Une remarque sur une évaluation des solutions bornées
d'une équation différentielle avec pilotage

par Z. MIKOLAJSKA (Kraków)

Résumé. Dans la note [1] nous avons obtenu une condition pour le pilotage {$u_1(t), u_2(t)$} assurant l'existence d'une solution {$x(t), u_1(t), u_2(t)$} de l'équation

$$
(E) \qquad x' = f(t, x_1, u_1, u_2)
$$

$$
(x_1(\theta) = x(t+\theta) \text{ pour } -1 \le \theta \le 0), \text{ telle que } |x(t)| \le k \text{ pour } -1 \le t < \infty, \text{ mais la méthode topologique de T. Ważewski (cf. [2]) appliquée pour démontrer l'existence d'une telle solution exige que sur l'ensemble}
$$

$$
(0.1) \qquad |x| = k
$$

toutes les solutions de l'équation (E) sortent de l'ensemble

$$
(0.2) \qquad |x| \le k
$$

(ou entrent).

Dans la note présente nous n'appliquons plus la méthode de T. Ważewski et nous obtenons
des évaluations de x(t) plus précises aussi dans le cas où sur l'ensemble (0,1) il y a des points de
sortie et des points d'entrée par rapport à l'ensemble (0,2). Ainsi nous avons aussi obtenu la réponse
à la question suivante:

Étant données deux fonctions de classe $C^1$: $a(t)$ et $b(t)$ pour $t \ge 0$, construire un pilotage
{$u_1(t), u_2(t)$} tel que chaque solution $x(t)$ de l'équation (E) avec la condition initiale
$b(0) \le x(t) \le a(0)$ pour $-1 \le t \le 0$ et le pilotage {$u_1(t), u_2(t)$} satisfaisse à l'inégalité
$b(t) \le x(t) \le a(t)$ pour $0 \le t < \infty$. La méthode y appliquée est la méthode des approximations
successives convenablement choisies.

1. Envisageons l'équation (E) et admettons les hypothèses suivantes:

HYPOTHÈSES H₁. 1° f(t, φ, u₁, u₂) est continue par rapport à (t, φ, u₁, u₂) dans R × C[−1,0] × R².

2° $f(t, \varphi, u_1, u_2)$ est croissante par rapport à $\varphi$, c'est-à-dire $f(t, \varphi_1, u_1, u_2) \le f(t, \varphi_2, u_1, u_2)$, si $\varphi_1(\theta) \le \varphi_2(\theta)$ pour $-1 \le \theta \le 0$.

3° Il existe les dérivées $f_{u_1}(t, \varphi, u_1, u_2)$ et $f_{u_2}(t, \varphi, u_1, u_2)$ continues dans $\mathbb{R} \times \mathbb{C}^{[-1,0]} \times \mathbb{R}^2$.

Envisageons l'équation (E) dans l'ensemble

$$
(K) \qquad 0 \le t < +\infty, \quad \|\varphi\| \le k, \quad |u_1| \le \varrho, \quad \|u_2\| \le \varrho
$$

où $\|\varphi\|_{\mathrm{df}} = \max_{-1 \le \theta \le 0} |\varphi(\theta)|$.
4° Il existe des constantes $L_1$, $L$ et $N$ telles que

$$
(1.1) \qquad \begin{array}{l} |f_{u_1}(t, k, u_1, u_2) + 1| \le L < 1 \\ |f_{u_2}(t, k, u_1, u_2)| \le L_1 \end{array} \quad \text{pour } |u_i| \le \varrho, i = 1, 2,
$$

$$
(1.2) \qquad \begin{array}{l} |f_{u_1}(t, -k, u_1, u_2)| \le L_1 \\ |f_{u_2}(t, -k, u_1, u_2) + 1| \le L \end{array} \quad \text{pour } |u_i| \le \varrho, i = 1, 2,
$$

$$
(1.3) \qquad |f(t, k, 0, 0)| \le N, \quad |f(t, -k, 0, 0)| \le N.
$$

5° Les inégalités suivantes sont satisfaites :

$$
(1.4) \qquad L+L_1 < 1, \quad N < (1-L-L_1)\varrho.
$$

LEMME 1. Les hypothèses $H_1$ étant admises, on peut choisir des fonctions $\varepsilon_1(t)$, $\varepsilon_2(t)$ continues pour $0 \le t < \infty$ de façon qu'il existe la solution unique du système

$$
(U) \qquad f(t, k, u_1, u_2) = \varepsilon_1(t), \quad f(t, -k, u_1, u_2) = \varepsilon_2(t).
$$

Démonstration. Posons

$$
(1.5) \qquad 0 < \varepsilon_i(t) < (1-L-L_1)\varrho - N.
$$

Appliquons la méthode des approximations successives

$$
(A) \quad \tilde{u}_1 = f(t, k, u_1, u_2) + u_1 - \varepsilon_1(t), \quad \tilde{u}_2 = f(t, -k, u_1, u_2) + u_2 - \varepsilon_2(t), \\
\text{dans l'ensemble}
$$

$$
(Z) \qquad |u_1| \le \varrho, \quad |u_2| \le \varrho, \quad 0 \le t < \infty.
$$

Evaluons $|\tilde{u}_1(t)|$ et $|\tilde{u}_2(t)|$ dans (Z):

$$
\begin{align*}
|\tilde{u}_1| &\le |f(t, k, 0, 0)| + |f_{u_1}(t, k, \varrho u_1, \varrho u_2)| + 1|u_1| \\
&\quad + |f_{u_2}(t, k, \varrho u_1, \varrho u_2)| |u_2| + |\varepsilon_1(t)|, \\
|\tilde{u}_2| &\le |f(t, -k, 0, 0)| + |f_{u_1}(t, -k, \varrho u_1, \varrho u_2)| |u_1| \\
&\quad + |f_{u_2}(t, -k, \varrho u_1, \varrho u_2)| + 1|u_2| + |\varepsilon_2(t)|,
\end{align*}
$$

c'est-à-dire

$$
(1.6) \quad |\tilde{u}_1| \le N + L\varrho + L_1\varrho + |\varepsilon_1| \le N + (L + L_1)\varrho + (1 - L - L_1)\varrho - N = \varrho,
$$

$$
(1.7) \quad |\tilde{u}_2| \le N + (L + L_1)\varrho + |\varepsilon_2| \le N + (L + L_1)\varrho + (1 - L - L_1)\varrho - N = \varrho.
$$

Envisageons

$$
\tilde{u}_1 = f(t, k, u_1, u_2) + u_1 - \varepsilon_1(t), \quad \tilde{u}_2 = f(t, -k, u_1, u_2) + u_2 - \varepsilon_2(t), \\
\text{et}
$$

$$
\begin{align*}
u_1 &= f(t, k, \tilde{u}_1, \tilde{u}_2) + \tilde{u}_1 - \varepsilon_1(t), & u_2 &= f(t, -k, \tilde{u}_1, \tilde{u}_2) + \tilde{u}_2 - \varepsilon_2(t), \\
\text{avec } \tilde{u}_1, \tilde{u}_2 \text{ quelconques tels que } |\tilde{u}_1| \le \varrho, |\tilde{u}_2| \le \varrho. \text{ On a}
\end{align*}
$$
$$ egin{aligned} |\tilde{u}_1(t) - u_1(t)| &\le L|u_1(t) - \tilde{u}_1(t)| + L_1|u_2(t) - \tilde{u}_2(t)|, \\ |\tilde{u}_2(t) - u_2(t)| &\le L_1|u_1(t) - \tilde{u}_1(t)| + L|u_2(t) - \tilde{u}_2(t)|, \end{aligned} $$

d'où

$$ |\tilde{u}_1(t) - u_1(t)| + |\tilde{u}_2(t) - u_2(t)| \le (L+L_1) \{|u_1(t) - \tilde{u}_1(t)| + |u_2(t) - \tilde{u}_2(t)|\} $$

En vertu de (1.4) la suite des approximations successives

$$ u_{j,1}(t) = f(t, k, u_{j-1,1}, u_{j-1,2}) + u_{j-1,1} - \varepsilon_1(t), $$

$$ u_{j,2}(t) = f(t, -k, u_{j-1,1}, u_{j-1,2}) + u_{j-1,2} - \varepsilon_2(t), $$

avec $u_{0,1}$, $u_{0,2}$ quelconques tels que

$$ |u_{0,1}(t)| \le \varrho, \quad |u_{0,2}(t)| \le \varrho $$

est convergente vers une solution unique de l'équation (U).

2. Admettons $H_1$ (cf. Section 1) et les hypothèses $H_2$ suivantes:

**HYPOTHÈSES H₂.**

$$ (2.1) \qquad \int_0^t \varepsilon_1(s) ds \le \gamma_1 < k \quad \text{pour } 0 \le t < \infty, $$

$$ (2.2) \qquad \int_0^t \varepsilon_2(s) ds \ge \gamma_2 > -k \quad \text{pour } 0 \le t < \infty, $$

$$ (2.3) \qquad \int_0^t \varepsilon_2(s) ds < \int_0^t \varepsilon_1(s) ds \quad \text{pour } 0 \le t < \infty, $$

$$ (2.4) \qquad |\varepsilon_1(t)| < (1-L-L_1)\varrho - N \stackrel{\text{df}}{=} M \quad (i=1,2). $$

**THÉORÈME T.** Les hypothèses $H_1$ et $H_2$ étant admises pour chaque pilotage $\{u_1(t), u_2(t)\}$ satisfaisant à (U), chaque solution $x(t)$ de (E) telle que

$$ (2.5) \qquad -k - \gamma_2 \le x(t) \le k - \gamma_1 \qquad \text{pour } -1 \le t \le 0 $$

satisfait à l'inégalité

$$ (2.6) \qquad -k - \gamma_2 + \int_0^t \varepsilon_2(s) ds < x(t) < k - \gamma_1 + \int_0^t \varepsilon_1(s) ds. $$

**Démonstration.** On considère la suite de fonctions $\{x_v(t)\}$ suivante

$$ (2.7) \qquad x_v(t) = k - \gamma_1 \qquad \text{pour } -1 \le t \le 0, $$

$$ (2.8) \qquad x_v(t) = k - \gamma_1 + \int_0^t f(s, (x_{v-1})_s, u_1, u_2) ds \quad \text{pour } 0 \le t < \infty, $$
$$
(2.9) \qquad
\begin{aligned}
x_0(t) &= k - \gamma_1 + \int_0^t \varepsilon_1(s) \, ds \quad \text{pour } 0 \le t < \infty, \\
x_0(t) &= k - \gamma_1 \qquad \text{pour } -1 \le t \le 0.
\end{aligned}
$$

On a

$$
\begin{gather*}
-k \le \int_0^t \varepsilon_2(s) ds \le \int_0^t \varepsilon_2(s) ds + k - \gamma_1 \le x_0(t) \le k - \gamma_1 + \gamma_1 = k \\
\text{pour } 0 \le t < \infty, \\
x_1(t) = k - \gamma_1 + \int_0^t f(s, (x_0)_s, u_1(s), u_2(s)) ds.
\end{gather*}
$$

$f(t, \varphi, u_1, u_2)$ étant croissante par rapport à $\varphi$, on a

$$
x_1(t) \le k - \gamma_1 + \int_0^t f(s, k, u_1(s), u_2(s)) ds
$$

et en vertu de (U),

$$
-k \le k - \gamma_1 + \int_0^t \varepsilon_2(s) ds \le x_1(t) \le k - \gamma_1 + \int_0^t \varepsilon_1(s) ds = x_0(t).
$$

Supposons que

$$
-k \le x_v(t) \le x_{v-1}(t) \le k \quad \text{pour } 0 \le t < \infty.
$$

Envisageons $x_{v+1}(t)$,

$$
\begin{align*}
x_{v+1}(t) &= k - \gamma_1 = x_v(t) \quad \text{pour } -1 \le t \le 0, \\
x_{v+1}(t) &= k - \gamma_1 + \int_0^t f(s, (x_v)_s, u_1(s), u_2(s)) ds \\
&\qquad + \int_0^t f(s, (x_{v-1})_s, u_1(s), u_2(s)) ds = x_v(t) \le k, \\
x_{v+1}(t) &\ge k - \gamma_1 + \int_0^t f(s, -k, u_1(s), u_2(s)) ds = k - \gamma_1 + \int_0^t \varepsilon_2(s) ds \\
&> k - \gamma_1 - k = -\gamma_1 > -k.
\end{align*}
$$

La suite {$x_v(t)$} est donc convergente. Posons

$$
(2.10) \qquad \bar{x}(t) = \lim_{v \to \infty} x_v(t) \quad \text{pour } -1 \le t < \infty.
$$

En vertu de (2.8)

$$
|x'_{v}(t)| = |f(t, (x_{v-1})_t, u_1(t), u_2(t))| \le \max \{\varepsilon_1(t), \varepsilon_2(t)\} \le M,
$$
pour $v = 0, 1, 2, \dots, -1 \le t < \infty$ et par suite, la convergence (2.10) est uniforme. En vertu de (2.7) et (2.8) on a donc

$$
(2.11) \qquad \bar{x}(t) = k - \gamma_1 \quad \text{pour } -1 \le t \le 0,
$$

$$
(2.12) \qquad \bar{x}(t) = k - \gamma_1 + \int_0^t f(s, \bar{x}_s, u_1, u_2) ds,
$$

et

$$
\bar{x}'(t) = f(t, \bar{x}_t, u_1(t), u_2(t)) \quad \text{pour } 0 \le t < \infty.
$$

$\bar{x}(t)$ est donc la solution de (E) telle que

$$
\bar{x}(t) \le k - \gamma_1 + \int_0^t \varepsilon_1(s) ds \quad \text{pour } 0 \le t < \infty,
$$

$$
\bar{x}(t) = k - \gamma_1 \quad \text{pour } -1 \le t \le 0,
$$

$$
\bar{x}(t) \ge k - \gamma_1 + \int_0^t \varepsilon_2(s) ds \quad (\text{cf. } H_1: 2^\circ, \text{ et } (U)).
$$

On a

$k - \gamma_1 > 0 > -k - \gamma_2$

et par conséquent,

$$
\bar{x}(t) = k - \gamma_1 \quad \text{pour } -1 \le t \le 0,
$$

$$
-k - \gamma_2 + \int_0^t \varepsilon_2(s) ds \le \bar{x}(t) \le k - \gamma_1 + \int_0^t \varepsilon_1(s) ds \quad \text{pour } 0 \le t < \infty.
$$

D'une façon analogue on obtient la solution $\bar{x}(t)$. Posons

$$
\xi_v(t) = -k - \gamma_2 \qquad \text{pour } -1 \le t \le 0,
$$

$$
\xi_v(t) = -k - \gamma_2 + \int_0^t f(s, (\xi_{v-1})_s, u_1(s), u_2(s)) ds \quad \text{pour } 0 \le t < \infty,
$$

$$
\xi_0(t) = -k - \gamma_2 \qquad \text{pour } -1 \le t \le 0,
$$

$$
\zeta_0(t) = -k - \gamma_2 + \int_0^t \varepsilon_2(s) ds \quad \text{pour } 0 \le t \le \infty.
$$

On a

$$
\xi_0(t) \le -k - \gamma_2 + \int_0^t \varepsilon_1(s) ds \le k - \gamma_1 + \gamma_1 = k \quad \text{pour } 0 \le t < \infty,
$$

$$
\zeta_0(t) \ge -k - \gamma_2 + \gamma_2 = -k \quad \text{pour } 0 \le t < \infty,
$$

$$
-k - \gamma_2 + \int_0^t \varepsilon_1(s) ds \ge \xi_1(t) \ge -k - \gamma_2 + \int_0^t f(s, -k, u_1, u_2) ds = \xi_0(t),
$$

$$
k = k - \gamma_1 + \gamma_1 \ge \xi_1(t) \ge \xi_0(t) \ge -k \quad \text{pour } 0 \le t < \infty.
$$
Supposons que

$$k \ge \xi_v(t) \ge \xi_{v-1}(t) \ge -k \quad \text{pour } 0 \le t < \infty.$$

On a

$$ 
\begin{align*}
\xi_{v+1}(t) &= -k - \gamma_2 + \int_0^t f(s, (\xi_v)_s, u_1(s), u_2(s)) ds \\
&\ge -k - \gamma_2 + \int_0^t f(s, (\xi_{v-1})_s, u_1(s), u_2(s)) ds = \xi_v(t) \ge -k, \\
\xi_{v+1}(t) &\le k - \gamma_1 + \int_0^t f(s, k, u_1(s), u_2(s)) ds = k - \gamma_1 + \int_0^t \varepsilon_1(s) ds \le k \\
&\qquad \quad \text{pour } 0 \le t < \infty, \\
\xi_{v+1}(t) &= -k - \gamma_2 \quad \text{pour } -1 \le t \le 0.
\end{align*}
$$

La suite {$\xi_v(t)$} est donc bornée et croissante, d'où convergente. $\xi'_v(t)$ étant borné par $M$ pour $v = 1, 2$, et $-1 \le t < \infty$, la convergence est uniforme et

$$\bar{x}(t) = \lim_{v \to \infty} \xi_v(t)$$

est une solution de (E) telle que

$$ 
\begin{align*}
\bar{x}(t) &= -k - \gamma_2 && \text{pour } -1 \le t \le 0, \\
\bar{x}(t) &= -k - \gamma_2 + \int_0^t f(s, \bar{x}_s, u_1(s), u_2(s)) ds && \text{pour } 0 \le t < \infty, \\
\bar{x}(t) &\le \bar{x}(t) && \text{pour } -1 \le t < \infty, \\
-k - \gamma_2 + \int_0^t \varepsilon_2(s) ds &\le \bar{x}(t) \le \bar{x}(t) \le k - \gamma_1 + \int_0^t \varepsilon_1(s) ds && \text{pour } 0 \le t < \infty.
\end{align*}
$$

La fonction $f(t, \varphi, u_1, u_2)$ étant croissante par rapport à $\varphi$, chaque solution $x(t)$ de (E) telle que

$$\bar{x}(t) = -k - \gamma_2 \le x(t) \le \bar{x}(t) = k - \gamma_1 \quad \text{pour } -1 \le t \le 0$$

satisfait à l'inégalité

$$-k - \gamma_2 + \int_0^t \varepsilon_2(s) ds \le \bar{x}(t) \le x(t) \le \bar{x}(t) \le k - \gamma_1 + \int_0^t \varepsilon_1(s) ds.$$

Le théorème T est ainsi démontré.
### 3. Remarque 1. Dans le cas où

$$ (3.1) \qquad \varepsilon_1(t) > 0 \quad \text{et} \quad \varepsilon_2(t) < 0 \quad \text{pour } 0 \le t < \infty, $$

les hypothèses $H_2$ ne sont pas nécessaires pour l'existence d'une solution $x(t)$ de l'équation (E) telle que

$$ (3.2) \qquad -k < x(t) < k \quad \text{pour } -1 \le t < \infty. $$

La méthode de T. Ważewski (cf. [2]) permet de démontrer l'existence d'une (au moins) telle solution, mais notre évaluation est plus précise. Au lieu de (3.2) on a l'évaluation (2.6). Dans notre théorème $T \varepsilon_i(t)$ peut changer de signe. Dans le cas où $\varepsilon_i(t)$ change de signe on ne peut pas appliquer la méthode de T. Ważewski (au moins dans l'ensemble $|x| \le k$).

### 4. Remarque 2. Envisageons deux fonctions $a(t)$ et $b(t)$ de classe $C^1$ pour $t \ge 0$ telle que

$$ (4.0) \qquad |a'(t)| \le (1-L-L_1)\varrho-N, \qquad |b'(t)| \le (1-L-L_1)\varrho-N, $$

$$ (4.1) \qquad -k < \gamma_2 \le b(t) \le a(t) \le \gamma_1 < k \quad \text{pour } t \ge 0, $$

$$ (4.2) \qquad b(0) < 0 < a(0), $$

$$ (4.3) \qquad a'(t) > b'(t). $$

Du notre théorème T il vient qu'on obtient la solution $x(t)$ de l'équation (E) satisfaisant à

$$ (4.4) \qquad b(t) < x(t) < a(t) \quad \text{pour } t \ge 0, $$

$$ (4.5) \qquad b(0) \le x(t) \le a(0) \quad \text{pour } -1 \le t \le 0, $$

dans le cas où le pilotage $\{u_1(t), u_2(t)\}$ est choisi comme une solution du système (U) avec

$$ (4.6) \qquad \varepsilon_1(t) = a'(t) \quad \text{pour } t \ge 0, $$

$$ (4.7) \qquad \varepsilon_2(t) = b'(t) \quad \text{pour } t \ge 0. $$

On a

$$ \int_0^t \varepsilon_1(s) \, ds = a(t) - a(0) \le \gamma_1 < k, \qquad \int_0^t \varepsilon_2(s) \, ds = b(t) - b(0) \ge \gamma_2 > -k, $$

c'est-à-dire, les hypothèses (2.1) et (2.2) sont satisfaites. En vertu de (4.2) on a

$$ -k \le \int_0^t \varepsilon_2(s) \, ds = \int_0^t b'(s) \, ds < \int_0^t a'(s) \, ds = \int_0^t \varepsilon_1(s) \, ds \le k $$

d'où on obtient (2.3). L'hypothèse (4.0) entraîne (2.4). Du théorème T il vient
donc que chaque solution $x(t)$ de l'équation (E) avec le pilotage $\{u_1(t), u_2(t)\}$ satisfaisant à U avec $\varepsilon_1$ et $\varepsilon_2$ donné par (4.6) et (4.7) et telle que

$$b(0) \le x(t) \le a(0) \quad \text{pour } -1 \le t \le 0$$

satisfait à (4.4).

Références

[1] Z. Mikołajska, *Une remarque sur les solutions bornées d'une équation différentielle avec pilotage*, Ann. Polon. Math. 46 (1985), 189-192.

[2] T. Ważewski, *Sur un de principe topologique de l'examen de l'allure asymptotique des intégrales des équations différentielles ordinaires*, Ann. Soc. Polon. Math. 20 (1947), 279-313.

Reçu par la Rédaction le 30.07.1987