# Caractérisation d'échantillons représentatifs de soudures austénitiques en 316L par Spectroscopie de Résonance Ultrasonore (RUS)

Florian LE BOURDAIS¹, Nicolas LEYMARIE¹
Pierre-Emile LHUILLIER²

¹CEA List, Université Paris-Saclay, CEA, List, F-91120, Palaiseau, France;

² EDF R&D, EDF-Lab Les Renardières, F-77818 Moret-sur-Loing CEDEX, France

*correspondance à adresser à florian.lebourdais@cea.fr

## Résumé

Dans la perspective d'améliorer les procédés d'imagerie ultrasonore sur des assemblages soudés, les caractéristiques mécaniques effectives du matériau et leur variabilité au sein de la soudure sont une donnée nécessaire. De nombreuses techniques reposant sur l'utilisation d'ondes élastiques ultrasonores ont déjà été mises en œuvre afin d'obtenir avec précision les constantes élastiques et ainsi d'évaluer l'anisotropie apparente de ces milieux complexes. Dans le cadre de cette étude, la Spectroscopie de Résonance Ultrasonore (RUS) a été mise en œuvre pour caractériser des échantillons prélevés dans un « mur » fabriqué par soudage dans l'hypothèse d'un comportement élastique orthotrope, homogène à l'échelle de l'échantillon. Les fréquences de résonance mesurées ont permis de résoudre le problème inverse à l'aide de méthodes d'optimisation utilisant le gradient et d'obtenir les constantes élastiques pour chacun des échantillons. Les résultats sont comparés à ceux préalablement obtenus par l'utilisation d'une technique de mesure de vitesse de phase en ondes ultrasonores pulsées dans le cadre du projet ANR MUSCAD.

## 1. Introduction

Le contrôle des soudures du parc nucléaire français reste un sujet plus que jamais d'actualité en 2023, notamment au regard du vieillissement des matériaux et de l'apparition de défauts comme dans le cas de la corrosion sous-contrainte dans les soudures du circuit d'injection de secours [1]. Les procédés de contrôle à l'aide d'ultrasons sont couramment étudiés depuis les années 2000 afin de rendre possible un contrôle de l'intégralité du volume de la soudure. Leur mise en œuvre effective demande une bonne connaissance des propriétés élastiques des soudures, étant donné que les vitesses de propagation ultrasonores dépendent de ces paramètres et leur connaissance est nécessaire pour produire des images de contrôle interprétables.

De nombreuses techniques ont déjà été mises en œuvre pour caractériser les propriétés élastiques, au rang desquelles on peut citer la mesure d'ondes ultrasonores transmises à travers des échantillons en incidence normale

[2] ou l'utilisation d'un dispositif pour transmission en incidence oblique [3].

Dans le cadre de cette étude, c'est la Spectroscopie de Résonance Ultrasonore (RUS) [4]–[6] qui a été mise en œuvre pour caractériser des échantillons représentatifs de soudures austénitiques. Cette technique permet théoriquement, par rapport aux deux autres citées plus haut, d'obtenir par une seule mesure relativement facile à mettre les fréquences qui caractérisent l'anisotropie d'un matériau. Elle a déjà été mise en œuvre dans de nombreux cas, monocristaux d'alliages de Nickel [7], matériau SiC d'alliage de gaine combustible nucléaire [8] ou pièces élaborées en fabrication additive [9], [10]. Elle repose sur une procédure en deux étapes. D'abord, l'acquisitions de spectres expérimentaux de résonance et l'extraction de pics de ceux-ci. Ensuite, l'utilisation d'une procédure d'ajustement pour trouver les constantes élastiques qui donnent des fréquences de résonance aussi voisines que possible des résonances trouvées expérimentalement.

Le plan de ce travail est le suivant : après avoir décrit les éléments nécessaires à la modélisation des soudures austénitiques dans le cadre d'une caractérisation RUS, nous conduisons une étude sur données simulées afin de vérifier que dans le cas de données parfaites, la méthode permet de trouver les constantes élastiques attendues. Après avoir vérifié ceci, nous décrivons comment nous avons mesuré les fréquences de résonance des six échantillons de l'étude. Enfin, nous analysons les résultats obtenus et comparons ceux-ci aux caractérisations obtenues dans le cadre du projet ANR MUSCAD, qui a utilisé la méthode décrite dans [3] pour caractériser les échantillons de l'étude.

## 2. Modélisation des soudures austénitiques et inversion à l'aide de la méthode RUS

### 2.1. Présentation des échantillons de l'étude

Les échantillons utilisés dans cette étude sont des plaques de dimension approximatives 6 cm par 6 cm par 1,2 cm découpées dans un « moule de soudure », c'est-à-dire un mur soudé parallélépipédique. Celui-ci a été obtenue par soudure à l'arc selon les normes d'EDF liée à l'emploi du matériau 316L, un acier inoxydable à structure austénitique. L'intérêt de la fabrication d'un tel « moule » est que l'on

<figure><img src="image_1.png" /></figure>
peut ainsi s'affranchir des problématiques d'inhomogénéité
lié à des géométries de soudure conventionnelle, où le dépôt
se fait dans un espace confiné par la géométrie des objets
qu'il s'agit d'assembler, comme par exemple une soudure
en « V ». Six plaques ont été découpées dans le bloc soudé,
aux angles de 0°, 30°, 45°, 60°, 75° et 90°. Le moule est
représenté schématiquement sur la Figure 1.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1 : moule de soudage et géométrie des plaques extraites du bloc à différents angles.</figcaption></figure>

## 2.2. Modélisation élastique des soudures austénitiques

A priori, les microstructures attendues pour les échantillons
du paragraphe précédent sont typiques des soudures
austénitiques. Ainsi, on peut s'attendre à des grains
d'allonge la matière lorsqu'une contrainte lui est
appliquée, à la manière du module de Young, mais pour des
directions d'anisotropie arbitraires. Ainsi, dans le cas le plus
général, 21 coefficients sont nécessaires pour décrire
l'élasticité du milieu (cas triclinique). Dans le cas le plus
simple d'un milieu isotrope, ceci se réduit à deux nombre.
Dans le cas des soudures austénitiques, les travaux de B.
Chassignole [11] ont montré qu'un échantillon dont les axes
sont alignés avec la géométrie des grains présentent un
comportement effectif de type orthotrope (caractérisé par
9 coefficients) ou, dans certains cas, isotrope transverse
avec comme direction principale la direction d'allongement
des grains (caractérisé par 5 coefficients). Des travaux de H.
Ledbetter proposent également une symétrie isotrope
transverse [12]. Dans le cadre de cette étude, nous

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2 : représentation schématique de la microstructure
avec deux échantillons virtuels découpés dans celle-ci.</figcaption></figure>

À partir de cette description, on peut poser la question de
la forme que doit prendre la matrice d'élasticité en notation
de Voigt, ou Cij, pour les deux échantillons virtuels décrits
dans la Figure 2. La matrice d'élasticité résume la manière
dont s'allonge la matière lorsqu'une contrainte lui est
appliquée, à la manière du module de Young, mais pour des
directions d'anisotropie arbitraires. Ainsi, dans le cas le plus
général, 21 coefficients sont nécessaires pour décrire
l'élasticité du milieu (cas triclinique). Dans le cas le plus
simple d'un milieu isotrope, ceci se réduit à deux nombre.
Dans le cas des soudures austénitiques, les travaux de B.
Chassignole [11] ont montré qu'un échantillon dont les axes
sont alignés avec la géométrie des grains présentent un
comportement effectif de type orthotrope (caractérisé par
9 coefficients) ou, dans certains cas, isotrope transverse
avec comme direction principale la direction d'allongement
des grains (caractérisé par 5 coefficients). Des travaux de H.
Ledbetter proposent également une symétrie isotrope
transverse [12]. Dans le cadre de cette étude, nous

considérons le cas plus général parmi les deux précités.
Ainsi, la modélisation d'une soudure austénitique dans un
repère aligné avec la direction d'allongement des grains
nécessite l'utilisation du modèle effectif orthotrope à
9 coefficients :

$$
C_{ij} = \begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & c_{31} & 0 & 0 & 0 \\
c_{12} & c_{22} & c_{23} & 0 & 0 & 0 \\
c_{31} & c_{23} & c_{33} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & c_{55} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{66}
\end{bmatrix}
$$

Dans cette représentation, on considère implicitement que
c'est l'axe 3 (ou z dans la Figure 1) selon lequel les grains
sont allongés, et que les axes 1 et 2 (x et y) sont également
alignés avec les axes du moule de soudage.

De ce fait, pour décrire un échantillon découpé avec l'angle
représenté sur la Figure 1, il faut en plus introduire un angle
d'Euler autour de l'axe 2 (ou y) pour décrire la
microstructure par les matrices de Bond ou de changement
de repère du tenseur d'élasticité [13]. Ceci se traduit par un
seul degré de liberté en plus, mais plusieurs coefficients qui
apparaissent dans les blocs « hors diagonale » de la matrice
des Cij :

$$
C_{ij} = \begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & c_{31} & 0 & c_{15} & 0 \\
c_{12} & c_{22} & c_{23} & 0 & c_{25} & 0 \\
c_{31} & c_{23} & c_{33} & 0 & c_{35} & 0 \\
0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 & c_{46} \\
c_{15} & c_{25} & c_{35} & 0 & c_{55} & 0 \\
0 & 0 & 0 & c_{46} & 0 & c_{66}
\end{bmatrix}
$$

Dans la suite, le modèle élastique sera donc constitué de
9 coefficients et de l'angle d'Euler selon la direction y.

## 2.3. Modèle et méthode numérique mis en œuvre avec la méthode RUS

La méthode RUS repose sur la modélisation du solide dont
on mesure la résonance comme un milieu continu élastique
en petite déformation avec des conditions aux limites de
vibration libre, c'est-à-dire de contrainte nulle sur toutes les
faces de l'objet.

Ces hypothèses se traduisent par les équations suivantes :

$$
\begin{cases}
\rho \omega^2 u_i + C_{ijkl} \frac{\partial^2 u_k}{\partial x_l \partial x_j} = 0 \\
C_{ijkl} \frac{\partial u_k}{\partial x_l} n_j = 0
\end{cases}
\qquad (1)
$$

Dans l'équation (1) on retrouve le tenseur d'élasticité Cijkl,
qui est équivalent à la représentation de Voigt utilisée
jusqu'ici et par la suite. La première équation exprime
l'égalité vectorielle des forces élastiques et de l'accélération
de l'élément de milieu continu, tandis que la deuxième
exprime l'absence de forces extérieures à la frontière de
l'objet élastique en vibration.
On peut résoudre numériquement ces équations par l'utilisation de la méthode de Rayleigh-Ritz sur la base des polynômes xyz [4] ce qui permet d'aboutir au problème de valeurs propres discret suivant :

$$ \omega^2 Ma = K a \quad (2) $$

Dans l'équation (2), M et K représentent respectivement la matrice de masse et de raideur du système représenté sur la base des polynômes $x^r y^q z^p$. Après utilisation d'un algorithme de recherche de valeurs propres, on obtient les pulsations propres du système à l'aide desquelles on peut résoudre le problème inverse présenté dans la section suivante. Un exemple de résultat est donné dans la Figure 3.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3 : Fréquences et modes propres obtenus dans le cas d'un cube en acier isotrope (E=200 GPa, v=0,3) de 2 mm de côté.</figcaption></figure>

## 2.4. Méthodes d'inversion dans le cas de la méthode RUS

Le problème inverse RUS consiste à trouver les constantes élastiques Cij qui approchent le mieux les pics extraits des spectres mesurés expérimentalement à l'aide de la fonction objectif suivante :

$$ \chi^2 = \sum_{i=1}^{N} \frac{(f_i(C_{ij}) - f_i^{\text{exp}})^2}{(f_i^{\text{exp}})^2} \quad (3) $$

La fonction objectif est minimisée à l'aide d'un algorithme de descente avec utilisation du gradient. On utilise dans la suite l'algorithme de Levenberg-Marquardt ainsi que l'algorithme BFGS.

# 3. Étude d'inversion RUS par simulation

## 3.1. Inversion sur un cas sans angle d'Euler

Avec les ingrédients définis dans la partie précédente, on se propose dans un premier temps d'étudier un problème d'inversion sur données synthétiques. On se donne les Cij du Tableau 1, pour lesquels on génère des fréquences de résonance cible, en considérant un échantillon parfaitement parallélépipédique de dimensions et de masse volumique connues.

<table><caption>Tableau 1: Cij (en GPa) choisis pour l'étude d'inversion par simulation.</caption><thead><tr><th>c11</th><th>c22</th><th>c33</th><th>c44</th><th>c55</th><th>c66</th><th>c23</th><th>c31</th><th>c12</th></tr></thead><tbody><tr><td>235</td><td>240</td><td>220</td><td>100</td><td>80</td><td>90</td><td>115</td><td>110</td><td>120</td></tr></tbody></table>

On donne ensuite à l'optimiseur un point de départ distant de 10 GPa sur tous les Cij et on lance la minimisation. On fait ceci en variant le nombre de fréquences considérées pour formuler la fonction objectif (3). Les résultats obtenus sont présentés dans le

<table><thead><tr><th>fréquences</th><th>c11</th><th>c22</th><th>c33</th><th>c44</th><th>c55</th><th>c66</th><th>c23</th><th>c31</th><th>c12</th><th>erreur RMS (%)</th></tr></thead></table>

<table><caption>Tableau 2 Résultats de l'inversion simulée. Les Cij sont en GPa.</caption><tr><td>30</td><td>235,0</td><td>240,0</td><td>220,0</td><td>100,0</td><td>80,0</td><td>90,0</td><td>115,0</td><td>110,0</td><td>120,0</td><td>0,000000</td></tr><tr><td>40</td><td>200,7</td><td>216,6</td><td>126,4</td><td>96,4</td><td>83,7</td><td>90,0</td><td>66,1</td><td>54,0</td><td>90,6</td><td>0,080033</td></tr><tr><td>50</td><td>235,0</td><td>240,0</td><td>220,0</td><td>100,0</td><td>80,0</td><td>90,0</td><td>115,0</td><td>110,0</td><td>120,0</td><td>0,000002</td></tr><tr><td>60</td><td>235,0</td><td>240,0</td><td>220,0</td><td>100,0</td><td>80,0</td><td>90,0</td><td>115,0</td><td>110,0</td><td>120,0</td><td>0,000000</td></tr><tr><td>70</td><td>235,0</td><td>240,0</td><td>220,0</td><td>100,0</td><td>80,0</td><td>90,0</td><td>115,0</td><td>110,0</td><td>120,0</td><td>0,000001</td></tr><tr><td>80</td><td>235,0</td><td>240,0</td><td>220,0</td><td>100,0</td><td>80,0</td><td>90,0</td><td>115,0</td><td>110,0</td><td>120,0</td><td>0,000000</td></tr></table>

Comme on peut le voir dans tableau, la plupart des situations mènent à la solution attendue. Dans le cas 40 fréquences, l'inversion s'arrête avant d'atteindre le minimum de la fonction objectif. Cette situation peut se produire avec des données réelles mais n'est pas fréquente dans notre expérience.

## 3.2. Inversion sur un cas avec angle d'Euler

Une étude similaire à celle du paragraphe précédent a été menée en rajoutant un degré de liberté supplémentaire lié à la découpe selon l'angle autour de l'axe y discutée au paragraphe 2.2. Les Cij cible sont les mêmes qu'au paragraphe précédent, mais avec un angle de 30° en y. On étudie là encore l'utilisation d'un nombre de fréquences variables dans la résolution du problème inverse. Les résultats sont les suivants :

<table><caption>Tableau 3 : Résultats de l'étude d'inversion avec angle d'Euler. Les Cij sont en GPa, l'angle d'Euler Y1 en degré.</caption><thead><tr><th>Fréquence s</th><th>c11</th><th>c22</th><th>c33</th><th>c44</th><th>c55</th><th>c66</th><th>c23</th><th>c31</th><th>c12</th><th>Angle d'Euler Y1</th><th>erreur RMS (%)</th></tr></thead><tbody><tr><td>30</td><td>235,0</td><td>240,0</td><td>219,8</td><td>100,0</td><td>80,0</td><td>90,0</td><td>114,9</td><td>109,9</td><td>120,0</td><td>30,0</td><td>0,000055</td></tr><tr><td>40</td><td>235,0</td><td>240,0</td><td>220,0</td><td>100,0</td><td>80,0</td><td>90,0</td><td>115,0</td><td>110,0</td><td>120,0</td><td>150,0</td><td>0,000009</td></tr><tr><td>50</td><td>235,0</td><td>240,1</td><td>220,3</td><td>100,0</td><td>80,0</td><td>90,0</td><td>115,2</td><td>110,1</td><td>120,0</td><td>30,0</td><td>0,000119</td></tr><tr><td>60</td><td>252,0</td><td>236,2</td><td>218,1</td><td>97,6</td><td>60,6</td><td>92,1</td><td>106,5</td><td>88,6</td><td>118,3</td><td>12,8</td><td>0,045976</td></tr><tr><td>70</td><td>235,0</td><td>240,0</td><td>220,1</td><td>100,0</td><td>80,0</td><td>90,0</td><td>115,0</td><td>110,0</td><td>120,0</td><td>30,0</td><td>0,000049</td></tr><tr><td>80</td><td>220,0</td><td>240,0</td><td>235,0</td><td>90,0</td><td>80,0</td><td>100,0</td><td>120,0</td><td>110,0</td><td>115,0</td><td>120,0</td><td>0,000002</td></tr></tbody></table>

De la même manière que pour l'étude du paragraphe précédent, on constate que la procédure d'optimisation aboutit dans presque tous les cas à la solution attendue en ce qui concerne les Cij. Cela étant dit, on constate également la présence de solution d'erreur quasi nulles qui ne sont pas celles attendues, mais qui semblent symétriques de la solution cible.

## 3.3. Mise en évidence de la non-unicité des solutions

Une analyse plus approfondie des solutions trouvées dans le cas précédent permet de mettre en évidence que la solution recherchée n'est pas unique au sens de la fonction objectif (3). L'introduction d'un seul angle de rotation autour de l'axe y rajoute des termes en dehors de la diagonale par bloc de la matrice des Cij. Lorsque l'on part des Cij du Tableau 1 et que l'on applique la transformation correspondante au changement de repère de 30° autour de l'axe y, on obtient les Cij dans le repère de l'échantillon suivants :
```
array([[250., 117.5, 95.,  0.,  4.33,  0.],
      [117.5, 240., 112.5,  0., -4.33,  0.],
      [ 95., 112.5, 240.,  0., -12.99,  0.],
      [ 0.,  0.,  0.,  97.5,  0.,  4.33],
      [ 4.33, -4.33, -12.99,  0.,  65.,  0.],
      [ 0.,  0.,  0.,  4.33,  0.,  92.5]])
```

Si l'on applique une rotation de -30°, la matrice des Cij est presque identique : seuls les termes en gras changent de signe.

```
array([[250., 117.5, 95.,  0., -4.33,  0.],
      [117.5, 240., 112.5,  0.,  4.33,  0.],
      [ 95., 112.5, 240.,  0., 12.99,  0.],
      [ 0.,  0.,  0.,  97.5,  0., -4.33],
      [-4.33,  4.33, 12.99,  0.,  65.,  0.],
      [ 0.,  0.,  0., -4.33,  0.,  92.5]])
```

Ces deux Cij très proches mènent à des fréquences de résonance identiques à la précision machine. Cela étant dit, les modes propres obtenus ne sont pas rigoureusement identiques, avec des symétries dans le champ de déplacement obtenu. Cette symétrie explique le résultat obtenu pour le cas 30 et 40 fréquences.

Cela étant dit, on observe encore un autre type de symétrie dans les résultats obtenus. Le résultat obtenu pour 80 fréquences ressemble à la solution attendue avec permutation des axes 1 et 3 et une rotation de l'angle complémentaire par rapport à 90° de celui attendu. Il s'avère que l'on peut également appliquer une rotation d'angle négatif au complémentaire ce qui amène à 4 solutions équivalentes dont les fréquences sont les mêmes.

La figure suivante illustre le propos :

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4 : comparaison des fréquences de résonance calculées pour quatre paramétrisations Cij obtenues à partir d'un seul jeu de constantes élastiques.</figcaption></figure>

### 3.4. Conclusions de l'étude d'inversion simulée

En conclusion de cette étude d'inversion simulée, on peut dire que la méthode RUS devrait permettre d'obtenir des Cij fiables à l'aide des routines d'inversion gradient dans le cas des soudures austénitiques. En effet, dans un cas idéal, l'optimiseur retrouve, sauf accident, les valeurs de Cij cible ainsi que l'angle d'Euler attendu. Cela étant dit, il est apparu que des symétries au sens des fréquences de résonance étaient cachées dans la description orthotrope avec un seul angle d'Euler selon y. Étant donné que cette symétrie est inhérente au modèle, il se pourrait qu'elle puisse fausser l'inversion sur les données expérimentales. Si nécessaire,

on peut toujours transformer les valeurs obtenues de l'un vers l'autre cas de symétries.

## 4. Acquisition de données expérimentales et inversion par la méthode RUS

### 4.1. Acquisition des données

Les données de résonance ont été acquises à l'aide d'un dispositif développé au CEA List. Deux traducteurs de cisaillement sont utilisés (l'un pour l'émission, l'autre pour la réception) avec un analyseur de réseau vectoriel Bode 100 pour balayer une gamme de fréquences comprises entre 9 et 109 kHz. L'échantillon est suspendu sur les deux traducteurs et un troisième pic conique afin de laisser la vibration la plus libre possible. Le montage expérimental est représenté sur la Figure 5.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 5 : montage expérimental utilisé pour l'acquisition des spectres.</figcaption></figure>

Deux ou trois spectres sont acquis par échantillon, ce qui correspond à 10 ou 15 minutes par spectre, selon le nombre de points enregistrés (20000 ou 30000). Les spectres obtenus sont montrés dans leur intégralité sur la Figure 6.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 6 : Vue d'ensemble des spectres obtenus.</figcaption></figure>

Expérimentalement, on constate d'emblée une corrélation de la fréquence fondamentale avec l'angle de découpe connu a priori, comme le montre la Figure 7.
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 7: Corrélation expérimentale entre fréquence de résonance fondamentale et angle de découpe de l'échantillon.</figcaption></figure>

À partir des spectres continus, les pics de résonance sont extraits manuellement à l'aide d'un outil de fit. Ensuite, les pics des spectres d'une même plaque sont unifiés dans un fichier qui permet de les apparaire. C'est la liste des fréquences obtenue qui constitue la donnée d'entrée du problème inverse formulé dans le prochain paragraphe.

## 4.2. Méthodologie d'inversion

On résout le problème inverse qui consiste à trouver les Cij qui correspondent le mieux aux fréquences expérimentales. Seules les 50 premières fréquences relevées expérimentalement sont utilisées, ce qui correspond à une règle empirique de la communauté RUS [14, Paragr. II.C.4]. Deux modalités ont été étudiées. La première consiste à laisser 9 degrés de liberté correspondants aux constantes élastiques qui décrivent l'orthotropie et à laisser fixé l'angle de rotation à sa valeur *a priori*. La deuxième modalité consiste en plus à laisser l'optimiseur modifier la valeur de l'angle de découpe afin de se rapprocher au mieux des données expérimentales.

## 4.3. Résultats d'inversion

Les résultats d'inversion obtenus avec des angles fixés à leur valeur nominale sont montrés dans le graphe de la Figure 8.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 8: Cij obtenus par inversion avec angle d'Euler en y fixé à sa valeur nominale.</figcaption></figure>

L'erreur RMS, déjà utilisée dans l'étude simulée, est couramment utilisée pour quantifier la qualité du fit. Une erreur RMS doit être inférieure à 0,8% et est généralement

considérée comme acceptable dans la gamme 0,2-0,5% [14].

$$ RMS(\%) = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{(f_i(C_{ij}) - f_i^{exp})^2}{(f_i^{exp})^2}} \quad (4) $$

Ainsi, seul le fit de la plaque à 90° ne rentre pas dans le critère d'acceptabilité au sens strict. On constate également que la valeur de c12 obtenue pour cette plaque est particulièrement faible par rapport aux autres.

Les résultats obtenus pour le deuxième mode d'inversion sont présentés sur la Figure 9 :

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 9: Cij obtenus par inversion avec angle d'Euler en y laissé libre.</figcaption></figure>

En rajoutant le degré de liberté supplémentaire lié à la rotation du repère, on obtient des Cij dans la même gamme de variation que dans le cas où l'angle est fixé. Les angles de fit optimaux sont très proches des valeurs attendues. Les erreurs RMS sont légèrement plus faibles que dans le cas précédent.

# 5. Analyse des résultats

## 5.1. Cij obtenus par inversion

Comme décrit dans le paragraphe précédent, les résultats obtenus sont proches dans les deux modalités d'inversion étudiées. Si on résume les données d'inversion dans le cas où l'angle d'Euler est libre par une moyenne et un écart-type, on obtient le tableau suivant pour les Cij :

<table><caption>Tableau 4: Résultats d'inversion RUS obtenus à partir de la deuxième modalité.</caption><thead><tr><th>c11</th><th>c22</th><th>c33</th><th>c44</th><th>c55</th><th>c66</th><th>c23</th><th>c31</th><th>c12</th></tr></thead><tbody><tr><td>236±18</td><td>235±22</td><td>239±23</td><td>105±6</td><td>99±6</td><td>75±4</td><td>131±13</td><td>136±15</td><td>111±26</td></tr></tbody></table>

On peut remarquer que ces valeurs semblent compatibles avec une symétrie quasi hexagonale puisque c11 ≈ c22, c44 ≈ c55 et c23 ≈ c31.

## 5.2. Comparaison avec les résultats du projet ANR MUSCAD

Les Cij moyens obtenus sont comparés à ceux issus de la méthode de caractérisation par interférométrie appliquée aux même échantillons dans le cadre du projet ANR MUSCAD dans la Figure 10. Une permutation des axes 2 et 3 a été mise en œuvre sur ces données étant donné que la convention de repère de définition était différente avec celle du présent travail.
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 10 : Comparaison des Cij moyens obtenus par RUS avec ceux du projet MUSCAD.</figcaption></figure>

On constate un accord relativement intéressant entre ces jeux de données. Cela étant dit, il reste à investiguer si l'inversion à 90° obtenue dans MUSCAD ne souffre pas du problème de non-unicité évoqué au paragraphe 3.3.

## 6. Conclusions et perspectives

Dans ce papier, nous avons mis en œuvre une démarche de caractérisation des constantes élastiques d'échantillons de soudure austénitique en 316L par la méthode de résonance ultrasonore RUS. Une étude par simulation a montré qu'en théorie cette méthode devrait permettre d'obtenir des résultats pertinents pour l'application visée, mais elle a également montré que le problème était sujet à des symétries qui pouvaient perturber le résultat final. Des fréquences de résonance ont été mesurées sur les échantillons disponibles et déjà caractérisées dans le cadre du projet ANR MUSCAD. Puis, deux manières différentes de faire l'inversion sur ces données de résonance ont été mises en œuvre. Les ajustements obtenus sont bons en termes d'erreur de fit. Les Cij obtenus sont en bon accord avec ceux du projet MUSCAD, excepté pour la plaque 90°. En perspective, il serait intéressant de mieux comprendre le problème de symétrie que nous avons rencontré dans la description élastique des soudures austénitiques. Une manière de rendre l'inversion plus robuste, déjà utilisée dans la communauté RUS [15], consisterai à utiliser des informations issues des modes de vibrations expérimentaux, potentiellement à l'aide d'une mesure par vibrométrie laser. Enfin, un dernier axe de réflexion concerne l'utilisation d'une géométrie mieux adaptée à l'inversion RUS. Les plaques utilisées dans cette étude étant à l'origine spécifiées pour l'utilisation du dispositif d'interférométrie [3], on peut se poser la question d'une découpe optimale pour une détection des fréquences de résonance au sens où celles-ci se distinguent « au mieux » les unes des autres par un espacement le plus large possible.

## Remerciements

FLB adresse ses plus vifs remerciements à Jérôme Laurent pour ses conseils et la mise au point du dispositif de mesure par résonance.

## Bibliographie

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[15] P. Sedlák, H. Seiner, J. Zídek, M. Janovská, et M. Landa, « Determination of All 21 Independent Elastic Coefficients of Generally Anisotropic Solids by Resonant Ultrasound Spectroscopy: Benchmark Examples », *Exp Mech*, vol. 54, n° 6, p. 1073-1085, juill. 2014, doi: 10.1007/s11340-014-9862-6.