SUR LES DÉRIVÉES D'ORDRE SUPÉRIEUR
D'UNE FONCTION INVERSE

PAR

A. B. TUROWICZ OSB (TYNIEC)

1. Il paraît surprenant que la formule explicite pour calculer la dérivée d'ordre $n$ de la fonction inverse d'une fonction donnée d'une variable ne soit pas encore connue. Pourtant nous n'avons pas pu la trouver ni dans les manuels d'Analyse, ni dans les recueils de formules. Nous croyons donc utile de publier une formule probablement inconnue. Nous l'avons établie à l'aide d'un théorème démontré en 1793 par H. A. Rothe (¹). Ce théorème étant peu connu, nous en donnerons une démonstration par induction, qui n'exige pas du lecteur de connaissances spéciales.

2. Soit $x = g(y)$ la fonction inverse d'une fonction $y = f(x)$. Nous supposerons que les dérivées $y', y'', \dots, y^{(n)}$ existent et que $y' \neq 0$. On sait que:

$$ (1) \qquad \frac{d^n g}{dy^n} = (-1)^{n-1} \cdot \frac{P_n}{(y')^{2n-1}}, $$

où $P_n$ est un polynome en $y', y'', \dots, y^{(n)}$ qu'on peut calculer de proche en proche à l'aide des égalités

$$ (2) \qquad P_1 = 1, \quad P_{k+1} = (2k-1) \cdot y'' \cdot P_k - y' \cdot P'_k. $$

Soit

$$ (3) \qquad P_n = \sum A_n(i_1, \dots, i_n)(y')^{i_1} \dots (y^{(n)})^{i_n}. $$

La formule (2) implique pour $n \ge 2$ que $P_n$ n'a qu'un seul terme contenant $y^{(n)}$ et ce terme est $(-1)^n \cdot (y')^{n-2} \cdot y^{(n)}$. Il n'y a donc que deux éventualités:

$$ (4) \quad \begin{cases} \text{a) } i_n = 1 \text{ et alors } A_n(i_1, \dots, i_n) = A_n(n-2, 0, \dots, 0, 1) = (-1)^n, \\ \text{b) } i_n = 0 \text{ et alors } A_n(i_1, \dots, i_n) = A_n(i_1, \dots, i_{n-1}, 0). \end{cases} $$

<footnote>(¹) Cf. E. Netto, *Lehrbuch der Combinatorik*, Leipzig 1901, p. 239-242.</footnote>
Nous établirons une formule de récurrence pour les coefficients $A_n(i_1, ..., i_n)$. Ces coefficients sont définis pour les suites finies des indices $i_1, ..., i_n$, entiers, non négatifs. Si un des indices $i_1, ..., i_n$ est un entier négatif nous mettrons par définition $A_n(i_1, ..., i_n) = 0$.

D'après (2) on obtient le terme contenant le produit $(y')^{i_1} \cdot (y'')^{i_2} \cdots (y^{(n-1)})^{i_{n-1}} \cdot (y^{(n)})^0$ par une des opérations suivantes:

1º en multipliant par $(2n-3)y''$ le terme $A_{n-1}(i_1, i_2-1, i_3, ..., i_{n-1}) \cdot (y')^{i_1} \cdot (y'')^{i_2-1} \cdots (y^{(n-1)})^{i_{n-1}}$;

2º en multipliant par $(-y')$ la dérivée des termes qui correspondent aux suites des indices:

$$ \begin{cases} \{i_1, i_2-1, i_3, ..., i_{n-1}\}, & \{i_1-1, i_2+1, i_3-1, ..., i_{n-1}\}, \\ \{i_1-1, i_2, i_3+1, i_4-1, ..., i_{n-1}\}, & \dots, \{i_1-1, i_2, ..., i_{n-2}+1, i_{n-1}-1\}. \end{cases} $$

Nous avons donc la formule:

$$ \begin{aligned} (5) \quad A_n(i_1, \dots, i_{n-1}, 0) = & (2n-3)A_{n-1}(i_1, i_2-1, i_3, \dots, i_{n-1}) - \\ & - i_1 A_{n-1}(i_1, i_2-1, i_3, \dots, i_{n-1}) - \\ & - (i_2+1) A_{n-1}(i_1-1, i_2+1, i_3-1, i_4, \dots, i_{n-1}) - \\ & - \dots - (i_{n-2}+1) A_{n-1}(i_1-1, i_2, \dots, i_{n-2}+1, i_{n-1}-1); \end{aligned} $$

$$ A_n(i_1, \dots, i_{n-1}, 0) = (2n-3)A_{n-1}(i_1, i_2-1, i_3, \dots, i_{n-1}) - \sum_{k=2}^{n-2} (i_k+1)A_{n-1}(i_1-1, i_2, \dots, i_k+1, i_{k+1}-1, \dots, i_{n-1}). $$

Pour $i_n = 1$ la formule (5) devient d'après (4):

$$ A_n(n-2, 0, \dots, 0, 1) = -A_{n-1}(n-3, 0, \dots, 0, 1). $$

3. Nous désignerons par $Z_n$ pour $n \ge 2$ l'ensemble des suites finies à n termes des nombres entiers non négatifs $\{i_1, ..., i_n\}$ qui satisfont aux conditions

$$ (6) \quad \sum_{k=2}^{n} (k-1) i_k = n-1, \quad i_1 = n-1 - \sum_{k=2}^{n} i_k. $$

$Z_1$ sera l'ensemble composé du seul nombre 0: $Z_1 = \{0\}$. Nous avons par exemple: $Z_2 = \{(0, 1)\}$, $Z_3 = \{(1, 0, 1)\}$, $\{0, 2, 0\})$.

Nous démontrerons que la sommation dans la formule (3) s'étend à l'ensemble $Z_n$.

Nous procédons par induction. On vérifie facilement notre proposition pour $n=1$ et $n=2$. Supposons qu'elle soit vraie pour $n=s$. Pour calculer $P_{s+1}$ on effectue les opérations suivantes:

1º on multiplie $P_s$ par $(2s-1)y''$; cela augmente $i_2$ de 1 tandis que $i_1, i_3, ..., i_s$ ne changent pas; on a

$$ \begin{aligned} & i_2+1 + \sum_{k=3}^{s} (k-1) i_k = 1 + \sum_{k=2}^{s} (k-1) i_k = 1 + s - 1 = s, \\ & s - (i_2+1 + \sum_{k=3}^{s} i_k) = s - 1 - \sum_{k=2}^{s} i_k = i_1; \end{aligned} $$

2º on dérive $P_s$, ce qui fait remplacer $i_p$ par $i_p-1$ et $i_{p+1}$ par $i_{p+1}+1$, et l'on multiplie par $(-y')$, ce qui augmente $i_1$ de 1; on a

$$ \begin{aligned} & \sum_{k=2}^{p-1} (k-1) i_k + (p-1)(i_p-1) + p(i_{p+1}+1) + \sum_{k=p+2}^{s} (k-1) i_k \\ & \qquad = \sum_{k=2}^{s} (k-1) i_k - p+1 + p = s-1+1 = s; \\ & s - \sum_{k=2}^{p-1} i_k - (i_p-1) - (i_{p+1}+1) - \sum_{k=p+2}^{s} i_k = s - \sum_{k=2}^{s} i_k = i_1+1. \end{aligned} $$

Nous voyons donc que si les termes de $P_s$ correspondent aux suites de l'ensemble $Z_s$, les suites correspondantes aux termes de $P_{s+1}$ appartiennent à $Z_{s+1}$.

4. Nous démontrerons maintenant la formule:

$$ (7) \quad A_n(i_1, \dots, i_n) = \frac{(2n-2-i_1)!(-1)^{i_1}}{i_2! i_3! \dots i_n!} \cdot \frac{1}{(1!)^{i_1} (2!)^{i_2} \dots (n!)^{i_n}}. $$

La formule est évidemment vraie pour $n=1$ et $n=2$ (pour $n=1$ il faut mettre 0 au lieu de tous les $i_k$). On voit aussi qu'elle est vraie si $i_n = 1$; en effet, on a d'après (4)

$$ \begin{aligned} & \frac{(2n-2-n+2)!(-1)^{n-2}}{0! \dots 0! 1!} \cdot \frac{1}{(1!)^{n-2} (2!)^0 \dots [(n-1)!]^0 (n!)^1} \\ & \qquad = \frac{n!(-1)^n}{n!} = (-1)^n = A_n(n-2, 0, \dots, 0, 1). \end{aligned} $$

Dans le cas $i_n = 0$ nous procédons par induction, et supposons que (7) soit vrai pour $n = s-1$.
Alors

$$
\begin{align*}
A_s(i_1, \dots, i_{s-1}, 0) & \\
&= (2s-3-i_1)A_{s-1}(i_1, i_2-1, i_3, \dots, i_{s-1}) - \\
&\quad - \sum_{k=2}^{s-2} (i_k+1)A_{s-1}(i_1-1, i_2, \dots, i_k+1, i_{k+1}-1, \dots, i_{s-1}) \\
&= (2s-3-i_1) \frac{(2s-4-i_1)!(-1)^{i_1} \cdot i_2 \cdot 2}{i_2! i_3! \dots, i_{s-1}! (2!)^{i_2} (3!)^{i_3} \dots [(s-1)!]^{s-1}} - \\
&\quad - \sum_{k=2}^{s-1} (i_k+1) \frac{(2s-4-i_1+1)!(-1)^{i_1-1} \cdot i_{k+1}!(k+1)!}{i_2! \dots i_{s-1}!(2!)^{i_2} \dots [(s-1)!]^{s-1} \cdot (i_k+1)! \cdot k!} \\
&= \frac{(2s-3-i_1)!(-1)^{i_1}}{i_2! \dots i_{s-1}!(2!)^{i_2} \dots [(s-1)!]^{s-1}} \left[ 2i_2 + \sum_{k=2}^{s-2} (k+1) i_{k+1} \right] \\
&= \frac{(2s-3-i_1)!(-1)^{i_1}}{i_2! \dots i_{s-1}!(2!)^{i_2} \dots [(s-1)!]^{s-1}} \cdot \sum_{k=2}^{s-1} k i_k.
\end{align*}
$$

Les formules (6) donnent pour $A_{s-1}(i_1, i_2, \dots, i_{s-1})$:

$$
(8) \qquad i_1 = s-2 - (i_2-1) - \sum_{k=3}^{s-1} i_k = s-1 - \sum_{k=2}^{s-1} i_k,
$$
$$
\qquad 1 \cdot (i_2-1) + \sum_{k=3}^{s-1} (k-1) i_k = s-2;
$$

$$
(9) \qquad 0 = s-1 - \sum_{k=2}^{s-1} (k-1) i_k.
$$

En ajoutant (8) et (9) on trouve $i_1 = 2s-2 - \sum_{k=2}^{s-1} k i_k$ donc $\sum_{k=2}^{s-1} k i_k = 2s-2 - i_1$.

Puisque $\dot{i}_s = 0$, donc $i_s! = 1$ et on a:

$$
A_s(i_1, \dots, i_{s-1}, 0) = \frac{(2s-2-i_1)!(-1)^{i_1}}{i_2! \dots i_s! (2!)^{i_2} \dots (s!)^{i_s}},
$$

ce qu'il fallait démontrer.

5. Nous pouvons résumer les résultats obtenus comme il suit:

Si $x = g(y)$ est la fonction inverse d'une fonction $y = f(x)$ et $Z_n$

est l'ensemble des suites {$i_1, \dots, i_n$} satisfaisant aux conditions (6), la
dérivée d'ordre $n$ de $g(y)$ est donnée par la formule

$$
\begin{align*}
\frac{d^n g}{dy^n} &= \sum_{Z_n} \frac{(2n-2-i_1)!(-1)^{n-1+i_1}}{i_2! \dots i_n! (y')^{2n-1}} \cdot \left(\frac{y'}{1!}\right)^{i_1} \cdot \left(\frac{y''}{2!}\right)^{i_2} \dots \left(\frac{y^{(n)}}{n!}\right)^{i_n} \\
&= \sum_{Z_n} \frac{(2n-2-i_1)!(-1)^{n-1+i_1}}{(y')^{2n-1} \prod_{k=2}^{n} i_k!} \cdot \prod_{k=1}^{n} \left(\frac{y^{(k)}}{k!}\right)^{i_k}
\end{align*}
$$

à condition que $y' \neq 0$.

La formule reste vraie pour $n = 1$, si l'on remplace tous les $i_k$ par 0.

Reçu par la Rédaction le 30. 10. 1958