a) Dans le cas d'une rotation d'un angle $\beta = 0.02$ radian autour de l'axe $P\vec{z}$, quel est le déplacement du point M ? Nous vous suggérons de faire un dessin avec un point de vue situé sur l'axe $P\vec{z}$.

b) Dans le cas d'une déformation de cisaillement tel que le plan $(M, \vec{z}, \vec{x})$ glisse dans la direction $\vec{z}$ et que $\vec{y}$ tourne d'un angle $\gamma = 0.05$ radian, quel est le déplacement du point M ? Nous vous suggérons de faire un dessin avec un point de vue situé sur l'axe $P\vec{x}$.

## brevet 305 : Déformation d'un volume élémentaire représentatif

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution.

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit dans une base directe orthonormée $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$, et un parrallélépipède élémentaire de dimensions $(dx = 0.01, dy = 0.02, dz = 0.03)$ en m, avec les points P et M de coordonnées respectives (0,0,0) et $(dx, dy, dz)$.

a) Dans le cas d'une rotation d'un angle $\beta = 0.02$ radian autour de l'axe $P\vec{z}$, quel est le tenseur des déformations de ce volume élémentaire ?

b) Dans le cas d'une déformation de cisaillement tel que le plan $(M, \vec{z}, \vec{x})$ glisse dans la direction $\vec{z}$ et que $\vec{y}$ tourne d'un angle $\gamma = 0.05$ radian, quel est le tenseur des déformations de ce volume élémentaire ?

## brevet 306 : calcul d'un vecteur déformation

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution.

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des déformations tel que,

$$ \bar{\bar{\epsilon}} = 10^{-6} \begin{bmatrix} 30 & 0 & 100 \\ 0 & 200 & 0 \\ 100 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \otimes (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})} . \qquad (1.51) $$

Quel est le vecteur déformation $\bar{\bar{\epsilon}}(P, \vec{n})$ pour une facette dont la normale est parallèle au vecteur $\vec{n}' = 1\vec{x} + 1\vec{y} + 1\vec{z}$ ?

## brevet 307 : déformation mesurée par une jauge de déformation

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution.

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.
Soit un tenseur des déformations tel que,

$$ \bar{\epsilon} = 10^{-6} \begin{bmatrix} 30 & 0 & 100 \\ 0 & 200 & 0 \\ 100 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})} . \qquad (1.52) $$

Quel est la déformation $\epsilon_{nn}$ qui peut être mesurée par une jauge de déformation collée dans une direction parallèle au vecteur $\vec{n}' = 1\vec{x} + 1\vec{y} + 1\vec{z}$ ? (la déformation $\epsilon_{nn}$ est notée $\epsilon_e$ dans le polycopié de cours de E. Ringot).

## brevet 308 : déformations principales

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des déformations tel que,

$$ \bar{\epsilon} = 10^{-6} \begin{bmatrix} 30 & 0 & 100 \\ 0 & 200 & 0 \\ 100 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})} . \qquad (1.53) $$

Quel sont les trois valeurs de déformations principales $\epsilon_{11}$, $\epsilon_{22}$ et $\epsilon_{33}$ ?

## brevet 309 : directions principales de déformations

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des déformations tel que,

$$ \bar{\epsilon} = 10^{-6} \begin{bmatrix} 30 & 0 & 100 \\ 0 & 200 & 0 \\ 100 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})} . \qquad (1.54) $$

Quel sont les trois directions principales de déformations associées aux valeurs $\epsilon_{11}$, $\epsilon_{22}$ et $\epsilon_{33}$ trouvées au brevet 308 ?

## brevet 310 : tenseur de taux de déformation et de taux de rotation

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Mécanique", cours de LPIAV ; autoattribution .

Soit dans l'espace tridimensionnel un écoulement dont le champs de vitesse est donné en tout point P de coordonnées $x$, $y$ et $z$ en mètres, par $\vec{v}_P = a \left( \left(1 + 2\frac{xy}{l^2}\right) \vec{x} + \left(\frac{z^2}{l^2}\right) \vec{y} + \left(\frac{\sqrt{x}y}{l^{3/2}} + 3\frac{\tilde{z}}{l}\right) \vec{z} \right)$, avec $l = 1$ m une longueur de référence du problème et $a = 1$ m/s une vitesse de référence.
Quel sont les tenseurs de taux de déformation $\bar{\bar{\epsilon}}$ et de taux de rotation $\bar{\bar{\Omega}}$ au point M de coordonnées (1,1,0) en mètre?

brevet 311 : rotationnel d'un écoulement

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Mécanique", cours de LPIAV ; autoattribution .

Soit dans l'espace tridimensionel un écoulement dont le champs de vitesse est donné en tout point P de coordonnées x, y et z en mètres, par $\vec{v}_P = a \left( \left(1 + 2\frac{xy}{l^2}\right) \vec{x} + \left(\frac{z^2}{l^2}\right) \vec{y} + \left(\frac{\sqrt{x}y}{l^{3/2}} + 3\frac{z}{l}\right) \vec{z} \right)$, avec $l = 1$ m une longueur de référence du problème et $a = 1$ m/s une vitesse de référence.

Quel est le rotationnel $\vec{rotv}$ au point M de coordonnées (1,1,0) en mètre?

brevet 312 : calcul du tenseur des déformations à partir de la mesure de trois jauges de déformation.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

En un point P, situé à la surface d'une pièce qui est non chargée sur sa surface au point P (l'action de l'air est négligeable par rapport aux chargements en d'autres points de la pièce), sont collées trois jauges de déformations dans les directions $\vec{a} = \vec{x}$, $\vec{b} = \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{x} + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{y}$ et $\vec{c} = \vec{y}$. Les déformations mesurées par ces trois jauges sont $\epsilon_{aa} = 30 \times 10^{-6}$, $\epsilon_{bb} = 50 \times 10^{-6}$, $\epsilon_{cc} = 50 \times 10^{-6}$.

Quel est le tenseur des déformations

$$ \bar{\bar{\epsilon}} = \begin{bmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz} \end{bmatrix} \quad (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \otimes (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \quad (1.55) $$

en ce point P ?

brevet 313 : contrainte normale maximale

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Mécanique", cours de LPIAV ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des contraintes tel que,

$$ \bar{\bar{\sigma}} = \begin{bmatrix} 0 & 50 & 0 \\ 50 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad 10^6 \text{ Pa.} \quad (1.56) $$

Quelle est la normale $\vec{n}$ telle que la contrainte $\sigma_{nn}$ soit maximale ?
brevet 314 : Dilatation volumique d'un volume élémentaire représentatif

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ;
élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit dans une base directe orthonormée $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$, et un parrallélépipède élémentaire de dimensions $(dx = 0.01, dy = 0.02, dz = 0.03)$ en m, avec les points P et M de coordonnées respectives (0,0,0) et $(dx, dy, dz)$.

a) Dans le cas d'une rotation d'un angle $\beta = 0.02$ radian autour de l'axe $P\vec{z}$, quelle est la dilatation volumique de ce volume élémentaire ?

b) Dans le cas d'une déformation de cisaillement tel que le plan $(M, \vec{z}, \vec{x})$ glisse dans la direction $\vec{z}$ et que $\vec{y}$ tourne d'un angle $\gamma = 0.05$ radian, quelle est la dilatation volumique de ce volume élémentaire ?

brevet 315 : Invariant d'un tenseur des déformations

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ;
élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des déformations tel que,

$$
\bar{\epsilon} = 10^{-6} \begin{bmatrix} -86.1 & 0 & 0 \\ 0 & 116.1 & 0 \\ 0 & 0 & 200 \end{bmatrix}_{(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) \otimes (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)} . \qquad (1.57)
$$

Quelles sont les valeurs des trois invariants de ce tenseur des déformations ?

brevet 316 : Cercle de MOHR associé à un état de déformations

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ;
élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des déformations tel que,

$$
\bar{\epsilon} = 10^{-6} \begin{bmatrix} -86.1 & 0 & 0 \\ 0 & 116.1 & 0 \\ 0 & 0 & 200 \end{bmatrix}_{(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) \otimes (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)} . \qquad (1.58)
$$

Tracez le demi-cercle de MORH lorsque le vecteur normal à la facette tourne

• de la direction principale $\vec{e}_1$ à la direction principale $\vec{e}_2$,

• de la direction principale $\vec{e}_2$ à la direction principale $-\vec{e}_1$.
brevet 317 : Tricercle de MOHR associé à un état de déformations

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ;
élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des déformations tel que,

$$
\bar{\epsilon} = 10^{-6} \begin{bmatrix} -86.1 & 0 & 0 \\ 0 & 116.1 & 0 \\ 0 & 0 & 200 \end{bmatrix}_{(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) \otimes (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)} . \qquad (1.59)
$$

Hachurez la zone qui peut être parcourue dans le plan de MORH par l'extrémité du vecteur déformation,
lorsque le vecteur normal à la facette décrit toutes les directions de l'espace ?

brevet 318 : Montage 1/4 de pont et 1/2 pont pour mesurer les déformations

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ;
élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Soit un tenseur des déformations dû à une sollicitation tel que,

$$
\bar{\mathfrak{q}} = 10^{-6} \begin{bmatrix} -86.1 & 0 & 0 \\ 0 & 116.1 & 0 \\ 0 & 0 & 200 \end{bmatrix}_{(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) \otimes (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)} , \qquad (1.60)
$$

auquel est ajouté un tenseur des déformations dû à une variation de température $\Delta T = 32$ K :

$$
\bar{\mathfrak{q}} = \alpha \Delta T \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}_{(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) \otimes (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)} . \qquad (1.61)
$$

Le coefficient de ditatation de l'acier est $\alpha = 12.0 \ 10^{-6} \text{ K}^{-1}$.

Une première jauge de facteur de Juage $J = 2,0$ est placée dans la direction principale $\vec{e}_1$ sur la pièce
qui subit la sollicitation et la température. Une seconde jauge de même facteur de jauge est placée sur
une pièce qui subit la même variation de température, mais qui n'est pas sollicitée.

Quels sont les ratios de tension $\frac{V_{out}}{V_{in}}$ dans le cas d'un montage 1/4 de pont, et d'un montage 1/2 pont ?

brevet 319 : Dérivées lagrangienne et eulérienne.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ;
élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Soit un écoulement permanent d'un fluide incompressible dans une canalisation de diamètre $d(x)$. Le diamètre est :

• pour $x < 0$ m, $d(x) = 0.10$ m,

• pour $0 < x < 10$ m, $d(x) = 0.10 + (0.20 - 0.10) \frac{x}{10}$ m,

• pour $10 < x$ m, $d(x) = 0.20$ m.
On considèrera que la vitesse dans chaque section est constante et que les vitesses dans la direction radiale sont négligeable devant celles axiales. Le débit est de 0.001 m³/s.

Quelle est l'accélération lagrangienne $\vec{\Gamma}$ d'une particule à la coordonnée $x = 2.0 \text{ m}$ ?

brevet 320 : Principe d'action et de réaction.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Jean-Michel tombe en panne avec sa voiture de 1200 kg dans la dernière cote à 5% qui mène chez lui. Il décide de tenter de ramener sa voiture jusque devant sa maison au sommet de la colline. On notera $\vec{x}$ le vecteur unitaire parrallèle à la pente dans le sens de la montée.

Il desserre le frein à main, se positionne derrière la voiture et la pousse. Il arrive juste à ce qu'elle ne recule pas, mais n'arrive pas à la faire avancer. Quelle force $\vec{F}_{mv}$ exercent ses 2 mains sur la voiture ? Quelle force $\vec{F}_{vm}$ exercent la voiture sur ces deux mains ?

"Je suis un peu prétentieux", déclare-t-il.

Il sort donc de son coffre une corde de 3 kg, l'attache à l'avant de la voiture, va chercher sa mûle Amulette de masse 470 kg (Fig. 1.28), l'attache à l'autre extrémité de la corde. Jean-Michel desserre le frein à main, la mûle tire, la voiture n'avance pas. Quelle force $\vec{F}_{ac}$ exerce la mûle sur la corde ? Quelle force $\vec{F}_{vc}$ exerce la voiture sur la corde ? La corde casse brutalement à 1/3 de la longueur du coté de la voiture. Juste avant la rupture, qu'elle force $\vec{F}_{c1}$ exercait la partie de corde attachée à la mûle sur la partie de corde attachée à la voiture ? Qu'elle force $\vec{F}_{c2}$ exercait la partie de corde attachée à la voiture sur la partie de corde attachée à la mûle ?

Après avoir sauté dans la voiture, tiré le frein à main, récupéré Amulette dans le verger à coté car les pommes sont excellentes (le goût uniquement... car traitées 12 fois au cours de la saison), Jean-Michel installe un câble en acier entre la mule et la voiture, desserre le frein à main, la mule tire. L'ensemble voiture-corde-mule prend de la vitesse. L'accélération est $\vec{a} = 0.54 \text{ m.s}^{-2}$. Au milieu de la corde, quelle force $\vec{F}_{c3}$ exerce la partie avant de la corde sur la partie arrière de la corde ? Quelle force $\vec{F}_{c4}$ exerce la partie arrière de la corde sur la partie avant de la corde ?

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Figure 1.28: Amulette équipée de son bat de traction.</figcaption></figure>
brevet 321 : Vecteur contrainte.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ;
élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un solide élastique en acier (masse volumique $\rho = 7800 \text{ kg.m}^{-3}$) de longueur $b = 0.240 \text{ m}$ dans la direction $\vec{z}$ et dont la forme dans le plan $(O, \vec{x}, \vec{y})$ est un triangle isocèle de coté $2a = 0.300 \text{ m}$ (Fig. 1.29). Cette pièce est dans un champs de gravité $\vec{g} = -9.81 \text{ m.s}^{-2} \vec{y}$ et est posé sur une table dans la plan perpendiculaire à $\vec{y}$.

Un étudiant (mais où va-t-il chercher tout cela ?) a écrit que au point P tel que $\vec{OP} = x_p\vec{x} + y_p\vec{y} + z_p\vec{z}$, le tenseur des contraintes est :

$$
\bar{\sigma} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -76518 \frac{9.74 \ 10^{-3} - 0.15 y_p + 0.577 y_p^2}{0.15 - 0.577 y_p} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \otimes (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})} . \qquad (1.62)
$$

1. Quelle sont les vecteurs contrainte au point P de coordonnées $\vec{OP} = (0.100\vec{x} + 0.100\vec{y} + 0.100\vec{z})$ m, $\vec{T}(P,\vec{x})$, $\vec{T}(P,\vec{y})$ et $\vec{T}(P,\vec{z})$ ?

2. Quelle est le vecteur contrainte au point P tel que $\vec{OP} = (0.100\vec{x} + 0.100\vec{y} + 0.100\vec{z})$ m, $\vec{T}(P,\vec{n}')$, avec $\vec{n}' = \frac{\sqrt{3}}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$ ?

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>Figure 1.29: Une pièce posée sur un plan dans un champs de gravité.</figcaption></figure>

brevet 322 : Équation d'équilibre.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ;
élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Gérard adore faire de la montgolfière. Par un beau matin calme, il s'élève dans le ciel lorsque soudain la montgolfière arrête son ascension à l'altitude $z_m = 458 \text{ m}$ : "Damned ! J'ai oublié de détacher la
corde qui m'attache au sol..., s'exclame-t-il. La corde, d'un diamètre $d = 20$ mm, de masse volumique $\rho = 1500 \text{ kg.m}^{-3}$, pendouille sous la montgolfière parfaitement verticalement car il n'y a pas un souffle d'air. L'air chaud dans la montgolfière implique une force de traction de la nacelle sur la corde au point de fixation de la nacelle de $F_{nc} = 1700 \text{ N}$. Un étudiant (toujours le même... c'est qu'il serait vexant !), explique que la contrainte dans la corde juste sous la nacelle est de $\sigma = 5.4 \text{ MPa}$.

1. A votre avis, de quelle composante du tenseur des contraintes parle-t-il ?

2. A votre avis, que valent les autres composantes du tenseur des contraintes ?

3. Comment varie cette composante en fonction de l'altitude $z_p$ du point sur la corde ?

## brevet 323 : Réciprocité des contraintes.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Nicolas, soucieux de plaire à son épouse Carla, a accepté de lui fabriquer un cadre pour sa dernière oeuvre (un magnifique tableau en aquarelle les représentant dans un parc d'attraction). Pour que chaque montant en bois du cadre soit lisse, il utilise une ponçeuse à bande tel que représenté figure 1.30 : le morceau de bois de longueur $l = 0.350 \text{ m}$, hauteur $a = 3 \text{ cm}$ dans la direction $\vec{y}$ et de largeur $b = 5 \text{ cm}$, est posé sur un plan que l'on considèrera sans frottements et ne peut reculer sous les actions de la ponçeuse grâce à une cale. On notera $\vec{F} = -F_2\vec{x} - F_1\vec{y} = (-160\vec{x} - 200\vec{y}) \text{ N}$ les forces totales exercées par la bande sur le bloc de bois, dans la zone de contact d'aire $l_1b$, avec $l_1 = 0.1 \text{ m}$ la longueur du contact dans la direction $\vec{x}$.

Dans la base tensiorelle $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \otimes (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ qu'elles sont les composantes du tenseur des contraintes qui peuvent être déterminées en supposant une répartition des contraintes uniforme sur chaque surface de contact (hypothèse sans doute fausse si on fait l'équilibre du bout de bois, mais il faut bien commencer par quelque chose...),

1. au point A,

2. au point B,

3. au point C,

4. au point D.

## brevet 324 : Parties sphérique et déviatorique du tenseur des contraintes.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des contraintes :
<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>Figure 1.30: Une ponceuse à bande agissant sur un bloc de bois.</figcaption></figure>

$$ \bar{\sigma} = \begin{bmatrix} 0 & -0.032 & 0 \\ -0.032 & -0.040 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} \times_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} 10^6 \text{ Pa}; $$

Quels sont les tenseurs sphérique $\bar{\sigma}_S$ et déviatorique $\bar{\sigma}_D$ de ce tenseur ?

## brevet 325 : Invariants de la partie déviatorique du tenseur des contraintes.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution.

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des contraintes :

$$ \bar{\sigma} = \begin{bmatrix} 0 & -0.032 & 0 \\ -0.032 & -0.040 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} \times_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} 10^6 \text{ Pa}; $$

Quels sont les 3 invariants $J_1$, $J_2$ et $J_3$ de la partie déviatorique $\bar{\sigma}_D$ de ce tenseur ?

## brevet 326 : Conditions aux limites en déplacement en coordonnées carthésiennes.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution.

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un barrage poids tel le barrage de Serre-Ponçon, dont on ne considère que une tranche parrallèle à la vallée (Fig. 1.31), avec un angle $\alpha$ au sommet, un fluide de masse volumique $\rho$, une hauteur d'eau $h$ et un champs de pesanteur $g$, encastré à sa base.

Nous supposerons que le champs de déplacement est de la forme,

$$ \vec{u} = u_x \vec{x} + u_y \vec{y} + u_z \vec{z}, \qquad (1.63) $$
où chacune des fonctions $u$ est dépendante des coordonnées du point $P (x_p, y_p, z_p)$.

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>Figure 1.31: Coupe d'un barrage poids.</figcaption></figure>

Des 4 surfaces $S_1$ à $S_4$, quelles sont celles où l'on peut écrire une condition aux limites en déplacement ? Quelles sont les conditions que doivent vérifier les composantes du champs de déplacement ?

## brevet 327 : Dilatations thermiques.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Manuel est très fier de son nouveau pied à coulisse en acier car il lui permet de mesurer les dimensions d'une pièce à 2/100 ième de millimètre près. Pour épater sa voisine Flore, il lui demande l'autorisation de mesurer son porte-clef en aluminium du ministère : "C'est un barreau d'une longueur de 12.346 cm", s'exclame Manuel.

Flore, plutôt dubitative, lui demande à la sortie du conseil des ministres où l'ambiance fut très chaude : Emmanuel affirmait que le capitalisme était de gauche (la température est passée de 20 degrés C à 36 degrés C), de remesurer le porte clef.

Sachant que le coefficient de dilatation de l'aluminium est de $50 \times 10^{-6} \text{ K}^{-1}$, qu'elle est la valeur qu'annonce Manuel ?

## brevet 329 : Conditions aux limites en déplacement en coordonnées cylindriques.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un cylindre à base circulaire de rayon $r$ et de longueur $l$. Ce solide est chargé sur sa surface supérieure par une force $\vec{F} = -Fz$ et l'on supposera que la charge se répartie uniformément sur la surface $S_4$ (Fig. 1.32).

Trois cas de conditions aux limites sont faites :

* a) le cylindre est posé sur un plan parfaitement lubrifié et qui permet le glissement dans le plan $(O, \vec{x}, \vec{y})$,

* b) le cylindre est encastré sur le plan $(O, \vec{x}, \vec{y})$,
• c) le cylindre est inséré partiellement dans un alésage sans jeu parfaitement lubrifié.

Le champs de déplacement est noté

$$ \vec{u} = u_r \vec{e}_r + u_\theta \vec{e}_\theta + u_z \vec{z}, \qquad (1.64) $$

où chacune des fonctions $u$ est dépendante des coordonnées du point $P(x_p, y_p, z_p)$.

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>Figure 1.32: Trois types de conditions aux limites pour un cylindre.</figcaption></figure>

Des surfaces $S_1$ à $S_4$, quelles sont celles où l'on peut écrire une condition aux limites en déplacement ? Quelles sont les conditions que doivent vérifier les composantes du champs de déplacement ?

## brevet 330 : Conditions aux limites en contraintes en coordonnées cylindriques.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un cylindre à base circulaire de rayon $r$ et de longueur $l$. Ce solide est chargé sur sa surface supérieure par une force $\vec{F} = -F\vec{z}$ et l'on supposera que la charge se répartie uniformément sur la surface $S_4$ (Fig. 1.32).

Trois cas de conditions aux limites sont faites

• a) le cylindre est posé sur un plan parfaitement lubrifié et qui permet le glissement dans le plan $(O, \vec{x}, \vec{y})$,

• b) le cylindre est encastré sur le plan $(O, \vec{x}, \vec{y})$,

• c) le cylindre est inséré partiellement dans un alésage sans jeu parfaitement lubrifié.

Le tenseur des contraintes est noté

$$ \bar{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{rr} & \sigma_{r\theta} & \sigma_{rz} \\ \sigma_{\theta r} & \sigma_{\theta\theta} & \sigma_{\theta z} \\ \sigma_{zr} & \sigma_{s\theta} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{z}) (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{z}) \qquad (1.65) $$

où chacune des fonctions $\sigma$ est dépendante des coordonnées du point $P(x_p, y_p, z_p)$.

Des surfaces $S_1$ à $S_4$, quelles sont celles où l'on peut écrire une condition aux limites en contrainte ? Quelles sont les conditions que doivent vérifier les composantes du tenseur des contraintes ?
brevet 331 : Type de loi de comportement.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Solliciter plusieurs pièces.

a) Positionner une craie entre les deux machoires d'une pince multiple. Serrez jusqu'à l'obtention de la rupture.

b) Prendre un fil de fer entre vos deux mains. Fléchir ce fil très légèrement et relâcher. Observer. Fléchir ce fil fortement et relâcher. Observer. Obtenez la rupture en fléchissant alternativement le fil dans les deux sens. Observer.

c) Prendre un spaghetti entre vos deux mains. Fléchir ce spaghetti très légèrement et relâcher. Observer. Fléchir ce spaghetti fortement. Observer. Ne mangez pas le spaghetti : il n'est pas cuit.

Le comportement élastique est-il observable ? Le comportement plastique est-il observable ? La rupture est-elle fragile ou ductile ?

brevet 332 : Conditions aux limites en contraintes en coordonnées cartésiennes.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un barrage poids tel le barrage de Serre-Ponçon, dont on ne considère que une tranche parrallèle à la vallée (Fig. 1.31), avec un angle $\alpha$ au sommet, un fluide de masse volumique $\rho$, une hauteur d'eau $h$ et un champs de pesanteur $g$, encastré à sa base.

Nous supposerons que le tenseur des contraintes est de la forme,

$$ \bar{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & 0 \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{zz} \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z}) \otimes (\vec{x},\vec{y},\vec{z})} \quad (1.66) $$

où chacune des fonctions $\sigma$ est dépendante des coordonnées du point P ($x_p, y_p, z_p$).

Des 4 surfaces $S_1$ à $S_4$, quelles sont celles où l'on peut écrire une condition aux limites en contrainte ? Quelles sont les conditions que doivent vérifier les composantes du tenseur des contraintes ?

brevet 333 : Dépassement de la limite d'élasticité.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des contraintes :
$$ \bar{\sigma} = \begin{bmatrix} 0 & -134 & 0 \\ -134 & -112 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \otimes (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})} 10^6 \text{ Pa} $$

Si la limite d'élasticité en traction est $\sigma^{ce} = 150$ MPa et en compression $\sigma^{ce} = -150$ MPa,

* l'état de contraintes $\bar{\sigma}$ est-il encore élastique vis-à-vis du critère de Von-Mises ?

* l'état de contraintes $\bar{\sigma}$ est-il encore élastique vis-à-vis du critère de Tresca ?

## brevet 401 : Mesure à l'oscilloscope, via la transformée de Fourier, de l'amplitude d'une tension alternative.

auteurs : JP Boileau, JM Génevaux ; ressource : cours d'électronique .

A l'aide d'un signal de tension périodique de période $T$ et d'un oscilloscope

* dans une représentation temporelle du signal, mesurer l'amplitude $U$ de celui-ci,

* effectuer la transformée de Fourier de ce signal,

* mesurer $\tilde{U}$, le module de cette transformée à la fréquence $1/T$,

* donner la relation théorique entre $\tilde{U}$ et $U$,

* comparer les deux valeurs (si l'oscilloscope fournit une valeur en dB, vérifier que la tension de référence est 1 volt).

## brevet 402 : Création d'un signal de fréquence, forme et amplitude donnée.

auteurs : JM Génevaux ; ressource : cours d'électronique .

Trois fois de suite, vous piochez dans l'enveloppe les caractéristiques d'un signal. Vous le réglez sur le générateur basse fréquences sans allumer l'ocilloscope. Puis vous demandez à un détenteur du brevet 402 de vérifier, forme, amplitude et fréquence du signal.

## brevet 403 : Mesure au multimètre de l'amplitude d'un signal.

auteurs : JM Génevaux ; ressource : cours d'électronique .

Trois fois de suite, un détenteur du brevet 403 règle à l'aide d'un générateur de fonction ou d'une alimentation stabilisée une tension qu'il applique aux bornes d'une ampoule, puis vous demande de mesurer l'amplitude de la tension, l'intensité, la résistance de l'ampoule.

## brevet 404 : Mesure à l'oscilloscope de l'amplitude, la forme, la fréquence d'un signal de tension.

auteurs : JM Génevaux ; ressource : cours d'électronique .
Trois fois de suite, un détenteur du brevet 404 règle à l'aide d'un générateur de fonction une forme de signal, une tension et une fréquence (bien entendu sans rendre visible ses réglages). Il vous demande à chaque fois de mesurer les caractéristiques de ce signal soit graphiquement par un choix judicieux de votre échelle de visualisation, soit en utilisant les curseurs et fonctions disponibles.
brevet 501 : Ressenti des étudiants à propos de la pédagogie
cours-brevet.

auteur : JM Génevaux ; ressource : évaluations evamaine 2009 et 2010 ; autoattribution .

Les étudiants évaluent les enseignements de façon anonyme. Le ressenti des étudiants vis-à-vis de cette pédagogie cours-brevet, au cours de deux années, a été mesuré en leur demandant de donner leur opinion (oui, plutôt oui, plutôt non, non) sur les phrases présentées ci-dessous :

Dites celles qui ont recueilli une majorité d'avis positifs (nb(oui) + nb(plutôt oui), et celles qui ont recueilli une majorité d'avis négatifs.

* 1) La méthode d'obtention des brevets comme moyen de compréhension du cours vous paraît-elle efficace ?

* 2) Cette méthode utilisée pour le cours de 3ième année "dynamique des structures" doit elle être essayée pour le cours de "résistance des matériaux" de seconde année, que vous avez suivi/subi l'année dernière ?

* 3) Avant l'examen final, la méthode de préparation aux examens des années précédentes par des exposés faits par les étudiants de leur correction (préparée en groupe à la maison), vous paraît-elle efficace ?

Dans les commentaires libres, à votre avis, les phrases suivantes sont-elles apparues ? (Vrai/Faux)

* 4) Les brevets sont trop simples pour aborder les devoirs surveillés.

* 5) Les brevets permettent de voir où nous mênent les calculs.

* 6) La correction complète des brevets doit être disponible sur le réseau informatique.

* 7) Un brevet, c'est appliquer bêtement et simplement l'exercice expliqué complètement dans le cours.

* 8) Il faut aussi faire des problèmes concrets et complets.

* 9) Le système des brevets est efficace et intéressant, plutôt que de regarder le prof écrire une correction au tableau comme dans d'autres enseignements.

* 10) Faire d'avantage de DS des années précédentes est une perte de temps.

* 11) L'étudiant-référent d'un brevet n'a pas su m'expliquer la correction du brevet.

brevet 502 : Premiers échanges sur la pédagogie Freinet.

auteur : JM Génevaux ; ressource : votre vécu en tant qu'élève, étudiant, puis enseignant ; autoattribution .

La pédagogie Freinet, implique des caractéristiques fortes que l'on peu formuler au travers les questions ci-dessous :

1. le savoir : à la fin de votre module, quels savoirs souhaitez-vous qu'ils acquièrent ?

2. la culture : Ont-ils besoin d'une culture générale à proximité de la thématique d'enseignement, pour pouvoir appréhender le contenu de votre enseingemen ?

3. l'exigence et de l'effort : Quels sont vos niveaux d'exigences envers les étudiants ?

4. le sentiment de sécurité vis à vis de l'apprentissage : la confiance en soi des étudiants est-elle favorisée par votre pratique pédagogique ?
5. l'autorité : Est-elle détenue par l'enseignant, par la science que vous enseignée, par le groupe d'étudiant ?

6. partisane du cours magistral : Comment nourrissez vous les étudiants avec des contenus.

7. non démagogue : l'enseignant enseigne-t-il ? l'étudiant étudie-t-il ?

Par un travail à plusieurs, échanger sur vos réponses personnelles à ces questions, pour l'un de vos enseignement.

## brevet 503 : Construction d'un arbre des connaissances.

auteur : JM Génevaux ; ressource : polycopié "Freinet 5CH" ; autoattribution .

Soit des individus, qui ont passé des brevets tels que détaillé ci-dessous :

* Frédéric : 102, 103, 56, puis 45

* Marie-Christine : 23, 103, 45, puis 57

* Nicolas : 45, 46, 103, 56, puis 67

* Rachida : 45, 103, puis 56

* Brice : 45, 23, puis 103

Construisez l'arbre des connaissances de ce groupe.

## brevet 504 : Construction d'un blason au sein d'un arbre des connaissances.

auteur : JM Génevaux ; ressource : polycopié "Freinet 5CH" ; autoattribution .

Soit l'arbre des connaissances du groupe de Nicolas (brevet 503).

Représentez le blason de Nicolas.

## brevet 505 : Stratégie des étudiants vis à vis du passage de ceintures.

auteur : JM Génevaux ; ressource : polycopié "Freinet 5CH" ; autoattribution .

Pour trois matières, en fin de module, l'histogramme de validation des ceintures par les étudiants est représenté figure 1.33.

A la vue des résultats dans chaque matière, devinez pour chacune d'elle, quelle était la couleur de ceinture nécessaire pour avoir la moyenne à la matière ?

## brevet 506 : Avantages respectifs des modalités de ceinture.

auteur : JM Génevaux ; ressource : votre vécu en tant qu'élève, étudiant, puis enseignant ; autoattribution .

Les modalités peuvent différer :
<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>Fig. 2 : Histogramme des ceintures maximales obtenues par les étudiants dans trois disciplines au cours de l'année 2011-2012.</figcaption></figure>

Figure 1.33: Histogramme des ceintures passées par les étudiants dans trois matières en 2010-2011.

* surveillée / en autonomie,

* tout ou rien / à seuil / graduel

* avec joker de correction (ne pas corriger) / ou sans joker de correction

* saut possible d'une ceinture dans l'arbre des connaissances / pas de saut possible

* nombre possible de tentatives de ceinture

* en cas d'échecs à toutes les tentatives d'une ceinture, possibilité ou non de tenter la ceinture suivante dans l'arbre des connaissances.

Par un travail à plusieurs, listez les avantages et inconvénients de chaque choix ci-dessus.

# brevet 507 : Identification des objectifs pédagogiques testés dans un examen.

auteur : JM Génevaux, Adrien Pelat ; ressource : formation Freinet 5ch ; autoattribution

A partir d'un corrigé d'un examen terminal (ou de son sujet) que vous avez posé dans l'une des matières que vous enseignez :

* Quel est le nombre *n* d'heures d'enseignement de cette matière ?

* Faites la liste les savoir faire de base utiles dans votre examen ?

* Identifiez ceux qui relèvent de votre enseignement et non des prérequis.

* Faites des regroupement de ces savoirs faire identifiées, formez ainsi *p* lots appelés objectifs pédagogiques,

* Définissez un identifiant pour chaque lot, et écrivez cet identifiant sur un post-it.

Remarque : Pour ne pas définir trop de d'objectifs pédagogiques, nous vous invitons à ce que *p* soit de proche de *n*/5.
brevet 508 : Chaînage des objectifs pédagogiques d'une matière.

auteur : JM Génevaux, Adrien Pelat ; ressource : formation Freinet 5ch ; autoattribution

Vous disposez des objectifs pédagoqiques d'une des matières que vous enseignez et avez affecté à
objectif, un identifiant écrit sur un post-it.

Positionnez ces lots sur une feuille blanche et définissez le graphe de dépendance entre ces lots.

brevet 509 : Chaînage des lots de compétences entre différentes matières.

auteur : JM Génevaux, Adrien Pelat ; ressource : formation Freinet 5ch ; autoattribution

A partir des différents chaînages de lots de compétences de matières voisines thématiquement, donner
s'ils existent, les chaînages entre des lots de compétences des différentes matières.

brevet 510 : Identification de savoir faire dans un sujet de travaux dirigés.

auteur : JM Génevaux, Adrien Pelat ; ressource : formation Freinet 5ch ; autoattribution

A partir d'un sujet de travaux dirigés que vous avez posé dans l'une des matières que vous enseignez :

* Pour chaque question posée dans ce td, faite la liste des savoirs faire nécessaires pour répondre à la question ?

* Identifiez celles qui relèvent de votre enseignement et non des prérequis.

* Un regroupement de ces savoirs-faire, peut-il être considéré comme un objectif pédagogique ?

brevet 511 : Mise sous le format de "brevet" d'un savoir faire de l'un de vos sujets de travaux dirigés.

auteur : JM Génevaux, Adrien Pelat ; ressource : formation Freinet 5ch ; autoattribution

Ecrire sous forme de "brevet", un exercice qui teste l'assimilation d'une des compétences identifiée
dans un sujet de travaux dirigés d'une des matières que vous enseignez. Ce brevet doit faire apparaître,

* un titre,

* un auteur,

* une ressource (en précisant le paragraphe de votre cours, ou la diapo de votre diaporama, ou l'item de votre conférence...)

* un mode d'attribution

* un énoncé,

* une question,

* un résultat.
brevet 512 : Alignement entre formation et évaluation.

auteur : JM Génevaux, Adrien Pelat ; ressource : formation Freinet 5ch ; autoattribution

Vérifier que pour chaque objectif pédagogique identifié dans votre examen, vous avez écrit les brevet permettant que l'étudiant vérifie qu'il maîtrise des savoir-faire nécessaires.
brevet 513 : Objectifs pour l'étudiant et modalité d'enseignement.

auteur : JM Génevaux; ressource : formation "Enseigner et apprendre à son rythme" ;
autoattribution .

Si l'on considère 4 objectifs pour l'étudiant :

* a) chacun a sa vitesse,

* b) se voir progresser,

* c) se motiver,

* d) obtenir une réponse lorsqu'il en éprouve le besoin

1) Complétez en entourant votre réponse dans le tableau ci-dessous, pour chaque modalité d'enseignement, si chaque objectif peut être atteint.

<table><tbody><tr><td>cours magistral</td><td>objectif a</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>cours magistral</td><td>objectif b</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>cours magistral</td><td>objectif c</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>cours magistral</td><td>objectif d</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>travail dirigé</td><td>objectif a</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>travail dirigé</td><td>objectif b</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>travail dirigé</td><td>objectif c</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>travail dirigé</td><td>objectif d</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>pédagogie par problème</td><td>objectif a</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>pédagogie par problème</td><td>objectif b</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>pédagogie par problème</td><td>objectif c</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>pédagogie par problème</td><td>objectif d</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>pédagogie par projet</td><td>objectif a</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>pédagogie par projet</td><td>objectif b</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>pédagogie par projet</td><td>objectif c</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>pédagogie par projet</td><td>objectif d</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr></tbody></table>

2) Comparez vos réponses à celles d'autres personnes et discutez-en.

3) En cas de désaccord pour un couple (pédagogie,objectif), déposer les deux avis (et leurs justifications) dans le salon textuel du discord de ce brevet.
brevet 514 : Objectifs pour l'enseignant et modalité d'enseignement.

auteur : JM Génevaux; ressource : formation "Enseigner et apprendre à son rythme" ;
autoattribution .

Si l'on considère 3 objectifs pour l'enseignant :

* e : apporter l'aide aux nécessiteux,

* f : détecter les décrochages individuels,

* g : détecter les dysfonctionnement collectifs,

1) Complétez en entourant votre réponse dans le tableau ci-dessous, pour chaque modalité d'enseignement,
si chaque objectif peut être atteint.

<table><tbody><tr><td>cours magistral</td><td>objectif e</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>cours magistral</td><td>objectif f</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>cours magistral</td><td>objectif g</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>travail dirigé</td><td>objectif e</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>travail dirigé</td><td>objectif f</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>travail dirigé</td><td>objectif g</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>pédagogie par problème</td><td>objectif e</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>pédagogie par problème</td><td>objectif f</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>pédagogie par problème</td><td>objectif g</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>pédagogie par projet</td><td>objectif e</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>pédagogie par projet</td><td>objectif f</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>pédagogie par projet</td><td>objectif g</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr></tbody></table>

2) Comparez vos réponses à celles d'autres personnes et discutez-en.

3) En cas de désaccord pour un couple (pédagogie,objectif), déposer les deux avis (et leurs justifications) dans le salon textuel du discord de ce brevet.
brevet 515 : Objectifs pour l'évaluation et modalité d'évaluation.

auteur : JM Génevaux; ressource : formation "Enseigner et apprendre à son rythme" ;
autoattribution .

Si l'on considère 3 objectifs pour l'évaluation :

* h : validation par grade,

* i : déclenchement par l'étudiant,

* j : plus je me plante, plus je pousse, (droit à l'erreur)

1) Complétez en entourant votre réponse dans le tableau ci-dessous, pour chaque modalité d'évaluation, si chaque objectif peut être atteint.

<table><tbody><tr><td>examen terminal</td><td>objectif h</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>examen terminal</td><td>objectif i</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>examen terminal</td><td>objectif j</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>soutenance</td><td>objectif h</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>soutenance</td><td>objectif i</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>soutenance</td><td>objectif j</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>contrôle continu par des partiels</td><td>objectif h</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>contrôle continu par des partiels</td><td>objectif i</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>contrôle continu par des partiels</td><td>objectif j</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>porte-folio</td><td>objectif h</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>porte-folio</td><td>objectif i</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>porte-folio</td><td>objectif j</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>mémoire/rapport</td><td>objectif h</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>mémoire/rapport</td><td>objectif i</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr><tr><td>mémoire/rapport</td><td>objectif j</td><td>tout à fait</td><td>plutôt oui</td><td>plutôt non</td><td>pas du tout</td></tr></tbody></table>

2) Comparez vos réponses à celles d'autres personnes et discutez-en.

3) En cas de désaccord pour un couple (évaluation,objectif), déposer les deux avis (et leurs justifications) dans le salon textuel du discord de ce brevet.
brevet 516 : Importance des objectifs d'un enseignement à son rythme.

auteur : JM Génevaux; ressource : formation "Enseigner et apprendre à son rythme" ; autoattribution .

Complète les cases oranges de ta ligne de https://lite.framacalc.org/ensimasonrythme.
Puis vient en débattre lors d'un temps de regroupement.
brevet 517 : Risques des outils pour les étudiants utilisés au Mans lors d'un apprentissage à son rythme.

auteur : JM Génevaux; ressource : formation "Enseigner et apprendre à son rythme" ;
autoattribution .

Si l'on considère les 6 moyens utilisés au Mans par les étudiants lors d'un apprentissage à son rythme,

• a : informations disponibles : texte, vidéo, discord et référents,

• b : plein de petits exercices (brevets),

• c : démarrer en fonction de ses prérequis,

• d : carnet de bord personnel,

• e : positionnement par rapport à la promo,

• f : tableur pour pouvoir poser des questions,

chaque moyen comporte des risques dans l'utilisation de ceux-ci.

Quels sont les risques/difficultés que tu imagines pour chaque moyen et quelles propositions ferais-tu pour y remédier ?
brevet 518 : Autres outils pour les étudiants que ceux utilisés au
Mans lors d'un apprentissage à son rythme.

auteur : JM Génevaux; ressource : formation "Enseigner et apprendre à son rythme" ;
autoattribution .

Si l'on considère les 6 moyens utilisés au Mans par les étudiants lors d'un apprentissage à son rythme,

a : informations disponibles : texte, vidéo, discord et référents,

b : plein de petits exercices (brevets),

c : démarrer en fonction de ses prérequis,

d : carnet de bord personnel,

e : positionnement par rapport à la promo,

f : tableur pour pouvoir poser des questions,

as-tu une idée d'un ou plusieurs moyens autres qui répondraient aux objectifs pour l'étudiant décrits dans
la section 4.1.
brevet 519 : Risques des outils pour l'enseignant utilisés au Mans lors d'un apprentissage à son rythme.

auteur : JM Génevaux; ressource : formation "Enseigner et apprendre à son rythme" ; autoattribution .

Si l'on considère les 3 moyens utilisés au Mans par l'enseignant lors d'un apprentissage à son rythme,

• g : feedback : efficacité de la semaine/séance,

• h : photo de l'avancement des étudiants,

• i : triaide,

chaque moyen comporte des risques dans l'utilisation de ceux-ci.

Quels sont les risques/difficultés que tu imagines pour chaque moyen et quelles propositions ferais-tu pour y remédier ?
brevet 520 : Autres outils pour l'enseignant que ceux utilisés au
Mans lors d'un apprentissage à son rythme.

auteur : JM Génevaux; ressource : formation "Enseigner et apprendre à son rythme" ;
autoattribution .

Si l'on considère les 3 moyens utilisés au Mans par l'enseignant lors d'un apprentissage à son rythme,

• g : feedback : efficacité de la semaine/séance,

• h : photo de l'avancement des étudiants,

• i : triaide,

as-tu une idée d'un ou plusieurs moyens autres qui répondraient aux objectifs pour l'enseignant décrits
dans la section 4.1.
brevet 521 : Risques des outils pour l'évaluation utilisés au Mans
lors d'un apprentissage à son rythme.

auteur : JM Génevaux; ressource : formation "Enseigner et apprendre à son rythme" ;
autoattribution .

Si l'on considère les 3 moyens utilisés au Mans pour l'évaluation lors d'un apprentissage à son rythme,

• j : ceintures,

• k : plusieurs tentatives,

• l : antidopage,

chaque moyen comporte des risques dans l'utilisation de ceux-ci.

Quels sont les risques/difficultés que tu imagines pour chaque moyen et quelles propositions ferais-tu pour y remédier ?
brevet 522 : Autres outils pour l'évaluation que ceux utilisés au
Mans lors d'un apprentissage à son rythme.

auteur : JM Génevaux; ressource : formation "Enseigner et apprendre à son rythme" ;
autoattribution .

Si l'on considère les 6 moyens utilisés au Mans pour l'évaluation lors d'un apprentissage à son rythme,

• j : ceintures,

• k : plusieurs tentatives,

• l : antidopage,

as-tu une idée d'un ou plusieurs moyens autres qui répondraient aux objectifs pour l'évaluation décrits
dans la section 4.1.
brevet 523 : Ton analyse et tes propositions sur des moyens d'un enseignement à son rythme.

auteur : JM Génevaux; ressource : formation "Enseigner et apprendre à son rythme" ; autoattribution .

Complète les cases mauves de ta ligne de https://lite.framacalc.org/ensimasonrythme.
Puis vient en débattre lors d'un temps de regroupement.
brevet 524 : Surprises de ta part sur les comportements mesurés au Mans lors d'un apprentissage à son rythme.

auteur : JM Génevaux; ressource : formation "Enseigner et apprendre à son rythme" ; autoattribution .

Si l'on considère les 10 mesures de comportement faites au Mans lors d'un apprentissage à son rythme,

• a : pages lues,

• b : vidéos visionnées,

• c : questions,

• d : temps de travail hors séquences,

• e : de la vitesse de progression,

• f : de l'efficacité ressentie,

• g : progression ceintures,

• h : antidopage,

• i : performance finale,

• j : ressenti des étudiants,

quelles sont celles

• dont les résultats sont supérieures à ce que tu t'attendais ?

• dont les résultats sont inférieurs à ce que tu t'attendais ?
brevet 525 : Analyse et réflexions sur les comportements mesurés
au Mans lors d'un apprentissage à son rythme.

auteur : JM Génevaux; ressource : formation "Enseigner et apprendre à son rythme" ;
autoattribution .

Complète les cases bleues de ta ligne de https://lite.framacalc.org/ensimasonrythme.
Puis vient en débattre lors d'un temps de regroupement.
brevet 526 : Écriture d'une ceinture qui permette de valider un
objectif pédagogique.

auteur : JM Génevaux; ressource : formation "Enseigner et apprendre à son rythme" ;
autoattribution .

Pour l'un des objectifs pédagogiques, écrit une ceinture qui permet de vérifier que l'étudiant maîtrise
ce concept/cette démarche.
brevet 527 : Écriture de n versions d'une ceinture qui permettent
de valider un objectif pédagogique..

auteur : JM Génevaux; ressource : formation "Enseigner et apprendre à son rythme" ;
autoattribution .

Pour l'un des objectifs pédagogiques, écrit *n* versions de cette ceinture qui permettent de vérifier que l'étudiant maîtrise ce concept/cette démarche. Ces versions différentes doivent idéalement avoir des difficultés équivalentes.
brevet 601 : Influence du nombre de degrés de liberté d'un
modèle sur la fréquence propre.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours "modélisation", Nicolas Joly ; autoattribution .
Lorsque l'on augmente le nombre de ddl d'un modèle éléments finis,

• a) les fréquences propres croissent (pourquoi)

• b) les fréquences propres décroissent (pourquoi)

brevet 602 : distance à la solution réelle en fonction du type d'élément.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours "modélisation", Nicolas Joly ; autoattribution .

Lorsque avec le même nombre d'éléments de type triangle, on passe d'éléments finis à 3 noeuds à des éléments finis à 6 noeuds,

• a) on s'approche de la solution réelle (pourquoi)

• b) on s'éloigne de la solution réelle (pourquoi)

brevet 603 : que représentent les modes propres à pulsation nulle ?

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours "modélisation", Nicolas Joly ; autoattribution .

Lorsque l'on fait un calcul de mode propre pour une structure libre, les premières fréquences sont nulles, leur nombre correspond à ...

brevet 604 : recherche de la discrétisation ayant meilleur ratio (précision/coût)

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours "modélisation", Nicolas Joly ; autoattribution .

Pour déterminer le maillage qui donne le plus faible ratio $\frac{f_i - f_{iconverge}}{f_{iconverge} - f_{outdecalcul}}$, il faut tracer ...

brevet 605 : en contraintes planes, quelles sont les composantes de $\bar{\sigma}$ qui sont nulles ?

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours "modélisation", Nicolas Joly ; autoattribution .

Lorsque l'on choisi un modèle en containtes planes (plan Oxy), les contraintes sigma zz, sigma xz et sigma yz sont nulles.

• a) vrai

• b) faux
brevet 606 : contraintes ou déformations planes ?

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours "modélisation", Nicolas Joly ; autoattribution .

Lorsque une structure a son feuillet moyen dans le plan Oxy, quelle est sollicitée par des chargements dans ce plan, et quelle est de grande épaisseur dans la direction z, le modèle doit être pris :

• a) en contraintes planes

• b) en déformations planes

brevet 607 : type de modèle

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .

En fonction du problème, un choix de modèle adapté permet de gagner en efficacité, en diminuant le temps de calcul tout en prenant en compte les phénomènes physiques du problème. Pour les problèmes ci-dessous, et à l'aide de la figure ??, précisez le type de modèle à choisir.

Liste des problèmes

• 1 : tambour d'une machine à laver en phase d'essorage, le linge étant bien réparti sur la circonférence.

• 2 : barrage poids entre deux massifs montagneux considérés indéformables

• 3 : potence pour braqueur de banque au temps des cow-boy.

• 4 : bathyscaphe sphérique immergé à proximité de la surface

• 5 : réservoir cylindrique le longueur *l* de diamètre *d*, remplit partiellement par un fluide lourd

• 6 : chalut

<table><caption>Figure 1.34: Synopsis de choix d'un modèle.</caption><thead><tr><th>Dimension<br>De l'espace<br>De travail</th><th>Dimension<br>De l'élément</th><th>Loi de comportement</th><th>Symétries ?</th><th>Conditions aux limites</th><th>Chargements</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">3D</td><td rowspan="2">volumique</td><td>plasticité</td><td rowspan="2">sans</td><td rowspan="2">déformations<br>planes<br>contraintes<br>planes</td><td rowspan="2">encastrement</td><td rowspan="2">volumique</td></tr><tr><td>Élasticité linéaire</td></tr><tr><td>à feuillet moyen</td><td>plaque</td><td>/plan</td><td>axisymétrie</td><td>3D parfaites</td><td>surfacique</td></tr><tr><td>2D</td><td>à ligne moyenne</td><td>poutre</td><td>/ligne</td><td>de type Fourier</td><td>2D parfaites</td><td>lineique</td></tr><tr><td rowspan="3">1D</td><td rowspan="2">surfacique</td><td>corde</td><td rowspan="2">/point</td><td rowspan="2">sphérique</td><td rowspan="2">mixtes</td><td rowspan="2">ponctuel</td></tr><tr><td>barre</td></tr><tr><td>ponctuel</td><td>masse</td><td>périodique</td><td>plane</td><td>avec frottement</td><td>mixtes</td></tr><tr><td></td><td></td><td>Inertie de rotation</td><td></td><td>ligne</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

brevet 607 bis : type de modèle

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; auto-attribution .

En fonction du problème, un choix de modèle adapté permet de gagner en efficacité, en diminuant le temps de calcul tout en prenant en compte les phénomènes physiques du problème. Pour les problèmes ci-dessous, et à l'aide de la figure ??, précisez le type de modèle à choisir.

Liste des problèmes
<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>Figure 1.35: Les oeufs n'ont plus qu'à bien se tenir ! (mai 2011, Sarthe)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>Figure 1.36: Arbre. (février 2011, Vosges)</figcaption></figure>

* 1 : éolienne soumise à du vent

* 2 : tronçon de gazoduc en Sibérie, soumis à une pression interne forte par rapport au poids propre

* 3 : disque de frein avant de moto, pendant une phase de freinage

## brevet 607 ter : type de modèle

En fonction du problème, un choix de modèle adapté permet de gagner en efficacité, en diminuant le temps de calcul tout en prenant en compte les phénomènes physiques du problème. Pour les problèmes ci-dessous, et à l'aide de la figure ??, précisez le type de modèle à choisir.

### Liste des problèmes

* 1 : siège de tgv, chargée par une personne assise.

* 2 : fouet de robot ménager qui monte les blancs en neige (voir figure 1.35)

* 3 : arbre secoué par le vent (voir figure 1.36)
brevet 608 : Énergie cinétique d'une plaque vibrante et énergie
de rotation

auteur: JM Génevaux; ressource: [6] chapitre modélisation; autoattribution.

Soit une plaque rectangulaire de dimensions $a = 0.2 \text{ m}$ et $b = 0.3 \text{ m}$, d'épaisseur $h = 0.01 \text{ m}$ de masse volumique $\rho = 7800 \text{ kgm}^{-3}$, de coefficient de Poisson $\nu = 0.3$, appuyée simplement sur ses bords et vibrant sur son premier mode propre. On admettra que la forme propre associée à ce premier mode propre est $\tilde{w}(x, y) = 0.005 \sin(\pi x/a) \sin(\pi y/b)$

Quelle est la pulsation $\omega_{1sans}$ estimée par le coefficient de Rayleigh.

brevet 608bis : Énergie cinétique d'une plaque vibrante et énergie
de rotation

auteur: JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .

Soit une plaque rectangulaire de dimensions $a = 0.2 \text{ m}$ et $b = 0.3 \text{ m}$, d'épaisseur $h = 0.01 \text{ m}$ de masse volumique $\rho = 7800 \text{ kgm}^{-3}$, de coefficient de Poisson $\nu = 0.3$, appuyée simplement sur ses bords et vibrant sur son premier mode propre. On admettra que la forme propre associée à ce premier mode propre est $\tilde{w}(x, y) = 0.005 \sin(\pi x/a) \sin(\pi y/b)$

Pour évaluer l'énergie cinétique, on peut prendre en compte ou non l'énergie cinétique de rotation d'une section droite. La pulsation propre sera donc différente. Si l'on appelle $\omega_{1sans}$ la pulsation propre sans prendre l'énergie cinétique de rotation en compte, et $\omega_{1avec}$ celle avec énergie cinétique de rotation, quelle est l'écart entre les deux modèles $ecart = \frac{\omega_{1sans} - \omega_{1avec}}{\omega_{1avec}}$, lorsque l'on considère le modèle de Kirschoff pour lequel la section droite reste perpendiculaire au feuillet moyen.

Pour quelle valeur de l'épaisseur de la plaque $h_{10}$, cet écart dépasse 10% ?

brevet 609 : Calcul d'un terme de la matrice de rigidité élémentaire
d'un élément fini de type poutre

auteur: JM Génevaux; ressource: [6] chapitre modélisation; autoattribution.

Soit un élément de poutre de direction $\vec{i}$ de largeur dans la direction $\vec{k} \ b = 0.01 \text{ m}$ de hauteur dans la direction $\vec{j} \ h = 0.01 \text{ m}$ reliant les noeuds 1 et 2 distants de la longueur de $l = 0.2 \text{ m}$. Cette poutre est en acier de coefficient de poisson $\nu = 0.3$ et de module de Young $E = 2.1 \ 10^{11}$ Pa. Les efforts généralisés sont reliés aux degrés de liberté par la matrice de rigidité élémentaires $K_e$ telle que,

$$
\begin{bmatrix}
F_{i1} \\
F_{j1} \\
F_{k1} \\
C_{i1} \\
C_{j1} \\
C_{k1} \\
F_{i2} \\
F_{j2} \\
F_{k2} \\
C_{i2} \\
C_{j2} \\
C_{k2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
u_{i1} \\
u_{j1} \\
u_{k1} \\
\omega_{i1} \\
\omega_{j1} \\
\omega_{k1} \\
u_{i2} \\
u_{j2} \\
u_{k2} \\
\omega_{i2} \\
\omega_{j2} \\
\omega_{k2}
\end{bmatrix}
.
\qquad (1.67)
$$

Quelle est la valeur de l'élément sur la 8ième ligne, 12ième colonne $K_{e812}$ ? Si un coefficient correctif de section est nécessaire, évaluez-le par éléments finis.
brevet 609 bis : Calcul d'un terme de la matrice de rigidité élémentaire d'un élément fini de type poutre

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .

Soit un élément de poutre de direction $\vec{i}$ de largeur dans la direction $\vec{k}$ $b = 0.01$ m de hauteur dans la direction $\vec{j}$ $h = 0.01$ m reliant les noeuds 1 et 2 distants de la longueur de $l = 0.2$ m. Cette poutre est en acier de coefficient de poisson $\nu = 0.3$ et de module de Young $E = 2.1 \ 10^{11}$ Pa. Les efforts généralisés sont reliés aux degrés de liberté par la matrice de rigidité élémentaires $K_e$ telle que,

$$ \begin{bmatrix} F_{i1} \\ F_{j1} \\ F_{k1} \\ C_{i1} \\ C_{j1} \\ C_{k1} \\ F_{i2} \\ F_{j2} \\ F_{k2} \\ C_{i2} \\ C_{j2} \\ C_{k2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_{i1} \\ u_{j1} \\ u_{k1} \\ \omega_{i1} \\ \omega_{j1} \\ \omega_{k1} \\ u_{i2} \\ u_{j2} \\ u_{k2} \\ \omega_{i2} \\ \omega_{j2} \\ \omega_{k2} \end{bmatrix}. \qquad (1.68) $$

Quelle est la valeur de l'élément sur la 3ième ligne, 6ième colonne $K_{e36}$?

brevet 609 ter : Nullité d'un terme de la matrice de rigidité élémentaire d'un élément fini de type poutre.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .

Soit un premier élément fini de type poutre droite dans la direction $\vec{i}$, qui relie le point 1 au point 2 distants de $l = 0.2$ m. La section droite de cet élément est un disque de diamètre $d = 0.01$ m. Cette poutre est en acier de coefficient de poisson $\nu = 0.3$ et de module de Young $E = 2.1 \ 10^{11}$ Pa. Les efforts généralisés sont reliés aux degrés de liberté par la matrice de rigidité élémentaires $K_e$ telle que,

$$ \begin{bmatrix} F_{i1} \\ F_{j1} \\ F_{k1} \\ C_{i1} \\ C_{j1} \\ C_{k1} \\ F_{i2} \\ F_{j2} \\ F_{k2} \\ C_{i2} \\ C_{j2} \\ C_{k2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_{i1} \\ u_{j1} \\ u_{k1} \\ \omega_{i1} \\ \omega_{j1} \\ \omega_{k1} \\ u_{i2} \\ u_{j2} \\ u_{k2} \\ \omega_{i2} \\ \omega_{j2} \\ \omega_{k2} \end{bmatrix}. \qquad (1.69) $$

Si le déplacement relatif de 2 par rapport à 1 n'est que dans la direction $\vec{i}$, seul des forces $F_{i1}$ et $F_{i2}$ sont nécessaires. Cela signifie que dans la septième colonne, seuls les coefficients $K_{e17}$ et $K_{e77}$ sont différents de 0.

En est-il de même dans le cas où l'élément fini est de type poutre courbe de rayon $r$ entre 1 et 2 et dont la longueur d'arc est $r\beta$ pour la même distance $l$ entre les deux noeuds ? (voir figure 1.37).
<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>Figure 1.37: Eléments finis droit et courbe.</figcaption></figure>

brevet 610 : Calcul numérique du moment quadratique en torsion d'une poutre de section triangulaire

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .

Soit une poutre de section triangulaire équilatérale de coté $a = 0.01$ m.

Par une résolution numérique sur un logiciel éléments finis, quel est le moment quadratique en torsion corrigé $I_0^c$ par les effets de cisaillement ? Sous un moment de torsion, la section droite reste-t-elle plane ?

brevet 610 bis : Calcul numérique du moment polaire en torsion d'une poutre de section circulaire creuse

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .

Soit une poutre de sections circulaire creuse de rayon extérieur $r_1 = 0.07$ m, et de rayon intérieur $r_2 = 0.05$ m.

Par une résolution numérique sur un logiciel éléments finis, quel est le moment polaire en torsion corrigé $I_0^c$ par les effets de cisaillement ? Sous un moment de torsion, la section droite reste-t-elle plane ?

brevet 610 ter : Calcul numérique du moment quadratique en torsion d'une poutre de section circulaire creuse fendue

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .

Soit une poutre de sections circulaire creuse de rayon extérieur $r_1 = 0.07$ m, et de rayon intérieur $r_2 = 0.05$ m. Cette section est coupée le long d'une génératrice du cylindre par fente de largeur $b = 0.002$ m.

Par une résolution numérique sur un logiciel éléments finis, quel est le moment polaire en torsion corrigé $I_0^c$ par les effets de cisaillement ? Sous un moment de torsion, la section droite reste-t-elle plane ?

brevet 610 quad: Calcul numérique de la section corrigée d'une poutre de section circulaire creuse

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .

Soit une poutre de sections circulaire creuse de rayon extérieur $r_1 = 0.07$ m, et de rayon intérieur $r_2 = 0.05$ m.

Par une résolution numérique sur un logiciel éléments finis, quelles sont les sections corrigées $S_y$ et $S_z$ lorsqu'elle est soumise respectivement à un effort tranchant $T_y$ et $T_z$. Sous ces efforts tranchants, la section droite reste-t-elle plane ?
brevet 610 quin : Calcul numérique des sections corrigées d'une
poutre de section circulaire creuse fendue

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .

Soit une poutre de sections circulaire creuse de rayon extérieur $r_1 = 0.07$ m, et de rayon intérieur $r_2 = 0.05$ m. Cette section est coupée le long de la génératrice du cylindre dans le plan $(H, x, z)$ par fente de largeur $b = 0.002$ m.

Par une résolution numérique sur un logiciel éléments finis, quelles sont les sections corrigées $S_y$ et $S_z$ lorsqu'elle est soumise respectivement à un effort tranchant $T_y$ et $T_z$. Sous ces efforts tranchants, la section droite reste-t-elle plane ?

brevet 610 sext : Calcul numérique des moments polaires de
poutres de section circulaire pleine et creuse

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .

Soit une poutre de section circulaire de rayon extérieur $r_1 = 0.07$ m.

Quel est le rayon extérieur $r_2$ de la poutre de section circulaire creuse qui a le même moment polaire corrigé et dont l'épaisseur $e = 0.001$ m entre rayon externe et interne ? La masse linéique de la poutre creuse est-elle plus petite que celle de la poutre pleine ?

brevet 610 sept : Calcul numérique des moments polaires de
poutres de section circulaire pleine et creuse fendues

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .

Soit une poutre de section circulaire de rayon extérieur $r_1 = 0.07$ m, fendue sur un rayon (entre son centre et une génératrice) par un trait de scie d'épaisseur $a = 0.001$ m.

Quel est le rayon extérieur $r_2$ de la poutre de section circulaire creuse (épaisseur $e = 0.001$ m entre rayon externe et interne) fendue par le même trait de scie, qui a le même moment polaire corrigé ? La masse linéique de la poutre creuse est-elle plus petite que celle de la poutre pleine ?

brevet 611 : Validité de fonctions de contrainte en vue du calcul théorique du moment polaire corrigé d'une poutre de section carrée

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .

Soit une poutre de section carrée de coté $2a$. On souhaite tester deux fonctions de contrainte :

$$
\phi_{1y,z} = A\left(\frac{y}{a} - 1\right)\left(\frac{y}{a} + 1\right)\left(\frac{z}{a} - 1\right)\left(\frac{z}{a} + 1\right), \quad (1.70)
$$

$$
\phi_{2y,z} = \sum A_{nm} \cos(n\pi y/(2a)) \cos(m\pi z/(2a)). \quad (1.71)
$$

Les équations sur les bords sont-elles vérifiées ?

brevet 612 : Choix de la meilleur fonction en vue du calcul théorique approché du moment polaire corrigé d'une poutre de section carrée

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .
Soit une poutre de section carrée de coté $2a$. On souhaite tester deux fonctions de contrainte :

$$ \phi_{1y,z} = A(y/a - 1)(y/a + 1)(z/a - 1)(z/a + 1), \qquad (1.72) $$

$$ \phi_{2y,z} = \sum A_{nm} \cos(n\pi y/(2a)) \cos(m\pi z/(2a)). \qquad (1.73) $$

En évaluant le laplacien de ces fonctions, dites celle qui peut correspondre à une fonction de contrainte en torsion pour cette section.

## brevet 613 : Calcul numérique à l'aide de RDM6 des forces critiques de flambement d'une poutre droite

Soit une poutre droite élancée, de longueur $L = 0.15$ m de section droite de largeur $b = 0.01$ m et d'épaisseur $h = 0.003$ m, de module de Young $E = 2.1 \times 10^{11}$ Pa.

Calculez à l'aide de RDM6, la force critique de flambement dans les cas suivants : encastrée-libre et encastrée-articulée.

## brevet 614 : Calcul numérique à l'aide de comsol des forces critiques de flambement d'une poutre droite

Soit une poutre droite élancée, de longueur $L = 0.15$ m de section droite de largeur $b = 0.01$ m et d'épaisseur $h = 0.003$ m, de module de Young $E = 2.1 \times 10^{11}$ Pa.

Calculez à l'aide de Comsol, la force critique de flambement $f_c$ d'une poutre encastrée-libre.

## brevet 615 : Calcul des contraintes $\sigma_{xx}$ dans une poutre de section droite rectangulaire non homogène symétrique

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .

Soit une poutre de sections rectangulaire de hauteur $h = 0.1$ m dans la direction $\vec{y}$, de largeur $b = 0.01$ m dans la direction $\vec{z}$ et de longueur $l = 2$ m dans la direction $\vec{x}$. Elle est encastrée à l'une de ses extrémités et chargée par un effort $\vec{F} = 1\vec{y}$ N à son autre extrémité. La poutre est faite en deux matériaux en volumes égaux: acier pour le volume dans la direction des $y$ positifs, et aluminium dans la direction des $y$ négatifs.

Par une résolution numérique sur un logiciel éléments finis, les champs de déplacements sont-ils continus à l'interface entre les deux matériaux ? Quelle est la valeur maximale de la discontinuité de la contrainte $\sigma_{xx}$ à l'interface entre les deux matériaux ? Dans quelle section droite, le voilement de la section droite est visible ?

## brevet 616 : Calcul théorique du moment polaire corrigé d'une poutre de section triangulaire

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .

Soit une poutre de section triangulaire equilatérale de coté $a = 0.01$ m.

Par une résolution analytique inspirée de la page 299 à 300 du livre [?], quel est le moment polaire corrigé $I_0^c$ par les effets de cisaillement ?
brevet 617 : Calcul des contraintes $\sigma_{xx}$ dans une poutre de section droite rectangulaire non homogène non symétrique

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .

Soit une poutre de sections rectangulaire de hauteur $h = 0.1$ m dans la direction $\vec{y}$, de largeur $b = 0.01$ m dans la direction $\vec{z}$ et de longueur $l = 2$ m dans la direction $\vec{x}$. Elle est encastrée à l'une de ses extrémités et chargée par un effort $\vec{F} = 1\vec{y}$ N à son autre extrémité. La poutre est faite en deux matériaux en volumes non égaux : acier pour 1/4 du volume dans la direction des $y$ positifs, et aluminium pour 3/4 du volume dans la direction des $y$ négatifs.

Par une résolution numérique sur un logiciel éléments finis, les champs de déplacements sont-ils continus à l'interface entre les deux matériaux ? Quelle est la valeur maximale de la discontinuité de la contrainte $\sigma_{Von-Mises}$ à l'interface entre les deux matériaux ?

brevet 618 : Calcul en petit déplacements d'une poutre console

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .

Soit une poutre dont la fibre moyenne lie les points A, B et C, avec $\vec{AB} = 1\vec{i}$ m, et $\vec{BC} = 0.03\vec{j}$ m.
La section droite de cette poutre est rectangulaire : pour le segment AB, de hauteur $h = 0.02$ m dans
la direction $\vec{j}$ et de largeur $b = 0.01$ m dans la direction $\vec{k}$, pour le segment BC, de hauteur $h = 0.02$ m
dans la direction $\vec{i}$ et de largeur $b = 0.01$ m dans la direction $\vec{k}$. Elle est encastrée en A et chargée en C
par une force $\vec{F} = -F\vec{i}$. La poutre est faite en acier.

Par une résolution numérique sur un logiciel éléments finis en petits déplacements, tracez l'évolution du déplacement total maximal mesuré sur la poutre en fonction de F compris entre 0 N et 50000 N. Pour la charge la plus grande, ce résultat est-il réaliste ?

brevet 619 : Calcul en grands déplacements d'une poutre console

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .

Soit une poutre dont la fibre moyenne lie les points A, B et C, avec $\vec{AB} = 1\vec{i}$ m, et $\vec{BC} = 0.03\vec{j}$ m.
La section droite de cette poutre est rectangulaire : pour le segment AB, de hauteur $h = 0.02$ m dans
la direction $\vec{j}$ et de largeur $b = 0.01$ m dans la direction $\vec{k}$, pour le segment BC, de hauteur $h = 0.02$ m
dans la direction $\vec{i}$ et de largeur $b = 0.01$ m dans la direction $\vec{k}$. Elle est encastrée en A et chargée en C
par une force $\vec{F} = -F\vec{i}$ N. La poutre est faite en acier.

Par une résolution numérique sur un logiciel éléments finis en grands déplacements (sur Comsol : study 1 ; step 1 ; include geometric nonlinearity ; cocher), tracez l'évolution du déplacement total maximal mesuré sur la poutre en fonction de F compris entre 0 et 5500 N. Pour plus de réalisme, tracez les résultats sur la déformée à l'échelle 1 (results ; 3Dplot group 1 ; surface 1 ; deformation scale ; scale factor 1 ; cocher). Si des problèmes de convergence apparaissent, vous devrez sans doute augmenter le nombre d'itérations possibles (solver configuration ; solver 1 ; stationnary solver, fully coupled, damping, maximum number of iteration ; saisir la valeur). Pour la charge la plus grande, ce résultat est-il réaliste ?

brevet 620 : Calcul numérique à l'aide de comsol du chargement de flambement d'une structure tridimensionnelle

Soit (Fig. 1.38) une poutre droite élancée, de longueur $L = 0.20$ m de section droite de largeur $b = 0.01$ m et d'épaisseur $h = 0.003$ m, de module de Young $E = 2.1e11$ Pa et de coefficient de Poisson 0.3. Elle relie les points géométriques A et B de coordonnées respectives dans un repère $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$: (0,0,0) et (0.2,0,0). Cette poutre est fixée sur la moitiée de sa longueur et sur la face appartenant au plan $(A,\vec{j},\vec{j})$ à une plaque d'épaisseur $e = 0.001$ m, de largeur $b_p = 0.1$ m et de longueur $l_p = 0.20$ m. Simulant une guitare, la tension
<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>Figure 1.38: Un modèle basic de guitare.</figcaption></figure>

de la corde est simulée par une force $F\vec{i}$ et un couple $C = -0.01F\vec{k}$ en deux points D de coordonnées (-0.1,0,0) appartenant à la plaque et au point B.

Calculez à l'aide de Comsol, la force critique de flambement $F_c$ pour cette structure.

## brevet 621 : Calcul numérique à l'aide de Comsol de la déformée d'une poutre droite très courte, à l'aide d'un modèle volumique

Soit une poutre droite dont la fibre moyenne relie les points A et B, de longueur $l = 0.006$ m dans la direction $\vec{i}$, de section droite de largeur $b = 0.01$ m dans la direction $\vec{k}$ et d'épaisseur $h = 0.003$ m dans la direction $\vec{j}$, de module de Young $E = 2.1e11$ Pa. Elle est encastrée en A et chargée par une force $\vec{F} = 150\vec{j}$ N en B. Cette structure est si peu élancée, que l'on souhaite faire un modèle volumique.

Calculez à l'aide de Comsol et d'éléments volumiques, le déplacement du point B. L'hypothèse faite en résistance des matériaux, qu'une section droite reste plane est-elle vérifiée ?

## brevet 622 : Calcul numérique à l'aide de RDM6 de la déformée d'une poutre droite

Soit une poutre droite dont la fibre moyenne relie les points A et B, de longueur $l$ dans la direction $\vec{i}$, de section droite de largeur $b = 0.01$ m dans la direction $\vec{k}$ et d'épaisseur $h = 0.003$ m dans la direction $\vec{j}$, de module de Young $E = 2.1e11$ Pa. Elle est encastrée en A et chargée par une force $\vec{F} = 150\vec{j}$ N en B.

Calculez à l'aide de RDM6, le déplacement du point B, dans les cas suivants :

* cas 1 : $l = 0.15$ m sans prise en compte du cisaillement,

* cas 2 : $l = 0.15$ m avec prise en compte du cisaillement,

* cas 3 : $l = 0.01$ m sans prise en compte du cisaillement,
* cas 1 : $l = 0.01$ m avec prise en compte du cisaillement,

brevet 623 : Calcul numérique à l'aide de RDM6 du coefficient correctif de section droite dans le cas du cisaillement

Soit une poutre droite dont la fibre moyenne relie les points A et B, de longueur $l$ dans la direction $\vec{i}$, de section droite de largeur $b = 0.01$ m dans la direction $\vec{k}$ et d'épaisseur $h = 0.003$ m dans la direction $\vec{j}$, de module de Young $E = 2.1 \times 10^{11}$ Pa. Elle est encastrée en A et chargée par une force $\vec{F} = 150 \vec{j}$ N en B.

Calculez à l'aide de RDM6, calculez le coefficient $k_y$ de correction de section pour l'évaluation des déplacement dus au cisaillement.

brevet 624 : Calcul numérique à l'aide de RDM6 de la déformée d'une poutre droite, avec un modèle bidimensionnel

Soit une poutre droite dont la fibre moyenne relie les points A et B, de longueur $l$ dans la direction $\vec{i}$, de section droite de largeur $b = 0.01$ m dans la direction $\vec{k}$ et d'épaisseur $h = 0.003$ m dans la direction $\vec{j}$, de module de Young $E = 2.1 \times 10^{11}$ Pa. Elle est encastrée en A et chargée par une force $\vec{F} = 150 \vec{j}$ N en B.

Calculez à l'aide de RDM6 et d'éléments bidimensionnels, le déplacement du point B, dans les cas suivants :

* cas 1 : $l = 0.15$ m

* cas 2 : $l = 0.006$ m

Dans ces deux cas, tracez le déplacement dans la direction $\vec{i}$ des points appartenant à la section droite de coordonnées $(l/2, \vec{y}, 0)$. La section se voile-t-elle de façon significative ?

brevet 625 : Calcul numérique à l'aide de RDM6 des contraintes maximales de Von-Mises d'une poutre droite

Soit une poutre droite dont la fibre moyenne relie les points A et B, de longueur $l = 0.1$ dans la direction $\vec{i}$, de module de Young $E = 2.1 \times 10^{11}$ Pa de coefficient de Poisson $\nu = 0.3$. Elle est appuyée simplement en A et en B chargée par une force $\vec{F} = 150 \vec{j}$ N au point C milieu de AB.

Calculez à l'aide de RDM6, la contrainte de Von-Mises maximale :

* cas 1 : la section est circulaire creuse de diamètre extérieur $d_e = 0.01$ m et de diamètre intérieur $d_i = 0.008$ m.

* cas 2 : la section est circulaire creuse de diamètre extérieur $d_e = 0.01$ m et de diamètre intérieur $d_i = 0.008$ m, une fente de largeur $e = 0.002$ m est présente sur une des génératrices appartenant au plan $(A, \vec{i}, \vec{k})$.
brevet 626 : Calcul numérique à l'aide de Comsol des contraintes maximales de Von-Mises d'une poutre droite.

Soit une poutre droite dont la fibre moyenne relie les points A et B, de longueur $l = 0.1$ dans la direction $\vec{i}$, de module de Young $E = 2.1 \times 10^{11}$ Pa de coefficient de Poisson $\nu = 0.3$. Elle est appuyée simplement en A et en B chargée par une force $\vec{F} = 150 \vec{j}$ N au point C milieu de AB.

Calculez à l'aide de Comsol et d'éléments volumiques, la contrainte de Von-Mises maximale :

• cas 1 : la section est circulaire creuse de diamètre extérieur $d_e = 0.01$ m et de diamètre intérieur $d_i = 0.008$ m.

• cas 2 : la section est circulaire creuse de diamètre extérieur $d_e = 0.01$ m et de diamètre intérieur $d_i = 0.008$ m, une fente de largeur $e = 0.002$ m est présente sur une des génératrices appartenant au plan $(A, \vec{i}, \vec{k})$.

brevet 627 : Calcul numérique à l'aide de RDM6 de la charge maximale d'une structure en treillis non articulée.

Soit une structure en treillis définie par la figure 1.39. Elle est constituée de poutres de diamètre $d = 0.05$ m, de module de Young $E = 2.1 \times 10^{11}$ Pa de coefficient de Poisson $\nu = 0.3$. Les coordonnées dans le repère $(A, \vec{i}, \vec{j})$ des points A,B,C,D,E sont respectivement : (0,0), (0,-2), (2,1), (2,2), (6,2). Les autres points sont définis comme les milieux des segments. Cette structure est chargée par une force $\vec{F} = -7280 \vec{j}$ N au point E.

Calculez à l'aide de RDM6 :

• le lieu et la valeur de la contrainte de Von-Mises maximale.

• la valeur maximale de la force à laquelle apparaît le flambement de la structure.

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>Figure 1.39: Une structure en treillis.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>Figure 1.40: La cabine d'amerissage d'Appolo 13.</figcaption></figure>

brevet 628 : Calcul numérique à l'aide de RDM6 de la charge maximale d'une structure en treillis articulée.

Soit une structure en treillis définie par la figure 1.39. Elle est constituée de barres de diamètre *d* = 0.05 m, de module de Young *E* = 2.1e11 Pa de coefficient de Poisson *ν* = 0.3. Les coordonnées dans le repère (A, i, j) des points A,B,C,D,E sont respectivement : (0,0), (0,-2), (2,1), (2,2), (6,2). Les autres points sont définis comme les milieux des segments. Cette structure est chargée par une force **F** = -7280j N au point E.

Calculez à l'aide de RDM6 :

* le lieu et la valeur de la contrainte de Von-Mises maximale.

* la valeur maximale de la force à laquelle apparaît le flambement de la structure.

brevet 629 : Calcul numérique à l'aide de COMSOL d'un problème axisymétrique.

Le module de Apollo 13 peut être simulé par un cône coupé (Fig. 1.40). Les dimensions du cône sont un diamètre à la base *d* = 4 m et un demi angle au sommet *alpha* = 35 degrés. On considérera que le matériau est de l'acier ($E$ = 2.1e11 Pa et $ν$ = 0.3 alias USN T30402 dans comsol) et que l'épaisseur de la coque est de *e* = 0.1 m. Lors de son entrée dans l'athmosphère, elle subit un freinage aérodynamique que l'on peut simuler grossièrement par une pression *p* bars sur la partie conique. Vous déterminerez cette pression *p* pour que la capsule subisse une décélération de 5g.

Calculez à l'aide de Comsol, le lieu et la valeur de la contrainte de Von-Mises maximale.

brevet 630 : type d'éléments, conditions aux limites et chargement, choix d'un modèle

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .

Regroupez-vous à quatre à une table. Choisissez collectivement une des images parmi celles de la figure 1.41. En 7 minutes, chrono en main, individuellement, écrivez chacun sur une feuille de papier : l'espace du problème (3D à 1D), la dimension des éléments (3D à 0D), le type d'éléments, les conditions
éventuelles de symétrie, les conditions de chargement, les conditions aux limites. An bout des 7 minutes, discutez de vos solutions respectives. Élaborez une solution collective et écrivez-la.

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>Figure 1.41: Différentes structures à modéliser.</figcaption></figure>

brevet 631 : type d'éléments, conditions aux limites et chargement, confrontation de

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] chapitre modélisation ; autoattribution .

Lors du brevet 630 pour l'une des structure vous avez défini un rapporteur de votre équipe.
Trouvez le rapporteur d'une autre équipe qui a travaillé sur la même structure, puis organisez une présentation à toute la classe, en 5 minutes chacun maximum, pour confronter vos modèles.
Dessinez sur Catia, l'esquisse représentée figure 1.42.

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>Figure 1.42: Esquisse de guidage.</figcaption></figure>

Il est important de respecter la cotation donnée et de déclarer explicitement les contraintes géométriques implicites qui ne sont pas nécessairement indiquées sur le dessin de définition. Un dessin de cotation n'est pas unique : pour une même pièce plusieurs jeux de cotes et de contraintes sont possibles. Il appartient au concepteur de choisir le jeu le plus fonctionnel en fonction de son besoin. Il est conseillé : de ne pas utiliser de sections sous-contraintes, de faire coïncider les plans de symétries des sections avec les traces des plans de référence, de déclarer explicitement ces symétries.

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia : sketcher, vue définie, plan d'esquisse,
brevet 633 : Catia, esquisse, arrondi

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, l'esquisse représentée figure 1.43.

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>Figure 1.43: Esquisse de rail.</figcaption></figure>

Il est important de respecter la cotation donnée et de déclarer explicitement les contraintes géométriques implicites qui ne sont pas nécessairement indiquées sur le dessin de définition. Un dessin de cotation n'est pas unique : pour une même pièce plusieurs jeux de cotes et de contraintes sont possibles. Il appartient au concepteur de choisir le jeu le plus fonctionnel en fonction de son besoin. Il est conseillé : de ne pas utiliser de sections sous-contraintes, de faire coïncider les plans de symétries des sections avec les traces des plans de référence, de déclarer explicitement ces symétries.

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia : sketcher, vue définie, plan d'esquisse, contrainte, miroir.

brevet 634 : Catia, esquisse, arrondi

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, l'esquisse représentée figure 1.44.

Il est important de respecter la cotation donnée et de déclarer explicitement les contraintes géométriques implicites qui ne sont pas nécessairement indiquées sur le dessin de définition. Un dessin de cotation n'est pas unique : pour une même pièce plusieurs jeux de cotes et de contraintes sont possibles. Il appartient au concepteur de choisir le jeu le plus fonctionnel en fonction de son besoin. Il est conseillé : de ne pas utiliser de sections sous-contraintes, de faire coïncider les plans de symétries des sections avec les traces des plans de référence, de déclarer explicitement ces symétries.

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia :
<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>Figure 1.44: Esquisse de plaque d'étanchéité.</figcaption></figure>
brevet 635 : Catia, esquisse, angle, parallélisme

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, l'esquisse représentée figure 1.45.

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>Figure 1.45: Esquisse de plaque anguleuse.</figcaption></figure>

Il est important de respecter la cotation donnée et de déclarer explicitement les contraintes géométriques implicites qui ne sont pas nécessairement indiquées sur le dessin de définition. Un dessin de cotation n'est pas unique : pour une même pièce plusieurs jeux de cotes et de contraintes sont possibles. Il appartient au concepteur de choisir le jeu le plus fonctionnel en fonction de son besoin. Il est conseillé : de ne pas utiliser de sections sous-contraintes, de faire coïncider les plans de symétries des sections avec les traces des plans de référence, de déclarer explicitement ces symétries.

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia : contrainte choisie,
brevet 636 : Catia, esquisse, angle, parallélisme

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, l'esquisse représentée figure 1.46.

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>Figure 1.46: Esquisse de bielle.</figcaption></figure>

Il est important de respecter la cotation donnée et de déclarer explicitement les contraintes géométriques implicites qui ne sont pas nécessairement indiquées sur le dessin de définition. Un dessin de cotation n'est pas unique : pour une même pièce plusieurs jeux de cotes et de contraintes sont possibles. Il appartient au concepteur de choisir le jeu le plus fonctionnel en fonction de son besoin. Il est conseillé : de ne pas utiliser de sections sous-contraintes, de faire coïncider les plans de symétries des sections avec les traces des plans de référence, de déclarer explicitement ces symétries.

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia :
brevet 637 : Catia, esquisse, angle, parallélisme

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, l'esquisse représentée figure 1.47.

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>Figure 1.47: Esquisse de cale angulaire.</figcaption></figure>

Il est important de respecter la cotation donnée et de déclarer explicitement les contraintes géométriques implicites qui ne sont pas nécessairement indiquées sur le dessin de définition. Un dessin de cotation n'est pas unique : pour une même pièce plusieurs jeux de cotes et de contraintes sont possibles. Il appartient au concepteur de choisir le jeu le plus fonctionnel en fonction de son besoin. Il est conseillé : de ne pas utiliser de sections sous-contraintes, de faire coïncider les plans de symétries des sections avec les traces des plans de référence, de déclarer explicitement ces symétries.

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia : insertion, opération, transformation, translation ; insertion, opération, transformation, rotaation ; sue cote, cld, objet, éditer formule ; chanfrein ; arrondi ;
brevet 638 : Catia, esquisse, angle, parallélisme

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, l'esquisse représentée figure 1.48.

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>Figure 1.48: Esquisse de butée réglable.</figcaption></figure>

Il est important de respecter la cotation donnée et de déclarer explicitement les contraintes géométriques implicites qui ne sont pas nécessairement indiquées sur le dessin de définition. Un dessin de cotation n'est pas unique : pour une même pièce plusieurs jeux de cotes et de contraintes sont possibles. Il appartient au concepteur de choisir le jeu le plus fonctionnel en fonction de son besoin. Il est conseillé : de ne pas utiliser de sections sous-contraintes, de faire coïncider les plans de symétries des sections avec les traces des plans de référence, de déclarer explicitement ces symétries.

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia :
brevet 639 : Catia, esquisse, angle, parallélisme

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, l'esquisse représentée figure 1.49.

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>Figure 1.49: Esquisse de loquet.</figcaption></figure>

Il est important de respecter la cotation donnée et de déclarer explicitement les contraintes géométriques implicites qui ne sont pas nécessairement indiquées sur le dessin de définition. Un dessin de cotation n'est pas unique : pour une même pièce plusieurs jeux de cotes et de contraintes sont possibles. Il appartient au concepteur de choisir le jeu le plus fonctionnel en fonction de son besoin. Il est conseillé : de ne pas utiliser de sections sous-contraintes, de faire coïncider les plans de symétries des sections avec les traces des plans de référence, de déclarer explicitement ces symétries.

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia :
brevet 640 : Catia, pièce, extrusion, enlèvement

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, la pièce représentée figure 1.50.

<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>Figure 1.50: Dessin de définition d'un support de guidage.</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia : sortir de l'atelier ; extrusion ; chanfrein ; congé d'arête ; poche
brevet 641 : Catia, pièce

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, la pièce représentée figure 1.51.

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>Figure 1.51: Dessin de définition d'un porte capteur.</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia :
brevet 642 : Catia, pièce

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, la pièce représentée figure 1.52.

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>Figure 1.52: Dessin de définition d'un porte miroir pour table optique.</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia :
brevet 643 : Catia, pièce

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, la pièce représentée figure 1.53.

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>Figure 1.53: Dessin de définition d'un diapason guide barre.</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia :
brevet 644 : Catia, pièce

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, la pièce représentée figure 1.54.

<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>Figure 1.54: Dessin de définition d'une équerre</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia :
brevet 645 : Catia, pièce, dépouille

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, la pièce représentée figure 1.55.

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>Figure 1.55: Dessin de définition d'un couteau repositionnable</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia :
brevet 646 : Catia, pièce

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, la pièce représentée figure 1.56.

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>Figure 1.56: Dessin de définition d'un étrier.</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia :
brevet 647 : Catia, pièce, combinaison

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, la pièce représentée figure 1.57.

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>Figure 1.57: Dessin de définition d'un guide.</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia : sélectionner la seconde pièce - insertion - opération
booléenne - intersection ; pour créer un volume à partir de deux esquisses dans des plans orthogonaux :
combinaison, sélection esquisse 1, sélection esquisse 2, ok.
brevet 648 : Catia, pièce

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, la pièce représentée figure 1.58.

<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>Figure 1.58: Dessin de définition d'une cale.</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia : congé d'arête ; sélectionner tout une ligne d'intersection,
Congé variable, sélectionner les points limites de chaque morceau d'arête, double clic sur chaque valeur
pour indiquer la valeur.
brevet 649 : Catia, pièce, esquisse sur un plan incliné

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, la pièce représentée figure 1.59.

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>Figure 1.59: Dessin de définition d'un support d'axe.</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia :
Dessinez sur Catia, la pièce représentée figure 1.60.

<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>Figure 1.60: Dessin de définition d'un guide bi-axe incliné.</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia : extrusion, poche, miroir, esquisse, poche,
brevet 651 : Catia, pièce, trou non débouchant

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, la pièce représentée figure 1.61. esquisse, miroir,

<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>Figure 1.61: Dessin de définition d'un shougeldorf.</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia : esquisse, extrusion, poche, congé arête.
brevet 652 : Catia, pièce, lamage

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, la pièce représentée figure 1.62.

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>Figure 1.62: Dessin de définition d'une bielle de tronçonneuse.</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia : arc passant par 3 points
brevet 653 : Catia, pièce, volume par révolution

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, la pièce représentée figure 1.63.

<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>Figure 1.63: Dessin de définition d'une poutine montréalaise.</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia :
brevet 654 : Catia, pièce,

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, la pièce représentée figure 1.64.

<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>Figure 1.64: Dessin de définition d'un piston de chaource.</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia : révolution, point, élément de construction, chanfrein, longueur1/longueur2
brevet 655 : Catia, pièce, répétition circulaire

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, la pièce représentée figure 1.65.

<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>Figure 1.65: Dessin de définition d'une poulie.</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia : corps, répétition circulaire, sélectionner une surface cylindrique afin de lui indiquer l'axe de rotation.
brevet 656 : Catia, pièce

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, la pièce représentée figure 1.66.

<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>Figure 1.66: Dessin de définition d'une fourchette de boite.</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia :
brevet 657 : Catia, pièce

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Dessinez sur Catia, la pièce représentée figure 1.67.

<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>Figure 1.67: Dessin de définition d'un rastibiac (du périgord).</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia :
# brevet 658 : Catia, mise en plan

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Faire la mise en plan sur Catia, du modèle volumique mep658.CATPart accessible sur la page moodle associée au cours, et reproduire le plus fidèlement possible (position des vues, échelles, format des cotes, cartouche, etc.) la figure 1.68.

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>Figure 1.68: Mise en plan d'un arbre.</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia : vue de face, choisir le plan en 3D, tourner la pièce, valider
au centre ; vue projetée, déplacer la souris
brevet 659 : Catia, mise en plan

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Faire la mise en plan sur Catia, du modèle volumique du brevet 640 que vous avez créé, en présentant vue de face, de droite, de dessus et isométrique, accompagnées d'un cartouche.

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia : se mettre dans la vue de face, la sélectionner, démarrer-
conception mécanique-drafting ; pour mettre les axes : habillage, axe centré ; pour nomenclature : édition,
fond de calque, (à droite) cadre et cartouche mettre a cotation : génération , génération pas à pas

brevet 660 : Catia, mise en plan

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Faire la mise en plan sur Catia, du modèle volumique du brevet 647 que vous avez créé, en présentant vue de face, de gauche, de dessus isométrique, accompagnées d'un cartouche.

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia : nouvelle vue ; vue isométrique ;

brevet 661 : Catia, assemblage

auteur : R Pommier ; ressource : [?] chapitre modélisation ; autoattribution .

Faire l'assemblage sur Catia, des modèles volumiques des pièces constituant un micromoteur (Fig.1.69).
Les fichiers du modèle volumique de chaque pièce sont accessible sur la page moodle associée au cours.

<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>Figure 1.69: Dessin d'ensemble d'un micro-moteur.</figcaption></figure>

Vous pouvez utiliser les fonctions de Catia :

brevet 701 : surface libre d'un fluide en statique

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .
On demande a des élèves de cinquième de dessiner le verre a moitié rempli d'eau de la figure de gauche lorsqu'on l'incline. Un bon nombre de ces élèves font un dessin du type de la figure 1.70 (!). En utilisant la relation fondamentale de la statique, démontrer que cette solution n'est pas stable si l'eau est dans son état fluide.

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>Figure 1.70: Un verre.</figcaption></figure>

## brevet 702 : tube en U

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .

Un tube en U ouvert aux deux bouts contient de l'eau. D'un coté on verse une hauteur $h = 100$ mm d'huile. On observe alors une différence de niveau $\Delta h = 15$ mm entre les deux cotés du U.

Quelle est la masse volumique de l'huile ?

<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>Figure 1.71: Un tube en U avec deux fluides de densités différentes.</figcaption></figure>

## brevet 703 : "Atmosphère ! Atmosphère ! Est-ce que j'ai une gueule d'atmosphère ?"

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .

On considère que la température de l'atmosphère décroît linéairement avec l'altitude à raison de 6.5° par km (hypothèse valable jusqu'à 11 000 m d'altitude) et que la masse molaire est constante. On rappelle que la masse molaire $M = 0,029 \text{ kg.mol}^{-1}$, La constante des gaz parfait $R = 8,314 \text{ J.K}^{-1}\text{.mol}^{-1}$, la température à la surface sera prise $T(h_0) = 273 + 15 \text{ K}$ et la pression $p(h_0) = 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}$.

Calculer la pression atmosphérique $p_1$ en fonction de l'altitude, et entre autres la valeur à 10 000 m. Comparer avec la solution isotherme $p_2$.

## brevet 704 : Forces résultantes sur un solide et centre de poussée.

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .
On considère un récipient formé par un demi parrallélépipède rempli d'eau (voir figure 1.72), dont les dimensions du volume fluide sont $a = 0.1 \text{ m}$, $b = 0.2 \text{ m}$ et $l = 0.4 \text{ m}$.

Calculer les forces s'exerçant sur les chaque paroi du récipient : $S_1, S_2, S_3$ et $S_4$. La somme de ces forces est-elle égale au poids du volume d'eau ?

<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>Figure 1.72: Un demi parrallélépipède remplis partiellement de fluide.</figcaption></figure>

## brevet 705 : Ventouses

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .

On trouve dans le commerce des systèmes à ventouse destinés à déplacer des plaques (vitre, bois, métal) de grande taille. Sur la figure 1.73 on voit un tel système déplaçant une plaque d'acier.

Si le diamètre $d$ des ventouses est de 20 cm quelle charge maximale théorique peut-on déplacer avec ce système à quatre ventouses ?

<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>Figure 1.73: Un système de levage par ventouses.</figcaption></figure>

## brevet 706 :

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .

On considère (figure 1.74) un barrage à hausse mobile constitué d'une paroi rectangulaire inclinée de 30° par rapport à la verticale, maintenue par une jambe de force maintenue perpendiculairement au barrage et fixée à mi-hauteur de celui-ci.
Calculer la force de compression *F* sur la jambe de force lorsque la hauteur d'eau est *h* = 8.5 m et la largeur du barrage dans la direction perpendiculaire à la figure *b* = 4.2 m. On négligera la masse de la plaque et on considèrera toutes les liaisons comme des liaisons pivot.

<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>Figure 1.74: Un barrage articulé.</figcaption></figure>

brevet 707 : Cuve sous pression.

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .

On considère une cuve de rayon *r* = 0.3 m, de longueur *l* = 1.2 m, d'épaisseur *e* = 0.01 m, sous une pression *p* = 20 bar (figure 1.75haut). On se pose la question de savoir si le risque d'arrachage dans le sens de la longueur est plus important que le risque d'éclatement latéral.

a) Considérant l'équilibre de la moitié d'une cuve coupée dans le sens transversal, considérant la résultante des forces de pression sur cette moitié de cuve, calculer les contraintes au niveau de la jonction entre les deux morceaux (surface en gris sur la figure 1.75milieu).

b) Considérant l'équilibre de la moitié d'une portion de cylindre coupé dans le sens longitudinal, calculer aussi la contrainte au niveau de la jonction entre les deux morceaux (surface en gris sur la figure 1.75bas).

c) Quelle section est la plus sollicitée ?

<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>Figure 1.75: Une cuve sous pression.</figcaption></figure>
brevet 708 : Archimède dans l'air.

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .

On pèse un cube de volume $v = 140 \text{ cm}^3$ de matériau léger sur une balance calibrée à l'aide d'une masse étalon. La balance indique une masse apparente $m_a = 4,724 \text{ g}$.

Sachant que la masse volumique de l'air $\rho = 1.3 \text{ kg.m}^{-3}$, quelle est la masse réelle $m_r$ du cube ?

brevet 709 : Archimède au pôle nord

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .

Un glaçon de volume $v = 10 \text{ cm}^3$, de masse volumique $\rho_g = 912 \text{ kg.m}^{-3}$ flotte dans un verre de diamètre $d = 0.1 \text{ m}$ rempli d'eau à ras bord.

Quel volume $v_d$ d'eau débordera du verre lorsque le glaçon aura fondu si l'on néglige les effets de ménisque.

brevet 710 : Les confitures de grand-maman.

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .

On considère un densimètre de géométrie similaire à une tige cylindrique de longueur $l = 0.25 \text{ m}$ et de section $s = 0.4 \text{ cm}^2$.

Calculer la masse $m$ du densimètre pour que celui-ci soit capable de mesurer des masses volumiques comprises entre $\rho_1 = 1500 \text{ kg.m}^{-3}$ et $\rho_2 = 2000 \text{ kg.m}^{-3}$?

brevet 711 : Archimède et la Vologne

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .

On considère un ballon en caoutchouc de masse négligeable gonflé à une pression relative par rapport à la pression athomosphérique $p_r = 0.1 \text{ bar}$. A cette pression le ballon a un volume $v_1 = 3 \text{ litres}$ et on admet que le volume du ballon est proportionnel à la pression relative dans le ballon. On entreprend de faire couler ce ballon au fond d'une piscine de profondeur $h = 2 \text{ m}$.

a) Quelle masse $m_1$ faut-il accrocher au ballon pour le faire couler (on néglige la poussée d'Archimède sur la masse) ?

b) Quelle masse $m_2$ faut-il laisser accrochée au ballon pour le maintenir au fond de la piscine ?

brevet 712 : Dérivée partielle et dérivée convective.

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .

On considère une rivière dans laquelle l'eau s'écoule avec un débit $q$ constant. On admet que la vitesse est uniforme sur une section. A une abscisse donnée $x = 0$ la rivière s'élargit suivant la loi $s(x) = s_0(1 + \frac{x}{x_0})$, avec $x_0 = 10 \text{ m}$, jusqu'à l'abscisse $x = 20 \text{ m}$ au-delà de laquelle la section est de nouveau constante (voir figure 1.76).

a) Si la vitesse à l'abscisse $x = 0$ est $v(0) = 10 \text{ m.s}^{-1}$, quelles sont les vitesses $v(10)$ et $v(20)$ ?

b) Calculer les accélérations $a(x)$ d'une particule se déplaçant avec le fluide, pour les abscisses $x = 0$, $x = 10$, $x = 20$ ?
<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>Figure 1.76: Elagissement progressif d'une rivière.</figcaption></figure>

## brevet 713 : Bernoulli vaporisé

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .

<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>Figure 1.77: Un vaporisateur.</figcaption></figure>

Un vaporisateur est constitué d'une bouteille dans laquelle plonge un tube de hauteur $h = 10$ cm débouchant sur un Venturi de rapport de contraction $d_1/d_2 = 3.16$ relié à une poire. Lorsqu'on appuie sur la poire le fluide de la bouteille est aspiré par le venturi et expulsé par le jet d'air pulsé par la poire.

Pour quelle pression minimale $p$ dans la poire le fluide est-il vaporisé, pour un débit de d'air $q_v = 10$ cm$^3$.s$^{-1}$ et un diamètre $d_2 = 1$ mm ? On négligera les pertes de charges et la bouteille est considérée non étanche, la pression dans la bouteille est la pression atmosphérique).

## brevet 714 : Bernoulli avec pertes de charges singulières

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .

Un jardinier arrose son jardin à l'aide d'un tuyau dont l'extrémité est inclinée de 45°. On cherche à calculer à quelle distance il arrose. La distance $d$ est donnée par $d = v^2/g$, avec $v$ la vitesse du jet et $g$ l'accélération de la pesanteur.

a) Si on néglige les pertes de charge. Si la presion d'alimentation $p_{alim} = 3$ bar, calculer la distance $d_1$ du jet.

b) On considère maintenant que les discontinuités du réseau et la présence du robinet auquel est relié le tuyau créent une perte de charge de coefficient $k = 9$ ($k$ définit par rapport à la section du tuyau). Calculer la nouvelle distance $d_2$ du jet.

c) Considérant que la distance $d_2$ n'est pas suffisante le jardinier décide de réduire la section terminale du tuyau $\frac{s_{jet}}{s_{tuyau}} = \frac{1}{3}$. Calculer la distance d'arrosage $d_3$.
brevet 715 : Ecoulement de Poiseuille

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .

Dans un tube incliné d'un angle d'un angle $\alpha$ variable on fait s'écouler une huile de masse volumique $\rho$ et de viscosité dynamique $\eta$ inconnue. On dispose d'un système permettant de comparer les pressions en deux points de la conduite distants d'une longueur $l$. On incline la conduite jusqu'à que la différence de pression soit nulle. Le débit est $q = 65 \text{ cm}^3 \cdot \text{s}^{-1}$. Le diamètre de la conduite est $d = 1 \text{ cm}$.

a) Ecrire l'équation de Bernoulli avec pertes de charge entre 1 et 2 et établir la relation entre la perte de charge et l'angle $\alpha$, telle que les pressions aux deux points de mesure soient égales.

b) En supposant l'écoulement laminaire déduire de la relation précédente le coefficient de viscosité de l'huile en fonction de $\alpha$.

c) Calculer le nombre de Reynolds. L'hypothèse d'un écoulement laminaire est-elle justifiée. Bernoulli avec pertes de charge régulières (abaque de Moody figure 1.78).

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>Figure 1.78: Abaque de Moody.</figcaption></figure>

brevet 716 : pertes de charge dans un tuyau

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .

Soit un tuyau de rugosité $r = 0.1 \text{ mm}$, de diamètre $d = 100 \text{ mm}$, et de longueur $l = 50 \text{ m}$ transportant de l'eau à 50° de viscosité dynamique $\eta = 0.55 \times 10^{-3} \text{ Pois}$ à un débit $q = 15 \text{ litres par seconde}$.

a) Calculer la perte de charge $\Delta h$ dans ce tuyau.

b) Calculer la puissance dissipée $P_{dis}$ dans ce tuyau.
brevet 717 : Seringue

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .

On considère une seringue de diamètre $D = 2$ cm remplie d'un fluide de viscosité dynamique $\mu = 10^{-3}$ Pa.s de masse volumique $\rho = 1000$ kg.m$^{-3}$, dont le piston est déplacé avec une vitesse $V_p = 1$ mm.s$^{-1}$. Cette seringue débouche sur une aiguille de longueur $l = 5$ cm qui est en fait un tuyau très étroit (capillaire) de diamètre $d = 0.2$ mm.

Calculer la force $F$ nécessaire pour faire avancer le piston à la vitesse $V_p$ (on néglige le frottement du piston). On pourra :

* calculer la vitesse du fluide dans l'aiguille,

* calculer le nombre de Reynolds dans l'aiguille,

* calculer la perte de charge dans l'aiguille,

* en déduire la pression dans la seringue,

* en déduire la force sur le piston.

brevet 718 : Théorème d'Euler : impact d'un jet

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .

On considère sur un jet d'eau vertical (voir figure 1.79) de débit $q$ et dont la vitesse initiale est $v_0 = \sqrt{2gh_0}$, avec $g$ l'accélération de la pesanteur et $h_0 = 30$ m une hauteur.

<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>Figure 1.79: Un jet d'au et une coupelle.</figcaption></figure>

a) Calculer la vitesse du jet en fonction à la hauteur $z_1 = 20$ m.

b) On pose une coupole hémisphérique de masse $m_1 = 20$ kg sur le jet et on suppose que, grâce à un système adéquat la coupole est stable sur le jet. Calculer la hauteur $z_2$ à laquelle la coupole va se stabiliser (on considèrera que le jet est dévié d'un angle $\alpha = \pi$ rad.

c) Pour quelle masse $m_2$ la coupole resterait-elle sur le sol ?

brevet 719 : Un sablier sur une balance

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .

On pose un sablier au repos (tout le sable en bas) sur une balance. On mesure alors son poids $mg$ avec $m = 0.02$ kg et $g$ l'accélération de la pesanteur. On retourne le sablier (voir figure 1.80).
<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>Figure 1.80: Un sablier sur une balance.</figcaption></figure>

a) Calculer la masse $m'$ de sable en chute libre si on considère que le sable s'écoule avec un débit $q = 0.001 \text{ kg.s}^{-1}$ constant et une vitesse initiale nulle. Pour ce faire, on pourra calculer le temps de chute supposé indépendant du sable déjà tombé.

b) Calculer la force $f$ exercée par le jet de sable sur le fond du sablier si on considère que le jet est dévié d'un angle de 90°.

c) Pendant l'écoulement du sable, la balance indique-t-elle le même poids ?.

## brevet 720 : Fusée Saturne V pour mission Apollo

auteur : J.-P. Dalmont ; ressource : [17] ; autoattribution .

La fusée saturne 5 est propulsée par un jet de débit massique $q_m = 13 \text{ tonnes/s}$. Sa masse est $m = 2700 \text{ tonnes}$ (dont $m_g = 1950 \text{ tonnes de gaz pour le premier étage}$).

a) Quelle est la vitesse du jet minimale $v_1$ pour faire décoller la fusée ?

b) On considère que la vitesse du jet est 1.5 fois la vitesse minimale arrondie à la centaine supérieure. Le jet étant issu de la chambre de combustion considérée comme un grand volume, quelle est la pression $p$ dans la chambre de combustion ?

c) Quel est le diamètre $d$ des buses d'éjection (on considère que la masse volumique du gaz éjecté est de $\rho_g = 1 \text{ kg/litre et qu'il y a 4 buses}$).

d) Quelle est la puissance $P$ du jet ? [Attention le résultat est énorme mais c'est normal ! NB : une centrale nucléaire EDF = 6GW].

e) Calculer la vitesse $v(t)$ de la fusée en fonction du temps (on supposera g constant).

f) Calculer le temps $t_1$ au bout duquel le réservoir est vide.

g) Calculer la vitesse finale $v(t_1)$ lorsque le réservoir est vide.

h) Cette vitesse est-elle suffisante pour échapper à l'attraction terrestre ? On supposera que l'ascension est verticale et on admettra que la vitesse minimale $v_2$ pour échapper à l'attraction terrestre est $v_2 = \sqrt{2gr}$ où $r = 6400 \text{ km est le rayon de la terre}$.

i) Calculer l'altitude $h$ au bout du temps $t_1$.

## brevet 800 : Détection dans son environnement personnel d'une structure modélisable par une poutre

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

En observant votre environnement, détectez une structure de type poutre, prenez-la en photo et déposez cette photo sur le net en un endroit accessible à tous (drive...). Puis, sur la page https://bimestriel.framapad.org/p/sd déposez le lien vers votre photo de structure.
brevet 801 : Définition des conditions aux limites et d'un chargement plausibles d'une structure modélisable par une poutre

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Pour la structure de type poutre de votre environnement que vous avez choisi, écrivez sur https://bimestriel.framapad.org/
les conditions aux limites et le chargement que vous considérez.

brevet 802 : Evaluation des conditions aux limites et d'un charge-
ment plausibles d'une structure modélisable par une poutre

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Pour une structure de type poutre déposée par un de vos collègues sur https://bimestriel.framapad.org/p/sdpbrevet800,
et pour laquelle une critique des conditions aux limites et chargements n'a pas été faite, déposez votre
critique personnelle de sa description ou félicitez-le.

brevet 803 : Repère local associé à une fibre moyenne

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Efforts intérieurs* et de
regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre en acier, de section circulaire de diamètre *d*, constituée d'un arc de cercle ABD de rayon *a* et d'un segment droit DE, dont les coordonnées des points A, B, D, E dans un repère orthonormé direct (i, j, k) sont respectivement (-*a*,0,0), (0,*a*,0), (*a*,0,0) et (3*a*,0,0).

On notera $H_1$ un point courant de la poutre AD tel que $\vec{A}H_1 = a\vec{i} + a \cos \theta \vec{i} + a \sin \theta \vec{j}$.

On notera $H_2$ un point courant de la poutre DE tel que $\vec{D}H_2 = s_2\vec{i}$.

Donnez les relations entre le repère global (i, j, k) et

• le repère local en $H_1 : (\vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1)$,

• le repère local en $H_2 : (\vec{x}_2, \vec{y}_2, \vec{z}_2)$,

ainsi que l'expression de *ds* par rapport aux paramètres *θ* et *s*₂.

brevet 804 : Fusée

auteur : N. Joly ; ressource : [?] ; autoattribution .

On observe qu'une fusée progresse dans l'atmosphère, horizontalement et sans accélération, avec une vitesse de 180 km/h par rapport à un point fixe de l'atmosphère, alors qu'elle présente une masse de 1000 kg et que ses moteurs éjectent par sa tuyère, à l'arrière, un débit de 1 kg/s de produits de combustion (comburant + carburant) à 360 km/h par rapport à la fusée. Elle subit aussi par effet de viscosité de l'air, une force $\vec{F}_a$ de résistance à sa progression.

En considérant les interactions entre les systèmes *fusée* et *gaz de combustion* pour étudier leurs actions réciproques,

1. Quelle est la force de poussée $\vec{F}_p$ exercée sur le corps de la fusée par l'éjection des gaz au travers de la tuyère, par effet de réaction ?

2. Quelle est la variation, par seconde, de la quantité de mouvement de la fusée $\frac{d\vec{p}}{dt}$ ?

3. Quelle est la force de résistance $\vec{F}_a$ ?
brevet 805 : Electron en balade... mais pas tant que cela.

auteur : N. Joly ; ressource : [?] ; autoattribution .

Un électron de charge $q = ?1, 602 \times 10^{-19}$ [C] et de masse $m = 9, 11 \times 10^{-31}$ [kg] est animé d'une vitesse $v = 100$ [m/s] par rapport à un repère galiléen et évolue dans un milieu de champs électrique $\vec{E}$ et gravitationnel $\vec{g}$ nuls, et de champ magnétique $\vec{B} = 5, 68 \times 10^{-8}$ [T]. Les vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{B}$ sont perpendiculaires.

1. Quelle(s) force(s) s'exerce(nt) sur cet électron (en module, direction, sens et point d'application) ?

2. Quelle est la puissance reçue par l'électron sous l'effet de cette (ces) force(s) ?

3. Quelle est l'accélération reçue par l'électron, peut on déterminer sa trajectoire ?

brevet 806 : Freinage d'un véhicule.

auteur : N. Joly ; ressource : [?] ; autoattribution .

Un véhicule (Fig. 1.81), de masse totale $M = 1000$ kg et lancé à la vitesse $v_0 = 60$ km/h par rapport à un référentiel galiléen, est immobilisé suite à $t = 3$ s de freinage uniforme. Cette opération est assurée par quatre freins à disque, montés entre le châssis et les roues, qui développent chacun un couple $C$ identique. Le diamètre extérieur de chaque roue (épaisseur de pneu comprise) mesure $d = 60$ cm. Le châssis repose sur les roues par l'intermédiaire de quatre ressorts de suspension, de raideur en translation $k = 2.5$ kN/m. les essieux avant et arrière sont distants de $l = 2.50$ m. Seule l'inertie en translation de la masse $M$ est ici considérée, concentrée au centre du véhicule : le moment d'inertie en rotation des roues, du châssis et de toutes les pièces du moteur sont négligées.

<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>Figure 1.81: Freinage d'un véhicule.</figcaption></figure>

1. Quelle est, en direction et en module, la décélération $\vec{a}$ subie par le véhicule ?

2. Quelle force d'adhérence $\vec{F}_{rs}$ = est nécessaire au contact de chaque roue avec le sol pour obtenir cette décélération ?

3. Quel couple $\vec{C}_1$ doit être développé par chaque disque de frein pour appliquer une telle force de freinage ?

4. L'inertie en rotation du châssis étant négligée, quel autre couple $\vec{C}_2$ doit être appliqué au châssis pour satisfaire la conservation du moment cinétique ? Quelle(s) force(s) $\vec{F}_c$ peuvent développer un tel couple ?

5. Compte tenu de la raideur $k$ des suspensions, quelle est alors la flèche (l'élongation) $e_{avant}$ et $e_{arriere}$ subie par les ressorts de suspensions du véhicule au cours de cette phase de freinage ? Dans quel sens bascule le véhicule ?

6. Quelle est la quantité de chaleur qui a été dégagée par friction sur les disques à l'issue de cette phase de freinage ?
brevet 807 : Un p'tit vol ?

auteur : J.M. Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Christine, d'une masse $m_c = 56 \text{ kg}$ grimpe en tête une paroi en dévers. Julien, de masse $m_j = 75 \text{ kg}$, l'assure au pied de la falaise avec une corde qui a une raideur pour 1 mètre de longueur $k_{1m} = 10000 \text{ N/m}$. La distance entre Julien et la dernière dégaine posée par Christine est de $d_1 = 23 \text{ m}$. Alors qu'elle se situe à $h = 3 \text{ mètres}$ au dessus de la dernière dégaine qu'elle a posée, sa main glisse et c'est le vol !

1. Sur quelle longueur $l$ tombe-t-elle en chute libre ?

2. Au moment où la corde se tend, quelle est la raideur $k$ de l'ensemble de la corde entre Julien et Christine, et quelle est l'énergie cinétique $T$ de Christine ?

3. Pendant la phase de ralentissement de la chute, Christine subit-elle une décélération constante ?

4. Après quelques oscillations, Christine est suspendue dans le vide, immobile. Quelle est la distance $d_2$ entre Christine et sa dernière dégaine ?

5. Quelle est la force de cohésion dans la corde $F_c$, 1 m au dessus de Christine ?

6. En quoi s'est transformée l'énergie cinétique de Christine ?

brevet 808 : Ordres de grandeur?

auteur : J.M. Génevaux et collègues; ressource : [?] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe "Homogénéité, adimension-alisation" et de regarder les vidéos afférentes.

Faites le qcm1a001 disponible sur http://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php?id=403. mot de passe : retraitea60ans

Obtenez, si nécessaire en le refaisant, au moins 90% de réponses exactes.

brevet 809 : Contraintes dans un plot en compression, ajusté
dans un contenant cylindrique parfaitement lubrifié

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *1ère cinématique* et de regarder
les vidéos afférentes.

Soit un cylindre de direction $\vec{j}$, de section droite circulaire de diamètre $d = 10 \text{ mm}$, en aluminium
AU4G, de longueur $l = 50 \text{ mm}$, ajusté dans un contenant cylindrique indéformable parfaitement lubrifié.
Ce plot est soumis à une force $\vec{F} = -200\vec{j}$ sur sa surface supérieure. Sa surface inférieure est bloquée en
translation par une surface de normale $\vec{j}$. Sous cette charge, la surface supérieure se déplace d'une valeur
$\vec{u} = -u\vec{j}$.

Quelles sont les contraintes dans ce plot ? Quelle est la force négative maximale pour ne pas dépasser
la limite d'élasticité ?

brevet 810 : Contraintes dans un plot en compression posé sur
un plan parfaitement lubrifié

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .
Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *2nd cinématique* et de regarder
les vidéos afférentes.

Soit un cylindre de direction $\vec{j}$, de section droite circulaire de diamètre $d = 10$ [mm], en aluminium
AU4G, de longueur $l = 50$ [mm]. Ce plot est soumis à une force $\vec{F} = -200\vec{j}$ [N] sur sa surface supérieure.
Sa surface inférieure est bloquée en translation dans la direction $\vec{j}$ par une surface parfaitement lubrifiée.
Sous cette charge, la surface supérieure se déplace d'une valeur $\vec{u} = -\vec{u}\vec{j}$.

Quelles sont les contraintes dans ce plot ? Quelle est la force maximale pour ne pas dépasser la limite
d'élasticité ?

brevet 811 : Réaliser expérimentalement une structure en spaghettis qui respecte un cahier des charges en statique

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de gestions des aléas, de statique des poutres, d'éléments finis ; autoattribution .

Dans le cadre du projet intégrateur, réaliser expérimentalement et sans calculs, une structure en spaghettis qui respecte un cahier des charges en statique.

brevet 812 : Modéliser par éléments finis une structure en spaghettis qui respecte un cahier des charges en statique.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de gestions des aléas, de statique des poutres, d'éléments finis ; autoattribution .

Dans le cadre du projet intégrateur, modéliser par éléments finis une structure en spaghettis qui respecte un cahier des charges en statique.

brevet 813 : Optimiser la masse par calcul éléments finis, d'une structure en spaghettis qui respecte un cahier des charges en statique.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de gestions des aléas, de statique des poutres, d'éléments finis ; autoattribution .

Dans le cadre du projet intégrateur, optimiser la masse par calcul éléments finis, d'une structure en
spaghettis qui respecte un cahier des charges en statique.

brevet 814 : Prendre en compte la variabilité de résistance des spaghettis pour optimiser la masse par calcul éléments finis, d'une structure en spaghettis qui respecte un cahier des charges en statique.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de gestions des aléas, de statique des poutres, d'éléments finis ; autoattribution .

Dans le cadre du projet intégrateur, prendre en compte la variabilité de résistance des spaghettis pour optimiser la masse par calcul éléments finis, d'une structure en spaghettis qui respecte un cahier des charges en statique.
brevet 815 : Vérifier expérimentalement, pendant la barbecue de l'ensim, que la structure en spaghettis optimisée en masse respecte un cahier des charges en statique (résistance et rupture).

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de gestions des aléas, de statique des poutres, d'éléments finis ; autoattribution .

Dans le cadre du projet intégrateur, vérifier expérimentalement, pendant la barbecue de l'ensim, que la structure en spaghettis optimisée en masse respecte un cahier des charges en statique (résistance et rupture).

brevet 816 : Optimiser en masse une structure en spaghettis qui respecte un cahier des charges en dynamique (résistance et rupture).

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de gestions des aléas, de statique des poutres, d'éléments finis ; autoattribution .

Dans le cadre du projet intégrateur, optimiser une structure en spaghettis qui respecte un cahier des charges en dynamique (résistance et rupture).

brevet 817 : Vérifier expérimentalement, le jour du barbecue de l'Ensim, que la structure est optimisée en masse et respecte un cahier des charges en dynamique (résistance et rupture).

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de gestions des aléas, de statique des poutres, d'éléments finis ; autoattribution .

Dans le cadre du projet intégrateur, vérifier expérimentalement, le jour du barbecue de l'Ensim, que la structure est optimisée en masse et respecte un cahier des charges en dynamique (résistance et rupture).

brevet 818 : Négligence des déplacements dus à une composante du torseur des efforts intérieurs.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de gestions des aléas, de statique des poutres, d'éléments finis ; autoattribution .

Pour une poutre droite encastrée à l'une de ses extrémités et chargée transversalement à l'autre, le déplacement dû au moment fléchissant est-il négligeable devant le déplacement du à l'effort tranchant ?

brevet 819 : Structure mixte : poutre droite et système discret accrochés

Soit une poutre reliant les points A et B par un segment de droite de longueur *l* (Fig. 1.82). Le module de Young de cette poutre est *E*, son moment quadratique par rapport à un axe perpendiculaire à la figure est *I*, sa masse volumique est *ρ* et l'aire de sa section droite est *S*. Est accrochée à cette poutre au point milieu de AB et en B, un système discret tel que représenté.

On notera $f_1(s_1)$ la fonction de déplacement transverse sur le segment AB, avec $s_1$ repérant la distance entre A et un point courant $H_1$ de la poutre.
<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>Figure 1.82: Une poutre équipée d'un système discret.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>Figure 1.83: Le viaduc de Millau.</figcaption></figure>

Si l'on prend pour $f_1(s_1)$ la fonction polynomiale la plus simple, telles que le déplacement vertical de B soit $f_1(l) = \alpha$ quelle est la première pulsation propre de ce système mixte calculée par la méthode itérative de Rayleigh ? On considérera que $\rho Sl = m$ et que $EIl = k$.

### brevet 820 : Isolement d'un tronçon de poutre

Sur le viaduc de Millau, on s'intéresse au tablier entre deux poteaux.

Isoler ce tablier et décrire les conditions aux limites et les chargements.

### brevet 821 : Est-ce une sollicitation de traction/compression ?

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Méthode de calcul : détermination des limites d'élasticité* et de regarder les vidéos afférentes.

Sur le viaduc de Millau, on s'intéresse au tablier entre deux poteaux.

On considérera la structure lors de sa construction, donc quand le poteau vertical est construit, que de part et d'autre de ce poteau, de chaque coté et symétriquement, les tabliers sont installés par tronçons en étant soutenu par les câbles.
<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>Figure 1.84: Le viaduc de Millau.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>Figure 1.85: Le viaduc de Millau.</figcaption></figure>

Le tablier est-il sollicité en traction/compression ? Est-ce la seule sollicitation ?

## brevet 822 : Est-ce une sollicitation de traction/compression ?

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Méthode de calcul : détermination des limites d'élasticité* et de regarder les vidéos afférentes.

Sur le viaduc de Millau, on s'intéresse à la flèche au dessus du poteau qui débute au niveau du tablier.

La flèche est-elle sollicitée en traction/compression ? Est-ce la seule sollicitation ?

## brevet 823 : Calcul des contraintes de traction/compression pour une poutre de section variable.

Sur le viaduc de Millau, on s'intéresse aux contraintes dans la flèche. Supposons que la flèche en béton ait une section droite de section circulaire creuse de rayon extérieur à sa base $r_1 = 0.6$ m et intérieur à sa base $r_2 = 0.5$ m et au sommet de la flèche $h = 30$ m plus haut, de rayon extérieur $r_3 = 0.3$ m et intérieur $r_4 = 0.2$ m. Supposons que chacun des 11 câbles de chaque coté de la flèche est relié à l'extrémité supérieure de la flèche et que chacun des câbles exerce une force dont la composante verticale est de module $1.5 \times 10^5$ N.
<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>Figure 1.86: Le viaduc de Millau.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>Figure 1.87: Le viaduc de Millau.</figcaption></figure>

Quelles sont les contraintes en haut $\sigma_h$, au milieu $\sigma_m$ et en bas $\sigma_b$ de la flèche ?

brevet 824 : Calcul des contraintes de traction/compression pour une poutre de section constante.

Sur le viaduc de Millau, on s'intéresse aux contraintes dans la flèche. Supposons que la flèche en béton ait une section droite de section circulaire creuse de rayon extérieur $r_1 = 0.6$ m et intérieur à sa base $r_2 = 0.5$ m. Ces rayons sont contants le long de la poutre jusqu'au sommet de la flèche situé $h = 30$ m plus haut. Supposons que chacun des 11 cables de chaque coté de la flèche est relié à l'extrémité supérieure de la flèche et qu'il exerce une force dont la composante verticale est de module $1.5 \times 10^5$ N.

Quelles sont les contraintes en haut $\sigma_h$, au milieu $\sigma_m$ et en bas $\sigma_b$ de la flèche ?

brevet 825 : Calcul des contraintes induites par une sollicitation de traction/compression pour une poutre de section optimisée en fonction de la longueur.

Sur le viaduc de Millau, on s'intéresse aux contraintes dans la flèche. Le constructeur a le choix entre faire une flèche de section constante ou faire une flèche de section diminuant avec la hauteur.

Quel est la solution optimale ?
<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>Figure 1.88: Le viaduc de Millau.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>Figure 1.89: Le viaduc de Millau.</figcaption></figure>

brevet 826 : Calcul des déplacements induits par une sollicitation de traction/compression pour une poutre de section constante.

Sur le viaduc de Millau, on s'intéresse aux contraintes dans la flèche. Supposons que la flèche en béton ait une section droite de section circulaire creuse de rayon extérieur $r_1 = 0.6$ m et intérieur à sa base $r_2 = 0.5$ m. Ces rayons sont contants le long de la poutre jusqu'au sommet de la flèche situé $h = 30$ m plus haut. Supposons que chacun des 11 cables de chaque coté de la flèche est relié à l'extrémité supérieure de la flèche et qu'il exerce une force dont la composante verticale est de module $1.5 \times 10^5$ N.

Quelles sont les déplacements verticaux en haut $u_h$ et au milieu $u_m$ de la flèche ? On notera $u_b$ le déplacement du point inférieur de la flèche.
<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>Figure 1.90: Le viaduc de Millau.</figcaption></figure>

brevet 827 : Calcul des déplacements induits par une sollicitation
de traction/compression pour une poutre de section variable.

Sur le viaduc de Millau, on s'intéresse aux contraintes dans la flèche. Supposons que la flèche en béton ait une section droite de section circulaire creuse de rayon extérieur à sa base $r_1 = 0.6$ m et intérieur à sa base $r_2 = 0.5$ m et au sommet de la flèche $h = 30$ m plus haut, de rayon extérieur $r_3 = 0.3$ m et intérieur à sa base $r_4 = 0.2$ m. Supposons que chacun des 11 cables de chaque coté de la flèche est relié à l'extrémité supérieure de la flèche et qu'il exerce une force dont la composante verticale est de module $1.5 \times 10^5$ N.

Quelles sont les déplacements verticaux en haut $u_h$ et au milieu $u_m$ de la flèche ? On notera $u_b$ le déplacement du point inférieur de la flèche.

brevet 828 : Calcul d'un chargement maximal pour ne pas dépasser
la limite d'élasticité d'une poutre sollicitée en traction/compression.

Sur le viaduc de Millau, on s'intéresse aux contraintes dans la flèche. Supposons que la flèche en béton ait une section droite de section circulaire creuse de rayon extérieur à sa base $r_1 = 0.6$ m et intérieur à sa base $r_2 = 0.5$ m et au sommet de la flèche $h = 30$ m plus haut, de rayon extérieur $r_3 = 0.3$ m et intérieur à sa base $r_4 = 0.2$ m. Supposons que chacun des 11 cables de chaque coté de la flèche est relié à l'extrémité supérieure de la flèche et qu'il exerce une force dont la composante verticale est de module $1.5 \times 10^5$ N. En cas d'embouteillage, les véhicules ne respectent pas la distance intervéhicules préconisée. La tension des cables augmente et donc la composante verticale de cette force sur la flèche.

Si on appelle $\beta$, le coefficient tel que la composante verticale de l'action d'un cable sur la flèche soit $\beta \times 1.5 \times 10^5$ N, quelles est la valeur maximale de $\beta$ pour ne pas dépasser la limite d'élasticité dans la flèche ?

brevet 829 : Est-ce une sollicitation de torsion ?

Après une agréable journée de travail à la fac ("Si, si, cela est possible !" ), vous rentrez chez vous et glissez la clef dans la serrure. Avec le pouce et l'index, vous tentez de tourner la clef, mais elle résiste.

Quelle partie de la clef est-il sollicitée en torsion ? Est-ce la seule sollicitation ?
<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>Figure 1.91: Le viaduc de Millau.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>Figure 1.92: Une clef.</figcaption></figure>

## brevet 830 : Contrainte de cisaillement maximale en torsion.

Après une seconde journée de travail agréable à la fac ("Si, si, cela se confirme !" ), vous rentrez chez vous et glissez dans la serrure la clef dont le diamètre de l'axe est $d = 5$ mm. Avec le pouce et l'index, vous tentez de tourner la clef, mais elle résiste à nouveau. Vous augmentez progressivement les forces exercées par vos deux doigts sur la clef jusqu'à créer un couple de $C = 0.12 \text{ N.m}$. Bref, la moutarde vous monte au nez.

Quelle est la contrainte maximale de cisaillement dans le tronçon sollicité en torsion ?

## brevet 831 : Rotation entre deux points due à une sollicitation en torsion.

Après une troisième journée de travail agréable à la fac ("Quel bonheur d'être en cours de RDM !" ;) ), vous rentrez chez vous et glissez dans la serrure la clef en acier dont le diamètre de l'axe est $d = 5$ mm. Avec le pouce et l'index, vous tentez de tourner la clef, mais elle résiste à nouveau malgré l'huile de graissage que

<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>Figure 1.93: Une clef.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>Figure 1.94: Une clef.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>Figure 1.95: Une clef.</figcaption></figure>

vous avez inséré hier. Après avoir poussé quelques cris que la décence m'empêche de reproduire dans ce document, vous saississez la clef à pleine main jusqu'à créer un couple de C = 0.20 N.m. Bref, la fumée vous sort par les oreilles. Vous sentez bien que c'est le point de l'axe à une distance b = 5 cm des oreilles de la clef qui est bloqué.

Quel l'angle de rotation $\beta$ de l'oreille de la clef ?

## brevet 832 : Chargement maximal pour une poutre en torsion.

Après une quatrième journée de travail à la fac bien moins agréable car vous n'avez pas eu RDM, vous rentrez chez vous et glissez dans la serrure la clef en acier avec une limite d'élasticité de $\sigma_{ce} = 60$ Mpa, dont le diamètre de l'axe est $d = 5$ mm. Avec le pouce et l'index, vous tentez de tourner la clef, mais elle résiste à nouveau malgré vos émissions acoustiques de la veille. Vous saississez la clef à deux mains, tentez de la tourner... et "Crac!", les oreilles de la clef restent dans votre main, l'autre moitié restant insérée dans la serrure.

Quel est le couple de torsion C que vous avez appliqué ? Pour ce couple, si la section avait été carrée de coté $a = 5$ mm au lieu de circulaire de diamètre $d = 5$ mm, la clef aurait-elle cassé ?

## brevet 833 : Est-ce une sollicitation de flexion pure ?

Enfin, au fin fond de la campagne sarthoise, le département a décidé d'installer la fibre pour que les habitants de Beaumont Pied de Beaufs ne soient pas ravitaillés avec un débit internet tellement lent qu'on dirait qu'il est assuré par un vol de corbeau déplumé. Gérard, technicien de la compagnie *Vlatipaslafibre*, du haut de sa nacelle, doit fixer le support du câble qui contient la fibre optique. Pour ce faire, il utilise une tarière, et autours de l'axe de celle-ci qu'il maintient horizontal, la fait perforer le poteau en agissant avec ces deux mains sur chacune des extrémités (Fig 1.96). Vous considérerez que la tarière horizontale a déjà pénétré dans le poteau vertical, et donc qu'ils ne forment qu'une seule poutre : Gérard peut la lâcher car elle tient toutes seule dans le poteau. Les efforts de Gérard pour la faire pénétrer ne sont que deux forces opposées aux extrémités des manivelles : Gérard ne pousse pas en avant dans l'axe de la tarière.

Faites un dessin de la structure en positionnant les liaisons, le repère global et les éventuels repères locaux.
<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>Figure 1.96: Quelques exemples de tarière à bois.</figcaption></figure>

Le poteau est-il sollicité en flexion pure ?

L'axe de la tarière est-il sollicité en flexion pure ?

Chaque manivelle est-elle sollicitée en flexion pure ?

brevet 834 : Chargement réparti de couples

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours techno-mécanique ; autoattribution .

Soit une poutre droite AB en acier de longueur $l = 2 \text{ m}$ d'axe $\vec{i}$, de section droite rectangulaire de coté $a = 0.01 \text{ m}$ dans la direction $\vec{j}$ et $b = 0.02 \text{ m}$ dans la direction $\vec{k}$, soumise tout son long à une répartition de couples par unité de longueur $\vec{c} = 1\vec{j}$ N.m/m. Le point A est encastré. Le repère $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est direct.

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points, les éventuels repères locaux, les liaisons et les chargements.

Quel est le déplacement du point B ?
brevet 835 : Chargement maximal admissible en flexion pure.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours techno-mécanique ; autoattribution .

Soit une poutre droite AB en acier de longueur $l = 2$ m d'axe $\vec{i}$, de section droite rectangulaire de coté $a = 0.01$ m dans la direction $\vec{j}$ et $b = 0.02$ m dans la direction $\vec{k}$, soumise tout son long à une répartition de couples par unité de longueur $\check{c} = c\check{j}$ N.m/m. Le point A est encastré. Le repère $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est direct.

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points, les éventuels repères locaux, les liaisons et les chargements.

Quelle est la valeur maximale de c pour ne pas dépasser la limite d'élasticité en un point de la poutre ?
brevet 836 : Chargement maximal admissible pour un assemblage
de poutres.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours techno-mécanique ; autoattribution .

Soit les points A, B, D et E dont les coordonnées dans un repère orthonormé direct (i, j, k) sont respectivement (0,0,0), (2l,0,0), (2l,3l,0) et (3l,3l,0), avec l = 0.5 [m] Une poutre en aluminium est faite par l'assemblage des segments AB, BD et DE. La section droite est rectangulaire de coté a = 0.01 [m] dans la direction j et b = 0.02 [m] dans la direction k. Le point A est en appui simple, le point B en appuis sur rouleau de normale j, le chargement est une force en E F = -9.81j [N].

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points, les éventuels repères locaux, les liaisons et les chargements.

La limite d'élasticité est-elle dépassée ?
brevet 837 : Déplacement et rotation pour un assemblage de poutres.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours techno-mécanique ; autoattribution .

Soit les points A, B, D et E dont les coordonnées dans un repère orthonormé direct (i, j, k) sont respectivement (0,0,0), (2l,0,0), (2l,3l,0) et (3l,3l,0), avec l = 0.5 [m] Une poutre en aluminium est faite par l'assemblage des segments AB, BD et DE. La section droite est rectangulaire de coté a = 0.01 [m] dans la direction j et b = 0.02 [m] dans la direction k. Le point A est en appui simple, le point B en appuis sur rouleau de normale j, le chargement est une force en E $\vec{F}$ = -9.81j [N].

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points, les éventuels repères locaux, les liaisons et les chargements.

Quel est le torseur de déplacements au point E ?
brevet 838 : Détermination d'une inconnue hyperstatique extérieure.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours techno-mécanique ; autoattribution .

Soit les points A, B, et D dont les coordonnées dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$) sont respectivement (a,0,0), (a/√2,a/√2,0) et (0,a,0), avec $a = 0.6$ [m]. Une poutre en aluminium est faite par un arc de cercle de centre l'origine du repère et de rayon a, qui passe donc par les points A, B et D. La section droite est carrée de coté $b = 0.01$ [m]. Le point A est en appui simple, le point D en liaison glissière d'axe $\vec{j}$, le chargement est une force $\vec{F} = 57$ [N] $\vec{i}$ au point B. Ce système est hyperstatique. Vous choisiserez comme inconnue hyperstatique extérieure, le couple en D.

Quelle est la valeur de cette inconnue hyperstatique ?

brevet 839 : Détermination d'une inconnue hyperstatique intérieure.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours techno-mécanique ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Résolution de systèmes hyperstatiques - intérieurement* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit les points A, B, et D dont les coordonnées dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$) sont respectivement (a,0,0), (a/√2,a/√2,0) et (0,a,0), avec $l = 0.6$ [m]. Une poutre en aluminium est faite par un arc de cercle de centre l'origine du repère et de rayon a, qui passe donc par les points A, B et D. La section droite est carrée de coté $b = 0.01$ [m]. Le point A est en appui simple, le point D en appuis sur rouleau de normale $\vec{i}$, le chargement est une force $\vec{F} = 57$ [N] $\vec{i}$ au point B. Un autre segment de poutre droite en aluminium de section circulaire de rayon $r = 0.002$ [m] relie le point A au point B.

Quelle est la valeur de l'effort normal dans la poutre droite AB ?

brevet 840 : Repère local, repérage et parties aval et amont.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours techno-mécanique ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe "Les Outils" et de regarder
les vidéos afférentes.

Soit la structure formée d'une poutre connectée au repère global ($\vec{i}, \vec{vecy}, \vec{z}$) et subissant des chargements tels que représentés figure 1.97.

Si l'on oriente la poutre à partir de A, dessinez les repères ($\vec{x}_i, \vec{y}_i, \vec{z}_i$) en chaque point $H_i$ nécessaire sur la fibre moyenne. Définissez le paramétrage $s_i$ ou $\theta_i$ associé à chaque point $H_i$, puis dessinez la partie aval associée à chaque point $H_i$.

brevet 841 : Repère local, repérage et parties aval et amont.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours techno-mécanique ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe "Les Outils" et de regarder
les vidéos afférentes.

Soit la structure formée d'une poutre connectée au repère global ($\vec{i}, \vec{vecy}, \vec{z}$) et subissant des chargements tels que représentés figure 1.98.
<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>Figure 1.97: Une structure poutre, ses liaisons et son chargement.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>Figure 1.98: Une structure poutre, ses liaisons et son chargement.</figcaption></figure>

Si l'on oriente la poutre à partir de A et G, dessinez le repère ($\vec{x}_5$, $\vec{y}_5$, $\vec{z}_5$) au point H$_5$ entre G et C.
Définissez le paramétrage $s_5$ associé au point H$_5$. Dessinez la partie aval du point H$_5$.
# Chapter 2

## Les coups de pouce.

**Brevet 001** Dessiner la structure, dessiner les points H, orienter la poutre, pour chaque point dessiner le vecteur $\vec{x}$, dessiner les vecteurs $\vec{y}$ et $\vec{z}$, calculer les relations entre ces vecteurs et les vecteurs du repère global.

**Brevet 002** Dessiner la structure, dessiner les points H, pour chaque point identifier les torseurs sur la partie aval et sur la partie amont, identifier ceux qui sont connus sans avoir à faire l'équilibre de la structure totale, choisir le segment n'ayant que des torseurs connus, si ce n'est pas possible et que l'équilibre global doit être fait, choisir le secteur qui a le moins de torseurs le repère local

**Brevet 003** Écrire la formule de Bresse dans le sens de l'orientation de la fibre, identifier les termes nuls, faire les intégrales en remplaçant le $ds$ en fonction de $d\theta$.

**Brevet 005** Dessiner la structure et le chargement, dessiner le point H, choisir le segment amont ou aval pour avoir le moins de calculs à faire, écrire la définition du torseur des efforts intérieurs, déplacer ces torseurs au point H, faire le calcul d'une intégrale, faire une somme.

**Brevet 006** Dessiner la structure, identifier le repère local, dessiner la section droite, identifier la composante de $\vec{HP}$ qui est égale à $\delta$, faire la double intégrale en cylindrique.

**Brevet 007** Faire un graphe les points sur une feuille de papier. Tracer autour de chaque point, les rectangles d'incertitude. Tracer la droite la plus pentue qui passe par tous les rectangles. Tracer la droite la moins pentue qui passe par tous les rectangles. Si ce n'est pas possible, choisir un point aberrant (ou plusieurs) afin que le tracé soit possible. Ne pas effacer le point aberrant, mais le signaler sur le graphe.

**Brevet 008** Faire un graphe des points. Vérifier si aucun point n'est aberrant avec $\alpha = 0.1$. Construire un tableur qui corresponde aux formules du paragraphe précédent l'appel de ce brevet. Tracer les 4 droites en utilisant les valeurs mini et maxi des coefficients $p$ et $c$.

**Brevet 006ter** Dessiner la structure, identifier le repère local, dessiner la section droite, dessiner les axes $H\vec{y}$ et $H\vec{z}$, positionner un point P dans la section droite avec ses deux coordonnées $\vec{y}$ et $\vec{z}$, faire les intégrales avec les bonnes bornes.

**Brevet 010** Faire un graphe en "bâton", avec comme valeur minimale d'ordonée 0, pour représenter les valeurs mini et maxi des deux valeurs $y_{theo}$ et $y_{expe}$. Essayer de tracer une ligne horizontale qui passe dans les deux rectangles d'incertitude. Si cette ligne n'existe pas : le modèle n'est pas adapté à l'expérience.

**Brevet 012** Dessiner la structure non déformée. Positionner un point courant H. Tracer le vecteur tangent à la structure au point H. Dessiner la structure déformée. Positionner le point courant H' sur la structure déformée. Tracer le vecteur tangent à la structure déformée au point H'. Nommer l'angle de rotation dont a tourné H en allant à H'. Calculer cet angle par rapport à la pente. Définir autour de quel axe ce angle fait tourner la pièce. Utiliser cet angle (pseudo-vecteur) dans la formule adéquate.
**Brevet 013** Dessiner la structure non déformée, les liaisons, les chargements. Faire le bilan des torseurs de chargement et de réaction au liaisons. Ecrire l'équilibre. Déduire les 6 équations. Souligner les données connues (les chargements). Equation, par équation, entourer en bleu les réactions aux liaisons qui peuvent être calculées. Dès qu'une réaction peut être calculée, l'entourer en pointillé bleu si elle apparaît dans une autre équation. S'il y a trop d'inconnues, étape a, en choisir une, l'entourer d'un carré rouge, et un carré rouge pointillé si elle apparaît dans une autre équation. Rechercher alors les inconnues qui peuvent être déterminer maintenant en fonction du chargement et de l'inconnue hyperstatique choisie. S'il reste des inconnues, recommencer à l'étape a. Compter le nombre de carrés rouges.

**Brevet 014** Dessiner la structure non déformée, les liaisons 2D, les chargements 2D. Faire le bilan des torseurs de chargement et de réaction au liaisons. Ecrire l'équilibre. Déduire les 3 équations. Souligner les données connues (les chargements). Equation, par équation, entourer en bleu les réactions aux liaisons qui peuvent être calculées. Dès qu'une réaction peut être calculée, l'entourer en pointillé bleu si elle apparaît dans une autre équation. S'il y a trop d'inconnues, étape a, en choisir une, l'entourer d'un carré rouge, et un carré rouge pointillé si elle apparaît dans une autre équation. Rechercher alors les inconnues qui peuvent être déterminer maintenant en fonction du chargement et de l'inconnue hyperstatique choisie. S'il reste des inconnues, recommencer à l'étape a. Compter le nombre de carrés rouges.

**Brevet 015** Pour chaque inconnue hyperstatique, déduire la translation ou l'angle rotation pour laquelle cette inconnue hyperstatique fournirait du travail, écrire que ce travail est nulle : c'est l'équation scalaire recherchée.

**Brevet 016** Dessiner le problème de base, avec liaisons et chargement. Dessiner un second problème, avec la même poutre, les mêmes liaisons sauf au point de l'inconnue hyperstatique où la liaison est transformée pour libérer la translation ou la rotation qui travaille avec l'inconnue hyperstatique, dessiner le chargement du pb de base, rajouter comme un second chargement l'inconnue hyperstatique.

**Brevet 018** Dessiner la structure non déformée. Positionner un point courant H. Orienter la poutre. Ecrire la définition du torseur des efforts intérieurs en choisissant la partie aval ou amont. Calculer le torseur. D'autre part, transporter le torseur de chargement au point H. Comparer les valeurs.

**Brevet 024** Dessiner la structure non déformée. Positionner un point courant H. Orienter la poutre. Placer le repère local. Calculer le torseur des efforts intérieurs en choisissant la partie aval ou amont. Écrire ce torseur dans le repère local. Identifier les composantes.

**Brevet 025** Dessiner la structure non déformée. Positionner un point courant H. Orienter la poutre. Placer le repère local. Calculer le torseur des efforts intérieurs en choisissant la partie aval ou amont. Ecrire ce torseur dans le repère local. Identifier les composantes.

**Brevet 026** Faire un graphe avec les valeurs. Rechercher si un point ou plusieurs sont aberrants. S'il en existe, les supprimer. Construire un tableur qui applique la procédure décrite juste avant l'appel de ce brevet.

**Brevet 027** Charger le tableur et le sauvegarder sur son espace personnel. Faire un graphe avec les valeurs. Rechercher si un point ou plusieurs sont aberrants. S'il en existe, les supprimer. Modifier le tableur qui applique la procédure décrite juste avant l'appel de ce brevet. Si l'incertitude sur la valeur moyenne est supérieure à x% alors rajouter un point (à la valeur moyenne actuelle) puis recommencer la procédure. Faire cette démarche en rajoutant des points jusqu'à ce que l'incertitude sur la valeur moyenne soit inférieure à la valeur demandée.

**Brevet 029** Faire un graphe avec les valeurs. Construire un tableur qui applique la procédure de calcul de la pente maximale et minimale. Utiliser les 3 premiers points et noter les valeurs min et max dans un tableau. Procéder de même avec 4 points. Etc. Tracer le graphe des pentes min et max en fonction du nombre de points considérés. Essayer de tracer une droite horizontale qui reste dans les intervals quelques soient le nombre de points considérés. Si c'est possible, aucune non linéarité n'est détectée.
Si c'est impossible, identifier points (max des pentes min ou min des pentes max) qui est le premier bloquant. Ce points définit la gamme de linéarité des données.

**Brevet 030** Faire un graphe avec les valeurs. Rechercher si un point ou plusieurs sont aberrants. S'il en existe, les supprimer. Vérifier que le tableur ou le programme proposé, applique la procédure décrite juste avant l'appel de ce brevet.

**Brevet 031** Ecrire le torseur de déplacement, le vecteur $\vec{AC}$, utiliser la formule de changement de point.

**Brevet 033** Utiliser la formule de changement de point.

**Brevet 037** Ecrire le torseur cinématique, la relation entre la vitesse de rotation et la vitesse de translation, faire le comoment avec un torseur de force et moment quelconques, calculer la puissance et écrire sa nullité quelle que soit la valeur de la vitesse de rotation.

**Brevet 038** Ecrire le torseur cinématique dans le cas 2D, faire le comoment avec un torseur 2D de force et moment quelconques, calculer la puissance et écrire sa nullité quelle que soit les valeurs des vitesses possibles.

**Brevet 039** Dessiner la structure, la liaison, les chargements, faire le changement de point du torseur de chargement local vers le point B, effectuer les intégrales.

**Brevet 040** Décomposer le calcul en différence de deux intégrales, faire le calcul de chacune dans un repère adapté cylindrique ou cartésien.

**Brevet 041** Dessiner la structure, orienter la fibre moyenne, calculer le torseur des efforts intérieurs, identifier la composante normale, calculer la déformation $\epsilon_x$ à l'aide de la loi de comportement de la cinématique 1, à l'aide des formules de Bresse, intégrer sur la longueur de la poutre.

**Brevet 041bis** Dessiner la structure, orienter la fibre moyenne, calculer le torseur des efforts intérieurs, identifier la composante normale, identifier le type de cinématique 1,2 ou 3, calculer les contraintes $\sigma_{xx}$ et $\sigma_{rr}$ en prendant en compte que la déformation radiale $\epsilon_{rr}$ est nulle.

**Brevet 043** Faire un graphe avec les valeurs $b$. Rechercher si un point ou plusieurs sont aberrants. S'il en existe, les supprimer. Vérifier que le tableur ou le programme proposé, applique la procédure décrite juste avant l'appel de ce brevet.

**Brevet 044** Dessiner les graduations du pied à coulisse, placer la zone dimensionnelle qui est la plus proche de la valeur donnée. L'incertitude élargie est donnée par les bornes de cette zone.

**Brevet 045** Identifier pour chaque nombre, le nombre de chiffres significatifs. Dessiner les graduations qui correspondent au dernier chiffre significatif pour chaque nombre. Hachurer la zone la plus proche des valeurs données. Ecrire l'incertitude élargie pour chaque nombre.

**Brevet 046** Faire un graphe avec les valeurs. Rechercher si un point ou plusieurs sont aberrants avec $\alpha = 0.1$. Calculer l'écart type sur $\bar{b}$. Constuire un tableur qui applique la procédure décrite juste avant l'appel de ce brevet, pour déterminer l'écart type sur $y$, le nombre de degrés de liberté équivalent qui permet de déduire le facteur d'élargissement. Calculer l'incertitude sur $y$.

**Brevet 047** Crier haut et fort "C'est débile de faire le brevet 047 car cette méthode est fausse". Si vous êtes dubitatif et que vous ne criez que faiblement, pour vous convaincre, appliquez la méthode et comparer le résultat avec la méthode exacte du brevet 46.
**Brevet 048** Faire un graphe avec les 2 séries de valeurs. Rechercher si un point ou plusieurs sont aberrants dans chaque population. S'il en existe, les supprimer. Télécharger le programme comvalmoy.ods. Vérifier que les formules programmées correspondent aux équations du paragraphe précédent l'appel de ce brevet. Si oui, utiliser ce tableur avec les données.

**Brevet 049** Dessiner la structure et en zoomant sa section droite. Dessinez les contraintes de cisaillement dans la section droite dans le cas de chacune des cinématiques. Entourez les zones si elles existent, où la contrainte de cisaillement est quasi-nulle. Récupérer dans le tableau de description des cisaillement les fonctions de répartition de ceux-ci.

**Brevet 050** Dessiner la structure, orienter la fibre moyenne, calculer le torseur des efforts intérieurs, identifier la composante normale, calculer la déformation qui dépend de $\epsilon_x(s)$ à l'aide de la loi de comportement de la cinématique 2 ou 3, à l'aide des formules de Bresse, intégrer sur la longueur de la poutre.

**Brevet 051** A l'aide des formules de Bresse, intégrer sur la longueur de la poutre le terme qui ne dépend que du moment fléchissant.

**Brevet 052** A l'aide des formules de Bresse, intégrer sur la longueur de la poutre le terme qui ne dépend que de l'effort tranchant en utilisant la section corrigée.

**Brevet 053** A l'aide des formules de Bresse, intégrer sur la longueur de la poutre le terme qui ne dépend que de l'effort tranchant en n'utilisant pas la section corrigée.

**Brevet 054** Dessinez la structure, les conditions aux limites, le chargement, le point H, l'orientation, le repère local, calculer le torseur des efforts intérieur au point H, les composantes de ce torseur, calculer les contraintes en un point de la section droite passant par H, calculer les contraintes au point où est collé la jauge, calculer la déformation demandée.

**Brevet 056** Il faut que les déplacements soient "petits" devant les dimensions de la structure, et que si le calcul du torseur des efforts intérieurs est fait dans la configuration déformée (une fois que les points se sont déplacés) le torseur soit peu différent du torseur des efforts intérieurs calculé dans la configuration de référence (non déformée).

**Brevet 057** Dessiner la structure, orienter la fibre moyenne, choisir un point H, dessiner le repère local, calculer le torseur des efforts intérieurs, identifier les composantes, calculer l'énergie de déformation du à chacune des composantes, les comparer (pour le fun), les sommer.

**Brevet 058** Dessiner 2 fois la structure et les conditions aux limites, sur chaque dessin, dessiner les chargements, intuiter les déformées des structure et les dessiner, appliquer le théorème de réciprocéité.

**Brevet 059** Dessiner la structure, orienter la fibre moyenne, calculer le torseur des efforts intérieurs, identifier les composantes, écrire la dérivée de chaque composante par rapport à F, écrire la dérivée de l'énergie de déformation par rapport à F.

**Brevet 074** Dessiner la structure initiale (non déformée par les forces), calculer le déplacement du point B, calculez le moment au point A. Si on appelle B' la nouvelle position du point B, si l'on considère que les forces extérieures sont appliquées à B' (configuration déformée), calculez le moment au point A. Comparer les deux moments.

**Brevet 075** A partir de la grandeur recherchée, le déplacement, identifier ce dont vous avez besoin, et redéboinnez jusqu'aux données du problème.

**Brevet 076** Ecrire la relation de limite d'élasticité, puis la contrainte en fonction des composantes du torseur des efforts intérieurs, puis comment calculer ces composantes, puis comment calculer les torseurs des efforts intérieurs, puis faire cela pour chaque segment, redéboniner dans l'autre sens.
**Brevet 077** Vous donner un coup de pouce revient à vous donner la réponse... donc je ne peux pas. Relisez attentivement cette section du cour et essayez de répondre avant de comparer à la réponse. Identifier avec précision les étapes que vous n'aviez pas écrite. Bonne chance.

**Brevet 078** Identifier les corps dont une direction est plus grande que les deux autres. Imaginer tenir cette pièce en main sur une extrémité et sélectionner celles qui ne fléchissent pas significativement du fait de la gravité.

**Brevet 079** Dessiner la structure initiale (non déformée par les forces), calculer le déplacement du point B, calculez le moment au point A. Si on appelle B' la nouvelle position du point B, si l'on considère que les forces extérieures sont appliquées à B' (configuration déformée), calculez le moment au point A. Comparer les deux moments. le torseur des efforts intérieurs en un point H du mât. Identifier le moment fléchissant et son axe. Calculer l'angle de rotation par unité de longueur. Faire l'intégrale entre le bas et le haut du mât.

**Brevet 080** Dessiner la section droite, positionner les deux points, dessiner la contrainte tangentielle due à la torsion avec le modèle sans correction de section, quantifier les deux valeurs de cette contrainte.

**Brevet 081** Dessiner la section droite, positionner les deux points, dessiner la contrainte tangentielle due à la torsion avec le modèle avec correction de section, quantifier les deux valeurs de cette contrainte.

**Brevet 082** Dessiner la section droite, positionner les deux points, calculer la rotation par unité de longueur, pour deux points distants de l' le long de la poutre, par une intégrale calculez l'angle de rotation entre ces deux points, identifier l' pour que l'angle vaille 2π.

**Brevet 085** Faire un graphe des points. Repérer la valeur qui a l'oeil semble potentiellement aberrante. Puis construire dans un tableur la procédure décrite par le paragraphe précédent l'appel de ce brevet. Vérifier que le point détecté à l'oeil est aberrant. Supprimer ce point et recommencer la procédure jusqu'à ce que les deux points extrêmes ne soient pas aberrants.

**Brevet 086** Faire un graphe des points. Repérer la valeur qui a l'oeil semble potentiellement aberrante. Puis construire dans un tableur la procédure décrite par le paragraphe précédent l'appel de ce brevet. Vérifier que le point détecté à l'oeil est aberrant. Supprimer ce point et recommencer la procédure jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de point aberrant. Lister les points supprimés.

**Brevet 089** Calculer les torseurs d'efforts intérieurs dans chaque tronçon, identifier les sollicitations, écrire la formule de Bresse avec Pdeb=A et Pfin=D, couper l'intégrale en deux intégrales, l'une sur le tronçon AB, l'autre sur le tronçon BD.

**Brevet 090** Faire le montage puis le charger progressivement pour ne pas casser le spaghetti.

**Brevet 091** Positionner spaghetti et stylos comme indiqués, charger progressivement avec un doigt, observer les contacts sur chaque stylo.

**Brevet 092** Positionner spaghetti et stylos comme indiqués, charger progressivement avec un doigt, observer les contacts sur chaque stylo.

**Brevet 093** Ne pas vous coller les doigts... en fabricant la poutre de section 2\*4 spaghettis. La solliciter dans les deux plans et observer les déplacements pour une même force.

**Brevet 094** Si vos doigts ne sont pas collés, en encastrant une extrémité et en exerçant un couple à l'autre extrémité (essorage d'une serpillière), observer la rigidité en torsion.

**Brevet 095** Si vos doigts ne sont pas collés une fois observé la rigidité en flexion, dans la matrice de loi de comportement en cinématique 3, identifier le terme où le moment quadratique apparaît.
**Brevet 096** Augmentez très progressivement le chargement avec votre doigt, afin de bien observer les réponses aux deux questions.

**Brevet 097** Si le spaghetti casse avant que vous ayez mis les deux chargements en simultané, refaite l'essai en diminuant la longueur du spaghetti (vous diminuerez le moment fléchissant.

**Brevet 097bis** Si le spaghetti casse avant que vous ayez mis les deux chargements en simultané, refaite l'essai en diminuant la longueur du spaghetti (vous diminuerez le moment fléchissant.

**Brevet 099** Ecrire *a b et c* en écriture scientifique 0.????? 10ⁿ et identifier le nombre de chiffres significatifs de chacun. Pour *e* considérer le nombre minimal de chiffres significatifs. Pour *f* poser la somme et ne pas additionner un chiffre avec un chiffre inconnu de l'autre terme.

**Brevet 155** Ecrire une équation, de mécanique par exemple, qui permet de calculer un travail, calculer les dimensions d'un travail en terme d'unités de référence internationales, écrire l'équation aux dimensions de l'équation de $\Delta E$, calculer la dimension de $\beta$.

**Brevet 179** Dessiner le repère orthonormé direct, le cube, positionner les points, dessiner les conditions aux limites, les chargements. Ecrire le bilan des actions, l'équilibre, projeter sur les 3 directions de translation et les 3 directions de rotation. Souligner les données connues (les chargements). Equation, par équation, entourer en bleu les réactions aux liaisons qui peuvent être calculées. Dès qu'une réaction peut être calculée, l'entourer en pointillé bleu si elle apparaît dans une autre équation. S'il y a trop d'inconnues, étape a, en choisir une, l'entourer d'un carré rouge, et un carré rouge pointillé si elle apparaît dans une autre équation. Rechercher alors les inconnues qui peuvent être déterminer maintenant en fonction du chargement et de l'inconnue hyperstatique choisie. S'il reste des inconnues, recommencer à l'étape a. Compter le nombre de carrés rouges.

**Brevet 180** Dessiner le repère orthonormé direct, le cube et le cylindre, positionner les points, dessiner les conditions aux limites, les chargements. Couper le solide au point S. Ecrire le bilan des actions, l'équilibre, projeter sur les 3 directions de translation et les 3 directions de rotation. Souligner les données connues (les chargements). Equation, par équation, entourer en bleu les réactions aux liaisons qui peuvent être calculées. Dès qu'une réaction peut être calculée, l'entourer en pointillé bleu si elle apparaît dans une autre équation. S'il y a trop d'inconnues, étape a, en choisir une, l'entourer d'un carré rouge, et un carré rouge pointillé si elle apparaît dans une autre équation. Rechercher alors les inconnues qui peuvent être déterminer maintenant en fonction du chargement et de l'inconnue hyperstatique choisie. S'il reste des inconnues, recommencer à l'étape a. Compter le nombre de carrés rouges. Si c'est nul, le système est isostatique. Isoler le cube uniquement. Faire le bilan des actions : le torseur du cylindre sur le cube apparaît : a priori il comporte toutes les composantes qui sont des inconnues. Ecrire l'équilibre du cube. Déduire les composantes du torseur en S car les autres réactions sont connues via le premier équilibre de l'ensemble cube + cylindre.

**Brevet 181** Dessiner le repère orthonormé direct, le cube et le cylindre, positionner les points, dessiner les conditions aux limites, les chargements. Couper le solide au point S. Ecrire le bilan des actions, l'équilibre, projeter sur les 3 directions de translation et les 3 directions de rotation. Souligner les données connues (les chargements). Equation, par équation, entourer en bleu les réactions aux liaisons qui peuvent être calculées. Dès qu'une réaction peut être calculée, l'entourer en pointillé bleu si elle apparaît dans une autre équation. S'il y a trop d'inconnues, étape a, en choisir une, l'entourer d'un carré rouge, et un carré rouge pointillé si elle apparaît dans une autre équation. Rechercher alors les inconnues qui peuvent être déterminer maintenant en fonction du chargement et de l'inconnue hyperstatique choisie. S'il reste des inconnues, recommencer à l'étape a. Compter le nombre de carrés rouges.

**Brevet 182** Dessiner le repère orthonormé direct, positionner les points, relier ces points en dessinant la fibre moyenne, dessiner les conditions aux limites, les chargements. Couper la poutre au point U. Orienter la poutre. Ecrire la définition du torseur des efforts intérieurs et faire le bilan des actions sur la partie amont ou avalen choisissant la partie amont ou aval. Identifier s'il y a des inconnues aux liaisons si vous avez choisi une partie. Si oui, faire l'équilibre de toute la poutre et déterminer ces inconnues.
Reprendre alors le calcul du torseur des efforts intérieurs. Dessiner le repère local. Exprimer chaque vecteur du repère global en fonction des vecteurs du repère local. Remplacer dans le torseur des efforts intérieurs. Identifier les composantes.

**Brevet 183** Pour le dessin, faire deux vues : vue1 avec l'axe $\vec{k}$ sortant de la feuille et vue2 avec l'axe $\vec{j}$ sortant de la feuille. Positionner les points, la liaison et dessiner la force. Dessiner la normale dans la vue1, dessiner le plan tangent, dessiner le vecteur $\vec{m}$. Ecrire l'équilibre du solide 2, utiliser le principe d'action et réaction, faire le changement de point et le changement de repère.

**Brevet 185** Dessiner la structure et en zoomant sa section droite. Dessinez les contraintes de cisaillement dans la section droite dans le cas de cette cinématique. Entourez les zones si elles existent, où la contrainte de cisaillement est quasi-nulle. Récupérer dans le tableau de description des cisaillement les fonctions de répartition de ceux-ci.

**Brevet 211** Ecrire les dimensions de chaque terme en fonction des dimensions de référence internationales, écrire l'équation aux dimensions de l'équation à tester, vérifier l'égalité des terme à gauche et à droite.

**Brevet 212** Ecrire les dimensions de chaque terme en fonction des dimensions de référence internationales, écrire l'équation aux dimensions de l'équation à tester, vérifier l'égalité des terme à gauche et à droite.

**Brevet 224** Ecrire les dimensions de chaque terme connu en fonction des dimensions de référence internationales, écrire l'équation de définition du Reynolds en terme de dimension, calculer la dimension de $\nu$.

**Brevet 228** Ecrire les dimensions de chaque terme... dont les termes $\partial x$ et $dy_1$, en fonction des dimensions de référence internationales, écrire l'équation aux dimensions de l'équation donnée, calculer la dimension de $g(x, y)$.

**Brevet 234** Poser la somme et veiller à ne pas additionner un chiffre avec un chiffre inconnu d'un autre terme.

**Brevet 235** Ecrire chaque terme sous forme scientifique $0.??? 10^n$, identifier le nombre de chiffres significatifs minimal, faire la multiplication, se limiter au nombre de chiffres significatif minimal précédent et tronquer le résultat. Pour $b$ commencer par tout écrire dans les mêmes unités : le mètre.

**Brevet 306** Normer le vecteur $n$ avec la norme euclidienne : $\vec{n}'$. Calculer le vecteur $\vec{T}(P, \vec{n}')$.

**Brevet 307** Calculer le vecteur $\vec{T}(P, \vec{n})$ puis projeter ce vecteur sur le vecteur $\vec{n}$.

**Brevet 308** Diagonaliser la matrice et normer les vecteur propres.

**Brevet 309** Après avoir diagonalisé la matrice et trouvant les valeurs propres au brevet 308, rechercher le vecteur propre associé à chacune des valeurs propres. Normer ce vecteur par la norme euclidienne.

**Brevet 312** Identifier le plan dans lequel les déformations sont mesurées. Mettre une "x" pour les composantes de déformation qui ne sont pas mesurées dans ce plan. Ecrire les équations qui relient les 3 déformations mesurées en fonction des composantes du tenseur des déformations recherchées. Inverser le système. Ecrire les déformations recherchées.

**Brevet 313** Identifier le plan dans lequel les déformations sont mesurées. Mettre une "x" pour les composantes de déformation qui ne sont pas mesurées dans ce plan. Ecrire les équations qui relient les 3 déformations mesurées en fonction des composantes du tenseur des déformations recherchées. Inverser le système. Dessiner le cercle de Mohr. Identifer le point du cercle présentant la déformation de normale maximale.
**Brevet 315** A partir des valeurs des déformations principales, calculer les invariants avec les formules adéquates.

**Brevet 316** Dans le plan de Mohr, repérer les points représentatifs de chaque déformation. Tracer l'arc de cercle qui passe du point de départ au point d'arrivée dans les deux cas. Veiller à tourner dans la sens "correct".

**Brevet 321** Appliquer la formule de calcul du vecteur contrainte après avoir vérifier la norme euclidienne du vecteur considéré.

**Brevet 324** Appliquer les formules de calcul données pour les deux termes.

**Brevet 326** Appliquer les formules de calcul données pour les trois termes.

**Brevet 803** Dessiner la structure, orienter la fibre moyenne, positionner le vecteur $\vec{x}$ sur chacun des segments en respectant ses caractéristiques, positionner les vecteurs $\vec{y}$ et $\vec{z}$ orthogonaux, pour un petit angle $\theta$ calculer l'expression de $\vec{i}$ en fonction de $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$, faire de même pour $\vec{j}$ et $\vec{k}$.

**Brevet 808** Relire les cours afférents ou faites des petites applications numériques pour des exemples de la vie courante.

**Brevet 809** Dessiner la structure, orienter la fibre moyenne, calculer le torseur des efforts intérieurs, identifier la composante normale, calculer la contrainte $\sigma_{xx}$, calculer les contraintes transverses $\sigma_{yy}$ et $\sigma_{zz}$, tracer le tricercle de Mohr et les limites d'élasticité de Tresca. Quelle est la condition pour que ce tricercle de Morh touche la limite d'élasticité ?

**Brevet 810** Dessiner la structure, orienter la fibre moyenne, calculer le torseur des efforts intérieurs, identifier la composante normale, calculer la contrainte, la comparer à la limite d'élasticité.

**Brevet 820** Pour ce brevet, considérez le le tablier entre deux poteaux. Faire l'inventaire des liaisons au point de raccord avec le poteau et la flèche, avec chaque cable et du chargement dû au poids propre.

**Brevet 821** Pour ce brevet, considérez le système lors de la construction du pont : le poteau vertical a été construit, puis de part et d'autre d'un poteau, ils installent (en équilibre) les tronçons de tablier. Considérez la question précédente juste avant que les tronçons de tablier qui proviennent de deux poteaux successifs se rejoignent.

**Brevet 822** Dessiner la flèche, les chargements et les conditions aux limites, orienter la fibre moyenne, calculer le torseur des efforts intérieurs, identifier les composantes normale.

**Brevet 823** Dessiner la flèche, les chargements et les conditions aux limites, orienter la fibre moyenne, calculer le torseur des efforts intérieurs, identifier les composantes normale. Diviser cette composante par l'aire de la section au point où vous avez fait la coupure.

**Brevet 824** Dessiner la flèche, les chargements et les conditions aux limites, orienter la fibre moyenne, calculer le torseur des efforts intérieurs, identifier les composantes normale en fonction de la hauteur du point H. Diviser cette force par la section à cette hauteur.

**Brevet 825** Dessiner la flèche, les chargements et les conditions aux limites, orienter la fibre moyenne, calculer le torseur des efforts intérieurs en prenant en compte que la section varie ou qu'elle ne varie pas, identifier le composante normale en fonction de la hauteur du point H. Diviser cette force par la section à cette hauteur. La section est optimale si la contrainte normale est constante sur toute la hauteur de la poutre. Choisir la solution qui est la plus proche de cette solution optimale.
**Brevet 826** Dessiner la flèche, les chargements et les conditions aux limites, orienter la fibre moyenne, calculer le torseur des efforts intérieurs en un point H à la distance *s* du pied de la flèche en prenant en compte que la section ne varie pas, identifier la composante normale en fonction de la hauteur du point H. Diviser cette force par la section à cette hauteur. Calculer la déformation *ε*<sub>xx</sub> en fonction du point de coupure. Ecrire l'intégrale de ces déformations entre le point de coordonnée *s* = 0 et *s* = *h*.

**Brevet 827** Positionner un point H à une hauteur donnée de la poutre, orienter la fibre vers le haut, écrire le torseur des efforts intérieurs en H, écrire l'expression de l'effort normal, écrire l'elongation *epsilon*<sub>xx</sub> au point H, intégrer ces déformations du point B au point H, faire l'application numérique pour H en haut de la poutre et pour H au milieu de la poutre.

**Brevet 828** Positionner un point H à une hauteur *s* donnée de la poutre, orienter la fibre vers le haut, écrire le torseur des efforts intérieurs en H lorsque chaque cable exerce une force de module $\beta \ 1.5 \ 10^5$ [N], écrire l'expression de l'effort normal, calculer la contrainte $\sigma_{max}$ au point H. Chercher la coordonnée *s* où cette contrainte est maximale. Pour cette valeur de *s* comparer à la contrainte de compression maximale admissible par le béton.

**Brevet 829** Dessiner la poutre, les chargements et les conditions aux limites, orienter la fibre moyenne, positionner un point $H_1$ entre le pouce et l'axe de la clé, et un point $H_2$ le long de l'axe de la clé. Pour chacun, dessiner le repère local, calculer le torseur des efforts intérieurs, les composantes et identifier si de la torsion est présente.

**Brevet 830** Dessiner la poutre, les chargements et les conditions aux limites, orienter la fibre moyenne, positionner un point $H_2$ le long de l'axe de la clé. Dessiner le repère local, calculer le torseur des efforts intérieurs, la composante de torsion, identifier le lieu de contrainte maximale dans la section droite en prenant en compte le modèle avec correction de section, et calculer sa valeur.

**Brevet 831** Dessiner la poutre, les chargements et les conditions aux limites, orienter la fibre moyenne, positionner un point $H_2$ le long de l'axe de la clé. Dessiner le repère local, calculer le torseur des efforts intérieurs, la composante de torsion, calculer l'angle de rotation par unité de longueur, faire l'intégrale entre le point milieu des oreilles de la clé et le point positionné à 5 [cm] de ce dernier.

**Brevet 832** Dessiner la poutre, les chargements et les conditions aux limites, orienter la fibre moyenne, positionner un point $H_2$ le long de l'axe de la clé. Dessiner le repère local, calculer le torseur des efforts intérieurs, la composante de torsion, calculer la contrainte maximale de cisaillement, comparer cette contrainte à $1/2$ de la contrainte maximale de traction.

**Brevet 833** Dessiner la poutre avec sa partie verticale, sa partie horizontale (l'axe de la tarière) et la manivelle (que l'ont peut manipuler avec les mains), les chargements et les conditions aux limites, orienter la fibre moyenne, positionner un point $H_1$ le long de l'axe du poteau, un point $H_2$ le long de l'axe de la tarière, un point $H_3$ le long d'un bras de la manivelle. Dessiner les repères locaux, calculer les torseurs des efforts intérieurs, identifier les composantes. Rechercher quelle partie est en flexion pure et identifier l'axe de flexion.

**Brevet 834** Dessiner la poutre, les chargements et les conditions aux limites, orienter la fibre moyenne, positionner un point $H_1$ le long de la poutre, orienter la fibre moyenne. Dessiner les repères locaux, calculer les torseurs des efforts intérieurs, identifier les composantes. Rechercher quelle partie est en flexion. Calculer l'angle de rotation par unité de longueur. Faire l'intégrale avec les bonnes bornes.

**Brevet 835** Dessiner la poutre, les chargements et les conditions aux limites, orienter la fibre moyenne, positionner un point $H_1$ le long de la poutre, orienter la fibre moyenne. Dessiner les repères locaux, calculer les torseurs des efforts intérieurs, identifier les composantes. Chercher en quelle valeur de *s* le moment est maximal. Calculer les contraintes en un point de cette section droite. Déterminer sa valeur maximale. En l'égalant avec la contrainte maximale admissible par le matériaux, calculer *c*.
**Brevet 839** Dessinez la structure, les conditions aux limites, le chargement, choisir un point $H_i$ pour chaque tronçon de poutre, orientation chaque tronçon de poutre, couper la structure en un point I, introduire les deux torseurs de coupure, donner les relations entre leurs composantes pour diminuer le nombre d'inconnues supplémentaires introduite, pour chaque tronçon de poutre calculer les torseurs des efforts intérieurs et les composantes et l'énergie de déformation, dériver ces énergies par rapport aux inconnues hyperstatiques intérieures, les sommer, écrire la nullité, calculer ces inconnues hyperstatiques, remplacer les valeurs obtenues au sein de l'effort normal demandé.

**Brevet 840** Dessinez la structure, les conditions aux limites, le chargement, choisir un point $H_i$ pour chaque tronçon de poutre, veillez à mettre le vecteur $vecx$ tangent à la fibre moyenne et dans le sens de l'orientation, le repère local direct, le paramétrage croissant dans le sens de l'orientation. Pour la partie aval, allez jusque au bout de la poutre.

**Brevet 841** Dessinez la structure, les conditions aux limites, le chargement, choisir un point $H_i$ pour chaque tronçon de poutre, veillez à mettre le vecteur $vecx$ tangent à la fibre moyenne et dans le sens de l'orientation, le repère local direct, le paramétrage croissant dans le sens de l'orientation. Pour la partie aval, allez jusque aux bouts de la poutre.
Chapter 3

Les réponses des brevets

Brevet 001 orientation de A vers C : $\vec{x}_1 = \vec{i}$ ; $\vec{y}_1 = \vec{j}$ ; $\vec{z}_1 = \vec{k}$ ; $\vec{x}_2 = \cos(\theta)\vec{i} + \sin(\theta)\vec{j}$ ; $\vec{y}_2 = -\sin(\theta)\vec{i} + \cos(\theta)\vec{j}$ ; $\vec{z}_2 = \vec{k}$

orientation de C vers A : $\vec{x}_1 = -\vec{i}$ ; $\vec{y}_1 = -\vec{j}$ ; $\vec{z}_1 = \vec{k}$ ; $\vec{x}_2 = -\cos(\theta)\vec{i} - \sin(\theta)\vec{j}$ ; $\vec{y}_2 = \sin(\theta)\vec{i} - \cos(\theta)\vec{j}$;
$\vec{z}_2 = \vec{k}$

Brevet 002 en $H_1$, amont

en $H_2$, aval

en $H_3$, aval

Brevet 003 $\vec{u}_B = (.00360\vec{i} + .00229\vec{j})[m]$

Brevet 004 $\vec{u}_A \cdot \vec{j} = -.673 \ 10^{-6}[m]$

Brevet 005 effort normal $N = 0[N]$ ; effort tranchant dans la direction $\vec{y}$, $T_y = -97 [N]$ ; moment fléchissant autour de l'axe $H\vec{z}$, $Mf_z = -9.83 [N.m]$

Brevet 006 $I_{Hz} = 2.06 \times 10^{-4} [m^4]$

Brevet 006 bis $I_{S,Gk} = 8.68 [kg.m^2]$ et $I_{Hz} = 3.97 \times 10^{-4} [m^4]$

Brevet 006 ter $I_{Hy} = 6.67 \times 10^{-9} [m^4]$, $I_{Hz} = 1.67 \times 10^{-9} [m^4]$

Brevet 007 pente maximale = 1.30 [V/m]; pente minimale = 0.909 [V/m]

Brevet 007 bis pente maximale = 1.13 [kg/A]; pente minimale = 1.05 [kg/A] ; en considérant le point (3,2.75) comme aberrant.

Brevet 008 $1.02 [m.V^{-1}] < p < 1.13 [m.V^{-1}]$

Brevet 008 bis Autoattribution

Brevet 008 ter si les taux de distorsion utilisés sont (0;0.2;0.4;0.6;0.8;1), alors $p_{min} = 95.3$ niveau de gris/taux de distorsion, $p_{max} = 122$ niveau de gris/taux de distorsion

Brevet 008 quad non

Brevet 009 autoattribution

Brevet 010 oui
Brevet 010 bis non

Brevet 011

$$m \frac{d^2 u}{dt^2} - \frac{ml \sin(\theta)}{2} \frac{d^2 \theta}{dt^2} - \frac{ml \cos(\theta)}{2} \left[ \frac{d\theta}{dt} \right]^2 = -F \sin \theta + mg \quad (3.1)$$

$$-\frac{ml \sin(\theta)}{2} \frac{d^2 u}{dt^2} + ml^2(\frac{1}{4} + \frac{1}{24}) \frac{d^2 \theta}{dt^2} = \frac{Fl}{2} - \frac{mgl \sin(\theta)}{2} \quad (3.2)$$

Brevet 012

$$\{Def\} = \left\{ \begin{matrix} 6\vec{k} \\ \vec{0} \end{matrix} \right\}_H \quad (3.3)$$

Brevet 013 hyperstatisme de degré 3

Brevet 014 Le système est isostatique.

Brevet 015 Il faut écrire que $\vec{u}_C \cdot \vec{i} = 0$

Brevet 016

* a) La poutre est encastrée en A, sans liaison en C, chargée par le couple $C\vec{k}$ en B et par un effort $R_1\vec{i}$ en C.

* b) La poutre est en liaison glissière d'axe $\vec{i}$ en A, en appui sur rouleau de normale $C\vec{i}$ en C, chargée par le couple $C\vec{k}$ en B et par un effort $R_2\vec{i}$ en A.

Brevet 017 déplacement : 0,044[m]. Le déplacement dû à l'effort normal est négligeable ($0,3310^{-6}$[m]).

Brevet 018 un torseur de chargement

Brevet 019

Brevet 020

$$I_{S,Ay} = .32 \ 10^{-1} [\text{kg.m}^2] \quad (3.4)$$

$$-P_{xy} = -.16 \ 10^{-1} [\text{kg.m}^2] \quad (3.5)$$

Brevet 021

$$T_{S/Rg} = m \frac{259}{1536} \dot{y}_1^2 + m \frac{259}{1536} \dot{y}_2^2 + m \frac{125}{768} \dot{y}_1 \dot{y}_2 \quad (3.6)$$

Brevet 022

$$Q_{y1} = -ky_1 + F \sin(\omega t) \left(1 - \frac{a}{l}\right) \quad (3.7)$$

$$Q_{y2} = -ky_2 + F \sin(\omega t) \frac{a}{l} \quad (3.8)$$

Brevet 023

$$m \frac{259}{768} \ddot{y}_1 + m \frac{125}{768} \ddot{y}_2 = -ky_1 + F \sin(\omega t) \left(-1 + \frac{a}{l}\right) \quad (3.9)$$

$$m \frac{125}{768} \ddot{y}_1 + m \frac{259}{768} \ddot{y}_2 = -ky_2 + F \sin(\omega t) \left(-\frac{a}{l}\right) \quad (3.10)$$

Brevet 024 Un effort normal et un moment fléchissant

Brevet 025 Un torseur de chargement exprimé en H.
Brevet 026 $4.57 \text{ m} < \bar{a} < 4.70 \text{ m}$

Brevet 026 bis $1.20 \text{ m} < \bar{a} < 1.31 \text{ m}$

Brevet 027 0 mesure

Brevet 027 bis autoattribution

Brevet 028

$$ \{U\} = \begin{Bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0.12 \\ 0.045 & 0 \end{Bmatrix}_{A, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}} = \begin{Bmatrix} 0.045 \vec{k} \\ 0.12 \vec{j} \end{Bmatrix}_{A} \quad (3.11) $$

avec les déplacements en [m] et les angles en radian donc [1].

$$ \{\tau\} = \begin{Bmatrix} 0 & -78 \\ 0 \\ 34 & 0 \end{Bmatrix}_{A, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}} = \begin{Bmatrix} 34\vec{k} \\ -78 \vec{i} \end{Bmatrix}_{A} \quad (3.12) $$

avec les forces en [N] et les couples en [N.m].

Brevet 029 Non linéarité détectée sur la pente. 6 points. $1.00 < p < 1.18$

Brevet 029 bis Oui.

Brevet 029 ter si les taux de distorsion utilisés sont (0;0.2;0.4;0.6;0.8;1), alors une évolution affine est valide pour l'ensemble des points et $p_{min} = 23$ niveau de gris/taux de distorsion, $p_{max} = 42$ niveau niveau/taux de distorsion

Brevet 030 réponse : $\Delta\bar{a} = 9.00 \times 10^{-2} \text{ V}$

Brevet 031

$$ \{U_C\} = \begin{Bmatrix} 2\vec{i} \text{ rad} \\ (16\vec{j} + 2\vec{k}) \text{ m} \end{Bmatrix}_{C} \quad (3.13) $$

Brevet 032 Réponse : Le déplacement en B est $\vec{u}_B = -0.241\vec{j} \text{ m}$

Brevet 033

$$ \{\tau\} = \begin{Bmatrix} 4\vec{k} - 5\vec{j} \\ 20\vec{i} + 8\vec{j} + 10\vec{k} \end{Bmatrix}_{B} \quad (3.14) $$

Brevet 034 $V = 58.9 \text{ J} = 58.9 \text{ kg m}^2\text{s}^{-2}$

Brevet 035 $V = 0.349 \text{ J} = 0.349 \text{ kg m}^2\text{s}^{-2}$

Brevet 036 $k_3 = 0.667 \text{ Nm}^{-1}$

$$ \{\tau\}_{B} = \begin{Bmatrix} R_y \vec{y} \\ 0 \vec{z} \end{Bmatrix}_{B} $$

$$ \text{Brevet 038} \quad \left\{ \begin{array}{l} R_x \vec{x} - \frac{2\pi C_u}{p} \vec{y} + R_z \vec{z} \\ C_x \vec{x} + C_y \vec{y} + C_z \vec{z} \end{array} \right\}_{B} $$

$$ \text{Brevet 039} \quad \left\{ \begin{array}{l} \vec{0} \\ 0.2 \vec{j} \end{array} \right\}_{B} $$
Brevet 040 $I_0 = 1605 \text{ mm}^4$

Brevet 041 $k = 1.74 \ 10^8 \text{ N/m}$

Brevet 042 $k = 1.18 \ 10^8 \text{ N/m}$

Brevet 043 $1.225 \text{ m} < \bar{a} < 1.244 \text{ m}$ car un point aberrant au seuil de confiance de $\alpha = 0.05$

Brevet 043 bis $3.05 < \bar{a} < 3.46$

Brevet 044 $\Delta\bar{a} = 1.00 \ 10^{-2} \text{ mm}$, soit $12.33 \text{ mm} < a < 12.35 \text{ mm}$

Brevet 044 bis $142.5 < a < 143.5$

Brevet 045 $12.25 \text{ m} < a < 12.35 \text{ m}$, $13350 \text{ A} < b < 13450 \text{ A}$ et $27.95 \text{ kg} < c < 28.05 \text{ kg}$

Brevet 045 bis $0.32555 < a < 0.32565$, $1150 < b < 1250$ et $13.95 < c < 14.05$

Brevet 046 $0.925 < y < 0.948$ [mm/V]

Brevet 046 bis $0.162 < y < 0.259$ en $\text{mm}-3/2 \cdot \text{kg}^{1/2}$

Brevet 047 Non. Car elle est fausse.

Brevet 047 bis Non. Car elle est fausse.

Brevet 048 Elles sont statistiquement différentes

Brevet 048 bis Non

Brevet 048 ter Oui

Brevet 048 quad Oui

Brevet 049 $\sigma_{yx} = 75000 \text{ Pa}$. Oui.

Brevet 050 $\vec{u}_B = 1.7 \ 10^{-7} \vec{i} \text{ m}$

Brevet 050 bis $\epsilon_{xx} = 1.6 \ 10^{-7}$, $\epsilon_{yy} = -0.44 \ 10^{-7}$

Brevet 051 $\vec{u}_B = 9.19 \ 10^{-3} \vec{j} \text{ m}$

Brevet 052 $\vec{u}_B = 3.43 \ 10^{-6} \vec{j} \text{ m}$

Brevet 053 $\vec{u}_B = 2.86 \ 10^{-6} \vec{j} \text{ m}$

Brevet 054 Dans la direction $\vec{i}: \epsilon_{xx} = 1.32 \ 10^{-5}$, dans la direction $\vec{k}: \epsilon_{zz} = -0.40 \ 10^{-5}$

Brevet 055 $\epsilon_{xx} = -264 \ 10^{-6}$, dans la direction $\vec{k}: \epsilon_{zz} = 79 \ 10^{-6}$

Brevet 056 Non, car le déplacement en bout de poutre représente 14% de la longueur de la poutre.

Brevet 057 $W_{\text{int}} = 0.0794 \text{ J}$
<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>Figure 3.1: Représentation graphique idéale d'un jeu de données expérimentales.</figcaption></figure>

Brevet 058 $u_B = 0.00694$ m

Brevet 059 $\vec{u}_B \cdot \vec{j} = 0.0159$ m

Brevet 060 $c = 0.27$

Brevet 060 bis $d = 0.43$

Brevet 61 $d = 2.66$

Brevet 61 bis Le détenteur du brevet vérifie vos trois réponses.

Brevet 62 $a = 0 ; a = 12 ; a = 6 ; a = 9 ...$

Brevet 62 bis $a = 0, a = 12, a = 6, a = 9, a = 3, a = 7, 5, a = 6, 7, a = 4, 5, ...$

Brevet 63

<table><thead><tr><th>a</th><th>b</th><th>c = a/b</th></tr><tr><th>m</th><th>A</th><th>10<sup>-3</sup>mA<sup>-1</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>0.45</td><td>1234.6</td><td>0.36</td></tr><tr><td>0.98</td><td>2454.9</td><td>0.40</td></tr></tbody></table>

Tab. 25 : Le tableau idéal.

Brevet 064 voir figure 3.1

Brevet 064 bis voir figure 3.2

Brevet 065 $p = 2.3 \times 10^3$ Am$^{-1}$, $c = 1.7 \times 10^2$ A

Brevet 066 Les points ne sont pas alignés mais sont plutôt sur une parabole, il est absurde de chercher une droite des moindres carrés.
<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>Figure 3.2: Représentation graphique idéale d'un jeu de données expérimentales.</figcaption></figure>

Brevet 067

• pour le point G1 :

$$ \bullet ug1xa = -\frac{sg1a}{12} - \frac{sg1a^3}{60}, $$

$$ \bullet ug1ya = \frac{sg1a}{10}, $$

$$ \bullet ome1 = \frac{1}{12} + \frac{sg1a^2}{20} $$

• pour le point G2 :

$$ \bullet ug2xa = \frac{1}{10}, $$

$$ \bullet ug2ya = \frac{1}{10} + \frac{2}{15}sg2a - \frac{1}{60}sg2a^2(\text{sg2a} - 3), $$

$$ \bullet ome2 = \frac{2}{15} - \frac{1}{20}sg2a(-2 + sg2a) $$

Brevet 068 Voir figure 1.21

Brevet 069 $d_1 = d_2 + d_{12} + d_3 + d_{13} + d_{14} + d_4 + d_5 + d_6 - d_7 - d_8 - d_9 - d_{10} - d_{11}$
$d_{1M} = d_{2M} + d_{12M} + d_{3M} + d_{13M} + d_{14M} + d_{4M} + d_{5M} + d_{6M} - d_{7M} - d_{8M} - d_{9M} - d_{10M} - d_{11M}$
$d_{1m} = d_{2m} + d_{12m} + d_{3m} + d_{13m} + d_{14m} + d_{4m} + d_{5m} + d_{6m} - d_{7M} - d_{8M} - d_{9M} - d_{10M} - d_{11M}$

Brevet 070 $IT(d_1) > 0.28mm$

Brevet 071 voir figure 1.20

Brevet 071 bis voir figure 1.20

Brevet 072 voir figure ??

Brevet 072 bis voir figure 1.26

Brevet 073 L'incertitude sur l'une des cotes cf3 est plus grande dans la méthode (4 puis 1 puis 2 puis 3) que dans la méthode (1 puis 4 puis 3 puis 2). La méthode (4 puis 1 puis 2 puis 3) est à choisir.

Brevet 074 Non, car le moment en A est de 16% plus petit dans la configuration déformée que dans la configuration de référence.