# Transposition didactique et circulation de savoirs de la didactique des mathématiques pour la formation initiale des enseignants. Quelques réflexions

Magali Hersant

► To cite this version:

Magali Hersant. Transposition didactique et circulation de savoirs de la didactique des mathématiques pour la formation initiale des enseignants. Quelques réflexions. Didactiques & [et] disciplines, 2025, 3 (6), pp.135-152. 10.34874/PRSM.dd-vol3iss6.62151. hal-05412722

HAL Id: hal-05412722

https://hal.science/hal-05412722v1

Submitted on 4 Mar 2026

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons CC BY-SA 4.0 - Attribution - ShareAlike - International
License
# Transposition didactique et circulation de savoirs de la didactique des mathématiques pour la formation initiale des enseignants.

## *Quelques réflexions*

Magali HERSANT

CREN – Nantes Université

**Résumé** (121 mots) : Le « passage » des savoirs de la didactique des mathématiques vers la formation des enseignants est-il de l'ordre de la transposition didactique (Chevallard, 1985) ou de la circulation des savoirs (Marlot, 2020) ? Dans ce texte nous explorons cette question pour le cas de la formation initiale des enseignants. Nous faisons d'abord l'hypothèse qu'il s'agit d'une transposition pour explorer ses caractéristiques en tenant compte des contraintes institutionnelles. Puis à partir de l'exemple d'une formation « à et par la recherche » nous montrons que la conception de formations initiales peut aussi relever de la circulation de savoirs sous certaines conditions. Ces éléments nous conduisent à discuter l'usage des notions de transposition didactique et de circulation des savoirs issus de la didactique des mathématiques pour la formation initiale des enseignants.

**Mots-clés** (5 mots) : circulation des savoirs - didactique des mathématiques - formation à et par la recherche - formation initiale des enseignants - transposition didactique

## Introduction

La didactique des mathématiques (DDM) en tant que discipline scientifique produit des savoirs pour répondre aux problèmes didactiques qu'elle se pose<fnref n="1" />. Ces savoirs sont de nature variée : méthodologies de recherche ; ingénieries didactiques<fnref n="2" /> ; cadres théoriques et concepts pour rendre compte de phénomènes d'enseignement - apprentissage en mathématiques ; savoirs sur l'évolution de l'enseignement des notions au fil des temps ; savoirs sur les difficultés et obstacles à l'apprentissage de certaines notions ; savoirs sur les pratiques enseignantes en mathématiques et sur la formation...

Par ailleurs, la DDM est une discipline de référence pour la formation initiale des enseignants des premier et second degrés en mathématiques : « maitriser les savoirs disciplinaires et leur didactique » est l'une des compétences du référentiel pour les métiers du professorat et de l'éducation (BO 25 juillet 2013). Ainsi, les savoirs de la DDM sont censés diffuser vers la formation initiale. Mais les problèmes du chercheur en DDM ne sont pas ceux de l'enseignant de mathématiques et le passage d'une pratique vers une autre ne laisse pas les savoirs intacts (Rey, 2002).

Évoquant le cas de chercheurs-formateurs, Marlot (2020) parle de « circulation des savoirs » entre les espaces de la recherche et de la formation. De même, s'intéressant aux recherches collaboratives impliquant chercheurs et enseignants, Boilevin et Orange (2024) identifient des échanges de savoirs et influences dans les deux sens. Le concept de transposition didactique (TD) (Chevallard, 1985 ; Chevallard & Johsua, 1991) est ainsi souvent écarté pour analyser les relations entre savoirs de la didactique et formation des enseignants au motif qu'il conduit à penser de façon unidirectionnelle (Boilevin & Orange, 2024, p. 140). Or, en formation initiale,

<footnote n="1">¹ Notons, cependant, qu'à l'échelle de la société, ce statut de sciences est moins évident que celui des mathématiques et la différence entre un résultat de recherche en DDM et le « bon sens » à propos de l'enseignement des mathématiques n'est pas partagé à l'échelle de la société.</footnote>

<footnote n="2">² Ici au sens d'un ensemble de séquences d'enseignement conçues, expérimentées et analysées dans un cadre théorique donné (par exemple, l'ingénierie de Brousseau (1986) sur les décimaux) et non au sens de méthodologie de recherche (voir Margolinas et al., 2011).</footnote>
le futur enseignant entre en contact avec la didactique par l'intermédiaire de textes, de discours (Rey, 2002) et de stratégies de formation — telles l'homologie-transposition ou la transposition<fnref n="3" /> (Kuzniak, 2003, Houdement, 2013) — issus d'une appropriation de textes et de discours scientifiques par les formateurs. Dans ce contexte, il y a de fait une TD des savoirs de la DDM pour la formation des enseignants de mathématiques. Par souci de vigilance épistémologique (Chevallard & Johsua, 1991, p. 42) et dans une démarche heuristique, nous explorons ici les contours de cette TD.

Dans la première partie, à l'aune des différents processus constitutifs de la TD (Chevallard & Johsua, 1991, Verret, 1975), nous étudions les singularités et conditions de possibilités d'une TD des savoirs de la DDM pour la formation, en lien avec les contraintes institutionnelles de la formation initiale.

La seconde partie porte sur l'étude d'une « formation à et par la recherche » pour les étudiants de 2è année d'un Master MEEF premier degré. Nous précisons les savoirs de la DDM qui font l'objet d'une TD et mettons en évidence les modifications qu'ils subissent en « passant » de la sphère de la recherche en DDM à celle de la formation initiale. Nous expliquons aussi comment cette TD s'appuie sur des résultats de la DDM relatifs à la formation initiale des professeurs des écoles et des éléments empiriques issus de la pratique de la formatrice (auteure de ce texte), pour la définition des savoirs à enseigner et l'élaboration d'un scénario de formation.

Cette étude de cas montre ainsi que, sous certaines conditions, la conception de formations initiales peut transcender la TD des savoirs de la DDM pensée comme un processus unidirectionnel, et requérir, plus largement, une circulation de ces savoirs entre la recherche et la formation. Elle nous conduit à discuter la nature de cette circulation.

# 1. Quelques aspects de la TD des savoirs de la DDM pour la formation initiale

## 1.1. Le concept de TD

La TD désigne « le "travail" qui d'un objet de savoir fait un objet d'enseignement » et rend compte des « transformations adaptatives qui vont le rendre apte à prendre place parmi les objets d'enseignement » (Chevallard & Johsua, 1991, p. 39). La TD peut être représentée par le schéma ci-dessous qui met en évidence la nature du savoir à chaque étape et dont le premier chaînon marque le passage de la sphère personnelle du chercheur à la culture, « de l'implicite à l'explicite, de la pratique à la théorie, du pré-construit au construit » (Chevallard, 1991, p. 40) :

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1. Schéma de la transposition didactique</figcaption></figure>

Le processus de TD met ainsi en tension différents types de savoirs et leurs « systèmes de vie ». Les objets « à enseigner » ne sont pas seulement des « simplifications » d'objets plus complexes issus de la société « savante », ils sont le résultat d'un appût didactique qui en modifie la nature. Ainsi, les contraintes du système d'enseignement confèrent aux savoirs scolaires certaines caractéristiques (Verret, 1975). Ils sont désynchrétisés (découpés en champs de savoir délimités, donnant lieu à des pratiques d'apprentissages spécialisées),

<footnote n="3">³ « Dans une stratégie basée sur la transposition, le formateur cherche à transmettre un savoir de référence sur l'enseignement et tente de maîtriser le phénomène d'adaptation opéré par les formés. Dans une stratégie de formation basée sur l'homologie-transposition, le formateur fait vivre une situation de résolution d'un problème, selon les conceptions et choix didactiques et pédagogiques qu'il souhaite voir mis en œuvre dans leur enseignement par les formés qui l'expérimentent, moyennant une adaptation au niveau où ils enseignent de certains aspects mathématiques, didactiques et pédagogiques (travail de transposition). » (Guille-Biel Winder et al., 2015, p. 160).</footnote>
dépersonnalisés, publics et non privés ; leur acquisition est programmable, ils doivent être évaluables (contrôle social des apprentissages).

## 2.1. La TD de savoirs de la DDM pour la formation initiale : spécificité

La TD de savoirs de la DDM pour la formation des enseignants de mathématiques présente des particularités par rapport à la TD de savoirs mathématiques pour l'École que l'on peut envisager à partir des systèmes de vie des savoirs (tableau 1).

<table><caption>Tableau 1. Comparaison des TD pour l'école et pour la formation</caption><thead><tr><td>Institution dans laquelle les savoirs sont transposés</td><td>Enseignement primaire et secondaire</td><td>Institut de formation professionnelle au sein des Universités (actuellement INSPÉ)</td></tr></thead><tbody><tr><td>Lieu de production du savoir</td><td>Discipline scientifique : mathématiques</td><td>Discipline scientifique : DDM</td></tr><tr><td>Système d'enseignement</td><td>Enseignants : professeurs des écoles, certifiés et agrégés de mathématiques</td><td>Formateurs : enseignants du premier degré (polyvalents) en temps partagé ou plein, du second degré (spécialisés en maths) en temps plein ou partagé, enseignants-chercheurs en DDM ou mathématiques</td></tr><tr><td>Noosphère, lieux de définition des savoirs à enseigner</td><td>Association de professeurs de maths, associations de recherche en mathématiques et DDM, ministère...</td><td>COPIRELEM, CORFEM, Association de recherche en DDM, associations de recherche en mathématiques, ...</td></tr></tbody></table>

La formation universitaire d'un professeur garantit, normalement, qu'il en sait suffisamment sur les mathématiques savantes relatives aux objets à enseigner. Ce n'est pas forcément le cas pour les formateurs en DDM dont les formations universitaires en DDM sont très différentes. Comment ces derniers accèdent-ils aux objets de savoir produits par la DDM ? Les commissions inter-IREM pour l'enseignement élémentaire (COPIRELEM) ou la recherche sur la formation des enseignants de mathématiques du second degré (CORFEM) sont des lieux importants de diffusion de ces objets de savoirs (résultats et concepts) de la DDM. Certains formateurs, pas seulement les enseignants-chercheurs, y accèdent aussi par la lecture d'articles de recherche, la participation à des colloques ou à des recherches ; d'autres s'engagent dans une formation diplômante en DDM. Certains articles de revues d'interface et des publications IREM présentent de façon appétée des éléments de cadres théoriques et des concepts (Houdement, 1995). Cependant il n'existe pas vraiment de manuel ou de traité de référence<fnref n="4" /> où sont présentés de façon systématique, dépersonnalisés et désynchrétisés, les savoirs de la DDM utiles pour le futur enseignant de mathématiques. Les processus de désynchrétisation et de dépersonnalisation de ces savoirs sont donc largement à la charge des équipes de formation ou des individus.

Pour la formation, le processus de désynchrétisation doit par ailleurs tenir compte du fait qu'il s'agit de permettre la construction de savoirs pour répondre aux problèmes du

<footnote n="4">⁴ Nous soulignons ce point par contraste avec ce qui existe en mathématiques mais cela ne signifie pas qu'à l'heure actuelle de tels traités soient souhaitables. Cela peut s'expliquer par la « jeunesse» de cette discipline. L'ouvrage de Johsua et Dupin (1993) pourrait être de cet ordre pour la didactique des sciences et des mathématiques mais il n'est pas actualisé. Celui de Dorier et al. (2018) propose des synthèses de certains aspects de la DDM.</footnote>
professionnel de l'enseignement des mathématiques et pas seulement de la construction de concepts comme c'est le plus souvent le cas dans une formation universitaire non professionnalisante ou dans la classe de mathématiques. « Les dynamiques d'appropriation sont différentes » (Deblois & Robert, 2023, p. 378) dans la mesure où les savoirs de la DDM doivent être appropriés par les étudiants pour penser et mettre en œuvre leur enseignement. Des stratégies de formation variables existent (Houdement 1995, 2013 ; Kuzniak, 1994) : initiation à des « bonnes pratiques » selon la conception du formateur (stratégies culturelles, de monstration, d'homologie<fnref n="5" />) où les savoirs didactiques existent de façon évanescente vs stratégies basées sur la transposition où le formateur fait rencontrer, par l'action puis l'analyse de l'action, des savoirs didactiques et contrôle la réception de ces connaissances par les étudiants. La dimension professionnalisante de la formation se répercute ainsi de façon singulière sur la publicité des savoirs et leur évaluation, cette dernière se réalisant par ailleurs aussi en partie en contexte professionnel.

Le ministère publie des programmes d'enseignement des savoirs scolaires mais il n'y a pas de programme de formation à la DDM, des compétences assez générales sont mentionnées mais sans mention des savoirs issus de la DDM qui peuvent y contribuer. La sélection des savoirs à enseigner et leur programmation, dans un volume horaire contraint, est ainsi à la charge des formateurs. Ce n'est pas simple. Souvent l'entrée se fait par branches des mathématiques (analyse, géométrie, l'algèbre...) ou domaine des programmes scolaires (résolution de problèmes...). Mais alors où mettre ce qui relève de la prise en compte et du traitement de l'erreur ou de certains concepts comme le contrat didactique ou l'adidacticité, partout denses quelles que soient les branches des mathématiques ? Où placer les apports de la DDM pour la maternelle ?

Soulignons pour finir que ce travail de TD singulier laissé à la charge des formateurs requiert une vigilance épistémologique à l'égard des savoirs de la DDM à laquelle est rôdé le chercheur en DDM mais qui n'est pas toujours évident pour un enseignant qui devient formateur. En effet, l'enseignant de mathématiques est habitué à exercer une vigilance épistémologique à l'égard des savoirs mathématiques mais exercer une vigilance épistémologique à l'égard des savoirs de la DDM suppose une familiarité avec ces savoirs et leur construction que les formateurs n'ont pas toujours au moment où ils sont recrutés.

## 3.1. La TD des savoirs de la DDM : une nécessité, des précautions

Si la TD de savoirs de la DDM pour la formation est nécessaire, les résultats sur les pratiques d'enseignement, leur développement et leur genèse conduisent les chercheurs à être prudents dans leur usage en formation, à l'instar de Vandebrouk et Robert (2022, p. 87) :

> De façon générale, il convient d'être prudent sur les questions de diffusion et d'adaptation des recherches. Il y a une grande complexité de l'activité dans la classe (...) ; la nécessité aussi de prendre en compte le temps long et l'accès difficile enfin à la dimension personnelle dans l'activité. Enfin, en termes de transmission, comme pour les apprentissages, présenter des résultats, voire des outils (...) ne suffit pas à équiper l'enseignant ou même son formateur. »

Il s'agit donc, comme le proposait Martinand (1994), de penser la formation non comme lieu d'injection de résultats de la recherche en DDM et d'application des résultats de la recherche en DDM mais comme un problème de DDM. C'est dans cet esprit que nous présentons dans la suite la façon dont nous avons transposé certains savoirs de la DDM pour le module « formation à et par la recherche » de la 2è année du Master MEEF 1er degré de notre institut, en tenant compte de résultats de la DDM sur les pratiques et la formation des professeurs des écoles.

<footnote n="5">⁵ Dans une stratégie culturelle, le formateur diffuse une information dans le but d'accroître les connaissances mathématiques et didactiques de l'étudiant, sans se préoccuper de la mise en œuvre dans la classe. Dans une stratégie de monstration, le formateur montre une mise en œuvre d'une pratique d'enseignement en classe pour la transmettre, c'est la leçon modèle. Dans une stratégie d'homologie, le formateur enseigne conformément à ce qu'il pense que doit être l'enseignement et l'étudiant transpose ce modèle pour sa pratique en classe.</footnote>
Cette formation constitue une solution possible parmi d'autres à la tâche « concevoir une formation à et par la recherche en DDM pour des professeurs des écoles »<fnref n="6" />.

## 2. TD de concepts-outils de la DDM : analyses préalable, à priori et à posteriori

Institutionnellement, le module « former à et par la recherche » prend la forme d'un séminaire auquel participent au plus 12 étudiants ; son intitulé implique une dimension pratique de la recherche. Dans notre séminaire intitulé « Analyser l'activité mathématique des élèves avec un regard didactique », les étudiants conduisent des analyses didactiques, centrées sur les savoirs et les apprentissages des élèves (Orange, 2006), à partir de corpus (fiche de préparation, vidéo, productions écrites d'élèves) recueillis dans leur classe, outillés par une grille (voir annexe) qui mobilise les concepts d'analyses préalable, à priori, à posteriori et de situation-problème issus de la recherche en DDM, ainsi que d'autres concepts essentiels pour ces analyses. Pourquoi ces objets de savoir sont-ils devenus des objets d'enseignement dans cette formation ? Quelles raisons ont déterminé leur appût didactique de savoirs enseignés ?

### 2.1. Rappels sur les concepts didactiques

Pour mieux saisir la TD réalisée, notamment le processus de désynchrétisation, rappelons le contexte d'élaboration de ces concepts au sein de la DDM.

Les concepts d'analyse à priori, à posteriori et préalable ont été conçus pour répondre à des problématiques d'ingénieries didactiques de première génération (Perrin-Glorian, 2011), chez Brousseau et Douady. En référence à un cadre théorique, il s'agissait de munir la DDM d'outils et de méthodes pour concevoir des situations d'apprentissage et permettre leur évaluation interne (Artigue, 1988). L'analyse préalable comprend une analyse épistémologique, celle de l'enseignement habituel, celle des conceptions et des difficultés des élèves et des obstacles. L'analyse à priori rend compte des choix effectués pour les options principales de la situation. À un niveau micro, il s'agit alors de contrôler que les choix effectués créent des conditions d'apprentissage conformes au cadre de référence (situation a-didactique pour la théorie des situations et changement de cadre et dialectique outil-objet pour les situations-problèmes de Douady). L'analyse à posteriori s'appuie sur les données recueillies lors de la mise en œuvre de la séquence d'apprentissage ; la confrontation de l'analyse à priori et de l'analyse à posteriori permet la validation interne des choix effectués. Le rôle de l'enseignant est peu pris en compte dans les analyses.

Dans une extension du cadre de la théorie des situations didactiques afin de doter la DDM d'outils d'analyse, les situations d'enseignement ordinaires, les concepts d'analyse à priori et à posteriori ont ensuite été adaptés (Hersant, 2001 ; Perrin-Glorian & Hersant, 2003). Dans ce paradigme de la DDM, l'enjeu n'est plus de valider des ingénieries et un cadre théorique mais de renseigner les pratiques enseignantes, les caractériser et identifier des phénomènes d'enseignement-apprentissage associés (Hersant & Perrin-Glorian, 2005). L'analyse à priori vise alors à déterminer les potentialités adidactiques de la situation et le caractère pro-actif et contraignant du milieu (Hersant, 2010) tandis que l'analyse à posteriori met en relation les potentialités adidactiques des situations analysées en lien avec le jeu de l'enseignant sur le couple (milieu, contrat didactique) au cours de la séance (Hersant, 2014). Il n'y a plus d'enjeu phénoménotechnique dans la mesure où on l'on ne cherche plus à produire ou reproduire expérimentalement des phénomènes que l'on cherche à expliquer.

L'analyse a priori est un outil plus largement partagé en DDM. Il est notamment mobilisé aussi dans le cadre de la double approche ergonomique et didactique développée par Robert et Rogalski (2005) pour analyser les pratiques enseignantes en « trois actes» (Pariès, Robert & Rogalski, 2009).

<footnote n="6">⁶ Par exemple, Coulange & Train (2022) proposent d'analyser des ressources avec des grilles adossées à la recherche, Horoks (2022) propose d'analyser des vidéos des stagiaires avec le cadre de la double approche de Robert et Rogalski (2005).</footnote>
## 2.2. Des résultats de la DDM et des éléments empiriques issus de notre expérience de formatrice pour définir des savoirs à enseigner

À la suite de Butlen, Pézard & Masselot (2012), nous considérons que les pratiques des professeurs des écoles sont des mises en acte cohérentes de leurs conceptions des mathématiques, de l'école, de l'apprentissage et de l'élève et que l'analyse didactique outillée de situations réalisées par les étudiants en formation en classe permet d'opérer la « rupture didactique » (Orange, 2006) nécessaire à l'évolution de ces conceptions. Avec quels outils et cadres issus de la DDM ?

Plusieurs résultats de la DDM (R) et éléments empiriques (E) nous ont conduit à viser dans ce séminaire le développement d'un « regard didactique en mathématiques » (Hersant, 2020, 2021, 2023a, 2023b ; Boffy et al., 2024) chez les étudiants, c'est-à-dire un regard qui dépasse la centration sur la relation élève - enseignant, engage des connaissances mathématiques et didactiques ainsi que leur articulation et met en dialogue de façon raisonnée les choix de l'enseignant (choix de la situation, choix d'interventions auprès des élèves au cours du déroulement...) avec le savoir, son épistémologie et les apprentissages visés chez les élèves.

D'abord, nous avons souvent observé chez les débutants (E) une tendance à « psychologiser » ou « sociologiser » les difficultés des élèves et ainsi diminuer la part de responsabilité des choix didactiques et actions de l'enseignant dans les apprentissages des élèves. De plus, (R) les débutants peinent à mettre en dialogue apprentissages visés chez les élèves - savoirs visés - choix de situations et d'interventions auprès des élèves (Hersant, 2020). En particulier, souvent, (R) la rédaction d'une fiche de préparation n'est pas considérée comme un processus pour questionner les enjeux d'apprentissage, les choix de situations et anticiper l'activité des élèves (Hersant, 2020), mais comme une fin en soi. (R) Les débutants peinent à dépasser la chronologie des phases et à penser leur fonction didactique et leur pertinence au regard du savoir visé (Hersant, 2020). (E) Ils sont peu critiques face aux ressources et (R) peuvent les modifier pour des raisons non didactiques, sans envisager les conséquences de ces modifications sur l'activité de l'élève ou sur les savoirs en jeu (Hersant, 2020 ; Hersant et al., 2023). (R) Penser l'apprentissage comme une confrontation à un problème leur est difficile (Hersant, 2020), (R) ils ont tendance à mettre les élèves « en activité » sans questionner suffisamment la nature de cette activité, notamment à la maternelle (Laparra & Margolinas, 2011). Pour finir, dans la classe de mathématiques, (R) les savoirs ont souvent en caractère « transparent » (Laparra & Margolinas, 2011) ou « incident » (Coulange, 2011) et (R) les enseignants n'aident pas les élèves à identifier les enjeux de savoirs (Butlen, Charles-Pézard & Masselot, 2016). Ce que nous relations à un questionnement insuffisant des savoirs, au-delà des programmes (E).

Tous ces éléments plaident, d'une part, pour mettre au travail, de façon outillée, les relations entre savoir visé - propriétés didactiques de la situation (et du matériel le cas échéant) - régulations de l'enseignant - activité de l'élève, et, d'autre part, questionner, au regard des savoirs visés, les choix de l'enseignant au moment de sa préparation de séance et au cours de sa mise en œuvre. Il y a en effet souvent un écart entre le prévu et le réalisé, en raison d'une certaine contingence mais aussi, pour les débutants, en raison d'une difficulté normale à anticiper l'activité des élèves. Les concepts-outils d'analyse préalable, à priori, à posteriori et la méthodologie d'analyse de situations ordinaires résumés précédemment nous ont paru particulièrement bien adaptés pour répondre à cet objectif. En effet, ils permettent de questionner la pertinence didactique des choix de l'enseignant en relation avec le savoir visé, l'activité de l'élève et les apprentissages qu'elle peut permettre, comme le fait le chercheur pour analyser les pratiques en DDM avec les outils de la théorie des situations didactiques<fnref n="7" />. Il y a toutefois des différences importantes liées au processus de désynchrétisation : l'analyse porte sur sa propre pratique ou celle d'un étudiant du groupe, elle s'effectue sur un extrait court et non sur une séquence, l'enjeu n'est pas de caractériser des pratiques mais de permettre de les

<footnote n="7">⁷ Comme nous l'avons mentionné précédemment, dans le cadre de la TSD le chercheur peut utiliser les analyses préalable, à priori et à posteriori pour étudier les pratiques ordinaires.</footnote>
L'analyse préalable porte sur la situation de la ressource : il s'agit d'amener les étudiants à être critiques sur les choix effectués dans la ressource au regard des savoirs visés et à questionner ce qui fonde leurs propres choix de modification. Cela conduit aussi à questionner les savoirs visés et les liens entre savoirs mathématiques, objectifs mentionnés dans la ressource (le cas échéant) et compétences des programmes.

Pour développer chez les étudiants une conception problématique de l'apprentissage, c'est-
à-dire l'idée que l'apprentissage mathématique se fait par confrontation à un ou des problèmes,
l'analyse à priori est guidée par des questions qui correspondent à celles explicitées par Douady
(1986) pour la situation - problème. Ce choix permet d'interroger l'activité possible de
l'élève (l'élève est-il face à un problème ?) et évite aussi d'introduire dans la grille des concepts
issus de la théorie des situations didactiques (Brousseau, 1998) qu'il faudrait définir puis
utiliser, avec tous les risques de malentendu que cela implique. C'est une façon de constituer
au cours du séminaire, un répertoire commun issu d'une négociation du sens des mots. En
particulier, les concepts de « milieu rétroactif », « milieu contraignant » ainsi que la différence
entre « évaluation » et « validation » (Margolinas, 1993) sont introduits au cours des analyses
pour caractériser des cas de situations (par exemple : « les élèves peuvent réussir sans mobiliser
le savoir que l'enseignant veut qu'ils construisent, on dit que le milieu, la situation, n'est pas
contraignante ») et font l'objet d'un processus d'institutionnalisation.

L'analyse à posteriori est centrée sur l'activité de l'élève et celle de l'enseignant. Une question concerne le processus d'institutionnalisation qui conditionne les apprentissages. Mais l'étude de ce processus n'est pas approfondie : cela demanderait une étude sur une période plus longue, à l'échelle d'une séquence. Nous privilégions l'analyse des liens entre savoir visé, choix de situation, activité de l'élève et activité de l'enseignant qui nous semble une première étape nécessaire pour penser de façon didactique les apprentissages des élèves.

La conclusion permet de dégager des conditions d'une activité mathématique source d'apprentissage d'un savoir donné à un niveau d'enseignement, toujours au regard des hypothèses d'apprentissage partagées au sein du séminaire. Elle est l'occasion d'envisager d'autres possibles. Il s'agit de permettre une adaptation aux contraintes et possibles de chaque débutant.

La synthèse reprend des conditions de l'apprentissage visé et les concepts didactiques introduits, avec au fil des séances des liens entre les différentes mobilisations de ces concepts.

La grille est pensée pour l'analyse de situations type « situation-problème » et non pour l'entrainement ou l'introduction magistrale d'une notion. C'est encore un choix. Au cours d'une l'année, il y a toujours une situation qui permet de pointer cette limite de la grille puisqu'alors les étudiants ne peuvent pas répondre à certaines questions. Cela donne l'occasion de préciser que tout ne s'apprend pas par situation-problème. Formulé autrement, cela permet d'introduire l'idée que la grille a elle-même un domaine de validité, ce qui est raisonnable d'un point de vue scientifique : il n'y a pas d'outil universel.

Conclusion

Nous avons considéré le « passage » de savoirs de la DDM vers la formation initiale d'enseignants avec le prisme du concept de TD développé par Chevallard (1985). Cette hypothèse heuristique conduit à pointer des singularités importantes de cette TD au niveau externe (du savoir savant au savoir à enseigner), en lien avec les caractéristiques de l'institution « formation initiale des enseignants » telle qu'elle existe aujourd'hui au sein des Universités. En particulier, l'absence de traité de DDM et de programme national de formation à la DDM laisse ce travail à la charge des formateurs ou des équipes de formation, dans leur diversité.

Au niveau de la TD interne (du savoir à enseigner au savoir enseigné) nous avons analysé un cas, celui de la TD de savoirs de la DDM pour un module de formation « à et par la recherche » en 2è année de Master MEEF 1er degré. Ce cas est singulier à plusieurs titres : le scénario de formation est conçu par un enseignant-chercheur en DDM, le module de formation introduit une dimension pratique de la recherche qui implique la TD d'outils dont les processus
de désynchrétisation - resychrétisation ont été précisés. Nous avons mis en évidence qu'au-delà des concepts-outils d'analyses préalable, à priori, à posteriori, d'autres concepts de la DDM qui occupent la même niche font aussi l'objet d'une TD. Ils sont introduits comme outils implicites puis quelque fois explicites (Douady, 1986) et peuvent prendre le statut d'objet, en fonction de l'intérêt qu'ils représentent pour la formation d'après le formateur. Dans ce cas, des précisions sur leur genèse dans le cadre de la recherche peuvent être apportées mais l'objectif reste de mettre à disposition des outils fonctionnels pour la conception et l'analyse de situations de classe.

Toujours au niveau du processus de TD interne, des savoirs de la DDM qui ne font pas l'objet d'une TD vers la formation sont aussi mobilisés comme des conditions pour penser le dispositif de formation et ses objectifs. Il s'agit en particulier de résultats de la DDM sur les pratiques des professeurs des écoles débutants, et plus largement sur les pratiques des enseignants du premier degré, ainsi que des résultats sur les obstacles à la formation d'un regard didactique en mathématiques chez les étudiants. En ce sens, il y a bien une circulation des savoirs entre la sphère de la formation et celle de la recherche en DDM : la formation des enseignants questionne la DDM qui produit alors des savoirs sur cette formation et les enseignants débutants ; ces savoirs de la DDM deviennent des conditions pour la formation. Dans le cas étudié, la formation prend appui par ailleurs sur des éléments empiriques issus de l'expérience de la formatrice. Ces derniers constituent des hypothèses de recherche qu'elle met à l'épreuve dans des recherches en cours. Une boucle de circulation s'ajoute donc. Ainsi, cet exemple illustre que la conception de formations initiales peut transcender la TD des savoirs de la DDM et correspondre, plus largement, à une circulation de savoirs entre la sphère de la recherche, la sphère de la formation et la sphère de l'enseignement. Mais celle-ci diffère dans sa nature de celle qui existe dans des dispositifs de formation continue de type recherche collaborative (Desgagné, 1997). En effet, elle requiert la définition préalable de savoirs à enseigner et à évaluer et nécessite ainsi aussi un travail de TD externe des savoirs. Par ailleurs, en formation initiale les formateurs ne sont pas tous des chercheurs en DDM ce qui limite la portée de l'idée de circulation.

L'analyse de ce cas contribue alors à poser le problème de la transposition - circulation de savoirs de la DDM pour la formation initiale sans prétendre apporter de solution sur les savoirs (qui devraient faire l'objet d'une telle TD) ou sur les scénarios de formation. Elle suggère des possibilités de circulation fructueuses des savoirs et pratiques de la DDM entre la sphère de la recherche et celle de la formation initiale. Dans le même temps, les analyses effectuées dans ce texte interrogent finalement sur la possibilité de cette circulation au regard de la charge de travail des formateurs non enseignants-chercheurs (temps plein et temps partagé) qui limite leur disponibilité pour se former à la DDM, à ses résultats et à sa pratique. Les recherches pluricatégorielles impliquant enseignants-chercheurs et formateurs non enseignants-chercheurs soutenues par les instituts de formation (décharge d'enseignement pour les formateurs non enseignants-chercheurs par exemple) nous semblent une piste à explorer pour soutenir l'acculturation à la recherche.

## Bibliographie

* Allard, C., Hersant, M. et Mamede, M. (2023). *Mathématiques en maternelle : identifier des malentendus pour réduire les inégalités scolaires*. 22e école d'été de didactique des mathématiques, Bar sur Seine.

* Artigue, M. (1988). Ingénierie didactique. *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 9(3), 281-308.

* Boffy, N., Cadeau, A., Choquet, C., Gaudeul-Maeght, C., Grau, S. et Hersant, M. (2024). *Former des enseignants des 1er et 2nd degrés à l'enseignement des mathématiques : conditions pour le développement de leur regard didactique*. Séminaire de l'ARDM, Paris.
Boilevin, J.-M. et Orange, C. (2024). Entre recherches en didactique et enseignement/formation : Transposition ou enrichissement mutuel ? *Annales de Didactique et de Sciences Cognitives. Revue internationale de didactique des mathématiques, Thématique 2*, Article Thématique 2. https://doi.org/10.4000/11sgc

Brousseau, G. (1986). *Théorisation des phénomènes d’enseignement des mathématiques*.

Brousseau, G. (1998). *Théorie des situations didactiques : Didactique des mathématiques, 1970-1990*. Pensée sauvage.

Butlen, D., Charles-Pézard, M. et Masselot, P. (2016). Apprentissage et inégalités au primaire : Le cas de l’enseignement des mathématiques en éducation prioritaire. *Grand N*, 97, 74-77.

Butlen, D., Pézard, M. et Masselot, P. (2012). *Professeurs des écoles débutants en ZEP : Quelles pratiques ? Quelle formation ? La Pensée Sauvage.*

Chevallard, Y. (1985). *La transposition didactique. Du savoir savant au savoir enseigné*. La Pensée Sauvage.

Chevallard, Y. et Johsua, M.-A. (1991). *Transposition didactique : Du savoir savant au savoir enseigné - Un exemple d'analyse de la transposition didactique*. La Pensée sauvage.

Coulange, L. (2011). Quand les savoirs mathématiques à enseigner deviennent incidents. Dans J.-Y. Rochex et J. Crinon (dir.) *La construction des inégalités scolaires* (p. 33-44). Presses Universitaires de Rennes.

Coulange, L. et Train, G. (2022). Usage de ressources pour enseigner les mathématiques dans une formation à l'envers. *Actes du colloque EMF 2022*. EMF 2022.

DeBlois, L. et Robert, A. (2023). Avancées et nouvelles questions sur les pratiques de formation en enseignement des mathématiques. *Annales de Didactique et de Sciences Cognitives. Revue internationale de didactique des mathématiques*, Article Thématique 1. https://doi.org/10.4000/adsc.1985

Desgagné, S. (1997). Le concept de recherche collaborative : l'idée d'un rapprochement entre chercheurs universitaires et praticiens enseignants. *Revue des sciences de l'éducation*, 23(2), 371-393. https://doi.org/10.7202/031921ar

Dorier, J.-L., Gueudet, G., Peltier, M. L., Robert, A. et Roditi, E. (2018). *Enseigner les mathématiques. Didactique et enjeux de l'apprentissage*. Belin Éducation. http://eroditi.free.fr/sitewp/?p=4324

Douady, R. (1986). Jeux de cadres et dialectique outil-objet. *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 7(2), 5-31.

Doussot, S. (2024). Former les enseignants à l'analyse didactique. Un cas en histoire. *Revue internationale de pédagogie de l'enseignement supérieur*, 40(1), Article 1. https://doi.org/10.4000/ripes.5503

Fabre, M. (2007). La pirogue de Robinson : essai sur l'irrationalité de l'action. Dans M. Durand et M. Fabre (dir.), *Les situations de formation entre savoirs, problèmes et activités*. L'Hamattan.
Guille-Biel Winder, C., Petitfour, E., Masselot, P., & Girmens, Y. (2015). Proposition d'un cadre d'analyse de situations de formation des professeurs des écoles. *Pluralités culturelles et universalité des mathématiques : enjeux et perspectives pour leur enseignement et leur apprentissage*, 159-172.

Hersant, M. (2001). *Interactions didactiques et pratiques d'enseignement, le cas de la proportionnalité au collège*. Thèse de doctorat, Université Paris 7.

Hersant, M. (2010). *Le couple (contrat didactique, milieu) et les conditions de la rencontre avec le savoir : de l'analyse de séquences ordinaires au développement de situations didactiques*. [Note de synthèse des travaux, HDR, Université de Nantes]. https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01777604/document

Hersant, M. (2014). Facette épistémologique et facette sociale du contrat didactique : une distinction pour mieux caractériser la relation contrat didactique milieu, l'action de l'enseignant et l'activité potentielle des élèves. *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 34(1), 9-31.

Hersant, M. (2020). Pratiques de débutants en mathématiques en maternelle : Matérialité des situations et chronologie. *Revue Française de Pédagogie*, 208, 17-30.

Hersant, M. (2021). *Former au regard didactique en mathématiques dans un séminaire de recherche* [Symposium]. École du 21è siècle, Cergy. https://hal.science/hal-03380524v1

Hersant, M. (2023a). Former au regard didactique : dynamique des problèmes relatifs à l'enseignement et à l'apprentissage des mathématiques chez une stagiaire. *Dispositifs et collectifs pour la formation, l'enseignement et l'apprentissage des mathématiques*, 575-583. http://www.arpeme.fr/documents/Actes-Grenoble-e.pdf

Hersant, M. (2023b). Former les professeurs des écoles au regard didactique en mathématiques : étude d'une dynamique de problèmes. Dans F. Vandebrouck et M.-L. Gardes (dir.), *Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques. Preuves, modélisation et technologies numériques* (volume des séminaires et posters, p. 133-142). La Pensée Sauvage.

Hersant, M., & Perrin-Glorian, M.-J. (2005). Characterization of an ordinary teaching practice with the help of the theory of didactic situations. *Educational Studies in Mathematics*, 59(1), 113-151. https://doi.org/10.1007/s10649-005-2183-z

Horoks, J. (2022). *Des pratiques aux apprentissages mathématiques, en passant par la formation. Circulation des savoirs issus des recherches en didactiques des mathématiques*. [HDR]. Université Paris 7.

Houdement, C. (2013). *Au milieu du gué : Entre formation des enseignants et recherche en didactique des mathématiques* [HDR, Université 7]. https://theses.hal.science/tel-00957166

Houdement, C. (1995). *Projets de formation des maitres du premier degré en mathématiques : programmation et stratégies* [Thèse de doctorat, Université Paris 7]. https://theses.fr/1995PA077122

Johsua, S., & Dupin, J.-J. (1993). *Initiation à la didactique des sciences et des mathématiques*. Presses Universitaires de France.
Kuzniak, A. (1994). *Étude des stratégies de formation en mathématiques utilisées par les formateurs de maîtres du premier degré*. [Thèse de doctorat, Université Paris 7]. https://theses.hal.science/tel-01251462

Kuzniak, A. (2003). Les stratégies utilisées pour former les maîtres du 1er degré en mathématiques. Dans *Concertum Les carnets de route de la COPIRELEM* (Vol. 3, p. 7-22). ARPEM

Laparra, M., et Margolinas, C. (2011). Des savoirs transparents dans le travail des professeurs à l'école primaire. D ans J.-Y. Rochex et J. Crinon (dir.), *La construction des inégalités scolaires. Au cœur des pratiques et des dispositifs d'enseignement* (p. 19-32). Presses Universitaires de Rennes.

Margolinas, C., Abboud-Blanchard, M., Bueno-Ravel, L., Douek, N., Fluckiger, A., Gibel, P., Vandebrouck, F., & Wozniak, F. (2011). *En amont et en aval des ingénieries didactiques, XVe école d'été de didactique des mathématiques*. La Pensée Sauvage.

Margolinas, C. (1993). *De l'importance du vrai et du faux dans la classe de mathématiques*. La Pensée sauvage.

Marlot, C. (2020). Introduction. *Formation et pratiques d'enseignement en questions, 26, 6-14.*

Martinand, J.-L. (1994). La didactique des sciences et de la technologie et la formation des enseignants. *Aster : Recherches en didactique des sciences expérimentales, 19*(1), 61-75. https://doi.org/10.4267/2042/8613

Orange, C. (2006). Analyse de pratiques et formation des enseignants. *Recherche et formation, 51*, Article 51. https://doi.org/10.4000/rechercheformation.506

Pariès, M., Robert, A. & Rogalski, J. (2009). Comment l'enseignant de mathématiques, en classe, met ses élèves sur le chemin des connaissances : un point de vue méthodologique en didactique des mathématiques. *Travail et Apprentissages, 3*(1), 95-123. https://doi.org/10.3917/ta.003.0095

Perrin-Glorian, M.-J. (2011). L'ingénierie didactique à l'interface de la recherche et de l'enseignement. Développement des ressources et formation des enseignants. Dans C. Margolinas et al (dir.), *En amont et en aval des ingénieries didactiques*, p. 57-78). La Pensée Sauvage.

Perrin-Glorian, M.-J. & Hersant, M. (2003). Milieu et contrat didactique, outils pour l'analyse de séquences ordinaires. *Recherches en Didactique des Mathématiques, 23*(2), 217-276.

Rey, B. (2002). Diffusion des savoirs et textualité. *Recherche & formation, 40*(1), 43-57. https://doi.org/10.3406/refor.2002.1758

Robert, A. et Rogalski, J. (2005). A Cross-Analysis of the Mathematics Teacher's Activity. An Example in a French 10th-Grade Class. *Educational Studies in Mathematics, 59*(1-3), 269-298. https://doi.org/10.1007/s10649-005-5890-6

Vandebrouck, F. et Robert, A. (2022). Proximités et tensions, ou comment apprécier le rapprochement des activités des élèves avec les connaissances visées. *Actes du XXVIIe Colloque CORFEM pour les professeurs et les formateurs de mathématiques*, 64-88.
Verret, M. (1975). *Le Temps des études*. Diffusion H. Champion.
Figure 1. Page 1

# Analyser l'activité mathématique des élèves avec un regard didactique

M. HERSANT - M1 EPD - INSPÉ Académie de Nantes

L'analyse de l'activité mathématique des élèves est au cœur de ce séminaire. Nous utiliserons pour cela une grille d'analyse de situation didactique. Cette grille s'appuie sur deux référents théoriques : la théorie des situations didactiques de Brousseau (Brousseau, 1998) ; la dialectique outil-objet de Douady (Douady, 1987).

Ces cadres reposent sur deux hypothèses d'apprentissage : une hypothèse d'apprentissage par adaptation ; une hypothèse d'apprentissage par acculturation.

L'analyse didactique de l'activité mathématique des élèves se fonde sur deux principes qui sont des hypothèses de travail :

1. Les apprentissages mathématiques des élèves dépendent de leur activité mathématique en classe.

2. Cette activité dépend largement de conditions installées par l'enseignant (pertinence du problème choisi au regard des connaissances (anciennes) des élèves et du savoir visé, conditions matérielles installées, autres variables didactiques) et de l'activité de l'enseignant (interventions orales, notamment).

L'activité de l'enseignant correspond à la fois à son activité lors de la préparation de la séance (identification des savoirs en jeux, choix de conditions à installer, anticipation de ses interventions orales, des erreurs des élèves...) et à son activité au moment de la séance (adaptation de la situation face à la contingence..).

C'est pourquoi, nous distinguerons dans notre grille trois aspects de l'analyse didactique de situations didactiques.
Une analyse préalable de la situation

Cette analyse vise à étudier la pertinence de la situation envisagée initialement au
regard du savoir visé.

— Quel savoir est visé ? (qu’est-ce que mes élèves doivent savoir à la fin de la séance et qu’ils ne savaient pas avant ?)

— La situation proposée dans la ressource / que j’envisage nécessite t-elle le savoir visé ? Quelles conditions crée t-elle pour cela ?

— Si les conditions ne semblent pas réunies quelles modifications faut-il apporter à la situation ?

Une analyse a priori de la situation prévue

Il s'agit d'envisager l'activité possible de(s) élève(s) et de s'assurer qu'elle permet bien à chaque élève de rencontrer le problème visé de façon à lui donner l'opportunité de construire le savoir visé. Cette analyse permet d'anticiper aussi d'éventuelles interventions de l'enseignant.

— Quel problème les élèves ont-ils à résoudre ?

— Quelles procédures peuvent-ils utiliser pour cela ?

— Quelles connaissances sont nécessaires pour résoudre ce problème ? Ces connaissances sont-elles nouvelles ou anciennes pour les élèves ?

— Les élèves peuvent-ils facilement imaginer une solution au problème ? Peuvent-ils facilement tester une procédure, faire des essais ?

— La solution / procédure pour résoudre le pb mobilise t-elle la connaissance visée ?
Les élèves peuvent-ils produire la solution sans mobiliser la connaissance visée ? La
connaissance visée correspond t-elle à la façon la plus efficace de résoudre le pb ?

— Les élèves peuvent-ils se rendre compte par eux-mêmes de la validité de leur solution ? une intervention de P est-elle nécessaire ?

Une analyse a posteriori de la séance réalisée (à partir de la vidéo)

— L’activité des élèves est-elle celle attendue ? Est-ce qu’ils résolvent le pb souhaité ?
En cas de différence, quelle peut être l’origine de cette différence ?

— Y'a t-il effectivement validation de l'action des élèves ?

— Quel est le rôle de l'enseignant au cours de la résolution du pb : guidage, aide, évaluation ... en quoi ces interventions modifient-elles l'activité des élèves ?

— Quelles sont les actions de l'enseignant relatives au processus d'institutionnalisation ?

Conclusion de l'analyse

— De quelle(s) condition(s) résulte l'activité de l'élève ?

— À l'avenir, est-il souhaitable de modifier la situation ? en quoi ? et pourquoi ?