— $c(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire et continue sur $V \times V$;

— $b(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire et continue sur $V \times Q$;

— $f \in V'$ et $g \in Q'$ donnés.

On parle de formulation mixte, car si on compare à la formulation initiale (5.1), on a isolé la "contrainte" en découpant la forme $a$ en deux parties, la forme $b$ exprimant la contrainte$^6$.

Pour le modèle de Stokes "généralisé",$^7$ on a, cf. (5.10) :

— $V = \mathbf{H}_0^1(\Omega)$ muni de $\|\mathbf{v}\|_V = |\mathbf{v}|_{1,\Omega}$, $Q = L_{vmn}^2(\Omega)$ muni de $\|q\|_Q = \|q\|$;

— $c(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = \nu \int_{\Omega} \nabla \mathbf{v} : \nabla \mathbf{w} \, d\Omega$, $b(\mathbf{v}, q) = - \int_{\Omega} q \, \mathrm{div} \, \mathbf{v} \, d\Omega$;

— $\langle f, \mathbf{v} \rangle_V = \langle \mathbf{f}, \mathbf{v} \rangle_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))', \mathbf{H}_0^1(\Omega)}$; $\langle g, q \rangle_Q = - \int_{\Omega} q g \, d\Omega$.

**Cas** $g = 0$

On va commencer par étudier le cas où $g = 0$. On introduit le "noyau de la forme $b$" :$^8$

$$V_0 = \{v \in V \text{ tel que } b(v, q) = 0, \forall q \in Q\}.$$

Comme la forme $b$ est continue, $V_0$ est un sous-espace vectoriel fermé de $V$. On a donc la décomposition orthogonale $V = V_0 \perp V_0^{\perp}$, et résoudre la formulation variationnelle mixte (5.11) avec $g = 0$ est équivalent à résoudre :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } (u, p) \in V_0 \times Q \text{ tel que} \\ \quad \forall v \in V_0, \quad c(u, v) = \langle f, v \rangle_V, \\ \quad \forall v' \in V_0^{\perp}, \quad c(u, v') + \overline{b(v', p)} = \langle f, v' \rangle_V. \end{array} \right. $$

On raisonne *en deux temps*.

**Etape 1.** On commence par la résolution de

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u \in V_0 \text{ tel que} \\ \quad \forall v \in V_0, \quad c(u, v) = \langle f_0, v \rangle_{V_0}, \end{array} \right. \qquad (5.12) $$

avec $f_0 \in (V_0)'$ définie par $v \mapsto \langle f, v \rangle_V$. D'après le théorème BNB (théorème 2.11), cette formulation variationnelle à un espace est bien posée (au sens de Hadamard) si, et seulement si

$$ \text{la forme } c_{|V_0 \times V_0} \text{ vérifie une condition inf-sup et une condition de solvabilité.} \qquad (5.13) $$

6. En termes de "système linéaire", la formulation variationnelle mixte (5.11) est équivalente à :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \text{Trouver } (u,p) \in V \times Q & \text{tel que} \\ C u + B^* p = F & \text{dans } V \\ B u = G & \text{dans } Q \end{array} \right. $$

où d'une part $C \in \mathcal{L}(V, V)$ est l'application linéaire associée à $c$, $B \in \mathcal{L}(V, Q)$ est l'application linéaire associée à $b$ (voir (2.11)), et $B^* \in \mathcal{L}(Q, V)$ est définie par : $\forall v \in V, \forall q \in Q$, $b(v, q) = (v, B^*q)_V$ ; et, d'autre part, $F \in V$ est associé à $f$, et $G \in Q$ est associé à $g$, par le théorème de Riesz.

7. Pour le modèle de Stokes, on choisit $g = 0$.

8. Précisément, $V_0 = \ker B$.
On suppose à partir de maintenant que ces conditions sont vérifiées : alors, il existe $C_0 > 0$ telle que, pour tout $f_0 \in (V_0)'$, il existe une solution unique $u$, et

$$ \|u\|_V \le C_0 \|f_0\|(V_0)' $$

**Etape 2.** On s'intéresse à la résolution de

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } p \in Q \text{ tel que} \\ \forall v' \in V_0^{\perp}, \quad \underline{b}(p, v') = \langle f, v' \rangle_V - c(u, v'), \end{array} \right. \qquad (5.14) $$

où on a noté $\underline{b}$ la forme sesquilinéaire et continue sur $Q \times V_0^{\perp}$ définie par

$$ \forall q \in Q, \forall v' \in V_0^{\perp}, \quad \underline{b}(q, v') = \overline{b(v', q)}. \qquad (5.15) $$

On reconnait cette fois une formulation variationnelle à deux espaces. D'après le théorème BNB (théorème 2.11), cette formulation variationnelle est bien posée (au sens de Hadamard) si, et seulement si,

la forme $\underline{b}_{|Q \times V_0^{\perp}}$ vérifie une condition inf-sup et une condition de solvabilité.

On note que la définition de $\underline{b}$ et celle de $V_0^{\perp}$ dépendent de $b...$ Ceci a des conséquences sur la condition de solvabilité. En effet, soit $v' \in V_0^{\perp}$ telle que $\underline{b}(q, v') = 0$ pour tout $q \in Q$ : ceci signifie que $v$ appartient au "noyau de $b", égal à $V_0$, et ainsi $v' \in V_0^{\perp} \cap V_0 = \{0\}$ ! La condition de solvabilité sur $\underline{b}$ est toujours satisfaite. Ainsi, la formulation variationnelle est bien posée (au sens de Hadamard) si, et seulement si,

la forme $\underline{b}_{|Q \times V_0^{\perp}}$ vérifie une condition inf-sup.

Si on revient à la forme $b$, cette condition s'écrit de façon équivalente :

$$ \exists \beta > 0, \forall q \in Q, \sup_{v' \in V_0^{\perp} \setminus \{0\}} \frac{|\underline{b}(v', q)|}{\|v'\|_V} \ge \beta \|q\|_Q. \qquad (5.16) $$

**Remarque 5.6** Dans (5.16), on peut également considérer le supremum pour tout $v' \in V \setminus \{0\}$, puisque l'orthogonal de $V_0^{\perp}$ est égal au "noyau de $b$".

Si on suppose que les conditions (5.13) et (5.16) sont vérifiées, on en conclut que, si on choisit $v'_p \in V_0^{\perp} \setminus \{0\}$ réalisant (5.16) pour la solution $p$ de la formulation variationnelle (5.14), on a

$$ \begin{align*} \|p\|_Q &\le \frac{1}{\beta} \frac{|\underline{b}(v'_p, p)|}{\|v'_p\|_V} \\ (5.14) \qquad &\le \frac{1}{\beta} \left( \frac{|\langle f, v'_p \rangle_V|}{\|v'_p\|_V} + \frac{|c(u, v'_p)|}{\|v'_p\|_V} \right) \\ &\le \frac{1}{\beta} \left( \|f\|_{(V_0^{\perp})'} + \left\| c_{|V_0 \times V_0^{\perp}} \right\| \|u\|_V \right) \\ &\le \frac{1}{\beta} \left( \|f\|_{(V_0^{\perp})'} + C_0 \left\| c_{|V_0 \times V_0^{\perp}} \right\| \|f\|_{(V_0)'} \right). \end{align*} $$

Pour résumer, on a établi la
**Proposition 5.7** Soit à résoudre la formulation variationnelle (5.11) avec $f \in V'$ et $g = 0$. On suppose que la forme c vérifie les conditions (5.13), et que la forme b vérifie la condition (5.16). Alors, il existe une solution $(u,p) \in V \times Q$ et une seule à (5.11), avec dépendance continue par rapport à $\|f\|_{V'}$.

Pour le modèle de Stokes, on note que, la forme $c : (v, w) \mapsto \nu \int_{\Omega} \nabla v : \nabla w \, d\Omega$ étant coercive sur $H_0^1(\Omega)$, elle l'est a fortiori sur $V_0(\Omega) \subset H_0^1(\Omega)$ : les conditions (5.13) sont satisfaites. En outre, la condition (5.16) sur la forme $b$ est également vraie : en effet, d'après le théorème 4.3, on a, pour tout $q \in L_{vmn}^2(\Omega) \setminus \{0\}$,

$$ \sup_{v \in V_0(\Omega)^\perp \setminus \{0\}} \frac{\left| \int_{\Omega} q \operatorname{div} v \, d\Omega \right|}{|v|_{1,\Omega}} \ge \frac{\left| \int_{\Omega} q \operatorname{div} v_q \, d\Omega \right|}{|v_q|_{1,\Omega}} = \frac{\|q\|^2}{|v_q|_{1,\Omega}} \ge \frac{1}{C_{\operatorname{div}}} \|q\|. $$

### Cas g quelconque

On suppose que les hypothèses de la proposition 5.7 sont satisfaites. Si on revient à (5.11), la nouveauté est qu'on cherche $u \in V$ tel que : $\forall q \in Q$, $b(u, q) = \langle g, q \rangle_Q$, avec a priori $g \neq 0$. Si on décompose $u$ selon $V = V_0 \oplus V_0^\perp$, on cherche $(u_0, u') \in V_0 \times V_0^\perp$ avec $u = u_0 + u'$. Ainsi, résoudre la formulation variationnelle mixte (5.11) avec $g$ quelconque est équivalent à résoudre :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \text{Trouver } (u_0, u', p) \in V_0 \times V_0^\perp \times Q \text{ tel que} \\ \quad \forall q \in Q, & b(u', q) = \langle g, q \rangle_Q, \\ \quad \forall v \in V_0, & c(u_0, v) + c(u', v) = \langle f, v \rangle_V, \\ \quad \forall v' \in V_0^\perp, & c(u_0, v') + c(u', v') + \overline{b(v', p)} = \langle f, v' \rangle_V. \end{array} \right. $$

On raisonne à nouveau en deux temps.

**Etape 1.** On considère la (nouvelle) formulation variationnelle à deux espaces

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u' \in V_0^\perp \text{ tel que} \\ \quad \forall q \in Q, \quad b(u', q) = \langle g, q \rangle_Q. \end{array} \right. \qquad (5.17) $$

Etudions son caractère bien posé sous les hypothèses de la proposition 5.7.

On introduit l'application linéaire $\underline{\mathbf{B}} \in \mathcal{L}(Q, V_0^\perp)$ associée à la forme $\underline{b}$ définie en (5.15) :

$$ \forall q \in Q, \forall v' \in V_0^\perp, \quad (\underline{\mathbf{B}}q, v')_V = \underline{b}(q, v') = \overline{b(v', q)}. \qquad (5.18) $$

Par hypothèse la formulation variationnelle (5.14) est bien posée : $\underline{\mathbf{B}}^{-1}$ existe, et $\underline{\mathbf{B}}^{-1} \in \mathcal{L}(V_0^\perp, Q)$. Revenons à (5.17).

Concernant la condition inf-sup, pour $v' \in V_0^\perp \setminus \{0\}$, on observe que :

$$ \begin{align*} \sup_{q \in Q \setminus \{0\}} \frac{|b(v', q)|}{\|q\|_Q} &\ge \frac{|b(v', \underline{\mathbf{B}}^{-1}v')|}{\|\underline{\mathbf{B}}^{-1}v'\|_Q} \\ \text{(définition (5.18))} &= \frac{\|v'\|_V^2}{\|\underline{\mathbf{B}}^{-1}v'\|_Q} \\ (\|\underline{\mathbf{B}}^{-1}v'\|_Q \le \|\underline{\mathbf{B}}^{-1}\| \|v'\|_V) &\ge \frac{1}{\|\underline{\mathbf{B}}^{-1}\|} \|v'\|_V. \end{align*} $$
Concernant la condition de solvabilité, soit $q \in Q$ tel que $b(v', q) = 0$ pour tout $v' \in V_0^{\perp}$ : d'après (5.16), on a immédiatement $q = 0$.

Ainsi, (5.17) est bien posée sous les hypothèses de la proposition 5.7, et $u' \in V_0^{\perp}$ est caractérisé : il existe $C' > 0$ telle que, pour tout $g \in Q'$, il existe une solution unique $u'$, et

$$ \|u'\|_V \le C' \|g\|_{Q'} $$

**Etape 2.** On définit $f' \in V'$ tel que<fnref n="9" />

$$ \forall v \in V, \quad \langle f', v \rangle_V = \langle f, v \rangle_V - c(u', v), $$

et on résout maintenant

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } (u_0, p) \in V_0 \times Q \text{ tel que} \\ \quad \forall v \in V_0, \quad c(u_0, v) = \langle f', v \rangle_V, \\ \quad \forall v' \in V_0^{\perp}, \quad c(u_0, v') + \overline{b(v', p)} = \langle f', v' \rangle_V. \end{array} \right. $$

C'est exactement la formulation variationnelle résolue pour le cas $g = 0$, avec la donnée $f'$ : les mêmes conclusions s'appliquent.

Pour résumer, dans le cas général, on a établi le

**Théorème 5.8 (Babuska-Brezzi)** Soit à résoudre la formulation variationnelle (5.11) avec $f \in V'$ et $g \in Q'$. On suppose que la forme $c$ vérifie les conditions (5.13), et que la forme $b$ vérifie la condition (5.16). Alors, il existe une solution $(u, p) \in V \times Q$ et une seule à (5.11), avec dépendance continue par rapport à $\|f\|_{V'}$ et $\|g\|_{Q'}$.

Pour le modèle de Stokes "généralisé", la constante inf-sup correspondant à (5.16) est égale à

$$ \inf_{q \in L^2_{vmn}(\Omega) \setminus \{0\}} \sup_{w \in H_0^1(\Omega) \setminus \{0\}} \frac{\left| \int_{\Omega} q \operatorname{div} w \, d\Omega \right|}{\|q\| \|w\|_{1,\Omega}} $$

On l'appelle *constante inf-sup de Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi*. L'étude de sa valeur en tant que fonction du domaine $\Omega$ a fait l'objet de nombreux travaux, voir [16].

### 5.2.2 Formulation variationnelle mixte discrète

On introduit $(V_\delta)_\delta$ et $(Q_\delta)_\delta$ deux suites d'espaces vectoriels de dimensions finies, avec $V_\delta \subset V$ et $Q_\delta \subset Q$ pour tout $\delta > 0$. Pour $\delta$ donné, la *formulation variationnelle mixte discrète* s'écrit

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } (u_\delta, p_\delta) \in V_\delta \times Q_\delta \text{ tel que} \\ \quad \forall v_\delta \in V_\delta, \quad c(u_\delta, v_\delta) + \overline{b(v_\delta, p_\delta)} = \langle f, v_\delta \rangle_V, \\ \quad \forall q_\delta \in Q_\delta, \quad b(u_\delta, q_\delta) = \langle g, q_\delta \rangle_Q. \end{array} \right. \qquad (5.19) $$

$$ \|f'\|_{V'} = \sup_{v \in V \setminus \{0\}} \frac{|\langle f', v \rangle_V|}{\|v\|_V} \le \|f\|_{V'} + \sup_{v \in V \setminus \{0\}} \frac{|c(u', v)|}{\|v\|_V} \le \|f\|_{V'} + C' \left\| c_{|V_0^{\perp} \times V_0} \right\| \|g\|_{Q'}. $$

<footnote n="9">9. On a la dépendance continue :</footnote>
Pour l'approximation des formulations variationnelles mixtes, la difficulté est, qu'en général, on n'approche pas $V_0$, le "noyau de b", de façon conforme. En outre, comme on l'a déjà constaté au §3.3, la condition inf-sup (5.16) sur $\underline{b}$ ne se transmet pas au cadre discret. On introduit donc un "noyau discret de la forme b" :<fnref n="10" />

$$V_{0\delta} = \{v_{\delta} \in V_{\delta} \text{ tel que } b(v_{\delta}, q_{\delta}) = 0, \forall q_{\delta} \in Q_{\delta}\}.$$

On a le résultat suivant, tiré du chapitre II de [18], qui permet d'estimer l'erreur.

**Théorème 5.9** On suppose que les deux conditions ci-dessous sont vérifiées.

— Coercivité uniforme sur les noyaux discrets :

$$\exists \alpha^{\dagger} > 0, \forall \delta, \forall v_{\delta} \in V_{0\delta}, \quad |c(v_{\delta}, v_{\delta})| \ge \alpha^{\dagger} \|v_{\delta}\|_{V}^{2}. \qquad (5.20)$$

— Condition inf-sup discrète uniforme sur b :

$$\exists \beta^{\dagger} > 0, \forall \delta, \forall q_{\delta} \in Q_{\delta}, \quad \sup_{v_{\delta} \in V_{\delta} \setminus \{0\}} \frac{|b(v_{\delta}, q_{\delta})|}{\|v_{\delta}\|_{V}} \ge \beta^{\dagger} \|q_{\delta}\|_{Q}. \qquad (5.21)$$

Alors, pour tout $\delta$, la formulation variationnelle mixte discrète (5.19) est bien posée.
De plus, on a l'estimation d'erreur

$$\exists C^{\dagger} > 0, \forall (f,g) \in V' \times Q', \forall \delta, \quad \|u-u_{\delta}\|_{V} + \|p-p_{\delta}\|_{Q} \le C^{\dagger} \left( \inf_{v_{\delta} \in V_{\delta}} \|u-v_{\delta}\|_{V} + \inf_{q_{\delta} \in Q_{\delta}} \|p-q_{\delta}\|_{Q} \right).$$

On peut en déduire la convergence de l'erreur vers 0 si la propriété d'approximabilité (3.9) est vérifiée pour la famille $(V_{\delta})_{\delta}$ dans $V$, ainsi que pour la famille $(Q_{\delta})_{\delta}$ dans $Q$.

Concernant la condition inf-sup discrète uniforme (5.21), on a le résultat ci-dessous, également tiré du chapitre II de [18], qui énonce une condition abstraite équivalente.

**Théorème 5.10** (Lemme de Fortin) On suppose que $b(\cdot, \cdot)$ vérifie la condition (5.16). Alors, la condition discrète uniforme (5.21) est équivalente à

$$\exists \beta^{\dagger} > 0, \forall \delta, \exists \pi_{\delta} \in \mathcal{L}(V, V_{\delta}) \text{ possédant les propriétés :}$$

$$\forall v \in V, \quad \|\pi_{\delta}v\|_{V} \le \beta^{\dagger} \|v\|_{V};$$

$$\forall v \in V, \forall q_{\delta} \in Q_{\delta}, \quad b(\pi_{\delta}v, q_{\delta}) = b(v, q_{\delta}).$$

Si on revient aux modèles de Stokes, on considère $(V_h)_h$ une suite de sous-espaces discrets de $H_0^1(\Omega)$, et $(Q_h)_h$ une suite de sous-espaces discrets de $L_{vmn}^2(\Omega)$, et on discrétise la formulation variationnelle, exprimée sous forme mixte, dans $V_h \times Q_h$. La coercivité uniforme sur les noyaux discrets (5.20) est une conséquence directe de la coercivité de la forme $c$ sur $H_0^1(\Omega) \times H_0^1(\Omega)$. De façon remarquable (mais est-ce bien surprenant ?), on note que les conditions du lemme de Fortin sont identiques aux conditions (5.4)-(5.5). Ainsi, on peut reprendre les éléments finis MINI ou de Taylor-Hood pour définir les espaces discrets.

<footnote n="10">10. Précisément, $V_{0\delta} = \ker B_{\delta}$ où $B_{\delta} \in \mathcal{L}(V_{\delta}, Q_{\delta})$ est l'application linéaire associée à $b|_{V_{\delta} \times Q_{\delta}}$.</footnote>
**Exercice :** On reprend l'étude de la condition de stabilité pour le modèle de Stokes effectué dans le §5.1, lorsque la viscosité $\nu$ est "petite". On a obtenu à la proposition 5.1 la constante

$$ \alpha'_{St}(\nu) = \frac{\frac{1}{2} \min(\nu^2(C_{\text{div}})^2, 1)}{\max(\sqrt{2}\nu(C_{\text{div}})^2, C_{\text{div}}[2 + \nu^2(C_{\text{div}})^2]^{1/2})} > 0. $$

En particulier, $\alpha'_{St}(\nu)$ se comporte comme $\frac{C_{\text{div}}}{2\sqrt{2}}\nu^2 = O(\nu^2)$ lorsque $\nu \to 0^+$.

Montrer que, par un choix approprié des paramètres $\alpha, \beta, \eta$ dans le cas général (item 3 de la démonstration de la proposition 5.1), on peut trouver une constante $\alpha'_{St}(\nu) = O(\nu)$ (strictement positive!) lorsque $\nu \to 0^+$.
# Notes de cours 6

## Introduction à la physique des matériaux électromagnétiques négatifs

Deux domaines de la physique sont en pleine effervescence depuis une dizaine d'années : la plasmonique qui s'intéresse aux ondes électromagnétiques à la surface de particules métalliques aux fréquences optiques, et les métamatériaux, qui sont des matériaux artificiels donnant lieu à des phénomènes électromagnétiques extraordinaires. Dans ces deux domaines, les phénomènes intéressants résultent du changement de signe de la permittivité diélectrique entre le milieu extérieur d'une part (l'air ou le vide) et le métal ou le métamatériau d'autre part. Ce changement de signe est responsable d'une perte de coercivité des équations à résoudre, et nous verrons dans la suite comment y remédier à l'aide des outils qui ont été introduits dans les chapitres précédents.

Dans ce chapitre, nous rappelons tout d'abord les modèles physiques de Drude et de Drude-Lorentz qui permettent d'exprimer la permittivité diélectrique $\varepsilon$ d'un métal en fonction de la fréquence. Ces modèles dispersifs permettent d'identifier une plage de fréquences où la partie réelle de $\varepsilon$ est négative. Les modèles de métamatériaux sont ensuite rapidement discutés.

Dans une seconde partie, nous expliquons dans des configurations simples pourquoi un changement de signe de la permittivité permet d'une part l'existence de plasmons de surface, et d'autre part le phénomène de réfraction négative.

### 6.1 Les modèles de Drude et Drude-Lorentz

On rappelle que les ondes électromagnétiques sont modélisées par les équations de Maxwell qui s'écrivent [12]

$$ egin{cases} \operatorname{rot} \mathcal{E} + \mu \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} = 0, \\ \operatorname{rot} \mathcal{H} - \varepsilon \frac{\partial \mathcal{E}}{\partial t} = \mathcal{J} \end{cases} $$
où $\mathcal{E}$ et $\mathcal{H}$ désignent les champs électrique et magnétique et $\mathcal{J}$ la densité de courant. Ce sont des fonctions de la variable d'espace $\boldsymbol{x}$ et du temps $t$. Les coefficients $\varepsilon$ et $\mu$ sont la permittivité diélectrique et la perméabilité magnétique. Ils caractérisent le matériau.

On s'intéresse dans la suite au régime périodique établi de fréquence $\omega > 0$, ce qui signifie que toutes les quantités dépendent du temps de la façon suivante :

$$ \mathcal{E}(\boldsymbol{x}, t) = \operatorname{Re}(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x})e^{-i\omega t}), \quad \mathcal{H}(\boldsymbol{x}, t) = \operatorname{Re}(\boldsymbol{H}(\boldsymbol{x})e^{-i\omega t}) \text{ et } \mathcal{J}(\boldsymbol{x}, t) = \operatorname{Re}(\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x})e^{-i\omega t}). $$

On obtient ainsi les équations de Maxwell dites *harmoniques* :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \operatorname{rot} \boldsymbol{E} = i\omega\mu\boldsymbol{H}, \\ \operatorname{rot} \boldsymbol{H} = -i\omega\varepsilon\boldsymbol{E} + \boldsymbol{J}. \end{array} \right. $$

Par abus de langage, on dira encore que $\boldsymbol{E}$ et $\boldsymbol{H}$ sont les champs électrique et magnétique, et $\boldsymbol{J}$ la densité de courant. Notons que les composantes des champs $\boldsymbol{E}$, $\boldsymbol{H}$ et $\boldsymbol{J}$ sont a priori à valeurs complexes. Souvent, le problème mathématique consiste à trouver $\boldsymbol{E}$ et $\boldsymbol{H}$ qui sont les inconnues alors que $\boldsymbol{J}$ est une donnée.

Dans les études mathématiques usuelles, on suppose le plus souvent que les coefficients $\varepsilon$ et $\mu$ sont des constantes strictement positives, ou des fonctions de l'espace, bornées et minorées par des constantes strictement positives. Les résultats d'analyse mathématique ou d'analyse numérique exploitent cette hypothèse de positivité. Notre objectif dans ce qui suit est de montrer que sous certaines hypothèses physiques, il peut être pertinent de considérer des coefficients négatifs.

**Construction du modèle de Drude-Lorentz** Les explications ci-dessous sont largement inspirées du cours de Raphaël Grandin de l'Institut de Physique du Globe de Paris.

Dans le vide, $\varepsilon$ et $\mu$ sont des constantes strictement positives que l'on note généralement $\varepsilon_0$ et $\mu_0$. Dans un milieu différent du vide, une onde électromagnétique modifie elle-même le milieu dans lequel elle se propage, en mettant en mouvement les charges présentes. Cela produit ce qu'on appelle la polarisation et l'aimantation. Pour décrire correctement ces phénomènes, il faudrait une théorie quantique, mais on peut raisonnablement se contenter d'une théorie qualitative, obtenue à l'aide de principes classiques.

Les modèles que nous allons décrire sont dûs à Paul Drude, physicien allemand (1863-1906), et Hendrik Antoon Lorentz, physicien hollandais (1853-1926).

On considère que les noyaux des atomes sont fixes alors que les électrons de masse $m$ et de charge $(-e)$ sont mobiles. Ces électrons subissent :

— la force de Lorentz due à la présence du champ électromagnétique,

— une force de frottement causée par les collisions avec l'environnement,

— une force de rappel, provoquée par l'interaction avec les noyaux.

Si $\mathcal{U}$ désigne la position d'un électron, son mouvement est donc décrit par une équation du type suivant :

$$ m \frac{d^2 \mathcal{U}}{dt^2} = -e \left( \mathcal{E} + \frac{d\mathcal{U}}{dt} \wedge \mu \mathcal{H} \right) - m\gamma \frac{d\mathcal{U}}{dt} - K\mathcal{U} $$
où $\gamma$ et $K$ sont des constantes positives. Si on néglige la partie de la force de Lorentz due au champ magnétique, alors $\mathcal{U}$ est parallèle au champ électrique $\mathcal{E}$. En régime périodique établi de fréquence $\omega$, le mouvement des électrons est lui-même harmonique en temps

$$ \mathcal{U}(t) = \operatorname{Re}(\boldsymbol{u} e^{-i\omega t}) $$

et l'on obtient finalement la relation suivante entre le mouvement d'un électron autour d'une position $\boldsymbol{x}$ et le champ électrique en $\boldsymbol{x}$ :

$$ \boldsymbol{u} = \frac{\frac{e}{m}}{\omega_0^2 - \omega^2 - i\omega\gamma} \boldsymbol{E} $$

où l'on a posé

$$ \omega_0 = \sqrt{\frac{K}{m}}. $$

On va tenir compte maintenant du fait que le milieu contient une densité volumique $N$ d'électrons. Ces électrons par leur mouvement créent un courant de densité

$$ \mathcal{J} = -Ne \frac{d\mathcal{U}}{dt}, \quad \text{soit} \quad \mathbf{J} = i\omega N e \boldsymbol{u}. $$

On en déduit que le courant créé par le champ électrique faisant se déplacer les électrons est lui-même proportionnel au champ électrique puisque l'on a :

$$ \mathbf{J} = \sigma \mathbf{E} \text{ avec } \sigma = \frac{-i\omega N \frac{e^2}{m}}{\omega_0^2 - \omega^2 - i\omega\gamma}. $$

Ce courant devient alors une source dans les équations de Maxwell puisqu'on rappelle que (dans le vide)

$$ \text{rot } \mathbf{H} = -i\omega\varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{J}. $$

En injectant l'expression de $\mathbf{J}$ dans cette équation, on obtient finalement une équation du type

$$ \text{rot } \mathbf{H} = -i\omega\varepsilon\mathbf{E} $$

où

$$ \varepsilon = \varepsilon_0 - \frac{\sigma}{i\omega} $$

que l'on récrit sous la forme suivante :

$$ \varepsilon = \varepsilon_0 \left( 1 - \frac{\omega_P^2}{\omega^2 - \omega_0^2 + i\omega\gamma} \right) $$

avec

$$ \omega_P^2 = \frac{Ne^2}{m\varepsilon_0}. $$

Cette pulsation $\omega_P$ est appelée la pulsation plasma (d'où le $P$).

Commentons le modèle obtenu.
— On remarque tout d'abord que la permittivité diélectrique du matériau, contrairement à celle du vide, dépend de la pulsation $\omega$ (et donc de la fréquence $\omega/2\pi$). On dit que le matériau est dispersif.

— Lorsque $\gamma > 0$, et donc $\mathrm{Im}(\varepsilon) > 0$, les collisions engendrent des pertes énergétiques dans le matériau (on parle d'effet Joule dans un métal). On dit alors que le matériau est dissipatif.

— Le choix des paramètres $\omega_0$ et $\gamma$ permet de différencier les matériaux. Ainsi par exemple, on considère que dans un métal conducteur, les électrons se déplacent librement de sorte que l'on peut supposer que $K = \omega_0 = 0$. On obtient ainsi le modèle dit de Drude. Au contraire, dans un diélectrique, les électrons bougent peu de sorte que les effets de friction peuvent être négligés et on suppose donc que $\gamma = 0$. On obtient ainsi le modèle dit de Lorentz. Autrement dit, un diélectrique n'est pas dissipatif.

— Dans le cas général où $\omega_0$ et $\gamma$ ne sont pas nuls, on parle de modèle de Drude-Lorentz. Nous allons revenir plus en détails sur le cas des métaux.

**Le cas des métaux** Comme on l'a dit plus haut, la permittivité d'un métal peut être modélisée en tant que fonction de $\omega$ par le modèle de Drude suivant

$$ \varepsilon = \varepsilon_0 \left( 1 - \frac{\omega_P^2}{\omega^2 + i\omega\gamma} \right) $$

avec $\gamma > 0$. On a donc :

$$ \mathrm{Re}(\varepsilon) = \varepsilon_0 \left( 1 - \frac{\omega_P^2}{\omega^2 + \gamma^2} \right), \quad \mathrm{Im}(\varepsilon) = \varepsilon_0 \frac{\omega_P^2 \gamma}{\omega (\omega^2 + \gamma^2)}. $$

Les deux courbes correspondantes sont représentées sur la figure 6.1. Classiquement, en électronique, les métaux sont exploités à basse fréquence, là où la partie imaginaire de $\varepsilon$ domine. C'est le classique effet Joule. Si $\omega$ est petit devant $\gamma$, on utilise l'approximation suivante de $\varepsilon$ sous la forme :

$$ \varepsilon = \varepsilon_0 \left( 1 - \frac{\omega_P^2}{i\omega\gamma} \right) = \varepsilon_0 + i\frac{\sigma}{\omega} $$

où la conductivité $\sigma$ est réelle. Ce qui est plus original et a été permis par des avancées expérimentales récentes, c'est d'exploiter le métal à plus faute fréquences, dans le domaine des fréquences optiques. Plus précisément, la plasmonique correspond à une plage de fréquences telles que $\omega$ est inférieur à $\omega_P$ mais grand devant $\gamma$, de sorte que $\varepsilon$ a une partie réelle néga-tive et une partie imaginaire négligeable. Ceci est possible pour les métaux rares tels que l'or et l'argent. Par exemple pour l'argent, on a $\gamma \approx 0,113 \mathrm{GHz}$ et $\omega_P = 13,3 \mathrm{GHz}$ (PHz signifie pétahertz, soit $10^{15} \mathrm{Hz}$). La longueur d'onde associé à la pulsation $\omega_P$ est $\lambda_P \approx 142 \mathrm{nm}$. Cette longueur d'onde se trouve dans l'ultraviolet, juste en-dessous des longueurs d'onde du domaine visible.
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 6.1 – Parties réelles et imaginaires de la permittivité d'un métal en fonction de la fréquence</figcaption></figure>

On peut dans ce cas utiliser l'approximation suivante, que l'on appelle modèle de Drude non dissipatif :

$$ \varepsilon = \varepsilon_0 \left( 1 - \frac{\omega_P^2}{\omega^2} \right). \qquad (6.1) $$

**Les métamatériaux** Nous avons vu qu'il était raisonnable dans certaines conditions de considérer qu'un métal a une permittivité réelle négative. Une question naturelle, étant donnée la symétrie apparente des équations de Maxwell, est la suivante : existe-t-il des matériaux dont la perméabilité magnétique $\mu$ est réelle négative ? A première vue, cela semble impossible car il n'existe pas de charges magnétiques ponctuelles comparables aux charges électriques que sont les électrons. Idéalement, on souhaiterait même trouver des matériaux où à la fois $\varepsilon$ et $\mu$ sont réels et négatifs. En effet, il a été montré théoriquement [22] que cela donnerait lieu à des phénomènes extraordinaires comme la réfraction négative, et permettrait par exemple de réaliser de façon simple des lentilles parfaites [21]. L'idée a été de concevoir des matériaux micro-structurés, qui puissent être modélisés lorsque la longueur d'onde est grande devant la taille des micro-structures, comme des matériaux avec constantes effectives $\varepsilon$ et $\mu$ réelles négatives. Ceci a été en effet réalisé dans le domaine des micro-ondes en assemblant de petits résonateurs. Aujourd'hui, de nombreux physiciens proposent de nouvelles idées pour réaliser des matériaux étranges. Les mathématiciens quant à eux s'intéressent à la justification du processus d'homogénéisation [7]. Signalons finalement que pour respecter les grands principes physiques tels que la causalité, $\varepsilon$ et $\mu$ doivent être de la forme suivante (ou d'une forme similaire avec
plusieurs pôles) :

$$ \varepsilon = \varepsilon_0 \left( 1 - \frac{\Omega_E^2}{\omega^2 - \omega_E^2 + i\omega\gamma_E} \right) \text{ et } \mu = \mu_0 \left( 1 - \frac{\Omega_H^2}{\omega^2 - \omega_H^2 + i\omega\gamma_H} \right) $$

avec $\gamma_{E/H} > 0$.

## 6.2 Deux effets du changement de signe des constantes électromagnétiques

### 6.2.1 Les plasmons de surface

Considérons un métal dont la permittivité est notée $\varepsilon_m$ (m pour métal) et qui occupe le demi-espace $x_2 < 0$. On suppose que le demi-espace $x_2 > 0$ est vide. Un plasmon de surface est une onde électromagnétique qui se propage parallèlement à la surface, soit par exemple dans la direction $x_1$, et qui est confinée au voisinage de la surface $x_2 = 0$. Cela nous conduit en particulier à rechercher des solutions des équations de Maxwell (sans terme source $\mathbf{J}$) indépendantes de $x_3$. Or il est bien connu (et facile à vérifier) que les équations de Maxwell se découpulent alors en deux sous-systèmes correspondant respectivement aux ondes Transverse Électriques (telles que $H_1 = H_2 = E_3 = 0$) et aux ondes Transverses Magnétiques (telles que $E_1 = E_2 = H_3 = 0$). Le plasmon est une onde Transverse Magnétique, donc nous allons nous concentrer sur ce cas.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 6.2 – Configuration géométrique pour l'étude du plasmon de surface</figcaption></figure>

On peut montrer que le couple ($\mathbf{E}$, $\mathbf{H}$) donné par

$$ \mathbf{H} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ u \end{pmatrix} \text{ et } \mathbf{E} = \frac{-1}{i\omega\varepsilon} \begin{pmatrix} \partial_2 u \\ -\partial_1 u \\ 0 \end{pmatrix} \qquad (6.2) $$

est solution des équations de Maxwell (avec $\mathbf{J} = 0$) si et seulement si la fonction scalaire $u$ vérifie l'équation

$$ \operatorname{div} \left( \frac{1}{\varepsilon} \nabla u \right) + \omega^2 \mu u = 0. \qquad (6.3) $$
Ici $\mu$ est constante, égale à $\mu_0$, et $\varepsilon$ est une fonction de $x_2$ (et de $\omega$) telle que

$$ \varepsilon(x_2) = \begin{cases} \varepsilon_m(\omega) & \text{si } x_2 < 0, \\ \varepsilon_0 & \text{si } x_2 > 0. \end{cases} $$

Dire que l'on cherche un onde guidée par la surface revient alors à chercher $u$ de la forme suivante

$$ u(x_1, x_2) = \hat{u}(x_2)e^{i\beta x_1}, \text{ avec } \hat{u} \in L^2(\mathbb{R}) \text{ et } \beta \in \mathbb{R}. \quad (6.4) $$

La condition $\hat{u} \in L^2(\mathbb{R})$ va imposer le confinement. Si on réintroduit la dépendance temporelle qui avait été éliminée dans les équations, on fait apparaître le terme

$$ e^{i(\beta x_1 - \omega t)} $$

qui correspond à une propagation dans la direction $x_1$ (si $\omega, \beta > 0$) à la vitesse $\omega/\beta$. En injectant la forme (6.4) dans l'équation (6.3), on obtient l'équation différentielle suivante portant sur $\hat{u}$ :

$$ \frac{-\beta^2}{\varepsilon(x_2)} \hat{u} + \frac{d}{dx_2} \left( \frac{1}{\varepsilon(x_2)} \frac{d\hat{u}}{dx_2} \right) + \omega^2 \mu_0 \hat{u} = 0 $$

qui doit être vérifiée, au sens des distributions, sur $\mathbb{R}$. Cela signifie que $\hat{u}$ doit vérifier d'une part ces équations différentielles à coefficients constants de part de d'autre de $x_2 = 0$ :

$$ \frac{d^2 \hat{u}}{dx_2^2} + (\omega^2 \varepsilon_0 \mu_0 - \beta^2) \hat{u} = 0 \quad \text{si } x_2 > 0, $$

$$ \frac{d^2 \hat{u}}{dx_2^2} + (\omega^2 \varepsilon_m \mu_0 - \beta^2) \hat{u} = 0 \quad \text{si } x_2 < 0, $$

et d'autre part, les relations de continuité suivantes en $x_2 = 0$ :

$$ \hat{u}(0^{-}) = \hat{u}(0^{+}) \text{ et } \frac{1}{\varepsilon_m} \frac{d\hat{u}}{dx_2}(0^{-}) = \frac{1}{\varepsilon_0} \frac{d\hat{u}}{dx_2}(0^{+}). \quad (6.5) $$

On remarque que si $\varepsilon_m$ est négatif, la dérivée de $\hat{u}$ change de signe de part et d'autre de 0, et c'est ce qui va permettre à $u$ de décroître de part et d'autre de l'interface. Plus précisément, pour que la condition $\hat{u} \in L^2(\mathbb{R})$ soit satisfaite (avec $\hat{u}$) non identiquement nul), il est nécessaire que les deux conditions suivantes soient vérifiées :

$$ \omega^2 \varepsilon_0 \mu_0 - \beta^2 =: -\gamma_0^2 < 0, \quad (6.6) $$

$$ \omega^2 \varepsilon_m \mu_0 - \beta^2 =: -\gamma_m^2 < 0. $$

Si c'est le cas, en choisissant $\gamma_0$ et $\gamma_m$ strictement positifs, on trouve que $\hat{u}$ est nécessairement de la forme suivante :

$$ \hat{u}(x_2) = \begin{cases} A_0 e^{-\gamma_0 x_2} & \text{si } x_2 > 0, \\ A_m e^{\gamma_m x_2} & \text{si } x_2 < 0, \end{cases} $$
où $A_0$ et $A_m$ sont des constantes complexes à déterminer. En injectant la forme ci-dessus dans les conditions de continuité (6.5), on obtient un système linéaire homogène de deux équations à deux inconnues en $(A_0, A_m)$ :

$$ \left| \begin{array}{l} A_0 = A_m \\ -\frac{\gamma_0}{\varepsilon_0} A_0 = \frac{\gamma_m}{\varepsilon_m} A_m \end{array} \right. \qquad (6.7) $$

qui n'a des solutions non triviales que si

$$ -\frac{\gamma_0}{\varepsilon_0} = \frac{\gamma_m}{\varepsilon_m}. $$

On voit immédiatement que ceci n'est possible que si $\varepsilon_m$ est négatif. On comprend donc pourquoi la plasmonique ne s'est développée que lorsqu'on a pu observer la surface du métal aux fréquences optiques, et donc dans une gamme de fréquences où la permittivité diélectrique du métal est (approximativement) réelle et négative.

Si $\varepsilon_m < 0$, en injectant l'expression (6.6) de $\gamma_0$ et $\gamma_m$ dans la relation ci-dessus, on obtient finalement la relation de dispersion suivante, qui nous donne le carré de la vitesse de l'onde en fonction des coefficients du milieu :

$$ \frac{\omega^2}{\beta^2} = \frac{1}{\mu_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_0} + \frac{1}{\varepsilon_m} \right), \qquad (6.8) $$

et qui fournit une seconde condition d'existence des plasmons de surface. En effet, on voit que le terme de droite de l'égalité (6.8) doit être positif, et donc que l'on doit avoir $\varepsilon_m + \varepsilon_0 < 0$.

**Remarque 6.1** Pour aller plus loin, on doit préciser la relation qui donne $\varepsilon_m$ en fonction de $\omega$. Si l'on adopte le modèle de Drude non dissipatif (6.1), on trouve que la condition $\varepsilon_m + \varepsilon_0 < 0$ se traduit en fréquence par la condition $\omega < \omega_{SP}$ où

$$ \omega_{SP} = \frac{\omega_P}{\sqrt{2}} $$

(SP pour Surface Plasmon). On peut ensuite représenter $\beta$ en fonction de $\omega$ comme sur la figure 6.3. On observe une asymptote en $\omega_{SP}$, qui se traduit par le fait que la longueur d'onde du plasmon de surface tend vers 0 lorsque $\omega$ tend vers $\omega_{SP}$. C'est aussi un phénomène très inhabituel de pouvoir générer de toutes petites longueurs d'onde sans augmenter la fréquence. On peut alors envisager d'imager de très petits objets.

### 6.2.2 La réfraction négative

Nous allons maintenant expliquer pourquoi on peut observer un phénomène de réfraction négative à l'interface entre un diélectrique (ou du vide) et un métamatériau. On va à nouveau considérer une expérience où la géométrie et le champ électromagnétique sont indépendants de la variable $x_3$. Plus précisément, on considère cette fois que le demi-espace $x_2 < 0$ est vide et que le demi-espace $x_2 > 0$ est occupé par un métamatériau tel que (à la fréquence considérée)
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 6.3 – Courbe de dispersion du plasmon de surface pour le modèle de Drude non dissipatif</figcaption></figure>

sa permittivité $\varepsilon_m$ (m pour métamatériau) et sa perméabilité magnétique $\mu_m$ sont toutes deux des réels négatifs. On se souviendra le moment venu que l'on a négligé les effets de dissipation, qui se manifesteraient par une partie imaginaire de $\varepsilon_m$ et/ou de $\mu_m$ strictement positive.

Tout comme dans le paragraphe précédent, on peut alors se restreindre au calcul d'ondes Transverses Magnétiques de la forme (6.2) où $u$ est une fonction scalaire à valeurs complexes satisfaisant (6.3). Contrairement au paragraphe précédent, nous nous intéressons ici à l'effet de l'interface sur des ondes planes qui se propagent dans une direction non parallèle à celle-ci. Ainsi par exemple, dans le vide, une onde plane correspond à une solution $u$ de la forme

$$u(x_1, x_2) = A_0 e^{i(k_1^0 x_1 + k_2^0 x_2)}$$

avec $A_0$ une amplitude complexe et $(k_1^0, k_2^0)$ un vecteur d'onde de composantes réelles, qui donne la direction de propagation de l'onde. Pour qu'une telle fonction satisfasse (6.3) dans le vide, il faut et il suffit que la relation de dispersion suivante soit vérifiée :

$$(k_1^0)^2 + (k_2^0)^2 = \omega^2 \varepsilon_0 \mu_0. \qquad (6.9)$$

Une onde qui se propage vers l'interface doit avoir une composante $k_2^0$ positive.

Dans le métamatériau, on peut également calculer des ondes planes. On a cette fois

$$u(x_1, x_2) = A_m e^{i(k_1^m x_1 + k_2^m x_2)}$$

avec $A_m$ une amplitude complexe et $(k_1^m, k_2^m)$ un vecteur d'onde de composantes réelles vérifiant la relation de dispersion

$$(k_1^m)^2 + (k_2^m)^2 = \omega^2 \varepsilon_m \mu_m. \qquad (6.10)$$

A ce niveau, le fait que $\varepsilon_m$ et $\mu_m$ soient négatifs ne semblent pas avoir d'importance puisque c'est leur produit, qui est lui positif, qui apparaît dans la relation de dispersion.
Classiquement, l'étude de la réfraction par une interface plane consiste à calculer les solutions $u$ du problème global, dans tout le plan, de la forme

$$u(x_1, x_2) = \begin{cases} e^{i(k_1^0 x_1 + k_2^0 x_2)} + Re^{i(k_1^0 x_1 - k_2^0 x_2)} & \text{pour } x_2 < 0, \\ Te^{i(k_1^m x_1 + k_2^m x_2)} & \text{pour } x_2 > 0, \end{cases}$$

avec $k_2^0 > 0$. Dans le vide, la solution est la somme d'une onde qui se propage vers l'interface (appelée onde incidente) et d'une onde réfléchie. Dans le métamatériau, la solution correspond à l'onde transmise. Les coefficients $R$ et $T$ sont des nombres complexes appelés coefficients de réflexion et de transmission. La fonction $u$ ci-dessus vérifie les équations souhaitées de part et d'autre de l'interface dès lors que les relations de dispersion (6.9) et (6.10) sont satisfaites. Pour que l'équation (6.3) soit globalement vérifiée, il faut en plus assurer les conditions de raccord à l'interface qui s'écrivent :

$$u(x_1, 0^{-}) = u(x_1, 0^{+}) \text{ et } \frac{1}{\varepsilon_0} \frac{\partial u}{\partial x_2}(x_1, 0^{-}) = \frac{1}{\varepsilon_m} \frac{\partial u}{\partial x_2}(x_1, 0^{+}), \quad \forall x_1 \in \mathbb{R}.$$

Ceci n'est possible que si $k_1^0 = k_1^m$, que nous pouvons noter $k_1$ dans la suite et choisir, sans perte de généralité tel que $k_1 \ge 0$. Les conditions de transmission conduisent alors au système linéaire suivant, pour les coefficients $R$ et $T$ :

$$\left| \begin{array}{l} 1 + R = T \\ 1 - R = \nu T \end{array} \right. \quad \text{où } \nu = \frac{k_2^m \varepsilon_0}{k_2^0 \varepsilon_m}. \qquad (6.11)$$

On vérifie que ce système est solvable si et seulement si $\nu \ne -1$.

Tous ces calculs sont très classiques lorsque l'on s'intéresse à une interface entre deux matériaux positifs (c'est-à-dire à constantes $\varepsilon$ et $\mu$ positives). Le phénomène de réfraction correspond au changement de direction de l'onde, entre l'onde incidente et l'onde transmise. L'onde incidente a pour direction le vecteur $(k_1, k_2^0)$ avec $k_1 > 0$ et $k_2^0 > 0$. Dans un matériau positif, l'onde transmise quant à elle a pour direction le vecteur $(k_1, k_2^m)$, où l'on a choisi $k_2^m > 0$ puisque l'onde transmise s'éloigne de l'interface. Ces deux vecteurs $(k_1, k_2^0)$ et $(k_1, k_2^m)$ ont leur deuxième composante $k_2$ positive : on parle de réfraction positive.

Dans le cas d'un matériau négatif, on observe une réfraction négative. Comment cela est-il possible ? On peut remarquer que dans la relation (6.10), étant donné $k_1^m = k_1$, il existe deux valeurs possibles de $k_2^m$ opposées l'une de l'autre. Et nous allons expliquer pourquoi dans le cas d'un matériau négatif, il faut choisir $k_2^m$ négatif. Une façon de s'en convaincre est, comme on l'a annoncé au début du paragraphe, de réintroduire une faible dissipation dans le métamatériau. Autrement dit, on suppose par exemple que la permittivité est égale à $\varepsilon_m + i\delta_m$ avec $\delta_m > 0$ un paramètre que l'on va faire tendre vers 0. La relation de dispersion s'écrit alors

$$k_1^2 + (k_2^m)^2 = \omega^2 (\varepsilon_m + i\delta_m) \mu_m.$$

Etant donné $k_1$, cette équation en $k_2^m$ admet deux solutions complexes opposées l'une de l'autre :

$$\pm \sqrt{\omega^2 (\varepsilon_m + i\delta_m) \mu_m - k_1^2}.$$
La solution physiquement acceptable est celle qui conduit à un champ exponentiellement décroissant loin de l'interface (et non exponentiellement croissant). Autrement dit, on veut $\mathrm{Im}(k_2^m) > 0$. On vérifie aisément, en remarquant que le nombre sous la racine a une partie réelle positive et une partie imaginaire négative, que ceci entraîne $\mathrm{Re}(k_2^m) < 0$, et donne à la limite $\delta_m = 0$ une valeur négative de $k_2^m$ comme on l'avait annoncé.

Ceci est surprenant : comment une onde qui s'éloigne de l'interface peut-elle avoir un vecteur d'onde qui pointe vers l'interface ? L'explication est que dans le métamatériau, une onde plane a une vitesse de phase opposée à sa vitesse de groupe. Autrement dit, elle se déplace comme Michael Jackson avec sa moon-walk, et avance en reculant. Donc l'onde transmise se déplace en réalité dans la direction $(-k_1, -k_2^m)$. Elle s'éloigne bien de l'interface mais a changé de direction parallèlement à l'interface, c'est la réfraction négative.

Pour conclure, on peut noter que dans le cas idéal où $\varepsilon_m = -\varepsilon_0$ et $\mu_m = -\mu_0$, $k_2^m = -k_2^0$ et le coefficient $\nu$ qui apparaît dans le système (6.11) est égal à 1. La transmission est parfaite dans ce cas et la réflexion nulle.
# Notes de cours 7

## Etude des problèmes de transmission avec changement de signe : premiers résultats

Nous avons vu au chapitre précédent qu'il pouvait être pertinent et intéressant de considérer des problèmes d'électromagnétisme où les coefficients $\varepsilon$ et/ou $\mu$ changent de signe dans le milieu. Dans ce chapitre et le suivant, nous allons nous intéresser à un problème modèle très simple de ce type, faisant intervenir un coefficient variable noté $\sigma$ qui change de signe (mais sans s'annuler) dans le domaine. Ce problème écrit sous forme faible fait intervenir une forme bilinéaire qui n'est pas coercive, à cause du changement de signe de $\sigma$. L'objet de ce chapitre est de montrer à l'aide de la T-coercivité que, sous certaines conditions sur les coefficients et/ou sur la géométrie, le problème est bien posé. On verra aussi brièvement comment assurer la convergence d'une méthode de discrétisation.

### 7.1 Description du problème de transmission

On note $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^d$, où $d > 1$ (en pratique on s'intéressera aux cas $d = 2$ et $d = 3$). On suppose qu'il existe une interface $\Sigma$ (une courbe si $d = 2$ et une surface si $d = 3$) telle que $\Omega = \Sigma \cup \Omega_1 \cup \Omega_2$, où $\Omega_1$ et $\Omega_2$ sont deux ouverts disjoints tels que $\partial\Omega_1 \cap \partial\Omega_2 = \Sigma$. On suppose enfin que $\Omega$, $\Omega_1$ et $\Omega_2$ ont chacun une frontière lipschitzienne, et on note $\Gamma_j = \partial\Omega_j \cap \partial\Omega$, $j = 1, 2$ (on peut avoir $\Gamma_1 = \emptyset$ ou $\Gamma_2 = \emptyset$, voir l'exemple de droite de la figure 7.1 pour lequel $\Gamma_2 = \emptyset$). On introduit alors $\sigma$ une fonction telle que

$$ \sigma \in L^{\infty}(\Omega) \text{ et } \frac{1}{\sigma} \in L^{\infty}(\Omega), \text{ avec } \sigma(\mathbf{x}) > 0 \text{ p.p. } \mathbf{x} \in \Omega_1 \text{ et } \sigma(\mathbf{x}) < 0 \text{ p.p. } \mathbf{x} \in \Omega_2, \quad (7.1) $$

(7.2)

et on pose

$$ a(v, w) = \int_{\Omega} \sigma \nabla v \cdot \nabla w \, d\Omega \quad \text{et} \quad \ell(w) = \int_{\Omega} fw \, d\Omega. \quad (7.3) $$
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE 7.1 – Exemples de domaines considérés</figcaption></figure>

On cherche alors à résoudre, pour $f \in L^2(\Omega)$, le problème suivant :

$$ (P) \quad \begin{cases} \text{Trouver } u \in H_0^1(\Omega) \text{ tel que} \\ \forall w \in H_0^1(\Omega), \quad a(u, w) = l(w). \end{cases} $$

Le problème (P) peut être reformulé de façon équivalente :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u \in H_0^1(\Omega) \text{ tel que} \\ -\operatorname{div}(\sigma \nabla u) = f \text{ dans } \Omega \end{array} \right. $$

où l'équation aux dérivées partielles peut s'écrire

$$ -\sum_{j=1}^{d} \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \sigma \frac{\partial u}{\partial x_j} \right) = f $$

et est à prendre au sens des distributions.

Compte tenu des hypothèses sur la fonction $\sigma$, la forme bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$ n'est pas coercive. En effet, on peut trouver une fonction $u^+ \in H_0^1(\Omega)$ et une fonction $u^- \in H_0^1(\Omega)$ telles que $a(u^+, u^+) > 0$ et $a(u^-, u^-) < 0$.<fnref n="1" /> Il suffit alors de remarquer que la fonction $t \mapsto a(tu^+ + (1-t)u^-, tu^+ + (1-t)u^-)$ qui est continue s'annule nécessairement pour une valeur de $t$ entre 0 et 1. Autrement dit, il existe $u \in H_0^1(\Omega)$, $u \neq 0$, tel que $a(u, u) = 0$.

Dans la suite, pour $v \in L^2(\Omega)$, on note $v_j = v_{|\Omega_j}$ pour $j = 1, 2$.

On s'intéressera plus particulièrement au cas où $\sigma$ est une fonction constante par morceaux, telle que

$$ \sigma(\boldsymbol{x}) = \sigma_j \quad \text{p.p.} \ \boldsymbol{x} \in \Omega_j, \ j = 1, 2. \tag{7.4} $$

D'après (7.1), on a dans ce cas $\sigma_1 > 0$ et $\sigma_2 < 0$, et on appelle $\kappa_\sigma = \sigma_2/\sigma_1 < 0$ le contraste.

<footnote n="1">1. C'est évident si $\sigma$ est une fonction localement continue au voisinage d'un point où elle prend une valeur strictement positive et au voisinage d'un point où elle prend une valeur strictement négative, mais c'est également vrai dans le cas général (en considérant des points de Lebesgue de la fonction).</footnote>
**Exercice :** Sous l'hypothèse (7.4), montrer que le couple $(u_1, u_2)$ vérifie

$$ egin{cases} -\Delta u_j = \frac{f}{\sigma_j} \text{ dans } \Omega_j, j = 1, 2, \\ u_j = 0 \text{ sur } \Gamma_j, j = 1, 2, \\ u_1 = u_2 \text{ sur } \Sigma, \\ \sigma_1 \frac{\partial u_1}{\partial n_\Sigma} = \sigma_2 \frac{\partial u_2}{\partial n_\Sigma} \text{ sur } \Sigma, \end{cases} \qquad (7.5) $$

où $\partial/\partial n_\Sigma$ désigne la dérivée normale sur $\Sigma$, la normale $n_\Sigma$ étant orientée par exemple de $\Omega_1$ vers $\Omega_2$.

Observons que la dernière équation de (7.5) peut se réécrire comme suit

$$ \frac{\partial u_1}{\partial n_{\Sigma}} = \kappa_{\sigma} \frac{\partial u_2}{\partial n_{\Sigma}} \text{ sur } \Sigma. $$

Toute la difficulté vient du fait que $\kappa_\sigma$ est négatif.

## 7.2 La T-coercivité

La forme bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$ n'étant pas coercive, nous ne pouvons pas espérer montrer le caractère bien posé du problème (P) à l'aide du théorème de Lax-Migram. Nous allons utiliser le concept de T-coercivité, déjà introduite dans le §2.3.4. On rappelle les résultats principaux ci-dessous.

**Définition 7.1** Soit V un espace de Hilbert et $a(\cdot, \cdot)$ une forme bilinéaire continue de $V \times V$ (dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). On dit que la forme bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$ est T-coercive sur V s'il existe $T \in \mathcal{L}(V)$ bijective telle que la forme bilinéaire $(v, w) \mapsto a(v, Tw)$ est coercive sur V.

On a alors le résultat suivant :

**Théorème 7.2** Soit V un espace de Hilbert, $a(\cdot, \cdot)$ une forme bilinéaire continue sur $V \times V$ et $\ell$ une forme linéaire continue sur V. On suppose de plus que la forme bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$ est T-coercive sur V. Alors le problème

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u \in V \text{ tel que} \\ \forall w \in V, \quad a(u, w) = \ell(w), \end{array} \right. \qquad (7.6) $$

est bien posé.

**Démonstration :** La preuve est immédiate. En effet, le problème (7.6) est équivalent au problème suivant

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u \in V \text{ tel que} \\ \forall v \in V, \quad a(u, Tv) = \ell(Tv), \end{array} \right. $$
qui est bien posé d'après le théorème de Lax-Milgram.

Supposons qu'on soit dans le cadre du théorème précédent. Que peut-on en déduire concernant l'approximation du problème ? La situation favorable est décrite dans le théorème suivant :

**Théorème 7.3** *Sous les hypothèses du théorème 7.2, on note $V_h$ un sous-espace de dimension finie de $V$ tel que*

$$ T(V_h) \subset V_h. \tag{7.7} $$

Alors le problème approché

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u_h \in V_h \text{ tel que} \\ \forall w_h \in V_h, \quad a(u_h, w_h) = \ell(w_h), \end{array} \right. \tag{7.8} $$

est bien posé, et il existe une constante $C > 0$, indépendante du choix de $V_h$, telle que

$$ \|u - u_h\|_V \le C \inf_{v_h \in V_h} \|u - v_h\|_V \tag{7.9} $$

où $u$ désigne la solution du problème (7.6) et $u_h$ celle du problème (7.8).

**Démonstration** : On peut tout d'abord remarquer que nécessairement $T(V_h) = V_h$, puisque $T$ est bijective. Par conséquent, le problème suivant est équivalent à (7.8) :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u_h \in V_h \text{ tel que} \\ \forall v_h \in V_h, \quad a(u_h, Tv_h) = \ell(Tv_h). \end{array} \right. \tag{7.10} $$

Il suffit alors de raisonner comme dans la démonstration du lemme de Céa (théorème 3.4) : on a

$$ a(u_h, T(u_h - v_h)) = 0 \quad \forall v_h \in V_h, $$

d'où

$$ a(u - u_h, T(u - u_h)) = a(u - u_h, T(u - v_h)). $$

On en déduit que pour tout $v_h \in V_h$

$$ \underline{\|u - u_h\|_V^2} \le |a(u - u_h, T(u - u_h))| = |a(u - u_h, T(u - v_h))| \le \|a\| \|T\| \|u - u_h\|_V \|u - v_h\|_V $$

où $\underline{\alpha} > 0$ est la constante de T-coercivité. Le résultat s'en déduit avec $C = \|a\| \|T\| / \underline{\alpha}$.

L'objectif dans la suite du chapitre est de construire des applications linéaires continues $T$ telles que la forme bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$ définie en (7.3) soit $T$-coercive. Une remarque fondamentale est que $T$ n'est pas unique. D'une part, il est clair que si $T$ convient, alors $\lambda T$ convient également pour tout $\lambda \ne 0$ (avec $|\lambda| \underline{\alpha}$ la constante de $T$-coercivité). D'autre part, on va proposer dans la suite plusieurs catégories possibles d'applications $T$.
## 7.3 Le cas des contrastes grands ou petits

On cherche donc $T \in \mathcal{L}(H_0^1(\Omega))$ bijective pour laquelle

$$ \exists \underline{\alpha} > 0 \text{ tel que } \forall u \in H_0^1(\Omega) \quad \left| \int_{\Omega} \sigma \nabla u \cdot \nabla(Tu) \, d\Omega \right| \geq \underline{\alpha} \int_{\Omega} |\nabla u|^2 \, d\Omega. \quad (7.11) $$

On remarque qu'on a utilisé ici le fait que la semi-norme $|\cdot|_{1,\Omega}$ est une norme sur $H_0^1(\Omega)$ grâce à l'inégalité de Poincaré.

On se place sous l'hypothèse (7.4), c'est-à-dire que $\sigma$ prend deux valeurs constantes de signes opposés de part et d'autre de $\Sigma$. La difficulté venant du changement de signe de $\sigma$, on souhaiterait que l'application $T$ combatte en quelque sorte ce changement de signe. Un choix tentant serait de poser $Tu = u$ là où $\sigma$ est positif, et $Tu = -u$ là où $\sigma$ est négatif. Mais malheureusement, ceci n'est pas possible puisque $Tu$ ainsi défini n'appartient pas en général à $H^1(\Omega)$. En effet, si $u$ ne s'annule pas sur l'interface $\Sigma$, alors $Tu$ construit ainsi aurait un saut de trace à travers $\Sigma$, égal à $2u$. L'idée est alors de corriger cette définition pour rétablir l'appartenance de $Tu$ à $H^1(\Omega)$ (et à $H_0^1(\Omega)$).

On notera dans la suite pour $j = 1, 2$

$$ H_{0,\Gamma_j}^1(\Omega_j) = \{v_j \in H^1(\Omega_j) \text{ tel que } v_{j|_{\Gamma_j}} = 0\}. $$

Notons que, si $\Gamma_j = \emptyset$, alors $H_{0,\Gamma_j}^1(\Omega_j) = H^1(\Omega_j)$. Si $\Gamma_j \neq \emptyset$, les fonctions de $H_{0,\Gamma_j}^1(\Omega_j)$, qui s'annulent par définition sur $\Gamma_j$, ne s'annulent pas, en général, sur $\Sigma$. Enfin, on peut vérifier que l'on a l'égalité $H_{0,\Gamma_j}^1(\Omega_j) = \{v \in L^2(\Omega_j) \text{ tel que } \exists \tilde{v} \in H_0^1(\Omega), v = \tilde{v}|_{\Omega_j}\}$.

**Lemme 7.4** Soit $\mathbb{R}$ une application linéaire continue de $H_{0,\Gamma_1}^1(\Omega_1)$ dans $H_{0,\Gamma_2}^1(\Omega_2)$ telle que

$$ \forall u_1 \in H_{0,\Gamma_1}^1(\Omega_1) \quad (Ru_1)|_{\Sigma} = (u_1)|_{\Sigma} \quad (7.12) $$

Alors $T$ défini pour tout $u \in H_0^1(\Omega)$ par

$$ Tu = \begin{cases} u_1 & \text{dans } \Omega_1 \\ -u_2 + 2Ru_1 & \text{dans } \Omega_2 \end{cases} \quad (7.13) $$

appartient à $\mathcal{L}(H_0^1(\Omega))$, et vérifie

$$ (T \circ T)u = u \quad \forall u \in H_0^1(\Omega). $$

C'est donc en particulier une application bijective.

**Démonstration** : On peut vérifier que les traces de $Tu$ de part et d'autre de $\Sigma$ coïncident bien puisqu'on a sur $\Sigma$ :

$$ u_1 = -u_2 + 2Ru_1 = -u_1 + 2u_1, $$
où l'on a utilisé (7.12) et la continuité de $u$ à travers $\Sigma$ (voir le théorème 1.35). Il est alors facile de vérifier que $Tu \in H_0^1(\Omega)$. La continuité de $T$ résulte ensuite de la continuité de $R$. Enfin, un calcul simple montre que

$$ (T \circ T)u = \begin{cases} u_1 & \text{dans } \Omega_1 \\ -(Tu)_2 + 2Ru_1 = -(u_2 + 2Ru_1) + 2Ru_1 = u_2 & \text{dans } \Omega_2 \end{cases} $$

et on a bien $(T \circ T)u = u$ comme annoncé.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

**Remarque 7.5** Il existe de nombreuses applications $R$ remplissant les conditions du lemme. On peut penser par exemple au relèvement harmonique, qui consiste à poser $Ru = \phi$ où $\phi$ est l'unique solution du problème suivant :

$$ \Delta\phi = 0 \text{ dans } \Omega_2, \quad \phi = 0 \text{ sur } \Gamma_2 \quad \text{et} \quad \phi = u_1 \text{ sur } \Sigma. $$

Nous allons maintenant chercher à voir sous quelles conditions $a(\cdot, \cdot)$ est $T$-coercive, pour une application $T$ de la forme (7.13).

**Théorème 7.6** On suppose qu'il existe $R \in \mathcal{L}(H_{0,\Gamma_1}^1(\Omega_1), H_{0,\Gamma_2}^1(\Omega_2))$, vérifiant (7.12), et telle que pour une constante $C > 0$, on a :

$$ \int_{\Omega_2} |\nabla (Ru_1)|^2 d\Omega \le C \int_{\Omega_1} |\nabla u_1|^2 d\Omega, \quad \forall u_1 \in H_{0,\Gamma_1}^1(\Omega_1). \quad (7.14) $$

Alors la forme bilinéaire

$$ a : (v, w) \mapsto \int_{\Omega} \sigma \nabla v \cdot \nabla w \, d\Omega $$

est $T$-coercive sur $H_0^1(\Omega)$ dès que le contraste $\kappa_\sigma = \sigma_2/\sigma_1$ vérifie

$$ \kappa_\sigma > - \frac{1}{\|\mathbf{R}\|^2} \quad (7.15) $$

où l'on a posé

$$ \|\mathbf{R}\| = \sup_{\substack{u_1 \in H_{0,\Gamma_1}^1(\Omega_1), u_1 \neq 0 \\ \|\mathbf{R}\| = \sqrt{\int_{\Omega_2} |\nabla (Ru_1)|^2 d\Omega} \\ \|\mathbf{R}\| = \sqrt{\int_{\Omega_1} |\nabla u_1|^2 d\Omega}}} $$

**Remarque 7.7** Lorsque $\Gamma_1 \neq \emptyset$ et $\Gamma_2 \neq \emptyset$ (voir la figure 7.1 à gauche), alors (7.14) équivaut à la continuité de $R$. En effet, on a à la fois une inégalité de Poincaré sur $\Omega_1$ et sur $\Omega_2$ ; par conséquent la semi-norme $|\cdot|_{1,\Omega_1}$ est équivalente à la norme $\|\cdot\|_{H^1(\Omega_1)}$ dans $H_{0,\Gamma_1}^1(\Omega_1)$, et il en est de même dans $H_{0,\Gamma_2}^1(\Omega_2)$. Dans ce cas et avec ce choix de norme, $\|\mathbf{R}\|$ est donc égal au module de continuité $\|\mathbf{R}\|$. Dans la situation où soit $\Gamma_1$ est vide, soit $\Gamma_2$ est vide (voir la figure 7.1 à droite), on renvoie à l'exercice page 89.
**Démonstration :** Prenons $u \in H_0^1(\Omega)$ et calculons $a(u, Tu)$. Par définition, on a

$$a(u, Tu) = \sigma_1 \int_{\Omega_1} |\nabla u_1|^2 d\Omega + \sigma_2 \int_{\Omega_2} \nabla u_2 \cdot (-\nabla u_2 + 2\nabla(\mathbf{R}u_1)) d\Omega.$$

On en déduit en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz et les propriétés de $\sigma$ que

$$a(u, Tu) \geq \int_{\Omega} |\sigma| |\nabla u|^2 d\Omega - 2|\sigma_2| \sqrt{\int_{\Omega_2} |\nabla u_2|^2 d\Omega} \sqrt{\int_{\Omega_2} |\nabla(\mathbf{R}u_1)|^2 d\Omega}$$

qui implique, par définition de $\|\mathbf{R}\|$ :

$$a(u, Tu) \geq \int_{\Omega} |\sigma| |\nabla u|^2 d\Omega - 2|\sigma_2| \|\mathbf{R}\| \sqrt{\int_{\Omega_2} |\nabla u_2|^2 d\Omega} \sqrt{\int_{\Omega_1} |\nabla u_1|^2 d\Omega}.$$

L'inégalité de Young nous dit alors que pour tout $\delta > 0$, on a

$$2\sqrt{\int_{\Omega_2} |\nabla u_2|^2 d\Omega} \sqrt{\int_{\Omega_1} |\nabla u_1|^2 d\Omega} \leq \delta \int_{\Omega_2} |\nabla u_2|^2 d\Omega + \frac{1}{\delta} \int_{\Omega_1} |\nabla u_1|^2 d\Omega.$$

En combinant les deux dernières inégalités, on trouve que pour tout $\delta > 0$, on a

$$a(u, Tu) \geq \left( \sigma_1 - \frac{1}{\delta} |\sigma_2| \|\mathbf{R}\| \right) \int_{\Omega_1} |\nabla u_1|^2 d\Omega + |\sigma_2| (1 - \delta \|\mathbf{R}\|) \int_{\Omega_2} |\nabla u_2|^2 d\Omega,$$

ce qui prouve la T-coercivité à condition que

$$\frac{|\sigma_2| \|\mathbf{R}\|}{\sigma_1} < \delta < \frac{1}{\|\mathbf{R}\|},$$

d'où le résultat.

Nous venons de montrer que si le contraste est assez petit en valeur absolue, bien qu'il soit négatif, la forme bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$ est T-coercive, de sorte que le problème de transmission (P) est bien posé. Dans notre approche, nous avons choisi d'introduire le terme correctif $Ru_1$ dans la définition de $Tu$ sur $\Omega_2$. Mais on peut sans rien changer au problème multiplier $\sigma$ et $f$ par $-1$, ce qui revient à inverser les rôles de $\Omega_1$ et $\Omega_2$. Cela nous conduit à considérer $\mathbf{R} \in \mathcal{L}(H_{0,\Gamma_2}^1(\Omega_2), H_{0,\Gamma_1}^1(\Omega_1))$, vérifiant

$$\forall u_2 \in H_{0,\Gamma_2}^1(\Omega_2) \quad (\mathbf{R}u_2)|_{\Sigma} = (u_2)|_{\Sigma}, \qquad (7.16)$$

et $T \in \mathcal{L}(H_0^1(\Omega))$ définie pour tout $u \in H_0^1(\Omega)$ par

$$Tu = \begin{cases} u_1 - 2\mathbf{R}u_2 & \text{dans } \Omega_1 \\ -u_2 & \text{dans } \Omega_2 \end{cases} \qquad (7.17)$$

On montre ainsi exactement de la même façon que le problème (P) est bien posé pour des contrastes assez grands en valeur absolue, à condition d'avoir également une condition de Dirichlet sur une partie du bord de $\Omega_2$ (ce qui est vrai pour le domaine de gauche mais ne l'est pas pour le domaine de droite de la figure 7.1). Tout ceci est résumé dans le théorème suivant.
**Théorème 7.8** Soient $\mathbf{R}_{1\to 2} \in \mathcal{L}(H_{0,\Gamma_1}^1(\Omega_1), H_{0,\Gamma_2}^1(\Omega_2))$, $\mathbf{R}_{2\to 1} \in \mathcal{L}(H_{0,\Gamma_2}^1(\Omega_2), H_{0,\Gamma_1}^1(\Omega_1))$ telles que

$$ \forall u_1 \in H_{0,\Gamma_1}^1(\Omega_1), \forall u_2 \in H_{0,\Gamma_2}^1(\Omega_2) \quad (\mathbf{R}_{1\to 2}u_1)|_{\Sigma} = (u_1)|_{\Sigma} \quad \text{et} \quad (\mathbf{R}_{2\to 1}u_2)|_{\Sigma} = (u_2)|_{\Sigma}, \quad (7.18) $$

et telles que pour une constante $C > 0$ :

$$ \left| \begin{array}{l} \displaystyle \int_{\Omega_2} |\nabla(\mathbf{R}_{1\to 2}u_1)|^2 d\Omega \le C \int_{\Omega_1} |\nabla u_1|^2 d\Omega, \quad \forall u_1 \in H_{0,\Gamma_1}^1(\Omega_1), \\ \\ \displaystyle \int_{\Omega_1} |\nabla(\mathbf{R}_{2\to 1}u_2)|^2 d\Omega \le C \int_{\Omega_2} |\nabla u_2|^2 d\Omega, \quad \forall u_2 \in H_{0,\Gamma_2}^1(\Omega_2). \end{array} \right. \quad (7.19) $$

Alors la forme bilinéaire

$$ a : (v, w) \mapsto \int_{\Omega} \sigma \nabla v \cdot \nabla w \, d\Omega $$

est T-coercive sur $H_0^1(\Omega)$ dès que le contraste $\kappa_\sigma$ vérifie

$$ \kappa_\sigma \notin \left[ -\|\mathbf{R}_{2\to 1}\|^2, -\frac{1}{\|\mathbf{R}_{1\to 2}\|^2} \right], \quad (7.20) $$

où l'on a posé

$$ \|\mathbf{R}_{1\to 2}\| = \sup_{\substack{u_1 \in H_{0,\Gamma_1}^1(\Omega_1), u_1 \neq 0 \\ \sqrt{\int_{\Omega_2} |\nabla(\mathbf{R}_{1\to 2}u_1)|^2 d\Omega} \le \frac{1}{\sqrt{\int_{\Omega_1} |\nabla u_1|^2 d\Omega}}}} \frac{\sqrt{\int_{\Omega_2} |\nabla(\mathbf{R}_{1\to 2}u_1)|^2 d\Omega}}{\sqrt{\int_{\Omega_1} |\nabla u_1|^2 d\Omega}}, \text{ et} $$

$$ \|\mathbf{R}_{2\to 1}\| = \sup_{\substack{u_2 \in H_{0,\Gamma_2}^1(\Omega_2), u_2 \neq 0 \\ \sqrt{\int_{\Omega_1} |\nabla(\mathbf{R}_{2\to 1}u_2)|^2 d\Omega} \le \frac{1}{\sqrt{\int_{\Omega_2} |\nabla u_2|^2 d\Omega}}}} \frac{\sqrt{\int_{\Omega_2} |\nabla(\mathbf{R}_{2\to 1}u_2)|^2 d\Omega}}{\sqrt{\int_{\Omega_1} |\nabla u_1|^2 d\Omega}}. $$

Sous cette condition, le problème de transmission (P) est bien posé.

**Exercice :** On se place dans le domaine de droite de la figure 7.1. Montrer qu'il n'existe pas d'application linéaire $\mathbf{R}_{2\to 1}$ de $H_{0,\Gamma_2}^1(\Omega_2)$ dans $H_{0,\Gamma_1}^1(\Omega_1)$ vérifiant (7.16), et telle que

$$ \exists C > 0, \forall u_2 \in H_{0,\Gamma_2}^1(\Omega_2), \quad \int_{\Omega_1} |\nabla(\mathbf{R}_{2\to 1}u_2)|^2 d\Omega \le C \int_{\Omega_2} |\nabla u_2|^2 d\Omega. $$

Pour cela, on considérera $u_2$ constant dans $\Omega_2$.
Pour le domaine situé à droite sur la figure 7.1, on ne peut donc pas appliquer la démarche proposée au théorème 7.8 pour démontrer que le problème est bien posé pour un contraste assez proche de 0. Néanmoins le résultat demeure vrai et peut se démontrer par une construction légèrement différente de l'application T.

Notons finalement que dans le cas où $\sigma$ est une fonction variable dans chaque sous-domaine, on peut montrer que le problème (P) est bien posé dès lors que

$$ \frac{\sup_{x \in \Omega_2} |\sigma_2(\mathbf{x})|}{\inf_{x \in \Omega_1} \sigma_1(\mathbf{x})} < \frac{1}{\|\mathbb{R}_{1 \to 2}\|^2} \quad \text{ou} \quad \frac{\inf_{x \in \Omega_2} |\sigma_2(\mathbf{x})|}{\sup_{x \in \Omega_1} \sigma_1(\mathbf{x})} > \|\mathbb{R}_{2 \to 1}\|^2. $$
# Notes de cours 8

## Etude des problèmes de transmission avec changement de signe : compléments

Le premier objectif de ce chapitre est de préciser le résultat obtenu au chapitre 7 pour certaines configurations géométriques simples. On cherche en particulier à déterminer toutes les valeurs possibles du contraste conduisant à un problème bien posé. On montre également comment généraliser la notion de T-coercivité, pour traiter les problèmes bien posés au sens de l’alternative de Fredholm. On repart pour cela du problème (P), sous les hypothèses (7.1)-(7.3), avec un coefficient $\sigma$ constant par morceaux (7.4). On note $\kappa_{\sigma} = \sigma_2/\sigma_1 < 0$ le contraste.

### 8.1 Le cas des domaines symétriques

On va considérer dans ce paragraphe le cas particulier où le domaine $\Omega$ est symétrique par rapport à l'interface $\Sigma$. Pour fixer les idées, on note $\boldsymbol{x} = (x, y, z)$ si on est dans $\mathbb{R}^3$ et $\boldsymbol{x} = (x, y)$ si on est dans $\mathbb{R}^2$, et on suppose que $\Sigma$ est contenu dans l'hyperplan $x = 0$. On note alors $S$

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE 8.1 – Exemple de domaine symétrique</figcaption></figure>

l'application qui à $\boldsymbol{x}$ associe son symétrique par rapport à l'axe $x = 0$. Autrement dit,

$$S(x, y, z) = (-x, y, z) \text{ en 3D, et } S(x, y) = (-x, y) \text{ en 2D.}$$

On démontre alors le résultat suivant.

**Théorème 8.1** *Supposons que $S(\Omega_1) = \Omega_2$. Alors le problème (P) est bien posé si et seulement si le contraste $\kappa_{\sigma}$ est différent de $-1$.*
**Démonstration :**

**Etape 1 :** supposons que $\kappa_\sigma \neq -1$ et montrons que le problème (P) est bien posé. D'après le théorème 7.8, il suffit de construire des applications $\mathbf{R}_{1\to 2}$ et $\mathbf{R}_{2\to 1}$ de normes égales à 1. Or ceci est réalisé de façon très simple en posant

$$ \mathbf{R}_{1\to 2}u_1 = u_1 \circ S \text{ et } \mathbf{R}_{2\to 1}u_2 = u_2 \circ S. $$

En effet, d'une part la condition (7.18) est bien vérifiée puisque pour $x \in \Sigma$, $Sx = x$. D'autre part, par exemple en 2D :

$$ \begin{aligned} \int_{\Omega_2} |\nabla(u_1 \circ S)|^2 d\Omega &= \int_{\Omega_2} \left[ \left( -\frac{\partial u_1}{\partial x}(-x, y) \right)^2 + \left( \frac{\partial u_1}{\partial y}(-x, y) \right)^2 \right] dxdy \\ &= \int_{\Omega_1} \left[ \left( \frac{\partial u_1}{\partial x}(x, y) \right)^2 + \left( \frac{\partial u_1}{\partial y}(x, y) \right)^2 \right] dxdy \\ &= \int_{\Omega_1} |\nabla u_1|^2 d\Omega. \end{aligned} $$

**Etape 2 :** il reste à montrer que le problème (P) est mal posé quand $\kappa_\sigma = -1$. Pour cela, il suffit de remarquer que dans ce cas, le problème admet un noyau de dimension infinie. Autrement dit, lorsque $f = 0$, (P) admet un espace de solutions de dimension infinie. D'après (7.5), un élément du noyau est une fonction $u$ telle que $(u_1, u_2)$ est solution du problème suivant

$$ \left| \begin{array}{l} -\Delta u_j = 0 \text{ dans } \Omega_j, j = 1, 2, \\ u_j = 0 \text{ sur } \Gamma_j, j = 1, 2, \\ u_1 = u_2 \text{ sur } \Sigma, \\ \frac{\partial u_1}{\partial x} = -\frac{\partial u_2}{\partial x} \text{ sur } \Sigma, \end{array} \right. \qquad (8.1) $$

puisque la normale à $\Sigma$ est orientée selon $x$.

Notons $V_\Sigma$ l'espace des traces des fonctions de $H_0^1(\Omega)$ sur $\Sigma$ (qui est de dimension infinie) :

$$ V_{\Sigma} = \{ \lambda \in L^2(\Sigma) \text{ tel que } \exists u \in H_0^1(\Omega), \lambda = u|_{\Sigma} \}. $$

Alors pour tout $\varphi \in V_\Sigma$, il existe un unique $u \in H_0^1(\Omega)$ tel que $u|_\Sigma = \varphi$ et tel que pour $j = 1, 2$, $\Delta u = 0$ dans $\Omega_j$. Il suffit en effet pour s'en convaincre de considérer le problème de Dirichlet suivant (dont on sait qu'il est bien posé [15]) dans chaque sous-domaine $\Omega_j$ :

$$ \left| \begin{array}{l} -\Delta u_j = 0 \text{ dans } \Omega_j, \\ u_j = 0 \text{ sur } \Gamma_j, \\ u_j = \varphi \text{ sur } \Sigma. \end{array} \right. \qquad (8.2) $$

Mais par ailleurs, posons $\tilde{u}_2 = u_1 \circ S$, soit par exemple en 2D,

$$ \tilde{u}_2(x, y) = u_1(-x, y) \quad \forall (x, y) \in \Omega_2. $$

On vérifie alors aisément que $\tilde{u}_2$ est solution du même problème de Dirichlet (8.2) dans $\Omega_2$ que $u_2$. Par unicité du problème de Dirichlet, on en déduit que $u_2 = \tilde{u}_2 = u_1 \circ S$. Autrement dit, la fonction $u$ est symétrique par rapport à $\Sigma$. En 2D par exemple, on a donc

$$ u(-x, y) = u(x, y) \quad \forall (x, y) \in \Omega, $$
d'où l'on déduit que

$$ \frac{\partial u_1}{\partial x}(0, y) = -\frac{\partial u_2}{\partial x}(0, y) \quad \forall (0, y) \in \Sigma. $$

Donc $(u_1, u_2)$ est une solution de (8.1). On a ainsi construit pour chaque $\varphi$ un élément du noyau, et il est facile d’en conclure que la dimension du noyau est, tout comme celle de $V_\Sigma$, infinie. ■

Supposons maintenant que l'on ait $S(\Omega_1) = \Omega_2$ et que le contraste $\kappa_\sigma$ soit différent de $-1$, de sorte que le problème $(P)$ soit bien posé. On veut alors le résoudre par éléments finis. D'après le théorème 7.3, on peut énoncer le résultat suivant :

**Théorème 8.2** Supposons que $S(\Omega_1) = \Omega_2$ et que le contraste $\kappa_\sigma$ est différent de $-1$. Soit $V_h$ un sous-espace de dimension finie de $H_0^1(\Omega)$ tel que

$$ \forall u_h \in V_h \quad u_h \circ S \in V_h. \qquad (8.3) $$

Alors le problème approché (où $a(\cdot, \cdot)$ et $\ell(\cdot)$ sont définies par (7.3))

$$ (P_h) \quad \left\{ \begin{array}{ll} \text{Trouver } u_h \in V_h \text{ tel que} & \\ \forall w_h \in V_h, \quad a(u_h, w_h) = \ell(w_h). & \end{array} \right. $$

est bien posé, et on a l'estimation d'erreur (7.9) où u désigne la solution du problème exact $(P)$ et $u_h$ celle du problème approché $(P_h)$.

**Démonstration** : D'après le théorème 7.3, il suffit de vérifier que la condition (8.3) implique que $T(V_h) \subset V_h$, pour les applications $T$ suivantes :

$$ T u_h = \begin{cases} (u_h)_1 & \text{dans } \Omega_1 \\ -(u_h)_2 + 2(u_h)_1 \circ S & \text{dans } \Omega_2 \end{cases}, \quad \text{et} \quad T u_h = \begin{cases} (u_h)_1 - 2(u_h)_2 \circ S & \text{dans } \Omega_1 \\ -(u_h)_2 & \text{dans } \Omega_2 \end{cases}, \qquad (8.4) $$

ce qui est effectivement le cas. ■

Concrètement, cela signifie que pour résoudre $(P)$ par éléments finis et assurer la convergence de la méthode, il suffit de construire un maillage symétrique (et d'utiliser le même ordre pour les éléments finis de part et d'autre de l'interface). En pratique, on observe en effet de bien meilleurs résultats lorsque l'on utilise un maillage symétrique, même si la méthode semble converger avec un maillage quelconque (ce qui est prouvé sous certaine conditions moins fortes que la symétrie du maillage). Pour fixer les idées, on introduit en 2D le domaine (voir la figure 8.2)

$$ \Omega =] -1, 1[\times]0, 1[ \text{ et } \Omega_2 =]0, 1[\times]0, 1[. $$

Les résultats suivants sont tirés de [11]. On reproduit trois exemples de maillages à la figure 8.3 : tous ces maillages sont conformes à l'interface, c'est-à-dire que tous les triangles sont soit inclus dans $\bar{\Omega}_1$, soit dans $\bar{\Omega}_2$. Pour réaliser les tests et calculer précisément l'erreur, on se donne la solution exacte $u$, qu'on choisit régulière par morceaux, et on calcule la donnée $f$ correspondante. On construit la formulation variationnelle (7.8) à l'aide d'éléments finis de Lagrange $P_1$ : les espaces discrets $(V_h)_h$ sont construits à partir d'une famille de maillages
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIGURE 8.2 – Domaine symétrique "type"</figcaption></figure>

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 8.3 – Trois exemples de maillages, non-symétrique en haut à gauche, symétrique en haut à droite, et localement symétrique au voisinage de l'interface en bas.</figcaption></figure>

régulière. Comme la solution est régulière par morceaux, l'ordre théorique de convergence de l'erreur est de 1 en norme $|\cdot|_{1,\Omega}$ et de 2 en norme $\|\cdot\|_{L^2(\Omega)}$ si l'on utilise un maillage symétrique. Les tests ont été réalisés à l'aide du logiciel Freefem++. On choisit deux valeurs du contraste $\kappa_\sigma \in \{-2, -1.001\}$, et on étudie l'influence des maillages sur l'erreur, mesurée en norme $\|\cdot\|_{L^2(\Omega)}$. Les échelles sont en log-log, voir les figures 8.4-8.5, de sorte que l'on s'attend à trouver une droite de pente -2. Faisons les commentaires suivants :

- Que les maillages soient (complètement) symétriques, localement symétriques dans un voisinage de $\Sigma$, ou quelconques, on observe que l'erreur converge vers 0. Par contre, les ordres des erreurs sont différents d'une classe de maillage à l'autre. Ceci est valable pour les deux valeurs de $\kappa_\sigma$, et les différences sont plus marquées lorsqu'on se rapproche de la valeur critique -1.

- De plus, les vitesses de convergence sont différentes. On ne retrouve l'ordre théorique (2) que pour les maillages symétriques. Pour les deux autres classes de maillage, on semble être dans le régime "pré-asymptotique" de convergence (on converge, mais pas à l'ordre prévu par la théorie).

- Enfin, la convergence n'est pas monotone, sauf si les maillages sont complètement symétriques.
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE 8.4 – Domaine symétrique : contraste $κ_σ = -2$.</figcaption></figure>

## 8.2 Le cas des interfaces à coin

### 8.2.1 Le carré dans un carré

Considérons maintenant le domaine 2D de la figure 8.6 tel que $Ω_2$ correspond au quart du carré $Ω$. Alors on a le résultat suivant :

**Théorème 8.3** Soient $Ω =]-1, 1[×]-1, 1[$ et $Ω_2 =]0, 1[×]0, 1[$. Alors le problème (P) est bien posé si le contraste $κ_σ$ n'appartient pas à l'intervalle $[-3, -1/3]$.

**Démonstration** : Il suffit de construire des applications $R_{1→2}$ et $R_{2→1}$ de normes au carré égales à 3. Pour la construction de $R_{2→1}$, les symétries du domaine conduisent naturellement à proposer une construction à valeur dans les trois sous-domaines de $Ω_1$ isométriques à $Ω_2$ :

$$ R_{2→1}u_2(x, y) = \begin{cases} u_2(-x, y) & \text{si } (x, y) \in ]-1, 0[×]0, 1[, \\ u_2(x, -y) & \text{si } (x, y) \in ]0, 1[×]-1, 0[, \\ u_2(-x, -y) & \text{si } (x, y) \in ]-1, 0[×]-1, 0[. \end{cases} $$

Il est clair que cette application est admissible au sens où :

- $R_{2→1}u_2$ appartient à $H^1$ dans chaque sous-domaine, est continu aux interfaces entre sous-domaines, et ainsi $R_{2→1}u_2 \in H^1(Ω_1)$ (d'après le théorème 1.35) ;

- en outre, $R_{2→1}u_2$ s'annule sur la frontière extérieure et vérifie la condition (7.18) ;

- enfin, il est facile de voir que

$$ \int_{\Omega_1} |\nabla (R_{2→1} u_2)|^2 d\Omega = 3 \int_{\Omega_2} |\nabla u_2|^2 d\Omega. $$
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE 8.5 – Domaine symétrique : contraste $κ_σ = -1.001$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIGURE 8.6 – Exemple où l'interface a un angle droit</figcaption></figure>

La construction de $R_{1→2}$ se fait par une sorte de repliement. On pose pour $(x, y) \in \Omega_2$ :

$$R_{1→2}u_1(x, y) = u_1(-x, y) - u_1(-x, -y) + u_1(x, -y),$$

et à nouveau, on constate que cette application vérifie toutes les conditions requises. Enfin, pour calculer sa norme, on utilise les relations suivantes, valables pour tout M-uplet de réels $a_1, a_2, ... a_M$ (c'est l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans $\mathbb{R}^M$) :

$$\left(\sum_{i=1}^{M} a_i\right)^2 \leq M \sum_{i=1}^{M} a_i^2. \qquad (8.5)$$

On trouve donc en utilisant à nouveau les symétries que

$$\int_{\Omega_2} |\nabla(R_{1→2}u_1)|^2 d\Omega \leq 3 \int_{\Omega_1} |\nabla u_1|^2 d\Omega,$$

l'égalité étant réalisée si pour tout $(x, y)$, on a

$$u_1(-x, y) = u_1(x, -y) = -u_1(-x, -y).$$
**Remarque 8.4** On peut noter que l'intervalle $[-3, -1/3]$ contient la valeur $-1$ qui était déjà exclue dans le cas des domaines symétriques.

A nouveau, la construction des applications $\mathbf{R}_{1\to2}$ et $\mathbf{R}_{2\to1}$ par symétrie permet d'énoncer le résultat suivant pour le problème discret :

**Théorème 8.5** Supposons que le contraste $\kappa_\sigma$ n'appartient pas à l'intervalle $[-3, -1/3]$. Soit $V_h$ un sous-espace éléments finis de $H_0^1(\Omega)$, construit à l'aide d'un maillage possédant la double symétrie en $x$ et en $y$, alors le problème $(P_h)$ est bien posé, et on a l'estimation d'erreur (7.9) où u désigne la solution du problème $(P)$ et $u_h$ celle du problème $(P_h)$.

**Remarque 8.6** — On peut remarquer que les résultats précédents s'appliquent directement à toute géométrie possédant cette double symétrie en $x$ et en $y$, comme par exemple celles de la figure 8.7.

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIGURE 8.7 – Domaines symétriques en $x$ et en $y$.</figcaption></figure>

— Nous avons démontré que, pour ces géométries à double symétrie, le problème $(P)$ est bien posé dès que le contraste $\kappa_\sigma$ n'appartient pas à l'intervalle $[-3, -1/3]$. En fait, on peut même démontrer que ce résultat est optimal, et que dès que l'interface présente un angle droit, le problème devient mal posé pour un contraste appartenant à cet intervalle [5]. C'est pourquoi on dit que $[-3, -1/3]$ est l'intervalle critique. Il est intéressant de noter que la valeur 3 correspond exactement au rapport entre les deux angles de part et d'autre du coin, $3\pi/2$ et $\pi/2$.

— On peut établir des résultats similaires en 3D, par exemple pour un cube dans un cube : $\Omega_2 = \{(x, y, z); 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < y < 1\}$ et $\Omega = \{(x, y, z); |x| < 1, |y| < 1, |z| < 1\}$. En généralisant (en 3D) les applications $\mathbf{R}_{1\to2}$ et $\mathbf{R}_{2\to1}$ introduites au cours de la démonstration du théorème 8.3, on montre alors que le problème est bien posé si $\kappa_\sigma \notin [-7, -1/7]$. Mais contrairement au cas 2D, ce résultat n'est pas optimal.
### 8.2.2 Le camembert

Que se passe-t-il si l'interface présente un coin d'angle $\alpha$ quelconque ? On va considérer le cas où $\Omega$ est un disque dont un secteur constitue $\Omega_2$ :

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIGURE 8.8 – Le camembert.</figcaption></figure>

De façon naturelle, on repèrera ici les points par leurs coordonnées polaires $(r, \theta)$. On démontre alors le résultat suivant :

**Théorème 8.7** Soient $\Omega = \{(r, \theta); r < 1\}$ et $\Omega_2 = \{(r, \theta); 0 < \theta < \alpha \text{ et } r < 1\}$. Alors le problème $(P)$ est bien posé si le contraste $\kappa_\sigma$ n'appartient pas à l'intervalle $]-I_\alpha, -1/I_\alpha[$ où

$$I_\alpha = \max \left( \frac{2\pi - \alpha}{\alpha}, \frac{\alpha}{2\pi - \alpha} \right).$$

**Remarque 8.8** — On remarque que ce résultat est identique à celui du paragraphe précédent lorsque $\alpha = \pi/2$, puisque $I_\alpha$ est alors égal à 3.

— On peut aussi noter que si $\alpha = \pi$, $I_\alpha = 1$ et on retrouve le résultat du cas symétrique.

— Enfin, on note que plus l'angle est petit, plus l'intervalle critique est grand, tendant à la limite à remplir tout l'axe réel négatif.

**Démonstration** : Il suffit de construire des applications $R_{1\to2}$ et $R_{2\to1}$ de normes au carré égales à $I_\alpha$. On propose pour cela de choisir par exemple $R_{2\to1}$ de la forme suivante, où $\gamma$ est un paramètre réel positif à fixer :

$$R_{2\to1}u_2(r, \theta) = u(r, -\gamma\theta).$$

Il est clair qu'on a la première condition de raccord (en $\theta = 0$)

$$R_{2\to1}u_2(r, 0) = u(r, 0),$$

mais on veut également la deuxième condition de raccord (en $\theta = \alpha$)

$$R_{2\to1}u_2(r, -2\pi + \alpha) = u(r, \alpha),$$

ce qui est réalisé en prenant

$$\gamma = \frac{\alpha}{2\pi - \alpha}.$$
les hypothèses du théorème permettent de montrer que $A + B$ est un isomorphisme.

Nous allons appliquer ce théorème à l'exemple suivant. On suppose que

$$ \Omega = \{(x, y); -d < x < 1, 0 < y < 1\}, $$

et

$$ \Omega_1 = \{(x, y); -d < x < 0, 0 < y < 1\} \text{ et } \Omega_2 = \{(x, y); 0 < x < 1, 0 < y < 1\} $$

où $d$ est un réel positif. Dans le cas où $d = 1$, on a vu que le problème (P) est bien posé si et seulement si $\kappa_{\sigma} \neq -1$. On voudrait maintenant savoir ce qu'on peut dire si $d \neq 1$. Supposons pour fixer les idées que $d > 1$. En procédant comme dans la preuve du théorème 8.1, on peut

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIGURE 8.9 – Domaine rectangulaire</figcaption></figure>

montrer que (P) est bien posé si $\kappa_{\sigma} < -1$. En effet, si $S$ désigne la symétrie par rapport à l'interface $\Sigma = \{(x, y) \in \Omega; x = 0\}$, on peut définir une application $R_{2 \to 1}$ comme suit :

$$ R_{2 \to 1} u_2(x, y) = \begin{cases} u_2(-x, y) & \text{si } (x, y) \in ]-1, 0[ \times ]0, 1[, \\ 0 & \text{si } (x, y) \in ]-d, -1[ \times ]0, 1[. \end{cases} $$

En revanche, on ne peut pas aussi facilement construire une application optimale $R_{1 \to 2}$. Comme on sait que la difficulté vient du changement de signe de $\sigma$ à travers l'interface $\Sigma$, on introduit une fonction de troncature pour localiser l'action de l'application $R_{1 \to 2}$ au voisinage de $\Sigma$. Soit $\chi \in D(\mathbb{R})$, à valeurs dans $[0, 1]$, telle que $\chi(x) = 0$ si $|x| > 1$ et $\chi(0) = 1$. Pour simplifier les calculs, on peut choisir une fonction $\chi$ qui est paire : $\chi(-x) = \chi(x)$. On définit alors l'application $R_{1 \to 2}$ comme suit :

$$ R_{1 \to 2} u_1(x, y) = \chi(x) u_1(-x, y), \forall (x, y) \in ]0, 1[ \times ]0, 1[. $$

et l'application $T$ associée :

$$ Tu(x, y) = \begin{cases} u(x, y) & \text{pour } (x, y) \in \Omega_1 \\ -u(x, y) + 2\chi(x)u(-x, y) & \text{pour } (x, y) \in \Omega_2. \end{cases} $$

Comme dans tous les exemples précédents, $(T \circ T)u = u$ donc $T$ est bijective.

On a alors pour $u \in H_0^1(\Omega)$,

$$ a(u, Tu) = \int_{\Omega} |\sigma| |\nabla u|^2 d\Omega - 2|\sigma_2| \int_{\Omega_2} \nabla u(x, y) \cdot \nabla (\chi(x)u(-x, y)) d\Omega. $$
Cela nous conduit à poser :

$$b(u, Tv) = 2|\sigma_2| \int_{\Omega_2} \frac{\partial u}{\partial x}(x, y)\chi'(x)v(-x, y) \, d\Omega, \quad (8.7)$$

de sorte que

$$a(u, Tu) + b(u, Tu) = \int_{\Omega} |\sigma| |\nabla u|^2 d\Omega - 2|\sigma_2| \int_{\Omega_2} \chi(x) \nabla u(x, y) \cdot \nabla (u(-x, y)) \, d\Omega.$$

Il est très facile en reproduisant la preuve du théorème 7.6 de montrer que $a(\cdot, \cdot) + b(\cdot, \cdot)$ est T-coercive sur $H_0^1(\Omega)$ dès que $\kappa_\sigma > -1$. Il ne reste plus qu’à montrer la compacité de l’application B associée à la forme $b(\cdot, \cdot)$.

Soit donc $(u_n)_n$ une suite bornée de $H_0^1(\Omega)$. On veut montrer que la suite $(v_n)_n = (Bu_n)_n$ admet une sous-suite qui converge dans $H_0^1(\Omega)$. Par définition de B :

$$\|v_n - v_m\|_{H_0^1(\Omega)}^2 = ((B(u_n - u_m), (v_n - v_m))_{H_0^1(\Omega)} = b((u_n - u_m), (v_n - v_m)).$$

Mais comme T est égal à son inverse, on a

$$b(u, v) = b(u, T(Tv)).$$

D’après (8.7), on en déduit finalement que

$$\|v_n - v_m\|_{H_0^1(\Omega)}^2 = 2|\sigma_2| \int_{\Omega_2} \frac{\partial(u_n - u_m)}{\partial x}(x, y)\chi'(x)(Tv_n - Tv_m)(-x, y) \, d\Omega,$$

d'où, en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz

$$\|v_n - v_m\|_{H_0^1(\Omega)}^2 \le 2|\sigma_2| \|\chi'\|_{L^\infty(|-1,1|)} \|u_n - u_m\|_{H_0^1(\Omega)} \|Tv_n - Tv_m\|_{L^2(\Omega_2)}.$$

Or la suite $(Tv_n)_n$ est bornée dans $H_0^1(\Omega)$, donc d'après le lemme de Rellich (puisque $\Omega$ est borné), on peut en extraire une sous-suite $(Tv_{n'})_{n'}$ qui converge dans $L^2(\Omega)$. On en déduit que la suite $(v_{n'})_{n'}$ est de Cauchy dans $H_0^1(\Omega)$, ce qui permet de conclure.

### 8.3.2 Modes plasmoniques

En poursuivant sur l'exemple précédent, si $\kappa_\sigma \ne -1$, on sait que le problème (P) est bien posé si et seulement si le problème homogène l'est. Il suffit donc de chercher des solutions du problème homogène suivant :

$$\left|
\begin{array}{l}
-\Delta u_j = 0 \text{ dans } \Omega_j, j = 1, 2, \\
u_j = 0 \text{ sur } \Gamma_j, j = 1, 2, \\
u_1 = u_2 \text{ sur } \Sigma, \\
\sigma_1 \frac{\partial u_1}{\partial n_\Sigma} = \sigma_2 \frac{\partial u_2}{\partial n_\Sigma} \text{ sur } \Sigma.
\end{array}
\right.
\qquad (8.8)$$
La séparation de variables conduit à rechercher, pour chaque entier $n \ge 1$, des solutions de la forme :

$$u_j(x, y) = \varphi_j(x) \sin(n\pi y), \quad j = 1, 2.$$

Les deux premières équations de (8.8) imposent alors l'existence de constantes $A_1$ et $A_2$ telles que

$$\varphi_1(x) = A_1 \sinh(n\pi(x + d)) \text{ et } \varphi_2(x) = A_2 \sinh(n\pi(x - 1)).$$

Les deux dernières équations de (8.8) conduisent ensuite au système linéaire suivant

$$\begin{cases} A_1 \sinh(n\pi d) = A_2 \sinh(n\pi) \\ \sigma_1 A_1 \cosh(n\pi d) = -\sigma_2 A_2 \cosh(n\pi) \end{cases}$$

qui n'admet de solution non triviale que si

$$\frac{\sigma_2}{\sigma_1} = - \frac{\tanh(n\pi)}{\tanh(n\pi d)}.$$

On trouve donc une suite de contrastes $(\kappa_{\sigma}^n)_{n \ge 0} = -\tanh(n\pi)/\tanh(n\pi d)$, $n \ge 1$ pour lesquels le problème (P) est mal posé, et possède un noyau de dimension 1. Cette suite de contrastes tend vers $-1$. Lorsque

$$\kappa_{\sigma} \notin \{-1\} \cup \{(\kappa_{\sigma}^n)_n, n \ge 0\},$$

le problème homogène n'a que la solution triviale, et le problème de départ est donc bien posé.

Les modes que nous avons calculés sont appelés les modes plasmoniques.

### 8.3.3 Géométries quelconques

Comment résoudre (7.1)-(7.3), pour un coefficient $\sigma$ constant par morceaux (7.4), si l'interface est "quelconque", typiquement régulière (pour $d = 2, 3$), ou polygonale ($d = 2$) ? En utilisant une modification via localisation des applications $T$ respectivement définies en (7.13) et (7.17), on peut prouver l'optimalité de l'approche développée précédemment pour établir la $T$-coercivité à une perturbation compacte près, cf. [5, 4]. En effet, grâce à cette approche on peut démontrer qu'il existe un intervalle critique $I_{\Sigma} \subset \mathbb{R}^*$ tel que

— si $\kappa_{\sigma} \in I_{\Sigma}$ : le problème avec coefficient changeant de signe est mal posé dans $H_0^1(\Omega)$ ;

— si $\kappa_{\sigma} \notin I_{\Sigma}$ : on peut établir une inégalité de Gärding

$$\exists \underline{\alpha}_{\sigma}, \underline{\beta}_{\sigma} > 0, \forall v \in H_0^1(\Omega), \quad \left| \int_{\Omega} \sigma \nabla v \cdot \overline{\nabla(Tv)} d\Omega \right| \ge \underline{\alpha}_{\sigma} |v|_{1,\Omega}^2 - \underline{\beta}_{\sigma} \|v\|_{L^2(\Omega)}^2. \quad (8.9)$$

En d'autres termes, le problème avec coefficient constant par morceaux changeant de signe est bien posé, au sens de l'alternative de Fredholm (voir le théorème 8.9).

Les bornes de l'intervalle critique $I_{\Sigma}$ dépendent de la valeur des angles aux sommets de l'interface (si elle en possède...). Dans tous les cas, $-1$ appartient à $I_{\Sigma}$. Et, si l'interface est de classe $C^2$ et sans extrémités, on a l'égalité $I_{\Sigma} = \{-1\}$ (ce résultat avait déjà été établi dans [17]).
**Exercice :** On se place dans un domaine $\Omega$ symétrique par rapport à l'interface $\Sigma$. Vérifier que les applications $R_{1\to2}$ et $R_{2\to1}$ construites à l'aide du relèvement harmonique (cf. remarque 7.5) sont de normes égales à 1.
# Notes de cours 9

## Synthèse et compléments

On revoit et complète les notes précédentes en revisitant la notion de problèmes bien posés, leur étude et leur discrétisation, que l'on considère ici dans le cadre d'espaces fonctionnels définis sur $\mathbb{C}$. Ci dessous, $|\cdot|$ désigne donc le module. On y inclut la T-coercivité. On applique ces résultats aux problèmes avec coefficient changeant de signe.

### 9.1 Problèmes bien posés et T-coercivité

Nous rappelons les outils d'analyse fonctionnelle traitant de la notion de problèmes bien posés (voir §2.3), que nous reformulons en utilisant la théorie de la T-coercivité [6, 11] (voir aussi les §2.3.4 et §7.2).

#### 9.1.1 Définitions

Soient :

- $V$ et $W$ deux espaces de Hilbert définis sur $\mathbb{C}$, de produits scalaires hermitiens respectifs $(\cdot, \cdot)_V$ et $(\cdot, \cdot)_W$. On note $\|\cdot\|_V$ et $\|\cdot\|_W$ les normes associées ;

- $a(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire (anti-linéaire par rapport au second argument) et continue sur $V \times W$. On utilise la norme $\|\cdot\|$ pour mesurer $a$, voir (1.3) :

$$ \|a\| = \sup_{v \in V \setminus \{0\}, w \in W \setminus \{0\}} \frac{|a(v, w)|}{\|v\|_V \|w\|_W}. $$

On rappelle que $W'$ est l'espace des formes anti-linéaires et continues sur $W$, et on note $\langle \cdot, \cdot \rangle_W$ les crochets de dualité pour l'action d'un élément de $W'$ sur un élément de $W$.

Pour $\ell \in W'$ donné, on étudie le problème écrit sous forme variationnelle,

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u \in V \text{ tel que} \\ \forall w \in W, \quad a(u, w) = \langle \ell, w \rangle_W. \end{array} \right. \qquad (9.1) $$
Le caractère bien posé (au sens de Hadamard) est énoncé à la définition 2.5, et reformulé à la proposition 2.7. On y a introduit $\mathbf{A} \in \mathcal{L}(V, W)$ associée à $a(\cdot, \cdot)$, définie par :

$$ \forall (v, w) \in V \times W, \quad (\mathbf{A}v, w)_W = a(v, w), \qquad (9.2) $$

et on a démontré le résultat suivant

**Proposition 9.1** Soient $V, W$ deux espaces de Hilbert, et $a(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire et continue sur $V \times W$. Alors la formulation variationnelle (9.1) est bien posée si, et seulement si, l'inverse de $\mathbf{A}$ existe et est continu : $\mathbf{A}^{-1} \in \mathcal{L}(W, V)$.

### 9.1.2 La T-coercivité pour établir le caractère bien posé

Pour assurer le caractère bien posé, les conditions inf-sup et de solvabilité sont des conditions nécessaires et suffisantes, d'après le théorème BNB (théorème 2.11). Nous les rappelons ci-dessous.

**Définition 9.2** Soit $a(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire sur $V \times W$. Alors $a(\cdot, \cdot)$ vérifie une condition inf-sup si, et seulement si,

$$ \exists \alpha' > 0, \forall v \in V, \sup_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{|a(v, w)|}{\|w\|_W} \ge \alpha' \|v\|_V. \qquad (9.3) $$

Dans ce cas, on appelle constante inf-sup la plus grande valeur de $\alpha'$ dans (9.3), égale à

$$ \inf_{v \in V \setminus \{0\}} \sup_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{|a(v, w)|}{\|v\|_V \|w\|_W}. $$

**Définition 9.3** Soit $a(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire sur $V \times W$. Alors $a(\cdot, \cdot)$ vérifie une condition de solvabilité si, et seulement si,

$$ \{w \in W \text{ tel que } a(v, w) = 0, \forall v \in V\} = \{0\}. \qquad (9.4) $$

D'autre part, on a vu que la T-coercivité introduite à la définition 7.1 est une condition suffisante, voir le §2.3.4 et le théorème 7.2.

**Définition 9.4** Soit $a(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire sur $V \times W$. On dit que $a(\cdot, \cdot)$ est T-coercive si, et seulement si,

$$ \exists \mathbf{T} \in \mathcal{L}(V, W), \text{ bijective, } \exists \underline{\alpha} > 0, \forall v \in V, |a(v, \mathbf{T}v)| \ge \underline{\alpha} \|v\|_V^2. \qquad (9.5) $$

**Remarque 9.5** Lorsque $V = W$, si la forme $a(\cdot, \cdot)$ est coercive, alors elle est également T-coercive. En effet, $\mathbf{T} = \mathbf{I}$ et $\underline{\alpha}$ égale à la constante de coercivité conviennent dans (9.5).
Dans la définition ci-dessus, il suffit de trouver une application linéaire, continue et bijective $\mathbf{T}$ de $V$ dans $W$ pour assurer la $\mathbf{T}$-coercivité. Cette application $\mathbf{T}$ n'est pas unique !

A priori, la $\mathbf{T}$-coercivité semble plus forte que les conditions inf-sup et de solvabilité, puisque c'est une condition suffisante. Et en effet, l'existence d'une application linéaire et continue $\mathbf{T}$ vérifiant (9.5) permet de retrouver (9.3) et (9.4).

**Démonstration** : Soit $v \in V \setminus \{0\}$, on choisit $w_v = \mathbf{T}v \in W \setminus \{0\}$. Par construction, on a $\|w_v\|_W \le \|\mathbf{T}\| \|v\|_V$, et donc

$$ \frac{1}{\|\mathbf{T}\| \|v\|_V} \le \frac{1}{\|w_v\|_W}. $$

On en déduit que

$$ \sup_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{|a(v, w)|}{\|w\|_W} \ge \frac{|a(v, w_v)|}{\|w_v\|_W} = \frac{|a(v, \mathbf{T}v)|}{\|w_v\|_W} \ge \frac{\alpha}{\|\mathbf{T}\|} \|v\|_V, $$

c'est-à-dire que (9.3) est vraie avec $\alpha' = \underline{\alpha} \|\mathbf{T}\|^{-1}$.

Ensuite, soit $w \in W$ tel que $a(v, w) = 0$ pour tout $v \in V$. Puisque $\mathbf{T}^{-1}$ existe, on peut choisir $v_w = \mathbf{T}^{-1}w$. Par définition de $w$, on a en particulier

$$ 0 = a(v_w, w) = a(v_w, \mathbf{T}v_w). $$

D'après (9.5), on en conclut que $v_w = 0$, et donc que $w = 0$, c'est-à-dire que (9.4) est vraie. ■

En fait, ces propriétés sont équivalentes entre elles, ce qui signifie au final que la $\mathbf{T}$-coercivité est une condition nécessaire et suffisante pour assurer le caractère bien posé !

**Théorème 9.6 (Caractère bien posé)** Soit $a(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire et continue sur $V \times W$. Les trois assertions ci-dessous sont équivalentes :

(i) la formulation variationnelle (9.1) est bien posée ;

(ii) la forme $a(\cdot, \cdot)$ vérifie une condition inf-sup et une condition de solvabilité ;

(iii) la forme $a(\cdot, \cdot)$ est $\mathbf{T}$-coercive.

**Démonstration** : D'après le théorème BNB, on sait que (ii) $\implies$ (i).

D'après ce qu'on a vu ci-dessus, (iii) $\implies$ (ii).

On montre pour finir que (i) $\implies$ (iii). D'après (i), $\mathbf{T} = \mathbf{A}$ est une bijection de $\mathcal{L}(V, W)$, et on a $\mathbf{T}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \in \mathcal{L}(V, W)$ d'après le théorème de l'isomorphisme de Banach. Alors, pour tout $v \in V$, on a la majoration $\|v\|_V \le \|\mathbf{T}^{-1}\| \|\mathbf{T}v\|_W$, et on trouve ensuite que

$$ a(v, \mathbf{T}v) = (\mathbf{A}v, \mathbf{T}v)_W = \|\mathbf{T}v\|_W^2 \ge \|v\|_V^2 / \|\mathbf{T}^{-1}\| \|v\|_W^2, $$

et la forme $a(\cdot, \cdot)$ est $\mathbf{T}$-coercive. ■

**Corollaire 9.7 (Stabilité)** Sous les hypothèses du théorème 9.6, lorsque la formulation variationnelle (9.1) est bien posée, pour chaque $\mathbf{T} \in \mathcal{L}(V, W)$ et $\underline{\alpha} > 0$ réalisant (9.5), on a l'estimation de stabilité :

$$ \forall \ell \in W', \quad \|u\|_V \le \frac{\|\mathbf{T}\|}{\underline{\alpha}} \|\ell\|_{W'}. $$
**Remarque 9.8** Dans l'esprit de la remarque 2.6, pour "optimiser" la stabilité, on cherchera donc T et $\underline{\alpha}$ tels que $|||T|||/\underline{\alpha}$ soit le plus petit possible.

**Démonstration :** On note que

$$ \underline{\alpha} \|u\|_V^2 \le |a(u, Tu)| = |\langle \ell, Tu \rangle_W| \le \|\ell\|_{W'} \|Tu\|_W \le \|T\| \|\ell\|_{W'} \|u\|_V, $$

et le résultat suit.

Plaçons-nous dans le cas $W = V$. On a vu au corollaire 2.15, ou corollaire BNB, que si la forme $a(\cdot, \cdot)$ est hermitienne, alors la condition inf-sup (9.3) est une condition nécessaire et suffisante pour assurer le caractère bien posé. De même, si la forme $a(\cdot, \cdot)$ est hermitienne, la définition 9.4 peut être modifiée en

**Définition 9.9** Soit $a(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire, continue et hermitienne sur $V \times V$. On dit que $a(\cdot, \cdot)$ est T-coercive si, et seulement si,

$$ \exists T \in \mathcal{L}(V), \exists \underline{\alpha} > 0, \forall v \in V, |a(v, Tv)| \ge \underline{\alpha} \|v\|_V^2. \quad (9.6) $$

En d'autres termes, lorsque la forme $a(\cdot, \cdot)$ est hermitienne, la bijectivité de T n'est plus nécessaire. Un second corollaire du théorème 9.6 résume les résultats dans ce cas.

**Corollaire 9.10 (Cas hermitien)** Soit $a(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire, continue et hermitienne sur $V \times V$. Les trois assertions ci-dessous sont équivalentes :

(i) la formulation variationnelle (9.1) est bien posée ;

(ii)$_{herm}$ la forme $a(\cdot, \cdot)$ vérifie une condition inf-sup ;

(iii)$_{herm}$ la forme $a(\cdot, \cdot)$ est T-coercive au sens de la définition 9.9.

**Démonstration :** Tout d'abord, (i) $\implies$ (iii)$_{herm}$ d'après le théorème 9.6.

Puis, (iii)$_{herm}$ $\implies$ (ii)$_{herm}$ : en effet, (9.6) implique que T est injective. Donc, pour tout $v \in V \setminus \{0\}$, on a $Tv \ne 0$ et, puisque $\|Tv\|_W \le \|T\| \|v\|_V$, il suit que

$$ \frac{|a(v, Tv)|}{\|Tv\|_W} \ge \underline{\alpha} \frac{\|v\|_V^2}{\|Tv\|_W} \ge \frac{\underline{\alpha}}{\|T\|} \|v\|_V, $$

ce qui permet de retrouver la condition inf-sup (9.3).

Enfin, (ii)$_{herm}$ $\implies$ (i) d'après le corollaire 2.15.

## 9.2 Approximation des formulations variationnelles

L'idée derrière l'introduction de la T-coercivité pour résoudre le problème (9.1) est que l'on peut construire une application linéaire T explicite pour établir (9.5) dans le cas général ($V \ne W$), ou (9.6) dans le cas $V = W$ avec une forme hermitienne. On a déjà réalisé la construction d'applications T pour les problèmes abstraits à résoudre (diffusion neutronique à une ou deux inconnues, modèle de Stokes, problème avec coefficient changeant de signe).
En outre, ceci nous a permis d'obtenir la convergence de méthodes d'approximation "bien construites". Pour cela, on a fait en sorte que les propriétés nécessaires à l'obtention de la condition inf-sup abstraite soient *transposables après discrétisation*, afin d'obtenir la condition inf-sup discrète uniforme qui assure la convergence via le lemme de Céa (notes de cours 3). On y revient ici, en y ajoutant la T-coercivité discrète.

### 9.2.1 Approximation du problème exact

On veut approcher la solution du problème (9.1), que nous supposons bien posé : on introduit $(V_\delta)_\delta$ et $(W_\delta)_\delta$ deux suites d'espaces vectoriels de dimensions finies, avec $V_\delta \subset V$ et $W_\delta \subset W$ pour tout $\delta$ (approximation conforme) ; on munit $V_\delta$ de la norme $\| \cdot \|_V$, respectivement $W_\delta$ de la norme $\| \cdot \|_W$. Par convention, le paramètre $\delta$ prend des valeurs strictement positives, et on a $\lim_{\delta \to 0} (\dim(V_\delta)) = +\infty$, avec la propriété d'approximabilité rappelée ci-dessous.

**Définition 9.11** La famille $(V_\delta)_\delta$ vérifie la propriété d'approximabilité de $V$ si, et seulement si

$$ \begin{array}{l} \exists V^* \text{ s.e.v. dense de } V, \quad \forall \delta, \exists r_\delta : V^* \to V_\delta \text{ tels que} \\ \forall v \in V^*, \quad \lim_{\delta \to 0} \|v - r_\delta v\|_V = 0. \end{array} \tag{9.7} $$

**Remarque 9.12** Comme on le verra plus tard, au corollaire 9.19, la propriété d'approximabilité est nécessaire pour les éléments de $V$, mais pas pour ceux de $W$...

En particulier, on peut avoir $V = W$, et choisir des espaces $(V_\delta)_\delta$ d'approximation des solutions différents des espaces $(W_\delta)_\delta$ d'approximation des fonctions-test. Plus généralement, lorsqu'on choisit $(V_\delta)_\delta \neq (W_\delta)_\delta$, on parle d'approximation de Petrov-Galerkin. L'approximation du problème (9.1) s'écrit

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u_\delta \in V_\delta \text{ tel que} \\ \forall w_\delta \in W_\delta, \ a_\delta(u_\delta, w_\delta) = \langle l_\delta, w_\delta \rangle_{W_\delta}, \end{array} \right. \tag{9.8} $$

avec des formes sesquilinéaires $(a_\delta)_\delta$, où $a_\delta$ est définie sur $V_\delta \times W_\delta$, et antilinéaires $(l_\delta)_\delta$, où $l_\delta$ est définie sur $W_\delta$, qui peuvent être différentes des formes exactes $a_{|V_\delta \times W_\delta}$ et $l_{|W_\delta}$ (on "généralise" quelque peu le formalisme du §3...). Pour des discrétisations par éléments finis, ceci est le cas si on utilise des formules approchées pour calculer les diverses quantités (formules de quadrature), ou bien si le maillage ne recouvre pas exactement le domaine dans lequel le problème exact est posé. Pour prendre en compte les écarts entre formes approchées et exactes, on introduit, pour tout $\delta > 0$ et tout $v_\delta \in V_\delta$, les *termes de consistance*

$$ \mathrm{Cons}_{\ell, \delta} = \sup_{w_\delta \in W_\delta \setminus \{0\}} \frac{|\langle l - l_\delta, w_\delta \rangle_{W_\delta}|}{\|w_\delta\|_W}, \tag{9.9} $$

$$ \mathrm{Cons}_{a, \delta}(v_\delta) = \sup_{w_\delta \in W_\delta \setminus \{0\}} \frac{|(a - a_\delta)(v_\delta, w_\delta)|}{\|w_\delta\|_W}. \tag{9.10} $$
En termes de normes, on a respectivement

$$
\mathrm{Cons}_{\ell, \delta} = \|\ell|_{W_{\delta}} - \ell_{\delta}\|_{W'_{\delta}}, \text{ et}
$$

$$
\sup_{v_{\delta} \in V_{\delta} \setminus \{0\}} \frac{\mathrm{Cons}_{a, \delta}(v_{\delta})}{\|v_{\delta}\|_{V}} = \sup_{v_{\delta} \in V_{\delta} \setminus \{0\}, w_{\delta} \in W_{\delta} \setminus \{0\}} \frac{|(a_{|V_{\delta} \times W_{\delta}} - a_{\delta})(v_{\delta}, w_{\delta})|}{\|v_{\delta}\|_{V} \|w_{\delta}\|_{W}} = \|\| a_{|V_{\delta} \times W_{\delta}} - a_{\delta} \|\|_{V}.
$$

En règle générale, on écrira $\ell$ au lieu de $\ell|_{W_\delta}$ et de même $a$ au lieu de $a|_{V_\delta \times W_\delta}$.

On peut aussi reformuler le problème approché (9.8) sous une forme équivalente

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\text{Trouver } u_{\delta} \in V_{\delta} \text{ tel que} \\
\mathbf{A}_{\delta} u_{\delta} = \mathbf{f}_{\delta} \text{ dans } W_{\delta},
\end{array}
\right.
\qquad (9.11)
$$

après introduction de $\mathbf{A}_{\delta} \in \mathcal{L}(V_{\delta}, W_{\delta})$ et $\mathbf{f}_{\delta} \in W_{\delta}$ tels que

$$
\forall (v_{\delta}, w_{\delta}) \in V_{\delta} \times W_{\delta}, (\mathbf{A}_{\delta}v_{\delta}, w_{\delta})_{W} = a_{\delta}(v_{\delta}, w_{\delta}), \text{ et } \forall w_{\delta} \in W_{\delta}, (\mathbf{f}_{\delta}, w_{\delta})_{W} = \langle \ell_{\delta}, w_{\delta} \rangle_{W_{\delta}}.
$$

9.2.2 Caractère bien posé et stabilité des problèmes approchés

A partir de là on peut étudier le caractère bien posé des problèmes approchés (9.8) ou (9.11),
ainsi que l’erreur $u - u_{\delta}$, en prenant notamment en compte les termes de consistance.

Pour $\delta$ donné, dire que le problème approché (9.8) ou (9.11) est bien posé équivaut à avoir $\mathbf{A}_{\delta}$ bijective. Tout d'abord, pour que $\mathbf{A}_{\delta} \in \mathcal{L}(V_{\delta}, W_{\delta})$ soit bijective, il est nécessaire que :

$$
\dim(V_{\delta}) = \dim(W_{\delta}),
$$

et on fait cette hypothèse (pour tout $\delta$) à partir de maintenant. Voir le §3.3 pour une discussion approfondie. En particulier, on y a noté que lorsque les dimensions de $V_\delta$ et $W_\delta$ sont égales, alors le problème discret (9.8) ou (9.11) est bien posé si, et seulement si, la condition inf-sup discrète est vérifiée ($\mathbf{A}_\delta$ injective), ou si, et seulement si, la condition de solvabilité discrète est vérifiée ($\mathbf{A}_\delta$ surjective). On rappelle la condition inf-sup discrète :

$$
\forall \delta > 0, \exists \alpha_{\delta} > 0, \forall v_{\delta} \in V_{\delta}, \sup_{w_{\delta} \in W_{\delta} \setminus \{0\}} \frac{|a_{\delta}(v_{\delta}, w_{\delta})|}{\|w_{\delta}\|_{W}} \geq \alpha_{\delta} \|v_{\delta}\|_{V}. \quad (9.12)
$$

On rappelle que, pour tout $z_{\delta} \in W_{\delta}$, on a

$$
\|z_{\delta}\|_{W} = \sup_{w_{\delta} \in W_{\delta} \setminus \{0\}} \frac{|(z_{\delta}, w_{\delta})|}{\|w_{\delta}\|_{W}} = \sup_{w_{\delta} \in W_{\delta} \setminus \{0\}} \frac{|(w_{\delta}, z_{\delta})|}{\|w_{\delta}\|_{W}}.
$$

Ainsi, la condition (9.12) est vérifiée si, et seulement si,

$$
\forall \delta > 0, \exists \alpha_{\delta} > 0, \forall v_{\delta} \in V_{\delta}, \|\mathbf{A}_{\delta}v_{\delta}\|_{W} \geq \alpha_{\delta}\|v_{\delta}\|_{V}.
$$

On introduit la transconjuguée $\mathbf{A}_{\delta}^{*} \in \mathcal{L}(W_{\delta}, V_{\delta})$ définie par :

$$
\forall (v_{\delta}, w_{\delta}) \in V_{\delta} \times W_{\delta}, \quad (v_{\delta}, \mathbf{A}_{\delta}^{*} w_{\delta})_{V} = a_{\delta}(v_{\delta}, w_{\delta}).
$$

On a le même type d'estimation sur $\mathbf{A}_{\delta}^{*}$.
**Corollaire 9.13** On suppose la condition inf-sup discrète (9.12) vérifiée : $A_\delta^*$ est bijective, et

$$ \forall \delta > 0, \forall w_\delta \in W_\delta, \|A_\delta^* w_\delta\|_V \ge \alpha_\delta \|w_\delta\|_W. $$

**Démonstration :** Soit $\delta > 0$. On sait que $A_\delta$ est bijective.

Vérifions que $A_\delta^*$ est également bijective. Puisque $\dim(V_\delta) = \dim(W_\delta)$, il suffit de démontrer l'injectivité : soit $w_\delta \in W_\delta$ tel que $A_\delta^* w_\delta = 0$. Par définition, on a donc

$$ \forall v'_\delta \in V_\delta, \quad 0 = (v'_\delta, A_\delta^* w_\delta)_V = a_\delta(v'_\delta, w_\delta) = (A_\delta v'_\delta, w_\delta)_W. $$

Or $A_\delta$ est surjective dans $W_\delta$, on en déduit donc que $w_\delta = 0$ et $A_\delta^*$ est bijective comme annoncé. Soit $y_\delta \in V_\delta$, on évalue maintenant $\|(A_\delta^*)^{-1} y_\delta\|_W$. On note que, pour tout $v'_\delta \in V_\delta$, on a

$$ (A_\delta v'_\delta, (A_\delta^*)^{-1} y_\delta)_W \stackrel{\text{def.}}{=} a_\delta(v'_\delta, (A_\delta^*)^{-1} y_\delta) \stackrel{\text{def.}}{=} (v'_\delta, A_\delta^*(A_\delta^*)^{-1} y_\delta)_V = (v'_\delta, y_\delta)_V. $$

A partir de là, on trouve que

$$ \|(A_\delta^*)^{-1} y_\delta\|_W = \sup_{v'_\delta \in W_\delta \setminus \{0\}} \frac{|(w'_\delta, (A_\delta^*)^{-1} y_\delta)_W|}{\|w'_\delta\|_W} $$

$$ \begin{aligned} (A_\delta \text{ bijective}) &= \sup_{v'_\delta \in V_\delta \setminus \{0\}} \frac{|(A_\delta v'_\delta, (A_\delta^*)^{-1} y_\delta)_W|}{\|A_\delta v'_\delta\|_W} \\ &= \sup_{v'_\delta \in V_\delta \setminus \{0\}} \frac{|(v'_\delta, y_\delta)_V|}{\|A_\delta v'_\delta\|_W} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} (\|A_\delta v'_\delta\|_W \ge \alpha_\delta \|v'_\delta\|_V) &\le \frac{1}{\alpha_\delta} \sup_{v'_\delta \in V_\delta \setminus \{0\}} \frac{|(v'_\delta, y_\delta)_V|}{\|v'_\delta\|_V} \\ &= \frac{1}{\alpha_\delta} \|y_\delta\|_V. \end{aligned} $$

Soit maintenant $w_\delta \in W_\delta$, on déduit de ce qui précède qu'il existe $y_\delta \in V_\delta$ tel que $w_\delta = (A_\delta^*)^{-1} y_\delta$, et

$$ \alpha_\delta \|w_\delta\|_W = \alpha_\delta \|(A_\delta^*)^{-1} y_\delta\|_W \le \|y_\delta\|_V = \|A_\delta^* w_\delta\|_V, $$

ce qui est le résultat attendu.

Ci-dessous, on se placera systématiquement dans le cas où la condition inf-sup discrète est uniforme.

**Définition 9.14** La famille des formes $(a_\delta)_\delta$ vérifie une condition inf-sup discrète uniforme si, et seulement si

$$ \exists \alpha_\dagger > 0, \forall \delta > 0, \forall v_\delta \in V_\delta, \sup_{w_\delta \in W_\delta \setminus \{0\}} \frac{|a_\delta(v_\delta, w_\delta)|}{\|w_\delta\|_W} \ge \alpha_\dagger \|v_\delta\|_V. \quad (9.13) $$

D'après le théorème 9.6, si (9.13) est vraie, alors les problèmes approchés sont bien posés dans $V_\delta \times W_\delta$ pour tout $\delta$.

On énonce une condition de T-coercivité discrète (uniforme).
**Définition 9.15** La famille des formes $(a_\delta)_\delta$ est uniformément $T_\delta$-coercive si, et seulement si

$$ \exists \alpha^*, \beta^* > 0, \forall \delta > 0, \exists T_\delta \in \mathcal{L}(V_\delta, W_\delta), \qquad (9.14) \\ \|T_\delta\| \le \beta^* \text{ et } \forall v_\delta \in V_\delta, |a_\delta(v_\delta, T_\delta v_\delta)| \ge \alpha^* \|v_\delta\|_V^2. $$

On établit maintenant l'équivalence entre la condition inf-sup discrète uniforme, et l'uniforme $T_\delta$-coercivité des formes $(a_\delta)_\delta$.

**Théorème 9.16 (Caractère bien posé)** Soit une famille $(a_\delta)_\delta$ de formes sesquilinéaires, continues et uniformément bornées. Les trois assertions ci-dessous sont équivalentes :

(i) les problèmes discrets (9.8) sont bien posés pour tout $\delta$, et les applications linéaires $(A_\delta^{-1})_\delta$ sont uniformément bornées ;

(ii) la famille des formes $(a_\delta)_\delta$ vérifie une condition inf-sup discrète uniforme ;

(iii) la famille des formes $(a_\delta)_\delta$ est uniformément $T_\delta$-coercive.

**Démonstration :** (i) $\implies$ (iii). On choisit $T_\delta = A_\delta$. D'après (i), $T_\delta$ est bijective.

Puisque les formes $(a_\delta)_\delta$ sont uniformément bornées, on a $\|T_\delta\| \le \sup_\delta \|A_\delta\| < \infty$ (transposer (2.12)).

Par hypothèse, $T_\delta^{-1} = A_\delta^{-1}$ est telle que $\|T_\delta^{-1}\| \le C^*$, avec $C^* = \sup_\delta \|A_\delta^{-1}\| < \infty$. Soit $v_\delta \in V_\delta$, on a tout d'abord $\|v_\delta\|_V \le \|T_\delta^{-1}\| \|T_\delta v_\delta\|_W \le C^* \|T_\delta v_\delta\|_W$, et on trouve

$$ a_\delta(v_\delta, T_\delta v_\delta) = (A_\delta v_\delta, T_\delta v_\delta)_W = \|T_\delta v_\delta\|_W^2 \ge \|v_\delta\|_V^2/(C^*)^2. $$

Ainsi, $(a_\delta)_\delta$ est uniformément $T_\delta$-coercive.

(iii) $\implies$ (ii). Soit $v_\delta \in V_\delta \setminus \{0\}$, on a $0 < \|T_\delta v_\delta\|_W \le \beta^* \|v_\delta\|_V$, et

$$ \sup_{w_\delta \in W_\delta \setminus \{0\}} \frac{|a_\delta(v_\delta, w_\delta)|}{\|w_\delta\|_W} \ge \frac{|a_\delta(v_\delta, T_\delta v_\delta)|}{\|T_\delta v_\delta\|_W} \ge \alpha^* \frac{\|v_\delta\|_V^2}{\|T_\delta v_\delta\|_W} \ge \frac{\alpha^*}{\beta^*} \|v_\delta\|_V. $$

Il suit que $(a_\delta)_\delta$ vérifie une condition inf-sup discrète uniforme.

(ii) $\implies$ (i). D'après le théorème 9.6 et l'égalité $\dim(V_\delta) = \dim(W_\delta)$, si $a_\delta(\cdot, \cdot)$ vérifie une condition inf-sup, le problème discret (9.8) est bien posé. Ainsi $A_\delta^{-1}$ est bien défini. Pour tout $z_\delta \in W_\delta$, on définit $v_\delta = A_\delta^{-1} z_\delta \in V_\delta$. On déduit finalement de (9.13) que

$$ \|A_\delta^{-1} z_\delta\|_V = \|v_\delta\|_V \le \frac{1}{\alpha_\dagger} \sup_{w_\delta \in W_\delta \setminus \{0\}} \frac{|a_\delta(v_\delta, w_\delta)|}{\|w_\delta\|_W} = \frac{1}{\alpha_\dagger} \sup_{w_\delta \in W_\delta \setminus \{0\}} \frac{|(z_\delta, w_\delta)_W|}{\|w_\delta\|_W} = \frac{1}{\alpha_\dagger} \|z_\delta\|_W, $$

c'est-à-dire que les $(A_\delta^{-1})_\delta$ sont uniformément bornées.

■

### 9.2.3 Etude d'erreur

A partir de ce qui précède, on obtient en outre une estimation de l'erreur si (9.13) ou (9.14) est vraie, incorporant les termes de consistance. On généralise ici les lemmes de Céa déjà obtenus au §3.

**Théorème 9.17 (Lemme de Céa)** Sous les hypothèses du théorème 9.16, on a l'estimation d'erreur

$$ \exists C > 0, \forall \ell \in W', \forall \delta, \quad \|u - u_\delta\|_V \le C \left\{ \text{Cons}_{\ell, \delta} + \inf_{v_\delta \in V_\delta} \left( \|u - v_\delta\|_V + \text{Cons}_{a, \delta}(v_\delta) \right) \right\}. \quad (9.15) $$
**Démonstration :** Par hypothèse, (9.13) est vraie. Pour tout $v_\delta \in V_\delta$, il existe donc $w_\delta \in W_\delta$ tel que

$$ \alpha_{\dagger} \|u_{\delta} - v_{\delta}\|_{V} \|w_{\delta}\|_{V} \leq |a_{\delta}(u_{\delta} - v_{\delta}, w_{\delta})|. $$

Par ailleurs, on a les égalités successives :

$$
\begin{align*}
a_{\delta}(u_{\delta} - v_{\delta}, w_{\delta}) &= \langle \ell_{\delta}, w_{\delta} \rangle_{W_{\delta}} - a_{\delta}(v_{\delta}, w_{\delta}) \\
&= \langle \ell_{\delta} - \ell, w_{\delta} \rangle_{W_{\delta}} + \langle \ell, w_{\delta} \rangle_{W} - a_{\delta}(v_{\delta}, w_{\delta}) \\
&= \langle \ell_{\delta} - \ell, w_{\delta} \rangle_{W_{\delta}} + a(u, w_{\delta}) - a_{\delta}(v_{\delta}, w_{\delta}) \\
&= \langle \ell_{\delta} - \ell, w_{\delta} \rangle_{W_{\delta}} + a(u - v_{\delta}, w_{\delta}) + (a - a_{\delta})(v_{\delta}, w_{\delta}).
\end{align*}
$$

Et, par définition des termes de consistance, on trouve

$$ \|u_{\delta} - v_{\delta}\|_{V} \leq \frac{1}{\alpha_{\dagger}} (\mathrm{Cons}_{\ell,\delta} + \|a\| \|u - v_{\delta}\|_{V} + \mathrm{Cons}_{a,\delta}(v_{\delta})). $$

D'après l'inégalité triangulaire, on a $\|u - u_\delta\|_V \le \|u - v_\delta\|_V + \|u_\delta - v_\delta\|_V$, et on en déduit finalement (9.15) avec $C = \max \left( \frac{1}{\alpha_\dagger}, \frac{\|a\|}{\alpha_\dagger} + 1 \right) > 0$. ■

**Remarque 9.18** Si les termes de consistance sont nuls, on aboutit à (9.15) avec $C = \frac{\|a\|}{\alpha_\dagger} + 1$ : on a retrouvé le résultat du lemme de Céa (le théorème 3.13).

**Corollaire 9.19** Sous les hypothèses du théorème 9.16, on a convergence de l'approximation pour toute donnée $\ell \in W'$, c'est-à-dire que $\lim_{\delta \to 0} \|u - u_\delta\|_V = 0$, si :

— d'une part les termes de consistance tendent vers 0 :

$$ \lim_{\delta \to 0} \mathrm{Cons}_{\ell, \delta} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{\delta \to 0} \|a - a_{\delta}\| = 0; $$

— d'autre part, la famille $(V_\delta)_\delta$ vérifie la propriété d'approximabilité (9.7).

**Démonstration :** On utilise (9.15). Par hypothèse, il est clair que $\mathrm{Cons}_{\ell,\delta}$ et $\inf_{v_\delta \in V_\delta} \|u - v_\delta\|_V$ tendent vers 0 lorsque $\delta$ tend vers 0, mais le terme de consistance $\mathrm{Cons}_{a,\delta}(v_\delta)$ doit être traité avec précaution, puisqu'il dépend de $v_\delta$ qui intervient aussi dans $\|u - v_\delta\|_V$. On écrit donc que

$$ \forall \delta, \quad \|u - u_{\delta}\|_{V} \le C \left\{ \mathrm{Cons}_{\ell, \delta} + \inf_{\substack{v_{\delta} \in V_{\delta} \\ tq \quad \|v_{\delta}\|_{V} \le 2\|u\|_{V}}} \left( \|u - v_{\delta}\|_{V} + \mathrm{Cons}_{a, \delta}(v_{\delta}) \right) \right\}. $$

En effet, on note que, pour toute suite $(v_\delta^*)_\delta$ approchant $u$, c'est-à-dire $\lim_{\delta \to 0^+} \|u - v_\delta^*\|_V = 0$, il existe $\delta_0 > 0$ tel que, pour tout $\delta \le \delta_0$, on a nécessairement $\|v_\delta^*\|_V \le 2\|u\|_V$. A partir de là, on a les majorations

$$
\begin{align*}
\forall \delta \le \delta_0, \quad \|u - u_\delta\|_V &\le C \{ \mathrm{Cons}_{\ell,\delta} + \|u - v_\delta^*\|_V + \mathrm{Cons}_{a,\delta}(v_\delta^*) \} \\
&\le C \{ \mathrm{Cons}_{\ell,\delta} + \|u - v_\delta^*\|_V + \|a - a_\delta\| \|v_\delta^*\|_V \} \\
&\le C \{ \mathrm{Cons}_{\ell,\delta} + \|u - v_\delta^*\|_V + 2 \|a - a_\delta\| \|u\|_V \}
\end{align*}
$$

et on en déduit le résultat annoncé.

Si $a_\delta = a$ pour tout $\delta > 0$, l'approche historique est d'utiliser le résultat (voir [18])
**Théorème 9.20 (Lemme de Fortin)** On suppose la condition inf-sup (9.3) vérifiée. Alors la forme a vérifie une condition inf-sup discrète uniforme si, et seulement si

$$ 
\begin{gathered}
\exists \beta' > 0, \quad \forall \delta, \exists \pi_{\delta} \in \mathcal{L}(W, W_{\delta}) \text{ tels que} \\
\forall \delta, \|\pi_{\delta}\| \le \beta' \quad \text{et} \quad \forall \delta, \forall w \in W, \forall v_{\delta} \in V_{\delta}, \quad a(v_{\delta}, \pi_{\delta}w - w) = 0.
\end{gathered}
\tag{9.16}
$$

**Démonstration** : On suppose (9.16) vérifiée. Soit $v_{\delta} \in V_{\delta} \setminus \{0\}$ :

$$ \sup_{w_{\delta} \in W_{\delta} \setminus \{0\}} \frac{|a(v_{\delta}, w_{\delta})|}{\|w_{\delta}\|_{W}} \ge \sup_{w \in W \text{ tq } \pi_{\delta}w \ne 0} \frac{|a(v_{\delta}, \pi_{\delta}w)|}{\|\pi_{\delta}w\|_{W}} $$

$$ (\text{le sup est positif}) = \sup_{w \in W \text{ tq } \pi_{\delta}w \neq 0 \text{ et } a(v_{\delta}, \pi_{\delta}w) \neq 0} \frac{|a(v_{\delta}, \pi_{\delta}w)|}{\|\pi_{\delta}w\|_{W}} $$

$$ (\forall w \in W, a(v_{\delta}, \pi_{\delta}w) = a(v_{\delta}, w)) = \sup_{w \in W \text{ tq } \pi_{\delta}w \neq 0 \text{ et } a(v_{\delta}, w) \neq 0} \frac{|a(v_{\delta}, w)|}{\|\pi_{\delta}w\|_{W}} $$

$$ (\forall w \in W, \|\pi_{\delta}w\|_{W} \le \beta' \|w\|_{W}) \ge \frac{1}{\beta'} \sup_{w \in W \text{ tq } \pi_{\delta}w \neq 0 \text{ et } a(v_{\delta}, w) \neq 0} \frac{|a(v_{\delta}, w)|}{\|w\|_{W}} $$

$$ (a(v_{\delta}, w) \neq 0 \implies \pi_{\delta}w \neq 0) = \frac{1}{\beta'} \sup_{w \in W \text{ tq } a(v_{\delta}, w) \neq 0} \frac{|a(v_{\delta}, w)|}{\|w\|_{W}} $$

$$ (\text{le sup est positif}) = \frac{1}{\beta'} \sup_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{|a(v_{\delta}, w)|}{\|w\|_{W}} $$

$$ (\text{d'après (9.3)}) \ge \frac{\alpha'}{\beta'} \|v_{\delta}\|_{V}. $$

Réciproquement, on suppose que (9.13) est vraie :

$$ \exists \alpha_{\dagger} > 0, \forall \delta > 0, \forall v_{\delta} \in V_{\delta}, \sup_{w_{\delta} \in W_{\delta} \setminus \{0\}} \frac{|a(v_{\delta}, w_{\delta})|}{\|w_{\delta}\|_{W}} \ge \alpha_{\dagger} \|v_{\delta}\|_{V}. $$

Pour construire les applications linéaires $(\pi_{\delta})_{\delta}$ vérifiant (9.16), on utilise les propriétés de la transconjuguée $\mathbf{A}_{\delta}^{*}$ de $\mathbf{A}_{\delta}$, cf. le corollaire 9.13. On fixe $\delta > 0$. Pour $w \in W$, la forme anti-linéaire $v_{\delta} \mapsto \overline{a(v_{\delta}, w)}$ appartient à $V_{\delta}^{\prime}$ : il existe $y_{\delta} \in V_{\delta}$ unique tel que

$$ \forall v_{\delta} \in V_{\delta}, \quad (y_{\delta}, v_{\delta})_{V} = \overline{a(v_{\delta}, w)}. $$

Puisque $\mathbf{A}_{\delta}^{*}$ est une bijection de $W_{\delta}$ dans $V_{\delta}$, il existe $w_{\delta} \in W_{\delta}$ unique tel que $y_{\delta} = \mathbf{A}_{\delta}^{*}w_{\delta}$. Et par construction, on a pour tout $v_{\delta} \in V_{\delta}$,

$$ a(v_{\delta}, w) = \overline{(y_{\delta}, v_{\delta})_{V}} = \overline{(\mathbf{A}_{\delta}^{*}w_{\delta}, v_{\delta})_{V}} = (v_{\delta}, \mathbf{A}_{\delta}^{*}w_{\delta})_{V} \quad \text{def. } \mathbf{A}_{\delta}^{*} = a(v_{\delta}, w_{\delta}). $$

A partir de là, on introduit l'application $\pi_{\delta}: w \mapsto w_{\delta}$, qui est linéaire de W dans $W_{\delta}$. Et, pour finir, on a, pour tout $w \in W$,

$$ \begin{aligned} \alpha_{\dagger} \|\pi_{\delta} w\|_{W} &\le \|\mathbf{A}_{\delta}^{*}(\pi_{\delta} w)\|_{V} \\ &= \sup_{v_{\delta} \in V_{\delta} \setminus \{0\}} \frac{|(v_{\delta}, \mathbf{A}_{\delta}^{*}(\pi_{\delta} w))_{V}|}{\|v_{\delta}\|_{V}} \end{aligned} $$

$$ (\text{définition de } \mathbf{A}_{\delta}^{*}) = \sup_{v_{\delta} \in V_{\delta} \setminus \{0\}} \frac{|a(v_{\delta}, \pi_{\delta}w)|}{\|v_{\delta}\|_{V}} $$

$$ \begin{aligned} (\text{définition de } \pi_{\delta}w) = & \sup_{v_{\delta} \in V_{\delta} \setminus \{0\}} \frac{|a(v_{\delta}, w)|}{\|v_{\delta}\|_{V}} \\ & \le \|\!\|a\!\|\!\| \|w\|_{W}, \end{aligned} $$
ce qui prouve que le module de continuité de $\pi_\delta$ est (uniformément) borné par $\beta' = \alpha_t^{-1} \|a\|$. ■

On revient maintenant à l'approche utilisant la T-coercivité. Par hypothèse, le problème (9.1) est bien posé. Selon le théorème 9.6, il existe une application linéaire $T \in \mathcal{L}(V, W)$ telle que la forme $a(\cdot, \cdot)$ est T-coercive. On utilise la connaissance d'une telle application linéaire T dans les deux résultats ci-dessous.

**Corollaire 9.21** Soit $T \in \mathcal{L}(V, W)$ réalisant la T-coercivité. On suppose que $TV_\delta \subset W_\delta$ pour tout $\delta$, et que $\lim_{\delta \to 0} \|a - a_\delta\| = 0$. Alors il existe $\delta_0 > 0$ tel que la famille $(a_\delta)_{\delta \le \delta_0}$ vérifie la T-coercivité discrète, et on a l'estimation d'erreur

$$ \exists C > 0, \delta_0 > 0, \forall \delta \le \delta_0, \quad \|u - u_\delta\|_V \le C \left\{ \text{Cons}_{\ell, \delta} + \inf_{v_\delta \in V_\delta} \left( \|u - v_\delta\|_V + \text{Cons}_{a, \delta}(v_\delta) \right) \right\}. \quad (9.17) $$

**Démonstration :** Si on choisit $T_\delta = T|_{V_\delta}$ pour tout $\delta$, on a pour tout $v_\delta \in V_\delta$ :

$$ \begin{aligned} |a_\delta(v_\delta, T_\delta v_\delta)| &= |a(v_\delta, T v_\delta) + (a_\delta - a)(v_\delta, T v_\delta)| \\ &\ge (\underline{\alpha} - \|a_\delta - a\| \|T\|) \|v_\delta\|_V^2. \end{aligned} $$

Par hypothèse, il existe $\delta_0 > 0$ tel que $\alpha^* = \underline{\alpha} - \|a_\delta - a\| \|T\| \ge \frac{1}{2}\underline{\alpha}$ pour tout $\delta \in [0; \delta_0]$. On en déduit la T-coercivité discrète de $(a_\delta)_{\delta \le \delta_0}$ et, en reprenant la démonstration du lemme de Céa, on aboutit ensuite à (9.17). ■

On note que, puisque $\ker(T) = \{0\}$ et $\dim(V_\delta) = \dim(W_\delta)$, la condition $TV_\delta \subset W_\delta$ est équivalente à la condition $TV_\delta = W_\delta$ d'après le théorème du rang.

Enfin, si on ne peut pas utiliser directement l'application $T$ pour obtenir la T-coercivité discrète, on peut utiliser le résultat plus général ci-dessous.

**Corollaire 9.22** Soit $T \in \mathcal{L}(V, W)$ réalisant la T-coercivité. On suppose qu'il existe une famille d'applications linéaires et continues $(T_\delta)_\delta$ avec $T_\delta \in \mathcal{L}(V_\delta, W_\delta)$, telle que $\|\|T|_{V_\delta} - T_\delta\|\| \to 0$, et que $\lim_{\delta \to 0} \|a - a_\delta\| = 0$. Alors il existe $\delta_0 > 0$ tel que la famille $(a_\delta)_{\delta \le \delta_0}$ vérifie la T-coercivité discrète, et on a l'estimation d'erreur (9.17).

**Démonstration :** Pour tout $\delta$ et pour tout $v_\delta \in V_\delta$, on a :

$$ \begin{aligned} |a_\delta(v_\delta, T_\delta v_\delta)| &= |a(v_\delta, T_\delta v_\delta) + (a_\delta - a)(v_\delta, T_\delta v_\delta)| \\ &= |a(v_\delta, T v_\delta) - a(v_\delta, (T - T_\delta)v_\delta) + (a_\delta - a)(v_\delta, T_\delta v_\delta)| \\ &\ge |a(v_\delta, T v_\delta)| - |a(v_\delta, (T - T_\delta)v_\delta)| - |(a_\delta - a)(v_\delta, T_\delta v_\delta)| \\ &\ge (\underline{\alpha} - \|a\| \|T - T_\delta\| - \|a - a_\delta\| \|T_\delta\|) \|v_\delta\|_V^2. \end{aligned} $$

Par hypothèse, il existe $\delta_1 > 0$ tel que $\|T_\delta\| \le 2\|T\|$ pour tout $\delta \in [0; \delta_1]$. Puis il existe $\delta_0 \in [0, \delta_1]$ tel que $\alpha^* = \underline{\alpha} - \|a\| \|T - T_\delta\| - 2 \|a - a_\delta\| \|T\| \ge \frac{1}{2}\underline{\alpha}$ pour tout $\delta \in [0; \delta_0]$. Le résultat suit. ■
## 9.3 Bref retour sur le problème avec coefficient changeant de signe

On revient au problème (P) sous les hypothèses (7.1)-(7.3), et pour un coefficient $\sigma$ constant par morceaux (7.4).

### 9.3.1 Géométries simples

L'exemple le plus simple est celui d'une géométrie (forme du domaine $\Omega$) symétrique par rapport à l'interface $\Sigma$, pour un contraste différent de $-1$, voir le §8.1. Lorsqu'on discrétise par éléments finis (espaces discrets $(V_h)_h$), on rappelle que si on a $TV_h \subset V_h$ pour une application $T$ réalisant la $T$-coercivité, alors d'après le corollaire 9.21 on a automatiquement convergence... Or on a vu que pour le cas de la géométrie symétrique, on utilisait une transformation basée sur la symétrie par rapport à l'hyperplan contenant $\Sigma$ (voir les théorèmes 8.1 et 8.2). Ceci nous indique que si on utilise des maillages symétriques par rapport à l'hyperplan (les maillages $T$-conformes), alors on doit avoir convergence !

### 9.3.2 Géométries quelconques

Dans le cas d'une interface "quelconque" (voir le §8.3.3), lorsque le contraste n'appartient pas à l'intervalle critique, on peut établir une inégalité de Gärding (8.9).
Si on en revient au problème abstrait (9.1) avec $V = W$, on énonce

**Définition 9.23** Soit $a(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire et continue sur $V \times V$. $a(\cdot, \cdot)$ est $T$-coercive+compacte si, et seulement si,

$$ \begin{array}{l} \exists \mathcal{C} \in \mathcal{L}(V) \textit{ compacte} \\ \exists T \in \mathcal{L}(V) \textit{ bijective} \end{array} , \quad \exists \underline{\alpha} > 0, \underline{\beta} \in \mathbb{R}, \forall v \in V, |a(v, Tv)| \geq \underline{\alpha} \|v\|_V^2 - \underline{\beta} \|Cv\|_V^2. \quad (9.18) $$

On peut établir le résultat (voir par exemple [10, Chapitre 2])

**Lemme 9.24** Soit $a(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire, continue et hermitienne sur $V \times V$. Les deux assertions ci-dessous sont équivalentes :

(i) la formulation variationnelle (9.1) est bien posée au sens de Fredholm ;

(ii) la forme $a(\cdot, \cdot)$ est $T$-coercive+compacte.

Dans ce contexte, si le problème exact (9.1) est bien posé (au sens d'Hadamard), on peut généraliser les corollaires 9.21 ou 9.22 pour assurer la convergence des solutions discrètes vers la solution exacte [11, 4].
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[22] V.G. Veselago, The electrodynamics of substances with simultaneously negative values of $\varepsilon$ and $\mu$, *Soviet Physics-Uspekhi*, **10**, 509–514 (1968).
# Index

application linéaire

compacte, 3

continue, 3

approximation

conforme, 32

convergence, 36, 38

vitesse de convergence, 36

carte locale, 9

condition

de solvabilité, 24

de stabilité, 24

de stabilité discrète, 36

de stabilité discrète uniforme, 38

inf-sup, 24

inf-sup discrète, 36

inf-sup discrète uniforme, 38, 110

consistance, 108

constante inf-sup, 24, 105

de Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi, 68

corollaire

Banach-Necas-Babuska, 27

Banach-Necas-Babuska discret, 37

crochets de dualité, 3, 6

dispersion

métamatériau, 79, 80

plasmon, 78

vide, 79

distribution, 6

convergence, 6

dérivée, 6, 7

domaine, 10

éléments finis

Lagrange, 39

Lagrange - calculs élémentaires, 40

Lagrange - degrés de liberté, 40

Lagrange vectoriel, 55

MINI, 63

Raviart-Thomas, 43

Raviart-Thomas - calculs élémentaires, 45

Raviart-Thomas - degrés de liberté, 44

Taylor-Hood, 64

erreur, 34

espace

Banach, 3

Hilbert, 3

$H^1(\cdot), 7$

$H^m(\cdot), m \in \mathbb{N}, 7$

$H_0^m(\cdot), m \in \mathbb{N}, 8$

$H(\operatorname{div}; \cdot), 13$

$L^p(\cdot), 4$

réflexif, 3

séparable, 2

exposant

de décalage, 41

flux, 10

fonction

lipschitzienne, 2

support, 2

forme

coercive, 20, 21

continue, 3

hermitienne, 20

symétrique, 21

T-coercive, 31, 84, 105, 107, 110
formulation variationnelle

bien posée, 23

diffusion, 19, 28

mixte, 64

mixte discrète, 68

Stokes, 49, 50

formule de Green, 10

frontière

lipschitzienne, 9

régulière, 9

vecteur normal, 9

frontière

bornée, 11

inégalité

Young, 58

intégration par parties, 10, 15

lemme

Céa, 34, 37, 111

Fortin, 69, 113

maillage

famille régulière, 39

pas, 39

T-conforme, 115

matériau

métal, 74

métamatériau, 75

mode plasmonique, 102

modèle

diffusion neutronique, 18

Drude-Lorentz, 71

problème de transmission, 82

Stokes, 47

modèle mathématique, 1

bien posé (au sens de Fredholm), 99

bien posé (au sens de Hadamard), 23

bien posé, 1

opérateur d'interpolation, 40

opérateur de dérivation

divergence, 1, 8

gradient, 1, 8

Laplacien, 2

rotationnel, 2

ouvert

borné, 5

pénalisation, 54

plasmon, 76

prolongement par continuité, 4

propriété

d'approximabilité, 35

de décalage, 41

réfraction négative, 78

régularité par morceaux, 41, 55

saut, 17

théorème

Babuska-Brezzi, 68

Banach-Necas-Babuska, 24

de Rham, 51

isomorphisme de Banach, 4

Lax-Milgram, 21

Riesz, 3

trace, 11

trace normale, 14

trace, 11

trace normale, 14

transformation de Piola, 46