# Modélisation de la fragmentation par éléments discrets

Christian Mariotti, Vincent Michaut, Jean-François Molinari

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Christian Mariotti, Vincent Michaut, Jean-François Molinari. Modélisation de la fragmentation par éléments discrets. 9e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2009, Giens, France. hal-01413712

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Submitted on 10 Dec 2016

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# Modélisation de la fragmentation par éléments discrets

Mariotti Christian, C.E.A./D.A.M. laboratoire de Détection et de géophysique
91 680 Bruyères le Châtel, France – christian.mariotti@cea.fr

Michaut Vincent, C.E.A./D.A.M. laboratoire de Détection et de géophysique
91 680 Bruyères le Châtel, France – Vincent.michaut@cea.fr

Molinari Jean-François, E.P.F.L. Lausanne, Suisse – jean-francois.molinari@epfl.ch

**Mots clés** : Méthode des éléments discrets, Fragmentation dynamique, Énergie de cohésion, Convergence numérique de l'énergie de cohésion

## Résumé

La méthode des éléments discrets [1] [7] est une approche efficace pour traiter les phénomènes de fractures mécaniques, notamment quand de multiples contacts entre les surfaces fissurées apparaissent. L'objectif de notre projet est d'étudier via la méthode des éléments discrets la physique de la fragmentation dynamique, qui est un mécanisme de dommage important dans de nombreuses applications (impacts balistiques, explosions, glissement de terrains durant les tremblements de terre, etc.).

Dans un premier temps, nous exposerons une poutre en céramique de longueur 50 mm en traction jusqu'à la fragmentation, pour des taux de déformation allant de 10 à $10^7$ s⁻¹. La poutre est modélisée avec des éléments discrets (particules) et nos résultats seront comparés avec les résultats d'une approche continue (éléments finis [2] [3]), afin de valider notre approche discrète. Pour ce modèle, nous avons pris comme hypothèse que le matériau est supposé être élastique jusqu'à la contrainte critique de traction, et ensuite l'apparition d'un assouplissement des contraintes suivant l'ouverture de la fissure. La figure 1 illustre cette hypothèse, que l'on appelle la loi de cohésion. Dans cette loi de cohésion, $G_c$ (énergie de fracture dissipée par la fissure), $\delta_c$ (longueur d'ouverture critique de la fissure) et $\sigma_c$ (contrainte critique de traction) sont des paramètres fixes du matériau. (Camacho and Ortiz [6])

Afin de valider le modèle numérique discret, nous choisisons d'étudier la dépendance de l'énergie de cohésion dissipée au cours de la fragmentation en fonction du nombre de particules (densité des maillages). Nous comparerons aussi nos tailles de fragments moyens aux modèles énergétiques (Grady [4], Glenn and Chudnovsky [5]), et verrons que nos résultats sont très proches de de l'approche continue (figure 2). Nous montrerons également que l'énergie de cohésion dissipée converge vers une valeur qui est fonction de la vitesse de déformation initiale imposée. Cette valeur est proportionnelle au nombre de fragments formés. A noter également que le nombre de particules nécessaire pour la convergence en fonction du taux de déformation est du type exponentielle. (Pour un taux de déformation de $5 \cdot 10^5$ s⁻¹, $10^4$ particules sont nécessaires pour avoir une convergence)

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1: Loi de cohésion [6]</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2: Taille des fragments moyens en fonction du taux de déformation initial et comparaison avec d'autres méthodes</figcaption></figure>
Ensuite, nous exposerons un modèle de plaque en céramique en deux dimensions à une traction biaxiale jusqu'à la fragmentation, avec un taux de déformation de $10^4$ s⁻¹. En effet, avec ce taux de déformation, nous pouvons espérer une convergence des modèles avec moins de 2 millions de particules. Les modèles numériques seront étudiés avec trois types de millages, à savoir un maillage avec des particules de forme « carré », un maillage de Voronoi homogène, et enfin un maillage de Voronoi aléatoire. Nous montrerons que nous avons une convergence de l'énergie de décohésion et du nombre de fragments uniquement pour le maillage « carré » (figure 3) et pour le maillage aléatoire de Voronoi, mais pas pour le maillage homogène de Voronoi.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3 : Convergence de l'énergie de cohésion pour un maillage à forme « carré »</figcaption></figure>

Nous conclurons cette présentation avec les perspectives très prochaines du projet. En effet, de l'extrapolation de nos analyses 1D et 2D, il apparaît que la réalisation de la convergence numérique pour un modèle en 2D avec des taux de déformations élevés (plus de $10^5$ s⁻¹) semble être difficile (nous estimons à $10^8$ particules pour avoir une convergence avec un taux de déformation de $5 \cdot 10^5$ s⁻¹) avec les moyens de calculs actuels.

Par conséquent, le principal objectif de notre projet serait de faire converger plus rapidement les modèles en homogénéisant, d'une part, la loi de cohésion, et d'autre part, en introduisant des termes énergétiques supplémentaires sur les maillages grossiers pour avoir au moins une convergence énergétique, à l'aide de méthodes probabilistes.

## Références

[1] P. Cundall, O. Strack, A discrete numerical model for granular assemblies, Geotech., 29, 47-65, 1979

[2] F. Zhou, J.F. Molinari and K.T. Ramesh, A cohesive model based fragmentation analysis: effects of strain rate and initial defects distribution, Int. J. of Sol. and Struct., 42, 5181-5207, 2005

[3] J.F. Molinari, G. Gazonas, R. Raghupaty, A. Rusinek, F. Zhou, The cohesive element approach to dynamic fragmentation : the question of energy convergence, Int. J. for Num. Methods in Eng., 69, 484-503, 2007

[4] Grady, Local inertial effects in dynamic fragmentation, J. Appl. Phys., 53, 322-325, 1982

[5] Glenn and Chudnovsky, Strain-energy effects in dynamic fragmentation, J. Appl. Phys., 59, 1379-1380, 1986

[6] G.T. Camacho, M. Ortiz, Computational modelling of impact damage in brittle materials, Int. J. Solids Struc., 33, 2899-2938, 1996

[7] C. Mariotti, Lamb's problem with the lattice model Mka3D, Geophys. J. Int., 171, 257-264, 2007