de certaines préférences, même celles portant sur les sphères personnelles. Notre condition
MP1 est elle aussi inextricablement mêlée à la question des droits, mais elle laisse indemne
la condition GL, selon laquelle les individus ont le droit d'exprimer toutes les préférences
qu'ils souhaitent sur leur sphère privée. Par contre, en restreignant la condition U, elle
impose aux individus de la société qui sont libres de leurs préférences sur leur sphère
privée de respecter les droits des autres à faire de même. Interprétée de cette manière, elle
apparaît comme une condition de réciprocité étendue à tous les membres de la société :
“j'ai le droit d'agir de la façon qui me semble bonne sur ma sphère privée et je reconnais
le droit des autres à faire de même”. On peut aussi prendre en compte cette réciprocité à
l'inverse : “si les individus de la société respectent mon droit à agir sur ma sphère privée,
je ferais de même”. La condition GL' ne peut faire preuve de telles conséquences. Aussi,
notre condition MP1, axée sur l'ensemble Y et donc sur les questions d'interactions qui
existent entre les individus, nous semble plus intuitive et normativement acceptable.

Voyons s'il en est de même pour la condition MP2, celle-ci menant à une résolution du
paradoxe libéral-parétien. La majeure partie des travaux évoqués dans la sous-section 4.2.3
(p. 234 ss.) propose de résoudre le conflit Pareto-liberté en affaiblissant soit la condition
de Pareto (Sen, 1976a [232]; Saari, 1998 [215]...), soit les conditions L ou GL' (Gibbard,
1974 [100]; Blau, 1975 [33]...). Des autres propositions relevées (approche en termes de
jeux, métaclassement, externalités...), nous retenons l'introduction d'information sur les
préférences avec notamment la proposition de résolution offerte par Saari et Pétron-Brunel
(1998 [217]).

A l'évidence, nos résultats sont à l'opposé de ceux offerts, par exemple, par Gibbard
(1974 [100]) et Blau (1975 [33]). Ces derniers, partisans de l'affaiblissement de la condition
de libéralisme, interdisent aux individus d'exercer leurs droits dans certains cas, ce qui
élimine toute possibilité de conflit. Notre position est fort différente : en effet, nous dé-
fendons un plus grand respect des droits individuels. Aussi, malgré leurs mérites certains,
nous considérons ces tentatives de résolution comme insatisfaisantes.

Il est donc nécessaire de montrer ce qui distingue nos résultats des autres tentatives
de résolution qui vont dans le même sens et insistent sur un respect plus important des
droits individuels, notamment celles de Sen (1976a [232]) et Saari et Pétron-Brunel (1998
[217]). Il nous faut les rappeler succinctement.

Présentons formellement la proposition de Sen (1976a [232]). Soit $\bar{R}_i$, une sous-relation de la relation de préférences individuelles $R_i$ reflétant la partie des préférences de $R_i$ que la personne désire insérer dans le choix social. $\bar{P}_i$ et $\bar{I}_i$ et sont respectivement les parties asymétrique et symétrique de $\bar{R}_i$. Sen propose alors une version conditionnelle du principe de Pareto :

**Condition 5.14 (PC) *Pareto faible conditionnelle*** Pour tout $x, y \in \Xi$, si $x \bar{P}_i y$ pour tout $i \in N$, alors $x P y$.

Sen développe une définition du respect des droits individuels et aboutit à un résultat de possibilité :

**Définition 5.8 Respect des droits** Pour toute attribution cohérente des droits (définition 5.10, p. 347), une personne j respecte les droits des autres individus si et seulement si pour tout profil d, elle désire qu'une sous-relation $\bar{R}_j$ de $R_j$ soit prise en compte de telle manière qu'il existe un préordre complet $T_j$ tel que $\bar{R}_j$ et chacune des préférences individuelles sur chaque $\{x, y\}$ dans leur $D_i$ soient des sous-relations de $T_j$.

**Théorème 5.7 (Sen, 1976a [232])** Il existe une SDF satisfaisant aux conditions U, L+ et PC si une personne de la société respecte les droits des autres.

**Preuve** Voir Sen, 1976a [232], pp. 243-244. ■

Quant à elle, la résolution proposée par Saari et Pétron-Brunel (1998 [217]) est la suivante :

**Définition 5.9 Intensité à la Saari-Pétron** Un individu aux préférences transitives à un classement faible sur une paire particulière, si aucune autre option n'est classée entre les deux options de cette paire.

Saari et Pétron-Brunel (1998 [217]) aboutissent alors à un résultat de possibilité pour le paradoxe libéral-parétien :
**Théorème 5.8 (Saari et Pétron-Brunel, 1998 [217])** Si tous les individus ont des préférences faibles sur les paires d'options attribuées aux autres agents décisifs, alors il existe une SDF satisfaisant aux conditions P et $L^+$.

**Preuve** Voir Saari et Pétron-Brunel, 1998 [217] dans Pétron-Brunel, 1998 [179], pp. 174-176. ■

Comme elle affaiblit les contraintes posées sur les préférences individuelles, la condition MP2 paraît offrir une alternative théorique satisfaisante aux résultats de Sen (1976a [232]) car nous imposons à un individu de la société, non pas de respecter les droits, mais d'avoir un ensemble Y vide, ce qui est moins contraignant ; mais aussi à ceux de Saari et Pétron-Brunel (1998 [217]) car nous posons une contrainte, non pas sur l'ensemble des individus de la société, mais sur un seul. Nous comptons à présent démonter ce constat superficiel, mais ce sera pour l'approfondir par la suite.

En réalité, les résultats de possibilité proposés par ces trois auteurs portent sur le paradoxe libéral-parétien initial : ils sont donc énoncés avec la condition $L^+$, contenant l'hypothèse d'une attribution cohérente des droits. Nous rappelons ici ces deux notions :

**Définition 5.10** *Attribution cohérente des droits* Chaque individu *i* dans *N* est doté d'un ensemble non vide $D_i$ de paires d'états sociaux telles que quelle que soit la manière dont les individus les ordonnent, il existe un préordre complet *T* de $\Xi$ tel que chacune des préférences individuelles sur chaque $\{x, y\}$ dans leur $D_i$ soit une sous-relation de *T*.

**Condition 5.15 (L+)** *Libéralisme cohérent* Pour toute attribution cohérente des droits, si $\{x, y\}$ est dans $D_i$, alors $xP_iy$ implique $xPy$.

Afin d'être en mesure de comparer nos résultats à ceux de Sen (1976a [232]) et Saari et Pétron-Brunel (1998 [217]), nous reformulons la définition de notre ensemble $Y$ sans structure de produit cartésien. Pour bien différencier les deux concepts, appelons-le $Y^{*82}$.

**Définition 5.11** *Ensemble des préférences envahissantes sans structure de produit cartésien* Pour un profil d donné, l'ensemble $Y_j^*$ correspond aux états sociaux pour

<footnote>$^{82}$Notons que la définition "Intensité de la préférence entre deux états sociaux" (p. 334) peut être réécrite sans structure de produit cartésien sur les états sociaux : il suffit de remplacer $X^n$ par $\Xi$.</footnote>
lesquels l'individu $j$ a une préférence qui va à l'encontre des préférences des individus $i \neq j$ sur leur sphère personnelle $D_i$ :

$$ Y_j^*(D_i) = \left\{ \begin{array}{l} y \in D_i \mid I(xP_jy) \ge 1 \text{ pour } x \in D_i \\ \qquad \text{tel que } yP_i x \end{array} \right\} \\ \text{et } Y_j^* = \bigcup_{i \neq j} Y_j(D_i). $$

Reformulé de cette manière, l'ensemble $Y^*$ d'un individu $j$ est construit seulement à partir des paires d'états sociaux sur lesquelles les individus sont décisifs. Nous pouvons alors énoncer une condition MP2*:

**Condition 5.16 (MP2\*) Modification des préférences 2 sans structure de produit cartésien** $\exists j \in N \text{ tel que } Y_j^* = \emptyset$.

Que donne alors notre condition MP2\* confrontée au paradoxe initialement énoncé par Sen ? Nous craignons qu'elle ne soit pas d'un grand secours puisque :

**Proposition 5.10** Il n'existe pas de SDF satisfaisant aux conditions MP2\*, P et L\+.

**Preuve** Voir le point (2) de la preuve de la proposition 5.8 (p. 340). Un individu de la société participant à un cycle de préférences collectives uniquement par le biais de la condition de Pareto peut avoir un ensemble $Y^*$ vide si seule la condition L\+ est exigée pour le choix social. ■

Ceci nuance quelque peu le constat de surface effectué précédemment et nous impose de nous pencher davantage sur le fonctionnement des conditions proposées par Sen et Saari et Pétron-Brunel. Considérons d'abord la proposition faite par Sen : que signifie véritablement le fait de respecter les droits d'autrui ? Comment pouvons-nous l'interpréter à l'aide des concepts que nous avons mis en place ?

**Définition 5.12** Ensemble des préférences envahissantes à la Sen Pour un profil d donné, l'ensemble $Y_j^S$ correspond aux états sociaux pour lesquels l'individu $j$ a une préférence qui est différente des préférences des individus $i \neq j$ sur leur sphère personnelle $D_i$ :

$$ Y_j^S(D_i) = \left\{ \begin{array}{l} y \in D_i \mid xR_j y \text{ pour } x \in D_i \\ \qquad \text{tel que } yP_i x \end{array} \right\} $$
$$ \text{et } Y_j^S = \bigcup_{i \neq j} Y_j(D_i). $$

**Condition 5.17 (MP2<sup>S</sup>)** *Modification des préférences à la Sen* $\exists j \in N$ tel que $Y_j^S = \emptyset$.

Nous obtenons alors :

**Proposition 5.11 (Reformulation du théorème 5.7, p. 346)** *Il existe une SDF sa-tisfaisant aux conditions MP2<sup>S</sup>, P et L+.*

Nous voyons alors la différence entre la condition MP2* et la proposition de Sen (1976a [232]) de manière beaucoup plus nette : en effet, l'ensemble $Y^S$ rassemble tous les états sociaux pour lesquels l'individu affiche une préférence qui est différente de celle d'un autre individu sur sa sphère privée. Or, une préférence individuelle peut être différente sans aller obligatoirement à l'encontre de la préférence d'autrui sur sa sphère privée, c'est-à-dire qu'elle ne lui nuit pas forcément. Dans ce contexte, la condition MP2* estime qu'une préférence simplement différente, mais qui ne va pas à l'encontre de la préférence d'autrui n'a pas à être corrigée. L'ensemble $Y^S$ est donc susceptible de rassembler plus d'états sociaux que l'ensemble $Y^*$, et, à ce titre, la condition MP2<sup>S</sup> est plus exigeante que la condition MP2* : MP2<sup>S</sup> $\Rightarrow$ MP2*.

Traitons maintenant le cas de Saari et Pétron-Brunel (1998 [217]). Dans notre formalisme, la définition de l'intensité à la Saari-Pétron revient à notre définition de l'ensemble $Y^*$. Dès lors, la condition qu'ils posent sur la règle de choix collectif est équivalente à notre condition forte de modification des préférences MPF avec un ensemble $Y^*$, c'est-à-dire sans structure de produit cartésien. Nous la notons ici MP2<sup>SP</sup> :

**Condition 5.18 (MP2<sup>SP</sup>)** *Modification des préférences à la Saari-Pétron* $Y_j^* = \emptyset$ pour tout $j \in N$.

Ainsi :

**Proposition 5.12 (Reformulation du théorème 5.8, p. 347)** *Il existe une SDF sa-tisfaisant aux conditions MP2<sup>SP</sup>, P et L+.*
Il est évident ici qu'on a $MP2^{SP} \Rightarrow MP2^*$. Notons que $MP2^{SP} \Rightarrow MP1^*$ (définie ci-dessous) $\Rightarrow MP2^{*83}$ et qu'il est possible d'offrir une résolution au paradoxe libéral-parétien initial avec la condition $MP1^*$ :

**Condition 5.19 (MP1\*) Modification des préférences 1 sans structure de produit cartésien** $Y_k^* = \emptyset, \forall k \in K$ où $K \subseteq N$ et $|K| \ge n-1$.

**Proposition 5.13** *Il existe une SDF satisfaisant aux conditions MP1\*, P et L+.*

**Preuve** Cette preuve est dérivée des preuves des propositions 5.7 (p. 337) et 5.8 (p. 340). Considérant le point (1) de la preuve de la proposition 5.8, on voit qu'un individu dont l'ensemble $Y^*$ est vide ne peut participer à un cycle en fournissant une relation binaire de droits. Dès lors, si $(n-1)$ individus de la société ont un ensemble $Y^*$ vide, aucun ne peut fournir une relation binaire de droits. Or, un cycle de préférences collectives invoquant les conditions P et $L^+$ nécessite au moins deux relations binaires de droits issues de deux individus différents. Dès lors, le fait que $(n-1)$ individus de la société au moins aient un ensemble $Y$ vide entraîne qu'aucun cycle de préférences collectives n'est possible dans cette société. ■

De l'ensemble de ces constats découlent notre appréciation de la condition MP2. Nous avons vu que le paradoxe libéral-parétien initial ne peut être résolu avec la condition MP2\*, pour autant, celle-ci est plus faible que les conditions $MP2^S$ et $MP2^{SP}$. Nous pouvons donc en déduire que lorsqu'une structure de produit cartésien est introduite, la condition MP2 est plus faible que les conditions $MP2^S$ et $MP2^{SP}$ considérées avec une telle structure.

Or, la condition MP2 permet de résoudre le paradoxe libéral-parétien tel qu'il a été énoncé par Gibbard, avec la condition GL'. Nous avons déjà conclu au bien-fondé de la condition GL' associée à la structure de produit cartésien posée sur les états sociaux. En effet, cette condition est beaucoup plus crédible que ne le sont les conditions $L^+$, L et $L^*$, et, de fait, est impliquée par l'argumentation déployée pour les justifier. Dès lors, le véritable paradoxe libéral-parétien que nous devrions considérer est bien celui énoncé par

<footnote n="83">⁸³De même, nous avons noté précédemment que MPF $\Rightarrow$ MP1 $\Rightarrow$ MP2.</footnote>
Gibbard, un paradoxe qui s'attache à prendre véritablement en considération les droits individuels.

La conclusion qui s'impose à ce stade de notre raisonnement est la suivante : la condition MP2 et le résultat de possibilité qui en découle sont donc bien un dépassement des résultats proposés par Sen (1976a [232]) et Saari et Pétron-Brunel (1998 [217]) en ce qu'ils consistent en un affaiblissement des contraintes pesant sur les individus d'une part, et en une représentation plus tangible de la réalité des droits individuels d'autre part.

Voyons à présent s'il est possible d'exploiter ces résultats au-delà des paradoxes de Gibbard et Sen. Dans le chapitre précédent (chapitre 4, p. 211 ss.), nous avons évoqué le phénomène provoqué par le principe de Pareto : l'épidémie parétienne<sup>84</sup>. Il conviendrait de se demander si la condition MP2*, *alter ego* de la condition MP2 lorsque la structure de produit cartésien sur les états sociaux n'est pas requise, ce qui est le cas pour l'épidémie parétienne, serait susceptible d'éluder cette épidémie. Rappelons ici le résultat de Sen (1976a [232]) :

**Théorème 5.9 (Sen, 1976a [232])** Pour toute SDF satisfaisant à la condition U, la condition de Pareto faible P implique que si une personne J est décisive dans les deux sens sur une paire d'états sociaux dans $\Xi$ alors J est potentiellement semi-décisive sur toutes les paires dans $\Xi$.

Il paraît alors que grâce à la condition MP2*, cette épidémie parétienne s'estompe :

**Proposition 5.14** Pour toute SDF satisfaisant à la condition MP2*, l'épidémie parétienne disparaît : la condition de Pareto faible P n'implique pas que si une personne J est décisive dans les deux sens sur une paire d'états sociaux dans $\Xi$, alors J est potentiellement semi-décisive sur toutes les paires dans $\Xi$.

**Preuve** Soit une personne J décisive dans les deux sens sur $\{x, y\}$. Considérons une autre paire $\{z, w\}$. Nous avons trois possibilités : ces quatre états sociaux sont tous distincts (1), $\{x, y\}$ et $\{z, w\}$ ont un élément en commun (2), et $\{x, y\} = \{z, w\}$ (3). Les trois cas sont étudiés successivement.

<footnote n="84"><sup>84</sup>Voir la sous-section 4.3.3 (p. 269 ss.).</footnote>
(1) Soit le classement suivant de $J : zP_jx \& xP_jy \& yP_jw$. Admettons que pour tout $i \neq J$, on ait $zP_i x$ et $yP_i w$. Par la condition P, on obtient alors : $zPx$ et $yPw$. Puisque $J$ est décisif sur $\{x, y\}$, on a $xPy$. Au niveau social, on obtient les préférences suivantes : $zPx \& xPy \& yPw$. Puisque la relation de préférences sociales est une SDF, on peut en déduire que $zRw$. Ainsi (et c'était là la conclusion de Sen, 1976a [232]), puisque seul l'individu $J$ a spécifié ses préférences sur la paire d'états sociaux $\{z, w\}$, $J$ est potentiellement semi-décicif sur $\{z, w\}$. Mais cette conclusion n'est plus valide lorsque la condition MP2* s'applique : en effet, pour qu'au moins un individu fasse preuve d'un ensemble $Y^*$ vide, il est nécessaire qu'au moins un individu $i \neq J$ spécifie ses préférences sur la paire $\{x, y\}$. L'individu $J$ ne peut plus être potentiellement semi-décisif sur $\{z, w\}$.

(2) Dans ce second cas, on distingue quatre sous-cas. Soit $x = z$ et le classement suivant de $J : xP_jy \& yP_jw$. Tous les autres individus de la société préfèrent strictement $y$ à $w$. Par la condition P, on a $yPw$ et puisque $J$ est décisif sur $\{x, y\}$, $xPy$. Dès lors, $xRw$. La même conclusion s'impose : pour qu'un individu de la société fasse preuve d'un ensemble $Y^*$ vide, il est nécessaire qu'au moins un individu $i \neq J$ spécifie ses préférences sur la paire $\{x, y\}$. L'individu $J$ ne peut plus être potentiellement semi-décisif sur $\{x, w\}$. Le cas $y = z$ est traité de la même manière : si $J$ est décisif sur $\{x, y\}$ et que la condition MP2* s'applique, il ne peut être potentiellement semi-décisif sur $\{x, w\}$. Considérons maintenant que $y = w$ et que $J$ a le classement suivant : $zP_jx \& xP_jy$, les autres individus de la société préférant $z$ à $x$. Alors, $zPx$ et $xPy$ et $zRy$. Comme précédemment, on voit que pour qu'au moins un individu fasse preuve d'un ensemble $Y^*$ vide, il est nécessaire qu'au moins un individu $i \neq J$ spécifie ses préférences sur la paire $\{x, y\} : J$ ne peut donc être potentiellement semi-décisif sur $\{z, y\}$. Même chose pour le dernier sous-cas : $x = w$.

(3) Si les deux paires $\{x, y\}$ et $\{z, w\}$ ont deux éléments en commun, alors il est évident que pour que la condition MP2* s'applique, $J$ ne peut être potentiellement semi-decisif sur la paire $\{z, w\}$. Ceci termine notre preuve. ■

Nous avons également constaté que le phénomène de l'épidémie parétienne était à la source du lemme central (lemme 4.4, p. 253) permettant de prouver le théorème d'impossibilité d'Arrow (théorème 4.8, p. 253). La condition MP2* pourrait être également susceptible de solutionner et ce fameux lemme et, surtout, le théorème d'impossibilité
d'Arrow. Sur ce point pourtant, une certaine circonspection s'impose : en effet, le lemme 4.4, tout comme le théorème d'Arrow, invoquent la condition I, la condition d'indépendance par rapport aux choix extérieurs<sup>85</sup>. Or, cette condition, comme nous l'avons noté dans les sous-sections 4.3.2 (p. 261 ss.) et 5.2.3 (p. 316 ss.), interdit l'introduction d'information sur les utilités aussi bien que sur les préférences et autorise uniquement des comparaisons intrapersonnelles de niveaux. Les conditions MP2* et MP2 sont formulées grâce à l'introduction d'information sur les préférences, chose qu'Arrow avait tout aussi formellement désapprouvée. Proposer une résolution au lemme 4.4 et au théorème d'impossibilité d'Arrow en utilisant la condition MP2* serait certes envisageable, mais reviendrait en dernière instance à supprimer la condition I. Dans ce présent travail, nous ne nous engagerons pas sur cette piste qui nous éloignerait de notre propos : la question des droits individuels en théorie du choix social. Néanmoins, cette voie signalant l'intérêt des conditions MP2* et MP2, et par là, des concepts et des définitions invoqués pour les déterminer, est à présent ouverte.

Nous avons tenté de montrer dans cette sous-section les apports des conditions MP1 et MP2 au regard des autres tentatives de résolution des paradoxes de Gibbard et de Sen ainsi que les opportunités nouvelles qu'elles engendrent. Certes, ces conditions comportent certains avantages, dont celui, non négligeable, d'apporter une solution à ces deux paradoxes, mais y aurait-il un moyen d'aller au-delà de cela, c'est-à-dire de définir un mécanisme chargé de détecter les préférences qui ne respectent pas les droits individuels et qui convergerait vers l'existence d'un choix social ? C'est à cette problématique que nous allons nous atteler dès à présent.

## 5.4 Conclusion

Ce chapitre avait pour objectif d'intégrer le concept opérationnel de liberté à la problématique de l'insertion des droits et libertés individuels dans la théorie du choix social et d'en déduire des propositions de résolution pour les paradoxes de Sen et Gibbard.

En approfondissant les pistes de résolution envisagées lors du chapitre 4 (p. 211 ss.)

<footnote n="85"><sup>85</sup>Voir la condition 4.11 (p. 252).</footnote>
et en les confrontant à notre concept de liberté, les outils conceptuels et formels suivants
ont été élaborés :

* la nécessité de raisonner dans le formalisme de la théorie du choix social couplée à une structure de produit cartésien sur les états sociaux. Ceci constitue en effet un compromis adéquat qui combine à la fois la compréhension de la construction de l'état social comme le fait la théorie des jeux et l'importance du rapport entre l'individu et la société représentée par la théorie du choix social.

* La possibilité d'introduire de l'information non welfariste axée sur certaines valeurs grâce à la condition du domaine non restreint.

* Enfin, le besoin d'intégrer une forme de comparaisons interpersonnelles des préférences grâce à la prise en compte d'information sur les préférences, celle-ci permettant d'appréhender les phénomènes d'interactions inhérents à la liberté individuelle.

En outre, notre concept de liberté défend la notion de protection de la sphère privée ;
cet élément a également été utilisé pour formuler les résultats de possibilité pour les
paradoxes de Sen et de Gibbard. Les contributions de notre chapitre et étapes de notre
raisonnement sont mentionnées ci-dessous :

1. Avec la tentative de formalisation du concept de métaclassement, nous avons voulu démontrer que la prise en compte des motivations individuelles grâce au concept de métaclassement était conceptuellement et formellement envisageable et permettait, en outre, de résoudre les paradoxes de Sen et de Gibbard. Ce qui importe avant tout ici, c'est le fait qu'il soit possible de déterminer un métaclassement *M*<sub>*i*</sub> *unique* pour chaque individu *i*. Quelle que soit sa préférence de premier ordre *R*<sub>*i*</sub>, il nous est loisible de nous référer au métaclassement invariable de l'individu *i* dès lors que le choix social est impossible.

2. Il nous a paru important de considérer de façon plus systématique que cela n'avait été fait jusque-là une structure de produit cartésien posée sur les états sociaux.

3. Grâce aux deux définitions que sont l“intensité de la préférence entre deux états sociaux” (définition 5.6, p. 334) et l“ensemble des préférences envahissantes” (définition 5.7, p. 335), il a été possible de formuler les deux conditions originales de modification des préférences (les conditions MP1 et MP2), celles-ci permettant de
proposer des solutions nouvelles au paradoxe de Gibbard ainsi qu'à celui de Sen.

4. La mise en perspective des résultats formulés grâce aux conditions MP1 et MP2 en souligne les aspects originaux : premièrement, nous sommes en mesure de proposer des résultats de possibilité pour les paradoxes de Sen et de Gibbard en usant des mêmes outils, accentuant ainsi les causes similaires de leur émergence. Deuxièmement, la résolution que nous proposons du paradoxe de Gibbard grâce à la condition MP1, axée sur le phénomène de réciprocité, semble épouser davantage l'enjeu du paradoxe de Gibbard que ne le fait celle suggérée par Gibbard. Troisièmement, la résolution du paradoxe libéral-parétien obtenue grâce à la condition MP2 va au-delà des propositions de Sen (1976a [232]) et Saari et Pétron-Brunel (1998 [217]). Quatrièmement, cette même condition permet de solutionner l'épidémie parétienne, ouvrant ainsi d'autres perspectives.

Les paradoxes de Sen et Gibbard nous paraissent avoir trouvé, du fait de notre concept opérationnel de liberté, un traitement plus satisfaisant, rendant compte de manière plus adéquate des droits et libertés individuels. Néanmoins, ces propositions de résolution consistent avant tout en des conditions inflexibles posées sur la règle de choix collectif. Nous souhaiterions à présent étudier la possibilité de déterminer un mécanisme fondé sur notre concept de liberté qui convergerait vers un choix social.
# Chapitre 6

## Liberté et modification des préférences

### Sommaire

<table><tr><td>6.1</td><td>Introduction</td><td>358</td></tr><tr><td>6.2</td><td>Un Mécanisme de Modification des Préférences (MMP)</td><td>359</td></tr><tr><td>6.2.1</td><td>Le MMP et ses caractéristiques</td><td>359</td></tr><tr><td></td><td>i. Le mécanisme justifié</td><td>359</td></tr><tr><td></td><td>ii. La définition générale du MMP</td><td>361</td></tr><tr><td>6.2.2</td><td>Le MMP appliqué</td><td>366</td></tr><tr><td></td><td>i. Traitement du paradoxe de Gibbard</td><td>366</td></tr><tr><td></td><td>ii. Traitement du paradoxe libéral-parétien</td><td>368</td></tr><tr><td></td><td>iii. Le MMP : premières remarques</td><td>370</td></tr><tr><td>6.3</td><td>Variations autour du MMP</td><td>373</td></tr><tr><td>6.3.1</td><td>Les analyses des défaillances du MMP</td><td>373</td></tr><tr><td></td><td>i. Une société composée de deux personnes</td><td>374</td></tr><tr><td></td><td>ii. Exemples et difficultés</td><td>378</td></tr><tr><td>6.3.2</td><td>Le MMP révisé</td><td>391</td></tr><tr><td></td><td>i. L'intensité moyenne des préférences envahissantes</td><td>392</td></tr><tr><td></td><td>ii. MMP et asymétrie</td><td>396</td></tr><tr><td>6.4</td><td>Conclusion</td><td>402</td></tr></table>
## 6.1 Introduction

Après avoir défini dans la section 5.3 (p. 321 ss.) des résultats de possibilité pour les paradoxes de Gibbard et de Sen à l'aide des conditions MP1 et MP2, nous envisageons à présent de définir un mécanisme général permettant d'aboutir "automatiquement" à un choix social, et ce, quel que soit le profil de préférences individuelles de départ. Nous nous proposons donc, dans ce chapitre, de traiter des problèmes posés par les préférences quasifiées d'envahissantes. Il s'agit de mettre au point un mécanisme à même de sélectionner et de corriger les préférences individuelles jugées contestables par la société.

Pour élaborer ce mécanisme, nous ferons appel au concept de liberté défini dans la première partie. Les trois éléments retenus dans le contexte du traitement des droits et libertés individuels en théorie du choix social nous permettront de fonder le mécanisme et d'expliciter de manière transparente son élaboration : la réconciliation, la protection des droits et libertés individuels et la prise en compte de la responsabilité individuelle. En tant que mécanisme fondé sur des valeurs auxquelles tous les individus adhèrent, il n'est pas exposé aux dangers du paternalisme.

Nous élaborerons dans ce chapitre un Mécanisme de Modification des Préférences (MMP) qui a pour fonction de repérer puis de corriger les préférences individuelles envahissantes. Dans un premier temps, nous définirons le MMP Standard dont les deux règles sont justifiées au regard de la valeur que nous voulons préserver, à savoir le respect des droits individuels. L'application du MMP aux paradoxes de Gibbard et de Sen nous permettra de constater que le MMP leur offre à tous deux une solution qui converge vers les conditions MP1 et MP2. Pour clore cette première section, les atouts du MMP seront passés en revue : le lien que l'on peut établir entre celui-ci et le concept de métaclassement sera notamment souligné.

Dans un deuxième temps, nous tenterons de combler les lacunes du MMP Standard mises au jour grâce à une série d'exemples chargés d'illustrer le fonctionnement du MMP dans une société composée de deux individus. Alors que son objectif initial, offrir une SDF aux sociétés victimes de cycles de préférences collectives, n'est pas perdu de vue, le MMP présente cependant certaines défaillances. Le nombre de critères chargés de caractériser les préférences envahissantes des individus est insuffisant et le MMP révèle une asymétrie
très forte en ce qui concerne la modification des préférences de tel ou tel individu. Nous
nous efforcerons d'y remédier et proposerons un mécanisme corrigé comportant tous les
avantages du MMP, mais expurgé de ses aspects moins plaisants. Nous conclurons donc
le chapitre sur ce mécanisme qui se veut une synthèse de notre travail.

# 6.2 Proposition d'un Mécanisme de Modification des Préférences (MMP)

Exposons dans une première sous-section le MMP Standard, valable dans une société composée de *n* individus disposant chacun de *m* composantes. Après avoir justifié sa construction grâce à notre concept de liberté, nous détaillons les deux règles selon lesquelles le MMP Standard fonctionne. Dans une seconde sous-section, nous montrons qu'appliqué à une société confrontée aux paradoxes de Gibbard et de Sen, le mécanisme parvient à déterminer un choix social. A partir de ces résultats, nous soulignons les atouts du MMP et formulons quelques remarques quant à ses caractéristiques générales.

### 6.2.1 Le MMP et ses caractéristiques

Il convient tout d'abord d'expliciter les valeurs sur lesquelles se fonde notre mécanisme de modification des préférences. Ces valeurs reposent sur notre concept de liberté : c'est de cette manière que nous sommes à même de les justifier. Dans un deuxième temps, le MMP Standard proprement dit est présenté.

#### i. Le mécanisme justifié

Posons le contexte dans lequel ce mécanisme peut être élaboré. Notre mécanisme de modification des préférences a pour fondation normative le concept opérationnel de liberté défini dans notre première partie. A partir de celui-ci, trois éléments ont été retenus dans le cadre du traitement des droits et libertés individuels en théorie du choix social : ils donnent chacun lieu à une justification du MMP.

Le premier élément, celui de la réconciliation, va naturellement influencer l'élaboration du mécanisme. En tant que mécanisme de choix social, formalisé à l'aide de la théorie
du choix social, le rapport de l'individu ou des préférences individuelles à la société est
palpable. La société ou l'individu n'est pas négligé au profit de l'autre, comme cela a pu
être le cas dans la conception libertarienne des droits, par exemple. Ici, il s'agit d'établir
une cohérence entre les préférences individuelles et les valeurs de la société qui procède
des travaux de Gravel, Laslier et Trannoy (2000, [108]). Ce mécanisme ne peut s'opérer
qu'au niveau de la société : notre mécanisme introduit donc un Observateur Impartial<fnref n="1" />
chargé de réviser les préférences individuelles non conformes aux valeurs de la société dès
lors qu'un optimum social s'avère hors d'atteinte. Mais les révisions préconisées seront les
plus faibles possible, et ce, afin de respecter au maximum les préférences que les individus
expriment. La réconciliation s'opère donc bien : d'un côté, les individus peuvent formuler
les préférences qu'ils souhaitent, de l'autre, la société dispose d'un droit de regard sur
celles-ci tout en s'engageant à les rectifier le moins possible.

Le deuxième élément concerne la protection des droits et libertés individuels et garantit
que les droits et les libertés dont la société dote l'individu sont réels. En d'autres termes,
dans le cadre de ce mécanisme, il s'agit de garantir la jouissance par les individus de leurs
droits à déterminer une étape dans la relation de préférences sociales dès lors que cette
étape ne fait intervenir que deux états sociaux qui relèvent strictement de leur sphère
personnelle. Ce second élément sous-tend alors l'élaboration du mécanisme et détermine
le cadre dans lequel celui-ci peut prendre forme : il s'agit d'une société dont l'une des
valeurs est le respect des droits individuels. C'est sur la base de cette "valeur-objectif"
que les propositions de modification des préférences pourront être avancées.

Le troisième élément concerne la prise en compte de la responsabilité individuelle.
Nous émettons l'hypothèse que les individus sont globalement d'accord sur la règle théo-
rique suivante : les préférences individuelles doivent respecter les droits d'autrui. Cette
"valeur-objectif" qu'est le respect des droits individuels a été mise au point par l'ensemble
des citoyens qui compose cette société. Cette décision peut avoir été établie de diverses
manières : on peut penser par exemple à une société contractualiste à la Rawls, le respect
des droits individuels correspondant alors à l'un des principes de justice sélectionnés sous

<footnote n="1">¹A ce sujet, voir la sous-section 5.2.2 (p. 301 ss.) et Mongin et d'Aspremont, 1998 [158].</footnote>
le voile d'ignorance<fnref n="2" /> : les valeurs prônées par la société sont représentatives des valeurs des individus qui composent cette société. Puisqu'il s'agit de réviser les préférences des individus en fonction d'une "valeur-objectif" qu'ils ont clairement exprimée et soutenue, il en va de leur responsabilité individuelle d'être en cohérence avec les valeurs qu'ils souhaitent voir appliquer et d'accepter de ce fait les révisions des préférences qui s'imposent.

Ainsi, le Mécanisme de Modification des Préférences que nous souhaitons élaborer est bien fondé sur les trois éléments du concept opérationnel de liberté qui sont autant de voies de justification de ce mécanisme.

### ii. La définition générale du MMP

Nous pouvons à présent mettre en place le Mécanisme de Modification des Préférences. Celui-ci se décline selon deux règles. Ces règles nous offrent la possibilité de rectifier de manière crédible les préférences des individus et d'arriver à un choix social, tout en minimisant l'impact de la société. Autrement dit, elles interdisent les transformations radicales des préférences individuelles. De plus, elles prescrivent que le mécanisme ne peut être appliqué que dans les cas où le choix social est impossible, c'est-à-dire lorsque le profil est tel que les valeurs prônées par la société et les préférences individuelles sont en conflit. De même, le mécanisme cesse d'agir lorsqu'un choix social émerge. Tandis que la première des règles (**Règle A Standard**) du mécanisme a pour objectif de sélectionner le ou les individus dont les préférences seront à réviser, la seconde règle (**Règle B Standard**) indique comment procéder à ces révisions.

* Le MMP Standard

La première règle (**Règle A Standard**) répère ainsi le(s) individu(s) le(s) moins respectueux des préférences d'autrui sur sa(leur) sphère personnelle : celui(ceux) dont l"ensemble des préférences envahissantes" Y (défini p. 335) contient le plus d'éléments. En effet, la "valeur-objectif" de la société est le respect des droits individuels. Si le choix social est impossible, la seule manière concevable de désigner un individu dont les préférences seront à modifier est d'utiliser cette "valeur-objectif" comme méthode de sélection. Rappelons que l'ensemble Y regroupe les états sociaux issus d'une préférence allant à

<footnote n="2">²Sur ces questions, voir le chapitre 1 (p. 27 ss.).</footnote>
l'encontre des préférences d'autrui sur sa sphère privée. Celui-ci correspond donc à l'ensemble des préférences envahissantes d'un individu et cet ensemble peut être quantifié très simplement par le nombre d'états sociaux qu'il contient. Dans ces conditions, il est vraisemblable que l'individu dont l'ensemble Y contient le plus d'états sociaux est l'individu de la société ayant les préférences les plus envahissantes. A ce stade, nous énonçons donc une Règle A Standard chargée de sélectionner les individus dont les préférences seront à modifier selon la Règle B Standard<fnref n="3" />. Il ne s'agit donc pas de définir un processus aveugle, corrigeant massivement et arbitrairement les préférences de tous les individus; au contraire, nous ciblons le ou les individus dont les préférences sont en contradiction trop flagrante avec le respect des droits individuels :

## Règle A Standard

Le MMP consiste à rectifier les préférences de l'individu j dont l'ensemble $Y_j$ contient le plus d'états sociaux : on modifie $R_j$ selon la **Règle B** tel que $|Y_j| \ge |Y_i|, \forall i \in N$. S'il existe plusieurs individus tels, on choisit indifféremment un individu parmi eux.

La seconde règle (**Règle B Standard**) explicite le MMP proprement dit : elle spécifie la façon dont les préférences de l'(des) individu(s) sélectionné(s) par la Règle A Standard vont être modifiées, et ce, de manière itérative. Nous introduisons ainsi une structure itérative sur $R_j$ et $Y_j$. Au départ du processus, $R_j = R_j^0$ et $Y_j = Y_j^0$. En outre, nous définissons un sous-ensemble de $X^n \times X^n$, notée $Z_j$. Au départ, $Z_j^0 = \emptyset$. Le procédé itératif décrit par la Règle B Standard nous amène tout d'abord à reformuler la définition de l'ensemble Y en tenant compte de cette structure spécifique :

**Définition 6.1 Ensemble des préférences envahissantes avec une structure itérative** Pour un profil d donné, avec $t \ge 0$, l'ensemble $Y_j^t$ correspond aux états sociaux pour lesquels l'individu j a une préférence qui va à l'encontre des préférences des individus $i \ne j$ sur leur sphère personnelle :

$$ Y_j^t(a_{-i}) = \begin{cases} y \in D_i(a_{-i}) \mid I(xP_j^t y) \ge 1 \text{ pour au moins un } x \in D_i(a_{-i}) \\ \text{tel que } yP_{ix} \end{cases} $$

<footnote n="3">³Nous envisagerons dans la sous-section 6.3.2 (p. 391 ss.) de réviser la Règle A Standard afin de pallier certaines défaillances dont elle souffre. Deux règles A supplémentaires seront alors explicitées.</footnote>
$$ \text{et } Y_j^t = \bigcup_{i \neq j} \bigcup_{a_{-i} \in X_{-i}^n} Y_j^t(a_{-i}). $$

Avant d'expliciter plus avant la règle B Standard, une autre définition doit être formulée : celle de la notion de “paires associées à l'ensemble $Y_j^t$”. Parmi les paires d'états sociaux qui relèvent de la sphère personnelle des individus $i \neq j$ et sur lesquelles l'individu $j$ exprime une préférence qui va à l'encontre de celle des autres, il s'agit de désigner la paire ou les paires d'états sociaux dont l'intensité de la préférence est la plus forte. Finalement, cette paire (ou ces paires) consiste en celle qui va le plus à l'encontre des préférences d'autrui sur sa sphère privée en termes d'intensité de la préférence telle que nous l'avons définie précédemment (p. 334). Nous proposons donc la définition suivante :

**Définition 6.2 Paires associées à l'ensemble $Y_j^t$** Soit un individu $j$, son ensemble de préférences envahissantes $Y_j^t$, $t \ge 0$, associé à un profil de préférences $d$ et un sous-ensemble de $X^n \times X^n$ noté $Z_j^t$ tel qu'il existe $\{x, y\} \notin Z_j^t$ avec $x \in X^n$ et $y \in Y_j^t$. La(les) paire(s) d'états sociaux $\{\bar{x}, \bar{y}\}^t$ associée(s) à $Y_j^t$ est(sont) définie(s) comme suit :

(1) soit un sous-ensemble de $Y_j^t$, $Y_j^t(a_{-i})$. Désignons par $\{x^*, y^*\}_{a_{-i}}^t$ où $x^* \in D_i(a_{-i})$, $y^* \in Y_j^t(a_{-i})$, la paire d'états sociaux pour laquelle l'intensité de la préférence est la plus forte $\forall x \in D_i(a_{-i})$, $\forall y \in Y_j^t(a_{-i})$ et $yP_i x, \forall i \neq j : I(x^*P_j^t y^*) > I(xP_j^t y)$.

(2) Soit un sous-ensemble de $Y_j^t$, $\bigcup_{a_{-i} \in X_{-i}^n} Y_j^t(a_{-i})$. Désignons par $\{x', y'\}_i^t$ la paire d'états sociaux pour laquelle l'intensité de la préférence est la plus forte pour toutes les paires $\{x^*, y^*\}_{a_{-i}}^t$, $\forall a_{-i} \in X_{-i}^n : I(x'P_j^t y') > I(x^*P_j^t y^*)$. Si plusieurs paires satisfont ce critère, on les note $\{x', y'\}_{i1}^t, \{x', y'\}_{i2}^t, ...$

(3) Soit l'ensemble $Y_j^t$. Désignons par $(\hat{x}, \hat{y})^t$ la paire d'états sociaux pour laquelle l'intensité de la préférence est la plus forte pour toutes les paires $\{x', y'\}_i^t, \forall i \neq j : I(\hat{x}P_j^t \hat{y}) > I(x'P_j^t y')$. Si plusieurs paires satisfont ce critère, on les note $\{\hat{x}, \hat{y}\}_1^t, \{\hat{x}, \hat{y}\}_2^t, ...$

(4) Si la(certaines) paire(s) d'états sociaux $\{\hat{x}, \hat{y}\}^t \notin Z_j^t$, alors elle(s) sera(ont) appelée(s) paire(s) associée(s) à l'ensemble $Y_j^t$ et notée(s) $\{\bar{x}, \bar{y}\}^t (\{\bar{x}, \bar{y}\}_1^t, \{\bar{x}, \bar{y}\}_2^t, ...)$.
Sinon, le processus de désignation de la paire associée à l'ensemble $Y_j^t$ a à nouveau lieu en excluant la(les) paire(s) $\{\hat{x}, \hat{y}\}^t \in Z_j^t$. On procède de cette façon jusqu'à ce qu'au moins une paire associée à l'ensemble $Y_j^t$ soit déterminée.
Grâce à cette définition, nous sommes maintenant en mesure d'énoncer la Règle B Standard. Il s'agit d'un procédé qui garantit à chaque itération $t$, $t > 0$ :

(1) la modification de la place de l'état social $\bar{y}$ dans la préférence individuelle de l'individu $j$: parmi l'ensemble des préférences qui vont à l'encontre des préférences des individus $i \neq j$, la préférence de l'individu $j$ entre les états sociaux $\bar{x}$ et $\bar{y}$ est celle dont l'intensité est la plus forte. La paire $\{\bar{x}, \bar{y}\}$ correspond à la paire associée de l'ensemble $Y$ de l'individu $j$ (ou une des paires associées). En effet, une préférence envahissante, définie à partir d'une paire d'états sociaux, peut être caractérisée par son "intensité d'invasion". Plus l'intensité est forte, plus la préférence est considérée comme contraire à la "valeur-objectif" de la société. Ainsi, la paire d'états sociaux $\{\bar{x}, \bar{y}\}$ verra son intensité réduite à néant lors de l'itération $t$ et appartiendra alors à un ensemble $Z_j^t$ qui rassemble toutes les paires d'états sociaux qui ne pourront plus être sélectionnées lors des itérations ultérieures;

(2) le fait que les droits de l'individu $j$ sur sa sphère privée doivent être respectés lors de la modification de $R_j$, si possible<fnref n="4" />;

(3) la cohérence du mécanisme de modification des préférences : la modification des préférences de $j$ à l'itération $t$, $t > 1$, doit respecter les modifications effectuées aux étapes antérieures.

Le procédé de modification des préférences de l'individu $j$ s'interrompt à l'issue de l'itération $t$, $t > 0$, soit lorsque le choix social est possible, soit lorsque les préférences de $j$ ne peuvent plus être modifiées : lorsque l'ensemble $Y_j^t$ est vide ou lorsque toutes les paires d'états sociaux pouvant être associées à l'ensemble $Y_j^t$ appartiennent à l'ensemble $Z_j^t$.

Définissons à présent la Règle B Standard :

## Règle B Standard

### 1. A l'itération $t=1$

(a) Le MMP transforme $R_j^0$ en $R_j^1$ de la manière suivante :

(1) Soit $Y_j^0$ et une paire d'états sociaux $\{\bar{x}, \bar{y}\}^0$ associée à $Y_j^0 : I(\bar{x}P_j^0\bar{y}) \ge 1 \Rightarrow I(\bar{x}P_j^1\bar{y}) = 0$ et $Z_j^1 = \{\{\bar{x}, \bar{y}\}^0\} \cup Z_j^0 = \{\bar{x}, \bar{y}\}^0$. S'il existe plusieurs paires associées à $Y_j^0$ telles que $\{\bar{x}, \bar{y}\}_1^0, \{\bar{x}, \bar{y}\}_2^0, \dots$, on choisit indifféremment

<footnote n="4">⁴A cet égard, remarquons que les contraintes (1) et (3) de modification de $R_j$ sont prioritaires sur (2).</footnote>
une paire parmi elles.

$$
(2) \quad \forall b, c \in D_j(a_{-j}) \text{ pour tout } a_{-j} : bR_j^0 c \implies bR_j^1 c \text{ si possible.}
$$

(b) Si on parvient à un choix social à l'issue de l'étape 1a, le mécanisme s'arrête.
Sinon, on passe à l'étape 2.

2. A l'itération $t > 1$

(a) Le MMP transforme $R_j^{t-1}$ en $R_j^t$ de la manière suivante :

(1) Soit $Y_j^{t-1}$ et une paire d'états sociaux $\{\bar{x}, \bar{y}\}^{t-1}$ associée à $Y_j^{t-1}$ telle que $\{\bar{x}, \bar{y}\}^{t-1} \notin Z_j^{t-1} : I(\bar{x}P_j^{t-1}\bar{y}) \ge 1 \implies I(\bar{x}P_j^t\bar{y}) = 0$ et $Z_j^t = \{\{\bar{x}, \bar{y}\}^{t-1}\} \cup Z_j^{t-1}$.
S'il existe plusieurs paires associées à $Y_j^{t-1}$ telles que $\{\bar{x}, \bar{y}\}_1^{t-1}, \{\bar{x}, \bar{y}\}_2^{t-1}, \dots$, on
choisit indifféremment une paire parmi elles.

$$
(2) \quad \forall b, c \in D_j(a_{-j}) \text{ pour tout } a_{-j} : b R_j^{t-1} c \implies b R_j^t c \text{ si possible.}
$$

$$
(3) \quad \forall w, z \in Y_j^{t-l}, \forall l \in [1, t] \text{ et } w \neq \bar{x} : I(\bar{y}P_j^{t-l}w) = 0 \implies I(\bar{y}P_j^t w) = 0 \text{ et } I(wP_j^{t-l}z) = 0 \implies I(wP_j^t z) = 0.
$$

(b) Si on parvient à un choix social à l'issue de l'étape 2a, le mécanisme s'arrête.
Sinon, on répète l'étape. S'il n'est plus possible de modifier les préférences de
$j$, on revient à la **Règle A**.

La Règle B du MMP consiste donc à restreindre autant que possible l'ensemble $Y_j = Y_j^0$
de manière itérative. A chaque répétition de la règle, l'individu $j$ est contraint de changer
au moins la place de l'état social $\bar{y}$ dans sa préférence. $\bar{y}$ est sélectionné de façon à altérer
le moins possible la suprématie de l'individu $j$ sur son classement personnel.

Les conditions de choix de $\bar{y}$ sont le reflet de cette préoccupation. En effet, (1) indique
que c'est la position de l'état social $\bar{y}$ de $Y_j$ qui doit être révisée, état qui constitue avec
$\bar{x}$, un de ses "états correspondants"^5 en termes de droits individuels d'autrui l'intensité
de la préférence la plus forte, celle qui va le plus à l'encontre des préférences des autres
individus sur leur sphère personnelle, celle qui respecte le moins les valeurs que la société
a faites siennes. Il ne s'agit donc pas d'imposer à l'individu $j$ un bouleversement complet

<footnote>^5Cette expression fait écho au terme “corresponding state” employé par Farrell (1976 [74],
p. 5) pour caractériser un état tel.</footnote>
de ses préférences. (1) contraint simplement l'individu j à modérer ses préférences les plus “touche-à-tout”, tandis que (2) stipule que le MMP est tenu, autant que possible, de respecter les droits de l'individu j sur sa sphère privée. (3) est une condition de cohérence du mécanisme signifiant que le passage de $R_j^{t-1}$ à $R_j^t$ doit se faire en entérinant les acquis des modifications précédentes. Par conséquent, les états sociaux concernés par (3) lors de la modification de $\bar{y}$ doivent suivre le mouvement de celui-ci.

Ainsi, par leurs aspects collectifs (détermination des individus dont les préférences ne sont pas conformes aux valeurs de la société) et individuels (MMP en lui-même), les Règles A et B Standard proposent des révisions crédibles à deux points de vue :

* ces révisions sont toujours justifiées par rapport au respect des droits individuels, la “valeur-objectif”.

* Ces révisions entraînent des variations des préférences les plus modestes possible, et ce, afin que la liberté de l'individu soit entravée au minimum.

Dès lors, on peut considérer le MMP comme un compromis à même d'équilibrer les contradictions éventuelles des desiderata individuels et des impératifs sociaux. Il s'agit à présent de voir si notre MMP est à même de résorber les paradoxes de Gibbard et de Sen. C'est ce que nous nous proposons de faire dans la sous-section suivante.

## 6.2.2 Le MMP appliqué

Le MMP Standard permet de supprimer les cycles de préférences collectives à la Gibbard ou à la Sen : en sélectionnant les individus selon la Règle A Standard, puis en modifiant leurs préférences selon la Règle B Standard, on arrive automatiquement et systématiquement à l'existence d'une SDF et donc à un choix social. C'est ce que nous allons montrer tout d'abord pour le paradoxe de Gibbard, puis pour celui de Sen. Dans un troisième temps, les atouts du MMP Standard seront soulignés.

### i. Traitement du paradoxe de Gibbard

Voyons ceci pour le paradoxe de Gibbard :

**Proposition 6.1** Dans le cas d'un cycle de préférences collectives dû à la condition GL, l'application du MMP Standard permet d'aboutir à l'existence d'une SDF.
**Preuve** Plus qu'une preuve, il s'agit davantage ici de comprendre le mécanisme du MMP. Pour ce faire, il nous faut impérativement revenir à la structure d'un état social telle que nous l'avions décrite dans la sous-section 5.3.1 (p. 322 ss.). Nous avions montré qu'un cycle de préférences collectives à la Gibbard pouvait se produire lorsque les états sociaux appartenant aux ensembles $A_i(a_i)$ des individus $i$ de la société ne sont pas rassemblés. Or, le MMP Standard n'agit que lorsque le choix social est impossible, autrement dit, lorsque les droits de deux ou plusieurs individus sont en conflit. L'action du MMP consiste alors à modifier les préférences de manière à ce que les individus ne puissent plus intervenir dans un cycle de préférences collectives à la Gibbard. Voyons donc la façon dont la Règle B Standard agit lorsque l'individu $j$ est sélectionné par la Règle A Standard. Nous utilisons ici des notations similaires à celle de la sous-section 5.3.1. Soit $R_j^0$, une configuration possible des préférences de $j$ :

$$R_j^0: \underbrace{x^1, y^1, \dots, z^1}_{m}, \underbrace{y^2, x^2, \dots, z^2}_{m}, \dots \underbrace{y^{m-1}, x^{m-1}, \dots, z^{m-1}}_{m}$$

Admettons que l'individu $j$ soit impliqué dans au moins un cycle de préférences collectives à la Gibbard, dont un avec l'individu $i$ qui, lui, fait preuve de la relation de préférences $R_i$ suivante :

$$R_i: \underbrace{y^1, y^2, \dots, y^{m-1}}_{m}, \underbrace{x^2, x^1, \dots, x^{m-1}}_{m}, \dots \underbrace{z^1, z^2, \dots, z^{m-1}}_{m}$$

Un cycle de préférences collectives apparaît dans ce cas. On a : $x^1P_1y^1$ et $y^2P_1x^2$, $y^1P_2y^2$ et $x^2P_2x^1$. Dès lors, si l'on applique la condition GL, on obtient : $x^1Py^1Py^2Px^2Px^1$. L'ensemble $Y_j^0$ de l'individu $j$ sélectionné par la Règle A Standard contient au moins un état social : l'état $x^2$. La Règle B Standard du MMP agit donc de manière à rapprocher les états $x^1$ et $x^2$ dans la relation de préférences de l'individu 1. On obtient alors :

$$R_j^1: x^1, x^2, y^1, \dots, z^1, y^2, \dots, z^2, \dots, y^{m-1}, x^{m-1}, \dots, z^{m-1}$$

et le cycle de préférences collectives disparaît. Pour tous les états sociaux contenus dans l'ensemble $Y$ de l'individu $j$, la Règle B Standard agit de manière équivalente : elle rapproche cet état de l'état correspondant (en termes des chaînes de droits des autres individus) le plus éloigné de lui. Selon la logique des chaînes de droits, les états sociaux
d'une même chaîne de droits pour l'individu $j$, s'ils sont contraires aux droits d'autrui, vont nécessairement rejoindre un état social d'une chaîne de droits différente. C'est la raison pour laquelle nous convergeons vers la configuration suivante des préférences de $j$, configuration selon laquelle il ne peut plus participer à aucun cycle :

$$ \hat{R}_j : \underbrace{x^1, x^2, x^3, \dots, x^{m^{n-1}}, y^1, y^2, y^3, \dots, y^{m^{n-1}}, \dots, z^1, z^2, z^3, \dots, z^{m^{n-1}}}_{m \text{ ensembles}} $$

Cependant, étant donné que l'ensemble $Y$ est défini en fonction des droits des autres individus, il ne sera pas toujours nécessaire d'aller jusqu'à cette configuration : celle-ci n'apparaîtra que lorsque les droits des individus de la société seront fortement opposés. Quoi qu'il en soit, la modification des préférences de l'individu $j$ sélectionné ne sera interrompue qu'à partir du moment où l'individu ne peut plus participer à aucun cycle de préférences collectives à la Gibbard. Si nous procédons de la sorte suffisamment longtemps en sélectionnant les individus les uns après les autres selon la Règle A Standard, le choix social sera forcément possible : au maximum, les préférences de $(n-1)$ individus de la société devront être modifiées. Notons que, bien entendu, le nombre d'individus sélectionnés ainsi que l'importance des modifications à effectuer dans chaque relation de préférences individuelles varieront d'un profil de départ à un autre et qu'il ne sera que rarement nécessaire de modifier les préférences de $(n-1)$ individus de la manière décrite précédemment : dès lors que le choix social est possible, la condition MP1 étant remplie ou pas, le MMP est stoppé. ■

Grâce au MMP Standard, un cycle de préférences collectives à la Gibbard peut donc être évité. En est-il de même dans le cas d'un cycle de préférences collectives à la Sen ?

## ii. Traitement du paradoxe libéral-parétien

Dans le cadre du paradoxe libéral-parétien, nous constatons que le MMP Standard permet également de parvenir à un résultat :

**Proposition 6.2** Dans le cas d'un cycle de préférences collectives dû aux conditions P et GL', l'application du MMP Standard permet d'aboutir à l'existence d'une SDF.

**Preuve** Afin de valider cette proposition et d'envisager clairement la manière dont le MMP se comporte en présence d'un cycle de préférences collectives à la Sen, il nous faut
revenir ici aussi à la structure d'un état social décrite dans la sous-section 5.3.1 (p. 322 ss.).
Rappelons que pour créer un cycle de préférences collectives à la Sen, une relation binaire
due à la condition de Pareto et deux relations binaires de droits de deux individus distincts
sont indispensables. Nous avons montré que si les préférences d'un individu $j$ de la société
obéissaient à la condition OCP (définie p. 327), alors il ne pourrait participer à aucun
cycle de préférences collectives en fournissant une relation binaire de droits : pour obtenir
un cycle où l'individu $j$ est responsable d'au moins une relation binaire de droits, il est
impératif que $R_j$ contienne au moins une relation binaire telle que $(\kappa + \tau)(\sigma) P_j \kappa (\sigma + \rho)$.
Dès lors, nous allons tout d'abord démontrer que le MMP Standard permet de converger
vers la condition OCP lorsqu'un cycle, impliquant de manière "active" un individu $j$,
apparaît. Soit $R_j$, une configuration possible des préférences de l'individu $j$ :

$$
R_j : \underbrace{x^1, y^1, \dots, z^1}_{m}, \underbrace{x^2, y^2, \dots, z^2}_{m}, \dots \underbrace{x^{m^{n-1}}, y^{m^{n-1}}, \dots, z^{m^{n-1}}}_{m}.
$$

Si l'on applique le premier point de la Règle B Standard à R<sub>j</sub>, une telle relation (κ + τ) (σ) P<sub>j</sub>κ (σ + ρ) ne pourra plus exister. Nous faisons l'hypothèse que Y<sub>j</sub> contient tous les états sociaux autres que ceux appartenant à la première chaîne de droits, c'est-à-dire m(m<sup>n-1</sup> - 1) états. Nous posons alors R<sub>j</sub> = R<sub>j</sub><sup>0</sup> et Y<sub>j</sub> = Y<sub>j</sub><sup>0</sup>, puis infligeons une première révision des préférences à R<sub>j</sub><sup>0</sup>. Les états sociaux susceptibles d'être modifiés sont soulignés :

$$
R_j^0(X^n) : \underbrace{x^1, y^1, \dots, z^1}_{m}, \underbrace{x^2, y^2, \dots, z^2}_{m}, \underbrace{x^3, \dots, z^3}_{m}, \dots \underbrace{x^{m^{n-1}}, \dots, z^{m^{n-1}}}_{m}.
$$

En effet, seuls les premiers éléments de chaque chaîne de droits (sauf la première)
peuvent bouger car les suivants sont bloqués par ceux qui les précèdent (respect des
droits individuels de j : contrainte (2) de la Règle B Standard). Donc un état 1(σ + ρ)
rejoindra un de ses "états correspondants", un état 1(σ), avec lequel il forme l'intensité la
plus forte. R_j^1 pourra ainsi avoir la forme suivante (les états susceptibles d'être modifiés
sont à nouveau soulignés) :

$$
R_j^1 : x^1, x^2, \underbrace{y^1, \dots, z^1}_{m-1}, \underbrace{y^2, \dots, z^2}_{m-1}, \underbrace{x^3, \dots, z^3}_{m}, \dots \underbrace{x^{m^{n-1}}, \dots, z^{m^{n-1}}}_{m}.
$$
Suite à une deuxième rectification des préférences, $R_j^2$ pourra alors prendre cette forme :

$$R_j^2: \quad x^1, x^2, y^1, y^2, \underbrace{w^1, \dots, z^1}_{m-2}, \underbrace{w^2, \dots, z^2}_{m-2}, \underbrace{x^3, \dots, z^3}_{m}, \dots \underbrace{x^{m^{n-1}}, \dots, z^{m^{n-1}}}_{m}$$

Il est aisé de voir que le MMP, quel que soit l'état sélectionné à chaque variation, peut modifier les préférences de $j$ jusqu'à la configuration suivante :

$$R_j^{t*}: \quad \underbrace{x^1, x^2, x^3, \dots, x^{m^{n-1}}, y^1, y^2, y^3, \dots, y^{m^{n-1}}, \dots, z^1, z^2, z^3, \dots, z^{m^{n-1}}}_{m \text{ ensembles}}$$

Notons que la forme finale $R_j^{t*}$ dépend des relations binaires de droits des autres individus : les états sociaux $1$ à $m^{n-1}$ dans chacun des $m$ ensembles ne sont pas forcément rangés dans cet ordre. Par contre, par la Règle B Standard, ils sont nécessairement rassemblés. Comme nous l'avons déjà prouvé, un individu faisant preuve de telles préférences ne peut intervenir “activement” dans un cycle : dans $R_j^{t*}$, en effet, quel que soit le classement des états sociaux $1$ à $m^{n-1}$ dans les $m$ ensembles, il n'existe pas de relation telle que $(\kappa + \tau)(\sigma) P_j\kappa (\sigma + \rho)$. Par contre, un tel individu $j$ peut intervenir de manière “passive” dans un cycle, c'est-à-dire par la condition de Pareto. Si c'est le cas, le choix social n'est pas possible, donc grâce au second point de la Règle B Standard, nous revenons à la Règle A Standard et sélectionnons un second individu dont les préférences seront à leur tour révisées. Si nous procédons de la sorte suffisamment longtemps en sélectionnant les individus les uns après les autres selon la Règle A Standard, le choix social sera forcément possible. ■

Le MMP Standard permet également d'aboutir à une solution dans le cadre du paradoxe libéral-parétien. Ayant démontré son efficacité quant à la résolution de deux paradoxes liés aux préférences perverses, il convient à présent d'inventorier de manière plus générale les avantages que le MMP comporte.

### iii. Le MMP : premières remarques

A ce stade, soulignons ici les atouts dont fait preuve le MMP en examinant ses avantages généraux :

* tout d'abord, les atouts du MMP résident dans ses fondements clairement explicités. Ils nous permettent de justifier de manière transparente les règles qui le définissent.
Ces fondements sont axés autour des trois éléments retenus dans notre concept de liberté pour traiter de façon adéquate les droits et libertés individuels en théorie du choix social. Trois voies de justification ont été privilégiées : premièrement, en tant que mécanisme de choix social, le MMP est fidèle à la notion de réconciliation qui préconise le maintien de l'ambivalence entre l'Etat et les individus. Deuxièmement, ce mécanisme est motivé par le respect des droits individuels, compris comme la "valeur-objectif" de la société, ce qui relève du deuxième élément du concept de liberté, la question de la garantie des droits individuels. Troisièmement, le MMP relève également du troisième élément de notre concept de liberté, la prise en compte de la responsabilité individuelle. Etant donné qu'il s'agit de réviser les préférences des individus en fonction d'une "valeur-objectif" qu'ils ont clairement exprimée, il en va de leur responsabilité d'être en cohérence avec les valeurs qu'ils souhaitent voir appliquer et d'accepter de ce fait les modifications des préférences qui s'imposent.

* Deuxièmement, comme le MMP s'inscrit notamment dans le troisième élément de notre concept de liberté, l'hypothèse selon laquelle les individus ont des métaclassements<fnref n="6" /> peut également être invoquée pour justifier le recours au MMP. En effet, le fait que les individus disposent d'un métaclassement des préférences signifie qu'ils sont capables de classer leurs préférences en fonction des valeurs dont ils voudraient s'inspirer. Dès lors, il est possible d'interpréter le MMP comme la concrétisation du désir des individus de progresser dans leur métaclassement, métaclassement défini en fonction d'une valeur qui serait le respect des droits individuels. La structure itérative du MMP conforte cette interprétation.

* Troisièmement, un des atouts les plus évidents du MMP nous semble résider dans son caractère de procédé itératif. Les individus sont donc amenés à modifier peu à peu leurs préférences : sitôt qu'un choix social est possible, le MMP cesse de s'appliquer et ne contraint donc pas les individus à réviser de manière radicale leurs préférences. Ceci est un gage de la flexibilité du mécanisme. Ceci implique que le MMP laisse inchangés beaucoup plus de profils que ne le font les solutions "traditionnelles" qui posent des contraintes incontournables sur les préférences individuelles.

<footnote n="6">⁶Voir la sous-section 5.2.2 (p. 301).</footnote>
Par exemple, concernant la proposition de résolution du paradoxe de Gibbard par Gibbard, s'ajoutant à tous les profils validant la condition GL', le MMP autorise un maximum de profils à partir du moment où ceux-ci n'aboutissent pas un choix social impossible. Tout comme les conditions MP1 et MP2, le MMP est avant tout un mécanisme axé sur les interactions individuelles.

* En dernier lieu, le MMP exploite la structure de produit cartésien posée sur les états sociaux. Il fonctionne donc en tenant véritablement compte de la notion de droits et libertés individuels et de la cause de l'émergence de paradoxes liés aux préférences envahissantes.

Outre les avantages généraux du MMP, on peut relever certains atouts plus spécifiques, notamment dans le cadre du paradoxe de Gibbard. Ainsi, pour certains profils, le fait de définir un ensemble $Y$ pour un $j \in N$ et de le restreindre peu à peu selon le procédé MMP ne semble pas neutre en termes d'obtention de préférences inconditionnelles. La proposition suivante permet de clarifier formellement les liens entre le MMP et le fait d'exprimer des préférences inconditionnelles :

**Proposition 6.3** *Pour tout $j \in N$, si $|Y_j^0| = m(m^{n-1}-1)$ et si, grâce au MMP Standard, on aboutit à un choix social, alors l'individu $j$ fait preuve de préférences inconditionnelles à l'issue du procédé.*

**Preuve** Pour cette preuve, nous utilisons les notations employées dans la preuve des propositions 6.1 et 6.2 (p. 366 ss.). Au maximum, $m(m^{n-1} - 1)$ états sociaux peuvent figurer dans l'ensemble $Y$. Afin que $|Y_j^0| = m(m^{n-1} - 1)$, il faut que soient présents, au début de $R_j^0$, $m$ états sociaux représentant chacun une composante personnelle. Soit $R_j^0$, une configuration possible de la préférence de $j$ afin que l'on ait effectivement $|Y_j^0| = m(m^{n-1} - 1)$ :

$$R_j^0: \underbrace{x^1, y^1, \dots, z^1}_{m}, \underbrace{z^2, y^2, \dots, x^2}_{m}, \dots \underbrace{z^{m^{n-1}}, y^{m^{n-1}}, \dots, x^{m^{n-1}}}_{m}.$$

Admettons que cette configuration soit la plus défavorable possible par rapport aux préférences des autres individus sur leur sphère personnelle. $Y_j^0$ comprend tous les états sociaux de $X^n$ à l'exception de ceux appartenant à la première chaîne de droits de l'individu $j$. On obtient bien $|Y_j^0| = m(m^{n-1} - 1)$. Dans ce cas, le MMP agit de manière à
rapprocher systématiquement les états sociaux appartenant aux sphères privées des autres individus. Au bout d'un certain nombre d'itérations $t^*$, on aboutit aisément à la préférence $R_j^{t^*}$ :

$$R_j^{t^*} : \underbrace{x^1, x^2, x^3, \dots, x^{m^{n-1}}, y^1, y^2, y^3, \dots, y^{m^{n-1}}, \dots, z^1, z^2, z^3, \dots, z^{m^{n-1}}}_{m \text{ ensembles}}$$

L'ordre des états sociaux à l'intérieur de chaque ensemble n'importe pas. Il diffère en fonction des préférences des autres individus sur leur sphère privée. Nous avons déjà constaté que l'individu $j$ a forcément des préférences inconditionnelles avec la relation de préférences $R_j^{t^*}$ (p. 326). ■

Après avoir démontré l'efficacité du MMP Standard pour la suppression des cycles de préférences collectives dus à des préférences envahissantes, nous devons à présent discuter la pertinence des résolutions qu'il propose. Le cas échéant, certaines améliorations du mécanisme pourront être envisagées. En dépit de tous ces avantages, le MMP n'est pas exempt de défauts et soulève des difficultés. Pour le montrer, nous devons nous reporter à des exemples portant sur les paradoxes de Gibbard et de Sen. Ainsi, nous serons en mesure de discerner les défaillances du MMP puis de tenter d'y remédier.

## 6.3 Variations autour du MMP

Le MMP apporte-t-il une résolution satisfaisante aux paradoxes de Sen et de Gibbard ?
Si tel n'est pas le cas, il sera nécessaire d'améliorer son fonctionnement. La présentation du MMP serait en effet incomplète si l'on omettait d'exposer la manière dont il agit en présence de cycles de préférences collectives à la Gibbard ou à la Sen. Les insuffisances du MMP pourraient alors être comprises et le MMP Standard amélioré. Voilà le propos de la dernière section de notre travail.

### 6.3.1 Les analyses des défaillances du MMP

Nous avons ici pour objectif de dégager les failles du MMP et, en particulier, celles de la Règle A Standard chargée de sélectionner les individus dont les préférences seront à monifier. Nos exemples se situent dans une société particulière composée de deux personnes.
Dans un premier temps, nous explicitons donc le MMP Standard dans une société composée de deux personnes, puis, nous exposons un certain nombre d'exemples et soulignons les difficultés du MMP qu'ils mettent au jour.

**i. Une société composée de deux personnes**

Afin de simplifier l'exposition du fonctionnement du MMP Standard, considérons une société comprenant deux individus. Soit $n = 2$, chacun de ces individus disposant d'un ensemble fini $X$ de composantes individuelles où $|X| = m$. Analysant les preuves des propositions 5.7 (p. 337) et 5.8 (p. 340), nous constatons que les cycles de préférences collectives pour les paradoxes de Gibbard et de Sen invoquent tous deux des relations binaires de droits provenant de deux individus au moins. Dès lors, pour qu'un cycle de préférences collectives apparaisse, chaque individu doit fournir au moins une relation binaire de droits. Ainsi, la difficulté soulevée dans la preuve de la proposition 6.2 (p. 368) concernant la participation “passive” d'un individu dans un cycle à la Sen n'apparaît plus : nous en tiendrons compte dans la reformulation de la Règle B Standard dans le cas où $n = 2$. De plus, puisque seuls deux individus sont présents dans la société, un état social $\bar{y}$ issu de la paire d'états sociaux $\{\bar{x}, \bar{y}\}^t$ associée à l'ensemble $Y_j^t$ ne pourra plus être sélectionné avec un autre état correspondant $\bar{x}$ dont l'intensité de la préférence sera plus forte lors d'une itération ultérieure. Dès lors, dans cette société, insérer $\{\bar{x}, \bar{y}\}^t$ dans l'ensemble $Z_j^{t+1}$ reviendra simplement à inclure $\bar{y}$ dans un ensemble que nous noterons $\bar{Y}_j^{t+1}$. Signalons que, comme pour l'ensemble $Z$ dans le cas de la Règle B Standard, l'ensemble $\bar{Y}_j^0 = \emptyset$. Il ne se remplit qu'au fur et à mesure des itérations de la Règle B $n = 2$ (Règle B dans le cas où $n = 2$). En outre, le fait de ne plus pouvoir sélectionner la paire $\{\bar{x}, \bar{y}\}^t$ lors des itérations ultérieures est identique au fait de ne plus permettre à $\bar{y}$ de figurer dans les futurs ensembles $Y_j$. Ceci nous amène alors à reformuler une nouvelle fois l'ensemble $Y$ dans le cas où $n = 2$ :

**Définition 6.3 Ensemble des préférences envahissantes lorsque $n = 2$** Dans une société composée de deux personnes, pour un profil d donné, avec $t \ge 0$, l'ensemble $Y_j^t$ correspond aux états sociaux pour lesquels l'individu $j$ a une préférence qui va à l'encontre
des préférences des individus $i \neq j$ sur leur sphère personnelle :

$$ Y_j^t(a_{-i}) = \begin{cases} y \in D_i(a_{-i}) - (D_i(a_{-i}) \cap \bar{Y}_j^t) \mid I(xP_j^t y) \ge 1 \\ \text{pour au moins un } x \in D_i(a_{-i}) \text{ tel que } yP_j x \end{cases} $$ 
$$ \text{et } Y_j^t = \bigcup_{i \neq j} \bigcup_{a_{-i} \in X_{-i}^n} Y_j^t(a_{-i}). $$

Enonçons maintenant le MMP $n = 2$ : tandis que la Règle A est identique à celle du MMP Standard, la Règle B $n = 2$ rend compte des légères modifications notées plus haut.

## • MMP $n = 2$

### Règle A Standard

Le MMP consiste à rectifier les préférences de l'individu $j$ dont l'ensemble $Y_j$ contient le plus d'états sociaux : on modifie $R_j$ selon la **Règle B** tel que $|Y_j| \ge |Y_i|, \forall i \in N$. S'il existe plusieurs individus tels, on choisit indifféremment un individu parmi eux.

### Règle B $n = 2$

#### 1. A l'itération $t = 1$

(a) Le MMP $n = 2$ transforme $R_j^0$ en $R_j^1$ de la manière suivante :

(1) Soit $Y_j^0$ et une paire d'états sociaux $\{\bar{x}, \bar{y}\}^0$ associée à $Y_j^0 : I(\bar{x}P_j^0 \bar{y}) \ge 1 \implies I(\bar{x}P_j^1 \bar{y}) = 0, \bar{y} \notin Y_j^1$ et $\bar{Y}_j^1 = \bar{Y}_j^0 \cup \{\bar{y}\} = \{\bar{y}\}$. S'il existe plusieurs paires associées à $Y_j^0$ telles que $(\bar{x}, \bar{y})_1^0, (\bar{x}, \bar{y})_2^0, \dots$, on choisit indifféremment une paire parmi elles.

(2) $\forall b, c \in D_j(a_{-j})$ pour tout $a_{-j} : bR_j^0 c \implies bR_j^1 c$ si possible.

(b) Si on parvient à un choix social à l'issue de l'étape 1a, le mécanisme s'arrête. Sinon, on passe à l'étape 2.

#### 2. A l'itération $t > 1$

(a) Le MMP $n = 2$ transforme $R_j^{t-1}$ en $R_j^t$ de la manière suivante :

(1) Soit $Y_j^{t-1}$ et une paire d'états sociaux $\{\bar{x}, \bar{y}\}^{t-1}$ associée à $Y_j^{t-1} : I(\bar{x}P_j^{t-1} \bar{y}) \ge 1 \implies I(\bar{x}P_j^1 \bar{y}) = 0, \bar{y} \notin Y_j^{t+1}, \forall l \ge 0$ et $\bar{Y}_j^t = \bar{Y}_j^{t-1} \cup \{\bar{y}\}$. S'il existe plusieurs
paires associées à $Y_j^{t-1}$ telles que $(\bar{x}, \bar{y})_1^{t-1}, (\bar{x}, \bar{y})_2^{t-1}, \dots$, on choisit indifférem-
ment une paire parmi elles.

(2) $\forall b, c \in D_j(a_{-j})$ pour tout $a_{-j} : bR_j^{t-1}c \implies bR_j^t c$ si possible.

(3) $\forall w, z \in \bar{Y}_j^{t-1}$ et $w \neq \bar{x} : I(\bar{y}P_j^{t-1}w) = 0 \implies I(\bar{y}P_j^t w) = 0$ et $I(wP_j^{t-1}z) = 0 \implies I(wP_j^t z) = 0$.

(b) Si on parvient à un choix social à l'issue de l'étape 2a, le mécanisme s'arrête.
Sinon, on répète l'étape. Si $Y_j^t = \emptyset$, on revient à la **Règle A**.

Les différences entre les Règles B Standard et B $n = 2$ sont minimes : pourtant, elles
nous permettent d'aboutir à un résultat plus satisfaisant en termes de présentation des
ensembles $Y^t$. On introduit en effet dans la règle B $n = 2$ une spécification supplémen-
taire qui va influencer, non pas le fonctionnement global du MMP, mais la structure de
l'ensemble $Y_j^t(a_{-i})$ à chaque itération. En effet, puisque l'on demande que $\bar{y}$ soit éliminé
définitivement des futurs ensembles $Y_j^t(a_{-i})$, on aboutit à un ou des ensembles $Y^t$ vide(s)
pour un ou plusieurs individus, ce qu'exigent les conditions MP1 et MP2. Dès lors, la
convergence du MMP vers les conditions MP1 et MP2 est transparente dans le cas d'une
société composée de deux personnes. Dans une société comprenant un nombre plus impor-
tant d'individus, les propriétés du MMP sont identiques, mais ne peuvent être traduites
aussi nettement. C'est donc uniquement du point de vue de la présentation des ensembles
$Y^t$ que la Règle B $n = 2$ diffère de la Règle B Standard. L'avantage de cette disparité
entre les deux règles est que la Règle B $n = 2$ nous permet de cerner plus aisément l'action
du MMP sur des profils de préférences individuelles menant à des cycles de préférences
collectives. Etant donné que le MMP $n = 2$ est similaire au MMP Standard à l'exception
des légères modifications apportées à la Règle B, il est évident que les propositions 6.1 et
6.2 (p. 368 ss.) restent valables pour le MMP $n = 2$. En outre, certaines propriétés du
MMP $n = 2$ peuvent être introduites. Elles portent notamment sur le nombre maximal
d'itérations à effectuer pour aboutir à l'existence d'une SDF.

**Proposition 6.4** *Dans une société composée de deux personnes, quel que soit le profil que l'on considère, le nombre maximal d'itérations du MMP $n = 2$ garantissant l'existence d'une SDF satisfaisant aux conditions MP1 et GL – c'est-à-dire afin que $Y_j = \emptyset$ pour un $j$ dans $N^-$, est $m(m-1)$.*
**Preuve** Afin de prouver ceci, il suffit de considérer dans la preuve de la proposition 6.3 (p. 372) le passage de $R_j^0$ à $R_j^{t*}$, $R_j^0$ étant l'une des configurations les plus défavorables. Lorsque $n=2$, on voit aisément qu'au maximum $m(m-1)$ itérations sont nécessaires pour aboutir à $R_j^{t*}$. La condition MP1 stipulant qu'au moins $(n-1)$ individus de la société sont tenus d'avoir un ensemble $Y$ vide, nous arrivons bien au résultat énoncé ci-dessus. ■

Nous parvenons également à un résultat similaire dans le cas du paradoxe de Sen.

**Proposition 6.5** *Dans une société composée de deux personnes, quel que soit le profil que l'on considère, le nombre maximal d'itérations du MMP $n = 2$ garantissant l'existence d'une SDF satisfaisant aux conditions P et GL' est $m(m-1) - 1$.$^7$*

**Preuve** Afin de voir ceci, on considère simplement dans la preuve de la proposition 6.2 (p. 368) le passage de $R_j^0$ à $R_j^{t*}$. Posons comme hypothèse que $R_j^0$ est la configuration des préférences la plus défavorable possible par rapport aux préférences des autres individus de la société. Dès lors, avec $n=2$, on obtient $|Y_j^0| = m(m-1)$. D'après le procédé itératif décrit dans la Règle B $n=2$, $m(m-1)$ modifications de $R_j^0$ sont nécessaires au maximum afin que l'ensemble $Y_j$ soit vide. Cependant, seules $m(m-1)-1$ modifications sont en réalité indispensables afin le choix social soit possible. En effet, lorsque $|Y_j^0| = m(m-1)$, il existe forcément un certain nombre de cycles. Le MMP modifie alors les préférences de $j$ comme indiqué précédemment. Mais, rappelons que le MMP s'arrête si le choix social est possible, l'ensemble $Y_j$ étant vide ou pas. Ainsi, si le choix social n'est pas possible à l'issue de l'itération $m(m-1)-2$, cela signifie que l'ensemble $Y_j^t$, où $t = m(m-1)-2$, comporte encore deux états sociaux responsables de cycles. D'après la configuration des préférences de $j$ retenue, la structure de $R_j^t$ se présente forcément comme suit, quelle que soit la chaîne $m^{n-1}$ (nous soulignons les états sociaux susceptibles d'être modifiés) :

$$R_j^t: x^1, x^2, \dots, x^{m^{n-1}}, \dots y^1, y^2, \dots, y^{m^{n-2}}, \dots z^1, z^2, \dots, z^{m^{n-2}}, \dots \underline{y^{m^{n-1}}}, \dots z^{m^{n-1}}.$$

Notons que les deux états sociaux qui restent dans l'ensemble $Y_j^t$ appartiennent dans notre exemple à la chaîne $m^{n-1}$, mais qu'ils pourraient appartenir à n'importe quelle

<footnote>$^7$Nous verrons que le nombre maximal d'itérations garantissant l'existence d'une SDF ne mène pas systématiquement à un ensemble $Y$ vide (voir la preuve de cette proposition ainsi que les exemples 6.4 et 6.5, p. 386 ss.).</footnote>
autre chaîne $\sigma, \sigma = 2, ..., m^{n-1}$, ceci dépendant des préférences des autres individus :
Après modification, on obtient $R_j^{t+1}$.

$$R_j^{t+1}: x^1, x^2, ..., x^{m^{n-1}}, \dots y^1, y^2, ..., y^{m^{n-2}}, y^{m^{n-1}}, z^1, z^2, ..., z^{m^{n-2}}, z^{m^{n-1}}.$$

On voit qu'après $m(m^{n-1} - 1) - 1$ itérations de la Règle B $n = 2$, le choix social est possible bien que l'ensemble Y ne soit pas vide. Nous avons donc prouvé que seules $m(m^{n-1} - 1) - 1$ itérations de la Règle B Standard sont nécessaires au maximum pour garantir un choix social dans ce cas. ■

Ainsi, le MMP $n = 2$, tout en étant similaire au MMP Standard, laisse apparaître plus distinctement la convergence du mécanisme vers les conditions MP1 et MP2.

Maintenant que le MMP dans une société composée de deux personnes a été exposé, il nous est loisible de l'employer pour valider nos propositions et dégager, le cas échéant, certaines défaillances afin de tenter, par la suite, d'y remédier.

## ii. Exemples et difficultés

Vérifions à présent l'ensemble de nos propositions portant sur les propriétés particu-
lières du MMP en recourant à une série d'exemples qui démontrent son bon fonction-
nement tant dans le cadre du paradoxe de Gibbard que dans celui du résultat de Sen.
Pourtant, même si le MMP Standard remplit parfaitement son objectif – parvenir dans
tous les cas à une SDF –, les modifications des préférences individuelles qu'il préconise
ne semblent pas toujours adéquates et sont parfois sujettes à la critique. En particulier,
la Règle A Standard souffre de certaines difficultés que nous mettrons peu à peu au jour,
au fil de nos exemples.

**Exemple 6.1** *Considérons tout d'abord l'exemple proposé par Gibbard (1974 [100]). Soit une société composée de deux individus N = {1, 2} et de deux composantes individuelles b, j ∈ X. Dès lors, mⁿ = 2² = 4 états sociaux possibles : Xⁿ = {(b, b), (b, j), (j, b), (j, j)}. Le joueur 1 correspond à l'individu conformiste, le joueur 2 est l'individu anticonformiste. La composante personnelle b signifie "peindre ses murs en blanc", la composante personnelle j signifiant "peindre ses murs en jaune". Les préférences des individus 1 et 2 sont les*
suivantes :

$$
R_1 : (j, j), (b, b), (j, b), (b, j),
$$

$$
R_2 : (j, b), (b, j), (b, b), (j, j).
$$

Les individus disposent chacun de $C_m^2 \times m^{n-1} = C_2^2 \times 2 = 2$ relations binaires de droits réparties en deux chaînes (une par composante dans le cas où $n = 2$), les préférences individuelles étant transitives. Notons que les éléments de chaque chaîne correspondent à un ensemble $D_i(a_{-i})$. Pour l'individu 1, nous avons :

$$
(j, j), (b, j)
$$

$$
(b, b), (j, b).
$$

Pour l'individu 2, on obtient :

$$
(j, b), (j, j)
$$

$$
(b, j), (b, b).
$$

Dès lors, par l'effet de la condition GL, on observe un cycle de préférences collectives :

$$
(j, j), (b, j), (b, b), (j, b), (j, j).
$$

Pour ce cycle, on observe aisément que les deux individus de la société interviennent
et sont chacun responsables de deux relations binaires de droits. Appliquons maintenant
les Règles A et B du MMP $n = 2$. Déterminons tout d'abord les ensembles $Y_1$ et $Y_2$ :

$$
Y_1 = \{(j, b), (b, j)\} \text{ et } |Y_1| = 2,
$$

$$
Y_2 = \{(b, b), (j, j)\} \text{ et } |Y_2| = 2.
$$

D'après la Règle A Standard, nous pouvons sélectionner indifféremment l'individu 1
ou l'individu 2. Choisissons par exemple l'individu 1 : nous posons $Y_1 = Y_1^0$ et $R_1 = R_1^0$.
Il s'agit de sélectionner l'état social qui va varier selon le premier point de la règle B
$n = 2$ et de rectifier la position d'un état social appartenant à $Y_1^0$ en respectant les droits
individuels de 1 si possible. Or, le paradoxe de Gibbard étant précisément construit sur
l'incohérence interne des droits individuels, il est impossible de le surmonter en obéissant à
cette contrainte. Seules les contraintes (1) et (3) de la règle B n = 2 sont alors considérées. Nous obtenons alors : $I[(j, j)P_1^0(j, b)] = 1$ et $I[(b, b)P_1^0(b, j)] = 1$. Les intensités sont égales pour les deux états sociaux inclus dans $Y_1^0$, nous modifions par exemple la place de $(j, b)$. On obtient alors :

$$R_1^1 : (j, j), (j, b), (b, b), (b, j) \text{ et } Y_1^1 = \emptyset.$$

Nous ne pouvons donc plus transformer les préférences de 1 mais, à ce stade, une SDF existe, donc le MMP s’arrête. Notons qu’à l’issue du procédé itératif, l’ensemble $Y_2$ a été modifié puisque les préférences de 1 sur sa sphère personnelle ont changé : nous avons $Y_2 = \{(j, j)\}$ pour le profil $(R_1^1, R_2)$, tandis que l’individu 1 fait maintenant preuve de préférences inconditionnelles :

$(j, j), (b, j)$

$(j, b), (b, b).$

Rappelons que nous avions $|Y_1^0| = m(m^{n-1}-1) = 2(2-1) = 2$. De plus, nous parvenons dans cet exemple à un résultat cohérent avec la condition MP1 puisque $Y_k = \emptyset, \forall k \in K$ où $K \subseteq N$ et $|K| \ge n-1$, ici $|K| = 1$. Ajoutons que le nombre d’itérations de la Règle n = 2 a bien été inférieur ou égal à $m(m-1) = 2$. Tout ceci corrobore bien les propositions 6.1 (p. 366), 6.3 (p. 372) et 6.4 (p. 376).

D’après les modifications proposées dans cet exemple, le choix social est $(j, b)$. Il en aurait été de même si nous avions choisi de modifier d’abord la place de l’état social $(b, j)$ dans les préférences de l’individu 1. Du reste, il est important de souligner que, dans ce cas, l’ensemble de la situation aurait été en tous points semblable à l’issue du MMP (préférences inconditionnelles de 1, préférences de 1) : on aurait simplement observé deux itérations au lieu d’une. La Règle B n = 2 et, par là, la Règle B Standard semblent donc acceptables. Par contre, si à l’issue de la Règle A Standard, nous avions sélectionné l’individu 2, il en aurait été différemment. Dans ces circonstances, il est facile de vérifier que le choix social aurait alors été $(b, b)$ et non $(j, b)$. Ce constat ne remet pas en cause l’efficacité du MMP puisque dans les deux cas, une SDF existe bien. Mais il indique que la Règle A Standard peut être améliorée : il s’agira par la suite de tenter d’affiner le procédé de sélection de(s) l’(des) individu(s) dont les préférences seront à modifier.
Passons à un deuxième exemple illustrant les effets du MMP dans le cadre du paradoxe de Gibbard. Cet exemple, moins trivial que le précédent, permet de cerner de manière plus approfondie le fonctionnement du MMP pour ce paradoxe. En effet, la portée explicative offerte par l'exemple classique n'est guère satisfaisante puisque seul un individu est tenu de modifier au minimum une fois ses préférences pour parvenir à un choix social.

**Exemple 6.2** Nous considérons cette fois une société composée de deux individus N = {1, 2} et de trois composantes individuelles O, N, P ∈ X. Nous étendons ainsi l'exemple classique à mⁿ = 3² = 9 états sociaux au lieu de 4. Soit deux individus chargés de déterminer leur activité de l'après-midi dans un club de vacances : natation (composante N), œnologie (composante O) ou poterie (composante P). Pour des raisons diverses, l'individu 1 souhaite avant tout rester avec l'individu 2 tout en affichant une préférence pour la natation et l'œnologie. A l'inverse, l'individu 2 ne souhaite pas participer à la même activité que 1. Le profil (R₁, R₂) est le suivant :

$R_1 : (N, N), (O, O), (P, P), (N, O), (N, P), (O, N), (O, P), (P, N), (P, O),$

$R_2 : (O, N), (P, N), (N, O), (P, O), (N, P), (O, P), (N, N), (O, O), (P, P).$

Les individus disposent chacun de Cₘ² × mⁿ⁻¹ = C₃² × 3 = 9 relations binaires de droits réparties en 3 chaînes, les éléments de chaque chaîne correspondant à un ensemble Dᵢ(aᵢ). Pour l'individu 1, nous avons :

$(N, N), (O, N), (P, N)$

$(O, O), (N, O), (P, O)$

$(P, P), (N, P), (O, P).$

Pour l'individu 2 :

$(N, O), (N, P), (N, N)$

$(O, N), (O, P), (O, O)$

$(P, N), (P, O), (P, P).$

Il est clair que par la condition GL sont engendrés un certain nombre de cycles qui
rendent le choix social impossible. Au niveau social, nous avons, par exemple :

$$ (N, N), (O, N), (O, O), (N, O), (N, N) \\ (O, O), (N, O), (N, P), (O, P), (O, O). $$

Pour chacun de ces cycles comprenant 4 états sociaux, nous observons que les deux individus interviennent, chacun étant responsables de deux relations binaires de droits. Appliquons à présent le MMP $n = 2$. Tout d'abord, nous déterminons l'individu $j$ dont l'ensemble $Y_j$ contient le plus d'éléments.

$$ Y_1 = \{(N, O), (N, P), (O, N), (O, P), (P, N), (P, O)\} \text{ et } |Y_1| = 6, \\ Y_2 = \{(N, N), (O, O), (P, P)\} \text{ et } |Y_2| = 3. $$

La Règle A Standard stipule que, dans ce cas de figure, nous appliquions le MMP à l'individu 1. Transformons alors $R_1$. Nous posons $R_1 = R_1^0$ et $Y_1 = Y_1^0$. L'état social qui forme avec $(P, P)$, un de ses "états correspondants", l'intensité la plus forte est $(P, O)$. En effet, $I[(N, N)P_1^0(N, O)] = 2 < I[(N, N)P_1^0(N, P)] = I[(O, O)P_1^0(O, N)] = 3 < I[(O, O)P_1^0(O, P)] = I[(P, P)P_1^0(P, N)] = 4 < I[(P, P)P_1^0(P, O)] = 5$. Le nouvel ordre $R_1^1$ est dès lors le suivant :

$$ R_1^1 : (N, N), (O, O), (P, P), (P, O), (N, O), (N, P), (O, N), (O, P), (P, N). \\ \text{De plus, } Y_1^1 = \{(N, O), (N, P), (O, N), (O, P), (P, N)\}. $$

Le choix social reste impossible avec $(R_1^1, R_2)$, nous répétons alors le premier point de la règle B $n = 2$. Considérant $Y_1^1$, nous révisons la position de $(O, P)$ ou de $(P, N)$ puisque $I[(N, N)P_1^1(N, O)] = 3 < I[(N, N)P_1^1(N, P)] = I[(O, O)P_1^1(O, N)] = 4 < I[(O, O)P_1^1(O, P)] = I[(P, P)P_1^1(P, N)] = 5$. Nous sélectionnons $(P, N)$ :

$$ R_1^2 : (N, N), (O, O), (P, P), (P, N), (P, O), (N, O), (N, P), (O, N), (O, P). \\ \text{De plus, } Y_1^2 = \{(N, O), (N, P), (O, N), (O, P)\} \text{ puisque } (P, O) \in \bar{Y}_1^2. $$

Le choix social est toujours impossible avec $(R_1^2, R_2)$, aussi nous troquons $R_1^2$ pour $R_1^3$ en faisant bouger $(O, P)$ car $I[(N, N)P_1^2(N, O)] = 4 < I[(N, N)P_1^2(N, P)] = I[(O, O)P_1^2(O, N)] = 5 < I[(O, O)P_1^2(O, P)] = 6$ :

$$ R_1^3 : (N, N), (O, O), (O, P), (P, P), (P, N), (P, O), (N, O), (N, P), (O, N). $$
De plus, $Y_1^3 = \{(N, O), (N, P), (O, N)\}$.

Le choix social n'est toujours pas possible, aussi, nous faisons varier tout d'abord
$(N, P)$ ou $(O, N)$ étant donné que $I[(N, N)P_1^3(N, O)] = 5 < I[(N, N)P_1^3(N, P)] = I[(O, O)P_1^3(N, O)] = 6$. Nous modifions par exemple la position de $(N, P)$ :

$R_1^4 : (N, N), (N, P), (O, O), (O, P), (P, P), (P, N), (P, O), (N, O), (O, N).$

Ainsi, $Y_1^4 = \{(N, O), (O, N)\}$.

Après avoir vérifié que le choix social est toujours impossible, nous sélectionnons
$(O, N)$ pour aboutir à $R_1^5$ :

$R_1^5 : (N, N), (N, P), (O, O), (O, N), (O, P), (P, P), (P, N), (P, O), (N, O).$

On a $Y_1^5 = \{(N, O)\}$ puisque $(O, P) \in \bar{Y}_1^5$.

Le choix social est impossible ; nous procédons à une dernière modification des préférences.

$R_1^6 : (N, N), (N, O), (N, P), (O, O), (O, N), (O, P), (P, P), (P, N), (P, O).$

On obtient finalement $Y_1^6 = \emptyset$ puisque $(N, P) \in \bar{Y}_1^6$.

Nous ne pouvons donc plus transformer les préférences de 1 mais, à ce stade, une
SDF existe, donc le MMP s'arrête. Notons qu'à l'issue du procédé itératif, l'ensemble
$Y$ de l'individu 2 a été modifié puisque les préférences de 1 sur sa sphère personnelle
ont changé : nous avons $Y_2 = \{(N, N), (O, O)\}$ pour le profil $(R_1^6, R_2)$ et les chaînes de
droits de l'individu 1 sont désormais les suivantes – celui-ci fait maintenant preuve de
préférences inconditionnelles :

$(N, N), (O, N), (P, N)$

$(N, O), (O, O), (P, O)$

$(N, P), (O, P), (P, P).$

Rappelons que nous avions $|Y_j^0| = m(m^{n-1} - 1) = 3(3 - 1) = 6$. De plus, nous
parvenons dans cet exemple à un résultat cohérent avec la condition MP1 : $Y_k = \emptyset, \forall k \in K$
où $K \subseteq N$ et $|K| \ge n - 1$, ici $|K| = 1$. En outre, le nombre d'itérations de la Règle B
$n = 2$ a été inférieur ou égal à $m(m-1) = 3(3-1) = 6$. Comme pour l'exemple précédent,
les conclusions valident bien les propositions 6.1 (p. 366), 6.3 (p. 372) et 6.4 (p. 376).
Avec cet exemple où le nombre d'itérations est plus élevé, on remarque que les préférences de 1 sont sensiblement modifiées à l'issue du procédé : ne pourrait-on, par la suite, envisager un MMP moins asymétrique, où les deux individus seraient mis à contribution ? Du reste, il est vrai que l'individu 1 semble moins respecter les droits d'autrui que l'individu 2, ceci selon le critère retenu, c'est-à-dire le nombre d'éléments que contient l'ensemble Y. Mais ce critère est-il véritablement suffisant ? Là encore, la Règle A Standard peut être remise en cause. Par ailleurs, le constat effectué lors de l'exemple précédent semble se confirmer : l'ordre des modifications des états sociaux à l'intérieur des préférences d'un même individu ne change en rien le choix social : l'état social (N, O). Les Règles B Standard et n = 2 sont valides. De plus, dans cet exemple aussi, nous observons des préférences inconditionnelles à l'issue du processus.

Vérifions maintenant grâce à un troisième et dernier exemple dans le cadre du paradoxe de Gibbard que les préférences de l'individu sélectionné par la Règle A ne sont pas toujours inconditionnelles et que notre proposition 6.3 (p. 372) est bien utile.

**Exemple 6.3** Soit $N = \{1, 2\}$ et trois composantes individuelles $O, N, P \in X$. Les préférences des deux individus sont les suivantes :

$R_1 : (P, N), (N, P), (O, P), (P, P), (P, O), (O, O), (N, N), (N, O), (O, N),$

$R_2 : (N, P), (P, N), (P, P), (P, O), (N, N), (O, O), (O, P), (O, N), (N, O).$

Dès lors, les chaînes de droits de l'individu 1 sont telles que :

$(P, N), (N, N), (O, N)$

$(P, O), (O, O), (N, O)$

$(N, P), (O, P), (P, P).$

Pour l'individu 2, on a :

$(N, P), (N, N), (N, O)$

$(O, O), (O, P), (O, N)$

$(P, N), (P, P), (P, O).$
Remarquons que les préférences des deux individus sont conditionnelles. Un cycle de préférences collectives apparaît alors :

$$ (P, O), (O, O), (O, P), (P, P), (P, O). $$

Construisons maintenant les ensembles $Y_1$ et $Y_2$ :

$$ Y_1 = \{(O, O)\} \text{ et } |Y_1| = 1, $$

$$ Y_2 = \{(O, P)\} \text{ et } |Y_2| = 1. $$

D'après la Règle A Standard, nous choisissons indifféremment entre les deux individus. Nous sélectionnons alors l'individu 1. Posons $R_1 = R_1^0$ et $Y_1 = Y_1^0$. Nous modifions la place de l'état social $(O, O)$ dans la préférence de l'individu 1 :

$$ R_1^1 : (P, N), (N, P), (O, P), (O, O), (P, P), (P, O), (N, N), (N, O), (O, N). $$

$$ \text{Ainsi, } Y_1^1 = \emptyset. $$

Un choix social est possible à ce stade : une SDF existe et le MMP s'arrête. Les chaînes de droits de l'individu 1 sont alors les suivantes.

$$ (P, N), (N, N), (O, N) $$

$$ (O, O), (P, O), (N, O) $$

$$ (N, P), (O, P), (P, P). $$

Dès lors, pour le profil $(R_1^1, R_2)$, on a $Y_2 = \{(O, O), (O, P)\}$. Dans cet exemple, un choix social existe après l'action du MMP. Pour autant, aucun individu ne fait preuve de préférences inconditionnelles à l'issue du processus. Ceci rend bien compte de notre proposition 6.3 (p. 372). En effet, $|Y_1^0| = 1 < m(m^{n-1} - 1) = 6$. De plus, nous parvenons dans cet exemple à un résultat cohérent avec la condition MP1 et la proposition 6.4 (p. 376).

Le nouvel exemple proposé répond à l'objectif que nous nous étions fixé : vérifier la proposition 6.3 (p. 372). Cependant, la difficulté soulevée dans l'exemple 6.1 (p. 6.1) est confirmée quant à la spécification de la Règle A Standard. Ici, sélectionnant l'individu 1, le choix social est à déterminer dans l'ensemble $\{(P, N), (O, O), (N, P)\}$. Si nous avions
sélectionné l'individu 2, l'ensemble pour le choix social aurait été $\{(P, N), (N, P)\}$. Il est donc nécessaire de préciser la Règle A Standard. Nous nous proposons de faire ceci dans la sous-section suivante (p. 391 ss.). Avant cela, nous tentons de déterminer de quelle manière le MMP fonctionne dans le cadre du paradoxe libéral-parétien. Comme pour le paradoxe de Gibbard, nous commençons par envisager la résolution de l'exemple classique, celui de L'amant de lady Chatterley.

**Exemple 6.4** Nous considérons alors l'exemple de L'amant de Lady Chatterley à quatre options. Soit une société composée de deux individus $N = \{1, 2\}$ et de deux composantes individuelles $O, N \in X$. Dès lors, $m^n = 2^2 = 4$ états sociaux sont possibles : $X^n = \{(O, O), (N, N), (N, O), (O, N)\}$. Le joueur 1 correspond à l'individu prude, le joueur 2 est l'individu lascif. La composante personnelle O signifie "lire le livre L'amant de Lady Chatterley", la composante personnelle N signifiant "ne pas lire le livre L'amant de Lady Chatterley". Les préférences des individus 1 et 2 sont les suivantes :

$$R_1 : (N, N), (O, N), (N, O), (O, O),$$

$$R_2 : (O, O), (O, N), (N, O), (N, N).$$

Décrivons maintenant les droits individuels : chaque individu dispose de $C_2^2 \times 2 = 2$ relations binaires de droits réparties en 2 chaînes. Ainsi, pour l'individu 1, on obtient :

$$(N, N), (O, N)$$

$$(N, O), (O, O).$$

Remarquons que les préférences de 1 sont bien inconditionnelles et ne dépendent pas de la composante individuelle de 2 car $(N, -), (O, -)$. Pour l'individu 2, on a :

$$(N, O), (N, N)$$

$$(O, O), (O, N).$$

De même, l'individu 2 fait preuve de préférences inconditionnelles : $(-, O), (-, N)$. Répertorions maintenant les relations de Pareto. D'après ce profil, nous en relevons 1 :

$$(O, N), (N, O).$$
Dans ces circonstances, il est facile de constater que le choix social est impossible. Ce profil comporte en effet deux cycles :

$$ (N, N), (O, N), (N, O), (N, N) \text{ et } (O, O), (O, N), (N, O), (O, O). $$

Tous reflètent le conflit entre les conditions imposées à la règle de choix collectif et sont construits de la même manière : une relation binaire de droits par individu et une relation de Pareto.

Appliquons maintenant le MMP et suivons respectivement les Règles A et B du MMP $n = 2$. Tout d'abord, il s'agit de cibler l'individu $j$ dont l'ensemble $Y_j$ est le plus vaste. Nous construisons $Y_1$ et $Y_2$ :

$$ Y_1 = \{(N, O), (O, O)\} \text{ et } |Y_1| = 2, $$

$$ Y_2 = \{(N, N), (N, O)\} \text{ et } |Y_2| = 2. $$

D'après la Règle A Standard, le MMP peut s'appliquer indifféremment à l'un des deux individus. On choisit, par exemple, de rectifier $R_2$. Posons alors $R_2 = R_2^0$ et $Y_2 = Y_2^0$. Dès lors, il s'agit de sélectionner l'état social dont la position doit être révisée grâce au premier point de la règle B $n = 2$. Pour cette première modification, passons en revue les états sociaux de $Y_2^0$. Puisqu'il est dans ce cas possible de respecter la contrainte (2) de la règle B $n = 2$, nous remarquons que seul l'état social $(N, O)$ peut être modifié puisque $(N, N), (N, O) \in D_2(N)$ et $(N, O)P_2^0(N, N)$ :

$$ R_2^1 : (O, O), (N, O), (O, N), (N, N) \text{ et } Y_2^1 = \emptyset. $$

Il n'est désormais plus possible de transformer les préférences de 2. Mais, à ce stade, le choix social est possible donc le MMP s'interrompt : il existe une SDF pour le profil $(R_1, R_2^1)$. Puisque les chaînes de droits de l'individu 2 n'ont pas été modifiées, $Y_1$ est toujours le même avec le profil $(R_1, R_2^1)$. Le résultat obtenu dans cet exemple est conforme aux développements théoriques précédents : $Y_j = \emptyset$ pour un seul individu (condition MP2) et le nombre d'itérations de la Règle B $n = 2$ a été de 1, ce qui est bien inférieur ou égal à $m(m-1) - 1 = 2(2-1) - 1 = 1$ (proposition 6.5, p. 377).

D'après les modifications proposées dans cet exemple, le choix social est $(N, O)$. De plus, on peut vérifier que, dans le cas du paradoxe de Sen, les critiques adressées à la
Règle A Standard n'ont plus cours. En effet, quel que soit l'individu sélectionné par la Règle A Standard, le choix social est (N, O). De plus, les propositions 6.2 (p. 368) et 6.5 (p. 377) sont vérifiées.

Afin de savoir si ces remarques sont valables lorsque le nombre de composantes individuelles est plus élévé, nous considérons maintenant une société composée de deux individus et de trois composantes individuelles.

**Exemple 6.5** Soit $N = \{1, 2\}$ et trois composantes individuelles $O, N, P \in X$. Prenons l'exemple de deux amis attablés à une terrasse de café et qui ont pour lourde tâche de choisir leurs consommations. Celles-ci sont réparties en trois sous-ensembles : les boissons non alcoolisées (composante N), les boissons légèrement alcoolisées (composante P) et les boissons fortement alcoolisées (composante O). Avec deux individus et trois composantes individuelles, le choix social doit se faire entre $3^2 = 9$ possibilités. Le profil $(R_1, R_2)$ est le suivant :

$R_1 : (N, N), (P, N), (O, N), (N, P), (P, P), (O, P), (N, O), (P, O), (O, O),$

$R_2 : (O, O), (O, P), (O, N), (P, O), (P, P), (P, N), (N, O), (N, P), (N, N).$

On peut interpréter ces préférences de la façon suivante : 1, tempérant, souhaite ardemment que son ami cesse de boire. A l'inverse, 2, bon vivant, désire commander un bon apéritif pour lui-même, mais préfère plus encore que son compagnon soit moins strict. Décrivons maintenant les droits individuels : chaque individu dispose de $C_3^2 \times 3 = 9$ relations binaires de droits réparties en 3 chaînes puisque les préférences individuelles sont transitives. Ainsi, pour l'individu 1, on obtient :

$(N, N), (P, N), (O, N)$

$(N, O), (P, O), (O, O)$

$(N, P), (P, P), (O, P).$

Les préférences de 1 sont bien inconditionnelles et ne dépendent pas de la composante
individuelle de 2 car $(N, -), (P, -), (O, -)$. Pour l'individu 2, on a :

$$ (N, O), (N, P), (N, N) \\ (O, O), (O, P), (O, N) \\ (P, O), (P, P), (P, N). $$

De même, l'individu 2 fait preuve de préférences inconditionnelles : $(-, O), (-, P), (-, N)$. Répertorions maintenant les relations de Pareto. D'après ce profil, nous en relevons 9 :

$$ (P, N)P(N, O) \\ (P, N)P(N, P) \\ (O, N)P(N, P) \\ (O, N)P(P, P) \\ (O, N)P(N, O) \\ (O, N)P(P, O) \\ (P, P)P(N, O) \\ (O, P)P(N, O) \\ (O, P)P(P, O). $$

Dans ces circonstances, il est facile de constater que le choix social est impossible. Ce profil comporte en effet un certain nombre de cycles. Nous en indiquons quelques-uns ci-dessous :

$$ (N, N), (P, N), (N, O), (N, N) \text{ et } (N, N), (P, N), (N, P), (N, N). $$

Tous reflètent le conflit entre les conditions imposées à la règle de choix collectif et sont construits de la même manière : une relation binaire de droits par individu et une relation de Pareto.

Appliquons maintenant le MMP $n = 2$. Tout d'abord, il s'agit de cibler l'individu $j$ dont l'ensemble $Y_j$ est le plus vaste. Construisons $Y_1$ et $Y_2$ :

$$ Y_1 = \{(N, O), (N, P), (O, O), (O, P), (P, O), (P, P)\} \text{ et } |Y_1| = 6, $$

$$ Y_2 = \{(N, N), (P, N), (N, O), (P, O), (N, P), (P, P)\} \text{ et } |Y_2| = 6. $$
D'après la Règle A Standard, le MMP peut s'appliquer indifféremment à l'un des deux individus. On choisit, par exemple, de rectifier $R_2$. Posons alors $R_2 = R_2^0$ et $Y_2 = Y_2^0$. Dès lors, il s'agit de sélectionner l'état social dont la position doit être révisée grâce au premier point de la règle $B n = 2$. Pour cette première modification, nous passons en revue les états sociaux de $Y_2^0$. On ne peut avoir $I[(O, N)P_2^1(N, N)] = 0$ car $(N, P), (N, N) \in D_2(N)$ et $(N, P)P_2^0(N, N)$, de même pour $(P, P), (P, N) \in D_2(P)$ – on ne peut donc pas bouger $(P, N)$ –, $(N, O), (N, P) \in D_2(N)$ et $(P, O), (P, P) \in D_2(P)$. Dès lors, les deux états sociaux susceptibles d'être sélectionnés sont $(N, O)$ avec $I[(O, O)P_2^0(N, O)] = 5$ et $(P, O)$ où $I[(O, O)P_2^0(P, O)] = 2$. $(N, O)$ va donc varier. Nous obtenons de nouvelles préférences pour l'individu 2, $R_2^1$ :

$$R_2^1: (O, O), (N, O), (O, P), (O, N), (P, O), (P, P), (P, N), (N, P), (N, N).$$

$$\text{De plus, } Y_2^1 = \{(N, N), (P, N), (P, O), (N, P), (P, P)\}.$$

Avec $Y_2^1$, nous bougeons l'état $(N, P)$ car $I[(O, O)P_2^1(P, O)] = 3 < I[(O, P)P_2^1(N, P)] = 4$ tandis que les autres ne peuvent pas être modifiés à cause de la contrainte (2) de la Règle $B n = 2$ :

$$R_2^2: (O, O), (N, O), (O, P), (N, P), (O, N), (P, O), (P, P), (P, N), (N, N).$$

$$\text{Ainsi, } Y_2^2 = \{(N, N), (P, N), (P, O), (P, P)\}.$$

Le choix social reste impossible avec $(R_1, R_2^2)$, nous appliquons donc à nouveau le mécanisme. D'après $Y_2^2$, il est uniquement possible de rectifier la place de $(P, O)$ ou $(N, N)$ car $(P, O), (P, P)$ et $(P, N) \in D_2(P)$. De plus, $I[(O, N)P_2^2(N, N)] = 3 < I[(O, O)P_2^2(P, O)] = 4$ :

$$R_2^3: (O, O), (P, O), (N, O), (O, P), (N, P), (O, N), (P, P), (P, N), (N, N).$$

$$\text{Et } Y_2^3 = \{(N, N), (P, N), (P, P)\} \text{ puisque } (N, O) \in \bar{Y}_2^3.$$

Nous procédons maintenant pour la quatrième fois à la variation de la place d'un état social. Deux options sont envisageables : $(N, N)$ ou $(P, P)$ puisque $(P, P), (P, N) \in D_2(P)$. De plus, $I[(O, N)P_2^3(N, N)] = I[(O, P)P_2^3(P, P)] = 2$. Nous choisissons $(N, N)$ :

$$R_2^4: (O, O), (P, O), (N, O), (O, P), (N, P), (O, N), (N, N), (P, P), (P, N).$$

$$\text{En outre, } Y_2^4 = \{(P, N), (P, P)\}.$$
A ce stade, le choix social est toujours impossible. Nous modifions la position de $(P, P)$ puisque $(P, P), (P, N) \in D_2(P)$ :

$$R_2^5 : (O, O), (P, O), (N, O), (O, P), (P, P), (N, P), (O, N), (N, N), (P, N).$$

$$\text{Ainsi, } Y_2^5 = \{(P, N)\} \text{ puisque } (N, P) \in \bar{Y}_2^5.$$

Il serait désormais encore possible de transformer les préférences de 2 puisque $Y_2^5 \neq \emptyset$. Mais, à ce stade, le choix social est possible donc le MMP s'interrompt : il existe une SDF pour le profil $(R_1, R_2^5)$. Pour obtenir un ensemble $Y$ vide pour l'individu 1, on aurait pu modifier la place de $(P, N)$, mais puisque le choix social est possible sans cela, ce n'est pas nécessaire. Dans cet exemple, on observe bien une convergence indéniable vers la condition MP2. De plus, il corrobore la proposition 6.5 (p. 377) : le nombre d'itérations nécessaires pour qu'un choix social soit possible a été de 5, ce qui est bien inférieur ou égal à $m(m-1) - 1 = 3(3-1) - 1 = 5$.

Ici encore, les propositions théoriques sont validées : les propositions 6.2 (p. 368) et 6.5 (p. 377). On peut vérifier que, quel que soit l'ordre des modifications des états sociaux dans les préférences de 2, le choix social est $(N, O)$. Cela aurait été le cas aussi si l'individu 1 avait été sélectionné par la Règle A $n = 2$. Par contre, une difficulté, déjà relevée précédemment, concerne l'asymétrie très forte du MMP $n = 2$ (le MMP Standard souffre donc du même mal!) : en effet, à la fin du procédé, les préférences individuelles de l'individu 2 sont complètement transformées alors même que les deux individus auraient pu être choisis indifféremment d'après la Règle A Standard. Ce point nous amènera, lui aussi, à proposer une amélioration de la Règle A Standard dès la prochaine sous-section.

## 6.3.2 Le MMP révisé

Tout au long de la sous-section précédente, un certain nombre de difficultés liées au MMP ont été relevées. Ces difficultés procèdent de l'aspect quelque peu arbitraire de la sélection des individus qu'effectue la Règle A Standard. En effet, dans de nombreux cas exposés plus haut, la Règle A Standard choisit indifféremment l'un ou l'autre individu dont les préférences sont à modifier. Ceci présente un inconvénient pour deux raisons : d'une part, dans le cas du paradoxe de Gibbard, le choix social diffère en fonction de la personne
sélectionnée<fnref n="8" /> : il faut donc consolider la Règle A par d'autres critères afin d'éviter le plus possible tout arbitraire ; d'autre part, pour l'un et l'autre paradoxe, l'asymétrie provoquée par la Règle A Standard est peu convaincante. Ici, nous allons tenter de combler ces deux failles de la Règle A Standard. Elles nuisent au bon fonctionnement du MMP et il est donc nécessaire d'y remédier. Nous proposons ci-dessous deux possibilités de modification de la Règle A Standard en fonction des deux difficultés dégagées. Pour chacune de ces modifications, nous reprendrons certains des exemples étudiés plus haut pour confronter les résultats obtenus dans l'un et l'autre cas. Nous serons ensuite en mesure de conclure quant à la meilleure spécification possible du MMP.

## i. L'intensité moyenne des préférences envahissantes

Il s'agit tout d'abord de rendre plus précise la Règle A Standard en considérant des critères de sélection supplémentaires. L'objectif consiste à affiner la sélection des individus afin d'éliminer le plus possible la part d'arbitraire. La Règle A Standard ne tient en effet compte que d'une seule caractéristique des préférences envahissantes : leur nombre. Or, une seconde caractéristique de ces préférences, utilisée dans la Règle B Standard, peut être prise en compte : leur intensité. Nous proposons alors la définition suivante :

**Définition 6.4 Intensité totale des préférences envahissantes** Soit un individu *k* et l'ensemble de préférences envahissantes $Y_k$ associé à un profil de préférences *d*, la valeur de l'intensité totale des préférences envahissantes contenues dans $Y_k$, notée $A_k$, se définit comme suit :

(1) soit un sous-ensemble de $Y_k$, $Y_k(a_{-i})$. On note $A_k(a_{-i})$ la valeur égale à la somme des intensités des préférences entre deux états sociaux pour chaque état $y$ dans $Y_k(a_{-i})$ et pour tout $x \in D_i(a_{-i})$ tels que $yP_i x$, $i \neq k$ : $A_k(a_{-i}) = \sum_{y \in Y_k(a_{-i})} I(xP_k y)$.

(2) soit l'ensemble $Y_k$. On note $A_k$ la valeur telle que : $A_k = \sum_{i \neq k} \sum_{a_{-i} \in X_{-i}^n} A_k(a_{-i})$.

Cette valeur $A_k$ représente l'intensité totale des préférences envahissantes contenues dans l'ensemble des préférences envahissantes d'un individu *k*. Dès lors, deux caractéristiques sont possibles pour déterminer un ensemble $Y$ : le nombre d'éléments qu'il comporte

<footnote n="8">⁸Rappelons néanmoins que ce n'est pas le cas du paradoxe de Sen.</footnote>
et sa valeur A. Nous sommes alors en mesure de proposer une nouvelle Règle A palliant
quelques-unes des défaillances de la Règle A Standard :

• MMP Variation 1

Règle A Variation 1

Le MMP consiste à rectifier les préférences de l'individu j dont l'ensemble $Y_j$ fait preuve de l'intensité moyenne des préférences envahissantes la plus élevée : on modifie $R_j$ selon la **Règle B** tel que $\frac{A_j}{|Y_j|} \ge \frac{A_i}{|Y_i|}, \forall i \in N$. S'il existe plusieurs individus tels, on choisit indifféremment un individu parmi eux.

Cette règle A Variation 1 peut être associée indifféremment aux règles B Standard et B $n = 2$.

La Règle A Variation 1 tient compte simultanément des deux indicateurs possibles
des préférences envahissantes – nombre et intensité totale – et sélectionne les individus
en fonction de l’intensité moyenne des préférences envahissantes qu’ils expriment. Ce
nouveau critère qui combine les deux autres consolide donc la Règle A puisque les révisions
apportées à la règle sont totalement en accord avec la “valeur-objectif” de la société : le
respect des droits individuels<fnref n="9" />. Le MMP Variation 1 propose donc de modifier la règle de
sélection des individus, mais la règle de révision de leurs préférences reste semblable. Les
propositions 6.1 et 6.2 (p. 368 ss.) restent valables pour le MMP Variation 1.

Voyons maintenant si les exemples concernés par l'aspect arbitraire de la Règle A
Standard vont aboutir à des résultats plus satisfaisants grâce à la Règle A Variation 1 à
laquelle on adjoint à la Règle B $n = 2$. Nous constatons d'abord que pour les exemples 6.1,
6.4 et 6.5 (p. 378 ss.) les préférences envahissantes exprimées par les individus 1 et 2 sont
en tous points semblables : même nombre d'éléments dans Y et même A. Les intensités
moyennes des préférences envahissantes sont égales. Dès lors, cette nouvelle spécification
de la Règle A n'apporte pas de nouvel éclairage par ces exemples. Par contre, la Règle A

<footnote n="9">⁹Une autre possibilité aurait été d'utiliser les deux critères de sélection en établissant un ordre lexicographique parmi ces derniers. On aurait d'abord considéré le nombre d'éléments de Y : s'il y a égalité entre deux ou plusieurs individus, on examine le second critère correspondant à l'intensité totale des préférences envahissantes. Mais ceci nous semble conceptuellement moins satisfaisant que la combinaison des deux indicateurs, ce qui évite tout arbitraire dans l'ordre lexicographique.</footnote>
Variation 1 offrent un traitement différent des exemples 6.2 et 6.3, comme nous allons le montrer.

**Exemple 6.6 (Reformulation de l'exemple 6.2)** Appliquons à présent pour cet exemple le MMP Variation 1. Tout d'abord, nous déterminons l'individu $j$ dont l'ensemble $Y_j$ affiche l'intensité moyenne la plus forte :

$$Y_1 = \{(N, O), (N, P), (O, N), (O, P), (P, N), (P, O)\}, \quad |Y_1| = 6 \text{ et } A_1 = 21,$$

$$Y_2 = \{(N, N), (O, O), (P, P)\}, \quad |Y_2| = 3 \text{ et } A_2 = 21.$$

On en déduit donc que malgré le fait que l'individu 1 semble, en apparence, faire preuve de moins de respect des droits individus que l'individu 2, il n'en est rien. En effet, leur intensité totale est semblable et, en termes d'intensité moyenne des préférences envahissantes, c'est l'individu 2 qui respecte le moins les droits d'autrui puisque $\frac{A_1}{|Y_1|} = \frac{21}{6} = 3,5$ et $\frac{A_2}{|Y_2|} = \frac{21}{3} = 7$. D'après ce nouveau critère, beaucoup plus complet que le précédent, c'est l'individu 2 qui est sélectionné par la Règle Variation 1. Nous devrions alors modifier les préférences de l'individu 2 selon la Règle B $n = 2$, et non, comme nous l'avons fait précédemment, celles de l'individu 1.

Transformons alors $R_2^0$. L'état social qui forme avec $(O, N)$, un de ses "états correspondants", l'intensité la plus forte est $(N, N)$. En effet, $I[(O, P)P_2^0(P, P)] = 2 < I[(N, P)P_2^0(P, P)] = I[(P, O)P_2^0(O, O)] = 3 < I[(N, O)P_2^0(O, O)] = I[(P, N)P_2^0(N, N)] = 4 < I[(O, N)P_2^0(N, N)] = 5$. Le nouvel ordre $R_2^1$ est dès lors le suivant :

$$R_2^1 : (O, N), (N, N), (P, N), (N, O), (P, O), (N, P), (O, P), (O, O), (P, P).$$

$$\textit{De plus, } Y_2^1 = \{(O, O), (P, P)\}, \quad |Y_2^1| = 2.$$

Le choix social reste impossible avec $(R_1, R_2^1)$, nous répétons alors le premier point de la Règle B Variation 1. Considérant $Y_2^1$, nous révisons la position de $(O, O)$ puisque $I[(O, P)P_1^1(P, P)] = 1 < I[(N, P)P_1^1(P, P)] = I[(P, O)P_1^1(O, O)] = 2 < I[(N, O)P_1^1(O, O)] = 3$ :

$$R_2^2 : (O, N), (N, N), (P, N), (N, O), (O, O), (P, O), (N, P), (O, P), (P, P).$$

$$\textit{De plus, } Y_2^2 = \{(P, P)\}, \quad |Y_2^2| = 1.$$
A ce stade, une SDF existe, donc le MMP s'arrête. Notons qu'à l'issue du procédé itératif, l'ensemble Y de l'individu 1 a été modifié puisque les préférences de 2 sur sa sphère personnelle ont changé : nous avons $Y_2 = \{(O, N), (P, N), (P, O)\}$ pour le profil $(R_1, R_2^2)$ et les chaînes de droits de l'individu 2 sont désormais les suivantes :

$$ (N, N), (N, O), (N, P) \\ (O, N), (O, O), (O, P) \\ (P, N), (P, O), (P, P) $$

D'après cet exemple, le choix social est $\{(N, N)\}$.

Cette reformulation de l'exemple 2 à l'aide de la Règle A Variation 1 nous semble prometteuse : elle prouve en effet qu'un seul critère était bien insuffisant pour sélectionner les individus et pouvait même nous induire en erreur quant à l'individu le moins respectueux des droits d'autrui. Voyons à présent si de telles conclusions encourageantes peuvent être tirées de la reformulation de l'exemple 3 :

**Exemple 6.7 (Reformulation de l'exemple 6.3)** Appliquons à présent le MMP Variation 1 à cet exemple et construisons les ensembles $Y_1$ et $Y_2$ :

$$ Y_1 = \{(O, O)\}, \quad |Y_1| = 1 \text{ et } A_1 = 2, $$

$$ Y_2 = \{(O, P)\}, \quad |Y_2| = 1 \text{ et } A_2 = 3. $$

Dans ce cas, alors que la Règle A Standard recommandait de choisir indifféremment parmi ces deux individus (nous avions d'ailleurs choisi de modifier les préférences de l'individu 1), la Règle A Variation 1 est beaucoup plus précise puisqu'elle va sélectionner l'individu 2. En effet, l'intensité moyenne de ses préférences envahissantes est plus forte que celle de l'individu 1 puisque $\frac{A_1}{|Y_1|} = 2$ et $\frac{A_2}{|Y_2|} = 3$. Nous devrions alors modifier les préférences de l'individu 2 selon la Règle B $n = 2$ et non celles de l'individu 1.

Nous sélectionnons donc l'individu 2. Posons $R_2 = R_2^0$ et $Y_2 = Y_2^0$. Nous modifions la place de l'état social $(O, P)$ dans la préférence de l'individu 2 :

$$ R_2^1 : (N, P), (P, N), (P, P), (O, P), (P, O), (N, N), (O, O), (O, N), (N, O) \text{ et } Y_2^2 = \emptyset. $$
Un choix social est possible à ce stade : une SDF existe et le MMP s’arrête. Les chaînes de droits de l’individu 2 sont alors les suivantes :

$$ 
\begin{align*}
(N, P), (N, N), (N, O), \\
(O, P), (O, O), (O, N), \\
(P, N), (P, P), (P, O).
\end{align*}
$$

Dès lors, pour le profil $(R_1, R_2^1)$, on a $Y_1 = \emptyset$. Dans cet exemple, un choix social existe après l'action du MMP : $\{(P, N), (N, P)\}$.

La Règle A Variation 1 nous paraît beaucoup plus satisfaisante dans cet exemple également : elle ne procède pas arbitrairement à une sélection et les résultats obtenus sont alors beaucoup plus crédibles. Ainsi, à l'appui des reformulations des exemples 6.2 et 6.3, la Règle A Variation 1 semble pourvoir aux défaillances de sa rivale et la remplacer avantageusement en ce qu'elle introduit un second crirère de sélection qui, associé au premier, consolide les résultats.

## ii. MMP et asymétrie

Mais nous n'en sommes pas quittes pour autant : dans les cas où les préférences envahissantes des individus sont en tous points semblables, le caractère arbitraire de la sélection n'est pas évacué, ce qui ouvre la voie à une série d'autres critiques telles l'asymétrie peu souhaitable du MMP.

Afin de pallier l'asymétrie du MMP, nous envisageons un va-et-vient permanent entre les Règles A et B, c'est-à-dire sélectionner un individu selon la Règle A, puis modifier sa préférence une fois avant de revenir à la Règle A pour sélectionner un nouvel individu. Ceci permettrait d'échapper à la critique d'asymétrie du MMP et de mettre tous les individus à contribution.

Nous tentons de reformuler notre MMP de cette manière. Dans ce cas, chaque individu de la société se voit doté d'un compteur et non uniquement le(les) individus(s) sélectionné(s) : on pose pour tout $i$ dans $N R_i = R_i^0$, $Y_i = Y_i^0$ et $Z_i = Z_i^0 = \emptyset$.
• MMP Variation 2

Règle A Variation 2

Le MMP consiste à rectifier selon la **Règle B** une préférence d'un individu k choisi parmi un ensemble J d'individus j tels que : $\exists \{\bar{x}, \bar{y}\}^t$ associée à $Y_j^t$, $t \ge 0$, telle que $\{\bar{x}, \bar{y}\}^t \notin Z_j^t, \forall j \in J$ et $J \subseteq N$. En outre, k doit faire preuve de l'intensité moyenne des préférences envahissantes la plus élevée : on modifie $R_k^t$ selon la Règle B tel que $\frac{A_k^t}{|Y_k^t|} \ge \frac{A_j^t}{|Y_j^t|}, \forall j \in J$. S'il existe plusieurs individus tels, on choisit indifféremment un individu parmi eux.

Règle B Variation 2

1. Le MMP transforme $R_k^t$ en $R_k^{t+1}$ de la manière suivante :

(1) Soit $Y_k^t$ et $\{\bar{x}, \bar{y}\}^t$ telle que $\{\bar{x}, \bar{y}\}^t \notin Z_k^t : I(\bar{x}P_k^t\bar{y}) \ge 1 \Rightarrow I(\bar{x}P_k^{t+1}\bar{y}) = 0$ et $Z_k^{t+1} = \{\{\bar{x}, \bar{y}\}^t\} \cup Z_k^t$. S'il existe plusieurs paires associées à $Y_k^t$ telles que $\{\bar{x}, \bar{y}\}_1^t, \{\bar{x}, \bar{y}\}_2^t..., \text{ on choisit indifféremment une paire parmi elles.}$

(2) $\forall b, c \in D_k(a_k)$ pour tout $a_k : bR_k^t c \Rightarrow bR_k^{t+1} c \text{ si possible.}$

(3) $\forall w, z \in Y_k^{t-l}, \forall l \in [0, t]$ et $w \ne \bar{x} : I(\bar{y}P_k^t w) = 0 \Rightarrow I(\bar{y}P_k^{t+1} w) = 0$ et $I(wP_k^t z) = 0 \Rightarrow I(wP_k^{t+1} z) = 0$.

2. Si on parvient à un choix social à l'issue de l'étape t, le mécanisme s'arrête. Sinon, on met les compteurs à $t+1$ pour tout $i \ne k : R_i^t = R_i^{t+1}$ et $Z_i^t = Z_i^{t+1}$ et on revient à la **Règle A**.

Le MMP Variation 2 combine alors la Règle A Variation 1 à une Règle B Standard
qui ne corrige qu'une préférence envahissante à la fois. Le MMP Variation 2, dès lors,
ne semble pas sujet aux critiques adressées aux MMP Standard et $n = 2$. En conservant
leurs points forts, le MMP Variation 2 pallie leurs insuffisances. Au demeurant, il est clair
que les propositions 6.1 et 6.2 (p. 368 ss.) restent valables pour le MMP Variation 2. En
effet, on peut modifier de la même façon les préférences de tous les individus de la société
selon la Règle B Variation 2, la seule différence résidant dans le fait qu'elles ne peuvent
plus être révisées en une seule fois. Le MMP Variation 2 remplit parfaitement l'objectif
du MMP – parvenir à une SDF – puisqu'il permet de supprimer les cycles de préférences
collectives et d'aboutir à un choix social dans le cadre des deux paradoxes. Pour mieux
nous en convaincre, voyons maintenant ce que l'on obtient avec le MMP Variation 2 dans
quelques-uns des exemples présentés précédemment.

D'emblée, il est évident que le MMP Variation 2 n'apporte aucune modification aux
résolutions des exemples 6.1, 6.3 et 6.4 (p. 378 ss.), ceux-ci ne nécessitant qu'une seule
modification pour arriver à un choix social. Par contre, le traitement des exemples 6.2 et
6.5 va certainement changer.

**Exemple 6.8 (Reformulation de l'exemple 6.2)** Nous appliquons à présent le MMP Variation 2 à cet exemple. Nous posons alors $R_1 = R_1^0$, $Y_1 = Y_1^0$, $R_2 = R_2^0$ et $Y_2 = Y_2^0$. Nous sélectionnons maintenant l'individu dont l'ensemble Y fait preuve de l'intensité moyenne des préférences envahissantes la plus forte :

$$
Y_1^0 = \{(N, O), (N, P), (O, N), (O, P), (P, N), (P, O)\}, \quad |Y_1^0| = 6 \text{ et } A_1^0 = 21,
$$

$$
Y_2^0 = \{(N, N), (O, O), (P, P)\}, \quad |Y_2^0| = 3 \text{ et } A_2^0 = 21.
$$

Comme tout à l'heure, nous constatons que c'est l'individu 2 qui est d'abord sé-
lectionné par la Règle A Variation 2 puisque $\frac{A_1^0}{|Y_1^0|} = \frac{21}{6} = 3,5$ et $\frac{A_2^0}{|Y_2^0|} = \frac{21}{3} = 7$.
Nous transformons alors $R_2^0$. L'état social qui forme avec $(O, N)$, un de ses "états cor-
respondants", l'intensité la plus forte est $(N, N)$. En effet, $I[(O, P)P_2^0(P, P)] = 2 < I[(N, P)P_2^0(P, P)] = I[(P, O)P_2^0(O, O)] = 3 < I[(N, O)P_2^0(O, O)] = I[(P, N)P_2^0(N, N)] = 4 < I[(O, N)P_2^0(N, N)] = 5$. Le nouvel ordre $R_2^1$ est dès lors le suivant :

$$
R_2^1 : (O, N), (N, N), (P, N), (N, O), (P, O), (N, P), (O, P), (O, O), (P, P).
$$

De plus, $Y_2^1 = \{(O, O), (P, P)\}$, $|Y_2^1| = 2$ et $A_2^1 = 8$, donc $\frac{A_2^1}{|Y_2^1|} = 4$. Les chaînes de droits de 2 sont alors les suivantes :

$(N, N), (N, O), (N, N)$

$(O, N), (O, P), (O, O)$

$(P, N), (P, O), (P, P).$

Pour 1, on a $R_1^0 = R_1^1$. Avec le profil $(R_1^1, R_2^1)$, l'ensemble $Y_1^1$ est le suivant : $Y_1^1 = \{(O, N), (O, P), (P, N), (P, O)\}, |Y_1^1| = 4$ et $A_1^1 = 16$ donc $\frac{A_1^1}{|Y_1^1|} = 4$.
Le choix social est impossible avec $(R_1^1, R_2^1)$, nous répétons alors la Règle A Variation 2. Les intensités moyennes des individus 1 et 2 étant semblables, nous pouvons choisir indifféremment entre eux. Nous sélectionnons par exemple l'individu 1. Considérant $Y_1^1$, nous révisons la position de $(P, O)$ puisque $I[(O, O)P_1^1(O, N)] = 3 < I[(O, O)P_1^1(O, P)] = I[(P, P)P_1^1(P, N)] = 4 < I[(P, P)P_1^1(P, O)] = 5$ :

$$R_1^2 : (N, N), (O, O), (P, P), (P, O), (N, O), (N, P), (O, N), (O, P), (P, N).$$

De plus, $Y_1^2 = \{(O, N), (O, P), (P, N)\}$, $|Y_1^2| = 3$ et $A_1^2 = 18$ donc $\frac{A_1^2}{|Y_1^2|} = 6$. Les chaînes de droits de 1 sont alors les suivantes :

$(N, N), (O, N), (P, N)$

$(O, O), (P, O), (N, O)$

$(P, P), (N, P), (O, P).$

Pour 2, on a $R_2^1 = R_2^2$. Avec le profil $(R_1^2, R_2^2)$, l'ensemble $Y_2^2$ est le suivant : $Y_2^2 = \{(O, O), (P, P)\}$, $|Y_2^2| = 2$ et $A_2^2 = 8$ donc $\frac{A_2^2}{|Y_2^2|} = 4$.

Mais avec le profil $(R_1^2, R_2^2)$, le choix social est possible : il s'agit de l'état social $(N, N)$.

Relevons que quel que soit l'individu choisi à l'issue de la première modification des préférences, le choix social aurait été semblable : nous aurions également obtenu l'état social $(N, N)$ comme le montre d'ailleurs la première reformulation de l'exemple 2 effectuée grâce au MMP Variation 1 (p. 394). Nous considérons maintenant la reformulation de l'exemple 6.5 (p. 388 ss.) lorsque l'on utilise le MMP Variation 2.

**Exemple 6.9 (Reformulation de l'exemple 6.5)** Nous appliquons maintenant le MMP Variation 2 à cet exemple. Nous posons alors $R_1 = R_1^0$, $Y_1 = Y_1^0$, $R_2 = R_2^0$ et $Y_2 = Y_2^0$. Nous sélectionnons l'individu dont l'ensemble Y fait preuve de l'intensité moyenne des préférences envahissantes la plus forte :

$$Y_1^0 = \{(N, O), (N, P), (O, O), (O, P), (P, O), (P, P)\}, \quad |Y_1^0| = 6 \text{ et } A_1^0 = 27,$$

$$Y_2^0 = \{(N, N), (P, N), (N, O), (P, O), (N, P), (P, P)\}, \quad |Y_2^0| = 6 \text{ et } A_2^0 = 27.$$

D'après la Règle A Variation 2, le MMP peut s'appliquer indifféremment à l'un des deux individus puisque $\frac{A_1^0}{|Y_1^0|} = \frac{A_2^0}{|Y_2^0|} = \frac{27}{6} = 4,5$. On choisit, par exemple, de rectifier $R_2^0$.
Dès lors, il s'agit de sélectionner l'état social dont la position doit être révisée grâce au premier point de la Règle B Variation 2. Pour cette première modification, nous passons en revue les états sociaux de $Y_2^0$. On ne peut avoir $I[(O, N)P_2^1(N, N)] = 0 \text{ car } (N, P), (N, N) \in D_2(N)$ et $(N, P)P_2^0(N, N)$, de même pour $(P, P), (P, N) \in D_2(P)$ – on ne peut donc pas bouger $(P, N)$ –, $(N, O), (N, P) \in D_2(N)$ et $(P, O), (P, P) \in D_2(P)$. Dès lors, les deux états sociaux susceptibles d'être sélectionnés sont $(N, O)$ avec $I[(O, O)P_2^0(N, O)] = 5$ et $(P, O)$ où $I[(O, O)P_2^0(P, O)] = 2$. $(N, O)$ va donc varier. Nous obtenons de nouvelles préférences pour l'individu 2, $R_2^1$ :

$$R_2^1 : (O, O), (N, O), (O, P), (O, N), (P, O), (P, P), (P, N), (N, P), (N, N).$$

De plus, $Y_2^1 = \{(N, N), (P, N), (P, O), (N, P), (P, P)\}, |Y_2^1| = 5 \text{ et } A_2^1 = 17$, donc $\frac{A_2^1}{|Y_2^1|} = \frac{17}{5} = 3,4$. Pour l'individu 1, les chaînes de droits de l'individu 2 n'ayant pas été modifiées, on a $R_1^1 = R_1^0$ et $Y_1^1 = Y_1^0$, donc son intensité moyenne est toujours de 4,5. D'après la Règle A Variation 2, nous modifions alors les préférences de l'individu 1. Selon la contrainte (2) de la Règle B Variation 2, les seuls états pouvant être modifiés sont $(N, O)$ et $(N, P)$ avec $I[(N, N)P_1^1(N, P)] = 2 < I[(N, N)P_1^1(N, O)] = 5$. On déplace alors $(N, O)$ :

$$R_1^2 : (N, N), (N, O), (P, N), (O, N), (N, P), (P, P), (O, P), (P, O), (O, O).$$

De plus, $Y_1^2 = \{(N, P), (O, O), (O, P), (P, O), (P, P)\}, |Y_1^2| = 5 \text{ et } A_1^2 = 17$. Dans ce cas, on obtient une intensité moyenne de 3,4 pour les deux individus avec le profil $(R_1^2, R_2^2)$ : on peut choisir indifféremment l'individu dont les préférences seront à modifier. Sélectionnons par exemple l'individu 1. Avec $Y_1^2$, le seul état social pouvant être modifié est $(N, P)$ :

$$R_1^3 : (N, N), (N, P), (N, O), (P, N), (O, N), (P, P), (O, P), (P, O), (O, O).$$

Ainsi, $Y_1^3 = \{(N, O), (O, O), (O, P), (P, O), (P, P)\}, |Y_1^3| = 5 \text{ et } A_1^3 = 11$, donc $\frac{A_1^3}{|Y_1^3|} = \frac{11}{5} = 2,2$. Pour l'individu 2, l'intensité moyenne est toujours de 3,4, nous modifions alors à présent les préférences de l'individu 2. Avec $Y_2^3 = Y_2^1$, nous bougeons l'état $(N, P)$ car $I[(O, O)P_2^1(P, O)] = 3 < I[(O, P)P_2^1(N, P)] = 4$ tandis que les autres ne peuvent pas être
modifiés à cause de la contrainte (2) de la Règle B Variation 2 :

$R_2^4 : (O, O), (N, O), (O, P), (N, P), (O, N), (P, O), (P, P), (P, N), (N, N).$

Ainsi, $Y_2^4 = \{(N, N), (P, N), (P, O), (P, P)\}, |Y_2^4| = 4 \text{ et } A_2^4 = 12, \text{ donc } \frac{A_2^4}{|Y_2^4|} = \frac{12}{4} = 3, \text{ tandis que pour 1, l'intensité moyenne est 2, 2. On continue ainsi de modifier les préférences de 2. D'après } Y_2^4, \text{ il est possible uniquement de rectifier la place de } (P, O) \text{ ou } (N, N) \text{ car } (P, O), (P, P) \text{ et } (P, N) \in D_2(P). \text{ De plus, } I[(O, N)P_2^4(N, N)] = 3 < I[(O, O)P_2^4(O, O)] = 4. \text{ Nous déplaçons } (P, O) :$

$R_2^5 : (O, O), (P, O), (N, O), (O, P), (N, P), (O, N), (P, P), (P, N), (N, N).$

Et $Y_2^5 = \{(N, N), (P, N), (N, O), (P, P)\}, |Y_2^5| = 4 \text{ et } A_2^5 = 6, \text{ donc } \frac{A_2^5}{|Y_2^5|} = \frac{6}{4} = 1, 5. \text{ Pour l'individu 1, l'intensité moyenne est 2, 2. Ce sont donc à présent les préférences de 1 qui sont à modifier. Avec } Y_1^5 = Y_1^3, \text{ les états pouvant être modifiés sont } (P, O) \text{ et } (P, P) \text{ avec } I[(P, N)P_1^5(P, P)] = 1 < I[(P, N)P_1^5(P, O)] = 3. \text{ On modifie la place de } (P, P) :$

$R_1^6 : (N, N), (N, P), (N, O), (P, N), (P, O), (O, N), (P, P), (O, P), (O, O).$

Ainsi, $Y_1^6 = \{(N, O), (O, O), (O, P), (P, P)\}, |Y_1^6| = 4 \text{ et } A_1^6 = 6, \text{ donc } \frac{A_1^6}{|Y_1^6|} = \frac{6}{4} = 1, 5, \text{ la même intensité que pour l'individu 2 avec le profil } (R_1^6, R_2^6). \text{ Le choix social est toujours impossible : nous continuons alors par exemple de modifier les préférences de l'individu 1. Les seuls états sociaux susceptibles d'être modifiés sont } (O, O) \text{ et } (P, P). \text{ On peut choisir de modifier l'un ou l'autre indifféremment. Choisissons alors de déplacer l'état social } (P, P) :$

$R_1^7 : (N, N), (N, P), (N, O), (P, N), (P, P), (P, O), (O, N), (O, P), (O, O).$

Ainsi, $Y_1^7 = \{(N, O), (P, O), (O, O)\}, |Y_1^7| = 3 \text{ et } A_1^7 = 3, \text{ donc } \frac{A_1^7}{|Y_1^7|} = 1. \text{ Avec le profil } (R_1^7, R_2^7), \text{ le choix social est possible donc le MMP s'interrompt : il existe une SDF. Le choix social est l'état social } (N, O).$

Sur la base de ces exemples, nous pouvons en conclure que le MMP Variation 2 offre des possibilités de résolution beaucoup plus satisfaisantes que le MMP Standard. En effet, il combine deux critères de sélection des individus – le nombre de préférences envahissantes et leur intensité totale. Par ailleurs, il résout de manière adéquate le problème posé par
l'asymétrie du MMP Standard. Il s'agit donc là d'un mécanisme qui nous semble à même de répondre à l'objectif que nous nous étions initialement fixé dans cette dernière section de notre travail : proposer un mécanisme crédible de modification des préférences, basé sur la "valeur-objectif" de la société qu'est le respect des droits individuels et capable de résorber les cycles des préférences collectives dus aux préférences envahissantes, permettant ainsi à la société qui y recourt de déterminer un choix social.

## 6.4 Conclusion

Nous avons proposé, dans notre travail, un Mécanisme de Modification des Préférences intitulé MMP permettant de corriger les préférences individuelles jugées contestables au regard des valeurs de la société. Le MMP a pour but de promouvoir le respect des droits individuels tout en rectifiant le moins possible les préférences individuelles envahissantes et toujours de façon à ce que ces modifications soient compatibles avec les droits des individus. Ce mécanisme général fondé sur notre concept de liberté et sur les définitions et outils déterminés dans le chapitre 5 (p. 281 ss.) est à même d'offrir des solutions convaincantes à deux célèbres paradoxes de la théorie du choix social : le paradoxe de Gibbard et le paradoxe libéral-parétien. Mais, par-delà ces avantages spécifiques, le MMP, de par son aspect global, semble donc fournir un cadre crédible pour résoudre les paradoxes liés aux préférences perverses. Comme nous l'avons vu, le MMP peut être rangé parmi les méthodes permettant d'exploiter le concept de métaclassement. Celui-ci offre en effet des fondements normatifs solides, sans doute plus convaincants que ceux de l'Observateur Impartial.

Notre analyse exploratoire de la notion de modification des préférences avance quelques propositions nouvelles. Nous les rappelons ci-dessous :

1. L'énoncé du MMP Standard et de ses deux règles justifiées grâce au concept de liberté exploite et approfondit les outils formels présentés dans notre chapitre 5 (p. 281 ss.). Ainsi, le recours à une structure de produit cartésien et aux définitions que sont l'ensemble des préférences envahissantes et l'intensité de la préférence entre deux états sociaux constitue une preuve supplémentaire des perspectives qu'offrent
ces notions.

2. Les propositions 6.1 (p. 366) et 6.2 (p. 368) soulignent les avantages du MMP et l'intérêt de son élaboration. Au-delà de conditions inflexibles posées sur la relation de préférences sociales, l'application du MMP dans une société validant notre concept de liberté permet d'aboutir "automatiquement" à un choix social.

3. La présentation du MMP Standard dans le cas d'une société composée de deux personnes, le MMP n = 2, permet d'établir de manière claire le fait que le MMP converge vers les conditions MP1 et MP2. En particulier, les propositions 6.4 (p. 376) et 6.5 (p. 377) explicitent le fonctionnement du MMP dans la société qui y recourt lorsque des cycles de préférences collectives font rage.

4. En dernier lieu, le MMP Variation 2 représente la synthèse de l'ensemble de notre travail : pourvu de tous les avantages du MMP Standard, il dispose en outre d'une Règle A de sélection des individus nettement plus satisfaisante. En particulier, les écueils du MMP Standard – nombre insuffisant de critères permettant de caractériser les préférences envahissantes et asymétrie très forte – sont évités par le MMP Variation 2.
Conclusion générale
Nous voici donc au terme de notre travail. Nous plaçant en amont de la catégorisation des courants traitant de la liberté en économie normative qu'ont proposée Fleurbaey, Gravel, Laslier et Trannoy (1998 [87]), nous avons souhaité élaborer puis appliquer un concept de liberté en mesure d'exprimer ce que les sociétés modernes devraient être à même de garantir à leurs membres.

Comme l'a écrit Nozick (1974 [166]) et comme le rappelle Dupuy (1992 [62], p. 41) : “tout philosophe politique, dorénavant, doit choisir entre deux options : ou travailler dans le cadre de la théorie rawlsienne ou s'expliquer sur ses raisons de ne pas le faire”. Cette explication ne sera pas nécessaire pour ce qui nous concerne puisque nous avons mené l'ensemble de notre réflexion à partir de la théorie de la justice comme équité.

Notre travail s'est voulu un dialogue entre une réflexion analytique non formalisée et la théorie du choix social, où la définition mathématique des concepts est exigée. Comme le souligne Sen (1973 [230]) : “les résultats formalisés n'ont finalement d'importance que dans la mesure où ils peuvent alimenter la discussion ordinaire, où ils ont un rapport avec les choses pour lesquelles les gens s'affrontent et se battent”<fnref n="10" />. Nous estimons que le fait de procéder aux applications formalisées des idées développées ne peut que les ancrer davantage dans l'analyse économique et dans les débats qu'elle suscite. Mener de front ces deux approches et les relier solidement a été une de nos préoccupations majeures. Sans aller jusqu'à invoquer l"incurable schizophrénie", dont Sen (1970b [228], p. vii) se dit victime, nous nous sommes efforcés d'articuler le plus étroitement possible ces deux composantes de la science économique.

Venons-en à nos principaux résultats qui ont pour objet de répondre aux questions suivantes : quel est le concept de liberté à privilégier impérativement dans l'élaboration d'une théorie économique de la justice distributive ? Ou, plus simplement encore, dans la définition d'une politique de redistribution ? Comment, dans un champ disciplinaire bien particulier, celui de la théorie du choix social, les modalités de l'intervention publique peuvent-elles être déterminées afin de respecter, de protéger, de garantir aux membres de la société notre concept de liberté ?

<footnote n="10">¹⁰Trad. fr. de : “the importance of the formal results lies ultimately in their relevance to normal communication and to things that people argue about and fight for” (Sen, 1973 [230], p. vii).</footnote>
La première partie de notre étude visait donc à élaborer progressivement un concept opérationnel de liberté pour la théorie du choix social. C'est tout d'abord sur le couple liberté des Anciens / liberté des Modernes que s'est portée notre analyse. Afin de déterminer la notion à même de refléter adéquatement ce couple de libertés, nous avons mis en relief les traits communs des théories hégélienne et rawlsienne qui sont étrangers à la théorie kantienne. Nous avons constaté que Hegel et Rawls tentaient tous deux de déterminer la condition de possibilité de la *réconciliation* de la liberté des Anciens et des Modernes. Ceci nous a amenés à retenir la notion de réconciliation dans notre concept synthétique de liberté. Nous avons dû approfondir le contenu concret de notre concept de liberté en nous interrogeant sur les conditions de possibilité de la réconciliation, grâce aux deux dimensions de la liberté que le couple liberté des Anciens / liberté des Modernes ne traite pas : la dimension économique et la dimension "talents / handicaps".

Un autre couple de libertés a donc été pris en compte : le couple liberté négative / liberté positive. Nous avons conclu que celui-ci pouvait être adéquatement intégré à notre concept de liberté grâce à la notion de capabilité de Sen. L'attention particulière accordée à l'approche en termes de droits réels nous a conduits à ce résultat. Nous avons en effet montré la place fondamentale que cette approche occupe dans l'œuvre de Sen.

Mais la notion de liberté de choix si présente dans l'approche en termes de capabilité élude la question de la responsabilité individuelle. Il a donc été nécessaire de la prendre en compte dans notre concept de liberté afin d'approfondir davantage la dimension "talents / handicaps".

Nous avons alors montré en quoi l'approche de Roemer étendait la portée de la capabilité de Sen en intégrant des aspects originaux spécifiques à la prise en compte de la responsabilité individuelle. La capabilité n'offre en effet pas un traitement exhaustif de cette notion, contrairement à l'EOp de Roemer qui introduit des éléments inédits tels que la formalisation de l'effort ; ce qui lui permet de procéder à des comparaisons "inter-types" et d'élaborer une théorie d'équité des accomplissements, plutôt qu'une théorie d'égalité des opportunités, qui risque d'aboutir à des accomplissements inéquitables.

Dans notre seconde partie, à l'appui des trois éléments essentiels de notre concept de liberté (la réconciliation, la protection des droits et libertés individuels et la prise en
compte de la responsabilité individuelle), nous avons tenté de déterminer si notre concept
de liberté était susceptible d’offrir des résolutions crédibles à des sociétés confrontées à
l’impossibilité du choix social. L’examen du traitement de la liberté en théorie du choix
social nous a conduits aux résultats suivants : les effet d’indépendance présents dans
les paradoxes de Sen et de Gibbard sont tels qu’il est nécessaire de remettre en cause
le formalisme arrovien strict afin de leur offrir une solution satisfaisante. En outre, il
est nécessaire d’introduire de l’information supplémentaire, soit grâce à des critères non
welfaristes qui pourraient éventuellement être exprimés par le biais de la condition du
domaine non restreint, soit par l’intermédiaire de comparaisons interpersonnelles. Nous
avons également souligné l’intérêt d’une représentation des droits et libertés individuels
grâce à la mise en place d’une structure de produit cartésien sur les états sociaux.

L’intégration de notre concept de liberté dans la théorie du choix social mène à la
validation de ces pistes de résolution et un certain nombre d’outils conceptuels et formels
ont été élaborés. Ils nous ont permis de formuler des résultats de possibilité pour les
paradoxes de Sen et de Gibbard.

En dernier lieu, nous avons mené une analyse exploratoire de la notion de modifica-
tion des préférences et étudié la possibilité de déterminer un mécanisme fondé sur notre
concept de liberté qui convergerait vers un choix social. Nous avons proposé un Méca-
nisme de Modification des Préférences intitulé MMP permettant de corriger les préférences
individuelles jugées contestables au regard des valeurs de la société.

Nos conclusions ne constituent qu’un apport dans la recherche en économie norma-
tive traitant de la liberté. Si nous souhaitons offrir quelques perspectives nouvelles, nous
n’ignorons pas que, comme tout travail théorique, elles soulèvent autant de questions
qu’elles n’en résolvent.

De manière générale, les points suivants méritent d’êtres approfondis :

* il paraîtrait opportun d’établir un nouveau bilan des relations qu’entretiennent au-
jourd’hui la théorie rawlsienne et les économistes. Le dernier (et le seul, nous semble-
t-il) remonte à 1984 avec la contribution de d’Aspremont “Rawls et les économistes”
[11]. Cette question a été évoquée dans la première partie de notre travail, mais une
synthèse plus systématique pourrait être opérée.
* Un Mécanisme de Modification des Préférences tel que le MMP pourrait être interprété comme une manière de réhabiliter le welfarisme. En effet, grâce au MMP, les préférences individuelles envahissantes sont exclues. Pour Mongin et d'Aspremont (1998 [158]), avec le fait d'avoir des préférences rationnelles et bien informées, cette exclusion constitue une des trois lignes de défense du welfarisme.

* Le MMP a été construit comme un mécanisme reflétant la “valeur-objectif” de la société qu’est le respect des droits individuels. Il pourrait dès lors être intéressant de déterminer si l’élaboration d’un mécanisme plus vaste, capable d’intégrer d’autres valeurs encore et d’agir, non seulement sur les préférences individuelles, mais aussi sur d’autres indicateurs individuels (fonctions d’utilité, biens premiers rawlsiens, modes de fonctionnement...), serait envisageable.

* En dernier lieu, tester le bien-fondé du MMP par le recours à l’économie expérimentale paraît constituer également une extension possible de notre travail.

Qu’on nous permette, pour terminer, de rappeler cette réflexion de Proudhon sur la “vraie” liberté : “l’homme du peuple qui rit est mille fois plus près de la raison et de la liberté que l’anachorète qui prie ou le philosophe qui argumente” (Proudhon, 1849 [183], p. 292).
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Liste des tableaux

<table><tr><td>1.1</td><td>Différentes acceptations des deux formes de libertés chez Hegel et Rawls</td><td>34</td></tr><tr><td>2.1</td><td>Les interprétations du couple liberté négative / liberté positive intégrant les trois dimensions de la liberté</td><td>109</td></tr><tr><td>2.2</td><td>Analyse synthétique des déterminants du bien-être individuel</td><td>157</td></tr><tr><td>3.1</td><td>Le “justice cut” dans les théories de Rawls, Sen et Roemer</td><td>194</td></tr><tr><td>4.1</td><td>L'information retenue par la condition de libéralisme : l'exemple de L'amant de Lady Chatterley</td><td>265</td></tr><tr><td>4.2</td><td>Un profil de préférences individuelles cycliques : l'exemple de L'amant de Lady Chatterley</td><td>265</td></tr><tr><td>4.3</td><td>L'information retenue par la condition de libéralisme : l'exemple des individus conformiste et anticonformiste</td><td>266</td></tr><tr><td>4.4</td><td>Un profil de préférences individuelles cycliques : l'exemple des individus conformiste et anticonformiste</td><td>267</td></tr><tr><td>5.1</td><td>Jeu sous forme normale : le paradoxe de Gibbard</td><td>298</td></tr><tr><td>5.2</td><td>Jeu sous forme normale : le paradoxe de Sen à quatre options</td><td>299</td></tr></table>
Table des figures

<table><tr><td>2.1</td><td>L'approche en termes de droits réels dans une économie d'échange pur</td><td>135</td></tr><tr><td>2.2</td><td>L'approche en termes de capabilité</td><td>142</td></tr></table>
Résumé

Quelle est la conception de la liberté à privilégier impérativement lors de l'élaboration d'une théorie économique de la justice distributive ? Comment, dans un champ disciplinaire bien particulier, celui de la théorie du choix social, les modalités de l'intervention publique peuvent-elles être déterminées afin de respecter, de protéger, de garantir aux membres de la société cette conception de la liberté ? Telles sont les questions auxquelles nous répondons dans notre thèse.

Notre étude est divisée en deux parties : la première vise à mettre au point un concept opérationnel et synthétique de liberté. Dans notre seconde partie, nous nous efforçons d'appliquer ce concept à un contexte bien particulier, la théorie du choix social.

L'élaboration d'un concept opérationnel de liberté fait appel aux couples liberté des Anciens / liberté des Modernes et liberté négative / positive ainsi qu'à la notion de responsabilité individuelle. La nécessité d'un dépassement de l'opposition liberté des Anciens et liberté des Modernes est expressément soulignée par Rawls, à la suite de Hegel. Nous mettons ainsi en relief la notion de réconciliation. Traitée à un niveau très abstrait par ces auteurs, la liberté “moderne” doit également être analysée à un niveau plus concret. Le couple liberté négative / liberté positive est alors considéré. Il peut être adéquatement pris en compte grâce à la notion de capabilité développée par Sen. L'analyse comparative des approches de Roemer et de Sen nous permet de montrer en quoi l'approche de Roemer étend la portée de la capabilité de Sen en intégrant des aspects originaux spécifiques à la prise en compte de la responsabilité individuelle. C'est le troisième et dernier élément que nous devons intégrer dans notre concept de liberté.

Ce concept de liberté offre une solution satisfaisante aux paradoxes formulés dans la théorie du choix social, en particulier au paradoxe libéral-parétien de Sen qui représente la première tentative d'introduction des droits et libertés individuels en théorie du choix social, et au paradoxe de Gibbard. Notre concept de liberté nous permet de construire des outils conceptuels et formels et de proposer des solutions pour ces paradoxes. Enfin, nous menons une analyse exploratoire de la notion de modification des préférences et suggérons un mécanisme de modification des préférences qui, appliqué à une société où se manifestent des cycles de préférences collectives, mène de lui-même à un choix social. Ce Mécanisme de Modification des Préférences (MMP), fondé sur notre concept de liberté, constitue la synthèse de notre travail.

*Mots-clés* : Economie du bien-être, Théorie du choix social, Liberté, Responsabilité, Rawls, Sen, Paradoxe libéral-parétien.
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