# Un nouveau modèle de comportement thermo-visco-élastique pour les composites à matrice polymère basé sur la décomposition de Cartan A new thermo-viscoelastic constitutive model for polymer matrix composites based on Cartan decomposition

L. Di Gennaro, F. Daghia, M Olive, F Jacquemin, D Espinassou

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L. Di Gennaro, F. Daghia, M Olive, F Jacquemin, D Espinassou. Un nouveau modèle de comportement thermo-visco-élastique pour les composites à matrice polymère basé sur la décomposition de Cartan A new thermo-viscoelastic constitutive model for polymer matrix composites based on Cartan decomposition. Journées Nationales sur les Composites (JNC 22), Jun 2021, En ligne, France. [hal-03585269](https://hal.science/hal-03585269)

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# Un nouveau modèle de comportement thermo-visco-élastique pour les composites à matrice polymère basé sur la décomposition de Cartan

## A new thermo-viscoelastic constitutive model for polymer matrix composites based on Cartan decomposition

L. Di Gennaro¹, F. Daghia¹, M. Olive¹, F. Jacquemin² et D. Espinassou³

1 : LMT - Laboratoire de Mécanique et Technologie
Université Paris-Saclay, ENS Paris-Saclay, CNRS
4 avenue des Sciences, 91190, Gif-sur-Yvette
e-mail : livio.di_gennaro@ens-paris-saclay.fr et federica.daghia@ens-paris-saclay.fr
et marc.olive@ens-paris-saclay.fr

2 : Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique (GeM) – UMR CNRS 6183
58 Rue Michel Ange, 44600 Saint Nazaire
e-mail : frederic.jacquemin@univ-nantes.fr

3 : CETIM, Technocampus Composites Chemin du Chaffault
44340 Bouguenais
e-mail : Denis.Espinassou@cetim.fr

## 1. Introduction

Au cours des dernières décennies, l'utilisation des matériaux composites s'est beaucoup développée, impliquant de plus en plus d'applications qui nécessitent des taux de production élevés, comme l'industrie automobile. L'introduction de techniques de production modernes et automatisées, comme le *Laser Assisted Tape Placement* (LATP), devient cruciale dans ce contexte, et elle doit être accompagnée par le développement de modèles qui peuvent prédire l'état initial complexe induit dans une structure composite par le processus de fabrication. En particulier, le chauffage laser localisé induit des gradients de température élevés dans la structure, ce qui nécessite la prise en compte du comportement viscoélastique du composite en fonction de la température afin d'obtenir une prédiction précise des contraintes et des déformations résiduelles. Le comportement viscoélastique des matériaux anisotropes est généralement décrit dans la littérature en introduisant des différentes fonctions de relaxation pour les différents paramètres élastiques, sans lien clair avec les mécanismes physiques sous-jacents (comme dans [1, 2]). Pour les nappes composites déposées par LATP, la réponse viscoélastique est liée au comportement de la matrice polymère en cisaillement [3, 4], alors que les fibres peuvent être considérées parfaitement élastiques. La prise en compte des origines microstructurales de la réponse du composite doit permettre de construire une loi de comportement basée sur la physique, plus simple à identifier.

Un modèle thermo-visco-élastique pour la nappe unidirectionnelle, basé sur la physique sous-jacente, est développé dans ce travail. À l'échelle de la nappe, le matériau est isotrope transverse, ce qui permet d'introduire une décomposition de Cartan [5] de la contrainte et de la déformation, utilisée dans l'écriture de l'énergie de déformation. Cette réécriture de la loi de comportement fait apparaître des paramètres élastiques dont le sens physique est plus clair, plus faciles à relier au comportement des deux constituants sous-jacents. Plus de détails sont donnés dans [6].
## 2. Modèle thermo-visco-élastique

### 2.1. Décomposition du stress et des contraintes

Le premier élément clé consiste à définir une décomposition en irréductible des espaces de tenseurs des contrainte et de déformation [5], avant de définir l'énergie de déformation. Une fonction d'énergie peut alors être définie à partir d'une base d'intégrité associée, ce qui permet d'obtenir des équations constitutives naturellement découplées. Les paramètres élastiques ainsi obtenus permettent de faire un lien plus direct entre le comportement du composite et celui des deux constituants sous-jacents, les fibres (élastiques) et la matrice (viscoélastique en cisaillement).

Les tenseurs de contrainte et de déformation se décomposent de la façon suivante :

$$ \boldsymbol{\sigma} = s_f \mathbf{M}_f + s_h \mathbf{M}_h + \mathbf{s}_{fs} + \mathbf{s}_d, \qquad (\text{Eq. 1}) $$

$$ \boldsymbol{\varepsilon} = e_f \mathbf{M}_f + e_h \mathbf{M}_h + \mathbf{e}_{fs} + \mathbf{e}_d. \qquad (\text{Eq. 2}) $$

où $s_f \mathbf{M}_f$ (resp. $e_f \mathbf{M}_f$) est la contrainte (resp. la déformation) normale en direction des fibres, $\mathbf{s}_{fs}$ (resp. $\mathbf{e}_{fs}$) contient les composantes de cisaillement longitudinal, $s_h \mathbf{M}_h$ (resp. $e_h \mathbf{M}_h$) et $\mathbf{s}_d$ (resp. $\mathbf{e}_d$) sont les parties hydrostatique et déviatorique associées au plan d'isotropie transverse. L'écriture de l'énergie à partir des invariants associés à cette décomposition donne les lois de comportement suivantes :

$$ \begin{gathered} \begin{bmatrix} e_f \\ e_h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} S_F & S_{FH} \\ S_{FH} & S_H \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_f \\ s_h \end{bmatrix}, \\ \mathbf{e}_{fs} = \frac{\mathbf{s}_{fs}}{2\mu_L}, \\ \mathbf{e}_d = \frac{\mathbf{s}_d}{2\mu_T}. \end{gathered} \qquad (\text{Eq. 3}) $$

où $S_F, S_H, S_{FH}, \mu_L$ et $\mu_T$ sont des paramètres élastiques indépendants. En particulier, seuls les termes $\mu_L$ et $\mu_T$ sont influencés par la réponse en cisaillement de la matrice polymère : ainsi, ils seront les seuls à être considérés comme viscoélastiques par la suite.

### 2.2. Modèle viscoélastique linéaire

Un modèle de Maxwell généralisé (Fig. 1) est introduit pour les termes $\mu_L$ et $\mu_T$. Pour simplifier la présentation, seul le développement mathématique pour $\mu_L$ est détaillé.

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Fig. 1.: Paramètres des matériaux pour le modèle rhéologique de Maxwell généralisé</figcaption></figure>

La forme intégrale de la contrainte dans un modèle généralisé de Maxwell est :

$$ \mathbf{s}_{fs}(t) = \int_{0}^{t} \Gamma_{fs}(t-t') \frac{d\mathbf{e}_{fs}(t')}{dt'} dt', \qquad (\text{Eq. 4}) $$

où est la fonction de relaxation $\Gamma_{fs}$ est définie comme :

$$ \Gamma_{fs}(t-t') = 2\mu_L^{lt} + \sum_{j=1}^{N} 2\mu_{L_j} \exp\left(-\frac{t-t'}{\tau_{fs_j}}\right) \qquad (\text{Eq. 5}) $$
et $\mu_L^{It}$, $\mu_{L_j}$ et $\tau_{fs_j}$ sont les paramètres de la loi viscoélastique (voir Fig. 1 pour leur représentation schématique).

La solution efficace de l'intégrale dans (Eq. 4) est cruciale pour la mise en œuvre numérique. En utilisant un schéma d'intégration récursif et l'approximation par différence finie de l'évolution de la déformation, la contrainte après un incrément de temps $\Delta t = t^{n+1} - t^n$ est exprimée comme suit :

$$ s_{fs}^{n+1} = s_{fs_0}^{n+1} + \exp\left(-\frac{\Delta t}{\tau_{fs_j}}\right) g_{fs_j}^n + \frac{1 - \exp\left(-\frac{\Delta t}{\tau_{fs_j}}\right)}{\left(\frac{\Delta t}{\tau_{fs_j}}\right)} 2\mu_{L_j} \left[e_{fs}^{n+1} - e_{fs}^n\right], \quad (\text{Eq. 6}) $$

En particulier, $s_{fs_0}$ est la contrainte élastique au temps long, c'est à dire après relaxation de tous les éléments de Maxwell, tandis que les $g_{fs_j}$ sont les variables internes associées à chaque élément de Maxwell, et représentent la partie de la contrainte qui peut être relaxée.

## 2.3. Déformations thermiques et superposition temps-température

En introduisant les déformations thermiques dans la décomposition (Eq. 2), le tenseur de déformation viscoélastique s'écrit :

$$ \boldsymbol{\epsilon}^{ve} = (e_f - e_f^{th}) \mathbf{M}_f + (e_h - e_h^{th}) \mathbf{M}_h + \boldsymbol{e}_{fs} + \boldsymbol{e}_d, \quad (\text{Eq. 7}) $$

où l'on remarque facilement l'absence de toute contribution thermique sur les termes liés au cisaillement $e_{fs}$ et $e_d$, où le modèle viscoélastique est appliqué.

Afin de décrire l'effet de la température sur la relaxation, nous introduisons une nouvelle échelle de temps, appelée temps réduit :

$$ t_{red} = \int_{0}^{t} \frac{1}{a(T(t'))} dt' \quad (\text{Eq. 8}) $$

qui est utilisé dans (Eq. 6) à la place du temps réel $t$. La fonction $a(T)$ utilisée ici est la célèbre équation de Williams-Landel-Ferry (WLF) :

$$ \log[a(T)] = - \frac{C_1 (T - T_{ref})}{C_2 + (T - T_{ref})}, \quad (\text{Eq. 9}) $$

où $T$ est la température (issue du problème thermique) et $T_{ref}$ est la température de référence du polymère (qui coïncide généralement avec la température de transition vitreuse). La définition précédente du temps réduit implique deux scénarios extrêmes, en fonction de la température. Pour des températures bien supérieures à $T_{ref}$, le temps réduit est beaucoup plus long que le temps réel (et que le temps de relaxation), donc la relaxation des contraintes se produit presque instantanément. En revanche, pour des températures bien inférieures à la température de référence, le temps réduit est beaucoup plus court que le temps de relaxation, donc le polymère se caractérise par un comportement élastique dans l'échelle de temps qui nous intéresse.

## 2.4. Simulations numériques

Le modèle constitutif présenté est mis en œuvre dans un UMAT Abaqus pour effectuer des calculs de structures. À titre d'exemple, les contraintes résiduelles au sein d'une plaque unidirectionnelle libre d'efforts et refroidie à partir des deux surfaces extérieures sont calculées et comparées aux travaux de Chapman [7]. Les contraintes en direction transverse aux fibres (Fig. 2) prédites par le modèle proposé ici sont très similaires à celles de [7], et l'effet de la vitesse de refroidissement en surface sur la génération de l'état initial est bien décrit par le modèle.
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig. 2.: Contrainte le long de l'épaisseur dans le sens transverse aux fibres pour différents taux de refroidissement de la surface</figcaption></figure>

### 3. Conclusions et perspectives

Un modèle thermo-visco-élastique adapté à une nappe composite à matrice polymère renforcée de fibres unidirectionnelles a été présenté ici. Les fibres présentent un comportement purement élastique, tandis que le comportement en cisaillement de la matrice thermoplastique est visco-élastique et dépendant de la température. La formulation de la loi de comportement définie à partir d'une décomposition de Cartan nous a permis d'introduire la viscoélasticité du composite seulement sur les paramètres élastiques pertinents. Ce modèle est bien adapté à décrire la génération de contraintes résiduelles dans une pièce composite suite à un refroidissement hétérogène. Des développements futurs consistent à inclure dans le modèle la prise en compte des effets de la cristallisation de la matrice, ainsi qu'à identifier, par homogénéisation, les paramètres des lois viscoélastiques pour le composite à partir de ceux de la matrice polymère.

### Remerciements

Ces travaux ont été financés par le Cetim dans le cadre de la Laboratoire Commun Comp'Innov.

### Références

[1] H. E. Pettermann, A. DeSimone « An anisotropic linear thermo-viscoelastic constitutive law », *Mechanics of Time-Dependent Materials* Vol. 22, pp. 4210433, 2018.

[2] M. Kaliske « A formulation of elasticity and viscoelasticity for fibre reinforced material at small and finite strains », *Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering* Vol. 185, pp. 225–243, 2000.

[3] P. Mallick, Fiber-Reinforced Composites : Materials, Manufacturing, and Design, Third Edition, Mechanical Engineering, Taylor & Francis, ISBN 9780849342059, 2008.

[4] I. Ward, J. Sweeney, An Introduction to the Mechanical Properties of Solid Polymers, Wiley, ISBN 9780471496267, 2004.

[5] M. Golubitsky, I. Stewart, D. G. Schaeffer, Singularities and groups in bifurcation theory. Vol. II, vol. 69 of *Applied Mathematical Sciences*, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-96652-8, 1988.

[6] L. D. Gennaro, F. Daghia, M. Olive, F. Jacquemin, D. Espinassou « A new mechanism-based thermo-viscoelastic model for unidirectional polymer matrix composites based on Cartan decomposition », *Soumis*.

[7] T. J. Chapman, J. W. G. Jr., R. B. Pipes, J.-A. Manson, J. C. Seferis « Prediction of process-induced residual stresses in thermoplastic composites », *Journal of Composite Materials* Vol. 24, pp. 616–643, 1990.