19.02.1944. Letter from Krull to Lorenzen.

Bonn, 19.2.44

Lieber Herr Lorenzen!

Leider<sup>43</sup> muss ich mit meinem Brief Ihnen vermutlich eine ernsthafte Enttäuschung
bereiten. Erstens: Ihre Habilitationsschrift nebst Bewerbung ist tatsächlich hier
nicht eingetroffen. Wenn ich Ihnen früher in anderm Sinne schrieb, so nur deshalb,
weil ich mich ohne Rückfrage bei dem Dekanat auf einen Brief verliess, den mir
Besselhagen zur Verfügung gestellt hatte, und in dem Sie von Ihrem Schritt beim
Dekanat als von einer Selbstverständlichkeit sprachen. Zweitens: Es ist in gewis-
sem Sinne ein Glück, dass Ihr Gesuch verlorengegangen ist, wenigstens wenn Sie,
wie ich hoffe, noch ein Exemplar Ihrer Arbeit in Händen haben. Prof. Hasse, auf
dessen Gutachten Sie ja selber besonderen Wert legten, hat sich keineswegs so ge-
äussert, wie Sie es wohl erwarteten. Er ist der Ansicht, dass Sie bisher noch sehr
wenig mathematische Leistungen von wirklichem Belang aufzuweisen haben, und
mit dieser Stellungnahme in der Hand ist es mir unmöglich, Ihre Habilitation im
Augenblick zu befürworten, zumal da ich Hasses Bedenken beim Betrachten der Li-
ste Ihrer bisherigen Veröffentlichungen sehr gut verstehe. Auch für mich zählt von
diesen außer der Dissertation eigentlich nur die im Druck befindliche Arbeit über
den Verfeinerungssatz, und diese in gewissem Sinne nur halb, da mir die logistische
Seite zu fern liegt. Natürlich bestände noch die Möglichkeit, dass Sie mir als Habi-
litationsschrift nicht nur eine solide, sondern eine ganz aussergewöhnliche Leistung
vorlegen, der gegenüber alle Bedenken verstummen. Aber das halte ich nach dem,
was ich bisher von Ihrer Arbeit weiss nicht für wahrscheinlich, und so kann ich
Ihnen im Augenblick nur den einen Rat geben: Betrachten Sie Ihr Habilitationsgesuch als nicht erfolgt, legen Sie zunächst mir Ihre Arbeit vor, – (hoffentlich ist
das Manuskript, das Sie nach Greifswald sandten, dort angekommen), – und wenn
mir die Arbeit doch allein für die Habilitation noch nicht auszureichen scheint, so
arbeiten Sie eben weiter. Suchen Sie vor allem Ihre Basis zu erweitern und auch
unter den reinen Mathematikern bekannt zu werden. Prof. Scholz kommt als Phi-
losoph mit mathematischen Interessen für mich nur als Mitbegutachter, nicht als
Hauptreferent inbetracht, das müssen Sie immer berücksichtigen.

Es tut mir leid, wenn ich Ihnen mit diesem Brief, wie schon einmal früher,
eine Enttäuschung bereiten muss, aber glauben Sie mir, es ist in Ihrem eigenen
Interesse.

Mit den besten Grüssen

Ihr Wolfgang Krull.

<footnote n="43"><sup>43</sup>On the same day, Krull writes an answer to a postcard by Hasse (Roquette 2004, § 1.90), with whom he agrees on how to answer to Lorenzen.</footnote>
Dr. Paul Lorenzen

Wesermünde-Lehe, den 13.3.44

Hafenstr. 92

Sehr geehrter Herr Professor,

ich bitte zu entschuldigen, daß ich auf Ihren Brief erst heute antworten kann. Durch die gegenwärtige starke dienstliche Inanspruchnahme sind die neuen Empolare meiner Arbeit erst jetzt fertig geworden. Hoffentlich gelangt die Arbeit diesmal aber nun auch wirklich und endlich in Ihre Hände – darf ich Sie wohl bitten, mir den Eingang bestätigen zu wollen?

Allerdings werde ich befürchten müssen, daß meine Arbeit jetzt eine ungünstigere Aufnahme finden wird, als sie vor einem Vierteljahr gefunden hätte, da Sie mir schreiben, daß meine Habilitation unter normalen Umständen kaum möglich sein wird.

Ihrer Meinung, die auch die Meinung von Herrn Prof. Hasse ist, daß meine bisherigen Veröffentlichungen “keine Leistungen von wesentlichem mathematischen Belang” sind, möchte ich durchaus nicht widersprechen. Hierin bin ich völlig Ihrer Meinung, ein anderes Urteil wäre wohl auch kaum möglich.

Mit meinem Anliegen, mich zu habilitieren, stütze ich mich ja aber nicht auf diese bisherigen Veröffentlichungen, sondern auf die Habilitationsarbeit.

Soweit ich weiß und aufgrund der „Bescheinigung“, die Sie mir vor zwei Jahren ausstellten, annehmen mußte, bestehen keine Bestimmungen, die die Habilitation von vorausgegangenen Veröffentlichungen abhängig machen. Es ist der Nachweis wissenschaftlicher Tätigkeit zu erbringen – und da ist es nun ja nicht meine Schuld, daß ich die letzten vier Jahre hierfür – ganz allein auf mich gestellt – nur die dienstfreien Abende zur Verfügung hatte. (Daß ich diese voll ausgenutzt habe, werde ich aber sagen dürfen.) Sämtliche Examensbestimmungen, die für die Kriegszeit erlassen sind, gehen darauf hinaus, daß die notwendig entstehenden Härten für den Examinanden nach Möglichkeit auszugleichen sind. Mir scheint daher mein Wunsch, mich jetzt – 6 Jahre nach meiner Promotion – zu habilitieren, durchaus gerechtfertigt, da ich mich normalerweise doch schon vor mindestens 3 Jahren hätte habilitieren können.

Da ich nicht weiß, wie lange der Krieg noch dauert, und wie die Arbeitsbedingungen für mich werden, müßte ich, wenn Sie meine Habilitation jetzt ablehnen, die beiliegende Arbeit zurück erbitten – und weiterarbeiten, wie Sie mir schreiben. Allerdings muß ich dann noch damit rechnen, daß meine Arbeit völlig unnütz ist, weil Sie sie nicht gelten lassen werden. Im Anschluß an eine algebraische Untersuchung über orthokomplementäre Halbverbände versuche ich jetzt, den Zusammenhang dieser Fragen mit der Widerspruchsfreiheit der klassischen Logik herauszubekommen. Diesen Versuch möchte ich machen selbst auf die Gefahr hin, daß das evtl. Ergebnis von Ihnen gar nicht gezählt wird – weil ich nicht umhin kann, solche
Fragen als Fragen von wesentlichem mathematischem Belang zu empfinden (und in dieser Auffassung der Logistik darf ich mich sogar auf Hilbert berufen).

Ich möchte Sie daher bitten, mir sagen zu wollen, ob es unmöglich ist, sich als Mathematiker zu habilitieren, wenn man etwa entschlossen ist, die eigene Forschungsarbeit an mathematisch-logistische Dinge zu wenden.

Diese Voraussetzung trifft allerdings auf mich noch nicht einmal zu, da ich selber eigentlich viel mehr an der algebraischen Seite der Beweistheorie interessiert bin als an der rein logischen. Genau dasselbe Interesse würde ich auch daran haben, die Fragestellungen der algebraischen Geometrie begrifflich zu durchdringen, in dem Sinne, wie es etwa die beiliegende Arbeit für die multiplikative Idealtheorie versucht. Aber auch auf diesem Gebiete fürchte ich, daß meine Auffassung von der Ihrigen abweicht. Z. B. erscheint mir die Erkenntnis, daß ein Idealsystem eigentlich nichts anderes als ein Oberhalbverband und eine Bewertung nichts anderes als eine Ordnung ist, als das wesentlichste Ergebnis meiner Bemühung. In diesem Sinne läßt sich sogar der Inhalt von § 6 als auf rein halbordnungstheoretischen Tatsachen beruhend erkennen, worauf ich aber in der Arbeit nicht näher eingegangen bin.

Es bleibt mir auch an dieser Stelle nur übrig, zu fragen, ob ich mit einer solchen Auffassung habilitationsfähig bin oder nicht.

Wenn das nicht der Fall sein sollte, so sehe ich eigentlich nicht, was ich anderes machen sollte, als mich nach einem anderen Beruf umzusehen, denn es wird schwer sein, meine Auffassung über den Sinn der mathematischen Forschung zu ändern.

Es wird jedoch ebenfalls sehr schwer für mich sein, mein Habilitationsgesuch als nicht geschehen zu betrachten, nachdem ich meine Absicht, mich zu habilitieren, ja nicht nur Ihnen gegenüber geäußert habe.

Ich möchte nichts unternehmen, was Ihrem Ratschlag widerspricht, muß aber doch um Verständnis bitten, daß ich mich nicht einfach damit abfinden kann, die Habilitation auf später zu verschieben, da ich entweder in den nächsten Jahren gar nicht werde arbeiten können, oder aber damit rechnen muß, daß meine Arbeit nicht gezählt wird.

Mit den ergebensten Grüßen verbleibe ich
Ihr

Paul Lorenzen

Für die Übersendung der beiden Separata bin ich Ihnen sehr zu Dank verbunden.

01.04.1944. Postcard from Krull to Lorenzen.

Reg.Rat Prof. Krull
Greifswald
Mar[ine]obs.

Herrn Dr.
Paul Lorenzen
23 Wesermünde-Lehe
Hafenstr. 92
Lieber Herr Lorenzen!

Auf Ihren ausführlichen Brief vom 13.3. möchte ich Ihnen heute noch nicht im Einzelnen antworten. Zunächst nur das eine, dass ich Ihre Arbeit ohne jedes Vorurteil, zum mindesten ohne jedes ungünstige, zu lesen angefangen habe. Indessen bin ich schon auf S. 8 auf eine Schwierigkeit gestossen, die ich Sie bitten muss, mir aufzuklären, da ich durch andere Untersuchungen (Korrelationstheorie) zu stark inanspruch genommen bin. Sie schreiben bei Satz 4:<fnref n="44" /> „Aus $c \equiv a \cdot b^{-1}$ und $a \parallel b$ folgt $a \equiv b \cdot c$$^a$. D. h. aber anders ausgedrückt: „Aus $a \wedge b \equiv 1$ folgt $a \equiv bab^{-1}$$^a$, und diese Tatsache, die wenn richtig, unbedingt eine Formulierung als Satz verdient hätte, (weil hier ein sehr starkes kommutatives Element ins Nichtkommutative hineinkommt), konnte ich jedenfalls aus dem Handgelenk heraus nicht beweisen. Andernfalls scheint der weitere Wortlaut Ihres Textes zu zeigen, dass keineswegs nur ein Schreibfehler vorliegt, dass Sie nicht etwa $c \cdot b$ meinten und $b \cdot c$ schrieben.
– Also bitte, klären Sie mir diesen Punkt auf!

Mit den besten Grüßen

Ihr Wolfgang Krull.

**16.04.1944. Letter from Krull to Lorenzen.**

Greifswald, 16.4.44

Lieber Herr Lorenzen!

Vielen Dank für Ihre Karte! Dieser Punkt wäre also geklärt. Also die Tatsache, dass
aus $a \wedge b \equiv 1$ stets $a \cdot b \equiv b \cdot a$ folgt, sollte unbedingt als Satz formuliert werden. Nicht
nur, weil erst dadurch der Beweis von Satz 4 ganz in Ordnung kommt. Es handelt
sich auch darum, zu zeigen, wie stark die Verbandsgruppen „kommutativ infiziert
sind“. – Und hier wären wir nun an einem Punkt, über den ich etwas ausführlicher
werden muss. Ihre Arbeit hat mich insofern etwas enttäuscht, als sie doch anschei-
nend fürs Nichtkommutative wesentlich weniger bringt, als ich mir gedacht hatte.
Im Verbandsbegriff steht eben ein so starkes kommutatives Moment, dass bei der
Theorie Ihrer Verbandsgruppen die Beweise für kommutativ und nichtkommutativ
völlig gleich laufen. Andererseits bedeutet die Beschränkung auf Verbandsgruppen
vom Nichtkommutativen aus gesehen offenbar eine sehr starke Beeinträchtigung
der Allgemeinheit. – Unter diesen Umständen hätte ich aber Ihre Arbeit auch oh-
ne die Stellungnahme von Hasse nicht als Habilitationsschrift empfehlen können.
Dazu bewegt sie sich doch gar zu sehr im Gedankenkreise Ihrer Dissertation. Aber
natürlich bedeutet dieses Urteil keineswegs, dass ich Ihre Arbeit „nicht als ma-
thematische Leistung zähle“; und wenn Sie mich mit weiteren Veröffentlichungen
belehren würden, dass Ihre Methoden doch auch fürs Nichtkommutative grössere

<footnote n="44">⁴⁴See Lorenzen 1950, Satz 4.</footnote>
Bedeutung haben, als es mir bis jetzt scheint, so sollte mich das nur freuen. Das wäre eine Arbeitsrichtung, in der ich Sie lieber sehen würde als in der nach der Logistik hin. Ich halte die Spezialisierung nach der logistischen Seite hin nun einmal für nicht unbedenklich, sofern es mir liegt, bestreiten zu wollen, dass auch auf diesem Gebiete Bedeutendes geleistet werden kann (man denke nur etwa an Gödel oder Gentzen). – Also wenn Sie glauben, wirklich wesentlich neue Gedanken zur Beweistheorie zu haben, so lassen Sie sich ja nicht abhalten, sie auszuarbeiten. – Was die Tatsache angeht, dass Sie schon an verschiedenen Stellen über Ihre baldige Habilitation geredet habe, so war das eine Unvorsichtigkeit von Ihnen, die mir eigentlich unverständlich ist. Über solche Dinge redet man doch erst dann, wenn man seiner Sache absolut sicher ist. Und wo es möglich ist, wie in Ihrem Falle, legt man doch zu allererst die zukünftige Arbeit ganz persönlich dem voraussichtlichen Referenten vor, und macht die weiteren offiziellen Schritte erst im Einverständnis mit ihm! Wenn Sie so vorgegangen wären, wären Ihnen alle Peinlichkeiten erspart geblieben. Aber natürlich helfe ich Ihnen auch jetzt gerne so viel ich kann. Ihrer Dienststelle gegenüber wird es Ihnen ja nicht schwer fallen, irgend einen formalen Grund für die Hinausschiebung Ihrer Habilitation zu erfinden. Unserm Dekan gegenüber brauchen Sie einfach von der Sache nicht mehr zu reden oder zu schreiben; dann wird er nicht mehr daran denken. Und Besselhagen und Peschl kann ich ja sagen, ich hätte gewünscht, dass Sie Ihre Untersuchungen über das bisher Vorliegende, zunächst zu Veröffentlichende hinaus und weiter aufs Nichtkommutative ausdehnten. Sie sehen, ich helfe Ihnen gerne, wo ich kann. – Was übrigens die Form der Veröffentlichung der bisherigen Ergebnisse angeht, so müssen wir uns darüber ein anderes Mal unterhalten. Ich glaube, Sie müssen die Sache im Sinne der Entlastung von allen irgendwie entbehrlichen Hilfsbegriffen sehr stark kürzen, wenn Sie wollen, dass ein gewisser Kreis von Fachgenossen sich die Arbeit wirklich genauer ansieht. Aber wie gesagt, davon das nächste Mal!

Mit den besten Grüßen

Heil Hitler!

Ihr Wolfgang Krull.

25.04.1944. Letter from Lorenzen to Krull.

Wesermünde, den 25.4.44

Hafenstr. 92

Sehr geehrter Herr Professor,

Ihren Brief habe ich vor einigen Tagen erhalten. Ich danke Ihnen für Ihre Freundlichkeit, mir in den Schwierigkeiten, die durch Ihr ablehnendes Urteil entstehen, helfen zu wollen. Allerdings bitte ich zuvor, mir erlauben zu wollen, mich gegen das Urteil, daß sich meine Behandlung der nichtkommutativen Gruppen "zu sehr in dem Gedankenkreis meiner Dissertation" befinde, zu verteidigen.
Die Sätze der §§ 1-3⁴⁵ sind allerdings tatsächlich im Anschluß an meine Dissertation entstanden. Ich habe damals die nichtkommutative Theorie jedoch liegen lassen, weil mir diese Übertragung vom Kommutativen aufs Nichtkommutative nicht interessant schien (mit Ausnahme der Regularitätsbedingung) – und vor allem, weil es aussichtslos war, die wesentlichen Bestandteile der kommutativen Theorie: die Konstruktionen des *a*-Idealsystems und der Gruppe der Idealbrüche auch im Nichtkommutativen durchzuführen.

Die Prüfersche Definition des *a*-Systems liefert im Nichtkommutativen nämlich kein Idealsystem. Andererseits kann man im Nichtkommutativen aus einer Halbgruppe mit $ac = bc \Rightarrow a = b$ keine Quotientengruppe konstruieren.

Erst nachdem mir – vor etwa 4 Jahren – endlich klar wurde, daß ein Idealsystem nichts anderes als ein Halbverband ist, ergab sich plötzlich die Möglichkeit, die Konstruktion der Gruppe der Idealbrüche durch etwas ganz Neues zu ersetzen: nämlich durch eine iterierte Anwendung des Idealbegriffs. Jede minimale Oberverbandsgruppe einer halbgeordneten Gruppe *G* ist das *v*-Idealsystem eines Idealsystems von *G*. Das ist der Inhalt von § 4.<fnref n="46" />

In der Hoffnung, auf dieser Grundlage die Theorie, sowie einige Ansätze über geordnete Gruppen, während eines Arbeitsurlaubs ausbauen zu können, habe ich Sie damals um Zulassung zur Habilitation gebeten.

Ich war mir bewußt, daß es erwünscht gewesen wäre, wenn ich ein Thema beantwortet hätte, dessen Fragestellung nicht in die Richtung der Dissertation fiel – hätte ich auch nur einmal wenigstens einige Literatur zur Einarbeitung in ein neues Problem zur Verfügung gehabt, so hätte ich das bestimmt vorgezogen.

Unter den gegebenen Umständen schien mir jedoch meine Bitte um Zulassung zur Habilitation nicht unangemessen zu sein.

Nachdem damals dieser Arbeitsurlaub sich wegen meiner Versetzung nach hier nicht verwirklichen ließ, hat sich nun inzwischen herausgestellt, daß der kommutative Aufbau:

1) Definition des *a*-Idealsystems nach Prüfer

2) Konstruktion der Idealbrüche (bzw. der Funktionale)

3) Identitätsbeweis des *a*- und *b*-Systems mit Hilfe der Idealbrüche bzw. Funktionale

im Nichtkommutativen wieder durch eine ganz andere Methode ersetzt werden muß. Zur Erläuterung dieser neuen Methode bitte ich Sie, die beiliegende Bemerkung durchblättern zu wollen. Diese Bemerkung ist vorläufig nicht zur Veröffentlichung bestimmt, sie soll nur versuchen, Ihnen darzulegen, daß diese Methode, deren Grundgedanke in § 6⁴⁷ meiner Arbeit enthalten ist, durchaus verschieden von den Methoden meiner Dissertation ist. Denn ich werde sagen dürfen, daß die

<footnote n="45">⁴⁵See Lorenzen 1950, §§ 1–3.</footnote>

<footnote n="46">⁴⁶See Lorenzen 1950, § 4.</footnote>

<footnote n="47">⁴⁷See Lorenzen 1950, § 6.</footnote>
Erkenntnis, daß solche Sätze wie die bewertungstheoretischen Fundamentalsätze mit rein halbordnungstheoretischen Mitteln zu erhalten sind, durchaus nicht im Gedankenkreis meiner Dissertation zu finden ist.

Als dritte „neue Methode“ hat meine Arbeit den Satz 3 der beiliegenden Blätter aufzuweisen, dessen Anwendung auf halbgeordnete Gruppen der Teil 2 meiner Arbeit durchführt.

Aufgrund dieser Ergebnisse – und gerade weil die entscheidenden Methoden von meiner Dissertation völlig abweichen trotz der gleichen Fragestellung – habe ich vor gut einem halben Jahre Ihnen mitgeteilt, daß ich glaubte, die Arbeit nun abschließen zu können. Wenn ich die Angelegenheit dann etwas überstürzte, so bitte ich das entschuldigen zu wollen, weil mir ausgerechnet mein militärischer Kursus dazwischen kam.

Mit den ergebensten Grüßen und nochmaligem Dank für die Mühe, die Sie sich in meiner Sache geben, verbleibe ich

[Ihr Paul Lorenzen]<fnref n="48" />

Wesermünde, 26.5.44

Sehr geehrter Herr Professor,

Dieses darf ich Ihnen zunächst sagen, daß ich immer davon überzeugt bin, daß „man in Münster“ wirklich an mich denkt – und nicht nur denkt.

Trotzdem hätte ich es gern vermieden, Ihnen mit meiner Habilitationsangelegenheit explizit lästig zu fallen, weil ich annehmen muß, daß Sie genug anderes zu tun haben. Auf Ihren Brief vom 22/5, kann ich jetzt aber Ihre Hilfe nicht mehr ausschlagen – und darf Ihnen also versichern, wie sehr mir eine solche Hilfe gelegen kommt.

Herr Prof. Krull hat mir noch nicht geantwortet, vielleicht ist mein letzter Brief gar nicht angekommen.

Herrn Prof. Köthe habe ich schon in Würzburg versucht, meine Theorie vorzutragen – es war aber kaum ausreichend Zeit.

Ich lege noch eine „Bemerkung“ bei, die eine Fortführung des § 6 meiner Arbeit ist, ohne jedoch diese vorauszusetzen. Da diese Bemerkung rein halbordnungstheoretisch ist, wäre ich Ihnen auch für Ihr Urteil sehr dankbar.

Würden Sie Herrn Prof. Köthe wohl mitteilen, daß mein Vortrag in Würzburg den Inhalt von § 3 zum Gegenstand hatte? Die Neuerungen gegenüber der kommutativen Theorie liegen in § 4 und § 6.

Ich werde für **jedes** Urteil dankbar sein, denn wie sollte ich sonst lernen, was man in dieser Welt als „gut“ bezeichnet.

Mit den ergebensten Grüßen verbleibe ich
Ihr [Lorenzen]

Die fehlenden Anmerkungen werde ich Ihnen in den nächsten Tagen nachsenden.

<footnote n="48">⁴⁸In a letter to Scholz dated 5 May 1944, Lorenzen gives an account of this writing, "die darlegt, daß gewisse Fundamentalsätze der Krullschen Bewertungstheorie nicht nur für halbgeordnete Gruppen gelten, sondern sogar für beliebige halbgeordnete Mengen.</footnote>

<footnote>"Allerdings zweifle ich daran, ob gerade dieses Ergebnis, das der neuen Methode meiner Arbeit zu danken ist, sich dazu eignet, die Meinung von Herrn Prof. Krull zu meinen Gunsten zu wenden.</footnote>

<footnote>"Ich versuche, diese Fatalität in stoischem Sinne zu ertragen, es ist mir dabei aber ein schöner Trost, Ihnen darüber schreiben zu dürfen."</footnote>

<footnote>On 26 May 1944, he addresses the following letter to Scholz.</footnote>
29.05.1944. Postcard from Krull to Lorenzen.

Sonderführer Dr.
Paul Lorenzen
23 Wesermünde
Hafenstr. 92

Lieber Herr Lorenzen!

Greifswald, 29.5.44

Endlich komme ich dazu, Ihren Brief vom 25.4. zu beantworten. Ich wollte mir zunächst Ihr beigelegtes Manuskript ansehen, und dazu fand ich erst jetzt während der Pfingsttage Zeit. Am besten hat mir Ihr Brief selber gefallen, da sagen Sie am klarsten, worauf es ankommt. An Ihrem Manuskript ist wieder das störende, dass nicht zu sehen ist, was für einen Vorteil man aus der Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Bewertungstheorie auf bel. Halbordnungen und aus Ihrer Umformung des Kriteriums für „ganz abgeschlossen“ gewinnt. So bleibt immer das Gefühl, ob nicht der umständliche Weg in keinem rechten Verhältnis zum Endergebnis steht, und das ist das gleiche bei diesem nicht für die Veröffentlichung bestimmten Manuskript ebenso wie bei Ihrer geplanten Habilitationsschrift. Ich halte es nun durchaus für möglich, dass das mehr ein Mangel der Darstellung ist, Sie wissen irgendwie aus Ihren Ideen nicht das zu machen, was man aus ihnen herausholen könnte. Aber das ist leider ein Punkt, den man schriftlich kaum richtig klären kann, wir müssten uns einmal sehr gründlich über alle Einzelheiten aussprechen, und dazu ist gerade augenblicklich leider keine Möglichkeit gegeben. Ich bedauere das vor allem deshalb, weil Sie nach meiner Ansicht den Inhalt Ihrer ursprünglich als Habilitationsschrift gedachten Untersuchungen veröffentlichen sollten, weil ich aber befürchte, dass in der vorliegenden Form die Arbeit nicht geeignet ist, Sie, wie es doch sein sollte, einem gewissen Kreis von Fachgenossen wirklich bekannt zu machen. Es wäre da zunächst eine sehr gründliche Umarbeitung nötig (starke Straffung, ev. Zweiteilung, an anderer Stelle wieder Erweiterung), und dabei würde ich Sie gerne beraten. Aber wir werden uns eben damit abfinden müssen, dass im Augenblick eine derartige Zusammenarbeit, die mündliche Besprechungen erfordert, nicht möglich ist. Seien Sie aber überzeugt, dass ich Ihnen wirklich gerne helfen möchte.

Mit den besten Grüßen

Heil Hitler!

Ihr Wolfgang Krull.<fnref n="49" />

<footnote n="49">⁴⁹In a letter dated 2 June 1944, Lorenzen gives an account of this letter to Scholz and writes: "Da er von meiner Habilitation aber nichts mehr schreibt, will ich es noch ein letztes Mal versuchen, um seine Zustimmung zu bitten. Aber wird es was nützen? Darf ich Sie trotzdem bitten, Herrn Prof. Köthe das 'Hasse-Exemplar' einschließlich der Bemerkung mit den beiliegenden Anmerkungen zu schicken. Das neue Exemplar stelle ich ganz zu Ihrer Verfügung."</footnote>

<footnote>Then, in an undated letter, he writes: "Für Ihre so schnelle Vermittlung zu Herrn Prof. Köthe bin ich Ihnen sehr dankbar, – – ebenso auch für Ihr Gedenken bei unserm Angriff, bei dem unsere Wohnung immerhin so beschädigt wurde (wenn sie auch noch integrierbar sein wird), daß</footnote>
Dr. Paul Lorenzen

(23) Wesermünde, den 6.6.44
Hafenstr. 92

Sehr geehrter Herr Professor,

für Ihre Karte von 29.5. danke ich Ihnen sehr, obwohl sie mir eine sehr ernste Enttäuschung bereitet, indem als wesentlicher Mangel meiner Arbeit jetzt die Umständlichkeit des Verfahrens bezeichnet wird.

Dabei ist gerade die Vereinfachung und Klärung der Beweismethoden das eignentliche Hauptziel meiner Arbeit. Ich habe nicht versucht, die Sätze der multiplikativen Idealtheorie um jeden Preis zu verallgemeinern, auch um den Preis einer Komplizierung – sondern mir liegt im Gegenteil nur daran, die Grundgedanken der Beweismethoden in ihrer letzten Einfachheit zu erkennen. Wenn ich z. B. den Bewertungsbegriff ersetze durch einen “Homomorphismus eines Halbverbandes in eine geordnete Menge”, so sehe ich darin nämlich eine begriffliche Vereinfachung, und nicht etwa eine Komplizierung. Denn die Einführung des Bewertungsbegriffs (z. B. die zunächst willkürliche Dreiecksungleichung) rechtfertigt sich nur durch den späteren Erfolg, der Homomorphiebegriff trägt dagegen seine Berechtigung in sich selbst. Ich würde sagen, daß der Homomorphismus in eine Ordnung der „reine Begriff“ ist, der dem Bewertungsbegriff zugrunde liegt. Und der zugrundeliegende, reine Begriff scheint mir unbestreitbar der einfachere zu sein.

Wenn ich mich in diesem Punkte irren sollte, so bitte ich Sie aufs dringendste darum, es mir sagen zu wollen, weil es nämlich bei meiner ganzen mathematischen Arbeit bisher immer mein Bestreben war, diese zugrundeliegenden, reinen Begriffe selbst in ihrer einfachen und durchsichtigen Klarheit ans Licht zu bringen.

In dieser Tendenz der begrifflichen Klärung unterscheidet sich die Arbeit ebenfalls grundsätzlich von meiner Dissertation. Daß in dieser Klärung, in dem Verständnis der inneren Bedeutung, wie Sie es einmal nennen, die vordringlichste Aufgabe liegt, das ist mir nämlich erst in den letzten Jahren wirklich bewußt geworden.

Der Wert einer solchen begrifflichen Erkenntnis liegt m. E. vor allem in sich selbst. Nur in zweiter Linie kommt die Vereinfachung in Frage, die sich ergibt, wenn man die reinen Begriffe auf den ursprünglichen Spezialfall anwendet. (Z. B. wird der Beweis des bewertungstheoretischen Fundamentalsatzes fast trivial: Gilt für kein $z_1, \dots, z_n \in \mathfrak{a}[z_1^{\pm 1}, \dots, z_n^{\pm 1}]$, so gibt es einen maximalen Oberring $\mathfrak{B}$

<footnote>zunächst meine Frau mit Jutta in ein Dorf der Sächsischen Schweiz abgereist ist, und ich ein
‘möglierstes Zimmer’ erworben habe.</footnote>

<footnote>“Ich werde Herrn Prof. Köthe Genaueres schreiben, werde ihm aber darin recht geben müssen, daß es leicht möglich ist, daß Herr Prof. Krull nicht erbaut sein wird – sondern eine Einmischung jedem Beteiligten sehr übelnehmen wird. Daher werde ich Herrn Prof. Köthe dankbar sein, wenn er Ihnen oder mir sein Urteil mitteilen wird.”</footnote>
mit dieser Eigenschaft. Aus $\mathfrak{B} \subset \mathfrak{B}[z^{\pm 1}]$ folgt

$$a \in \mathfrak{a}\mathfrak{B}[z^{\pm 1}, x_1^{\pm 1}, \dots, x_r^{\pm 1}] \text{ und } a \in \mathfrak{a}\mathfrak{B}[z^{-1}, y_1^{\pm 1}, \dots, y_s^{\pm 1}]$$

also $a \in \mathfrak{a}\mathfrak{B}[z^{\pm 1}, x_1^{\pm 1}, \dots, y_s^{\pm 1}]$. Widerspruch!)$^{50}$

Ebenso ist es eigentlich nur ein Nebenergebnis, daß die Sätze jetzt auch im Nichtkommutativen gelten. Im Vordergrund steht stets die Erkenntnis der reinen Begriffe.

Ich bin natürlich weit davon entfernt, zu behaupten, daß diese Auffassung der Mathematik die richtige sei, aber daß sie eine berechtigte Auffassung ist, werde ich behaupten dürfen.

Wenn allerdings an dieser Auffassung meine Habilitation scheitern sollte, so will ich mich bemühen, mir eine gegenteilige Auffassung zu eigen zu machen, soweit das möglich ist.

Ich darf mich mit diesem Anliegen meiner Habilitation noch einmal an Sie wenden, da Ihnen ja nichts daran gelegen sein kann, mich einfach vor ein unabänderliches und auswegloses Nein zu stellen.

Die Gründe, die Sie meiner Habilitation entgegenhalten, daß ich nichts We sentliches bisher veröffentlicht habe, daß meine Arbeit in Richtung der Dissertati on liegt und daß sie ungerechtfertigt umständlich ist, kann ich – mit Ausnahme des letzten – nicht leugnen. Aber ich darf Sie bitten, auch die Bedingungen zu berücksichtigen, unter denen ich stehe: daß es mir nicht möglich war, ein neues Arbeitsgebiet ohne Literatur und Anregung (und ohne ausreichend Zeit) wirklich zu erschließen. Wenn ich die Gewißheit hätte, den Krieg abwarten zu können, so brauchte mir jetzt nicht so viel an meiner Habilitation gelegen zu sein. Ich würde die zuversichtliche Hoffnung haben, es nach dem Kriege zu schaffen – aber wer weiß, ob und wann wir normale Nachkriegszeiten erleben werden. Die Berufsaus- bildung, das Erreichen eines Abschlußes wird ja darum bei allen übrigen, wenn irgend möglich so gefördert. Es ist mir ja auch nicht nur praktisch unmöglich, einen anderen Beruf zu ergreifen, ich sehe vor allem aufgrund meiner Veranlagung keine Möglichkeit dazu, da eigentlich alle meine Gedanken und Bestrebungen sich ausschließlich auf die mathematische Erkenntnis richten.

Als eine besondere Härte muß ich die Nichtabgeschlossenheit meiner äußeren Berufsausbildung deshalb empfinden, weil mir dadurch auch in meinem gegenwärtigen Dienst mehrere Möglichkeiten abgeschnitten sind, die an die Bedingung der Habilitation geknüpft sind.

Was den zweiten Hinderungsgrund anbetrifft, daß meine Arbeit der Disser tation gegenüber nicht neu ist, so darf ich hier noch einmal wiederholen, daß die entscheidenden Methoden der Dissertation (a-Ideale für Halbgruppen, Idealbrüche, t-Ideale) weder explizit noch implizit in meiner Arbeit eine Rolle spielen.

<footnote>$^{50}$See Lorenzen 1950, p. 489, reproduced on page 25 and translated on page 21.</footnote>
Ich bitte Sie darum, dieses Ihren Gründen gegenüber halten zu wollen, und verbleibe mit den ergebensten Grüßen

Ihr [Paul Lorenzen]

22.06.1944. Letter from Krull to Lorenzen.

Greifswald, 22.6.44.

Lieber Herr Lorenzen!

Es fällt mir nicht ganz leicht, Ihren letzten Brief zu beantworten, denn ich muss Ihnen voraussichtlich noch einmal eine Enttäuschung bereiten. Zuerst: Seien Sie überzeugt, dass ich recht habe, wenn ich Ihre grosse, 53 Seiten lange Arbeit in ihrer derzeitigen Form für gründlich verfehlt erkläre. Ich glaube Ihnen gerne, dass wirklich neue Gesichtspunkte gegenüber Ihrer Dissertation drin stecken und ich erkenne auch Ihr Streben nach äusserster begrifflicher Klarheit grundsätzlich durchaus an. Aber gerade eine solche Klarheit, die sich auch in einer durchsichtigen Form der Darstellung äussern müsste, vermisse ich in Ihrer Arbeit durchaus. Und es langt nicht, dass Sie sich selbst über etwas klar sind, Sie wollen und müssen es auch den andern ebenso klar machen, darauf kommt es an. Schon das letzte Mal schrieb ich Ihnen, im Einzelnen müsse man sich über diese Dinge mündlich aussprechen. Wenn ich aber Ihnen schriftlich einen Rat geben soll, so kann es nur etwa der sein: Versuchen Sie doch einmal den Inhalt Ihrer Arbeit auf 20-25 Seiten zusammen zudrängen, aber so, dass Sie an den wirklich wesentlichen Stellen sich nicht scheuen deutlich zu sagen, was Sie wollen und nicht etwa hinter ein paar formalen Rechnungen die Gedanken verstecken. Ich denke, das müsste gehen, wenn es Ihnen auch zunächst unmöglich erscheint, und so kämen Sie dann vielleicht zu einer Arbeit, die wirklich geeignet wäre, Ihren Namen bekannter zu machen. Das wäre die nächste Aufgabe, die ich Ihnen stellen möchte, denn ich will natürlich nicht, dass Ihnen das, was Sie sich da alles überlegt haben, verloren geht. Und dann später ein neues, wenn möglich auf speziellere Anwendungen (etwa das Nichtkommutative) zugeschnittenes Problem angepackt! Denn mit dieser Arbeit allein lasse ich Sie noch nicht zur Habilitation zu, dabei bleibe ich, – wie ich überzeugt bin, in Ihrem eigenen Interesse. Die Habilitation ist kein Abschluss einer Laufbahn, eine „abgeschlossene Hochschulausbildung“, wie sie z. B. auch für die höhere Wehrmachtsbeamtenlaufbahn gefordert wird, haben Sie als Promovierter schon längst. Und – entweder geht der Krieg einigermassen anständig aus, wie wir alle hoffen, dann werden Sie auch Ihre Arbeit für die Habilitation als Assistent in Ruhe in Angriff nehmen können, – oder, ja ich glaube, Sie sind sich nicht klar, dass es dann mit einer Hochschullaufbahn für Sie ohnehin alle wäre. Ein à la Baisse-Spekulieren kann und darf es heute bei niemandem geben. – Schliesslich, um es nochmal zu sagen: Die Habilitation ist nicht ein Abschluss, sondern ein neuer Anfang, gewissermassen als Gesellenstück für eine Laufbahn, die zu betrachten letzten Endes
nur dann Sinn tut, wenn man einigermassen Gewissheit hat, dass man es irgendwann auch zum Meister bringt. Und so weit sind Sie eben noch nicht, wobei Ihnen gerne zugegeben sei, dass Sie unter den Kriegsbedingungen so gehemmt sind, dass niemand Ihnen deswegen einen Vorwurf machen dürfte. Aber es wäre unverantwortlich von mir, Ihnen jetzt schon das Tor zu öffnen, wo ich mir noch längst kein genügend sicheres Bild über Ihre zukünftige Weiterentwicklung machen kann.

Mit den besten Grüssen und Heil Hitler!

Ihr Wolfgang Krull.<fnref n="51" />

## 16.07.1944. Postcard from Krull to Lorenzen.

Reg.Rat Prof. Krull
Greifswald
Mar[ine]obs.

Herrn Dr.
Paul Lorenzen
23 Wesermünde
Elbestr. 42¹.

Lieber Herr Lorenzen!

Greifswald, 16.7.44

Vor allem diesmal die Versicherung, dass es mir aufrichtig leid getan hat, dass Sie jetzt auch vom Bombenspuk betroffen wurden. Ein Glück wenigstens, dass offenbar Ihre Angehörigen keinen Schaden genommen haben. Hoffentlich ist Ihnen nicht allzuviel von eigenen Sachen zerstört worden. Oder hatten Sie überhaupt wirklich gewohnt? Aus der Bemerkung, Sie hätten sich jetzt ein möbliertes Zimmer genommen, glaube ich leider auf das Gegenteil schliessen zu müssen. – Zu Ihrer Arbeit

<footnote n="51">⁵¹In a letter to Scholz dated 28 June 1944, Lorenzen writes: “Heute habe ich die endgültige Absage von Herrn Prof. Krull erhalten, da ‘meine Arbeit die begriffliche Klarheit durchaus vermissen läßt’, und es ‘unverantwortlich wäre, mir schon jetzt das Tor (zum Dozenten) zu öffnen’.”</footnote>

<footnote>“Herrn Prof. Köthe habe ich geschrieben, er möchte zunächst mir sein Urteil mitteilen, da Herr Prof. Krull in der Tat vermutlich nicht erbaut sein würde über eine direkte Einmischung.”</footnote>

<footnote>On 9 July, he writes: “ich darf Ihnen versichern, wie dankbar ich Ihnen dafür bin, daß Sie sich so um mich kümmern. Für Ihre ermutigenden Worte danke ich Ihnen besonders. Wenn ich auch nicht im geringsten das Gefühl habe, durch das Urteil von Herrn Prof. Krull ‘umgeworfen’ zu sein, so sind mir Ihre Zeilen doch sehr wohltuend gewesen. Und gerade kam auch ein ebenso wohltuender Brief von Herrn Prof. Köthe, der sich damit einverstanden erklärt, Herrn Prof. Krull gegenüber als Referent zu fungieren, und mir sogar ein positives Urteil zusagt. Auch für die Worte von Herrn Prof. Peschl bin ich sehr dankbar.</footnote>

<footnote>“Trotzallem muß ich die Absicht, mich zu habilitieren, zunächst fallen lassen, da ich es für völlig ausgeschlossen halte, daß sich jetzt noch eine Meinungsänderung bei Herrn Prof. Krull vollziehen wird (sodaß ich Herrn Prof. Köthe gar nicht als Referenten nennen können werde) und an eine neue Arbeit ist nicht zu denken, weil Herr Prof. Krull darauf besteht, die vorliegende Arbeit erst gründlich umzuarbeiten – obwohl mir diese jetzt gründlich verleidet ist, und ich eigentlich nur den Wunsch habe, endlich einmal etwas anderes zu machen, als immer irgendwelche Halbordnungen. Wie ich aus diesem Dilemma herauskommen werde, weiß ich noch nicht.</footnote>

<footnote>“Zum Schluß bitte ich noch, Herrn Prof. Köthe die Anmerkungen zu meiner Arbeit schicken zu wollen – – ich habe keine mehr, und meine Frau ist ja leider auch nicht da. Prof. Köthe hat um die Anmerkungen gebeten.”</footnote>
möchte ich Sie immer wieder daran erinnern, dass Sie stets bedenken müssen, dass Sie jetzt im Kriege nicht unter normalen Bedingungen schaffen, und dass Sie sich also nicht deprimieren lassen dürfen, wenn Sie noch nicht so weit gekommen sind, als Sie sich vorgestellt hatten. Persönlich bedaure ich es vor allem, dass ich mit Ihnen nicht mündlich öfter Ihre Untersuchungen durchsprechen kann. Nur auf diese Weise könnte ich Ihnen wirklich helfen, wie ich es gerne täte. Aber augenblicklich ist da eben leider keine Gelegenheit dazu.

Mit den besten Grüssen
Ihr Wolfgang Krull.

01.10.1944. Postcard from Krull to Lorenzen.

Reg.Rat Prof. Krull
4 Greifswald
Mar[ine]obs.

Sonderführer Dr.
Paul Lorenzen
23 Wesermünde
Marinefachschule

Greifswald, 1.10.44

Lieber Herr Lorenzen!

Heute bin ich endlich dazu gekommen, Ihre ausführliche Inhaltsskizze durchzulesen. Entschuldigen Sie also bitte, dass ich Ihnen den Empfang erst heute bestätige. Ihre eigentliche Schrift werde ich Ihnen in den nächsten Tagen zusenden. In den letzten Wochen hatte ich es unter den verschiedensten Abhaltungen einfach vergessen. Was Sie mir diesmal zuschickten, war entschieden ein Fortschritt. Ich habe nur immer noch das Gefühl, dass man die Sache noch wesentlich kürzer und klarer sagen kann. Aber das sind eben Dinge über die man sich mündlich aussprechen müsste. Schriftlich gibt es zu leicht Missverständnisse. Ich würde mich aber auch an Ihrer Stelle im Augenblick garnicht an diese Aufgabe der Herstellung eines „wirksamen“ Manuskripts halten. Arbeiten Sie doch lieber etwas über das bisherige hinaus! Was mir immer noch zweifelhaft erscheint, ist die Frage, wie weit Sie wirklich das Nichtkommutative erledigt haben. Mein Eindruck war, dass bei Ihnen auch im Nichtkommutativen sehr viel an „Vertauschbarkeitsforderungen“ drin steckt, so dass man hierbei von einem „halbkommutativen“ Fall reden könnte. Wenn es Ihnen gelänge diese Bedenken zu zerstreuen, schiene mir das ein grosser Fortschritt.

Mit den besten Grüssen
Heil Hitler! Ihr Wolfgang Krull.
G. A postcard from Lorenzen to Hasse, 1945.

25.07.1945. Postcard from Lorenzen to Hasse.

Dr. Paul Lorenzen
Bad Pyrmont
Bahnhofstr. 8
German

Herrn
Prof. Dr. H. Hasse
Göttingen
Math. Sem. d. Univers.

[Antw. 1.8.45]

25/7

Sehr geehrter Herr Professor,

In der Hoffnung, daß Sie das Kriegsende glücklich überstanden haben, erlaube ich mir, Ihnen zu schreiben. Ich bin zur Zeit hier in Bad Pyrmont gut aufgehoben – – von Bonn habe ich noch keine Nachricht. Dürfte ich Sie um eine Mitteilung bitten, wenn Ihnen über den Verbleib von Herrn Prof. Krull etwas bekannt ist. Auch von Herrn Prof. Scholz, Herrn Ackermann und Herrn Gentzen, denen ich noch im Krie- ge geschrieben habe wegen einer neuen Methode für Widerspruchsfreiheitsbeweise habe ich keinerlei Nachricht.

Mit den ergebensten Grüßen verbleibe ich

Ihr

Paul Lorenzen

H. Documents relating to Lorenzen's career, 1945–1946.

02.09.1945. Report by Lorenzen on his political attitude.

Dr. Paul Lorenzen
Wissenschaftl. Assistent am
Mathemat. Seminar der Universität Bonn.

Bericht über meine politische Einstellung

Ich bin 1915 geboren und ging noch zur Schule, als Hitler an die Macht kam. In meinem Elternhaus bin ich politisch liberal erzogen worden und in den letzten Jahren antinationalsozialistisch, da mein Vater Freimaurer war. Ich selbst missbilligte am Nationalsozialismus am schärfsten die chauvinistischen und antisemitischen Tendenzen.

Nach dem Abitur habe ich zunächst ein halbes Jahr Arbeitsdienst abgeleistet. Im Herbst 1933 begann ich mein Studium und musste mich – ehe die Immatrikulation möglich war – zum Eintritt in die SA und in den NSDStB melden. Wegen
meines passiven Widerstandes gegen den SA-Dienst bin ich dort nie Scharführer oder Ähnliches geworden.

Vom Herbst 1934 bis 1935 leistete ich ein Jahr aktiven Militärdienst ab, da die zweijährige Dienstpflicht drohte. Seit dieser Zeit bin ich entschiedener Antimilitarist und bin auf Grund dieser Einstellung während des Krieges erst im letzten halben Jahr Unteroffizier geworden.

Nach der Dienstzeit setzte ich mein Studium fort. 1936 wurde ich volljährig und trat aus der evangelischen Kirche aus. Dieser Austritt geschah nicht aus politischen Gründen, sondern auf Grund der Überzeugung, dass ich, wenn ich wahrhaftig sein wollte, mich nicht als gläubigen Christen bezeichnen konnte – und daher der Kirche nicht angehören dürfte.

1937 musste ich als Mitglied der SA in die Partei eintreten. Auch dort habe ich niemals ein Amt innegehabt. 1939 wurde ich Assistent am Mathematischen Seminar in Bonn und Anfang 1940 zum Heer eingezogen. Später aber kam ich zur Marine, wo ich seit 1942 als Mathematiklehrer in Wesermünde an der Marineschule tätig war, bis ich im Januar 1945 an die Marineschule Flensburg versetzt wurde.

Meine Frau, die ich 1939 heiratete, stammt aus einer streng kirchlichen Familie, war aktiv tätig für die Bekennende Kirche – und daher selbstverständlich Gegnerin des Nationalsozialismus. Sie war kein Parteimitglied.

Als Zeugen für meine Gegnerschaft führe ich Herrn Professor Scholz in Münster an, ferner Frau Dr. K. Wolff, Bonn, Luisenstr. 3, bei der ich seit 1939 wohnte. Frau Wolff ist die Witwe eines jüdischen Arztes.

Bonn, den 2. September 1945

Lorenzen

## 03.09.1945. Military government of Germany Fragebogen: chronological record of full-time employment and military service.

29. Give a chronological account of your employment and military service beginning with 1st of January 1931, accounting for all promotions, or demotions, transfers, periods of unemployment, attendance at educational institutions (other than those covered in Section B) or training schools and full-time service with para military organizations. (Part time employment is to be recorded in Section F.) Use a separate line for each change in your position or rank, or to indicate periods of unemployment or attendance at training schools or transfers from one military or para military organization to another.

29. Geben Sie in zeitlicher Folge eine Aufzählung Ihrer Beschäftigung und Ihres Militärdienstes seit dem 1. Januar 1931 an, mit Begründungen für alle Beförderungen oder Degradierungen, Versetzungen, Arbeitslosigkeit, Besuch von Bildungsanstalten (außer solchen, die bereits in B angeführt sind) oder Ausbildungsschulen, und Volldienst in militäranhändlichen Organisationen (Nebenbeschäftigungen sind in Abschnitt F anzugeben). Benutzen Sie eine gesonderte Zeile für jeden Wechsel in Stellung oder Rang oder zur Angabe von Arbeitslosigkeits-Zeitabschnitten oder für den Besuch von Ausbildungsschulen oder für Versetzungen von einer militärischen oder militäranhändlichen Organisation zu einer anderen.
<table><thead><tr><th>From<br>von</th><th>To<br>bis</th><th>Employer and Address<br>or Military Unit</th><th>Name and Title of Immediate<br>Superior or C. O.</th><th>Position or Rank</th><th>Duties and<br>Responsibilities</th><th>Reasons for Change of Status<br>or Cessation of Service</th></tr></thead><tbody><tr><td></td><td></td><td>Arbeitgeber und Anschrift<br>oder Militärananschrift</td><td>Name und Titel des Dienstvor-<br>gesetzten od. vorgesetzter Offz.</td><td>Stellung oder<br>Dienstgrad</td><td>Art der Tätigkeit und<br>Verantwortungsbereich</td><td>Grund für Änderung oder Been-<br>digung des Dienstverhältnisses</td></tr><tr><td>Apr. 33</td><td>Sept. 33</td><td>Student. Arbeitslager</td><td>unbekannt</td><td>Arbeitsmann</td><td>Erdarbeit</td><td>Beginn des Studiums</td></tr><tr><td>Nov. 34</td><td>Okt. 35</td><td>reit. Artl. Abt. Verden</td><td>Hpt. Bamler</td><td>Kanonier</td><td>Stalldienst</td><td>Ende der Dienstverpflichtt.</td></tr><tr><td>Okt. 38</td><td>Juli 39</td><td>Universität Göttingen</td><td>Prof. Dr. Hasse</td><td>Stipendiat</td><td>Hilfsassistentitätigkeit</td><td>Anstellung in Bonn</td></tr><tr><td>Aug. 39</td><td>gegwtg.</td><td>Universität Bonn</td><td>Prof. Dr. Krull</td><td>Assistent</td><td>Assistentitätigkeit</td><td></td></tr><tr><td>Jan. 40</td><td>Juli 40</td><td>38503 C</td><td>unbekannt</td><td>Gefreiter</td><td>Rechner</td><td>Kommandierung</td></tr><tr><td>Juli 40</td><td>Apr. 41</td><td>O. K. M.</td><td>Reg.rat Tranow</td><td>"</td><td>Schreiber</td><td>"</td></tr><tr><td>Apr. 41</td><td>Juli 41</td><td>Steuerm.schule Gotenhafen</td><td>Kaptl. Götz</td><td>"</td><td>"</td><td>"</td></tr><tr><td>Jul. 41</td><td>Jan. 42</td><td>M. N. O. Borkum</td><td>Kaptl. v. Lom</td><td>"</td><td>"</td><td>"</td></tr><tr><td>Jan. 42</td><td>Nov. 44</td><td>Mar.schule Wesermünde</td><td>Kapt. Köllner</td><td>Sonderf. (Feldwebel)</td><td>Mathematiklehrer</td><td>"</td></tr><tr><td>Nov. 44</td><td>Jan. 45</td><td>Mar. Schütz. Btl. 306</td><td>Kpt. Arlt</td><td>Unteroffizier</td><td>Schreiber</td><td>"</td></tr><tr><td>Jan. 45</td><td>Febr. 45</td><td>Mar.schule Flensburg</td><td>Kpt. Lüth</td><td>"</td><td>keine</td><td>"</td></tr><tr><td>Febr. 45</td><td>Apr. 45</td><td>8. M. E. A. Norden</td><td>unbekannt</td><td>"</td><td>Erdarbeit</td><td>"</td></tr></tbody></table>

06.09.1945. Certificate by Ernst Peschl on Lorenzen's political attitude.

Prof. Dr. Ernst Peschl
Bonn, Arndtstr. 2.

Bonn, den 6.9.45.

An den Prüfungsausschuß der Universität in Hdn von Herrn Prof. H. von Weber

Bonn
Sternwarte.

Betrifft: Politische Einstellung des Herrn
Dr. Paul Lorenzen, geb. 24.3.15,
pl. Assistent am Math. Seminar d. Univ.

Ich kenne Herrn Dr. Lorenzen vor allem aus der Zeit vom August 39 bis zu seiner Einziehung zur Wehrmacht Anfang 40. In dieser Zeit hatte ich ausgiebig Gelegenheit mich mit ihm eingehend zu unterhalten, da ich ihn fast täglich sah. Aber auch vor dieser Zeit (36/37) wie auch nachher traf ich ihn aus Anlaß der Jahresversammlungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung und hatte dabei ebenfalls längere Unterhaltungen mit ihm. Ich glaube ihn daher eingehendst zu kennen, zumal er seiner ganzen Veranlagung nach ein offener absolut aufrichtiger Charakter ist.

Er ist ein sehr kritischer Mensch und hatte vom ersten Augenblick seiner Fühlingnahme mit mir an stärkste Ausdrücke (meist sehr sarkastischer Art) der voligen Ablehnung des Nationalsozialismus und der Person Hitlers und aller seiner Trabanten geäußert. Dies entsprach auch seiner ganzen inneren Haltung. Desgleichen lehnte er jede Form von Militarismus scharf ab.

Auch sein mir bekannter Kirchenaustritt im Jahre 37 hat gar nichts mit politischen Motiven zu tun. Es war lediglich die aufrichtige Schlußfolgerung aus der Hal tung eines philosophischen Agnostizismus, die sich nach langem ehrlichen Ringen um erkenntnistheoretische Fragen bei ihm herausgebildet hatte. Jede Feindselig- keit gegen religiöse Überzeugungen ist ihm völlig fremd. Im Gegenteil hat er eine Frau aus streng religiöser Familie der evangelischen Bekenntniskirche geheiratet.
**14.09.1945. Certificate by a board of examiners.**

In der Prüfungssache

des Assistenten am Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Seminar der Universität Bonn Dr. Paul Lorenzen

erstattet der Prüfungsausschuss bestehend aus den Professoren von Weber, Fitting und Troll in seiner Sitzung vom 14.9.1945 folgendes

Gutachten.

Lorenzen, geboren 1915, trat mit Beginn seines Studiums der SA und dem NSDStB bei. 1937 wurde er in die Partei übernommen. Er ist ein Schüler von Professor Scholz in Münster. Seine Haltung war eindeutig antinationalsozialistisch, wie auch das beiliegende Zeugnis von der Witwe des jüdischen Arztes Wolff bezeugt. Für die Partei hat er sich niemals betätigt.

Lorenzen ist nur formales Parteimitglied. Der Ausschuss befürwortet seine Begrassung in seiner bisherigen Stellung.

von Weber

## 1 Anlage

**13.08.1946. Notification on Lorenzen's inaugural lecture of 9 August 1946.**

**Mathematisch-naturwissenschaftliche Bonn, den 13. August 1946**
**Fakultät**
der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität

J.-Nr. 864

An
den Herrn Oberpräsidenten der Nordrheinprov.

Düsseldorf
durch Se. Magnifizenz, den Herrn Rektor
der Rheinischen Friedr.-Wilh.-Universität,

Namens der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Fakultät der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität in Bonn teile ich ergeben mit, dass die Mathematisch-naturwissenschaftliche Fakultät Herrn

<footnote n="52">⁵²Ernst Peschl (1906–1986) is professor of mathematics in Bonn. See Segal (2003, pages 461–462) on his attitude towards national socialism.</footnote>
Dr. Paul Lorenzen<sup>53</sup>

nach am 9.8.1946 gehaltener Antrittsvorlesung über:

„Über den Verbandsbegriff“

als Privatdozent für Mathematik zugelassen und die venia legendi verliehen hat.

gez. Reichensperger

Dekan

# I. A letter from Krull to Scholz, 1953.

## 18.04.1953. Letter from Krull to Scholz.

Lieber Herr Scholz!

Bonn, 18.4.53.

Was Sie mir über Lorenzen schrieben, hat mich sehr gefreut. Ich schätze seine Arbeiten zur Begründung der Analysis ausserordentlich hoch. Ich hatte bei dem Arbeiten mit dem Überabzählbaren, insbesondere mit dem Wohlordnungssatz, immer das Gefühl man benutzt da Fiktionen, die eines Tages durch vernünftigere Begriffsbildungen ersetzt werden müssen. Aber ich regte mich darüber nicht auf, weil ich überzeugt war, dass bei vorsichtiger Anwendung der geläufigen „Fiktionen“ nichts Falsches herauskommt, und weil ich mit Sicherheit auf den Mann rechnete, der eines Tages alles in Ordnung brächte. Lorenzen hat nun nach meiner Überzeugung den richtigen Weg gefunden, und das ist allein schon eine Leistung, für die er ein Ordinariat verdiente. – Es ist mir nun eine grosse Befriedigung, dass auch Sie, – wenn auch unter einem etwas anderen Blickwinkel als dem meinen, – von Lorenzen so viel halten.<fnref n="54" /> Dass es für die mathematische Logik und Grundlagenforschung an der nötigsten Stellenzahl fehlt, ist auch meine Überzeugung. Ich bin also sehr gerne bereit, Sie bei einer Aktion, die die Vermehrung der einschlägigen Stellen anstrebte, aufs wärmste zu unterstützen. In Bonn selbst wird sich allerdings im Augenblick in dieser Hinsicht nichts tun lassen, da wir gerade um unser Extraordinariat bzw. Ordinariat für Angewandte Mathematik kämpfen, und man nur schrittweise vorgehen kann. Aber schreiben Sie mir doch bitte, wie Sie sich das Aktionsprogramm vorstellen. – Es tut mir sehr leid, dass Sie wieder so lange und

<footnote n="53">⁵³In a letter to Scholz dated 7 June 1946, Lorenzen writes: "Herr Prof. Krull ist seit kurzem glücklicherweise zugelassen und hat sich mit meiner sofortigen Habilitation vollkommen einverstanden erklärt."</footnote>

<footnote>The day after, he writes to him: "Welche Aussichten dann hier bestehen, darüber weiß ich nichts, aber ich vermute, daß ich hier irgendwie einen Lehrauftrag bekommen werde. Für dieses Semester habe ich – ausnahmsweise – einen Auftrag für eine Algebravorlesung bekommen."</footnote>

<footnote n="54">⁵⁴Compare Krull's letter to Hasse dated 15 August 1946 (Roquette 2004, § 1.95), in which he already expresses his appreciation of Lorenzen.</footnote>
so schwer unter Magenkrämpfen litten. Hoffentlich bleiben Sie jetzt recht lange
davon verschont!

Mit herzlichen Grüssen Ihr Wolfgang Krull

J. The correspondence between Hasse and Lorenzen, 1953–1963.

14.05.1953. Letter from Lorenzen to Hasse.

Prof. Dr. P. Lorenzen
Bonn, Luisenstr. 3

[Mein R.
bespr. 3.7.53]

Bonn, den 14.5.53

Sehr verehrter, lieber Herr Hasse,

aus Freude und Dankbarkeit darüber, dass Sie in Ihrem Vortrag über Mathematik als Wissenschaft, Kunst und Macht<fnref n="55" /> auch einmal die menschliche Seite der Mathematik – die Empfindungen und Beweggründe, die uns gerade an diese Wissenschaft vor allen anderen binden (obwohl Sie betonen, dass Sie nur Ihre subjektive Einstellung darstellen, haben Sie doch zugleich für viele andere gesprochen) – ins Bewusstsein heben, erlaube ich mir, Ihnen zu schreiben.

Das von Ihnen zuerst behandelte Motiv: Mathematik als reinste Wissenschaft, als Prototyp unvergänglicher Erkenntnis, das ist wohl auch im Verlauf der bisherigen Geschichte – seit Thales und den Pythagoräern – das wirksamste Motiv gewesen. Gegenwärtig scheint sich dieses Motiv allerdings in einer besonderen Gefahr zu befinden. Die Geometrie, die doch bisher – wie ja offiziell auch heute noch – immer zur Mathematik gerechnet wurde, hat seit dem vorigen Jahrhundert den Charakter der absoluten Sicherheit verloren. Die Mathematik hat sich daher bezüglich der Geometrie auf Implikationen der Form: „wenn die und die Axiome gelten, dann gilt auch …“ zurückgezogen, also auf Aussagen, die kaum noch geometrisch zu heissen verdienen. Wenn ich Sie nicht missverstanden habe, verstehen Sie unter Mathematik den engeren Begriff, der nur Logik, Arithmetik und Analysis umfasst. Neben diesen konkreten Teilen der Mathematik würden dann die abstrakten Teile – also die axiomatischen Theorien der Algebra und Topologie – eine sekundäre Rolle spielen. Will man die Geometrie, eventuell zusammen mit der Mechanik nicht als ein eigenes Fach konstituieren, so wird man sie mit zur theoretischen Physik rechnen müssen. Gegenwärtig wollen nun manche sogar noch der Mathematik im engeren Sinne die unumstössliche Gültigkeit absprechen, also z. B. auch die Arithmetik auf Implikationen: „wenn die Peano-Axiome gelten, dann gilt auch …“ reduzieren.

<footnote n="55">⁵⁵Hasse 1952.</footnote>
Dann gäbe es keine Mathematik als Wissenschaft mehr, es gäbe nur noch formales Ableiten aus Axiomen, die aufgrund pragmatisch-empirischer Kriterien gewählt werden. Zieht man schliesslich die Logik mit in diesen Relativierungsprozess hinein, so würden auch noch die Regeln des formalen Ableitens aus Axiomen nur durch aussermathematische Kriterien zu gewinnen sein.

Ich wage, zu vermuten, dass es vor allem diese Gefahr ist, die Sie als Formalisierung eine inhärente Tragik der Mathematik nennen. Hier würde ich mir nun gern die Frage erlauben: ist diese Formalisierung zu unterscheiden von der „Formalisierung“, die in Ihrer Betrachtung über die Bedeutung einer klaren und prägnanten Bezeichnungsweise als eine Gefahr dargestellt wird? Die Existenzaussage auf p. 22 würde nach Ersetzung der logischen Partikeln durch Symbole, nämlich von

<table><tr><td>wenn, so</td><td>durch</td><td>→</td></tr><tr><td>und</td><td>durch</td><td>∧</td></tr><tr><td>es gibt</td><td>durch</td><td>V</td></tr><tr><td>ist</td><td>durch</td><td>ε</td></tr></table>

lauten:

$$p \in \text{prim} \wedge p = 4n + 1 \rightarrow \bigvee_{x,y} p = x^2 + y^2.$$

Zur „Formalisierung“ der Eindeutigkeitsaussage könnte

$$\text{es gibt genau ein durch } \bigvee^{1}$$

ersetzt werden, und wir erhielten dann

$$p \in \text{prim} \wedge p = 4n + 1 \rightarrow \bigvee_{x,y}^{1} x < y \wedge p = x^2 + y^2.$$

Wenn man die logischen Symbole nur als prägnante Abkürzung für die umgangssprachlichen Partikel benutzt – ihnen also alle Inhaltlichkeit lässt, und die Aussagen jetzt nicht plötzlich als bedeutungslose Zeichenreihen behandelt – dann scheinen mir genau dieselben Gründe für diese Symbolik zu sprechen, die uns veranlasst haben, von:

$$\begin{array}{l} \text{„}p\text{ ist die Summe der Quadrate von } x\text{ und } y\text{“} \\ \text{zu } p = x^2 + y^2 \end{array}$$

überzugehen. Könnte man der letzten Formel vorwerfen, dass sie dem Fluss der suggestiven Sprache Gewalt antut?

Dadurch, dass die logische Symbolik von Hilbert zu dem Zweck gebraucht ist, eine inhaltliche Theorie in einen axiomatischen Formalismus zu verwandeln, scheint mir die Möglichkeit eines inhaltlichen Gebrauches der logischen Symbole zu kurz gekommen zu sein.
Ich bitte Sie herzlich, diese Bemerkungen nicht als Propaganda für die Logistik auffassen zu wollen – ganz im Gegenteil, es ist ja gerade die Logistik, die das inhaltliche Denken verkennt – ich würde mich aber freuen, wenn Sie diesen Brief als einen Ausdruck meiner Dankbarkeit annehmen wollen, dafür, dass Sie die geistigen Schmerzen eines „deutschen Aufsatzes“ nicht gescheut haben, um einmal zur Besinnung auf unser Tun aufzurufen.

Mit den ergebensten Grüssen bin ich
Ihr

Paul Lorenzen

## 05.06.1953. Letter from Hasse to Lorenzen.

5. Juni 1953

Prof. Dr. H. Hasse
Ahrensburg i. H.
Hamburgerstr. 43

Lieber Herr Lorenzen,

es ist sehr freundlich von Ihnen, dass Sie solches Interesse an meinem kleinen Büchlein genommen haben. Es fehlt mir jetzt mitten im Semesterbetrieb leider die Zeit, mich zu den von Ihnen gemachten Bemerkungen zu äussern. Da ich aber voraussichtlich noch im Laufe dieses Semesters nach Bonn kommen werde, können wir dann vielleicht einmal mündlich darüber sprechen.

Mit herzlichen Grüssen
Ihr [Hasse]

## 09.06.1953. Letter from Lorenzen to Hasse.

Sehr verehrter, lieber Herr Hasse,

für die freundliche Aufnahme meines Briefes zu Ihrem „Büchlein“ danke ich Ihnen sehr. Wenn Ihr Plan, nach Bonn zu kommen, sich verwirklichte, wäre das sehr schön. Wenn Ihre Zeit nicht allzu knapp sein wird, darf ich Sie vielleicht für eine kurze Zeit bitten, bei uns sein zu wollen.

Mit den ergebensten Grüßen
bin ich stets Ihr

Paul Lorenzen.

Bonn, 9.6.53
Luisenstr. 3
July 1959. Letter from Lorenzen to Hasse.

[P. Lorenzen, Juli 1959]

Sätze [Hasse JfM 152 (1923)]

$$p \equiv 1 \mod 4, q \equiv 1 \mod \frac{4}{2}, \quad (56) \quad \left(\frac{q}{p}\right) = -1 \quad \rightarrow \bigwedge_{\text{rat}t} \Phi(p, q, t) \leftrightarrow t \ p\text{-q-ganz.}$$

$$p \equiv 3 \mod 4, q = 2 \quad \rightarrow \bigwedge_{\text{rat}t} \Phi(1, p, t) \leftrightarrow t \ p\text{-q-ganz.}$$

$$\Phi(r, s, t) \Leftrightarrow \bigvee_{\text{rat}x,y,z} x^2 + ry^2 - sz^2 = 2 + rst^2.$$

Folgerungen

$$\bigwedge_p \bigvee_{q,m,n} \bigwedge_t \Phi(m, n, t) \leftrightarrow t \ p\text{-q-ganz.}$$

Für eine Klasse K von Paaren m, n gilt also

$$(1) \bigwedge_{K m,n} \Phi(m, n, 0)$$

$$(2) \bigwedge_{K m,n} \bigwedge_{\text{rat}t} \Phi(m, n, t) \rightarrow \Phi(m, n, t+1)$$

$$(3) \bigwedge_{\text{rat}u} \bigwedge_{K m,n} \Phi(m, n, u) \rightarrow u \text{ ganz.}$$

$$\text{Satz} \quad \bigwedge_{\text{rat}u} u \text{ ganz} \leftrightarrow \bigwedge_{\text{rat}r,s} \Phi(r, s, 0) \wedge \bigwedge_t \Phi(r, s, t) \rightarrow \Phi(r, s, t+1). \rightarrow \Phi(r, s, u).$$

[J. Robinson JSL 14 (1949)]

Satz Die Theorie der kommutativen Körper ist unentscheidbar.

01.08.1959. Letter from Hasse to Lorenzen.

1. August 1959

Lieber Herr Lorenzen,

Heute endlich bin ich dazu gekommen, mich mit den Kriterien über quadratische Darstellungen zu beschäftigen.

Es ist alles in Ordnung, nur dass es im Falle $p = 1 \mod 4$ auch $q = 1 \mod 4$ (statt nur mod. 2) heissen muss, was wohl auf einem Schreibfehler Ihrerseits beruht.

Die Kriterien lassen sich allerdings nicht unmittelbar meiner Dissertation entnehmen, in der ja von Ganzzahligkeit nicht die Rede ist. Dass aus der Darstellbarkeit die Ganzheit von $t$ für $p, q$ folgt, ergibt sich ohne weiteres durch Übergang

<footnote n="56">⁵⁶This correction is by Hasse, see the following letter.</footnote>
zu der zugeordneten ganzzahligen primitiven homogenen Gleichung und Kongru-
enzbetrachtung mod. *p*, *q* (wobei für *q* = 2 sogar mod. 4 oder gar 8 zu rech-
nen ist). Dass umgekehrt für *p*, *q*-ganze *t* wirklich Darstellbarkeit besteht, beruht
darauf, dass in meiner Dissertation die ternäre Darstellbarkeit auf binäre lokale
Nichtdarstellbarkeiten zurückgeführt ist. Schliesst man also indirekt, so führt die
Annahme der ternären Nichtdarstellbarkeit auf binäre lokale Darstellbarkeiten,
und daraus kann dann wie vorher durch Übergang zu den ganzzahligen primiti-
ven homogenen Gleichungen hier auf die Nichtganzheit von *t* für *p*, *q* geschlossen
werden.

Was die von Robinson gezogenen logistischen Folgerungen betrifft, so verstehe
ich sie leider nicht ganz und habe hier auch keine Möglichkeit, das JSL einzusehen.

Mit besten Grüssen und Ferienwünschen, auch für Ihre Frau und Tochter,

Ihr [Hasse]

07.03.1960. Letter from Hasse to Lorenzen.

7. März 1960

Herrn Prof. Dr. P. Lorenzen

Kiel

Philosophisches Seminar d. Universität

Lieber Herr Lorenzen,

recht herzlich möchte ich mich für die Zusendung Ihres kleinen Büchleins über
die Entstehung der exakten Wissenschaften<fnref n="57" /> bedanken. Ich habe es in den letzten
Tagen mit grosser Freude gelesen.

Mit besten Grüssen, auch an die verehrte Gattin,

Ihr [Hasse]

27.06.1961. Letter from Hasse to Lorenzen.

27. Juni 1961

Lieber Herr Lorenzen,

haben Sie zunächst recht herzlichen Dank für die Zusendung Ihres Sonderab-
drucks „Ein didaktisches Konstruktivitätskriterium“.<fnref n="58" /> Wir haben schon seit länge-
ner Zeit die Absicht, Sie um einen ausführlichen Vortrag über Ihre Ergebnisse zur
Grundlegung der Mathematik zu bitten. In diesem Sommersemester liess sich das
deshalb schlecht einrichten, weil wir laufend auswärtige, insbesondere überseeische

<footnote n="57">⁵⁷Lorenzen 1960.</footnote>

<footnote n="58">⁵⁸In fact “Ein dialogisches Konstruktivitätskriterium”, Lorenzen 1961.</footnote>
Gäste hatten und dazu auch noch einige Mathematiker aus Gründen der Besich-
tigung für eine evtl. Berufung einladen mussten. Ich möchte Sie heute fragen, ob
es Ihnen möglich wäre, uns im Wintersemester die Freude Ihres Besuchs und eines
Vortrags über Ihre Ergebnisse zu machen. Es würde uns daran liegen, dass dieser
Vortrag uns Ihre Gedankengänge möglichst in einer uns allen wirklich verständli-
chen Form nahebringt. Wir würden Ihnen dafür auch gern zwei aufeinanderfolgen-
de Kolloquiumstage (immer Dienstag 16 Uhr) zur Verfügung stellen, wo Sie dann
jeweils maximal 60 Minuten Vortragszeit hätten. Selbstverständlich würden wir Ih-
nen Ihre Reise- und Aufenthaltskosten erstatten mit DM 150,– je Vortragstag. Ich
schreibe schon heute, weil jetzt noch fast alle Dienstage des Wintersemesters zur
Verfügung stehen, ausgenommen lediglich der erste Dienstag, nämlich der 7.11.,
an dem unser P. Jordan über ein Problem aus der Theorie der nichtkommutativen
Verbände etwas erzählen wollte.

Sie würden uns wirklich eine sehr grosse Freude machen, wenn Sie auf diese
unsere Bitte eingingen.

Mit herzlichen Grüssen

Ihr [Hasse]

04.07.1961. Letter from Lorenzen to Hasse.

Prof. P. Lorenzen

Kiel

Clausewitzstraße 14

4/7 61

Sehr verehrter, lieber Herr Hasse,

für Ihre liebenswürdige Anfrage und Einladung danke ich Ihnen herzlichst.

Ich gehe in der Tat gern auf dieses Anerbieten ein, weil ich meine gegenwärtige „Philosophie“ ja nur umständehalber als Philosophie vertrete, während es doch nichts als eine mathematische Bemühung um die Frage ist, ob denn tatsächlich (wie man heute meint) die Arithmetik und Mengenlehre eine axiomatische Theorie – wie die Geometrie – sei. Ist diese Frage zu verneinen, so bleibt zu fragen, wie denn die Sätze, die als „Axiome“ benutzt werden, zu beweisen sind.

Leider sind diese Fragen z. Zt. mit vielerlei unnötigem Ballast beladen, sodaß
ich zur Verständlichkeit von dem Angebot zweier Kolloquien gerne Gebrauch ma-
che. Am ersten Tage würde ich vorschlagen „Logik und Arithmetik“ zu behandeln,
am zweiten Tage „Geometrie und Mengenlehre“.

Da ich mir die Tage noch aussuchen darf, schlage ich Dienstag, den 5. Dezember
und Dienstag, den 12. Dezember vor.

Mit herzlichen Grüßen stets

Ihr P. Lorenzen
08.07.1961. Letter from Hasse to Lorenzen.

8.7.1961

Lieber Herr Lorenzen,

Haben Sie recht herzlichen Dank für Ihre Zusage, über die wir uns alle sehr freuen. Wir sind mit Ihren Vorschlägen hinsichtlich Daten und Themen gern ein- verstanden, haben davon Vormerkung genommen und hoffen nur, daß nichts da- zwischenkommt.

Für den Fall, daß wir für Sie Quartier besorgen sollen, geben Sie uns bitte rechtzeitig Nachricht. Oder wollen Sie jedesmal am Abend wieder nach Kiel zu- rückfahren?

Hit herzlichen Grüßen, auch von meiner Frau und an die Ihre,

Ihr [Hasse]

11.07.1961. Letter from Lorenzen to Hasse.

Prof. P. Lorenzen
Kiel
Clausewitzstraße 14

Sehr verehrter, lieber Herr Hasse,

herzlichen Dank für die Bestätigung.

Da ich von Hamburg ja noch gegen 23<sup>00</sup> nach Kiel kommen kann, werde ich sicherlich abends zurückfahren und werde also kein Quartier brauchen.

Mit herzlichen Grüßen stets

Ihr P. Lorenzen

Kiel 11/7 61

09.10.1962. Letter from Hasse to Lorenzen.

Prof. Dr. H. Hasse

Herrn Prof. Dr. P. Lorenzen
Erlangen
Philosophisches Institut d. Universität

9.10.1962

Lieber Herr Lorenzen,

Mit meinen herzlichen Glückwünschen zur Ernennung in Erlangen verbinde ich meinen besten Dank für die Zusendung Ihres neuesten Opus „Meta-Mathematik“.<fnref n="59" /> Nach genauer Lektüre der Einleitung und Gewinnung eines Überblicks über den

<footnote n="59">⁵⁹Lorenzen 1962.</footnote>
Gang der Handlung habe ich dies sicher von hoher Warte mit größter Klarheit und bemerkenswertem didaktischen Geschick geschriebene Werk neben der Scholzschen „Metaphysik“ in meinem Bücherschrank abgestellt, mit dem Vorsatz, wenigstens einmal bis zum Widerspruchsfreiheitsbeweis der Arithmetik im Einzelstudium vorzudringen. Vielleicht finde ich dazu nach meiner Emeritierung die Zeit.

Für heute recht herzliche Grüße und gute Wünsche von Haus zu Haus

Ihr [Hasse]

July 1963. Letter from Lorenzen to Hasse.

Prof. P. Lorenzen
852 Erlangen
Saalestraße 1

[Beantw. 21.7.1963
Kritik anerkannt.
Aber in solchem Werk kein
Platz für Grundlagenfragen]

Sehr verehrter, lieber Herr Hasse,

Ihr großes Buch<fnref n="60" /> kam hier vor einigen Tagen an: welch ein vorteilhafter „Aus-
tausch“ ist das für mich, da Sie ja nur das Metamathematikbändchen erhalten
haben!

So versuche ich noch, meinen herzlichen Dank dazu zugeben. Daß die Zahlen-
theorie die Königin der mathematischen Disziplinen ist, ist mir durch Ihr Buch
wieder einmal deutlich geworden. Welche Wohltat, daß am Anfang kein willkürli-
ches Axiomensystem steht: die Gegenstände, die man zu erkennen trachtet, sind
vielmehr von vornherein eindeutig durch Konstruktion gegeben. [Die axiomati-
schen Begriffe wie Körper, Gruppe, ... dienen stets nur als ein Mittel, um die
Beziehungen zwischen den konstruierten Gegenständen – vor allem also Beweiszu-
sammenhänge – klar und deutlich zu erfassen]

Bei meiner notorischen Kritik am Cantorschen Mengenbegriff werden Sie es
mir verzeihen, daß ich die „Konstruktion“ der vollständigen Hülle eines bewerteten
Körpers als einen Schönheitsfehler betrachte: es werden ja „alle“ $\varphi$-konvergenten
Folgen ($a_n$) betrachtet. Wie läßt sich diese Unmenge aber „konstruieren“?

M. E. kommt man zu den gewünschten Resultaten über die Fortsetzungen von
Bewertungen, wenn man statt „aller“ konvergenten Folgen immer nur „genügend
viele“ konvergente Folgen zur Erweiterung des bewerteten Körpers benutzt.

Diese „puristische“ Kritik wäre wohl der Forderung zu vergleichen, etwa beim
Beweis des Dirichletschen Einheitensatzes *ohne* den *vollen* Körperraum (und Loga-
rithmenraum) auszukommen: hier braucht *man* ersichtlich nicht *alle* reellen Zahlen,
sondern könnte sich mit Abschätzungen behelfen.

Daher möchte ich – statt solcher Kritik – lieber meinen herzlichsten Dank noch
einmal wiederholen.

<footnote n="60">⁶⁰Hasse 1963b.</footnote>
Mit den ergebensten Grüßen
stets

Ihr P. Lorenzen

September 1963. Letter from Lorenzen to Hasse.

Prof. P. Lorenzen
852 Erlangen
Saalestraße 1

[Gedankt
durch Postkarte
26.9.63]

September 1963

Sehr verehrter, lieber Herr Hasse,

in der Hoffnung, daß Sie dieser Brief nach guter Rückkehr von der Amerikareise antrifft, möchte ich Ihnen vielmals für die Karte aus Morris Inn, Notre Dame (ich habe dort 1957 einmal übernachtet) danken.

Meine „Kritik“ war durchaus nicht so gemeint, daß es einer „Rechtfertigung“
Ihrerseits bedurft hätte: das Ziel des Buches, wirklich zu den Höhen der Zahlen-
theorie zu führen rechtfertigt – in unserer gegenwärtigen Situation – vollkommen
die Benutzung der traditionellen Fundamente.

Trotzdem freue ich mich natürlich sehr über Ihre Zustimmung, daß dann, wenn
z. B. von „allen“ Folgen (etwa rationaler Zahlen) geredet wird, immer nur „genü-
gend viele“ gemeint ist. Die Kontrolle, daß überall in der Tat immer nur „genügend
viele“ gebraucht werden, ist allerdings m. E. nicht trivial (In der Math. Zeitschr. 59,
1953, habe ich einen Beweis dafür dargestellt, daß in jedem abzählbaren bewerteten
Körper $K$ ein abzählbarer Oberkörper $\overline{K}$ existiert, derart daß sich die Bewertung
von $K$ auf $\overline{K}$ fortsetzen läßt und daß für jeden algebraischen Oberkörper $M$ von $\overline{K}$
**höchstens eine** Bewertung von $M$ existiert, die die Bewertung von $\overline{K}$ fortsetzt).

Vor einiger Zeit erhielt ich die Neuauflage Ihrer Höheren Algebra I.<fnref n="61" /> Daß die
determinantenfreie Algebra jetzt zu konstruktiven Entscheidbarkeits- und Bere-
chenbarkeitsverfahren führt, ist eine wesentliche Verbesserung.

Mir fiel auf (aber auch das soll keine Kritik sein, weil es dazu zu unwichtig
ist), daß für Körper und Gruppen immer die Eindeutigkeit der Division (bzw.
Subtraktion) gefordert wird. In Satz 14 beweisen Sie aber die Eindeutigkeit des
Einselementes, nämlich: $\mathcal{C}E_A = \mathcal{C}$ für alle $\mathcal{C}$

$$
F_B \mathcal{C} = \mathcal{C} \text{ für alle } \mathcal{C}
$$

also $F_B = F_B E_A = E_A$ (jedes $F_B$ ist jedem $E_A$ gleich, d. h. alle $E_A$ und $F_B$ sind dasselbe Element).

Ebenso beweisen Sie Satz 15 die Eindeutigkeit des Reziproken.

Mit ergebensten Grüßen

stets Ihr P. Lorenzen

<footnote n="61">⁶¹Hasse 1963a.</footnote>
# K. The correspondence between Aubert and Lorenzen, 1978–1979.

21.02.1978. Letter from Aubert to Lorenzen.

UNIVERSITY OF OSLO

INSTITUTE OF MATHEMATICS

BLINDERN, February 21, 1978

P. O. BOX 1053 – BLINDERN, OSLO 3

Dear Professor Lorenzen,

I am aware of the fact that you are now mainly working as a philosopher and not as a mathematician. But since the question I am going to ask you is really of a historical nature (although connected with technical mathematics) I am nevertheless taking the liberty to write to you. I believe that you are now (after Krull's death) the only person who could possibly enlighten me on the questions which I touch upon below. Hence I would be very thankful for any comment that you would be willing to give me concerning this letter.

For some time I have been puzzled by the fact that so few people know about *t*-ideals ("divisorial ideals of finite character"). Specialized books on the topic of general arithmetics or divisibility theory (multiplicative ideal theory, divisors, etc.) do not even mention this notion (like the books of Bourbaki, Gilmer, Larsen–McCarthy and Fossum).<sup>62</sup> This in spite of the fact that there is in my opinion an overwhelming evidence pointing in favour of *t*-ideals as the building blocks of general arithmetics. They seem to form the true arithmetical divisors with nice properties which are shared neither by the *d*-ideals nor by the *v*-ideals.

It is a puzzle to me how the basic arithmetical virtues of *t*-ideals have escaped the notice of the specialists – let alone the general mathematical public. The only book which seems to give a fair treatment of them is Jaffard’s monograph “Les systèmes d’idéaux”.<sup>63</sup> And Jaffard’s main source when it comes to *t*-ideals is certainly your own 1939 paper.

I believe it is high time to make some propaganda for the *t*-ideals exhibiting them to a more general public in a somewhat more pedagogical and attractive way than has been done hitherto. I have hence decided to write an article on this subject with the tentative title “Divisorial ideals of finite character”.<sup>64</sup> It is going to be partly expository and partly historical, but will also contain some more technical results of my own, going slightly further than the results which can be found in your 1939 paper and in Jaffard’s monograph.

In connection with the history of the subject I am especially puzzled by finding
that even Krull did not seem to have grasped the relevance of *t*-ideals – at least

<footnote n="62"><sup>62</sup>Bourbaki 1972; Gilmer 1972; Larsen and McCarthy 1971; Fossum 1973.</footnote>

<footnote n="63"><sup>63</sup>Jaffard 1960. See Bosbach (2015, Chapter 13) for another fair treatment.</footnote>

<footnote n="64"><sup>64</sup>Aubert 1979.</footnote>
if we are to judge from his published works. I have not been able to spot a
single reference to *t*-ideals in his papers or in his 'Idealbericht'.<fnref n="65" /> I may of course
have overlooked some part of his work, but I cannot really see what that should
be. I have checked rather carefully his 'Idealbericht', his long series of papers
on the arithmetics of integral domains<fnref n="66" /> as well as his papers on Krull domains
('Endliche diskrete Hauptordnungen').<fnref n="67" /> In doing so I have made a couple of
strange observations. In a short historical and bibliographical note on *v*-ideals
on page 121 of his 'Idealbericht' he refers among other things to Arnold's paper
"Ideale in kommutativen Halbgruppen" from 1929⁶⁸ as if this paper were concerned
with *v*-ideals. To describe the content of that paper Krull writes in a parenthesis:
(*v*-Ideale in "Halbgruppen"). But Arnold's paper is concerned with *t*-ideals and
not with *v*-ideals!<fnref n="69" /> My conjecture is simply that Krull was mainly interested in
the arithmetics of integral domains and much less concerned with monoids. So he
may not have studied Arnold's paper very attentively – in fact so superficially that
the real content of that paper may have escaped him.

On the other hand Krull makes extensive reference to your 1939 paper (and
in particular to the 'finite character property' of ideal systems) in the last paper
(No VIII from 1943) of his long series of papers on the arithmetics of integral do-
mains. And even on a first and rather superficial reading of your paper one could
hardly avoid to see the crucial role played by the *t*-ideals. Only a glimpse should
be enough for a man like Krull in order to recognize this – the *t*-ideals lying at the
cross-road of two of his pet topics "Gruppensätze" and "Endliche diskrete Haupt-
ordnungen": An integral domain is a Krull ring if and only if the fractional *t*-ideals
form a group (under *t*-multiplication). (Satz 7 in your 1939 paper is equivalent
to this result.) How could possibly this and many other basic arithmetical facts
concerning *t*-ideals have escaped Krull's keen eye for the essentials?

The *t*-ideals put the Krull rings and the Dedekind rings on an equal footing
describing the Krull rings simply as those rings which are "Dedekind" relative to
the *t*-ideals. In the same way the *t*-ideals also put the divisor class group on an
equal footing with the ideal class group. They are just particular instances (*r* = *t*,
*r* = *d*) of a general notion of an "*r*-class group". Not to mention that the unique
factorization domains (monoids) are just those domains (monoids) where every
*t*-ideal is principal. (See the footnote on page 543 in your 1939 paper.) In addition
to this comes the fact that (in contradistinction to the case of *v*-ideals) the *t*-ideals
are of finite character and hence allow the use of Zorn's lemma, allow a nice theory
of localization, etc. And this is very far from exhausting the nice properties and
the possible applications of *t*-ideals.

<footnote n="65">⁶⁵Krull 1968.</footnote>

<footnote n="66">⁶⁶Krull 1936a,b, 1937a, 1938a, 1937b, 1938b, 1939a,b, 1942, 1943.</footnote>

<footnote n="67">⁶⁷Krull 1951, 1952, 1953.</footnote>

<footnote n="68">⁶⁸Arnold 1929.</footnote>

<footnote n="69">⁶⁹Compare Lorenzen's letter to Krull dated 8 March 1938 (page 49).</footnote>
My question to you concerns the possible additional information you might
have as to Krull's attitude to – or knowledge of – *t*-ideals. Since you and Krull
shared some of the same arithmetical interests surrounding the notion of a *t*-ideal
and at the same time being colleagues for a number of years in Bonn – I fancy that
you may have had discussions with him on this particular topic and that you may
possibly still have some recollections from such discussions. If you know of some
written material which points in the direction of an awareness of the relevance of
*t*-ideals on Krull's part, I would of course appreciate this still more.

I am asking you these questions because I want my historical remarks accom-
panying the above-mentioned projected paper to be as accurate as possible. This
in itself is of course a detail, but I do not think it is just a detail or a matter of
taste when Bourbaki as well as most other writers are founding their exposition of
divisors, divisor class groups, Krull domains, etc. on the notion of a *v*-ideal and not
on the notion of a *t*-ideal. But it is not only the *v*-ideals which on many occasions
should be replaced by *t*-ideals – it is even more so in the case of *d*-ideals. And
this touches upon an essential point of more far-reaching consequences: It seems
inappropriate to force the heavily additive Dedekind notion of an ideal onto the so-
lution of purely multiplicative problems of divisibility – just because there already
happens to exist a well-developed commutative algebra surrounding this additive
ideal concept. I would advocate another and more natural procedure, namely to
use the *t*-ideals which are generally better suited for these purely multiplicative
problems and develop the corresponding necessary piece of commutative algebra
as adapted to this ideal concept (like for instance the localization technique, the
seeds of which may already be found in your 1939 paper).

You may perhaps have lost all your former interest in *t*-ideals, but in that case
I still hope that the slight leanings towards the history and philosophy of science
of the present letter may catch your interest – or at least a sufficient interest to
make a reaction possible!

Sincerely yours,

Karl Egil Aubert

P.S. We once met in Bonn in 1954. I also knew Krull from that time as well as from more recent encounters. But at that time I had not really grasped the importance of *t*-ideals, missing my opportunity to ask him these questions directly.

06.03.1978. Letter from Lorenzen to Aubert.

6.3.1978

2323

Prof. Dr. Paul Lorenzen
Herrn
Prof. Karl Egil Aubert
Institute of Mathematics
University of Oslo
P. O. Box 1053
Blindern, Oslo 3

Lieber Herr Aubert,

auf Ihren Brief hin habe ich erst einmal in meiner Dissertation (das sind ja 40 Jahre her) nachsehen müssen, was *t*-Ideale sind. In meiner Habilitationsarbeit (Über halbgeordnete Gruppen, Math. Z. 52, 1949) treten sie nur noch einmal auf (p. 486): für nichtkommutative Verbandsgruppen treten "prime vollständige invariante Unterhalbgruppen" an die Stelle von *t*-Primidealen.

Durch die anschließende Verallgemeinerung der Teilbarkeitstheorie von Gruppen auf Bereiche (Math. Z. 55, 1952) habe ich die *t*-Ideale wohl ganz aus den Augen verloren – und bin dann ja auch immer mehr zu Grundlagenfragen der Logik und Mathematik gekommen, bis ich jetzt schließlich ein sog. „Wissenschaftstheoretiker“ geworden bin.

Meine Zusammenarbeit mit Krull war in der ganzen Zeit unseres Zusammenseins schlecht. Ich wurde August 39, einen Monat vor Kriegsbeginn, sein Assistent. Erst seit 1946 waren wir wieder in Bonn zusammen, aber da war ich Dozent und wir waren fast ohne Kontakt. Das hatte politische Gründe (Krull hatte meine Habilitation während des Krieges verhindert)<fnref n="70" /> und lag außerdem an meinen grundlagentheoretischen Arbeiten, die Krull nicht als „mathematische“ Leistungen anerkannte. Es kann also durchaus sein, daß er die Rolle der *t*-Ideale, im Unterschied zu den *v*-Idealen, nicht deutlich genug gesehen hat<fnref n="71" /> – wir werden kaum jemals darüber gesprochen haben. Sofern ich damals überhaupt noch Algebra gemacht habe, war das ja diese „Teilbarkeitstheorie in Bereichen“ (vgl. auch Math. Z. 58, 1953) oder Theorie der Korrespondenzen (Math. Z. 60, 1954).<fnref n="72" />

Obwohl das kaum eine befriedigende Antwort auf Ihre Fragen ist – es ist aber so gewesen – möchte ich eine Gegenfrage stellen: Kennen Sie Algebraiker, die die Teilbarkeitstheorie in Bereichen weiter entwickelt haben?

Mit besten Grüßen
Ihr

Lo[renzen]

<footnote n="70">⁷⁰Lorenzen qualifies the reasons why he maintained almost no contact with Krull when they were both back in Bonn as “political” and not as personal. I see this as an indication that he was aware that the prevention of his habilitation by Krull (in agreement with Hasse) was connected with his lack of submissiveness under national socialism.</footnote>

<footnote n="71">⁷¹See however Krull’s letter to Hasse dated 22 May 1938 (Roquette 2004, § 1.35).</footnote>

<footnote n="72">⁷²Lorenzen 1952, 1953a, 1954, respectively.</footnote>
MATEMATISK INSTITUTT

AVD. A: MATEMATIKK

AVD. B: MEKANIKK

AVD. C: STATISTIKK OG FORSIKRINGSMATEMATIKK

BLINDERN, OSLO 3, April 10, 1978

TELEFON * 46 68 00

Dear Professor Lorenzen,

Many thanks for your letter of March 6. As you say yourself, your reply does not give a really positive answer to my specific question about Krull's eventual awareness of the relevance of *t*-ideals. In spite of this, your "negative" information is also a piece of information for me.

I have little time now to work on the projected paper on *t*-ideals which I mentioned in my first letter to you. But I hope to be able to finish it during the summer and I will then send you a copy of it. I am more and more convinced that there is a need for such a paper, although it will hardly be more than a reworking and a slight continuation of some of your own ideas. One essential idea which is intimately linked with *t*-ideals – and which I did not mention in my last letter to you – is the notion of a 'Lorenzen group' (in Jaffard's terminology). This is the purely multiplicative generalization of a 'Kronecker function ring' and is related to *t*-ideals and *r*-valuations in the same way as the Kronecker function ring is related to *d*-ideals and Krull valuations. What the concept of a Lorenzen group shows, is that the *t*-system in a way has a 'universal property' reducing (in certain situations) the study of *r*-systems to the study of the more concrete and well-behaved *t*-system in the corresponding Lorenzen group (which is lattice-ordered and hence '*t*-Bézout').

As to your "Gegenfrage" I will, generally speaking, say that there have not been any remarkable innovations in divisibility theory since your own contributions – which so far represent the end-point of a long-lasting German arithmetical tradition. Your 1939 paper is widely cited, but I have somehow the impression that only very few mathematicians have fully grasped the content of it. One sign of this is precisely the almost total disregard of *t*-ideals in recent research literature as well as in the books which lately have been published on multiplicative ideal theory.

As to your more specific question concerning further developments of "Teilbarkeitstheorie in Bereichen" I must confess that I virtually know of no such contribution – except for *one* paper "Über verbandsgeordnete Vektorgruppen mit Operatoren" by I. Fleischer, published in Mathematische Nachrichten B 72 (1976).<fnref n="73" /> The opening sentences of this paper seem to confirm the scarcity of contributions to this subject: "Es sind schon mehr als 20 Jahre vergangen, seitdem Lorenzen seine grundlegende Arbeit "Über halbgeordnete Gruppen" veröffentlicht hat. Dagegen

<footnote n="73">⁷³Fleischer 1976.</footnote>
scheint die Fortsetzung, Lorenzen [6] (“Teilbarkeitstheorie in Bereichen”) völlig unbeachtet geblieben zu sein, – leider, denn viele der nachfolgenden Abhandlungen ließen sich ja in ihren Rahmen zwangslos eingliedern.”

It is hard to say why your papers on divisibility theory have not quite exercised the influence which I think they deserve. One reason may be that they are written in a style which many mathematicians find hard to penetrate. This latter remark also applies to Jaffard’s monograph “Les systèmes d’idéaux” which is really a very fine book but which is written in a style and uses a terminology which may have prevented many from reading it who otherwise could have been attracted by its rich content.

I have for some time thought about writing a comprehensive treatise on ideal systems which should not only be limited to the arithmetical traditions of the theory – but rather be a kind of ‘generalized commutative algebra’ where the notion of an ideal system is also seen in connection with ideal concepts occurring outside of general arithmetics (like for instance in general ring theory, differential algebra, lattice theory, etc.). I have a lot of unpublished material on this topic, but I seem to refrain from the rather laborious enterprise of putting it all together.

With my best regards

Karl Egil Aubert

18.06.1979. Letter from Lorenzen to Aubert.

18.6.1979

2323

Prof. Dr. Paul Lorenzen
Herrn
Prof. Dr. K. E. Aubert
Matematisk Institut
Universitetet i Oslo
Postboks 1053

Blindern – Oslo 3
Norwegen

Lieber Herr Aubert,

herzlichen Dank für die Zusendung Ihrer Arbeit über die Teilbarkeitstheorie.<fnref n="74" /> Ich habe ja diese Dinge fast ganz aus den Augen verloren, es freut mich aber selbstverständlich sehr, daß die multiplikative Idealtheorie bei Ihnen solche sorgfältige Neubearbeitung erfährt.

<footnote n="74">⁷⁴Aubert 1979, published subsequently as Aubert 1983.</footnote>
Es fällt mir auf, daß Sie sich auf kommutative Gruppen beschränken. War die Ausdehnung auf nichtkommutative Gruppen vielleicht nur ein intellektueller Luxus?

Mit herzlichen Grüßen
stets
Ihr
Lo[renzen]

## References.

Yasuo Akizuki. Einige Bemerkungen über primäre Integritätsbereiche mit Teilerkettensatz. *Proc. Phys.-Math. Soc. Japan (III)*, 17, 327–336, 1935. doi:10.11429/ppmsj1919.17.0_327.

I. Arnold. Ideale in kommutativen Halbgruppen. *Mat. Sb.*, 36, 401–407, 1929. http://mi.mathnet.ru/msb7366.

Karl Egil Aubert. Divisors of finite character. Preprint series: Pure mathematics 1979:1, Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo, 1979. http://www.duo.uio.no/handle/10852/43912.

Karl Egil Aubert. Divisors of finite character. *Ann. Mat. Pura Appl.* (4), 133, 327–361, 1983. doi:10.1007/BF01766024.

Bruno Bosbach. Ideal semigroups. In *Topics of divisibility: to contain is to divide*. Universitätsbibliothek Kassel, Kassel, 2015. http://d-nb.info/1068529288. Second lecture.

Nicolas Bourbaki. *Commutative algebra*. Elements of mathematics, Hermann, Paris, 1972. Translated from the French.

A. H. Clifford. Partially ordered abelian groups. *Ann. of Math.* (2), 41, 465–473, 1940. doi:10.2307/1968728.

Thierry Coquand, Henri Lombardi, and Stefan Neuwirth. Lattice-ordered groups generated by an ordered group and regular systems of ideals. *Rocky Mountain J. Math.*, 49, 1449–1489, 2019. doi:10.1216/rmj-2019-49-5-1449.

Thierry Coquand, Henri Lombardi, and Stefan Neuwirth. Regular entailment relations. In *Proceedings of the conference Paul Lorenzen: mathematician and logician, 8–9 March 2018, Constance*. Springer, 2020. http://hlombardi.free.fr/publis/reg1.pdf.

Thierry Coquand and Stefan Neuwirth. Lorenzen’s proof of consistency for elementary number theory. *Hist. Philos. Logic*, 2020. doi:10.1080/01445340.2020.1752034.

Jean Dieudonné. Sur la théorie de la divisibilité. *Bull. Soc. Math. France*, 69, 133–144, 1941. http://eudml.org/doc/86745.

Isidore Fleischer. Über verbandsgeordnete Vektorgruppen mit Operatoren. *Math. Nachr.*, 72, 141–144, 1976. doi:10.1002/mana.19760720112.

Robert M. Fossum. *The divisor class group of a Krull domain*. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 74, Springer-Verlag, New York, 1973.
Raymond Garver. Note concerning group postulates. *Bull. Amer. Math. Soc.*, 40, 698-701, 1934. doi:10.1090/S0002-9904-1934-05948-2.

Robert Gilmer. *Multiplicative ideal theory*. Pure and Applied Mathematics, 12, Marcel Dekker, New York, 1972.

Helmut Hasse. *Mathematik als Wissenschaft, Kunst und Macht*. Verlag für angewandte Wissenschaften, Wiesbaden, 1952.

Helmut Hasse. *Höhere Algebra I: Lineare Gleichungen*. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1963a. Fünfte, neubearbeitete Auflage.

Helmut Hasse. *Zahlentheorie*. Akademie-Verlag, Berlin, 1963b. Zweite, erweiterte Auflage.

Edward V. Huntington. Note on the definitions of abstract groups and fields by sets of independent postulates. *Trans. Amer. Math. Soc.*, 6, 181-197, 1905. doi:10.2307/1986297. Errata in vol. 7(4), p. 591.

Paul Jaffard. *Les systèmes d'idéaux*. Travaux et recherches mathématiques, IV, Dunod, Paris, 1960.

Wolfgang Krull. Axiomatische Begründung der allgemeinen Idealtheorie. *Sitzungsber. Physik.-Med. Soz. Erlangen*, 56-57 (1924-1925), 47-63, 1926.

Wolfgang Krull. Idealtheorie in unendlichen algebraischen Zahlkörpern II. *Math. Z.*, 31, 527-557, 1930. http://eudml.org/doc/168193.

Wolfgang Krull. Allgemeine Bewertungstheorie. *J. Reine Angew. Math.*, 167, 160-196, 1932. http://eudml.org/doc/149803.

Wolfgang Krull. *Idealtheorie*. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 4(3), Springer, Berlin, 1935.

Wolfgang Krull. Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche I: Multiplikationsringe, ausgezeichnete Idealsysteme und Kroneckersche Funktionalringe. *Math. Z.*, 41, 545-577, 1936a. http://eudml.org/doc/168685.

Wolfgang Krull. Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche II: v-Ideale und vollständig ganz abgeschlossene Integritätsbereiche. *Math. Z.*, 41, 665-679, 1936b. http://eudml.org/doc/168690.

Wolfgang Krull. Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III: Zum Dimensionsbegriff der Idealtheorie. *Math. Z.*, 42, 745-766, 1937a. http://eudml.org/doc/168748.

Wolfgang Krull. Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche IV: Unendliche algebraische Erweiterungen endlicher diskreter Hauptordnungen. *Math. Z.*, 42, 767-773, 1937b. http://eudml.org/doc/168749.

Wolfgang Krull. Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche IIIa: Eine Ergänzung von Beitrag III. *Math. Z.*, 43, 767, 1938a. http://eudml.org/doc/168786.

Wolfgang Krull. Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche V: Potenzreihenringe. *Math. Z.*, 43, 768-782, 1938b. http://eudml.org/doc/168787.

Wolfgang Krull. Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche VI: Der allgemeine Diskriminantensatz. Unverzweigte Ringerweiterungen. *Math. Z.*, 45, 1-19, 1939a. http://eudml.org/doc/168835.
Wolfgang Krull. Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche VII: Inseparable Grundkörperweiterung. Bemerkungen zur Körpertheorie. *Math. Z.*, 45, 319–334, 1939b. http://eudml.org/doc/168854.

Wolfgang Krull. Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche. Eine Bemerkung zu den Beiträgen VI und VII. *Math. Z.*, 48, 530–531, 1942. http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=PPN266833020_0048|log40.

Wolfgang Krull. Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche VIII: Multiplikativ abgeschlossene Systeme von endlichen Idealen. *Math. Z.*, 48, 533–552, 1943. http://eudml.org/doc/169005.

Wolfgang Krull. Zur Arithmetik der endlichen diskreten Hauptordnungen. *J. Reine Angew. Math.*, 189, 118–128, 1951. http://eudml.org/doc/150196.

Wolfgang Krull. Über geschlossene Bewertungssysteme. *J. Reine Angew. Math.*, 190, 75–92, 1952. http://eudml.org/doc/150217.

Wolfgang Krull. Zur Theorie der kommutativen Integritätsbereiche. *J. Reine Angew. Math.*, 192, 230–252, 1953. http://eudml.org/doc/150259.

Wolfgang Krull. *Idealtheorie*. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 46, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1968. Zweite, ergänzte Auflage.

Max D. Larsen and Paul J. McCarthy. *Multiplicative theory of ideals*. Pure and Applied Mathematics, 43, Academic Press, New York, 1971.

Henri Lombardi. Théories géométriques pour l'algèbre constructive, in progress. http://hlombardi.free.fr/Theories-geometriques.pdf.

Paul Lorenzen. Abstrakte Begründung der multiplikativen Idealtheorie, 1938. Manuscript, Universitätsarchiv Bonn.

Paul Lorenzen. Abstrakte Begründung der multiplikativen Idealtheorie. *Math. Z.*, 45, 533–553, 1939a. http://eudml.org/doc/168865.

Paul Lorenzen. Die Definition durch vollständige Induktion. *Monatsh. Math. Phys.*, 47, 356–358, 1939b. doi:10.1007/BF01695507.

Paul Lorenzen. Ein vereinfachtes Axiomensystem für Gruppen. *J. Reine Angew. Math.*, 182, 50, 1940. http://eudml.org/doc/150077.

Paul Lorenzen. Ein Beitrag zur Gruppenaxiomatik. *Math. Z.*, 49, 313–327, 1944. http://eudml.org/doc/169026.

Paul Lorenzen. Über halbgeordnete Gruppen. *Math. Z.*, 52, 483–526, 1950. http://eudml.org/doc/169131.

Paul Lorenzen. Algebraische und logistische Untersuchungen über freie Verbände. *J. Symbolic Logic*, 16, 81–106, 1951. http://www.jstor.org/stable/2266681. Translation by Stefan Neuwirth: Algebraic and logistic investigations on free lattices, http://arxiv.org/abs/1710.08138.

Paul Lorenzen. Teilbarkeitstheorie in Bereichen. *Math. Z.*, 55, 269–275, 1952. http://eudml.org/doc/169251.

Paul Lorenzen. Die Erweiterung halbgeordneter Gruppen zu Verbandsgruppen. *Math. Z.*, 58, 15–24, 1953a. http://eudml.org/doc/169331.
Paul Lorenzen. Über die Komplettierung in der Bewertungstheorie. *Math. Z.*, 59, 84–87, 1953b. http://eudml.org/doc/169374.

Paul Lorenzen. Über die Korrespondenzen einer Struktur. *Math. Z.*, 60, 61–65, 1954. http://eudml.org/doc/169411.

Paul Lorenzen. *Die Entstehung der exakten Wissenschaften*. Verständliche Wissenschaft, 72, Springer-Verlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1960.

Paul Lorenzen. Ein dialogisches Konstruktivitätskriterium. In *Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, Warsaw, 2–9 September 1959*, 193–200. Pergamon, Oxford; Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warsaw, 1961.

Paul Lorenzen. *Metamathematik*. (BI-Hochschultaschenbücher, 25), Bibliographisches Institut, Mannheim, 1962. Translation by J. B. Grize: *Métamathématique*, Paris: Gauthier-Villars, 1967. Translation by J. Muñoz: *Metamatemática*, Madrid: Tecnos, 1971.

Herbert Mehrtens. *Die Entstehung der Verbandstheorie*. arbor scientiarum: Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Reihe A: Abhandlungen, VI, Gerstenberg Verlag, Hildesheim, 1979.

Masayoshi Nagata. On Krull's conjecture concerning valuation rings. *Nagoya Math. J.*, 4, 29–33, 1952. http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799310.

Masayoshi Nagata. Corrections to my paper "On Krull's conjecture concerning valuation rings". *Nagoya Math. J.*, 9, 209–212, 1955. http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799698.

Tadasi Nakayama. On Krull's conjecture concerning completely integrally closed integrity domains. I. *Proc. Imp. Acad. Tokyo*, 18, 185–187, 1942a. http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195573979.

Tadasi Nakayama. On Krull's conjecture concerning completely integrally closed integrity domains. II. *Proc. Imp. Acad. Tokyo*, 18, 233–236, 1942b. http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195573941.

Tadasi Nakayama. On Krull's conjecture concerning completely integrally closed integrity domains. III. *Proc. Japan Acad.*, 22, 249–250, 1946. http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195572191.

Heinz Prüfer. Untersuchungen über Teilbarkeitseigenschaften in Körpern. *J. Reine Angew. Math.*, 168, 1–36, 1932. http://eudml.org/doc/149823.

Peter Roquette (ed.). *Briefwechsel H. Hasse – W. Krull*. http://www.mathi.uni-heidelberg.de/~roquette/Transkriptionen/HASKRU_040310.pdf, 2004.

Sanford L. Segal. *Mathematicians under the Nazis*. Princeton University Press, Princeton, 2003. doi:10.1515/9781400865383.

André Weil. *Arithmétique et géométrie sur les variétés algébriques*. Actualités scientifiques et industrielles, 206, Hermann & Cie, Paris, 1935. Exposés mathématiques, publiés à la mémoire de Jacques Herbrand, XI.