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Migrations, choix de qualification et croissance

Manon Domingues dos Santos

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Manon Domingues dos Santos. Migrations, choix de qualification et croissance. 1998. halshs-04708381

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CAHIERS ECO & MATHS

98.02

MIGRATIONS, CHOIX DE QUALIFICATION ET CROISSANCE

Manon DOMINGUES DOS SANTOS

CEME
# MIGRATIONS, CHOIX DE QUALIFICATION ET CROISSANCE

Manon DOMINGUES DOS SANTOS

**Résumé** : l'objet de cet article est d'étudier, dans le cadre d'un modèle de croissance endogène à la Romer, l'impact de l'immigration de travailleurs peu qualifiés sur les salaires et le taux de croissance de la région d'accueil ainsi que le bien-être des différents types d'agents, lorsque l'allocation des travailleurs entre qualifications résulte d'un choix rationnel de formation. Il est montré que l'endogénéisation de la structure par qualifications de la population active étend la probabilité d'occurrence d'un impact positif des migrations sur le taux de croissance de la région d'accueil, mais également sur le bien-être des travailleurs locaux peu qualifiés. Un accès inégalitaire des travailleurs à l'éducation peut toutefois limiter, voire compromettre, l'éventuel effet expansionniste des migrations.

**Mots-clés** : Immigration, Croissance, Bien-être.

**Classification JEL** : F22, J61, O15, R23.

## MIGRATION, EDUCATION AND GROWTH

Manon DOMINGUES DOS SANTOS

**Abstract** : Two counteracting effects of immigration on the welfare of unskilled natives are taken into account. On the one hand, because of substitutability between immigrants and low skilled natives, immigration reduces the relative wage of low skilled natives. On the other hand, more native workers should be motivated to educate. So, when education is relatively accessible, immigration may increase the proportion of skilled native workers. Following Romer (1990), this increase in the size of the skilled population should speed up innovation, and then growth. That the *positive growth effect* on the welfare of unskilled natives may overcome the *negative substitutability effect* when formation is *relatively accessible* is precisely what this article shows.

**Key-words** : Immigration, Growth, Welfare.

**Classification JEL** : F22, J61, O15, R23.
MIGRATIONS, CHOIX DE QUALIFICATION ET CROISSANCE

Juin 1997

Manon DOMINGUES DOS SANTOS*

C.E.M.E

Université de Paris 1-Panthéon-Sorbonne
106-112 boulevard de l'Hôpital
75013 Paris
France

**Résumé** : l'objet de cet article est d'étudier, dans le cadre d'un modèle de croissance endogène à la Romer, l'impact de l'immigration de travailleurs peu qualifiés sur les salaires et le taux de croissance de la région d'accueil ainsi que le bien-être des différents types d'agents, lorsque l'allocation des travailleurs entre qualifications résulte d'un choix rationnel de formation. Il est montré que l'endogénéisation de la structure par qualifications de la population active étend la probabilité d'occurrence d'un impact positif des migrations sur le taux de croissance de la région d'accueil, mais également sur le bien-être des travailleurs locaux peu qualifiés. Un accès inégalitaire des travailleurs à l'éducation peut toutefois limiter, voire compromettre, l'éventuel effet expansionniste des migrations.

**Mots-clés** : Immigration, Croissance, Bien-être.

**Classification JEL** : F22, J61, O15, R23.

<footnote>*Je tiens à remercier P.Cahuc, A.Perrot et F.Postel-Vinay pour leurs précieux conseils.
Je reste toutefois seule responsable des erreurs et omissions qui subsistent.</footnote>
# 1. INTRODUCTION

"Give me your tired, your poor, your huddled masses yearning to breath free..." : cette inscription gravée sur le socle de la Statue de la Liberté, emblème d'une Amérique terre d'asile, ne semble plus trouver aujourd'hui chez les natifs américains le même écho unanime qu'autrefois. Le respect de ce principe philosophique de libre mobilité des hommes paraît dorénavant se heurter, dans la plupart des pays développés, à une crainte des autochtones concernant l'impact de l'arrivée de nouveaux migrants sur leur propre bien-être. Ainsi, au sein de nombreux pays développés, tels le Canada ou les Etats Unis, confrontés au problème du vieillissement de leur population active, la réponse à ce problème par une ouverture régulée des frontières suscite-t-elle un large débat: faut-il élargir les quotas migratoires? Si oui, est-il préférable d'ouvrir les frontières à une main-d'œuvre qualifiée ou non? De même, si la plupart des pays de l'Union Européenne affiche une volonté politique d'élargir la zone de coopération économique aux pays de L'Europe de l'Est, de nombreux arguments s'affrontent sur l'ouverture des frontières communautaires aux ressortissants de ces nations.

L'actualité de la question migratoire suscite un regain d'essor des travaux théoriques s'intéressant aux migrations de la main-d'œuvre, et plus précisément à l'impact des migrations de la main-d'œuvre sur l'économie d'accueil. Deux problématiques peuvent être distinguées. Un premier courant étudie l'impact des migrations sur les revenus des agents originaires du pays d'accueil : l'impact de l'immigration dépend de l'importance de la substituabilité entre les facteurs de production détenus par les migrants et les facteurs de productions détenus par les natifs (voir Borjas (1995) pour une synthèse de ces travaux). En effet, en situation de concurrence, l'augmentation de l'offre d'un facteur de production influence le prix relatif des autres facteurs : il diminue celui des facteurs qui lui sont fortement substituables et augmente celui des facteurs qui lui sont peu substituables. Ainsi, lorsque l'on fait abstraction du capital physique éventuellement détenu par les migrants, une immigration de travailleurs non qualifiés, induit, en théorie, une diminution du salaire des travailleurs non qualifiés, facteur fortement substituable à ce type de migrants, et une augmentation du salaire des travailleurs qualifiés, facteur faiblement substituable. Inversement, l'immigration de travailleurs qualifiés entraîne la diminution du salaire des travailleurs qualifiés, l'augmentation de celui des non qualifiés, mais également l'augmentation de la rémunération du capital, facteur faiblement substituable au travail qualifié. La définition quantitative et qualitative du quota migratoire qui maximise le bien-être de la population autochtone dépend donc des élasticités du prix des facteurs, de la qualification relative de la population locale ainsi que de la quantité de capital détenus par les natifs. Toutefois, il convient de souligner que l'augmentation du quota migratoire, quelles que soient les caractéristiques des migrants, n'est jamais Pareto améliorante au regard du bien-être de la population active locale. Comme l'expliquent Razin & Sadka (1995), même si le surplus
migratoire est positif pour l'ensemble de la région d'accueil, la redistribution inhérente des revenus est toujours susceptible d'engendrer l'opposition d'une certaine catégorie de la population active locale.

Un second courant étudie l'impact des migrations sur le taux de croissance la région d'accueil. Dans un modèle de croissance exogène à la Solow, le long du sentier de croissance équilibrée, le revenu par tête d'une région est une fonction croissante du stock de capital physique par unité de travail effectif. Si l'on suppose, pour simplifier, que le seul capital mobile est le capital humain, l'immigration continue de travailleurs augmente alors le capital par tête de la région d'accueil, et donc le produit par tête, si le capital humain moyen détenu par les migrants est supérieur au capital détenu en moyenne par les autochtones<fnref n="1" />. Ainsi, dans ce type de modèle de croissance exogène, les migrations ont un impact expansionniste si les migrants sont relativement plus qualifiés que les natifs et un impact récessionniste dans le cas contraire. Néanmoins, dans le cadre d'un modèle de croissance endogène, Romer (1990a) et (1990b) montre qu'une augmentation du nombre de travailleurs non qualifiés peut avoir un effet expansionniste ou recessioniste. Dans son modèle, le taux de croissance est déterminé par le nombre de qualifiés employés dans le secteur de la recherche. Lorsque qualifiés et non qualifiés sont fortement substituables dans la production du bien final, une augmentation du nombre de non qualifiés peut, en modifiant le salaire des qualifiés employés dans l'industrie relativement à celui des qualifiés employés dans la recherche, inciter davantage de qualifiés à travailler dans ce dernier secteur. En revanche, lorsque qualifiés et non qualifiés sont faiblement substituables dans la production du bien final, une augmentation du nombre de non qualifiés diminue le nombre de travailleurs qualifiés employés dans le secteur de la recherche, ce qui diminue le taux de croissance.

Ainsi, d'après ces deux courants théoriques, une modification des quotas migratoires, en permettant d'accroître ou de diminuer la part de la population active non qualifiée, influence directement la structure des salaires et le taux de croissance et l'équilibre de long terme de la région d'accueil.

Toutefois, si une modification des taux d'immigration peut être un instrument de politique économique, les analyses proposées doivent être approfondies sur deux points majeurs.

Tout d'abord, ces travaux reposent sur une hypothèse simplificatrice centrale : l'allocation de la population active de la région d'immigration entre qualifiés et non qualifiés est fixée de façon exogène. Ainsi, une diminution du salaire relatif des travailleurs peu qualifiés induite par l'immigration de non qualifiés, suggérée par le premier courant théorique et confirmée par certains travaux empiriques (voir, par exemple, Borjas & Ramey, 1994 ; Denew & Zimmermann, 1994), n'induit-elle, par hypothèse, aucune modification de la structure par

<footnote n="1">¹Voir Barro & Sala-I-Martin (1995) pour une présentation plus détaillée de ce résultat</footnote>
qualifications de la population active locale. Or, à long terme, si l'allocation de la population entre qualifications résulte d'un choix rationnel de formation des agents, une augmentation du coût d'opportunité à ne pas être qualifié incite davantage de travailleurs à se former. Il faut alors noter que la plupart des modèles de croissance endogène, dont celui proposé par Romer, attribuent à une augmentation du nombre de qualifiés, ou, plus généralement, à celle du niveau de capital humain moyen des travailleurs, un effet expansionniste (voir, en outre, Lucas (1988); Grossman & Helpman, (1991)). Ainsi, si l'immigration de travailleurs peu qualifiés diminue le salaire relatif des travailleurs locaux non qualifiés, elle influence favorablement la dynamique d'accumulation du capital humain, et s'avère donc par ce biais source de croissance.

De plus, il convient d'analyser précisément l'impact des migrations sur le bien-être des différents types d'agents et plus précisément sur celui des travailleurs non qualifiés autochtones. En effet, ces travailleurs étant relativement défavorisés au sein de la population active locale, l'efficacité d'une politique migratoire peut être jugée en fonction de son impact sur leur bien-être, conformément au critère de Rawls (Rawls, 1971).

L'objet de cet article est d'étudier, dans le cadre d'un modèle de croissance endogène à la Romer (Romer, 1990a) l'impact de l'immigration de travailleurs peu qualifiés lorsque l'allocation des travailleurs entre qualifications résulte d'un choix rationnel de formation. On analyse, plus précisément, en quoi de telles migrations affectent les salaires et le taux de croissance de la région d'accueil ainsi que le bien-être des différents types d'agents. Nous montrons alors que l'endogénéisation de la structure par qualifications de la population active limite les situations d'occurrence d'un impact négatif des migrations sur le taux de croissance de la région d'accueil, mais également sur le bien-être des travailleurs locaux peu qualifiés. Un accès inégalitaire des travailleurs à l'éducation peut toutefois limiter, voire compromettre, l'éventuel effet expansionniste des migrations.

Dans un premier temps, nous exposerons le cadre d'analyse retenu (section 2). Puis, nous expliciterons l'impact des migrations de travailleurs peu qualifiés sur le taux de croissance de la région d'accueil lorsque l'allocation de la main-d'œuvre entre qualifications est donnée (section 3). Enfin, nous analyserons l'influence de l'immigration sur le taux de croissance de la région d'accueil et le bien-être des différents types d'agents lorsque la répartition de la main-d'œuvre entre qualification résulte d'un choix endogène (section 4).
## 2. LE MODELE

Nous allons tout d'abord exposé le cadre d'analyse, puis la détermination du sentier de croissance équilibré de l'économie considérée.

### 2.1. Cadre d'analyse

#### La population active

On se situe dans le cadre d'un modèle en temps continu, uniquement résolu à l'équilibre stationnaire, les indices de temps étant ainsi omis pour alléger les notations.

On considère une région dont la population active se compose de travailleurs natifs de cette région et de travailleurs immigrés. Le nombre de travailleurs locaux est normé à 1 tandis que celui des immigrés est fixé à M. La population active totale a donc une taille constante de $1+M$ travailleurs et sa répartition entre autochtones et immigrés est donnée. Conformément au modèle de jeunesse perpétuelle (Blanchard et Fisher, 1989), chaque agent a une probabilité instantanée de mourir égale à m. On suppose, qu'à chaque instant, il naît mN natifs et immigre mM travailleurs, hypothèse simplificatrice assurant la constance de la taille de la population active. Nous supposons, en outre, implicitement, que la région considérée n'a pas de contrainte par l'offre de migrants, hypothèse raisonnable pour la plupart des pays développés.

Les travailleurs originaires de la région considérée sont soit qualifiés, soit non qualifiés. On désigne par H et L les nombres de qualifiés et de non qualifiés autochtones. En revanche, tous les travailleurs immigrés sont supposés non qualifiés. De plus, la population des travailleurs non qualifiés natifs et des travailleurs immigrés est parfaitement homogène : aucune discrimination n'est donc possible entre ces deux types de main-d'œuvre.

Par souci de simplification, on suppose, par ailleurs, que les tous les travailleurs ont des préférences linéaires et qu'ils n'ont pas accès au marché financier : leur utilité instantanée est donc assimilée à leur salaire, noté w¹ pour les non qualifiés et wʰ pour les qualifiés.

Le fonctionnement de la sphère productive de cette économie est analogue à celui proposé par Romer. Elle se compose de trois secteurs de production : un secteur de production de bien final, un secteur de production de biens intermédiaires et un secteur de recherche et développement. Elle comporte, en outre, deux marchés du travail parfaitement concurrentiels : le marché du travail qualifié et le marché du travail non qualifié, les travailleurs qualifiés étant employés par les secteurs de production du bien final et de la recherche tandis que, pour simplifier, les travailleurs non qualifiés sont uniquement employés par le premier secteur.
## Secteur de production du bien final

Le secteur de production du bien final est supposé parfaitement concurrentiel et intégré au marché mondial. Le prix de ce bien est donc considéré comme exogène et normé à l'unité. Outre une quantité de travail qualifié, $H_y$, et une quantité de travail non qualifié, $L+M$, l'entreprise représentative de ce secteur utilise à chaque période A types de biens intermédiaires en quantités respectives $x_i$ afin de produire une quantité Y de bien homogène grâce à la technologie suivante :

$$Y = f(H_y, L+M) \sum_{i=1}^{A} x_i^{1-\gamma} \quad (1)$$

$$ \text{où :} \quad f(H_y, L+M) = \left[ \alpha H_y^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} + (1-\alpha)(L+M)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} \right]^{\frac{\sigma\gamma}{\sigma-1}}, \text{ si } \sigma \in [0, 1[ \cup [1, \infty[ \\ f(H_y, L+M) = [H_y^{\alpha}(L+M)^{1-\alpha}]^{\gamma}, \text{ si } \sigma = 1 \\ f(H_y, L+M) = \text{Min} \{ \alpha H_y, (1-\alpha)(L+M) \}^{\gamma}, \text{ si } \sigma = 0. $$

$$ \text{avec : } \alpha \in [0, 1]. $$

L'entreprise représentative de ce secteur détermine sa demande de chaque type de travail et de bien intermédiaire i pour des prix $w_i$, $w_h$ et $p_i$ donnés de façon à maximiser son profit. La fonction de demande inverse de chaque type de bien intermédiaire s'écrit donc :

$$ w_h = f'_1(H_y, L+M) \sum_{i=1}^{A} x_i^{1-\gamma} \\ w_i = f'_2(H_y, L+M) \sum_{i=1}^{A} x_i^{1-\gamma} \quad (2) $$

$$ p_i = (1-\gamma)f(H_y, L+M)x_i^{-\gamma} \quad (2) $$

où $f'_k(H_y, L+M)$ représente la dérivée partielle de $f$ par rapport à son kième argument.

## Secteur de production des biens intermédiaires

Tous les marchés de production des biens intermédiaires sont en situation de monopole : pour chacun des A biens intermédiaires, une entreprise détient les droits de propriété exclusifs du brevet qui lui est associé. Les coûts de production, en terme de bien final, de tous les biens intermédiaires sont supposés identiques et unitaires. Pour assurer la cohérence dynamique du modèle, on suppose par ailleurs que ces biens se déprécient totalement en une période. D'après (2), l'offre de bien et le prix proposés par chacune des entreprises détentrices d'un brevet sont donc solution du programme suivant :
$$ \forall i : \{x_i, p_i\} = \text{Max} : \pi_i = p_i x_i - x_i $$

$$ \text{sc} : p_i = (1 - \gamma) f(H_y, L + M) x_i^{-\gamma} $$

D'après les conditions du premier ordre de ce programme :

$$ \forall i : x_i = x = ((1-\gamma)^2 f(H_y, L+M))^{\frac{1}{\gamma}}, \quad p_i = p = \frac{1}{1-\gamma}, \text{ et } \pi_i = \pi = \frac{\gamma}{1-\gamma} x \quad (3) $$

D'après la symétrie du modèle, à l'équilibre, les quantités de chaque bien intermédiaire offertes et les prix proposés sont donc identiques.

## Secteur de la recherche

À chaque instant, $\dot{A}$ nouveaux types de biens intermédiaires sont inventés. L'expansion du nombre de variétés disponibles est attribuable au secteur de la recherche. On suppose, pour simplifier, que le processus de recherche n'est pas aléatoire. Ainsi, à chaque instant, le secteur de la recherche invente $\dot{A}$ nouveaux biens intermédiaires, en employant $H_A$ travailleurs qualifiés, grâce à la technologie suivante :

$$ \dot{A} = \delta A H_A \quad (4) $$

Le nombre de nouveaux biens intermédiaire est donc une fonction croissante du paramètre $\delta$, reflétant l'efficacité de ce secteur, et du nombre de biens intermédiaires existant déjà, $A$, reflétant le niveau des connaissances dans l'économie considérée. Cette linéarité de la fonction de production par rapport à $A$ est l'hypothèse centrale de ce type de modèles<fnref n="2" />, source du caractère endogène de la croissance.

L'invention d'une nouvelle variété de bien intermédiaire donne lieu à l'élaboration d'un brevet, dont le prix de vente exclusif, $P_A$, est déterminé par les entreprises du secteur de la recherche de façon à capturer l'intégralité de la rente de monopole de leur acheteur exclusif. On se situe donc implicitement dans un modèle ou l'inventeur et l'exploitant d'un bien intermédiaire sont intégrés verticalement. Cette situation permet en effet d'assurer aux entreprises du secteur de la recherche une rente qui les incitent à innover. Le prix d'un brevet est donc :

<footnote n="2">² Le choix d'une fonction à rendements décroissants par rapport à $H_A$, pouvant refléter, au niveau agrégé, un phénomène de duplication, n'affecterait pas les résultats énoncés. En revanche, la linéarité de la fonction de production par rapport à $A$ est une hypothèse centrale, les résultats de ce type de modèle n'étant pas robustes au choix d'une hypothèse alternative d'indépendance ou de concavité de cette fonction par rapport à $A$ (voir Jones, 1995).</footnote>
$$P_A = \int_t^\infty \pi e^{-r(\tau-t)} d\tau \qquad (5)$$

où r représente le taux d'intérêt supposé exogène.

## 2.2. Sentier de croissance équilibrée

*Allocation de la main-d'œuvre qualifiée entre les secteurs*

Il convient tout d'abord de déterminer la répartition d'équilibre de la population des travailleurs qualifiés.

D'après les résultats des programmes de maximisation du profit des entreprises produisant le bien final (2) et des entreprises produisant les biens intermédiaires (3), la fonction de demande inverse de travail qualifié du secteur de production du bien final peut encore s'écrire :

$$w_h = A \left[ (1-\gamma) \right]^{\frac{2(1-\gamma)}{\gamma}} f'_{H_y}(H_y, L+M) f(H_y, L+M)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} \quad (6)$$

D'après les équations déterminant l'offre de biens intermédiaires (3) et le prix des brevets (4), à l'équilibre, lorsque la répartition des qualifiés est constante :

$$P_A = \frac{\gamma}{1-\gamma} \frac{x}{r} \quad \text{avec :} \quad x = \left( (1-\gamma)^2 f(H_y, L+M) \right)^{\frac{1}{\gamma}} \qquad (7)$$

D'après (4) et (7), la condition de nullité du profit des entreprises du secteur de la recherche implique que le salaire versé aux travailleurs qualifiés dans ce secteur est tel que :

$$w_h = \delta A \frac{\gamma}{1-\gamma} \frac{1}{r} \left[ (1-\gamma) \right]^{\frac{2}{\gamma}} f(H_y, L+M)^{\frac{1}{\gamma}} \qquad (8)$$

A chaque instant, la répartition des travailleurs qualifiés entre les secteurs de production du bien final et de la recherche, ($H_y, H_A$), s'ajuste de façon à égaliser les salaires versés aux travailleurs qualifiés dans les deux secteurs. D'après (6) et (8), cette répartition vérifie donc :

$$\frac{f(H_y, L+M)}{f'_{H_y}(H_y, L+M)} = \frac{r}{\delta\gamma(1-\gamma)} \quad \text{et} \quad H = H_y + H_A \qquad (9)$$
La répartition de la population active des travailleurs qualifiés détermine le sentier de croissance équilibré le long duquel le produit par travailleur et les salaires croissent au même taux, g, que le nombre de brevets. D'après (4) et (9), le taux de croissance de cette économie est :

$$g = \frac{\dot{A}}{A} = \delta H_A \text{ avec : } H_A = H - H_y \quad (10)$$

$$où : \frac{f(H_y, L+M)}{f'_{H_y}(H_y, L+M)} = \frac{r}{\delta\gamma(1-\gamma)} \text{ et } L+H=1$$

Le taux de croissance est donc une fonction croissante du nombre de travailleurs qualifiés en activité dans le secteur de la recherche. Dans ce type de modèle, s'interroger sur l'influence des migrations sur le taux de croissance revient donc à étudier leur impact sur le nombre de travailleurs qualifiés employés dans le secteur de la recherche.

Nous allons à présent analyser l'impact des migrations lorsque la répartition de la population active locale entre travailleurs qualifiés et non qualifiés est exogène.

# 3. IMPACT DES MIGRATIONS A NOMBRE DE QUALIFIES EXOGENE

Nous allons étudier l'impact des migrations sur le taux de croissance d'équilibre puis sur le bien-être des travailleurs autochtones.

## 3.1. Taux de croissance

Lorsque la répartition des travailleurs natifs de la région considérée entre qualifiés et non qualifiés est donnée, les migrations n'auront un effet sur le taux de chômage que si elles induisent une réallocation de la main-d'œuvre qualifiée au bénéfice du secteur de la recherche.

D'après (1) et (10), si l'élasticité de substitution entre travailleurs qualifiés et non qualifiés dans le secteur du bien final est unitaire (la fonction de production étant alors une Cobb-Douglas), le taux de croissance est :

$$g = \delta H_A \text{ avec } H_A = H - H_y \quad (11)$$
$$ où^3 : H_Y = \frac{\alpha r}{\delta(1-\gamma)} $$

On a donc :

$$ Lorsque \sigma = 1 : \frac{\partial g}{\partial M} = 0 $$

Le nombre de travailleurs qualifiés dans le secteur de production du bien final est alors indépendant du nombre total de qualifiés, du nombre de non qualifiés autochtones et du nombre d'immigrés. Une augmentation du nombre d'immigrés n'a ainsi aucun effet sur l'allocation de la main-d'œuvre qualifiée entre les secteurs de production du bien final et de la recherche et donc, in fine, sur le taux de croissance de l'économie.

Pour analyser ce résultat, il convient de raisonner à allocation de la main-d'œuvre qualifiée donnée. Dans le secteur de production du bien final, une augmentation du nombre d'immigrés accroît la productivité des travailleurs qualifiés, et donc leur salaire, par deux biais. Un biais direct : toute augmentation de la quantité de travail non qualifié utilisée accroît directement la productivité du travail qualifié et des biens intermédiaires. Un biais indirect : l'augmentation de la productivité des biens intermédiaires accroît leur demande, leur consommation et ainsi la productivité du travail qualifié. Dans le secteur de la recherche, la productivité des travailleurs qualifiés, et donc leur salaire, croît sous l'effet de l'augmentation du prix des brevets. L'augmentation de la productivité des biens intermédiaires accroît leur demande et donc le profit les entreprises de ce secteur ce qui se répercute par une augmentation du prix des brevets. D'après (6) et (8), lorsque la technologie est représentée par un Cobb-Douglas et que l'allocation de la main-d'œuvre qualifiée entre les secteurs est donnée, l'élasticité du salaire des qualifiés employés pour la production du bien final par rapport au nombre de non qualifiés et l'élasticité du salaire des qualifiés employés dans la recherche par rapport au nombre de non qualifiés sont toutes deux égales à $(1-\alpha)$. Ainsi, lorsque l'élasticité de substitution est unitaire, à allocation donnée de la main-d'œuvre qualifiée, les salaires des qualifiés des secteurs du bien final et de la recherche, a priori égaux, augmentent donc d'un même montant. Une augmentation du nombre d'immigrés n'induit donc aucune réallocation de la main-d'œuvre qualifiée et donc aucune modification du taux de croissance de long terme.

Plus généralement, lorsque la technologie de production du bien final est représenté par une fonction C.E.S, on démontre<fnref n="4" />, d'après (10), que :

<footnote n="3">³On suppose que les valeurs des paramètres vérifient : $\frac{\alpha r}{\delta(1-\gamma)} < 1$</footnote>

<footnote n="4">⁴Voir annexe 1</footnote>
$$ \frac{dg}{dM} > 0 \Leftrightarrow \sigma > 1 \qquad (13) $$

Ainsi, une augmentation du nombre d'immigrés induit une augmentation du taux de croissance si l'élasticité de substitution entre travailleurs qualifiés et non qualifiés est supérieure à 1 et une diminution sinon. En effet, d'après (6) et (8), l'élasticité du salaire des qualifiés dans le secteur du bien final, à allocation de la main-d'œuvre qualifiée donnée, est égale à $\frac{1-\alpha}{\sigma}$ fois celle du salaire des qualifiés dans le secteur de la recherche. Si $\sigma > 1$ ($\sigma < 1$), une augmentation du nombre de travailleurs immigrés induit alors, à répartition des qualifiés donnée, une augmentation du salaire des qualifiés dans le secteur de la recherche supérieure (inférieure) à celle de leur salaire dans le secteur du bien final. Il s'en suit une réallocation de la main-d'œuvre qualifiée au profit du secteur de la recherche (du secteur du bien final) et donc une augmentation (une diminution) du taux de croissance.

En résumé, à structure de la population active locale par qualification donnée, lorsque les deux types de main-d'œuvre sont relativement substituables pour la production du bien final ($\sigma > 1$), une augmentation du nombres d'immigrés a un effet expansionniste. En revanche, lorsque les travailleurs qualifiés et non qualifiés sont relativement complémentaires ($\sigma < 1$), une augmentation du quota migratoire diminue le taux de croissance de long terme.

## 3.2. Bien-être des travailleurs non qualifiés autochtones

L'espérance d'utilité d'un travailleurs non qualifiés s'écrit :

$$ V_{1,t} = \int_{t}^{\infty} w_{1,\tau} e^{-(\tau-t)(m+\rho)} d\tau $$

où $\rho$ représente le taux de préférence pour le présent des travailleurs.

En dérivant par rapport à t l'expression ci-dessus, on en déduit que, le long du sentier de croissance équilibrée, le bien-être d'un travailleur non qualifié s'écrit :

$$ V_{1,t} = \frac{w_{1,t}}{\rho + m - g}, \text{ avec } \rho + m > g $$

L'impact des migrations sur le bien-être des travailleurs peu qualifiés s'exerce par deux créneaux. D'un côté, les migrations influencent le nombre de travailleurs qualifiés employés dans la recherche, ce qui affecte le taux de croissance. De l'autre, elle modifie la part du travail non qualifié dans le secteur du bien final, ce qui joue également sur les salaires.
D'après (2), (3) et (11), lorsque la technologie de production est représentée par une Cobb-Douglas :

$$ \text{Lorsque } \sigma = 1 \text{ : } \frac{dV_i}{dM} < 0 \qquad (14) $$

Le bien-être des travailleurs non qualifiés diminue donc lorsque le quota migratoire augmente. En effet, la répartition des travailleurs qualifiés entre les secteurs étant donnée, une augmentation du nombre d'immigrés laisse le taux de croissance inchangé et augmente la part relative du travail non qualifié dans le secteur de production de bien final, ce qui exerce une pression à la baisse sur le salaire versé aux travailleurs non qualifiés.

De façon plus générale, on démontre<fnref n="5" /> que lorsque les deux types de travail sont peu substituables ($\sigma \le 1$), une augmentation du quota migratoire a toujours un effet négatif sur le bien-être des travailleurs non qualifiés. En effet, d'une part, elle induit une augmentation du nombre de qualifiés employés dans le secteur de bien final ce qui diminue le taux de croissance. D'autre part, elle y augmente la part du travail non qualifié, l'augmentation du nombre de non qualifiés n'étant pas compensée par celle des qualifiés employés dans ce secteur, effet jouant également à la baisse sur le salaire. En revanche, lorsque les deux types de travail sont fortement substituables ($\sigma > 1$), une augmentation du nombre d'immigrés peut accroître le bien-être des non qualifiés si leur espérance de vie n'est pas trop courte. En effet, si la part du travail non qualifié dans la production du bien final augmente, le taux de croissance augmente aussi. L'impact positif des migrations sur le taux de croissance domine donc si la durée de vie des agents est suffisamment longue, le dernier effet cumulatif s'amplifiant au cours du temps.

Nous allons à présent étudier l'impact des migrations lorsque l'allocation la population active locale entre travailleurs qualifiés ou non est endogène.

## 4. IMPACT DES MIGRATIONS A NOMBRE DE QUALIFIES ENDOGENES

Nous allons tout d'abord présenter le choix de qualification des agents, avant d'étudier l'impact des migrations sur le taux de croissance puis sur le bien-être des travailleurs non qualifiés autochtones.

<footnote n="5">⁵Voir annexe 2</footnote>
## 4.1. Choix de qualification

La répartition de la population active locale entre travailleurs qualifiés et non qualifiés résulte à présent d'un choix individuel rationnel. On suppose que pour être et demeurer qualifié, un travailleur "i" doit subir, à chaque période, un coût de formation équivalent à une fraction $h_i$ de son salaire, son utilité à l'instant t étant alors égale à $(1-h_i)w_h$. Si l'agent "i" désire être qualifié, il doit, à chaque instant, allouer à la formation une partie $h_i$ de son temps libre dont la valorisation implicite est le salaire perçu par l'agent. Il faut ici noter qu'une spécification alternative où la qualification résulterait uniquement d'une formation initiale pourrait également être envisagée. Toutefois, si une telle formulation ne modifie pas les mécanismes du modèle, elle en complique la résolution analytique. Pour simplifier, on suppose, en outre, que les capacités de la population active locale, reflétées par le paramètre $h_i$, sont uniformément distribuées sur $[0,1]$. L'impact d'une modification de cette hypothèse sur les résultats énoncés est étudié par la suite. L'agent "i" choisit donc de se qualifier si, dans ce cas, son espérance d'utilité, notée $V_h(i)$, est supérieure à celle qu'il aurait s'il ne se qualifiait pas. Le travailleur "i*", né en t, indifférent entre se qualifier ou non est donc tel que:

$$V_h(i*) = V_i$$

avec le long du sentier de croissance équilibré : $V_h(i) = (1-h_i) \frac{w_h}{\rho+m-g}$ et $V_i = \frac{w_i}{\rho+m-g}$

La condition d'arbitrage s'écrit donc :

$$(1 - h_{i*}) \frac{w_h}{\rho + m - g} = \frac{w_i}{\rho + m - g}$$

D'après (2) et la condition ci-dessus, la taille de la population active locale étant, en outre, normée à 1, le nombre de travailleurs qualifiés est donc solution de :

$$H = 1 - \frac{w_i}{w_h} \qquad (15)$$

$$\text{avec : } \frac{w_i}{w_h} = \frac{f'_{L+M}(H_y, L+M)}{f'_{H_y}(H_y, L+M)}$$

## 4.2. Le taux de croissance

Lorsque la répartition de la population active locale entre travailleurs qualifiés et non qualifiés est endogène, une augmentation du nombre d'immigrés a deux types d'effets sur le nombre de travailleurs employés dans la recherche et donc sur le taux de croissance. D'une part, à niveau de la main-d'œuvre qualifiée donnée, elle modifie sa répartition entre les secteurs du bien final
et de la recherche. D'autre part, en modifiant le rapport entre le salaire des qualifiés et celui des non qualifiés, elle affecte le choix de formation des agents et donc la taille de la population qualifiée. Ainsi toute variation du nombre total de qualifiés supérieure à celle du nombre de qualifiés employés dans le secteur du bien final se traduit par une augmentation du taux de croissance.

Lorsque la technologie est représentée par une Cobb-Douglas, d'après (11) et (15), la répartition de la population active vérifie :

$$H_A = H - H_y \text{ avec } H_y = \frac{\alpha r}{\delta(1-\gamma)}, \quad H = 1 - \frac{1-\alpha}{\alpha} \frac{H_y}{L+M} \text{ et } L = 1-H \quad (16)$$

Une augmentation du nombre de travailleurs immigrés ne modifie pas le nombre de travailleurs qualifiés employés dans le secteur de production du bien final. Toutefois, elle augmente le salaire relatif des qualifiés, ce qui incite davantage de travailleurs natifs à se former. L'augmentation du nombre de qualifiés se traduit alors intégralement par une augmentation du nombre de travailleurs employés dans la recherche et donc par une augmentation du taux de croissance. On a donc :

$$\text{Lorsque } \sigma = 1 : \frac{dg}{dM} > 0 \qquad (17)$$

Ainsi, d'après (12) et (17), lorsque le choix de formation est endogène et l'élasticité de substitution unitaire, une augmentation du nombre de travailleurs immigrés induit une augmentation du taux de croissance, tandis qu'elle reste sans effet lorsque la répartition de la population entre qualifications est exogène.

Plus généralement, lorsque la technologie est représentée par une fonction C.E.S, on montre<fnref n="6" /> que si l'élasticité de substitution est supérieure à 1, une augmentation du nombre d'immigrés accroît le nombre total de qualifiés et le nombre de qualifiés employé dans le secteur de production du bien final, mais de façon moindre. Ainsi, l'accroissement du quota migratoire se traduit-il alors par une augmentation du taux de croissance.

Si l'élasticité de substitution est inférieure à 1, les résultats sont ambigus. En effet, on ne peut exclure le cas où l'augmentation du nombre d'immigrés peut modifier les salaires relatifs de sorte que même si le nombre total de qualifiés augmente, la réallocation de ceux-ci soit telle que le nombre de qualifiés employés pour la production de bien final augmente plus que le nombre total de qualifiés.

<footnote n="6">⁶Voir annexe 1</footnote>
Il convient de remarquer qu'une modification de la distribution des "capacités" des travailleurs, jusqu'à présent supposée uniforme sur [0,1], peut affecter de façon significative l'impact des migrations sur le taux de croissance. Un accès très inégalitaire à la formation peut en effet compromettre l'impact positif des migrations sur le nombre total de qualifiés et donc sur le taux de croissance. Supposons, par exemple, que β travailleurs autochtones aient un coût de formation égal à 1, ceux des (1-β) autres travailleurs étant uniformément réparti sur $[0, \bar{h}]$ où $\bar{h} < 1$. Considérons les deux cas de figure suivant : celui où $h^* \in [0, \bar{h}]$ et celui où $h^* \in [\bar{h}, 1[$, $h^*$ étant la "capacité" du travailleur indifférent entre se qualifier ou non définie par (15)<fnref n="7" />. Si on suppose que l'élasticité de substitution entre les deux types de travail dans la production de bien final est unitaire, il est aisé de montrer que dans le premier cas une augmentation infinitésimale de M augmente le nombre de qualifiés et donc le taux de croissance tandis qu'elle les laissent inchangés dans le second cas. En effet, si $h^* \in [0, \bar{h}]$, l'augmentation du nombre d'immigrés accroît le coût d'opportunité à ne pas être qualifié et incite alors les travailleurs dont la capacité est proche de $h^*$ à se former. En revanche, si $h^* \in [\bar{h}, 1[$, le nombre de qualifiés reste égal à (1-β), les autres travailleurs n'ayant pas accès à la formation. On se rapproche alors du cas de figure où le nombre de qualifiés est exogène.

Ainsi, lorsque l'accès à l'éducation et à la formation est relativement coûteux pour une partie non négligeable de la population active, l'espace des paramètres pour lesquels l'immigration a un impact positif sur le taux de croissance est réduit.

En résumé, en modifiant le salaire relatif des qualifiés, une augmentation du quota migratoire peut avoir un effet expansionniste sur la région d'accueil en incitant plus de travailleurs à se former, effet positif des migrations non pris en compte lorsque le nombre de qualifiés est considéré comme exogène. Cet effet est toutefois d'autant plus réduit que l'accès des travailleurs à la formation est inégalitaire.

### 4.3. Bien-être des travailleurs autochtones

Nous limiterons notre étude de l'impact des migrations sur le bien-être des travailleurs non qualifiés au cas où la technologie de production du secteur du bien final est représentée par une Cobb-Douglas. La résolution analytique est présentée en annexe<fnref n="8" />.

<footnote n="7">⁷Les cas polaires où $h^* = 0$, $h^* = \bar{h}$ et $h^* = 1$ ne sont pas étudiés.</footnote>

<footnote n="8">⁸Voir annexe 2</footnote>
L'augmentation du quota migratoire exerce deux effets de sens opposés sur l'espérance d'utilité des travailleurs non qualifiés. D'une part, elle augmente le nombre de travailleurs qualifiés, ce qui se répercute intégralement par une hausse de leur nombre dans le secteur de la recherche, exerce un effet expansionniste. Cette augmentation du taux de croissance contribue à accroître le salaire et donc le bien-être des travailleurs non qualifiés. D'autre part, une augmentation du quota migratoire accroît le nombre relatif des travailleurs non qualifiés dans le secteur de production du bien final, ce qui exerce une pression à la baisse sur le salaire perçu par ces travailleurs et donc sur leur bien-être. En effet, le nombre de travailleurs qualifiés alloués à ce secteur est constante, et, si le nombre de non qualifiés autochtones diminue, le nombre total de non qualifiés (natifs et immigrés) augmente. On démontre que lorsque l'espérance de vie des agents est suffisamment longue, il existe une valeur optimale M* non nulle du quota migratoire qui maximise l'espérance d'utilité des travailleurs autochtones. Pour un nombre d'immigrés inférieur à M*, l'effet expansionniste d'une augmentation de M l'emporte sur l'effet de substitution dans le secteur du bien final et inversement pour des valeurs de M supérieures à M*.

Il est en outre intéressant de remarquer que, d'après (16), l'augmentation du quota migratoire induit sans ambiguïté une croissance du bien-être des travailleurs qualifiés. Elle accroît d'une part le nombre relatif des travailleurs non qualifiés dans le secteur de production du bien final, ce qui exerce un effet positif sur le salaire des travailleurs qualifiés. D'autre part, l'augmentation du nombre de migrants accroît le nombre de qualifiés employés dans la recherche. Cet effet, non pris en compte lorsque la structure de la population par qualification est exogène, a un impact positif sur le taux de croissance et donc sur le salaire des travailleurs qualifiés.

Conformément à ce qui a été montré en (4.2), si l'effet positif des migrations sur le bien-être des travailleurs autochtones est imputable à son impact sur le taux de croissance, cet effet peut être réduit lorsque l'accès à la formation est inégalitaire. En effet, dans ce cas, une augmentation du quota migratoire peu n'inciter que très peu de travailleurs à se former, une part importante des travailleurs supportant des coûts de formation rédhibitoires.

En résumé, si l'augmentation du nombre d'immigrés non qualifiés peut avoir un impact positif sur le bien-être de tous les autochtones, l'espace des paramètres où l'immigration a des effets expansionnistes augmente lorsque la structure par qualification de la population active résulte d'un choix rationnel de formation des agents. En effet, en augmentant le salaire relatif des qualifiés, l'immigration de non qualifiés incite davantage de travailleurs à se former. Ainsi, lorsque l'élasticité de substitution entre travail qualifié et non qualifié est unitaire, pour une espérance de vie des agents suffisamment longue, il existe une valeur optimale du quota migratoire, au regard du bien-être des autochtones. Cependant, une croissance des inégalités
d'accès à la formation réduit l'impact favorable des migrations sur le nombre de travailleurs qualifiés et donc sur le taux de croissance.

## 5. CONCLUSION

Nous avons étudié l'impact des migrations de travailleurs peu qualifiés sur l'économie d'accueil dans le cadre d'un modèle de croissance endogène à la Romer. L'immigration peut avoir une effet expansionniste ou recessionniste sur le taux de croissance de la région d'accueil ainsi que sur le bien-être de tous les travailleurs autochtones, qualifiés ou non. L'espace des paramètres pour lesquels une augmentation du quota migratoire a des effets positifs sur le taux de croissance ou le bien-être des travailleurs non qualifiés s'élargit lorsque le choix de formation des agent est endogène. En effet, si les migrations détériorent la situation relative des non qualifiés, elles peuvent inciter davantage de travailleurs à se former, ce qui est favorable à la croissance et donc au bien-être. Cet effet expansionniste est toutefois limité lorsque une partie de la population active est exclue du système de formation, une modification du coût d'opportunité à ne pas être qualifiés ne pouvant, pour eux, compenser leur coûts directs de formation.

## 6. BIBLIOGRAPHIE

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BLANCHARD O., FISCHER S., 1989. *Lectures on macroeconomics*, The MIT Press.

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DENEW J.& ZIMMERMANN K., 1994. "Native wage impact of foreign labor: a random effects panel analysis", *Journal of Population Economy*, vol 7, p177-1992.

GROSSMAN G., HELPMAN E., 1991. *Innovation and growth*, The MIT Press.

JONES C., 1995. "R&D-based models of economic growth", *Journal of Political Economy*, vol 103, p759-784.

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# 7. ANNEXE

## Annexe 1 Impact des migrations sur le taux de croissance dans le cas d'une C.E.S

D'après (1), (6) et (8), lorsque la technologie de production du bien final est représentée par une C.E.S, la condition d'égalisation du salaire des qualifiés dans les secteurs du bien final et de la recherche s'écrit :

$$H_{Y}^{\frac{1}{\sigma}} \left[ \alpha H_{Y}^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} + (1-\alpha)(L+M)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} \right] = \frac{\alpha r}{\delta(1-\gamma)} \quad \text{avec : } L+H=1 \text{ et } H = H_{A} + H_{Y} \quad (A1)$$

*Nombre de qualifiés exogène*

Lorsque le nombre de qualifiés est exogène, en différentiant (A1), on obtient :

$$dH_y = - \frac{(1-\alpha)(\sigma-1) \left[ \frac{H_y}{L+M} \right]^{\frac{1}{\sigma}}}{\alpha\sigma + \left[ \frac{H_y}{L+M} \right]^{\frac{1-\sigma}{\sigma}}} dM \quad (A2)$$

On a donc bien, dans ce cas :

$$dM > 0 \Rightarrow dH_y < 0 \Leftrightarrow \sigma > 1$$

Soit :

$$dM > 0 \Rightarrow dg > 0 \Leftrightarrow \sigma > 1$$

*Nombre de qualifiés endogène*

D'après (1), (2) et (15), la condition d'allocation des travailleurs autochtones entre qualifiés et non qualifiés s'écrit :
$$H = 1 - \frac{1-\alpha}{\alpha} \left[ \frac{H_y}{L+M} \right]^{\frac{1}{\sigma}} \quad (A3)$$

En différentiant (A1) et (A3), on obtient :

$$\lambda_1 dH + \lambda_2 dH_y - \lambda_1 dM = 0$$

et

$$\lambda_3 dH + \lambda_4 dH_y + (1+\lambda_3)dM = 0$$

$$\text{avec : } \lambda_1 = -(1-\alpha) \frac{\sigma-1}{\sigma} \left[ \frac{H_y}{1-H+M} \right]^{\frac{1}{\sigma}}, \lambda_2 = \alpha + \frac{(1-\alpha)}{\sigma} \left[ \frac{H_y}{1-H+M} \right]^{\frac{1-\sigma}{\sigma}} \\ \lambda_3 = 1 + \frac{(1-\alpha)}{\alpha\sigma} \left[ \frac{H_y}{1-H+M} \right]^{\frac{1}{\sigma}} [1-H+M]^{-1} \text{ et } \lambda_4 = \frac{(1-\alpha)}{\alpha\sigma} \left[ \frac{H_y}{1-H+M} \right]^{\frac{1}{\sigma}} H_y^{-1}$$

En résolvant ce système, on obtient alors :

$$dH_A = \left( \left( 1 + \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \right) \left( \frac{1}{\lambda_4 - \frac{\lambda_2 \lambda_3}{\lambda_1}} \right) + 1 \right) dM$$

On démontre alors que lorsque $\sigma > 1$ :

$$\left(1 + \frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right) \left(\frac{1}{\lambda_4 - \frac{\lambda_2 \lambda_3}{\lambda_1}}\right) + 1 = A + B$$

$$\text{avec : } A = \frac{1}{\lambda_4 - \frac{\lambda_2 \lambda_3}{\lambda_1}} > 0 \text{ et } B = \frac{\lambda_4 - \frac{\lambda_2}{\lambda_1} (\lambda_3 - 1)}{\lambda_4 - \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \lambda_3} > 0$$

On a donc :

$$\text{si } \sigma > 1 \text{ alors : } dM > 0 \Rightarrow dH_A > 0$$

Soit :

$$\text{si } \sigma > 1 \text{ alors : } dM > 0 \Rightarrow dg > 0$$
# Annexe 2 Impact des migrations sur le bien-être des non qualifiés

## Nombre de qualifiés donné

D'après (1), (2) et (3), le long du sentier de croissance équilibré le bien être des travailleurs non qualifiés s'écrit :

$$V_l = \frac{w_l}{\rho + m - g}, \quad m > -\rho + g \qquad (A4)$$

$$\text{avec : } w_l = A(1-\alpha)\gamma \underbrace{\left(\frac{(1-\gamma)^2}{\rho}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} [L+M]^{-\frac{1}{\sigma}}}_{\mu} \left[ \alpha H_y^{\frac{1-\sigma}{\sigma}} + (1-\alpha)(L+M)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} \right]^{\frac{1}{\sigma-1}} \text{ et } g = \delta(H - H_y)$$

On a donc, d'après (A2) et (A4) :

$$\frac{dV_l}{dM} > 0 \Leftrightarrow \underbrace{\frac{dw_l}{dM}(\rho + m - g)}_{I} + \underbrace{w_l \frac{dg}{dM}}_{II} > 0 \qquad (A5)$$

$$\text{avec : } \frac{dw_l}{dM} = \mu \frac{\alpha}{\sigma} H_y^{-\frac{1}{\sigma}} [L+M]^{-\frac{1}{\sigma}-1} \left[ \alpha H_y^{\frac{1-\sigma}{\sigma}} + (1-\alpha)(L+M)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}} \right]^{\frac{1}{\sigma}-1} \left[ -H_y + (L+M) \frac{\partial H_y}{\partial M} \right] < 0 \text{ et} \\ \frac{dg}{dM} = -\delta \frac{dH_y}{dM}.$$

$$- \text{ Ainsi, d'après (A2) et (A5) : } \sigma < 1 \Rightarrow \frac{dw_l}{dM} < 0 \text{ et } \frac{dg}{dM} < 0$$

Lorsque le nombre de qualifiés est donné :

$$\sigma < 1 \Rightarrow \frac{dV_l}{dM} < 0$$

- En revanche, d'après (A2) et (A4) : $\sigma > 1 \Rightarrow \frac{dw_l}{dM} < 0$ et $\frac{dg}{dM} > 0$. Le sens de variation de $V_l$ est donc a priori ambigu. On démontre toutefois que :

$$\text{si : } m < \frac{\sigma r \frac{\partial H_y}{\partial M} (L+M)}{(1-\gamma) \left[ -H_y + (L+M) \frac{\partial H_y}{\partial M} \right]} - \rho + g \text{ et } \sigma > 1 \text{ alors : } \frac{dV_l}{dM} > 0$$
Nous limitons notre étude au cas où la fonction de production est une Cobb-Douglas.

D'après la condition d'allocation des travailleurs autochtones entre qualification (A3) pour
$\sigma = 1$, le nombre des travailleurs qualifiés est :

$$
H = 1 + \frac{M}{2} - \sqrt{\left(\frac{M}{2}\right)^2 + \frac{(1-\alpha)r}{\delta(1-\gamma)}} \quad (A6)
$$

Le long du sentier de croissance équilibrée, le bien-être des travailleurs peu qualifiés s'écrit
donc :

$$
V_1 = \frac{w_1}{\rho + m - g}, \quad m > -\rho + g \tag{A7}
$$

$$
\text{avec : } w_1 = A(1-\alpha)\gamma \left(\frac{(1-\gamma)^2}{r}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} \left(\frac{\alpha r}{\delta(1-\gamma)}\right)^{\alpha} (1-H+M)^{-\alpha}, \quad g = \delta(H - \frac{\alpha r}{\delta(1-\gamma)})
$$

$$
\text{et : } H = 1 + \frac{M}{2} - \sqrt{\left(\frac{M}{2}\right)^2 + \frac{(1-\alpha)r}{\delta(1-\gamma)}}
$$

En différentiant (A7), on obtient :

$$
\frac{dV_1}{dM} > 0 \text{ si : } G(M) > 0
$$

avec :

$$
G(M) = \delta \left\{ 1 + \frac{M}{2} - \sqrt{\left(\frac{M}{2}\right)^2 + \frac{(1-\alpha)r}{\delta(1-\gamma)}} - \frac{\alpha r}{\delta(1-\gamma)} \right\} + \frac{\delta}{\alpha} \left( \frac{M + \sqrt{M^2 + \frac{4(1-\alpha)r}{\delta(1-\gamma)}}}{2} \right) \cdot \frac{1 - \frac{M}{\sqrt{M^2 + \frac{4(1-\alpha)r}{\delta(1-\gamma)}}}}{1 + \frac{M}{\sqrt{M^2 + \frac{4(1-\alpha)r}{\delta(1-\gamma)}}}} - \rho
$$

On démontre que pour des valeurs de m telles que :

$$
\delta - \rho - \frac{\alpha r}{(1-\gamma)} < m < \delta - \rho - \frac{\alpha r}{(1-\gamma)} + \delta \frac{1-\alpha}{\alpha} \sqrt{\frac{(1-\alpha)r}{\delta(1-\gamma)}} \quad (A8)
$$
on a : G(0) > 0, G'(M) < 0 et $\lim_{M \to \infty} G(M) < 0$.

Ainsi, lorsque le taux de mortalité vérifie (A8), il existe une valeur optimale non nulle du quota
migratoire qui maximise l'éspérance d'utilité des travailleurs non qualifiés autochtones.
on a : G(0) > 0, G'(M) < 0 et $\lim_{M \to \infty} G(M) < 0$.

Ainsi, lorsque le taux de mortalité vérifie (A8), il existe une valeur optimale non nulle du quota
migratoire qui maximise l'espérance d'utilité des travailleurs non qualifiés autochtones.