# Les fibrés de Minkowski

Jean Louis Jonot

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Jean Louis Jonot. Les fibrés de Minkowski. 2016. hal-01377044

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Preprint submitted on 6 Oct 2016

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# Les fibrés de Minkowski

Jonot Jean Louis

ABSTRACT. Dans cet article, on étudie les fibrés de Minkowski pour donner une représentation géométrique de l'unification des équations relativistes de Dirac et d'Einstein à partir d'une section de Dirac.

## 1. Fibré avec groupe de structure, les fibrés de Minkowski

Soit $\mathcal{V}$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $\mathcal{G}$ un sous-groupe de $\text{GL}(\mathcal{V})$ et

$$ \zeta = (E, \pi, \mathbf{W}, \mathcal{V}) $$

un fibré vectoriel sur une $\text{C}^\infty$-variété $\mathbf{W}$ de dimension $n$. Le fibré $\zeta$ est un fibré avec groupe de structure $\mathcal{G}$ si ses applications de transition sont dans $\mathcal{G}$. Une pseudo-métrique $g$ sur $\mathcal{V}$ est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur $\mathcal{V}$ si l'espace vectoriel est réel et $g$ est une forme sesquilinéaire non dégénérée si l'espace vectoriel est complexe. Une pseudo-métrique $g$ sur le fibré $\zeta$ est une section du fibré des formes bilinéaires ou sesquilinéaire, c'est-à-dire, $g(w)$ est une pseudo-métrique sur $E_w(\zeta)$, $\forall w \in \mathbf{W}$ et pour toutes sections locales $s$ et $t$ de $\zeta$ définies sur $W \subset \mathbf{W}$, l'application définie sur $W$ par

$$ w \to g(w)(s(w), t(w)) \text{ est } \text{C}^\infty. $$

DEFINITION 1. Un fibré de Minkowski sur l'univers $\mathbf{W}$ est un fibré $\zeta$ de fibre $\mathbb{R}^4$, de base $\mathbf{W}$ pour lequel ses applications de transition sont dans le groupe $O(\mathbb{R}^4, \eta)$, où $\eta$ est la métrique de Minkowski sur $\mathbb{R}^4$.

Soit $W$ une carte de trivialisation du fibré de Minkowski $\zeta$ et $\phi$ un isomorphisme de trivialisation de la forme

$$ \phi : E_W(\zeta) \to W \times \mathbb{R}^4, $$

sur chaque fibre $E_w(\zeta)$, $w \in W$, on pose

$$ \eta_{\phi}(w)(u, v) = \eta(\phi(w)(u), \phi(w)(v)), \forall u, v \in E_w(\zeta). $$

LEMMA 1. $\eta_{\phi}$ est une pseudo-métrique sur $\zeta|_W$ qui est indépendante de $\phi$.

<footnote n="1991">1991 Mathematics Subject Classification. 18F15,55R05,83C05,81R05,81R50.</footnote>

<footnote>Key words and phrases. Fibré de Clifford, Fibré de Minkowski, Métrique de Minkowski, Connexion de Levi-Civita, Cocycle.</footnote>
PROOF. Si $W_1$ et $W_2$ sont deux cartes de trivialisation en $w$ et

$$ \phi_j : E_{W_j}(\zeta) \to W_j \times \mathbb{R}^4 $$

les isomorphismes de trivalisation, alors pour tout $w \in W_1 \cap W_2$

$$
\begin{align*}
\eta_{\phi_2}(w)(u, v) & \\
&= \eta(\phi_2(w)(u), \phi_2(w)(v)) \\
&= \eta(\phi_2(w) \circ \phi_1^{-1}(w)(\phi_1(w)(u)), \phi_2(w) \circ \phi_1^{-1}(w)(\phi_1(w)(v))) \\
&= \eta(\phi_1(w)(u), \phi_1(w)(v)) = \eta_{\phi_1}(w)(u, v),
\end{align*}
$$

$$ \text{car } \phi_2(w) \circ \phi_1^{-1}(w) \in \mathcal{O}(\mathbb{R}^4, \eta). \quad \square $$

La pseudo-métrique $\eta_\zeta$ vérifiant $\eta_\zeta = \eta_{\phi_1} = \eta_{\phi_2}$ sur $W_1 \cap W_2$ est la métrique de Minkowski du fibré $\zeta$. Pour chaque section $s \in \Gamma(\text{End}(\zeta))$, on définit la section adjointe $s^*$ définie par

$$ \eta_{\zeta}(s^*(X), Y) = \eta_{\zeta}(X, s(Y)) \quad \text{où } X, Y \in \Gamma(\zeta), $$

et on pose

$$ \eta_{\zeta, \text{End}}(s, t) = \text{Trace}(s^*t) $$

et $\mathcal{O}(\text{End}(\mathbb{R}^4), \eta_{\text{End}})$ le groupe associé à la forme quadratique $\eta_{\text{End}}(\alpha) = \text{Trace}(\alpha^*\alpha)$ où $\alpha^*$ est l'endomorphisme dual de $\alpha$ pour la métrique de Minkowski $\eta$ sur $\mathbb{R}^4$,

$$ \eta(\alpha^*(x), y) = \eta(x, \alpha(y)), \forall x, y \in \mathbb{R}^4. $$

LEMMA 2. $\eta_{\zeta, \text{End}}$ est une pseudo-métrique sur $\text{End}(\zeta)$. Si $\zeta$ est un fibré de Minkowski alors $\text{End}(\zeta)$ est un fibré avec groupe de structure contenu dans $\mathcal{O}(\text{End}(\mathbb{R}^4), \eta_{\text{End}})$.

PROOF. Les applications de transition $h_{\alpha,\beta}(w)$ de $\text{End}(\zeta)$ sont définies par

$$ h_{\alpha,\beta}(w)(l) = k_{\alpha,\beta}(w) \circ l \circ k_{\alpha,\beta}(w)^{-1}, \quad l \in \text{End}(\mathbb{R}^4) $$

où $k_{\alpha,\beta}(w)$ sont les applications de transition du fibré $\zeta$. On a

$$
\begin{align*}
h_{\alpha,\beta}(w)(l_1)^* \circ h_{\alpha,\beta}(w)(l_2) & \\
&= (k_{\alpha,\beta}(w) \circ l_1 \circ k_{\alpha,\beta}(w)^{-1})^* \circ k_{\alpha,\beta}(w) \circ l_2 \circ k_{\alpha,\beta}(w)^{-1} \\
&= (k_{\alpha,\beta}(w)^{-1})^* \circ l_1^* \circ k_{\alpha,\beta}(w)^* \circ k_{\alpha,\beta}(w) \circ l_2 \circ k_{\alpha,\beta}(w)^{-1} \\
&= k_{\alpha,\beta}(w) \circ l_1^* \circ k_{\alpha,\beta}(w)^{-1} \circ k_{\alpha,\beta}(w) \circ l_2 \circ k_{\alpha,\beta}(w)^{-1} \\
&= k_{\alpha,\beta}(w) \circ l_1^* \circ l_2 \circ k_{\alpha,\beta}(w)^{-1}
\end{align*}
$$

car $k_{\alpha,\beta}(w) \in \mathcal{O}(\mathbb{R}^4, \eta)$. On en déduit que

$$
\begin{align*}
\text{Trace}(h_{\alpha,\beta}(w)(l_1)^* \circ h_{\alpha,\beta}(w)(l_2)) & \\
&= \text{Trace}(k_{\alpha,\beta}(w) \circ l_1^* \circ l_2 \circ k_{\alpha,\beta}(w)^{-1}) \\
&= \text{Trace}(l_1^* \circ l_2),
\end{align*}
$$

ainsi $h_{\alpha,\beta}(w) \in \mathcal{O}(\text{End}(\mathbb{R}^4), \eta_{\text{End}})$. $\square$
On définit le 4-uplet,

$$
\mathrm{Cl}(\zeta, \eta) = (\sqcup_{w \in \mathbf{W}} \mathrm{Cl}(E_w(\zeta), \eta(w)), \pi, \mathbf{W}, \mathrm{Cl}(\mathbb{R}^4, \eta))
$$

pour un fibré de Minkowski $\zeta$ et $\mathrm{Cl}(\mathbb{R}^4, \eta)$ est isomorphe à $\mathrm{Cl}_{1,3}(\mathbb{R})$.

THEOREM 1. Le 4-uplet Cl (ζ, η) est un fibré avec fibre Cl₁,₃ (R).

PROOF. Prenons une carte $W$ de trivialisation du fibré $\zeta$ et $\phi$ l'isomorphisme de trivialisation de la forme

$$
\phi : W \times \mathbb{R}^4 \to E_W(\zeta) = \sqcup_{w \in W} E_w(\zeta)
$$

puisque les applications de transition du fibré $\zeta$ sont dans $\mathcal{O}(\mathbb{R}^4, \eta)$ alors pour chaque $w \in W$, la forme quadratique $Q_\zeta(w)$ de forme polaire $\eta_\zeta(w)$ induite de $\eta$ par

$$
\phi(w) : \{w\} \times \mathbb{R}^4 \to E_w(\zeta)
$$

est indépendante du choix de $\phi$. On définit l'inclusion naturelle

$$
\mathrm{in} : E_W(\zeta) \to \sqcup_{w \in W} \mathrm{Cl}(E_w(\zeta), Q_{\zeta}(w)),
$$

et soit in (w) la restriction de in à E<sub>w</sub> (ζ) à valeurs dans Cl(E<sub>w</sub>(ζ), Q<sub>ζ</sub>(w)), il
existe une application bijective

$$
\varphi : W \times \mathrm{Cl}(\mathbb{R}^4, \eta) \to \sqcup_{w \in W} \mathrm{Cl}(E_w(\zeta), Q_\zeta(w))
$$

telle que l'application

$$
\varphi(w) : \{w\} \times \mathrm{Cl}(\mathbb{R}^4, \eta) \to \mathrm{Cl}(E_w(\zeta), Q_\zeta(w)),
$$

pour tout $w \in W$ soit une extension de $in(w) \circ \phi(w)$. Pour construire cette
extension, on prend une base $\{e_i\}$ de $\mathbb{R}^4$, la famille $\{\mathbf{1}_{\mathrm{Cl}(\mathbb{R}^4, \eta)}, e_{i_1}e_{i_2}\cdots e_{i_k}\}$ avec
$1 \le i_1 < \cdots < i_k \le 4$ est une base de $\mathrm{Cl}(\mathbb{R}^4, \eta)$. L'application $\varphi(w)$ est définie par

$$
\varphi(w)(\mathbf{1}_{\mathrm{Cl}(\mathbb{R}^4, \eta)}) = \mathbf{1}_{\mathrm{Cl}(E_w(\zeta), Q(w))} \text{ et}
$$

$$
\varphi(w) ((w, e_{i_1} e_{i_2} \cdots e_{i_k})) = \phi(w) (e_{i_1}) \phi(w) (e_{i_1}) \cdots \phi(w) (e_{i_k}),
$$

on a identifié $E_w(\zeta)$ à son image dans $\mathrm{Cl}(E_w(\zeta), Q(w))$. Le morphisme $\varphi(w)$ est un isomorphisme d'algèbres de Clifford. L'espace $E(\zeta)$ peut être muni d'une structure de variété différentielle qui rende les applications $\varphi$ de classe $C^\infty$ pour tous les morphismes de trivialisation $\phi$ de $\zeta$. Il suffit de vérifier que pour deux cartes de trivialisation du fibré de Minkowski $\zeta$, notés $\phi_\alpha$ et $\phi_\beta$, les isomorphismes $\varphi_\alpha$ et $\varphi_\beta$ définissent la même $C^\infty$-structure sur $\sqcup_{w \in W_\alpha \cap W_\beta} \mathrm{Cl}(E_w(\zeta), Q_\zeta(w))$. Les cocycles

$$
\phi_{\alpha\beta} : W_{\alpha} \cap W_{\beta} \to \mathcal{O}(\mathbb{R}^4, \eta), \quad \phi_{\alpha\beta}(w) = \phi_{\alpha}(w)^{-1} \circ \phi_{\beta}(w)
$$

défissent des cocycles

$$
\varphi_{\alpha\beta} : W_{\alpha} \cap W_{\beta} \to \mathrm{GL}(\mathrm{Cl}(\mathbb{R}^4, \eta)),
$$

avec

$$
\varphi_{\alpha\beta}(w) (e_{i_1} e_{i_2} \cdots e_{i_k}) = \phi_{\alpha\beta}(w) (e_{i_1}) \phi_{\alpha\beta}(w) (e_{i_1}) \cdots \phi_{\alpha\beta}(w) (e_{i_k})
$$

et on a

$$
\varphi_{\beta}(w) = \varphi_{\alpha}(w) \circ \varphi_{\alpha\beta}(w), \quad w \in W_{\alpha} \cap W_{\beta},
$$

$\varphi_\beta$ est $C^\infty$ sur $(W_\alpha \cap W_\beta) \times \mathrm{Cl}(\mathbb{R}^4, \eta)$ si et seulement si $\varphi_\alpha$ est $C^\infty$ sur $(W_\alpha \cap W_\beta) \times \mathrm{Cl}(\mathbb{R}^4, \eta)$. Ainsi $E(\zeta)$ est une variété de dimension $\dim E(\zeta) = 20$ et

$$
\zeta = (E(\zeta), \pi, \mathbf{W}, \mathrm{Cl}(\mathbb{R}^4, \eta))
$$
est un fibré de fibre Cl($\mathbb{R}^4$, $\eta$) qui est isomorphe à Cl$_{1,3}$($\mathbb{R}$). $\square$

REMARK 1. Cette construction se généralise à tout fibré vectoriel de fibre V muni d'une forme quadratique Q dont les applications de transition sont dans O(V, Q).

## 2. Carré tensoriel d'une métrique de Minkowski

Le fibré End($\zeta$) est isomorphe au fibré $\zeta^* \otimes \zeta$, si $\{t^\mu\}$ est une base de sections locales de $\zeta^*$ et $\{s_\nu\}$ une base de sections locales de $\zeta$ alors $t^\mu \otimes s_\nu$ définie par

$$t^\mu \otimes s_\nu : W \to E_W (\zeta^* \otimes \zeta),$$

$$(t^\mu \otimes s_\nu)(w) = t^\mu(w) \otimes s_\nu(w) \in E_W(\zeta^* \otimes \zeta) = E_W(\zeta)^* \otimes E_W(\zeta)$$

$$t^\mu(w) \otimes s_\nu(w) : E_w(\zeta) \to E_w(\zeta), \quad (t^\mu(w) \otimes s_\nu(w))(u) = t^\mu(w)(u) s_\nu(w),$$

forme une base de sections locales de $\zeta^* \otimes \zeta|_W$. Si le fibré $\zeta$ est un fibré de Minkowski, on définit la forme quadratique

$$Q_\eta(w) (t^\mu(w) \otimes s_\nu(w)) = Q_\zeta(w) (t_\mu(w)) Q_\zeta(w) (s_\nu(w)),$$

où $Q_\zeta$ est la forme quadratique associée à la forme polaire $\eta_\zeta$. La forme quadratique $Q_\eta$ représente le carré tensoriel de $Q_\zeta$, par abus de langage,

$$Q_{\eta} = (Q_{\zeta})^{\otimes 2}. \qquad (2.1)$$

THEOREM 2. Les fibrés $\zeta^* \otimes \zeta$ et End($\zeta$) munis des formes quadratiques $Q_\eta$ et $Q_{\zeta,\text{End}}$, où $Q_{\zeta,\text{End}}$ est la forme quadratique induite par $\eta_{\zeta,\text{End}}$, sont des fibrés isométriques.

PROOF. On se fixe une base locales de sections $\{s_\nu\}$ sur W qui est $Q_\zeta$-orthogonale et réduite et sa base Q-duale $\{s^\mu\}$. Sur chaque fibre $E_w(w)$, $\eta_\zeta(w)$ est la forme polaire de $Q_\zeta(w)$, on a

$$s^\mu(w)(s(w)) = \eta_\zeta(w)(s(w), s_\mu(w)), \forall w \in W.$$

La famille $\{s^\mu \otimes s_\nu\}$ est une base de sections locales de End($\zeta$) définie sur W. Par définition

$$\begin{aligned} \eta_\zeta ((s^\mu \otimes s_\nu)^*(s), t) &= \eta_\zeta (s, (s^\mu \otimes s_\nu)(t)) \\ &= s^\mu(t) \eta_\zeta (s, s_\nu) = \eta_\zeta (t, s_\mu) \eta_\zeta (s, s_\nu), \end{aligned}$$

en particulier,

$$\begin{aligned} \eta_\zeta ((s^\mu \otimes s_\nu)^*(s_\tau), s_\rho) &= \eta_\zeta(s_\rho, s_\mu) \eta_\zeta(s_\tau, s_\nu) \\ &= \eta_{\zeta, \rho\mu} \eta_{\zeta, \tau\nu} = \begin{cases} \eta_{\zeta, \mu\mu} \eta_{\zeta, \nu\nu} & \text{si } (\rho, \tau) = (\mu, \nu) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \end{aligned}$$

où $(\eta_{\zeta,\rho\mu})$ est la matrice de la forme polaire dans la base $\{s_\nu\}$ car la base de sections $\{s_\nu\}$ est Q-orthogonale et réduite. Si on pose

$$(s^\mu \otimes s_\nu)^*(s_\tau) = \lambda_\tau^i s_i,$$
on a

$$
\begin{gather*}
\eta_{\zeta} \left( \left( s^{\mu} \otimes s_{\nu} \right)^{*} (s_{\tau}), s_{\rho} \right) = \lambda_{\tau}^{i} \eta_{\zeta, i\rho} = \lambda_{\tau}^{\rho} \eta_{\zeta, \rho\rho} = \eta_{\zeta, \rho\mu} \eta_{\zeta, \tau\nu} \\
\text{et } \lambda_{\tau}^{\rho} = \eta_{\zeta, \rho\rho} \eta_{\zeta, \rho\mu} \eta_{\zeta, \tau\nu},
\end{gather*}
$$

on en déduit que $\lambda_{\tau}^{\rho} = 0$ si $(\rho, \tau) \neq (\mu, \nu)$ et $\lambda_{\nu}^{\mu} = \eta_{\zeta, \nu\nu}$. La matrice de $s^{\mu} \otimes s_{\nu}$ dans la base orthonormale est

$$
(\eta_{\zeta, \mu\mu} \delta_{j\nu}^{\mu i}) \qquad (2.2)
$$

et la matrice de $(s^\mu \otimes s_\nu)^*$ est

$$
(\eta_{\zeta, \nu\nu} \delta_{j\mu}^{\nu i}). \qquad (2.3)
$$

La matrice de $(s^\mu \otimes s_\nu)^*$ $(s^\nu \otimes s_\mu)$ s'écrit

$$
(\eta_{\zeta, \nu\nu} \delta_{j\mu}^{\nu i}) (\eta_{\zeta, \mu\mu} \delta_{j\nu}^{\mu i}) = \eta_{\zeta, \nu\nu} \eta_{\zeta, \mu\mu} (\delta_{\sigma\mu}^{\nu i} \delta_{j\nu}^{\mu\sigma}) = \eta_{\zeta, \nu\nu} \eta_{\zeta, \mu\mu} (\delta_{\mu}^{i} \delta_{j}^{\mu}),
$$

calculons

$$
Q_{\zeta, \text{End}} (s^{\mu} \otimes s_{\nu}) = \text{Trace} \left( (s^{\mu} \otimes s_{\nu})^{*} (s^{\nu} \otimes s_{\mu}) \right),
$$

on a pour la trace

$$
\mathrm{Trace} \left( \left( s^{\mu} \otimes s_{\nu} \right)^{*} \left( s^{\nu} \otimes s_{\mu} \right) \right) = \eta_{\zeta, \nu\nu} \eta_{\zeta, \mu\mu}
$$

donc

$$
Q_{\zeta, \text{End}} (s^{\mu} \otimes s_{\nu}) = \eta_{\zeta, \nu\nu} \eta_{\zeta, \mu\mu}
$$

et

$$
Q_{\eta} (s^{\mu} \otimes s_{\nu}) = Q(s_{\mu}) Q(s_{\nu}) = \eta_{\zeta, \nu\nu} \eta_{\zeta, \mu\mu},
$$

$\zeta^* \otimes \zeta$ et End($\zeta$) sont des fibrés isométriques pour les formes quadratique $Q_\eta$ et $Q_{\zeta,\text{End}}$. $\square$

Le carré tensoriel de $Q_\zeta$ associé à la pseudo-métrique $\eta_\zeta$, s'identifie à $Q_{\zeta,\text{End}}$, on peut écrire en utilisant 2.1,

$$
Q_{\zeta, \text{End}} = (Q_{\zeta})^{\otimes 2}.
$$

REMARK 2. $Q_{\zeta,\text{End}}$ est de signature $(6, 10)$.

On pose

$$
e_{\mu\nu} = s^{\mu} \otimes s_{\nu}
$$

toute section locale $e$ de End($\zeta$) sur $W$ s'écrit sous la forme

$$
e = \lambda^{\mu\nu} e_{\mu\nu}, \quad \lambda^{\mu\nu} \in C^{\infty}(W, \mathbb{R}).
$$

LEMMA 3. $e^* = e$ si et seulement si $\lambda^{\mu\nu} = \lambda^{\nu\mu}$ et $e^* = -e$ si et seulement si
$\lambda^{\mu\nu} = -\lambda^{\nu\mu}$.

PROOF. Des équations 2.2 et 2.3 on a

$$
e_{\mu\nu}^{*} = e_{\nu\mu}
$$

et

$$
e^* = (\lambda^{\mu\nu} e_{\mu\nu})^* = \lambda^{\mu\nu} e_{\mu\nu}^* = \lambda^{\mu\nu} e_{\nu\mu},
$$

donc $e^* = e$ si et seulement si $\lambda^{\mu\nu} = \lambda^{\nu\mu}$. $\square$

LEMMA 4. La famille $\{e_{\mu\nu}\}$ est une base de sections $Q_{\zeta,\text{End}}$-orthogonale et réduite.
PROOF. Soit $e_{\mu\nu}$ et $e_{\alpha\beta}$ deux éléments de cette base alors les matrices de $e_{\mu\nu}$ et $e_{\alpha\beta}$ dans la base de sections $\{s_\nu\}$ s'écrivent respectivement,

$$ (\eta_{\zeta,\mu\mu} \delta_{j\nu}^{\mu i}) \text{ et } (\eta_{\zeta,\alpha\alpha} \delta_{j\beta}^{\alpha i}) $$

et la matrice de $e_{\mu\nu}^* \circ e_{\alpha\beta}$ est donnée par la matrice de $e_{\nu\mu} \circ e_{\alpha\beta}$ donc

$$ (\eta_{\zeta,\nu\nu} \delta_{\sigma\mu}^{\nu i}) (\eta_{\zeta,\alpha\alpha} \delta_{j\beta}^{\alpha \sigma}) = \eta_{\zeta,\nu\nu} \eta_{\zeta,\alpha\alpha} (\delta_{\sigma\mu}^{\nu i} \delta_{j\beta}^{\alpha \sigma}), $$

si $\nu \neq \beta$ cette matrice est $\mathbf{O}_4$ et

$$ \eta_{\zeta,\text{End}}(e_{\mu\nu}, e_{\alpha\beta}) = \text{Trace}(e_{\mu\nu}^* \circ e_{\alpha\beta}) = 0, $$

et si $\nu = \beta$, cette matrice s'écrit

$$ \eta_{\zeta,\nu\nu} \eta_{\zeta,\alpha\alpha} (\delta_{\mu}^{i} \delta_{j}^{\alpha}) $$

et

$$ \text{Trace}(e_{\mu\beta}^* \circ e_{\alpha\beta}) = \text{Trace}(e_{\mu\nu}^* \circ e_{\alpha\nu}) = \begin{cases} 0 & \text{si } \mu \neq \alpha \\ \eta_{\zeta,\nu\nu} \eta_{\zeta,\alpha\alpha} = \pm 1 & \text{si } \mu = \alpha. \end{cases} $$

La base $\{e_{\mu\nu}\}$ est une base de sections $Q_{\zeta,\text{End}}$-orthogonale et réduite. En particulier,

$$ Q_{\zeta,\text{End}}(e) = (\lambda^{\mu\nu})^2 \eta_{\zeta,\mu\mu} \eta_{\zeta,\nu\nu} $$

si

$$ e = \lambda^{\mu\nu} e_{\mu\nu}, \quad \lambda^{\mu\nu} \in C^{\infty}(W, \mathbb{R}). $$

□

REMARK 3. On a

$$ \begin{align*} e(s_j) &= \lambda^{\mu\nu} e_{\mu\nu}(s_j) = \lambda^{\mu\nu} \eta_{\zeta, \mu j} s_\nu \\ &= \lambda^{j\nu} \eta_{\zeta, jj} s_\nu = \lambda^{j\nu} \eta_{\zeta, jj} \delta_\nu^i s_i \\ &= \lambda^{ji} \eta_{\zeta, jj} s_i = \begin{cases} -\lambda^{0i} s_i & \text{si } j=0 \\ \lambda^{ji} s_i & \text{si } j=1,2,3, \end{cases} \end{align*} $$

si on pose

$$ \Lambda_e = \begin{pmatrix} \lambda^{00} & \lambda^{10} & \lambda^{20} & \lambda^{30} \\ \lambda^{01} & \lambda^{11} & \lambda^{21} & \lambda^{31} \\ \lambda^{02} & \lambda^{12} & \lambda^{22} & \lambda^{32} \\ \lambda^{03} & \lambda^{13} & \lambda^{23} & \lambda^{33} \end{pmatrix} \quad \text{et } J = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

où $J$ est la représentation matricielle de la métrique de Minkowski dans la base canonique de $\mathbb{R}^4$, alors la matrice de $e = \lambda^{\mu\nu} e_{\mu\nu}$ dans la base de sections locales $\{s_\nu\}$ est

$$ \mathbf{M}_{\{s_\nu\}}(e) = \Lambda_e \times J. $$

Les sections locales d'endomorphismes symétriques vérifient $\Lambda_{e^*} = \text{Tr} \Lambda_e$, on a

$$ \mathbf{M}_{\{s_\nu\}}(e^*) = (\text{Tr} \Lambda_e) \times J = \text{Tr}(J \times \Lambda_e) $$

et si $e$ et $f$ sont deux sections locales de $\text{End}(\zeta)$, on a

$$ \mathbf{M}_{\{s_\nu\}}(e \circ f) = \Lambda_e \times J \times \Lambda_f. $$
### 3. Le principe d'unification

Soit $\mathcal{V}$ un espace vectoriel de dimension 4 muni d'une forme quadratique $Q$, de forme polaire $g$. On note $\{s_\nu\}$ une base $Q$-orthogonale et réduite

$$g(s_{\nu}, s_{\mu}) = \eta_{\nu\mu} = \pm \delta_{\nu\mu}.$$

Soit $\{e_\nu\} \in \text{End}(\mathcal{V})$ une famille de quatre endomorphismes de $\mathcal{V}$ tel que

$$\{e_\nu, e_\mu\} = 2\eta_{\nu\mu} \mathbf{1}_\mathcal{V}, \qquad (3.1)$$

une telle famille existe. Si on pose

$$N_{\nu} = iM_{\nu} \text{ si } \eta_{\nu\nu} = -1 \text{ et } N_{\nu} = M_{\nu} \text{ si } \eta_{\nu\nu} = +1$$

où $\{M_\nu\}$ est une famille de quatre matrices réelles, on veut déterminer une famille de matrices $\{N_\nu\}$ dans l'algèbre de Clifford des matrices engendrée par les matrices de Dirac vérifiant

$$\{N_\nu, N_\mu\} = 2\delta_{\mu\nu}\mathbf{I}_4.$$

Si $\eta_{00} = -1$ et $\eta_{\nu\nu} = +1$ pour $\nu = 1, 2, 3$, on prend pour matrices $N_\nu$, les matrices de Dirac

$$N_0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, N_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$$N_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, N_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

alors

$$M_0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ et } M_\nu = N_\nu \text{ pour } \nu = 1, 2, 3.$$

On a

$$\{M_\nu, M_\mu\} = 2\eta_{\mu\nu}\mathbf{I}_4,$$

soit $e_\nu$ l'endomorphisme de $\mathcal{V}$ tel que la matrice de $e_\nu$ dans $\{s_\mu\}$ est $M_\nu$, alors 3.1 est vérifié. Soit $\{r_\mu\}$ une base quelconque de $\mathcal{V}$, $\mathbf{P} = (p_j^i)$ la matrice de passage de la base $\{r_\mu\}$ à $\{s_\mu\}$ et

$$f_\mu = p_\mu^\tau e_\tau.$$

**LEMMA 5.** On a

$$\{f_\mu, f_\nu\} = 2g(r_\mu, r_\nu) \mathbf{1}_\mathcal{V}.$$

**PROOF.**

$$\begin{aligned} \{f_\mu, f_\nu\} &= p_\mu^\tau p_\nu^\sigma \{e_\mu, e_\nu\} = 2p_\mu^\tau p_\nu^\sigma g(s_\tau, s_\sigma) \mathbf{1}_\mathcal{V} \\ &= 2g(p_\mu^\tau s_\tau, p_\nu^\sigma s_\sigma) \mathbf{1}_\mathcal{V} = 2g(r_\mu, r_\nu) \mathbf{1}_\mathcal{V}. \end{aligned}$$

□
### REMARK 4. Le choix des matrices $N_ν$ est arbitraire, si on prend pour métrique de Minkowski

$$d\eta^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$$

il faut complexifier trois matrices réelles, l'intérêt de cette représentation est que l'on peut prendre pour matrice temps une matrice réelle, à savoir la matrice gamma de la forme

$$\gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

et on complexifie les matrices du type espace

$$i\gamma^1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \gamma^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$$\text{et } i\gamma^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \\ -i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Dans la représentation de Dirac, les matrices gamma, notées $\gamma^ν$, donnent des matrices espace dont l'une est complexe et les deux autres réelles. Pourquoi une telle dissymétrie entre les matrices du type espace?

Soit l'application linéaire

$$\theta : \mathcal{V} \to \text{End}(\mathcal{V}), \theta(s_\nu) = e_\nu$$

alors on a le lemme suivant.

### LEMMA 6.

$$\theta(u)^2 = Q(u) \mathbf{1}_V. \qquad (3.2)$$

PROOF. On a si $u = u^\tau s_\tau$ alors

$$\begin{align*} \theta(u)^2 &= u^\tau u^\sigma e_\tau e_\sigma = \frac{1}{2} u^\tau u^\sigma \{e_\tau, e_\sigma\} = u^\tau u^\sigma g(s_\tau, s_\sigma) \mathbf{1}_V \\ &= g(u^\tau s_\tau, u^\sigma s_\sigma) \mathbf{1}_V = g(u, u) \mathbf{1}_V = Q(u) \mathbf{1}_V. \end{align*}$$

□

### THEOREM 3. $\text{Cl}(\mathcal{V}, Q)$ est isomorphe à $\text{End}(\mathcal{V})$ et pour tout fibré de Minkowski $\zeta$, son fibré de Clifford associé $\text{Cl}(\zeta, \eta)$ est isomorphe à $\text{End}(\zeta)$.

PROOF. On a $\theta(u)^2 = Q(u) \mathbf{1}_V$, $\forall u \in \mathcal{V}$, il existe un unique homorphisme d'algèbre,

$$\Theta : \text{Cl}(\mathcal{V}, Q) \to \text{End}(\mathcal{V}, Q_{\text{End}})$$

tel que $\Theta|_{\mathcal{V}} = \theta$. Pour conclure, il suffit de vérifier que

$$\{\mathbf{1}_{\mathcal{V}}, e_{\nu_1} e_{\nu_2} \cdots e_{\nu_k} : 1 \le \nu_1 < \cdots < \nu_k \le 4\} \qquad (3.3)$$

est une base de $\text{End}(\mathcal{V})$. Il suffit de démontrer que la famille est génératrice. On rappelle que les matrices de $ie_0$, $e_ν$ $ν = 1, 2, 3$, notées $iM_0$ et $M_ν$, sont dans l'algèbre de Clifford engendré par les matrices de Dirac donnée par

$$iM_0 = M_{12}, M_1 = M_{11}, M_2 = M_{13} \text{ et } M_3 = M_{30}$$
alors à un coefficient multiplicatif $\pm 1$, $\pm i$ près, $M_{\mu\nu}$ est un produit d'éléments de
3.3. On a

$$
\left[
\begin{array}{ccccccc}
\times & \mathbf{I}_4 & iM_0 & M_1 & M_2 & M_3 \\
\mathbf{I}_4 & \mathbf{I}_4 & M_{12} & M_{11} & M_{13} & M_{30} \\
iM_0 & M_{12} & \mathbf{I}_4 & M_{03} & M_{01} & M_{22} \\
M_1 & M_{11} & M_{03} & \mathbf{I}_4 & M_{02} & M_{21} \\
M_2 & M_{13} & M_{01} & M_{02} & \mathbf{I}_4 & M_{23} \\
M_3 & M_{30} & M_{22} & M_{21} & M_{23} & \mathbf{I}_4
\end{array}
\right],
$$

on a $\mathbf{I}_4$, $M_{01}$, $M_{02}$, $M_{03}$, $M_{11}$, $M_{12}$, $M_{13}$, $M_{21}$, $M_{22}$, $M_{23}$, $M_{30}$, et on en déduit
$M_{31} = -M_{22} \times M_{13}$, $M_{32} = -M_{23} \times M_{11}$, $M_{33} = -M_{22} \times M_{11}$, $M_{10} = -M_{31} \times M_{21}$,
$M_{20} = -M_{31} \times M_{21}$.

Le fibré de Clifford associé à un fibré de Minkowski Cl $(\zeta, \eta)$ s'identifie au fibré
End $(\zeta)$ muni de la section des formes quadratiques $Q_{\eta,End}$, c'est donc un fibré avec
groupe de structure

$$
\mathcal{O} (\mathrm{End} (\mathbb{R}^4), \eta_{\mathrm{End}}).
$$

Pour démontrer ce résultat, on construit un morphisme de fibré $j \in \operatorname{Hom}(\zeta, \operatorname{End}(\zeta))$
tel que pour toute section locale $s$ de $\zeta$, on a

$$
j(s)^2 = Q_{\eta}(j(s)) \mathbf{1},
$$

où **1** est la section identique

$$
\mathbf{1}(w) = \mathbf{Id}_{E_w(\zeta)}, \tag{3.4}
$$

on peut ensuite étendre ce morphisme sur chaque au fibré Cl $(\zeta, \eta)$. La construction
se fait en prenant un recouvrement localement fini de cartes de trivialisation $\{W_\alpha\}$,
dont l'isomorphisme de trivialisation est donnée par

$$
\phi_{\alpha} : W_{\alpha} \times \mathbb{R}^{4} \rightarrow E_{W_{\alpha}}(\zeta),
$$

et une partition de l'unité {$\lambda^\alpha$} subordonnée à ce recouvrement. Sur chaque carte $W_\alpha$, on définit

$$
\begin{gather*}
j_{\alpha}(w) : E_{w}(\zeta) \to \operatorname{End}(E_{w}(\zeta)), \\
j_{\alpha}(w)(u) = \phi_{\alpha}(w)^{-1} \circ (\theta \circ \phi_{\alpha}(w)^{-1}(u)) \circ \phi_{\alpha}(w)
\end{gather*}
$$

où $\theta$ vérifie 3.2 avec $\mathcal{V} = \mathbb{R}^4$. Si $\phi_\beta$ est un isomorphisme de trivialisation

$$
\phi_{\beta} : W_{\beta} \times \mathbb{R}^{4} \rightarrow E_{W_{\beta}}(\zeta)
$$

et $w \in W_\alpha \cap W_\beta$ alors

$$
j_{\alpha}(w)(u)^2 = j_{\beta}(w)(u)^2
$$

et

$$
\begin{align*}
& j_{\alpha}(w)(u) \circ j_{\beta}(w)(u) + j_{\beta}(w)(u) \circ j_{\alpha}(w)(u) \\
&= 2\eta(j_{\alpha}(w)(u), j_{\beta}(w)(u)) \mathbf{Id}_{E_w(\zeta)}
\end{align*}
$$
car les applications de transition du fibré de Minkowski $\zeta$ sont dans $\mathcal{O}(\mathbb{R}^4, \eta)$. On a

$$
\begin{align*}
j_{\alpha}(w)(u)^2 &= \phi_{\alpha}(w)^{-1} \circ (\theta \circ \phi_{\alpha}(w)^{-1}(u))^{2} \circ \phi_{\alpha}(w) \\
&= \phi_{\alpha}(w)^{-1} \circ Q_{\eta}(\phi_{\alpha}(w)^{-1}(u)) \mathrm{Id}_{\mathbb{R}^4} \circ \phi_{\alpha}(w) \\
&= Q_{\eta}(\phi_{\alpha}(w)^{-1}(u)) \mathrm{Id}_{E_w(\zeta)} \\
&= Q_{\eta}(\phi_{\alpha}(w)^{-1}\phi_{\beta}(w)\phi_{\beta}(w)^{-1}(u)) \mathrm{Id}_{E_w(\zeta)} \\
&= Q_{\eta}(\phi_{\beta}(w)^{-1}(u)) \mathrm{Id}_{E_w(\zeta)} \\
&= j_{\beta}(w)(u)^2 = \lambda(w)(u) \mathrm{Id}_{E_w(\zeta)}
\end{align*}
$$

car $\phi_{\alpha\beta}(w) = \phi_{\alpha}(w)^{-1} \phi_{\beta}(w) \in \mathcal{O}(\mathbb{R}^4, \eta)$ et

$$
\lambda(w)(u) = Q_{\eta}(\phi_{\beta}(w)^{-1}(u)) = Q_{\eta}(\phi_{\alpha}(w)^{-1}(u)), \forall u \in E_{w}(\zeta).
$$

Si on pose

$j = \lambda^{\alpha} j_{\alpha}$

alors

$$
\begin{align*}
j(w)(u)^2 &= (\lambda^\alpha(w)(j_\alpha(w)(u)))^2 \\
&= \lambda^\alpha(w) \lambda^\beta(w) j_\alpha(w)(u) j_\beta(w)(u),
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
2j(w)(u)^2 &= \lambda^{\alpha}(w) \lambda^{\beta}(w) \{j_{\alpha}(w)(u), j_{\beta}(w)(u)\} \\
&= 2\lambda^{\alpha}(w) \lambda^{\beta}(w) \eta(j_{\alpha}(w)(u), j_{\beta}(w)(u)) \mathbf{Id}_{E_w(\zeta)} \\
&= 2\eta(\lambda^{\alpha}(w) j_{\alpha}(w)(u), \lambda^{\beta}(w) j_{\beta}(w)(u)) \mathbf{Id}_{E_w(\zeta)} \\
&= 2Q_{\eta}(j(w)(u)) \mathbf{Id}_{E_w(\zeta)}
\end{align*}
$$

et

$$
j(w)(u)^2 = Q_{\eta}(j(w)(u)) \mathrm{Id}_{E_{w}(\zeta)},
$$

que l'on peut écrire,

$$
j^2 = Q_{\eta}(j) \mathbf{1}. \tag{3.5}
$$

On a construit un morphisme de fibré

$j \in \operatorname{Hom}(\zeta, \operatorname{End}(\zeta))$

vérifiant 3.5, on peut étendre ce morphisme en un unique isomorphisme de Cl(ζ, η)
sur End(ζ). Ainsi on peut transporter la pseudo-métrique ηζ,End sur le fibré
Cl(ζ, η), il hérite de la propriété d'être un fibré avec groupe de structure isomorphe
à un groupe G contenu dans

$$
\mathcal{O}(\mathrm{End}(\mathbb{R}^4), \eta_{\mathrm{End}}).
$$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

REMARK 5. Pour la définition des matrices $M_{\mu\nu}$, on peut consulter [1].
On se fixe une carte de trivialisation $(W, \varphi)$ du fibré de Minkowski et on note $\{\partial_\nu\}$ le local frame associé et $\{d^\mu\}$ le local frame dual. Si le fibré tangent de l'univers $\mathbf{W}$, noté $\xi_{\mathbf{W}}$, est un fibré de Minkowski, pour la métrique de Minkowski

$$ \eta_{\mu\nu} = \eta_{\xi\mathbf{W}} (\partial_{\mu}, \partial_{\nu}) $$

il existe une base de champs locaux $\{X_\nu\}$ sur $W$ qui soit $Q_{\xi\mathbf{W}}$-orthogonale et réduite,

$$ \eta_{\xi\mathbf{W}} (X_0, X_0) = -1, \eta_{\xi\mathbf{W}} (X_\nu, X_\nu) = 1 \text{ pour } \nu = 1, 2, 3 \\ \text{et } \eta_{\xi\mathbf{W}} (X_\nu, X_\mu) = 0 \text{ pour } \mu \neq \nu. $$

Soit $\mathbf{P} = (p_\rho^\tau)$ la section des matrices de passage de $\{\partial_\nu\}$ à $\{X_\nu\}$. On se fixe quatre matrices de Dirac, $N^\nu$ telles que $iN^0$ et $N^\nu$ soient réelles pour $\nu = 1, 2, 3$ et les produits de ces matrices est une famille génératrice de l'algèbre de Clifford engendré par les matrices de Dirac. Les endomorphismes $e^\nu$ sont les endomorphismes de matrices $iN^0$ et $N^\nu$ dans $\{X_\nu\}$. Soit

$$ \gamma^\nu = p_\tau^\nu e^\tau $$

alors

$$ \{\gamma^\nu, \gamma^\mu\} = p_\tau^\nu p_\rho^\mu \{e^\tau, e^\rho\} \\ = \eta_{\mu\nu} \mathbf{1}_W, \mathbf{1}_W(w) = \mathbf{Id}_{E_w(\xi_{\mathbf{W}})}. \qquad (3.6) $$

Soit $\gamma$ la section de Dirac définie localement par

$$ \gamma (d^\mu \otimes X) = \gamma^\mu (X), $$

où $X$ est un champ local et

$$ \gamma (d \otimes X) = \lambda_\mu \gamma^\mu (X) \text{ si } d = \lambda_\mu d^\mu, $$

si $\nabla$ est la connexion de Levi-civita de $\eta_{\xi\mathbf{W}}$ alors on définit l'opérateur de Dirac

$$ H_2 = \gamma_2 \otimes R^\nabla $$

et on fait l'hypothèse que cet opérateur est un opérateur de Ricci. Si $[\gamma^\mu, \gamma^\nu]$ a pour matrice $N^{\mu\nu} - N^{\nu\mu}$, dans le local frame, où

$$ N^{\mu\nu} = (\eta^{\sigma\nu} \delta_j^\mu) $$

alors $H_2$ est de Ricci et l'équation relativiste d'Einstein s'écrit

$$ H_2 = \lambda N + \kappa T [\mathbf{1}], $$

où $N$ est l'opérateur associé au tenseur métrique $\eta_{\mu\nu}$, $T$ est l'opérateur associé au tenseur énergie-impulsion et $H_2$ est l'opérateur de Dirac de rang 2. Pour représenter l'équation relativiste de Dirac, on construit l'opérateur de Dirac de rang 1. Il est obtenu en complexifiant $\nabla$, noté $\overline{\nabla}$, et le complexifié de la section de Dirac réelle $\gamma$, noté $\overline{\gamma}$, est donnée par

$$ \overline{\gamma} (d \otimes Z) = \lambda_\nu \overline{\gamma}^\nu (Z), d = \lambda_\nu d^\nu $$

$$ \overline{\gamma}^0 (Z) = -\gamma^0 (Y) + i\gamma^0 (X), \quad \overline{\gamma}^\nu (Z) = \gamma^\nu (X) + i\gamma^\nu (Y) $$

pour $\nu = 1, 2, 3$ et $Z = X + iY$. L'opérateur de Dirac complexifié de rang 1 s'écrit

$$ \overline{H}_1 = \overline{\gamma} \otimes \overline{\nabla} $$

et l'équation relativiste de Dirac s'écrit

$$ \overline{H}_1 (Z) = \rho Z $$
où $\rho$ est une fonction propre local de l'opérateur $\overline{H}_1$. Pour unifier les équations de Dirac et d'Einstein, dans l'hypothèse où le fibré tangent est un fibré de Minkowski, il faut déterminer quatre sections locales $\{s^\nu\}$ du fibré de Clifford vérifiant les propriétés précédentes, à savoir, les produits de ces sections locales sur W engendrent le fibré $Cl_W(\xi_W, \eta)$ avec les conditions

$$ \{s^\nu, s^\mu\} = \pm 2\delta_{\nu\mu} \mathbf{1}, $$

et la section de Dirac $\gamma$ associée vérifie

$$ [\gamma^\mu, \gamma^\nu] = N^{\mu\nu} - N^{\nu\mu}, \quad N^{\mu\nu} = (\eta^{\sigma\nu} \delta_j^\mu). \qquad (3.7) $$

### 4. Les sections d'un fibré de Minkowski

Soit $\zeta$ un fibré de Minkowski. On note $\Gamma(\text{End}(\zeta))$, le $C^\infty(\mathbf{W})$-module des sections de $\text{End}(\zeta)$. Si $s$ et $t$ sont deux sections de $\text{End}(\zeta)$, la section produit $s.t$ est définie par

$$ s.t(w) = s(w) \circ t(w), \quad \forall w \in \mathbf{W} $$

et on pose

$$ \langle s | t \rangle : \mathbf{W} \to \mathbb{K}, \quad \langle s | t \rangle (w) = \eta_{\zeta, \text{End}}(w) (s(w) | t(w)) $$

alors $\langle s | t \rangle \in C^\infty(\mathbf{W})$, l'espace $\Gamma(\text{End}(\zeta))$ a une structure d'algèbre unitaire sur l'anneau $C^\infty(\mathbf{W})$ et est muni d'un produit scalaire à valeurs dans l'anneau unitaire $C^\infty(\mathbf{W})$. On définit l'idéal bilatère $\mathcal{J}$ de $\Gamma(\text{End}(\zeta))$ engendré par les sections

$$ s.s - \langle s | t \rangle \mathbf{1} $$

où **1** est la section identique définie en 3.4 et l'algèbre associée à $\zeta$, notée $\mathcal{A}(\zeta)$, comme le quotient

$$ \mathcal{A}(\zeta) = \frac{\Gamma(\text{End}(\zeta))}{\mathcal{J}}. $$

**DEFINITION 2.** L'algèbre $\mathcal{A}(\zeta)$ est l'algèbre de Clifford des sections du fibré du fibré de Minkowski $\zeta$.

**REMARK 6.** Si l'univers $\mathbf{W}$ est compact, l'algèbre $\mathcal{A}(\zeta)$ est de type fini et projectif comme $C^\infty(\mathbf{W})$-module.

Si l'univers $\mathbf{W}$ n'est pas compact, en général, $\mathcal{A}(\zeta)$ n'est pas de type fini. On peut consulter [3] et [2] pour l'étude de ces algèbres.

Le fibré de Minkowski $\zeta$ a un groupe de structure

$$ \mathcal{G} \subset \mathcal{O}(\mathbb{R}^4, \eta), $$

soit W une carte de trivialisation $\phi$ de $\zeta$ et $\varphi$ son extension au fibré $\text{End}(\zeta)$. On peut construire le 4-uplet

$$ \mathcal{A}(\zeta, \eta) = \left( \bigsqcup_{w \in \mathbf{W}} \frac{\text{End}(E_w(\zeta))}{\mathcal{I}_w}, \pi, \mathbf{W}, \mathcal{A}(\mathbb{R}^4, \eta) \right), $$

où $\sqcup$ est la réunion disjointe, $\mathcal{I}_w$ est l'idéal bilatère engendré par les endomorphismes

$$ e.e - Q(w)(e) \mathbf{1}_{\text{End}(E_w(\zeta))}, e \in \text{End}(E_w(\zeta)) $$

et l'algèbre $\mathcal{A}(\mathbb{R}^4, \eta)$ est définie

$$ \mathcal{A}(\mathbb{R}^4, \eta) = \frac{\text{End}(\mathbb{R}^4)}{\mathcal{I}} $$
où $\mathcal{I}$ est l'idéal engendré par les éléments de la forme

$$e.e - Q(e) \mathbf{1}_{\mathbb{R}^4}.$$

**THEOREM 4.** $\mathcal{A}(\zeta, \eta)$ est un fibré de fibre $\mathcal{A}(\mathbb{R}^4, \eta)$.

**PROOF.** Soit $W$ une carte de trivialisation de $\zeta$ et

$$\phi : W \times \mathbb{R}^4 \to E_W(\zeta), \quad \phi(w, u) = \phi(w)(u)$$

l'isomorphisme de trivialisation. Soit $\varphi$ l'isomorphisme de trivialisation

$$\varphi : W \times \mathrm{End}(\mathbb{R}^4) \to E_W(\mathrm{End}(\zeta)),$$

$$\varphi(w) : \mathrm{End}(\mathbb{R}^4) \to \mathrm{End}(E_w(\zeta)), \quad \varphi(w)(e) = \phi(w) \circ e \circ \phi(w)^{-1},$$

cet isomorphisme passe au quotient

$$\varphi_{\mathcal{I}} : W \times \frac{\mathrm{End}(\mathbb{R}^4)}{\mathcal{I}} \to \coprod_{w \in W} \frac{\mathrm{End}(E_w(\zeta))}{\mathcal{I}_w},$$

en posant

$$\varphi_{\mathcal{I}}(w)(\bar{e}) = \overline{\varphi(w)(e)},$$

où $\bar{e}$ est la classe d'équivalence de $e$ modulo l'idéal $\mathcal{I}$ et $\overline{\varphi(w)(e)}$ est la classe d'équivalence de $\varphi(w)(e)$ modulo l'idéal $\mathcal{I}_w$. On a le diagramme commutatif suivant

$$\begin{array}{ccc} W \times \mathrm{End}(\mathbb{R}^4) & \xrightarrow{\mathcal{I}} & E_W(\mathrm{End}(\zeta)) \\ \alpha \downarrow & & \beta \downarrow \\ W \times \frac{\mathrm{End}(\mathbb{R}^4)}{\mathcal{I}} & \xrightarrow{\varphi_{\mathcal{I}}} & \coprod_{w \in W} \frac{\mathrm{End}(E_w(\zeta))}{\mathcal{I}_w} \end{array},$$

avec $\alpha(w, e) = (w, \bar{e})$ et $\beta(\varphi(w)(e)) = \overline{\varphi(w)(e)}$. L'application $\varphi_{\mathcal{I}}$ est une bijection, elle induit sur $\coprod_{w \in W} \frac{\mathrm{End}(E_w(\zeta))}{\mathcal{I}_w}$ une $C^{\infty}$-structure. On met sur $\coprod_{w \in W} \frac{\mathrm{End}(E_w(\zeta))}{\mathcal{I}_w}$ la $C^{\infty}$-structure induite par $\varphi_{\mathcal{I}}$, pour deux cartes de trivialisation $\phi_{\alpha}$ et $\phi_{\beta}$ du fibré de Minkowski $\zeta$ les $C^{\infty}$-structures induites par $\phi_{\alpha}$ et $\phi_{\beta}$ sont les mêmes sur

$$\coprod_{w \in W_{\alpha} \cap W_{\beta}} \frac{\mathrm{End}(E_w(\zeta))}{\mathcal{I}_w}.$$

Les cocycles

$$\phi_{\alpha\beta} : W_{\alpha} \cap W_{\beta} \to \mathcal{O}(\mathbb{R}^4, \eta)$$

définissent des cocycles

$$\varphi_{\alpha\beta} : W_{\alpha} \cap W_{\beta} \to \mathrm{GL}(\mathrm{End}(\mathbb{R}^4)),$$

$$\varphi_{\alpha\beta}(w)(e) = \phi_{\alpha\beta}(w) \circ e \circ \phi_{\alpha\beta}(w)^{-1}, \forall e \in \mathrm{End}(\mathbb{R}^4)$$

les cocycles $\varphi_{\alpha\beta}$ sont $C^{\infty}$ et

$$\varphi_{\beta}(w) = \varphi_{\alpha}(w) \circ \varphi_{\alpha\beta}(w), \forall w \in W_{\alpha} \cap W_{\beta}.$$

On en déduit que $\varphi_{\beta}$ est $C^{\infty}$ sur $(W_{\alpha} \cap W_{\beta}) \times \mathrm{End}(\mathbb{R}^4)$ si et seulement si $\varphi_{\alpha}$ est $C^{\infty}$ sur $(W_{\alpha} \cap W_{\beta}) \times \mathrm{End}(\mathbb{R}^4)$. Il en est de même pour $\varphi_{\beta\mathcal{I}}$ et $\varphi_{\alpha\mathcal{I}}$ par passage au quotient. Pour cette $C^{\infty}$-structure

$$\mathcal{A}(\zeta, \eta) = \left( \coprod_{w \in W} \frac{\mathrm{End}(E_w(\zeta))}{\mathcal{I}_w}, \pi, \mathbf{W}, \mathcal{A}(\mathbb{R}^4, \eta) \right)$$

est un fibré de fibre $\frac{\mathrm{End}(\mathbb{R}^4)}{\mathcal{I}} = \mathcal{A}(\mathbb{R}^4, \eta)$. $\square$

**REMARK 7.** Les sections de $\mathcal{A}(\zeta, \eta)$ s'identifie à $\mathcal{A}(\zeta)$.
## 5. Conclusion

L'étude des fibrés de Minkowski, et de façon plus générale, l'étude des fibrés avec groupe de structure

$$ \mathcal{G} \subset \mathcal{O}(\mathbb{R}^n, Q) $$

permet de donner une approche géométrique au principe d'unification des équations relativistes de Dirac et d'Einstein. Dans le cas d'un fibré de Minkowski $ζ$, le groupe $\mathcal{G}$ permet de construire une métrique de Minkowski et le fibré de Clifford $Cl(ζ, Q)$ de $ζ$, que l'on peut munir d'une métrique isomorphe à $Q^{\otimes 2}$. Pour cette métrique le fibré est un fibré avec groupe de structure isomorphe à un sous groupe de

$$ \mathcal{O}(\mathrm{End}(\mathbb{R}^4), \eta_{\mathrm{End}}). $$

Si le fibré tangent

$$ \xi_W = (TW, \pi, W, \mathbb{R}^4) $$

est un fibré de Minkowski, on peut unifier les équations relativistes de Dirac et d'Einstein en construisant une section de Dirac sur $\xi_W$ ayant les propriétés définies en 3.7 et 3.6.

## References

[1] Jonot J.L, "Représentation unitaire dans les algèbres de Clifford"hal.archives-ouvertes.fr/hal-01371415

[2] Porteous I., "Clifford Algebras and the Classical Groups", Cambridge University Press. 1995.

[3] Schleben, Bradford J., "Infinitely Generated Clifford Algebras and Wedge Representations of $gl_\infty|_\infty$". Theses and Dissertations 2015.

E-mail address: jean-louis.jonot@ac-versailles.fr