$(\mathbf{X}'\hat{V}^{-1}\mathbf{X})^{-1}$, qui dépend de la suite des réalisations de $X$. L'hypothèse $(H''_{as})$ sera donc maintenue à cette fin.

## Normalité asymptotique des estimateurs

Sous les hypothèses $(H''_{1})$, $(H''_{as})$et $(H''_{n})$, l'estimateur du maximum de vraisemblance des paramètres $\beta$, $\sigma_{\gamma}^2$ et $\sigma^2$ est défini par les trois équations :

$$ \hat{\beta} = (\mathbf{X}'\hat{V}^{-1}\mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}'\hat{V}^{-1}\mathbf{y} $$

$$ \mathrm{Tr}(\hat{V}^{-1}) = \mathbf{y}'\hat{P}^2\mathbf{y} $$

$$ \mathrm{Tr}(\hat{V}^{-1}\mathbf{Z}\mathbf{Z}') = \mathbf{y}'\hat{P}\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\hat{P}\mathbf{y} $$

$$ \text{avec } \hat{V} = \hat{\sigma}_{\gamma}^2 \mathbf{Z}\mathbf{Z}' + \hat{\sigma}^2 I \text{ et } \hat{P} = \hat{V}^{-1} - \hat{V}^{-1}\mathbf{X}(\mathbf{X}'\hat{V}^{-1}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\hat{V}^{-1}\mathbf{y} $$

Pour $\sigma^2 > 0$ et $\sigma_{\gamma}^2 > 0$, cet estimateur est asymptotiquement sans biais, et asymptotiquement optimal parmi les estimateurs asymptotiquement sans biais.

De plus pour $\sigma^2 > 0$ et $\sigma_{\gamma}^2 > 0$ :

$$ \sqrt{n} \left( \begin{pmatrix} \hat{\beta} \\ \hat{\sigma}_{\gamma}^2 \\ \hat{\sigma}^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \beta \\ \sigma_{\gamma}^2 \\ \sigma^2 \end{pmatrix} \right) \to \mathcal{N} \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, V_{as} \right) $$

où la variance asymptotique de l'estimateur du maximum de vraisemblance est :

$$ V_{as} = \lim_{n \to +\infty} \begin{bmatrix} n (\mathbf{X}'V^{-1}\mathbf{X})^{-1} & 0 \\ 0 & 2n \begin{bmatrix} \mathrm{Tr}(V^{-1}\mathbf{Z}\mathbf{Z}'V^{-1}\mathbf{Z}\mathbf{Z}') & \mathrm{Tr}(V^{-1}\mathbf{Z}\mathbf{Z}'V^{-1}) \\ \mathrm{Tr}(V^{-1}\mathbf{Z}\mathbf{Z}'V^{-1}) & \mathrm{Tr}(V^{-2}) \end{bmatrix}^{-1} \end{bmatrix} $$

$$ \text{avec } V = \sigma_{\gamma}^2 \mathbf{Z}\mathbf{Z}' + \sigma^2 I $$

**Remarque :** L'estimateur du maximum de vraisemblance doit ses propriétés à des développements de certaines fonctionnelles autour des paramètres (ici $\beta, \sigma^2, \sigma_{\gamma}^2$). Pour pouvoir faire ces développements de manière standard, il faut que le voisinage des paramètres soit suffisamment "régulier" : c'est le cas lorsque $\sigma^2 > 0$ et $\sigma_{\gamma}^2 > 0$. Dans le cas contraire, $(\sigma_{\gamma}^2 = 0)$, $\sigma_{\gamma}^2$ ne peut pas être approché par valeurs inférieures et on sort du cadre habituel des théorèmes de convergence de l'estimateur du maximum de vraisemblance. C'est pour cette raison que les propriétés sont énoncées sous la condition que $\sigma^2 > 0$ et $\sigma_{\gamma}^2 > 0$. Nous évoquerons dans la suite (cf. 4.6.2) comment tester de manière rigoureuse l'hypothèse $\sigma_{\gamma}^2 = 0$.

Preuve :

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

La log-vraisemblance conditionnelle du modèle s'écrit :

$$ \log \mathcal{L}_{\mathbf{Y}|\mathbf{X},\mathbf{Z}}(\beta, \sigma^2, \sigma_{\gamma}^2) = -\frac{n}{2}\log(2\pi) - \frac{1}{2}\log[\det(\sigma^2 I + \sigma_{\gamma}^2 \mathbf{Z}\mathbf{Z}')] - \frac{1}{2}(\mathbf{y} - \mathbf{X}\beta)'(\sigma^2 I + \sigma_{\gamma}^2 \mathbf{Z}\mathbf{Z}')^{-1}(\mathbf{y} - \mathbf{X}\beta) $$

Les conditions du premier ordre s'écrivent : $\frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \beta} = 0$, $\frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma^2} = 0$, $\frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_{\gamma}^2} = 0$.

On obtient ainsi trois types d'équations :

$$ \mathbf{X}'(\hat{\sigma}^2 I + \hat{\sigma}_{\gamma}^2 \mathbf{Z}\mathbf{Z}')^{-1}(\mathbf{y} - \mathbf{X}\hat{\beta}) = 0 $$

$$ -\frac{1}{2}\mathrm{Tr}\left[(\hat{\sigma}^2 I + \hat{\sigma}_{\gamma}^2 \mathbf{Z}\mathbf{Z}')^{-1}\right] + \frac{1}{2}(\mathbf{y} - \mathbf{X}\hat{\beta})'(\hat{\sigma}^2 I + \hat{\sigma}_{\gamma}^2 \mathbf{Z}\mathbf{Z}')^{-2}(\mathbf{y} - \mathbf{X}\hat{\beta}) = 0 $$
$$ -\frac{1}{2} \mathrm{Tr} \left[ \left( \widehat{\sigma^2 I} + \widehat{\sigma_\gamma^2 ZZ'} \right)^{-1} ZZ' \right] + \frac{1}{2} \left( \mathbf{y} - \mathbf{X}\hat{\beta} \right)' \left( \widehat{\sigma^2 I} + \widehat{\sigma_\gamma^2 ZZ'} \right)^{-1} ZZ' \left( \widehat{\sigma^2 I} + \widehat{\sigma_\gamma^2 ZZ'} \right)^{-1} \left( \mathbf{y} - \mathbf{X}\hat{\beta} \right) = 0 $$

On en déduit que $\hat{\beta} = (\mathbf{X}'\hat{V}^{-1}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\hat{V}^{-1}\mathbf{y}$, expression qu'on peut injecter dans les deux équations précédentes pour obtenir :

$$ \mathrm{Tr} \left( \hat{V}^{-1} \right) = \mathbf{y}' \hat{P}^2 \mathbf{y} $$

$$ \mathrm{Tr} \left( \hat{V}^{-1} \mathbf{Z} \mathbf{Z}' \right) = \mathbf{y}' \hat{P} \mathbf{Z} \mathbf{Z}' \hat{P} \mathbf{y} $$

$$ \text{avec : } \hat{V} = \widehat{\sigma_{\gamma}^2} \mathbf{Z} \mathbf{Z}' + \widehat{\sigma^2} I \text{ et } \hat{P} = \hat{V}^{-1} - \hat{V}^{-1} \mathbf{X} \left( \mathbf{X}' \hat{V}^{-1} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}' \hat{V}^{-1} \mathbf{y} $$

On admet<fnref n="2" /> ici le comportement asymptotiquement normal des estimateurs et le fait que la matrice de variance asymptotique est égale à l'inverse de la matrice d'information multiplié par n. La matrice d'information a pour expression :

$$ E \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \beta} & \frac{\partial \log \mathcal{L}'}{\partial \beta} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \beta} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma^2} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \beta} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2} \\ \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma^2} & \frac{\partial \log \mathcal{L}'}{\partial \beta} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma^2} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \beta} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2} \\ \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2} & \frac{\partial \log \mathcal{L}'}{\partial \beta} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2} \end{array} \right) $$

De plus, les dérivées secondes de la log-vraisemblance permettent de calculer plus facilement la matrice d'information car on a :

$$ E \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \beta} & \frac{\partial \log \mathcal{L}'}{\partial \beta} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \beta} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma^2} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \beta} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2} \\ \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma^2} & \frac{\partial \log \mathcal{L}'}{\partial \beta} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma^2} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2} \\ \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2} & \frac{\partial \log \mathcal{L}'}{\partial \beta} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2} & \frac{\partial \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2} \end{array} \right) = -E \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \beta \partial \beta'} & \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \beta \partial \sigma^2} & \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \beta \partial \sigma_\gamma^2} & \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \beta \partial \sigma_\gamma^2} \\ \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma^2 \partial \beta'} & \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma^2 \partial \sigma^2} & \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma^2 \partial \sigma_\gamma^2} & \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma^2 \partial \sigma_\gamma^2} \\ \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2 \partial \beta'} & \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2 \partial \sigma^2} & \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2 \partial \sigma_\gamma^2} & \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2 \partial \sigma_\gamma^2} \end{array} \right) $$

$$ E \left( \begin{array}{c} \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \beta \partial \beta'} \quad \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \beta \partial \sigma^2} \quad \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \beta \partial \sigma_\gamma^2} \\ \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma^2 \partial \beta'} \quad \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma^2 \partial \sigma^2} \quad \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma^2 \partial \sigma_\gamma^2} \\ \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2 \partial \beta'} \quad \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2 \partial \sigma^2} \quad \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2 \partial \sigma_\gamma^2} \\ -(\mathbf{x}'\mathbf{V}^{-1}\mathbf{x}) \quad -(\mathbf{x}'\mathbf{V}^{-2}(\mathbf{y}-\mathbf{x}_\beta)) \\ -(\mathbf{y}-\mathbf{x}_\beta)'\mathbf{V}^{-2}\mathbf{x} \quad \frac{1}{2}\mathrm{Tr}(\mathbf{v}^{-2})-(\mathbf{y}-\mathbf{x}_\beta)'\mathbf{V}^{-3}(\mathbf{y}-\mathbf{x}_\beta) \\ -(\mathbf{y}-\mathbf{x}_\beta)'\mathbf{V}^{-1}\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\mathbf{V}^{-1}\mathbf{x} \quad \frac{1}{2}\mathrm{Tr}(\mathbf{v}^{-2}\mathbf{Z}\mathbf{Z}')-(\mathbf{y}-\mathbf{x}_\beta)'\mathbf{V}^{-2}\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\mathbf{V}^{-1}(\mathbf{y}-\mathbf{x}_\beta) \\ -(\mathbf{x}'\mathbf{V}^{-1}\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\mathbf{V}^{-1}(\mathbf{y}-\mathbf{x}_\beta)) \quad -(\mathbf{y}-\mathbf{x}_\beta)'\mathbf{V}^{-1}\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\mathbf{V}^{-1}\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\mathbf{V}^{-1}(\mathbf{y}-\mathbf{x}_\beta) \end{array} \right) $$

Comme $E(\mathbf{y} - \mathbf{X}\beta|\mathbf{XZ}) = 0$ et $E((\mathbf{y} - \mathbf{X}\beta)' M (\mathbf{y} - \mathbf{X}\beta)|\mathbf{XZ}) = \mathrm{Tr}(MV)$ pour toutes matrice M fonction de X et Z, on a :

$$ -E \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \beta \partial \beta'} & \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \beta \partial \sigma^2} & \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \beta \partial \sigma_\gamma^2} \\ \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma^2 \partial \beta'} & \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma^2 \partial \sigma^2} & \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma^2 \partial \sigma_\gamma^2} \\ \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2 \partial \beta'} & \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2 \partial \sigma^2} & \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}}{\partial \sigma_\gamma^2 \partial \sigma_\gamma^2} \end{array} \right) = E \left( \begin{array}{cccc} \mathbf{X}'\mathbf{V}^{-1}\mathbf{X} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\mathrm{Tr}(\mathbf{V}^{-2}) & \frac{1}{2}\mathrm{Tr}(\mathbf{V}^{-2}\mathbf{Z}\mathbf{Z}') & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\mathrm{Tr}(\mathbf{V}^{-2}\mathbf{Z}\mathbf{Z}') & \frac{1}{2}\mathrm{Tr}(\mathbf{V}^{-1}\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\mathbf{V}^{-1}\mathbf{Z}\mathbf{Z}') & 0 \end{array} \right) $$

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

Nous allons présenter un estimateur légèrement différent de l'estimateur du maximum de vraisemblance : l'estimateur "restricted maximum likelihood" que nous pourrions traduire par maximum de vraisemblance restreint. Il a déjà été rappelé (cf. chapitre 2) que dans le cas du modèle

<footnote n="2">2. Ce résultat a été établi par Hartley et Rao en 1967 pour les paramètres $(\beta, \sigma, \frac{\sigma_\gamma^2}{\sigma^2})$. On peut alors retrouver la propriété sur les paramètres $(\beta, \sigma^2, \sigma_\gamma^2)$ car $(\beta, \sigma, \frac{\sigma_\gamma^2}{\sigma^2}) \rightarrow (\beta, \sigma, \sigma_\gamma^2)$ est une fonction suffisamment régulière (différentiable) sur $\mathbb{R}^{K+1} \times \mathbb{R}^{+*} \times \mathbb{R}^{+*}$</footnote>
linéaire "simple", l'estimateur du maximum de vraisemblance de $\sigma^2$ était biaisé à distance finie d'un facteur multiplicatif $\frac{K+1}{n-K-1}$, à la différence de l'estimateur des moindres carrés ordinaires. Cette mauvaise propriété à distance finie de l'estimateur du maximum de vraisemblance provient du fait que le nombre de degrés de liberté du problème est mal pris en compte (n au lieu de n-K-1). Dans le cas plus complexe qui nous intéresse ici, l'estimateur du maximum de vraisemblance présente le même défaut. C'est pour cela que des estimateurs alternatifs sont parfois utilisés (en particulier dans les procédures de SAS).

## Propriétés de l'estimateur du MVR

Sous les hypothèses ($H_1''$) et ($H_n''$), l'estimateur du maximum de vraisemblance restreint de $\sigma_\gamma^2$ et de $\sigma^2$ est construit sur la vraisemblance de $Ty$, qui sont $n-K-1$ combinaisons linéaires des observations $y$ telles que $rg(T) = n-K-1$ et $TX = 0$ :

$$ 
\begin{gathered}
Ty|X, Z \sim \mathcal{N}(0, T(\sigma_\gamma^2 ZZ' + \sigma^2 I)T') \\
(\widehat{\sigma}_\gamma^2, \widehat{\sigma}^2) = \arg \max_{\sigma_\gamma^2, \sigma^2} \mathcal{L}_{TY|X,Z}(\sigma_\gamma^2, \sigma^2)
\end{gathered}
$$

Dans un second temps, l'estimateur du maximum de vraisemblance restreint de $\beta$ est construit sur la vraisemblance de $y$ dans laquelle les quantités $\sigma_\gamma^2$ et $\sigma^2$ sont remplacées par leurs estimations :

$$ \hat{\beta} = \arg \max_{\beta} \mathcal{L}_{Y|X,Z}(\beta, \widehat{\sigma}_\gamma^2, \widehat{\sigma}^2) $$

La solution de ce programme ne dépend pas du choix de T et elle est définie par les trois équations :

$$ 
\begin{aligned}
\hat{\beta} &= (X'\hat{V}^{-1}X)^{-1} X'\hat{V}^{-1}y \\
Tr(\hat{P}) &= y'\hat{P}^2y \\
Tr(\hat{P}ZZ') &= y'\hat{P}ZZ'\hat{P}y
\end{aligned}
$$

$$ \text{avec : } \hat{V} = \widehat{\sigma}_{\gamma}^{2}ZZ' + \widehat{\sigma}^{2}I \text{ et } \hat{P} = \hat{V}^{-1} - \hat{V}^{-1}X(\mathbf{X}'\hat{V}^{-1}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\hat{V}^{-1} $$

Pour $\sigma^2 > 0$ et $\sigma_\gamma^2 > 0$, cet estimateur est asymptotiquement sans biais, et asymptotiquement optimal parmi les estimateurs asymptotiquement sans biais.

De plus pour $\sigma^2 > 0$ et $\sigma_\gamma^2 > 0$ :

$$ 
\begin{gathered}
\sqrt{n}(\hat{\beta} - \beta) \rightarrow \mathcal{N}(0, V_{as,\beta}) \\
\sqrt{n}\left(\left(\begin{array}{c}
\widehat{\sigma}_{\gamma}^{2} \\
\widehat{\sigma}^{2}
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}
\sigma_{\gamma}^{2} \\
\sigma^{2}
\end{array}\right)\right) \rightarrow \mathcal{N}\left(\left(\begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array}\right), V_{as, \sigma}\right)
\end{gathered}
$$

où la variance asymptotique des estimateurs du maximum de vraisemblance restreint est :

$$ 
\begin{gathered}
V_{as,\beta} = \lim_{n \to +\infty} n (X'V^{-1}X)^{-1} \\
V_{as,\sigma} = \lim_{n \to +\infty} 2n \begin{bmatrix} \text{Tr}(PZZ'PZZ') & \text{Tr}(PZZ'P) \\ \text{Tr}(PZZ'P) & \text{Tr}(P^2) \end{bmatrix}^{-1}
\end{gathered}
$$

$$ \text{avec } V = \sigma_{\gamma}^{2}ZZ' + \sigma^{2}I \text{ et } P = V^{-1} - V^{-1}X(X'V^{-1}X)^{-1}X'V^{-1} $$

**Remarque :** l'expression de l'estimateur (et a fortiori sa loi) ne dépend pas du choix de T. Cela peut sembler surprenant, il est en fait logique que les estimateurs de $\sigma_\gamma^2$ et $\sigma^2$ ne dépendent pas de l'application linéaire particulière utilisée pour projeter les observations sur l'espace orthogonal à $X$.

Preuve :
□

La vraisemblance (conditionnelle à $\mathbf{X}$, $\mathbf{Z}$) de $\mathbf{T}\mathbf{y}$ s'écrit :

$$ \mathcal{L}_{TY|X,Z}(\sigma_{\gamma}^{2}, \sigma^{2}) = [\det(T(\sigma_{\gamma}^{2}\mathbf{Z}\mathbf{Z}'+ \sigma^{2}I)T')]^{-\frac{1}{2}} * (2\pi)^{-\frac{n-K-1}{2}} * e^{-\frac{1}{2}\mathbf{y}'T'(T(\sigma_{\gamma}^{2}\mathbf{Z}\mathbf{Z}'+\sigma^{2}I)T')}^{-1}\mathbf{T}\mathbf{y} $$

Les valeurs qui maximisent la vraisemblance maximisent également la log-vraisemblance :

$$ \log (\mathcal{L}_{TY|X,Z}(\sigma_{\gamma}^{2}, \sigma^{2})) = -\frac{1}{2}\det (T(\sigma_{\gamma}^{2}\mathbf{Z}\mathbf{Z}'+ \sigma^{2}I)T') - \frac{1}{2}\mathbf{y}'T' (T(\sigma_{\gamma}^{2}\mathbf{Z}\mathbf{Z}'+ \sigma^{2}I)T')^{-1} \mathbf{T}\mathbf{y} + \text{cst} $$

Les conditions du premier ordre sont alors :

$$ \frac{\partial \log (\mathcal{L}_{TY|X,Z}(\hat{\sigma}_{\gamma}^{2}, \hat{\sigma}^{2}))}{\partial \sigma^{2}} = 0 \Leftrightarrow -\frac{1}{2} \mathrm{Tr} (T'(T\hat{V}T')^{-1}T) + \frac{1}{2} \mathbf{y}'T'(T\hat{V}T')^{-1}TT'(T\hat{V}T')^{-1}T\mathbf{y} = 0 $$

avec $\hat{V} = \hat{\sigma}^2 I + \hat{\sigma}_\gamma^2$.

Comme $\hat{V}$ est symétrique et définie positive, il existe une unique matrice symétrique définie positive, notée $\hat{V}^{\frac{1}{2}}$, telle que $(\hat{V}^{\frac{1}{2}})^2 = \hat{V}$. On note $\hat{V}^{-\frac{1}{2}}$ l'inverse de $\hat{V}^{\frac{1}{2}}$.

La matrice $\hat{M} = \hat{V}^{\frac{1}{2}}T'(T\hat{V}T')^{-1}\hat{V}^{\frac{1}{2}}$ vérifie alors : $\hat{M}^2 = \hat{M}$, $\hat{M}' = \hat{M}$, $\mathrm{Tr}(\hat{M}) = n-K-1 = n - rg(\hat{V}^{-\frac{1}{2}}\mathbf{X})$ et $\hat{M}\hat{V}^{-\frac{1}{2}}\mathbf{X} = \hat{V}^{\frac{1}{2}}T'(T\hat{V}T')^{-1}\mathbf{T}\mathbf{X} = 0$. $\hat{M}$ est donc le projecteur orthogonal sur l'orthogonal de $\hat{V}^{-\frac{1}{2}}\mathbf{X}$, il peut donc s'écrire sous la forme $\hat{M} = I - \hat{V}^{-\frac{1}{2}}\mathbf{X}(\mathbf{X}'\hat{V}^{-1}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\hat{V}^{-\frac{1}{2}}$.

Finalement :

$$ \frac{\partial \log (\mathcal{L}_{TY|X,Z}(\hat{\sigma}_{\gamma}^{2}, \hat{\sigma}^{2}))}{\partial \sigma^{2}} = 0 \Leftrightarrow \mathrm{Tr} (\hat{P}) = \mathbf{y}'\hat{P}^{2}\mathbf{y} $$

De même :

$$ \frac{\partial \log (\mathcal{L}_{TY|X,Z}(\hat{\sigma}_{\gamma}^{2}, \hat{\sigma}^{2}))}{\partial \sigma_{\gamma}^{2}} = 0 \Leftrightarrow -\frac{1}{2} \mathrm{Tr} (T'(T\hat{V}T')^{-1}T\mathbf{Z}\mathbf{Z}') + \frac{1}{2} \mathbf{y}'T'(T\hat{V}T')^{-1}T\mathbf{Z}\mathbf{Z}'T'(T\hat{V}T')^{-1}T\mathbf{y} = 0 $$

$$ \frac{\partial \log (\mathcal{L}_{TY|X,Z}(\hat{\sigma}_{\gamma}^{2}, \hat{\sigma}^{2}))}{\partial \sigma_{\gamma}^{2}} = 0 \Leftrightarrow -\frac{1}{2} \mathrm{Tr} (\hat{P}\mathbf{Z}\mathbf{Z}') + \frac{1}{2} \mathbf{y}'\hat{P}\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\hat{P}\mathbf{y} = 0 $$

A $\hat{\sigma}^2$ et $\hat{\sigma}_\gamma^2$ fixé, la maximisation de la vraisemblance de $\mathbf{y}|\mathbf{X}, \mathbf{Z}$ en $\beta$ implique :

$$ \hat{\beta} = (\mathbf{X}'\hat{V}^{-1}\mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}'\hat{V}^{-1}\mathbf{y} $$

La matrice de variance-covariance asymptotique des estimateurs peut se déduire de la matrice d'information :

$$ E \left( \begin{array}{cc} \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}_{TY|XZ}}{\partial \sigma^2 \partial \sigma^2} & \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}_{TY|XZ}}{\partial \sigma^2 \partial \sigma_{\gamma}^2} \\ \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}_{TY|XZ}}{\partial \sigma^2 \partial \sigma_{\gamma}^2} & \frac{\partial^2 \log \mathcal{L}_{TY|XZ}}{\partial \sigma_{\gamma}^2 \partial \sigma_{\gamma}^2} \end{array} \right) = $$

$$ E \left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{2} \mathrm{Tr}(P^2) + \mathbf{y}'P^3 \mathbf{y} & -\frac{1}{2} \mathrm{Tr}(P\mathbf{Z}\mathbf{Z}'P) + \frac{1}{2} \mathbf{y}'[P^2\mathbf{Z}\mathbf{Z}'P + P\mathbf{Z}\mathbf{Z}'P^2]\mathbf{y} \\ -\frac{1}{2} \mathrm{Tr}(P\mathbf{Z}\mathbf{Z}'P^2) + \frac{1}{2} \mathbf{y}'[P^2\mathbf{Z}\mathbf{Z}'P + P\mathbf{Z}\mathbf{Z}'P^2]\mathbf{y} & -\frac{1}{2} \mathrm{Tr}(P\mathbf{Z}\mathbf{Z}'P\mathbf{Z}\mathbf{Z}') + \mathbf{y}'P\mathbf{Z}\mathbf{Z}'P\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\mathbf{P}\mathbf{y} \end{array} \right) $$

Comme $E(\mathbf{y}'P^3\mathbf{y}) = E(E[Tr(P^3\mathbf{y}'|\mathbf{X},\mathbf{Z}]) = E(Tr[P^3(\mathbf{X}\beta\beta'|\mathbf{X} + V)]), \mathbf{P}\mathbf{X} = 0$ et $Tr(P^3\mathbf{V}) = Tr(P^2)$, on a bien $E(-\frac{1}{2}Tr(P^2) + \mathbf{y}'P^3\mathbf{y}) = \frac{Tr(P^2)}{2}$. De même : $Tr(P^2\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\mathbf{P}\mathbf{V}) = Tr(P\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\mathbf{P}), Tr(P\mathbf{Z}\mathbf{Z}'P^2\mathbf{V}) = Tr(P\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\mathbf{P})$ et $Tr(P\mathbf{Z}\mathbf{Z}'P\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\mathbf{P}\mathbf{V}) = Tr(P\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\mathbf{P}\mathbf{Z}\mathbf{Z}')$

La variance asymptotique de $\hat{\beta}$ se déduit du fait que $\hat{\beta}$ est un estimateur des MCQG, dont on a étudié la loi limite précédemment.

■
### 4.4.7 Comparaison de l'estimateur du MV et de l'estimateur du MVR

Les deux estimateurs présentés dans le paragraphe précédent ont les mêmes propriétés asymp-
totiques. Ils diffèrent donc par leur comportement à distance finie. Ainsi, si l'on se pose la question
de savoir quel estimateur est préférable, il faut se concentrer sur les propriétés à distance finie
(espérance, variance des estimations à taille d'échantillon donnée). Ces estimateurs n'étant définis
qu'implicitement comme solution d'équations non linéaires, il est difficile de les calculer explicite-
ment en fonction des observations. Dès lors, la comparaison entre les deux estimateurs est délicate.
D'un point de vue algébrique, dans le cas le plus général, il n'y a pas de raisons admises par la
communauté des économètres statisticiens pour préférer l'un à l'autre. Des comparaisons sur don-
nées simulées pourraient être envisagées mais là encore il n'existe pas de consensus net sur cette
question à notre connaissance. Par contre, dans certains cas particuliers, les calculs peuvent être
menés explicitement et l'estimateur MVR apparaît alors préférable à l'estimateur MV. Nous allons
donc développer deux exemples particuliers, celui du modèle linéaire gaussien en l'absence d'effets
"établissement" et celui où les covariables se réduisent à la constante.

#### Comparaison sous l'hypothèse $\sigma_{\gamma}^{2} = 0$

Dans le sous-modèle particulier où $\sigma_{\gamma}^{2} = 0$ (cas correspondant au modèle linéaire exposé au chapitre 2), les estimateurs du maximum de vraisemblance et du maximum de vraisemblance restreint ont pour expression :

$$ 
\begin{gathered}
\hat{\beta}_{MV} = \hat{\beta}_{MVR} = (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{y} \\
\hat{\sigma}_{MV}^{2} = \frac{\hat{v}'\hat{v}}{n} \quad \text{et} \quad \hat{\sigma}_{MVR}^{2} = \frac{\hat{v}'\hat{v}}{n - K - 1}
\end{gathered}
$$

Dans ce cas particulier, l'estimateur du maximum de vraisemblance restreint est donc égal à l'estimateur des moindres carrés ordinaires. L'espérance des estimateurs précédents est alors :

$$ 
\begin{gathered}
E(\hat{\beta}_{MV}) = E(\hat{\beta}_{MVR}) = \beta \\
E[\hat{\sigma}_{MV}^{2}] = \frac{n - K - 1}{n}\sigma^{2} \quad \text{et} \quad E[\hat{\sigma}_{MVR}^{2}] = \sigma^{2}
\end{gathered}
$$

L'estimateur du maximum de vraisemblance restreint estime donc sans biais à distance finie le paramètre $\sigma^2$. À distance finie, dans ce cas particulier, il est donc préférable à l'estimateur du maximum de vraisemblance.

Preuve :

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

L'expression et les propriétés de l'estimateur du maximum de vraisemblance ont déjà été présentées au chapitre 2.

Les équations définissant l'estimateur du maximum de vraisemblance restreint sont :

$$ 
\begin{gathered}
\hat{\beta}_{MVR} = (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{y} \\
\mathrm{Tr}\left(\frac{1}{\hat{\sigma}_{MVR}^{2}}M\right) = \left(\frac{1}{\hat{\sigma}_{MVR}^{2}}\right)^{2}\mathbf{y}'M^{2}\mathbf{y} \text{ avec } M = I - \mathbf{X}(\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{y}.
\end{gathered}
$$

$M$ est le projecteur orthogonal sur l'espace orthogonal à $\mathbf{X}$, on a donc $\mathrm{Tr}(M) = n - K - 1$ et $\hat{v} = My$. Cela implique donc que : $\hat{\sigma}_{MVR}^{2} = \frac{\hat{v}'\hat{v}}{n-K-1}$

L'estimateur du maximum de vraisemblance restreint de $\sigma^2$ correspond donc à l'estimateur des MCO dont les propriétés ont été exposées dans le chapitre 2.

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

#### Comparaison dans le modèle sans covariables X

Dans le sous-modèle où $\mathbf{X} = \mathbf{x}_0$ (cas où seule la constante est introduite dans le modèle) et où le nombre $n_1$ d'élèves par classe est constant, les estimateurs du maximum de vraisemblance et du maximum de vraisemblance restreint ont pour expression :

$$ 
\hat{\beta}_{MV} = \hat{\beta}_{MVR} = \frac{1}{n}\mathbf{x}'_{0}\mathbf{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i,j}
$$
$$
\begin{align*}
\widehat{\sigma}_{MVR}^2 &= \widehat{\sigma}_{MV}^2 = \frac{1}{n(n_1 - 1)} [n_1 \mathbf{y}'\mathbf{y} - \mathbf{y}'\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\mathbf{y}] \\
\widehat{\sigma}_{\gamma MV}^2 &= \frac{1}{n(n_1 - 1)} [\mathbf{y}'\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\mathbf{y} - \mathbf{y}'\mathbf{y}] - \frac{1}{n^2} \mathbf{y}'\mathbf{x}_0\mathbf{x}_0'\mathbf{y} \\
\widehat{\sigma}_{\gamma MVR}^2 &= \frac{1}{n(n_1 - 1)} [n_1 \mathbf{y}'\mathbf{y} - \mathbf{y}'\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\mathbf{y}]
\end{align*}
$$

Les espérances des estimateurs précédents sont :

$$
\begin{align*}
E(\hat{\beta}_{MV}) &= E(\hat{\beta}_{MVR}) = \beta \\
E(\hat{\sigma}_{MV}^2) &= E(\hat{\sigma}_{MVR}^2) = \sigma^2 \\
E(\hat{\sigma}_{\gamma MV}^2) &= \sigma_{\gamma}^2 - \frac{1}{n}(\sigma^2 + n_1\sigma_{\gamma}^2) \quad \text{et} \quad E(\hat{\sigma}_{\gamma MVR}^2) = \sigma_{\gamma}^2
\end{align*}
$$

Contrairement à l'estimateur du maximum de vraisemblance, l'estimateur du maximum de vraisem-
semblance restreint estime sans biais le paramètre σ². Dans ce cas particulier, l'estimateur du
maximum de vraisemblance restreint est donc préférable à l'estimateur du maximum de vraisem-
blance à distance finie.

Preuve :

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

Concernant les estimateurs de $\beta$, le calcul donne :

$$
\hat{V}^{-1} = \frac{1}{\hat{\sigma}^2} I - \frac{\hat{\sigma}_\gamma^2}{\hat{\sigma}^2} \frac{1}{\hat{\sigma}^2 + n_1 \hat{\sigma}_\gamma^2} \mathbf{Z}\mathbf{Z}'
$$

Comme $\mathbf{x}'_0\mathbf{Z}\mathbf{Z}' = n_1\mathbf{x}'_0$,

$$
\mathbf{x}'_0 \hat{V}^{-1} \mathbf{x}_0 = \frac{n}{\hat{\sigma}^2 + n_1 \hat{\sigma}_\gamma^2} \text{ et } \mathbf{x}'_0 \hat{V}^{-1} \mathbf{y} = (\hat{\sigma}^2 + n_1 \hat{\sigma}_\gamma^2) \mathbf{x}'_0 \mathbf{y}
$$

Donc

$$
\hat{\beta}_{MV} = \hat{\beta}_{MVR} = \frac{1}{n} \mathbf{x}'_0 \mathbf{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{i,j}
$$

Pour l'estimateur du maximum de vraisemblance des paramètres $\sigma^2$ et $\sigma_\gamma^2$, on peut adopter les étapes de calcul suivantes :

$$
\hat{P} = \hat{V}^{-1} - \hat{V}^{-1} \mathbf{x}_0 \left( \mathbf{x}'_0 \hat{V}^{-1} \mathbf{x}_0 \right)^{-1} \mathbf{x}'_0 \hat{V}^{-1} = \frac{1}{\hat{\sigma}^2} I - \frac{\hat{\sigma}_\gamma^2}{\hat{\sigma}^2 + n_1 \hat{\sigma}_\gamma^2} \mathbf{Z}\mathbf{Z}' - \frac{1}{n} \frac{1}{\hat{\sigma}^2 + n_1 \hat{\sigma}_\gamma^2} \mathbf{x}_0 \mathbf{x}'_0 \text{ car } \mathbf{x}_0 \mathbf{x}'_0 \mathbf{x}_0 \mathbf{x}'_0 = n \mathbf{x}_0 \mathbf{x}'_0, \mathbf{Z}\mathbf{Z}' \mathbf{x}_0 \mathbf{x}'_0 = \mathbf{x}_0 \mathbf{x}'_0 \mathbf{Z}\mathbf{Z}' = n_1 \mathbf{x}_0 \mathbf{x}'_0 \text{ et } \mathbf{Z}\mathbf{Z}' \mathbf{Z}\mathbf{Z}' = n_1 \mathbf{Z}\mathbf{Z}'.
$$

$$
y' \hat{P}^2 y = \left(\frac{1}{\hat{\sigma}^2}\right)^2 y'y - \hat{\sigma}_\gamma^2 \left(\frac{1}{\hat{\sigma}^2}\right)^2 \left[ \frac{1}{\hat{\sigma}^2 + n_1 \hat{\sigma}_\gamma^2} + \frac{\hat{\sigma}^2}{(\hat{\sigma}^2 + n_1 \hat{\sigma}_\gamma^2)^2} \right] y' \mathbf{Z} \mathbf{Z}' y - \frac{1}{n} \frac{1}{(\hat{\sigma}^2 + n_1 \hat{\sigma}_\gamma^2)^2} y' \mathbf{x}_0 \mathbf{x}'_0 y
$$

$$
y' \hat{P} \mathbf{Z} \mathbf{Z}' \hat{P} y = \left(\frac{1}{\hat{\sigma}^2}\right)^2 y' \mathbf{Z} \mathbf{Z}' y - n_1 \hat{\sigma}_\gamma^2 \left(\frac{1}{\hat{\sigma}^2}\right)^2 \left[ \frac{1}{\hat{\sigma}^2 + n_1 \hat{\sigma}_\gamma^2} + \frac{\hat{\sigma}^2}{(\hat{\sigma}^2 + n_1 \hat{\sigma}_\gamma^2)^2} \right] y' \mathbf{Z} \mathbf{Z}' y - n_1 \frac{1}{n} \frac{1}{(\hat{\sigma}^2 + n_1 \hat{\sigma}_\gamma^2)^2} y' \mathbf{x}_0 \mathbf{x}'_0 y = \frac{1}{(\hat{\sigma}^2 + n_1 \hat{\sigma}_\gamma^2)^2} y' \mathbf{Z} \mathbf{Z}' y - n_1 \frac{1}{n} \frac{1}{(\hat{\sigma}^2 + n_1 \hat{\sigma}_\gamma^2)^2} y' \mathbf{x}_0 \mathbf{x}'_0 y
$$

$$
\mathrm{Tr}(\hat{V}^{-1}) = \frac{n}{\hat{\sigma}^2} \left( 1 - \frac{\hat{\sigma}_\gamma^2}{\hat{\sigma}^2 + n_1 \hat{\sigma}_\gamma^2} \right)
$$

$$
\mathrm{Tr}(\hat{V}^{-1}\mathbf{Z}\mathbf{Z}') = \frac{n}{\hat{\sigma}^2 + n_1 \hat{\sigma}_\gamma^2} = \frac{n}{\hat{\sigma}^2} \left( 1 - \frac{n_1 \hat{\sigma}_\gamma^2}{\hat{\sigma}^2 + n_1 \hat{\sigma}_\gamma^2} \right)
$$

En considérant l'égalité $n_1 \mathrm{Tr}(\hat{V}^{-1}) - \mathrm{Tr}(\hat{V}^{-1}\mathbf{Z}\mathbf{Z}') = n_1 \mathbf{y}'\hat{P}^2\mathbf{y} - \mathbf{y}'\hat{P}\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\hat{P}\mathbf{y}$, on peut alors en déduire l'expression de l'estimateur du maximum de vraisemblance de $\sigma^2$ :

$$
\widehat{\sigma}_{MV}^2 = \frac{1}{n(n_1 - 1)} [n_1 \mathbf{y}'\mathbf{y} - \mathbf{y}'\mathbf{Z}\mathbf{Z}\mathbf{y}]
$$

Puis en considérant l'égalité $\mathbf{y}'\hat{P}\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\hat{P}\mathbf{y} = \mathrm{Tr}(\hat{V}^{-1}\mathbf{Z}\mathbf{Z}')$, on déduit que :

$$
\hat{\sigma}_{\gamma MV}^2 = \frac{1}{n(n_1 - 1)} [\mathbf{y}'\mathbf{Z}\mathbf{Z}'\mathbf{y} - \mathbf{y}'\mathbf{y}] - \frac{1}{n^2}\mathbf{y}'\mathbf{x}_0\mathbf{x}_0'\mathbf{y}
$$
Concernant l'estimateur du maximum de vraisemblance restreint de $\sigma^2$ et de $\sigma_{\gamma}^2$, les calculs donnent : $Tr(\hat{P}) = \frac{n}{\sigma^2} \left( 1 - \frac{\hat{\sigma}^2+n\sigma_{\gamma}^2}{\sigma^2+n_1\sigma_{\gamma}^2} \right)$

$$Tr(\hat{PZZ}') = \frac{n}{\sigma^2} \left( 1 - \frac{n_1}{n} \frac{\hat{\sigma}^2+n\sigma_{\gamma}^2}{\sigma^2+n_1\sigma_{\gamma}^2} \right) = \frac{n-n_1}{\sigma^2+n_1\sigma_{\gamma}^2}$$

En considérant l'égalité $n_1Tr(\hat{P})-Tr(\hat{PZZ}') = n_1y'\hat{P}^2y-y'\hat{P}ZZ'\hat{P}y$, on peut alors en déduire l'expression de l'estimateur du maximum de vraisemblance restreint de $\sigma^2$ :

$$\hat{\sigma}_{MVR}^2 = \frac{1}{n(n_1 - 1)} [n_1 y' y - y'ZZ'y]$$

En considérant l'égalité $y'\hat{P}ZZ'\hat{P}y = Tr(\hat{PZZ}')$, on déduit que :

$$\hat{\sigma}_{\gamma MVR}^2 = \frac{n-1}{n(n_1-1)(n-n_1)} y'x_0x_0'y - \frac{1}{n(n-n_1)} y'y$$

Enfin comme $E(x_0'y) = n\beta$, $E(y'y) = n(\sigma^2 + \sigma_{\gamma}^2) + n\beta^2$, $E(y'ZZ'y) = n(\sigma^2 + n_1\sigma_{\gamma}^2) + n\beta^2$, $E(y'x_0x_0'y) = n(\sigma^2 + n_1\sigma_{\gamma}^2) + n^2\beta^2$, on a :

$$E(\hat{\beta}_{MV}) = E(\hat{\beta}_{MVR}) = \beta$$

$$E(\hat{\sigma}_{MV}^2) = E(\hat{\sigma}_{MVR}^2) = \sigma^2$$

$$E(\hat{\sigma}_{\gamma MV}^2) = \sigma_{\gamma}^2 - \frac{1}{n}(\sigma^2 + n_1\sigma_{\gamma}^2)$$

$$E(\hat{\sigma}_{\gamma MVR}^2) = \sigma_{\gamma}^2$$

<figure><img src="image_52.png" /></figure>

## 4.5 Estimateurs des $\gamma$

Nous allons présenter rapidement quelques estimateurs de $\gamma$. Les estimateurs présentés précédemment dans ces pages étaient soit sans biais à distance finie, soit asymptotiquement sans biais. Dans le modèle à effets aléatoires, le nombre d'élèves par classe étant borné, on ne peut obtenir une estimation convergente, il restera toujours une variabilité de l'estimateur lié au nombre limité d'élèves dans chaque classe. Sous l'hypothèse de normalité des effets "classe" $\gamma$, on peut préférer privilégier la minimisation de l'écart quadratique moyen ($E((\hat{\gamma} - \gamma)'(\hat{\gamma} - \gamma)|\mathbf{X}, \mathbf{Z})$) à l'absence de biais ($E(\hat{\gamma}|\gamma, \mathbf{X}, \mathbf{Z})$). Il convient alors de noter que ces estimateurs sont biaisés, dans le sens où, pour un $\gamma$ donné, $E(\hat{\gamma}|\gamma) \neq \gamma$ ou $E(\hat{\gamma}|\mathbf{X}, \mathbf{Z}, \gamma) \neq \gamma$.

### Estimateur de $\gamma$

Sous les hypothèses $(H_1'')$, $(H_2'')$ et $(H_3'')$, l'estimateur de $\gamma$ de variance minimale parmi les estimateurs sans biais est :

$$\hat{\gamma} = (\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1} \mathbf{Z}' (\mathbf{y} - \mathbf{X}\beta)$$

Cet estimateur est simplement la moyenne par classe des écarts entre $Y$ et le prédicteur $X\beta$.

Sous les hypothèses $(H_1'')$ et $(H_3'')$, l'estimateur de $\gamma$ qui minimise l'écart quadratique moyen est :

$$\hat{\gamma} = \sigma_{\gamma}^2 (\sigma_{\gamma}^2 \mathbf{Z}'\mathbf{Z} + \sigma^2 I)^{-1} \mathbf{Z}' (\mathbf{y} - \mathbf{X}\beta)$$

Ce dernier estimateur n'est pas sans biais au sens fréquentiste du terme puisque $E(\hat{\gamma}|\gamma, \mathbf{X}, \mathbf{Z}) \neq \gamma$ et que $E(\hat{\gamma}|\gamma) \neq \gamma$. Cet estimateur est qualifié de "BLUP" (best linear unbiased predictor), mais le qualificatif "unbiased" est ici à entendre comme $E(\hat{\gamma}) = E(\gamma) = 0$, c'est-à-dire que c'est un estimateur de $\gamma$ qui est d'espérance nulle. Cet estimateur peut par ailleurs être vu comme un estimateur bayésien car $\sigma_{\gamma}^2 (\sigma_{\gamma}^2 \mathbf{Z}'\mathbf{Z} + \sigma^2 I)^{-1} \mathbf{Z}' (\mathbf{y} - \mathbf{X}\beta) = E(\gamma|\mathbf{y}, \mathbf{X}, \mathbf{Z})$.

Ces estimateurs dépendent de $\beta$, de $\sigma^2$ et de $\sigma_{\gamma}^2$ qui ne sont pas connus. À partir d'une estimation convergente de $\sigma^2$ et $\sigma_{\gamma}^2$, on peut donc construire les estimateurs suivants :
- Si on privilégie l'absence de biais asymptotique

$$E(\hat{\beta}, \hat{\gamma} | \beta, \gamma, \mathbf{X}, \mathbf{Z}) \to (\beta, \gamma)$$

on obtient comme estimateur :

$$\hat{\beta} = (\mathbf{X}'\hat{V}^{-1}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}\hat{V}^{-1}\mathbf{y}$$

$$\hat{\gamma} = (\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1}\mathbf{Z}'(\mathbf{y} - \mathbf{X}\hat{\beta})$$

- Si on privilégie la minimisation de l'écart quadratique moyen

$$\text{Argmin}_E \left[ \left( \begin{pmatrix} \hat{\beta} - \beta \\ \hat{\gamma} - \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{\beta} - \beta \\ \hat{\gamma} - \gamma \end{pmatrix}' \right) | \mathbf{y}, \mathbf{X}, \mathbf{Z} \right]$$

on obtient l'estimateur "E-BLUP" pour empirical best linear unbiased predictor :

$$\hat{\beta} = (\mathbf{X}'\hat{V}^{-1}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}\hat{V}^{-1}\mathbf{y}$$

$$\hat{\gamma} = \sigma^2_{\gamma} (\sigma^2_{\gamma} \mathbf{Z}'\mathbf{Z} + \sigma^2 I)^{-1} \mathbf{Z}' (\mathbf{y} - \mathbf{X}\hat{\beta})$$

Dans les deux cas, les estimateurs de $\beta$ seront asymptotiquement sans biais.

**Remarque :** Pour une classe donnée, les deux estimateurs de $\gamma$ présentés ci-dessus seront d'autant plus proches que le nombre d'élèves dans la classe est grand. Cette propriété peut être vue comme un cas particulier du fait qu'estimateur fréquentiste et estimateur bayésien sont asymptotiquement équivalents dans un cadre standard (en particulier le nombre de paramètres ne dépend pas de la taille de l'échantillon).

Preuve :

□

Commençons par l'estimateur qui privilégie l'absence de biais : l'estimateur de $\beta$ est un estimateur des MCQG, ses propriétés asymptotiques ont été étudiées précédemment. Concernant l'estimateur de $\gamma$, on a : $E(\hat{\gamma}|\gamma, \mathbf{X}, \mathbf{Z}) = (\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1}\mathbf{Z}'E(\mathbf{y} - \mathbf{X}\hat{\beta}|\mathbf{X}, \mathbf{Z}) = (\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1}\mathbf{Z}'\mathbf{Z}\gamma + \mathbf{X}(E(\beta - \hat{\beta}|\mathbf{X}, \mathbf{Z})) + E(\epsilon|\mathbf{X}, \mathbf{Z}) = \gamma + \mathbf{X}(E(\beta - \hat{\beta}|\mathbf{X}, \mathbf{Z})) \to \gamma$.

Concernant l'estimateur qui privilégie la minimisation de l'écart quadratique moyen, on peut re-marquer que la distribution de $\gamma|\mathbf{y}, \mathbf{X}, \mathbf{Z}$ est un vecteur gaussien d'espérance $\sigma^2_{\gamma}(\sigma^2_{\gamma}\mathbf{Z}'\mathbf{Z} + \sigma^2 I_C)^{-1}\mathbf{Z}'(\mathbf{y} - \mathbf{X}\beta)$ et de variance $\sigma^2_{\gamma}\sigma^2(\sigma^2_{\gamma}\mathbf{Z}'\mathbf{Z} + \sigma^2 I_C)^{-1} = (\frac{\mathbf{Z}'\mathbf{Z}}{\sigma^2} + \frac{I_C}{\sigma^2_{\gamma}})^{-1}$ :

$$\mathcal{L}_{\gamma|Y=y, X=x, Z=z}(g) = \frac{\mathcal{L}_{Y|\gamma, X=x, Z=z}(y) \mathcal{L}_{\gamma|X=x, Z=z}(g)}{\mathcal{L}_{Y|X=x, Z=z}(y)}$$

Or $\mathbf{y}|\gamma, \mathbf{X}, \mathbf{Z}$ est un vecteur gaussien d'espérance $\mathbf{X}\beta + \mathbf{Z}\gamma$ et de variance $\sigma^2 I_n$ ; $\gamma|\mathbf{X}, \mathbf{Z}$ est un vecteur gaussien d'espérance nulle et de variance $\sigma^2_{\gamma}I_C$ et $\mathbf{y}|\mathbf{X}, \mathbf{Z}$ est un vecteur gaussien d'espérance $\mathbf{X}\beta$ et de variance $\sigma^2_{\gamma}\mathbf{Z}\mathbf{Z}' + \sigma^2 I_n$.

$$\mathcal{L}_{\gamma|Y=y, X=x, Z=z}(g) = \sqrt{2\pi}^{-C} \frac{\sqrt{\det(\sigma^2 \mathbf{Z}\mathbf{Z}' + \sigma^2 I_n)^n}}{\sqrt{\sigma^2_{\gamma} C \sqrt{\sigma^2 n}}} \exp \left[ -\frac{1}{2} \left\{ \frac{(\mathbf{y}-\mathbf{X}\beta-\mathbf{Z}_g)'(\mathbf{y}-\mathbf{X}\beta-\mathbf{Z}_g)}{\sigma^2} + \frac{g'g}{\sigma^2_{\gamma}} - (\mathbf{y}-\mathbf{X}\beta)' [\sigma^2_{\gamma}\mathbf{Z}\mathbf{Z}' + \sigma^2 I_n]^{-1} (\mathbf{y}-\mathbf{X}\beta) \right\} \right]$$

En remarquant que $\det(\sigma^2_{\gamma}\mathbf{Z}\mathbf{Z}' + \sigma^2 I_n) = \sigma^{2n}\sigma^2_{\gamma}C \prod_{c=1}^{C} \left(\frac{1}{\sigma^2_{\gamma}} + \frac{n_g}{\sigma^2_{\gamma}}\right)$ et que $[\sigma^2_{\gamma}\mathbf{Z}\mathbf{Z}' + \sigma^2 I_n]^{-1} = \frac{1}{\sigma^2_{\gamma}}I_n - \frac{\sigma^2_{\gamma}}{\sigma^2_{\gamma}}\mathbf{Z}'(\sigma^2 I_C + \sigma^2_{\gamma}\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1}\mathbf{Z}'$, il vient :

$$\mathcal{L}_{\gamma|Y=y, X=x, Z=z}(g) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\det(\frac{\mathbf{Z}'\mathbf{Z}}{\sigma^2} + \frac{I_C}{\sigma^2_{\gamma}})^C}} \exp \left[ -\frac{1}{2} \left( g - \sigma^2_{\gamma} (\sigma^2_{\gamma}\mathbf{Z}'\mathbf{Z} + \sigma^2 I_C)^{-1} \mathbf{Z}' (\mathbf{y} - \mathbf{X}\beta) \right)' \left( \frac{\mathbf{Z}'\mathbf{Z}}{\sigma^2} + \frac{I_C}{\sigma^2_{\gamma}} \right) \left( g - \sigma^2_{\gamma} (\sigma^2_{\gamma}\mathbf{Z}'\mathbf{Z} + \sigma^2 I_C)^{-1} \mathbf{Z}' (\mathbf{y} - \mathbf{X}\beta) \right) \right]$$
Donc $\hat{\gamma} = E(\gamma|\mathbf{y}, \mathbf{X}, \mathbf{Z}) = \sigma_{\gamma}^2 (\sigma_{\gamma}^2 \mathbf{Z}'\mathbf{Z} + \sigma^2 I_C)^{-1} \mathbf{Z}' (\mathbf{y} - \mathbf{X}\beta)$ minimise l'écart quadratique
$E((\hat{\gamma} - \gamma)'(\hat{\gamma} - \gamma)|\mathbf{y}, \mathbf{X}, \mathbf{Z})$.

L'estimateur BLUP n'est pas calculable, car il dépend des paramètres inconnus $\sigma_{\gamma}^2$, $\sigma^2$. Cependant, comme des estimateurs convergents de ces quantités sont disponibles, il suffit de les remplacer par leurs estimations pour obtenir un estimateur ayant les mêmes propriétés asymptotiques.

Concernant le biais de l'estimateur "BLUP" de $\gamma$, on a :

$$E(\hat{\gamma}|\mathbf{X}, \mathbf{Z}, \gamma) = E\left(\sigma_{\gamma}^2 (\sigma_{\gamma}^2 \mathbf{Z}'\mathbf{Z} + \sigma^2 I)^{-1} \mathbf{Z}' (\mathbf{y} - \mathbf{X}\hat{\beta}) \middle| \mathbf{X}, \mathbf{Z}, \gamma\right)$$

$$E(\hat{\gamma}|\mathbf{X}, \mathbf{Z}, \gamma) = \sigma_{\gamma}^2 (\sigma_{\gamma}^2 \mathbf{Z}'\mathbf{Z} + \sigma^2 I)^{-1} \mathbf{Z}' \left( \mathbf{Z} - \mathbf{X} (\mathbf{X}'V^{-1}\mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}'V^{-1}\mathbf{Z} \right) \gamma$$

$$E(\hat{\gamma}|\mathbf{X}, \mathbf{Z}, \gamma) = \sigma_{\gamma}^2 (\sigma_{\gamma}^2 \mathbf{Z}'\mathbf{Z} + \sigma^2 I)^{-1} \mathbf{Z}'\mathbf{Z}\gamma - \sigma_{\gamma}^2 (\sigma_{\gamma}^2 \mathbf{Z}'\mathbf{Z} + \sigma^2 I)^{-1} \mathbf{Z}'\mathbf{X} (\mathbf{X}'V^{-1}\mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}'V^{-1}\mathbf{Z}\gamma$$

$$E(\hat{\gamma}|\mathbf{X}, \mathbf{Z}, \gamma) = \gamma - \sigma^2 (\sigma_{\gamma}^2 \mathbf{Z}'\mathbf{Z} + \sigma^2 I)^{-1} \gamma - \sigma_{\gamma}^2 \mathbf{Z}'V^{-1}\mathbf{X} (\mathbf{X}'V^{-1}\mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}'V^{-1}\mathbf{Z}\gamma$$

Comme $\sigma^2 (\sigma_{\gamma}^2 \mathbf{Z}'\mathbf{Z} + \sigma^2 I)^{-1} + \sigma_{\gamma}^2 \mathbf{Z}'V^{-1}\mathbf{X} (\mathbf{X}'V^{-1}\mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}'V^{-1}\mathbf{Z}$ n'a pas de raison d'être nul, on n'a pas $E(\hat{\gamma}|\mathbf{X}, \mathbf{Z}, \gamma) = \gamma$.

De même, $E(\sigma^2 (\sigma_{\gamma}^2 \mathbf{Z}'\mathbf{Z} + \sigma^2 I)^{-1} + \sigma_{\gamma}^2 \mathbf{Z}'V^{-1}\mathbf{X} (\mathbf{X}'V^{-1}\mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}'V^{-1}\mathbf{Z}|\gamma)$ n'a pas non plus de raison d'être nul, donc a priori on a $E(\hat{\gamma}|\gamma) \neq \gamma$.

L'estimateur "BLUP" de $\gamma$ n'est donc pas sans biais (que l'on raisonne conditionnellement ou non aux covariables $\mathbf{X}$ et $\mathbf{Z}$).

Pour les mêmes raisons (sans parler du fait que les estimations de $\sigma^2$ et $\sigma_{\gamma}^2$ rendent l'examen du biais plus ardu), l'estimateur "E-BLUP" de $\gamma$ est lui aussi a priori biaisé.

■

## 4.6 Les tests

### 4.6.1 Les tests sur $\beta$

Que l'on considère l'estimateur des MCQG, celui du maximum de vraisemblance ou celui des maximum de vraisemblance restreint, l'expression de l'estimateur de $\beta$ vérifie 3 :

$$\left( \mathbf{X}' \left( \hat{\sigma}^2 I + \hat{\sigma}_{\gamma}^2 \mathbf{Z}\mathbf{Z}' \right)^{-1} \mathbf{X} \right)^{\frac{1}{2}} \left( \hat{\beta} - \beta \right) \xrightarrow{n \to +\infty} N(0, I_{K+1})$$

À partir du moment où le nombre d'individus est suffisamment grand, des tests du type "$\beta_k = 0$" s'obtiennent très classiquement en comparant la statistique de Student avec les seuils de la loi normale.

Les sorties de SAS donnent les p-value correspondantes.

### 4.6.2 Tests sur $\sigma_{\gamma}^2$

Les tests statistiques sont généralement développés dans un cadre où la valeur testée n'est pas "à la borne": par exemple pour les tests de Student, l'hypothèse testée est $\beta_k = 0$ mais rien n'empêche $\beta_k$ d'être supérieur ou inférieur à 0. Or dans le cadre du modèle estimé, il est particulièrement pertinent de tester l'existence d'effets "classes", ce qui peut se traduire par l'hypothèse $\sigma_{\gamma}^2 = 0$. Dans ce cas, le test mis en oeuvre est un test "à la borne" car par nature $\sigma_{\gamma}^2 \ge 0$.

Comme on l'a vu, sous l'hypothèse $\sigma_{\gamma}^2 > 0$, la loi limite de l'estimateur est :

$$N(\sigma_{\gamma}, V_{as, \sigma_{\gamma}^2})$$

<footnote n="3">3. Sous les hypothèses des théorèmes énoncés précédemment</footnote>
Pour effectuer le test $\sigma_{\gamma}^{2} = 0$, il faut alors calculer la loi limite de $\hat{\sigma}_{\gamma}^{2}$ sous cette hypothèse. Dans ce cas, on peut alors montrer 4 que la loi limite de l'estimateur est un mélange de la loi limite précédente et d'un Dirac en 0. Ce qui revient au résultat intuitif simple que le test doit être mené comme un test unilatéral, ainsi dans le cas d'un test asymptotique de niveau 5 %, la statistique de Student doit être comparée à la valeur 1,64 et non 1,96. C'est ce que font par défaut les logiciels.

### 4.6.3 Les tests sur $\gamma$

Concernant les estimateurs de $\gamma$, ils sont tous fondés sur la statistique $Z'(y - \hat{X}\hat{\beta}) = Z'X(\beta - \hat{\beta}) + Z'Z\gamma + Z'\epsilon$. Or $(\beta - \hat{\beta})$ est asymptotiquement convergent à la vitesse $\sqrt{n}$ (ou $\sqrt{C}$, ce qui revient au même car le nombre d'élèves par classe est borné). Sous les hypothèses de normalité des résidus $Z'\epsilon$ est un vecteur gaussien.

Si $\hat{\gamma} = (Z'Z)^{-1}Z(y - \hat{X}\hat{\beta})$, alors sous les hypothèses de normalité :

$$ \hat{\gamma}_j - \gamma_j | \mathbf{X}, \mathbf{Z} \xrightarrow{n \to +\infty} \mathcal{N}(0, \sigma^2 n_j) $$

De plus, les différentes composantes de $\hat{\gamma}$ sont asymptotiquement indépendantes entre elles et sont indépendantes de $\hat{\beta}$, les tests usuels peuvent donc facilement s'implémenter.

Si $\hat{\gamma} = \hat{\sigma}_{\gamma}^{2} (\hat{\sigma}_{\gamma}^{2} Z'Z + \hat{\sigma}^{2} I)^{-1} Z' (y - \hat{X}\hat{\beta})$, il est toujours possible de calculer la variance asymptotique de $\hat{\gamma}|\mathbf{X}, \mathbf{Z}$, il faut cependant veiller au fait que les tests standards fondés sur les statistiques de type Student ou Fischer ne sont pas directement applicables car l'estimateur de $\gamma$ est biaisé (au sens fréquentiste du terme), pour ce qui concerne l'inférence on utilisera donc plutôt l'estimateur usuel $(Z'Z)^{-1}Z(y - \hat{X}\hat{\beta})$.

## 4.7 Programmation sous SAS...

### 4.7.1 ... des MCQG

Une des manières simples de programmer les différents estimateurs du modèle à effets aléatoires consiste à utiliser la proc mixed de SAS. Le choix de l'estimateur retenu se paramètre au moyen de l'option method; pour les MCQG, il faut écrire method=MIVQUE0. Par ailleurs, si on ne s'intéresse qu'aux estimateurs de $\beta$, le modèle peut s'écrire de manière équivalente :

$$ y = \mathbf{X}\beta + v \quad V(v|\mathbf{X}, \mathbf{Z}) = \sigma_{\gamma}^{2}Z'Z + \sigma^{2}I $$

$$ y = \mathbf{X}\beta + \mathbf{Z}\gamma + \varepsilon \quad V((\gamma', \varepsilon')' | \mathbf{X}, \mathbf{Z}) = \begin{bmatrix} \sigma_{\gamma}^{2}I_{C} & 0 \\ 0 & \sigma^{2}I_{N} \end{bmatrix} $$

et il y a donc deux moyens de programmer le même estimateur, un premier en utilisant l'instruction random pour spécifier un effet aléatoire, un deuxième (qui donne lieu à des calculs plus rapides) en utilisant l'instruction repeated/subject= type= pour préciser la forme bloc-diagonale de la matrice de variance-covariance (la proc mixed permet de spécifier une grande variété de formes de matrice de variance-covariance, et même de faire de l'inférence robuste à la forme de corrélation des inobservées intra-classe grâce à l'option empirical). L'option covtest permet de tester la nullité des paramètres $\sigma_{\gamma}^{2}$ et $\sigma^{2}$, l'option solution après l'instruction random permet de demander le calcul<fnref n="5" /> des $\hat{\gamma} = \hat{\sigma}_{\gamma}^{2} (\hat{\sigma}_{\gamma}^{2} Z'Z + \hat{\sigma}^{2} I)^{-1} Z' (y - \hat{X}\hat{\beta})$ (cela peut prendre du temps).

proc mixed data=TABLE method=mivque0 covtest;
classes Z;
model Y=X1 X2 ... XK/solution;
random Z/solution;
run;

ou

<footnote n="4">4. cf. Self et Liang (1987), pour plus de détails sur le sujet</footnote>

<footnote n="5">5. Pour calculer les estimateurs $\hat{\gamma} = (Z'Z)^{-1}Z' (y - \hat{X}\hat{\beta})$, qui nous semblent plus pertinents dans un cadre de statistique inférentielle classique, il faut procéder comme dans le chapitre précédent en calculant les moyennes par classe des quantités $y - \hat{X}\hat{\beta}$.</footnote>
```sas
proc mixed data=TABLE method=mivque0 covtest;
class Z;
model Y=X1 X2 ... XK/solution;
repeated /subject=Z type=cs;
run;
```

### 4.7.2 ... ou des autres estimateurs

Les autres estimateurs se calculent en changeant simplement la valeur de `method=`, pour l'estimateur du maximum de vraisemblance on utilisera `method=ML`, pour celui du maximum de vraisemblance restreint on utilisera `method=REML` (à défaut de préciser la méthode d'estimation, c'est le REML que SAS calcule).
# Chapitre 5

## Quel modèle choisir ?

Dans les chapitres précédents, nous avons présenté deux types de modèles, les modèles à "effets fixes" et les modèles à "effets aléatoires". L'objectif de ce chapitre est de clarifier les enjeux d'une telle distinction. Pour cela, nous allons nous placer dans le cadre le plus général possible et décliner les propriétés des estimateurs selon les spécifications retenues. Dans un deuxième temps, nous donnerons un test statistique de choix de modèle, afin de retenir la spécification la plus cohérente avec les données.

### 5.1 Discussion théorique

#### 5.1.1 Un cadre commun de comparaison des modèles

Revenons au cas le plus général qui soit. On postule que notre output $y_{ij}$ de l'élève i dans la classe j dépend de variables "individuelles" $X_{ij}^1$, de la composition de la classe selon ces variables $X_{.j}^1 = \frac{1}{n_j} \sum_{k=1}^{n_j} X_{kj}^1$ et de variables de "classe" $X_j^2$ et d'un effet spécifique de la classe $\gamma_j$ qui reflète l'influence de l'ensemble des variables inobservées communes aux élèves de la classe j. Parmi ces variables inobservées par le statisticien, il peut y avoir des "leviers" du décideur comme la qualité du professeur ou les conditions matérielles de la classe aussi bien que des variables relevant d'une sélection difficilement contrôlable par le décideur comme le fait que les élèves scolarisés au même endroit partagent des conditions d'existence communes au-delà de celles prises en compte dans la régression par les variables $X_{ij}^1$.

$$y_{ij} = X_{ij}^1 \beta_1 + X_{.j}^1 \beta_2^1 + X_j^2 \beta_2^2 + \gamma_j + \varepsilon_{ij} \quad (1)$$

Par ailleurs, les $\gamma_j$ peuvent être corrélés aux covariables. La régression linéaire de $\gamma_j$ sur les covariables est alors :

$$EL(\gamma_j | X_{ij}^1, X_{.j}^1, X_j^2) = X_{.j}^1 \lambda_2^1 + X_j^2 \lambda_2^2 \quad (2)$$

Contrairement à l'équation (1), l'équation (2) n'a pas d'interprétation structurelle, elle signifie juste que parmi les variables inobservées communes au sein de la classe, certaines sont liées aux variables $X^1$ ou $X^2$. Par exemple, une faible taille de classe a un effet positif sur la réussite scolaire ($\beta_2^2 > 0$) mais pour cette raison, les élèves scolarisés dans de telles classes sont souvent ceux que le directeur d'école identifie comme présentant des risques d'échec élevés ($\lambda_2^1 < 0$). De même, la composition de la classe peut exercer un effet direct via les effets de pairs ($\beta_2^1 \neq 0$) mais on peut également penser que toutes variables $X_{ij}^1$ égales par ailleurs, les caractéristiques inobservées des élèves sont corrélées à la composition sociale de leur classe ($\lambda_2^1 \neq 0$).

#### Comparaison d'estimateurs

On suppose que le processus de génération des données est le suivant :

$$y_{ij} = X_{ij}^1 \beta_1 + X_{.j}^1 \beta_2^1 + X_j^2 \beta_2^2 + \gamma_j + \varepsilon_{ij} \quad (1)$$

$$EL(\gamma_j | X_{ij}^1, X_{.j}^1, X_j^2) = X_{.j}^1 \lambda_2^1 + X_j^2 \lambda_2^2 \quad (2)$$
Pour estimer les paramètres de l'équation (1), on peut recourir à différentes estimations.

**Modèle à effets fixes :** on estime par MCO ou par estimation "Within" le modèle suivant :

$$y_{ij} = X_{ij}^{1} \beta_{1} + \gamma_{j} + \varepsilon_{ij}$$

Dans ce cas :

◇$\hat{\beta}_1$ estime sans biais $\beta_1$

◇$\hat{\gamma}_j$ estime sans biais $X_{.j}^1\beta_2^1 + X_j^2\beta_2^2 + \gamma_j$

◇La régression de $\hat{\gamma}_j$ sur $X_{.j}^1$ et $X_j^2$ estime sans biais $\beta_2^1 + \lambda_2^1$ et $\beta_2^2 + \lambda_2^2$

**Modèle à effets aléatoires "complet" (ou modèle de Mundlak) :** on estime par MCQG ou MV ou MVR le modèle suivant :

$$y_{ij} = X_{ij}^{1} \beta_{1} + X_{.j}^{1} \beta_{2}^{1} + X_{j}^{2} \beta_{2}^{2} + v_{ij}$$

$$\text{avec } v_{ij} = \gamma_j + \varepsilon_{ij}$$

Dans ce cas :

◇$\hat{\beta}_1$ estime asymptotiquement sans biais $\beta_1$

◇$\hat{\beta}_2^1$ estime asymptotiquement sans biais $\beta_2^1 + \lambda_2^1$, c'est donc un estimateur biaisé de $\beta_2^1$ dès que $\lambda_2^1 \neq 0$

◇$\hat{\beta}_2^2$ estime asymptotiquement sans biais $\beta_2^2 + \lambda_2^2$, c'est donc un estimateur biaisé de $\beta_2^2$ dès que $\lambda_2^2 \neq 0$

◇$\hat{\gamma}_j$ est un estimateur biaisé et asymptotiquement biaisé de $\gamma_j - X_{.j}^1\lambda_2^1 - X_j^2\lambda_2^2$ et de $\gamma_j$

**Modèle à effets aléatoires "incomplet" (omission des moyennes de classe) :** on estime par MCQG ou MV ou MVR le modèle suivant :

$$y_{ij} = X_{ij}^{1} \beta_{1} + X_{j}^{2} \beta_{2}^{2} + v_{ij}$$

$$\text{avec } v_{ij} = \gamma_j + \varepsilon_{ij}$$

◇$\hat{\beta}_1$ est un estimateur biaisé de $\beta_1$ dès que $\beta_2^1 + \lambda_2^1 \neq 0$

◇$\hat{\beta}_2^2$ est un estimateur biaisé de $\beta_2^2 + \lambda_2^2$ dès que $\beta_2^1 + \lambda_2^1 \neq 0$ et que $\text{cov}(X_{.j}^1, X_j^2) \neq 0$

◇$\hat{\gamma}_j$ est un estimateur biaisé et asymptotiquement biaisé de $\gamma_j - X_j^2\lambda_2^2$ et de $\gamma_j$

**En conclusion, sans recourir à des stratégies de variables instrumentales :**

◇ Dès que $\lambda_2^1 \neq 0$ et/ou dès que $\lambda_2^2 \neq 0$ (c'est-à-dire dès que les effets "classe" sont corrélés à des variables ayant un impact sur $y_{ij}$), on ne peut estimer sans biais (ou asymptotiquement sans biais) que les quantités $\beta_1, \beta_2^1 + \lambda_2^1$ et $\beta_2^2 + \lambda_2^2$. Les quantités $\beta_2^1$ et $\beta_2^2$ ne peuvent s'estimer sans biais (ou asymptotiquement sans biais) que si l'on suppose une absence de corrélation entre les distributions des effets "classe" $\gamma_j$ et les autres variables.

◇ Pour obtenir des estimations asymptotiquement sans biais de $\beta_1$ dans un modèle où on introduit des effets aléatoires au niveau de la classe (comme dans les modèles multi-niveaux), il est indispensable d'introduire les moyennes par classe pour les covariables telles que $\lambda_2^1 \neq 0$, même si les moyennes de classe n'ont pas d'impact causal sur les résultats ($\beta_2^1 = 0$).

### 5.1.2 Le modèle à effets fixes est un sur-modèle du modèle à effets aléatoires

Dans le cadre de comparaison commun exposé dans le paragraphe précédent, il apparaît de manière assez claire que la différence entre modèle à effets fixes et modèle à effets aléatoires tient essentiellement à la nature de la liaison postulée entre les effets "classes" $\gamma_j$ et les covariables $X$.
Dans le modèle à effets fixes, aucune hypothèse n’est faite sur la distribution des effets "classes" conditionnellement aux X. Dans le modèle à effets aléatoires, une hypothèse structurelle supplémentaire est faite (parfois implicitement) : $E(\gamma|\mathbf{X}) = 0$ et $V(\gamma|\mathbf{X}) = \sigma_{\gamma}^2$ ou même l'hypothèse paramétrique $\gamma|\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(0, \sigma_{\gamma}^2)$. Ces deux hypothèses sont des hypothèses d'indépendance (soit sur les premiers moments, soit sur la distribution) des effets "classe" par rapport aux covariables X.

Dans le cas où cette hypothèse d'indépendance est vérifiée, le modèle à effet aléatoire permet d'obtenir des estimateurs de $\beta_1$ plus précis que les estimateurs "à effets fixes" (on exploite de l'information supplémentaire quant à la distribution jointe des $\gamma$ et des $\mathbf{X}$). Dans le cas où cette hypothèse d'indépendance n'est pas vérifiée, le modèle à effets aléatoires conduit à des estimations biaisées de $\beta_1$ à la différence du modèle à effets fixes qui permet d'obtenir des estimations sans biais dans les deux cas de figure.

On est donc dans un cas d'arbitrage classique en économétrie : faire des hypothèses qui permettent de gagner en efficacité (si elles sont justes) mais qui risquent de générer des biais dans l'estimation (si elles sont fausses). Il faut choisir entre robustesse et efficacité, entre biais et variance.

Les tests d'Hausman permettent de construire une procédure de test qui permet de fonder ce choix sur les données.

### 5.1.3 Test d'Hausman

#### Un test de modèle

On se place sous les hypothèses maintenues suivantes :

$$ \mathbf{y} = \beta_0 + \mathbf{X}^1\beta_1 + \mathbf{X}^2\beta_2 + \mathbf{Z}\gamma + \varepsilon $$

Avec : $E(\varepsilon|\mathbf{X}, \mathbf{Z}) = 0$, $V(\varepsilon|\mathbf{X}, \mathbf{Z}) = \sigma^2$ et $V(\gamma|\mathbf{X}, \mathbf{Z}) = \sigma_{\gamma}^2$

Les variables $\mathbf{X}^1$ sont les variables individuelles qui varient au sein des classes. Les variables $\mathbf{X}^2$ sont celles qui sont constantes au sein des classes (parmi elles, il peut y avoir éventuellement des moyennes par classe de certaines variables $\mathbf{X}^1$).

On teste l'hypothèse $H_0$ suivante :

$$ H_0: EL(\gamma|\mathbf{X}) = 0 $$

On note $\hat{\beta}_1^{EF}$ l'estimateur de $\beta_1$ du modèle à effets fixes (estimateur "Within") et $\hat{\beta}_1^{EA}$ l'estimateur de $\beta_1$ du modèle à effets aléatoires (estimateur MCQG, MV ou MVR).

Sous $H_0$ on a :

$$ (\hat{\beta}_1^{EF} - \hat{\beta}_1^{EA})' (V(\hat{\beta}_1^{EF}) - V(\hat{\beta}_1^{EA}))^{-1} (\hat{\beta}_1^{EF} - \hat{\beta}_1^{EA}) \xrightarrow{n \to +\infty} \chi^2 (rg(V(\hat{\beta}_1^{EF}) - V(\hat{\beta}_1^{EA}))) $$

Et sous l'hypothèse alternative, on a :

$$ (\hat{\beta}_1^{EF} - \hat{\beta}_1^{EA})' (V(\hat{\beta}_1^{EF}) - V(\hat{\beta}_1^{EA}))^{-1} (\hat{\beta}_1^{EF} - \hat{\beta}_1^{EA}) \xrightarrow{n \to +\infty} \text{proba} + \infty $$

Les résultats de convergence restent valides si on remplace les quantités $V(\hat{\beta}_1^{EF})$ et $V(\hat{\beta}_1^{EA})$ par des estimateurs convergents à la vitesse $\frac{1}{n}$.

**Remarque :** les tests d'Hausman peuvent se dériver dans une grande diversité de cas, le point central du raisonnement consistant à comparer un estimateur efficace sous l'hypothèse $H_0$ à un estimateur convergeant aussi bien sous l'hypothèse nulle que sous l'hypothèse alternative.

Preuve :

□

La démonstration repose sur le fait que sous $H_0$, l'estimateur du modèle à effets aléatoires est asymptotiquement optimal. La quantité $f(\lambda) = \lim nV(\lambda\hat{\beta}_1^{EF} + (1-\lambda)\hat{\beta}_1^{EA})$ est donc minimale pour $\lambda = 0$. $\frac{\partial f}{\partial \lambda}|_{\lambda=0} = 0$ implique que $\lim nCov(\hat{\beta}_1^{EF}, \hat{\beta}_1^{EA}) = \lim nV(\hat{\beta}_1^{EA})$.
Les résultats usuels de convergence sur les estimateurs présentés assurent que :

$$
\sqrt{n} \left( \begin{pmatrix} \hat{\beta}_1^{EF} - \beta_1 \\ \hat{\beta}_1^{EA} - \beta_1 \end{pmatrix} \xrightarrow[n \to +\infty]{loi} \mathcal{N} \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \Sigma \right) \right.
$$

$$
\text{Avec } \Sigma = \lim n \left[ \begin{array}{cc} V(\hat{\beta}_1^{EF}) & V(\hat{\beta}_1^{EA}) \\ V(\hat{\beta}_1^{EA}) & V(\hat{\beta}_1^{EA}) \end{array} \right]
$$

On en déduit que :

$$
\sqrt{n} (\hat{\beta}_1^{EF} - \hat{\beta}_1^{EA}) \xrightarrow[n \to +\infty]{loi} \mathcal{N} (0, \lim n (V(\hat{\beta}_1^{EF}) - V(\hat{\beta}_1^{EA})))
$$

Et finalement :

$$
(\hat{\beta}_1^{EF} - \hat{\beta}_1^{EA})' (V(\hat{\beta}_1^{EF}) - V(\hat{\beta}_1^{EA}))^{-1} (\hat{\beta}_1^{EF} - \hat{\beta}_1^{EA}) \xrightarrow[n \to +\infty]{loi} \chi^2 (rg(V(\hat{\beta}_1^{EF}) - V(\hat{\beta}_1^{EA})))
$$

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

Tel qu'il est formulé ici, le test d'Hausman nécessite de faire deux estimations différentes, puis
de combiner les résultats de celles-ci pour construire la statistique de test.

Si le test d'Hausman rejette l'hypothèse H₀ de non corrélation entre les γ et les X, une possibilité consiste à enrichir les variables de niveau classe prises en compte dans le modèle. Plus le nombre de variables X² est important, plus on contrôle des caractéristiques observables de la classe, plus la partie "résiduelle" de l'effet "classe" a des chances d'être orthogonale aux variables X¹. Mais il y a de fortes chances pour qu'en pratique cela ne soit pas suffisant. On peut alors introduire dans le modèle les moyennes de classes de certaines variables X¹ (par exemple : pourcentage de filles dans la classe, d'enfants de cadres ou d'ouvriers, etc.).

Une autre possibilité est d'introduire dans le modèle les moyennes de classe de l'ensemble de variable X¹. La partie résiduelle de l'effet "classe" qui n'aurait pas été contrôlée par cette introduction des moyennes est alors par nature orthogonale aux X¹. C'est sur cette propriété que le modèle de Mundlak est construit. Il permet en outre de généraliser et de mettre en œuvre plus simplement le test d'Hausman (au moyen d'une seule estimation).

5.2 Le modèle de Mundlak

Nous avons vu dans la partie précédente que le modèle à effets aléatoires n’est qu’un sous-
modèle du modèle à effets fixes : on spécifie une forme particulière de l’effet "classe". Le modèle de
Mundlak est le modèle à effets aléatoires "le plus riche possible", c’est-à-dire le modèle dans lequel
on a introduit toutes les moyennes de classe. L’intérêt d’une telle introduction est que la partie
résiduelle de l’effet "classe" qui n’a pas été captée par les variables introduites dans le modèle est
alors par nature orthogonale à la distribution des variables individuelles. Nous allons voir qu’alors
les estimations des effets des variables individuelles coïncident entre le modèle de Mundlak et le
modèle à effets fixes. Une manière de vulgariser cela consiste à dire que le modèle à effets aléatoires a
été suffisamment enrichi pour "rejoindre" le sur-modèle qu’est le modèle à effets fixes. Une manière
de tester le sous-modèle est alors de procéder à des tests standards de nullité des coefficients (test
de Wald).

5.2.1 Les propriétés du modèle de Mundlak

Le modèle de Mundlak est un modèle à effets aléatoires dans lequel les moyennes par classe des covariables X¹ ont été introduites. Les propriétés présentées dans les chapitres précédents nous assurent que si "le vrai modèle" suit bien une telle spécification, l'estimateur des MCO est sans biais et les estimateurs des MCQG, du MV ou du MVR sont asymptotiquement sans biais (à condition d'introduire les moyennes de classes parmi les régresseurs). Plus remarquable encore, les estimations des paramètres associés aux variables "individuelles" coïncident avec l'estimateur "Within". Ce modèle est donc très proche du modèle à effets fixes en terme d'interprétation.

Propriétés des estimateurs dans le modèle de Mundlak
Le modèle de Mundlak est un modèle à effets aléatoires particulier de la forme suivante :

$$y_{i,j} = X_{ij}^{1} \beta_{1} + \delta_{j} + \varepsilon_{ij}$$

Avec : $\delta_j = X_{.j}^1 \beta_2^1 + X_j^2 \beta_2^2 + \gamma_j$, $E(\varepsilon|\mathbf{X}, \mathbf{Z}) = 0$, $E(\gamma|\mathbf{X}, \mathbf{Z}) = 0$, $V(\varepsilon|\mathbf{X}, \mathbf{Z}) = \sigma^2$ et $V(\gamma|\mathbf{X}, \mathbf{Z}) = \sigma_{\gamma}^2$

Ou encore :

$$y_{i,j} = X_{ij}^{1} \beta_{1} + X_{.j}^{1} \beta_{2}^{1} + X_{j}^{2} \beta_{2}^{2} + \gamma_{j} + \varepsilon_{ij}$$

Avec : $E(\varepsilon|\mathbf{X}, \mathbf{Z}) = 0$, $E(\gamma|\mathbf{X}, \mathbf{Z}) = 0$, $V(\varepsilon|\mathbf{X}, \mathbf{Z}) = \sigma^2$ et $V(\gamma|\mathbf{X}, \mathbf{Z}) = \sigma_{\gamma}^2$

Les estimateurs MCO, MCQG, MV ou MVR de $\beta_1$ coïncident avec l'estimateur "Within". Rap-
pelons ici que les modèles à effets aléatoires font généralement des hypothèses sur la distribution
jointe des effets "classe" et des covariables, à la différence des modèles à effets fixes. Bien que le
modèle de Mundlak soit un modèle à effets aléatoires, les estimations gardent la robustesse d'un
modèle à effets fixes car l'éventuelle corrélation entre covariables et effets "classe" a été contrôlée
par la prise en compte des moyennes de classe des covariables.

Les estimateurs MCO, MCQG, MV ou MVR de $\beta_2^1$ sont égaux à la différence entre l'estimation ob-
tenue par régression (pondérée) des moyennes par classe de Y sur les moyennes par classe de $X^1$ et
sur les $X^2$ et l'estimation obtenue par régression "Within". Si les effets "classe" $\delta_j$ sont décorrélés
des variables $X^1$, alors la régression "Between" (régression "au niveau de la classe" des moyennes
de Y sur les moyennes de X qui exploite la variabilité inter-classe) et la régression "Within" (qui
exploite la variabilité intra-classe) doivent donner des résultats proches et donc l'estimation de $\beta_2^1$
doit être proche de 0.

Les estimateurs MCO, MCQG, MV ou MVR de $\beta_2^2$ sont égaux à l'estimation obtenue par régression (pondérée) des moyennes par classe de Y sur les moyennes par classe de $X^1$ et sur les variables $X^2$. On constate donc que toute l'information utilisée pour estimer $\beta_2^2$ est comprise dans la variabilité inter-classe, la variabilité intra-classe n'apporte aucune information.

Preuve :

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

On note $\mathbf{Z}$ les indicatrices de classe. Soit $B = \mathbf{Z}(\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1}\mathbf{Z}'$ et $W = I - \mathbf{Z}(\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1}\mathbf{Z}'$ les pro-
jections inter-classe ("Between") et intra-classe ("Within"), il s'agit des opérateurs qui calculent
les moyennes de classe et les écarts à la moyenne de classe. On a comme relation $B\mathbf{Z} = \mathbf{Z}$ et
$W\mathbf{Z} = 0$. Les variables de niveau classe se décomposent sous la forme $\mathbf{X}^2 = \mathbf{Z}M$, donc $B\mathbf{X}^2 = \mathbf{X}^2$
et $W\mathbf{X}^2 = 0$. Enfin $\mathbf{X} = [\mathbf{X}^1|\mathbf{X}^2]$ est l'ensemble des variables $\mathbf{X}^1$ et $\mathbf{X}^2$.

Le modèle de Mundlak consiste à régresser $\mathbf{y}$ sur $\mathbf{X}^1, B\mathbf{X}^1, \mathbf{X}^2$ avec une matrice de variance des résidus de la forme de $\sigma_{\gamma}^2\mathbf{Z}\mathbf{Z}' + \sigma^2 I$. Les estimateurs MCO, MCQG, ML ou REML des paramètres sont de la forme :

$$\hat{\beta} = \left[ \left( \begin{pmatrix} \mathbf{X}^{1'} \\ \mathbf{X}^{1'} B \\ \mathbf{X}^{II'} \end{pmatrix} \hat{V}^{-1} (\mathbf{X}^1 | B\mathbf{X}^1 | \mathbf{X}^2) \right)^{-1} \begin{pmatrix} \mathbf{X}^{1'} \\ \mathbf{X}^{1'} B \\ \mathbf{X}^{II'} \end{pmatrix} \hat{V}^{-1} \mathbf{y} \right]$$

Avec : $\hat{V}^{-1} = \frac{1}{\sigma^2} I - \frac{\hat{\sigma}_{\gamma}^2}{\sigma^2} \mathbf{Z} (\hat{\sigma}^2 I + \hat{\sigma}_{\gamma}^2 \mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1} \mathbf{Z}'$, (pour l'estimateur MCO on a $\hat{\sigma}_{\gamma}^2 = 0$).

En utilisant le fait que $B\mathbf{X}^2 = \mathbf{X}^2$ et que $B\hat{V}^{-1} = B\hat{V}^{-1}B = \hat{V}^{-1}B$, on peut écrire :

$$\begin{pmatrix} \mathbf{X}^{1'} \\ \mathbf{X}^{1'} B \\ \mathbf{X}^{II'} \end{pmatrix} \hat{V}^{-1} (\mathbf{X}^1 | B\mathbf{X}^1 | \mathbf{X}^2) = \begin{bmatrix} \mathbf{X}^{1'} \hat{V}^{-1} \mathbf{X}^1 & \mathbf{X}^{1'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{X}^1 & \mathbf{X}^{1'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{X}^2 \\ \mathbf{X}^{1'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{X}^1 & \mathbf{X}^{1'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{X}^1 & \mathbf{X}^{1'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{X}^2 \\ \mathbf{X}^{II'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{X}^1 & \mathbf{X}^{II'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{X}^1 & \mathbf{X}^{II'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{X}^2 \end{bmatrix}$$
Comme $W\hat{V}^{-1}W = (I - B)\hat{V}^{-1}(I - B) = \hat{V}^{-1} - B\hat{V}^{-1}B$, on a :

$$ \begin{bmatrix} \mathbf{x}^{1'} \hat{V}^{-1} \mathbf{x}^{1} & \mathbf{x}^{1'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{x}^{1} & \mathbf{x}^{1'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{x}^{2} \\ \mathbf{x}^{1'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{x}^{1} & \mathbf{x}^{1'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{x}^{1} & \mathbf{x}^{1'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{x}^{2} \\ \mathbf{x}^{II'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{x}^{1} & \mathbf{x}^{II'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{x}^{1} & \mathbf{x}^{II'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{x}^{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (\mathbf{x}^{1'} W \hat{V}^{-1} W \mathbf{x}^{1})^{-1} & - (\mathbf{x}^{1'} W \hat{V}^{-1} W \mathbf{x}^{1})^{-1} & 0 \\ - (\mathbf{x}^{1'} W \hat{V}^{-1} W \mathbf{x}^{1})^{-1} & (\mathbf{x}^{1'} W \hat{V}^{-1} W \mathbf{x}^{1})^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & -I & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

D'autre part :

$$ \begin{bmatrix} \mathbf{x}^{1'} \hat{V}^{-1} \mathbf{x}^{1} & \mathbf{x}^{1'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{x}^{1} & \mathbf{x}^{1'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{x}^{2} \\ \mathbf{x}^{1'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{x}^{1} & \mathbf{x}^{1'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{x}^{1} & \mathbf{x}^{1'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{x}^{2} \\ \mathbf{x}^{II'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{x}^{1} & \mathbf{x}^{II'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{x}^{1} & \mathbf{x}^{II'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{x}^{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & I & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix} $$

Donc l'inverse de $\begin{pmatrix} \mathbf{X}^{1'} \\ \mathbf{X}^{1'} B \\ \mathbf{X}^{II'} \end{pmatrix} \hat{V}^{-1} (\mathbf{X}^{1} | B\mathbf{X}^{1} | \mathbf{X}^{2})$ est :

$$ \begin{bmatrix} (\mathbf{x}^{1'} W \hat{V}^{-1} W \mathbf{x}^{1})^{-1} & - (\mathbf{x}^{1'} W \hat{V}^{-1} W \mathbf{x}^{1})^{-1} & 0 \\ - (\mathbf{x}^{1'} W \hat{V}^{-1} W \mathbf{x}^{1})^{-1} & (\mathbf{x}^{1'} W \hat{V}^{-1} W \mathbf{x}^{1})^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} [\mathbf{x}' B \hat{V}^{-1} B \mathbf{x}]^{-1} $$

Les estimateurs sont donc de la forme :

$$ \hat{\beta} = \begin{pmatrix} (\mathbf{X}^{1'} W \hat{V}^{-1} W \mathbf{X}^{1})^{-1} \mathbf{X}^{1'} W \hat{V}^{-1} \mathbf{y} \\ - (\mathbf{X}^{1'} W \hat{V}^{-1} W \mathbf{X}^{1})^{-1} \mathbf{X}^{1'} W \hat{V}^{-1} \mathbf{y} \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ [\mathbf{X}' B \hat{V}^{-1} B \mathbf{X}]^{-1} \mathbf{X}' B \hat{V}^{-1} \mathbf{y} \\ 0 \end{pmatrix} $$

Finalement, comme $W\hat{V}^{-1}W = W\hat{V}^{-1} = \frac{1}{\sigma^2}W$ et que $B\hat{V}^{-1}B = B\hat{V}^{-1}$

$$ \hat{\beta} = \begin{pmatrix} (\mathbf{X}^{1'} W \mathbf{X}^{1})^{-1} \mathbf{X}^{1'} W \mathbf{y} \\ - (\mathbf{X}^{1'} W \mathbf{X}^{1})^{-1} \mathbf{X}^{1'} W \mathbf{y} \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ [\mathbf{X}' B \hat{V}^{-1} B \mathbf{X}]^{-1} \mathbf{X}' B \hat{V}^{-1} B \mathbf{y} \\ 0 \end{pmatrix} $$

Les estimations des paramètres associés aux variables individuelles dans le modèle de Mundlak coïncident avec les estimations "Within", on a ainsi la réponse à la question posée. Mais on peut aller un peu plus loin dans l'analyse.

En remarquant que $B\hat{V}^{-1}B = \mathbf{Z}(\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1}\mathbf{Z}' \left[ \frac{1}{\sigma^2}I - \frac{\hat{\sigma}_\gamma^2}{\sigma^2}\mathbf{Z}(\hat{\sigma}_\gamma^2 I + \hat{\sigma}_\gamma^2\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1}\mathbf{Z}' \right] \mathbf{Z}(\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1}\mathbf{Z}' = \frac{1}{\sigma^2}\mathbf{Z} \left[ (\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1} - \hat{\sigma}_\gamma^2(\hat{\sigma}_\gamma^2 I + \hat{\sigma}_\gamma^2\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1} \right] \mathbf{Z}' = \frac{1}{\sigma^2}\mathbf{Z} \left[ \hat{\sigma}_\gamma^2(\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1} + \hat{\sigma}_\gamma^2 I - \hat{\sigma}_\gamma^2\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1} \right] (\hat{\sigma}_\gamma^2 I + \hat{\sigma}_\gamma^2\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1}\mathbf{Z}' = \mathbf{Z}(\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1} (\hat{\sigma}_\gamma^2(\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1} + \hat{\sigma}_\gamma^2 I)^{-1} (\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1}\mathbf{Z} $$

On peut interpréter les quantités $[\mathbf{X}'B\hat{V}^{-1}B\mathbf{X}]^{-1}\mathbf{X}'B\hat{V}^{-1}B\mathbf{y}$ comme les estimations en travaillant sur un fichier de classes pour lequel toutes les moyennes par classe ont été calculées et en effectuant une régression pondérée de la moyenne de $\mathbf{y}$ sur les $\mathbf{X}^2$ et les moyennes de $\mathbf{X}^1$. Les poids sont de la forme $\frac{1}{\sqrt{\hat{\sigma}_\gamma^2 + \frac{\sigma^2}{n_j}}}$, où $n_j$ est la taille de la classe $j$ (on accorde plus d'importance aux grandes classes). On remarque que dans le cas des MCO, le poids est alors proportionnel à $\sqrt{n_j}$ ce qui revient à faire la régression "Between" sur le fichier individuel sans pondérer.

Les coefficients associés aux variables $B\mathbf{X}^1$ dans le modèle de Mundlak sont estimés comme différence entre la régression "Within" et la régression "Between" pondérée, les coefficients associés aux variables $\mathbf{X}^2$ dans le modèle de Mundlak sont estimés uniquement au moyen de la régression "Between" pondérée.

<figure><img src="image_55.png" /></figure>
### 5.2.2 Implémentation du test d'Hausman et amélioration des estimations

Le test d'Hausman présenté plus haut permet de tester la propriété d'orthogonalité entre la distribution des effets "classe" et l'ensemble des covariables introduites dans le modèle. C'est une hypothèse nécessaire dans le cas où on décide de recourir à un modèle à effets aléatoires. Si celle-ci est rejetée, on peut soit avoir recours à une estimation du modèle à effets fixes, soit ajouter des variables définies au niveau de la classe dans la régression pour rendre l'hypothèse plus crédible et avant de la tester à nouveau. Mais le test d'Hausman tel qu'il a été présenté nécessite pour chaque test deux estimations et une programmation spécifique. Nous allons présenter une méthode qui permet de l'implémenter de manière particulièrement simple avec SAS (et la plupart des logiciels statistiques).

#### Le test d'Hausman comme un test de Wald dans le modèle de Mundlak

Le modèle de Mundlak est de la forme :

$$y_{i,j} = X_{ij}^{1} \beta_{1} + X_{.j}^{1} \beta_{2}^{1} + X_{j}^{2} \beta_{2}^{2} + \gamma_{j} + \varepsilon_{ij}$$

$$\text{Avec : } E(\varepsilon|\mathbf{X}, \mathbf{Z}) = 0, E(\gamma|\mathbf{X}, \mathbf{Z}) = 0, V(\varepsilon|\mathbf{X}, \mathbf{Z}) = \sigma^2 \text{ et } V(\gamma|\mathbf{X}, \mathbf{Z}) = \sigma_{\gamma}^2$$

Pour les estimateurs MCO, MCQG, MV ou MVR de $\hat{\beta}_2^1$, la statistique de Wald (qui permet de tester la nullité globale de $\beta_2$) est numériquement égale à la statistique d'Hausman.

$$\hat{\beta}_2^1 V(\hat{\beta}_2^1)^{-1} \hat{\beta}_2^1 = (\hat{\beta}_1^{EF} - \hat{\beta}_1^{EA})' (V(\hat{\beta}_1^{EF}) - V(\hat{\beta}_1^{EA}))^{-1} (\hat{\beta}_1^{EF} - \hat{\beta}_1^{EA})$$

Mais les variances des différents estimateurs ne sont pas connues et doivent être elles-mêmes estimées de manière convergente.

Les tests associés aux estimations MCQG, MV et MVR s'appuient sur une estimation convergente de la variance de $\beta_2$ :

$$\hat{\beta}_2^1 \hat{V} (\hat{\beta}_2^1)^{-1} \hat{\beta}_2^1$$

Sous l'hypothèse $H_0$ ($\beta_2 = 0$), cette statistique tend en loi vers un $\chi^2(rg(V(\hat{\beta}_2^1)))$

Sous l'hypothèse alternative ($\beta_2 \neq 0$), cette statistique tend presque sûrement vers $+\infty$.

Par contre, le test associé aux estimations MCO s'appuie sur un estimateur non convergeant de la variance de $\beta_2$, il est donc biaisé car la statistique ne tend pas sous $H_0$ vers une distribution connue.

Preuve :

□

On a déjà vu précédemment que l'estimateur $\hat{\beta}_2^1$ se décompose comme la différence de deux termes; le premier est obtenu par régression "Between" (éventuellement pondérée si le nombre d'élèves par classe varie) et le second par régression "Within".

$$\hat{\beta}_2^1 = \hat{\beta}^B - \hat{\beta}^W$$

avec :

$$\hat{\beta}^B = \begin{bmatrix} \mathbf{X}^{1'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{X}^1 - \mathbf{X}^{1'} B \hat{V}^{-1} \mathbf{X}^2 (\mathbf{X}^{II'} \hat{V}^{-1} \mathbf{X}^2)^{-1} \mathbf{X}^{II'} \hat{V}^{-1} B \mathbf{X}^1 \\ \mathbf{X}^{1'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{y} - \mathbf{X}^{1'} B \hat{V}^{-1} \mathbf{X}^2 (\mathbf{X}^{II'} \hat{V}^{-1} \mathbf{X}^2)^{-1} \mathbf{X}^{II'} \hat{V}^{-1} B \mathbf{y} \end{bmatrix}^{-1}$$

$$\hat{V} (\hat{\beta}^B)^{-1} = \mathbf{X}^{1'} B \hat{V}^{-1} B \mathbf{X}^1 - \mathbf{X}^{1'} B \hat{V}^{-1} \mathbf{X}^2 (\mathbf{X}^{II'} \hat{V}^{-1} \mathbf{X}^2)^{-1} \mathbf{X}^{II'} \hat{V}^{-1} B \mathbf{X}^1$$
$$
\begin{align*}
\hat{\beta}^W &= (\mathbf{X}^{1'} W \mathbf{X}^1)^{-1} (\mathbf{X}^{1'} W \mathbf{y}) = (\mathbf{X}^{1'} W \hat{V} W \mathbf{X}^1)^{-1} (\mathbf{X}^{1'} W \hat{V} W \mathbf{y}) \\
\hat{V} (\hat{\beta}^W)^{-1} &= \mathbf{X}^{1'} W \hat{V} W \mathbf{X}^1
\end{align*}
$$

Or :

$$
\hat{\beta}^{EA} = \left[ \begin{array}{l} \mathbf{X}^{1'} \hat{V}^{-1} \mathbf{X}^{1} - \mathbf{X}^{1'} \hat{V}^{-1} \mathbf{X}^{2} (\mathbf{X}^{II'} \hat{V}^{-1} \mathbf{X}^{2})^{-1} \mathbf{X}^{II'} \hat{V}^{-1} \mathbf{X}^{1} \\ \mathbf{X}^{1'} \hat{V}^{-1} \mathbf{y} - \mathbf{X}^{1'} \hat{V}^{-1} \mathbf{X}^{2} (\mathbf{X}^{II'} \hat{V}^{-1} \mathbf{X}^{2})^{-1} \mathbf{X}^{II'} \hat{V}^{-1} \mathbf{y} \end{array} \right]^{-1}
$$

Donc :

$$
\begin{align*}
\hat{V} (\hat{\beta}^{EA})^{-1} &= \hat{V} (\hat{\beta}^W)^{-1} + \hat{V} (\hat{\beta}^B)^{-1} \\
\hat{V} (\hat{\beta}^{EA})^{-1} \hat{\beta}^{EA} &= \hat{V} (\hat{\beta}^W)^{-1} \hat{\beta}^W + \hat{V} (\hat{\beta}^B)^{-1} \hat{\beta}^B
\end{align*}
$$

De plus :

$$
\begin{align*}
\hat{\beta}^{EF} &= \hat{\beta}^W \\
\hat{V} (\hat{\beta}^{EF}) &= \hat{V} (\hat{\beta}^W)
\end{align*}
$$

On en déduit alors que :

$$
\begin{align*}
\hat{V} (\hat{\beta}^{EA})^{-1} (\hat{\beta}^{EF} - \hat{\beta}^{EA})
&= \hat{V} (\hat{\beta}^{EA})^{-1} (\hat{\beta}^W - \hat{\beta}^{EA}) \\
&= [\hat{V} (\hat{\beta}^{EA})^{-1} - \hat{V} (\hat{\beta}^W)^{-1}] \hat{\beta}^W - \hat{V} (\hat{\beta}^B)^{-1} \hat{\beta}^B \\
&= \hat{V} (\hat{\beta}^B)^{-1} (\hat{\beta}^W - \hat{\beta}^B) \\
&= -\hat{V} (\hat{\beta}^B)^{-1} \hat{\beta}_2^1
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
& \hat{V} (\hat{\beta}^{EA}) [\hat{V} (\hat{\beta}^W) - \hat{V} (\hat{\beta}^{EA})]^{-1} \hat{V} (\hat{\beta}^{EA}) \\
&= [ (\hat{V} (\hat{\beta}^W)^{-1} + \hat{V} (\hat{\beta}^B)^{-1}) \hat{V} (\hat{\beta}^W) (\hat{V} (\hat{\beta}^W)^{-1} + \hat{V} (\hat{\beta}^B)^{-1}) - (\hat{V} (\hat{\beta}^W)^{-1} + \hat{V} (\hat{\beta}^B)^{-1}) ]^{-1} \\
&= [ \hat{V} (\hat{\beta}^B)^{-1} + \hat{V} (\hat{\beta}^B)^{-1} \hat{V} (\hat{\beta}^W) \hat{V} (\hat{\beta}^B)^{-1} ]^{-1} \\
&= \hat{V} (\hat{\beta}^B) [ \hat{V} (\hat{\beta}^B) + \hat{V} (\hat{\beta}^W) ]^{-1} \hat{V} (\hat{\beta}^B)
\end{align*}
$$

Ce qui permet de conclure.

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

Pour choisir entre un modèle à effets fixes et un modèle à effets aléatoires, il suffit donc d'estimer un modèle de Mundlak et de tester la nullité jointe des coefficients associés aux moyennes par classe des covariables. Ce test doit être mené en permettant des corrélations entre les inobservées des élèves dans une même classe. Il ne faut donc pas utiliser les tests usuels de Fisher des MCO. Cependant, les logiciels permettent facilement de faire de tels tests en introduisant des "clusters" (en français des effets de grappes) dans les inobservées, ou d'estimer directement la régression par MCQG, maximum de vraisemblance ou maximum de vraisemblance restreint.

Si la nullité jointe des coefficients est rejetée, alors il existe vraisemblablement une corrélation entre les inobservées constantes au sein de la classe et les covariables X¹, dans ce cas le "vrai" modèle est un modèle à effets fixes. Sans recours à des hypothèses de type "variables instrumentales", les seuls coefficients qui peuvent être estimés sans biais sont ceux associés aux variables X¹. Or l'estimation du modèle de Munlak fournit directement un estimateur convergent de ces coefficients.

Si la nullité jointe des coefficients est acceptée, alors il n'y a pas de corrélation entre les inobser-
vées constantes au sein de la classe et les covariables X¹. Dans ce cas, le modèle à effets aléatoires,
bien que plus restrictif que le modèle à effets fixes, ne peut pas être rejeté sur la base du test
d'Hausman. Dans un souci de précision, il est alors possible d'estimer les coefficients β¹ associés
aux covariables X¹ sans introduire dans la régression les moyennes de classe des covariables.
## 5.3 Programmation sous SAS...

### 5.3.1 ... du modèle de Mundlak

L'estimation du modèle de Mundlak se programme de la même manière que dans le chapitre précédent, il faut juste ajouter les moyennes par classe pour les variables qui changent au sein de la classe (on les note X11, X12, ..., X1K1 dans l'exemple ci-dessous par oppostion aux variables X21, X22, ..., X2K2 qui sont constantes au sein de la classe).

Il faut donc calculer pour chaque observation, la moyenne des covariables par classe, par exemple de la manière suivante :

```sas
proc summary data=TABLE;
  var X11 X12 ... X1K1;
  class Z;
  output out=between(where=(_STAT='MEAN' and _TYPE=1));
run;

proc sort data=TABLE;
  by Z;
run;

proc sql;
  create table TABMUND as
    select
      t1.Y as Y,
      t1.X11 as X11,
      t1.X12 as X12,
      ...
      t1.X1K1 as X1K1,
      t1.X21 as X21,
      t1.X22 as X22,
      ...
      t1.X2K2 as X2K2,
      t2.X11 as B_X11,
      t2.X12 as B_X12,
      ...
      t2.X1K1 as B_X1K1,
      t1.Z as Z
    from TABLE as t1, between as t2
    where t1.Z = t2.Z;
quit;
```

Il ne reste plus qu'à estimer le modèle à effets aléatoires (par exemple, par MCQG comme ci-dessous)

```sas
proc mixed data=TABMUND method=mivque0;
  class Z;
  model Y=X11 X12 ... X1K1 X21 X22 ... X2K2 B_X11 B_X12 ... B_X1K1/solution;
  repeated /subject=Z type=cs;
run;
```

### 5.3.2 ... et du test d'Hausman

Pour implémenter le test d'Hausman, il suffit d'estimer le modèle de Mundlak en précisant qu'on désire faire un test joint sur la nullité des coefficients associés aux moyennes par classe B_X11, B_X12, ..., B_X1K1 des covariables X11, X12, ..., X1K1.

```sas
proc mixed data=TABMUND method=mivque0;
  class Z;
  model Y=X11 X12 ... X1K1 X21 X22 ... X2K2 B_X11 B_X12 ... B_X1K1/solution;
```
contrast 'Test de nullité globale des moyennes par classe'
B_X11 1,
B_X12 1,
...
B_X1K1 1;
repeated /subject=Z type=cs;
run;
# Chapitre 6

## Extension au cas d'une variable dépendante dichotomique

On se place maintenant dans le cas où la variable d'intérêt $y$ est une variable dichotomique prenant les valeurs 0 ou 1. Le cas typique concernant les problématiques relatives à l'éducation est le redoublement, le fait d'obtenir ou non un diplôme ou le choix de s'inscrire (ou le fait d'être admis) dans une filière particulière.

Dans la première partie de ce chapitre, nous présentons quelques résultats concernant les modèles dichotomiques dans le cas où il n'y a pas d'effets "classe". Ces modèles, bien qu'identifiés sous des hypothèses relativement faibles sont souvent estimés dans un cadre paramétrique par maximum de vraisemblance. Dans une deuxième partie, nous montrons comment, dans le cadre du maximum de vraisemblance, l'introduction d'effets fixes au niveau de la classe conduit à des estimateurs biaisés en raison du problème dit "des paramètres incidents". Dans une troisième partie, nous montrons comment ce problème de paramètres incidents peut être contourné en utilisant un maximum de vraisemblance conditionnel lorsque la distribution des inobservées est logistique. Enfin, nous présentons les modèles à effets aléatoires très utilisés en pratique, mais au prix d'hypothèses fortes sur la structure des effets "classes".

### 6.1 Rappel sur les modèles à variables qualitatives

La première partie de cette section présente le modèle linéaire de probabilité, c'est le modèle le plus simple, qui consiste simplement à ignorer que la variable expliquée est dichotomique et à la traiter comme une variable continue. Cette modélisation pose cependant problème concernant la structure des inobservées et la cohérence des prédictions obtenues.

La deuxième partie de cette section présente l'estimateur du score maximum de Manski, il s'agit essentiellement de mettre en évidence des hypothèses relativement faibles sous lesquelles un modèle dichotomique peut être identifié et estimé. Dans un tel modèle, les observées et les inobservées ont un impact causal sur une variable latente. Quand cette variable latente est au dessus (respectivement au dessous) d'un certain seuil, la variable expliquée vaut 1 (respectivement 0). L'identification provient d'une hypothèse concernant la variabilité d'une des variables explicatives $X$ et un quantile conditionnel des inobservées. L'intérêt d'un tel estimateur est d'être semi-paramétrique : l'ensemble des lois des inobservées étant alors de dimension infinie. On obtient cependant des estimateurs convergents dans le cadre standard (c'est-à-dire sans effets "classe"). Le calcul et l'inférence concernant cet estimateur restent cependant difficile à mettre en œuvre.

Enfin, la troisième partie de cette section présente en détail les modèles paramétriques de type logit ou probit estimés par maximum de vraisemblance. Ces modèles paramétriques restreignent les lois des inobservées à un espace de dimension finie (dimension 1 en l'occurence pour le probit et la logit). Cette forte hypothèse de structure permet d'obtenir des estimateurs relativement simples à calculer ainsi que de construire des tests.
### 6.1.1 Le modèle linéaire de probabilité

On peut alors penser assez naturellement à un "modèle linéaire de probabilité" en faisant comme si la variable dépendante était continue :

**Un modèle simple mais incohérent**

$$y = X\beta + \epsilon$$

avec $y \in \{0, 1\}$ et $E(\epsilon|X) = 0$

Ce modèle présente un certain nombre d'inconvénients :

- Il est intrinsèquement hétéroscédastique (puisque $V(\epsilon|X) = \text{diag}(X\beta(1 - X\beta))$). Pour effectuer des tests sur la valeur de $\beta$, il faut donc recourir aux MCQG.

- La probabilité $P(y = 1|X) = E(y|X) = X\beta$ n'est pas bornée par le modèle, cela peut devenir particulièrement problématique si le support de $X$ est large. En pratique, il peut ainsi arriver que le prédicteur $X\hat{\beta}$ n'appartienne pas à l'intervalle $[0, 1]$ pour certains individus.

**Remarque :** s'il peut être très facile d'estimer des modèles linéaires de probabilité à titre exploratoire, il faut bien garder en tête que les tests de Fischer sont biaisés pour une régression des moindres carrés et que la variable y est bornée, ce qui nécessite souvent de recourir à une modélisation qui prenne en compte le fait que la variable y soit dichotomique.

### 6.1.2 L'estimateur du score maximum de Manski

Manski a étudié le modèle suivant :

**Un estimateur semi-paramétrique**

$$y_i = \mathbb{1}\{X_i\beta + \epsilon_i > 0\}$$

avec $F_{-\epsilon|X}$ la fonction de répartition de $-\epsilon_i|X$.

Si on suppose de plus que :

- les covariables $X$ ne sont pas reliées par une combinaison linéaire (hypothèse qui implique qu'avec suffisamment d'observations la matrice $X$ est de plein rang colonne).

- $F_{-\epsilon|X}(0) = \frac{1}{2}$, c'est-à-dire que la médiane de $\epsilon$ conditionnellement à $X$ est nulle.

- il existe une covariable $x_k$ particulière : un instrument à large support (c'est-à-dire tel que $\forall (a, b) \in \mathbb{R}^2$, $P(x_k \in [a, b]|(x_{k'})_{k' \neq k}) > 0$) dont le coefficient $\beta_k$ associé est non nul.

Dans ces conditions :

- $\beta$ est identifiable à un facteur d'échelle près (i.e. on peut identifier $\frac{\beta}{||\beta||}$).

- L'estimateur $\hat{\beta} = \min \sum_{i=1}^{n} |y_i - 1\{X_i\beta > 0\}|$ est convergent (vers $\frac{\beta}{||\beta||}$)

**Remarque :** tous les modèles binaires nécessitent une normalisation, car le caractère binaire de la variable expliquée n'introduit pas assez de variabilité pour identifier la dispersion de la variable sous-jacente ; en effet, la variable latente $\{2X_i\beta + 2\epsilon_i$ induit le même résultat que la variable latente $X_i\beta + \epsilon_i$. Cette normalisation peut soit porter sur la dispersion des résidus (par exemple : dans les modèles Probit et Logit, on fait en pratique l'hypothèse que $V(\epsilon) = 1$), soit porter sur la normalisation d'une des composantes de $\beta$ (par exemple, on fixe la valeur de la constante à 1), soit porter sur la norme de $\beta$ (c'est ce qu'on fait implicitement ici en discutant l'identification de $\frac{\beta}{||\beta||}$).

L'hypothèse de large support est assez restrictive en pratique car elle implique qu'il existe des individus dans la population pour lesquels la probabilité $P(y = 1|X)$ tend vers 0, et d'autres pour lesquels elle tend vers 1. Cette hypothèse n'est pas crédible pour modéliser des évènements rares (dont on peut penser que la probabilité de réalisation pour tous les individus est inférieure à $\bar{p} < 1$), ou des évènements fréquents (la probabilité de réalisation pour tous les individus est supérieure à $\underline{p} > 0$).
L'estimateur du score maximum est surtout intéressant d'un point de vue théorique puisqu'il prouve que l'identification et la production d'un estimateur convergent ne reposent pas sur une loi particulière de $\epsilon$ (F n'a pas besoin d'être explicitement connue ou estimée), ni sur l'indépendance de $\epsilon$ et de $X$ (par exemple, $V(\epsilon|X)$ peut dépendre de $X$). En pratique, il est souvent difficile à mettre en oeuvre car la fonction à minimiser n'est pas régulière, et sa convergence asymptotique n'est pas standard (convergence en $n^{1/3}$ vers une distribution non normale). En pratique, pour mener des estimations semi-paramétriques, on utilisera plutôt des méthodes proposées par Horowitz ("A Smoothed Maximum Score Estimator for the Binary Response Model", Econometrica 1992) ou Klein et Spady ("An Efficient Semiparametric Estimator for Binary Response Models", Econometrica 1993).

Preuve :

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

On se contentera ici de donner l'idée de la preuve.

On suppose sans perte de généralité que notre instrument à large support est en dernière position dans la liste des covariables ($k=K$) et que la constante est en première position : $X_0$. On distingue les $K$ premières composantes de $\beta$ de la composante associée à l'instrument à large support : $\beta = (\beta_{-K}, \beta_K) \in \mathbb{R}^{K+1}$. De même, on distinguera les $K$ premières composantes d'un vecteur $b \in \mathbb{R}^{K+1}$ de la dernière en adoptant la notation $b = (b_{-K}, b_K)$. On suppose également sans perte de généralité que $\beta_K > 0$ (le cas $\beta_K < 0$ se démontrant de manière identique). On remarque alors que si $X\beta \ge 0$ (respectivement $X\beta < 0$), alors $P(y=1|X) \ge \frac{1}{2}$ (respectivement $P(y=1|X) < \frac{1}{2}$). $P(y=1|X)$ est identifiable (si on avait un très grand nombre de données, il suffirait de faire des moyennes à $X$ donné). Donc $\beta$ sera identifiable à un facteur d'échelle près si $\forall b \in \mathbb{R}^{K+1}$ tel que $b_K \ne 0$, $||b|| = 1$, $b \ne \beta$ on a $1_{\{Xb \ge 0\}} \ne 1_{\{X\beta \ge 0\}}$ pour un ensemble de valeurs de $X$ qui ne soit pas de mesure nulle, c'est-à-dire qu'on a $P(1_{\{Xb \ge 0\}} \ne 1_{\{X\beta \ge 0\}}) > 0$.

On a alors :

$$ P(1_{\{Xb \ge 0\}} \ne 1_{\{X\beta \ge 0\}}) = P(Xb < 0 \le X\beta) + P(X\beta < 0 \le Xb) \\ \ge P(Xb < 0 < X\beta) + P(X\beta < 0 < Xb) $$

Distinguons deux cas selon la valeur de $b_K$ :

- Si $b_K < 0$ : $P(Xb < 0 < X\beta) = P\left(-\frac{X_K b_{-K}}{b_K} < x_K \cap -\frac{X_K \beta_{-K}}{\beta_K} < x_K\right) = P\left(max\left(-\frac{X_K b_{-K}}{b_K} < x_K, -\frac{X_K \beta_{-K}}{\beta_K} < x_K\right)\right)$. Comme $x_K$ est à large support, il existe de "grandes" valeurs de $x_K$ qui assurent que $P(1_{\{Xb \ge 0\}} \ne 1_{\{X\beta \ge 0\}}) > 0$

- Si $b_K > 0$ : on a $P(Xb < 0 < X\beta) = P\left(-\frac{X_K \beta_{-K}}{\beta_K} < x_K < -\frac{X_K b_{-K}}{b_K}\right)$ et $P(X\beta < 0 < Xb) = P\left(-\frac{X_K b_{-K}}{b_K} < x_K < -\frac{X_K \beta_{-K}}{\beta_K}\right)$. Comme $x_K$ est continue (conditionnellement à $X_{-K}$), on en conclut que les quantités $P\left(-\frac{X_K \beta_{-K}}{\beta_K} < x_K < -\frac{X_K b_{-K}}{b_K}\right)$ et $P\left(-\frac{X_K b_{-K}}{b_K} < x_K < -\frac{X_K \beta_{-K}}{\beta_K}\right)$ ne peuvent être simultanément nulles que si $P\left(\frac{X_K \beta_{-K}}{\beta_K} = \frac{X_K b_{-K}}{b_K}\right) = 1$, ce qui contredit le fait que les covariables ne sont pas reliées par une combinaison linéaire. Donc $P(1_{\{Xb \ge 0\}} \ne 1_{\{X\beta \ge 0\}}) > 0$.

On en conclut que $\beta$ est bien identifié à un facteur d'échelle près.

Les théorèmes classiques sur les estimateurs obtenus par maximisation d'une fonction assurent la convergence sous les conditions suivantes :

- $\forall b \in \mathbb{R}^{K+1}$ tel que $b_K \ne 0$ et $||b|| = 1$ on a : $E[|y - 1_{\{X\beta > 0\}}|] > E[|y - 1_{\{Xb > 0\}}|]$

- La fonction $b \mapsto E[|y - 1_{\{Xb\}}|]$ est continue sur $\{b \in \mathbb{R}^{K+1}, b_K \ne 0, ||b|| = 1\}$

- $\sup_{b \in \mathbb{R}^{K+1}, b_K \ne 0, ||b||=1} \left| \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |y - 1_{\{Xb \ge 0\}}| - E[|y - 1_{\{Xb \ge 0\}}|] \right| \xrightarrow{n \to +\infty} 0$

Comme (cf. la partie de la preuve sur l'identification) $P(1_{\{X\beta > 0\}} \ne 1_{\{Xb > 0\}}) > 0$ et que $E[|y - 1_{\{X\beta > 0\}}| - |y - 1_{\{Xb > 0\}}|] = E[|1_{\{X\beta > 0\}} - 1_{\{Xb > 0\}}|] = P(1_{\{X\beta > 0\}} \ne 1_{\{Xb > 0\}})$, la première condition est vérifiée.

Pour la deuxième condition, on peut supposer sans perte de généralité que $b_K > 0$, dans ce cas : $E[|y - 1_{\{Xb > 0\}}|] = P(y = 1, Xb \le 0) + P(y = 0, Xb > 0)$. La continuité en $b$ du terme

$$ P(y = 1, Xb \le 0) \text{ est assuré par le fait que } P(y = 1, Xb \le 0) = E\left(F(X\beta)1_{\{x_K \le -\frac{X_K b_{-K}}{b_K}\}}\right), \text{ qui} $$
est une fonction continue en b et bornée. La continuité de $P(y = 0, Xb > 0)$ se prouve de la même manière.

Enfin, la troisième condition est la plus difficile à montrer. En effet, si de manière immédiate, la loi des grands nombres implique que pour tout b fixé $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |y - 1\{Xb \ge 0\}| \xrightarrow{n \to +\infty} E[|y - 1\{Xb \ge 0\}|]$, obtenir une convergence uniforme pour $b \in \mathbb{R}^{K+1}$ est plus difficile. Comme $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |y - 1\{Xb \ge 0\}| = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 1\{y_i = 1, X_i b \ge 0\} + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 1\{y_i = 0, X_i b < 0\}$ et que $E[|y - 1\{Xb \ge 0\}|] = P(y_i = 1, X_i b \ge 0) + P(y_i = 0, X_i b < 0)$, il s'agit de généraliser à un cadre multi-dimensionnel le théorème de Glivenko-Cantelli qui assure que pour des variables z réelles et identiquement distribuées $sup_{a \in \mathbb{R}} |P(z_1 \le a) - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 1\{z_i \le a\}| \xrightarrow{n \to +\infty} 0$. Rao a établi le résultat qui nous intéresse en 1962.
■

### 6.1.3 Les modèles Probit et Logit

La partie précédente nous a permis de mettre en évidence que sous des hypothèses distributionnelles relativement faibles concernant la loi de la variable latente (la distribution de $\epsilon|X$ n'est pas précisée), les paramètres $\beta$ sont identifiables et estimables de manière convergente. Faire des hypothèses plus restrictives sur la distribution des résidus présente des avantages pratiques : le calcul des estimateurs est plus simple, la loi asymptotique des estimateurs est plus précise (on abandonne un résultat robuste qui ne nécessitait pas de faire d'hypothèse distributionnelle pour un résultat plus précis si l'hypothèse distributionnelle est retenue à raison), il n'est plus nécessaire d'avoir un instrument à large support (instrument souvent manquant en pratique). Si on suppose que la distribution de $\epsilon|X$ est connue, on se retrouve alors dans le cadre général du maximum de vraisemblance, ce qui permet d'obtenir les lois asymptotiques des estimateurs et des tests asymptotiques. Pour toutes ces raisons, les modèles paramétriques (c'est-à-dire les modèles qui supposent la loi de $\epsilon|X$ connue) sont beaucoup plus utilisés dans la pratique que le modèle semi-paramétrique<fnref n="1" /> de Manski.

#### L'estimateur du maximum de vraisemblance

$$y_i = 1\{X_i\beta + \epsilon_i > 0\}$$

avec $F$ la fonction de répartition de $-\epsilon_i|X_i$.

Si on suppose de plus que :

- Les $y_i, x_{1i}, x_{2i}, \dots, x_{Ki}$ sont des vecteurs aléatoires indépendants et identiquement distribués

- La matrice $\mathbf{X}$ est de plein rang colonne

- $\epsilon$ est indépendant de $X$ (donc $F$ ne dépend pas de $X_i$)

- $F$ est connue, à valeur dans $]0, 1[$ et trois fois continûment dérivable sur $\mathbb{R}$

- La fonction $(\ln(F(x)))'' = \frac{F''F - F'^2}{F^2}$ est négative sur $\mathbb{R}$

- La fonction $(\ln(F(x)))''' = \frac{F'''F^2 - 3F''F'F + 2F'^3}{F^3}$ est bornée sur $\mathbb{R}$

- Pour tout $(k_1, k_2, k_3) \in \{1, \dots, K\}^3$, les moments suivants existent : $E[|x_{k_1}|] < +\infty, E[|x_{k_1}x_{k_2}x_{k_3}|] < +\infty, E[|x_{k_1}x_{k_2}x_{k_3}|] < +\infty$

- La quantité $E_0 = E\left[\frac{F'(X_1\beta)^2}{F(X_1\beta)(1-F(X_1\beta))} X_1'X_1\right]$ existe et est inversible.

Alors l'information de Fisher définie par $I_0 = E\left[-\frac{\partial^2[y_1\ln(F(X_1\beta))+(1-y_1)\ln(1-F(X_1\beta))]}{\partial\beta\partial\beta'}\right]$ existe et est égale à $E_0$.

L'estimateur du maximum de vraisemblance défini par :

$$\hat{\beta} = \operatorname{Argmax}_b \sum_i y_i \ln(F(X_i\beta)) + (1 - y_i) \ln(1 - F(X_i\beta))$$

<footnote n="1">1. On qualifie le modèle du score maximum de Manski de semi-paramétrique car bien que relâchant les hypothèses paramétriques sur la loi de $\epsilon|X$, la loi conditionnelle de $y|X$ dépend d'une combinaison linéaire $X\beta$ des covariables $X$. Et le paramètre d'intérêt $\beta$ est donc de dimension finie (à la différence des modèles non-paramétriques dans lesquels le paramètre d'intérêt n'appartient pas à un espace de dimension finie).</footnote>
est bien défini, converge vers $\beta$ en probabilité et sa loi asymptotique est :

$$ \sqrt{n}(\hat{\beta} - \beta) \xrightarrow[n \to +\infty]{\text{en loi}} \mathcal{N}(0, I_0^{-1}) $$

- Dans le cas d'un modèle Logit, on a : $F(u) = \frac{e^u}{1+e^u}$ et $I_0 = E\left[\frac{e^{X\beta}}{(1+e^{X\beta})^2} X'X\right]$

- Dans le cas d'un modèle Probit, on a : $F(u) = \Phi(u) = \int_{-\infty}^{u} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx$ et $I_0 = E\left[\frac{e^{-X_1\beta}}{2\pi \Phi(X_1\beta)(1-\Phi(X_1\beta))} X'_1 X_1\right]$

On peut également remplacer $I_0$ par sa contrepartie empirique $\frac{1}{n} \sum_i \frac{F'(X_i\hat{\beta})^2}{F(X_i\hat{\beta})(1-F(X_i\hat{\beta}))} X_i'X_i$, pour construire des tests multivariés ou univariés :

$$ n(\hat{\beta} - b)' \hat{I}_0(\hat{\beta} - b) \xrightarrow[n \to +\infty]{\text{loi}} \chi^2(K + 1) \quad \text{si } b = \beta $$

$$ n(\hat{\beta} - b)' \hat{I}_0(\hat{\beta} - b) \xrightarrow[n \to +\infty]{\text{p}} +\infty \quad \text{si } b \neq \beta $$

$$ \sqrt{n} \sqrt{\hat{I}_{0(k,k)}(\hat{\beta}_k - b_k)} \xrightarrow[n \to +\infty]{\text{loi}} \mathcal{N}(0, 1) \quad \text{si } b_k \neq \beta_k $$

$$ \sqrt{n} \sqrt{\hat{I}_{0(k,k)}(\hat{\beta}_k - b_k)} \xrightarrow[n \to \pm\infty]{\text{p}} +\infty \quad \text{si } b_k \neq \beta_k $$

**Remarque :** la convergence des paramètres est ici à prendre au sens où si une partie bornée $\Theta$ de $\mathbb{R}^{K+1}$ contient $\beta$, alors l'estimateur obtenu par maximisation de la vraisemblance sur $\Theta$ est convergent et asymptotiquement normal. Pour comprendre d'où vient cette restriction, le lecteur intéressé pourra considérer le modèle simple sans covariable $x : P(Y = 1) = F(\beta_0)$. Ce modèle devient de plus en plus difficile à discriminer du modèle $P(Y = 1) = 1$ quand $\beta_0$ devient très grand (respectivement du modèle $P(Y = 1) = 0$ quand $\beta_0$ devient très petit). Le fait d'être obligé de se restreindre à n'importe quelle partie bornée de $\mathbb{R}^{K+1}$ n'est pas un problème en pratique, l'ensemble des nombres manipulés par n'importe quel ordinateur étant borné, tout "fonctionnera" correctement à partir du moment où les composantes de $\beta$ ne sont pas trop "grandes" pour pouvoir être représentées par l'ordinateur utilisé, avant d'en arriver à ce stade on se retrouverait dans le cas où toutes les observations de l'échantillon seraient telles que $Y = 1$ ou $Y = 0$.

Preuve :

□

- Le résultat concernant l'information de Fisher est assuré par le fait que :

$$ \begin{aligned} I_0 &= E \left[ \left\{ E(y_1 | X_1) \left( \frac{F''(X_1 \hat{\beta})}{F(X_1 \hat{\beta})} - \frac{F'(X_1 \hat{\beta})^2}{F(X_1 \hat{\beta})^2} \right) - (1 - E(y_1 | X_1)) \left( \frac{F''(X_1 \hat{\beta})}{1 - F(X_1 \hat{\beta})} + \frac{F'(X_1 \hat{\beta})^2}{(1 - F(X_1 \hat{\beta}))^2} \right) \right\} X_1' X_1 \right] \\ &= E \left[ \frac{F'(X_1 \hat{\beta})^2}{F(X_1 \hat{\beta})(1 - F(X_1 \hat{\beta}))} X_1' X_1 \right] = E_0 \end{aligned} $$

De plus $y^2 = y$, $y(1 - y) = 0$ et $(1 - y)^2 = 1 - y$, $E_0$ peut également s'interpréter de la manière suivante :

$$ E_0 = E \left[ \frac{F'(X_1 \hat{\beta})^2}{F(X_1 \hat{\beta})(1-F(X_1 \hat{\beta}))} X_1' X_1 \right] = E \left[ \left( \frac{\partial[y_1 \ln(F(X_1 \hat{\beta}))+ (1-y_1) \ln(1-F(X_1 \hat{\beta}))]}{\partial \hat{\beta}} \right) \left( \frac{\partial[y_1 \ln(F(X_1 \hat{\beta}))+ (1-y_1) \ln(1-F(X_1 \hat{\beta}))]}{\partial \hat{\beta}} \right) \right]' $$

- Vérifions maintenant que $\beta$ est identifiable. Pour assurer l'identification de $\beta$, il suffit de montrer que presque sûrement $F(X_1\beta) = F(X_1\beta') \Rightarrow \beta = \beta'$. Comme $F$ est continue et strictement croissante, elle est inversible donc $F(X_1\beta) = F(X_1\beta') \Rightarrow X_1\beta = X_1\beta'$. Le fait que la matrice $X$ soit de plein rang colonne assure qu'il n'existe pas de relation linéaire presque sûre entre les $X_1$. Donc $\beta$ est identifiable.

- Il faut ensuite s'assurer que le maximum est unique.

L'estimateur vérifie les $K + 1$ équations suivantes :

$$ \forall k = 0, \dots, K, \quad \frac{1}{n} \sum_i y_i \frac{F'(X_i \hat{\beta})}{F(X_i \hat{\beta})} x_{ik} - (1 - y_i) \frac{F'(X_i \hat{\beta})}{1 - F(X_i \hat{\beta})} x_{ik} = 0 $$

Ce qui peut se réécrire de manière matricielle $f_n(\beta) = \frac{1}{n} C(\hat{\beta})'X = 0$ avec $C(\hat{\beta})$ un vecteur colonne de composante $y_i \frac{F'(X_i \hat{\beta})}{F(X_i \hat{\beta})} - (1 - y_i) \frac{F'(X_i \hat{\beta})}{1 - F(X_i \hat{\beta})}$.
La solution de l'équation $C(b)'\mathbf{X}$ est unique si tous les éléments diagonaux de $H(b) = \text{Diag}(\frac{F''(X_i b)F(X_i b) - F'^2(X_i b)}{F^2(X_i b)})$ sont négatifs : en effet, la hessienne de la log-vraisemblance au point $b$ est $\mathbf{X}'H(b)\mathbf{X}$. Comme $H(b)$ peut s'écrire $-D(b)^2$ où $D(b)$ est une matrice diagonale à coefficients strictement positifs, le fait que $\mathbf{X}'H(b)\mathbf{X}$ soit définie négative est équivalente au fait que $D(b)\mathbf{X}$ soit de plein rang colonne. Comme $D(b)$ est de rang $n$, cela est équivalent au fait que $\mathbf{X}$ soit de plein rang colonne.

- Examinons maintenant la convergence en probabilité de l'estimateur.
Soit $\Theta$ une partie bornée de $\mathbb{R}^{K+1}$. Il existe $A \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $b \in \Theta$, $\max(b_0, b_1, ..., b_K) < A$.

Pour alléger les notations, on note :

$$M_n(b) = \frac{1}{n} \sum y_i \ln(F(X_i b)) + (1 - y_i) \ln(1 - F(X_i b))$$
$$M(b) = E[y_i \ln(F(X_1 b)) + (1 - y_i) \ln(1 - F(X_1 b))]$$

Pour assurer la convergence en probabilité de $\hat{\beta}$, il suffit de montrer que :

$$- \sup_{b \in \Theta} |M_n(b) - M(b)| \xrightarrow{\substack{n \to +\infty \\ \text{proba}}} 0$$

$$- \forall \alpha > 0, \sup_{b, |b-\beta| \ge \alpha} M(b) < E_0 = M(\beta)$$

La première condition est la plus difficile à prouver.

La fonction $b \mapsto |y \ln(F(Xb)) + (1-y) \ln(1-F(Xb))|$ est continue pour toute valeur de $y$ et $X$ et est dominée par $|\ln(F(0)) + Xb \left[ y \frac{F'(0)}{F(0)} - (1-y) \frac{F'(0)}{1-F(0)} \right]| \le |\ln(F(0))| + A|X| \frac{F'(0)}{\max(F(0),1-F(0))}$ qui est intégrable ; les théorèmes usuels assurent alors que $\sup_{b \in \Theta} y \ln(F(Xb)) + (1-y) \ln(1-F(Xb))$ est une fonction continue et bornée de $y, X$, pour toute boule fermée $\Theta^*$ centrée sur un point $b^*$ de $\Theta$ et de rayon $r$.

On en déduit que :

$$h_n(\Theta^*) = \sup_{b \in \Theta^*} (M_n(b) - M(b)) \le \frac{1}{n} \sum sup_{b \in \Theta^*} \{y_i \ln(F(X_i b)) + (1 - y_i) \ln(1 - F(X_i b))\} - E[inf_{b \in \Theta^*} \{y_i \ln(F(X_1 b)) + (1 - y_i) \ln(1 - F(X_1 b))\}]$$

Le lemme de Portemanteau assure que :

$$\frac{1}{n} \sum sup_{b \in \Theta^*} \{y_i \ln(F(X_i b)) + (1 - y_i) \ln(1 - F(X_i b))\} \to E[\sup_{b \in \Theta^*} \{y_i \ln(F(X_1 b)) + (1 - y_i) \ln(1 - F(X_1 b))\}]$$

On en déduit que pour $n$ suffisamment grand,

$$h_n(\Theta^*) \le 2E[\sup_{b \in \Theta^*} \{y_i \ln(F(X_1 b)) + (1 - y_i) \ln(1 - F(X_1 b))\} - inf_{b \in \Theta^*} \{y_i \ln(F(X_1 b)) + (1 - y_i) \ln(1 - F(X_1 b))\}]$$

Le théorème de convergence dominée assure que le membre de droite de l'inégalité tend vers 0 quand le rayon $r$ de la boule $\Theta^*$ tend vers 0.

Donc $\forall b^* \in \Theta, \forall \eta > 0, \exists r > 0$ tel que $h_n(\Theta^*) \le 2\eta$ pour $n$ suffisamment grand.

Comme $\Theta$ est borné, on peut le recouvrir avec un ensemble fini $\mathcal{J}$ de $\Theta^*$ (autrement dit un nombre fini de $b^*, r$) vérifiant cette dernière propriété. Comme $h_n(\Theta) = \sup_{b \in \Theta} (M_n(b) - M(b))$ est égal à $\sup_{\Theta^* \in \mathcal{J}} h_n(\Theta^*)$, on en déduit que :

$\forall \eta > 0$, pour $n$ suffisamment grand, $h_n(\Theta) \le 2\eta$. De la même manière, pour $n$ suffisamment grand $h_n(\Theta) \ge 2\eta$ (en raisonnant sur les quantités $-y_i \ln(F(X_i b)) - (1-y_i) \ln(1-F(X_i b))$).

On en déduit la première partie de la condition suffisante pour assurer la convergence en probabilité.

La deuxième partie de la condition est une conséquence immédiate de :

$$- \text{Pour tout } b \in \Theta, M(b) = E[F(X_1 \beta) \ln(F(X_1 b)) + (1-F(X_1 \beta)) \ln(1-F(X_1 b))]$$

$$- \text{Pour } a, b \text{ dans l'intervalle } [0, 1 \text{ [avec } a \neq b, \text{ aln}(b) + (1-a) \ln(1-b) < \text{aln}(a) + (1-a) \ln(1-a) \text{]}}$$

Par définition de l'estimateur, $M_n(\hat{\beta}) \ge M_n(\beta)$, on a donc :

$$M(\beta) - M(\hat{\beta}) \le M_n(\hat{\beta}) - M(\hat{\beta}) + M(\beta) - M_n(\beta) \le 2 \sup_{b \in \Theta} |M_n(b) - M(b)|$$

Le terme de gauche tend vers 0 en probabilité d'après la première condition.

Considérons maintenant un $\alpha \ge 0$ tel que $|\hat{\beta} - \beta| > \alpha$. D'après la deuxième condition, il existe $\eta > 0$ tel que $M(\hat{\beta}) < M(\beta) - \eta$. On en déduit que :

$$\forall \alpha > 0, \exists \eta > 0, P(|\hat{\beta} - \beta| > \alpha) \le P(M(\beta) - M(\hat{\beta}) > \eta) \le P(2 \sup_{b \in \Theta} |M_n(b) - M(b)| > \eta)$$
Le dernier terme tend vers 0 quel que soit $\eta$ donc $\hat{\beta}$ tend vers $\beta$ en probabilité.

- Enfin concluons sur la normalité asymptotique.

Un développement classique nous assure qu'il existe $\tilde{\beta}$ un vecteur compris dans le segment $[\beta, \hat{\beta}]$, tel que pour chacune des $K+1$ équations définissant l'estimateur :

$$
\begin{align*}
0 &= \frac{1}{n} \sum_{i} \left\{ y_i \left[ \ln(F(X_i \hat{\beta})) \right]' + (1 - y_i) \left[ \ln(1 - F(X_i \hat{\beta})) \right]' \right\} x_{ik} \\
&= \frac{1}{n} \sum_{i} \left\{ y_i \left[ \ln(F(X_i \beta)) \right]' + (1 - y_i) \left[ \ln(1 - F(X_i \beta)) \right]' \right\} x_{ik} \\
&\quad + \frac{1}{n} \sum_{i} \left\{ y_i \left[ \ln(F(X_i \tilde{\beta})) \right]'' + (1 - y_i) \left[ \ln(1 - F(X_i \tilde{\beta})) \right]'' \right\} x_{ik} X_i (\hat{\beta} - \beta) \\
&\quad + \frac{1}{2n} \sum_{i} \left\{ y_i \left[ \ln(F(X_i \tilde{\beta})) \right]''' + (1 - y_i) \left[ \ln(1 - F(X_i \tilde{\beta})) \right]''' \right\} x_{ik} (\hat{\beta} - \beta)' X_i' X_i (\hat{\beta} - \beta)
\end{align*}
$$

La quantité $\frac{1}{2n} \sum_i \{ y_i [\ln(F(X_i\tilde{\beta}))]''' + (1-y_i)[\ln(1-F(X_i\tilde{\beta}))]''' \}$ est bornée et comme $\hat{\beta} - \beta$ tend vers 0 en probabilité, que les moments d'ordre 3 des covariables sont finis $R_n^k = \frac{1}{2n} \sum_i \{ y_i [\ln(F(X_i\tilde{\beta}))]''' + (1-y_i)[\ln(1-F(X_i\tilde{\beta}))]''' \} x_{ik}(\hat{\beta}-\beta)'X_i'X_i$ tend en probabilité vers 0 pour tout $k \in \{0, ..., K\}$. La matrice carrée $R_n$ constituée des $K+1$ vecteurs lignes $R_n^k$, tend donc en probabilité vers 0.

La quantité $\frac{1}{n} \sum_i \{ y_i [\ln(F(X_i\tilde{\beta}))]'' + (1-y_i)[\ln(1-F(X_i\tilde{\beta}))]'' \} X_i'X_i$ (obtenue en considérant les $K+1$ équations estimantes) tend en probabilité vers $-I_0$ d'après la loi des grands nombres. $S_n = \frac{1}{n} \sum_i \{ y_i [\ln(F(X_i\tilde{\beta}))]'' + (1-y_i)[\ln(1-F(X_i\tilde{\beta}))]'' \} X_i'X_i + I_0$ est donc une matrice tendant en probabilité vers 0.

Ainsi :

$$
-\frac{1}{n} \sum_{i} \{ y_i [\ln(F(X_i\beta))]' + (1-y_i)[\ln(1-F(X_i\beta))]' \} X_i = (-I_0 + S_n + R_n)(\hat{\beta} - \beta)
$$

La convergence vers 0 en probabilité de $S_n + R_n$ et l'inversibilité de $I_0$ nous assure que $-I_0 + S_n + R_n$ est inversible avec une probabilité tendant vers 1.

En prémultipliant les deux termes de l'équation par $T_n = \sqrt{n}(-I_0 + S_n + R_n)^{-1}$ si $-I_0 + S_n + R_n$ est inversible et $T_n = 0$ sinon, on obtient :

$$
-T_n \frac{1}{n} \sum_i \{ y_i [\ln(F(X_i\beta))]' + (1-y_i)[\ln(1-F(X_i\beta))]' \} X_i = \sqrt{n}(\hat{\beta} - \beta) + U_n
$$

Avec $U_n$ qui tend vers 0 en probabilité.

Comme $\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_i \{ y_i [\ln(F(X_i\tilde{\beta}))]' + (1-y_i)[\ln(1-F(X_i\tilde{\beta}))]' \} X_i$ tend en loi vers une gaus-
sienne d'espérance nulle (car $E(y_1|X_1) = F(X_1\beta)$ et de matrice de variance-covariance $E_0$.
Donc :

$$
\sqrt{n}(\hat{\beta} - \beta) \xrightarrow[n \text{ en loi}]{} \mathcal{N}(0, I_0^{-1} E_0 I_0^{-1})
$$

6.2 Problème de biais du Logit et du Probit à effets fixes

Les modèles Logit et Probit sont très largement utilisés pour analyser des phénomènes tels que
le redoublement, le fait qu’un élève donne une bonne ou une mauvaise réponse à une question dans
un QCM, etc. Il existe par ailleurs de nombreuses raisons de vouloir contrôler un effet "classe"
lors de l’analyse : le professeur peut être plus ou moins sévère dans ses jugements concernant
l'orientation ou la qualité des réponses de ses élèves, les élèves d'une même classe peuvent partager des caractéristiques communes, inobservées du sociologue ou du statisticien, qui influencent la variable expliquée. Par analogie avec le modèle linéaire, une idée assez naturelle est alors d'ajouter des indicatrices de classes dans l'analyse. C'est néanmoins une très mauvaise idée quand le nombre d'élèves observés dans chaque classe est faible. En effet, les modèles Logit et Probit sont des estimateurs du maximum de vraisemblance, dont les propriétés sont bonnes lorsque la taille de l'échantillon devient très grand devant le nombre de paramètres. Si on rajoute un paramètre pour chaque classe et qu'on a des données sur 5 élèves pour chaque classe, alors la taille de l'échantillon ne pourra jamais être plus de 5 fois plus importante que le nombre de paramètres. Les estimations des paramètres autres que les effets "classe" peuvent alors être biaisées de manière importante. La mauvaise estimation des effets "classe" vient contaminer l'estimation des autres coefficients. C'est ce qu'on appelle le problème des paramètres incidents. Dans le cas du modèle linéaire présenté au chapitre 3 ce problème n'apparaissait pas car les projections inter-classe et intra-classe sont orthogonales, autrement dit toute l'information contenue dans les données permettant d'identifier les effets "classe" est contenue dans la moyenne des variables par classe et toute l'information contenue dans les données permettant d'identifier les effets des covariables est contenue dans l'écart des variables individuelles à la moyenne de classe. Ces deux statistiques (moyenne de classe et écart à la moyenne de classe) sont complètement "libres" l'une de l'autre dans un modèle linéaire. En dehors du cas linéaire, le problème des paramètres incidents se pose.

Pour illustrer ce problème, on se contentera d'un exemple développé par Andersen en 1973 dans "conditional inference and models for measuring" publié dans Mentalhygienisk Forlag et repris par Abrevaya en 1997 dans "The equivalence of two estimators for the fixed effects logit model" publié en 1997 dans Economics Letters.

## 6.2.1 Illustration du problème des paramètres "incidents"

On se place dans l'hypothèse où l'output d'une variable binaire y (par exemple donner ou non la bonne réponse à un exercice scolaire) dépend d'une covariable individuelle également binaire (par exemple le sexe) et où il existe des caractéristiques inobservées qui influent sur les résultats des élèves d'une même classe (on peut penser à la qualité pédagogique du professeur qui n'est pas directement observable).

### Un contre-exemple dû à Chamberlain

Des données sont issues du modèle suivant :

$$y_{ij} = 1_{\{x_{ij}\beta + \gamma_j + \epsilon_i > 0\}}$$

avec $P(-\epsilon_i \le u | X, \gamma) = \frac{e^u}{1+e^u}$ et les $\gamma_j$ indépendants et identiquement distribués.

On observe un garçon ($x_{ij} = 0$) et une fille ($x_{i'j} = 1$) dans chaque classe j.

Dans ces conditions, l'estimateur du maximum de vraisemblance de $\beta$ converge vers $2\beta$

**Remarque :** Le fait de supposer que les $\gamma_i$ sont indépendants et identiquement distribués ne signifie pas qu'ils ne sont pas corrélés à d'autre variables (observées ou non). Cette hypothèse concernant les $\gamma_i$ signifie seulement que l'observation des résultats d'une classe n'apporte pas d'information sur les résultats d'une autre classe.

Preuve :

□

On suppose sans perte de généralité que les observations relatives aux garçons sont indicées par 1 et celles des filles par 2 au sein de chaque classe j.

Il y a quatre types de classes :

- Les classes telles que le garçon et la fille observés aient un y à 0; dans ce cas, on dira que $j \in E_{00} = \{j | y_{1j} = y_{2j} = 0\}$

- Les classes telles que le garçon observé ait un y à 0 et la fille observée ait un y à 1; dans ce cas, on dira que $j \in E_{01} = \{j | y_{1j} = 0, y_{2j} = 1\}$
- Les classes telles que le garçon observé ait un $y$ à 1 et la fille observée ait un $y$ à 0; dans ce cas, on dira que $j \in E_{10} = \{j | y_{1j} = 1\}$

- Les classes telles que le garçon et la fille observés aient un $y$ à 1; dans ce cas, on dira que $j \in E_{11} = \{j | y_{1j} = y_{2j} = 1\}$

La log-vraisemblance de la classe $j$ s'écrit :

$$ \mathcal{L}_j = \ln \left( \frac{e^{y_{1j}\gamma_j}}{1+e^{\gamma_j}} \right) + \ln \left( \frac{e^{y_{2j}(\beta+\gamma_j)}}{1+e^{\beta+\gamma_j}} \right) = (y_{1j} + y_{2j})\gamma_j + y_{2j}\beta - \ln(1+e^{\gamma_j}) - \ln(1+e^{\beta+\gamma_j}) $$

Pour $j \in E_{00}$, il apparaît alors que $\mathcal{L}_j \le 0 = \lim_{\gamma_j \to -\infty} \ln(1+e^{\gamma_j}) - \ln(1+e^{\beta+\gamma_j})$.

Ainsi les classes dans lesquelles tout les individus observés ont une valeur de $y$ nulle auront comme estimateur $\hat{\gamma}_j = -\infty$. De plus, ces classes n'apportent aucune information sur le paramètre $\beta$, puisque la contribution à la vraisemblance de ces classes sera nulle.

Il en est de même pour les classes dans lesquelles tous les individus observés ont une valeur de $y$ égale à 1 (dans ce cas $j \in E_{11}$). La contribution à la vraisemblance est maximale et nulle quelque soit $\beta$ pour $\hat{\gamma}_j = -\infty$ (car $\ln(1+e^u) = u+m(u)$ avec $\lim_{u \to +\infty} m(u) = 0$).

Pour les classes $j \in E_{01} \cup E_{10}$, les conditions de maximisation du premier ordre concernant les paramètres $\gamma_j$ sont :

$$ y_{1j} + y_{2j} = \frac{e^{\hat{\gamma}_j}}{1+e^{\hat{\gamma}_j}} + \frac{e^{\hat{\beta}+\hat{\gamma}_j}}{1+e^{\hat{\beta}+\hat{\gamma}_j}} $$

Ce qui conduit aux estimateurs suivants concernant $\gamma_j$ :

- $\hat{\gamma}_j = -\infty$ si $j \in E_{00}$

- $\hat{\gamma}_j = +\infty$ si $j \in E_{11}$

- $\hat{\gamma}_j = -\frac{\hat{\beta}}{2}$ si $j \in E_{01} \cup E_{10}$

Les seuls termes de la vraisemblance globale qui apportent une information sur $\beta$ sont donc ceux correspondant aux classes $E_{01}$ et $E_{10}$. La condition du premier ordre concernant le paramètre $\beta$ est donc :

$$ \mathrm{card}(E_{01}) = \sum_{j \in E_{01} \cup E_{10}} \frac{e^{\hat{\beta}+\hat{\gamma}_j}}{1+e^{\hat{\beta}+\hat{\gamma}_j}} = (\mathrm{card}(E_{01}) + \mathrm{card}(E_{10})) \frac{e^{\frac{\hat{\beta}}{2}}}{1+e^{\frac{\hat{\beta}}{2}}} $$

$$ \text{Donc } \hat{\beta} = 2\ln\left(\frac{\mathrm{card}(E_{01})}{\mathrm{card}(E_{10})}\right) $$

Si on suppose de plus que les $\gamma_j$ sont les réalisations de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées dont la fonction de répartition est $F$, alors : $E(1_{\{j \in E_{01}\}}) = e^{\beta} \int \frac{1}{(1+e^u)(1+e^{\beta+u})} dF(u) = e^{\beta} E(1_{\{j \in E_{10}\}})$

$$ \text{La loi des grands nombres nous assure alors que : } \frac{\mathrm{card}(E_{01})}{\mathrm{card}(E_{10})} \xrightarrow{n \to +\infty} e^{\beta} $$

$$ \text{Finalement, comme la fonction exponentielle est continue : } \hat{\beta} \xrightarrow{n \to +\infty} 2\beta $$

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

Il existe différentes stratégies face au problème des paramètres incidents. Nous nous contente- rons de présenter deux approches : celle du maximum de vraisemblance conditionnelle et celle d'une spécification à la Mundlak.

## 6.3 Le Logit conditionnel

### 6.3.1 Principe du maximum de vraisemblance conditionnelle

Le problème des paramètres incidents vient du fait que la vraisemblance du modèle dépend de deux ensembles de paramètres :

- d'une part des paramètres relatifs aux covariables individuelles (les $\beta$). La taille de cet en- semble est fixe lorsque la taille de l'échantillon augmente.

- d'autre part des paramètres relatifs à l'hétérogénéité entre classes (les effets "classes" $\gamma$). La taille de cet ensemble augmente avec la taille de l'échantillon (quand la taille d'échantillon tend vers $+\infty$, le nombre de classes sélectionnées augmente mécaniquement car le nombre d'élèves par classe est borné).

Le principe du maximum de vraisemblance conditionnelle consiste à trouver une statistique qui permet de "séparer" les problèmes pour se ramener à une estimation des $\beta$ indépendante de celle des $\gamma$.

### Le maximum de vraisemblance conditionnelle
Soit un modèle dont la vraisemblance $\mathcal{L}_{y|X,\beta}(\beta, \gamma)$ dépend d'un paramètre $\beta$ de taille fixe et d'un paramètre $\gamma$ tel que $\frac{\dim(\gamma)}{n}$ ne tende pas vers 0 avec la taille $n$ de l'échantillon.

Un tel modèle est soumis au problème des paramètres incidents, une estimation $\beta$ par maximisation de la vraisemblance par rapport à $\beta$ et $\gamma$ conduira à des estimations biaisées.

S'il existe une statistique $S$ telle que la vraisemblance conditionnelle de $y$ par rapport à $X, S$ ne dépende pas de $\gamma^2$ :

$$ \mathcal{L}_{y|X,S}(\beta, \gamma) = f(y, X, S, \beta) $$

Alors l'estimateur de $\beta$ obtenu par maximisation de $f$ est bien défini, asymptotiquement sans biais, convergent et asymptotiquement normal de loi limite :

$$ \sqrt{n}(\hat{\beta} - \beta) \xrightarrow{n \to +\infty} \mathcal{N}(0, V) $$

dès lors que la fonction $f$ et la loi de $y$ et $X$ vérifient des conditions de régularité suffisante, par exemple :

- $f$ est trois fois continûment différentiable par rapport à $\beta$ et $\frac{\partial^3 \ln f(y, X, S, \beta)}{\partial \beta^3}$ est majorée par $g(y, X, S)$ tel que $E(g(y, X, S)) < +\infty$

- $E\left[\left(\frac{\partial \ln f(y, X, S, \beta)}{\partial \beta}\right)\left(\frac{\partial \ln f(y, X, S, \beta)}{\partial \beta}\right)'\right]$ existe et $E\left[\frac{\partial^2 \ln f(y, X, S, \beta)}{\partial \beta \partial \beta'}\right]$ existe et est inversible

La mise en oeuvre de l'estimation et des tests asymptotiques est alors identique à celle adoptée dans le cas du maximum de vraisemblance.

**Remarque :** dans le cas du modèle linéaire exposé au chapitre 3, si on fait l'hypothèse que les résidus $\epsilon$ sont gaussiens, alors la régression "Within" est équivalente à la maximisation de la vraisemblance conditionnelle à $S = (BX, By)$; une fois fixées les moyennes par classe, les variations de $y$ et $X$ n'apportent aucune information sur $\gamma$.

Preuve :

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

Il s'agit d'une conséquence directe des théorèmes généraux du maximum de vraisemblance appliqué au modèle conditionnel $y|X, S$.

<figure><img src="image_60.png" /></figure>

### 6.3.2 Application aux modèles Logit

Pour pouvoir appliquer la stratégie d'estimation présentée dans le paragraphe précédent, il faut donc trouver une statistique "libre" par rapport à $\gamma$. Dans le cas où le modèle de départ est un modèle logit, alors l'existence d'une telle statistique est assurée. À l'inverse, Magnac a montré que tant qu'on observe exactement deux élèves par classe dans l'échantillon, d'autres modèles que le modèle logit admettent une telle statistique libre, mais que dès qu'on observe des classes avec trois élèves dans l'échantillon, le seul modèle qui convient pour une telle approche est le modèle logit<fnref n="3" /> (cf. "Panel Binary Variables and Sufficiency : Generalizing Conditional Logit" publié en 2004 dans Econometrica). Cela signifie que l'approche par maximum de vraisemblance conditionnelle repose essentiellement sur la loi des résidus (contrairement aux modèles sans effets "classe" comme le montre l'estimateur du score maximum de Manski).

#### Le logit conditionnel

On suppose que :

$$ P(y_{ij} = 1 | \mathbf{X}) = F(X_i\beta + \gamma_j) $$

$$ \text{avec } F(u) = \frac{e^u}{1+e^u}. $$

<footnote n="2">2. Une telle statistique $S$ est dite "exhaustive" par rapport à $\gamma$ car elle contient toute l'information concernant ce paramètre, et la statistique $y|X, S$ est dite "libre" par rapport à $\gamma$ car elle ne dépend pas de ce paramètre.</footnote>

<footnote n="3">3. Si on ne croit pas à une fonction de lien logistique, il est possible d'élargir la classe des modèles en raisonnant sur l'ensemble des couples d'élèves au sein de chaque classe, on se ramène ainsi au cas où on a deux élèves par classe. Nous laissons de côté cette approche, qui est plus compliquée à implémenter, pour plus de précision le lecteur intéressé pourra se reporter aux travaux cités de Magnac.</footnote>
Pour une classe $j$, on note $n_j$ le nombre d'élèves observés, $m_j$ le nombre d'élèves observés ayant un y prenant la valeur $1$ (donc $n_j - m_j$ représente le nombre d'élèves observés ayant la valeur $0$). Si $n_j - 1 \ge m_j \ge 1$ (i.e. tous les élèves observés dans la classe n'ont pas la même valeur pour $y$), on a alors pour $\delta_1 \in \{0,1\}, \delta_2 \in \{0,1\}, \dots, \delta_{n_j} \in \{0,1\}$ tels que $\sum_{i=1}^{n_j} \delta_i = m_j$ :

$$ P \left( y_{1j} = \delta_1, y_{2j} = \delta_2, \dots, y_{n_j j} = \delta_{n_j} \mid \mathbf{X}, \sum_{i=1}^{n_j} y_{ij} = \sum_{i=1}^{n_j} \delta_i = m_j \right) = \\ \frac{\exp \left( \sum_{i=1}^{n_j} y_{ij} \cdot X_i \beta \right)}{\sum_{(\tilde{y}_1, \dots, \tilde{y}_{n_j}) \in B(n_j, m_j)} \exp \left( \sum_{i=1}^{n_j} \tilde{y}_{ij} \cdot X_i \beta \right)} $$

avec $B(n_j, m_j)$ qui représente l'ensemble des $n_j$-uplets ayant $m_j = 1$ et $n_j - m_j = 0$ :

$$ B(n_j, m_j) = \left\{ (\tilde{y}_1, \dots, \tilde{y}_{n_j}) \in \{0,1\}^{n_j} \mid \sum_{i=1}^{n_j} \tilde{y}_i = m_j \right\} $$

La vraisemblance conditionnelle par rapport à la statistique $S = (n_j, \sum_{i=1}^{n_j} y_i = m_j)$ de la classe $j$ ne dépend donc plus des paramètres $\gamma$ mais dépend des paramètres $\beta$, on peut donc maximiser cette vraisemblance conditionnelle pour obtenir des estimateurs asymptotiquement convergents et normaux de $\beta$ (sous les hypothèses que $(n_j, m_j, \gamma_j)_{j=1,...,C}$ sont i.i.d. et que les $(\varepsilon_{ij}, X_{ij})_{i=1,...,n_j}$ sont i.i.d. conditionnellement à $n_j, \gamma_j$, que $P(n_j > 1) > 0$ et qu'il existe $\bar{n}$ tel que $P(\bar{n} > n_j) = 1$.

**Remarque :** les classes dans lesquelles tout les élèves prennent la valeur 0, ou prennent la valeur 1 ne contribuent pas à l'estimation de $\beta$. Cela provient du fait qu'en l'absence de variation au sein d'une classe, il est impossible d'extraire la moindre information permettant de mettre en évidence une covariation intra-classe entre $x$ et $y$.

Un tel modèle s'étend facilement au cas où $y$ est une variable multinomiale ($y \in \{0, 1, \dots, L\}$)). Dans ce cas, en prenant $0$ comme modalité de référence pour la variable $y$, on a $L$ effets fixes pour chaque classe et $P(y_{1j} = l_1, y_{2j} = l_2, \dots, y_{n_j j} = k_{n_j} \mid \mathbf{X}, \gamma) = \prod_{i=1}^{n_j} \frac{\sum_{l=1}^{L} \mathbb{1}_{\{l=l_i\}} \exp(X_{ij}\beta_l + \gamma_{lj})}{1 + \sum_{l=1}^{L} \exp(X_{ij}\beta_l + \gamma_{lj})}$; la statistique de conditionnement est $S = (s_0 = \sum_{i \in j} \mathbb{1}_{\{y_i=0\}}, s_1 = \sum_{i \in j} \mathbb{1}_{\{y_i=1\}}, \dots, s_L = \sum_{i \in j} \mathbb{1}_{\{y_i=L\}})$; et la vraisemblance conditionnelle s'écrit : $P(y_{1j} = l_1, y_{2j} = l_2, \dots, y_{n_j j} = k_{n_j} \mid S, \mathbf{X}, \gamma) = \frac{\exp\left(\sum_{l=1}^{L} \sum_{i=1}^{n_j} \mathbb{1}_{\{l=l_i\}} X_{ij}\beta_l\right)}{\sum_{(\tilde{y}_1, \dots, \tilde{y}_{n_j}) \in B(S)} \exp\left(\sum_{l=1}^{L} \sum_{i=1}^{n_j} \mathbb{1}_{\{l=l_i\}} X_{ij}\beta_l\right)}$, où $B(S)$ est l'ensemble des $n_j$ uplets contenant $s_0 = 0$, $s_1 = 1, \dots, s_L = L$.

Preuve :

□ Au niveau de la classe $j$, on a :

$$ P (y_{1j} = \delta_1, y_{2j} = \delta_2, \dots, y_{n_j j} = \delta_{n_j} \mid \mathbf{X}) = \prod_{i=1}^{n_j} \frac{\exp(\delta_i(X_i\beta + \gamma_j))}{1 + \exp(X_i\beta + \gamma_j)} \\ = \exp\left(\sum_{i=1}^{n_j} \delta_i X_i\beta\right) \cdot \frac{\exp\left(\left(\sum_{i=1}^{n_j} \delta_i\right)\gamma_j\right)}{\prod_{i=1}^{n_j} (1 + \exp(X_i\beta + \gamma_j))} $$

La probabilité écrite sous cette forme, il apparaît que le premier terme ne dépend pas de gamma et que le deuxième terme dépend de $y$ uniquement via la statistique $S$, on en déduit donc que : $P(y_{1j} = \delta_1, y_{2j} = \delta_2, \dots, y_{n_j j} = \delta_{n_j} \mid \mathbf{X}, \sum_{i=1}^{n_j} y_{ij} = \sum_{i=1}^{n_j} \delta_i = m_j)$ ne dépend pas de $\gamma$ :

$$ P \left( y_{1j} = \delta_1, y_{2j} = \delta_2, \dots, y_{n_j j} = \delta_{n_j} \mid \mathbf{X}, \sum_{i=1}^{n_j} y_{ij} = \sum_{i=1}^{n_j} \delta_i = m_j \right) $$
$$
\begin{align*}
&= \frac{P(y_{1j} = \delta_1, y_{2j} = \delta_2, \dots, y_{njj} = \delta_{nj} | \mathbf{X})}{\sum_{(\tilde{y}_1, \dots, \tilde{y}_{nj}) \in B(n_j, m_j)} P(y_{1j} = \tilde{y}_{1j}, y_{2j} = \tilde{y}_{2j}, \dots, y_{njj} = \tilde{y}_{njj} | \mathbf{X})} \\
&= \frac{\exp\left(\sum_{i=1}^{n_j} y_{ij} \cdot X_i \beta\right)}{\sum_{(\tilde{y}_1, \dots, \tilde{y}_{nj}) \in B(n_j, m_j)} \exp\left(\sum_{i=1}^{n_j} \tilde{y}_{ij} \cdot X_i \beta\right)}
\end{align*}
$$

■

6.4 Les modèles à effets aléatoires

Dans le cas du modèle linéaire, on a vu que les estimateurs du modèle de Mundlak étaient les mêmes que les estimateurs du modèle à effets fixes. Pour contourner le problème des paramètres incidents dans le cas d'un modèle non linéaire, on peut être tenté d'adopter une approche du type Mundlak.

C'est une solution empirique très pratique, mais dont il ne faut pas surestimer la cohérence théorique. Par exemple, dans l'approche de Mundlak, on introduit les moyennes des covariables par classe pour prendre en compte le fait qu'une part de l'hétérogénéité constante au sein de la classe est corrélée aux covariables, cette modélisation dépend donc du nombre d'élèves observés dans chaque classe, ce qui pose un problème de cohérence du modèle. Dans le cas du modèle linéaire, ce problème de cohérence ne se répercute pas sur l'estimation des coefficients des covariables qui varient au sein de la classe, les estimateurs convergent vers les paramètres du modèle à effets fixes. Dans le cas d'un modèle non linéaire, l'estimation des coefficients associés aux covariables qui varient au sein de la classe converge vers une valeur qui dépend de la modélisation de l'hétérogénéité et donc du nombre d'élèves observés par classe. Face à ce problème, on peut adopter une modélisation de l'hétérogénéité plus flexible comme le propose Chamberlain 4, non pas en introduisant dans le modèle les moyennes des covariables mais les covariables de tous les élèves de la classe que l'économètre observe, le modèle de Mundlak est alors un sous-modèle du modèle de Chamberlain. Mais cela ne lève pas l'objection de fond sur le caractère "ad-hoc" de la modélisation de l'hétérogénéité constante au sein de la classe, modélisation "ad-hoc" qui conditionne les résultats de convergence.

Le modèle théorique, estimation et tests

On suppose que :

$$
P(y_{ij} = 1 | \mathbf{X}) = F(X_i \beta + \gamma_j)
$$

avec F une fonction de répartition trois fois continûment dérivable.

On suppose que les $n_j$ sont i.i.d., que $P(n_j > 1) > 0$ et qu'il existe $\bar{n}$ tel que $P(\bar{n} > n_j) = 1$

Si de plus la loi de $\gamma_j | X_{1j}, \dots, X_{njj}$ est de la forme :

$$
\gamma_j | X_{1j}, \dots, X_{njj}, n_j \sim \mathcal{N} (\bar{X}_{.j} \lambda, \sigma_{\gamma}^2)
$$

Alors la contribution à la vraisemblance des observations de la jème classe est :

$$
\mathcal{L} = \frac{1}{\sigma_{\gamma}} \int \prod_{i=1}^{n_j} F(X_{ij}\beta + \bar{X}_{.j}\lambda + u) \phi\left(\frac{u}{\sigma_{\gamma}}\right) du
$$

Les estimateurs du maximum de vraisemblance de $\theta_0 = (\beta, \lambda, \sigma^2)$ convergent et sont asymptotiquement normaux, la matrice de variance-covariance asymptotique $V = E \left( \frac{\partial^2 \ln \mathcal{L}}{\partial \theta \partial \theta'} \right)^{-1} E \left( \frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \theta} \frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \theta'} \right)$
$$ E \left( \frac{\partial^2 \ln \mathcal{L}}{\partial \theta \partial \theta'} \right)^{-1} = -E \left( \frac{\partial^2 \ln \mathcal{L}}{\partial \theta \partial \theta'} \right)^{-1} = E \left( \frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \theta} \frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \theta'} \right)^{-1} . $$

<footnote n="4">4. Chamberlain a proposé ce modèle dans un cadre d'économétrie des panels, en plus des covariables contemporaines, il ajoute comme régresseurs supplémentaires les covariables à chaque période. Il n'y a pas d'ambiguïté sur ce qu'est pour chaque individu la valeur de ses covariables aux différentes dates, il n'en est pas de même dans notre cas : comment ordonner de manière commune les élèves des différentes classes ?</footnote>
Les tests de Fisher et de Student usuels sont valides.

**Remarque** : les différentes expressions de la matrice de variance-covariance proviennent du fait que sous les hypothèses du modèle $E(\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \theta} \frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \theta'}) = -E(\frac{\partial^2 \ln \mathcal{L}}{\partial \theta \partial \theta'})$.

Preuve :

□

On procède en deux étapes : on prouve d'abord la convergence en probabilité et ensuite on dérive le comportement asymptotique.

La convergence en probabilité est assurée par deux propriétés : la loi des grands nombres im-
plique que $\frac{1}{C} \sum_{j=1}^{C} \ln \mathcal{L}(\mathbf{y}, \mathbf{X}, \theta)$ converge en probabilité vers $E(\ln \mathcal{L}(\mathbf{y}, \mathbf{X}, \theta))$ pour tout $\theta$, c'est donc également le cas uniformément sur un compact $\Theta$, et par ailleurs la fonction $\theta \mapsto E(\ln \mathcal{L}(\mathbf{y}, \mathbf{X}, \theta))$ est continue et a un unique maximum atteint en $\theta_0$. Ces deux conditions suffisent à assurer la convergence en probabilité de $\hat{\theta}$ vers $\theta_0$.

Pour la normalité asymptotique, une méthode élémentaire consiste à effectuer un développement
de Taylor à partir des équations d'annulation du score.

■

6.5 Programmation sous SAS...

6.5.1 ... du Logit conditionnel

La proc logistic permet d'estimer simplement un logit conditionnel grâce à l'instruction
strata.

```sas
proc logistic data=TABLE;
strata Z;
model Y=X1 X2 ... XK;
run;
```

6.5.2 ... des modèles à effets aléatoires

Les modèles non linéaires à effets aléatoires peuvent s'estimer sous SAS grâce à la proc nlmixed, sous l'hypothèse de distribution normale des effets aléatoires. Pour que cette procédure puisse être utilisée pour de nombreux modèles, il faut programmer la vraisemblance conditionnelle à $\gamma$ de chaque observation dans le corps de la procédure (cela revient à dire qu'on considère que $\gamma$ est un vecteur de réels). Pour indiquer que la vraisemblance doit être intégrée par rapport à la distribution des effets aléatoires $\gamma$, on utilise l'instruction random suivi de l'option subject. Il y a plusieurs moyens de calculer et de spécifier la vraisemblance, dans le cas d'un modèle binaire, un moyen simple est de calculer la probabilité $p$ associée à la réalisation de l'événement $y = 1$, puis de déclarer que la variable suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ (ou autrement une binomiale $(1, p)$) au moyen de l'instruction binomial(1, p). De la même manière, la procédure permet de maximiser n'importe quelle vraisemblance (on déclare alors la log-vraisemblance au moyen de l'instruction general).

D'autre part ces estimations peuvent être longues à tourner, il est recommandé d'initialiser les
paramètres avec des valeurs susceptibles d'être proches des "vrais" paramètres : par exemple en
estimant dans une première étape le même modèle mais en omettant les effets aléatoires $\gamma$ dans la
spécification, on peut ainsi récupérer les estimations dans une table qu'on utilise pour initialiser la
maximisation de la vraisemblance du modèle à effets aléatoires.

La procédure évalue par défaut la vraisemblance par une approximation d'une intégrale par une somme finie en utilisant des points et des poids de quadrature, par défaut elle détermine le nombre de points de quadrature et effectue un certain nombre de corrections à l'approximation la plus simple. Ces opérations sont cependant consommatrices en temps de calcul, il est souvent plus efficace de préciser qu'on renonce aux corrections de l'approximation (option noad) et de fixer soi-même le nombre de points de quadrature (option qpoints=); une dizaine de points de quadrature semble suffisante en pratique.

Dans l'exemple de programme ci-dessous, on effectue donc deux estimations d'un modèle logit,
le premier sans effets aléatoires afin d'initialiser les paramètres du modèle plus lourd à estimer, le
modèle logit à effets aléatoires.
ods html file='Logit_sans_effets aleatoires.xls' style=minimal;
ods output parameterestimates=PARAM;
proc nlmixed data=TABLE;

/*Déclaration et initialisation des paramètres*/
parms CST=0 BETA_X1=0 BETA_X2=0 BETA_X3=0 ... BETA_XK=0;

/*Construction de l'index X*beta*/
index=CST+BETA_X1*X1+BETA_X2*X2+...+BETA_XK*XK;

/*Construction de la probabilité, pour un probit p=probnorm(index)/
p=exp(index)/(1+exp(index));

/*La variable Y suit une Bernoulli de paramètre p*/
model Y~binomial(1,p);

run;
ods html close;

proc nlmixed data=TABLE noad qpoints=10;

/*Un paramètre de plus à déclarer : SIGMA2GAMMA, les autres dans la table PARAM
*/
parms SIGMA2GAMMA=0.5 /data=PARAM;

/*On ajoute GAMMA dans l'index*/
index=CST+BETA_X1*X1+BETA_X2*X2+...+BETA_XK*XK+GAMMA;

/*Comme précédemment, le calcul de la proba p et Y suit une Bernoulli de
paramètre p*/
p=exp(index)/(1+exp(index));
model Y~binomial(1,p);

/*Et ici on spécifie la distribution des effets aléatoires*/
random GAMMA normal(0,SIGMA2GAMMA) subject=Z;

run;

Pour estimer un modèle à la Mundlak, il suffit juste d'utiliser le programme précédent en
incluant les moyennes par classe des covariables qui varient au sein des classes.
<table><tr><td>G 9001</td><td>J. FAYOLLE et M. FLEURBAEY<br>Accumulation, profitabilité et endettement des entreprises</td><td>Macro-economic import functions with imperfect competition - An application to the E.C. Trade</td></tr><tr><td>G 9002</td><td>H. ROUSSE<br>Détection et effets de la multicolinéarité dans les modèles linéaires ordinaires - Un prolongement de la réflexion de BELSLEY, KUH et WELSCH</td><td>G 9203<br>I. STAPIC<br>Les échanges internationaux de services de la France dans le cadre des négociations multilatérales du GATT<br>Jun 1992 (1ère version)<br>Novembre 1992 (version finale)</td></tr><tr><td>G 9003</td><td>P. RALLE et J. TOUJAS-BERNATE<br>Indexation des salaires : la rupture de 1983</td><td>G 9204<br>P. SEVESTRE<br>L'économie sur données individuelles-temporelles. Une note introductive</td></tr><tr><td>G 9004</td><td>D. GUELLEC et P. RALLE<br>Compétitivité, croissance et innovation de produit</td><td>G 9205<br>H. ERKEL-ROUSSE<br>Le commerce extérieur et l'environnement international dans le modèle AMADEUS (réestimation 1992)</td></tr><tr><td>G 9005</td><td>P. RALLE et J. TOUJAS-BERNATE<br>Les conséquences de la désindexation. Analyse dans une maquette prix-salaires</td><td>G 9206<br>N. GREENAN et D. GUELLEC<br>Coordination within the firm and endogenous growth</td></tr><tr><td>G 9101</td><td>Equipe AMADEUS<br>Le modèle AMADEUS - Première partie - Présentation générale</td><td>G 9207<br>A. MAGNIER et J. TOUJAS-BERNATE<br>Technology and trade : empirical evidences for the major five industrialized countries</td></tr><tr><td>G 9102</td><td>J.L. BRILLET<br>Le modèle AMADEUS - Deuxième partie - Propriétés variantielles</td><td>G 9208<br>B. CREPON, E. DUGUET, D. ENCAOUA et P. MOHNEN<br>Cooperative, non cooperative R & D and optimal patent life</td></tr><tr><td>G 9103</td><td>D. GUELLEC et P. RALLE<br>Endogenous growth and product innovation</td><td>G 9209<br>B. CREPON et E. DUGUET<br>Research and development, competition and innovation : an application of pseudo maximum likelihood methods to Poisson models with heterogeneity</td></tr><tr><td>G 9104</td><td>H. ROUSSE<br>Le modèle AMADEUS - Troisième partie - Le commerce extérieur et l'environnement international</td><td>G 9301<br>J. TOUJAS-BERNATE<br>Commerce international et concurrence impartie : développements récents et implications pour la politique commerciale</td></tr><tr><td>G 9105</td><td>H. ROUSSE<br>Effets de demande et d'offre dans les résultats du commerce extérieur manufacturé de la France au cours des deux dernières décennies</td><td>G 9302<br>Ch. CASES<br>Durées de chômage et comportements d'offre de travail : une revue de la littérature</td></tr><tr><td>G 9106</td><td>B. CREPON<br>Innovation, taille et concentration : causalités et dynamiques</td><td>G 9303<br>H. ERKEL-ROUSSE<br>Union économique et monétaire : le débat économique</td></tr><tr><td>G 9107</td><td>B. AMABLE et D. GUELLEC<br>Un panorama des théories de la croissance endogène</td><td>G 9304<br>N. GREENAN - D. GUELLEC / G. BROUSSAUDIER - L. MIOTTI<br>Innovation organisationnelle, dynamisme technologique et performances des entreprises</td></tr><tr><td>G 9108</td><td>M. GLAUDE et M. MOUTARDIER<br>Une évaluation du coût direct de l'enfant de 1979 à 1989</td><td>G 9305<br>P. JAILLARD<br>Le traité de Maastricht : présentation juridique et historique</td></tr><tr><td>G 9109</td><td>P. RALLE et alii<br>France - Allemagne : performances économiques comparées</td><td>G 9306<br>J.L. BRILLET<br>Micro-DMS : présentation et propriétés</td></tr><tr><td>G 9110</td><td>J.L. BRILLET<br>Micro-DMS<br>NON PARU</td><td>G 9307<br>J.L. BRILLET<br>Micro-DMS - variantes : les tableaux</td></tr><tr><td>G 9111</td><td>A. MAGNIER<br>Effets accélérateur et multiplicateur en France depuis 1970 : quelques résultats empiriques</td><td>G 9308<br>S. JACOBZONE<br>Les grands réseaux publics français dans une perspective européenne</td></tr><tr><td>G 9112</td><td>B. CREPON et G. DUREAU<br>Investissement en recherche-développement : analyse de causalités dans un modèle d'accélérateur généralisé</td><td>G 9309<br>L. BLOCH - B. CŒURÉ<br>Profitabilité de l'investissement productif et transmission des chocs financiers</td></tr><tr><td>G 9113</td><td>J.L. BRILLET, H. ERKEL-ROUSSE, J. TOUJAS-BERNATE<br>"France-Allemagne Couplées" - Deux économies vues par une maquette macro-économétrique</td><td>G 9400<br>J. BOURDIEU - B. COLIN-SEDILLOT<br>Les théories sur la structure optimal du capital : quelques points de repère</td></tr><tr><td>G 9201</td><td>W.J. ADAMS, B. CREPON, D. ENCAOUA<br>Choix technologiques et stratégies de dissuasion d'entrée</td><td>G 9410<br>F. ROSENWALD<br>Suivi conjoncturel de l'investissement</td></tr><tr><td>G 9202</td><td>J. OLIVEIRA-MARTINS, J. TOUJAS-BERNATE</td><td>G 9411<br>J. BOURDIEU - B. COLIN-SEDILLOT<br>Les décisions de financement des entreprises</td></tr></table>

<table><tr><td>G 9312</td><td>L. BLOCH - B. CŒURÉ<br>Q de Tobin marginal et transmission des chocs financiers</td></tr><tr><td>G 9313</td><td>Equipes Amadeus (INSEE), Banque de France, Métric (DP)<br>Presentation des propriétés des principaux modèles macroéconomiques du Service Public</td></tr><tr><td>G 9314</td><td>B. CREPON - E. DUGUET<br>Research & Development, competition and innovation</td></tr><tr><td>G 9315</td><td>B. DORMONT<br>Quelle est l'influence du coût du travail sur l'emploi ?<br>D. BLANCHET - C. BROUSSE<br>Deux études sur l'âge de la retraite</td></tr><tr><td>G 9317</td><td>D. BLANCHET<br>Répartition du travail dans une population hétérogène : deux notes</td></tr><tr><td>G 9318</td><td>D. EYSSARTIER - N. PONTY<br>AMADEUS - an annual macro-economic model for the medium and long term</td></tr><tr><td>G 9319</td><td>G. CETTE - Ph. CUNÉO - D. EYSSARTIER - J. GAUTIÉ<br>Les effets sur l'emploi d'un abaissement du coût du travail des jeunes</td></tr><tr><td>G 9401</td><td>D. BLANCHET<br>Les structures par âge importent-elles ?</td></tr><tr><td>G 9402</td><td>J. GAUTIÉ<br>Le chômage des jeunes en France : problème de formation ou phénomène de file d'attente ?<br>Quelques éléments du débat</td></tr><tr><td>G 9403</td><td>P. QUIRION<br>Les déchets en France : éléments statistiques et économiques</td></tr><tr><td>G 9404</td><td>D. LADIRAY - M. GRUN-REHOMME<br>Lissage par moyennes mobiles - Le problème des extrémités de série</td></tr><tr><td>G 9405</td><td>V. MAILLARD<br>Theorie et pratique de la correction des effets de jours ouvrables</td></tr><tr><td>G 9406</td><td>F. ROSENWALD<br>La décision d'investir</td></tr><tr><td>G 9407</td><td>S. JACOBZONE<br>Les apports de l'économie industrielle pour définir la stratégie économique de l'hôpital public</td></tr><tr><td>G 9408</td><td>L. BLOCH, J. BOURDIEU, B. COLIN-SEDILLOT, G. LONGUEVILLE<br>Du défaut de paiement au dépôt de bilan : les banquiers face aux PME en difficulté</td></tr><tr><td>G 9409</td><td>D. EYSSARTIER, P. MAIRE<br>Impacts macro-économiques de mesures d'aide au logement - quelques éléments d'évaluation</td></tr><tr><td>G 9410</td><td>F. ROSENWALD<br>Suivi conjoncturel de l'investissement</td></tr><tr><td>G 9411</td><td>C. DEFEUILLE - Ph. QUIRION<br>Les déchets d'emballages ménagers : une analyse économique des politiques française et allemande</td></tr></table>

<table><tr><td>G 9412</td><td>J. BOURDIEU - B. CŒURÉ - B. COLIN-SEDILLOT<br>Investissement, incertitude et irréversibilité<br>Quelques développements récents de la théorie de l'investissement</td></tr><tr><td>G 9413</td><td>B. DORMONT - M. PAUCHET<br>L'évaluation de l'élasticité emploi-salaire dépend-elle des structures de qualification ?</td></tr><tr><td>G 9414</td><td>I. KABLA<br>Le Choix de breveter une invention</td></tr><tr><td>G 9501</td><td>J. BOURDIEU - B. CŒURÉ - B. SEDILLOT<br>Irreversible Investment and Uncertainty : When is there a Value of Waiting ?</td></tr><tr><td>G 9502</td><td>L. BLOCH - B. CŒURÉ<br>Imperfections du marché du crédit, investissement des entreprises et cycle économique</td></tr><tr><td>G 9503</td><td>D. GOUX - E. MAURIN<br>Les transformations de la demande de travail par qualification en France<br>Une étude sur la période 1970-1993</td></tr><tr><td>G 9504</td><td>N. GREENAN<br>Technologie, changement organisationnel, qualifications et emploi : une étude empirique sur l'industrie manufacturière</td></tr><tr><td>G 9505</td><td>D. GOUX - E. MAURIN<br>Persistance des hiérarchies sectorielles de salaires : un réexamen sur données françaises</td></tr><tr><td>G 9505 Bis</td><td>D. GOUX - E. MAURIN<br>Persistance de inter-industry wages differentials: a reexamination on matched worker-firm panel data</td></tr><tr><td>G 9506</td><td>S. JACOBZONE<br>Les liens entre RMI et chômage, une mise en perspective<br>NON PARU - article sorti dans Economie et Prévision n°122 (1996) - pages 95 à 113</td></tr><tr><td>G 9507</td><td>G. CETTE - S. MAHFOUZ<br>Le partage primaire du revenu<br>Constat descriptif sur longue période</td></tr><tr><td>G 9601</td><td>Banque de France - CEPREMAP - Direction de la Prévision - Erasme - INSEE - OFCE<br>Structures et propriétés de cinq modèles macro-économiques français</td></tr><tr><td>G 9602</td><td>Rapport d'activité de la DESE de l'année 1995</td></tr><tr><td>G 9603</td><td>J. BOURDIEU - A. DRAZNIEKS<br>L'octroi de crédit aux PME : une analyse à partir d'informations bancaires</td></tr><tr><td>G 9604</td><td>A. TOPIOL-BENSAÎD<br>Les implantations japonaises en France</td></tr><tr><td>G 9605</td><td>P. GENIER - S. JACOBZONE<br>Comportements de prévention, consommation d'alcool et tabagie : peut-on parler d'une gestion globale du capital santé ?<br>Une modélisation microéconométrique empirique</td></tr><tr><td>G 9606</td><td>C. DOZ - F. LENGLART<br>Factor analysis and unobserved component models: an application to the study of French business surveys</td></tr><tr><td>G 9607</td><td>N. GREENAN - D. GUELLEC<br>La théorie coopérative de la firme</td></tr></table>
<table><tr><td>G 9608</td><td>N. GREENAN - D. GUELLEC<br>Technological innovation and employment<br>reallocation</td></tr><tr><td>G 9609</td><td>Ph. COUR - F. RUPPRECHT<br>L'intégration asymétrique au sein du continent<br>américain : un essai de modélisation</td></tr><tr><td>G 9610</td><td>S. DUCHENE - G. FORGEOT - A. JACQUOT<br>Analyse des évolutions récentes de la productivité apparente du travail</td></tr><tr><td>G 9611</td><td>X. BONNET - S. MAHFOUZ<br>The influence of different specifications of<br>wages-prices spirals on the measure of the<br>NAIRU : the case of France</td></tr><tr><td>G 9612</td><td>PH. COUR - E. DUBOIS, S. MAHFOUZ,<br>J. PISANI-FERRY<br>The cost of fiscal retrenchment revisited: how<br>strong is the evidence ?</td></tr><tr><td>G 9613</td><td>A. JACQUOT<br>Les flexions des taux d'activité sont-elles seule-<br>ment conjoncturelles ?</td></tr><tr><td>G 9614</td><td>ZHANG Yingxiang - SONG Xueqing<br>Lexique macroéconomique Français-Chinois</td></tr><tr><td>G 9701</td><td>J.L. SCHNEIDER<br>La taxe professionnelle : éléments de cadrage<br>économique</td></tr><tr><td>G 9702</td><td>J.L. SCHNEIDER<br>Transition et stabilité politique d'un système<br>redistributif</td></tr><tr><td>G 9703</td><td>D. GOUX - E. MAURIN<br>Train or Pay: Does it Reduce Inequalities to En-<br>courage Firms to Train their Workers?</td></tr><tr><td>G 9704</td><td>P. GENIER<br>Deux contributions sur dépendance et équité</td></tr><tr><td>G 9705</td><td>E. DUGUET - N. IUNG<br>R & D Investment, Patent Life and Patent Value<br>An Econometric Analysis at the Firm Level</td></tr><tr><td>G 9706</td><td>M. HOUBEBINE - A. TOPIOL-BENSAÏD<br>Les entreprises internationales en France : une<br>analyse à partir de données individuelles</td></tr><tr><td>G 9707</td><td>M. HOUBEBINE<br>Polarisation des activités et spécialisation des<br>départements en France</td></tr><tr><td>G 9708</td><td>E. DUGUET - N. GREENAN<br>Le biais technologique : une analyse sur don-<br>nées individuelles</td></tr><tr><td>G 9709</td><td>J.L. BRILLET<br>Analyzing a small French ECM Model</td></tr><tr><td>G 9710</td><td>J.L. BRILLET<br>Formalizing the transition process : scenarios for<br>capital accumulation</td></tr><tr><td>G 9711</td><td>G. FORGEOT - J. GAUTIÉ<br>Insertion professionnelle des jeunes et proces-<br>sus de déclassement</td></tr><tr><td>G 9712</td><td>E. DUBOIS<br>High Real Interest Rates: the Consequence of a<br>Saving Investment Disequilibrium or of an in-<br>sufficient Credibility of Monetary Authorities?</td></tr><tr><td>G 9713</td><td>Bilan des activités de la Direction des Etudes<br>et Synthèses Economiques - 1996</td></tr></table>

<table><tr><td>G 9714</td><td>F. LEQUILLER<br>Does the French Consumer Price Index Over-<br>state Inflation?</td></tr><tr><td>G 9715</td><td>X. BONNET<br>Peut-on mettre en évidence les rigidités à la<br>baisse des salaires nominaux ?<br>Une étude sur quelques grands pays de l'OCDE</td></tr><tr><td>G 9716</td><td>N. IUNG - F. RUPPRECHT<br>Productivité de la recherche et rendements<br>d'échelle dans le secteur pharmaceutique<br>français</td></tr><tr><td>G 9717</td><td>E. DUGUET - I. KABLA<br>Appropriation strategy and the motivations to use<br>the patent system in France - An econometric<br>analysis at the firm level</td></tr><tr><td>G 9718</td><td>L.P. PELÉ - P. RALLE<br>Âge de la retraite : les aspects incitatifs du ré-<br>gime général</td></tr><tr><td>G 9719</td><td>ZHANG Yingxiang - SONG Xueqing<br>Lexique macroéconomique français-chinois,<br>chinois-français</td></tr><tr><td>G 9720</td><td>M. HOUBEBINE - J.L. SCHNEIDER<br>Mesurer l'influence de la fiscalité sur la locali-<br>sation des entreprises</td></tr><tr><td>G 9721</td><td>A. MOUROUGANE<br>Crédibilité, indépendance et politique monétaire<br>Une revue de la littérature</td></tr><tr><td>G 9722</td><td>P. AUGERAUD - L. BRIOT<br>Les données comptables d'entreprises<br>Le système intermédiaire d'entreprises<br>Passage des données individuelles aux données<br>sectorielles</td></tr><tr><td>G 9723</td><td>P. AUGERAUD - J.E. CHAPRON<br>Using Business Accounts for Compiling National<br>Accounts: the French Experience</td></tr><tr><td>G 9724</td><td>P. AUGERAUD<br>Les comptes d'entreprise par activités - Le pas-<br>sage aux comptes - De la comptabilité<br>d'entreprise à la comptabilité nationale - A<br>paraitre</td></tr><tr><td>G 9801</td><td>H. MICHAUDON - C. PRIGENT<br>Présentation du modèle AMADEUS</td></tr><tr><td>G 9802</td><td>J. ACCARDO<br>Une étude de comptabilité générationnelle<br>pour la France en 1996</td></tr><tr><td>G 9803</td><td>X. BONNET - S. DUCHÈNE<br>Apports et limites de la modélisation<br>« Real Business Cycles »</td></tr><tr><td>G 9804</td><td>C. BARLET - C. DUGUET -<br>D. ENCAOUA - J. PRADEL<br>The Commercial Success of Innovations<br>An econometric analysis at the firm level in<br>French manufacturing</td></tr><tr><td>G 9805</td><td>P. CAHUC - Ch. GIANELLA -<br>D. GOUX - A. ZILBERBERG<br>Equalizing Wage Differences and Bargaining<br>Power - Evidence form a Panel of French Firms</td></tr><tr><td>G 9806</td><td>J. ACCARDO - M. JLASSI<br>La productivité globale des facteurs entre 1975<br>et 1996</td></tr><tr><td>G 9807</td><td>Bilan des activités de la Direction des Etudes et<br>Synthèses Economiques - 1997</td></tr></table>

<table><tr><td>G 9808</td><td>A. MOUROUGANE<br>Can a Conservative Governor Conduct an Ac-<br>comodative Monetary Policy ?</td></tr><tr><td>G 9809</td><td>X. BONNET - E. DUBOIS - L. FAUVET<br>Asymétrie des inflations relatives et menus costs<br>: tests sur l'inflation française</td></tr><tr><td>G 9810</td><td>E. DUGUET - N. IUNG<br>Sales and Advertising with Spillovers at the firm<br>level: Estimation of a Dynamic Structural Model<br>on Panel Data</td></tr><tr><td>G 9811</td><td>J.P. BERTHIER<br>Congestion urbaine : un modèle de trafic de<br>pointe à courbe débit-vitesse et demande<br>élastique</td></tr><tr><td>G 9812</td><td>C. PRIGENT<br>La part des salaires dans la valeur ajoutée : une<br>approche macroéconomique</td></tr><tr><td>G 9813</td><td>A.Th. AERTS<br>L'évolution de la part des salaires dans la valeur<br>ajoutée en France reflète-t-elle les évolutions<br>individuelles sur la période 1979-1994 ?</td></tr><tr><td>G 9814</td><td>B. SALANIÉ<br>Guide pratique des séries non-stationnaires</td></tr><tr><td>G 9901</td><td>S. DUCHÈNE - A. JACQUOT<br>Une croissance plus riche en emplois depuis le<br>début de la décennie ? Une analyse en compa-<br>raison internationale</td></tr><tr><td>G 9902</td><td>Ch. COLIN<br>Modélisation des carrières dans Destinie</td></tr><tr><td>G 9903</td><td>Ch. COLIN<br>Evolution de la dispersion des salaires : un essai<br>de prospective par microsimulation</td></tr><tr><td>G 9904</td><td>B. CREPON - N. IUNG<br>Innovation, emploi et performances</td></tr><tr><td>G 9905</td><td>B. CREPON - Ch. GIANELLA<br>Wages inequalities in France 1969-1992<br>An application of quantile regression techniques</td></tr><tr><td>G 9906</td><td>C. BONNET - R. MAHIEU<br>Microsimulation techniques applied to inter-<br>generational transfers - Pensions in a dynamic<br>framework: the case of France</td></tr><tr><td>G 9907</td><td>F. ROSENWALD<br>L'impact des contraintes financières dans la dé-<br>cision d'investissement</td></tr><tr><td>G 9908</td><td>Bilan des activités de la DESE - 1998</td></tr><tr><td>G 9909</td><td>J.P. ZOYEM<br>Contrat d'insertion et sortie du RMI<br>Evaluation des effets d'une politique sociale</td></tr><tr><td>G 9910</td><td>Ch. COLIN - FI. LEGROS - R. MAHIEU<br>Bilans contributifs comparés des régimes de<br>retraite du secteur privé et de la fonction<br>publique</td></tr><tr><td>G 9911</td><td>G. LAROQUE - B. SALANIÉ<br>Une décomposition du non-emploi en France</td></tr><tr><td>G 9912</td><td>B. SALANIÉ<br>Une maquette analytique de long terme du<br>marché du travail</td></tr><tr><td>G 9912</td><td>Ch. GIANELLA<br>Une estimation de l'élasticité de l'emploi peu<br>qualifié à son coût</td></tr></table>

<table><tr><td>G 9913</td><td>Division « Redistribution et Politiques Sociales »<br>Le modèle de microsimulation dynamique<br>DESTINIE</td></tr><tr><td>G 9914</td><td>E. DUGUET<br>Macro-commandes SAS pour l'économétrie des<br>panels et des variables qualitatives</td></tr><tr><td>G 9915</td><td>R. DUHAUTOIS<br>Evolution des flux d'emplois en France entre<br>1990 et 1996 : une étude empirique à partir du<br>fichier des bénéfices réels normaux (BRN)</td></tr><tr><td>G 9916</td><td>J.Y. FOURNIER<br>Extraction du cycle des affaires : la méthode de<br>Baxter et King</td></tr><tr><td>G 9917</td><td>B. CRÉPON - R. DESPLATZ - J. MAIRESSE<br>Estimating price cost margins, scale economies<br>and workers' bargaining power at the firm level</td></tr><tr><td>G 9918</td><td>Ch. GIANELLA - Ph. LAGARDE<br>Productivity of hours in the aggregate production<br>function: an evaluation on a panel of French<br>firms from the manufacturing sector</td></tr><tr><td>G 9919</td><td>S. AUDRIC - P. GIVORD - C. PROST<br>Evolution de l'emploi et des coûts par quali-<br>fication entre 1982 et 1996</td></tr><tr><td>G 2000/01</td><td>R. MAHIEU<br>Les déterminants des dépenses de santé : une<br>approche macroéconomique</td></tr><tr><td>G 2000/02</td><td>C. ALLARD-PRIGENT - H. GUILMEAU -<br>A. QUINET<br>The real exchange rate as the relative price of<br>nontrables in terms of tradables: theoretical<br>investigation and empirical study on French data</td></tr><tr><td>G 2000/03</td><td>J.-Y. FOURNIER<br>L'approximation du filtre passe-bande proposée<br>par Christiano et Fitzgerald</td></tr><tr><td>G 2000/04</td><td>Bilan des activités de la DESE - 1999</td></tr><tr><td>G 2000/05</td><td>B. CREPON - F. ROSENWALD<br>Investissement et contraintes de financement : le<br>poids du cycle<br>Une estimation sur données françaises</td></tr><tr><td>G 2000/06</td><td>A. FLIPO<br>Les comportements matrimoniaux de fait</td></tr><tr><td>G 2000/07</td><td>R. MAHIEU - B. SÉDILLOT<br>Microsimulations of the retirement decision: a<br>supply side approach</td></tr><tr><td>G 2000/08</td><td>C. AUDENIS - C. PROST<br>Déficit conjoncturel : une prise en compte des<br>conjonctures passées</td></tr><tr><td>G 2000/09</td><td>R. MAHIEU - B. SÉDILLOT<br>Equivalent patrimonial de la rente et souscription<br>de retraite complémentaire</td></tr><tr><td>G 2000/10</td><td>R. DUHAUTOIS<br>Ralentissement de l'investissement : petites ou<br>grandes entreprises ? industrie ou tertiaire ?</td></tr><tr><td>G 2000/11</td><td>G. LAROQUE - B. SALANIÉ<br>Temps partiel féminin et incitations financières à<br>l'emploi</td></tr><tr><td>G 2000/12</td><td>Ch. GIANELLA<br>Local unemployment and wages</td></tr><tr><td>G 2000/13</td><td>B. CREPON - Th. HECKEL<br>- Informatisation en France : une évaluation à<br>partir de données individuelles</td></tr></table>
- Computerization in France: an evaluation based on individual company data

G2001/01 F. LEQUILLER
- La nouvelle économie et la mesure de la croissance du PIB

- The new economy and the measurement of GDP growth

G2001/02 S. AUDRIC
La reprise de la croissance de l'emploi profonde-t-elle aussi aux non-diplômés ?

G2001/03 I. BRAUN-LEMAIRE
Evolution et répartition du surplus de productivité

G2001/04 A. BEAUDU - Th. HECKEL
Le canal du crédit fonctionne-t-il en Europe ? Une étude de l'hétérogénéité des comportements d'investissement à partir de données de bilan agrégées

G2001/05 C. AUDENIS - P. BISCOURP - N. FOURCADE - O. LOISEL
Testing the augmented Solow growth model : An empirical reassessment using panel data

G2001/06 R. MAHIEU - B. SÉDILLOT
Départ à la retraite, irréversibilité et incertitude

G2001/07 Bilan des activités de la DESE - 2000

G2001/08 J. Ph. GAUDEMET
Les dispositifs d'acquisition à titre facultatif d'annuités viagères de retraite

G2001/09 B. CRÉPON - Ch. GIANELLA
Fiscalité, coût d'usage du capital et demande de facteurs : une analyse sur données individuelles

G2001/10 B. CRÉPON - R. DESPLATZ
Evaluation des effets des dispositifs d'allégements de charges sociales sur les bas salaires

G2001/11 J.-Y. FOURNIER
Comparaison des salaires des secteurs public et privé

G2001/12 J.-P. BERTHIER - C. JAULENT
R. CONVENEVOLE - S. PISANI
Une méthodologie de comparaison entre consommations intermédiaires de source fiscale et de comptabilité nationale

G2001/13 P. BISCOURP - Ch. GIANELLA
Substitution and complementarity between capital, skilled and less skilled workers: an analysis at the firm level in the French manufacturing industry

G2001/14 I. ROBERT-BOBEE
Modelling demographic behaviours in the French microsimulation model Destinie: An analysis of future change in completed fertility

G2001/15 J.-P. ZOYEM
Diagnostic sur la pauvreté et calendrier de revenus : le cas du "Panel européen des ménages"

G2001/16 J.-Y. FOURNIER - P. GIVORD
La réduction des taux d'activité aux âges extrêmes, une spécificité française ?

G2001/17 C. AUDENIS - P. BISCOURP - N. RIEDINGER
Existe-t-il une asymétrie dans la transmission du prix du brut aux prix des carburants ?

G2002/01 F. MAGNIEN - J.-L. TAVERNIER - D. THESMAR
Les statistiques internationales de PIB par habitant en standard de pouvoir d'achat : une analyse des résultats

G2002/02 Bilan des activités de la DESE - 2001

G2002/03 B. SÉDILLOT - E. WALRAET
La cessation d'activité au sein des couples : y a-t-il interdépendance des choix ?

G2002/04 G. BRILHAULT
- Rétroposition des séries de FBCF et calcul du capital fixe en SEC-95 dans les comptes nationaux français

- Rétroposition of the investment series (GFCF) and estimation of fixed capital stocks on the ESA-95 basis for the French balance sheets

G2002/05 P. BISCOURP - B. CRÉPON - T. HECKEL - N. RIEDINGER
How do firms respond to cheaper computers? Microeconomic evidence for France based on a production function approach

G2002/06 C. AUDENIS - J. DEROYON - N. FOURCADE
L'impact des nouvelles technologies de l'information et de la communication sur l'économie française - un bouclage macro-économique

G2002/07 J. BARDAJI - B. SÉDILLOT - E. WALRAET
Évaluation de trois réformes du Régime Général d'assurance vieillesse à l'aide du modèle de microsimulation DESTINIE

G2002/08 J.-P. BERTHIER
Réflexions sur les différentes notions de volume dans les comptes nationaux : comptes aux prix d'une année fixe ou aux prix de l'année précédente, séries chaînées

G2002/09 F. HILD
Les soldes d'opinion résument-ils au mieux les réponses des entreprises aux enquêtes de conjoncture ?

G2002/10 I. ROBERT-BOBÉE
Les comportements démographiques dans le modèle de microsimulation Destinie - Une comparaison des estimations issues des enquêtes Jeunes et Carrières 1997 et Histoire Familiale 1999

G2002/11 J.-P. ZOYEM
La dynamique des bas revenus : une analyse des entrées-sorties de pauvreté

G2002/12 F. HILD
Prévisions d'inflation pour la France

G2002/13 M. LECLAIR
Réduction du temps de travail et tensions sur les facteurs de production

G2002/14 E. WALRAET - A. VINCENT
- Analyse de la redistribution intragénérationnelle dans le système de retraite des salariés du privé - Une approche par microsimulation

- Intragenerational distributional analysis in the french private sector pension scheme - A microsimulation approach

G2002/15 P. CHONE - D. LE BLANC - I. ROBERT-BOBEE
Offre de travail féminine et garde des jeunes enfants

G2002/16 F. MAUREL - S. GREGOIR
Les indices de compétitivité des pays : interprétation et limites

G2003/01 N. RIEDINGER - E. HAUVY
Le coût de dépollution atmosphérique pour les entreprises françaises : Une estimation à partir de données individuelles

G2003/02 P. BISCOURP et F. KRAMARZ
Création d'emplois, destruction d'emplois et internationalisation des entreprises industrielles françaises : une analyse sur la période 1986-1992

G2003/03 Bilan des activités de la DESE - 2002

G2003/04 P.-O. BEFFY - J. DEROYON - N. FOURCADE - S. GREGOIR - N. LAÎB - B. MONFORT
Évolutions démographiques et croissance : une projection macro-économique à l'horizon 2020

G2003/05 P. AUBERT
La situation des salariés de plus de cinquante ans dans le secteur privé

G2003/06 P. AUBERT - B. CRÉPON
Âge, salaire et productivité
La productivité des salariés décline-t-elle en fin de carrière ?

G2003/07 H. BARON - P.O. BEFFY - N. FOURCADE - R. MAHIEU
Le ralentissement de la productivité du travail au cours des années 1990

G2003/08 P.-O. BEFFY - B. MONFORT
Patrimoine des ménages, dynamique d'allocation et comportement de consommation

G2003/09 P. BISCOURP - N. FOURCADE
Peut-on mettre en évidence l'existence de rigidités à la baisse des salaires à partir de données individuelles ? Le cas de la France à la fin des années 90

G2003/10 M. LECLAIR - P. PETIT
Présence syndicale dans les firmes : quel impact sur les inégalités salariales entre les hommes et les femmes ?

G2003/11 P.-O. BEFFY - X. BONNET - M. DARRACQ-PARIES - B. MONFORT
MZE: a small macro-model for the euro area

G2004/01 P. AUBERT - M. LECLAIR
La compétitivité exprimée dans les enquêtes trimestrielles sur la situation et les perspectives dans l'industrie

G2004/02 M. DUÉE - C. REBILLARD
La dépendance des personnes âgées : une projection à long terme

G2004/03 S. RASPILLER - N. RIEDINGER
Régulation environnementale et choix de localisation des groupes français

G2004/04 A. NABOULET - S. RASPILLER
Les déterminants de la décision d'investir : une approche par les perceptions subjectives des firmes

G2004/05 N. RAGACHE
La déclaration des enfants par les couples non mariés est-elle fiscalement optimale ?

G2004/06 M. DUÉE
L'impact du chômage des parents sur le devenir scolaire des enfants

G2004/07 P. AUBERT - E. CAROLI - M. ROGER
New Technologies, Workplace Organisation and the Age Structure of the Workforce: Firm-Level Evidence

G2004/08 E. DUGUET - C. LELARGE
Les brevets accroissent-ils les incitations privées à innover ? Un examen microéconomique

G2004/09 S. RASPILLER - P. SILLARD
Affiliating versus Subcontracting: the Case of Multinationals

G2004/10 J. BOISSINOT - C. L'ANGEVIN - B. MONFORT
Public Debt Sustainability: Some Results on the French Case

G2004/11 S. ANANIAN - P. AUBERT
Travailleurs âgés, nouvelles technologies et changements organisationnels : un réexamen à partir de l'enquête « REPONSE »

G2004/12 X. BONNET - H. PONCET
Structures de revenus et propensions différentes à consommer - Vers une équation de consommation des ménages plus robuste en prévision pour la France

G2004/13 C. PICART
Évaluer la rentabilité des sociétés non financières

G2004/14 J. BARDAJI - B. SÉDILLOT - E. WALRAET
Les retraites du secteur public : projections à l'horizon 2040 à l'aide du modèle de microsimulation DESTINIE

G2005/01 S. BUFFETEAU - P. GODEFROY
Conditions de départ en retraite selon l'âge de fin d'études : analyse prospective pour les générations 1945 a1974

G2005/02 C. AFSA - S. BUFFETEAU
L'évolution de l'activité féminine en France : une approche par pseudo-panel

G2005/03 P. AUBERT - P. SILLARD
Délocalisations et réductions d'effectifs dans l'industrie française

G2005/04 M. LECLAIR - S. ROUX
Mesure et utilisation des emplois instables dans les entreprises

G2005/05 C. L'ANGEVIN - S. SERRAVALLE
Performances à l'exportation de la France et de l'Allemagne - Une analyse par secteur et destination géographique

G2005/06 Bilan des activités de la Direction des Études et Synthèses Economiques - 2004

G2005/07 S. RASPILLER
La concurrence fiscale : principaux enseignements de l'analyse économique

G2005/08 C. L'ANGEVIN - N. LAÎB
Éducation et croissance en France et dans un panel de 21 pays de l'OCDE

G2005/09 N. FERRARI
Prévoir l'investissement des entreprises
Un indicateur des révisions dans l'enquête de conjoncture sur les investissements dans l'industrie.
G2005/10 P.-O. BEFFY - C. L'ANGEVIN
Chômage et boucle prix-salaires : apport d'un modèle « qualifés/peu qualifiés »

G2005/11 B. HEITZ
A two-states Markov-switching model of inflation in France and the USA: credible target VS inflation spiral

G2005/12 O. BIAU - H. ERKEL-ROUSSE - N. FERRARI
Réponses individuelles aux enquêtes de conjoncture et prévision macroéconomiques : Exemple de la prévision de la production manufacturière

G2005/13 P. AUBERT - D. BLANCHET - D. BLAU
The labour market after age 50: some elements of a Franco-American comparison

G2005/14 D. BLANCHET - T. DEBRAND - P. DOURGNON - P. POLLET
L'enquête SHARE : présentation et premiers résultats de l'édition française

G2005/15 M. DUÉE
La modélisation des comportements démographiques dans le modèle de microsimulation DESTINIE

G2005/16 H. RAOUI - S. ROUX
Étude de simulation sur la participation versée aux salariés par les entreprises

G2006/01 C. BONNET - S. BUFFETEAU - P. GODEFROY
Disparités de retraite de droit direct entre hommes et femmes : quelles évolutions ?

G2006/02 C. PICART
Les gazelles en France

G2006/03 P. AUBERT - B. CRÉPON - P. ZAMORA
Le rendement apparent de la formation continue dans les entreprises : effets sur la productivité et les salaires

G2006/04 J.-F. OUVRARD - R. RATHELOT
Demographic change and unemployment: what do macroeconometric models predict?

G2006/05 D. BLANCHET - J.-F. OUVRARD
Indicateurs d'engagements implicites des systèmes de retraite : chiffrages, propriétés analytiques et réactions à des chocs démographiques types

G2006/06 G. BIAU - O. BIAU - L. ROUVIERE
Nonparametric Forecasting of the Manufacturing Output Growth with Firm-level Survey Data

G2006/07 C. AFSA - P. GIVORD
Le rôle des conditions de travail dans les absences pour maladie

G2006/08 P. SILLARD - C. L'ANGEVIN - S. SERRAVALLE
Performances comparées à l'exportation de la France et de ses principaux partenaires
Une analyse structurelle sur 12 ans

G2006/09 X. BOUTIN - S. QUANTIN
Une méthodologie d'évaluation comptable du coût du capital des entreprises françaises : 1984-2002

G2006/10 C. AFSA
L'estimation d'un coût implicite de la pénibilité du travail chez les travailleurs âgés

G2006/11 C. LELARGE
Les entreprises (industrielles) françaises sont-elles à la frontière technologique ?

G2006/12 O. BIAU - N. FERRARI
Théorie de l'opinion
Faut-il pondérer les réponses individuelles ?

G2006/13 A. KOUBI - S. ROUX
Une réinterprétation de la relation entre productivité et inégalités salariales dans les entreprises

G2006/14 R. RATHELOT - P. SILLARD
The impact of local taxes on plants location decision

G2006/15 L. GONZALEZ - C. PICART
Diversification, recentrage et poids des activités de support dans les groupes (1993-2000)

G2007/01 D. SRAER
Allègements de cotisations patronales et dynamique salariale

G2007/02 V. ALBOUY - L. LEQUIEN
Les rendements non monétaires de l'éducation : le cas de la santé

G2007/03 D. BLANCHET - T. DEBRAND
Aspiration à la retraite, santé et satisfaction au travail : une comparaison européenne

G2007/04 M. BARLET - L. CRUSSON
Quel impact des variations du prix du pétrole sur la croissance française ?

G2007/05 C. PICART
Flux d'emploi et de main-d'œuvre en France : un réexamen

G2007/06 V. ALBOUY - C. TAVAN
Massification et démocratisation de l'enseignement supérieur en France

G2007/07 T. LE BARBANCHON
The Changing response to oil price shocks in France : a DSGE type approach

G2007/08 T. CHANEY - D. SRAER - D. THESMAR
Collateral Value and Corporate Investment Evidence from the French Real Estate Market

G2007/09 J. BOISSINOT
Consumption over the Life Cycle: Facts for France

G2007/10 C. AFSA
Interpréter les variables de satisfaction : l'exemple de la durée du travail

G2007/11 R. RATHELOT - P. SILLARD
Zones Franches Urbaines : quels effets sur l'emploi salarié et les créations d'établissements ?

G2007/12 V. ALBOUY - B. CRÉPON
Aléa moral en santé : une évaluation dans le cadre du modèle causal de Rubin

G2008/01 C. PICART
Les PME françaises : rentables mais peu dynamiques

G2008/02 P. BISCOURP - X. BOUTIN - T. VERGÉ
The Effects of Retail Regulations on Prices Evidence form the Loi Galland

G2008/03 Y. BARBESOL - A. BRIANT
Économies d'agglomération et productivité des entreprises : estimation sur données individuelles françaises

G2008/04 D. BLANCHET - F. LE GALLO
Les projections démographiques : principaux mécanismes et retour sur l'expérience française

G2008/05 D. BLANCHET - F. TOUTLEMONDE
Évolutions démographiques et déformation du cycle de vie active : quelles relations ?

G2008/06 M. BARLET - D. BLANCHET - L. CRUSSON
Internationalisation et flux d'emplois : que dit une approche comptable ?

G2008/07 C. LELARGE - D. SRAER - D. THESMAR
Entrepreneurship and Credit Constraints - Evidence from a French Loan Guarantee Program

G2008/08 X. BOUTIN - L. JANIN
Are Prices Really Affected by Mergers?

G2008/09 M. BARLET - A. BRIANT - L. CRUSSON
Concentration géographique dans l'industrie manufacturière et dans les services en France : une approche par un indicateur en continu

G2008/10 M. BEFFY - É. COUDIN - R. RATHELOT
Who is confronted to insecure labor market histories? Some evidence based on the French labor market transition

G2008/11 M. ROGER - E. WALRAET
Social Security and Well-Being of the Elderly: the Case of France

G2008/12 C. AFSA
Analyser les composantes du bien-être et de son évolution
Une approche empirique sur données individuelles

G2008/13 M. BARLET - D. BLANCHET - T. LE BARBANCHON
Microsimuler le marché du travail : un prototype

G2009/01 P.-A. PIONNIER
Le partage de la valeur ajoutée en France, 1949-2007

G2009/02 Laurent CLAVEL - Christelle MINODIER
A Monthly Indicator of the French Business Climate

G2009/03 H. ERKEL-ROUSSE - C. MINODIER
Do Business Tendency Surveys in Industry and Services Help in Forecasting GDP Growth?
A Real-Time Analysis on French Data

G2009/04 P. GIVORD - L. WILNER
Les contrats temporaires : trappe ou marchepied vers l'emploi stable ?

G2009/05 G. LALANNE - P.-A. PIONNIER - O. SIMON
Le partage des fruits de la croissance de 1950 à 2008 : une approche par les comptes de surplus

G2009/06 L. DAVEZIES - X. D'HAULTFOEUILLE
Faut-il pondérer ?... Ou l'éternelle question de l'économètre confronté à des données d'enquête

G2009/07 S. QUANTIN - S. RASPILLER - S. SERRAVALLE
Commerce intragroupe, fiscalité et prix de transferts : une analyse sur données françaises

G2009/08 M. CLERC - V. MARCUS
Élasticités-prix des consommations énergétiques des ménages

G2009/09 G. LALANNE - E. POULIQUEN - O. SIMON
Prix du pétrole et croisssance potentielle à long terme

G2009/10 D. BLANCHET - J. LE CACHEUX - V. MARCUS
Adjusted net savings and other approaches to sustainability: some theroretical background

G2009/11 V. BELLAMY - G. CONSALES - M. FESSEAU - S. LE LAIDIER - É. RAYNAUD
Une décomposition du compte des ménages de la comptabilité nationale par catégorie de ménage en 2003

G2009/12 J. BARDAJI - F. TALLET
Detecting Economic Regimes in France: a Qualitative Markov-Switching Indicator Using Mixed Frequency Data

G2009/13 R. AEBERHARDT - D. FOUGÈRE - R. RATHELOT

Discrimination à l'embauche : comment exploiter les procédures de testing ?

G2009/14 Y. BARBESOL - P. GIVORD - S. QUANTIN
Partage de la valeur ajoutée, approche par données microéconomiques

G2009/15 I. BUONO - G. LALANNE
The Effect of the Uruguay round on the Intensive and Extensive Margins of Trade

G2010/01 C. MINODIER
Avantages comparés des séries des premières valeurs publiées et des séries des valeurs révisées - Un exercice de prévision en temps réel de la croissance trimestrielle du PIB en France

G2010/02 V. ALBOUY - L. DAVEZIES - T. DEBRAND
Health Expenditure Models: a Comparison of Five Specifications using Panel Data

G2010/03 C. KLEIN - O. SIMON
Le modèle MÉSANGE réestimé en base 2000
Tome 1 – Version avec volumes à prix constants

G2010/04 M.-É. CLERC - É. COUDIN
L'IPC, miroir de l'évolution du coût de la vie en France ? Ce qu'apporte l'analyse des courbes d'Engel

G2010/05 N. CECI-RENAUD - P.-A. CHEVALIER
Les seuils de 10, 20 et 50 salariés : impact sur la taille des entreprises françaises

G2010/06 R. AEBERHARDT - J. POUGET
National Origin Differences in Wages and Hierarchical Positions - Evidence on French Full-Time Male Workers from a matched Employer-Employee Dataset

G2010/07 S. BLASCO - P. GIVORD
Les trajectoires professionnelles en début de vie active : quel impact des contrats temporaires ?

G2010/08 P. GIVORD
Méthodes économétriques pour l'évaluation de politiques publiques

G2010/09 P.-Y. CABANNES - V. LAPÈGUE - E. POULIQUEN - M. BEFFY - M. GAINI
Quelle croissance de moyen terme après la crise ?

G2010/10 I. BUONO - G. LALANNE
La réaction des entreprises françaises à la baisse des tarifs douaniers étrangers
G2010/11 R. RATHELOT - P. SILLARD
L'apport des méthodes à noyaux pour mesurer la concentration géographique - Application à la concentration des immigrés en France de 1968 à 1999

G2010/12 M. BARATON - M. BEFFY - D. FOUGÈRE
Une évaluation de l'effet de la réforme de 2003 sur les départs en retraite - Le cas des enseignants du second degré public

G2010/13 D. BLANCHET - S. BUFFETEAU - E. CRENNER
S. LE MINEZ
Le modèle de microsimulation Destinie 2 : principales caractéristiques et premiers résultats

G2010/14 D. BLANCHET - E. CRENNER
Le bloc retraites du modèle Destinie 2 : guide de l'utilisateur

G2010/15 M. BARLET - L. CRUSSON - S. DUPUCH - F. PUECH
Des services échangés aux services échangeables : une application sur données françaises

G2010/16 M. BEFFY - T. KAMIONKA
Public-private wage gaps: is civil-servant human capital sector-specific?

G2010/17 P.-Y. CABANNES - H. ERKEL-ROUSSE - G. LALANNE - O. MONSO - E. POULIQUEN
Le modèle Mésange réestimé en base 2000
Tome 2 - Version avec volumes à prix chaînés

G2010/18 R. AEBERHARDT - L. DAVEZIES
Conditional Logit with one Binary Covariate: Link between the Static and Dynamic Cases

G2011/01 T. LE BARBANCHON - B. OURLIAC - O. SIMON
Les marchés du travail français et américain face aux chocs conjoncturels des années 1986 à 2007 : une modélisation DSGE

G2011/02 C. MARBOT
Une évaluation de la réduction d'impôt pour l'emploi de salariés à domicile

G2011/03 L. DAVEZIES
Modèles à effets fixes, à effets aléatoires, modèles mixtes ou multi-niveaux : propriétés et mises en œuvre des modélisations de l'hétérogénéité dans le cas de données groupées