De notre point de vue, la permanence de l'œuvre de Gaspard Monge s'appuie sur les deux piliers que sont

- (i) Le problème (dit) de Monge du transport optimal.

- (ii) L'équation de Monge Ampère (mentionnée par divers intervenants et qui se trouve avoir des liens profonds (réf. [i ]) avec le problème mentionné au point (i), ci-dessus).

1 (1) L.V. Kantorovich (1912-1986), lauréat du Prix Nobel d'Economie pour ses travaux sur la Program (...) 2Le problème de Monge du transport optimal relève tout à la fois de la Géométrie, du Calcul des Variations et de la Recherche Opérationnelle. Gaspard Monge, ingénieur militaire, entre autres choses, s'était posé le problème d'optimiser le transport (transfert) de déblais d'un lieu A à un lieu B. Ce problème a été généralisé par le mathématicien russe Kantorovich1 , le problème résultant étant connu sous le nom de problème de Monge-Kantorovich. Le problème de Monge-Kantorovich a de nombreuses applications dans diverses branches des Mathématiques et de la Physique, ce qui explique que de nombreux mathématiciens de par le monde étudient ce problème. Au plan national le problème de Monge-Kantorovich a motivé, entre autres, les travaux de Y. Brenier (Université de Nice; réfs. [ 1 ] et [2]) et ceux de C. Villani (ENS-Lyon); à propos de C. Villani, il convient de noter que ce mathématicien vient de publier dans Images des Mathématiques 2004, une publication du CNRS, un article, relativement accessible, sur le problème de Monge-Kantorovich.

L'équation de Monge-Ampère est une équation aux dérivées partielles non linéaire se formulant comme suit:

> (MA) det D2Ψ= f.

Dans (MA): l’inconnue Ψ est une fonction de x = {x1,......., xd}avec d≥2; D2Ψ est l'Hessienne de Ψ, i.e., la matrice (symétrique) de ses dérivées secondes; f est une fonction donnée. Si d = 2 et f > 0, (MA) est elliptique et a été étudiée de façon approfondie dans [3] (voir aussi [4]). Parmi les mathématiciens français ayant contribué de façon importante à l'étude des solutions de l'équation de Monge-Ampère il convient de mentionner Th. Aubin (Université P. et M. Curie, X 61), J.P. Bourguignon (IHES, X 66), B. Gaveau (Université P. et M. Curie, X 68), P.L. Lions (Collège de France, Professeur à l'Ecole Polytechnique), les intérêts du rédacteur portant sur la résolution numérique de (MA) (réf. [5]). Les équations de type Monge-Ampère interviennent en Géométrie Différentielle et dans de nombreuses branches de la Physique (Mécanique des Fluides, Théorie de l'Elasticité, Electrodynamique) et des Sciences de l'Ingénieur. Le lien avec la Géométrie Différentielle est évident puisque la courbure de Gauss d'une surface de Rd+1, d'équations (locales)

> (ES) x1 = x1,......., xd= xd,xd+1 = Ψ (x1,......., xd),

est donnée par

> (CG) det D2Ψ / (1 +│▼Ψ│2)1+d/2

2 Les termes non linéaires des équations de Von Karman (unmodèle classique pour la déformation des p (...) 3 Information glanée en 2003, dans l'exposé d'un mathématicien appliqué de l'Université d'Oxford, lor (...) 4 Pas si douce que cela, en fait, à cause des coins. 5Les liens avec la Physique et les Sciences de l'Ingénieur sont plus complexes et sont discutés, par exemple, dans [2], [6] et [7]. Les équations de Monge-Ampère interviennent, entre autres, dans la conception d'antennes, certaines questions de Météorologie, en Elasticité Non Linéaire2; sur ce dernier point, les participants du Colloque Gaspard Monge seront heureux d'apprendre que des équations du type Monge-Ampère ont été utilisées pour la conception optimisée de la forme des pare-brise de voitures3; il s'agit là, sans aucun doute, d'un exercice pratique de géométrie douce4au sens du Professeur Joël Sakarovitch.

Remarque: Compte tenu du rôle important qu'ils ont joué dans la création de l' Ecole Polytechnique et dans l'élaboration de son enseignement, on observera avec intérêt - au vu de la référence [5] - que des concepts et méthodes dus à J.L. Lagrange (liés en fait à ses multiplicateurs) sont applicables à la résolution d'un problème venant de G. Monge.

# Remerciements

Le rédacteur remercie Angela Glowinski, Anne Rouannet et Christian Marbach qui sont à l'origine de cette note.

<footnote n="1">1 (1) L.V. Kantorovich (1912-1986), lauréat du Prix Nobel d'Economie pour ses travaux sur la Programmation Linéaire, effectués indépendamment de ceux de G. Dantzig.</footnote>

<footnote n="2">2 Les termes non linéaires des équations de Von Karman (unmodèle classique pour la déformation des plaques élastiques minces, réf. [8]) font intervenir une "quantité" fonctionnelle connue sous le nom de crochet de Monge-Ampère, ce qui montre, à l'évidence, la nature géométrique de ces non linéarités.</footnote>

<footnote n="3">3 Information glanée en 2003, dans l'exposé d'un mathématicien appliqué de l'Université d'Oxford, lors d'un colloque sur les Méthodes Mathématiques du Calcul Scientifique, au Centre Isaac Newton de l'Université de Cambridge.</footnote>

<footnote n="4">4 Pas si douce que cela, en fait, à cause des coins.</footnote>