d'influence de la pression sur les variables de la loi puissance qui formalisent la loi de frottement.

<table><caption>Tableau 19 : Comparaison du coefficient de frottement énergétique sur les amplitudes et les pressions variables</caption><thead><tr><td></td><td>μ<sub>eH_REF</sub></td><td>n<sub>μeH</sub></td></tr></thead><tbody><tr><td>Essais amplitudes variables</td><td>0.8</td><td>-0.25</td></tr><tr><td>Essais pressions variables</td><td>0.8</td><td>-0.23</td></tr></tbody></table>

## 1.4.2 Analyse de la cinétique d'usure:

### 1.4.2.1 Approche d'Archard:

Pour évaluer l'impact de la pression on étudie l'évolution du volume d'usure en fonction du facteur d'Archard pour différents rayons de sphère et différents niveaux de pression ($p_0$= 800 MPa, $p_0$= 1100 MPa et $p_0$= 1400 MPa (Figure 97)).

<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>Figure 97: Évolution du volume d'usure en fonction de facteur de chargement d'Archard, comparaison de coefficient d'usure K établis pour les différents rayons de la sphère pour chaque condition étudiée : a) $p_0$ = 800 MPa, b) $p_0$ = 1100 MPa et c) $p_0$ = 1400 MPa.</figcaption></figure>
Les données issues de cette analyse sont regroupées dans le tableau 20 suivant :

<table><caption>Tableau 20 : Valeurs des coefficients d'usure et des coefficients régression R² établies pour des chargements variables de pression étudiés (δg/a<sub>H</sub> = 0.5)</caption><thead><tr><th>Rayon de sphère (mm)</th><th>a<sub>H</sub> (µm)</th><th>a<sub>M</sub> (µm)</th><th>Coefficient d'usure d'Archard K (µm<sup>3</sup>/Nm) [R<sup>2</sup>]</th><th>Coefficient d'énergie d'usure α (µm<sup>3</sup>/J) [R<sup>2</sup>]</th><th>p<sub>0</sub> (MPa)</th></tr></thead><tbody><tr><td>12.7</td><td>140</td><td>318</td><td>53112 ; 0.92</td><td>71921 ; 0.93</td><td>800</td></tr><tr><td>19.05</td><td>210</td><td>482</td><td>48227 ; 0.93</td><td>71199 ; 0.95</td><td>800</td></tr><tr><td>25.4</td><td>280</td><td>558</td><td>25045 ; 0.93</td><td>34508 ; 0.94</td><td>800</td></tr><tr><td>40</td><td>440</td><td>814</td><td>11006 ; 0.93</td><td>17567 ; 0.95</td><td>800</td></tr><tr><td>50</td><td>550</td><td>996</td><td>7965 ; 0.89</td><td>14346 ; 0.88</td><td>800</td></tr><tr><td>8</td><td>122</td><td>262</td><td>50607 ; 0.97</td><td>73708 ; 0.98</td><td>1100</td></tr><tr><td>9.525</td><td>144</td><td>300</td><td>49648 ; 0.97</td><td>61425 ; 0.98</td><td>1100</td></tr><tr><td>11.5</td><td>174</td><td>333</td><td>40183 ; 0.98</td><td>51061 ; 0.99</td><td>1100</td></tr><tr><td>12.7</td><td>192</td><td>363</td><td>35019 ; 0.92</td><td>52534 ; 0.97</td><td>1100</td></tr><tr><td>25.4</td><td>384</td><td>648</td><td>11480 ; 0.92</td><td>18824 ; 0.91</td><td>1100</td></tr><tr><td>40</td><td>604</td><td>888</td><td>4906 ; 0.81</td><td>13812 ; 0.84</td><td>1100</td></tr><tr><td>50</td><td>754</td><td>1184</td><td>5573 ; 0.91</td><td>12001 ; 0.82</td><td>1100</td></tr><tr><td>9.525</td><td>184</td><td>400</td><td>34230 ; 0.93</td><td>46708 ; 0.95</td><td>1400</td></tr><tr><td>12.7</td><td>245</td><td>508</td><td>23746 ; 0.96</td><td>33697 ; 0.97</td><td>1400</td></tr><tr><td>19.05</td><td>366</td><td>708</td><td>11771 ; 0.97</td><td>20153 ; 0.96</td><td>1400</td></tr><tr><td>40</td><td>768</td><td>1263</td><td>4080 ; 0.78</td><td>9531 ; 0.79</td><td>1400</td></tr><tr><td>50</td><td>960</td><td>1587</td><td>3963 ; 0.96</td><td>10117 ; 0.97</td><td>1400</td></tr></tbody></table>

La figure 98 illustre l'impact de la pression vis-à-vis de la cinétique d'usure en particulier en fonction de l'extension de l'aire de contact. En effet pour un rayon de sphère donné une augmentation de la force normale appliquée engendre une augmentation de la pression mais aussi une extension de l'aire de contact.
<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>Figure 98: Évolution du coefficient d'usure d'Archard K en fonction du rayon de contact hertzien normalisé, (p₀ = 800 MPa, p₀ = 1100 MPa et p₀ = 1400 MPa)</figcaption></figure>

On remarque une décroissance asymptotique du coefficient d'usure K en fonction du rayon de contact hertzien normalisé. Pour voir l'influence de la pression sur la cinétique d'usure, on choisit deux rayons des sphères 12.7 et 50 mm, on observe pour le petit rayon (12.7 mm) une diminution rapide du coefficient d'usure K en revanche pour le grand rayon de sphère (50 mm) la chute du coefficient d'usure K est quasiment négligeable.

Pour ces deux situations la variation de la pression hertzienne maximale est équivalente, comprise entre p₀=800 et 1400 MPa. En revanche la variation du rayon de contact est très différente et surtout concerne des domaines très différents. Pour le petit rayon de sphère (12.7 mm) la variation du rayon est comprise entre aH / aref = 1.2 et 2.2 alors que pour le grand rayon de sphère (50 mm) elle se situe entre aH / aref = 5.5 et 9.5.

Cette comparaison illustre l'impact primordial de la dimension du contact par rapport au facteur pression vis-à-vis de la cinétique d'usure.

On remarque que l'évolution de la cinétique d'usure présente une évolution asymptotique. Aussi afin de formaliser cette évolution on superpose les résultats obtenus sous chargements de pression variable (δg/aH = 0.5) et d'amplitude de glissement variable (p₀=1100 MPa).
<figure><img src="image_103.png" /><figcaption>Figure 99: Évolution du coefficient d'usure d'Archard K en fonction du rayon de contact hertzien normalisé</figcaption></figure>

On remarque (figure 99) que les résultats obtenus pour les deux stratégies expérimentales étudiées se superposent. De façon à formaliser la loi d'usure on trace le diagramme log/log associé (figure 100).

<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>Figure 100: Loi logarithmique du coefficient d'usure d'Archard K en fonction de la loi logarithmique du rayon de contact hertzien normalisé.</figcaption></figure>
On observe un très bon alignement des résultats qui nous permet d'exprimer la loi d'usure en fonction d'une loi puissance.

$$K_H = K_{H\_REF} \cdot \left( \frac{a_H}{a_{ref}} \right)^{n_{KH}} \quad (43)$$

Avec $K_{H\_ref} = 75\ 000 \ \mu\text{m}^3/\text{Nm}$ et $n_{KH} = -1.2$

On rappelle que les coefficients obtenus uniquement à partir des essais sous amplitudes de glissement variables ($p_0 = 1100 \text{ MPa}$) étaient identiques (cf. fig.75 et 76).

Ceci démontre que pour le contact étudié l'influence de la pression sur la cinétique d'usure est négligeable. En d'autres termes, l'impact d'une augmentation de la charge normale pour un contact donné (R= cte) ne se traduit pas au travers de la variable pression mais via l'extension du rayon de contact qui lui est corrélée.

<figure><img src="image_105.png" /><figcaption>Figure 101: Validation de la formule de puissance de la loi d'usure d'Archard K en fonction du rayon de contact hertzien normalisé</figcaption></figure>
### 1.4.2.2 Analyse établie à partir du rayon de contact moyen (prise en compte de l'usure des surfaces):

Nous avons montré qu'une analyse basée sur l'hypothèse d'un contact hertzien est limitée car elle ne prend pas en compte l'effet de l'usure du contact.

Nous avons étendu l'analyse en prenant en compte le rayon de contact moyen (a<sub>M</sub>).

La figure 102 trace l'évolution des résultats obtenus respectivement pour les conditions de glissement variables (δg= ± 72 µm, δg/a<sub>H</sub> = 0.25, δg/a<sub>H</sub> = 0. 5, δg/a<sub>H</sub> = 0.75// p<sub>0</sub>= 1100 MPa) et les conditions de pression variables (p<sub>0</sub> = 800 MPa, p<sub>0</sub> = 1100 MPa, p<sub>0</sub> = 1400 MPa// δg/a<sub>H</sub> = 0. 5).

Comme pour l'analyse établie en fonction du contact hertzien nous retrouvons une parfaite superposition des résultats expérimentaux.

<figure><img src="image_106.png" /><figcaption>Figure 102: Validation de la formule de puissance de la loi d'usure d'Archard K en fonction de l'aire de contact moyen normalisé.</figcaption></figure>

L'analyse log-log (figure 103) confirme une parfaite équivalence des deux stratégies expérimentales et nous permet d'identifier les coefficients de loi puissance établis en fonction du rayon de contact.
<figure><img src="image_107.png" /><figcaption>Figure 103 : Loi logarithmique du coefficient d'usure d'Archard K en fonction de la loi logarithmique du rayon de contact moyen normalisé.</figcaption></figure>

$$K_M = K_{M\_REF} \cdot \left( \frac{a_M}{a_{ref}} \right)^{nk_M} \quad (44)$$

Avec $K_{M\_ref} = 270\ 000 \ \mu\text{m}^3/\text{Nm}$ et $n_{KM} = -1.5$

On rappelle que les coefficients identifiés pour l'analyse en amplitude variable ($p_0 = 1100$ MPa= cte) étaient respectivement $K_{M\_ref} = 250\ 000 \ \mu\text{m}^3/\text{Nm}$ et $n_{KM} = -3/2$.

Cette parfaite corrélation démontre définitivement que pour le contact étudié le paramètre essentiel qui contrôle l'évolution de la cinétique d'usure est le rayon de contact et non pas la pression de contact.

On souligne cependant que ce résultat est établi pour un spectre de pression situé dans le domaine élastique ou élastic-shakedown, il est probable que la réponse du contact sera différente dans des domaines de pression différentes (plastic-shakedown).
1.4.2.3 Formulation énergétique de la loi d'usure:

Comme pour l'analyse d'Archard nous développons la formulation énergétique en couplant
les résultats issus de l'analyse à pression constante p₀ = 1100 MPa (δg variable) et de
glissement constant δg/aH= 0.5 (p₀ variable). Comme pour l'analyse précédente l'évolution
linéaire du volume d'usure en fonction d'énergie dissipée permet d'identifier les coefficients
énergétiques d'usure α.

Les différents coefficients énergétiques d'usure sont regroupés dans le tableau 20.

Dans un premier temps nous étudions la réponse du contact à partir de l'hypothèse d'un
contact hertzien.

La figure 104 montre une très bonne corrélation entre les résultats issus de l’analyse sous
pressions variables et amplitudes variables.

<figure><img src="image_108.png" /><figcaption>Figure 104: Evolution des coefficients énergétiques d'usure α en fonction du rayon de contact hertzien normalisé</figcaption></figure>

L'analyse log-log confirme cette corrélation puisque l'ensemble des résultats sont alignés
suivant une droite de pente -0.92 (figure 105).
<figure><img src="image_109.png" /><figcaption>Figure 105: Loi logarithmique du coefficient d'usure énergétique α en fonction de la loi logarithmique du rayon de contact hertzien normalisé.</figcaption></figure>

Nous confirmons de fait la stabilité de la loi puissance pour formaliser la cinétique d'usure pour un très large spectre de pressions, d'amplitudes de glissement et de rayons de contact telle que :

$$ \alpha_H = \alpha_{H\_REF} \cdot \left( \frac{a_H}{a_{ref}} \right)^{n_{\alpha H}} \quad (45) $$

Avec $\alpha_{H\_ref} = 90\ 000\ \mu\text{m}^3/\text{J}$ et $n_{\alpha H} = -0.9$.

Nous rappelons les valeurs obtenues uniquement pour les conditions d'amplitudes de glissement variables ($p_0 = 1100$ MPa) soit respectivement $\alpha_{H\_ref} = 90\ 000\ \mu\text{m}^3/\text{J}$ et $n_{\alpha H} = -0.9$ (cf. fig. 79).

Les coefficients sont pratiquement identiques ce qui souligne encore une fois que le modèle proposé est très stable et l'impact d'une force normale ou d'un rayon de sphère variable peut simplement être formalisé vis-à-vis du rayon de contact.

Cette recherche montre surtout que le paramètre rayon du contact est prépondérant par rapport à la pression maximale ceci encore une fois pour le spectre de chargement étudié.
1.4.2.4 Analyse établie à partir du rayon de contact moyen pour le coefficient énergétique
(Prise en compte de l'usure des surfaces):

Comme pour l'analyse d'Archard on reporte l'évolution de la cinétique d'usure en fonction du
rayon moyen de l'aire de contact (a_M).

Cette analyse permet ainsi de prendre en compte l'extension de l'aire de contact, fonction de l'usure de l'interface.

La figure 106 confirme la très bonne corrélation entre les résultats issus de l'analyse à pression constante p₀ = 1100 MPa et ceux obtenus à partir de l'analyse à glissement constant δg/aH = 0.5.

<figure><img src="image_110.png" /><figcaption>Figure 106: Evolution des coefficients énergétiques d'usure α en fonction du rayon de contact moyen normalisé</figcaption></figure>

L'analyse log-log nous permet d'identifier les paramètres de la loi puissance (figure107).
<figure><img src="image_111.png" /><figcaption>Figure 107: Loi logarithmique du coefficient d'usure énergétique α en fonction de la loi logarithmique du rayon de contact moyen normalisé</figcaption></figure>

Soit :

$$ \alpha_M = \alpha_{M\_REF} \cdot \left( \frac{a_M}{a_{ref}} \right)^{n_{\alpha M}} \quad (46) $$

Avec $\alpha_{M\_ref} = 250\ 000 \ \mu\text{m}^3/\text{J}$ et $n_{\alpha M} = -1.2$

Les valeurs obtenues sont identiques à celles déduites de l'analyse réalisée pour des conditions de glissement différentes et une pression constante ($p_0 = 1100$ MPa).

On confirme de nouveau le fait que la pression n'influe pas directement sur la cinétique d'usure (approche énergétique).

En revanche pour un contact donné une augmentation de la force normale induira aussi une extension du rayon de contact et c'est ce dernier paramètre qui influira directement sur la cinétique d'usure.
## 1.5 Synthèse :

Au travers de cette étude nous avons étudié la cinétique d'usure du contact 100C6/100C6 pour une configuration de 3D sphère/plan. Nous avons évalué l'impact du glissement au travers d'une approche fixée (δg=cte) ou relative (δg/a_H = cte), étudié l'impact de la pression (p_0H) et surtout intégré l'impact de la taille de contact. La figure 108 illustre la stratégie expérimentale mise en œuvre.

<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>Figure 108: Illustration de la stratégie expérimentale mise en œuvre pour étudier la cinétique d'usure du contact sec 100C6/100C6.</figcaption></figure>

La prise en compte de l'effet de la taille du contact a été réalisée en considérant le rayon de contact hertzien mais aussi le rayon moyen en intégrant l'extension de l'aire de contact induite par l'usure.
Cette recherche expérimentale nous a permis de montrer les résultats suivants :

La loi de frottement est uniquement dépendante du rayon de contact. Ainsi, l'évolution du coefficient de frottement énergétique $\mu_e$ peut être exprimée au travers d'une loi puissance telle que :

$$ \overline{\mu_e} = \overline{\mu_{eX\_REF}} \cdot \left( \frac{a_X}{a_{ref}} \right)^{n_{\mu e X}} \quad (47) $$

Avec $a_{ref}= 100 \ \mu m$. Tel que $X= H$ pour une analyse basée sur le contact hertzien ou $X= M$ pour une analyse établie sur un rayon de contact moyen. Les paramètres identifiés sont regroupés dans le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 21 : Valeurs des paramètres de l'équation du coefficient énergétique moyen pour toutes les conditions étudiées.</caption><thead><tr><th></th><th>μ<sub>eX_ref</sub></th><th>n<sub>μeX</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>Analyse pour le rayon hertzien X= H</td><td>0.8</td><td>-0.25</td></tr><tr><td>Analyse pour le rayon hertzien X= M</td><td>1</td><td>-0.28</td></tr></tbody></table>

De la même façon la loi d'usure d'Archard peut être exprimée pour la relation suivante :

$$ K_x = K_{X\_REF} \cdot \left( \frac{a_X}{a_{ref}} \right)^{nk_x} \quad (48) $$

L'analyse réalisée sur l'ensemble des conditions de chargement (pression et déplacement variable) conclut à un résultat similaire à savoir que le rayon de contact est le paramètre déterminant qui contrôle la cinétique d'usure. Ainsi les paramètres identifiés sont :

<table><caption>Tableau 22 : Valeurs des paramètres de l'équation du coefficient d'usure d'Archard pour toutes les conditions étudiées.</caption><thead><tr><th></th><th>K<sub>X_ref</sub> (μm<sup>3</sup>/Nm)</th><th>n<sub>KX</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>Analyse pour le rayon hertzien X= H</td><td>75 000</td><td>-1.2</td></tr><tr><td>Analyse pour le rayon hertzien X= M</td><td>270 000</td><td>-3/2</td></tr></tbody></table>
De même façon l'analyse basée sur la démarche énergétique montre que la cinétique d'usure dépend du rayon de contact et peut être exprimée par la loi puissance telle que :

$$ \alpha_x = \alpha_{X\_REF} \cdot \left( \frac{a_x}{a_{ref}} \right)^{n\alpha_x} \quad (49) $$

<table><caption>Tableau 23 : Valeurs des paramètres de l'équation du coefficient d'usure énergétique pour toutes les conditions étudiées.</caption><thead><tr><th></th><th>α<sub>X_ref</sub> (μm<sup>3</sup>/J)</th><th>n<sub>αX</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>Analyse pour le rayon hertzien X= H</td><td>90 000</td><td>-0.9</td></tr><tr><td>Analyse pour le rayon hertzien X= M</td><td>250 000</td><td>-1.2</td></tr></tbody></table>

Nous avons donc démontré qu'une même loi puissance est capable de décrire l'impact de la taille de contact vis-à-vis du comportement du coefficient de frottement et de la cinétique d'usure.

Notre analyse a été développée pour un couple tribologique très stable de sorte qu'il est possible d'établir une loi de proportionnalité entre les coefficients d'usure d'Archard et énergétique de telle sorte que :

$$ K_x = \bar{\mu}_{ex} \cdot \alpha_x \quad \text{ou} \quad \bar{\mu}_{ex} = K_x / \alpha_x = \left( \frac{K_{x\_REF}}{\alpha_{x\_REF}} \right) \cdot \left( \frac{ax}{a_{REF}} \right)^{n_k x - n_x x} \quad (50) $$

Aussi par identification nous déduisons que :

$$ \mu_{ex\_ref} = K_x / \alpha_x \quad (51) $$

Et

$$ n_{\mu ex\_ref} = n_{kx} - n_{\alpha x} \quad (52) $$

Cette corrélation est effectivement vérifiée puisque :
<table><caption>Tableau 24 : Validation des paramètres de l'équation du coefficient de frottement énergétique moyen, du coefficient d'usure K et énergétique α pour toutes les conditions étudiées.</caption><thead><tr><th></th><th>μ<sub>eX_ref</sub></th><th>K<sub>X</sub>/α<sub>X</sub></th><th>n<sub>μeX</sub></th><th>n<sub>KX</sub> - n<sub>αX</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>Analyse pour le rayon hertzien X= H</td><td>0.8</td><td>75000/90000 = 0.83</td><td>-0.25</td><td>-1.2 + 0.9 = -0.3</td></tr><tr><td>Analyse pour le rayon hertzien X= M</td><td>1</td><td>270000/250000 = 1.08</td><td>-0.28</td><td>-1.5 + 1.3 = -0.3</td></tr></tbody></table>

La corrélation entre les valeurs issues directement de l'analyse du coefficient de frottement et celle issues du ratio K/α est très bonne.

Ce qui souligne la stabilité de la loi puissance que nous introduisons pour décrire le comportement tribologique. On retiendra par ailleurs que l'exposant n<sub>μe</sub> et son estimation n<sub>KX</sub> - n<sub>αX</sub> sont stables quel que soit le rayon de contact considéré.

Cette recherche a par ailleurs montré que le paramètre déterminant est le rayon de contact. L'impact direct de la pression est négligeable. Ainsi, pour un contact donné l'augmentation de la force normale induira l'augmentation de la pression et du rayon de contact. En fait la variation de la cinétique d'usure est directement tributaire de l'extension du rayon de contact « a ».

L'hypothèse que nous avons avancé pour expliquer la réduction asymptotique du coefficient de frottement et des cinétiques d'usure avec la taille du contact est basée sur la théorie du troisième corps.

En fait, plus le contact est grand, plus le troisième corps sera maintenu dans l'interface de sorte qu'une plus grande quantité d'énergie sera dissipée dans le troisième corps et non pas au niveau des premiers corps pour la création de nouveaux débris. Il apparaît donc pertinent d'établir une analyse en termes de flux de débris créés, éjectés et la quantité résiduelle de débris maintenus dans l'interface.

Cette démarche a été largement développée par l'équipe du professeur Y. Berthier en particulier au travers des travaux récents de Fillot et al.

En conclusion de cette théorie, plus le contact sera important et le lit de débris difficilement éjecté, plus l'épaisseur du troisième corps sera importante.

Nous avons cherché à valider cet aspect en faisant des profils d'usure avant et après enlèvement de débris. Malheureusement, les débris maintenus dans l'interface sont très adhérents et très difficiles à éliminer. Il ne nous a pas été possible de conclure sur ce volet.
Cela pose en particulier la difficulté d'établir une description quantitative de l'approche du troisième corps pour prédire la cinétique d'usure d'un contact.

Un dernier aspect que nous allons développer dans le prochain paragraphe concerne l'impact de la géométrie du contact. Nous avons étudié un contact 3D sphère/plan, pour établir la relation entre la morphologie du contact et l'impact relatif du glissement unidirectionnel, il apparaît intéressant de considérer une autre géométrie de type 2D telle que la configuration cylindre/plan.
## 2. Configuration cylindre/ plan :

Dans le chapitre précédent nous avons analysé l'impact de la largeur de contact sur la cinétique d'usure. Cette analyse a été conduite pour le contact 3D sphère/plan.

Différentes « lois puissances » ont été introduites nous permettant de prendre en compte l'effet du rayon de contact « a ». Tant vis-à-vis de la loi de frottement que vis-à-vis de la cinétique d'usure.

Cependant l'influence du paramètre « a » demande à d'être mieux expliqué. En particulier s'agit-il d'un effet de l'aire de contact autrement dit pour un contact sphère plan du facteur « a² » ou d'un effet lié à une distance relative autrement dit du paramètre « a » seul ?

Pour répondre à cette question nous avons repris l'analyse précédente mais pour un contact 2D cylindre/plan pour un même couple de matériaux.

Ainsi, en comparant les réponses obtenues pour le contact 3D sphère/plan et le contact 2D cylindre/plan il nous sera plus facile d'évaluer l'impact du paramètre « a » soit au travers de la notion d'aire de contact ou de la distance relative autrement dit la distance parcourue « a » par le lit de débris avant éjection du troisième corps de l'interface.

### 2.1 Méthodologie expérimentale :

Comme pour l'analyse sphère/plan nous avons étudié un contact 100C6/100C6 sec. L'étude a été intégralement réalisée sur l'essai hydraulique MTS dite Machine II.

Les demi largeurs de contacts étudiées (rayons hertziens) « aH » sont comprises entre 100 et 600 µm.

#### 2.1.1 Géométries et chargements :

Différents rayons de cylindre (10, 20, 40 et 60 mm) sont appliqués de façon à étudier l'effet d'échelle sur les mécanismes d'usure.

Quelle que soit la géométrie de contact, la génératrice de contact est dimensionnée de façon à respecter la condition de déformations planes. Celle-ci est fixée à 3 mm pour le cylindre R=10mm, 4 mm pour le cylindre R= 20 mm, 5 mm pour le cylindre R= 40 mm et 6 mm pour le cylindre R= 60 mm (figure 109).
<figure><img src="image_113.png" /><figcaption>Figure 109: Illustration des géométries du contact cylindre/plan utilisées durant toute l'étude.</figcaption></figure>

Le rayon de l'aire du contact hertzien est désigné par $a_H$. Les différents paramètres du contact comme la force normale P (N) et le rayon de contact « $a_H$ » sont calculés à partir de la théorie de Hertz.

$$ \text{Avec } a_H = 2 (P_L R / \pi E^*)^{1/2} \quad (53) $$

$$ p_{0H} = (P_L E^* / \pi R)^{1/2} \quad (54) $$

$$ P_L = P/L \text{ et } 1/E^* = 1/2 [(1 - v^2)/E] \quad (55) $$

Avec P la force normale appliquée, L la longueur de la génératrice du contact et $P_L$ la force normale linéique soit la force normale par unité de longueur (m) et $E^*$ le module d'Young.

### 2.1.2 Conditions opératoires étudiées :

Les conditions opératoires de cette étude sont les suivantes, on ajuste pour chacun des rayons de cylindre la force normale de façon à maintenir constante la pression maximale hertzienne soit $p_0 = 550$ MPa.

Pour évaluer l'impact de glissement relatif $\delta g$, on considère deux iso conditions de glissement relatif soit $\delta g/a_H = 0.25$ et $\delta g/a_H = 0.5$

Les différentes conditions opératoires sont résumées dans le tableau 25 et illustrées par la figure 110.
<table><caption>Tableau 25 : Conditions opératoires étudiées pour la configuration 2D cylindre/plan.</caption><thead><tr><th>Rayon du cylindre R (mm)</th><th>Génératrice du contact L (mm)</th><th>Chargement normal P (N)</th><th>Demi Largeur de contact a (µm)</th><th>Pression maximale p<sub>0</sub> (MPa)</th><th>δg (µm) pour δg/a<sub>H</sub>= 0.25</th><th>δg (µm) pour δg/a<sub>H</sub>= 0.5</th></tr></thead><tbody><tr><td>10</td><td>3</td><td>248</td><td>96</td><td>550</td><td>+/-24</td><td>+/-48</td></tr><tr><td>20</td><td>4</td><td>663</td><td>192</td><td>550</td><td>+/-48</td><td>+/-96</td></tr><tr><td>40</td><td>5</td><td>1658</td><td>384</td><td>550</td><td>+/-96</td><td>+/-192</td></tr><tr><td>60</td><td>6</td><td>2984</td><td>576</td><td>550</td><td></td><td>+/-288</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_114.png" /><figcaption>Figure 110 : Illustration des conditions opératoires étudiées pour le contact cylindre/plan avec $p_0 = 550$ MPa, $\delta g/a_H = 0.25$ et $\delta g/a_H = 0.5$</figcaption></figure>

## 2.2 Analyse du coefficient de frottement :

La figure 111 illustre le comportement tribologique du contact 100C6 cylindre/plan pour les deux conditions de glissement de pression $\delta g/a_H = 0.25$ et $\delta g/a_H = 0.5$ et une iso condition de pression maximale $p_0 = 550$ MPa.
<figure><img src="image_115.png" /><figcaption>Figure 111: Évolution du coefficient de frottement en fonction du nombre de cycles des différents rayons des cylindres étudiés tels que $p_0 = 550 \text{ MPa}:$ a) $\delta g/a_H = 0.25$ et b) $\delta g/a_H = 0.5$.</figcaption></figure>

On observe une évolution très similaire à celle observée pour le contact sphère/plan. Le contact est caractérisé par une augmentation très rapide du coefficient de frottement durant les premiers cycles suivie d'une chute aussi rapide.

Cette phase transitoire, très brutale est inférieure à 1000 cycles. L'évolution par la suite va dépendre de la condition de glissement $\delta g/a$ et surtout du rayon de contact.

Pour $\delta g/a_H = 0.25$ on remarque que pour les gros contacts ($a_H = 384 \text{ µm}$) la valeur du coefficient de frottement tend de façon asymptotique vers une valeur minimale de 0.5. Pour des contacts plus petits le coefficient de frottement se stabilise dans un premier temps puis remonte progressivement avant de se stabiliser après 4000 cycles.

On observe que pour la condition $\delta g/a_H = 0.5$ cette évolution incluant un premier maximum très élevé, une diminution jusqu'à un minimum ($\mu_e \text{ min}$) puis une remontée avant stabilisation ($\mu_e \text{ stab}$) systématiquement observée quelle que soit la taille du contact.

Comme pour le contact sphère/plan on remarque que plus le contact est grand, plus le coefficient stabilisé est faible. Cette évolution est aussi observée pour le coefficient de frottement $\mu_e \text{ min}$.

Comme pour le contact sphère/plan, l'hypothèse la plus plausible est que le contact étant plus grand le temps de parcours des débris étant plus long, le lit de débris ainsi formé sera plus épais et donc l'interface plus accommodante.

En conséquence le coefficient de frottement sera plus faible.
Pour formaliser l'évolution du coefficient de frottement on calcule la valeur moyenne des essais à 10000 cycles.

<table><caption>Tableau 26 : Valeurs du coefficient énergétique moyen de toutes les conditions étudiées.</caption><thead><tr><td>R (mm)</td><td>a<sub>H</sub> (µm)</td><td>µe mo.(δg/a<sub>H</sub> = 0.25)</td><td>µe mo. (δg/a<sub>H</sub>=0.5)</td></tr></thead><tbody><tr><td>10</td><td>96</td><td>0.72</td><td>0.761</td></tr><tr><td>20</td><td>192</td><td>0.634</td><td>0.741</td></tr><tr><td>40</td><td>384</td><td>0.532</td><td>0.65</td></tr><tr><td>60</td><td>576</td><td></td><td>0.631</td></tr></tbody></table>

Comme pour le contact sphère/plan on observe une décroissance asymptotique (Figure 112) du coefficient de frottement énergétique moyen avec le rayon de contact.

<figure><img src="image_116.png" /><figcaption>Figure 112: Évolution du coefficient de frottement moyen en fonction du rayon de contact a<sub>H</sub> normalisé par le rayon référence a<sub>ref</sub> = 100 µm (p<sub>0</sub> = 550 MPa: a) δg/a<sub>H</sub> = 0.25 et b) δg/a<sub>H</sub> = 0.5).</figcaption></figure>
Le tracé log-log (Figure 113) confirme une évolution linéaire qui nous permet d'exprimer la loi de frottement à partir d'une loi puissance telle que :

<figure><img src="image_117.png" /><figcaption>Figure 113: Analyse log-log de l'évolution du coefficient de frottement en fonction de rayon de contact.</figcaption></figure>

$$ \bar{\mu}_e = \bar{\mu}_{eH\_REF} \cdot \left( \frac{a_H}{a_{ref}} \right)^{n_{\mu e H}} \quad (56) $$

Avec $\mu_{eH\_ref} = 0.6$, $n_{\mu e H} = -0.13$.

Une bonne corrélation est observée qui justifie encore une fois la formulation de type puissance pour décrire l'impact du rayon de contact vis-à-vis du de frottement.
## 2.3 Analyse de la cinétique d'usure (Approche d'Archard) :

Comme pour le contact sphère/plan on observe une évolution pratiquement linéaire du volume d'usure en fonction de facteur d'Archard $\Sigma W$ pour chacun des rayons de contact analysé.

<figure><img src="image_118.png" /><figcaption>Figure 114: Évolution du volume d'usure en fonction du facteur de chargement d'Archard:</figcaption></figure>

$$a) \delta g/a_H = 0.25, b) \delta g/a_H = 0.5.$$

On observe très clairement que la cinétique d'usure (facteur $K= \Delta V/\Delta \Sigma W$) associée à la pente des différentes approximations linéaires tend à décroître avec la taille du contact. Les différentes valeurs obtenues sont regroupées dans le tableau 27.

<table><caption>Tableau 27 : Coefficient d'Archard K, coefficient énergétique α et le coefficient de régression $R^2$ pour les différents rayons de cylindre étudiés.</caption><thead><tr><th>Rayon de cylindre (mm)</th><th>a<sub>H</sub> (µm)</th><th>a<sub>M</sub> (µm)</th><th>Coefficient K (µm<sup>3</sup>/Nm) ; R<sup>2</sup></th><th>Coefficient α (µm<sup>3</sup>/J) ; R<sup>2</sup></th><th>δg/ a<sub>H</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>10</td><td>96</td><td>208</td><td>47513 ; 0.96</td><td>68580 ; 0.97</td><td>0.25</td></tr><tr><td>20</td><td>192</td><td>383</td><td>16409 ; 0.92</td><td>26714 ; 0.93</td><td>0.25</td></tr><tr><td>40</td><td>384</td><td>630</td><td>4694 ; 0.88</td><td>8460 ; 0.8</td><td>0.25</td></tr><tr><td>10</td><td>96</td><td>289</td><td>32776 ; 0.94</td><td>43598 ; 0.96</td><td>0.5</td></tr><tr><td>20</td><td>192</td><td>457</td><td>10864 ; 0.93</td><td>19042 ; 0.95</td><td>0.5</td></tr><tr><td>40</td><td>384</td><td>820</td><td>7330 ; 0.88</td><td>10477 ; 0.89</td><td>0.5</td></tr><tr><td>60</td><td>576</td><td>1413</td><td>8863 ; 0.76</td><td>14421 ; 0.83</td><td>0.5</td></tr></tbody></table>
La figure 115 trace dans un diagramme log-log l'évolution de la cinétique d'usure.

<figure><img src="image_119.png" /><figcaption>Figure 115: Loi logarithmique du coefficient d'usure d'Archard K en fonction du rayon de contact hertzien normalisé (δg/aH = 0.25, δg/aH = 0.5).</figcaption></figure>

L'évolution linéaire observée nous permet encore une fois d'exprimer la cinétique d'usure à partir d'une loi puissance telle que :

$$K_H = K_{H\_REF} \cdot \left( \frac{a_H}{a_{ref}} \right)^{nk_H} \quad (57)$$

Avec K<sub>H_ref</sub> = 25 000 µm³/Nm et n<sub>KH</sub>= -1.

La corrélation entre les résultats expérimentaux et la formulation proposée est très bonne.
<figure><img src="image_120.png" /><figcaption>Figure 116: Évolution du coefficient d'usure d'Archard K en fonction du rayon de contact hertzien normalisé, ($\delta g/a_H$ = 0.25, $\delta g/a_H$ = 0.5).</figcaption></figure>

Comme pour l'analyse du contact sphère/plan on prend en compte l'extension de l'aire de contact induite par l'usure des surfaces en considérant le rayon moyen calculé entre la valeur initiale (contact hertzien) et la valeur finale à l'ouverture du contact.

Nous appliquons la loi logarithmique pour formaliser cette évolution (Figure 117). Nous trouvons aussi une évolution linéaire avec une pente de -1.

<figure><img src="image_121.png" /><figcaption>Figure 117: Loi logarithmique du coefficient d'usure d'Archard K en fonction du rayon de contact moyen normalisé ($\delta g/a_H$ = 0.25, $\delta g/a_H$ = 0.5).</figcaption></figure>
Aussi la cinétique d'usure formulée à partir du rayon de contact moyen est exprimée par la relation suivante (Fig. 118) :

$$K_M = K_{M\_REF} \cdot \left( \frac{a_M}{a_{ref}} \right)^{nk_M} \quad (58)$$

Avec $K_{M\_ref} = 50\ 000\ \mu m^3/Nm$, $n_{KM} = -1$.

<figure><img src="image_122.png" /><figcaption>Figure 118: Évolution du coefficient d'usure d'Archard K en fonction du rayon de contact moyen normalisé, ($\delta g/a_H = 0.25$, $\delta g/a_H = 0.5$).</figcaption></figure>

Contrairement à l'analyse du contact sphère/plan on constate que la prise en compte de l'extension du rayon de contact n'influe pas du tout sur l'exposant n.

Cette différence de comportement peut être attribuée à l'impact géométrique lié à l'extension de l'usure.

En effet le contact sphère/plan est 3D alors que le contact cylindre/plan est 2D. Nous développons plus complètement ce volet dans la synthèse comparative entre les résultats cylindre/plan et sphère/plan.
## 2.4 Formulation énergétique de l'usure :

L'analyse de l'usure est étendue à l'approche énergétique. La figure 119 confirme l'évolution linéaire entre le volume usé et l'énergie dissipée.

<figure><img src="image_123.png" /><figcaption>Figure 119: Évolution de l'usure en fonction de l'énergie dissipée cumulée $\delta g/a_H = 0.25$.</figcaption></figure>

On retrouve la tendance suivant laquelle la cinétique d'usure tend à diminuer avec la taille du contact et plus spécialement la largeur de contact suivant la direction de glissement autrement dit la variable « a ».

Le tracé log-log de la figure 120 confirme la stabilité d'une loi puissance pour décrire cette dépendance.
<figure><img src="image_124.png" /><figcaption>Figure 120: Loi logarithmique du coefficient d'usure énergétique α en fonction de la loi logarithmique du rayon de contact hertzien normalisé, ($p_0$= 550 MPa, $\delta g/a_H$ = 0.25, $\delta g/a_H$ = 0.5).</figcaption></figure>

Nous pouvons donc exprimer la loi d'usure à partir de la loi suivante :

$$ \alpha_H = \alpha_{H\_REF} \cdot \left( \frac{a_H}{a_{ref}} \right)^{n_{\alpha H}} \quad (59) $$

Avec $\alpha_{H\_ref}$ = 40 000 $\mu m^3/J$

Et $n_{\alpha H}$ = -0.9.

La corrélation de cette formulation avec les résultats expérimentaux est très bonne et de fait on confirme la stabilité de notre démarche (figure 121).
<figure><img src="image_125.png" /><figcaption>Figure 121: Validation de la formulation puissance pour décrire la loi d'usure énergétique $\alpha$ en fonction de l'aire de contact hertzien normalisé ($p_0= 550 \text{ MPa}, \delta g/a_H = 0.25, \delta g/a_H = 0.5$), courbe théorique correspondant à l'équation 59.</figcaption></figure>

Comme pour l'analyse d'Archard on exprime l'évolution de l'usure en tenant compte de l'extension de l'aire de contact, autrement dit en fonction de la largeur de contact moyenne « $a_M$ ».

Le tracé log-log de la figure 122 confirme la stabilité d'une loi puissance pour décrire cette dépendance.

<figure><img src="image_126.png" /><figcaption>Figure 122: Loi logarithmique du coefficient d'usure énergétique $\alpha$ en fonction du rayon de contact moyen normalisé, ($\delta g/a_H = 0.25, \delta g/a_H = 0.5$).</figcaption></figure>
La formulation puissance est conservée telle que :

$$ \alpha_M = \alpha_{M\_REF} \cdot \left( \frac{a_M}{a_{ref}} \right)^{n_{\alpha M}} \quad (60) $$

Avec $\alpha_{M\_ref} = 75\ 000\ \mu\text{m}^3/\text{J}$

Et $n_{\alpha M} = -0.95$.

La corrélation avec les résultats expérimentaux est encore une fois très bonne.

<figure><img src="image_127.png" /><figcaption>Figure 123: Confirmation de la stabilité de la puissance pour formuler la cinétique d'usure énergétique $\alpha$ en fonction de l'aire de contact moyen normalisé, ($p_0 = 550$ MPa, $\delta g/a_H = 0.25$, $\delta g/a_H = 0.5$).</figcaption></figure>
## 2.5 Synthèse :

Dans cette partie nous avons exprimé la cinétique d'usure pour un contact cylindre/plan en 100C6 en tenant compte de l'effet de la taille de contact.

On montre que les mécanismes d'usure se stabilisent après une longue phase de mise en place de l'ordre de 4000 cycles. Pour les petits rayons l'évolution du coefficient de frottement se stabilise autour d'une valeur de 0.8 pour toute la durée de l'essai tandis que pour les grands rayons, l'évolution de coefficient de frottement se stabilise autour d'une valeur de 0.4 et 0.5. La valeur du coefficient de frottement moyen diminue avec le rayon de contact.

Une formulation puissance a été introduite pour quantifier cet aspect.

Il ressort de tous ces résultats une relation unique et linéaire entre le volume total d'usure (V), facteur de chargement d'Archard (W), l'énergie dissipée (Ed), l'amplitude de glissement (δg) et la pression maximale hertzienne (p₀). La détermination d'un coefficient d'usure K et α permet de relier les différents paramètres.

Par ailleurs, les expressions qui décrivent l'évolution de K et α sont stables quelle que soit l'amplitude de glissement et la dimension de contact qui sont appliquées.

On remarque que pour la configuration cylindre/plan les exposants n sont stables pour toutes les conditions étudiées, $n_{KH}=n_{KM}=n_{αH}=n_{αM}= -1$ (tableau 28).

<table><thead><tr><th>K</th><th>K_ref (µm³/Nm)</th><th>n<sub>K</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>(a<sub>H</sub>/ a<sub>ref</sub>) Hertzien</td><td>25 000</td><td>-1</td></tr><tr><td>(a<sub>M</sub>/ a<sub>ref</sub>) Moyen</td><td>50 000</td><td>-1</td></tr></tbody></table>

(a)

<table><thead><tr><th>α</th><th>α_ref (µm³/J)</th><th>n<sub>α</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>(a<sub>H</sub>/ a<sub>ref</sub>) Hertzien</td><td>40 000</td><td>-0,9</td></tr><tr><td>(a<sub>M</sub>/ a<sub>ref</sub>) Moyen</td><td>75 000</td><td>-0,95</td></tr></tbody></table>

(b)

Tableau 28 : Valeurs des paramètres des équations K et α sous (p₀ = 550 MPa, δg/a<sub>H</sub> = 0.25, δg/a<sub>H</sub> = 0.5).

Ceci suggère que pour la configuration cylindre/plan la cinétique d'usure est inversement proportionnelle à la taille du contact.

La corrélation α (Energie) et K (Archard) est elle aussi intiment liée à la stabilité de la loi de frottement.
En posant l'hypothèse que le coefficient de frottement reste constant pour une géométrie donnée nous pouvons poser que $\bar{\mu}_e = K/\alpha$.

$$ \bar{\mu}_e = \frac{K_H}{\alpha_H} = \frac{K_{H\_REF} \cdot \left( \frac{a_H}{a_{ref}} \right)^{\eta_{EH}}}{\alpha_{H\_REF} \cdot \left( \frac{a_H}{a_{ref}} \right)^{\alpha_{KH}}} = \frac{25000 * \left( \frac{a_H}{a_{ref}} \right)^{-1}}{40000 * \left( \frac{a_H}{a_{ref}} \right)^{-0.9}} = 0.625 * \left( \frac{a_H}{a_{ref}} \right)^{-0.1} \quad (61) $$

L'expression que nous obtenons est très proche de celle déduite lors de l'analyse du coefficient de frottement moyen (Equation 56).

On démontre donc que l'expression $\mu_e = K/\alpha$ peut être appliquée et indirectement la stabilité de la loi de frottement même ci celle-ci semble légèrement moins stable que pour le contact sphère/plan.
### 3. Conclusion sur la cinétique d'usure de 100C6/100C6 sec soumis à des chargements de fretting:

Dans le cadre de cette recherche nous avons formalisé la réponse tribologique du contact sec 100C6/100C6 soumis à des sollicitations de fretting.

On montre que la phase de transition entre l'étape E (μ= 0.5) et F (μ= 0.8) (cf. chapitre 2) tend à diminuer avec la taille de contact et par ailleurs la valeur du coefficient de frottement de la phase stabilisée diminue avec la taille du contact pour rejoindre celle du minimum pour les très grands contacts.

La principale originalité de nos travaux a été de mettre en place une démarche expérimentale permettant de découpler l'influence de la taille du contact et de la pression en ajustant les rayons des contre corps (sphères et cylindres) et les efforts normaux de façon à travailler à iso pression maximale ($p_0$) ou iso rayon de contact ($a_H$).

L'analyse en pression variable (iso taille de contact) montre que dans le domaine des pressions étudiées situées dans le domaine « d'accommodation élastique », la cinétique d'usure (paramètres K et α) est indépendante de la pression.

L'analyse à iso pression et iso taille de contact en faisant varier l'amplitude de glissement $\delta g$ confirme que pour le spectre des amplitudes étudiées, l'amplitude de glissement a très peu d'influence sur la cinétique d'usure.

Nous concluons donc que les facteurs d'usure d'Archard K et α permettent de bien formaliser la cinétique d'usure pour une taille de contact donnée ceci quelle que soit la pression où l'amplitude de glissement. Ceci fut ailleurs validé par des évolutions linéaires entre les volumes d'usure et les facteurs de chargement $\Sigma W$ et $\Sigma Ed$.

L'aspect très novateur de nos recherches a été de montrer et de formaliser l'impact de la taille du contact vis-à-vis du coefficient de frottement et de la cinétique d'usure.

Ainsi, en analysant les conditions d'iso pression ($p_0$= cte) pour des conditions de glissement constantes ($\delta g$ = cte), et des conditions de glissement relatif constant ($\delta g / a_H$ = cte) on montre
que le coefficient de frottement μe ainsi que les coefficients d'usure K et α décroissent suivant une fonction puissance avec la taille du contact telle que :

$$X = X_{REF} \cdot \left( \frac{a}{a_{ref}} \right)^{n_x}$$

En considérant l'hypothèse d'un contact hertzien et en normalisant la réponse pour un contact référence a\_ref = 100 μm, nous pouvons exprimer les coefficients de frottement et d'usure au travers des relations suivantes :

$$\overline{\mu_e} = \overline{\mu_{eH\_REF}} \cdot \left( \frac{a_H}{a_{ref}} \right)^{n_{\mu eH}}$$

$$K_H = K_{H\_REF} \cdot \left( \frac{a_H}{a_{ref}} \right)^{nk_H}$$

$$\alpha_H = \alpha_{H\_REF} \cdot \left( \frac{a_H}{a_{ref}} \right)^{n\alpha_H}$$

Nous avons identifié les différents paramètres au travers d'une très large gamme de conditions de sollicitations.

<table><caption>Tableau 29 : Identification des lois puissances décrivant le comportement tribologique en fonction du rayon de contact (contact sphère/plan, Analyse Hertzienne).</caption><thead><tr><th>Analyse<br>Hertzienne</th><th>μ̅<sub>eH_REF</sub></th><th>n<sub>μeH</sub></th><th>K<sub>H_ref</sub><br>(μm<sup>3</sup>/Nm)</th><th>n<sub>KH</sub></th><th>α<sub>H_ref</sub><br>(μm<sup>3</sup>/J)</th><th>n<sub>αH</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>Sphère/plan</td><td>0,8</td><td>-0,25</td><td>75 000</td><td>-1,2</td><td>90 000</td><td>-0,92</td></tr></tbody></table>

Cette analyse nous a permis de confirmer l'équivalence entre l'approche d'Archard et l'approche énergie dissipée dans ce cas précis où le coefficient de frottement reste constant.

En effet nous déduisons que : K = α .μ̅_e

Puisque n<sub>KH</sub> ≈ n<sub>αH</sub> + n<sub>Hμe</sub> et par ailleurs

K<sub>H_ref</sub> ≈ μ̅<sub>eH_REF</sub> . α<sub>H_ref</sub>
Cette analyse a été appliquée au contact cylindre/plan pour des configurations de contact similaires (niveau de pression et amplitudes de glissement équivalentes).

Nous retrouvons encore une fois un effet marqué de la taille du contact. On confirme la pertinence des lois puissances proposées, en revanche, on remarque que les paramètres des différentes formulations sont sensiblement différents en particulier les valeurs des exposants qui indirectement décrivent l'impact du rayon de contact sur le comportement tribologique.

Ainsi pour les configurations cylindre/plan étudiées nous déduisons :

<table><caption>Tableau 30 : Identification des lois puissances décrivant le comportement tribologique en fonction du rayon de contact (contact cylindre/plan, Analyse Hertzienne).</caption><thead><tr><th>Analyse<br>Hertzienne</th><th>μ̄<sub>eH_REF</sub></th><th>n<sub>μeH</sub></th><th>K<sub>H_ref</sub><br>(μm<sup>3</sup>/Nm)</th><th>n<sub>KH</sub></th><th>α<sub>H_ref</sub><br>(μm<sup>3</sup>/J)</th><th>n<sub>αH</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>Cylindre/plan</td><td>0.6</td><td>-0.13</td><td>25000</td><td>-1</td><td>40000</td><td>-0.9</td></tr></tbody></table>

Encore une fois la stabilité du coefficient de frottement permet d'établir une relation de passage entre l'analyse d'Archard et l'approche énergétique puisqu'on vérifie la relation :

$$K = \alpha \cdot \bar{\mu}_e$$

La différence des valeurs des exposants « nₓ » entre les configurations sphère/plan et cylindre/plan pose le problème de la stabilité des lois puissances proposées.

En fait, une analyse plus approfondie, montre qu'une description de la dimension du contact basée sur le rayon hertzien est biaisée car en réalité le rayon de contact augmente avec l'usure de l'interface.

La prise en compte de cet élément pourrait expliquer la différence de comportement entre le contact 2D cylindre/plan et le contact 3D sphère/plan. Ainsi pour un même volume usé, l'extension de l'aire de contact sera différente ce qui perturbera la loi puissance et donnera lieu à des exposants différents.

Pour palier ce problème et tenir compte de l'extension du rayon de contact en fonction de l'usure on formalise la loi d'usure non pas à partir du contact Hertzien « aH » mais à partir d'une valeur moyenne du rayon de contact « aM » calculée à partir du suivi de l'extension du rayon de contact.

La transposition du paramètre aM confirme la stabilité des lois puissances que ce soit pour la configuration sphère/plan ou cylindre/plan.
On exprime une fois encore le coefficient de frottement et les cinétiques d'usure à partir des relations suivantes :

$$ \bar{\mu}_e = \bar{\mu}_{eM\_REF} \cdot \left( \frac{a_M}{a_{ref}} \right)^{n_{\mu eM}} $$

$$ K_M = K_{M\_REF} \cdot \left( \frac{a_M}{a_{ref}} \right)^{nk_M} $$

$$ \alpha_M = \alpha_{M\_REF} \cdot \left( \frac{a_M}{a_{ref}} \right)^{n\alpha_M} $$

Les données issues de l'identification sont regroupées dans le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 31 : Identification des lois puissances décrivant le comportement tribologique du contact 100C6/100C6 sec en tenant compte de l'extension de l'aire de contact induite par l'usure.</caption><thead><tr><th>Analyse a<sub>M</sub></th><th>μ&#773;<sub>eM\_REF</sub></th><th>n<sub>μeM</sub></th><th>K<sub>M\_ref</sub><br>(μm<sup>3</sup>/Nm)</th><th>n<sub>KM</sub></th><th>α<sub>M\_ref</sub><br>(μm<sup>3</sup>/J)</th><th>n<sub>αM</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>Sphère/plan</td><td>1</td><td>-0.3</td><td>270000</td><td>-1.5</td><td>250000</td><td>-1.2</td></tr><tr><td>Cylindre/plan</td><td>0.7</td><td>-0.1</td><td>50000</td><td>-1</td><td>75000</td><td>-0.95</td></tr></tbody></table>

En faisant abstraction des constantes associé aux conditions références choisies, nous pouvons dire que la cinétique d'usure d'Archard pour le contact sphère/plan et cylindre plan est exprimée respectivement par:

$$ K_{sp} \alpha \frac{1}{a_{Msp}^{3/2}} \quad (62) $$

et

$$ K_{cp} \alpha \frac{1}{a_{Mcp}} \quad (63) $$

Nous observons un écart de 50% entre les exposants qui souligne qu'une approche uniquement basée sur la longueur « a », représentative du trajet de parcours d'un débris suivant l'axe de glissement, n'est pas suffisante.
De nombreuses formulations de lois d'usure soulignent l'importance de la taille de contact autrement dit de l'aire de contact.

On exprime donc pour les deux configurations de contact la relation entre « a » (largeur de contact suivant la direction de glissement) et l'aire de contact A soit respectivement :

Pour le contact sphère/plan :

$$
A_{sp} = \pi a_{sp}^2 \quad \text{soit} \quad a_{Msp} \propto A_{Msp}^{1/2} \quad (64)
$$

Pour le contact cylindre/plan :

$$
A_{cp} = L \cdot a_{cp} \quad \text{soit} \quad a_{Msp} \propto A_{Mcp} \quad (65)
$$

Avec L longueur de la génératrice du cylindre.

On reporte l'expression de l'aire de contact dans la formulation puissance de la loi d'Archard,
nous deduisons :

$$
K_{sp} \propto \frac{1}{A_{Msp}^{3/4}} \quad (66)
$$

et

$$
K_{cp} \propto \frac{1}{A_{Mcp}} \quad (67)
$$

L'analyse similaire transposée à l'approche énergétique montre que :

$$
\alpha_{sp} \propto \frac{1}{A_{Msp}^{0.6}} \quad (68)
$$

et

$$
\alpha_{cp} \propto \frac{1}{A_{Mcp}^{0.95}} \quad (69)
$$

La formulation établie à partir de l'aire de contact semble être plus pertinente avec un écart réduit à 30% entre les composants identifiés pour les contacts 3D (sphère/plan) et 2D (cylindre/plan). L'écart reste cependant substantiel ce qui suggère qu'une approche uniquement fondée sur l'aire de contact ne permet pas de bien formaliser l'influence du rayon de contact indépendamment de la géométrie de contact.

En fait, on peut supposer que l'effet de la taille du contact fait intervenir simultanément l'aire
de contact « A » et la longueur cinématique « a » autrement dit la distance de parcours du
troisième corps avant éjection des débris.

Pour représenter cet effet couplé on pose en première approximation la variable

$$
\Phi = A \cdot a \quad (70)
$$

Ainsi pour un contact sphère/plan cette variable sera égale à :

$$
\Phi_{sp} = \pi a_{sp}^3 \quad \text{soit} \quad a_{Msp} \propto \Phi^{1/3} \quad (71)
$$

Pour un contact cylindre/plan nous déduisons :

$$
\Phi_{sp} = L \cdot a_{cp}^2 \quad \text{soit} \quad a_{Mcp} \propto \Phi^{1/2} \quad (72)
$$
Soit L = 3 mm, L = 4 mm, L = 5 mm et L = 6 mm respectivement pour les rayons de cylindre de R = 10 mm, R = 20 mm, R = 40 mm et R = 60 mm.

En réinjectant la variable couplée Φ (Aire de contact- distance parcourue du troisième corps) on déduit respectivement pour les configurations sphère/plan et cylindre/plan que :

$$ K_{sp} \propto \frac{1}{\Phi_{Msp}^{1/2}} \quad (73) \quad \text{et} \quad k_{cp} \propto \frac{1}{\Phi_{Mcp}^{1/2}} \quad (74) $$

Par ailleurs pour l'analyse énergétique on déduit :

$$ \alpha_{sp} \propto \frac{1}{\Phi_{Msp}^{0.4}} \quad (75) \quad \text{et} \quad \alpha_{cp} \propto \frac{1}{\Phi_{Mcp}^{0.47}} \quad (76) $$

On observe que l'écart des exposants associés aux configurations 3D (sphère/plan) et 2D (cylindre/plan) est désormais très faible, en particulier pour l'approche d'Archard. Aussi, sans être démontré il apparaît que le facteur Φ en intégrant l'effet de l'aire de contact « A » et la longueur cinématique « a » permet d'uniformiser l'impact de la taille du contact vis-à-vis du comportement tribologique ceci quelle que soit la géométrie du contact.

Nous déduisons :

$$ \frac{\overline{\mu_e}}{\overline{\mu_{e_{ref}}}} = \left( \frac{\Phi}{\Phi_{ref}} \right)^{n_{\mu e}} \quad \text{avec } n_{\mu e} \approx -0.1 \quad (77) $$

$$ \frac{K}{K_{ref}} = \left( \frac{\Phi}{\Phi_{ref}} \right)^{nK} \quad \text{avec } n_K \approx -0.5 = -1/2 \quad (78) $$

$$ \frac{\alpha}{\alpha_{ref}} = \left( \frac{\Phi}{\Phi_{ref}} \right)^{n\alpha} \quad \text{avec } n_{\alpha} \approx -0.4 \quad (79) $$

Avec $\Phi \propto \alpha A \cdot a$ (80) soit ici, $\Phi = a^3$ et $\Phi_{ref} = a^3_{ref}$ (contact sphère/plan)

Et $\Phi = a^2$ et $\Phi_{ref} = a^2_{ref}$ (contact cylindre/plan/plan)

Pour illustrer l'intérêt de cette démarche, on trace l'évolution normalisée de la cinétique d'usure $K/K_{ref}$ en fonction du paramètre $(\Phi/\Phi_{ref})$ pour les deux configurations de contact sphère/plan et cylindre/plan (Fig. 124).
<figure><img src="image_128.png" /><figcaption>Figure 124 : Evolution normalisée du ratio K/K<sub>ref</sub> en fonction du paramètre Φ/Φ<sub>ref</sub>. Avec Φ = a<sup>3</sup><sub>M</sub> et Φ<sub>ref</sub> = a<sup>3</sup><sub>ref</sub> pour le contact sphère/plan; Φ = a<sup>2</sup><sub>M</sub> et Φ<sub>ref</sub> = a<sup>2</sup><sub>ref</sub> pour le contact cylindre/plan. K<sub>ref</sub> = K<sub>M_REF</sub> = 270000 µm<sup>3</sup>/Nm pour le contact sphère/plan et K<sub>ref</sub> = K<sub>M_REF</sub> = 50000 µm<sup>3</sup>/Nm pour le contact cylindre/plan.</figcaption></figure>

On remarque une très bonne corrélation qui souligne la stabilité de la démarche proposée et l'intérêt du facteur Φ comme paramètre unificateur pour intégrer l'impact de la taille du contact et de la géométrie dans les processus tribologiques.
# IV. Etude tribologique de la lubrification sur la multi échelle du contact sphère /plan de 100C6 :

## 1. Lubrification en fretting :

### Les palliatifs pour le fretting :

La sollicitation de fretting induit deux types de dégradation, l'un étant l'usure par formation de débris et l'autre l'amorçage puis la propagation de fissures. Il est donc important de limiter ces types de dégradations. Différents palliatifs sont envisageables pour réduire les phénomènes de fretting : amoindrir les vibrations et les glissements relatifs des surfaces en contact, utiliser des matériaux plus résistants ou enfin diminuer les coefficients de frottement par l'addition de lubrifiants. L'objectif du chapitre suivant est d'étudier le comportement du lubrifiant soumis à des sollicitations de fretting en nous focalisant sur l'impact de la taille et de la géométrie du contact.

### Les lubrifiants :

Les lubrifiants sont largement utilisés dans les systèmes tribologiques, cependant leur application dans les contacts soumis à une sollicitation de fretting est très difficile compte tenu de leur faible durabilité. Une méthode de sélection des lubrifiants s'avère donc primordiale.

Il existe trois types de lubrifiants classés suivant leur état physique : les lubrifiants solides, semi solides et liquides. Les lubrifiants solides sont généralement sous forme de poudre ou de film (MoS₂, graphite, film polymère). Les graisses sont les lubrifiants semi solides les plus répandus. Ce sont des lubrifiants composés de deux phases, aux structures et caractéristiques rhéologiques complexes. L'étude dans ce chapitre se focalise sur les graisses (lubrifiants semi solides).
## 2. Méthode expérimentale :

### Méthode du débattement constant :

L'adjonction de lubrifiants dans le contact a pour effet d'abaisser le coefficient de frottement. L'impact du lubrifiant sur le coefficient de frottement va dépendre de l'amplitude du débattement, de la pression dans le contact mais aussi d'autres facteurs comme la fréquence (vitesse de glissement) ou de la température.

Comme dans tous les contacts secs étudiés dans les chapitres précédents, on conserve une même fréquence aussi dans ce chapitre qui est de 10 Hz. Nous étudierons essentiellement la graisse H7S dont les caractéristiques sont confidentielles.

A titre comparatif on analysera la graisse KLUBER (ISOFLEX NBU 15) dont les caractéristiques sont les suivantes : Densité= 0.99 g/cm³, températures d'utilisation de -40 à 130 °C, viscosité d'huile de base à température ambiante est de 40 mm²/s.

<figure><img src="image_129.png" /><figcaption>Figure 125 : Evolution du coefficient de frottement en fonction du déplacement (graisse H7S, Rayon de la sphère 19.05 mm, P= 550 MPa, P= 24 N).</figcaption></figure>
La figure 125 confirme que le coefficient de frottement varie avec l'amplitude de débattement dans un contact lubrifié (graisse) sous chargement de fretting.

Pour savoir dans quel régime nous sommes, on utilise le critère énergétique A (Chapitre1, figure 5).

<figure><img src="image_130.png" /><figcaption>Figure 126 : Condition de glissement (graisse H7S, Rayon de la sphère 19.05 mm, P= 550 MPa, P= 24 N).</figcaption></figure>

La figure 126 illustre que pour les conditions étudiées nous sommes dans un régime de glissement total puisque A> 0.2 même pour l'amplitude de déplacement de 5 µm.

Cependant si le contact est clairement en glissement total pour $\delta* = \pm 50$ µm, $\delta* = \pm 20$ µm avec A>0.7, la condition à $\delta* = \pm 5$ µm se rapproche très sensiblement du domaine de glissement partiel ce qui suppose une amplitude de glissement $\delta g$ très faible.

La comparaison des deux courbes figure 125 et 126 confirme la forte dépendance de l'amplitude de débattement et donc du glissement sur la lubrification du contact. Pour les faibles amplitudes $\delta* = \pm 5$ µm, le coefficient de frottement reste très élevé équivalent au contact sec $\mu= 1$ (coefficient de frottement conventionnel).

En revanche, pour les grandes amplitudes, après une augmentation du coefficient de frottement aux alentours de 0.5, on observe après environ 4000 cycles une forte réduction du
coefficient de frottement qui se stabilise à 0.2. Cette tendance confirme les travaux de Waterhouse et Zhou (Fig. 127).

<figure><img src="image_131.png" /><figcaption>Figure 127 : Evolution du coefficient de frottement en fonction du déplacement.</figcaption></figure>

Ces travaux montrent, que comme tout contact en glissement partiel l'influence de lubrifiant est négligeable et le contact est équivalent à un contact sec. Le coefficient de frottement à la transition peut être plus important car le lubrifiant bloque l'accès de l'oxygène dans l'interface et favorise des contacts métal-métal. Ce comportement dépend de la viscosité du lubrifiant, si celle-ci est faible, le lubrifiant parvient à pénétrer dans l'interface et favorise une transition de glissement plus rapide.

Après la transition de glissement partiel/glissement total on observe une réduction asymptotique du coefficient de frottement. En effet, juste après la transition de glissement, le glissement relatif favorise l'entrée du lubrifiant sous l'interface et la formation d'un tribofilm. Cependant la formation de ce tribofilm reste partielle et correspond à des valeurs de frottement élevées. Plus on augmente l'amplitude, plus l'infiltration du lubrifiant sous l'interface est importante et plus le tribofilm est complet et plus le coefficient de frottement diminue.

Finalement l'interface tend vers une couche lubrifiante (tribo-film) complète et une valeur faible et constante du coefficient de frottement.

Dans ce cas de figure, la nature du lubrifiant et sa viscosité sont importantes. Un lubrifiant avec une faible viscosité permet, suivant les auteurs, d'activer plus rapidement et plus complètement la formation d'un tribofilm présentant un faible coefficient de frottement.
## Méthode du débattement variable :

La détermination des courbes telles que présentées dans la figure 127 est longue et fastidieuse. Un essai en débattement variable a été mis en place. Il permet en un seul essai de caractériser le coefficient de frottement en fonction de l'amplitude de débattement. Il consiste à augmenter l'amplitude de débattement par paliers progressifs. Etant donnée la dimension du contact réel, la gamme de débattements sera étudiée pour des amplitudes allant de quelques micronmètres à environ ± 500µm, ce qui est largement suffisant pour caractériser le comportement de nos deux lubrifiants les graisses Kluber et H7S.

L'évolution de l'amplitude de débattement au cours d'un test s'effectue comme illustré par la figure 128, c'est-à-dire par une augmentation de l'amplitude par paliers progressifs $\Delta N_c$ de 5000, le nombre de cycles par palier choisi est suffisant pour avoir un coefficient de frottement stabilisé à chaque palier et le coefficient de frottement est enregistré à la fin de chaque étape. Au début de l'essai la valeur de l'incrément $\Delta\delta^*$ est de $\pm 2.5$ à $\pm 5$ µm tandis que pour les grandes amplitudes de débattement une fois le contact est en glissement total, l'incrément d'amplitude est de $\pm 20$ à $\pm 25$ µm.

<figure><img src="image_132.png" /><figcaption>Figure 128 : Illustration de la méthode des débattements variables.</figcaption></figure>
Intégration des nouveaux paramètres :

L'analyse de la réponse du contact lubrifié reste très qualitative. Pour mieux formaliser la réponse du contact on introduit différents paramètres quantitatifs Fig. 129).

<figure><img src="image_133.png" /><figcaption>Figure 129 : Représentation des paramètres quantitatifs décrivant le comportement d'un contact lubrifié.</figcaption></figure>

Ainsi on établit :

• δt : Amplitude de débattement pour laquelle le coefficient de frottement est le maximum (μmax).

• δc : Amplitude de débattement pour laquelle le coefficient de frottement a fini de chuter pour se stabiliser à une valeur μstab.

Un lubrifiant sera d'autant plus performant si δt, δc, μmax et μstab sont faibles.

On retiendra que μmax et δt établissent le comportement du lubrifiant dans le domaine transitoire des faibles amplitudes de débattement alors que δc et μstab caractérisent le comportement dans le régime stabilisé des grandes amplitudes.
### 3. Application de la méthodologie rapide de caractérisation en fretting de lubrifiants :

Dans la suite de cette étude nous allons appliquer la méthode des débattements variables pour
comparer et quantifier le comportement des lubrifiants.

Nous aborderons en particulier l'impact de la géométrie et de la taille des contacts.

Le tableau 32 récapitule les conditions étudiées.

<table><caption>Tableau 32: Conditions opératoires étudiées pour quantifier l'impact de la taille du contact sur le comportement en fretting de différents lubrifiants.</caption><thead><tr><td>R (mm)</td><td>p₀ (MPa)</td><td>P (N)</td><td>a<sub>H</sub> (μm)</td><td>Graisse</td><td>Graisse</td></tr></thead><tbody><tr><td>19.05</td><td>550</td><td>24</td><td>144</td><td>H7S</td><td></td></tr><tr><td>25.4</td><td>550</td><td>41</td><td>188</td><td>H7S</td><td>Kluber</td></tr><tr><td>40</td><td>550</td><td>106</td><td>304</td><td>H7S</td><td></td></tr><tr><td>50</td><td>550</td><td>162</td><td>572</td><td>H7S</td><td>Kluber</td></tr></tbody></table>

### Validation de la méthode des débattements variables :

On applique la méthode de débattement constant sur la sphère de rayon de 19.05 mm sous une pression maximale de 550 MPa avec une graisse de H7S. La fréquence appliquée est de 10 Hz.

La figure 125 illustre les résultats obtenus concernant les coefficients de frottement stabilisés de chaque amplitude de débattement analysée, les valeurs sont notées dans le tableau 33 ci-dessous.

<table><caption>Tableau 33: Valeurs de la figure 125.</caption><thead><tr><td>Amplitude de déplacement δ* (μm)</td><td>Valeur de coefficient de frottement stabilisé</td></tr></thead><tbody><tr><td>5</td><td>1</td></tr><tr><td>20</td><td>0.35</td></tr><tr><td>50</td><td>0.25</td></tr></tbody></table>
On applique maintenant pour des mêmes conditions de contact la méthode des débattements variables. Les résultats de cette analyse sont présentés dans la figure 130 et comparés aux résultats issus de l'analyse en amplitude de débattements constants.

<figure><img src="image_134.png" /><figcaption>Figure 130 : Impact de la méthode des débattements variables dans le contact (graisse H7S, Rayon de la sphère 19.05 mm, p₀= 550 MPa, Fn= 24 N),◆ résultats en débattements variables,● résultats en débattements constants</figcaption></figure>

On observe une parfaite corrélation entre les résultats issus de la méthode des débattements variables et l'analyse en amplitudes constantes. Ceci valide définitivement la stabilité de la méthode des débattements variables pour caractériser une graisse. Cela souligne aussi que l'historique du chargement a peu d'effet tant que l'on procède par une augmentation progressive du débattement de la condition de glissement partiel vers une condition de glissement total.
Application de la méthode rapide des débattements variables
pour comparer différents lubrifiants :

La figure 131 représente l'évolution du coefficient de frottement en fonction de l'amplitude de débattement pour le contact sphère R= 25.4 mm pour les configurations sans lubrifiant et lubrifiées H7S et KLUBER.

<figure><img src="image_135.png" /><figcaption>Figure 131 : Comparaison des lubrifiants sur le contact sphère/plan.</figcaption></figure>

(R= 25.4 mm, p₀= 550 MPa, f=10Hz, P=41N)

L'analyse montre que le contact sec présente une augmentation quasiment linéaire de son cisaillement jusqu'à la transition de glissement puis une stabilisation du coefficient de frottement à μstab= 0.85.

Le lubrifiant H7S présente un comportement très particulier. Pour les faibles amplitudes il induit une très forte augmentation du coefficient de frottement avec une valeur à la transition de glissement supérieure à 1.05. Ceci confirme l'hypothèse suivant laquelle un lubrifiant, en bloquant l'accès à l'oxygène dans le contact peut induire des coefficients de frottement supérieurs à ceux observés dans un contact sec. Cependant dès la condition de glissement total
activée, le lubrifiant pénètre dans l'interface et on assiste à une très forte réduction du coefficient de frottement qui se stabilise en dessous de 0.2.

En fait, le lubrifiant H7S présente un très mauvais comportement dans le domaine de glissement partiel mais un très bon comportement en glissement total.

Le lubrifiant KLUBER présente un comportement intermédiaire dans le domaine du glissement partiel. La valeur maximale du coefficient de frottement à la transition est équivalent à celle du contact sec.

En revanche, en glissement total, la réduction du coefficient de frottement est plus progressive et surtout moins importante que celle observée pour le H7S. En effet, la valeur du coefficient de frottement se stabilise à 0.6 après ± 100 µm d'amplitude de glissement.

Ce lubrifiant Kluber présente donc un comportement très médiocre en glissement total. Pour quantifier la comparaison entre les lubrifiants H7S et KLUBER on identifie les paramètres δt, δc, μmax et μstab.

<table><caption>Tableau 34 : Comparaison des paramètres quantitatif décrivant le comportement des lubrifiants KLUBER et H7S (R= 25.4 mm, p₀= 550 MPa, f=10Hz, Fn=41N)</caption><thead><tr><th></th><th>Kluber</th><th>H7S</th></tr></thead><tbody><tr><td>δt (µm)</td><td>17</td><td>7</td></tr><tr><td>μmax</td><td>0.89</td><td>1.03</td></tr><tr><td>δc (µm)</td><td>75</td><td>7.2</td></tr><tr><td>μstab</td><td>0.65</td><td>0.18</td></tr></tbody></table>

Ces résultats montrent indéniablement que le lubrifiant H7S est le plus performant en glissement total (δ*> δt = 7 µm).

En revanche pour les très faibles amplitudes la comparaison est plus discutable. Le lubrifiant KLUBER induira des chargements de cisaillements plus faibles et potentiellement moins dangereux vis-à-vis des phénomènes de fretting fissuration.

Cela montre qu'en général un lubrifiant sera optimal pour un domaine de débattement donné. Cela souligne aussi l'intérêt de développer des combinaisons de lubrifiants pour optimiser la réponse des contacts.

L'ajout d'un lubrifiant a pour effet de diminuer le coefficient de frottement quel que soit le lubrifiant utilisé. Il existe différents régimes de lubrification. Les différents comportements observés peuvent être reliés aux différents régimes de lubrification connus. Pour les grandes
vitesses de glissement on peut atteindre un régime de lubrification hydrodynamique, c'est-à-
dire la présence d'un film lubrifiant relativement épais, qui sépare les deux surfaces en contact
glissant, assurant ainsi un coefficient de frottement faible et stable. Cependant, les valeurs de
coefficient de frottement observées ne sont pas en accord avec un tel régime ($0.007<\mu< 0.03$)
et les vitesses imposées restent largement en deçà des vitesses de lubrification
hydrodynamique. On est donc plutôt dans le cas d'une lubrification limite. C'est-à-dire dans
l'activation avec un film lubrifiant de quelques nanomètres.

Dans ce cas ce sont les additifs du lubrifiant qui vont jouer sur sa durée de vie et sur son
efficacité. Ces additifs forment en général un film adhérent qui réduit l'interaction des
aspérités lorsque le film lubrifiant initial est éliminé. Ces additifs sont appelés additifs anti-
usures ou additifs d'extrême pression (Figure 132).

<figure><img src="image_136.png" /><figcaption>Figure 132 : Illustration d'une lubrification avec couche limite (a) avant élimination du film lubrifiant et (b) après élimination du film lubrifiant.</figcaption></figure>

Les résultats observés lors de la comparaison entre les deux lubrifiants (Figure 131), permettent de mettre en évidence la qualité de ces films chimiques pour chaque lubrifiant. Cela veut dire que la couche limite induite par le H7S est beaucoup plus performante en termes de protection que celle de la graisse Kluber. Des informations complémentaires sur la nature exacte des additifs présents dans les lubrifiants permettraient de valider ces hypothèses.

**Impact de l'aire de contact :**

Dans le chapitre 3, on a vu que l'aire de contact a une grande influence sur le mécanisme d'usure dans un contact sec. Afin de valider cette hypothèse, on a effectué une série d'essais
sur le contact sphère/plan pour des aires de contact différentes. Pour cela, on a appliqué des sphères de rayons différents. Le tableau 32 fait la synthèse des essais effectués.

Pour chaque test la pression maximale $p_0$ reste identique, seule l'aire de contact a été modifiée. Les courbes caractéristiques de chaque aire de contact sont présentées dans la figure 133.

<figure><img src="image_137.png" /><figcaption>Figure 133 : Impact de l'aire de contact sur la lubrification.
(H7S, contact sphère/plan, $p_0$=550MPa)</figcaption></figure>

On peut alors établir les paramètres de comparaison (Tableau 35).

<table><caption>Tableau 35 : Paramètres de comparaison.
(H7S, contact sphère/plan, $p_0$=550MPa)</caption><tr><td>a<sub>H</sub> (μm)</td><td>146</td><td>188</td><td>304</td><td>372</td></tr><tr><td>δ<sub>t</sub> (μm)</td><td>3.5</td><td>7</td><td>8.75</td><td>10</td></tr><tr><td>μ<sub>max</sub></td><td><b>1.08</b></td><td><b>1.03</b></td><td><b>1.08</b></td><td><b>0.9</b></td></tr><tr><td>δ<sub>c</sub> (μm)</td><td><b>5</b></td><td><b>7.2</b></td><td><b>125</b></td><td><b>175</b></td></tr><tr><td>μ<sub>stab</sub></td><td>0.25</td><td>0.18</td><td>0.15</td><td>0.14</td></tr></table>
De façon à quantifier l'impact du rayon de contact sur le comportement en fretting de l'interface lubrifiée, on trace les différentes valeurs δt et δc en fonction du rayon de contact hertzien a<sub>H</sub>.

Dans le cas présent des contacts lubrifiés, on suppose que l’usure reste très faible ce qui nous permet de négliger l’impact de l’extension de l’aire de contact. La figure 134 compare l’évolution des différents paramètres δt et δc.

<figure><img src="image_138.png" /><figcaption>Figure 134: Influence de l'aire de contact sur les paramètres δt et δc. (H7S, contact sphère/plan, p₀=550MPa)</figcaption></figure>

On remarque que le paramètre δt est pratiquement indépendant de a<sub>H</sub>. Cela suppose que pour une pression donnée p<sub>0</sub>= cte, δt/ a<sub>H</sub> = cte.

Ce résultat vient confirmer les conclusions de Vincent et Zhou qui supposent que δt est équivalent à l'amplitude de transition glissement partiel/ glissement total.

En effet, si on considère les hypothèses de Mindlin qui décrivent la transition de glissement partiel/ glissement total, nous déduisons :

$$
\delta t = K_1 \cdot \mu \cdot P / a_H \quad (81)
$$

Avec ici δt l'amplitude de transition glissement partiel/ glissement total et P la force normale appliquée, avec :
$$K_1 = \frac{3(2 - v_1) + 2 - v_2}{16 G_1 G_2} \quad (82)$$

$$= \frac{3}{8} \frac{2 - v}{G} \quad \text{Si } G_1=G_2 = G \text{ et } v_1 = v_2 = v \quad (83)$$

$v_1, v_2$ : Coefficients de Poisson du plan et de la sphère ici égaux à ceux du 100C6.

$G_1, G_2$ : Module élastique de cisaillement du plan et de la sphère respectivement $G_1=G_2=G_{100C6}$.

$a_H$ : Le rayon de contact hertzien.

En combinant cette expression avec la relation de Hertz établissant la relation $P$ et $p_0$ :

$$p_0 = 3P / 2\pi a^2 \quad (84)$$

$$\text{Nous déduisons que : } \delta t/a_H = (\pi/8) (\mu \cdot p_0 / G^*) \quad (85)$$

$$\text{Avec } 1/G^* = [(2 - v_1)/G_1] + [(2 - v_2)/G_2] = 2(2 - v)/G \quad (86)$$

Ce résultat est important car il montre que pour des caractéristiques élastiques données et une pression $p_0$ fixée (situation étudiée), le ratio $\delta t/a_H$ sera constant quelle que soit la force normale ou le rayon de sphère étudiés.

Ceci vient confirmer l'hypothèse que le $\delta t$ associé au $\mu_{max}$ d'un contact lubrifié est bien équivalent au $\delta t$ transition de glissement puisque la figure 134 confirme le fait que $\delta t/a_H$ est constant quel que soit $a_H$.

L'analyse du paramètre $\delta c$ est plus complexe. En effet, on remarque une évolution non linéaire du ratio $\delta c/a_H$ avec $a_H$. On observe des valeurs très faibles du ratio $\delta c/a_H$ en dessous d'une taille de contact critique $a_{Hth} = 250 \ \mu m$ ; puis des valeurs très importantes au-delà de $a_{Hth}$ avec une stabilisation de l'évolution.

Pour confirmer ce comportement il est cependant nécessaire d'avoir plus de données expérimentales et ainsi mieux identifier l'effet seuil qui semble mis en évidence.

## Impact de la géométrie de contact :

Une première analyse de la réponse du contact 100C6/100C6 lubrifié H7S a été réalisée par D. Philippon dans le cadre de son master de recherche. La configuration de contact alors étudiée était la suivante :
<table><caption>Tableau 36 : Synthèse des tests effectués.
(Lubrifiant H7S, contact cylindre/plan)</caption><thead><tr><td>Rayon du cylindre (mm)</td><td>Largeur de génératrice du cylindre (mm)</td><td>Force normale appliquée (N)</td><td>Pression maximale au centre du contact (MPa)</td><td>Aire de contact (mm²)</td><td>Rayon de contact a (mm)</td></tr></thead><tbody><tr><td>20</td><td>4</td><td>648</td><td>541</td><td>1.52</td><td>0.19</td></tr><tr><td>40</td><td>5</td><td>1620</td><td>541</td><td>3.81</td><td>0.38</td></tr><tr><td>60</td><td>6</td><td>2915</td><td>541</td><td>6.86</td><td>0.57</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_139.png" /><figcaption>Figure 135 : Impact de l'aire de contact sur la lubrification.
(H7S, contact cylindre/plan, p₀=541MPa)</figcaption></figure>

On peut alors établir les paramètres de comparaison (Tableau 37).

<table><caption>Tableau 37 : Paramètres de comparaison.
(H7S, contact cylindre/plan, p₀=541MPa)</caption><tr><td>a (µm)</td><td>190</td><td>380</td><td>570</td></tr><tr><td>δ<sub>t</sub> (µm)</td><td>10</td><td>12</td><td>25</td></tr><tr><td>μ<sub>max</sub></td><td>0.96</td><td>1.05</td><td>0.94</td></tr><tr><td>δ<sub>c</sub> (µm)</td><td>30</td><td>50</td><td>60</td></tr><tr><td>μ<sub>stab</sub></td><td>0.20</td><td>0.25</td><td>0.25</td></tr></table>
On remarque que les rayons de contact et la pression de contact p₀= 540 MPa sont similaires à nos conditions opératoires étudiées sur la configuration sphère/plan. Ainsi il est possible d'étudier l'impact de la « géométrie de contact » en faisant abstraction de l'influence de la taille du contact et de la pression.

En comparant les deux configurations (tableau 35 et 37), on trouve un point commun pour tous les rayons de contact sphère/plan et de cylindre/plan, c'est la stabilisation du coefficient de frottement µstab autour de 0.2 et le coefficient de frottement maximal µmax autour de 1.

La différence entre les deux configurations de contact sphère/plan et cylindre/plan, est que la valeur δt pour le contact cylindre/plan est plus grande que celle de la sphère et la valeur de δc cylindre est plus basse que celle de la sphère. On tire la conclusion importante que la phase transitoire entre µmax et µstab est très courte dans le cas du contact cylindre/plan. Cette analyse comparative est reportée dans les figures 136a et 136b.

<figure><img src="image_140.png" /></figure>
<figure><img src="image_141.png" /></figure>

Figure 136 : Evolution des ratios $\delta t/a_H$ et $\delta c/a_H$ en fonction de la largeur de contact $a_H$ pour la configuration sphère/plan et cylindre/plan ($p_0 = 550$ MPa).

On confirme que le ratio $\delta t/a_H$ est constant quel que soit $a_H$ pour le contact sphère/plan tout comme pour le contact cylindre/plan. Ce résultat est intéressant car, sans disposer du formalisme décrivant le contact cylindre/plan, cette analyse suppose que la relation $\delta t/a_H = \text{cte}$ pour $p_0$ fixée pourrait être étendue à la configuration cylindre/plan.

On remarque par ailleurs que le ratio $\delta t/a_H$ est sensiblement supérieur à celui de la configuration sphère/plan.

L'analyse du ratio $\delta c/a_H$ révèle un comportement très différent entre les géométries sphère/plan et cylindre/plan. En effet, contrairement à la configuration sphère/plan qui montre une évolution discontinue, la réponse de la configuration cylindre/plan montre une évolution plus continue $\delta c/a_H = 0.15$ dans le domaine des rayons de contact étudié, avec une tendance légèrement décroissante. Ce résultat est important car, contrairement au ratio $\delta t/a_H$, la réponse du ratio $\delta c/a_H$ semble très dépendante de la géométrie de contact.

On remarque que l'activation du tribofilm caractérisée par les paramètres $\delta c$ et $\mu_{stab}$ est beaucoup plus stable pour la configuration cylindre/plan que pour le contact sphère/plan.
Pour les grands contacts, l'activation du tribofilm est clairement favorisée par la configuration cylindre/plan avec des valeurs du ratio $\delta c/a_H$ très inférieures à celles déterminées pour le contact sphère/plan.

Différentes hypothèses peuvent être considérées pour expliquer ce comportement.

La configuration sphère/plan est 3D alors que le contact cylindre/plan est 2D. On peut supposer que la configuration 2D homogène suivant toute la génératrice en créant un congé d'entrée plus étendu permet une mise en surpression du lubrifiant et favorise la pénétration de ce dernier sous l'interface.

La configuration 3D laisse la possibilité au lubrifiant de s'écouler sur les bords latéraux du contact. Il est donc moins contraint de passer sous l'interface et donc d'activer le tribofilm lubrifiant.

<figure><img src="image_142.png" /></figure>

Figure 137 : Illustration des mécanismes de lubrification des graisses soumises à des chargements de fretting : comparaison entre le contact 2D cylindre/plan et le contact 3D sphère/plan. Hypothèse : la configuration 3D sphère/plan, en laissant des chemins de fuite sur les bords latéraux, limite la pénétration du lubrifiant sous l'interface qui implique des valeurs $\delta c/a_H$ plus importantes pour les grands contacts.
4. Synthèse des résultats et conclusion:

Cette étude a permis de mettre en avant plusieurs points intéressants concernant le comportement du contact acier/acier lubrifié soumis à des sollicitations de fretting wear.

On confirme qu’un contact lubrifié soumis à des sollicitations de fretting est très dépendant de l’amplitude de débattement et surtout de la condition de glissement. Ainsi, tant que le contact est en glissement partiel la réponse est équivalente à celle d’un contact sec. Un maximum de cisaillement est identifié à la transition de glissement partiel/glissement total.

On caractérise la réponse du contact dans le domaine des faibles amplitudes par les paramètres δt et μmax ou μt respectivement l’amplitude de transition de glissement et le coefficient de frottement à la transition.

Contrairement au contact sec, dès que la condition de glissement total est activée on assiste à une diminution plus ou moins rapide du coefficient de frottement jusqu’à une valeur stabilisée μstab à partir d’une amplitude seuil δc.

L’apport principal de nos travaux a été de formaliser la réponse du contact lubrifié en introduisant les paramètres δt, μmax décrivant la réponse du contact pour les faibles amplitudes et les variables δc et μstab pour le domaine stabilisé.

Par ailleurs nous avons introduit et validé une méthode rapide de caractérisation du contact lubrifié appelée méthode des débattements variables.

Au travers de l’analyse de différents rayons de contact pour des conditions d’isopression (p₀=cte) nous avons montré que le ratio δt/aH reste constant quelle que soit la taille de contact, ceci pour la configuration sphère/plan et cylindre/plan. Nous avons ainsi démontré l’hypothèse suivant laquelle la transition du comportement du contact lubrifié (tel que μ=μmax) est bien égale à l’amplitude marquant la transition entre glissement partiel et glissement total.
En revanche la réponse du régime lubrifié stabilisé, caractérisée par les paramètres δc et μstab ne présente pas une dépendance formalisée vis-à-vis de la taille du contact. On montre que le paramètre δc/aH présente une évolution discontinue avec la taille du contact pour le contact sphère/plan mais continue pour la configuration cylindre/plan.

Différentes hypothèses, telles que la capacité du lubrifiant à être évacué sur les bords latéraux pour la configuration 3D sphère/plan ont été évoquées.

Nous retiendrons par ailleurs que la méthodologie proposée permet de comparer la réponse de différents lubrifiants de façon rapide et finalement complète vis-à-vis des spectres de glissements possibles induits par des sollicitations de fretting.

Des recherches plus avancées devront être mises en œuvre pour expliquer le processus d'activation du tribofilm et l'influence de différents paramètres tels que la rugosité voir la température.
Conclusion générale :

L'objectif de cette étude fut d'analyser le comportement en fretting du contact acier
100C6/100C6. L'expertise de systèmes industriels fait apparaître des conditions de glissement
total induisant des grandes amplitudes de glissement favorisant ainsi la dégradation de
l'assemblage par usure. Il existe un réel besoin industriel de disposer de méthodes prédictives
des mécanismes d'usure permettant de limiter les inspections de maintenance tout en
garantissant un niveau de sécurité optimum.

Dans un premier temps, l'analyse couplée de l'évolution du coefficient de frottement et de la structure de l'interface nous permet de diviser l'évolution du coefficient de frottement en six phases qu'on nomme A, B, C, D, E et F et qui décrivent le scénario de l'évolution de l'interface ainsi que le rôle des débris et des oxydes dans le contact.

L'élimination de la couche d'oxydes natifs (A et B) engendre des interactions métal/métal qui favorisent un maximum de cisaillement dans l'interface (C). La formation des débris qui s'oxydent tend à diminuer le coefficient de frottement (D et E). Sous l'action mécanique du chargement de fretting le lit de débris tend alors à se compacter et devient plus adhérent et se généralise sur l'ensemble de l'interface. Ce troisième corps compacté, moins complaisant que le lit des débris pulvérulent, peut engendrer une élévation du coefficient de frottement (F).

Par la suite nous avons cherché à quantifier la cinétique d'usure. L'endommagement successif du contact a été formalisé au travers des approches d'Archard et l'énergie dissipée.

L'évolution du coefficient de frottement pour différentes tailles de contact montre que plus le
contact est grand plus le coefficient de frottement de la phase stabilisée (F) est faible. On peut
supposer qu'un contact plus grand facilite le piégeage des débris oxydés dans le contact.

L'interface sera plus accommodante et induira un coefficient de frottement plus faible. Par ailleurs, une plus grande quantité d'énergie sera dissipée dans le troisième corps et non pas au niveau des premiers corps pour la création de nouveaux débris de sorte que la cinétique d'usure sera aussi plus faible pour les grands contacts.

Nous avons mis en place une démarche expérimentale originale qui, en ajustant la force
normale et le rayon des contre corps (sphère ou cylindre) permet d'étudier séparément
l'impact de la pression à iso taille de contact, l'impact relatif du glissement δg/a<sub>H</sub> = cte à iso
pression maximale et l'influence de la taille du contact (demi largeur du contact a) à iso pression et iso condition de glissement.

Notre analyse du contact 100C6/100C6 montre que pour un contact donné, les lois d'Archard et énergétique décrivent bien la cinétique d'usure (le volume d'usure V montre bien une évolution linéaire par rapport aux paramètres ΣW et ΣEd.

On montre que tant que le contact reste dans un domaine d'accommodation élastique, l'effet de la pression est négligeable vis-à-vis de la cinétique d'usure. En revanche, on démontre que l'influence de la force normale n'influe pas via la pression mais via l'extension du rayon de contact. En effet, un résultat important de nos travaux de recherche a été de montrer que le coefficient de frottement et la cinétique d'usure décroissent de façon asymptotique par rapport à la taille du contact.

Une analyse exhaustive de différentes conditions de glissement montre que le coefficient de frottement (μe) et les cinétiques d'usure (K et α) obéissent à une loi puissance de la taille du contact « a » telle que :

$$X = X_{REF} \cdot \left( \frac{a}{a_{ref}} \right)^{nx}$$

Avec X respectivement μe, K et α ; XREF la valeur référence associée établie pour un contact référence a ref soit μe _REF, K _REF et α _REF, et nX l'exposant de la loi puissance, décrivant la dépendance vis-à-vis de la taille du contact par rapport aux variables μe, K et α soit respectivement nμe, nK et nα.

Nous avons identifié les différents paramètres de ces lois en considérant le contact hertzien mais aussi le rayon de contact moyen qui intègre l'extension de l'aire de contact induite par l'usure de l'interface.

On montre que globalement pour le contact sphère/plan les exposants sont relativement constants, nKH=nKM=nαH=nαM= -3/2, tandis que pour la configuration cylindre/plan nous obtenons nKH=nKM=nαH=nαM = -1. La différence des valeurs des exposants entre le contact sphère/plan (3D) et le contact cylindre/plan (2D) montre que la variable « a » seule n'est pas représentative de l'impact de la taille du contact vis-à-vis du comportement tribologique.
Cette analyse a été étendue en injectant dans la formulation la variable « aire de contact » soit $A \alpha a^2$ et $A \alpha a$ pour respectivement le contact sphère/plan et cylindre/plan.

Là encore, une différence conséquente des exposants pour les contacts 2D et 3D suggèrent que la variable aire de contact « A » seule n'est pas représentative de l'effet « taille de contact ».

Pour coupler l'effet « aire de contact » (A) et celui du trajet de parcours du troisième corps (a), on introduit arbitrairement la variable ($\Phi \alpha A$) soit respectivement $\Phi \alpha a^3$ pour le contact sphère/plan et $\Phi \alpha a^2$ pour le contact cylindre/plan.

On montre alors que le coefficient de frottement et surtout les cinétiques d'usure obéissent à une fonction de la forme :

$$X = X_{REF} \cdot \left( \frac{\Phi}{\Phi_{ref}} \right)^{n_x}$$

Avec $n_{\mu e} = -0.1$, $n_K = -0.5$ et $n_{\alpha} = -0.4$.

On remarque que les coefficients n de cette fonction sont identiques pour les configurations 3D (sphère/plan) et 2D (cylindre/plan).

Ainsi on démontre que la variable $\Phi$ qui couple l'effet de l'aire de contact et du trajet de parcours du troisième corps permet d'unifier au travers d'une seule variable l'impact de la taille du contact sur le comportement tribologique (évolution du coefficient de frottement et de la cinétique d'usure).

Enfin nous étudions le comportement du contact acier/acier lubrifié soumis à des sollicitations de fretting wear.

On confirme qu'un contact lubrifié soumis à des sollicitations de fretting est très dépendant de l'amplitude de débattement et surtout de la condition de glissement. Ainsi tant que le contact est en glissement partiel la réponse est équivalente à celle d'un contact sec. Un maximum de cisaillement est identifié à la transition de glissement partiel/glissement total et dès que la condition de glissement total est activée on assiste à une diminution plus ou moins rapide du coefficient de frottement jusqu'à une valeur stabilisée.
L'apport principal de nos travaux a été de formaliser la réponse du contact lubrifié en introduisant les paramètres δt, μmax décrivant la réponse du contact pour les faibles amplitudes et les variables δc et μstab pour le domaine stabilisé.

Nous avons montré que le ratio δt/aH reste constant quelle que soit la taille de contact ceci pour la configuration sphère/plan et cylindre/plan. Nous avons ainsi démontré l'hypothèse suivant laquelle la transition du comportement du contact lubrifié (tel que μ=μmax) est bien égale à l'amplitude marquant la transition entre glissement partiel et glissement total, en revanche on montre que le paramètre δc/aH présente une évolution discontinue avec la taille du contact pour le contact sphère/plan mais continue pour la configuration cylindre/plan. Différentes hypothèses, telles que la capacité du lubrifiant à être évacuée sur les bords latéraux pour la configuration 3D sphère/plan ont été évoquées.

Perspectives :

Nos travaux contribuent à une meilleure connaissance de l'influence de la taille de contact sur
les processus tribologiques associées aux chargements de fretting usure.

Pour compléter cette recherche, il apparaît pertinent d'étendre à d'autres configurations telles
que poinçon/plan.

Par ailleurs cette recherche expérimentale demande à être couplée à des modélisations de
l'interface et du troisième corps.

On peut citer les approches de dynamique moléculaire ainsi que les modèles de milieux granulaires.

Enfin, d'autres aspects tels que l'environnement (température, humidité relative) devront être
considérés dans de futurs développements.
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# Nomenclature :

## Propriétés des matériaux et des surfaces

E, G, v
Module de Young (MPa), module élastique en cisaillement (MPa),
Coefficient de Poisson

Hv
Dureté Vickers

$\sigma_Y$
Limites de plasticité en traction (MPa)

$\tau_Y$
Limites de plasticité en traction et en cisaillement (MPa)

$\sigma_{d, Fr}$
Limite d'endurance en flexion rotative (MPa)

Ra
Rugosité moyenne (µm)

## Mécanique du contact et sollicitations de fretting

P
Effort normal (N)

$p_0$
Pression de contact maximale hertzienne

Q*
Amplitude de l'effort tangentiel (N)

Et
Energie totale du cycle de fretting (J)

Ed, $\Sigma Ed$
Energie dissipée du cycle de fretting (J), énergie dissipée cumulée (J)

$\delta^*$, $\delta g$
Amplitude de débattement imposée (µm), amplitude de glissement (µm)

$\mu, \bar{\mu}$
Coefficient de frottement, Coefficient de frottement moyen

$\mu_e, \bar{\mu}_e$
Coefficient énergétique de frottement, Coefficient énergétique moyenne de
frottement

a
Demi largeur de contact

e
Rapport de glissement ($e= \delta g/a$)

f
Fréquence (Hz)

N
Nombre de cycles

Nt
Nombre total de cycles

A, B, C
Critères reliés à la condition de glissement

GP, GT
Glissement partiel, glissement total

MRFM
Material réponse fretting map

TTS
Transformation tribologique superficielle

L
Longueur de la génératrice du cylindre (mm)

R
Rayon de la sphère et du cylindre (mm)
A, B, C, D, E, F Critères reliés à l'évolution du coefficient de frottement

Cinétique d'usure à sec

A Aire de contact (mm²)

A<sub>sp</sub> Aire de contact du contact sphère/plan (mm²)

A<sub>cp</sub> Aire de contact du contact cylindre/plan (mm²)

L Génératrice du cylindre (mm)

a<sub>H</sub> Rayon de contact Hertzien (µm)

a<sub>M</sub> Rayon de contact moyen (µm)

a<sub>Msp</sub> Rayon de contact moyen du contact sphère/plan (µm)

a<sub>Msp</sub> Rayon de contact moyen du contact cylindre/plan (µm)

V⁻, V⁺ Volume situé en dessous du plan de base (µm³), volume situé en dessus du plan de base (µm³)

V, Vt<sub>plan</sub>, Vt<sub>cc</sub> Volume total d'usure (µm³), volume total d'usure du plan (µm³), volume total d'usure du contre corps

Φ Aire de contact « A » par la longueur cinématique « a ».

Φ<sub>ref</sub> Indique le rayon référence a<sub>ref</sub> de l'aire de contact.

p₀/k Pression Hertzienne normalisée par seuil plastique en cisaillement
(k= σ<sub>y0.2</sub>/√3)

δg/a<sub>H</sub> ratio de l'amplitude de glissement par le rayon de contact Hertzien

W, ΣW Facteur de chargement d'Archard (Nm), Facteur de chargement d'Archard cumulé (Nm)

K, Ki, α Coefficient d'usure d'Archard (µm³/Nm), coefficient d'usure d'Archard initial (µm³/Nm), Coefficient d'usure énergétique (µm³/J)

a<sub>ref</sub> Référence du dimension de contact (100 µm)

a<sub>H</sub>/a<sub>ref</sub>, a<sub>M</sub>/a<sub>ref</sub> Rayon de contact Hertzien normalisé, Rayon de contact moyen normalisé

μ̄<sub>eH_ref</sub> Coefficient énergétique moyen de frottement pour la référence de la dimension de contact hertzien.

μ̄<sub>eM_ref</sub> Coefficient énergétique moyen de frottement pour la référence de la dimension de contact moyen.

n<sub>μeH</sub>, Puissance de l'équation du coefficient énergétique de frottement pour un contact Hertzien

n<sub>μeM</sub>, Puissance de l'équation du coefficient énergétique de frottement pour un
<table><tr><td></td><td>contact moyen</td></tr><tr><td>K<sub>H_ref</sub></td><td>Coefficient d'usure d'Archard pour la référence de la dimension de contact hertzien (µm<sup>3</sup>/Nm).</td></tr><tr><td>K<sub>M_ref</sub></td><td>Coefficient d'usure d'Archard pour la référence de la dimension de contact moyen (µm<sup>3</sup>/Nm)</td></tr><tr><td>n<sub>kH</sub></td><td>Puissance de l'équation du coefficient d'usure d'Archard pour un contact Hertzien</td></tr><tr><td>n<sub>kM</sub></td><td>Puissance de l'équation du coefficient d'usure d'Archard pour un contact moyen</td></tr><tr><td>α<sub>H_ref</sub></td><td>Coefficient d'usure énergétique pour la référence de la dimension de contact hertzien (µm<sup>3</sup>/J).</td></tr><tr><td>α<sub>M_ref</sub></td><td>Coefficient d'usure énergétique pour la référence de la dimension de contact moyen (µm<sup>3</sup>/J).</td></tr><tr><td>α<sub>kH</sub></td><td>Puissance de l'équation du coefficient énergétique pour un contact Hertzien</td></tr><tr><td>α<sub>MH</sub></td><td>Puissance de l'équation du coefficient énergétique pour un contact moyen</td></tr></table>

## Cinétique d'usure en présence de lubrifiant

<table><tr><td>ΔN<sub>c</sub></td><td>Incrément du nombre de cycles</td></tr><tr><td>Δδ*</td><td>Incrément du l'amplitude de débattement</td></tr><tr><td>μ<sub>max</sub></td><td>Coefficient de frottement maximum</td></tr><tr><td>μ<sub>stab</sub></td><td>Coefficient de frottement stabilisé</td></tr><tr><td>δ<sub>t</sub></td><td>Amplitude de débattement pour laquelle le coefficient de frottement est le maximum (μ<sub>max</sub>).</td></tr><tr><td>δ<sub>c</sub></td><td>Amplitude de débattement pour laquelle le coefficient de frottement est stabilisé (μ<sub>stab</sub>).</td></tr></table>
AUTORISATION DE SOUTENANCE

Vu les dispositions de l'arrêté du 7 août 2006,

Vu la demande du Directeur de Thèse

Monsieur S. FOUVRY

et les rapports de

Monsieur J. DENAPE
Professeur - Laboratoire Génie de Production - Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tarbes - BP 1629
65016 TARBES cedex

et de

Monsieur F. ROBBE-VALLOIRE
Professeur - LISMMA EA 2336 - 3, rue Fernand Hainaut - 93407 SAINT-OUEN cedex

Monsieur MERHEJ Rafic

est autorisé à soutenir une thèse pour l'obtention du grade de DOCTEUR

Ecole doctorale MATERIAUX

Fait à Ecully, le 20 mai 2008

P/Le Directeur de l'E.C.L.
Le Directeur des Etudes

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J. JOSEPH