# Couplage de modèles hydrostatique et non-hydrostatique de circulation océanique

Pierre Lozano, Eric Blayo, Laurent Debreu, Laurent Debreu

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Pierre Lozano, Eric Blayo, Laurent Debreu, Laurent Debreu. Couplage de modèles hydrostatique et non-hydrostatique de circulation océanique. SMAI 2025 - 12ième Biennale Française des Mathématiques Appliquées et Industrielles, Jun 2025, Carcans-Maubuisson, France. hal-05344291

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# Couplage de modèles hydrostatique et non-hydrostatique de circulation océanique

Pierre Lozano

avec Eric Blayo et Laurent Debreu

3 juin 2025
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* Fluide stratifié

* Ondes, courants, températures...

* Hypothèse hydrostatique $\frac{H}{L} \ll 1$

* Coût élevé → adaptation locale de la physique → couplage

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* Écriture unifiée $\delta_{NB}$, $\delta_{NH}$ et $\delta_{SL}$. Stratification $N^2$.

$$ egin{cases} 
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial p'}{\partial x} = 0 \\[1em] 
\displaystyle \delta_{NH} \frac{\partial w}{\partial t} + \frac{\partial p'}{\partial z} + g \rho' = 0 \\[1em] 
\displaystyle \delta_{NB} \frac{\partial \rho'}{\partial t} + \left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial z} \right) = 0 \\[1em] 
\displaystyle \frac{\partial \delta_{NB}}{\partial s} \frac{\partial p'}{\partial t} - \frac{\partial \rho'}{\partial t} + \frac{N^2}{g} w = 0 
\end{cases} $$

* conditions aux limites verticales :

$$ egin{cases} 
w = 0 \quad \text{en } z = -H \\[1em] 
\delta_{SL} \frac{\partial \eta}{\partial t} = w \quad \text{en } z = 0 \\[1em] 
p' = g\eta \quad \text{en } z = 0 \quad \text{si } \delta_{SL} = 1 
\end{cases} $$
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* Solutions sous la forme d'ondes $w(x, z, t) = e^{i(k_x x - \omega t)} W(z) \exp \left( -\frac{\delta_{NB}}{2} \int_0^z \frac{dz'}{D(z')} \right)$:

$$ egin{cases} W''(z) + \left( \lambda (N^2(z) - \delta_{\text{NH}}\omega^2) + \frac{\delta_{\text{NB}}}{2} \left( \frac{1}{D(z)} \right)' - \frac{\delta_{\text{NB}}}{4D^2(z)} + \delta_{\text{NB}}\delta_{\text{NH}} \frac{\omega^2}{c_s^2} \right) W(z) = 0 \\ W(-H) = 0 \\ W(0) = \delta_{\text{SL}} \frac{W'(0)}{g\lambda - \frac{\delta_{\text{NB}}}{2D(0)}} \quad \text{avec} \quad \frac{1}{D(z)} = \frac{N^2(z)}{g} + \delta_{\text{NB}} \frac{g}{c_s^2} \quad \text{et} \quad \lambda = \frac{k_x^2}{\omega^2} \end{cases} $$

* Sturm-Liouville → couples $(W_{n,\omega}, \lambda_{n,\omega})$ solutions. Vitesses $c_{n,\omega} = \frac{1}{\sqrt{\lambda_{n,\omega}}}$.
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* intérieure :

$$k_z^2 - \frac{k_x^2}{\omega^2} (N_0^2 - \delta_{NH}\omega^2) - \delta_{NH}\delta_{NB} \frac{\omega^2}{c_s^2} + \frac{\delta_{NB}}{4D_0^2} = 0$$

* extérieure :

$$\frac{\tan(k_z H)}{k_z H} = \frac{\delta_{SL}}{g H \frac{k_x^2}{\omega^2} - \delta_{NB} \frac{H}{2D_0}}$$
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* intérieure :

$$k_z^2 - \frac{k_x^2}{\omega^2} (N_0^2 - \delta_{NH}\omega^2) - \delta_{NH}\delta_{NB} \frac{\omega^2}{c_s^2} + \frac{\delta_{NB}}{4D_0^2} = 0$$

* extérieure :

$$\frac{\tan(k_z H)}{k_z H} = \frac{\delta_{SL}}{g H \frac{k_x^2}{\omega^2} - \delta_{NB} \frac{H}{2D_0}}$$

* Remarques : $\omega^{nh} \le N_0$ et $\omega^h \ge \omega^{nh}$.

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# Décomposition sur les modes

* Par principe de superposition :

$$
\left\{
\begin{aligned}
u(\mathbf{x}, t) &= \int_{\omega \in \mathbb{R}} \sum_{n \in \mathbb{N}} u_{n,\omega}(\mathbf{x}, t) W'_{n,\omega}(z) \\
w(\mathbf{x}, t) &= \int_{\omega \in \mathbb{R}} \sum_{n \in \mathbb{N}} w_{n,\omega}(\mathbf{x}, t) W_{n,\omega}(z) \\
\rho'(\mathbf{x}, t) &= \int_{\omega \in \mathbb{R}} \sum_{n \in \mathbb{N}} \rho_{n,\omega}(\mathbf{x}, t) \frac{N^2(z)}{g} W_{n,\omega}(z) - \delta_{\text{NH}} \frac{1}{g} \frac{\partial w_{n,\omega}}{\partial t}(\mathbf{x}, t) W_{n,\omega}(z) \\
\rho'(\mathbf{x}, t) &= \int_{\omega \in \mathbb{R}} \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{\lambda_{n,\omega}} \rho_{n,\omega}(\mathbf{x}, t) W'_{n,\omega}(z)
\end{aligned}
\right.
$$
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* Système 1D (x, t) proche des équations de type shallow water

$$ egin{cases} \frac{\partial u_{n,\omega}}{\partial t} + g \frac{\partial \rho_{n,\omega}}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial \rho_{n,\omega}}{\partial t} + \frac{1}{g \lambda_{n,\omega}} \frac{\partial u_{n,\omega}}{\partial x} + \delta_{\text{NH}} \frac{1}{N_0^2} \frac{1}{g \lambda_{n,\omega}} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \left( \frac{\partial u_{n,\omega}}{\partial x} \right) = 0 \end{cases} $$

* La relation de dispersion associée est, approximativement :

$$ \omega \approx c_{n,\omega} k_{x,n,\omega} \left( 1 - \delta_{\text{NH}} \frac{c_{n,\omega}^2 k_{x,n,\omega}^2}{2N_0^2} \right) $$

→ Korteweg-de Vries
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* Opérateur intérieur $L$ : filtrage

* Opérateur d'interface $B$ : couche absorbante (PML)

* Conserver l'énergie ?
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On liste ici des aspects qui pourraient a priori poser problème :

* Relations de dispersion distinctes :

- $\omega^{nh} < \omega^h$ : distorsion

- $\omega^{nh} < N_0$ : réflexion

* Variables différentes : conditions interface et conservation de l'énergie

* Différence d'échelle résolue

* Choix numériques

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On liste ici des aspects qui pourraient a priori poser problème :

* Relations de dispersion distinctes :

- $\omega^{nh} < \omega^h$ : distorsion

- $\omega^{nh} < N_0$ : réflexion

* Variables différentes : conditions interface et conservation de l'énergie

* Différence d'échelle résolue

* Choix numériques

Constatons les dégâts sur un couplage simple avec des conditions de Dirichlet.

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# Couplage avec des conditions de Dirichlet : config hydro

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* Diagramme $(x, t)$ de $p'_H$ à la surface

* Scalogramme associé

$$ \text{Cas} \quad \frac{k_x}{|k_z|} = 0.008 $$
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<figure><img src="image_22.png" /></figure>

* Diagramme (x, t) de $p'_H$ à la surface

* Scalogramme associé

$$ \text{Cas} \quad \frac{k_x}{|k_z|} = 0.48 $$
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Propagation et spectre spatial de $\rho'$

• $t = 0.15T$

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• $t = 0.6T$

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<figure><img src="image_26.png" /></figure>

$$ \omega_{cont}^2 = \frac{N_0^2 k_x^2}{k_z^2 + k_x^2} \quad \text{V.S.} \quad \omega_{disc}^2 = \cos \left( k_z \frac{\Delta z}{2} \right)^2 \frac{N_0^2 \left( \frac{\sin(k_x \frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}} \right)^2}{\left( \frac{\sin(k_z \frac{\Delta z}{2})}{\frac{\Delta z}{2}} \right)^2 + \delta_{NH} \left( \frac{\sin(k_x \frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}} \right)^2} $$
<figure><img src="image_27.png" /></figure>

$$ \omega_{cont}^2 = \frac{N_0^2 k_x^2}{k_z^2 + k_x^2} \quad \text{V.S.} \quad \omega_{disc}^2 = \cos \left( k_z \frac{\Delta z}{2} \right)^2 \frac{N_0^2 \left( \frac{\sin(k_x \frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}} \right)^2}{\left( \frac{\sin(k_z \frac{\Delta z}{2})}{\frac{\Delta z}{2}} \right)^2 + \delta_{\text{NH}} \left( \frac{\sin(k_x \frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}} \right)^2} $$

Paramètres : $\lambda_x = 250000.0$, $k_z = 1.0\pi$, $\Delta z = 20$

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$$ (a) \text{ Cas hydro } \omega_{cont}^2 = 10^{-9} \text{ s}^{-2} $$

Paramètres : $\lambda_x = 50000.0$, $k_z = 1.0\pi$, $\Delta z = 20$

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$$ (b) \text{ Cas non hydro } \omega_{cont}^2 = 2.5 \times 10^{-8} \text{ s}^{-2} $$
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* Filtrage de la solution hydrostatique
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* Filtrage de la solution hydrostatique

* Conservation de l'énergie
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* Filtrage de la solution hydrostatique

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* Conservation de l'énergie

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* Couche absorbante sans réflexion : Perfectly Matched Layers

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