# Sur une définition topologique des ensembles $F_{\sigma\delta}$

Par

W. Sierpiński (Varsovie).

D'après la notation de M. Hausdorff, les ensembles $F'_{\sigma\delta}$ sont les produits dénombrables de sommes dénombrables d'ensembles fermés. Cette définition fait appel, en général, aux points étrangers à l'ensemble qu'on définit. Or, M. Mazurkiewicz a prouvé en 1920 (1) que tout ensemble homéomorphe d'un $F'_{\sigma\delta}$ est un $F'_{\sigma\delta}$. La propriété d'être un $F'_{\sigma\delta}$ est donc un invariant topologique et elle ne dépend que des propriétés de seuls points de l'ensemble considéré. Une analyse détaillée de la démonstration de M. Mazurkiewicz m'a conduit à caractériser les $F'_{\sigma\delta}$ par des propriétés de seuls points de ces ensembles.

**Théorème:** Pour qu'un ensemble $E$ (situé dans un espace à m dimensions) soit un $F'_{\sigma\delta}$, il faut et il suffit qu'on puisse faire correspondre à tout système fini de nombres naturels ($n_1, n_2, ..., n_k$) un sous-ensemble $E_{n_1, n_2, ..., n_k}$ de $E$, fermé dans $E^{2)}$, de sorte que les quatre conditions suivantes soient vérifiées:

$$ (1) \qquad E = E_1 + E_2 + E_3 + \dots $$

$$ (2) \qquad E_{n_1, n_2, \dots, n_k} - E_{n_1, \dots, n_{k-1}, n_k-1} = \sum_{n=1}^{\infty} E_{n_1, \dots, n_{k-1}, n_k, n} \quad (3) $$

$$ (3) \qquad E'_{n_1, n_2, \dots, n_k} \subset E_{n_1, n_2, \dots, n_{k-1}, n_{k+1}} $$

<footnote n="1">1) *Fund. Math.* t. II, p. 104-111.</footnote>

<footnote n="2">2) Un ensemble $M \subset E$ est dit fermé dans $E$, si tout point de $E$ qui est point d'accumulation de $M$, appartient à $M$.</footnote>

<footnote n="3">3) On doit comprendre par $E_{n_1, n_2, ..., n_{k-1}, 0}$ l'ensemble vide.</footnote>
(4) si $n_1, n_2, n_3, \dots$ est une suite infinie de nombres naturels, et $p_k (k=1, 2, \dots)$ une suite infinie de points de E. tels que $p_k \in E_{n_1, n_2, \dots, n_k}$ pour $k=1, 2, \dots$, les points $p_k (k=1, 2, \dots)$ convergent vers un point de E.

Démonstration. Soit E un ensemble $F_{\sigma\delta}$ donné. Nous avons
done

$$
(5) \qquad E = S_1 S_2 S_3 \dots,
$$

où $S_n (n=1, 2, \dots)$ sont des ensembles $F'_n$. Donc nous pouvons poser

$$
(6) \quad S_1 = F_1 + F_2 + F_3 + \dots,
$$

où $F_n(n=1, 2, \dots)$ sont des ensembles fermés, et

$$
(7) \qquad F_n \subset F_{n+1} \qquad (n = 1, 2, 3, \dots)
$$

Nous définirons maintenant par l'induction les ensembles fermés
$F'_{n_1, n_2, \dots, n_k}$ comme il suit.

Soit $k$ un nombre naturel donné $> 1$, et supposons que nous avons déjà défini tous les ensembles $F_{n_1, n_2, \dots, n_{k-1}}$. Soit $(n_1, n_2, \dots, n_{k-1})$ un système donné quelconque de $k-1$ nombres naturels. L'ensemble $F_{n_1, n_2, \dots, n_{k-1}} - F_{n_1, \dots, n_{k-2}, n_{k-1} 1}$ est un $F_\sigma$ (comme différence de deux ensembles fermés), donc son produit par l'ensemble $S_k$ est aussi un $F_\tau$ (comme produit de deux $F_{\sigma k}$, et nous pouvons poser:

$$
(8) \quad S_k(F_{n_1, \ldots, n_{k-1}} - F_{n_1, \ldots, n_{k-2}, n_{k-1} 1}) = \Phi_1 + \Phi_2 + \ldots,
$$

où $\Phi_n(n=1, 2, \dots)$ sont des ensembles fermés, dont on peut encore
supposer que leurs diamètres $\delta(\Phi_n)$ satisfont à l'inégalité

$$
(9) \quad \delta(\Phi_n) < \frac{1}{k}, \quad \text{pour } n = 1, 2, \dots
$$

$n_k$ étant un nombre naturel donné quelconque, nous définirons l'enseable $F'_{n_1, \dots, n_k}, n_k \ge 1$ par la formule:

$$
(10) \qquad F'_{n_1, n_2, \ldots, n_k} = \Phi_1 + \Phi_2 + \ldots + \Phi_{n_k}.
$$

De (10) et (8) résulte que

$$
F_{n_1, n_2, \dots, n_k} \subset (F_{n_1, n_2, \dots, n_{k-2}}, \mathcal{A}_k \setminus 1),
$$

donc aussi

$$
(11) \quad F_{n_1, n_2, \dots, n_k} \subset (F_{n_1, n_2, \dots, n_{k-1}}, F'_{n_1, n_2, \dots, n_{k-1}}).
$$
Or, d'après (10):

$$ (12) \qquad (F_{n_1, \dots, n_k}, -F_{n_1, \dots, n_{k-1}, n_k-1}) \subset \Phi_{n_k}. $$

Les formules (11), (12) et (9) donnent:

$$ (13) \qquad \delta(F_{n_1, \dots, n_{k+1}}) < \frac{1}{k}. $$

Posons

$$ (14) \qquad E_{n_1, \dots, n_k} = EF_{n_1, \dots, n_k}. $$

ce seront des ensembles fermés dans $\mathcal{E}$, et, d'après (6) et (5), nous aurons la formule (1), d'après (5), (8) et (10) la formule (2), enfin, d'après (10): $F_{n_1, \dots, n_k} \subset F_{n_1, \dots, n_{k-1}, n_k+1}$, ce qui donne la formule (3). Or, soit $n_1, n_2, n_3, \dots$ une suite infinie de nombres naturels et $p_1, p_2, p_3, \dots$ une suite infinie de points de $\mathcal{E}$, telle que $p_k \in \mathcal{E}_{n_1, n_2, \dots, n_k}$ pour $k=1, 2, \dots$. D'après (14) nous avons donc

$$ (15) \qquad p_k \in \mathcal{E}_{n_1, n_2, \dots, n_k}, \quad \text{pour } k = 1, 2, \dots $$

Les ensembles fermés $F_{n_1, n_2, \dots, n_k}$ ($k=1, 2, \dots$) sont donc tous non vides. Or, d'après (11), ils forment un suite décroissante: d'après Cantor, il existe donc un point $p$, tel que

$$ (16) \qquad p \in \mathcal{E}_{n_1, n_2, \dots, n_k}, \quad \text{pour } k = 1, 2, \dots $$

D'après (10) et (8), nous avons $F_{n_1, \dots, n_k} \subset S_k$, donc, d'après (16), $p \in S_k$, pour $k=1, 2, \dots$, ce qui prouve, d'après (5), que $p \in \mathcal{E}$.

Or, de (15), (16) et (13) résulte que $\rho(p_{k+1}, p) < 1/k$, pour $k=1, 2, 3, \dots$, ce qui prouve que $\lim_{k \to \infty} p_k = p$. Nous avons ainsi vérifié la propriété (4).

Les conditions de notre théorème sont ainsi nécessaires.

Soit maintenant $\mathcal{E}$ un ensemble donné, satisfaisant aux conditions de notre théorème. Posons

$$ (17) \qquad R_{n_1, n_2, \dots, n_k} = \bar{E}_{n_1, n_2, \dots, n_k} - \sum_{s=1}^{k} \bar{E}_{n_1, n_2, \dots, n_{s-1}, n_{s-1}, n_s, \dots, n_k}, $$

où $M$ désigne l'ensemble $M + M'$. Les ensembles (17) seront également des $F_\sigma$. Posons

$$ (18) \qquad S_k = \sum R_{n_1, n_2, \dots, n_k} $$
la sommation s'étendant à tous les systèmes de $k$ nombres naturels $(n_1, n_2, ..., n_k)$. Les ensembles $S_k (k=1, 2, ...)$ seront encore des $F_\sigma$ (comme sommes d'infinités dénombrables des $F_\sigma$) et parsuite l'ensemble

$$ (19) \qquad H = S_1 S_2 S_3 \dots $$

sera un $F'_{\sigma\delta}$. Nous proverons que $E = H$.

$k$ étant un nombre naturel donné, ordonnons tous les systèmes $(n_1, n_2, ..., n_k)$ de $k$ nombres naturels d'après la méthode de premières différences: nous obtiendrons ainsi une suite transfinie $C_k$ (du type $\omega^k$).

Soit $p$ un point donné de l'ensemble $E$.

D'après (1) et (2) nous trouvons sans peine

$$ (20) \qquad E = \sum E_{n_1, n_2, \dots, n_k} $$

la sommation s'étendant à tous les systèmes de $k$ nombres naturels $(n_1, n_2, ..., n_k)$. Soit $(n_1, n_2, ..., n_k)$ le premier système de la suite $C_k$, tel que $p \in E_{n_1, n_2, ..., n_k}$ (un tel système existe, d'après (20) et $p \in E$). Nous avons donc

$$ p \text{ non } \in E'_{m_0, m_1, \dots, m_k}, \text{ pour } (m_1, \dots, m_k) \subsetneq (n_1, \dots, n_k), $$

ce qui entraîne, $p$ étant un point de $E$ et l'ensemble $E_{m_1, \dots, m_k}$ étant fermé dans $E$:

$$ p \text{ non } \in \bar{E}_{m_1, m_2, \dots, m_k}, \text{ pour } (m_1, \dots, m_k) \subsetneq (n_1, \dots, n_k), $$

d'où résulte sans peine, d'après (17) et $p \in E'_{n_1, n_2, ..., n_k}$:

$$ p \in R_{n_1, n_2, \dots, n_k} $$

donc, d'après (18), $p \in S_k$. Nous avons donc démontré que l'hypothèse $p \in S$ donne $p \in S_k$, pour $k=1, 2, ...$: il en résulte, d'après (19), que

$$ (21) \qquad E \subset H. $$

Observons maintenant que nous avons toujours

$$ (22) \qquad R_{m_1, m_2, \dots, m_k} \cdot R_{n_1, n_2, \dots, n_k} = 0, \text{ pour } (m_1, \dots, m_k) \neq (n_1, \dots, n_k). $$

En effet, supposons que

$$ (m_1, m_2, \dots, m_k) \supsetneq (n_1, n_2, \dots, n_k): $$

soit $h$ le premier indice, tel que $m_h \neq n_h$: nous aurons donc

$$ m_1 = n_2, \quad m_2 = n_2, \quad \dots, \quad m_{h-1} = n_{h-1}, \quad m_h \le n_h - 1, $$
d'où, d'après (2) et (3):

$$E'_{m_1, \dots, m_k} \subset E'_{m_1, \dots, m_h} \subset E'_{m_1, \dots, m_{h-1}, m_{h-1}'}$$

donc aussi

$$\bar{E}'_{m_1, \dots, m_k} \subset \bar{E}'_{m_1, \dots, m_{h-1}, m_{h-1}'}$$

ce qui donne, d'après (17) ($h$ étant $\le k$):

$$\bar{E}_{m_1, \dots, m_k} \cdot R_{n_1, \dots, n_k} = 0,$$

donc aussi $R_{m_1, \dots, m_k} \cdot R_{n_1, \dots, n_k} = 0$ (puisque, d'après (17): $R_{m_1, \dots, m_h} \subset \bar{E}'_{m_1, \dots, m_h}$). La formule (22) est ainsi établie.

Or, d'après (17) nous avons

$$R_{n_1, \dots, n_k, n_{k+1}} = \bar{E}_{n_1, \dots, n_k, n_{k+1}} - \sum_{i=1}^{k-1} \bar{E}_{n_1, \dots, n_{i-1}, n_{i+1}}$$

ce qui donne sans peine, d'après (17) et (2):

$$(23) \qquad R_{n_1, \dots, n_k, n_{k+1}} \subset R_{n_1, \dots, n_k}.$$

Soit maintenant $q$ un point de l'ensemble (19). Nous avons donc, d'après (19), $q \in S_k$ pour $k=1, 2, \dots$, et, d'après (18), il existe pour tout indice $k$ un système $(n_1^k, n_2^k, \dots, n_k^k)$, tel que

$$(24) \qquad q \in R_{n_1^k, n_2^k, \dots, n_k^k}; \qquad (k=1, 2, 3, \dots)$$

et nous en concluons tout de suite, d'après (22) et (23), que

$$(25) \qquad n_i^k = n_i \text{ pour } k \ge i. \qquad (i=1, 2, \dots)$$

Posons $n_i^k=n_i$ pour $i=1, 2, \dots$: d'après (24) et (25), nous aurons

$$q \in R_{n_1, n_2, \dots, n_k}, \text{ pour } k=1, 2, 3, \dots$$

ce qui donne, d'après (17):

$$q \in \bar{E}_{n_1, n_2, \dots, n_k}, \text{ pour } k=1, 2, 3, \dots$$

Il existe donc pour tout indice $k$ un point $p_k$ de l'ensemble $E_{n_1, n_2, \dots, n_k}$ tel que

$$(26) \qquad \rho(q, p_k) < \frac{1}{k}.$$

D'après la propriété (4), nous en concluons qu'il existe un point $p$ de $E$, tel que

$$\lim_{n \to \infty} p_n = p,$$
ce qui donne, d'après (26): $q=p$, et prouve que $q$ est un point de l'ensemble $E$.

Nous avons donc démontré que $H \subset E$, ce qui donne, d'après (21), $E=H$. L'ensemble $E$ est donc un $F_{\sigma\delta}$, ce qui prouve que les conditions de notre théorème sont suffisantes.

Notre théorème est ainsi démontré.

Soit maintenant $E$ un ensemble $F_{\sigma\delta}$, $H$ un ensemble homéomorphe de $E$. Désignons par $E_{n_1, n_2, ..., n_k}$ les sous ensembles de $E$ satisfaisant aux conditions de notre théorème, par $H_{n_1, n_2, ..., n_k}$ leurs homéomorphes dans $H$. On reconnait sans peine que les ensembles $H_{n_1, n_2, ..., n_k}$ satisfont encore aux conditions de notre théorème (relativement à l'ensemble $H$), d'où résulte que l'ensemble $H$ est un $F_{\sigma\delta}$. Nous obtenons ainsi le théorème de M. Mazurkiewicz que tout ensemble homéomorphe d'un $F_{\sigma\delta}$ est un $F_{\sigma\delta}$.

Observons encore qu'on pourrait caractériser les ensembles (A) de M. Souslin par les propriétés de seuls points de ces ensembles: on pourrait notamment démontrer sans peine le théorème suivant, analogue au théorème que nous venons de démontrer:

Pour qu'un ensemble de points $E$ (situé dans un espace à $m$ dimensions) soit un ensemble (A), il faut et il suffit qu'on puisse faire correspondre à tout système fini de nombres naturels ($n_1, n_2, ..., n_k$) un sous-ensemble $E_{n_1, n_2, ..., n_k}$ de $E$ de sorte que

$$1) \quad E = E_1 + E_2 + E_3 + \dots$$

$$2) \quad E_{n_1, n_2, \dots, n_k} = \sum_{n=1}^{\infty} E_{n_1, n_2, \dots, n_k, n}$$

3) si $n_1, n_2, n_3, \dots$ est une suite infinie de nombres naturels et $p_k(k=1, 2, 3, \dots)$ une suite infinie de points de $E$, tels que $p_k \in E_{n_0, n_1, n_2, \dots, n_k}$ pour $k=1, 2, 3, \dots$, les points $p_k(k=1, 2, 3, \dots)$ convergent vers un point de $E$.