# Sur les plans partiellement équilibrés

G Heuzé

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G Heuzé. Sur les plans partiellement équilibrés. Annales de l'ISUP, 1970, XIX (4), pp.49-54. hal-04083508

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Submitted on 27 Apr 2023

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# SUR LES PLANS PARTIELLEMENT EQUILIBRES

## G. HEUZÉ

## INTRODUCTION.

Cet article constitue un prolongement de [1] relatif aux Plans Partiellement Equilibrés.

Le théorème 1 montre que sur tout schéma d'association à deux classes on peut construire au moins deux PBD.

Le théorème 2 fournit un critère permettant, après examen de leurs paramètres, de réduire éventuellement le nombre de classes associées de certains PBD. Ce critère peut être employé avec succès pour certains PBD de [2] et [3].

Les théorèmes 3 et 4 enfin - dont les réciproques surtout sont utiles - permettent de déceler la structure intime de certains PBD (ils sont applicables par exemple à certains PBD de [2]).

Les notations sont celles de [1].

**DEFINITION 1** - Soit $E$ un ensemble fini. Un schéma d'association à $m$ classes associées sur $E$ est constitué par la donnée de $(m+1)$ relations binaires $S_0, S_1, ..., S_m$ définies dans $E$ et vérifiant

(A 1) $S_0$ est la relation d'égalité

(A 2) pour $i = 0,1,...,m$ $S_i$ est symétrique (deux éléments vérifiant $S_i$ sont dits i-associés).

(A 3) les ensembles représentatifs de $S_0, S_1, ..., S_m$ forment une partition $E \times E$

(A 4) $x$ et $y$ étant i-associés, $Card (S_j(x) \cap S_k(y))$ ne dépend que de $i,j,k = 1,...,m$

**DEFINITION 2** - Un Plan Partiellement Equilibré (en abrégé PBD "Partially Balanced Design") à $m$ classes associées sur un ensemble $E$ fini est constitué par la donnée d'une famille de parties $B_1, B_2, ..., B_b$ (appelées blocs) vérifiant :

(B1) $Card (B_\ell)$ est indépendant de $\ell$, et déterminant un schéma d'association à $m$ classes sur $E$ de telle sorte que :
(B 2) x et y étant i-associés, $\sum_{l=1}^{b} \text{Card}(\{(x,y)\} \cap B_x^l)$ ne dépend que de $i=0,1,...,m$ (on le note $\lambda_i$)

**THEOREME 1** - Etant donné un schéma d'association à deux classes sur E il existe au moins deux PBD sur E admettant pour schéma d'association le schéma donné.

**DEMONSTRATION** - Si $i \in \{1,2\}$ définissons $i^*$ par $\{i,i^*\} = \{1,2\}$. Posons, pour $x \in E$, $B_x = \{x\} \cup S_i(x)$. La famille $(B_x)$ constitue un des PBD annoncés. En effet :

(B 1) se vérifie immédiatement car $\text{Card}(B_x) = n_i + 1$

(B 2) résulte de trois évaluations qui donnent :

$$ \lambda_0 = n_i + 1 \quad \text{(immédiat)} $$

$$ \lambda_i^* = 0 \quad \text{(immédiat)} $$

$\lambda_i = p_{ii}^i + 2$ (en effet on cherche à dénombrer tous les $\tilde{z}$ vérifiant $x \in B_z$ et $y \in B_z$, x et y étant i-associés ; or cette condition est équivalente à $z \in (S_i(x) \cap S_i(y)) \cup \{x\} \cup \{y\}$ d'où le résultat).

**REMARQUE** Les blocs sont deux à deux distincts sauf dans le cas où le schéma est un GD à 2 classes dont $S_0 \cup S_i$ est l'équivalence ([1], 1.2 application). En effet $B_x = B_y$ (avec $x \neq y$) impose x et y i-associés et $n_i = p_{ii}^i + 1$. Or $n_i = 1 + p_{ii}^i + p_{ii^*}^i$ ([1] théorème 1.1.4). Donc $p_{ii^*}^i = 0$. Ce qui implique ([1] théorème 1.2.2.) notre assertion.

**THEOREME 2** - Pour que, dans un PBD à m classes associées, les h classes d'indices $i_1, i_2, ..., i_h$ puissent se confondre en une seule, il faut et il suffit que :

$$ (2.1) \quad \lambda_i = \lambda_{i_2} = \dots = \lambda_{i_h} $$

(2.2) Les h matrices carrées d'ordre (m-h) obtenues comme restrictions de $P_{i_1}, P_{i_2}, ..., P_{i_h}$ aux lignes et colonnes d'indices différents de $i_1, i_2, ..., i_h$ soient égales.
### DEMONSTRATION - Posant $J = \{i_1, i_2, ..., i_h\}$, les relations $S_0, S_i$ (où $i \notin J$), $\cup_{i \in J} S_i$ doivent constituer un nouveau schéma sur $E$. Pour qu'il en soit ainsi il faut et il suffit que (2.2) soit vérifié ([1] théorème 1.3.3).

(B 1) reste vrai

Et pour que (B 2) soit vrai avec le nouveau schéma il faut et il suffit que (2.1) soit vérifiée.

Remarquons qu'on peut aussi énoncer un théorème de portée plus générale mais d'utilisation plus difficile :

### THEOREME 2' - Pour que, dans un PBD, les classes associées se confondent en $R_0 = S_0 \cup R_n = \bigcup_{i \in I_n} S_i$ (la famille $(I_n)$ formant une partition $\pi$ de $I$) il faut et il suffit que $\lambda_i$ et $E_\pi$ ($P_i$) restent constants quand $i$ décrit chaque $I_n$.

(Les définitions de $I$ et $F_\pi$ sont dans [1]).

### THEOREME 3 - Soit un PBD à $m$ classes sur $E$ dont le schéma est déterminé par $S_0, S_1, ..., S_m$. Pour tout entier $p \ge 2$ posons $E^* = E \times \{1, 2, ..., p\}$. Alors les parties $B^* = B \times \{k\}$, où $B$ est un bloc de $E$, sont les blocs d'un PBD à $(m+1)$ classes sur $E^*$ dont le schéma est déterminé par :

$$ (3.1) \qquad \left\{ \begin{array}{l} S_i^*(x,j) = \{(y,j) \in E^* \mid y \in S_i(x)\} \quad \text{pour } i=0,1,\dots,m \\ S_{m+1}^*(x,j) = \{(y,k) \in E^* \mid y \in E, j \neq k\} \end{array} \right. $$

Ce PBD est en outre tel que :

$$ (3.2) \quad \lambda_i^* = \lambda_i \quad \text{pour } i=0,1,\dots,m \quad \text{et} \quad \lambda_{m+1}^* = 0 $$

Réciproquement si un PBD à $(m+1)$ classes sur un ensemble $E^*$ est tel qu'il existe $i_0 \in \{1, 2, ..., m+1\}$ vérifiant (3.3) et l'une des deux conditions équivalentes (3.4a) et (3.4b) avec

$$ (3.3) \quad \lambda_{i_0}^* = 0 $$
$$ (3.4a) \text{ pour tout } i \neq i_0 \text{ et tout } j \neq i_0 \qquad p^{i_i}_{i_0 j} = 0 $$

$$ (3.4b) \text{ pour tout } i \neq i_0 \text{ et tout } j \neq i_0 \qquad p^{i'_j}_{i j} = 0 $$

alors il existe un entier $p \ge 2$, un ensemble $E$ et un PBD à m classes sur $E$ tels que :

* $E^*$ puisse être identifié à $E \times \{1,2,...,p\}$

* Les schémas de $E$ et $E^*$ soient liés par les relations (3.1) (en supposant $i_0 = m+1$)

* Tout bloc de $E^*$ soit de la forme $B \times \{k\}$ où $B$ est un bloc de $E$.

**DEMONSTRATION** - On sait ([1] théorème 3.1.2) que $S_0^*, S_1^*,..., S_{m+1}^*$ déterminent un schéma sur $E^*$. La vérification de (B1) est immédiate car $Card(B^*) = Card(B)$

Si $(x,j)$ et $(y,k)$ sont i-associés (avec $i=0,1,...,m$) alors $j=k$ et les blocs $B^*$ contenant $(x,k)$ et $(y,k)$ proviennent de blocs $B$ contenant $x$ et $y$. D'où alors $\lambda_1^* = \lambda_1$

Si $(x,j)$ et $(y,k)$ sont $(m+1)$-associés alors $j \neq k$ et il n'existe aucun bloc contenant $(x,j)$ et $(y,k)$. D'où $\lambda_{m+1}^* = 0$. Ce qui achève la vérification de (B 2).

Réciproquement supposons $i_0 = m+1$ pour la commodité des écritures. Alors (3.4a) (ou (3.4b)) entraine les deux premières assertions ([1] théorème 3.1.2.).

Comme $\lambda_{m+1}^* = 0$ les blocs de $E^*$ sont nécessairement de la forme $B \times \{k\}$ où $B$ est une partie de $E$. Il est alors immédiat de vérifier que les parties (B) sont les blocs d'un PBD à m classes sur $E$.

**THEOREME 4** - Soit un PBD à m classes sur $E$ dont le schéma est déterminé par $S_0, S_1, ..., S_m$. Pour tout entier $p \ge 2$ posons

$$ E^* = E \times \{1,2,...,p\}. $$

Alors les parties $B^* = B \times \{1,2,...,p\}$, où $B$ est un bloc de $E$, sont les blocs d'un PBD à $(m+1)$ classes sur $E^*$ dont le schéma est déterminé par :
$S_0^* = \text{égalité}$

$$
\begin{equation} \tag{4.1}
\begin{split}
S_1^*(x,j) &= \{(x,k) \in E^* \mid k \neq j\} \\
S_{i+1}^*(x,j) &= \{(y,k) \in E^* \mid y \in S_i(x), k \in \{1, \dots, p\} \}
\end{split}
\quad \text{pour } i=1,2,\dots,m
\end{equation}
$$

Ce PBD est en outre tel que

$$
(4.2) \quad \lambda_0^* = \lambda_1^* = \lambda_0 \quad \text{et} \quad \lambda_{i+1}^* = \lambda_i \quad \text{pour } i = 1, 2, \dots, m
$$

Réciproquement si un PBD à (m+1) classes sur un ensemble
$E^*$ est tel qu'on puisse ordonner ses classes de telle sorte que :

$$
(4.2') \quad \lambda_0^* = \lambda_1^*
$$

(4.3) Les matrices d'association s'écrivent comme en [1] théorème 3.1.3,
alors il existe un entier $p \ge 2$, un ensemble $E$ et un PBD à $m$ classes
sur $E$ tels que :

. $E^*$ puisse être identifié à $E \times \{1,2,...,p\}$

. Les schémas de $E$ et $E^*$ soient liés par les relations (4.1)

. Tout bloc de E* soit de la forme B x {1,2,..., p} où B est un bloc de E.

DEMONSTRATION - On sait ([1] théorème 3.1.3) que S₀*, S₁*, ..., S*m+1*
déterminent un schéma sur E*.

(B 1) est vrai avec Card (B*) = p Card (B).

Les deux éléments (x,j) et (x,k) (avec j et k distincts ou non)
apparaissent simultanément dans $\lambda_0$ blocs. D'où $\lambda_0^* = \lambda_1^* = \lambda_0$.

Les deux éléments (x,j) et (y,k) où x et y sont i-associés
(i=1,2,... m) apparaissent simultanément dans $\lambda_1$ blocs. D'où $\lambda_{i+1}^* = \lambda_i$.
Ce qui achève la vérification de (B 2).

Réciproquement (4.3) entraine les deux premières assertions ([1],
théorème 3.1.3).

Comme $\lambda_0^* = \lambda_1^*$ les blocs de $E^*$ sont de la forme
$B^* = B \times \{1,2,...,p\}$ où B est une partie de E. Il est alors immédiat
de vérifier que les parties (B) sont les blocs d'un PBD à m classes sur E
BIBLIOGRAPHIE

[1] HEUZE (G.) - Contribution à l'étude des schémas d'association. *Publ. Inst. Stat. Univ. Paris* (1966), 1-59.

[2] LAFON-AUGE (M.) - Application de l'algèbre aux plans d'expériences construction de Plans Partiellement Equilibrés. *Publ. Inst. Stat. Univ. Paris* (1960), 193-287.

[3] RAO (C.R.) - A general class of quasi factorial and related designs. *Sankhya* (1956), 165-174.

Reçu en Octobre 1970

Département de Mathématiques.

Université de Toulouse-Le-Mirail

31 - TOULOUSE