# Relations entre les distances de Paul Levy et de Ky-Fan

N. Roby

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N. Roby. Relations entre les distances de Paul Levy et de Ky-Fan. Annales de l'ISUP, 1960, IX (4), pp.395-398. hal-04092993

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Submitted on 9 May 2023

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RELATIONS ENTRE LES DISTANCES DE PAUL LEVY ET DE KY-FAN

N. ROBY

Soit $\mathcal{X} = \mathcal{X} (\Omega, B, \mathcal{A})$ l'ensemble des variables aléatoires réelles définies sur un ensemble $\Omega$ probabilisé par la donnée d'une tribu borélienne $B$ et d'une mesure de probabilité $\mathcal{A}$.

Dans $\mathcal{X}$, on définit, entre autres, deux convergences : la *convergence en probabilité* et la *convergence en loi*.

Il est connu que la convergence en probabilité est compatible avec une topologie métrisable, qu'on peut définir en munissant $\mathcal{X}$ d'une structure d'espace vectoriel distancié. La distance de $X$ à $Y$ est la distance de $X-Y$ à $O$, et la distance de $X$ à $O$ est définie par :

$$ ||X||_{K.F.} = \inf_{\epsilon>0} (\epsilon | \mathcal{A}(|X|>\epsilon) < \epsilon) . \text{ cf. (I)} $$

Nous appellerons cette distance la *distance de Ky-Fan*.

La convergence en loi, pour sa part, n'est pas compatible avec la structure d'espace vectoriel de $\mathcal{X}$. Elle n'est, non plus, compatible avec aucune topologie séparée. Cependant, elle peut être définie par une distance que l'on met dans l'ensemble des fonctions de répartition ; par abus de langage, la distance des fonctions de répartition de $X$ et $Y$ s'appellera la distance de $X$ et $Y$ et, plus précisément, la *distance de Paul Lévy*. Elle est définie de la façon suivante. Soient $X$ et $Y \in \mathcal{X}$, $F(x)$ et $G(x)$ leurs fonctions de répartition respectives. Dans un plan orthonormé, soit $\Gamma_F$ l'ensemble des points $(x, y)$ qui vérifient la relation : $F(x) \le y \le F(x+o)$ ($\Gamma_F$ est le graphe de $F$, rendu connexe par l'adjonction de segments verticaux aux points de discontinuité). Pour tout nombre $a$, la droite $D$ d'équation $y+x=a$ rencontre $\Gamma_F$ en un point $M_a$ et $\Gamma_G$ en un point $N_a$. La distance de Paul Lévy est alors définie par :

$$ d_L(X, Y) = \sup_{a \in \mathbb{R}} M_a N_a. $$
<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Il est connu qu'entre les deux distances ainsi définies on a la relation :

$$ (a) \quad d_L(X, Y) \le \sqrt{2} ||X-Y||_{K, F}. \quad (\text{cf. (II), p.51}). $$

Nous voulons ici montrer d'autres relations entre ces distances, mais pour donner une unité à cet article nous allons redémontrer (a). Il suffit de montrer que, pour tout a, on a : $M_a N_a \le \sqrt{2} ||X-Y||_{K, F}$.

Posons $M_a N_a = d$. Soient $\alpha$ et $\beta$ les abscisses respectives de $M_a$ et $N_a$. La relation à démontrer étant symétrique en $X$ et $Y$, on peut supposer $\alpha \le \beta$. Alors, $\beta - \alpha = \frac{d}{\sqrt{2}}$. Il est évident que l'on a :

$$ F(\alpha+\beta) - G(\beta) \ge \frac{d}{\sqrt{2}} $$

c'est-à-dire :

$$ \mathcal{R}(X \le \alpha) - \mathcal{R}(Y < \beta) \ge \frac{d}{\sqrt{2}} $$

Or, pour deux évènements A et B, il est évident que :

$$ \mathcal{R}(A) - \mathcal{R}(B) \le \mathcal{R}(A \cap \bar{B}) $$

Donc aussi :

$$ \mathcal{R}(X \le \alpha \cap Y \ge \beta) \ge \frac{d}{\sqrt{2}} $$

Mais l'évènement $(X \le \alpha) \cap (Y \ge \beta)$ est inclus dans l'évènement : $|Y - X| \ge \frac{d}{\sqrt{2}}$. Donc, à fortiori :

$$ \mathcal{R}(|Y - X| \ge \frac{d}{\sqrt{2}}) \ge \frac{d}{\sqrt{2}} $$

On conclut de là sans peine que $\frac{d}{\sqrt{2}} \le ||Y-X||_{K,F}$. c. q. f. d.

De (a) résulte le résultat bien connu, que la convergence en probabilité entraîne la convergence en loi.
Considérons maintenant le cas particulier où Y est égal à 0 avec la probabilité 1. Si l'on coupe $Γ_F$ et $Γ_0$ par les droites $D_0$ et $D_1$, on obtient une situation schématisée par la figure ci-contre ; on pose $M_1N_1 = d$, $M_0N_0 = δ$.

On a visiblement :

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

$$F\left(\frac{d}{\sqrt{2}} + 0\right) \geq 1 - \frac{d}{\sqrt{2}}$$

c'est-à-dire :

$$\mathcal{R}\left(X > \frac{d}{\sqrt{2}}\right) \leq \frac{d}{\sqrt{2}}$$

De même :

$$\mathcal{R}\left(X < -\frac{\delta}{\sqrt{2}}\right) \leq \frac{\delta}{\sqrt{2}}$$

Comme l'évènement $|X| > \frac{d+\delta}{\sqrt{2}}$ est inclus dans l'évènement $(X > \frac{d}{\sqrt{2}}) \cup (X < -\frac{\delta}{\sqrt{2}})$ on a donc :

$$\mathcal{R}\left(|X| > \frac{d+\delta}{\sqrt{2}}\right) \leq \mathcal{R}\left(X > \frac{d}{\sqrt{2}}\right) + \mathcal{R}\left(X < -\frac{\delta}{\sqrt{2}}\right) \leq \frac{d+\delta}{\sqrt{2}}$$

Or, pour tout $\varepsilon > \frac{d+\delta}{\sqrt{2}}$ on vérifie immédiatement que $\mathcal{R}(|X| > \varepsilon) < \varepsilon$, par conséquent :

$$||X||_{K,F} \leq \varepsilon \quad \forall \varepsilon \geq \frac{d+\delta}{2}$$

Finalement :

$$||X||_{K,F} \leq \frac{d+\delta}{\sqrt{2}} \leq \sqrt{2} d_L(X, O)$$

Ainsi, en tenant compte de la formule (a), on a :

$$(b) \quad d_L(X, O) \leq \sqrt{2} ||X||_{K,F} \leq 2 d_L(X, O)$$
En ajoutant à chacune des variables en présence une constante $a$ (ce qui ne change aucune des deux distances), et changeant $X$ en $X-a$, on a la formule générale suivante :

$$ (b') \qquad d_L(X, a) \le \sqrt{2} ||X-a||_{K,F} \le 2 d_L(X, a) $$

Elle montre que la convergence en loi et la convergence en probabilité vers une limite presque-sûrement constante sont deux phénomènes équivalents, ce qui est un résultat de Cantelli (cf. (I), et (III) p. 168).

Supposons maintenant, en outre, que dans la relation (b) $X$ soit presque-sûrement toujours $\ge 0$ ou toujours $\le 0$. Alors, l'un des deux nombres $d$ ou $\delta$ est nul. Il est donc inutile de le majorer par $d_L(X, O)$, ce qui a pour effet de diviser par deux le troisième membre de (b). On obtient donc un résultat qui, sous sa forme généra-lisée, s'écrit :

$$ (c) \quad d_L(X, a) = \sqrt{2} ||X-a||_{K,F} \quad \text{si, p. s., } X \ge a \text{ ou } X \le a. $$

On en déduit, par exemple, une relation où ne figure que la distance de Paul Lévy. Quels que soient $X$ et $Y \in \mathcal{X}$ on a en effet :

$$ d_L(X, Y) \le \sqrt{2} ||X-Y||_{K,F} \le 2 d_L(X-Y, O) $$

c'est-à-dire :

$$ (d) \quad d_L(X, Y) \le d_L(|X-Y|, O) \le 2 d_L(X-Y, O) $$

## REFERENCES

(I) - M. FRECHET - Généralités sur les probabilités. Premier livre.

(II) - P. LEVY - Théorie de l'addition des variables aléatoires (1954).

(III) - LOEVE - Probability Theory.