**Théorème 2.** Etant donnée une décomposition d'un ensemble connexe $C$ en $n \ge 2$ ensembles connexes

$$C = C_1 + C_2 + \dots + C_n,$$

il existe au moins deux indices différents $i'$ et $i''$ tels que les ensembles

$$\sum_{i \neq i'}^{n} C_i \quad \text{et} \quad \sum_{i \neq i''}^{n} C_i$$

sont connexes.

Désignons avec M. C. Zarankiewicz <fnref n="1" />) par $\tau'(C)$ l'ensemble des points d'un ensemble connexe $C$ tels que $C - (p)$ est encore un ensemble connexe.

On a alors deux conséquences suivantes du théorème 1:

**Corollaire 1.** Dans tout continu $K$ l'ensemble $\tau'(K)$ contient $\ge 2$ points.

Pour l'établir, il suffit d'appliquer le théorème 1 à la famille formée de points du continu $K$.

**Corollaire 2.** Dans tout continu $K$ on a $\tau'(K) - Q \neq 0$, quel que soit le vrai sous-ensemble connexe $Q$ de $K$.

Pour le prouver, il suffit d'appliquer le théorème 1 à la famille composée de $Q$ et de points de l'ensemble $K - Q$.

Le corollaire 2 montre que tout continu $K$ est irréductible par rapport à la propriété d'être un ensemble connexe contenant l'ensemble $\tau'(K)^6$.

Varsovie, Mars 1934.

Remarques sur les fonctions complètement additives d'ensemble et sur les ensembles jouissant de la propriété de Baire <fnref n="1" />).

Par

Edward Szpilrajn (Varsovie).

## Introduction.

Les ensembles de mesure lebesguienne nulle et les ensembles mesurables ($L$) d'une part, et d'autre part les ensembles de première catégorie et ceux jouissant de la propriété de Baire (au sens large) <fnref n="2" />) présentent, comme on sait, beaucoup d'analogies <fnref n="3" />). Et voici un théorème connu, relative à ces classes, qui porte un caractère de dualité:

(t) Il existe une décomposition de la droite en deux ensembles dont l'un est de mesure nulle et l'autre de première catégorie <fnref n="4" />).

Je démontre dans la note présente un théorème plus général, concernant les fonctions complètement additives d'ensembles et je donne plusieurs applications de ce théorème. Elles se rattachent en

<footnote n="1">¹) voir l. c., Fund. Math. IX, p. 124 et 135.</footnote>

<footnote n="2">²) H. M. Gehman, l. c., p. 435, Corollary 2b.</footnote>

<footnote n="1">¹) Une partie des résultats contenus dans cette note a été signalée dans ma communication O mierzalności i warunku Baire'a, faite au 1er Congrès des Mathématiciens des Pays Slaves (cf. C. R. de ce Congrès, Varsovie 1930, p. 300); les autres ont été présentés dans la séance de la Société Polonaise de Mathématique (section de Varsovie), le 26. I. 1934.</footnote>

<footnote n="2">²) c'est-à-dire les ensembles de la forme $G + K_1 - K_2$, où $G$ est un ensemble ouvert et $K_1$ avec $K_2$ — de première catégorie.</footnote>

<footnote n="3">³) Cf. le livre de M. W. Sierpiński: *Hypothèse du continu*, Monografje Matematyczne 4, Warszawa-Lwów 1934, chap. III; ma communication citée et ma note *Sur certains invariants de l'opération (A)*, Fund. Math. 21 (1933), p. 229.</footnote>

<footnote n="4">⁴) M. Sierpiński a démontré deux théorèmes qui présentent certaines généralisations de cette proposition. Cf. p. ex. son livre cité, p. 83.</footnote>
particulier aux certains ensembles singuliers de M. Lusin et à l'ainsi dit problème généralisé de la mesure.

M étant un espace métrique, chaque ensemble contenu dans M, dont tout sous-ensemble non dense (dans M) est au plus dénombrable, sera appelé ensemble de Lusin (dans M). On sait que

I. Si $2^{\aleph_0} = \aleph_1$, il existe un ensemble indénombrable de Lusin dans l'intervalle $[0, 1]^5$.

Or, de ce théorème et de nos considérations résulte immédiate-
ment le théorème suivant, démontré au moyen d'une méthode diffé-
rente par MM. Banach et Kuratowski:

II. Si $2^{\aleph_0} = \aleph_1$, chaque ensemble Z de puissance du continu satisfait à la condition suivante:

(y) il n'existe, en dehors de la fonction identiquement nulle, aucune fonction réelle (finie) d'ensemble qui soit complètement additive dans la famille de tous les sous-ensembles de Z et qui s'annulle pour les ensembles se réduisant à un point<fnref n="6" />).

Dans les deux derniers numéros j'indique certains résultats de MM. Poprougénko et Saks, concernant la continuité uniforme des fonctions complètement additives et l'ainsi dite propriété (C).

Mesure et catégorie.

1. **Théorème.** Z étant un espace métrique séparable et $\mu(E)$ une fonction non negative $^7$) (finie) de sous-ensemble borelien de Z, complètement additive et s'annulant pour les ensembles composés d'un seul point — il existe une décomposition $Z=H+K$, où K est un $F_a$ de première catégorie et H un $G_b$ tel que $\mu(H)=0$.

Démonstration. p étant un point arbitraire de Z et n un
nombre naturel quelconque, désignons par $V_n(p)$ la sphère de
centre p et de rayon $\frac{1}{n}$. On a :

$$
(1) \quad \lim_{n \to \infty} \mu V_n(p) = 0.
$$

En effet :

$$
\mu V_1(p) = \mu[V_1(p) - V_2(p)] + \mu[V_2(p) - V_3(p)] + \dots
$$

et cette série étant convergente, la reste *n*-ième, égale à $\mu V_{n+1}(p)$,
tend vers zéro.

Soient à présent : $p_1, p_2, \dots$ une suite de points de Z, dense dans Z et $\varepsilon$ un nombre positif.

En vertu de (1), il existe pour tout nombre naturel $k$ un nombre $n_k$
tel que

$$
(2) \qquad \mu V_{n_k}(p_k) < \frac{\epsilon}{2^k}.
$$

Posons

$$
V = \sum_{k=1}^{\infty} V_{n_k}(p_k).
$$

Il résulte de l'inégalité (2) que $\mu V < \varepsilon$ et par conséquent
$\mu(Z-V) > \mu(Z) - \varepsilon$.

V étant un ensemble ouvert, dense dans Z, l'ensemble Z—V est fermé et non dense. Nous venons donc de démontrer qu'il existe pour tout ε > 0 un sous-ensemble Q fermé et non dense de Z, tel que μ(Q) > μ(Z) — ε. Soit à présent Q_n une suite de tels ensembles, qui correspondent à la suite {1/n} et posons

$$
K = \sum_{n=1}^{\infty} Q_n \quad H = Z - K.
$$

Les ensembles *H* et *K* satisfont évidemment aux conditions
de la thèse.

2. **Corollaire.** Z étant un espace métrique séparable et dense en soi, il n'existe en dehors de la fonction identiquement nulle aucune fonction non négative (finie) de sous-ensemble borelien de Z qui soit complètement additive et qui s'annulle pour les ensembles boreliens de première catégorie.

Démonstration. Soit $\mu E$ une telle fonction. Il existe donc —
d'après le théorème 1 — un ensemble de première catégorie $K \subset Z$
tel que $\mu(Z - K) = 0$. L'ensemble $K$ étant de première catégorie,
on a — en vertu de notre premisse — $\mu(K) = 0$ et par conséquent

$$
\mu(Z) = \mu(K) + \mu(Z - K) = 0, \text{ c. q. f. d.}
$$

<footnote n="5">5) Ce résultat est dû à M. Lusin. Cf. p. ex. Sierpiński l. c., p. 36.</footnote>

<footnote n="6">⁶) S. Banach et C. Kuratowski: *Sur une généralisation du problème de la mesure*, Fund. Math. **14** (1929), pp. 127–131. Cf. aussi Sierpiński l. c.</footnote>

<footnote n="7">7) Cette premisse n'est pas essentielle: il suffit de supposer que la fonction μ(E) est réelle; cf. à ce propos le numéro 5.</footnote>
3. Dans le corollaire précédent on peut évidemment remplacer les ensembles *boreliens* par les ensembles *jouissant de la propriété de Baire*. Par conséquent, ce corollaire exprime *une différence existant entre les ensembles jouissant de cette propriété et les ensembles mesurables* (*L*). Nous allons préciser cette remarque.

Deux classes d'ensembles: $K_1$ et $K_2$ sont dits *semlables*<fnref n="8" />) lorsqu'il existe une fonction biunivoque $f$ qui transforme la somme de tous les ensembles appartenant à $K_1$ en somme de tous les ensembles appartenant à $K_2$, d'une telle façon que $f(K_1) = K_2$<fnref n="9" />).

K étant une classe arbitraire d'ensembles, désignons par $N(K)$ la classe des ensembles dont tous les sous-ensembles appartient à K.

Désignons à présent par **L** la classe des sous-ensembles mesurables (*L*) de l'intervalle *I*=[0, 1] et par **B** la classe des sous-ensembles de cet intervalle, jouissant de la propriété de Baire. On sait que $N(B) = \text{la classe des ensembles de première catégorie dans } I$ et $N(L) = \text{la classe des ensembles de mesure lebesguienne nulle (contenus dans } I)$.

Or, nous allons démontrer que

Les classes **B** et **L** ne sont pas semblables<fnref n="10" />).

Admettons, par contre, qu'il existe une fonction biunivoque qui transforme l'intervalle [0, 1] en soi-même et telle que $f(\mathbf{B}) = \mathbf{L}$
On a donc aussi: $f(N(\mathbf{B})) = N(L)$. Posons:

$$m'(E) = m(f(E)) \quad \text{pour tout} \quad E \in \mathbf{B}$$

(où $m(\mathbf{Z})$ désigne la mesure lebesguienne).

La fonction $m'(E)$ est donc complètement additive dans **B**, elle s'annulle pour tout sous-ensemble de *I* de première catégorie, tandis qu'on a en même temps: $m'(I) = 1$. Nous obtenons ainsi une contradiction avec le corollaire 2.

Ensembles de Lusin et le problème de la mesure.

4. Soient $K$ une classe de sous-ensembles d'un espace métrique $M$ et $\mu(K)$ une fonction non négative (finie), définie pour tout $K \in K$.

Nous allons considérer les conditions suivantes:

**Théorème.** <fnref n="11" />) Soient: $M$ un espace métrique séparable, $K$ une classe de sous-ensemble de $M$, $\mu(K)$ une fonction non negative définie pour $K \in K$, satisfaisant aux conditions 1º—6º et $L$ un sous-ensemble de Lusin de $M$. Thèse: $\mu(L) = 0$.

Démonstration <fnref n="12" />). En vertu du théorème 1 il existe un sous-ensemble $K$ de $M$, étant un $F_\sigma$ de première catégorie et tel que

$$ (1) \qquad \mu(M - K) = 0. $$ 
On a 
$$ L = LK + (L - K). $$

$L$ étant un ensemble de Lusin dans $M$, l'ensemble $LK$ est au plus dénombrable. Par conséquent, les conditions 1º—5º entraînent

$$ (2) \qquad LK \in K \quad \text{et} \quad \mu(LK) = 0. $$

En vertu de (1) et de la condition 6º, on a

$$ (3) \qquad L - K \in K \quad \text{et} \quad \mu(L - K) = 0. $$

Les relations (2) et (3) nous donnent:

$$ L \in K \quad \text{et} \quad \mu(L) = 0, \qquad \text{c. q. f. d.} $$

Il résulte immédiatement de notre théorème que $M$ étant un espace métrique, $\mu^*(E)$ une fonction de mesure an sens de $M$. Carathéodory (Massfunktion) <fnref n="13" />) définie pour $E \subset M$, finie et s'annulant pour les ensembles se réduisant à un point — $\mu^*(E)$ s'annulle pour tout sous-ensemble de Lusin de $M$.

<footnote n="8">⁸) Cette notion provient de MM. Russell et Whitehead.</footnote>

<footnote n="9">⁹) $\varphi(x)$ étant une fonction qui transforme un ensemble $X$ en un sous-ensemble d'un ensemble $Y$, $E$ — un sous-ensemble de $X$ et $K$ — une classe de sous-ensembles de $X$, on désigne par $\varphi(E)$ l'ensemble des points $\varphi(x)$, où $x \in E$ et par $\varphi(K)$ la classe des ensembles $\varphi(E)$, où $E \in K$.</footnote>

<footnote n="10">¹⁰) D'autre part M. Sierpiński a démontré qu'il résulte de l'hypothèse du continu que les classes $N(B)$ et $N(L)$ sont semblables. Cf. son livre cité, p. 80.</footnote>

<footnote>1º. Si $K_n \in K$ pour $n=1, 2, ..., $ on a $K_1 + K_2 + ... \in K$;</footnote>

<footnote>2º. Si $K \in K$, on a $M - K \in K$;</footnote>

<footnote>3º. Chaque sous-ensemble ouvert de $M$ appartient à $K$;</footnote>

<footnote>4º. $\mu(K_1 + K_2 + ... ) = \mu(K_1) + \mu(K_2) + ... $ pour chaque suite d'ensembles disjoints appartenant à $K$;</footnote>

<footnote>5º. Pour tout ensemble $K$, composé d'un seul point, $\mu(K) = 0$;</footnote>

<footnote>6º. Si $K \supset L$; $K \in K$ et $\mu(K) = 0$, on a $L \in K$.</footnote>

<footnote n="11">¹¹) Ce résultat n'est pas nouveau: M. Poprougénko a démontré un théorème plus général; voir le numéro 8.</footnote>

<footnote n="12">¹²) Cette démonstration n'est qu'une transposition de la démonstration connue, concernant la mesure lebesguienne.</footnote>

<footnote n="13">¹³) Cf. C. Carathéodory: *Vorlesungen über reelle Funktionen*, Leipzig-Berlin 1927, p. 238.</footnote>
**5. Corollaire.** Chaque ensemble métrique séparable de Lusin satisfait à la condition (y).

**Démonstration.** Soient: L un ensemble métrique séparable de Lusin et $\mu(E)$ une fonction réelle (finie), définie pour tout $E \subset L$, complètement aditive et s'annulant pour tout ensemble se réduisant à un point. En vertu d'un théorème connu, la fonction $\mu(E)$ est une différence de deux fonction non négatives $\mu_1(E)$ et $\mu_2(E)$, satisfaisant aux mêmes conditions <sup>14)</sup>. Ces fonctions remplissent donc les conditions 1°—6° (où K est égale à la classe de tous les sous-ensembles de L). Il résulte donc du théorème 4 que $\mu(L) = \mu_1(L) - \mu_2(L) = 0$, c. q. f. d.

Or, la condition (y) est un invariant des transformations biunivoques. Il en résulte que dans le cas, où un ensemble satisfait à cette condition, chaque ensemble de même puissance la remplit également. Donc, il découle de l'hypothèse qu'il existe un ensemble séparable de Lusin de puissance du continu que tout ensemble de cette puissance satisfait à la condition (y). Par conséquent du théorème I de M. Lusin résulte immédiatement le théorème II de MM. Banach et Kuratowski.

**6.** D'après le théorème II, il résulte de l'hypothèse du continu que l'intervalle I remplit la condition (y). Nous pouvons démontrer à présent un théorème plus fort: si l'hypothèse du continu est vrai, il n'existe, en dehors de la fonction identiquement nulle, aucune fonction réelle (finie), complètement additive et s'annulant pour les ensembles composé d'un seul point, définie pour les ensembles jouissant de la propriété de Baire.

Supposons, en effet, que $\mu(E)$ est une fonction remplissant ces conditions. Il existe donc une décomposition $I = K + H$, où $K$ est de première catégorie et $\mu(H) = 0$. Comme tout sous-ensemble de $K$ est de première catégorie, $\mu(E)$ est une fonction complètement additive dans la famille de tous les sous-ensembles de $K$ et par conséquent le théorème II entraîne la relation: $\mu(K) = 0$. On a donc $\mu(I) = \mu(K) + \mu(H) = 0$, c. q. f. d.

Fonctions complètement additives

**La continuité uniforme des fonctions complètement additives et la propriété (C).**

**7.** Nous allons démontrer le suivant théorème dû à M. Saks<sup>15)</sup>:

**Théorème.** Soient $K$ une classe de sous-ensembles d'un espace métrique $M$ et $\mu(K)$ une fonction non négative <sup>7)</sup> (finie), définie pour $K \in K$ et satisfaisant aux conditions 1°, 2°, 4° et 5°. Dans ce cas-là il existe pour tout nombre $\varepsilon > 0$ un nombre $\eta > 0$ tel que les relations: $K \in K$ et $\delta(K) < \eta$ entraînent $\mu(K) < \varepsilon$.

**Démonstration.** Supposons au contraire qu'il existe un nombre $\alpha > 0$ et une suite $K_n$ d'ensembles de $K$ telle qu'on a simultanément:

$$ (1) \qquad \delta(K_n) < \frac{1}{n} \quad \text{pour } n = 1, 2, \dots $$

et

$$ (2) \qquad \mu(K_n) \geq \alpha \quad \text{pour } n = 1, 2, \dots $$

Considérons la limite supérieure de la suite $\{K_n\}$:

$$ (3) \qquad L = \bigoplus_{m=1}^{\infty} \bigoplus_{n=m}^{\infty} K_n. $$

Evidemment

$$ \mu\left(\sum_{n=m}^{\infty} K_n\right) \geq \alpha \quad \text{pour } m = 1, 2, \dots $$

et, vu qu'on a

$$ \mu\left(\prod_{n=1}^{\infty} E_n\right) = \lim_{n \to \infty} \mu(E_n) $$

pour chaque suite $\{E_n\}$ descendante, nous obtenons

$$ (4) \qquad \mu(L) \geq \alpha. $$

Soit à présent $S$ un sous-ensemble fini de $L$. Désignons ses points par $p_1, p_2, \dots, p_s$ et par $2\varepsilon$ le minimum de toutes les distances entre ces points.

<footnote><sup>14)</sup> Cf. S. Saks: *Théorie de l'Intégrale*, Monografie Matematyczne 2, Warszawa 1933, p. 249, (3. 2).</footnote>

<footnote><sup>15)</sup> Ce théorème est connu pour le cas d'espace $M$ compact. Cf. G. Poprocki: *Sur certains propriétés des fonctions additives d'ensemble*, Comptes Rendus de la Soc. des Sciences et des Lettres de Varsovie 23 (1930), théorème IV.</footnote>
On a en vertu de (1): $\delta(K_n) < \varepsilon$ pour $n > \frac{1}{\varepsilon}$ et par conséquent il existe une suite finie $n_1, n_2, \dots, n_s$ de nombres naturels plus grands que $\frac{1}{\varepsilon}$, tels que $p_i \in K_{n_i}$ pour $i = 1, 2, \dots s$ et que tous les ensembles $K_{n_i}$ sont disjoints deux à deux. Il en résulte que

$$ \mu(M) \ge \mu\left(\sum_{i=1}^{s} K_{n_i}\right) \ge s\alpha $$

et par conséquent:

$$ s \le \frac{1}{\alpha} \cdot \mu(M). $$

Nous venons donc de démontrer que le nombre de points d'un sous-ensemble fini arbitraire de $L$ ne dépasse pas $\frac{1}{\alpha}\mu(M)$, d'où il résulte que l'ensemble $L$ est fini. On a donc $\mu(L) = 0$, contrairement à l'inégalité (4).

8. Considérons à présent la condition suivante concernant les ensembles métriques $Z$:

(C) $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots$ étant une suite quelconque de nombres positifs, il existe une décomposition $Z = Z_1 + Z_2 + \dots$ telle qu'on a $\delta(Z_n) < \varepsilon_n$<fnref n="16" />) pour $n = 1, 2, \dots$.

Vu que tout ensemble de diamètre $< \rho$ est contenu dans une sphère de diamètre $< 2\rho$, cette condition peut être énoncée aussi de façon suivante:

$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots$ étant une suite quelconque de nombres positifs, il existe une suite $V_1, V_2, \dots$ de sphères telle que $\sum_{n=1}^{\infty} V_n \supset Z$ et $\delta(V_n) < \varepsilon_n$ pour $n = 1, 2, \dots$.

M. Borel a posé le problème de l'existence des ensembles indénombrables satisfaisant à la condition (C). On ne sait pas résoudre ce problème jusqu'à présent qu'en admettant l'hypothèse du continu. Notamment M. Sierpiński a démontré que tout sous-ensemble de Lusin d'un espace métrique séparable satisfait à la condition (C)<fnref n="17" />).

Or, M. Poprougénko a démontré le suivant théorème (duquel il résulte, en vertu du résultat cité de M. Sierpiński, notre théorème 4).

**Théorème.** Dans les conditions du théorème 4, $\mu(Z) = 0$ pour tout ensemble $Z$ contenu dans $M$, et satisfaisant à la condition (C).

**Démonstration.** Soit $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots$ une suite arbitraire de nombre positifs. Il existe, d'après le théorème 7, une suite $\eta_1, \eta_2, \dots$ de nombres positifs tels que les relations: $K \in K$ et $\delta(K) < \eta_m$ entraînent $\mu(K) < \varepsilon_m$ pour $m = 1, 2, \dots$. L'ensemble $Z$ satisfaisant à la condition (C), il existe une suite $\{V_n\}$ de sphères tels que $\sum_{n=1}^{\infty} V_n \supset Z$ et $\delta(V_n) < \varepsilon_n$ pour $n = 1, 2, \dots$.

Soit donc $\{V_n^{(k)}\}$ (pour $k = 1, 2, \dots$) une suite de sphères telle qu'on a

$$ \mu(V_n^{(k)}) < \frac{1}{k \cdot 2^n} \quad \text{et} \quad \sum_{n=1}^{\infty} V_n^{(k)} \supset Z. $$

Posons

$$ W = \prod_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} V_n^{(k)}. $$

On a donc $\mu(W) = 0$ et — d'après la condition 6º — $\mu(Z) = 0$, c. q. f. d.

Appliquons à ce résultat le raisonnement fait à la fin du numéro 4. Il en résulte que, s'il existe un ensemble de puissance du continu remplissant la condition (C) — tout ensemble de cette puissance satisfait à la condition (y).

Matematyczne 3, Warszawa-Lwów 1953, p. 274. En outre, à l'étude des ensembles jouissant de la propriété (C) sont consacrées les notes suivantes:

W. Sierpiński: *Sur une classe d'ensembles de mesure nulle*. C. R. de la Soc. des Sciences et des Lettres de Varsovie 27 (1934), à paraître;

E. Szpilrajn: *Sur une hypothèse de M. Borel*. Fund. Math. 15 (1930), pp. 126-127;

— *Sur une classe d'ensembles linéaires*. C. R. de la Soc. des Sciences et des Lettres de Varsovie 22 (1929), pp. 179-184.

<footnote n="16">¹⁶) *E* étant un espace métrique, *δ*(*E*) désigne son diamètre.</footnote>

<footnote n="17">¹⁷) Cf. Sierpiński l. c., p. 39 et Kuratowski: *Topologie I*, Monografje</footnote>