# La méthode des éléments finis appliquée aux coques

Philippe G. Ciarlet

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Philippe G. Ciarlet. La méthode des éléments finis appliquée aux coques. [Rapport de recherche] IRIA-RR-113, IRIA. 1975, pp.35. hal-04716107

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F

La méthode des éléments finis
appliquée aux coques

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Rapport de Recherche n°113.

Avril 1975
LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS APPLIQUÉE AUX COQUES

P.G. Ciarlet

**Résumé.** On donne une description générale de l'application de la méthode des éléments finis au problème de l'équilibre d'une coque, la modélisation du problème continu étant celle de W.T. KOITER. On établit ensuite des conditions suffisantes, relatives à l'approximation de la géométrie et à l'approximation du déplacement, qui assurent la convergence de cette méthode. Cette analyse s'applique en particulier à l'élément SHEBA de J.H. ARGYRIS.

**Abstract.** A description is given of the application of the finite element method to the shell problem, for which the modelization of W.T. KOITER is used. Sufficient conditions are then established which insure the convergence of the method. These conditions involve both the approximation of the geometry of the shell and the approximation of the components of the displacement. In particular, the present analysis applies to the SHEBA element of J.H. ARGYRIS.

1. Introduction

2. Modélisation d'une coque

3. Mise en oeuvre de la méthode des éléments finis

4. Majoration de l'erreur
# 1. INTRODUCTION.

Il existe deux approches particulièrement populaires pour la modélisation des coques, le modèle de Koiter [13, 14, 15] et le modèle de Nagdi [20, 21].

Au No 2, nous décrivons la modélisation de Koiter : Elle est essentiellement obtenue de la façon suivante : on considère la coque comme un solide à trois dimensions, d'épaisseur constante et "petite", moyennant quoi on peut raisonnablement supposer que l'état de contrainte est approximativement plan et que la distribution des contraintes parallèles à la surface moyenne de la coque est approximativement linéaire; Il est d'ailleurs remarquable que F. John [11] ait donné une justification rigoureuse de ces hypothèses(1), partiellement heuristiques au départ. Une fois ces hypothèses faites, on "intègre sur l'épaisseur" l'énergie de la coque exprimée en coordonnées curvilignes appropriées, ce qui conduit à un problème où l'inconnue, i.e., le déplacement d'un point de la surface moyenne de la coque, est une fonction de deux variables seulement, qui sont les deux coordonnées curvilignes de la surface moyenne de la coque (l'obtention de l'énergie d'une plaque "mince" est un cas particulier de ce procédé).

Pour décrire cette modélisation, nous avons volontairement réduit les références explicites au Calcul Tensoriel et à la Géométrie Différentielle.

Néanmoins, comme introduction à ces sujets, nous recommandons particulièrement Gouyon [9], Lichnerowicz [17], Brillouin [3], Lelong-Ferrand [16], Valiron [23, Chapitres 12, 13, 14]; Pour une introduction à l'Elasticité, consulter par exemple Green & Zerna [10], Duvaut & Lions [8, Chapitre 3].

Dans un autre travail (cf. Bernadou & Ciarlet [2]), l'ellipticité du modèle de Koiter est démontrée, moyennant des hypothèses convenables sur la

<footnote>(1) Les résultats de F. John s'appliquent à des domaines "intérieurs".</footnote>
géométrie de la coque. Pour l'ellipticité dans le cas des coques "cylindriques", voir Rougée [22]; Pour l'ellipticité du modèle de Nagdi, voir Coutris [5].

Au No 3, nous examinons la mise en oeuvre de méthodes d'éléments finis pour un problème de coque. Pour cela, nous nous sommes essentiellement appuyés sur les articles d'Argyris, Haase & Malejannakis [1], Dupuis [6], Dupuis & Goël [7], qui ont considéré l'application de la méthode des éléments finis au modèle de Koiter.

Au No 4, nous donnons les majorations de l'erreur correspondant à ce que nous appelons les méthodes "conformes". Cette étude semble nouvelle; Certes, il existe des travaux<sup>(1)</sup> concernant des cas particuliers tels que les cylindres circulaires, les arches, etc..., mais le cas général que nous envisageons ici ne semble pas avoir été abordé auparavant.

Par ailleurs, je remercie J.T. Oden et M. Bernadou pour de nombreuses discussions se rapportant au sujet considéré ici.

<footnote>(1) Citons, par exemple : Moan [19], Johnson [12], Miyoshi [18], etc...</footnote>
## 2. MODELISATION D'UNE COQUE.

Soit $\Omega$ un ouvert borné d'un plan $\mathcal{E}^2$, de frontière $\Gamma$. Alors une coque $S^{(1)}$ est l'image de $\bar{\Omega}$ par une carte, i.e., une application

$$ \vec{\phi} : \bar{\Omega} \subset \mathcal{E}^2 \to \mathcal{E}^3 $$

$\mathcal{E}^3$ désignant l'espace usuel. Nous ferons dans tout ce qui suit l'hypothèse que la frontière $\Gamma$ est suffisamment "régulière" et que la fonction $\vec{\phi}$ est elle aussi suffisamment "régulière".

**Remarque 2.1.** La donnée d'une coque ne détermine naturellement pas d'une façon unique l'application $\vec{\phi}$ et l'ensemble $\Omega$; Cette observation triviale prend toute son importance pour la discrétisation; cf. Remarque 3.4. Par ailleurs, nous nous bornons à considérer des coques données par l'intermédiaire d'une seule carte.

Dans toute la suite, on supposera que tous les points de la coque $\vec{\phi}(\bar{\Omega})$ sont réguliers, en ce sens que les deux vecteurs

$$ (2.1) \qquad \vec{a}_{\alpha} = \frac{\partial \vec{\phi}}{\partial \xi^{\alpha}}, \quad \alpha = 1,2, $$

sont linéairement indépendants en tout point $\xi = (\xi^1, \xi^2) \in \bar{\Omega}$.

On introduit ensuite le vecteur (cf. Fig. 2.1) :

$$ (2.2) \qquad \vec{a}_3 = \vec{a}^3 = \frac{\vec{a}_1 \times \vec{a}_2}{|\vec{a}_1 \times \vec{a}_2|}, $$

$|\cdot|$ désignant la norme euclidienne dans $\mathcal{E}^3$ muni de son produit scalaire habituel $(\vec{a}, \vec{b}) \to \vec{a} \cdot \vec{b}$.

<footnote>(1) Par commodité, nous assimilerons constamment la coque à sa surface moyenne.</footnote>
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. 2.1.</figcaption></figure>

Dans ce qui suit, nous emploierons des lettres grecques : $\alpha, \beta, \tau, \dots$ pour des indices prenant les valeurs 1 et 2, alors que les lettres latines : $i, j, \dots$, seront réservées aux indices prenant les valeurs 1, 2 et 3. Pour ces indices, nous utiliserons systématiquement la convention d'Einstein concernant la sommation des indices.

Les vecteurs $a^\alpha$ introduits en (2.1) sont des vecteurs tangents aux lignes coordonnées $\xi^\alpha = C^\alpha$. Ils définissent le plan tangent à la surface au point $\phi(\xi)$, et ils servent également à définir la première forme fondamentale de la surface ($a_{\alpha\beta}$) par
$$
(2.3) \qquad \mathbf{a}_{\alpha\beta} = \mathbf{a}_{\beta\alpha} = \mathbf{a}^{\dagger}_{\alpha} \cdot \mathbf{a}^{\dagger}_{\beta} = \frac{\partial \mathbf{a}^{\dagger}_{\alpha}}{\partial \xi^{\alpha}} \cdot \frac{\partial \mathbf{a}^{\dagger}_{\beta}}{\partial \xi^{\beta}}
$$

On définit deux autres vecteurs $\mathbf{a}^{\dagger \alpha}$ du plan tangent par les conditions

$$
(2.4) \qquad \mathbf{a}^{\dagger \alpha} \cdot \mathbf{a}^{\dagger \beta} = \delta^{\dagger}_{\beta} \quad \text{(pas de sommation si } \alpha = \beta).
$$

Ces vecteurs sont liés aux vecteurs $\mathbf{a}^{\dagger}_{\alpha}$ par les relations

$$
(2.5) \qquad \begin{array}{l} \mathbf{a}^{\dagger}_{\alpha} = \mathbf{a}_{\alpha\beta} \mathbf{a}^{\dagger\beta}, \quad \mathbf{a}^{\dagger}_{\alpha} = \mathbf{a}^{\alpha\beta} \mathbf{a}^{\dagger}_{\beta}, \quad \mathbf{a}^{\alpha\beta} = \mathbf{a}^{\dagger}_{\alpha} \cdot \mathbf{a}^{\dagger}_{\beta} = \mathbf{a}^{\beta\alpha}, \end{array}
$$

la matrice $(\mathbf{a}^{\alpha\beta})$ étant l'inverse de la matrice $(\mathbf{a}_{\alpha\beta})$, qui est toujours inver-
sible, puisque tous les points sont réguliers.

<u>Remarque 2.2.</u> On obtiendrait des expressions plus simples en supposant
(ce qui est toujours loisible, <u>théoriquement</u> ...) que les lignes coordonnées
sont les <u>lignes de courbure</u> de la surface : les vecteurs $\mathbf{a}'_1$ et $\mathbf{a}'_2$ sont alors
orthogonaux en tout point de la surface et les matrices $(\mathbf{a}_{\alpha\beta})$ et $(\mathbf{a}^{\alpha\beta})$ sont
diagonales.
■

<u>Remarque 2.3.</u> En principe, il n'est aucunement nécessaire de supposer
les vecteurs de base $\mathbf{e}'^i$ de $\xi^3$ orthonormés mais c'est évidemment commode dès
lors qu'on veut <u>calculer</u> des produits scalaires tels que ceux de (2.3). ■

Rappelons enfin l'expression de l'_élément de surface_ dS, qui est donné par

$$
(2.6) \qquad \mathrm{dS} = \sqrt{a} \, \mathrm{d}\xi^1 \, \mathrm{d}\xi^2,
$$

où

$$
(2.7) \qquad a = \det(\mathbf{a}_{\alpha\beta}) = a_{11}a_{22} - (a_{12})^2.
$$

Abordons la modélisation proprement dite, qui est un cas particulier du
formalisme habituel : La solution $\vec{u}$ - qu'on va définir dans un instant -
rend minimale l'énergie du système, celle-ci se mettant sous la forme

$$
(2.8) \qquad J(\vec{v}) = \frac{1}{2} a(\vec{v}, \vec{v}) - f(\vec{v})
$$
lorsque $\vec{v}$ décrit un espace $\vec{V}$ convenable. Nous allons donc définir successivement les fonctions $a(\vec{u}, \vec{v})$ et $f(\vec{v})$, ainsi que l'espace $\vec{V}$.

Les inconnues sont les trois fonctions

$$ (2.9) \qquad u_i : \xi = (\xi^1, \xi^2) \in \Omega \to \mathbb{R} $$

qui représentent les trois composantes covariantes du déplacement $\vec{u}$; cf. Fig. 2.2. Autrement dit on écrit

$$ (2.10) \qquad \vec{u} = u_{\alpha} \vec{a}^{\alpha} + u_{3} \vec{a}^{3} = u_{i} \vec{a}^{i}, $$

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 2.2.</figcaption></figure>
le vecteur $\vec{u}(\xi)$ représentant le déplacement du point $\vec{\phi}(\xi)$. Bien évidemment
dans (2.10), les vecteurs $\vec{a}^i$ sont aussi des fonctions de $\xi$.

Commençons par décrire l'expression $\frac{1}{2} a(\vec{v}, \vec{v})$, qui représente l'énergie
potentielle élastique de la coque; celle-ci se présente sous la forme d'une
intégrale de surface :

$$
(2.11) \qquad \frac{1}{2} a(\vec{v}, \vec{v}) = \int_S A(\dots) \, dS,
$$

c'est-à-dire aussi comme une intégrale sur $\bar{\Omega}$ puisque toutes les fonctions apparaissant dans (2.11) sont des fonctions de $\xi \in \bar{\Omega}$; on a donc cf. ((2.6)-(2.7))

$$
(2.12) \qquad \frac{1}{2} a(\vec{v}, \vec{v}) = \int_{\Omega} A(\dots) \sqrt{a} \, d\xi .
$$

La fonction $A(\dots)$ qui figure dans l'intégrale (2.11) ou dans l'intégrale
(2.12) est donnée par $[1, \text{equ. (3.16)}]$ :

$$
(2.13) \qquad
\begin{aligned}
A(\dots) &= -\frac{\mathrm{Eh}}{2(1-\nu^2)} \left\{ (1-\nu)\gamma_{\beta}^{\alpha}\gamma_{\alpha}^{\beta} + \nu\gamma_{\alpha}^{\alpha}\gamma_{\beta}^{\beta} \right\} \\
&\quad + \frac{\mathrm{Eh}^3}{24(1-\nu^2)} \left\{ (1-\nu)\bar{\rho}_{\beta}^{\alpha}\bar{\rho}_{\alpha}^{\beta} + \nu\bar{\rho}_{\alpha}^{\alpha}\bar{\rho}_{\beta}^{\beta} \right\}
\end{aligned}
$$

(soit, explicitement,

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
A(\dots) = & -\frac{\mathrm{Eh}}{2(1-\nu^2)} \left\{ (1-\nu) \left( (\gamma_1^1)^2 + 2\gamma_2^1\gamma_1^2 + (\gamma_2^2)^2 \right) + \nu(\gamma_1^1 + \gamma_2^1)^2 \right\} \\
& + \frac{\mathrm{Eh}^3}{24(1-\nu^2)} \left\{ (1-\nu) \left( (\bar{\sigma}_1^1)^2 + 2\bar{\sigma}_2^1\bar{\sigma}_1^2 + (\bar{\sigma}_2^2)^2 \right) + \nu(\bar{\sigma}_1^1 + \bar{\sigma}_2^1)^2 \right\},
\end{aligned}
\tag{2.14}
\end{equation}
$$

où h est l'épaisseur de la coque, E son module d'Young et v son coefficient
de Poisson, c'est-à-dire des constantes.

Les expressions $\gamma_{\beta}^{\alpha}$, $\bar{\rho}_{\beta}^{\alpha}$ sont obtenus à partir du tenseur de déformation
$\gamma_{\alpha\beta}$ et du tenseur de changement de courbure $\bar{\rho}_{\alpha\beta}$ à l'aide de l'opération ten-
sorielle de "montée d'indices" :

$$
(2.14) \qquad \gamma_{\beta}^{\alpha} = a^{\alpha\nu} \gamma_{\nu\beta}, \quad \bar{\rho}_{\beta}^{\alpha} = a^{\alpha\nu} \bar{\rho}_{\nu\beta}
$$
(soit, explicitement,

$$ \gamma_1^1 = a^{11}\gamma_{11} + a^{12}\gamma_{21}, $$

$$ \gamma_2^1 = a^{11}\gamma_{12} + a^{12}\gamma_{22} $$

$$ \gamma_1^2 = a^{21}\gamma_{11} + a^{22}\gamma_{21} $$

etc ... ; en général, $\gamma_2^1 \neq \gamma_1^2$).

Les tenseurs de déformation et de changement de courbure ont, à leur tour, pour expressions :

$$ (2.15) \qquad \gamma_{\alpha\beta} = \gamma_{\beta\alpha} = \frac{1}{2} (v_{\alpha|\beta} + v_{\beta|\alpha}) - b_{\alpha\beta}v_3, $$

$$ (2.16) \qquad \bar{\rho}_{\alpha\beta} = \bar{\rho}_{\beta\alpha} = v_3|_{\alpha\beta} - c_{\alpha\beta}v_3 + b_{\alpha}^{\lambda}v_{\lambda|\beta} + b_{\beta}^{\lambda}v_{\lambda|\alpha} + b_{\alpha|\beta}v_{\lambda}^{\lambda}. $$

Dans ces expressions apparaît la seconde forme fondamentale de la surface ($b_{\alpha\beta}$) définie par

$$ (2.17) \qquad b_{\alpha\beta} = b_{\beta\alpha} = - \overset{\rightarrow}{a}_{\alpha} \cdot \overset{\rightarrow}{a}_{3,\beta} = \overset{\rightarrow}{a}_{3} \cdot \overset{\rightarrow}{a}_{\alpha,\beta} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{a}_{3} \cdot (\overset{\rightarrow}{a}_{\alpha,\beta} + \overset{\rightarrow}{a}_{\beta,\alpha}). $$

En (2.17), nous avons utilisé une notation commode pour les dérivées partielles, et que d'ailleurs nous employerons constamment par la suite :

$$ (2.18) \qquad \overset{\rightarrow}{a}_{3,\beta} = \frac{\partial \overset{\rightarrow}{a}_3}{\partial \xi^\beta}, \quad \overset{\rightarrow}{a}_{\alpha,\beta} = \frac{\partial \overset{\rightarrow}{a}_\alpha}{\partial \xi^\beta}, $$

de même qu'on utilisera les notations

$$ (2.19) \qquad v_{\alpha,\beta} = \frac{\partial v_{\alpha}}{\partial \xi^{\beta}}, \quad v_{3,\alpha\beta} = \frac{\partial^2 v_3}{\partial \xi^{\alpha} \partial \xi^{\beta}}, \quad \text{etc} \dots $$

Par l'opération de montée d'indices, on définit les expressions

$$ (2.20) \qquad b_{\alpha}^{\lambda} = a^{\lambda\beta} b_{\alpha\beta} $$

(noter qu'en général $b_2^1 \neq b_1^2$), et on définit enfin la troisième forme fondamentale de la surface ($c_{\alpha\beta}$) par

$$ (2.21) \qquad c_{\alpha\beta} = c_{\beta\alpha} = b_{\alpha}^{\lambda} b_{\lambda\beta} = a^{\lambda\mu} b_{\alpha\mu} b_{\lambda\beta}. $$
Alors dans (2.15) et (2.16), les expressions $v_{\alpha|\beta}$, $v_{3|\alpha\beta}$, $b_{\alpha|\beta}^{\lambda}$ sont des dérivées covariantes. Ainsi a-t-on

$$ (2.22) \qquad v_{\alpha|\beta} = v_{\alpha,\beta} - \Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta} v_{\gamma}, $$

où les fonctions $\Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta}$ sont les symboles de Christoffel de la surface; ils vérifient les relations :

$$ (2.23) \qquad \left\{ \begin{aligned} \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} &= a^\alpha \cdot a^\gamma_{\gamma,\beta} = a^{\alpha\nu} a^\gamma_{\nu,\beta} \cdot a^\alpha = a^{\alpha\nu} \frac{\partial \phi}{\partial \xi^\nu} \cdot \frac{\partial^2 \phi}{\partial \xi^\gamma \partial \xi^\beta} \\ \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} &= a^{\alpha\lambda} \Gamma_{\lambda\beta\gamma}, \quad \Gamma_{\alpha\beta\gamma} = \frac{1}{2}(a_{\alpha\beta,\gamma} + a^{\alpha}_{\gamma,\beta} - a_{\beta\gamma,\alpha}) \\ \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} &= \Gamma^\alpha_{\gamma\beta}. \end{aligned} \right. $$

(Explicitement, les dérivées covariantes (2.22) s'écrivent

$$ \begin{aligned} v_{1|1} &= \frac{\partial v_1}{\partial \xi^1} - (\Gamma^1_{11} v_1 + \Gamma^2_{11} v_2) \\ v_{1|2} &= \frac{\partial v_1}{\partial \xi^2} - (\Gamma^1_{12} v_1 + \Gamma^2_{12} v_2) \\ v_{2|1} &= \frac{\partial v_2}{\partial \xi^1} - (\Gamma^1_{21} v_1 + \Gamma^2_{21} v_2) \\ v_{2|2} &= \frac{\partial v_2}{\partial \xi^2} - (\Gamma^1_{22} v_1 + \Gamma^2_{22} v_2). \end{aligned} $$

On a par ailleurs

$$ (2.24) \qquad v_{3|\alpha\beta} = v_{3,\alpha\beta} - \Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta} v_{3,\gamma} $$

$$ \text{(Explicitement :)} \qquad \begin{aligned} v_{3|11} &= \frac{\partial^2 v_3}{\partial (\xi^1)^2} - \left( \Gamma^1_{11} \frac{\partial v_3}{\partial \xi^1} + \Gamma^2_{11} \frac{\partial v_3}{\partial \xi^2} \right) \\ v_{3|12} &= \frac{\partial^2 v_3}{\partial \xi^1 \partial \xi^2} - \left( \Gamma^1_{12} \frac{\partial v_3}{\partial \xi^1} + \Gamma^2_{12} \frac{\partial v_3}{\partial \xi^2} \right), \text{ etc ... } \end{aligned} $$

et
$$
(2.25) \qquad b_{\alpha|\beta}^{\delta} = b_{\alpha,\beta}^{\delta} + \Gamma_{\beta\lambda}^{\delta} b_{\alpha}^{\lambda} - \Gamma_{\alpha\beta}^{\lambda} b_{\lambda}^{\delta}.
$$

(Explicitement :

$$
b_{1|1}^{1} = \frac{\partial b_{1}^{1}}{\partial \xi^{1}} + \left( \overline{\Gamma_{11}^{1} b_{1}^{1}} + \Gamma_{12}^{1} b_{1}^{2} \right) - \left( \overline{\Gamma_{11}^{1} b_{1}^{1}} + \Gamma_{11}^{2} b_{2}^{1} \right),
$$

$$
b_{1|2}^{1} = \frac{\partial b_{1}^{1}}{\partial \xi^{2}} + \left( \overline{\Gamma_{21}^{1} b_{1}^{1}} + \Gamma_{22}^{1} b_{1}^{2} \right) - \left( \overline{\Gamma_{12}^{1} b_{1}^{1}} + \Gamma_{12}^{2} b_{2}^{1} \right),
$$

$$
b_{2|1}^{1} = \frac{\partial b_{2}^{1}}{\partial \xi^{1}} + (\overline{\Gamma_{11}^{1} b_{2}^{1}} + \Gamma_{12}^{1} b_{2}^{1}) - (\overline{\Gamma_{21}^{1} b_{1}^{1}} + \Gamma_{21}^{2} b_{2}^{1}), \text{ etc ...}).
$$

On montre, à l'aide des identités de Mainardi-Codazzi et Ricci que

$$
b_{\alpha|\beta}^{\delta} = b_{\beta|\alpha}^{\delta}.
$$

En définitive, l'énergie potentielle s'exprime donc à l'aide des
3 fonctions $v_i$ et de certaines de leurs dérivées partielles, que nous écrirons
à l'occasion comme les composantes $V_I$, $1 < I < 12$, d'un vecteur $V \in \mathbb{R}^{12}$ :

$$
(2.26) \quad V = (v_I)_{I=1}^{12} = \begin{cases} v_1; & v_{1,1}; & v_{1,2}; \\ v_2; & v_{2,1}; & v_{2,2}; \\ v_3; & v_{3,1}; & v_{3,2}; v_{3,11}; v_{3,12}; v_{3,22}, \end{cases}
\text{ alors que la notation } \stackrel{\perp}{v} \text{ sera réservée pour le triplet } (v_1,v_2,v_3).
$$

Dans les deux propositions qui suivent, nous résumons quelques propriétés
de l'énergie potentielle, et de la forme bilinéaire qui lui est associée.

**Proposition 2.1.** *L'énergie potentielle est l'intégrale d'une forme quadratique des composantes* $V_I$ *du vecteur* $V$ *de (2.26) :*

$$
(2.27) \qquad a(\vec{v}, \vec{v}) = \int_{\Omega} \sum_{I,J=1}^{12} A_{IJ} V_I V_J d\xi,
$$

Les coefficients $A_{IJ}$, qui sont des expressions algébriques en les dérivées
$\phi_i, \alpha', \phi_i, \alpha\beta', \phi_i, \alpha\beta\gamma$ des composantes $\phi_i$ de la carte $\vec{\phi} = \phi_i \vec{e}_i^i$, sont des fonctions
continues sur $\bar{\Omega}$.
**Démonstration.** Que la fonction à intégrer soit une fonction quadratique des composantes $V_I$ résulte de l'inspection des formules (2.13), (2.14), (2.15), (2.16), (2.22) et (2.24). Chaque coefficient $A_{IJ}$ est le produit de l'expression $\sqrt{a}$ intervenant dans l'élément de surface (cf. (2.6)-(2.7)) par certains des termes suivants :

$$ (2.28) \qquad a^{\alpha\beta}, b_{\alpha\beta}, c_{\alpha\beta}, b_{\alpha}^{\beta}, c_{\alpha,\gamma}, b_{\alpha,\gamma}^{\beta}, \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha}, $$

comme il résulte des formules (2.13), (2.14), (2.15), (2.16), (2.22), (2.24) et (2.25).

Au vu des expressions (2.1), (2.2), (2.3), (2.7), (2.17), (2.20), (2.21) et (2.25), on vérifie que chacune des fonctions apparaissant en (2.28) s'exprime en fonctions (de certaines) des dérivées partielles premières secondes - et troisièmes pour les termes $b_{\alpha,\gamma}^{\beta}$ - des composantes $\phi_i$. Par ailleurs, les seules fonctions qui apparaissent au dénominateur sont le déterminant $a$ de (2.7) et la norme euclidienne du vecteur $\vec{a}_1 \times \vec{a}_2$; cf. (2.2). Or le déterminant est toujours $> 0$, et le vecteur $\vec{a}_1 \times \vec{a}_2$ n'est jamais nul, puisque tous les points de la surface sont réguliers par hypothèse (1).

**Proposition 2.2.** *Sur l'espace $H^1(\Omega) \times H^1(\Omega) \times H^2(\Omega)$, l'application (2.29) est une application bilinéaire symétrique et continue.*

$$ (2.29) \qquad (\vec{u}, \vec{v}) + a(\vec{u}, \vec{v}) = \int_{\Omega} \sum_{I,J=1}^{12} A_{IJ} U_I V_J d\xi $$

**Démonstration.** La continuité est un corollaire de la Proposition 2.1. La symétrie découle de la symétrie de l'expression $A$ de (2.13) par rapport aux fonctions $\gamma_{\alpha}^{\beta}$ et $\Omega_{\alpha}^{-\beta}$, respectivement.

<footnote>(1) On a même $|\vec{a}_1 \times \vec{a}_2| = \sqrt{a}$</footnote>

<footnote>(2) Avec une définition des composantes $U_I$ analogue à celle des composantes $V_I$; cf. (2.26).</footnote>
Exemple 2.1. Calcul de l'énergie potentielle d'une portion de cylindre
circulaire; cf. Fig. 2.3.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. 2.3.</figcaption></figure>

$$
\vec{\phi}(\xi) = \begin{cases} R \cos \xi^1 \\ R \sin \xi^1 \\ \xi^2 \end{cases}
$$

$$
\vec{a}_1 = \frac{\partial \vec{\phi}}{\partial \xi^1} = \begin{cases} -R \sin \xi^1 & \vec{a}_2 = \frac{\partial \vec{\phi}}{\partial \xi^2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{a}_3 = \begin{pmatrix} \cos \xi^1 \\ \sin \xi^1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ 0 & \end{cases}
$$

$$
\vec{a}^1 = \begin{cases} -\frac{1}{R} \sin \xi^1 \\ \frac{1}{R} \cos \xi^1, & \vec{a}^2 = \vec{a}^2, \\ 0 & \end{cases}, \quad \vec{a}^3 = \vec{a}^3.
$$
• Coefficients de la première forme ($a_{\alpha\beta} = \vec{a}_{\alpha} \cdot \vec{a}_{\beta}$; $a^{\alpha\beta} = \vec{a}^{\alpha} \cdot \vec{a}^{\beta}$) :

$$a_{11} = R^2, a_{12} = a_{21} = 0, a_{22} = 1.$$

$$a^{11} = \frac{1}{R^2}, a^{12} = a^{21} = 0, a^{22} = 1.$$

• Coefficients de la deuxième forme :

$$b_{11} = \vec{a}_3 \cdot \vec{a}_{1,1} = -R$$

$$b_{12} = \vec{a}_3 \cdot \vec{a}_{2,1} = 0 = b_{21}$$

$$b_{22} = \vec{a}_3 \cdot \vec{a}_{2,2} = 0$$

$$b_1^1 = a^{1v} b_{v1} = - \frac{1}{R}$$

$$b_2^1 = a^{1v} b_{v2} = 0; \quad b_1^2 = a^{2v} b_{v1} = 0$$

$$b_2^2 = a^{2v} b_{v2} = 0$$

D'après (2.23), tous les coefficients de Christoffel sont nuls. Par suite,

$$\left\{
\begin{array}{l}
\gamma_1^1 = a^{1v} \gamma_{v1} = \frac{1}{R^2} \gamma_{11}; \quad \gamma_{11} = \frac{1}{2}(2\gamma_{1/1}) - b_{11}v_3 \\
\gamma_2^1 = a^{1v} \gamma_{v2} = \frac{1}{R^2} \gamma_{12}; \\
\gamma_1^2 = a^{2v} \gamma_{v1} = \gamma_{21}; \\
\gamma_2^2 = a^{2v} \gamma_{v2} = \gamma_{22};
\end{array}
\right.
\quad
\begin{aligned}
&= \frac{\partial v_1}{\partial \xi^1} + R v_3; \\
&= \gamma_{21} = \frac{1}{2}(\gamma_{1/2} + \gamma_{2/1}) - b_{12}v_3 = \frac{\partial v_1}{2 \partial \xi^2} + \frac{\partial v_2}{\partial \xi^1}; \\
&= \frac{\partial v_2}{\partial \xi^2} - b_{22}v_3.
\end{aligned}$$

On en déduit :

$$(1-v) \gamma_{\beta}^{\alpha} \gamma_{\alpha}^{\beta} = \left\{ \begin{aligned} & (1-v) \left( \frac{1}{R^4} \left( \frac{\partial v_1}{\partial \xi^1} + R v_3 \right)^2 + \frac{1}{2R^2} \left( \frac{\partial v_1}{\partial \xi^2} + \frac{\partial v_2}{\partial \xi^1} \right)^2 + \left( \frac{\partial v_2}{\partial \xi^2} \right)^2 \right) \\ & + v \left( \frac{1}{R^2} \left( \frac{\partial v_1}{\partial \xi^1} + R v_3 \right)^2 + \left( \frac{\partial v_2}{\partial \xi^2} \right)^2 \right). \end{aligned} \right.$$

Par ailleurs, on a $c_{11} = 1$, $c_{12} = c_{21} = c_{22} = 0$; Par suite,

$$\left\{
\begin{array}{l}
\bar{\rho}_1^1 = \frac{1}{R^2} \bar{\rho}_{11}; \quad \bar{\rho}_{11} = \frac{\partial^2 v_3}{\partial (\xi^1)^2} - v_3 - \frac{2}{R} \frac{\partial v_1}{\partial \xi^1}; \\[1.5ex]
\bar{\rho}_2^1 = \frac{1}{R^2} \bar{\rho}_{12}; \quad \bar{\rho}_{12} = \bar{\rho}_{21} = \frac{\partial^2 v_3}{\partial \xi^1 \partial \xi^2} - \frac{1}{R} \frac{\partial v_1}{\partial \xi^2}; \\[1.5ex]
\bar{\rho}_1^2 = \bar{\rho}_{21}; \\[1.5ex]
\bar{\rho}_2^2 = \bar{\rho}_{22}; \quad \bar{\rho}_{22} = \frac{\partial^2 v_3}{\partial (\xi^2)^2}.
\end{array}
\right.$$
On en déduit :

$$ (1-v)^{-\alpha}_{\alpha} \stackrel{-\beta}{\alpha} = \left\{ \begin{array}{ll} & (1-v) \left( \frac{1}{R^4} \left( \frac{\partial^2 v_3}{\partial (\xi^1)^2} - v^3 - 2 \frac{\partial v_1}{R \partial \xi^1} \right)^2 + \frac{2}{R^2} \left( \frac{\partial^2 v_3}{\partial \xi^1 \partial \xi^2} - \frac{1}{R} \frac{\partial v_1}{\partial \xi^2} \right)^2 + \frac{\partial^2 v_3}{\partial (\xi^2)^2} \right) \\ + v \stackrel{-\beta}{\alpha} \stackrel{-\alpha}{\beta} & + v \left( \frac{1}{R^2} \left( \frac{\partial^2 v_3}{\partial (\xi^1)^2} - v_3 - 2 \frac{\partial v_1}{R \partial \xi^1} \right) + \frac{\partial^2 v_3}{\partial (\xi^2)^2} \right)^2 \end{array} \right. $$

On remarquera que, dans un calcul comme celui-ci, il est utile, ne serait-ce qu'aux fins de vérification, de noter les dimensions des diverses variables ou fonctions rencontrées. Dans le cas présent, nous avons :

$\xi^1, v^1$ : sans dimension,

$\xi^2, v^2, v_2, v_3$ : dimension d'une longueur,

$v_1$ : dimension du carré d'une longueur.

Par ailleurs, s'il est vrai que l'exemple précédent est "trop simple", dans la mesure où des cas "modérément plus généraux"(1) conduiraient à des expressions nettement plus compliquées, il nous permettra tout de même de justifier deux précautions fondamentales à observer avant toute discrétisation d'un problème de coques; cf. Remarque 3.4.

Le terme $f(\vec{v})$ qui apparaît dans l'énergie (2.8), et qui représente l'énergie potentielle des forces extérieures, est de la forme (2.30)

$$ (2.30) \qquad f(\vec{v}) = \int_S (f^\alpha v_\alpha + f^3 v_3) dS = \int_\Omega (f^\alpha v_\alpha + f^3 v_3) \sqrt{a} \ d\xi, $$
ou les fonctions $f^\alpha$ et $f^3$ sont les composantes de la force extérieure $\vec{f}$, rapportée à l'élément de surface, sur la base $(\vec{a}_\alpha, \vec{a}_3)$. On a donc

$$ (2.31) \qquad f(\vec{v}) = \int_{\Omega} \vec{f} \cdot \vec{v} \sqrt{a} \ d\xi. $$

En ce qui concerne les conditions aux limites, nous supposerons la coque encastrée, de sorte que les fonctions $v_\alpha, v_3$ vérifient les conditions aux limites :

<footnote>(1) tels qu'une surface de révolution quelconque.</footnote>

<footnote>(2) On suppose donc qu'il n'y a pas de couples.</footnote>
$$
(2.32) \qquad v_{\alpha} = 0 \text{ sur } \Gamma, v_3 = v_{3,1} = v_{3,2} = 0 \text{ sur } \Gamma.
$$

Par suite, le déplacement $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ doit être cherché dans l'espace
(2.33)  
$\vec{v} = H_0^1(\Omega) \times H_0^1(\Omega) \times H_0^2(\Omega)$

des déplacements "virtuels" $\vec{v} = v_{\alpha}^{\rightarrow \alpha} + v_{3}^{\rightarrow 3}$ **cinématiquement admissibles**, i.e.,
qui vérifient les conditions aux limites (2.32).
### 3. MISE EN OEUVRE DE LA METHODE DES ELEMENTS FINIS.

Nous allons décrire successivement les deux approximations qui sont faites, à savoir :

(i) **Approximation de la surface,**

(ii) **Approximation (des composantes) du déplacement.**

Nous allons supposer que l'ouvert $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ est polygonal(1), en sorte qu'il peut être recouvert par des triangulations.

A une triangulation $\mathcal{T}_h$ de l'ouvert $\Omega : \bar{\Omega} = \bigcup_{K \in \mathcal{T}_h} K$, on associe un espace $\psi_h$ "d'éléments finis" (on précisera plus loin les propriétés qu'un tel espace doit satisfaire).

On notera $\Theta_h$ l'opérateur de $\psi_h$-interpolation. Alors à la carte donnée (3.1) on associe la carte approchée

$$ (3.2) \qquad \tilde{\phi}_h = \phi_{hi} \xrightarrow{e} \phi_{hi}^{+} \quad \text{où } \phi_{hi} = \Theta_h \phi_i. $$

Examinons ensuite l'approximation du champ des déplacements. A une triangulation $\mathcal{T}_h$, on associe deux espaces $V_h$ et $W_h$ "d'éléments finis", les approximations $u_{ah}$ des composantes $u_\alpha$ du déplacement étant cherchées dans l'espace $V_h$, et l'approximation $u_{3h}$ du déplacement étant cherchée dans l'espace $W_h$ : Autrement dit, la **solution approchée** $u_h = (u_{1h}, u_{2h}, u_{3h})$ est dans l'espace (3.3) $\tilde{V}_h = V_h \times V_h \times W_h$.

Le problème discret se présente donc sous la forme suivante : A une même triangulation $\mathcal{T}_h^{(2)}$ sont associés trois espaces $\psi_h$, $V_h$, $W_h$, comme précédemment indiqué, et on cherche une fonction $\tilde{u}_h \in \tilde{V}_h$ telle que (3.4) où la forme bilinéaire "approchée" $a_h$ et la forme linéaire "approchée" $f_h$

<footnote>(1) Dans le cas général, une troisième approximation est à considérer, celle de la frontière $\Gamma$.</footnote>

<footnote>(2) Rien n'interdit en principe de considérer des espaces $\psi_h$, $V_h$, $W_h$ associés à des triangulations différentes ... .</footnote>
ont respectivement pour expressions (avec les notations de (2.29))

$$
(3.5) \qquad a_h^{(\vec{u}, \vec{v})} = \sum_{K \in \mathcal{G}_h} \int_{K} \sum_{I,J=1}^{12} A_{IJh} U_I V_J d\xi,
$$

$$
(3.6) \qquad f_h^{(\vec{v})} = \sum_{K \in \mathcal{G}_h} \int_K \vec{f} \cdot \vec{v} \sqrt{a_h} \, d\xi,
$$

où chaque fonction $A_{IJh}$, resp. $a_h$, est obtenue à partir de la fonction $A_{IJ}$,
resp. $a$, en remplaçant toute dérivée partielle de la carte $\phi$ qui y apparaît$^{(1)}$,
par la dérivée partielle correspondante de la carte approchée $\phi_h$ définie en (3.2).

Etant donné que des dérivées partielles jusqu'à l'ordre 3 inclus appa-
raissent dans les fonctions $A_{IJ}$, nous dirons que le problème discret est
conforme pour la géométrie si l'élément de référence $(K, \Sigma, P)$ de la famille des
espaces $\psi_h$ vérifie les inclusions$^{(2)}$

$$
(3.7) \qquad P_3 \subset P \subset \mathbb{C}^3(K).
$$

De même, nous dirons que le problème discret est conforme pour les dépla-
cements si (i) les éléments finis de référence (K', Σ', P') et (K", Σ", P")
associés respectivement aux espaces V_h et W_h vérifient les inclusions^{(2)}:

$$
(3.8) \qquad P_1 \subset P' \subset H^1(K'),
$$

$$
(3.9) \qquad P_2 \subset P'' \subset H^2(K''),
$$

et si (ii) les familles de triangulations sont respectivement de classe $\mathbb{C}^0$
pour les espaces $V_h$ et de classe $\mathbb{C}^1$ pour les espaces $W_h$. Il résulte alors de
ces hypothèses que les inclusions $V_h \subset H^1(\Omega)$ et $W_h \subset H^2(\Omega)$ sont satisfaites.
Par suite, lorsqu'un problème discret est conforme pour les déplacements, nous
écrirons, au lieu de (3.5) et (3.6), respectivement,

$$
(3.10) \qquad a_h^{(\vec{u}, \vec{v})} = \int_{\Omega} A_{IJh} U_i V_j d\xi,
$$

<footnote>(1) Les composantes $\phi_i$ de la carte $\phi$ n'apparaissent pas.</footnote>

<footnote>(2) Celles-ci seront justifiées au Théorème 4.5.</footnote>
$$
(3.11) \qquad f_h^{(\uparrow)} = \int_{\Omega} \vec{f} \cdot \vec{v} \sqrt{a_h} \, d\xi.
$$

Cette écriture est justifiée puisque les fonctions $A_{IJh}$ et $a_h$ n'ont pas a
priori besoin d'être définies sur l'ensemble de mesure nulle $\mathcal{U}_h \subset \mathcal{U}$ $\partial K^{(1)}$.

Enfin, nous dirons qu'un problème discret est _conforme_ s'il est conforme
à la fois pour la géométrie et pour les déplacements. Par suite, une méthode
sera qualifiée de _non conforme_ dès que l'une au moins des conditions précédentes
n'est pas remplie.

Exemple 3.1. Considérons la discrétisation qui utilise l'élément SHEBA de J. H. Argyris [1]. Soit K un des triangles de la triangulation, de sommets $a_i$ et de milieux des cotés $b_i$; cf. Fig. 3.1.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fig.3.1.</figcaption></figure>

<footnote>(1) Naturellement, encore faudra-t-il s'assurer que les denominateurs apparaissant dans les fonctions $A_{IJ,h}$ ne s'annulent pas; cf. Théorème 4.1.</footnote>
Si la carte $\vec{\phi}$ est de classe $C^2(\bar{\Omega})$, alors, pour tout triangle $K$ de la triangulation, il existe une et une seule application $\vec{F}_K^K : K \subset \mathbb{E}^2 \to \mathbb{E}^3$ telle que (avec les notations de la Fig. 3.1) :

$$ 
\begin{align*}
\vec{F}_K^K \in (P_5)^3, \\
\vec{F}_K^K(a_i) &= \vec{\phi}(a_i), \\
D^{\vec{F}_K^K}(a_i) \cdot (a_{i-1} - a_i) &= D^{\vec{\phi}}(a_i) \cdot (a_{i-1} - a_i) \quad \{1\}, \\
D^{\vec{F}_K^K}(a_i) \cdot (a_{i+1} - a_i) &= D^{\vec{\phi}}(a_i) \cdot (a_{i+1} - a_i) \quad \{1\}, \\
D^{\vec{F}_K^K}(b_i) \cdot v_i &= D^{\vec{\phi}}(b_i) \cdot v_i, \\
D^{2\vec{F}_K^K}(a_i) \cdot (a_{j+1} - a_j)^2 &= D^{2\vec{\phi}}(a_i) \cdot (a_{j+1} - a_j)^2 \quad \{1\} \quad \{2\}.
\end{align*}
$$

Pour le voir, il suffit de raisonner composantes à composantes et d'utiliser la $P_5$-unisolvance de l'élément SHEBA.

Alors la carte approchée $\vec{\phi}_h$ (cf. (3.2)) est la fonction $\vec{\phi}_h : \bar{\Omega} \to \mathbb{E}^3$ dont les restrictions à chaque élément fini $K$ sont les fonctions $\vec{F}_K^K$ définies ci-dessus.

Il est clair que l'espace $\psi_h$ construit à partir de l'élément SHEBA vérifie les conditions (3.7) de conformité pour la géométrie. De même un choix identique pour les espaces $V_h$ et $W_h$ entraîne la conformité pour les déplacements; c'est ce que fait J.H. Argyris (cf. équations (7.8), p. 47 de [1]).

**Remarque 3.1.** Le fait de choisir le même espace pour approcher la géométrie et les diverses composantes du déplacement (i.e., $\psi_h = V_h = W_h$) est, semble-t-il, courant pour les méthodes conformes. Comme on vient de l'indiquer, c'est ce que fait J.H. Argyris; c'est aussi ce que fait G. Dupuis (3) [6, equ. (23) et (24)] (4). Il résultera de l'analyse du No 4 qu'il y a donc là une

(1) Les indices $i,j$ étant comptés modulo 3, si nécessaire.

(2) On pourrait tout aussi bien prendre comme ensemble de degrés de liberté l'ensemble équivalent $(\vec{\phi}(a_i), \vec{\phi}_{,\alpha}(a_i), \vec{\phi}_{,\alpha\beta}(a_i), \frac{\partial \vec{\phi}}{\partial v}(b_i))$.

(3) Signalons que cet auteur travaille avec les composantes cartésiennes (i.e., sur la base $e^i$) du déplacement.

(4) On pourrait être tenté de qualifier d'"isoparamétrique" ce type de méthodes.
"surabondance", qui est peut-être justifiée par une considération pratique :
travailler avec un seul espace d'éléments finis.

**Remarque 3.2.** La façon dont nous avons construit l'application $\vec{\phi}_K$ par interpolation de la fonction $\vec{\phi}$ suggère un procédé de construction des éléments finis isoparamétriques courbes dans le plan, qui contient et généralise (au cas des dérivées partielles secondes, des dérivées normales aux "milieux" des côtés, etc...) la construction habituelle (cf. Ciarlet & Raviart [4, p. 224]), où l'on s'était borné à des degrés de liberté qui pouvaient être définis de façon intrinsèque, c'est-à-dire indépendamment d'une carte particulière.

**Remarque 3.3.** On peut, si l'on veut, imaginer que la coque $S = \vec{\phi}(\bar{\Omega})$ est approchée par une surface $S_h = \vec{\phi}_h(\bar{\Omega})^{(1)}$. Cette surface approchée $S_h$ ne coïncide pas en général avec la surface donnée. Par exemple, dans le cas de l'élément SHEBA, ceci ne peut arriver que si $\vec{\phi}_K \in (P_5)^3$ pour tout $K \in \mathcal{T}_h^{(2)}$.

La condition d'avoir une surface approchée de classe $C^1$ est requise aussi bien par G. Dupuis [6, p.1] que par Argyris [2] (l'élément SHEBA la remplit, d'ailleurs). Il y a là, semble-t-il, un point à éclaircir, car l'étude faite au No 5 montre que cette condition (toujours coûteuse à réaliser numériquement) n'est nullement nécessaire; cette conclusion va à l'encontre de ce qui est couramment admis.

Par contre, il semble superflu (en tout cas à l'auteur de ce rapport) d'imaginer que le déplacement approché $\vec{u}_h$ est défini sur la surface approchée $S_h$, i.e., que $\vec{u}_h(\xi)$ est le déplacement du point $\vec{\phi}_h(\xi)$ (sauf si, naturellement, le point $\xi$ est tel que $\vec{\phi}(\xi) = \vec{\phi}_h(\xi)$).

Il vaut mieux considérer que les trois fonctions $u_{\alpha h}$, $u_{3h}$, définies sur $\bar{\Omega}$ sont des approximations des trois fonctions $u_\alpha$, $u_3$, elles-mêmes définies sur l'ensemble $\bar{\Omega}$, même si l'on sait que, par l'intermédiaire du trièdre $(\vec{a}_\alpha, \vec{a}_3)$, $^{(1)}$Définie paramétriquement par les mêmes coordonnées $\xi^\alpha$ que la surface donnée. $^{(2)}$En tout cas, $S_h$ et $S$ ont en commun les sommets des triangles de la triangulation et les plans tangents en ces points.
on peut **ensuite** en déduire le déplacement des points **de la coque**.

**Remarque 3.4.** D'après ce qui précède, le cas "idéal" est celui où on a l'égalité $\vec{\phi} = \vec{\phi}_h$. En effet, moyennant la $\vec{v}$-ellipticité de la forme bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$, le problème discret consiste à trouver $\vec{u}_h \in \vec{v}_h \subset \vec{v}$ tel que

$$ \forall \vec{v}_h \in \vec{v}_h, a(\vec{u}_h, \vec{v}_h) = f(\vec{v}_h), $$

et la théorie de l'erreur est déjà connue, puisque l'approximation est **interne**. Cependant, il y a des cas où, même si $\vec{\phi} \neq \vec{\phi}_h$, on peut **rester dans le cadre de l'approximation interne**. Reprenons par exemple le cas d'une portion de cylindre circulaire (cf. Exemple 2.1). L'énergie s'exprime uniquement à l'aide des fonctions $v_\alpha$, $v_3$ et de leurs dérivées partielles, sans qu'apparaisse de façon "visible" la fonction $\phi$ (elle n'apparaît que par l'intermédiaire de constantes). Il suffit donc dans ce cas d'approcher les espaces $H_0^1(\Omega)$ et $H_0^2(\Omega)$ et de garder la **même énergie** pour le problème discret.

Or imaginons que nous eussions appliqué la méthode générale de discrétisation à la carte $\vec{\phi}$ qui, rappelons-le, a pour expression

$$ \vec{\phi}(\xi) = R \cos \xi^{1\uparrow} + R \sin \xi^{1\downarrow} + \xi^{2\uparrow} + \xi^{2\downarrow} = \phi_i e^{i\xi}, $$

avec $\xi = (\xi^1, \xi^2) \in [\alpha, \beta] \times [-H, +H]$. Alors, avec n'importe quel espace usuel d'éléments finis $\psi_h$ (c'est-à-dire essentiellement "polynomial par morceaux") les fonctions $\phi_\alpha$ n'eussent point été représentées dans l'espace $\psi_h$ et, par suite, on se fût inutilement retrouvé dans le cadre de l'approximation "externe" (3.4).

Par ailleurs, il est évident à priori qu'il convient de choisir parmi les cartes "disponibles" celle qui conduit à une expression simple de l'énergie (cf. Remarque 2.1). Pour illustrer ce point, revenons au cas d'une portion de cylindre circulaire. Dans le cas où $0 < \alpha < \beta < \pi$, on eût pu choisir la carte suivante, avec les mêmes notations qu'à la Figure 2.3,
$$ \phi^*(n) = R n^{1/e} + \sqrt{R^2 - (n^1)^2} + n^2 + n^3 $$

avec $n = (n^1, n^2) \in [R \cos \alpha, R \cos \beta] \times [-H, +H]$. Alors on eût trouvé une énergie où les dérivées partielles de la carte $\phi^{**}$ seraient apparues explicitement - comme des fonctions non constantes, et même non polynomiales, de $n^1$ - d'où l'obligation de considérer à nouveau une approximation "externe".
### 4. MAJORIZATION DE L'ERREUR.

Nous sommes dans la situation suivante: La solution

$$ \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) \in \vec{V} = H_0^1(\Omega) \times H_0^1(\Omega) \times H_0^2(\Omega) $$

du problème continu est la solution du problème variationnel

$$ (4.1) \qquad \nabla \vec{v} \in \vec{V}, a(\vec{u}, \vec{v}) = f(\vec{v}), $$

où la forme bilinéaire symétrique $a(\cdot, \cdot)$ est continue (Proposition 2.2) et $\vec{V}$-elliptique (moyennant des hypothèses convenables), et ou $f \in \vec{V}'$.

Comme en (2.26), on utilise la notation

$$ (4.2) \qquad V = (v_I)_{I=1}^{12} = \begin{cases} v_1; & v_1, 1; v_1, 2; \\ v_2; & v_2, 1; v_2, 2; \\ v_3; & v_3, 1; v_3, 2; v_3, 11; v_3, 12; v_3, 22 \end{cases} $$

avec une définition analogue pour la notation $U = (u_I)_{I=1}^{12}$, et la forme bilinéaire est donnée par (Proposition 2.2)

$$ (4.3) \qquad a(\vec{u}, \vec{v}) = \int_{\Omega} \sum_{I,J=1}^{12} A_{IJ} U_I V_J \, d\xi, $$

les coefficients $A_{IJ}$ étant des expressions algébriques en les dérivées partielles $\phi_{i,\alpha}$, $\phi_{i,\alpha\beta}$, $\phi_{i,\alpha\beta\gamma}$. Enfin, la forme linéaire $f$ a pour expression (cf. (2.31)) :

$$ (4.4) \qquad f(\vec{v}) = \int_{\Omega} \vec{f} \cdot \vec{v} \sqrt{a} \, d\xi. $$

Nous avons vu au No 4 qu'étant donné un sous-espace $V_h$ de $H_0^1(\Omega)$, un sous-espace $W_h$ de $H_0^2(\Omega)$ et un espace $\psi_h$ de fonctions définies sur $\bar{\Omega}$, la solution approchée

$$ \vec{u}_h = (u_{1h}, u_{2h}, u_{3h}) \in \vec{V}_h = V_h \times V_h \times W_h \subset \vec{V} $$

est la solution du problème (1)

$$ (4.5) \qquad \nabla \vec{v}_h \in \vec{V}_h, a_h(\vec{u}_h, \vec{v}_h) = f_h(\vec{v}), $$

<footnote>(1) Nous ne considérons par conséquent que des méthodes conformes pour les déplacements.</footnote>
où la forme bilinéaire $a_h(\cdot, \cdot)$ est de la forme

$$ (4.6) \qquad a_h(\vec{u}, \vec{v}) = \int_K \sum_{I,J=1}^{12} A_{IJh} U_I V_J \, d\xi, $$

où les $A_{IJ,h}$ sont les expressions obtenues en remplaçant dans les fonctions $A_{IJ}$ toute dérivée partielle de la carte $\phi: \bar{\Omega} \to \mathcal{E}^3$ par la dérivée partielle correspondante de la fonction $\phi_h = \vec{\psi}_h = (\psi_h)^3$. On a d'autre part

$$ (4.7) \qquad f_h(\vec{v}) = \int_{\Omega} \vec{f} \cdot \vec{v} \sqrt{a_h} \, d\xi, $$

où $\sqrt{a_h}$ $d\xi$ est l'élément d'aire correspondant à la carte approchée $\phi_h$.

On rappelle que l'espace $\vec{v}$, et par suite son sous-espace $\vec{v}_h$, sont normés par

$$ (4.8) \qquad \| \vec{v} \| = \left( |v_1|^2_{1,\Omega} + |v_2|^2_{1,\Omega} + |v_3|^2_{2,\Omega} \right)^{1/2}. $$

Naturellement, le seul cas nouveau à considérer est celui où la carte $\phi$ est effectivement approchée, sinon la théorie de l'erreur est déjà connue !

De même qu'au No précédent, nous faisons l'hypothèse que l'ouvert $\Omega \subset \mathcal{E}^2$ est polygonal, ce qui permet de le recouvrir par des triangulations $^{(1)}$.

Commençons par évaluer l'**erreur de consistance** $|a(\vec{u},\vec{v}) - a_h(\vec{u},\vec{v})|$ qui résulte de l'approximation de $\phi$ par $\phi_h$.

**Théorème 4.1.** On suppose les espaces $\psi_h$ construits à partir d'une suite **régulière de triangulations** dont l'élément fini de référence vérifie les inclusions

$$ (4.9) \qquad P_m \subset P \subset \mathbb{C}^3(\kappa), $$

pour un entier $m \ge 3$. Alors, pourvu que $h$ soit suffisamment petit, la forme bilinéaire $a_h(\cdot, \cdot)$ de (4.6) est définie sur l'espace $\vec{v}$, et il existe une

<footnote>$^{(1)}$ Il conviendrait de pouvoir se dispenser de cette hypothèse.</footnote>
constante C indépendante de h telle que

$$
(4.10) \quad \forall \vec{u}, \vec{v} \in \vec{V}, |a(\vec{u}, \vec{v}) - a_h(\vec{u}, \vec{v})| < C h^{m-2} \|\vec{u}\| \|\vec{v}\|.
$$

Démonstration. Posons

$$
(4.11) \qquad \vec{\phi} = \phi_i \vec{e}^i \text{ et } \vec{\phi}_h = \phi_{hi} \vec{e}^i.
$$

Il résulte des hypothèses faites sur les espaces $\Psi_h$ que l'on a les majorations uniformes suivantes, où comme d'habitude, les indices grecs décrivent l'ensemble $\{1,2\}$ tandis que les indices latins décrivent l'ensemble $\{1,2,3\}^{(1)}$ :

$$
(4.12) \quad \max_{K \in \mathcal{G}_h} \sup_{\xi \in K} |\phi_i(\xi) - \phi_{ih,\alpha}(\xi)| < C h^m |\phi_i|_{m+1,\infty,\Omega'}
$$

$$
(4.13) \quad \max_{K \in \mathcal{G}_h} \sup_{\xi \in K} |\phi_i(\xi) - \phi_{ih,\alpha\beta}(\xi)| < C h^{m-1} |\phi_i|_{m+1,\infty,\Omega'}
$$

$$
(4.14) \quad \max_{K \in \mathcal{G}_h} \sup_{\xi \in K} |\phi_i(\xi) - \phi_{ih,\alpha\beta\gamma}(\xi)| \le C h^{m-2} |\phi_i|_{m+1,\infty,\Omega'}
$$

où $\vec{K}$ désigne l'intérieur de l'élément fini K.

On remarque que dans la définition des fonctions $A_{IJh}$, on peut se borner
à considérer les points $\xi$ appartenant à l'intérieur des éléments finis K,
puisque ceci revient à ignorer les valeurs des fonctions $A_{IJh}$ sur des ensembles
de mesure nulle $^{(2)}$.

Comme on l'a déjà observé à la Proposition 2.1, le seul dénominateur
qui intervient dans les fonctions $A_{IJ}$ (resp. les fonctions $A_{IJh}$) est le déter-
minant $a$ (resp. le déterminant $a_h$) élevé à certaines puissances, et construit
comme en (2.7) à partir de la fonction $\phi^+$ (resp. de la fonction $\phi_h^+$).Il convient
par conséquent de s'assurer pour commencer que, au moins pour des valeurs suf-
fisamment petites du paramètre $h$, le déterminant $a_h$ ne s'annule pas. Pour cela,
il est commode de se rappeler que $a_h$ est aussi le carré du module du produit
vectoriel $\vec{a}_{1h} \times \vec{a}_{2h}$, où

<footnote>$^{(1)}$ Par ailleurs, les fonctions $\phi_i$ sont dans l'espace $C^{m+1}(\bar{\Omega})$ puisqu'elles sont
"suffisamment régulières" par hypothèse ...</footnote>

<footnote>$^{(2)}$ D'où aussi l'inutilité de conditions de raccordement entre éléments finis adjacents.</footnote>
$$
(4.15) \qquad \vec{a}_{\alpha h} = \vec{\phi}_{h, \alpha}.
$$

On est ainsi ramené à montrer que les vecteurs $\vec{a}_{1h}^+$ et $\vec{a}_{2h}^+$ restent linéairement indépendants $^{(1)}$.

Vérifions d'abord que les vecteurs $\vec{a}_{\alpha h}^+$ ne s'annulent pas; comme les
vecteurs $\vec{a}_{\alpha}^+ = \vec{\phi}_{,\alpha}$ ne sont nuls en aucun point de la coque par hypothèse et
comme leurs composantes sont des fonctions continues sur $\bar{\Omega}$, cette condition sera
remplie pour des valeurs suffisamment petites, du paramètre h; appliquer les
majorations (4.12).

Vérifions ensuite que les deux vecteurs $\vec{a}_{\alpha h}^+$ ne sont pas colinéaires, ou
ce qui revient au même, que le cosinus de leur angle $\theta_h = \theta_h(\xi)$ :

$$
(4.16) \qquad \cos \theta_h = \frac{\vec{a}_{1h}^+ \cdot \vec{a}_{2h}^+}{|\vec{a}_{1h}^+| |\vec{a}_{2h}^+|}
$$

reste en module strictement inférieur à 1. Comme le cosinus de l'angle des
vecteurs $\vec{a}_1$ et $\vec{a}_2$ vérifie cette propriété, les majorations (4.12) montrent à
nouveau que cette condition sera réalisée pour h suffisamment petit (on voit
même que ces propriétés sont vérifiées "uniformément en $\xi \in \bar{\Omega}$"; on utilisera
ce fait ultérieurement; cf. (4.22)).

Les conditions précédentes étant supposées remplies, posons

$$
(4.17) \quad C(h) = \sum_{I,J=1}^{12} \max_{K \in \mathcal{G}_h} \sup_{\xi \in \mathcal{K}} |A_{IJ}(\xi) - A_{IJh}(\xi)|,
$$

ce qui est loisible, puisque les fonctions $A_{IJ,h}$ sont bien définies. Puis-
qu'on a la majoration

$$
(4.18) \quad |a(\vec{u}, \vec{v}) - a_h(\vec{u}, \vec{v})| \le C(h) \|\vec{u}\| \|\vec{v}\|
$$

on est ramené à estimer (4.17). L'une quelconque des différences apparaissant
dans cette expression est de la forme

<footnote>(1) On retrouve la même interprétation avec la condition d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz.</footnote>
$$
(4.19) \quad
\begin{aligned}
A_{IJ}(\xi) - A_{IJh}(\xi) &= f_{IJ}(\phi_{i,\alpha}(\xi), \phi_{i,\alpha\beta}(\xi), \phi_{i,\alpha\beta\gamma}(\xi)) \\
&\quad - f_{IJ}(\phi_{ih,\alpha}(\xi), \phi_{ih,\alpha\beta}(\xi), \phi_{ih,\alpha\beta\gamma}(\xi)) \\
&= f_{IJ}(\phi(\xi)) - f(\phi_h(\xi)),
\end{aligned}
$$

avec des notations évidentes pour les vecteurs $\phi(\xi)$ et $\phi_h(\xi)$ de $\mathbb{R}^{27(1)}$.

On va appliquer la formule de Taylor à la différence (4.19); pour cela,
il faut s'assurer que, le long du segment $[\phi(\xi), \phi_h(\xi)]$, on ne passe pas par
un point où le dénominateur de la fonction $f$ s'annule.

Soit $\psi_{i\alpha}$, $i \in \{1,2,3\}$, $\alpha \in \{1,2\}$, des fonctions $\varepsilon^{(2)}$ à valeurs réelles
définies sur la réunion des intérieurs des éléments finis. A un tel ensemble
de fonctions, on fait correspondre la fonction

$$
(4.20) \quad a(\psi_{i\alpha}) = \left( \sum_{i=1}^{3} |\psi_{i1}|^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{3} |\psi_{i2}|^2 \right) - \left( \sum_{i=1}^{3} \psi_{i1} \psi_{i2} \right)^2
$$

c'est-à-dire la fonction construite à partir des fonctions $\psi_{i\alpha}$ comme est cons-
truit le déterminant $a$ à partir des dérivées partielles $\phi_{i,\alpha}$.

En reprenant le raisonnement du début de cette démonstration, il est
aisé de voir qu'il existe deux constantes $\delta$ et $a_o$ telles que, pour tout ensemble
de fonctions $\psi_{i\alpha}$ vérifiant les majorations uniformes

$$
(4.21) \quad \max_{K \in \mathcal{T}_h} \sup_{\xi \in K} |\phi_{i,\alpha}(\xi) - \psi_{i\alpha}(\xi)| \le \delta,
$$

on ait la minoration, également uniforme,

$$
(4.22) \quad \min_{K \in \mathcal{T}_h} \inf_{\xi \in K} a(\psi_{i\alpha}(\xi)) \ge a_o > 0.
$$

Soit alors $h_o$ tel que, pour tout $h \le h_o$, on ait

$$
(4.23) \quad \max_{K \in \mathcal{T}_h} \sup_{\xi \in K} |\phi_{i,\alpha}(\xi) - \phi_{ih,\alpha}(\xi)| \le \delta.
$$

(1) Naturellement, on a posé

$$
\Phi(\xi) = (\phi_{i,\alpha}(\xi), \phi_{i,\alpha\beta}(\xi), \phi_{i,\alpha\beta\gamma}(\xi)) = (\phi_{1,1}(\xi), \phi_{2,1}(\xi), \phi_{3,1}(\xi), \phi_{2,1}(\xi), \\
\dots, \phi_{3,222}(\xi)).
$$

(2) Il ne s'agit pas de dérivées partielles.
Toutes les composantes d'indices $(i\alpha)$ de tout point du segment $[\phi(\xi), \phi_h(\xi)]$ vérifient encore la majoration (4.21). Celle-ci entraîne donc la minoration (4.22) pour l'expression (du type (4.20)) qui apparaît dans le dénominateur de la fonction $f$. On peut donc écrire la différence (4.19) sous la forme$^{(1)}$

$$ (4.24) \quad A_{IJ}(\xi) - A_{IJh}(\xi) = \sum_{i,\alpha} f_{IJ,ia}(P(\xi)) (\phi_{i,\alpha}(\xi) - \phi_{ih,\alpha}(\xi)) \\ \qquad + \sum_{i,\alpha,\beta} f_{IJ,ia\beta}(P(\xi)) (\phi_{i,\alpha\beta}(\xi) - \phi_{ih,\alpha\beta}(\xi)) \\ \qquad + \sum_{i,\alpha,\beta,\gamma} f_{IJ,ia\beta\gamma}(P(\xi)) (\phi_{i,\alpha\beta\gamma}(\xi) - \phi_{ih,\alpha\beta\gamma}(\xi)). $$

Comme les points intermédiaires $P(\xi) \in ]\phi(\xi), \phi_h(\xi)]$ sont tous situés dans un compact de $\mathbb{R}^{27}$ du type

$$ (4.25) \quad \{(X_{i\alpha}, X_{i\alpha\beta}, X_{i\alpha\beta\gamma}) \in \mathbb{R}^{27} ; |X_{i\alpha}|, |X_{i\alpha\beta}|, |X_{i\alpha\beta\gamma}| < \epsilon ; a(X_{i\alpha}) \ge a_0\} $$

pour un nombre $\epsilon$ convenable (pour l'existence duquel les majorations (4.13), (4.14) sont utilisées), on en déduit finalement l'existence de constantes

$M_{i\alpha}^{IJ}, M_{i\alpha\beta}^{IJ}, M_{i\alpha\beta\gamma}^{IJ}$ telles que, en tout point $\xi \in \bigcup_{K \in \mathcal{G}_h^\circ} K$,

$$ (4.26) \quad |A_{IJ}(\xi) - A_{IJh}(\xi)| \le \sum_{i,\alpha} M_{i\alpha}^{IJ} |\phi_{i,\alpha}(\xi) - \phi_{ih,\alpha}(\xi)| \\ \qquad + \sum_{i,\alpha,\beta} M_{i\alpha\beta}^{IJ} |\phi_{i,\alpha\beta}(\xi) - \phi_{ih,\alpha\beta}(\xi)| \\ \qquad + \sum_{i,\alpha,\beta,\gamma} M_{i\alpha\beta\gamma}^{IJ} |\phi_{i,\alpha\beta\gamma}(\xi) - \phi_{ih,\alpha\beta\gamma}(\xi)| $$

puisque la fonction $f$ est suffisamment régulière sur le compact (4.25);
cf. Proposition 2.1. L'inégalité (4.10) est alors la conséquence des inégalités (4.18), (4.26) et des majorations uniformes (4.12), (4.13) et (4.14). ■

<footnote>(1) Avec des notations évidentes pour les dérivées partielles.</footnote>
Evaluons de la même façon l'erreur de consistance $|f(\tilde{v}) - f_h(\tilde{v})|$.

**Théorème 4.2.** *Avec les mêmes hypothèses qu'au Théorème 4.1, la forme linéaire $f_h$ de (4.7) est définie sur l'espace $\tilde{v}$ pourvu que h soit suffisamment petit, et il existe une constante C indépendante de h telle que*

$$ (4.27) \qquad \forall \tilde{v} \in \tilde{V}, |f(\tilde{v}) - f_h(\tilde{v})| < C_h^m \|f\|^* \|\tilde{v}\|, \\ \text{où } \| \cdot \|^* \text{ désigne la norme de l'espace dual de l'espace } \tilde{V}. $$

**Démonstration.** La démonstration est analogue à celle du théorème précédent. Puisque seules apparaissent des dérivées partielles premières dans l'élément de surface, on utilise seulement les majorations uniformes (4.12), ce qui conduit à l'exposant m dans l'inégalité (4.27). ■

Examinons ensuite la $\tilde{V}_h$-ellipticité de la forme bilinéaire $a_h$; d'une part, celle-ci assure l'existence d'une solution du problème discret et, d'autre part, son "uniformité" est fondamentale pour l'obtention des majorations d'erreur (cf. Théorèmes 4.4 et 4.5).

**Théorème 4.3.** *On fait les mêmes hypothèses qu'au Théorème 4.1. Alors, pourvu que h soit suffisamment petit, la forme bilinéaire $a_h : \tilde{V}_h \times \tilde{V}_h \to \mathbb{R}$ est continue et $V_h$-elliptique, et le problème discret (4.5) a une solution et une seule.*

En fait, la continuité et la $\tilde{V}_h$-ellipticité sont même "uniformes", en ce sens que, pour h suffisamment petit, il existe des constantes $\tilde{M}$ et $\tilde{\alpha} > 0$ telles que

$$ (4.28) \qquad \forall u, v \in \tilde{V}, a_h(u, v) < \tilde{M} \|u\| \|v\|, $$

$$ (4.29) \qquad \forall u \in \tilde{V}, a_h(u, u) > \tilde{\alpha} \|u\|^2 $$

**Démonstration.** Tout est à peu près évident. En particulier, les majorations (4.28) et (4.29) découlent aisément de l'inégalité (4.10). ■
Avant d'obtenir une majoration explicite de l'erreur, commençons par une majoration "abstraite".

**Théorème 4.4.** Soit $u \in \tilde{V}$ et $u_h \in \tilde{V}_h \subset \tilde{V}$ les solutions des problèmes (4.1) et (4.5) respectivement. On suppose la forme bilinéaire $a_h$ également définie sur $\tilde{V}$, "uniformément" continue au sens de (4.28) et "uniformément" $V_h$-elliptique au sens de (4.29). Alors il existe une constante $C$ indépendante de $h$ telle que

$$ (4.30) \quad \|\hat{u}-\hat{u}_h\| \le C \left[ \begin{aligned} & \inf_{\tilde{v}_h \in \tilde{V}_h} \|\hat{u}-\tilde{v}_h\| + \sup_{\tilde{w}_h \in \tilde{V}_h} \frac{|a(\hat{u},\tilde{w}_h)-a_h(\hat{u},\tilde{w}_h)|}{\|\tilde{w}_h\|} \\ & + \sup_{\tilde{w}_h \in \tilde{V}_h} \frac{|f(\tilde{w}_h)-f_h(\tilde{w}_h)|}{\|\tilde{w}_h\|} \end{aligned} \right] $$

**Démonstration.** Soit $\tilde{v}_h$ un élément quelconque de l'espace $\tilde{V}_h$. De l'identité

$$ \begin{align*} a_h(\tilde{v}_h - \hat{u}_h, \tilde{v}_h - \hat{u}_h) &= a_h(\tilde{v}_h - \hat{u}_h, \tilde{v}_h - \hat{u}_h) \\ &\quad + a_h(\hat{u}_h, \tilde{v}_h - \hat{u}_h) - a(\hat{u}_h, \tilde{v}_h - \hat{u}_h) \\ &\quad + f(\tilde{v}_h - \hat{u}_h) - f_h(\tilde{v}_h - \hat{u}_h), \end{align*} $$

on déduit, en utilisant les inégalités (4.28) et (4.29),

$$ \begin{align*} \tilde{\alpha} \|\tilde{v}_h - \hat{u}_h\| &\le \tilde{M} \|\hat{u} - \tilde{v}_h\| \|\tilde{v}_h - \hat{u}_h\| \\ &\quad + |a_h(\hat{u}, \tilde{v}_h - \hat{u}_h) - a(\hat{u}, \tilde{v}_h - \hat{u}_h)| \\ &\quad + |f(\tilde{v}_h - \hat{u}_h) - f_h(\tilde{v}_h - \hat{u}_h)|. \end{align*} $$

Par suite,

$$ (4.31) \quad \tilde{\alpha} \|\tilde{v}_h - \hat{u}_h\| \le \tilde{M} \|\hat{u} - \tilde{v}_h\| + \sup_{\tilde{w}_h \in \tilde{V}_h} \frac{|a_h(\hat{u}, \tilde{w}_h) - a(\hat{u}, \tilde{w}_h)|}{\|\tilde{w}_h\|} \\ \phantom{\tilde{\alpha} \|\tilde{v}_h - \hat{u}_h\| \le \tilde{M} \|\hat{u} - \tilde{v}_h\| + \sup_{\tilde{w}_h \in \tilde{V}_h} \frac{|a_h(\hat{u}, \tilde{w}_h) - a(\hat{u}, \tilde{w}_h)|}{\|\tilde{w}_h\|} } + \sup_{\tilde{w}_h \in \tilde{V}_h} \frac{|f(\tilde{w}_h) - f_h(\tilde{w}_h)|}{\|\tilde{w}_h\|}, $$
et l'inégalité (4.31), jointe à l'inégalité triangulaire

$$ \|\vec{u}-\vec{u}_h\| < \|\vec{u}-\vec{v}_h\| + \|\vec{v}_h-\vec{u}_h\| $$

conduit à l'inégalité (4.30).

**Remarque 4.1.** On voit donc apparaître, en plus du terme "usuel" $\inf_{\vec{v}_h \in \vec{V}_h} \|\vec{u}-\vec{v}_h\|$, deux termes dont les convergences vers O avec h s'interprètent comme des conditions de consistance de la discrétisation.

On déduit des théorèmes précédents, une estimation de l'erreur :

**Théorème 4.5.** On suppose (i) les espaces $\psi_h$ construits à partir d'une suite régulière de triangulations dont l'élément fini de référence $(K, \Sigma, P)$ vérifie les inclusions

$$ (4.32) \qquad P_m \subset P \subset C^3(\kappa) $$

pour un entier $m \ge 3$, (ii) les espaces $V_h$ construits à partir d'une suite régulière de triangulations de classe $C^\circ$ dont l'élément fini de référence $(K', \Sigma', P')$ vérifie les inclusions

$$ (4.33) \qquad P_k \subset P' \subset H^1(K'), $$

pour un entier $k \ge 1$, et (iii) les espaces $W_h$ construits à partir d'une suite régulière de triangulations de classe $C^1$ dont l'élément fini de référence $(K'', \Sigma'', P'')$ vérifie les inclusions

$$ (4.34) \qquad P_\ell \subset P'' \subset H^2(K'') $$

pour un entier $\ell \ge 2$. Alors si la solution $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ appartient à l'espace $H^{k+1}(\Omega) \times H^{k+1}(\Omega) \times H^{\ell+1}(\Omega)$, on a la majoration (1)

$$ (4.35) \qquad \|\vec{u}-\vec{u}_h\| < C_h^{\min\{k,\ell-1,m-2\}} $$

<footnote>(1) Moyennant d'éventuelles hypothèses supplémentaires sur les entiers $k$ et $\ell$, afin que la fonction $V_h$-interpolée, resp. $W_h$-interpolée, d'une fonction arbitraire de l'espace $H^{k+1}(\Omega)$, resp. $H^{\ell+1}(\Omega)$, soit bien définie.</footnote>
Démonstration. On a

$$
\inf_{\substack{\vec{u} \\ \vec{v} \in V_h}} \|\vec{u} - \vec{v}_h\| \le \|\vec{u} - \vec{u}_h\| = (|u_1 - \Pi_h u_1|^2_{1,\Omega} + |u_2 - \Pi_h u_2|^2_{1,\Omega} \\
\qquad + |u_3 - \Lambda_h u_3|^2_{2,\Omega})^{1/2}
$$

$\vec{\Pi}_h \vec{u} = (\vec{\Pi}_h u_1, \vec{\Pi}_h u_2, \Lambda_h u_3)$ désignant la fonction $\vec{V}_h$-interpolée de la solution u
($\vec{\Pi}_h$ = opérateur de $V_h$-interpolation; $\Lambda_h$ = opérateur de $W_h$-interpolation), d'où
l'on déduit, en utilisant les majorations habituelles,

$$
(4.36) \quad \inf_{\vec{v}_h \in \vec{V}_h} \| \vec{u} - \vec{v}_h \| \le C (h^k (|u_1|_{k+1,\Omega} + |u_2|_{k+1,\Omega}) + h^{\ell-1} |u_3|_{\ell+1,\Omega})
$$

pour une constante C indépendante de h.

L'inégalité (4.35) découle alors des inégalités (4.30), (4.36), (4.10)
et (4.27).
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