Ainsi, le taux d ‘échec sur une multiplication de deux nombres de l’ordre de la dizaine de mille double si l’exécutant s’interdit de nommer les résultats partiels et les actions intermédiaires : « Sept fois huit, soixante-douze, je pose 2 et je retiens 7, que l’on marque sur ses doigts, etc. » Ces énonciations ne sont pas des commentaires et doivent être apprises par les élèves. Cependant, les rapports PASEC montrent la faible réussite des élèves en écriture, ainsi que sur l’ensemble des tâches demandant un travail écrit. On peut le comprendre en pensant qu’il est difficile au professeur de faire pratiquer l’écriture accompagnée d’énonciations à voix haute dans un groupe de plus de 30 élèves. Mais cela demanderait à être vérifié (nous ne savons rien par exemple de l’équipement des salles de classe en tableaux noirs ou en ardoises et en cahiers), mais une autre explication est possible.

On peut trouver des éléments en ce sens dans les rapports PASEC et comparer sur ce point le Tchad et Madagascar. Ces éléments nous engagent à poser soit, une hypothèse selon laquelle la faiblesse déclarée des élèves du Tchad a pu justifier, comme c’est souvent le cas en France, le renoncement à un enseignement de l’écrit, soit une hypothèse selon laquelle la faiblesse de l’enseignement de l’écrit au Tchad rend compte de la faiblesse des apprentissages des mathématiques dans ce pays, par comparaison avec Madagascar dont les résultats sont bien meilleurs tandis que les conditions générales de pauvreté des élèves semblent proches. Cette alternative devrait être levée par une enquête spécifique, les deux hypothèses ne pouvant être départagées par la simple comparaison des performances en mathématiques et en activités écrites au Tchad et à Madagascar.

La question pourrait être centrale, car avec l'écrit, l'enseignement peut se développer entre les élèves constitués en groupes *par la production d'écrits communs* dont la classe peut débattre lorsque le professeur les publie, et que l'on peut corriger personnellement ou collectivement (Mercier et al., 2001). En outre, les pratiques de l'écrit sont considérées comme difficiles parce qu'elles signifient, pour les professeurs comme pour les familles, que les élèves visent une position de lettrés à forte valeur culturelle.

C'est en tous cas ce que l'on constate en France dans les ZEP, l'écriture signifiant l'entrée dans les pratiques « secondarisées » de pensée réflexive sur l'action. Ces pratiques signifient la possibilité des pratiques de l'étude des savoirs mais, pour les élèves des « zones de discrimination positive », elles signifient l'abandon des positions sociales de leur entourage pour la recherche d'une position dominante d'organisation (de l'action des autres), une forme de trahison familiale. C'est ce qu'ont montré les travaux de l'équipe ESCOL<sup>68</sup>, et en particulier des auteurs déjà cités : Bautier, Rochex, Rayou. Les travaux de l'IREDU<sup>69</sup> déjà cités les

<footnote n="68">68 L'équipe ESCOL (Éducation, Scolarisation) étudie les inégalités sociales de réussite scolaire et la manière dont elles se construisent. Cette préoccupation constante depuis la création de l'équipe en 1987 est transversale à toutes les recherches. Elle se traduit par le développement d'un cadre de pensée sociologique qui mobilise certaines des connaissances produites dans le champ des sciences du langage, de la psychologie, des études littéraires et des didactiques des disciplines scolaires. http://www.circeft.org/?-presentation-escol-235-</footnote>

<footnote n="69">69 Pour la période 2011-2015, le projet de l'IREDU s'inscrit certes dans la continuité des travaux menés antérieurement au sein du laboratoire, mais il s'oriente résolument vers de nouvelles perspectives de recherche. Trois axes structurent le projet scientifique : Axe 1 : La construction des compétences dans les systèmes de formation. Axe 2 : L'utilisation des compétences sur le marché du travail. Axe 3 : L'analyse de l'action publique en éducation et des effets de contexte. Les trois axes du projet partagent une approche méthodologique commune structurée par deux éléments principaux. Le premier concerne la multiplicité des niveaux d'analyse mobilisés dans les recherches ; depuis le niveau macro avec des analyses conduites au niveau des pays, jusqu'au niveau micro, avec des recherches centrées sur la nature des compétences et des attitudes acquises par les individus .../... Des niveaux d'analyse intermédiaires comme l'établissement et la classe sont également appréhendés, niveaux très rarement pris en compte dans la recherche française en éducation. Le second élément concerne la démarche comparative qui est présente au sein des trois axes... http://iredu.u-bourgogne.fr/thematiques.html</footnote>
recoupent, ainsi que certains travaux du laboratoire de didactique LDAR<sup>70</sup>, en France. On trouve des travaux proches en Suisse ou au Québec.

<footnote n="70"><sup>70</sup> Le laboratoire de didactique André REVUZ est né en 2008 de l'association des deux équipes de recherche en didactique de l'Université Paris Diderot : Equipe Didirem (didactique des mathématiques) d'une part et LDSP (didactique des sciences physiques et chimiques), d'autre part. Il bénéficie d'un double rattachement UFR de physique / UFR de mathématiques de l'Université. Il est laboratoire d'accueil pour les didacticiens de plusieurs universités de la moitié nord de la France. Outre l'Université Paris-Diderot, il a actuellement quatre autres universités de tutelle : les universités de Cergy Pontoise, Paris-Est Créteil, Artois, Rouen. http://www.lar.univ-paris-diderot.fr/presentation</footnote>
## 2) Quel est l'état des débats et des tendances ?

### 2.1 Quelles sont les questions clés des discussions en cours dans les publications ?

Les débats portent d'un côté sur les effets de la « réforme des compétences », qui a bien du mal à permettre de définir un enseignement des mathématiques reconnaissable comme tel par les instances de pilotage, les mathématiciens, et les professeurs, (Schneider, 2006) ; de l'autre sur les lignes de force d'une alternative. Presque tous les chercheurs ont proposé de considérer que le mot d'ordre de « former des compétences » devait être interprété comme une demande sociale pour une école formant des citoyens capables de traiter les problèmes du quotidien et de s'engager dans l'étude des questions socialement vives qu'ils rencontreront. Mais les types de réponses proposées font débat. De plus, les effets de cette réforme dans les pays d'Afrique ne sont pas encore observables (PASEC Cameroun)

**Quelles évolutions de l'enseignement pour la formation des compétences ?**

Entre exercice des gestes techniques et résolution de problèmes, les proposants d'une évolution de l'enseignement oscillent entre quatre pôles, qui dialoguent difficilement :

1. Le « programme de Singapour » est défendu par certains mathématiciens (Demailly, s. d.) comme le plus proche de ce que (Ma, 1999) et les travaux anglo-saxons sur la question (Shulman, 1986), (Acioly & Schliemann, 1988) (Carpenter, Fennema, Peterson, & Carey, 1988) ont permis, à des mathématiciens ignorants des problématiques didactiques francophones et réfléchissant à partir de leurs souvenirs personnels d'enseignés, de comprendre du travail professoral ; des associations militantes et une maison d'édition http://www.lalibrairiedesecoles.com/categorie-produit/mathematique tentent de diffuser les moyens d'enseignement correspondants, qui sont, affirment-elles, conformes aux programmes officiels français. Nous n'avons pas trouvé d'évaluation de ces tentatives pouvant faire preuve de leur efficacité.

2. Les propositions des didacticiens ont fortement évolué suite aux derniers travaux d'observation en classe (Chambris, 2008), (Chambris, 2010), (Mounier, 2010), (Mounier, 2013), (Tempier, 2013) et à l'abandon complet des options venues de la réforme dite « des mathématiques modernes » (Artigue, 2004). En dehors de ces travaux doctoraux récents dont les résultats sont fondés sur une analyse empirique statistique, une recherche interdisciplinaire sur l'efficacité des professeurs de CP en mathématiques et en français a été commandée par le PIREF en 2005. Elle a apporté des éléments novateurs fondés sur l'analyse statistique solide d'observations de classe : (Sensevy, 2007), (Piquée, 2007). En effet, il est apparu que les professeurs efficaces développaient des manières pédagogiques proches de celles que décrit Ma pour les professeurs en Chine : ils disposent d'une connaissance profonde des mathématiques qu'ils enseignent et cela leur permet un choix raisonné des systèmes d'objets qu'ils proposent à la manipulation des élèves. Mais surtout, ils sont au fait des systèmes symboliques scripturaux et langagiers qui rendent compte de ces manipulations, ils les présentent sans hésitation et ils accompagnent sans les évaluer les élèves qui s'essaient à leur usage. Ils n'introduisent que des symbolismes qui ont de l'avenir et qui permettent de soutenir le raisonnement dans des jeux de
langage qui seront stables. Tandis que les professeurs expérimentés qui sont mal à l'aise avec la
discipline multiplient les symbolismes intermédiaires et les déictiques, au point que les élèves
ne s'y retrouvent plus dans des explications qui ne font pas théorie : ils sont alors nettement
moins efficaces que les autres en mathématiques et parfois, ce qui rend les observations du
phénomène fortes, ils sont bien moins efficaces en mathématiques qu'en Français (Assude,
Mercier, & Sensevy, 2007). Ces travaux montrent en outre que la disparition des contenus de la
réforme moderniste et des systèmes de représentation qu'elle avait introduits a déstabilisé
durablement le système d'enseignement, parce que la mémoire des solutions pragmatiques
antérieures a disparu. Les didacticiens sont aujourd'hui conscients de ces phénomènes et ils ne
mettent plus en avant le seul mot d'ordre « Enseigner c'est donner des problèmes à résoudre
parce que faire des mathématiques c'est résoudre des problèmes » (Silvy et al., 2013).

3 - Les propositions des psychologues expérimentalistes de l'apprentissage (Bideaud, Meljac, & Fischer, 1991), (Fayol, Barrouillet, & Renaud, 1996) insistent sur ce que l'on nomme « le sens des activités scolaires », un sens qui tient aux **problèmes** que les savoirs enseignés permettent de résoudre (Fayol, 1990), (Fayol, 1991), et dont ils notent l'absence dans les enseignements ordinairement observables comme dans les programmes, sans pour autant produire un corps de problèmes permettant de suivre leurs préconisations et d'en évaluer les effets.

4 - Les travaux venus de la cognitique se fondent sur l'expérimentation de laboratoire relative à « l'acquisition du concept de nombre » depuis (Dehaene & Changeux, 1993), jusqu'au travail remarquable de (Izard, 2006). Cependant, les mêmes auteurs développent sur la base de leurs résultats (Dehaene & Cohen, 1997), (Piazza, Pinel, Le Bihan, & Dehaene, 2007), (Izard & Dehaene, 2008), des propositions d'exercice. Elles sont disponibles en ligne www.lacourseauxnombres.com/ pour les niveaux préscolaires puis, pour les niveaux supérieurs, www.thenumbercatcher.com/nc/. Les effets de ces propositions d'exercices formels sur le terrain ne sont pas évalués, ce qui ne permet qu'un débat faiblement argumenté sur leur intérêt.

Ainsi malgré des publications nombreuses (Fayol, 2003) et dans des collections largement lues (Fayol, 2012) les propositions des psychologues et des cogniticiens, qui s'affirment comme fondées en théorie c'est-à-dire en laboratoire (Wilson, Dehaene, Dubois, & Fayol, 2009) ne sont pas, à ce jour, ni suivies ni évaluées en pratique : elles ne conduisent apparemment pas à une construction curriculaire pouvant fonder un enseignement. Les publications ERMEL, ouvrage collectif de formation publié par l'INRP dans les années 1980-2000, deviennent obsolètes avec leurs références venues pour une grande part de la psychologie constructiviste et pour l'autre, de la contre-réforme qui a suivi le mouvement moderniste des années 1970-80. Alors, les professeurs opposent d'un côté (Brissiaud, Clerc, & Ouzoulias, 1993), ou (Brissiaud, Ouzoulias, & Clerc, 1992), les ouvrages d'enseignement hégémoniques en France, aujourd'hui, vantés par leur auteur principal (Brissiaud, 1988), qui tient à lui tout seul une position originale (Brissiaud, 2002), et de l'autre l'ensemble des didacticiens membres de la COPIRELEM, l'organisation des chercheurs en didactique qui accumule des résultats depuis 40 ans maintenant, organise un congrès annuel auquel participent tous les formateurs de professeurs d'école, et publie des résultats d'observation et des propositions d'enseignement dans la revue « Grand N<fnref n="71" /> » à l'intention des professeurs de mathématiques et de sciences. Mais ces

<footnote n="71">⁷¹ Grand N – la revue de mathématiques, sciences et technologie pour les maîtres de l’enseignement primaire. Créée en 1973 (plus de 40 ans, déjà !), éditée par l’IREM de Grenoble, la revue Grand N était initialement consacrée à l’enseignement des mathématiques à l’école primaire. Elle s’est enrichie en 1990 de l’apport d’autres disciplines scientifiques : la physique, les sciences de la vie et de la terre, et la technologie. À l’heure actuelle,</footnote>
chercheurs n'ont produit que tout récemment un ouvrage d'enseignement qui ne bénéficie pas aujourd'hui du même succès que Brissiaud auprès des professeurs (Peltier, Briand, Ngono, & Vergnes, 2011), (Peltier, Briand, Ngono, & Vergnes, 2012). Les acquis des colloques annuels de la COPIRELEM permettent en revanche un débat constructif permanent. Les chercheurs en didactique qui participent à ces publications et débats (Houdement & Peltier, 1992), (Briand, 1999), (Brousseau, 2004), (Bartolini-Bussi, Mariotti, & Ferri, 2005), (Artigue, 2004), (Briand, Loubet, & Salin, 2004), (Artigue & Houdement, 2007), (Assude et al., 2007) font progressivement évoluer un savoir partagé et cumulatif. Le débat semble incontournable dans le monde français de la formation, et il occupe en effet les échanges sur les mathématiques élémentaires (Brissiaud, s. d.), comme on peut le lire encore en juin dernier sur le site du « café pédagogique »<fnref n="72" />.

Enfin depuis trois ans maintenant, à la suite de la recherche PIREF citée plus haut, des travaux novateurs se développent, en coordonnant pour la première fois des équipes en psychologie et en didactique autour des idées exprimées dans notre principe 5 : Il s'agit de la recherche en cours « ACE » (Apprentissage et Compréhension à l'École) et de ses développements ARITHMECOLE. Nous présenterons ces travaux dans la dernière partie du rapport.

## 2.2 Quelles sont les tendances des discussions en cours dans les publications ?

Certains débats pourraient être instruits par les comparaisons entre pays, qui pourraient être instructives.

Au Liban par exemple, les programmes actuels du Collège sont proches des programmes d'il y a vingt ans ; les méthodes d'autorité sont proches de celles qui prévalaient en France il y a cinquante ans et dont les tenants de la méthode de Singapour sont nostalgiques, pourtant, si les demandes en calcul algébrique sont bien supérieures à celles que l'on fait aujourd'hui en France, si les programmes introduisent les notions d'équation ou d'identités un an plus tôt qu'en France, et si les erreurs sont moins fréquentes au même niveau, ce sont bien les mêmes erreurs que l'on constate dans les deux pays (Abou-Raad & Mercier, 2009). On peut donc affirmer que ces erreurs ne relèvent pas des manières pédagogiques ou de l'organisation du curriculum, mais bien d'un obstacle venu du calcul algébrique même. D'autres comparaisons pourraient nous permettre d'établir des résultats semblables au niveau de l'enseignement élémentaire.

En Suisse francophone, les propositions piagétiennes sont progressivement renouvelées en appui sur les travaux de cognitique et les professeurs « accompagnent le développement des élèves » ce qui les conduit à ne pas dire explicitement les enjeux d'apprentissage des jeux ou situations qu'ils proposent à l'activité des élèves. Cela nous a permis de comparer les effets d'une « pédagogie explicite » à la française à ceux d'une « pédagogie développementale » à la suisse, à propos des questions de mesurage des grandeurs dans les années 4 et 5 de la scolarité élémentaire. Le travail doctoral de (Ligozat, 2008) est, sur ce point aussi, novateur et éclairant, il a montré que dans certaines situations, les manières Suisses n'avaient pas permis aux

<footnote>Grand N est la seule revue française spécialement dédiée aux mathématiques, sciences et technologie à l'école.
http://www-irem.ujf-grenoble.fr/spip/spip.php?rubrique13</footnote>

<footnote n="72">⁷² http://www.cafepedagogique.net/lexpresso/Pages/2014/06/10062014Article635379802978665275.aspx</footnote>
professeurs de trouver un moyen de terminer l'enseignement engagé en indiquant aux élèves les enjeux de l'apprentissage.

En Belgique francophone, la réforme des compétences a été appliquée avec rigueur ce qui permet de suivre la manière dont elle rend flous les enjeux et difficile l'évaluation, dans ce qui ressemble à une expérimentation en grandeur réelle (Schneider-Gilot, 2007). On a pu suivre comment les savoirs mathématiques n'ont pas trouvé d'espace pour être partie intégrante dans la réforme.

Nous allons maintenant poser trois questions qui d'ordinaire n'arrivent pas à faire surface, alors qu'elles sont crucales et que des travaux solides ont prouvé que, dans une société intéressée à son école, des alternatives existeraient.

## La question du nom des nombres, les adjectifs numéraux

Il faut signaler ici avant tout autre élément une discussion que personne n'arrive à rendre publique, mais qui pourtant est sous-jacente à plusieurs travaux actuels. Il existe en effet des variables spécifiques à l'enseignement des mathématiques élémentaires en français sur lesquelles personne n'a à ce jour accepté d'intervenir, quand on sait pourtant qu'il y a là une économie d'au moins une demi année d'enseignement (Miura, Okamoto, Kim, Steere, & Fayol, 1993), (Miura et al., 1994). Il s'agit de la formation des adjectifs numéraux en français de France, qui a été transmise au Québec comme en Afrique et qui rend compte des difficultés de toute la population francophone de ces régions et de France à rédiger un chèque ou à transcrire un nombre sous la dictée (dix-huit mille quatre-vingt-dix-sept euros ne peut commencer à s'écrire que « 18... » et « 18097 » ne peut venir qu'après l'énoncé complet du nombre. Le phénomène est le même dans toutes les langues issues du latin et il est si manifeste que plus personne ne le voit. La démonstration de Miura et al. montre que l'équivalent de 60 à 100 heures de leçons et d'exercices de mathématiques sont perdues. Et ce fait d'observation quotidienne est si profondément ancré dans la « culture » que les mathématiciens renommés se trouvent ridicules d'imaginer porter devant un média quelconque une demande de changement sur cette question.

Le nom des nombres en français standard est pourtant d'une inutile complexité qui fait obstacle à la compréhension de la numération décimale de position, et on le sait depuis vingt ans. Mais une réforme sur ce point paraît hors de propos dans les commissions de travail, chaque fois qu'elle est proposée en France ; elle supposerait une société attentive à son école et à sa langue plutôt que arc-boutée sur des traditions dont plus personne ne connaît la valeur : nommer les nombres dix-un, dix-deux, dix-trois, dix-quatre, dix-cinq, dix-six, dix-sept, dix-huit, dix-neuf (les noms des trois derniers sont, par hasard, conformes), deux-dix, deux-dix-un, etc. comme l'on fait avec cent-un, cent-deux, deux-cent-un, etc., augmenterait immédiatement les performances des élèves francophones en calcul, parce que cela leur permettrait d'énoncer en français ce qu'ils écrivent en écriture chiffrée. Cela est peut-être possible en Afrique, et cela ferait de la langue une théorie élémentaire de l'écriture symbolique des nombres, conformément au principe 4 que nous avons énoncé plus haut. Les élèves seraient toujours à temps d'étudier, en cours d'histoire du Français, les curiosités des parlers régionaux du français numérique (Vaudois, Genevois, Belge, Bourguignon, Provençal, Québécois, Acadien, etc.). Rappelons qu'en France, au XVIIIe siècle, Condorcet avait formulé une proposition semblable dans son dernier ouvrage (Moyens d'apprendre à compter sûrement et avec facilité, ouvrage posthume de Condorcet, 1799)<fnref n="73" />. Cette proposition a été reprise récemment dans un ouvrage

<footnote n="73">73 http://www.leseditionsdunet.com/education/249-moyens-d-apprendre-a-compter-surement-et-avec-facilite--ouvrage-posthume-de-condorcet-jean-antoine-nicolas-de-caritat-condorcet-9782312001630.html</footnote>
d'enseignement par (Brissiaud et al., 1993), mais elle ne pouvait conduire à un changement durable car elle a été rejetée à la même époque par le Conseil National des Programmes et vingt ans plus tard en 2012 par le Comité Scientifique de la Conférence Nationale sur l'Enseignement des Mathématiques http://educmath.ens-lyon.fr/Educmath/dossier-manifestations/conference-nationale, bien qu'elle ait été présentée par Guy Brousseau.

Fuson et ses collaborateurs ont réalisé une étude apportant la preuve de l'avantage de la suite régulière des noms de nombres dans les langues de l'est asiatique. Ils ont comparé l'enseignement de deux suites verbales numériques : la suite conventionnelle dans les langues d'apprentissage et la suite régularisée telle que nous l'avons évoquée ci-dessus. En fin d'année, les élèves ayant participé à l'expérimentation étaient meilleurs que les élèves asiatiques (Ho & Cheng, 1997), (Ho & Fuson, 1998). Quant à (Cho, Weil-Barais, & Hoel, 2009) ils ont montré que, en plus d'un système de dénomination régulier qui ouvre l'accès à des nombres de l'ordre de 30 aux élèves de 5 ans, les parents Coréens ont une grande attention aux situations au cours desquelles ils peuvent engager les très jeunes enfants à des pratiques orales de ces nombres (augmentations, réductions, différences, répétitions, partage)<fnref n="74" /> : ce qui renvois au corps de problèmes élémentaires étudié par (Bartolini Bussi, 1992).

Mais tous ces travaux sont restés lettre morte ou presque en France, où le rapport précieux aux objets culturels conduit à respecter des règles langagières ou orthographiques désastreuses, pour mieux assurer le dressage de générations d'enfants et compliquer les pratiques des adultes faiblement lettrés. Il reste espérer que les professeurs français d'un côté et les autorités des nations francophones de l'autre interviendront bientôt en contournant ces règles : n'a-t-on pas appris, en suivant l'usage de cette banlieue, à nommer par exception « neuf-trois » le département numéro « quatre-vingt-treize », sachant que ce « 93 » est un codage alphabétique pour un élément d'une liste et n'est pas une mesure de grandeur ? La langue populaire démontre parfois des propriétés épistémologiques d'un usage que les analyses savantes n'ont pas toujours su montrer.

## La question du temps d'enseignement

Le temps passé en classe de mathématiques est un temps d'exposition à des objets qui sont peut-être considérés comme objets mathématiques, mais ce n'est pas sûr tant que l'on ne l'a pas observé explicitement. Il s'agit donc d'un observable un peu grossier, sans doute mais si la variation est importante il peut avoir du poids. En Suisse, au début des années 1980, Jean François Perret a mené une enquête sur le temps passé à enseigner les mathématiques, dans les classes de dernière année primaire: le résultat va du simple au double, et les professeurs qui prennent le plus de temps pour cet enseignement sont ceux qui réclament le plus fort des réductions de programme. Mais cette enquête du CRDP suisse n'est plus disponible.

L'instruction obligatoire (socle commun) suppose de 10 à 13 ans de scolarité, selon que les enfants fréquentent ou non la maternelle ; l'année dure en principe 36 semaines mais très souvent l'année d'enseignement explicite est réduite à 33 semaines (départ prématuré en congés, classes de nature, activités périscolaires durant le temps scolaire, absence du professeur, fêtes familiales ou religieuses, maladie, etc.) ; la semaine est maintenant de quatre jours ouvrables et le nombre de séquences effectives de mathématiques varie de 3 à 5 selon l'organisation de l'école, la durée des pauses, le temps passé en remédiation, aide individuelle,

<footnote n="74">⁷⁴ Cependant, un projet (Apprentissage et Compréhension à l'École) propose actuellement une expérimentation à grande échelle en Première année primaire (CP) sur des options jusqu'ici inexplorées : nous en parlerons en réponse aux questions sur les voies de travail prometteuses. Mais pour faire preuve expérimentale les facteurs positifs devront, plus tard, être étudiés séparément.</footnote>
etc. Le temps d'enseignement des mathématiques élémentaires pour le citoyen, et d'enseignement d'un outillage mathématique spécialisé du travailleur le moins qualifié est donc évaluable : pour la France et dans les trente dernières années (maternelle, scolarité à 16 ans, et « pas de fin de scolarité sans un métier »), suivant la manière dont on l'évalue (nombre d'années de scolarité à 15 ans ; nombre de semaines enseignées, nombre d'heures hebdomadaires de mathématiques) le résultat oscille entre 10×33×3=990 heures (sans doute proche de la réalité actuelle dans certaines zones) et 13×36×5=2340 heures (proche de ce que l'on a vu dans les années 1970-1980 et du maximum aujourd'hui possible dans le cas le plus favorable). Donc et très officiellement en France, plus du simple au double selon les parcours et la manière dont la famille scolarise l'enfant, dont l'établissement qui le reçoit organise les choses, et dont l'attention aux mathématiques est éveillée. Quelle est la variation réelle? Nous disposons sur cette question du travail de (Bru, Altet, & Blanchard-Laville, 2004) et de l'ensemble des membres du réseau OPEN, puis de (Renard, 2007) et de Suchaut (Document non édité, 2009 : http://www.fcpe.asso.fr/images/stories/fcpe/Suchaut_temp_scolaire.doc)

> *Un constat s'impose quand on examine l'évolution du nombre d'heures de classe par an sur une longue période (graphique 1). Depuis cent ans, la durée de l'année scolaire a été divisée par 1,5 passant de 1338 heures au début du XXème siècle à un nombre théorique de 864 heures aujourd'hui (840 heures si l'on tient compte des jours fériés). Cette diminution du nombre annuel d'heures d'enseignement correspond à une diminution du nombre de jours d'école (par l'augmentation des jours de congé) et, de fait, à la baisse du nombre d'heures dans la semaine : passage à 27 heures en 1969, puis à 26 heures en 1989. On notera par ailleurs, que depuis cette date on relève une dissociation entre le temps des élèves et celui des enseignants qui bénéficient d'un temps spécifique pour des activités de concertation pédagogique notamment. Depuis 2009, la durée hebdomadaire d'enseignement s'est encore réduite à 24 heures pour les élèves qui n'éprouvent pas de difficulté.*

Au CP, le temps hebdomadaire consacré à la lecture varie entre 7,4 heures et 15,6 heures, celui accordé aux mathématiques de 3,2 à 7,1 heures et moins de 10% des enseignants respectent les horaires prescrits par les textes officiels.

> *Ces résultats sur la variété dans la gestion du temps confirment d'autres constats effectués à ce même niveau de scolarité (Fijalkow & Fijalkow, 1994), en fin d'école primaire (Arnoux, 2004), (Aubriet-Morlaix, 1999) [...] D'autres travaux ont mis en évidence, à partir d'observations précises réalisées dans des classes de l'école élémentaire (CE2) des différences très importantes d'un enseignant à l'autre dans le temps de travail quotidien disponible pour les élèves : jusqu'à 1 heures et 30 minutes entre les classes extrêmes [...] Il est également intéressant de constater que ces différences dans l'allocation de temps entre les disciplines sont très faiblement expliquées par les caractéristiques classiques du contexte scolaire [...].*

Nous pourrions demander à la DEPP si ce genre de corrélations peut être fait: le temps d'enseignement détermine sans doute une part des apprentissages observables, même si l'augmentation de l'acculturation des familles et leur capacité à organiser l'étude hors de la classe a d'évidence permis de le réduire de près de moitié en un siècle. Sans doute on ne peut le raccourcir impunément dans certaines conditions sociales.

Le mathématicien Pierre Arnoux par exemple montre une corrélation forte entre le temps d'enseignement des mathématiques et des sciences en première et terminale scientifique et la proportion des élèves de ces filières qui se sont orientés vers des études scientifiques, trois ans
plus tard http://www.univ-irem.fr/spip2/IMG/pdf/Conference_1_P_Arnoux_.pdf. Mais si ces
affirmations ne sont pas reconnues par les instances dirigeantes au niveau de la préparation à
l'université, elles reçoivent un accord unanime et sont supposées fondées expérimentalement à
l'autre extrémité de la scolarité, dans le cas des enseignements ou accueils préélémentaires :
voici par exemple ce qu'en dit le rapport Eurydice. L'effet est non seulement positif, mais il est
essentiel lorsque le niveau d'éducation des parents ne leur permet pas l'instruction
préélémentaire que donne l'école dite « maternelle ».

La participation des élèves à l'enseignement pré primaire a un effet plus important sur les scores en lecture des élèves en difficulté que sur les résultats de leurs pairs les plus performants. Les données de l'enquête PIRLS 2011 ont montré que le bénéfice de cet enseignement est plus important pour les élèves des familles de plus faible niveau d'éducation que pour ceux dont un parent au moins a un niveau universitaire Cependant, PISA 2012 montre que les élèves dont la famille est peu instruite et de statut socio-économique faible ou immigrante récente avaient une faible probabilité d'avoir suivi cet enseignement pour plus d'une année.<fnref n="75" />

http://eacea.ec.europa.eu/education/eurydice/documents/key_data_series/166EN.pdf

De ce fait, il serait possible que la corrélation soit faiblement explicative et que les deux
phénomènes dépendent semblablement d'un troisième, non repéré dans les enquêtes. Pourtant
le même rapport Pisa 2012 affirme par ailleurs avoir mis en évidence une relation positive entre
la participation au préscolaire et les compétences observées ultérieurement :

[En mathématiques comme ailleurs]... il y a une relation forte entre les deux variables indépendantes « les résultats de la scolarité à 15 ans » et « la scolarisation pré primaire ». Ceux qui n'ont pas reçu cette éducation initiale ont 1,85 fois plus de probabilité d'être dans les élèves les moins performants<sup>76</sup>. Rapport PISA 2012 Vol II.

La fin de l'enseignement primaire comme forme scolaire spécifique, qui a maintenant plus de
40 ans (plus d'une génération de professeurs), a conduit à l'extinction du Certificat d'Études
Primaires, et à la disparition du corps de 1000 à 2000 problèmes que constituaient les Annales
de cet examen de fin d'études. Ils ont d'autant mieux disparu que les métiers qui les motivaient
ont eux aussi changé au point que ces problèmes ne seraient aujourd'hui plus crédibles
(problèmes « de marchands de vin » ou mélanges liquides, « d'escompte » ou prêts et
d'emprunts, problèmes « de trains » ou mouvements uniformes et vitesse, « de baignoires » ou
volumes et débits, problèmes « de travail et de salaire » ou proportionnalité simple et multiple.
Ils motivaient l'enseignement de l'arithmétique pratique et des techniques expertes pour les
quatre opérations : ces enseignements survivent difficilement à la disparition de ces problèmes.
Les performances d'un élève de 14 ans sur ces questions ont bien sûr baissé fortement, cela

<footnote n="75">⁷⁵ ECEC participation has a stronger positive effect on the reading scores of disadvantaged children than on the results of their better off peers. PIRLS 2011 data show that the beneficial impact of ECEC on reading achievement is stronger for children from families with a low level of education, than for those children who have at least one parent with tertiary level education. However, PISA 2012 results indicate that disadvantaged students (those from low socio-economic status, poorly educated and immigrant families) were less likely to have attended ECEC for longer than one year.</footnote>

<footnote n="76">⁷⁶ There is a strong, independent relationship between having attended pre-primary school and performance at age 15. Those who did not participate in pre-primary education are 1.84 times more likely to score at the bottom of the performance distribution.</footnote>
n'est pas difficile à affirmer. Il est si aisé de le vérifier qu'un débat violent existe en permanence en France, sur cette question (Annexe 12). Ce débat a conduit des associations militantes et des mathématiciens à soutenir le programme d'enseignement dit « de Singapour » http://www.lalibrairiedesecoles.com/methode-singapour/ qui se déclare « classique et efficace » avec une pédagogie dite « explicite », s'opposant à une pédagogie « du développement » qui serait devenue la norme inconsciente des pratiques enseignantes observables en France. Nous verrons, dans le cours de notre enquête, que ces critiques ne tiennent pas et que la comparaison avec la Suisse ou les USA montre sinon le contraire, du moins que nous sommes en France loin de la pratique normale d'une pédagogie du développement.

## Le corps des problèmes à étudier et les usages des nombres

Cependant, aucune pédagogie explicite ne peut régler sans autre forme de procès la question du corps de problèmes qui organisent une étude efficace. Cela dépend en effet du principe suivant :

### Principe 3.1

*Tout ce qui est utile et doit être appris ne peut être enseigné explicitement.*

On n'enseigne pas « les règles pour suivre les règles », comme Wittgenstein l'a montré. Par exemple, en société, les règles pour suivre les règles relèvent des comportements convenables pour la culture commune (manières de se saluer, de se vêtir, manières de table, etc.). Il en va de même pour l'usage des savoirs et c'est sans doute ce qu'il manque aux copistes Bouvard et Pécuchet, dans le roman éponyme de Flaubert. Ces usages s'apprennent en pratique, et en mathématiques ce sont des usages langagiers par lesquels les objets, leurs rapports et les manipulations associées sont nommés. Ainsi, on calcule une addition pour savoir une somme, une soustraction pour connaître un écart ou une différence, une multiplication pour un produit, une division pour un partage, une répartition ou une valeur unitaire. Les opérations citées sont binaires, elles mobilisent en effet deux termes, un opérante et un opérateur (deux addendes)<fnref n="77" />, un multiplicande et un multiplicateur, etc.) dont la composition donne un troisième terme : somme, différence, produit, quotient. L'écart entre les règles explicites ou les théorèmes et les règles implicites qui en permettent l'usage situé ne peut être franchi que par l'étude des problèmes dont la solution demande l'usage des savoirs, ce qui se produit parfois longtemps après l'enseignement.

En outre et comme nous l'avons affirmé plus haut, les mathématiques sont une pratique écrite qui manipule des symboles graphiques non langagiers. De ce fait, ces symboles deviennent les objets matériels de l'activité et il est nécessaire de former des éléments langagiers permettant de contrôler la conduite de l'activité. Ces éléments langagiers ont une fonction centrale : ils sont une forme de théorie de celle-ci. Des travaux convergents et nombreux sont développés sur ces questions, par des chercheurs de toutes obédiences théoriques.

Ainsi, Houdement (2014) http://www.aspe.ulg.ac.be/Files/2._houdement_pp.7_34_.pdf observe des élèves et les questionne sur les connaissances qu'ils appellent pour mobiliser les

<footnote n="77">⁷⁷ Le terme « addende » est utilisé en Belgique francophone mais pas en France, ou l'ensemble de ce lexique tend à disparaître, hélas, derrière des désignations déictiques 'le premier nombre', 'le deuxième nombre', 'on fait une soustraction' pour on calcule une différence... Les professeurs pensent apparemment faciliter le travail des élèves en leur désignant directement 'l'opération à faire', mais ils rendent les élèves muets et ainsi, ils les empêchent de penser. C'est une observation de ce type que fait Houdement dans le texte cité, et tous les travaux relatifs aux rapports entre les notations symboliques et les expressions langagières les manques dramatiques du lexique permettant de définir et contrôler les stratégies de l'action.</footnote>
savoirs algorithmiques opératoires à l'aide d'entretiens d'explicitation. Ce chercheur retrouve
par une autre méthode les résultats de (Silvy et al., 2013), dont les observations convergent
avec celles de (Chambris, 2008), toutes observations dont les travaux indépendants de
(Radford, 2000) (Radford, 2002) (Radford, Bardini, Sabena, Diallo, & Simbagoye, 2005)
conduits au Canada, la synthèse sous la direction de (Bartolini Bussi, 2007) et celle de
(Hoffmann, Lenhard, & Seeger, 2005) ou naguère les recherches de (Chevallard & Bosch,
1997) (Bosch & Chevallard, 1999) anticipent l'importance capitale.

Principe 3.2

Les élèves apprennent par eux mêmes, à l'occasion de ce que le professeur leur désigne comme problèmes.

Quelle que soit la pédagogie existante, il existe en effet des élèves qui apprennent, et certains arrivent à dépasser le maître. Il suffit pour cela que des écoles, ou des lieux de transmission de quelque forme, soient ouverts et indiquent les savoirs que l'on peut acquérir. Mais ce qu'ont montré les travaux cliniques en didactique, c'est que tous les élèves apprennent par eux-mêmes, au point que tous les adultes qui savent quelque chose d'un savoir leur affirment spontanément que « ils ne l'ont pas appris à l'école ». Et en effet, ils ont appris grâce à l'école, mais en dehors de l'école. Cela, les enseignements traditionnels « par apprentissage » l'acceptaient en jugeant d'abord si les apprentis « avaient l'œil » et s'il valait de les prendre sur le lieu de travail pour qu'ils y apprennent « le métier ».

Cela nous conduit à énoncer un principe subsidiaire qui est déterminant dans la qualité de tout enseignement des mathématiques :

Principe 3.3

L'enseignement doit organiser les conditions des apprentissages de ce qui doit être implicitement connu pour utiliser les savoirs explicitement enseignés et pour cela, le professeur doit en connaître l'existence et en maîtriser les conditions de vie.

Cela se produit tout naturellement dans les situations d'apprentissage « sur le tas », puisque c'est l'exemple de l'action au poste de travail qui sert comme situation d'enseignement. Mais en classe, les conditions sont nécessairement artificielles puisque les écoles organisent le loisir pris pour étudier : l'arrêt de l'activité productive et la suspension du jugement, l'autorisation du tâtonnement et le temps pour le doute. Il y a là, dans les commencements d'une scolarisation systématique, une révolution culturelle pour les professeurs, mais aussi pour les élèves et leurs familles. Le « travail d'élève » n'est pas un travail, même si l'on considère qu'un(e) élève se produit lui(elle)-même comme adulte instruit(e), car l'action d'un adulte instruit n'est pas l'école, mais dans son extérieur : c'est pourquoi nous l'avons nommé étude. Bien avant que la pédagogie s'oriente vers le jeu en situation, le premier moyen pour convoquer dans l'école même le projet de sortir de l'école outillé par l'instruction, c'est l'étude de corps de problèmes bien identifiés, et sur lesquels il y a un accord général dans la société qui organise cette instruction. Et c'est sans doute là que l'enseignement pêche le plus facilement.

Mais nous ne disposons pas de travaux explicites montrant l'impact des problèmes ou de leur absence, quand bien même des chercheurs en psychologie sociale internationalement connus comme Michel Fayol<sup>78</sup> des chercheurs en didactique (Artigue & Houdement, 2007) et des chercheurs en mathématiques de haut niveau (Grenier & Payan, 1999), ou Pierre Duchet et

<footnote n="78"><sup>78</sup> http://www.cafepedagogique.net/lexpresso/Pages/2014/05/30052014Article635370315675951553.aspx</footnote>
d'autres<sup>79</sup> déplorent leur absence dans l'enseignement français et demandent avec insistance la réintroduction de certains « corps de problèmes ». Nous avons fait référence à ces travaux dans la première partie de ce rapport, et la plupart ne sont disponibles que sur les sites personnels de leurs auteurs, aussi nous allons maintenant tenter de montrer ce dont il peut s'agir dans le cas des nombres entiers, objets des tout premiers enseignements en mathématiques.

On observe par exemple que les enfants doivent imaginer les usages de la comptine numérique qui leur est enseignée aujourd'hui en France dès trois ans. La comptine numérique est une performance dénuée de sens pour des enfants dont on sait qu'ils n'ont pas formé l'idée de numérosité précise au delà de 4. On observe alors que lorsqu'ils cherchent un sens à la comptine, ils s'orientent vers le numérotage des étages dans les ascenseurs, puis des collections d'objets, sans comprendre d'abord et pendant longtemps que le dernier numéro attribué est le nombre de la collection : c'est une notion qui n'est pas construite même s'ils savent statistiquement choisir, de deux collections de bonbons ou de points, la plus nombreuse. Le dénombrement par numérotage fait problème et peut être obstacle à la construction du concept de nombre comme mesure d'une grandeur, un débat vif existe en France à son sujet : nous en avons parlé dans la section 2. Mais l'introduction, dès l'enseignement préélémentaire, de problèmes conduisant à la formation de l'idée qu'un nombre rend compte d'une opération de mesure, cela ne va pas de soi et ne peut être le fait de professeurs isolés. Leurs pratiques de classe s'adaptent donc au problème cognitif de leurs élèves, qu'au mieux ils tentent d'accompagner dans leurs questions et au pire, qu'ils tentent de corriger par la répétition d'exercices de même type.

Dans la tradition française d'après la réforme moderniste des années 1970-1980, le phénomène est général et c'est, pensons nous, ce même phénomène que les résultats francophones à PISA attestent.

Aussi, sans doute, l'une des actions novatrices pour soutenir le travail des professeurs de l'enseignement élémentaire serait sans doute de les doter d'ouvrages pour l'enseignement constitués de corps de problèmes adaptés aux premières questions rencontrées par leurs élèves, afin qu'ils puissent exercer ces élèves sur des questions porteuses de sens, pour eux comme pour leurs familles et pour la société qui engage l'effort d'instruction publique.

L'enquête TIMSS 2003 est particulièrement intéressante sur ces questions, bien qu'elle ne porte que sur ce que déclarent les responsables de l'enseignement et les professeurs :

(Selon les responsables de l'enseignement) Au niveau 4, en moyenne, 81% des questions de mesure (posées dans les évaluations) correspondaient à des éléments du curriculum (et officiellement, devaient avoir été enseignées), ainsi que 68% des questions relatives aux nombres, 62% des questions relatives à l'analyse de données, 54% des questions de schémas et relations, 38% des questions de géométrie<sup>80</sup>.

(Selon les professeurs) Au niveau 4, en moyenne, les professeurs affirment avoir enseigné 86% des questions de mesure, 77% des questions relatives aux nombres,

<footnote n="79"><sup>79</sup> http://mapage.noos.fr/duchet/duchet_travaux_fichiers/pub_dida/mej_ue2004.pdf. ou encore http://mapage.noos.fr/duchet/duchet_travaux_fichiers/pub_dida/rechform.pdf</footnote>

<footnote n="80"><sup>80</sup> At the fourth grade, on average, 81 percent of the measurement topics assessed were included in the participants’ curricula, 68 percent of the number topics, 62 percent of the data topics, 54 percent of the patterns and relationships topics, and 38 percent of the geometry topics</footnote>
80% de l'analyse de données, 79% des questions de schémas et relations, et 55% des questions de géométrie<sup>81</sup>.

Ainsi, les professeurs se montrent plus optimistes que les responsables. C'est un phénomène connu, qui tient à ce que les professeurs jugent des questions posées aux élèves en pensant « Avec ce que j'ai enseigné, est-il possible de traiter cette question ? » tandis que les responsables jugent d'après les programmes explicites. Ainsi les professeurs acceptent des questions qu'ils pourraient en effet poser parce qu'ils en imaginent un corrigé, accompagné du discours suivant : « Vous auriez dû savoir traiter la question puisque le savoir pertinent à cet effet vous a été présenté, à tel moment ». Cela élargit beaucoup le champ des questions acceptables par les professeurs, qui peuvent être les questions réussies seulement par les tout meilleurs élèves. L'écart est cependant important, de 5 à 20%. Et surtout, dans certains domaines, c'est la moitié des questions TIMSS qui au dire des professeurs ne correspondent pas à des techniques enseignées. L'insistance enseignante n'est donc peut-être pas là où on pourrait l'attendre : mais nous n'avons pas d'enquête générale sur ce point. Comment faire évoluer cela ? TIMMS 2003 nous donne d'autres renseignements encore, sur la formation des professeurs mais surtout sur la classe, telle que les professeurs et les élèves la décrivent.

> Aux deux niveaux enquêtés, le livre est le plus souvent l'assise de l'enseignement des mathématiques. En moyenne, deux tiers des élèves disent que leur professeur suit le livre comme principal moyen d'enseignement et un tiers affirment que le livre lui est une ressource supplémentaire.

> *En moyenne, les trois types d'activités les plus fréquentes sont le cours professoral, les travaux dirigés, et l'organisation de résolution de problèmes en autonomie (pour plus de 60% du temps déclaré, au niveau 4) <sup>82</sup>.*

Ainsi, le fait que dans certaines classes tous les élèves ne disposent pas d'un livre pèse sans doute lourd, non seulement sur la possibilité pour les élèves de conduire l'étude des questions enseignées, lors des temps de travail personnel, mais aussi et c'est tout aussi discriminant, sur leur capacité à suivre en classe, dans le livre, le cours professoral.

<footnote n="81"><sup>81</sup> At the fourth grade, across countries on average, teachers reported that 86 percent of the students had been taught the measurement topics, 80 percent the data topics, 79 percent the patterns and relationships topics, 77 percent the number topics, and 55 percent the geometry topics.</footnote>

<footnote n="82"><sup>82</sup> At both eighth and fourth grades, the textbook was often the foundation of mathematics instruction. On average, about two-thirds of students at both grades had teachers who reported using a textbook as the primary basis for their lessons, and another third as a supplementary resource.</footnote>

<footnote>* On average, the three most common instructional activities were teacher lecture, teacher-guided student practice, and students working on problems on their own (totaling 59% of the time at eighth grade and 61% at fourth grade).</footnote>
## 3) Où se placent les différentes activités pilotes ?

### De multiples activités pilotes à petite échelle sont entreprises, dans le monde développé et en développement, où se placent ces interventions en termes d'indication d'impact ?

Plusieurs tendances pédagogiques existent, qui toutes développent des activités pilotes sans pour autant envisager d'en faire une évaluation externe. Certaines sont si peu étendues qu'elles ne peuvent faire l'objet que d'une observation de type anthropologique, comme l'École Freinet de Vence (Go, 2006), d'autres si diffuses qu'on ne peut en savoir aisément ni l'étendue ni l'impact comme le mouvement de l'ICEM<sup>83</sup>, qui se réclame de Freinet (Clanché, Debarbieux, & Testanière, 1994), ou le mouvement des CEMEA<sup>84</sup>, qui met l'accent sur l'éducation populaire et les loisirs (Vannini, 2013). D'autres enfin ont eu pour fonction principale celle d'un laboratoire permettant de produire des phénomènes en faisant bouger les contraintes afin d'en éprouver la force, comme l'École Jules Michelet de Talence, qui fut l'école d'observation pour Guy Brousseau et les chercheurs du COREM : les résultats en sont alors la modélisation des dits phénomènes, et les acquis sont théoriques (Brousseau, Balacheff, Cooper, Sutherland, & Warfield, 1997).

Mais, nous l'avons signalé dans ce rapport, il n'y a eu France, au Québec, en Belgique, en Suisse, et ailleurs dans le monde francophone, que deux programmes de recherche qui cherchent l'administration d'une preuve d'efficacité mesurable par les meilleurs apprentissages des élèves, et qui se sont développés sur un nombre suffisant de classes et d'élèves pour que leurs résultats ne puissent être considérés comme des effets d'enthousiasme dans un petit

<footnote n="83"><sup>83</sup> L'Institut Coopératif de l'École Moderne (ICEM-Pédagogie Freinet) est une association créée en 1947 par Célestin Freinet rassemblant autour de lui un certain nombre de pionniers. Aujourd'hui, agréée par les ministères de l'Éducation nationale et de la jeunesse et de la vie associative, l'ICEM regroupe des enseignants, des formateurs et des éducateurs autour des principes de la pédagogie Freinet.
L'association se donne pour objectifs la recherche et l'innovation pédagogiques, la diffusion de la pédagogie Freinet par l'organisation de stages, par la conception, la mise au point et l'expérimentation d'outils pédagogiques pour la classe, de revues documentaires pour les enfants, les jeunes et les enseignants, et l'édition de publications pédagogiques.</footnote>

<footnote n="84"><sup>84</sup> Les CEMÉA, mouvement d'éducation nouvelle, association d'éducation populaire, et organisme de formation professionnelle sont porteurs depuis plus de 70 ans, d'une large expérience sociale et collective. Les Ceméa sont reconnus d'utilité publique et sont agréés par les grands ministères de l'Éducation nationale, de la Jeunesse et des Sports, de l'Action sociale, de la Culture et de la Communication, des Affaires étrangères...

**L'EDUCATION POUR AGIR**

Les Ceméa, Association nationale se sont donnés cinq grands objectifs :

• Construire l'éducation nouvelle au 21e siècle.

• Faire vivre l'éducation formelle et non formelle, développer les pratiques culturelles et la lutte contre toutes les exclusions.

• Agir dans les institutions pour la jeunesse et l'éducation populaire.

• S'engager pour le développement durable et pour les solidarités nouvelles, entre les générations, en Europe et dans le monde.

• Consolider les centres de vacances et de loisirs et se mobiliser pour le droit aux vacances pour tous.

Les Ceméa sont organisés en réseau national, européen et international. Leur projet s'appuie sur les valeurs de l'éducation nouvelle et la mise en action des individus, par les méthodes d'éducation active.</footnote>
groupe de professeurs : ce sont les projets ACE et ARITHMECOLE que conduit Gérard Sensevy dans les académies de Rennes, Lille, et qui ont pour origine le travail d'innovation réalisé à Marseille, à l'École Saint Charles, « Lieu d'Éducation Associé » de l'IFE-ENS de Lyon. Ces travaux sont réalisés avec l'accord de la DGESCO, accompagnés par les corps d'Inspection, pensés par une équipe pluridisciplinaire de chercheurs en collaboration avec les professeurs impliqués, qui rendent compte régulièrement de leur action et de leurs difficultés incertitudes et innovations. L'ensemble de l'opération se développe progressivement « en tache d'huile » et implique aujourd'hui une centaine de classes de CP, elle donne lieu à évaluation régulière, et cette évaluation de fait selon un plan d'expérience, par comparaison avec des classes témoins de même type de population, elle compare donc école par école, classe par classe, élève par élève.

L'idée est de jouer sur deux tableaux, qu'on peut caractériser comme *pédagogique* et *didactique*, et d'observer les effets de l'opération aussi bien pour les très bons élèves que pour les plus en difficulté, dans les zones favorisées comme dans les plus défavorisées, et d'en tirer des leçons propres à former des professeurs à la gestion d'une forme scolaire profondément renouvelée.

La dimension didactique ou si l'on veut, mathématique et curriculaire est fondée sur ce que nous avons appelé « le principe 5 ». De ce fait, les élèves apprennent dès le début du CP à jouer des écritures numériques en désignant des collections aussi bien par 3+2 que par 4+1 ou par 5, dans des activités de comparaison de grandeurs dont la mesure produit ce type d'écritures : les doigts des deux mains par exemple, ou le jet de deux dés, et la comparaison d'un pari de trois mains droites de trois élèves (qui peuvent produire tous les nombres de 0 à 15, les paris s'écrivant a+b+c) avec un lancer de deux dés par deux autres élèves (qui peuvent produire tous les nombres de 3 à 12, les lancers s'écrivant e+f). Les élèves s'engagent alors dans des raisonnements fondés sur des résultats qu'ils ont mémorisés. Cette première situation n'est bien sûr pas le tout de l'expérimentation, mais elle permet de montrer comment le premier enseignement de l'usage des nombres entiers propose l'entrée dans une pratique scripturale qui ne relève pas du « compter » de « lire écrire compter » mais d'une entrée dans les pratiques de manipulation symbolique associant nombres et opérations. Il faut remarquer aussi que ce projet s'appuie sur les travaux pionniers de Brousseau, qu'il reprend en partie mais renouvelle en fonction des évolutions actuelles du rapport aux mathématiques savantes qui dont référence : le raisonnement sur les questions discrètes remplace la manipulation des symbolismes logiques qu'étaient les diagrammes de Venn.

La dimension pédagogique ou si l'on veut, la gestion des apprentissages du groupe classe et de chaque élève, tient à un dispositif novateur : « le journal du nombre ». C'est un cahier où les élèves écrivent librement leurs idées ou leurs prouesses, sans correction aucune, un cahier où le professeur trouve des questions qu'il reprend et propose à l'étude collective, et le temps de classe où le professeur demande à tel élève d'exposer ses travaux tels qu'ils ont été consignés dans le cahier et renvoie au collectif qui étudie la numération les questions qu'il estime pouvoir être traitées par la classe. En outre, le travail avec les élèves en difficulté consiste en une anticipation des enseignements à venir qui s'appuie sur le journal du nombre de ces élèves et en nourrit le contenu. Ainsi, ces élèves prennent sur les autres une avance qu'ils pourront, mis en confiance, faire valoir en classe dès qu'ils auront repris confiance en eux.

Le projet s'appuie sur l'expérience du LEA « École Saint Charles » à Marseille, qui a mis en place depuis bientôt dix ans un enseignement expérimental du CP au CM2. Mais avec le soutien de la DGESCO qui le finance et de l'inspection de mathématiques qui en suit la diffusion, il se développe aujourd'hui sur une cohorte dont la base est en augmentation rapide
puisqu'il implique en deuxième année l'ensemble des classes recevant les élèves initialement
pris dans le dispositif expérimental au CP : leur nombre a donc doublé d'une année sur l'autre.
Le processus se développe car les résultats sont particulièrement encourageants, les maîtres
entrant dans le projet apprenant de leurs collègues au cours de réunions mensuelles d'équipes
travaillant sous la responsabilité des chercheurs.

Les 1907 élèves des 107 classes expérimentales de 2012-1013 progressent plus que les élèves
des classes témoins, et cette progression est significativement meilleure au seuil de 1/1000, sauf
sur la question de la désignation orale et écrite des nombres, qui n'a pas en effet été l'objet
d'une quelconque attention du projet ACE. Bien sûr, les élèves progressent particulièrement sur
les types de pratiques innovantes de la composition / décomposition additive des nombres dans
des situations où ce travail a un sens en situation, mais ils progressent aussi dans les autres
domaines de la littératie numérique. Et surtout, les élèves les plus faibles qui sont suivis dans
les réseaux d'aide progressent plus vite et leur écart avec les autres s'amoindrit, ce qui est un
résultat exceptionnel puisque d'ordinaire l'écart de creuse au fur et à mesure de la progression
dans la scolarité (c'est aussi ce que l'on observe dans les classes témoin). Sans doute les
résultats doivent être pris avec prudence parce que 21% des élèves ont disparu dans le temps de
l'étude (deux ans), soit qu'ils aient déménagé soit qu'ils aient été absents le jour d'un pré ou
post test, mais la discussion critique montre qu'ils sont robustes.

Il faut remarquer que si au CP, en première année, l'enseignement ACE est centré sur cinq
points d'appui :

- D'abord des *situations* portées par une suite de jeux numériques, visant à la maîtrise de la numération décimale de position dans ses formes de notation chiffrée et de système d'adjectifs numériques, et ce sont en deuxième année les problèmes additifs et leur résolution formelle qui viennent au premier plan : *les mathématiques comme pratique écrite (symbolique)* montrent leurs usages en science comme dans le quotidien.

- Ensuite, l'entraînement explicite et systématique du *calcul mental*, appuyé sur la construction de répertoires de résultats qui peu à peu deviennent disponibles dans le travail écrit comme dans l'évaluation des grandeurs discrètes.

- Puis, la résolution de *problèmes « concrets »* posés en langage courant, qui est toujours un des enjeux de l'enseignement parce que ces problèmes sont les emblèmes scolaires des pratiques numériques sociales.

- Les *problèmes additifs « abstraits »* ; mobilisés par une écriture additive supposée modéliser un problème qui n'est pas déclaré, ils conduisent selon le cas à une opération d'addition ou de soustraction, résolue par évaluation, en ligne ou plus tard posée en colonnes.

- Les questions de la *numération* orale et écrite et de la traduction de l'un dans l'autre système de désignation numérique.

- Les questions de *l'estimation* des grandeurs discrètes, dont on sait par les travaux cognitiques qu'elle appartient aux espèces animales les plus évoluées et qu'elle peut, si elle est entraînée, fonder les pratiques et les techniques culturelles langagières et symboliques de manipulation des grandeurs (la mesure) et en permettre le contrôle a posteriori par les calculs d'ordres de grandeur.

Mais la possibilité et le succès de cette évolution tiennent aussi beaucoup au dispositif pédagogique « le journal du nombre », qui a permis de transformer profondément
l'organisation *bureaucratique* que nous avons décrite comme *norme* des formes scolaires actuelles, et de considérer que peut-être nous assistons à la mise au point d'une *forme scolaire nouvelle*, qui s'appuie sur la connaissance des principes de fonctionnement de toute organisation scolaire pour imaginer une organisation de la transmission des savoirs qu'on hésite encore à qualifier de *démocratique*, parce qu'elle serait efficace pour une part plus grande des enfants d'une classe d'âge et surtout, parce qu'elle leur donnerait l'expérience de leur capacité à produire collectivement les savoirs dont ils auraient besoin en dehors de l'école. On pourra se référer bientôt sur cette question au travail doctoral de Nathalie Vigot, à soutenir le 4 novembre 2014, dont le mémoire sera rapidement disponible comme Hyper Archive en Ligne (HAL).

Il était sans doute possible de trouver quelques études expérimentales plus locales, et de les présenter ici une à une. Leur ambition n'est pas du même type et nous avons tenté, par la forme de ce rapport, de les présenter dans l'espace de pensée qui les a permises et qu'elles nourrissent, dans la première partie du rapport.
En conclusion et en résumé

Quelles preuves détenons nous en provenance des classes en langue
française à travers le monde liant la performance en mathématiques
des élèves des premières classes primaires aux pratiques de
l'enseignement dans la salle de classe ?

L'ensemble de ce rapport cherche des éléments de réponse à cette question. Nous n'y reviendrons pas. La didactique des mathématiques se voulant discipline expérimentale, chaque recherche doctorale engage son auteur dans une expérimentation locale voire ponctuelle dont l'observation et le compte-rendu forment le corps de la thèse soutenue. Tous les résultats sont donc évalués quant à leur efficacité... sur une classe ou quelques classes, dans des conditions toujours particulières puisque les professeurs se sont personnellement engagés dans une expérimentation.

Les chercheurs français considèrent jusqu'ici que, sur les questions d'enseignement qui nous sont si mal connues à ce jour, les phénomènes à observer sont tellement massifs qu'on ne peut les rater en observant une seule classe, ils agissent aussi comme s'ils pensaient que les phénomènes que l'on réussit à produire et à observer une fois sont absolument prégnants et pourraient être produits de nouveau en tout point du système étudié ou presque.

Il semble que cette attitude intellectuelle change progressivement, au fur et à mesure que les constructions théoriques se stabilisent. Mais le changement prendra encore longtemps car il suppose identifiées et reconnues les variables du système étudié. Une des ambitions de ce rapport était justement de commencer à proposer quelques candidats à ce statut, pour que les décisions qu'il engagerait à prendre puissent dorénavant être évaluées et que cette évaluation puisse faire preuve. En ce sens, le rapport est supposé pouvoir faire l'état des lieux et des savoirs, et être porteur de consensus.

Voici donc, d'abord, l'ensemble des principes qui ont été énoncés au long de ce rapport et qui constituent les acquis les plus généraux de la recherche francophone mais aussi, mondiale, sur le fonctionnement des systèmes d'enseignement.

Le principe 1 énonce une propriété de l'économie d'un système d'enseignement et les principes 1.n en énoncent les conséquences. Le principe 2 énonce une propriété institutionnelle d'un système d'enseignement et les principes 2.n en énoncent les effets épistémologiques pour les élèves. Le principe 3 énonce une contrainte pédagogique et les principes 3.n en énoncent les effets épistémologiques sur les connaissances apprises. Le principe 4 énonce un ensemble de résultats épistémologiques sur les mathématiques leur fonctionnement et donc, leur apprentissage. Ses conséquences ne sont pas envisagées dans le rapport car elles relèvent plutôt d'un travail sur les curriculums.

**Principe 1** : L'efficacité d'un système d'enseignement moderne est liée à une rationalisation de l'enseignement des savoirs, qui sont alors constitués en disciplines scolaires et présentés selon un ordre préétabli.
- Principe 1.1 : Les élèves n'apprennent pas seulement ce qu'on leur enseigne explicitement, mais la plupart apprennent aussi ce qui est leur est utile pour apprendre ces savoirs.

- Principe 1.2 : L'étude fait le lien entre l'enseignement et l'apprentissage.

- Principe 1.3 : Le professeur commence par le commencement.

- Principe 1.4 : Le commencement d'un enseignement fait sens pour la société où l'enseignement est organisé ; de ce fait, nous devons considérer que le choix n'appartient pas au professeur.

- Principe 1.5 : Le professeur organise une progression telle que, (en pratique, et il peut l'affirmer aux élèves) rien ne soit demandé aux élèves qui n'ait pas été enseigné.

- Principe 1.6 : Ce qui est enseigné désigne ce qui doit être appris et le détermine donc, dans la mesure où ce qui doit être appris trouve (à l'école ou à l'extérieur) des conditions pour être étudié.

**Principe 2 :** Le professeur enseigne à un collectif d'individus qui étudie en groupe institué.

- Principe 2.1 : Le rapport des élèves au savoir enseigné ne peut être séparé des connaissances venues de la situation d'enseignement qui produit la nécessité de savoir.

- Principe 2.2 : Le rapport des élèves au savoir enseigné ne peut être séparé de leur expérience des situations d'évaluation de leurs apprentissages, qui produisent la nécessité d'agir à l'aide de leur savoir.

**Principe 3 :** Les manières d'organiser l'étude, que les élèves conduisent collectivement et personnellement, déterminent les types de savoir que des élèves qui étudient peuvent apprendre.

- Principe 3.1 : Tout ce qui est utile et doit être appris ne peut être enseigné explicitement.

- Principe 3.2 : Les élèves apprennent par eux mêmes, à l'occasion de ce que le professeur leur désigne comme problèmes, en enseignant.

- Principe 3.3 : L'enseignement doit organiser les conditions des apprentissages de ce qui doit être implicitement connu pour utiliser les savoirs explicitement enseignés et pour cela, le professeur doit en connaître l'existence et en maîtriser les conditions de vie.

**Principe 4 :** Les mathématiques sont un ensemble de pratiques mobilisant des outils symboliques (graphiques et scripturaux) grâce à des pratiques gestuelles et langagières qui en indiquent le sens et qui en permettent le contrôle.

Comme nous l'expliquons tout au long du rapport, les données empiriques manquent pour répondre de façon totalement satisfaisante aux questions posées. De ce fait, nous avons traité dans cette étude la question d'un point de vue assez général.

Nous avons pu avoir une attention particulière sur les pays en développement, mais nous n'avons pas pu cerner suffisamment les spécificités des pays développés relevant de notre étude (Québec, Belgique francophone, Suisse romande). Il est avéré, par exemple, qu'il existe des différences de pratiques importantes entre le Québec et la France ; différence qui à elle seules pourraient expliquer une partie des différences dans les résultats observés. Ces différences
seraient d'autant plus importantes à étudier que l'enseignement des mathématiques et la
formation des maîtres de l'élémentaire des pays en développement subit certes une forte
influence des conceptions française, mais aussi dans une mesure plus ou moins importante
selon les pays, des conceptions belges (i.e. l'approche par compétences) et québécoise (i.e.
l'évaluation des connaissances).

Il reste que nous avons pu vérifier que pour ces pays il n'existe pas davantage d'études empiriques larges sur les rapports entre pratiques et résultats qu'il n'en existe dans le cas strictement français.

Résumé du rapport et de ses résultats

Nous avons enquêté à partir de nos positions universitaires dans trois pays. La France où nous avons consulté les chercheurs internationalement renommés des laboratoires LDAR, ADEF, CREAD, leurs directeurs que nous avons personnelment interrogés, et les chercheurs de l'Institut Français de l'Éducation, les IREM et l'Association des Professeurs de Mathématiques, l'APMEP. La Belgique (Université de Liège) et le Québec (Université de Montréal). Nous avons interrogé en Suisse un professeur de la FAPSE (Université de Genève). Et nous avons aussi personnellement interrogé en Italie le professeur Bartolini-Bussi, responsable d'une équipe d'enquête mondiale sur les premiers enseignements des mathématiques pour ICMI (International Commission on Mathematical Instruction). Cette Commission tiendra un congrès sur cette question à Macao en 2015.

Nous avons consulté aussi bien sûr la bases de données internationale MATHEDUC, qui comprend plus de 100 000 références des articles de l'ensemble des revues professionnelles et de recherche sur l'enseignement des mathématiques dans le monde. Nous avons aussi cherché par le moyen d'autres bases comme la base US ERIC, ou la base française HAL qui archive (textes et hypertextes en ligne) l'ensemble des travaux doctoraux conduits dans les universités françaises qui ont reçu une autorisation de publication, et tous les articles libres d'accès que leur auteur universitaire veut bien rendre consultables. Nous avons aussi enquêté par le moyen des sites de revues spécialisées et de leurs éditeurs comme Springer, des encyclopédies en ligne comme Wikipedia et Universalis. Nous avons aussi consulté les éditeurs francophones en sciences humaines et sociales qui mettent en ligne leurs références comme CAIRN-info, dont le moteur de recherche, comme celui de Google Scholar, cible progressivement les centres d'intérêt d'une enquête et classe les travaux indexés selon le nombre de leurs citations. La base SUDOC, qui fédère l'ensemble des bibliothèques universitaires françaises, et la Bibliothèque Denis Diderot, de l'Institut Français de l'Éducation ainsi que son Service de Veille Scientifique nous ont servi d'appui. Au terme de cette enquête, nous avons été convaincus de cette évidence : il n'y a pas, jusqu'à aujourd'hui, des travaux systématiques cherchant à produire des résultats d'observation empirique bien établis sur les questions des pratiques de classe et de leur efficacité relative à des publics spécifiés.

Cependant, nous avons pu identifier, avec l'aide des personnes que nous avons consultées, des résultats de la recherche produite dans le monde francophone, en termes de « principes de fonctionnement » et de « conditions d'efficacité ». Les principes de fonctionnement sont les résultats de la recherche francophone sur les systèmes d'enseignement, et les conditions d'efficacité de ce fonctionnement sont les résultats confirmés des travaux doctoraux et des contrats de recherche qui, le plus souvent, portent sur l'étude serrée d'un cas décrit en détail ou l'identification d'un phénomène et de son emprise.
Mais nous avons pu noter une évolution récente des travaux sur l'enseignement des mathématiques, en France, avec d'abord les travaux commandés par le PIREF (Programme Incitatif de Recherche en Éducation et Formation) en 2004 et une recherche interdisciplinaire (didactique, sociologie et psychologie) sur l'efficacité des professeurs de CP (première année primaire) en mathématiques et en français (lecture-écriture) qui a montré comment la compétence de certains professeurs était différente selon la matière d'enseignement, et relevait donc de leur rapport personnel à cette matière.

La même équipe du CREAD, à Rennes, a aujourd'hui engagé, en association avec des laboratoires de psychologie et cognitique, pour le ministère de l'Éducation avec un financement de la DGESCO (Direction Générale des Enseignements Scolaires), un travail expérimental de grande envergure nommé ACE (Apprentissage et Compréhension à l'École) qui porte sur l'enseignement des mathématiques en Première année et propose à la fois des contenus nouveaux avec le développement précoce de pratiques écrites de désignation additive des nombres et des pratiques pédagogiques innovantes avec le Journal du nombre que tiennent les élèves comme un cahier d'expérimentation et de questionnement que le professeur peut reprendre au compte de la classe. Une école expérimentale soutenue par l'IFE, le LEA (Lieu d'Éducation Associé) Saint Charles, à Marseille, avait depuis quatre ans testé les propositions mathématiques, cinq écoles expérimentales ont testé une version prototypique en 2010-2011, puis le projet a mis en place (par la coopération des chercheurs et des professeurs expérimentés) une mise à l'épreuve des contenus et des dispositifs pédagogiques dans 60 classes, et a comparé les résultats dans 60 autres classes semblables par leurs publics, avant de proposer l'enseignement expérimental aux classes témoins dès l'année suivante, en 2013-2014. Car les acquis des élèves sont si significativement meilleurs sur tous les plans (y compris là où l'expérimentation n'a pas proposé d'innovation comme pour la numération) qu'il était impossible de poursuivre.

Ainsi, nous aurons là des résultats expérimentaux solidement établis, dont nous connaîtrons bientôt les conditions de réalisation (les publications sont attendues, mais sans doute, l'accompagnement collectif des professeurs par l'équipe des chercheurs, dans un travail de suivi collaboratif sur une durée d'au moins deux ans s'avèrera indispensable). Une suite en deuxième année a été décidée par la DGESCO, c'est le projet ARITHMECOLE qui démarre en cette rentrée sur le même modèle. On espère que l'ensemble sera évalué par ses effets d'apprentissage dans le cadre ordinaire des enquêtes de la DEPP (Direction de l'Évaluation et de la Prospective) au CE2, mais ces résultats ne seront pas disponibles avant 2016.

Les projets dont nous venons de rendre compte sont en cours, et ne sont pas soumis aux conditions particulières des pays d'Afrique dont l'enseignement élémentaire est partiellement ou totalement francophone. Les résultats que nous avons mis en avant sont génériques, mais leur usage dans les conditions particulières de ces pays ne peut se faire sans expérimentation précise car leur domaine de validité n'a pas été établi. Au delà des enquêtes remarquables en économie et en sociologie de l'éducation qui ont été diligentées dans les années 2000, il s'avère donc nécessaire aujourd'hui d'engager des travaux expérimentaux d'envergure, sachant que comme pour ACE et ARITHMECOLE il est possible de les imaginer aujourd'hui en les fondant sur l'identification des grandes variables internes d'un système d'enseignement que notre rapport a commencé à identifier : elles permettent nous le pensons de poser les (bonnes) questions qui apporteront des informations utiles à la direction efficace d'un système d'enseignement bien installé dans son environnement social et culturel.
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