# Lorenzen's reshaping of Krull's Fundamentalsatz for integral domains (1938–1953) [with an edition of Lorenzen's correspondence with Hasse, Krull, and Aubert, together with some relevant documents]

Stefan Neuwirth

► To cite this version:

Stefan Neuwirth. Lorenzen's reshaping of Krull's Fundamentalsatz for integral domains (1938–1953) [with an edition of Lorenzen's correspondence with Hasse, Krull, and Aubert, together with some relevant documents]. Gerhard Heinzmann; Gereon Wolters. Paul Lorenzen – Mathematician and Logician, 51, Springer, pp.143-268, 2021, Logic, Epistemology, and the Unity of Science, 978-3-030-65823-6. 10.1007/978-3-030-65824-3_9. hal-02896900

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# Lorenzen's reshaping of Krull's Fundamentalsatz for integral domains (1938–1953)

Stefan Neuwirth

## Abstract

Krull's Fundamentalsatz, the generalisation of the main theorem of elementary number theory to integral domains, is the starting point of Lorenzen's career in mathematics. This article traces a conceptual history of Lorenzen's successive reformulations of the Fundamentalsatz on the basis of excerpts of his articles. An edition of the extant correspondence of Lorenzen with Hasse, Krull, and Aubert provides a better understanding of the context of these investigations.

## Contents

<table><tr><td>1</td><td>Introduction.</td><td>2</td></tr><tr><td>2</td><td>Krull 1930: a first attempt at introducing valuations for an integral domain.</td><td>4</td></tr><tr><td>3</td><td>Krull 1932: the Fundamentalsatz for integral domains.</td><td>5</td></tr><tr><td>4</td><td>Krull 1936a: the computational content of the Fundamentalsatz.</td><td>9</td></tr><tr><td>5</td><td>Lorenzen 1939a: the Fundamentalsatz for preordered cancellative monoids.</td><td>11</td></tr><tr><td>6</td><td>Lorenzen 1950: the Fundamentalsatz without valuations.</td><td>20</td></tr><tr><td>7</td><td>Lorenzen 1952: the Fundamentalsatz for semilattice domains.</td><td>32</td></tr><tr><td>8</td><td>Lorenzen 1953a: the Fundamentalsatz for integral domains as an embedding into a super-<i>l</i>-group.</td><td>36</td></tr><tr><td>9</td><td>A letter from Krull to Scholz from 1953: the well-ordering theorem.</td><td>38</td></tr><tr><td colspan="2">Lorenzen's correspondence with Hasse, Krull, and Aubert, together with some relevant documents.</td><td>42</td></tr><tr><td>A</td><td>Synopsis.</td><td>43</td></tr><tr><td>B</td><td>The correspondence between Krull and Lorenzen, 1938.</td><td>48</td></tr><tr><td>C</td><td>The reports on Lorenzen's thesis.</td><td>54</td></tr></table>
<table><tr><td>D</td><td>The correspondence between Hasse and Lorenzen, 1938–1942.</td><td>55</td></tr><tr><td>E</td><td>Documents relating to Lorenzen’s career, 1942.</td><td>78</td></tr><tr><td>F</td><td>The correspondence between Krull and Lorenzen, 1943–1944.</td><td>80</td></tr><tr><td>G</td><td>A postcard from Lorenzen to Hasse, 1945.</td><td>99</td></tr><tr><td>H</td><td>Documents relating to Lorenzen’s career, 1945–1946.</td><td>99</td></tr><tr><td>I</td><td>A letter from Krull to Scholz, 1953.</td><td>103</td></tr><tr><td>J</td><td>The correspondence between Hasse and Lorenzen, 1953–1963.</td><td>104</td></tr><tr><td>K</td><td>The correspondence between Aubert and Lorenzen, 1978–1979.</td><td>113</td></tr><tr><td></td><td>References.</td><td>119</td></tr></table>

# 1. Introduction.

In the period considered, Paul Lorenzen is a professional mathematician whose research in abstract algebra leads to new insights on the way algebraic objects are given to us. His genuine interest in mathematical logic certainly triggers these insights; conversely, they also influence his conception of a consistency proof for elementary number theory as the construction of an embedding of a preordered set into a $\sigma$-complete pseudocomplemented semilattice (see Coquand and Neuwirth 2020).

The broader framework in which this happens is that of lattice theory getting to the core of mathematical research, after the work of the precursors Dedekind, Schröder, and Skolem. The introduction of lattice theory into ideal theory is credited to Wolfgang Krull (1926), whose assistant Lorenzen is from 1939 until his habilitation in 1946.

Herbert Mehrtens (1979, page 146), in considering Steinitz’ work, describes the development of modern algebra in the following terms: 1. the algebraic structure of concrete objects is unveiled; 2. it is given an abstract axiomatic formulation; 3. the abstract concepts are subjected to a detailed investigation of their structure. It is at this third stage that lattice theory becomes instrumental.

After the first step, where the algebraic fundamental structures had emerged in the investigation of numbers, equations, and functions, and the second phase, where the abstract-axiomatic formulation had been achieved, now the abstract concepts became the base of a careful structural investigation.

Seen in this way, the third phase in the development of abstract algebra, the “modern age”, starts with Steinitz. Dedekind’s work belongs to the first, concrete phase; it is part of this developmental stage by virtue of containing
the germ of the further development. This is also attested by the fact that, in
one detail, he himself carried out all three phases – in the investigation of the
dual group [the lattice]. For abstract algebra, the third phase is marked by
E. Noether, E. Artin, H. Hasse, W. Krull, and others, whose most productive
time were the 20s and 30s.

This article proposes to follow Lorenzen's work in algebra by focusing on a
specific theorem, Krull's Fundamentalsatz for integral domains. The theorem is
introduced on the basis of excerpts of articles by Krull (1930, 1932, 1936a) with a
short comment. Thus the starting point of Lorenzen's research is described. Then
excerpts of each of his four articles on the subject (Lorenzen 1939a, 1950, 1952,
1953a) are given and commented on, in chronological order, so as to follow his
enterprise of deepening the understanding of the Fundamentalsatz. In his letter
to Krull dated 6 June 1944 (page 94), Lorenzen describes his goal as follows.

And yet the simplification and clarification of the proof methods is pre-
cisely the proper main goal of my work. I have not tried to generalise the
theorems of multiplicative ideal theory at any price, even at the price of com-
plicating – on the contrary, I rather care only to discern the basic ideas of
the proof methods in their ultimate simplicity. If e.g. I replace the concept of
valuation by “homomorphism of a semilattice into a linearly preordered set”,
then I see therein a conceptual simplification instead of a complication. For
the introduction of the concept of valuation (e.g. the prima facie arbitrary
triangle inequality) is justified only by the subsequent success, whereas the
concept of homomorphism bears its justification in itself. I would say that the
homomorphism into a linear preorder is the “pure concept” that underlies the
concept of valuation. And the underlying, pure concept seems to me to be
undeniably the simpler one.

If I am mistaken in this point, then I urge you to tell it to me, because
it has to date always been my endeavour in my whole mathematical work to
bring to light these underlying, pure concepts themselves in their simple and
transparent clarity.

In this tendency toward conceptual clarification, the paper [Lorenzen 1950]
also differs from my dissertation [Lorenzen 1939a]. That this clarification, this
understanding of the inner significance, as you call it once, is the most urgent
duty has really become evident to me only in the last years.

This article allows for several different readings, according to the objectives of
the readers and to their German language skills. Krull's formulation and analysis
of his Fundamentalsatz and Lorenzen's reshaping of it are presented as a process
that takes place in seven articles, of which the arguments relevant for our history
are presented in a comprehensive way, sometimes accompanied by translations of
selected paragraphs; then excerpts of the original article, chosen so as to allow for a
direct and coherent reading and comparison with my presentation, are reproduced.
The correspondence of Lorenzen with Hasse, Krull, and Aubert, together with a
few documents, provides an insight into their respective conceptions as well as into
the human and administrative component of this history.

2. Krull 1930: a first attempt at introducing valuations for an integral domain.

Krull (1930) describes the goal of a Fundamentalsatz for integral domains: it should generalise the “main theorem of elementary number theory” to the case of an integral domain $D$ with field of fractions $\mathcal{K}$. The theorem to be generalised answers the question of when a nonzero element $\alpha$ of $\mathcal{K} = \mathbb{Q}$ is divisible by another nonzero element $\beta$, i.e. of when the quotient $\alpha \cdot \beta^{-1}$ lies in $D = \mathbb{Z}$. It does so in terms of the difference between the exponents with which each prime number $p$ appears in the numerator and the denominator of $\alpha$ (the value of $\alpha$ at $p$) and of $\beta$: the value of $\alpha$ must be greater than or equal to the value of $\beta$ at each $p$.

Krull proposes an abstract version of these differences of exponents by defining valuations as functions $\mathcal{K} \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ satisfying three properties 1, 2 and 3, and investigates when valuations decide divisibility.

Excerpt.

Our excerpt is from pages 531–532 of “Idealtheorie in unendlichen algebraischen Zahlkörpern II”, *Mathematische Zeitschrift* 31.

§ 1.

Bewertung; Begriff der Zahlentheorie.

Das Grundproblem und der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie kann
folgendermaßen formuliert werden:

Frage: Wann ist das Element $\alpha$ aus dem Körper $\mathcal{K}_r$ der rationalen Zahlen hinsichtlich der Ordnung $\mathcal{D}_r$ der ganzen rationalen Zahlen durch das gleichfalls zu $\mathcal{K}_r$ gehörige Element $\beta$ teilbar, d. h. wann liegt der Quotient $\alpha \cdot \beta^{-1}$ in $\mathcal{D}_r$?

Antwort: Man ordne jeder Primzahl $p$ aus $\mathcal{D}_r$ eine „Stelle“ $P$ zu und verstehe für beliebiges $\alpha \neq 0$ aus $\mathcal{K}_r$ unter dem Wert von $\alpha$ in $P$ die Differenz der Exponenten, mit denen die zu $P$ gehörige Primzahl $p$ bei einer Quotientendarstellung von $\alpha$ durch ganze Zahlen in Zähler und Nenner aufgeht. Dann
gilt der Satz: $\alpha$ ist dann und nur dann durch $\beta$ teilbar, wenn der Wert von $\alpha$ in bezug auf eine beliebige Stelle niemals kleiner ist als der Wert von $\beta$ in bezug auf die gleiche Stelle.

Es bedeute von jetzt ab $\mathfrak{R}$ einen beliebigen Körper, unter einer Ordnung $\mathfrak{D}$ möge ein Unterring von $\mathfrak{R}$ verstanden werden, der das Einheitselement enthält, von $\mathfrak{R}$ selbst verschieden ist und die Eigenschaft besitzt, daß jedes Element aus $\mathfrak{R}$ als Quotient von Elementen aus $\mathfrak{D}$ geschrieben werden kann, daß also $\mathfrak{R}$ den Quotientenkörper von $\mathfrak{D}$ darstellt. Wir nennen das Körperelement $\alpha$ durch das Körperelement $\beta$ hinsichtlich $\mathfrak{D}$ teilbar, wenn $\alpha \cdot \beta^{-1}$ zu $\mathfrak{D}$ gehört und fragen:

*Welche Eigenschaften muß $\mathfrak{D}$ besitzen, damit über die Teilbarkeitsverhältnisse der Elemente von $\mathfrak{R}$ hinsichtlich $\mathfrak{D}$ nach dem Vorbild der elementaren Zahlentheorie durch Einführung von „Stellen“ und zugehörigen „Bewertungen“ entschieden werden kann?*

Um die aufgeworfene Frage zu präzisieren, haben wir vor allem genau festzulegen, was unter einer Stelle mit zugehöriger Bewertung verstanden werden soll. Von einer Bewertung von $\mathfrak{R}$ sprechen wir, wenn jedem Körperelement $\alpha \neq 0$ eindeutig eine reelle Zahl $r$, der Null das Symbol $+\infty$ als Wert zugeordnet ist, und wenn dabei die folgenden Bedingungen erfüllt sind: 1. Der Wert von $\alpha \cdot \beta$ ist gleich der Summe der Werte von $\alpha$ und $\beta$. 2. Der Wert von $\alpha + \beta$ ist nie kleiner als der kleinere der Werte von $\alpha$ und $\beta$. 3. Nicht alle Elemente haben den Wert 0.

### 3. Krull 1932: the Fundamentalsatz for integral domains.

Krull (1932) discovers that the concept of valuation in Krull 1930 is too narrow for deciding divisibility. He starts by redefining a valuation as a surjective function $w: \mathfrak{R}^* \to \Gamma$, with $\Gamma$ an abelian linearly preordered group, not necessarily archimedean, such that

$$w(a \cdot b) = w(a) + w(b), \qquad (1)$$

$$w(a + b) \geq \min(w(a), w(b)). \qquad (2)$$

The former concept corresponds to subgroups $\Gamma$ of the additive group $\mathbb{R}$ and is from now on called “special valuation”. A valuation defines the valuation ring $\mathfrak{B}$ formed by 0 together with the elements where it is nonnegative.

E.g. if $\mathfrak{R} = \mathbb{Q}$ and $p$ is a prime number, then the value of $a \in \mathbb{Q}^*$ at $p$ may be defined by writing $a = p^n a'$ with $n \in \mathbb{Z}$ and $p$ dividing neither the numerator nor
the denominator of $a'$, and by letting $\Gamma = \mathbb{Z}$ and $w(a) = n$. Then $\mathfrak{B}$ is the ring of those fractions that can be written with a denominator not divisible by $p$.

Krull starts by proving two characterisations of a valuation ring $\mathfrak{B}$.

1. It is a subring of the field of fractions $\mathfrak{K}$ that preorders it linearly by divisibility: if $a \in \mathfrak{K}$, then $a \in \mathfrak{B}$ or $a^{-1} \in \mathfrak{B}$. It is here that he needs the freedom of constructing an arbitrary abelian linearly preordered group $\Gamma$.

2. It is a local ring (i.e. its nonunits form an ideal) such that every ring $\mathfrak{B}'$ with $\mathfrak{B} \subset \mathfrak{B}' \subseteq \mathfrak{K}$ contains the inverse of a nonunit of $\mathfrak{B}$. Note that this property gives rise to nonconstructive instantiations of such an inverse of nonunit in arguments by contradiction.

Then he focuses on the connection with integral closedness.

> As usual, the element $p$ is to be called *integrally dependent on the ring $\mathfrak{R}$* if it satisfies an equation $p^n + a_1p^{n-1} + \dots + a_n = 0$ with coefficients $a_i$ in $\mathfrak{R}$; $\mathfrak{R}$ will be termed *integrally closed* if every element in the field of fractions $\mathfrak{R}$ that is integrally dependent on $\mathfrak{R}$ already belongs to $\mathfrak{R}$.

He observes on the way that valuation rings are integrally closed. This proves one direction of the Fundamentalsatz for integral domains, viz.

**Theorem 7.** A proper subring $\mathfrak{R}$ of $\mathfrak{K}$ may be represented as intersection of (finitely or infinitely many) valuation rings if and only if it is integrally closed.

The other direction follows from the fact that if $a \in \mathfrak{K} \setminus \mathfrak{R}$ with $\mathfrak{R}$ integrally closed, then $a^{-1}$ is a nonunit of $\mathfrak{R}[a^{-1}]$: if $a$ does not belong to $\mathfrak{R}$, then it is not integrally dependent on $\mathfrak{R}$ either, and this may be expressed as the absence of a relation of the form $a^{-1}(a_1 + a_2a^{-1} + \dots + a_n(a^{-1})^{n-1}) = 1$. Then Zorn's lemma provides a maximal subring $\mathfrak{B}$ of $\mathfrak{K}$ containing $\mathfrak{R}[a^{-1}]$ but not $a$; $\mathfrak{B}$ turns out to be a valuation ring by the second characterisation of a valuation ring.

## Excerpt.

Our excerpt is from pages 163–165 and 168–169 of “Allgemeine Bewertungstheorie”, *Journal für die reine und angewandte Mathematik* 167.

## § 1. Definition und Grundeigenschaften der allgemeinen Bewertungen.

$\mathfrak{K}$ bedeutet stets einen Körper, $\Gamma$ eine Abelsche Gruppe mit der Additition als Verknüpfungsrelation und der $0$ als Einheitselement. [...] $\Gamma$ bzw. $\mathfrak{K}$
soll linear geordnet heißen, wenn zwischen den Elementen von $\Gamma$ bzw. $\mathfrak{K}$ eine Ordnungsbeziehung definiert ist mit den üblichen charakteristischen Eigenschaften:

Von einer Bewertung $B$ von $\mathfrak{K}$ mit der Wertgruppe $\Gamma$ soll gesprochen werden, wenn jedem Element $a \neq 0$ aus $\mathfrak{K}$ eindeutig ein Element $\alpha = w(a)$ aus $\Gamma$ als Wert zugeordnet ist, und wenn dabei folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. $w(a \cdot b) = w(a) + w(b)$. 
2. $w(a + b) \geq \min(w(a), w(b))$. 
3. Zu jedem $\alpha$ aus $\Gamma$ gibt es ein $a$ aus $\mathfrak{K}$, so daß $\alpha = w(a)$.

Die Gesamtheit der Elemente $a$, die in einer festen Bewertung $B$ von $\mathfrak{K}$ nichtnegative Werte haben, bildet zusammen mit dem Nullelement einen echten Unterring $\mathfrak{B}$ von $\mathfrak{K}$, den „zu $B$ gehörigen Bewertungsring“.

**Satz 1.** Ein echter Unterring $\mathfrak{B}$ von $\mathfrak{K}$ ist dann und nur dann Bewertungsring, wenn $\mathfrak{B}$ den Körper $\mathfrak{K}$ zum Quotientenkörper hat und wenn in $\mathfrak{B}$ von zwei Elementen $a_1$ und $a_2$ stets (mindestens) eines durch das andre teilbar ist.

### § 3. Kennzeichnung der ganz abgeschlossenen Ringe.

Das Element $p$ soll wie üblich vom Ringe $\mathfrak{R}$ ganz abhängig heißen, wenn es einer Gleichung $p^n + a_1p^{n-1} + \dots + a_n = 0$ mit Koeffizienten $a_i$ aus $\mathfrak{R}$ genügt; $\mathfrak{R}$ wird ganz abgeschlossen genannt, wenn jedes von $\mathfrak{R}$ ganz abhängige Element aus dem Quotientenkörper $\mathfrak{R}$ bereits zu $\mathfrak{R}$ selbst gehört. Bezeichnen wir für beliebiges $a$ mit $\mathfrak{R}[a]$ stets den Ring aller Polynome in $a$ mit Koeffizienten aus $\mathfrak{R}$, so können wir die von $\mathfrak{R}$ ganz abhängigen Elemente auch folgendermaßen charakterisieren:

> Das Element $p$ hängt von $\mathfrak{R}$ dann und nur dann ganz ab, wenn $p^{-1}$ in $\mathfrak{R}[p^{-1}]$ Einheit ist.

In der Tat, $p^n - a_1p^{n-1} - \dots - a_n = 0$ ist vollkommen gleichwertig mit $1 = p^{-1} \cdot (a_1 + a_2p^{-1} + \dots + a_n(p^{-1})^{n-1})$ und das Bestehen einer Gleichung der letzteren Form mit Koeffizienten $a_i$ aus $\mathfrak{R}$ ist notwendig und hinreichend dafür, daß $p^{-1}$ in $\mathfrak{R}[p^{-1}]$ Einheit ist. – Aus unserm Kriterium für ganz abhängige Elemente folgt sofort:

> Ist a Nichteinheit in $\mathfrak{R}$, so kann $a^{-1}$ niemals von $\mathfrak{R}$ ganz abhängen.

Wäre nämlich $a^{-1}$ von $\mathfrak{R}$ ganz abhängig, so müßte $a = (a^{-1})^{-1}$ in $\mathfrak{R}[a] = \mathfrak{R}$ gegen Voraussetzung Einheit sein.

**Satz 5.** Ein echter Unterring $\mathfrak{B}$ von $\mathfrak{K}$ ist dann und nur dann Bewertungsring, wenn in $\mathfrak{B}$ die Gesamtheit der Nichteinheiten ein Ideal bildet, und wenn
in $\mathfrak{K}$ jeder echte Oberring von $\mathfrak{B}$ mindestens ein Reziprokes einer Nichteinheit von $\mathfrak{B}$ enthält.

Daß jeder Bewertungsring die in Satz 5 angegebenen Eigenschaften besitzt, ist klar nach § 1. – Ist umgekehrt $\mathfrak{B}$ irgendein Ring mit diesen Eigenschaften, so muß zunächst $\mathfrak{B}$ ganz abgeschlossen sein. Denn der Ring $\mathfrak{B}^*$ aller von $\mathfrak{B}$ ganz abhängigen Elemente aus $\mathfrak{K}$ muß mit $\mathfrak{B}$ zusammenfallen, weil er sicher kein einziges Reziprokes einer Nichteinheit von $\mathfrak{B}$ enthält. Es seien ferner $a_1$ und $a_2$ zwei beliebige Elemente aus $\mathfrak{B}$, und es sei etwa $a_2$ nicht in $\mathfrak{B}$ durch $a_1$ teilbar, also $a_2 \cdot a_1^{-1} = p$ nicht Element von $\mathfrak{B}$. Bilden wir dann $\mathfrak{B}[p]$, so muß in $\mathfrak{B}[p]$ das Reziproke $a_1^{-1}$ einer gewissen Nichteinheit $a$ aus $\mathfrak{B}$ auftreten, es muß also eine Gleichung $a_1^{-1} = a_0 + a_1 p + \cdots + a_n p^n$ mit Koeffizienten $a_i$ aus $\mathfrak{B}$ gelten. Diese Gleichung kann aber in die Form $(a_0 \cdot a - 1) \cdot (p^{-1})^n + a_1 \cdot a \cdot (p^{-1})^{n-1} + \cdots + a_n \cdot a = 0$ gebracht werden, und hier muß wegen der besonderen Eigenschaften von $\mathfrak{B}$ der Koeffizient $a_0 \cdot a - 1$ als Differenz einer Nichteinheit und einer Einheit selbst Einheit sein. Es ist also $p^{-1}$ von $\mathfrak{B}$ ganz abhängig und somit nach dem bereits Bewiesenen Element von $\mathfrak{B}$. – Wir haben jetzt gezeigt: Sind $a_1$ und $a_2$ zwei beliebige Elemente aus $\mathfrak{B}$, so ist in $\mathfrak{B}$ entweder $a_1$ durch $a_2$ oder $a_2$ durch $a_1$ teilbar. Nach Satz 1 muß $\mathfrak{B}$ daher Bewertungsring sein. – Mit Hilfe von Satz 5 beweisen wir weiter:

**Satz 6.** Zu jedem echten Unterring $\mathfrak{R}$ von $\mathfrak{K}$ gibt es (mindestens) einen Bewertungsring $\mathfrak{B}$, der $\mathfrak{R}$ enthält.

Es sei $a$ eine beliebige Nichteinheit aus $\mathfrak{R}$. Dann existiert, wie aus trivialen Wohlordnungsschlüssen zu ersehen, in $\mathfrak{K}$ mindestens ein Ring $\mathfrak{B}$, der $\mathfrak{R}$, aber nicht $a^{-1}$ enthält, und der außerdem die Eigenschaft hat, daß $a^{-1}$ in jedem echten Oberring von $\mathfrak{B}$ vorkommt. $\mathfrak{B}$ wird nach Satz 5 Bewertungsring sein, wenn die Gesamtheit der Nichteinheiten in $\mathfrak{B}$ ein Ideal bildet. Es sei nun $\mathfrak{p}$ irgendein Primidealteiler von $a$ in $\mathfrak{B}$, $\mathfrak{B}_{\mathfrak{p}}$ bedeute den Ring aller der Elemente, die sich als Quotienten von Elementen aus $\mathfrak{B}$ mit durch $\mathfrak{p}$ unteilbarem Nenner schreiben lassen. Dann enthält $\mathfrak{B}_{\mathfrak{p}}$ das Element $a^{-1}$ nicht, und es muß daher $\mathfrak{B}_{\mathfrak{p}} = \mathfrak{B}$ sein. Das ist aber nur möglich, wenn $\mathfrak{p}$ gerade aus allen Nichteinheiten von $\mathfrak{B}$ besteht.

**Satz 7.** Ein echter Unterring $\mathfrak{R}$ von $\mathfrak{K}$ läßt sich dann und nur dann als Durchschnitt von (endlich oder unendlich vielen) Bewertungsringen darstellen, wenn er ganz abgeschlossen ist.

Daß alle Bewertungsringe und damit auch alle Durchschnitte von Bewertungsringen ganz abgeschlossen sind, wurde beim Beweise von Satz 5 mitbewiesen. Es sei jetzt umgekehrt $\mathfrak{R}$ irgendein ganz abgeschlossener Ring, $a$ ein nicht in $\mathfrak{R}$ vorkommendes Element aus $\mathfrak{R}$. Dann haben wir nur zu zeigen, daß mindestens ein Bewertungsring $\mathfrak{B}$ existiert, der zwar $\mathfrak{R}$, aber nicht $a$ enthält.
Wir bilden $\mathfrak{R}[a^{-1}]$; in diesem Ringe kann $a$ nicht vorkommen, denn andernfalls wäre $a^{-1}$ in $\mathfrak{R}[a^{-1}]$ Einheit, und es müßte daher $a$ von $\mathfrak{R}$ ganz abhängen und damit gegen Voraussetzung in $\mathfrak{R}$ enthalten sein. Da also $a^{-1}$ in $\mathfrak{R}[a^{-1}]$ Nichteinheit ist, gibt es nach dem Beweise von Satz 6 einen Bewertungsring $\mathfrak{B}$, der Obermenge von $\mathfrak{R}[a^{-1}]$ also erst recht auch von $\mathfrak{R}$ ist, in dem aber $a$ nicht vorkommt. Damit ist schon alles bewiesen. – Um die Bedeutung von Satz 7 noch klarer hervortreten zu lassen, führen wir den Begriff der Hauptordnung ein. Der Ring $\mathfrak{R}$ soll Hauptordnung heißen, wenn in $\mathfrak{R}$ über die Teilbarkeitsverhältnisse der Elemente durch Einführung von Bewertungen entschieden werden kann, d. h. wenn sich (endlich oder unendlich viele) Bewertungen $\mathfrak{B}_\tau$ des Quotientenkörpers $\mathfrak{K}$ so definieren lassen, daß der folgende Satz gilt: In $\mathfrak{R}$ ist das Element $a$ dann und nur dann durch das Element $b$ teilbar, wenn $a$ in keiner der Bewertungen $\mathfrak{B}_\tau$ einen kleineren Wert besitzt als $b$.

Man sieht ohne Schwierigkeit, daß der Ring $\mathfrak{R}$ dann und nur dann Hauptordnung ist, wenn er als Durchschnitt von (endlich oder unendlich vielen) Bewertungsringen $\mathfrak{B}_\tau$ dargestellt werden kann. Aus Satz 7 ergibt sich daher:

**Satz 7\*.** Ein echter Unterring $\mathfrak{R}$ von $\mathfrak{K}$ ist dann und nur dann Hauptordnung, wenn er ganz abgeschlossen ist.

Wie man in plausibler und naheliegender Weise zu dem Begriff der Hauptordnung gelangt, habe ich bereits früher ausführlich auseinandergesetzt. Doch konnte ich dort die Hauptordnungen nicht so einfach und befriedigend characterisieren, wie es hier durch Satz 7* geschehen ist. Der Grund für diesen Mangel meiner früheren Arbeit lag einfach darin, daß ich damals nur Bewertungen mit archimedischer Wertgruppe in den Kreis der Betrachtung zog. Satz 7* zeigt also, daß die Einführung der allgemeinen Bewertungen nicht nur naheliegend, sondern auch für die naturgemäße Behandlung mancher arithmetischer Probleme schlechtweg notwendig ist.

### 4. Krull 1936a: the computational content of the Fundamentalsatz.

In the introduction to his 1936a, Krull explains that the Fundamentalsatz is the basis for a proof method: if a theorem is to be proved for an integrally closed integral domain, then it mostly suffices to prove it in a valuation ring, in which the property of linearity grants very simple computational arguments.

He also explains the defect of the Fundamentalsatz: its proof does not construct the valuation rings, and the example of polynomial rings shows that this goal is out of reach.
A. The valuation rings are characterised by the fact that in them, of two arbitrary elements, one is always divisible by the other. – B. Every integrally closed integral domain $\mathfrak{J}$ may be represented as intersection of valuation rings.

A and B form the basis of an important proof method: if a theorem on $\mathfrak{J}$ is to be derived which one knows to hold for the intersection of arbitrarily many rings provided that it holds for each individual component ring, then, according to B, the theorem concerned needs to be proved only for valuation rings, and in this latter case, on account of A, usually a quite elementary computation leads to the goal.

On the other hand, B serves as a connecting link for novel questions, whose fruitfulness is to be substantiated in this contribution. B is a pure existence theorem. For the “proof method”, this does not constitute a drawback; nevertheless it seems theoretically desirable to go beyond the bare standpoint of existence. This goal would be reached if one were in a position to represent in some constructive manner, for an arbitrary given $\mathfrak{J}$, the set of all those valuation rings out of the field of fractions $\mathbb{R}$ that contain the integral domain $\mathfrak{J}$. Yet even the consideration of quite elementary special cases, e.g. of polynomial rings, indicates that one is there confronted with an, at least so far, unsolvable task. – On the other hand, it becomes apparent that, surprisingly, already the attempt to turn the given task into the ideal-theoretic leads to very curious connexions with certain penetrating investigations by H. Prüfer that refer chiefly to Kronecker.

## Excerpt.

Here is the source of our translation, from page 546 of “Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche I: Multiplikationsringe, ausgezeichnete Idealsysteme und Kroneckersche Funktionalringe”, *Mathematische Zeitschrift* 41.

A. Die Bewertungsringe sind dadurch gekennzeichnet, daß in ihnen von zwei beliebigen Elementen stets eines durch das andere teilbar ist. – B. Jeder ganz abgeschlossene Integritätsbereich $\mathfrak{J}$ läßt sich als Durchschnitt von Bewertungsringen darstellen.

A. und B. bilden die Grundlage für eine wichtige Beweismethode: Soll ein Satz über $\mathfrak{J}$ abgeleitet werden, von dem man weiß, daß er für den Durchschnitt beliebig vieler Ringe richtig ist, sobald er nur für jeden einzelnen Komponentenring gilt, so braucht der betreffende Satz nach B. nur für Bewertungsringe bewiesen zu werden, und in diesem letzteren Fall führt wegen A. meistens eine ganz einfache Rechnung zum Ziel.
Andererseits dient B. als Anknüpfungspunkt für neuartige Fragestellungen, deren Fruchtbarkeit in diesem Beitrag nachgewiesen werden soll. B. ist ein reines Existenztheorem. Für die „Beweismethode“ bedeutet das keinen Nachteil; trotzdem scheint es theoretisch wünschenswert, über den bloßen Existenzstandpunkt hinauszukommen. Dieses Ziel wäre erreicht, wenn man imstande wäre, bei beliebig gegebenem $\mathfrak{J}$ die Menge aller der Bewertungsringe aus dem Quotientenkörper $\mathfrak{K}$, die den Integritätsbereich $\mathfrak{J}$ umfassen, irgendwie konstruktiv darzustellen. Doch lehrt schon die Betrachtung ganz einfacher Spezialfälle, z. B. der Polynomringe, daß man da vor einer wenigstens vorläufig unlösbaren Aufgabe steht. – Dagegen zeigt es sich überraschenderweise, daß bereits der Versuch, die gestellte Aufgabe ins Idealtheoretische zu wenden, zu sehr merkwürdigen Zusammenhängen mit gewissen tiefeindringenden, vorwiegend an Kronecker anknüpfenden Untersuchungen von H. Prüfer führt.

**5. Lorenzen 1939a: the Fundamentalsatz for
preordered cancellative monoids.**

Lorenzen 1939a is an “abstract foundation of multiplicative ideal theory” on the theory of preordered cancellative monoids. Lorenzen’s letter to Krull dated 22 March 1938 (page 52) provides a dictionary that translates the concepts of ring theory into a framework that takes into account only the multiplicative structure of an integral domain $\mathfrak{J}$: its nonzero elements form a cancellative monoid $\mathfrak{g}$, and the nonzero elements of its field of fractions form what is today called the Grothendieck group $\mathfrak{G}$ of $\mathfrak{g}$. Divisibility is the equivariant preorder $\preceq$ on $\mathfrak{G}$ whose positive cone is $\mathfrak{g}: a \preceq b \Leftrightarrow b \ni a^{-1}$.

Lorenzen’s analysis of Krull’s valuation theory proceeds in three steps: elaborating a theory of ideals that fits preordered monoids; making a valuation-theoretic analysis of lattice-preordered groups; establishing a transfer of valuations between a preordered monoid and the positive cone of the Grothendieck lattice-preordered group of its system of ideals.

**Systems of ideals.**

Prüfer (1932) proposes to define a system of $r$-ideals as an operation $\{a_1, \dots, a_n\} \mapsto \{a_1, \dots, a_n\}_r$ on finite subsets of the field of fractions of an integral domain. Lorenzen adapts this definition into an operation on finite or infinite bounded-from-below subsets $\mathfrak{a}$ of the group $\mathfrak{G}$ (i.e. subsets such that there is a $c \in \mathfrak{G}$ with $\mathfrak{g} \supseteq \mathfrak{ca}$; Lorenzen’s notation for this is $\mathfrak{a}^{-1} \neq 0$), taking values in subsets of $\mathfrak{G}$, and satisfying
four conditions: 1. $\mathfrak{a}_r \supseteq \mathfrak{a}$; 2. $\mathfrak{b}_r \supseteq \mathfrak{a} \Rightarrow \mathfrak{b}_r \supseteq \mathfrak{a}_r$; 3. $\{a\}_r = a \cdot \mathfrak{g}$; 4. $a \cdot \mathfrak{a}_r = (a \cdot \mathfrak{a})_r$. The variable letter $r$ stands for variable systems of ideals.

E.g. the system of $t$-ideals, used in Section 5, is defined by

$$ \mathfrak{a}_t = \{ b \in \mathfrak{G} \mid \exists a_1, \dots, a_n \in \mathfrak{a} \ \forall a \in \mathfrak{G} \ a \preceq a_1, \dots, a \preceq a_n \Rightarrow a \preceq b \} $$

for finite or infinite bounded-from-below sets $\mathfrak{a}$ as the set of those elements $b$ that are greater than or equal to every lower bound $a$ of some finite subset $\{a_1, \dots, a_n\}$ of $\mathfrak{a}$.

A system of ideals has the structure of a meet-semilattice-preordered monoid (a meet-monoid for short) for the multiplication $\mathfrak{a}_r \cdot \mathfrak{b}_r = (\mathfrak{a} \cdot \mathfrak{b})_r$ and the meet operation $\mathfrak{a}_r \wedge \mathfrak{b}_r = (\mathfrak{a} \cup \mathfrak{b})_r$. Item 3 above means that the group $\mathfrak{G}$ may be embedded into this meet-monoid by identifying $a$ with $a \cdot \mathfrak{g}$.

The system of Dedekind ideals corresponds to the operation that associates to $\mathfrak{a}$ the set $\mathfrak{a}_d$ of nonzero elements of the module generated by $\mathfrak{a}$ in the integral domain $\mathfrak{J}$ hidden behind $\mathfrak{g}$. The definition of this operation therefore takes into account the additive structure of $\mathfrak{J}$, but once the definition is done, it will be forgotten. Let us show how this works for the three following concepts: 1. valuation ring; 2. integral closedness; 3. integral dependence.

1. Lorenzen separately analyses Equality (1) and Inequality (2) of the definition of a valuation given on page 5.

* He says that a supermonoid $\mathfrak{B}$ of $\mathfrak{g}$ ($\mathfrak{G} \supseteq \mathfrak{B} \supseteq \mathfrak{g}$) is linear if for $a \in \mathfrak{G}$ either $a \in \mathfrak{B}$ or $a^{-1} \in \mathfrak{B}$, i.e. if the preorder on $\mathfrak{B}$ having $\mathfrak{B}$ as its positive cone is linear.

* Inequality (2) expresses that a valuation ring is closed under addition. He observes that this is equivalent to $\mathfrak{B} \supseteq \{a_1, \dots, a_n\} \Rightarrow \mathfrak{B} \supseteq \{a_1, \dots, a_n\}_d$.

2. Prüfer (1932) shows that an integral domain is integrally closed if

$$ \{a_1, \dots, a_n\}_d \supseteq a \cdot \{a_1, \dots, a_n\}_d \text{ implies } \mathfrak{g} \supseteq a \cdot \mathfrak{g}, $$

i.e. $1 \preceq a$. This means that $\{a_1, \dots, a_n\}_d$ can be cancelled in the containment $\{a_1, \dots, a_n\}_d \supseteq a \cdot \{a_1, \dots, a_n\}_d$.

3. He further shows that an element $a$ is integrally dependent on $\{a_1, \dots, a_n\}_d$ if and only if there is $\{c_1, \dots, c_p\}$ such that $\{a_1, \dots, a_n\}_d \cdot \{c_1, \dots, c_p\}_d \supseteq a \cdot \{c_1, \dots, c_p\}_d$.

On the basis of these observations, Lorenzen proposes the following definitions in the multiplicative setting of a system of $r$-ideals for the cancellative monoid $\mathfrak{g}$.

1. The multiplicative counterpart of a valuation ring is a linear $r$-supermonoid of $\mathfrak{g}$, i.e. a linear supermonoid $\mathfrak{B}$ of $\mathfrak{g}$ such that $\mathfrak{B} \supseteq \{a_1, \dots, a_n\} \Rightarrow \mathfrak{B} \supseteq \{a_1, \dots, a_n\}_r$.

2. The monoid $\mathfrak{g}$ is $r$-closed if $\{a_1, \dots, a_n\}_r \supseteq a \cdot \{a_1, \dots, a_n\}_r \Rightarrow 1 \preceq a$.

3. The $r_a$-operation is given by setting $\{a_1, \dots, a_n\}_{r_a}$ equal to

$$ \{ a \in \mathfrak{G} \mid \exists \{c_1, \dots, c_p\} \{a_1, \dots, a_n\}_r \cdot \{c_1, \dots, c_p\}_r \supseteq a \cdot \{c_1, \dots, c_p\}_r \}, $$
i.e. to the set of elements that are *r*-dependent on {$a_1, \dots, a_n$}. Note that the $r_a$-operation satisfies Item 3 of the definition of a system of ideals if and only if $\mathfrak{g}$ is *r*-closed.

Lorenzen observes that the arguments of Prüfer (1932, page 18) show that the cancellativity of the meet-monoid of *r*-ideals may be forced by passing to the meet-monoid of $r_a$-ideals. One may then construct the Grothendieck lattice-preordered group $\mathfrak{h}^*$ of this system of $r_a$-ideals (see Coquand, Lombardi, and Neuwirth 2019, § 3A for this construction). Its positive cone $\mathfrak{h}$ is formed by the fractions $\frac{\{a_1, \dots, a_n\}}{\{b_1, \dots, b_m\}}$ such that $\{b_1, \dots, b_m\}_{r_a} \supseteq \{a_1, \dots, a_n\}_{r_a}$. The group $\mathfrak{G}$ may be embedded into $\mathfrak{h}^*$ by identifying $a$ with $\frac{a \cdot \mathfrak{g}}{\mathfrak{g}}$.

## Ideals in a lattice-preordered group.

For developing a “valuation theory” of $\mathfrak{g}$ when $\mathfrak{G}$ is a lattice-preordered group (an *l*-group for short), Lorenzen uses the *t*-ideals, whose definition, thanks to the existence of finite meets, simplifies to

$$ a_t = \{ b \in \mathfrak{G} \mid a_1 \wedge \dots \wedge a_n \preceq b \text{ for some } a_1, \dots, a_n \in \mathfrak{a} \}. $$

Clifford (1940, page 470) emphasises their similarity with the semilattice-theoretic ideals. A finite *t*-ideal {$a_1, \dots, a_n$}$_t$ is the set ($a_1 \wedge \dots \wedge a_n$)g and may thus be thought of as $a_1 \wedge \dots \wedge a_n$, and the set-theoretic clothing is needed only for an infinite *t*-ideal, which is a colimit of finite ones, in particular for a prime *t*-ideal, i.e. a *t*-ideal p such that $ab \in p \Rightarrow a \in p$ or $b \in p$.

Lorenzen shows that the linear *t*-supermonoids of $\mathfrak{g}$ are the localisations $\mathfrak{g}_p$, i.e. the monoids of fractions $a/b$ with $a \in \mathfrak{g}$ and $b \in \mathfrak{g} \setminus p$, where $p$ is a prime *t*-ideal. In fact, the nonunits of $\mathfrak{g}_p$ have the form $p \in p$ and $s \in \mathfrak{g} \setminus p$; if $p/s'$ is another nonunit, then the meet $p \wedge p/s'$ is again a nonunit because $ss' \in \mathfrak{g} \setminus p$ by primeness, $s'p, sp' \in p$ by *t*-ideality. But this shows that $\mathfrak{g}_p$ is linear, as every $a \in \mathfrak{G}$ satisfies $a = a_+^\perp$ with $a_- + a_+ \in \mathfrak{g}$ and $a_- \wedge a_+ = 1$, so that either $a_-$ or $a_+$ is a unit of $\mathfrak{g}_p$ and either $a$ or $a^{-1} = a_+^\perp$ is in $\mathfrak{g}_p$.

The Fundamentalsatz follows easily in this case, in the following two shapes.

**Theorem 11.** Let $N$ be a set of prime $t$-ideals of $\mathfrak{g}$ such that every nonunit of $\mathfrak{g}$ lies in at least one $p \in N$, then $\mathfrak{g}$ is the intersection of the linear super-monoids $\mathfrak{g}_p$ ($p \in N$)

$$ \mathfrak{g} = \bigcap_{N} \mathfrak{g}_p. $$
For if $a \in \mathfrak{G} \setminus \mathfrak{g}$, then $a_-$ is a nonunit of $\mathfrak{g}$, so that it lies in some $p \in N$ and is a nonunit of $\mathfrak{g}_p$; therefore $a = \frac{a_+}{a_-} \notin \mathfrak{g}_p$.

**Theorem 12.** If $N$ contains all maximal prime $t$-ideals, then, for all $t$-ideals $\mathfrak{a}$ of $\mathfrak{g}$, the intersection representation $\mathfrak{a} = \bigcap_N \mathfrak{ag}_p$ holds.

For if $a \notin \mathfrak{a}$, then $\mathfrak{g}$ contains properly the $t$-ideal $a^{-1}\mathfrak{a} \cap \mathfrak{g}$. Zorn's lemma provides a maximal prime $t$-ideal $p$ that contains it, so that its elements are nonunits of $\mathfrak{g}_p$. Therefore $a^{-1}\mathfrak{ag}_p \not\supset 1$ and $\mathfrak{ag}_p \not\supset a$.

Krull's well-ordering argument is confined to the proof of this last theorem.

**Transfer to the system of $t$-ideals.**

To consider a linear $r$-supermonoid $\mathfrak{B}$ of $\mathfrak{g}$ ($\mathfrak{G} \supseteq \mathfrak{B} \supseteq \mathfrak{g}$) is to consider a linear $t$-supermonoid $\mathcal{L}$ of the positive cone $\mathfrak{h}$ of the Grothendieck lattice-preordered group $\mathfrak{h}^* (\mathfrak{h}^* \supseteq \mathcal{L} \supseteq \mathfrak{h})$.

1. If $\mathcal{L}$ is given, then $\mathfrak{B} = \mathcal{L} \cap \mathfrak{G}$ (using the identification of $a$ with $\frac{a \cdot \mathfrak{g}}{\mathfrak{g}}$) is a linear supermonoid of $\mathfrak{g}$. Furthermore, if $\mathfrak{B} \supseteq \{a_1, \dots, a_n\}$, then $\mathcal{L} \supseteq \{\frac{a_1 \cdot \mathfrak{g}}{\mathfrak{g}}, \dots, \frac{a_n \cdot \mathfrak{g}}{\mathfrak{g}}\}$, so that by hypothesis $\mathcal{L} \supseteq (\frac{a_1 \cdot \mathfrak{g}}{\mathfrak{g}} \wedge \dots \wedge \frac{a_n \cdot \mathfrak{g}}{\mathfrak{g}})\mathfrak{h} = \frac{\{a_1, \dots, a_n\}_{r_a}}{\mathfrak{g}}\mathfrak{h}$ and $\mathfrak{B} \supseteq \{a_1, \dots, a_n\}_{r_a} \supseteq \{a_1, \dots, a_n\}_r$. At this point of his argument, Lorenzen compares it to Krull 1936a, Satz 15.

2. Conversely, if $\mathfrak{B}$ is given, then $\mathfrak{B}$ is even an $r_a$-supermonoid: if $\mathfrak{B} \supseteq \{a_1, \dots, a_n\}$ and $\{a_1, \dots, a_n\}_{r_a} \ni a$, consider $\{c_1, \dots, c_p\}$ such that $\{a_1, \dots, a_n\}_r \cdot \{c_1, \dots, c_p\}_r \supseteq a \cdot \{c_1, \dots, c_p\}_r$; one may suppose that $c_1$ is minimal w.r.t. the linear monoid $\mathfrak{B}$ among $c_1, \dots, c_p$, i.e. $\mathfrak{B} \supseteq \{1, \dots, c_1^{-1}c_p\}$, so that $\mathfrak{B} \supseteq \{a_1, \dots, a_n\} \cdot \{1, \dots, c_1^{-1}c_p\}$; by hypothesis, $\mathfrak{B} \supseteq \{a_1, \dots, a_n\}_r \cdot \{1, \dots, c_1^{-1}c_p\}_r \ni a$ and we conclude that $\mathfrak{B} \supseteq \{a_1, \dots, a_n\}_{r_a}$. For every finite subset $\{a_1, \dots, a_n\}$ of $\mathfrak{G}$, one may suppose that $a_1$ is minimal w.r.t. $\mathfrak{B}$ among $a_1, \dots, a_n$, i.e. $\mathfrak{B} \supseteq \{1, \dots, a_1^{-1}a_n\}$, and then $\mathfrak{B} \supseteq \{1, \dots, a_1^{-1}a_n\}_{r_a}$ and $a_1\mathfrak{B} = \{a_1, \dots, a_n\}_{r_a}\mathfrak{B}$. Consider $\mathcal{L} = \left\{ \frac{\{a_1, \dots, a_n\}_{r_a}}{\{b_1, \dots, b_m\}_{r_a}} \mid \{b_1, \dots, b_m\}_{r_a}\mathfrak{B} \supseteq \{a_1, \dots, a_n\}_{r_a}\mathfrak{B} \right\}$; as for all $a, b \in \mathfrak{G}$ either $b\mathfrak{B} \supseteq a\mathfrak{B}$ or vice versa, $\mathcal{L}$ is a linear supermonoid of $\mathfrak{h}$; it is a linear $t$-supermonoid of $\mathfrak{h}$ because the meet of two elements of $\mathcal{L}$ is in $\mathcal{L}$: if $\{b_1, \dots, b_m\}_{r_a}\mathfrak{B} \supseteq \{a_1, \dots, a_n\}_{r_a}\mathfrak{B}$ and $\{d_1, \dots, d_q\}_{r_a}\mathfrak{B} \supseteq \{c_1, \dots, c_p\}_{r_a}\mathfrak{B}$, then $\{b_1d_1, \dots, b_m d_q\}_{r_a}\mathfrak{B} \supseteq \{a_1d_1, \dots, a_nd_q, b_1c_1, \dots, bhek_p\}_{r_a}\mathfrak{B}$. Finally, note that $\mathcal{L} \cap \mathfrak{G} = \mathfrak{B}$.

This transfer proves at once

**Theorem 14.** Every $r$-closed monoid is an intersection of linear $r$-supermonoids.
# Excerpt.

Our excerpt is from pages 535–537, 540, and 544–546 of “Abstrakte Begründung der multiplikativen Idealtheorie”, *Mathematische Zeitschrift* 45.

Note that in this article and in his 1938 letters to Krull, Lorenzen consistently makes a choice opposite to the now standard one: he considers $\mathfrak{g}$ as the cone of nonpositive elements of $\mathfrak{G}$, so that his preorder $\prec$ satisfies $a \prec b \Leftrightarrow a \cdot b^{-1} \in \mathfrak{g}$. Consistently, he writes $a \vee b$ and $a_r + b_r$ where we write $a \wedge b$ and $a_r \wedge b_r$, respectively. He probably does so to match the preorder relation $\subseteq$ between subsets of $\mathfrak{G}$.

## § 1.

### Idealsysteme.

Wir wollen eine Menge $\mathfrak{g}$, für deren Elemente $a, b, c, \dots$ eine kommutative und assoziative Multiplikation definiert ist, eine *Halbgruppe* nennen, wenn

1. aus $ac = bc$ stets $a = b$ folgt,

2. $\mathfrak{g}$ ein Einselement 1 enthält.

Zu jeder Halbgruppe $\mathfrak{g}$ gibt es eindeutig die Gruppe $\mathfrak{G}$, die aus den Quotienten $\frac{a}{b}$ besteht. $\mathfrak{G}$ heißt die Quotientengruppe von $\mathfrak{g}$. So ist z. B. die Menge der von Null verschiedenen Elemente eines Integritätsbereiches eine Halbgruppe, und die von Null verschiedenen Elemente des Quotientenkörpers bilden die Quotientengruppe.

Viele Definitionen der Teilbarkeitstheorie in Integritätsbereichen lassen sich unmittelbar auf Halbgruppen übertragen. Von den Elementen von $\mathfrak{G}$ nennen wir die Elemente von $\mathfrak{g}$ die ganzen Elemente, $b$ heißt ein Teiler von $a$, und $a$ heißt Vielfaches von $b$, wenn $\frac{a}{b}$ ganz ist. Das Hauptideal $(a)$ besteht aus allen Vielfachen von $a$. Ist eine Verwechslung ausgeschlossen, dann wird das Hauptideal $(a)$ einfach mit $a$ bezeichnet. Ein ganzes Element $a$ heißt Einheit, wenn $a^{-1}$ ganz ist.

Die Dedekindsche Definition der Ideale in Integritätsbereichen läßt sich natürlich nicht übertragen, da in Halbgruppen ja keine Addition erklärt zu sein braucht. Dagegen ist der Begriff der Idealsysteme, wie er von Prüfer und Krull aufgestellt worden ist, fast unmittelbar auch in Halbgruppen anzuwenden. Zur Formulierung der Definition wollen wir, wenn $a, b$ beliebige Untermengen von $\mathfrak{G}$ sind, unter $ab$ die Menge der Elemente $ab$ mit $a \in a, b \in b$ und unter $a : b$ die Menge der Elemente $c$ mit $cb \subseteq a$ verstehen. Statt (1) : $a$ schreiben wir $a^{-1}$.

**Definition 1.** Es seien zu jeder endlichen oder zu jeder beliebigen Untermenge $a$ von $\mathfrak{G}$, für die $a^{-1} \neq 0$ ist, eine Untermenge $a_r$ von $\mathfrak{G}$ so definiert, daß die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. $a \subseteq a_r,$
2. aus $\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{b}_r$ folgt $\mathfrak{a}_r \subseteq \mathfrak{b}_r$,

3. für ein Element $a$ ist $a_r = (a)$,

4. $aa_r = (aa)_r$.

$a_r$ heißt dann das aus $\mathfrak{a}$ erzeugte $r$-Ideal. Ist $\mathfrak{a}$ endlich, so heißt $a_r$ ein endliches $r$-Ideal. Die Menge aller $r$-Ideale nennen wir das $r$-Idealsystem. Ist sogar für jede Untermenge $\mathfrak{a}$ mit $\mathfrak{a}^{-1} \neq 0$ ein $r$-Ideal definiert, so nennen wir die Menge aller $r$-Ideale das totale $r$-Idealsystem.

Die Summe zweier Ideale wird durch $\mathfrak{a}_r + \mathfrak{b}_r = (\mathfrak{a} \cup \mathfrak{b})_r$, das Produkt durch $\mathfrak{a}_r \mathfrak{b}_r = (\mathfrak{a}\mathfrak{b})_r$ definiert. Diese Definitionen sind unabhängig von der Erzeugung der Ideale. Wegen 4. gilt das Distributivgesetz:

$$ (\mathfrak{a}_r + \mathfrak{b}_r)\mathfrak{c}_r = \mathfrak{a}_r\mathfrak{c}_r + \mathfrak{b}_r\mathfrak{c}_r. $$

Für beliebige Halbgruppen konstruieren wir jetzt zwei wichtige Idealsysteme. Wir setzen:

$$ \mathfrak{a}_s = \bigcup_{a \in \mathfrak{a}} (a), \quad \mathfrak{a}_v = \bigcap_{a \subseteq (a)} (a). $$

Definition 2. Eine Halbgruppe heißt $r$-abgeschlossen, wenn $\mathfrak{c}_r : \mathfrak{c}_r = 1$ für jedes endliche $r$-Ideal $\mathfrak{c}_r$ gilt.

Die Bedeutung der $r$-Abgeschlossenheit liegt darin, daß in jeder $r$-abgeschlossenen Halbgruppe die folgende Konstruktion eines neuen Idealsystems möglich ist [...]:

Definition 3. Ist $\mathfrak{a}$ eine endliche Untermenge von $\mathfrak{G}$, und ist $\mathfrak{g}$ $r$-abgeschlossen, so soll $\mathfrak{a}_{r_a}$ aus den Elementen $a$ bestehen, für die es ein endliches $r$-Ideal $\mathfrak{c}_r$ gibt mit $a\mathfrak{c}_r \subseteq \mathfrak{a}_r\mathfrak{c}_r$.

Die Mengen $\mathfrak{a}_{r_a}$ bilden dann ein Idealsystem, das System der $r_a$-Ideale.

Die $r_a$-Ideale haben nun die Eigenschaft, eine Halbgruppe zu bilden, d. h. für beliebige endliche $r_a$-Ideale $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}, \mathfrak{c}$ folgt aus $\mathfrak{a}\mathfrak{c} = \mathfrak{b}\mathfrak{c}$ stets $\mathfrak{a} = \mathfrak{b}$. [...]

## § 2.

### Totale Idealsysteme, Endlichartigkeit.

[...] Wir bezeichnen dazu mit $\mathfrak{c}$ stets Mengen aus endlich vielen Elementen von $\mathfrak{G}$. Ist dann $\mathfrak{a}$ eine beliebige Untermenge von $\mathfrak{G}$ mit $\mathfrak{a}^{-1} \neq 0$, so setzen wir

$$ \mathfrak{a}_{r_s} = \bigcup_{\mathfrak{c} \subseteq \mathfrak{a}} \mathfrak{c}_r, \quad \mathfrak{a}_{r_v} = \bigcap_{\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{c}_r} \mathfrak{c}_r. $$
Wir nennen das $v_s$-System kürzer das $t$-System.

§ 3.

Vollständige Halbgruppen.

Im § 4 werden wir zeigen, wie der Idealbegriff dazu dienen kann, viele
Fragen über Halbgruppen auf die Untersuchung der folgenden sehr speziellen
Klasse von Halbgruppen zurückzuführen:

Definition 5. Eine Halbgruppe heißt vollständig, wenn je zwei Elemente $a, b$ einen größten gemeinsamen Teiler $a \lor b$ besitzen.

Außerdem müssen wir noch den Begriff der Quotientenringe eines Integritätsbereiches auf Halbgruppen übertragen. Sei dazu $\mathfrak{g}$ eine beliebige Halbgruppe, $S$ eine Unterhalbgruppe von $\mathfrak{g}$, dann soll $\mathfrak{g}_S$ die Halbgruppe aller Quotienten $\frac{a}{b}$ ($a \in \mathfrak{g}$, $b \in S$) sein. $\mathfrak{g}_S$ heißt eine Quotientenhalbgruppe von $\mathfrak{g}$ (vgl. Grell [1]).

Die Nichteinheiten von $\mathfrak{g}_S$, die gleichzeitig in $\mathfrak{g}$ liegen, bilden ein $s$-Prim ideal $\mathfrak{p}$ von $\mathfrak{g}$. Bezeichnen wir dann mit $\mathfrak{g}_p$ die Quotientenhalbgruppe der Elemente $\frac{a}{b}$ ($a \in \mathfrak{g}$, $b \in \mathfrak{g}$, $b \notin \mathfrak{p}$) so wird $\mathfrak{g}_p = \mathfrak{g}_S$. Die Quotientenhalbgruppen von $\mathfrak{g}$ entsprechen also umkehrbar eindeutig den $s$-Primidealen von $\mathfrak{g}$.

Ist nun $\mathfrak{g}$ vollständig, so auch jede Quotientenhalbgruppe $\mathfrak{g}_S$, denn sind $s, s'$ Elemente von $S$, so liegt mit $\frac{a}{s}, \frac{a'}{s'}$ auch

$$
\frac{a}{s} \lor \frac{a'}{s'} = \frac{s'a \lor sa'}{ss'}
$$

in $\mathfrak{g}_S$ und liefert gleichzeitig den größten gemeinsamen Teiler von $\frac{a}{s}, \frac{a'}{s'}$ bezüglich der Teilbarkeit in $\mathfrak{g}_S$.

Umgekehrt ist aber auch jede Oberhalbgruppe $\bar{\mathfrak{g}}$ von $\mathfrak{g}$ (natürlich $\mathfrak{g} \subseteq \bar{\mathfrak{g}} \subseteq \mathfrak{G}$), die mit zwei Elementen $a, b$ auch $a \lor b$ enthält, eine Quotientenhalbgruppe von $\mathfrak{g}$, denn für jedes Element $a$ von $\mathfrak{G}$ gilt $a = \frac{a(1 \lor a)^{-1}}{(1 \lor a)^{-1}}$, wobei $a(1 \lor a)^{-1}$ und $(1 \lor a)^{-1}$ Elemente von $\mathfrak{g}$ sind. Ist $a \in \bar{\mathfrak{g}}$, so folgt $1 \lor a \in \bar{\mathfrak{g}}$ und damit $\bar{\mathfrak{g}} = \mathfrak{g}_S$, wenn $S$ aus den Einheiten von $\bar{\mathfrak{g}}$ besteht, die in $\mathfrak{g}$ liegen.

Die wichtigsten Quotientenhalbgruppen sind die Quotientenhalbgruppen $\mathfrak{g}_p$, bei denen $\mathfrak{p}$ ein $t$-Primideal von $\mathfrak{g}$ ist, denn es gilt:

Satz 10. Jede Quotientenhalbgruppe $\mathfrak{g}_p$ nach einem $t$-Primideal $\mathfrak{p}$ ist linear.
Jede Nichteinheit von $\mathfrak{g}_p$ läßt sich nämlich als Quotient $\mathfrak{L}_s$ ($p \in \mathfrak{p}, s \notin \mathfrak{p}$) darstellen, und sind $\mathfrak{L}_s, \mathfrak{L}_{s'}$ zwei Nichteinheiten, so ist auch

$$ \frac{p}{s} \vee \frac{p'}{s'} = \frac{s'p \vee sp'}{ss'} $$

Nichteinheit, da $s'p \vee sp' \in \mathfrak{p}$. Für jedes $a \in \mathfrak{G}$ folgt also aus

$$ \frac{1}{1 \vee a} \vee \frac{1}{1 \vee a^{-1}} = 1, $$

daß $\frac{1}{1 \vee a}$ oder $\frac{1}{1 \vee a^{-1}}$ Einheit von $\mathfrak{g}_p$ ist, d. h. $a \in \mathfrak{g}_p$ oder $a^{-1} \in \mathfrak{g}_p$.

**Satz 11.** Es sei $N$ eine Menge von $t$-Primidealen von $\mathfrak{g}$ derart, daß jede Nichteinheit von $\mathfrak{g}$ in mindestens einem $\mathfrak{p} \in N$ liegt, dann ist $\mathfrak{g}$ Durchschnitt der linearen Oberhalbgruppen $\mathfrak{g}_p$ ($\mathfrak{p} \in N$)

$$ \mathfrak{g} = \bigcap_{N} \mathfrak{g}_p. $$

Denn ist $a \notin \mathfrak{g}$, so ist $(1 \vee a)^{-1}$ Nichteinheit von $\mathfrak{g}$. Also gibt es ein $\mathfrak{p} \in N$ mit $(1 \vee a)^{-1} \in \mathfrak{p}$, und hieraus folgt $a \notin \mathfrak{g}_p$.

**Satz 12.** Enthält $N$ alle maximalen $t$-Primideale, so gilt für alle $t$-Ideale $\mathfrak{a}$ von $\mathfrak{g}$ die Durchschnittsdarstellung $\mathfrak{a} = \bigcap_{N} \mathfrak{a}\mathfrak{g}_p$.

Denn ist $a \notin \mathfrak{a}$, so ist $a^{-1}\mathfrak{a} \cap \mathfrak{g} \subset \mathfrak{g}$. Es gibt also ein $\mathfrak{p} \in N$ mit $a^{-1}\mathfrak{a} \cap \mathfrak{g} \subseteq \mathfrak{p}$, woraus wieder $a \notin \mathfrak{a}\mathfrak{g}_p$ folgt.

Diese Sätze gestatten zunächst für vollständige Halbgruppen Fragen über die linearen Oberhalbgruppen von $\mathfrak{g}$ in rein idealtheoretische Fragen zu verwandeln. Diese Reduktion auch für allgemeinere Halbgruppen durchzuführen, ist das Ziel von § 4.

## § 4.

### Idealbrüche.

Die Konstruktion der vollständigen Halbgruppe, auf die die Strukturuntersuchung allgemeinerer Halbgruppen zurückgeführt werden soll, ist z. B. für total abgeschlossene Halbgruppen $\mathfrak{g}$ leicht geschehen, denn dann bilden ja die sämtlichen ganzen $v$-Ideale von $\mathfrak{g}$ ihrerseits eine vollständige Halbgruppe. Ebenso, wenn $\mathfrak{g}$ eine Multiplikationshalbgruppe bezüglich irgendeines Idealsystems ist, d. h. also wenn jedes endliche Ideal umkehrbar ist, so bilden die ganzen Ideale der Form $\mathfrak{a}\mathfrak{b}^{-1}$, wobei $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ endliche Ideale sind, eine vollständige
Halbgruppe. Gehört nämlich noch $cd^{-1}$ dazu, so auch der größte gemeinsame Teiler von $ab^{-1}$ und $cd^{-1}$; denn dieser ist:

$$ab^{-1} + cd^{-1} = (ad + bc)(bd)^{-1}.$$

Aber wir brauchen von unserer Halbgruppe, in der etwa das System der $r$-Ideale gegeben sei, nur vorauszusetzen, daß sie $r$-abgeschlossen ist, um auf eine vollständige Halbgruppe zu kommen. Denn ist $g$ $r$-abgeschlossen, so bilden die endlichen $r_a$-Ideale eine Halbgruppe; wir können also deren Quotientengruppe bilden. Diese besteht aus den „Idealbrüchen“ $\frac{a}{b}$, wobei $a, b$ endliche $r_a$-Ideale sind. Wir definieren dann für zwei Idealbrüche $\frac{a}{b} \subseteq \frac{c}{d}$, wenn $ad \subseteq bc$. Es wird dadurch die Relation $\subseteq$ fortgesetzt in die Quotientengruppe.

Betrachten wir nun alle Idealbrüche $\frac{a}{b} \subseteq 1$. Diese bilden eine Halbgruppe $\mathfrak{h}$, und zwar eine vollständige Halbgruppe. Der größte gemeinsame Teiler von $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$ ist natürlich durch $\frac{ad+bc}{bd}$ gegeben. Ist $\frac{a}{b} \subseteq 1$, so nennen wir $\frac{a}{b}$ einen „ganzen Idealbruch“. Die vollständige Halbgruppe der ganzen Idealbrüche ersetzt uns den Kroneckerschen Funktionalring, wie er in Prüfer [1] konstruiert worden ist. Das wichtige Ergebnis, das Krull [5] über den Funktionalring beweist, läßt sich auf $\mathfrak{h}$ übertragen. Es handelt sich dabei um die linearen Oberhalbgruppen von $\mathfrak{g}$ einerseits, $\mathfrak{h}$ andererseits. Ist $\mathcal{L}$ eine lineare Oberhalbgruppe von $\mathfrak{h}$, so bilden die Elemente $a$ von $\mathfrak{G}$, deren Hauptideal $(a)$ in $\mathcal{L}$ liegt, ersichtlich eine ebenfalls lineare Oberhalbgruppe $\mathfrak{B}$ von $\mathfrak{g}$. Enthält $\mathcal{L}$ mit endlich vielen Elementen auch deren größten gemeinsamen Teiler, so hat $\mathfrak{B}$ noch folgende Eigenschaft:

$\mathfrak{B}$ enthält mit endlich vielen Elementen $a_1, \dots, a_n$ auch das $r$-Ideal $(a_1, \dots, a_n)_r$.

Nennen wir Halbgruppen mit dieser Eigenschaft $r$-Halbgruppen, so können wir unser Ergebnis kurz so fassen:

Jede lineare $t$-Oberhalbgruppe von $\mathfrak{h}$ liefert eine lineare $r$-Oberhalbgruppe von $\mathfrak{g}$.

Dieser Satz läßt sich nun umkehren. Ist nämlich eine lineare $r$-Oberhalbgruppe $\mathfrak{B}$ von $\mathfrak{g}$ gegeben, so zeigen wir zunächst, daß $\mathfrak{B}$ auch $r_a$-Oberhalbgruppe ist. Dazu sei $d \in (a_1, \dots, a_n)_{r_a}$, $a_\nu \in \mathfrak{B}$ ($\nu = 1, \dots, n$), d. h. es gibt ein endliches $r$-Ideal $c = (c_1, \dots, c_m)_r$, so daß $dc \subseteq (a_1, \dots, a_n)_{r_a}c$. Da $\mathfrak{B}$ linear ist, gibt es unter den Elementen $c_1, \dots, c_m$ eines – etwa $c_1$, so daß $c_1^{-1}c_\nu \in \mathfrak{B}$ ($\nu = 1, \dots, m$). Dann folgt wegen

$$d(1, c_1^{-1}c_2, \dots, c_1^{-1}c_m)_r \subseteq (a_1, \dots, a_n)_r(1, c_1^{-1}c_2, \dots, c_1^{-1}c_m)_r,$$

daß $d$ in einem endlichen $r$-Ideal liegt, das aus lauter Elementen von $\mathfrak{B}$ erzeugt wird, also muß $d$ in $\mathfrak{B}$ liegen. $\mathfrak{B}$ ist somit lineare $r_a$-Oberhalbgruppe, woraus
weiter folgt, daß für jedes endliche $r_a$-Ideal $\mathfrak{a} = (a_1, \dots, a_n)_{r_a}$ stets $\mathfrak{a}$ in dem
aus $a_1, \dots, a_n$ erzeugten $s$-Ideal von $\mathfrak{B}$ enthalten ist. $\mathfrak{a}\mathfrak{B}$ ist also Hauptideal
in $\mathfrak{B}$. Wir definieren jetzt eine lineare Oberhalbgruppe $\mathcal{L}$ von $\mathfrak{h}$ durch $\frac{\mathfrak{a}}{\mathfrak{b}} \in \mathcal{L}$,
wenn

$$
\mathfrak{a}\mathfrak{B} \subseteq \mathfrak{b}\mathfrak{B}.
$$

$\mathcal{L}$ ist dann eine lineare $t$-Oberhalbgruppe von $\mathfrak{h}$ und enthält ein Hauptideal $(a)$
genaus dann, wenn $a$ in $\mathfrak{B}$ liegt. Insgesamt erhalten wir unter Berücksichtigung
von § 3:

Satz 13. *Die linearen r-Oberhalbgruppen einer r-abgeschlossenen Halb-
gruppe entsprechen umkehrbar eindeutig den linearen t-Oberhalbgruppen der
Halbgruppe h der ganzen Idealbrüche und damit den t-Primidealen von h.*

Als Folgerung dieses Satzes ergibt sich sofort:

Satz 14. *Jede r-abgeschlossene Halbgruppe ist Durchschnitt von linearen r-Oberhalbgruppen.*

Literaturverzeichnis.

H. Grell.

[1] Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe, Math. Annalen **97** (1927).

W. Krull.

[5] Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche, Beitrag I, Math. Zeitschr. **41** (1936).

H. Prüfer.

[1] Untersuchungen über die Teilbarkeitseigenschaften von Körpern, J. reine an-
gew. Math. **168** (1932).

6. **Lorenzen 1950: the Fundamentalsatz without valuations.**

Lorenzen 1950 takes place in the framework of preordered noncommutative mono-
ids. It proposes an analysis of a system of ideals as an embedding into a semilattice.
In the commutative setting, the systems of ideals are always introduced as systems of certain subsets. But if one removes this set-theoretic clothing, then the concept of an ideal may be defined quite simply: a system of ideals of a preordered set is nothing but an embedding into a semilattice.

This enables Lorenzen to analyse the concept of *r*-supermonoid of Lorenzen 1939a as *r*-allowable monoid corresponding to an *r*-allowable preorder, i.e. a preorder that is the restriction of a homomorphic image of the system of *r*-ideals. The reader is invited to return to the part of the letter to Krull dated 6 June 1944 that is translated in the introduction (page 3), and to reflect upon the simplification and clarification w.r.t. Inequality (2) of the definition of a valuation.

In the letter to Krull dated 13 March 1944 (page 87), Lorenzen stresses the importance of these discoveries in his research.

E.g. the insight that a system of ideals is intrinsically nothing but a super-semilattice, and a valuation nothing but a linear preorder, strikes me as the most essential result of my effort.

In the noncommutative framework, integral dependence cannot be captured anymore by passing from the *r*- to the $r_a$-system. Therefore Lorenzen devises a new construction that may be considered as the birth of dynamical algebra. In the introduction, he describes it for the system of Dedekind ideals.

Let $I$ be an arbitrary integral domain, $a$ a (finite or infinite) ideal of $I$, $a$ an element of the field of fractions $K$. We ask ourselves under what circumstances $a \in aB$ holds for every valuation superring $B$ of $I$. For arbitrary $z \in K^*$ and any valuation superring $B$ of $I$, always

$$z \in B \text{ or } z^{-1} \in B.$$

holds. Therefore, whenever $a \in aI[z]$ and $a \in aI[z^{-1}]$ holds, so does $a \in aB$. Likewise follows: if there are elements $z_1, \dots, z_n \in K^*$ for which

$$3) \qquad a \in aI[z_1^{\pm 1}, \dots, z_n^{\pm 1}]$$

holds for each of the $2^n$ combinations of signs, then, for every valuation super-ring $B$ of $I$, holds:

$$a \in aB.$$
This condition 3) is also necessary. Namely, if 3) is not fulfilled for any $z_1, \dots, z_n$, then a simple well-ordering argument shows that there is a maximal superring $\overline{I}$ of $I$ with the property that, for all $z_1, \dots, z_n \in K^*$,

$$a \notin \overline{aI}[z_1^{\pm 1}, \dots, z_n^{\pm 1}]$$

holds for at least one combination of signs. Therefore in particular $a \notin \overline{aI}$ holds. If this $\overline{I}$ were not a valuation ring, then there would be a $z \in K^*$ with $z \notin \overline{I}$ and $z^{-1} \notin \overline{I}$, therefore there would be elements $x_1, \dots, x_m$ and $y_1, \dots, y_n$ with

$$a \in \overline{aI}[z][x_1^{\pm 1}, \dots, x_m^{\pm 1}]$$

$$a \in \overline{aI}[z^{-1}][y_1^{\pm 1}, \dots, y_n^{\pm 1}]$$

for each combination of signs. But from this

$$a \in \overline{aI}[z^{\pm 1}, x_1^{\pm 1}, \dots, x_m^{\pm 1}, y_1^{\pm 1}, \dots, y_n^{\pm 1}]$$

would follow, i.e. a contradiction. Therefore $\overline{I}$ is a valuation ring.

With that, the following new result is gained:

$a \in aB$ holds for every valuation superring $B$ of $I$ exactly when there are elements $z_1, \dots, z_n \in K^*$ for which

$$a \in aI[z_1^{\pm 1}, \dots, z_n^{\pm 1}]$$

holds for each combination of signs.

a is integrally dependent on $I$ if there are elements $z_1, \dots, z_n$ of the field of fractions that fulfil $a \in I[z_1^{\pm 1}, \dots, z_n^{\pm 1}]$ for each combination of signs.

The gist of Lorenzen's new construction is that in a computation in an integral domain $I$, one may at any time open two branches concerning an element $z$: in one branch, one supposes that $I$ contains $z$; in the other, that $I$ contains $z^{-1}$. If a result may be obtained in each branch by a computation, then there is a computation that yields this result without opening the branches. This construction embodies the computational content of the proof method described by Krull (1936a): see page 9.

This leads to a reshaping of Krull's Fundamentalsatz for integral domains into Theorem 26. We postpone our discussion of this reshaping until the next section, on Lorenzen 1952, instead of dwelling on the 1950 version.

But let us stress another discovery reported in this article: the property of regularity (see Satz 8 on page 27). It consists in requiring of an $\ell$-group that if
$a \wedge xax^{-1} = 1$, then $a = 1$. This property may be seen as specifying the amount of commutativity that must be granted in an $\ell$-group in order to be allowed to open branches in computations as described above. For more on this, see Coquand, Lombardi, and Neuwirth 2020.

## Excerpt.

Our excerpt is from pages 483–490, 492–494, 496–500, 502–503, 506, 509–512, and 515–518 of “Über halbgeordnete Gruppen”, *Mathematische Zeitschrift* 52.

Ein Integritätsbereich $I$ definiert in der multiplikativen Gruppe $K^*$ seines Quotientenkörpers $K$ eine Teilbarkeitsrelation. [...]

Wie man der Theorie der kommutativen Halbgruppen entnehmen kann, sind die Ordnungen, die einen Bewertungsring $B$ bestimmen, der $I$ umfaßt, dadurch gekennzeichnet, daß sie zugleich eine Ordnung der Ideale $a, b, ...$ von $I$ ermöglichen, so daß stets gilt:

$$5) \qquad c \leq a, c \leq b \Rightarrow c \leq a + b.$$

Genauer gesagt: die Teilbarkeitsrelationen der Bewertungsoberinge von $I$ sind die Ordnungen von $K^*$, die durch die Ordnungen des Idealsystems von $I$ induziert werden, die 5) erfüllen. Die hier auftretenden Ordnungen des Idealsystems nennen wir die zulässigen Ordnungen.

Wir definieren in § 4 Idealsysteme für beliebige halbgeordnete Mengen und insbesondere für halbgeordnete Gruppen. Wir definieren auch für diesen allgemeinen Fall die zulässigen Ordnungen eines Idealsystems und dann weiter:

Eine Ordnung einer halbgeordneten Gruppe $G$, zu der ein Idealsystem $H$ gegeben ist, heißt zulässig (bezgl. $H$), wenn sie durch eine zulässige Ordnung von $H$ in $G$ induziert wird. Die Teilbarkeitsrelationen der Bewertungsoberinge von $I$ sind dann also genau die (bezgl. des DEDEKINDSchen Idealsystems) zulässigen Ordnungen von $K^*$.

Gegeben sei eine beliebige halbgeordnete Gruppe $G$ und ein beliebiges Idealsystem $H$ von $G$. Wann und wie ist die Halbordnung von $G$ als Konjunktion zulässiger Ordnungen von $G$ darstellbar? [...]

Wie läßt sich eine halbgeordnete Gruppe in eine Verbandsgruppe einbetten – vorausgesetzt, daß eine solche Einbettung möglich ist?
Wir erhalten die Antwort auf unsere Frage durch eine genaue halbordnungstheoretische Analyse des Idealbegriffs. Im Kommutativen werden die Idealsysteme stets als Systeme von gewissen Untermengen eingeführt. Beseitigt man aber diese mengentheoretische Einkleidung, so läßt sich der Idealbegriff ganz einfach definieren: ein Idealsystem einer halbgeordneten Menge ist nichts anderes als eine Einbettung in einen Halbverband. (Ich bemerke ausdrücklich, daß man hier statt „Halbverband“ nicht „Verband“ setzen darf.)

Ist die Halbordnung von $G$ als Konjunktion zulässiger Ordnungen von $G$ darstellbar, so gibt es ein Idealsystem $H'$ von $G$, dessen $v$-Ideale eine reguläre Verbandsgruppe bilden. [...]

Die hier auftretenden Idealsysteme $H'$, die in der Arithmetik „arithmetisch brauchbar“ heißen, nennen wir auch im allgemeinen Fall „brauchbar“.

Wie in der Arithmetik ergibt sich dann weiter, daß unter den brauchbaren Idealsystemen eines ausgezeichnet ist, zu dem alle anderen homomorph sind [...]

Zur Beantwortung unserer Ausgangsfragestellung für halbgeordnete Gruppen bleibt uns jetzt vor allem folgende Frage:

Wie läßt sich das ausgezeichnete brauchbare Idealsystem einer halbgeordneten Gruppe $G$ konstruieren – vorausgesetzt, daß es überhaupt existiert.

Wir setzen also voraus, daß die Halbordnung von $G$ als Konjunktion zulässiger Ordnungen von $G$ darstellbar ist. Bei der Konstruktion des ausgezeichneten brauchbaren Idealsystems wollen wir aber die Kenntnis dieser Ordnungen nicht voraussetzen, weil wir gerade mit Hilfe des Idealsystems die zulässigen Ordnungen bestimmen wollen.

Diese Konstruktion wird in der Arithmetik geliefert durch den Prüferischen Begriff der Ganzabhängigkeit von einem Ideal $a$ des gegebenen Integritätsbereiches $I$.

Ein Element $a$ des Quotientenkörpers $K$ heißt ganz abhängig von $a$, wenn $a$ einer Gleichung

$$1) \qquad a^n + a_1a^{n-1} + \dots + a_n = 0$$

mit $a_\nu \in a^\nu$ genügt.

In der Theorie der kommutativen Halbgruppen tritt an die Stelle von 1) die Bedingung, daß es ein endliches Ideal $c$ geben soll, so daß

$$2) \qquad ac \subseteq ac$$
gilt. Auch diese Bedingung 2) läßt sich jedoch nicht auf den nichtkommutativen Fall ausdehnen.

Um den Grundgedanken unserer neuen Konstruktion, die wir statt 1) oder 2) verwenden, deutlich zu machen, führe ich sie hier für den arithmetischen Spezialfall durch. § 6 des Textes bringt die Durchführung für beliebige halbgeordnete Gruppen.

I sei ein beliebiger Integritätsbereich, $\mathfrak{a}$ ein (endliches oder unendliches) Ideal von $I$, $\mathfrak{a}$ ein Element des Quotientenkörpers $K$. Wir fragen uns, wann für jeden Bewertungsobering $B$ von $I$ gilt: $\mathfrak{a} \in \mathfrak{a}B$. Für beliebiges $z \in K^*$ und jeden Bewertungsobering $B$ von $I$ gilt stets

$$z \in B \text{ oder } z^{-1} \in B.$$

Gilt also $\mathfrak{a} \in \mathfrak{a}I[z]$ und $\mathfrak{a} \in \mathfrak{a}I[z^{-1}]$, so gilt stets $\mathfrak{a} \in \mathfrak{a}B$. Ebenso folgt: Gibt es Elemente $z_1, \dots, z_n \in K^*$, für die

$$3) \qquad \mathfrak{a} \in \mathfrak{a}I[z_1^{\pm 1}, \dots, z_n^{\pm 1}]$$

für jede der $2^n$ Vorzeichenkombinationen gilt, so gilt für jeden Bewertungsobering $B$ von $I$:

$$\mathfrak{a} \in \mathfrak{a}B.$$

Diese Bedingung 3) ist auch notwendig. Ist nämlich 3) für kein $z_1, \dots, z_n$ erfüllt, so zeigt ein einfacher Wohlordnungsschluß, daß es einen maximalen Oberring $\overline{I}$ von $I$ gibt, mit der Eigenschaft, daß für jedes $z_1, \dots, z_n \in K^*$

$$\mathfrak{a} \notin \overline{\mathfrak{a}I}[z_1^{\pm 1}, \dots, z_n^{\pm 1}]$$

für mindestens eine Vorzeichenkombination gilt. Insbesondere gilt also $\mathfrak{a} \notin \overline{\mathfrak{a}I}$. Wäre dieses $\overline{I}$ kein Bewertungsring, so gäbe es ein $z \in K^*$ mit $z \notin \overline{I}$ und $z^{-1} \notin \overline{I}$, also gäbe es Elemente $x_1, \dots, x_m$ und $y_1, \dots, y_n$ mit

$$\mathfrak{a} \in \overline{\mathfrak{a}I}[z][x_1^{\pm 1}, \dots, x_m^{\pm 1}]$$

$$\mathfrak{a} \in \overline{\mathfrak{a}I}[z^{-1}][y_1^{\pm 1}, \dots, y_n^{\pm 1}]$$

für jede Vorzeichenkombination. Hieraus würde aber

$$\mathfrak{a} \in \overline{\mathfrak{a}I}[z^{\pm 1}, x_1^{\pm 1}, \dots, x_m^{\pm 1}, y_1^{\pm 1}, \dots, y_n^{\pm 1}]$$

folgen, d. h. ein Widerspruch. Also ist $\overline{I}$ Bewertungsring.

Damit ist das folgende neue Ergebnis gewonnen:
Es gilt genau dann $a \in \mathfrak{a}\mathfrak{B}$ für jeden Bewertungsobering $B$ von $I$, wenn es Elemente $z_1, \dots, z_n \in K^*$ gibt, für die

$$a \in \mathfrak{a}I[z_1^{\pm 1}, \dots, z_n^{\pm 1}]$$

für jede Vorzeichenkombination gilt.

Der Beweis ist so einfach, daß er sich ohne weiteres in beliebigen halbgeordneten Gruppen durchführen läßt und hier sowohl eine Konstruktion des ausgezeichneten brauchbaren Idealsystems liefert (vorausgesetzt, daß es existiert), als auch die folgende Frage beantwortet:

Wann ist die Halbordnung einer halbgeordneten Gruppe $G$ als Konjunktion zulässiger Ordnungen von $G$ darstellbar?

Zum Schluß zeigen wir, daß sich diese Ergebnisse mit den bekannten Ergebnissen im Kommutativen in Übereinstimmung befinden. [...] Ferner erhält man für den grundlegenden Begriff der Ganzabhängigkeit eines Elementes $a$ von einem Integritätsbereich $I$ einen neuen gleichwertigen Ausdruck:

$a$ ist genau dann ganz abhängig von $I$, wenn es Elemente $z_1, \dots, z_n$ des Quotientenkörpers gibt, die $a \in I[z_1^{\pm 1}, \dots, z_n^{\pm 1}]$ für jede Vorzeichenkombination erfüllen.

## § 1.

## Halbordnungen.

Für jede Halbordnung benutzen wir außerdem zur Abkürzung:

$$a \geq b, \text{ wenn } b \leq a \text{ gilt,}$$

$$a \equiv b, \text{ wenn } a \leq b \text{ und } a \geq b \text{ gilt,}$$

Die ganzen Elemente einer halbgeordneten Gruppe $G$ bilden eine invariante Unterhalbgruppe $\mathfrak{g}$ von $G$. Es gilt nämlich

$$1 \geq 1,$$

für jedes $a, b \in G$:

$$a \geq 1, b \geq 1 \Rightarrow ab \geq 1,$$

für jedes $a, x \in G$:

$$a \geq 1 \Rightarrow xax^{-1} \geq 1.$$
Dies bedeutet für die Menge $\mathfrak{g}$ der ganzen Elemente

$$1 \in \mathfrak{g},$$

für jedes $a, b \in G$:

$$a \in \mathfrak{g}, b \in \mathfrak{g} \Rightarrow ab \in \mathfrak{g},$$

für jedes $a, x \in G$:

$$a \in \mathfrak{g} \Rightarrow xax^{-1} \in \mathfrak{g}.$$

Wir nennen die invariante Unterhalbgruppe der ganzen Elemente kurz die (zu $\le$) zugehörige Halbgruppe.

Satz 1. Die Halbordnungen einer Gruppe $G$ entsprechen eineindeutig den invarianten Unterhalbgruppen von $G$.

## § 2.

### Verbandsgruppen.

Wir nennen zwei Elemente $a$ und $b$ einer Verbandsgruppe teilerfremd, wenn $a \wedge b \equiv 1$ gilt, und schreiben hierfür $a \parallel b$. [...]

## § 3.

### Hauptgruppen.

Wir nennen diese direkten Produkte von geordneten Gruppen Vektorgruppen. [...]

Satz 8. In einer Vektorgruppe $G$ gilt für jedes $a, x \in G$

$$a \parallel xax^{-1} \Rightarrow a \equiv 1.$$

Beweis. Wir haben nur nachzuweisen, daß diese Bedingung für geordnete Gruppen gilt. Aus $a > 1 \Rightarrow xax^{-1} > 1$ folgt aber sofort $a > 1 \Rightarrow \min(a, xax^{-1}) > 1$.

Wir nennen jede Verbandsgruppe, die die Bedingung des Satzes 8 erfüllt, regulär. Also ist jede Vektorgruppe eine reguläre Verbandsgruppe.

Dieser Satz läßt sich nicht umkehren, wohl aber gilt, daß jede reguläre Verbandsgruppe Untergruppe einer Vektorgruppe ist. Dieses wollen wir im Folgenden beweisen.
Wir definieren zunächst: Jede Untergruppe einer Vektorgruppe heißt eine Hauptgruppe.

Es seien $H$ und $H'$ Halbverbandshalbgruppen und $\rightarrow$ eine Abbildung von $H$ in $H'$, die für jedes $a, b \in H$, $a', b' \in H'$ mit $a \rightarrow a'$ und $b \rightarrow b'$ erfüllt:

$$1) \quad a \leq b \Rightarrow a' \leq b'$$

$$2) \quad a \wedge b \rightarrow a' \wedge b'$$

$$3) \quad ab \rightarrow a'b'$$

Eine solche Abbildung nennen wir einen Homomorphismus von $H$.

Jeder Homomorphismus definiert eine Relation $\leq$ in $H$ auf folgende Weise. Wir setzen fest, daß $a \leq b$ in $H$ genau dann gelten soll, wenn $a' \leq b'$ in $H'$ gilt. $H$ ist bzgl. dieser Relation wieder eine Halbverbandshalbgruppe und die Relation $\leq$ erfüllt:

$$I) \quad a \leq b \Rightarrow a \leq b'$$

$$II) \quad x \leq a, x \leq b \Rightarrow x \leq a \wedge b.$$

Es gilt auch die Umkehrung: Ist $\leq$ eine Halbordnung von $H$, die I) und II) erfüllt, so ist $H$ bzgl. $\leq$ eine Halbverbandshalbgruppe (wir wollen diese mit $H'$ bezeichnen) und die Abbildung $a \rightarrow a$ von $H$ auf $H'$ ist ein Homomorphismus.

Aufgrund dieser Gleichwertigkeit betrachten wir statt der Homomorphismen von $H$ nur die Halbordnungen von $H$, die I) und II) erfüllen. Wir nennen diese Halbordnungen kurz die zulässigen Halbordnungen von $H$.

Zwei Homomorphismen von $H$, die dieselbe zulässige Halbordnung definieren, nennen wir äquivalent. Es entsprechen dann also die Homomorphismen von $H$ bis auf Äquivalenz eineindeutig den zulässigen Halbordnungen von $H$.

Für eine Verbandsgruppe $G$ entsprechen die zulässigen Halbordnungen von $G$ aber auch eineindeutig gewissen Unterhalbgruppen von $G$. Aus Satz 1 folgt nämlich sofort:

Ist $\mathfrak{g}$ die zugehörige Halbgruppe einer Verbandsgruppe $G$, so entsprechen die zulässigen Halbordnungen von $G$ eineindeutig den invarianten Unterhalbgruppen $\dot{\mathfrak{g}}$ von $G$, die für jedes $a, b \in G$

$$I) \quad \mathfrak{g} \subseteq \dot{\mathfrak{g}} \quad \text{II) } a \in \dot{\mathfrak{g}}, b \in \dot{\mathfrak{g}} \Rightarrow a \wedge b \in \dot{\mathfrak{g}}$$

erfüllen.
Diese Halbgruppen $\mathfrak{g}$ nennen wir die zulässigen Halbgruppen von $G$. Die Homomorphismen einer Verbandsgruppe $G$ entsprechen also bis auf Äquivalenz eineindeutig den zulässigen Halbgruppen von $G$.

Die zulässigen Halbgruppen einer Verbandsgruppe lassen sich nun durch „Quotientenbildung“ aus der zugehörigen Halbgruppe $\mathfrak{g}$ gewinnen. Dazu haben wir invariante Unterhalbgruppen $S$ von $\mathfrak{g}$ zu betrachten. Gilt für jedes $a, b \in \mathfrak{g}$

$$a \leq b, b \in S \Rightarrow a \in S,$$

so nennen wir $S$ vollständig.

**Satz 9.** Die Homomorphismen einer Verbandsgruppe $G$ entsprechen bis auf Äquivalenz eineindeutig den vollständigen, invarianten Unterhalbgruppen der zugehörigen Halbgruppe $\mathfrak{g}$.

**Satz 13.** Jede reguläre Verbandsgruppe ist Hauptgruppe.

Zusammengefaßt erhalten wir also eine Kennzeichnung der Hauptgruppen, die unabhängig ist vom Ordnungsbegriff. Die Bedeutung dieser Kennzeichnung liegt darin, daß sich die Ordnungen einer Gruppe im allgemeinen nur mit Wohlordnungsschlüssen konstruieren lassen – die Oberverbandsgruppen dagegen lassen sich auch ohne Wohlordnung konstruieren mit Hilfe des Idealbegriffs.

## § 4.

### Idealsysteme.

Wir definieren den Idealbegriff zunächst für beliebige halbgeordnete Mengen.

Unter einem Idealsystem $\mathfrak{S}$ einer halbgeordneten Menge $M$ verstehen wir einen minimalen Oberhalbverband von $M$. Ein Oberhalbverband von $M$ enthält zu endlich vielen Elementen $a_\mu$ von $M$ ($\mu = 1, \dots, m$) stets den g. g. T. $a_1 \wedge \dots \wedge a_m$. Er heißt minimal, wenn er nur aus Elementen dieser Form besteht. Es gibt dann nämlich keinen echten Unterhalbverband, der auch noch $M$ umfaßt.

Der Idealbegriff ist für halbgeordnete Gruppen in dieser Form noch zu unbestimmt. Als Idealsystem einer halbgeordneten Halbgruppe $H$ wollen wir
nur diejenigen Idealsysteme der halbgeordneten Menge $H$ bezeichnen, in denen durch die Festsetzung

$$ (a_1 \wedge \dots \wedge a_m)(b_1 \wedge \dots \wedge b_n) \equiv a_1 b_1 \wedge \dots \wedge a_m b_n $$

eine Multiplikation definiert werden kann.

Die Einführung der Idealsysteme geschieht, um mit ihrer Hilfe die Einbetrung einer Hauptgruppe $G$ in eine reguläre Verbandsgruppe konstruktiv ohne Benutzung der Ordnungen von $G$ zu ermöglichen.

§ 5.

r-Gruppen.

Damit unsere Untersuchung der halbgeordneten Gruppen auch die speziellen Fragen der Arithmetik der kommutativen Integritätsbereiche umfaßt, legen wir daher von jetzt ab eine halbgeordnete Gruppe zugrunde, zu der von vornherein ein festes Idealsystem gegeben ist. Ist dies das System der r-Ideale, so nennen wir die halbgeordnete Gruppe kurz eine r-Gruppe.

In einer r-Gruppe erklären wir nur diejenigen Halbordnungen als r-zulässig, die durch eine zulässige Halbordnung des r-Idealsystems induziert werden.

Die r-zulässigen Halbordnungen lassen sich unabhängig von dem Begriff der zulässigen Halbordnung eines Halbverbandes kennzeichnen. Ist nämlich eine beliebige halbgeordnete Gruppe $G$ gegeben, und ist $H$ ein Idealsystem von $G$, so gilt

Satz 17. Eine Halbordnung $\leqdot$ von $G$ wird genau dann durch eine zulässige Halbordnung von $H$ induziert, wenn

$$ 1) a \leq b \Rightarrow a \leqdot b $$

erfüllt ist und wenn aus $a_1 \wedge \dots \wedge a_m \leq a$ in $H$ für jedes $x \in G$ folgt

$$ 2) x \leqdot a_1, \dots, x \leqdot a_m \Rightarrow x \leqdot a. $$

Für die Ordnungen von $G$ gilt darüber hinaus

Satz 18. Die zulässigen Ordnungen von $H$ entsprechen eineindeutig den Ordnungen von $G$, die 1) und 2) erfüllen.
Ist $G$ eine $r$-Gruppe und $\mathfrak{g}$ die zugehörige Halbgruppe, so entsprechen die $r$-zulässigen Halbordnungen bzw. Ordnungen von $G$ den invarianten Unterhalbgruppen bzw. den linearen, invarianten Unterhalbgruppen $\dot{\mathfrak{g}}$ die

$$1) \quad \mathfrak{g} \subseteq \dot{\mathfrak{g}}$$

erfüllen, und für die aus $a_1 \wedge \dots \wedge a_m \leq_r a$ folgt:

$$2) \quad a_1 \in \dot{\mathfrak{g}}, \dots, a_m \in \dot{\mathfrak{g}} \Rightarrow a \in \dot{\mathfrak{g}}.$$

Statt 2) läßt sich auch schreiben:

$$a_1 \in \dot{\mathfrak{g}}, \dots, a_m \in \dot{\mathfrak{g}} \Rightarrow (a_1, \dots, a_m)_r \subseteq \dot{\mathfrak{g}}.$$

Wir nennen die invarianten Unterhalbgruppen von $G$, die 1) und 2) erfüllen, die $r$-zulässigen Halbgruppen von $G$.

Eine $r$-Gruppe $G$ heißt $r$-Hauptgruppe, wenn die Halbordnung von $G$ nicht nur Konjunktion von Ordnungen von $G$ ist, sondern sogar Konjunktion von $r$-zulässigen Ordnungen ist. Das ist also genau dann der Fall, wenn die zugehörige Halbgruppe Durchschnitt von linearen $r$-zulässigen Halbgruppen ist.

## § 6.

### Die $r$-Abschließung.

Wir wollen in diesem § nachweisen, daß sich das ausgezeichnete $r$-brauchbare Idealsystem, das $r_a$-System, einer $r$-Hauptgruppe unabhängig von den Begriffen der vorhergehenden §§ kennzeichnen läßt.

Es sei $G$ eine beliebige $r$-Gruppe, $\mathfrak{g}$ die zugehörige Halbgruppe, $\dot{\mathfrak{g}}$ eine $r$-zulässige Halbgruppe, $\mathfrak{a} = \{a_1, \dots, a_m\}$ eine endliche Untermenge von $G$ und $a \in G$.

Wir bezeichnen das $r$-Ideal $(a_1, \dots, a_m)_r$ mit $\mathfrak{a}_r$.

Wir definieren das Produkt $\mathfrak{a}_r \cdot \dot{\mathfrak{g}}$ als die kleinste Untermenge von $G$, die sämtliche Elemente $a\dot{\mathfrak{g}}$ mit $a \in \mathfrak{a}_r$ und $\dot{\mathfrak{g}} \in \dot{\mathfrak{g}}$ enthält und außerdem für jedes $x_1, \dots, x_n \in G$ die Bedingung

$$x_1 \in \mathfrak{a}_r \cdot \dot{\mathfrak{g}}, \dots, x_n \in \mathfrak{a}_r \cdot \dot{\mathfrak{g}} \Rightarrow (x_1, \dots, x_n)_r \subseteq \mathfrak{a}_r \cdot \dot{\mathfrak{g}}$$

erfüllt.
[...] bezeichnen wir für jedes $x \in G$ mit $\dot{g}(x)_r$ den Durchschnitt aller $r$-zulässigen Halbgruppen, die $\dot{g}$ umfassen und außerdem $x$ enthalten. $\dot{g}(x)_r$ ist wieder eine $r$-zulässige Halbgruppe, die „$r$-Erweiterung“ von $\dot{g}$ mit $x$.

Wir definieren dazu eine Relation $\alpha_r$ zwischen den Elementen $a$ und den Produkten $a_r \cdot \dot{g}$.

Wir setzen $a \alpha_r a_r \cdot \dot{g}$, wenn es Elemente $x_1, \dots, x_n$ von $G$ gibt mit $a \in a_r \cdot \dot{g}(x_1^{\pm 1}, \dots, x_n^{\pm 1})_r$ für jede der $2^n$ möglichen Vorzeichenkombinationen.

Satz 24. $a$ ist genau dann $r$-abhängig von $a_r$ in $\dot{g}$, wenn $a \alpha_r a_r \cdot \dot{g}$ gilt.

Die Bedeutung dieses Satzes liegt darin, daß es jetzt möglich ist, für jede $r$-Hauptgruppe eine direkte Konstruktion des $r_a$-Idealsystems anzugeben.

[...] Gilt $a \alpha_r (1) \cdot \dot{g}$, so nennen wir $a$ $r$-abhängig von $\dot{g}$, da $(1) \cdot \dot{g} = \dot{g}$ ist.

Liegt jedes von $\dot{g}$ $r$-abhängige Element in $\dot{g}$, so nennen wir $\dot{g}$ $r$-abgeschlossen.

Satz 26. Eine $r$-Gruppe ist genau dann $r$-Hauptgruppe, wenn die zugehörige Halbgruppe $r$-abgeschlossen ist.

# 7. Lorenzen 1952: the Fundamentalsatz for semilattice domains.

The first three sections of Lorenzen 1952 propose a streamlined version of Lorenzen 1950 in the more general framework of a domain $(B, \prec_B, G)$, i.e. of a preordered set $(B, \prec_B)$ with a monoid $G$ of preorder-preserving operators on $B$. $(H, \prec_H, G)$ is a semilattice domain if $(H, \prec_H)$ is a semilattice and if the action of $G$ preserves meets. A preorder $\prec$ on a semilattice domain $H$ is $\prec_H$-allowable if it is coarser than $\prec_H$ and if meets (w.r.t. $\prec_H$) are also meets w.r.t. $\prec$. One can similarly define lattice domains and the corresponding allowability.

A domain of ideals $H_r$ for a domain $B$ is a minimal supersemilattice domain. A preorder $\prec$ on $B$ is $r$-allowable if it is induced by an allowable preorder of $H_r$. $B$ is an $r$-principal domain if its preorder is a conjunction of $r$-allowable linear preorders.

Krull's Fundamentalsatz for integral domains becomes a characterisation of an $r$-principal domain as a domain $B$ in which behaving as if it were linearly
preordered, i.e. in which assuming that certain pairs of elements $\alpha_1, \dots, \alpha_e \in B \times B$ are linearly preordered, does not add new preordered pairs to the preorder. His formulation of this "as if" goes as follows: it is the simultaneous consideration of $2^e$ different preorders corresponding to preordering each pair one way or the other (a way described by a combination of signs $\epsilon_1, \dots, \epsilon_e = \pm 1$), and each of these preorders is the conjunction $R[\alpha_1^{\epsilon_1}, \dots, \alpha_e^{\epsilon_e}]_r$ of all the r-allowable preorders coarser than $\preceq_B$ in which the pairs are preordered in the described way (here below, R is Lorenzen's notation for the preorder $\preceq_B$).

**Theorem 1.** An r-domain B (w.r.t. R and G) is an r-principal domain if, and only if, for all pairs $\alpha_1, \dots, \alpha_e$ from B, holds:

$$ \bigcap_{\epsilon=\pm 1} R[\alpha_1^{\epsilon_1}, \dots, \alpha_e^{\epsilon_e}]_r \subset R. $$

This final shape of the Fundamentalsatz corresponds to Satz 26 of Lorenzen 1950 (see above) and is obtained by the arguments developed there. The characterisation given in Theorem 1 is but a formulation of r-closedness: compare the formulation of integral dependence at the end of the introduction of Lorenzen 1950 (page 26, translated on page 22).

Note that the article Lorenzen 1951 shows that Lorenzen had the means of a considerably simpler formulation of this "as if" by starting from the logic-free and set-theory-free formal system given by $H_r$ and by adding the e axioms corresponding to preordering the pairs (see, in this respect, Coquand, Lombardi, and Neuwirth 2019, 2020). He may have refrained from doing so in order to stick to a purely algebraic framework that would suit his potential readers.

In the last section, the property of regularity introduced in Lorenzen 1950 is given the following symmetrical form for a distributive lattice domain $(V, \preceq_V, G)$: that $xa \wedge yb \preceq_V xb \vee ya$ for $a, b \in V$ and $x, y \in G$.

## Excerpt.

Our excerpt is from pages 269–274 of “Teilbarkeitstheorie in Bereichen”, *Mathe-matische Zeitschrift* 55.

### § 1.

#### Bereiche.

B sei eine Menge (Elemente $a, b, \dots$), R eine zweistellige Relation in B und G eine Menge von Operatoren $x, y, \dots$ von B.
Definition 1. B heißt ein *Bereich* (bezügl. *R* und *G*), wenn für alle *a*, *b*, *c* und *x* gilt

$$
(1.1) \qquad a R a
$$

$$
(1.2) \qquad a R b, b R c \rightarrow a R c
$$

$$
(1.3) \qquad a R b \rightarrow xa R xb.
$$

Da (1.3) für den Operator 1 (definiert durch $1 \cdot a = a$) und für $xy$ (definiert durch $(xy)a = x(ya)$) gilt, falls für $x$ und $y$, sei im Folgenden stets angenommen, daß $G$ eine Halbgruppe mit Einselement ist.

$R$ heißt die Halbordnung von $B$. Statt $a R b$ werde $a < b$ oder $b > a$
geschrieben. $a = b$ bedeute $a < b$ und $b < a$ (= braucht nicht die Identität zu
sein).

Gilt $a < b$ oder $a > b$ für alle $a$ und $b$, dann heißt $R$ eine *Ordnung*.

Definition 2. Ein Bereich *B* heißt ein *Halbverbandsbereich*, wenn für alle *a*, *b* ein größter gemeinsamer Teiler *a* ∧ *b* existiert, so daß für alle *c* und *x* gilt

$$
(1.4) \qquad c < a \wedge b \longleftrightarrow c < a, c < b
$$

$$
(1.5) \qquad x(a \wedge b) = xa \wedge xb.
$$

Definition 3. Eine Halbordnung *S* eines Halbverbandsbereiches *B* (be-
zügl. *R* und *G*) heißt *zulässig*, wenn für alle *a*, *b*, *c* und *x* gilt

$$
(1.6) \qquad R \subset S
$$

$$
(1.7) \qquad a S b \rightarrow xa S xb
$$

$$
(1.8) \qquad c S a, c S b \rightarrow c S a \wedge b.
$$

Die Halbordnung *R* eines Bereichs *B* induziert in jeder Untermenge *B*<sub>0</sub>
von *B* eine Halbordnung *R*<sub>0</sub> von *B*<sub>0</sub>. *R* heißt eine *Fortsetzung* von *R*<sub>0</sub> auf *B*.
Ist *B*<sub>0</sub> zulässig bezügl. *G* (d. h. *xB*<sub>0</sub> ⊂ *B*<sub>0</sub> für alle *x*), dann induziert *G*
eine Operatorenhalbgruppe *G*<sub>0</sub> von *B*<sub>0</sub>. *B* heißt dann ein *Oberbereich* von *B*<sub>0</sub>
 bezügl. *R*<sub>0</sub> und *G*<sub>0</sub>).

§ 2.

Ideale.

$B$ sei ein Bereich (bezügl. $R$ und $G$).

Definition 4. Ein minimaler Halbverbandsoberbereich *H* von *B* heißt ein *Idealbereich* von *B*.
Die Idealbereiche $H$ werden durch einen Kennbuchstaben unterschieden. $r$ sei eine Variable für diese Kennbuchstaben.

Ein Bereich $B$ mit einem Idealbereich $H_r$ heiße ein $r$-Bereich.

Definition 5. Eine Halbordnung $S$ eines $r$-Bereiches $B$ heiße $r$-zulässig, wenn $S$ durch eine zulässige Halbordnung von $H_r$ induziert wird.

Definition 6. Ein $r$-Bereich $B$ heißt $r$-Hauptbereich, wenn die Halbordnung $R$ von $B$ Konjunktion $r$-zulässiger Ordnungen von $B$ ist.

werde für jede $r$-zulässige Halbordnung $S$ und jedes Paar $\alpha = a_1, a_2$ aus $B$ die $r$-Erweiterung $S[\alpha]_r$ als Konjunktion aller $r$-zulässigen Halbordnungen $\bar{S}$ von $B$ mit

$$ (2.1) \qquad S \subseteq \bar{S} $$

$$ (2.2) \qquad a_1 \bar{S} a_2 $$

definiert. Zur bequemeren Formulierung sei ferner gesetzt

$$ \alpha^{+1} = a_1, a_2, \quad \alpha^{-1} = a_2, a_1. $$

Satz 1. Ein $r$-Bereich $B$ (bezügl. $R$ und $G$) ist genau dann ein $r$-Haupt-bereich, wenn für alle Paare $\alpha_1, \dots, \alpha_e$ aus $B$ gilt:

$$ \bigcap_{\varepsilon=\pm 1}^{\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_e} R[\alpha_1^{\varepsilon_1}, \dots, \alpha_e^{\varepsilon_e}]_r \subset R. $$

§ 4.

Reguläre Verbandsbereiche.

Definition 9. Ein Verbandsbereich $V$ heißt regulär, wenn $V$ distributiv ist und für $a, b$ und $x, y$ gilt: $xa \wedge yb < xb \vee ya$.

Satz 3. Die Halbordnung eines Verbandsbereiches $V$ ist genau dann Konjunktion zulässiger Ordnungen von $V$, wenn $V$ regulär ist.
8. Lorenzen 1953a: the Fundamentalsatz for integral domains as an embedding into a super-$\ell$-group.

The introduction of Lorenzen 1953a describes his state of the art on Krull's Fundamentalsatz for integral domains:

• Lorenzen 1950 shows that the problem of representing an integral domain $I$ as intersection of valuation rings may be reduced to the problem of constructing a super-$\ell$-group of the divisibility group $G$ of $I$ such that the meets of elements of $G$ form a homomorphic image of the system of Dedekind ideals.

• In fact, Satz 3 of Lorenzen 1952 (see above) establishes that the preorder of a regular lattice domain may be represented as a conjunction of allowable linear preorders, and this corresponds to an intersection of valuation rings in the case of an integral domain.

According to the Fundamentalsatz, the integral domains $I$ that are representable as intersection of valuation rings are characterised by being integrally closed. On the other hand, the representability of $I$ as an intersection of valuation rings is equivalent to the existence of a lattice-preordered supergroup $V$ of the multiplicative group $G$ of the field of fractions $K$ of $I$ – where $V$ must satisfy the condition that the domain of ideals $H$ (which consists of all g.c.d.s $a_1 \wedge \dots \wedge a_n$ with $a_\nu \in G$) contained in $V$ is a homomorphic image of the domain of Dedekind ideals $H_d$ of $I$.

This last equivalence results from the more general domain-theoretic theorem that the preorder of every regular lattice-preordered domain is a conjunction of allowable total orders – if one adds that every commutative lattice-preordered group is trivially regular. Therefore two routes to the proof of Krull's Fundamentalsatz are available: one has to construct, for an integrally closed integral domain, either an intersection representation through valuations or a lattice-preordered supergroup. Both proof possibilities are carried out for commutative groups – for noncommutative groups, however, and more generally for domains, only the first route has been hitherto practicable.

The present work describes the second proof course also in the general case. If afterwards one specialises the general method to divisibility in commutative fields $K$, then the following results. For the construction of a lattice-preordered supergroup it is required only to define when, for arbitrary elements $a_\mu, b_\nu$ out of the multiplicative group $G$ of $K$,

$$a_1 \wedge \dots \wedge a_m \prec b_1 \vee \dots \vee b_n$$

is to hold ($\prec$ stands for “divides”, $\wedge$ denotes the g.c.d., $\vee$ the l.c.m.).
For every integrally closed integral domain $I$, one obtains a lattice-preordered supergroup of $G$ if one defines

$$ (1) \quad a_1 \wedge \dots \wedge a_m \prec b_1 \vee \dots \vee b_n \longleftrightarrow 1 \in \sum_{\prec} (a_1 b_1^{-1}, \dots, a_\mu b_\nu^{-1}, \dots, a_m b_n^{-1})^{\prec}. $$

For $n = 1$, $b_1 = b$, this definition changes into the prüferian definition of integral dependence of $b$ on $(a_1, \dots, a_m)$

$$ (2) \quad a_1 \wedge \dots \wedge a_m \prec b \longleftrightarrow b^k + c_1 b^{k-1} + \dots + c_k = 0 \quad [c_{\prec} \in (a_1, \dots, a_m)^{\prec}]. $$

Therefore (1) describes a suitable enlargement of the concept of integral dependence.

In this last article on the subject, Lorenzen proposes the construction of an $\ell$-group from a preordered group $G$ and a semilattice of ideals $H_r$; $G$ embeds into this $\ell$-group if and only if it is $r$-closed. He does so by first constructing the distributive lattice generated by an “entailment relation” associated with $H_r$ (see Coquand, Lombardi, and Neuwirth 2020) and then proving that it is a lattice-preordered group.

## Excerpt.

Our excerpt is from page 15 of “Die Erweiterung halbgeordneter Gruppen zu Verbandsgruppen”, *Mathematische Zeitschrift* 58.

Nach dem KRULLSchen Fundamentalsatz [1] sind die Integritätsbereiche $I$, die als Durchschnitt von Bewertungsringen darstellbar sind, dadurch charakterisiert, daß sie ganz abgeschlossen sind. Die Darstellbarkeit von $I$ als Durchschnitt von Bewertungsringen ist andererseits äquivalent [3] mit der Existenz einer Verbandsobergruppe $V$ der multiplikativen Gruppe $G$ des Quotientenkörpers $K$ von $I$ – wobei $V$ der Bedingung genügen muß, daß der in $V$ enthaltene Idealbereich $H$ (der aus allen g.g.T. $a_1 \wedge \dots \wedge a_n$ mit $a_\nu \in G$ besteht) ein homomorphes Bild des DEDEKINDschen Idealbereichs $H_d$ von $I$ ist.

Diese letztere Äquivalenz ergibt sich aus dem allgemeineren bereichstheoretischen [4] Satz, daß die Halbordnung jedes regulären Verbandsbereiches Konjunktion von zulässigen Ordnungen ist – wenn man hinzufügt, daß jede kommutative Verbandsgruppe trivialerweise regulär ist. Daher stehen zum Beweis des KRULLSchen Fundamentalsatzes zwei Wege zur Verfügung: Man hat für einen ganz abgeschlossenen Integritätsbereich entweder eine Durchschnittsdarstellung durch Bewertungen oder eine Verbandsobergruppe zu konstruieren.
Beide Beweismöglichkeiten sind für kommutative Gruppen durchgeführt – für nichtkommutative Gruppen und allgemeiner für Bereiche ist bisher jedoch nur der erste Weg gangbar.

Die vorliegende Arbeit stellt den zweiten Beweisgang auch im allgemeinen Falle dar. Spezialisiert man anschließend die allgemeine Methode auf die Teilbarkeit in kommutativen Körpern $K$, so ergibt sich folgendes. Zur Konstruktion einer Verbandsobergruppe braucht nur definiert zu werden, wann für beliebige Elemente $a_\mu, b_\nu$ aus der multiplikativen Gruppe $G$ von $K$ gelten soll [5]

$$a_1 \wedge \dots \wedge a_m \prec b_1 \vee \dots \vee b_n$$

($\prec$ steht für „teilt“, $\wedge$ bezeichnet den g.g.T., $\vee$ das k.g.V.).

Für jeden ganz abgeschlossenen Integritätsbereich $I$ erhält man eine Verbandsobergruppe von $G$, wenn man definiert

$$(1) \quad a_1 \wedge \dots \wedge a_m \prec b_1 \vee \dots \vee b_n \longleftrightarrow 1 \in \sum_{\mathfrak{x}} (a_1 b_1^{-1}, \dots, a_\mu b_\nu^{-1}, \dots, a_m b_n^{-1})^{\mathfrak{x}}.$$

Für $n = 1$, $b_1 = b$ geht diese Definition über in die PRÜFERsche Definition der Ganzabhängigkeit von $b$ von $(a_1, \dots, a_m)$

$$(2) \quad a_1 \wedge \dots \wedge a_m \prec b \longleftrightarrow b^k + c_1 b^{k-1} + \dots + c_k = 0 \quad [c_{\mathfrak{x}} \in (a_1, \dots, a_m)^{\mathfrak{x}}].$$

Daher stellt (1) eine zweckmäßige Ausdehnung des Begriffes der Ganzabhängigkeit dar.

## Literatur.

[1] KRULL, W.: Allgemeine Bewertungstheorie. J. reine angew. Math. **167**, 160–196 (1931). – [...] [3] LORENZEN, P.: Über halbgeordnete Gruppen. Math. Z. **52**, 483–526 (1949). – [4] LORENZEN, P.: Teilbarkeitstheorie in Bereichen. Math. Z. **55**, 269–275 (1952). – [5] LORENZEN, P.: Algebraische und logistische Untersuchungen über freie Verbände. J. Symb. Log. **16**, 81–106 (1951).

# 9. A letter from Krull to Scholz from 1953: the well-ordering theorem.

## Extract.

We translate an extract from the letter that Krull sent to Scholz on 18 April 1953 (Heinrich Scholz Archive at University and State Library of Münster), edited on
In working with the uncountable, in particular with the well-ordering the-
orem, I always had the feeling that one uses fictions there that need to be
replaced some day by more reasonable concepts. But I was not getting upset
over it, because I was convinced that in a careful application of the common
"fictions" nothing false comes out, and because I was firmly counting on the
man who would some day put all in order. Lorenzen has now found according
to my conviction the right way [...].

Well-ordering arguments and constructions.

In his articles, Lorenzen uses well-ordering arguments in several places:

* in *Lorenzen 1939a* for the proof of Satz 4 (spelled out in our comment on the proof of Theorem 12 on page 14);

* in *Lorenzen 1950* for the proof of Satz 24 (stated in the introduction for the case of integral domains, see page 25 and the translation on page 22); for the proof of Satz 13 and of Satz 1 in Teil II;

* in *Lorenzen 1952* for the proof of his lemma to Theorem 1, a version of *Lorenzen 1950*, Satz 24; for the proof of Satz 3, a version of *Lorenzen 1950*, Satz 13.

* However, no well-ordering argument appears in *Lorenzen 1953a*.

Three kinds of uses may be distinguished.

* *Lorenzen 1939a*, Satz 4: Zorn's lemma is used in order to obtain a maximal prime ideal.

* *Lorenzen 1950*, Satz 24; *Lorenzen 1952*, lemma to Theorem 1: a "more reasonable concept", which amounts to behaving as if the domain were linearly preordered, is introduced to replace the "fiction" of valuations.

* *Lorenzen 1950*, Satz 13; *Lorenzen 1952*, Satz 3: Zorn's lemma is used to obtain linear preorders. These are "fictions" which are replaced by the "more reasonable concept" of an *l*-group, in which one may compute as if it were linearly preordered.

We can retrace Lorenzen's position w.r.t. well-ordering arguments through his use of the word *construction* and related words. Let us gather the relevant passages.

1. In Lorenzen's correspondence edited in the appendix, these words appear only in his letter to Krull, dated 25 April 1944 (page 90), in which he provides a detailed description of his habilitation, and in his last two letters to Hasse, dated July and September 1963.

2. In the introduction to *Lorenzen 1950*, he writes the following (see page 24).
How can a preordered group be embedded into a lattice-preordered group
– assuming that such an embedding is possible?

How can the distinguished brauchbar<fnref n="1" /> system of ideals of a preordered
group *G* be constructed – assuming that it actually exists?

We thus assume that the preorder of *G* is representable as conjunction of allowable linear preorders of *G*. But we do not want to use the knowledge of these linear preorders, because the allowable linear preorders are just what we want to determine by the aid of the system of ideals.

In arithmetic, This construction is provided by the prüferian concept of
integral dependence on an ideal *a* of the given integral domain *I*.

3. After presenting his “new construction”, he adds the following (see page 26).

The proof is so easy that it may be carried out in arbitrary preordered
groups and here provides a construction of the distinguished brauchbar system
of ideals (assuming that it exists), and also answers the following question:

When is the preorder of a preordered group *G* representable as conjunction of allowable preorders of *G*?

4. After having proved Satz 13, he makes the following comment (see page 29).

The significance of this characterisation lies in the fact that, in general, the
linear preorders of a group can be constructed only with well-ordering argu-
ments – whereas the super-lattice-preordered groups can also be constructed
without a well-ordering by the aid of the concept of ideal.

5. He repeats this a few pages later (see page 30).

Systems of ideals are introduced in order to make possible by their aid
the embedding of a principal group *G* into a regular lattice-preordered group
constructively, without use of the linear preorders of *G*.

6. Satz 24 is accompanied by the following comment (see page 32).

The significance of this theorem lies in the fact that it is now possible to state,
for every *r*-principal group, a direct construction of the system of *r*<sub>*a*</sub>-ideals.

7. Lorenzen (1952, page 273) uses the following wording, which is the most

<footnote n="1">¹In Lorenzen's approach, the distinguished brauchbar system of ideals is the system of *r*<sub>*a*</sub>-ideals.</footnote>
explicit in the articles studied here.

For $\varrho$-principal domains $B$, Theorem 2 provides a “constructive” definition of the domain of $\varrho_a$-superideals $V_{\varrho_a}$ of $B$, i.e. a definition without use of the $\varrho$-allowable linear preorders of $B$.

8. Finally, Lorenzen (1953a) uses the following formulation (see page 36).

[...] one has to construct for an integrally closed integral domain either an intersection representation through valuations or a lattice-preordered super-group.

As these passages show, Lorenzen holds that a well-ordering argument provides a construction, but he makes distinctions: such an argument avers *that* something is possible, but not *how*; other strategies have to be developed in order to gain knowledge of the thing over and above its bare existence. He also specifies for each construction whether it relies on a well-ordering argument or not, in which latter case it is “direct”, or “constructive”. This adjective and the adverb “constructively” have a more restricted use than the word “construction” and mean that the well-ordering argument or the “fiction” of a linear preorder have been avoided.

The distinctions he makes show that, like Krull (1936a), he thinks that well-ordering arguments provide only the “mere existence” of the thing constructed. He therefore devises new constructions that bypass them: systems of ideals, super-lattice-preordered groups, the right to compute as if everything were linearly pre-ordered. However, we have not found any passage in which he explains the problem as clearly and simply as Krull does, or in which he motivates his work along the lines of Krull’s letter to Scholz.

* * *

Lorenzen’s reshaping of Krull’s Fundamentalsatz for integral domains can be presented as a process in three steps.

1. Lorenzen 1939a generalises Krull’s well-ordering argument from integral domains to preordered cancellative monoids; valuation rings become linear $r$-super-monoids.

2. Lorenzen 1950 and 1952 successively generalise the well-ordering argument to preordered noncommutative monoids and to domains, so that valuations correspond to $r$-allowable linear preorders; the right to compute as if the monoid were linearly preordered is embodied in the relation $\alpha_r$, which is shown to yield finite approximations of them on the proviso that they exist; Lorenzen describes a direct construction of an embedding into a lattice-preordered group on the proviso that it exists.

3. Lorenzen 1953a provides the construction of the free lattice-preordered group generated by a regular noncommutative monoid without this proviso by applying
Satz 7 of Lorenzen 1951, nowadays called the *fundamental theorem of entailment relations* (see Coquand, Lombardi, and Neuwirth 2019, § 2B).

Let us state a further step forward, which Lorenzen does not make.

4. The condition of integral closedness for an integral domain consists in the admissibility of the axiom that divisibility is linear for the formal system generated by the integral domain. The condition of *r*-closedness for a regular noncommutative monoid consists in the admissibility of the axiom that the preorder is linear.

In the articles discussed here, Lorenzen does not question the existence of a thing provided by a well-ordering argument, but the nonconstructive nature of its existence fails to provide the mathematical clarity needed for extending his work to a noncommutative setting.

The three steps made by Lorenzen are thus genuinely motivated by his endeav-
our to clarify mathematics, as he writes in his letter to Krull dated 6 June 1944
(page 94, partly translated on page 3), rather than philosophically: viz.,

1. to unveil the order-theoretic nature of the Fundamentalsatz;

2. to devise a counterpart of valuations that works in a noncommutative setting;

3. to bypass valuations by the direct construction of the free lattice-preordered group.

With Step 4 above, dynamical algebra is taking up this process of clarification:
see Lombardi (in progress).

Lorenzen's correspondence with
Hasse, Krull, and Aubert, together
with some relevant documents.

This appendix proposes an edition of the reports on Lorenzen's Ph.D. thesis by Helmut Hasse and Carl Ludwig Siegel, of the known correspondence of Lorenzen with Hasse, Wolfgang Krull, and Karl Egil Aubert, and of a relevant letter from Krull to Heinrich Scholz. It provides evidence for the circumstances in which Lorenzen comes to his insights during the studied period of time.

The reports on Lorenzen's Ph.D. thesis, the letters from Lorenzen to Hasse,
and the carbon copies of the letters from Hasse to Lorenzen are in the Universi-
tätsarchiv Göttingen. The letters from 1938 are in the Wolfgang-Krull-Nachlass
at Archiv der Universitäts- und Landesbibliothek of Universität Bonn. The letters
from Krull and Aubert to Lorenzen, the carbon copies of the letters from Lorenzen
to Krull from 1943–1944, to Scholz dated 26 May and 2 June 1944, and to Aubert,
as well as the “Bescheinigung” from 1942, are in the Paul-Lorenzen-Nachlass at
Philosophisches Archiv of Universität Konstanz. The request of statement to and
statement from the Dozentenbundsführer, the Military government of Germany
Fragebogen, the report and certificates on Lorenzen’s political attitude under na-
tional socialism, as well as the notification on Lorenzen’s inaugural lecture are in
the Universitätsarchiv Bonn. The other letters from Lorenzen to Scholz, the letter
from Krull to Scholz, and the carbon copies of the letters from Scholz to Lorenzen
are in the Heinrich-Scholz-Archiv at Universitäts- und Landesbibliothek Münster.

A. Synopsis.

Let us start with a diachronic synopsis of Lorenzen's (L) correspondence with Hasse
(H), Krull (K), and Karl Egil Aubert, together with the relevant correspondence
between Hasse and Krull edited by *Roquette* (2004) (whose dates appear slanted
below), of some relevant letters from Lorenzen to Heinrich Scholz, and of some
related documents.

14.02.1938 H suggests to K that L spend some time with K in Erlangen to discuss ideal theory.

19.02.1938 L pays a visit to K.

02.03.1938 K expresses his satisfaction with L.

07.03.1938 H joins in this expression of satisfaction.

08.03.1938 L corrects certain points concerning *v*-ideals and total closedness.

13.03.1938 L finds the proof method of *Lorenzen 1939a*, § 3.

18.03.1938 L reports a success that will turn out to be spurious.

22.03.1938 L provides a glossary for his multiplicative ideal theory.

03.05.1938 H sends K the carbon copy of L's Ph.D. thesis and asks for a brief report.

22.05.1938 K sends H a very positive report on L's Ph.D. thesis.

24.05.1938 H writes a very positive report on L's Ph.D. thesis.

31.05.1938 H thanks K for his report and joins in his criticism of L's laconic style.

02.06.1938 Carl Ludwig Siegel writes a vacuous report on L's Ph.D. thesis.

09.06.1938 L pays a second visit to K.

21.06.1938 H emphasises his agreement with K on their appreciation of L.

30.06.1938 H tells L that he must meet the Dozentenbundsführer [leader of the union of lecturers] and asks a mathematical question.

06.07.1938 L answers H's question from Erlangen. He reports that he is also working on lattice theory with Gottfried Köthe.

01.09.1938 K reports to H that he and L have not been able to repair the defective proofs in L's Ph.D. thesis.

12.03.1939 K has L in mind for a position as assistant in Bonn and asks H whether he would agree to let L leave Göttingen.
17.03.1939 H agrees, but expresses some apprehension about how to replace L in Göttingen.

27.03.1939 K weighs at length the pros and cons of L leaving Göttingen for Bonn.

30.03.1939 H agrees with K that L should leave Göttingen for Bonn.

19.07.1939 K asks H for L's military address in order to tell him that he will be appointed in Bonn from 1 August on.

21.07.1939 H answers that he knows only L's home address in Bad Pyrmont.

09.08.1939 L thanks H for his years of supervision.

11.08.1939 H acknowledges L's thanks.

06.09.1939 War has been declared and L is waiting for his incorporation. He asks H for help in finding a position as a mathematician in the army.

28.09.1939 H suggests to K that L help him by composing a manuscript according to his drafts for a projected volume of *Crelles Journal* on groups.

11.10.1939 L thanks H again on the occasion of the printing of his Ph.D. thesis as an offprint of *Mathematische Zeitschrift*.

10.11.1939 L submits the manuscript of Lorenzen 1940 to H as editor of *Crelles Journal*.

16.11.1939 H acknowledges receipt of L's manuscript and asks a mathematical question.

17.11.1939 H spells out in detail his question from the day before.

13.12.1939 L answers H's question.

04.01.1940 H acknowledges receipt of L's announcement of marriage with Käthe and proposes that L apply for a military position under Alwin Walther by the Baltic sea.

09.01.1940 L thanks H and tells him that he is waiting for K's permission to apply.

10.01.1940 L applies for this military position.

01.02.1940 K informs H that L has been incorporated.

03.02.1940 Käthe Lorenzen does so too.

04.02.1940 L does so himself.

06.02.1940 H answers K and tells him that the process of L's candidature sent to Walther might take some time.

06.02.1940 H answers Käthe Lorenzen along the same lines.

09.02.1940 L asks H as treasurer of the Deutsche Mathematiker-Vereinigung to waive his member fee.

21.04.1940 L sends an offprint to H and complains about his soul-killing service.

05.05.1940 L tells H that his candidature is still on the way and gratefully accepts a proposition by H to join him at the Oberkommando der Kriegsmarine (OKM, Supreme Command of the Navy).

09.05.1940 H answers that there is a misunderstanding: his proposition concerns a position as a cryptographer under Achim Teubner.

21.05.1940 L thanks H and tells him that he applies for the position under Teubner.

11.06.1940 L sends H some news of his application.
30.06.1940 L reports on his participation in the Battle of France.

23.10.1940 K greets L via H.

14.11.1940 H tells K that he has not seen L for a while and that he hopes to meet him on 30 November.

26.04.1941 L reports on his problems with the military hierarchy and on a little progress in group axiomatics made during a three-days arrest.

07.05.1941 H tells L what he thinks of his insubordination, stubbornness and unmilitariness, and presents Oswald Teichmüller as the example of a correct attitude. He warns L that he will also be judged in his scientific career according to his military attitude. He will not help L anymore, who should now prove his value as a soldier.

07.05.1941 Käthe Lorenzen asks H for a good advice regarding her husband's difficulties.

17.05.1941 L explains to H his attitude towards the military and asks for permission to write to him about his future assignment.

02.01.1942 K attests that L fulfils the requirements for being admitted to habilitation.

18.03.1942 L thanks H for his congratulations on the occasion of the birth of L's daughter Jutta and for his indication of Jean Dieudonné's interest in multiplicative ideal theory. He expresses satisfaction with his work as a teacher.

02.04.1942 H asks L for advice on a manuscript by Hans R. Weber.

07.04.1942 L answers that Weber's results are already known and can be found in Huntington's work.

12.05.1942 The director of the Mathematical seminar in Bonn requests a statement of the leader of the union of lecturers on L's ideological and moral prerequisites for being appointed as assistant.

01.06.1942 Ernst Klapp, the representing leader of the union of lecturers, states that his political attitude is unobjectionable, but that he presents certain deficiencies of character that make his admission to lecturership undesirable: a self-conceit that has also prejudiced his career in the army.

07.05.1943 On the occasion of a review of Krull 1943, L makes an analysis of the axiomatics of the star-operation.

20.09.1943 L finds the proof method of Lorenzen 1950, the dynamical method in algebra.

04.01.1944 K discusses the details of the habilitation process with L and projects that it take place at the beginning of the summer term.

06.02.1944 K acknowledges receipt of a letter from H dated 23 January 1944, which must contain a strong criticism of the person and the work of L. He defends L's work in lattice theory, but reckons that L deserves
a repeated lesson, so that he proposes to suspend the process of L's habilitation.

06.02.1944 In this letter to L, K expounds several obstacles to his habilitation.

19.02.1944 K acknowledges receipt of a postcard by H that enables him to treat L's habilitation in agreement with H.

19.02.1944 K writes to L that according to H his scientific publications do not suffice for letting him habilitate.

13.03.1944 L answers that he should be judged on his habilitation manuscript and advocates his research in logic as stemming from the same motivation as in algebra.

01.04.1944 K has begun to read L's habilitation manuscript and asks a question related to the condition of regularity (see page 22).

16.04.1944 Upon having received a postcard by L, K denounces the lattice-ordered groups as being "commutatively infected" and expresses his disappointment that the scope of L's work does therefore not cover the full non-commutative generality. He uses this for reiterating his judgment that L's work is not sufficient for a habilitation.

25.04.1944 L describes precisely his achievements, emphasises that his proof method is completely different from that of his Ph.D. thesis, and appends another manuscript in the hope of convincing K to change his mind.

05.05.1944 L writes Scholz an account of his letter to K.

26.05.1944 L accepts Scholz's proposal to contact Köthe.

29.05.1944 K praises the clearness of L's letter and expresses the suspicion that the intricate style of his manuscripts might hide their relevance. He does not, however, change his mind.

02.06.1944 L asks Scholz to send Köthe a copy of his manuscript.

06.06.1944 L motivates his research as a quest for simplicity and conceptual clarification. He also describes the difficult conditions of his work and career.

06.1944 L thanks Scholz for his intercession with Köthe.

22.06.1944 K writes that L's manuscript is a thorough failure and repeats his point with a reference to the requirement of high scientific quality.

28.06.1944 L writes Scholz an account of K's letter.

09.07.1944 L thanks Scholz for his encouragement; Köthe has written to him that he is willing to report on his habilitation; however, L sees no way to change K's negative judgment and to proceed with his project of habilitating.

16.07.1944 K expresses his sympathy with L after the bombing of Wesermünde.

01.10.1944 Although he is still not satisfied, K admits that L has improved his manuscript. He nevertheless suspects that L has not yet settled the noncommutative case, dealing only with a "semi-commutative" one.
25.07.1945 L asks H whether he has some news on the whereabouts of K, Scholz, Ackermann, and Gentzen.

02.09.1945 L reports on his political attitude under national socialism.

03.09.1945 L fills out the Military government of Germany *Fragebogen*, providing a "chronological record of full-time employment and military service".

06.09.1945 Ernst Peschl certifies L's political attitude.

14.09.1945 A board of examiners (Hellmuth von Weber, Hans Fitting, and Carl Troll) certifies L's political attitude.

07.06.1946 L writes to Scholz that K agrees that he habilitate at once.

08.06.1946 L writes to Scholz about his perspectives in Bonn.

09.08.1946 L is habilitated by giving his inaugural lecture "On the concept of lattice".

15.08.1946 K writes H on the occasion of L's habilitation and expresses his disagreement with H on the scientific value of L's works in lattice theory and logic. But he shares H's objections to L as person.

10.09.1946 K distances himself from "the conception of mathematics as a pure 'theory of structure' in the sense of L (whom [he] tries otherwise to influence vigorously in the opposite direction)".

18.04.1953 K praises L in a letter to Scholz.

14.05.1953 L writes to H on the occasion of his talk on mathematics as science, art, and power (Hasse 1952), and asks him to which extent he considers formalisation as a danger. An annotation shows that H discusses this with L on 3 July 1953.

05.06.1953 H thanks L for his interest and announces that he will shortly pay a visit to Bonn and postpones his answer to that occasion.

09.06.1953 L invites H to his home in anticipation of the latter's visit to Bonn.

07.1959 L gives a sketch of proof of the assertion that the theory of commutative fields is undecidable.

01.08.1959 H has checked L's sketch but for the logical conclusion.

07.03.1960 H thanks L for sending a copy of Lorenzen 1960.

27.06.1961 H thanks L for sending an offprint of Lorenzen 1961 and invites him to give a couple of colloquia in Hamburg about his results on the foundations of mathematics.

04.07.1961 L gratefully accepts and proposes to question how the "assertions used as 'axioms' are to be proved".

08.07.1961 H organises L's visit to Hamburg.

11.07.1961 L fixes a last detail of his visit to Hamburg.

09.10.1962 H congratulates L on his appointment as professor in Erlangen and thanks him for the copy of Lorenzen 1962, expressing the hope of finding the time to read it up to the consistency proof for arithmetic.

07.1963 L thanks H for sending him a copy of Hasse 1963b. He considers H's construction of the completion of a valuated field as a flaw.
09.1963 L thanks H for his postcard from Notre Dame. Even though he did not want H to justify himself, he is happy that H agrees that "when one invokes 'all' sequences (e.g. of rational numbers), one always means only 'sufficiently many'". L illustrates his statement that "controlling that everywhere really always only 'sufficiently many' are used, however, is in [his] opinion not trivial" with Lorenzen 1953b.

21.02.1978 Aubert writes to L with an inquiry about K's attitude toward *t*-ideals (see page 12), which he considers "building blocks of general arithmetics. They seem to form the true arithmetical divisors [...]$^{}$.

06.03.1978 L answers that he had almost no contact with K in Bonn for "political reasons (K had prevented [his] habilitation during war)" and because of his "foundation-theoretic works that K did not acknowledge as 'mathematical' achievements"; he lost track of *t*-ideals when he focussed on divisibility theory in domains. He asks Aubert in return whether this latter theory has been developed by some algebraist.

10.04.1978 Aubert expands on the importance of *t*-ideals as universal objects and points out the only reference to Lorenzen 1952 that he is aware of.

18.06.1979 L thanks Aubert for sending him his article on divisibility theory and points out that it deals only with commutative groups: "Was the enlargement to noncommutative groups perhaps only an intellectual luxury?"

# B. The correspondence between Krull and Lorenzen, 1938.

## 19.02.1938. Letter from Lorenzen to Krull.

Göttingen, 19.2.

Sehr geehrter Herr Professor!

Ich danke Ihnen für Ihr freundliches Interesse, das Sie meiner Arbeit entgegenbringen,<fnref n="2" /> und besonders für die Erlaubnis mit Ihnen persönlich darüber sprechen zu dürfen.

Da ich aus verschiedenen Gründen erst am Mittwoch von hier fahren kann, würde ich mir gestatten, Sie am Donnerstag, dem 24.2., morgens aufzusuchen. Falls Ihnen diese Zeit ungelegen sein sollte, können Sie mir ja dann eine andere Zeit sagen.

Ich freue mich sehr, Sie befragen zu dürfen, und hoffe mir, daß ich Ihnen nicht allzu lästig fallen werde.

<footnote n="2">²This interest is subsequent to a letter from Hasse to Krull dated 14 February 1938 (Roquette 2004, § 1.31).</footnote>
08.03.1938. Letter from Lorenzen to Krull.

Gött., 8.3.
Feuerschanzengraben 20a

Sehr geehrter Herr Professor!

Ich möchte Ihnen zunächst noch einmal herzlichst danken für die so sehr freund-
liche Aufnahme, die ich bei Ihnen gefunden habe.<fnref n="3" /> Ich danke auch besonders Ihrer
Frau Gemahlin. Es war für mich eine große Freude mit Ihnen über meine Arbeit
sprechen zu können.

Was diese anbetrifft, so muß ich leider folgendes richtigstellen:

Sei $\mathfrak{J}$ eine $v$-abg[eschlossene] Halbgruppe, $c$ ein endliches $v$-Ideal, so folgt ($\mathfrak{J} = (1) = 1$)

$$
1 : c^{-1}c = (1 : c^{-1}) : c = c : c = 1
$$

D. h. $c$ ist $v$-umkehrbar, aber $c^{-1}$ braucht nicht endlich zu sein.<fnref n="4" /> Sind $a, b$
endliche $v$-Ideale so folgt $a(a + b)^{-1} + b(a + b)^{-1} = 1$ ($v$-Summe).

Damit $\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{b}$ oder $\mathfrak{b} \subseteq \mathfrak{a}$ folgt, muß in $\mathfrak{J}$ die $v$-Summe zweier echter $v$-Ideale wieder echt sein. Ist $\mathfrak{J}$ primär,<fnref n="5" /> so folgt dies nur für endliche $v$-Ideale. Wenn etwa gelten würde $(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})_v = (\mathfrak{a}_v \cup \mathfrak{b}_v)_{v_e}$ für beliebiges $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ käme man auch durch. Aber so ohne weiteres nicht.

Übrigens sind die $v_e$-Ideale schon in der Arnold schen Arbeit<fnref n="6" /> definiert, wie ich
jetzt gesehen habe.

Für weitergehende Sätze besteht die Schwierigkeit, daß man aus der v-Abge-
schlossenheit von J nicht auch die von J_S schließen kann, da aus α ∈ (cJ_S)_v nicht
αs ∈ (cJ)_v s ∈ S folgt (auch nicht bei endlichem c!).

Darf ich hier mir vielleicht eine Frage erlauben: Ist in einer speziellen Haupt-
ordnung, stets auch J_S spezielle H.?

Auf Ihre Anregung hin, habe ich mir die Arbeit von Akizuki<fnref n="7" /> noch einmal
angesehen, und habe die Kettensätze für v-Ideale untersucht. Es zeigt sich sofort:
die v-Maximalbedingung ist stets mit der schwachen v-Min-bed. gleichwertig, denn
sind a_n n = 1, ... irgendwelche Ideale mit (a) ⊆ a_n ⊆ 1 so folgt zunächst (a) ⊆
(a) a_n⁻¹ ⊆ 1 und für v-Ideale folgt aus a_n ⊂ a_{n+1} bzw. a_n ⊃ a_{n+1} sofort aa_n⁻¹ ⊃

<footnote n="3">³This is corroborated by the correspondence between Krull and Hasse dated 2 and 7 March 1938 (Roquette 2004, §§ 1.32, 1.33).</footnote>

<footnote n="4">⁴See Lorenzen 1938, p. 15; Lorenzen 1939a, p. 538.</footnote>

<footnote n="5">⁵See Lorenzen 1938, p. 32; Lorenzen 1939a, p. 550.</footnote>

<footnote n="6">⁶Arnold 1929.</footnote>

<footnote n="7">⁷Most likely Akizuki 1935.</footnote>
$aa_{n+1}^{-1}$ bzw. $aa_n^{-1} \subset aa_{n+1}^{-1}$. q.e.d. Weiter folgt aus der $v$-Max.$\overline{\text{bed.}}$, daß kein $v$-Id[eal] eine unendliche Basis hat und umgekehrt. (Es kann allgemein aber sein, daß ein Ideal gleichzeitig eine endliche und eine unendliche Basis hat.)

Hieraus ergibt sich ein neuer, in allen Schritten trivialer, Beweis für den Z. P. I.<fnref n="8" /> aus der schw. Min.$\overline{\text{bed.}}$ und der totalen Abgeschlossenheit.

Denn jedes Primideal ist minimal, also $v_e$-Ideal, also $v$-Ideal wegen der $v$-Max.$\overline{\text{bed.}}$ Aus $aa^{-1} \subset 1$ würde also $(aa^{-1})_v \subset 1$ folgen. q.e.d.

Umgekehrt folgt sofort die tot. Abg. und die Max.$\overline{\text{bed.}}$; da jedes Ideal $v$-Ideal ist also auch die schw. Min.$\overline{\text{bed.}}$<fnref n="9" />

Ich bitte um Entschuldigung, daß dieser Brief so lang ist, aber ich dachte, es würde Sie interessieren, denn noch einfacher kann der Beweis jetzt wohl nicht mehr gemacht werden.

Ich bitte um eine Empfehlung an Ihre Frau Gemahlin und um einen freundlichen Gruß an die beiden Kleinen.

Ihr

sehr ergebener

Paul Lorenzen.

**13.03.1938. Letter from Lorenzen to Krull.**

Göttingen, 13.3.38

Feuerschanzengraben 20a

Sehr geehrter Herr Professor!

Diesmal muß ich wirklich um Entschuldigung bitten, daß ich Sie schon wieder belästige. Aber es hat sich eine wesentliche Vereinfachung ergeben, die ich Ihnen gerne mitteilen möchte.

**Definition:** Ein Ideal heißt $\overline{v}$-Ideal, wenn es mit zwei $v$-Idealen auch deren $v$-Summe enthält.

**Satz:** Es gibt stets maximale $\overline{v}$-Ideale.

**Definition:** Eine Halbgruppe $\mathfrak{g}$ (Quotientengruppe $\mathfrak{G}$) heißt primär, wenn es keine Quotientenhalbgruppe $\mathfrak{g}_S$ mit $\mathfrak{g} \subset \mathfrak{g}_S \subset \mathfrak{G}$ gibt.

**Satz:** Eine primäre total abgeschlossene Halbgruppe ist linear.

Die Beweise sind ganz einfach, da mit den $\overline{v}$-Idealen jetzt wohl die zweckentsprechenden gefunden sind.

Besonders bemerkenswert finde ich, daß alle drei Begriffe des Satzes, primär, total abgeschlossen, linear ohne Benutzung eines speziellen Idealsystemes definiert sind. Es würde allerdings genügen die $v$-Abgeschlossenheit zu fordern.

<footnote n="8">⁸"Zerlegungssatz in Primideale", see Krull 1935, 12.</footnote>

<footnote n="9">⁹See Lorenzen 1938, § 5; Lorenzen 1939a, § 2.</footnote>
Mit freundlichem Gruß

Ihr

sehr ergebener

Paul Lorenzen.

18.03.1938. Letter from Lorenzen to Krull.

Göttingen, 18.3.

Feuerschanzengraben 20a

Sehr geehrter Herr Professor!

Endlich kann ich Ihnen mitteilen, daß jede total abgeschlossene Halbgruppe spezielle Hauptordnung ist.<fnref n="10" />

Sei $\mathfrak{g}$ eine Halbgruppe, $a, b, \dots$ Elemente der Quotientengruppe $\mathfrak{G}$.

Statt $\frac{a}{b} \in \mathfrak{g}$ schreibe ich $a \le b$.

**Definition:** Eine Halbgruppe heißt vollständig, wenn es zu zwei Elementen $a, b$ einen g.g.T. $a \lor b$ gibt.<fnref n="11" />

Die Existenz des k.g.V. $a \land b = \frac{ab}{a \lor b}$ folgt.

**Definition:** Eine Untermenge $\mathfrak{a}$ von $\mathfrak{G}$ heißt $\mathfrak{g}$-Modul, wenn sie zu jedem Element $a$ alle Elemente $b \le a$ und zu zwei Elementen $a, b$ stets $a \lor b$ enthält. Ein $\mathfrak{g}$-Modul $\mathfrak{a}$ mit $\mathfrak{a}^{-1} \neq 0$ heißt $\mathfrak{g}$-Ideal.

Die Ideale $\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{g}$ heißen ganz, die Ideale $\mathfrak{a} \subset \mathfrak{g}$ echt. Ein ganzes Ideal $\mathfrak{p}$ heißt Primideal, wenn die nicht in $\mathfrak{p}$ liegenden Elemente von $\mathfrak{g}$ eine Halbgruppe bilden.

**Satz:** Jedes echte Ideal besitzt ein Primoberideal.<fnref n="12" />

**Satz:** Die Primidealquotientenhalbgruppen sind linear.<fnref n="13" />

**Satz:** $\mathfrak{g}$ ist Hauptordnung.

$$ \mathfrak{g} = \bigcap_{\tau} \mathcal{L}_{\tau} \quad \mathcal{L}_{\tau} \text{ linear} $$

Ich bezeichne mit $a_{\tau}$ das Element $a$ als Element von $\mathcal{L}_{\tau}$ (den „Wert“ von $a$). Statt $1_{\tau}$ einfach 1.

Darf $\mathcal{L}_{\tau}$ bei der Darstellung von $\mathfrak{g}$ nicht weggelassen werden, so gibt es ein Element $a$ mit $a_{\tau} > 1$, $a_{\lambda} \le 1$ für $\lambda \ne \tau$. Und zwar gibt es ein solches Element, derart, daß $a_{\tau}^{-1}$ nur ein Primoberideal hat, da man sonst statt $\mathcal{L}_{\tau}$ eine Primideal-quotientenhalbgruppe $\mathcal{L} \supset \mathcal{L}_{\tau}$ von $\mathcal{L}_{\tau}$ nehmen könnte.

<footnote n="10">¹⁰The argument for this assertion, which one can also find in Lorenzen 1938, is not conclusive. Tadasi Nakayama (1942a,b, 1946) shows that the assertion does not hold in general.</footnote>

<footnote n="11">¹¹See Lorenzen 1939a, Definition 5, reproduced on page 17.</footnote>

<footnote n="12">¹²See Lorenzen 1939a, Satz 4.</footnote>

<footnote n="13">¹³See Lorenzen 1939a, Satz 10, reproduced on page 17.</footnote>
Besitzt $\mathcal{L}_\tau$ mehrere Primideale, so gibt es auch ein Element $b$ mit $b_\tau \le 1$, das mehrere Primoberideale hat. Dann wird

$$ (1 \wedge b)(1 \vee a)^n \text{ ganz für alle } n $$

$1 \vee a$ nicht ganz.

Satz: Jede vollständige total abgeschlossene Halbgruppe ist spezielle Hauptordnung.

Ist $\mathfrak{g}$ beliebig total abgeschlossen, so bilden die ganzen $v$-Ideale eine vollständige total abgeschlossene Halbgruppe womit alles bewiesen ist.

Ich möchte Ihnen, gerade nachdem dieser Beweis jetzt geglückt ist, nochmals herzlichst danken für die schönen Tage in Erlangen, und die ausführlichen, für mich so wertvollen Besprechungen mit Ihnen.

Mit freundlichem Gruß

Ihr sehr ergebener

Paul Lorenzen.

22.03.1938. Letter from Lorenzen to Krull.

Göttingen, 22.3.

Feuerschanzengraben 20a

Sehr geehrter Herr Professor!

Vielen Dank für Ihre Karte. Anschließend das gewünschte Lexikon:

Es sei $\mathfrak{g}$ eine Halbgruppe, $\mathfrak{G}$ die Quotientengruppe, $a, b, \dots \in \mathfrak{G}$.

Definitionen: $a$ ganz, wenn $a \in \mathfrak{g}$

$a$ Nichteinheit, wenn $a$ ganz

$$ a^{-1} \text{ nicht ganz} $$

$$ a \le b, \text{ wenn } \frac{a}{b} \text{ ganz} $$

$\mathfrak{g}$ linear, wenn stets $a \le b$ oder $a \ge b$

$\mathfrak{g}$ einstufig linear, wenn $\mathfrak{g}$ linear und es zu jedem ganzen $a$ und jeder Nichteinheit $b$ einen Exponenten $n$ mit

$$ b^n \le a \text{ gibt.} $$

$\mathfrak{g}$ Hauptordnung, wenn $\mathfrak{g}$ Durchschnitt von linearen Oberhalbgruppen ist.

$\mathfrak{g}$ spezielle Hauptordnung, wenn $\mathfrak{g}$ Durchschnitt von einstufig linearen Oberhalbgruppen ist.

$\mathfrak{g}$ vollständig, wenn jedes endliche $v$-Ideal Hauptideal ist, d. h., wenn es zu je zwei Elementen $a, b$ stets einen g. g. T. $a \vee b$ gibt.

$\mathfrak{g}$ total abgeschlossen, wenn aus $ca^n$ ganz für alle $n$, folgt $a$ ganz.
Das Prinzip, das dem Beweis des Satzes:

Jede total abgeschlossene Halbgruppe $G$ ist spezielle Hauptordnung.

zu Grunde liegt, ist der Übergang von der gegebenen Halbgruppe $G$ zur Halbgruppe $G$ der ganzen $v$-Ideale von $G$. $G$ muß ebenfalls total abgeschlossen sein, und da $G$ vollständig ist, erweist sie sich leicht als spezielle Hauptordnung. Aus der Durchschnittsdarstellung von $G$ folgt dann die Darstellung $v[on] G$ als spezielle Hauptordnung. Ist $G$ ein Integritätsbereich so sind die linearen Oberhalbgruppen der Durchschnittsdarstellung von $G$, sogar Bewertungsringe. In Ihrer Terminologie, sind es gerade die Bewertungsringe, die zum $v$-Idealsyst., als arithmetisch brauchbarem System gehören.

Das Unglück der verschiedenen Terminologien liegt vor allem in „vollständig“ „total abgeschlossen“ und „vollständig ganz abgeschlossen“.

Mit freundlichem Gruß

Ihr sehr ergebener

Paul Lorenzen.

09.06.1938. Letter from Lorenzen to Krull.

Göttingen, 9.6.

Sehr geehrter Herr Professor!

Für Ihren Brief danke ich Ihnen vielmals. Etwas Besseres konnte ich mir ja gar nicht wünschen, als daß ich Sie noch einmal besuchen darf. Daß die Arbeit so knapp gefaßt ist,<fnref n="14" /> lag z. T. auch am Zeitmangel, da ich ja dieses Semester Examen machen wollte. Wenn dieses nun vorbei ist, werde ich hoffentlich klarer, ausführlicher und deutlicher beschreiben können, was ich meine.

Ehe ich komme, gebe ich Ihnen noch Nachricht.

Mit Ihrem Diskriminantenkriterium<fnref n="15" /> ist es mir in der Tat genau so ergangen, wie Sie vermuten. Ich wußte nur noch, daß es den allgemeinst-möglichen Fall enthielt, wußte aber nicht mehr die genaue Formulierung. Ob sich der Hassesche Beweis verallgemeinern läßt, weiß ich nicht, ist ja aber auch nicht so wichtig, da Ihr Resultat vorliegt.

Ich freue mich schon sehr darauf, Sie besuchen zu dürfen.

<footnote n="14">¹⁴Compare the criticism in Hasse's letter to Krull dated 31 May 1938 (Roquette 2004, § 1.36).</footnote>

<footnote n="15">¹⁵This probably refers to the “Allgemeiner Diskriminantensatz” of Krull 1939a.</footnote>
Mit freundlichem Gruß

Ihr sehr ergebener

Paul Lorenzen.

C. The reports on Lorenzen's thesis.

[24.05.1938. Report by Hasse.]

Mathematisches Institut
der Universität
Prof. Dr. Hasse.

Siegel

Göttingen, den 24. Mai 1938.
Bunsenstraße 3/5

Gutachten über die Dissertation Lorenzen.<fnref n="16" />

Seitdem Dedekind den Idealbegriff in die Arithmetik und Algebra eingeführt hat, sind vielfach Verallgemeinerungen dieses Begriffes vorgenommen worden, mit dem Ziel die Struktur beliebiger Integritätsbereiche ebenso einfach zu übersehen, wie man die ganzen Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers durch die Dedekindschen Ideale übersieht. Lorenzen entwickelt eine zusammenfassende Theorie aller dieser Idealbegriffe von einem neuen einheitlichen Gesichtspunkt aus. Es erscheint dem Kenner fast paradox, dass dabei die Addition, auf der doch der Dedekindsche Idealbegriff wesentlich beruht, vollständig ausser Betracht gelassen wird, und nur die Multiplikation gebraucht wird. Erst durch diese Lorenzensche Auffassung des Idealbegriffs kommen die Zusammenhänge zwischen der idealtheoretischen und der bewertungstheoretischen Behandlung des Strukturproblems allgemeiner Integritätsbereiche klar und abgerundet heraus. Lorenzen gibt neue verblüffend einfache Beweise für die in dieser Richtung liegenden Sätze von Krull, Prüfer u. a.

Es gelingt ihm ferner, die Identität des Prüferschen mit dem Krullschen Idealsystem zu zeigen und dem Krullschen Hauptsatz über Durchschnitte von allgemeinen Bewertungsringen (beliebige nicht-archimedische Wertgruppe) einen entsprechenden Hauptsatz über spezielle Bewertungsringe (archimedische Wertgruppe) an die Seite zu stellen. Dieser Satz<fnref n="17" /> gibt also eine idealtheoretische Charakterisierung derjenigen Integritätsbereiche, die bewertungstheoretisch durch das Positivsein von Exponentenbewertungen mit archimedischer Wertgruppe charakterisiert sind.

<footnote n="16">¹⁶This report is written on the basis of a description given in a letter from Krull to Hasse dated 22 May 1938 as proposed by Hasse in a letter dated 2 March 1938 and gratefully accepted by Hasse in letters dated 7 March and 3 May 1938 (Roquette 2004, §§ 1.32–1.35).</footnote>

<footnote n="17">¹⁷The proofs of this and of the next assertion, which one can find in Lorenzen 1938, are not conclusive: see Krull's letter to Hasse dated 1 September 1938 (Roquette 2004, § 1.38). As for this assertion, see footnote 10 on page 51. As for the next assertion, see the counterexample provided by Masayoshi Nagata (1952, 1955).</footnote>
Ferner gibt Lorenzen auch eine idealtheoretische Charakterisierung der diskreten
Bewertungsringe. Diese beiden Charakterisierungen wurden von den Algebraikern
lange gesucht. Sie stellen wertvolle wissenschaftliche Ergebnisse dar. Auch sonst
finden sich in der Arbeit zahlreiche neue Einblicke in die Beziehungen zwischen
den verschiedenen in der Idealtheorie studierten Begriffen.

Die Darstellung ist streng axiomatisch und leider von äusserster Knappheit.
Für den Druck erscheint mir eine etwas ausführlichere Darstellung erwünscht und
ausserdem auch eine stärkere Anlehnung an die Literatur durch Verweise.

Da die Arbeit wesentlich neue und originelle Gedanken enthält und wichtige
Ergebnisse bringt, schlage ich die Annahme mit dem Prädikat

<u>ausgezeichnet</u>

vor.

Hasse

[02.06.1938. Report by Siegel.]

Eine sorgfältige Nachprüfung der Abhandlung hätte für mich eine Arbeit von mehreren Monaten bedeutet, da der Text an vielen Stellen kaum zu verstehen ist und sich wegen der mangelnden Literaturangaben auch nur schwer ergänzen lässt. Ich muss mich deshalb eines genaueren Urteils über den Wert der Abhandlung enthalten. Das wenige, was ich mit Mühe habe verstehen können, macht den Eindruck, als ob der Verfasser jedenfalls über gute mathematische Fähigkeiten verfügt.

Siegel 1938 VI 2

D. The correspondence between Hasse and Lorenzen, 1938–1942.

30.06.1938. Letter from Hasse to Lorenzen.

30. Juni 1938.

Prof. Dr. Hasse.

Herrn

Dr. Paul Lorenzen

<u>z. Zt. Erlangen.</u>

per Adresse Herrn Prof. Krull
Burgbergstr. 53.
Lieber Herr Lorenzen,

wie ich eben sehe, ist es erwünscht, wenn Sie sich wegen Ihres Antrages an das
Reichsdozentenwerk hier dem Dozentenbundsführer vorstellen. Diesen müssen Sie
dann auch fragen, ob Sie sich auch sonst noch bei einem Referenten des Dozen-
tenbundes vorzustellen haben. Die Sache ist nämlich die, dass in den Richtlinien
von der Vorstellung bei dem Referenten die Rede ist. So viel ich weiss, ist aber
hier in Göttingen gerade ein Wechsel eingetreten. Prof. Schriel, der dieses Amt
bisher hatte, gibt es an Prof. Mattiat ab. Ich weiss aber nicht genau, zu welchem
Zeitpunkt dieser Übergang erfolgt. Auch ist mir bekannt, dass Prof. Blume, der
Dozentenbundsführer, stets Wert auf persönliche Vorstellung der Leute legt, über
die er zu berichten hat. Es hat natürlich Zeit, wenn Sie dies nach Ihrer Rückkehr
aus Erlangen tun, allerdings bleibt Ihr Gesuch dann so lange liegen.

Im Anschluss an meine letzten Bemerkungen im Seminar habe ich eine Bitte an Sie.
Könnten Sie mir wohl mit Hilfe Ihrer idealtheoretischen Fähigkeiten bestimmen,
welches die maximalen Primideale des folgenden Integritätsbereiches sind: $k$ sei
ein algebraischer Zahlkörper, $K$ ein Funktionenkörper einer Unbestimmten über $k$
als Konstantenkörper, $\mathfrak{D}$ ein Primdivisor ersten Grades von $K$ bez. $k$ und $I$ sei die
ganzalgebraisch abgeschlossene Hülle von $i[x]$ in $K$, wo $i$ die Maximalordnung von $k$
ist. Dieser Integritätsbereich $I$ hängt ersichtlich nur von $\mathfrak{D}$ ab. Mit Bestimmung
der maximalen Primideale meine ich eine vollständige Übersicht über diese, von
den Primidealen von $k$ und den Primdivisoren von $K$ bez. $k$ aus.

Für Ihre Arbeit mit Herrn Krull die besten Wünsche.

Ich bitte diesen und sich selbst recht herzlich zu grüssen

Ihr [Hasse]

06.07.1938. Letter from Lorenzen to Hasse.

Erlangen, 6.7.38.

Sehr geehrter Herr Professor!

Für Ihre beiden Briefe herzlichen Dank. Da ich erst seit gestern hier in Erlangen
bin, konnte ich nicht eher antworten.

Die Referate über die Arbeiten von Krull will ich gern übernehmen, wenn dies
noch Zeit bis Ende Juli, Anfang August hat, da ich nicht eher zurück sein werde.
[Ich möchte nämlich erst eine Reise durch Bayern anschließen, das ich gar nicht
kenne.]

Falls dies zu spät ist, müßten Sie mir schon die Formblätter hierherschicken.

Zu Ihrer mathematischen Anfrage, kann ich Ihnen – nach Besprechung mit
Herrn Prof. Krull – nur folgendes mitteilen: Sei – nur der Einfachheit halber –
Γ der ganz rationale Zahlring, $x$ eine Unbestimmte. Die maximalen Primideale
von Γ[x] bestimmen sich dann eindeutig durch eine Primzahl p und ein Primelement von Pₚ[x]. Eine eindeutige Bestimmung aus den Primzahlen und den Primelementen von P[x] ist dagegen nicht möglich: z. B. (2, x) = (2, x - 2).

Ich danke Ihnen für die Mitteilung, dass ich mich zunächst bei Herrn Prof. Blume vorstellen muß. Nach meiner Rückkehr werde ich dies sofort tun.

An meiner Arbeit gibt's hier viel zu tun. Augenblicklich bin ich dabei, für Köthe<fnref n="18" /> einen verbandstheoretischen Exzerpt zu machen.

Mit freundlichem Gruß, auch von Herrn Prof. Krull

Ihr

sehr ergebener

Paul Lorenzen.

**09.08.1939. Letter from Lorenzen to Hasse.**

Bonn, 9.8.39.

Luisenstr. 3

Sehr geehrter Herr Professor!

Es hat mir sehr leid getan, Sie am 6.8. nicht angetroffen zu haben. Ich hätte Ihnen so gern nochmal persönlich gedankt für die Fürsorge und das große Wohlwollen, das Sie mir während meiner Lehrjahre bei Ihnen stets erwiesen haben.

Aber ich hoffe sehr, daß dazu später einmal Gelegenheit sein wird.

Mit den ergebensten Grüßen

Ihr

Lorenzen.

**11.08.1939. Letter from Hasse to Lorenzen.**

11.8.1939.

Herrn

Dr. Lorenzen

Bonn a. Rh.

Luisenstrasse 3

Lieber Herr Lorenzen!

Herzlichen Dank für Ihren freundlichen Brief. Es hat mir sehr leid getan, dass ich Sie vor Ihrer endgültigen Übersiedlung nach Bonn nicht mehr hier sah. Ich wünsche Ihnen alles Gute für Ihre neue Stelle. Ich darf ja sicher sein, dass Sie sich

<footnote n="18">¹⁸Gottfried Köthe (1905–1989) is professor in Münster from 1937 to 1943, and then until 1946 in Gießen.</footnote>
dort sehr wohl fühlen und viele Anregungen für weitere Arbeit bekommen werden.
Die Wahrscheinlichkeit, dass wir uns immer mal wiedersehen, ist zum Glück gross,
denn die mathematische Welt ist doch recht klein. Sehr dankbar wäre ich Ihnen,
wenn Sie mir gelegentlich aus Ihrem mathematischen Schaffen etwas für Crelles
Journal geben könnten.

Indem ich Sie bitte, Herrn Krull bestens von mir zu grüssen,

bin ich stets in bester Erinnerung an die Zeiten gemeinsamer Arbeit,

Ihr [Hasse]

06.09.1939. Letter from Lorenzen to Hasse.

Bonn, 6.9.39.

Luisenstr. 3

Sehr geehrter Herr Professor!

Zunächst möchte ich Ihnen herzlichst danken für Ihren freundlichen Brief. Mei-
ne Tätigkeit in Bonn, die ich mit soviel Hoffnung aufgenommen habe, erfährt jetzt
ein schnelles Ende. Bisher bin ich zwar noch nicht einberufen, sondern warte dar-
auf.

Um diese Wartezeit zu verkürzen, schreibe ich an Sie. Nun weiß ich allerdings
nicht, wo Sie augenblicklich sind, aber wäre es Ihnen nicht möglich, für mich ei-
ne meine mathematische Ausbildung ausnützende Verwendung zu erreichen? Es
ist doch offensichtlich, daß eine Verwendung der Mathematiker als Mathematiker
nutzbringender für die Gesamtheit ist als jede andere. Natürlich liegt diese Ver-
wendung auch sehr in meinem eigenen Interesse, hier fallen eben beide Interessen
zusammen.

Welche Institute, Werke oder militärische Dienststellen in Frage kommen, weiß ich nicht, aber das aerodynamische Institut z. B. wird doch sicherlich Bedarf an Mathematikern haben.

Es erscheint mir als eine zu billige Phrase, wollte ich Ihnen meine Dankbarkeit im Falle Ihrer Hilfe in dieser Angelegenheit versichern. Habe ich Ihnen doch schon für so vieles zu danken. Ich schreibe daher lieber ganz offen, daß mir sehr viel drangelegen ist und daß ich mich an Sie wende, da ich die Überzeugung habe, daß Sie mir helfen werden.

Mit den ergebensten Grüßen an Ihre Frau Gemahlin und Sie bin ich stets

Ihr

Lorenzen.
11.10.1939. Letter from Lorenzen to Hasse.

Bonn, 11.10.39.

Sehr geehrter Herr Professor!

Meine Dissertation ist jetzt endlich gedruckt worden. Ich möchte dies zum Anlaß nehmen, Ihnen nochmals meinen Dank auszudrücken für die lange und schöne Zeit, die ich in Göttingen war.

Mit den ergebensten Grüßen an Ihre Frau Gemahlin und Sie

Ihr

Lorenzen.

10.11.1939. Letter from Lorenzen to Hasse.

Bonn, 10.11.39.

Sehr geehrter Herr Professor,

Im Zusammenhang mit den gruppenaxiomatischen Untersuchungen für Herrn Professor Scholz bin ich auf ein Axiomensystem gekommen, das ersichtlich einfacher ist als die bisher bekannten Systeme. Da dies Ergebnis jedoch völlig aus dem Rahmen der übrigen Untersuchungen fällt, würde ich es gern für sich veröffentlichchen und möchte Sie daher fragen, ob eine Veröffentlichung<fnref n="19" /> in Crelles Journal möglich ist.

Mit den ergebensten Grüßen

Ihr

Lorenzen

16.11.1939. Letter from Hasse to Lorenzen.

16. Nov. 1939.

Herrn
Dr. P. Lorenzen
Bonn a. Rh.
Luisenstr. 3.

Lieber Herr Lorenzen!

Herzlichen Dank für Ihre kleine Note über Gruppenaxiome. Ich nehme sie gern in Crelles Journal auf, sie scheint ja auf demselben Gedanken zu beruhen, der auch bei der Idealdefinition vorkommt, wo man nur die Subtraktion zu fordern braucht.

<footnote n="19">¹⁹Lorenzen 1940.</footnote>
Ich habe noch eine kleine Frage zur algebraischen Funktionentheorie. Es handelt sich um die Darstellung der ganzen Divisoren eines Funktionenkörpers durch ganze homogene Ideale eines Integritätsbereichs. Es sei $x_1, \dots, x_m$ ein Erzeugenden-System des Integritätsbereichs der für $x$ ganzen Elemente des Körpers, wo $x$ ein beliebiges nicht konstantes Element ist. Unter welchen Bedingungen entsprechen dann die ganzen Divisoren des Körpers umkehrbar eindeutig den ganzen Idealen des durch Homogenisierung der $x_1, \dots, x_m$ entstehenden Integritätsbereichs? Ich kann zeigen, dass dies richtig ist, wenn man $x_1, \dots, x_m$ als die von 1 verschiedenen Elemente der Basis eines Moduls $(\frac{1}{o^m})$ nimmt, wo $m \ge 3g$ ist. Ich wüsste aber gern, welcher allgemeine Satz dahintersteckt. Die Bedingung $m \ge 3g$ garantiert dafür, dass der Modul eine Normalbasis für $o$ enthält.

Mit herzlichen Grüssen

Ihr [Hasse]

17.11.1939. Letter from Hasse to Lorenzen.

Mathematisches Institut
der Universität

Göttingen, den 17.11.39

Bunsenstraße 3/5

Lieber Herr Lorenzen!

Die Frage in meinem gestrigen Brief war etwas knapp formuliert – ich diktierte einer nicht-mathematischen Dame in die Maschine! Ich will daher etwas klarer auseinandersetzen, was ich meine.

Sei $K$ algebr. Funktionenkörper einer Unbestimmten über Konstantenkörper $\Omega$ vom Geschlecht $g$ ($\ge 1$), mit einem Primdivisor ersten Grades $o$. Sei $K^o$ der Integritätsbereich der für alle $\mathfrak{r} \neq \mathfrak{o}$ ganzen Elemente aus $K$. Man folgert dann leicht aus Riemann-Roch, daß der $\Omega$-Modul $(\frac{1}{o^m})$ (der Vielfachen von $\frac{1}{o^m}$ aus $K$) für $m \ge 3g$ den Integritätsbereich $K^o$ ergänzt, d. h. daß eine $\Omega$-Basis von $(\frac{1}{o^m})$ ein Erzeugendensystem für $K^o/\Omega$ ist.

Beweis. Sei $x$ ein nicht-konst. Element aus $K$ mit einer möglichst niedrigen Potenz $o^n$ im Wenner, so ist $K^o$ die ganzalg.-abgeschl. Hülle von $\Omega[x]$ in $K$. Eine $\Omega[x]$-Basis von $K^o$ erhält man, indem man zu jeder Restklasse $i$ mod. $n$ ein Element $y_i$ aus $K$ wählt, dessen Wenner eine möglichst niedrige Potenz $o^{e_i}$ mit $e_i \ge 0$, $e_i \equiv i \pmod{n}$ wählt ($y_0 = 1$). Da $\dim \mathfrak{o}^e = \dim \mathfrak{o}^{e-1} + 1$ für $e \ge 2g$ gilt, und $n \le g+1$ ist (wegen $\dim \mathfrak{o}^e \ge 2$ für $e \ge g+1$), folgt $e_i \le 3g$. Für $m \ge 3g$ enthält also $(\frac{1}{o^m})$ das Erzeugendensystem $x$; $y_i$ von $K^o/\Omega$.

Sei jetzt $1, x_1, \dots, x_r$ ($r = m - g$) eine Basis von $(\frac{1}{o^m})$ ($m \ge 3g$). Ist dann $\bar{\mathfrak{r}} \neq 0$ ein algebr. Punkt von $K/\Omega$ (Primdiv. der algebr.-abgeschl. Konstantenerweiterung $\bar{K}/\bar{\Omega}$), so seien

$$x_1(\bar{\mathfrak{r}}) = \bar{a}_1, \dots, x_r(\bar{\mathfrak{r}}) = \bar{a}_r$$
als die Koordinaten von $\bar{\mathfrak{X}}$ bezeichnet. Sie beschreiben $\bar{\mathfrak{X}}$ eindeutig, und es gilt

$$ \frac{\bar{\mathfrak{X}}}{\mathfrak{o}^m} = (x_1 - \bar{a}_1, \dots, x_r - \bar{a}_r), $$

wo die Klammer rechts nicht etwa ein Ideal bedeuten soll, sondern nur den g. g. T. der eingeschlossenen Hauptdivisoren (definiert durch Minima der Exponenten in der Primdivisorzerlegung in $K/\bar{\Omega}$). Entsprechend hat man auch

$$ \frac{\mathfrak{o}}{\mathfrak{o}^m} = (1, x_1, \dots, x_{r-1}), $$

wenn etwa das Basiselement $x_r$ (als einziges) den genauen Nenner $\mathfrak{o}^m$ hat (d. h. $1, x_1, \dots, x_{r-1}$ Basis von $(\frac{1}{\mathfrak{o}^{m-1}})$ ist). $|\mathfrak{o}|$

Ferner gilt: Ist $u$ ein Element aus $K^\mathfrak{o}$, so stellt sich $u$ als Polynom in $x_1, \dots, x_r$ über $\bar{\Omega}$ dar, dessen Grad $\le h$ ist, wenn $u$ in $(\frac{1}{\mathfrak{o}^{m_h}})$ liegt.

**Beweis.** Es genügt $(\frac{1}{\mathfrak{o}^{m_h}}) = (\frac{1}{\mathfrak{o}^m})^h$ zu zeigen. Der Beweis durch vollst. Induktion nach $h$ läuft auf die Feststellung $(\frac{1}{\mathfrak{o}^{m(h+1)}}) = (\frac{1}{\mathfrak{o}^{m_h}})(\frac{1}{\mathfrak{o}^m})$ zurück. Nun zerfallen die natürlichen Zahlen $e$ in Nennerzahlen und Lückenzahlen, je nachdem es in $K$ ein Element mit dem Nenner $\mathfrak{o}^e$ gibt oder nicht (dim $\mathfrak{o}^e = \dim \mathfrak{o}^{e-1} + 1$ oder $= \dim \mathfrak{o}^{e-1}$ ist). Es gibt genau $g$ Lückenzahlen, und diese gehören der Reihe $1, \dots, 2g-1$ an. Eine Basis von $(\frac{1}{\mathfrak{o}^{m(h+1)}})$ mod. $(\frac{1}{\mathfrak{o}^{m_h}})$ erhält man, wenn man zu jeder natürlichen Zahl $e = mh + \mu$ ($\mu = 1, \dots, m$) ein Element aus $K$ mit dem Nenner $\mathfrak{o}^e$ bestimmt. Es genügt dann zu zeigen, daß jedes solche $e$ eine Darstellung als Summe einer Nennerzahl $\le mh$ und einer Nennerzahl $\le m$ hat. Dies leistet aber eine der $g+1$ Zerlegungen $e = (mh - \gamma) + (\mu + \gamma)$ ($\gamma = 0, 1, \dots, g$). Ist nämlich $\mu$ Lückenzahl, so ist $\mu + \gamma \le 3g-1 < m$, und unter den $g+1$ Zahlen $\mu + \gamma$ ist mindestens eine Nennerzahl, während die Zahlen $mh-\gamma \ge m-\gamma \ge 2g$ sämtlich Nennerzahlen sind. Ist aber $\mu$ Nennerzahl, so genügt $\gamma = 0$.

Ich setze nun

$$ (1.) \qquad x_1 = \frac{X_1}{X_0}, \dots, x_r = \frac{X_r}{X_0}. $$

Dabei sei $X_0$ ein beliebiges Element $\ne 0$ aus $K$, wodurch dann $X_1, \dots, X_r$ bestimmt sind. Man kann dann die obigen Darstellungen der alg. Punkte $\bar{\mathfrak{X}}$ von $K/\bar{\Omega}$ als g. g. T. auch so schreiben:

$$ \begin{align*} \bar{\mathfrak{X}} &= \frac{(0, X_1 - \bar{a}_1 X_0, \dots, X_r - \bar{a}_r X_0)}{(X_0, X_1, \dots, X_r)} & (\bar{\mathfrak{X}} \ne 0) \\ \mathfrak{o} &= \frac{(X_0, X_1, \dots, X_{r-1}, 0)}{(X_0, X_1, \dots, X_{r-1}, X_r)}, \end{align*} $$

unabhängig von der Wahl der Quotientendarstellung (1.). Nach dem Gaußschen Satz multiplizieren sich die Klammersymbole $(\mathfrak{U}_0, \mathfrak{U}_1, \dots, \mathfrak{U}_k)$ für den g. g. T.
von Elementen $\mathcal{U}_0, \mathcal{U}_1, \dots, \mathcal{U}_k$ aus $K$ formal wie die Polynome $\mathcal{U}_0^{t^k} + \mathcal{U}_1^{t^{k-1}} + \dots + \mathcal{U}_k$ einer Unbestimmten $t$. Unter Anwendung dieser Multiplikation folgt durch Zusammensetzung der ganzen Divisoren $\mathfrak{a}$ von $K/\Omega$ aus algebr. Punkten $\bar{\mathfrak{x}}$ von $K/\Omega$ (vollst. Systeme Konjugierter!), daß jeder ganze Divisor $\mathfrak{a}$ von $K/\Omega$ eine Darstellung der folgenden Form besitzt:

$$ (2.) \qquad \mathfrak{a} = \frac{(\mathcal{A}_0, \mathcal{A}_1, \dots, \mathcal{A}_{ra})}{(X_0, X_1, \dots, X_r)^a}, \quad |^3 $$

wo $\mathfrak{a}$ der Grad von $\mathfrak{a}$ ist, ferner $\mathcal{A}_0, \dots, \mathcal{A}_{ra}$ homogene Polynome $a$-ten Grades über $\Omega$ in $X_0, \dots, X_r$ sind.

Von diesen Darstellungen (2.) aus kann man eindeutig die Distributionen $\mathfrak{a}(\mathfrak{x})$ erklären. Man wähle dazu für jeden Primdivisor $\mathfrak{x}$ von $K/\Omega$ eine besondere Quotientendarstellung (1.), nämlich so, daß $\mathfrak{x}$ zu $(X_0, X_1, \dots, X_r)$ den Beitrag $\mathfrak{x}^0$ liefert (primitiv für $\mathfrak{x}$). Dann liefert die Festsetzung

$$ (3.) \qquad \mathfrak{a}(\mathfrak{x}) = \frac{(\mathcal{A}_0(\mathfrak{x}), \dots, \mathcal{A}_{ra}(\mathfrak{x}))}{(X_0(\mathfrak{x}), \dots, X_r(\mathfrak{x}))^a} $$

ein bestimmtes Ideal $\mathfrak{a}(\mathfrak{x})$ aus dem Restklassenkörper $K(\mathfrak{x})$ von $\mathfrak{x}$, und zwar unabh. von der Wahl der für $\mathfrak{x}$ primitiven Quotientendarstellung (1.). Man sieht sofort, daß $\mathfrak{a}(\mathfrak{x})$ distributionsganz ist, daß nämlich der Nenner von $\mathfrak{a}(\mathfrak{x})$ im Hauptnenner der Koeffizienten von $\mathcal{A}_0, \dots, \mathcal{A}_{ra}$ aufgeht. Ferner gilt die Regel:

$$ \text{aus } \mathfrak{a} = \mathfrak{a}_1 \mathfrak{a}_2 \text{ folgt } \mathfrak{a}(\mathfrak{x}) = \mathfrak{a}_1(\mathfrak{x}) \mathfrak{a}_2(\mathfrak{x}), $$

einfach auf Grund der Gültigkeit des Gaußschen Satzes sowohl für die Multipl. der g. g. T. von Hauptdivisoren als auch für die Multipl. der g. g. Teiler von Hauptidealen.

Um den Weilschen Hauptsatz zu beweisen, muß man dann noch wissen, daß die Definition (3.) im Sinne der Distributionsgleichheit von der Wahl der besonderen zuvor konstruierten Darstellung (2.) unabhängig ist, daß nämlich folgendes gilt: Ist

$$ (2'.) \qquad \mathfrak{a} = \frac{(\mathcal{U}_0, \mathcal{U}_1, \dots, \mathcal{U}_s)}{(X_0, X_1, \dots, X_r)^k} $$

irgendeine Darstellung von $\mathfrak{a}$, wo $\mathcal{U}_0, \mathcal{U}_1, \dots, \mathcal{U}_s$ homog. Polynome in $X_0, X_1, \dots, X_r$ vom Grade $k$ sind, so ist auch

$$ (3'.) \qquad \mathfrak{a}(\mathfrak{x}) \doteq \frac{(\mathcal{U}_0(\mathfrak{x}), \dots, \mathcal{U}_s(\mathfrak{x}))}{(X_0(\mathfrak{x}), \dots, X_r(\mathfrak{x}))^k} \quad (\text{distributionsgleich!}) $$

Ich kann das zwar beweisen, indem ich den alten Schluß mit der algebraischen Gleichung (Charakt. der Nenner durch ganzalgebraische Abhängigkeiten) anwende;
dazu brauche ich den Satz auf S. 2 oben. Besser würde mir jedoch der Weilsche Schluß aus *Actualités*<fnref n="20" /> gefallen, der darauf beruht, daß die Klammersymbole in diesen Darstellungen auch als Ideale (lineare Komposita!) aufgefaßt werden dürfen, daß also die Gesamtheit der $\mathcal{U}$ mit $(\mathcal{U}_0, \mathcal{U}_1, \dots, \mathcal{U}_s) | \mathcal{U}$ durch eine homogene lineare Darstellung $\mathcal{U} = \mathcal{F}_0\mathcal{U}_0 + \dots + \mathcal{F}_s\mathcal{U}_s$ gekennzeichnet ist. Wie ist das genau zu formulieren? Und wie ist es zu beweisen? Das sind meine Fragen. |⁴

Natürlich wüßte ich gerne eine möglichst allgemeine Regel über die Zuordnung der ganzen Divisoren $a$ von $K/\Omega$ zu homogenen Idealen, möglichst unabhängig von der besonderen Wahl meiner Erzeugenden $x_1, \dots, x_r$.

Können Sie mir da helfen?

Herzlichst Ihr
Hasse

13.12.1939. Letter from Lorenzen to Hasse.

Bonn, 13.12.39.

Sehr geehrter Herr Professor,

Ich muß Sie sehr um Entschuldigung bitten, daß ich Ihnen jetzt erst antworte. Da ich nämlich gerade stark in anderen Fragen drin war, wollte mir durchaus nichts einfallen zu Ihrer Frage. So hab ich schließlich aus der Not eine Tugend gemacht und glaube jetzt Ihre Frage dahin beantworten zu müssen, daß eine Zurückführung der Divisorenteilbarkeit in $K^{1)}$ auf die Idealteilbarkeit in $\Omega[X_0, \dots, X_r]$ nicht möglich ist mit einem $X_0 \in K$. Denn die ganzen homogenen Polynome in $X_0, \dots, X_r$ sind dann keine ganzen Divisoren, sondern gebrochene Hauptdivisoren.

Wenn man dagegen $X_0$ als neue Unbestimmte einführt, so gilt zunächst für
rationale Funktionenkörper einer Unbestimmten

1) Die homogenen Elemente von $\Omega[X_0, X_1]$ entsprechen umkehrbar eindeutig den ganzen Divisoren von $K$,

2) Die Idealsummenbildung entspricht der Bildung des g. g. T. von Divisoren.

Für algebraische Funktionenkörper sind in 1) die Elemente durch homogene Ideale (im Sinne der Weilschen Äquivalenz) zu ersetzen, während 2) ungeändert bleibt. Für Funktionenkörper mehrerer Unbestimmten sind in 1) und 2) die Ideale durch $v$-Ideale zu ersetzen (und außerdem eine Transzendenzbasis von $K$ auszuzeichnen!)

Gleichzeitig übersende ich Ihnen die Korrektur des „Axiomensystems für Gruppen“,<fnref n="21" /> für dessen Aufnahme in Ihr Journal ich Ihnen nochmals herzlichst danken möchte.

<footnote n="20">²⁰Weil 1935.</footnote>

<footnote n="21">²¹See Lorenzen's letter to Hasse dated 10 November 1939 on page 59.</footnote>
## 04.01.1940. Letter from Hasse to Lorenzen.

Herrn

Dr. Paul Lorenzen

Bonn a. Rh.

Luisenstr. 3.

Lieber Herr Lorenzen!

Ganz überraschend kam mir heute Ihre Vermählungsanzeige nicht. Man spricht in Göttingen schon davon. Nehmen Sie meinen herzlichsten Glückwunsch zu diesem, für Ihr ferneres Leben so bedeutsamen Schritt.

Auch unabhängig von diesem freudigen Anlass wollte ich Ihnen dieser Tage schreiben, und zwar in Verfolg Ihrer damaligen Anfrage nach einer kriegerischen Betätigung. Ich erhielt nämlich kürzlich eine Anfrage von Professor Walther (Darmstadt).<fnref n="22" /> Dieser hat den Auftrag, Mathematiker für eine militärische Dienststelle an der Ostsee namhaft zu machen, für die er selbst tätig ist. Die Anstellung dort ist mit der Reklamation vom Heeresdienst verbunden. Die Bezahlung ist gut, Sie würden in Ihrem Falle, unter Berücksichtigung Ihres jetzigen verheirateten Standes – nach Abzug der Kürzungen – RM 418.74 im Monat erhalten. Falls Sie sich dafür zur Verfügung stellen wollen, bitte ich Sie, mir den beiliegenden Bogen ausgefüllt zurückzusenden, anderenfalls leer.

Mit besten Grüssen und Wünschen

Ihr [Hasse]

Anlage.

## 09.01.1940. Letter from Lorenzen to Hasse.

Dr. Paul Lorenzen

Bonn, den 9. Januar 1940

Luisenstr. 3

Sehr geehrter Herr Professor,

<footnote n="1">1) Ich nehme die Bezeichnungen aus Ihrem Brief, den ich beifüge.</footnote>

<footnote n="22">²²Alwin Walther (1898–1967) is a mathematician and engineer at Universität Darmstadt who participates in the V2 program at Peenemünde.</footnote>
diesesmal habe ich Ihnen wiederum für vieles zu danken. Und zwar zunächst für
Ihren schönen Brief vom 18.12. Ich wünschte, ich fände die Zeit, um alles völlig zu
verstehen. (Dazu brauche ich ja oft leider sehr viel Zeit!)

Dann danke ich Ihnen herzlichst auch im Namen meiner Frau für Ihre Glückwünsche zu unserer Hochzeit. Augenblicklich wohnen wir in einer möblierten Wohnung, wobei zur Vervollkommnung unseres Glückes eigentlich nur fehlt, daß der Krieg aufhört.

Damit komme ich zum dritten, für das ich Ihnen danken möchte, nämlich für die Übersendung des Fragebogens von Herrn Professor Walther. Da Herr Professor Krull zurzeit in Bonn ist, habe ich ihn zunächst gefragt, ob es mir – als Assistent – überhaupt möglich sei, zuzusagen. Herr Professor Krull hat sich die Antwort für einige Tage vorbehalten, da er der Meinung ist, es sei evtl. zunächst der Kurator zu fragen.

Ich rechne aber damit, sehr bald zusagen zu können und verbleibe bis dahin mit den ergebensten Grüßen

Ihr

Paul Lorenzen

10.01.1940. Letter from Lorenzen to Hasse.

Dr. Paul Lorenzen

Bonn, den 10. Januar 1940

Luisenstr. 3

Sehr geehrter Herr Professor,

nach erneuter Rücksprache mit Herrn Prof. Krull habe ich die Erlaubnis bekommen, Ihnen den Fragebogen zuzusenden.

Allerdings würde mich das Math. Seminar hier nur sehr ungern gehen lassen, da – zumindestens für das laufende Trimester – ziemlich dringend zwei Assistenten benötigt werden. Falls Herr Prof. Walther mich also für seine Dienststelle gebrauchen könnte, möchte ich ihn bitten, sich dazu an Herrn Prof. Krull als den Direktor des Math. Seminars zu wenden. Da mit meiner Einberufung zum Wehrdienst doch wohl bald zu rechnen ist, würde Herr Prof. Krull in diesem Fall wahrscheinlich zustimmen, falls nicht meine Reklamation für die hiesige Universität sich inzwischen ermöglichen läßt.

Indem ich Ihnen für die viele Mühe, die Sie sich schon wieder für mich gemacht haben (ich hoffe nur, daß es nicht noch mehr wird) nochmals herzlichst danke, verbleibe ich mit den ergebensten Grüßen

Ihr

Paul Lorenzen
03.02.1940. Postcard from Käthe Lorenzen to Hasse.

Lorenzen
Bonn, Luisenstr. 3

Herrn
Professor Hasse,
Göttingen
Bunsenstr. 2
Math. Institut

Bonn, 3.II.40

Sehr geehrter Herr Professor,

da ich nicht weiß, ob mein Mann Ihnen schon geschrieben hat, daß er seit dem 19. I. als Soldat eingezogen ist. u. gestern die Beitragsrechnung für die Deutsche Mathe- matiker Vereinigung kam, möchte ich Ihnen doch noch einmal hiervon Mitteilung machen. Wahrscheinlich wird Ihnen mein Mann aber selbst noch davon schreiben, da der Transport jetzt beendet ist.

Mit ergebenen Grüßen

Frau K. Lorenzen.

06.02.1940. Letter from Hasse to Käthe Lorenzen.

Frau
Dr. Lorenzen
Bonn a. Rh.
Luisenstr. 3.

6.2.40.

Sehr verehrte Frau Lorenzen!

Von der Einberufung Ihres Mannes erfuhr ich auch durch einen Brief von Professorehrer Krull.<fnref n="23" /> Es bleibt nun abzuwarten, ob die Heeresdienststelle an der Ostsee, für die sich Ihr Mann gemeldet hatte, seine Anstellung weiter betreibt und eine Freistellung erreicht. Jedenfalls scheint diese Stelle es nicht sehr eilig zu haben. Herr Eichler,<fnref n="24" /> ein Assistent von hier, der sich kurz vor Ihrem Mann dort meldete, und der auch schon persönlich in Berlin mit dem Leiter der Stelle verhandelte, sollte an sich zum 1. Februar eingestellt werden, hat aber bis heute keine Nachricht erhalten. Von Ihrem Mann direkt habe ich noch nichts gehört.

Mit freundlichen Grüssen

Ihr sehr ergebener [Hasse]

<footnote n="23">²³Letter dated 1 February 1940 (Roquette 2004, § 1.72).</footnote>

<footnote n="24">²⁴The mathematician Martin Eichler (1912–1992) will join Walther’s team in Peenemünde.</footnote>
04.02.1940. Letter from Lorenzen to Hasse.

Alsheim, 4.2.

Sehr geehrter Herr Professor,

So leid es mir tut, muß ich Sie – da Sie damals so liebenswürdig waren, bei der Anfrage an Herrn Prof. Walther an mich zu denken – nochmals in dieser Sache belästigen. Ich bin nämlich mittlerweile eingezogen worden. (Wahrscheinlich war das Wehrmeldeamt der Meinung, daß es mir nach meiner Heirat entschieden zu gut ging – – ich muß gestehen, daß diese Meinung nahe lag.)

Alsheim ist ein kleines Nest in der Nähe von Worms. Wir sind recht gut in Privatquartieren untergebracht und beschäftigen uns meist mit Schneeschaufeln. Ich finde das zwar nicht schön, aber es wird nun einmal gerade dieser „Einsatz“ von mir gefordert.

Ich möchte Sie nun bitten, falls es nötig sein sollte, Herrn Prof. Walther mitzuteilen, daß ich am 19.1.40 einberufen bin und jetzt unter der Feldpostnummer 38503 c zu erreichen bin.

Mit den ergebensten Grüßen an Ihre Frau Gemahlin und Sie verbleibe ich

Ihr

Paul Lorenzen

09.02.1940. Postcard from Lorenzen to Hasse.

Gefr. Lorenzen
38503 c

Herrn
Prof. Dr. H. Hasse
Göttingen
Bunsenstr. 3 - 5

9.2.

Sehr geehrter Herr Professor,

Diesmal wende ich mich an Sie als Schatzmeister der D. M. V. und bitte Sie mir den Beitrag für 1940 zu erlassen.

Heil Hitler!

Ihr

sehr ergebener

Paul Lorenzen.

21.04.1940. Letter from Lorenzen to Hasse.

21.4.
Sehr geehrter Herr Professor,

ich freue mich sehr Ihnen aus dem kriegerischen Westen mal etwas so Unpo-
litisches wie dieses Separatulum<fnref n="25" /> zusenden zu können. Für Ihre Vermittlung an
Herrn Prof. Walther bin ich Ihnen noch täglich von Herzen dankbar. Es hat sich
zwar noch nichts entschieden, ist aber meine einzige Hoffnung in meinem augen-
blicklichen geisttötenden Zustand, dessen evtl. lange Dauer ja das Schlimmste ist.

Mit den ergebensten Grüßen an Ihre Frau Gemahlin und Sie verbleibe ich

Ihr

Paul Lorenzen.

05.05.1940. Letter from Lorenzen to Hasse.

Hamburg, 5.5.40.

Sehr geehrter Herr Professor,

vorgestern bekam ich Ihren freundlichen Brief, über den ich mich sehr gefreut habe und für den ich mich vielmals bei Ihnen bedanken möchte.

Muß ich Ihnen doch so dankbar dafür sein, daß Sie auch in Ihrer neuen Tätigkeit gleich wieder an mich gedacht haben, der ich mich hier mit Pferden, Stiefeln, Karabinern u. ä. herumzuquälen habe.

Ich hoffe, daß Sie sich allmählich in Ihre jetzige Beschäftigung hineinfinden und sich die Reminiszenzen an Ihre Staatsexamensängste dabei verlieren werden. Wenn Ihnen genügend freie Zeit bliebe (was aber wohl kaum zu hoffen ist?) könnten Sie ja mit Herrn Rohrbach und Herrn Kochendörffer beinah eine „Filiale“ des math. Seminars Göttingen aufrechterhalten.

Bezgl. meiner Bewerbung für die „Dienststelle an der Ostsee“, die sich in Pee-
nemünde befindet, hat sich noch nichts weiter ereignet. Auf eine direkte Anfrage
von mir habe ich noch keine Antwort.

Daher gehe ich mit Freuden auf Ihre Anregung ein. Sie fragen, ob mir die
Beschäftigung mit reichlich kniffligen Fragen der praktischen Physik liegen wür-
de. Nun wage ich es natürlich nicht, zu entscheiden, in wieweit ich in Ihrer For-
schungsgruppe zu gebrauchen wäre und muß es Ihnen daher überlassen, darüber
zu urteilen.

Aber ich darf vielleicht soweit gehn und behaupten, daß mir jede theoretische
Tätigkeit ausgesprochen mehr liegt als das, was ich augenblicklich zu tun habe.

Sie werden daher ermessen können, wie sehr froh ich wäre, wenn Sie eine An-
forderung des A. A. erreichen könnten.

Zum Schluß erlaube ich mir noch, Sie um Grüße an die Herrn Rohrbach, Köthe
und Kochendörffer zu bitten und verbleibe

<footnote n="25"><sup>25</sup>The only candidate for this offprint seems to be Lorenzen 1939b.</footnote>
09.05.1940. Letter from Hasse to Lorenzen.

Oberkommando der Kriegsmarine
M Wa Stb F
Berlin W 35, Tirpitzufer 60-62

Lieber Herr Lorenzen,

Berlin, 9.5.1940

Besten Dank für Ihren freundlichen Brief vom 5.5.40. Ich verstehe daraus, dass ich mich wohl nicht genügend klar ausgedrückt habe. In meiner Forschungsgruppe habe ich leider für Sie keinen Platz. Das Referat „Mathematik“ ist bereits besetzt, übrigens auch durch einen früheren Göttinger (Schüler von Münzner). Dagegen hatte ich an eine Verwendung entsprechender Art innerhalb der Marine gedacht, wie sie Rohrbach und Kochendörffer im Auswärtigen Amt haben. Es handelt sich dabei um eine besondere Tätigkeit, die mathematische Fähigkeiten voraussetzt, und die etwa dem Lösen von Kreuzworträtseln vergleichbar ist. Sie können sich danach wohl ungefähr denken, was verlangt wird. Wie ich nun heute erfahren habe, hat die Marine in der Tat Verwendung für einen Mathematiker in dieser Stelle. Wenn Sie sich dafür interessieren, so bewerben Sie sich doch bitte unter Berufung auf mich (hinter meinen Namen OKM, M Wa Stb F setzen!) bei Herrn Korvettenkaptän Teubner,<fnref n="26" /> Oberkommando der Kriegsmarine, Berlin W 35, Skl(B). Bei dieser Bewerbung müssen Sie sich als Mathematiker für den Dienst in der Dienststelle dieses Kapitäns anbieten, ohne näher auf die Art des Dienstes selbst einzugehen. Sie müssen ferner genau mitteilen, welchem Truppenteil Sie jetzt angehören.

Ob es dann gelingt, Sie dort freizubekommen, ist allerdings eine besondere Frage. Ich habe jedenfalls Kapt. Teubner ein ausführliches Gutachten über Sie gegeben und Ihre besondere Geeignetheit für diese Verwendung hervorgehoben. In der Tat glaube ich, dass von allen Gebieten der Mathematik die Algebra am besten für die fragliche Arbeit zu gebrauchen ist. Bitte lassen Sie mich laufend wissen, was in dieser Sache geschieht, damit ich gegebenenfalls von meiner zentralen Stelle aus helfend eingreifen kann.

Mit bestem Gruss und in der Hoffnung, Sie demnächst hier zu sehen, Ihr [Hasse]

21.05.1940. Letter from Lorenzen to Hasse.

Gefr. Lorenzen
38503 C

21.5.40

<footnote n="26">²⁶ Achim Teubner (1905–1945) is officer at the Marinenachrichtendienst (Naval intelligence service).</footnote>
Sehr geehrter Herr Professor,

Ihr liebenswürdiger und für mich so erfreuliche Brief erreichte mich mitten in
meiner ersten Schlacht, bei der unsre Batterie aber keine Verluste erlitten hat.

Augenblicklich sind wir – für wenige Tage – in Ruhestellung, in der aber leider
uns der Dienst nicht das schöne Wetter genießen läßt.

Herrn Korvettenkapitän Teubner habe ich geschrieben und mich für seine
Dienststelle als Mathematiker beworben.

Wie sehr ich mich freuen würde, wieder mich mathematisch betätigen zu kön-
nen, ist wohl überflüssig zu betonen.

Aber ich kann ja leider nichts dazu tun als zu warten.

Von meiner Truppe habe ich nur die Feldpostnummer angegeben, da alles wei-
tere verboten ist. Das O K M wird daraus ja sicherlich auch alles andere ermitteln
können.

Indem ich Ihnen von ganzem Herzen danke für Ihre Bemühungen verbleibe ich
mit den ergebensten Grüßen

Ihr

Paul Lorenzen.

11.06.1940. Letter from Lorenzen to Hasse.

Gefr. Lorenzen
38503 C

Leutnant z. See
Prof. Dr. Hasse
O K M M Wa Stb F
Berlin W 35
Tirpitzufer 60-62

11.6.

Sehr geehrter Herr Professor,

vor wenigen Tagen habe ich vom O K M (3. Abt. Skl.) schon die Aufforderung
erhalten meinen ausführlichen Lebenslauf einzuweisen. Mein jetziger Batteriechef
wäre mit meiner Abkommandierung einverstanden. Diese beiden Tatsachen zusam-
men erleichtern mir augenblicklich meinen ziemlich ungemütlichen Aufenthalt in
einem selbst gegrabenen Erdloch von 0,8 · 1,5 m (hoch 1,5 m) Aber man darf sich
dadurch (d. h. durch dieses dauernde Granatenkrachen) nicht erschüttern lassen –
hoffentlich kann ich mich ja bald sinnvoller beschäftigen.

Mit den ergebensten Grüßen

Ihr

Paul Lorenzen
30.06.1940. Letter from Lorenzen to Hasse.

Fxx Vogesen, 30.6.

Sehr geehrter Herr Professor,

darf ich Ihnen, nachdem wir „unsern“ Feldzug siegreich beendet haben, von hier, aus ruhiger Stellung, die ergebensten Grüße übermitteln.

Falls mit dieser Besatzungszeit, die hoffentlich nicht lange andauert, der Krieg für uns tatsächlich beendet sein sollte, so wird man nicht sagen können, daß es irgendwie schlimm gewesen sei. Der Durchbruch durch die Maginotlinie hat sich innerhalb zweier Tage vollzogen und danach hatten wir dauernd zu marschieren um hinter den Franzosen herzukommen, bis sie sich dann kampflos schließlich in den Vogesen ergeben haben.

Ich vermute aber stark, daß sich dieser geringe Widerstand hauptsächlich aus den vorangegangenen deutschen Erfolgen erklärt.

Von Herrn Korvettenkapitän Teubner habe ich, nachdem ich meinen Lebenslauf eingereicht habe, nichts mehr gehört. Ich würde mich über meine Abkommandierung natürlich – so lange dieser Krieg dauert (und der kann ja immer noch sehr lange sein) – immer noch sehr freuen, da ich mich sehr nach einer „geistigeren“ Beschäftigung sehne, als es hier die Besetzung eines winzigen französischen Dorfes ist.

Mit den ergebensten Grüßen verbleibe ich stets

Ihr

Paul Lorenzen.

26.04.1941. Letter from Lorenzen to Hasse.

Gotenhafen, 26/4

Sehr geehrter Herr Professor,

Wie sich jetzt herausgestellt hat, war meine unglückliche Stimmung, in der ich Sie in Berlin verlassen habe, vollauf berechtigt – obwohl doch alles so günstig aussah.

Ich empfinde es eigentlich als aufdringlich, Sie dauernd mit klagenden Berichten über mein Ergehen zu behelligen – ich kann mich nur damit entschuldigen, daß Sie sich bisher so wohlwollend meiner angenommen haben, und daß es eine menschliche Schwäche ist, ein solches Wohlwollen zu benutzen.

Ehe ich meinen Bericht fortsetze, bitte ich zunächst diese „offene Bemerkung“ zu entschuldigen.

Der Kommandeur der Steuermannschule hat entschieden, daß ich aus militärischen Gründen als Lehrer an seiner Schule ungeeignet bin. Dazu hat ihn im
wesentlichen die Beurteilung veranlaßt, die meine letzte Dienststelle über mich geschrieben hat, in der nämlich steht, daß ich – kurz und gut – unmilitärisch sei. Hinzu kam noch persönliches Pech, das mich veranlaßt hat, mich nichtsahnend hier am Montag morgen zum Dienst zu melden, was in Berlin völlig korrekt gewesen wäre, hier aber dazu führte, daß ich 3 Tage Arrest bekam, da ich schon seit Sonnabend im Standort war.

Ich darf an dieser Stelle in meinem Bericht etwas Mathematisches einschalten, worüber nachzudenken ich erfreulicherweise während der 3 Tage endlich Gelegenheit hatte:

Nach meiner Notiz über Gruppenaxiomatik, die Sie in Crelle aufgenommen haben, ist eine Menge $\mathfrak{G}$, in der eine stets ausführbare Verknüpfung $a : b$ definiert ist, eine Gruppe, wenn

$$1) (a : c) : (b : c) = a : b$$

2) Es gibt ein $a$, zu dem für alle $c$ ein $b$ existiert mit $a : b = c$

erfüllt sind. Es war zu vermuten, daß sich 1), 2) zusammenfassen lassen zu einer – naturgemäß komplizierten – Formel. Dies hat sich bestätigt:

Nennt man die Elemente $x$ und $(x : x) : x$ invers zueinander und gilt für inverse Elemente $a, a'$ und $b, b'$ stets

$$a : (b : (a' : ((b' : d) : (c : d)))) = c$$

so ist $\mathfrak{G}$ eine Gruppe.<fnref n="27" />

Vermutlich erinnert Sie diese Zusammensetzung sehr an die Allüren der « Fundamenta mathematica », was sich vielleicht als Nachwirkung der polnischen Vorinsassen der Arrestzelle erklären läßt.

Nachdem diese 3 Tage herum waren, hat man mir erklärt, daß ich abkommandiert würde; man weiß aber nicht wohin, da dieses der 2. Admiral der Nordsee-station bewerkstelligt. Dennoch bin ich jetzt also genau so weit, wie zu Anfang des Krieges und möchte Sie daher auch genau wie damals bitten, mir zu einer Beschäftigung zu verhelfen. Irgendwelche Ansprüche zu stellen, steht mir natürlich nicht zu, und ich möchte es auch nicht: mir ist jede Tätigkeit irgendwo in einem Amtszimmer recht. Nur als braver Ehemann, füge ich den persönlichen Wunsch meiner Frau hinzu – der allerdings auch der meine ist – daß sie sich sehr nach einer ruhigeren Zeit sehnt, wozu z. B. Kiel und Wilhelmshaven gar nicht geeignet wären und wegen der Wohnungsverhältnisse auch Gotenhafen und sogar Berlin nicht besonders.

Ihre Behauptung, daß Gotenhafen „widerlich“ sei, ist wirklich nicht zu kraß formuliert. Wir sind hier nur behelfsweise untergekommen, und es scheint auch unmöglich zu sein, eine Wohnung zu finden, was sich ja aber auch erübrigt hat durch den Lauf der Dinge, den ich versucht habe, Ihnen darzustellen.

<footnote n="27">²⁷Compare Lorenzen 1944.</footnote>
Mit den ergebensten Grüßen auch im Namen meiner Frau
verbleibe ich
Ihr
Paul Lorenzen.

07.05.1941. Letter from Hasse to Lorenzen.

Korv.Kapt. Prof. Dr. Hasse

OKM, M Wa Stb F

Berlin W 35, Bissingzeile 13

Lieber Herr Lorenzen,

Berlin, den 7.5.1941

Ihr Brief hat mich sehr nachdenklich gemacht, und ich halte es für richtig, Ihnen
ganz offen zu schreiben, was ich denke.

Ich bin zunächst sehr enttäuscht darüber, dass Sie sich auf dem Kommando,
das ich Ihnen vermittelt hatte, eine derartig ungünstige militärische Beurteilung
zugezogen haben. Wenn ich mich damals dazu entschlossen hatte, mich für Ihre
Verwendung zu geistiger Arbeit einzusetzen, so geschah das selbstverständlich in
der Erwartung, dass Sie dieser meiner Empfehlung Ehre machen würden, nicht
nur durch Ihre dienstlichen Leistungen – ganz gleich welcher Art diese sein wür-
den –, sondern auch durch Ihr ganzes soldatisches Verhalten. Dass Sie sich selbst
als unmilitärisch empfinden und nicht die geringste Begeisterung für das Soldatsein
aufbringen, ist in meinen Augen keine Entschuldigung, sondern im Gegenteil genau
das, was mir nicht gefällt. Es gibt viele andere junge Wissenschaftler, die da eine
durchaus andere und gesundere Auffassung haben, wie etwa Teichmüller, der seine
eben erfolgte Abkommandierung zu der gleichen Tätigkeit wie Dr. Franz<fnref n="28" /> als eine
Herabsetzung empfindet und viel lieber wieder zu seiner Truppe in Norwegen zu-
rückkehren würde. Jeder von uns muss heute seine persönliche Bequemlichkeit und
seine eigenen Wünsche zurückstellen und sich in das grosse Ganze willig einfügen.
Menschen, die sich dem entziehen wollen, können wir heute nicht gebrauchen, und
sie gelten heute mit Recht nichts. Sie sind jung und körperlich kräftig. Sie haben
für wissenschaftliche Arbeit noch ein langes Leben vor sich. Ich an Ihrer Stelle wäre
glücklich, wenn ich in vorderster Front mit dabei sein könnte, wo immer um un-
sere Zukunft gekämpft wird. Und wenn Sie schon von sich aus keine Begeisterung
für das Soldatsein aufbringen können, dann vergessen Sie doch bitte nicht, dass
die Haltung, die Sie heute einnehmen, für alle Zukunft bei Ihrer Beurteilung ganz
entscheidend mitspricht. Gerade von der Intelligenz unseres Volkes muss man mit
vollstem Recht erwarten, dass sie auf Grund der vertieften Einsicht in die harte
Notwendigkeit und tiefste Berechtigung dieses Kampfes mit allem ihren Denken
und Fühlen bei der kämpfenden Truppe ist und in ihrer Einsatzbereitschaft allen

<footnote n="28">²⁸The mathematician Wolfgang Franz (1905–1996) works in the Cipher Department of the Supreme Command of the Wehrmacht.</footnote>
anderen als leuchtendes Vorbild vorangeht. Es ist grundfalsch zu sagen, dass dies mit Ihrem späteren Beruf als Wissenschaftler nichts zu tun hat. Im späteren Leben werden eben die Menschen nicht nur nach ihren beruflichen Leistungen gemessen, sondern es wird der ganze Mann gewogen. Und es ist voll gerechtfertigt, wenn ein Mann, der in dieser höchsten Bewährungszeit zu leicht befunden wurde, auch für später diesen Stempel auf sich trägt.

Noch ist es für Sie Zeit, den Eindruck, den Sie bei mir und wohl auch schon bei anderen durch Ihre bisherige Haltung erzeugt haben, zu entkräften. Gerade weil ich glaube, dass Sie später einmal in der Wissenschaft vorwärts kommen können, mit Ihren schönen Gaben und Ihrem scharfen Blick für das Wesentliche in komplizierten begrifflichen Zusammenhängen, möchte ich heute Ihren Wunsch nach einer stillen ruhigen Amtszimmertätigkeit, weit entfernt vom Getöse des Krieges, in keiner Weise begünstigen, ganz abgesehen davon, dass ich es aus den genannten Gründen auch vor mir selbst gar nicht verantworten kann, noch einmal bei einer militärischen Dienststelle für Sie einzutreten. Tun Sie zunächst einmal als Soldat Ihre Pflicht – und mehr als das –, wohin auch immer man Sie jetzt stellt. Dann werden Sie später auch für sich selbst das schöne Gefühl haben, sich die Segnungen des kommenden Friedens wirklich verdient zu haben und nicht bloss durch andere mit dem Einsatz ihres Lebens haben verdienen zu lassen.

Mit besten Grüssen, auch an Ihre Frau,

Ihr [Hasse]

## 07.05.1941. Letter from Käthe Lorenzen to Hasse.

Gotenhafen, 7.5.41

Leuthenstr. 21 b. Gaspersen

Sehr geehrter Herr Professor,

Sie haben durch den letzten Brief meines Mannes ja schon von unserem „Unglück“ erfahren. Gewiß hat es meinen Mann nicht unverdient getroffen, da er wohl wirklich geradezu typisch unmilitärisch ist, aber es ist ja nicht damit zu ändern, daß man ihn deswegen bestraft u. in häßlicher Art beschimpft. Aber hier legt man leider mehr Wert auf militärische Erziehung, während wir uns in Berlin schon darauf gefreut hatten, daß das hier mehr in den Hintergrund treten würde. Ich habe schon oft versucht, meinen Mann auf sein unmilitärisches Verhalten aufmerksam zu machen, obwohl ich nicht unbedingt dafür bin, daß er sich grundlegend ändert, aber für Kriegsdauer wäre ich schon damit einverstanden. Das Schlimmste ist, daß sich dies alles, wie man an anderen Mathematikern sieht, noch nicht einmal mit seiner Wissenschaft entschuldigen läßt; und doch ist es ja die einzige Entschuldigung, denn es gibt ja wohl nur sehr wenige Stunden an einem Tage, in denen mein Mann nichts Mathematisches im Kopf hat. Nun erscheint es mir recht bedauerlich – um
nicht ungerecht zu sagen – daß er unter Unteroffiziersaufsicht Flure fegt, Striche zieht oder ähnliche Tätigkeiten ausübt. Da ich nun täglich sehe, wie geradezu unglücklich mein Mann sich hierbei fühlt, wage ich es auch persönlich – ohne Wissen meines Mannes – mich an Sie zu wenden. Ich weiß ja gar nicht, wie weit es Ihnen möglich sein wird, an diesem Zustand etwas zu ändern, aber ich vermute doch, daß Sie unter Berücksichtigung der geschilderten Verhältnisse vielleicht schon mit einem guten, „richtigen“ Rat helfen können. Ist es wohl nicht möglich, daß mein Mann (den die Marine ja nun auf Kriegsdauer beschäftigen muß u. den sie wegen Seekrankheit nicht auf ein Schiff stecken kann) irgendwo arbeiten könnte, wo er einen vernünftigen Vorgesetzten hat, der nicht *nur* das Militärische an einem Menschen gelten läßt.

Es ist natürlich eine sehr große Hoffnung mit wenig Aussicht darauf, daß diese Möglichkeit wirklich gefunden werden kann, aber Sie werden das sicherlich am besten beurteilen können, ob es überhaupt noch lohnt, sich an diese Hoffnung zu klammern. Ich denke mir auch, daß Sie am ehesten Gelegenheit haben werden, eine vernünftige, nutzbringende Beschäftigung herauszufinden, denn Sie reisen von dem zentralen Berlin aus ja in ganz Europa herum.

Vor allem aber vertraue ich darauf, daß Sie bereit sind, meinem Mann zu helfen, da Sie bisher schon sozusagen sein „guter Engel“ gewesen sind – soweit ich aus Erzählungen weiß schon vor dem Kriege, u. wie ich aus Erfahrung weiß auch im Kriege.

Ich darf Ihnen versichern, wie dankbar ich Ihnen hierfür bin, ohne fürchten zu müssen, daß Sie diesen Dank für eine Phrase halten. Und ich freue mich auch, Ihnen meinen Dank nun auch ganz persönlich aussprechen zu können.

Mit freundlichen Grüßen bin ich

Ihre

sehr ergebene

Käthe Lorenzen.

## 17.05.1941. Letter from Lorenzen to Hasse.

F. B. Gfr. Lorenzen

Gotenhafen, 17/5

2. Komg. Strm.schule

Sehr geehrter Herr Professor,

Es fällt mir jetzt wesentlich schwerer, Ihnen zu schreiben, als das letzte Mal, wo es sich um rein militärische Dinge handelte, während ich dieses Mal gezwungen bin, mich persönlich vor Ihnen zu rechtfertigen. Ich kann es nämlich unmöglich ertragen, daß Sie aus meinem letzten Brief, in dem wohl steht, daß ich gern auf Kriegsdauer einem Amtszimmer zugewiesen würde, herauslesen, ich wolle mich drücken.
Ich darf Ihnen ganz kurz meine militärische Vergangenheit schildern: Nach dem freiwilligen Arbeitsdiensthalbjahr habe ich 1933/34 freiwillig aktiv gedient und bin dabei ein Jahr lang im Pferdestall so behandelt worden, daß ich für militärischen Arbeitsdienst, Exerzieren, Ehrenbezeichnung erweisen u. ä. keine Begeisterung mehr übrig habe.

Ich sollte das nicht so laut sagen, aber da ich eben so sicher fühle, daß dies nichts mit einem Sich-Drücken-Wollen zu tun hat, unterlasse ich's leider doch selten.

Beim Durchbruch durch die Maginot-Linie habe ich es bestätigt bekommen, daß ich keine Angst vor dem Einsatz des Lebens habe. Dort bin ich nicht als „zu leicht“ befunden. Trotzdem bin ich dort gern weggegangen, denn meine Hauptbeschäftigung außer Warten war wieder Pferdepflegen und in Ruhetagen Exerzieren. Ich wollte mich wirklich gerne nützlicher betätigen.

Wie es mir im O. K. M. ergangen ist, wissen Sie selbst. Ich bin viermal bei meinem Vorgesetzten gewesen, um zu sagen, daß ich nun das Abschreiben begriffen habe – wovon man aber keine Notiz genommen hat. Daraufhin habe ich – töristerweise wie immer – Kameraden gegenüber nicht verhehlt, daß ich auch für das Abschreiben keine Begeisterung mehr übrig hättete. Und daher stammt die schlechte Beurteilung.

Ich werde es wohl kaum noch lernen, mich zu verstellen; aber ich sehe ein, daß ich dann kein Recht habe, anders behandelt werden zu wollen, als ein Drückeberger. Da ich jetzt in der Funk-Beobachter-Laufbahn bin, ist es so gut wie sicher, daß ich erst zu meiner Stamm-Abteilung kommandiert werde, wo ich zu warten habe, (d. h. Kasernen reinigen und Exerzieren) bis bei einem Marine-Nachrichten-Offizier oder in Berlin ein Funk-Beobachter-Gefreiter gebraucht wird.

Obwohl – wie Sie schreiben – nach dem Kriege noch viel Zeit sein wird, Mathematik zu treiben, ist es doch für mich ein bitteres Gefühl, gerade in diesen Kriegsjahren völlig nutzlos sein zu müssen.

Sehr geehrter Herr Professor, ich hoffe mit Zuversicht, Sie werden es mir nicht verargen, daß ich Ihnen so ausführlich und offen meine Einstellung geschildert habe. Der Notwendigkeit, für Deutschland das zu tun, was man von mir verlangt, gleichgültig, ob ich dafür geeignet bin oder nicht, werde ich mich selbstverständlich fügen. Es wäre mir eine große Freude, wenn Sie mir gestatten würden, Ihnen demnächst zu schreiben, wohin ich abkommandiert werde.

Mit den ergebensten Grüßen auch von meiner Frau

Ihr

Paul Lorenzen.

18.03.1942. Letter from Lorenzen to Hasse.

Wesermünde, 18/3

4/I Marineschule
Sehr geehrter Herr Professor,

für Ihren freundlichen Glückwunsch möchten meine Frau und ich Ihnen unsern
herzlichsten Dank aussprechen.

Daß unser Töchterlein ebenfalls Jutta heißt, bitte ich nicht als Plagiat auffassen
zu wollen – soweit ich weiß, hat meine Frau davon unabhängig diesen Namen
gewählt.

Ich bin Ihnen sehr dankbar für Ihren Hinweis, daß J. *Dieudonné* sich für die multiplikative Idealtheorie interessiert.<fnref n="29" /> Es wäre sehr schön, wenn eine „Kollaboration“ sich anbahnen ließe, – jedenfalls werde ich Herrn *Dieudonné* bald einmal schreiben.

Mit meiner Tätigkeit hier an der Schule bin ich sehr zufrieden, da ich hier, zum
ersten Mal im Kriege, das Gefühl habe, nicht überflüssig zu sein.

Mit den ergebensten Grüßen verbleibe ich

Ihr

Paul Lorenzen.

02.04.1942. Letter from Hasse to Lorenzen.

Korv.Kapt. [Prof. Dr. Hasse]
Berlin-Wannsee
Am Sandwerder 5

[Betr. Ms. u. Korr.
Hans R. Weber, München]

Berlin, den 2.4.1942

Herrn

Dr. P. Lorenzen

4/I M S

Wesermünde

Lieber Herr Lorenzen,

Besten Dank für Ihren freundlichen Brief. Ich sende Ihnen beiliegend eine Korrektur, über die ich gerne Ihren Rat erbitten möchte. Ich hatte damals das Ms. nur mit grossem Zögern Herrn Perron zuliebe angenommen, der es empfahl. Nachdem nun aber der Satz 6, der mich hauptsächlich zur Annahme bestochen hatte, weggefallen ist, glaube ich nicht, dass die Arbeit noch irgendetwas Neues oder Bedeutendes bringt. Wie denken Sie darüber?

Mit besten Grüssen an Sie und Ihre Frau

Ihr [Hasse]

<footnote n="29">²⁹See *Dieudonné 1941*.</footnote>
07.04.1942. Letter from Lorenzen to Hasse.

Wesermünde, 7/4

4/I Marineschule

Sehr geehrter Herr Professor,

Das beiliegende Manuskript, das ich heute erhielt, kann ich leider wirklich nicht zur Veröffentlichung empfehlen, denn das Axiomensystem I-III ist schon etwa 1905 von Huntington<fnref n="30" /> aufgestellt. Garver<fnref n="31" /> hat außerdem inzwischen bewiesen, daß I überflüssig ist. Schließlich läßt sich III noch wesentlich abschwächen, worüber allerdings noch nichts veröffentlicht ist.<fnref n="32" />

Falls Herr Weber sich für diese Dinge interessiert, stehe ich ihm jederzeit nach Möglichkeit zur Verfügung. Vielleicht sind Sie so liebenswürdig Herrn Weber dies mitzuteilen, wenn Sie das Ms. zurücksenden sollten.

Mit den ergebensten Grüßen verbleibe ich Ihr

Paul Lorenzen

E. Documents relating to Lorenzen's career, 1942.

02.01.1942. Attestation by Krull for Lorenzen.

Mathematisch-naturwissenschaftliche

Fakultät

der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität

J.-Nr. 397

Bonn, den 2. Januar 1942

Bescheinigung

Dem M.Gefr. Dr. Paul Lorenzen wird bescheinigt, dass er die Bedingungen erfüllt, die von der Reichshabilitations-Ordnung für die Zulassung zur Habilitation gefordert werden. Falls Dr. Lorenzen imstande ist eine Arbeit rechtzeitig vorzulegen, die von der Fakultät als Habilitationsschrift angenommen wird, kann das Habilitationsverfahren noch in diesem Semester abgeschlossen werden.

Der Dekan
Krull

<footnote n="30">³⁰This probably refers to Huntington 1905.</footnote>

<footnote n="31">³¹This probably refers to Garver 1934.</footnote>

<footnote n="32">³²Soon after, Lorenzen will submit Lorenzen 1944 to remedy this.</footnote>
12.05.1942. Request of statement from the director of the
Mathematical seminar in Bonn.

BUK – Az Lorenzen

Bonn, den 12. Mai 1942

1) An den
Herrn Rektor der Universität

Bonn

- mit 2 Durchschlägen -

Der Direktor des Mathematischen Seminars beantragt mit den gegen gefl. Rückgabe beiliegenden Unterlagen Dr. Paul Lorenzen vom 1. Mai 1942 ab zum wissenschaftlichen Assistenten zu ernennen. Ich bitte, die Stellungnahme<fnref n="33" /> des Dozentenschaftsleiters und Dozentenbundsführers zu den weltanschaulichen und charakterlichen Voraussetzungen des Vorgeschlagenen herbeizuführen und selbst zu dem Anstellungsantrage zusammenfassend Stellung zu nehmen.

I. A.

2) Wv. 25. Mai 1942.

01.06.1942. Statement by the Dozentenführer.

Dozentenschaft der
Universität Bonn

Bonn, den 1. Juni 1942

Poppelsdorfer-Schloß

Fernruf 6294

Jahrbuch-Nr. 112

bei allen Antworten angeben

An

Se. Magnifizenz den Herrn Rektor der
Rhein. Friedr.-Wilhelms-Universität,

Bonn

Betr. Dr. P. Lorenzen, Ihr Schr. v. 16.5.42 Nr. 983

Dr. Lorenzen ist ein vielversprechender Mathematiker mit Begeisterung für seine
Wissenschaft und großem Arbeitseifer.

Soweit bekannt, ist die politische Einstellung einwandfrei. Es soll jedoch nicht
verschwiegen werden, daß L. wohl einige Charaktermängel aufzuweisen scheint,
die es z. Zt. jedenfalls nicht erwünscht erscheinen lassen, ihn etwa zur Dozentur

<footnote n="33">³³See Segal (2003, pages 174–181) for the signification of the *Dozentenschaft* reports: “Fre-
quently, the *Dozentenführer* had no idea about an individual and had to ask a politically trusted
member of his discipline for a report, which would then be passed on verbatim”. It is plausible
that the views expressed in the subsequent statement are Krull’s.</footnote>
zuzulassen. L. neigt zu starker Selbstüberschätzung, was ihm offenbar auch in
seiner Laufbahn bei der Wehrmacht geschadet hat.

Angesichts seiner großen Befähigung ist es daher nur erwünscht, wenn er jetzt
Gelegenheit erhält als Assistent zu zeigen, wie weit er sich einzufügen vermag, und
wie weit er sich für die Hochschullaufbahn eignet.

Der Antrag des Herrn Direktors des Mathematischen Seminars wird daher befür-
wortet.

Heil Hitler!

Klapp.<fnref n="34" />

Dozentenführer i. V.

F. The correspondence between Krull and Lorenzen, 1943–1944.

07.05.1943. Letter from Lorenzen to Krull.

Wesermünde-Lehe, den 7. Mai 1943
Hafenstr. 92

Sehr geehrter Herr Professor,

von den „Fortschritten“ erhielt ich Ihren Beitrag VIII<fnref n="35" /> über die Λ-Operationen
zum Referat.<fnref n="36" /> Leider habe ich nun Ihren Beitrag I nicht zur Hand, dessen Kenntnis
dazu nötig wäre. Insbesondere weiß ich nicht mehr, ob und in welchem Zusammen-
hang der folgende Satz darin enthalten ist:

Ist *w* eine arithmetisch brauchbare Operation eines Integritätsbereiches *R* (Quotientenkörper *K*), so entsprechen die arithmetisch brauchbaren *'-Operationen*, für die stets *a*<sub>*w*</sub> ⊆ *a'* gilt, eineindeutig denjenigen Quotientenringen *M'* des Funktionalringes *M* mit *M'* ∩ *K* = *R*.

Dieser Satz läßt sich direkt mit der Halbgruppe der ganzen Idealbrüche be-
weisen. Denn der Übergang von *a*<sub>*w*</sub> zu *a'* ist nichts anderes als eine homomorphe
Abbildung der *w*-Ideale auf die *'-Ideale*.

Da in Beitrag VIII Ihre Bemerkungen zu den Definitionsformeln der '-Operationen' (insbesondere Anmerkung 21) leider durch Druckfehler entstellt sind, möchte

<footnote n="34"><sup>34</sup>Ernst Klapp (1894–1975) is professor of agricultural sciences at the University of Bonn.</footnote>

<footnote n="35">³⁵Krull 1943.</footnote>

<footnote n="36">³⁶The *Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik* ceases to appear with the volume on the year 1942.</footnote>
ich die Abhängigkeiten zwischen den Formeln:

1) $\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{a}'$

$2') (\mathfrak{a}' + \mathfrak{b}')' = (\mathfrak{a} + \mathfrak{b})'$

3) $(a\mathfrak{a})' = a\mathfrak{a}'$

4) $\mathfrak{R} = \mathfrak{R}'$

2) $\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{b}' \rightarrow \mathfrak{a}' \subseteq \mathfrak{b}'$

$2''\mathfrak{a}) \quad \mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{b} \rightarrow \mathfrak{a}' \subseteq \mathfrak{b}' \quad 2''\mathfrak{b}) \quad \mathfrak{a}'' = \mathfrak{a}'$

3') $(\mathfrak{a}' \cdot \mathfrak{b}')' = (\mathfrak{a} \cdot \mathfrak{b})'$

4') $(a) = (a)'$

hier darlegen.<fnref n="37" />

I. Unter Voraussetzung von 1) ist 2) gleichwertig mit $2''\mathfrak{a}$) und $2''\mathfrak{b}$).

Beweis: Es gelte 1) und 2). Dann gilt $\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{b} \rightarrow \mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{b}'$ nach 1)

und $\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{b}' \rightarrow \mathfrak{a}' \subseteq \mathfrak{b}'$ nach 2)

also $\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{b} \rightarrow \mathfrak{a}' \subseteq \mathfrak{b}'$,

ferner gilt $\mathfrak{a}' \subseteq \mathfrak{a}''$ nach 1)

und $\mathfrak{a}' \subseteq \mathfrak{a}' \rightarrow \mathfrak{a}'' \subseteq \mathfrak{a}'$ nach 2)

also $\mathfrak{a}' = \mathfrak{a}''$

Es gelte $2''\mathfrak{a}$) und $2''\mathfrak{b}$). Dann gilt

$\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{b}' \rightarrow \mathfrak{a}' \subseteq \mathfrak{b}''$ nach $2''\mathfrak{a})$

also $\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{b}' \rightarrow \mathfrak{a}' \subseteq \mathfrak{b}'$ nach $2''\mathfrak{b})$

II. Unter Voraussetzung von 1) ist 2) gleichwertig mit $2'$).

Beweis: Es gelte 1) und 2). Dann gilt

$\mathfrak{a}' \subseteq (\mathfrak{a} + \mathfrak{b})'$

und $\mathfrak{b}' \subseteq (\mathfrak{a} + \mathfrak{b})'$

also $\mathfrak{a}' + \mathfrak{b}' \subseteq (\mathfrak{a} + \mathfrak{b})'$

Es gelte 1) und 2'). Dann gilt $\mathfrak{a}'' = (\mathfrak{a}' + \mathfrak{a}')' = (\mathfrak{a} + \mathfrak{a})' = \mathfrak{a}'$
also $2''\mathfrak{b}$). Ferner gilt

$\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{b} \rightarrow \mathfrak{a} + \mathfrak{b} = \mathfrak{b}$

$\rightarrow (\mathfrak{a} + \mathfrak{b})' = \mathfrak{b}'$

$\rightarrow (\mathfrak{a}' + \mathfrak{b}')' \subseteq \mathfrak{b}'$ nach 2')

$\rightarrow \mathfrak{a}' + \mathfrak{b}' \subseteq \mathfrak{b}'$ nach 1)

$\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{b} \rightarrow \mathfrak{a}' \subseteq \mathfrak{b}'$

III. Unter Voraussetzung von 1) und 2) ist 3) gleichwertig mit $3'$).

<footnote n="37">³⁷Compare Lorenzen 1950, § 4.</footnote>
Beweis: Es gelte 1), 2) und 3). Dann gilt für $b \in \mathfrak{b}$
$$ \mathfrak{a}' \cdot b \subseteq (\mathfrak{a} \cdot b)' \subseteq (\mathfrak{a} \cdot b)' $$
$$ \mathfrak{a}' \cdot \mathfrak{b} \subseteq (\mathfrak{a} \cdot \mathfrak{b})' \quad \text{nach 3) und } 2''a) $$
Genau so beweist man $\mathfrak{a}' \cdot \mathfrak{b}' \subseteq (\mathfrak{a}' \cdot \mathfrak{b})'$
also gilt
$$ \mathfrak{a}' \cdot \mathfrak{b}' \subseteq (\mathfrak{a} \cdot \mathfrak{b})'' = (\mathfrak{a} \cdot \mathfrak{b})' \quad \text{nach } 2''b) $$
$$ (\mathfrak{a}' \cdot \mathfrak{b}')' = (\mathfrak{a} \cdot \mathfrak{b})' \quad \text{nach 2) und } 2''a) $$
Es gelte 1) und 3'). Dann gilt

$$ a \cdot \mathfrak{a}' \subseteq (a)' \cdot \mathfrak{a}' \subseteq ((a)'\mathfrak{a}')' = (a\mathfrak{a})' \quad \text{nach 1) und } 3') $$

$$ \text{Genau so beweist man} \quad a^{-1}(a\mathfrak{a})' \subseteq (a^{-1}a\mathfrak{a})' \\ a^{-1}(a\mathfrak{a})' \subseteq \mathfrak{a}' \\ (a\mathfrak{a})' \subseteq a\mathfrak{a}' $$

IV. Unter Voraussetzung von 3) ist 4) gleichwertig mit 4').

Beweis: Es gelte 3) und 4). Dann gilt
$$ (a)' = (a \cdot \mathfrak{R})' = a\mathfrak{R}' = a \cdot \mathfrak{R} = (a) $$
Es gelte 4'). Dann gilt $\mathfrak{R} = (1) = (1)' = \mathfrak{R}'$

Eine $'-$Operation läßt sich also durch 1), 2'), 3'), 4) definieren, wobei $2'$ und $3'$ nichts anderes als die Homomorphie aussagen. Sind daher die $w$- und die $'-$Operationen arithmetisch brauchbar, so hat man eine homomorphe Abbildung der Halbgruppe der $w$-Ideale auf die Halbgruppe der $'-$Ideale, und damit auch eine homomorphe Abbildung der Halbgruppe der ganzen $w$-Idealbrüche auf die Halbgruppe $\mathfrak{g}'$ der ganzen $'-$Idealbrüche. $\mathfrak{g}_w$ ist vollständig (nach der Terminologie in Prüfer und meiner Dissertation, ich würde jetzt lieber sagen: „$\mathfrak{g}_w$ ist Verbandshalbgruppe“). Die Homomorphismen einer Verbandshalbgruppe entsprechen aber eineindeutig deren Quotientenhalbgruppen. (Das ist Ihr Satz aus Beitrag I, daß jeder Oberring eines Hauptidealringes stets Quotientenring ist, denn die Homomorphismen einer Verbandshalbgruppe entsprechen eineindeutig den Oberhalbgruppen, die mit $a$ und $b$ auch $a \lor b$ enthalten – vgl. in meiner Dissertation S. 545, Absatz 1 $-$).<fnref n="38" />

Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir mitteilen würden, ob Ihnen eine arithmetisch brauchbare $'-$Operation bekannt ist, die keine $\Lambda$-Operation ist. Es müßte dann $\mathfrak{g}'$ aus $\mathfrak{g}_w$ durch ein multiplikativ abgeschlossenes System $S$ entstehen, das nicht nur Ideale, sondern auch Idealbrüche enthält.

Mit den ergebensten Grüßen verbleibe ich

Ihr

Lo[renzen]

<footnote n="38">³⁸Lorenzen 1939a, first paragraph on page 545, reproduced on page 17 and spelled out on page 14.</footnote>
20.09.1943. Letter from Lorenzen to Krull.

Wesermünde-Lehe, den 20. September 1943
Hafenstr. 92

Sehr geehrter Herr Professor,

ich möchte Ihnen mitteilen, daß sich die Identität des $r_a$-Idealsystems mit dem $r_b$-Idealsystem auch für beliebige halbgeordnete Gruppen mit beliebigem $r$-Idealsystem beweisen läßt.

Die Beweismethode liefert für die kommutativen Integritätsbereiche folgende Ver-
einfachung:

Es sei I ein Integritätsbereich (Quotientenkörper K), a ein Dedekindsches I-Ideal,
x ∈ K.

Hilfssatz: Ist $a \in K$ ganz abhängig von $aI[x]$ und $aI[x^{-1}]$, so ist $a$ ganz abhängig von $a$.

Beweis: Es gibt endliche Ideale $e_1$ und $e_2$ mit

$$
\begin{align*}
\mathfrak{e}_1 a &\subseteq \mathfrak{e}_1 a I[x] \\
\mathfrak{e}_2 a &\subseteq \mathfrak{e}_2 a I[x^{-1}]
\end{align*}
$$

Also gilt für $e = e_1 e_2$ und geeignete $n_1, n_2$

$$
\begin{align*}
\mathfrak{e}a \subseteq \mathfrak{e}a(1, x, \dots, x^{n_1}) \\
\mathfrak{e}a \subseteq \mathfrak{e}a(1, x^{-1}, \dots, x^{-n_2})
\end{align*}
$$

und daher für $n = n_1 + n_2$

$$
\mathfrak{e}a(1, x, \dots, x^n) \subseteq \mathfrak{e}a(1, x, \dots, x^n)
$$

Satz: Ist *a* nicht ganz abhängig von *a*, so gibt es einen Bewertungsobering *B* von *I*
mit *a* /∈ *aB*.

Beweis: Es gibt einen maximalen Oberring B von I, für den a nicht ganz abhängig
von aB ist (Wohlordnungsschluß). Aus B ⊂ B[x] und B ⊂ B[x⁻¹] würde folgen,
daß a ganz abhängig von aB[x] und aB[x⁻¹] ist, also von aB (Hilfssatz). Also gilt
x ∈ B oder x⁻¹ ∈ B.

In Schiefkörpern gilt der Hilfssatz nicht für die übliche Ganzabhängigkeit. Nunnt
man aber ein Element *a*

1. $d_0$-abhängig von $\mathfrak{a}$, wenn $a \in \mathfrak{a}$

2. $d_{n+1}$-abhängig von $\mathfrak{a}$, wenn $a$ $d_n$-abhängig von $\mathfrak{a}I[x]$ und $\mathfrak{a}I[x^{-1}]$

3. d-abhängig von a, wenn a $d_n$-abhängig von a für mindestens ein n,

so gilt der Hilfssatz für die *d*-Abhängigkeit. Also gilt auch der Satz für die *d*-Abhängigkeit. Die Umkehrung des Satzes ist trivial.
Indem ich hoffe, daß Sie diese Mitteilung interessiert hat, verbleibe ich mit den
ergebensten Grüßen

[Ihr Lorenzen]$^{39}$

04.01.1944. Postcard from Krull to Lorenzen.

Krull

Bonn

Kaiser-Friedrichstr. 18

Sonderführer (M)

Dr. Paul Lorenzen

Wesermünde

Hafenstr. 92

Bonn, 4.1.44

Lieber Herr Lorenzen!

Durch den stellvertretenden Dekan, Herrn v. Antropoff erfuhr ich von Ihrem Habi-
litationsgesuch. Es freut mich sehr, dass Sie so bald nach Ihrem Unteroffizierskurs
Ihre Arbeit abschliessen konnten. Dumm ist es nur, dass ich nun das Exemplar, das
Sie mir zuschickten, nicht bekommen habe. Es liegt sicher in Greifswald, während
ich hier zunächst festgehalten bin, da ich jetzt nach Ablauf meines „Genesungsur-
laubs“ nochmals – oder richtiger zum ersten Mal, denn ich war bisher dauernd in
ambulanter Behandlung – ins Lazarett muss. Vielleicht bitte ich mir da einfach vom
Dekan ein Exemplar aus. Allerdings glaube ich nicht, dass Sie schon damit rechnen
können, Ende dieses Semesters sich zu habilitieren. Ich muss Ihre Arbeit immerhin
ganz sorgfältig durchsehen, um für die Richtigkeit des Inhalts garantieren zu kön-
nen, Sie wissen ja selber, wie leicht einem bei einer Arbeit gelegentlich ein Fehler
unterläuft.<fnref n="40" /> Ausserdem weiss ich ja nicht, wie stark mich eventuell die Lazarett-
behandlung in anspruch nehmen wird. – Also richten Sie sich am besten gleich für

Für kom[mutative] Gr[uppen]:

$$
a \alpha_r a \mid g \prec \bigvee_e \mathfrak{e}a \subseteq \mathfrak{e}ag
$$

Beweis durch Ind[uktion]: $a \alpha_r^0 a \mid g \prec a \in ag$

$$
a \alpha_r^{n+1} a \mid g \prec \bigvee_x a \alpha_r^n a \mid g(x)_r \wedge a \alpha_r^n a \mid g(x^-)_r
$$

Ind[uktions]vor[aussetzung]

$$
\prec \bigvee_{e_1, e_2} \mathfrak{e}_1 a \subseteq \mathfrak{e}_1 \mathfrak{a} g(x)_r \wedge \mathfrak{e}_2 a \subseteq \mathfrak{e}_2 \mathfrak{a} g(x^-)_r
$$

$$
\prec \bigvee_{e=\epsilon_1 \epsilon_2} \mathfrak{e}a \subseteq \mathfrak{e}a(1, \dots, x^{n_1})_r \wedge \mathfrak{e}a \subseteq \mathfrak{e}a(1, \dots, x^{-n_2})_r
$$

$$
\prec \bigvee_{n=n_1+n_2} \mathfrak{e}a(1, \dots, x^n)_r \subseteq \mathfrak{e}a(1, \dots, x^n)_r
$$

<footnote n="39">³⁹The following notes were written on this carbon copy by hand.</footnote>

<footnote n="40">⁴⁰This is an allusion to Lorenzen’s nonconclusive proofs, see footnote 17 on page 54.</footnote>
eine Habilitation Anfang des SS ein. Die Themen fürs Kolloquium, die Sie an Herrn Besselhagen<fnref n="41" /> geschickt haben, waren ganz passend, zum mindesten angesichts der Tatsache, dass Sie zur Zeit alle Ihre Wissenschaft nebenher arbeiten müssen. Ich würde am liebsten über die Gentzenschen Sachen Sie sprechen hören. – Übrigens, wüssten Sie einen Herrn ausserhalb Bonn, der Ihre wissenschaftlichen Leistungen begutachten könnte? Wir holen hier grundsätzlich bei jeder Habilitation solche Gutachter von auswärts ein. Mit den besten nachträglichen Neujahrswünschen Ihr

Wolfg. Krull.

06.02.1944. Postcard from Krull to Lorenzen.

Krull
Bonn
Kaiser-Friedrichstr. 18

Sonderführer Dr.
Paul Lorenzen
23 Wesermünde
Hafenstr. 92

Bonn, 6.2.44.

Lieber Herr Lorenzen!

Leider habe ich die Reste meiner früheren Sonderabzüge irgendwie verkramt. So bald ich sie aber wiederfinde, bekommen Sie das gewünschte Separat. – Nun aber zu Ihrer Habilitationsschrift.<fnref n="42" /> Von Greifswald habe ich bisher nur die Anmerkungen, nicht aber das Manuskript selber bekommen. Hier auf dem Dekanat bekam ich auf mehrfache Anfrage immer nur die Antwort, es sei bisher von Ihnen nichts eingegangen. Das beunruhigt mich doch lebhaft. – Im übrigen, können Sie mir ausser Hasse und Scholz keinen anderen Referenten angeben. Hasse liegt Ihrer eigentlichen Richtung („Verbände“) doch ziemlich fern, und Scholz ist halbwegs Philosoph. Dabei sind die auswärtigen Gutachter für mich, vor allem nach dem Standpunkt, den ich als Dekan immer eingenommen habe, *sehr* wichtig. Ferner bitte ich Sie um eine Zusammenstellung Ihrer bisherigen Veröffentlichungen.

Mit den besten Grüßen

Ihr Wolfgang Krull.

<footnote n="41">⁴¹Erich Bessel-Hagen (1898–1946) is professor of mathematics in Bonn.</footnote>

<footnote n="42">⁴²On the same day, Krull answers a letter from Hasse dated 23 January 1944 (Roquette 2004, § 1.89) that must contain a harsh criticism of Lorenzen and a refusal to write a report on Lorenzen's habilitation. Krull takes Lorenzen's defense, "at least scientifically", but concludes that "he is still so self-confident that a repeated lesson would do no harm at all".</footnote>