# Distributions des valeurs extrêmes en plusieurs dimensions

M. Émile, J. Gumbel

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M. Émile, J. Gumbel. Distributions des valeurs extrêmes en plusieurs dimensions. Annales de l'ISUP, 1960, IX (2), pp.171-173. hal-04092830

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Submitted on 9 May 2023

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# DISTRIBUTIONS DES VALEURS EXTRÊMES
EN PLUSIEURS DIMENSIONS

M. Émile J. GUMBEL

Soient

$$ (1) \qquad F_1(x) = 1 - P_1(x) ; F_2(y) = 1 - P_2(y) $$

deux fonctions de probabilités à une variable. Alors on obtient une fonction de probabilité $F(x, y)$ à deux variables telle que les fonctions $F_1(x)$ et $F_2(y)$ soient marginales en posant pour $m \ge 1$

$$ (2) \qquad [- \log F(x, y)]^m = [- \log F_1(x)]^m + [- \log F_2(y)]^m $$

De même on obtient une fonction de probabilités $P(x, y)$ pour des valeurs surpassant $x$ et $y$ telle que $P_1(x)$ et $P_2(y)$ soient marginales en posant pour $m \ge 1$

$$ (2') \qquad [- \log P(x, y)]^m = [- \log P_1(x)]^m + [- \log P_2(y)]^m $$

Les variables $x$ et $y$ sont indépendantes pour $m = 1$.

La relation entre $P(x, y)$ et $F(x, y)$ est

$$ (3) \qquad P(x, y) = 1 - F_1(x) - F_2(y) + F(x, y) $$

Les systèmes (2) et (2') peuvent être utilisés pour la construction de distributions asymptotiques et stables de valeurs extrêmes dépendantes ou non. Ce problème a été étudié par M. Finkelstein [1] pour les plus petites et par M. J. Tiago de Oliveira [5] pour les plus grandes valeurs. Mais ces solutions contiennent des fonctions $w(x, y)$ et $k(y-x)$ des deux valeurs extrêmes dont les propriétés sont connues, mais dont la forme analytique n'est pas connue. M. Geffroy [2] a donné une solution plus générale qu'il a étudiée en l'espèce pour une des trois distributions asymptotiques des plus grandes valeurs.

Pour obtenir une solution générale nous écrivons d'abord [3] les trois fonctions de probabilités asymptotiques et stables. $\Phi_{(x)}^{(\lambda)}$ des plus
grandes et $\Pi_{(x)}^{(\lambda)}$ des plus petites valeurs, où $\Pi_{(x)}^{(\lambda)}$ est la probabilité d'une valeur supérieure à $x$ et $\lambda = 1, 2, 3$.

$$ (4.1) \quad - \log \Phi_{(x)}^{(1)} = e^{-x} ; -\infty < x < \infty. \quad - \log \Pi_{(x)}^{(1)} = e^{x} ; -\infty < x < \infty $$

$$ (4.2) \quad - \log \Phi_{(x)}^{(2)} = x^{-k} ; x > 0. \quad - \log \Pi_{(x)}^{(2)} = (-x)^{-k} ; x < 0 $$

$$ (4.3) \quad - \log \Phi_{(x)}^{(3)} = (-x)^k ; x < 0. \quad - \log \Pi_{(x)}^{(3)} = x^k ; x > 0 $$

où $k > 0$. Ces distributions sont appelées stables parce que la distribution du maximum de la plus grande valeur et du minimum de la plus petite valeur sont les distributions des extrêmes elles-mêmes sauf pour une transformation linéaire de la variable.

Les substitutions des $\Phi$ au lieu de $F$ et des $\Pi$ au lieu de $P$ dans les systèmes (2) et (2'), conduisent aux six fonctions de probabilités à deux plus grandes valeurs données par :

$$ (5) \quad \left[ - \log \Phi_{(x,y)}^{(k, \lambda)} \right]^m = \left[ - \log \Phi_{(x)}^{(k)} \right]^m + \left[ - \log \Phi_{(y)}^{(\lambda)} \right]^m $$

et aux six fonctions de probabilités à deux plus petites valeurs données par :

$$ (6) \quad \left[ - \log \Pi_{(x,y)}^{(k, \lambda)} \right]^m = \left[ - \log \Pi_{(x)}^{(k)} \right]^m + \left[ - \log \Pi_{(y)}^{(\lambda)} \right]^m $$

où $k, \lambda = 1, 2, 3$. Les trois cas $k=\lambda$ conduisent à des fonctions de probabilités de valeurs extrêmes, homogènes, où les probabilités marginales sont du même type (1, 1), (2, 2), (3, 3). Les trois cas $k \neq \lambda$ conduisent aux fonctions de probabilités des valeurs extrêmes non-homogènes où les probabilités marginales appartiennent à des types différents (1, 2) (1, 3) (2, 3). De nouveau le cas $m=1$ conduit à l'indépendance qui a été étudiée dans une note précédente [4]. Les fonctions de probabilités (5) et (6) sont stables parce que la multiplication des logarithmes dans le premier membre par $n$ conduit à une transformation linéaire des variables $x$ et $y$ dans le second membre. Le cas le plus important semble être (1, 1) à savoir

$$ (7) \quad \Phi_{(x,y)}^{(1,1)}(x,y) = \exp \left[ - (e^{-mx} + e^{-my})^{11m} \right] ; \quad \Pi^{(1,1)}(x,y) = \exp \left[ -(e^{mx} + e^{my})^{11m} \right] $$

Le cas $m=2$, $k=\lambda=2$ dans la formule (5) est celui de M. Geffroy [2].

Les systèmes (5) et (6) peuvent facilement être généralisés à n dimensions. Dans ce but on n'a qu'à remplacer la somme de deux valeurs en (5) et (6) par celle de n valeurs. On obtient ainsi des distributions asymptotiques et stables des valeurs extrêmes en n dimensions.
BIBLIOGRAPHIE

[1] FINKELSTEIN, B. V. - Distribution limites des valeurs extrêmes aléatoires en deux dimensions (en Russe), Doklady Akademii Nauk SSSR, 91, n° 2 (1953).

[2] GEFFROY, J. - Contribution à la théorie des valeurs extrêmes
Thèse de l'Université de Paris, 1958.

[3] GUMBEL, E. J. - Statistics of Extremes, Columbia University, New York, 1958.

[4] GUMBEL, E. J. - Fonctions de probabilités à deux variables extrêmes indépendantes. C. R. As. Sc., t. 246, pp. 49-50, Paris, 1958.

[5] TIAGO DE OLIVEIRA, J. - Extremal distributions, Rev. Fac. Cien, Lisboa, A. Vol. VII, Fasc. 2º, pp. 219-228, 1959.