# Une approche mécanicienne des phénomènes non linéaires en thermoacoustique

Diana Baltean-Carlès

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## To cite this version:

Diana Baltean-Carlès. Une approche mécanicienne des phénomènes non linéaires en thermoacoustique. Mécanique des fluides [physics.class-ph]. Sorbonne Université, 2020. tel-04439100

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SORBONNE UNIVERSITÉ
Laboratoire d'Informatique pour la Mécanique et les Sciences de
l'Ingénieur

Mémoire présenté pour obtenir
L'HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES

Diana BALTEAN-CARLÈS

Une approche mécanicienne des phénomènes non linéaires en
thermoacoustique

Soutenue le 24 juin 2020,

devant le jury composé de :

<table><tr><td rowspan="3">Rapporteurs</td><td>Valéry Botton</td><td>Professeur des Universités, LMFA, INSA, Lyon</td></tr><tr><td>Joël Gilbert</td><td>Directeur de Recherche, LAUM, CNRS, Le Mans</td></tr><tr><td>Benoît Goyeau</td><td>Professeur des Universités, EM2C, CentraleSupélec, Université Paris-Saclay</td></tr><tr><td rowspan="3">Examinateurs</td><td>Hélène Bailliet</td><td>Maître de Conférences, Institut Pprime, Université de Poitiers-ENSMA, ENSIP</td></tr><tr><td>Pierre-Yves Lagrée</td><td>Directeur de Recherche, ∂'Alembert, CNRS, Sorbonne Université, Paris</td></tr><tr><td>François Lusseyran</td><td>Directeur de Recherche, LIMSI, CNRS, Orsay</td></tr></table>
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
Părinţilor mei.
# Table des matières

Curriculum Vitae 7

Activités d'enseignement 19

1 Introduction générale aux machines thermoacoustiques 25

1.1 Description de l'effet thermoacoustique 25

1.2 Les éléments constitutifs d'une machine thermoacoustique 27

1.3 Outils de modélisation : la théorie linéaire de Rott 28

1.4 Phénomènes limitant l'efficacité des systèmes - les axes de recherche 29

1.5 Machines thermoacoustiques au LIMSI 29

2 Streaming acoustique 33

2.1 Streaming de Rayleigh 33

2.2 Étude expérimentale sur le streaming dans les machines thermoacoustiques 35

2.2.1 Mesure des composantes acoustiques et continues des champs de vitesses dans le résonateur 36

2.2.2 Dispositif expérimental 37

2.2.3 Calcul des champs de vitesses PIV 38

2.2.4 Réarrangement des champs PIV sous-échantillonnés selon une phase auto-référencée 39

2.2.5 Calcul de la vitesse moyenne (de streaming) 40

2.2.6 Reconstruction de l'acoustique et du champ moyen par décomposition POD 41

2.2.7 Champs PIV avec référence de phase 42

2.2.8 Résultats pour plusieurs drive ratio 42

2.3 Streaming acoustique en guide d'onde 44

2.3.1 Une histoire d'aller et retour 44

2.3.2 Premières simulations du streaming en canal plan, dans les deux régimes, incluant les effets thermiques 45

2.3.3 Analyse du streaming en régime nonlinéaire, hypothèse insentropique 48

2.3.4 Retour au régime linéaire : analyse des termes sources de streaming en hypothèse isentropique 55

2.3.5 Retour au régime linéaire et aux effets thermiques : conséquences sur le régime non linéaire 56

3 Thermoacoustique : Modélisation et simulation d'un moteur thermoacoustique 61

3.1 Modélisation d'un moteur thermoacoustique idéalisé 61

3.1.1 Modèle physique 62

3.1.2 Echelles de référence et adimensionnement 62

3.1.3 Résonateur 63
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>3.1.4</td>
      <td>Conditions aux extrémités du tube</td>
      <td>63</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.5</td>
      <td>Cellule active</td>
      <td>64</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.6</td>
      <td>Conditions aux limites</td>
      <td>66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.7</td>
      <td>Raccord</td>
      <td>66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.8</td>
      <td>Conditions initiales</td>
      <td>66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.9</td>
      <td>Solution numérique</td>
      <td>66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.10</td>
      <td>Simulation du démarrage du moteur jusqu'à la saturation</td>
      <td>67</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.11</td>
      <td>Conclusion</td>
      <td>67</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2</td>
      <td>Étude de stabilité : influence de la charge sur un moteur thermoacoustique à onde stationnaire</td>
      <td>68</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.1</td>
      <td>Calculs des modes propres et du rapport de températures critique</td>
      <td>68</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2</td>
      <td>Influence de la position de la cellule active</td>
      <td>70</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.3</td>
      <td>Comparaison avec la théorie linéaire</td>
      <td>70</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.4</td>
      <td>Comparaison avec les résultats expérimentaux</td>
      <td>71</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3</td>
      <td>Analyse du régime périodique</td>
      <td>72</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4</td>
      <td>Application : thermophones</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4</td>
      <td>Couplages fluide-poreux</td>
      <td>75</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.1</td>
      <td>Étude numérique de la convection naturelle autour et dans le stack moteur</td>
      <td>76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2</td>
      <td>Étude numérique de la convection naturelle dans un système thermoacoustique</td>
      <td>79</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.1</td>
      <td>Résultats sur la configuration 1</td>
      <td>81</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.2</td>
      <td>Résultats sur la configuration 2</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Projet de recherche</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Bibliographie</td>
      <td>90</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Articles en annexe</td>
      <td>97</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>P. Debesse, D. Baltean Carlès, F. Lusseyran and M-X François, Oscillating and streaming flow identification in a thermoacoustic resonator, from undersampled PIV measurements, Meas. Sci. Technol. 25, 025005, (2014)</td>
      <td>97</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>O. Hireche, C. Weisman, D. Baltean-Carlès, P. Le Quéré and L. Bauwens, Low Mach number analysis of idealized thermoacoustic engines with numerical solution, J. Acoust. Soc. Am. 128(6), 3438-3448, (2010)</td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>L. Ma, C. Weisman, D. Baltean-Carlès, I. Delbende, L. Bauwens, Effect of a resistive load on the starting performance of a standing wave thermoacoustic engine : A numerical study, J. Acoust. Soc. Am. 138 (2), 847-857, (2015)</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V. Daru, D. Baltean-Carlès, C. Weisman, P. Debesse, G. Gandikota, Two-dimensional numerical simulations of nonlinear acoustic streaming in standing waves, Wave Motion 50, 955-963 (2013)</td>
      <td>143</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V. Daru, C. Weisman, D. Baltean-Carlès, I. Reyt, H. Bailliet, Inertial effects on acoustic Rayleigh streaming flow : Transient and established regimes, Wave Motion 74, 1-17, (2017)</td>
      <td>155</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>D. Baltean-Carlès, V. Daru, C. Weisman, S. Tabakova, H. Bailliet, An unexpected balance between outer Rayleigh streaming sources, J. Fluid Mech. 867, 985-1011, (2019)</td>
      <td>175</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>O. Hireche, I. Ramadan, C. Weisman, H. Bailliet, Y. Fraigneau, D. Baltean-Carlès, V. Daru, Experimental and numerical investigation of natural convection flows in two horizontal thermoacoustic cavities. Int. J. of Heat and Mass Transf. 149, 119195, (2020)</td>
      <td>205</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
# BALTEAN-CARLÈS Diana, née BALTEAN

Docteur en Mécanique

Maître de Conférences 60ème section

U.F.R. 919 Ingénierie, Faculté des Sciences et Ingénierie, Sorbonne Université,
4 Place Jussieu, 75005 Paris

Laboratoire d'Informatique pour la Mécanique et les Sciences de l'Ingénieur LIMSI, CNRS UPR
3251

Campus Universitaire bât 508, rue John Von Neumann, 91405 Orsay Cedex

## Renseignements personnels

**Date et lieu de naissance** le 21 février 1972 à Drobeta Turnu Severin (Roumanie)

**Nationalité** Roumanie, Française

**Situation de famille** Mariée, 1 enfant

**Courrier électronique** diana-georgiana.baltean-carles@upmc.fr

## Cursus universitaire et diplômes

**1999** Doctorat de l'Université Pierre et Marie Curie et de l'Université de l'Ouest de Timisoara (UVT, Roumanie), spécialité Mécanique

**1995** Diplôme d'Etudes Approfondies de l'UVT, spécialité Mathématiques Appliquées à la Mécanique
Equivalence avec le DEA de Mécanique de l'Université Paris 6

**1990-1995** Diplôme d'Etudes Supérieures de l'UVT, spécialité Mathématiques

## Déroulement de carrière

**Sept 2002-présent** Maître de Conférences à l'Université Pierre et Marie Curie puis Sorbonne Université, UFR 923 (Mécanique, Energétique, Robotique) puis UFR 919 (Ingénierie), intégrée depuis janvier 2016 dans la Faculté des Sciences et Ingénierie

Titularisée en 2003

Promotion Hors Classe le 01/09/2019

**Sept 2001-sept 2002** ATER à l'Université Pierre et Marie Curie

**Fev 2001-Juin 2001** Contrat post-doctoral à l'UPMC

**2000-2001** Maître de Conférences à l'Université de l'Ouest de Timisoara (UVT)

**1998 – 2000** Assistante à l'Université de l'Ouest de Timisoara

**1995 – 1998** Monitrice à l'Université de l'Ouest de Timisoara

## Recherche

**Depuis 2002** : Laboratoire d'Informatique pour la Mécanique et les Sciences de l'Ingénieur, LIMSI (accueil sous convention UPMC)

**2000-2002** : Laboratoire de Modélisation en Mécanique (UPMC)

**1996-1999** : Laboratoire de Modélisation en Mécanique (UPMC) et Université de l'Ouest de Timisoara (Roumanie)
## Thèmes de recherche :

Modélisation du transport en milieux poreux (méthodes asymptotiques, homogénéisation en milieux périodiques) ; convection naturelle en cavité partiellement remplie d'un milieu poreux (configurations issues des systèmes thermoacoustiques) ; modèles faible Mach et simulation numérique des phénomènes d'excitation et de pompage de chaleur thermoacoustiques : application aux moteurs thermoacoustiques et dans le domaine musical ; analyse expérimentale (mesures PIV), modélisation et simulation numérique du streaming acoustique en guide d'ondes, en particulier le streaming non linéaire.

## Encadrement doctoral et scientifique

### Co-encadrements de thèse :

1. P. Debesse (2004-08), ED SMAER, Thèse de Doctorat de l'UPMC, intitulée «Vers une mesure du vent thermoacoustique», sous la direction de M.-X. François et F. Lusseyran
Participation à l'encadrement : 60% (autre co-encadrant : F. Lusseyran)
Publications : 2 articles de revue internationale à comité de lecture, 3 congrès internationaux avec actes, 2 congrès nationaux avec actes, 1 colloque
P. Debesse est ingénieur de recherche au laboratoire LIEFT, CEA Saclay

2. O. Hireche (2007-10), thèse Algérienne de l'USTO Oran, intitulée « Analyse faible Mach et étude numérique d'un système thermoacoustique », sous la direction de M.-X. François et M. Abidat-USTO
Participation à l'encadrement : 30% (autre co-encadrante : C. Weisman)
Publications : 2 articles de revue internationale à comité de lecture, 1 congrès international avec actes, 1 congrès/acte à diffusion restreinte, 1 congrès sans acte, 1 colloque
Omar Hireche est Maître de Conférences classe A au Département de Mécanique de l'Ecole Nationale Polytechnique d'Oran, Algérie

3. L. Ma (2011-14), ED SMAER, Thèse de Doctorat de l'UPMC, intitulée « Modélisation et simulation des effets non linéaires et multidimensionnels d'un moteur thermoacoustique : influence d'une charge résistive », sous la direction de I. Delbende
Participation à l'encadrement : 40% (autre co-encadrante : C. Weisman)
Publications : 1 article de revues internationale à comité de lecture, 1 article de revue internationale. « special issue », 3 congrès internationaux avec actes, 1 congrès/acte à diffusion restreinte
Lin Ma est enseignant-chercheur en Chine

### Séjour post-doctoraux :

1. I. Reyt (2012-214), ATER Paris 11 (2012-2013), ATER ENSAM (2013-2014), Post-doc ENSAM (2015), « Streaming acoustique non linéaire »
Participation à l'encadrement : 30% (autre co-encadrants : V. Daru et C. Weisman)
Publications : 3 articles de revues internationales à comité de lecture, 3 congrès nationaux avec actes, 1 congrès international sans actes, 1 colloque.

2. O. Hireche (2018-19), Contrat post-doctoral dans le cadre de l'ANR « TACOT », « Convection naturelle dans un système thermoacoustique : simulation numérique et comparaison avec les expériences »
Participation à l'encadrement : 30% (autre co-encadrante : C. Weisman)
Publications : 2 articles de revue internationale à comité de lecture soumis (IJHMT et Mechanics & Industry), 1 congrès national avec actes, 1 colloque
## Encadrement de stages niveau M2:

1. L. Ma (M2 - Master Sciences de l'ingénieur UPMC, spécialité Mécanique des Fluides Fondements et Applications MF2A, co-encadrement 50% avec C. Weisman), *Modélisation d'un moteur thermoacoustique idéalisé*, 2011.

2. K. Sodjavi (M2 - Master Sciences de l'ingénieur UPMC, spécialité Mécanique des Fluides et Energétique MFE, co-encadrement 50% avec C. Weisman), *Simulation numérique d'un moteur thermoacoustique*, 2009.

3. C. Ratier, N. Kuncio (M2, Dynamique des Fluides, Univ. Paris 11), Evaluation de la puissance acoustique dans un système thermo acoustique par la méthode des deux capteurs, 2006.

4. V. Macary (DEA Modélisation et Instrumentation en Physique, Univ. Paris 6, Paris 7, Paris 11, INSTN - CEA), *Contrôle du champ acoustique par des éléments passifs dans un système thermoacoustique*, 2004.

## Encadrement de stages niveau M1:

1. S. Benyahia (M1 MF2A, co-encadrement 50 % avec D. Baltean-Carlès), Convection naturelle, simulations et application à la thermoacoustique, *Thermoacoustique*, 2017

2. V.D.R. Dalli (M1 ENSAM, co-encadrement 50% avec D. Baltean-Carlès), *Thermoacoustique et Thermophones*, (Thermoacoustique), 2016

3. D. H. Truong (M1 MF2A, co-encadrement 50% avec D. Baltean-Carlès), *Thermoacoustique*, 2015

4. W. Gault, projet de synthèse ECP, co-encadrement 50% avec D. Baltean-Carlès, *Simulation numérique d'un écoulement oscillant à travers un orifice*, 2014.

5. B. Belhassein (Master Sciences de l'ingénieur UPMC, spécialité Energie et Environnement, co-encadrement 50% avec D. Baltean-Carlès), *Caractérisation de la charge pour un moteur thermoacoustique (Thermoacoustique)*, 2010.

6. M. Sahal (Master Mécanique des Fluides, Université Paris 11), *Etude du streaming dans un écoulement thermoacoustique* (Thermoacoustique), 2009.

## Encadrement de stages niveau L:

1. Khrishnakumar A. (L3 UPMC), *Simulation des écoulements oscillants en cavité fermée*, 2019.

2. M. Elkoby (L2 UPMC), *Simulation d'un moteur thermoacoustique à ondes stationnaires*, 2012.

3. L. Lounis (L3-Physique, Univ. de Cergy-Pontoise), *Un modèle simplifié pour la thermoacoustique : approche linéaire de Rott*, 2012.

4. C. Rassier (IUT d'Evry-Bretigny), *Caractérisation thermique d'un réfrigérateur à onde stationnaire ou progressive*, 2003.

## Diffusion et rayonnement de la recherche :

J'ai effectué plusieurs expertises d'articles dans les journeaux suivants: J. of Sound and Vibration, Acta Acustica, Int. J. Heat Mass Transfer.
J'ai été membre de plusieurs jurys de thèse :

- C. Olivier, "Contributions à l'Étude des Générateurs d'Ondes Thermoacoustiques. Contrôle Actif des Auto-Oscillations, et Propagation Non Linéaire", soutenue le 13.10. 2015 au LAUM, Université du Maine, Le Mans. J'ai fait également partie du comité de suivi de thèse en tant que référent extérieur.

- H. Chatou, "Etude d'optimisation par essais particuliers d'un moteur thermoacoustique : application au couplage avec un générateur électrique linéaire", soutenue le 09.04.2013 à l'Université de Franche-Comté

- I. Reyt, Écoulements induits en guide d'onde acoustique fort niveau, soutenue le 20.11. 2012 à l'Institut PPrime, Université de Poitiers.

- C. Desjouy, Etudes thermoacoustiques en résonateurs annulaires : mesure des écoulements redressés par Vélocimétrie Laser Doppler, et contrôle actif de l'amplification thermoacoustique, soutenue le 30.03. 2010 au LAUM, Université du Maine, Le Mans.

Membre de : AUM, SFT, SFA

J'ai organisé avec C. Weisman, 2 journées de rencontre au LIMSI sur les effets non linéaires en thermoacoustique, les 3/4 juillet 2006.

J'ai été membre du comité scientifique et d'organisation de la première école de Thermoacoustique (labellisée CNRS), organisée à Roscoff du 30 mai au 4 juin 2010, 42 participants.

Cours de recherche (avec C. Weisman) "Mathematical modeling and numerical simulation in Thermoacoustics" dans le cadre de l'école thématique "Space trips" Summer School on thermoacoustic and space Technologies, june 17-20, 2014, French Institute, 59 Elizabetes street, LV-1050 Riga

J'ai participé à deux réseaux de recherche :

GDR 3058 « Thermoacoustique » (2007-2014)

J'ai participé à l'initiation puis à la création en 2007 du GDR thermoacoustique, ainsi qu'à toutes les réunions du GDR. J'ai fait partie du conseil du GDR en tant que représentante du laboratoire LIMSI. J'ai également participé aux rédactions annuelles des bilans du GDR (laboratoires partenaires, LMFA, LEA, LAUM, LIMSI, IPNO, FEMTO).

Fédération «Transferts de masse et de chaleur» dans l'axe instabilités thermoconvectives» sur le thème de la convection hors Boussinesq. J'ai participé aux premières réunions de la Fédération, aux réunions de bilan, et à une journée organisée sur le thème «convection hors Boussinesq».

Responsabilités scientifiques

- Porteur du projet d'Action Incitative LIMSI 2005-07, « Analyse expérimentale des effets non linéaires dans les systèmes thermoacoustiques », financement 18000 euros, autres participants : P. Debesse, F. Lusseyran, M.-X. François.

- Porteur du projet BQR-Recherche 2007 de L'UPMC « Etude des effets non linéaires en thermoacoustique », financement 15000 euros, autres participants : F. Lusseyran, M.-X. François.

- Participation au projet CMEP 10MDU809, «Etude numérique et expérimentale des systèmes thermoacoustiques», (2010-2014, 38000 euros sur 4 ans), dans le cadre du programme de collaboration franco-algérienne Hubert Curien Tassili, porteur P. Le Quéré.
Ce contrat a permis de financer les voyages et séjours en France et en Algérie pour poursuivre la collaboration déjà établie lors de la thèse algérienne de O. Hireche, entre le Laboratoire de Mécanique Appliquée de l'Université des Sciences et de la Technologie d'Oran et le LIMSI. Un des objectifs était la création d'une équipe de recherche à l'USTO sur la problématique de l'optimisation des machines thermoacoustiques. Dans ce cadre, nous avons accueilli au LIMSI deux doctorants, S.A. Litim (2010, 2011) et K. Nehar Belaïd (2012, 2013). Plusieurs séjours de M. Abidat et O. Hireche au LIMSI ont aussi été financés ainsi qu'un séjour que j'ai effectué à l'USTO en 2010.

- Participation au projet d'Action Incitative LIMSI 2012-13, « Thac3G» (3500 euros + 1 stage, AAP 2015-16), autres participants : C. Weisman (porteur du projet) et V. Daru.

- Porteur scientifique du projet Arts&Science 2015-2016, La Diagonale, Paris Saclay, « Thermophones », (15000 euros, AAP 2015-16), avec J. Rémus (porteur artistique de la Société Ipotam Mécamusique), autres participants : C. Weisman, V. Daru, F. Jebali.

- Porteur du projet d'Action Incitative LIMSI 2015-16, « Thermoacoustique dans l'audio : le thermophone comme un instrument de musique » (4600 euros, AAP 2015-16), avec C. d'Alessandro, autres participants : C. Weisman, V. Daru.

- ANR TACOT, Thermo-Acoustic Cooler for On road Transportation, AAP Generique 2017, Défi « Energie Propre, Sûre et Efficace », 2017-2020 (Porteur Hélène Bailliet P')
  5 Partenaires: Institut P', Groupe PSA, LAUM, LIMSI, LMFA
  Début du projet le 01 Janvier 2018, durée 36 mois, aide ANR 491.7 keuros, coût complet 1148 keuros
  Labellisation par 2 pôles de compétitivité: S2E2 et iDforCAR
  LIMSI : aide allouée 67896 euros, entre-autres pour le financement de 12 mois de stage post-doctoral.

Je suis participante à 10 pm (personnes-mois), chargée avec C. Weisman et V. Daru de la
modélisation et simulation numérique.

Responsabilités collectives

Au sein de l'UPMC (Sorbonne Université)

Je suis responsable des parcours intensifs L2-L3 avec la Mécanique (mono-disciplinaire et double majeure avec la Physique, les Mathématiques et l'Electronique). A ce titre, je suis membre de l'EFU (Équipe de Formation Universitaire) du département de Licence de Mécanique.

J'ai été membre élue du Conseil du Département des Licences de Mécanique et EEA, à l'UFR d'ingénierie à l'UPMC dans la période 2015-2017.

J'ai été élue dans les commissions de l'UPMC:

Membre de la Commission de Spécialistes, section 60, de l'UPMC (2004-2011) (2 mandats).

Membre du jury de concours de recrutement IRTF, pour le recrutement d'un assistant ingénieur expérimental à l'UPMC, avec affectation au LIMSI en 2006.

Au sein du laboratoire LIMSI

Membre du Conseil du Département de Mécanique du LIMSI depuis 2004.

Membre de la Commission des locaux

Membre de la Commission informatique

Membre du Conseil du laboratoire depuis janvier 2020

Au sein des instances nationales

Membre suppléante nommée au CNU, section 60 (2019-2023)
## Enseignements à l'Université de Timisoara, (UVT) - Faculté de Mathématique, Roumanie (1995-2001).

Formations équivalentes Licence et Master, parcours Mathématiques, Mathématiques Appliquées et Mathématiques Physiques.

- Total : ~1500 heures présentielles (équivalent TD) avec une moyenne de 250 heures annuelles
Les heures effectives se répartissent 6% CM + 60% TD +34% TP.

## Enseignements depuis 2001 à l'U.P.M.C. (Faculté des Sciences et Ingénierie, Sorbonne Université, depuis janvier 2018)

Les enseignements que j'ai dispensés l'ont été au sein de l'UFR919 (ingénierie), anciennement UFR 923 (Mécanique, Energétique, Robotique), en formation initiale, presque entièrement présentielle, et encadrements/tutorats de stages.

- Total : ~3400 heures présentielles en formation initiale (équivalent TD)
Les heures effectives se répartissent 15% CM + 62% TD +23% TP, avec plus de 80% en Licence.

## Thèmes et niveaux des enseignements :

**Licence de mécanique** niveaux L1, L2 et L3 : mécanique des milieux continus, mécanique des fluides, mathématiques, thermodynamique, mécanique des solides, méthodologie en mécanique, initiation à la mécanique- énergétique et acoustique, méthodes numériques

**Master** (Sciences pour l'Ingénieur, spécialité MF2A, Mécanique des Fluides, Fondements et Applications), niveaux M1 et M2 : mécanique des milieux continus-fluides, acoustique, techniques expérimentales, énergétique et impact environnemental, méthodes asymptotiques, suspensions et milieux diphasiques, milieux poreux et suspensions.

## Responsabilités et activités pédagogiques:

- Responsable des parcours intensifs L2-L3 avec la Mécanique (mono-disciplinaire et double majeure avec la Physique, les Mathématiques et l'Electronique) depuis 2017.

- Responsabilité de l'UE « Méthodes mathématiques pour la mécanique » depuis 2014 (L2, ~250 étudiants/an)

- Responsabilité de l'UE « Equations aux dérivées partielles II » depuis 2009 (L3, ~250 étudiants/an)

- Co - responsabilité de l'UE de Master Suspensions et milieux diphasiques depuis 2012, devenue Milieux poreux et suspensions en 2015, dans le Master Sciences pour l'Ingénieur, spécialité MF2A.

- Participation à la mise en place des enseignements de mathématiques des maquettes majeure-mineure (en 2014-2015 et 2018-2019)

- Titulaire de la prime de responsabilités pédagogiques pour investissement en licence PIL de l'UPMC pour les années 2013-15 et 2015-17.

- En Roumanie : responsable de Filière pour la 3ème année Universitaire (Licence) de la Faculté de Mathématique, UVT. J'ai créé un cours de M2 « Méthodes asymptotiques » et j'ai mis en place des travaux pratiques numériques pour le cours de mécanique du point matériel
* *Articles dans revues internationales à comité de lecture*

V. Daru, C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, H. Bailliet, «Thermal effects on fast acoustic streaming inside a resonator », soumis à J. Fluid Mech., février 2020.

1. O. Hireche, I. Ramadan, C. Weisman, H. Bailliet, Y. Fraigneau, **D. Baltean-Carles**, V. Daru, « Experimental and numerical investigation of natural convection flows in two horizontal thermoacoustic cavities », Int. J. Heat Mass Transfer 149, 119195, (2020).

2. **D. Baltean-Carlès**, V. Daru, C. Weisman, S. Tabakova, H. Bailliet, « An unexpected balance between outer Rayleigh streaming sources », J. Fluid Mech. 867, 985-1011, (2019).

3. V. Daru, C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, I. Reyt, H. Bailliet, « Inertial effects on acoustic Rayleigh streaming flow: Transient and established regimes », *Wave Motion* **74**, 1-17, (2017).

4. V. Daru, I. Reyt, H. Bailliet, C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, « Acoustic and streaming velocity components in a resonant wave guide at high acoustic levels », *J. Acoust. Soc. Am.* **141**(1), 563-574, (2017).

5. L. Ma, C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, I. Delbende, L. Bauwens, « Effect of a resistive load on the starting performance of a standing wave thermoacoustic engine: A numerical study », *J. Acoust. Soc. Am.* **138**(2), 847-857, (2015).

6. P. Debesse, **D. Baltean-Carlès**, F. Lusseyran, M.-X. François, « Oscillating and streaming flow identification in a thermoacoustic resonator, from undersampled PIV measurements », *Meas. Sci. Technol.* **2**, 5 025005 (16pp), (2014).

7. I. Reyt, V. Daru, H. Bailliet, S. Moreau, J.-C. Valière, **D. Baltean-Carlès**, C. Weisman, « Fast acoustic streaming in standing waves: Generation of an additional outer streaming cell », *J. Acoust. Soc. Am.* **134**(3), 1791-1801 (2013).

8. V. Daru, **D. Baltean-Carlès**, C. Weisman, P. Debesse, G. Gandikota, « Two-dimensional numerical simulations of nonlinear acoustic streaming in standing waves », *Wave Motion* **50**, 955-963 (2013).

9. O. Hireche, C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, P. Le Quéré and L. Bauwens, « Low Mach number analysis of idealized thermoacoustic engines with numerical solution », *J. Acoust. Soc. Am.* **128**(6), 3438-3448, (2010).

10. O. Hireche, C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, P. Le Quéré, M.-X. François and L. Bauwens, « Numerical model of a thermoacoustic engine », *Comptes Rendus Mécanique* **338**, 18-23, (2010).

11. **D. Baltean**, T. Lévy, S. Balint, « Diffusion-convection in a porous medium with impervious inclusions at low flow rates », *Transport in Porous Media*, Vol 51, No 1, pp. 19-39, (2003).

* *Articles dans des revues internationales à comité de lecture « special issues »,*

12. L. Ma, C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, I. Delbende, L. Bauwens, « Numerical simulation of flow dynamics in the periodic regime in an idealized thermoacoustic engine », *Magnetohydrodynamics*, vol. 51, n°3, 601-608, (2015).
13. Duthil, P., **D. Baltean**, A. Bétrancourt, M.X. François, Z.B. Yu, and J.-P. Thermeau.
Experiments and valve modelling in Thermoacoustic device. in *Advances in Cryogenic Engineering*, Vol. 51 B, pp. 1095-1102, (2006).

14. M. Balint, M.M. Mihailovici, **D.G. Baltean**, St. Balint, A modified Chang-Brown model for the determination of the dopant distribution in a Bridgman-Stockbarger semiconductor crystal growth, *Journal of Crystal Growth*, 230, pp. 195-201, (2001).

15. M. Balint, M.M. Mihailovici, **D.G. Baltean**, St. Balint, Interface structure in the growth of semiconductor crystals using the Bridgman-Stockbarger method, *Thin Solid Films*, 380, pp. 108-110, (2000).

16. A.M. Balint, **D.G. Baltean**, T. Lévy, M. Mihailovici, A. Neculae, S. Balint, The dopant fields in « uniform-diffusion-layer », « global-thermal-convection » and « precrystallization-zone » models, *Material Science in Semiconductor Processing*, 3 pp. 115-121, (2000).

* Articles dans des revues nationales à comité de lecture,

17. **D. Baltean**, T. Lévy, S. Balin, Transport de masse par convection et diffusion, *Comptes Rendus de l'Académie des Sciences*, 326, Série II b, pp. 821-826, (1998).

* Conférences invitées

1. **D. Baltean-Carlès**, C. Weisman, Invited lecture, « Modelling and numerical simulations of thermoacoustics », as part of the 'Space trips' Summer School on thermoacoustic and space Technologies, june 17-20, 2014, French Institute, 59 Elizabetes street, LV-1050 Riga.

2. **D. Baltean Carlès**, P. Debesse, F. Lusseyran, M.-X François, « PIV contribution for measuring acoustic and streaming flow in thermoacoustic systems, using phase average dynamics », *Acoustics 08 meeting*, June 29-July 4, Paris, abstract dans J. Acoust. Soc. Am. (123), 3545, 2008.

* Communications dans des congrès internationaux à comité de lecture et actes publiés

1. V. Daru, **D. Baltean-Carlès**, C. Weisman, « Inertial Effects on Non Linear Acoustic Streaming », 20th International Symposium on Nonlinear Acoustics, Lyon, France, 2015.

2. L. Ma, C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, I. Delbende, L. Bauwens, « Numerical simulation of flow dynamics in the periodic regime inside an idealized thermoacoustic engine », *PAMIR International Conference on Fundamental and Applied MHD*, Riga, Latvia, 2014.

3. V. Daru, **D. Baltean-Carlès**, C. Weisman, « Numerical Simulation of nonlinear acoustic streaming in a standing wave resonator », 19th International Symposium on Nonlinear Acoustics, Tokyo, Japon, 2012.

4. L. Ma, C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, L. Bauwens, « Multiple scale model and numerical simulation of thermoacoustic devices », *International Stirling Engine Conference*, Dubrovnik, Croatia, 2012.

5. L. Ma, C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, P. Le Quéré, L. Bauwens, « Low Mach number simulation of a loaded standing-wave thermoacoustic engine », *Congrès Français d'Acoustique & Annual IOA Meeting*, Nantes, France, 2012.

6. C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, P. Le Quéré, L. Bauwens, « Comparison of different heat exchanger models in a thermoacoustic engine simulation », *US-European Fluids Engineering Summer Meeting, FEDSM-ICNMM2010-31166*, Montreal, Canada, 2010.
7. C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, P. Le Quéré, L. Bauwens, «Numerical study of thermoacoustic wave amplification », *V European Conference on Computational Fluid Dynamics, ECCOMAS CFD*, Lisbon, Portugal, 2010.

8. F. Lusseyran, L.R. Pastur, P. Debesse, **D. Baltean**, Th. Faure, « Self referenced phase averaging and flow complexity », *Conference on Modeling Fluid Flow (CMFF'09), The 14th International Conference on Fluid Flow Technologies* Budapest, Hungary, September 9-12, 2009

9. O. Hireche, C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, L. Bauwens, M.-X. François and P. Le Quéré, « Numerical model of a thermoacoustic engine », *proceedings of the acoustic week in Canada 2008, Vancouver, 6-8 oct. 2008, Canadian acoustics - acoustique canadienne*, vol. 36 (3), 164-165, 2008.

10. C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, P. Duthil, P. Le Quéré, « Natural convection in a stack of horizontal plates in a differentially heated cavity », *International Symposium on Transport Phenomena*, Reykjavik, Island, 2008.

11. P. Debesse, **D. Baltean-Carles**, F. Lusseyran, « Experimental analysis of nonlinear phenomena in a thermoacoustic system », in *Nonlinear acoustics fundamentals and applications, proceedings of 18th ISNA*, July 07-10, 2008 Stockholm SWEDEN, vol.1022, 355-358, 2008.

12. A.M. Balint, **D. Baltean**, M. Mihailovici, A. Neculae, S. Balint, « Influence of the precrystallization-zone on the dopant field in microgravity », *Proceedings of the SPIE - The International Society for Optical Engineering (USA)*, Vol. 4068, pp.33-44, 2001.

13. **D. Baltean**, A.M. Balint, T. Lévy, A. Neculae, S. Balint, « Mass transport by diffusion and convection through periodic porous media », *Proceedings of the International Conference on Non-Linear Problems in Aviation and Aerospace*, May 10-12 2000, Daytona Beach, Florida (USA), 2000.

14. S. Balint, A.M. Balint, **D. Baltean**, A. Neculae, « Analysis of the convective-diffusive transport equation of the dopant in the neighbourhood of the growth interface in the context of Bridgman-Stockbarger crystal growth configuration », *Second International Conference on Nonlinear Problems in Aviation and Aerospace*, S. Sivasundaram (Ed.), European Conference Publications, Cambridge (UK), Vol.1 pp.63-72, 1999.

15. **D.Baltean**, T. Lévy, S. Balint, « Mass transport by convection and diffusion », *Proceedings of the Ninth International Symposium on Continuum Models and Discrete Systems*, 28 June-3 July 1998, Istanbul (Turkey), Vol. 32, pp. 82-90, 1998.

16. **D. Baltean**, T. Lévy, S. Balint, « Dispersion of a solute in a periodic porous media », *Proceedings of the International Conference on Analysis and Numerical Computations of Solutions of Nonlinear Systems Modelling Physcal Phenomena, especially Nonlinear Optics, Inverse Problems, Mathematical Material Science and Theoretical Fluid Mechanics*, 19-21 May 1997, University of the West Timisoara (Romania), pp. 451-466, 1997.

17. S.Balint, A. M. Balint, **D. Baltean**, A. Neculae, «The heat and mass transport by convection and diffusion during quartz crystal growth by hydrothermal system», *Proceedings of the International Conference on Analysis and Numerical Computations of Solutions of Nonlinear Systems Modelling Physcal Phenomena, especially Nonlinear Optics, Inverse Problems, Mathematical Material Science and Theoretical Fluid Mechanics*, 19-21 May 1997, University of the West Timisoara (Romania), pp. 225-239, 1997.
18. A. M. Balint, **D. Baltean**, « Solitary wave solutions for the one dimensional flow of a polytropic gas through a homogenous porous medium », *Bulletins for Applied Mathematics (BAM)*, Technical University of Budapest, 1259/96 (LXXX), pp. 219-230, 1996.

• *Communications dans des congrès nationaux à comité de lecture et actes publiés*

1. O. Hireche, C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, V. Daru, Y. Fraigneau, « Numerical study of the effects of natural convection in a thermoacoustic device, *Congrès Français de Mécanique*, Brest, 2019.

2. D.H. Truong, C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, F. Jebali Jerbi et J. Rémus, « Etude du démarrage du son produit par un instrument de musique thermoacoustique : le thermophone. », *Congrès Français d'Acoustique*, Le Mans, 2016.

3. V. Daru, H. Bailliet, **D. Baltean-Carlès**, I. Reyt et C. Weisman, « Transitoire et changement de régime des écoulements redressés de Rayleigh à forts niveaux : Etudes numérique et expérimentale », *Congrès Français d'Acoustique*, Le Mans, 2016.

4. V. Daru, **D. Baltean-Carlès**, I. Reyt et C. Weisman, « Streaming non linéaire : rôle de la composante radiale acoustique », *Congrès Français d'Acoustique*, Le Mans, 2016.

5. I. Reyt, H. Bailliet, **D. Baltean-Carlès**, V. Daru, J-C. Valière, C. Weisman, « Influence de la propagation non-linéaire et de l'inertie sur le vent acoustique », *Congrès Français de Mécanique*, Bordeaux, 2013.

6. C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, P. Le Quéré, L. Bauwens, « Modélisation nonlinéaire des écoulements et transferts de la cellule active d'un moteur thermoacoustique », *Congrès Français de Mécanique*, Besançon, 2011.

7. V. Daru, **D. Baltean-Carlès**, G. Gandikota, C. Weisman, « Etude numérique du vent acoustique non linéaire dans un résonateur à ondes stationnaires », *Congrès Français de Mécanique*, Besançon, 2011.

8. C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, P. Le Quéré, L. Bauwens, « Modèle faible Mach et simulations numériques 2D de l'amplification d'onde thermoacoustique », *Congrès Français d'Acoustique*, Lyon, 2010.

9. P. Debesse, **D. Baltean-Carlès**, F. Lusseyran, M.-X. François, « Analyse expérimentale des effets non linéaires dans les systèmes thermoacoustiques », *CFM 2007, 18ème Congrès Français de Mécanique*, Grenoble, France: 2007.

10. P. Debesse, **D. Baltean-Carlès**, F. Lusseyran, M.-X. François, « Adaptation de la vélocimétrie par images de particules à l'analyse des effets non linéaires en thermoacoustique », *CFTL 2006. Congrès Francophone de Techniques Laser*, Toulouse, France, 2006.

11. P. Duthil, **D. Baltean-Carlès**, A. Bétrancourt, G. Defresne, M.-X. François, Z. B Yu., Q. Li, « Méthode de caractérisation acoustique d'éléments passifs », *CFA06, 8ème Congrès Français d'Acoustique*, Tours, France, 2006.

12. P. Duthil, **D. Baltean-Carlès**, A. Bétrancourt, M.X. François, J. Wu, Z. B. Yu, « Caractérisation des éléments de contrôle du champ acoustique dans les systèmes thermoacoustiques », *CFM 2005, 17-ème Congrès Français de Mécanique*, AFM Troyes, France, 29 août-2 septembre 2005.
* Communications dans des congrès avec actes à diffusion restreinte

1. C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, I. Delbende, L. Ma, L. Bauwens, « Effect of a resistive load on the starting performance of a standing wave thermoacoustic engine », *Eurotherm Symposium 107, 3rd International Workshop on Thermoacoustics*, University of Twente, Enschede, The Netherlands, 2015.

2. O. Hireche, C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, L. Bauwens, M.-X. François and P. Le Quéré, « Numerical simulation of a thermoacoustic engine », *17th Annual Conference of the CFD Society of Canada*, Ottawa, Canada, 2009.

* Communications dans des congrès sans actes diffusés

3. V. Daru, **D. Baltean-Carlès**, C. Weisman, « A numerical study of Rayleigh streaming at high acoustic level », *Acoustofluidics*, Lille, France, 2018.

4. V. Daru, I. Reyt, **D. Baltean-Carlès**, C. Weisman, H. Bailliet, « Evolution of Rayleigh streaming flow velocity components in a resonant wave guide at high acoustic levels », *Acoustics '17*, Boston, USA, 2017.

5. **D. Baltean-Carlès**, V. Daru, C. Weisman, H. Bailliet, I. Reyt, « Numerical and experimental investigation of the role of inertia on acoustic Rayleigh streaming in a standing waveguide », *Acoustics '17*, Boston, USA, 2017.

6. O. Hireche, C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, M.-X. François, P. Le Quéré, L. Bauwens, « Numerical simulation of a thermoacoustic wave amplification », *Acoustics '08*, Paris, 2008.

7. A. Bétrancourt, T. Le Pollès, G. Defresne, D. **Baltean-Carlès**, P. Duthil, J.-P. Thermeau, M.-X. François, « Experimental validations of a new thermoacoustic simulation software CRISTA », *Acoustic '08*, Paris, 2008.

* Autres : Colloques et séminaires sans actes diffusés

1. V. Daru, **D. Baltean**, C. Weisman, H. Bailliet, I. Reyt, *Numerical investigation of acoustic streaming in standing waves*, Thermoacoustic Hub Date Workshop, Le Mans, France, du 30/05 au 01/06, 2018.

2. C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, F. Jebali Jerbi, D.H. Truong et J. Rémus, « Le Thermophone: Un moteur thermoacoustique particulier », *Journée Dynamique des Fluides*, Orsay, 2016.

3. C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, O. Hireche, K. Sodjavi, P. Le Quéré, « Modèle Faible Mach et simulations numériques 2D de l'amplification d'onde thermoacoustique », *Journée Dynamique des Fluides*, Orsay, 2009.

4. **D. Baltean Carlès**, P. Debesse, F. Lusseyran, M.-X. François, «Méthodologie d'analyse par SVD appliquée aux champs PIV, dans un système thermoacoustique », *Journées du GDR Thermoacoustique : Métrologie pour les systèmes thermoacoustiques*, Poitiers 4-5 mai 2009

5. C. Weisman, **D. Baltean-Carlès**, P. Le Quéré, P. Duthil, « Convection naturelle en cavité contenant un empilement de plaques horizontales », *1er colloque GDR 3058 Thermoacoustique*, Orsay, 2008.

6. C. Weisman, O. Hireche, **D. Baltean-Carlès**, P. Le Quéré, « Simulation de l'amplification d'onde thermoacoustique à l'aide d'un code Faible Mach », *Journée de la Fédération Transfert de Masse et de Chaleur*, Orsay, 2008.
7. D. Baltean-Carlès, A. Bétrancourt, G. Defresne, P. Duthil, J.P.Thermeau, M.X. François, « Sound Wave Cooling: a new thermodynamic process », *METIME 2005: Int. Conference on Thermal Engines and Environmental Engineering*, Galati, Romania, 3-4 June 2005.

8. D. Baltean Carlès, A. Bétrancourt, G. Defresne, P. Duthil, M.X. François, J Wu, Z.B. Yu, « La réfrigération thermoacoustique », *Journée SFT : Machines thermiques exotiques*, Paris, 8 déc. 2004.
# Activités d'enseignement

J'ai débuté ma carrière d'enseignant-chercheur en 1995 en Roumanie, à l'Université de Timisoara, Faculté de Mathématiques, où j'ai été recrutée en tant que monitrice, puis assistante universitaire (1998) et maître de conférences (2000). J'ai donc débuté en enseignement en Roumanie où j'ai travaillé jusqu'en 2001. J'y ai enseigné dans des modules de modélisation en mécanique (mécanique du point matériel, mécanique du solide rigide, mécanique des milieux continus et mécanique des fluides) ainsi que dans des modules de mathématiques (équations aux dérivées partielles), aux niveaux équivalents de Licence et Master, avec une charge d'enseignement de 250h TD/an en moyenne.

J'enseigne différentes disciplines de la Mécanique et des Mathématiques pour la Mécanique à l'UPMC, devenue Sorbonne Université depuis 17 ans. J'ai d'abord été rattachée à l'UFR 923, puis celle-ci a été intégrée à l'UFR 919 (Ingénierie). Depuis janvier 2018, l'UFR est rattachée à la Faculté des Sciences et Ingénierie de Sorbonne Université.

Mes enseignements se sont centrés progressivement autour des méthodes mathématiques pour la mécanique mais j'ai enseigné dans des modules de mécanique très variés au fil des années : mécanique des milieux continus, mécanique des fluides, mécanique des solides, résistance des structures, mathématiques, thermodynamique et thermique, méthodologie en mécanique, initiation à la mécanique-énergétique et acoustique, méthodes numériques, orientation et insertion professionnelle en Licence (L1, L2 et L3) et mécanique des milieux continus-fluides, acoustique, techniques expérimentales et capteurs, énergétique et environnement, méthodes asymptotiques, suspensions et milieux diphasiques en Master (M1 et M2). J'ai assuré à la fois des cours, des travaux dirigés et des travaux pratiques expérimentaux et numériques, ainsi que l'encadrement de stages de recherche au niveau Licence et Master et le suivi de stages d'étudiants dans des laboratoires ou des entreprises extérieures. En Licence, les effectifs étudiants sont de l'ordre de 200-250 par unité d'enseignement (UE). Nous fonctionnons donc en équipes pédagogiques de 5-6 personnes (même 10 cette année en L2), constituées en majorité par des moniteurs ou ATER qu'il faut former à leur arrivée. Mon investissement dans une UE, même lorsque je n'en suis pas responsable, comprend donc toujours une part importante de réunions, de préparation en amont des documents (polycopiés, sujets de TD et de TP, corrigés), de réalisation et maintenance d'un site internet dédié, d'organisation des examens (rédaction des sujets et corrigés, surveillance, correction des copies, aide à la collecte des notes et participation aux jurys).

Ma spécialité première reste les Mathématiques. Je me suis donc investie et fait évoluer au fil des années les enseignements en Mathématiques pour la Licence de Mécanique. Je participe à tous les modules de mathématiques enseignés en Licence de Mécanique pour assurer une cohérence et avoir une vision globale de la formation mathématique de nos étudiants. J'ai participé en 2005 à la création des TD de mathématiques pour la Licence commune de Mécanique (Mécanique et Technologie) entre l'UPMC et l'ENS de Cachan (niveau L3). En 2009, j'ai pris en charge le cours (250 étudiants) d'équations aux dérivées partielles basé sur des méthodes variationnelles que j'ai adapté pour les étudiants de la Licence de mécanique. Ce module pose les bases des méthodes variationnelles pour les EDP elliptiques. Les méthodes sont appliquées dans le module de Mécanique de milieux continus enseigné en parallèle, l'objectif étant de familia-
riser les étudiants avec des méthodes avancées et de leur faire acquérir les bases mathématiques pour les méthodes numériques de résolution des EDP (par exemple la méthode des éléments finis) qui sont enseignées en Master. En 2010 j'ai pris la responsabilité d'un module optionnel de compléments de mathématiques en L3 (150 étudiants) qui avait pour but de renforcer l'enseignement en mathématiques et de mettre à niveau les étudiants provenant des différents parcours ou formations qui intégraient le L3 de Mécanique. Enfin, en 2014, j'ai participé à la création et à la mise en place d'un module de méthodes mathématiques pour la mécanique en L2 (250 étudiants), dont je suis responsable. Cette UE a été construite pour répondre aux besoins des collègues d'UE de spécialité : il est centré sur les équations différentielles ordinaires, les systèmes différentiels et les méthodes de résolution. J'ai assuré sur plusieurs années les cours d'Energétique (200 étudiants) dans l'enseignement d'introduction à la Mécanique en L1, en étant co-responsable du thème avec C. Weisman ou L. Martin Witkowski. L'investissement en L1 est très important pour faire découvrir aux étudiants les domaines de la mécanique et les attirer vers la formation de Licence en Mécanique.

En Master, je suis co-responsable avec Anne Mongruel d'un cours sur les milieux poreux et suspensions (caractéristiques des milieux poreux, différents modèles de milieux poreux, obtention des lois macroscopiques pour la filtration en milieux poreux, transport de chaleur/masse à travers un milieu poreux, dispersion par convection et diffusion en milieu poreux; différentes méthodes d'obtention des équations effectives-macroscopiques) (2012-2019).

Je me suis également intéressée au devenir des étudiants, et j'ai participé aux enseignements d'orientation et d'insertion professionnelle en 2018 (niveau L2), organisés sous forme d'ateliers. Les étudiants y découvrent et étudient les métiers de la mécanique, et sont formés à l'élaboration d'un projet personnel et professionnel, à la rédaction de CV et lettres de motivation.

J'ai également encadré au LIMSI plusieurs stagiaires (5 stages L2/L3, 6 stages M1, 5 stages M2) sur des sujets de recherche accessibles aux étudiants.

En 2015, l'Université a mis en place une nouvelle maquette Majeure/mineure pour les niveaux L2 et L3. Les étudiants ont donc la possibilité de s'inscrire en L2 dans un parcours mono-disciplinaire ou bi-disciplinaire, où la mécanique est associée avec la physique, les mathématiques, l'informatique, l'électronique, la biologie, la chimie, les sciences humaines et sociales. Ainsi, j'ai participé à la mise en place des enseignements de mathématiques de la nouvelle maquette, travail que j'ai poursuivi en 2018 pour la maquette qui sera mise en place en 2020.

Depuis 2017 je fais partie de l'équipe de direction de la Licence de Mécanique, ayant la responsabilité des parcours intensifs L2-L3 avec la Mécanique (mono-disciplinaire et double majeure avec la Physique, les Mathématiques et l'Electronique). Je participe aux inscriptions pédagogiques, à la réorientation de certains étudiants, au suivi individualisé des étudiants, à la préparation et tenue des jurys mono- et bi-disciplinaires, aux journées portes ouvertes aux lycéens et journées d'information à nos étudiants (JOR).

J'ai contribué également aux évolutions de la licence par ma participation aux réunions du Conseil de Département de Licence de Mécanique/Electronique entre 2015 et 2017.

J'ai été Titulaire de la prime de responsabilités pédagogiques pour investissement en licence PIL de l'UPMC, pour les années 2013-15 et 2015-17 et je suis Titulaire de la prime d'investissement unique PIU de Sorbonne Université depuis septembre 2019 pour l'ensemble des activités en enseignement, recherche et pédagogiques.
# Présentations des travaux de recherche

Entre 1996 et 1999 j'ai effectué ma thèse de doctorat en cotutelle au Laboratoire de Modélisation en Mécanique de l'UPMC et à la Faculté de Mathématiques de l'UVT de Roumanie, sur la dispersion d'un contaminant passif dans les milieux poreux. Le but était d'obtenir les équations macroscopiques de transport par convection et diffusion d'un traceur passif dans un milieu poreux périodique. Je me suis alors familiarisée avec les méthodes asymptotiques et en particulier avec l'homogénéisation des milieux périodiques, les développements en échelles multiples et l'approximation par éléments finis pour le calcul des coefficients macroscopiques. J'ai continué mon travail de recherche à l'UVT sur l'application des travaux de thèse à la modélisation de la zone de précristallisation en croissance cristalline.

J'ai intégré l'UPMC en 2002, pour faire mon travail de recherche au Laboratoire d'Informatique pour la Mécanique et les Sciences de l'Ingénieur (LIMSI) dans le domaine de la thermoacoustique (équipe de M.X. François). J'ai donc commencé par une conversion thématique à la fois concernant le sujet de recherche et les méthodes. Je me suis formée pour faire des expériences sur les machines thermoacoustiques du laboratoire. Une introduction générale à la thermoacoustique et aux machines thermoacoustiques fait l'objet du premier chapitre de ce mémoire. La première étude importante a été expérimentale, sur les écoulements redressés appelés aussi vent acoustique ou streaming, suivie des études de modélisation et simulation de moteurs thermoacoustiques idéalisés, pour revenir à un travail de modélisation et simulation du streaming non linéaire en 2010, auxquels s'ajoutent des études sur la convection naturelle dans les mêmes systèmes thermoacoustiques.

Les axes de recherche développés au LIMSI sont détaillés ci-dessous :

## Streaming acoustique

Les études sur le streaming acoustique se sont déroulées en deux étapes présentées ci-dessous chronologiquement :

I. Étude expérimentale (par PIV) des effets non linéaires de streaming dans les systèmes thermoacoustiques.

L'objectif de cette étude (2005-2009) a été de caractériser le champ de vitesses acoustiques (de l'ordre du m/s) dans un résonateur contenant un générateur d'onde thermoacoustique et de mettre en évidence les écoulements secondaires (de l'ordre du cm/s ou inférieur) générés par les contraintes de Reynolds près de la paroi. Ces écoulements secondaires (streaming) peuvent être pénalisants dans les machines thermoacoustiques car ils sont une source de transport convectif de chaleur, diminuant ainsi leur efficacité. Nous avons utilisé une métrologie basée sur la vélocimétrie par images de particules (PIV), adaptée aux systèmes sous pression (entre 7bar et 15bar) et températures allant jusqu'à 900 K, comme c'est le cas d'un générateur d'ondes thermoacoustique de puissance. La PIV a été intégrée au coeur de plusieurs procédures d'acquisition qui ont été testées, chacune nécessitant une adaptation des post-traitements. Une méthode de reconstruction du champ acoustique à partir de champs PIV fortement sous-échantillonnés a
été développée, basée sur une technique de projection par décomposition en valeurs singulières (SVD) et réarrangement des vitesses suivant leur phase. Le calcul du champ de vitesse moyenné en temps montre l'existence d'un écoulement continu avec une topologie différente de celle de Rayleigh-Schlichting (caractéristique pour un résonateur vide et à faible niveau acoustique), suggérant un caractère tridimensionnel (thèse P. Debesse, en collab. F. Lusseyran, M.-X. François).

## II. Streaming acoustique nonlinéaire.

J'ai démarré en 2010 une collaboration très fructueuse avec V. Daru et C. Weisman sur la modélisation théorique et la simulation numérique du streaming acoustique en guide d'onde stationnaire. Les premiers résultats des simulations numériques ont mis en évidence une déformation à fort niveau acoustique avec apparition de nouvelles cellules au centre du guide, en très bon accord avec les expériences réalisées à l'Institut Pprime (Poitiers) (collab. H. Bailliet, I. Reyt). Cela a permis d'établir une collaboration durable avec H. Bailliet. Pour déterminer la cause de l'apparition de cette nouvelle cellule nous avons d'abord analysé la dynamique du streaming en enlevant les effets thermiques, choix motivé par les très faibles écarts de température dans l'expérience. Une étude comparative avec un écoulement en cavité entraînée a permis de conclure que, à fort niveau acoustique, les effets d'inertie sur le streaming restent faibles et ne sont pas responsable du changement de régime. L'analyse de l'évolution du streaming avec l'acoustique, pour un écoulement isentropique, montre l'existence de deux régimes d'écoulement de streaming, dû à l'interaction non linéaire entre l'acoustique et le streaming. Par ailleurs, nous avons développé une solution analytique pour l'écoulement de streaming à faible niveau acoustique, en isentropique, ce qui nous a permis d'étudier l'influence de chaque terme source acoustique sur la vitesse de streaming et de montrer qu'un des termes source, généralement négligé dans la littérature, peut générer des nouvelles cellules de streaming contra-rotatives, pour certaines valeurs du rapport de forme de guide d'onde. Récemment, nous avons repris les études concernant l'influence de la température sur les streaming dans les deux régimes de streaming.

## Thermoacoustique : modélisation et simulation d'un moteur thermoacoustique.

Depuis 2004, je travaille en étroite collaboration avec C. Weisman sur la modélisation théorique du phénomène thermoacoustique de conversion d'énergie. Nous avons mené une analyse asymptotique qui a permis de dégager les conditions de couplage entre l'écoulement dans le stack et le champ acoustique dans le résonateur (collab. L. Bauwens, Univ. de Calgary). Le code faible Mach développé au LIMSI (P.L. Quéré) a été adapté (thèse O. Hireche, collab. USTO Algérie) pour une étude des effets de couplages au sein de la cellule active thermoacoustique (stack+échangeurs de chaleur) lors du fonctionnement moteur de la cellule. Le démarrage et la saturation d'un moteur thermoacoustique idéalisé one été ainsi simulés. Nous avons ensuite déterminé numériquement le seuil de l'instabilité thermoacoustique et étudié l'influence de la charge sur le déclenchement d'un moteur thermoacoustique (thèse L. Ma, collab. C. Weisman et I. Delbende). Les compétences développées ont nourri récemment une collaboration sur une application musicale dans le cadre d'un projet Art&Sciences Thermophonia (collab. J. Rémus - Ipotam Mécamusique).

## Couplages fluide-poreux.

Dans l'étude des machines thermacoustiques, je me suis également intéressée à la description des écoulements de convection, généralement négligés. Le calcul de l'écoulement dans stack-moteur thermoacoustique, modélisé comme un empilement de plaques parallèles horizontales,
encadré par deux échangeurs de chaleur (collab. P. Duthil, C. Weisman, P. Le Quéré) a montré que le phénomène global de convection s’accompagne éventuellement de transferts convectifs de plus petite échelle, localisés entre deux plaques. Depuis le démarrage de l’ANR TACOT (Thermo-Acoustic Cooler for On road Transportation, Défi Energie Propre, Sûre et Efficace, 2017-2020, Porteur Hélène Bailliet institut P’, LIMSI partenaire), nous avons repris les études de convection en cavité fluide, partiellement remplie de poreux pour estimer les écoulements convectifs dans une machine thermoacoustique. Les résultats des simulations, en excellent accord avec l’expérience à P’, montrent que ces écoulements sont tridimensionnels et du même ordre de grandeur que le streaming acoustique, voire plus grand (collab. O. Hireche, C. Weisman, V. Daru, Y. Fraigneau, H. Bailliet, I. Ramadan).

Depuis 2002, l'ensemble de mes travaux de recherche a donné lieu à 16 articles dans des revues internationales reconnues (dont 5 "special issues"), 1 revue nationale, 11 actes de congrès internationaux et 11 actes de congrès nationaux. J'ai participé à l'encadrement de trois thèses, deux post-doc et encadré 4 stages L3, 6 stages M1, 4 stages M2.
# Chapitre 1

## Introduction générale aux machines thermoacoustiques

J'ai intégré l'UPMC en 2002, pour faire mon travail de recherche au Laboratoire d'Informa- tique pour la Mécanique et les Sciences de l'Ingénieur (LIMSI) dans le domaine de la thermoac-oustique dans l'équipe de M.X. François. Mes expériences de recherche passées concernaient la modélisation des écoulements et le transport de masse en milieux poreux et la propagation acoustique en milieux poreux. J'ai donc commencé par une conversion thématique à la fois concernant le sujet de recherche et les méthodes. Tout d'abord, je me suis familiarisée avec la thermoacoustique en commençant par le manuel de base de tout thermoacousticien, publié en 2000 par G. Swift ([78]), et je me suis formée à la recherche expérimentale sur les machines thermoacoustiques du laboratoire. Ma première étude importante en thermoacoustique concerne l'analyse des écoulements de streaming prenant place dans une machine thermoacoustique réa- liste, de forte puissance, existante au laboratoire. J'aborderai ce sujet plus en détail dans le chapitre suivant, entièrement dédié au streaming. Tout ceci a été un grand changement dans mon travail de recherche, à la fois de sujet, complètement nouveau pour moi, d'environnement et de méthodes de travail. J'ai donc regroupé dans ce premier chapitre une brève présentation du phénomène thermoacoustique, des machines thermoacoustiques, ainsi que mes premiers pas dans la recherche expérimentale.

### 1.1 Description de l'effet thermoacoustique

La thermoacoustique concerne les phénomènes qui résultent de l'interaction entre un flux de chaleur et une onde acoustique. Le procédé thermoacoustique permet la conversion de l'énergie thermique en énergie acoustique (moteur thermoacoustique) mais également le pompage de la chaleur grâce à de l'énergie acoustique (réfrigérateur thermoacoustique). Le processus prend place dans la couche limite qui se développe au voisinage de la paroi solide dans un fluide soumis à une onde acoustique. Les premières observations de ce phénomène ont été faites par les souffleurs de verre il y a des siècles, qui entendaient un son lorsqu'ils chauffaient les parois d'un tube de verre. Il se retrouve également dans le rituel de Kibitsu-no-ō-kama-san (la bouilloire chantante en fer), une cérémonie divinatoire qui se pratiquait dans le sanctuaire shinto Kibitsu- jinja, à Okayama au Japon. Le chant de la bouilloire dans laquelle étaient préparées les offrandes alimentaires provient d'une conversion de la chaleur en vibrations (voir figure 1.1).

Lord Rayleigh a été le premier à expliquer qualitativement le phénomène thermoacoustique [64] observé par les souffleurs de verre il y a de siècles : si un gaz qui oscille absorbe de la chaleur pendant la phase de compression et cède de la chaleur pendant la phase de détente, alors l'oscillation est amplifiée : c'est le mode de fonctionnement moteur. Le critère de Rayleigh
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 1.1 – Souffleur de verre (gauche). La bouilloire chantante (droite).</figcaption></figure>

conditionne donc l'apparition de l'instabilité thermoacoustique à la présence d'un déphasage entre les fluctuations de pression et celles de température qui ont lieu dans la couche limite thermique en proche paroi. Ceci peut être réalisé si la paroi solide est soumise à un gradient thermique très important, supérieur à une valeur critique. Au contraire, si le gaz qui oscille absorbe de la chaleur pendant la phase de détente, et cède de la chaleur pendant la phase de compression, alors l'oscillation est amortie et il y a un transport de chaleur thermoacoustique : le gaz situé à des faibles amplitudes de pression voit sa température augmenter, tandis que le gaz situé à des fortes amplitudes de pression est refroidi. Cette description lagrangienne dans laquelle chaque particule fluide effectue un cycle thermodynamique en même temps que son cycle acoustique est une vision simplifiée. L'effet thermoacoustique est un effet moyen (sur la période acoustique), dont les conséquences sont visibles dans tout le fluide au bout de nombreuses périodes acoustiques. Sur la figure 1.2 on a représenté le résultat d'un calcul DNS de la température moyenne dans un gaz en oscillation à l'intérieur d'un résonateur fermé à ses extrémités avec des parois isothermes. La figure montre seulement la moitié supérieure du domaine, entre l'axe du résonateur (en bas) et la paroi du résonateur (en haut) et les nœuds de vitesse acoustique (extrémités gauche et droite) sur une demi-longueur d'onde. Les vecteurs représentés correspondent au flux de chaleur thermoacoustique, dirigé du maximum d'amplitude de vitesses acoustiques (=nœud de pression acoustique) vers le minimum (nœud) de vitesses acoustiques (=maximum d'amplitude de pression). L'intensité maximale de ce flux se situe à une distance égale à une épaisseur de couche limite. Le gaz au milieu du résonateur se refroidit (alors que c'est la position où l'amplitude de l'oscillation de vitesse est maximale) tandis que le gaz aux extrémités se réchauffe. Si la paroi n'est pas forcée de rester isotherme, alors on verra un gradient de température s'établir dans la paroi, dans le même sens que celui du gaz. La même chose se produit à proximité d'une plaque solide dans un fluide oscillant. Etant donné

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 1.2 – Champ de température moyen et vecteurs du flux de chaleur thermoacoustique, dans un résonateur à onde stationnaire, sur une demi-longueur d'onde</figcaption></figure>
que l'effet thermoacoustique est un effet de couche limite, si on veut augmenter l'effet on doit empiler un grand nombre de plaques solides. On obtient ainsi l'élément constitutif de base pour une machine thermoacoustique : le stack, qui est un milieu poreux responsable de la conversion d'énergie. Si on ajoute deux échangeurs de chaleur, on a construit une machine thermique.

## 1.2 Les éléments constitutifs d'une machine thermoacoustique

Une machine thermoacoustique est constituée typiquement d'un milieu poreux solide (empilement de plaques ou de grilles), placé entre deux échangeurs de chaleur, l'ensemble constituant ce qu'on appelle la cellule active, et un résonateur qui joue le rôle de guide d'onde. Dans la figure 1.3 est représenté un schéma d'un générateur d'onde thermoacoustique (moteur). Le milieu poreux est maintenu sous un fort gradient de température à l'aide des deux échangeurs. Si la différence de température est supérieure à une valeur critique alors n'importe quelle perturbation est amplifiée et le gaz à l'intérieur du résonateur se met à osciller à la fréquence de résonance du système, via une instabilité thermoacoustique. La fréquence de l'onde entretenue par le maintien d'un gradient de température, tout au long du milieu poreux, est proche de la fréquence fondamentale de résonance propre du guide d'onde vide. Dans le sens inverse de la

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 1.3 – Schéma d'un générateur d'onde thermoacoustique, système à ondes stationnaire. Amplitudes de pression et de vitesse, distribution de température moyenne dans le résonateur, λ désigne la longueur d'onde.</figcaption></figure>

conversion, si on crée une onde à l'intérieur d'un résonateur à l'aide d'un haut-parleur, un pis-
ton mécanique ou encore un moteur thermoacoustique, et si on place une telle cellule active à un endroit bien choisi du résonateur pour avoir le maximum d'effet thermoacoustique, alors on va créer un gradient de température tout au long du milieu poreux grâce au transport de chaleur thermoacoustique effectué par le gaz. En fonction de l'architecture des systèmes, on aura des machines à ondes quasi-stationnaires (comme dans le schéma 1.3), où le tube fermé à ses deux extrémités impose des conditions limites spécifiques à une onde stationnaire, ou des machines à ondes progressives (si le résonateur est un tore) ou entre les deux pour des systèmes encore plus compliqués (voir figures 1.4). Des efforts de recherche importants ont été consacrés à la mise au point de machines thermoacoustiques depuis 1980 d'abord dans l'équipe de G. Swift (Los Alamos) et ensuite partout dans le monde. En effet, le développement de telles machines est motivé par leur simplicité et leur fiabilité (absence de composants mécaniques mobiles) et par leur caractère non-polluant : elles n'utilisent pas de gaz à effet de serre. Ils ont été construits au début pour des applications cryogéniques [78, 22]. Les moteurs thermoacoustiques peuvent utiliser des énergies non fossiles, comme l'énergie solaire [1]. Couplés à des réfrigérateurs thermoacoustiques, ils peuvent être utilisés pour le refroidissement des composants électroniques sur des systèmes embarqués dans l'espace : satellites, station spatiale, ou pour la climatisation des avions [86]. Les systèmes thermoacoustiques peuvent aussi être utilisés dans les procédés industriels pour récupérer la chaleur perdue à basse température, puis la réintroduire dans le procédé [74], ou encore pour la cogénération : utilisation de la puissance acoustique produite par un moteur thermoacoustique pour une production d'électricité [8].

## 1.3 Outils de modélisation : la théorie linéaire de Rott

La difficulté principale pour décrire les oscillations du gaz dans des géométries variables (passages étroits et larges), en présence d'un gradient de température important dans la cellule active (stack/régénérateur), réside dans l'existence des échelles spatiales et temporelles très différentes : épaisseur des couches limite (thermique et visqueuse), du même ordre de grandeur que la taille du pore (stack) ou petite devant la taille du pore (régénérateur), les deux très petites devant le diamètre du résonateur et surtout devant la longueur d'onde, la période acoustique très petite devant le temps caractéristique de conduction de la chaleur. La théorie linéaire classique propose une modélisation quasi 1D, à partir des équations de Rott (1969-1980) [69], étendues et utilisées par Swift [78], [63], [4] par la suite. Le modèle de Rott est basé sur une approximation acoustique linéaire et une approximation de couche limite des équations de Navier-Stokes compressibles, en présence d'un gradient de température moyen. Les équations approchées sont moyennées sur la section pour obtenir 3 équations différentielles dans le domaine fréquentiel. Les équations relient les fluctuations de pression, vitesse, température, l'énergie totale et la fréquence de l'onde. Elles utilisent les conditions initiales au repos du gaz ainsi que les paramètres thermophysiques du gaz et du solide. La géométrie de chaque élément de la machine thermoacoustique (stack, échangeurs de chaleur, résonateur etc.) est prise en compte à travers sa porosité et des facteurs de forme traduisant les dissipations visqueuses et thermiques.

La théorie linéaire permet de calculer le champ acoustique, d'analyser les performances des machines et de prédire le seuil de déclenchement de l'onde pour un système donné, mode par mode. Ces équations sont utilisées dans des codes 1D pour simuler une machine entière, comme c'est le cas du plus connu DeltaEC [81]. Les codes 1D sont employés par la communauté scientifique thermoacoustique pour le dimensionnement des machines. Une très bonne connaissance pratique des machines est néanmoins nécessaire pour utiliser correctement ces codes.
## 1.4 Phénomènes limitant l'efficacité des systèmes - les axes de recherche

La théorie linéaire a plusieurs limites : les simulations des codes 1D sont faites pour une seule fréquence, les transitoires ne sont pas décrits (seulement le régime périodique), les non linéarités hydrodynamiques ou acoustiques ne sont généralement pas prises en compte et les effets multidimensionnels sont partiellement pris en compte (via les coefficients thermovisqueux). Les codes 1D donnent satisfaction dans le cas des fluctuations de faible amplitude, tant que les effets non linéaires restent assez petits, mais ils donnent des résultats faux, parfois avec plus de 50% d'erreurs, pour des grandes valeurs de drive ratio (rapport entre l'amplitude de la pression acoustique et la pression moyenne) nécessaires dans les applications énergétiques. Les efforts de recherches fondamentales des dernières années ont été concentrés sur plusieurs axes :

* Les effets non linéaires de **vent acoustique (streaming)** représentent un écoulement secondaire continu tout au long du résonateur mais aussi à l'intérieur de la cellule active. Pour des onde de forte intensité, le vent acoustique constitue une source de transport convectif de chaleur entre les deux échangeurs de chaleur, qui diminue l'efficacité des machines.

* Les **effets multidimensionnels** peuvent être importants localement dans la cellule active thermoacoustique pour un fonctionnement à de fortes amplitudes acoustiques. Les effets de bord thermiques et hydrodynamiques, aux extrémités du stack, entre le stack et les échangeurs de chaleur, peuvent influencer les échanges thermiques et donc le fonctionnement des échangeurs de chaleur.

* Les **effets** de jet associés à chaque changement brusque de géométrie (comme par exemple en sortie des échangeurs) vont créer un streaming du même ordre de grandeur que la vitesse acoustique, dissipant ainsi de l'énergie.

* La **génération d'harmoniques** engendrées pour des ondes acoustiques de forte intensité, suite à la propagation acoustique non linéaire dans le résonateur est un phénomène dissipatif qui nuit à la conversion d'énergie. Une partie de l'énergie acoustique du mode fondamental est transférée vers les autres modes par cascade harmonique et ne sert plus la conversion acoustique ↔ thermique.

* La **convection naturelle** peut être à l'origine des écoulements continus rapides pour des systèmes de grande taille, dans les parties de la machine où il y a des cavités fluides soumises à des différences de température très grandes (de l'ordre de plusieurs centaines de degrés). Ces écoulements convectifs peuvent distordre fortement le champ de température initial, inhibant ainsi le démarrage du moteur. Ils peuvent également affecter l'efficacité de la machine surtout si les vitesses acoustiques sont très faibles dans la cellule active en régime permanent périodique, comme c'est le cas des régénérateurs.

## 1.5 Machines thermoacoustiques au LIMSI

L'équipe de recherche du LIMSI travaillait dans ce domaine depuis les années 1995-1996, dans un contexte où la thermoacoustique et le développement des machines thermoacoustiques était un domaine de recherche assez nouveau en France dans les années 2000. Les plus grands progrès dans la compréhension des phénomènes fondamentaux et dans le développement des machines avaient été faits aux USA, dans l'équipe de G. Swift, au laboratoire LANL. L'équipe thermoacoustique fondée par M.-X. François comprenait plusieurs doctorants (E. Bretagne, P. Duthil, A. Betrancourt) et deux chercheurs permanents (F. Jebali, et G. Defresne), qui travaillaient sur le développement des machines de fortes puissances, tant dans leur conception que dans leur étude expérimentale et numérique (développement des codes 1D). A cette équipe
à coloration "expérimentale" s'ajoutent deux numériciens C. Weisman et I. Delbende qui collaboraient à l'activité de recherche transversale "Thermoacoustique" avec des études plus fondamentales sur le pompage de chaleur thermoacoustique via une simulation numérique multi-dimensionnelle à l'intérieur du stack pour l'un, et sur une étude numérique d'instabilité thermoacoustique pour l'autre. Au début de ma prise de fonctions j'ai été associée à l'équipe expérimentale, tout en faisant le lien avec les numériciens. Je me suis donc intéressée à tous les aspects de la recherche en thermoacoustique qui se déroulait au LIMSI.

Le but de l'équipe "expérimentale" était d'avoir des outils pour concevoir et prédire le comportement d'une machine selon un cahier des charges donné, d'augmenter l'efficacité des machines, pour ensuite faire un transfert de technologie vers l'industrie. Trois codes 1D (Crista, Margo, et TADesign), qui modélisent les machines dans leur ensemble, étaient en cours de développement et plusieurs machines thermoacoustiques avaient été construites. Les codes 1D sont basés sur l'approximation acoustique linéaire de Rott (1969) tout comme le code DeltaEC développé à Los Alamos par Swift et Ward. Dans les codes classiques ces équations sont intégrées numériquement, en fonction de la coordonnée de la position axiale, la géométrie étant définie comme une succession de segments, avec des conditions de raccord à la jonction entre deux segments. En se basant sur ce modèle et à l'aide d'une analyse de stabilité linéaire, le code Margo prédit la condition de démarrage d'un moteur thermoacoustique (le gradient thermique critique) et permet de construire des courbes marginales dans l'espace gradient critique, pression moyenne pour chaque mode instable, mode par mode. Le code Crista permet de pré dire le champ acoustique partout dans une machine thermoacoustique, pour un certain nombre de paramètres de fonctionnement fixés. Enfin, le code TADesign permet de dimensionner tout simplement une machine, en fonction d'un cahier des charges.

Les résultats obtenus ont conduit à la publication de deux brevets (François et Bretagne 2002, Bretagne et François 2004) et à la réalisation de plusieurs bancs expérimentaux (voir figure 1.4) : un moteur à ondes stationnaires, un moteur à ondes progressives, et une machine tritherme, couplant un moteur à ondes stationnaires à deux types de systèmes de pompage de chaleur : soit un régénérateur et un tube à gaz pulsé, séparés par trois échangeurs de chaleur, fonctionnant avec une onde majoritairement progressive, soit une cellule réfrigérante constituée d'un stack entre deux échangeurs de chaleur fonctionnant avec une onde majoritairement stationnaire.

Ces différentes machines fonctionnent avec des ondes de pression de forte amplitude (de l'ordre de $10^4$ Pa jusqu'à $10^5$ Pa ou plus) et des puissances acoustiques de l'ordre de 100–200 W acoustiques. Elles ont servi pour étudier des systèmes thermoacoustiques dans des configurations variées et tester ainsi les codes 1D, le but étant de chercher des configurations optimisées de point de vue de l'efficacité. Les maquettes expérimentales pour des refrigérateurs thermoacoustiques ont montré que les régénérateurs fonctionnant avec une onde progressive sont plus performants que ceux à onde stationnaire. Les températures froides atteintes ont été de –90° C (configuration TGP= tube à gaz pulsé) et de –110° C (configuration boucle de rétroaction). Le savoir faire a été utilisé pour la construction d'un prototype de liquéfaction de gaz naturel (2005-2007) à l'IPNO (Institut de Physique Nucléaire d'Orsay). Ce démonstrateur de forte puissance est un système de réfrigération entièrement thermoacoustique, qui permet d'extraire une puissance frigorifique de l'ordre de 2 kW, à une température froide de 120 K au niveau du réfrigérateur thermoacoustique. Le réfrigérateur est couplé à un générateur d'ondes thermoacoustiques, la puissance acoustique disponible étant de presque 15 kW.

Mes premiers pas expérimentaux ont été dans l'accompagnement de l'équipe à la fois pour la construction des différentes composantes des machines, utilisées pour modifier les architectures acoustiques des systèmes, et dans l'apprentissage des différentes métrologies utilisées. J'ai participé à plusieurs études caractérisant les systèmes déphaseurs qui sont très importants
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 1.4 – Quelques réalisations du laboratoire : a) moteur à ondes stationnaires, b) moteur à ondes progressives, c) machine tritherme.</figcaption></figure>

dans l'optimisation de la conversion d'énergie effectuée dans les machines thermoacoustiques résonantes. Les systèmes déphaseurs sont constitués par l'assemblage de vannes, tubes fins et réservoirs. Dans l'analogie electro-acoustique, ces éléments jouent le rôle de résistance, inéritance, respectivement capacitance fluidiques, chacune caractérisée par son impédance acoustique, fonction de la géométrie et des caractéristiques de l'onde. Ils modifient le champ acoustique localement, de sorte que le déphasage entre vitesse et pression acoustiques soit celui désiré pour un fonctionnement optimal de la machine. Plus précisément, dans les machines thermoacoustiques trithermes, un moteur à onde stationnaire (plus robuste et fiable quand au démarrage de l'onde) est couplé à un réfrigérateur de type régénérateur, fonctionnant avec une onde progressive (plus performant en terme de conversion d'énergie). L'utilisation d'un générateur thermoacoustique d'onde permet d'imposer une condition de résonance acoustique à l'ensemble du système. Une description complète peut alors être menée de manière simple à travers une analogie électrique dans l'espace fréquentiel selon la théorie des lignes. La tension et le courant représentent alors les paramètres hydrodynamiques pression P et débit massique U du système. À chaque élément peut donc être associée une impédance acoustique, fonction de ses paramètres géométriques et impliquant une caractéristique de propagation.

Le système déphaseur, bien placé dans le résonateur, modifie le déphasage entre vitesse et pression de sorte qu'il soit proche de 0 dans le régénérateur, comme dans une onde progressive pure, pour que ce dernier puisse fonctionner de manière optimale.

Si les tubes et les réservoirs sont bien caractérisés dans cette analogie électro-aoustique, les vannes sont moins bien caractérisées en écoulement oscillant. Les modèles existants sont linéaires et les vannes sont caractérisées par une impédance résistive dépendant du débit volumique et d'un coefficient de débit donné par les constructeurs. L'étude a porté sur la validation
expérimentale et numérique (avec DeltaE et Crista) du modèle simple de réseau de type RLC (dans l'analogie électrique), via des estimations et des mesures de pressions acoustiques tout au long du système RLC [30]. Le banc d'essai est constitué d'un générateur thermoacoustique à ondes stationnaires couplé à un réfrigérateur de type OIPTR (orifice inertance pulse tube refrigerator) et d'une charge dissipative de type RLC contenant la vanne. Cette charge est montée en dérivation par rapport au résonateur principal (cf. figure 1.5).

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 1.5 – Schéma du système expérimental. Zoom sur le système RLC</figcaption></figure>

L'influence de la vanne sur le champ acoustique (pression acoustique et déphasage pression/vitesse déduit de la théorie des lignes) a été analysée pour différents drive ratio, allant de 0.7% à 2.7%. Le gaz utilisé est l'azote à une pression moyenne de $2.08 \times 10^5$ Pa. La fréquence de résonance du système est 23.7 Hz. On a trouvé que le modèle décrit bien le caractère dissipatif de la vanne pour des grandes valeurs du coefficient de débit (correspondant à des grandes angles d'ouverture de la vanne) et une variation du déphasage de 20° sur la plage de mesures. Pour des faibles valeurs du coefficient de débit, les mesures expérimentales s'écartent considérablement des prédictions. Une analyse du contenu harmonique du signal de pression montre que, pour ces coefficients de débit, le taux d'harmoniques pour le 1-er et le 2-ème harmonique atteint 25%, respectivement 45% pour le plus grand drive ratio, ce qui explique la défaillance du modèle linéaire.

Pour avoir des informations complémentaires sur l'impédance acoustique de la vanne et s'affranchir des cascades acoustiques, une méthode alternative a été utilisée. Elle était basée sur la mesure de la température $\Delta T_{crit}$ de déclenchement de l'onde, en variant la charge du moteur via l'ouverture de la vanne. Le modèle résistif de vanne, utilisé dans le code MARGO pour prédire le $\Delta T_{crit}$ montre un comportement similaire à celui observé expérimentalement. Ceci confirme la validité du modèle dans le cas d'un faible drive ratio pour toute la plage des valeurs du coefficient de débit de la vanne. Lors de cette étude j'ai fait des mesures du seuil de déclenchement des instabilités du moteur thermoacoustique à ondes stationnaires, dans la configuration présentée dans la figure 1.5. Le couplage avec cette charge change le comportement du moteur, comme on a pu le voir aussi en régime établi. De même, cette charge peut changer le seuil de démarrage. Cette méthode expérimentale a été développée dans la thèse d'E. Bretagne. Elle permet d'estimer le $\Delta T_{crit}$ du générateur à ondes stationnaires par des mesures du taux d'amortissement d'une perturbation que l'on applique au système, tout en maintenant le stack moteur sous un gradient de température proche du seuil mais légèrement inférieur. Près du seuil, la variation du $\Delta T$ en fonction du taux d'amortissement est linéaire si bien que la valeur critique $\Delta T_{crit}$ est obtenue pour un taux d'amortissement nul. L'étude expérimentale d'identification du $\Delta T_{crit}$ en variant l'ouverture de la vanne a constitué aussi une première étude expérimentale effectuée au laboratoire, sur l'influence de la charge d'un moteur thermoacoustique à ondes stationnaires sur le seuil de démarrage.
# Chapitre 2

## Streaming acoustique

À partir de 2005 j'ai choisi de me pencher sur un phénomène fondamental limitant l'efficacité des systèmes thermoacoustiques : le vent acoustique, appelé aussi streaming acoustique. Le streaming acoustique est un écoulement continu créé par les contraintes de Reynolds dans un fluide sujet à une onde acoustique qui est atténuée par l'absorption de l'énergie acoustique, soit dans le volume fluide soumis à un faisceau émetteur d'ondes ultrasonores irrotationnelles (pour le streaming d'Eckart, appelé aussi Quartz wind), soit dans la couche limite de Stokes oscillante formée tout au long des parois solides en contact avec l'onde (streaming de Rayleigh). Le streaming d'Eckart apparaît dans des systèmes dont les dimensions sont grandes par rapport à la longueur d'onde, tandis que le streaming de Rayleigh est un phénomène de couche limite et les dimensions des structures de cet écoulement sont du même ordre de grandeur que la longueur d'onde.

L'écoulement de streaming le plus connu en guide d'onde stationnaire, susceptible d'apparaître dans les résonateurs thermoacoustiques, est le streaming de Rayleigh et il fait l'objet de mes préoccupations en recherche depuis 15 ans. Voici une brève description de cet écoulement.

### 2.1 Streaming de Rayleigh

Ce type de streaming porte le nom de lord Rayleigh car il a été le premier à développer une solution analytique décrivant les tourbillons stationnaires qui se forment dans un fluide soumis à une onde stationnaire, entre deux plans solides parallèles infinis et adiabatiques [64]. Il est le résultat des contraintes de Reynolds dans la couche limite de Stokes oscillante, formée tout au long des parois solides, comme déjà mentionné en début du chapitre. On note $\lambda$ la longueur d'onde, $\omega$ la pulsation et $\nu$ la viscosité cinématique, et on fait l'hypothèse que l'épaisseur de couche limite visqueuse $\delta_v = \sqrt{2\nu/\omega}$ est très petite devant la hauteur du canal, les deux étant très petits devant la longueur d'onde. On note $U_{ac}$ l'amplitude de la vitesse acoustique (prise au ventre de vitesse) et $c_0$ la vitesse du son. En faisant des développements asymptotiques en fonction du nombre de Mach acoustique $M = U_{ac}/c_0 \ll 1$, ensuite des approximations successives, puis une moyenne temporelle sur la période acoustique, on obtient les équations vérifiées par la vitesse moyenne de l'écoulement $\bar{u}$ (responsable de l'écoulement de streaming) :

$$ \mu \nabla^2 \bar{u} = -\bar{F} + \nabla \bar{p}. \qquad (2.1) $$

Dans les équations précédentes $\bar{p}$ est la pression moyenne, du second ordre, $\mu$ est la viscosité dynamique, et $\bar{F}$ est une somme de produits de quantités de premier ordre (quantités acoustiques) et de leurs dérivées, donc non linéaire par rapport à l'amplitude acoustique. $\bar{F}$ représente les contraintes de Reynolds. Les quantités acoustiques intervenant dans les termes sources de $\bar{F}$
sont solution des équations de l'acoustique linéaire. Les termes sources étant non linéaires, le streaming est en soi un phénomène non linéaire. Les équations régissant l'écoulement de streaming ont été obtenues dans le cas d'un écoulement de streaming lent et sont associées à une acoustique de faible amplitude. Elles sont donc linéaires. C'est la raison pour laquelle ce régime de streaming lent est souvent appelé régime linéaire. La solution des équations, loin des parois solides s'écrit en première approximation (en négligeant les termes en $e^{-(R-y)/\delta_\nu}$) sous la forme :

$$ \bar{u}_{Rayleigh} = -\frac{3U_{ac}^2}{16c_0} \sin(2kx) \left[1 - 3\left(\frac{y}{R}\right)^2\right], $$

$$ \bar{v}_{Rayleigh} = -\frac{3U_{ac}^2}{8c_0} kR \cos(2kx) \left[\frac{y}{R} - \left(\frac{y}{R}\right)^3\right], $$

où $\bar{u}_{Rayleigh}$ et $\bar{v}_{Rayleigh}$ sont les composantes axiale et radiale de la vitesse de streaming (appelée aussi dans la littérature vitesse eulérienne de streaming), $R$ la demi-hauteur du canal, $x$ la coordonnée axiale, $k$ le nombre d'onde complexe, et $y$ la distance à l'axe du guide. Dans le cas de guides cylindriques la solution est légèrement modifiée [73] :

$$ \bar{u}_{Rayleigh} = -\frac{3U_{ac}^2}{8c_0} \sin(2kx) \left[1 - 2\left(\frac{y}{R}\right)^2\right], $$

$$ \bar{v}_{Rayleigh} = -\frac{3U_{ac}^2}{8c_0} kR \cos(2kx) \left[\frac{y}{R} - \left(\frac{y}{R}\right)^3\right], $$

Ici $R$ est le rayon du cylindre. Ces expressions montrent les caractéristiques principales du streaming de Rayleigh (appelé aussi streaming extérieur) : les vitesses adimensionnées sont du second ordre par rapport au nombre de Mach $M$, avec 4 tourbillons contrarotatifs étendus sur $\lambda/4$ dans la direction axiale. La vitesse de streaming transverse est bien plus petite que la vitesse axiale (dans le rapport $4R/\lambda$) et a un déphasage spatial de $\lambda/4$. Une solution complète du problème considéré par Rayleigh a été proposée plus tard par [83] et [53]. Les résultats sont regroupés dans ce que Lighthill ([43]) appelle la théorie linéaire du streaming RNW. En réalité, les tourbillons de Rayleigh sont engendrés par un écoulement moyen qui se développe dans les couches limites et qui consiste en 4 autres tourbillons contrarotatifs [72]. Un schéma récapitulatif de ces écoulements moyens de streaming, associés à une onde acoustique stationnaire en canal plan est représenté sur la figure 2.1, sur une étendue axiale d'une demi-longueur d'onde. Dans le contexte particulier d'applications en thermoacoustique [69, 55, 9, 37, 38] ont amélioré ces modèles linéaires pour prendre en compte l'influence d'un gradient de température axial et la dépendance des coefficients thermophysiques des variations de la température moyenne, dans le but de quantifier le transport de chaleur associé au streaming, ce qui est facteur limitant pour l'efficacité des machines thermoacoustiques. Dans ces études l'influence de la température reste limitée.

Pour des ondes de forte intensité, Menguy et Gilbert [47] ont montré que l'influence de l'inertie sur l'écoulement de streaming est caractérisée par un nombre de Reynolds non linéaire $Re_{NL} = (M \times R/\delta_\nu)^2$. Dans ce mémoire on a choisi une définition légèrement différente pour $\delta_\nu$ par rapport à [47]. Par conséquent, $Re_{NL}$ utilisé ici est deux fois plus petit que celui défini par eux. Suite à une analyse asymptotique, l'équation 2.1, projetée sur la direction axiale, est modifiée par la prise en compte du terme non linéaire $Re_{NL} (\bar{u}\frac{\partial\bar{u}}{\partial\bar{x}} + \bar{v}\frac{\partial\bar{v}}{\partial\bar{r}})$ où $\bar{u}, \bar{v}$ sont les composantes axiale et radiale de streaming et $\hat{x}, \hat{r}$ les variables axiale, respectivement radiale, écrites ici sous forme adimensionnelle, pour des valeurs de $Re_{NL}$ de l'ordre de 1 (jusqu'à $Re_{NL} = 4$). L'inertie modifie les cellules de streaming à l'extérieur de la couche limite tandis que les tourbillons intérieurs restent inchangés. Ces prédictions sont obtenues en considérant seulement les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement. Les effets thermiques ne sont pas étudiés. Leur étude fait référence dans la littérature pour la séparation des deux régimes : le régime lent ou linéaire, caractérisé par $Re_{NL} \ll 1$ et créé par une onde de faible intensité, et le régime rapide, non linéaire, caractérisé par $Re_{NL} > 1$ et créé par une onde de forte intensité.
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 2.1 – Schéma des cellules de streaming intérieur et extérieur dans un canal plan, avec le profil de vitesse acoustique axiale $u'$ le long de la ligne (c) (haut), et le profil de la vitesse de streaming axiale $\bar{u}$ le long des linges (c) et (d).</figcaption></figure>

Plusieurs études expérimentales en résonateurs avec des ondes de forte intensité (donc pour $Re_{NL} > 1$) ont montré un comportement du streaming très différent de celui prédit par la théorie linéaire et pas forcément en accord avec la tendance observée par [47] comme influence de l'inertie. Thompson et Atchley [80] ont développé une méthode de mesures optiques de vitesse d'écoulement moyen (par LDV), pour des ondes acoustiques d'intensité croissante et des valeurs de $Re_{NL}$ allant jusqu'à 20, et les conditions thermiques sur la paroi du résonateur étaient très bien controlées. Ce travail fait également référence dans la littérature sur l'influence des effets thermiques sur le streaming, en régime non linéaire. H. Bailliet et J.C.Valière [50] ont développé également une métrologie très précise, par LDV d'abord et ensuite par PIV, pour étudier la dynamique du streaming en guide d'onde dans la couche limite et dans le corps du résonateur, à forts niveaux acoustiques.

## 2.2 Étude expérimentale sur le streaming dans les machines thermoacoustiques

La communauté thermoacoustique s'est intéressée au mécanisme de streaming présent dans les machines thermoacoustiques car c'est un phénomène qui limite l'efficacité des systèmes, surtout pour ceux avec une géométrie en boucle. À Los Alamos, G. Swift a mis en évidence de manière expérimentale l'influence du streaming sur l'efficacité des systèmes et a imaginé des solutions de suppression du streaming, via des tubes coniques insérés dans le résonateur pour créer un écoulement asymmétrique avec une perte de charge qui serait compensée par celle associée au streaming [55]. Au LAUM, H. Bailliet et V. Gusev [9] ont développé des modèles analytiques de streaming en régime linéaire qui prennent en compte l'interaction avec la thermique et sont donc adaptées aux machines thermoacoustiques.
Des mesures optiques des écoulements continus dans les machines thermoacoustiques existaient peu. Au LMFA, P. Blanc-Benon et ses collaborateurs ([29]) ont développé des techniques de mesures de vitesse de streaming par PIV aux extrémités d'un stack réfrigérant, car ils étaient intéressés par l'analyse fine des effets de bord liés au changement brusque de géométrie. Dans leur configuration le stack est presque isotherme et placé dans un résonateur transparent. Les mesures ont été faites à pression ambiante, pour des faibles amplitudes de pression acoustique.

Dans les machines thermoacoustiques de forte puissance, l'accès optique et l'ensemencement des particules sont plus difficiles. Dans ce type de systèmes, le streaming peut être influencé par la présence de la cellule active, maintenue sous un fort gradient de température, ou encore par la forte intensité des ondes acoustiques qui y siègent. Dans ce cas le streaming lui-même deviendra très rapide et ne suivra plus l'évolution prédite par les modèles théoriques linéaires, comme le streaming de Rayleigh. Des mesures optiques de vitesse de streaming n'avaient pas encore été réalisées dans les machines sous forte pression moyenne, comme celles construites au LIMSI. F. Lusseyran avait développé, depuis plusieurs années au LIMSI, une activité expérimentale autour de la dynamique des écoulements en cavité. Il utilisait des techniques de mesure de vitesse par PIV avec une méthode originale et très précise de post-traitement des données par flot optique [61]. Sous l'impulsion de M. X.-François, nous avons demarré une collaboration avec F. Lusseyran pour adapter ses méthodes de mesure aux systèmes thermoacoustiques existant au laboratoire et construire un banc expérimental dédié. Ce fut le cadre de la thèse de P. Debesse : "Vers une mesure du vent thermoacoustique", soutenue en 2008.

## 2.2.1 Mesure des composantes acoustiques et continues des champs de vitesses dans le résonateur

La mise en évidence expérimentale des écoulements non-linéaires de streaming présente un certain nombre de difficultés métrologiques et d'analyse du signal. En effet la seule connaissance de la pression ne suffit pas, il faut accéder à la connaissance du champ spatial de vitesse instantanée. La métrologie classiquement utilisée dans ce cas est la Vélocimétrie par Images de particules (PIV) ou la Vélocimétrie Laser à Effet Doppler (LDV), techniques de mesure optique très peu intrusives, utilisées largement pour mesurer les écoulements turbulents. Cependant, dans le cadre de la thermoacoustique on se heurte à plusieurs obstacles. Le premier obstacle est lié à l'ensemencement de l'écoulement qui doit être fait sous haute pression. Les particules d'ensemencement doivent pouvoir résister aux fortes températures du moteur acoustique, tout en étant suffisamment fines pour suivre le champ acoustique. La deuxième difficulté, plus fondamentale, est directement liée à la nature du phénomène étudié. En effet, les écoulements induits par les non-linéarités (quelques cm/s ou mm/s pour la vitesse de streaming) sont de plusieurs ordres de grandeur en-dessous de l'oscillation acoustique (quelques m/s ou dizaines de m/s).

Le résultat le plus important de ce travail a été le développement d'une méthode originale de traitement du signal, dans le contexte d'une métrologie PIV, basée sur les techniques de plongement de Broomhead et King [16], permettant de reconstruire la dymanique de l'écoulement. La technique de plongement avait été utilisée avec succès dans le cas des oscillations auto-entretenues se développant dans une cavité ouverte, pour déterminer le taux d'intermittence des modes non linéaires en compétition [59]. Dans le travail de thèse de P. Debesse, cette technique de plongement a été adaptée pour reconstruire à la fois la composante acoustique et la composante continue stationnaire des champs de vitesses instantannées. Les champs PIV sont fortement sous-échantillonnés (cadence d'acquisition des paires d'images de 10 Hz) par rapport à la période acoustique du mode fondamental (≈ 4.5 × 10⁻² s). Cette méthode consiste en la démarche suivante : le champ de vitesses sous-échantillonné est projeté sur ses composantes principales à l'aide de la décomposition en valeurs singulières (SVD) [16]; ceci permet la re-
construction d'un espace de phases et de définir une phase auto-référencée à l'intérieur de la période acoustique; le champ de vitesse, initialement distribué de manière aléatoire en temps, peut ensuite être réordonné par rapport à cette phase. On peut alors effectuer une moyenne de phase sur cette période fondamentale pour obtenir la composante continue de la vitesse. Si on extrait du signal réordonné la valeur moyenne on obtient la composante acoustique. On a donc une méthode originale de plongement dans un espace de phases, qui ne nécessite pas un signal de référence pour reconstruire le champ de vitesses, via des séries de mesures de phases. Cette méthode est décrite en détail dans [28] (article annexé au mémoire) et elle est présentée brièvement dans la suite.

### 2.2.2 Dispositif expérimental

Le système expérimental est constitué de deux parties : un générateur d'onde thermoacoustique quasi-stationnaire, placé dans un résonateur fermé à ses extrémités, et une zone de mesure adaptée pour la PIV. Le résonateur est un cylindre en inox (voir figure 2.2), de longueur $L = 7.88$ m et de diamètre intérieur de 56.3 mm, suspendu par un système de chaînes et ressorts pour amortir les vibrations de la structure. Le générateur d'onde, constitué d'un empilement de plaques en inox, se trouve à 0.5 m de l'extrémité du résonateur, loin de la zone de mesure.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE 2.2 – Schéma du système thermoacoustique avec la zone de mesures optiques en vert. Le moteur thermoacoustique est indiqué avec la lettre M</figcaption></figure>

L'onde est maintenue dans le résonateur avec un gradient de température imposé entre l'échangeur chaud (chauffé avec une résistance Thermocoax, connectée à une alimentation de courant alternatif) et l'échangeur froid maintenu à une température constante, avec de l'eau utilisée comme fluide secondaire refroidissant. Dans les expériences, les températures de l'échangeurs chaud varient entre 458 K (185° C) et 573 K (300° C). L'onde générée est une onde stationnaire, avec une amplitude de pression variant entre $10^4$ Pa et $5 \cdot 10^4$ Pa. Le gaz utilisé est de l'azote sous une pression moyenne de $P_m = 7.26 \times 10^5$ Pa et une température moyenne $T_m = 289$ K. Le signal de pression est mesuré à la sortie du moteur thermoacoustique, en proche paroi, à une distance de 2.67 m du milieu du résonateur, à l'aide d'un capteur piézoélectrique Kistler alimenté par un amplificateur de charge. L'analyse de Fourier de ce signal fournit l'amplitude de pression maximale $P_1 = 1,27 \times 10^4$ Pa (donc un drive ratio de 1.75%) et la fréquence fondamentale de l'onde $f_1 = 21.92$ Hz. Par ailleurs 8 harmoniques du mode fondamental sont identifiés. La vitesse du son est $c_0 = 347.28$ m/s.

La zone de mesure par PIV est située à 1.16 m de l'extrémité du résonateur opposée au moteur. Elle est constituée d'un module en verre, transparent, avec un traitement anti-reflets, sur 0.1 m de long (voir figure 2.3). Le montage expérimental contenait deux modules en verre, mais les mesures ont été faites dans l'un des deux modules. Les particules d'ensemencement sont de l'oxyde de magnésium (MgO) dont le diamètre est de l'ordre de $1\mu$m. Elles sont injectées
dans le résonateur à proximité de la zone de mesure via un système d'ensemencement sous pression Dantec (limité à $10^6$ Pa). La source de lumière est un laser pulsé mini-YAG Quantel double cavité, cadencé à 10Hz et de longueur d'onde de 532nm et 30 mJ/pulse. Les images sont enregistrées avec une caméra CDD Marlin à 20Hz (1024×768 pixels) équipée d'un filtre passe-bande. La fréquence d'enregistrement des paires d'images est $f_e = 10$ Hz avec un intervalle de temps de 0.002 s entre les images de la même paire. L'acquisition des paires d'images a été indiquée sur le signal de pression dans la figure 2.3 (c). Le temps d'enregistrement d'une série de mesures est de 100 s. Un système d'acquisition (SigLab) à plusieurs canaux synchrones a été utilisé, permettant d'acquérir simultanément le signal de pression. Ceci permet d'avoir une origine temporelle commune entre la vitesse et la pression. Les mesures sont faites dans un plan vertical, passant par l'axe du résonateur.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE 2.3 – (a) Système d'acquisition d'images : les deux cavités laser, les modules transparents entourées d'un panneau de protection (en bois), et la caméra posée sur un dispositif permettant les translations verticales et horizontales, (b) Zone de mesure (modules transparents), (c) Acquisition des paires d'images, représentée sur le signal de pression.</figcaption></figure>

### 2.2.3 Calcul des champs de vitesses PIV

Le premier traitement consiste à soustraire aux images une image de bruit de fond pour réduire les réflexions des parois dues à la géométrie cylindrique. L'image soustraite ici est la moyenne de toutes les images avec particules. Le pré-traitement des images est complété par une amélioration du contraste et un filtre passe-haut pour corriger les niveaux d'intensité des images. La deuxième étape est le calcul des déplacements à partir d'une paire d'images, en utilisant un algorithme de flot optique avec une programmation dynamique orthogonale [61]. L'avantage de cette approche réside dans le fait qu'elle est bien adaptée aux écoulements à fort gradient de vitesse et fournit une mesure peu bruitée. La précision de résolution du flot optique dans le traitement d'images est de 1/181 pixel ce qui correspond à une précision du champ de vitesse de $4 \times 10^{-4}$ m/s. Les champs de vitesse obtenus sont ensuite corrigés pour tenir compte des effets de dioptre [32].
### 2.2.4 Réarrangement des champs PIV sous-échantillonnés selon une phase auto-référencée

Les champs PIV sont calculés sur une fenêtre de mesure de la hauteur du diamètre du résonateur et de longueur représentant 2.5% de la longueur des cellules de streaming de Rayleigh. Une première estimation de la vitesse moyenne, notée $\vec{U}(x, y, t)$ ($x$ est la variable dans la direction axiale et $y$ est la variable dans la direction verticale), est obtenue en faisant la moyenne d'ensemble de tous les champs PIV. La composante acoustique $\vec{U}_{ac}(x, y, t) = \vec{U}(x, y, t) - \vec{U}(x, y, t)$, obtenue par soustraction, est ensuite moyennée sur une région centrale, située loin des couches limites, où les variations spatiales sont négligeables. On obtient un ensemble discret, dépendant du temps. Seule la composante horizontale $u_x(t_n)$ sera utilisée par la suite. Pour analyser l'onde acoustique, la série $u_x(t_n)$ est réordonnée sur un cycle acoustique du mode fondamental de la manière suivante :

La partie périodique de la dynamique de l'écoulement est obtenue en projetant le mode le plus énergétique sur les deux composantes principales du signal. Pour ce faire, on applique une décomposition SVD sur la matrice de retard :

$$S = \begin{pmatrix} u_x(t_0) & u_x(t_1) & \dots & u_x(t_{M_{SVD}-1}) \\ u_x(t_1) & u_x(t_2) & \dots & u_x(t_{M_{SVD}}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_x(t_{r-1}) & u_x(t_r) & \dots & u_x(t_{N_{max}-1}) \end{pmatrix}$$

où $M_{SVD}$ représente le nombre des modes SVD sur lesquels on fait la décomposition (99 ici), $N_{max}$ le nombre total des données de vitesse, $r = N_{max} - (M_{SVD} - 1)$ et $t_n = n/f_e$, $1 \le n \le N_{max} - 1$. La matrice de retard $S$ est donc décomposée selon la relation $S = UVD^t$, avec $D$ la matrice diagonale des valeurs singulières et $V$ la matrice unitaire des vecteurs propres. L'espace des phases est généré par une base construite avec les colonnes de la matrice $\Phi_{SVD} = UD = SV$, les modes étant ordonnés du plus énergétique $\xi_{SVD}^1(t)$ (correspondant à la première colonne) au moins énergétique $\xi_{SVD}^{M_{SVD}}(t)$ (correspondant à la dernière colonne).

Les deux premiers modes sont utilisés pour construire un portrait de phase, ce qui représente la projection de la dynamique de l'écoulement sur la partie périodique (figure 2.4(a)). Une phase $\varphi_{SVD}$, définie comme l'argument du nombre complexe $\xi_{SVD}^1(t) + i\xi_{SVD}^2(t)$, peut être associée à chaque champ de vitesse instantané $u_x(t_n)$ et donc au champ de vitesses $\vec{U}(x, y, t_n)$ tout entier. Le champ de vitesse $u_x(\varphi_{SVD})$ réordonné selon la phase $\varphi_{SVD} \in [-\pi, \pi]$ est représenté sur la figure 2.4(b) en bleu, avec le signal de pression $P_1(\varphi_{SVD})$ en vert. Le signal est sinusoidal et légèrement déformé par la présence d'harmoniques. Cette technique de réarrangement selon la phase a été validée sur le signal de pression qui est sur-échantillonné. Les caractéristiques de l'onde stationnaire peuvent être déduites ensuite du champ de vitesse global, après réarrangement en phase, en faisant une interpolation des profils. Malgré la fenêtre de mesure qui représente 1% de la longueur du résonateur, on peut faire une identification assez précise des amplitudes des deux premiers modes (fondamental et premier harmonique) ainsi que de leurs phases et du nombre d'onde. On trouve une amplitude du fondamental de 1.890 m/s dans la zone de mesure et un taux du premier harmonique de 19% par rapport au fondamental. Le déphasage mesuré entre les deux modes montre que l'onde n'est pas purement stationnaire.
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE 2.4 – a) Portrait de phase; b) Séries de vitesse $u_x(\varphi_{SVD})$ et de pression $P_1(\varphi_{SVD})$ réordonnées en phase.</figcaption></figure>

### 2.2.5 Calcul de la vitesse moyenne (de streaming)

Un premier calcul de la vitesse moyenne peut être effectué avec une simple moyenne en temps sur l'ensemble de l'échantillon de mesure :

$$ \bar{U}(\vec{x}) \approx \frac{1}{N_{max}} \sum_{n=0}^{N_{max}} \vec{U}(\vec{x}, t_n) $$

Si on applique cette moyenne aux séries de mesures, le résidu d'approximation risque d'être du même ordre de grandeur que la moyenne recherchée, du fait de la convergence lente de la moyenne d'ensemble ($N_{max}$ n'étant pas suffisamment grand). Un meilleur calcul de la moyenne peut être proposé à partir du champ de vitesses ordonné selon la phase :

$$ \bar{U}(\vec{x}) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \vec{U}(\vec{x}) d\varphi_{SVD} $$

Le champ moyen obtenu est représenté sur les figures 16 et 17 de [28] (article en annexe). Il est du même ordre de grandeur que la vitesse de streaming de Rayleigh estimée dans les conditions de l'expérience ($10^{-2}$ m/s). L'analyse de l'écoulement montre qu'il s'agit d'un écoulement continu irrégulier, avec une composante transverse (donc un écoulement tri-dimensionnel). L'écoulement mesuré était différent des résultats existant dans la littérature dans des guides d'ondes sans moteur thermoacoustique. Il présente une forte asymétrie par rapport à l'axe du tube, avec une zone centrale de faibles vitesses, et avec un écoulement moyen allant du moteur vers le fond du résonateur en haut de la zone de mesure, et un autre écoulement allant dans le sens inverse en bas de la zone de mesure. Le calcul du nombre de Reynolds non linéaire montre que dans notre expérience $Re_{NL} = 9.7$ et donc on peut s'attendre à une distorsion du streaming à cause de l'inertie, ce qui n'explique tout de même pas les profils observés. La présence d'un écoulement moyen du moteur vers le fond du résonateur en haut de la zone de mesure et d'un autre écoulement dans le sens inverse en bas de la zone de mesure pourrait être le résultat d'un écoulement de convection naturelle typique d'une cavité différentiellement chauffée. Des mesures complémentaires ont été faites dans le résonateur après la disparition de l'onde (ce qui se produit très rapidement, en moins d'une minute, en coupant le chauffage au niveau de l'échangeur chaud). Le profil de la composante horizontale de vitesse est caractéristique d'un écoulement de convection naturelle (voir figure 2.5).
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIGURE 2.5 – Profil de la composante horizontale de vitesse, en fonction de la variable verticale, après la disparition de l'onde.</figcaption></figure>

### 2.2.6 Reconstruction de l'acoustique et du champ moyen par décomposition POD

Pour compléter l'étude des champs PIV, et dans le but de confirmer les résultats obtenus par la SVD appliquée aux champs sous-échantillonnés, une étude basée sur la décomposition POD (Proper Othogonal Decomposition) a été faite. En utilisant un signal synthétique, on a montré qu'on peut extraire l'onde acoustique du premier mode POD (le plus énergétique) et l'écoulement moyen (de streaming) du second, à condition que les structures spatiales associées à l'acoustique et au streaming soient suffisamment distinctes. Dans la figure 2.6 (a) on a représenté le spectre des valeurs propres POD (i.e. le carré des valeurs singulières $\sigma_i^2$) : la première valeur propre est associée au mode fondamental acoustique, la deuxième est associée au champ moyen et la troisième valeur propre correspond au premier harmonique acoustique. Si on reconstruit la composante axiale de la vitesse à partir du premier mode POD, et qu'on fait ensuite une moyenne spatiale pour obtenir la série temporelle $u_{POD}^{(1)}(t) = \langle \sigma_1 a_1(t) \Psi_{x,1}(\vec{r}) \rangle_{x,y}$, on peut appliquer de nouveau une décomposition SVD et un réarrangement en phase du signal obtenu du premier mode POD. Le champ de vitesse reconstruit avec la POD et réordonné en phase se superpose bien avec le champ de vitesse complet, ce qui confirme le fait que la POD permet de reconstruire l'acoustique avec le premier mode POD (cf. figure 2.6 (b) ). On retrouve également la stratification spatiale d'amplitude associée à une onde plane. La reconstruction du deuxième mode POD indique un champ moyen comparable au champ complet d'origine (sans décomposition POD) (figure 2.6 (c)).

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 2.6 – (a) Spectre des valeurs propres POD. (b) Superposition des profils de vitesses axiales acoustiques reconstruites par POD et du champ complet, sur une période acoustique. (c) $\bar{u}_x(y)$ intégrées aussi selon $x$ dans la zone de mesure, par la POD (en rouge) et sans POD (en bleu). Dr= 1.75%</figcaption></figure>
### 2.2.7 Champs PIV avec référence de phase

Ces séries de mesures ont été réalisées dans les mêmes conditions expérimentales que les précédentes. La différence réside dans les instants de prises de vue PIV : les paires d'images sont prises à la même phase du cycle acoustique en prenant comme référence le signal de pression, à l'aide d'une électronique de synchronisation (figure 2.7 (a)). L'écart temporel entre deux images d'une paire est toujours de 2ms. Pour réaliser les moyennes de phase on a montré qu'il y a une bonne convergence statistique à partir de 500 champs instantanés. La validation des moyennes de phase a été faite en utilisant environ 800 champs instantanés pour chaque phase, et en décomposant le signal de pression en 16 phases. On observe un bon accord avec les mesures faites de manière désordonnée et traitées avec le réarrangement en phase par SVD (figure 2.7 (b)). Néanmoins, l'extraction du champ moyen après une moyenne sur les 16 phases, conduit à un écoulement continu moins bien résolu que celui obtenu par moyenne sur toutes les phases SVD, qui sont entre 700 et 2000.

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE 2.7 – (a) Schéma de la procédure d'acquisition des images pour les moyennes de phase. (b) Comparaison du signal reconstruit par moyennes de phase et moyennes en phase SVD.</figcaption></figure>

### 2.2.8 Résultats pour plusieurs drive ratio

Trois espaces de paramètres distincts associés au drive ratio $Dr$ de 1.75% ($P_1/P_m$ = 127 × 10³/(7.26 × 10⁵)), 0.97% (145 × 10³/(15.01 × 10⁵)) et 4.40% (317 × 10³/(7.20 × 10⁵)) ont été étudiés avec les méthodes décrites précédemment. Pour chacun, l'onde acoustique a été caractérisée notamment par l'amplitude de vitesse locale (dans la zone de mesure) et le contenu fréquentiel de l'onde. Le taux du premier harmonique augmente avec le drive ratio : 20% par rapport au fondamental pour $Dr$ = 1.75% et 50% pour $Dr$ = 4.40%. Le reclassement a permis le calcul de la longueur d'onde acoustique, et ce grâce aux données obtenues sur une distance qui représente moins de 1% de cette longueur d'onde. Les valeurs obtenues montrent qu'il y a un très bon accord avec les valeurs théoriques, l'écart ne dépassant pas les 6% de la valeur théorique. Un résumé des résultats est présenté figure 2.8. Les champs moyens ont été déterminés par moyenne sur les phases obtenues par SVD et aussi par POD. Ces résultats se recoupent bien et les valeurs des vitesses moyennes sont 10⁻² à 10⁻³ fois plus faibles que les vitesses acoustiques. Elles sont de ce fait, sensibles aux incertitudes de mesure et sont parfois proches de la précision de mesure. Cependant, nous pensons pouvoir affirmer que ces champs moyens présentent une composante tridimensionnelle et sont principalement constitués de deux cellules principales de convection (cf. Figure 2.9). Elles existent pour les trois espaces des paramètres. Pour le plus faible rapport $Dr$ = 0,97%, elles sont localisées dans la partie supérieure de la zone de mesure et en proche paroi, soit une extension radiale d'un demi-rayon. Alors que le
drive ratio augmente, elles ont tendance à s'étaler dans la direction radiale : extension d'un rayon pour $Dr = 1.75\%$ et d'un diamètre pour celui de $Dr = 4.40\%$.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE 2.8 – Récapitulatif de résultats pour l’acoustique pour les trois espaces de paramètres; de gauche à droite dans l’ordre des $Dr$; de haut en bas, les vitesse acoustique reclassées en phase par SVD, les spectres fréquentiels repliés, les taux de premier harmonique dans la zone de mesure, l’écart entre le max, le min et les amplitudes de vitesse acoustique locale</figcaption></figure>

Nous sommes dans une configuration d'acoustique non-linéaire (harmoniques multiples) et de streaming non-linéaire. Les nombres de Reynolds non-linéaires sont respectivement $Re_{NL} = 5.7$, $Re_{NL} = 9.8$ et $Re_{NL} = 120.2$. Les cellules de convection telles qu'elles nous apparaissent ne sont donc pas de type Rayleigh-Schlichting. Notons qu'après la disparition de l'onde, une fois le chauffage du moteur arrêté, un écoulement résiduel est observé qui pourrait être d'origine thermoconvective avec pour moteur un gradient thermique orienté de l'échangeur froid de la cellule thermoacoustique vers le fond opposé du résonateur. Son ordre de grandeur de vitesse est une décade inférieure à l'amplitude de vitesse acoustique. Cet écoulement pourrait exister alors que l'onde est établie et éventuellement être une des causes de déstructuration du strea-ming de Rayleigh-Schlichting. Ces résultats n'ont pas trouvé de comparaison directe dans la littérature car le système étudié dépassait les simplifications académiques pour se rapprocher des conditions rencontrées dans les applications de la thermoacoustique.

La complexité des écoulements moyens observés nécessitait d'étendre les investigations à d'autres positions dans le résonateur et à d'autres plans de mesure, pour connaître le déve-loppement de ces cellules d'écoulement permanent sur toute l'étendue de l'onde stationnaire. L'immense travail expérimental exploratoire mené par Philippe Debesse, comprenant la mise en place d'un banc expérimental lourd, ainsi que le développement d'une métrologie dédiée, n'a malheureusement pas pu être continué après la fin de sa thèse. Le sujet était complexe et faute de candidat en thèse, ce travail n'a pas eu de suite. Il a donné lieu à beaucoup de résultats qui ont été publiés partiellement quelques années après la thèse, quand tous les trois, P. Debesse, F. Lusseyran et moi même avons pu nous réunir pour le faire. Cette expérience m'a appris ce qu'était réellement la recherche expérimentale et combien il était difficile de faire de "bonnes mesures" et qu'avant tout il fallait avoir la "bonne expérience".
<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIGURE 2.9 – Récapitulatif des résultats concernant le champ moyen pour les trois espaces de paramètres, correspondant aux trois drive ratio.</figcaption></figure>

Comme discuté précédemment, le dispositif expérimental utilisé était bien trop complexe pour pouvoir faire la part des choses entre l'influence de l'inertie ($Re_{NL} > 1$ et allant jusqu'à 120), de la thermique, des écoulements de convection naturelle, et des harmoniques. Par conséquent, le travail de recherche sur le streaming a été poursuivi du point de vue de la modélisation et de la simulation numérique, dans des configurations académiques, et ceci fera l'objet de la section suivante.

## 2.3 Streaming acoustique en guide d'onde

Cette partie du mémoire est consacrée à l'étude numérique du vent acoustique créé dans un résonateur à ondes stationnaires, en régime non linéaire, complétée par une étude théorique en régime linéaire. Il raconte l'histoire de travaux de recherche étalés sur une dizaine d'années, qui ont fait l'objet d'une collaboration très fructueuse et très féminine, avec V. Daru et C. Weisman à partir de 2009, puis avec H. Bailliet à partir de 2012. À ce noyau s'ajoutent des collaborations ponctuelles avec I. Reyt durant ses séjours post-doctoraux et avec S. Tabakova sur les travaux analytiques.

### 2.3.1 Une histoire d'aller et retour

Nous avons commencé un premier travail avec V. Daru et C. Weisman sur la simulation de l'écoulement du fluide dans un guide d'onde sans machine thermoacoustique, le but étant de comprendre le comportement du streaming y siégeant en régime non linéaire. Les expériences menées dans la littérature à ce moment ne donnaient pas accès aux structures spatiales des tourbillons de streaming, ni à leur dynamique quand l'intensité acoustique augmente, ni à l'évolution du champ de température dans le guide d'onde. Les quelques simulations [2] qui traitaient le régime non linéaire $Re_{NL} > 1$ étaient en désaccord avec les mesures expérimentales existantes, et mettaient en évidence des valeurs de $Re_{NL}$ critiques pour la transition vers le régime non linéaire en contradiction avec l'expérience. De plus, contrairement à nos attentes,
les meures que nous avions faites avec P. Debesse et F. Lusseyran sur les résonateurs des machines thermoacoustiques indiquaient un streaming qui ne ressemblait à rien d'existant dans la littérature.

Dans ce contexte, les premières simulations faites par V. Daru, ont mis en évidence une déformation des cellules tourbillonnaires de streaming à fort niveau acoustique, avec une apparition de nouvelles cellules au centre du guide, et une interaction non-triviale avec le champ de température moyen. La même déformation des cellules de streaming a été observée dans les expériences par H. Bailliet et son équipe. À partir de ces observations simultanées nous avons démarré une collaboration très riche et complémentaire. Plusieurs pistes d'investigation, évoquées dans la section précédente, s'offraient à nous. Pour bien cerner les effets des différentes sources, nous avons mené un certain nombre d'études numériques en écoulement isentropique, en nous aidant dans l'interprétation des résultats du modèle linéaire, caractéristique du streaming lent. Nous avons bien identifié l'effet de l'inertie, ainsi que l'interaction non linéaire entre l'acoustique et le streaming. Il a été conclu que, sous l'hypothèse isentropique, cette interaction est responsable des déformations des cellules de streaming, avec un seuil d'apparition de nouvelles cellules, portant sur la valeur de $Re_{NL}$, bien plus grand que pour un écoulement influencé par les échanges thermiques. La prise en compte des effets thermiques dans nos dernières études ont montré une influence très forte de ces derniers sur l'acoustique, et par rétroaction sur le streaming : à fort niveau le streaming réorganise le champ de température moyen, qui modifie à son tour l'acoustique et donc le streaming. Dans l'interaction non linéaire entre l'acoustique et le streaming, l'effet induit par la température moyenne est plus important que celui vu en hypothèse isentropique et le seuil d'apparition des cellules supplémentaires est plus faible. Un nouveau critère a été obtenu en nous aidant de la théorie linéaire : $Re_{NL} > K_C$, $K_C$ étant un nombre sans dimension dépendant des échanges avec les parois du résonateur.

### 2.3.2 Premières simulations du streaming en canal plan, dans les deux régimes, incluant les effets thermiques

Ce premier travail a été fait en collaboration avec V. Daru, C. Weisman, G. Gandikota et P. Debesse, sur la simulation d'un écoulement de streaming dans un guide d'onde rempli d'air, pour des valeurs croissantes de l'amplitude de l'onde, couvrant les régimes lent et rapide de streaming.

#### Description du problème et modèle numérique

On considère une cavité rectangulaire 2D de longueur $L$ et de demi hauteur $R$, initialement remplie d'air à pression $p$ et masse volumique $\rho$ respectivement égales à 101325 Pa et $1.2kg/m^3$. Afin d'installer une onde acoustique stationnaire dans cette cavité, on la secoue suivant la direction longitudinale $x$, avec une vitesse harmonique $\vec{V}(t) = (x_p\omega\cos(\omega t), 0)^T$, $\omega$ étant la pulsation et $x_p$ l'amplitude de déplacement de la cavité. L'écoulement produit peut être modélisé par les équations de Navier-Stokes compressibles exprimées en repère mobile, attaché à la cavité, ce qui produit un terme source de forçage. Le modèle s'écrit :

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) &= 0 \\
\frac{\partial \rho \mathbf{v}}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \otimes \mathbf{v}) + \nabla p &= \nabla \cdot (\bar{\tau}) - \rho \frac{d\mathbf{V}}{dt} \\
\frac{\partial \rho E}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho E \mathbf{v} + p \mathbf{v}) &= \nabla \cdot (k \nabla T) + \nabla \cdot (\bar{\tau} \mathbf{v}) - \rho \mathbf{v} \cdot \frac{d\mathbf{V}}{dt}
\end{aligned}
\right. 
\qquad (2.2) $$
où $\vec{v} = (u, v)^T$ est la vitesse du fluide, $E = e + \frac{1}{2}\vec{v} \cdot \vec{v}$ est l'énergie totale, $e = \frac{p}{(\gamma-1)\rho}$ étant l'énergie interne, $\gamma = 1.4$ le rapport des chaleurs spécifiques de l'air, $\bar{\tau} = -\frac{2}{3}\mu(\nabla \cdot \vec{v})\bar{I} + 2\mu\bar{D}$ le tenseur des contraintes visqueuses, $\bar{D}$ le tenseur des taux de déformations, $\mu$ la viscosité dynamique, $k$ la conductivité thermique. Les propriétés thermophysiques de l'air sont supposées constantes, $\mu = 1.795 \times 10^{-5} \text{kgm}^{-1}\text{s}^{-1}$ et $k = 0.025 \text{Wm}^{-1}\text{K}^{-1}$. L'air est considéré comme un gaz parfait et suit la loi d'état $p = r\rho T$, où $T$ est la température et $r = 287.06 \text{Jkg}^{-1}\text{K}^{-1}$ est la constante des gaz parfaits pour l'air. Les conditions aux limites employées dans le repère mobile sont : condition d'adhérence pour la vitesse et paroi isotherme pour la température.

Le modèle est résolu numériquement en utilisant un schéma aux différences finies explicite décentré d'ordre 3 en temps et en espace pour les termes convectifs, centré d'ordre 2 pour les termes diffusifs. Le code et les simulations numériques ont été effectuées par V. Daru. Les détails du schéma peuvent être trouvés dans [23]. Le maillage utilisé est régulier de pas $\delta x$ et $\delta y$, composé de 500 points dans la direction axiale $x$, et de $5 \times R/\delta_\nu$ points dans la direction $y$ normale à l'axe. Seule la moitié supérieure de la cavité est simulée, l'écoulement étant symétrique par rapport à l'axe $x$. Les simulations étant très coûteuses, on a considéré des petites cavités, de longueur $L = 8.825 \text{mm}$, correspondant à une onde de haute fréquence $f = 20000 \text{Hz}$. Dans ce cas le pas de temps $\delta t = 8 \times 10^{-9} \text{s}$ est choisi égal à $T/6250$ pour satisfaire la condition de stabilité numérique. L'épaisseur de la couche limite qui en résulte est $\delta_\nu = 1.54 \times 10^{-5} \text{m}$.

Les simulations sont effectuées pour des valeurs différentes de $Re_{NL}$, du régime de streaming lent ($Re_{NL} = 0,001$) au régime de streaming rapide ($Re_{NL} = 29$), pour des cavités de plus en plus larges ($R/\delta_\nu = 10, 20, 40$) et pour des ondes acoustiques de plus en plus intenses, avec un nombre de Mach allant de $M = 0.003$ à $M = 0.027$ donc des régimes avec des ondes de choc. L'écoulement moyenné est obtenu en effectuant une moyenne simple des différentes quantités (vitesse, pression, température) sur chaque période acoustique.

## Résultats numériques

Pour de petites valeurs de $Re_{NL}$ ($Re_{NL} \ll 1$), l'onde plane est quasi mono-fréquentielle et on obtient quatre cellules de streaming symétriques sur la longueur de la cavité et la demi-hauteur : deux cellules dans la couche limite et deux autres dans le coeur de la cavité, comme le streaming de Rayleigh. Le champ de température moyen est quasi-unidimensionnel dans le guide, excepté dans la couche limite, avec une stratification horizontale des températures du chaud près des nœuds de vitesse acoustique vers le froid près du ventre de vitesse acoustiques (Figure 2.10). Le calcul du flux d'entropie moyen, correspondant au transfert de chaleur thermacoustique, montre un pompage de chaleur du centre du résonateur (ventre de vitesse et nœud de pression) vers les extrémités (nœuds de vitesse, ventre de pression). Ce pompage de chaleur localisé au début en bord de couche limite est suivi par une diffusion de la chaleur dans la direction radiale pour finir avec un champ stationnaire quasi 1D. La différence de température entre le maximum et le minimum est petite pour des faibles valeurs de $Re_{NL}$, par exemple $\Delta T = 0.039 \text{K}$ pour $Re_{NL} = 0.041$.

Pour $Re_{NL} > 1$, les cellules de recirculation se dissymétrisent fortement avec l'augmentation de $Re_{NL}$ et le streaming devient irrégulier (Figure 2.3.2). On observe un déplacement des centres des cellules de streaming (aussi bien celles de couche limite que les cellules centrales) vers les extrémités de la cavité résonante, proche des couches limites sur les parois verticales. La sinusoïde caractéristique du streaming lent (cf. figure 2.1), représentant la variation en $x$, le long de l'axe de la cavité, de la composante axiale de la vitesse de streaming, se raidit vers les extrémités du résonateur. Au fur et à mesure que le nombre $Re_{NL}$ augmente on peut observer l'apparition de plusieurs cellules de streaming ([24]). Une autre conséquence de la distorsion des cellules de streaming concerne le profil de la vitesse axiale de streaming en fonction de la
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIGURE 2.10 – (a) Lignes de courant pour le streaming, (b) Champ de température moyen sur la moitié du canal. $Re_{NL} = 0.041$, $y_0/\delta_\nu = 10$, $M = 0.02$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIGURE 2.11 – Lignes de courant de l’écoulement moyenné sur la demi hauteur du résonateur (à gauche) et champ de température moyen (à droite).

a) $Re_{NL} = 4.257$ ($y_0/\delta_\nu = 10$, $M = 0.206$).

b) $Re_{NL} = 12.636$ ($y_0/\delta_\nu = 20$, $M = 0.178$). Les longueurs sont normalisées par $L$.</figcaption></figure>

hauteur de la cavité. La caractère parabolique est perdu, comme cela a été observé dans des expériences à $Re_{NL} = 98$ [50]. Nos simulations ont mis en évidence le même type de distorsion pour des plus faibles nombre de Reynolds non linéaires (cas $Re_{NL} = 13, 26$ et 29).

L’analyse du champ de température moyen dans le cas $Re_{NL} > 1$ montre que le champ de température devient bidimensionnel à cause du transport de chaleur par convection (via l’écoulement de streaming qui devient de plus en plus fort). Par ailleurs, au fur et à mesure que l’intensité des ondes acoustiques augmente, des ondes de choc périodiques apparaissent, qui induisent des gradients de températures de plus en plus forts : $\Delta T = 19.4$K pour $Re_{NL} = 12.636$. Ceci peut également influencer le streaming. Dans la dynamique du streaming on a observé plusieurs étapes : d’abord l’établissement du streaming de Rayleigh régulier sur quelques dizaines de périodes, ensuite une déstabilisation de ce motif concrétisé par une dissymmétrie de plus en plus forte des cellules (les centres des tourbillons se déplacent vers les nœuds de vitesse acoustiques), accompagnée par une modification du champ de température moyen qui semble suivre l’écoulement jusqu’à une nouvelle stabilisation. Cette stabilisation peut se faire toujours à deux cellules extérieures à la couche limite ou à plusieurs si le nombre de Reynolds non linéaire continue à augmenter.

La même dynamique du streaming a été observée de manière indépendante et simultanée par l’équipe d’Hélène Bailliet. Nous avons présenté nos résultats remarquablement similaires à une rencontre du GDR Thermaocoustique en décembre 2011 et nous avons décidé de travailler ensemble sur des configurations comparables, du moins du point de vue d’une similitude, dans le but de comprendre la physique derrière ce comportement surprenant du streaming.

## Comparaison avec l’expérience

Le travail en collaboration a été fait en guide d'onde cylindrique. L'expérience est décrite en détail dans [66] (article en annexe). L'onde est générée à l'aide de deux haut-parleurs qui
travaillent avec la même fréquence, en opposition de phase. Les haut-parleurs sont connectés au guide via des tubes coniques. Le fréquence de fonctionnement du système est de $f_{exp} = 240$ Hz ce qui représente le troisième mode du système. Le but est de pouvoir faire des mesures dans une cellule de streaming située loin des singularités dues aux changements de section. La géométrie anharmonique du guide d'onde assure le maintien d'une onde presque monochromatique, même à des fortes amplitudes acoustiques.

Les simulations ont été faites toujours sur des petits résonateurs pour diminuer le temps de calcul. Pour pouvoir faire la comparaison avec l'expérience on s'est placé en situation de similitude par rapport aux expériences. L'analyse dimensionnelle des équations fondamentales régissant l'acoustique et le streaming met en évidence cinq nombres sans dimension : le nombre de Mach, $M = \frac{U_0}{c_0}$, le nombre de Reynolds acoustique, $Re = \frac{\rho_0 c_0^2}{\mu_0 \omega}$, le nombre de Prandtl $Pr = \frac{\mu_0 c_p}{\rho_0 k_0}$, le nombre de Shear $Sh = \frac{\delta_\nu}{R}$, le dernier pouvant être remplacé par le nombre de Reynolds non linéaire $Re_{NL} = \frac{M^2}{Sh^2}$. Dans les deux configurations, numérique et expérimentale, le fluide utilisé est fixé (l'air) donc le nombre de Prandtl est le même. L'acoustique et le streaming en proche paroi sont similaires pour $M \ll 1$, $Re \gg 1$ et $Sh \ll 1$. Le streaming extérieur est caractérisé par le nombre $Re_{NL}$ et l'analyse de la dynamique du streaming a été faite dans un premier temps seulement en fonction de ce nombre. Les conditions limites en température ont été choisis pour être les mêmes ou presque : dans les simulations les parois sont isothermes tandis que dans l'expérience les parois du résonateur sont refroidies par des ventilateurs : la différence maximale de température entre le ventre de vitesse et le nœud de vitesse est de 0.3 K ce qui a été considéré comme assez faible pour pouvoir conclure à une condition quasi-isotherme sur les parois. Les résultats adimensionnés par rapport à la vitesse de Rayleigh $u_{Rayleigh}$ sont en très bon accord et ont montré une évolution régulière du streaming avec l'augmentation du nombre de Reynolds non linéaire : du régime de streaming lent (quelque soit les valeurs des nombres sans dimension du moment qu'on respecte les limites asymptotiques) vers le régime de streaming rapide, où on observe la même déformation. La valeur adimensionnée de la vitesse de streaming diminue quand $Re_{NL}$ augmente, et une nouvelle cellule de streaming apparaît près du ventre de vitesse pour $Re_{NL} \approx 30$, à la fois dans les simulations numériques et dans les expériences (voir Figures 5-10 de [66], article en annexe).

Même si la dynamique est similaire entre expérience et numérique il y a deux différences majeures entre les deux situations. Le signal acoustique dans la simulation est multifréquentiel, avec des ondes de choc pour des ondes de forte intensité, tandis que dans l'expérience l'onde est presque monofréquentielle. Les variations de température moyenne à l'intérieur du résonateur simulé sont très grandes (jusqu'a 20 K), tandis dans l'expérience elles sont de l'ordre de 0.3 K en paroi, voire de l'ordre de 1 K à l'intérieur du résonateur (mesures faites ultérieurement). Malgré ces différences, le comportement était similaire. Chose étrange : les résultats obtenus pour une condition isotherme à la paroi solide dans ce cas étaient à première vue en contradiction avec l'observation de Thompson et Atchley [80], qui avaient trouvé un streaming proche du streaming de Rayleigh, donc non deformé pour un grand $Re_{NL}$.

Toutes ces considérations nous ont conduit par la suite vers une étude du streaming à fort régime, non influencé par les effets de température. Nous avons donc fait l'hypothèse d'un écoulement isentropique.

### 2.3.3 Analyse du streaming en régime nonlinéaire, hypothèse isentropique

La même résolution par DNS a été faite cette fois-ci sur les équations de Navier-Stokes compressible écrites dans le référentiel attaché au résonateur, pour un gaz suivant une loi d'état
isentropique 2.3 :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \\[2ex]
\displaystyle \frac{\partial \rho \mathbf{v}}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \otimes \mathbf{v}) + \nabla p = \nabla \cdot (\bar{\tau}) - \rho \frac{d\mathbf{V}}{dt} \\[2ex]
\displaystyle p - p_0 = c_0^2 (\rho - \rho_0),
\end{array}
\right.
\qquad (2.3)
$$

Les conditions limite imposées sont : l'adhérence aux parois solides ( r = R , i.e. **v**(r = R, z) = 0) et conditions de symétrie sur l'axe r = 0 et sur les frontières verticales z = 0, L ( **v**(r = 0, z) = v(z) **e**_z avec ∂v /∂r (r = 0, z) = 0, **v**(r, z = 0, L) = v(r) **e**_r avec ∂v /∂z (r, z = 0, L) = 0). Pour analyser le transitoire du streaming, de manière indépendante de l'établissement de l'onde, le code présenté précédemment est utilisé de la manière suivante : pendant l'établissement de l'acoustique, à la fin de chaque période acoustique le champ instantané est réinitialisé en sous-trayant l'écoulement moyen sur cette même période. Ce faisant, l'écoulement de streaming est donc calculé seulement après l'établissement de l'onde. L'analyse des résultats a conduit aux observations suivantes :

Dans le cas du streaming lent : l'établissement du streaming se fait bien en deux étapes :
d'abord les cellules de streaming intérieur se forment dans la couche limite sur une longueur transversale approximativement égale à 3δ<sub>ν</sub> et elles n'évoluent presque plus par la suite. Les cellules extérieures apparaissent en dernier sur une échelle de temps bien plus longue.

Dans le cas du streaming rapide, les cellules de streaming intérieures se forment en premier
sur un temps court et elles n'évoluent plus beaucoup. Elles perdent la symmétrie par rapport au
milieu de la cellule, leur centre se déplaçant vers les nœuds de vitesse acoustique. Les cellules
extérieures qui se forment par la suite sont symétriques au début du transitoire, puis elles se
déforment de sorte que les centres des cellules se déplacent progressivement vers les nœuds de
vitesse, comme dans les premières simulations qui tiennent compte de l'équation de l'énergie.
Contrairement au streaming lent, le maximum de vitesse des cellules extérieures est plus petit
que celui de vitesse des cellules intérieures, et cette différence augmente avec le nombre de
Reynolds non linéaire, tout comme observé précédemment. L'apparition des nouvelles cellules
contrarotatives se fait en dernier, à des nombres de Reynolds non linéaires plus grands que
dans les simulations précédentes. Le transitoire comporte donc trois échelles de temps avant la
stabilisation des cellules extérieures (voire figure 2.12, extraite de [25]).

**Influence de l'inertie sur le streaming**

Pour analyser la dynamique de l'écoulement de streaming et la compétition entre diffusion et convection, cette dernière associée aux effets inertiels, une analyse dimensionnelle a été ef- fectuée sur les équations complètes qui gouvernent l'écoulement moyen. Ces équations sont obtenues en décomposant chaque inconnue physique en une composante oscillante périodique, notée avec l'exposant ', et une composante stationnaire obtenue par une moyenne temporelle sur la période acoustique, notée avec une barre - :

$$
(\mathbf{v}, \rho, p) = (\mathbf{v}' + \bar{\mathbf{v}}, \rho' + \bar{\rho}, p' + \bar{p}), \quad (2.4)
$$

La composante stationnaire décrit le streaming et elle vérifie les équations générales suivantes,
obtenues en prenant la moyenne temporelle des équations **2.3** :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial \bar{\rho}}{\partial t} + \nabla \cdot (\bar{\rho} \bar{\mathbf{v}}) = - \nabla \cdot (\bar{\rho}' \mathbf{v}') \\[2ex]
\displaystyle \frac{\partial \bar{\rho} \bar{\mathbf{v}}}{\partial t} + \nabla \cdot (\bar{\rho} \bar{\mathbf{v}} \otimes \bar{\mathbf{v}}) + \nabla \bar{p} = \nabla \cdot (\bar{\bar{\tau}}) + \bar{F},
\end{array}
\right.
\qquad (2.5)
$$
<figure><img src="image_20.png" /></figure>

FIGURE 2.12 – Contours des isovaleurs pour la vitesse axiale de streaming (en m/s) et vecteurs vitesse. Gauche : résultats PIV de $E_2$ pour $Re_{NL} = 6, 14, 30$ de haut en bas, Droite : Résultats numériques de $N_3$ pour $Re_{NL} = 0.006, 51, 111$ de haut en bas.
où $\bar{\bar{\tau}}$ est la moyenne du tenseur des contraintes visqueuses et :

$$ \bar{F} = -\nabla \cdot (\overline{\rho'\mathbf{v}'} \otimes \overline{\mathbf{v}} + \overline{\mathbf{v}} \otimes \overline{\rho'\mathbf{v}'} + \overline{\rho\mathbf{v}'} \otimes \overline{\mathbf{v}'} + \overline{\rho'\mathbf{v}'} \otimes \overline{\mathbf{v}'}) \quad (2.6) $$

$\bar{F}$ est la force volumique qui crée l'écoulement moyen. Elle est la somme tous les termes sources, représentant la contribution nonlinéaire du champ acoustique imposé. À ceci on ajoute $\bar{p} - p_0 = c_0^2(\bar{\rho} - \rho_0)$.

Contrairement aux modèles habituels de streaming lent, dans ces équations on ne fait pas d'hypothèse sur l'ordre de grandeur des composantes moyennes par rapport aux fluctuations, et donc ces équations sont valables en général, pour tous les types de streaming. La forme adimensionnelle des ces équations fait apparaître un nombre de Reynolds $Re = \frac{4U_s R^2}{\lambda \nu}$, défini comme le rapport entre le temps de diffusion transversale et le temps de convection longitudinale. Dans l'hypothèse des faibles oscillations acoustiques, $M \ll 1$, et d'une vitesse de streaming de l'ordre $M^2$ ($U_s = MU_{ac}$), ce nombre de Reynolds s'écrit $Re = \frac{4 M^2}{\pi Sh^2} = \frac{4}{\pi} Re_{NL}$ et on retrouve le nombre de Reynolds non linéaire introduit par Menguy et Gilbert [47]. Une comparaison des deux nombres en régime non linéaire montre que $Re_{NL}$ surestime l'influence de l'inertie mais il reste extrêmement utile car il peut être calculé seulement avec l'acoustique. L'analyse des temps caractéristiques de diffusion et convection prédit que la diffusion de la quantité de mouvement dans la direction radiale sera dominante pour le streaming lent. Le temps caractéristique d'établissement du streaming extérieur sera $t_d = R^2/\nu$. Ceci est confirmé par l'analyse de l'évolution temporelle de la vitesse moyenne issue des simulations, en points spécifiques du résonateur. Dans le cas du streaming rapide, la diffusion dans la direction transverse est en compétition avec la convection dans la direction axiale. Ceci est confirmé par les courbes temporelles d'évolution de la vitesse moyenne en points spécifiques sur l'axe du résonateur, où les deux échelles de temps peuvent être observées (par un fit exponentiel pour la diffusion et un fit linéaire pour la convection).

La dynamique du streaming extérieur indique qu'il se comporte comme un écoulement entraîné par la couche limite. Pour montrer cela, on a fait une analogie avec un écoulement classique : celui d'une cavité entraînée par une paroi fictive qui bougerait avec une vitesse égale à la vitesse de streaming intérieure, à la frontière entre le streaming intérieur et le streaming extérieur. On a donc résolu numériquement les équations de Navier-Stokes sans source acoustique, sur une géometrie définie par $z \in [0, L/2]$ et $r \in [0, R - 3\delta_\nu]$, en imposant les mêmes conditions limites sauf sur $r = R - 3\delta_\nu$, où la vitesse est une vitesse axiale (sans composante transverse) et son profil est issu de la simulation directe décrite dans la section précédente.

Ces simulations ont montré que l'écoulement est presque incompressible et l'évolution des cellules de recirculation dans la cavité se fait à travers une compétition entre diffusion et convection. Cette fois-ci, la déformation due à la convection est différente pour des écoulements de plus en plus forts et elle ne conduit pas à l'apparition d'une cellule supplémentaire sur l'axe. Donc un simple écoulement d'entraînement ne conduit pas au même résultat.

L'étude a été complétée par la résolution numérique des équations de streaming 2.5, ce qui a été appelé AMS (average model simulation). Dans cette méthode, on résout numériquement les équations 2.5, en utilisant comme termes sources un champ acoustique monofréquentiel issu de la DNS, dont l'amplitude est augmentée artificiellement pour obtenir des grandes valeurs du nombre de Reynolds non linéaire. Ainsi on a pu simuler le streaming créé par des ondes monofréquentielles de grande amplitude. Ces conditions de création du streaming sont similaires aux conditions du travail de [47] avec l'avantage du numérique qui permet de calculer le streaming pour $0.002 \le Re_{NL} \le 94$. Le résultat était sans appel : le comportement du streaming était en parfait accord avec la tendance observée par [47] pour $Re_{NL} = O(1)$, avec un raidissement du profil axial de la composante axiale de vitesse de streaming vers le ventre de vitesse acoustique et non pas vers les nœuds (voire figure 2.13, extraite de l'article [26], en annexe). Le comporte-
ment est vraiment similaire à celui de la cavité entraînée et ne conduit pas à l'apparition d'une
cellule supplémentaire. De plus, les niveaux de vitesse de streaming, aussi bien dans le modèle
de cavité entraînée que dans le modèle AMS, sont du même ordre de grandeur que la vitesse
de streaming intérieur et donc que la vitesse de Rayleigh, parce que justement il n'y a plus cette
cellule supplémentaire qui fait que la vitesse sur l'axe s'écrase littéralement.

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>FIGURE 2.13 – Vitesse de streaming adimensionnée sur l’axe. Comparaison entre les résultats des simulations DNS, AMS, LDC (cavité entraînée), $R/\delta_\nu = 50$, pour streaming lent (bleu) et streaming rapide (rouge).</figcaption></figure>

Avec ces dernières simulations, on a réussi à isoler l'effet de l'inertie sur le streaming et à
mettre en évidence avec précision son influence sur le champ de streaming. On a conclu que
l'inertie n'est pas responsable de l'apparition des nouvelles cellules sur l'axe. Dans la simulation
du streaming à fort niveau avec l'AMS, le couplage entre l'acoustique et le streaming est dans
un seul sens : l'acoustique crée le streaming, mais celui-ci ne modifie pas l'acoustique qui est
imposée. Dans les simulations DNS les deux composantes, acoustique et streaming évoulent
en même temps et peuvent s'influencer mutuellement. Ceci nous a emmené à l'étude suivante :
l'interaction non linéaire entre le streaming et l'acoustique, ou comment le streaming modifie à
son tour l'acoustique qui change de nouveau le streaming, pour arriver à la mutation observée
dans le comportement du streaming.

Étude des deux composantes des vitesses acoustiques et de streaming; interaction non
linéaire streaming - acoustique

Dans cette étude nous avons analysé l'évolution des différentes composantes des vitesses
pour des ondes ayant une amplitude croissante, à partir des simulations numériques isentro-
piques (par DNS, voire section 2.3.3). La même analyse a été faite sur les mesures expérimen-
tales de l'équipe d'Hélène Bailliet pour deux longueurs d'onde différentes. Dans les deux cas
il s'agit de résonateurs larges ($R/\delta_\nu \gg 1$) et une large plage de variation de $Re_{NL}$ est considé-
rée, allant jusqu'à 112 pour les simulations et 120 pour les expériences. L'ensemble des cas est
résumé dans le tableau 2.1.

Jusqu'à maintenant, seules les composantes axiales de vitesse de streaming et acoustique avaient été considérées. Ici, on a également analysé l'évolution des composantes transverse pour des faibles et fortes amplitudes de l'onde. Les résultats sont présentés sur la figure 2.14 où on a représenté la variation de $U_s \times (\frac{1}{1-4.8\frac{\delta_\nu}{R}})$ avec $U_{ac}$, ce qui correspond au meilleur fit entre la prédiction de Rayleigh et les résultats numériques et expérimentaux dans le régime lent de streaming.

L'analyse des résultats indique que pour des faibles amplitudes la vitesse de streaming sur l'axe ($r = 0$) dépend du rapport $R/\delta_\nu$, $U_s \propto U_{ac}^2 (1 - 4.8 \frac{\delta_\nu}{R})$. Deux régimes ont été identi-
<table><caption>TABLE 2.1 – Paramètres des différents cas de comparaison.</caption><thead><tr><th>Name</th><th>f(Hz)</th><th>R/δ<sub>ν</sub></th><th>R/λ</th><th>U<sub>ac</sub>(m/s)</th><th>U<sub>s</sub>(m/s)</th><th>Re<sub>NL</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>N<sub>1</sub></td><td>20000</td><td>20</td><td>2 × 10<sup>-3</sup></td><td>[0.2 - 60]</td><td>[0.4 × 10<sup>-4</sup> - 2.4]</td><td>[1.3 × 10<sup>-4</sup> - 12.18]</td></tr><tr><td>N<sub>2</sub></td><td>20000</td><td>40</td><td>3.7 × 10<sup>-2</sup></td><td>[0.4 - 80]</td><td>[1.6 × 10<sup>-4</sup> - 4.9]</td><td>[2 × 10<sup>-3</sup> - 86.62]</td></tr><tr><td>N<sub>3</sub></td><td>20000</td><td>50</td><td>4.5 × 10<sup>-2</sup></td><td>[0.5 - 73]</td><td>[2.6 × 10<sup>-4</sup> - 4.2]</td><td>[5.3 × 10<sup>-3</sup> - 112.7]</td></tr><tr><td>N<sub>4</sub></td><td>5000</td><td>50</td><td>2.25 × 10<sup>-2</sup></td><td>[0.5 - 62]</td><td>[2.6 × 10<sup>-4</sup> - 3.3]</td><td>[5.3 × 10<sup>-3</sup> - 81.3]</td></tr><tr><td>E<sub>1</sub></td><td>88</td><td>84</td><td>5 × 10<sup>-3</sup></td><td>[2.7 - 45]</td><td>[90 × 10<sup>-4</sup> - 1.5]</td><td>[0.43 - 120.87]</td></tr><tr><td>E<sub>2</sub></td><td>240</td><td>138</td><td>1.4 × 10<sup>-2</sup></td><td>[2.7 - 30]</td><td>[80 × 10<sup>-4</sup> - 0.4]</td><td>[1.17 - 145]</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>FIGURE 2.14 – Gauche : $U_s \times (\frac{1}{1-4.8\frac{\delta_N}{R}})$ en fonction de l'amplitude acoustique $U_{ac}$. Droite : sur une échelle log-log</figcaption></figure>
fiés : le premier correspond à une dépendance quadratique de la vitesse de streaming axiale en fonction de $U_{ac}$, comme dans la loi de Rayleigh, valable jusqu'à une certaine valeur de $U_{ac}$, puis un deuxième régime où la dépendance est linéaire, avec une pente différente pour chaque configuration. Dans le deuxième régime on peut observer des cellules supplémentaires ou pas en fonction du cas. On ne peut pas observer de corrélation entre la transition au deuxième régime et l'apparition de nouvelles cellules de streaming. La même analyse a été faite pour les vitesses de streaming des cellules intérieures. Dans ce cas la variation est toujours parabolique quelque soit l'amplitude acoustique. Un seul régime est donc observé et on trouve de nouveau une dépendance du rapport $R/\delta_\nu$ de la forme $U_s \propto U_{ac}^2 (1 - 6.8\delta_\nu/R)$.

La composante radiale de la vitesse acoustique est obtenue par intégration radiale de l'équation de continuité, connaissant la composante axiale. Elle a la même dépendance axiale que la pression acoustique. La variation radiale de $v_{ac}$ est linéaire sur tout le diamètre, excepté la région en proche paroi. De même, la composante radiale de la vitesse de streaming a une dépendance axiale opposée à celle de la vitesse axiale de streaming et son échelle est plus petite que celle de la vitesse axiale (dans le rapport $4R/\lambda$ pour le streaming extérieur).

Pour des fortes amplitudes acoustiques, les profils des vitesses radiales acoustiques et de streaming sont modifiées. Les profils de la composante radiale de vitesse acoustique ne sont plus linéaires en $r$ mais polynômiales. Les profils de la composante radiale de vitesse de streaming ne sont plus sinusoïdaux par rapport à $x$ et décroissent jusqu'à changer de signe quand une cellule supplémentaire de streaming apparaît.

Si on compare les composantes radiales des vitesses acoustiques et de streaming (voir figure 2.15) on observe une dépendance linéaire de $V_{ac}$ en fonction de $U_{ac}$. Ceci ne dépend pas du rapport $R/\delta_\nu$. L'amplitude de la composante radiale de la vitesse de streaming $V_s$ est une fonction quadratique de $U_{ac}$. Cette amplitude augmente avec $R/\delta_\nu$. Au moment du changement de régime, les deux courbes se croisent et la vitesse de streaming $V_s$ devient plus grande que la vitesse acoustique $V_{ac}$, ce qui veut dire aussi que la séquence asymptotique qui permet de retrouver les deux composantes n'est plus valable. Cette observation ouvre de perspectives de modélisation pour trouver une relation d'ordre entre les petits paramètres sans dimension et une nouvelle séquence asymptotique compatible avec ces observations. L'ensemble des résultats de cette section peut être retrouvé dans [25].

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE 2.15 – Vitesses radiales maximales de streaming et acoustique en fonction de $U_{ac}$. Gauche : Résultats numériques. Droite : Résultats expérimentaux.</figcaption></figure>
### 2.3.4 Retour au régime linéaire : analyse des termes sources de streaming en hypothèse isentropique

L'analyse des résultats en régime lent et rapide, pour des simulations numériques ou mesures expérimentales ont mis en évidence un comportement du streaming dépendant de la largeur du résonateur, même dans le cas des tubes larges. Elle a montré aussi les mécanismes physiques à l'origine de l'évolution du streaming intérieur et extérieur. Pour mieux comprendre le rôle des termes sources acoustiques, nous avons fait une étude de l'influence de chaque terme en régime lent, en travaillant sur les équations linéaire de streaming, toujours en hypothèse isentropique. L'étude a été faite aussi bien en canal plan qu'en géométrie cylindrique. Seuls des guides d'onde avec des valeurs du rapport ($R/\delta_\nu \gtrsim 6$) assez grandes ont été considérés, pour assurer l'existence des cellules de streaming extérieures ([9], [38]). Une hypothèse est faite sur la géométrie ($R/L)^2 \ll 1$, de sorte que la diffusion de la quantité de mouvement dans la direction axiale est négligeable devant la diffusion de la quantité de mouvement dans la direction radiale. Les équations linéaires de streaming sont résolues suivant [83]. Les deux équations de la quantité de mouvement pour les deux composantes de la vitesse de streaming sont combinées pour aboutir à l'équation pour la composante axiale $\bar{u}$, sous la forme :

$$ -\frac{\pi}{2} c_0 \hat{L} \frac{\partial^3 \bar{u}}{\partial \hat{y}^3} = -\hat{L} \frac{\partial^2 (\bar{u}' \hat{u}')}{\partial \hat{x} \partial \hat{y}} - \hat{L}^2 \frac{\partial^2 (\bar{u}' \hat{v}')}{\partial \hat{y}^2} + \frac{\partial^2 (\bar{u}' \hat{v}')}{\partial \hat{x}^2} + \hat{L} \frac{\partial^2 (\bar{v}' \hat{v}')}{\partial \hat{x} \partial \hat{y}}. \quad (2.7) $$

où les variables spatiales sont sans dimensions $\hat{y} = y/\delta_\nu$, $\hat{x} = x/L$, $\hat{t} = t/T$, $\hat{R} = R/\delta_\nu$, $\hat{L} = L/\delta_\nu$, $L/T = (1/2)c_0$.

Dans tous les modèles linéaires de streaming (e.g. [64], [83], [9], [38]) seuls les deux premiers termes sont considérés car dominants en ordre de grandeur. Ici nous avons pris en compte tous les termes et, en considérant séparement les quatre problèmes liés à chaque terme source, nous avons montré que le troisième terme source peut avoir un effet important, du même ordre de grandeur que les deux premiers. Chaque solution $\bar{u}_i$ du problème associé au terme source $i$ est calculé explicitement avec Mathematica. Leurs expressions sur l'axe, adimensionnées par rapport à $\bar{u}_R = -\frac{3}{16} \frac{U_{ac}^2}{c_0} \sin(2\pi\hat{x})$ et simplifiées à l'odre $O(1/\hat{R})$ sont :

$$ \frac{\bar{u}_1(\hat{x}, 0)}{\bar{u}_R} = \frac{2}{3} - \frac{5}{\hat{R}}, \qquad \frac{\bar{u}_2(\hat{x}, 0)}{\bar{u}_R} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6\hat{R}}, \qquad (2.8) $$

et a somme des deux $\bar{u}_{1+2}$ :

$$ \frac{\bar{u}_{1+2}(\hat{x}, 0)}{\bar{u}_R} = 1 - \frac{29}{6} \frac{1}{\hat{R}} \qquad (2.9) $$

Pour des guides larges ($\hat{R} \gg 1$), on retrouve la solution de Rayleigh. Les contributions du premier et du second terme sont $2/3$, respectivement $1/3$, comme indiqué par [43]. L'équation montre une variation linéaire avec $1/\hat{R}$ (ou $\delta_\nu/R$), avec le même coefficient que dans les observations numériques et expérimentales (voir figure 2.14)(29/6 = 4.8). Ce terme peut être non-négligeable pour des valeurs modérées de $\hat{R}$. Le premier problème produit le streaming intérieur, tandis que le deuxième contribue seulement au streaming extérieur (voir figure 3 de [11], article en annexe).

La solution associée au troisième terme est approchée sur l'axe :

$$ \frac{\bar{u}_3(\hat{x}, 0)}{\bar{u}_R} = -\frac{2\pi^2}{45} \left(\frac{\hat{R}}{\hat{L}}\right)^2 \left[\hat{R} + \frac{75}{2} - \frac{585}{4\hat{R}} + \frac{180}{\hat{R}^2}\right]. \qquad (2.10) $$
<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE 2.16 – Vitesse axiale de streaming $\bar{u}_1(\hat{x}, \hat{y})/\bar{u}_R$ (rouge), $\bar{u}_2(\hat{x}, \hat{y})/\bar{u}_R$ (bleue), $\bar{u}_3(\hat{x}, \hat{y})/\bar{u}_R$ (vert) and $\bar{u}_4(\hat{x}, \hat{y})/\bar{u}_R$ (violet). $\hat{R} = 50, \hat{L} = 500$. Gauche : $\hat{y} = 0$; droite : $\hat{x} = -1/4$.</figcaption></figure>

Cette vitesse $\bar{u}_3$ est de signe opposé par rapport à la solution de Rayleigh, par conséquent, les tourbillons associés tournent dans le sens opposé. Le quatrième terme $\bar{u}_4$ trouvé est quand à lui négligeable devant les autres pour toutes les valeurs de $\hat{R}$. La superposition des quatre solutions conduit à une nouvelle expression pour la vitesse de streaming axiale, qui sur l'axe, et en négligeant les termes d'ordre inférieur, devient :

$$ \frac{\bar{u}(\hat{x}, 0)}{\bar{u}_R} = \frac{\sum_{i=1}^{4} \bar{u}_i(\hat{x}, 0)}{\bar{u}_R} = 1 - \frac{29}{6} \frac{1}{\hat{R}} - \frac{2\pi^2}{45} \frac{\hat{R}^3}{\hat{L}^2} \left[ 1 + \frac{73}{2\hat{R}} - \frac{585}{4\hat{R}^2} + \frac{180}{\hat{R}^3} \right]. \quad (2.11) $$

Sur la figure 2.16 on a représenté chacune des quatre solutions. On observe que pour ces valeurs des paramètres, la contribution du troisième terme est du même ordre de grandeur que la contribution du deuxième, tandis que le quatrième est négligeable. Cette expression montre que pour certaines géométries, l'écoulement de streaming peut devenir négatif sur l'axe $\bar{u}(\hat{x}, 0)/\bar{u}_R < 0$ et dans ce cas on aura des cellules qui tournent dans le sens inverse des tourbillons de Rayleigh. La condition pour une telle situation est donnée dans [11].

### 2.3.5 Retour au régime linéaire et aux effets thermiques : conséquences sur le régime non linéaire

Le retour vers les effets thermiques a été fait suite aux dernières études publiées dans la littérature [18, 19, 49] sur l'effet très important d'un gradient thermique transverse sur la déformation du streaming, même dans le cas linéaire, effet d'autant plus important si les résonateurs sont très larges. Ceci pouvait être utilisé pour réinterpréter les résultats de streaming en régime non linéaire.

#### Récapitulons nos observations et nos résultats :

Nous avons vu dans les premières simulations de la section 2.3.2 l'évolution du champ de température moyen au fur et à mesure que l'amplitude de l'onde acoustique augmente. Sur la figure ci-dessous nous avons reproduit les lignes de courant superposées au champ de température moyen, issus de la simulation numérique, pour $Re_{NL}$ allant de 5 à 29 (figure 2.17).

À bas niveau, le champ de température est presque unidimensionnel : il y a le pompage de chaleur thermoacoustique en bord de couche limite et ensuite une diffusion de la chaleur dans la direction transversale, l'écoulement moyen de streaming est très faible et la diffusion domine la convection dans la dynamique du streaming extérieur. Le tout se stabilise dans cette configuration où le champ de température moyen est stratifié horizontalement. Quand l'intensité
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIGURE 2.17 – Lignes de courant pour l’écoulement de streaming, pour $Re_{NL} = 5, 16, 29$ (de haut en bas).</figcaption></figure>

de l'onde augmente, nous avons observé dans la dynamique du streaming plusieurs échelles de temps : une première échelle pendant laquelle les choses se passent comme en streaming lent, une deuxième échelle où la convection est visible et avec elle on observe également la chaleur transportée de manière convective selon la direction de l'écoulement de streaming extérieur : en bord de couche limite elle est transportée du ventre de vitesse acoustique vers le nœud de vitesse acoustique et sur l'axe c'est l'inverse : du nœud vers le ventre. Le tout se stabilise en un champ température moyen bidimensionnel et les cellules de streaming sont déformées. A partir d'une certaine valeur de $Re_{NL}$ on a une stratification presque inversée et en même temps plusieurs cellules de streaming qui apparaissent sur l'axe, près du ventre de vitesse acoustique. Le passage d'une configuration avec une cellule extérieure à une configuration à plusieurs cellules semble être régulier.

## Il nous faut un coupable !

La modification des cellules de streaming n'est pas due à l'inertie, comme on a pu le démontrer en écoulement isentropique. Toujours en écoulement isentropique nous avons montré que la déstabilisation du streaming a très fort niveau est due à une interaction non linéaire streaming - acoustique. Le streaming, s'il est assez fort modifie l'acoustique, qui modifie à son tour le streaming. Cette mutation a lieu à des niveaux bien plus forts en insentropique que pour les niveaux expérimentaux, ou ceux des simulations prenant en compte la thermique. Ce qui nous amène à reconsidérer les effets de température : le streaming à fort niveau modifie la température moyenne, qui modifie l'acoustique, qui modifie à son tour le streaming. L'extraordinaire accord obtenu en 2013 entre simulations numériques et expériences nous a fait laisser de côté les effets thermiques en première instance, ce qui aussi était logique quand on veut analyser les sources, l'une après l'autre. Ce cheminement a eu du bon aussi car nous avons compris le rôle de l'inertie et l'existence d'une interaction non linéaire entre streaming et acoustique, responsable d'un vrai changement de régime et qui est un phénomène non linéaire de nature différente de l'inertie.

Nous avons donc essayé d'estimé l'influence des effets thermiques sur le streaming pour des fortes amplitudes acoustiques en décomposant le problème de la manière suivante :
1. Calcul analytique de l'acoustique et du streaming, en présence d'un gradient vertical de température, en régime de streaming lent.

D'abord nous avons quantifié l'effet de la distribution de température stratifié sur l'écoulement de streaming dans le cas linéaire (streaming lent). Le modèle analytique développé dans [11] pour un écoulement isentropique a été étendu à un gaz parfait initialement au repos, pour lequel la variation de la température moyenne se fait seulement selon la direction transverse :

$$ \frac{T_m}{T_0} = 1 + \Theta(1 - \frac{\hat{y}^2}{\hat{R}^2}) = f(\hat{y}), \qquad (2.12) $$

avec $\Theta = \frac{\Delta T}{T_0} \ll 1$, $\Delta T$ étant la différence de température dans le fluide entre la paroi et l'axe du résonateur. L'acoustique est recalculée en présence de ce champ moyen de température avec Mathematica. Si la composante axiale de la vitesse est presque inchangée par rapport au cas $\Delta T = 0$, la composante transverse est modifiée de manière plus importante. Le calcul de la vitesse de streaming axiale montre une importante dépendance du paramètre $\Theta$, notamment sur l'axe :

$$ \frac{\bar{u}(\hat{x}, 0)}{\bar{u}_R} = 1 + \frac{2(\gamma - 1)\sqrt{Pr}}{3(1 + Pr)} - \frac{29}{6}\frac{1}{\hat{R}} - \frac{2}{45}\Theta\hat{R}^2 + \frac{1}{6\hat{R}}\left[\frac{2(\gamma - 1)}{Pr^{3/2}(1 + Pr)^2}(3 + 5Pr + 6Pr^{3/2} - 8Pr^2 - 4Pr^3)\right] \quad (2.13) $$

grâce au terme en $\hat{R}^2$. Ce terme, proportionnel à $\Theta \hat{R}^2$ peut générer un tourbillon supplémentaire sur l'axe, tournant dans la même direction que celui de Rayleigh si $\Theta < 0$ (le fluide près de l'axe est plus froid que celui près de la paroi), ou dans la direction opposée si $\Theta \ge 0$ (le fluide près de l'axe est plus chaud que celui près de la paroi) auquel cas l'écoulement du tourbillon extérieur diminue et éventuellement conduit à un écoulement total de streaming qui tourne dans le sens inverse par rapport au streaming de Rayleigh. Ceci est consistent avec les résultats de [18, 19, 20, 49] avec l'avantage d'avoir trouvé des expressions simplifiées permettant de quantifier ce phénomène. À titre d'exemple, pour un résonateur avec $\hat{R} = 50$, une différence de température de quelques degrés peut modifier fortement la vitesse de streaming qui devient négative sur l'axe et donc un tourbillon supplémentaire peut apparaître. Pour un résonateur trois fois plus large $\hat{R} = 150$ le même effet est obtenu avec une différence de température de seulement quelque dizaines de degrés. Ceci remet en cause l'interprétation qu'on a pu faire sur les expériences avec des conditions en parois $\Delta T = 0.3$ qu'on a considéré quasi-isothermes.

2. Estimation du gradient température longitudinal établi en proche paroi par transport de chaleur thermoacoustique.

Dans l'analyse du streaming on a observé qu'un gradient de température longitudinal est établi en proche paroi suite au transport de chaleur thermoacoustique, résultat connu depuis très longtemps [48]. De plus, les observations de [80] indiquent que la condition limite imposée à la paroi du résonateur a une grande influence sur le champ de streaming. Il est donc important de connaître la distribution de température dans la paroi du résonateur, qui est le résultat de l'effet thermoacoustique dans le fluide, de la conduction
thermique dans la paroi solide et de l'échange entre la paroi et l'air extérieur. La différence de température à la paroi entre un nœud de vitesse et un ventre de vitesse a pu être estimée :

$$ \Delta T_{long} = \left( \frac{k}{k_s} \hat{w} + \frac{k}{h\delta_\nu} \right) \frac{1}{c_p} \sqrt{Pr} \left[ \frac{-1 + Pr^{3/2} + \epsilon_0 \sqrt{Pr}(1 + Pr)}{(1 + \epsilon_0)(1 + Pr)} \right] U_{ac}^2 \quad , \quad (2.14) $$

en fonction du carré de l'amplitude acoustique (résultat déjà reporté dans l'expérience de [80] et vérifée également sur les mesures de [66]), des propriétés thermophysiques du fluide et du solide, de l'épaisseur de la paroi $w$ ($\hat{w} = w/\delta_\nu$) et du coefficient d'échange avec l'air extérieur $h$.

### 3. Conséquence sur le régime non linéaire : nouveau critère pour caractériser la mutation du streaming.

En régime de streaming rapide, on a vu que le champ de température est déformé par rapport à la stratification horizontale initiale, cette dernière étant liée à l'établissement du streaming intérieur et à l'effet thermoacoustique. Dans le cas d'un streaming rapide, la convection crée une stratification transverse de la température moyenne, et donc un $\Delta T$ transverse du même ordre de grandeur que le $\Delta T_{long}$. En posant $\Delta T = \Delta T_{long}$ on peut quantifier l'influence du $\Delta T_{long}$ sur le streaming lent et en déduire son influence sur le streaming rapide, tout ceci dans l'hypothèse où l'effet de l'inertie sur le streaming sera plus petit que l'effet de la réorganisation du champ de température. L'équation 2.13 nous fournit un critère d'annulation de la vitesse sur l'axe et donc une valeur minimale du $\Delta T_{long}$ à partir de laquelle une nouvelle cellule de streaming, tournant dans le sens inverse, apparaît. Ceci peut se traduire en termes de critère sur le nombre de Reynolds non linéaire :

$$ Re_{NL} \geq K_C \quad (2.15) $$

où

$$ K_C = 30 \frac{k_s/k}{\hat{w} + k_s/(h\delta_\nu)} \left( 1 + \frac{3}{2} \frac{1 + Pr}{(\gamma - 1)\sqrt{Pr}} \right) \frac{1}{(1 - Pr^{3/2})} \quad (2.16) $$

$K_C$ est un nouveau paramètre fournissant une valeur critique pour $Re_{NL}$ à partir de laquelle la transition vers plusieurs cellules de streaming se fait. Il dépend des caractéristiques thermo-physiques du fluide et de la paroi, de la fréquence de l'onde ainsi que du coefficient de transfert de chaleur. La façon dont l'échange de chaleur se fait entre la paroi et l'air extérieur a donc une grande importance sur la dynamique du streaming. Une comparaison avec les expériences de [80] et [66] montre que ce nouveau critère explique la diminution drastique du champ de streaming à partir d'une valeur spécifique de $Re_{NL}$, qui est d'ailleurs différente entre les deux expériences. Et enfin, le comportement étrangement non modifié du streaming, pour une condition en paroi isotherme et pour le même nombre $Re_{NL}$ pour lequel il y a annulation de vitesse de streaming en condition incontrôlée ou adiabatique, peut être expliqué au regard du nouveau critère : l'estimation du $K_C$ critique dans les conditions de l'expérience de [80] donne $K_C = 931$ ( car le coefficient d'échange avec l'extérieur est infini dans le cas isotherme). Par conséquent, en paroi isotherme on est très loin d'une influence quelconque de la température sur le streaming qui va voir seulement l'influence de l'inertie, relativement faible et qui ne conduit pas à une modification majeure du streaming de Rayleigh. Il reste à expliquer pourquoi dans la simulation avec paroi isotherme on a observé la mutation du streaming
mais ceci fera l'objet d'un travail futur. Une chose est presque sûre : le coupable originel est le même : le champ inhomogène de température.

Ce travail très récent fait l'objet du dernier article soumis [27].
# Chapitre 3

## Thermoacoustique : Modélisation et simulation d'un moteur thermoacoustique

Depuis 2004, je travaille en étroite collaboration avec C. Weisman sur la modélisation théorique des machines thermoacoustiques. Nous avons co-encadré deux thèses et de multiples stages d'étudiants.

En 2007-2008 nous avons démarré un travail de modélisation et simulation d'un moteur thermoacoustique à onde stationnaire en prenant compte le caractère multidimensionnel et non linéaire du phénomène à l'intérieur de la cellule active thermoacoustique. Le travail de modélisation est le fruit d'une collaboration avec C. Weisman et L. Bauwens. La mise en oeuvre numérique a éte faite avec O. Hireche durant sa thèse, en utilisant le code Faible Mach développé au laboratoire par P. Le Quéré, code qui a nécessité une adaptation à l'application thermoacoustique.

La théorie classique linéaire basée sur les travaux de Rott [70, 4, 78] peut prédire les $\Delta T_{crit}$ critiques au-delà desquelles il y a déclenchement des oscillations, ainsi que les courbes de stabilité pour chaque mode acoustique, en assez bon accord avec les expériences [6, 7]. Néanmoins, les études basées sur la théorie linéaire restent dans le domaine fréquentiel. Elles ne décrivent pas le comportement transitoire des moteurs ni la compétition qui peut exister entre différents modes instables, ni les non linéarités ou les effets multi-dimensionnels dans la cellule active.

### 3.1 Modélisation d'un moteur thermoacoustique idéalisé

Le modèle hybride qui fait l'objet de ce chapitre a été développé pour simuler le démarrage d'un moteur thermoacoustique, de la phase transitoire jusqu'à la saturation et l'établissement du régime périodique [39]. Dans ce modèle le système est séparé en deux régions différentes : le domaine occupé par le stack et les échangeurs de chaleur (domaine que l'on appellera cellule active) et le résonateur. La longueur de la cellule active est très petite devant la longueur d'onde dans ce type de systèmes et elle est du même ordre de grandeur que l'amplitude du déplacement acoustique en régime établi, pour les moteurs qui génèrent des ondes de forte intensité. Avec cette hypothèse on aboutit à un modèle d'approximation Faible Mach des équations de Navier-Stokes compressibles pour la cellule active. Pour le résonateur, dont la longueur est du même ordre de grandeur que la longueur d'onde, le modèle choisi est celui de l'approximation acoustique linéaire 1-D, non dissipative. Le couplage des deux modèles se fait à chaque pas de temps jusqu'à l'ordre Mach dans les développements asymptotiques des variables physiques. Il s'agit d'un raccord asymptotique dans un modèle de perturbation singulière. Ce modèle présente l'avantage de pouvoir prendre en compte les non linéarités advectives de l'écoulement. Notons que l'approximation Faible Mach [58] a été utilisée par le passé dans la modélisation de
la réfrigération thermoacoustique [14, 84, 85], mais avec une acoustique imposée aux frontières de la cellule active et qui n'est pas influencée par les échanges dans cette dernière.

### 3.1.1 Modèle physique

Le système idéalisé est constitué d'un résonateur cylindrique, fermé à l'extrémité gauche et chargé à l'extrémité droite, à l'intérieur duquel est placée la cellule active thermoacoustique. Cette dernière est composée de deux échangeurs séparés par le stack. Entre les échangeurs et le stack il y a un espace horizontal, de la taille de l'espacement entre les plaques. Il est représenté dans la figure 3.1 (haut).

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIGURE 3.1 – Géométrie du système idéalisé.</figcaption></figure>

### 3.1.2 Echelles de référence et adimensionnement

Pour décrire l'acoustique dans le résonateur on choisit la longueur du résonateur $\tilde{L}_{res}$ comme échelle spatiale. La température de référence $\tilde{T}_{ref}$ est la température de l'échangeur froid. On prendra $\tilde{c}_{ref} = \sqrt{\gamma r \tilde{T}_{ref}}$ comme vitesse du son de référence dans le gaz, $\gamma = c_p/c_v$ étant le rapport des chaleurs spécifiques à $\tilde{T}_{ref}$ et $r$ la constante du gaz. L'échelle de temps est déterminée par la résonance acoustique $\tilde{t}_{ref} = \tilde{L}_{res}/\tilde{c}_{ref}$. Elle représente la moitié de la période acoustique du mode résonant fondamental pour un tube rempli de gaz à température $\tilde{T}_{ref}$, fermé à ses deux extrémités. C'est l'unique échelle de temps que l'on va utiliser. En régime établi périodique, le déplacement acoustique a une amplitude du même ordre de grandeur que la longueur du stack et $\tilde{L}_{st} \ll \tilde{L}_{res}$. Par conséquent, pour établir une approximation pouvant décrire l'écoulement à l'intérieur de la cellule active il est préférable d'utiliser une autre échelle spatiale : $\tilde{L}_{st}$. L'écoulement dans le régime périodique est caractérisé par une amplitude de vitesse acoustique qui aura l'ordre de grandeur donné par $\tilde{U}_{ref} = \tilde{L}_{st}/\tilde{t}_{ref}$. Le nombre de Mach caractéristique du régime établi est définit par :

$$M = \frac{\tilde{U}_{ref}}{\tilde{c}_{ref}} = \frac{\tilde{L}_{st}}{\tilde{L}_{res}} \ll 1 \qquad (3.1)$$

La pression moyenne du gaz au repos est prise comme une pression de référence $\tilde{p}_{ref}$. La masse volumique de référence est la valeur moyenne au repos, définie par l'équation d'état $\tilde{\rho}_{ref} = \tilde{p}_{ref}/(r\tilde{T}_{ref})$.

Toutes les variables sont adimensionnées par ces valeurs de référence dans tout le domaine, excepté pour les coordonnées spatiales dont la valeur de référence est soit $\tilde{L}_{st}$ (cellule active) soit $\tilde{L}_{res}$ (résonateur).

$$\rho = \frac{\tilde{\rho}}{\tilde{\rho}_{ref}}, p = \frac{\tilde{p}}{\tilde{p}_{ref}}, u = \frac{\tilde{u}}{\tilde{U}_{ref}}, \hat{x} = \frac{\tilde{x}}{\tilde{L}_{ref}}, t = \frac{\tilde{t}}{\tilde{t}_{ref}}$$
Par la suite, on écrit les équations sans dimension dans les deux régions et on cherche ensuite une approximation de chaque problème en développant chaque inconnue en fonction du petit paramètre $M \ll 1$.

$$ 
\begin{aligned}
u &= u^{(0)} + o(1) \\
T &= T^{(0)} + MT^{(1)} + o(M) \\
p &= p^{(0)} + Mp^{(1)} + o(M) \\
\rho &= \rho^{(0)} + M\rho^{(1)} + o(M)
\end{aligned} 
\qquad (3.2) $$

où $u^{(i)}$, $T^{(i)}$, $p^{(i)}$, $\rho^{(i)} = O(1)$, $i = 0, 1, \dots$.

### 3.1.3 Résonateur

Le résonateur se compose de deux parties situées à gauche et à droite du centre de la cellule active et ayant pour longueur $\tilde{l}_L$ et $\tilde{l}_R$ ($\tilde{l}_L + \tilde{l}_R = \tilde{L}_{res}$). Le schéma du résonateur en variables sans dimensions est présenté dans la figure 3.2 : Le diamètre du résonateur étant très grand

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE 3.2 – Modélisation 1D du résonateur.</figcaption></figure>

devant l'épaisseur des couches limites visqueuse et thermique, l'écoulement peut être considéré unidimensionnel, non visqueux et isentropique. Les équations régissant le mouvement du fluide sont les équations classiques d'acoustique linéaire isentropiques. Elles sont résolues avec la méthode des caractéristiques à l'aide des invariants de Riemann :

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
\mathcal{L}(\hat{x}, t) &= \gamma u^{(0)} - \sqrt{T^{(0)}} p^{(1)} \\
\mathcal{R}(\hat{x}, t) &= \gamma u^{(0)} + \sqrt{T^{(0)}} p^{(1)}.
\end{aligned}
\right. 
\qquad (3.3) $$

### 3.1.4 Conditions aux extrémités du tube

Les conditions aux limites dans le résonateur sont celles relatives à une onde plane dans un tube fermé à une extrémité et avec une charge à l'autre extrémité. Ces conditions portent sur les fluctuations de vitesse et pression :

$$ u(-l_L, t) = 0, \quad p^{(1)}(l_R, t) = f u(l_R, t) \qquad (3.4) $$

Elles seront interprétées à travers l'évolution des invariants de Riemann sur les caractéristiques. La condition à l'extrémité gauche est transportée par les invariants de Riemann en $\hat{x} = 0^{-}$ ce qui représente la position de la cellule active, du côté chaud (voire figure 3.3) :

$$ \mathcal{R}_L(0^{-}, t_0) = -\mathcal{L}_L \left( 0^{-}, t_0 - \frac{2\hat{l}_L}{\sqrt{T^{(0)}}} \right). \qquad (3.5) $$
A l'extrémité droite du tube, à la distance $\hat{x} = \hat{l}_R$, est placée une charge. La relation entre vitesse et pression est de nouveau transportée sur les caractéristiques par les invariants de Riemann en $\hat{x} = 0^+$, à la sortie de la cellule active (voir figure 3.3).

$$ \mathcal{L}_R (0^+, t_0) = Z \mathcal{R}_R \left( 0^+, t_0 - \frac{2\hat{l}_R}{\sqrt{T^{(0)}}} \right) \qquad (3.6) $$

où

$$ \mathcal{Z} = \frac{\gamma - f\sqrt{T^{(0)}}}{\gamma + f\sqrt{T^{(0)}}} \qquad (3.7) $$

avec $T^{(0)} = 1$ (car on décrit la propagation dans la partie froide du tube).

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE 3.3 – Evolution des variables de Riemann sur les caractéristiques à gauche et à droite de la cellule active.</figcaption></figure>

$Z$ est un coefficient réel, dont la valeur absolue est égale au module du coefficient de réflexion de l'onde à l'extrémité droite du tube, où il y a une charge. Quand $f \to \infty$, $Z \to -1$, ce qui correspond à une extrémité fermée et un résonateur à demi-longueur d'onde. Quand $f \to 0$, $Z \to 1$, ce qui correspond à une extrémité ouverte et un résonateur à un quart de longueur d'onde. Les deux cas correspondent à une onde stationnaire pure. Lorsque $f = \gamma$, $Z$ devient zéro et $\mathcal{L}_R = 0$, donc il n'y a pas de réflexion de l'onde à l'extrémité chargée et la solution ne dépend plus de la longueur à droite de la cellule active. C'est une onde progressive pure.

### 3.1.5 Cellule active

Le stack étant fait d'un grand nombre de plaques espacées de manière uniforme on peut faire l'hypothèse de périodicité verticale. On va considérer donc seulement l'écoulement entre deux plaques. Dans la cellule active, le modèle est basé sur deux hypothèses importantes : l'amplitude des oscillations dans le fluide reste petite devant les valeurs moyennes, et la longueur de la cellule active est très courte comparée à la longueur d'onde, le rapport étant de l'ordre $O(M)$. L'écoulement est compressible, visqueux et conducteur de chaleur. Pour établir un modèle simplifié, on part des équations de Navier-Stokes pour un écoulement compressible dans le domaine fluide avec une loi d'état de gaz parfait pour le fluide, ainsi que l'équation de conduction de la chaleur instationnaire dans le domaine solide (les plaques du stack et des échangeurs). L'adi-mensionnement se fait en utilisant les mêmes échelles caractéristiques du résonateur. La seule échelle différente est l'échelle spatiale pour laquelle on prend la longueur du stack $\tilde{L}_{ref} = \tilde{L}_{st}$. Si l'on se place à l'échelle du résonateur, ceci revient à faire une dilatation dans le rapport $1/M$ en $\hat{x} = 0$ ($x = \hat{x}/M$). Dans le nouveau repère $(x, y)$, l'origine est au milieu des plaques du stack, et les extrémités de la cellule active sont repoussées à $\pm\infty$ (voir figure 3.4).
<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIGURE 3.4 – Schéma de la cellule active.</figcaption></figure>

Les équations adimensionnées s’écrivent :

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{V}) = 0 \qquad (3.8) $$

$$ \frac{\partial(\rho\mathbf{V})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho\mathbf{V} \otimes \mathbf{V}) = -\frac{1}{\gamma M^2} \nabla p + \frac{1}{Re} \mu \nabla \cdot \tau + \frac{1}{Fr} \rho \mathbf{e}_y \qquad (3.9) $$

$$ \rho \left[ \frac{\partial T}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla)T \right] = \frac{1}{Pe} \nabla \cdot (k \nabla T) + \frac{\gamma - 1}{\gamma} \left[ \frac{\partial p}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla)p \right] + (\gamma - 1) M^2 \frac{1}{Re} \phi \qquad (3.10) $$

$$ p = \rho T \qquad (3.11) $$

$Re = \tilde{\rho}_{ref}\tilde{U}_{ref}\tilde{L}_{stack}/\tilde{\mu}_{ref}$ étant le nombre de Reynolds de référence, $Pe = \tilde{U}_{ref}\tilde{L}_{stack}/\tilde{\alpha}_{ref}$ le nombre de Péclet de référence, $Fr = \tilde{U}_{ref}^2/(gL_{stack}$ le nombre de Froude de référence, $\mu$, $k$, and $\alpha$ sont la viscosité dynamique, conductivité thermique, diffusivité thermique respectivement, adimensionnées par leurs valeurs de référence. Compte tenu des valeurs des paramètres de fonctionnement des machines thermoacoustiques, on peut faire raisonnablement les hypothèses suivantes :

$$ Fr \gg Re, Pe \gg \frac{1}{M} \gg 1 \gg M. \qquad (3.12) $$

Avec les développements asymptotiques introduites précédemment, le système devient :

$$ \frac{\partial \rho^{(0)}}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho^{(0)} \mathbf{u}) = 0 \qquad (3.13) $$

$$ \left\{ \begin{array}{l} O(M^{-2}): \nabla p^{(0)} = 0 \\ O(M^{-1}): \nabla p^{(1)} = 0 \\ O(1): \frac{\partial(\rho^{(0)}\mathbf{u})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho^{(0)}\mathbf{u} \otimes \mathbf{u}) = -\nabla p^{(2)} + \frac{1}{Re}\nabla \cdot \tau \end{array} \right. \qquad (3.14) $$

$$ \rho^{(0)} \left[ \frac{\partial T^{(0)}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)T^{(0)} \right] = \frac{\gamma - 1}{\gamma} \left[ \frac{\partial p^{(0)}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)p^{(0)} \right] + \frac{1}{Pe} \nabla \cdot (k \nabla T^{(0)}) \qquad (3.15) $$

avec $\tau = \mu[\nabla\mathbf{u} + (\nabla\mathbf{u})^t - \frac{2}{3}(\nabla\cdot\mathbf{u})\mathbf{I}]$, Le modèle est complété par l'équation de conduction de la chaleur dans les plaques du stack :

$$ \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{1}{Pe_s} \nabla^2 T, \qquad (3.16) $$

où $Pe_s = Pe_{\tilde{H}} \alpha_{ref}/\alpha_s$ est le nombre de Péclet solide. Dans les plaques des échangeurs la température est fixée, égale à $T_h = \frac{\tilde{T}_h}{T_c}$ dans l'échangeur chaud et 1 dans l'échangeur froid.
### 3.1.6 Conditions aux limites

Les conditions aux limites imposées sur les interfaces entre fluide/solides sont la continuité de la température et du flux de chaleur ainsi que la condition d'adhérence pour la vitesse.

Les conditions aux limites imposées sur les frontières horizontales du domaine de la cellule active vont dépendre de la géométrie du système choisi. Les conditions aux limites imposées sur les frontières verticales du domaine de la cellule active sont obtenues par raccordement avec la solution du modèle dans le résonateur. Plus précisément, la solution du résonateur (solution extérieure) et la solution de la cellule active (solution intérieure) doivent être raccordées lorsque $M \to 0$.

### 3.1.7 Raccord

À l'échelle du résonateur, le domaine occupé par la cellule active a une épaisseur qui tend vers zéro dans la limite $M = \tilde{L}_{stack}/\tilde{L}_{res} \to 0$. À l'échelle de la cellule active, le résonateur devient infiniment long, ce qui revient à dire que pour $M \to 0$ la position $\hat{x} = 0^-$ dans le repère du résonateur correspond à $x \to -\infty$ dans le repère de la cellule active. De même, $\hat{x} = 0^+$ dans le repère du résonateur correspond à $x \to +\infty$ dans le repère de la cellule active. Le raccord consiste à écrire que la vitesse, la température et la pression doivent approcher la même valeur suivant qu'elles sont calculées par la solution intérieure ou extérieure. Les échelles caractéristiques de ces variables étant les mêmes dans les deux approximations, la continuité des variables dimensionnelles induit la continuité des variables adimensionnelles. Ceci se traduit d'abord par la continuité de la pression $p^{(1)}(0^-) = p^{(1)}(0^+) = p^{(1)}(0)$. La température au premier ordre est constante et uniforme, donc la température $T^{(0)}$ doit tendre vers ces valeurs fixes pour $x \to -\infty$ et $x \to +\infty$. La solution acoustique dans les deux parties du résonateur fournit une équation reliant la pression acoustique $p^{(1)}(0)$ et la vitesse horizontale de chaque côté, pour $x \to -\infty$ et pour $x \to +\infty$ (3.5, 3.6). La vitesse verticale est nulle dans le résonateur, elle est donc nulle aux frontières de la cellule active. Enfin, l'intégration de l'équation de l'énergie sur le domaine fluide de la cellule active fournit une troisième condition qui ferme le problème :

$$H[u(0^-) - u(0^+)] + \frac{1}{Pe_{\tilde{H}}} \int \nabla T^{(0)} \cdot \mathbf{n} ds = 0 \quad (3.17)$$

avec $H$ la hauteur du domaine de la cellule active.

Les équations (3.5), (3.6) et (3.17) déterminent $u(0^-)$, $u(0^+)$ and $p^{(1)}(0)$ et fournissent des conditions limite à la fois pour les deux résonateurs et pour la cellule active.

### 3.1.8 Conditions initiales

Le problème qu'on veut simuler est un problème de stabilité dans lequel une perturbation initiale sera amplifiée ou non. Le modèle dans la cellule active étant non linéaire, il est intéressant de partir de différentes conditions initiales. Pour cette raison on considérera soit une variation linéaire entre les échangeurs, soit la solution de conduction thermique stationnaire. La vitesse et la pression dynamique $p^{(2)}$ initiale sont nulles dans le domaine. La perturbation initiale est faite sur la pression acoustique $p^{(1)}$ : soit de type oscillation harmonique de très faible amplitude, soit de type bruit aléatoire.

### 3.1.9 Solution numérique

Le problème dans la cellule active est résolu numériquement en associant une discrétisation en volumes finis du problème posé sur la cellule active d'un écoulement dynamiquement incom-
pressible avec densité variable, et une discrétisation en temps des conditions limites traduisant le couplage avec l'acoustique linéaire 1D dans le résonateur. L'algorithme principal de résolution du problème sur la cellule active utilise une méthode à pas fractionnaire, développée pour résoudre les équations Navier-Stokes dynamiquement incompressibles avec densité variable. Un maillage cartésien décalé de la cellule active est introduit. Les schémas de discrétisation spatiale et temporelle sont d'ordre 2. Pour la discrétisation temporelle, on utilise un schéma de type Euler retardé. Un schéma explicite est utilisé pour les termes convectifs et un schéma implicite est utilisé pour les termes diffusifs. Le maillage étant cartésien, les systèmes de Helmholtz obtenus sont résolus par une méthode ADI, et la correction de pression dynamique est déterminée par une méthode multigrille. L'introduction d'une fonction de phase permet de résoudre simultanément les équations dans le domaine fluide et sur les parties solides (échangeurs, plaques du stack). Le couplage est mis en place en résolvant à chaque pas de temps les 3 équations liant les invariants de Riemann définis aux 2 extrémités de la cellule active et l'intégrale du flux de chaleur sur les frontières du domaine fluide de la cellule active. La résolution fournit alors à chaque pas de temps les vitesses 1D aux extrémités de la cellule active $u(0^{-})$ et $u(0^{+})$ qui servent de conditions limites au problème en vitesse, ainsi que la valeur de la pression acoustique $p_{1}$ qui est homogène sur toute la cellule active. Pour plus de détails sur la méthode numériques voir [39] (article en annexe).

### 3.1.10 Simulation du démarrage du moteur jusqu'à la saturation

L'implémentation numérique du modèle avec couplage a été réalisée par O. Hireche durant sa thèse. Le démarrage et la saturation d'un moteur thermoacoustique idéalisé ont été ainsi simulés, sur la configuration géométrique du dispositif expérimental de référence du LIMSI, présenté dans le chapitre 2. Pour un moteur sans charge correspondant à $f = \infty$ (tube fermé à ses deux extrémités), il est montré que la perturbation initiale est amplifiée et le signal de pression présente une croissance exponentielle. Le mode fondamental (en $\lambda/2$) est le plus instable mais le signal est multi-fréquentiel et le premier harmonique est présent également, ce qui a été observé aussi dans les expériences. L'influence des conditions initiales est également analysée. Un exemple de saturation obtenue pour un $T_{hot} = 1.2$, $f = 90$ (où $Z = -0.96$) est également analysé. Ce que l'on constate dans ce cas précis est que dans la phase initiale d'amplification plusieurs modes sont pré sentes. Le signal se stabilise ensuite sur le mode le plus énergétique qui est dans cet exemple est le premier harmonique. L'onde à gauche de la cellule active est une onde purement stationnaire, tandis que à droite elle a une composante d'onde progressive, à cause de la différence de vitesses entre les deux extrémités de la cellule active et du déphasage induit entre la pression et la vitesse en $0^{+}$.

### 3.1.11 Conclusion

Nous avons mené une analyse asymptotique qui a permis de dégager les conditions de couplage entre l'écoulement dans le stack et le champ acoustique dans le résonateur. Dans ce modèle hybride, le domaine de la cellule active est transparent aux fluctuations de pression acoustique (acoustiquement compact), mais il se comporte comme une source de volume dans l'acoustique du résonateur. Le modèle dans la cellule active est un modèle non linéaire, installationnaire, dans lequel le transfert de chaleur et les variations en temps et en espace de la masse volumiques à l'ordre dominant $O(1)$ sont prises en compte. En appliquant une différence de température au niveau des échangeurs, la système va amplifier toute perturbation initiale et une différence de vitesse horizontale est obtenue $u(0^{-}) - u(0^{+})$ au niveau de la cellule active. Malgré le fait que la pression acoustique n'intervienne pas dans les équations du modèle dans la
cellule active, elle est présente à travers les conditions de raccord avec l'acoustique du résonateur, elle mêmes écrites à chaque pas de temps. La cellule active se comporte comme un seul volume qui vérifie le critère de Rayleigh : il absorbe de la chaleur pendant la phase de compression et en cède pendant la phase de détente, amplifiant ainsi toute oscillation. En cela, le modèle hybride est différent du modèle linéaire où l'amplification de l'oscillation du volume entier est le résultat du travail d'amplification de chaque volume élémentaire qui se transmet de proche en proche tout au long de la cellule.

Le modèle linéaire ne peut pas rendre compte des interactions entre modes acoustiques, ni des non-linéarités hydrodynamiques à l'intérieur du stack, ni des effets multidimensionnels liés à une géométrie potentiellement complexe du stack. L'intérêt du modèle hybride utilisé dans notre étude par rapport au modèle linéaire réside dans la prise en compte des non-linéarités hydrodynamiques à l'intérieur du stack et des effets multidimensionnels, découplés des non-linéarités qui peuvent exister dans le résonateur.

Les premières simulations ont montré que la croissance des modes instables est influencée par de la différence de température imposée aux échangeurs, le type de condition initiale en température et celui de la perturbation initiale en pression. Il est est de même pour la phase de saturation et donc le régime périodique. Ces observations ont motivé la suite des travaux dédiés à une étude systématique de l'influence de ces paramètres, et plus particulièrement de la charge. Ces travaux ont fait l'objet de la thése de Ma Lin dont les résultats sont présentés dans la suite du chapitre. Sur cette étude de stabilité nous avons collaboré avec I. Delbende qui connait bien les instabilités thermoacoustiques.

## 3.2 Étude de stabilité : influence de la charge sur un moteur thermoacoustique à onde stationnaire

L'étude de stabilité est basée sur une méthode d'analyse des résultats des simulations numériques pour déterminer la température critique du déclenchement de l'instabilité thermoacoustique à partir de l'étude du taux de croissance des différents modes instables. Si le rapport des températures des deux échangeurs est petit les taux de croissances sont tous négatifs et tout perturbation initiale est amortie. Une valeur critique du rapport est obtenue quand un des modes a un taux de croissance positif : l'instabilité est déclenchée. Pour trouver cette valeur critique on fait plusieurs simulations pour des valeurs croissantes du rapport de températures jusqu'à l'obtention des taux de croissance positifs.

### 3.2.1 Calculs des modes propres et du rapport de températures critique

Le système est un moteur thermoacoustique à onde stationnaire avec une charge résistive localisée à l'extrémité froide du résonateur (configuration géométrique de l'expérience du LIMSI). Les conditions initiales de simulation sont un champ de conduction stationnaire pour la température initiale dans la cellule active, et un bruit aléatoire (avec des valeurs faibles de l'ordre $O(10^{-4})$ pour les invariants de Riemann aux extrémités de la cellule active, dans toutes les simulations. L'étude est effectuée sur la pression acoustique au niveau de la cellule active $p'(0, t)$. Le signal temporel obtenu à l'issue de la simulation étant multi-fréquentiel, on identifie les caractéristiques de chaque mode (amplitude, fréquence et taux de croissance) par interpolation avec une approximation de la forme :

$$p'(0, t) = \sum_{i=1}^{n} [A_i e^{\sigma_i t} \cos(\omega_i t) + B_i e^{\sigma_i t} \sin(\omega_i t)] \quad (3.18)$$
où $n$ est le nombre de modes (ici on prendra 4), $\sigma_i$ le taux de croissance du mode $i$, $\omega_i$ sa pulsation, $A_i$, $B_i$ les amplitudes.

Dans la figure 3.6 on a représenté la variation du taux de croissance du mode le plus instable (ici le fondamental) en fonction du rapport de températures $T_h = \tilde{T}_h/\tilde{T}_c$. On trouve une variation linéaire, comme attendu dans le voisinage de la valeur critique, avec un $T_{crit} = 1.845$ corespondant à $\sigma = 0$. Si on fait varier la valeur de la charge et on reproduit la même procédure

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIGURE 3.5 – Taux de croissance du mode le plus instable en fonction du rapport de températures, $Z = -0.963$.</figcaption></figure>

on obtient un diagramme de stabilité dans le plan $(Z, T_h)$ (voir figure 3.6 (a)). Les régions au-dessus de la courbe correspondent à des situations instables. Les valeurs au-delà de $T_h > 5$ ne sont pas réalistes, mais le diagramme est présenté entièrement pour donner une image qualitative. La même étude nous donne accès aux fréquences des modes le plus instables en fonction de la charge. On observe que les modes les plus instables pour des valeurs négatives de $Z$ sont des modes propres en $\lambda/2$, allant du fondamental (proche de $Z = -1$) vers les harmoniques croissantes au fur et à mesure que $|Z|$ decroît. Pour des valeurs positives de $Z$ on a des modes en $\lambda/4$ avec ses multiples impaires, correspondant à un tube fermé/ouvert (figure 3.6 (b)).

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>FIGURE 3.6 – a) Diagramme de stabilité dans le plan $(Z, T_h)$, $Z = -0.963$, b) Variation de $\omega/\omega_{ref}$ pour les modes critiques en fonction de $Z$. Config. LIMSI.</figcaption></figure>
### 3.2.2 Influence de la position de la cellule active

Les diagrammes de stabilité obtenus précédemment sont modifiés si la position relative de la cellule active à l'intérieur du résonateur est modifiée. Par exemple, pour le système précédent et un rapport de températures de $T_h = 1.2$ on peut tracer l'évolution du taux de croissance du mode fondamental et du premier harmonique en fonction de la position de la cellule active (figure 3.7 gauche). Avec ce nouveau paramètre on peut prédire la région optimale de la cellule

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>FIGURE 3.7 – Taux de croissances des modes 1 et 2 en fonction de la position de la cellule active, $Z = -0.963$. $T_h = 1.2$</figcaption></figure>

active pour le démarrage du moteur et pour la sélection de la fréquence de fonctionnement : si la cellule active est placée à $0.083 < \hat{l}_L < 0.12$ le premier harmonique est le mode le plus instable, tandis que si $0.12 < \hat{l}_L < 0.43$ le mode dominant est le fondamental. La position optimale pour le démarrage est $\hat{l}_L = 0.27$ correspondant au taux de croissance maximal. Une autre façon de détreminer la position optimale est de tracer l'évolution de la température critique en fonction de $\hat{l}_L$ et de prendre la valeur minimale (voir figure 3.7 droite). La position optimale est proche de $\lambda/8$ comme il était attendu. Le mode le plus instable est le fondamental ($\lambda/2$). Quand $Z$ s'éloigne de -1 la position optimale se déplace légèrement à droite, vers le centre du résonateur. Pour $Z$ proche de 1 le mode le plus instable est le premier harmonique (le mode $3\lambda/4$) et quand $Z$ s'éloigne de 1 la position optimale se déplace légèrement à gauche, toujours vers le centre du résonateur.

L'influence de l'espacement entre les plaques du stack et celles des échangeurs sur le rapport de températures critique de déclenchement de l'instabilité a été également étudiée, pour conclure à une réduction de la valeur de ce rapport dans le cas ou les échangeurs sont collés au stack.

### 3.2.3 Comparaison avec la théorie linéaire

Les résultats de stabilité linéaire obtenus à partir des simulations numériques ont été comparés avec ceux obtenus avec la théorie linéaire. Pour cela, une étude de stabilité linéaire a été faite à partir des équations linéaires de Rott [70]. Dans ce modèle la cellule active est constituée seulement des plaques du stack (sans échangeurs), les dimensions du résonateur et du stack étant les mêmes. Dans la région du stack, soumis à un gradient de température constant, l'écoulement est décrit avec l'approximation acoustique et l'approximation de couche limite, dans l'hypothèse d'une dépendence harmonique en temps ($e^{\tilde{\omega}t}$). Dans l'hypothèse de stack court, l'intégration sur la hauteur du canal conduit à l'équation des ondes uni-dimensionnelle de Rott [70, 78], équation qui peut être réexprimée comme une relation entre vitesse et pression acoustiques en fonction du champ de température et de la position horizontale (longitudinale). L'acoustique dans le résonateur est considérée uni-dimensionnelle et isentropique, avec des vitesses de son