# Fondements des mathématiques II

Christian Mercat, Julien Melleray

► To cite this version:

Christian Mercat, Julien Melleray. Fondements des mathématiques II. Licence. Fondements des mathématiques II, Lyon, France. 2021, pp.128. [hal-04988341](https://hal.science/hal-04988341v1)

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# Fondements des Mathématiques II

J. MELLERAY, Ch. MERCAT

Université Lyon I
Semestre de printemps 2021
**Avertissement.** Ces notes contiennent certainement leur lot d'erreurs, typographiques ou autres. Si vous en trouvez, n'hésitez pas à me contacter pour me les signaler.
# Table des matières

## I Algèbre 1

### 1 Calcul matriciel 3

1.1 Systèmes et point de vue matriciel 3

1.2 Opérations sur les matrices 4

1.3 Matrices élémentaires et opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes 8

1.4 La méthode de GAUSS: forme échelonnée réduite d'une matrice. 10

1.5 Une méthode de calcul de l'inverse d'une matrice 12

1.6 Forme échelonnée: ce qu'elle nous apprend 14

1.7 Un peu de vocabulaire sur les matrices carrées 15

1.8 Résolution matricielle d'un système linéaire 16

### 2 Espaces vectoriels 19

2.1 Corps commutatifs 19

2.2 Espaces vectoriels; combinaisons linéaires 19

2.3 Sous-espaces vectoriels 20

2.4 Bases et dimension 23

2.5 Sommes de sous-espaces, sommes directes, supplémentaires 27

### 3 Applications linéaires 29

3.1 Définition; noyau et image d'une application linéaire 29

3.2 Le théorème du rang 32

3.3 Définition d'une application linéaire à partir de ses valeurs sur une base 33

3.4 Applications linéaires et matrices 34

3.5 Rang d'une matrice et de sa transposée 38

3.6 Trace d'une matrice et d'un endomorphisme 39

3.7 Sous-espaces vectoriels et endomorphismes de $\mathbb{R}^n$ 40

### 4 Fractions rationnelles 43

4.1 Résultats théoriques 43

4.2 Calculs pratiques 46

## II Analyse 49

### 5 Bref retour sur les nombres réels 51

5.1 Majorants, minorants; borne sup, borne inf 51

5.2 Suites convergentes. Suites extraites 52

5.3 Limite d'une fonction en un point 54

### 6 Continuité et dérivabilité de fonctions réelles 57

6.1 Continuité: théorèmes fondamentaux 57

6.2 Dérivabilité 60

6.3 Théorème de ROLLE et des accroissements finis. 63

6.4 Fonctions circulaires réciproques et leurs dérivées 66

6.5 Dérivées d'ordre supérieur 70
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>6.6</td>
      <td>Dériver des fonctions à valeurs dans C</td>
      <td>72</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7</td>
      <td>Intégration</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.1</td>
      <td>Intégrale des fonctions en escalier</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2</td>
      <td>Fonctions intégrables</td>
      <td>75</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3</td>
      <td>Propriétés fondamentales de l'intégrale</td>
      <td>78</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.4</td>
      <td>Intégration de fonctions à valeurs complexes</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.5</td>
      <td>Quelques calculs de primitives et d'intégrales</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.5.1</td>
      <td>Quelques exemples</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.5.2</td>
      <td>Polynômes trigonométriques</td>
      <td>84</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.5.3</td>
      <td>Fractions rationnelles</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.5.4</td>
      <td>Fractions rationnelles trigonométriques</td>
      <td>88</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8</td>
      <td>Comparaison locale de fonctions et formules de TAYLOR</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1</td>
      <td>o, O et équivalents</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1.1</td>
      <td>Le cas des fonctions</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1.2</td>
      <td>Le cas des suites</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2</td>
      <td>Les formules de TAYLOR</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9</td>
      <td>Développements limités et applications</td>
      <td>97</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1</td>
      <td>Développements limités</td>
      <td>97</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2</td>
      <td>Les développements limités classiques</td>
      <td>99</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.3</td>
      <td>Premiers exemples de calculs de développements limités</td>
      <td>101</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.4</td>
      <td>Exemples d'applications</td>
      <td>103</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10</td>
      <td>Équations différentielles</td>
      <td>107</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.1</td>
      <td>Équations réelles d'ordre 1</td>
      <td>107</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.2</td>
      <td>Équations linéaires réelles d'ordre 2, à coefficients constants</td>
      <td>111</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.3</td>
      <td>Équations différentielles linéaires en dimension supérieure</td>
      <td>117</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.4</td>
      <td>Quelques équations différentielles non linéaires</td>
      <td>118</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
Première partie

Algèbre
<figure><img src="image_2.png" /></figure>
# Chapitre 1

## Calcul matriciel

Dans tout ce chapitre la lettre $\mathbb{K}$ désignera le corps $\mathbb{Q}, \mathbb{R}$, ou $\mathbb{C}$.

Les matrices sont des tableaux rectangulaires de nombres. Par exemple l'ensemble des notes des étudiants du cursus prépa sur l'année pour toutes les évaluations (en négligeant les abscences), ou bien un sondage : la réponse à une question est codée sous forme numérique, une réponse individuelle donne une colonne et toute l'enquête donne une grosse matrice.

### 1.1 Systèmes et point de vue matriciel

Un système d'équations linéaires à $n$ équations et $m$ inconnues $x_1, \dots, x_m$ dans $\mathbb{K}$ est défini par des constantes $(a_{i,j})_{\substack{1 \le i \le n \\ 1 \le j \le m}} \in \mathbb{K}^{n \times m}$ et $(b_i)_{1 \le i \le n} \in \mathbb{K}^n$ et se présente sous la forme

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{lcl} 
a_{1,1}x_1 + \dots + a_{1,m}x_m & = & b_1, \\ 
a_{2,1}x_1 + \dots + a_{2,m}x_m & = & b_2, \\ 
\vdots & & \vdots \\ 
a_{n,1}x_1 + \dots + a_{n,m}x_m & = & b_n. 
\end{array} 
\right. 
$$

**Exemple.**

$$ 
\begin{array}{l} 
n = 3, m = 2, a_{1,1} = a_{1,2} = a_{2,1} = 1, \\ 
a_{2,2} = -1, a_{3,1} = 3, a_{3,2} = 1, b_1 = 1, \\ 
b_2 = 2, b_3 = 4: 
\end{array} 
$$

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{lcl} 
x_1 + x_2 & = & 1, \\ 
x_1 - x_2 & = & 2, \\ 
3x_1 + x_2 & = & 4. 
\end{array} 
\right. 
$$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Notons qu'une droite $\mathcal{D}$ dans $\mathbb{R}^2$ a une forme cartésienne : on trouve trois nombres $a, b, c \in \mathbb{R}$ tels que $\mathcal{D} = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 : ax_1 + bx_2 = c\}$ ou plus simplement $\mathcal{D} : ax_1 + bx_2 = c$ en sous-entendant l'ensemble des points solutions de cette équation. Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ et $\vec{m} = \begin{pmatrix} a' \\ b' \end{pmatrix}$ est le scalaire (nombre, en opposition à vecteur) $\vec{n} \cdot \vec{m} = aa' + bb' \in \mathbb{R}$. Dans un repère orthonormé, on comprend l'équation cartésienne comme décrivant la droite *perpendiculaire* au vecteur $\vec{n}$ passant par un point $M$ tel que $\overrightarrow{OM} \cdot \vec{n} = c$. Si $c = 0$, c'est une droite linéaire, qui passe par l'origine; si $c > 0$, $M$ est du côté de $\vec{n}$; si $c < 0$, $M$ est à l'opposé de la direction de $\vec{n}$. Ceci se généralise en dimension supérieure, le produit scalaire des vecteurs de coordonnées $(a_i)_{1 \le i \le n}, (b_i)_{1 \le i \le n} \in \mathbb{R}^n$ est $\sum_{i=1}^n a_i b_i \in \mathbb{R}$ et cela permet de définir des "hyper-plans". Par exemple, en dimension trois, un plan perpendiculaire au vecteur de coordonnées $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$, dans un repère
orthonormé, a une équation cartésienne de la forme $ax + by + cz = d$ où $d$ est la valeur commune du produit scalaire $\overline{OM} \cdot \vec{n}$ pour tout point $M$ du plan. Nous n'élaborerons pas ici sur ce sujet, qui sera étudié en L2, mais ce produit scalaire n'a un sens géométrique que quand le système est **orthonormé**. Alors, $\vec{n} \cdot \vec{m} = 0$ est équivalent au fait que les vecteurs sont orthogonaux.

Trouver les solutions (s'il y en a) du système représenté plus haut, revient à trouver l'image inverse de $\{b_1, \dots, b_n\}$ par une certaine fonction associée au système : la fonction $f: \mathbb{K}^m \to \mathbb{K}^n$ définie par

$$f(x_1, \dots, x_m) = (a_{1,1}x_1 + \dots + a_{1,n}x_n, \dots, a_{n,1}x_1 + \dots + a_{n,m}x_m).$$

En effet, dire que $(x_1, \dots, x_m)$ est solution du système revient à dire que $f(x_1, \dots, x_m) = (b_1, \dots, b_n)$, ou encore que $(x_1, \dots, x_m) \in f^{-1}(\{(b_1, \dots, b_n)\})$.

Dans notre exemple 1.1, la solution est $(x_1, x_2) = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$, qu'on peut déterminer graphiquement comme intersection des droites et vérifier numériquement comme solution de chacune des trois équations. Nous allons voir un algorithme de résolution d'un tel système.

Toute l'information sur la fonction $f$ est contenue dans les valeurs de $a_{1,1}, \dots, a_{1,m}, \dots, a_{n,1}, \dots, a_{n,m}$; on regroupe ces nombres dans un tableau appelé une *matrice*.

**Définition 1.1.** Une *matrice* à $n$ lignes et $m$ colonnes à coefficients dans $\mathbb{K}$ est un tableau de la forme

$$\begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \dots & a_{n,m} \end{pmatrix}.$$

Dans notre exemple, c'est $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$. Quand $n=1$ on dit que $A$ est une *matrice ligne*; quand $m=1$ on dit que $A$ est une *matrice colonne*. Enfin, quand $n=m$ on dit que la matrice est une *matrice carrée*.

On note $M_{n,m}(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices à $n$ lignes et $m$ colonnes à coefficients dans $\mathbb{K}$. L'ensemble des matrices carrées à $n$ lignes et $n$ colonnes est simplement noté $M_n(\mathbb{K})$.

Ces objets sont très utiles pour mener à bien des calculs pratiques; souvent, on est en fait intéressé par un système ou une fonction associée à la matrice comme ci-dessus.

## 1.2 Opérations sur les matrices

Les opérations sur les fonctions se traduisent en opérations sur les matrices; notons que si $f, g$ sont deux fonctions de $\mathbb{K}^m$ dans $\mathbb{K}^n$ alors on peut considérer leur somme $f + g: x \in \mathbb{K}^m \mapsto f(x) + g(x) \in \mathbb{K}^n$.

**Définition 1.2.** Soit $n, m \in \mathbb{N}^*$, et $A, B \in M_{n,m}(\mathbb{K})$, deux matrices de même taille, leur somme $A+B$ est la matrice dont le coefficient sur la $i$-ième ligne et la $j$-ième colonne est égal à $a_{i,j} + b_{i,j}$; et leur différence $A - B$ est la matrice de coefficients $a_{i,j} - b_{i,j}$.

Par exemple, $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$. La somme de $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 12 \\ 21 \end{pmatrix}$ n'est pas définie.

On peut aussi multiplier une matrice par un *scalaire*, c'est-à-dire un élément de $\mathbb{K}$.

**Définition 1.3.** Soit $n, m \in \mathbb{N}^*, \lambda \in \mathbb{K}$ et $A \in M_{n,m}(\mathbb{K})$. Alors $\lambda A$ est la matrice de coefficients $\lambda a_{i,j}$.

$$\text{Par exemple, } 3 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{pmatrix}.$$

Notons que l'addition des matrices est commutative : pour tout $A, B \in M_{n,m}(\mathbb{K})$ on a $A+B = B+A$. Elle est également associative : $(A+B)+C = A+(B+C)$, et en général on l'écrit simplement $A+B+C$. Enfin, pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$ on a $\lambda(A+B) = \lambda A + \lambda B$.

Le produit entre deux matrices est une opération plus complexe; il correspond à la *composition* des fonctions associées aux matrices. On peut compose deux fonctions $f: \mathbb{K}^m \to \mathbb{K}^n$ et $g: K^{m'} \to K^{n'}$ et considérer la fonction $f \circ g$ exactement quand l'espace d'arrivée de $g$ est égal à l'espace de définition de $f$, autrement dit quand $n' = m$. En termes de matrices, le produit de deux matrices $AB$ sera donc défini exactement quand $B$ a autant de lignes que $A$ a de colonnes.
**Définition 1.4.** Soit $n, m, n', m' \in \mathbb{N}^*$, $A \in M_{n,m}(\mathbb{K})$ et $B \in M_{n',m'}(\mathbb{K})$. Alors le produit $AB$ est défini si, et seulement si, $m = n'$, et dans ce cas c'est la matrice à $n$ lignes et $m'$ colonnes dont le coefficient sur la ligne $i$ et la colonne $j$ est égal à

$$ (AB)_{i,j} = \sum_{k=1}^{m} a_{i,k} b_{k,j}. $$

Autrement dit, le coefficient pour une ligne $i$ et une colonne $j$ données est ce qu'on appelle le produit scalaire de la ligne $A_i$, avec la colonne $B_j$. Attention, signalons que l'interprétation géométrique du produit scalaire, rencontré au lycée, se fait dans une base orthonormée, en particulier, le produit scalaire nul entre une ligne et une colonne ne s'interprète comme leur orthogonalité que si la base est orthonormale ! L'étude de ces questions n'est pas à l'ordre du jour de ce cours et sera abordée l'année prochaine.

$$ \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,k} & \cdots & a_{1,m} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,k} & \cdots & a_{2,m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i,1} & a_{i,2} & \cdots & a_{i,k} & \cdots & a_{i,m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,k} & \cdots & a_{n,m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \cdots & b_{1,j} & \cdots & b_{1,m'} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & \cdots & b_{2,j} & \cdots & b_{2,m'} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{k,1} & b_{k,2} & \cdots & b_{k,j} & \cdots & b_{k,m'} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m,1} & b_{m,2} & \cdots & b_{m,j} & \cdots & b_{m,m'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sum_{k=1}^{m'} a_{1,k} b_{k,1} & \sum_{k=1}^{m'} a_{1,k} b_{k,2} & \cdots & \sum_{k=1}^{m'} a_{1,k} b_{k,j} & \cdots & \sum_{k=1}^{m'} a_{1,k} b_{k,m'} \\ \sum_{k=1}^{m'} a_{2,k} b_{k,1} & \sum_{k=1}^{m'} a_{2,k} b_{k,2} & \cdots & \sum_{k=1}^{m'} a_{2,k} b_{k,j} & \cdots & \sum_{k=1}^{m'} a_{2,k} b_{k,m'} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{k=1}^{m'} a_{i,k} b_{k,1} & \sum_{k=1}^{m'} a_{i,k} b_{k,2} & \cdots & \sum_{k=1}^{m'} a_{i,k} b_{k,j} & \cdots & \sum_{k=1}^{m'} a_{i,k} b_{k,m'} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{k=1}^{m'} a_{n,k} b_{k,1} & \sum_{k=1}^{m'} a_{n,k} b_{k,2} & \cdots & \sum_{k=1}^{m'} a_{n,k} b_{k,j} & \cdots & \sum_{k=1}^{m'} a_{n,k} b_{k,m'} \end{pmatrix} $$

Pourquoi cette formule ? Pensons que $A$ est la matrice associée à une application $f: \mathbb{K}^m \to \mathbb{K}^n$, et $B$ est la matrice associée à une application $g: \mathbb{K}^{m'} \to \mathbb{K}^m$. Alors $AB$ doit être la matrice associée à l'application $f \circ g: \mathbb{K}^{m'} \to \mathbb{K}^n$. Pour $x = (x_1, \dots, x_{m'})$, calculons :

$$ \begin{aligned} f \circ g(x_1, \dots, x_{m'}) &= f(g(x_1, \dots, x_{m'})) \\ &= f \left( \sum_{j=1}^{m'} b_{1,j} x_j, \dots, \sum_{j=1}^{m'} b_{k,j} x_j, \dots, \sum_{j=1}^{m'} b_{m,j} x_j \right) \\ &= \left( \sum_{k=1}^{m} a_{1,k} \left( \sum_{j=1}^{m'} b_{k,j} x_j \right), \dots, \sum_{k=1}^{m} a_{i,k} \left( \sum_{j=1}^{m'} b_{k,j} x_j \right), \dots, \sum_{k=1}^{m} a_{n,k} \left( \sum_{j=1}^{m'} b_{k,j} x_j \right) \right) \\ &= \left( \sum_{j=1}^{m'} \left( \sum_{k=1}^{m} a_{1,k} b_{k,j} \right) x_j, \dots, \sum_{j=1}^{m'} \left( \sum_{k=1}^{m} a_{i,k} b_{k,j} \right) x_j, \dots, \sum_{j=1}^{m'} \left( \sum_{k=1}^{m} a_{n,k} b_{k,j} \right) x_j \right) \end{aligned} $$

L'application $f \circ g$ a donc pour matrice la matrice à $n$ lignes et $m'$ colonnes dont le coefficient sur la ligne $i$ et la colonne $j$ est égal à $\sum_{k=1}^{m} a_{i,k} b_{k,j}$, ce qui correspond bien à notre définition du produit de matrices.

Avec ces conventions, si $x$ est l'élément de $\mathbb{K}^m$ de coordonnées $x_1, \dots, x_m$, et $f: \mathbb{K}^m \to \mathbb{K}^n$ a pour matrice $A$, et qu'on considère le vecteur colonne à $m$ lignes $X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix}$, la matrice colonne à $n$ lignes

$$ AX = x_1 \begin{pmatrix} a_{1,1} \\ \vdots \\ a_{n,1} \end{pmatrix} + x_2 \begin{pmatrix} a_{1,2} \\ \vdots \\ a_{n,2} \end{pmatrix} + \cdots + x_m \begin{pmatrix} a_{1,m} \\ \vdots \\ a_{n,m} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{k=1}^{m} a_{1,k} x_k \\ \vdots \\ \sum_{k=1}^{m} a_{n,k} x_k \end{pmatrix} $$
est la combinaison linéaire des colonnes de A dont les coefficients sont donnés par les $x_k$ et peut être vue comme écrivant en colonne l'image $f(x)$. Toujours en écrivant les vecteurs en colonnes, on voit donc que résoudre un système revient à résoudre une équation de la forme $AX = B$, d'inconnue $X$, où $B$ et $X$ sont deux vecteurs colonnes ($X$ a le même nombre $m$ de lignes que d'inconnues du systèmes, tandis que le nombre de lignes de $B$ est le nombre $n$ d'équations du système).

**Exemple.** Dans notre exemple de départ 1.1, la solution du système s'écrit
$$ \begin{pmatrix} 1 & & \\ & \ddots & \\ & & 1 \\ & & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}. $$

Ce produit peut paraître surprenant (notez les espaces différents!):

$$ (2 \ 3 \ -1) \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = (8-6-3) = (-1) \in M_1(\mathbb{R}); $$

ou encore $$ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \text{ alors que } \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -17 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. $$

Le dernier exemple ci-dessus nous montre deux phénomènes inhabituels : on peut avoir $AB = 0$ (la matrice nulle) alors que $A \neq 0$ et $B \neq 0$; et on peut avoir $AB \neq BA$. On a tout de même l'associativité du produit de matrices.

**Exercice 1.5.** Montrer que si $A, B, C$ sont trois matrices telles que $AB$ et $BC$ sont définis, alors $A(BC)$ et $(AB)C$ sont bien définis et $A(BC) = (AB)C$. Autrement dit, le produit matriciel est associatif.

On retrouve la règle habituelle de distributivité : pour toutes matrices $A \in M_{n,m}(\mathbb{K})$ et $B, C \in M_{m,p}(\mathbb{K})$ on $A(B + C) = AB + AC$.

**Définition 1.6.** Soit $n, m$ deux entiers. La matrice nulle $0_{n,m} \in M_{n,m}(\mathbb{K})$ est la matrice dont tous les coefficients valent 0. Quand elle est carrée, on la note $0_n$ et s'il n'y a pas de risque de confusion, on la note parfois simplement 0.

Notons que pour tout $A \in M_{n,m}(\mathbb{K})$ on a $0_{n,m} + A = A + 0_{n,m} = A$; et si $B \in M_{m,p}(\mathbb{K})$ alors $0_{n,m}B$ est bien défini et $0_{n,m}B = 0_{n,p}$.

**Définition 1.7.** Soit $n \in \mathbb{N}^*$. La matrice identité $I_n$ est l'élément de $M_n(\mathbb{K})$ dont le coefficient sur la $i$-ième ligne et la $j$-ième colonne vaut $0$ si $i \neq j$, et $1$ si $i = j$. En notant $\delta_{i,j} = 1$ si $i = j$, $0$ si $i \neq j$, le coefficient $(i, j)$ de $I_n$ est donc $\delta_{i,j}$.

**Proposition 1.8.** Pour toute matrice $A \in M_n(\mathbb{K})$ on a $I_n A = A I_n = A$.

*Démonstration.* Par définition, $A I_n$ est l'élément de $M_n(\mathbb{K})$ dont le coefficient sur la ligne $i$ et la colonne $j$ vaut

$$ \sum_{k=1}^{n} a_{i,k} \delta_{k,j} = a_{i,j} \delta_{j,j} = a_{i,j}. $$

Donc on a comme attendu $A I_n = A$. De même $I_n A$ a pour coefficient $(i, j)$

$$ \sum_{k=1}^{n} \delta_{i,k} a_{k,j} = \delta_{i,i} a_{i,j} = a_{i,j}. $$

□

En général, on ne peut pas multiplier une matrice $A$ par elle-même : le seul cas où c'est possible est celui où $A$ a autant de lignes que de colonnes, c'est-à-dire le cas où $A$ est une matrice carrée.

**Définition 1.9.** Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in M_n(\mathbb{K})$. Les puissances de $A$ sont les matrices $A^i \in M_n(\mathbb{K})$ définies par récurrence par

$$ A^0 = I_n ; \quad \forall i \in \mathbb{N}, \quad A^{i+1} = A \cdot A^i . $$
On vérifie facilement (par exemple, par récurrence sur $j$) que pour tout $i, j \in \mathbb{N}$ on a $A^{i+j} = A^i A^j$.

Une matrice et ses puissances peuvent modéliser différents phénomènes, comme les suites récurrentes linéaires, les graphes ou les processus de MARKOV.

**Exemple.** Soit la suite récurrence linéaire d'ordre deux $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, définie à l'aide de ses deux premiers termes $u_0, u_1 \in \mathbb{K}$ et $a, b \in \mathbb{K}$, par $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n$. On a pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$$ \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} u_1 \\ u_0 \end{pmatrix}. $$

**Exemple.** Une matrice $\sigma \in M_n(\mathbb{K})$ de permutation est une matrice carrée ne contenant que des zéros, excepté quelques $\sigma_{i,j} = 1$, un sur chaque ligne $i$ et un sur chaque colonne $j$. Elle modélise une permutation où le $j$-ième terme est mis à la place du $i$-ème. Par exemple $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ décrit la permutation circulaire $(1, 2, 3) \mapsto (2, 3, 1)$ notée aussi $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$.

**Exemple.** Un graphe peut être codé par sa matrice d'adjacence carrée, qui compte une colonne et une ligne par sommet et un nombre entier codant l'adjacence de deux sommets. Pour un graphe non orienté, la matrice est symétrique, le coefficient en ligne $i$ et colonne $j$ est égal au coefficient en ligne $j$ et colonne $i$.

Par exemple le graphe ci-contre est codé par la matrice $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. La puissance $A^n$ compte le nombre de façons d'aller d'un sommet à un autre en un chemin continu de $n$

arêtes. Par exemple $A^3 = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 4 & 4 & 7 \\ 7 & 8 & 9 & 9 & 9 \\ 4 & 9 & 6 & 7 & 9 \\ 4 & 9 & 7 & 6 & 9 \\ 7 & 9 & 9 & 9 & 8 \end{pmatrix}$, on lit qu'il y a 2 façons d'aller du sommet 1 à

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

lui-même en 3 étapes, c'est en tournant autour du triangle supérieur, dans un sens ou dans l'autre.

**Exemple.** (D'après Wikipedia) Doudou le hamster ne connaît que trois endroits dans sa cage : les copeaux où il dort, la mangeoire où il mange et la roue où il fait de l'exercice. Ses journées sont assez semblables les unes aux autres, et son activité se représente aisément par *une chaîne de MARKOV*. Toutes les minutes, il peut soit changer d'activité, soit continuer celle qu'il était en train de faire. On modélise son comportement par un processus sans mémoire.

- Quand il dort, il a 9 chances sur 10 de ne pas se réveiller la minute suivante.

- Quand il se réveille, il y a 1 chance sur 2 qu'il aille manger et 1 chance sur 2 qu'il parte faire de l'exercice.

- Le repas ne dure qu'une minute, après il fait autre chose.

- Après avoir mangé, il y a 3 chances sur 10 qu'il parte courir dans sa roue, mais surtout 7 chances sur 10 qu'il retourne dormir.

- Courir est fatigant pour Doudou ; il y a 8 chances sur 10 qu'il retourne dormir au bout d'une minute. Sinon il continue en oubliant qu'il est déjà un peu fatigué.

On représente sa probabilité d'occupation d'un état par un vecteur ligne (copeaux, mangeoire, roue) et la transition d'un état à un autre par la matrice $P = \begin{pmatrix} 0,9 & 0,05 & 0,05 \\ 0,7 & 0 & 0,3 \\ 0,8 & 0 & 0,2 \end{pmatrix}$. Ses puissances permettent d'étudier le comportement moyen du hamster, en l'occurrence son état stationnaire est $q = (0,884 \ 0,0442 \ 0,0718)$, il passe 88% de son temps à dormir, 4% à manger et 7% à faire de l'exercice.

**Définition 1.10.** Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in M_n(\mathbb{K})$. On dit que $A$ est *inversible* s'il existe $B \in M_n(\mathbb{K})$ telle que $AB = BA = I_n$. On dit alors que $B$ est l'inverse de $A$ et on note $B = A^{-1} \in GL_n(\mathbb{K})$ le groupe linéaire.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>
Seule une matrice carrée peut être inversible; notons que l'inverse, s'il existe, est unique : si $AB = BA = I_n$ et $AC = CA = I_n$ alors on a d'une part $C(AB) = CI_n = C$ et $C(AB) = (CA)B = I_nB = B$, d'où $B = C$.

On verra un peu plus bas que, quand $A, B \in M_n(\mathbb{K})$, avoir $AB = I_n$ entraîne nécessairement que $BA = I_n$ ; mais pour l'instant on n'a pas les moyens de prouver cela.

**Proposition 1.11.** 1. Si $A$ est inversible alors $A^{-1}$ est inversible et $(A^{-1})^{-1} = A$.

2. Si $A, B \in M_n(\mathbb{K})$ sont inversibles alors $AB$ est inversible et $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.

3. Si $A$ est inversible alors pour tout $m \in \mathbb{N}$ $A^m$ est inversible et $(A^m)^{-1} = (A^{-1})^m$ ; on note simplement cette matrice $A^{-m}$.

*Démonstration.* Le premier point est immédiat : on a $A^{-1}A = AA^{-1} = I_n$, ce qui montre à la fois que $A^{-1}$ est inversible et que son inverse est $A$.

Le deuxième point découle de l'associativité du produit de matrices :

$$ (AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I_n ; \quad (B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}B = I_n . $$

Le troisième point est aussi une conséquence de l'associativité et se montre par exemple par récurrence : le résultat est clair pour $m = 0, 1$. S'il est vrai au rang $m$ alors on a

$$ A^{m+1}(A^{-1})^{m+1} = A(A^m(A^{-1})^m)A^{-1} = AA^{-1} = I_n . $$

□

## 1.3 Matrices élémentaires et opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes

Une méthode pour résoudre les systèmes d'équations est de faire des opérations sur ces équations pour se ramener à un système plus simple. Ces opérations sont de la forme : multiplier une équation $L_i$ par $\lambda$, un scalaire non nul ; remplacer l'équation $L_i$ par la combinaison $L_i + \lambda L_j$, où $j \neq i$ et $\lambda$ est un scalaire ; et permuter les équations $L_i$ et $L_j$. Quand on code un système par des équations en ligne, ces trois opérations sont appelées *opérations élémentaires sur les lignes*.

**Exemple.** Dans notre système de départ 1.1, $L_2 - L_1 \to L_2$ et $L_3 - 3L_1 \to L_3$ donnent
$$ \left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = 1 \\ -2x_2 = 1 \text{ puis} \\ -2x_2 = 1 \end{array} \right. $$
$-\frac{1}{2}L_2 \to L_2$ et $L_1 - L_2 \to L_1$ donnent la solution $x_1 = \frac{3}{2}$, $x_2 = -\frac{1}{2}$.

Ces transformations peuvent être interprétées en terme de produit matriciel.

**Définition 1.12.** Soit $n \in \mathbb{N}^*$.

1. Pour $i \in \{1, \dots, n\}$ et $\lambda \in \mathbb{K}^*$, la matrice $E_i(\lambda)$ est obtenue en multipliant par $\lambda$ la $i$-ième ligne de $I_n$ (et en ne touchant pas aux autres lignes). Par exemple (pour $n = 5$)

$$ E_{3}(12) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 12 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} . $$

2. Pour $i, j \in \{1, \dots, n\}$, la matrice $E_{i,j}$ est obtenue en échangeant la $i$-ème et la $j$-ième ligne de $I_n$. Par exemple (toujours pour $n = 5$) :

$$ E_{2,4} = E_{4,2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} . $$
3. Enfin, pour $i, j \in \{1, \dots, n\}$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, la matrice $E_{i,j}(\lambda)$ est la matrice obtenue en ajoutant $\lambda$ fois la $j$-ième ligne de $I_n$ à sa $i$-ième ligne. Par exemple (sempiternellement pour $n = 5$) :

$$E_{2,1}(3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Ces notations n'ont rien de normalisé. Remarquons que les matrices élémentaires sont celles qu'on obtient en appliquant à $I_n$ une opération élémentaire sur les lignes ; on pourrait aussi définir les opérations élémentaires sur les colonnes, et on vérifie facilement que les matrices élémentaires sont également celles qui sont obtenues en appliquant à $I_n$ une opération élémentaire sur les colonnes.

Le lien entre matrices élémentaires et opérations élémentaires est le suivant : multiplier $A$ à gauche par une matrice élémentaire revient à appliquer à $A$ la même opération élémentaire qui a servi à définir la matrice élémentaire en question. Plus précisément :

**Proposition 1.13.** *Soit $n, m$ deux entiers, et $A \in M_{n,m}(\mathbb{K})$. Alors :*

1. Pour $i \in \{1, \dots, n\}$ et $\lambda \in \mathbb{K}^*$, la matrice $E_i(\lambda)A$ est la matrice obtenue en appliquant à $A$ l'opération $\lambda L_i \to L_i$.

2. Pour $i, j \in \{1, \dots, n\}$, la matrice $E_{i,j}A$ est la matrice obtenue en permutant la $i$-ième ligne et la $j$-ième ligne de $A$.

3. Pour $i, j \in \{1, \dots, n\}$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, la matrice $E_{i,j}(\lambda)A$ est la matrice obtenue en appliquant à $A$ l'opération $L_i + \lambda L_j \to L_i$.

Cette propriété se vérifie facilement et on laisse la preuve en exercice. Notons aussi que multiplier $A$ à droite par une matrice élémentaire revient à appliquer une opération élémentaire sur les colonnes de $A$.

**Proposition 1.14.** *les matrices élémentaires sont inversibles; et on a les formules :*

$$(E_i(\lambda))^{-1} = E_i(\frac{1}{\lambda}); \quad (E_{i,j})^{-1} = E_{i,j}; \quad (E_{i,j}(\lambda))^{-1} = E_{i,j}(-\lambda).$$

**Définition 1.15.**

— L'image $\mathrm{Im}(A) \in \mathbb{K}^n$ d'une matrice $A \in M_{n,m}(\mathbb{K})$ est l'ensemble $\{v \in \mathbb{K}^n / \exists (\lambda_k)_{1 \le k \le m} \in \mathbb{K}^m, v = \sum_{k=1}^m \lambda_k A_{.,k} \}$ des vecteurs combinaisons linéaires des colonnes de la matrice, c'est-à-dire que $v_i = \sum_{k=1}^m \lambda_k A_{i,k}$ pour tout $1 \le i \le n$, ou encore $v = Au$ pour $u = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_m \end{pmatrix}$.

— Le noyau $\ker(A) \in \mathbb{K}^m$ d'une matrice est l'ensemble $\{u \in \mathbb{K}^m / Au = 0_{n,1}\}$ des vecteurs annulés par cette matrice c'est-à-dire que $\sum_{k=1}^n A_{i,k}u_k = 0$ pour tout $1 \le i \le n$.

Nous verrons que ces ensembles sont des sous-espaces vectoriels, en particulier, les vecteurs nuls sont dans l'image et le noyau : $0_n \in \mathrm{Im}(A)$, $0_m \in \ker(A)$ et la dimension de l'image est le rang de la matrice.

**Exemple.** Pour la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{pmatrix}$, l'image est le plan $\mathrm{Im}(A) = \{ \begin{pmatrix} u+v \\ u-v \\ 3u+v \end{pmatrix} : u, v \in \mathbb{R} \}$
$$= \begin{Bmatrix} x \\ y \\ z \end{Bmatrix} \in \mathbb{R}^3 : 4x + 2y - 2z = 0$$ (on peut vérifier cette forme cartésienne mais elle n'est pas immédiate à trouver) et le noyau est réduit à $\ker(A) = \begin{Bmatrix} 0 \\ 0 \end{Bmatrix}$.

**Proposition 1.16.** *Les opérations élémentaires sur les lignes préservent le noyau, les opérations élémentaires sur les colonnes préservent l'image d'une matrice.*
**Preuve:** Soit $E \in GL_n(\mathbb{K})$ une matrice inversible, en particulier obtenue par opération élémentaire sur les lignes de $A \in M_{n,m}(\mathbb{K})$. L'appartenance au noyau de $A$ est équivalente à $u \in \ker(A) \iff Au = 0_m \iff EAu = 0_m \iff u \in \ker(EA)$.

Soit $E \in GL_n(\mathbb{K})$ une matrice inversible, en particulier obtenue par opération élémentaire sur les colonnes de $A \in M_{n,m}(\mathbb{K})$. Si un vecteur est combinaison linéaire $v = \sum_{k=1}^m \lambda_k A_{.,k}$ des colonnes de $A$, $(\mu_k)_{1 \le k \le m} = E^{-1}(\lambda_k)_{1 \le k \le m} \in \mathbb{K}^m$ définit une combinaison linéaire des colonnes de $AE$ telle que $AE \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \vdots \\ \mu_m \end{pmatrix} = AEE^{-1} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_m \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_m \end{pmatrix} = v \text{ et } v \in \operatorname{Im}(AE). \quad \square$

Ces notions de noyau et d'image prennent tout leur sens pour l'application linéaire associée. Notons que, si jamais une matrice $A$ est inversible et qu'on connaît son inverse $A^{-1}$, il est très facile de résoudre le système $AX = B$: en multipliant par $A^{-1}$ des deux côtés, on a $X = A^{-1}B$.

## 1.4 La méthode de GAUSS : forme échelonnée réduite d'une matrice.

La méthode du pivot de GAUSS, appliquée à un système, revient à appliquer des opérations élémentaires sur les équations afin de se ramener à un système plus simple, sous forme échelonnée, ce qui revient sur les matrices associées à appliquer des opérations élémentaires sur les lignes; ci-dessous on va définir ce qu'est une matrice échelonnée en lignes, mais on pourrait aussi définir les matrices échelonnées en colonnes (en échangeant le rôle des lignes et des colonnes dans les définitions). Il faudra savoir échelonner une matrice en ligne et en colonnes : on a vu qu'échelonner en lignes préserve le noyau de la matrice (ou plutôt, de l'application linéaire associée; on verra ces notions plus loin dans le cours) tandis qu'échelonner en colonnes préserve l'image.

**Définition 1.17.** Soit $A \in M_{n,m}(\mathbb{K})$. Le pivot d'une ligne $L_i = A_{i,}$ non nulle est son premier terme $A_{i,k}$ non nul, $\forall \ell < k$, $A_{i,\ell} = 0$.

Une matrice $A$ est échelonnée (en lignes) si elle possède les propriétés suivantes :

* Ses lignes nulles sont celles d'indice plus grand qu'un certain nombre $r$, qu'on appelle son rang : pour tout $i > r$, $L_i = 0$;

* La suite des indices des pivots des lignes non nulles est strictement croissante.

Si de plus chaque pivot est égal à 1, et les autres coefficients dans la colonne d'un pivot sont nuls, alors on dit que la matrice est échelonnée réduite.

**Définition 1.18.** Soit $n, m \in \mathbb{N}^*$ et $A, B \in M_{n,m}(\mathbb{K})$. On dit que $A$ et $B$ sont équivalentes en lignes si l'on peut passer de $A$ à $B$ en appliquant un nombre fini d'opérations élémentaires sur les lignes.

En termes de produits de matrices, deux matrices $A, B$ sont équivalentes en lignes s'il existe des matrices élémentaires $E_1, \dots, E_k$ telles que $B = E_1 \dots E_k A$.

La méthode du pivot de GAUSS consiste à appliquer des opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice pour se ramener à une matrice échelonnée réduite. Le théorème suivant assure que c'est bien possible.

**Théorème 1.19.** *Toute matrice est équivalente en lignes à une matrice échelonnée réduite.*

*Preuve.* On va raisonner par récurrence sur le nombre $m$ de colonnes de la matrice. Si $m = 1$, alors soit la matrice est nulle (donc échelonnée), soit elle a un coefficient non nul. Quitte à permuter deux coefficients (opération élémentaire) on peut assurer que ce coefficient soit sur la première ligne. Quitte à multiplier le premier coefficient par une constante non nulle (encore une opération élémentaire) on peut faire en sorte qu'il vaille $1$. Et en remplaçant $L_j$ par $L_j - \alpha_k L_1$ (toujours une opération élémentaire) pour un $\alpha_j$ bien choisi pour tout $j \ge 2$, on peut faire en sorte que tous les coefficients à partir de la deuxième ligne soient nuls.

On a donc montré le résultat désiré pour $m = 1$; supposons qu'il soit vrai jusqu'au rang $m$, et considérons une matrice $A$ avec $n$ lignes et $m + 1$ colonnes. Si la première colonne de $A$ est nulle, on peut regarder la matrice obtenue en oubliant cette colonne et lui appliquer l'hypothèse de récurrence pour la mettre sous forme échelonnée réduite, et donc mettre $A$ sous forme échelonnée réduite.

Sinon, un coefficient sur la première colonne est non nul; en appliquant les mêmes opérations élémentaires que dans le cas $m = 1$, on peut faire en sorte que ce coefficient vaille $1$ et que le premier coefficient de chaque
ligne à partir de la deuxième soit nul. Regardons la sous-matrice de $A$ obtenue en oubliant la première ligne et la première colonne de $A$: par hypothèse de récurrence on peut la mettre sous forme échelonnée en appliquant des opérations élémentaires sur les lignes. Ceci signifie que, par une suite d'opérations élémentaires sur les lignes,

on peut faire en sorte que : la première colonne de $A$ soit $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$, et la sous-matrice obtenue $B$ en oubliant

la première ligne et la première colonne est échelonnée réduite. Cette matrice est échelonnée mais pas encore échelonnée réduite : dans la colonne d'un pivot de $B$, le terme situé sur la première ligne de $A$ pourrait être non nul. Si cela se produit, disons que le pivot est sur la $j$-ième ligne de $A$, l'opération $L_1 \to L_1 - \alpha_j L_j$, où $\alpha_j$ est le coefficient au-dessus du pivot sur la première ligne de $A$, appliquée autant de fois qu'il y a de pivots dans $B$, résoud le problème. On s'est bien ramené à une matrice échelonnée réduite. $\square$

Notons qu'en fait si une matrice est équivalente en ligne à une classe de matrices échelonnées différentes, elle est équivalente à une *unique* matrice échelonnée réduite. Nous allons admettre ce fait dans ce cours (en pratique on n'aura pas besoin de cette unicité de la forme échelonnée réduite). Pour cette raison on parlera de la forme échelonnée réduite (en lignes) d'une matrice.

**Exemple.** Dans notre système de départ 1.1, les opérations élémentaires sur les lignes se traduisent en

$$E_{1,2}(-1)E_2(-\frac{1}{2})E_{3,2}(-1)E_{3,1}(-3)E_{2,1}(-1) \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

et comme $E_{1,2}(-1)E_2(-\frac{1}{2})E_{3,2}(-1)E_{3,1}(-3)E_{2,1}(-1) \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}$, on retrouve la solution.

On voit une matrice échelonnée comme le produit d'une matrice inversible par la matrice à échelonner, $C = EA$. Cette matrice inversible $E$ est construite pas à pas comme produit d'opérations élémentaires. La forme échelonnée $C$ et cette matrice inversible $E$ contiennent toutes les informations dont on a besoin pour analyser $A$.

Travaillons sur un exemple à appliquer la méthode de GAUSS à la matrice

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

pour la mettre sous forme échelonnée en lignes; on cherche la première colonne avec des coefficients non nuls (ici, la deuxième) et (si nécessaire) on permute deux lignes pour que ce coefficient non nul soit sur la première ligne. Ici, par exemple, on échange $L_1$ et $L_2$ pour arriver à

$$\begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$$

Ensuite on utilise le pivot pour faire en sorte que les coefficients sur les lignes en-dessous soient nulles; ici on remplace $L_3$ par $L_3 - L_1$ :

$$\begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Ensuite, $L_3 - L_2 \to L_3$ nous donne

$$\begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.$$

Cette matrice est échelonnée, mais pas encore échelonnée réduite; pour éliminer les coefficients au-dessus de la diagonale on utilise les opérations $2L_2 + 3L_3 \to L_2$ et $2L_1 + L_3 \to L_1$ pour aboutir à

$$\begin{pmatrix} 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.$$
En multipliant chaque ligne par le bon scalaire, on voit que la forme échelonnée réduite est

$$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$

**Définition 1.20.** Soit $n, m \in \mathbb{N}^*$ et $A \in M_{n,m}(\mathbb{K})$. Alors sa transposée est la matrice $A^t \in M_{m,n}(\mathbb{K})$ dont le coefficient sur la ligne $i$ et la colonne $j$ est égal à $a_{j,i}$.

$$ \text{Par exemple, } (\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix})^t = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}; \quad (\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix})^t = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}. $$

**Proposition 1.21.** *Pour toute matrice $A$ on a $(A^t)^t = A$ ; et si $AB$ sont deux matrices telles que $AB$ est défini alors $B^t A^t$ est bien défini et $B^t A^t = (AB)^t$.*

On vérifie que la transposée d'une matrice élémentaire est encore une matrice élémentaire ; ainsi, en transposant, on échange les opérations élémentaires sur les lignes appliquées à $A$ en opérations élémentaires sur les colonnes appliquées à $A^t$. Par conséquent, lorsqu'on a montré que toute matrice était équivalente en lignes à une matrice échelonnée réduite en lignes, on a aussi montré que toute matrice est équivalente en colonnes à une matrice échelonnée réduite en colonnes et ces matrices échelonnées réduites sont égales (a priori à une permutation des lignes et des colonnes près). Ceci définit le rang d'une matrice, indépendamment de son échelonnage en lignes ou en colonnes : Le nombre de colonnes non nulles dans la forme échelonnée réduite en ligne est le même que le nombre de lignes non nulles de la forme échelonnée réduite en colonne.

## 1.5 Une méthode de calcul de l'inverse d'une matrice

**Théorème 1.22.** *Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in M_n(\mathbb{K})$. Les propriétés suivantes sont équivalentes :*

1. A est inversible.

2. Pour tout vecteur colonne $Y \in M_{n,1}(\mathbb{K})$, l'équation $AX = Y$ a une solution unique dans $M_{n,1}(\mathbb{K})$.

3. L'équation $AX = 0_n$ a $0_n$ pour seule solution dans $M_{n,1}(\mathbb{K})$.

4. A est de rang $n$.

5. A est équivalente par lignes à $I_n$.

6. A est un produit de matrices élémentaires de $M_n(\mathbb{K})$.

*Démonstration.* On a déjà vu que si $A$ est inversible alors le système $AX = B$ a pour unique solution $X = A^{-1}B$; il est clair que la deuxième condition est plus forte que la troisième. Pour voir que la troisième condition implique la quatrième, utilisons le fait que $A$ est équivalente par lignes à une matrice échelonnée réduite $A'$. Alors les systèmes $AX = 0$ et $A'X = 0$ ont les mêmes solutions (une opération élémentaire sur les lignes ne change pas les solutions d'un système); donc $A'$ est une matrice carrée échelonnée telle que le système $A'X = 0$ a une unique solution, ce qui impose qu'aucune colonne de $A'$ n'est nulle. Comme $A'$ est une matrice carrée, ceci n'est possible que si le rang est $n$ ce qui, pour une matrice échelonnée réduite signifie $A' = I_n$.

Supposons ensuite que $A$ est équivalente par lignes à $I_n$; en utilisant le lien vu plus haut entre opérations élémentaires sur les lignes et multiplication à droite par une matrice élémentaire, ceci revient à dire qu'il existe des matrices élémentaires $F_1, \dots, F_k$ dans $M_n(\mathbb{K})$ telles que $A = F_1 \dots F_k$. Finalement, comme les matrices élémentaires sont inversibles et que tout produit de matrices inversibles est inversible, on déduit de cette propriété que $A$ est inversible. $\square$

Notons une conséquence de ce théorème : On dit que $A$ est inversible à gauche s'il existe $B \in M_n(\mathbb{K})$ telle que $BA = I_n$

**Proposition 1.23.** *Si $A$ est inversible à gauche, alors $A$ est inversible et son inverse à gauche est son inverse; de même, si elle est inversible à droite.*

**Preuve:** Soit $A \in M_n(\mathbb{K})$ telle qu'il existe $B \in M_n(\mathbb{K})$ avec $BA = I_n$. Alors $AX = 0_{n,1}$ implique, en composant à gauche par $B$, $B0_{n,1} = B0_{n,1} = B(AX) = (BA)X = X$, donc le système $AX = 0$ a $X = 0$ pour solution
unique. Par conséquent, le théorème précédent nous dit que $A$ est inversible ; et alors de $BA = I_n$ on déduit, en mutlipliant par $A^{-1}$ à droite, que $B = A^{-1}$.

Si $A$ est inversible à droite, disons $AB = I_n$, alors le même raisonnement appliqué à $B$ nous permet d'abord de conclure que $B$ est inversible puis que $A = B^{-1}$, donc $A$ est inversible et $B = A^{-1}$. $\square$

Le théorème 1.22 a aussi une application pratique : une méthode effective de calcul de l'inverse d'une matrice quand elle existe et d'une matrice caractéristique intéressante si elle n'est pas inversible. Partant d'une matrice $A \in GL_n(\mathbb{K})$ inversible, on agit successivement sur les lignes du produit de matrices $AA^{-1} = I_n$, donnant $F_kAA^{-1} = F_kI_n = F_k$, jusqu'à obtenir $A^{-1} = F_1F_2\dots F_k$ quand on a complètement réduit $A$ à l'identité. Pratiquement, considérons la matrice rectangulaire augmentée $B \in M_{n,2n}(\mathbb{K})$ définie par $B = (A|I_n)$ ; autrement dit, les $n$ premières colonnes de $B$ sont celles de $A$, les $n$ autres colonnes de $B$ sont celles de $I_n$. Si on applique à $B$ les mêmes opérations élémentaires qu'à $A$ on obtient après réduction une nouvelle matrice $B' = (I_n|A^{-1})$. Si la matrice n'était pas inversible, le processus ne se terminera pas avec la partie gauche de la matrice $B$ transformée en l'identité mais dans une matrice échelonnée réduite de rang plus faible, en particulier si la matrice n'est pas carrée.

**Exemple.** Appliquons cette technique sur un exemple concret : on cherche à déterminer si la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ est inversible, et le cas échéant à calculer son inverse. On commence par former la nouvelle matrice

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} . $$

Puis on applique l'algorithme de Gauss : on commence par remplacer $L_2$ par $L_2 - 4L_1$ et $L_3$ par $L_3 + L_1$ pour aboutir à la matrice

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & -5 & | & -4 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 3 & | & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} . $$

Puis remplacer $L_3$ par $2L_3 + L_2$ nous amène à

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & -5 & | & -4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} . $$

Ensuite on remplace $L_2$ par $-\frac{1}{8}L_2 + \frac{5}{8}L_3$ :

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{7}{4} & -\frac{3}{4} & -\frac{5}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} . $$

Pour finir, remplacer $L_1$ par $L_1 - 2L_2 - L_3$ nous donne la matrice

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{7}{4} & -\frac{3}{4} & -\frac{5}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} . $$

On conclut que $A$ est inversible, et que

$$ A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{7}{4} & -\frac{3}{4} & -\frac{5}{4} \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 7 & -3 & -5 \\ -8 & 4 & 8 \end{pmatrix} . $$

Remarquons que, si on appliquait la même méthode mais avec des opérations élémentaires sur les colonnes, on arriverait aussi à calculer l'inverse de $A$ : en effet, on aurait ainsi trouvé des matrices élémentaires $G_1, \dots, G_\ell$ telles que $AG_1 \dots G_\ell = I_n$, par conséquent $G_1 \dots G_\ell = A^{-1}$. Par contre, si on appliquait cette méthode en alternant opérations élémentaires sur les lignes et sur les colonnes, on obtiendrait des matrices élémentaires $F_1, \dots, F_k$ et $G_1, \dots, G_\ell$ telles que $F_1 \dots F_kAG_1 \dots G_\ell = I_n$, mais il n'y a aucune raison que $F_1 \dots F_kG_1 \dots G_\ell$
soit l'inverse de $A$! Moralité : on peut appliquer cette méthode en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes ou sur les colonnes, mais au cours d'un même calcul il ne faut pas alterner entre lignes et colonnes - si on commence par des opérations élémentaires sur des lignes, par exemple, tout le calcul doit être mené en utilisant des opérations sur les lignes.

**Exemple.** Sur le cas $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ en l'augmentant d'une matrice identité 3x3 à droite, on obtient, après échelonnement et réduction,

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$

c'est-à-dire que $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ce qui permet d'affirmer que le rang de la matrice est 2, que son noyau est donc réduit à $\{0_{2,1}\}$ et qu'une inverse à gauche est $\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$. Ceci nous apprend

également que le système $\begin{cases} x + y = b_1 \\ x - y = b_2 \\ 3x + y = b_3 \end{cases}$ aura comme solution $\begin{cases} x = (b_1 + b_2)/2, \\ y = (b_1 - b_2)/2, \\ \text{ssi } -4b_1 - 2b_2 + 2b_3 = 0. \end{cases}$

En échelonnant sur les colonnes, on obtient

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 3 & 1 \\ \hline 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -2 \\ 3 & -2 \\ \hline 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 1 \\ \hline \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \quad \text{c'est-à-dire} \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, $$

ce qui signifie que l'image de cette matrice est le plan linéaire généré par les deux vecteurs $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ qui sont liés aux deux colonnes de la matrice.

En constatant que $(2 \ 1 \ -1) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = (2 \ 1 \ -1) \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} / 2 = (0 \ 0)$ (on verra plus tard comment trouver un tel vecteur par le produit vectoriel et ses généralisations), on obtient l'équation cartésienne de ce plan : $2x + y - z = 0$.

## 1.6 Forme échelonnée : ce qu'elle nous apprend

Nous venons de voir que mettre une matrice carrée inversible sous forme échelonnée permet d'en calculer l'inverse. Mais, quand la matrice n'est pas inversible, en particulier quand elle n'est pas carrée, on obtient beaucoup d'informations en calculant sa forme échelonnée.

Mettre une matrice sous une forme échelonnée réduite par lignes, signifie trouver une matrice $E$ inversible, construite comme produit de transformations élémentaires, telle que $EA$ soit échelonnée réduite.

Tout l'intérêt d'une forme échelonnée réduite est que son noyau et son image sont simples à déterminer : Comme les dernières lignes sont nulles, $\text{Im}(EA)$ est clairement engendrée par les colonnes contenant un pivot. Pour $A \in M_{pq}(\mathbb{K})$, nommons $C_A \subset \{1, \dots, q\}$ l'ensemble des indices des colonnes des pivots, alors tout vecteur

$v \in \text{Im}(EA) \in \mathbb{K}^p$ s'écrit comme l'image $v = EA \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_q \end{pmatrix}$ d'un vecteur $\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_q \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^q$ dont les seules valeurs non nulles sont associées aux colonnes des pivots, $\lambda_j \neq 0 \Rightarrow j \in C_A$. Mais tout vecteur $w \in \text{Im}(A)$ peut s'écrire
$w = E^{-1}v$ pour un $Ew = v \in \text{Im}(EA)$, donc $w = A \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_q \end{pmatrix}$ est une combinaison linéaire unique des colonnes de $A$ associées aux pivots de $EA : \text{Im}(A) = \text{Vect}_{\mathbb{K}}((A_{ij})_{1 \le i \le p}/j \in C_A)$.

Et les colonnes de $EA$ qui ne sont pas des pivots sont associées à des éléments du noyau de $EA$, en effet, pour $j \notin C_A$, par définition des pivots, les seuls coefficients non nuls de cette $j$-ème colonne de $EA = R$, qui est $(R_{ij})_{1 \le i \le p}$, sont sur les lignes des pivots d'indice inférieur à $j$. Mais alors, cette colonne est combinaison linéaire de ces colonnes pivots et nous donne un élément du noyau de $EA$, donc du noyau de $A$ car, pour $u \in \mathbb{K}^q$, $EAu = 0_p \iff Au = 0_p$ en composant par $E^{-1}$.

$$ \text{Par exemple la forme échelonnée de } A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & -3 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 0 & -5 & -6 \\ 4 & 8 & 5 & -6 & -1 & 0 \\ 5 & 10 & 7 & -9 & 1 & 3 \\ -4 & -8 & -5 & 6 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{est } R = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ \text{ce qui nous permet de voir que } \text{Im}(A) = \text{Vect} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \\ 7 \\ -5 \end{pmatrix} \right\} \text{ les première et troisième colonnes de } A, \text{ indices des colonnes des pivots de } R. \text{ De plus, les autres colonnes permettent de calculer le noyau } \ker(A) = $$

$$ \text{Vect} \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}. \text{ Remarquez que le rang de } A, \text{ c'est-à-dire la dimension de l'image est 2, la dimension du noyau est 4, ce qui fait que dim ker } A + \text{rang}(A) = 2 + 4 = 6, \text{ la dimension de l'espace de départ, c'est-à-dire le nombre de colonnes de } A. $$

De même, en échelonnant sur les colonnes, on obtient une matrice inversible $E$ telle que $AE$ est échelonnée réduite en colonnes. Donc les vecteurs correspondant aux dernières colonnes nulles de $AE$ forment clairement le noyau de $AE$, mais comme $E$ est inversible, cela signifie que ce sont les dernières colonnes de $E$ qui forment le noyau de $A$. De plus, l'image de $A$ est égale à l'image de $AE$, qui est clairement engendrée par les colonnes non nulles de $AE$.

$$ \text{Par exemple, } AE = R \text{ avec } A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -3 & -2 \\ 5 & -1 & 5 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}, E = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ et } R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ \text{nous indique que les première colonnes de } R \text{ génèrent l'image, } \text{Im}(A) = \text{Vect} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \text{ et que les dernières colonnes de } E \text{ génèrent le noyau } \ker(A) = \text{Vect} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}. \text{ Encore une fois, le rang est 3, complété par la dimension du noyau, 2, donne la dimension de l'espace de départ, le nombre de colonnes de } A: 5. $$

## 1.7 Un peu de vocabulaire sur les matrices carrées

**Définition 1.24.** $A = (a_{i,j}) \in M_n(\mathbb{K})$ est triangulaire supérieure si $a_{i,j} = 0$ pour tout $i > j$ (graphiquement : tous les coefficients en-dessous de la diagonale sont nuls). Elle est triangulaire inférieure si $a_{i,j} = 0$ pour tout $j > i$.
Un intérêt de ces matrices : les systèmes dont la matrice associée est triangulaire sont très faciles à résoudre !

**Définition 1.25.** $A \in M_n(\mathbb{K})$ est *diagonale* si elle est à la fois triangulaire supérieure et inférieure ; autrement dit, si $a_{i,j} = 0$ dès que $i \neq j$.

**Définition 1.26.** A est *symétrique* si $A = A^t$, c'est-à-dire $a_{i,j} = a_{j,i}$ pour tout $i, j$ ; elle est *antisymétrique* si $A = -A^t$, c'est-à-dire $a_{i,j} = -a_{j,i}$ pour tout $i, j$ (en particulier, les coefficients sur la diagonale sont nuls !)

Attention à ne pas confondre une matrice symétrique de la matrice d'une symétrie (voir 3.41).

## 1.8 Résolution matricielle d'un système linéaire

Pour conclure ce chapitre, formulons en termes matriciels la méthode du pivot de GAUSS pour résoudre un unique système d'équations linéaires, sans pour autant inverser la matrice associée.

**Définition 1.27.** Soit $\mathcal{S}$ le système d'équations linéaires suivant :

$$ egin{cases} a_{1,1}x_1 + \dots + a_{1,m}x_m = y_1, \\ a_{2,1}x_1 + \dots + a_{2,m}x_m = y_2, \\ \vdots & \vdots \\ a_{n,1}x_1 + \dots + a_{n,m}x_m = y_n. \end{cases} $$

On peut écrire $\mathcal{S}$ sous la forme $AX = Y$. La matrice augmentée est la matrice obtenue en ajoutant la colonne $B$ tout à droite des colonnes de $A$.

Par exemple, considérons le système suivant :

$$ egin{cases} x_1 + x_2 + 7x_3 = -1 \\ 2x_1 - x_2 + 5x_3 = -5 \\ -x_1 - 3x_2 - 9x_3 = -5 \end{cases} $$

Sa matrice augmentée est

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 7 & -1 \\ 2 & -1 & 5 & -5 \\ -1 & -3 & -9 & -5 \end{pmatrix}. $$

La méthode du pivot de GAUSS consiste à mettre la matrice augmentée sous forme échelonnée réduite; chaque colonne de la matrice (sauf la dernière!) correspond à une des inconnues du système, et dans la forme échelonnée réduite de la matrice il y a deux types de colonnes : celles qui contiennent un pivot, et les autres. Chaque inconnue dont la colonne ne contient pas un pivot (peut-être qu'il n'y en a pas!) est une inconnue libre : on lui donne un nom ; ensuite, on exprime les inconnues dont la colonne contient un pivot en fonction des inconnues libres (ou on obtient des formules contradictoires si le système n'a pas de solution), et cela nous donne une description des solutions du système (s'il y en a !).

Revenons à l'exemple du système. En faisant les opérations $L_2 \to L_2 - 2L_1$ et $L_3 \to L_3 + L_1$ sur la matrice augmentée, on arrive à

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 7 & -1 \\ 0 & -3 & -9 & -3 \\ 0 & -2 & -2 & -6 \end{pmatrix} $$

Puis on peut par exemple faire $L_2 \to -\frac{1}{3}L_2$ et $L_3 \to L_3 + 2L_2$ pour arriver à

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 7 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & -4 \end{pmatrix}. $$

Ensuite, les opérations $L_3 \to \frac{1}{4}L_3$, puis $L_1 \to L_1 - 7L_3$ et $L_2 \to L_2 - 3L_3$ nous amènent à

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}. $$
Une dernière opération pour se ramener à une matrice échelonnée réduite : après $L_1 \rightarrow L_1 - L_2$ on aboutit à la matrice

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}. $$

Finalement, notre système de départ est équivalent au système suivant (dans ce cas, il n'y a pas d'inconnues libres) :

$$ \begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = 4 \\ x_3 = -1 \end{cases} $$

En pratique, on n'a pas toujours besoin d'aller jusqu'à obtenir une forme échelonnée réduite : on échelonne la matrice jusqu'à aboutir à une matrice pour laquelle le système est facile à résoudre.

En regardant les systèmes associés aux matrices échelonnées réduites (cas auquel on peut toujours se ramener, comme on l'a vu plus haut), on voit que trois situations peuvent se produire :

1. Le système a exactement une solution (cas où la matrice est inversible),

2. Le système n'a pas de solutions (une ligne nulle dans la matrice échelonnée réduite alors que le $b_i$ correspondant n'est pas nul),

3. Le système a une infinité de solutions.
# Chapitre 2

## Espaces vectoriels

### 2.1 Corps commutatifs

Formellement, la définition d'un espace vectoriel nécessite de préciser au-dessus de quel corps l'espace vectoriel est défini. Précisons la définition d'un corps.

**Définition 2.1.** Un corps $(\mathbb{K}, + , \times)$ est la donnée d'un ensemble $\mathbb{K}$, et de deux opérations $+ , \times$ avec les propriétés suivantes :

1. Pour tout $x,y,z \in \mathbb{K}$ on a $x + (y + z) = (x + y) + z$ (associativité), $x + y = y + x$ (commutativité), il existe un élément $0 \in \mathbb{K}$ neutre pour l'addition : tel que $0+x=x+0=x$ pour tout $x \in \mathbb{K}$, et pour tout $x \in \mathbb{K}$ il existe $y \in \mathbb{K}$ tel que $x + y = y + x = 0$, un tel $y$ est nécessairement unique, on le note $y = -x$, l'opposé de $x$.

2. Pour tout $x,y,z \in \mathbb{K}$ on a $x \times (y \times z) = (x \times y) \times z$ (associativité), $x \times y = y \times x$ (commutativité), il existe un élément $1 \in \mathbb{K} \setminus \{0\}$ neutre pour la multiplication : tel que $1 \times x = x \times 1 = x$ pour tout $x \in \mathbb{K}$, et pour tout $x \in \mathbb{K} \setminus \{0\}$ il existe $y \in \mathbb{K} \setminus \{0\}$ tel que $x \times y = y \times x = 1$, un tel $y$ est nécessairement unique, on le note $y = x^{-1}$, l'inverse de $x$.

3. Pour tout $x,y,z \in \mathbb{K}$ on a $x \times (y + z) = x \times y + x \times z$ et $(x + y) \times z = x \times z + y \times z$ (distributivité de la multiplication sur l'addition).

Dans ce cours, les seuls corps que nous allons rencontrer sont $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ munis de leurs opérations usuelles ; à chaque fois qu'on écrira « soit $\mathbb{K}$ un corps », on aura en tête un de ces trois exemples.

### 2.2 Espaces vectoriels ; combinaisons linéaires

**Définition 2.2.** Soit $\mathbb{K}$ un corps. Un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $(E, +, \cdot)$ est un ensemble non vide $E$ muni d'une loi d'addition $+ : E \times E \rightarrow E$ et d'une loi externe (multiplication d'un élément de $E$ par un élément de $\mathbb{K}$) $\cdot : \mathbb{K} \times E \rightarrow E$ avec les propriétés suivantes :

1. L'addition est commutative (pour tout $u,v \in E$, $u+v = v+u$) et associative (pour tout $u,v,w \in E$, $u+(v+w) = (u+v)+w$).

2. L'addition admet un élément neutre, le vecteur nul, noté $0_E$, qui est tel que pour tout $u \in E$ on a $u + 0_E = 0_E + u = u$; et pour tout $u$ il existe $v$ tel que $u + v = 0_E$ (notons qu'un tel $v$ est unique et qu'on a aussi $v + u = 0_E$; on note $v = -u$).

3. L'addition et la multiplication sont compatibles, c'est-à-dire que pour tout $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$ et tout $u,v \in E$ on a :

(a) $\lambda \cdot (u + v) = \lambda \cdot u + \lambda \cdot v,$

(b) $(\lambda + \mathbb{K} \mu) \cdot u = \lambda \cdot u + \mathbb{K} \mu \cdot u,$

(c) $\lambda \cdot (\mu \cdot u) = (\lambda \times \mu) \cdot u,$

(d) $0_{\mathbb{K}} \cdot u = 0_E,$

(e) $1_{\mathbb{K}} \cdot u = u.$
On appellera les éléments de E des vecteurs et les éléments de $\mathbb{K}$ des scalaires. On n'indicaera les nombres zéro et un, le vecteur nul ou les opérations seulement s'il y a possibilité de confusion et on omettra souvent les opérateurs de multiplication $\cdot$ et $\times$.

Ce qu'il faut vraiment retenir : on peut ajouter des vecteurs entre eux, et multiplier les vecteurs par des constantes ; et les règles de calcul ci-dessus ont les conséquences attendues, par exemple $0_{\mathbb{K}} \cdot u = 0_E$ et $(-1) \cdot u = -u$ pour tout $u \in E$. Vérifions ces deux propriétés : pour tout $u$ on a $0_{\mathbb{K}} \cdot u = (0_{\mathbb{K}} + 0_{\mathbb{K}}) \cdot u = 0_{\mathbb{K}} \cdot u + 0_{\mathbb{K}} \cdot u$. En soustrayant $0_{\mathbb{K}} \cdot u$ on obtient $0_E = 0_{\mathbb{K}} \cdot u$. On a aussi $u + (-1) \cdot u = (1 + (-1)) \cdot u = 0_{\mathbb{K}} \cdot u = 0_E$, ce qui montre que $(-1) \cdot u = -u$.

La définition d'un espace vectoriel peut paraître très lourde au premier abord; mais elle regroupe des propriétés partagées par beaucoup de structures mathématiques importantes, que vous avez déjà rencontrées. Par exemple, sont des espaces vectoriels :

* L'espace $\mathbb{K}^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, avec ses opérations usuelles. C'est l'exemple fondamental d'espace vectoriel, sur lequel les propriétés des espaces vectoriels sont modelées.

* L'espace des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$, noté $\mathbb{K}[X]$, ainsi que l'espace des polynômes de degré $\le n$ $\mathbb{K}_n[X]$.

* L'espace des fonctions d'un ensemble $X$ à valeurs dans $\mathbb{K}$, avec l'addition et la multiplication usuelles des fonctions : $(f+g)(x) = f(x)+g(x)$, $(\lambda f)(x) = \lambda f(x)$.

* Pour tout $n, m \in \mathbb{N}^*$, $M_{n,m}(\mathbb{K})$, muni des opérations vues au chapitre précédent.

**Définition 2.3.** Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, $n \in \mathbb{N}^*$ et $u_1, \dots, u_n, v$ des vecteurs de $E$.

1. S'il existe $\lambda \in \mathbb{K}$ tel que $v = \lambda u_1$ on dit que $v$ est colinéaire à $u_1$.

2. S'il existe $(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in \mathbb{K}^n$ tels que

$$v = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i u_i$$

on dit que $v$ est une combinaison linéaire de $u_1, \dots, u_n$.

Notons qu'avec ces définitions, $0_E$ est colinéaire à tout vecteur de $E$; et si $u, v$ sont non nuls et $v$ est colinéaire à $u$, alors $v = \lambda u$ se récrit sous la forme $u = \frac{1}{\lambda}v$, et $u$ est colinéaire à $v$. Souvent, on dira que $u$ et $v$ sont colinéaires en traitant à part le cas où l'un est nul.

**Définition 2.4.** Soit $u_1, \dots, u_n$ des vecteurs de $E$. On dit que la famille $(u_1, \dots, u_n)$ est libre si pour tout $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{K}$ on a l'implication

$$\lambda_1 u_1 + \dots + \lambda_n u_n = 0_E \Rightarrow \forall i, \lambda_i = 0_{\mathbb{K}}.$$

Quand une famille de vecteurs n'est pas libre on dit qu'elle est liée, c'est-à-dire qu'il existe une combinaison linéaire de coefficients non tous nuls qui se somme au vecteur nul :

$$(u_i) \in E^n \text{ liée} \iff \exists(\lambda_i) \in \mathbb{K}^n, \lambda_1 u_1 + \dots + \lambda_n u_n = 0_E \text{ et } \exists i, 1 \le i \le n, \lambda_i \ne 0_{\mathbb{K}}.$$

**Proposition 2.5.** La famille $(u_1, \dots, u_n)$ est libre si, et seulement si, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, le vecteur $u_i$ ne peut pas être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de la famille $(u_k)_{k \ne i}$.

*Démonstration.* Si jamais la famille n'est pas libre, c'est qu'on a des scalaires $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ non tous nuls mais tels que $\lambda_1 u_1 + \dots + \lambda_n u_n = 0_E$; par hypothèse on peut trouver $i$ tel que $\lambda_i$ est non nul et on a

$$\lambda_i u_i = - \sum_{k=1, k \ne i}^{n} \lambda_k u_k \quad \text{donc} \quad u_i = - \sum_{k=1, k \ne i}^{n} \frac{\lambda_k}{\lambda_i} u_k.$$

Réciproquement, si pour un certain $i$ on peut écrire $u_i = \sum_{k=1, k \ne i}^{n} \lambda_k u_k$ alors en posant $\lambda_i = -1$ on a $\sum_{k=1}^{n} \lambda_k u_k = 0_E$ et les $\lambda_k$ ne sont pas tous nuls. $\square$

## 2.3 Sous-espaces vectoriels

Souvent, les structures qu'on considère sont contenues dans un espace dont on sait déjà que c'est un espace vectoriel ($\mathbb{R}^n$, un espace de fonctions, de polynômes, de suites...) et on voudrait utiliser les lois de l'espace vectoriel ambiant pour en faire un espace vectoriel. Ceci nous amène à la notion suivante, qui est primordiale.
**Définition 2.6.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $F$ un sous-ensemble de $E$. On dit que $F$ est un sous-espace vectoriel si :

1. $F$ est non vide.

2. Pour tout $u, v \in F$, $u + v \in F$.

3. Pour tout $u \in F$ et tout $\lambda \in \mathbb{K}$, $\lambda u \in F$.

Il est important de vérifier que $F$ est non vide ! souvent, on le fait en vérifiant que $0_E \in F$; de toute façon si $F$ est non vide il doit contenir $0_E$, puisque si l'on prend un $u$ quelconque dans $F$ (ce qui est possible dès que $F$ est non vide) et qu'on le multiplie par 0 on obtient $0_E$, qui doit donc être dans $F$ puisque $F$ est stable par multiplication par un scalaire. Par ailleurs, la deuxième et la troisième condition pourraient être regroupées en une seule condition :

$$ \forall u, v \in F, \forall \lambda \in \mathbb{K}, \quad \lambda u + v \in F. $$

C'est-à-dire : une combinaison linéaire d'éléments de $F$ est encore un élément de $F$ ou bien encore que, pour deux vecteurs de $F$, le plan vectoriel engendré

On écrira souvent simplement $0$ au lieu de $0_E$ pour désigner le vecteur nul.

**Exemple.** 1. Dans $\mathbb{R}^2$, l'ensemble $\{(x, y) : ax + by = 0\}$ est un sous-espace vectoriel pour tout $a, b \in \mathbb{R}$; si jamais $a = b = 0$ c'est $\mathbb{R}^2$ tout entier, sinon c'est la droite passant par 0 et de vecteur directeur $(-b, a)$, c'est-à-dire orthogonale au vecteur $(a, b)$.

2. Dans $\mathbb{R}^3$, l'ensemble $\{(x, y, z) : ax + by + cz = 0\}$ est un sous-espace vectoriel pour tout $a, b, c \in \mathbb{R}^3$; s'ils sont tous les trois nuls c'est $\mathbb{R}^3$ tout entier, sinon c'est le plan contenant 0 et orthogonal au vecteur $(a, b, c)$ (notion qui n'a de sens que dans le cas d'une base orthogonale).

3. Plus généralement, vérifions que pour tout corps $\mathbb{K}$, et toute matrice $A \in M_{n,m}(\mathbb{K})$, l'ensemble $\ker(A) = \{X \in \mathbb{K}^m : AX = 0_n\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}^m$. Puisque $A0_m = 0_n$, $0_m \in \ker(A)$; et si $X, Y \in \ker(A)$ et $\lambda \in \mathbb{K}$ alors on a

$$ A(\lambda X + Y) = \lambda AX + AY = 0_n + 0_n = 0_n. $$

Notons que l'ensemble $\ker(A)$ décrit ci-dessus pourrait de manière équivalente être vu comme l'ensemble de toutes les solutions $(x_1, \dots, x_m)$ d'un système linéaire homogène à $n$ lignes et $m$ inconnues; et en fait on verra dans le chapitre sur les applications linéaires que tout sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}^m$ peut-être mis sous cette forme.

4. Dans l'espace vectoriel formé par toutes les suites de nombres réels, noté $\mathbb{R}^N$, l'espace des suites convergentes est un sous-espace vectoriel : la suite nulle est convergente, et une combinaison linéaire de suites convergentes est encore une suite convergente. L'espace formé par les suites qui convergent vers 0 est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^N$ ? Et celui formé par les suites qui tendent vers 1 ?

5. Toujours dans $\mathbb{R}^N$, l'ensemble des suites satisfaisant une relation de récurrence linéaire d'ordre deux (par exemple) est un sous-espace vectoriel. Plus explicitement : fixons $a, b \in \mathbb{R}$ et considérons l'espace formé $E$ par toutes les suites $(u_n)$ telles que

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n. $$

Alors la suite nulle appartient bien à $E$; et si $u, v$ sont deux éléments de $E$, et $\lambda \in \mathbb{R}$, vérifions que $w = \lambda u + v \in E$ : pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a

$$ \begin{aligned} w_{n+2} &= \lambda u_{n+2} + v_{n+2} \\ &= \lambda(au_{n+1} + bu_n) + (av_{n+1} + bv_n) \\ &= (\lambda au_{n+1} + bv_{n+1}) + (\lambda au_n + bv_n) \\ &= w_{n+1} + w_n. \end{aligned} $$

Ceci montre bien qu'une combinaison linéaire d'éléments de $E$ reste un élément de $E$, donc que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^N$. La même preuve montre que les suites à coefficients dans $\mathbb{K}$ satisfaisant une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 forme un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}^N$ pour tout corps $\mathbb{K}$.

**Proposition 2.7.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un espace vectoriel et $(F_i)_{i \in I}$ une famille de sous-espaces vectoriels de $E$. Alors $F = \bigcap_i F_i$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
**Démonstration.** Puisque $0 \in F_i$ pour tout $i \in I$, on voit que $0 \in \bigcap_i F_i = F$. Si maintenant $u, v \in F$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, alors pour tout $i \in I$ on a $u, v \in F_i$ donc $\lambda u + v \in F_i$ puisque $F_i$ est un sous-espace vectoriel de $E$; donc $\lambda u + v \in \bigcap_i F_i = F$, ce qui montre que $F$ est bien un sous-espace vectoriel. $\square$

**Définition 2.8.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $x_1, \dots, x_m$ des vecteurs de $E$. Le sous-espace vectoriel engendré par $x_1, \dots, x_m$ est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de $E$ qui contiennent $x_1, \dots, x_m$. On le note $\text{Vect}_{\mathbb{K}}(x_1, \dots, x_m)$. On étend la notion à $\text{Vect}(P)$ engendré par $P \subset E$, une partie de $E$.

Quand $\text{Vect}_{\mathbb{K}}(x_1, \dots, x_m) = E$ on dit que $(x_1, \dots, x_m)$ est une famille génératrice de $E$, c'est-à-dire que tout vecteur de $E$ peut s'écrire comme une combinaison linéaire des $(x_i)_{1 \le i \le m}$.

Autrement dit : le sous-espace vectoriel engendré par $x_1, \dots, x_m$ est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ qui contient tous les vecteurs $x_1, \dots, x_m$. Par exemple, si $x \neq 0$, le sous-espace vectoriel engendré par $x$ est la droite passant par 0 et de vecteur directeur $x$.

La description ci-dessus de l'espace vectoriel engendré par $x_1, \dots, x_m$ est souvent trop abstraite pour être utilisable en pratique. On utilisera la caractérisation suivante (qu'on pourrait prendre comme définition alternative).

**Proposition 2.9.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $x_1, \dots, x_m$ des vecteurs de $E$. Alors on a

$$ \text{Vect}_{\mathbb{K}}(x_1, \dots, x_m) = \{u \in E : u \text{ est combinaison linéaire de } x_1, \dots, x_m\} = \left\{ \sum_{i=1}^{m} \lambda_i x_i : (\lambda_i)_{1 \le i \le m} \in \mathbb{K}^m \right\}. $$

**Démonstration.** Si $F$ est un sous-espace vectoriel contenant $x_1, \dots, x_m$ alors $F$ doit contenir toutes leurs combinaisons linéaires, ce qui montre l'inclusion de droite à gauche dans l'égalité ci-dessus. Pour montrer l'inclusion de gauche à droite, il nous suffit de vérifier que

$$ F = \{u \in E : u \text{ est combinaison linéaire de } x_1, \dots, x_m\} $$

est un sous-espace vectoriel de $E$ (il contient bien sûr $x_1, \dots, x_m$). Pour cela, notons tout d'abord que $0_E = 0_{\mathbb{K}}x_1 + \dots + 0_{\mathbb{K}}x_m \in F$.

Ensuite, si $u = \lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_m x_m \in F$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, alors $\lambda u = \lambda \lambda_1 x_1 + \dots + \lambda \lambda_m x_m \in F$.

Enfin, si $u = \lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_m x_m \in F$ et $v = \mu_1 x_1 + \dots + \mu_m x_m \in F$ alors $u + v = (\lambda_1 + \mu_1)x_1 + \dots + (\lambda_m + \mu_m)x_m \in F$.

On a vérifié tous les points de la définition d'un sous-espace vectoriel, ce qui achève la démonstration. $\square$

**Exemple.** L'exemple fondamental est donné par $x_1, \dots, x_m \in \mathbb{K}^n$, une famille de $m$ vecteurs colonnes de taille $n$. En construisant la matrice $A \in M_{n,m}$ obtenue en rangeant ces $m$ vecteurs en colonne, on a

$$ \text{Vect}_{\mathbb{K}}(x_1, \dots, x_m) = \text{Im}(A) \subset \mathbb{K}^n. $$

**Proposition 2.10.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $(x_1, \dots, x_m)$ une famille libre d'éléments de $E$. Alors $y \in \text{Vect}_{\mathbb{K}}(x_1, \dots, x_m)$ si, et seulement si, la famille $(x_1, \dots, x_m, y)$ est liée.

On se sert souvent de cette proposition sous la forme négative suivante : si $(x_1, \dots, x_m)$ est libre, alors $y \notin \text{Vect}(x_1, \dots, x_m)$ est équivalent à $(x_1, \dots, x_m, y)$ est libre.

**Démonstration.** Soit $(x_1, \dots, x_m)$ une famille libre, et $y \in E$. Si $y \in \text{Vect}(x_1, \dots, x_m)$, alors on a l'existence de $\lambda_1, \dots, \lambda_m \in \mathbb{K}$ tels que $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_m x_m = y$, donc la combinaison linéaire $y - \lambda_1 x_1 - \dots - \lambda_m x_m = 0$ alors que ses coefficients ne sont pas tous nuls (le coefficient de $y$ vaut 1), ce qui montre que $(x_1, \dots, x_m, y)$ est liée.

Réciproquement, supposons que $(x_1, \dots, x_m, y)$ soit liée; alors on a $\lambda_1, \dots, \lambda_m$ et $\mu$ non tous nuls tels que $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_m x_m + \mu y = 0$. Si $\mu$ n'est pas nul alors on peut écrire $y = -\frac{\lambda_1}{\mu}x_1 - \dots - \frac{\lambda_m}{\mu}x_m$, par conséquent $y \in \text{Vect}(x_1, \dots, x_m)$. Si $\mu = 0$ alors on a $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_m x_m = 0$, donc, comme la famille $(x_i)_{1 \le i \le m}$ est libre, $\lambda_1 = \dots = \lambda_m = 0$. Par conséquent $\mu$ ne peut pas être nul et $y \in \text{Vect}(x_1, \dots, x_m)$. $\square$
## 2.4 Bases et dimension

**Définition 2.11.** Soit $\mathbb{K}$ un corps et $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. On dit qu'une famille $(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$ si cette famille est à la fois libre et génératrice.

**Proposition 2.12.** Soit $\mathbb{K}$ un corps et $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Alors $(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$ si, et seulement si, tout $u \in E$ s'écrit de manière unique sous la forme $u = \lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_n e_n$. On dit alors que $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ sont les coordonnées de $u$ dans la base $(e_1, \dots, e_n)$.

*Démonstration.* Supposons que $(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$, et $u \in E$. On sait déjà que $u$ s'écrit sous la forme $u = \lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_n e_n$ puisque $(e_1, \dots, e_n)$ est génératrice; montrons que cette décomposition est unique : si on a aussi $u = \lambda'_1 e_1 + \dots + \lambda'_n e_n$ alors on obtient $u - u = 0_E = (\lambda_1 - \lambda'_1)e_1 + \dots + (\lambda_n - \lambda'_n)e_n$, donc comme $(e_1, \dots, e_n)$ est libre on déduit $\lambda_1 - \lambda'_1 = \dots = \lambda_n - \lambda'_n = 0_{\mathbb{K}}$.

Pour montrer la réciproque, notons que si tout vecteur s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire de $(e_1, \dots, e_n)$ alors la famille est en particulier génératrice, et on doit simplement vérifier qu'elle est libre. Pour ce faire, supposons que $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ vérifient $\lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_n e_n = 0_E = 0_{\mathbb{K}} e_1 + \dots + 0_{\mathbb{K}} e_n$; par hypothèse d'unicité on doit avoir $\lambda_1 = 0_{\mathbb{K}}, \dots, \lambda_n = 0_{\mathbb{K}}$, ce qui montre comme attendu que notre famille est libre. $\square$

Dans $\mathbb{K}^n$, la base canonique est formée par les vecteurs $e_1, \dots, e_n$, dont toutes les coordonnées de $e_i$ sont nulles, sauf la $i$-ième qui vaut 1. Tout vecteur $x = (x_1, \dots, x_n)$ s'écrit $x = x_1 e_1 + \dots + x_n e_n$, et d'autre part si $\lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_n e_n = x$, alors en regardant la $i$-ième coordonnée on obtient $\lambda_i = x_i$ pour tout $i$, ce qui nous montre que la base canonique est bien une base de $\mathbb{K}^n$ (ouf!).

**Lemme 2.13 (Lemme de STEINITZ).** Soit $v_1, \dots, v_m$ des vecteurs linéairement indépendants d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ engendré par des vecteurs $w_1, \dots, w_n$. Alors $m \le n$ et soit $(v_1, \dots, v_m)$ est une base de $E$ soit on peut trouver $i_1, \dots, i_k$ tels que la famille $(v_1, \dots, v_m, w_{i_1}, \dots, w_{i_k})$ soit une base de $E$.

Attention, les $(w_j)_{1 \le j \le n}$ forment une famille génératrice mais ils ne sont pas forcément libres ! En particulier, si cette famille est liée, on aura $m + k < n$.

*Démonstration.* Nous allons montrer par récurrence sur $k \le m$ la propriété $\mathcal{P}_k : (v_1, \dots, v_k, w_{k+1}, \dots, w_n)$ est génératrice. En fait nous allons le montrer à un renumérotage des indices de la famille $(w_j)_{1 \le j \le n}$ près.

*Initialisation :* Comme $(w_j)_{1 \le j \le n}$ est génératrice, il existe des scalaires $(\lambda_j)_{1 \le j \le n} \in \mathbb{K}^n$ tels que $v_1 = \sum_{j=1}^n \lambda_j w_j$. Comme $v_1 \ne 0_E$ car la famille $(v_j)_{1 \le j \le m}$ est libre, les scalaires ne sont pas tous nuls. Supposons, quitte à renuméroter, que $\lambda_1 w_1 \ne 0$. Alors on a

$$w_1 = \frac{1}{\lambda_1} (v_1 - \lambda_2 w_2 - \dots - \lambda_n w_n).$$

Par conséquent, toute combinaison linéaire de $(w_i)$ impliquant $w_1$ peut être écrite comme une combinaison linéaire impliquant $v_1$ à la place et la famille $(v_1, w_2, \dots, w_n)$ est génératrice, ce qui prouve $\mathcal{P}_1$.

*Hérédité :* Supposons $\mathcal{P}_{k-1}$, c'est-à-dire que $(v_1, \dots, v_{k-1}, w_k, \dots, w_n)$ soit génératrice, pour un certain $1 < k \le m$. Alors, $v_k = \sum_{j=1}^{k-1} \mu_j v_j + \sum_{j=k}^{n} \mu_j w_j$. Comme $v_k$ n'est pas combinaison linéaire des $(v_i)_{1 \le i \le k-1}$, il existe $j \ge k$ avec $\mu_j \ne 0$, disons $j = k$, ce qui prouve également que $k \le j \le n$. Alors, de la même manière, $w_k$ peut-être remplacé dans la famille génératrice par $v_k$ et $(v_1, \dots, v_k, w_{k+1}, \dots, w_n)$ est génératrice, c'est-à-dire $\mathcal{P}_k$.

*Conclusion :* Par récurrence, $(v_1, \dots, v_m, w_{m+1}, \dots, w_n)$ est génératrice et $m \le n$.

En considérant la famille $(v_1, \dots, v_m, w_{m+1}, \dots, w_k)$ pour des $k$ croissants, on peut éliminer des $(w_j)_{m+1 \le j \le n}$ les vecteurs qui sont liés aux précédents et fabriquer ainsi une base de l'espace vectoriel. L'argument qui suppose qu'à chaque pas, c'est le $w_k$ de plus petit indice qu'on remplace et de l'élimination des vecteurs liés, se formalisent dans l'écriture d'un sous-ensemble d'indices $(i_\ell)_{1 \le \ell \le k}$.

**Théorème 2.14.** Soit $\mathbb{K}$ un corps et $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Si $(e_1, \dots, e_n)$, $(f_1, \dots, f_m)$ sont deux bases de $E$ alors $n = m$.

*Démonstration.* Du lemme précédent et du fait que $(e_1, \dots, e_n)$ est libre et $(f_1, \dots, f_m)$ est génératrice on déduit que $n \le m$; et comme $(f_1, \dots, f_m)$ est libre et $(e_1, \dots, e_n)$ est génératrice on a aussi $m \le n$, donc $m = n$. $\square$
**Définition 2.15.** Soit $\mathbb{K}$ un corps et $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Si $E$ admet une partie génératrice finie, on dit que $E$ est de dimension finie. Si $E = \{0\}$ on dit que $E$ est de dimension 0; sinon on appelle dimension de $E$ le cardinal d'une base de $E$. On note cet entier $\dim(E)$.

Par exemple, $\dim(\mathbb{R}) = 1$, $\dim(\mathbb{R}^2) = 2$ et plus généralement $\dim(\mathbb{K}^n) = n$ pour tout corps $\mathbb{K}$ et tout entier $n \in \mathbb{N}^*$ : en effet, on a vu que la base canonique est une base de $\mathbb{K}^n$ avec $n$ éléments.

Un autre exemple important : pour tout entier $n$ l'espace $\mathbb{K}_n[X]$ admet pour base la famille $(1, X, \dots, X^n)$, et est donc de dimension $n + 1$.

Le théorème suivant est une conséquence immédiate du lemme de STEINITZ (en fait, c'est ce qu'on a commencé par montrer dans la démonstration du lemme de STEINITZ).

**Théorème 2.16.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, $L$ une partie libre finie de $E$ et $G$ une partie génératrice finie de $E$ telles que $L \subseteq G$. Alors il existe une base $B$ de $E$ telle que $L \subseteq B \subseteq G$.

Ce théorème reste vrai si l'on ne suppose pas $L, G$ finies, modulo l'utilisation de l'axiome du choix ; dans ce cours on va éviter d'entrer dans ce type de considérations.

**Corollaire 2.17** (Théorème de la base incomplète). Soit $\mathbb{K}$ un corps, et $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n \ge 1$.

1. Pour toute famille libre $(x_1, \dots, x_m)$ on peut trouver $x_{m+1}, \dots, x_n$ tels que $(x_1, \dots, x_n)$ soit une base de $E$ (en particulier, $m \le n$).

2. Pour toute famille génératrice $(x_1, \dots, x_m)$ on peut trouver $i_1 < \dots < i_n$ tels que $(x_{i_1}, \dots, x_{i_n})$ soit une base de $E$ (en particulier $m \ge n$).

*Démonstration.* Le premier point est à nouveau une conséquence immédiate du lemme de STEINITZ.

Le deuxième point se montre de manière similaire : puisque $E$ est non réduit à $\{0\}$ il doit exister un plus petit indice $i_1$ tel que $x_{i_1}$ soit non nul, et la famille $(x_{i_1})$ est libre ; puisque $(x_{i_1}, \dots, x_m)$ est génératrice, on peut trouver une base $B$ telle que $x_{i_1} \in B \subseteq \{x_{i_1}, \dots, x_m\}$. $\square$

Le théorème de la base incomplète nous dit en particulier que toute partie génératrice contient une base; comment la trouver en pratique ? Etant donnés des vecteurs $w_1, \dots, w_n$, comment déterminer une base de l'espace vectoriel qu'ils engendrent ? La méthode utilisée dans la preuve du théorème de la base incomplète se résume ainsi : on prend le premier vecteur qui n'est pas nul, et il fera partie de notre base; puis on prend le premier qui ne lui est pas colinéaire, et on l'ajoute, et ainsi de suite : à chaque étape, on cherche le premier vecteur qui n'est pas dans l'espace vectoriel engendré par les vecteurs qu'on a déjà mis de côté, et on l'ajoute à notre famille. Quand ce procédé s'arrête, on a trouvé notre base.

Une autre méthode est basée sur l'algorithme du pivot de GAUSS. On commence par former une matrice dont les colonnes sont les vecteurs $w_1, \dots, w_n$. Quand on applique une opération élémentaire sur les colonnes de la matrice, l'espace engendré par les colonnes ne change pas : Dire qu'un vecteur $u \in \text{Im}(A) \subset \mathbb{K}^n$ est dans l'image d'une matrice $A \in M_{nm}(\mathbb{K})$, c'est-dire qu'il existe une combinaison linéaire $\lambda = (\lambda_i) \in \mathbb{K}^m$ telle que $u = A\lambda$. Mais une opération élémentaire $E \in M_m(\mathbb{K})$ agissant sur les colonnes de $A$ définit la combinaison linéaire $\mu = E^{-1}\lambda$ telle que $u = AE\mu \in \text{Im}(AE)$ et $\text{Im}(A) = \text{Im}(AE)$.

On peut donc se ramener à une matrice échelonnée réduite (en colonnes) dont les colonnes engendrent le même espace que l'espace de départ, et les colonnes non nulles dans cette matrice nous donnent la base qu'on était en train de chercher.

**Exemple.** Appliquons cette méthode sur un exemple : dans $\mathbb{R}^4$, cherchons une base de l'espace vectoriel engendré par les vecteurs $(1, 0, 1, 1)$, $(0, 1, 0, 1)$, $(-1, 1, 1, -1)$ et $(0, 2, 2, 1)$. On commence par former la matrice

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}. $$

Par des opérations élémentaires sur les colonnes, on se ramène à une matrice échelonnée en colonnes :

$$ \underset{(C_3 \to C_3+C_1)}{\approx} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \underset{(C_3 \to C_3-C_2 \text{ et } C_4 \to C_4-2C_2)}{\approx} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}. $$
Enfin, $C_4 \rightarrow C_4 - C_3$ nous amène à $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$, qui est échelonnée en colonnes.

Dans une matrice échelonnée en colonnes, les colonnes non nulles forment une famille libre; comme elles engendrent le même sous-espace vectoriel que les vecteurs de départ, une base du sous-espace vectoriel engendré par $(1, 0, 1, 1)$, $(0, 1, 0, 1)$, $(-1, 1, 1, -1)$ et $(0, 2, 2, 1)$ est donc $(1, 0, 1, 1)$, $(0, 1, 0, 1)$, $(0, 0, 2, -1)$. En particulier, ce sous-espace vectoriel est de dimension 3.

Deux remarques : tout d'abord, il est inutile de chercher à se ramener à une forme échelonnée réduite ! Le fait que la matrice soit échelonnée nous suffit. Ensuite, différentes combinaisons sur les colonnes pourraient nous donner des bases différentes : c'est normal, un espace vectoriel non réduit à $\{0\}$ admet une infinité de bases différentes...

Il suit des théorèmes précédents que, si $E$ est de dimension finie, alors la dimension de $E$ est égale au plus grand cardinal d'une famille libre d'éléments de $E$, et au plus petit cardinal d'une famille génératrice d'éléments de $E$. Le résultat de l'exercice suivant est aussi souvent utile.

**Exercice 2.18.** Soit $\mathbb{K}$ un corps et $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n \ge 1$. Soit $B$ une partie de $E$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

1. $B$ est une base de $E$.

2. $B$ est libre et $\mathrm{card}(B) = n$.

3. $B$ est génératrice et $\mathrm{card}(B) = n$.

**Proposition 2.19.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors $F$ est de dimension finie, $\dim(F) \le \dim(E)$ et $F = E$ si, et seulement si, $\dim(F) = \dim(E)$.

*Démonstration.* Si $F = \{0\}$ il n'y a rien à démontrer. Par conséquent on suppose que $\dim(F) \ge 1$ (et donc aussi $\dim(E) \ge 1$).

Soit $n = \dim(E)$. Alors pour tout $(x_1, \dots, x_{n+1})$ de $F$, la famille $(x_1, \dots, x_{n+1})$ est liée dans $E$, donc aussi dans $F$; appelons $m$ le plus grand entier tel qu'il existe $(x_1, \dots, x_m)$ qui forment une famille libre dans $F$ (on vient de justifier que $m$ existe et $m \le n$). Alors, pour tout $y \in F$, la famille $(x_1, \dots, x_m, y)$ est liée; comme $(x_1, \dots, x_m)$ est libre on doit avoir $y \in \mathrm{Vect}(x_1, \dots, x_m)$. Par conséquent $(x_1, \dots, x_m)$ est une base de $F$, et on a donc montré à la fois que $F$ est de dimension finie et $\dim(F) \le \dim(E)$.

Bien sûr, si $F = E$ alors $\dim(F) = \dim(E)$. Pour voir la réciproque, supposons que $F \subsetneq E$; on peut trouver une base $(x_1, \dots, x_m)$ de $F$ et $y \in E \setminus F$; en particulier $y$ n'est pas dans $\mathrm{Vect}(x_1, \dots, x_m)$, donc $(x_1, \dots, x_m, y)$ est libre, ce qui montre que $\dim(E) \ge m+1 > m = \dim(F)$. $\square$

Revenons à un exemple vu plus haut : les suites de nombres complexes satisfaisant une relation de récurrence linéaire d'ordre 2.

**Proposition 2.20.** Soit $(a, b) \in \mathbb{C}^2 \setminus \{0, 0\}$ et $E$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}^N$ formé par les suites satisfaisant la relation de récurrence linéaire d'ordre 2 suivante :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n . $$

Alors $E$ est un espace vectoriel de dimension 2 ; et on peut en décrire une base explicitement :

1. Si le polynôme $P(X) = X^2 - aX - b$ a deux racines complexes distinctes $\alpha, \beta$ alors les suites $(\alpha^n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(\beta^n)_{n \in \mathbb{N}}$ forment une base de $E$.

2. Si $P$ a une racine double $\alpha$ dans $\mathbb{C}$, alors les suites $(\alpha^n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(n\alpha^n)_{n \in \mathbb{N}}$ forment une base de $E$.

*Démonstration.* Commençons par noter qu'un élément de $E$ est uniquement déterminé par ses deux premiers termes. Montrons le de deux manières, par les matrices et par récurrence forte. En construisant la suite de vecteurs $U_n = \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n \end{pmatrix}$ pour $n \in \mathbb{N}$, la condition d'appartenance à $E$ se traduit par $U_{n+1} = AU_n$ où $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{C})$. Donc, pour tout $n$, on a $U_n = A^n U_0$ et $u_n$ est uniquement déterminé par $u_0$ et $u_1$.
Par récurrence directe, si $u, v$ sont deux éléments de $E$ tels que $u_0 = v_0$ et $u_1 = v_1$ alors on montre que $u_n = v_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ : (Initialisation) Cette égalité est vraie pour $n = 0, 1$. (Hérédité) Supposons que pour un certain $n \ge 1$, l'égalité $u_k = v_k$ soit vraie pour tout $k \le n$; alors on a

$$ 
\begin{aligned}
u_{n+1} &= au_n + bu_{n-1} \\
&= av_n + bv_{n-1} \quad (\text{par hypothèse de récurrence}) \\
&= v_{n+1}.
\end{aligned}
$$

Donc par récurrence, (Conclusion) $u_n = v_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

De plus, la condition d'appartenance à $E$ est linéaire : si $u, v \in E$ alors, $\lambda u + v \in E$ pour tout $\lambda \in \mathbb{C}$. C'est donc un sous-espace vectoriel de dimension 2 car une base canonique associée à ces deux premiers termes en est donnée par les suites $e_1 = (1, 0, b, ab, a^2b + b^2, a^3b + 2ab^2, \dots)$ et $e_2 = (0, 1, a, a^2 + b, a^3 + 2ab, \dots)$. Leurs deux premiers termes assurent qu'elles ne sont pas liées. Mais quels sont leurs termes généraux explicites ?

Notons que si $\alpha$ est une racine de $P$ alors on a pour tout $n \in \mathbb{N}$ l'égalité

$$ \alpha^{n+2} - a\alpha^{n+1} - b\alpha^n = \alpha^n(\alpha^2 - a\alpha - b) = \alpha^n P(\alpha) = 0. $$

Donc la suite $(\alpha^n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bien un élément de $E$. Supposons qu'on est dans le cas où $P$ a deux racines distinctes $\alpha, \beta$, et montrons que la famille $(u, v)$ définie par, pour tout $n$, $u_n = \alpha^n$ et $v_n = \beta^n$, est également une base de $E$.

Tout d'abord, on doit montrer qu'elle est libre, autrement dit que $u, v$ ne sont pas colinéaires : par l'absurde, si $\lambda u = v$ alors en évaluant en $n = 0, 1$ on a à la fois $\lambda u_0 = v_0$ et $\lambda u_1 = v_1$, c'est à dire $\lambda = 1$ et $\lambda\alpha = \beta$, impossible puisque $\alpha \neq \beta$.

Reste à vérifier que $(u, v)$ est génératrice ; soit $w \in E$. On cherche $\lambda, \mu \in \mathbb{C}$ tels que $w = \lambda u + \mu v$. Encore en évaluant en $0, 1$, $\lambda$ et $\mu$ doivent être solutions du système

$$ 
\begin{cases}
\lambda + \mu = w_0 \\
\lambda\alpha + \mu\beta = w_1
\end{cases}
$$

ce système se résoud facilement : on obtient

$$ \lambda = \frac{w_1 - \beta w_0}{\alpha - \beta} \quad \text{et} \quad \mu = \frac{\alpha w_0 - w_1}{\alpha - \beta}. $$

Alors, $\lambda u + \mu v$ est un élément de $E$ qui prend les mêmes valeurs que $w$ pour $n = 0, 1$ : par la remarque faite au début de la preuve, on a $\lambda u + \mu v = w$. Ceci montre bien que $(u, v)$ est génératrice et que le terme général de $w = \lambda u + \mu v$ est

$$ w_n = \frac{w_1 - \beta w_0}{\alpha - \beta} \alpha^n + \frac{\alpha w_0 - w_1}{\alpha - \beta} \beta^n. $$

C'est-à-dire que le terme général des deux premières suites est

$$ e_{1n} = \frac{\alpha\beta^n - \beta\alpha^n}{\alpha - \beta} \quad \text{et} \quad e_{2n} = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}. $$

Le cas où $\alpha \neq 0$ est racine double se traite par exemple « à la physicienne » en considérant $a$ et $b$ comme variables, en faisant un développement limité en $\alpha - \beta$ proche de 0. Alors $\beta^n = (\alpha(1 + \frac{\beta-\alpha}{\alpha}))^n = \alpha^n(1 + n\frac{\beta-\alpha}{\alpha}) + o(\beta - \alpha) = \alpha^n + n(\beta - \alpha)\alpha^{n-1} + o(\beta - \alpha)$ ce qui nous invite à tester la suite $(n\alpha^{n-1})_{n \in \mathbb{N}}$ qui fait son office, définissant le plan de solution $E = \text{Vect}((\alpha^n)_{n \in \mathbb{N}}, (n\alpha^n)_{n \in \mathbb{N}})$. Remarquez qu'on aurait pu prendre pour deuxième vecteur de base $(n\alpha^{n-1})_{n \in \mathbb{N}}$ ou plus généralement $((n+k)\alpha^{n+\ell})_{n \in \mathbb{N}}$ pour $k, \ell \in \mathbb{Z}$ fixés, elles définissent le même plan. $\square$

**Exercice 2.21.** Décrire les suites de nombres réels satisfaisant une relation de récurrence linéaire d'ordre 2. On pourra distinguer les cas où le polynôme $P$ introduit ci-dessus a deux racines réelles, une racine double (forcément réelle) ou deux racines complexes conjuguées.
## 2.5 Sommes de sous-espaces, sommes directes, supplémentaires

**Définition 2.22.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $F, G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Alors on note

$$F + G = \{f + g : f \in F \text{ et } g \in G\}.$$

**Exemple.** Dans $\mathbb{R}^3$, prenons $E_1 = \text{Vect}((1,0,0))$, $E_2 = \text{Vect}((-1,1,0))$, $E_3 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 0\}$. Alors $E_1 + E_2 = \text{Vect}((1,0,0),(-1,1,0)) = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : z = 0\}$, $E_1 + E_3 = \mathbb{R}^3$, $E_2 + E_3 = E_3$, $(E_1 + E_2) + E_3 = \mathbb{R}^3$, $(E_1 + E_2) \cap E_3 = E_2$.

**Proposition 2.23.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $F, G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Alors $F + G$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

Notons que tout sous-espace vectoriel de $E$ qui contient à la fois $F$ et $G$ doit contenir $F + G$: de manière équivalente, on aurait pu définir $F + G$ comme l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de $E$ qui contiennent à la fois $F$ et $G$.

**Démonstration.** Puisque $0_E \in F$ et $0_E \in G$, on a $0_E = 0_E + 0_E \in F + G$. Si maintenant $u = f_1 + g_1 \in F + G$, $v = f_2 + g_2 \in F + G$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, alors

$$\lambda u + v = (\lambda f_1 + f_2) + (\lambda g_1 + g_2) \in F + G.$$

Donc $F + G$ contient $0_E$ et est stable par combinaisons linéaires : c'est un sous-espace vectoriel de $E$. $\square$

**Définition 2.24.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $F, G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. On dit que $F, G$ sont en somme directe si $F \cap G = \{0_E\}$. Dans ce cas on note $F + G = F \oplus G$.

**Définition 2.25.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $F, G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. On dit que $F$ et $G$ sont supplémentaires si $F \oplus G = E$ tout entier.

**Proposition 2.26.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $F, G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Si $F \cap G = \{0_E\}$ alors $\dim(F) + \dim(G) = \dim(F + G)$.

**Démonstration.** Soit $(f_1, \dots, f_n)$ une base de $F$ et $(g_1, \dots, g_m)$ une base de $G$. La famille $(f_1, \dots, f_n, g_1, \dots, g_m)$ est une famille génératrice de $F + G$: ce sont des éléments de $F + G$, et tout élément de $F + G$ s'écrit comme combinaison linéaire de ces vecteurs. On va montrer que cette famille est libre.

Pour ce faire, supposons que $\lambda_1, \dots, \lambda_n, \mu_1, \dots, \mu_m$ sont des scalaires tels que

$$\lambda_1 f_1 + \dots + \lambda_n f_n + \mu_1 g_1 + \dots + \mu_m g_m = 0_E.$$

On peut récrire cela sous la forme

$$\lambda_1 f_1 + \dots + \lambda_n f_n = -\mu_1 g_1 - \dots - \mu_m g_m.$$

Le vecteur à gauche de cette égalité appartient à $F$, celui de droite appartient à $G$; par conséquent le fait que $F \cap G = \{0_E\}$ entraîne que ce vecteur est nul, autrement dit

$$\lambda_1 f_1 + \dots + \lambda_n f_n = 0_E = \mu_1 g_1 + \dots + \mu_m g_m.$$

Comme $f_1, \dots, f_n$ et $g_1, \dots, g_m$ sont libres, on obtient que tous les $\lambda_i$ et tous les $\mu_j$ sont nuls, ce qu'on voulait démontrer. $\square$

**Proposition 2.27.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors $F$ admet un supplémentaire.

**Démonstration.** Si $F = E$ alors $F$ et $\{0_E\}$ sont supplémentaires; de même si $F = \{0_E\}$ alors $F$ et $E$ sont supplémentaires. Sinon, considérons une base $f_1, \dots, f_n$ de $F$. Cette famille est libre dans $F$, donc peut être complétée en une base $(f_1, \dots, f_n, g_1, \dots, g_m)$ de $E$. En notant $G = \text{Vect}(g_1, \dots, g_m)$ on a $F + G = \text{Vect}(f_1, \dots, f_n, g_1, \dots, g_m) = E$; et on vérifie par un raisonnement analogue à celui employé ci-dessus que $F \cap G = \{0_E\}$. $\square$
**Théorème 2.28 (Formule de GRASSMANN).** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $F, G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Alors on a

$$ \dim(F + G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G). $$

Démonstration. $F \cap G$ est un sous-espace vectoriel de $G$, donc on peut lui trouver un supplémentaire dans $G$, c'est-à-dire un sous-espace vectoriel $G_1 \subseteq G$ tel que $(F \cap G) \oplus G_1 = G$. On a alors :

$$ \bullet \dim(F \cap G) + \dim(G_1) = \dim(G); $$

$$ \bullet F \oplus G_1 = F + G. $$

Le premier point ci-dessus est l'application de (2.26), et il nous reste à justifier le deuxième. Soit $x \in F + G$, alors il existe $f \in F$ et $g \in G$ avec $x = f + g$; et on a aussi $g = a + g_1$ avec $a \in F \cap G$ et $g_1 \in G_1$. D'où $x = (a + f) + g_1 \in F + G_1 \supseteq F + G$. D'autre part, $F \cap G_1 \subseteq (F \cap G) \cap G_1 = \{0_E\}$; finalement on a bien $F \oplus G_1 = F + G$. En écrivant les dimensions, on obtient :

$$ \dim(F) + \dim(G_1) = \dim(F + G), \text{ autrement dit} $$

$$ \dim(F + G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G). $$

□

**Proposition 2.29.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $F, G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Alors $F$ et $G$ sont en somme directe si, et seulement si, $\dim(F + G) = \dim(F) + \dim(G)$.

Démonstration. $F$ et $G$ sont en somme directe si, et seulement si $F \cap G = \{0_E\}$, ce qui est équivalent à dire que $\dim(F \cap G) = 0$, et la formule de GRASSMANN nous dit que ceci est équivalent à $\dim(F) + \dim(G) = \dim(F + G)$. □

**Proposition 2.30.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $F, G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. $F$ et $G$ sont supplémentaires.

2. $\dim(F) + \dim(G) = \dim(E)$ et $F \cap G = \{0_E\}$.
# Chapitre 3

## Applications linéaires

### 3.1 Définition ; noyau et image d'une application linéaire

**Définition 3.1.** Soit $\mathbb{K}$ un corps et $E, F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels. Une fonction $\varphi: E \to F$ est une application linéaire si on a :

* $\varphi(0_E) = 0_F$.

* Pour tout $u, v \in E$ $\varphi(u + v) = \varphi(u) + \varphi(v)$.

* Pour tout $u \in E$ et tout $\lambda \in \mathbb{K}$ $\varphi(\lambda u) = \lambda \varphi(u)$.

On note $\varphi \in \mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E; F) = \text{Hom}_{\mathbb{K}}(E; F)$ une application linéaire, ou morphisme d'espaces vectoriels de $E$ vers $F$ et $\varphi \in \mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E) = \text{End}_{\mathbb{K}}(E)$ si $E = F$, un endomorphisme de $E$. Une application linéaire bijective est appelée un isomorphisme de $E$, $\varphi \in \text{Isom}_{\mathbb{K}}(E; F)$. Un endomorphisme bijectif est un automorphisme $\varphi \in \text{GL}_{\mathbb{K}}(E) = \text{Aut}_{\mathbb{K}}(E)$.

Cette définition pourrait s'énoncer de manière beaucoup plus condensée, comme la définition d'un sous-espace vectoriel : $\varphi: E \to F$ est une application linéaire si, et seulement si,

$$ \forall u, v \in E, \forall \lambda \in \mathbb{K}, \quad \varphi(\lambda u + v) = \lambda \varphi(u) + \varphi(v). $$

Notons que si $\varphi, \psi: E \to F$ sont des applications linéaires et $\lambda \in \mathbb{K}$ alors $\varphi + \lambda\psi$ est encore une application linéaire. On voit ainsi que l'espace des applications linéaires est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel formé par toutes les fonctions de $E$ dans $F$. Ci-dessous, on utilisera simplement le fait que si $\varphi, \psi$ sont des applications linéaires alors $\varphi - \psi$ est aussi une application linéaire.

Vous avez déjà rencontré énormément d'applications linéaires !

**Exemple.** 1. Les applications $x \mapsto ax$ (de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$); $(x, y) \mapsto ax + by$ (de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$) ou $(x_1, \dots, x_n) \mapsto a_1x_1 + \dots + a_nx_n$ (de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$) sont des applications linéaires.

2. Plus généralement, si $A \in M_{n,m}(\mathbb{K})$ alors on a une application linéaire $\varphi: \mathbb{K}^m \to \mathbb{K}^n$ définie par

$$ \varphi(x_1, \dots, x_m) = \left( \sum_{k=1}^{m} a_{1,k} x_k, \dots, \sum_{k=1}^{m} a_{n,k} x_k \right). $$

On verra dans ce chapitre que toute application linéaire de $\mathbb{K}^m$ dans $\mathbb{K}^n$ est de cette forme, associée à une matrice $A = (a_{ij})_{\substack{1 \le i \le n \\ 1 \le j \le m}}$.

3. La dérivation de polynômes peut être vue comme une application linéaire $D: \mathbb{K}[X] \to \mathbb{K}[X]$. Notons que cette application est surjective : pour tout polynôme $P$ il existe un polynôme $Q$ tel que $Q' = P$. Mais elle n'est pas injective : on a $D(1) = D(0) = 0$ mais $1 \neq 0$.

4. Sur l'espace des suites $\mathbb{R}^n$, on peut considérer l'application $S$ qui décale les indices d'une suite : $S(u)$ est la suite définie par $S(u)(n) = u(n + 1)$. De nouveau cette application est surjective mais pas injective.

5. Toujours sur $\mathbb{R}^n$, on peut considérer l'application $T$ qui à une suite $u$ associe la suite $T(u)$ définie par $T(u)(0) = 0$, et $T(u)(n) = u(n - 1)$ pour $n \ge 1$. Cette fois $T$ est injective mais n'est pas surjective :
une suite $v$ telle que $v(0) \neq 0$ n'est pas dans l'image de $T$. Notons que pour toutes suites $u, v$ on a $S \circ T(u) = u$; pourtant,

$$T \circ S(u) = n \mapsto \begin{cases} 0 & \text{si } n = 0, \\ u(n) & \text{sinon.} \end{cases}$$

donc $T \circ S(u)$ est différent de $u$ alors que $S \circ T(u) = u$!

6. Si on note $E$ l'espace vectoriel formé par toutes les fonctions continues de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$, l'application qui à $f$ associe

$$I(f): x \mapsto \int_{0}^{x} f(t)dt$$

est une application linéaire de $E$ dans $E$. Cette application est injective (si deux fonctions continues ont une primitive commune, elles sont égales) mais pas surjective (toutes les fonctions continues ne sont pas dérivables).

Les exemples 3 à 6 ci-dessus illustrent des phénomènes qui ne peuvent se produire quand on a affaire à des endomorphismes d'espaces vectoriels de dimension finie; dans ce cours on va continuer à se concentrer sur le cas de la dimension finie.

**Définition 3.2.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E, F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels et $\varphi: E \to F$ une application linéaire.

* Le noyau de $\varphi$, noté $\ker(\varphi)$ (pour kernel, signifiant noyau en anglais), est défini par

$$\ker(\varphi) = \{u \in E : \varphi(u) = 0_F\} \subseteq E.$$

* On note $\text{Im}(\varphi)$ l'image de $E$ par $\varphi$,

$$\text{Im}(\varphi) = \{v \in F : \exists u \in E, \varphi(u) = v\} \subseteq F.$$

**Proposition 3.3.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E, F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels et $\varphi: E \to F$ une application linéaire. Alors $\ker(\varphi)$ est un sous-espace vectoriel de $E$, et $\text{Im}(\varphi)$ est un sous-espace vectoriel de $F$.

*Démonstration.* Commençons par le noyau : il est non vide puisque $\varphi(0_E) = 0_F$ donc $0_E \in \ker(\varphi)$. Ensuite, soit $u, v \in \ker(\varphi)$ et $\lambda \in \mathbb{K}$. On a

$$\varphi(\lambda u + v) = \lambda \varphi(u) + \varphi(v) = \lambda 0_F + 0_F = 0_F.$$

Donc $\lambda u + v \in \ker(\varphi)$, et $\ker(\varphi)$ est un sous-espace vectoriel.

Passons à $\text{Im}(\varphi)$ : de nouveau il est non vide puisque $0_F = \varphi(0_E) \in \text{Im}(\varphi)$. Si $v_1, v_2$ appartiennent à $\text{Im}(\varphi)$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, alors il existe $u_1, u_2 \in E$ tels que $\varphi(u_1) = v_1$ et $\varphi(u_2) = v_2$. Alors on a

$$\lambda v_1 + v_2 = \lambda \varphi(u_1) + \varphi(u_2) = \varphi(\lambda u_1 + u_2) \in \text{Im}(\varphi).$$

**Définition 3.4.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E, F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie, et $\varphi: E \to F$. Le rang de $\varphi$ est la dimension de $\text{Im}(\varphi)$.

Nous avons vu que le rang d'une matrice $A \in M_{n,m}(\mathbb{K})$ défini par Définition 1.17 (par échelonnage en ligne) est le même que le rang de sa transposée (c'est-à-dire le rang par échelonnage en colonne) qui est donc le même que le rang de l'application linéaire de $\mathcal{L}(\mathbb{K}^m; \mathbb{K}^n)$ associée aux bases canoniques.

**Proposition 3.5.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E, F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels et $\varphi: E \to F$ une application linéaire. Alors pour tout $u_1, \dots, u_n \in E$ on a

$$\varphi(\text{Vect}(u_1, \dots, u_n)) = \text{Vect}(\varphi(u_1), \dots, \varphi(u_n)).$$

En particulier, si $(u_1, \dots, u_n)$ est une famille génératrice de $E$, alors $(\varphi(u_1), \dots, \varphi(u_n))$ est une famille génératrice de $\text{Im}(\varphi)$.
**Démonstration.** Notons pour commencer que les vecteurs $\varphi(u_1), \dots, \varphi(u_n)$ appartiennent bien à l'espace $\varphi(\text{Vect}(u_1, \dots, u_n))$.

Reste à montrer que ces vecteurs en forment une partie génératrice.

Soit $v \in \varphi(\text{Vect}(u_1, \dots, u_n))$. On peut trouver $u \in \text{Vect}(u_1, \dots, u_n)$ tel que $\varphi(u) = v$; et il existe $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ tels que $u = \sum_{i=1}^n \lambda_i u_i$. Alors on a

$$ 
\begin{align*}
v &= \varphi(u) \\
&= \varphi\left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i u_i\right) \\
&= \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \varphi(u_i) .
\end{align*}
$$

On vient de montrer que $v \in \text{Vect}(\varphi(u_1), \dots, \varphi(u_n))$, cette famille est donc bien génératrice de l'espace vectoriel image $\text{Im}(\varphi) = \varphi(\text{Vect}(u_1, \dots, u_n))$. $\square$

**Exercice 3.6.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E, F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie et $\varphi: E \to F$ une application linéaire. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. $\varphi$ est surjective.

2. Pour toute famille génératrice $(u_1, \dots, u_n)$ de $E$, $(\varphi(u_1), \dots, \varphi(u_n))$ est une famille génératrice de $F$.

3. Il existe une famille génératrice $(u_1, \dots, u_n)$ de $E$ telle que $(\varphi(u_1), \dots, \varphi(u_n))$ est une famille génératrice de $F$.

**Proposition 3.7.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E, F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie, et $\varphi: E \to F$. Alors on a $\text{rang}(\varphi) \le \dim(E)$.

En effet, si $n = \dim(E) \ge 1$, alors $E$ a une famille génératrice à $n$ vecteurs; d'après la propriété précédente, l'image de cette partie est une partie génératrice de $\text{Im}(\varphi)$ contenant $n$ vecteurs, donc la dimension de $\text{Im}(\varphi)$ doit être inférieure à $n$. Et si $\dim(E) = 0$, alors $E = \{0_E\}$ et $\text{Im}(\varphi) = \{0_F\}$ est aussi de dimension 0.

**Proposition 3.8.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E, F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels et $\varphi: E \to F$ une application linéaire. Alors $\varphi$ est injective si, et seulement si, $\ker(\varphi) = \{0_E\}$.

**Démonstration.** Supposons $\varphi$ injective, et que $u \in E$ est tel que $\varphi(u) = 0_F$. Alors on a $\varphi(u) = \varphi(0_E)$, et comme $\varphi$ est injective on en déduit $u = 0_E$. Par conséquent si $\varphi$ est injective on a $\ker(\varphi) = \{0_E\}$.

Réciproquement, supposons $\ker(\varphi) = \{0_E\}$, et que $u, v \in E$ sont tels que $\varphi(u) = \varphi(v)$. Alors on a $0_F = \varphi(u) - \varphi(v) = \varphi(u - v)$, par conséquent $u - v \in \ker(\varphi)$ et donc $u - v = 0_E$, c'est-à-dire $u = v$. on vient de montrer que $\varphi$ est injective. $\square$

**Proposition 3.9.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E, F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie et $\varphi: E \to F$ une application linéaire. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. $\varphi$ est injective.

2. Pour toute famille libre $(u_1, \dots, u_n)$ de $E$ la famille $(\varphi(u_1), \dots, \varphi(u_n))$ est libre dans $F$.

3. Il existe une base $(u_1, \dots, u_n)$ de $E$ telle que la famille $(\varphi(u_1), \dots, \varphi(u_n))$ est libre dans $F$.

**Démonstration.** Supposons que $\varphi$ est injective et que $u_1, \dots, u_n$ est une famille libre dans $E$. Soit $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{K}$ tels que $\lambda_1\varphi(u_1) + \dots + \lambda_n\varphi(u_n) = 0_F$.

On utilise tout d'abord la linéarité de $\varphi$ pour voir que $\varphi(\lambda_1 u_1 + \dots + \lambda_n u_n) = 0_F$; puis comme $\varphi$ est injective on en déduit que $\lambda_1 u_1 + \dots + \lambda_n u_n = 0_E$. Enfin, comme $(u_1, \dots, u_n)$ est libre, on conclut que $\lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0_{\mathbb{K}}$. On vient de montrer que $(\varphi(u_1), \dots, \varphi(u_n))$ est libre. Il est clair que la deuxième propriété est plus forte que la troisième; reste à montrer que la troisième implique la première. Soit $(u_1, \dots, u_n)$ une base de $E$ telle que $(\varphi(u_1), \dots, \varphi(u_n))$ soit libre, et $u \in \ker(\varphi)$. Il existe $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ tels que $u = \sum_{i=1}^n \lambda_i u_i$. Et on a

$$ 0_F = \varphi(u) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \varphi(u_i). $$

Comme $(\varphi(u_1), \dots, \varphi(u_n))$ est libre, on en déduit $\lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0$, donc $u = 0_E$. On vient de montrer que $\ker(\varphi) = \{0_E\}$ : $\varphi$ est injective. $\square$
**Corollaire 3.10.** Soit $K$ un corps, $E, F$ deux $K$-espaces vectoriels de dimension finie, et $\varphi: E \to F$ une application linéaire. Si $\varphi$ est injective alors l'image d'une base de $E$ est une base de $\text{Im}(\varphi)$, et en particulier $\text{rang}(\varphi) = \text{dim}(E)$. Réciproquement, si $\text{rang}(\varphi) = \text{dim}(E)$ alors $\varphi$ est injective.

*Démonstration.* On sait que l'image d'une partie génératrice de $E$ est une partie génératrice de $\text{Im}(\varphi)$; et si $\varphi$ est injective alors l'image d'une famille libre est encore libre. Par conséquent, si $\varphi$ est injective l'image d'une base de $E$ est une partie à la fois libre et génératrice de $\text{Im}(\varphi)$, autrement dit une base de $\text{Im}(\varphi)$.

Réciproquement, supposons que $\text{rang}(\varphi) = \text{dim}(E) = n$ et considérons une base $(u_1, \dots, u_n)$ de $E$ : la famille $(\varphi(u_1), \dots, \varphi(u_n))$ est génératrice de $\text{Im}(\varphi)$, et a $n$ éléments; comme $n = \text{rang}(\varphi) = \text{dim}(\text{Im}(\varphi))$, $(\varphi(u_1), \dots, \varphi(u_n))$ doit être une base de $\text{Im}(\varphi)$. En particulier on vient de trouver une base de $E$ dont l'image est une famille libre de $\text{Im}(\varphi)$, donc $\varphi$ est injective. $\square$

**Définition 3.11.** Soit $K$ un corps, $E, F$ deux $K$-espaces vectoriels, et $\varphi: E \to F$ une application linéaire. Si $\varphi$ est bijective on dit que $\varphi$ est un *isomorphisme* de $E$ sur $F$. Si de plus $E = F$ alors on dit que $\varphi$ est un *automorphisme*.

**Théorème 3.12.** Soit $K$ un corps, $E, F$ deux $K$-espaces vectoriels de dimension finie, et $\varphi: E \to F$. Si $\varphi$ est un *isomorphisme* de $E$ sur $F$ alors $\text{dim}(E) = \text{dim}(F)$.

Si $\text{dim}(E) = \text{dim}(F)$ alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. $\varphi$ est bijective.

2. $\varphi$ est injective.

3. $\varphi$ est surjective.

Toutes ces propriétés sont aussi équivalentes à dire que $\varphi$ envoie une base de $E$ sur une base de $F$. Ce théorème peut être vu comme un cas particulier du théorème du rang qu'on verra dans la prochaine section.

*Démonstration.* Si $\varphi$ est un isomorphisme, alors $\varphi$ est injective et donc $\text{rang}(\varphi) = \text{dim}(E)$; mais $\varphi$ est aussi surjective donc $\text{rang}(\varphi) = \text{dim}(F)$. Par conséquent, on doit bien avoir $\text{dim}(E) = \text{dim}(F)$ s'il existe un isomorphisme de $E$ sur $F$. Supposons maintenant que $\text{dim}(E) = \text{dim}(F)$ et montrons que les propriétés (1), (2) et (3) sont équivalentes. Manifestement, (1) est plus forte que (2) et (3). Notons dans la suite $n = \text{dim}(E) = \text{dim}(F)$.

Supposons $\varphi$ injective, et soit $(u_1, \dots, u_n)$ une base de $E$. Alors, d'après 3.9, on sait que $(\varphi(u_1), \dots, \varphi(u_n))$ est une famille libre de $F$, et cette famille libre a $n = \text{dim}(F)$ éléments. C'est donc une base. On vient de montrer que l'image d'une base de $E$ est une base de $F$ : $\varphi$ est bijective.

Reste à montrer que si $\varphi$ est surjective alors $\varphi$ est bijective; le raisonnement est très proche du précédent : si $(u_1, \dots, u_n)$ est une base de $E$ alors 3.6, on sait que $(\varphi(u_1), \dots, \varphi(u_n))$ est une famille génératrice de $F$, et cette famille génératrice a $n = \text{dim}(F)$ éléments. C'est donc une base. On vient de montrer que l'image d'une base de $E$ est une base de $F$ : $\varphi$ est bijective. $\square$

En particulier : il ne peut y avoir d'isomorphisme entre $K^n$ et $K^m$ que si $n = m$; et une application linéaire de $K^n$ dans lui-même est bijective ssi elle est injective ssi elle est surjective.

## 3.2 Le théorème du rang

**Lemme 3.13.** Soit $K$ un corps, $E, F$ deux $K$-espaces vectoriels, et $\varphi: E \to F$ une application linéaire. Supposons que $E = \text{ker}(\varphi) \oplus H$. Alors la restriction de $\varphi$ à $H$ induit un isomorphisme de $H$ sur $\text{Im}(\varphi)$.

*Démonstration.* Commençons par montrer que la restriction de $\varphi$ à $H$ est injective : si $u$ appartient à son noyau, alors on a à la fois $\varphi(u) = 0_F$ et $u \in H$; autrement dit, $u \in \text{ker}(\varphi) \cap H = \{0_E\}$ puisque $H$ et $\text{ker}(\varphi)$ sont en somme directe.

Pour montrer que l'application est surjective de $H$ sur $\text{Im}(\varphi)$, considérons $v \in \text{Im}(\varphi)$; il existe $u \in E$ tel que $\varphi(u) = v$, et puisque $\text{ker}(\varphi) \oplus H = E$ on peut écrire $u = u_1 + u_2$ avec $u_1 \in \text{ker}(\varphi)$ et $u_2 \in H$. Mais alors on a

$$ \varphi(u) = \varphi(u_1 + u_2) = \varphi(u_1) + \varphi(u_2) = 0 + \varphi(u_2) = \varphi(u_2). $$

Par conséquent $v$ appartient à l'image de $H$ par $\varphi$, ce qu'on souhaitait démontrer. $\square$
**Théorème 3.14** (Théorème du rang). *Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E, F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie, et $\varphi: E \to F$ une application linéaire. Alors on a*

$$ \mathrm{rang}(\varphi) + \dim(\ker(\varphi)) = \dim(E). $$

En particulier, si $\dim(E) < \dim(F)$ alors $\varphi$ ne peut pas être surjective; et si $\dim(E) > \dim(F)$ alors son noyau ne peut pas être réduit à $\{0_E\}$, donc $\varphi$ ne peut pas être injective.

*Démonstration.* Comme $E$ est de dimension finie et $\ker(\varphi)$ est un sous-espace vectoriel de $E$, on peut trouver un supplémentaire $H$ de $\ker(\varphi)$ dans $E$. Alors la formule de GRASSMANN nous dit que

$$ \dim(\ker(\varphi)) + \dim(H) = \dim(E). $$

Mais puisque $\varphi$ induit un isomorphisme de $H$ sur $\mathrm{Im}(\varphi)$, on a $\dim(H) = \dim(\mathrm{Im}(\varphi)) = \mathrm{rang}(\varphi)$, et on obtient bien

$$ \mathrm{rang}(\varphi) + \dim(\ker(\varphi)) = \dim(E). $$

□

## 3.3 Définition d'une application linéaire à partir de ses valeurs sur une base

**Proposition 3.15.** *Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E, F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels et $(u_1, \dots, u_n)$ une base de $E$. Alors pour toute famille $(v_1, \dots, v_n)$ de vecteurs de $F$ il existe une unique application linéaire $\varphi: E \to F$ telle que $\varphi(u_1) = v_1, \dots, \varphi(u_n) = v_n$.*

*Démonstration.* Commençons par montrer qu'une telle application, si elle existe est unique : si $\varphi, \psi$ sont deux applications linéaires telles que $\varphi(u_i) = \psi(u_i) = v_i$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, alors $(\varphi - \psi)(u_i) = 0_F$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$; par conséquent $\ker(\varphi - \psi)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ qui contient tous les $u_i$ : c'est $E$ tout entier puisque la famille $(u_1, \dots, u_n)$ est génératrice. Donc $(\varphi - \psi)(u) = 0_F$ pour tout $u \in E$, autrement dit $\varphi = \psi$.

Cet argument nous dit que, pour définir $\varphi$, on n'a pas beaucoup de choix : tout vecteur $u$ s'écrit de manière unique sous la forme $u = \lambda_1 u_1 + \dots + \lambda_n u_n$, et on pose

$$ \varphi(u) = \lambda_1 \varphi(u_1) + \dots + \lambda_n \varphi(u_n). $$

Reste à vérifier que $\varphi$ ainsi définie est linéaire; pour $u, v \in E$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, on a des scalaires $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ et $\mu_1, \dots, \mu_n$ tels que

$$ u = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} u_{i} \quad \text{et} \quad v = \sum_{i=1}^{n} \mu_{i} u_{i}. $$

Donc

$$ \lambda u + v = \sum_{i=1}^{n} (\lambda \lambda_{i} + \mu_{i}) u_{i}. $$

Par définition de $\varphi$, on obtient

$$ \begin{align*} \varphi(\lambda u + v) &= \varphi \left( \sum_{i=1}^{n} (\lambda \lambda_i + \mu_i) u_i \right) \\ &= \sum_{i=1}^{n} (\lambda \lambda_i + \mu_i) \varphi(u_i) \\ &= \lambda \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \varphi(u_i) + \sum_{i=1}^{n} \mu_i \varphi(u_i) \\ &= \lambda \varphi(u) + \varphi(v). \end{align*} $$

□
**Corollaire 3.16.** Soit $\mathbb{K}$ un corps et $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n \ge 1$. Alors $E$ est isomorphe à $\mathbb{K}^n$.

*Démonstration.* Soit $(e_1, \dots, e_n)$ la base canonique de $\mathbb{K}^n$, et $(u_1, \dots, u_n)$ une base de $E$. Par la proposition précédente, il existe une unique application linéaire de $\mathbb{K}^n$ sur $E$ telle que $\varphi(e_i) = u_i$; par construction, cette application envoie une base de $\mathbb{K}^n$ sur une base de $E$ et est donc un isomorphisme. $\square$

On voit donc que deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de même dimension finie sont isomorphes. Dans la suite, on prendra la convention que $\mathbb{K}^0 = \{0_{\mathbb{K}}\}$.

**Proposition 3.17.** Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n$, et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension $k$. Alors il existe une application linéaire $\varphi: E \to \mathbb{K}^{n-k}$ tel que $F = \ker(\varphi)$

(Notons qu'on convient que $\mathbb{K}^0 = \{0_{\mathbb{K}}\}$, ce qui est cohérent avec le fait que $\dim(\mathbb{K}^n) = n$)

*Démonstration.* Si $k = n$, autrement dit si $F = E$, l'application $E \to \mathbb{K}^0 = \{0_{\mathbb{K}}\}$ qui envoie tout $u \in E$ sur $0_{\mathbb{K}}$ convient. Sinon, partons d'une base $(e_1, \dots, e_k)$ de $F$ et complétons-la (grâce au théorème de la base incomplète) en une base $(e_i)_{i \le n}$ de $E$. Soit $f_1, \dots, f_{n-k}$ la base canonique de $\mathbb{K}^{n-k}$, et $\varphi$ l'unique application linéaire telle que $\varphi(e_i) = 0$ pour tout $i \le k$, et $\varphi(e_{k+i}) = f_i$ pour tout $i \in \{1, \dots, n-k\}$. Alors il est clair que $F \subseteq \ker(\varphi)$, et que $\mathrm{Im}(\varphi) = \mathbb{K}^{n-k}$. Le théorème du rang nous donne $\dim(\ker(\varphi)) = k = \dim(F)$, donc $F = \ker(\varphi)$. $\square$

## 3.4 Applications linéaires et matrices

Si $(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$, alors d'après la proposition 3.15 toute l'information sur $\varphi$ est contenue dans la valeur des vecteurs $\varphi(e_1), \dots, \varphi(e_n)$; on peut regrouper cette information dans une matrice.

**Définition 3.18.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E, F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie et $\varphi: E \to F$ une application linéaire. Etant données une base $B = (e_1, \dots, e_m)$ de $E$ et une base $B' = (f_1, \dots, f_n)$ de $F$, on peut écrire pour tout $j$

$$ \varphi(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{i,j} f_i . $$

La matrice de $\varphi$ dans les bases $B, B'$ est la matrice

$$ \mathrm{Mat}_{B',B}(\varphi) := (a_{i,j})_{\substack{1 \le j \le m \\ 1 \le i \le n}} . $$

Autrement dit : la matrice de $\varphi$ dans les bases $B, B'$ est la matrice dont la $j$-ième colonne correspond aux coordonnées du vecteur $\varphi(e_j)$ dans la base $(f_1, \dots, f_n)$. Le nombre de colonnes de cette matrice correspond à la dimension de l'espace de départ, et le nombre de lignes correspond à la dimension de l'espace d'arrivée.

Quand $E = F$ et $B = B'$, on parle simplement de la matrice de $\varphi$ dans la base $B$.

Donnons quelques exemples.

**Exemple.** 1. Considérons la rotation d'angle $\pi/2$ dans $\mathbb{R}^2$, dont on note la base canonique $(e_1, e_2)$ : elle envoie $e_1$ sur $e_2$ et $e_2$ sur $-e_1$, et sa matrice dans la base canonique est donc $$ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} . $$

2. Soit l'application $\varphi: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^2$ définie par $\varphi(x, y, z, t) = (x+y+t, z-y)$. En notant $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ la base canonique de $\mathbb{R}^4$ et $(f_1, f_2)$ la base canonique de $\mathbb{R}^2$ on a : $\varphi(e_1) = (1,0) = f_1$; $\varphi(e_2) = (1,-1) = f_1 - f_2$; $\varphi(e_3) = (0,1) = f_2$, et $\varphi(e_4) = (1,0) = f_1$. La matrice de $\varphi$ dans les bases canoniques est donc $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} . $$

3. Considérons l'espace $\mathbb{R}_4[X]$ muni de la base $(1, X, X^2, X^3, X^4)$ et l'application linéaire $P \mapsto P - XP'$. Alors on a $\varphi(1) = 1$, $\varphi(X) = 0$, $\varphi(X^2) = -X^2$, $\varphi(X^3) = -2X^3$ et $\varphi(X^4) = -3X^4$. La matrice de $\varphi$ dans cette base est donc

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} . $$
Une application linéaire n'est associée à des matrices différentes si on change les bases de départ et d'arrivée, de même que deux applications linéaires peuvent être associées à la même matrice dans des bases différentes ! Par exemple, si $\varphi: E \to E$ est un isomorphisme d'un espace de dimension finie $E$ sur lui-même, que $(e_1, \dots, e_n) = B$ est une base de $E$, alors $B' = (\varphi(e_1), \dots, \varphi(e_n))$ est aussi une base de $E$; et la matrice $\mathrm{Mat}_{B',B}(\varphi)$ est la matrice identité $I_n$ (où $n = \dim(E)$). Retenez bien que l'association entre une application linéaire et une matrice n'a de sens que si on spécifie les bases de départ et d'arrivée.

Le calcul fait dans la preuve de la Proposition 3.15 nous permet d'explicitier comment utiliser des matrices pour calculer les images de vecteurs par une application linéaire en utilisant leurs coordonnées dans la base de départ, donnant alors leurs coordonnées dans la base d'arrivée.

**Proposition 3.19.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E, F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie et $\varphi: E \to F$ une application linéaire, $B = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$ et $B' = (f_1, \dots, f_n)$ une base de $F$, $A = \mathrm{Mat}_{B',B}(\varphi)$ la matrice de $\varphi$ de la base $B$ dans la base $B'$. Pour tout $u \in E$, on définit $X = \mathrm{Mat}_B(u) = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix}$, où $x_1, \dots, x_m \in \mathbb{K}$ sont les coordonnées de $u$ dans la base $B$. Alors, si $\varphi(u) = a_1 f_1 + \dots + a_n f_n$, on a

$$AX = \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} = \mathrm{Mat}_{B'}(\varphi(u)) = \mathrm{Mat}_{B',B}(\varphi) \mathrm{Mat}_B(u).$$

Autrement dit : calculer le vecteur $\varphi(u)$ revient à calculer le vecteur colonne $AX$, car se sont ses coordonnées dans la base $B'$.

En particulier, déterminer le noyau de $\varphi$ revient matriciellement à résoudre l'équation $AX = 0_n$ dans $M_{m,1}(\mathbb{K})$; comme on l'a vu au chapitre précédent, une façon de résoudre ce système est d'échelonner $A \in M_{n,m}(\mathbb{K})$ en lignes (en termes d'application linéaires : remplacer $\varphi$ par $\psi \circ \varphi$, où $\psi$ est un automorphisme de $F$, ne change pas le noyau de $\varphi$).

On identifie le noyau $A \in M_{n,m}(\mathbb{K})$ (un sous-ensemble de $\mathbb{K}^m$) avec le noyau de l'application linéaire $\varphi$ dont la matrice dans les bases canoniques de $\mathbb{K}^m$ et $\mathbb{K}^n$ est égale à $A$.

Rappelons aussi que $A \in M_n(\mathbb{K})$ est inversible si, et seulement si, le système $AX = 0_n$ n'a que $0_n$ comme solution ; d'après le résultat ci-dessus cela arrive si et seulement si l'application linéaire $\varphi$ dont $A$ est la matrice dans la base canonique a un noyau réduit à $\{0_n\}$, autrement dit si et seulement si $\varphi$ est un automorphisme de $\mathbb{K}^n$.

Dans le même ordre d'idées, déterminer l'image de $\varphi$ revient à trouver tous les $Y \in M_{n,1}(\mathbb{K})$ tels que le système $AX = Y$ a une solution, ou encore l'espace vectoriel engendré par les colonnes de $A$; cette fois on a vu qu'on pouvait faire cela en échelonnant $A$ en colonnes (remplacer $\varphi$ par $\varphi \circ \psi$, où $\psi$ est un automorphisme de $E$, ne change pas son image).

**Démonstration.** Rappelons que le coefficient $a_{i,j}$ de $A$ est défini par l'égalité

$$\varphi(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{i,j} f_i.$$

Si les coordonnées de $u$ dans la base $B$ sont $x_1, \dots, x_n$, c'est-à-dire si on a $u = \sum_{k=1}^{m} x_k e_k$ alors :

$$\begin{align*}
\varphi(u) &= \varphi \left( \sum_{k=1}^{m} x_k e_k \right) \\
&= \sum_{k=1}^{m} x_k \varphi(e_k) \\
&= \sum_{k=1}^{m} x_k \left( \sum_{i=1}^{n} a_{i,k} f_i \right) \\
&= \sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{k=1}^{m} a_{i,k} x_k \right) f_i.
\end{align*}$$
Pour $i \in \{1, \dots, n\}$, la $i$-ième coordonnée de $\varphi(u)$ est donc égale à $\sum_{k=1}^{m} a_{i,k}x_k$, qui est bien le coefficient sur la $i$-ème ligne de $AX$. $\square$

Rappelons que, étant données deux matrices $A \in M_{n,m}(\mathbb{K})$ et $B \in M_{m,p}(\mathbb{K})$, si on appelle $B_1, \dots, B_p$ les colonnes de $B$, alors $AB$ est la matrice de $M_{n,p}(\mathbb{K})$ dont les colonnes sont $AB_1, \dots, AB_p$. Au cas où ce ne serait pas clair, refaisons le calcul : pour tout $j \in \{1, \dots, p\}$, $B_j$ est la matrice à $m$ lignes et 1 colonne $\begin{pmatrix} b_{1,j} \\ \vdots \\ b_{m,j} \end{pmatrix}$; donc $AB_j$ est la matrice à $n$ lignes et 1 colonne dont le coefficient sur la ligne $i$ est égal à $\sum_{k=1}^{m} a_{i,k}b_{k,j}$. On voit donc que, comme annoncé, $AB_j$ est la $j$-ième colonne de $AB$.

**Proposition 3.20.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E_1, E_2, E_3$ trois espaces vectoriels de dimension finie et $B_1, B_2, B_3$ des bases de $E_1, E_2, E_3$ respectivement. Alors, pour toutes applications linéaires $\varphi: E_2 \to E_3$ et $\psi: E_1 \to E_2$ on a

$$ \mathrm{Mat}_{B_3, B_1}(\varphi \circ \psi) = \mathrm{Mat}_{B_3, B_2}(\varphi) \mathrm{Mat}_{B_2, B_1}(\psi). $$

On retrouve ici le lien entre composition d'applications et produit de matrices qui nous a servi à introduire le produit de matrices...

**Démonstration.** Notons $B = (u_1, \dots, u_{n_1})$. Soit $n_i$ la dimension de $E_i$. Alors $\mathrm{Mat}_{B_3, B_1}(\varphi \circ \psi)$ est la matrice à $n_3$ lignes et $n_1$ colonnes dont la $j$-ième colonne est formée des coordonnées de $\varphi \circ \psi(u_j)$ dans la base $B_3$.

Quant à $\mathrm{Mat}_{B_3, B_2}(\varphi) \mathrm{Mat}_{B_2, B_1}(\psi)$, c'est la matrice à $n_3$ lignes et $n_1$ colonnes dont la $j$-ième colonne est égale au produit $\mathrm{Mat}_{B_3, B_2}(\varphi)G_j$, où $G_j$ est la $j$-ième colonne de $\mathrm{Mat}_{B_2, B_1}(\psi)$, c'est-à-dire la matrice colonne formée des coordonnées de $\psi(u_j)$ dans la base $B_2$. La $j$-ième colonne de $\mathrm{Mat}_{B_3, B_2}(\varphi) \mathrm{Mat}_{B_2, B_1}(\psi)$ est donc formée des coordonnées de $\varphi(\psi(u_j))$ dans la base $B_3$, ce qui nous démontre bien l'égalité attendue. $\square$

**Définition 3.21.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n \ge 1$, et $B = (e_1, \dots, e_n)$, $B' = (f_1, \dots, f_n)$ deux bases de $E$. La matrice de passage $P_B^{B'}$ de $B$ à $B'$ est la matrice $P_B^{B'} := \mathrm{Mat}_{B, B'}(\mathrm{id}_E)$; autrement dit, c'est la matrice de $M_n(\mathbb{K})$ dont la $j$-ième colonne donne les coordonnées de $f_j$ exprimés dans la base $B$.

Attention aux conventions! La matrice de passage de $B$ à $B'$ est bien définie comme la matrice de l'identité de $B'$ vers $B$! Chacune de ses colonnes correspond à un vecteur de $B'$ et chaque ligne à un vecteur de $B$. Pour cette raison je recommanderais d'utiliser la notation lourde mais explicite $\mathrm{Mat}_{B, B'}(\mathrm{id}_E)$ plutôt que la notation $P_B^{B'}$. Ci-dessous on va tout de même énoncer quelques propriétés des matrices de passage en utilisant la notation $P_B^{B'}$, qui est la plus communément utilisée.

**Proposition 3.22.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n \ge 1$, et $B, B'$ deux bases de $E$. Alors la matrice de passage $P_B^{B'}$ est inversible, et son inverse est la matrice de passage $P_{B'}^B$ de $B'$ à $B$.

**Démonstration.** Si on raisonne en termes d'applications linéaires, ce résultat est immédiat :

$$ P_B^{B'} P_{B'}^B = \mathrm{Mat}_{B, B'}(\mathrm{id}_E) \mathrm{Mat}_{B', B}(\mathrm{id}_E) = \mathrm{Mat}_{B, B}(\mathrm{id}_E) = I_n. $$

$\square$

Réciproquement, toute matrice inversible peut être vue comme une matrice de passage : si $A \in GL_n(\mathbb{K})$ est inversible, ses vecteurs colonnes sont les coordonnées de vecteurs qui forment une base $B'$ de $\mathbb{K}^n$, lui-même muni de sa base canonique $B$. Donc $A$ est la matrice de passage de $B$ à $B'$. Comprendre cette quasi-tautologie est le problème essentiel des matrices de passage.

**Proposition 3.23.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n \ge 1$, et $B, B'$ deux bases de $E$. Si $x \in E$, et $X, X'$ désignent les vecteurs colonnes donnant les coordonnées de $x$ dans les bases $B, B'$ respectivement, alors on a $X = P_B^{B'} X'$.

**Démonstration.** Par définition, $P_B^{B'} X' = \mathrm{Mat}_{B, B'}(\mathrm{id}_E)X'$ est la matrice colonne listant les coordonnées de $\mathrm{id}(x) = x$ dans la base $B$ : c'est $X$. $\square$
**Proposition 3.24.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E, F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie $\ge 1$, et $\varphi: E \to F$ une application linéaire. Soit $B_E, B'_E$ deux bases de $E$ ; $B_F, B'_F$ deux bases de $F$, et $P, Q$ les matrices de passage de $B_E$ à $B'_E$ et $B_F$ à $B'_F$ respectivement. Si $M$ est la matrice de $\varphi$ de $B_E$ dans $B_F$, et $M'$ est la matrice de $\varphi$ de $B'_E$ dans $B'_F$, alors on a

$$M' = Q^{-1}MP .$$

*Démonstration.* Les définitions de $P$ et $Q$ sont : $P = \mathrm{Mat}_{B_E, B'_E}(\mathrm{id}_E)$ et $Q = \mathrm{Mat}_{B_F, B'_F}(\mathrm{id}_F)$. On écrit

$$
\begin{align*}
M' &= \mathrm{Mat}_{B'_F, B'_E}(\varphi) \\
   &= \mathrm{Mat}_{B'_F, B_F}(\mathrm{id}) \mathrm{Mat}_{B_F, B_E}(\varphi) \mathrm{Mat}_{B_E, B'_E}(\mathrm{id}) \\
   &= Q^{-1}MP.
\end{align*}
$$

□

En particulier, quand $E = F$, que $M$ désigne la matrice de $\varphi$ dans la base $B$, $M'$ la matrice de $\varphi$ dans la base $B'$ et $P$ la matrice de passage de $B$ à $B'$ alors on a

$$M' = P^{-1}MP .$$

Par exemple, considérons l'application linéaire de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$ définie par

$$\varphi(x, y, z) = (9x - y - 6z, 5x + 3y - 6z, x - y + 2z) .$$

Cette application est linéaire, et sa matrice dans la base canonique $(e_1, e_2, e_3)$ est

$$\begin{pmatrix} 9 & -1 & -6 \\ 5 & 3 & -6 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} .$$

Calculons la matrice de $\varphi$ dans une autre base par exemple la famille de vecteurs $(f_1, f_2, f_3) = ((1, 1, 1), (1, -1, 1), (1, 1, 0))$. On a vu dans le chapitre sur les matrices une méthode basée sur le pivot de GAUSS qu'on pourrait appliquer pour montrer que la matrice de passage de la base canonique $e$ à la base $f$

$$P_e^f = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

est inversible, et calculer son inverse. Il y a d'autres méthodes : par exemple, pour montrer que $(f_1, f_2, f_3)$ est une base il nous suffit de montrer qu'elle est génératrice car c'est une famille de 3 vecteurs de $\mathbb{R}^3$, qui est de dimension 3. Autrement dit peut-on exprimer $(e_1, e_2, e_3)$ comme combinaisons linéaires de $(f_1, f_2, f_3)$ ? Les coefficients de ces combinaisons linéaires nous donneront alors la matrice $P_f^e$. Essayons d'exprimer $(e_1, e_2, e_3)$ en fonction de $(f_1, f_2, f_3)$, sachant qu'on a

$$\left\{ \begin{array}{l} f_1 = e_1 + e_2 + e_3 \\ f_2 = e_1 - e_2 + e_3 \\ f_3 = e_1 + e_2. \end{array} \right.$$

En considérant $L_1-L_2$, on obtient que $2e_2 = f_1-f_2$ soit $e_2 = \frac{1}{2}f_1 - \frac{1}{2}f_2$ ; et avec $L_1-L_3$ on arrive à $e_3 = f_1 - f_3$. Il est alors facile d'obtenir

$$e_1 = f_3 - \frac{f_1 - f_2}{2} = -\frac{1}{2}f_1 + \frac{1}{2}f_2 + f_3 .$$

On voit donc que l'espace vectoriel engendré par $(f_1, f_2, f_3)$ contient $e_1, e_2, e_3$ et est donc égal à $\mathbb{R}^3$. Donc $(f_1, f_2, f_3)$ forment une base de $\mathbb{R}^3$; de plus on a calculé la matrice de passage de $(f_1, f_2, f_3)$ à $(e_1, e_2, e_3)$, autrement dit la matrice $P_f^e = P_e^{f-1}$, qui est égale à

$$P_f^e = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} .$$
Pour calculer la matrice $M'$ de $\varphi$ dans la base $(f_1, f_2, f_3)$ il nous reste à calculer

$$
\begin{align*}
M' &= \mathrm{Mat}_f(\varphi) = \mathrm{Mat}_{f,e}(\mathrm{id})\mathrm{Mat}_e(\varphi)\mathrm{Mat}_{e,f}(\mathrm{id}) = P_f^e M P_e^f \\
  &= (P_f^e M) P_e^f \\
  &= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & 0 \\ 8 & 0 & -8 \end{pmatrix} P_e^f \\
  &= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}.
\end{align*}
$$

Ceci revient à dire que $\varphi(f_1) = 2f_1$, $\varphi(f_2) = 2f_2$ et $\varphi(f_3) = 4f_3$; notons que la matrice $M'$ est diagonale, et qu'il est beaucoup plus simple de comprendre les propriétés de $\varphi$ en regardant $M'$ que $M$. Par exemple, on voit immédiatement que $\varphi$ est surjective et donc que $\varphi$ est un automorphisme de $\mathbb{R}^3$.

**Définition 3.25.** Soit $n, m \in \mathbb{N}^*$, $\mathbb{K}$ un corps et $A, B \in M_{n,m}(\mathbb{K})$. On dit que $A$ et $B$ sont équivalentes s'il existe deux matrices inversibles $P \in GL_n(\mathbb{K})$ et $Q \in GL_m(\mathbb{K})$ telles que $A = PBQ$.

Si $n = m$ et qu'on peut écrire $A = P^{-1}BP$ pour une matrice inversible $P \in GL_n(\mathbb{K})$, alors on dit que $A$ et $B$ sont semblables.

Si on raisonne en termes d'applications linéaires : deux matrices équivalentes dans $M_{n,m}(\mathbb{K})$ peuvent être vues comme représentant la même application de $\mathbb{K}^m$ dans $\mathbb{K}^n$ quitte à changer les bases au départ et à l'arrivée ; deux matrices semblables dans $M_n(\mathbb{K})$ peuvent être vues comme représentant la même application linéaire de $\mathbb{K}^n$ dans $\mathbb{K}^n$ quitte à changer de base (avec la même base au départ et à l'arrivée).

## 3.5 Rang d'une matrice et de sa transposée

**Définition 3.26.** Soit $A \in M_{n,m}(\mathbb{K})$. Le rang de $A$ est la dimension du sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}^n$ engendré par les colonnes de $A$.

Autrement dit : si $\varphi \in \mathcal{L}(\mathbb{K}^m; \mathbb{K}^n)$ est l'application dont la matrice dans les bases canoniques de $\mathbb{K}^m$ et $\mathbb{K}^n$ est $A$, alors $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(\varphi)$ suivant Définition 3.4.

**Proposition 3.27.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $n, m \in \mathbb{N}^*$ et $A, B \in M_{n,m}(\mathbb{K})$ deux matrices équivalentes. Alors $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(B)$.

*Démonstration.* Une première preuve s'appuie sur la forme échelonnée réduite d'une matrice de rang $r$ donné, en échelonnant suivant les lignes $A$, on construit une matrice inversible $E \in GL_n(\mathbb{K})$ telle que $EAS =$
$$
\begin{pmatrix}
I_r & 0_{r,m-r} \\
0_{n-r,r} & 0_{n-r,m-r}
\end{pmatrix}
$$
à une permutation $S \in GL_m(\mathbb{K})$ des colonnes près et de même, en échelonnant $B$ suivant les colonnes, on obtient $F \in GL_m(\mathbb{K})$ telle que $S'BF$ est la même matrice, avec $S' \in GL_n(\mathbb{K})$ une permutation des lignes. Ainsi, $EAS = S'BF$ et $A = (E^{-1}S')B(FS^{-1})$ sont équivalentes.

Raisonnons en termes d'applications linéaires : si $\varphi: \mathbb{K}^m \to \mathbb{K}^n$ est une application linéaire et $\psi_1: \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^n$, $\psi_2: \mathbb{K}^m \to \mathbb{K}^m$ sont des automorphismes, alors le noyau de $\psi_1 \circ \varphi$ et celui de $\varphi$ sont égaux, donc $\mathrm{rang}(\psi_1 \circ \varphi) = \mathrm{rang}(\varphi)$. Et l'image de $\psi_1 \circ \varphi \circ \psi_2$ et celle de $\psi_1 \circ \varphi$ sont égales, donc

$$ \mathrm{rang}(\psi_1 \circ \varphi \circ \psi_2) = \mathrm{rang}(\psi_1 \circ \varphi) = \mathrm{rang}(\varphi). $$

**Théorème 3.28.** Soit $\mathbb{K}$ un corps $n, m \in \mathbb{N}^*$ et $A, B \in M_{n,m}(\mathbb{K})$ deux matrices. Alors $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(B)$ si, et seulement si, $A$ et $B$ sont équivalentes.

*Démonstration.* On vient de voir une implication ; si $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(B) = 0$ alors $A$ et $B$ sont nulles et donc équivalentes. Il nous suffit maintenant de montrer que, si $\mathrm{rang}(A) = r \ge 1$ alors $A$ est équivalente $C$ de $M_{n,m}(\mathbb{K})$ de coefficients

$$ c_{i,j} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \le r, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases} $$
Pour cela, considérons l'application linéaire $\varphi$ dont la matrice dans les bases canoniques $B_m = (e_1, \dots, e_m)$, $B_n = (f_1, \dots, f_n)$ de $\mathbb{K}^m$ et $\mathbb{K}^n$ est égale à $A$. Comme rang($\varphi$) = $r$, on sait qu'il existe $(e_{i_1}, \dots, e_{i_r})$ tels que $(\varphi(e_{i_1}), \dots, \varphi(e_{i_r}))$ forment une base de $\text{Im}(\varphi)$. En notant $f'_j = \varphi(e_{i_j})$, on peut compléter (si $r < n$; sinon on ne fait rien) la famille $(f'_1, \dots, f'_r)$ en une base $B'_n = (f'_1, \dots, f'_n)$ de $\mathbb{K}^n$.

En notant $E$ le sous-espace vectoriel engendré par $(e_{i_1}, \dots, e_{i_r})$, on sait que $\varphi$ est injective sur $E$ (elle envoie une base de $E$ sur une famille libre) donc $E \cap \ker(\varphi) = \{0\}$. Comme de plus $\dim(E) + \dim(\ker(\varphi)) = \text{rang}(\varphi) + \dim(\ker(\varphi)) = m$, on en déduit que $E$ et $\ker(\varphi)$ sont supplémentaires. Si $\ker(\varphi) \neq \{0\}$, on peut donc compléter $(e_{i_1}, \dots, e_{i_r}) = (e'_1, \dots, e'_r)$ en une base $B'_m = (e'_1, \dots, e'_m)$ de $\mathbb{K}^m$. Par construction, on a $\varphi(e'_i) = f'_i$ si $1 \le i \le r$, et $\varphi(e'_i) = 0$ sinon. Autrement dit, la matrice de $\varphi$ dans les bases $B'_m, B'_n$ est égale à $C$; si on note $P$ la matrice de passage de $B_m$ à $B'_m$ et $Q$ la matrice de passage de $B_n$ à $B'_n$, on vient de montrer que $C = Q^{-1}AP$, autrement dit $A$ et $C$ sont équivalentes.

**Proposition 3.29.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $n, m \in \mathbb{N}^*$ et $A \in M_{n,m}(\mathbb{K})$. Alors le rang de $A$ et celui de $A^t$ sont égaux.

*Démonstration.* Soit $r = \text{rang}(A)$. En notant comme ci-dessus $C$ la matrice de $M_{n,m}(\mathbb{K})$ de coefficients

$$c_{i,j} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \le r, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}$$

(qui est la matrice nulle si $r=0$) on a des matrices inversibles $P \in M_m(\mathbb{K})$ et $Q \in M_n(\mathbb{K})$ telles que $A = QCP$. En transposant, cela nous donne $A^t = P^t C^t Q^t$. Comme $P^t$ et $Q^t$ sont inversibles, on en déduit que $A^t$ est équivalente à $C^t$; et manifestement $C^t$ est de rang $r$, donc $\text{rang}(A^t) = r$. $\square$

**Exercice 3.30.** Soit $n, m, p \in \mathbb{N}^*$, $\mathbb{K}$ un corps et $A \in M_{n,m}(\mathbb{K})$, $B \in M_{m,p}(\mathbb{K})$. Montrer que $\text{rang}(AB) \le \max(\text{rang}(A), \text{rang}(B))$.

## 3.6 Trace d'une matrice et d'un endomorphisme

**Définition 3.31.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $n \in \mathbb{N}^*$ et $A = (a_{i,j})_{1 \le i,j \le n} \in M_n(\mathbb{K})$. La trace de $A$, notée $\text{tr}(A)$, est le scalarial $\sum_{i=1}^n a_{i,i}$.

**Proposition 3.32 (Circularité de la trace).** Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A, B \in M_n(\mathbb{K})$. Alors $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$.

*Démonstration.* Le coefficient sur la $i$-ième ligne et la $i$-ième colonne de $AB$ est égal à

$$\sum_{k=1}^{n} a_{i,k} b_{k,i}.$$

On en déduit l'égalité

$$\text{tr}(AB) = \sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{k=1}^{n} a_{i,k} b_{k,i} \right).$$

En échangeant le rôle de $A$ et $B$ dans cette formule, on obtient

$$\text{tr}(BA) = \sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{k=1}^{n} b_{i,k} a_{k,i} \right).$$

En permutant les deux sommes, on arrive bien à

$$\text{tr}(BA) = \sum_{k=1}^{n} \left( \sum_{i=1}^{n} a_{k,i} b_{i,k} \right) = \sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{k=1}^{n} a_{i,k} b_{k,i} \right) = \text{tr}(AB).$$

**Proposition 3.33.** Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $\mathbb{K}$ un corps et $A, B \in M_n(\mathbb{K})$ deux matrices semblables. Alors $\text{tr}(A) = \text{tr}(B)$.
**Démonstration.** Par définition, il existe une matrice inversible $P \in GL_n(\mathbb{K})$ telle que $A = P^{-1}BP$. On peut alors écrire

$$ \mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(P^{-1}(BP)) = \mathrm{tr}((BP)P^{-1}) = \mathrm{tr}(B). \quad \square $$

**Proposition 3.34.** Soit $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un espace vectoriel de dimension finie, et $\varphi$ un endomorphisme de $E$. Alors pour toutes bases $B, B'$ on a

$$ \mathrm{tr}(\mathrm{Mat}_B(\varphi)) = \mathrm{tr}(\mathrm{Mat}_{B'}(\varphi)). $$

On appelle cette valeur la trace de $\varphi$ et on la note $\mathrm{tr}(\varphi)$.

**Démonstration.** C'est une conséquence immédiate de la question précédente, puisque si $P$ désigne la matrice de passage de $B$ à $B'$ on sait que $\mathrm{Mat}_{B'}(\varphi) = P^{-1}\mathrm{Mat}_B(\varphi)P$. $\square$

**Remarque 3.35.** Nous avons donc deux invariants de matrices, à côté bien-sûr des dimensions,

- le rang, un entier qui est caractéristique de deux matrices équivalentes $A$ et $B$ avec $A = QBP, Q$ et $P$ inversibles,

- et la trace, un scalaire, qui est un invariant partagé par deux matrices semblables avec $A = P^{-1}BP$, mais qui ne leur est pas caractéristique.

## 3.7 Sous-espaces vectoriels et endomorphismes de $\mathbb{R}^n$

On a vu plus haut que, pour tout sous-espace vectoriel $E$ de dimension $k$ dans $\mathbb{R}^n$, il existe une application linéaire surjective $\varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n-k}$ telle que $E = \ker(\varphi)$. En d'autre termes il existe une matrice $A \in M_{n-k,n}(\mathbb{R})$ de rang $n-k$ et telle que $E$ est égal à l'ensemble

$$ \{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n : \forall i \in \{1, \dots, n-k\} \sum_{j=1}^n a_{i,j}x_j = 0\}. $$

On appelle l'identité ci-dessus une équation cartésienne de $E$; vous avez déjà vu de telles équations. Par exemple, un espace vectoriel de dimension 1 dans $\mathbb{R}^2$ est une droite $D$, et en donner une équation cartésienne revient à trouver deux réels non nuls $a, b$ tels que

$$ D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : ax + by = 0\}. $$

Dans $\mathbb{R}^3$, il va nous falloir deux équations (non proportionnelles!) pour définir une droite $D$, qu'on décrira comme l'ensemble des solutions du système

$$ \begin{cases} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + a_{1,3}x_3 = 0, \\ a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 + a_{2,3}x_3 = 0. \end{cases} $$

En général, un sous-espace de dimension $k$ dans $\mathbb{R}^n$ peut donc se décrire comme l'ensemble des solutions de système de $n-k$ équations à $n$ inconnues. Un cas particulier important est celui où il n'y a qu'une équation.

**Définition 3.36.** Soit $\mathbb{K}$ un corps et $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $\ge 1$. Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est un hyperplan si $\dim(F) = \dim(E) - 1$.

Par exemple, un hyperplan de $\mathbb{R}^2$ est une droite; un hyperplan de $\mathbb{R}^3$ est ce qu'on a l'habitude d'appeler un plan.

Finissons ce chapitre en décrivant les matrices d'applications linéaires bien connues (?) dans des bases bien choisies.

**Définition 3.37.** Soit $E, F$ deux sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^n$ tels que $E \oplus F = \mathbb{R}^n$. La projection sur $E$ parallèlement à $F$ est l'unique application linéaire $p$ telle que $p(e) = e$ pour tout $e \in E$ et $p(f) = 0$ pour tout $f \in F$.
Si $E = \mathbb{R}^n$ et $F = \{0\}$, la projection définie ci-dessus est simplement l'identité; si $E = \{0\}$ et $F = \mathbb{R}^n$, c'est l'application nulle. Dans le cas où $E$ ni $F$ n'est réduit à $\{0\}$, notons que, si $(e_1, \dots, e_k)$ est une base de $E$ et $(f_{k+1}, \dots, f_n)$ est une base de $F$, alors $(e_1, \dots, e_k, f_{k+1}, \dots, f_n)$ est une base de $\mathbb{R}^n$, et la matrice de la projection sur $E$ parallèlement à $F$ dans cette base est la matrice diagonale qui s'écrit par blocs

$$ \begin{pmatrix} I_k & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. $$

**Définition 3.38.** Soit $n \in \mathbb{N}^*$, et $p$ une application linéaire telle que $p^2 = p$. On dit que $p$ est un projecteur.

**Proposition 3.39.** Soit $n \in \mathbb{N}^*$, et $p$ un projecteur de $\mathbb{R}^n$. Alors $p$ est la projection sur $\text{Im}(p)$ parallèlement à $\text{ker}(p)$.

*Démonstration.* On doit en particulier montrer que $E = \text{Im}(p) \oplus \text{ker}(p)$. Si $x \in \text{ker}(p) \cap \text{Im}(p)$ alors on a à la fois $p(x) = 0$ et $x = p(y)$ pour un certain $y \in \mathbb{R}^n$, donc

$$ 0 = p(x) = p(p(y)) = p(y) = x. $$

On vient de montrer que $\text{ker}(p) \cap \text{Im}(p) = \{0\}$; comme $\dim(\text{ker}(p)) + \dim(\text{Im}(p)) = n$, ceci suffit à montrer que $\text{ker}(p)$ et $\text{Im}(p)$ sont supplémentaires.

On aurait tout aussi bien pu montrer directement que $\mathbb{R}^n = \text{ker}(p) + \text{Im}(p)$ puis que cette somme est directe : pour tout $x \in \mathbb{R}^n$ on peut écrire $x = (x - p(x)) + p(x)$, et $p(x - p(x)) = p(x) - p^2(x) = 0$. Donc $x$ est la somme d'un élément de $\text{ker}(p)$ et d'un élément de $\text{Im}(p)$.

Ensuite, il est clair que $p(x) = 0$ pour tout $x \in \text{ker}(p)$; et pour tout $x \in \text{Im}(p)$ on a déjà vu que $p(x) = x$. Donc $p$ est bien la projection sur $\text{Im}(p)$ parallèlement à $\text{ker}(p)$. $\square$

**Exercice 3.40.** Montrer que la trace d'un projecteur est égale à son rang.

Ces projecteurs sont particulièrement utiles dans le cas de sommes directes $E \oplus F = G$, alors $\text{id}_G = \pi_E + \pi_F$, avec $\pi_E$ le projecteur sur $E$ parallèlement à $F$, respectivement $\pi_F$ sur $F$ parallèlement à $E$, décomposent tout vecteur $u \in G$ en la somme $u = \pi_E(u) + \pi_F(u)$ où $\pi_E(u) \in E$ est la composante suivant le sous-espace vectoriel $E$ et $\pi_F(u) \in F$ la composante suivant le sous-espace vectoriel $F$.

Une base $(e_1, \dots, e_n)$ d'un espace vectoriel $E$ permet de décomposer tout vecteur suivant cette base à l'aide des projections $\pi_i$ sur $\text{Vect}(e_i)$ parallèlement à $\text{Vect}(e_j, j \neq i)$. Ainsi, tout vecteur $u \in E$ s'écrit $u = \sum_{i=1}^n \pi_i(u)$ avec $\pi_i(u) = \lambda_i e_i$ et les coordonnées de $u$ dans la base sont données par ces nombres $(\lambda_i)_{1 \le i \le n}$.

**Définition 3.41.** Soit $E, F$ deux sous-espaces vectoriels tels que $E \oplus F = \mathbb{R}^n$. La symétrie par rapport à $E$ parallèlement à $F$ est l'unique application linéaire $S$ telle que $S(e) = e$ pour tout $e \in E$ et $S(f) = -f$ pour tout $f \in F$.

Si $E = \mathbb{R}^n$ et $F = \{0\}$, la symétrie définie ci-dessus est simplement l'identité; si $E = \{0\}$ et $F = \mathbb{R}^n$, c'est $-\text{id}$. Dans le cas où $E$ ni $F$ n'est réduit à $\{0\}$, on a comme précédemment que si $(e_1, \dots, e_k)$ est une base de $E$ et $(f_{k+1}, \dots, f_n)$ est une base de $F$, alors $(e_1, \dots, e_k, f_{k+1}, \dots, f_n)$ est une base de $\mathbb{R}^n$, et la matrice de la symétrie sur $E$ parallèlement à $F$ dans cette base est la matrice diagonale qui s'écrit par blocs

$$ \begin{pmatrix} I_k & 0 \\ 0 & -I_{n-k} \end{pmatrix}. $$

**Proposition 3.42.** Soit $S$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ tel que $S^2 = \text{id}$. On dit que $S$ est une symétrie et $S$ est la symétrie par rapport à $\text{ker}(S - \text{id})$ parallèlement à $\text{ker}(S + \text{id})$.

*Démonstration.* Soit $E = \text{ker}(S - \text{id})$ et $F = \text{ker}(S + \text{id})$. Par définition, $S(e) = e$ pour tout $e \in E$ et $S(f) = -f$ pour tout $f \in F$, donc on doit simplement montrer que $E$ et $F$ sont supplémentaires. Pour cela, considérons $x \in E \cap F$: on a alors à la fois $S(x) = x$ puisque $x \in E$, et $S(x) = -x$ puisque $x \in F$, donc $x = -x$ et par conséquent $x = 0$.

Pour montrer que $E + F = \mathbb{R}^n$, on remarque que pour tout $x \in \mathbb{R}^n$ on a $x - S(x) \in F$ et $x + S(x) \in E$: en effet,

$$ S(x - S(x)) = S(x) - S^2(x) = S(x) - x = -(x - S(x)) \quad \text{et} \quad S(x + S(x)) = S(x) + S^2(x) = S(x) + x. $$

A partir de l'égalité

$$ x = \frac{1}{2}((x + S(x)) + (x - S(x))) $$

on conclut donc que tout élément de $\mathbb{R}^n$ appartient à $E + F$, donc $E \oplus F = \mathbb{R}^n$. $\square$
**Exercice 3.43.** Montrer que si $p$ est un projecteur de $\mathbb{R}^n$ alors $x \mapsto 2p(x) - x$ est la symétrie par rapport à $\text{Im}(p)$ parallèlement à $\text{ker}(p)$.

Montrer que si $S$ est une symétrie de $\mathbb{R}^n$ alors $p = \frac{s+id}{2}$ est la projection sur $\text{ker}(S - id)$ parallèlement à $\text{ker}(S + id)$.

En plus des projections et des symétries, rappelons la forme d'une matrice de rotation dans $\mathbb{R}^2$ muni de la base orthonormée directe canonique.

Dans $\mathbb{R}^2$, la rotation d'angle $\theta$ envoie le vecteur (1, 0) sur $(\cos(\theta), \sin(\theta))$ et le vecteur (0, 1) sur $(-\sin(\theta), \cos(\theta))$ ;
sa matrice dans la base canonique est donc égale à $\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$.

Attention, ces notions n'ont de sens que dans un repère orthonormé direct, ce qui est le cas de la base canonique. Plus généralement, pour décrire les matrices de rotations dans $\mathbb{R}^3$, il nous faudrait introduire la notion d'orthogonalité de vecteurs de $\mathbb{R}^3$, ce qu'on ne va pas faire ici.
# Chapitre 4

# Fractions rationnelles

Dans ce chapitre, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

## 4.1 Résultats théoriques

**Définition 4.1.** Une fraction rationnelle est une fraction de la forme $F(X) = \frac{P(X)}{Q(X)}$, où $P, Q \in \mathbb{K}[X]$ et $Q \neq 0$.

C'est-à-dire une classe d'équivalence de couples de polynomes et on écrit $\frac{P_1}{Q_1} = \frac{P_2}{Q_2}$ quand $P_1Q_2 = P_2Q_1$, exactement comme quand on travaille avec les rationnels. On peut additionner et multiplier des fractions rationnelles :

$$ \frac{P_1}{Q_1} + \frac{P_2}{Q_2} = \frac{P_1Q_2 + P_2Q_1}{Q_1Q_2} \quad \text{et} \quad \frac{P_1}{Q_1} \cdot \frac{P_2}{Q_2} = \frac{P_1P_2}{Q_1Q_2}. $$

On peut également les dériver, avec la formule

$$ \left(\frac{P}{Q}\right)' = \frac{P'Q - Q'P}{Q^2}. $$

On note $\mathbb{K}(X)$ l'espace formé par les fractions rationnelles sur $\mathbb{K}$, qui est clairement un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Comme les rationnels de $\mathbb{Q}$ les fractions rationnelles ont une forme irréductible.

**Définition 4.2.** On dit que $F = \frac{P}{Q} \in \mathbb{K}(X)$ est sous forme irréductible si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux, et $Q$ est unitaire.

Autrement dit, comme on travaille sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ : $F = \frac{P}{Q}$ est sous forme irréductible si et seulement si $Q$ est unitaire et $P$ et $Q$ n'ont pas de racine commune dans $\mathbb{C}$.

Une fraction rationnelle a une forme irréductible unique et on va principalement travailler avec ces formes irréductibles; en pratique, il faut simplement s'habituer à simplifier le quotient $\frac{P}{Q}$ par d'éventuels diviseurs communs non constants de $P$ et $Q$.

**Définition 4.3.** Si $F = \frac{P}{Q} \in \mathbb{K}(X)$, on note $\deg(F) = \deg(P) - \deg(Q) \in \mathbb{Z} \cup \{-\infty\}$.

Par divison euclidienne, on peut écrire $\frac{P}{Q} = P_1 + \frac{P_2}{Q}$, où $P_1, P_2 \in \mathbb{K}[X]$ avec $\deg(P_2) < \deg(Q)$. Notons qu'une telle décomposition est unique. On l'appelle $P_1$ la partie entière de $\frac{P}{Q}$.

Notons que le degré d'une fraction rationnelle est bien défini : si $\frac{P_1}{Q_1} = \frac{P_2}{Q_2}$, alors on a $P_1Q_2 = P_2Q_1$, donc $\deg(P_1) + \deg(Q_2) = \deg(P_2) + \deg(Q_1)$ et, comme $\deg(Q_1), \deg(Q_2)$ sont des entiers puisque $Q_1$ et $Q_2$ sont non nuls, on en déduit $\deg(P_1) - \deg(Q_1) = \deg(P_2) - \deg(Q_2)$. De même, on montre que le degré du produit est la somme des degrés, $\deg(F \times G) = \deg F + \deg G$, et le degré est décroissant par combinaison linéaire : $\deg(\alpha F + \beta G) \leq \sup(\deg F, \deg G)$, pour $F, G \in \mathbb{K}(X), \alpha, \beta \in \mathbb{K}$.
**Définition 4.4.** Soit $F = \frac{P}{Q}$ une fraction rationnelle irréductible dans $K(X)$. Un zéro de $F$ est un élément $\alpha$ de $K$ tel que $P(\alpha) = 0$; et un pôle de $F$ est un élément $\alpha$ de $K$ tel que $Q(\alpha) = 0$.

Notons que $F$ a un ensemble fini (éventuellement vide !) $A$ de pôles ; et que $F$ définit une fonction de $K \setminus A$ dans $K$. Deux fractions rationnelles qui définissent la même fonction doivent être égales : en effet, si $F = \frac{P_1}{Q_1}$ et $G = \frac{P_2}{Q_2}$ définissent la même fonction, alors pout tout $x \in K$ qui n'est ni un pôle de $F$ ni un pôle de $G$ on a

$$ \frac{P_1(x)}{Q_1(x)} = \frac{P_2(x)}{Q_2(x)} \quad \text{donc} \quad P_1(x)Q_2(x) - P_2(x)Q_1(x) = 0. $$

En particulier, $P_1Q_2 - P_2Q_1$ doit avoir une infinité de racines¹, donc $P_1Q_2 - P_2Q_1 = 0$, autrement dit $F = G$.

**Définition 4.5.** Un élément simple est une fraction rationnelle de la forme $\frac{P}{Q^k}$, où $Q$ est un polynôme unitaire irréductible de $K[X]$, $k \ge 1$ et $\deg(P) < \deg(Q)$.

Comme on l'a dit précédemment, dans ce cours on ne s'intéresse qu'à $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Vous avez vu au premier semestre que les polynômes irréductibles sur $\mathbb{C}$ sont les polynômes de degré 1 ; et sur $\mathbb{R}$ les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 dont le discriminant est strictement négatif. Par conséquent, les éléments simples ont la forme suivante :

1. Sur $\mathbb{C}$, un élément simple est de la forme $\frac{a}{(X - \alpha)^k}$, où $a, \alpha \in \mathbb{C}$ et $k \in \mathbb{N}^*$.

2. Sur $\mathbb{R}$, un élément simple est de la forme $\frac{a}{(X - \alpha)^k}$, où $a, \alpha \in \mathbb{R}$ et $k \in \mathbb{N}^*$, ou bien de la forme $\frac{aX + b}{(X^2 + \alpha X + \beta)^k}$, où $a, b, \alpha, \beta \in \mathbb{R}$ et $\alpha^2 - 4\beta < 0$ (de manière équivalente : le polynôme $X^2 + \alpha X + \beta$ n'a pas de racine réelle).

Notre but est de décomposer une fraction rationnelle en éléments simples ; on va expliquer pourquoi c'est possible de le faire dans $\mathbb{C}(X)$ (en fait on peut le faire sur tout corps, et nos arguments ci-dessous s'adaptent au contexte général, mais ici on essaie d'éviter des énoncés trop généraux).

**Proposition 4.6.** Soit $n \ge 1$, $Q \in \mathbb{C}_n[X]$ un polynôme unitaire, et

$$ Q(X) = (X - \alpha_1)^{n_1} \dots (X - \alpha_k)^{n_k} $$

la décomposition de $Q$ en produit de facteurs irréductibles unitaires. Alors l'espace $E_Q = \{P/Q : P \in \mathbb{C}_{n-1}[X]\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}(X)$ de dimension $n$, et les fractions rationnelles de la forme $\frac{1}{(X - \alpha_i)^j}$ pour $i \in \{1, \dots, k\}$ et $j \in \{1, \dots, n_i\}$ en forment une base.

**Démonstration.** Il est immédiat que $0 = \frac{0}{Q} \in E_Q$, et qu'une combinaison linéaire d'éléments de $E_Q$ est un élément de $E_Q$, qui est donc bien un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}(X)$. Il est tout aussi clair que la famille $(\frac{1}{Q}, \dots, \frac{X^{n-1}}{Q})$ en forme une base et donc $E_Q$ est de dimension $n$.

La famille de $E_Q$ formée par tous les $\frac{1}{(X - \alpha_i)^j}$ pour $i \in \{1, \dots, k\}$ et $j \in \{1, \dots, n_i\}$ a $n_1 + \dots + n_k = n$ éléments ; pour montrer que c'est une base il nous suffit donc de vérifier qu'elle est libre. Soit donc des coefficients $\lambda_{i,j}$ tels que

$$ F(X) = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} \lambda_{i,j} \frac{1}{(X - \alpha_i)^j} = 0. $$

L'idée est qu'on peut retrouver les valeurs des $\lambda_{i,j}$ en estimant les valeurs des dérivées de

$$ G_p(X) = (X - \alpha_p)^{n_p} F(X) $$

<footnote>i. Ici il est important de se rappeler que les corps qu'on considère dans ce cours sont infinis : $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$...</footnote>
en $\alpha_p$; en effet, on a pour tout $p \in \{1, \dots, k\}$ :

$$G_p(X) = (X - \alpha_p)^{n_p} F(X) = \sum_{j=1}^{n_p} \lambda_{p,j} (X - \alpha_p)^{n_p - j} + (X - \alpha_p)^{n_p} \sum_{i=1, i \neq p}^{k} \sum_{j=1}^{n_k} \lambda_{i,j} \frac{1}{(X - \alpha_i)^j}.$$

On voit alors que $G_p^{(q)}(\alpha_p) = q!\lambda_{p,n_p-q}$ pour tout $p \in \{1, \dots, k\}$ et tout $q \in \{0, \dots, n_p-1\}$, et donc de $F(X) = 0$ on tire $\lambda_{i,j} = 0$ pour tout $i, j$, montrant que la famille est libre. $\square$

**Théorème 4.7** (Décomposition en éléments simples dans $\mathbb{C}(X)$). Tout élément de $\mathbb{C}(X)$ admet une unique décomposition en éléments simples. Plus précisément : si $F = \frac{P}{Q}$ est une fraction rationnelle irréductible dans $\mathbb{C}(X)$ et $Q(X) = (X - \alpha_1)^{n_1} \dots (X - \alpha_k)^{n_k}$, alors on peut écrire

$$F(X) = P_1(X) + \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_k} \frac{a_{i,j}}{(X - \alpha_i)^j}.$$

où $P_1$ est un polynôme et les $a_{i,j}$ sont des nombres complexes. De plus cette décomposition est unique.

**Démonstration.** On a déjà mentionné l'unicité de la partie entière d'un polynôme ; $P_1$ dans l'identité ci-dessus doit être la partie entière de $F$. Alors $F - P_1$ s'écrit sous la forme $\frac{P}{Q}$, où $\deg(P) < \deg(Q)$ ; autrement dit $F - P_1$ appartient à l'espace $E_Q$ défini dans la proposition 4.6, et le résultat de cette proposition nous dit que $F - P_1$ s'écrit de manière unique sous la forme

$$F - P_1 = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_k} \frac{a_{i,j}}{(X - \alpha_i)^j}.$$

Notons que pour calculer les coefficients d'une décomposition en éléments simples, la méthode de la preuve de 4.6 nous dit qu'on peut toujours procéder en multipliant $F(X)$ par $(X - \alpha_i)^{n_i} F(X)$ et en évaluant en $\alpha_i$ les dérivées successives de $(X - \alpha_i)^{n_i} F(X)$. En pratique, cette méthode est souvent assez lourde en calculs et on essaiera si possible de faire plus simple.

On verra dans la prochaine section des exemples de calcul de décomposition en éléments simples ; pour l'instant, voyons à quoi ressemble cette décomposition dans $\mathbb{R}(X)$.

**Théorème 4.8** (Décomposition en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$). Tout élément de $\mathbb{R}(X)$ admet une unique décomposition en éléments simples : si $F = \frac{P}{Q}$ est une fraction rationnelle irréductible dans $\mathbb{R}(X)$ et $Q(X) = (Q_1(X))^{n_1} \dots (Q_k(X))^{n_k}$ est la factorisation de $Q$ en produits de polynômes irréductibles unitaires, alors on peut écrire

$$F(X) = P_1(X) + \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_k} \frac{P_{i,j}(X)}{(Q_i(X))^j}.$$

où $P_1$ est un polynôme et $\deg(P_{i,j}) < \deg(Q_i)$. De plus cette décomposition est unique.

Notons que chaque $Q_i$ est soit de degré 1, avec $Q_i = X - \alpha_i$, soit de degré 2, avec $Q_i = X^2 + b_i X + c_i = (X - \alpha_i - i\beta_i)(X - \alpha_i + i\beta_i) = (X - \alpha_i)^2 + \beta_i^2$. Ainsi chaque $P_{i,j}$ sera soit un polynôme constant soit de degré 1, donnant lieu à des éléments simples de première, respectivement de deuxième espèce. On ne va pas donner ici la preuve de ce théorème ; l'argument d'algèbre linéaire qu'on a donné dans $\mathbb{C}(X)$ s'adapte sans difficulté notable (ou on pourrait commencer par décomposer $F$ en éléments simples dans $\mathbb{C}(X)$, et en déduire la décomposition dans $\mathbb{R}(X)$, comme on le verra sur un exemple dans la prochaine section).

L'unicité de la décomposition en élément simples nous permet aussi d'utiliser des symétries de la fonction pour calculer plus vite des coefficients.
## 4.2 Calculs pratiques

Insistons sur le fait qu'on peut utiliser des nombres complexes pour décomposer une fraction rationnelle en éléments simples sur $\mathbb{R}$ ! En particulier, si deux fractions rationnelles $F_1, F_2$ sont égales dans $\mathbb{R}(X)$ alors elles sont égales dans $\mathbb{C}(X)$ : on peut évaluer une fraction rationnelle en un nombre complexe pour la décomposer sur $\mathbb{R}$ . Et si jamais on a décomposé $F = \frac{P}{Q} \in \mathbb{R}(X)$ en éléments simples dans $\mathbb{C}(X)$, alors on peut trouver la décomposition dans $\mathbb{R}(X)$ en regroupant deux à deux les éléments simples correspondant à une racine complexe non réelle de $Q$ et à son conjugué.

**Exemple.** Considérons la fraction rationnelle $F(X) = \frac{1}{X(X^2 + 1)}$. Sa décomposition en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ sera de la forme

$$F(X) = \frac{a}{X} + \frac{bX + c}{X^2 + 1}.$$

Pour calculer $a$, on regarde $XF(X)$, qui vaut à la fois $\frac{1}{X^2+1}$ et $a+X=\frac{bX+c}{X^2+1}$. En évaluant en 0, on obtient

$$\frac{1}{0^2 + 1} = a \text{ donc } a = 1.$$

Et pour calculer $b, c$ on regarde $(X^2 + 1)F(X)$, qu'on évalue en $i$, pour obtenir

$$\frac{1}{i} = bi + c \text{ donc } -i = bi + c.$$

Comme $b, c$ sont réels, on en déduit $b = -1$ et $c = 0$. Finalement, on est arrivé à

$$\frac{1}{X(X^2 + 1)} = \frac{1}{X} - \frac{X}{X^2 + 1}.$$

On aurait pu procéder autrement pour calculer $b, c$ : comme $F(X) = -F(-X)$, et que

$$F(X) = \frac{a}{X} + \frac{bX + c}{X^2 + 1}, \\ -F(-X) = \frac{a}{X} + \frac{bX - c}{X^2 + 1}.$$

on déduit de l'unicité de la décomposition en éléments simples que $c = -c$, donc $c = 0$. Pour calculer $a$, la méthode la plus simple reste de multiplier par $X$ et d'évaluer en 0 pour obtenir $a = 1$. Pour calculer $b$, outre l'évaluation en $i$, on pourrait évaluer en 1 et obtenir :

$$F(1) = \frac{1}{2} = a + \frac{b}{2} \text{ donc } b = -1.$$

On aurait aussi pu calculer $b$ en regardant la limite de $xF(x)$ quand $x \to +\infty$ :

$$\lim_{x \to +\infty} xF(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2 + 1} = 0;$$

d'autre part, puisque $F(X) = \frac{a}{X} + \frac{bX}{X^2 + 1}$ on voit que la limite de $xF(x)$ en $+\infty$ est égale à $a+b$, d'où le fait que $a+b=0$ et donc $b=-1$.

Encore une autre façon : remarquer que

$$\frac{1}{X(X^2 + 1)} = \frac{(X^2 + 1) - X^2}{X(X^2 + 1)} = \frac{1}{X} - \frac{X}{X^2 + 1}$$

pour obtenir directement la décomposition en éléments simples.

Finalement, on aurait pu passer par le calcul de la décomposition en élément simples dans $\mathbb{C}(X)$, qui doit être de la forme

$$F(X) = \frac{\alpha}{X} + \frac{\beta}{X - i} + \frac{\gamma}{X + i}.$$
En évaluant $XF(X)$ en 0, on trouve $\alpha = 1$. Puis en évaluant $(X - i)F(X) = \frac{1}{X(X+i)}$ en $i$, on obtient $\beta = \frac{1}{2i^2} = -\frac{1}{2}$. Pour calculer $\gamma$, on peut évaluer $(X + i)F(X)$ en $-i$; ou bien utiliser le fait que la fraction est réelle, égale à sa conjuguée, $F(X) = \bar{F}(X)$ (où tous les scalaires complexes sont remplacés par leurs conjugués)) pour déduire que $\beta = \bar{\gamma}$, donc $\gamma = -\frac{1}{2}$. Ceci nous donne la décomposition en éléments simples dans $\mathbb{C}(X)$ :

$$F(X) = \frac{1}{X} - \frac{1}{2} \frac{1}{X+i} - \frac{1}{2} \frac{1}{(X-i)}.$$

Et on peut se servir de cela pour retrouver la décomposition en élément simples sur $\mathbb{R}$ :

$$ 
\begin{aligned}
F(X) &= \frac{1}{X} - \frac{1}{2} \frac{1}{X+i} - \frac{1}{2} \frac{1}{(X-i)} \\
&= \frac{1}{X} - \frac{1}{2} \frac{X+i+X-i}{(X+i)(X-i)} \\
&= \frac{1}{X} - \frac{1}{2} \frac{2X}{X^2+1} \\
&= \frac{1}{X} - \frac{X}{X^2+1}.
\end{aligned}
$$

On voit que la décomposition en éléments simples sur $\mathbb{C}$ contient plus d'informations que la décomposition en éléments simples sur $\mathbb{R}$ : passer par le calcul de toute la décomposition dans $\mathbb{C}(X)$ pour en déduire la décomposition dans $\mathbb{R}(X)$ n'est pas en général la méthode la plus efficace...

Le bilan à tirer de cet exemple : une fois qu'on a correctement identifié la forme a priori de la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle, tous les coups sont permis pour identifier les coefficients : calcul de dérivées, utilisation de symétries de la fonction, utilisation de limites, évaluation en un point bien choisi... Réduire au même dénominateur, identifier les coefficients pour obtenir un système et résoudre le système correspondant n'est pas recommandé !

**Exemple.** $\frac{1}{X(X^2+X+1)^2} = \frac{a}{X} + \frac{bX+c}{X^2+X+1} + \frac{dX+e}{(X^2+X+1)^2}$. En multipliant par $X$ et en spécialisant $X = 0$, on trouve $a = 1$. En soustrayant $\frac{1}{X(X^2+X+1)^2} - \frac{1}{X} = \frac{1-(X^2+X+1)^2}{X(X^2+X+1)^2} = -\frac{X^4+2X^3+3X^2+2X}{X(X^2+X+1)^2} = -\frac{X^3+2X^2+3X+2}{(X^2+X+1)^2}$. Posons la division de polynômes :

$$ 
\begin{array}{c|c}
\left| \begin{array}{ccccc} X^3 & + & 2X^2 & + & 3X & + & 2 \\ & & X^2 & + & X & & \\ & & & X^2 & + & 2X & + & 2 \\ & & & & X^2 & + & X & + & 1 \\ & & & & & X & + & 1 \end{array} \right| & X^2 + X + 1 \\ 
\hline 
- & X + 1 \\ 
- & \left| \begin{array}{c} X^3 + X^2 + X + 1 \\ X^2 + X + 1 \end{array} \right| 
\end{array}
$$

c'est-à-dire $X^4 + 2X^3 + 3X^2 + 2X = (X^2 + X + 1)^2 \times (X + 1) + X + 1$, ce qui donne

$$\frac{1}{X(X^2 + X + 1)^2} = \frac{1}{X} - \frac{X + 1}{X^2 + X + 1} - \frac{X + 1}{(X^2 + X + 1)^2}.$$

Un autre exemple : décomposons sur $\mathbb{R}(X)$ la fraction rationnelle

$$F(X) = \frac{4X}{(X-1)^2(X^2+1)^2}.$$

On voit dès le départ que la décomposition va être pénible, à cause des deux termes au carré dans le dénominateur. Le numérateur est de degré strictement inférieur au numérateur, qui est déjà factorisé, et on écrit donc :

$$F(X) = \frac{a}{X-1} + \frac{b}{(X-1)^2} + \frac{cX+d}{(X^2+1)} + \frac{eX+f}{(X^2+1)^2},$$

où $a, b, c, d, e, f$ sont 6 coefficients réels à déterminer.

Pour calculer $b$, on forme

$$G(X) = (X - 1)^2 F(X) = \frac{4X}{(X^2 + 1)^2}$$
et on évalue en 1 : $b = \frac{4}{4} = 1$. De même pour évaluer $e$ et $f$, on multiplie par $(X^2 + 1)^2$ et on évalue en $i$, ce qui donne

$$ei + f = \frac{4i}{(i - 1)^2} = \frac{4i}{-2i} = -2.$$

Comme $e, f$ sont réels, on déduit que $e = 0$ et $f = -2$.

Les autres coefficients sont plus compliqués à calculer ; on essaie d'extraire des informations en faisant le moins de calculs possible.

Par exemple, on peut évaluer en 0 pour obtenir

$$0 = -a + b + d + f \quad \text{donc} \quad d - a = 1.$$

Ou regarder la limite de $xF(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ pour obtenir

$$0 = a + c.$$

On voit que, si on arrive à calculer $a$, on aura tous les autres coefficients : il nous manque juste une information pour conclure. Si on aime calculer des dérivées, on utilise le fait que $a = G'(1)$ et que

$$G'(X) = \frac{4(X^2 + 1)^2 - 4X \times 4X(X^2 + 1)}{(X^2 + 1)^4} \quad \text{donc} \quad G'(1) = -1.$$

Ceci nous donne $a = -1$, donc $d = 0$ et $c = 1$.

On a fini notre calcul ; une autre méthode si on est sujet aux erreurs lors des calculs de dérivées : on évalue en un point ne donnant pas des calculs trop compliqués, par exemple ici $-1$, pour obtenir

$$-\frac{1}{2}a + \frac{1}{4}b + \frac{-c+d}{2} + \frac{-e+f}{4} = \frac{-4}{4.4} = -\frac{1}{4}.$$

En remplaçant $b, e, f$ par leurs valeurs, $c$ par $-a$ et $d$ par $1 + a$ on obtient

$$a \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$$

donc

$$\frac{1}{2}a = -\frac{1}{2} \quad \text{d'où} \quad a = -1.$$

Un risque avec le fait qui consiste à utiliser des évaluations en des points où les calculs sont simples est qu'on peut obtenir des informations redondantes : par exemple, si au lieu d'évaluer en $-1$ on avait évalué en $0$, on aurait obtenu $F(0) = 0 = -a + b + d + f = -a + 1 + 1 + a - 2$, ou encore $0 = 0$, ce qui n'est pas très utile !

Au final, on a obtenu (de haute lutte) l'identité

$$\frac{4X}{(X - 1)^2(X^2 + 1)^2} = \frac{-1}{X - 1} + \frac{1}{(X - 1)^2} + \frac{X}{X^2 + 1} - \frac{2}{(X^2 + 1)^2}.$$
# Deuxième partie

## Analyse
<figure><img src="image_6.png" /></figure>
# Chapitre 5

# Bref retour sur les nombres réels

Les notions de ce chapitre, et certaines des notions du chapitre suivant, ont été vues au premier semestre ; n'hésitez pas à reprendre vos notes de cours pour compléter ce cours-ci.

## 5.1 Majorants, minorants ; borne sup, borne inf

**Définition 5.1.** Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$. On dit que $M \in \mathbb{R}$ est un majorant de $A$ si

$$ \forall x \in A, x \leq M. $$

Et on dit que $m$ est un minorant de $A$ si

$$ \forall x \in A, m \leq x. $$

**Définition 5.2.** Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$, et $M \in \mathbb{R}$.

1. On dit que $M$ est la borne supérieure de $A$ si :

(a) $M$ est un majorant de $A$.

(b) Pour tout majorant $M'$ de $A$, on a $M \leq M'$.

2. On dit que $m$ est la borne inférieure de $A$ si :

(a) $m$ est un minorant de $A$.

(b) Pour tout minorant $m'$ de $A$, on a $m' \leq m$.

Autrement dit : la borne supérieure est le plus petit des majorants ; la borne inférieure est le plus grand des minorants. Borne supérieure et borne inférieure sont intimement liées, comme le montre l'exercice suivant.

**Exercice 5.3.** Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$ admettant une borne supérieure $M$. Montrer que $-A$ admet $-M$ comme borne inférieure.

La propriété fondamentale de $\mathbb{R}$, sur laquelle sont basées toutes les preuves des théorèmes d'analyse que vous verrez cette année, est la suivante :

Toute partie de $\mathbb{R}$ non vide et majorée admet une borne supérieure.

(Et bien sûr, cela entraîne que toute partie de $\mathbb{R}$ non vide et minorée admet une borne inférieure).

On appelle cette propriété l'axiome de la borne supérieure. Au premier semestre, vous avez par exemple utilisé cette propriété pour montrer que $\emptyset$ est dense dans $\mathbb{R}$ : dans tout intervalle ouvert non vide de $\mathbb{R}$, il y a un nombre rationnel.

On va se servir de l'axiome de la borne supérieure pour retrouver quelques propriétés des suites vues au premier semestre. Pour cela, on aura besoin de la caractérisation suivante.

**Proposition 5.4.** Soit $A \subset \mathbb{R}$ une partie de $\mathbb{R}$. Alors $M$ est la borne supérieure de $A$ si, et seulement si, $M$ est un majorant de $A$ et pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $a \in A$ tel que $M - \varepsilon < a$.
**Démonstration.** Supposons que $M$ est la borne supérieure de $A$. Alors $M$ est un majorant de $A$; de plus, pour tout $\varepsilon > 0$ $M - \varepsilon < M$ donc $M - \varepsilon$ ne peut être un majorant de $A$, par conséquent il existe $a \in A$ tel que $M - \varepsilon < a$.

Réciproquement, si $M$ est un majorant de $A$ ayant la propriété ci-dessus, montrons que aucun $x < M$ ne peut être un majorant de $A$ : si $x < M$ il existe $\varepsilon > 0$ tel que $x < M - \varepsilon < M$, et on peut par hypothèse trouver $a \in A$ tel que $M - \varepsilon \le a$, en particulier il existe $a \in A$ tel que $x < a$ et donc $x$ n'est pas un majorant de $A$. Par conséquent $M$ est le plus petit des majorants de $A$, autrement dit, la borne supérieure de $A$.
□

La borne supérieure $M$ de $A$ est donc caractérisée par

$$ \begin{cases} \forall x \in A, x \le M, & M \text{ est un majorant;} \\ \forall \varepsilon > 0, \exists a \in A, M - \varepsilon < a, & M - \varepsilon \text{ n'est pas un majorant.} \end{cases} $$

A partir de maintenant, pour simplifier les notations, on va autoriser les sup et les inf à être infinis : autrement dit, si $A$ est non vide et n'est pas majoré on écrira $\sup(A) = +\infty$ et si $A$ n'est pas minoré on écrira $\inf(A) = -\infty$. Le seul cas où on évitera de parler de sup ou d'inf est quand $A = \emptyset$.

**Proposition 5.5.** Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$. Alors $A$ est un intervalle si, et seulement si, pour tout $x, y, z \in \mathbb{R}$ on a l'implication

$$ (x \in A \text{ et } y \in A \text{ et } x < z < y) \Rightarrow z \in A. $$

**Démonstration.** Il n'y a rien à démontrer si $A = \emptyset$ (on convient que l'ensemble vide est bien un intervalle, par exemple l'intervalle ouvert $]0, 0[$). Clairement, les intervalles ont la propriété ci-dessus. Supposons que $A$ est non vide et a cette propriété. Soit $a = \inf(A)$ et $b = \sup(A)$. Montrons que pour tout $z \in \mathbb{R}$ tel que $a < z < b$ on a $z \in A$: Soit donc $z$ tel que $a < z < b$. Par définition d'une borne inférieure, $z$ ne peut pas être un minorant de $A$: il doit donc exister $x \in A$ tel que $x < z$. De même, $z$ ne peut pas être un majorant de $A$, ce qui nous donne $y \in A$ tel que $z < y$. On a alors $x < z < y$, et puisque $x, y \in A$ on en conclut que $z \in A$. Ceci nous montre que $]a, b[ \subseteq A$, et alors on est dans un des quatre cas suivants :

1. $a \notin A$ et $b \notin A$; alors $A = ]a, b[$.

2. $a \in A$ et $b \notin A$; alors $A = [a, b[$.

3. $a \notin A$ et $b \in A$; alors $A = ]a, b[$.

4. $a \in A$ et $b \in A$; alors $A = [a, b]$ (et on dit que $A$ est un segment).

**Exercice 5.6.** Soit $I, J$ deux intervalles de $\mathbb{R}$ tels que $I \cap J \ne \emptyset$. Montrer que $I \cup J$ est un intervalle.

## 5.2 Suites convergentes. Suites extraites

**Définition 5.7.** Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^\mathbb{N}$ une suite de nombre réels, c'est-à-dire une valeur $u_n \in \mathbb{R}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. On note cette suite indifféremment $u$ et $(u_k)_{k \in \mathbb{N}}$. On dit que $u$ converge vers $l \in \mathbb{R}$ si

$$ \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, |u_n - l| \le \varepsilon. $$

Autrement dit : pour $n$ suffisamment grand, $u_n$ devient arbitrairement proche de $l$.

**Exercice 5.8.** Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites convergentes de nombres réels. Montrer que $u + v$ et $uv$ sont des suites convergentes et exprimer leur limite en fonction de celles de $u$ et de $v$.

On pourrait aussi parler de convergence vers $\pm\infty$; on dira que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$ si elle satisfait la condition suivante :

$$ \forall M \in \mathbb{R} \exists N \in \mathbb{N} \forall n \ge N u_n \ge M. $$

**Exercice 5.9.** Écrire avec des quantificateurs la définition de la phrase « $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend vers $-\infty$ ».

**Exercice 5.10.** Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$. Montrer qu'il existe une suite d'éléments $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $A$ telle que $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend vers $\sup(A)$, et une suite d'éléments $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $A$ telle que $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend vers $\inf(A)$ (on rappelle qu'on autorise les possibilités $\sup(A) = +\infty$, $\inf(A) = -\infty$).
**Définition 5.11.** Une suite de nombre réels $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que $|u_n| \le M$ pour tout $n \in \mathbb{R}$.

**Proposition 5.12.** Toute suite convergente de nombre réels est bornée.

*Démonstration.* Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite convergente de nombre réels. Il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \ge N$ on ait $|u_n - l| \le 1$, autrement dit $u_n \in [l-1, l+1]$. Soit $m$ le minimum des nombres $u_0, u_1, \dots, u_N, l-1$, et $M$ le maximum des nombres $u_0, u_1, \dots, u_N, l+1$. Alors pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $m \le u_n \le M$. Par conséquent $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée. $\square$

La réciproque de cette proposition n'est pas vraie : il existe beaucoup de suites bornées non convergentes, par exemple la suite $((-1)^n)_{n \in \mathbb{N}}$.

**Théorème 5.13.** Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite croissante majorée de nombres réels. Alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente.

*Démonstration.* L'ensemble des valeurs prises par la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est majoré; soit $M$ sa borne supérieure. Montrons que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $M$. Pour cela, fixons $\varepsilon > 0$; d'après la proposition 5.4, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $M - \varepsilon \le u_N$. Comme $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante, on doit aussi avoir $M - \varepsilon \le u_n$ pour tout $n \ge N$; comme de plus $u_n \le M$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, on en déduit que pour tout $n \ge N$ on a $|u_n - M| = M - u_n \le \varepsilon$, ce qui montre comme attendu que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $M$. $\square$

**Définition 5.14.** Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de nombres réels. Une sous-suite, ou suite extraite, de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite $v$ obtenue en choisissant une suite $(n_k)_{k \in \mathbb{N}}$ strictement croissante d'entiers et en posant

$$ \forall k \in \mathbb{N}, v_k = u_{n_k}. $$

Rappelons que si $(n_k)_{k \in \mathbb{N}}$ est une suite strictement croissante d'entiers, alors $n_k \ge k$ pour tout $k$. En effet, $n_0 \in \mathbb{N}$ donc $n_0 \ge 0$; et si $n_k \ge k$ alors on a $n_{k+1} > n_k$ et donc $n_{k+1} > k$, d'où $n_{k+1} \ge k+1$. On conclut à l'aide du principe de récurrence.

**Exercice 5.15.** Montrer que, si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite convergente de nombres réels, alors toute suite extraite $(u_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ converge, vers la même limite que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Vous avez-vu au premier semestre que de toute suite on peut extraire une sous-suite monotone; en particulier, on a le résultat suivant.

**Théorème 5.16 (Théorème de BOLZANO-WEIERSTRASS).** Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite bornée de nombre réels. Alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une sous-suite convergente.

*Démonstration.* La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une sous-suite monotone, qui est bornée puisque $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ l'est, et donc convergente en tant que suite monotone et bornée. $\square$

**Exercice 5.17.** Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de nombre réels. Montrer que :

1. Si $(u_{2n})_{n \in \mathbb{N}}$ et $(u_{2n+1})_{n \in \mathbb{N}}$ convergent toutes les deux vers une même limite $l$, alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $l$.

2. Si $(u_{2n})_{n \in \mathbb{N}}$, $(u_{2n+1})_{n \in \mathbb{N}}$ et $(u_{3n})_{n \in \mathbb{N}}$ sont toutes convergentes alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge.

**Proposition 5.18.** Soit $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites de nombres réels telles qu'il existe $M \in \mathbb{R}$ satisfaisant

$$ \forall n \in \mathbb{N}, |x_n| \le M \text{ et } |y_n| \le M. $$

Alors il existe une suite strictement croissante d'entiers $(n_k)_{k \in \mathbb{N}}$ telles que les suites $(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ et $(y_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ convergent toutes les deux.

*Démonstration.* La suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite bornée de nombres réels : par le théorème de BOLZANO-WEIERSTRASS, on peut en extraire une suite convergente $(x_{a_k})_{k \in \mathbb{N}}$, où $(a_k)_{k \in \mathbb{N}}$ est une suite strictement croissante d'entiers. La suite $(y_{a_k})_{k \in \mathbb{N}}$ est une suite bornée de nombre réels, donc on peut en extraire une sous-suite convergente $(y_{a_{b_k}})_{k \in \mathbb{N}}$. Si on pose, pour tout $k$, $n_k = a_{b_k}$, alors $(n_k)_{k \in \mathbb{N}}$ est une suite strictement croissante d'entiers, et

* $(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ est une suite extraite de la suite $(x_{a_k})_{k \in \mathbb{N}}$ qui est convergente; donc $(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ converge.

* $(y_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ est convergente.

Voyez-vous pourquoi, dans le raisonnement ci-dessus, on a d'abord extrait une sous-suite de $(x_n)$, avant d'en réextraire une nouvelle suite ?
## 5.3 Limite d'une fonction en un point

Si $A$ est une partie de $\mathbb{R}$, on dira que $x \in \mathbb{R}$ est adhérent à $A$ s'il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $x$.

**Exercice 5.19.** Soit $A \subseteq \mathbb{R}$ et $x \in \mathbb{R}$. Montrer que $x \in \mathbb{R}$ est adhérent à $A$ si, et seulement si

$$ \forall \varepsilon > 0, \exists a \in A, |x - a| \le \varepsilon. $$

**Définition 5.20.** Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$, $f: A \to \mathbb{R}$ une fonction et $x \in \mathbb{R}$ un point adhérent à $A$. On dit que $f$ admet $l$ pour limite en $x$ si la condition suivante est satisfaite :

$$ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall a \in A, |a - x| \le \delta \Rightarrow |f(a) - l| \le \varepsilon. $$

On note alors $\lim_{a \to x} f(a) = l$.

On dit que $f$ tend vers $+\infty$ en $x$ si

$$ \forall M \in \mathbb{R}, \exists \delta > 0, \forall a \in A, |a - x| \le \delta \Rightarrow f(a) \ge M. $$

Enfin, $f$ tend vers $-\infty$ en $x$ si $-f$ tend vers $+\infty$, ou encore

$$ \forall M \in \mathbb{R}, \exists \delta > 0, \forall a \in A, |a - x| \le \delta \Rightarrow f(a) \le M. $$

Notons que, dans la définition ci-dessus, on ne suppose pas a priori que $x$ appartient à $A$; et si on change le domaine de définition de $f$ (c'est-à-dire, si on change $A$) alors l'existence de la limite peut être affectée. Par exemple, si on considère la fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(0) = 1$ et $f(x) = 0$ pour tout $x \ne 0$, alors $f$ n'admet pas de limite en 0; mais si on considère la restriction de $f$ à $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, alors elle admet une limite en 0, qui vaut 0.

L'existence d'une limite pour une fonction $f$ en un point se traduit en une propriété de l'image par $f$ des suites qui convergent vers ce point.

**Exercice 5.21.** Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$, $f: A \to \mathbb{R}$ une fonction, $x \in \mathbb{R}$ un point adhérent à $A$ et $l \in \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$. Montrer que $\lim_{a \to x} f(a) = l$ si, et seulement si, pour toute suite $(a_n)$ d'éléments de $A$ qui converge vers $x$ on a $\lim_{n \to +\infty} f(a_n) = l$.

En particulier : s'il existe une suite $(a_n)$ d'éléments de $A$ qui tend vers $x$ et telle que $(f(a_n))$ n'est pas convergente alors $f$ n'a pas de limite en $x$ !

Parfois on se contente de regarder si $f$ a une limite à gauche ou à droite en $x$ (c'est surtout intéressant quand $A$ est un intervalle; en pratique, nous allons nous concentrer sur le cas de fonctions définies sur des intervalles de $\mathbb{R}$.)

**Définition 5.22.** Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$, $f: A \to \mathbb{R}$ une fonction et $x \in \mathbb{R}$ un point adhérent à $A$. On dit que $f$ admet $l$ pour limite à droite en $x$ si la condition suivante est satisfaite :

$$ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall a \in A, 0 \le a - x \le \delta \Rightarrow |f(a) - l| \le \varepsilon. $$

On note alors $\lim_{a \to x^+} f(a) = l$.

De même, on dit que $f$ admet $l$ pour limite à gauche en $x$ si la condition suivante est satisfaite :

$$ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall a \in A, 0 \le x - a \le \delta \Rightarrow |f(a) - l| \le \varepsilon. $$

On note alors $\lim_{a \to x^-} f(a) = l$.

On peut bien sûr aussi donner, comme ci-dessus, des définitions pour le fait d'avoir une limite à gauche ou à droite égale à $\pm\infty$, et on laisse le lecteur écrire cette définition; de même pour la définition de la notion de limite d'une fonction en $\pm\infty$. Vous êtes invité(e) à relire vos notes de cours du premier semestre si vous ne vous sentez pas au point sur ces notions... Souvent c'est plus facile de raisonner avec des suites pour démontrer l'existence (ou l'inexistence) de limites de fonctions. Par exemple, démontrons le résultat suivant, que vous avez vu au premier semestre.
**Proposition 5.23.** Soit A, B deux parties de $\mathbb{R}$, $f: A \to \mathbb{R}$ et $g: B \to \mathbb{R}$ deux fonctions et $x$ un point adhérent à B. On suppose que $g(B) \subseteq A$, $\lim_{b \to x} g(b) = L$ et $\lim_{a \to L} f(a) = l$. Alors

$$ \lim_{b \to x} f \circ g(b) = l. $$

Notons que ci-dessus on autorise les valeurs $\pm\infty$ pour $l$ et $L$.

*Démonstration.* Soit $(b_n)$ une suite d'éléments de B qui converge vers $x$. Alors $g(b_n)$ est une suite d'éléments de A qui tend vers $L$ puisque $\lim_{b \to x} g(b) = L$ ; donc $f(g(b_n))$ tend vers $l$ puisque $\lim_{a \to L} f(a) = l$. On vient de montrer que, pour toute suite $(b_n)$ d'éléments de B qui converge vers $x$ la suite $f \circ g(b_n)$ tend vers $l$, autrement dit

$$ \lim_{b \to x} f \circ g(x) = l. $$

□
# Chapitre 6

## Continuité et dérivabilité de fonctions réelles

### 6.1 Continuité : théorèmes fondamentaux

**Définition 6.1.** Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, et $x \in I$. On dit que $f$ est continue en $x$ si $\lim_{y \to x} f(y) = f(x)$.

On dit que $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en $x$ pour tout $x \in I$.

Avec des quantificateurs : $f$ est continue en $x \in I$ si et seulement si la condition suivante est vérifiée :

$$ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall y \in I, |x - y| \le \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| \le \varepsilon. $$

La première fois qu'on rencontre cette formulation, on ne la comprend pas, c'est normal, tout va bien. Voici une explication en bande-dessinée tout à fait pertinente sur le site Images des Mathématiques par Jean-Paul MOHSEN qui présente cette définitions comme un jeu, ce qui est peu ou prou ce que fait cet exercice WIMS.

Comme vous l'avez vu au premier semestre, cette définition se reformule à l'aide de suites.

**Proposition 6.2.** Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, et $x \in I$. Alors $f$ est continue en $x$ si, et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $I$ qui converge vers $x$ on $\lim_{n \to +\infty} f(x_n) = f(x)$.

En particulier, si $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, $a \in I$, $f$ est une fonction continue de $I \setminus \{a\}$ dans $\mathbb{R}$, et $f(x)$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$, alors on peut prolonger $f$ en $a$ en posant

$$ f(a) = \lim_{x \to a, x \in I \setminus \{a\}} f(x). $$

La fonction obtenue est continue, et on l'appelle prolongement par continuité de $f$ à $I$.

**Exercice 6.3.** On reprend les notations ci-dessus. Montrer que le prolongement par continuité de $f$ est bien une fonction continue sur $I$.

Vous avez vu le résultat suivant au premier semestre, et on laisse sa preuve en exercice.

**Proposition 6.4.** Soit $I, J$ deux intervalles de $\mathbb{R}$.

- Si $f, g: I \to \mathbb{R}$ sont des fonctions continues en $x \in I$ alors $fg$ et $f+g$ sont continues en $x$. Si de plus $g$ ne s'annule pas sur $I$ alors $\frac{f}{g}$ est continue en $x$.

- Si $g: J \to \mathbb{R}$ est continue en $x \in J$, $g(J) \subseteq I$ et $f: I \to \mathbb{R}$ est continue en $g(x)$, alors $f \circ g$ est continue en $x$.

**Théorème 6.5** (Théorème des valeurs intermédiaires). Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f: I \to \mathbb{R}$ une fonction continue. S'il existe $a, b \in I$ tels que $f(a) < 0$ et $f(b) > 0$ alors il existe $x \in I$ tel que $f(x) = 0$.

Plus généralement : l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
**Démonstration.** Supposons par exemple qu'il existe $a < b$ tels que $f(a) < 0$ et $f(b) > 0$ (quitte à remplacer $f$ par $-f$ on peut se ramener à ce cas). Alors par continuité de $f$ en $a$ on a $\delta > 0$ tel que $f(y) < 0$ pour tout $y \in [a, a + \delta[$; par conséquent

$$E = \{x > a : \forall y \in [a, x[, f(y) < 0\}$$

est non vide, et majoré par $b$: il admet une borne supérieure $x$. Il existe une suite strictement croissante $(e_n)$ d'éléments de $E$ tels que $f(e_n)$ tend vers $x$; on a $f(e_n) < 0$ donc $f(x) \le 0$. Si jamais $f(x) < 0$, alors comme précédemment on sait que par continuité on a $\delta > 0$ tel que $f(x + y) < 0$ pour tout $y < \delta$, par conséquent $x + \delta \in E$, ce qui contredit la définition de $x$. Donc $f(x) = 0$.

Pour conclure que l'image de $I$ par $f$ est un intervalle, supposons que $x < y$ appartiennent à $f(I)$, et soit $z \in \mathbb{R}$ tel que $x < z < y$. On peut trouver $a, b \in I$ tels que $f(a) = x$ et $f(b) = y$; par conséquent, la fonction continue $f - z$ prend une valeur $< 0$ en $a$, et $> 0$ en $b$: d'après ce qu'on vient de démontrer elle doit donc s'annuler sur $I$, par conséquent $f(z) \in I$. $\square$

**Corollaire 6.6 (Théorème de la bijection).** Soit $a < b$ deux réels et $f : [a, b] \to \mathbb{R}$. Si $f$ est strictement monotone et continue, alors $f$ réalise une bijection de $[a, b]$ sur l'intervalle fermé $J$ d'extrémités $f(a)$ et $f(b)$. De plus la fonction réciproque $f^{-1}$ est continue sur $J$.

**Démonstration.** Supposons par exemple $f$ strictement croissante, et soit alors $J = [f(a), f(b)]$. Puisque $f(a), f(b)$ appartiennent tous deux à l'image de $f$, qui est un intervalle d'après le théorème des valeurs intermédiaires, on a $J \subseteq f([a, b])$. Réciproquement, si $x \in f([a, b])$ alors il existe $y \in [a, b]$ tel que $f(y) = x$, et puisque $f$ est croissante on a $f(a) \le x \le f(b)$, donc $x \in J$.

On vient de montrer que $f([a, b]) = J$, autrement dit $f$ réalise une surjection de $[a, b]$ sur $J$. Pour montrer qu'elle est aussi injective, considérons $x \ne y \in [a, b]$. Si $x < y$ alors $f(x) < f(y)$ puisque $f$ est strictement croissante, de même si $y < x$ on a $f(y) < f(x)$. Donc si $x \ne y$ on doit avoir $f(x) \ne f(y)$, autrement dit $f$ est injective.

Reste à montrer que $f^{-1}$ est continue sur $J$; soit $(y_n)$ une suite d'éléments de $J$ qui converge vers $y \in J$, et $x_n = f^{-1}(y_n)$. Si $(x_n)$ ne converge pas vers $x = f^{-1}(y)$, il existe une sous-suite $(x_{n_k})$ et $\varepsilon > 0$ tels que

$$\forall k \in \mathbb{N}, |x_{n_k} - x| \ge \varepsilon.$$

Mais comme $(x_{n_k})$ est une suite d'éléments du segment $[a, b]$, on peut en extraire une sous-suite qui converge vers $x' \in [a, b]$; ceci nous donne une sous-suite $(x_{m_k})$ de $(x_n)$ qui converge vers $x'$ et telle que

$$\forall k \in \mathbb{N}, |x_{m_k} - x| \ge \varepsilon.$$

En particulier, $|x' - x| \ge \varepsilon$; mais comme $f$ est continue on a

$$f(x') = \lim_{k \to +\infty} f(x_{m_k}) = \lim_{k \to +\infty} y_{m_k} = y$$

puisque $(y_{m_k})$ est une sous-suite de la suite $(y_n)$ qui converge vers $y$. On a donc $f(x') = y = f(x)$ mais $x' \ne x$, ce qui est impossible puisque $f$ est injective. Donc $f^{-1}(y_n)$ converge vers $f^{-1}(y)$, ce qui prouve que $f^{-1}$ est continue sur $J$. $\square$

La monotonie stricte nous a permis de garantir l'injectivité de $f$; cette condition était en fait nécessaire (sous l'hypothèse qu'on travaille avec des fonctions continues!), comme le montre l'exercice suivant.

**Exercice 6.7.** Soit $I$ un segment de $\mathbb{R}$ et $f: I \to \mathbb{R}$ une application injective et continue. Montrer que $f$ est strictement monotone.

**Théorème 6.8.** Soit $f$ une fonction continue sur un segment. Alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.

Rappelons qu'un segment est un intervalle $[a, b]$ avec $a \le b \in \mathbb{R}$. En combinaison avec le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème ci-dessus montre que l'image d'un segment par une application continue est encore un segment.

**Démonstration.** Soit $[a, b]$ un segment et $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue sur $[a, b]$. On va d'abord montrer que $f$ est majorée et admet un maximum, c'est-à-dire qu'il existe $x \in [a, b]$ tel que $f(y) \le f(x)$ pour tout $y \in [a, b]$. Pour cela, notons

$$M = \sup\{f(x): x \in [a, b]\} \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$$
et $(x_n) \in [a, b]^N$ une suite telle que $(f(x_n))_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $M$. D'après le théorème de BOLZANO-WEIERSTRASS, il existe une sous-suite $(x_{n_k})$ de $(x_n)$ qui converge, et sa limite $x$ appartient encore à $[a, b]$. Par continuité de $f$ en $x$, la suite $f(x_{n_k})$ converge vers $f(x)$ ; mais puisque c'est une sous-suite d'une suite convergeant vers $M$, elle converge également vers $M$ : on a $f(x) = M$, ce qui montre à la fois que $M$ est fini et qu'il est atteint.

Pour montrer que $f$ est minorée et admet un minimum, on pourrait suivre le même raisonnement que précédemment en remplaçant $\sup\{f(x) : x \in [a, b]\} \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ par $\inf\{f(x) : x \in [a, b]\} \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\}$ ; ou bien appliquer à $-f$ le résultat qu'on vient de démontrer. $\square$

Revenons sur la définition d'une fonction continue avec des quantificateurs : $f$ est continue sur $I$ si et seulement si :

$$ \forall \varepsilon > 0, \forall x \in I, \exists \delta > 0, \forall y \in I \mid x - y \le \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| \le \varepsilon . $$

Le point crucial est que $\delta$ ci-dessus dépend à la fois de $x$ et de $\varepsilon$. L'ordre des quantificateurs est important !

**Exercice 6.9.** Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$.

1. Disons que $f: I \to \mathbb{R}$ est vraiment très continue si :

$$ \exists \delta > 0, \forall \varepsilon > 0, \forall x \in I, \forall y \in I, |x - y| \le \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| \le \varepsilon . $$

(autrement dit, le même $\delta$ marche pour tout $\varepsilon$ et pour tout $x$).

2. Disons que $f: I \to \mathbb{R}$ est assez peu continue si :

$$ \forall \varepsilon > 0, \forall x \in I, \forall y \in I, \exists \delta > 0, |x - y| \le \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| \le \varepsilon . $$

(cette fois, $\delta$ dépend à la fois de $\varepsilon$, $x$, et $y$)

Montrer que les seules fonctions vraiment très continues sur $I$ sont les fonctions constantes ; et que toute fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$ est assez peu continue.

Les définitions dans l'exercice ci-dessus ne sont bien sûr pas à retenir et ne sont là que pour illustrer le fait que l'ordre dans lequel les quantificateurs sont écrits est fondamental pour le sens d'un énoncé mathématique ; il faut s'habituer à y faire très attention.

Les énoncés de l'exercice ci-dessus ont été obtenus en bougeant le « $\exists \delta$ » de la définition d'une fonction continue tout à gauche de l'énoncé, ou tout à droite ; une possibilité intermédiaire existe et donne naissance, contrairement à ses consœurs, à une notion mathématique importante.

**Définition 6.10.** Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. Une fonction $f: I \to \mathbb{R}$ est uniformément continue si :

$$ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x, y \in I, |x - y| \le \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| \le \varepsilon . $$

Autrement dit : $\delta$ ne dépend plus que de $\varepsilon$ et plus du point $x$. Manifestement, cette définition est plus forte que celle de la continuité et est en fait, en général, strictement plus forte.

**Exemple.** 1. La fonction $x \mapsto x^2$ n'est pas uniformément continue sur $\mathbb{R}$. En effet, si elle l'était, alors (en prenant $\varepsilon = 1$ dans la définition de la continuité uniforme) on pourrait trouver $\delta > 0$ tel que pour tout $x \in \mathbb{R}$ on ait $(x + \delta)^2 - x^2 \le 1$. Mais pour $x = \frac{1}{\delta}$ on a

$$ (x + \delta)^2 - x^2 = 2\delta x + \delta^2 \ge 2. $$

2. De même, la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ n'est pas uniformément continue sur $]0, 1]$. En effet, si elle l'était, alors on pourrait comme expliqué ci-dessus trouver $\delta > 0$, qu'on peut supposer plus petit que $\frac{1}{2}$, tel que pour tout $x \in ]0, \frac{1}{2}]$ on ait

$$ \frac{1}{x} - \frac{1}{x + \delta} \le 1. $$

Mais pour $x = \delta$ on obtient

$$ \frac{1}{x} - \frac{1}{x + \delta} = \frac{\delta}{x(x + \delta)} = \frac{1}{2\delta} \ge 1. $$

**Exercice 6.11.** Déterminer tous les polynômes $P \in \mathbb{R}[X]$ tels que $x \mapsto P(x)$ soit uniformément continue sur $\mathbb{R}$.