et comme

$$|e^{t e^{i\theta} Z}| = e^{t(\cos \theta(x_3+z_3) - \sin \theta|x_1-z_1|)} \le e^{t \cos \theta(x_3+z_3)}$$

le théorème de Lebesgue permet de conclure que

$$\lim_{|z_1| \to \infty} \int_0^{+\infty} \left| L_{\nu_0}^{(n)}(\theta, Z) \right|^2 dz_3 = 0,$$

et par conséquent

$$\lim_{|z_1| \to \infty} \int_{-\infty}^{0} \left| \frac{\partial H_{\nu_0}(x, z)}{\partial |z_1|} - i\nu_0 H_{\nu_0}(x, z) \right|^2 dz_3 = 0.$$

### Le cas tridimensionnel

▷ On aura tout d'abord

$$H_{\nu_0}(x, z) = -\frac{i\nu_0}{\pi} \int_0^{\pi/2} e^{\nu_0 Z(\tau)} d\tau - \frac{1}{\pi^2} \Re \left( e^{2i\theta} \int_0^{\pi/2} L_{\nu_0}^{(1)}(\theta, Z(\tau)) d\tau \right), \quad (4.66)$$

avec

$$Z(\tau) = (x_3 + z_3) + i r \cos \tau.$$

▷ De même qu'en bidimensionnel

$$\begin{aligned} E(x, z) &= -\frac{1}{4\pi} \frac{4x_3z_3}{\|x' - z\| \|x - z\| (\|x - z\| + \|x' - z\|)} \quad \text{et} \\ \frac{\partial E(x, z)}{\partial r} &= \frac{r}{\pi} \frac{x_3z_3 (\|x' - z\|^2 + \|x - z\| \|x' - z\| + \|x - z\|^2)}{\|x - z\|^3 \|x' - z\|^3 (\|x - z\| + \|x' - z\|)}; \end{aligned}$$

ces deux fonctions étant de carré intégrable par rapport à $z_3$ et tendant vers 0 en décroissant plus vite que $1/r$ quand $r \to \infty$; il en résulte que

$$\lim_{r \to \infty} \int_{\Sigma_r} \left| \frac{\partial E(x, z)}{\partial r} - i\nu_0 E(x, z) \right|^2 dz_3 = 0.$$

▷ Remarquons alors que

$$\int_{0}^{\pi/2} \cos(s \cos \tau) \, d\tau = \frac{\pi}{2} J_0(s),$$

et par conséquent

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} e^{\nu_0 Z(\tau)} d\tau &= e^{\nu_0(x_3+z_3)} \left( \int_0^{\pi/2} \cos(\nu_0 r \cos \tau) \, d\tau + i \int_0^{\pi/2} \sin(\nu_0 r \cos \tau) \, d\tau \right) \\ &= \frac{\pi}{2} e^{\nu_0(x_3+z_3)} (J_0(\nu_0 r) + i S_0(\nu_0 r)), \end{aligned}$$

où

$$S_0(s) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} \sin(s \cos \tau) \, d\tau$$
est la fonction de Struve d'ordre 0. Il en résulte que

$$
\begin{align*}
\frac{\partial H_{\nu_0}(x, z)}{\partial r} &= -\frac{i\nu_0^2}{\pi} (J'_0(\nu_0 r) + iS'_0(\nu_0 r)) - \frac{1}{\pi^2} \Re \left( i\nu_0 e^{3i\theta} \int_0^{\pi/2} \cos \tau L_{\nu_0}^{(2)}(\theta, Z(\tau)) d\tau \right) \\
i\nu_0 H_{\nu_0}(x, z) &= \frac{\nu_0^2}{\pi} (J_0(\nu_0 r) + iS_0(\nu_0 r)) - \frac{1}{\pi^2} i\nu_0 \Re \left( e^{2i\theta} \int_0^{\pi/2} L_{\nu_0}^{(1)}(\theta, Z(\tau)) d\tau \right).
\end{align*}
$$

Si on effectue le même raisonnement qu'en bidimensionnel, on obtient

$$
\begin{align*}
\lim_{r \to \infty} \int_{\Sigma_r} \left| \frac{\partial H_{\nu_0}(x, z)}{\partial |z_1|} - i \nu_0 H_{\nu_0}(x, z) \right|^2 dz_3 \\
&= \frac{\nu_0^2}{\pi} \lim_{r \to \infty} \int_{-\infty}^{0} dz_3 |J_0(\nu_0 r) + i S_0(\nu_0 r) + i J'_0(\nu_0 r) - S'_0(\nu_0 r)|^2 .
\end{align*}
$$

▷ Etudions donc ce dernier terme: on a

$$
J'_{0}=-J_{1} \text { et } S'_{0}=\frac{2}{\pi}-S_{1}
$$

et

$$
\begin{align*}
J_0(s) &= \left(\frac{2}{\pi s}\right)^{1/2} \cos\left(s - \frac{\pi}{4}\right) + O(s^{-3/2}) \\
J_1(s) &= \left(\frac{2}{\pi s}\right)^{1/2} \cos\left(s - \frac{3\pi}{4}\right) + O(s^{-3/2}) \\
S_0(s) &= \left(\frac{2}{\pi s}\right)^{1/2} \cos\left(s - \frac{3\pi}{4}\right) + \frac{2}{\pi s} + O(s^{-3/2}) \\
S_1(s) &= \frac{2}{\pi} + \left(\frac{2}{\pi s}\right)^{1/2} \cos\left(s - \frac{5\pi}{4}\right) + O(s^{-3/2}),
\end{align*}
$$

et par conséquent

$$
\begin{align*}
J_0(\nu_0 r) + i S_0(\nu_0 r) + i J'_0(\nu_0 r) - S'_0(\nu_0 r) &= J_0(\nu_0 r) + S_1(\nu_0 r) - \frac{2}{\pi} + i (S_0(\nu_0 r) - J_1(\nu_0 r) - S'_0(\nu_0 r)) \\
&= -\frac{2i}{\pi \nu_0 r} + O(r^{-3/2}).
\end{align*}
$$

La conclusion en découle.

□

4.3.2 Autres expressions de la fonction de Green

Les formules (4.65) et (4.66) peuvent prendre diverses autres formes mieux adaptées
à leur évaluation numérique.
### Cas bidimensionnel

Posons $\tau = e^{i\theta}$ et notons $\mathcal{C}$ la demi-droite d'angle $\theta$ issue de l'origine du plan complexe, on aura

$$H_{\nu_0}(x, z) = -ie^{\nu_0 Z} - \frac{1}{\pi} \mathfrak{Re} \left( \int_{\mathcal{C}} e^{\tau Z} \frac{d\tau}{\tau - \nu_0} \right). \quad (4.67)$$

▷ On peut alors déformer le contour $\mathcal{C}$ de telle sorte qu'il se compose de deux portions de l'axe réel séparées par un demi-cercle de rayon $\varepsilon$ centré en $\nu_0$ parcouru dans le sens rétrograde: $\forall \varepsilon > 0$,

$$H_{\nu_0}(x, z) = -ie^{\nu_0 Z} - \frac{1}{\pi} \mathfrak{Re} \left( \int_{\substack{[0, \nu_0 - \varepsilon[ \cup [\nu_0 + \varepsilon, +\infty[ \\ e^{tZ} \frac{dt}{t - \nu_0}}} \right) \\ - \mathfrak{Re} \left( ie^{\nu_0 Z} \int_{\pi}^{0} e^{\varepsilon e^{i\mu} Z} d\mu \right),$$

soit

$$H_{\nu_0}(x, z) = -i \mathfrak{Re} (e^{\nu_0 Z}) - \mathfrak{Re} \left( \frac{1}{\pi} \mathrm{Pf} \int_{0}^{+\infty} e^{tZ} \frac{dt}{t - \nu_0} \right).$$

On pourra donc écrire

$$H_{\nu_0}(x, z) = -ie^{\nu_0(x_3+z_3)} \cos \nu_0 |x_1 - z_1| - \frac{1}{\pi} \mathrm{Pf} \int_0^{+\infty} \frac{e^{t(x_3+z_3)} \cos t |x_1 - z_1|}{t - \nu_0} dt. \quad (4.68)$$

▷ On peut également opérer un changement de variables dans la formule (4.67), ce qui nous conduit, avec $z = -Z(t - \nu_0)$, à

$$\int_C e^{\tau Z} \frac{d\tau}{\tau - \nu_0} = e^{\nu_0 Z} \int_{\nu_0 Z - CZ} \frac{e^{-z}}{z} dz \\ = e^{\nu_0 Z} E_1(\nu_0 Z)$$

où la fonction $E_1(Z)$ n'est autre que l'exponentielle intégrale (voir [ABRAMOWITZ-1972]) ; il en résulte que

$$H_{\nu_0}(x, z) = -ie^{\nu_0 Z} - \frac{1}{\pi} \mathfrak{Re} (e^{\nu_0 Z} E_1(\nu_0 Z)) \quad (4.69)$$

### Cas tridimensionnel

Remarquons tout d'abord que

$$\int_{0}^{+\infty} \rho J_{0}(\rho r) \frac{e^{\rho(x_{3}+z_{3})}}{\rho - \nu} d\rho = \nu \int_{0}^{+\infty} J_{0}(\rho r) \frac{e^{\rho(x_{3}+z_{3})}}{\rho - \nu} d\rho + \int_{0}^{+\infty} J_{0}(\rho r) e^{\rho(x_{3}+z_{3})} d\rho, \\ = \nu \int_{0}^{+\infty} J_{0}(\rho r) \frac{e^{\rho(x_{3}+z_{3})}}{\rho - \nu} d\rho + \frac{1}{(r^{2} + (x_{3} + z_{3})^{2})^{1/2}},$$
car

$$
\begin{align*}
\int_0^{+\infty} J_0(\rho r) e^{\rho(x_3+z_3)} d\rho &= \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} d\tau \int_0^{+\infty} e^{\rho(\text{i}\tau \cos \tau + (x_3+z_3))} d\rho \\
&= -\frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \frac{d\tau}{\text{i}\tau \cos \tau + (x_3+z_3)} \\
&= \frac{1}{(r^2 + (x_3+z_3)^2)^{1/2}}.
\end{align*}
$$

Par conséquent

$$
\begin{align*}
H_{\nu_0}(x, z) &= -\frac{\nu_0}{2\pi} \int_0^{+\infty} J_0(\rho r) \frac{e^{\rho(x_3+z_3)}}{\rho - \nu} d\rho - \frac{1}{2\pi \|x' - z\|}, \\
&= -\frac{\nu_0}{2\pi^2} \left( \int_0^{\pi/2} d\tau \int_0^{+\infty} \frac{e^{\rho Z(\tau)}}{\rho - \nu_0} d\rho + \int_0^{\pi/2} d\tau \int_0^{+\infty} \frac{e^{\rho \bar{Z}(\tau)}}{\rho - \nu_0} d\rho \right) - \frac{1}{2\pi \|x' - z\|}, \\
&= -\frac{1}{2\pi \|x' - z\|} - \frac{i\nu_0}{\pi} \int_0^{\pi/2} e^{\nu_0 Z(\tau)} d\tau - \frac{\nu_0}{\pi^2} \mathfrak{Re} \left( \int_0^{\pi/2} d\tau \int_C e^{\xi Z(\tau)} \frac{d\xi}{\xi - \nu_0} \right) \\
&= -\frac{1}{2\pi \|x' - z\|} - \frac{i\nu_0}{2} e^{\nu_0(x_3+z_3)} (J_0(\nu_0 r) + iS_0(\nu_0 r)) \\
&\qquad - \frac{\nu_0}{\pi^2} \mathfrak{Re} \left( \int_0^{\pi/2} e^{\nu_0 Z(\tau)} E_1(\nu_0 Z(\tau)) d\tau \right); \tag{4.70}
\end{align*}
$$

finalement on obtient

$$
\begin{equation}
\begin{split}
G_{\nu_0}(x, z) = -\frac{1}{4\pi} & \left( \frac{1}{\|x-z\|} + \frac{1}{\|x'-z\|} \right) - \frac{i\nu_0}{2} e^{\nu_0(x_3+z_3)} (J_0(\nu_0 r) + iS_0(\nu_0 r)) \\
& - \frac{\nu_0}{\pi^2} \operatorname{Re} \left( \int_0^{\pi/2} e^{\nu_0 Z(\tau)} E_1(\nu_0 Z(\tau)) \, d\tau \right).
\end{split}
\tag{4.71}
\end{equation}
$$

4.3.3 Le Prolongement analytique de la résolvante

Les résultats qui suivent sont l’exacte contrepartie de ceux précédemment démontrés
dans le cadre de l’acoustique ; nous nous contenterons donc d’en esquisser les démonstrations.

**Proposition 4.24** *L'opérateur S'(ν), défini selon les formules (4.61) et (4.62), est compact sur H¹(Ω'); de plus la fonction*

$$
\nu \mapsto S'(\nu) : \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^{-} \rightarrow \mathcal{L}(H^1(\Omega') \times \mathbb{C}^6, H^1(\Omega') \times \mathbb{C}^6)
$$

est holomorphe.
**DÉMONSTRATION.** Elle est analogue à celle de la Proposition 2.14: on a en effet

$$ \begin{aligned} \|S'(\nu)X'\|_{H^1(\Omega')\times\mathbb{C}^6} &\le \sup_{Y'\in H^1(\Omega')\times\mathbb{C}^6} \frac{C}{\|Y'\|_{H^1(\Omega')\times\mathbb{C}^6}} \left( \begin{aligned}[t] &\|\varphi'\|_{L^2(\Omega')} \|\psi'\|_{L^2(\Omega')} \\ &+ \|\varphi'\|_{L^2(SL')} \|\psi'\|_{L^2(SL')} + \|s'\|_{\mathbb{C}^6} \|\psi'\|_{L^2(\Gamma)} + \|t'\|_{\mathbb{C}^6} \|\varphi'\|_{L^2(\Gamma)} \\ &+ \|s'\|_{\mathbb{C}^6} \|t'\|_{\mathbb{C}^6} + \|\varphi'\|_{L^2(\Sigma)} \|\psi'\|_{L^2(\Sigma)} + \|\varphi'\|_{L^2(\Gamma)} \|\psi'\|_{L^2(\Sigma)} \end{aligned} \right) \\ &\le C \left( \|\varphi'\|_{L^2(\Omega')} + \|\varphi'\|_{L^2(SL')} + \|\varphi'\|_{L^2(\Gamma)} + \|\varphi'\|_{L^2(\Sigma)} + \|s'\|_{\mathbb{C}^6} \right) \\ &\le C \left( \|\varphi'\|_{H^{2/3}(\Omega')} + \|s'\|_{\mathbb{C}^6} \right); \end{aligned} $$

la compacité de $S'(\nu)$ en résulte puisque $\Omega'$ est borné et $\mathbb{C}^6$ de dimension finie.

□

**Définition 4.25** Nous noterons encore $\mathcal{R}'(\nu)$ la résolvante du problème réduit, soit

$$ \mathcal{R}'(\nu) = (I + S'(\nu))^{-1}. $$

**Corollaire 4.26** La fonction $\mathcal{R}'(\nu)$ se prolonge à $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^-$ en une fonction méromorphe : ses pôles sont les valeurs de $\nu \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^-$ pour lesquelles $I + S'(\nu)$ n'est pas inversible, soit encore $-1$ est valeur propre de l'opérateur compact $S'(\nu)$.

**DÉMONSTRATION.** La Proposition 4.22 nous prouve que $I+S'(\nu)$ est inversible pour $\mathfrak{Im}\nu > 0$ et $\nu \notin V(\Sigma, \lambda)$, or $S'(\nu)$ est compact et dépend holomorphiquement de $\nu$ d'après la Proposition 4.24 ; la conclusion découle alors du Théorème de Steinberg C.1.

□

**Définition 4.27** L'ensemble des pôles du prolongement analytique de $\mathcal{R}'(\nu)$, sera noté $\mathfrak{P}'$.

**Lemme 4.28** Les valeurs propres de partie imaginaire positive de (4.60) sont des pôles de $\mathcal{R}'(\nu)$, soit

$$ V(\Sigma, \lambda) \cap \{\nu \mid \mathfrak{Im} \nu > 0\} \subset \mathfrak{P}'. $$

**DÉMONSTRATION.** La proposition 4.22, (ii) nous montre que la solution de (4.58) n'est pas unique pour $\nu \in V(\Sigma, \lambda) \cap \{\nu \mid \mathfrak{Im} \nu > 0\}$ ; il en résulte qu'un tel $\nu$ est un pôle de $\mathcal{R}'(\nu)$.

□

**Lemme 4.29** Les pôles de $\mathfrak{P}' \setminus V(\Sigma, \lambda)$ sont de partie imaginaire négative ou nulle.

**DÉMONSTRATION.** Supposons donc qu'un pôle $\nu$ de $\mathfrak{P}' \setminus V(\Sigma, \lambda)$ soit de partie imaginaire positive, ce qui implique que le problème (4.58) homogène admette une solution non nulle, soit $(\varphi', s')$.

Selon la Proposition 4.22 et puisque $\nu \notin V(\Sigma, \lambda)$, $\varphi'$ se prolonge à $\Omega$ tout entier en $\varphi$ telle que $(\varphi, s')$ soit solution de (4.2). Comme (4.2) est bien posé selon le Théorème 4.7, il en résulte que cette solution, et par conséquent $(\varphi', s')$ est nulle ; ceci constitue une contradiction.

□
Montrons maintenant que malgré la dépendance relativement à $\Sigma$ et $\lambda$ de la construction que nous venons de réaliser, elle fournit malgré tout le prolongement analytique de la solution $\mathcal{R}(\cdot)F(\varphi_I, \cdot)$ de (4.2).

### 4.3.4 Le prolongement analytique de la solution

**Définition 4.30** Rappelons que $\mathfrak{P}'_f$ note l'ensemble des pôles de $\nu \mapsto \mathcal{R}'(\nu) F'(f, \nu)$.

**Lemme 4.31** Les pôles de $\nu \mapsto \mathcal{R}'(\nu) F'(f, \nu)$ sont des pôles de $\nu \mapsto \mathcal{R}'(\nu)$ de partie imaginaire négative ou nulle, soit

$$ \mathfrak{P}'_f \subset \mathfrak{P}' \cap \{\nu \mid \mathfrak{Im}\,\nu \le 0\}. $$

**DÉMONSTRATION.** Elle est analogue à celle du Lemme 2.22. $\square$

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

**Lemme 4.32** Les pôles de $\nu \mapsto \mathcal{R}'(\nu) F'(f, \nu)$ sont indépendants de $\lambda$, ce sont des pôles de $\nu \mapsto \mathcal{R}'(\nu)$ de partie imaginaire négative, ce qui s'exprime également sous la forme

$$ \mathfrak{P}'_f \subset \mathfrak{P}' \cap \{\nu \mid \mathfrak{Im}\,\nu < 0\}. $$

**DÉMONSTRATION.** La démonstration est similaire à celle du Lemme 2.22. $\square$

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

**Remarque 4.33** En fait, pour certaines classes de formes de carènes, on peut montrer qu'un $\nu_0$ réel positif ne peut être pôle de

$$ \nu \mapsto \mathcal{R}'(\nu) F'(f, \nu). $$

Il s'agit de résultats non triviaux dûs à John [JOHN-1950], Mazj'a ainsi que Simon et Ursell [SIMON-1984] ; récemment, il a été découvert une classe de formes de carènes bidimensionnelles (de type catamaran) pour lesquelles il existe bien des pôles réels de $\mathcal{R}'(\nu)$ (cf Mac Iver [MC IVER-1996]).

**Proposition 4.34** Si $\nu_*$ est un pôle de $\nu \mapsto \mathcal{R}'(\nu)$ qui ne soit pas valeur propre du problème (4.60), alors $\exists f \in H_{\text{loc}}^2(\Omega')$ telle que $\nu_*$ soit un pôle de $\nu \mapsto \mathcal{R}'(\nu)F'(f, \nu)$, soit

$$ \mathcal{P}' \cap V(\Sigma, \lambda)^c = \bigcup_{f \in L^2(\Gamma)} \mathfrak{P}'_f. $$

**DÉMONSTRATION.**

▷ Montrons que si $\nu_* \notin V(\Sigma, \lambda)$ est un pôle de $\mathcal{R}'(\nu)$, alors $F'(f, \nu_*)$ ne peut appartenir à l'image de $I + S'(\nu_*)$ pour tout $f \in H_{\text{loc}}^2(\Omega')$. Supposons que

$$ \forall f \in H_{\text{loc}}^2(\Omega'), F'(f, \nu_*) \in \mathcal{R}(I + S'(\nu_*)) = (N(I + S'(\nu_*)))^{\perp}. $$
D'après la formule (4.62), nous avons

$$ (S'(\nu)X', Y')_{H^1(\Omega')\times\mathbb{C}^6} = -\int_{\Omega'} \varphi' \overline{\psi'} - \overline{\nu_*} \int_{SL'} \varphi' \overline{\psi'} d\gamma \\ + \overline{\nu_*}^{1/2} \sqrt{g} \left\{ \int_{\Gamma} (s' \cdot N) \overline{\psi'} d\gamma + \int_{\Gamma} \varphi' (N \cdot \overline{t'}) d\gamma \right\} \\ + \frac{1}{\rho} \left\{ (\mathbb{K}s' \cdot \overline{t'}) - \overline{\nu_*} g (\mathbb{M}s' \cdot \overline{t'}) \right\} \\ + \overline{\lambda} \int_{\Sigma} \varphi' \overline{\psi'} - \int_{\Sigma} \varphi'(x) \int_{\Gamma} \overline{\psi'}(y) \frac{\partial}{\partial n_y} \overline{G_{\nu_*}^{\lambda}}(x, y) d\gamma_y d\gamma_x, \quad (4.72) $$

Supposons maintenant que $X' \in N(I+S'^*(\nu_*))$, alors $\forall f \in H_{\text{loc}}^2(\Omega')$, $(F'(f, \nu_*), X')_{H^1(\Omega')} = 0$, soit

$$ 0 = - \int_{\Gamma} \frac{\partial f}{\partial n} \overline{\varphi'} d\gamma - \nu_*^{1/2} \sqrt{g} \int_{\Gamma} f (N \cdot \overline{s'}) d\gamma \\ - \int_{\Sigma} \overline{\varphi'}(x) \int_{\Gamma} \frac{\partial f}{\partial n}(y) G_{\nu_*}^{\lambda}(x, y) d\gamma_y d\gamma_x. $$

ou encore, puisque $G_{\nu_*}^{\lambda}(x, y) = G_{\nu_*}^{\lambda}(y, x)$,

$$ 0 = \int_{\Gamma} \frac{\partial f}{\partial n}(x) \left[ \overline{\varphi'}(x) - \int_{\Sigma} \overline{\varphi'}(y) G_{\nu_*}^{\lambda}(x, y) d\gamma_y \right] d\gamma_x; \\ + \nu_*^{1/2} \sqrt{g} \int_{\Gamma} f (N \cdot \overline{s'}) d\gamma. $$

Il en résulte que

$$ \varphi'(x) = \int_{\Sigma} \varphi'(y) \overline{G_{\nu_*}^{\lambda}}(x, y) d\gamma_y \text{ et} \\ 0 = (N \cdot \overline{s'}) \text{ sur } \Gamma. \quad (4.73) $$

▷ Mais, par ailleurs, $((I + S'^*(\nu_*)) X', Y')_{H^1(\Omega')\times\mathbb{C}^6} = 0$, et par conséquent, en vertu de la formule (4.72), $\varphi'$ est solution du problème suivant:

$$ \begin{align*} \frac{\Delta \varphi'}{\partial \varphi'} &= 0 \text{ dans } \Omega', \\ \frac{\partial \varphi'}{\partial x_3} - \overline{\nu_*} \varphi' &= 0 \text{ sur } SL', \\ \frac{\partial \varphi'}{\partial n} + \overline{\lambda} \varphi' &= 0 \text{ sur } \Sigma. \\ \frac{\partial \varphi'}{\partial n} - \frac{\partial}{\partial n} \left( \int_{\Sigma} \varphi'(y) \overline{G_{\nu_*}^{\lambda}}(\cdot, y) d\gamma_y \right) \text{ sur } \Gamma, &= 0 \text{ sur } \Gamma \\ (-\overline{\nu_*} g \mathbb{M} + \mathbb{K}) s' + \rho \overline{\nu_*}^{1/2} \sqrt{g} \int_{\Gamma} \varphi' N \, d\gamma &= 0. \end{align*} $$

Notons $\mathcal{O}$ l'intérieur de la carène ; la fonction

$$ \theta(x) = \int_{\Sigma} \varphi'(y) \overline{G_{\nu_*}^{\lambda}}(x, y) d\gamma_y $$

se prolonge à $D = \overline{\mathcal{O}} \cup \Omega'$ tout entier et coïncide avec $\varphi'$ dans $\Omega'$, puisqu'elles sont toutes deux solutions de $\Delta\psi = 0$ dans $\Omega'$, avec les mêmes conditions aux limites de Neumann et de
Dirichlet sur $\Gamma$. Par conséquent, si $\mathcal{L}$ note la portion du bord de $D$ située à la surface libre, la fonction $\theta$ vérifie

$$ 
\begin{aligned}
\Delta\theta &= 0 \text{ dans } D, \\
\frac{\partial\theta}{\partial n} - \bar{\nu}_*\theta &= 0 \text{ sur } \mathcal{L}, \\
\frac{\partial\theta}{\partial n} + \bar{\lambda}\theta &= 0 \text{ sur } \Sigma.
\end{aligned}
 $$

La nullité de $\theta$, et donc de $\varphi'$, en découle puisque $\nu_* \notin V(\Sigma, \lambda)$ et $V(\Sigma, \bar{\lambda}) = \overline{V(\Sigma, \lambda)}$, ce qui prouve que $N(I + S'(\nu_*)) = \{0\}$ et constitue une contradiction avec l'hypothèse. Nous avons donc démontré l'existence de $f \in H_{\text{loc}}^2(\Omega')$ telle que $F'(f, \nu_*) \notin R(I + S'(\nu_*));$ par conséquent $\nu_*$ est un pôle de $\mathcal{R}'(\nu)F'(f, \nu)$.

□

**Proposition 4.35** La fonction $\nu \mapsto \mathcal{R}(\nu)F(f, \nu) : \{\nu \mid \mathfrak{Im}\,\nu > 0\} \to H_{\text{loc}}^1(\Omega) \times \mathbb{C}^6$ se prolonge à $\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^-$ en une fonction méromorphe dont les pôles coïncident avec ceux de $\nu \mapsto \mathcal{R}'(\nu)F'(f, \nu)$, ce qui peut se traduire par l'expression suivante:

$$ \mathfrak{P}_f = \mathfrak{P}'_f $$

où $\mathfrak{P}_f$ note l'ensemble des pôles de $\mathcal{R}(\cdot)F(f, \nu)$.

DÉMONSTRATION.

▷ Fixons $\lambda$ et $\Sigma$, et posons $X'_\nu = \mathcal{R}'(\nu)F'(f, \nu)$, avec $X'_\nu = (\varphi'_\nu, s'_\nu)$; par $\varphi_\nu$ nous désignerons la fonction égale à $\varphi'_\nu$ dans $\Omega'$ et donnée par

$$ \varphi_\nu(x) = \int_{\Gamma} \left[ \varphi'_\nu(y) \frac{\partial}{\partial n_y} G_\nu(x-y) - \frac{\partial \varphi'_\nu}{\partial n}(y) G_\nu(x-y) \right] d\gamma_y \text{ dans } \Omega \setminus \Omega'. \quad (4.74) $$

Pour $\mathfrak{Im}\,\nu > 0$ et $\nu \notin V(\Sigma, \lambda)$, la Proposition (4.22) montre que $(\varphi_\nu, s'_\nu)$ n'est rien d'autre que $\mathcal{R}(\nu)F(f, \nu)$; la formule (4.74) associée à l'holomorphie de la fonction $G_\nu$ montre que $\nu \mapsto \varphi_\nu$ est holomorphe pour $\nu \in \mathbb{C} \setminus (\mathbb{R}^- \cup \mathcal{P}')$. Il en résulte que $(\varphi_\nu, s'_\nu)$ définit le prolongement analytique de $\mathcal{R}(\nu)F(f, \nu)$.

▷ Si $\mathcal{R}'(\nu)F'(f, \nu)$ est holomorphe au voisinage de $\hat{\nu}$, alors la formule (4.74) montre que $\varphi_\nu$ est également holomorphe, il en résulte que tout pôle du prolongement analytique de $\mathcal{R}(\nu)F(f, \nu)$ est également un pôle de $\mathcal{R}'(\nu)F'(f, \nu)$.

▷ Réciproquement, si le prolongement analytique $(\varphi_\nu, s_\nu)$ de $\mathcal{R}(\nu)F(f, \nu)$ est holomorphe au voisinage de $\hat{\nu}$; alors comme $(\varphi_{\nu|\Omega'}, s_\nu) = \mathcal{R}'(\nu)F'(f, \nu)$, $\forall \nu \notin \mathcal{P}'$, en vertu du principe du prolongement analytique, $\mathcal{R}'(\nu)F'(f, \nu)$ est holomorphe au voisinage de $\hat{\nu}$. Il en résulte que chaque pôle du prolongement analytique de $\mathcal{R}'(\nu)F'(f, \nu)$ est un pôle de celui de $\mathcal{R}(\nu)F(f, \nu)$.

□
De même qu'en acoustique, les pôles de $\mathcal{R}'(\nu)$ sont les valeurs de $\nu$ qui font de -1 une valeur propre de $S'(\nu)$; ce sont donc les solutions du problème non-linéaire de valeurs propres suivant:

$$ 
\begin{aligned}
\nu \left( \int_{SL'} \varphi' \overline{\psi'} d\gamma + \frac{g}{\rho} (\mathbb{M}s' \cdot \overline{t'}) \right) &= \int_{\Omega'} \nabla\varphi' \cdot \nabla\overline{\psi'} + \frac{1}{\rho} (\mathbb{K}s' \cdot \overline{t'}) \\
&\quad + \nu^{1/2} \sqrt{g} \left\{ \int_{\Gamma} (s' \cdot N) \overline{\psi'} d\gamma + \int_{\Gamma} \varphi' (N \cdot \overline{t'}) d\gamma \right\} \\
&\quad + \lambda \int_{\Sigma} \varphi' \overline{\psi'} - \int_{\Sigma} \overline{\psi'}(x) \int_{\Gamma} \varphi'(y) \frac{\partial}{\partial n_y} G_{\nu}^{\lambda}(x, y) d\gamma_y d\gamma_x.
\end{aligned} 
\quad (4.75) $$

**Théorème 4.36** Si $\mathfrak{Im} \lambda > 0$, alors

$$ \mathcal{P}' \cap \{\nu \mid \mathfrak{Im} \nu > 0\} = V(\Sigma, \lambda) $$

et

$$ \mathcal{P}' \cap \{\nu \mid \mathfrak{Im} \nu \le 0\} = \bigcup_{f \in L^2(\Gamma)} \mathfrak{P}_f. $$

**DÉMONSTRATION.** Il suffit de remarquer qu’en vertu de l’hypothèse, d’après le Lemme 4.21, on a

$$ V(\Sigma, \lambda) \subset \{\nu \mid \mathfrak{Im} \nu > 0\}. $$

La conclusion découle alors des Lemmes 4.28 et 4.31 et des Propositions 4.34 et 4.35.

□

Les pôles de $\mathcal{R}'(\nu)$ de partie imaginaire négative forment l'ensemble des singularités de $\nu \mapsto \mathcal{R}(\nu)F(f, \nu)$ susceptibles de se manifester pour une donnée $f$ ou une autre ; ce sont les fréquences de résonance.

### 4.3.5 Le principe d'absorption limite

**Proposition 4.37** Si $\nu_0 \in \mathbb{R}^+$ n'est pas un pôle de $\mathcal{R}'(\nu)$, alors la fonction $\mathcal{R}(\nu_0)F(f, \nu_0)$ vérifie la condition de rayonnement sortante.

**DÉMONSTRATION.** On a vu que $\mathfrak{P}_f \subset \mathcal{P}' \cap \{\nu \mid \mathfrak{Im} \nu \le 0\}$ et par conséquent

$$ \mathcal{R}(\nu)F(f, \nu) \to \mathcal{R}(\nu_0)F(f, \nu_0) = (\varphi_{\nu_0}, s_{\nu_0}) \text{ dans } H_{\text{loc}}^1(\Omega) \times \mathbb{C}^6; $$

compte tenu de la Proposition 4.23, la formule (4.74) permet alors de montrer que $\varphi_{\nu_0}$ vérifie la condition de rayonnement.

□
# Appendix A

## Théorie spectrale des opérateurs compacts

### A.1 Introduction aux espaces de Hilbert

**Définition A.1** Un espace vectoriel $H$ muni d'un produit hermitien $(u|v)_H$ est appelé espace de Hilbert s'il est complet (i.e. toute suite de Cauchy converge) pour la norme $||u||_H$ dérivant de ce produit scalaire.

Par la suite, quand le contexte le rend possible, nous omettrons d'indiquer l'espace dans lequel sont calculés la norme et le produit scalaire. Rappelons tout d'abord quelques résultats classiques:

**Théorème A.2 (de projection)** Si $F$ est un sous-ensemble convexe fermé de $H$, alors pour tout $z \in H$, il existe un unique $Pz \in F$ qui réalise $d(z, F) = \inf_{y \in F}\{||y - z||\}$. L'élément $Pz$ est appelé projection de $z$ sur $F$.

**DÉMONSTRATION.**

▷ Posons $d = d(z, F)$ et notons $x_n$ une suite minimisante dans $F$, c'est-à-dire vérifiant $||x_n - z|| \to d$. On aura $(x_n + x_m)/2 \in F$, et par conséquent $||x_n + x_m - 2z||^2 \ge 4d^2$; d'après l'égalité du parallélogramme:

$$ ||x + y||^2 + ||x - y||^2 = 2 (||x||^2 + ||y||^2), \qquad (A.1) $$

on aura

$$ ||x_n + x_m - 2z||^2 + ||x_n - x_m||^2 = 2 (||x_n - z||^2 + ||x_m - z||^2), $$

il en résulte que $x_n$ est de Cauchy, et par conséquent converge vers un élément de $F$, soit $Pz$, avec $d = ||Pz - z||$.

▷ Si $y$ note un autre élément de $F$ réalisant le minimum de $||y - z||$, le raisonnement précédent montre que la suite $x, y, x, y, \dots$ converge ; l'unicité en découle.

□
**Corollaire A.3** Si $V$ est un sous-espace fermé strict de l'espace de Hilbert $H$, alors il existe $y$ unitaire dans $H$ tel que $d(y, V) = 1$.

**DÉMONSTRATION.** Si on note $z$ un vecteur de $H$ n'appartenant pas à $V$ et $\mathcal{P}$ la projection sur $V$, il suffit de poser

$$y = \frac{z - \mathcal{P}z}{\|z - \mathcal{P}z\|}.$$

□

**Définition A.4** L'opérateur linéaire $T: H_1 \to H_2$ est dit borné si la quantité suivante, appelée alors norme de $T$, est finie:

$$\|T\| = \sup_{x \in H_1} \frac{\|Tx\|_{H_2}}{\|x\|_{H_1}} \qquad (A.2)$$

**Lemme A.5**

(i) On a également

$$\|T\| = \sup_{\|x\|_{H_1}=1} \|Tx\|_{H_2} \qquad (A.3)$$

(ii) Un opérateur linéaire est continu si et seulement si il est borné.

**DÉMONSTRATION.**

▷ On a tout d'abord clairement $\|T\| \ge \sup_{\|x\|=1} \|Tx\|$; réciproquement si $x \in H$, on pose $y = x/\|x\|$, et on aura $\|y\| = 1$ et $\|Tx\|/\|x\| = \|Ty\|$. Il en résulte que $\|T\| \le \sup_{\|y\|=1} \|Ty\|$.

▷ Si $T$ est continu en $0$, alors $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \eta$, $\|x\| < \eta \Rightarrow \|Tx\| < \varepsilon$; on en déduit que $\|Ty\| < \varepsilon/\eta$, $\forall y$ vérifiant $\|y\| = 1$.

▷ Réciproquement, si $T$ est borné, alors $\|T(x-y)\| \le \|T\| \|x-y\|$, et par conséquent $T$ est continue en $y$ avec $\eta = \varepsilon/\|T\|$.

□

**Définition A.6** Soit $T$ un opérateur linéaire borné: $H_1 \to H_2$, on appelle

$$\diamond \text{ noyau de } T: \mathcal{N}(T) = \{x \in H \mid Tx = 0\}$$

$$\diamond \text{ image de } T: \mathcal{R}(T) = \{y \in H \mid \exists x \in H, y = Tx\}$$

**Remarque A.7** Le sous-espace $\mathcal{N}(T)$ est fermé en tant que image réciproque de $\{0\}$ par un opérateur continu.
**Définition A.8** Si E est un sous-ensemble de H, on appelle orthogonal de E et on note $E^{\perp}$ l'ensemble des éléments de H orthogonaux à tout élément de E.

**Corollaire A.9 (complémentaire orthogonal)** Si M est un sous-espace fermé de H, alors $H = M \oplus M^{\perp}$, c'est-à-dire M et $M^{\perp}$ sont des sous-espaces fermés dont l'intersection est réduite à $\{0\}$ et qui ont pour somme H.

**DÉMONSTRATION.**

▷ Si E est un sous-ensemble de H, alors par linéarité du produit scalaire, $E^{\perp}$ est un sous-espace de H. De plus il est fermé en tant que intersection des $N_x = \{y \in H | (x|y) = 0\}$, qui sont eux-mêmes fermés puisque noyaux des applications continues $(x|\cdot)$.

▷ Si $x \in M \cap M^{\perp}$ alors $(x|x) = 0$, et par conséquent $x = 0$. Enfin si $z \in H$, alors d'après le Théorème A.2, on pourra écrire $z = z_1 + z_2$ avec $z_1 = \mathcal{P}z \in M$ et $z_2 = z - z_1$. Si $y \in M$ et $\lambda \in \mathbb{C}$, alors, puisque $\|z_2\| = d(z, M)$,

$$ \|z_2\|^2 \le \|z - z_1 + \lambda y\| = \|z_2 + \lambda y\|^2 = \|z_2\|^2 + |\lambda|^2 \|y\|^2 + 2 \operatorname{Re} (\lambda (y | z_2)) $$

et en choisissant $\lambda = -(z_2|y) / \|y\|^2$, on obtient

$$ 0 \le - \frac{|(y|z_2)|^2}{\|y\|^2}, $$

ce qui implique $(y|z_2) = 0$, soit $z_2 \in M^{\perp}$.

□

**Définition A.10** On appelle dual de H et on note $H'$, l'ensemble des formes linéaires continues sur H. Il est canoniquement muni de la norme suivante qui fait de lui un espace complet:

$$ \|\Lambda\|_{H'} = \sup_{x \in H} \frac{\langle \Lambda, x \rangle_{H', H}}{\|x\|_H}. \qquad (A.4) $$

**Corollaire A.11 (Théorème de représentation de Riesz)** La formule suivante:

$$ \langle \Lambda, x \rangle = (x|y), \qquad (A.5) $$

définit une isométrie antilinéaire $y \mapsto \Lambda : H \to H'$.

**DÉMONSTRATION.**

▷ La formule A.5, où y est donné, définit en vertu de l'inégalité de Schwarz un élément de $H'$ tel que $\|\Lambda\|_{H'} \le \|y\|_H$. Comme de plus

$$ \|y\|^2 = (y|y) = \langle \Lambda, y \rangle \le \|\Lambda\| \|y\|, $$

il en résulte que $\|\Lambda\| = \|y\|$.
▷ Montrons réciproquement que tout élément de $H'$ est de la forme (A.5). Si $\Lambda = 0$, on prend $y = 0$; sinon on note $M$ le noyau de $\Lambda$, c'est un sous-espace fermé strict de $H$, et par conséquent d'après le Corollaire A.9, il existe $z \neq 0$ appartenant à $M^{\perp}$. Comme

$$ \langle \Lambda, x \rangle z - \langle \Lambda, z \rangle x \in M, \forall x \in H, $$

il en résulte que $\langle \Lambda, x \rangle (z|z) - \langle \Lambda, z \rangle (x|z) = 0$, et par conséquent (A.5) avec $y = z \langle \Lambda, z \rangle / \|z\|^2$.

□

**Proposition A.12 (Riesz)** Si $H$ est un espace de Hilbert et si sa boule unité fermée $B_H$ est compacte, alors $H$ est de dimension finie.

### DÉMONSTRATION.

▷ La boule $B_H$ étant compacte, elle peut être recouverte par un ensemble fini de boules ouvertes de rayon $1/2$, dont les centres seront notés $x_i$, $i = 1, k$. Notons $F$ l'espace vectoriel, de dimension finie, engendré par les $x_i$; nous montrerons que $H = F$.

▷ Raisonnons par l'absurde et supposons le contraire, alors $\exists x \in H \setminus F$. Comme $F$ est fermé, car de dimension finie, $\exists \varepsilon > 0$, tel que $B(x, \varepsilon) \cap F =$, et quitte à augmenter $\varepsilon$, $B(x, 2\varepsilon) \cap F \neq$. Notons $y$ un élément de $B(x, 2\varepsilon) \cap F$ et $z = (x - y) / \|x - y\|$; pour tout $i$ on peut écrire $x = y + z \|x - y\| = y + x_i \|x - y\| + (z - x_i) \|x - y\|$, et comme $y + x_i \|x - y\| \in F$ on aura $\|z - x_i\| \|x - y\| > \varepsilon$. Si nous choisissons alors $i$, comme c'est possible par construction des $x_i$, tel que $\|z - x_i\| \le 1/2$, on en déduit que $\|x - y\| > 2\varepsilon$, ce qui constitue une contradiction.

□

Désormais $T$ notera un opérateur linéaire borné sur $H$.

**Définition A.13** On note $S_{\lambda} = \lambda I - T$, où $\lambda \in \mathbb{C}$, et $I$ note l'identité et on appelle

♦ Spectre de $T$ : $\sigma(T) = \{\lambda \in \mathbb{C} \mid S_{\lambda} \text{ n'est pas un automorphisme de } H\}$.

♦ Spectre discret de $T$ : $\mathcal{V}(T) = \{\lambda \in \mathbb{C} \mid \mathcal{N}(S_{\lambda}) \neq \{0\}\}$, les éléments du spectre discret sont appelés valeurs propres, ceux de $\mathcal{N}(S_{\lambda})$, vecteurs propres associés à $\lambda$.

**Proposition A.14** Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment un système libre.

DÉMONSTRATION. Raisonnons par récurrence, et admettons que les $x_i$, $i = 1, n-1$ associés aux valeurs propres $\lambda_i$ forment un système libre. Si on admet alors que $x_n = \sum_{i=1}^{n-1} \mu_i x_i$, on aura $Tx_n = \sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i \mu_i x_i$, d'où

$$ \lambda_n \sum_{i=1}^{n-1} \mu_i x_i = \sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i \mu_i x_i, $$

soit $\sum_{i=1}^{n-1} (\lambda_i - \lambda_n) \mu_i x_i = 0$, ce qui implique $\mu_i = 0$, $i = 1, n-1$, et par conséquent $x_n = 0$; il s'agit là d'une contradiction. On a donc montré que les $x_i$, $i = 1, n$ forment un système libre.

□
## A.2 Alternative de Fredholm

**Définition A.15** On dit que l'opérateur $T : H \to H$, est compact si $T(B_H)$ est relativement compacte, c'est encore dire si de toute suite bornée de $H$ on peut extraire une sous-suite dont l'image par $T$ converge.

**Remarque A.16** Notons que la somme de deux opérateurs compacts, le produit d'un opérateur compact par un scalaire non nul, le produit de deux opérateurs bornés dont l'un est compact, sont compacts.

**Lemme A.17** Si $T$ est compact et $\lambda \neq 0$, alors il existe $C > 0$ tel que

$$d(x, \mathcal{N}(S_{\lambda})) \leq C \|S_{\lambda}x\|, \quad \forall x \in H.$$

### DÉMONSTRATION.

▷ Commençons par remarquer qu'à condition de remplacer $T$ par $T/\lambda$, il suffit de démontrer le Lemme pour $\lambda = 1$. On se contentera alors de noter $S$ pour $S_1$.

▷ Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe une suite $x_n$ vérifiant $d(x_n, \mathcal{N}(S)) \geq n$, avec $\|Sx_n\| = 1$. Posons alors

$$z_n = \frac{x_n - \mathcal{P}(x_n)}{d(x_n, \mathcal{N}(S))},$$

où $\mathcal{P}$ est l'opérateur de projection sur $\mathcal{N}(S)$ ; on aura $\|z_n\| = 1$, et $S(\mathcal{P})(x_n) = 0$, et par conséquent

$$\|Sz_n\| = \frac{1}{d(x_n, \mathcal{N}(S))} \leq \frac{1}{n}.$$

▷ Comme $z_n$ est bornée, par compacité de $T$, il existe une sous suite extraite $z_{n'}$ telle que $Tz_{n'}$ converge, soit vers $z$. On aura $z_{n'} = (T + S)z_{n'}$, par conséquent $z_{n'}$ converge également vers $z$, dont il résulte que $Sz = 0$.

▷ On a donc montré que $z \in \mathcal{N}(S)$, mais comme $z_{n'} \to z$, et $d(z_{n'}, \mathcal{N}(S)) = \|z_{n'}\| = 1$, on aboutit à une contradiction.

□

**Théorème A.18** Si $T$ est compact et $\lambda \neq 0$, alors

(i) $\mathcal{N}(S_\lambda)$ est de dimension finie.

(ii) $\mathcal{R}(S_\lambda)$ est fermée.

### DÉMONSTRATION.

▷ On remarque là aussi qu'il suffit de considérer le cas où $\lambda = 1$.
▷ Il est tout d'abord clair que $T(\mathcal{N}(S) \cap B_H) = \mathcal{N}(S) \cap B_H$, par conséquent $\mathcal{N}(S) \cap B_H$ est relativement compact dans $H$, et comme $\mathcal{N}(S)$ est fermé, on en déduit que la boule unité de $\mathcal{N}(S)$ est compacte. En vertu du Lemme A.12, on en déduit que $\mathcal{N}(S)$ est de dimension finie.

▷ Soit maintenant $x_n \in H$, supposons que la suite $Sx_n$ converge, soit vers $y$, nous allons construire $x \in H$ tel que $y = Sx$, il en résultera que $Sx \in \mathcal{R}(S)$. Posons $z_n = x_n - \mathcal{P}(x_n)$, où $\mathcal{P}$ est comme précédemment l'opérateur de projection sur $\mathcal{N}(S)$. On aura $\|z_n\| = d(x_n, \mathcal{N}(S))$, soit en vertu du Lemme A.17, $\|z_n\| \le C \|Sx_n\|$ ; comme la suite $Sx_n$ converge, on en déduit que $\|z_n\|$ est bornée.

▷ La compatibilité de $T$ nous permet alors d'affirmer l'existence de la suite $z_{n'}$ extraite de $z_n$ telle que $Tz_{n'}$ converge. Mais $z_{n'} = (T + S)z_{n'} = Tz_{n'} + Sz_{n'}$; il en résulte que $z_{n'}$ possède une limite, soit $x$, et que $x = Tx + y$, ou encore $y = Sz$.

□

**Théorème A.19** Si $T$ est compact, les seuls éléments non nuls de son spectre sont ses valeurs propres non nulles.

### DÉMONSTRATION.

▷ Il est tout d'abord clair que toute valeur propre de $T$ appartient à son spectre. Il nous suffira donc de démontrer que si $\lambda \neq 0$ n'est pas valeur propre, alors $\lambda \notin \sigma(T)$, c'est encore dire que si $S_\lambda$ est injectif, alors il est surjectif et d'inverse continu.

▷ Posons donc $F_n = \mathcal{R}(S_\lambda)^n$, la suite $F_n$ est décroissante au sens large, on va montrer qu'elle est stationnaire au delà d'un certain rang. Au Théorème A.18 on a montré que chaque $F_n$ est fermé dans $F_{n-1}$ pour la topologie induite ; si on admet que $F_{n+1} \subsetneq F_n, \forall n$, alors, en vertu du Lemme A.3, il existe $x_n \in F_n$ tel que $\|x_n\| = 1$ et $d(x_n, F_{n+1}) = 1$. Choisissons $m < n$, alors $x_n - x_m \in F_m$ et $S_\lambda(x_n - x_m) \in F_{m+1}$. On aura alors

$$Tx_n - Tx_m = (\lambda I - S_\lambda)(x_n - x_m) = -\lambda(x_m - z_m),$$

où

$$z_m = x_n + \frac{1}{\lambda} S_\lambda (x_n - x_m)$$

appartient à $F_{m+1}$. On en déduit que $\|Tx_n - Tx_m\| \ge |\lambda|$, ce qui est incompatible avec la compatibilité de $T$.

▷ Montrons maintenant que $S_\lambda$ est surjective : soit $y \in H$, pour un certain $N$ on aura $(S_\lambda)^N y \in F_N = F_{N+1}$, c'est-à-dire qu'il existe $x \in H$ tel que $(S_\lambda)^N y = (S_\lambda)^{N+1} x$, soit $((S_\lambda)^N x - (S_\lambda)^{N-1} y) \in \mathcal{N}(S_\lambda)$. Comme on a supposé que $\lambda$ n'est pas valeur propre, on en déduit que $(S_\lambda)^N x = (S_\lambda)^{N-1} y$, soit par récurrence $S_\lambda x = y$ ; la surjectivité de $S_\lambda$ en résulte.

▷ Reste à montrer la continuité de $(S_\lambda)^{-1}$, c'est bien sûr une conséquence du théorème des homomorphismes de Banach, mais aussi plus simplement du Lemme A.17: soit $y \in H$, posons $x = (S_\lambda)^{-1} y$, on aura

$$\|x\| = d(x, 0) = d(x, \mathcal{N}(S_\lambda)) \le C \|S_\lambda x\|,$$

soit $\|(S_\lambda)^{-1} y\| \le C \|y\|$.
☐

**Corollaire A.20 (Alternative de Fredholm)** Si l'opérateur $T$ est compact, et si $\lambda \neq 0$, alors une et une seule des deux propositions suivantes est vérifiée :

(i) l'équation $(\lambda I - T)x = 0$ admet une solution non nulle

(ii) l'équation $(\lambda I - T)x = y$ admet une solution et une seule $\forall y$, et elle en dépend continûment.

**Théorème A.21** Si $H$ est de dimension infinie et $T$ est compact sur $H$, alors

(i) $\sigma(T) \subset B(0, \|T\|)$

(ii) $0 \in \sigma(T)$

(iii) $\sigma(T) \setminus \{0\}$ est soit

◇ vide

◇ formé d'un nombre fini de points

◇ formé d'un ensemble dénombrable de points s'accumulant en 0.

**Remarque A.22** 0 peut être valeur propre, mais pas nécessairement, même si la suite des valeurs propres a 0 pour point d'accumulation.

DÉMONSTRATION.

▷ Supposons que $|\lambda| > \|T\|$ et choisissons $f \in H$ ; résoudre l'équation $S_\lambda = f$ est équivalent à résoudre $\tilde{S}x = x$, avec $\tilde{S}x = (Tx + f)/\lambda$. L'application $\tilde{S}$ est contractante, puisque

$$ \|\tilde{S}x_1 - \tilde{S}x_2\| = \frac{1}{|\lambda|} \|Tx_1 - Tx_2\| \le \frac{\|T\|}{|\lambda|} \|x_1 - x_2\|; $$

on en déduit qu'elle admet un point fixe unique, et par conséquent que $\lambda$ n'est pas valeur propre de $T$. Comme $\lambda \neq 0$, il en résulte que $\lambda \notin \sigma(T)$.

▷ Supposons que $0 \notin \sigma(T)$, alors $T$ est inversible. Mais en vertu de la compacite de $T$, $T(B_H)$ est relativement compacte, et également fermée, en tant que image réciproque de $B_H$ par $T^{-1}$, continue. Il en résulte que $T(B_H)$ est compacte, et par conséquent $B_H$, par continuité de $T^{-1}$ ; c'est impossible d'après le Lemme A.12.

▷ Soit maintenant $\lambda_n$ une suite d'éléments tous différents de $\sigma(T) \setminus \{\lambda\}$, convergeant vers $\lambda$; on va montrer que nécessairement $\lambda = 0$, c'est dire que 0 est le seul point d'accumulation possible. Les $\lambda_n$ sont des valeurs propres de $T$, d'après le Théorème A.19 ; notons donc $x_n$ un vecteur propre associé à $\lambda_n$ et $M_n$ le sous-espace engendré par la famille $\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$. Les $M_n$ sont de dimension finie et par conséquent fermés, ils forment une suite strictement croissante en vertu de la Proposition A.14 ; le Lemme A.3 nous montre par conséquent qu'on
peut construire une suite de vecteurs unitaires $y_n$ dans $\mathcal{M}_n$ qui vérifie $d(y_n, \mathcal{M}_{n-1}) = 1$. Pour $n > m$ on aura

$$ 
\begin{aligned}
Ty_n/\lambda_n - Ty_m/\lambda_m &= (\lambda_n y_n - S_{\lambda_n} y_n)/\lambda_n - (\lambda_m y_m - S_{\lambda_m} y_m)/\lambda_m \\
&= y_n - (y_m + S_{\lambda_n} y_n/\lambda_n - S_{\lambda_m} y_m/\lambda_m) \\
&= y_n - z_n,
\end{aligned}
$$

où $z_n \in \mathcal{M}_{n-1}$ puisque $\mathcal{M}_n$ est croissante et que $\mathcal{M}_{n-1} = S_{\lambda_n}(\mathcal{M}_n)$. Donc $\|Ty_n/\lambda_n - Ty_m/\lambda_m\| \ge 1$; ce qui est incompatible avec le fait pour la suite $y_n/\lambda_n$ d'être bornée, en vertu de la compacité de $T$. Il en résulte que $\lambda = 0$.

▷ Notons enfin que $\sigma(T)\backslash] - \frac{1}{n}, \frac{1}{n}[ \text{ est compact, puisque } \sigma(T) \text{ est borné ; en vertu du théorème de Bolzano-Weierstrass, il ne pourra donc contenir qu'un nombre fini de points. On en déduit que l'ensemble } \sigma(T) \text{ est dénombrable.}$

□

## A.3 L'opérateur adjoint

**Définition A.23** Soit $T$ un opérateur borné, la formule

$$ (T^*x|y) = (x|Ty) \quad \forall x, y \in H $$

définit un opérateur linéaire $T^* : H \to H$, appelé adjoint de $T$.

**Remarque A.24** L'opérateur $T^*$ ainsi défini est continu et vérifie $\|T^*\| = \|T\|$.

**Proposition A.25 (Théorème de Schauder)** *Si $T$ est compact, $T^*$ l'est également.*

**DÉMONSTRATION.**

▷ Notons $A$ un borné de $H$, par continuité de $T^*$, $TT^*$ est compact ; c'est dire que de toute suite $x_n$ dans $A$, on peut extraire $x_{n'}$ telle que $TT^*x_{n'}$ converge.

▷ Considérons alors la suite $T^*x_{n'}$, elle vérifie

$$ 
\begin{aligned}
\|T^*(x_{m'} - x_{n'})\|^2 &= (x_{m'} - x_{n'} |TT^*(x_{m'} - x_{n'})) \\
&\le \|x_{m'} - x_{n'}\| \|TT^*(x_{m'} - x_{n'})\| \\
&\le C \|TT^*(x_{m'} - x_{n'})\|,
\end{aligned}
$$

puisque $A$ est borné. Or $TT^*x_{m'}$ converge, c'est donc une suite de Cauchy, et $T^*x_{m'}$ également ; on en déduit qu'elle converge et par conséquent la compacité de $T^*$.

□
**Lemme A.26** La fermeture de l'image de T est l'orthogonal du noyau de son adjoint :

$$ \overline{\mathcal{R}(T)} = \mathcal{N}(T^*)^{\perp} $$

DÉMONSTRATION.

▷ Notons tout d'abord que $\mathcal{N}(T^*)^{\perp}$ est fermé ; en effet

$$ \mathcal{N}(T^*)^{\perp} = \bigcap_{x \in \mathcal{N}(T^*)} \{z \mid (z|x) = 0\}, $$

et chacun des $\{z \mid (z|x) = 0\}$ est fermé par continuité du produit scalaire.

▷ Pour montrer que $\overline{\mathcal{R}(T)} \subset \mathcal{N}(T^*)^{\perp}$, il suffira donc de montrer que $\mathcal{R}(T) \subset \mathcal{N}(T^*)^{\perp}$. Soit donc $y \in \mathcal{R}(T)$, on aura $y = Tx$, et si $f \in \mathcal{N}(T^*)$,

$$ (y|f) = (Tx|f) = (x|T^*f) = 0. $$

C'est dire que $y \in \mathcal{N}(T^*)^{\perp}$.

▷ Réciproquement, soit $y \notin \overline{\mathcal{R}(T)}$, nous devons montrer que $y \notin \mathcal{N}(T^*)^{\perp}$. Notons $y_1$ la projection orthogonale de $y$ sur $\overline{\mathcal{R}(T)}$, et $y_2 = y - y_1$ ; on aura

$$ 0 = (y_2|Tx) = (T^*y_2|x)), \forall x \in H, $$

on en déduit que $y_2 \in \mathcal{N}(T^*)$. Mais

$$ (y_2|y) = (y_2|y_1) + \|y_2\|^2 = \|y_2\|^2, $$

qui n'est pas nul, car $y \notin \overline{\mathcal{R}(T)}$. On en déduit que $y \notin \mathcal{N}(T^*)^{\perp}$.

□

**Théorème A.27** Si $T$ est compact $H \longrightarrow H$, alors

(i) $\sigma(T^*) = \bar{\sigma}(T)$, où $\bar{\sigma}(T)$ note le conjugué de $\sigma(T)$.

(ii) Si on suppose que $\lambda \in \sigma(T) - \{0\}$, pour que l'équation $S_{\lambda}x = y$ (respectivement $S_{\lambda}^{*}x = y$) admette des solutions, il faut et il suffit que $y \in \mathcal{N}(S_{\lambda}^{*})^{\perp}$ (respectivement $y \in \mathcal{N}(S_{\lambda})^{\perp}$).

**Remarque A.28** Ce théorème apporte une précision au cas (i) de l'alternative de Fredholm.
DÉMONSTRATION.

▷ Notons tout d'abord que $S_{\lambda}^{*} = \bar{\lambda}I - T^{*}$, en effet

$$((\lambda I - T)^{*} x | y) = (x | (\lambda I - T)y) = (\bar{\lambda}x | y) - (T^{*}x | y).$$

▷ Admettons que $\bar{\lambda} \in \mathcal{V}(T^*)$, nous noterons $y$ un vecteur propre de $T^*$ associé à $\bar{\lambda}$; $y$ n'étant pas nul et appartenant à $\mathcal{N}(S_{\lambda}^*)$ n'appartient pas à son orthogonal, et par conséquent, en vertu du Lemme A.26, $y \notin \overline{\mathcal{R}(S_{\lambda})}$. On en déduit que $\lambda \in \sigma(T)$, on a donc montré que $\bar{\mathcal{V}}(T^*) \subset \sigma(T)$. A l'aide des Théorèmes A.19 et A.21, on en déduit que $\bar{\sigma}(T^*) \subset \sigma(T)$, et comme $(T^*)^* = T$, que $\bar{\sigma}(T^*) = \sigma(T)$.

▷ Soit $\lambda \in \sigma(T) - \{0\}$, compte tenu du Théorème A.18, le Lemme A.26 nous montre que pour que $y \in \mathcal{R}(S_{\lambda})$ il faut et il suffit que $y \in (\mathcal{N}(S_{\lambda}))^{\perp}$ ; la seconde partie du théorème s'en déduit.

□

## A.4 Opérateurs auto-adjoints

**Définition A.29** On dit que $T$ est auto-adjoint si $T^* = T$.

**Lemme A.30** Si $T$ est auto-adjoint, on a

$$\|T\| = \sup_{\|x\|=1} |(Tx|x)|.$$

DÉMONSTRATION.

▷ Posons $\alpha = \sup_{\|x\|=1} |(Tx|x)|$, on aura $\alpha \le \|T\|$.

▷ Réciproquement, posons $\mu = (\|Tz\| / \|z\|)^{1/2}$, et $u = Tz/\mu$. Nous aurons

$$\|Tz\|^2 = (Tz | \mu u) = (T(\mu z) | u) = (Tu | \mu z),$$

soit

$$\|Tz\|^2 = \frac{1}{4}((T(\mu z + u) | \mu z + u) - (T(\mu z - u) | \mu z - u)) \\ \le \frac{1}{4}\alpha (\|\mu z + u\|^2 + \|\mu z - u\|^2)$$

ou encore

$$\|Tz\|^2 \le \frac{\alpha}{2} (\mu^2 \|z\|^2 + \|u\|^2) \\ \le \alpha \|z\| \|Tz\|.$$

On a donc montré que $\|Tz\| \le \alpha \|z\|$, $\forall z \in H$, soit $\|T\| \le \alpha$.

□
**Lemme A.31** Si A est un opérateur borné: $H \longrightarrow H$, qui vérifie

$$ \exists K > 0, \quad \|v\|_H \le K \|Av\|_H, \quad \forall v \in H, \qquad (A.6) $$

alors l'image $\mathcal{R}(A)$ de $H$ par $A$ est un sous-espace fermé de $H$.

**DÉMONSTRATION.** On démontrera que $\mathcal{R}(A)$ est égal à son adhérence ; soit donc $v_n$ une suite de $H$ telle que $Av_n$ converge, soit vers $w$. Nous devons montrer que $w \in \mathcal{R}(A)$; la suite $Av_n$ est de Cauchy, et également la suite $v_n$ en vertu de l'inégalité inverse (A.6), on en déduit qu'elle converge, soit vers $u$. Par continuité de $A$ on aura $w = Au$, ce qui prouve que $w \in \mathcal{R}(A)$. □

**Proposition A.32** Si $T$ est auto-adjoint, on a $\sigma(T) \subset \mathbb{R}$.

**DÉMONSTRATION.**

▷ Soit $\lambda \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$, nous pouvons écrire

$$ \|x\| \|S_{\lambda}x\| \ge |(S_{\lambda}x|x)| = |\lambda \|x\|^2 - (Tx|x)| \ge |\mathfrak{J}\mathfrak{m}\lambda| \|x\|^2, $$

puisque $(Tx|x) = (x|Tx)$ est réel. On en déduit que

$$ \|S_{\lambda}x\| \ge |\mathfrak{J}\mathfrak{m}\lambda| \|x\|, \qquad (A.7) $$

et par conséquent que $S_{\lambda}$ est injectif.

▷ Remplaçant $\lambda$ par $\bar{\lambda}$ on en déduit également que $S_{\bar{\lambda}}$ est injectif. Mais $\lambda \ne 0$, et par conséquent

$$ \mathcal{R}(S_{\lambda}) = \overline{\mathcal{R}(S_{\bar{\lambda}})} = \mathcal{N}(S_{\lambda}^{*})^{\perp} = \mathcal{N}(S_{\bar{\lambda}})^{\perp}, $$

en vertu des Lemmes A.31 et A.26 et de la continuité de $S_{\lambda}$. Il en résulte que $S_{\lambda}$ est surjectif, et par conséquent bijectif, l'inverse étant continu d'après l'inégalité (A.7). C'est dire que $\lambda$ n'appartient pas au spectre.

**Proposition A.33** Si $T$ est auto-adjoint, les sous-espaces propres $\mathcal{N}(S_{\lambda})$ associés à des valeurs propres différentes sont orthogonaux.

**DÉMONSTRATION.** Si $x_i \in N(S_{\lambda_i})$ $i = 1, 2$, où les $\lambda_i$ sont des valeurs propres différentes de $T$, alors, puisque $\lambda_2$ est réel, en vertu de la Proposition A.32,

$$ \lambda_2(x_1|x_2) = (x_1|Tx_2) = (Tx_1|x_2) = \lambda_1(x_1|x_2) $$

et par conséquent, $(x_1|x_2) = 0$. □
**Lemme A.34** Si $T$ est auto-adjoint, pour que $\lambda \notin \sigma(T)$, il faut et il suffit qu'il existe une constante $C > 0$, telle que

$$ \|S_{\lambda}x\| \geq C \|x\|, \quad \forall x \in H. $$

**DÉMONSTRATION.**

▷ Il est clair tout d'abord que l'inégalité est vérifiée dès que $\lambda \notin \sigma(T)$.

▷ Supposons réciproquement que l'inégalité soit vérifiée. On a vu à la Proposition A.32 que si $\lambda \notin \mathbb{R}$ alors $\lambda \notin \sigma(T)$ ; supposons donc que $\lambda \in \mathbb{R}$. On aura

$$ C \|x\| \leq \|S_{\lambda}x\| = \|S_{\lambda}^{*}x\| = \|S_{\lambda}^{*}x\| $$

par conséquent, de même qu'à la démonstration de la Proposition A.32, $S_{\lambda}$ est inversible ; la conclusion en découle.

□

**Lemme A.35** Si $T$ est auto-adjoint, alors pour que $\lambda \in \sigma(T)$ il faut et il suffit qu'il existe $x_n \in H$, telle que $\|x_n\| = 1$ et $(S_{\lambda}x_n) \to 0$.

**DÉMONSTRATION.**

▷ Supposons que $\lambda \notin \sigma(T)$, et que $(S_{\lambda}x_n) \to 0$, avec $\|x_n\| = 1$, alors $x_n = S_{\lambda}^{-1}S_{\lambda}x_n \to 0$, par continuité de $S_{\lambda}^{-1}$, ce qui est incompatible avec l'hypothèse $\|x_n\| = 1$.

▷ Réciproquement, si $\lambda \in \sigma(T)$, le Lemme A.34 nous prouve l'existence d'une suite $y_n$ vérifiant $\|S_{\lambda}y_n\| \leq \|y_n\|/n$ ; le Lemme est alors démontré en prenant $x_n = y_n/\|y_n\|$.

□

**Proposition A.36** Si $T$ est auto-adjoint, et si on note

$$ M = \sup_{\|x\|=1} (Tx|x) \text{ et } m = \inf_{\|x\|=1} (Tx|x), $$

alors $M$ et $m \in \mathbb{R}$ et

(i) $\sigma(T) \subset [m, M]$, et

(ii) $m$ et $M \in \sigma(T)$.

**DÉMONSTRATION.**

▷ Supposons que $\lambda > M$, et démontrons que $\lambda \notin \sigma(T)$, cette même démonstration en remplaçant $T$ par $-T$ permet alors de prouver la première partie de la Proposition. Comme à la Proposition A.32, nous aurons

$$ \|x\| \|S_{\lambda}x\| \geq |(S_{\lambda}x|x)| = |\lambda \|x\|^2 - (Tx|x)| \geq (\lambda - M) \|x\|^2, $$

et le Lemme A.34 permet de conclure.
▷ Montrons maintenant que $M \in \sigma(T)$, démonstration qui montrera également que $m \in \sigma(T)$, en remplaçant $T$ par $-T$. Notons $x_n$ une suite majorante pour $(Tx|x)$, c'est-à-dire vérifiant

$$ \begin{aligned} \|(x_n)\| &= 1 \\ \delta_n &\to 0 \quad \text{avec } \delta_n = (Tx_n|x_n) - M. \end{aligned} $$

Afin d'utiliser le Lemme A.35, calculons $\|(MI - T)x_n\|^2$ ; pour $\gamma \in \mathbb{R}$, nous aurons

$$ \begin{aligned} \|(MI - T)x_n\|^2 &= \|(M + \gamma)x_n - (T + \gamma I)x_n\|^2 \\ &= \|(T + \gamma I)x_n\|^2 + (M + \gamma)^2 \|x_n\|^2 - 2(M + \gamma) \operatorname{Re} \{((T + \gamma I)x_n|x_n)\}. \end{aligned} $$

Il est clair que $((T + \gamma I)x_n|x_n) = M + \gamma + \delta_n$ ; il en résulte que

$$ \lim_{n \to \infty} \|(MI - T)x_n\|^2 = \lim_{n \to \infty} \|(T + \gamma I)x_n\|^2 - (M + \gamma)^2. $$

▷ On aura par ailleurs, d'après le Lemme A.30

$$ \|(T + \gamma I)x_n\| \le \|T + \gamma I\| = \sup_{\|x\|=1} |(Tx|x) + \gamma| = \max\{|M + \gamma|, |m + \gamma|\}. $$

Comme $|m| \le \|T\|$, on aura $M + \gamma \ge m + \gamma > 0$, dès que $\gamma$ est choisi tel que $\gamma > \|T\|$, et par conséquent

$$ \lim_{n \to \infty} \|(MI - T)x_n\|^2 \le (M + \gamma)^2 - (M + \gamma)^2 = 0. $$

On en déduit que $M \in \sigma(T)$ en vertu du Lemme A.35.

□

**Corollaire A.37** Si $T$ est auto-adjoint, et si $\sigma(T) = \{0\}$, alors $T \equiv 0$.

DÉMONSTRATION. Si $\sigma(T) = \{0\}$, d'après la Proposition A.36, on aura $m = M = 0$, et comme, d'après le Lemme A.30, $\|T\| = \max\{|M|, |m|\}$, on en déduit que $\|T\| = 0$, soit $T \equiv 0$.

□

**Définition A.38** On dit que $H$ est somme directe Hilbertienne de ses sous-espaces $E_i$, $i = 1, \infty$, si et seulement si

(i) les $E_i$ sont fermés, deux à deux orthogonaux et

(ii) l'ensemble des combinaisons linéaires finies d'éléments des $E_i$ est dense dans $H$.

On notera

$$ H = \widehat{\bigoplus}_{i \in \mathbb{N}^*} E_i. $$

**Théorème A.39** Si $T$ est auto-adjoint compact : $H \longrightarrow H$, alors $H$ est somme directe Hilbertienne des sous-espaces propres attachés à chacune de ses valeurs propres :

$$ \widehat{\bigoplus}_{\lambda \in \mathcal{V}(T)} \mathcal{N}(S_{\lambda}). $$
DÉMONSTRATION.

▷ Les $\mathcal{N}(S_\lambda)$ sont bien entendu fermés, quant à l'orthogonalité, elle résulte de la Proposition A.33.

▷ Notons maintenant $F$ l'espace engendré par les sommes finies d'éléments des $\mathcal{N}(S_\lambda)$ où $\lambda \in \mathcal{V}(T)$. Nous poserons $G = \bar{F}$, et nous devrons montrer que $G = H$.

▷ Montrons tout d'abord que $G$ et $G^\perp$ sont stables par $T$. Soit $x \in F$, on aura $x = \sum_{i \in I} x_i$, où $I$ est fini, et par conséquent $Tx = \sum_{i \in I} \lambda_i x_i$, où $\lambda_i \in \mathcal{V}(T)$. On en déduit que $Tx \in F$, et par continuité de $T$, que $T(G) \subset G$. Prenons alors $x \in G^\perp$, et $y \in G$, on aura $Ty \in G$, et donc $(x | Ty) = 0$, soit $(Tx | y) = 0$ ; on en déduit que $Tx \in G^\perp$, soit $T(G^\perp) \subset G^\perp$.

▷ Nous pouvons donc définir la restriction $T'$ de $T$ à $G^\perp$ ; nous montrerons que $T' = 0$, soit $G^\perp \subset \mathcal{N}(T)$. Soit donc $\mu \in \sigma(T')$, $\mu \neq 0$, c'est une valeur propre de $T'$ d'après le Théorème A.19, et par conséquent, il existe $x' \neq 0$, $x' \in G^\perp$, tel que $T'x' = \mu x'$. On en déduit que $\mu \in \sigma(T)$, et que $x' \in \mathcal{N}(S_\mu) \subset G$, et par conséquent $x' \in G \cap G^\perp$; il en résulte que $x' = 0$, ce qui constitue une contradiction. On en déduit que $\sigma(T') = \{0\}$, et par conséquent que $T' \equiv 0$, d'après le Corollaire A.37.

▷ Si $0$ n'est pas valeur propre de $T$, alors $\mathcal{N}(T) = \{0\}$, et par conséquent $G^\perp = \{0\}$, soit $G = H$. Si $0$ est valeur propre de $T$ alors $\mathcal{N}(T) = \mathcal{N}(S_0)$, et par conséquent $\mathcal{N}(T) \subset G$, ce qui implique encore $G^\perp = \{0\}$, et $G = H$.

□

**Proposition A.40 Si**

$$H = \widehat{\bigoplus}_{n \in \mathbb{N}^*} E_n,$$

et si on note $x_n$ la projection sur $E_n$ de $x \in H$, alors

(i) $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ converge vers $x$, et

(ii) $\|x\|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \|x_n\|^2$.

DÉMONSTRATION.

▷ Montrons tout d'abord que la série $\sum_{n=1}^{\infty} \|x_n\|^2$ converge, et posons $\sigma_k = \sum_{n=1}^{k} \|x_n\|^2$, on aura

$$\sigma_k = \left( x \left| \sum_{n=1}^{k} x_n \right. \right) \le \|x\| \left\| \sum_{n=1}^{k} x_n \right\| \le \|x\| \sqrt{\sigma_k},$$

car les $x_n$ sont orthogonaux deux à deux. On en déduit que $\sigma_k \le \|x\|^2$ et que la série $\sum_{n=1}^{\infty} \|x_n\|^2$ converge.
▷ On aura $\left\|\sum_{n=p}^{q} x_n\right\|^2 = \sum_{n=p}^{q} \|x_n\|^2$, il en résulte que la série $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ est de Cauchy, et par conséquent qu'elle converge. Si nous notons alors $P(x)$ sa somme, nous aurons

$$\|P(x)\|^2 \le \sum_{n=1}^{\infty} \|x_n\|^2 \le \|x\|^2,$$

dont découle la continuité de $P$. Mais comme $P(x) = x$ dès que $x \in E_n$, il en résulte que $P$ n'est autre que l'identité sur l'espace des combinaisons linéaires finies des éléments des $E_n$, et par continuité sur son adhérence $H$ tout entière.

▷ La formule finale s'obtient par passage à la limite à partir de l'identité $\sum_{n=1}^{k} \|x_n\|^2 = \left\|\sum_{n=1}^{k} x_n\right\|^2$. □

**Remarque A.41** Le Théorème A.39 et la Proposition A.40 nous montrent donc qu'on peut construire une base Hilbertienne (orthonormale) $\{e_n | n \in \mathbb{N}^*\}$ de $H$, formée de vecteurs propres de l'opérateur auto-adjoint compact $T$. Pour tout élément $x \in H$, on aura

$$x = \sum_{n \in \mathbb{N}^*} (x | e_n) e_n \text{ et } \|x\|^2 = \sum_{n \in \mathbb{N}^*} |(x | e_n)|^2.$$

De plus les $e_n$ diagonalisent $T$ selon l'expression

$$Tx = \sum_{n \in \mathbb{N}^*} \lambda_n (x | e_n) e_n,$$

où les $\lambda_n$ sont les valeurs propres respectivement associées aux $e_n$.

**Corollaire A.42** Si $T$ est auto-adjoint compact, c'est la limite d'une suite d'opérateurs auto-adjoints compacts de rangs finis.

**DÉMONSTRATION.**

▷ Comme $T$ est compact, nous pouvons ordonner ses valeurs propres $\lambda_k$ en une suite dont les modules décroissent. Nous notons $x_k$ la projection de $x$ sur $\mathcal{N}(S_{\lambda_k})$, et $T_n(x) = \sum_{k=1}^{n} \lambda_k x_k$.

▷ L'opérateur $T_n$ est clairement auto-adjoint, et on a $\dim(\mathcal{R}(T_n)) = \sum_{k=1}^{n} \dim(\mathcal{N}(S_{\lambda_k})) < \infty$, dont découle la compacité de $T_n$. De plus, d'après la Proposition A.40, on a $x = \sum_{k=1}^{\infty} x_k$, et par continuité de $T$, $T(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \lambda_k x_k = \lim_{n \to \infty} T_n(x)$. On aura même

$$\|T(x) - T_n(x)\|^2 = \left\| \sum_{k=n+1}^{\infty} \lambda_k x_k \right\|^2 = \sum_{k=n+1}^{\infty} |\lambda_k|^2 \|x_k\|^2$$

et donc

$$\|T(x) - T_n(x)\|^2 \le |\lambda_{n+1}|^2 \sum_{k=n+1}^{\infty} \|x_k\|^2 \le |\lambda_{n+1}|^2 \|x\|^2,$$

toujours d'après la Proposition A.40. On en déduit que $\|T - T_n\| \le |\lambda_{n+1}|$, qui tend vers 0.
☐

### A.4.1 Quotients de Rayleigh

Dans ce paragraphe nous supposerons que $T$ est non seulement auto-adjoint compact, mais encore positif, c'est-à-dire que $(Tx|x)) \ge 0, \forall x \in H$; une caractérisation très commode des valeurs propres est alors accessible. Notons que ces valeurs propres sont des réels vérifiant $(Tx_k|x_k) = \lambda_k \|x_k\|^2$, et sont par conséquent positives.

**Définition A.43** On appelle quotient de Rayleigh la quantité suivante:

$$ \mathcal{R}(x) = \frac{(Tx|x)}{\|x\|^2}. \qquad (A.8) $$

**Proposition A.44** Supposons que les valeurs propres $\lambda_k$ de $T$ sont rangées dans l'ordre décroissant et sont associées aux vecteurs propres $e_k$, notons $W_k$ le sous-espace engendré par les $e_i$, $i = 1, k$ et $W_k$ l'ensemble des sous-espaces de dimension $k$ de $V$. Alors les éléments propres $(\lambda_k, e_k)$ de $T$ admettent les caractérisations suivantes:

$$ \lambda_k = \mathcal{R}(e_k) \qquad (A.9) $$

$$ \lambda_k = \min_{x \in W_k} \mathcal{R}(x) \qquad (A.10) $$

$$ \lambda_k = \max_{x \in W_{k-1}^{\perp}} \mathcal{R}(x) \qquad (A.11) $$

$$ \lambda_k = \max_{W \in \mathcal{W}_k} \min_{x \in W} \mathcal{R}(x) \qquad (A.12) $$

$$ \lambda_k = \min_{W \in \mathcal{W}_{k-1}} \max_{x \in W^{\perp}} \mathcal{R}(x) \qquad (A.13) $$

**DÉMONSTRATION.**

$$ \triangleright \text{ On a de façon évidente } \mathcal{R}(e_k) = \lambda_k. $$

$$ \triangleright \text{ Si } x \in W_k \text{ alors } x = \sum_{i=1}^{k} \alpha_i e_i, \text{ d'où il résulte} $$

$$ \mathcal{R}(x) = \frac{\sum_{i=1}^{k} \lambda_i |\alpha_i|^2}{\sum_{i=1}^{k} |\alpha_i|^2} \geq \lambda_k. $$

La formule (A.10) découle alors de (A.9).

$$ \triangleright \text{ Si } x \in W_{k-1}^{\perp}, \text{ on peut écrire } x = \sum_{i=k}^{\infty} \alpha_i x_i, \text{ on en déduit, comme précédemment que} $$

$$ \mathcal{R}(x) = \frac{\sum_{i \ge k} \lambda_i |\alpha_i|^2}{\sum_{i \ge k} |\alpha_i|^2} \le \lambda_k. $$
▷ On déduit tout d'abord de (A.10) que

$$ \max_{W \in \mathcal{W}_k} \min_{x \in W} \mathcal{R}(x) \geq \lambda_k; $$

mais réciproquement si on choisit $W \in \mathcal{W}_k$, on ne peut avoir $W \subset \mathcal{W}_{k-1}$ et par conséquent, $\exists x \neq 0, x \in W \cap \mathcal{W}_{k-1}^\perp$. De (A.11) on déduit alors que $\lambda_k \geq \mathcal{R}(x)$, d'où il résulte que $\lambda_k \geq \min_{w \in W} \mathcal{R}(w), \forall W \in \mathcal{W}_k$, soit

$$ \lambda_k \geq \max_{W \in \mathcal{W}_k} \min_{w \in W} \mathcal{R}(w), $$

et par conséquent la formule (A.12).

▷ On opère de même, et on choisit $W \in \mathcal{W}_{k-1}$ et $x \neq 0, x \in W^\perp \cap \mathcal{W}_k$; on aura en vertu de (A.10) $\lambda_k \leq \mathcal{R}(x)$; il en résulte que

$$ \lambda_k \leq \min_{W \in \mathcal{W}_{k-1}} \max_{w \in W^\perp} \mathcal{R}(w), $$

l'inégalité inverse découle alors de (A.11).

□
# Appendix B

## Formulations faibles

L'étude d'une équation aux dérivées partielles elliptique telle

$$ \begin{cases} \Delta u = f \text{ dans } \mathcal{O}, \\ u = 0 \text{ sur } \partial \mathcal{O}, \end{cases} \qquad (B.1) $$

où $\mathcal{O}$ désigne un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $\partial \mathcal{O}$ sa frontière, peut être effectuée de diverses façons: méthode de Perron [GILBARG-1977], théorie du potentiel [KELLOG-1967] ou méthode variationnelle ; c'est cette dernière voie que nous avons choisie, pour sa simplicité et son domaine étendu d'application. Trois ingrédients seront nécessaires: le théorème B.2 qui nous assure du caractère bien posé de certains problèmes variationnels abstraits, la formule de Green qui assure le passage d'une équation concrète du type (B.1) à un problème abstrait tel (B.3), enfin les espaces de Sobolev qui forment le cadre fonctionnel de cette analyse.

### B.1 Le théorème de Lax-Milgram

**Définition B.1** La forme sesquilinéaire $a$ définie sur l'espace de Hilbert $V$ est dite elliptique si il existe un nombre $\alpha > 0$, tel que

$$ |a(v, v)| \geq \alpha \|v\|_V^2, \quad \forall v \in V. \qquad (B.2) $$

**Théorème B.2 (Lax-Milgram)** Soient $V$ un espace de Hilbert, $a$ et $\ell$ respectivement une forme sesquilinéaire elliptique et une forme antilinéaire continues sur $V$, alors

(i) Il existe une solution et une seule $u$ dans $V$ de l'équation

$$ a(u, v) = \langle \ell, v \rangle, \quad \forall v \in V. \qquad (B.3) $$

(ii) L'application

$$ V' \xrightarrow{s} V : \ell \mapsto u, $$
est un isomorphisme, et plus précisément vérifie

$$ \|u\|_V \le \frac{1}{\alpha} \|\ell\|_{V'}, \qquad (B.4) $$

où $\alpha$ est la constante d'ellipticité de $a$.

### DÉMONSTRATION.

▷ Résoudre (B.3) revient à démontrer l'existence et l'unicité de $u$ tel que $a(u, \cdot) = \ell$ dans $V'$, c'est-à-dire que $S$ est bijective. Démontrer (B.4) revient à montrer que $S$ est continue, soit encore d'après le théorème des homomorphismes de Banach que c'est un isomorphisme. Nous étudierons l'application inverse:

$$ V \to V' : u \mapsto a(u, \cdot) $$

que nous montrerons être un isomorphisme.

▷ Soit $u \in V$, en vertu du théorème de représentation de Riesz, il existe $A_u$ unique dans $V$, tel que $(A_u|\cdot) = a(u, \cdot)$, l'application

$$ V' \to V : (A_u|\cdot) \mapsto A_u $$

étant une isométrie. Il nous suffira donc de montrer que l'application

$$ V \xrightarrow{A} V : u \mapsto A_u $$

est elle-même un isomorphisme.

▷ Cette application est continue, en vertu de l'inégalité

$$ \|A_u\| = \sup_{v \in V} \frac{(A_u|v)}{\|v\|} \le \|a\| \|u\|, $$

où

$$ \|a\| = \sup_{u,v \in V} \frac{|a(u,v)|}{\|u\| \|v\|}. $$

L'ellipticité de $a$ implique de plus $\alpha \|v\|^2 \le |(A_v|v)| \le \|A_v\| \|v\|$, soit

$$ \|v\| \le \frac{1}{\alpha} \|A_v\|, \quad \forall v \in V. \qquad (B.5) $$

On a ainsi montré que $A$ est injective, et le Lemme A.31 montre que son image est fermée.

▷ Un raisonnement par l'absurde permet ensuite de montrer que $A$ est surjective. Supposons que $\mathcal{R}(A) \subsetneq V$, alors il existe $u_0 \in V \setminus \mathcal{R}(A)$, non nul. $\mathcal{R}(A)$ étant fermé, on peut y projeter $u_0$, soit $v_0$ cette projection et $w_0 = u_0 - v_0$; $w_0$ est non nul et orthogonal à $\mathcal{R}(A)$, il en résulte que

$$ a(w_0, w_0) = (A_{w_0} | w_0) = 0, $$

ce qui conduit à une contradiction, par ellipticité de $a$. L'application $A$ est donc bijective, d'inverse continu, d'après (B.5).

▷ La formule (B.4) enfin n'est qu'une autre façon d'écrire (B.5):

$$ \|u\|_V \le \frac{1}{\alpha} \|A_u\|_V = \|a(u, \cdot)\|_{V'} = \|\ell\|_{V'}. $$

□
## B.2 Espaces de Sobolev

Les espaces de Sobolev constituent une échelle de régularité bien adaptée aux formulations variationnelles. Leur étude constitue cependant un vaste domaine non dépourvu de difficultés techniques ; en particulier la régularité du bord peut jouer un rôle déterminant pour la plupart des résultats: régularité, densité ou compacité. Nous nous contenterons de signaler sans démonstration quelques propriétés des espaces construits à partir de $L^2$, et nous choisirons les ouverts assez réguliers pour éviter les subtilités principales. Les références les plus classiques à cet égard sont [ADAM-1975], [Nečas-1967] et [LIONS-1968]. On notera $\mathcal{O}$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ dont le bord est Lipschitzien.

### Définition B.3

(i) Espaces d'indice entier: on pose

$$ H^l(\mathcal{O}) = \{v \in L^2(\mathcal{O}) \mid \partial^\alpha v \in L^2(\mathcal{O}), \forall \alpha, |\alpha| \le l \}, \quad (B.6) $$

où $l$ est un entier positif. Cet espace est muni de la norme du graphe, soit

$$ \|v\|_{H^l(\mathcal{O})}^2 = \sum_{|\alpha| \le l} \|\partial^\alpha v\|_{L^2(\mathcal{O})}^2 \quad (B.7) $$

(ii) Espaces d'indice fractionnaire: on note

$$ H^s(\mathbb{R}^n) = \{v \in L^2(\mathbb{R}^n) \mid (1+\|\xi\|^2)^{s/2} \hat{v}(\xi) \in L^2(\mathbb{R}^n) \}, \quad (B.8) $$

où $s$ est un réel positif et $\hat{v}$ note la transformée de Fourier de $v$. Cet espace est muni de la norme naturelle:

$$ \|v\|_{H^s(\mathbb{R}^n)}^2 = \|v\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^2 + \|(1 + \|\xi\|^2)^{s/2} \hat{v}(\xi)\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^2 \quad (B.9) $$

Dans le cas d'un ouvert, on pose

$$ H^s(\mathcal{O}) = \{v \in L^2(\mathcal{O}) \mid \exists \tilde{v} \in H^s(\mathbb{R}^n) \text{ avec } \tilde{v}|_{\mathcal{O}} = v \}. \quad (B.10) $$

On munit cet espace de la norme quotient:

$$ \|v\|_{H^s(\mathcal{O})} = \inf_{\substack{\tilde{v} \in H^s(\mathbb{R}^n) \\ \tilde{v}|_{\mathcal{O}} = v}} \|\tilde{v}\|_{H^s(\mathbb{R}^n)}. \quad (B.11) $$

### Remarque B.4

(i) Les espaces définis ci-dessus sont en fait des espaces de Hilbert, pour le produit scalaire naturel dérivant de celui de $L^2$.
(ii) Dans ces définitions tant les dérivées que la transformation de Fourier doivent être comprises au sens des distributions ; ce n’est que dans le cas d’une régularité suffisante qu’elles peuvent l’être au sens des fonctions, les deux acceptations se correspondant alors bien entendu.

Bien d'autres espaces de cette nature peuvent être définis, et nous aurons l'occasion d'en rencontrer ultérieurement, contentons-nous pour l'instant d'introduire

$$H^1(\mathcal{O}; \Delta) = \{v \in H^1(\mathcal{O}) \mid \Delta v \in L^2(\mathcal{O})\},$$

il sera muni de la norme du graphe:

$$\|v\|_{H^1(\mathcal{O}; \Delta)}^2 = \|v\|_{H^1(\mathcal{O})}^2 + \|\Delta v\|_{L^2(\mathcal{O})}^2$$

## B.2.1 Régularité et compacité

Les espaces que nous venons de définir peuvent paraître quelque peu abstraits, le théorème de régularité suivant permet de s’en faire une image plus précise:

**Théorème B.5 (Théorème d'inclusion de Sobolev)** Si $\mathcal{O}$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ à bord Lipschitzien, alors l'inclusion suivante est valable (algébriquement et topologiquement):

$$H^s(\mathcal{O}) \subset \mathcal{C}_c^k(\bar{\mathcal{O}}), \quad \forall s > k + \frac{n}{2}, \qquad (B.12)$$

où $\mathcal{C}_c^k$ est l'espace des traces sur $\mathcal{O}$ des fonctions $k$ fois dérivables sur $\mathbb{R}^n$ muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact des dérivées jusqu'à l'ordre $k$.

**Théorème B.6 (Rellich)** Si $\mathcal{O}$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ à bord Lipschitzien, borné, alors l'injection suivante est compacte:

$$H^s(\mathcal{O}) \subset H^t(\mathcal{O}) \quad \forall s > t. \qquad (B.13)$$

**Remarque B.7** Notons par exemple qu'en dimension un, le Théorème d'inclusion de Sobolev affirme que les fonctions de $H^s(\mathcal{O})$ sont continues pour $s > 1/2$, dérivables pour $s > 3/2, \dots$

## B.2.2 Théorèmes de densité et de trace

Les fonctions composant les espaces de Sobolev n'étant pas nécessairement régulières, il est fréquemment utile de les approcher par des fonctions plus régulières. La démonstration de la formule de Green par exemple se réalise en deux temps: on commence par la démontrer pour des fonctions indéfiniment dérivables, puis on montre par densité et continuité qu'elle reste valable pour les fonctions de $H^1$.
**Théorème B.8 (Théorème de densité)** Si $\mathcal{O}$ est un ouvert à frontière Lipschitzienne, alors $\mathcal{D}(\bar{\mathcal{O}})$ est dense dans $H^s(\mathcal{O})$, $\forall s \ge 0$, où $\mathcal{D}(\bar{\mathcal{O}})$ est l'ensemble des traces sur $\mathcal{O}$ des fonctions indéfiniment dérivables à support compact sur $\mathbb{R}^n$.

**Définition B.9** On note $\mathcal{D}(\mathcal{O})$ l'ensemble des fonctions à support compact dans l'ouvert $\mathcal{O}$, et on pose

$$H_0^s(\mathcal{O}) = \overline{\mathcal{D}(\bar{\mathcal{O}})}^{H^s(\mathcal{O})}, \qquad (B.14)$$

(adhérence de $\mathcal{D}(\mathcal{O})$ dans $H^s(\mathcal{O})$), cet espace étant muni de la topologie induite par $H^s(\mathcal{O})$.

**Proposition B.10** Pour $s \le 1/2$ on a $H_0^s(\mathcal{O}) = H^s(\mathcal{O})$.

Les problèmes aux limites nous conduisent naturellement à étudier les espaces formés des traces des fonctions composant les espaces de Sobolev précédemment définis.

**Théorème B.11 (Théorème de trace)** Pour $s > 1/2$, et si $\mathcal{O}$ est assez régulier (plus précisément de classe $C^{k,1}$, $k \ge \max(0, s - 1)$), c'est-à-dire $k$-Lipschitzienne ainsi que sa dérivée première) alors l'application $\gamma_0$ définie sur $\mathcal{D}(\bar{\mathcal{O}})$, qui à une fonction régulière définie sur $\bar{\mathcal{O}}$ fait correspondre sa trace sur $\partial\mathcal{O}$ se prolonge de façon unique en une application continue surjective

$$\gamma_0 : H^s(\mathcal{O}) \to H^{s-1/2}(\partial\mathcal{O}). \qquad (B.15)$$

On a de plus

$$N(\gamma_0) = H_0^1(\mathcal{O}) \cap H^s(\mathcal{O}).$$

**Corollaire B.12** Pour $s > 3/2$, et $\mathcal{O}$ assez régulière, l'application $\gamma_1$ qui à une fonction de $\mathcal{D}(\bar{\mathcal{O}})$ fait correspondre la trace de sa dérivée normale sur $\partial\mathcal{O}$ se prolonge de façon unique en une application continue surjective

$$\gamma_1 : H^s(\mathcal{O}) \to H^{s-3/2}(\partial\mathcal{O}), \qquad (B.16)$$

si on note $\gamma = (\gamma_0, \gamma_1)$, on a

$$N(\gamma) = H_0^2(\mathcal{O}) \cap H^s(\mathcal{O})$$

### B.2.3 Dualité

On définit également des espaces de Sobolev d'indice négatif par dualité.

**Définition B.13** Pour $s \ge 0$, on pose

$$H^{-s}(\mathcal{O}) = (H_0^s(\mathcal{O}))', \qquad (B.17)$$

c'est un espace de distributions que l'on munit de la norme du dual fort:

$$\|f\|_{H^{-s}(\mathcal{O})} = \sup_{\substack{v \in H_0^s(\mathcal{O}) \\ v \neq 0}} \frac{\langle f, v \rangle}{\|v\|_{H^s(\mathcal{O})}}. \qquad (B.18)$$
## B.3 La formule de Green

C'est la généralisation à plusieurs dimensions de la formule bien connue d'intégration par parties:

$$ \int_a^b u'v = - \int_a^b uv' + [uv]_a^b $$

Sous sa forme la plus simple, elle s'écrit:

$$ \int_{\mathcal{O}} \frac{\partial u}{\partial x_i} v = - \int_{\mathcal{O}} u \frac{\partial v}{\partial x_i} + \int_{\partial \mathcal{O}} uv n_i d\gamma, $$

où $n_i$ est la ième composante de la normale n, extérieure à $\mathcal{O}$. Bien entendu, il faut indiquer sous quelles conditions de régularité de la frontière $\partial\mathcal{O}$, et des fonctions $u$ et $v$ s'applique la formule de Green ; en fait il suffit que les diverses intégrales existent, ainsi que les traces de $u$ et $v$. Plus précisément il suffit d'imposer

$$ u, v \in H^1(\mathcal{O}), \mathcal{O} \in \mathcal{C}^{1,1}. $$

### B.3.1 Opérateurs du premier ordre

La formule qui précède est susceptible de prendre diverses formes, notons parmi les plus fréquemment employées:

$$ \int_{\mathcal{O}} E \cdot \nabla \bar{\psi} = - \int_{\mathcal{O}} \mathrm{div} E \bar{\psi} + \int_{\partial \mathcal{O}} (E, n) \bar{\psi} d\gamma. \qquad (B.19) $$

et

$$ \int_{\mathcal{O}} H \cdot \mathrm{rot} \bar{\Psi} = \int_{\mathcal{O}} \mathrm{rot} H \cdot \bar{\Psi} + \int_{\partial \mathcal{O}} (H, n \wedge \bar{\Psi}) d\gamma. \qquad (B.20) $$

### B.3.2 Opérateurs du second ordre

Si, dans (B.19), on remplace $E$ par grad $\varphi$, on obtient

$$ \int_{\mathcal{O}} \nabla \varphi \cdot \nabla \bar{\psi} = - \int_{\mathcal{O}} \Delta \varphi \bar{\psi} + \int_{\partial \mathcal{O}} \frac{\partial \varphi}{\partial n} \bar{\psi} d\gamma. \qquad (B.21) $$

Si, par contre, on remplace $\psi$ par $\mathrm{div} H$, on aboutit à

$$ \int_{\mathcal{O}} (E, \nabla \mathrm{div} \bar{H}) = - \int_{\mathcal{O}} \mathrm{div} E \mathrm{div} \bar{H} + \int_{\partial \mathcal{O}} (E, n) \mathrm{div} \bar{H} d\gamma, \qquad (B.22) $$

et de même, en remplaçant dans (B.20), $H$ par $\mathrm{rot} \Phi$,

$$ \int_{\mathcal{O}} \mathrm{rot} \Phi \cdot \mathrm{rot} \bar{\Psi} = \int_{\mathcal{O}} (\mathrm{rot} \mathrm{rot} \Phi, \bar{\Psi}) + \int_{\partial \mathcal{O}} (\mathrm{rot} \Phi, n \wedge \bar{\Psi}) d\gamma. \qquad (B.23) $$
## B.4 Le problème de Dirichlet

Traitons tout d'abord le problème de Dirichlet homogène:

$$ egin{cases} -\Delta u + u = f \text{ dans } \mathcal{O}, \\ u = 0 \text{ sur } \partial \mathcal{O}. \end{cases} \qquad (B.24) $$

### B.4.1 Formulation variationnelle

Nous allons utiliser une fonction auxiliaire $v$ (dite fonction-test) et la formule de Green (B.21) pour abaisser l'ordre de dérivation de $u$. Si nous choisissons $v \in H^1(\mathcal{O})$ et si nous supposons que $u \in H^2(\mathcal{O})$, nous aurons:

$$ \int_{\mathcal{O}} -\Delta u \bar{v} = \int_{\mathcal{O}} \nabla u \cdot \nabla \bar{v} - \int_{\partial \mathcal{O}} \frac{\partial u}{\partial n} \bar{v} d\gamma, $$

et, par conséquent,

$$ \int_{\mathcal{O}} f \bar{v} = \int_{\mathcal{O}} \nabla u \cdot \nabla \bar{v} + \int_{\mathcal{O}} u \bar{v} - \int_{\partial \mathcal{O}} \frac{\partial u}{\partial n} \bar{v} d\gamma; $$

il reste que la condition de Dirichlet homogène n'a pas été prise en compte, elle doit donc subsister comme une contrainte supplémentaire imposée à $u$. On aboutit ainsi au problème, dit variationnel, suivant:

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u \text{ nulle sur } \partial \mathcal{O}, \text{ telle que } \forall v \text{ nulle sur } \partial \mathcal{O}, \\ \int_{\mathcal{O}} \nabla u \cdot \nabla \bar{v} + \int_{\mathcal{O}} u \bar{v} = \int_{\mathcal{O}} f \bar{v}. \end{array} \right. $$

Cette formulation manque de précision, on doit en particulier choisir l'espace où doit être cherchée $u$ pour envisager la démonstration d'un théorème d'existence et d'unicité, de sorte que les conditions relatives aux traces aient un sens. Compte tenu de la formulation que nous venons d'obtenir et du théorème de trace B.11 nous choisirons de chercher $u \in H_0^1(\mathcal{O})$, et d'y faire varier $v$. On aboutit ainsi au problème

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u \in H_0^1(\mathcal{O}), \text{ telle que } \forall v \in H_0^1(\mathcal{O}), \\ \int_{\mathcal{O}} \nabla u \cdot \nabla \bar{v} + \int_{\mathcal{O}} u \bar{v} = \int_{\mathcal{O}} f \bar{v}, \end{array} \right. \qquad (B.25) $$

où $f \in L^2(\mathcal{O})$.

### B.4.2 Existence et unicité

Notre théorème de base sera le théorème de Lax-Milgram B.2 dans lequel nous poserons $V = H_0^1(\mathcal{O})$,

$$ a(u, v) = \int_{\mathcal{O}} \nabla u \cdot \nabla \bar{v} + \int_{\mathcal{O}} u \bar{v} \text{ et } \ell(v) = \int_{\mathcal{O}} f \bar{v}. $$

La continuité de $a$ et $\ell$ est évidente, ainsi que l'ellipticité de $a$. Le théorème de Lax-Milgram nous assure alors que le problème (B.25) est bien posé, c'est-à-dire que sa solution existe, est unique et dépend continûment de la donnée, puisque $\|\ell\|_{V'} \le \|f\|_{L^2(\mathcal{O})}$.
### B.4.3 Retour au problème fort

La question qui subsiste est celle du lien entre les problèmes (B.24) et (B.25). Il est tout à fait clair que si $u$ est solution de (B.24) elle l'est de (B.25) ; réciproquement si $u$ est solution du problème variationnel (B.25), alors pour $v \in \mathcal{D}(\mathcal{O})$ on a

$$ \langle -\Delta u + u - f, \bar{v} \rangle_{\mathcal{D}'(\mathcal{O}), \mathcal{D}(\mathcal{O})} = 0, $$

soit

$$ -\Delta u + u = f \quad \text{dans} \quad \mathcal{D}'(\mathcal{O}). \qquad (B.26) $$

D'autre part $u \in H_0^1(\mathcal{O})$ peut, en vertu du théorème B.11, s'interpréter comme signifiant $u|_{\partial\mathcal{O}} = 0$, au sens précis suivant:

$$ \gamma_0(u) = 0. \qquad (B.27) $$

On a donc montré que $u$ est solution du problème fort (B.24), en un sens quelque peu généralisé.

### B.4.4 Le problème non-homogène

Nous n'avons traité que du cas d'une trace nulle, supposons qu'il n'en n'est plus ainsi:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u + u = f & \text{dans } \mathcal{O} \\ u = g & \text{sur } \partial \mathcal{O}. \end{array} \right. \qquad (B.28) $$

Si $u \in H^1(\mathcal{O})$, alors en vertu du théorème de trace (B.11), $u|_{\partial\mathcal{O}} \in H^{1/2}(\partial\mathcal{O})$; réciproquement, si on suppose que $g \in H^{1/2}(\partial\mathcal{O})$, d'après ce même théorème de trace, il existe $U \in H^1(\mathcal{O})$, telle que $U|_{\partial\mathcal{O}} = g$, $U$ est appelé *relèvement* de $g$ dans $H^1(\mathcal{O})$. Comme $u$ est solution de (B.28) il en résulte que $u' = u - U$ est solution de

$$ \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u' + u' = f + \Delta U - U & \text{dans } \mathcal{O} \\ u' = 0 & \text{sur } \partial \mathcal{O}, \end{array} \right. \qquad (B.29) $$

soit encore, sous forme variationnelle

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u' \in H_0^1(\mathcal{O}), \text{ telle que } \forall v \in H_0^1(\mathcal{O}), \\ a(u', v) = l'(v), \text{ avec } l'(v) = \int_{\mathcal{O}} f \bar{v} - \int_{\mathcal{O}} \nabla U \cdot \nabla \bar{v} - \int_{\mathcal{O}} U \bar{v}, \end{array} \right. \qquad (B.30) $$

problème tout à fait semblable à (B.25).
B.4.5 L'inégalité de Poincaré-Friedrichs

Le problème suivant est plus difficile, mais mérite d’être étudié car il est fréquent
en mécanique des fluides ou en électrostatique:

$$
\begin{equation}
\begin{cases}
-\Delta u = f \quad \text{dans } \mathcal{O}, \\
u = 0 \quad \text{sur } \partial \mathcal{O}.
\end{cases}
\tag{B.31}
\end{equation}
$$

La difficulté est relative à la démonstration de l'ellipticité sur $H_0^1(\mathcal{O})$ de la forme
bilinéaire

$$
a(u, v) = \int_{\mathcal{O}} \nabla u \cdot \nabla \bar{v}, \qquad (B.32)
$$

dont découleront l'existence et l'unicité de la solution $u$ de (B.31). Nous utiliserons le théorème suivant:

**Théorème B.14 (Poincaré-Friedrichs)** Si $\mathcal{O}$ est un ouvert borné connexe et $\Gamma$ une partie de son bord, de mesure non nulle, alors

$$
\exists K > 0, \|v\|_{H^1(\mathcal{O})}^2 \le K \left\{ \int_{\mathcal{O}} \|\nabla v\|^2 + \left| \int_{\Gamma} v \, d\gamma \right|^2 \right\}, \forall v \in H^1(\mathcal{O}). \quad (B.33)
$$

DÉMONSTRATION. On effectue un raisonnement par l'absurde

▷ Admettons que l'inégalité annoncée soit fausse, on en déduit l'existence d'une suite dans $H^1(\mathcal{O})$ vérifiant

$$
\|v_n\|_{H^1(\mathcal{O})} = 1, \text{ et} \tag{B.34}
$$

$$
[v_n] \le \frac{1}{n}, \text{ avec} \tag{B.35}
$$

$$
[v_n]^2 = \int_{\mathcal{O}} \|\nabla v_n\|^2 + \left| \int_{\Gamma} v_n \, d\gamma \right|^2 .
$$

A l'aide du Théorème de compatité de Rellich B.6, et d'après (B.34), on peut extraire de $v_n$
une sous-suite, encore notée $v_n$ qui converge, soit vers $v$ dans $L^2(\mathcal{O})$.

▷ En vertu de (B.35), la suite $\nabla v_n$ est de Cauchy dans $L^2(\mathcal{O})$; il en est de même de $v_n$ d'après l'item qui précède, et par conséquent $v_n$ est de Cauchy dans $H^1(\mathcal{O})$, elle y converge donc vers $v$.

▷ D'après (B.35), la fonction $v$ vérifie $\nabla v = 0$, c'est donc une constante, mais également $\int_{\Gamma} v \, d\gamma = 0$, par continuité de la trace $H^1(\mathcal{O}) \to L^2(\Gamma)$. On en déduit que $v = 0$, ce qui constitue une contradiction avec (B.33).

☐
**Remarque B.15** Dans le théorème qui précède, le terme $\int_{\Gamma} v d\gamma$ peut être remplacé par de nombreux autres, par exemple $\int_{\Delta} v$ où $\Delta$ est un ouvert de mesure non nulle inclus dans $\mathcal{O}$. L'essentiel est la continuité de ce terme vis-à-vis de la topologie de $H^1(\mathcal{O})$ et le fait que $[v]$ reste une norme.

Démontrons maintenant l'ellipticité de la forme bilinéaire (B.32): on aura en effet pour $u \in H_0^1(\mathcal{O})$,

$$a(u, v) = \int_{\mathcal{O}} \|\nabla u\|^2 = \int_{\mathcal{O}} \|\nabla u\|^2 + \left| \int_{\partial \mathcal{O}} u \, d\gamma \right|^2 \geq \frac{1}{K} \|u\|_{H^1(\mathcal{O})}^2$$

## B.5 Le problème de Neumann

On peut étudier selon la même méthode le problème de Neumann

$$\left\{ \begin{array}{l} -\Delta u + u = f \text{ dans } \mathcal{O}, \\ \frac{\partial u}{\partial n} = g \text{ sur } \partial \mathcal{O}. \end{array} \right. \qquad (B.36)$$

### B.5.1 Formulation variationnelle

Si on suppose que $g \in L^2(\partial \mathcal{O})$, on obtient

$$\left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u \in H^1(\mathcal{O}) \text{ tel que } \forall v \in H^1(\mathcal{O}) \\ \displaystyle \int_{\mathcal{O}} \nabla u \cdot \nabla \bar{v} + \int_{\mathcal{O}} u \bar{v} = \int_{\mathcal{O}} f \bar{v} + \int_{\partial \mathcal{O}} g \bar{v} \, d\gamma. \end{array} \right. \qquad (B.37)$$

Le théorème de Lax-Milgram s'applique alors, faisant de (B.37) un problème bien posé.

### B.5.2 Retour au problème fort

Si on choisit, dans un premier temps de considérer uniquement des fonctions test dans $\mathcal{D}(\mathcal{O})$, comme dans le cas du problème de Dirichlet, on montre aisément que $u$ vérifie (B.26). L'interprétation de la condition de Neumann est plus difficile, elle nécessite de faire appel à l'espace $H^1(\mathcal{O}; \Delta)$.

**Lemme B.16**

(i) L'application $u \in \mathcal{D}(\bar{\mathcal{O}}) \mapsto \partial u / \partial n|_{\partial \mathcal{O}}$ se prolonge en une application continue: $H^1(\mathcal{O}; \Delta) \to H^{-1/2}(\partial \mathcal{O})$.

(ii) Ce prolongement est défini par la formule:

$$\left\langle \frac{\partial u}{\partial n}, \bar{v} \right\rangle_{H^{-1/2}(\partial \mathcal{O}), H^{1/2}(\partial \mathcal{O})} = \int_{\mathcal{O}} \Delta u \bar{v} + \int_{\mathcal{O}} \nabla u \cdot \nabla \bar{v} \quad \forall v \in H^1(\mathcal{O}). \qquad (B.38)$$
DÉMONSTRATION.

▷ Choisissons tout d'abord $u \in H^2(\mathcal{O})$, $w \in H^{1/2}(\partial\mathcal{O})$ et notons $v$ un relèvement de $w$ dans $H^1(\mathcal{O})$ qui vérifie

$$ \| v \|_{H^1(\mathcal{O})} \le 2 \| w \|_{H^{1/2}(\partial \mathcal{O})}. $$

D'après la formule de Green,

$$ \int_{\mathcal{O}} \Delta u \bar{v} = - \int_{\mathcal{O}} \nabla u \cdot \nabla \bar{v} + \int_{\partial \mathcal{O}} \frac{\partial u}{\partial n} \bar{v} d\gamma; \qquad (B.39) $$

par conséquent,

$$ \begin{aligned} \left| \int_{\partial \mathcal{O}} \frac{\partial u}{\partial n} \bar{w} \, d\gamma \right| & \le \left| \int_{\mathcal{O}} \Delta u \bar{v} \right| + \left| \int_{\mathcal{O}} \nabla u \cdot \nabla \bar{v} \right| \\ & \le \| \Delta u \|_{L^2(\mathcal{O})} \| v \|_{L^2(\mathcal{O})} + \| \nabla u \|_{L^2(\mathcal{O})} \| \nabla v \|_{L^2(\mathcal{O})} \\ & \le 4 \| u \|_{H^1(\mathcal{O}; \Delta)} \| w \|_{H^{1/2}(\mathcal{O})}. \end{aligned} $$

On a donc démontré la continuité de l'application :

$$ w \mapsto \int_{\Gamma} \frac{\partial u}{\partial n} w \, d\gamma; H^{1/2}(\partial \mathcal{O}) \to \mathbb{R}; $$

C'est dire que $\partial u/\partial n$ peut être considéré comme un élément de $H^{-1/2}(\Gamma)$.

▷ Mais, de plus, on a

$$ \begin{aligned} \left\| \frac{\partial u}{\partial n} \right\|_{H^{-1/2}(\partial \mathcal{O})} &= \sup_{w \neq 0} \frac{\left| \int_{\partial \mathcal{O}} \frac{\partial u}{\partial n} \bar{w} \, d\gamma \right|}{\| w \|_{H^{1/2}(\partial \mathcal{O})}} \\ &\le \| u \|_{H^1(\mathcal{O}; \Delta)} \frac{\| v \|_{H^1(\mathcal{O})}}{\| w \|_{H^{1/2}(\partial \mathcal{O})}} \\ &\le C \| u \|_{H^1(\mathcal{O}; \Delta)}; \end{aligned} $$

on en déduit que l'application: $u \mapsto \partial u/\partial n$ se prolonge en une application continue $H^1(\mathcal{O}; \Delta)$ dans $H^{-1/2}(\partial \mathcal{O})$.

▷ La formule explicitant le prolongement découle alors de (B.39), par continuité.

□

**Proposition B.17** Si $u$ est solution du problème variationnel (B.37), où $f \in L^2(\mathcal{O})$ et $g \in L^2(\partial\mathcal{O})$, alors au sens du prolongement précédent, on a $\partial u/\partial n|_{\partial\mathcal{O}} = g$.

DÉMONSTRATION. On a déjà remarqué que $u$ vérifie $\Delta u = u - f$, et par conséquent $u \in H^1(\mathcal{O}; \Delta)$. On pourra donc écrire

$$ \int_{\mathcal{O}} \nabla u \cdot \nabla \bar{v} + \int_{\mathcal{O}} u \bar{v} = \int_{\mathcal{O}} (-\Delta u + u) \bar{v} + \int_{\partial \mathcal{O}} g \bar{v} \, d\gamma, $$

soit
$$ \int_{\mathcal{O}} \nabla u \cdot \nabla \bar{v} + \int_{\mathcal{O}} \Delta u \bar{v} = \int_{\partial \mathcal{O}} g \bar{v} d\gamma, $$

et par conséquent, d'après (B.38), $\partial u/\partial n = g$ dans $H^{-1/2}(\partial \mathcal{O})$.

□

### B.5.3 Le problème de Neumann pur

Si on tente de traiter le problème

$$ \left\{ \begin{array}{l} -\Delta u = f \text{ dans } \mathcal{O}, \\ \displaystyle\frac{\partial u}{\partial n} = g \text{ sur } \partial \mathcal{O}, \end{array} \right. \qquad (B.40) $$

une difficulté supplémentaire se présente: le problème ne peut admettre une unique solution, en effet si $u$ en est solution, alors $u+C$ l'est encore quelle que soit la constante $C$. De plus une condition de compatibilité doit être imposée à $f$ et $g$ pour garantir l'existence d'une solution: d'après la formule de Green (B.21), on a nécessairement

$$ \int_{\mathcal{O}} f + \int_{\partial \mathcal{O}} g \, d\gamma = 0. \qquad (B.41) $$

Nous sommes donc conduits à montrer que (B.40) est bien posé dans un espace de fonctions définies à une constante additive près ; à cet effet on pose

$$ \begin{gathered} H^1(\mathcal{O})/\mathbb{R} = \{\dot{v} \mid v \in H^1(\mathcal{O})\}, \quad \text{où} \\ \dot{v} = \{w \in H^1(\mathcal{O}) \mid w - v = Cte\} \end{gathered} \qquad (B.42) $$

L'espace $H^1(\mathcal{O})/\mathbb{R}$ est un espace de Hilbert pour la norme quotient:

$$ \|\dot{v}\|_{H^1(\mathcal{O})/\mathbb{R}} = \inf_{w \in \dot{v}} \|w\|_{H^1(\mathcal{O})} \qquad (B.43) $$

Si nous supposons que (B.41) est vérifié par les données $f$ et $g$, alors on peut donner de (B.40) la formulation variationnelle suivante:

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } \dot{u} \in H^1(\mathcal{O})/\mathbb{R} \text{ tel que } \forall \dot{v} \in H^1(\mathcal{O})/\mathbb{R}, \\ a(\dot{u}, \dot{v}) = \ell(\dot{v}), \text{ avec} \end{array} \right. \qquad (B.44) $$

$$ \begin{gathered} a(\dot{u}, \dot{v}) = \int_{\mathcal{O}} \nabla u \cdot \nabla \bar{v} \quad \forall u \in \dot{u}, \forall v \in \dot{v} \\ \ell(\dot{v}) = \int_{\mathcal{O}} f \bar{v} + \int_{\partial \mathcal{O}} g \bar{v} \, d\gamma, \quad \forall v \in \dot{v}, \end{gathered} $$

ces définitions étant indépendantes des représentants $u$ et $v$ choisis. Ce problème est bien posé en vertu du Théorème de Lax-Milgram B.2, car $a$ est elliptique sur $H^1(\mathcal{O})/\mathbb{R}$:
on a en effet, d'après l'inégalité de Poincaré-Friedrichs (B.33)

$$
\begin{align*}
a(\dot{u}, \dot{u}) &= \int_{\mathcal{O}} \|\nabla \dot{u}\|^2 \\
&= \inf_{u \in \dot{u}} \left\{ \int_{\mathcal{O}} \|\nabla u\|^2 + \left| \int_{\partial \mathcal{O}} u \, d\gamma \right|^2 \right\} \\
&\geq \frac{1}{K} \|\dot{u}\|_{H^1(\mathcal{O})/\mathbb{R}}^2
\end{align*}
$$

B.6 Problèmes variationnels spectraux

L'objet de ce paragraphe est l'étude de problèmes du type

$$
\left\{
\begin{array}{l}
-\Delta u - \mu u = f \quad \text{dans } \mathcal{O}, \\
u = 0 \quad \text{sur } \partial \mathcal{O},
\end{array}
\right.
\qquad (B.45)
$$

où μ est positif, ce qui empêche la forme bilinéaire associée d'être elliptique. Dans tout
ce paragraphe nous supposerons l'ouvert O borné. Nous verrons que l'utilisation de la
théorie spectrale précédemment développée conduit à des résultats de qualité compa-
rable à celui fourni par le théorème de Lax-Milgram. La formulation variationnelle de
(B.45) est la suivante:

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\text{Trouver } u \in H_0^1(\mathcal{O}), \text{ tel que } \forall v \in H_0^1(\mathcal{O}), \\
\displaystyle\int_{\mathcal{O}} \nabla u \cdot \nabla \bar{v} - \mu \int_{\mathcal{O}} u \bar{v} = \int_{\mathcal{O}} f \bar{v} \, d\gamma.
\end{array}
\right.
\qquad (B.46)
$$

B.6.1 Formulation générale

Il est facile de voir que le problème qui précède entre dans le cadre suivant:

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\text{Trouver } u \in V, \text{ tel que } \forall v \in V, \\
a(u, v) - \mu (u|v)_H = q(v), \text{ où}
\end{array}
\right.
\tag{B.47}
$$

◇ V et H sont deux espaces de Hilbert tels que

$V \subset H$

(dans le cas du problème (B.46) on a $V = H_0^1(\mathcal{O})$ et $H = L^2(\mathcal{O})$, l'injection étant
compacte en vertu du théorème de Rellich B.6)

◇ a et q sont respectivement une forme sesquilinéaire continue elliptique sur V, et
une forme antilinéaire continue sur V.
## Cadre fonctionnel

Commençons par préciser quelque peu l'étude du problème variationnel

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u \in V, \text{ tel que } \forall v \in V, \\ a(u, v) = (f | v)_H, \text{ où } f \in H. \end{array} \right. \qquad (B.48) $$

Notons $\mathcal{M}$ l'application

$$ H \xrightarrow{\mathcal{M}} V' : f \mapsto \ell \text{ où } \ell(\cdot) = (f | \cdot)_H, \qquad (B.49) $$

le théorème de Lax-Milgram B.2 nous montre que la solution $u$ de (B.48) est de la forme $u = S(\ell)$ où $S$ est continue $V' \to V$. Nous poserons alors

$$ \mathcal{G} = \mathcal{S} \circ \mathcal{M} : H \to V, \qquad (B.50) $$

et nous pourrons écrire

$$ a(\mathcal{G}f, v) = (f | v)_H, \forall v \in V. \qquad (B.51) $$

Notons également $\mathcal{J}$ l'injection canonique $V \to H$, supposée compacte ; nous poserons

$$ \mathcal{G}_V = \mathcal{G} \circ \mathcal{J} : V \to V, \qquad (B.52) $$

et

$$ \mathcal{G}_H = \mathcal{J} \circ \mathcal{G} : H \to H, \qquad (B.53) $$

ces deux applications étant compactes. Le diagramme suivant résume ces définitions:

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

## Problèmes aux valeurs propres

Nous sommes maintenant en mesure d'étudier le problème homogène (B.47), soit en fait le problème variationnel de valeurs propres:

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } \mu \in \mathbb{C} \text{ et } u \neq 0 \in V, \text{ tel que } \forall v \in V \\ a(u, v) = \mu (u | v)_H. \end{array} \right. \qquad (B.54) $$

Compte tenu de (B.51) et (B.52), le problème (B.54) peut s'exprimer sous la forme $u = \mathcal{G}_V(\mu u)$, soit

$$ \mathcal{G}_V u = \frac{1}{\mu} u, \quad u \in V. \qquad (B.55) $$
**Proposition B.18**

(i) Les valeurs propres $\mu_n$ de (B.54) sont en quantité dénombrable, ne peuvent s'accumuler qu'à l'infini et sont situées à l'extérieur d'un disque de rayon strictement positif.

(ii) Les sous-espaces propres associés aux valeurs finies de $\mu_n$ sont de dimension finie.

(iii) Si $V$ est dense dans $H$, alors $0$ n'est pas valeur propre de $G_V$, c'est-à-dire $\mu = \infty$ n'est pas valeur propre de (B.54).

DÉMONSTRATION.

▷ Il s'agit essentiellement d'appliquer les Théorèmes A.18 et A.21, avec $T = G_V$ et $\lambda = 1/\mu$.

▷ Comme $S$ est un isomorphisme, $0$ est n'est pas valeur propre de $G_V$ si et seulement si $N \circ \mathcal{J}$ est injective ; c'est à dire si l'équation $(\mathcal{J}u|v)_H = 0, \forall v \in V$ n'a que la solution nulle, ou encore $(\overline{V}^H)^\perp = \{0\}$.

□

**Proposition B.19** Le problème de valeurs propres (B.54) peut s'exprimer sous la forme équivalente

$$ G_H \tilde{u} = \frac{1}{\mu} \tilde{u}, \quad \tilde{u} \in H, \qquad (B.56) $$

où $\tilde{u} = \mathcal{J}u, (\mu, u)$ étant solution de (B.55).

DÉMONSTRATION.

▷ Si $(\mu, u)$ est solution de (B.55) alors, en multipliant à gauche (B.55) par $\mathcal{J}$ on voit que $(\mu, \tilde{u})$ est solution de (B.56), $\tilde{u}$ n'étant pas nul puisque $\mathcal{J}$ est injectif.

▷ Réciproquement si $(\mu, \tilde{u})$ est solution de (B.56) alors $\tilde{u} = \mathcal{J}(\mu G\tilde{u})$, ce qui en fait un élément de $V$. Multipliant (B.56) par $G$, on constate que $(\mu, G\tilde{u})$ vérifie (B.55). Il en résulte que (B.56) est équivalent à (B.55).

□

**Alternative de Fredholm**

Revenons à la résolution du problème (B.47), il peut être mis sous la forme $u = G_V(\mu u) + S q$, soit

$$ \left( \frac{1}{\mu} I - G_V \right) u = \frac{1}{\mu} S q, \quad u \in V. \qquad (B.57) $$

**Proposition B.20** Le problème (B.47) admet une solution et une seule dépendant continûment de $q$, si et seulement si $\mu$ n'est pas valeur propre de (B.54)

DÉMONSTRATION. Il ne s'agit là que d'une application du Corollaire A.20 à la formulation (B.57).

□
## B.6.2 Formes hermitiennes

Dans le cas où $a$ est hermitienne, c'est-à-dire si $a(u, v) = \overline{a(v, u)}$, afin de profiter pleinement du caractère auto-adjoint des opérateurs sous-jacents nous serons amenés à renforcer l'hypothèse d'ellipticité en supposant $a$ positive, c'est-à-dire:

$$a(u, u) \geq \alpha \|u\|_V^2, \quad \forall v \in V. \qquad (B.58)$$

**Remarque B.21** Une notion plus forte que celle d'ellipticité est souvent utile, celle de coercitivité: on dit que $a$ est coercitive s'il existe $\theta \in [-\pi, \pi]$ et $\alpha \in \mathbb{R}$, tels que

$$\Re\{e^{i\theta}a(u, u)\} \geq \alpha \|u\|_V^2.$$

Cette condition implique évidemment l'ellipticité et signifie que, de plus, $a(u, u)$ prend ses valeurs dans un cône du plan complexe dont l'angle est inférieur à $\pi$. La condition (B.56) peut être considérée comme une forme de l'hypothèse de coercitivité pour une forme hermitienne.

**Proposition B.22** Si $a$ est une forme hermitienne coercitive, les opérateurs $\mathcal{G}_V$ et $\mathcal{G}_H$ sont auto-adjoints, respectivement pour les produits scalaires $a(\cdot, \cdot)$ et $(\cdot|\cdot)_H$.

### DÉMONSTRATION.

▷ Notons d'abord que $a$ étant continue, hermitienne et coercitive, elle constitue un produit scalaire sur $V$, définissant une norme équivalente à la norme initiale.

$$\Delta \text{ On aura, } \forall u, v \in V,$$

$$a(\mathcal{G}_V u, v) = (\mathcal{J}u | \mathcal{J}v)_H = (\overline{\mathcal{J}v | \mathcal{J}u})_H = \overline{a(\mathcal{G}_V v, u)}.$$

$$\Delta \text{ De même, } \forall \tilde{u}, \tilde{v} \in H,$$

$$(\mathcal{G}_H \tilde{u} | \tilde{v})_H = (\overline{\tilde{v} | \mathcal{G}_H \tilde{u}})_H = \overline{a(\mathcal{G} \tilde{v}, \mathcal{G} \tilde{u})} = a(\mathcal{G} \tilde{u}, \mathcal{G} \tilde{v}) = (\tilde{u} | \mathcal{G}_H \tilde{v})_H$$

□

### Bases hilbertiennes

Nous noterons désormais $(\mu_k, e_k)$ les éléments propres du problème (B.54).

**Proposition B.23**

(i) Les $\mu_k$ sont des nombres réels strictement positifs.

(ii) Les $e_k$ peuvent être choisis de sorte qu'ils forment une base orthonormale de $V$ pour le produit scalaire $a(\cdot, \cdot)$, les $y_k = \mu_k^{1/2} e_k$ formant alors une base orthonormale de $H$.
(iii) Si $V$ est dense dans $H$, alors les $\mu_k$ forment une suite tendant vers l'infini.

DÉMONSTRATION.

▷ Le caractère réel des $\mu_k$ est une conséquence de la Proposition A.32 appliquée à la formulation (B.55). De plus on a $\alpha \|e_k\|_V^2 \le a(e_k, e_k) = \mu_k \|e_k\|_H^2$, d'où le caractère positif des $\mu_k$.

▷ D'après le Théorème A.39 appliqué à l'opérateur $\mathcal{G}_V$, $V$ est somme directe hilbertienne de ses sous-espaces propres ; les vecteurs propres en composant les bases pouvant alors être choisis orthogonaux et normés, c'est-à-dire vérifiant $a(e_k, e_k) = 1$. Mais on sait également que $H$ est somme hilbertienne de ces mêmes sous-espaces propres ; comme $a(e_k, e_m) = \mu_k (e_k | e_m)_H$, les $e_k$ forment une base de $H$ composée de vecteurs mutuellement orthogonaux, et comme $a(e_k, e_k) = \mu_k (e_k | e_k)_H = (y_k | y_k)_H$, les $y_k$ forment une base orthonormale de $H$.

▷ Nous avons vu à la Proposition B.18 que si $V$ est dense dans $H$, alors $0$ n'est pas valeur propre de $\mathcal{G}_V$; $V$ de dimension infinie est donc somme hilbertienne de sous-espaces propres tous de dimension finie, ils sont donc en nombre infini. D'autre part on sait que le seul point d'accumulation des $1/\mu_k$ est $0$, il en résulte que $\mu_k$ tend vers l'infini.

□

**Proposition B.24** *Les vecteurs propres de (B.54) permettent d'obtenir les caractérisations suivantes:*

$$ H = \left\{ f = \sum_{k \ge 1} \alpha_k y_k \left| \|f\|_H^2 = \sum_{k \ge 1} |\alpha_k|^2 < +\infty \right. \right\} \quad (B.59) $$

$$ V = \left\{ v = \sum_{k \ge 1} \alpha_k y_k \left| a(v, v) = \sum_{k \ge 1} \mu_k |\alpha_k|^2 < +\infty \right. \right\} \quad (B.60) $$

$$ V' = \left\{ q = \sum_{k \ge 1} \alpha_k (y_k | \cdot |)_H \left| \|q\|_{V'}^2 = \sum_{k \ge 1} \mu_k^{-1} |\alpha_k|^2 < +\infty \right. \right\} \quad (B.61) $$

DÉMONSTRATION.

▷ Le théorème de représentation A.39 nous montre que tout élément $f$ de $H$ est de la forme

$$ f = \sum_{k \ge 1} \alpha_k y_k, \quad (B.62) $$

où la série converge normalement dans $H$. Réciproquement, si on pose $f_k = \sum_{i=1}^k \alpha_i y_i$, où les $\alpha_k$ vérifient $\sum_{k \ge 1} |\alpha_k|^2 \le +\infty$, alors la suite $f_k$ vérifie $\|f_m - f_k\|_H^2 = \sum_{i \ge k+1} |\alpha_i|^2$; il en résulte que $f_k$ est de Cauchy et par conséquent converge dans $H$.
▷ Le même raisonnement s'applique dans V, muni du produit scalaire $a(\cdot, \cdot)$ et prouve que

$$V = \left\{ v = \sum_{k \ge 1} \beta_k e_k \mid a(v, v) = \sum_{k \ge 1} |\beta_k|^2 < +\infty \right\}.$$

La caractérisation annoncée découle alors simplement de la relation $y_k = \mu_k^{1/2} e_k$.

▷ Si $q \in V'$, alors $\langle q, v \rangle = a(Sq, v)$, $\forall v \in V$, et comme $Sq \in V$, d'après (B.60) on aura

$$Sq = \sum_{k \ge 1} \alpha'_{k} y_{k} \text{ avec } \sum_{k \ge 1} \mu_{k} |\alpha'_{k}|^{2} < +\infty;$$

il en résulte que

$$a(Sq, v) = \sum_{k \ge 1} \alpha'_{k} a(y_{k}, v) = \sum_{k \ge 1} \alpha'_{k} \mu_{k} (y_{k} |v)_{H},$$

et par conséquent

$$q = \sum_{k \ge 1} \alpha_k (y_k |v) \text{, avec } \alpha_k = \alpha'_k \mu_k \text{ et } \sum_{k \ge 1} \mu_k^{-1} |\alpha_k|^2 = \sum_{k \ge 1} \mu_k |\alpha'_k|^2 < +\infty.$$

▷ Réciproquement si $q = \sum_{k \ge 1} \alpha_k (y_k |\cdot|)$, avec $\sum_{k \ge 1} \mu_k^{-1} |\alpha_k|^2 < +\infty$, alors

$$\begin{align*}
\| q \|_{V'} &= \sup_{v \in V} \frac{\sum_{k \ge 1} \alpha_k (y_k |v|)}{a(v, v)} \\
&= \sup_{\sum_{k \ge 1} \mu_k |\beta_k|^2 < +\infty} \frac{\sum_{k \ge 1} \alpha_k \bar{\beta}_k}{\sum_{k \ge 1} \mu_k |\beta_k|^2} \\
&= \sup_{\sum_{k \ge 1} \mu_k |\beta_k|^2 < +\infty} \frac{\sum_{k \ge 1} \mu_k^{-1/2} \alpha_k \mu_k^{1/2} \bar{\beta}_k}{\sum_{k \ge 1} \mu_k |\beta_k|^2} \\
&= \sum_{k \ge 1} \mu_k^{-1} |\alpha_k|^2 < +\infty,
\end{align*}$$

ce qui montre que $q \in V'$.

□

**Remarque B.25** Un prolongement naturel de ces résultats est la définition d'espaces intermédiaires entre $H$ et $V$, appelés espaces d'interpolation. Pour $\theta \in [0, 1]$, on pose

$$[H, V]_{\theta} = \left\{ u = \sum_{k \ge 1} \alpha_k y_k \mid \sum_{k \ge 1} \mu_k^{\theta} |\alpha_k|^2 < +\infty \right\}.$$

On montre aisément que la norme naturelle en fait bien des espaces de Hilbert ; il est clair que $[H, V]_0 = H$, $[H, V]_1 = V$ et que $[H, V]_{\theta_1} \subset [H, V]_{\theta} \subset [H, V]_{\theta_2}$ pour $\theta_1 > \theta >$
$\theta_2$. On peut également montrer [LIONS-1968] que cette construction est intrinsèque, au sens où les espaces d'interpolation ne dépendent pas de la forme hermitienne coercitive $a$ ayant servi à leur détermination. Dans le cas où $H = L^2(\Omega)$ et $V = H^m(\Omega)$, il s'agit là d'une façon de définir les espaces de Hilbert d'indice non entier, on montre en effet que

$$[L^2(\Omega), H^m(\Omega)]_\theta = H^{m\theta}(\Omega).$$

## Quotients de Rayleigh

Si nous appliquons à la formulation (B.55) les résultats relatifs aux quotients de Rayleigh (voir la formule (A.8)), nous sommes amenés à poser

$$\mathcal{R}_V(v) = \frac{a(\mathcal{G}_V v, v)}{a(v, v)},$$

soit encore

$$\mathcal{R}_V(v) = \frac{1}{\mathcal{Q}(v)} \text{ avec } \mathcal{Q}(v) = \frac{a(v, v)}{\|v\|_H^2} \qquad (B.63)$$

**Proposition B.26** Supposons que les valeurs propres $\mu_k$ de (B.54) sont rangées dans l'ordre croissant et sont associées aux vecteurs propres $y_k$, notons $W_k$ le sous-espace de $V$ engendré par les $y_i$, $i = 1, k$ et $W_k$ l'ensemble des sous-espaces de dimension $k$ de $V$. Alors les éléments propres $(\mu_k, e_k)$ de (B.54) admettent les caractérisations suivantes:

$$\mu_k = \mathcal{Q}(e_k) \qquad (B.64)$$

$$\mu_k = \max_{v \in W_k} \mathcal{Q}(v) \qquad (B.65)$$

$$\mu_k = \min_{v \in W_{k-1}^{\perp}} \mathcal{Q}(v) \qquad (B.66)$$

$$\mu_k = \min_{W \in \mathcal{W}_k} \max_{v \in W} \mathcal{Q}(v) \qquad (B.67)$$

$$\mu_k = \max_{W \in \mathcal{W}_{k-1}} \min_{v \in W^{\perp}} \mathcal{Q}(v) \qquad (B.68)$$

**DÉMONSTRATION.** Il s'agit simplement d'appliquer les résultats de la proposition A.44 en notant que les valeurs propres $\lambda_k$ de $\mathcal{G}_V$ sont les inverses de celles $\mu_k$ de (B.54), et que de même $\mathcal{R}_V$ est l'inverse de $\mathcal{Q}$.

□

## Alternative de Fredholm

Dans le cas particulier des formes hermitiennes positives, on peut préciser le résultat de la Proposition B.20 relative à l'alternative de Fredholm, c'est-à-dire à la résolution du problème (B.47).
**Proposition B.27**

(i) Si $\mu$ n'est pas valeur propre de (B.54), alors (B.47) est bien posé et sa solution peut se mettre sous la forme suivante:

$$u = \sum_{k \ge 1} \frac{q(y_k)}{\mu_k - \mu} y_k, \qquad (B.69)$$

où la série converge dans $V$.

(ii) Si $\mu$ est l'une des valeurs propres de (B.54), soit $\mu = \mu_i$, alors (B.47) admet une solution si et seulement si

$$q(y) = 0, \forall y \in S_i, \qquad (B.70)$$

où $S_i$ est le sous-espace propre associé à $\mu_i$. Dans ces conditions, les solutions de (B.47) sont de la forme

$$u = y + \sum_{k \neq i} \frac{q(y_k)}{\mu_k - \mu} y_k, \qquad (B.71)$$

où $y$ est un élément quelconque de $S_i$.

**DÉMONSTRATION.** Si $u \in V$, on a vu à la Proposition B.24 que $u = \sum_{k \ge 1} \alpha_k y_k$ avec $\sum_{k \ge 1} \mu_k |\alpha_k|^2 < +\infty$. Le fait pour $u$ d'être solution de (B.47) implique alors $(\mu_i - \mu)\alpha_i = q(y_i)$, $\forall i \ge 1$.

▷ Si $\mu \neq \mu_i$, $\forall i \ge 1$, alors on en déduit la valeur de $\alpha_i$ $\forall i$, et par conséquent l'expression (B.69).

▷ Si par contre $\mu$ est l'une des valeurs propres de (B.54) alors d'après le Théorème A.27, le problème (B.57) équivalent à (B.47), admet des solutions si et seulement si $a(Sq, y) = 0 \forall y \in S_i$, soit $q(y) = 0 \forall y \in S_i$.

▷ De plus il est clair que la formule

$$u = \sum_{k \neq i} \frac{q(y_i)}{\mu_k - \mu} y_k$$

fait de $u$ une solution de (B.47), et que les autres en diffèrent d'une solution du problème homogène, soit exactement d'un élément de $S_i$.

□
**Remarque B.28** Ce résultat constitue une généralisation du Théorème de Lax-Milgram, au sens où la forme sesquilinéaire $a(u, v) - \mu(u|v)_H$ est positive elliptique s'il existe $\alpha > 0$ tel que

$$ \mu \le \inf_{v \in V} \left\{ \frac{a(v, v)}{\|v\|_H^2} - \alpha \frac{\|v\|_V^2}{\|v\|_H^2} \right\}, \quad (B.72) $$

alors qu'en fait nous avons montré que (B.47) est bien posé dès que $\mu \notin \mathcal{V}(\mathcal{G}_V)$. Ce résultat est beaucoup plus précis car les valeurs autorisées de $\mu$ ne sont pas confinées à un disque comme pourrait le laisser penser le Théorème de Lax-Milgram. Mais de plus, en vertu de (B.66), le problème (B.47) est bien posé dès que

$$ \mu < \mu_1 = \min_{v \in V} \frac{a(v, v)}{\|v\|_H^2}, \quad (B.73) $$

ce qui constitue une amélioration de la formule (B.72).

### B.6.3 Le problème de Dirichlet

Il ne nous reste plus qu'à traduire les résultats obtenus dans le cas d'un problème pratique tel (B.45) ; ils s'appliquent sans aucune modification si on choisit de poser

$$ \begin{gathered} V = H_0^1(\mathcal{O}), \quad H = L^2(\mathcal{O}), \\ a(u, v) = \int_{\mathcal{O}} \nabla u \cdot \nabla \bar{v} \, , \text{ et} \\ q(v) = \int_{\mathcal{O}} f \, \bar{v} \, . \end{gathered} $$

### B.6.4 Le problème de Neumann

Le cas du problème de Neumann est plus instructif, soit en effet à étudier

$$ \left\{ \begin{array}{l} -\Delta u - \mu u = f \quad \text{dans } \mathcal{O}, \\ \frac{\partial u}{\partial n} = 0 \quad \text{sur } \partial \mathcal{O}, \end{array} \right. \quad (B.74) $$

posant $\mu = \tau - 1$, on en donnera la formulation variationnelle suivante:

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } u \in H^1(\mathcal{O}), \text{ tel que } \forall v \in H^1(\mathcal{O}), \\ \int_{\mathcal{O}} \nabla u \cdot \nabla \bar{v} + \int_{\mathcal{O}} u \bar{v} - \tau \int_{\mathcal{O}} u \bar{v} = \int_{\mathcal{O}} f \bar{v}. \end{array} \right. \quad (B.75) $$

On prendra donc, d'une façon qui a priori peut sembler un peu artificielle, mais qui a le mérite de rendre $a$ positive elliptique

$$ \begin{gathered} V = H^1(\mathcal{O}), \quad H = L^2(\mathcal{O}), \quad \tau = \mu + 1 \\ a(u, v) = \int_{\mathcal{O}} \nabla u \cdot \nabla \bar{v} + \int_{\mathcal{O}} u \bar{v} \, , \text{ et} \\ q(v) = \int_{\mathcal{O}} f \, \bar{v} \, . \end{gathered} $$
Il est clair que $\mu = 0$ (ou $\tau = 1$) est valeur propre de (B.75), avec pour sous-espace propre les fonctions constantes sur $\mathcal{O}$. D'après (B.70), la condition pour que (B.74) ait une solution lorsque $\mu = 0$ est la suivante:

$$ \int_{\mathcal{O}} f = 0, $$

ce qui corrobore la condition (B.41).
# Appendix C

## Le Théorème de Steinberg

Le résultat suivant, dû à Steinberg [STEINBERG-1968], montre quelles sont les propriétés de l'inverse d'une famille analytique d'opérateurs de Fredholm (perturbation compacte de l'identité). Il généralise en fait une propriété bien connue pour une fonction analytique $f$ dans un ouvert du plan complexe: si cette fonction n'est pas identiquement nulle, son inverse est méromorphe, ses pôles étant les zéros de $f$.

**Théorème C.1 (Steinberg)** Si $T(z)$ est une famille d'opérateurs compacts sur l'espace de Hilbert $H$, dépendant analytiquement de $z \in D$, où $D$ est un ouvert connexe de $C$, alors on a l'alternative suivante:

(i) ou bien $I - T(z)$ n'est inversible pour aucune valeur de $z \in D$

(ii) ou bien $(I - T(z))^{-1}$ est méromorphe dans $D$, ses pôles étant les valeurs de $z \in D$ pour lesquelles $1$ est valeur propre de $T(z)$.

### DÉMONSTRATION.

► Supposons tout d'abord $I - T(z_0)$ inversible pour un certain $z_0 \in D$, nous montrerons qu'en fait $I - T(z)$ est inversible dans un voisinage de $z_0$ : c'est dire que l'ensemble

$$ \mathcal{P} = \{z \in \mathcal{D} \mid 1 \in \sigma(T(z))\}, $$

est un fermé de $D$ (autrement dit $\mathcal{P}$ est l'intersection d'un fermé de $C$ avec $D$). Plus généralement, on montrera que si $\lambda_0 - T(z_0)$ est inversible, alors $\lambda - T(z)$ l'est également dans un voisinage de $(\lambda_0, z_0)$. Posons $S_\lambda(z) = \lambda - T(z)$; $S_\lambda(z)$ dépend continûment de $(\lambda, z)$ au voisinage de $(\lambda_0, z_0)$, et par conséquent

$$ \|S_\lambda(z) - S_{\lambda_0}(z_0)\| \le \frac{1}{2} \|S_{\lambda_0}^{-1}(z_0)\|^{-1} $$

dès que $|\lambda - \lambda_0| + |z - z_0|$ est assez petit. Il en résulte que

$$ \|(S_{\lambda_0}(z_0) - S_{\lambda}(z)) S_{\lambda_0}^{-1}(z_0)\| \le \frac{1}{2}, $$
que par conséquent

$$I - (S_{\lambda_0}(z_0) - S_{\lambda}(z)) S_{\lambda_0}^{-1}(z_0)$$

est inversible, et que son inverse s'exprime sous la forme du développement en série de Neumann:

$$\begin{aligned} \left(S_{\lambda}(z)S_{\lambda_0}^{-1}(z_0)\right)^{-1} &= \left(I - (S_{\lambda_0}(z_0) - S_{\lambda}(z))S_{\lambda_0}^{-1}(z_0)\right)^{-1} \\ &= \sum_{n \ge 0} \left((S_{\lambda_0}(z_0) - S_{\lambda}(z))S_{\lambda_0}^{-1}(z_0)\right)^n. \end{aligned}$$

$S_\lambda(z)$ est donc inversible avec

$$\begin{aligned} S_{\lambda}^{-1}(z) &= S_{\lambda_0}^{-1}(z_0) \left(I - (S_{\lambda_0}(z_0) - S_{\lambda}(z)) S_{\lambda_0}^{-1}(z_0)\right)^{-1} \\ &= S_{\lambda_0}^{-1}(z_0) \sum_{n \ge 0} \left((S_{\lambda_0}(z_0) - S_{\lambda}(z)) S_{\lambda_0}^{-1}(z_0)\right)^n. \end{aligned}$$

De plus $S_\lambda^{-1}(z)$ est analytique par rapport au couple $(\lambda, z)$ dans un voisinage de $(\lambda_0, z_0)$. Il suffit en effet de remarquer que puisque $T(z)$ dépend analytiquement de $z$, la série de Neumann ci-dessus peut se récrire comme une double série entière suivant les puissances de $(z - z_0)$ et $(\lambda - \lambda_0)$.

▷ Supposons maintenant que pour un certain $z_0 \in \mathcal{D}$, l'opérateur $I - T(z_0)$ n'est pas inversible, autrement dit 1 est valeur propre de $T(z_0)$. Cet opérateur étant compact, on peut choisir un cercle $\mathcal{C}$ centré en 1 qui ne contienne que cette valeur propre de $T(z_0)$, toutes les autres étant situées à l'extérieur de $\mathcal{C}$. Il s'ensuit que $S_\lambda(z_0)$ est inversible pour tout $\lambda \in \mathcal{C}$. D'après ce qui précède, $\mathcal{C}$ étant compact, on peut trouver un voisinage de $z_0$ dans lequel $S_\lambda^{-1}(z)$ est analytique en $(\lambda, z)$ pour tout $\lambda \in \mathcal{C}$. Dans ce voisinage de $z_0$, on peut alors définir

$$P(z) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\mathcal{C}} S_{\lambda}^{-1}(z) d\lambda$$

qui est le projecteur spectral associé à $\sigma(T(z)) \cap \text{Int}(\mathcal{C})$. Notons que la propriété d'analyticité de $S_\lambda^{-1}(z)$ nous montre que $P(z)$ est analytique en $z_0$. Posons

$$M(z) = \mathcal{R}(P(z)) \text{ et } M^c(z) = \mathcal{R}(I - P(z)).$$

En particulier $M(z_0)$ est le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 de $T(z_0)$ (il est de dimension finie puisque $T(z_0)$ est compact). $M(z)$ et $M^c(z)$ sont stables par $T(z)$ et vérifient $H = M(z) \oplus M^c(z)$; on est donc fondé à poser

$$\tilde{T}(z) = T(z)|_{M(z)}, \quad \tilde{T}^c(z) = T(z)|_{M^c(z)},$$

et on aura

$$T(z) = \tilde{T}(z)P(z) + \tilde{T}^c(z)(I - P(z))$$

ainsi que

$$\sigma(\tilde{T}(z)) = \sigma(T(z)) \cap \text{Int}(\mathcal{C}) \text{ et } \sigma(\tilde{T}^c(z)) = \sigma(T(z)) \cap \text{Ext}(\mathcal{C}).$$
▷ Définissons alors

$$U(z) = P(z_0)P(z) + (I - P(z_0))(I - P(z)),$$

nous aurons

$$\begin{aligned} \|I - U(z)\| &= \|-P(z_0)(P(z) - P(z_0)) + (P(z) - P(z_0))P(z)\| \\ &\le (\|P(z_0)\| + \|P(z)\|) \|P(z) - P(z_0)\|. \end{aligned}$$

Il résulte de l'analyticité de $P(z)$ en $z_0$ que $\|I - U(z)\| \to 0$ quand $z \to z_0$, et par conséquent que $U(z)$ est inversible dans un voisinage de $z_0$; plus précisément, on aura

$$U^{-1}(z) = \sum_{n \ge 0} (I - U(z))^n,$$

qui est encore analytique en $z_0$. Par ailleurs, il est clair que

$$U(z)P(z) = P(z_0)P(z) = P(z_0)U(z) \text{ et } U(z)(I-P(z)) = (I-P(z_0))(I-P(z)) = (I-P(z_0))U(z);$$

il en résulte que $U(z)M(z) \subset M(z_0)$ et $U(z)M^c(z) \subset M^c(z_0)$; comme $H = M(z) \oplus M^c(z)$ et que $U(z)$ est un isomorphisme de $H$, on aura en fait

$$U(z)M(z) = M(z_0) \text{ et } U(z)M^c(z) = M^c(z_0),$$

$U(z)$ étant un isomorphisme de $M(z)$ sur $M(z_0)$ et de $M^c(z)$ sur $M^c(z_0)$.

▷ Opérons alors un changement de repère et posons

$$B(z) = U(z)(I - T(z))U^{-1}(z),$$

ainsi que

$$\tilde{B}(z) = U(z)(I - \tilde{T}(z))U^{-1}(z) \text{ et } \tilde{B}^c(z) = U(z)(I - \tilde{T}^c(z))U^{-1}(z);$$

on aura

$$\tilde{B}(z) = B(z)|_{M(z_0)}, \quad \tilde{B}^c(z) = B(z)|_{M^c(z_0)}, \\ \sigma(I - T(z)) = \sigma(B(z)), \quad \sigma(I - \tilde{T}(z)) = \sigma(\tilde{B}(z)) \text{ et } \sigma(I - \tilde{T}^c(z)) = \sigma(\tilde{B}^c(z))$$

(en particulier, $\sigma(\tilde{B}(z_0)) = \{0\}$). Notons que la famille des opérateurs $\tilde{B}(z)$ opère sur le sous-espace fixe de dimension finie $M(z_0)$ et dépend holomorphiquement de $z$.

▷ Nous sommes maintenant en mesure de démontrer que l'ensemble $\mathfrak{P}$ est soit confondu avec $\mathcal{D}$, soit constitué de points isolés. Considérons en effet l'ensemble $A \subset \mathcal{D}$ formé des points limites de $\mathfrak{P}$ : c'est dire que dans tout voisinage d'un point $z_0$ de $A$, il existe un point de $\mathfrak{P}$ différent de $z_0$. Nous avons vu que $\mathfrak{P}$ est un fermé de $\mathcal{D}$, ce qui montre que $A \subset \mathfrak{P}$. En fait $A$ est également fermé car s'il existait un point de $\mathcal{D} \setminus A$ dont tous les voisinages rencontrent $A$, comme $A \subset \mathfrak{P}$, ce serait en fait un point de $A$. Démontrons par ailleurs que $A$ est un ouvert. Si $z_0 \in A$, c'est la limite d'une suite non stationnaire $z_i \in \mathfrak{P}$, $i = 1, \infty$. On aura $0 \in \sigma(I - T(z_i))$ et par conséquent $0 \in \sigma(I - \tilde{T}(z_i)) = \sigma(\tilde{B}(z_i))$; il en résulte que le déterminant $\Delta(z)$ de $\tilde{B}(z)$ s'annule aux points $z_i$, et comme $\Delta(z)$ est analytique, en vertu du principe des zéros isolés il s'annule dans un voisinage de $z_0$. On a donc démontré que 1 est valeur propre de $T(z)$ dans un voisinage de $z_0$ : l'ensemble $A$ est un ouvert. Par conséquent, $A$ est soit vide soit confondu avec $\mathcal{D}$ : les points de $\mathfrak{P}$ sont isolés dès qu'il existe $z \in \mathcal{D}$ tel que $I - T(z)$ soit inversible.
▷ Montrons maintenant que si $\mathfrak{P} \neq \mathcal{D}$ les points de $\mathfrak{P}$ sont des pôles de $(I - T(z))^{-1}$. Soit donc $z_0 \in \mathfrak{P}$; au voisinage de $z_0$, $1 \notin \sigma(\tilde{T}^c(z)) = \sigma(T(z)) \cap \text{Ext}(\mathcal{C})$, et par conséquent $\tilde{B}^c(z)$ est inversible ; il en résulte que $(\tilde{B}^c(z))^{-1}$ y est analytique, soit

$$ (\tilde{B}^c)^{-1}(z) = \sum_{n \ge 0} C_n^c (z - z_0)^n. $$

Par ailleurs, $\tilde{B}(z)$ est inversible pour $z \neq z_0$, proche de $z_0$ (puisque $z_0$ est isolé). Comme $\tilde{B}(z)$ opère sur le sous-espace de dimension finie $M(z_0)$, on peut utiliser les formules de Cramer pour le calcul des déterminants qui nous fournissent les coefficients de la matrice de $\tilde{B}^{-1}(z)$ sous forme de fractions rationnelles relativement aux coefficients de $\tilde{B}(z)$ :

$$ \tilde{B}^{-1}(z) = \left( \det \tilde{B}(z) \right)^{-1} D(z), $$

où $D(z)$ est analytique en $z_0$. Il s'ensuit que

$$ \tilde{B}^{-1}(z) = \sum_{n \ge -N} C_n (z - z_0)^n. $$

On aura alors

$$ \begin{align*} (I - T(z))^{-1} &= U^{-1}(z)B^{-1}(z)U(z) \\ &= U^{-1}(z)\tilde{B}^{-1}(z)P(z_0)U(z) + U^{-1}(z)(\tilde{B}^c)^{-1}(z)(I - P(z_0))U(z) \\ &= U^{-1}(z) \sum_{n \ge -N} C_n (z - z_0)^n P(z_0)U(z) + U^{-1}(z) \sum_{n \ge 0} C_n^c (z - z_0)^n (I - P(z_0))U(z) \\ &= \sum_{n \ge -N} B_n (z - z_0)^n, \end{align*} $$

puisque $U(z)$ et $U^{-1}(z)$ sont analytiques au voisinage de $z_0$.

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**Corollaire C.2** Dans la situation (ii) du Théorème C.1, la solution $u = u(z)$ de l'équation

$$ (I - T(z)) u = f \in H \text{ donné} $$

est une fonction méromorphe dans $\mathcal{D}$. Un pôle $z_0$ de $(I - T(z))^{-1}$ est aussi un pôle de $u(z)$ si $f \notin \mathbb{R}(I - T(z_0))$.

**DÉMONSTRATION.** Le caractère méromorphe de $u(z)$ découle évidemment du Théorème C.1. Pour la seconde assertion, montrons l'implication contraposée en supposant que pour un pôle $z_0$ de $(I - T(z))^{-1}$ et un certain $f \in H$, la solution $u(z)$ ne présente pas de pôle en $z_0$ : elle y est donc analytique. En particulier,

$$ (I - T(z_0)) u(z_0) = f, $$

soit, en appliquant le projecteur spectral $P(z_0)$ introduit plus haut, $P(z_0)f = 0$. Or avec les notations précédentes, $M^c(z_0) = \mathbb{R}(I - T(z_0)) = \mathbb{R}(I - P(z_0))$, et par conséquent, dire que $P(z_0)f = 0$ revient à dire que $f \in \mathbb{R}(I - T(z_0))$, d'où la conclusion.

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