# Sur un fondement mécaniste des équations de Maxwell en Relativité Générale

Christian Preziosa

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Sur un fondement mécaniste des équations
de Maxwell en Relativité Générale

Auteur : Christian PREZIOSA

Catégorie : Physique

ScienceLib Editions Mersenne : Volume 2, N° 100601

Publié le: 2010-06-04
# Sur un fondement mécaniste des équations de Maxwell en Relativité Générale

## On a mechanistic basis of Maxwell's equations in General Relativity

Christian PREZIOSA

Ancien Maître de Conférences à l'Université d'Orléans (France) - christian.preziosa@gmx.fr

**RESUME.** En 1864, J. C. Maxwell imagine un modèle dynamique construit à partir de la théorie cinétique des gaz pour établir ses équations régissant l'électromagnétisme. Lors d'une conférence faite à Leyde en 1920, A. Einstein affirme : « un espace sans éther est inconcevable » et, tenant compte du principe de relativité, ajoute : « la notion de mouvement ne doit pas lui être appliquée ». Heuristiquement, se pose alors une question à laquelle cet article essaie de répondre : comment concilier l'approche de J. C. Maxwell et le principe de relativité ?

**ABSTRACT.** In 1864, J. C. Maxwell envisioned a dynamic model constructed from the kinetic theory of gases to establish his governing equations of electromagnetism. In a lecture delivered at Leyden in 1920, A. Einstein said: "A space without ether is unthinkable" and, taking into account the principle of relativity, added: "The concept of movement should not be applied to it". Heuristically then, the question of how to reconcile the approach of J. C. Maxwell with the principle of relativity arises and this article will try to answer it.

## 1 Introduction

Dans le cadre de la Relativité Générale, un champ continu de quadri-vitesse unitaire associé à la métrique permet d'obtenir un fondement logico-mathématique de l'électrodynamique classique et de l'onde matérielle de Louis de Broglie. Le développement qui suit est donc de caractère mécaniste et rejoint l'approche inductive de J. C. Maxwell.

Pour éviter l'écueil dû au principe de relativité, on observe d'abord que la notion de mouvement ne s'applique pas à l'éther lumineux puisqu'il ne résulte de l'équation de propagation de la lumière (4-continuum = 0) qu'un champ de direction à trois composantes spatiales.

Puis, on procède à une extension naturelle de l'espace-temps, en considérant le 4-continuum comme cinquième dimension. C'est alors, à partir de l'équation de propagation associée à l'évènement (5-continuum = 0), qu'un éther doté de mouvement est compatible avec le principe de relativité puisqu'il en ressort un champ de direction spatio-temporelle, c'est-à-dire de quadri-vitesse unitaire.

Il apparaît ainsi possible d'envisager une mécanique relativiste à cinq dimensions tenant compte du mouvement d'un éther dans l'espace-temps. On remarquera que l'essai diffère fondamentalement des théories penta-dimensionnelles qui l'ont précédé (T. Kaluza, O. Klein, Y. Thiry) dans le sens où la métrique n'entre pas dans le fondement de l'électromagnétisme.
## 2 Extension à un espace à 5 dimensions

Dans le cadre de la Relativité Générale, dans un repère cartésien, le continuum $ds$ d'espace-temps $V_4$ est un scalaire défini par :

$$ \boxed{dx^i \cdot dx_i - (ds)^2 = 0 \qquad (i = 1 \text{ à } 4)} \qquad [1] $$

Par commodité de calcul, on se place désormais au voisinage immédiat de l'origine du repère où on applique l'approximation euclidienne.

L'idée principale de l'article est de substituer [1] par la relation :

$$ \boxed{dx^i \cdot dx_i + dx^5 \cdot dx_5 = 0} \qquad [2] $$

où $(x^i, x^5)$ constituent les dimensions d'un espace riemannien à 5 dimensions $V_5$ de signature $(- - + -)$ selon les coordonnées conventionnelles $x^1 = x, x^2 = y, x^3 = z, x^4 = ct$ et l'abscisse curviligne $x^5 = s$ (donc, qui n'est plus ici scalaire).

Les coordonnées d'un point quelconque de $V_5$ sont liées par la relation [2].

On fait alors l'hypothèse qu'à tout évènement est associée une unique abscisse curviligne $x^5$, et vice versa. Ce qui s'exprime par :

$$ x^5 = x^5(x^i) \text{ et } x^i = x^i(x^5) $$

Localement : $dx_5 = -dx^5$, [2] peut alors s'écrire :

$$ \boxed{\frac{dx_i}{dx^5} \cdot dx^i - dx^5 = \frac{dx_i}{dx^5} \cdot dx^i - \frac{\partial x^5}{\partial x^i} \cdot dx^i = 0} \qquad [3] $$

On définit la quadri-vitesse dans $V_4$ :

$$ u^i = x^i_{,5} \qquad u_i = x_{1,5} \qquad \text{avec :} \qquad ,s = \frac{d}{dx^5} $$
Elle est unitaire, car d'après [3] :

$$ \boxed{u_i \cdot u^i = 1} \qquad [4a] $$

D'après [3] :

$$ \boxed{x_{,i}^5 = u_i - \lambda_i} \quad \text{avec :} \quad \partial_{,i} = \frac{\partial}{\partial x^i} \quad \text{et} \quad \lambda_i \cdot u^i = 0 \qquad [4b,c] $$

De plus, d'après [4a,b,c] :

$$ x_{,i5}^5 = 0 = x_{,5}^j \cdot x_{,ij}^5 = u^j \cdot (u_j - \lambda_j)_{,i} = \lambda_j \cdot u_{,i}^j = \lambda_j \cdot u_{,5}^j \cdot (u_i - \lambda_i) $$

$$ \text{D'où : } \lambda_j \cdot \gamma^j = 0 \quad \text{avec : } \gamma^j = u_{,5}^j \text{ la quadri-accélération dans } V_4 \qquad [4d] $$

Alors, d'après [4a,c], la divergence de la quadri-vitesse est nulle :

$$ u_{,i}^i = u_{,5}^i \cdot x_{,i}^5 = \gamma^i \cdot (u_i - \lambda_i) $$

$$ \boxed{u_{,i}^i = 0} \qquad [5] $$

### 3 Tenseur d'énergie de la matière – Equation de champ de la RG

On considère maintenant les 5-vecteurs : $u^I = \begin{Bmatrix} u^i \\ -1 \end{Bmatrix}$ et $\mu^I = \begin{Bmatrix} \mu^i \\ 0 \end{Bmatrix}$

où $\mu^i$ est un quadrivecteur de $V_4$, fonction des cordonnées $x^i$, orthogonal à la quadri-vitesse unitaire, nommé champ matériel (M) :

$$ \boxed{\mu_i \cdot u^i = \mu_I \cdot u^I = 0} \qquad (I = 1 \text{ à } 5) \qquad [6] $$

On vérifie :

$$ \boxed{u_1 \cdot u^I = 0} \qquad [7] $$
On définit le tenseur antisymétrique :

$$ \Phi_{IJ} = \mu_I \cdot u_J - \mu_J \cdot u_I \qquad [8] $$

Posant $\varphi^2 = \varphi^{KL} \cdot \varphi_{KL}$ et $\mu^2 = \mu_K \cdot \mu^K = \mu_K \cdot \mu^K$, eu égard à [6] et [7], on forme le tenseur symétrique :

$$ \frac{1}{4} \varphi^2 \cdot \delta_I^J - \varphi_{IK} \cdot \varphi^{JK} = -\mu^2 \cdot u_I \cdot u^J \qquad [9] $$

D'après [7], par contraction sur les indices, on note que $\varphi^2 = 0$.

Ce tenseur est de divergence nulle, en effet, tenant compte de [4a,b,c] :

$$ u^J \cdot u_{i,j} = u^j \cdot u_{i,j} - u_{i,5} \cdot u^5 \cdot x_{j,5} - \gamma_i = u^j \cdot \gamma_i \cdot (u_j - \lambda_j) - \gamma_i = 0 $$

et : $u^J \cdot u_{5,j} = 0$

ainsi que, pour $I = 5$, tenant compte de [5] :

$$ (\mu^2 \cdot u^J)_{,J} = (\mu^2 \cdot u^j)_{,j} - \mu^2 \cdot x^5_{,j} = u^j \cdot \mu^2_{,j} - \mu^2 \cdot x^5_{,j} = 0 $$

Alors :

$$ (\mu^2 \cdot u_I \cdot u^J)_{,J} = (\mu^2 \cdot u^J)_{,J} \cdot u_I + \mu^2 \cdot u^J \cdot u_{I,J} = 0 \qquad [10] $$

On admet que [9] représente le tenseur d'impulsion-énergie de la matière.

Par suite, dans le cadre de la Relativité Générale, étendue ici à un espace à 5 dimensions, l'équation fondamentale de champ s'écrit, eu égard à [7]:

$$ R_I^J - \frac{1}{2} \delta_I^J \cdot R = \boxed{R_I^J = -\mu^2 \cdot u_I \cdot u^J} \quad \text{car d'après [7] :} \quad \boxed{R = 0} \qquad [11a,b] $$
Ce sont dix relations indépendantes, puisque par formation de la divergence, cinq d'entre-elles sont naturellement vérifiées. Le libre choix du repère dans $V_5$, ramène le nombre de composantes inconnues de la métrique de quinze à dix. L'équation [11] est donc suffisante pour déterminer la métrique à la condition que le tenseur d'impulsion-énergie soit connu. Or, il est un aspect de cette équation qui permet d'y accéder indépendamment de [11], comme il est montré dans ce qui suit.

## 4 Identité différentielle - Equation fondamentale du champ électromagnétique étendu (EME)

On vérifie d'abord que, tout tenseur antisymétrique d'ordre deux $\varphi_{IJ}$, dérivable au moins une fois, satisfait à l'identité tensorielle :

$$ \left(\frac{1}{4}\varphi^2 \cdot \delta_I^J - \varphi_{IK} \cdot \varphi^{JK}\right)_{,J} = \varphi_{,K}^{JK} \cdot \varphi_{IJ} + \frac{1}{2}(\varphi_{IJ,K} + \varphi_{JK,I} + \varphi_{KI,J}) \cdot \varphi^{JK} \quad [12] $$

En effet :

$$ \left(\frac{1}{4}\varphi^2 \cdot \delta_I^J\right)_{,J} = \frac{1}{2}\varphi_{JK,I} \cdot \varphi^{JK} $$

$$ (-\varphi_{IK} \cdot \varphi^{JK})_{,J} = -\varphi_{IK,J} \cdot \varphi^{JK} - \varphi_{IK} \cdot \varphi^{JK}_{,J} $$

Or :

$$ -\varphi_{IK,J} \cdot \varphi^{JK} = \varphi_{KI,J} \cdot \varphi^{JK} = \varphi_{IJ,K} \cdot \varphi^{JK} $$

$$ -\varphi_{IK} \cdot \varphi^{JK}_{,J} = \varphi_{,K}^{JK} \cdot \varphi_{IJ} $$

D'où l'identité ci-dessus.

Tenant compte de [9] et [10], il vient alors :

$$ \varphi_{,K}^{JK} \cdot \varphi_{IJ} + \frac{1}{2}(\varphi_{IJ,K} + \varphi_{JK,I} + \varphi_{KI,J}) \cdot \varphi^{JK} = 0 \quad [13] $$

C'est l'équation fondamentale du champ EME dans la théorie.
## 5 Solution corpusculaire

On montre dans ce chapitre que des solutions de [13] concernent la matière sous sa forme corpusculaire.

Les solutions du système d'équations :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l} 
\mu^j.(\mu_{j,i} - \mu_{i,j}) = 0 \\ 
\mu_{,i}^i = 0 \\ 
\mu_{,5}^2 = 0 \\ 
\mu_i \cdot \gamma_j - \mu_j \cdot \gamma_i = 0 
\end{array} 
\right. 
$$

[14a,b,c,d]

sont solutions du système :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l} 
\varphi_{,K}^{JK} = 0 \\ 
(\varphi_{IJ,K} + \varphi_{JK,I} + \varphi_{KI,J}) \cdot \varphi^{JK} = 0 
\end{array} 
\right. 
$$

[15a,b]

et par suite de l'équation [13].

En effet, d'une part, eu égard à [5], [6] et [14b,d] :

$$ \varphi_{,K}^{iK} = \varphi_{,k}^{ik} - \mu_{,5}^{j} = (\mu^{j} \cdot u^{k} - \mu^{k} \cdot u^{j})_{,k} - \mu_{,5}^{j} = \mu_{,k}^{j} \cdot u^{k} - \mu^{k} \cdot u_{,k}^{j} - \mu_{,5}^{j} $$

$$ \varphi_{,K}^{iK} = \mu_{,k}^{j} \cdot x_{,5}^{k} - \mu^{k} \cdot u_{,5}^{j} \cdot x_{,k}^{5} - \mu_{,5}^{j} = -\mu^{k} \cdot u_{,5}^{j} \cdot (u_{,k} - \lambda_{,k}) = 0 $$

$$ \varphi_{,K}^{5K} = \mu_{,k}^{k} = 0 \text{ d'après [14,b],} $$

d'où [15a].

Et d'autre part, eu égard à [6], [14a,c,d] et en remarquant que :

$$ \gamma_i = u_{i,5} = u^j \cdot u_{i,j} = u^j \cdot (u_{i,j} - u_{j,i}) \text{ et } -\mu^2 \cdot \gamma_i + \gamma_j \cdot \mu^j \cdot \mu_i = 0 \quad [16] $$
$$ (\varphi_{iJ,K} + \varphi_{JK,i} + \varphi_{Ki,J}).\varphi^{JK} = $$

$$ (\varphi_{i,j,k} + \varphi_{jk,i} + \varphi_{ki,j}).\varphi^{jk} + 2(\varphi_{i5,k} + \varphi_{5k,i} + \varphi_{ki,5}).\varphi^{5k} = $$

$$ \left[ (\mu_{i,k} - \mu_{k,i}) \cdot u_j + (\mu_{j,i} - \mu_{i,j}) \cdot u_k + (\mu_{k,j} - \mu_{j,k}) \cdot u_i \right] \cdot (\mu^j \cdot u^k - \mu^k \cdot u^j) + $$

$$ \left[ (u_{j,k} - u_{k,j}) \cdot \mu_i + (u_{k,i} - u_{i,k}) \cdot \mu_j + (u_{i,j} - u_{j,i}) \cdot \mu_k \right] \cdot (\mu^j \cdot u^k - \mu^k \cdot u^j) + $$

$$ 2[\mu_{i,k} - \mu_{k,i} + (\mu_k \cdot u_i - \mu_i \cdot u_k)_{,5}] \cdot \mu^k = 0 $$

De plus, eu égard à [14a,c], après avoir vérifié que $\varphi_{jk} \cdot \varphi^{jk} = \bar{\varphi} = 2\mu^2$ :

$$ (\varphi_{5J,K} + \varphi_{JK,5} + \varphi_{K5,J}).\varphi^{JK} = (\varphi_{5j,k} + \varphi_{jk,5} + \varphi_{k5,j}).\varphi^{jk} = $$

$$ \frac{1}{2}(\varphi_{jk} \cdot \varphi^{jk})_{,5} - (\mu_{j,k} - \mu_{k,j})(\mu^j \cdot u^k - \mu^k \cdot u^j) = 0 $$

d'où [15b].

En combinant les équations [14a,b], apparaît le 4-tenseur symétrique :

$$ T_i^j = \mu^j \cdot \mu_i - \frac{1}{2} \mu^2 \cdot \delta_i^j $$

avec

$$ T^j_{i,j} = 0 $$

[17a,b]

Tous calculs faits, à partir de [8] et tenant compte de [6], il prend la forme classique, en termes de densités, du tenseur d'énergie globale de la matière dans $V_4$ composée des énergies inertielle et électromagnétique (étendue) :

$$ T_i^j = -\mu^2 \cdot u_i \cdot u_j - \left( \frac{1}{4} \bar{\varphi}^2 \cdot \delta_i^j - \varphi_{ik} \cdot \varphi^{jk} \right) $$

[17c]

et où : $-\mu^2$ apparaît homogène (et non nécessairement égal) à la densité de masse propre de la matière.
Par ailleurs, on vérifie que, conformément à la théorie classique, la masse
apparente totale d'un système fermé se conserve, puisque à partir de [14c] et
[5], on établit aisément l'équation de continuité :

$$
(-\mu^2)_{,5} = u^i \cdot (-\mu^2)_{,i} = (-\mu^2 \cdot u^i)_{,i} = 0 \qquad [18]
$$

D'ailleurs, on montre aisément que [14c] découle nécessairement de
[14a,b,d] et de [13].

En formant la divergence de [17c], tenant compte de [5], [17b], [18] et en
observant que $(\varphi_{ij,k} + \varphi_{jk,i} + \varphi_{ki,j}) \cdot \varphi^{jk}$ est nul d'après les calculs
précédant, on obtient une loi de mouvement microscopique analogue à celle
de l'électrodynamique classique (Lorentz) :

$$
T_{i,j}^j = (-\mu^2 \cdot u_i \cdot u_j)_j - \rho^j \cdot \varphi_{ij} = -\mu^2 \cdot \gamma_i - \rho^j \cdot \varphi_{ij} = 0 \quad [19a]
$$

où apparaît un quadrivecteur analogue au quadrivecteur courant :

$$
\rho^j = \varphi^j_{,k} = -\varphi^i_{,5} = \mu^i_{,5} \qquad [19b]
$$

$$
\text{avec :} \qquad \rho^j \cdot u_j = \mu^j_{,5} \cdot u_j = -\mu^j \cdot \gamma_j \qquad [20]
$$

Eu égard à [14c] et [20], on remarque alors que les relations [16] et [19] sont
équivalentes.

6 Equations de Maxwell

Les équations de Maxwell s'obtiennent quand le quadrivecteur $\mu_i$ dérive d'un potentiel comme solution particulière de [14a] :

$$
\mu_i = \phi_{,i} \tag{21}
$$

Avec, tenant compte de [14b], dans un repère cartésien orthogonal :

$\square \phi = 0$
En effet, dans ce cas, en remarquant que :

$$u_{j,i} - u_{i,j} = u_{j,5} \cdot (u_i - \lambda_i) - u_{i,5} \cdot (u_j - \lambda_j) = \gamma_j \cdot (u_i - \lambda_i) - \gamma_i \cdot (u_j - \lambda_j)$$

et en posant :

$$G_i = \phi_i u_i$$

alors, tenant compte de [14d] :

$$\varphi_{i,j,k} + \varphi_{jk,i} + \varphi_{ki,j} =$$

$$(\phi_{,i} \cdot u_j - \phi_{,j} \cdot u_i)_{,k} + (\phi_{,j} \cdot u_k - \phi_{,k} \cdot u_j)_{,i} + (\phi_{,k} \cdot u_i - \phi_{,i} \cdot u_k)_{,j} =$$

$$(G_{j,i} - G_{i,j})_{,k} + (G_{k,j} - G_{j,k})_{,i} + (G_{i,k} - G_{k,i})_{,j} \\ -(\phi_{,k} \cdot \gamma_j - \phi_{,j} \cdot \gamma_k) \cdot (u_i - \lambda_i) - (\phi_{,i} \cdot \gamma_k - \phi_{,k} \cdot \gamma_i) \cdot (u_j - \lambda_j) \\ -(\phi_{,j} \cdot \gamma_i - \phi_{,i} \cdot \gamma_j) \cdot (u_k - \lambda_k) = 0$$

Avec [19b], on obtient alors l'ensemble des équations de Maxwell :

$$\left\{ \begin{array}{l} \varphi_{,k}^{jk} = \rho^j \\ \varphi_{i,j,k} + \varphi_{jk,i} + \varphi_{ki,j} = 0 \end{array} \right. \qquad [22a,b]$$

Comme, par ailleurs, d'après [14b] :

$$\mu_{,s}^2 = \frac{1}{2} \mu_j \cdot \mu_{,s}^j = \frac{1}{2} \mu_j \cdot \rho^j = 0$$

il est loisible de poser, conformément à l'hypothèse de Lorentz :

$$\rho^k = \rho \cdot u^k \qquad [23]$$

Ainsi est obtenu tout le formalisme de l'électrodynamique classique.
## 7 Solution ondulatoire

On montre dans ce chapitre qu'une solution de [13] concerne la matière sous sa forme ondulatoire.

Il est aisé de montrer que l'onde harmonique de fréquence V et de direction de propagation constante $(u_x^0, u_y^0, u_z^0, u_t^0)$ dans V_4 :

$$ \mu_i = \mu_i^0 \cdot e^{\frac{2\pi J^V}{c}(u_x^0 \cdot x + u_y^0 \cdot y + u_z^0 \cdot z - u_t^0 \cdot ct + s)} \quad \text{avec :} \quad \varphi_{IJ} = \mu_I \cdot u_J^0 - \mu_J \cdot u_I^0 \quad [24] $$

est solution du système d'équations tensorielles linéaires:

$$ \left\{ \begin{array}{l} \varphi_{,K}^{JK} = 0 \\ \varphi_{IJ,K} + \varphi_{JK,I} + \varphi_{KI,J} = 0 \end{array} \right. \qquad [25] $$

et par suite de l'équation [13].

Il est également facile de montrer que cette solution est aussi solution du système d'équations [14a,b,c,d] régissant la matière sous sa forme corpusculaire à la condition d'égaler la densité de masse propre à zéro.

A priori, c'est donc une onde évanescente associée au corpuscule analogue à l'onde matérielle de Louis de Broglie.

Ce parallèle ressort plus encore en exprimant la conservation de l'énergie totale d'un système fermé, d'après [17a,b] :

$$ \frac{1}{2} \int_{V_3} [(\mu^1)^2 + (\mu^2)^2 + (\mu^3)^2 + (\mu^4)^2] dV_3 = Cte \qquad [26] $$

analogue à l'expression de normalisation de l'onde de probabilité à partir du spineur à quatre composantes de la théorie de Dirac.
Ainsi, la densité d'énergie totale dans $V_5$ apparaît ici comme le support physique de la probabilité de présence du corpuscule. Naturellement, cela concerne ici un corpuscule libre de toute interaction extérieure et il reste à développer le cas du corpuscule dans un état lié pour valider le schéma.

## 8 Conclusion

Une recherche de solutions particulières de l'équation fondamentale [13] a été traitée faisant apparaître les aspects corpusculaire et ondulatoire de la matière. Toutefois, la dualité « Onde-Corpuscule » ne pourra être vraiment comprise théoriquement que par la recherche des solutions générales de cette équation.

En première analyse, le premier terme de [13] étant un produit de vecteur par un tenseur antisymétrique d'ordre deux de dimension impaire, donc de déterminant nul, et le second terme étant un vecteur, chacun d'eux doit être égal à zéro afin qu'il existe des solutions non nulles. Dans l'état actuel de la recherche, on pose donc, comme système général d'équations fondamentales du champ EME, qui reste à confirmer :

$$ \begin{gathered} \varphi_{,K}^{JK} \varphi_{IJ} = 0 \\ (\varphi_{IJ,K} + \varphi_{JK,I} + \varphi_{KI,J}) \varphi^{JK} = 0 \end{gathered} \qquad [27a,b] $$

D'un point de vue théorique, ce sont ici les équations tensorielles les plus générales exigées par la conservation de l'énergie dans un univers à cinq dimensions. Elles sont non-linéaires et on peut espérer qu'elles contiennent des solutions « solitons » correspondant aux particules observées.

Cet espoir se trouve renforcé, comme il a été montré dans l'article référencé [13], par l'existence d'une condition naturelle de normalisation du champ matériel, résultant de [14b], impliquant l'unicité des solutions de [27a,b] :

$$ \int_{V_3} \mu^4 dV_0 = \chi.h.c \qquad [28] $$

où $\chi, h, c$ sont respectivement : la constante de gravitation d'Einstein, la constante de Planck et la célité de la lumière.

Orléans, le vendredi 12 mars 2010
Bibliographie

[1] Einstein A. Quatre conférences sur la théorie de la relativité (mai 1921). Gauthier-Villars, Paris (1971).

[2] De Broglie L. Recherches sur la théorie des quanta. Thèse de doctorat, Paris (25 novembre 1924).

[3] Oskar Klein. Quantum theory and five dimensional theory of relativity. Z. Phys. 37 895-906 (1926).

[4] Darrieus G. Sur une forme remarquable des équations de Maxwell-Lorentz dans l'univers à 5 dimensions. J. Phys. Radium 8, 11 (1927) 444-446.

[5] P. A. M. Dirac. Les principes de la mécanique quantique. Les Presses Universitaires de France, Paris (1931).

[6] Lichnerowitcz André. Théories relativistes de la gravitation et de l'électromagnétisme. Paris : Masson (1955).

[7] De Broglie L. Nouvelles perspectives en Microphysique. Albin Michel, Paris (1956).

[8] W. Heisenberg. Les principes physiques de la théorie des quanta. (1ère édition 1957). Gauthier-Villars, Paris (1972).

[9] Yves Thiry. Théorie penta-dimensionnelle de la gravitation et de l'électromagnétisme. Séminaire Janet. Mécanique analytique et mécanique céleste, tome 2 (1958-1959), exp. n°1, p. 1-15.

[10] De Broglie L. Jalons pour une nouvelle microphysique. Gauthier-Villars, Paris (1978).

[11] J.-P. Duraisseau. Scalaire et Nouveaux Problèmes de la Relativité Générale: Horizons, Masses Limites. Thèse, Paris (1979).

[12] Rousseaux G. Les équations de Maxwell sont-elles incomplètes ? Annales de la Fondation Louis de Broglie, Volume 26 numéro 4, 2001.

[13] C. Preziosa. Sur une forme microscopique du tenseur d'énergie. ScienceLib Editions Mersenne : Volume 1, N° 081201 (publié le 30/12/2008).

Conflit d'intérêt en lien avec l'article soumis : aucun.