Елизарова Екатерина Юрьевна

старший преподаватель

Красильникова Светлана Владимировна

студентка

ФГБОУ ВО «Нижегородский государственный педагогический университет им. К. Минина»

г. Нижний Новгород, Нижегородская область

DOI 10.31483/r-96806

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА
КАК ОСНОВА ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

**Аннотация:** данная статья посвящена численному дифференцированию, которое является основой для вычислительных методов, рассматриваемых как в школьном, так и в вузовском курсе математики. Авторами рассмотрены формулы приближенного дифференцирования как альтернативного способа дифференциации функций. Особое внимание уделяется исследованию области применимости данных формул, решаемых в MS Excel.

**Ключевые слова:** численные методы, численное дифференцирование, интерполяционные формулы Ньютона.

Актуальность данной темы «Интерполяционные формулы Ньютона как основа численного дифференцирования» заключается в противоречии между широкой применимостью сложного дифференциального исчисления в различных науках, таких, как экономика, физика, астрономия, и недостаточной проработанностью вопроса о методах вычисления значения производной дискретно заданной функции.

И. Ньютон и Г. Лейбниц являются основоположниками дифференциального исчисления. Оно было создано в XVII веке на основе следующих задач:

- о разыскании касательной к произвольной линии;

- о разыскании скорости при произвольном законе движения [1].
Различные методы численного дифференцирования обширно применяются на практике, когда численно нужно решить одно или несколько дифференциальных уравнений. Методы численного дифференцирования используются в тех случаях, когда нужно отыскать какую-либо производную, поиск которой аналитически затруднен или элементарно невыполним, если функция задана таблично. В таких случаях исходную функцию у (х) замещают, аппроксимируют более простой функцией Ф(х) и считают, собственно, что приближенно верно равенство: у(х) = Ф'(х) [3].

В этой работе, мы расскажем о первой и второй интерполяционных формулах Ньютона, как они выводятся и для чего они необходимы. Кроме этого будут рассмотрены конкретные примеры нахождения приближённого значения производной функции по заданным табличным данным.

### Рассмотрим первую интерполяционную формулу Ньютона.

Пусть задана функция у=f(x) на отрезке [x₀, xₙ], который разбит на n одинаковых отрезков (случай равноотстоящих значений аргумента). Δx= h= const.
Для каждого узла х₀, х₁ =x₀ +h, ..., хₙ =x₀ +n·h определены значения функции в виде: f(x₀)=y₀, f(x₁)=y₁, ..., f(xₙ)=yₙ.

Конечные разности первого порядка имеют следующий вид:

$$ \Delta y_0 = y_1 - y_0 $$

$$ \Delta y_1 = y_2 - y_1 $$

......

$$ \Delta y_{n-1} = y_n - y_{n-1}. $$

Конечные разности второго порядка имеют следующий вид:

$$ \Delta^2 y_0 = \Delta y_1 - \Delta y_0 $$

$$ \Delta^2 y_1 = \Delta y_2 - \Delta y_1 $$

......

$$ \Delta^2 y_{n-2} = \Delta y_{n-1} - \Delta y_{n-2} $$

Аналогично определяются конечные разности высших порядков:

$$ \Delta^k y_0 = \Delta^{k-1} y_1 - \Delta^{k-1} y_0 $$

$$ \Delta^k y_1 = \Delta^{k-1} y_2 - \Delta^{k-1} y_1 $$
.....

$$ \Delta^k y_i = \Delta^{k-1} y_{i+1} - \Delta^{k-1} y_i, i = 0,1,...,n-k $$

Заметим, что конечные разности функций удобно располагать и подсчитывать в таблицах, например, с помощью MS Excel.

Пусть для функции $y = f(x)$ заданы значения $y_i = f(x_i)$ для равстоящих значений независимых переменных: $x_n = x_0 + n \cdot h$, где $h$ – шаг интерполяции. Необходимо найти полином $P_n(x)$ степени не выше $n$, принимающий в точках (узлах) $x_i$ значения: $P_n(x_i) = y_i$, $i=0,...,n$. Запишем интерполирующий полином в виде:

$$ P_n(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + \dots + a_n(x-x_0)(x-x_{n-1}) $$

Задача построения многочлена сводится к определению коэффициентов $a_i$ из условий:

$$ P_n(x_0) = y_0 $$

....

$$ P_n(x_n) = y_n $$

Полагаем в интерполирующий полиноме $x = x_0$, тогда, т.к. второе, третье и другие слагаемые равны 0, $P_n(x_0) = y_0 = a_0$ $a_0 = y_0$. Найдем коэффициент $a_1$. При $x = x_1$ получим:

$$ P_n(x_1) = y_1 = y_0 + a_1(x_1-x_0); $$

$$ y_1 = y_0 + a_1(x_1-x_0) $$

$$ a_1 = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} = \frac{\Delta y_0}{h} $$

Для определения $a_1$ составим конечную разность второго порядка. При $x = x_1$ получим:

$$ P_n(x_2) = y_2 = y_0 + \frac{\Delta y_0}{h} (x_2-x_0) + a_2(x_2-x_0)(x_2-x_1) = y_0 + 2\Delta y_0 + a_2 2h^2, $$

$$ a_2 = \frac{y_2 - y_0 - 2\Delta y_0}{2h^2} = \frac{y_2 - y_0 - 2y_1 + 2y_0}{2h^2} = \frac{y_2 - 2y_1 + y_0}{2h^2} = \frac{(y_2 - y_1) - (y_1 - y_0)}{2h^2} $$

$$ = \frac{\Delta y_1 - \Delta y_0}{2h^2} = \frac{\Delta^2 y_0}{2! h^2} $$
Аналогично можно найти другие коэффициенты. Общая формула имеет вид.

$$a_k = \frac{\Delta^k y_0}{k! h^k}, k = 1..n$$

Подставляя эти выражения в формулу полинома, получаем:

$$P_n(x) = y_0 + \frac{\Delta y_0}{1! h}(x-x_0) + \frac{\Delta^2 y_0}{2! h^2}(x-x_0)(x-x_1) + \dots + \frac{\Delta^n y_0}{n! h^n}(x-x_0) \dots (x-x_{n-1})$$

где хᵢ, уᵢ – узлы интерполяции; х – текущая переменная; h – разность между двумя узлами интерполяции h – величина постоянная, т.е. узлы интерполяции равноотстоят друг от друга.

$$P_n(x) = y_0 + \frac{\Delta y_0}{1! h}(x-x_0) + \frac{\Delta^2 y_0}{2! h^2}(x-x_0)(x-x_1) + \dots + \frac{\Delta^n y_0}{n! h^n}(x-x_0) \dots (x-x_{n-1})$$

Этот многочлен называют интерполяционным полиномом Ньютона для интерполяции в начале таблицы (интерполирование «вперед») или первым полиномом Ньютона. Для практического использования этот полином записывают в преобразованном виде, вводя обозначение $t = \frac{x-x_0}{h}$, тогда

$$P_n(x) = y_0 + t \cdot \Delta y_0 + \frac{t(t-1)}{2!} \cdot \Delta^2 y_0 + \dots + \frac{t(t-1) \dots (t-n+1)}{n!} \cdot \Delta^n y_0$$

Эта формула применима для вычисления значений функции для значений аргументов, близких к началу интервала интерполирования. Для получения выражения для приближённого дифференцирования по первой интерполяционной формуле Ньютона, необходимо исходную первую интерполяционную формулу Ньютона продифференцировать [2; 4].

$$P_n(x) = y_0 + t \cdot \Delta y_0 + \frac{t \cdot (t-1)}{2!} \cdot \Delta^2 y_0 + \frac{t(t-1)(t-2)}{3!} \cdot \Delta^3 y_0 + \dots + \frac{t(t-1)(t-2)(t-3)}{4!} \cdot \Delta^4 y_0 + \dots + \frac{t(t-1)\dots(t-n+1)}{n!} \cdot \Delta^n y_0$$

Производя перемножение биномов выражения, получим:

$$P_n(x) = y_0 + t \Delta y_0 + \frac{t^2-t}{2} \Delta^2 y_0 + \frac{t^3-3t^2+2t}{6} \Delta^3 y_0 + \frac{t^4-6t^3+11t^2-6t}{24} \Delta^4 y_0 + \dots + \frac{t^5-10t^4+35t^3-50t^2+24t}{120} \Delta^5 y_0 + \dots$$
Так как $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} * \frac{dt}{dx} = \frac{1}{h} \frac{dy}{dt}$, то

$$f'(x) = \frac{1}{h} [\Delta y_0 + \frac{2t-1}{2} \cdot \Delta^2 y_0 + \frac{3t^2-6t+2}{6} \cdot \Delta^3 y_0 + \frac{2t^3-9t^2+11t-3}{12} \cdot \Delta^4 y_0 + \dots]$$

Рассмотрим иллюстрацию применения формул на примере.

Пример 1. Вычислим приближенное значение производной функции $f(x) = \sin(x)$ в точке $x = 0,62$, с использованием формулы, основанной на первой интерполяционной формуле Ньютона. Найдем абсолютную погрешность результата.

Пусть задана точка $x = 0,62$ и функция, заданная с помощью следующей таблицы.

<table><caption>Таблица</caption><tr><td>x</td><td>0,6</td><td>0,7</td><td>0,8</td><td>0,9</td><td>1,0</td><td>1,1</td><td>1,2</td></tr><tr><td>Sin(x)</td><td>0,5646</td><td>0,6442</td><td>0,7174</td><td>0,7833</td><td>0,8415</td><td>0,8912</td><td>0,9320</td></tr></table>

Определим к какому концу таблицы, заданная точка $x$ располагается ближе. Так как точка располагается ближе к началу интервала интерполирования, то для нахождения производной воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона:

$$f'(x) = \frac{1}{h} [\Delta y_0 + \frac{2t-1}{2} \cdot \Delta^2 y_0 + \frac{3t^2-6t+2}{6} \cdot \Delta^3 y_0 + \frac{2t^3-9t^2+11t-3}{12} \cdot \Delta^4 y_0 + \dots]$$

Составим таблицу конечных разностей. Для удобства подсчета предлагается использовать программу Excel (рис. 1).

<table><caption>Рис. 1</caption><tr><td>yi</td><td>Δy0</td><td>Δ2y0</td><td>Δ3y0</td><td>Δ4y0</td><td>Δ5y0</td><td>Δ6y0</td></tr><tr><td>y0</td><td>0,0796</td><td>-0,0064</td><td>-0,0009</td><td>0,0005</td><td>-0,0009</td><td>0,0017</td></tr><tr><td>y1</td><td>0,0732</td><td>-0,0073</td><td>-0,0004</td><td>-0,0004</td><td>0,0008</td><td></td></tr><tr><td>y2</td><td>0,0659</td><td>-0,0077</td><td>-0,0008</td><td>0,0004</td><td></td><td></td></tr><tr><td>y3</td><td>0,0582</td><td>-0,0085</td><td>-0,0004</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>y4</td><td>0,0497</td><td>-0,0089</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>y5</td><td>0,0408</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>y6</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
Рассчитаем приближенное значение производной функции $f(x) = \sin(x)$ в точке $x = 0,62$. Полагая, что $x_0=0,6$, $x = 0,62$, $h$ (шаг интерполяции) = 0,1, найдем $t = \frac{(x-x_0)}{h}$. Подставляя в формулу исходные данные, получим $t = 0,2$.

$$f'(0,62) = \frac{1}{0,1} [0,0796 + \frac{2 \cdot 0,2 - 1}{2} \cdot (-0,0064) + \frac{3(0,2)^2 - 6 + 2}{6} \cdot (-0,0009) \\ + \frac{2 \cdot (0,2)^3 - 9 \cdot (0,2)^2 + 11 \cdot (0,2) - 3}{12} \cdot (-0,0005)$$

Для подсчета приближенного значения производной также воспользуемся программой Excel. В результате получим, что

$$f'(0,62) = 0,8133433$$

Вычислим абсолютную погрешность результата. Учитывая, что

$$f'(x) = \cos(x)$$

то $f'(0,62) = 0,813878$. Абсолютная погрешность результата будет равна

$$\Delta = |0,813878 - 0,8133433| = 0,0005351$$

Таким образом, можно сделать вывод, что между производной, найденной по формуле Ньютона и производной, найденной стандартным способом, существует минимальная погрешность.

Рассмотрим вторую интерполяционную формулу Ньютона [4].

Второй интерполяционный полином Ньютона применяется для нахождения значений функций в точках, расположенных в конце интервала интерполярования. Запишем интерполяционный многочлен в виде:

$$P_n(x) = a_0 + a_1(x-x_n) + a_2(x-x_n)(x-x_{n-1}) + \dots + a_n(x-x_n)(x-x_{n-1}) \dots (x-x_1)$$

Коэффициенты $a_0, a_1, ..., a_n$ определяем из условия: $P_n(x_i) = y_i, i=0, ..., n$. Полагаем в интерполяционном многочлене $x = x_n$, тогда

$$P_n(x_n) = a_0 \\ P_n(x_n) = y_n = a_0, \\ a_0 = y_n$$

Полагаем $x=x_{n-1}$, тогда:

$$P_n(x_{n-1}) = y_{n-1} = y_n + a_1(x_{n-1}-x_n), \quad h = x_n-x_{n-1}$$

Следовательно, $a_1 = \frac{y_n - y_{n-1}}{h} = \frac{\Delta y_{n-1}}{h}$.
Полагаем х=x<sub>n-2</sub>, тогда

$$P_n(x_{n-2}) = y_{n-2} = y_n + \frac{\Delta y_{n-1}}{h} (x_{n-2}-x_n) + a_2 (x_{n-2}-x_n) (x_{n-2}-x_{n-1}), (1)$$

$$y_{n-2} = y_n + \frac{\Delta y_{n-1}}{h} (-2h) + a_2 * 2h^2 = y_n - 2\Delta y_{n-1} + a_2 2h^2,$$

$$a_2 = \frac{\Delta^2 y_{n-2}}{2! h^2}$$

Аналогично можно найти другие коэффициенты многочлена:

$$a_3 = \frac{\Delta^3 y_{n-3}}{3! h^3}$$

....

$$a_n = \frac{\Delta^n y_0}{n! h^n}$$

Подставляя эти выражения в формулу (1), получим вторую интерполяционную формулу Ньютона или многочлен Ньютона для интерполирования «назад».

$$P_n(x) = y_n + \frac{\Delta y_{n-1}}{h} (x-x_n) + \frac{\Delta^2 y_{n-2}}{2! h^2} (x-x_n)(x-x_{n-1}) \\ + \frac{\Delta^3 y_{n-3}}{3! h^3} (x-x_n)(x-x_{n-1})(x-x_{n-2}) + \dots + \frac{\Delta^n y_0}{n! h^n} (x-x_n)(x-x_{n-1}) \dots (x-x_1),$$

Введем обозначения:

$$\frac{x-x_n}{h} = t \text{ или } x = x_n + th$$

$$\frac{x-x_{n-1}}{h} = \frac{x-(x_n-h)}{h} = t+1$$

$$\frac{x-x_{n-2}}{h} = \frac{x-(x_{n-1}-2h)}{h} = t+2$$

....

$$\frac{x-x_1}{h} = \frac{x(x_n-2h)}{h} = t+n-1$$

Произведя замену, получим

$$P_n(x) = y_n + t\Delta y_{n-1} + \frac{t(t+1)}{2!} \Delta^2 y_{n-2} + \dots + \frac{t(t+1)\dots(t+n-1)}{n!} \Delta^n y_0$$
Это вторая формула Ньютона для интерполирования «назад» [3 ; 4]. Для получения выражения для приближённого дифференцирования по второй интерполяционной формуле Ньютона, необходимо исходную вторую интерполяционную формулу Ньютона продифференцировать.

$$
P_n(x) = y_n + t \cdot \Delta y_{n-1} + \frac{t(t+1)}{2!} \cdot \Delta^2 y_{n-2} + \frac{t(t+1)(t+2)}{3!} \cdot \Delta^3 y_{n-3} \\
+ \frac{t(t+1)(t+2)(t+3)}{4!} \cdot \Delta^4 y_{n-4} + \dots + \frac{t(t+1)\dots(t+n-1)}{n!} \cdot \Delta^n y_0
$$

Производя перемножение биномов выражения, получим:

$$
\begin{aligned}
P_n(x) = y_n &+ t \cdot \Delta y_{n-1} + \frac{t^2+t}{2} \cdot \Delta^2 y_{n-2} + \frac{t^3+3t^2+2t}{6} \cdot \Delta^3 y_{n-3} \\
& + \frac{t^4+6t^3+11t^2+6t}{24} \cdot \Delta^4 y_{n-4} \\
& + \frac{t^5+10t^4+35t^3+50t^2+24t}{120} \cdot \Delta^5 y_{n-5} + \dots
\end{aligned}
$$

Так как $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} * \frac{dt}{dx} = \frac{1}{h} \frac{dy}{dt}$ то

$$
f'(x) = \frac{1}{h} \left[ \Delta y_{n-1} + \frac{2t+1}{2} \cdot \Delta^2 y_{n-2} + \frac{3t^2+6t+2}{6} \cdot \Delta^3 y_{n-3} \right. \\
\left. \qquad + \frac{2t^3+9t^2+11t+3}{12} \cdot \Delta^4 y_{n-4} + \cdots \right]
$$

Проиллюстрируем вычисление производной функции на основе второй
интерполяционной формулы Ньютона.

Пример 2. Вычислим приближенное значение производной функции f (x) = cos(x) в точке x = 1,59, с использованием формулы, основанной на второй ин- терполяционной формуле Ньютона. Найдем абсолютную погрешность резуль- тата.

Пусть функция задана в следующей табличной форме.

<table>
  <tr>
    <td>x</td>
    <td>1</td>
    <td>1,1</td>
    <td>1,2</td>
    <td>1,3</td>
    <td>1,4</td>
    <td>1,5</td>
    <td>1,6</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>cos(x)</td>
    <td>0,8415</td>
    <td>0,8912</td>
    <td>0,932</td>
    <td>0,9636</td>
    <td>0,9854</td>
    <td>0,9975</td>
    <td>0,9996</td>
  </tr>
</table>

Определим к какому концу таблицы, заданная точка x располагается бли-
же. Так как точка располагается ближе к концу интервала интерполирования, то
для нахождения производной воспользуемся второй интерполяционной формулой Ньютона:

$$f'(x) = \frac{1}{h} [\Delta y_{n-1} + \frac{2t+1}{2} \cdot \Delta^2 y_{n-2} + \frac{3t^2+6t+2}{6} \cdot \Delta^3 y_{n-3} + \frac{2t^3+9t^2+11t+3}{12} \cdot \Delta^4 y_{n-4} \dots]$$

Составим таблицу конечных разностей с помощью таблиц Excel.

<table><thead><tr><th>yi</th><th>Δy0</th><th>Δ2y0</th><th>Δ3y0</th><th>Δ4y0</th><th>Δ5y0</th><th>Δ6y0</th></tr></thead><tbody><tr><td>y0</td><td>0,0497</td><td>-0,0089</td><td>-0,0003</td><td>-0,0003</td><td>0,001</td><td>-0,0021</td></tr><tr><td>y1</td><td>0,0408</td><td>-0,0092</td><td>-0,0006</td><td>0,0007</td><td>-0,0011</td><td></td></tr><tr><td>y2</td><td>0,0316</td><td>-0,0098</td><td>1E-04</td><td>-0,0004</td><td></td><td></td></tr><tr><td>y3</td><td>0,0218</td><td>-0,0097</td><td>-0,0003</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>y4</td><td>0,0121</td><td>-0,01</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>y5</td><td>0,0021</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>y6</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Так как $x_0=1,0$, $x = 1,59$, $h$ (шаг интерполяции) = 0,1 и $t = 5,9$

$$f'(1,59) = \frac{1}{0,1} [0,0021 + \frac{2 \cdot 5,9 + 1}{2} \cdot (-0,01) + \frac{3 \cdot (5,9)^2 + 6 \cdot 5,9 + 2}{6} \cdot (-0,0003) + \frac{2 \cdot (5,9)^3 + 9 \cdot (5,9)^2 + 11 \cdot (5,9) + 3}{12} \cdot (-0,0004)$$

Для подсчета приближенного значения производной также воспользуемся программой Excel.

$$f'(1,59) = -0,953898$$

Вычислим абсолютную погрешность результата. Учитывая, что

$$f'(x) = -\sin(x)$$

то $f'(1,59) = -0,99982$. Абсолютная погрешность результата будет равна $\Delta = |0,99982 - 0,953898| = 0,04592$

Таким образом, можно сделать вывод, что между производной, найденной по формуле Ньютона и производной, найденной стандартным способом, существует минимальная погрешность.

Мы рассмотрели первую и вторую формулы Ньютона и выяснили для чего они используются, проиллюстрировав на примерах. Материал, представленный
в данной статье, может быть использован в занятиях по математике: здесь со-
держится не только расширенный материал по дифференцированию функций,
но приведены примеры, иллюстрирующие возможность включения обучаемых
в процесс формирования навыков работы с MS Excel. Также данные статьи мо-
жет быть рекомендован всем желающим, которые хотят усовершенствовать
свои математические знания.

Список литературы

1. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М.; СПб.: Лаборатория базовых знаний, 2002. – 632 с.

2. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2002. – 840 с.

3. Лимонникова Е.В. Вычислительная математика. – Северодвинск: Сев- машвтуз, 2010. – 36 с.

4. Моделирование в электроэнергетике: интерполяционный многочлен в форме Ньютона [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://simenergy.ru/math-analysis/digital-processing/79-newton-polynomial (дата обращения: 01.11.2020).