une série

$$ \sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n \quad \text{en la série} \quad \sum_{m \ge 0, n \ge 0} \frac{b_{m,n}}{1 - e^{2i\pi(m+n)\theta}} z^m w^n $$

et la convergence de la seconde série ne dépend pas seulement de la convergence de la première ; cette convergence dépendra également de la nature arithmétique du nombre réel $\theta$.

...

## 1.4 Présentation de $Hol(C^2)$ [7] [25] [20] [13] [38]

### lim inf et lim sup

Dans un espace métrique, l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite $(u_n)_n$ est fermé. Dans le cas d'une suite réelle, c'est un fermé de $\bar{\mathbb{R}}$ (muni de la topologie de l'ordre qui est la topologie de la droite achevée) qui est compact donc un compact. Il admet un plus petit et un plus grand élément.

**Définition 1.4.1.** $\limsup_{n \to +\infty} u_n$ (resp. $\liminf_{n \to +\infty} u_n$) est la plus grande (resp. petite) valeur d'adhérence de la suite $(u_n)_n$ dans $\bar{\mathbb{R}}$.

**Remarque 1.4.1.** Soit $(u_n)$ une suite réelle positive. Si $\limsup_{n \to +\infty} u_n = 0$ alors la suite $(u_n)$ converge vers 0.

**Propriété 1.4.1.** Soient $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ deux suites dans $\mathbb{R}$. On a les propriétés suivantes :

* si $u_n \le v_n$ alors $\liminf_{n \to +\infty} u_n \le \liminf_{n \to +\infty} v_n$ et $\limsup_{n \to +\infty} u_n \le \limsup_{n \to +\infty} v_n$;

* $\liminf_{n \to +\infty} (u_n + v_n) \ge \liminf_{n \to +\infty} u_n + \liminf_{n \to +\infty} v_n$ et $\limsup_{n \to +\infty} (u_n + v_n) \le \limsup_{n \to +\infty} u_n + \limsup_{n \to +\infty} v_n$;

* si $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ sont à termes positifs et que $(u_n)_n$ converge dans $\mathbb{R}$ alors

$$ \liminf_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = \lim_{n \to +\infty} u_n + \liminf_{n \to +\infty} v_n, \quad \limsup_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = \lim_{n \to +\infty} u_n + \limsup_{n \to +\infty} v_n \\ \text{et } \limsup_{n \to +\infty} (u_n \times v_n) = \lim_{n \to +\infty} u_n \times \limsup_{n \to +\infty} v_n. $$

Nous utiliserons la majorité de ces propriétés dans la suite.

### Suites doubles

**Définition 1.4.2.** Une suite double $(u_{m,n})_{m,n}$ dans $\mathbb{R}$ est convergente vers $\ell \in \mathbb{R}$ si pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $m_0, n_0 \in \mathbb{N}^*$ tels que pour tout $n \ge n_0$ et $m \ge m_0$ on ait

$$ |u_{m,n} - \ell| < \varepsilon. $$
**Remarque 1.4.2.** L'existence de la limite double entraine l'existence des limites partielles et elles sont égales à celle de la limite double. La réciproque n'est pas vraie.

Soit en effet $(u_{m,n})$ la suite double réelle définie par

$$u_{m,n} = \frac{mn}{m^2 + n^2}.$$

On a bien

$$\lim_{n \to +\infty} \lim_{m \to +\infty} u_{m,n} = 0 = \lim_{m \to +\infty} \lim_{n \to +\infty} u_{m,n}.$$

Tandis que sur la "diagonale" on obtient un résultat différent :

$$\lim_{n \to +\infty} u_{n,n} = \frac{1}{2}.$$

Pour que la réciproque soit vraie, il faut une condition suffisante présentée ci-dessous.

**Définition 1.4.3.** On dira qu'une suite double $(u_{m,n})_{m,n}$ converge vers a uniformément en $m$ si

$$\forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tel que pour tout } n \ge n_0, \text{ on ait } |u_{m,n} - a| \le \varepsilon, \forall m \in \mathbb{N}.$$

On a la proposition suivante :

**Proposition 1.4.1.** Soit une suite double réelle ou complexe $(u_{m,n})_{m,n}$.

Si la limite de $(u_{m,n})_m$ existe pour chaque $n \in \mathbb{N}$ et si la limite de $(u_{m,n})_n$ existe uniformément en $m \in \mathbb{N}$, ou vis-versa, alors les trois limites

$$\lim_{n \to +\infty} u_{m,n}, \quad \lim_{n \to +\infty} \lim_{m \to +\infty} u_{m,n} \quad \text{et} \quad \lim_{m \to +\infty} \lim_{n \to +\infty} u_{m,n}$$

existent toutes, et sont égales.

**Exemple 1.4.1.** Soit la suite $(u_{m,n})_{m,n}$ définie par $u_{m,n} = \frac{1}{m+n}$. Ses suites partielles convergent vers 0 uniformément en chacune de ses variables donc $(u_{m,n})_{m,n}$ converge vers 0. En effet $|u_{m,n}| \le \frac{1}{m}$ pour tout $n$, et $|u_{m,n}| \le \frac{1}{n}$ pour tout $m$.

La proposition 1.4.1 est un cas particulier d'un théorème plus général.

On notera $X'$ l'ensemble des points d'accumulations d'un espace métrique $X$. On a le théorème suivant :

**Théorème 1.4.1** (d'interversion de limites [29]). Soit $f : A \times B \to M$ une application dans un espace métrique complet, où $A$ et $B$ sont respectivement des sous-ensembles des espaces métriques $(M_1, d_1)$ et $(M_2, d_2)$ et soient $x_0 \in A' \setminus A$ et $y_0 \in B' \setminus B$.

Si

1. $\lim_{x \to x_0} f(x, y) = h(y)$ existe pour chaque $y \in B$

2. $\lim_{y \to y_0} f(x, y) = g(x)$ existe uniformément en $x \in A$.
Alors les trois limites

$$ \lim_{\substack{x \to a \\ y \to b}} f(x, y), \quad \lim_{x \to a} g(x) \quad \text{et} \quad \lim_{y \to b} h(y) $$

existent toutes, et sont égales.

On considère la droite numérique achevée $\overline{\mathbb{R}}$ ($\overline{\mathbb{R}}$ est un espace métrique) ; $A = B = \mathbb{N}$ ;
$M_1 = M_2 = \overline{\mathbb{N}} = \mathbb{N} \cup \{+\infty\}$ ($+\infty$ est le seul point d'accumulation de $\mathbb{N}$ vu comme sous espace de $\overline{\mathbb{R}}$),

$$ f : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R} \text{ (évidemment complet)} ; \\ (m, n) \longmapsto f(m, n) = u_{m,n} $$

$x_0 = y_0 = +\infty$ et $g$ et $h$ sont des fonctions constantes définies respectivement sur $A$ et $B$ avec $g(x) = a$ et $h(y) = a$.

On suppose que $f$, c'est-à-dire la suite double $(u_{m,n})_{m,n}$ converge uniformément en $m \in \mathbb{N}$, et converge simplement pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Les conditions du théorème étant remplies, $f$, donc la suite double $(u_{m,n})_{m,n}$ admet une limite en $(+\infty, +\infty)$ et on a :

$$ \lim_{\substack{m \to +\infty \\ n \to +\infty}} f(m, n) = \lim_{\substack{m \to +\infty \\ n \to +\infty}} u_{m,n} = a. $$

Séries doubles

**Propriété 1.4.2.** soient $\sum_{m \ge 0, n \ge 0} a_{m,n} z^m w^n$ et $\sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ deux séries entières, de rayons de convergence respectifs $R_a$ et $R_b$. Posons $c_{m,n} = a_{m,n} + b_{m,n}$. Si on note $R$ le rayon de convergence de $\sum_{m \ge 0, n \ge 0} c_{m,n} z^m w^n$, alors $R \ge \min\{R_a; R_b\}$.

En particulier si $R_a = R_b = +\infty$ alors $R = +\infty$.

Présentation et quelques décompositions utiles de $\text{Hol}(\mathbb{C}^2)$

a) Présentation de $\text{Hol}(\mathbb{C}^2)$

On note de façon générale, $\text{Hol}(\mathbb{C}^q)$ l'espace des fonctions holomorphes sur $\mathbb{C}^q$ (ici $q = 1, 2$) et on confondra une fonction holomorphe avec son développement en série entière.

On a :

$$ \text{Hol}(\mathbb{C}^2) = \left\{ \sum_{m \ge 0, n \ge 0} c_{m,n} z^m w^n \text{ convergente sur } \mathbb{C}^2 \right\} \\ \text{Hol}(\mathbb{C}) = \left\{ \sum_{m \ge 0} c_m z^m \text{ convergente sur } \mathbb{C} \right\}. $$
On note :

$$
\mathcal{I} = \{ f \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2) : f(0; 0) = 0 \}
$$

$$
\mathrm{Hol}_w(\mathbb{C}) = \{f = f(w) : w \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C})\} \text{ et } \mathrm{Hol}_z(\mathbb{C}) = \{f = f(z) : z \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C})\}
$$

$$
\mathrm{Hol}_w(\mathbb{C}^2) = \left\{ f \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2) : f(z, w) = \sum_{n \ge 0} b_{0,n} w^n \right\}
$$

$$
\mathrm{Hol}_z(\mathbb{C}^2) = \left\{ f \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2) : f(z, w) = \sum_{m \ge 0} b_{m,0} z^m \right\} .
$$

Pour $r \ge 1$, on note :

$$
\mathrm{Hol}_w^r(\mathbb{C}^2) = \left\{ f \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2) : f(z, w) = \sum_{n \ge 0} b_{0,nr} w^{nr} \right\}
$$

$$
\mathrm{Hol}_z^r(\mathbb{C}^2) = \left\{ f \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2) : f(z, w) = \sum_{m \ge 0} b_{mr,0} z^{mr} \right\} .
$$

Enfin $\mathcal{H}ol_w(\mathbb{C})[z]$ désignera l'espace des fonctions polynômes en $z$ à coefficients
dans $\mathcal{H}ol_w(\mathbb{C})$ et $\mathcal{H}ol_z(\mathbb{C})[w]$ celui des fonctions polynômes en $w$ à coefficients dans
$\mathcal{H}ol_z(\mathbb{C})$.

b) Quelques décompositions utiles

On a :

$$
- \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2) = \left\{ g = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} c_{m,n} z^m w^n \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2) : c_{0,0} = 0 \right\} \oplus \mathbb{C};
$$

$$
- \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2) = \left\{ g = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} c_{m,n} z^m w^n \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2) : \forall m \in r\mathbb{N}, c_{m,0} = 0 \right\} \oplus \mathrm{Hol}_z^r(\mathbb{C}^2), \\
\text{pour tout } r \ge 1;
$$

Topologie de $\mathcal{H}ol(\mathbb{C}^2)$

$\mathcal{H}ol(\mathbb{C}^2)$ est un espace de Fréchet. Cette structure est définie à partir de la norme de la
convergence uniforme sur tout compact. Dans cette topologie pour $f \in \mathcal{H}ol(\mathbb{C}^2)$,

$$
f \to 0 \iff (\text{Pour toute partie compacte } K \text{ de } \mathbb{C}^2, \|f|_K\|_\infty \to 0).
$$

Ainsi, notons à toute fin utile que, l'opérateur $\mathcal{A}$ de $\mathcal{H}ol(\mathbb{C}^2)$ défini par $\mathcal{A}(f) = f \circ \gamma_A$ est
continue où $A \in GL_2(\mathbb{C})$. En effet pour toute partie compacte $K$ de $\mathbb{C}^2$, par continuité
de $A$, $\mathcal{A}(K)$ est également compacte de sorte que

$$
f \to 0 \implies \| \mathcal{A}(f)|_K \|_{\infty} = \|(f \circ \gamma_A)|_K \|_{\infty} = \| f|_{\gamma_A(K)} \|_{\infty} \to 0 \implies \mathcal{A}(f) \to 0;
$$
ce qui assure la continuité de l'opérateur linéaire $\mathcal{A}$ ainsi que de l'opérateur $1 - \mathcal{A}$ où
$1 = \mathrm{id}_{\mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)}$.

**Remarque 1.4.3.** Lorsqu'on dira que l'espace des fonctions polynômes $C[z, w]$ est dense dans $\mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$, ce sera bien sûr par rapport à cette topologie sous-jacente à la structure d'espace de Fréchet de $\mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$.

Comme ces séries sont de rayon de convergence infini, en utilisant les propriétés des séries doubles absolument convergentes on a les relations de densité suivantes :

$$ \overline{C[z, w]} = \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2) = \overline{C[w]}[z] = \overline{\mathrm{Hol}}_w(\mathbb{C})[z] $$

où $\overline{\mathrm{Hol}}_w(\mathbb{C})[z]$ est l'anneau des fonctions polynômes en la variable complexe $z$ à coefficients fonctions holomorphes en $w$.

Notons enfin, par rapport à la topologie de $\mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$, que dire qu'une série double $\sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ converge dans $\mathbb{C}^2$ revient à dire que son rayon de convergence

$$ R = \frac{1}{\limsup_{m+n \to +\infty} |b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}}} = +\infty. $$
# CHAPITRE 2

## PRÉSENTATION ET RÉSOLUTION DU PROBLÈME

Aziz El Kacimi et Toussaint Sohou ont résolu dans [5] l'équation cohomologique discrète de $(\mathbb{C}^2, \gamma_A)$ avec $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ dans le cas général où $|a| \neq 1$; le cas particulier ou "singulier" $|a| = 1$ restant à notre connaissance en suspens jusqu'à ce jour est celui que nous allons résoudre ici. Nous utiliserons les mêmes méthodes que dans [5].

...

### 2.1 Nature des équations

Pour tout $a \in \mathbb{C}$ tel que $|a| = 1$, notons $\mathcal{F}_a$ le flot holomorphe obtenu par suspension de $\gamma_A$ sur la variété (non compacte) suspension

$$M_a = \frac{\mathbb{R} \times \mathbb{C}^2}{(t, (z, w)) \sim (t + 1, \gamma_A(z, w))}$$

et $X_a$ le champ suspension.

Nous allons résoudre l'équation cohomologique continue $X_a u = v$ sur $M_a$ où $v \in C^\infty(M_a)$ est donné et on cherche $u \in C^\infty(M_a)$. Nous savons [3], que résoudre cette équation revient à résoudre l'équation cohomologique discrète $f - f \circ \gamma_A = g$ sur $\mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$ où $g \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$ est donné et on cherche $f \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$. Ce type d'équation, pour certains cas particuliers importants, a été résolu dans par exemple [3], [4], [1], [5] pour ne citer que ceux là. Notons que toutes ces équations sont linéaires.

Il s'agit, connaissant $g : \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}$ holomorphe, de chercher $f : \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}$ holomorphe vérifiant

$$(\mathcal{E}) : \forall (z, w) \in \mathbb{C}^2, f(z, w) - f(az + w, aw) = g(z, w)$$

où $a$ est un nombre complexe de module 1. On peut, si on préfère, formuler cette équation comme suit :

$$(\mathcal{E}) : f - f \circ \gamma_A = g \text{ sur } \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$$

et l'équation

$$(\mathcal{E}_h) : f - f \circ \gamma_A = 0 \text{ sur } \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$$
est l'équation homogène associée. Une condition nécessaire évidente dans l'équation avec second membre est $g(0, 0) = 0$; dans toute la suite, on la supposera remplie.

Le groupe $\mathbb{Z}$, à travers le générateur $\gamma_A$, agit sur $\operatorname{Hol}(\mathbb{C}^2)$ en posant $p \cdot f = f \circ \gamma_A^p$ et pour cette action $\operatorname{Hol}(\mathbb{C}^2)$ devient un $\mathbb{Z}$-module; ici il s'agira essentiellement pour nous de calculer le premier groupe de cohomologie discret $\mathcal{H}^1(\mathbb{Z}, \operatorname{Hol}(\mathbb{C}^2))$ correspondant.

...

## 2.2 Résolution des équations homogène et générale

On résoudra successivement, comme pour toute équation linéaire, l'équation homogène puis l'équation avec second membre. Pour cela nous utiliserons la proposition suivante :

**Proposition 2.2.1.** On suppose données $\gamma_A$ associée à la matrice $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ où $a \in \mathbb{C}$ et la série formelle $g(z, w) = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} c_{m,n} z^m w^n$.

Pour toute série formelle $f(z, w) = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$, $f - f \circ \gamma_A = g$ si et seulement si les coefficients $b_{m,n}$ vérifient les relations suivantes :

Pour chaque couple $(m, n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$,

$$ (S) : (1 - a^{m+n})b_{m,n} - \sum_{k=1}^{n} C_{m+k}^{m} a^{m+n-k} b_{m+k,n-k} = c_{m,n}. $$

**Démonstration.** Soient $f(z, w) = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ et $g(z, w) = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} c_{m,n} z^m w^n$.

Alors $(z, w) \mapsto f(az + w, aw)$, en tant que composée de fonctions holomorphes sur $\mathbb{C}^2$, est aussi une fonction holomorphe sur $\mathbb{C}^2$.

$$ \text{Soit } f(az + w, aw) = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} d_{m,n} z^m w^n. $$

1. Déterminons les $d_{m,n}$.

Par substitution des variables $z$ et $w$ respectivement par $az + w$ et $aw$ dans $f(z, w) = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$, on a :

$$ f(az + w, aw) = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} (az + w)^m (aw)^n = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} d_{m,n} z^m w^n. $$

Fixons $(m, n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$.

- Pour $p < m$ ou $q > n$, $b_{p,q}(az + w)^p(aw)^q$ ne contient aucun monôme en $z^m w^n$.

- Pour chaque couple $(p, q)$ tel que $p \ge m$ et $q \le n$, $b_{p,q}(az + w)^p(aw)^q$ contient exactement, en utilisant le binôme de Newton, un seul monôme en $z^m w^n$; c'est précisément

$$ b_{p,q} C_p^m a^m z^m w^{p-m} (aw)^q = b_{p,q} C_p^m a^{m+q} z^m w^{p+q-m} $$
à condition que $p + q - m = n$, c'est à dire que $p + q = m + n$. Or le système
$$
\begin{cases}
p \ge m \\
q \le n \\
p + q = m + n
\end{cases}
$$
admet, en posant $p = m + k$, exactement $n + 1$ couples solutions

qui sont $(m + k, n - k)$ où $0 \le k \le n$.

Ainsi

$$
d_{m,n} = \sum_{k=0}^{n} C_{m+k}^{m} a^{m+n-k} b_{m+k,n-k}
$$

et

$$
f(az + w, aw) = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} \left( \sum_{k=0}^{n} C_{m+k}^{m} a^{m+n-k} b_{m+k,n-k} \right) z^{m} w^{n}.
$$

2. Considérons maintenant l'équation ($\mathcal{E}$).

Elle se traduit (par identification) au niveau des coefficients par

$$
b_{m,n} - d_{m,n} = c_{m,n} \quad \forall (m,n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N};
$$

soit

$$
b_{m,n} - \sum_{k=0}^{n} C_{m+k}^{m} a^{m+n-k} b_{m+k,n-k} = c_{m,n} \quad \forall (m,n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}.
$$

où sous la forme réduite

$$
(1 - a^{m+n}) b_{m,n} - \sum_{k=1}^{n} C_{m+k}^{m} a^{m+n-k} b_{m+k,n-k} = c_{m,n} \quad \forall (m,n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}.
$$

□

L'équation ($\mathcal{E}$) est alors équivalente à

$$
(1 - a^{m+n}) b_{m,n} - \sum_{k=1}^{n} C_{m+k}^{k} a^{m+n-k} b_{m+k,n-k} = c_{m,n}, \text{ pour tout } m, n \in \mathbb{N}. \quad (1)
$$

Pour tout couple $(m, n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$, on définira et on notera $|(m, n)|$ son module comme
suit : $|(m, n)| = m + n$.

Le système (*S*), formé de toutes les équations de la formule (1), est en réalité réduit à
une famille dénombrable de systèmes triangulaires (*S*<sub>*p*</sub>)<sub>*p*</sub> où (*S*<sub>*p*</sub>) est le système de module
*p* (i.e. formé de toutes les équations de la formule (1) avec |(*m*, *n*)| = *p*).
Résolution de l'équation homogène ou détermination des fonctions constantes sur les orbites de $\gamma_A$

Soit à résoudre l'équation homogène

$$ (\mathcal{E}_h) : \forall(z, w) \in \mathbb{C}^2, f(z, w) - f(az + w, aw) = 0. $$

Résoudre $(\mathcal{E}_h)$ équivaut donc à résoudre le système suivant

$$
\begin{array}{l@{\qquad}l}
\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  (S_h) \left\{
    \begin{array}{@{}l@{}}
      (1 - a^m)b_{m,0} = 0 \\
      (1 - a^{m+1})b_{m,1} - C_{m+1}^m a^m b_{m+1,0} = 0 \\
      (1 - a^{m+2})b_{m,2} - C_{m+1}^m a^{m+1} b_{m+1,1} - C_{m+2}^m a^m b_{m+2,0} = 0 \\
      (1 - a^{m+3})b_{m,3} - C_{m+1}^m a^{m+2} b_{m+1,2} - C_{m+2}^m a^{m+1} b_{m+2,1} \\
      \phantom{(1 - a^{m+3})b_{m,3} - C_{m+1}^m a^{m+2} b_{m+1,2}} - C_{m+3}^m a^m b_{m+3,0} = 0
    \end{array}
  \right\} \\
  \phantom{(S_h) \left\{ \right.} \text{et pour } m = 0 \text{ et } n \ge 1, \\
  \phantom{(S_h) \left\{ \right.} (1 - a^n)b_{0,n} - a^{n-1}b_{1,n-1} - a^{n-2}b_{2,n-2} - \dots - b_{n,0} = 0 \quad (*)
\end{array}
\right.
&
\begin{array}{@{}l@{}}
  c_{0,0} = 0 \\
  \text{pour } m \ge 1, \\
  \phantom{c_{0,0} = 0} \dots \\
  \phantom{c_{0,0} = 0} \dots \\
  \phantom{c_{0,0} = 0} \dots \\
  (1 - a^{m+n})b_{m,n} - C_{m+1}^m a^{m+n-1} b_{m+1,n-1} - C_{m+2}^m a^{m+n-2} b_{m+2,n-2} - \dots \\
  \phantom{(1 - a^{m+n})b_{m,n} - C_{m+1}^m a^{m+n-1} b_{m+1,n-1} -} - C_{m+n}^m a^m b_{m+n,0} = 0 \quad (n+1) \\
  \text{et pour } m = 0 \text{ et } n \ge 1, \\
  \phantom{(1 - a^{m+n})b_{m,n} - C_{m+1}^m a^{m+n-1} b_{m+1,n-1} -} (1 - a^n)b_{0,n} - a^{n-1}b_{1,n-1} - a^{n-2}b_{2,n-2} - \dots - b_{n,0} = 0 \quad (*)
\end{array}
\end{array}
$$

**Cas $a$ est irrationnel.**

En appliquant la méthode définie plus haut, on trouve successivement

$$ \forall m \ge 1, b_{m,0} = b_{m,1} = b_{m,2} = \dots = b_{m,n} = 0, \text{ ceci } \forall n \ge 0 \text{ et } m \ge 1. $$

Et par conséquent, par l'équation (*), on a :

$$ b_{0,n} = 0 \text{ pour tout } n \ge 1. $$

Et pour $m = n = 0$, $b_{0,0}$ est pris arbitrairement. On a au total $b_{m,n} = 0$ pour tout $(m, n) \ne 0$ et $b_{0,0}$ est pris arbitrairement. Par suite, $f$ est alors identiquement constante !

**Cas $a$ est rationnel d'ordre $r \ge 1$.**

L'équation (0) entraine que $b_{0,0}$ est pris arbitrairement. Dans ce qui suit on prendra
donc $(m, n) \ne (0; 0)$

$$ \bullet \text{ Cas } m + n \ne 0[r]. $$

Dans ce cas on a nécessairement $r \ge 2$.

$$ - \text{Calculons } b_{m,0} \text{ avec } m + 0 = m \ne 0[r]. $$

Dans ce cas, on a $m \ge 1$ et $1 - a^m \ne 0$. L'équation (0) entraine ainsi que

$$ b_{m,0} = 0 \text{ pour } m \ne 0[r] \quad (a). $$
– Calculons $b_{m,1}$ avec $m + 1 \neq 0[r]$.

Dans ce cas, on a $1 - a^{m+1} \neq 0$. L'équation (1) entraine ainsi que

$$b_{m,1} = 0 \text{ pour } m + 1 \neq 0[r] \quad (b).$$

En effet $m + 1 \neq 0[r]$ entraine que $b_{m+1,0} = 0$ selon le résultat (a).

– Calculons $b_{m,2}$ avec $m + 2 \neq 0[r]$.

Dans ce cas, on a $1 - a^{m+n} \neq 0$. L'équation (2) entraine ainsi que

$$b_{m,2} = 0 \text{ pour } m + 2 \neq 0[r].$$

En effet $m + 2 = (m + 1) + 1 \neq 0[r]$ entraine que $b_{m+2,0} = b_{m+1,1} = 0$ selon les résultats (a) et (b).

Ainsi, on obtient de proche en proche que

$$b_{m,n} = 0 \text{ pour } m + n \neq 0[r] \text{ pour tout } m \geq 1.$$

Par suite, l'équation (*) entraine que $b_{0,n} = 0$ pour $n \neq 0[r]$.

Donc pour ce cas, on obtient :

$$b_{m,n} = 0 \text{ pour } m + n \neq 0[r].$$

• Cas $m + n \equiv 0[r]$

– Calculons $b_{m+1,0}$ avec $m + 1 \equiv 0[r]$.

Dans ce cas, on a $1 - a^{m+1} = 0$. L'équation (1) entraine ainsi que

$$b_{m+1,0} = 0 \text{ pour } m + 1 \equiv 0[r] \quad (c).$$

– Calculons $b_{m+1,1}$ avec $m + 2 \equiv 0[r]$.

Dans ce cas, on a $1 - a^{m+2} = 0$. L'équation (2) entraine ainsi que

$$b_{m+1,1} = 0 \text{ pour } m + 2 \equiv 0[r] \quad (d).$$

En effet $m + 2 \equiv 0[r]$ entraine que $b_{m+2,0} = 0$ selon le résultat (c).

• Calculons $b_{m+1,2}$ avec $m + 3 \equiv 0[r]$.

Dans ce cas, on a $1 - a^{m+3} = 0$. L'équation (3) entraine ainsi que

$$b_{m+1,2} = 0 \text{ pour } m + 3 \equiv 0[r].$$

En effet $m + 3 = (m + 2) + 1 \equiv 0[r]$ entraine que $b_{m+3,0} = b_{m+2,1} = 0$ selon les formules (c) et (d).

Ainsi, on obtient de proche en proche que

$$b_{m+1,n-1} = 0 \text{ pour } m + n \equiv 0[r] \text{ pour tous } m \geq 1 \text{ et } n \geq 1,$$

c'est à dire

$$b_{m,n} = 0 \text{ pour } m + n \equiv 0[r] \text{ pour tout } m \geq 2.$$
Par conséquent l'équation (*) entraine que $b_{1,n-1} = 0$ pour $n \equiv 0[r]$ avec $n \ge 1$ (i.e. $b_{1,n} = 0$ pour $1 + n \equiv 0[r]$ avec $n \ge 0$) et $b_{0,n}$ est pris arbitrairement pour $n \equiv 0[r]$ et $n \ne 0$.

Au total, on a obtenu :

$$b_{m,n} = \begin{cases} 0 & \text{si } m + n \neq 0[r] \\ 0 & \text{si } m \neq 0 \text{ et } m + n \equiv 0[r] \end{cases},$$

et pour $n \equiv 0[r]$, $b_{0,n}$ est pris arbitrairement de sorte que la série $\sum_{n \ge 0} b_{0,nr}w^{nr}$ converge sur $\mathbb{C}^2$. D'où $f \in \text{Hol}_w^r(\mathbb{C}^2)$.

**Définition 2.2.1.** Une fonction $f \in \text{Hol}(\mathbb{C}^2)$ est dite invariante par $\gamma_A$ ou invariante sur les orbites de $\gamma_A$ si pour tout $p \in \mathbb{Z}$, $p \cdot f = f \circ \gamma_A^p = f$ ou de façon équivalente si $f \circ \gamma_A = f$.

**Remarque 2.2.1.** On remarquera que l'espace des fonctions invariantes sur les orbites de $\gamma_A$ coïncide avec l'espace $S_{\text{Homogène}}$ des solutions homogènes de l'équation $(\mathcal{E})$.

Ceci dit au regard de ce qui précède, on a établi :

**Proposition 2.2.2.** *L'espace des solutions homogènes $S_{\text{Homogène}}$ ou l'espace des fonctions invariantes sur les orbites de $\gamma_A$ est*

$$S_{\text{Homogène}} = \begin{cases} \mathbb{C} & \text{si a est une rotation irrationnelle;} \\ \text{Hol}_w^r(\mathbb{C}^2) & \text{si a est une rotation rationnelle d'ordre } r \ge 1. \end{cases}$$

Résolution de l'équation avec second membre

Ici, on va constater les difficultés à résoudre l'équation de façon directe et la nécessité de trouver un autre angle d'attaque.

Cadre général

On rappelle que résoudre $(\mathcal{E})$ revient à résoudre le système $(S)$ suivant :
• Dans le cas $a = 1$, l'utilisation de cette même méthode entraine que les $b_{0,n}$ seront pris arbitrairement et que pour tout $m \neq 0$

$$ 
\begin{aligned}
b_{m,n} &= \text{combinaison linéaire des } c_{m-1,n+1}, c_{m,n}, \dots, c_{m+n-1,1}, \\
&= -\frac{c_{m-1,n+1}}{C_m^1} + \text{une combinaison linéaire des } c_{m+1,n-1}, \dots, c_{m+n-1,1}
\end{aligned}
$$

i.e. il existe des coefficients $\zeta_{m,n}^k$ tels que

$$ b_{m,n} = \sum_{k=0}^{n} \zeta_{m,n}^{k} c_{m-1+k,n+1-k} = -\frac{c_{m-1,n+1}}{C_m^1} + \sum_{k=1}^{n} \zeta_{m,n}^{k} c_{m-1+k,n+1-k} $$

Dans ce cas la solution formelle générale est de la forme $\sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ avec les $b_{0,n}$ pour tout $n \ge 0$ pris arbitrairement et les autres $b_{m,n}$ donnés par la formule ci-dessus.

• Dans le cas $a$ rationnel d'ordre $r \ge 2$, l'utilisation de cette même méthode entraine que les $b_{0,nr}$ sont pris arbitrairement pour tout $n \ge 0$.

Si $m + n \neq 0[r]$ alors on obtient

$$ 
\begin{aligned}
b_{m,n} &= \text{comb. lin. des } c_{m,n}, c_{m+1,n-1}, \dots, c_{m+k,n-k}, \dots, c_{m+n-1,1}, c_{m+n,0} \\
&= \frac{c_{m,n}}{1-a^{m+n}} + \text{une combinaison linéaire des } c_{m+1,n-1}, \dots, c_{m+k,n-k}, \dots, c_{m+n-1,1}, c_{m+n,0}
\end{aligned}
$$

i.e. il existe des coefficients $\xi_{m,n}^k$ tels que

$$ b_{m,n} = \sum_{k=0}^{n} \xi_{m,n}^{k} c_{m+k,n-k} = \frac{c_{m,n}}{1-a^{m+n}} + \sum_{k=1}^{n} \xi_{m,n}^{k} c_{m+k,n-k} $$

où les $\xi_{m,n}^k$ sont les mêmes que ceux du cas diophantien.

Si $m + n \equiv 0[r]$ et $m \neq 0$ alors on obtient

$$ b_{m,n} = \sum_{k=0}^{n} a^{-k+1} \xi_{m,n}^{k} c_{m-1+k,n+1-k} = -\frac{ac_{m-1,n+1}}{C_m^1} + \sum_{k=1}^{n} a^{-k+1} \xi_{m,n}^{k} c_{m-1+k,n+1-k} $$

où les $\xi_{m,n}^k$ sont les mêmes que ceux du cas $a = 1$.

Dans ce cas la solution formelle générale est de la forme $\sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ avec les $b_{0,nr}$ pour tout $n \ge 0$ pris arbitrairement et les autres $b_{m,n}$ donnés par les formules ci-dessus.

Dans tous les cas la solution formelle générale n'est pas unique. En effet dans le cas irrationnel le $b_{0,0}$ est pris arbitrairement, tandis que dans le cas rationnel les $b_{0,nr}$ pour tout $n \ge 0$ pris arbitrairement. Comme nous ne recherchons qu'une seule solution nous nous intéresserons à la série formelle :

• dans le cas $a$ rationnel

$$ \sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n \text{ avec } b_{m,n} = \begin{cases} 0 & \text{si } m = n = 0 \\ \sum_{k=0}^{n} \xi_{m,n}^{k} c_{m+k,n-k} & \text{sinon} \\ \end{cases} $$
• dans le cas $a = 1$

$$ \sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n \text{ avec } b_{m,n} = \begin{cases} 0 & \text{si } m=0 \\ \sum_{k=0}^{n} \xi_{m,n}^k c_{m-1+k,n+1-k} & \text{sinon} \\ \sum_{k=0}^{n} \xi_{m,n}^k c_{m-1+k,n+1-k} & \text{si } m+n \neq 0[r] \end{cases}; $$

• dans le cas $a$ rationnel d'ordre $r \ge 2$

$$ \sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n \text{ avec } b_{m,n} = \begin{cases} 0 & \text{si } m=0 \text{ et } n \equiv 0[r] \\ \sum_{k=0}^{n} \xi_{m,n}^k c_{m+k,n-k} & \text{si } m+n \neq 0[r] \\ \sum_{k=0}^{n} a^{1-k} \xi_{m,n}^k c_{m-1+k,n+1-k} & \text{si } m+n \equiv 0[r] \text{ et } m \neq 0 \end{cases} $$

Dans chacun des cas, le tout est d'établir la convergence de la série $\sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ sur $\mathbb{C}^2$. Ce qui n'est pas évident. Pour commencer, nous établirons la convergence de la série $\sum_{m \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ fixé, puis la convergence de la série $\sum_{n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ pour tout $m \in \mathbb{N}$ fixé.

Détermination effective des coefficients $\xi_{m,n}^k$ et $\zeta_{m,n}^k$ et quelques majorations utiles

Détermination effective des coefficients $\xi_{m,n}^k$ et $\zeta_{m,n}^k$

Cas : $a$ est une rotation irrationnelle.

La résolution des cinq premières équations du système (S) donne

$$ \bullet b_{m,0} = \xi_{m,0}^0 c_{m,0} \text{ où } \alpha_{m,0} = A_{m+0}^0 \theta_{0,m,0} \text{ avec } \theta_{0,m,0} = \frac{1}{1-a^m}. $$

$$ \bullet b_{m,1} = \xi_{m,1}^0 c_{m,1} + \xi_{m,1}^1 c_{m+1,0} \text{ Où } \xi_{m,1}^0 \text{ est le même que } \xi_{m,0}^0 (\theta_{0,m,1} = \theta_{0,m+1,0}) \text{ et } \\ \xi_{m,1}^1 = A_{m+1}^1 \theta_{1,m,1} \text{ avec } \theta_{1,m,1} = \frac{a^m}{(1-a^{m+1})^2}. $$

$$ \bullet b_{m,2} = \xi_{m,2}^0 c_{m,2} + \xi_{m,2}^1 c_{m+1,1} + \xi_{m,2}^2 c_{m+2,0}; \text{ Où } \xi_{m,2}^0 \text{ et } \xi_{m,2}^1 \text{ sont respectivement les mêmes que } \xi_{m,1}^0 (\theta_{0,m,2} = \theta_{0,m+1,1}) \text{ et } \xi_{m,1}^1 (\theta_{1,m,2} = \theta_{1,m+1,1}). \text{ On a } \xi_{m,2}^2 = A_{m+2}^2 \theta_{2,m,2} \text{ avec } $$

$$ \theta_{2,m,2} = \frac{a^m}{2!(1-a^{m+2})^2} + \frac{(a^{m+1})^2}{1!!(1-a^{m+2})^3}. $$
• $b_{m,3} = \xi_{m,3}^0 c_{m,3} + \xi_{m,3}^1 c_{m+1,2} + \xi_{m,3}^2 c_{m+2,1} + \xi_{m,3}^3 c_{m+3,0}$; Où $\xi_{m,3}^0, \xi_{m,3}^1$ et $\xi_{m,3}^2$ sont respectivement les mêmes que $\xi_{m,2}^0 (\theta_{0,m,3} = \theta_{0,m+1,2})$, $\xi_{m,2}^1 (\theta_{1,m,3} = \theta_{1,m+1,2})$ et $\xi_{m,2}^2 (\theta_{2,m,3} = \theta_{2,m+1,2})$. On a $\xi_{m,3}^3 = A_{m+3}^3 \theta_{3,m,3}$ avec

$$ \theta_{3,m,3} = \frac{a^m}{3!(1-a^{m+3})^2} + \frac{a^{m+1}a^{m+2}}{1!2!(1-a^{m+3})^3} + \frac{a^{m+1}a^{m+2}}{1!2!(1-a^{m+3})^3} + \frac{(a^{m+2})^3}{1!1!1!(1-a^{m+3})^4}. $$

• $b_{m,4} = \xi_{m,4}^0 c_{m,4} + \xi_{m,4}^1 c_{m+1,3} + \xi_{m,4}^2 c_{m+2,2} + \xi_{m,4}^3 c_{m+3,1} + \xi_{m,4}^4 c_{m+4,0}$; Où $\xi_{m,4}^0, \xi_{m,4}^1, \xi_{m,4}^2$ et $\xi_{m,4}^3$ sont respectivement les mêmes que $\xi_{m,3}^0 (\theta_{0,m,4} = \theta_{0,m+1,3})$, $\xi_{m,3}^1 (\theta_{1,m,4} = \theta_{1,m+1,3})$, $\xi_{m,3}^2 (\theta_{2,m,4} = \theta_{2,m+1,3})$ et $\xi_{m,3}^3 (\theta_{3,m,4} = \theta_{3,m+1,3})$. On a $\xi_{m,4}^4 = A_{m+4}^4 \theta_{4,m,4}$ avec

$$ \theta_{4,m,4} = \frac{a^m}{4!(1-a^{m+4})^2} + \frac{a^{m+1}a^{m+3}}{1!3!(1-a^{m+4})^3} + \frac{(a^{m+2})^2}{2!2!(1-a^{m+4})^3} + \frac{a^{m+2}(a^{m+3})^2}{1!1!2!(1-a^{m+4})^4} + \frac{a^{m+1}a^{m+3}}{1!3!(1-a^{m+4})^3} + \frac{a^{m+2}(a^{m+3})^2}{1!1!2!(1-a^{m+4})^4} + \frac{(a^{m+3})^4}{1!1!2!(1-a^{m+4})^5}. $$

On montre que

$$ b_{m,n} = \sum_{k=0}^{n} \xi_{m,n}^{k} c_{m+k,n-k}, \qquad (2) $$

où $\xi_{m,n}^k = A_{m+k}^k \theta_{k,m,n}$ avec $\theta_{0,m,n} = \frac{1}{1-a^{m+n}}$ et pour tout $1 \le k \le n$

$$ \theta_{k,m,n} = \sum_{s=1}^{k} \left( \frac{a^{s(m+n)-k}}{(1-a^{m+n})^{s+1}} \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_s) \\ p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = k}} \frac{1}{p_1! \dots p_s!} \right). $$

La formule des $\xi_{m,n}^k$ se démontre comme celle des $\zeta_{m,n}^k$ du cas $a = 1$ ci-après.

### Démonstration.
Nous procéderons par récurrence sur $n$.

• L'équation (0) du système (S) entraine que la formule (2) est vraie pour $n = 0$.

• Supposons que la formule (2) soit vraie jusqu'au rang $n > 0$, et montrons qu'elle l'est encore au rang $n + 1$.

Considérons l'équation $(n + 1)$ du système (S) et calculons $b_{m,n+1}$.

On a :

$$ (1 - a^{m+n+1}) b_{m,n+1} = c_{m,n+1} + \sum_{k=1}^{n+1} C_{m+k}^{k} a^{m+n+1-k} b_{m+k,n+1-k} \\ b_{m,n+1} = \frac{1}{1 - a^{m+n+1}} c_{m,n+1} + \frac{1}{1 - a^{m+n+1}} \sum_{k=1}^{n+1} C_{m+k}^{k} a^{m+n+1-k} b_{m+k,n+1-k}. $$
En utilisant l'hypothèse de récurrence, on a successivement :

$$
\begin{align*}
b_{m,n+1} &= \frac{1}{1-a^{m+n+1}} c_{m,n+1} + \frac{1}{1-a^{m+n+1}} \sum_{k=1}^{n+1} \sum_{j=0}^{n+1-k} C_{m+k}^k a^{m+n+1-k} \xi_{m+k,n+1-k}^j c_{m+k+j,n+1-k-j} \\
&= \frac{1}{1-a^{m+n+1}} c_{m,n+1} + \frac{1}{1-a^{m+n+1}} \sum_{k=1}^{n+1} \sum_{j=0}^{n+1-k} C_{m+k}^k a^{m+n+1-k} A_{m+k+j}^j \theta_{j,m+k,n+1-k} c_{m+k+j,n+1-k-j} \\
&= \frac{1}{1-a^{m+n+1}} c_{m,n+1} + \frac{1}{1-a^{m+n+1}} \sum_{q=1}^{n+1} \sum_{\substack{k+j=q \\ 1 \le k \le n+1 \\ 0 \le j \le n+1-k}} C_{m+k}^k a^{m+n+1-k} A_{m+k+j}^j \theta_{j,m+k,n+1-k} c_{m+k+j,n+1-k-j}.
\end{align*}
$$

En posant $k = q - j$, on obtient

$$
\begin{align*}
b_{m,n+1} &= \frac{1}{1-a^{m+n+1}} c_{m,n+1} + \frac{1}{1-a^{m+n+1}} \sum_{q=1}^{n+1} \left( \sum_{j=0}^{q-1} C_{m+q-j}^{q-j} A_{m+q}^{j} a^{m+n+1+j-q} \theta_{j,m+q-j,n+1+j-q} \right) c_{m+q,n+1-q} \\
&= \frac{1}{1-a^{m+n+1}} c_{m,n+1} + \sum_{q=1}^{n+1} \left( \sum_{j=0}^{q-1} \frac{A_{m+q}^{q}}{(q-j)!} \frac{a^{m+n+1+j-q}}{1-a^{m+n+1}} \theta_{j,m+q-j,n+1+j-q} \right) c_{m+q,n+1-q} \\
&= \frac{1}{1-a^{m+n+1}} c_{m,n+1} + \sum_{q=1}^{n+1} A_{m+q}^{q} \left( \sum_{j=0}^{q-1} \frac{a^{m+n+1+j-q}}{(1-a^{m+n+1})(q-j)!} \theta_{j,m+q-j,n+1+j-q} \right) c_{m+q,n+1-q} \\
&\quad + A_{m+1}^{1} \frac{a^{m+n}}{1-a^{m+n+1}} \theta_{0,m+1,n} c_{m+1,n} \\
&= \frac{1}{1-a^{m+n+1}} c_{m,n+1} + \sum_{q=2}^{n+1} A_{m+q}^{q} \left( \sum_{j=0}^{q-1} \frac{a^{m+n+1+j-q}}{(1-a^{m+n+1})(q-j)!} \theta_{j,m+q-j,n+1+j-q} \right) c_{m+q,n+1-q} \\
&\quad + A_{m+1}^{1} \frac{a^{m+n}}{(1-a^{m+n+1})^2} c_{m+1,n} \\
&= A_{m+0}^{0} \theta_{0,m,n+1} c_{m,n+1} + \sum_{q=2}^{n+1} A_{m+q}^{q} \left( \sum_{j=0}^{q-1} \frac{a^{m+n+1+j-q}}{(1-a^{m+n+1})(q-j)!} \theta_{j,m+q-j,n+1+j-q} \right) c_{m+q,n+1-q} \\
&\quad + A_{m+1}^{1} \theta_{1,m,n+1} c_{m+1,n}.
\end{align*}
$$

Posons, pour tout $2 \le q \le n+1$, $\mathcal{A}_q = \sum_{j=0}^{q-1} \frac{a^{m+n+1+j-q}}{(1-a^{m+n+1})(q-j)!} \theta_{j,m+q-j,n+1+j-q}$.
On a successivement

$$
\begin{align*}
\mathcal{A}_q &= \frac{a^{m+n+1-q}}{q!(1-a^{m+n+1})} \theta_{0,m+q,n+1-q} + \sum_{j=1}^{q-1} \frac{a^{m+n+1+j-q}}{(1-a^{m+n+1})(q-j)!} \theta_{j,m+q-j,n+1+j-q} \\
&= \frac{a^{m+n+1-q}}{q!(1-a^{m+n+1})^2} + \sum_{j=1}^{q-1} \frac{a^{m+n+1+j-q}}{(1-a^{m+n+1})(q-j)!} \sum_{s=1}^{j} \frac{a^{s(m+n+1)-j}}{(1-a^{m+n+1})^{s+1}} \sum_{\substack{p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = j}} \frac{1}{p_1! \cdots p_s!} \\
&= \frac{a^{m+n+1-q}}{q!(1-a^{m+n+1})^2} + \sum_{j=1}^{q-1} \sum_{s=1}^{j} \frac{a^{(s+1)(m+n+1)-q}}{(1-a^{m+n+1})^{s+2}(q-j)!} \sum_{\substack{p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = j}} \frac{1}{p_1! \cdots p_s!} .
\end{align*}
$$

En réorganisant la somme, on obtient successivement :

$$
\begin{align*}
\mathcal{A}_q &= \frac{a^{m+n+1-q}}{q!(1-a^{m+n+1})^2} + \sum_{s=1}^{q-1} \sum_{j=s}^{q-1} \frac{a^{(s+1)(m+n+1)-q}}{(1-a^{m+n+1})^{s+2}(q-j)!} \sum_{\substack{p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = j}} \frac{1}{p_1! \cdots p_s!} \\
&= \frac{a^{m+n+1-q}}{q!(1-a^{m+n+1})^2} + \sum_{s=1}^{q-1} \frac{a^{(s+1)(m+n+1)-q}}{(1-a^{m+n+1})^{s+2}} \left( \sum_{j=s}^{q-1} \frac{1}{(q-j)!} \sum_{\substack{p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = j}} \frac{1}{p_1! \cdots p_s!} \right) \\
&= \frac{a^{m+n+1-q}}{q!(1-a^{m+n+1})^2} + \sum_{s=1}^{q-1} \frac{a^{(s+1)(m+n+1)-q}}{(1-a^{m+n+1})^{s+2}} \sum_{\substack{p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = q}} \frac{1}{p_1! \cdots p_{s+1}!} \\
&= \frac{a^{m+n+1-q}}{q!(1-a^{m+n+1})^2} + \sum_{s=2}^{q} \frac{a^{s(m+n+1)-q}}{(1-a^{m+n+1})^{s+1}} \sum_{\substack{p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = q}} \frac{1}{p_1! \cdots p_s!} \\
&= \sum_{s=1}^{q} \frac{a^{s(m+n+1)-q}}{(1-a^{m+n+1})^{s+1}} \sum_{\substack{p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = q}} \frac{1}{p_1! \cdots p_s!} \\
&= \theta_{q,m,n+1}.
\end{align*}
$$
Donc on a

$$
\begin{align*}
b_{m,n+1} &= A_{m+0}^0 \theta_{0,m,n+1} c_{m,n+1} + \sum_{q=2}^{n+1} A_{m+q}^q \left( \sum_{j=0}^{q-1} \frac{a^{m+n+1+j-q}}{(1-a^{m+n+1})(q-j)!} \theta_{j,m+q-j,n+1+j-q} \right) c_{m+q,n+1-q} \\
&\quad + A_{m+1}^1 \theta_{1,m,n+1} c_{m+1,n} \\
&= A_{m+0}^0 \theta_{0,m,n+1} c_{m,n+1} + \sum_{q=2}^{n+1} A_{m+q}^q \mathcal{A}_q c_{m+q,n+1-q} + A_{m+1}^1 \theta_{1,m,n+1} c_{m+1,n} \\
&= A_{m+0}^0 \theta_{0,m,n+1} c_{m,n+1} + \sum_{q=2}^{n+1} A_{m+q}^q \theta_{q,m,n+1} c_{m+q,n+1-q} + A_{m+1}^1 \theta_{1,m,n+1} c_{m+1,n} \\
&= \sum_{q=0}^{n+1} A_{m+q}^q \theta_{q,m,n+1} c_{m+q,n+1-q} \\
b_{m,n+1} &= \sum_{q=0}^{n+1} \xi_{m,n+1}^q c_{m+q,n+1-q}.
\end{align*}
$$

□

Cas : $a = 1$.

La résolution des six premières équations du système (S) donne

$$
\bullet b_{m,0} = \zeta_{m,0}^{0} c_{m-1,1} \text{ pour tout } m \neq 0 \text{ avec } \zeta_{m,0}^{0} = -\frac{1}{m}.
$$

$$
\bullet b_{m,1} = \zeta_{m,1}^0 c_{m-1,2} + \zeta_{m,1}^1 c_{m,1}; \text{ Où } \zeta_{m,1}^0 = \zeta_{m,0}^0 \text{ et } \zeta_{m,1}^1 = A_{m+0}^0 \theta_0 \text{ et } \theta_0 = \frac{1}{2}.
$$

$$
\bullet b_{m,2} = \zeta_{m,2}^0 c_{m-1,3} + \zeta_{m,2}^1 c_{m,2} + \zeta_{m,2}^2 c_{m+1,1}; \text{ où } \zeta_{m,2}^0 \text{ et } \zeta_{m,2}^1 \text{ sont respectivement les mêmes que } \zeta_{m,1}^0 \text{ et } \zeta_{m,1}^1. \text{ On a } \zeta_{m,2}^2 = A_{m+1}^1 \theta_1 \text{ avec } \theta_1 = \frac{1}{1!3!} - \frac{1}{2!2!}.
$$

$$
\bullet b_{m,3} = \zeta_{m,3}^{0} c_{m-1,4} + \zeta_{m,3}^{1} c_{m,3} + \zeta_{m,3}^{2} c_{m+1,2} + \zeta_{m,3}^{3} c_{m+2,1}; \text{où } \zeta_{m,3}^{0}, \zeta_{m,3}^{1} \text{ et } \zeta_{m,3}^{2} \text{ sont respectivement les mêmes que } \zeta_{m,2}^{0}, \zeta_{m,2}^{1} \text{ et } \zeta_{m,2}^{2}.
$$

$$
\text{On a } \zeta_{m,3}^3 = A_{m+2}^2 \theta_2 \text{ avec } \theta_2 = \frac{1}{4!1!1!} - \frac{1}{3!2!1!} - \frac{1}{3!2!1!} + \frac{1}{2!2!2!}.
$$

$$
\bullet b_{m,4} = \zeta_{m,4}^0 c_{m-1,5} + \zeta_{m,4}^1 c_{m,4} + \zeta_{m,4}^2 c_{m+1,3} + \zeta_{m,4}^3 c_{m+2,2} + \zeta_{m,4}^4 c_{m+3,1}; \text{où } \zeta_{m,4}^0, \zeta_{m,4}^1, \zeta_{m,4}^2 \text{ et } \zeta_{m,4}^3 \text{ sont respectivement les mêmes que } \zeta_{m,3}^0, \zeta_{m,3}^1, \zeta_{m,3}^2 \text{ et } \zeta_{m,3}^3.
$$

On a $\zeta_{m,4}^4 = A_{m+3}^3 \theta_3$ avec

$$
\theta_3 = \frac{1}{5!1!1!1!} - \frac{1}{4!2!1!1!} - \frac{1}{4!2!1!1!} - \frac{1}{3!3!1!1!} + \frac{1}{3!2!2!1!} + \frac{1}{3!2!2!1!} + \frac{1}{3!2!2!1!} - \frac{1}{2!2!2!2!}
$$
• $b_{m,5} = \zeta_{m,5}^0 c_{m-1,6} + \zeta_{m,5}^1 c_{m,5} + \zeta_{m,5}^2 c_{m+1,4} + \zeta_{m,5}^3 c_{m+2,3} + \zeta_{m,5}^4 c_{m+3,2} + \zeta_{m,5}^5 c_{m+4,1}$; où
$\zeta_{m,5}^0, \zeta_{m,5}^1, \zeta_{m,5}^2, \zeta_{m,5}^3$ et $\zeta_{m,5}^4$ sont respectivement les mêmes que $\zeta_{m,4}^0, \zeta_{m,4}^1, \zeta_{m,4}^2, \zeta_{m,4}^3$ et $\zeta_{m,4}^4$.
On a $\zeta_{m,5}^5 = A_{m+4}^4 \theta_4$ avec

$$
\theta_4 = \left( \frac{1}{6!1!1!1!} - \frac{1}{5!2!1!1!} - \frac{1}{4!3!1!1!} + \frac{1}{4!2!1!1!} - \frac{1}{4!3!1!1!} + \frac{1}{3!3!2!1!1!} + \frac{1}{3!3!2!1!1!} - \frac{1}{3!2!1!1!} - \frac{1}{5!2!1!1!1!} + \frac{1}{4!2!2!1!1!} + \frac{1}{3!3!2!1!1!} - \frac{1}{3!2!1!1!} - \frac{1}{4!2!2!1!1!} + \frac{1}{3!2!1!1!} - \frac{1}{3!2!1!1!} - \frac{1}{3!2!1!1!} + \frac{1}{2!2!2!2!} \right) c_{m+4,1}
$$

On montre que

$$
b_{m,n} = \sum_{k=0}^{n} \zeta_{m,n}^{k} c_{m-1+k,n+1-k}, \quad (3)
$$

où $\zeta_{m,n}^0 = -\frac{1}{m}$ et pour $1 \le k \le n$, $\zeta_{m,n}^k = A_{m-1+k}^{k-1} \theta_{k-1}$ avec

$$
\theta_{k-1} = \sum_{s=0}^{k-1} \left( \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_{k-s}) \\ p_i \ge 2 \\ \sum_i p_i = 2k-s}} \frac{(-1)^{k-s+1}}{p_1! \cdots p_{k-s}!} \right).
$$

Montrons la formule des $\zeta_{m,n}^k$ par récurrence sur $k \ge 1$ avec $n > k$ car on remarque que
$\zeta_{m,n}^k = \zeta_{m,k}^k$ pour tous $m \ne 0, n \ge 0$ et $k \le n$.

Démonstration. On établira par récurrence sur $k < n$ que $\zeta_{m,n}^k = A_{m+k-1}^{k-1} \theta_{k-1}$ avec

$$
\theta_{k-1} = \sum_{s=0}^{k-1} \left( \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_{k-s}) \\ p_i \ge 2 \\ \sum_i p_i = 2k-s}} \frac{(-1)^{k-s+1}}{p_1! \cdots p_{k-s}!} \right).
$$

• cas $k=1$

$$
\zeta_{m,n}^{1} = \zeta_{m,1}^{1} = \frac{1}{2} = A_{m+0}^{0} \theta_{0}.
$$

• Supposons que $\zeta_{m,n}^k = A_{m+k-1}^{k-1} \theta_{k-1}$ est vraie jusqu'à l'ordre $q$ ($k \le q < n$) et montrons que $\zeta_{m,n}^{q+1} = A_{m+q}^q \theta_q$ avec

$$
\theta_q = \sum_{s=0}^{q} \left( \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_{q+1-s}) \\ p_i \ge 2 \\ \sum_i p_i = 2(q+1)-s}} \frac{(-1)^{q-s+2}}{p_1! \cdots p_{q+1-s}!} \right).
$$
$\zeta_{m,n}^{q+1} = \zeta_{m,q+1}^{q+1}$ est donc le coefficient de $c_{m+q,1}$ dans $b_{m,q+1}$. Considérons donc l'équation
$E_{q+2}$.

$$
E_{q+2} : \sum_{k=1}^{q+2} C_{m+k}^{k} b_{m+k,q+2-k} = -c_{m,q+2}.
$$

Donc

$$
b_{m+1,q+1} = -\frac{1}{m+1} c_{m,q+2} - \frac{1}{m+1} \sum_{k=2}^{q+2} C_{m+k}^{k} b_{m+k,q+2-k},
$$

et par suite

$$
b_{m,q+1} = -\frac{1}{m} c_{m-1,q+2} - \frac{1}{m} \sum_{k=2}^{q+2} C_{m-1+k}^{k} b_{m-1+k,q+2-k}.
$$

Or pour tout $k \in [[2; q+2]]$, tous les coefficients des termes de $b_{m-1+k,q+2-k}$ vérifient
l'hypothèse de récurrence car $0 \le q+2-k \le q$. Pour tout $k \in [[2; q+2]]$, $b_{m-1+k,q+2-k}$
possède un unique $c_{m+q,1}$.

Le coefficient de $c_{m+q,1}$ dans $b_{m-1+k,q+2-k}$ est :

$$
- \frac{1}{m+q+1} \text{ si } k = q+2;
$$

$$
- A_{m+q}^{q+1-k} \theta_{q+1-k} \text{ si } 2 \le k \le q+1.
$$

$$
\text{Donc } \zeta_{m,q+1}^{q+1} = -\frac{1}{m} \left(-\frac{1}{m+q+1}\right) C_{m+q+1}^{q+2} - \frac{1}{m} \sum_{k=2}^{q+1} C_{m-1+k}^{k} A_{m+q}^{q+1-k} \theta_{q+1-k}.
$$

On remarque que $A_{m+q}^q$ divise $\zeta_{m,q+1}^{q+1}$. En effet, on a :

d'une part

$$
\begin{align*}
\frac{C_{m-1+k}^k A_{m+q}^{q+1-k}}{m} &= \frac{A_{m-1+k}^k A_{m+q}^{q+1-k}}{k!m} \\
&= \frac{(m+q) \dots (m+k)(m-1+k) \dots (m+1)m}{k!m} \\
&= \frac{A_{m+q}^q}{k!}
\end{align*}
$$

et d'autre part

$$
\begin{align*}
-\frac{1}{m} \left(-\frac{1}{m+q+1}\right) C_{m+q+1}^{q+2} &= \frac{A_{m+q+1}^{q+2}}{(q+2)!m(m+q+1)} \\
&= \frac{(m+q+1)(m+q)\dots(m+1)m}{(q+2)!m(m+q+1)} \\
&= \frac{A_{m+q}^q}{(q+2)!}.
\end{align*}
$$

$$
\text{Donc } \zeta_{m,q+1}^{q+1} = A_{m+q}^{q} \mathcal{A}_{q} \text{ où } \mathcal{A}_{q} = \frac{1}{(q+2)!} - \sum_{k=2}^{q+1} \frac{1}{k!} \theta_{q+1-k}.
$$
On a

$$
\begin{align*}
\mathcal{A}_q &= \frac{1}{(q+2)!} - \sum_{k=2}^{q+1} \frac{1}{k!} \theta_{q+1-k} \\
&= \frac{1}{(q+2)!} - \sum_{k=0}^{q-1} \frac{1}{(q+1-k)!} \theta_k \\
\mathcal{A}_q &= \frac{1}{(q+2)!} - \sum_{k=0}^{q-1} \sum_{s=0}^{k} \left( \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_{k+1-s}) \\ p_i \ge 2 \\ \sum_i p_i = 2(k+1)-s}} \frac{(-1)^{k-s+2}}{p_1! \dots p_{k+1-s}!(q+1-k)!} \right).
\end{align*}
$$

En réorganisant le second terme du membre de droite de notre égalité, puis en déroulant $k$, on obtient successivement

$$
\begin{align*}
\mathcal{A}_q &= \frac{1}{(q+2)!} + \sum_{s=0}^{q-1} \sum_{k=s}^{q-1} \left( \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_{k+1-s}) \\ p_i \ge 2 \\ \sum_i p_i = 2(k+1)-s}} \frac{(-1)^{k-s+3}}{p_1! \dots p_{k+1-s}!(q+1-k)!} \right) \\
&= \frac{1}{(q+2)!} + \sum_{j=0}^{q-1} \left( \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_{q+j-1}) \\ p_i \ge 2 \\ \sum_i p_i = 2(q+1)-j}} \frac{(-1)^{q-j+2}}{p_1! \dots p_{q+j-1}!} \right) \\
&= \sum_{j=0}^{q} \left( \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_{q+j-1}) \\ p_i \ge 2 \\ \sum_i p_i = 2(q+1)-j}} \frac{(-1)^{q-j+2}}{p_1! \dots p_{q+j-1}!} \right) \\
&= \theta_q
\end{align*}
$$

En conclusion pour tout $k \le n$, on a : $\zeta_{m,n}^k = A_{m+k-1}^{k-1} \theta_{k-1}$ avec

$$
\theta_{k-1} = \sum_{s=0}^{k-1} \left( \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_{k-s}) \\ p_i \ge 2 \\ \sum_i p_i = 2k-s}} \frac{(-1)^{k-s+1}}{p_1! \cdots p_{k-s}!} \right).
$$

<figure><img src="image_10.png" /></figure>
Cas : *a* est une rotation rationnelle d'ordre *r* ≥ 2.

Le cas $m+n \equiv 0[r]$ et $m \neq 0$ se traitant comme le cas $a=1$, et le cas $m+n \neq 0[r]$ se traitant comme le cas *a* diophantien, on obtient après calculs :

si $m + n \equiv 0[r]$ et $m \neq 0$ alors

$$
b_{m,n} = \sum_{k=0}^{n} a^{1-k} \zeta_{m,n}^{k} c_{m-1+k,n+1-k}, \quad (4)
$$

où $\zeta_{m,n}^0 = -\frac{1}{m}$ et pour tout $1 \le k \le n$, $\zeta_{m,n}^k = A_{m-1+k}^{k-1} \theta_{k-1}$ avec

$$
\theta_{k-1} = \sum_{s=0}^{k-1} \left( \sum_{\substack{p_1, \dots, p_{k-s} \\ p_i \ge 2 \\ \sum_i p_i = 2k-s}} \frac{(-1)^{k-s+1}}{p_1! \cdots p_{k-s}!} \right);
$$

si $m+n \neq 0[r]$ alors

$$
b_{m,n} = \sum_{k=0}^{n} \xi_{m,n}^{k} c_{m+k,n-k}, \quad (5)
$$

où $\xi_{m,n}^k = A_{m+k}^k \theta_{k,m,n}$ avec $\theta_{0,m,n} = \frac{1}{1-a^{m+n}}$ et pour tout $1 \le k \le n$

$$
\theta_{k,m,n} = \sum_{s=1}^{k} \left( \frac{a^{s(m+n)-k}}{(1-a^{m+n})^{s+1}} \sum_{\substack{p_1, \dots, p_s \\ p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = k}} \frac{1}{p_1! \cdots p_s!} \right).
$$

Quelques majorations utiles [31]

• Si *a* est une rotation rationnelle d'ordre *r* ≥ 1, alors

$$
\forall k \ge 0, |\theta_k| \le \frac{1}{2}.
$$

On rappelle que

$$
\forall k \ge 0, \theta_k = \sum_{s=0}^{k} \left( \sum_{\substack{p_1, \dots, p_{k+1-s} \\ p_i \ge 2 \\ \sum_i p_i = 2(k+1)-s}} \frac{(-1)^{k-s+2}}{p_1! \dots p_{k+1-s}!} \right).
$$
Comme $\forall i \in \overline{1, k+1-s}, p_i \ge 2$ on a $\Pi_{i=1}^{k+1-s} p_i! \ge 2^{k+1-s}$. Si nous affectons d'abord 2
objets à chaque $p_i$, il nous en restera $s$ à repartir et en le faisant on obtient une majoration
plus fine $\Pi_{i=1}^{k+1-s} p_i! \ge 2^{k+1-s} \times 2^s = 2^{k+1}$.

On a successivement

$$
\begin{align*}
|\theta_k| &= \left| \sum_{s=0}^{k} \left( \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_{k+1-s}) \\ p_i \ge 2 \\ \sum_i p_i = 2(k+1)-s}} \frac{(-1)^{k-s+2}}{p_1! \cdots p_{k+1-s}!} \right) \right| \\
&\le \sum_{s=0}^{k} \left( \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_{k+1-s}) \\ p_i \ge 2 \\ \sum_i p_i = 2(k+1)-s}} \frac{1}{p_1! \cdots p_{k+1-s}!} \right) \\
&\le \frac{1}{2^{k+1}} \sum_{s=0}^{k} \left( \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_{k+1-s}) \\ p_i \ge 2 \\ \sum_i p_i = 2(k+1)-s}} 1 \right) \\
&\le \frac{1}{2^{k+1}} \sum_{s=0}^{k} C_k^{k-s} \\
&\le \frac{1}{2^{k+1}} \sum_{s=0}^{k} C_k^s \\
&\le |\theta_k| \le \frac{1}{2}.
\end{align*}
$$

• Si $a$ est une rotation diophantienne, alors

$$
\forall 0 \le k \le n, |\theta_{k,m,n}| \le 2^k \beta_0^{k+1} (m+n)^{\delta(k+1)}.
$$

Avec $\beta_0 = \max\{1, \frac{1}{M}\}$, où $M$ est donnée par le caractère diophantien de $a$.

On rappelle que $\theta_{0,m,n} = \frac{1}{1-a^{m+n}}$ et pour tout $1 \le k \le n$

$$
\theta_{k,m,n} = \sum_{s=1}^{k} \left( \frac{a^{s(m+n)-k}}{(1-a^{m+n})^{s+1}} \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_s) \\ p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = k}} \frac{1}{p_1! \cdots p_s!} \right).
$$

Comme $\forall i \in \overline{1, s}, p_i \ge 1$ on a $\Pi_{i=1}^{s} p_i! \ge 1$.
On a successivement, pour tout $1 \le k \le n$

$$
\begin{align*}
|\theta_{k,m,n}| &= \left| \sum_{s=1}^{k} \frac{a^{s(m+n)-k}}{(1-a^{m+n})^{s+1}} \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_s) \\ p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = k}} \frac{1}{p_1! \dots p_s!} \right| \\
&\le \sum_{s=1}^{k} \left( \frac{1}{|1-a^{m+n}|^{s+1}} \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_s) \\ p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = k}} \frac{1}{p_1! \dots p_s!} \right) \\
&\le \sum_{s=1}^{k} \frac{(m+n)^{\delta(s+1)}}{M^{s+1}} \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_s) \\ p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = k}} \frac{1}{p_1! \dots p_s!} \\
&\le \sum_{s=1}^{k} \beta_0^{s+1} (m+n)^{\delta(s+1)} \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_s) \\ p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = k}} 1 \\
&\le \beta_0^{k+1} (m+n)^{\delta(k+1)} \sum_{s=1}^{k} C_{k-1}^{s-1} \\
&\le \beta_0^{k+1} (m+n)^{\delta(k+1)} \sum_{s=0}^{k-1} C_{k-1}^{s} \\
&\le \beta_0^{k+1} (m+n)^{\delta(k+1)} 2^{k-1} \\
&|\theta_{k,m,n}| \le 2^k \beta_0^{k+1} (m+n)^{\delta(k+1)}
\end{align*}
$$

Aussi

$$
\begin{align*}
|\theta_{0,m,n}| &= \left| \frac{1}{1-a^{m+n}} \right| \\
&= \frac{1}{|1-a^{m+n}|} \\
&\le \frac{(m+n)^{\delta}}{M} \\
&\le \beta_0 (m+n)^{\delta}.
\end{align*}
$$

D'où pour tout $0 \le k \le n$, on a

$$
|\theta_{k,m,n}| \le 2^k \beta_0^{k+1} (m+n)^{\delta(k+1)}.
$$

Avec $\beta_0 = \max\{1, \frac{1}{M}\}$, où M est donnée par le caractère diophantien de $a$.
* Si $a$ est une rotation rationnelle d'ordre $r \ge 2$, alors

$$ \forall 0 \le k \le n, \quad |\theta_{k,m,n}| \le 2^k \beta_0^{k+1}. $$

$$ \text{Avec } \alpha_0 = \max \left\{ 1, \max_{1 \le j \le r-1} \frac{1}{1-a^j} \right\}. $$

On rappelle que $\theta_{0,m,n} = \frac{1}{1-a^{m+n}}$ et pour tout $1 \le k \le n$

$$ \theta_{k,m,n} = \sum_{s=1}^{k} \left( \frac{a^{s(m+n)-k}}{(1-a^{m+n})^{s+1}} \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_s) \\ p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = k}} \frac{1}{p_1! \cdots p_s!} \right). $$

$$ \text{Comme } \forall i \in \overline{1}, s, p_i \ge 1 \text{ on a } \prod_{i=1}^{s} p_i! \ge 1. $$

On a successivement, pour tout $1 \le k \le n$

$$
\begin{align*}
|\theta_{k,m,n}| &= \left| \sum_{s=1}^{k} \left( \frac{a^{s(m+n)-k}}{(1-a^{m+n})^{s+1}} \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_s) \\ p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = k}} \frac{1}{p_1! \cdots p_s!} \right) \right| \\
&\le \sum_{s=1}^{k} \left( \frac{1}{|1-a^{m+n}|^{s+1}} \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_s) \\ p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = k}} \frac{1}{p_1! \cdots p_s!} \right) \\
&\le \sum_{s=1}^{k} \alpha^{s+1} \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_s) \\ p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = k}} 1 \\
&\le \alpha^{k+1} \sum_{s=1}^{k} C_{k-1}^{s-1} \\
&\le \alpha^{k+1} \sum_{s=0}^{k-1} C_{k-1}^{s} \\
&\le \alpha^{k+1} 2^{k-1} \\
&\le 2^k \alpha^{k+1}.
\end{align*}
$$
Aussi

$$
\begin{aligned}
|\theta_{0,m,n}| &= \left| \frac{1}{1 - a^{m+n}} \right| \\
&= \frac{1}{|1 - a^{m+n}|} \\
&\le \alpha.
\end{aligned}
$$

D'où pour tout $0 \le k \le n$, on a

$$
|\theta_{k,m,n}| \le 2^k \alpha^{k+1} .
$$

En remarquant que $A_{m+k}^k = k!C_{m+k}^k \le n!2^{m+n}$, on a pour tout $n \in \mathbb{N}$ fixé :

$$
|\xi_{m,n}^k| \le 2^m Q_n(m) \quad (\text{resp. } |\zeta_{m,n}^k| \le 2^m Q_n(m))
$$

avec $Q_n(m)$ est un polynôme en $m$ à coefficients fonction de $n$: de degré dépendant de $n$
et $\delta$ si $a$ est diophantien, où $\delta$ est donné par le caractère diophantien de $a$ et de degré $0$ si
$a$ est rationnel d'ordre $r \ge 2$ (resp. de degré $0$ si $a$ est rationnel d'ordre $r \ge 1$).

Concrètement :

• si $a$ est diophantien alors

$$
|\xi_{m,n}^k| \le 2^m Q_n(m) \text{ avec } Q_n(m) = n! 2^{2n} \rho_0^{k+1} (m+n)^{\delta(n+1)} .
$$

• si $a$ est rationnel d'ordre $1$ ($a = 1$) alors

$$
|\xi_{m,n}^k| \le 2^m Q_n(m) \text{ avec } Q_n(m) = n! 2^{n-1}.
$$

• si $a$ est rationnel d'ordre $r \ge 2$ alors :

— pour tout $(m, n) \neq (0; 0)$ tel que $(m, n) \neq 0[r]$, on a

$$
|\xi_{m,n}^k| \le 2^m Q_n(m) \text{ avec } Q_n(m) = n! 2^{2n} \alpha^{n+1} .
$$

— pour tout $m \neq 0$ tel que $(m, n) \equiv 0[r]$, on a alors

$$
|\xi_{m,n}^k| \le 2^m Q_n(m) \text{ avec } Q_n(m) = n! 2^{n-1}.
$$

**Remarque 2.2.2.** Pour tous les polynômes $Q_n(m)$ ci-dessus, on a $\lim_{m+n\to+\infty} (Q_n(m))^{\frac{1}{m+n}} = 1$ pour $n \in \mathbb{N}$ fixé et $m$ tendant vers l'infini.

À partir de ces majorations, de la remarque ci-dessus, et du cas particulier de la pro-
priété 1.4.2, on obtient pour tout complexe $a$ de module 1 que $\limsup_{m+n \to +\infty} |b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} = 0$
pour tout $n \in \mathbb{N}$ fixé et $m$ tendant vers l'infini.
En effet pour tout $n \in \mathbb{N}$ fixé et $m$ tendant vers l'infini, les majorations b.2 entrainent

$$ \left| \xi_{m,n}^k c_{m+k,n-k} \right| \le 2^m Q_n(m) \left| c_{m+k,n-k} \right| \text{ et } \left| \xi_{m,n}^k c_{m-1+k,n+1-k} \right| \le 2^m Q_n(m) \left| c_{m-1+k,n+1-k} \right| $$

Par suite, à partir de la remarque ci-dessus, on a d'une part

$$ \begin{aligned} \limsup_{m+n \to +\infty} \left| \xi_{m,n}^k c_{m+k,n-k} \right|^{\frac{1}{m+n}} &\le \limsup_{m+n \to +\infty} \left( 2^m Q_n(m) \left| \xi_{m,n}^k c_{m+k,n-k} \right| \right)^{\frac{1}{m+n}} \\ &= \lim_{m+n \to +\infty} 2^{\frac{m}{m+n}} \times \lim_{m+n \to +\infty} (Q_n(m))^{\frac{1}{m+n}} \times \limsup_{m+n \to +\infty} \left| c_{m+k,n-k} \right|^{\frac{1}{m+n}} \\ &= 0 \end{aligned} $$

et d'autre part

$$ \begin{aligned} \limsup_{m+n \to +\infty} \left| \xi_{m,n}^k c_{m-1+k,n+1-k} \right|^{\frac{1}{m+n}} &\le \limsup_{m+n \to +\infty} \left( 2^m Q_n(m) \left| \xi_{m,n}^k c_{m-1+k,n+1-k} \right| \right)^{\frac{1}{m+n}} \\ &= \lim_{m+n \to +\infty} 2^{\frac{m}{m+n}} \times \lim_{m+n \to +\infty} (Q_n(m))^{\frac{1}{m+n}} \times \limsup_{m+n \to +\infty} \left| c_{m-1+k,n+1-k} \right|^{\frac{1}{m+n}} \\ &= 0. \end{aligned} $$

Donc

$$ \limsup_{m+n \to +\infty} \left| \xi_{m,n}^k c_{m+k,n-k} \right|^{\frac{1}{m+n}} = \limsup_{m+n \to +\infty} \left| \xi_{m,n}^k c_{m-1+k,n+1-k} \right|^{\frac{1}{m+n}} = 0 $$

pour tout $n \in \mathbb{N}$ fixé et $m$ tendant vers l'infini.

Dans le cas *a* diophantien (resp. $a=1$), la formule 2 (resp. 3) et la remarque 1.4.2 entraine que la série $\sum_{m \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ à un rayon de convergence infini pour tout $n \in \mathbb{N}$ fixé et $m$ tendant vers l'infini.

Dans le cas *a* rationnel d'ordre $r \ge 2$, on obtient aussi le même résultat. Il suffit de remarquer que $\sum_{m \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ est la somme de deux séries, chacune de rayon de convergence infini pour tout $n \in \mathbb{N}$ fixé et $m$ tendant vers l'infini, à savoir $\sum_{\substack{n \ge 0 \\ n+m \neq 0[r]}} b_{m,n} z^m w^n$

et $\sum_{\substack{n \ge 0 \\ n+m \equiv 0[r]}} b_{m,n} z^m w^n$. La convergence de la première (resp. deuxième) se montre comme

dans le cas *a* diophantien (resp. $a=1$) grâce à la formule 5 (resp. 4).

D'après la proposition 1.4.1, pour achever de démontrer que $\sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ converge dans $\mathbb{C}^2$ tout entier, il reste à établir que $\limsup_{m+n \to +\infty} |b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} = 0$ pour tout $m \in \mathbb{N}$ fixé et $n$ tendant vers l'infini et que la suite $\left( |b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} \right)_{m,n}$ converge vers 0 uniformément en l'une de ses variables.

Pour cela, on commence par noter que compte tenu de la convergence absolue des séries de $\mathcal{H}\mathcal{o}\mathcal{l}(\mathbb{C}^2)$, l'équation ($\mathcal{E}$) se transcrit comme suit :

$$ \sum_{m=0}^{\infty} \left( \sum_{n=0}^{\infty} b_{m,n} w^n \right) z^m - \sum_{m=0}^{\infty} \left( \sum_{n=0}^{\infty} b_{m,n} a^n w^n \right) (az + w)^m = \sum_{m=0}^{\infty} \left( \sum_{n=0}^{\infty} c_{m,n} w^n \right) z^m $$
i.e.

$$ 
\begin{aligned}
\lim_{N \to \infty} \left( \sum_{m=0}^{N} p_m(w)z^m - \sum_{m=0}^{N} p_m(aw)(az + w)^m - \sum_{m=0}^{N} q_m(w)z^m \right) &= \\
\lim_{N \to +\infty} \sum_{m=0}^{N} \left( p_m(w)z^m - p_m(aw)(az + w)^m - q_m(w)z^m \right) &= 0,
\end{aligned}
$$

où on a posé $p_m = \sum_{n \ge 0}^{+\infty} b_{m,n}w^n$ et $q_m = \sum_{n \ge 0}^{+\infty} c_{m,n}w^n$. Ce qui suggère de résoudre d'abord l'équation ($\mathcal{E}$) dans $\mathcal{Hol}_w(\mathbb{C})[z]$ l'anneau des fonctions polynômes à coefficients dans l'anneau des fonctions holomorphes en $w$ et passer au cas holomorphe par un passage à la limite par rapport à la topologie induite par la structure d'espace de Fréchet de $\mathcal{Hol}(\mathbb{C}^2)$.

Résolution dans $\mathcal{Hol}_w(\mathbb{C})[z]$

**Proposition 2.2.3.** Soit $\gamma_A$ avec $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}_m$, où $a \in \mathbb{C}$ tel que $|a| = 1$.

Soit $g \in \mathcal{Hol}_w(\mathbb{C})[z]$ de degré $m$ (i.e. $g = \sum_{i=0}^m q_i z^i$, $q_i \in \mathcal{Hol}_w(\mathbb{C})$ et $q_m \neq 0$). Il existe une fonction $f \in \mathcal{Hol}_w(\mathbb{C})[z]$ de degré $m$ ou $m+1$, selon que $a$ est une rotation diophantienne ou rationnelle d'ordre $r \ge 1$ telle que $f - f \circ \gamma_A = g$.

**Démonstration.** Soit $g \in \mathcal{Hol}_w(\mathbb{C})[z]$ de degré $m$ (i.e. $g = \sum_{i=0}^m q_i z^i$, $q_i \in \mathcal{Hol}_w(\mathbb{C})$ et $q_m \neq 0$). On cherche $f = \sum_{i=0}^s p_i z^i \in \mathcal{Hol}_w(\mathbb{C})[z]$ telle que $f - f \circ \gamma_A = g$. Notre objectif est donc de montrer que tous les $p_i$ sont holomorphes, c'est à dire $\sum_{n \ge 0} b_{i,n}w^n$ a un rayon de convergence infini.

* Cas $a$ diophantien.

Si on note $h_a$ l'homothétie dans $\mathbb{C}$ de rapport $a$, il vient de

$$ f - f \circ \gamma_A = \sum_{i=0}^{m} \left( p_i - \sum_{k=i}^{m} C_k^i a^{2i-k} (h_a)^{k-i} p_k \circ h_a \right) z^i = \sum_{i=0}^{m} q_i z^i = g \quad (**) $$

Il vient de (**), que

$$ p_m - a^m p_m \circ h_a = q_m \neq 0 $$

et par suite $p_m \neq 0$, de sorte qu'on peut se contenter de $\deg f = s = m$. D'ailleurs il ne peut en être autrement.
Un calcul facile dans l'équation

$$f(z, w) - f(az + w, aw) = \sum_{i=0}^{m} p_i(w)z^i - \sum_{i=0}^{m} p_i(aw)(az + w)^i = g(z, w) = \sum_{i=0}^{m} q_i(w)z^i$$

donne, par identification, le système d'équations suivant :

La première équation correspond aux termes $i = m$; soit

$$p_m(w) - a^m p_m(aw) = q_m(w) \quad (1)$$

La seconde équation est celle correspondante aux termes $i = m - 1$; soit

$$p_{m-1}(w) - a^{m-1} p_{m-1}(aw) = q_{m-1}(w) + a^{m-1} C_m^1 w p_m(aw) \quad (2)$$

Plus généralement on a pour $k \le m$ :

$$p_{m-k}(w) - a^{m-k} p_{m-k}(aw) = q_{m-k}(w) + a^{m-k} \sum_{j=1}^{k} C_{m-k+j}^{j} w^{j} p_{m-k+j}(aw)$$

Si l'équation (1) est résolue alors le second membre de l'équation (2) est parfaitement déterminé et l'équation (2) est du même type que l'équation (1);

soit

$$p_{m-1}(w) - a^{m-1} p_{m-1}(aw) = q_{m-1}(w) + a^{m-1} C_m^1 w p_m(aw) = \tilde{q}_{m-1}(w).$$

Si on pose $\tilde{q}_{m-1}(w) = \sum_{n \ge 0} \tilde{c}_{m-1,n} w^n$, alors on a $\tilde{c}_{m-1,n+1} = (1-a^{m+n}) (\xi_{m-1,n+1}^0 c_{m-1,n+1} + \xi_{m-1,n+1}^1 c_{m,n})$ où $\xi_{m-1,n+1}^1$ et $\xi_{m-1,n+1}^0$ sont ceux de la formule 2.

De façon générale pour tout $k \le m$

$$p_{m-k}(w) - a^{m-k} p_{m-k}(aw) = q_{m-k}(w) + a^{m-k} \sum_{j=1}^{k} C_{m-k+j}^{j} w^{j} p_{m-k+j}(aw) = \tilde{q}_{m-k}(w)$$

où le second membre étant parfaitement déterminé par la résolution successive des équations précédentes.

Si on pose $\tilde{q}_{m-k}(w) = \sum_{n \ge 0} \tilde{c}_{m-k,n} w^n$, alors on a

$$\tilde{c}_{m-k,n+k} = (1 - a^{m+n}) \sum_{j=0}^{k} \xi_{m-k,n+k}^{j} c_{m-k+j,n+k-j} \quad (6)$$

où les $\xi_{m-k,n+k}^j$ sont ceux de la formule 2.

Pour tout $m \in \mathbb{N}$ fixé et $n$ tendant vers l'infini, on a la majoration suivante :

$$|\xi_{m-k,n+k}^j| \le Q_m(n) \text{ avec } Q_m(n) = m! 2^{2m} \beta_0^{m+1} (m+n)^{\delta(m+1)}$$

Avec $\beta_0 = \max\{1, \frac{1}{M}\}$, où $M$ est donnée par le caractère diophantien de $a$. Celle-ci entraine que

$$|\xi_{m-k,n+k}^j c_{m-k+j,n+k-j}| \le Q_m(n) |c_{m-k+j,n+k-j}|.$$
**Remarque 2.2.3.** On a $\lim_{m+n \to +\infty} (Q_m(n))^{\frac{1}{m+n}} = 1$ pour tout $m \in \mathbb{N}$ fixé et $n$ tendant vers l'infini.

Par suite à partir de la remarque ci-dessus on a

$$ 
\begin{align*} 
\limsup_{m+n \to +\infty} |\xi_{m,n}^j c_{m-k+j,n+k-j}|^{\frac{1}{m+n}} &\le \limsup_{m+n \to +\infty} (Q_m(n) |c_{m-k+j,n+k-j}|)^{\frac{1}{m+n}} \\ 
&= \lim_{m+n \to +\infty} (Q_m(n))^{\frac{1}{m+n}} \times \limsup_{m+n \to +\infty} |c_{m-k+j,n+k-j}|^{\frac{1}{m+n}} \\ 
&= 0. 
\end{align*} 
$$

Donc pour tous $j = 0, \dots, k$ et $k = 0, \dots, m$, on a :

$$ \limsup_{m+n \to +\infty} |\xi_{m-k,n+k}^j c_{m-k+j,n+k-j}|^{\frac{1}{m+n}} = 0. $$

Pour tout $k = 0, \dots, m$, la formule 6 et le cas particulier de la propriété 1.4.2 entraîne que la série $\sum_{n \ge 0} \tilde{c}_{m-k,n} w^n$ à un rayon de convergence infini pour tout $m \in \mathbb{N}$ fixé et $n$ tendant vers l'infini.

On est donc amené de façon générale à résoudre l'équation cohomologique du type

$$ (\mathcal{E}_\ell) : p_\ell(w) - a^\ell p_\ell(aw) = \tilde{q}_\ell(w). $$

Pour résoudre cette équation comme $\tilde{q}_\ell$ est holomorphe et on cherche $p_\ell$ holomorphe, on part des développements en séries entières de $p_\ell$ et $\tilde{q}_\ell$.

Soit

$$ p_{\ell}(w) = \sum_{n=0}^{\infty} b_{\ell,n} w^n, \quad q_{\ell}(w) = \sum_{n=0}^{\infty} \tilde{c}_{\ell,n} w^n $$

sachant que pour tout $R \ge 0$, la série numérique $\sum_{n \ge 0} |\tilde{c}_{\ell,n}| R^n$ converge.

Par identification on a : $(1 - a^{\ell+n})b_{\ell,n} = \tilde{c}_{\ell,n}$. La condition nécessaire est $c_{0,0} = 0$. Condition déjà supposée remplie puisque $c_{0,0} = g(0,0) = 0$; et on pose $b_{0,0} = 0$. Comme $a$ est diophantien, donc une rotation irrationnelle, on a pour $(\ell, n) \ne (0,0)$

$$ b_{\ell,n} = \frac{\tilde{c}_{\ell,n}}{1 - a^{\ell+n}}. $$

Dans ce cas, on a pour tout $k \in \mathbb{Z}^*$, $1 - a^k \ne 0$ et pour $\ell$ fixé il existe alors deux réels $\delta \ge 1$, $M_\ell > 0$ tels que pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $\ell + n \ne 0$, on ait

$$ |1 - e^{2i\pi(\ell+n)\theta}| > \frac{M_\ell}{(\ell + n)^\delta}. $$

Donc

$$ b_{\ell,n} = \begin{cases} 0 & \text{si } (\ell, n) = (0,0) \\ \frac{\tilde{c}_{\ell,n}}{1 - e^{2i\pi(\ell+n)\theta}} & \text{sinon} \end{cases}. $$
Il vient la majoration

$$|b_{\ell,n}| \le \frac{(\ell + n)^{\delta}}{M_{\ell}} |\tilde{c}_{\ell,n}|.$$

Avec ces majorations, puisque la série $\sum_{n=0}^{\infty} \tilde{c}_{\ell,n} w^n$ a un rayon de convergence infini, alors la série $\sum_{n \ge 0} b_{\ell,n} w^n$ a également un rayon de convergence infini puisque pour $\ell$ fixé son rayon de convergence est

$$R_{\ell} = \frac{1}{\limsup_{\ell+n \to +\infty} \left| \frac{(\ell+n)^{\delta}}{M_{\ell}} \tilde{c}_{\ell,n} \right|^{\frac{1}{\ell+n}}} = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left( \frac{(\ell+n)^{\delta}}{M_{\ell}} \right)^{\frac{1}{\ell+n}} \times \limsup_{\ell+n \to +\infty} |\tilde{c}_{\ell,n}|^{\frac{1}{\ell+n}}} \\ = \frac{1}{1 \times 0} = \frac{1}{0} = +\infty.$$

La série $\sum_{n \ge 0} b_{\ell,n} w^n$ a un rayon de convergence infini pour $\ell$ fixé et finalement la fonction holomorphe $p_{\ell}(w) = \sum_{n=0}^{\infty} b_{\ell,n} w^n$ est une solution de l'équation $(\mathcal{E}_{\ell})$.

• Cas $a = 1$

Ce cas se traite de la même façon que le cas $a$ diophantien. Dans ce cas l'égalité (**) devient :

$$f - f \circ A = \sum_{i=0}^{m} \left( - \sum_{k=i+1}^{m+1} C_k^i w^{k-i} p_k(w) \right) z^i = \sum_{i=0}^{m} q_i z^i = g (***).$$

Il vient de (***), que $c_{m,0} = 0$ pour tout $m \ge 0$ s'impose comme condition nécessaire, que l'on supposera remplie. On a aussi que pour $k \le m$ :

$$q_{m-k}(w) + \sum_{j=1}^{k+1} C_{m-k+j}^{j} w^{j} p_{m-k+j}(w) = 0$$

et de façon générale pour tout $k \le m$

$$-C_{m-k+1}^{1} w p_{m-k+1}(w) = q_{m-k}(w) + \sum_{j=2}^{k+1} C_{m-k+j}^{j} w^{j} p_{m-k+j}(w) = \tilde{q}_{m-k}(w).$$

On aura $\tilde{q}_{m-k}(w) = \sum_{n \ge 0} \tilde{c}_{m-k,n} w^n$ avec $\tilde{c}_{m-k,n+k} = -C_{m-k+1}^1 \sum_{j=0}^k \zeta_{m+1-k,n-1+k}^j c_{m-k+j,n+k-j}$ où les $\zeta_{m+1-k,n-1+k}^j$ sont ceux de la formule 3. Avec ici pour tout $m \in \mathbb{N}$ fixé et $n$ tendant vers l'infini, la majoration suivante

$$|\zeta_{m+1-k,n-1+k}^j| \le Q_m(n) \text{ avec } Q_m(n) = m!2^m.$$
L'équation générale à résoudre sera du type

$$ (\mathcal{E}_\ell) : -C_\ell^1 w p_\ell(w) = \tilde{q}_{\ell-1}(w) \quad \ell \in \overline{1; m+1}. $$

On prendra dans ce cas $p_0 = 0$.

* Cas $a$ rationnel d'ordre $r \ge 2$

Pour ce cas, on se servira à la fois du cas $a = 1$ et du cas $a$ diophantien.

Soit toujours $g \in \mathcal{Hol}_w(\mathbb{C})[z]$ de degré $m$ (i.e. $g = \sum_{i=0}^m q_i z^i$, $q_i \in \mathcal{Hol}_w(\mathbb{C})$ et $q_m \neq 0$).

On a $q_i(w) = \sum_{n \ge 0} c_{i,n} w^n$, et on va poser

$$ q_{i,1}(w) = \sum_{\substack{n \ge 0 \\ n+i \equiv 0 \pmod{r}}} c_{i,n} w^n \quad \text{et} \quad q_{i,2}(w) = \sum_{\substack{n \ge 0 \\ n+i \not\equiv 0 \pmod{r}}} c_{i,n} w^n. $$

On a bien $q_i(w) = q_{i,1}(w) + q_{i,2}(w)$ avec $q_{i,1}(w)$ et $q_{i,2}(w)$ qui sont holomorphes en $w$. Par suite on a $g = g_1 + g_2$ avec $g_1, g_2 \in \mathcal{Hol}_w(\mathbb{C})[z]$.

Nous allons donc résoudre les équations $f - f \circ \gamma_A = g_1$ (1) et $f - f \circ \gamma_A = g_2$ (2) où $g_1 = \sum_{i=0}^m q_{i,1} z^i$ et $g_2 = \sum_{i=0}^m q_{i,2} z^i$.

L'équation (2) se résout comme dans le cas $a$ diophantien et $f_2$ est de même nature que $g_2$ avec $\deg(f_2) = m$ et on a $f_2(z, w) = \sum_{i=0}^m p_{i,2} z^i$, où $p_{i,2}(w) = \sum_{\substack{n \ge 0 \\ n+i \equiv 0 \pmod{r}}} b_{i,n} w^n$.

Tandis que l'équation (1) se résout comme dans le cas $a = 1$ et $f_1$ est de même nature que $g_1$ avec $\deg(f_1) = m+1$ et on a $f_1(z, w) = \sum_{i=0}^{m+1} p_{i,1}(w) z^i$, où $p_{i,1}(w) = \sum_{\substack{n \ge 0 \\ n+i \not\equiv 0 \pmod{r}}} b_{i,n} w^n$.

Il suffit donc de poser $f = f_1 + f_2$ avec $\deg(f) = m+1$.

$$ \text{On a } f(z, w) = \sum_{i=0}^{m+1} p_i z^i \text{ avec } p_i(w) = p_{i,1}(w) + p_{i,2}(w) = \sum_{n \ge 0} b_{i,n} w^n. \quad \square $$

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Cas holomorphe

Soit $g$ une fonction holomorphe sur $\mathbb{C}^2$ et $\sum_{m \ge 0, n \ge 0} c_{m,n} z^m w^n$ sa décomposition en série entière. Puisque la série double $\sum_{m \ge 0, n \ge 0} c_{m,n} z^m w^n$ converge, et converge absolument sur $\mathbb{C}^2$, on a les majorations suivantes : pour tout $z \neq 0$

$$ \left| z^m \sum_{n \ge 0} c_{m,n} w^n \right| \le \left| \sum_{n \ge 0} c_{m,n} z^m w^n \right| \le \sum_{n \ge 0} |c_{m,n} z^m w^n| \le \sum_{m,n \ge 0} |c_{m,n} z^m w^n|, $$

de sorte qu'on est rassuré sur la convergence de toutes les séries $\sum_{n \ge 0} c_{m,n} z^m w^n$ sur $\mathbb{C}^2$, ceci pour chaque $m$ fixé. La convergence absolue de la série double nous autorise aussi à faire
des sommations par paquets de sorte qu'on peut réécrire $g$ en une série de fonctions en $z$ dont les coefficients sont des fonctions holomorphes en $w$. Soit

$$g(z, w) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_{0,n}w^n + z \sum_{n=0}^{+\infty} c_{1,n}w^n + \cdots + z^m \sum_{n=0}^{+\infty} c_{m,n}w^n + \cdots$$

La somme partielle d'ordre $N$, notée $S_N$ avec

$$S_N(z, w) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_{0,n}w^n + z \sum_{n=0}^{+\infty} c_{1,n}w^n + \cdots + z^N \sum_{n=0}^{+\infty} c_{N,n}w^n$$

est une fonction polynôme en $z$ de degré $N$ dont les coefficients sont des fonctions holomorphes en $w$ ($\limsup_{n \to +\infty} |c_{k,n}|^{\frac{1}{n}} = \limsup_{n+k \to +\infty} |c_{k,n}|^{\frac{1}{k+n}} = 0$ pour tout $k$ fixé) et la suite $(S_N)_N$ est une suite de polynômes de $\text{Hol}_w(\mathbb{C}[z])$ qui converge vers $g$ dans le sens où $\text{Hol}(\mathbb{C}^2) = \overline{\text{Hol}}_w(\mathbb{C}[z])$.

On a donc

$$g(z, w) = \lim_{N \to +\infty} S_N(z, w) \\ = \sum_{N=0}^{+\infty} \sum_{n=0}^{+\infty} c_{N,n} z^N w^n.$$

Ceci étant, alors l'équation $f - f \circ \gamma_A = S_N$ admet une solution $T_N$ dans $\text{Hol}_w(\mathbb{C}[z])$ selon la proposition 2.2.3. Donc on a $T_N - T_N \circ \gamma_A = S_N$ où dans le cas $a$ irrationnel (le cas rationnel d'ordre $r \ge 1$, le degré de $T_N$ est $N+1$),

$$T_N(z, w) = \sum_{n=0}^{+\infty} b_{0,n}w^n + z \sum_{n=0}^{+\infty} b_{1,n}w^n + \cdots + z^N \sum_{n=0}^{+\infty} b_{N,n}w^n$$

avec des coefficients $b_{m,n}$ connus en fonction des $c_{i,j}$ puisque :

$$c_{m,n} = (1 - a^{m+n})b_{m,n} - \sum_{k=1}^{n} C_{m+k}^{k} a^{m+n-k} b_{m+k,n-k}.$$

On doit montrer que la suite $(T_N)$ définie par $\sum_{k=0}^{N} \sum_{n=0}^{+\infty} b_{k,n} z^k w^n$ est convergente (dans $\text{Hol}(\mathbb{C}^2)$) dans le cas rationnel et dans le cas diophantien, et conclure dans ces conditions, en s'appuyant sur la continuité de l'opérateur $1 - \mathcal{A}$ par le passage à la limite $(N \to +\infty)$ dans $T_N - T_N \circ \gamma_A = S_N$, que $f = \lim_{N \to +\infty} S_N$ est une solution de l'équation $\mathcal{E}$.

On a à établir la convergence de la série $\sum_{m \ge 0} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} b_{m,n} w^n \right) z^m$ sur $\mathbb{C}^2$, cela revient tout simplement à établir la convergence de la série $\sum_{m \ge 0} \sum_{n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ sur $\mathbb{C}^2$, c'est à dire à montrer que $\limsup_{n+m \to +\infty} |b_{m,n}|^{\frac{1}{n+m}} = 0$.
On a obtenu dans le paragraphe b.2 que $\lim_{m \to +\infty} |b_{m,n}|^{\frac{1}{n+m}} = 0$ pour tout $n$ fixé; et dans la proposition 2.2.3 l'existence des $p_i$ assure que $\lim_{n \to +\infty} |b_{m,n}|^{\frac{1}{n+m}} = 0$ pour tout $m$ fixé. Il reste à montrer que $\lim_{\substack{n \to +\infty \\ m \to +\infty}} |b_{m,n}|^{\frac{1}{n+m}} = 0$. Il suffit pour cela (voir proposition 1.4.1), que la suite $(|b_{m,n}|^{\frac{1}{n+m}})$$_{m,n}$ converge vers 0 uniformément en l'une de ses variables; ce que nous ne sommes pas parvenus à montrer, avec nos majorations actuelles. Le rayon de convergence de la série formelle demeure très difficile à calculer.

L'espace des fonctions holomorphes A-solubles sur $\mathbb{C}^2$

On désignera aussi par $\mathbb{C}$, l'espace des fonctions complexes constantes sur $\mathbb{C}^2$.

**Définition 2.2.2.** Soit $\gamma_A$ le $\mathbb{C}^2$-automorphisme linéaire associé à $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ où $a$ est une rotation.

On dira que $g \in \text{Hol}(\mathbb{C}^2)$ est A-soluble, s'il existe $f \in \text{Hol}(\mathbb{C}^2)$ telle que $f - f \circ \gamma_A = g$. On notera $B_a = \{g \in \text{Hol}(\mathbb{C}^2) : g \text{ A-soluble}\} = \{f - f \circ \gamma_A : f \in \text{Hol}(\mathbb{C}^2)\}$.

**Propriétés 2.2.1.** L'ensemble $B_a$ a les propriétés suivantes :

• pour toute rotation a, $B_a$ est un sous-espace vectoriel de $\text{Hol}(\mathbb{C}^2)$;

• pour toute rotation a, $B_a \cap \mathbb{C} = \{0\}$;

• $B_a$ contient les fonctions polynômes en z et w sans terme constant, dans le cas où a est une rotation irrationnelle;

• $B_a$ contient les fonctions polynômes en z et w sans terme constant, et sans monôme de la forme $z^{mr}$ où $m \in \mathbb{N}^*$, dans le cas où a est une rotation rationnelle d'ordre $r \ge 1$;

• Dans le cas où a est une rotation rationnelle ou diophantienne, $B_a$ contient les fonctions polynômes en z à coefficients fonctions holomorphes en w sans terme constant (voir proposition 2.2.3);

• pour toute rotation a, $B_a$ est un sous-espace vectoriel propre de $\text{Hol}(\mathbb{C}^2)$ puisqu'il contient $g(z, w) = zw$ et ne contient pas la fonction constante 1;

• Si a est une rotation rationnelle d'ordre $r \ge 1$, $B_a$ est un $\text{Hol}_w^r(\mathbb{C}^2)$-module.

**Définition 2.2.3.** Soient la matrice

$$ \Omega = \begin{pmatrix} z^0 w^0 & z^0 w^1 & \dots & z^0 w^n & \dots \\ z^1 w^0 & z^1 w^1 & \dots & z^1 w^n & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ z^m w^0 & z^m w^1 & \dots & z^m w^n & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix}. $$

et

$$ g = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} c_{m,n} z^m w^n $$
vérifiant la condition nécessaire à l'existence d'une solution de l'équation

$$ (\mathcal{E}) : f - f \circ \gamma_A = g. $$

On dira que $g$ est :

• diagonale si les $c_{m,n}$ non nuls sont ceux des binômes situés sur la diagonale principale de $\Omega$;

• diagonale supérieure si les $c_{m,n}$ non nuls sont ceux des binômes situés sur une parallèle au-dessus de la diagonale principale de $\Omega$;

• diagonale inférieure si les $c_{m,n}$ non nuls sont ceux des binômes situés sur une parallèle en dessous de la diagonale principale de $\Omega$;

• verticale si les $c_{m,n}$ non nuls sont ceux des binômes situés sur une colonne de $\Omega$;

• totale si les $c_{m,n}$ non nuls sont ceux de tous les binômes de $\Omega$.

**Proposition 2.2.4.** Soient $\gamma_A$ le $\mathbb{C}^2$-automorphisme linéaire associé à $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ où $a \in \mathbb{C}$ avec $|a| = 1$, $i_0 \in \mathbb{N}^*$ fixé, et $\beta \in \mathbb{R}^*$.

L'équation $f - f \circ \gamma_A = g$ est entièrement résolue dans $\mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$, si $a$ est rationnel d'ordre $r \ge 1$ ou irrationnel diophantien, pour $g$ diagonale.

**Démonstration.** Soit $g_0 = \sum_{n \ge 1} \frac{1}{[(2n)!]^\beta} z^n w^n \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$, c'est-à-dire :

$$ c_{m,n} = \begin{cases} \frac{1}{[(m+n)!]^\beta} & \text{si } m = n \neq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}, $$

où $\beta \in \mathbb{R}_+^*$. Il suffit pour cela de remarquer que, quand $n \to +\infty$ :

$$ \frac{1}{[(2n)!]^\frac{\beta}{2n}} \sim \left(\frac{e}{2n}\right)^\beta. $$

Pour toute rotation diophantienne $a$, $g_0$ est $A$-soluble si $\beta > \delta$; où $\delta$ est donné par le caractère diophantien de $a$. Pour toute rotation rationnelle d'ordre $r \ge 1$, $g_0$ est $A$-soluble si $\beta \ge 1$.

**cas :** $a$ est une rotation diophantienne et $\beta > \delta$.

Considérons $f_{0,a} = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ la série formelle solution de notre équation, définie par :

$$ b_{m,n} = \begin{cases} 0 & \text{si } m = n = 0 \\ \sum_{k=0}^{n} \xi_{m,n}^{k} c_{m+k,n-k} & \text{sinon} \end{cases}, $$

où $\xi_{m,n}^k = A_{m+k}^k \theta_{k,m,n}$ avec $\theta_{0,m,n} = \frac{1}{1-a^{m+n}}$ et pour tout $1 \le k \le n$
$$ \theta_{k,m,n} = \sum_{s=1}^{k} \left( \frac{a^{s(m+n)-k}}{(1-a^{m+n})^{s+1}} \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_s) \\ p_i \ge 1 \\ \sum p_i = k}} \frac{1}{p_1! \cdots p_s!} \right). $$

Pour $(m, n) \neq (0, 0)$, on a :

$$ \begin{aligned} c_{m+k,n-k} \neq 0 &\iff m+k = n-k \text{ et } m+k \neq 0 \text{ et } n-k \neq 0 \\ &\iff 2k = (n-m) \text{ et } m+k \neq 0 \text{ et } k \neq n. \end{aligned} $$

On en déduit que

$$ b_{m,n} = \begin{cases} \xi_{\frac{n-m}{2},n}^0 c_{m,n} & \text{si } m = n \neq 0 \\ \xi_{\frac{m,n}{2},n}^2 c_{\frac{m+n}{2},\frac{m+n}{2}} & \text{si } (n-m) \in 2\mathbb{N}^* \cap [0, 2n[ \text{ et } (m,n) \neq (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}. $$

Posons $\alpha_0 = \max \{ 1, \frac{1}{M} \}$.

* Si $m = n \neq 0$, alors on a :

$$ \begin{aligned} |b_{n,n}| &= \frac{|c_{n,n}|}{|1 - a^{2n}|} \\ &\le \alpha_0 \frac{(2n)^\delta}{[(2n)!]^\beta} \\ |b_{n,n}|^{\frac{1}{2n}} &\le \alpha_0^{2n} \frac{(2n)^{\frac{\delta}{2n}}}{[(2n)!]^{\frac{\beta}{2n}}} . \end{aligned} $$

Or, quand $n \to +\infty$, on a :

$$ \frac{1}{[(2n)!]^{\frac{\beta}{2n}}} \sim \left(\frac{e}{2n}\right)^{\beta}. $$

Donc $\limsup_{n \to +\infty} |b_{n,n}|^{\frac{1}{2n}} = 0$.
* Si $(n-m) \in 2\mathbb{N}^* \cap [0, 2n[$ et $(m,n) \neq (0,0)$, alors on a :

$$
\begin{align*}
|b_{m,n}| &= \left| \xi_{m,n}^{\frac{n-m}{2}} c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} \right| \\
&= A_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{n-m}{2}} \left| \theta_{\frac{n-m}{2}, m,n} \right| c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} \\
&= A_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{n-m}{2}} \left| \sum_{s=1}^{\frac{n-m}{2}} \left( \frac{a^{s(m+n)-\frac{n-m}{2}}}{(1-a^{m+n})^{s+1}} \sum_{\substack{p_1, \dots, p_s \\ p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = \frac{n-m}{2}}} \frac{1}{p_1! \dots p_s!} \right) \right| c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} \\
&\le A_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{n-m}{2}} \sum_{s=1}^{\frac{n-m}{2}} \left( \frac{|a|^{s(m+n)-\frac{n-m}{2}}}{|1-a^{m+n}|^{s+1}} \sum_{\substack{p_1, \dots, p_s \\ p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = \frac{n-m}{2}}} \frac{1}{p_1! \dots p_s!} \right) c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} \\
&\le A_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{n-m}{2}} \sum_{s=1}^{\frac{n-m}{2}} \left( \frac{(m+n)^{\delta(s+1)}}{M^{s+1}} \sum_{\substack{p_1, \dots, p_s \\ p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = \frac{n-m}{2}}} \frac{1}{p_1! \dots p_s!} \right) c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}}.
\end{align*}
$$

Alors on a :

$$
\begin{align*}
|b_{m,n}| &\le \alpha_0^{\frac{n-m}{2}+1} A_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{n-m}{2}} (m+n)^{\delta(\frac{n-m}{2}+1)} \sum_{s=1}^{\frac{n-m}{2}} C_{\frac{n-m}{2}-1}^{s-1} |c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}}| \\
&\le 2^{\frac{n-m}{2}} \alpha_0^{\frac{n-m}{2}+1} A_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{n-m}{2}} (m+n)^{\delta(\frac{n-m}{2}+1)} |c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}}| \\
&\le 2^{\frac{n-m}{2}} \alpha_0^{\frac{n-m}{2}+1} A_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{n-m}{2}} (m+n)^{\delta(\frac{n-m}{2}+1)} |c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}}| \\
&\le \frac{2^{\frac{n-m}{2}} \alpha_0^{\frac{n-m}{2}+1} A_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{n-m}{2}} (m+n)^{\delta(\frac{n-m}{2}+1)}}{[(m+n)!]^\beta}
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
|b_{m,n}| &\le \frac{\alpha_0 (2\alpha_0)^{\frac{n-m}{2}} (m+n)^{\delta} A_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{n-m}{2}} (m+n)^{\delta(\frac{n-m}{2})}}{\left(A_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{n+m}{2}}\right)^{\beta} \left[\left(\frac{n+m}{2}\right)!!\right]^{\beta}} \\
&\le \alpha_0 (2\alpha_0)^{\frac{n+m}{2}} (m+n)^{\delta} \frac{A_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{n-m}{2}}}{\left(A_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{n+m}{2}}\right)^{\beta}} \frac{(m+n)^{\delta(\frac{n-m}{2})}}{\left[\left(\frac{n+m}{2}\right)!!\right]^{\beta}} \\
&\le \alpha_0 (2\alpha_0)^{\frac{n+m}{2}} (m+n)^{\delta} \frac{(m+n)^{\delta(\frac{n-m}{2})}}{\left[\left(\frac{n+m}{2}\right)!!\right]^{\beta}} \\
&\le \alpha_0 (2\alpha_0)^{\frac{n+m}{2}} (m+n)^{\delta} \frac{(m+n)^{\delta(\frac{n+m}{2})}}{\left[\left(\frac{n+m}{2}\right)!!\right]^{\beta}} \\
&\le |b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} \le (2\alpha_0)^{\frac{1}{2}} (\alpha_0)^{\frac{1}{m+n}} (m+n)^{\frac{\delta}{m+n}} \left(\frac{(m+n)^{\delta(\frac{n+m}{2})}}{\left[\left(\frac{n+m}{2}\right)!!\right]^{\beta}}\right)^{\frac{1}{m+n}}.
\end{align*}
$$

Or, quand $m+n \to +\infty$, on a :

$$
\left( \frac{(m+n)^{\delta(\frac{n+m}{2})}}{\left[ \left( \left(\frac{n+m}{2}\right)!! \right)^{\beta} \right]} \right)^{\frac{1}{m+n}} \sim \frac{(2e)^{\frac{\beta}{2}}}{(m+n)^{\frac{\beta-\delta}{2}}}
$$

Donc $\lim_{m+n \to +\infty} |b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} = 0$. Par suite $f_{0,a} \in \text{Hol}(\mathbb{C}^2)$ et $g_0$ est $A$-soluble.

cas : $a = 1$ et $\beta \ge 1$.

Considérons $f_{0,a} = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ la série formelle solution de notre équation, dé-
finie par :

$$
b_{m,n} = \begin{cases} 0 & \text{si } m = 0 \\ \sum_{k=0}^{n} \zeta_{m,n}^{k} c_{m-1+k,n+1-k} & \text{si } m \neq 0 \end{cases},
$$
où $\zeta_{m,n}^0 = -\frac{1}{m}$ et pour tout $1 \le k \le n$, $\xi_{m,n}^k = A_{m+k-1}^{k-1} \theta_{k-1}$ avec

$$ \theta_{k-1} = \sum_{s=0}^{k-1} \left( \sum_{\substack{p_1, \dots, p_{k-s} \\ p_i \ge 2 \\ \sum_i p_i = 2k-s}} \frac{(-1)^{k-s+1}}{p_1! \cdots p_{k-s}!} \right). $$

Pour $m \neq 0$, on a :

$$ \begin{aligned} c_{m-1+k,n+1-k} \neq 0 &\iff m-1+k = n+1-k \text{ et } m-1+k \neq 0 \text{ et } n+1-k \neq 0 \\ &\iff 2k = (n-m)+2 \text{ et } m-1+k \neq 0. \end{aligned} $$

On en déduit que

$$ b_{m,n} = \begin{cases} \zeta_{m,n}^0 c_{m-1,n+1} & \text{si } m-1=n+1 \text{ et } m \neq 0 \\ \zeta_{m,n}^{\frac{n-m}{2}+1} c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} & \text{si } (n-m)+2 \in 2\mathbb{N}^* \cap [0, 2n] \text{ et } m \neq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}. $$

* Si $m-1=n+1$ et $m \neq 0$, alors on a :

$$ \begin{aligned} |b_{n+2,n}| &= \frac{|c_{n+1,n+1}|}{|-(n+2)|} \\ &\le \frac{1}{(n+2)[(2n+2)]^\beta} \\ &\le \frac{1}{[(2n+2)]^\beta} \\ |b_{n+2,n}|^{\frac{1}{2n+2}} &\le \frac{1}{[(2n+2)]^{\frac{\beta}{2n+2}}}. \end{aligned} $$

Or, quand $n \to +\infty$, on a :

$$ \frac{1}{[(2n+2)]^{\frac{\beta}{2n+2}}} \sim \left( \frac{e}{2n+2} \right)^{\beta}. $$

$$ \text{Donc } \limsup_{n \to +\infty} |b_{n+2,n}|^{\frac{1}{2n}} = 0. $$
* Si $(n-m) + 2 \in 2\mathbb{N}^* \cap [0, 2n]$ et $m \neq 0$, alors on a :

$$
\begin{align*}
|b_{m,n}| &= \left| \zeta_{m,n}^{\frac{n-m}{2}+1} c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} \right| \\
&= A^{\frac{n-m}{2}} \left| \theta_{\frac{n-m}{2}} \right| \left| c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} \right| \\
&= A^{\frac{n-m}{2}} \left| \sum_{s=0}^{\frac{n-m}{2}} \left( \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_{\frac{n-m}{2}+1-s}) \\ p_i \ge 2 \\ \sum_i p_i = 2(\frac{n-m}{2}+1)-s}} \frac{(-1)^{\frac{n-m}{2}-s}}{p_1! \dots p_{\frac{n-m}{2}+1-s}!} \right) \right| \left| c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} \right| \\
&\le A^{\frac{n-m}{2}} \sum_{s=0}^{\frac{n-m}{2}} \left( \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_{\frac{n-m}{2}+1-s}) \\ p_i \ge 2 \\ \sum_i p_i = 2(\frac{n-m}{2}+1)-s}} \frac{1}{p_1! \dots p_{\frac{n-m}{2}+1-s}!} \right) \left| c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} \right| \\
&\le \frac{A^{\frac{n-m}{2}}}{2^{\frac{n-m}{2}+1}} \sum_{s=0}^{\frac{n-m}{2}} \left( \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_{\frac{n-m}{2}+1-s}) \\ p_i \ge 2 \\ \sum_i p_i = 2(\frac{n-m}{2}+1)-s}} \right) \left| c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} \right| \\
&\le \frac{A^{\frac{n-m}{2}}}{2^{\frac{n-m}{2}+1}} \sum_{s=0}^{\frac{n-m}{2}} C_{\frac{m-n}{2}}^s \left| c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} \right| \\
&\le \frac{A^{\frac{n-m}{2}}}{2} \left| c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} \right| \\
&\le \frac{A^{\frac{n-m}{2}}}{2} \frac{A^{\frac{n-m}{2}}}{2[(m+n)!]^\beta} \\
&\le \frac{A^{\frac{n-m}{2}}}{2} \frac{A^{\frac{n-m}{2}}}{2 \left( A_{m+n}^{\frac{n+m}{2}} \right)^\beta [(\frac{m+n}{2})!]^\beta} \\
&\le \frac{1}{[(\frac{m+n}{2})!]^\beta}.
\end{align*}
$$
Donc $|b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} \le \frac{1}{[(\frac{m+n}{2})!]^{\frac{\beta}{m+n}}}.$

Or, quand $m+n \to +\infty$, on a :

$$ \frac{1}{[(\frac{m+n}{2})!]^{\frac{\beta}{m+n}}} \sim \left( \frac{2e}{m+n} \right)^{\frac{\beta}{2}}. $$

Donc $\limsup_{m+n \to +\infty} |b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} = 0$. Par suite $f_{0,a} \in \text{Hol}(\mathbb{C}^2)$ et $g_0$ est $A$-soluble.

cas : *a* est une rotation rationnelle d'ordre $r \ge 2$ et $\beta \ge 1$.

Considérons $f_{0,a} = f_{0,a,1} + f_{0,a,2}$ la série formelle solution de notre équation, où
$f_{0,a,1} = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ définie par :

$$ b_{m,n} = \begin{cases} \sum_{k=0}^{n} \xi_{m,n}^{k} c_{m+k,n-k} & \text{si } m+n \neq 0[r] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}, $$

et $f_{0,a,2} = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} d_{m,n} z^m w^n$ est définie par :

$$ d_{m,n} = \begin{cases} \sum_{k=0}^{n} a^{1-k} \zeta_{m,n}^{k} c_{m-1+k,n+1-k} & \text{si } m+n \equiv 0[r] \text{ et } m \neq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}. $$

Pour tout $1 \le k \le n$, les $\xi_{m,n}^k$ et les $\zeta_{m,n}^k$ sont les mêmes que dans les cas ci-dessus.

* D'une part, pour $m+n \neq 0[r]$, on a :

$$ \begin{aligned} c_{m+k,n-k} \neq 0 &\iff m+k=n-k \text{ et } m+k \neq 0 \text{ et } n-k \neq 0 \\ &\iff 2k=(n-m) \text{ et } m+k \neq 0 \text{ et } k \neq n. \end{aligned} $$

On en déduit que

$$ b_{m,n} = \begin{cases} \xi_{m,n}^{0} c_{m,n} & \text{si } m = n \text{ et } m + n \neq 0[r] \\ \xi_{m,n}^{\frac{n-m}{2}} c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} & \text{si } (n-m) \in 2\mathbb{N}^* \cap [0, 2n[ \text{ et } m + n \neq 0[r] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}. $$

Posons $\alpha_0 = \max_{1 \le j \le r-1} \{1, \frac{1}{|1-a^j|}\}$.
✓ Si $m = n$ et $m + n \neq 0[r]$, alors on a :

$$ 
\begin{aligned}
|b_{n,n}| &= \frac{|c_{n,n}|}{|1 - a^{2n}|} \\
&\le \frac{\alpha_0}{[(2n)!]^\beta} \\
|b_{n,n}|^{\frac{1}{2n}} &\le \frac{\alpha_0^{\frac{1}{2n}}}{[(2n)!]^{\frac{\beta}{2n}}}.
\end{aligned}
$$

Or, quand $n \to +\infty$, on a :

$$ \frac{1}{[(2n)!]^{\frac{\beta}{2n}}} \sim \left(\frac{e}{2n}\right)^{\beta}. $$

Donc $\limsup_{n \to +\infty} |b_{n,n}|^{\frac{1}{2n}} = 0$.

✓ Si $(n-m) \in 2\mathbb{N}^* \cap [0, 2n]$ et $m+n \neq 0[r]$, alors on a :

$$ 
\begin{aligned}
|b_{m,n}| &= \left| \xi_{m,n}^{\frac{n-m}{2}} c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} \right| \\
&= A_{\frac{n-m}{2}}^{\frac{n-m}{2}} \left| \theta_{\frac{n-m}{2}, m,n} \right| c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} \\
&= A_{\frac{n-m}{2}}^{\frac{n-m}{2}} \left| \sum_{s=1}^{\frac{n-m}{2}} \left( \frac{a^{s(m+n)-\frac{n-m}{2}}}{(1-a^{m+n})^{s+1}} \sum_{\substack{p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = \frac{n-m}{2}}} \frac{1}{p_1! \dots p_s!} \right) \right| c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} \\
&\le A_{\frac{n-m}{2}}^{\frac{n-m}{2}} \sum_{s=1}^{\frac{n-m}{2}} \left( \frac{|a|^{s(m+n)-\frac{n-m}{2}}}{|1-a^{m+n}|^{s+1}} \sum_{\substack{p_1, \dots, p_s \\ p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = \frac{n-m}{2}}} \frac{1}{p_1! \dots p_s!} \right) c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}}.
\end{aligned}
$$
$$
\begin{align*}
|b_{m,n}| &\le \alpha_0^{\frac{n-m}{2}+1} A_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{n-m}{2}} \sum_{s=1}^{\frac{n-m}{2}} \left( \sum_{\substack{(p_1, \dots, p_s) \\ p_i \ge 1 \\ \sum_i p_i = \frac{n-m}{2}}} \frac{1}{p_1! \dots p_s!} \right) |c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}}| \\
&\le \alpha_0^{\frac{n-m}{2}+1} A_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{n-m}{2}} \sum_{s=1}^{\frac{n-m}{2}} C_{\frac{n-m}{2}-1}^{s-1} |c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}}| \\
&\le 2^{\frac{n-m}{2}} \alpha_0^{\frac{n-m}{2}+1} A_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{n-m}{2}} |c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}}| \\
&\le \frac{2^{\frac{n-m}{2}} \alpha_0^{\frac{n-m}{2}+1} A_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{n-m}{2}}}{[(m+n)!]^\beta} \\
&\le \frac{\alpha_0(2\alpha_0)^{\frac{n-m}{2}} A_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{n-m}{2}}}{\left(A_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{n+m}{2}}\right)^\beta \left[\left(\frac{n+m}{2}\right)!!\right]^\beta} \\
&\le \frac{\alpha_0(2\alpha_0)^{\frac{n-m}{2}}}{\left[\left(\frac{n+m}{2}\right)!!\right]^\beta} \\
&\le \frac{\alpha_0(2\alpha_0)^{\frac{n+m}{2}}}{\left[\left(\frac{n+m}{2}\right)!!\right]^\beta} \\
&\le \frac{\alpha_0^{\frac{1}{m+n}} (2\alpha_0)^{\frac{1}{2}}}{\left[\left(\frac{n+m}{2}\right)!!\right]^{\frac{\beta}{m+n}}} .
\end{align*}
$$

Or, quand $m+n \to +\infty$, on a :

$$
\frac{\alpha_0^{\frac{1}{m+n}} (2\alpha_0)^{\frac{1}{2}}}{\left[\left(\frac{n+m}{2}\right)!!\right]^{\frac{\beta}{m+n}}} \sim \frac{(2\alpha_0)^{\frac{1}{2}} (2e)^{\frac{\beta}{2}}}{(m+n)^{\frac{\beta}{2}}}
$$

Donc $\lim_{m+n \to +\infty} |b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} = 0$. Par suite $f_{0,a,1} \in \text{Hol}(\mathbb{C}^2)$.

* D'autre part, pour $m+n \equiv 0[r]$ et $m \neq 0$, on a :

$$
\begin{align*}
c_{m-1+k,n+1-k} \neq 0 &\iff m-1+k = n+1-k \text{ et } m-1+k \neq 0 \text{ et } n+1-k \neq 0 \\
&\iff 2k = (n-m)+2 \text{ et } m-1+k \neq 0.
\end{align*}
$$
On en déduit que

$$d_{m,n} = \begin{cases} a \zeta_{m,n}^0 c_{m-1,n+1} & \text{si } m-1 = n+1 \text{ et } m+n \equiv 0[r] \text{ et } m \neq 0 \\ a^{1-\frac{n-m}{2}} \zeta_{m,n}^{\frac{n-m}{2}+1} c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} & \text{si } (n-m)+2 \in 2\mathbb{N}^* \cap [0,2n] \text{ et } m+n \equiv 0[r] \text{ et } m \neq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.$$

✓ Si $m-1 = n+1$ et $m+n \equiv 0[r]$ et $m \neq 0$, alors on a :

$$\begin{aligned} |d_{n+2,n}| &= \frac{|a||c_{n+1,n+1}|}{|(n+2)|} \\ &\le \frac{1}{(n+2)[(2n+2)]^\beta} \\ &\le \frac{1}{[(2n+2)]^\beta} \\ |d_{n+2,n}|^{\frac{1}{2n+2}} &\le \frac{1}{[(2n+2)]^{\frac{\beta}{2n+2}}}. \end{aligned}$$

Or, quand $n \to +\infty$, on a :

$$\frac{1}{[(2n+2)]^{\frac{\beta}{2n+2}}} \sim \left( \frac{e}{2n+2} \right)^{\beta}.$$

Donc $\limsup_{n \to +\infty} |d_{n+2,n}|^{\frac{1}{2n+2}} = 0$.

✓ Si $(n-m)+2 \in 2\mathbb{N}^* \cap [0,2n]$ et $m+n \equiv 0[r]$ et $m \neq 0$, alors on a :

$$\begin{aligned} |d_{m,n}| &= \left| a^{1-\frac{n-m}{2}} \zeta_{m,n}^{\frac{n-m}{2}+1} c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} \right| \\ |d_{m,n}| &= \left| \zeta_{m,n}^{\frac{n-m}{2}+1} c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} \right| \\ &\le \frac{1}{[(\frac{m+n}{2})]^{\beta}} \\ |d_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} &\le \frac{1}{[(\frac{m+n}{2})]^{\frac{\beta}{m+n}}}. \end{aligned}$$

Or, quand $m+n \to +\infty$, on a :

$$\frac{1}{[(\frac{m+n}{2})]^{\frac{\beta}{m+n}}} \sim \left( \frac{2e}{m+n} \right)^{\frac{\beta}{2}}.$$

Donc $\limsup_{m+n \to +\infty} |d_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} = 0$. Par suite $f_{0,a,2} \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$, $f_{0,a} \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$ et $g_0$ est A-soluble. $\square$
**Proposition 2.2.5.** Soient $\gamma_A$ le $\mathbb{C}^2$-automorphisme linéaire associé à $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ où $a \in \mathbb{C}$ avec $|a| = 1$, $i_0 \in \mathbb{N}^*$ fixé, et $\beta \in \mathbb{R}^*$.

L'équation $f - f \circ \gamma_A = g$ est entièrement résolue dans $\mathcal{H}\mathcal{o}(\mathbb{C}^2)$, si $a$ est rationnel d'ordre $r \ge 1$ ou irrationnel diophantien, pour $g$ diagonale supérieure.

**Démonstration.** Pour tout $i \in \mathbb{N}^*$, soit $g_i = \sum_{m \ge 0} \frac{1}{[(2m + i)!]^\beta} z^m w^{m+i} \in \mathcal{H}\mathcal{o}(\mathbb{C}^2)$ c'est-à-dire :

$$c_{m,n} = \begin{cases} \frac{1}{[(m+n)!]^\beta} & \text{si } n = m + i \\ 0 & \text{sinon} \end{cases},$$

où $\beta \in \mathbb{R}_+^*$. Il suffit pour cela de remarquer que, quand $m \to +\infty$ :

$$\frac{1}{[(2m + i)!]^{\frac{\beta}{2m+i}}} \sim \left( \frac{e}{2m + i} \right)^{\beta}.$$

Pour toute rotation diophantienne $a$, $g_i$ est $A$-soluble si $\beta > \delta$; où $\delta$ est donné par le caractère diophantien de $a$. Pour toute rotation rationnelle d'ordre $r \ge 1$, $g_i$ est $A$-soluble si $\beta \ge 1$.

**cas :** $a$ est une rotation diophantienne et $\beta > \delta$.

Considérons $f_{0,a} = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ la série formelle solution de notre équation.

On obtient :

$$b_{m,n} = \begin{cases} \xi_{\frac{n-m}{2m}}^0 c_{m,n} & \text{si } n = m + i \\ \xi_{m,n}^{\frac{2}{2m}} c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}} & \text{si } (n-m) - i \in 2\mathbb{N}^* \cap [0, 2n[ \text{ et } (m,n) \ne (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.$$

Posons $\alpha_0 = \max \left\{ 1, \frac{1}{M} \right\}$.

* Si $n = m + i$, alors on a :

$$|b_{m,m+i}|^{\frac{1}{2m+i}} \le \alpha_0^{\frac{1}{2m+i}} \frac{(2m+i)^{\frac{\delta}{2m+i}}}{[(2m+i-1)!]^{\frac{\beta}{2m+i}}} \text{ et } \frac{1}{[(2m+i-1)!]^{\frac{\beta}{2m+i}}} \underset{m \to +\infty}{\sim} \left(\frac{e}{2m+i-1}\right)^{\beta}.$$

* Si $(n - m) - i \in 2\mathbb{N}^* \cap [0, 2n[$ et $(m, n) \ne (0, 0)$, on a :

$$|b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} \le (2\alpha_0)^{\frac{1}{2}} (\alpha_0)^{\frac{1}{m+n}} (m+n)^{\frac{\delta}{m+n}} \left( \frac{(m+n)^{\frac{\delta}{\frac{n+m}{2}}}}{\left[ \left( \frac{n+m+i}{2} \right)! \right]^\beta} \right)^{\frac{1}{m+n}} \text{ et } \left( \frac{(m+n)^{\frac{\delta}{\frac{n+m}{2}}}}{\left[ \left( \frac{n+m+i}{2} \right)! \right]^\beta} \right)^{\frac{1}{m+n}} \underset{m+n \to +\infty}{\sim} \frac{(2e)^{\frac{\beta}{2}}}{(m+n+i)^{\frac{\beta-\delta}{2}}}.$$

Donc $f_{0,a} \in \mathcal{H}\mathcal{o}(\mathbb{C}^2)$ et $g_i$ est $A$-soluble.
cas : $a = 1$ et $\beta \ge 1$.

Considérons $f_{0,a} = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ la série formelle solution de notre équation.

On obtient :

$$
b_{m,n} = \begin{cases}
\displaystyle \frac{\zeta_{m,n}^0}{\zeta_{m,n}^{\frac{n-m}{2}+1}} c_{m-1,n+1} & \text{si } m-1+i=n+1 \text{ et } m \neq 0 \\
\displaystyle \frac{c_{m+n-i, \frac{m+n-i}{2}}}{0} & \text{si } (n-m)-i+2 \in 2\mathbb{N}^* \cap [0,2n] \text{ et } m \neq 0 \text{ .} \\
& \text{sinon}
\end{cases}
$$

* Si $m-1+i=n+1$ et $m \neq 0$, alors on a :

$$
|b_{m,m-2+i}|^{\frac{1}{2m-2+i}} \le \frac{1}{[(2m-2+i)!]^{\frac{\beta}{2m-2+i}}} \quad \text{et} \quad \frac{1}{[(2m-2+i)!]^{\frac{\beta}{2m-i+2}}} \underset{m \to +\infty}{\sim} \left(\frac{e}{2m-2+i}\right)^{\beta}.
$$

* Si $(n-m)+2-i \in 2\mathbb{N}^* \cap [0, 2n]$ et $m \neq 0$, alors on a :

$$
|b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} \le \frac{1}{[(\frac{m+n+i}{2})!]^{\frac{\beta}{m+n}}} \quad \text{et} \quad \frac{1}{[(\frac{m+n+i}{2})!]^{\frac{\beta}{m+n}}} \underset{m+n \to +\infty}{\sim} \left(\frac{2e}{m+n+i}\right)^{\frac{\beta}{2}}
$$

Donc $f_{0,a} \in \mathcal{H}\mathcal{o}\mathcal{l}(\mathbb{C}^2)$ et $g_i$ est $A$-soluble.

cas : *a* est une rotation rationnelle d'ordre *r* ≥ 2 et *β* ≥ 1.

Considérons $f_{0,a} = f_{0,a,1} + f_{0,a,2}$ la série formelle solution de notre équation.

* D'une part, on obtient :

$$
b_{m,n} = \begin{cases}
\frac{\xi_{m,n}^0}{\xi_{m,n}^{\frac{n-m}{2}}} c_{m,n} & \text{si } n = m + i \text{ et } m + n \neq 0[r] \\
\frac{c_{m+n-i, \frac{m+n-i}{2}}}{0} & \text{si } (n-m)-i \in 2\mathbb{N}^* \cap [0, 2n[ \text{ et } m+n \neq 0[r] \ . \\
& \text{sinon}
\end{cases}
$$

Posons $\alpha_0 = \max_{1 \le j \le r-1} \{1, \frac{1}{|1-a^j|}\}$.

✓ Si $n = m + i$ et $m + n \neq 0[r]$, alors on a :

$$
|b_{m,m+i}|^{\frac{1}{2m+i}} \le \frac{\alpha_0^{\frac{1}{2m+i}}}{[(2m+i)!]^{\frac{\beta}{2m+i}}} \quad \text{et} \quad \frac{1}{[(2m+i)!]^{\frac{\beta}{2m+i}}} \underset{m \to +\infty}{\sim} \left(\frac{e}{2m+i}\right)^{\beta}.
$$

✓ Si $(n-m)-i \in 2\mathbb{N}^* \cap [0, 2n[$ et $m+n \neq 0[r]$, alors on a :

$$
|b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} \le \frac{\alpha_0^{\frac{1}{m+n}} (2\alpha_0)^{\frac{1}{2}}}{\left[\left(\frac{n+m+i}{2}\right)!!\right]^{\frac{\beta}{m+n}}} \quad \text{et} \quad \frac{1}{\left[\left(\frac{n+m+i}{2}\right)!!\right]^{\frac{\beta}{m+n}}} \sim \left(\frac{2e}{m+n+i}\right)^{\frac{\beta}{2}}.
$$

Donc $f_{0,a,1} \in \mathcal{H}\mathcal{o}\mathcal{l}(\mathbb{C}^2)$.
* D'autre part, on obtient :

$$d_{m,n} = \begin{cases} a \zeta_{m,n}^0 c_{m-1,n+1} & \text{si } m-1+i=n+1 \neq 0 \text{ et } m+n \equiv 0[r] \text{ et } m \neq 0 \\ a^{1-\frac{n-m}{2}} \zeta_{m,n}^{\frac{n-m-i}{2}+1} c_{\frac{m+n-i}{2}, \frac{m+n+i}{2}} & \text{si } (n-m)-i+2 \in 2\mathbb{N}^* \cap [0,2n] \text{ et } m+n \equiv 0[r] \text{ et } m \neq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$

✓ Si $m-1+i=n+1 \neq 0$ et $m+n \equiv 0[r]$ et $m \neq 0$, alors on a :

$$|d_{m,m+i-2}|^{\frac{1}{2m-2+i}} \le \frac{1}{[(2m-2+i)!]^{\frac{\beta}{2m-2+i}}} \text{ et } \frac{1}{[(2m-2+i)!]^{\frac{\beta}{2m-2+i}}} \stackrel{\sim}{\to} \left(\frac{e}{2m-2+i}\right)^{\beta}.$$

✓ Si $(n-m)-i+2 \in 2\mathbb{N}^* \cap [0,2n]$ et $m+n \equiv 0[r]$ et $m \neq 0$, alors on a :

$$|d_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} \le \frac{1}{\left[\left(\frac{m+n+i}{2}\right)!!\right]^{\frac{\beta}{m+n}}} \text{ et } \frac{1}{\left[\left(\frac{m+n+i}{2}\right)!!\right]^{\frac{\beta}{m+n}}} \stackrel{\sim}{\to} \left(\frac{2e}{m+n+i}\right)^{\frac{\beta}{2}}.$$

Donc $f_{0,a,2} \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$, $f_{0,a} \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$ et $g_i$ est A-soluble.

□

**Proposition 2.2.6.** Soient $\gamma_A$ le $\mathbb{C}^2$-automorphisme linéaire associé à $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ où $a \in \mathbb{C}$ avec $|a| = 1$, $i_0 \in \mathbb{N}^*$ fixé, et $\beta \in \mathbb{R}^*$.

L'équation $f - f \circ \gamma_A = g$ est entièrement résolue dans $\mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$, si $a$ est rationnel d'ordre $r \ge 1$ ou irrationnel diophantien, pour $g$ diagonale inférieure.

**Démonstration.** Pour tout $i \in \mathbb{N}^*$, soit $g_i = \sum_{n \ge 0} \frac{1}{[(2n+i)!)^\beta} z^{n+i} w^n \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$.

Alors $g_i$ est définie par :

$$c_{m,n} = \begin{cases} \frac{1}{[(m+n)!]^\beta} & \text{si } m = n + i \\ 0 & \text{sinon} \end{cases},$$

où $\beta \in \mathbb{R}_+^*$, alors pour toute rotation diophantienne $a$, $g_i$ est A-soluble si $\beta > \delta$. Où $\delta$ est donné par le caractère diophantien de $a$.

Si $g_i$ est définie par :

$$c_{m,n} = \begin{cases} \frac{1}{[(m+n)!]^\beta} & \text{si } m = n + i \text{ et } (m,n) \notin r\mathbb{N} \times \{0\} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases},$$

où $\beta \in \mathbb{R}_+^*$, alors pour toute rotation rationnelle d'ordre $r \ge 1$, $g_i$ est A-soluble si $\beta > 1$. On remarque que, quand $n \to +\infty$ :

$$\frac{1}{[(2n + i)!!]^{\frac{\beta}{2n + i}}} \sim \left(\frac{e}{2n + i}\right)^{\beta}.$$
cas : *a* est une rotation diophantienne et $\beta > \delta$.

Considérons $f_{0,a} = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ la série formelle solution de notre équation.

On obtient

$$
b_{m,n} = \begin{cases} \xi_{m,n}^0 c_{m,n} & \text{si } m = n + i \\ \xi_{m,n}^{\frac{n-m+i}{2}} \frac{c_{\frac{m+n+i}{2}, \frac{m+n-i}{2}}}{0} & \text{si } (n-m)+i \in 2\mathbb{N}^* \cap [0, 2n] \text{ et } (m,n) \neq 0 \\ & \text{sinon} \end{cases} .
$$

Posons $\alpha_0 = \max \left\{ 1, \frac{1}{M} \right\}$.

* Si $m = n + i$, on a :

$$
|b_{n+i,n}|^{\frac{1}{2n+i}} \le \frac{\alpha_0^{\frac{1}{2n+i}} (2n+i)^{\frac{\delta}{2n+i}}}{[(2n+i-1)!]^{\frac{\beta}{2n+i}}} \quad \text{et} \quad \frac{1}{[(2n+i-1)!]^{\frac{\beta}{2n+i}}} \xrightarrow{n \to +\infty} \left(\frac{e}{2n+i-1}\right)^{\beta}.
$$

* Si $(n - m) + i \in 2\mathbb{N}^* \cap [0, 2n]$ et $(m, n) \neq 0$, on a :

$$
|b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} \le (\alpha_0)^{\frac{1}{m+n}} (2\alpha_0)^{\frac{m+n+i}{m+n}} (m+n)^{\frac{\delta}{m+n}} \left( \frac{(m+n)^{\delta\left(\frac{n+m+i}{2}\right)}}{\left[\left(\frac{n+m-i}{2}\right)!!\right]^{\beta}} \right)^{\frac{1}{m+n}}
$$

et

$$
\left( \frac{(m+n)^{\frac{\delta\left(\frac{n+m+i}{2}\right)}}}{\left[ \left( \frac{n+m-i}{2} \right)! \right]^\beta} \right)^{\frac{1}{m+n}} \underset{m+n \to +\infty}{\sim} \frac{(2e)^{\frac{\beta}{2}}}{(m+n-i)^{\frac{\beta-\delta}{2}}}.
$$

Donc $f_{0,a} \in \operatorname{Hol}(\mathbb{C}^2)$ et $g_i$ est $A$-soluble.

Cas : $a = 1$ et $\beta > 1$.

Considérons $f_{0,a} = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ la série formelle solution de notre équation.

On obtient

$$
b_{m,n} = \begin{cases} \xi_{m,n}^0 c_{m-1,n+1} & \text{si } m-1 = n+i+1 \text{ et } m \neq 0 \\ \xi_{m,n}^{\frac{n-m}{2}+1} \frac{c_{\frac{m+n}{2}, \frac{m+n}{2}}}{0} & \text{si } (n-m)+i+2 \in 2\mathbb{N}^* \cap [0, 2n] \text{ et } m \neq 0 \\ & \text{sinon} \end{cases} .
$$

* Si $m-1=n+i+1$ et $m \neq 0$, alors on a :

$$
|b_{n+i+2,n}|^{\frac{1}{2n+i+2}} \le \frac{1}{[(2n+i+2)!]^{\frac{\beta}{2n+i+2}}} \quad \text{et} \quad \frac{1}{[(2n+i+2)!]^{\frac{\beta}{2n+i+2}}} \xrightarrow{n \to +\infty} \left(\frac{e}{2n+i+2}\right)^{\beta}.
$$
* Si $(n-m)+2+i \in 2\mathbb{N}^* \cap [0, 2n]$ et $m \neq 0$, on a :

$$|b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} \le \frac{1}{\left[\left(\frac{m+n-i}{2}\right)!!\right]^{\frac{\beta}{m+n}}} \quad \text{et} \quad \frac{1}{\left[\left(\frac{m+n-i}{2}\right)!!\right]^{\frac{\beta}{m+n}}} \underset{m+n \to +\infty}{\sim} \left(\frac{2e}{m+n-i}\right)^{\frac{\beta}{2}}.$$

Donc $f_{0,a} \in \text{Hol}(\mathbb{C}^2)$ et $g_i$ est $A$-soluble.

**Cas : a est une rotation rationnelle d'ordre $r \ge 2$ et $\beta > 1$.

Considérons $f_{0,a} = f_{0,a,1} + f_{0,a,2}$ la série formelle solution de notre équation.

* D'une part, on obtient :

$$b_{m,n} = \begin{cases} \xi_{m,n}^0 c_{m,n} & \text{si } m = n + i \text{ et } m + n \neq 0[r] \\ \xi_{m,n}^{\frac{n-m+i}{2}} c_{\frac{m+n+i}{2}, \frac{m+n-i}{2}} & \text{si } (n-m) + i \in 2\mathbb{N}^* \cap [0, 2n] \text{ et } m+n \neq 0[r] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.$$

$$\text{Posons } \alpha_0 = \max_{1 \le j \le r-1} \left\{ 1, \frac{1}{|1-a^j|} \right\}.$$

✓ Si $m = n + i$ et $m + n \neq 0[r]$, On a :

$$|b_{n+i,n}|^{\frac{1}{2n+i}} \le \frac{\alpha_0^{\frac{1}{2n+i}}}{[(2n+i)!!]^{\frac{\beta}{2n+i}}} \quad \text{et} \quad \frac{1}{[(2n+i)!!]^{\frac{\beta}{2n+i}}} \underset{i \to +\infty}{\sim} \left(\frac{e}{2n+i}\right)^{\beta}.$$

✓ Si $(n-m) - i \in 2\mathbb{N}^* \cap [0, 2n]$ et $m+n \neq 0[r]$, alors on a :

$$|b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} \le \frac{\alpha_0^{\frac{1}{m+n}} (2\alpha_0)^{\frac{n+m-i}{2(m+n)}}}{\left[\left(\frac{n+m-i}{2}\right)!!\right]^{\frac{\beta}{m+n}}} \quad \text{et} \quad \frac{1}{\left[\left(\frac{n+m-i}{2}\right)!!\right]^{\frac{\beta}{m+n}}} \underset{m+n \to +\infty}{\sim} (2\alpha_0)^{\frac{1}{2}} \left(\frac{2e}{m+n-i}\right)^{\frac{\beta}{2}}.$$

Donc $f_{0,a,1} \in \text{Hol}(\mathbb{C}^2)$.

* D'autre part, on obtient :

$$d_{m,n} = \begin{cases} a \xi_{m,n}^0 c_{m-1,n+1} & \text{si } m-1 = n+1+i \text{ et } m+n \equiv 0[r] \text{ et } m \neq 0 \\ a^{1-\frac{n-m}{2}} \xi_{m,n}^{\frac{n-m+i}{2}+1} c_{\frac{m+n+i}{2}, \frac{m+n-i}{2}} & \text{si } (n-m)+i+2 \in 2\mathbb{N}^* \cap [0, 2n] \text{ et } m+n \equiv 0[r] \text{ et } m \neq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.$$

✓ Si $m-1 = n+1+i \neq 0$ et $m+n \equiv 0[r]$ et $m \neq 0$, alors on a :

$$|d_{n+i+2,n}|^{\frac{1}{2n+i+2}} \le \frac{1}{\left[\left(2n+i+2\right)!!\right]^{\frac{\beta}{2n+i+2}}} \quad \text{et} \quad \underset{i \to +\infty}{\sim} \left(\frac{e}{2n+i+2}\right)^{\beta}.$$
✓ Si $(n-m)+i+2 \in 2\mathbb{N}^* \cap [0, 2n]$ et $m+n \equiv 0 \pmod{r}$ et $m \neq 0$, alors on a :

$$|d_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} \le \frac{1}{[(\frac{m+n-i}{2})!]^{\frac{\beta}{m+n}}} \text{ et } \frac{1}{[(\frac{m+n-i}{2})!]^{\frac{\beta}{m+n}}} \stackrel{\sim}{\to} \left(\frac{2e}{m+n-i}\right)^{\frac{\beta}{2}}.$$

Donc $f_{0,a,2} \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$, $f_{0,a} \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$ et $g_i$ est A-soluble.

□

**Proposition 2.2.7.** Soient $\gamma_A$ le $\mathbb{C}^2$-automorphisme linéaire associé à $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ où $a \in \mathbb{C}$ avec $|a| = 1$, $i_0 \in \mathbb{N}^*$ fixé, et $\beta \in \mathbb{R}^*$.

L'équation $f - f \circ \gamma_A = g$ est entièrement résolue dans $\mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$, si $a$ est rationnel d'ordre $r \ge 1$ ou irrationnel diophantien, pour $g$ totale.

**Démonstration.** Soit $g = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} \frac{1}{[(m+n)!]^\beta} z^m w^n \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$.

Si $g$ est définie par :

$$c_{m,n} = \begin{cases} \frac{1}{[(m+n)!]^\beta} & \text{si } (m,n) \ne (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases},$$

où $\beta \in \mathbb{R}_+^*$, alors pour toute rotation diophantienne $a$, $g$ est A-soluble si $\beta > \delta + 1$. Où $\delta$ est donné par le caractère diophantien de $a$.

Si $g$ est définie par :

$$c_{m,n} = \begin{cases} \frac{1}{[(m+n)!]^\beta} & \text{si } (m,n) \notin r\mathbb{N} \times \{0\} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases},$$

où $\beta \in \mathbb{R}_+^*$, alors pour toute rotation rationnelle d'ordre $r \ge 1$, $g$ est A-soluble si $\beta > 1$.

On remarque que, quand $m+n \to +\infty$ :

$$\frac{1}{[(m+n)!]^\frac{\beta}{m+n}} \sim \left(\frac{e}{m+n}\right)^\beta.$$

cas : $a$ est une rotation diophantienne et $\beta > \delta + 1$.

Considérons $f_{0,a} = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ la série formelle solution de notre équation. On obtient

$$b_{m,n} = \begin{cases} \sum_{k=0}^{n} \xi_{m,n}^{k} c_{m+k,n-k} & \text{si } (m,n) \neq (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.$$

Posons $\alpha_0 = \max \left\{ 1, \frac{1}{M} \right\}$ où $M$ est donné par le caractère diophantien de $a$.

Si $(m, n) \neq (0, 0)$, alors on a :

$$|b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} \le 2\alpha_0(m+n)^{\frac{\delta}{m+n}} (2\alpha_0)^{\frac{1}{m+n}} \left( \frac{(m+n)^{\delta(m+n)}}{[(m+n)!]^{\beta-1}} \right)^{\frac{1}{m+n}} \text{ et } \left( \frac{(m+n)^{\delta(m+n)}}{[(m+n)!]^{\beta-1}} \right)^{\frac{1}{m+n}} \stackrel{\sim}{\to} \frac{e^{\beta-1}}{(m+n)^{\beta-1-\delta}}$$

Donc $f_{0,a} \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$ et $g$ est A-soluble.
cas : $a = 1$ et $\beta > 1$.

Considérons $f_{0,a} = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ la série formelle solution de notre équation.

On obtient

$$b_{m,n} = \begin{cases} 0 & \text{si } m = 0 \\ \sum_{k=0}^{n} \xi_{m,n}^{k} c_{m-1+k,n+1-k} & \text{si } m \neq 0 \end{cases}.$$

Donc, si $m \neq 0$, on a :

$$|b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} \le \frac{(n+m)^{\frac{1}{m+n}}}{[(m+n)!]^{\frac{\beta-1}{m+n}}} \text{ et } \frac{1}{[(m+n)!]^{\frac{\beta-1}{m+n}}} \underset{m+n \to +\infty}{\sim} \left(\frac{e}{m+n}\right)^{\beta-1}.$$

Donc $f_{0,a} \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$ et $g$ est $A$-soluble.

cas : $a$ est une rotation rationnelle d'ordre $r \ge 2$ et $\beta > 1$.

Considérons $f_{0,a} = f_{0,a,1} + f_{0,a,2}$ la série formelle solution de notre équation.

* D'une part, on obtient

$$b_{m,n} = \begin{cases} \sum_{k=0}^{n} \xi_{m,n}^{k} c_{m+k,n-k} & \text{si } m+n \neq 0[r] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.$$

Posons $\alpha_0 = \max_{1 \le j \le r-1} \left\{ 1, \frac{1}{|1-a^j|} \right\}$.

Si $m+n \neq 0[r]$, alors on a :

$$|b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} \le 2\alpha_0 \left( \frac{1}{[(m+n)!]^{\beta-1}} \right)^{\frac{1}{m+n}} \text{ et } \left( \frac{1}{[(m+n)!]^{\beta-1}} \right)^{\frac{1}{m+n}} \underset{m+n \to +\infty}{\sim} \left( \frac{e}{(m+n)} \right)^{\beta-1}.$$

Donc $f_{0,a,1} \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$.

* D'autre part, on obtient

$$d_{m,n} = \begin{cases} \sum_{k=0}^{n} a^{1-k} \xi_{m,n}^{k} c_{m-1+k,n+1-k} & \text{si } m+n \equiv 0[r] \text{ et } m \neq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.$$

Si $m+n \equiv 0[r] \text{ et } m \neq 0$, alors on a :

$$|b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} \le \frac{(n+m)^{\frac{1}{m+n}}}{[(m+n)!]^{\frac{\beta-1}{m+n}}} \text{ et } \frac{1}{[(m+n)!]^{\frac{\beta-1}{m+n}}} \underset{m+n \to +\infty}{\sim} \left(\frac{e}{m+n}\right)^{\beta-1}.$$

Donc $f_{0,a,2} \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$, $f_{0,a} \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$ et $g$ est $A$-soluble. $\square$

<figure><img src="image_12.png" /></figure>
**Proposition 2.2.8.** Soient $\gamma_A$ le $\mathbb{C}^2$-automorphisme linéaire associé à $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ où $a \in \mathbb{C}$ avec $|a| = 1$, $i_0 \in \mathbb{N}^*$ fixé, et $\beta \in \mathbb{R}^*$.

L'équation $f - f \circ \gamma_A = g$ est entièrement résolue dans $\text{Hol}(\mathbb{C}^2)$, si $a$ est rationnel d'ordre $r \ge 1$ ou irrationnel diophantien, pour $g$ verticale.

**Démonstration.** Pour tout $i \in \mathbb{N}^*$, soit $g_i = \sum_{m \ge 0} \frac{1}{[(m+i)!]^\beta} z^n w^i \in \text{Hol}(\mathbb{C}^2)$, c'est-à-dire :

$$c_{m,n} = \begin{cases} \frac{1}{[(m+n)!]^\beta} & \text{si } n = i \\ 0 & \text{sinon} \end{cases},$$

où $\beta \in \mathbb{R}_+^*$. Il suffit pour cela de remarquer que, quand $n \to +\infty$ :

$$\frac{1}{[(m + i)!]^\frac{\beta}{m+i}} \sim \left(\frac{e}{m+i}\right)^{\beta}.$$

Pour toute rotation diophantienne $a$, $g_i$ est $A$-soluble si $\beta > \delta + 1$ ; où $\delta$ est donné par le caractère diophantien de $a$. Pour toute rotation rationnelle d'ordre $r \ge 1$, $g_i$ est $A$-soluble si $\beta > 1$.

**cas :** $a$ est une rotation diophantienne et $\beta > \delta + 1$.

Considérons $f_{0,a} = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ la série formelle solution de notre équation.

On obtient

$$b_{m,n} = \begin{cases} \xi_{m,n}^0 c_{m,n} & \text{si } n = i \\ \xi_{m,n}^{n-i} c_{m+n-i,i} & \text{si } (n-i) \in \mathbb{N}^* \cap [0, n[ \text{ et } (m,n) \ne (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.$$

$$\text{Posons } \alpha_0 = \max \left\{ 1, \frac{1}{M} \right\}.$$

* Si $n = i$, alors on a :

$$|b_{m,i}|^{\frac{1}{m+i}} \le \alpha_0^{\frac{1}{m+i}} \frac{(m+i)^{\frac{\delta}{m+i}}}{[(m+i)!]^^{\frac{\beta}{m+i}}} \text{ et } \frac{1}{[(m+i)!]^^{\frac{\beta}{m+i}}} \underset{m \to +\infty}{\sim} \left(\frac{e}{m+i}\right)^{\beta}.$$

* Si $(n-i) \in \mathbb{N}^* \cap [0, n[$ et $(m, n) \ne (0, 0)$, alors on a :

$$|b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} \le (2\alpha_0)(\alpha_0)^{\frac{1}{m+n}} (m+n)^{\frac{\delta}{m+n}} \left( \frac{(m+n)^{\delta(n+m)}}{[(n+m)!]^\beta} \right)^{\frac{1}{m+n}} \text{ et } \left( \frac{(m+n)^{\delta(n+m)}}{[(n+m)!]^\beta} \right)^{\frac{1}{m+n}} \underset{m+n \to +\infty}{\sim} \frac{e^{\beta-1}}{(m+n)^{\beta-1-\delta}}.$$

Donc $f_{0,a} \in \text{Hol}(\mathbb{C}^2)$ et $g_i$ est $A$-soluble.
cas : $a = 1$ et $\beta > 1$.

Considérons $f_{0,a} = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} b_{m,n} z^m w^n$ la série formelle solution de notre équation. Pour $m \ne 0$, on a :

$$b_{m,n} = \begin{cases} \zeta_{m,n}^0 c_{m-1,n+1} & \text{si } n+1=i \text{ et } m \neq 0 \\ \zeta_{m,n}^{n+1-i} c_{m+n+1-i,i-1} & \text{si } n+1-i \in \mathbb{N}^* \cap [0,n] \text{ et } m \neq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.$$

* Si $n+1=i$ et $m \neq 0$, alors on a :

$$|b_{m,i-1}|^{\frac{1}{m+i-1}} \le \frac{1}{[(m+i-1)!]^{\frac{\beta}{m+i-1}}} \text{ et } \frac{1}{[(m+i-1)!]^{\frac{\beta}{m+i-1}}} \underset{m \to +\infty}{\sim} \left(\frac{e}{m+i-1}\right)^{\beta}.$$

* Si $n+1-i \in \mathbb{N}^* \cap [0,n]$ et $m \neq 0$, alors on a :

$$|b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} \le \frac{1}{[(m+n)!]^{\frac{\beta-1}{m+n}}} \text{ et } \frac{1}{[(m+n)!]^{\frac{\beta-1}{m+n}}} \underset{m+n \to +\infty}{\sim} \left(\frac{e}{m+n}\right)^{\beta-1}.$$

Donc $f_{0,a} \in \text{Hol}(\mathbb{C}^2)$ et $g_i$ est $A$-soluble.

cas : $a$ est une rotation rationnelle d'ordre $r \ge 2$ et $\beta > 1$.

Considérons $f_{0,a} = f_{0,a,1} + f_{0,a,2}$ la série formelle solution de notre équation.

* D'une part, pour $m+n \neq 0[r]$, on obtient

$$b_{m,n} = \begin{cases} \xi_{m,n}^0 c_{m,n} & \text{si } n=i \text{ et } m+n \neq 0[r] \\ \xi_{m,n}^{n-i} c_{m+n-i,i} & \text{si } (n-i) \in \mathbb{N}^* \cap [0,n[ \text{ et } m+n \neq 0[r] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.$$

Posons $\alpha_0 = \max_{1 \le j \le r-1} \{1, \frac{1}{|1-a^j|}\}$.

✓ Si $n=i$ et $m+n \neq 0[r]$, alors on a :

$$|b_{m,i}|^{\frac{1}{m+i}} \le \frac{\alpha_0^{\frac{1}{m+i}}}{[(m+i)!]^{\frac{\beta}{m+i}}} \text{ et } \frac{1}{[(m+i)!]^{\frac{\beta}{m+i}}} \underset{m \to +\infty}{\sim} \left(\frac{e}{m+i}\right)^{\beta}.$$

✓ Si $(n-i) \in \mathbb{N}^* \cap [0, n[$ et $m+n \neq 0[r]$, alors on a :

$$|b_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} \le \frac{\alpha_0^{\frac{1}{m+n}} (2\alpha_0)}{[(n+m)!]^{\frac{\beta-1}{m+n}}} \text{ et } \frac{1}{[(n+m)!]^{\frac{\beta-1}{m+n}}} \underset{m+n \to +\infty}{\sim} \left(\frac{e}{m+n}\right)^{\beta-1}.$$

Donc $f_{0,a,1} \in \text{Hol}(\mathbb{C}^2)$.
* D'autre part, pour $m + n \equiv 0[r]$ et $m \neq 0$, on obtient :

$$d_{m,n} = \begin{cases} a \zeta_{m,n}^0 c_{m-1,n+1} & \text{si } n+1=i \text{ et } m+n \equiv 0[r] \text{ et } m \neq 0 \\ a^{i-n} \zeta_{m,n}^{n+1-i} c_{m+n-i,i} & \text{si } n+1-i \in \mathbb{N}^* \cap [0,n] \text{ et } m+n \equiv 0[r] \text{ et } m \neq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.$$

✓ Si $n+1=i$ et $m+n \equiv 0[r]$ et $m \neq 0$, alors on a :

$$|d_{m,i-1}|^{\frac{1}{m+i-1}} \le \frac{1}{[(m+n)!]^{\frac{\beta-1}{m+n}}} \quad \text{et} \quad \frac{1}{[(m+i-1)!]^{\frac{\beta}{m+i-1}}} \underset{m \to +\infty}{\sim} \left(\frac{e}{m+i-1}\right)^{\beta}.$$

✓ Si $n+1-i \in \mathbb{N}^* \cap [0,n]$ et $m+n \equiv 0[r]$ et $m \neq 0$, alors on a :

$$|d_{m,n}|^{\frac{1}{m+n}} \le \frac{1}{\left[\left(\frac{m+n}{2}\right) !\right]^{\frac{\beta}{m+n}}} \quad \text{et} \quad \frac{1}{\left[\left(m+n\right) !\right]^{\frac{\beta-1}{m+n}}} \underset{m+n \to +\infty}{\sim} \left(\frac{e}{m+n}\right)^{\beta-1}.$$

Donc $f_{0,a,2} \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$, $f_{0,a} \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$ et $g_0$ est $\mathcal{A}$-soluble.

□

**Remarque 2.2.4.** Toute combinaison linéaire finie des fonctions $\mathcal{A}$-solubles de la pro-
position ci-dessus, est encore une fonction $\mathcal{A}$-soluble. En particulier, toute combinaison
linéaire des éléments d'une famille finie des $\{g_i\}$ verticales, est une fonction $\mathcal{A}$-soluble
élément de $\mathrm{Hol}_z(\mathbb{C})[w]$.

**Remarque 2.2.5.** De manière plus générale, dans tous les exemples sus mentionnés :

— si on a $c_{m,n} = O\left(\frac{1}{[(m+n)!]^\beta}\right)$, où $\beta \in \mathbb{R}_+^*$, quand $c_{m,n}$ n'est pas nul, on obtient les mêmes résultats.

— si on remplace $\beta$ par $\beta + \varphi(p, q)$, pour tous $p, q \in \mathbb{N}$ fixés, on obtient les mêmes résultats. Où $\varphi : \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$ est la fonction de Cantor.

Le théorème qui suit dresse liste importante de fonctions $\mathcal{A}$-solubles sur $\mathbb{C}^2$ obtenues
avec les propositions précédentes.

**Théorème 2.2.1.** Soient $\gamma_A$ le $\mathbb{C}^2$-automorphisme linéaire associé à $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ où $a \in \mathbb{C}$ avec $|a| = 1$, $i_0 \in \mathbb{N}^*$ fixé, et $\beta \in \mathbb{R}^*$.

L'équation $f - f \circ \gamma_A = g$ est entièrement résolue dans $\mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$, si $a$ est rationnel d'ordre $r \ge 1$ ou irrationnel diophantien, pour :

$$-g_{i_0} = \sum_{m \ge 0} \frac{1}{[(2m + i_0)!]^\beta} z^m w^{m+i_0};$$

$$-g_{i_0} = \sum_{n \ge 1} \frac{1}{[(2n + i_0)!]^\beta} z^{n+i_0} w^n;$$

$$-g = \sum_{n \ge 1} \frac{1}{[(2n)!]^\beta} z^n w^n;$$

$$-g_{i_0} = \sum_{m \ge 0} \frac{1}{[(m + i_0)!]^\beta} z^m w^{i_0};$$
$$
\begin{align*}
& - g \in \mathrm{Hol}_w(\mathbb{C})[z]; \\
& - g = \sum_{m \ge 0, n \ge 1} \frac{1}{[(m+n)!]^\beta} z^m w^n.
\end{align*}
$$

**Remarque 2.2.6.** Soit $\gamma_A$ le $\mathbb{C}^2$-automorphisme linéaire associé à $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ où $a$ est une rotation.

Si on note $\mathcal{H}^1(\mathbb{Z}, \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)) = \frac{\mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)}{B_a}$, l'espace vectoriel mesurant l'obstruction à la résolution de l'équation ($\mathcal{E}$) : $f - f \circ \gamma_A = g$, alors on a :

pour toute rotation a, $\mathcal{H}^1(\mathbb{Z}, \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2))$ est non trivial et $\mathbb{C}$ est un sous espace vectoriel de $\mathcal{H}^1(\mathbb{Z}, \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2))$;

pour toute rotation rationnelle a d'ordre $r \ge 1$, $\mathcal{H}^1(\mathbb{Z}, \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2))$ est un espace vectoriel de dimension infinie.

Démonstration. $\mathcal{H}^1(\mathbb{Z}, \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2))$ est non trivial car $B_a$ est un sous-espace vectoriel propre de $\mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$.

L'application canonique de $\mathbb{C}$ dans $\mathcal{H}^1(\mathbb{Z}, \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2))$, qui à toute fonction constante associe sa classe, réalise un plongement de $\mathbb{C}$ dans $\mathcal{H}^1(\mathbb{Z}, \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2))$; ce qui permet de regarder $\mathbb{C}$ comme un sous-espace vectoriel de $\mathcal{H}^1(\mathbb{Z}, \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2))$.

Supposons maintenant que $a$ soit une rotation rationnelle d'ordre $r \ge 1$. Pour tout $m \in \mathbb{N}$, $g_m \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$ définie par $g_m(z, w) = z^{mr}$, n'est pas $A$-soluble. Aussi, pour tous $m, n \in \mathbb{N}$ tels que $m \neq n$, $g_m - g_n$ n'est pas $A$-soluble.

Ainsi, le système libre $(g_m)_{m \in \mathbb{N}}$ qui est une base de $\mathrm{Hol}^r(\mathbb{C}^2)$, définit par passage au quotient un système libre dans $\mathcal{H}^1(\mathbb{Z}, \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2))$. Donc $\mathcal{H}^1(\mathbb{Z}, \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2))$ est un espace vectoriel de dimension infinie. $\square$

**Remarque 2.2.7.** La condition nécessaire pour que $g = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} c_{m,n} z^m w^n \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)$ soit $A$-soluble est :

A-soluble est :

- dans le cas où $a$ est une rotation rationnelle d'ordre $r \ge 1$, $\forall m \in \mathbb{N}$, $c_{mr,0} = 0$;

- dans le cas où $a$ est une rotation irrationnelle, $c_{0,0} = 0$.

Si ces conditions nécessaires sont suffisantes dans chaque cas, on aurait :

- dans le cas où $a$ est une rotation rationnelle d'ordre $r \ge 1$,

$$
B_a = \left\{ g = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} c_{m,n} z^m w^n \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2) : \forall m \in \mathbb{N}, c_{mr,0} = 0 \right\};
$$

- dans le cas où $a$ est une rotation irrationnelle,

$$
B_a = \left\{ g = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} c_{m,n} z^m w^n \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2) : c_{0,0} = 0 \right\} .
$$

Et avec les décompositions suivantes :
$$ - \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2) = \left\{ g = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} c_{m,n} z^m w^n \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2) : c_{0,0} = 0 \right\} \oplus \mathbb{C}; $$

$$ - \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2) = \left\{ g = \sum_{m \ge 0, n \ge 0} c_{m,n} z^m w^n \in \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2) : \forall m \in \mathbb{N}, c_{mr,0} = 0 \right\} \oplus \mathrm{Hol}_z^r(\mathbb{C}^2), $$
pour tout $r \ge 1$;

on aurait :

$$ - \mathcal{H}^1(\mathbb{Z}, \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)) = \mathrm{Hol}_z^r(\mathbb{C}^2) \text{ si a est une rotation rationnelle d'ordre } r \ge 1; $$

$$ - \mathcal{H}^1(\mathbb{Z}, \mathrm{Hol}(\mathbb{C}^2)) = \mathbb{C} \text{ si a est une rotation diophantienne.} $$
... CONCLUSION : Bilan et Perspectives

Dans ce travail, nous nous sommes penchés sur la résolution de l'équation $f - f \circ \gamma_A = g$ sur $Hol(\mathbb{C}^2)$, où $g \in Hol(\mathbb{C}^2)$ est donnée et on cherche $f \in Hol(\mathbb{C}^2)$; et $\gamma_A$ est le $\mathbb{C}^2$-automorphisme linéaire associé à la matrice $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ avec $a$ un nombre complexe de module 1.

Ici, on a confondu une fonction holomorphe sur $\mathbb{C}^2$ avec son développement en série entière. On a réussi à mettre en place, la formule fondamentale, donnant la relation entre les coefficients des fonctions $f$ et $g$. Ce qui nous a permis de résoudre l'équation homogène associée à notre équation et dans le cadre général d'exhiber l'ensemble des séries formelles solutions. Selon que $a$ soit une rotation rationnelle ou irrationnelle, on pu dégager la condition nécessaire à l'existence d'une solution de notre équation.

Enfin, on a pu résoudre notre équation selon que $a$ soit une rotation rationnelle ou irrationnelle diophantienne pour :

- $g$ est un polynôme;

- $g$ est un polynôme en $z$ à coefficients fonctions holomorphes en $w$;

- $g$ est sur la diagonale principale;

- $g$ est sur une parallèle à la diagonale principale;

- $g$ est verticale;

- $g$ est totale;

- $g$ est combinaison linéaire finie de fonctions A-solubles.

Tout cela a été possible, par un calcul directe du rayon de convergence d'une série formelle solution à partir d'une majoration adaptée (pour ces cas) de ses coefficients.

Toutefois, la détermination du rayon de convergence de la série formelle solution, reste toujours un problème ouvert. C'est une question difficile ; peut-être si on réussissait à affiner ces majorations, on pourrait y arriver . Mais à priori, ce ne sera pas facile.
BIBLIOGRAPHIE

[1] A. El Kacimi, 2013. *On some holomorphic cohomological equations*, Results in Mathematics, 63, 1, 329-334.

[2] A. El Kacimi, 1983. *Sur la cohomologie feuilletée*. Compositio Mathematica 49, 195-215.

[3] A. El Kacimi and A.Deheghan, 2007. *Équations cohomologiques des flots Riemmanniens et de difféomorphismes d'Anosov*, J.of the mathematical Society of Japan, 59, 4, 1105-1134.

[4] A. El Kacimi and H. Hmili, 2014. *Cohomological equations and invariant distributions on Lie Group*, Hokkaido Mathematical Journal, Vol. 43, 151-173.

[5] A. El Kacimi and T.Sohou, 2009. *Problème additif de Cousin basique*, Proyecciones, 22, 3, Universidad Católica del Norte, Antofagasta, Chile.

[6] A. Guichardet, 1980. *Cohomologie des groupes topologiques et des algèbres de Lie*, F. Nathan.

[7] B. Chabat, 1990. *Introduction à l'analyse complexe, Tome 2 : Fonctions de plusieurs variables complexes* Éditions MIR, Moscou.

[8] C. Gamacho, 2009. *Geometric Theory of Foliation*, Birkhauser Boston, Inc., 1985.

[9] C. Godbillon, 1983. *Dynamical Systems on Surfaces*, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York.

[10] C. Godbillon, 1985. *Feuilletages : Études géométriques I*, Publication IRMA, Strasbourg.

[11] C. Guichard, 1887. Sur la résolution des équations aux différences finies
$G(x+1) - G(x) = H(x)$, Ann. Sc. ENS, 4, 361-380.

[12] C. Rousseau, 2006. *Déformations d'actions de groupes et de certains réseaux résolubles*, Thèse de Doctorat es-Sciences Mathématiques-Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis, http://perso.numericable.fr/azizelkacimi/C_Rousseau_these.pdf.

[13] D. Guinin, B. Joppin 2004. *Analyse MP*, Bréal Éditions, 1 Rue de Rome-93561 Rosny-sous-Bois cedex.

[14] E. FEDIDA, 1971. *Sur les feuilletages de Lie, C.R.Acad sci.Paris 272 999-1002.*
[15] **E. FEDIDA, 1973.** *Feuilletage du plan. Feuilletage de Lie, thèse d'État, université Louis Pasteur, Strasbourg*

[16] **E. FEDIDA, 1974.** *Sur l'existence des feuilletages de Lie, C.R.Acad sci.Paris, 278, 835-837*

[17] **E. FEDIDA, 1978.** *Sur la théorie des feuilletages associés au repère mobile. Cas des feuilletages de Lie, Springer, lectures, Notes in Math.652.*

[18] **E. FEDIDA, Année universitaire 2008-2009 Université F.H.B. Cocody Abidjan.** *cours sur les feuilletages niveau D.E.A.*

[19] **E. Ghys, 2007.** *Résonances et petits diviseurs, Héritage de Kolmogorov en Maths, online perso.ens-lyon.fr/ghys/articles/resonancesdiviseurs.pdf*

[20] **G. Carlier, 2009-2010.** *Notes de cours sur l'analyse fonctionnelle ENS*

[21] **B. BOSSOTO and M. Hassimiou Diallo, 2002.** *Sur les drapeaux de feuilletages Riemanniens, JP Journal of Geometry and Topology 2,3,281-288*

[22] **M. Hassimiou Diallo, 2008.** *STRUCTURE D'UN DRAPEAU RIEMANNIEN. Afri-can Diaspora Journal of Mathematics, 7 (2), pp.135-150.*

[23] **M. Hassimiou Diallo, 2014.** *ANNEAU DE FEUILLETAGES D'UNE VARIÉTÉ p-RIEMANNIENNE.*

[24] **M. Hassimiou Diallo, 2018-2019 Université F.H.B. Cocody Abidjan.** *cours sur les feuilletages niveau master 2*

[25] **L. Hormander, 1990.** *An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. North-Holland, Volume 7.*

[26] **P. Molino.** *Riemannian Foliations, Progress in mathematics, volume 73, Birkhauser.*

[27] **P. Tondeur.** *Foliations on Riemannian Manifolds*, Springer-Verlag, New-York Inc.

[28] **S. Lang, 1965.** *Report on Diophantine approximation*, Bulletin de la SMF, 93, 117-192.

[29] **Lawrence M. Grave, 1946.** *The theory of functions of real variables*, McGraw-Hill book company Inc, pp. 100

[30] **Norman Steenrod, 1951.** *The topology of fiber bundles*, Princeton University Press.

[31] **S. M. Ross, 1987.** *Initiation aux probabilités*, Presses polytechniques romandes, EPFL-Centre Midi, CH-1015 Lausanne, Suisse.

[32] **Schmidt, W.M., 1980.** *Diophantine approximation*, Lecture Notes in Math. 765.

[33] **T. E. Adou and H. Diallo, 2018.** *Résolution de l'équation cohomologique discrète d'un $\mathbb{C}^2$-automorphisme singulier*, Africa Mathematics annals (AFMA), Abidjan.; volume7, pp. 163-181.

[34] **T. Sohou, 2000.** *Spectre de l'éspace des feuilles- Problème additif de Cousin basique*, Thèse de Doctorat es-Sciences Mathématiques (Appendice)- Université de Valenciennes et du Hainaut- Cambrésis- Université de Cocody Abidjan.
[35] **Y.Carrière, 1984.** *Flots riemanniens, in "Structures transverses des feuilletages, Astérisque, 116, 31-5.*

[36] **Matsumoto, S. and Mitsumatsu, Y.** *Leafwise cohomology and rigidity of certain Lie group actions*. *Ergod. Th. and Dynam. Sys.* 23, (2003), 1839-1866.

[37] **Sullivan, D.** *Cycles for the dynamical study of foliated manifolds and complex manifolds*. *Invent. Math.* 36, (1978), 225-255.

[38] **Université de Lorraine, année 2017-2018.** *Liminf, limsup, valeurs d'adhérence, un peu de connexité (et de probabilités!)*, niveau M2 MFA et Agrégation de Mathématiques.