# Un théorème brunnien pour les familles finies de variables aléatoires

Stéphane Dugowson

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Stéphane Dugowson. Un théorème brunnien pour les familles finies de variables aléatoires. 2025. hal-04962208

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# Un théorème brunnien pour les familles finies de variables aléatoires

Stéphane DUGOWSON*

22 février 2025

**Abstract.** In 2014, during a study on the connectivity structures of quantum entanglement, I specifically introduced the notion of the connectivity structure of a family of random variables — a structure that expresses the dependency relations between the variables in question — and I stated the following proposition ([10] p. 42), which can be described as Brunnian in reference to Hermann Brunn’s work on links [3] : *Every finite connectivity structure is that of a family of random variables*. At the time, however, I neglected to write down the proof of this assertion, merely providing an intuitive idea of it. The purpose of this article is to present such a proof.

**Keywords:** Connectivity structures, random variables, probabilistic independence.

**Résumé.** En 2014, à l'occasion d'un travail sur les structures connectives de l'intrication quantique [10], j'ai défini la notion de *structure connective d'une famille de variables aléatoires* et j'ai énoncé la proposition suivante, qui peut être qualifiée de brunnienne en référence aux travaux de Hermann Brunn sur les entrelacs [3] : *toute structure connective finie est celle d'une famille de variables aléatoires*. L'objet de cet article est d'en présenter une démonstration complète.

**Mots clés :** Structures connectives, variables aléatoires, indépendance.

**MSC 2020 :** 60A05, 54A05.

<footnote>*ISAE-Supmeca. Courriel : stephane.dugowson@isae-supmeca.fr</footnote>
## Introduction (English)

Without having formalized the notion of a connectivity structure, Hermann Brunn essentially stated in his 1892 paper that every finite (integral<fnref n="1" />) connectivity structure can be realized by a link embedded in the ambient space $R^3$. While Brunn did indeed propose a construction of such a link based on what Rolfsen would call *brunnian* links in 1976 [14], it was not until 1961, with the works of Debrunner [4, 5], that a rigorous proof was given for a similar statement (albeit in an ambient space of dimension ≥ 4). Then, in 1985, Kanenobu [12, 13] provided a proof of the Brunnian claim in dimension 3. As for the notion of connectivity structure and the category of connectivity spaces, they seem to have been explicitly introduced for the first time by Börger in 1981 [1, 2], and we ourselves began a more in-depth study of them starting in the early 2000s [7, 8, 9, 6].

Whenever it is possible to associate a connectivity structure with the objects of a certain class, one can, in particular, raise the *Brunnian* question of whether every connectivity structure of a certain type belongs to an object in that class. For example, in 2015 we established that any integral connectivity structure on a set $I$ (finite or otherwise) can be realized by a multiple relation [11]. In the same vein, while working around the same time on quantum entanglement involving several particles, it was natural to wonder about the connectivity structure that expresses the dependence or independence of the random variables making up a family. Although this notion and the underlying idea for proving a Brunnian theorem for such random variable families were indeed laid out in [10] (p. 42), I had not, at the time, written up a full proof. That proof, which turned out to be considerably more delicate than I had anticipated, is presented here in the case of finite integral connectivity structures.

## Introduction (français)

Sans avoir formalisé la notion de structure connective, Hermann Brunn avait en substance affirmé dans son article publié en 1892 que toute structure connective intègre finie est celle d'un entrelacs plongé dans l'espace ambiant $R^3$. Si Brunn avait effectivement proposé une construction d'un tel entrelacs fondée sur l'utilisation des entrelacs qui seront qualifiés de *brunniens* par

<footnote n="1">¹Connectivity structures are said to be *integral* when all singletons are connected.</footnote>
Rolfsen en 1976 [14], il faudra en fait attendre 1961 avec les travaux de Debrunner [4, 5] pour avoir une démonstration rigoureuse d'un énoncé analogue, mais dans un espace ambiant de dimension $\ge 4$, puis 1985 avec ceux de Kanenobu [12, 13] pour une démonstration de l'affirmation brunnienne en dimension 3. La notion de structure connective et la catégorie des espaces connectifs semblent quant à elles avoir été explicitement considérées pour la première fois par Börger en 1981 [1, 2], et nous en avons nous-même approfondi l'étude à partir du début des années 2000 [7, 8, 9, 6]. Chaque fois qu'il est possible d'associer une structure connective aux objets d'une certaine classe, on peut en particulier se poser la question *brunnienne* de savoir si toute structure connective d'un certain type est celle d'un objet de cette classe. Nous avons par exemple établi en 2015 que toute structure connective intègre sur un ensemble *I* (fini ou non) est celle d'une relation multiple [11]. Dans le même ordre d'idées, travaillant à la même époque sur l'intrication quantique impliquant plusieurs particules, il était naturel de s'interroger sur la structure connective exprimant la dépendance ou l'indépendance de variables aléatoires constituant une famille. Si cette notion et l'idée devant présider à la démonstration d'un théorème brunnien pour de telles familles aléatoires ont bien été données dans [10] (p. 42), je n'avais pas à l'époque rédigé une telle démonstration. Celle-ci, qui devait d'ailleurs s'avérer nettement plus délicate à établir que ce que je croyais, est donc proposée dans le présent article, dans le cas des structures connectives intègres finies.

# 1 Notations et rappels

Dans tout ce qui suit, sauf mention contraire, *n* désigne un entier naturel non nul et *I* l'ensemble {1, 2, ..., *n*}. Pour tout ensemble *A*, nous désignons par $card(*A*)$ ou $|*A|$ son cardinal, et par $\mathcal{P} *A$ l'ensemble de ses parties. Pour toute partie $J \in \mathcal{P} *I$, nous notons $\neg J$ le complémentaire de *J* dans *I*.

**Rappels et notations relatives aux structures connectives.** Pour l'ensemble des notions, définitions et notations relatives aux structures connectives, nous renvoyons le lecteur aux articles [8] et [9] (cette dernière référence comportant également quelques références historiques à ce sujet). Ainsi, $\mathbf{Cnct}(I)$ désigne la catégorie (ordonnée par l'inclusion) des structures connectives *intègres* sur *I*, c'est-à-dire des structures connectives pour
lesquelles les singletons sont connexes. Rappelons que toute structure connective $\mathcal{K}$ induit une structure connective $\mathcal{K}_J$ sur toute partie $J \in \mathcal{P}I$, à savoir $\mathcal{K}_J = \mathcal{K} \cap \mathcal{P}J$. La structure connective intègre sur $I$ engendrée par un ensemble $\mathcal{J}$ de parties de $I$ est notée $[\mathcal{J}]$. Pour tout $\mathcal{K} \in \mathbf{Cnct}(I)$, nous désignons par $\tilde{\mathcal{K}}$ l'ensemble

$$ \tilde{\mathcal{K}} = \{K \in \mathcal{K}, K \text{ est irréductible, et } \mathrm{card}(K) \geq 2\}. $$

L'ensemble $I$ étant fini, on a<fnref n="2" /> $\mathcal{K} = [\tilde{\mathcal{K}}]$ pour tout $\mathcal{K} \in \mathbf{Cnct}(I)$. En outre, $\tilde{\mathcal{K}}_J = \tilde{\mathcal{K}} \cap \mathcal{P}J$.

# 2 Dissociations ensemblistes, respect et contestations

## 2.1 Dissociations ensemblistes

Nous appelons *dissociation ensembliste*, ou simplement *dissociation*, toute paire $\{J_1, J_2\}$ de parties de $I$ non vides et disjointes. Le domaine $J$ d'une dissociation est l'union, notée $J = J_1 \cup J_2$, des deux parties qui la composent. Nous dirons également qu'une telle dissociation est *une dissociation de J*. Les dissociations dont le domaine est $I$ seront dites *globales*. Noter que le domaine d'une dissociation a toujours au moins deux éléments. On note $\mathcal{D}$ l'ensemble des dissociations et, pour toute partie $J$ de $I$, $\mathcal{D}(J)$ l'ensemble des *dissociations de J* :

$$ \begin{aligned} \mathcal{D} &= \{\{J_1, J_2\} \in \mathcal{P}I, (J_1 \neq \emptyset \neq J_2) \wedge (J_1 \cap J_2 = \emptyset)\}, \\ \mathcal{D}(J) &= \{\{J_1, J_2\} \in \mathcal{D}, J_1 \cup J_2 = J\}. \end{aligned} $$

Pour toute dissociation $\sigma$, on pourra également noter $\sigma_{(1)}$ et $\sigma_{(2)}$ les parties qui la constituent et $\bar{\sigma}$ son domaine, de sorte que $\bar{\sigma} = \sigma_{(1)} \cup \sigma_{(2)}$. Soulignons que les parties $\sigma_{(1)}$ et $\sigma_{(2)}$ sont numérotées pour des raisons pratiques, mais qu'en fait il n'y a pas d'ordre entre elles (les échanger laisse la dissociation $\sigma$ inchangée).

<footnote n="2">²Voir les propositions 5 et 16 de [8].</footnote>
## 2.2 Contestations et respect des dissociations ensemblistes

Considérons une dissociation $\sigma \in \mathcal{D}$, dont nous noterons également $J = \bar{\sigma}$ le domaine et $J_i = \sigma_{(i)}$, où $i \in \{1, 2\}$, les composantes. Nous dirons qu'une partie $A$ de $I$ conteste, entrave ou encore chevauche $\sigma$, et nous écrirons $A \dashv \sigma$, si $A \subset J$ et $A \cap J_1 \neq \emptyset \neq A \cap J_2$, autrement dit si $A \in \mathcal{P}J \setminus (\mathcal{P}J_1 \cup \mathcal{P}J_2)$. À noter que, par définition, une dissociation est toujours contestée par son domaine : $\bar{\sigma} \dashv \sigma$. A contrario, si $A \in \mathcal{P}I$ ne conteste pas $\sigma$, nous écrirons $A \not\dashv \sigma$ ou $A \dashv \sigma$, et nous dirons que $A$ valide ou respecte $\sigma$. Ainsi, pour toute partie $A$ de $I$, on a $(A \dashv \sigma) \leftrightarrow (A \not\subset J) \lor (A \subset J_1) \lor (A \subset J_2)$. Pour tout ensemble de parties $A \subset \mathcal{P}I$, posons

$$ \negwedge \sigma = \{A \in A, A \dashv \sigma\} = \{A \in A \cap \mathcal{P}\bar{\sigma}, A \dashv \sigma\}. $$

Si $\negwedge \sigma \neq \emptyset$, nous dirons que $A$ conteste $\sigma$ et nous écrirons $A \dashv \sigma$. Dans le cas contraire, nous dirons que $A$ respecte ou valide $\sigma$, et nous écrirons $A \not\dashv \sigma$ ou $A \dashv \sigma$, de sorte que l'on a les équivalences

$$ (A \dashv \sigma) \leftrightarrow (\forall A \in A, A \dashv \sigma) \leftrightarrow (\forall A \in A \cap \mathcal{P}J, (A \subset J_1) \lor (A \subset J_2)). $$

## 2.3 Restrictions des dissociations

La proposition suivante découle immédiatement des définitions.

**Proposition 2.1.** Soient $L$ et $J$ deux parties de $I$ telles que $L \subset J$, et soit $\sigma \in \mathcal{D}(J)$. Si $L \dashv \sigma$ alors les traces sur $L$ de $\sigma_{(1)}$ et de $\sigma_{(2)}$ déterminent une dissociation $\sigma|_L$ de $L$, à savoir $\sigma|_L = (L = (\sigma_{(1)} \cap L) \sqcup (\sigma_{(2)} \cap L)) \in \mathcal{D}(L)$.

La dissociation $\sigma|_L$ ainsi induite sur $L$ sera appelée la trace ou la restriction à $L$ de la dissociation $\sigma \in \mathcal{D}(J)$.

**Unions jointes.** Les paires de parties non vides de $I$ qui ne sont pas des dissociations joueront également un rôle important dans cet article. On appellera union jointe l'union, notée $K_1 \cup K_2$, de deux telles parties $K_1$ et $K_2$ :

$$ (K = K_1 \cup K_2) \leftrightarrow ((K = K_1 \cup K_2) \land (K_1 \cap K_2 \neq \emptyset)). $$

**Lemme 2.2.** Si $K = K_1 \cup K_2$ et $\sigma \in \mathcal{D}(K)$, alors il existe $i \in \{1, 2\}$ tel que $K_i \dashv \sigma$, et on a alors $\sigma|_{K_i} \in \mathcal{D}(K_i)$.
Preuve. Pour chaque $i \in \{1, 2\}$ on a $K_i \subset K = \sigma_{(1)} \sqcup \sigma_{(2)}$, donc $K_i = (K_i \cap \sigma_{(1)}) \cup (K_i \cap \sigma_{(2)})$, avec $(K_i \cap \sigma_{(1)}) \cap (K_i \cap \sigma_{(2)}) = \emptyset$. Il suffit donc de vérifier l'existence de $i \in \{1, 2\}$ tel que $\forall j \in \{1, 2\}, K_i \cap \sigma_j \neq \emptyset$. Si $K_2 \cap \sigma_{(1)} = \emptyset$, on a $\sigma_{(1)} \subset (\sigma_{(1)} \cup \sigma_{(2)}) \cap \neg K_2 = (K_1 \cup K_2) \cap \neg K_2 \subset K_1$, d'où $\emptyset \neq \sigma_{(1)} \cap K_1 = \sigma_{(1)}$, et d'autre part $\sigma_{(2)} \cap K_2 = (\sigma_{(1)} \cup \sigma_{(2)}) \cap K_2 = K_2$, donc $\sigma_{(2)} \supset K_2 \supset K_1 \cap K_2$ d'où $K_1 \cap \sigma_{(2)} \supset K_2 \cap K_1 \cap \sigma_{(2)} = K_1 \cap K_2 \neq \emptyset$. De même, si $K_2 \cap \sigma_{(2)} = \emptyset$, alors $\sigma_{(1)} \cap K_1 \neq \emptyset \neq \sigma_{(2)} \cap K_1$. Par conséquent, si la propriété $\forall j \in \{1, 2\}, K_i \cap \sigma_j \neq \emptyset$ n'est pas satisfaite pour $i = 2$, alors elle l'est nécessairement pour $i = 1$, et c'est ce qu'il fallait vérifier. $\square$

## 2.4 Dissociations et connexité

### 2.4.1 Dissociations globales adaptées aux composantes connexes

Soit $\mathcal{K}$ une structure connective intègre sur $I$. Nous noterons $\mathcal{C}_{\mathcal{K}}$ l'ensemble des composantes connexes<fnref n="3" /> de l'espace connectif $(I, \mathcal{K})$ - souvent, pour simplifier l'expression, nous les désignerons aussi comme les composantes connexes de $\mathcal{K}$ - et nous noterons $\theta$ l'application $\mathcal{D}(\mathcal{C}_{\mathcal{K}}) \to \mathcal{D}(I)$ qui à toute dissociation $\gamma \in \mathcal{D}(\mathcal{C}_{\mathcal{K}})$ associe la dissociation $\theta(\gamma) \in \mathcal{D}(I)$ définie pour chaque $i \in \{1, 2\}$ par

$$ \theta(\gamma)_{(i)} = \bigcup_{C \in \gamma_{(i)}} C. $$

Les dissociations de $I$ appartenant à $\theta(\mathcal{D}(\mathcal{C}_{\mathcal{K}}))$ seront dites adaptées aux composantes connexes de $\mathcal{K}$.

**Proposition 2.3.** Les dissociations de $I$ adaptées aux composantes connexes de $\mathcal{K}$ sont celles que respectent tous les connexes $K \in \mathcal{K}$. Autrement dit, pour toute dissociation globale $\sigma \in \mathcal{D}(I)$, on a l'équivalence

$$ \mathcal{K} \to \sigma \Leftrightarrow \sigma \in \theta(\mathcal{D}(\mathcal{C}_{\mathcal{K}})). $$

Preuve. Soit $\sigma \in \theta(\mathcal{D}(\mathcal{C}_{\mathcal{K}}))$. Par construction, toute composante connexe $C \in \mathcal{C}_{\mathcal{K}}$ vérifie $C \subset \sigma_{(i)}$ pour un $i \in \{1, 2\}$. Tout connexe $K \in \mathcal{K}$ étant inclus dans une telle composante $C$, on en déduit $K \to \sigma$, de sorte que $K \to \sigma$. Réciproquement, si $\mathcal{K}$ respecte une dissociation globale $\sigma \in \mathcal{D}(I)$, toute composante connexe est en particulier incluse dans l'un des $\sigma_{(i)}$, de sorte que

<footnote n="3">³Les composantes connexes d'un espace connectif sont les parties connexes maximales pour l'inclusion. Dans le cas d'un espace intègre, elles forment une partition de l'espace. Voir [8].</footnote>
pour chaque $i \in \{1, 2\}$ on a $\sigma_{(i)} = \bigcup_{C \in \gamma_{(i)}} C$, où $\gamma_{(i)} = \{C \in C_K, C \subset \sigma_{(i)}\}$, d'où $\sigma \in \theta(D(C_K))$. $\square$

## 2.4.2 Validation par les connexes irréductibles

**Proposition 2.4.** *Pour toute dissociation $\sigma = (J = J_1 \sqcup J_2) \in D$, on a les équivalences suivantes*

$$K \to \sigma \Leftrightarrow (K_J = K_{J_1} \cup K_{J_2}) \Leftrightarrow (\widetilde{K_J} = \widetilde{K_{J_1}} \cup \widetilde{K_{J_2}}) \Leftrightarrow \widetilde{K} \to \sigma$$

*Preuve.* Si on a $K \to (J = J_1 \sqcup J_2)$, alors tout connexe $K \in K \cap PJ$ est inclus dans l'un des $J_i$, autrement dit tout $K \in K_J$ appartient à l'un des $K_{J_i}$, et c'est en particulier le cas des connexes irréductibles ayant au moins deux éléments, de sorte que $\widetilde{K} \to \sigma$. Réciproquement, si cette dernière propriété est satisfaite, alors $PJ_1 \cup PJ_2$ étant une structure connective sur $J$ qui contient $\widetilde{K}_J$ on en déduit $[\widetilde{K}_J] \subset PJ_1 \cup PJ_2$, d'où $K_J \subset PJ_1 \cup PJ_2$ et donc $K \to \sigma$. $\square$

## 2.4.3 Caractérisation des connexes par dissociation

Pour tout $A \in PPI$, notons $\Gamma_A = \{B \in PI, \forall \sigma \in D(B), A \not\to \sigma\}$ l'ensemble des parties $B$ de $I$ dont toute dissociation est contestée par au moins une partie appartenant à $A$.

**Théorème 2.5.** *Pour tout $K \in Cnct(I)$, on a $\Gamma_K = K$.*

*Preuve.* Si $C \in K$ et $\sigma \in D(C)$, alors $K \ni C \to \sigma$, donc $C \in \Gamma_K$. Réciproquement, soit $A \in \Gamma_K$. Comme tout espace connectif, l'espace induit sur $A$ se décompose en composante(s) connexe(s) et si $A$ n'était pas connexe, il aurait au moins deux composantes connexes. On pourrait dès lors former une dissociation $\sigma = (A = A_1 \sqcup A_2)$ en prenant pour chaque $A_i$ une union non vide de composantes connexes, de sorte que $K_A = K_{A_1} \cup K_{A_2}$. Aucun connexe de $A$ ne contesterait alors $\sigma$, ce qui contredirait l'hypothèse de départ $A \in \Gamma_K$. $\square$

**Théorème 2.6.** *Pour tout ensemble de parties $A \subset PI$, on a $\Gamma_A = [A]$.*

*Preuve.* Vérifions d'abord que $\Gamma_A$ est une structure connective intègre contenant $A$ et que l'opérateur $A \mapsto \Gamma_A$ est croissant et qu'il laisse invariant les structures connectives intègres. L'égalité annoncée en découlera alors immédiatement, car $A \subset [A] \Rightarrow \Gamma_A \subset \Gamma_{[A]} = [A]$ et réciproquement $A \subset \Gamma_A \Rightarrow [A] \subset [\Gamma_A] = \Gamma_A$.
Γ<sub>A</sub> est une structure connective contenant **A**. Les singleton et la partie vide n'admettant pas de dissociation, ils sont nécessairement dans Γ<sub>A</sub>. De plus, étant données *B* et *C* appartenant à Γ<sub>A</sub> et tels que *B* ∩ *C* ≠ ∅, toute dissociation σ = *J*₁ ∪ *J*₂ ∈ D(*B* ∪ *C*) induit, d'après le lemme 2.2, une dissociation σ₀ de *B* ou de *C*, nécessairement contestée par une partie *A* ∈ **A**, qui à son tour conteste la dissociation σ - par exemple, si la dissociation est induite sur *B*, on a ∃*A* ∈ **A**, *A* ∼ σ₀ = σ ∩ *B* = (*J*₁ ∩ *B*, *J*₂ ∩ *B*) ⇒ *A* ∩ *J*₁ ≠ ∅ ≠ *A* ∩ *J*₂ - de sorte que *B* ∪ *C* ∈ Γ<sub>A</sub>, ce qui prouve que Γ<sub>A</sub> est bien une structure connective intègre. En outre, tout *A* ∈ **A** conteste toutes ses dissociations ensemblistes possibles, donc *A* ⊂ Γ<sub>A</sub>.

$\mathcal{A} \mapsto \Gamma_{\mathcal{A}}$ est croissant. Trivialement, car la communauté de ceux dont toute dissociation est contestée croît avec l'augmentation des instances pouvant faire ces contestations. En effet, pour toute dissociation $\sigma \in \mathcal{D}$, on a :

$$
\mathcal{A} \subset \mathcal{B} \Rightarrow ((\exists A \in \mathcal{A}, A \neg \sigma) \Rightarrow (\exists A \in \mathcal{B}, A \neg \sigma)).
$$

$\mathcal{A} \mapsto \Gamma_{\mathcal{A}}$ laisse les structures connectives intègres invariantes C'est précisément ce qu'affirme le théorème 2.5. $\square$

Puisque $\Gamma_{\tilde{K}} = [\tilde{K}] = K$, on en déduit immédiatement une caractérisation des connexes en terme de contestation de toute dissociation par les connexes irréductibles :

**Corollaire 2.7.** *Pour tout structure connective intègre* $\mathcal{K}$, *on a*

$$
\mathcal{K} = \{ A \in \mathcal{P}I, \forall \sigma \in \mathcal{D}(A), \exists K \in \tilde{\mathcal{K}}, K \neg \sigma \}.
$$

3 Somme de structures connectives

On définit une application somme $\oplus : \mathbf{Cnct}(I) \times \mathbf{Cnct}(I) \rightarrow \mathbf{Cnct}(I)$ en
posant pour tout couple $(\mathcal{K}_1, \mathcal{K}_2)$ de structures connectives intègres sur $I$ :
$\mathcal{K}_1 \oplus \mathcal{K}_2 = [\mathcal{K}_1 \cup \mathcal{K}_2]$. La catégorie $(\mathbf{Cnct}(I), \subset)$ étant un treillis complet, et
la structure connective intègre $[\mathcal{A}]$ engendrée par un ensemble $\mathcal{A}$ de parties
de $I$ étant la plus fine - i.e. la plus petite pour l'ordre $\subset$ - des structures
connectives intègres contenant $\mathcal{A}$ (voir [8]), l'opération $\oplus$ n'est rien d'autre
que la borne supérieure : $\mathcal{K}_1 \oplus \mathcal{K}_2 = \mathcal{K}_1 \vee \mathcal{K}_2$. La proposition suivante en
découle immédiatement.
**Proposition 3.1.** *L'opération $\oplus : \text{Cnct}(I) \times \text{Cnct}(I) \to \text{Cnct}(I)$ est associative, commutative et idempotente. Elle admet la structure connective discrète intègre (pour laquelle seuls le vide et les singletons sont connexes) comme élément neutre, et la structure connective grossière (pour laquelle toutes les parties de I sont connexes) comme élément absorbant.*

Nous étant placé dans le cadre d'un ensemble *I* fini, les structures connectives sont caractérisées par la donnée des connexes irréductibles, d'où la proposition suivante.

**Proposition 3.2.** *Pour toute suite $K_1, K_2, ..., K_r$ de structures connectives intègres, on a*

$$ \bigoplus_{1 \le m \le r} K_m = \bigvee_{1 \le m \le r} K_m = [\bigcup_{1 \le m \le r} K_m] = [\bigcup_{1 \le m \le r} \widetilde{K}_m]. $$

*Preuve.* De $\widetilde{K}_m \subset K_m$, on tire $\cup_{1 \le m \le r} \widetilde{K}_m \subset \cup_{1 \le m \le r} K_m$ puis, par croissance de l'engendrement, $[\cup_{1 \le m \le r} \widetilde{K}_m] \subset [\cup_{1 \le m \le r} K_m]$. Réciproquement, *I* étant fini, on a $K_m = [\widetilde{K}_m] \subset [\cup_{1 \le m \le r} \widetilde{K}_m]$, d'où $\cup_{1 \le m \le r} K_m \subset [\cup_{1 \le m \le r} \widetilde{K}_m]$, et donc, par croissance et idempotence de l'engendrement, $[\cup_{1 \le m \le r} K_m] \subset [\cup_{1 \le m \le r} \widetilde{K}_m]$. Mais puisque $[\cup_{1 \le m \le r} K_m]$ est la plus fine des structures connectives contenant tous les $K_m$, elle peut aussi s'écrire $\vee_{1 \le m \le r} K_m$, c'est-à-dire $\bigoplus_{1 \le m \le r} K_m$. $\square$

# 4 Familles aléatoires

## 4.1 Définition des familles aléatoires sur I

On appelle *I-famille aléatoire* - ou *famille aléatoire sur I*, ou simplement *famille* - la donnée

$$ ((\Omega, P), (X_1, ..., X_n)) $$

d'un espace de probabilité fini<fnref n="4" /> $(\Omega, P)$ et d'une famille de $n$ variables aléatoires (non nécessairement numériques<fnref n="5" />) $X_i : \Omega \to R_i \supset X_i(\Omega)$. L'ensemble $R_i$ sera appelé l'ensemble des valeurs aléatoires ou l'ensemble des valeurs possibles de $X_i$. Pour toute partie $J \subset I$, on pourra noter $X_J$ la variable aléatoire

<footnote n="4">⁴Dont toute partie est supposée mesurable.</footnote>

<footnote n="5">⁵Bien que nous coderons souvent les valeurs de ces variables par des nombres, en particulier des nombres entiers écrits en base 2, ces variables peuvent, comme dans la théorie de Shannon, être considérées comme essentiellement non numériques.</footnote>
que constitue la famille $(X_j)_{j \in J}$, et $R_J$ l'ensemble produit $R_J = \prod_{j \in J} R_j \supset \prod_{j \in J} X_j(\Omega) \supset X_J(\Omega)$. On note $\mathcal{F}_I$, ou plus simplement $\mathcal{F}$, l'ensemble<fnref n="6" /> de toutes les $I$-familles aléatoires. Pour toute famille aléatoire $\varphi \in \mathcal{F}_I$, on pourra noter $(\Omega^\varphi, P^\varphi)$ son espace de probabilité, $(X_1^\varphi, ..., X_n^\varphi)$ ses variables aléatoires et, pour tout $i \in I$, $R_i^\varphi$ les valeurs aléatoires de $X_i^\varphi$.

## 4.2 Structure connective d'une $I$-famille aléatoire

### 4.2.1 Dissociations locales d'une famille aléatoire

Étant donnée une famille aléatoire $\varphi = ((\Omega, P), (X_i : \Omega \to R_i)_{1 \le i \le n}) \in \mathcal{F}_I$ et $\sigma = (J = J_1 \sqcup J_2) \in \mathcal{D}(J)$ une dissociation de $\bar{\sigma} = J$ une partie de $I$, nous dirons que $\varphi$ respecte $\sigma$ ou que $\sigma$ dissocie $\varphi$ (localement) ou encore que $\sigma$ dissocie $\varphi$ sur $J$ et nous écrirons $\varphi \dashv \sigma$ ou $\sigma \dashv \varphi$ si, pour toute famille $x_J \in R_J$, $P(X_J = x_J)$ se factorise selon $J_1 \sqcup J_2$ :

$$ (\sigma \dashv \varphi) \Leftrightarrow (\forall x_J \in R_J, P(X_J = x_J) = P(X_{J_1} = x_{J_1})P(X_{J_2} = x_{J_2})). $$

Dans le cas particulier où $\bar{\sigma} = I$, autrement dit lorsque $\sigma \in \mathcal{D}(I)$, une dissociation $\sigma \dashv \varphi$ sera dite globale. Dans le cas où $\sigma \in \mathcal{D}(J)$ ne dissocie pas $\varphi$ sur $\bar{\sigma} = J$, nous dirons que $\varphi$ conteste $\sigma$, et nous écrirons $\varphi \dashv \sigma$, ou $\sigma \dashv \varphi$, ou $\sigma \dashv \varphi$ ou encore $\varphi \dashv \sigma$.

**Proposition 4.1.** Étant donné une partie $J \subset I$, une dissociation $\sigma \in \mathcal{D}(J)$ et une partie $A \subset J$ qui chevauche $\sigma$ (i.e. $A \dashv \sigma$), on a l'implication

$$ (\varphi \dashv \sigma) \Rightarrow (\varphi \dashv \sigma|_A), $$

ou, de façon équivalente, $(\varphi \dashv \sigma|_A) \Rightarrow (\varphi \dashv \sigma)$.

*Preuve.* Posons $A_1 = J_1 \cap A$ et $A_2 = J_2 \cap A$, de sorte que $\sigma|_A = (A = A_1 \sqcup A_2)$. On suppose que $\sigma$ dissocie sur $J$ la famille $\varphi$, et nous voulons vérifier que la dissociation a également lieu, a fortiori, sur $A \subset J$, i.e. $\sigma|_A \dashv \varphi$. Soit donc $x_A \in R_A$. Posons $M = J \setminus A$, $M_1 = J_1 \setminus A$ et $M_2 = J_2 \setminus A$. De

$$ (X_A = x_A) = \bigsqcup_{x_M \in R_M} (X_J = x_J), $$

<footnote n="6">⁶En cas d'inquiétude quant au statut d'ensemble de $\mathcal{F}_I$ plutôt que de classe propre, on pourrait sans perte de généralité imposer que tous les ensembles $\Omega$ et tous les $R_i = X_i(\Omega)$ soient inclus dans des ensembles de la forme $\{0,1\}^N$, avec $N$ des entiers qu'il serait même possible de borner en fonction de $n$.</footnote>
on tire, en sommant sur toutes les familles de valeurs $x_M \in R_M$,

$$
\begin{align*}
P(X_A = x_A) &= \sum_{x_M \in R_M} (X_J = x_J) = \sum_{x_{M_1} \in R_{M_1}} \sum_{x_{M_2} \in R_{M_2}} P(X_J = x_J) \\
&= \sum_{x_{M_1} \in R_{M_1}} \sum_{x_{M_2} \in R_{M_2}} P(X_{J_1} = x_{J_1}) P(X_{J_2} = x_{J_2}) \\
&= \sum_{x_{M_1} \in R_{M_1}} P(X_{J_1} = x_{J_1}) \sum_{x_{M_2} \in R_{M_2}} P(X_{J_2} = x_{J_2}) \\
&= P(X_{A_1} = x_{A_1}) P(X_{A_2} = x_{A_2}),
\end{align*}
$$

ce qu'il fallait vérifier.

□

### 4.2.2 Définition de la structure $\mathcal{K}_{\varphi}$

Conformément à la définition donnée dans [10], p. 41 - nous dirons que $J \subset I$ est non séparable pour $\varphi$ si celle-ci en conteste tout dissociation, autrement dit si $\forall \sigma \in \mathcal{D}(J), \varphi \leftarrow \sigma$. Notons, provisoirement, $\Gamma_{\varphi}$ l'ensemble des parties de $I$ non séparables pour $\varphi \in \mathcal{F}_I$ :

$$ \Gamma_{\varphi} = \{J \in \mathcal{P}I, \forall \sigma \in \mathcal{D}(J), \varphi \leftarrow \sigma\}. $$

**Proposition 4.2.** *L'ensemble $\Gamma_{\varphi}$ est une structure connective intègre sur $I$.*

*Preuve.* Remarquons d'abord que les singletons sont trivalement non séparables pour $\varphi$. S'agissant de structures finies, il suffit alors de vérifier que l'union $K \uplus L$ de deux parties $K$ et $L$ d'intersection non vide, chacune étant non séparable pour $\varphi$, est encore non séparable pour $\varphi$. On se donne donc deux telles parties. Pour prouver que $K \uplus L \in \Gamma_{\varphi}$, supposons par absurde qu'il existe $\sigma \in \mathcal{D}(K \uplus L)$ telle que $\varphi \dashv \sigma$. D'après le lemme 2.2, cette dissociation $\sigma$ de $K \uplus L$ conduirait par restriction à une dissociation ensembliste de $K$ ou de $L$, disons pour fixer les idées que $\sigma|_K \in \mathcal{D}(K)$. Mais d'après la proposition 4.1, on devrait alors avoir $\varphi \dashv \sigma|_K$, ce qui contredirait l'hypothèse de non-séparabilité de $K$. □

Ayant ainsi vérifié que l'ensemble provisoirement noté $\Gamma_{\varphi}$ ci-dessus est bien une structure connective sur $I$, nous le noterons désormais $\mathcal{K}_{\varphi}$ et l'appelerons la structure connective de $\varphi$. Les $K \in \mathcal{K}_{\varphi}$ pourront être appelées les parties $\varphi$-connexes de $I$. L'application $\varphi \mapsto \mathcal{K}_{\varphi}$ qui à toute $I$-famille aléatoire associe sa structure connective sur $I$ pourra également être notée $\kappa : \mathcal{F}_I \mapsto \mathrm{Cnct}(I)$, de sorte que $\kappa(\varphi) = \mathcal{K}_{\varphi}$.
### 4.2.3 Structure connective d'une famille restreinte

Pour toute partie $J \subset I$, on définit de façon évidente l'application de restriction à $J$ des $I$-familles, $\mathcal{F}_I \ni \varphi \mapsto \varphi|_J \in \mathcal{F}_J$ en posant $\varphi|_J = ((\Omega, P), X_J)$ pour toute famille $\varphi = ((\Omega, P), X_I = (X_1, \dots, X_n))$.

**Proposition 4.3.** *Pour toute $\varphi \in \mathcal{F}_I$ et toute partie $J \subset I$, on a*

$$ \kappa(\varphi|_J) = \mathcal{K}_{\varphi|_J} = (\mathcal{K}_{\varphi})|_J = \mathcal{K}_{\varphi} \cap \mathcal{P}J. $$

*Preuve.* Pour toute partie $L \subset J$ et toute dissociation ensembliste $\sigma \in \mathcal{D}(L)$, la propriété $\varphi \lhd \sigma$ ne met en jeu que les variables $X_l$ avec $l \in L$, de sorte que l'on a triviallement

$$ (\varphi \lhd \sigma) \Leftrightarrow (\varphi|_J \lhd \sigma) \Leftrightarrow (\varphi|_L \lhd \sigma), $$

d'où l'on déduit que $L$ est $\varphi$-connexe si et seulement si elle est $\varphi|_J$-connexe, ce qui prouve la proposition énoncée. $\square$

### 4.2.4 Équivalence de la validation par $\varphi$ et par $\mathcal{K}_{\varphi}$

Étant donnée $\varphi$ une famille aléatoire sur $I$, notons $C_{\varphi} = C_{\mathcal{K}_{\varphi}} = \{C_1, \dots, C_p\}$ l'ensemble des composantes connexes de l'espace connectif $(I, \mathcal{K}_{\varphi})$, numérotées de façon quelconque par les entiers de 1 à $p = \text{card}(C_{\varphi})$. Reprenant les notations de la section 2.4.1, nous noterons $\theta(\mathcal{D}(C_{\varphi}))$ l'ensemble des dissociations globales de $I$ adaptées à $C_{\varphi}$, dont nous rappelons que, d'après la proposition ??, elles coïncident avec les $\sigma \in \mathcal{D}(I)$ telles que $\mathcal{K}_{\varphi} \to \sigma$.

**Proposition 4.4** (Indépendance des variables associées aux composantes connexes). *Les dissociations globales de $\varphi$, autrement dit les dissociations de $I$ qui sont respectées par $\varphi$, sont exactement les dissociations adaptées aux composantes connexes de $\mathcal{K}_{\varphi} : \{\sigma \in \mathcal{D}(I), \varphi \to \sigma\} = \theta(\mathcal{D}(C_{\varphi}))$. Autrement dit, on a, pour toute dissociation $\sigma \in \mathcal{D}(I)$, l'équivalence*

$$ (\varphi \to \sigma) \Leftrightarrow (\mathcal{K}_{\varphi} \to \sigma). $$

*Il en découle en particulier que les variables aléatoires $X_{C_1}, \dots, X_{C_p}$ associées aux composantes connexes sont mutuellement indépendantes.*

*Preuve.* Nous procédons en trois étapes, numérotées ci-après 1) à 3).*
1) Commençons par vérifier que $\{\sigma \in \mathcal{D}(I), \varphi \to \sigma\} \subset \theta(\mathcal{D}(C_\varphi))$, autrement dit que l'on a l'implication $\varphi \to \sigma \Rightarrow K_\varphi \to \sigma$. Soit donc $\sigma \in \mathcal{D}(I)$ telle que $\varphi \to \sigma$. Si, par absurde, on avait $K_\varphi \not\to \sigma$, alors il existerait un connexe $K \in K_\varphi$ tel que $K \not\to \sigma$. Mais, d'après la proposition 4.1, on devrait alors avoir $\varphi \to \sigma|_K \in \mathcal{D}(K)$, ce qui contredirait la $\varphi$-connexité de $K$.

2) Montrons maintenant l'équivalence des deux propositions suivantes :

• a) toute dissociation issue des composantes connexes de $K_\varphi$ est une dissociation globale de $\varphi$, autrement dit $\theta(\mathcal{D}(C_\varphi)) \subset \{\sigma \in \mathcal{D}(I), \varphi \to \sigma\}$,

• b) les variables aléatoires $X_{C_k}$, $1 \le k \le p$, sont mutuellement indépendantes.

Tout d'abord, il est clair que la proposition b) implique la proposition a), puisque l'indépendance mutuelle des $X_{C_k}$ permet d'écrire, pour toute dissociation $\sigma \in \theta(\mathcal{D}(C_\varphi))$ et toute famille de valeurs $x_I \in R_I$,

$$ 
\begin{align*} 
P(X_I = x_I) &= \prod_{1 \le k \le p} P(X_{C_k} = x_{C_k}) \\ 
&= \prod_{k \in \sigma_{(1)}} P(X_{C_k} = x_{C_k}) \prod_{k \in \sigma_{(2)}} P(X_{C_k} = x_{C_k}) \\ 
&= P(X_{\sigma(1)} = x_{\sigma(1)}) P(X_{\sigma(2)} = x_{\sigma(2)}). 
\end{align*} 
$$

Réciproquement, supposons que la proposition a) soit valide. Pour tout $k \in \{1, ..., p-1\}$, la dissociation de $I$ définie par $\sigma^k = \theta(\gamma^k)$ où $\gamma^k$ est la dissociation de $C_\varphi$ donnée par $\gamma^k = \{\{C_1, ..., C_k\}, \{C_{k+1}, ..., C_p\}\}$, vérifie $\sigma^k \to \varphi$. Puisque c'est en particulier le cas de $\sigma^1$, on en déduit d'abord que, pour toute famille de valeurs $x_I \in R_I$,

$$ P(X_I = x_I) = P(X_{C_1} = x_{C_1}) P(\bigwedge_{k \ge 2} (X_{C_k} = x_{C_k})). $$

Mais d'après la proposition 4.1, la dissociation $\tau^2$ de $C_2 \cup C_3 \cup ... \cup C_p$ obtenue par restriction de $\sigma^2$, i.e. $\tau^2 = \sigma^2|_{C_2 \cup C_3 \cup ... \cup C_p}$, est également respectée par $\varphi$, de sorte que

$$ P(\bigwedge_{k \ge 2} (X_{C_k} = x_{C_k})) = P(X_{C_2} = x_{C_2}) P(\bigwedge_{k \ge 3} (X_{C_k} = x_{C_k})) $$

et, en continuant ainsi de proche en proche jusque $k = p-1$, on obtient, du fait que $\varphi \to \tau^k = \sigma^k|_{C_k \cup ... \cup C_p}$, la factorisation complète qui assure l'indépendance
mutuelle des $X_{C_k}$.

3) Prouvons enfin l'inclusion $\theta(D(C_\varphi)) \subset \{\sigma \in D(I), \varphi \to \sigma\}$ par récurrence sur $p = \text{card}(C_\varphi)$. Si $p = 1$, on a $D(C_\varphi) = \emptyset$, donc $\theta(D(C_\varphi)) = \emptyset$, et $I$ étant connexe dans ce cas, on a également $\{\sigma \in D(I), \varphi \to \sigma\} = \emptyset$. Supposons maintenant que, quels que soient l'entier $n = \text{card}(I)$ et la famille $\varphi \in \mathcal{F}_I$, l'inclusion qui nous intéresse ait été établie pour toute valeur de $p \le q$, où $q \in \{1, ..., n-1\}$, et montrons qu'elle est encore satisfaite pour $p = q + 1$. Puisque $\text{card}(C_\varphi) = q+1 \ge 2$, $I$ n'est pas connexe, donc $\{\sigma \in D(I), \varphi \to \sigma\} \ne \emptyset$. Or, d'après le point 1), $\{\sigma \in D(I), \varphi \to \sigma\} = \{\sigma \in \theta(D(C_\varphi)), \varphi \to \sigma\}$, donc il existe au moins une dissociation $\sigma \in \theta(D(C_\varphi))$ telle que $\varphi \to \sigma$. On a alors, pour tout $x_I \in R_I$,

$$P(X_I = x_I) = P(X_{\sigma_{(1)}} = x_{\sigma_{(1)}})P(X_{\sigma_{(2)}} = x_{\sigma_{(2)}}),$$

mais puisque $\sigma$ est adaptée aux composantes connexes de $(I, K_\varphi)$, l'ensemble des composantes connexes de $(\sigma_{(i)}, K_{\varphi|_{\sigma_{(i)}}})$ est, pour chaque $i \in \{1, 2\}$, en conséquence de la proposition 4.3 et de la définition des composantes connexes comme connexes maximaux, $C_{\varphi|_{\sigma_{(i)}}} = P\sigma_{(i)} \cap C_\varphi$, dont le cardinal est compris entre 1 et $q$. L'hypothèse de récurrence s'applique alors à la famille $\varphi|_{\sigma_{(i)}}$ et à toute dissociation de $\sigma_{(i)}$ adaptée aux composantes connexes de $K_{\varphi|_{\sigma_{(i)}}}$, de sorte que

$$P(X_{\sigma_{(i)}} = x_{\sigma_{(i)}}) = \prod_{C \in C_\varphi, C \subset \sigma_{(i)}} P(X_C = x_C),$$

d'où finalement $P(X_I = x_I) = \prod_{C \in C_\varphi} P(X_C = x_C)$. Autrement dit, les variables aléatoires $X_C$ où $C$ décrit l'ensemble des composantes connexes de $K_\varphi$ sont mutuellement indépendantes, et, d'après le point 2), on a bien $\theta(D(C_\varphi)) \subset \{\sigma \in D(I), \varphi \to \sigma\}$. $\square$

**Corollaire 4.5.** *Pour toute partie $A \subset I$, et pour toute dissociation $\sigma \in D(A)$, on a $\varphi \to \sigma \Leftrightarrow K_\varphi \to \sigma$ (ou, de façon équivalente, $\varphi \not\to \sigma \Leftrightarrow K_\varphi \not\to \sigma$.)*

*Preuve.* On a en effet la suite d'équivalences suivantes

$$K_\varphi \to \sigma \Leftrightarrow (K_\varphi \cap PA) \to \sigma \Leftrightarrow K_{\varphi|A} \to \sigma \Leftrightarrow \varphi|_A \to \sigma \Leftrightarrow \varphi \to \sigma,$$

où la première de ces équivalences découle de la définition de la validation d'une dissociation par un ensemble de parties (voir la section 2.2), la seconde
de la proposition 4.3, la troisième de la proposition 4.4 appliquée à $\varphi|_A \in \mathcal{F}_A$ et à $\sigma$ considérée comme dissociation “globale” de A, et la dernière de la définition d'une dissociation locale d'une famille aléatoire donnée en section 4.2.1. $\square$

## 4.3 Produit tensoriel de deux I-familles aléatoires

### 4.3.1 Définition du produit tensoriel $\varphi \otimes \psi$

On définit une application produit tensoriel $\otimes : \mathcal{F}_I \times \mathcal{F}_I \to \mathcal{F}_I$ en notant, pour tout couple $(\varphi, \psi)$ de familles aléatoires, $\varphi \otimes \psi$ la famille définie par

* $\Omega^{\varphi \otimes \psi} = \Omega^{\varphi} \times \Omega^{\psi}$, le produit cartésien des univers,

* $P^{\varphi \otimes \psi} = P^{\varphi} \otimes P^{\psi}$, le produit tensoriel des lois de probabilité, donné par $P^{\varphi \otimes \psi}(\omega, \xi) = P^{\varphi}(\omega)P^{\psi}(\xi)$ pour tous événements élémentaires $\omega \in \Omega^{\varphi}$ et $\xi \in \Omega^{\psi}$,

* pour tout $i \in I$, $X_i^{\varphi \otimes \psi} : \Omega^{\varphi \otimes \psi} \to R_i^{\varphi} \times R_i^{\psi}$ est la variable aléatoire définie par $X_i^{\varphi \otimes \psi} = X_i^{\varphi} \otimes X_i^{\psi} = (\overline{X_i^{\varphi}}, \overline{X_i^{\psi}})$, où $\overline{X_i^{\varphi}} : \Omega^{\varphi} \times \Omega^{\psi} \to R_i^{\varphi}$ et $\overline{X_i^{\psi}} : \Omega^{\varphi} \times \Omega^{\psi} \to R_i^{\psi}$ sont définies pour tout $(\omega, \xi) \in \Omega^{\varphi \otimes \psi}$ par

$$ \overline{X_i^{\varphi}}(\omega, \xi) = X_i^{\varphi}(\omega) \text{ et } \overline{X_i^{\psi}}(\omega, \xi) = X_i^{\psi}(\xi), $$

$$ \text{autrement dit } X_i^{\varphi \otimes \psi}(\omega, \xi) = (X_i^{\varphi}(\omega), X_i^{\psi}(\xi)). $$

### 4.3.2 Indépendance des facteurs

Considérons deux familles aléatoires notées $\varphi = ((\Omega, P), (X_i : \Omega \to R_i)_{1\le i \le n})$ et $\psi = ((\Lambda, Q), (Y_i : \Lambda \to S_i)_{1\le i \le n})$, et soit $\varphi \otimes \psi = ((\Theta, T), (Z_1, \dots, Z_n))$ leur produit tensoriel.

**Proposition 4.6.** Quels que soient $A \subset \Omega$ et $B \subset \Lambda$, on a $T(A \times B) = P(A)Q(B)$.

*Preuve.* On a $T(A \times B) = \sum_{\omega \in A, \xi \in B} T(\omega, \xi) = \sum_{\omega \in A, \xi \in B} P(\omega)Q(\xi)$, d'où $T(A \times B) = \sum_{\omega \in A} P(\omega) \sum_{\xi \in B} Q(\xi) = P(A)Q(B)$. $\square$
**Proposition 4.7.** Quelles que soient les parties $K \subset I$ et $L \subset I$, les variables $\overline{X}_K$ et $\overline{Y}_L$ sont indépendantes (sur leur univers commun $\Theta = \Omega \times \Lambda$).

*Preuve.* Pour toutes familles $x_K \in R_K$ et $y_L \in S_L$, on a $T((\overline{X}_K = x_K) \wedge (\overline{Y}_L = y_L)) = T((X_K = x_K) \times (Y_L = y_L))$, expression qui, d'après la proposition 4.6, est égale à $P(X_K = x_K)Q(Y_L = y_L)$, donc à $T(\overline{X}_K = x_K)T(\overline{Y}_L = y_L)$. $\square$

On en déduit le lemme suivant, valable pour tout couple $(\varphi, \psi)$ de telles familles aléatoires, et qui nous sera très utile dans la suite.

**Lemme 4.8.** Pour toute dissociation $\sigma \in \mathcal{D}$ on a

$$ \varphi \otimes \psi \to \sigma \Leftrightarrow (\varphi \to \sigma) \wedge (\psi \to \sigma). $$

*Preuve.* Posons $J = \bar{\sigma}$ et, pour chaque $i \in \{1, 2\}$, $J_i = \sigma_{(i)}$. Dire que $\varphi \otimes \psi \to \sigma$ équivaut à dire que pour toute famille de valeurs $(x, y)_J \in R_J \times S_J$ de la variable aléatoire $Z_J = (X \otimes Y)_J = (\overline{X}, \overline{Y})_J$, on a

$$ T(Z_J = (x, y)_J) = T(Z_{J_1} = (x, y)_{J_1}) \times T(Z_{J_2} = (x, y)_{J_2}), $$

ce qui d'après la proposition 4.6 (ou la proposition 4.7) est équivalent à

$$ P(X_J = x_J)Q(Y_J = y_J) = P(X_{J_1} = x_{J_1})Q(Y_{J_1} = y_{J_1})P(X_{J_2} = x_{J_2})Q(Y_{J_2} = y_{J_2}). $$

D'où, par les sommations d'usage, $P(X_J = x_J) = P(X_{J_1} = x_{J_1})P(X_{J_2} = x_{J_2})$ pour tous les $x_J$, d'où $\varphi \to \sigma$, et de même $Q(Y_J = y_J) = Q(Y_{J_1} = y_{J_1})Q(Y_{J_2} = y_{J_2})$ pour tous les $y_J$, d'où $\psi \to \sigma$. Mais puisque réciproquement ces relations entrainent la précédente, on en déduit l'équivalence annoncée. $\square$

### 4.3.3 Structure connective de $\varphi \otimes \psi$

**Théorème 4.9.** Pour tout couple de familles aléatoires $(\varphi, \psi) \in (\mathcal{F}_I)^2$, on a

$$ \mathcal{K}_{\varphi \otimes \psi} = \mathcal{K}_{\varphi} \oplus \mathcal{K}_{\psi}. $$
Preuve. Pour toute partie $A \in \mathcal{P}I$, on a la suite d'équivalences suivantes :

$$
\begin{align*}
A \in \mathcal{K}_{\varphi \otimes \psi} &\Leftrightarrow \forall \sigma \in \mathcal{D}(A), \varphi \otimes \psi \not\perp \sigma && (\text{définition de } \mathcal{K}_{\varphi}, \text{ section 4.2.2}) \\
&\Leftrightarrow \forall \sigma \in \mathcal{D}(A), (\varphi \not\perp \sigma) \lor (\psi \not\perp \sigma) && (\text{lemme 4.8}) \\
&\Leftrightarrow \forall \sigma \in \mathcal{D}(A), (\mathcal{K}_{\varphi} \not\perp \sigma) \lor (\mathcal{K}_{\psi} \not\perp \sigma) && (\text{corollaire 4.5}) \\
&\Leftrightarrow \forall \sigma \in \mathcal{D}(A), (\mathcal{K}_{\varphi} \cup \mathcal{K}_{\psi}) \not\perp \sigma && (\text{par définition de } \mathcal{A} \not\perp \sigma, \text{ section 2.2}) \\
&\Leftrightarrow A \in \Gamma(\mathcal{K}_{\varphi} \cup \mathcal{K}_{\psi}) && (\text{par définition de } \Gamma_{\mathcal{A}}, \text{ section 2.4.3}) \\
&\Leftrightarrow A \in [\mathcal{K}_{\varphi} \cup \mathcal{K}_{\psi}] && (\text{théorème 2.5}) \\
&\Leftrightarrow A \in \mathcal{K}_{\varphi} \oplus \mathcal{K}_{\psi} && (\text{définition de } \mathcal{K}_1 \oplus \mathcal{K}_1, \text{ section 3}) \quad \square
\end{align*}
$$

Pour tout ensemble de parties $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}I$, la définition des parties irréductibles $K$ d'une structure connective $\mathcal{K}$ comme celles qui ne sont pas engendrées par les autres $(K \notin [\mathcal{K} \setminus \{K\}])$ entrainant le fait que $[\widetilde{\mathcal{A}}] \subset \mathcal{A}$, on déduit du théorème 4.9 le corollaire suivant.

**Corollaire 4.10.** $\widetilde{\mathcal{K}}_{\varphi \otimes \psi} = \mathcal{K}_{\varphi} \cup \widetilde{\mathcal{K}}_{\psi}$.

Du corollaire précédent et des propositions 2.4 et 3.2, on déduit alors des équivalences figurant dans la démonstration du théorème 4.9 la caractérisation suivante des $\varphi \otimes \psi$-connexes en termes de connexes irréductibles.

**Corollaire 4.11.** Pour toute partie $A$ de $I$, on a l'équivalence

$$A \in \mathcal{K}_{\varphi \otimes \psi} \Leftrightarrow \forall \sigma \in \mathcal{D}(A), (\widetilde{\mathcal{K}}_{\varphi} \not\perp \sigma) \lor (\widetilde{\mathcal{K}}_{\psi} \not\perp \sigma).$$

Du fait des propriétés de l'opération $\oplus$ sur les structures connectives (proposition 3.1), la proposition suivante découle également de façon immédiate du théorème 4.9.

**Proposition 4.12.** Pour toutes $I$-familles aléatoires $\varphi, \psi$ et $\chi$, on a
$$K_{(\varphi \otimes \psi) \otimes \chi} = K_{\varphi \otimes (\psi \otimes \chi)}, \quad K_{\varphi \otimes \psi} = K_{\psi \otimes \varphi} \text{ et } K_{\varphi \otimes \varphi} = K_{\varphi}.$$

Il est clair qu'à des équivalences près consistant en des isomorphismes entre espaces de probabilité, des changements de parenthèsages et des permutations sur les familles de variables aléatoires et leurs valeurs, le produit tensoriel des $I$-familles aléatoires est associatif et commutatif : modulo de telles équivalences, nous pourrions donc écrire $(\varphi \otimes \psi) \otimes \chi \simeq \varphi \otimes (\psi \otimes \chi)$ et
$\varphi \otimes \psi \simeq \psi \otimes \varphi$, d'où l'on aurait pu déduire les strictes égalités correspondantes sur les structures connectives associées avant même d'avoir établi le théorème 4.9. Ce dernier permet du moins de les établir rigoureusement et facilement sans avoir besoin de préciser formellement les équivalences en question. Soulignons que, par contre, $\varphi \otimes \varphi$ est en général une $I$-famille nettement plus complexe que $\varphi$. Concluons cette section avec un autre corolaire immédiat du théorème 4.9 et de l'idempotence de $\oplus$.

**Corollaire 4.13.** Si $K_1$ et $K_2$ sont des structures connectives intègres telles que $K_1 \subset K_\varphi \subset K_2$ et $K_1 \subset K_\psi \subset K_2$, alors $K_1 \subset K_{\varphi \otimes \psi} \subset K_2$.

# 5 Familles brunniennes

## 5.1 Famille discrète canonique

On appellera *famille discrète canonique sur $I$* la $I$-famille aléatoire $\beta_d$ définie par $\beta_d = ((\Omega_d, P_d), (B_1^d, \dots, B_n^d))$ avec

* $\Omega_d = \{0\}$, de sorte que $P_d(0) = 1$,

* $\forall i \in I, B_i^d = \text{Id}_{\Omega_d}$.

Bien que toutes les “variables” de cette famille soient la même, elles sont mutuellement indépendantes car elles sont constantes (une variable constante est indépendante d’elle-même). Il en découle que $K_{\beta_d} = K_d$, la structure connective intègre discrète sur $I$ (i.e. celle pour laquelle les seuls connexes sont $\emptyset$ et les singletons $\{i\}$, avec $i \in I$). Remarquons au passage qu’il existe une infinité d’autres familles aléatoires constituées de variables mutuellement indépendantes, en particulier toutes celles de la forme

$$ \varphi = ((\Omega_{\varphi} = \prod_{i \in I} \Omega_i, \bigotimes_{i \in I} P_i), (X_i \circ \pi_i)_{i \in I}) $$

où chaque $X_i$ est une variable aléatoire sur un espace de probabilité fini $(\Omega_i, P_i)$ et où $\pi_i : \Omega_i \to \Omega_i$ désigne la $i$-ème projection.

## 5.2 Famille M-brunnienne canonique

Soit $M = \{i_1, \dots, i_m\} \subset I$, avec $m = \text{card}(M) \ge 2$, les $i_k$ étant rangés par ordre croissant. On appellera *famille M-brunnienne canonique sur $I$* la $I$-famille
aléatoire $\beta_M = ((\Omega_M, P_M), (B_1^M, ..., B_n^M))$ définie par $\Omega_M = \{0,1\}^{m-1}$ et, pour tout $\omega = (\omega_1, ..., \omega_{m-1}) \in \Omega_M$,

* $P_M(\omega) = \frac{1}{2^{m-1}}$ (autrement dit $P_M$ est la probabilité uniforme sur $\Omega_M$),

* $\forall k \in \{i_1, ..., i_{m-1}\}, B_k^M(\omega) = \pi_k(\omega) = \omega_k \in \{0,1\}$,

* $B_{i_m}^M(\omega) = (\sum_{k \in \{i_1, ..., i_{m-1}\}} \omega_k)(\text{mod } 2) \in \{0,1\}$,

* $\forall k \in I \setminus M, B_k^M(\omega) = 0$.

**Proposition 5.1.** Outre le vide et les singleton, la structure connective de $\beta_M$ admet $M \subset I$ pour seul connexe. Ainsi, $K_{\beta_M} = \{\emptyset, \{1\}, ..., \{n\}, M\}$ ou, de façon équivalente $\tilde{K}_{\beta_M} = \{M\}$, ou encore :

$$ \kappa(\beta_M) = [\{M\}]. $$

*Preuve.* Si $J \subset I$ a au moins deux éléments dont au moins un $k \in I \setminus M$, alors $B_k^M$, étant constante, se dissocie de la famille $B_{J \setminus \{k\}}^M$, de sorte que $J \notin K_{\beta_M}$. Par conséquent, toute partie $K \in K_{\beta_M}$ qui a au moins deux éléments est nécessairement incluse dans $M$. Il est clair que $M$ lui-même est connexe : du fait de la relation entre les $m$ variables aléatoires $B_k^M$ pour $k \in \{i_1, ..., i_m\}$, qui détermine la valeur de l'une quelconque d'entre elles en fonction des valeurs prises par les $m-1$ autres, la famille $B_M^M$ ne saurait être dissociée. Soit alors $J \neq M$ telle que $\text{card}(J) \geq 2$ (ce qui suppose $n \geq m \geq 3$). Si $i_m \notin J$, les variables $(B_j^M)_{j \in J}$ sont mutuellement indépendantes de façon évidente, par leur construction même, donc on a encore $J \notin K_{\beta_M}$. Supposons donc $i_m \in J$, de sorte que $\emptyset \neq L \neq J \neq M \subset I$, où $L = J \setminus \{i_m\}$. Quitte à ré-indexer les éléments de $I$ pour simplifier l'expression des éléments à considérer, on peut supposer sans restreindre la généralité du raisonnement qui va suivre que l'on a $i_k = k$ lorsque $1 \leq k \leq m$, autrement dit $M = \{1, 2, ..., m\}$, et que $J = L \cup \{m\}$ avec $L = \{1, ..., l\}$, le cardinal $l$ de $L$ vérifiant donc $1 \leq l = \text{card}(J) - 1 \leq m - 2$. Soit alors $(b_J) \simeq (b_L, b_m) \in R_L \times \{0,1\} \simeq R_J = \{0,1\}^J$ une $J$-famille<fnref n="7" /> de valeurs pour $B_J^M$. L'événement $(B_J^M = b_J)$ est l'ensemble des événements élémentaires $\omega = (\omega_1, ..., \omega_{m-1})$ vérifiant

* $\forall k \in L, \omega_k = b_k$,

<footnote n="7">⁷Les équivalences $\simeq$ ne sont ici que de simples re-parenthésages.</footnote>
* $\forall k \in \{l+1, ..., m-2\}, \omega_k \in \{0, 1\}, \text{soit } (m-2-l) \text{ degrés de liberté (éventuellement aucun degré de liberté si } l=m-2, \text{ auquel cas } \{l+1, ..., m-2\} = \emptyset),$

* $\omega_{m-1} = b_m + (b_1 + ... + b_l) + (\omega_{l+1} + ... \omega_{m-2}) (\text{mod } 2),$

de sorte que $|(B_J^M = b_J)| = 2^{m-2-l}$, d'où (la probabilité $P_M$ étant uniforme sur $\Omega_M$), $P_M(B_J^M = b_J) = 2^{m-2-l} \times \frac{1}{2^{m-1}} = \frac{1}{2^{l+1}}$. Or, $P_M(B_1^M = b_1) = ... = P_M(B_l^M = b_l) = P_M(B_m^M = b_m) = \frac{1}{2}$ d'où $P_M(B_J^M = b_J) = \prod_{j \in J} P_M(B_j^M = b_j)$, et donc, ici encore, $J \notin \mathcal{K}_{\beta_M}$. Finalement, comme annoncé, la seule partie de $I$ ayant au moins deux éléments et qui soit dans $\mathcal{K}_{\beta_M}$ est $M$. $\square$

# 6 Construction d'une famille aléatoire de structure connective donnée

**Théorème 6.1.** *Pour toute structure connective intègre $\mathcal{K} \in \text{Cnct}(I)$, il existe une famille aléatoire $\varphi \in \mathcal{F}_I$ telle que $\mathcal{K}_{\varphi} = \mathcal{K}$.*

*Preuve.* Si $\mathcal{K}$ est la structure discrète, la famille discrète $\beta_d$ répond à la question. Sinon, l'ensemble $\tilde{\mathcal{K}} = \{K_1, ..., K_r\}$ est non vide, et le produit tensoriel des familles brunniennes canoniques associées aux $K \in \tilde{\mathcal{K}}$ vérifie la propriété souhaitée en vertu du théorème 4.9, de la proposition 5.1 et de la proposition 3.2 :

$$\kappa(\bigotimes_{K \in \tilde{\mathcal{K}}} \beta_K) = \bigoplus_{K \in \tilde{\mathcal{K}}} \kappa(\beta_K) = \bigoplus_{K \in \tilde{\mathcal{K}}} [\{K\}] = [\tilde{\mathcal{K}}] = \mathcal{K}.$$

$\square$

**Remarque 6.2.** *Bien que la construction ci-dessus dépende du choix de l'ordre dans lequel les connexes irréductibles $K_1, K_2, ..., K_r$ sont rangés et de l'ordre dans lequel le produit tensoriel des familles brunniennes associées est effectué, les familles finalement obtenues devraient être équivalentes entre elles en un sens assez naturel que nous laissons au lecteur intéressé le soin de préciser (voir aussi la remarque similaire faite en section 4.3.3).*

**Remarque 6.3.** *La preuve du théorème 6.1 donne un procédé universel explicite de construction d'une famille $\varphi$ telle que $\mathcal{K}_{\varphi} = \kappa(\varphi) = \mathcal{K}$. Soulignons*
toutefois que la famille ainsi obtenue n'est pas nécessairement optimale, au
sens où d'autres familles sur un univers $\Omega$ de cardinal inférieur pourraient
parfois être trouvés. Un exemple flagrant de cela est donné par la struc-
ture connective grossière sur $I$, à savoir $\mathcal{K}^g = \mathcal{PI}$, pour laquelle toute partie
de $I$ est connexe. On a $\widetilde{\mathcal{K}^g} = \{\{i,j\} \in \mathcal{PI}, i \neq j\}$, d'où $|\widetilde{\mathcal{K}^g}| = \frac{n(n-1)}{2}$.
Comme pour chaque $K \in \widetilde{\mathcal{K}^g}$ on a $|\Omega_K| = 2$, la construction proposée dans
la démonstration du théorème 6.1 conduit à une famille $\varphi = \bigotimes_{K \in \widetilde{\mathcal{K}^g}} \beta_K$ dont
l'univers possède $2^{\frac{n(n-1)}{2}}$ éléments. Des familles bien plus simples pour la
même structure connective sont celles de la forme $\varphi = ((\Omega, P), (X, X, ..., X))$
où toutes les variables sont non constantes et égales entre elles, avec par
exemple $\Omega = \{0,1\}$ muni de la probabilité uniforme et $X = \text{Id}_{\Omega}$.

**Corollaire 6.4.** *Pour toute structure connective intègre *K*, il existe une in-
finité de familles aléatoires *ϕ* telles que $\kappa(\varphi) = K$.*

Preuve. On a déjà vu que c'était le cas pour la structure connective intègre discrète. Pour toute autre structure $\mathcal{K}$, la famille $\varphi$ construite dans la preuve du théorème 6.1 a un univers de cardinal au moins 2, de sorte que les familles de la suite $\varphi$, $\varphi \otimes \varphi$, $\varphi \otimes \varphi \otimes \varphi$, etc... sont deux à deux distinctes : elles fournissent un ensemble infini de familles de même structure connective $\mathcal{K}$. $\square$

**Corollaire 6.5.** *Il existe une application $\wedge: \mathcal{F}_I \times \mathcal{F}_I \to \mathcal{F}_I$ telle que pour tout couple $(\varphi, \psi) \in \mathcal{F}_I^2$ on ait $\mathcal{K}_{\varphi \wedge \psi} = \mathcal{K}_{\varphi} \cap \mathcal{K}_{\psi}$.*

Preuve. En choisissant un procédé universel pour ordonner les connexes irréductibles de toute structure connective sur $I$ - par exemple en utilisant l'ordre lexicographique induit par celui de $I$ - la construction du théorème 6.1 appliquée à la structure connective $\mathcal{K}_{\varphi} \cap \mathcal{K}_{\psi}$ fournit un procédé universel de construction de $\varphi \wedge \psi$. Cela dit, il pourrait être intéressant de chercher un $\varphi \wedge \psi$ qui soit optimal (voir la remarque 6.3). $\square$

# 7 Conclusion

Cette étude est limitée au cas des familles finies de variables aléatoires, il
pourrait être intéressant de chercher à l'étendre au cas infini. Par ailleurs,
la question reste ouverte de la recherche de familles optimales (i.e. sur
un univers minimal) de structure connective donnée. Il serait également
intéressant d'établir de nouvelles propriétés brunniennes dans d'autres do-
maines, et de chercher à préciser les relations pouvant exister entre elles.
References

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griffen*. PhD thesis, Fernuniversität, Hagen, 1981.

[2] Reinhard Börger. Connectivity spaces and component categories. In *Categorical topology, International Conference on Categorical Topology (1983)*, Berlin, 1984. Heldermann.

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[11] Stéphane Dugowson. Structure connective des relations multiples, 5 mai 2015. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01150262.
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[14] Dale Rolfsen. *Knots and links*. Publish or Perish, Inc., Houston, 1976, sec. ed. 1990.

Contents

<table><tr><td>1</td><td>Notations et rappels</td><td>3</td></tr><tr><td>2</td><td>Dissociations ensemblistes, respect et contestations</td><td>4</td></tr><tr><td>2.1</td><td>Dissociations ensemblistes</td><td>4</td></tr><tr><td>2.2</td><td>Contestations et respect des dissociations ensemblistes</td><td>4</td></tr><tr><td>2.3</td><td>Restrictions des dissociations</td><td>5</td></tr><tr><td>2.4</td><td>Dissociations et connexité</td><td>6</td></tr><tr><td>2.4.1</td><td>Dissociations globales adaptées aux composantes connexes</td><td>6</td></tr><tr><td>2.4.2</td><td>Validation par les connexes irréductibles</td><td>7</td></tr><tr><td>2.4.3</td><td>Caractérisation des connexes par dissociation</td><td>7</td></tr><tr><td>3</td><td>Somme de structures connectives</td><td>8</td></tr><tr><td>4</td><td>Familles aléatoires</td><td>9</td></tr><tr><td>4.1</td><td>Définition des familles aléatoires sur I</td><td>9</td></tr><tr><td>4.2</td><td>Structure connective d'une I-famille aléatoire</td><td>10</td></tr><tr><td>4.2.1</td><td>Dissociations locales d'une famille aléatoire</td><td>10</td></tr><tr><td>4.2.2</td><td>Définition de la structure K<sub>φ</sub></td><td>11</td></tr><tr><td>4.2.3</td><td>Structure connective d'une famille restreinte</td><td>12</td></tr><tr><td>4.2.4</td><td>Équivalence de la validation par φ et par K<sub>φ</sub></td><td>12</td></tr><tr><td>4.3</td><td>Produit tensoriel de deux I-familles aléatoires</td><td>15</td></tr><tr><td>4.3.1</td><td>Définition du produit tensoriel φ ⊗ ψ</td><td>15</td></tr><tr><td>4.3.2</td><td>Indépendance des facteurs</td><td>15</td></tr><tr><td>4.3.3</td><td>Structure connective de φ ⊗ ψ</td><td>16</td></tr></table>
<table><tr><td>5</td><td>Familles brunniennes</td><td>18</td></tr><tr><td>5.1</td><td>Famille discrète canonique</td><td>18</td></tr><tr><td>5.2</td><td>Famille M-brunnienne canonique</td><td>18</td></tr><tr><td>6</td><td>Construction d'une famille aléatoire de structure connective donnée</td><td>20</td></tr><tr><td>7</td><td>Conclusion</td><td>21</td></tr></table>