# Une théorie géométrique des intégrateurs de Poisson pour la mécanique hamiltonienne

Oscar Cosserat

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## To cite this version:

Oscar Cosserat. Une théorie géométrique des intégrateurs de Poisson pour la mécanique hamiltonienne. Congrès Français de Mécanique 2025, Aug 2025, Metz, France. hal-05273652

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Submitted on 23 Sep 2025

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# Une théorie géométrique des intégrateurs de Poisson pour la mécanique hamiltonienne

O. Cosseratª

Göttingen Mathematisches Institut, oscar.cosserat@mathematik.uni-goettingen.de

## Résumé :

Nous exposons ici comment tirer parti des structures de Poisson pour développer des intégrateurs géométriques dans le cadre de la mécanique hamiltonienne. Nous commençons par définir une notion d'intégrateur géométrique dans ce contexte : les intégrateurs de Poisson hamiltoniens. Nous introduisons ensuite des outils géométriques et combinatoires permettant de construire, pour toute structure de Poisson et tout hamiltonien, des intégrateurs de Poisson hamiltoniens d'ordre quelconque. Nous comparons les méthodes numériques nouvellement obtenues à des intégrateurs plus traditionnels et livrons une explication détaillée du comportement numérique des méthodes construites.

## Abstract :

We explain in this work how to use Poisson structures to develop geometric integrators in the framework of Hamiltonian mechanics. We start by defining Hamiltonian Poisson integrators, being a subclass of Poisson integrators. Then, we introduce geometric and combinatoric tools in order to construct, for any Poisson structure and any Hamiltonian, Hamiltonian Poisson integrators of any order. We compare these numerical methods to more traditional numerical approaches and deliver a detailed explanation of the numerical behaviour of the numerical schemes.

## Mots clefs : mécanique hamiltonienne, intégrateurs géométriques, systèmes dynamiques

## Remerciements.

Ce travail est soutenu par les projets CNRS MITI "GraNum", PHC Procope "GraNum 2.0" et Deutsche Forschungsgemeinschaft RTG 2491.

# 1 Introduction

La géométrie de Poisson permet de généraliser la mécanique hamiltonienne symplectique et la dynamique sur les groupes de Lie d'une part, et est un outil efficace d'étude d'une large classe de symétries de systèmes dynamiques d'autre part. Dès lors, elle apparaît dans de multiples exemples de systèmes dynamiques en mécanique conservative : dynamique du solide rigide, systèmes poly-articulés, équation de Korteweg-de Vries, modèle de Timoshenko, équation de Vlasov-Maxwell, dynamique d'un fluide incompressible... Une question naturelle est la construction de méthodes numériques tenant compte de
cette structure géométrique lors de la résolution numérique d'une telle équation. Ces méthodes numériques s'appellent des intégrateurs de Poisson, et généralisent l'approche des méthodes symplectiques à une plus large classe d'équations.

Les intégrateurs symplectiques ont été extrêmement étudié, en même temps pour leurs propriétés théoriques que pour leurs robustesses dans les applications. Leurs propriétés de stabilité ont trouvé des applications remarquables dans de multiples domaines de la mécanique hamiltonienne (dynamique mo-léculaire, cosmologie...). Mais les méthodes symplectiques ne sont d'aucune aide pour la plupart des équations aux dérivées partielles hamiltoniennes (voir la liste d'exemples sus-cités). À la place d'être hamiltoniennes pour une structure symplectique, ces équations sont hamiltoniennes pour une structure de Poisson, ce qui conduit à la recherche de méthodes numériques adaptées à cette structure géométrique et possédant les mêmes propriétés de stabilité que les méthodes symplectiques.

On se propose ici d'expliquer la relation, surprenante, entre les intégrateurs de Poisson d'une structure de Poisson donnée et son grupoïde symplectique local. Un tel point de vue est fructueux pour plusieurs raisons. Il recouvre la plupart des intégrateurs de Poisson de la littérature et permet de mieux comprendre leur fonctionnement. Ce point de vue permet aussi d'obtenir que tout intégrateur de Poisson, en un sens que l'on précisera, suit le flot d'un hamiltonien dépendant du temps approximant le hamiltonien d'origine à un certain ordre. On généralise ainsi au contexte présent la théorie de l'analyse rétrograde, déjà existante concernant les intégrateurs symplectiques. Par ailleurs, moyennant la construction du grupoïde symplectique local, cette relation permet la construction d'intégrateurs pour une structure de Poisson générale et un hamiltonien quelconque. Le grupoïde symplectique local est donc l'objet pertinent pour généraliser la construction de méthodes symplectiques aux exemples d'équations hamiltoniennes précédemment cités. Nous introduisons pour toute structure de Poisson sur un ouvert $U \subset \mathbb{R}^n$ la notion de bi-réalisation, qui s'apparente au grupoïde symplectique local d'une structure de Poisson. Nous l'illustrons sur plusieurs exemples et utilisons ensuite cette bi-réalisation pour entreprendre la construction d'intégrateurs de Poisson. Plus exactement, à l'aide d'outils de géométrie différentielle et de combinatoire, une construction générale d'un intégrateur de Poisson pour une structure de Poisson, un hamiltonien $H$, un ordre $k$ et un pas de temps quelconques sont donnés.

Nous comparons ensuite nos méthodes numériques avec les méthodes de Runge-Kutta sur l'exemple du solide rigide et des équations de Lotka-Volterra. À l'inverse de ceux existants, nous observons pour nos algorithmes la préservation des Casimirs à la précision machine et l'oscillation des trajectoires discrètes autour du niveau du hamiltonien, oscillation dont l'amplitude est contrôlée par l'ordre de la méthode. Nos intégrateurs de Poisson hamiltoniens sont aussi testés sur un système de Lotka-Volterra dont la trajectoire part à l'infini et l'on démontre numériquement, comparés aux méthodes Runge-Kutta, un meilleur comportement au voisinage de cette singularité, bien que l'ordre de notre méthode soit sur cet exemple choisi moins élevé.

Cet article regroupe et compile les travaux [2, 4, 5, 6].

# 2 Intégrateurs géométriques pour les systèmes hamiltoniens de Poisson

## 2.1 Structures de Poisson : définition

Nous rappelons brièvement ce que sont les tenseurs de Poisson et les équations différentielles hamiltoniennes. En mécanique, une classe d'équations gouvernant une dynamique $x(t)$ à valeurs dans un ouvert
$\mathcal{U} \subset \mathbb{R}^n$ sont de la forme :

$$
\left\{
\begin{aligned}
\dot{x}_1(t) &= \sum_{j=1}^{n} \pi_{1j}(x(t)) \frac{\partial H(x(t))}{\partial x_j} \\
\vdots \\
\dot{x}_n(t) &= \sum_{j=1}^{n} \pi_{nj}(x(t)) \frac{\partial H(x(t))}{\partial x_j}
\end{aligned}
\right.
\qquad (1)
$$

où $H: \mathcal{U} \to \mathbb{R}$ est une fonction infiniment différentiable, dite *hamiltonien*, et $(\pi_{ij})$, $i,j \in \{1, \dots, n\}$ sont des fonctions, également infiniment différentiables, satisfaisant à

$$
\pi_{ji} = -\pi_{ij} \quad \text{et} \quad \sum_{a=1}^{n} \frac{\partial \pi_{ij}}{\partial x_a} \pi_{ak} + \mathcal{O} = 0, \qquad (2)
$$

où les indices $i, j, k \in \{1, \dots, n\}$ et $\circled{0}$ signifie leur permutations cycliques.

Expliquons maintenant ces conditions. Un théorème (voir chapitre 1 de [11]) stipule qu'une famille $(\pi_{ij})$, $i,j \in \{1, \dots, n\}$ de fonctions lisses sur $\mathcal{U} \subset \mathbb{R}^n$ satisfait aux conditions (2) si et seulement si l'application bilinéaire :

$$
\begin{array}{rcl}
\{\cdot, \cdot\}: & \mathcal{C}^{\infty}(U) \times \mathcal{C}^{\infty}(U) & \to \mathcal{C}^{\infty}(U) \\
& f, g & \mapsto \sum_{i,j=1}^{n} \frac{1}{2} \pi_{ij}(x) \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{\partial g}{\partial x_j} - \frac{\partial g}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j} \right)
\end{array}
$$

est un crochet de Lie, i.e. est anti-symmétrique et satisfait à l'identité de Jacobi :

$$
\{f, g\} = -\{g, f\} \quad \text{and} \quad \{\{f, g\}, h\} + \{\{g, h\}, f\} + \{\{h, f\}, g\} = 0 \tag{3}
$$

pour tout $f, g, h \in \mathcal{C}^{\infty}(M)$. De manière équivalente, les fonctions $\pi_{ij}(x)$ ci-dessus peuvent être considérées comme les composantes d'un champ de tenseurs (i.e. une application de $\mathcal{U} \subset \mathbb{R}^n$ vers $\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})$), vue comme des matrices de taille $n \times n$ dépendantes de $x$ :

$$
\begin{array}{rcl}
\pi: & \mathcal{U} & \to \mathfrak{gl}_n(\mathbb{R}) \\
& x & \mapsto (\pi_{ij}(x))_{i,j=1}^n.
\end{array}
$$

**Définition 2.1.** Une structure de Poisson sur un ouvert $\mathcal{U} \subset \mathbb{R}^n$ est un champ de tenseurs $\pi$ sur $\mathcal{U}$ tel que l'application bilinéaire $\mathcal{C}^\infty(\mathcal{U}) \times \mathcal{C}^\infty(\mathcal{U}) \to \mathcal{C}^\infty(\mathcal{U})$ définie par

$$
\{f, g\}(x) = {}^t\nabla_x f \cdot \pi(x) \cdot {}^t\nabla_x g
$$

satisfait à l'anti-symétrie et à l'identité de Jacobi (3). De manière équivalente, les structures de Poisson peuvent être comprises comme des champs de tenseurs dont les coefficients $(\pi_{ij}(x))$, $i, j \in \{1, \dots, n\}$, satisfont aux équations (2).

Avec cette définition viennent quelques terminologies. L'application bilinéaire $\{\cdot, \cdot\}$ s'appelle *crochet de Poisson*. Par ailleurs, les fonctions sur l'ouvert $U$, à savoir les éléments de $\mathcal{C}^\infty(\mathcal{U})$, sont appelées *fonctions hamiltoniennes* ou plus simplement *hamiltoniens*. Finalement, on vérifie facilement la relation :

$$
\{f, gh\} = \{f, g\}h + g\{f, h\}
$$
appelée identité de Leibniz. Pour des exemples de structures de Poisson apparaissant en mécanique, voir la section 2.3.

Nous avons vu qu'une structure de Poisson associe à deux fonctions hamiltoniennes $f, g \in C^\infty(U)$ une autre fonction hamiltonienne $\{f, g\} \in C^\infty(U)$. Elle permet aussi d'associer à une fonction hamiltonienne $H \in C^\infty(U)$ une équation différentielle de première ordre, comme en (1). De manière plus concise, (1) signifie que l'on associe à une fonction hamiltonienne $H$ l'équation différentielle :

$$ \dot{x}(t) = \pi(x(t)) \cdot \nabla_{x(t)} H. \qquad (4) $$

On dit alors qu'une équation différentielle du première ordre de la forme (4) ci-dessus est hamiltonienne pour $(\pi, H)$.

**Remarque 2.2.** En géométrie différentielle, une équation différentielle du premier ordre sur un ouvert $U$ de $\mathbb{R}^n$

$$ \dot{x} = F(x) \qquad (5) $$

est généralement appelée un champ de vecteurs sur $U$. De plus, plutôt que de considérer uniquement des ouverts de $\mathbb{R}^n$, on suppose souvent que l'espace sur lequel a lieu la dynamique est une variété différentiable.

## 2.2 La géométrie sous-jacente d'une structure de Poisson

Que gagne-t-on à savoir qu'une équation différentielle donnée est hamiltonienne pour $(\pi, H)$ ? La réponse la plus commune est que plusieurs quantités reliées à $\pi$ ou $H$ sont préservées par le flot de l'équation différentielle considéré.

Plus précisément, toute solution $x(t)$ (souvent appelée “courbe intégrale”) d'une équation différentielle hamiltonienne pour $(\pi, H)$ préserve plusieurs fonctions :

1. $H$ est une constante du mouvement, i.e. $H(x(t)) = H(x(0))$ : le flot d'une équation hamiltonienne pour $(\pi, H)$ préserve les niveaux de la fonction hamiltonienne $H$.

2. Plus généralement, toute fonction $G$ tel que $\{G, H\} = 0$ est une constante du mouvement.

3. En toute généralité, pour toute fonction $G \in C^\infty(U)$,

$$ \frac{dG(x(t))}{dt} = \{G, H\}(x(t)). $$

Maintenant, nous rappelons certaines propriétés du flot au temps $t$ d'une équation différentielle hamiltonienne pour $(\pi, H)$, i.e. l'application $\phi_t : x(0) \mapsto x(t)$, bien définie dans un voisinage de tout point $m \in U$ pour $t$ assez petit :

1. $\phi_t$ préserve $\pi : \pi(\phi_t(x)) = {}^t\nabla_x\phi_t(x) \cdot \pi(x) \cdot {}^t\nabla_x\phi_t(x)$. Le flot d'une équation hamiltonienne pour $(\pi, H)$ préserve la structure de Poisson $\pi$.

2. La condition précédente s'énonce aussi par l'application de tiré en arrière $f \mapsto \phi_t^*f : \text{l'application donnant pour une fonction hamiltonienne } f \text{ la fonction hamiltonienne } f \circ \phi_t \text{ est un morphisme d'algèbre de Lie, i.e.}$

$$ \phi_t^* \{f, g\} = \{\phi_t^* f, \phi_t^* g\} $$

pour toutes fonctions $f, g \in C^\infty(U)$.
3. Le premier item signifie en particulier que la géométrie de $\pi$ est préservée. Par exemple, si au point initial $x(0)$, la matrice $\pi(x(0))$ a un rang donné, elle aura le même rang en tout point le long de la courbe intégrale $x(t)$. Dans un instant, nous donnerons un énoncé bien plus fort utilisant la notion de feuille symplectique.

Un *feuilletage singulier symplectique* sur $\mathcal{U} \subset \mathbb{R}^n$ est une partition $\mathcal{U} = \cup_{c \in \mathcal{I}} \mathcal{F}_c$ en sous-variétés immergées, telles que $\mathcal{F}_c$ est équipée d'une structure symplectique $\omega_c$. Le couple $(\mathcal{F}_c, \omega_c)$ s'appelle une *feuille symplectique*.

**Théorème 2.3** ([11, 8]). Toute structure de Poisson sur $\mathcal{U} \subset \mathbb{R}^n$ induit un feuilletage singulier par des feuilles symplectiques. Ce feuilletage est caractérisé par les deux propriétés suivantes :

1. deux points appartiennent à la même feuille symplectique si et seulement si ils peuvent être connectés par une suite de courbes intégrales hamiltoniennes, i.e. en intégrant l'équation (4) pour différents choix de fonctions hamiltoniennes.

2. pour tout $c \in \mathcal{I}$, l'inclusion $i: \mathcal{F}_c \to \mathcal{M}$ est un morphisme de Poisson.

De plus, l'espace tangent de la feuille symplectique $\mathcal{F}_c$ à un point $m$ coincide avec l'image de la matrice $\pi(m)$.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**FIGURE 1** – Un feuilletage de $\mathbb{R}^3$ par des sphères concentriques et l'origine.</figcaption></figure>

Comme observé dans certains des exemples suivants (voir section 2.3), le feuilletage est génériquement singulier. Deux feuilles voisines ne sont pas nécessairement de la même dimension et peuvent grandement différées du point de vue de leur topologie. Leur étude est un sujet de recherche actif et motive le développement des outils numériques que nous présentons ici.

Une raison supplémentaire expliquant l'importance de savoir qu'une équation différentielle est hamiltonienne pour $(\pi, H)$ est la suivante : une solution $x(t)$ d'une équation différentielle pour $(\pi, H)$ ne peut pas sauter d'une feuille symplectique à une autre. Si $x(0)$ appartient à la feuille $\mathcal{F}_c$, alors la solution $x(t)$ appartiendra à cette même feuille pour tout temps $t$.

**Remarque 2.4.** Cette dernière contrainte est peut-être moins étudiée du point du vue numérique que les autres, parce que dans le cas où la structure de Poisson est symplectique, cette contrainte n'en est pas
une : le feuilletage est alors fait d'une unique feuille, qui est l'espace toute entier. Pour des structures de Poisson qui ne sont pas symplectiques, la topologie du feuilletage est une propriété importante à prendre en compte.

En conclusion, pour toute structure de Poisson $\pi$ :

◇ pour toute équation différentielle du premier ordre hamiltonienne pour $(\pi, H)$, le hamiltonien $H$ est constant le long de toute courbe intégrale;

♥ toute courbe intégrale reste sur la même feuille symplectique du feuilletage induit par $\pi$;

♠ le flot de cette équation différentielle préserve $\pi$, i.e. est un morphisme de Poisson;

♣ la réciproque n'est pas forcément vraie : la préservation de $\pi$ ne garantit pas que le flot soit hamiltonien.

## 2.3 Exemples en mécanique

**Exemple 2.5 (Hamiltonien sur l'espace des phases).** L'espace des phases $T^*Q$ d'un espace des configurations $Q$ est naturellement muni d'une forme symplectique $\omega_{can}$, et donc d'une structure de Poisson par : $\{f, g\} = \omega_{can}(X_f, X_g)$. Si $q$ sont des coordonnées sur $Q$ et $(q, p)$ les coordonnées cotangentes associées, le bi-vecteur s'écrit $\pi = \begin{pmatrix} 0 & -Id \\ Id & 0 \end{pmatrix}$. Le feuilletage symplectique est donné par une unique feuille : l'espace tout entier. Cette structure de Poisson induit, pour $H \in C^\infty(T^*Q)$, le système hamiltonien

$$ \begin{aligned} \dot{q} &= \partial_p H \\ \dot{p} &= -\partial_q H. \end{aligned} \qquad (6) $$

**Exemple 2.6 (Équation d'Euler sur le dual d'une algèbre de Lie).** Soit $G$ un groupe de Lie et $\mathfrak{g}$ son algèbre de Lie. L'espace dual $\mathfrak{g}^*$ est naturellement muni du crochet de Poisson défini pour $f, g \in C^\infty(\mathfrak{g}^*)$ et $x \in \mathfrak{g}^*$ par

$$ \{f, g\}(x) = \langle x, [d_x f, d_x g] \rangle $$

où $d_x f$ et $d_x g$ sont des éléments de $\mathfrak{g}^{**} \simeq \mathfrak{g}$. Le feuilletage symplectique est donné par les orbites de l'action coadjointe de $G$ sur $\mathfrak{g}^*$. Cette structure de Poisson 2.6 induit, pour $H \in C^\infty(\mathfrak{g}^*)$, le système hamiltonien

$$ \dot{x} = -ad_{d_x H} x. \qquad (7) $$

En particulier, pour $G = SO(n)$ et $H$ une métrique ad-invariante sur $\mathfrak{g}$, en notant $I : \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}^*$ l'isomorphisme induit, on retrouve l'équation d'Euler sur $\mathfrak{g}^*$ :

$$ \dot{x} = -[x, I^{-1}(x)]. \qquad (8) $$

**Exemple 2.7 (Structure de Poisson quadratique et système de Lotka-Volterra).** Soit $(a_{ij})_{1\le i,j\le d}$ une matrice antisymétrique. Dans $\mathbb{R}^d$, des crochets de Poisson sont donnés par le bivecteur $\pi = (a_{ij})_{1\le i,j\le d}$. La structure de Poisson 2.7 induit, pour $H: x \in \mathbb{R}^d \mapsto \sum_{i=1}^d x_i \in \mathbb{R}$, le système hamiltonien des équations de Lotka-Volterra

$$ \dot{x}_j = x_j \sum_i a_{ij} x_i, \quad 1 \le j \le d \qquad (9) $$
# 3 Intégrateurs de Poisson

L'objectif de cette section est d'expliquer la logique sous-jacente à la construction de méthodes numériques prenant en compte les propriétés géométriques précédemment décrites.

On appelle *intégrateur d'ordre k* pour une équation différentielle

$$ \dot{x}(t) = F(x(t)) $$

une famille de difféomorphismes<fnref n="1" />

$$ \phi_h : U \to U, $$

dépendant de manière infiniment différentiable d'un paramètre réel $h$ – jouant le rôle du pas de temps – tel que la solution exacte de l'équation différentielle coincide avec $\phi_h(x)$ jusqu'à l'ordre $k$ en $h$, i.e. $\|\phi_h(x) - x(h)\| = o(h^k)$.

Soit maintenant une équation différentielle (4) sur $U \subset \mathbb{R}^n$ qui soit hamiltonienne pour une structure de Poisson $\pi$ et un hamiltonien $H \in C^\infty(U)$.

**Définition 3.1.** Un intégrateur d'ordre $k$ pour l'équation différentielle hamiltonienne (4)

$$ \phi_h : U \to U, $$

est dit intégrateur de Poisson si $\phi_h$ est un difféoméorphisme de Poisson de $(U, \pi)$ pour tout $h$ pour lequel il est défini<fnref n="2" />.

## 3.1 Un intégrateur de Poisson non-hamiltonien

Les intégrateurs de Poisson peuvent malheureusement sauté d'une feuille symplectique à une autre, et donc avoir un comportement non-physique, comme illustré dans cette section.

Une classe importante d'exemples de structures de Poisson sont les structures symplectiques sous forme canoniques, c'est-à-dire où $\pi = \begin{pmatrix} 0 & -I \\ I & 0 \end{pmatrix}$. Pour celles-ci, une large classe d'intégrateurs symplectiques sont déjà disponibles dans la litérature. Une construction de tels intégrateurs utilise le principe des méthodes de Runge-Kutta symplectiques ([12]) :

$$ \begin{align} x_{n+1} &= x_n + \Delta t \sum_{i=1}^{s} b_i k_i \tag{10} \\ k_i &= \pi (x_n + \Delta t \sum_{j=1}^{n} a_{ij} k_j) \cdot \nabla H (x_n + \Delta t \sum_{j=1}^{n} a_{ij} k_j) \end{align} $$

où les pentes $k_i$ sont définies implicitement et les coefficients $b_i$ et $a_{ij}$ sont choisis tels que le flot discret préserve $\pi$. Pour ce $\pi$ précis, tout flot le préservant est nécessairement localement hamiltonien.

Pour une structure de Poisson $\pi$ donnée par une matrice constante anti-symétrique, le même principe s'applique et fournit bien un flot discret préservant la structure de Poisson, c'est-à-dire un intégrateur de Poisson. Néanmoins, cela peut mener à des simulations numériques détruisant la physique du système,

<footnote n="1">1. Il y a une subtilité ici : on ne peut pas supposer que $\phi_h$ soit un difféomorphisme bien défini de $U$ vers $U$ pour tout $h$ assez petit, mais on suppose que pour tout $h$ assez petit, il y a un ouvert $U_h \subset U$ sur lequel $\phi_h$ est un difféomorphisme vers son image.</footnote>

<footnote n="2">2. À nouveau, il est plus rigoureux de dire que $\phi_h : U_h \to \phi_h(U_h)$ est un difféomorphisme de Poisson</footnote>
c'est-à-dire des intégrateurs de Poisson dont la trajectoire discrète ne suit le flot d'aucun hamiltonien. Dans l'exemple suivant, nous construisons un intégrateur de Poisson qui ne reste pas sur une feuille symplectique, et donc ne suit le flot d'aucun hamiltonien.

**Exemple 3.2.** Considérons $\mathcal{U} = \mathbb{R}^3$. Le système d'équations différentielles

$$ egin{cases} \dot{x} = -\frac{(x+y-z)}{8} ((-x-y+z)^2 + (x+y-z)^2) \\ \dot{y} = \frac{(-y+z)}{4} ((x-y+z)^2 + (x+y-z)^2) \\ \dot{z} = \frac{(x-y+z)}{8} ((x-y+z)^2 + (x+y-z)^2) \end{cases} \qquad (11) $$

est hamiltonien pour la structure de Poisson

$$ \pi(x, y, z) = \frac{(x - y + z)^2 + (x + y - z)^2}{4} \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

et le hamiltonien $H: (x, y, z) \mapsto \frac{(x-y+z)^2+(x+y-z)^2}{8}$. Pour tout pas de temps $\Delta t > 0$, le système d'équations

$$ egin{cases} x_{n+1} = x_n \cos \left( \Delta t \frac{x_n^2+y_n^2-2y_n z_n+z_n^2}{2} \right) + y_n \sin \left( \Delta t \frac{x_n^2+y_n^2-2y_n z_n+z_n^2}{2} \right) \\ -z_n \sin \left( \Delta t \frac{x_n^2+y_n^2-2y_n z_n+z_n^2}{2} \right) \\ y_{n+1} = \frac{-x_n+y_n-z_n}{2} \sin \left( \Delta t \frac{(x_n-y_n+z_n)^2+(x_n+y_n-z_n)^2}{4} \right) + \frac{-x_n+y_n+z_n}{2} \exp (\Delta t^k) \\ + \frac{x_n+y_n-z_n}{2} \cos \left( \Delta t \frac{(x_n-y_n+z_n)^2+(x_n+y_n-z_n)^2}{4} \right) \\ z_{n+1} = \frac{-x_n+y_n+z_n}{2} \exp (\Delta t^k) + \frac{x_n-y_n+z_n}{2} \cos \left( \Delta t \frac{(x_n-y_n+z_n)^2+(x_n+y_n-z_n)^2}{4} \right) \\ + \frac{x_n+y_n-z_n}{2} \sin \left( \Delta t \frac{(x_n-y_n+z_n)^2+(x_n+y_n-z_n)^2}{4} \right) \end{cases} \qquad (12) $$

est une discrétisation d'ordre $k$ de l'équation différentielle (11). Un calcul direct montre que c'est un intégrateur de Poisson, c'est-à-dire que $(x_n, y_n, z_n) \mapsto (x_{n+1}, y_{n+1}, z_{n+1})$ est un isomorphisme de Poisson. Néanmoins, ce n'est pas un intégrateur de Poisson hamiltonien. On le démontre comme suit : pour tout champ de vecteur sur $\mathbb{R}^3$ s'annulant quadratiquement en (0, 0, 0), la différentielle de son flot en (0, 0, 0) est l'identité. En particulier, puisque les coefficients de la structure de Poisson s'annulent au moins quadratiquement en (0, 0, 0), tout champ de vecteur hamiltonien fait de même, et donc tout intégrateur de Poisson hamiltonien doit être un difféomorphisme dont la différentielle en (0, 0, 0) est l'identité. Puisque la différentielle en (0, 0, 0) de l'application $(x_n, y_n, z_n) \mapsto (x_{n+1}, y_{n+1}, z_{n+1})$ n'est pas l'identité, l'intégrateur de Poisson considéré n'est pas hamiltonien.

Les figures 2.A et 2.B montrent la différence entre le flot de (11) et les premières itérations de l'intégrateur

de Poisson (12) à l'ordre $k=2$ avec les points initiaux $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et pas de temps $\Delta t = 10^{-4}$. Le flot devrait être $4\pi$- périodique tandis qu'une approximation à l'ordre 2 détruit la topologie de la courbe intégrale, bien que préservant le tenseur de Poisson. Géométriquement, l'intégrateur de Poisson (12) ne reste pas sur une feuille symplectique de la structure de Poisson, i.e. un hyperplan d'équation $\{x - y + z = \text{constant}\}$.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Divergence de l’intégrateur de Poisson (12)</figcaption></figure>

## 3.2 Intégrateurs de Poisson hamiltoniens

En conséquence, nous formulons la définition suivante.

**Définition 3.3.** Un intégrateur de Poisson d'ordre $k$ pour (4)

$$ \phi_h : \mathcal{U} \to \mathcal{U} $$

est dit intégrateur de Poisson hamiltonien d'ordre $k$ pour (1) s'il existe une fonction hamiltonienne dépendant du temps $(H_t)_t$ qui coincide avec $H$ jusqu'à l'ordre $k$ en $t$, i.e. $H_t - H = o(h^k)$, et tel que sa courbe intégrale partant de $x$ coincide avec la courbe $h \to \phi_h(x)$.

La proposition suivante explique en quoi cette définition est strictement plus forte.

**Proposition 3.4.** Un intégrateur de Poisson hamiltonien est un intégrateur de Poisson.

*Démonstration.* Le flot d'une équation hamiltonienne dépendant du temps est un difféomorphisme de Poisson. Par ailleurs, si $H_t$ et $H$ coincident jusqu'à l'ordre $k$, alors leurs flots hamiltoniens en vont de même. □

Remarquons qu'il n'est pas nécessaire de connaître explicitement la famille $(H_t)$ : avant tout, son existence importe.

## 3.3 Bi-réalisations

Nous introduisons dans cette section des outils géométriques permettant la construction d'intégrateurs de Poisson hamiltoniens.

Supposons donnée une bi-surjection, i.e. les données suivantes :

1. un ouvert $U \subset \mathbb{R}^n - \text{l'espace des phases}$

2. un ouvert $W \subset U \times \mathbb{R}^n$ contenant $U \times \{0\}$,
3. deux submersions surjectives, appelées source et cible, $\alpha, \beta: W \to U$ telles que pour tout $x \in U$

$$\alpha(x, 0) = \beta(x, 0) = x.$$

On note une bi-submersion par $W \twoheadrightarrow U$.

Une remarque cruciale est la suivante : $W \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$ est équippée avec une structure symplectique naturelle :

$$\omega_{can} := \sum_{i=1}^{n} dp_i \wedge dx_i \qquad (13)$$

avec $x_1, \dots, x_n, p_1, \dots, p_n \in U \times \mathbb{R}^n$. La structure de Poisson correspondante satisfait :

$$\{x_i, x_j\}_\omega = \{p_i, p_j\}_\omega = 0 \text{ et } \{x_i, p_j\}_\omega = \delta_i^j.$$

On peut maintenant définir la notion de bi-réalisation.

**Définition 3.5 (Bi-realisation).** Soit $\pi$ une structure de Poisson sur un ouvert $U \subset \mathbb{R}^n$. Une bi-réalisation $(U, \pi)$ est une bi-surjection $W \twoheadrightarrow U$, avec source $\alpha$ et cible $\beta$ telles que

1. $\alpha$ est une application de Poisson,

2. $\beta$ est une application anti-Poisson,

3. les fibres de $\alpha$ et $\beta$ sont symplectiquement orthogonales l'une de l'autre.

Dans les trois items ci-dessus, $W$ est équipé avec le crochet de Poisson $\{\cdot, \cdot\}_\omega$ associé à la structure symplectique (13).

**Remarque 3.6.** Les conditions 1 – 3 de la définition 3.5 signifient que pour toutes fonctions $F, G \in C^\infty(U)$ :

$$\alpha^*\{F, G\}_\pi = \{\alpha^*F, \alpha^*G\}_\omega, \quad \beta^*\{F, G\}_\pi = -\{\beta^*F, \beta^*G\}_\omega, \\ \{\alpha^*F, \beta^*G\}_\omega = 0.$$

**Théorème 3.7 (Existence et unicité).** [10, 7] Toute sutrctuer de Poisson sur un ouvert $U \subset \mathbb{R}^n$ admet une bi-réalisation. De plus, elle est canonique au sens suivant : deux bi-réalisations différentes sont symplectomorphiques au voisinage de $U \times \{0\}$ par un symplectomorphisme qui, restreint à $U \times \{0\}$, vaut l'identité.

## 3.4 Exemples de bi-réalisations

Nous présentons ici des exemple de bi-réalisations pour plusieurs familles de structures de Poisson.

### Cas symplectique

Soit $U = \mathbb{R}^2 = \{(q, p)\}$ et $\pi = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Soient $(q, p, \xi_q, \xi_p)$ les coordonnées cotangentes sur $\mathbb{R}^4$. Une bi-réalisation pour cette structure de Poisson est

$$\left\{ \begin{array}{l} \alpha : (q, p, \xi_q, \xi_p) \mapsto (q - \frac{1}{2}\xi_p, p + \frac{1}{2}\xi_q) \\ \beta : (q, p, \xi_q, \xi_p) \mapsto (q + \frac{1}{2}\xi_p, p - \frac{1}{2}\xi_q) \end{array} \right. . \qquad (14)$$
## Structure de Poisson linéaire sur $so(n)$

On donne ici une bi-réalisation pour la structure de Poisson linéaire sur l'algèbre de Lie $so(n)$ pour tout $n \ge 2$. Le produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle: (X, Y) \in so(n) \mapsto \text{Tr}(X^T.Y) \in \mathbb{R}$ induit un isomorphisme entre $so(n)$ et son dual. Les sources et cibles sont :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \alpha: so(n) \times so(n) \to so(n): (A, x) \mapsto (1 + \frac{A}{4}) \cdot x \cdot (1 - \frac{A}{4}) \\ \beta: so(n) \times so(n) \to so(n): (A, x) \mapsto (1 - \frac{A}{4}) \cdot x \cdot (1 + \frac{A}{4}) \end{array} \right. . \qquad (15) $$

## Structures de Poisson quadratiques

Cet exemple est important pour les systèmes de Lotka-Volterra. Soit $\mathcal{U} = \mathbb{R}^n$ et une structure de Poisson quadratique :

$$ \pi = \sum_{1 \le i,j \le n} a_{ij} x_i x_j \partial_{x_i} \wedge \partial_{x_j} \qquad (16) $$

On construit la bi-réalisation globale suivante :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \alpha: (x, p) \mapsto \left(e^{-\frac{1}{2} \sum_i a_{ij} x_i p_i} \cdot x_j\right)_{j=1,...,n} \\ \beta: (x, p) \mapsto \left(e^{\frac{1}{2} \sum_i a_{ij} x_i p_i} \cdot x_j\right)_{j=1,...,n} \end{array} \right. . \qquad (17) $$

## 3.5 Construction d'intégrateurs hamiltoniens de Poisson pour toute structure de Poisson et tout hamiltonien par les bi-réalisations

On peut désormais rassembler les sections précédentes et décrire la construction d'intégrateurs géométriques dans le présent contexte. La seule hypothèse requise sur la structure de Poisson $\pi$ est que l'on dispose d'une bi-réalisation explicite $\mathcal{W} \Rightarrow \mathcal{U}$.

On rappelle que $\mathcal{W}$ est un ouvert de $\mathcal{U} \times \mathbb{R}^n$ contenant $\mathcal{U} \times \{0\}$. On note sa source par $\alpha$, sa cible par $\beta$, et sa projection par $\mathfrak{p}$. On note $\mathbf{0}: \mathcal{U} \to \mathcal{W}$ la section nulle $\mathbf{0}(x) = (x, 0)$.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

**Remarque 3.8.** Pour tout $(x, p) \in \mathcal{W}$, $\alpha(x, p)$ et $\beta(x, p)$ sont dans la même feuille symplectique de $\pi$. Cette feuille n'est pas la même que celle contenant $\mathfrak{p}(x, p) = x$.

Soit un hamiltonien $H \in C^\infty(\mathcal{U})$. On considère l'équation différentielle hamiltonienne

$$ \dot{x}(t) = \pi(x(t))(\nabla H(x(t))). \qquad (18) $$

Nous construisons maintenant un intégrateur de Poisson hamiltonien d'ordre $k$ pour (18), en plusieurs étapes.
Étape 1. Pour commencer, nous calculons les premiers termes de la transformée de Hamilton-Jacobi de $H$. Cette dernière est une série formelle de fonctions infiniment différentiables sur $U$ de la forme

$$S_h(H)(x) = hS_1(x) + \frac{h^2}{2}S_2(x) + \frac{h^3}{6}S_3(x) + \dots,$$

dont les coefficients sont calculés par récurrence comme suit :

(a) On pose $S_1(x) = H(x)$.

(En particulier, pour $k = 1$, la troncature de la transformée de Hamilton-Jacobi de $H(x)$ est simplement $hH(x)$.)

(b) La fonction lisse $S_{k+1}(x)$ est ensuite donnée par la récurrence :

$$S_{i+1}(x) = \left. \frac{d^i}{dt^i} \right|_{t=0} H \left( \alpha(x, \nabla_x S_t^{(i)}) \right)$$

où on écrit $S_t^{(i)} = \sum_{j=1}^{i} \frac{t^j}{j!} S_j$.

Puisque la bi-réalisation est supposée explicitement connue, la construction de ces termes peut se faire explicitement de même.

Étape 2. On construit maintenant l'intégrateur lui-même. Choisissons un pas de temps $h > 0$. On définit une méthode numérique approximant la courbe intégrale de (18) avec la condition initiale $x_0$ en construisant la suite $(x_n)$ par la récurrence suivante.

(a) Supposons que pour tout $n \in \mathbb{N}$, l'équation

$$\alpha \left( y_n, \sum_{i=1}^{k} h^i \nabla S_i(y_n) \right) = x_n$$

admette une unique solution $y_n$ (sinon, cela signifie que le pas de temps est trop grand).

(b) On pose

$$x_{n+1} := \beta \left( y_n, \sum_{i=1}^{k} h^i \nabla S_i(y_n) \right).$$

**Remarque 3.9.** La procédure de calcul en séries formelles de l'étape 1 se programme avec des outils informatiques de calculs formels, et on explique dans la section 4 comment mener de tels calculs. La résolution de l'équation implicite à l'étape 2 est effectuée itérativement, par exemple par une méthode de point fixe, et la résolution peut se faire à la précision souhaitée.

**Exemple 3.10.** Pour $k = 1$, cette méthode numérique consiste à associer $x_n$ à $x_{n+1} = \beta(y_n, h\nabla H(y_n))$ où $y_n$ est l'unique solution de $\alpha(y_n, \nabla H(y_n)) = x_n$.

**Remarque 3.11.** Par construction, $x_n$ et $x_{n+1}$ appartiennent à la même feuille symplectique. En revanche, pour aller de $x_n$ à $x_{n+1}$, on utilise un point $y_n$ qui n'est remarquablement pas, en général, sur la même feuille symplectique.

**Théorème 3.12 ([4]).** La méthode numérique ci-dessus définit un intégrateur de Poisson hamiltonien à l'ordre $k$ pour l'équation différentielle (18).

**Remarque 3.13.** À ordre $k = 1$ dans le cas symplectique, on vérifie que pour l'oscillateur harmonique $H = \frac{p^2+q^2}{2}$, on retrouve la méthode de point-milieu symplectique. Pour un hamiltonien général, la
construction précédente démontre qu'une méthode d'Euler implicite de pas de temps $\frac{\Delta t}{2}$ composée avec une méthode d'Euler explicite de pas de temps $\frac{\Delta t}{2}$ est un intégrateur symplectique d'ordre 1 et de pas de temps $\Delta t$. Plus généralement, pour des ordres plus élevés, les intégrateurs de Poisson hamiltoniens pour des structures symplectiques sont des intégrateurs symplectiques, a priori différents des méthodes de Runge-Kutta symplectiques.

**Remarque 3.14.** L'idée naïve de se restreindre à une feuille symplectique et d'appliquer une méthode symplectique n'est en pratique que rarement constructive. En revanche, l'inverse est fructueux : maintenant que l'on a construit un intégrateur de Poisson hamiltonien qui reste sur une feuille, les techniques d'analyse rétrograde s'appliquent pour en déduire des estimées sur les itérées à long terme de la méthode.

# 4 Intégrateurs de Poisson d'ordre élevé

L'introduction de bi-réalisation fournit désormais le bon cadre pour développer des intégrateurs de Poisson hamiltonien à un ordre arbitraire en faisant usage des séries de Butcher. Soit $H \in C^\infty(U)$. On obtient dans cette section une procédure de construction d'intégrateurs de Poisson hamiltoniens à un ordre arbitraire $N$ pour le système hamiltonien associé à $H$.

## 4.1 Séries de Butcher par les bi-réalisations

Un arbre de Butcher non-planaire est défini récursivement par

$$ \bullet \in \mathbb{T}, \quad (\tau_n, \dots, \tau_1)_\bullet \in \mathbb{T}, \quad \tau_1, \dots, \tau_n \in \mathbb{T}, $$

où la racine est représentée en bas. On note $(\tau_n, \dots, \tau_1)_\bullet$ l'arbre dont la racine est $\bullet$ et à laquelle on a branché les $n$ arbres $\tau_n, \dots, \tau_1$. "Non-planaire" signifie que l'ordre des branches n'importe pas : par exemple, $\bullet \to \bullet$. On note $\mathbb{T}$ l'ensemble des arbres non-planaires.

**Définition 4.1 (Application différentielle élémentaire).** L'application différentielle élémentaire $\mathbb{F}^H: \mathbb{T} \to C^\infty(U)$ associée à $H$ est définie récursivement par

$$ \mathbb{F}^H(\bullet) = H, \text{ puis } \mathbb{F}^H((\tau_n, \dots, \tau_1)_\bullet) = 0^*\{\{\dots\{\alpha^*H, \mathfrak{p}^*0^*\mathbb{F}^H(\tau_1)\}_\omega, \dots\}_\omega, \mathfrak{p}^*0^*\mathbb{F}^H(\tau_n)\}_\omega. $$

On utilise maintenant les arbres non-planaires pour approximer le flot hamiltonien de $H$. L'outil clé s'appelle la série de Butcher associée à $H$.

**Définition 4.2 ([3]).** La série de Butcher associée à $H$ est la série formelle suivante, indexée par une fonction de coefficients $a \in \mathbb{T}^*$ :

$$ B^H: \begin{array}{ccc} \mathbb{T}^* & \to & C^\infty(U) \\ a & \mapsto & \sum_{\tau \in \mathbb{T}} \frac{a(\tau)}{\sigma(\tau)} \mathbb{F}^H(\tau) \end{array} $$

où $\sigma(\tau)$ est le nombre d'automorphismes de graphes de $\tau$, aussi appelé coefficient de symétrie.

Nous renvoyons vers [9, Sec. III] pour une formule explicite du coefficient de symétrie.
On souhaite obtenir des intégrateurs de Poisson hamiltoniens d'ordre $N$ arbitraire. On note $\mathbb{T}^N \subset \mathbb{T}$ le sous-ensemble de $\mathbb{T}$ contenant les arbres ayant au plus $N$ nœuds. Soit $e \in \mathbb{T}^*$ défini récursivement par

$$e(\bullet) = 1, \quad e(\tau) = \frac{1}{|\tau|} e(\tau_1) \dots e(\tau_n), \quad \tau = (\tau_n, \dots, \tau_1)_{\bullet}. \qquad (19)$$

Pour $N \in \mathbb{N}$, on pose $e_0^N(\tau) = e(\tau)\mathbb{1}_{\tau \in T_0^N}$ la restriction de $e$ à $\mathbb{T}^N$. Cette restriction permet de passer des séries formelles aux fonctions et donc, de construire des méthodes numériques. Ainsi, le théorème suivant permet l'approximation à un ordre quelconque d'une courbe intégrale du système hamiltonien associé à $H \in C^\infty(\mathcal{U})$.

**Théorème 4.3 ([2]).** L'intégrateur de Poisson hamiltonien suivant est d'ordre $N$ pour l'équation différentielle (4) :

$$x_n = \alpha(y_n, \nabla_{y_n} B^{\Delta t \cdot H}(e_0^N)), \qquad (20)$$

$$x_{n+1} = \beta(y_n, \nabla_{y_n} B^{\Delta t \cdot H}(e_0^N)), \qquad (21)$$

où $\Delta t$ est le pas de temps de la méthode,

$$B^{\Delta t \cdot H}(e_0^N): \begin{array}{rcl} \mathcal{U} & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \sum_{\tau \in \mathbb{T}^N} \frac{e_0^N(\tau)}{\sigma(\tau)} F^{\Delta t \cdot H}(\tau)(x) \end{array}$$

est l'application fournie par la série de Butcher associée à $\Delta t \cdot H$, et $y_n \in \mathcal{U}$ est un point intermédiaire implicitement défini par l'équation (20).

Dans [2], ces classes de méthodes numériques ont été baptisées "intégrateurs THP" (Taylor-Hamiltonian-Poisson integrators). Par leur construction même, grâce à l'utilisation de la bi-réalisation $W \Rightarrow \mathcal{U}$, ces méthodes sont des intégrateurs de Poisson hamiltoniens : on peut démontrer ([4]) qu'ils suivent le flot d'un hamiltonien dépendant du temps. Ils restent donc sur une feuille symplectique, i.e. préservent tout Casimir le long d'une trajectoire discrète. La méthode suivante est comparée en section 5.2 sur un système de Lotka-Volterra au voisinage d'une singularité.

**Exemple 4.4 (N=1).** Pour $N = 1$, le théorème 4.3 fournit l'itéré

$$x_n = \alpha(y_n, \Delta t \nabla_{y_n} H), \quad x_{n+1} = \beta(y_n, \Delta t \cdot \nabla_{y_n} H). \qquad (22)$$

## 4.2 Approche combinée des méthodes de Runge-Kutta avec les bi-réalisations

Le nombre de termes dans $\mathbb{T}_0^N$ explose quand $N$ devient grand, ce qui rend l'approche du théorème 4.3 coûteuse et instable. En réponse à cela, nous exposons ici une classe d'intégrateurs de Poisson hamiltoniens pour approximer à ordre élevé les courbes intégrales de l'équation (4). La classe de méthode
suivante a été baptisée RKHP (Runge-Kutta-Hamiltonian-Poisson) dans [2].

$$
\begin{align}
Z_i(q) &= \Delta t \sum_{j<i} a_{ij} \cdot H(\alpha(q, \nabla_q Z_j)), \quad 1 \le i \le s \nonumber \\
\psi^{\Delta t \cdot H}(q) &:= \Delta t \sum_{i=1}^{s} b_i \cdot H(\alpha(q, \nabla_q Z_j)), \quad q \in \mathcal{U} \nonumber \\
x_n &= \alpha(x_n, \nabla_{y_n} \psi^{\Delta t \cdot H}) \in \mathcal{U} \tag{23} \\
x_{n+1} &= \beta(y_n, \nabla_{y_n} \psi^{\Delta t \cdot H}) \in \mathcal{U}. \nonumber
\end{align}
$$

Les $a_{ij} \in \mathbb{R}$ et $b_i \in \mathbb{R}$, $1 \le i, j \le s$, sont les coefficients de la méthode et sont choisis de telle sorte
à ce que la méthode numérique atteigne l'ordre souhaité, avec un nombre $s \in \mathbb{N}$ minimal d'étapes
intermédiaires. Les $Z_i \in C^\infty(\mathcal{U})$, $1 \le i \le s$, sont des fonctions calculées itérativement par la première
ligne d'équations de (23).

**Théorème 4.5.** On considère une méthode RKHP (23) avec un coefficient $a \in T^*$ et on pose $e \in T^*$ tel que défini par (19). Alors, si $a(\tau) = e(\tau)$ pour tout $\tau \in T_0^N$, la méthode est d'ordre $N$ pour l'équation (4).

Pour le détail de la construction de méthodes d'ordre élevé, nous renvoyons vers [2].

5 Simulations numériques

Dans cette dernière section, nous illustrons les avantages des intégrateurs de Poisson hamiltoniens sur
plusieurs exemples.

5.1 Le solide rigide

On particularise l'exemple 2.6 pour obtenir la dynamique du moment angulaire du solide rigide. Les
équations gouvernant le système sont :

$$
\dot{x} = -x \wedge Jx,
$$

où : ∧ est le produit vectoriel dans R³, et la matrice symétrique définie positive J est le tenseur inertiel du solide.

C'est une équation différentielle hamiltonienne pour $\pi(x) = \begin{pmatrix} 0 & -x_3 & x_2 \\ x_3 & 0 & -x_1 \\ -x_2 & x_1 & 0 \end{pmatrix}$ et $H(x) = \frac{1}{2} \text{Tr}(j(x)^T \cdot J \cdot j(x))$

où $j: \mathbb{R}^3 \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \mathcal{SO}(3)$ est donnée par :

$$
x \mapsto \begin{pmatrix} 0 & -x_3 & x_2 \\ x_3 & 0 & x_1 \\ -x_2 & -x_1 & 0 \end{pmatrix}.
$$

On choisit le tenseur inertiel $J = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \pi & 0 \\ 0 & 0 & 100 \end{pmatrix}$ et $x_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, de sorte que la courbe intégrale est donnée par la figure 3. On construit l'intégrateur de Poisson hamiltonien d'ordre 2 par la bi-réalisation (15) avec le pas de temps $\Delta t = 10^{-4}$. L'intégrateur de Poisson hamiltonien d'ordre 2 se comporte mieux
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 3 – La trajectoire de la vitesse angulaire d’un solide rigide dans $\mathbb{R}^3$.</figcaption></figure>

que la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 en terme de préservation des niveaux du hamiltonien et des Casimirs – i.e. des feuilles symplectiques– (figure 4).

Détaillons le comportement numérique de nos méthodes. L'intégrateur de Poisson hamiltonien d'ordre 2 (PHI-2) préserve le niveau des Casimirs à la précision machine et oscille autour d'une valeur du hamiltonien avec une amplitude dépendant de $\Delta t$. L'erreur de la méthode traditionnelle (RK-4) dépend linéairement du nombre d'itérations et diverge donc de la trajectoire continue périodique. En figure 4, nous avons affiché les 10 premières unités d'intégration pour montrer ces deux phénomènes. Relevons qu'au cours d'une simulation plus longue, l'amplitude d'oscillations pour l'intégrateur PHI-2 n'augmente pas, tandis que pour RK-4, on observe une croissance linéaire. Dès lors, on retrouve une stabilité typique des intégrateurs symplectiques, déjà relevée et étudiée dans [1]. Pour des intégrateurs de Poisson hamiltoniens, l'explication théorique repose sur la formule de Magnus introduite dans [4]. Ces phénomènes sont aussi illustrés sur le schéma de la trajectoire – figure 5.

**Remarque 5.1.** Un Casimir, dans le cas présent, est donné par le carré de la norme. Donc la figure 4c indique que les itérations de RK-4 convergeront vers 0 dans $\mathbb{R}^3$, ce qui correspond d'une part à un point fixe de la dynamique, d'autre part à une feuille singulière du feuilletage de l'espace total. Cela mène à long terme à des simulations au comportement pathologique. Par suite, cela met en exergue l'importance des méthodes numériques préservant les feuilles d'un feuilletage singulier tel que celui induit par une structure de Poisson.

## 5.2 Le système de Lotka-Volterra

La structure de Poisson d'un système de Lotka-Volterra générique est la structure de Poisson quadratique donnée par l'équation (16) et est complètement codée par une matrice $A$ de taille $n \times n$. La dynamique est gouvernée par le hamiltonien linéaire $H = \sum_{i=1}^{n} x_i$.
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>(a) Erreurs sur le hamiltonien pour PHI-2</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>(b) Erreurs sur le hamiltonien pour RK-4</figcaption></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>(c) Erreur sur le Casimir</figcaption></figure>

FIGURE 4 – Comparaison entre Runge-Kutta 4 et notre intégrateur de Poisson hamiltonien à ordre 2 pour la dynamique du solide rigide

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>(a) Une section de Poincaré de la trajectoire (plan vert)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>(b) Intersection entre les trajectoires (interpolées) discrètes et la section de Poincaré</figcaption></figure>

FIGURE 5 – Illustration de la différence de comportement entre deux méthodes numériques par rapport aux niveaux du hamiltonien et des Casimirs
On pose $n = 3$ et

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Un Casimir local est $C: x \mapsto \frac{x_1 x_3}{x_2}$. L'intersection de feuilles symplectiques régulières avec les niveaux de $H$ donne les trajectoires. Une méthode de Runge-Kutta ne préserve pas $C$. En revanche, l'intégrateur de Poisson hamiltonien d'ordre 1 construit avec la bi-réalisation (17) préserve la valeur du Casimir à la précision machine et du hamiltonien à une précision donnée par l'ordre en le pas de temps. Il est clair que le comportement singulier de la trajectoire peut être observé uniquement si ces lois de conservation sont respectées. La figure 6 explique la stabilité d'un intégrateur de Poisson hamiltonien au voisinage d'une singularité : en plus de préserver la structure de Poisson, il reste sur une feuille symplectique itérations après itérations.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE 6 – Comparaison de la préservation du Casimir $C$ entre PHI-1 et RK-2</figcaption></figure>

# 6 Perspective : vers des intégrateurs géométriques pour le modèle de Timoshenko

L'étude de formulations hamiltoniennes est liée à des enjeux d'analyse numérique. On a vu que les méthodes numériques héritant des propriétés de conservation des systèmes dynamiques hamiltoniens sont prometteuses pour deux raisons. Du point de vue de la mécanique, les quantités conservées ont une signification fondamentale parce qu'elles capturent des propriétés qualitatives importantes de la dynamique. Du point de vue de l'analyse numérique, ces mêmes quantités conservées, telles que l'énergie totale d'un système hamiltonien, mènent à des résultats de stabilités de la méthode numérique.

En ouverture, nous suggérons d'appliquer les méthodes que nous venons de construire au modèle de Timoshenko. Dans [6], une étude du modèle est menée du point de vue de sa structure hamiltonienne. Nous expliquons maintenant pourquoi nous pensons que des méthodes numériques prenant en compte cette structure hamiltonienne fourniront de bons résultats numériques comparées à l'approche traditionnelle. Le modèle de Timoshenko admet des instabilités non-linéaires induites par le couplage entre le mouvement rigide et les hautes fréquences non résolues, ce qui peut mener à des difficultés lors de simulations numériques. Ainsi, la plupart des méthodes numériques admettant une dissipation numérique par les hautes fréquences ne sont pas appropriées à la dynamique hamiltonienne, justement par leur caractère dissipatif. Cela motive la conception de méthodes numériques préservant l'énergie ou les moments linéaires et angulaires et justifie donc le développement de méthodes numériques spécialement adaptées au caractère hamiltonien de la dynamique du modèle de Timoshenko.
Références

[1] G. Benettin and A. Giorgilli. On the Hamiltonian interpolation of near-to-the-identity symplectic mappings with application to symplectic integration algorithms. *J. of Statistical Physics*, 1994.

[2] A. Busnot Laurent and O. Cosserat. Butcher series for Hamiltonian Poisson integrators through symplectic groupoids. arXiv : 2503.05000, 2025.

[3] J. C. Butcher. *B-series : algebraic analysis of numerical methods*. Springer, 2021.

[4] O. Cosserat. Symplectic groupoids for Poisson integrators. *J. of Geometry and Physics*, 2023.

[5] O. Cosserat, C. Laurent-Gengoux, and V. Salnikov. Numerical methods in Poisson geometry and their application to mechanics. *Mathematics and Mechanics of Solids*, 2024.

[6] O. Cosserat and L. Le Marrec. Timoshenko beam under finite and dynamic transformations : Lagrangian coordinates and Hamiltonian structures. arXiv : 2407.14453, 2025.

[7] A. Coste, P. Dazord, and A. Weinstein. Groupoïdes symplectiques. *Publications du Département de Mathématiques de Lyon*, 1987.

[8] A. C. da Silva and A. Weinstein. Geometric models for noncommutative algebras. *Berkeley Mathematics Lecture Notes*, 10, AMS, 1999.

[9] E. Hairer, C. Lubich, and G. Wanner. *Geometric numerical integration*. Springer, 2006.

[10] M. V. Karaseff. Analogues of the objects of Lie group theory for nonlinear Poisson brackets. *Mathematics of the USSR-Izvestiya*, 1987.

[11] C. Laurent-Gengoux, A. Pichereau, and P. Vanhaecke. *Poisson structures*. Springer, 2012.

[12] H. Yoshida. Construction of higher order symplectic integrators. *Phys. Lett. A*, 150(5-7):262–268, 1990.