# Notes de cours sur les méthodes variationnelles pour l'analyse et la résolution de problèmes non coercifs

Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia, Patrick Ciarlet

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Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia, Patrick Ciarlet. Notes de cours sur les méthodes variationnelles pour l'analyse et la résolution de problèmes non coercifs. Master. France. 2024. hal-03764649v3

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Notes de cours sur les méthodes variationnelles
pour l'analyse et la résolution de problèmes non coercifs

Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia & Patrick Ciarlet

ENSTA Paris

828, boulevard des Maréchaux

91762 Palaiseau Cedex

©Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia & Patrick Ciarlet, 2024
# Table des matières

## 1 Motivation et outils mathématiques 1

1.1 Introduction .................................................. 1

1.2 Outils mathématiques classiques .................................. 2

1.3 Distributions .................................................. 5

1.4 Intégration par parties ........................................ 9

1.5 Opérateur de trace normale, formule de Green généralisée .................................... 13

## 2 Etude théorique du modèle de la diffusion 18

2.1 Modèle de la diffusion neutronique .................................... 18

2.2 Existence et unicité, théorème de Lax-Milgram .................................... 20

2.3 Existence et unicité, cadre général .................................... 22

## 3 Approximation des formulations variationnelles 32

3.1 Formulation variationnelle discrète .................................... 32

3.2 Cas d'une forme coercive ............................................ 33

3.3 Cas général .................................................... 36

3.4 Application à la diffusion neutronique .................................... 38

## 4 Problèmes avec contraintes 47

4.1 Modèle de Stokes .................................................. 47

4.2 Outils mathématiques abstraits .................................... 50

4.3 Approximation par pénalisation .................................... 53

## 5 Problèmes avec contraintes - Compléments 57

5.1 Approche tout-en-un .................................................. 57

5.2 Approche un-plus-un : formulation variationnelle mixte .................................... 64

## 6 Introduction à la physique des matériaux électromagnétiques négatifs 71

6.1 Les modèles de Drude et Drude-Lorentz .................................... 71

6.2 Deux effets du changement de signe des constantes électromagnétiques .................................... 76
# 7 Etude des problèmes de transmission avec changement de signe : premiers résultats

82

7.1 Description du problème de transmission .................................... 82

7.2 La T-coercivité .................................................................... 84

7.3 Le cas des contrastes grands ou petits ........................................ 86

# 8 Etude des problèmes de transmission avec changement de signe : compléments

91

8.1 Le cas des domaines symétriques ............................................ 91

8.2 Le cas des interfaces à coin .................................................. 95

8.3 Une idée de la démarche générale ............................................ 99

# 9 Synthèse et compléments

104

9.1 Problèmes bien posés et T-coercivité .................................... 104

9.2 Approximation des formulations variationnelles ......................... 107

9.3 Bref retour sur le problème avec coefficient changeant de signe ............ 115
# Notes de cours 1

## Motivation et outils mathématiques

### 1.1 Introduction

En règle générale, on part d'un modèle, qui consiste en :

- l'identification de la/des quantités à calculer, regroupée(s) sous le terme générique de *solution*; de la/des données;

- le choix de la *mesure* des solutions et des données;

- la *modélisation* du phénomène physique (ou autre) les gouvernant, via par exemple des équations, des inéquations, des conditions au bord...

Le but du cours est de fournir les outils mathématiques permettant de prouver que ce modèle est *bien posé*, c'est-à-dire d'établir :

- l'existence, l'unicité de la solution pour un jeu de données fixé;

- la dépendance continue de la solution par rapport aux données.

D'où l'importance cruciale de la mesure de la solution et des données.

On raisonnera essentiellement via l'analyse des formulations variationnelles. En outre, on construira des méthodes d'approximation de type éléments finis, permettant de résoudre numériquement le modèle.

La dimension spatiale est notée $d \ge 1$, et on appelle $(e_i)_{i=1,d}$ la base orthonormale de $\mathbb{R}^d$. Concernant l'étude des modèles proposés, on choisira habituellement $d \le 3$. Dans la suite, les équations/inéquations/conditions au bord font intervenir les opérateurs de dérivation "classiques" :

- le *gradient*, opérateur à valeurs vectorielles qui agit sur une fonction à valeurs scalaires :

$$ \nabla v = \sum_{i=1,d} \frac{\partial v}{\partial x_i} e_i; $$

- la *divergence*, opérateur à valeurs scalaires qui agit sur une fonction à valeurs vectorielles :

$$ \operatorname{div} v = \sum_{i=1,d} \frac{\partial v_i}{\partial x_i}; $$
— le Laplacien, opérateur à valeurs scalaires qui agit sur une fonction à valeurs scalaires :

$$ \Delta v = \sum_{i=1,\mathbf{d}} \frac{\partial^2 v}{\partial x_i^2}; $$

— le rotationnel (cas $\mathbf{d} = 3$), opérateur à valeurs vectorielles qui agit sur une fonction à valeurs vectorielles :

$$ \mathbf{rot} \, v = \left( \frac{\partial v_3}{\partial x_2} - \frac{\partial v_2}{\partial x_3} \right) \mathbf{e}_1 + \left( \frac{\partial v_1}{\partial x_3} - \frac{\partial v_3}{\partial x_1} \right) \mathbf{e}_2 + \left( \frac{\partial v_2}{\partial x_1} - \frac{\partial v_1}{\partial x_2} \right) \mathbf{e}_3. $$

On a la relation suivante : $\Delta v = \operatorname{div}(\nabla v)$. On écrit parfois que $\operatorname{div} v = \nabla \cdot v$, et $\mathbf{rot} v = \nabla \times v$.

Le lecteur est supposé être familier avec les espaces de Lebesgue $L^p$, $p \in [1, \infty]$, ainsi qu'avec les bases de la théorie des distributions. Les espaces de Sobolev $H^m$, $m \in \mathbb{N}$ sont également supposé connus. On fait quelques rappels dans la suite (voir §1.2 et §1.3).

On se place dans des espaces fonctionnels dont les éléments sont à valeurs dans $\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$. Le symbole $| \cdot |$ représente donc la valeur absolue ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$) ou le module ($\mathbb{K} = \mathbb{C}$). Et, lorsque $\mathbb{K} = \mathbb{C}$, les produits scalaires sont hermitiens.

Enfin, lorsqu'on considère un espace vectoriel normé $X$, sa norme "naturelle" est notée $\| \cdot \|_X$. Parfois, on écrira $(X, \| \cdot \|_X)$ pour préciser les idées.

# 1.2 Outils mathématiques classiques

## 1.2.1 Autour des fonctions

Une fonction $f : X_0 \to Y$ (avec $X_0 \subset X$ et $X, Y$ deux espaces vectoriels normés) est lipschitzienne si :

$$ \exists \eta > 0, \forall x, x' \in X_0, \quad \|f(x) - f(x')\|_Y \le \eta \|x - x'\|_X. $$

Soit $f$ une fonction de $(x_1, \dots, x_d)$. Sa dérivée partielle d'ordre $\alpha$ (si elle existe) est notée

$$ \partial_{\alpha} f = \frac{\partial^{|\alpha|} f}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_d^{\alpha_d}}, $$

où $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_d)$ de $\mathbb{N}^d$ est un multi-indice, de longueur $|\alpha| = \sum_{j=1}^d \alpha_j$.

Soit un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^d$. Pour une fonction $v \in C^0(\Omega)$, le support de $v$, noté $\operatorname{supp}(v)$, est le complémentaire dans $\Omega$ du plus grand ouvert $\Omega'$ tel que $v|_{\Omega'} = 0$.

## 1.2.2 Espaces de Banach, espaces de Hilbert

Soit $(X, \| \cdot \|_X)$ un espace vectoriel normé sur $\mathbb{K}$. On rappelle que :

— L'espace $(X, \| \cdot \|_X)$ est séparable s'il contient un sous-ensemble dénombrable et dense. Dans ce cas, il existe une famille dénombrable qui en constitue une base.
— L'espace $(X, \|\cdot\|_X)$ est un espace de Banach s'il est complet, c'est-à-dire que toute suite de Cauchy converge.

— L'espace $(X, \|\cdot\|_X)$ est un espace de Hilbert si c'est un espace de Banach, et si la norme $\|\cdot\|_X$ dérive d'un produit scalaire (hermitien si $\mathbb{K} = \mathbb{C}$), noté $(\cdot, \cdot)_X$.

— Soient $X$ et $Y$ deux espaces de Banach : une application linéaire $A$ de $X$ dans $Y$ est continue si $\sup_{v \in X \setminus \{0\}} \frac{\|Av\|_Y}{\|v\|_X} < \infty$. Sa norme est

$$ \|A\| = \sup_{v \in X \setminus \{0\}} \frac{\|Av\|_Y}{\|v\|_X}. \qquad (1.1) $$

On note $\mathcal{L}(X, Y)$ l'ensemble des applications linéaires et continues de $X$ dans $Y$, respectivement $\mathcal{L}(X)$ l'ensemble des applications linéaires et continues de $X$ dans lui-même. Une application linéaire $A$ de $\mathcal{L}(X, Y)$ est compacte si, de toute suite bornée de $X$, on peut extraire une sous-suite dont l'image par $A$ converge dans $Y$. On vérifie que la composition d'une application linéaire continue par une application linéaire compacte (ou vice versa) est compacte.

— On note $X'$ l'espace vectoriel des formes linéaires et continues sur $X$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$), respectivement des formes antilinéaires et continues sur $X$ ($\mathbb{K} = \mathbb{C}$). On l'appelle le dual de $X$. Par définition, une forme (anti)linéaire $\ell \in X'$ est continue si $\sup_{v \in X \setminus \{0\}} |\ell(v)|/\|v\|_X < \infty$. On munit $X'$ de la norme :

$$ \|\ell\|_{X'} = \sup_{v \in X \setminus \{0\}} |\ell(v)|/\|v\|_X. \qquad (1.2) $$

Pour $\ell(v)$, on utilise généralement la notation avec *crochets de dualité*, c'est-à-dire $(\ell, v)_{X',X}$ ou $(\ell, v)_X$. Si $(X, \|\cdot\|_X)$ est un espace de Banach, alors $(X', \|\cdot\|_{X'})$ est également un espace de Banach. On a la propriété $X \subset (X')'$, et on dit que l'espace $X$ est réflexif si $(X')' = X$. Un espace de Hilbert est toujours réflexif.

— Soient $X$ et $Y$ deux espaces de Banach : une forme $a(\cdot, \cdot)$, bilinéaire sur $X \times Y$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$), resp. sesquilinéaire sur $X \times Y$ ($\mathbb{K} = \mathbb{C}$), est continue si $\sup_{v \in X \setminus \{0\}, w \in Y \setminus \{0\}} \frac{|a(v,w)|}{\|v\|_X \|w\|_Y} < \infty$. Le module de continuité de $a$ est égal à

$$ \|a\| = \sup_{v \in X \setminus \{0\}, w \in Y \setminus \{0\}} \frac{|a(v, w)|}{\|v\|_X \|w\|_Y}. \qquad (1.3) $$

Les principaux résultats que nous utiliserons sont les suivants.

**Théorème 1.1 (Riesz)** Soit $X$ un espace de Hilbert.

Pour tout $\ell \in X'$, il existe une unique solution $u \in X$ de la formulation variationnelle

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u \in X \text{ telle que} \\ \forall v \in X, \quad (u, v)_X = \langle \ell, v \rangle_X. \end{array} \right. $$

En outre, $\|u\|_X = \|\ell\|_{X'}$.
**Théorème 1.2 (isomorphisme de Banach)** Soient $X$ et $Y$ deux espaces de Banach, et $A \in \mathcal{L}(X, Y)$ bijective. Alors $A^{-1} \in \mathcal{L}(Y, X)$.

Ensuite, soient $X$ et $Y$ deux espaces de Banach tels que $X$ est un sous-espace vectoriel de $Y$, dense dans $Y$, avec injection continue ($\exists C_{X \to Y} > 0$ telle que pour tout $v \in X$, $\|v\|_Y \le C_{X \to Y} \|v\|_X$). Alors on a l'injection "duale" $Y' \subset X'$ et, pour tout $\ell_Y \in Y'$, on a $\|\ell_Y\|_{X'} \le C_{X \to Y'} \|\ell_Y\|_{Y'}$, ce qui entraîne que l'injection "duale" est continue. Si de plus $Y$ est réflexif, alors $Y'$ est dense dans $X'$.

Enfin, soient $X$ et $Y$ deux espaces de Banach, et $X^+$ un sous-espace vectoriel de $X$, dense dans $X$. On suppose que $A$ est une application linéaire de $X^+$ dans $Y$ pour laquelle il existe une constante $C_A > 0$ telle que, pour tout $v^+ \in X^+$, on a $\|Av^+\|_Y \le C_A \|v^+\|_X$. Alors on peut prolonger par continuité $A$ en une application linéaire et continue de $X$ dans $Y$, appelée prolongement de $A$, et ce prolongement est unique. En pratique, si on conserve la notation $A$ pour le prolongement, on obtient $Av$ pour tout $v \in X$ par passage à la limite dans $Y$: $Av = \lim_{k \to +\infty} Av_k^+$, où $(v_k^+)_k$ est une suite (quelconque) d'éléments de $X^+$ convergeant vers $v$ dans $X$. De plus, on a l'inégalité $|||A||| \le C_A$.

### 1.2.3 Espaces de Lebesgue

On se place dans un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^d$. On renvoie à [8, 1] pour les démonstrations.

**Définition 1.3** $L$'espace $L^p(\Omega)$ est composé des fonctions de $\Omega$ dans $\mathbb{K}$, mesurables au sens de Lebesgue, et telles que :

$$ 
\left| 
\begin{array}{ll}
\text{pour } 1 \le p < \infty & \|v\|_{L^p(\Omega)} = \left\{ \int_{\Omega} |v|^p d\Omega \right\}^{1/p} < \infty \\
\text{pour } p = \infty & \|v\|_{L^\infty(\Omega)} = \sup_{x \in \Omega} |v(x)| < \infty
\end{array}
\right. 
$$

Muni de la norme $\| \cdot \|_{L^p(\Omega)}$, $L^p(\Omega)$ est un espace de Banach. Lorsque $1 \le p < \infty$, $L^p(\Omega)$ est de plus séparable.

Pour $p \in [1, \infty]$, on peut également définir les fonctions qui sont localement dans $L^p$ de la façon suivante. Si $v_1$ appartient à $L^p(\Omega)$ pour tout sous-ensemble compact $K$ de $\Omega$, alors $v$ est localement dans $L^p(\Omega)$, et on écrit $v \in L_{\text{loc}}^p(\Omega)$. Observons qu'on a les inclusions $L^p(\Omega) \subset L_{\text{loc}}^p(\Omega)$ pour tout $p \in [1, \infty]$.

L'égalité $v_1 = v_2$ dans $L_{\text{loc}}^p(\Omega)$ signifie que $v_1, v_2 \in L_{\text{loc}}^p(\Omega)$ et que $v_1 = v_2$ presque partout dans $\Omega$. Si l'une des deux fonctions appartient à $L^p(\Omega)$, l'autre appartient aussi à $L^p(\Omega)$.

On a ensuite un résultat important de stabilité par la multiplication des éléments de $L^\infty(\Omega)$.

**Proposition 1.4** Soit $1 \le p \le \infty$. La multiplication est une application bilinéaire/sesquilinéaire et continue de $L^\infty(\Omega) \times L^p(\Omega)$ dans $L^p(\Omega)$.

<footnote n="1">1. Pour $S \subset \mathbb{R}^d$, $1_S$ est la fonction indicatrice de $S$.</footnote>
Plus généralement, soit $1 \le p \le \infty$ : on définit son exposant conjugué $p' \in [1, \infty]$ par la relation $1/p + 1/p' = 1$. L'inégalité de Hölder<fnref n="2" /> permet d'établir les résultats suivants.

**Proposition 1.5** Soit $1 \le p \le \infty$ et soit $p'$ son exposant conjugué. La multiplication est une application bilinéaire/sesquilinéaire et continue de $L^p(\Omega) \times L^{p'}(\Omega)$ dans $L^1(\Omega)$. En outre,

$$ \forall (v, w) \in L^p(\Omega) \times L^{p'}(\Omega), \quad \|vw\|_{L^1(\Omega)} \le \|v\|_{L^p(\Omega)} \|w\|_{L^{p'}(\Omega)}. $$

Lorsque $\Omega$ est borné, c'est-à-dire que $vol(\Omega) = \int_{\Omega} 1 d\Omega < \infty$, pour tout $1 \le p \le q \le \infty$, on a l'inclusion $L^q(\Omega) \subset L^p(\Omega)$, ainsi que l'estimation<fnref n="3" />

$$ \forall v \in L^q(\Omega), \quad \|v\|_{L^p(\Omega)} \le (vol(\Omega))^{1/p-1/q} \|v\|_{L^q(\Omega)}. $$

On en déduit les inclusions

$$ \forall p \in [1, \infty], \quad L^p(\Omega) \subset L_{\text{loc}}^p(\Omega) \subset L_{\text{loc}}^1(\Omega). \qquad (1.4) $$

A l'aide du résultat de la proposition 1.5, on peut caractériser l'espace dual de l'espace $L^p(\Omega)$.

**Proposition 1.6** Soit $1 \le p < \infty$ et soit $p'$ son exposant conjugué. L'espace dual de $L^p(\Omega)$ peut être identifié à $L^{p'}(\Omega) : (L^p(\Omega))' = L^{p'}(\Omega)$. Par contre, $L^1(\Omega) \subset (L^\infty(\Omega))'$ avec inclusion stricte.

Dans la suite, on utilise plus particulièrement l'espace $L^2(\Omega)$ pour nos modèles, qui est un espace de Hilbert.

**Proposition 1.7** L'espace $L^2(\Omega)$ est un espace de Hilbert séparable, muni du produit scalaire (hermitien si $\mathbb{K} = \mathbb{C}$)

$$ (v, w)_{L^2(\Omega)} = \int_{\Omega} vw d\Omega \quad (\mathbb{K} = \mathbb{R}); \quad (v, w)_{L^2(\Omega)} = \int_{\Omega} v \bar{w} d\Omega \quad (\mathbb{K} = \mathbb{C}). $$

## 1.3 Distributions

On se place dans un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^d$. On suppose que les fonctions sont à valeurs complexes (pour les fonctions à valeurs réelles, il suffira d'enlever la conjugaison).

### 1.3.1 Définitions

**Définition 1.8** L'espace $\mathcal{D}(\Omega)$ est composé des fonctions $C^\infty$ sur $\Omega$ et dont le support est compact dans $\Omega$.

<footnote n="2">2. Inégalité de Hölder : $\forall a, b \ge 0$, $ab \le \frac{1}{p}a^p + \frac{1}{p'}b^{p'}$. Le résultat est évident si $a = 0$ ou $b = 0$. Lorsque $a, b > 0$, c'est une conséquence élémentaire de la concavité de la fonction log sur $]0, +\infty[$.</footnote>

<footnote n="3">3. L'injection de $L^q(\Omega)$ dans $L^p(\Omega)$ est donc une application linéaire et continue lorsque $vol(\Omega) < \infty$.</footnote>
En pratique, on peut utiliser la convergence des suites pour définir la topologie de $\mathcal{D}(\Omega)$. Soient $(v_k)_k$ une suite d'éléments de $\mathcal{D}(\Omega)$ et $v \in \mathcal{D}(\Omega)$. On dit que $(v_k)_k$ converge dans $\mathcal{D}(\Omega)$ vers $v$ si :

(i) il existe $K \subset \Omega$ compact et $k_0 \in \mathbb{N}$ tels que $\text{supp}(v_k - v) \subset K$ pour tout $k \ge k_0$;

(ii) pour tous les multi-indices $\alpha \in \mathbb{N}^d$, la suite $(\partial_\alpha (v_k - v))_{k \ge k_0}$ converge vers 0 dans $\mathcal{C}^0(K)$.

**Définition 1.9** Une forme $T$ définie sur $\mathcal{D}(\Omega)$, linéaire et continue, est appelée une distribution. L'espace des distributions est noté $\mathcal{D}'(\Omega)$. Soient $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ et $v \in \mathcal{D}(\Omega)$ : on utilise les crochets de dualité $\langle T, v \rangle$ pour dénoter l'action de $T$ sur $v$.

D'après la topologie choisie sur $\mathcal{D}(\Omega)$, une forme linéaire $T$ est continue si

$$ \forall (v_k)_k, v \in \mathcal{D}(\Omega) \text{ telles que } v_k \to v \text{ dans } \mathcal{D}(\Omega), \quad \langle T, v_k \rangle \to \langle T, v \rangle. $$

Par définition, une distribution $T$ est nulle si, et seulement si,

$$ \forall v \in \mathcal{D}(\Omega), \quad \langle T, v \rangle = 0. $$

En tant qu'espace dual, $\mathcal{D}'(\Omega)$ est muni de la topologie "naturelle" suivante.

**Définition 1.10** Soit $(T_k)_k$ une suite d'éléments de $\mathcal{D}'(\Omega)$ : elle converge dans $\mathcal{D}'(\Omega)$ vers $T$ si, et seulement si, pour tout $v \in \mathcal{D}(\Omega)$, on $\langle T_k, v \rangle \to \langle T, v \rangle$.

On peut facilement prouver l'inclusion

$$ L_{\text{loc}}^{1}(\Omega) \subset \mathcal{D}'(\Omega), \qquad (1.5) $$

en identifiant tout $v \in L_{\text{loc}}^1(\Omega)$ à une distribution toujours notée $v$, via la correspondance

$$ \forall w \in \mathcal{D}(\Omega), \quad \langle v, w \rangle = \int_{\Omega} vw \, d\Omega. \qquad (1.6) $$

D'après (1.4), pour tout $p \in [1, \infty]$, tout élément de $L^p(\Omega)$ peut être considéré comme une distribution. En particulier, pour tout $v \in L^2(\Omega)$ et tout $w \in \mathcal{D}(\Omega)$, on a $\langle v, w \rangle = (v, \bar{w})_{L^2(\Omega)}$. D'après ce qui précède, on a pour finir le résultat élémentaire ci-dessous, important en "pratique"...

**Proposition 1.11** Soient $v \in L_{\text{loc}}^1(\Omega)$ et $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$. Si on a $\langle v, w \rangle = \langle T, w \rangle$ pour tout $w \in \mathcal{D}(\Omega)$, alors $T \in L_{\text{loc}}^1(\Omega)$ avec $v = T$ presque partout dans $\Omega$.

### 1.3.2 Dérivation au sens des distributions

**Définition 1.12**. Soit $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ : sa jème dérivée partielle $(j = 1, \dots, d)$ est définie par

$$ \forall v \in \mathcal{D}(\Omega), \quad \langle \frac{\partial T}{\partial x_j}, v \rangle = -\langle T, \frac{\partial v}{\partial x_j} \rangle. $$

On en déduit
**Proposition 1.13** L'application $T \mapsto \partial_j T$ est linéaire et continue de $\mathcal{D}'(\Omega)$ dans $\mathcal{D}'(\Omega)$.

On a vu que $L^2(\Omega)$ est un sous-ensemble de $\mathcal{D}'(\Omega)$ : on peut donc dériver ses éléments au sens des distributions.

**Définition 1.14** On appelle espace de Sobolev $H^1(\Omega)$ l'espace

$$H^1(\Omega) = \{v \in L^2(\Omega) \text{ tel que } \partial_j v \in L^2(\Omega), j = 1, \dots, d\},$$

où la dérivation est comprise au sens des distributions.

Muni de la norme

$$\|v\|_{H^1(\Omega)} = \left\{ \int_{\Omega} (|v|^2 + |\nabla v|^2) d\Omega \right\}^{1/2},$$

c'est un espace de Banach séparable. Muni du produit scalaire hermitien

$$(v, w)_{H^1(\Omega)} = \int_{\Omega} (v \overline{w} + \nabla v \cdot \nabla \overline{w}) d\Omega,$$

c'est un espace de Hilbert (séparable). On peut donner une définition équivalente de $H^1(\Omega)$.

**Proposition 1.15** Soit $v \in L^2(\Omega)$. Alors $v \in H^1(\Omega)$ si, et seulement si, pour tout $j = 1, \dots, d$,

$$\exists C_j \ge 0, \quad \forall w \in \mathcal{D}(\Omega), \quad \left| \left( v, \frac{\partial w}{\partial x_j} \right)_{L^2(\Omega)} \right| \le C_j \|w\|_{L^2(\Omega)}.$$

**Définition 1.16** Soit $\alpha \in \mathbb{N}^d$ un multi-indice. Soit $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ : sa dérivée partielle d'ordre $\alpha$ est définie par

$$\forall v \in \mathcal{D}(\Omega), \quad \langle \partial_{\alpha} T, v \rangle = (-1)^{|\alpha|} \langle T, \partial_{\alpha} v \rangle.$$

Si $\alpha = 0$, on a évidemment $\partial_{\alpha} T = T$ ! A partir de là, on peut définir les espace de Sobolev d'ordre entier.

**Définition 1.17** Soit $m \in \mathbb{N}$ : on appelle espace de Sobolev $H^m(\Omega)$ l'espace

$$H^m(\Omega) = \{v \in L^2(\Omega) \text{ tel que } \partial_\alpha v \in L^2(\Omega), \forall \alpha \in \mathbb{N}^d, |\alpha| \le m\}.$$

Muni de la norme

$$\|v\|_{H^m(\Omega)} = \left\{ \int_{\Omega} \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^d, |\alpha| \le m} |\partial_\alpha v|^2 d\Omega \right\}^{1/2}, \quad (1.7)$$

c'est un espace de Banach séparable. Muni du produit scalaire hermitien

$$(v, w)_{H^m(\Omega)} = \int_{\Omega} \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^d, |\alpha| \le m} \partial_{\alpha} v \overline{\partial_{\alpha} w} d\Omega,$$

c'est un espace de Hilbert (séparable). Enfin, pour $m \ge 1$, on introduit la semi-norme

$$|v|_{m,\Omega} = \left\{ \int_{\Omega} \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^d, |\alpha|=m} |\partial_\alpha v|^2 d\Omega \right\}^{1/2}, \quad (1.8)$$

pour laquelle on ne conserve que les dérivées d'ordre $m$.
**Remarque 1.18** On a $H^0(\Omega) = L^2(\Omega)$. Par construction, on a la suite d'injections linéaires et continues

$$ \dots \subset H^{m+1}(\Omega) \subset H^m(\Omega) \subset \dots \subset H^1(\Omega) \subset L^2(\Omega). $$

**Définition 1.19** Soit $m \in \mathbb{N}$, on appelle $C_c^m(\bar{\Omega})$ l'ensemble composé des restrictions à $\bar{\Omega}$ de fonctions de $C^m(\mathbb{R}^d)$ à support compact. On appelle $C_c^\infty(\bar{\Omega})$ l'ensemble composé des restrictions à $\bar{\Omega}$ de fonctions de $\mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$.

On note que, par construction, $C_c^\infty(\bar{\Omega}) \subset C_c^m(\bar{\Omega})$ pour tout $m \ge 0$.

Les deux propriétés ci-dessous illustrent la différence entre les espaces $C_c^m(\bar{\Omega})$ "classiques" et les espaces de Sobolev $H^m(\Omega)$ :

- Pour tout $m \in \mathbb{N}$, $C_c^m(\bar{\Omega}) \subset H^m(\Omega)$, avec injection continue si $\text{vol}(\Omega) < \infty$;

- Si $d \ge 2$, $H^1(\Omega) \not\subset C_c^0(\bar{\Omega})$.

Pour conclure ces rappels, on introduit les espaces de fonctions que l'on peut atteindre (par passage à la limite) avec des éléments de $\mathcal{D}(\Omega)$.

**Définition 1.20** Soit $m \in \mathbb{N}$ : on appelle $H_0^m(\Omega)$ l'adhérence de $\mathcal{D}(\Omega)$ dans $H^m(\Omega)$ :

$$ \forall v \in H_0^m(\Omega), \exists (v_k)_k \in (\mathcal{D}(\Omega))^N, \lim_{k \to \infty} \|v - v_k\|_{H^m(\Omega)} = 0. $$

Notons qu'on peut généraliser les opérateurs de dérivation au sens des distributions. On rappelle ci-dessous comment on procède pour le gradient et la divergence.

- Comme l'opérateur gradient est à valeurs vectorielles, ie. $\nabla \cdot = \sum_{i=1,d} \frac{\partial}{\partial x_i} e_i$, l'action du gradient d'une distribution est à considérer sur les fonctions $v = \sum_{i=1,d} v_i e_i$ de $(\mathcal{D}(\Omega))^d$ où, terme à terme, on utilise la définition 1.12. Ainsi, pour $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$, son gradient est défini par :

$$ \forall v \in (\mathcal{D}(\Omega))^d, \quad \langle \nabla T, v \rangle = \sum_{i=1,d} \langle \frac{\partial T}{\partial x_i}, v_i \rangle = - \sum_{i=1,d} \langle T, \frac{\partial v_i}{\partial x_i} \rangle = - \langle T, \sum_{i=1,d} \frac{\partial v_i}{\partial x_i} \rangle = - \langle T, \text{div } v \rangle. $$

Ci-dessus, l'opérateur divergence agissant sur $v$ est l'opérateur "classique".

- Comme l'opérateur divergence agit sur des champs à valeurs vectorielles, on l'applique à des éléments $T = \sum_{i=1,d} T_i e_i$ de $(\mathcal{D}'(\Omega))^d$. Ainsi, pour $T \in (\mathcal{D}'(\Omega))^d$, sa divergence est définie par $\text{div } T = \sum_{i=1,d} \frac{\partial T_i}{\partial x_i}$ et on a

$$ \forall v \in \mathcal{D}(\Omega), \quad \langle \text{div } T, v \rangle = \left\langle \sum_{i=1,d} \frac{\partial T_i}{\partial x_i}, v \right\rangle = \sum_{i=1,d} \left\langle \frac{\partial T_i}{\partial x_i}, v \right\rangle = - \sum_{i=1,d} \left\langle T_i, \frac{\partial v}{\partial x_i} \right\rangle = - \langle T, \nabla v \rangle. $$

L'opérateur gradient agissant sur $v$ est l'opérateur "classique".

**Exercice :** En utilisant la dérivation au sens des distributions et l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans $L^2(\Omega)$, $(L^2(\Omega))^d$ ou $\mathbb{R}^d$, montrer que :
1. l'application divergence est telle que

$$ \mathrm{div} \in \mathcal{L}((H^1(\Omega))^d, L^2(\Omega)) \text{ avec } |||\mathrm{div}||| \le \sqrt{d}; \qquad (1.9) $$

2. l'application jème dérivée partielle ($j = 1, \dots, d$) est telle que

$$ \partial_j \in \mathcal{L}(L^2(\Omega), (H_0^1(\Omega))') \text{ avec } |||\partial_j||| \le 1; \qquad (1.10) $$

3. l'application gradient est telle que

$$ \nabla \in \mathcal{L}(L^2(\Omega), ((H_0^1(\Omega))')^d) \text{ avec } |||\nabla||| \le \sqrt{d}; \qquad (1.11) $$

4. l'application Laplacien est telle que

$$ \Delta \in \mathcal{L}(H^1(\Omega), (H_0^1(\Omega))') \text{ avec } |||\Delta||| \le 1. \qquad (1.12) $$

# 1.4 Intégration par parties

On suppose que les fonctions sont à valeurs complexes (pour les fonctions à valeurs réelles, il suffira d'enlever la conjugaison).

## 1.4.1 Notion de domaine

On rappelle la notion de *frontière lipschitzienne ou régulière*, cf. la définition 1.2.1.1 de [19].

**Définition 1.21** Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^d$, et $k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$.

Sa frontière $\partial\Omega$ est lipschitzienne (respectivement de classe $C^{k,1}$) si, et seulement si, en tout point $\mathbf{x}$ de $\partial\Omega$, pour un système de coordonnées $(y_1, \dots, y_d)$ bien choisi, il existe une application lipschitzienne (resp. de classe $C^{k,1}$) $\varphi : V^{-} \to \mathbb{R}$ définie sur un $(d-1)$-hypercube ouvert $V^{-}$, et un voisinage $V$ ouvert de $\mathbf{x}$, tels que :

$$ V \cap \partial \Omega = \{ \mathbf{x}' = (\mathbf{y}, y_d) \in V \text{ tel que } y_d = \varphi(\mathbf{y}) \} \quad (\text{le graphe de } \varphi \text{ représente localement } \partial \Omega); $$

$$ V \cap \Omega = \{ \mathbf{x}' = (\mathbf{y}, y_d) \in V \text{ tel que } y_d < \varphi(\mathbf{y}) \} \quad (\Omega \text{ est localement d'un seul côté de } \partial \Omega). $$

En un point $\mathbf{x}$ de $\partial\Omega$, l'application $\varphi$ est appelée *carte locale*. En reprenant les notations précédentes, on peut définir le vecteur normal unitaire sortant à $\partial\Omega$, noté $\mathbf{n}$, dès que $\partial\Omega$ est lipschitzienne. Précisément, au voisinage d'un point $\mathbf{x}$ de $\partial\Omega$, on a

$$ \mathbf{n}(\mathbf{y}, \varphi(\mathbf{y})) = \frac{(-\partial_1 \varphi(\mathbf{y}), \dots, -\partial_{d-1} \varphi(\mathbf{y}), 1)}{(\sum_{i=1, d-1} (\partial_i \varphi(\mathbf{y}))^2 + 1)^{1/2}}, \text{ presque pour tout } \mathbf{y} \in V^{-}. $$

Sur une frontière $\partial\Omega$ lipschitzienne, on peut définir les espaces de Lebesgue $L^p(\partial\Omega)$ pour tout $p \in [1, \infty]$, avec des propriétés similaires à celles de §1.2 ; voir §1.4.3 pour un exemple.
**Proposition 1.22** Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^d$ à frontière lipschitzienne, alors $\mathbf{n}$ appartient à $(L^\infty(\partial\Omega))^d$. Si de plus la frontière est de classe $C^{k,1}$ pour $k \ge 1$, alors $\mathbf{n}$ appartient à $(C^{k-1}(\partial\Omega))^d$.

Dans la suite du cours, on raisonnera généralement dans un domaine, dont on donne la définition ci-dessous.

**Définition 1.23** Un ouvert borné connexe de $\mathbb{R}^d$ à frontière lipschitzienne est appelé un domaine.

### 1.4.2 Formules de Green classiques

On se place dans un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^d$ à frontière lipschitzienne. On rappelle les formules d'intégration par parties ci-dessous, où $(n_i)_{i=1,d}$ sont les composantes de $\mathbf{n}$.

**Proposition 1.24** Soit $v \in C^1(\Omega) \cap C^0(\bar{\Omega})$ à support borné, on a pour tout $i = 1, d$ :

$$ \int_{\Omega} \frac{\partial v}{\partial x_i} d\Omega = \int_{\partial\Omega} v n_i d\Gamma. \qquad (1.13) $$

Soient $v, w \in C^1(\Omega) \cap C^0(\bar{\Omega})$ à support borné, on a pour tout $i = 1, d$ :

$$ \int_{\Omega} \left( \frac{\partial v}{\partial x_i} \bar{w} + v \frac{\partial \bar{w}}{\partial x_i} \right) d\Omega = \int_{\partial\Omega} v \bar{w} n_i d\Gamma. \qquad (1.14) $$

Soient $\mathbf{v} \in (C^1(\Omega) \cap C^0(\bar{\Omega}))^d$ et $w \in C^1(\Omega) \cap C^0(\bar{\Omega})$ à support borné, on a :

$$ \int_{\Omega} ((\operatorname{div} \mathbf{v}) \bar{w} + \mathbf{v} \cdot \nabla \bar{w}) d\Omega = \int_{\partial\Omega} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}) \bar{w} d\Gamma. \qquad (1.15) $$

A partir d'une des trois formules, il est très simple de retrouver les deux autres.

Dans (1.15), la quantité $\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}_{|\partial\Omega}$ définie sur $\partial\Omega$ est appelée flux de $\mathbf{v}$ à travers $\partial\Omega$. Typiquement, les formules (1.14)-(1.15) permettent de passer du modèle à résoudre à la formulation variationnelle équivalente, en intégrant les équations/inéquations, et en utilisant les conditions de bord.

Dans (1.14), $\mathbf{v}$ joue le rôle de la solution (ou d'une de ses composantes), et $w$ est une fonction-test. Dans (1.15), $\mathbf{v}$ joue le rôle du gradient de la solution ou d'une quantité proportionnelle au gradient, et $w$ est à nouveau une fonction-test. Ceci étant dit, la régularité pré-supposée de la solution et des fonctions-test dans (1.14)-(1.15) est trop restrictive, c'est pourquoi on va généraliser ces formules...

### 1.4.3 Théorème de trace, formule de Green généralisée

Le but est maintenant de généraliser ces formules d'intégration par parties à des objets plus généraux, à savoir appartenant à des espaces de Sobolev (d'ordre le plus petit possible). On rappelle un résultat de densité qui permettra de remplacer ces objets “peu réguliers” par des fonctions régulières, beaucoup plus simples à manipuler. En particulier, ce résultat permet
d'étendre des résultats connus pour des fonctions régulières, tels que la valeur, ou trace, sur la frontière. On suit [19].

On a tout d'abord un résultat de densité des fonctions régulières dans les espaces de Sobolev.

**Proposition 1.25** Soit $m \in \mathbb{N}$. Dans tout ouvert $\Omega$ à frontière lipschitzienne, $C_c^\infty(\bar{\Omega})$ est dense dans $H^m(\Omega)$ :

$$ \forall v \in H^m(\Omega), \exists (v_k)_k \in (C_c^\infty(\bar{\Omega}))^\mathbb{N}, \lim_{k \to \infty} \|v - v_k\|_{H^m(\Omega)} = 0. $$

Soit un ouvert $\Omega$ de frontière lipschitzienne. Pour tout $v \in C_c^\infty(\bar{\Omega})$, on peut définir sa valeur sur la frontière $\partial\Omega$, ou trace, notée $v|_{\partial\Omega}$. En outre,

$$ v|_{\partial\Omega} \in L^2(\partial\Omega) = \{ \lambda \text{ mesurable sur } \partial\Omega \text{ tel que } \int_{\partial\Omega} |\lambda|^2 d\Gamma < +\infty \}, $$

où $d\Gamma$ désigne l'élément de "surface" porté par $\partial\Omega$ ; $d\Gamma_x$ est défini autour d'un point $x$ à l'aide d'une carte locale, en partant d'un hypercube de $\mathbb{R}^{d-1}$ (voir la définition 1.21). Muni du produit scalaire hermitien

$$ (\lambda_0, \lambda_1)_{L^2(\partial\Omega)} = \int_{\partial\Omega} \lambda_0 \overline{\lambda_1} d\Gamma, $$

$L^2(\partial\Omega)$ est un espace de Hilbert, qu'on identifie à son dual. On dit que $\partial\Omega$ est *bornée* si $\text{vol}(\partial\Omega) = \int_{\partial\Omega} 1 d\Gamma < \infty$. En particulier, la frontière d'un domaine est toujours bornée.

**Théorème 1.26** Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^d$ à frontière lipschitzienne et bornée. Alors, l'application trace

$$ \gamma_0 : \begin{cases} C_c^\infty(\bar{\Omega}) & \rightarrow L^2(\partial\Omega) \\ v & \mapsto \gamma_0 v = v|_{\partial\Omega} \end{cases} $$

se prolonge par continuité en une application linéaire continue, toujours notée $\gamma_0$, de $H^1(\Omega)$ dans $L^2(\partial\Omega)$.

On introduit

$$ H^{1/2}(\partial\Omega) = \{ \lambda \in L^2(\partial\Omega) \text{ tel que } \exists v \in H^1(\Omega), \lambda = \gamma_0 v \}, \quad (1.16) $$

qu'on munit de la norme

$$ \|\lambda\|_{H^{1/2}(\partial\Omega)} = \inf_{v \in H^1(\Omega) \text{ tq } \gamma_0 v = \lambda} \|v\|_{H^1(\Omega)}. \quad (1.17) $$

**Proposition 1.27** Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^d$ à frontière lipschitzienne et bornée. Muni de la norme (1.17), l'ensemble des traces $H^{1/2}(\partial\Omega)$ est un espace de Banach. En outre, $H^{1/2}(\partial\Omega)$ est un sous-ensemble strict, dense dans $L^2(\partial\Omega)$.
Par définition, l'application trace $\gamma_0$ est continue de $H^1(\Omega)$ dans $H^{1/2}(\partial\Omega)$, de norme égale à 1.

A l'aide de l'application trace $\gamma_0$ et de la densité de $C_c^\infty(\bar{\Omega})$ dans $H^1(\Omega)$, on peut généraliser la formule d'intégration par parties (1.14). Donnons d'abord une idée intuitive de l'énoncé du résultat. On rappelle qu'on a défini des espaces de Sobolev $(H^m(\Omega))_{m \in \mathbb{N}}$ inclus les uns dans les autres, voir la définition 1.17. Si on choisit a priori $v$ dans l'espace le plus grand, c'est-à-dire dans $H^0(\Omega) = L^2(\Omega)$, on sait que l'on doit choisir $(\partial_i w)_{i=1,d}$ dans l'espace dual de $L^2(\Omega)$ (proposition 1.5), c'est-à-dire lui-même, pour que toutes les intégrales

$$ \forall i = 1, \mathbf{d}, \quad \int_{\Omega} v \frac{\partial \bar{w}}{\partial x_i} d\Omega, $$

aient un sens. Et symétriquement (en inversant le rôle de $v$ et $w$), on choisit $w \in L^2(\Omega)$ et $(\partial_i v)_{i=1,d} \in (L^2(\Omega))^d$ pour que les autres intégrales volumiques

$$ \forall i = 1, \mathbf{d}, \quad \int_{\Omega} \frac{\partial v}{\partial x_i} \bar{w} d\Omega $$

aient un sens. Ainsi, on doit choisir $v, w$ dans $H^1(\Omega)$. Et, si les hypothèses du théorème 1.26 sont vérifiées, on peut utiliser les traces $\gamma_0 v$ et $\gamma_0 w$ pour donner un sens à l'intégrale de bord

$$ \int_{\partial\Omega} v\bar{w}n_i d\Gamma. $$

Le résultat et sa démonstration sont proposés ci-dessous.

**Proposition 1.28** *Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^d$ à frontière lipschitzienne et bornée. Soient $v, w \in H^1(\Omega)$, on a pour tout $i = 1, \mathbf{d}$ :*

$$ \int_{\Omega} \left( \frac{\partial v}{\partial x_i} \bar{w} + v \frac{\partial \bar{w}}{\partial x_i} \right) d\Omega = \int_{\partial\Omega} \gamma_0 v \bar{\gamma_0 w} n_i d\Gamma. \quad (1.18) $$

**Démonstration :** D'après la densité de $C_c^\infty(\bar{\Omega})$ dans $H^1(\Omega)$, il existe deux suites de $(C_c^\infty(\bar{\Omega}))^N$, notées respectivement $(v_k)_k$ et $(w_k)_k$, telles que

$$ \lim_{k \to \infty} \|v - v_k\|_{H^1(\Omega)} = \lim_{k \to \infty} \|w - w_k\|_{H^1(\Omega)} = 0. $$

Pour chaque $k \in \mathbb{N}$, par définition de l'application trace $\gamma_0$, on a d'après (1.14) la formule d'intégration par parties :

$$ \int_{\Omega} \left( \frac{\partial v_k}{\partial x_i} \overline{w_k} + v_k \frac{\partial \overline{w_k}}{\partial x_i} \right) d\Omega = \int_{\partial\Omega} \gamma_0 v_k \overline{\gamma_0 w_k} n_i d\Gamma. $$

Puisque $(\partial_i v_k)_k$ converge vers $\partial_i v$ dans $L^2(\Omega)$, et que $(\overline{w_k})_k$ converge vers $\overline{w}$ dans $L^2(\Omega)$, on déduit de la proposition 1.5 que $(\partial_i v_k \overline{w_k})_k$ converge vers $\partial_i v \overline{w}$ dans $L^1(\Omega)$. De même, $(v_k \partial_i \overline{w_k})_k$ converge vers $v \partial_i \overline{w}$ dans $L^1(\Omega)$. Il suit que

$$ \lim_{k \to \infty} \left( \int_{\Omega} \left( \frac{\partial v_k}{\partial x_i} \overline{w_k} + v_k \frac{\partial \overline{w_k}}{\partial x_i} \right) d\Omega \right) = \int_{\Omega} \left( \frac{\partial v}{\partial x_i} \overline{w} + v \frac{\partial \overline{w}}{\partial x_i} \right) d\Omega. $$
Puis, par continuité de l'application trace $\gamma_0$, on note que $(\gamma_0 v_k)_k$ converge vers $\gamma_0 v$ dans $L^2(\partial\Omega)$, et de même que $(\gamma_0 w_k)_k$ converge vers $\gamma_0 w$ dans $L^2(\partial\Omega)$. Il suit que $(\gamma_0 v_k \overline{\gamma_0 w_k})_k$ converge vers $\gamma_0 v \overline{\gamma_0 w}$ dans $L^1(\partial\Omega)$. Et comme $n_i \in L^\infty(\partial\Omega)$ (voir la proposition 1.22), on a finalement que $(\gamma_0 v_k \overline{\gamma_0 w_k} n_i)_k$ converge vers $\gamma_0 v \overline{\gamma_0 w} n_i$ dans $L^1(\partial\Omega)$. En d'autres termes,

$$ \lim_{k \to \infty} \left( \int_{\partial \Omega} \gamma_0 v_k \overline{\gamma_0 w_k} n_i d\Gamma \right) = \int_{\partial \Omega} \gamma_0 v \overline{\gamma_0 w} n_i d\Gamma, $$

ce qui démontre (1.18).

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

**Théorème 1.29** Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^d$ à frontière lipschitzienne et bornée. On a l'identification :

$$ H_0^1(\Omega) = \{v \in H^1(\Omega) \text{ tel que } \gamma_0 v = 0\}. $$

## 1.5 Opérateur de trace normale, formule de Green généralisée

Il reste maintenant à généraliser la formule d'intégration par parties (1.15). Après quelques considérations intuitives, on suivra [18].

### 1.5.1 Un peu d'intuition...

Si on cherche à nouveau l'énoncé intuitif du résultat, on constate cette fois une dissymétrie entre l'espace des $v$, et l'espace des $w$. Partant de $w \in L^2(\Omega)$, on constate qu'on doit choisir $\text{div } v \in L^2(\Omega)$ pour que

$$ \int_{\Omega} (\text{div } v) \overline{w} \, d\Omega $$

ait un sens. Si maintenant on part de $v \in (L^2(\Omega))^d$, on doit choisir $(\partial_i w)_{i=1,d} \in (L^2(\Omega))^d$ pour que

$$ \int_{\Omega} v \cdot \nabla \overline{w} \, d\Omega $$

ait un sens. Ainsi, $w$ appartient à $H^1(\Omega)$, alors que $v$ appartient à l'espace de Sobolev

$$ H(\text{div}; \Omega) = \{v \in (L^2(\Omega))^d \text{ tel que } \text{div } v \in L^2(\Omega)\}, $$

où la divergence est comprise au sens des distributions.

Muni de la norme

$$ \|v\|_{H(\text{div};\Omega)} = \left( \|v\|_{(L^2(\Omega))^d}^2 + \|\text{div } v\|_{L^2(\Omega)}^2 \right)^{1/2}, $$

$H(\text{div};\Omega)$ est un espace de Banach.

Muni du produit scalaire associé

$$ (v, w)_{H(\text{div};\Omega)} = (v, w)_{(L^2(\Omega))^d} + (\text{div } v, \text{div } w)_{L^2(\Omega)}, $$
$H(\mathrm{div}; \Omega)$ est un espace de Hilbert.

Ensuite, il reste à considérer l'intégrale de bord

$$ \int_{\partial\Omega} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}) \overline{w} \, d\Gamma. $$

Si les hypothèses du théorème 1.26 sont vérifiées, on a vu que $\gamma_0 w$ appartient à $L^2(\partial\Omega)$, l'idée naturelle consiste donc à établir que le flux $\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}|_{\partial\Omega}$ appartient également à $L^2(\partial\Omega)$. Malheureusement, ce résultat est faux si on considère un élément quelconque de $H(\mathrm{div}; \Omega)$.<fnref n="4" /> Néanmoins, on sait que $\gamma_0 w$ appartient à $H^{1/2}(\partial\Omega)$, qui est un sous-espace strict de $L^2(\partial\Omega)$. On va donc procéder par dualité, c'est-à-dire démontrer que le flux $\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}|_{\partial\Omega}$ appartient à $(H^{1/2}(\partial\Omega))'$, l'espace dual de $H^{1/2}(\partial\Omega)$. On notera l'action d'un élément de $(H^{1/2}(\partial\Omega))'$ sur un élément de $H^{1/2}(\partial\Omega)$ à l'aide de crochets de dualité : $\langle \cdot, \cdot \rangle_{(H^{1/2}(\partial\Omega))', H^{1/2}(\partial\Omega)}$.

Puisque $L^2(\partial\Omega)$ est identifié à son dual, on a les inclusions strictes

$$ H^{1/2}(\partial\Omega) \subset L^2(\partial\Omega) \subset (H^{1/2}(\partial\Omega))'. \qquad (1.19) $$

Pour un couple $(\lambda_0, \lambda_1) \in L^2(\partial\Omega) \times H^{1/2}(\partial\Omega)$, on peut écrire

$$ \langle \lambda_0, \lambda_1 \rangle_{(H^{1/2}(\partial\Omega))', H^{1/2}(\partial\Omega)} = (\lambda_0, \lambda_1)_{L^2(\partial\Omega)} = \int_{\partial\Omega} \lambda_0 \overline{\lambda_1} \, d\Gamma. $$

### 1.5.2 Résultat de densité

On a un nouveau résultat de densité des fonctions régulières.

**Proposition 1.30** Dans tout ouvert $\Omega$ à frontière lipschitzienne, $(C_c^\infty(\bar{\Omega}))^d$ est dense dans $H(\mathrm{div}; \Omega)$ :

$$ \forall \mathbf{v} \in H(\mathrm{div}; \Omega), \exists (\mathbf{v}_k)_k \in ((C_c^\infty(\bar{\Omega}))^d)^N, \lim_{k \to \infty} \|\mathbf{v} - \mathbf{v}_k\|_{H(\mathrm{div}; \Omega)} = 0. $$

A partir de là, on va étudier la trace normale, qui apparaît dans la formule d'intégration par parties (1.15), pour des éléments de $H(\mathrm{div}; \Omega)$.

### 1.5.3 Opérateur de trace normale $\gamma_n$

Soit $\Omega$ un ouvert, à frontière $\partial\Omega$ lipschitzienne et bornée. Pour tout $\mathbf{v} \in (C_c^\infty(\bar{\Omega}))^d$ on peut définir sa trace normale sur $\partial\Omega : (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})|_{\partial\Omega}$. Lorsqu'on prolonge par continuité aux éléments de $H(\mathrm{div}; \Omega)$, comme espéré on aboutit cette fois à une application trace normale à valeurs dans le dual de $H^{1/2}(\partial\Omega)$. Enfin, on peut généraliser la formule d'intégration par parties (1.15).

**Théorème 1.31** Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^d$, à frontière lipschitzienne et bornée. Alors, on peut définir l'application trace normale

$$ \gamma_n : \left| \begin{array}{l} (C_c^\infty(\bar{\Omega}))^d \rightarrow (H^{1/2}(\partial\Omega))' \\ \mathbf{v} \rightarrow \gamma_n \mathbf{v} = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})|_{\partial\Omega} \end{array} \right. . $$

<footnote n="4">4. Le résultat est bien sûr vrai si $\mathbf{v}$ est "régulière jusqu'au bord", par exemple $\mathbf{v} \in C^0(\bar{\Omega})$.</footnote>
De plus, elle se prolonge par continuité en une application linéaire continue et surjective, encore notée $\gamma_n$, de $\mathbf{H}(\text{div}; \Omega)$ dans $(H^{1/2}(\partial\Omega))'$.

Soient $\mathbf{v} \in \mathbf{H}(\text{div}; \Omega)$ et $w \in H^1(\Omega)$, on a la formule d'intégration par parties :

$$ \int_{\Omega} ((\text{div } \mathbf{v})\bar{w} + \mathbf{v} \cdot \nabla \bar{w}) \, d\Omega = \langle \gamma_n \mathbf{v}, \gamma_0 w \rangle_{(H^{1/2}(\partial\Omega))', H^{1/2}(\partial\Omega)}. \quad (1.20) $$

**Démonstration :** On raisonne par étapes.

— Trace normale pour $\mathbf{v} \in (C_c^\infty(\bar{\Omega}))^d$. Comme l'espace $H^{1/2}(\partial\Omega)$ est égal à l'espace des traces de $H^1(\Omega)$, on choisit tout d'abord $w \in H^1(\Omega)$. Si on raisonne comme pour démontrer la proposition 1.28 à l'aide d'une suite de fonctions de $(C_c^\infty(\bar{\Omega}))^N$ tendant vers $w$ dans $H^1(\Omega)$, on montre que

$$ \int_{\partial\Omega} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})|_{\partial\Omega} \overline{\gamma_0 w} \, d\Gamma = \int_{\Omega} (\mathbf{v} \cdot \nabla \bar{w} + (\text{div } \mathbf{v})\bar{w}) \, d\Omega. $$

En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz à deux reprises, on en déduit que

$$ \begin{aligned} \left| \int_{\partial\Omega} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})|_{\partial\Omega} \overline{\gamma_0 w} \, d\Gamma \right| &\le \|\mathbf{v}\|_{(L^2(\Omega))^d} \|\nabla w\|_{(L^2(\Omega))^d} + \|\text{div } \mathbf{v}\|_{L^2(\Omega)} \|w\|_{L^2(\Omega)} \\ &\le \|\mathbf{v}\|_{\mathbf{H}(\text{div};\Omega)} \|w\|_{H^1(\Omega)}. \end{aligned} $$

L'application trace $\gamma_0$ est linéaire, continue et surjective de $H^1(\Omega)$ dans $H^{1/2}(\partial\Omega)$ : pour tout $\lambda \in H^{1/2}(\partial\Omega)$, on applique la majoration ci-dessus aux $w \in H^1(\Omega)$ tels que $\gamma_0 w = \lambda$. Il suit

$$ \left| \int_{\partial\Omega} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})|_{\partial\Omega} \overline{\lambda} \, d\Gamma \right| \le \|\mathbf{v}\|_{\mathbf{H}(\text{div};\Omega)} \inf_{w \in H^1(\Omega) \atop \text{tq } \gamma_0 w = \lambda} \|w\|_{H^1(\Omega)}. $$

En utilisant la définition (1.17) de la norme dans $H^{1/2}(\partial\Omega)$, on trouve

$$ \forall \lambda \in H^{1/2}(\partial\Omega), \quad \left| \int_{\partial\Omega} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})|_{\partial\Omega} \overline{\lambda} \, d\Gamma \right| \le \|\mathbf{v}\|_{\mathbf{H}(\text{div};\Omega)} \|\lambda\|_{H^{1/2}(\partial\Omega)}. $$

Ainsi, on a bien $(\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})|_{\partial\Omega} \in (H^{1/2}(\partial\Omega))'$, avec l'identification

$$ \langle (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})|_{\partial\Omega}, \lambda \rangle_{(H^{1/2}(\partial\Omega))', H^{1/2}(\partial\Omega)} = \int_{\partial\Omega} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})|_{\partial\Omega} \overline{\lambda} \, d\Gamma. $$

— Application trace normale dans $\mathcal{L}(\mathbf{H}(\text{div}; \Omega), (H^{1/2}(\partial\Omega))')$. D'après ce qui précède, on a pour tout $\mathbf{v} \in (C_c^\infty(\bar{\Omega}))^d$ :

$$ \|\gamma_n \mathbf{v}\|_{(H^{1/2}(\partial\Omega))'} = \sup_{\lambda \in H^{1/2}(\partial\Omega) \setminus \{0\}} \frac{\left| \int_{\partial\Omega} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})|_{\partial\Omega} \overline{\lambda} \, d\Gamma \right|}{\|\lambda\|_{H^{1/2}(\partial\Omega)}} \le \|\mathbf{v}\|_{\mathbf{H}(\text{div}; \Omega)}. $$

L'application $\gamma_n$ est donc continue de $(C_c^\infty(\bar{\Omega}))^d$ dans $(H^{1/2}(\partial\Omega))'$ par rapport à la norme de $\mathbf{H}(\text{div}; \Omega)$. D'après la proposition 1.30, on peut prolonger par continuité $\gamma_n$ en une application linéaire et continue de $\mathbf{H}(\text{div}; \Omega)$ dans $(H^{1/2}(\partial\Omega))'$, toujours notée $\gamma_n$. On note que $\|\gamma_n\| \le 1$ dans $\mathcal{L}(\mathbf{H}(\text{div}; \Omega), (H^{1/2}(\partial\Omega))')$.

— **Intégration par parties (1.20).** Il suffit maintenant de raisonner par densité sur $\mathbf{v}$ et sur $w$, puisque le terme de bord aura un sens par dualité, sous la forme $\langle \gamma_n \mathbf{v}, \gamma_0 w \rangle_{(H^{1/2}(\partial\Omega))', H^{1/2}(\partial\Omega)}$.
— **Surjectivité de $\gamma_n \in \mathcal{L}(H(\text{div};\Omega), (H^{1/2}(\partial\Omega))')$.** Soit $g \in (H^{1/2}(\partial\Omega))'$, on considère la formulation variationnelle

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u \in H^1(\Omega) \text{ telle que} \\ (u, w)_{H^1(\Omega)} = \langle g, \gamma_0 w \rangle_{(H^{1/2}(\partial\Omega))', H^{1/2}(\partial\Omega)}, \quad \forall w \in H^1(\Omega) \end{array} \right. . $$

D'après le théorème de représentation de Riesz, cette formulation variationnelle admet une solution, et une seule. En outre, si on choisit une fonction-test $v \in \mathcal{D}(\Omega)$ quelconque, on en déduit facilement que $-u + \Delta u = 0$ dans $\mathcal{D}'(\Omega)$. Si on pose $v = \nabla u$, on a $v \in (L^2(\Omega))^d$ puisque $u \in H^1(\Omega)$ et, en outre, div $v = \Delta u = u$ appartient à $L^2(\Omega)$ : ainsi $v \in H(\text{div}; \Omega)$. A partir de là, si on remplace $u$ par div $v$ et $\nabla u$ par $v$ dans la formulation variationnelle, on trouve que pour tout $w \in H^1(\Omega)$,

$$ \langle g, \gamma_0 w \rangle_{(H^{1/2}(\partial\Omega))', H^{1/2}(\partial\Omega)} = (u, w)_{L^2(\Omega)} + (\nabla u, \nabla w)_{(L^2(\Omega))^d} = (\text{div } v, w)_{L^2(\Omega)} + (v, \nabla w)_{(L^2(\Omega))^d}. $$

Et si on utilise la formule d'intégration par parties (1.20), on a donc établi que

$$ \forall w \in H^1(\Omega), \quad \langle g, \gamma_0 w \rangle_{(H^{1/2}(\partial\Omega))', H^{1/2}(\partial\Omega)} = \langle \gamma_n v, \gamma_0 w \rangle_{(H^{1/2}(\partial\Omega))', H^{1/2}(\partial\Omega)}. $$

Et comme l'application trace $\gamma_0$ est surjective de $H^1(\Omega)$ dans $H^{1/2}(\partial\Omega)$, on a démontré que $\gamma_n v = g$ dans $(H^{1/2}(\partial\Omega))'$, d'où la propriété de surjectivité.

Ceci achève la démonstration.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

**Remarque 1.32** On note que si $w \in H_0^1(\Omega)$, le terme de bord disparaît dans (1.20). Ce résultat s'obtient directement si on raisonne par densité, en approchant $w$ dans $H^1(\Omega)$ avec des éléments de $\mathcal{D}(\Omega)$.

Enfin, l'espace de Hilbert $H_0(\text{div}; \Omega)$ est défini comme l'adhérence de $(\mathcal{D}(\Omega))^d$ dans $H(\text{div}; \Omega)$ :

$$ \forall v \in H_0(\text{div}; \Omega), \exists (v_k)_k \in ((\mathcal{D}(\Omega))^d)^N, \lim_{k \to \infty} \|v - v_k\|_{H(\text{div}; \Omega)} = 0. $$

On a le

**Théorème 1.33** Soit $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{R}^d$ à frontière lipschitzienne et bornée. Alors on a l'identification :

$$ H_0(\text{div}; \Omega) = \{v \in H(\text{div}; \Omega) \text{ tel que } \gamma_n v = 0\}. $$

**Remarque 1.34** On note que si $v \in H_0(\text{div}; \Omega)$, le terme de bord disparaît dans (1.20). Ce résultat s'obtient directement si on raisonne par densité, en approchant $v$ dans $H(\text{div}; \Omega)$ avec des éléments de $(\mathcal{D}(\Omega))^d$.

### 1.5.4 Propriétés de saut

Selon la régularité du champ considéré, on a des propriétés différentes de saut au franchissement d'une interface. Un résultat simplifié peut être obtenu facilement pour des champs réguliers (au sens classique) "par morceaux", voir l'exercice ci-après.
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 1.1 – Exemples de partition d'un domaine de $\mathbb{R}^2$</figcaption></figure>

**Exercice :** Soit $\Omega$ un domaine de $\mathbb{R}^d$. On suppose qu'il existe deux domaines disjoints $\Omega_1$ et $\Omega_2$ tels que $\bar{\Omega} = \bar{\Omega}_1 \cup \bar{\Omega}_2$. On note $\Sigma = \partial\Omega_1 \cap \partial\Omega_2$ l'interface^5 et $\mathbf{n}_{\Sigma}$ un vecteur unitaire normal à $\Sigma$ dirigé de $\Omega_1$ vers $\Omega_2$. Voir des exemples sur la figure 1.1.

1. Soit $v \in L^2(\Omega)$ telle que $v|_{\bar{\Omega}_j} \in C^1(\bar{\Omega}_j)$ pour $j = 1, 2$. Montrer que si le saut^6 de $v$ s'annule, c'est-à-dire si $[v]_{\Sigma} = 0$, alors on a $v \in H^1(\Omega)$. Que pensez-vous de la réciproque ?

2. Soit $v \in (L^2(\Omega))^d$ telle que $v|_{\bar{\Omega}_j} \in (C^1(\bar{\Omega}_j))^d$ pour $j = 1, 2$. Montrer que si le saut de la trace normale de $v$ s'annule, c'est-à-dire si $[v \cdot \mathbf{n}_{\Sigma}]_{\Sigma} = 0$, alors on a $v \in \mathbf{H}(\text{div}; \Omega)$. Que pensez-vous de la réciproque ?

Plus généralement, on a les résultats ci-dessous sur les sauts.

**Théorème 1.35** Soit $\Omega$ un domaine de $\mathbb{R}^d$. On suppose qu'il existe deux domaines disjoints $\Omega_1$ et $\Omega_2$ tels que $\bar{\Omega} = \bar{\Omega}_1 \cup \bar{\Omega}_2$. On note $\Sigma = \partial\Omega_1 \cap \partial\Omega_2$ l'interface. Alors :
— pour $v \in L^2(\Omega)$ telle que $v|_{\Omega_j} \in H^1(\Omega_j)$ pour $j = 1, 2$, on a l'équivalence

$$v \in H^1(\Omega) \iff [v]_{\Sigma} = 0. \qquad (1.21)$$

— pour $v \in (L^2(\Omega))^d$ telle que $v|_{\Omega_j} \in \mathbf{H}(\text{div}; \Omega_j)$ pour $j = 1, 2$, on a l'équivalence

$$v \in \mathbf{H}(\text{div}; \Omega) \iff [v \cdot \mathbf{n}_{\Sigma}]_{\Sigma} = 0. \qquad (1.22)$$

$$[w]_{\Sigma} := w|_{\partial\Omega_2} - w|_{\partial\Omega_1}.$$

<footnote n="5">5. En pratique l'interface est une courbe si $d = 2$, et une surface si $d = 3$.</footnote>

<footnote n="6">6. Pour $w$ régulière de part et d'autre de l'interface $\Sigma$ séparant $\Omega_1$ et $\Omega_2$, le saut de $w$ au travers de $\Sigma$ (conforme à l'orientation du vecteur unitaire normal $\mathbf{n}_{\Sigma}$ dirigé de $\Omega_1$ vers $\Omega_2$) est égal à</footnote>
# Notes de cours 2

## Etude théorique du modèle de la diffusion

L'équation de la diffusion permet de modéliser différents phénomènes physiques tels que la loi de Darcy, la loi de Fick ou la diffusion des neutrons. Pour la diffusion neutronique par exemple (voir par exemple [9]), elle permet de déterminer le *flux neutronique* (grandeur à valeurs scalaires réelles). On peut choisir soit de l'exprimer comme une équation aux dérivées partielles (EDP) du second ordre, soit comme deux équations aux dérivées partielles du premier ordre couplées entre elles. Dans ce second cas, on détermine, outre le flux neutronique, le *courant neutronique* (grandeur à valeurs vectorielles réelles proportionnelle au gradient du flux neutronique). Ainsi, d'un point de vue variationnel, deux approches coexistent. On utilise soit la formulation variationnelle à une inconnue pour se concentrer sur le flux neutronique ; soit la formulation variationnelle à deux inconnues pour se concentrer à la fois sur le flux et le courant neutroniques.

On se place dans un domaine $\Omega$ de $\mathbb{R}^d$, pour $1 \le d \le 3$. Le modèle étudié est basé sur des données et des solutions à valeurs réelles. On choisit donc $K = \mathbb{R}$ lorsqu'on l'étudie, en particulier pour les formulations variationnelles. Concernant la théorie "abstraite", on se placera dans $K = \mathbb{C}$ (pour l'appliquer au modèle, il suffira d'enlever la conjugaison). On note $(\cdot|\cdot)$ le produit scalaire (hermitien) de $L^2(\Omega)$ ou de $(L^2(\Omega))^d$, et $\|\cdot\|$ la norme associée. Enfin, on note $L^2(\Omega) = (L^2(\Omega))^d$.

### 2.1 Modèle de la diffusion neutronique

#### 2.1.1 Mesure, équation et condition aux limites

On reprend le formalisme énoncé au §1.1. Résoudre le modèle de la diffusion revient à résoudre :

$$ egin{cases} 
\text{Trouver } u \in H^1(\Omega) \text{ tel que} \\ 
-\text{div } \mathbb{D}\nabla u + \sigma u = S_f \text{ dans } \Omega \\ 
u = 0 \text{ sur } \partial\Omega. 
\end{cases} 
\tag{2.1} $$
La solution $u$ cherchée est le flux neutronique, $\mathbb{D}$ est le tenseur de diffusion, $\sigma$ la section efficace, et la donnée $S_f$ la source.<fnref n="1" /> Toutes les grandeurs sont à valeurs réelles. De plus, la modélisation conduit à faire les hypothèses suivantes :

— Le coefficient $\mathbb{D}$ est un champ de tenseurs mesurable sur $\Omega$ tel que

$$ \left| \begin{array}{l} \exists D_{min} > 0, \forall \mathbf{z} \in \mathbb{R}^d, \text{ presque pour tout } \mathbf{x} \in \Omega, D_{min}|\mathbf{z}|^2 \le \mathbb{D}(\mathbf{x})\mathbf{z} \cdot \mathbf{z}; \\ \exists D_{max} > 0, \forall \mathbf{z} \in \mathbb{R}^d, \text{ presque pour tout } \mathbf{x} \in \Omega, |\mathbb{D}(\mathbf{x})\mathbf{z}| \le D_{max}|\mathbf{z}|. \end{array} \right. \qquad (2.2) $$

— Le coefficient $\sigma$ est un champ de scalaires mesurable sur $\Omega$ tel que

$$ \exists \sigma_{min}, \sigma_{max} > 0, \text{ presque pour tout } \mathbf{x} \in \Omega, \sigma_{min} \le \sigma(\mathbf{x}) \le \sigma_{max}. \qquad (2.3) $$

— La source $S_f$ appartient à $L^2(\Omega)$.

Sous les hypothèses sur $u$ et sur $\mathbb{D}$, on note que le courant neutronique $\mathbf{p} = -\mathbb{D}\nabla u$ est tel que $\mathbf{p} \in L^2(\Omega)$ (voir la proposition 1.4). De plus, sous les hypothèses sur $u$, $\sigma$ et $S_f$, on a $\text{div} \, \mathbf{p} = S_f - \sigma u \in L^2(\Omega)$. Ainsi, le courant neutronique est tel que

$$ \mathbf{p} \in \mathbf{H}(\text{div}; \Omega). $$

### 2.1.2 Formulation variationnelle équivalente

La condition aux limites sur $u$ est une condition aux limites de Dirichlet. Classiquement [15], c'est une condition aux limites essentielle, et on choisit des fonctions-test $w \in H_0^1(\Omega)$.

Chaque terme de l'EDP apparaissant dans le modèle (2.1) appartient à $L^2(\Omega)$. On réalise donc le "produit scalaire dans $L^2(\Omega)$" de l'EDP avec $w \in H_0^1(\Omega)$, pour trouver<fnref n="2" /> :

$$ \int_{\Omega} S_f w \, d\Omega = \int_{\Omega} (-\text{div} \, \mathbb{D}\nabla u + \sigma u) w \, d\Omega \stackrel{(1.20)}{=} \int_{\Omega} (\mathbb{D}\nabla u \cdot \nabla w + \sigma uw) \, d\Omega. $$

On en conclut que si $u$ est solution du modèle (2.1), alors $u$ est solution de la formulation variationnelle

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u \in H_0^1(\Omega) \text{ tel que} \\ \forall w \in H_0^1(\Omega), \quad \int_{\Omega} (\mathbb{D}\nabla u \cdot \nabla w + \sigma uw) \, d\Omega = \int_{\Omega} S_f w \, d\Omega. \end{array} \right. \qquad (2.4) $$

Réciproquement, en raisonnant au sens des distributions, on montre facilement que si $u$ est solution de la formulation variationnelle (2.4), alors $u$ est solution du modèle (2.1). On a donc bien construit une formulation variationnelle équivalente à notre modèle. Nous prouvons son caractère bien posé ci-dessous à l'aide du théorème de Lax-Milgram.

<footnote n="1">1. On peut également modéliser la diffusion neutronique avec une autre condition aux limites que celle de flux neutronique nul, telle que $\mathbb{D}\nabla u \cdot \mathbf{n}|_{\partial\Omega} = 0$ (réflexion), ou $(\mathbb{D}\nabla u \cdot \mathbf{n} + \alpha u)|_{\partial\Omega} = 0$ (albédo, avec $\alpha > 0$) ; ou bien des conditions aux limites distinctes sur différentes parties de la frontière...</footnote>

<footnote n="2">2. Au lieu de la formule d'intégration par parties (1.20), on peut utiliser la remarque 1.32.</footnote>
## 2.2 Existence et unicité, théorème de Lax-Milgram

On rappelle les fondements de la théorie "abstraite" (voir par exemple [8, 15]). Soient :

- $V$ un espace de Hilbert défini sur $\mathbb{C}$, de produit scalaire hermitien $(\cdot, \cdot)_V$. On note $\|\cdot\|_V$ la norme associée ;

- $a(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire et continue sur $V \times V$.

Pour $\ell \in V'$ donné, on étudie le problème écrit sous forme variationnelle,

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u \in V \text{ tel que} \\ \forall w \in V, \quad a(u, w) = \langle \ell, w \rangle_V. \end{array} \right. \qquad (2.5) $$

Pour le modèle de la diffusion, on a respectivement :

- $V = H_0^1(\Omega)$ ;

- $a(v, w) = (\mathbb{D}\nabla v|\nabla w) + (\sigma v|w)$ ;

- $\langle \ell, w \rangle_V = (S_f|w)$.

### 2.2.1 Théorème de Lax-Milgram

**Définition 2.1 (coercivité)** On dit qu'une forme sesquilinéaire $a'$ est coercive sur $V$ si, et seulement si :

$$ \exists \alpha > 0, \quad \forall v \in V, \quad |a'(v, v)| \ge \alpha \|v\|_V^2. \qquad (2.6) $$

On peut établir une caractérisation équivalente, voir [8].

**Lemme 2.2** Soit $a'$ une forme sesquilinéaire et continue sur $V \times V$. Alors $a'$ est coercive sur $V$ si, et seulement si :

$$ \exists \alpha > 0, \quad \exists \theta \in \mathbb{R}, \quad \forall v \in V, \quad \Re(\exp(i\theta)a'(v, v)) \ge \alpha \|v\|_V^2. \qquad (2.7) $$

Si la forme est de plus hermitienne, c'est-à-dire si

$$ \forall v, w \in V, \quad a'(v, w) = \overline{a'(w, v)}, $$

on a le

**Lemme 2.3** Lorsque $a'$ est une forme sesquilinéaire, continue et hermitienne sur $V \times V$. Alors $a'$ est coercive sur $V$ si, et seulement si, on a une des deux alternatives :

$$ \begin{aligned} & \exists \alpha > 0, \forall v \in V, +a'(v, v) \ge \alpha \|v\|_V^2; \\ & \exists \alpha > 0, \forall v \in V, -a'(v, v) \ge \alpha \|v\|_V^2. \end{aligned} \qquad (2.8) $$

**Démonstration** : Si on a l'alternative (2.8), il est clair que $a'$ est coercive.

Réciproquement, supposons $a'$ coercive. On note tout d'abord que, puisque $a'$ est hermitienne, pour tout $v \in V$, on a $a'(v, v) = \overline{a'(v, v)}$. Ainsi, pour tout $v \in V$, on a $a'(v, v) \in \mathbb{R}$. Supposons maintenant qu'il existe $v_1, v_2 \in V$ tels que $a'(v_1, v_1) > 0$ et $a'(v_2, v_2) < 0$. Notons que $v_1$ et $v_2$ sont non-nuls puisque
$a'$ est coercive ; de plus, $v_1$ et $v_2$ ne sont pas colinéaires : sinon, $\exists \beta \in \mathbb{C}$ tel que $v_1 = \beta v_2$ et dans ce cas par linéarité par rapport au 1er argument, resp. antilinéarité par rapport au 2ème argument,

$$a'(v_1, v_1) = a'(\beta v_2, \beta v_2) = |\beta|^2 a'(v_2, v_2) \le 0,$$

ce qui contredit le fait que $a'(v_1, v_1) > 0$.

On introduit la fonction continue de $[0, 1]$ dans $\mathbb{R}$

$$f: t \mapsto a'(tv_1 + (1-t)v_2, tv_1 + (1-t)v_2).$$

Par définition, $f(0) < 0$ et $f(1) > 0$. Puisque $f$ est continue, $\exists t^* \in ]0, 1[$ tel que $f(t^*) = 0$. Si on pose $v^* = t^*v_1 + (1-t^*)v_2$, on conclut de ce qui précède que $v^* \ne 0$ ($v_1$ et $v_2$ ne sont pas colinéaires), et que $a'(v^*, v^*) = 0$, ce qui contredit le fait que $a'$ est coercive. Ainsi, l'alternative (2.8) est vérifiée. ■

**Théorème 2.4 (Lax-Milgram)** Soit $V$ un espace de Hilbert, $a$ une forme sesquilinéaire, continue et coercive sur $V$.

Pour tout $\ell \in V'$, il existe une unique solution $u \in V$ de la formulation variationnelle (2.5). En outre, la solution $u$ dépend continûment de la forme linéaire $\ell$ : il existe $C > 0$ indépendante de $u$ et $\ell$ telle que

$$\|u\|_V \le C \|\ell\|_{V'}.$$

### 2.2.2 Diffusion à une inconnue

Lorsque $V$ est un espace de Hilbert défini sur $\mathbb{R}$, on peut transposer le lemme 2.3, et l'énoncé de la caractérisation équivalente de la coercivité devient : soit $a'$ une forme bilinéaire et continue sur $V \times V$. Alors $a'$ est coercive sur $V$ si, et seulement si, on a une des deux alternatives :

$$\begin{aligned} & \exists \alpha > 0, \forall v \in V, +a(v, v) \ge \alpha \|v\|_V^2; \\ & \exists \alpha > 0, \forall v \in V, -a(v, v) \ge \alpha \|v\|_V^2. \end{aligned} \qquad (2.9)$$

Pour le problème (2.5), les hypothèses et conclusions du théorème de Lax-Milgram sont identiques à celles du théorème 2.4. Enfin, si $a$ est de plus symétrique, c'est-à-dire que :

$$\forall v, w \in V, \quad a(v, w) = a(w, v),$$

alors on peut montrer que la solution $u$ de (2.5) est l'unique point de minimum de la fonctionnelle :

$$v \mapsto \frac{1}{2} a(v, v) - \langle \ell, v \rangle_V,$$

définie de $V$ dans $\mathbb{R}$.

Pour le modèle de la diffusion, on doit donc vérifier que la forme bilinéaire

$$a(v, w) = \int_{\Omega} (\mathbb{D}\nabla v \cdot \nabla w + \sigma vw) d\Omega$$

est continue et coercive sur $H_0^1(\Omega)$ (sous les hypothèses (2.2)-(2.3) sur les coefficients).
— Continuité : soient $v, w \in H_0^1(\Omega)$, on a

$$
\begin{align*}
|a(v, w)| & \le |(\mathbb{D}\nabla v|\nabla w)| + |(\sigma v|w)| \\
(\text{Cauchy-Schwarz ds } \mathbf{L}^2(\Omega), \mathcal{L}^2(\Omega)) & \le \|\mathbb{D}\nabla v\| \|\nabla w\| + \|\sigma v\| \|w\| \\
(2.2)-(2.3) & \le D_{\max} \|\nabla v\| \|\nabla w\| + \sigma_{\max} \|v\| \|w\| \\
& \le \max(D_{\max}, \sigma_{\max}) (\|\nabla v\| \|\nabla w\| + \|v\| \|w\|) \\
(\text{Cauchy-Schwarz ds } \mathbb{R}^2) & \le \max(D_{\max}, \sigma_{\max}) (\|\nabla v\|^2 + \|v\|^2)^{1/2} (\|\nabla w\|^2 + \|w\|^2)^{1/2} \\
& = \max(D_{\max}, \sigma_{\max}) \|v\|_{H^1(\Omega)} \|w\|_{H^1(\Omega)};
\end{align*}
$$

d'où la continuité de $a$ avec $|||a||| \le \max(D_{max}, \sigma_{max})$.

— Coercivité : soit $v \in H_0^1(\Omega)$, on a

$$
\begin{align*}
a(v,v) &= (\mathbb{D}\nabla v|\nabla v) + (\sigma v|v) \\
(2.2)-(2.3) \quad &\geq D_{\min} \|\nabla v\|^2 + \sigma_{\min} \|v\|^2 \\
&\geq \min(D_{\min}, \sigma_{\min}) \|v\|_{H^1(\Omega)}^2;
\end{align*}
$$

d'où la coercivité de $a$, avec une constante de coercivité $\alpha = \min(D_{min}, \sigma_{min}) > 0$.
Par ailleurs, d'après la proposition 1.6, $L^2(\Omega)$ est son propre dual. Comme $H_0^1(\Omega) \subset L^2(\Omega)$ avec injection continue, on a l'injection continue "duale" $L^2(\Omega) \subset (H_0^1(\Omega))'$, et en particulier $w \mapsto (S_f|w)$ appartient à $(H_0^1(\Omega))'$ puisque $S_f \in L^2(\Omega)$. D'après le théorème de Lax-Milgram, on en déduit que la formulation variationnelle (2.4) admet une solution et une seule. De plus, il existe une constante $C > 0$ indépendante de $S_f$ telle que : $\|u\|_{H^1(\Omega)} \le C \|S_f\|$.

## 2.3 Existence et unicité, cadre général

Nous proposons ci-dessous une approche plus générale que celle du théorème de Lax-Milgram pour résoudre les formulations variationnelles. Entre autres, les formulations variationnelles peuvent mettre en jeu un espace des solutions différent de l'espace des fonctions-test. Précisé-ment, soient :

— $V$ et $W$ deux espaces de Hilbert définis sur $\mathbb{C}$;

— $a(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire et continue sur $V \times W$.

Pour $\ell \in W'$ donné, on étudie la formulation variationnelle,

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
\text{Trouver } u \in V \text{ tel que} & \\
\forall w \in W, \quad a(u, w) = \langle \ell, w \rangle_W.
\end{array}
\right.
\qquad (2.10)
$$

### 2.3.1 Caractère bien posé

Nous commençons par une définition générale.
**Définition 2.5 (Hadamard)** La formulation variationnelle (2.10) est bien posée si, et seulement si, pour tout $\ell \in W'$, (2.10) admet une solution et une seule $u \in V$, avec dépendance continue :

$$ \exists C > 0, \forall \ell \in W', \|u\|_V \le C \|\ell\|_{W'} $$

**Remarque 2.6** Par stabilité, on cherche à déterminer dans quelle mesure une "petite perturbation" de $\ell$ induit une "petite perturbation" de $u$. Par abus de langage, on dira que plus $C$ est petite, plus la formulation variationnelle est stable.

On introduit l'application linéaire et continue $A \in \mathcal{L}(V, W)$ associée à $a(\cdot, \cdot)$, et définie par :

$$ \forall (v, w) \in V \times W, \quad (Av, w)_W = a(v, w). \qquad (2.11) $$

On rappelle l'égalité en norme :

$$ \begin{aligned} \|\mathbf{A}\| &= \sup_{v \in V \setminus \{0\}} \frac{\|\mathbf{A}v\|_W}{\|v\|_V} = \sup_{v \in V \setminus \{0\}} \left( \frac{1}{\|v\|_V} \sup_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{|(\mathbf{A}v, w)_W|}{\|w\|_W} \right) \\ &= \sup_{v \in V \setminus \{0\}, w \in W \setminus \{0\}} \frac{|a(v, w)|}{\|v\|_V \|w\|_W} = \|a\|. \end{aligned} \qquad (2.12) $$

**Proposition 2.7** Soient $V, W$ deux espaces de Hilbert, et $a(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire et continue sur $V \times W$. Alors la formulation variationnelle (2.10) est bien posée si, et seulement si, l'inverse de $A$ défini par (2.11) existe et est continu : $A^{-1} \in \mathcal{L}(W, V)$.

**Remarque 2.8** Ainsi, (2.10) est bien posée si, et seulement si, $A$ est un isomorphisme de $V$ dans $W$.

**Démonstration** : Supposons que (2.10) est bien posée. Soit $f \in W$, alors il existe une solution et une seule à la formulation variationnelle (2.10) avec pour donnée la forme $w \mapsto (f, w)_W$, antilinéaire et continue sur $W$, qu'on note $u_f$. En outre, $\|u_f\|_V \le C \|f\|_W$ avec $C > 0$ indépendante de $f$. On introduit $B : f \mapsto u_f$, dont on vérifie facilement que c'est une application linéaire (par linéarité de $a$ par rapport au premier argument) et continue de $W$ dans $V : B \in \mathcal{L}(W, V)$.
Par ailleurs, pour $f \in W$ :

$$ \forall w \in W, \quad (ABf, w)_W = a(Bf, w) = (f, w)_W, $$

et ainsi $ABf = f$. on a donc $AB = I_W$.

De même, pour $u \in V$ :

$$ \forall w \in W, \quad a(BAu - u, w) = a(B(Au), w) - a(u, w) = (Au, w)_W - a(u, w) = 0; $$

il suit que $BAu = u$, par unicité de la solution de la formulation variationnelle (2.10). On en conclut que $BA = I_V$. Ainsi, $B$ est l'inverse (continu) de $A$.
Réciproquement, si l'inverse de $\mathbf{A}$ existe et est continu, soit $\ell \in W'$ : d'après le théorème de Riesz, il existe $\mathbf{f} \in W$ unique tel que $(\mathbf{f}, w)_W = \ell(w)$ pour tout $w \in W$, avec $\|\mathbf{f}\|_W = \|\ell\|_{W'}$. Notons $u_{\mathbf{f}} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{f}$, par construction $\mathbf{A}u_{\mathbf{f}} = \mathbf{A}(\mathbf{A}^{-1}\mathbf{f}) = \mathbf{f}$ dans $W$, soit

$$ \forall w \in W, \quad a(u_{\mathbf{f}}, w) = (\mathbf{f}, w)_W = \ell(w). $$

En d'autres termes, $u_{\mathbf{f}}$ résout la formulation variationnelle (2.10) avec la donnée $\ell$, et

$$ \|u_{\mathbf{f}}\|_V = \|\mathbf{A}^{-1}\mathbf{f}\|_V \le \|\mathbf{A}^{-1}\| \|\mathbf{f}\|_W = \|\mathbf{A}^{-1}\| \|\ell\|_{W'}. $$

On a donc dépendance continue de la solution $u_{\mathbf{f}}$ par rapport à la donnée $\ell$. Vérifions enfin l'unicité de la solution. Pour $\ell$ donnée, si $u_1, u_2$ sont deux solutions, alors $\mathbf{A}(u_1 - u_2) = 0$ et donc $u_1 - u_2 = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}(u_1 - u_2) = 0$, ce qui conclut la démonstration. ■

## 2.3.2 Théorie de Banach-Necas-Babuska

Nous allons énoncer des conditions nécessaires et suffisantes pour que la formulation variationnelle (2.10) soit bien posée. Précisément, il s'agit de la condition de stabilité, également appelée la condition inf-sup, et de la condition de solvabilité.

**Définition 2.9** Soit $a(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire sur $V \times W$. Alors $a(\cdot, \cdot)$ vérifie une condition inf-sup si, et seulement si,

$$ \exists \alpha' > 0, \forall v \in V, \sup_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{|a(v, w)|}{\|w\|_W} \ge \alpha' \|v\|_V. \quad (2.13) $$

Dans ce cas, on appelle constante inf-sup la plus grande valeur de $\alpha'$ dans (2.13). Elle est égale à

$$ \inf_{v \in V \setminus \{0\}} \sup_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{|a(v, w)|}{\|v\|_V \|w\|_W}. $$

**Définition 2.10** Soit $a(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire sur $V \times W$. Alors $a(\cdot, \cdot)$ vérifie une condition de solvabilité si, et seulement si,

$$ \{w \in W \text{ tel que } a(v, w) = 0, \forall v \in V\} = \{0\}. \quad (2.14) $$

Intuitivement, la condition de solvabilité exprime le fait qu'on n'a pas "trop" de fonctions-test. Nous allons maintenant énoncer et démontrer le résultat général, le théorème de Banach-Necas-Babuska, et son corollaire (on utilisera en général la notation BNB dans la suite).

**Théorème 2.11 (Banach-Necas-Babuska)** Soient $V$ et $W$ deux espaces de Hilbert, $a(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire et continue sur $V \times W$. La formulation variationnelle (2.10) est bien posée si, et seulement si, les conditions (2.13) et (2.14) sont satisfaites.

**Démonstration :** Supposons la formulation variationnelle (2.10) bien posée. D'après la proposition 2.7, l'application linéaire $\mathbf{A}$ associée à $a$ par (2.11) admet un inverse continu de $W$ dans $V$. Soit $v \in V \setminus \{0\}$, on a :
— d’une part, $a(v, Av) = (Av, Av)_W = \|Av\|_W^2$;

— d'autre part, $\|v\|_V = \|\mathbf{A}^{-1}(Av)\|_V \le \|\mathbf{A}^{-1}\| \|Av\|_W$ (en particulier, $Av \ne 0$).

Ainsi,

$$
\sup_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{|a(v, w)|}{\|w\|_W} \ge \frac{|a(v, Av)|}{\|Av\|_W} = \|Av\|_W \ge \frac{1}{\|\mathbf{A}^{-1}\|} \|v\|_V.
$$

La condition de stabilité (2.13) est vérifiée avec $\alpha' = 1/\|\mathbf{A}^{-1}\|$.

Soit $w \in W$ tel que $a(v, w) = 0$ pour tout $v \in V$. En particulier,

$$
0 = a(\mathbf{A}^{-1}w, w) = (\mathbf{A}(\mathbf{A}^{-1}w), w)_W = \|w\|_W^2, \text{ soit } w = 0.
$$

La condition de solvabilité (2.14) est vérifiée elle aussi.

Réciproquement, supposons que les conditions (2.13) et (2.14) sont satisfaites. Nous allons prouver
que l'application linéaire $\mathbf{A}$ associée à la forme $a$ est bijective, d'inverse continu. La proposition 2.7
permettra alors de conclure.

Soit $u \in V$ tel que $Au = 0$: alors, $a(u, w) = (Au, w)_W = 0$ pour tout $w \in W$ et, d'après (2.13), il suit $\|u\|_V = 0$, c'est-à-dire $u = 0$. $\mathbf{A}$ est donc injective.

Ensuite, nous allons prouver que l'image de **A**, Im(**A**) = {w ∈ W tel que ∃v ∈ V, w = **Av**}, est un sous-espace vectoriel fermé de W, d'orthogonal réduit à {0}. Pour commencer, Im(**A**) est un sous-espace vectoriel de W. Pour le caractère fermé, on va établir que toute suite d'éléments (w^k)_k de Im(**A**) qui converge dans W a sa limite dans Im(**A**). Par définition, pour tout k il existe v^k ∈ V tel que w^k = **Av**^k.
A l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a

$$
\forall k,m, \forall w \in W, |a(v^k - v^m, w)| &= |(\mathbf{A}v^k - \mathbf{A}v^m, w)|_W = |(w^k - w^m, w)|_W \\
&\le \|w^k - w^m\|_W \|w\|_W.
$$

En utilisant (2.13), on en déduit que

$$
\forall k, m, \quad \|v^k - v^m\|_V \le \frac{1}{\alpha'} \sup_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{|a(v^k - v^m, w)|}{\|w\|_W} \le \frac{1}{\alpha'} \|w^k - w^m\|_W.
$$

La suite $(w^k)_k$ étant convergente dans $W$, elle est a fortiori de Cauchy : $\lim_{k,m \to \infty} \|w^k - w^m\|_W = 0$.
Il en est donc de même pour $(v^k)_k$ dans $V$. Et, comme $V$ est un espace complet, $(v^k)_k$ converge dans
$V$, c'est-à-dire qu'il existe $v \in V$ tel que $\lim_{k \to \infty} \|v^k - v\|_V = 0$. On en déduit :

$$
\|w^k - \mathbf{A}v\|_W = \|\mathbf{A}(v^k - v)\|_W \le \|\mathbf{A}\| \|v^k - v\|_V \to 0 \text{ quand } k \to \infty,
$$

et ainsi $(w^k)_k$ converge vers $\mathbf{A}v \in \mathrm{Im}(\mathbf{A})$ ; $\mathrm{Im}(\mathbf{A})$ est donc fermée dans $W$.

Soit maintenant $w \in (\mathrm{Im}(\mathbf{A}))^{\perp}$, l'orthogonal de $\mathrm{Im}(\mathbf{A})$ dans $W$: par définition, ça signifie que, pour tout $v \in V$, $0 = (\mathbf{A}v, w)_W = a(v, w)$. D'après (2.14), on a $w = 0$. On en conclut<fnref n="3" /> que $\mathrm{Im}(\mathbf{A}) = W : \mathbf{A}$ est surjective.

Comme **A** est bijective, pour tout **f** ∈ W, on sait qu'il existe u_f = **A**^{-1}f ∈ V unique tel que Au_f = f.
Et, d'après (2.13) et l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on trouve

$$
\|\mathbf{A}^{-1}\mathbf{f}\|_V = \|u_{\mathbf{f}}\|_V \le \frac{1}{\alpha'} \sup_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{|a(u_{\mathbf{f}}, w)|}{\|w\|_W} \le \frac{1}{\alpha'} \|\mathbf{A}u_{\mathbf{f}}\|_W = \frac{1}{\alpha'} \|\mathbf{f}\|_W,
$$

<footnote n="3">3. Comme W est un espace de Hilbert, pour tout sous-espace vectoriel fermé Y de W, on a W = Y ⊕ Y⊥.</footnote>
c'est-à-dire que $|||\mathbf{A}^{-1}||| \le 1/\alpha'$. On en conclut comme annoncé que la formulation variationnelle (2.10) est bien posée au sens de Hadamard. ■

**Remarque 2.12** Pour une forme sesquilinéaire définie sur $V \times V$, on a donc le choix entre coercivité d'une part, et stabilité plus solvabilité d'autre part. On vérifie facilement que, si la forme est coercive (avec une constante $\alpha > 0$), alors elle satisfait à la fois une condition de stabilité (avec $\alpha' = \alpha$) et la condition de solvabilité. La réciproque est fausse, voir le §2.3.3.

Notons que, lorsque la théorie de Banach-Necas-Babuska s'applique, on a une estimation de stabilité (voir la remarque 2.6), puisqu'on peut calculer une constante $C$ apparaissant de la définition 2.5.

**Corollaire 2.13 (Stabilité)** Lorsque la formulation variationnelle (2.10) est bien posée, on a l'estimation de stabilité, pour toute constante $\alpha' > 0$ réalisant la condition inf-sup (2.13) :

$$ \forall \ell \in W', \quad \|u\|_V \le \frac{1}{\alpha'} \|\ell\|_{W'}. $$

En outre, la constante inf-sup est égale à $1/|||\mathbf{A}^{-1}|||$.

**Remarque 2.14** En général, on ne dispose que d'une estimation de la meilleure constante $C$ dans la définition 2.5. En effet on ne connaît pas la valeur exacte de la constante inf-sup (pour cela il faut connaître $|||\mathbf{A}^{-1}|||$), mais plutôt des nombres $\alpha'$ réalisant (2.13).

**Démonstration** : Tout d'abord, à l'aide de (2.13), on obtient la borne :

$$ \|u\|_V \le \frac{1}{\alpha'} \sup_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{|a(u, w)|}{\|w\|_W} \stackrel{(2.10)}{=} \frac{1}{\alpha'} \sup_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{|\langle \ell, w \rangle_W}{\|w\|_W} = \frac{1}{\alpha'} \|\ell\|_{W'}. $$

Ensuite, puisque la formulation variationnelle (2.10) est bien posée, on sait que $\mathbf{A}$ est bijective. Comme pour tout $v \in V \setminus \{0\}$, on a :

$$ \|\mathbf{A}v\|_W = \frac{(\mathbf{A}v, \mathbf{A}v)_W}{\|\mathbf{A}v\|_W} = \frac{a(v, \mathbf{A}v)}{\|\mathbf{A}v\|_W} \le \sup_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{|a(v, w)|}{\|w\|_W} = \sup_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{|(\mathbf{A}v, w)_W|}{\|w\|_W} = \|\mathbf{A}v\|_W, $$

on déduit que

$$ \begin{align*} \inf_{v \in V \setminus \{0\}} \sup_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{|a(v, w)|}{\|v\|_V \|w\|_W} &= \inf_{v \in V \setminus \{0\}} \frac{\|\mathbf{A}v\|_W}{\|v\|_V} \\ \mathbf{A} \text{ bij.} \qquad &= \inf_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{\|w\|_W}{\|\mathbf{A}^{-1}w\|_V} \\ &= \left( \sup_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{\|\mathbf{A}^{-1}w\|_V}{\|w\|_W} \right)^{-1} = \frac{1}{\|\mathbf{A}^{-1}w\|_V}, \end{align*} $$

ce qui est le résultat demandé.

Si la forme $a$ est de plus hermitienne, on a le
**Corollaire 2.15 (Banach-Necas-Babuska)** Soit V un espace de Hilbert, a une forme sesquiliéaire, continue et hermitienne sur V × V. La formulation variationnelle (2.10) avec W = V est bien posée si, et seulement si, la condition inf-sup (2.13) est satisfaite.

**Démonstration** : D’après le théorème BNB, lorsque $a$ est hermitienne, il suffit de prouver que la condition inf-sup (2.13) implique la condition de solvabilité (2.14). Soit $w \in V$ tel que $a(v, w) = 0$ pour tout $v \in V$ : on en déduit que $a(w, v) = 0$ pour tout $v \in V$. D’après (2.13), on a $w = 0$ : la condition de solvabilité (2.14) est satisfaite, et le théorème précédent nous permet de conclure. ■

### 2.3.3 Diffusion à deux inconnues

A quoi sert le théorème BNB pour le modèle de la diffusion ? En préambule, on note que, si on considère des espaces de Hilbert sur $\mathbb{R}$ avec des formes bilinéaires et continues, voire symétriques, et la valeur absolue $|\cdot|$, on a exactement les mêmes définitions et résultats qu’aux §2.3.1-§2.3.2...

On choisit d’utiliser la variable auxiliaire, c’est-à-dire le courant neutronique $p$. Grâce aux les hypothèses sur les coefficients $\mathcal{D}$ et $\sigma$ et sur la donnée $S_f$, on note que le modèle (2.1) est équivalent à :

$$ egin{cases} 
\text{Trouver } u \in H_0^1(\Omega), \mathbf{p} \in \mathbf{H}(\text{div}; \Omega) \text{ tels que} \\ 
\text{div } \mathbf{p} + \sigma u = S_f \text{ dans } \Omega \\ 
\mathcal{D}^{-1}\mathbf{p} + \nabla u = 0 \text{ dans } \Omega. 
\end{cases} 
\quad (2.15) $$

Dans la suite, nous allons mettre ce modèle sous forme variationnelle, avec les deux inconnues $u$ et $p$. D’après l’hypothèse (2.2) sur $\mathcal{D}$, on en déduit facilement que

$$ \left| \begin{array}{l} \exists D_{min}^{-1} > 0, \forall \mathbf{z} \in \mathbb{R}^d, \text{ presque pour tout } \mathbf{x} \in \Omega, D_{min}^{-1}|\mathbf{z}|^2 \le \mathcal{D}^{-1}(\mathbf{x})\mathbf{z} \cdot \mathbf{z}; \\ \exists D_{max}^{-1} > 0, \forall \mathbf{z} \in \mathbb{R}^d, \text{ presque pour tout } \mathbf{x} \in \Omega, |\mathcal{D}^{-1}(\mathbf{x})\mathbf{z}| \le D_{max}^{-1}|\mathbf{z}|. \end{array} \right. \quad (2.16) $$

**Démonstration** : Soit $\mathbf{x} \in \Omega$ tel que $\mathcal{D}(\mathbf{x})$ existe. D’après (2.2a), $\mathcal{D}(\mathbf{x})$ est inversible. Soit $\mathbf{z} \in \mathbb{R}^d$ non-nul, on pose $\mathbf{y} = \mathcal{D}^{-1}(\mathbf{x})\mathbf{z}$.

Tout d’abord, d’après (2.2a) pour $\mathbf{y}$, on a $D_{min}|\mathbf{y}|^2 \le \mathcal{D}(\mathbf{x})\mathbf{y} \cdot \mathbf{y} = \mathbf{z} \cdot \mathbf{y} \le |\mathbf{z}| |\mathbf{y}|$. Après division par $|\mathbf{y}| \ne 0$, on en déduit que $|\mathcal{D}^{-1}(\mathbf{x})\mathbf{z}| = |\mathbf{y}| \le (D_{min})^{-1}|\mathbf{z}|$, c’est-à-dire (2.16b) avec $D_{max}^{-1} = (D_{min})^{-1}$. Puis, d’après (2.2b) pour $\mathbf{y}$, on a $|\mathcal{D}(\mathbf{x})\mathbf{y}| \le D_{max}|\mathbf{y}|$, c’est-à-dire que $|\mathbf{z}| \le D_{max}|\mathcal{D}^{-1}(\mathbf{x})\mathbf{z}|$. D’où, si on réutilise (2.2a) pour $\mathbf{y}$, et si on se souvient que le produit scalaire est symétrique :

$$ \frac{D_{min}}{(D_{max})^2} |\mathbf{z}|^2 \le D_{min} |\mathcal{D}^{-1}(\mathbf{x})\mathbf{z}|^2 = D_{min} |\mathbf{y}|^2 \le \mathcal{D}(\mathbf{x})\mathbf{y} \cdot \mathbf{y} = \mathbf{y} \cdot \mathcal{D}(\mathbf{x})\mathbf{y} = \mathcal{D}^{-1}(\mathbf{x})\mathbf{z} \cdot \mathbf{z}, $$

et on a obtenu (2.16a) avec $D_{min}^{-1} = D_{min}/(D_{max})^2$. ■

Pour simplifier l’analyse, nous supposons en outre que le coefficient $\mathcal{D}$ est un champ de tenseurs symétriques. Pour construire une formulation variationnelle équivalente au modèle
(2.15), on commence par réaliser donc le "produit scalaire dans $L^2(\Omega)$" de la seconde EDP avec $\boldsymbol{r} \in \mathbf{H}(\mathrm{div}; \Omega)$, pour trouver 4 :

$$0 = - \int_{\Omega} (\mathbb{D}^{-1} \boldsymbol{p} + \nabla u) \cdot \boldsymbol{r} \, d\Omega \stackrel{(1.20)}{=} \int_{\Omega} \left( - \mathbb{D}^{-1} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} + u(\mathrm{div} \, \boldsymbol{r}) \right) d\Omega.$$

On note qu'après intégration par parties, l'inconnue $u$ n'apparaît plus que comme appartenant à $L^2(\Omega)$, et de même dans la première EDP. En outre, la condition aux limites sur $u$ est expliquement utilisée dans l'intégration par parties... Pour poursuivre, on réalise donc le "produit scalaire dans $L^2(\Omega)$" de la première EDP avec $w \in L^2(\Omega)$, pour former

$$\int_{\Omega} S_f w \, d\Omega = \int_{\Omega} (\mathrm{div} \, \boldsymbol{p} + \sigma u) w \, d\Omega = \int_{\Omega} \left( w(\mathrm{div} \, \boldsymbol{p}) + \sigma uw \right) d\Omega.$$

On en conclut que si $(u, \boldsymbol{p})$ est solution du modèle (2.15), alors $(u, \boldsymbol{p})$ est solution de la formulation variationnelle

$$\left\{
\begin{array}{l}
\text{Trouver } (u, \boldsymbol{p}) \in L^2(\Omega) \times \mathbf{H}(\mathrm{div}; \Omega) \text{ tel que} \\
\forall (w, \boldsymbol{r}) \in L^2(\Omega) \times \mathbf{H}(\mathrm{div}; \Omega), \\
\qquad \int_{\Omega} \left( - \mathbb{D}^{-1} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} + u(\mathrm{div} \, \boldsymbol{r}) + w(\mathrm{div} \, \boldsymbol{p}) + \sigma uw \right) d\Omega = \int_{\Omega} S_f w \, d\Omega.
\end{array}
\right.
\qquad (2.17)$$

Réciproquement, en raisonnant au sens des distributions et en utilisant la surjectivité de l'application trace normale $\gamma_n$ de $\mathbf{H}(\mathrm{div}; \Omega)$ dans $(H^{1/2}(\partial\Omega))'$ (voir le théorème 1.31), on montre que si $(u, \boldsymbol{p})$ est solution de la formulation variationnelle (2.17), alors $(u, \boldsymbol{p})$ est solution du modèle (2.15) (on retrouve au passage que $u \in H^1(\Omega)$, puis que $u|_{\partial\Omega} = 0$). On a donc bien construit une seconde formulation variationnelle équivalente à notre modèle.

Par rapport à la formulation variationnelle "abstraite" (2.5), on a respectivement :

$$— V = L^2(\Omega) \times \mathbf{H}(\mathrm{div}; \Omega), \text{ muni de la norme } \|(v, \boldsymbol{q})\|_V = (\|v\|^2 + \|\boldsymbol{q}\|_{\mathbf{H}(\mathrm{div}; \Omega)}^2)^{1/2} ;$$

$$— a((v, \boldsymbol{q}), (w, \boldsymbol{r})) = -(\mathbb{D}^{-1}\boldsymbol{q}|\boldsymbol{r}) + (v|\mathrm{div}\,\boldsymbol{r}) + (w|\mathrm{div}\,\boldsymbol{q}) + (\sigma v|w) ;$$

$$— \langle \ell, (w, \boldsymbol{r}) \rangle_V = (S_f|w).$$

On vérifie facilement que la forme bilinéaire $a$ est continue sur $(L^2(\Omega) \times \mathbf{H}(\mathrm{div}; \Omega)) \times (L^2(\Omega) \times \mathbf{H}(\mathrm{div}; \Omega))$, et que la forme linéaire $\ell$ est continue sur $L^2(\Omega) \times \mathbf{H}(\mathrm{div}; \Omega)$. Nous prouvons son caractère bien posé ci-dessous à l'aide du théorème BNB. En effet, le théorème de Lax-Milgram ne s'applique pas, puisque la forme $a$ n'est pas coercive ! Si on examine $|a((0, \boldsymbol{q}), (0, \boldsymbol{q}))| = |(\mathbb{D}^{-1}\boldsymbol{q}|\boldsymbol{q})|$, on note que $D_{\mathrm{min}}^{-1}\|\boldsymbol{q}\|^2 \le |a((0, \boldsymbol{q}), (0, \boldsymbol{q}))| \le D_{\mathrm{max}}^{-1}\|\boldsymbol{q}\|^2$. Il suit que $|a((0, \boldsymbol{q}), (0, \boldsymbol{q}))| = |(\mathbb{D}^{-1}\boldsymbol{q}|\boldsymbol{q})|$ ne peut pas majorer $\|\boldsymbol{q}\|_{\mathbf{H}(\mathrm{div}; \Omega)}^2 = \|\boldsymbol{q}\|^2 + \|\mathrm{div}\,\boldsymbol{q}\|^2$ uniformément (c'est-à-dire avec une constante de coercivité indépendante de $\boldsymbol{q}$), car on peut construire une suite $(\boldsymbol{q}_k)_{k \ge 1}$ d'éléments de $\mathbf{H}(\mathrm{div}; \Omega)$ telle que $\|\boldsymbol{q}_k\|$ reste bornée, mais pas $\|\mathrm{div}\,\boldsymbol{q}_k\|$. Par exemple, on peut choisir $\boldsymbol{q}_k = \sin(kx_1)\boldsymbol{e}_1$, pour $k \ge 1$: pour cette suite, il n'existe pas de constante $c > 0$ telle que, pour tout $k \ge 1$, on ait $|a((0, \boldsymbol{q}_k), (0, \boldsymbol{q}_k))| \ge c \|\mathrm{div}\,\boldsymbol{q}_k\|^2$.

Par contre, la forme $a$ étant symétrique, pour obtenir le caractère bien posé, on peut passer par

<footnote n="4">4. Au lieu de la formule d'intégration par parties (1.20), on peut encore une fois utiliser la remarque 1.32.</footnote>
le corollaire BNB, ce qui simplifie quelque peu l'analyse. Il suffit d'établir la condition inf-sup (2.13). Nous allons la construire explicitement : pour cela, pour $(v, \mathbf{q}) \in L^2(\Omega) \times \mathbf{H}(\text{div}; \Omega)$ non-nul, nous allons chercher $(w^*, \mathbf{r}^*) \in L^2(\Omega) \times \mathbf{H}(\text{div}; \Omega)$ non-nul, dépendant linéairement de $(v, \mathbf{q})$, et tel que

$$|a((v, \mathbf{q}), (w^*, \mathbf{r}^*))| \geq \alpha' \|(v, \mathbf{q})\|_V \|(w^*, \mathbf{r}^*)\|_V,$$

avec une constante $\alpha' > 0$ indépendante de $(v, \mathbf{q})$. L'idée de cette approche est que l'on pourra, lors de la discrétisation, reproduire ce calcul afin d'obtenir une estimation "similaire". Voir les notes de cours 3. On raisonne par étapes.

1. **Cas particulier $q = 0$.** On a

$$a((v, 0), (w, \mathbf{r})) = (v|\text{div } \mathbf{r}) + (\sigma v|w) \text{ et } \|(v, 0)\|_V = \|v\|.$$

Quel $(w^*, \mathbf{r}^*)$ choisir ? Avec $w^* = v$ et $\mathbf{r}^* = 0$, on a $\|(w^*, \mathbf{r}^*)\|_V = \|v\|$, et ce choix donne

$$a((v, 0), (w^*, \mathbf{r}^*)) = (\sigma v|v) \geq \sigma_{\min} \|v\|^2 = \sigma_{\min} \|(v, 0)\|_V \|(w^*, \mathbf{r}^*)\|_V.$$

2. **Cas particulier $\text{div } q = 0$.** On a

$$a((v, \mathbf{q}), (w, \mathbf{r})) = (-\mathbb{D}^{-1}\mathbf{q}|\mathbf{r}) + (v|\text{div } \mathbf{r}) + (\sigma v|w) \text{ et } \|(v, \mathbf{q})\|_V = (\|v\|^2 + \|\mathbf{q}\|^2)^{1/2}.$$

Quel $(w^*, \mathbf{r}^*)$ choisir ?

— $\mathbf{r}^* = -\mathbf{q}$ donne : $a((v, \mathbf{q}), (w, \mathbf{r}^*)) = (\mathbb{D}^{-1}\mathbf{q}|\mathbf{q}) + (\sigma v|w)$, puisque $\text{div } \mathbf{q} = 0$ ;

— $w^* = v$ donne : $a((v, \mathbf{q}), (w^*, \mathbf{r}^*)) = (\mathbb{D}^{-1}\mathbf{q}|\mathbf{q}) + (\sigma v|v)$.

Avec ce choix, $\|(w^*, \mathbf{r}^*)\|_V = (\|v\|^2 + \|\mathbf{q}\|^2)^{1/2}$, puisque $\text{div } \mathbf{q} = 0$. On a donc

$$\begin{align*} a((v, \mathbf{q}), (w^*, \mathbf{r}^*)) &\geq D_{\min}^{-1} \|\mathbf{q}\|^2 + \sigma_{\min} \|v\|^2 \\ &\geq \min(D_{\min}^{-1}, \sigma_{\min}) (\|\mathbf{q}\|^2 + \|v\|^2) \\ &= \min(D_{\min}^{-1}, \sigma_{\min}) \|(v, \mathbf{q})\|_V \|(w^*, \mathbf{r}^*)\|_V. \end{align*}$$

3. **Cas général $\text{div } q \neq 0$.** Quel $(w^*, \mathbf{r}^*)$ choisir ?

— On commence comme pour "la divergence nulle" avec $\mathbf{r}^* = -\mathbf{q}$, et on a

$$a((v, \mathbf{q}), (w, \mathbf{r}^*)) = (\mathbb{D}^{-1}\mathbf{q}|\mathbf{q}) + (w - v|\text{div } \mathbf{q}) + (\sigma v|w).$$

— Ensuite, on considère $w^* = \alpha(v + \sigma^{-1}\text{div } \mathbf{q})$, pour $\alpha > 0$ à déterminer. Le choix $\alpha v$ reprend "la divergence nulle". En plus, on a introduit $\sigma^{-1}\text{div } \mathbf{q}$ pour le "contrôle" de $\text{div } \mathbf{q}$ ; avec le coefficient $\sigma^{-1}$ devant $\text{div } \mathbf{q}$ par homogénéité, cf. la première EDP dans le modèle (2.15). On trouve

$$a((v, \mathbf{q}), (w^*, \mathbf{r}^*)) = (\mathbb{D}^{-1}\mathbf{q}|\mathbf{q}) + (2\alpha - 1)(v|\text{div } \mathbf{q}) + \alpha(\sigma^{-1}\text{div } \mathbf{q}|\text{div } \mathbf{q}) + \alpha(\sigma v|v).$$

Si on fixe $\alpha = \frac{1}{2}$, le terme croisé en $(v|\text{div } \mathbf{q})$ disparaît ! Il reste

$$a((v, \mathbf{q}), (w^*, \mathbf{r}^*)) = (\mathbb{D}^{-1}\mathbf{q}|\mathbf{q}) + \frac{1}{2}(\sigma^{-1}\text{div } \mathbf{q}|\text{div } \mathbf{q}) + \frac{1}{2}(\sigma v|v),$$

pour $(w^*, \mathbf{r}^*) = (\frac{1}{2}(v + \sigma^{-1}\text{div } \mathbf{q}), -\mathbf{q})$. On a bien dépendance linéaire.
Avec ce choix, on a maintenant

$$
\begin{align*}
a((v, \mathbf{q}), (w^*, \mathbf{r}^*)) &\ge D_{\min}^{-1} \|\mathbf{q}\|^2 + \frac{1}{2}(\sigma_{\max})^{-1} \|\mathrm{div} \, \mathbf{q}\|^2 + \frac{1}{2}\sigma_{\min} \|v\|^2 \\
&\ge \min \left(D_{\min}^{-1}, \frac{1}{2}(\sigma_{\max})^{-1}, \frac{1}{2}\sigma_{\min}\right) \left(\|\mathbf{q}\|^2 + \|\mathrm{div} \, \mathbf{q}\|^2 + \|v\|^2\right) \\
&= \min \left(D_{\min}^{-1}, \frac{1}{2}(\sigma_{\max})^{-1}, \frac{1}{2}\sigma_{\min}\right) \|(v, \mathbf{q})\|_V^2. \tag{2.18}
\end{align*}
$$

Pour conclure, il suffit de majorer $^5 \|(w^*, \mathbf{r}^*)\|_V$ par $\|(v, \mathbf{q})\|_V$. On a

$$
\begin{align*}
\|(w^*, \mathbf{r}^*)\|_V^2 &= \frac{1}{4} \|(v + \sigma^{-1} \mathrm{div} \, \mathbf{q})\|^2 + \|\mathbf{q}\|^2 + \|\mathrm{div} \, \mathbf{q}\|^2 \\
&\le \|v\|^2 + \frac{1}{3} \|\sigma^{-1} \mathrm{div} \, \mathbf{q}\|^2 + \|\mathbf{q}\|^2 + \|\mathrm{div} \, \mathbf{q}\|^2 \\
&\le \max \left(1, \frac{1}{3}(\sigma_{\min})^{-2} + 1\right) \left(\|\mathbf{q}\|^2 + \|\mathrm{div} \, \mathbf{q}\|^2 + \|v\|^2\right) \\
&= \left(\frac{1}{3}(\sigma_{\min})^{-2} + 1\right) \left(\|\mathbf{q}\|^2 + \|\mathrm{div} \, \mathbf{q}\|^2 + \|v\|^2\right) \\
\implies \|(w^*, \mathbf{r}^*)\|_V &\le \left(\frac{1}{3}(\sigma_{\min})^{-2} + 1\right)^{1/2} \|(v, \mathbf{q})\|_V. \tag{2.19}
\end{align*}
$$

Finalement, on a établi que, pour tout $(v, \mathbf{q})$ non-nul, si on choisit $(w^*, \mathbf{r}^*) = (\frac{1}{2}(v+\sigma^{-1}\mathrm{div}\,\mathbf{q}), -\mathbf{q})$,
on a

$$
a((v, \mathbf{q}), (w^*, \mathbf{r}^*)) \geq \frac{\min \left( D_{\min}^{-1} \left( \frac{1}{2}(\sigma_{\max})^{-1} + \frac{1}{2}\sigma_{\min} \right) \right)}{\left( \frac{1}{3}(\sigma_{\min})^{-2} + 1 \right)^{1/2}} \|(v, \mathbf{q})\|_V \|(w^*, \mathbf{r}^*)\|_V.
$$

Et ainsi la condition inf-sup (2.13) est valable avec

$$
\alpha' = \frac{\min \left( D_{\min}^{-1} \left( \frac{1}{2}(\sigma_{\max})^{-1} + \frac{1}{2}\sigma_{\min} \right) \right)}{\left( \frac{1}{3}(\sigma_{\min})^{-2} + 1 \right)^{1/2}}. \quad (2.20)
$$

Qui plus est, pour tout $(v, \mathbf{q})$ on dispose d'un représentant "explicite" $(w^*, \mathbf{r}^*)$ réalisant (2.13).
Comme annoncé plus haut, on peut appliquer le corollaire BNB et en conclure que le modèle
de la diffusion est bien posé, en étant cette fois passé par la formulation variationnelle (2.17) à
deux inconnues.

2.3.4 Introduction à la T-coercivité

Reprenons l'étude de (2.17) avec les résultats obtenus précédemment.

Explicitons la note de bas de page 5 page 30, et introduisons $\mathcal{T} \in \mathcal{L}(V)$ définie par :

$$
\mathcal{T}((v, \mathbf{q})) = (w^*, \mathbf{r}^*) = \left(\frac{1}{2}(v + \sigma^{-1}\mathrm{div}\,\mathbf{q}), -\mathbf{q}\right);
$$

<footnote n="5">5. Si on n'est pas intéressé par une majoration explicite, il suffit de noter que $(v, \mathbf{q}) \mapsto (w^*, \mathbf{r}^*)$ est linéaire, et de plus appartient à $\mathcal{L}(V)$, puisque : $\|w^*\| \le \frac{1}{2}\|v\| + \frac{1}{2}\sigma_{\min}^{-1}\|\mathrm{div}\,\mathbf{q}\|$, et $\|\mathbf{r}^*\|_{H(\mathrm{div};\Omega)} = \|\mathbf{q}\|_{H(\mathrm{div};\Omega)}$.</footnote>
on a $|||T||| \le (\frac{1}{3}(\sigma_{min})^{-2} + 1)^{1/2}$ d'après (2.19).

La forme $a'((v, \boldsymbol{q}), (w, \boldsymbol{r})) = a((v, \boldsymbol{q}), T((w, \boldsymbol{r})))$, définie sur $V \times V$, est bilinéaire et continue.
En outre, si on se souvient de (2.18), on a prouvé que :

$$ \forall (v, \boldsymbol{q}) \in V, \quad a'((v, \boldsymbol{q}), (v, \boldsymbol{q})) \ge \min \left( D_{min}^{-1}, \frac{1}{2}(\sigma_{max})^{-1}, \frac{1}{2}\sigma_{min} \right) \|(v, \boldsymbol{q})\|_V^2, $$

ce qui signifie que la forme $a'$ est coercive !

De même, la forme $\langle \ell', (w, \boldsymbol{r}) \rangle_V = \langle \ell, T((w, \boldsymbol{r})) \rangle_V$ est telle que $\ell' \in V'$.

Par ailleurs $T$ est bijective, en effet :

- $T((v, \boldsymbol{q})) = (0, 0)$ signifie que $v + \sigma^{-1}\text{div } \boldsymbol{q} = 0$ et $\boldsymbol{q} = 0$, c'est-à-dire que $(v, \boldsymbol{q}) = (0, 0)$, d'où l'injectivité ;

- pour $(w, \boldsymbol{r}) \in V$, si on pose $\boldsymbol{q} = -\boldsymbol{r}$ et $v = 2w + \sigma^{-1}\text{div } \boldsymbol{r}$, alors $(v, \boldsymbol{q}) \in V$ est tel que $T((v, \boldsymbol{q})) = (w, \boldsymbol{r})$, d'où la surjectivité.

Si on récapitule, puisque $T$ est bijective, on a établi que $(u, \boldsymbol{p})$ est solution de (2.17) si, et seulement si, $(u, \boldsymbol{p})$ est solution de

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } (u, \boldsymbol{p}) \in V \text{ tel que} \\ \forall (w, \boldsymbol{r}) \in V, \quad a'((u, \boldsymbol{p}), (w, \boldsymbol{r})) = \langle \ell', (w, \boldsymbol{r}) \rangle_V. \end{array} \right. \qquad (2.21) $$

D'après le théorème de Lax-Milgram, la formulation variationnelle (2.21) est bien posée.

Pour résumer, on a utilisé la notion de $T$-coercivité, qui permet d'établir le caractère bien posé de la formulation variationnelle (2.17). Voici une définition abstraite (cf. [6]).

**Définition 2.16** Soient $V$ un espace de Hilbert défini sur $\mathbb{R}$, et $a(\cdot, \cdot)$ une forme bilinéaire sur $V \times V$. $a(\cdot, \cdot)$ est $T$-coercive si, et seulement si,

$$ \exists T \in \mathcal{L}(V), \text{ bijective, } \exists \underline{\alpha} > 0, \forall v \in V, a(v, Tv) \ge \underline{\alpha} \|v\|_V^2. \qquad (2.22) $$

Ici, $\underline{\alpha} = \min (D_{min}^{-1}, \frac{1}{2}(\sigma_{max})^{-1}, \frac{1}{2}\sigma_{min})$, et on a pour finir l'estimation de stabilité

$$ \underline{\alpha} \|(u, \boldsymbol{p})\|_V^2 \le a((u, \boldsymbol{p}), T(u, \boldsymbol{p})) = \langle \ell, T((u, \boldsymbol{p})) \rangle_V \le \|\ell\|_{V'} \|T(u, \boldsymbol{p})\|_V \le \|\ell\|_{V'} \|T\| \|(u, \boldsymbol{p})\|_V, $$

c'est-à-dire que

$$ \|(u, \boldsymbol{p})\|_V \le \frac{\|\|T\|\|}{\underline{\alpha}} \|\ell\|_{V'} = \frac{1}{\alpha'} \|\ell\|_{V'}, $$

avec $\alpha'$ défini en (2.20).

**Exercice** : On revient sur les autres conditions aux limites pour le modèle de la diffusion, voir la note de bas de page 1 page 19.

1. Construire la formulation variationnelle à deux inconnues pour la diffusion avec condition aux limites de type réflexion $\mathbb{D}\nabla u \cdot \boldsymbol{n}_{|\partial\Omega} = 0$. Etablir que le modèle est bien posé.

2. Construire la formulation variationnelle à une inconnue pour la diffusion avec condition aux limites de type albedo $(\mathbb{D}\nabla u \cdot \boldsymbol{n} + \alpha u)|_{\partial\Omega} = 0$, avec $\alpha > 0$. Etablir que le modèle est bien posé.
# Notes de cours 3

## Approximation des formulations variationnelles

On s'intéresse à l'approximation des formulations variationnelles, dont on rappelle la forme générale (espaces de solutions et de fonctions-test non nécessairement égaux). Soient

— $V$ et $W$ deux espaces de Hilbert définis sur $\mathbb{C}$, de dimension infinie ;

— $a(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire et continue sur $V \times W$.

Pour $\ell \in W'$ donné, on étudie la formulation variationnelle,

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u \in V \text{ tel que} \\ \forall w \in W, \quad a(u, w) = \langle \ell, w \rangle_W. \end{array} \right. \qquad (3.1) $$

On veut approcher la solution de la formulation variationnelle (3.1), que nous supposons bien posée au sens d'Hadamard (voir la définition 2.5). On introduit $(V_\delta)_\delta$ et $(W_\delta)_\delta$ deux suites d'espaces vectoriels de dimensions finies, paramétrées par $\delta$, avec $V_\delta \subset V$ et $W_\delta \subset W$ pour tout $\delta$ (*approximation conforme*). Par convention, le paramètre $\delta$ prend des valeurs strictement positives, et on a $\lim_{\delta \to 0} (\dim(V_\delta)) = +\infty$. De même pour $(W_\delta)_\delta$.

Comme précédemment, on considérera des espaces de Hilbert $V$ et $W$ définis sur $\mathbb{R}$, avec $a(\cdot, \cdot)$ une forme bilinéaire et continue sur $V \times W$, pour l'approximation du modèle de la diffusion.

### 3.1 Formulation variationnelle discrète

On va résoudre des problèmes approchés, ou discrets, posés dans les espaces $V_\delta$ (espace de solutions discrètes) et $W_\delta$ (espace de fonctions-test discrètes), pour un $\delta > 0$. L'approximation de (3.1) s'écrit simplement

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u_\delta \in V_\delta \text{ tel que} \\ \forall w_\delta \in W_\delta, \quad a(u_\delta, w_\delta) = \langle \ell, w_\delta \rangle_W. \end{array} \right. \qquad (3.2) $$

La formulation variationnelle discrète (3.2) peut être reformulée *de façon équivalente* sous la forme d'un système linéaire. Ici et dans la suite, on omettra la dépendance par rapport à $\delta$ dès
que c'est possible...

**Lemme 3.1** Soit $(\varphi_j)_{1\le j\le N}$ une base de l'espace vectoriel $V_\delta$, respectivement $(\psi_i)_{1\le i\le M}$ une base de l'espace vectoriel $W_\delta$. Alors formulation variationnelle discrète (3.2) est équivalente au système linéaire posé dans $\mathbb{C}^N$ :

$$ \text{Trouver } \vec{X} \in \mathbb{C}^N \text{ tel que } A\vec{X} = \vec{L}, \qquad (3.3) $$

où

$$ \forall 1 \le j \le N, \forall 1 \le i \le M, \quad A_{ij} = a(\varphi_j, \psi_i) \text{ et } L_i = \langle \ell, \psi_i \rangle, \qquad (3.4) $$

et on a la relation suivante entre les solutions

$$ u_{\delta} = \sum_{j=1,N} X_j \varphi_j. \qquad (3.5) $$

**Démonstration :** On établit le résultat intermédiaire suivant (à connaître !)

$$ \forall w_{\delta} = \sum_{i=1,M} Y_i \psi_i \in W_{\delta}, \quad a(u_{\delta}, w_{\delta}) = (A\vec{X}|\vec{Y})_{\mathbb{C}^M}. \qquad (3.6) $$

En effet, on a

$$ \begin{aligned} (A\vec{X}|\vec{Y})_{\mathbb{C}^M} &= \sum_{i=1,M} \left( \sum_{j=1,N} A_{ij} X_j \right) \overline{Y_i} = \sum_{i=1,M} \left( \sum_{j=1,N} a(\varphi_j, \psi_i) X_j \right) \overline{Y_i} \\ &\stackrel{\text{linéaire}}{=} \sum_{i=1,M} a\left(\sum_{j=1,N} X_j \varphi_j, \psi_i\right) \overline{Y_i} = \sum_{i=1,M} a(u_{\delta}, \psi_i) \overline{Y_i} \\ &\stackrel{\text{antilinéaire}}{=} a\left(u_{\delta}, \sum_{i=1,M} Y_i \psi_i\right) = a(u_{\delta}, w_{\delta}). \end{aligned} $$

Pour tout $\vec{Y} \in \mathbb{C}^M$, on a donc, en choisissant $w_\delta = \sum_{i=1,M} Y_i \psi_i$ :

$$ (A\vec{X}|\vec{Y})_{\mathbb{C}^M} \stackrel{(3.6)}{=} a(u_{\delta}, w_{\delta}) \stackrel{(3.2)}{=} \langle \ell, w_{\delta} \rangle_W \stackrel{\ell \text{ antilinéaire}}{=} \sum_{i=1,M} \langle \ell, \psi_i \rangle_W \overline{Y_i} \stackrel{\text{def.}}{=} \vec{L} (\vec{L}|\vec{Y})_{\mathbb{C}^M}. $$

Ainsi, $u_\delta$ solution de (3.2) implique que $\vec{X}$ solution de (3.3). La réciproque est évidente. ■

Une condition nécessaire pour que la formulation variationnelle discrète admette une solution et une seule est donc que $\dim(V_\delta) = \dim(W_\delta)$.

## 3.2 Cas d'une forme coercive

Dans ce cas, on doit résoudre une formulation avec $V = W$. On note $\alpha > 0$ la constante de coercivité apparaissant dans (2.6), ie.

$$ \forall v \in V, \quad |a(v, v)| \ge \alpha \|v\|_V^2. $$

On choisit $V_\delta = W_\delta$ pour tout $\delta$ pour assurer en particulier que $\dim(V_\delta) = \dim(W_\delta)$. On note $(\varphi_i)_{1\le i\le N}$ une base de l'espace vectoriel $V_\delta$.
**Proposition 3.2** Si la forme $a(\cdot, \cdot)$ est coercive, alors pour tout $\delta$ la matrice $\mathbb{A}$ est inversible.

**Démonstration** : On note que la matrice $\mathbb{A}$ est carrée dans le cas présent. Ainsi $\mathbb{A}$ est inversible si, et seulement si, $\ker(\mathbb{A}) = \{0\}$. Soit donc $\vec{Y} \in \mathbb{C}^M$ tel que $\mathbb{A}\vec{Y} = 0$. On a $(\mathbb{A}\vec{Y}|\vec{Y})_{\mathbb{C}^M} = 0$, et on déduit de (3.6) que $a(w_\delta, w_\delta) = 0$, avec $w_\delta = \sum_{i=1,N} Y_i\varphi_i$. Comme la forme $a$ est coercive, on a nécessairement $w_\delta = 0$, et également $\vec{Y} = 0$. ■

**Remarque 3.3** Lorsque $V$ est un espace de Hilbert défini sur $\mathbb{R}$, on peut montrer que la matrice est soit définie-positive, soit définie-négative, pour tout $\delta$ (idem §2.2.2).

Ainsi, $u_\delta$ existe et est unique pour tout $\delta$. On peut alors étudier l'erreur entre la solution exacte et la solution approchée, $u - u_\delta$. Et plus précisément, si on a convergence, c'est-à-dire si $\lim_{\delta \to 0} \|u - u_\delta\|_V = 0$.

**Théorème 3.4** (Lemme de Céa) Si la forme $a(\cdot, \cdot)$ est coercive avec une constante de coercivité $\alpha > 0$, cf. (2.6), on a l'estimation d'erreur

$$ \forall \ell \in V', \forall \delta, \quad \|u - u_\delta\|_V \le \frac{\|a\|}{\alpha} \inf_{v_\delta \in V_\delta} \|u - v_\delta\|_V. \quad (3.7) $$

Si de plus la forme $a(\cdot, \cdot)$ est hermitienne, on a l'estimation d'erreur

$$ \forall \ell \in V', \forall \delta, \quad \|u - u_\delta\|_V \le \left( \frac{\|a\|}{\alpha} \right)^{1/2} \inf_{v_\delta \in V_\delta} \|u - v_\delta\|_V. \quad (3.8) $$

**Démonstration** : On suppose que $u \neq u_\delta$ (dans le cas contraire (3.7)-(3.8) sont vérifiées !).

D'après la coercivité de $a$, on a en particulier $\alpha\|u - u_\delta\|_V^2 \le |a(u - u_\delta, u - u_\delta)|$.

Soit maintenant $w_\delta \in V_\delta$ : puisque $u$ résout (3.1) et que $u_\delta$ résout (3.2), on a

$$ a(u, w_\delta - u_\delta) = \langle \ell, w_\delta - u_\delta \rangle_W = a(u_\delta, w_\delta - u_\delta). $$

Ainsi, $a(u - u_\delta, u_\delta - w_\delta) = 0$. On en déduit que

$$ \alpha \|u - u_\delta\|_V^2 \le |a(u - u_\delta, u - u_\delta) + a(u - u_\delta, u_\delta - w_\delta)| = |a(u - u_\delta, u - w_\delta)|. $$

Et, d'après la continuité de $a$, on a $|a(u - u_\delta, u - w_\delta)| \le \|a\| \|u - u_\delta\|_V \|u - w_\delta\|_V$. Si on rassemble les estimations, on trouve, après division par $\|u - u_\delta\|_V \neq 0$,

$$ \alpha \|u - u_\delta\|_V \le \|a\| \|u - w_\delta\|_V. $$

Le résultat étant vrai pour tout $w_\delta \in V_\delta$, on en conclut que (3.7) est vraie.

Si de plus $a(\cdot, \cdot)$ est hermitienne, on raisonne différemment. Tout d'abord, on écrit pour $w_\delta \in V_\delta$ :

$$ \begin{align*} a(u - w_\delta, u - w_\delta) &= a((u - u_\delta) + (u_\delta - w_\delta), (u - u_\delta) + (u_\delta - w_\delta)) \\ &= a(u - u_\delta, u - u_\delta) + a(u - u_\delta, u_\delta - w_\delta) \\ &\phantom{=} + a(u_\delta - w_\delta, u - u_\delta) + a(u_\delta - w_\delta, u_\delta - w_\delta) \\ a \text{ hermitienne} &= a(u - u_\delta, u - u_\delta) + 2\Re(a(u - u_\delta, u_\delta - w_\delta)) + a(u_\delta - w_\delta, u_\delta - w_\delta) \\ u \text{ sol. (3.1), } u_\delta \text{ sol. (3.2)} &= a(u - u_\delta, u - u_\delta) + a(u_\delta - w_\delta, u_\delta - w_\delta). \end{align*} $$
Ensuite, d'après le lemme 2.3, on a l'alternative (2.8) :

$$ \exists \epsilon \in \{-1, +1\}, \exists \alpha > 0, \forall v \in V, \epsilon a(v, v) \ge \alpha \|v\|_V^2. $$

En particulier, pour tout $v \in V$, on a $|a(v, v)| = \epsilon a(v, v)$. On en conclut que, pour $w_\delta \in V_\delta$ :

$$ \begin{aligned} |a(u - w_\delta, u - w_\delta)| &= \epsilon a(u - w_\delta, u - w_\delta) \\ &= \epsilon a(u - u_\delta, u - u_\delta) + \epsilon a(u_\delta - w_\delta, u_\delta - w_\delta) \\ &\ge \epsilon a(u - u_\delta, u - u_\delta) = |a(u - u_\delta, u - u_\delta)|. \end{aligned} $$

A l'aide enfin de la coercivité et de la continuité de $a$, on a obtenu

$$ \alpha \|u - u_\delta\|_V^2 \le \|a\| \|u - w_\delta\|_V^2, $$

et (3.8) suit.

**Remarque 3.5** Lorsque $V$ est un espace de Hilbert défini sur $\mathbb{R}$, on a l'estimation (3.7) lorsque la forme est coercive, et l'estimation (3.8) lorsque la forme est de plus symétrique.

On note que, dans les estimations ci-dessus, la constante $C = \|\|a\|\|$ ou $C = (\|\|a\|\|/\alpha)^{1/2}$ est indépendante de $\delta$ et de $u$. On en déduit que la norme de l'erreur est comparable à l'erreur d'approximation de $u$ par des éléments de $V_\delta$. En effet,

$$ \inf_{v_\delta \in V_\delta} \|u - v_\delta\|_V \le \|u - u_\delta\|_V \le C \inf_{v_\delta \in V_\delta} \|u - v_\delta\|_V. $$

Enfin, puisque $V_\delta$ est de dimension finie, c'est un sous-espace vectoriel fermé de $V$, et on a $\inf_{v_\delta \in V_\delta} \|u - v_\delta\|_V = \min_{v_\delta \in V_\delta} \|u - v_\delta\|_V = \|u - P_\delta u\|_V$, où $P_\delta$ est la projection orthogonale sur $V_\delta$.

Une condition suffisante pour que $\lim_{\delta \to 0} \|u - u_\delta\|_V = 0$ est la propriété d'approximabilité.

**Définition 3.6** La famille $(V_\delta)_\delta$ vérifie la propriété d'approximabilité de $V$ si, et seulement si,

$$ \begin{aligned} & \exists V^* \text{ s.e.v. dense de } V, \quad \forall \delta, \exists r_\delta : V^* \to V_\delta \text{ tels que} \\ & \forall v^* \in V^*, \quad \lim_{\delta \to 0} \|v^* - r_\delta v^*\|_V = 0. \end{aligned} \quad (3.9) $$

**Proposition 3.7** Si la propriété d'approximabilité (3.9) est vérifiée, alors

$$ \forall v \in V, \quad \lim_{\delta \to 0} \left( \inf_{v_\delta \in V_\delta} \|v - v_\delta\|_V \right) = 0. \quad (3.10) $$

**Démonstration :** Soient $v \in V$, et $\eta > 0$ donnés.

D'après (3.9) 1ère ligne, comme $V^*$ est dense dans $V$, il existe $v^* \in V^*$ tel que $\|v - v^*\|_V \le \eta/2$. Et, d'après (3.9) 2ème ligne, il existe $\delta_\eta > 0$ tel que, pour tout $\delta \in ]0, \delta_\eta[$, on a $\|v^* - r_\delta v^*\|_V \le \eta/2$. A l'aide de l'inégalité triangulaire, on en déduit que

$$ \forall \delta \in ]0, \delta_\eta[, \quad \|v - r_\delta v^*\|_V \le \|v - v^*\|_V + \|v^* - r_\delta v^*\|_V \le \eta, $$

soit

$$ \forall \delta \in ]0, \delta_\eta[, \quad \inf_{v_\delta \in V_\delta} \|v - v_\delta\|_V \le \eta, $$

ce qui permet d'atteindre le résultat cherché.
**Théorème 3.8** Si la forme $a(\cdot, \cdot)$ est coercive, et si la propriété d'approximabilité (3.9) est vérifiée, alors la suite des solutions approchées $(u_\delta)_{\delta>0}$ converge vers $u$ dans $V$ :

$$ \lim_{\delta \to 0} \|u - u_\delta\|_V = 0. \qquad (3.11) $$

**Démonstration :** Il suffit d'appliquer le lemme de Céa et (3.10)$_{v=u}$.

Une fois la convergence de $(u_\delta)_{\delta>0}$ vers $u$ obtenue, on pourra se poser la question de la qualité de l'approximation, ou de la vitesse de convergence.

**Définition 3.9 (vitesse de convergence)** On dit que l'approximation $(u_\delta)_{\delta>0}$ est convergente à l'ordre $s > 0$ s'il existe une constante $C > 0$, indépendante de $\delta$ telle que :

$$ \|u - u_\delta\|_V \le C \delta^s. $$

## 3.3 Cas général

On se pose maintenant la question de la convergence d'une approximation conforme dans le cas général, c'est-à-dire dans les cas : $V \neq W$ ; ou bien $V = W$ avec une forme $a(\cdot, \cdot)$ qui n'est pas coercive. Rappelons que, comme la formulation variationnelle (3.1) est a priori bien posée au sens d'Hadamard, alors d'après le théorème BNB (théorème 2.11), ceci est équivalent au fait que la forme $a$ vérifie une condition inf-sup (2.13) et une condition de solvabilité (2.14). Pour que les formulations variationnelles discrètes (3.2) soient bien posées, on peut également appliquer le théorème BNB : il faut donc, pour la forme $a$, une condition inf-sup discrète (ou de stabilité discrète) ainsi qu'une condition de solvabilité discrète, pour tout $\delta > 0$.

**Définition 3.10** La forme $a$ vérifie une condition inf-sup discrète si, et seulement si

$$ \forall \delta > 0, \exists \alpha_\delta > 0, \forall v_\delta \in V_\delta, \sup_{w_\delta \in W_\delta \setminus \{0\}} \frac{|a(v_\delta, w_\delta)|}{\|w_\delta\|_W} \ge \alpha_\delta \|v_\delta\|_V. \qquad (3.12) $$

**Définition 3.11** La forme $a$ vérifie une condition de solvabilité discrète si, et seulement si,

$$ \forall \delta > 0, \{w_\delta \in W_\delta \text{ tel que } a(v_\delta, w_\delta) = 0, \forall v_\delta \in V_\delta\} = \{0\}. \qquad (3.13) $$

Pour $\delta > 0$, on introduit l'application linéaire<fnref n="1" /> $A_\delta \in \mathcal{L}(V_\delta, W_\delta)$ associée à $a(\cdot, \cdot)$ sur $V_\delta \times W_\delta$ :

$$ \forall (v_\delta, w_\delta) \in V_\delta \times W_\delta, \quad (A_\delta v_\delta, w_\delta)_W = a(v_\delta, w_\delta). \qquad (3.14) $$

Soit $\delta > 0$. On vérifie facilement que la condition (3.12) est équivalente à $A_\delta$ injective, et que la condition (3.13) est équivalente à $A_\delta$ surjective. Ces deux conditions sont donc équivalentes à $A_\delta$ bijective, ce qui est bien sûr équivalent au fait que la formulation variationnelle discrète (3.2) est bien posée. Pour des raisons pratiques, on va remplacer ces deux conditions et définir un nouveau jeu de conditions équivalentes. En effet, si $\dim(V_\delta) = \dim(W_\delta)$, alors disposer d'une des deux conditions est nécessaire et suffisant.

<footnote n="1">1. En dimension finie, toute application linéaire est continue.</footnote>
**Corollaire 3.12 (Banach-Necas-Babuska)** Soient $V_\delta$ et $W_\delta$ deux espaces de Hilbert de dimension finie, $a(\cdot, \cdot)$ une forme sesquilinéaire et continue sur $V_\delta \times W_\delta$. La formulation variationnelle discrète (3.2) est bien posée si, et seulement si, la condition inf-sup discrète (3.12) est satisfaite, et $\dim(V_\delta) = \dim(W_\delta)$.

Dans la suite on supposera donc que

$$ \dim(V_\delta) = \dim(W_\delta) \text{ pour tout } \delta > 0. $$

Mais, contrairement à la coercivité qui se transmet automatiquement aux formulations variationnelles discrètes pour une approximation conforme, la condition inf-sup ne se transmet pas ! ? On rappelle la condition inf-sup pour la formulation variationnelle (3.1) ci-dessous :

$$ \exists \alpha' > 0, \forall v \in V, \sup_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{|a(v, w)|}{\|w\|_W} \ge \alpha' \|v\|_V. $$

Or, cette condition n'implique pas (3.12), car on n'a pas :

$$ \sup_{w_\delta \in W_\delta \setminus \{0\}} \frac{|a(v, w_\delta)|}{\|w_\delta\|_W} \ge \sup_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{|a(v, w)|}{\|w\|_W}. $$

En effet, $W_\delta \subset W$ entraîne au contraire que

$$ \sup_{w_\delta \in W_\delta \setminus \{0\}} \frac{|a(v, w_\delta)|}{\|w_\delta\|_W} \le \sup_{w \in W \setminus \{0\}} \frac{|a(v, w)|}{\|w\|_W}. $$

Ainsi, pour obtenir le caractère bien posé des formulations variationnelles discrètes on devra explicitement établir la condition inf-sup discrète (3.12).

**Théorème 3.13 (Lemme de Céa)** Soit $\delta > 0$. Si la forme $a(\cdot, \cdot)$ vérifie la condition inf-sup discrète (3.12), on a l'estimation d'erreur

$$ \forall \ell \in W', \quad \|u - u_\delta\|_V \le \left(1 + \frac{\|a\|}{\alpha_\delta}\right) \inf_{w_\delta \in V_\delta} \|u - v_\delta\|_V. \quad (3.15) $$

**Démonstration :** Soit $v_\delta \in V_\delta$. D'après (3.12), on a

$$ \exists w'_\delta \in V_\delta \setminus \{0\}, \quad \|u_\delta - v_\delta\|_V \le \frac{1}{\alpha_\delta} \frac{|a(u_\delta - v_\delta, w'_\delta)|}{\|w'_\delta\|_W}. $$

Et, puisque $u$ résout (3.1) et que $u_\delta$ résout (3.2), on a $a(u, w'_\delta) = \langle \ell, w'_\delta \rangle_W = a(u_\delta, w'_\delta)$, et ainsi $a(u - u_\delta, w'_\delta) = 0$. On a donc

$$ |a(u_\delta - v_\delta, w'_\delta)| = |a(u_\delta - v_\delta, w'_\delta) + a(u - u_\delta, w'_\delta)| = a(u - v_\delta, w'_\delta)|. $$

Par conséquent,

$$ \frac{|a(u_\delta - v_\delta, w'_\delta)|}{\|w'_\delta\|_W} = \frac{|a(u - v_\delta, w'_\delta)|}{\|w'_\delta\|_W} \le \|a\| \|u - v_\delta\|_V. $$
Si on revient à l'estimation initiale, on a finalement

$$ \|u_{\delta} - v_{\delta}\|_{V} \le \frac{\|a\|}{\alpha_{\delta}} \|u - v_{\delta}\|_{V}. $$

Par inégalité triangulaire, on trouve

$$ \|u - u_{\delta}\|_{V} \le \|u - v_{\delta}\|_{V} + \|v_{\delta} - u_{\delta}\|_{V} \le \left(1 + \frac{\|a\|}{\alpha_{\delta}}\right) \|u - v_{\delta}\|_{V}, $$

et, comme c'est valable pour tout $v_{\delta} \in V_{\delta}$, on peut prendre l'infimum et en déduire (3.7). ■

Pour que la norme de l'erreur soit comparable à l'erreur d'approximation entre $V_{\delta}$ et $V$, il faut que la constante apparaissant dans (3.7) soit uniformément majorée par rapport à $\delta$ ou, ce qui est équivalent, que les constantes $(\alpha_{\delta})_{\delta}$ soient uniformément minorées par un nombre strictement positif : c'est ce qu'on appelle la condition inf-sup discrète uniforme (ou de stabilité discrète uniforme).

**Définition 3.14** La forme a vérifie une condition inf-sup discrète uniforme si, et seulement si,

$$ \exists \alpha_{\dagger} > 0, \forall \delta > 0, \forall v_{\delta} \in V_{\delta}, \sup_{w_{\delta} \in W_{\delta} \setminus \{0\}} \frac{|a(v_{\delta}, w_{\delta})|}{\|w_{\delta}\|_{W}} \ge \alpha_{\dagger} \|v_{\delta}\|_{V}. \quad (3.16) $$

Si cette condition est vérifiée (encore une fois, c'est une autre condition que la condition inf-sup (2.13) vérifiée dans $V \times W$), on a convergence à l'aide de la propriété d'approximabilité.

**Théorème 3.15** Si la forme $a(\cdot, \cdot)$ vérifie une condition inf-sup discrète uniforme, et si la propriété d'approximabilité (3.9) est vérifiée, alors la suite des solutions approchées $(u_{\delta})_{\delta>0}$ converge vers $u$ dans $V$ :

$$ \lim_{\delta \to 0} \|u - u_{\delta}\|_{V} = 0. \quad (3.17) $$

**Démonstration :** Il suffit d'appliquer le lemme de Céa (théorème 3.13) et (3.10)$_{v=u}$. ■

Une fois la convergence de $(u_{\delta})_{\delta>0}$ vers $u$ obtenue, on pourra se poser la question de la vitesse de convergence, cf. la définition 3.9.

## 3.4 Application à la diffusion neutronique

### 3.4.1 Diffusion à une inconnue

On commence par étudier la discrétisation de la formulation variationnelle (2.4), posée dans $H_0^1(\Omega)$, où $\Omega$ est un domaine, qu'on réécrit ici :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u \in H_0^1(\Omega) \text{ tel que} \\ \forall w \in H_0^1(\Omega), \quad \int_{\Omega} (\mathbb{D}\nabla u \cdot \nabla w + \sigma uw) d\Omega = \int_{\Omega} S_f w \, d\Omega, \end{array} \right. \quad (3.18) $$
avec un $\mathbb{D}$ un champ de tenseurs symétriques vérifiant (2.2), et $\sigma$ vérifiant (2.3). Les hypothèses (2.2)-(2.3) sur les coefficients $\mathbb{D}$ et $\sigma$ garantissent que la forme bilinéaire est coercive, d'où le caractère bien posé. On va définir des sous-espaces discrets à l'aide de la méthode des éléments finis (voir [15]). Pour simplifier l'exposé, on suppose que le domaine $\Omega$ est polygonal si $\mathbf{d} = 2$, ou polyédrique si $\mathbf{d} = 3$. Dans ce cadre, le paramètre de discrétisation est égal au pas du maillage (voir plus bas), et est noté $h$. On note $(V_h^0)_h$ la suite des sous-espaces discrets de $H_0^1(\Omega)$. Pour $h > 0$ donné, la formulation variationnelle discrète s'écrit :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u_h \in V_h^0 \text{ tel que} \\ \forall w_h \in V_h^0, \quad \int_{\Omega} (\mathbb{D}\nabla u_h \cdot \nabla w_h + \sigma u_h w_h) d\Omega = \int_{\Omega} S_f w_h d\Omega. \end{array} \right. \qquad (3.19) $$

Le caractère bien posé découle du fait que la forme bilinéaire est coercive (cf. §3.2).

Pour construire les sous-espaces discrets $(V_h^0)_h$, on s'appuie sur des maillages $(\mathcal{T}_h)_h$ de $\Omega$, formés de simplexes (triangles si $\mathbf{d} = 2$ ; tétraèdres si $\mathbf{d} = 3$). Soit un maillage $\mathcal{T}_h$ donné : on appelle $(T_\ell)_{\ell=1,L}$ l'ensemble des simplexes le composant (par convention, ce sont des fermés de $\mathbb{R}^d$) : $\bar{\Omega} = \cup_{T_\ell \in \mathcal{T}_h} T_\ell$. Le pas du maillage $\mathcal{T}_h$ est égal à $h = \max_\ell h_\ell$, où $h_\ell$ est le rayon de la plus petite boule contenant $T_\ell$.

Pour un simplexe $T$ quelconque et $k \in \mathbb{N}$, on définit $^2$ :

$$ P^k(T) = \{q \in P(T) \text{ tel que } d^o(q) \le k\}. $$

A partir de là, on définit classiquement $V_h^0$ en deux étapes. Soit $k \ge 1$.

1. On introduit d'abord $^3 V_h \subset H^1(\Omega)$ :

$$ V_h = \{v_h \in H^1(\Omega) \text{ tel que } v_{h|_{T_\ell}} \in P^k(T_\ell), \forall \ell = 1, L\}. \qquad (3.20) $$

2. Puis on introduit $V_h^0 \subset H_0^1(\Omega)$ :

$$ V_h^0 = V_h \cap H_0^1(\Omega) = \{v_h \in V_h \text{ tel que } v_{h|\partial\Omega} = 0\}. \qquad (3.21) $$

Ceci correspond à la discrétisation conforme par éléments finis de Lagrange d'ordre $k$.

On fait en outre l'hypothèse que la famille de maillages $(\mathcal{T}_h)_h$ est régulière. Pour $h$ donné, et pour un simplexe $T_\ell \in \mathcal{T}_h$, on introduit $\rho_\ell$ le rayon de la plus grande boule incluse dans $T_\ell$. On dit que la famille de maillages $(\mathcal{T}_h)_h$ est régulière si

$$ \exists \varsigma > 0, \forall h, \forall T_\ell \in \mathcal{T}_h, \frac{h_\ell}{\rho_\ell} \le \varsigma. $$

<footnote n="2">2. Lorsque $k = 1$, on a aussi $P^1(T) = \{q \in P(T) \text{ tel que } q(\boldsymbol{x}) = a + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{x}, \forall \boldsymbol{x} \in T\}$.</footnote>

<footnote n="3">3. On a la définition équivalente : $V_h = \{v_h \in C^0(\bar{\Omega}) \text{ tel que } v_{h|_{T_\ell}} \in P^k(T_\ell), \forall \ell = 1, L\}$.</footnote>
**Remarque 3.16** Pour la discrétisation par éléments finis de Lagrange, nous donnons quelques détails pour réaliser les calculs élémentaires, c'est-à-dire les intégrations sur les simplexes du maillage. Pour cela, on peut effectuer un changement de variables et passer par le simplexe de référence, noté $\hat{T}$, dont les sommets sont l'origine, et les $d$ points dont les coordonnées sont $(d-1)0$, et un $1...$ Pour un simplexe $T_\ell$, on note $F_\ell : \hat{T} \to T_\ell$ la transformation affine transformant $\hat{T}$ en $T_\ell$, et on utilise le changement de variables $\mathbf{x} = F_\ell(\hat{\mathbf{x}}) = A_\ell\hat{\mathbf{x}} + \mathbf{b}_\ell$, avec $A_\ell \in \mathbb{R}^{d \times d}$ et $\mathbf{b}_\ell \in \mathbb{R}^d$. Le jacobien de la transformation vaut $J_{F_\ell}(\hat{\mathbf{x}}) = \det(dF_\ell(\hat{\mathbf{x}})) = \det(A_\ell)$, et on a $d\mathbf{x} = |J_{F_\ell}(\hat{\mathbf{x}})|d\hat{\mathbf{x}}$ ; notons que $\det(A_\ell) = \pm 2\text{mes}(T_\ell)$, selon l'orientation des sommets de $T_\ell$. A une fonction $v$ définie sur $T_\ell$, on associe alors $\hat{v}$ définie sur $\hat{T}$ telle que $\hat{v}(\hat{\mathbf{x}}) = v(F_\ell(\hat{\mathbf{x}})) = v(\mathbf{x})$ pour tout $\hat{\mathbf{x}} \in \hat{T}$, et on a $\nabla v(\mathbf{x}) = (A_\ell^T)^{-1}\nabla\hat{v}(\hat{\mathbf{x}})$.

On montre que les fonctions de $V_h$ peuvent être caractérisées par des valeurs ponctuelles (ce qui semble raisonnable, puisque qu'elles appartiennent à $C^0(\bar{\Omega})$ et sont donc définies partout).

**Nous détaillons ci-dessous pour les éléments finis de Lagrange d'ordre $k=1$.** On note $(M_i)_{i=1,N}$ les sommets du maillage $\mathcal{T}_h$, et $(w_i)_{i=1,N}$ les fonctions de base associées aux sommets, caractérisées par : pour tout $1 \le i \le N$, on a $w_i \in V_h$ avec pour tout $1 \le j \le N$, $w_i(M_j) = \delta_{ij}$. Pour un élément $v_h \in V_h$, on vérifie que $v_h(\mathbf{x}) = \sum_{i=1,N} v_h(M_i)w_i(\mathbf{x})$ pour tout $\mathbf{x} \in \bar{\Omega}$. Ainsi, les degrés de liberté associés, c'est-à-dire les quantités caractérisant $v_h$, sont les quantités $(v_h(M_i))_{i=1,N}$. Ensuite, si on note $\mathcal{I}$ l'ensemble des indices correspondant aux sommets n'appartenant pas à la frontière, c'est-à-dire $\mathcal{I} = \{i \in \{1, \dots, N\} \text{ tels que } M_i \notin \partial\Omega\}$, on note que $(w_i)_{i \in \mathcal{I}}$ est une base de $V_h^0$.

**Remarque 3.17** En suivant le formalisme du lemme 3.1 avec $(w_i)_{i \in \mathcal{I}}$ comme base de $V_h^0$, on obtient un système linéaire équivalent à (3.19), et on peut montrer que la matrice $A \in \mathbb{R}^{|\mathcal{I}| \times |\mathcal{I}|}$ est creuse, au sens suivant. Si on indice par le pas du maillage, alors le nombre d'éléments non-nuls de $A_h$, noté $nnz(A_h)$, peut en principe croître comme $|\mathcal{I}_h|^2$ lorsque $h$ tend vers 0. On montre en fait que $nnz(A_h)$ est borné par $C|\mathcal{I}_h|$, avec $C > 0$ une constante qui ne dépend pas de $h$. Ce résultat est toujours vrai lorsque $d=2$. Lorsque $d=3$, il faut que la famille des maillages $(\mathcal{T}_h)_h$ soit régulière.

La propriété d'approximabilité (3.9) qui implique la convergence de l'erreur vers 0 est obtenue grâce à un opérateur d'interpolation. Nous rappelons le plus "classique" ci-dessous (à $h$ donné).

$$ \pi_h : \left| \begin{array}{lcl} \mathcal{C}^0(\bar{\Omega}) & \to & V_h \\ v & \mapsto & \pi_h v = \sum_{i=1,N} v(M_i)w_i \end{array} \right. \qquad (3.22) $$

On utilise la définition de $H_0^1(\Omega) : \mathcal{D}(\Omega)$ est dense dans $H_0^1(\Omega)$, et on introduit les opérateurs $r_h = \pi_h|_{\mathcal{D}(\Omega)}$, à valeurs dans $V_h^0$. On peut prouver par le calcul que, pour tout $v^* \in \mathcal{D}(\Omega)$, on a $\lim_{h \to 0} \|v^* - \pi_h v^*\|_{H^1(\Omega)} = 0$.<fnref n="4" /> D'après le théorème 3.8, la convergence suit :

$$ \lim_{h \to 0} \|u - u_h\|_{H^1(\Omega)} = 0. $$

<footnote n="4">4. On a aussi une propriété d'approximabilité pour une discrétisation dans $H^1(\Omega)$, à l'aide de $r_h = \pi_h|_{C_c^\infty(\bar{\Omega})}$.</footnote>
Pour les éléments finis de Lagrange d'ordre $k \ge 2$, les degrés de liberté sont les valeurs ponctuelles aux sommets, ainsi qu'en certains points des arêtes, des faces (si $d = 3$) et de l'intérieur des simplexes. Concernant le nombre d'éléments non-nuls de $A_h$, il est toujours borné par $C_k|\mathcal{I}_h|$, où $\mathcal{I}_h$ est l'ensemble des indices de degrés de liberté ne se trouvant pas sur $\partial\Omega$, avec $C_k > 0$ une constante qui dépend uniquement de $k$, mais pas de $h$. La propriété d'approximabilité (3.9) est obtenue comme ci-dessus, à l'aide d'un opérateur d'interpolation $\pi_h$ défini à partir de tous les degrés de liberté.

Concernant la vitesse de convergence, on a un résultat "classique" en théorie des éléments finis, que nous admettons (voir [15] pour des éléments de preuve).

**Proposition 3.18** *Supposons que la solution $u$ est de régularité $H^{1+s}$ "par morceaux" sur une partition de $\Omega$, où $s$ appartient à $\mathbb{R}_+^*$,<fnref n="5" /> alors si on utilise les éléments finis de Lagrange d'ordre $k$ sur une famille régulière de maillages qui respectent la partition, il existe une constante $C > 0$ indépendante de $h$ telle que*

$$ \|u - u_h\|_{H^1(\Omega)} \le C h^{\min(s,k)}. $$

Ainsi, la vitesse de convergence dépend d'une part de la régularité "par morceaux" de la solution, et d'autre part de l'ordre des éléments finis.

On peut également obtenir une vitesse de convergence *minimale*. Pour cela, on utilise le fait que, si la donnée est "régulière", alors la solution l'est également. Précisément, on admet (voir par exemple [14]) que la formulation variationnelle (3.18) possède la *propriété de décalage* suivante ($S_f$ est la donnée, et $u$ la solution) :

il existe un exposant de décalage $r_{max} \in ]0, 1]$ tel que, pour tout $S_f \in L^2(\Omega)$ :
- si $r_{max} < 1$, $u$ appartient à $H^{1+r}$ "par morceaux",<fnref n="5" /> pour tout $r \in [0, r_{max}]$, (3.23)
- si $r_{max} = 1$, $u$ appartient à $H^2$ "par morceaux".<fnref n="5" />

De plus, la norme $H^{1+r}$ "par morceaux" de $u$, pour tout $r \in [0, r_{max}]$ (si $r_{max} < 1$), ou la norme $H^2$ "par morceaux" de $u$ (si $r_{max} = 1$) dépend continûment de $\|S_f\|_{L^2(\Omega)}$.

Si la donnée $S_f$ est dans $L^2(\Omega)$, on en déduit donc le résultat *minimal* de convergence pour la diffusion à une inconnue.<fnref n="6" />

**Théorème 3.19** *Soit $r_{max} \in ]0, 1]$ l'exposant de décalage défini comme ci-dessus. Alors on a l'estimation suivante en norme $\| \cdot \|_{H^1(\Omega)}$ :*

- si $r_{max} < 1$ : $\forall r \in [0, r_{max}]$, $\exists C'_r > 0$ telle que $\forall h, \forall S_f \in L^2(\Omega)$, $\|u - u_h\|_{H^1(\Omega)} \le C'_r h^r \|S_f\|_{L^2(\Omega)}$,

- si $r_{max} = 1$ : $\exists C'_1 > 0$ telle que $\forall h, \forall S_f \in L^2(\Omega)$, $\|u - u_h\|_{H^1(\Omega)} \le C'_1 h \|S_f\|_{L^2(\Omega)}$.

<footnote n="5">5. Intuitivement, ceci signifie qu'il existe une partition de $\Omega$ en sous-domaines dis joints $(\Omega_p)_{p=1,P}$, telle que la solution restreinte à chaque sous-domaine $\Omega_p$ appartient à $H^{1+s}(\Omega_p)$. Si $s \in \mathbb{N}^*$, ce sont les espaces de Sobolev "usuels" de la définition 1.17. Si $s \in \mathbb{R}_+ \setminus \mathbb{N}$, on a une appartenance "par morceaux" à des espaces de Sobolev d'ordre fractionnaire... Principale propriété des espaces de Sobolev d'ordre positif : pour tous $s_1, s_2 \in \mathbb{R}_+$ tels que $s_1 < s_2$, $H^{1+s_2}(\Omega_p)$ est un sous-ensemble strict de $H^{1+s_1}(\Omega_p)$, avec injection continue et compacte.</footnote>

<footnote n="6">6. La vitesse de convergence sera meilleure, sous réserve que $\min(s, k) > r_{max}$. Pour cela, il faut et il suffit que : (1) la solution $u$ soit extra-régulière ($s > r_{max}$); (2) l'ordre $k$ vérifie $k > r_{max}$.</footnote>
Si maintenant on s'intéresse à la convergence en norme $|| \cdot ||_{L^2(\Omega)}$, qui est une *norme plus faible* que la norme $|| \cdot ||_{H^1(\Omega)}$, on a en général une *meilleure vitesse de convergence*. En effet, à partir de (3.23), on établit le résultat de convergence en norme $|| \cdot ||_{L^2(\Omega)}$ à l'aide du lemme d'Aubin-Nitsche, qui garantit, entre la vitesse de convergence en norme $|| \cdot ||_{H^1(\Omega)}$ et celle en norme $|| \cdot ||_{L^2(\Omega)}$, un gain de $O(h^r)$ pour tout $r < r_{max}$ si $r_{max} < 1$, et de $O(h)$ si $r_{max} = 1$.

Pour la diffusion à une inconnue avec donnée $S_f$ dans $L^2(\Omega)$, on en déduit donc le second résultat *minimal* de convergence ci-dessous.

**Corollaire 3.20** Soit $r_{max} \in ]0, 1]$ l'exposant de décalage défini comme ci-dessus. Alors on a l'estimation suivante en norme $|| \cdot ||_{L^2(\Omega)}$ :

- si $r_{max} < 1$: $\forall r \in [0, r_{max}], \exists C_r'' > 0$ telle que $\forall h, \forall S_f \in L^2(\Omega), ||u - u_h||_{L^2(\Omega)} \le C_r'' h^{2r} ||S_f||_{L^2(\Omega)}$,

- si $r_{max} = 1$: $\exists C_1'' > 0$ telle que $\forall h, \forall S_f \in L^2(\Omega), ||u - u_h||_{L^2(\Omega)} \le C_1'' h^2 ||S_f||_{L^2(\Omega)}$.

Situation "typique" pour la résolution numérique de la diffusion à une inconnue : avec des éléments finis de Lagrange d'ordre $k = 1$, et un exposant de décalage $r_{max} = 1$, l'erreur $u - u_h$ converge vers 0 à l'ordre 1 en norme $|| \cdot ||_{H^1(\Omega)}$, et à l'ordre 2 en norme $|| \cdot ||_{L^2(\Omega)}$.

### 3.4.2 Diffusion à deux inconnues

On veut maintenant discrétiser la formulation variationnelle (2.17), posée dans $L^2(\Omega) \times H(\text{div}; \Omega)$, où $\Omega$ est un domaine, qu'on réécrit :

$$ egin{cases} 
\text{Trouver } (u, \boldsymbol{p}) \in L^2(\Omega) \times \boldsymbol{H}(\text{div}; \Omega) \text{ tel que} \\ 
\forall (w, \boldsymbol{r}) \in L^2(\Omega) \times \boldsymbol{H}(\text{div}; \Omega), \\ 
\int_{\Omega} \left( - \mathbb{D}^{-1} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} + u(\text{div } \boldsymbol{r}) + w(\text{div } \boldsymbol{p}) + \sigma uw \right) d\Omega = \int_{\Omega} S_f w \, d\Omega. 
\end{cases} $$

On suppose toujours que le coefficient $\mathbb{D}$ est un champ de tenseurs *symétriques* vérifiant (2.2), et que le coefficient $\sigma$ est un champ de scalaires vérifiant (2.3), qui est de plus constant par morceaux, voir plus bas (nouvelle hypothèse simplificatrice ; on peut s'en abstraire, voir le §5.1 de [14]). On utilise à nouveau la méthode des éléments finis, dans un domaine $\Omega$ supposé polygonal si $d = 2$, ou polyédrique si $d = 3$. Dans ce cadre, le paramètre de discrétisation est égal au pas du maillage.

On note cette fois $(M_h)_h$ la suite des sous-espaces discrets de $L^2(\Omega)$, et $(Q_h)_h$ la suite des sous-espaces discrets de $H(\text{div}; \Omega)$. Pour $h > 0$ donné, la formulation variationnelle discrète s'écrit :

$$ egin{cases} 
\text{Trouver } (u_h, \boldsymbol{p}_h) \in M_h \times Q_h \text{ tel que} \\ 
\forall (w_h, \boldsymbol{r}_h) \in M_h \times Q_h, \\ 
\int_{\Omega} \left( - \mathbb{D}^{-1} \boldsymbol{p}_h \cdot \boldsymbol{r}_h + u_h(\text{div } \boldsymbol{r}_h) + w_h(\text{div } \boldsymbol{p}_h) + \sigma u_h w_h \right) d\Omega = \int_{\Omega} S_f w_h \, d\Omega. 
\end{cases} \quad (3.24) $$

Comme on l'a noté au §3.3, il faut disposer d'une condition inf-sup discrète (uniforme) dans $(M_h \times Q_h)_h$. Ceci signifie qu'on ne peut pas choisir $M_h$ et $Q_h$ indépendamment l'un de l'autre.
Un choix possible est celui des éléments finis de Raviart-Thomas d'ordre $k$. Les maillages $(T_h)_h$ sont similaires, et possèdent les mêmes propriétés, que ceux précédemment utilisés, avec la contrainte supplémentaire que le coefficient $\sigma$ restreint à tout simplexe est constant sur ce simplexe (de façon plus imagée, si on partitionne $\Omega$ en sous-domaines sur lesquels $\sigma$ est constant, alors les maillages respectent cette partition).

**Étape 1 :** définition de $Q_h \subset H(\text{div}; \Omega)$.

En préambule, on note que, comme on discrétise des champs à valeurs vectorielles, on considère des approximations à l'aide de polynômes à coefficients vectoriels, c'est-à-dire qu'on se place localement dans des sous-espaces vectoriels de $P(T) = (P(T))^{\mathrm{d}}$, où $T$ est un simplexe.

Si on a un champ $q_h$ régulier (polynomial) par simplexe, à quelles conditions a-t-on $q_h \in H(\text{div}; \Omega)$ ? Pour répondre à cette question, soient deux simplexes distincts $T, T'$ de $T_h$ ayant une arête $a$ en commun (si $d = 2$) ; une face $f$ en commun (si $d = 3$). On rappelle la condition sur le saut de la composante normale énoncée au théorème 1.35 :

$$ q_h \in H(\text{div}; \text{int}(T \cup T')) \iff \begin{cases} [q_h \cdot n_a]_a = 0 & \text{si } d = 2; \\ [q_h \cdot n_f]_f = 0 & \text{si } d = 3. \end{cases} $$

Et, plus globalement, l'appartenance de $q_h$ à $H(\text{div}; \Omega)$ est garantie si, et seulement si, le saut de la composante normale sur toutes les arêtes communes à deux triangles de $T_h$ est nul (si $d = 2$) ; le saut de la composante normale sur toutes les faces communes à deux tétraèdres de $T_h$ est nul (si $d = 3$). On parle d'arêtes internes, respectivement de faces internes, de $T_h$. Les degrés de liberté associés à cette composante normale seront donc identiques des deux côtés des arêtes ($d = 2$) ou faces ($d = 3$) internes.

**Remarque 3.21** La continuité des autres composantes de la trace de $q_h$ n'est pas requise. Par conséquent, les éléments de $Q_h$ ne sont pas obligatoirement continus, c'est-à-dire que $Q_h \not\subset C^0(\bar{\Omega})$ est possible.

Nous introduisons, pour $k \in \mathbb{N}$ :$^7$8

$$ Q_h = \{q_h \in H(\text{div}; \Omega) \text{ tel que } q_{h|_{T_\ell}} \in P^k(T_\ell) + P^k(T_\ell)x, \forall \ell = 1, L\}. \quad (3.25) $$

Nous détaillons ci-dessous pour les éléments finis de Raviart-Thomas d'ordre $k = 0$. Notons que, si $d = 2$, dans tout triangle $T_\ell$ de $T_h$ il y a 3 arêtes, et que, si $d = 3$, dans tout tétraèdre $T_\ell$ de $T_h$ il y a 4 faces. Or $\dim(P^0(T_\ell) + P^0(T_\ell)x) = d + 1$ ! Intuitivement, il semble raisonnable

<footnote n="7">7. Lorsque $k = 0$, on a aussi $P^0(T) + P^0(T)x = \{q \in P(T) \text{ tel que } q(x) = a + bx, \forall x \in T\}$.</footnote>

<footnote n="8">8. Par construction, on observe que :</footnote>

<footnote>— Si $d = 2$ : alors, pour tout $h$, pour tout $T_\ell \in T_h$, pour toutes les arêtes $(a_\alpha)_{\alpha=1,3}$ de $\partial T_\ell$, et pour tout $q_h \in Q_h$, on a $q_h \cdot n_{|a_\alpha} \in P^k(a_\alpha)$ ;</footnote>

<footnote>— Si $d = 3$ : alors, pour tout $h$, pour tout $T_\ell \in T_h$, pour toutes les faces $(f_\alpha)_{\alpha=1,4}$ de $\partial T_\ell$, et pour tout $q_h \in Q_h$, on a $q_h \cdot n_{|f_\alpha} \in P^k(f_\alpha)$.</footnote>
de considérer un degré de liberté par arête si $\mathbf{d} = 2$, par face si $\mathbf{d} = 3$ : on peut directement vérifier par le calcul que cette définition est possible (voir par exemple le chapitre 3 de [13]). Globalement, on note $(a_i)_{i=1,A}$ les arêtes du maillage $\mathcal{T}_h$ (si $\mathbf{d} = 2$) ; $(f_i)_{i=1,F}$ les faces du maillage $\mathcal{T}_h$ (si $\mathbf{d} = 3$). Dans ce cas, les degrés de liberté associés, c'est-à-dire les quantités caractérisant $\mathbf{q}_h$, sont les quantités :

$$ \left| \begin{array}{ll} \left( \int_{a_i} \mathbf{q}_h \cdot \mathbf{n}_a \, dl \right)_{i=1,A} & \text{si } \mathbf{d} = 2; \\ \left( \int_{f_i} \mathbf{q}_h \cdot \mathbf{n}_f \, dS \right)_{i=1,F} & \text{si } \mathbf{d} = 3. \end{array} \right. \qquad (3.26) $$

Observons que ce ne sont plus des valeurs ponctuelles, mais des moments.

On peut construire une base de $\mathbf{Q}_h$ avec, pour chaque arête interne (si $\mathbf{d} = 2$), ou pour chaque face interne (si $\mathbf{d} = 3$), commune à deux simplexes $T$ et $T'$, une fonction de base associée, de support égal à $T \cup T'$, dont le degré de liberté vaut 1 sur ladite arête, ou face, et 0 ailleurs. Et pour chaque arête de la frontière (si $\mathbf{d} = 2$), ou pour chaque face de la frontière (si $\mathbf{d} = 3$), appartenant à un simplexe $T$, une fonction de base associée, de support égal à $T$, dont le degré de liberté vaut 1 sur ladite arête, ou face, et 0 ailleurs.

Pour les éléments finis de Raviart-Thomas d'ordre $k \ge 1$. Le processus de construction est similaire, nous renvoyons au chapitre 2 de [3]. Notons qu'on doit définir des degrés de liberté supplémentaires, toujours de type moment, avec notamment des intégrales sur les simplexes (et des fonctions de bases associées dont le support est égal à ce simplexe).

Étape 2 : définition de $M_h \subset L^2(\Omega)$. Le point de départ est la définition de l'espace discret $\mathbf{Q}_h$ par (3.25). On observe que, pour tout $\mathbf{q}_h \in \mathbf{Q}_h$, on a d'une part $\text{div } \mathbf{q}_h \in L^2(\Omega)$, et de plus, pour tout $T_\ell \in \mathcal{T}_h$, on a $\text{div } \mathbf{q}_{h|_{T_\ell}} \in P^k(T_\ell)$. Ceci suggère de définir

$$ M_h = \{v_h \in L^2(\Omega) \text{ tel que } v_{h|_{T_\ell}} \in P^k(T_\ell), \forall \ell = 1, L\}. \qquad (3.27) $$

De cette façon, on a $\text{div } [\mathbf{Q}_h] \subset M_h$. L'intérêt de la définition de $M_h$ à partir de celle de $\mathbf{Q}_h$ est qu'on va pouvoir directement transposer, pour la diffusion à deux inconnues, la démonstration de la condition inf-sup (cf. §2.3.3), ou celle de la la T-coercivité (cf. §2.3.4), au cas discret. Pour cela, pour $(v_h, \mathbf{q}_h) \in M_h \times \mathbf{Q}_h$ non-nul, nous allons chercher $(w_h^*, \mathbf{r}_h^*) \in M_h \times \mathbf{Q}_h$ non-nul, dépendant linéairement de $(v_h, \mathbf{q}_h)$, et tel que

$$ |a((v_h, \mathbf{q}_h), (w_h^*, \mathbf{r}_h^*))| \ge \alpha_\dagger \|(v_h, \mathbf{q}_h)\|_V \|(w_h^*, \mathbf{r}_h^*)\|_V, $$

avec $\|(v, \mathbf{q})\|_V = (\|v\|_{L^2(\Omega)}^2 + \|\mathbf{q}\|_{H(\text{div};\Omega)}^2)^{1/2}$, et une constante $\alpha_\dagger > 0$ indépendante de $(v_h, \mathbf{q}_h)$. En s'inspirant des calculs du §2.3.3, on choisit $(w_h^*, \mathbf{r}_h^*) = (\frac{1}{2}(v_h + \sigma^{-1}\text{div } \mathbf{q}_h), -\mathbf{q}_h)$. Par construction, et puisque par hypothèse $\sigma^{-1}$ est constant par morceaux, on a, pour tout $T_\ell \in \mathcal{T}_h$, $\sigma^{-1}\text{div } \mathbf{q}_{h|_{T_\ell}} \in P^k(T_\ell)$, et ainsi $w_h^* \in M_h$. En reprenant exactement les calculs du §2.3.3, avec
des indices $h$ en plus, on trouve que

$$a((v_h, \mathbf{q}_h), (w_h^*, \mathbf{r}_h^*)) \geq \frac{\min(D_{min}^{-1}, \frac{1}{2}(\sigma_{max})^{-1}, \frac{1}{2}\sigma_{min})}{(\frac{1}{2}(\sigma_{min})^{-2} + 1)^{1/2}} \|(v_h, \mathbf{q}_h)\|_V \|(w_h^*, \mathbf{r}_h^*)\|_V,$$

ce qui est le résultat cherché.

Il est important de remarquer qu'on a utilisé une preuve "adaptant" la T-coercivité introduite au §2.3.4. En effet, si on considère $T_h \in \mathcal{L}(M_h \times \mathbf{Q}_h)$ définie par

$$T_h((v_h, \mathbf{q}_h)) = (\frac{1}{2}(v_h + \sigma^{-1}\mathrm{div} \, \mathbf{q}_h), -\mathbf{q}_h),$$

on note que, pour tout $h$, la forme $a$ restreinte à $(M_h \times \mathbf{Q}_h) \times (M_h \times \mathbf{Q}_h)$ est T-coercive au sens de la définition 2.16, avec une constante $\underline{\alpha}$ indépendante de $h$. Qui plus est, la norme de l'application linéaire $T_h$ est également indépendante de $h$. On précisera cette notion de "T-coercivité discrète" au chapitre 9 (voir la définition 9.15).

Avant de conclure à la convergence de l'erreur vers 0 dans $L^2(\Omega) \times \mathbf{H}(\mathrm{div}; \Omega)$, on note que la propriété d'approximabilité (3.9) est obtenue :

- pour $(M_h)_h$ dans $L^2(\Omega)$, grâce aux opérateurs d'interpolation $(\pi_h)_h$ définis en (3.22), avec $V^* = \mathcal{D}(\Omega)$, où la convergence en norme $\| \cdot \|_{L^2(\Omega)}$ est une conséquence de celle déjà énoncée au §3.4.1 ;

- pour $(\mathbf{Q}_h)_h$ dans $\mathbf{H}(\mathrm{div}; \Omega)$, grâce à un opérateur d'interpolation agissant sur des fonctions à valeurs vectorielles, avec $V^* = \mathbf{C}^\infty(\bar{\Omega})$, nous renvoyons p. 110 de [3].

D'après le théorème 3.15, la convergence suit : $\lim_{h \to 0} \|(u - u_h, \mathbf{p} - \mathbf{p}_h)\|_V = 0$, ou bien

$$\lim_{h \to 0} (\|u - u_h\|_{L^2(\Omega)} + \|\mathbf{p} - \mathbf{p}_h\|_{\mathbf{H}(\mathrm{div}; \Omega)}) = 0.$$

Concernant la vitesse de convergence, on a le résultat suivant, que nous admettons.

**Proposition 3.22** *Supposons que la solution $(u, \mathbf{p})$ est de régularité $H^1 \times \mathbf{H}^1$ "par morceaux", alors si on utilise les éléments finis de Raviart-Thomas d'ordre $k \ge 0$ sur une famille régulière de maillages qui respectent la partition, il existe une constante $C > 0$ indépendante de $h$ telle que*

$$\|u - u_h\|_{L^2(\Omega)} + \|\mathbf{p} - \mathbf{p}_h\|_{\mathbf{H}(\mathrm{div}; \Omega)} \le C h.$$

Si la solution est plus régulière, la vitesse de convergence est meilleure, si bien sûr on augmente l'ordre de l'élément fini de façon adéquate (voir à nouveau p. 110 de [3]).

**Remarque 3.23** *Pour la discrétisation par éléments finis de Raviart-Thomas, nous donnons quelques détails pour réaliser les calculs élémentaires (intégrations sur les simplexes du maillage), en reprenant les notations de la remarque 3.16. Pour un simplexe $T_\ell$, si on effectue le changement de variables $F_\ell : \hat{T} \to T_\ell$ avec $\mathbf{x} = F_\ell(\hat{\mathbf{x}}) = \mathbb{A}_\ell \hat{\mathbf{x}} + \mathbf{b}_\ell$, alors, à une fonction vectorielle $\hat{\mathbf{q}}$ définie sur $\hat{T}$, on associe $\mathbf{q}$ définie sur $T_\ell$ telle que :*

$$\forall \hat{\mathbf{x}} \in \hat{T}, \quad \mathbf{q}(\mathbf{x}) = \frac{1}{|\det(\mathbb{A}_\ell)|} \mathbb{A}_\ell \hat{\mathbf{q}}(\hat{\mathbf{x}}), \quad \mathrm{div} \, \mathbf{q}(\mathbf{x}) = \frac{1}{|\det(\mathbb{A}_\ell)|} \mathrm{div} \, \hat{\mathbf{q}}(\hat{\mathbf{x}}).$$
C'est la transformation de Piola, utilisée pour transformer des éléments de $\mathbf{H}(\text{div};\Omega)$ (voir par ex. p. 59 de [3]). Pour les éléments de $M_h$, on procède comme pour les éléments finis de Lagrange, cf. la remarque 3.16. Le choix de la transformation de Piola pour les éléments de $\mathbf{H}(\text{div};\Omega)$ peut-être "justifié" via les changements de variables dans les intégrales, mettant en jeu des éléments de $\mathbf{Q}_h$ et $M_h$ :

$$ 
\begin{align*}
\int_{T_{\ell}} v_h(\mathbf{x}) \mathrm{div} \, \mathbf{q}_h(\mathbf{x}) \, d\mathbf{x} &= \int_{\hat{T}} \hat{v}(\hat{\mathbf{x}}) \frac{1}{|\det(\mathbb{A}_{\ell})|} \mathrm{d}\mathrm{div} \, \hat{\mathbf{q}}(\hat{\mathbf{x}}) |\det(\mathbb{A}_{\ell})| d\hat{\mathbf{x}} = \int_{\hat{T}} \hat{v}(\hat{\mathbf{x}}) \mathrm{d}\mathrm{div} \, \hat{\mathbf{q}}(\hat{\mathbf{x}}) d\hat{\mathbf{x}}, \\
\int_{T_{\ell}} \nabla v_h(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{q}_h(\mathbf{x}) \, d\mathbf{x} &= \int_{\hat{T}} (\mathbb{A}_{\ell}^T)^{-1} \hat{\nabla} \hat{v}(\hat{\mathbf{x}}) \cdot \frac{1}{|\det(\mathbb{A}_{\ell})|} \mathbb{A}_{\ell} \hat{\mathbf{q}}(\hat{\mathbf{x}}) |\det(\mathbb{A}_{\ell})| d\hat{\mathbf{x}} = \int_{\hat{T}} \hat{\nabla} \hat{v}(\hat{\mathbf{x}}) \cdot \hat{\mathbf{q}}(\hat{\mathbf{x}}) d\hat{\mathbf{x}}.
\end{align*}
$$

On peut également montrer que :

$$ \int_{\partial T_{\ell}} v_h(\mathbf{x}) \mathbf{q}_h(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{n} \, d\Gamma_{\mathbf{x}} = \int_{\partial \hat{T}} \hat{v}(\hat{\mathbf{x}}) \hat{\mathbf{q}}(\hat{\mathbf{x}}) \cdot \hat{\mathbf{n}} \, d\Gamma_{\hat{\mathbf{x}}} $$

**Remarque 3.24** En suivant le formalisme du lemme 3.1, on peut montrer, mais c'est un peu fastidieux (voir le chapitre 3 de [13]), que la matrice associée à la formulation variationnelle discrète (3.24) est creuse.

### 3.4.3 Comparaison des discrétisations

Donnons quelques éléments de comparaison entre la discrétisation $u_h^L$ par élément fini de Lagrange d'ordre 1 (utilisée pour la diffusion à une inconnue), et la discrétisation $(u_h^{RT}, p_h)$ par élément fini de Raviart-Thomas d'ordre 0 (utilisée pour la diffusion à deux inconnues), en supposant que l'exposant de décalage $r_{max}$ est égal à 1 (la solution $u$ est donc $H^2$ "par morceaux"), et que $p = -\mathbb{D}\nabla u$ est $\mathbf{H}^1(\Omega)$ "par morceaux" :

— D'après la proposition 3.18, le théorème 3.19 et le corollaire 3.20, on a

$$ \|u - u_h^L\|_{H^1(\Omega)} \le C h, \quad \|u - u_h^L\|_{L^2(\Omega)} \le C h^2. $$

— D'après la proposition 3.22, on a

$$ \|u - u_h^{RT}\|_{L^2(\Omega)} \le C h, \quad \|\mathbf{p} - \mathbf{p}_h\|_{\mathbf{H}(\text{div};\Omega)} \le C h. $$

En général $u_h^L \neq u_h^{RT}$ : en effet, $u_h^L$ est un champ continu par définition, ce qui n'est pas le cas de $u_h^{RT}$. L'approximation est a priori meilleure pour $u_h^L$ que pour $u_h^{RT}$ en norme $\|\cdot\|_{L^2(\Omega)}$ ; elle est du même ordre en norme $\|\cdot\|_{H^1(\Omega)}$ où, pour l'approximation par élément fini de Raviart-Thomas, on passe par la convergence en norme $\|\cdot\|_{L^2(\Omega)}$ de $\nabla u = -\mathbb{D}^{-1}\mathbf{p}...$
# Notes de cours 4

## Problèmes avec contraintes

On s'intéresse à la résolution de problèmes pour lesquels les solutions doivent vérifier certaines contraintes, qui peuvent être indépendantes (ou pas...) des données. Un exemple classique est le modèle de Stokes, qui modélise l'écoulement stationnaire de fluides incompressibles.

On se place dans un domaine $\Omega$ de $\mathbb{R}^d$, pour $2 \le d \le 3$. Comme pour la diffusion, le modèle étudié ici est basé sur des données et des solutions à valeurs réelles. On choisit donc $K = \mathbb{R}$ lorsqu'on l'étudie. Concernant la théorie "abstraite", on se placera dans $K = \mathbb{C}$ (pour l'appliquer au modèle, il suffira d'enlever la conjugaison). On note $(\cdot|\cdot)$ le produit scalaire (hermitien) de $L^2(\Omega)$ ou de $(L^2(\Omega))^d$, et $\|\cdot\|$ la norme associée. On pose $L^2(\Omega) = (L^2(\Omega))^d$, et $H_0^1(\Omega) = (H_0^1(\Omega))^d$. Lorsqu'on considère les dérivées d'un champ $v$ à valeurs vectorielles, on note $\nabla v$ le tenseur $(\partial_j v_i)_{i,j=1,d}$ ; et pour $v, w$ à valeurs vectorielles, on note $\nabla v : \nabla w = \sum_{i,j} \partial_j v_i \partial_i w_j$.

### 4.1 Modèle de Stokes

Résoudre ce modèle revient à résoudre les équations et conditions au bord :

$$ egin{cases} 
\text{Trouver } (u, p) \text{ telles que} \\ 
-\nu \Delta u + \nabla p = f \text{ dans } \Omega \\ 
\text{div } u = 0 \text{ dans } \Omega \\ 
u = 0 \text{ sur } \partial\Omega. 
\end{cases} 
\tag{4.1} $$

La partie de la solution à valeurs vectorielles $u$ est la vitesse du fluide, et la partie à valeurs scalaires $p$ est la pression, $\nu$ est la viscosité cinématique, et la donnée $f$ est la densité des forces extérieures. La relation $\text{div } u = 0$ traduit la contrainte d'incompressibilité, et la condition aux limites signifie que la vitesse du fluide est nulle sur les parois délimitant le domaine. Toutes les grandeurs sont à valeurs réelles. On observe que, par construction, $\Delta u$, $\nabla p$ et $f$ sont des
champs à valeurs vectorielles dans $\mathbb{R}^d$. On peut donc réécrire (4.1) sous la forme équivalente

$$ egin{cases} 
\text{Trouver } ((u_i)_{i=1,\mathbf{d}}, p) \text{ telles que} \\ 
-\nu \Delta u_i + \partial_i p = f_i \text{ dans } \Omega, \text{ pour } i = 1, \mathbf{d} \\ 
\sum_{i=1,\mathbf{d}} \partial_i u_i = 0 \text{ dans } \Omega \\ 
u_i = 0 \text{ sur } \partial\Omega, \text{ pour } i = 1, \mathbf{d}. 
\end{cases} 
\quad (4.2) $$

Dans la suite, on fait l'hypothèse suivante :

$$ \text{Le coefficient } \nu \text{ est un nombre réel strictement positif.} \quad (4.3) $$

Avant de définir une formulation variationnelle équivalente à ces modèles, on va proposer des
espaces fonctionnels auxquels la solution, et la donnée, appartiennent.

Tout d'abord, comme on a une condition aux limites pour chaque composante $u_i$ de la vitesse dans (4.2), on suppose *a priori* que $u_i \in H^1(\Omega)$ pour $i = 1, \mathbf{d}$. Ceci permet de donner un sens à la condition aux limites via l'application trace $\gamma_0$, et plus précisément on a $u_i \in H_0^1(\Omega)$ pour $i = 1, \mathbf{d}$. Dans la suite, on munit $H_0^1(\Omega)$ de la semi-norme $|\cdot|_{1,\Omega} : v \mapsto \|\nabla v\| = (\sum_{j=1,\mathbf{d}} \|\partial_j v\|^2)^{1/2}$, voir (1.8), qui définit une norme équivalente à la norme $\|\cdot\|_{H^1(\Omega)}$ d'après l'inégalité de Poincaré. Pour le modèle (4.1), on a donc $\mathbf{u} \in H_0^1(\Omega)$, et on munit $H_0^1(\Omega)$ de la semi-norme

$$ \mathbf{v} \mapsto |\mathbf{v}|_{1,\Omega} = \left( \sum_{i=1,\mathbf{d}} |v_i|^2_{1,\Omega} \right)^{1/2}, $$

qui définit une norme équivalente à la norme $\|\cdot\|_{H^1(\Omega)}$ d'après l'inégalité de Poincaré.

Puisque $u_i \in H_0^1(\Omega)$, on en déduit que $\Delta u_i$ appartient à $(H_0^1(\Omega))'$, pour $i = 1, \mathbf{d}$, avec
dépendance continue, cf. (1.12). De même, si $p \in L^2(\Omega)$, alors $\partial_i p \in (H_0^1(\Omega))'$ pour $i = 1, \mathbf{d}$,
avec dépendance continue, cf. (1.10). Comme on a modifié la norme utilisée sur $H_0^1(\Omega)$, le module
de continuité est lui aussi modifié. Néanmoins, on peut vérifier que les bornes respectivement
obtenues en (1.12) et (1.10) restent valables. Les résultats sont résumés ci-dessous, et complétés
de la transposition aux grandeurs vectorielles.

**Proposition 4.1** Dans un domaine $\Omega$, on a les résultats :

- soit $u \in H^1(\Omega)$, alors $-\Delta u \in (H_0^1(\Omega))'$;
de plus, on a $-\Delta \in \mathcal{L}(H^1(\Omega), (H_0^1(\Omega))')$, avec $\|\cdot\| \le 1$;

- soit $\mathbf{u} \in H^1(\Omega)$, alors $-\Delta \mathbf{u} \in (H_0^1(\Omega))'$;
de plus, on a $-\Delta \in \mathcal{L}(H^1(\Omega), (H_0^1(\Omega))')$, avec $\|\cdot\| \le 1$;

- soit $p \in L^2(\Omega)$, alors $\nabla p \in (H_0^1(\Omega))'$ et $\partial_i p \in (H_0^1(\Omega))'$ pour $i = 1, \mathbf{d}$;
de plus, on a $\nabla \in \mathcal{L}(L^2(\Omega), (H_0^1(\Omega))')$, avec $\|\nabla\| \le \sqrt{\mathbf{d}}$, ainsi que $\partial_i \in \mathcal{L}(L^2(\Omega), (H_0^1(\Omega))')$,
avec $\|\partial_i\| \le 1$ pour $i = 1, \mathbf{d}$.

Ainsi, lorsque $u_i \in H_0^1(\Omega)$ pour $i = 1, \mathbf{d}$ et $p \in L^2(\Omega)$, la donnée $f_i$ apparaissant dans la première
équation de (4.2) étant égale à $-\nu \Delta u_i + \partial_i p$, doit appartenir à $(H_0^1(\Omega))'$. De même, pour la
donnée **f** apparaissant dans la première équation de (4.1), on la choisit telle que

$$ \boldsymbol{f} \in (\boldsymbol{H}_0^1(\Omega))'. \qquad (4.4) $$

Par ailleurs, on note que la pression $p$ est connue à une constante près : en effet, $p$ apparaît uniquement via son gradient, or l'équation $\nabla p = 0$ admet pour solution les constantes, puisque le domaine $\Omega$ est connexe. Pour lever cette indétermination, on va chercher $p$ dans le sous-espace de $L^2(\Omega)$ orthogonal au sous-espace formé des constantes, c'est-à-dire dans

$$ L_{vmn}^2(\Omega) = \{q \in L^2(\Omega) \text{ tel que } (q|1) = 0\}. $$

En d'autres termes, $L^2(\Omega) = L_{vmn}^2(\Omega) \perp \mathbb{R}$. On note que $L_{vmn}^2(\Omega)$ est le sous-espace vectoriel de $L^2(\Omega)$ formé des fonctions à moyenne nulle, et $p \in L_{vmn}^2(\Omega)$.

A partir de là, on va résoudre, sous les hypothèses (4.3) et (4.4), le modèle de Stokes "mathématique"

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } (\boldsymbol{u}, p) \in \boldsymbol{H}_0^1(\Omega) \times L_{vmn}^2(\Omega) \text{ telles que} \\ -\nu \Delta \boldsymbol{u} + \nabla p = \boldsymbol{f} \text{ dans } (\boldsymbol{H}_0^1(\Omega))' \\ \text{div } \boldsymbol{u} = 0 \text{ dans } \Omega. \end{array} \right. \qquad (4.5) $$

On en construit une formulation variationnelle équivalente. Tout d'abord, on déduit facilement des résultats précédents que la première équation de (4.5) est équivalente à

$$ \forall \boldsymbol{v} \in \boldsymbol{H}_0^1(\Omega), \quad \nu \int_{\Omega} \nabla \boldsymbol{u} : \nabla \boldsymbol{v} \, d\Omega - \int_{\Omega} p \operatorname{div} \boldsymbol{v} \, d\Omega = \langle \boldsymbol{f}, \boldsymbol{v} \rangle_{(\boldsymbol{H}_0^1(\Omega))', \boldsymbol{H}_0^1(\Omega)}. $$

Il reste à écrire la seconde équation de (4.5) sous forme variationnelle. Comme $\operatorname{div} \boldsymbol{u}$ appartient à $L^2(\Omega)$ puisque toutes ses dérivées partielles premières sont dans $L^2(\Omega)$, on pourrait écrire la formulation variationnelle équivalente

$$ \forall q \in L^2(\Omega), \quad \int_{\Omega} q \operatorname{div} \boldsymbol{u} \, d\Omega = 0. $$

Mais on peut caractériser un peu plus précisément $\operatorname{div} \boldsymbol{u}$ : en effet, si on choisit $q = 1$ ci-dessus, on a par intégration par parties (1.20)

$$ \int_{\Omega} \operatorname{div} \boldsymbol{u} \, d\Omega = \langle \gamma_n \boldsymbol{u}, 1 \rangle_{(H^{1/2}(\partial\Omega))', H^{1/2}(\partial\Omega)} = (\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}_{|\partial\Omega}, 1)_{L^2(\partial\Omega)} = 0, $$

puisque $\boldsymbol{u}_{|\partial\Omega} = 0$. Ainsi $\operatorname{div} \boldsymbol{u} \in L_{vmn}^2(\Omega)$, et la formulation variationnelle équivalente à la seconde équation de (4.5) finalement retenue est

$$ \forall q \in L_{vmn}^2(\Omega), \quad \int_{\Omega} q \operatorname{div} \boldsymbol{u} \, d\Omega = 0. $$

Pour résumer, on a montré qu'une formulation variationnelle équivalente à (4.5) est

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } (\boldsymbol{u}, p) \in \boldsymbol{H}_0^1(\Omega) \times L_{vmn}^2(\Omega) \text{ telles que} \\ \forall (\boldsymbol{v}, q) \in \boldsymbol{H}_0^1(\Omega) \times L_{vmn}^2(\Omega), \\ \qquad \nu \int_{\Omega} \nabla \boldsymbol{u} : \nabla \boldsymbol{v} \, d\Omega - \int_{\Omega} p \operatorname{div} \boldsymbol{v} \, d\Omega - \int_{\Omega} q \operatorname{div} \boldsymbol{u} \, d\Omega = \langle \boldsymbol{f}, \boldsymbol{v} \rangle_{(\boldsymbol{H}_0^1(\Omega))', \boldsymbol{H}_0^1(\Omega)}. \end{array} \right. \qquad (4.6) $$
Dans la suite, on va également résoudre le modèle de Stokes "généralisé", où la contrainte d'incompressibilité est remplacée par div **u** = g dans Ω où, comme on l'a vu plus haut, on choisit une donnée g ∈ L²<sub>vmn</sub>(Ω). On résout donc

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\text{Trouver } (\mathbf{u}, p) \in \mathbf{H}_0^1(\Omega) \times L_{vmn}^2(\Omega) \text{ telles que} \\
-\nu \Delta \mathbf{u} + \nabla p = \mathbf{f} \text{ dans } \Omega \\
\text{div } \mathbf{u} = g \text{ dans } \Omega.
\end{array}
\right.
\tag{4.7}
$$

C'est un modèle "mathématique", dont l'étude se révèlera utile pour la suite. On vérifie facile-
ment qu'une formulation variationnelle équivalente est

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\text{Trouver } (\mathbf{u}, p) \in \mathbf{H}_0^1(\Omega) \times L_{vmn}^2(\Omega) \text{ telles que} \\
\forall (\mathbf{v}, q) \in \mathbf{H}_0^1(\Omega) \times L_{vmn}^2(\Omega), \\
\qquad \nu \int_{\Omega} \nabla \mathbf{u} : \nabla \mathbf{v} \, d\Omega - \int_{\Omega} p \operatorname{div} \mathbf{v} \, d\Omega - \int_{\Omega} q \operatorname{div} \mathbf{u} \, d\Omega \hfill (4.8) \\
\qquad = \langle \mathbf{f}, \mathbf{v} \rangle_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))', \mathbf{H}_0^1(\Omega)} - \int_{\Omega} q g \, d\Omega.
\end{array}
\right.
$$

Notons que, si on revient au formalisme de la formulation variationnelle "abstraite" (2.5), on a
pour le modèle de Stokes, et pour le modèle de Stokes "généralisé" :

$$
- \nu \mathcal{V} = \mathbf{H}_0^1(\Omega) \times L_{vmn}^2(\Omega), \text{ muni de la norme } \|(v, q)\|_{\nu} = (|v|_{1,\Omega}^2 + \|q\|^2)^{1/2};
$$

$$
- a((\mathbf{v}, q), (\mathbf{w}, r)) = \nu \int_{\Omega} \nabla \mathbf{v} : \nabla \mathbf{w} \, d\Omega - \int_{\Omega} q \operatorname{div} \mathbf{w} \, d\Omega - \int_{\Omega} r \operatorname{div} \mathbf{v} \, d\Omega;
$$

$$
- \langle \ell_{St}, (\mathbf{w}, r) \rangle_{\nu} = \langle \mathbf{f}, \mathbf{w} \rangle_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))', \mathbf{H}_0^1(\Omega)}; \quad \langle \ell_{St-gen}, (\mathbf{w}, r) \rangle_{\nu} = \langle \mathbf{f}, \mathbf{w} \rangle_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))', \mathbf{H}_0^1(\Omega)} - \int_{\Omega} r g \, d\Omega.
$$

Or, on sait que div ∈ 𝒯(H¹(Ω), L²(Ω)), avec |||div ||| ≤ √d (cf. (1.9). On en déduit que la forme
a est bilinéaire, continue et symétrique sur 𝒳 × 𝒳. Par contre, a n'est pas coercive! En effet,
on a, pour tout (0, q) ∈ 𝒳, a((0, q), (0, q)) = 0. Enfin , il est clair que, pour toutes les données
**f** ∈ (H¹₀(Ω))' et g ∈ L² vmn (Ω), on a ℓSt, ℓSt-gen ∈ 𝒳'.

4.2 Outils mathématiques abstraits

Afin de pouvoir analyser mathématiquement les modèles de Stokes et de Stokes "généralisé",
nous allons maintenant énoncer trois théorèmes abstraits, tirés de [2], dont la démonstration
sort du cadre de ce cours.

On rappelle qu'on a la décomposition orthogonale $L^2(\Omega) = \mathbb{R} \oplus L_{vmn}^2(\Omega)$ et que d'après la proposition 4.1, $\nabla \in \mathcal{L}(L^2(\Omega), (\mathbf{H}_0^1(\Omega))')$.

**Théorème 4.2** *Soit Ω un domaine de R<sup>d</sup>. Alors, ker(∇) = R et l'image ∇[L<sup>2</sup><sub>vmn</sub>(Ω)] est fermée dans (H<sup>1</sup><sub>0</sub>(Ω))'.*

Ainsi, $\nabla[L_{vmn}^2(\Omega)]$ muni de la norme $\|\cdot\|_{(H_0^1(\Omega))'}$ est un espace de Banach. A l'aide du théorème de l'isomorphisme de Banach, on en déduit que

$$
\exists C_{\nabla} > 0, \forall \mathbf{w} \in \nabla[L_{vmn}^2(\Omega)], \exists! p \in L_{vmn}^2(\Omega) \text{ tel que } \mathbf{w} = \nabla p, \text{ avec } \|p\| \le C_{\nabla} \|\mathbf{w}\|_{(H_0^1(\Omega))'}.
$$
Ce que l'on résume sous la forme

$$ \exists C_{\nabla} > 0, \forall p \in L_{vmn}^2(\Omega), \quad \|p\| \le C_{\nabla} \|\nabla p\|_{(H_0^1(\Omega))'}. \qquad (4.9) $$

Ensuite, on introduit le sous-espace vectoriel de $H_0^1(\Omega)$ contenant la contrainte

$$ V_0(\Omega) = \{v \in H_0^1(\Omega) \text{ tel que } \operatorname{div} v = 0\}. $$

$V_0(\Omega)$ est fermé dans $H_0^1(\Omega)$, car il est égal au noyau de la restriction de l'application (linéaire) continue div $|H_0^1(\Omega)$ (voir (1.9)). Ainsi, $(V_0(\Omega), |\cdot|_{1,\Omega})$ est un espace de Hilbert. On note $V_0(\Omega)^\perp$ son orthogonal dans $H_0^1(\Omega)$.

**Théorème 4.3** Soit $\Omega$ un domaine de $\mathbb{R}^d$. Alors, $\ker(\operatorname{div}) = V_0(\Omega)$ et div $[V_0(\Omega)^\perp] = L_{vmn}^2(\Omega)$.

D'après le théorème de l'isomorphisme de Banach, on en déduit immédiatement que

$$ \exists C_{\operatorname{div}} > 0, \forall p \in L_{vmn}^2(\Omega), \quad \exists! v_p \in V_0(\Omega)^\perp \text{ tel que } \operatorname{div} v_p = p, \text{ avec } |v_p|_{1,\Omega} \le C_{\operatorname{div}} \|p\|. \quad (4.10) $$

Enfin, on a le

**Théorème 4.4 (de Rham)** Soit $\Omega$ un domaine de $\mathbb{R}^d$. Soit $f \in (H_0^1(\Omega))'$. On a l'équivalence :

$$ \forall v_0 \in V_0(\Omega), \quad \langle \boldsymbol{f}, v_0 \rangle_{(H_0^1(\Omega))', H_0^1(\Omega)} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \exists p^* \in L_{vmn}^2(\Omega), \quad \boldsymbol{f} = \nabla p^* \text{ dans } (H_0^1(\Omega))'. $$

A l'aide de ces résultats, nous allons voir comment on peut résoudre le modèle de Stokes (4.5)-(4.6), ainsi que le modèle de Stokes "généralisé" (4.7)-(4.8).

Commençons par le modèle de Stokes (4.5)-(4.6) : soit $f \in (H_0^1(\Omega))'$. Par définition, on cherche $u \in V_0(\Omega)$. En outre, puisque tout élément de $V_0(\Omega)$ est à divergence nulle, $u$ est en particulier solution de

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u \in V_0(\Omega) \text{ telle que} \\ \forall v_0 \in V_0(\Omega), \quad \nu \int_{\Omega} \nabla u : \nabla v_0 \, d\Omega = \langle f, v_0 \rangle_{(V_0(\Omega))', V_0(\Omega)}. \end{array} \right. \qquad (4.11) $$

Ici, la donnée $f$ est considérée comme appartenant à $(V_0(\Omega))'$. D'après le théorème de représentation de Riesz, cette formulation variationnelle admet une solution, et une seule, qui dépend continûment de la donnée, puisque $|u|_{1,\Omega} = \nu^{-1}\|f\|_{(V_0(\Omega))'}$. On a donc :

$$ \forall f \in (H_0^1(\Omega))', \quad \exists! u \in V_0(\Omega) \text{ solution de (4.11), avec } |u|_{1,\Omega} \le \nu^{-1} \|f\|_{(H_0^1(\Omega))'}. $$

$$ \|f\|_{(V_0(\Omega))'} = \sup_{v_0 \in V_0(\Omega) \setminus \{0\}} \frac{|\langle f, v_0 \rangle_{(V_0(\Omega))'}, V_0(\Omega)|}{|v_0|_{1,\Omega}} \le \sup_{v \in H_0^1(\Omega) \setminus \{0\}} \frac{|\langle f, v \rangle_{(H_0^1(\Omega))'}, H_0^1(\Omega)|}{|v|_{1,\Omega}} = \|f\|_{(H_0^1(\Omega))'}. $$

<footnote n="1">1. Puisque $V_0(\Omega) \subset H_0^1(\Omega)$, on a $(H_0^1(\Omega))' \subset (V_0(\Omega))'$, avec injection continue. Précisément, pour tout $f$ dans $(H_0^1(\Omega))'$, on a</footnote>
D'après la proposition 4.1, on a $(\mathbf{f} + \nu \Delta \mathbf{u}) \in (\mathbf{H}_0^1(\Omega))'$. D'après (4.11), $\mathbf{f} + \nu \Delta \mathbf{u}$ est tel que

$$ \forall \mathbf{v}_0 \in \mathbf{V}_0(\Omega), \quad \langle \mathbf{f} + \nu \Delta \mathbf{u}, \mathbf{v}_0 \rangle_{(\mathbf{V}_0(\Omega))', \mathbf{V}_0(\Omega)} = 0. $$

Donc, d'après le théorème de de Rham,

$$ \exists! p \in L^2_{vmn}(\Omega), \quad \mathbf{f} + \nu \Delta \mathbf{u} = \nabla p \text{ dans } (\mathbf{H}_0^1(\Omega))'. $$

Si on rassemble le tout, on dispose donc de $(\mathbf{u}, p) \in \mathbf{V}_0(\Omega) \times L^2_{vmn}(\Omega)$ telles que

$$ -\nu \Delta \mathbf{u} + \nabla p = \mathbf{f} \text{ dans } \Omega. $$

Ainsi, $(\mathbf{u}, p)$ est bien une solution du modèle de Stokes (4.5), avec dépendance continue. En effet, pour $\mathbf{u}$, on sait que $|\mathbf{u}|_{1,\Omega} \le \nu^{-1}\|\mathbf{f}\|_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))'}$. Et, pour $p$, on a

$$ \begin{aligned} \|p\| & \le C_\nabla \|\nabla p\|_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))'} \quad (\text{cf. } (4.9)) \\ & \le C_\nabla (\|\mathbf{f}\|_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))'} + \nu \|\Delta \mathbf{u}\|_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))'}) \\ & \le C_\nabla (\|\mathbf{f}\|_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))'} + \nu |\mathbf{u}|_{1,\Omega}) \quad (\text{proposition 4.1}) \\ & \le 2C_\nabla \|\mathbf{f}\|_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))'}. \end{aligned} $$

L'unicité de la solution est une conséquence immédiate : si on a deux solutions du modèle de Stokes, leur différence $(\delta\mathbf{u}, \delta p)$ vérifie ce modèle avec donnée nulle et, en reprenant le raisonnement précédent, on trouve que $\delta\mathbf{u} = 0$, puis que $\delta p = 0$. On a donc démontré le

**Théorème 4.5** Soit $\nu > 0$. Le modèle de Stokes (4.5)-(4.6) est bien posé :

$$ \forall \mathbf{f} \in (\mathbf{H}_0^1(\Omega))', \quad \left\{ \begin{array}{l} \exists! (\mathbf{u}, p) \in \mathbf{H}_0^1(\Omega) \times L^2_{vmn}(\Omega) \text{ sol. de (4.5)-(4.6),} \\ \text{avec } |\mathbf{u}|_{1,\Omega} \le \nu^{-1} \|\mathbf{f}\|_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))'} \text{ et } \|p\| \le 2C_\nabla \|\mathbf{f}\|_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))'}. \end{array} \right. \qquad (4.12) $$

Pour le modèle de Stokes "généralisé" (4.7)-(4.8), la démarche est de s'appuyer sur le théorème 4.3 pour décomposer la solution $\mathbf{u}$ selon $\mathbf{H}_0^1(\Omega) = \mathbf{V}_0(\Omega) \oplus \mathbf{V}_0(\Omega)^\perp$, et de reprendre les résultats obtenus pour le modèle de Stokes. Soient donc $(\mathbf{f}, g) \in (\mathbf{H}_0^1(\Omega))' \times L^2_{vmn}(\Omega)$.

On décompose orthogonalement $\mathbf{u}$ en $\mathbf{u} = \mathbf{u}_0 + \mathbf{u}_\perp$, avec $(\mathbf{u}_0, \mathbf{u}_\perp) \in \mathbf{V}_0(\Omega) \times \mathbf{V}_0(\Omega)^\perp$. On reformule (4.7) en tenant compte de cette décomposition :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } (\mathbf{u}_0, \mathbf{u}_\perp, p) \in \mathbf{V}_0(\Omega) \times \mathbf{V}_0(\Omega)^\perp \times L^2_{vmn}(\Omega) \text{ telles que} \\ \quad -\nu \Delta \mathbf{u}_0 - \nu \Delta \mathbf{u}_\perp + \nabla p = \mathbf{f} \text{ dans } \Omega \\ \text{div } \mathbf{u}_\perp = g \text{ dans } \Omega. \end{array} \right. \qquad (4.13) $$

Or, d'après le théorème 4.3, on sait que

$$ \exists! \mathbf{v}_g \in \mathbf{V}_0(\Omega)^\perp \text{ tel que } \operatorname{div} \mathbf{v}_g = g, \text{ avec } |\mathbf{v}_g|_{1,\Omega} \le C_{\operatorname{div}} \|g\|. $$

Pour résoudre (4.13), on doit donc choisir $\mathbf{u}_\perp = \mathbf{v}_g$ (qui dépend continûment de la donnée $g$). A partir de là, on remarque que $(\mathbf{u}_0, p)$ résout

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } (\mathbf{u}_0, p) \in \mathbf{V}_0(\Omega) \times L^2_{vmn}(\Omega) \text{ telles que} \\ \quad -\nu \Delta \mathbf{u}_0 + \nabla p = \mathbf{f} + \nu \Delta \mathbf{u}_\perp \text{ dans } \Omega. \end{array} \right. $$
C'est donc une solution du modèle de Stokes (4.5), avec la donnée $\boldsymbol{f}' = \boldsymbol{f} + \nu \Delta \boldsymbol{u}_{\perp} \in (\boldsymbol{H}_0^1(\Omega))'$. On peut alors utiliser le théorème 4.5 pour caractériser $(\boldsymbol{u}_0, p)$ et conclure à l'existence d'une solution de (4.7)-(4.8). On a bien dépendance continue, car la donnée $\boldsymbol{f}'$ est bornée par :

$$ \begin{aligned} \|\boldsymbol{f}'\|_{(\boldsymbol{H}_0^1(\Omega))'} &\le \|\boldsymbol{f}\|_{(\boldsymbol{H}_0^1(\Omega))'} + \nu \|\Delta \boldsymbol{u}_{\perp}\|_{(\boldsymbol{H}_0^1(\Omega))'} \\ &\le \|\boldsymbol{f}\|_{(\boldsymbol{H}_0^1(\Omega))'} + \nu |\boldsymbol{u}_{\perp}|_{1,\Omega} \text{ (proposition 4.1)} \\ &\le \|\boldsymbol{f}\|_{(\boldsymbol{H}_0^1(\Omega))'} + \nu C_{\text{div}} \|g\|. \end{aligned} $$

On a donc les dépendances continues de la solution, par composante,

$$ \begin{aligned} |\boldsymbol{u}_{\perp}|_{1,\Omega} &\le C_{\text{div}} \|g\|; \\ |\boldsymbol{u}_0|_{1,\Omega} &\le \nu^{-1} \|\boldsymbol{f}'\|_{(\boldsymbol{H}_0^1(\Omega))'} \le \nu^{-1} \|\boldsymbol{f}\|_{(\boldsymbol{H}_0^1(\Omega))'} + C_{\text{div}} \|g\|; \\ \|p\| &\le 2C_{\nabla} \|\boldsymbol{f}'\|_{(\boldsymbol{H}_0^1(\Omega))'} \le 2C_{\nabla} (\|\boldsymbol{f}\|_{(\boldsymbol{H}_0^1(\Omega))'} + \nu C_{\text{div}} \|g\|). \end{aligned} $$

L'unicité de la solution suit... On a donc démontré le

**Théorème 4.6** Soit $\nu > 0$. Le modèle de Stokes "généralisé" (4.7)-(4.8) est bien posé :

$$ \forall (\boldsymbol{f}, g) \in (\boldsymbol{H}_0^1(\Omega))' \times L_{vmn}^2(\Omega), \quad \left\{ \begin{array}{ll} \exists!(\boldsymbol{u}, p) \in \boldsymbol{H}_0^1(\Omega) \times L_{vmn}^2(\Omega) \text{ sol. de (4.7)-(4.8),} \\ \text{avec } & |\boldsymbol{u}|_{1,\Omega} \le \nu^{-1} \|\boldsymbol{f}\|_{(\boldsymbol{H}_0^1(\Omega))'} + 2C_{\text{div}} \|g\| \text{ et} \\ & \|p\| \le 2C_{\nabla} (\|\boldsymbol{f}\|_{(\boldsymbol{H}_0^1(\Omega))'} + \nu C_{\text{div}} \|g\|). \end{array} \right. \quad (4.14) $$

**Remarque 4.7** Lorsque $g = 0$, l'estimation (4.14) est identique à (4.12).

La difficulté, si on veut approcher les formulations variationnelles, est la prise en compte de la contrainte sur la divergence de la vitesse. En d'autres termes, comment construire une approximation conforme dans $V_0(\Omega)$, c'est-à-dire avec des champs discrets à valeurs vectorielles appartenant à $\boldsymbol{H}_0^1(\Omega)$, et à divergence nulle ? Dans la suite, on va décrire une technique de pénalisation, qui permet de prendre en compte cette contrainte en pénalisant les champs à divergence non-nulle. On développera d'autres approches au §5.

## 4.3 Approximation par pénalisation

On s'intéresse ici à l'approximation du modèle de Stokes (4.5)-(4.6), avec une viscosité cinématique $\nu > 0$ donnée$^2$. On va décrire une première méthode d'approximation, qui prend en compte la contrainte sur la divergence de la vitesse par pénalisation.

<footnote n="2">2. On peut reprendre tous les calculs pour établir une dépendance explicite des erreurs en fonction de $\nu$.</footnote>
### 4.3.1 Pénalisation abstraite

Pour $\varepsilon > 0$, on considère la formulation variationnelle "pénalisée"

$$ egin{cases} 
\text{Trouver } \boldsymbol{u}_{\varepsilon} \in \mathbf{H}_{0}^{1}(\Omega) \text{ telle que} \\
\forall \boldsymbol{v} \in \mathbf{H}_{0}^{1}(\Omega), \quad \nu \int_{\Omega} \nabla \boldsymbol{u}_{\varepsilon} : \nabla \boldsymbol{v} \, d\Omega + \frac{1}{\varepsilon} \int_{\Omega} \operatorname{div} \boldsymbol{u}_{\varepsilon} \operatorname{div} \boldsymbol{v} \, d\Omega = \langle \boldsymbol{f}, \boldsymbol{v} \rangle_{(\mathbf{H}_{0}^{1}(\Omega))', \mathbf{H}_{0}^{1}(\Omega)}. 
\end{cases} 
\quad (4.15) $$

L'idée étant que $\frac{1}{\varepsilon}$ soit "grand", on choisit par exemple $\varepsilon \in ]0, 1]$. A partir de là, on observe que la forme bilinéaire définie sur $\mathbf{H}_{0}^{1}(\Omega) \times \mathbf{H}_{0}^{1}(\Omega)$ :

$$ a_{\varepsilon} : (\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}) \mapsto \nu \int_{\Omega} \nabla \boldsymbol{v} : \nabla \boldsymbol{w} \, d\Omega + \frac{1}{\varepsilon} \int_{\Omega} \operatorname{div} \boldsymbol{v} \operatorname{div} \boldsymbol{w} \, d\Omega \quad (4.16) $$

est continue (voir (1.9)), coercive et symétrique. D'après le théorème de Lax-Milgram,

$$ \begin{gathered} \forall \varepsilon > 0, \exists C_{\varepsilon} > 0, \forall \boldsymbol{f} \in (\mathbf{H}_{0}^{1}(\Omega))', \\ \exists! \boldsymbol{u}_{\varepsilon} \text{ solution de (4.15) telle que } |\boldsymbol{u}_{\varepsilon}|_{1,\Omega} \le C_{\varepsilon} \|\boldsymbol{f}\|_{\mathbf{H}_{0}^{1}(\Omega)}'. \end{gathered} $$

On peut "comparer" la solution $\boldsymbol{u}_{\varepsilon}$ à la solution $(\boldsymbol{u}, p)$ du modèle de Stokes (4.5)-(4.6).

**Théorème 4.8** La solution $\boldsymbol{u}_{\varepsilon}$ de (4.15) est telle que

$$ \exists C_{\nu} > 0, \forall \varepsilon \in ]0, 1], \forall \boldsymbol{f} \in (\mathbf{H}_{0}^{1}(\Omega))', \quad |\boldsymbol{u} - \boldsymbol{u}_{\varepsilon}|_{1,\Omega} + \|p + \varepsilon^{-1} \operatorname{div} \boldsymbol{u}_{\varepsilon}\| \le C_{\nu} \varepsilon^{1/2} \|\boldsymbol{f}\|_{(\mathbf{H}_{0}^{1}(\Omega))'}. $$

**Démonstration :** 1ère étape : évaluer le comportement de $\|\operatorname{div} \boldsymbol{u}_{\varepsilon}\|$. On choisit $\boldsymbol{v} = \boldsymbol{u}_{\varepsilon}$ dans (4.15) :

$$ \nu |\boldsymbol{u}_{\varepsilon}|_{1,\Omega}^2 + \varepsilon^{-1} \|\operatorname{div} \boldsymbol{u}_{\varepsilon}\|^2 = \langle \boldsymbol{f}, \boldsymbol{u}_{\varepsilon} \rangle_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))', \mathbf{H}_0^1(\Omega)}. \quad (4.17) $$

Dans (4.17), on observe que chaque terme de gauche est positif. En particulier, on peut les majorer séparément par celui de droite.

Tout d'abord,

$$ \nu |\boldsymbol{u}_{\varepsilon}|_{1,\Omega}^2 \le \langle \boldsymbol{f}, \boldsymbol{u}_{\varepsilon} \rangle_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))', \mathbf{H}_0^1(\Omega)} \le \|\boldsymbol{f}\|_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))'} |\boldsymbol{u}_{\varepsilon}|_{1,\Omega}, $$

et ainsi $|\boldsymbol{u}_{\varepsilon}|_{1,\Omega} \le \nu^{-1} \|\boldsymbol{f}\|_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))'}$. Puis, si on reprend (4.17), il suit

$$ \|\operatorname{div} \boldsymbol{u}_{\varepsilon}\|^2 \le \varepsilon \langle \boldsymbol{f}, \boldsymbol{u}_{\varepsilon} \rangle_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))', \mathbf{H}_0^1(\Omega)} \le \varepsilon \|\boldsymbol{f}\|_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))'} |\boldsymbol{u}_{\varepsilon}|_{1,\Omega} \le \varepsilon \nu^{-1} \|\boldsymbol{f}\|_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))'}^2, $$

$$ \text{et donc } \|\operatorname{div} \boldsymbol{u}_{\varepsilon}\| \le \varepsilon^{1/2} \nu^{-1/2} \|\boldsymbol{f}\|_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))'}. $$

2ème étape : on pose $\boldsymbol{u}'_\varepsilon = \boldsymbol{u} - \boldsymbol{u}_\varepsilon \in \mathbf{H}_0^1(\Omega)$, $p'_\varepsilon = p + \varepsilon^{-1} \operatorname{div} \boldsymbol{u}_\varepsilon \in L_{vmn}^2(\Omega)$ et $g_\varepsilon = -\operatorname{div} \boldsymbol{u}_\varepsilon \in L_{vmn}^2(\Omega)$. A l'aide de (4.6) et (4.15), on en déduit que $(\boldsymbol{u}'_\varepsilon, p'_\varepsilon)$ est solution de

$$ egin{cases} 
\text{Trouver } (\boldsymbol{u}'_\varepsilon, p'_\varepsilon) \in \mathbf{H}_0^1(\Omega) \times L_{vmn}^2(\Omega) \text{ telles que} \\
\forall (\boldsymbol{v}, q) \in \mathbf{H}_0^1(\Omega) \times L_{vmn}^2(\Omega), \\
\nu \int_{\Omega} \nabla \boldsymbol{u}'_\varepsilon : \nabla \boldsymbol{v} \, d\Omega - \int_{\Omega} p'_\varepsilon \operatorname{div} \boldsymbol{v} \, d\Omega - \int_{\Omega} q \operatorname{div} \boldsymbol{u}'_\varepsilon \, d\Omega = - \int_{\Omega} q g'_\varepsilon \, d\Omega. 
\end{cases} 
\quad (4.18) $$

C'est exactement la formulation variationnelle (4.8) du modèle de Stokes "généralisé", avec la donnée $(0, g_\varepsilon)$. Puisque $\|g_\varepsilon\| \le \varepsilon^{1/2} \nu^{-1/2} \|\boldsymbol{f}\|_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))'}$, on déduit finalement du théorème 4.6 qu'il existe $C_\nu > 0$ indépendante de $\varepsilon > 0$ et telle que

$$ |\boldsymbol{u}'_\varepsilon|_{1,\Omega} + \|p'_\varepsilon\| \le C_\nu \varepsilon^{1/2} \|\boldsymbol{f}\|_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))'}, $$

ce qui est la conclusion annoncée.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>
### 4.3.2 Discrétisation de la formulation variationnelle "pénalisée"

Le but est de calculer une approximation de la solution $(\mathbf{u}, p)$ du modèle de Stokes avec $\mathbf{f} \in (H_0^1(\Omega))'$ donnée : on passe par la discrétisation de la formulation variationnelle "pénalisée". Au §3.4.1, nous avons déjà introduit $(V_h^0)_h$, une suite de sous-espaces discrets de $H_0^1(\Omega)$. Pour l'adapter à notre cas, il suffit de considérer $(V_h^0)_h$ une suite de sous-espaces discrets de $H_0^1(\Omega)$, en posant $V_h^0 = (V_h^0)^d$.

Pour $\varepsilon$ et $h$ donnés, la formulation variationnelle discrète associée à (4.15) est :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } \mathbf{u}_{\varepsilon,h} \in \mathbf{V}_h^0 \text{ telle que} \\ \forall \mathbf{v}_h \in \mathbf{V}_h^0, \quad a_{\varepsilon}(\mathbf{u}_{\varepsilon,h}, \mathbf{v}_h) = \langle \mathbf{f}, \mathbf{v}_h \rangle_{(H_0^1(\Omega))', H_0^1(\Omega)} . \end{array} \right. \qquad (4.19) $$

où la forme bilinéaire $a_\varepsilon$ est donnée par (4.16).

On utilise la méthode des éléments finis, dans un domaine $\Omega$ supposé polygonal si $d = 2$, ou polyédrique si $d = 3$. Le paramètre de discrétisation est égal au pas du maillage, noté $h$. Pour construire les espaces discrets $(V_h^0)_h$, on s'appuie sur l'élément fini de Lagrange d'ordre $k \ge 1$ pour construire $(V_h^0)_h$, et sur une famille de maillages régulière : on parle d'éléments finis de Lagrange vectoriels d'ordre $k$.

Ci-dessous, on propose l'analyse numérique de la méthode sous forme d'exercice.

**Exercice :** Tout d'abord, on laisse $\varepsilon$ et $h$ varier.

1. Montrer que, pour tout $\varepsilon \in ]0, 1]$ et tout $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in H_0^1(\Omega)$,

$$ |a_{\varepsilon}(\mathbf{v}, \mathbf{w})| \leq (\nu + d)\varepsilon^{-1}|\mathbf{v}|_{1,\Omega}|\mathbf{w}|_{1,\Omega}. $$

2. A l'aide du lemme de Céa, en déduire que

$$ \exists C_1 > 0, \forall \varepsilon \in ]0, 1], \forall h, \quad |\mathbf{u}_{\varepsilon} - \mathbf{u}_{\varepsilon,h}|_{1,\Omega} \le C_1 \varepsilon^{-1/2} \inf_{\mathbf{v}_h \in \mathbf{V}_h^0} |\mathbf{u}_{\varepsilon} - \mathbf{v}_h|_{1,\Omega}. $$

3. En utilisant l'inégalité triangulaire, en conclure que

$$ \exists C_2 > 0, \forall \varepsilon \in ]0, 1], \forall h, \quad |\mathbf{u} - \mathbf{u}_{\varepsilon,h}|_{1,\Omega} \le C_2 \left( \varepsilon^{1/2} + \varepsilon^{-1/2} \inf_{\mathbf{v}_h \in \mathbf{V}_h^0} |\mathbf{u}_{\varepsilon} - \mathbf{v}_h|_{1,\Omega} \right). $$

Supposons que :

- pour tout $\varepsilon > 0$ la solution $\mathbf{u}_\varepsilon$ de la formulation variationnelle "pénalisée" (4.15) est de régularité $H^2$ "par morceaux" sur une partition de $\Omega$ ; 3

- la norme $H^2$ "par morceaux" de la famille de solutions $(\mathbf{u}_\varepsilon)_\varepsilon$ est uniformément bornée.

<footnote n="3">3. Voir la note de bas de page 5, page 41.</footnote>
4. Rappeler pourquoi, si on utilise les éléments finis de Lagrange d'ordre $k$ sur une famille régulière de maillages qui respectent la partition,

$$ \exists C_3 > 0, \forall \varepsilon \in ]0, 1], \forall h, \quad \inf_{v_h \in \mathcal{V}_h^0} |\mathbf{u}_\varepsilon - \mathbf{v}_h|_{1,\Omega} \le C_3 h^{\min(1,k)}. $$

Puisque $\min(1, k) = 1$, on choisit l'élément fini de Lagrange d'ordre $k = 1$ dans l'estimation de la vitesse de convergence. L'idée est maintenant de choisir $\varepsilon$ en fonction de $h$, afin d'assurer la "meilleure" convergence possible.

5. Concernant la vitesse... Pour $h > 0$, on note $\tilde{\mathbf{u}}_h = \mathbf{u}_{\varepsilon,h}$ la solution de la formulation variationnelle discrète (4.19) pour $\varepsilon = h$. Montrer qu'on a l'erreur entre $\mathbf{u}$ et $\tilde{\mathbf{u}}_h$

$$ \exists C_4 > 0, \forall h, \quad |\mathbf{u} - \tilde{\mathbf{u}}_h|_{1,\Omega} \le C_4 h^{1/2}. $$

6. Concernant la pression... Soit l'inconnue discrète auxiliaire $p_{\varepsilon,h} = -\varepsilon^{-1}\text{div } \mathbf{u}_{\varepsilon,h}$. Montrer que

$$ \exists C_5 > 0, \forall \varepsilon \in ]0, 1], \forall h, \quad \|p - p_{\varepsilon,h}\| \le C_5 (\varepsilon^{1/2} + \varepsilon^{-1} |\mathbf{u}_{\varepsilon} - \mathbf{u}_{\varepsilon,h}|_{1,\Omega}). $$

Pour $h > 0$, on note $\tilde{p}_h = -\varepsilon^{-1}\text{div } \mathbf{u}_{\varepsilon,h}$, où $\mathbf{u}_{\varepsilon,h}$ est la solution de la formulation variationnelle discrète (4.19) pour $\varepsilon = h^{1/2}$. Montrer qu'on a l'erreur entre $p$ et $\tilde{p}_h$

$$ \exists C_6 > 0, \forall h, \quad \|p - \tilde{p}_h\| \le C_6 h^{1/4}. $$

7. Que pensez-vous des erreurs obtenues ? La méthode numérique est-elle intéressante ?
# Notes de cours 5

## Problèmes avec contraintes -
Compléments

On s'intéresse encore à la résolution des modèles de Stokes (4.5)-(4.6), et de Stokes "généra-
lisé" (4.7)-(4.8), à l'aide de techniques différentes, mais complémentaires, de celles proposées au
§4. En particulier, la condition sur la divergence reste explicite dans la formulation variationnelle
étudiée. On étudie donc la formulation variationnelle "abstraite"

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
\text{Trouver } u \in \mathcal{V} \text{ tel que} & \\
\forall w \in \mathcal{V}, \quad a(u, w) = \langle \ell, w \rangle_{\mathcal{V}}, & (5.1)
\end{array}
\right.
$$

avec :

$$
- \mathcal{V} = \mathbf{H}_0^1(\Omega) \times L_{vmn}^2(\Omega), \text{ muni de la norme } \|(v, q)\|_{\mathcal{V}} = (|v|_{1,\Omega}^2 + \|q\|^2)^{1/2} ;
$$

$$
- a((\mathbf{v}, q), (\mathbf{w}, r)) = \nu \int_{\Omega} \nabla \mathbf{v} : \nabla \mathbf{w} \, d\Omega - \int_{\Omega} q \operatorname{div} \mathbf{w} \, d\Omega - \int_{\Omega} r \operatorname{div} \mathbf{v} \, d\Omega ;
$$

$$
- \langle \ell, (\mathbf{w}, r) \rangle_{\mathcal{V}} = \langle \mathbf{f}, \mathbf{w} \rangle_{(\mathbf{H}_0^1(\Omega))' \cdot \mathbf{H}_0^1(\Omega)} - \int_{\Omega} rg \, d\Omega \quad (g = 0 \text{ pour Stokes}).
$$

On conserve les notations et le formalisme du §4.

5.1 Approche tout-en-un

On raisonne dans l'espace V, c'est-à-dire que la contrainte est placée au même niveau que l'équation. Voir le §5.2 pour une approche alternative. En préambule, on rappelle que la forme a définie sur V × V n'est pas coercive. En effet,

$$
\forall q \in L_{vmn}^2(\Omega), \quad a((0, q), (0, q)) = 0.
$$

On passe donc par une condition inf-sup, ou de stabilité.

5.1.1 Condition inf-sup abstraite

Le but est ici d'établir une condition inf-sup (cf. (2.13) avec W = V = V) pour la forme a. On sait déjà qu'il en existe une, d'après le caractère bien posé de la formulation variationnelle, établi
au théorème 4.6. Ci-dessous, on souhaite en construire une explicitement, via une construction que l'on pourra "adapter" à la formulation variationnelle discrétisée. Pour $(v, q) \in \mathcal{V}$ non-nul, nous allons chercher $(w^*, r^*) \in \mathcal{V}$ non-nul, dépendant linéairement de $(v, q)$, et tel que

$$|a((v, q), (w^*, r^*))| \geq \alpha' \|(v, q)\|_{\nu} \|(w^*, r^*)\|_{\nu},$$

avec une constante $\alpha' > 0$ indépendante de $(v, q)$. On raisonne par étapes. L'enchainement est "naturel", mais technique...

1. **Cas particulier** $q = 0$. On a $\|(v, 0)\|_{\nu} = |v|_{1,\Omega}$, et

$$a((v, 0), (w, r)) = \nu \int_{\Omega} \nabla v : \nabla w \, d\Omega - \int_{\Omega} r \operatorname{div} v \, d\Omega.$$

Si on choisit $w^* = v$ et $r^* = 0$, on a $a((v, 0), (w^*, r^*)) = \nu |v|_{1,\Omega}^2$, et $\|(w^*, r^*)\|_{\nu} = |v|_{1,\Omega}$. Il suit

$$|a((v, 0), (w^*, r^*))| = \nu \|(v, 0)\|_{\nu} \|(w^*, r^*)\|_{\nu}.$$

2. **Cas particulier** $v = 0$. On a $\|(0, q)\|_{\nu} = \|q\|$, et

$$a((0, q), (w, r)) = - \int_{\Omega} q \operatorname{div} w \, d\Omega.$$

D'après le théorème 4.3, on sait qu'il existe $w_q \in H_0^1(\Omega)$ tel que $\operatorname{div} w_q = q$, et $|w_q|_{1,\Omega} \le C_{\operatorname{div}} \|q\|$, avec $C_{\operatorname{div}} > 0$ indépendante de $q$. Si on choisit $w^* = -w_q$ et $r^* = 0$, on a $a((0, q), (w^*, r^*)) = \|q\|^2$, et $\|(w^*, r^*)\|_{\nu} = |w_q|_{1,\Omega}$. Il suit

$$|a((0, q), (w^*, r^*))| \ge \|q\| \frac{|w_q|_{1,\Omega}}{C_{\operatorname{div}}} = \frac{1}{C_{\operatorname{div}}} \|(0, q)\|_{\nu} \|(w^*, r^*)\|_{\nu}.$$

3. **Cas général.** On cherche $w^*$ sous la forme $w^* = \alpha v - \beta w_q$, avec $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. On a

$$a((v, q), (w^*, r)) = \alpha \nu |v|_{1,\Omega}^2 - \beta \nu \int_{\Omega} \nabla v : \nabla w_q \, d\Omega \\ - \alpha \int_{\Omega} q \operatorname{div} v \, d\Omega + \beta \|q\|^2 - \int_{\Omega} r \operatorname{div} v \, d\Omega.$$

D'après les premier et quatrième termes, on impose d'abord $\alpha > 0$ et $\beta > 0$. Ensuite, on choisit $r^* = -\alpha q$ pour annuler la somme des troisième et cinquième termes. Avec ce choix pour $(w^*, r^*)$, on obtient

$$a((v, q), (w^*, r^*)) = \alpha \nu |v|_{1,\Omega}^2 + \beta \|q\|^2 - \beta \nu \int_{\Omega} \nabla v : \nabla w_q \, d\Omega.$$

Il reste maintenant à contrôler le dernier terme à l'aide des autres. Pour cela, on utilise l'inégalité de Young<fnref n="1" />, avec $\eta > 0$ quelconque :

$$\begin{aligned} -\beta \nu \int_{\Omega} \nabla v : \nabla w_q \, d\Omega &\geq -\frac{\beta \nu \eta}{2} |v|_{1,\Omega}^2 - \frac{\beta \nu}{2\eta} |w_q|_{1,\Omega}^2 \\ &\geq -\frac{\beta \nu \eta}{2} |v|_{1,\Omega}^2 - \frac{\beta \nu (C_{\operatorname{div}})^2}{2\eta} \|q\|^2. \end{aligned}$$

<footnote n="1">1. L'inégalité de Young s'écrit : $\forall x, y \in \mathbb{R}, \forall \eta > 0, 2xy \le \eta x^2 + \eta^{-1}y^2$, en développant $(\eta^{1/2}x - \eta^{-1/2}y)^2 \ge 0$.</footnote>
D'où les minorations

$$a((\mathbf{v}, q), (\mathbf{w}^*, r^*)) \geq \left(\alpha\nu - \frac{\beta\nu\eta}{2}\right) |\mathbf{v}|_{1,\Omega}^2 + \beta\left(1 - \frac{\nu(C_{\text{div}})^2}{2\eta}\right) \|q\|^2$$

$$(\text{choix : } \eta = \frac{\alpha}{\beta} > 0) \geq \frac{\alpha\nu}{2} |\mathbf{v}|_{1,\Omega}^2 + \beta\left(1 - \frac{\beta\nu(C_{\text{div}})^2}{2\alpha}\right) \|q\|^2$$

$$(\text{choix : } \alpha = \beta\nu(C_{\text{div}})^2) \geq \frac{\beta\nu^2(C_{\text{div}})^2}{2} |\mathbf{v}|_{1,\Omega}^2 + \frac{\beta}{2} \|q\|^2$$

$$(\text{choix : } \beta = 1) \geq \frac{\nu^2(C_{\text{div}})^2}{2} |\mathbf{v}|_{1,\Omega}^2 + \frac{1}{2} \|q\|^2.$$

D'où finalement, si on pose $\gamma = \frac{1}{2} \min(\nu^2(C_{\text{div}})^2, 1) > 0$ :

$$a((\mathbf{v}, q), (\mathbf{w}^*, r^*)) \geq \gamma \|(\mathbf{v}, q)\|_{\nu}^2, \quad (5.2)$$

où $\mathbf{w}^* = \nu(C_{\text{div}})^2\mathbf{v} - \mathbf{w}_q$ et $r^* = -\nu(C_{\text{div}})^2q$. On note que $^2$

$$|\mathbf{w}^*|_{1,\Omega} \leq \nu(C_{\text{div}})^2 |\mathbf{v}|_{1,\Omega} + C_{\text{div}} \|q\|, \quad \|r^*\| = \nu(C_{\text{div}})^2 \|q\|.$$

D'où

$$\| (\mathbf{w}^*, r^*) \|_{\nu}^2 \leq 2\nu^2(C_{\text{div}})^4 |\mathbf{v}|_{1,\Omega}^2 + 2(C_{\text{div}})^2 \|q\|^2 + \nu^2(C_{\text{div}})^4 \|q\|^2 \\ \leq (\gamma')^2 \|(\mathbf{v}, q)\|_{\nu}^2,$$

où on a posé $\gamma' = \max(\sqrt{2}\nu(C_{\text{div}})^2, C_{\text{div}}[2 + \nu^2(C_{\text{div}})^2]^{1/2}) > 0$.

Dans le cas général, on a donc prouvé que

$$|a((\mathbf{v}, q), (\mathbf{w}^*, r^*))| \geq \frac{\gamma}{\gamma'} \|(\mathbf{v}, q)\|_{\nu} \|(w^*, r^*)\|_{\nu}.$$

On en déduit une condition inf-sup (cf. (2.13) avec $W = V = \mathcal{V}$) pour la forme $a$.

**Proposition 5.1** La forme $a$ apparaissant dans les formulations variationnelles de Stokes (4.6) et de Stokes "généralisé" (4.8) vérifie une condition inf-sup :

$$\forall (\mathbf{v}, q) \in \mathcal{V}, \quad \sup_{(\mathbf{w}, r) \in \mathcal{V} \setminus \{0\}} \frac{|a((\mathbf{v}, q), (\mathbf{w}, r))|}{\|(\mathbf{w}, r)\|_{\nu}} \geq \alpha'_{St} \|(\mathbf{v}, q)\|_{\nu},$$

où on a posé

$$\alpha'_{St} = \frac{\frac{1}{2} \min(\nu^2(C_{\text{div}})^2, 1)}{\max(\sqrt{2}\nu(C_{\text{div}})^2, C_{\text{div}}[2 + \nu^2(C_{\text{div}})^2]^{1/2})} > 0.$$

**Remarque 5.2** Comme indiqué en préambule, cette condition inf-sup permet de recouvrer le caractère bien posé de la formulation variationnelle en appliquant le corollaire BNB (corollaire 2.15), puisque la forme $a$ est symétrique.

$$\exists C_T > 0, \forall (\mathbf{v}, q) \in \mathcal{V}, \quad \|(\mathbf{w}^*, r^*)\|_{\nu} \leq C_T \|(\mathbf{v}, q)\|_{\nu}.$$

<footnote n="2">2. Si on n'est pas intéressé par une majoration explicite, on note que l'application linéaire $(\mathbf{v}, q) \mapsto (\mathbf{w}^*, r^*)$ ainsi construite, est continue de $\mathcal{V} = \mathbf{H}_0^1(\Omega) \times L_{vmn}^2(\Omega)$ dans lui-même. En d'autres termes</footnote>
### 5.1.2 Utilisation de la T-coercivité

Comme on l'a vu au §2.3.4 pour la diffusion, on peut également raisonner à l'aide de la T-coercivité. En effet, l'application linéaire T définie par

$$T((\mathbf{v}, q)) = (\mathbf{w}^*, r^*) = (\nu(C_{\text{div}})^2\mathbf{v} - \mathbf{w}_q, -\nu(C_{\text{div}})^2q),$$

appartient à $\mathcal{L}(\mathcal{V})$, et vérifie $|||T||| \le \gamma'$. De plus, elle est bijective :

- $T((\mathbf{v}, q)) = (0, 0)$ signifie que $\nu(C_{\text{div}})^2\mathbf{v} - \mathbf{w}_q = 0$ et $q = 0$, c'est-à-dire que $(\mathbf{v}, q) = (0, 0)$, d'où l'injectivité ;

- pour $(\mathbf{w}, r) \in \mathcal{V}$, si on choisit $q = -\nu^{-1}(C_{\text{div}})^{-2}r$ et $\mathbf{v} = \nu^{-1}(C_{\text{div}})^{-2}(\mathbf{w} - \nu^{-1}(C_{\text{div}})^{-2}\mathbf{w}_r)$, alors $(\mathbf{v}, q) \in \mathcal{V}$ est tel que $T((\mathbf{v}, q)) = (\mathbf{w}, r)$, d'où la surjectivité.

D'après ce qui précède, on déduit de (5.2) que la forme $a(\cdot, \cdot)$ est T-coercive, cf. définition 2.16 avec $\alpha = \gamma = \frac{1}{2} \min(\nu^2(C_{\text{div}})^2, 1)$. On peut construire une formulation variationnelle équivalente à (5.1), toujours posée dans $\mathcal{V}$, pour laquelle la forme bilinéaire est continue et coercive : le théorème de Lax-Milgram permet de conclure que celle-ci est bien posée. Enfin, on vérifie que la constante de stabilité apparaissant de la définition 2.5 est inférieure ou égale à $1/\alpha'_{S_t}$.

### 5.1.3 Condition inf-sup discrète

On utilise la méthode des éléments finis, dans un domaine $\Omega$ supposé polygonal si $d = 2$, ou polyédrique si $d = 3$. Le paramètre de discrétisation est égal au pas du maillage, noté $h$. Les éléments finis seront choisis sous certaines conditions. Précisément, des conditions suffisantes pour obtenir une condition inf-sup discrète uniforme.

On note cette fois $(V_h)_h$ la suite des sous-espaces discrets de $H_0^1(\Omega)$, et $(Q_h)_h$ la suite des sous-espaces discrets de $L_{vmn}^2(\Omega)$, et $V_h = V_h \times Q_h$ les sous-espaces discrets de $\mathcal{V}$ correspondants.

**Remarque 5.3** Pour les espaces discrets $(Q_h)_h$, on passe habituellement par une approximation conforme dans $L^2(\Omega)$. Mais il n'est pas aisé de construire des sous-ensembles de fonctions à moyenne nulle... En pratique, la pression étant définie à une constante près, on fixe cette constante en annulant un des degrés de liberté (pour $h$ donné).

Pour $h > 0$ donné, la formulation variationnelle discrète du modèle de Stokes "généralisé" s'écrit :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } (\mathbf{u}_h, p_h) \in V_h \times Q_h \text{ telles que} \\ \forall (\mathbf{v}_h, q_h) \in V_h \times Q_h, \\ \nu \int_{\Omega} \nabla \mathbf{u}_h : \nabla \mathbf{v}_h \, d\Omega - \int_{\Omega} p_h \operatorname{div} \mathbf{v}_h \, d\Omega - \int_{\Omega} q_h \operatorname{div} \mathbf{u}_h \, d\Omega \tag{5.3} \\ \qquad = \langle \mathbf{f}, \mathbf{v}_h \rangle_{(H_0^1(\Omega))' \times H_0^1(\Omega)} - \int_{\Omega} q_h g \, d\Omega. \end{array} \right. $$

Pour établir son caractère bien posé, ainsi que la convergence de l'erreur vers 0, on a vu qu'il fallait disposer d'une condition inf-sup discrète uniforme (3.16), cf. le théorème 3.15. L'idée est,
encore une fois (se souvenir de §3.4.2), de transposer au cas discret : soit la démonstration de la condition inf-sup conclue par la proposition 5.1 ; soit l'utilisation de la T-coercivité du §5.1.2. Dans la suite, nous allons donc réaliser cette transposition, en déterminant sous quelles conditions on peut la mener à bien. En particulier, on verra (voir (5.4)-(5.5) ci-dessous) qu'on ne peut pas définir l'approximation de $\mathbf{H}_0^1(\Omega)$ par $(\mathbf{V}_h)_h$ indépendamment de l'approximation de $L_{vmn}^2(\Omega)$ par $(Q_h)_h$.

Pour $(\mathbf{v}_h, q_h) \in \mathcal{V}_h$ non-nul, nous allons chercher $(\mathbf{w}_h^*, r_h^*) \in \mathcal{V}_h$ non-nul, dépendant linéairement de $(\mathbf{v}_h, q_h)$, et tel que

$$|a((\mathbf{v}_h, q_h), (\mathbf{w}_h^*, r_h^*))| \ge \alpha_\dagger \|(v_h, q_h)\|_V \|(w_h^*, r_h^*)\|_V,$$

avec une constante $\alpha_\dagger > 0$ indépendante de $(\mathbf{v}_h, q_h)$ et de $h$. Si on transpose directement le choix de l'étape 3 pour l'obtention de la condition inf-sup abstraite, on choisit :

$$\mathbf{w}^* = \nu(C_{\text{div}})^2 \mathbf{v}_h - \mathbf{w}_{q_h} \text{ et } r^* = -\nu(C_{\text{div}})^2 q_h,$$

avec $\mathbf{w}_{q_h} \in \mathbf{H}_0^1(\Omega)$ tel que $\text{div } \mathbf{w}_{q_h} = q_h$, et $|\mathbf{w}_{q_h}|_{1,\Omega} \le C_{\text{div}} \|q_h\|$ ($C_{\text{div}} > 0$ indépendante de $q_h$). La difficulté dans le choix ci-dessus est, qu'en général, $\mathbf{w}_{q_h} \notin \mathbf{V}_h$. Pour la contourner, on veut trouver $\mathbf{w}_h^+ \in \mathbf{V}_h$ tel que "div $\mathbf{w}_h^+ = q_h$" en un sens à préciser, et $|\mathbf{w}_h^+|_{1,\Omega} \le C^+ \|q_h\|$, avec $C^+ > 0$ indépendante de $q_h$ et de $h$. Si cela est possible, on choisira à partir de là

$$\mathbf{w}_h^* = \nu(C^+)^2 \mathbf{v}_h - \mathbf{w}_h^+ \in \mathbf{V}_h \text{ et } r_h^* = -\nu(C^+)^2 q_h \in Q_h,$$

et on pourra reproduire les calculs de la condition inf-sup abstraite, $C^+$ remplaçant $C_{\text{div}}$. La démarche est la suivante. On doit trouver des espaces discrets $(\mathbf{V}_h, Q_h)_h$ tels que

$$\exists C_\pi > 0, \forall h, \exists \pi_h \in \mathcal{L}(\mathbf{H}_0^1(\Omega), \mathbf{V}_h) \text{ possédant les propriétés :} \\ \forall \mathbf{v} \in \mathbf{H}_0^1(\Omega), \quad |\pi_h \mathbf{v}|_{1,\Omega} \le C_\pi |\mathbf{v}|_{1,\Omega}; \qquad (5.4)$$

$$\forall \mathbf{v} \in \mathbf{H}_0^1(\Omega), \forall q'_h \in Q_h, \quad \int_{\Omega} q'_h \operatorname{div}(\pi_h \mathbf{v}) \, d\Omega = \int_{\Omega} q'_h \operatorname{div} \mathbf{v} \, d\Omega. \quad (5.5)$$

Si on dispose d'approximations $(\mathbf{V}_h, Q_h)_h$ et d'opérateurs $(\pi_h)_h$ satisfaisant ces propriétés, on va voir qu'on peut choisir $\mathbf{w}_h^+ = \pi_h \mathbf{w}_{q_h}$. Pourquoi ? Les réponses sont simples ! D'après (5.4) et la définition de $\mathbf{w}_{q_h}$, on a

$$|\mathbf{w}_h^+|_{1,\Omega} = |\pi_h \mathbf{w}_{q_h}|_{1,\Omega} \le C_\pi |\mathbf{w}_{q_h}|_{1,\Omega} \le C^+ \|q_h\|, \text{ avec } C^+ = C_\pi C_{\text{div}} > 0. \quad (5.6)$$

Et, d'après (5.5) et la définition de $\mathbf{w}_{q_h}$, on a

$$\forall q'_h \in Q_h, \quad \int_{\Omega} q'_h \operatorname{div} \mathbf{w}_h^+ \, d\Omega = \int_{\Omega} q'_h \operatorname{div} (\pi_h \mathbf{w}_{q_h}) \, d\Omega = \int_{\Omega} q'_h \operatorname{div} \mathbf{w}_{q_h} \, d\Omega = \int_{\Omega} q'_h q_h \, d\Omega. \quad (5.7)$$
**Remarque 5.4** Ci-dessus, on remarque que la propriété "div $\mathbf{w}_h^+ = q_h$" est réalisée en un sens faible, puisqu'on impose uniquement que

$$(\operatorname{div} \mathbf{w}_h^+ - q_h) \in Q_h^{\perp}, \text{ où } L^2(\Omega) = Q_h^{\perp \oplus Q_h^{\perp}}.$$

Mais ceci est suffisant, puisque la condition inf-sup discrète doit être imposée variationnellement dans $V_h \times Q_h$, voir ci-après.

Pour résumer ce qui précède, on choisit finalement

$$\mathbf{w}_h^* = \nu(C^+)^2 \mathbf{v}_h - \pi_h \mathbf{w}_{q_h} \in V_h \text{ et } r_h^* = -\nu(C^+)^2 q_h \in Q_h,$$

avec $(\pi_h)_h$ qui vérifie (5.4)-(5.5), et $C^+ = C_\pi C_{\operatorname{div}}$. Si on reprend les calculs, on trouve

$$
\begin{align*}
a((\mathbf{v}_h, q_h), (\mathbf{w}_h^*, r_h^*)) &= \nu \int_{\Omega} \nabla \mathbf{v}_h : \nabla \mathbf{w}_h^* d\Omega - \int_{\Omega} q_h \operatorname{div} \mathbf{w}_h^* d\Omega - \int_{\Omega} r_h^* \operatorname{div} \mathbf{v}_h d\Omega \\
&= \nu^2 (C^+)^2 |\mathbf{v}_h|_{1,\Omega}^2 - \nu \int_{\Omega} \nabla \mathbf{v}_h : \nabla (\pi_h \mathbf{w}_{q_h}) d\Omega \\
&\quad - \nu (C^+)^2 \underbrace{\int_{\Omega} q_h \operatorname{div} \mathbf{v}_h d\Omega}_{\text{div } \mathbf{v}_h} + \int_{\Omega} q_h \operatorname{div} (\pi_h \mathbf{w}_{q_h}) d\Omega + \nu (C^+)^2 \underbrace{\int_{\Omega} q_h \operatorname{div} \mathbf{v}_h d\Omega}_{\text{div } \mathbf{v}_h} \\
(\text{propriété (5.7)}) &= \nu^2 (C^+)^2 |\mathbf{v}_h|_{1,\Omega}^2 - \nu \int_{\Omega} \nabla \mathbf{v}_h : \nabla (\pi_h \mathbf{w}_{q_h}) d\Omega + \|q_h\|^2.
\end{align*}
$$

On conclut le calcul comme précédemment, grâce à l'inégalité de Young ($\eta > 0$) :

$$
\begin{align*}
-\nu \int_{\Omega} \nabla \mathbf{v}_h : \nabla (\pi_h \mathbf{w}_{q_h}) \, d\Omega &\geq -\frac{\eta\nu}{2} |\mathbf{v}_h|_{1,\Omega}^2 - \frac{\nu}{2\eta} |\pi_h \mathbf{w}_{q_h}|_{1,\Omega}^2 \\
(\text{propriété (5.6)}) &\geq -\frac{\eta\nu}{2} |\mathbf{v}_h|_{1,\Omega}^2 - \frac{\nu(C^+)^2}{2\eta} \|q_h\|^2.
\end{align*}
$$

On choisit, toujours à la suite du calcul abstrait, $\eta = \nu(C^+)^2 > 0$, pour trouver finalement :

$$
\begin{align*}
a((\mathbf{v}_h, q_h), (\mathbf{w}_h^*, r_h^*)) &\ge \frac{1}{2} \nu^2 (C^+)^2 |\mathbf{v}_h|_{1,\Omega}^2 + \frac{1}{2} \|q_h\|^2 \\
&\ge \frac{1}{2} \min(\nu^2(C^+)^2, 1) (|\mathbf{v}_h|_{1,\Omega}^2 + \|q_h\|^2) \\
&= \frac{1}{2} \min(\nu^2(C^+)^2, 1) \|(\mathbf{v}_h, q_h)\|_{\mathcal{V}}^2.
\end{align*}
$$

Par ailleurs, similairement au cas abstrait :

$$
\begin{align*}
\|(\mathbf{w}_h^*, r_h^*)\|_{\mathcal{V}} &\le (2\nu^2(C^+)^4 |\mathbf{v}_h|_{1,\Omega}^2 + 2(C^+)^2 \|q_h\|^2 + \nu^2(C^+)^4 \|q_h\|^2)^{1/2} \\
&\le \max(\sqrt{2\nu(C^+)^2}, C^+[2+\nu^2(C^+)^2]^{1/2}) \|(\mathbf{v}_h, q_h)\|_{\mathcal{V}}.
\end{align*}
$$

La condition inf-sup discrète uniforme suit...
**Proposition 5.5** Si les espaces discrets ($V_h, Q_h)_h$ et les opérateurs $(\pi_h)_h$ satisfont les propriétés (5.4)-(5.5), alors la forme a apparaissant dans les formulations variationnelles de Stokes (4.6) et de Stokes "généralisé" (4.8) vérifie une condition inf-sup discrète uniforme :

$$ \forall h, \forall (\mathbf{v}_h, q_h) \in \mathcal{V}_h, \quad \sup_{(\mathbf{w}_h, r_h) \in \mathcal{V}_h \setminus \{0\}} \frac{|a((\mathbf{v}_h, q_h), (\mathbf{w}_h, r_h))|}{\|(\mathbf{w}_h, r_h)\|_{\mathcal{V}}} \ge \alpha_{\dagger, St} \|(\mathbf{v}_h, q_h)\|_{\mathcal{V}}, $$

où on a posé

$$ \alpha_{\dagger, St} = \frac{\frac{1}{2} \min(\nu^2(C^+)^2, 1)}{\max(\sqrt{2}\nu(C^+)^2, C^+[2 + \nu^2(C^+)^2]^{1/2})} > 0. $$

On peut donc appliquer le lemme de Céa (théorème 3.13), et en déduire la convergence de l'erreur vers 0 si la propriété d'approximabilité (3.9) est vérifiée (voir le théorème 3.15).

### 5.1.4 Exemples de discrétisation

Pour construire les sous-espaces discrets ($V_h, Q_h)_h$ vérifiant (5.4)-(5.5), on s'appuie sur une famille régulière de maillages de $\Omega$, formés de simplexes. Nous donnons deux exemples de discrétisation par éléments finis, en suivant [3].

Premièrement, l'élément fini MINI de degré $k \ge 1$. On donne la définition pour l'élément fini MINI de degré $k = 1$ :

$$ \begin{aligned} V_h &= \{ \mathbf{v}_h \in C^0(\bar{\Omega}) \text{ tel que } \mathbf{v}_{h|\partial\Omega} = 0 \text{ et } \mathbf{v}_{h|_{T_\ell}} \in \{ \mathbf{P}^1(T_\ell) + \text{Bulle}(T_\ell) \}, \forall \ell = 1, L \}, \\ Q_h &= \{ q_h \in C^0(\bar{\Omega}) \text{ tel que } q_{h|_{T_\ell}} \in P^1(T_\ell), \forall \ell = 1, L \}, \end{aligned} \quad (5.8) $$

où, pour tout simplexe $T$, on a défini l'ensemble des "bulles"$^3$ selon

$$ \text{Bulle}(T) = \text{Vect} \left( \prod_{i=1, d+1} \lambda_i^T \right), $$

avec $(\lambda_i^T)_{i=1,d+1}$ les coordonnées barycentriques dans $T$ (on a donc $\dim(\text{Bulle}(T)) = 1$) ; et comme d'habitude $\text{Bulle}(T) = (\text{Bulle}(T))^d$. Il est prouvé, pp. 470-471 pour $d = 2$ et pp. 491-492 pour $d = 3$ dans [3], que l'élément fini MINI vérifie (5.4)-(5.5).

Pour la propriété d'approximabilité, on note que ces espaces discrets contiennent les espaces composés des éléments finis de Lagrange $P^1$ (vectoriels pour $V_h$, scalaires pour $Q_h$) ; la propriété d'approximabilité étant vraie en norme $\| \cdot \|_{H^1(\Omega)}$, voir le §3.4.1, et elle est a fortiori vraie en norme $| \cdot |_{1,\Omega}$ pour $(V_h)_h$ dans $H_0^1(\Omega)$, et en norme $\| \cdot \|$ pour $(Q_h)_h$ dans $L_{vmn}^2(\Omega)$.

Comme annoncé plus haut, d'après le lemme de Céa et la propriété d'approximabilité, on a donc convergence de l'erreur vers 0 pour l'élément fini MINI (théorème 3.15) :

$$ \lim_{h \to 0} (|\mathbf{u} - \mathbf{u}_h|_{1,\Omega} + \|p - p_h\|) = 0. $$

<footnote n="3">3. Une propriété notable d'une "bulle" est qu'elle s'annule sur $\partial T$, c'est-à-dire que son support est égal à $T$.</footnote>
Concernant enfin la vitesse de convergence, si de plus la solution $(u, p)$ de Stokes, ou de Stokes "généralisé", est de régularité $H^2 \times H^1$ "par morceaux", on peut établir que :<fnref n="4" />

$$ \exists C_{St} > 0, \forall h, \quad |u - u_h|_{1,\Omega} + \|p - p_h\| \le C_{St} h. $$

Deuxièmement, l'élément fini de Taylor-Hood $P^{k+1} - P^k$ pour $k \ge 1$.<fnref n="5" /> La définition pour $k = 1$ est :

$$ \begin{aligned} V_h &= \{v_h \in C^0(\bar{\Omega}) \text{ tel que } v_h|_{\partial\Omega} = 0 \text{ et } v_h|_{T_\ell} \in P^2(T_\ell), \forall \ell = 1, L\}, \\ Q_h &= \{q_h \in C^0(\bar{\Omega}) \text{ tel que } q_h|_{T_\ell} \in P^1(T_\ell), \forall \ell = 1, L\}. \end{aligned} \quad (5.9) $$

Pour cet élément fini, les conditions (5.4)-(5.5) sont établies dans [3], pp. 496-504, pour $d = 2, 3$. La propriété d'approximabilité est encore une fois une conséquence de celle déjà énoncée pour les éléments finis de Lagrange, et on en déduit la convergence de l'erreur vers 0 pour l'élément fini de Taylor-Hood :

$$ \lim_{h \to 0} (|u - u_h|_{1,\Omega} + \|p - p_h\|) = 0. $$

Et pour la vitesse de convergence, si la solution $(u, p)$ de Stokes, ou de Stokes "généralisé", est de régularité $H^2 \times H^1$ "par morceaux", on a :<fnref n="4" />

$$ \exists C_{St} > 0, \forall h, \quad |u - u_h|_{1,\Omega} + \|p - p_h\| \le C_{St} h. $$

## 5.2 Approche un-plus-un : formulation variationnelle mixte

On choisit maintenant d'"isoler" la contrainte sur la divergence. Précisément, on écrit

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \text{Trouver } (u, p) \in H_0^1(\Omega) \times L_{vmn}^2(\Omega) \text{ telles que} & \\ \forall v \in H_0^1(\Omega), & \nu \int_{\Omega} \nabla u : \nabla v \, d\Omega - \int_{\Omega} p \, \mathrm{div} \, v \, d\Omega = \langle f, v \rangle_{(H_0^1(\Omega))', H_0^1(\Omega)} \\ \\ \forall q \in L_{vmn}^2(\Omega), & \int_{\Omega} q \, \mathrm{div} \, u \, d\Omega = \int_{\Omega} q g \, d\Omega. \end{array} \right. \quad (5.10) $$

### 5.2.1 Formulation variationnelle mixte abstraite

De façon abstraite, une *formulation variationnelle mixte* s'écrit

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } (u, p) \in V \times Q \text{ tel que} \\ \forall v \in V \quad c(u, v) + \overline{b(v, p)} = \langle f, v \rangle_V, \\ \forall q \in Q, \quad b(u, q) = \langle g, q \rangle_Q, \end{array} \right. \quad (5.11) $$

avec :

— $V$ et $Q$ deux espaces de Hilbert définis sur $\mathbb{C}$;

<footnote n="4">4. Si la solution $(u, p)$ est plus régulière, la vitesse de convergence sera meilleure sous réserve qu'on augmente l'ordre de l'élément fini de façon adéquate.</footnote>

<footnote n="5">5. Pour $k = 0$, c'est-à-dire pour l'élément fini $P^1 - P^0$, on n'a pas de condition inf-sup discrète uniforme!</footnote>