# Réseaux (R)k-1 et groupes d'automorphismes non transitifs

Pierre Lecointe

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## To cite this version:

Pierre Lecointe. Réseaux (R)k-1 et groupes d'automorphismes non transitifs. Annales de l'ISUP, 1977, XXII (3-4), pp.43-56. hal-04080876

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RESEAUX (R)_{k-1} ET GROUPES D'AUTOMORPHISMES
NON TRANSITIFS

Pierre LECOINTE

Nous allons dégager un procédé de construc-
tion de tableaux orthogonaux d'indice unité
à partir de tableaux déjà construits en étu-
diant la structure d'incidence qui leur correspond.

I. RAPPELS ET DEFINITIONS.

1) Définition d'un réseau (R)$_{k-1}$.

Soit E un ensemble fini d'éléments désignés par des points.
Soit F un sous-ensemble d'éléments de P(E) désignés par des
plans. Soit $f$ une partition de F en N classes $F_i$ (Card $[F_i] \ge 2$,
$i \in [1,N]$). Soient q et k deux nombres entiers positifs ($2 \le k \le N$).
Le système $(E, F, f, N, k, q)$ constitue un réseau $(R)_{k-1}$ de
dimension k si l'on a :

(i) - Tout point x de E appartient à un plan y et un seul de chaque classe Fᵢ.

(ii) - h plans quelconques de h classes différentes se coupent en q^{k-h} points, si h ≤ k ou alors, si h > k soit en un point, soit en 0 point.

2) Définition d'un arrangement (T<sub>k</sub>).

Soit X un ensemble de q éléments. Soit k un entier ≥ 2. Soit
f une application de x^k dans X :

$$
(x_1, x_2, \dots, x_k) \in X^k \xrightarrow{f} Y = f(x_1, x_2, \dots, x_k) \in X
$$

possédant la propriété suivante :

∀(a₁, a₂, ..., aᵢ₋₁, aᵢ₊₁, ..., aₖ) ∈ Xᵏ₋₁, ∀ i ∈ [1, k], l'appli-
cation g(x) = f(a₁, a₂, ..., aᵢ₋₁, x, aᵢ, ..., aₖ) est une bijection
de X sur X.
44.

On définit ainsi un arrangement $(T_k')$ noté :

$$[x_1, x_2, \dots, x_k; f(x_1, \dots, x_k)] , x_i \in X \quad \forall i \in [1, k]$$

### 3) Définition des arrangements $(T_k)$ orthogonaux.

Soit une famille de h arrangements $(T_k')$ construits sur un ensemble X de q éléments :

$$[x_1, x_2, \dots, x_k; f_j(x_1, x_2, \dots, x_k)] , x_j \in X \quad \forall j \in [1, k] \ i \in [1, h]$$

On dit que ces h arrangements $(T_k')$ forment une famille d'arrangements orthogonaux si et seulement si la propriété suivante est satisfaite :

$$I \quad \left\{ \begin{array}{l} f_1(x_1, x_2, \dots, x_k) = a^1 \\ f_2(x_1, x_2, \dots, x_k) = a^2 \\ \vdots \\ f_h(x_1, x_2, \dots, x_k) = a^h \end{array} \right.$$

Tous les systèmes extraits de I à i équations et à i inconnues $(x_{t_1}, x_{t_2}, \dots, x_{t_i}) \in X^i$ cont une solution et une seule et ceci pour tout i et pour tout $a^j$, $i \in [1, 2, \dots, \min[h,k]]$ $\forall a^j \in X$, $j = 1, 2, \dots, h$, les autres $x_i$ ayant des valeurs fixées quelconques dans X.

### 4) Théorème [référence [2]]

L'existence de h arrangements $(T_k)$ orthogonaux construits sur un ensemble X de q éléments est équivalente à l'existence d'un réseau $(R)_{k-1}$ de dimension k, de q$^k$ points et de N = k+h classes de q plans parallèles (E, F, $\overline{f}$, N, k, q).

L'intérêt de ce théorème est exprimé dans le résultat suivant (référence [2] ) : l'existence d'un réseau $(R)_{k-1}$ de dimension k
de q$^k$ points et de N classes de q plans parallèles est équivalente à l'existence d'un tableau orthogonal de caractéristiques (1, N, q, k).

### 5) Automorphismes.

Soit $\Gamma$ un groupe de permutations agissant sur un ensemble $X$ de q éléments. Supposons que $\Gamma$ ne soit pas transitif sur $X$ et soient $X_1, X_2, \dots, X_s$ les classes d'équivalence de $X/\Gamma$. Supposons d'autre part que $\Gamma$ soit un groupe d'automorphismes sur le réseau $(R)_{k-1}$ défini ci-dessus et correspondant à $X$. On doit avoir pour cela :

(i) $V_{\alpha} \in \Gamma$, $V \in E$, $V y \in F$, $V F_i \in \mathcal{F}$ tels que $x \in y \in F_i$, on a : $x_{\alpha} \in y_{\alpha} \in F_i^{\alpha}$ (avec $x_{\alpha} \in E$, $y_{\alpha} \in F$, $F_i^{\alpha} \in \mathcal{F}$)

(ii) $V_{\alpha} \in \Gamma$, $\alpha$ est une bijection de $E$ sur $E$, $(\text{resp}^{\text{t}}$ de $F$ sur $F)$, $(\text{resp}^{\text{t}}$ de $\mathcal{F}$ sur $\mathcal{F}$).

En usant du théorème 4), on constate facilement que :
en désignant par $y$ le plan d'équation $\mathfrak{r}_i(x_1, x_2, \dots, x_k) = a_i^i$
de la classe $F_i$ et passant par le point $x = (x_1, x_2, \dots, x_k)$,
la propriété $x_{\alpha} \in y_{\alpha} \in F_i^{\alpha}$ $V_{\alpha} \in \Gamma$ s'écrit :

$$x^{\alpha} = (x_1^{\alpha}, x_2^{\alpha}, \dots, x_k^{\alpha}) \in [\mathfrak{r}_i(x_1^{\alpha}, x_2^{\alpha}, \dots, x_k^{\alpha})]^{\alpha} = a_i^{\alpha} \in F_i^{\alpha}$$

$$\text{soit : } x^{\alpha} \in \mathfrak{r}_i^{\alpha} [x_1^{\alpha}, x_2^{\alpha}, \dots, x_k^{\alpha}] = a_i^{\alpha} \in F_i^{\alpha}$$

En notant alors $\varphi_i$ la bijection existant entre les plans de la classe $F_i$ et les éléments de $X$, on a :

$$x \in y \in F_i \quad \Rightarrow \quad x^{\alpha} \in y^{\alpha} = [\varphi_i(a_i)]^{\alpha} = \varphi_i^{\alpha}(a_i^{\alpha}) \in F_i^{\alpha}$$

### 6) Structure quotient [référence [1]]

Nous savons que les orbites des points et des plans du réseau $(R)_{k-1}$ forment une décomposition tactique par $\Gamma$ de ce réseau $(R)_{k-1}$ étudié en tant que structure d'incidence. Nous nous proposons dans cet article d'étudier la structure quotient de $(R)_{k-1}$ par $\Gamma$.
## II. STRUCTURE QUOTIENT D'UN RESEAU (R)_{k-1}

Soit $\Gamma$ un groupe de permutations agissant sur un ensemble $X$ de $q$ éléments. Supposons que $\Gamma$ ne soit pas transitif sur $X$ et soient alors $X_1, X_2, \dots, X_s$ les $s$ classes d'équivalence de $X/\Gamma$. (La relation d'équivalence $\Gamma$ est évidemment la suivante : $(x_1, x_2) \in \Gamma \Longleftrightarrow \exists \alpha \in \Gamma \text{ avec } x_1 \prec \alpha = x_2$).

Supposons d'autre part que $\Gamma$ soit un groupe d'automorphismes sur un réseau $(R)_{k-1} = (E, F, \mathfrak{f}, N, k, q)$ correspondant à $X$. Nous nous proposons d'étudier la structure quotient de $(R)_{k-1}$ par $\Gamma$, que l'on désigne par $(R)_{k-1/\Gamma}$. Précisons que l'on a :

$$ - E/\Gamma = E_1, E_2, \dots, E_n \quad \text{avec } E_i = \{ x_i^\alpha : x_i \in E_i, \alpha \in \Gamma \} $$

$$ - F/\Gamma = F^1, F^2, \dots, F^m \quad \text{avec } F^j = \{ y_j^\alpha : y_j \in F^j, \alpha \in \Gamma \} $$

$$ - \mathfrak{f}/\Gamma = F_{I_1}, F_{I_2}, \dots, F_{I_s} \quad \text{avec } F_{I_j} = \{ F_j^\alpha : F_j \in F_{I_j}, \alpha \in \Gamma \} $$

et :

$$ - E_i \in F^j \iff \forall x \in E_i, \forall y \in F^j \quad \exists \alpha \in \Gamma \text{ tel que } x^\alpha \in y $$

$$ - F^j \in F_{I_j} \iff \forall y \in F^j, \forall F_j \in F_{I_j} \quad \exists \alpha \in \Gamma \text{ tel que } y^\alpha \in F_j $$

Soient alors les $q$ plans d'une classe quelconque $F_i$ de $(R)_{k-1}$. On sait que $F_i$ est en correspondance biunivoque avec $X$. On peut écrire : $V i \in [1,N]$, $F_i = \varphi_i(X)$ ($\varphi_i$ désignant une bijection). Si $y \in F_i$ et si $y$ correspond à l'élément $a$ de $X$, on a donc $y = \varphi_i(a)$. Alors $V \alpha \in \Gamma : y^\alpha \in F_i^\alpha$. Nous allons distinguer deux cas suivant que $F_i^\alpha = F_i$, $V i \in [1,N]$ ou que $F_i^\alpha \neq F_i$ sont possibles.

### 1er Cas

$$ V \alpha \in \Gamma, \forall i \in [1,N] : F_i^\alpha = F_i $$

$\mathfrak{f}/\Gamma$ est composée des $N$ classes $F^1, F^2, \dots, F^N$. Par ailleurs, la décomposition de $X$ en classes suivant $\Gamma$ entraîne la même
décomposition pour chaque classe de plans $F_i$, à savoir :

$$F_i/\Gamma = F_{i,j} \quad \forall j \in [1,s] \quad \text{et} \quad F_{i,j} = \varphi_i(X_j)$$

∀ i ∈ [1,N] , ∀ j ∈ [1,s]. ($\varphi_i$ désignant une bijection).

Cela signifie finalement que : ∀ y ∈ $F_i$, $y \in \Gamma$ : $y \in F_{i,j}$ , ∀ $\alpha \in \Gamma$.

Nous avons donc dans ce cas :

$$\left\{ \begin{array}{l} E/\Gamma = E_1, E_2, \dots, E_n \\ F/\Gamma = \{F_{i,j}\} \quad \forall i \in [1,N] \quad \forall j \in [1,s] \quad \text{(soient sn "plans")} \\ \mathfrak{F}/\Gamma = F^1, F^2, \dots, F^N \end{array} \right.$$

c'est à dire que chaque "classe" $F^i$ de $\mathfrak{F}/\Gamma$ est composée des plans $F_{i,j}$ , ∀ $j \in [1,s]$.

Nous supposerons dans toute la suite que $\Gamma$ possède la propriété (P) suivante :

### Propriété (P).

Soit $(X_{j_1}, X_{j_2}, \dots, X_{j_k})$ un élément quelconque de $(X/\Gamma)^k$. Soient $a = (a_1, a_2, \dots, a_k)$ et $b = (b_1, b_2, \dots, b_k)$ deux éléments quelconques de $X_{j_1} X_{j_2} \dots X_{j_k}$. Alors $[\alpha] \in \Gamma$ tel que : $b = a^\alpha$.

On a alors les résultats suivants :

### Propriété 1

$E/\Gamma$ est isomorphe à $(X/\Gamma)^k$. (Card $[E/\Gamma] = s^k$).

### Démonstration.

Soit $x \in E_1$. Soit $\forall i \in [1,k]$ $y_i$ le plan de $F_i$ passant par $x$ : $x \in y_i \in F_i$. On a $\forall \alpha \in \Gamma : x^\alpha \in y_i^\alpha \in F_i^\alpha = F_i$. Supposons que $y_i$ corresponde à l'élément $a_i$ de $X_{j_i}$. On a alors :

$$y_i \in F_{i,j_i} = \varphi_i(X_{j_i}). \text{ En résumé : } x \in y_i \in F_{i,j_i} = \varphi_i(X_{j_i}).$$
48.

D'autre part, $y_i^\alpha$ correspondant à $a_i^\alpha$ de $X_{j_i}$, on a également :
$x^\alpha \in y_i^\alpha \in F_i, j_i = \varphi_i(x_{j_i})$. On met donc ici $x^\alpha$ en correspondance avec $(a_1^\alpha, a_2^\alpha, ..., a_k^\alpha)$ élément de $X_{j_1} X_{j_2} ... X_{j_k}$.
Cette correspondance est une application. En effet, si $x = x^\alpha$, $y_i = y_i^\alpha \forall i \in [1,k]$ ($y_i$ et $y_i^\alpha$ sont parallèles puisque $F_i^\alpha = F_i$ ; s'ils passent tous deux par $x$, ils sont confondus). Nous avons donc une application de $E_1$ dans $X_{j_1} X_{j_2} ... X_{j_k}$. On en déduit que l'on peut mettre en relation chaque élément de $E_1$ avec $(X_1)^k$. Il reste à montrer que cette relation est une application bijective. Tout d'abord, c'est une application puisque l'on a défini une application de $E_1$ dans $X_{j_1} X_{j_2} ... X_{j_k}$ et que ceci peut être répété pour tout élément de $E_1$. D'autre part, cette application est surjective :
en effet : $\forall (a'_1, a'_2, ..., a'_k) \in X_{j_1} X_{j_2} ... X_{j_k}$ on a :
$\varphi_i(a'_i) = y'_i (y'_i \in F_i, j'_i)$ et $y'_1 y'_2 ... y'_k$ définissent un point $x'$ et un seul de $E$. Utilisons alors la propriété (P). On sait qu'il existe $\alpha \in \Gamma$ tel que $a'_i = a_i^\alpha \forall i$ ; d'où $y'_i = y_i^\alpha$ et finalement $x' = x^\alpha$. En résumé $x' \in E_1$.

Il est d'autre part, bien évident que l'application est injective.
Effectivement, si $E_1 \neq E_2$ la construction ci-dessus fait correspondre à ces deux éléments de $E_1$ des éléments différents de $(X_1)^k$.

### Propriété 2

Supposons que les $k$ classes $F_1, F_2, ..., F_k$ servent à caractériser l'isomorphisme de la propriété 1, alors, chacune des $N-k$ classes de plans restant correspond à un arrangement $(T_k)$. En outre, elles constituent dans leur ensemble $N-k$ arrangements $(T_k)$ orthogonaux.

### Démonstration.

a) Soit $x \in E_1$ isomorphe à $X_{j_1} X_{j_2} ... X_{j_k}$. Soit $F_i$ une classe de plans quelconque avec $i > k$. Soit $y_i$ le plan de $F_i$ passant par $x$. Soit $a_\lambda \in X_\lambda$ la valeur de $X$ correspondant à $y_i$. On a :

$\forall \alpha \in \Gamma : x^\alpha \in y_i^\alpha \in F_i, \lambda = \varphi_i(x_\lambda)$. Faisons alors correspondre à $X_{j_1} X_{j_2} ... X_{j_k}, X_\lambda$ soit :

$$f_i(x_{j_1} x_{j_2} \dots x_{j_k}) = x_\lambda \quad (1) \quad \forall i > k.$$
On définit ainsi N-k arrangements $(T_k)$. En effet, tout à abord
(1) est une application à savoir que $X_\lambda$ dépend de $i$ (classe
choisie) et de $X_{j_1} X_{j_2} \cdots X_{j_k}$ et est ainsi parfaitement définie
$\forall \alpha \in \Gamma$, $x^\alpha \in X_{j_1} X_{j_2} \cdots X_{j_k}$, $x^\alpha \in \mathbb{Y}_{i_1} \mathbb{Y}_{i_2} \cdots \mathbb{Y}_{i_k} \in F_i$, $\lambda = \varphi_i(X_\lambda)$.

b) Soit $x \in X_{j_1} X_{j_2} \cdots X_{j_k}$ et $x' \in X_{j'_1} X_{j'_2} \cdots X_{j'_k}$ (avec $j_1 \neq j'_1$). Supposons par l'absurde que les plans $y_i$ et $y'_i$ de $F_i$ passant respectivement par $x$ et $x'$ appartiennent à une même classe $F_{i, \lambda'}$. Nous pouvons alors définir $x$ ($\text{resp}^t x'$) comme l'intersection des plans $(y_2 y_3 \cdots y_k y_i)$ ($\text{resp}^t y'_2 y'_3 \cdots y'_k y'_i$) appartehant aux mêmes classes $F_{2,j_2} \cdots F_{k,j_k}$, $F_{i, \lambda'}$. Mais alors en vertu de la propriété (P) $\exists \alpha \in \Gamma$ tel que : $(y'_2 \cdots y'_i) = (y_2 \cdots y_k y_i)^\alpha$, c'est à dire : $x' = x^\alpha$. Donc $x$ et $x'$ sont dans une même classe, ce qui est contraire à l'hypothèse. (Ceci est valable $\forall i > k$).

On a donc bien défini des arrangements $(T_k)$ en nombre N-k.

c) On peut répéter le même type de raisonnement pour montrer que
les arrangements définis ci-dessus sont orthogonaux. En effet,
soient $i_1 i_2 \dots i_t > k$ et les classes $F_{i_1} F_{i_2} \dots F_{it}$.

Soit $x \in X_{j_1} X_{j_2} \cdots X_{j_t} X_{j_{t+1}} \cdots X_{j_k}$
et $x' \in X_{j'_1} X_{j'_2} \cdots X_{j'_t} X_{j_{t+1}} \cdots X_{j_k}$
(avec $j_1 \neq j'_1$, $j_2 \neq j'_2$, $\dots$, $j_t \neq j'_t$).

Soient $y_{t+1} \cdots y_k y_{i_1} y_{i_2} \cdots y_{it}$ les plans de $F_{t+1} \cdots F_k F_{i_1} \cdots F_{it}$ passant par $x$. De même, soient $y'_{t+1} \cdots y'_k y'_i y'_2 \cdots y'_it$ les plans des classes $F_{t+1} \cdots F_k F_{i_1} \cdots F_{it}$ passant par $x'$. Supposons que ces plans appartiennent tous aux mêmes sous-classes $F_{t+1,j_{t+1}} \cdots F_{k,j_k} F_{i_1,j_1} \cdots F_{it,j_{it}}$.

En vertu de la propriété (P) $\exists \alpha \in \Gamma$ tel que :
$(y'_{t+1} \cdots y'_{it}) = (y_{t+1} \cdots y_{it})^\alpha$. Donc $x' = x^\alpha$, ce qui est contraire à l'hypothèse.
En résumé, on peut énoncer le résultat suivant :

### -THEOREME 1-

Soit un réseau $(R)_{k-1} = (E, F, \mathfrak{f}, N, q, k)$ admettant un groupe d'automorphismes $\Gamma$ non transitif possédant la propriété $(P)$ sur $X$ et tel que : $\forall \alpha \in \Gamma, \forall i \in [1,N]$
$\forall F_i \in \mathfrak{f} : F_i^\alpha = F_i$. La structure d'incidence quotient $(R)_{k-1/\Gamma} = \{E_\Gamma, F_\Gamma, \mathfrak{f}_\Gamma, N, s, k\}$ est un réseau $(R)_{k-1}$.

### 2ème Cas

Cas général : $F_i^\alpha = F_i$ ou bien $F_i^{\alpha \neq \alpha} = F_i$

Dans ce cas $\mathfrak{f}/\Gamma = F_{I_1}, F_{I_2}, \dots, F_{I_{s_1}}$ avec :

$$ \mathrm{Card} [F_{I_j}] = i_j \quad \text{et} \quad \sum_{j=1}^{s_1} i_j = N. $$

Nous supposerons dans toute cette partie que $s_1 \ge k$.

Tout d'abord, tout se passe comme si $[1,N]$ avait été décomposé par $\Gamma$ en $s_1$ classes $I_1, I_2, \dots, I_{s_1}$. On a alors :

$$ - E/\Gamma = E_1, E_2, \dots, E_n. $$

$$ - F/\Gamma = F_{I_i, j} \quad \forall i \in [1, s_1] \quad \forall j \in [1, s] \quad (\text{soient } s_1 \text{ plans}) $$

$$ - \mathfrak{f}/\Gamma = F_{I_i} \quad \forall i \in [1, s_1] \quad (\text{soient } s_1 \text{ classes de s plans}) $$

En effet, soit y un plan de la classe $F_i$ ; On a $y^\alpha \in F_i^\alpha$. Soit $F_{I_i}$ la classe à laquelle appartiennent $F_i$ et $F_i^\alpha$ et supposons que y corresponde à l'élément a de $X_{j_i}$. Alors $y^\alpha$ correspond à $a^\alpha$ de $X_{j_i}$.
Autrement dit : $\forall \alpha \in \Gamma, y^\alpha \in F_{I_i, j_i}$. ($y^\alpha \in F_i^{\alpha \neq \alpha}, j_i \in F_{I_i, j_i}$).

Comme d'autre part, on sait que : $F_i = \varphi_i(X)$, on peut écrire :
$\forall \alpha \in \Gamma, F_i^\alpha, j_i = \varphi_{i\alpha}(X_{j_i})$ soit en résumé :

$$ F_{I_i, j_i} = \varphi_{I_i}(X_{j_i}) $$
ce qui signifie que le plan $F_{I_i, j_i}$ est en correspondance
biunivoque avec $X_{j_i}$. En effet, soit $\Gamma F_i$ le stabilisateur
de $F_i$ dans $\Gamma$. On a :

$$
\Gamma = \bigcup_{h \in I_i} \Gamma F_i^{\alpha_h}
$$

pour la décomposition de Γ suivant ΓFᵢ.

Il lui correspond la partition suivante de $X_{j_i}$ :

$$
X_{j_i} = \bigcup_{h \in I_i} X_{j_i}^h
$$

c'est à dire : si $\alpha_1$ et $\alpha_2 \in \Gamma F_i \alpha_h$ , alors :

$$
[ \varphi_i(a_i) ]^{\alpha_1} = \varphi_h [ a_i^{\alpha_1} ]
$$

$$
[ \psi_i ( a_i ) ]^{\alpha_2} = \psi_h [ a_i^{\alpha_2} ]
$$

$y_i \alpha_1$ et $y_i \alpha_2 \in F_h$ avec $a_i \alpha_1$ et $a_i \alpha_2 \in X_{j_i}^h$

$$
\text{avec :} \qquad F_{h,j_i} = \varphi_h [X_{j_i}^h] , \quad \forall h \in I_i
$$

et finalement :

$$
F_{I_i, j_i} = \varphi_{I_i} (X_{j_i}).
$$

Dans ces conditions, soit a élément de $X_{j_i}$ appartenant à $X_{j_i}^h$ ;
il lui correspond le plan $y = \varphi_h(a)$ appartenant à la classe
$F_h$ et inversement.

Nous allons démontrer maintenant les résultats suivants (avec
$s_1 > k$ et, rappelons-le, la propriété (P)).

Propriété 3.

$E /_{\Gamma}$ est isomorphe à $(X /_{\Gamma})^k$ (Card $E /_{\Gamma}$ = $s^k$).
52.

Démonstration.

Faisons le choix de $F_1, F_2, ..., F_k$ dans $F_{I_1} F_{I_2} ... F_{I_k}$
(pour les autres démonstrations, on fixera de la même façon
une classe $F_j$ dans chaque $F_{I_j}, \forall j > k$).

Choisissons également de façon arbitraire un point $x_i$ dans
e chaque classe $E_i$.

Soit alors $E_1$ et $x_1 \in E_1$. $\forall i \in [1,k]$ soit $y_i$ le plan de $F_i$ passant par $x_1$. On a $y_i \in \Gamma : x_1 \in y_i \in F_i \in F_{I_i}$.
(Remarquons tout de suite que maintenant $x_1$ peut être confon-
du avec $x_1$ sans qu'il en soit de même pour $y_i$).

Supposons que $y_i$ corresponde à l'élément $a_i$ de $X_{j_i}$ ($\forall i \in [1,k]$),
c'est à dire : $y_i = \varphi_i(a_i) \in F_{i,j_i} = \varphi_i(X_{j_i})$.

On sait que $y_i \alpha, \forall \alpha \in \Gamma$ correspond à $a_i \alpha$ de $X_{j_i}$ ; plus préci-
sément, $x_1 \alpha \in y_i \alpha \in F_i \alpha$ ; $j_i = \varphi_{i\alpha}(X_{j_i})$.

On met ainsi $x_1 \alpha$ en correspondance avec $(a_1 \alpha, a_2 \alpha, ..., a_{n_1 \alpha})$
de $X_{j_1}, X_{j_2}, ..., X_{j_k}$. C'est à dire que l'on fait correspondre à $E_1$
l'élément $X_{j_1}, X_{j_2}, ..., X_{j_k}$ de $(X/\Gamma)^k$.

Il s'agit de montrer que cette correspondance entre $E/\Gamma$ et $(X/\Gamma)^k$
est une bijection.

- Du moment où $y_i$ correspond à $a_i$ de $X_{j_i}$, $y_i \alpha$ correspond à
un élément de $X_{j_i}$ : $\forall i \in [1,k]$ et $x_1 \alpha$ correspondra à un élément
(ou plusieurs) de $X_{j_1}, X_{j_2}, ..., X_{j_k}$. On a donc bien une application.

- C'est une surjection. En effet, soit $X_{j_1}, X_{j_2}, ... X_{j_k}$ un élément quelconque de $(X/\Gamma)^k$ et soit : $F_{I_i}, j_i = \varphi_{I_i}(X_{j_i})$ et ceci $\forall i \in [1,k]$.
Soit $(a'_1, a'_2, ..., a'_k)$ un élément quelconque de $X_{j_1}, X_{j_2}, ... X_{j_k}$.
A $a'_i(\forall i)$ de $X_{j_i}$ correspond un plan $y'_i$ de $F_{I_i}, j_i$.
En vertu de la propriété (P), il existe $\alpha \in \Gamma$ tel que $a'_i = a_i^\alpha$
$\forall \alpha$ et à $a_i$ correspond $y_i$ $\forall i$.

On a donc $y'_i = y_i^\alpha$ et $x'_1$ intersection de $y'_i$ est lié
à $x_1$ par $x'_1 = x_1^\alpha$.

- Nous avons enfin défini une injection. Soit en effet $x'_2$ un
point quelconque de $E_2$ avec $E_2 \neq E_1$. Il existe $\alpha \in \Gamma$ tel que
$x'_2 = x_2$, $x_2$ désignant le point arbitrairement choisi dans $E_2$.
Soient alors $y'_1, y'_2, \dots, y'_k$ les plans de $F_1, F_2, \dots, F_k$ passant
par $x_2$. Supposons par l'absurde que $y'_i$ corresponde à $a'_i$ de $X_{ji}$
$\forall i$. En vertu de la propriété (P), $a'_i = a_i^\alpha$. D'où $y'_i = y_i^\alpha$
$\forall \alpha$ et finalement $x_2 = x_1^\alpha$ ; ce qui est contraire à l'hypothèse.

Propriété 4.

Supposons que $k$ classes $F_1, F_2, \dots, F_{I_k}$
servent à caractériser l'isomorphisme
de la propriété 3 ; alors chacune des
$s_1$-k classes restantes correspond à un
arrangement $(T_k)$. En outre, elles cons-
tituent dans leur ensemble $s_1$-arrange-
ments $(T_k)$ orthogonaux.

Démonstration.

∀ i > k, soit la classe F_i de F_{I_i}. Soit y_i le plan de F_i passant
par le point x_1 de X_{j_1}, X_{j_2}, ..., X_{j_k}. Soit a_λ la valeur de X
correspondant à y_i. Plus précisément, supposons que a_λ ∈ X_λ.
Dans ces conditions : ∀ α ∈ Γ : x_1^α ∈ y_i^α ∈ F_i^α, λ = φ_{i_α}^*(X_λ)
(a_λ^α ∈ X_λ). On met donc ainsi X_λ en correspondance avec
X_{j_1}, X_{j_2}, ..., X_{j_k}. Cette correspondance est une application puis-
que X_λ est déterminé par le point x_1 de X_{j_1}, X_{j_2}, ..., X_{j_k} et par
l'indice i de I_i, c'est-à-dire par X_{j_1}, X_{j_2}, ..., X_{j_k} et I_i. On
peut donc poser :

$$
f_{I_i}(X_{j_1} X_{j_2} \dots X_{j_k}) = X_{\lambda} \quad \forall i > k
$$
Nous allons montrer qu'ainsi sont définis $(s_1)_k$ arrangements $(T_k)$ orthogonaux.

a) Effectivement, voyons tout d'abord que l'on a obtenu des arrangements $(T_k)$. En effet, soit $x_1 \in X_{j_1} X_{j_2} \dots X_{j_k} = E_1$ et $x'_1 \in X_{j'_1} X_{j'_2} \dots X_{j'_k} = E_2$. Tout d'abord, il existe $\alpha$ tel que $x'_1 = x_2^\alpha$. Remplaçons donc $x'_1$ par $x_2$. Soient alors $(y_2, y_3, \dots, y_k, y_i)$ et $(y'_2, y'_3, \dots, y'_k, y'_i)$ les plans de $F_2 F_3 \dots F_k F_i$ passant respectivement par $x_1$ et $x_2$.

Supposons par l'absurde que $y_i$ et $y'_i$ correspondent à $a_i$ et $a'_i$ de la même classe $X_\lambda$. D'où les valeurs $(a_2 a_3 \dots a_k a'_i)$ et $(a'_2 \dots a'_k a'_i)$ de $X_{j_2} \dots X_{j_k} X_\lambda$. En vertu de la propriété (P), il existe $\alpha \in \Gamma$ tel que $a'_h = a_h^\alpha$ ($\forall h \in [2 \dots k, i]$). D'où $y'_h = y_h^\alpha$ ($\forall h$) et $x_2 = x_1^\alpha$, ce qui infirme l'hypothèse $x_2 \in E_2 \neq E_1$.

On a donc bien des arrangements $(T_k)$.

b) Soit maintenant $I_{i_1} I_{i_2} \dots I_{i_t}$ et soient $F_{i_1} F_{i_2} \dots F_{i_t}$ les classes choisies arbitrairement dans $F_{I_1} F_{I_2} \dots F_{I_t}$. Soit $x_1 \in E_1 = X_{j_1} X_{j_2} \dots X_{j_k}$ et $x'_1 \in E'_1 = X'_{j'_1} X'_{j'_2} \dots X'_{j'_t} X'_{j_{t+1}} \dots X'_{j_k}$ avec $j_1 \neq j'_1 \dots j_t \neq j'_t$.

$\exists^\alpha \in \Gamma$ tel que $x_i = x'_1^\alpha$. Intéressons-nous à $x_1$ et $x_i$. Soient $(y_{t+1} \dots y_k y_{i_1} y_{i_2} \dots y_{i_t})$ et $(y'_{t+1} y'_{t+2} \dots y'_k y'_i \dots y'_{i_t})$ les plans de $F_{t+1} \dots F_k F_{i_1} \dots F_{i_t}$ passant respectivement par $x_1$ et $x_2$.

Supposons alors par l'absurde que $y_{i_j}$ et $y'_{i_j}$ $\forall j \in [1,t]$ correspondent à $a_{i_j}$ et $a'_{i_j} \forall j \in [1,t]$ des mêmes classes $X_{\lambda_1} X_{\lambda_2} \dots X_{\lambda_t}$.

D'où les valeurs $(a_{t+1} \dots a_k a_{i_1} \dots a_{i_t})$ et $a'_{t+1} \dots a'_k a'_{i_1} \dots a'_t$ de $(X_{j_t} \dots X_{j_k} X_{\lambda_1} \dots X_{\lambda_t})$. En vertu de la propriété (P), il existe $\alpha \in \Gamma$ tel que $a'_h = a_h^\alpha \forall h \in (t+1 \dots k i_1 \dots i_t)$. D'où : $y'_h = y_h^\alpha$ ($\forall h$) et $x_i = x_1^\alpha$. Ce qui infirme l'hypothèse suivant laquelle $E_i \neq E_1$. On a donc bien des arrangements $(T_k)$ orthogonaux.
En résumé, nous pouvons énoncer le résultat suivant :

### -THEOREME 2-

Soit un réseau $(R)_{k-1} = (E, F, \mathfrak{f}, N, q, k)$ admettant un groupe d'automorphismes $\Gamma$ non transitif, possédant la propriété (P). La structure d'incidence quotient $(R)_{k-1/\Gamma} = \{ E/\Gamma, F/\Gamma, \mathfrak{f}/\Gamma, S_1, S, K \}$ avec $(S_1 > K)$ est un réseau $(R)_{k-1}$.

## I. APPLICATIONS.

### 1) Constructions de tableaux orthogonaux.

A partir d'un tableau d'indice unité, on pourra par application des théorèmes 1 et 2 déduire de nouveaux tableaux orthogonaux d'indice unité.

### 2) Construction de plans en blocs incomplets partiellement équilibrés. (PBIBD)

Il est facile de constater que la structure d'incidence duale (référence [1]) d'un réseau $(R)_{k-1}$ constitue un PBIBD : les points sont assimilés aux blocs, les plans aux variétés. D'autre part, deux variétés sont $\lambda_0$-associées si les plans correspondants sont parallèles ; deux variétés sont $\lambda_1$-associées si les plans correspondants se coupent :

D'où :

$$ egin{cases} v = qN, k = N, b = q^k, r = q^{k-1}, \lambda_0 = 0, \lambda_1 = q^{k-2} \\ n_0 = q-1, n_1 = (N-1)q. \\ p_{00}^0 = q-2, p_{10}^0 = p_{01}^0 = p_{00}^1 = 0, p_{11}^0 = (N-1)q \\ p_{01}^1 = p_{10}^1 = q-1, p_{11}^1 = (N-2)q. \end{cases} $$

On pourra donc associer des familles de PBIBD à chaque tableau orthogonal construit en 1).
REFERENCES.

[1] Dembowski. Finite Geometries (1970).

[2] Lecointe. Thèse (1970).

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Reçu en Juillet 1974

Pierre LECOINTE
30, Rue Desaix
75015 PARIS