# Ecoulement dans les talus intertidaux

Aïssa Rezzoug, Alain Alexis, Pierre Thomas

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Aïssa Rezzoug, Alain Alexis, Pierre Thomas. Ecoulement dans les talus intertidaux. Journal de Recherche Océanographique., 1994, 19 (3-4), pp.125-136. hal-01006763

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Submitted on 8 Apr 2017

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# ECOULEMENT DANS LES TALUS INTERTIDAUX

Aïssa REZZOUG, Alain ALEXIS, Pierre THOMAS,

Laboratoire de Génie Civil E.C.N.
BP 420, I.U.T.
44606 ST-NAZAIRE Cedex

## FLOW IN INTERTIDAL SLOPES

**Key-words :** tide, slope, cyclic flow in porous medium, analytic.

### Abstract

Estuarian or coastal areas generally undergo the influence of tide, which generates cyclic stresses disturbing the stability of banks (slopes, flats, beaches) and harbour buildings (dykes, wharfs). Tide induces also flow phenomenons through soils, which are pervious media, disturbed by the flow velocities. Stability of banks and structures can be also highly modified and phenomenons of slope failures or slope toe scouring can appear. During a tidal cycle, bank alternatively fills and empties. The free surface of flow, water-air interface in the soil, undergoes the atmospheric pressure and oscillates with the tide period.

We propose a modelisation of this phenomenon, using mainly soil permeability and tide characteristics. The resolution is difficult, because of the flow equation non-linearity, and the shape of the boundary condition on the interface ground-water.

We propose here an original analytical method of resolution which gives basis data about the free surface flow in sloping banks induced by oscillation of the tide. This method is based on a justified linearization, and on an iterative process of differential equations integration. According to tidal cycle the final solution shows the free surface flow oscillation in the porous media of intertidal slopes.
This research can be applied for determining the stability of natural or harbour slopes in intertidal areas.

**Mots-clés :** marée, talus, écoulement cyclique dans un milieu poreux, analytique.

## INTRODUCTION

Dans les zones littorales soumises à de fortes marées, il est apparu de nombreuses perturbations ou ruines d'ouvrages sous l'action de contraintes océaniques périodiques.

Dans le but d'estimer l'impact des actions hydrauliques cycliques dues à la marée sur le comportement des talus estuariens et sur les ouvrages portuaires en général, tels que les quais et les digues en terre, nous cherchons à identifier le phénomène de l'écoulement à caractère dynamique de ces types d'ouvrages ; car le problème s'est posé concrètement sur les côtes à forte marée.

Une meilleure connaissance des problèmes hydrauliques des écoulement internes tels que :

- le niveau d'eau dans l'ouvrage, ou à quelque distance, à chaque moment du mariage ;

- les limites de la zone de perturbation par les fluctuations du niveau de la nappe dues à la marée ;

- les vitesses résultantes du débit, de l'écoulement, entrant et sortant par l'effet de la marée ;

permet de mieux appréhender l'étude des problèmes de génie civil tels que :

- l'effet de la surpression hydrostatique dans le massif (ou remblais) de l'ouvrage. Cette surpression est due à la forte dénivellation du niveau d'eau à la basse mer. Elle introduit des poussées hydrostatiques de la nappe sur les murs des quais ;

- l'effet de la perturbation sur les caractéristiques physiques du sol en place ;

- l'effet dynamique de changement de vitesse. A la basse mer la vitesse de l'écoulement sortant est très importante. Localement au pied du talus le matériaux risque d'être entraîné (affouillement et érosion). Globalement, il y a naissance d'une force de

poussée globale dans le sens de l'écoulement en raison des variations instantanées de vitesse. Un talus de pente ou un quai vertical risque ainsi une rupture par glissement.

Les problèmes d'écoulements transitoires dus à la marée dans les talus portuaires, sont abordés par une approche mathématique relative à l'étude d'oscillations des nappes libres dans un milieu poreux. Cette approche est fondée sur la physique des transferts d'eau depuis la mer jusqu'à la nappe. Sa théorie repose sur une hypothèse restrictive importante qui revient à réduire l'écoulement à la seule zone saturée limitée à sa surface supérieure par la surface libre de la nappe.

Cette idéalisation s'appuie principalement sur l'hypothèse de Dupuit et la loi de Darcy dans un milieu poreux supposé indéformable. Pratiquement toutes les solutions publiées en hydrodynamique des nappes à surface libre reposent sur cette hypothèse, considérée comme une approche traditionnelle (Vauclin 1975). Boussinesq 1904, a proposé une linéarisation simple dont la solution analytique est publiée par plusieurs auteurs (Rat et Vautrin 1973 ; Razack et al. 1980 ; Marino 1973). Nous avons déjà démontré pour un cas du massif vertical (Rezzoug et Alexis 1992), que cette linéarisation ne donne pas une meilleure solution analytique pour ce type de problème.

Nous traitons dans cet article l'approche traditionnelle, unidimensionnelle de l'écoulement transitoire à travers les talus d'estran soumis à la marée et nous proposons une méthode analytique qui nous semble plus simple.

## NOTATIONS

$a(t)$ la fonction de translation horizontale de $\Omega x_z$ par rapport à $Ox_z$.
A amplitude de la marée

c constante intermédiaire ($c=k/2n$)

C constante intermédiaire ($C=2cH_m$)

C', C", C₁, C₂ constantes d'intégration.

D constante intermédiaire ($D=A\omega/P$)

G fonction intermédiaire par changement de variable
$G(X,t)=h^2(x,t)$

h la charge hydraulique

$H_m$ hauteur moyenne de la marée mesurée à partir du substratum

i le nombre imaginaire pur ($i^2=-1$)

j l'ordre d'itération

k perméabilité du sol du talus

$K_{m,n}^j$ matrice des coefficients complexes de Fourier d'ordre $m,n$ à l'itération "j" du processus itératif

$\Re K_{m,n}$ la partie réelle et de $K_{m,n}$

$\Im K_{m,n}$ la partie imaginaire de $K_{m,n}$

$L_n$ coefficients complexes de Fourier dans le cas du développement de la condition au limite.

$m,n$ entiers relatifs variant de $-\infty$ à $+\infty$

n porosité efficace du sol

$Ne$ niveau de la nappe dans le talus du coté terre, (niveau d'équilibre)

$\Delta Ne$ surélévation du niveau d'équilibre ($Ne-H_m$)

$Oxz$ repère absolu fixe lié à la base du substratum

$P$ pente du talus d'angle $\theta$, ($P=\tan\theta$)

$P_L$ pente limite (minimale)

$R_{m,n}$ coefficient complexe multiplicateur

T période de la marée

z cote d'un point mesurée à partir du substratum

$z=h(x,t)$ équation de la hauteur de la surface libre au point d'abscisse x et à l'instant t

$\omega$ sa pulsation ($\omega=2\pi/T$)

$\Omega X_2$ repère relatif mobile

$\varphi_{m,n}$ argument de $K_{m,n}$

$\lambda_{m,n}$ racine de $in\omega/C$ dont la partie réelle est positive

$\delta$ symbole de Kroneker (+1 ou -1)

# MODELISATION DU PROBLEME PHYSIQUE

## 1. Surface libre et transfert dans un massif

La figure ci-dessous schématise un talus, ou un massif (selon la grandeur de la pente), constitué d'un matériaux poreux, perméable, homogène et indéformable. Il repose sur une couche imperméable et est sollicité par des oscillations du niveau d'eau dues à la marée sur sa pente OA. Nous appellerons le domaine [OABC] massif vertical si $\theta = \pi/2$ et talus (de pente $P=\tan\theta$) si $0<\theta<\pi/2$. Cette excitation du niveau d'eau hors le domaine [OABC] oscille donc selon une fonction sinusoidale directe de période $T$ et de pulsation $\omega$, autour d'un niveau moyen $H_m$ constant.

$$z = h(x,t) = H_m + A \sin \omega t \quad \text{avec: } \omega = 2\pi/T \quad (1)$$

$H_m$ est la hauteur moyenne de la marée et $A$ son amplitude.

Nous cherchons donc, l'équation de la ligne oscillatoire de la surface libre dans le domaine [OABC]

$$z = h(x,t) \quad (2)$$

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1 : Schéma, talus soumis au marnage. Niveau moyen $z = H_m$ Pleine mer : P.M. $z = H_m+A$ Basse mer : B.M. $z = H_m-A$</figcaption></figure>

<caption>Figure 1 : Scheme of intertidal slope</caption>

où $x$ est la distance au rivage, comptée positive du côté terre et négative du côté mer. Sa courbe fluctue sous l'influence du mouvement de la marée sur la pente OA.

## 2. Equation de Dupuit en transitoire

Polubarinova 1962, a démontré que l'équation de la surface libre dans le matériau à l'intérieur du domaine [OABC] est solution de l'équation dite de "Dupuit" en transitoire pour un écoulement unidimensionnel

$$\frac{\partial h(x,t)}{\partial t} - c \frac{\partial^2 h^2(x,t)}{\partial x^2} = 0 \quad (3)$$

$c = k/2n$ : désigne une constante dépendante des caractéristiques hydrauliques du matériau constituant le talus (ou le massif), caractérisé par sa perméabilité $k$ et sa porosité $n$.

## 3. Conditions aux limites et sur le temps

- L'agitation de la marée sur la pente OA, Fig. 2, c'est à dire pour toute $P \neq 0$, l'abscisse du niveau d'eau et sa hauteur sur la frontière OA sont respectivement décrites par :

$$P = \tan \theta = \frac{H_m + A \sin \omega t}{a(t)} \quad (4)$$

$$z = h(x=a(t), t) = H_m + A \sin \omega t \quad (5)$$

- le talus est illimité du côté BC, fig. 1, alors que le niveau de la surface libre ici tend vers un niveau d'équilibre constant, que nous désignerons par $Ne$, inconnu. En passage à la limite, on peut écrire

$$h(x \to \infty, t) = Ne \quad (6)$$

- la surface libre est périodique de période $T$, d'où une condition sur le temps :

$$h(x,t+T) = h(x,t) \quad (7)$$
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2 : Modélisation de la condition sur la pente
Figure 2 : Modeling of the slope boundary condition</figcaption></figure>

## RÉSOLUTION

### 1. Transformations analytiques

Il s'agit de résoudre analytiquement le système composé des équations (3), (5), (6) et (7). La non linéarité de l'équation (3) pose des difficultés de résolutions analytiques, sauf dans le cas spé-cifique de linéarisation sous certaines hypothèses physiques sim-plificatrices. Pour permettre quelques développements analy-tiques, nous sommes amenés à opérer une linéarisation sous réserve d'une hypothèse : les variations spatiales, de la côte de la surface libre, oscillent autour d'une hauteur moyenne $H_m$, dont l'amplitude des oscillations du niveau piézométrique est petit devant l'épaisseur de la nappe. L'équation (3) peut devenir alors :

$$ \frac{\partial h^2(x,t)}{\partial t} - C \frac{\partial^2 h^2(x,t)}{\partial x^2} = 0 \quad \text{avec } C = 2cH_m \quad (8) $$

Cette linéarisation en $h^2$ a une précision et un domaine d'appli-cabilité meilleurs que la linéarisation classique en $h$, notamment pour les forts rabattements (Josseaume 1970). Elle permet éga-lement de retrouver la formule de Dupuit pour les nappes libres en régime permanent.

De même, la dépendance des variables dans la condition (5) ne fait que compliquer le problème. Pour revenir à une condition plus simple aux variables indépendantes, nous posons le changement de variables suivant :

$$ \begin{gathered} X = x - a(t) \\ G(X,t) = h^2(x,t) \end{gathered} \quad (9) $$

Ce changement signifie la recherche d'une fonction comme $z=G(X,t)$ dans le repère relatif ($\Omega Xz$). Celle-ci est décrite dans le repère absolu ($Oxz$) par $z=h^2(x,t)$. Ici $a(t)$ désigne la fonction du mouvement de translation sinusoïdal, horizontale, du repère relatif dans le repère absolu fixe (Fig.3.).

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3 : Repère relatif par rapport au repère absolu
Figure 3 : Relative reference and absolute reference</figcaption></figure>

Compte tenu de (9), (8) change sa forme pour devenir :

$$ \frac{\partial G(X,t)}{\partial t} - C \frac{\partial^2 G(X,t)}{\partial X^2} = D \cos \omega t \frac{\partial G(X,t)}{\partial X} \quad (10) $$

avec $D=A\omega/P$. La condition (5) devient aussi

$$ G(X=0, t) = (H_m + A \sin \omega t)^2 \quad (11) $$

Donc finalement le problème se ramène au système (12)

$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial G(X,t)}{\partial t} - C \frac{\partial^2 G(X,t)}{\partial X^2} = D \cos \omega t \frac{\partial G(X,t)}{\partial X} \\ G(X=0,t) = (H_m + A \sin \omega t)^2 \quad (\text{CL1}) \\ G(X \to \infty, t) = N e^2 \quad (\text{CL2}) \\ G(X,t+T) = G(X,t) \quad (\text{C3}) \end{array} \right. \quad (12) $$

La résolution de ce système se simplifie beaucoup, si nous adop-tons les notions complexes de Fresnel et le développement en termes de série de Fourier. Ce mode de calcul est employé ente autre par les électriciens pour l'étude des courants alternatifs. La condition (11) peut donc être écrite en série finie de termes com-plexes de coefficients $L_n$ :

$$ G(X=0,t) = (H_m + A \sin \omega t)^2 = \sum_{n=-2}^{+2} L_n e^{in\omega t} \quad (13) $$

$$ \text{soit} \quad \begin{cases} L_0 = H_m^2 + \frac{A^2}{2} \\ L_1 = -L_{-1} = -iA H_m^2 \\ L_2 = L_{-2} = -\frac{A^2}{4} \end{cases} $$

## 2. Résolution générale

### 2.1. Processus itératif

Nous proposons ici une méthode analytique, qui s'appuie sur un processus itératif de résolution d'équations différentielles. Elle permet par un développement en série de Fourier aux termes complexes, d'approcher de mieux en mieux à la solution. A un stade "j" donné du processus itératif, nous supposons connaître l'expression de $G_{j-1}(X,t)$ que nous devons injecter dans le second membre de l'équation :

$$ \frac{\partial G_j}{\partial t} - C \frac{\partial^2 G_j}{\partial X^2} = D \cos \omega t \frac{\partial G_{j-1}}{\partial X} \quad (14) $$

Nous généralisons le processus et nous supposons que $G_{j-1}(X,t)$ est la fonction de donnée, connue (d'entrée). $G_j(X,t)$ est la fonction solution (sortie), dans le circuit du processus itératif d'ordre "j".

La solution $G_j(X,t)$ compte tenu des conditions (CL1, CL2, C3) devra être aussi réinjectée dans le second membre de (14), et ain-si de suite.

L'équation de la première itération "j=1" sera alors

$$ \frac{\partial G_1}{\partial t} - C \frac{\partial^2 G_1}{\partial X^2} = D \cos \omega t \frac{\partial G_0}{\partial X} \quad (15) $$
On initialise le processus itératif par :

$$G_0(X,t) = H_m^2 \Rightarrow \frac{\partial G_0}{\partial X} = 0 \qquad (16)$$

puisque $H_m$ est constant. (14) reprend donc une forme plus simple,

$$\frac{\partial G_i}{\partial t} - C \frac{\partial^2 G_i}{\partial X^2} = 0 \qquad (17)$$

Cette équation avec les conditions (CL1, CL2, C3), décrit le cas du massif vertical ($\theta=\pi/2 \Rightarrow D=0$). Nous retrouvons ici une forme différentielle appelée "équation de la chaleur". Elle peut se résoudre simplement pour obtenir une solution réelle dont l'écriture en termes complexes est :

$$G_i(X,t) = H_m^2 + \frac{A^2}{2} - iAH_m(e^{-\lambda_1 X}e^{i\omega t} - e^{-\lambda_{-1} X}e^{-i\omega t}) \\ - \frac{A^2}{4}(e^{-\lambda_2 X}e^{2i\omega t} + e^{-\lambda_{-2} X}e^{-2i\omega t}) \qquad (18)$$

avec $\lambda_n^2 = in\omega/C$, m et n entiers relatifs négatifs ou positifs. (Rezzoug et Alexis 1992).

En deuxième itération nous injectons à nouveau $G_i$ dans le second membre de (14) puis nous cherchons la solution de l'équation complète, et ainsi de suite. Le processus itératif continue jusqu'à obtention d'une solution suffisamment proche de la fonction injectée (comme donnée).

Théoriquement l'existence d'une solution comme (18) dans le cas particulier de pente infinie confirme l'existence de la solution générale du système (12). Cette solution générale correspondra à une forme étendue de l'équation (18), pouvant satisfaire les conditions aux limites et la condition de périodicité sur le temps. La solution que nous cherchons existe et peut être écrite sous une forme plus générale, en sommes de termes complexes en série de Fourier :

$$G_j(X,t) = \sum_n k_n^j(X) e^{in\omega t} \qquad (19) \\ k_n^j(X) = \sum_m K_{m,n}^j e^{-\lambda_m^j X}$$

avec
m, n sont des entiers relatifs variant de $-\infty$ à $+\infty$, et $K_{m,n}^j$ est un élément de la matrice des constantes complexes d'intégration relative à l'itération "j".

D'une manière générale, connaissant le second membre de (14) :

$$D \cos \omega t \frac{\partial G_{j-1}}{\partial X} = - \frac{D \lambda_m}{2} \sum_n \sum_m (K_{m,n-1}^{j-1} + K_{m,n+1}^{j-1}) e^{-\lambda_m^j X} e^{in\omega t} \qquad (20)$$

nous cherchons alors une solution réelle dont l'écriture complexe est une forme plus générale (19). Remplaçons (20) et (19) dans l'équation (14) en simplifiant $e^{in\omega t}$, nous obtenons l'équation différentielle suivante :

$$\frac{d^2 k_n(X)}{dX^2} - \lambda_n^2 k_n(X) = \sum_m \frac{D \lambda_m}{2C} (K_{m,n-1}^{j-1} + K_{m,n+1}^{j-1}) e^{-\lambda_m^j X} \qquad (21)$$

## 2.2. Résolution de l'équation différentielle

L'équation différentielle (21) est du second ordre, linéaire, non homogène et aux coefficients constants. Selon les valeurs des paramètres m et n, les solutions générales et particulières sont différentes.

- cas $n=0$, $n=0$ est un cas particulier, l'équation (21) change de forme et devient :

$$\frac{d^2 k_0(X)}{dX^2} = \sum_m \frac{D \lambda_m}{2C} (K_{m,-1}^{j-1} + K_{m,1}^{j-1}) e^{-\lambda_m^j X} \qquad (22)$$

Intégrons (22) directement pour tout m entier relatif. C' et C'' sont des constantes d'intégration,

$$k_0(X) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{D}{2C\lambda_m} (K_{m,-1}^{j-1} + K_{m,1}^{j-1}) e^{-\lambda_m^j X} + C'X + C'' \qquad (23)$$

### Solution générale de l'équation différentielle homogène

- cas $n \neq 0$.
Sans second membre, l'équation (21) a une solution générale:

$$k_{n(n=0)}(X) = C_1 e^{-\lambda_n^j X} + C_2 e^{\lambda_n^j X} \qquad (24)$$

avec $C_1$ et $C_2$ constantes d'intégration.

### Solution particulière de l'équation non homogène

Nous distinguons deux cas :

- cas $m=n$
Dans ce cas nous avons en particulier :

$$K_{0,-1} + K_{0,1} = L_{-1} + L_1 = iAH_m + (-iAH_m) = 0 \qquad (25)$$

Par récurrence nous montrons à l'aide de

$$K_{n+1,n} + K_{n+1,n+2} = K_{n+1,n} + (-K_{n+1,n}) = 0 \qquad (26)$$

$$\text{que : } K_{n,n-1} + K_{n,n+1} = 0 \qquad (27)$$

Donc dans le cas $m=n$ le second membre de (21) est toujours nul. Cette équation devient alors homogène.

- cas où $m \neq n$
*Si $m=0$, pour tout n entier relatif non nul, (21) est homogène car $\lambda_0=0$.

*Si $m \neq 0$, la solution particulière par identification des facteurs est :
$$k_{n(n \neq 0)}(X) = \sum_{m} \frac{D\lambda_m}{2C(\lambda_m^2 - \lambda_n^2)} (K_{m,n-1}^{j-1} + K_{m,n+1}^{j-1}) e^{-\lambda_m X} \quad (28)$$

La solution complète du système (12) est la somme des solutions partielles (23), (24) et (28), reportée dans (19).

### 2.3. Solution du système (13)

Compte tenu des conditions aux limites (CL1), (CL2) et (12), la solution de l'équation (14) pour un ordre d'itération "j" donné, peut s'écrire en fonction des coefficients de la fonction (19), de donnée d'ordre "j-1".

$$G_j(X,t) = \sum_n \left[ (L_n - \sum_m R_{m,n} (K_{m,n-1}^{j-1} + K_{m,n+1}^{j-1})) e^{-\lambda_m X} \right. \\ \left. + \sum_m R_{m,n} (K_{m,n-1}^{j-1} + K_{m,n+1}^{j-1}) e^{-\lambda_m X} \right] e^{in\omega t} \quad (29)$$

avec :

$$R_{m,n} = \frac{D\lambda_m}{2C(\lambda_m^2 - \lambda_n^2)} \quad \forall m \neq n \quad (30)$$

Nous pouvons explicitement encore le facteur $R_{m,n}$, il devient :

$$R_{m,n} = (i - \delta) \frac{A}{2P(n - m)} \sqrt{\frac{|m|\omega}{2C}} \quad (31)$$

où $\delta=1$ pour $m \ge 0$ et $\delta=-1$ pour $m < 0 \quad \forall m \neq n$,
car selon la condition (CL2), la partie réelle de $\lambda_m$ doit être positive.

Si nous réécrivons la fonction (29) sous la forme (19), les formules de passage de $G_{j-1}(X,t)$ fonction de donnée à $G_j(X,t)$ fonction résultat, sont :

$$K_{m,n}^{j}(m \neq n) = R_{m,n}(K_{m,n-1}^{j-1} + K_{m,n+1}^{j-1}) \quad (32)$$

$$K_{n,n}^{j} = L_{n} - \sum_{m} R_{m,n} (K_{m,n-1}^{j-1} + K_{m,n+1}^{j-1})$$

ou encore :

$$K_{n,n}^{j} = L_{n} - \sum_{m} K_{m,n}^{j}(m \neq n) \quad (33)$$

### Retour aux variables réelles :

L'écriture de la solution en série de termes complexes est choisi de manière à simplifier la recherche et à éviter les calculs tri-gonométriques fastidieux. La solution physique existe, donc la solution mathématique doit être réelle. Nous pouvons l'exprimer de la façon suivante :

$$G(X,t) = \frac{1}{2} (G(X,t) + \overline{G(X,t)}) \quad (34)$$

la barre désigne la fonction conjuguée. Nous noterons par la suiv-

te les termes complexes par leur partie réelle et imaginaire :

$$K = \Re K + i \Im K, \text{ et } \lambda = \Re \lambda + i \Im \lambda,$$

Si nous écrivons $G$ sous la forme :

$$G(X,t) = \sum_{n} \sum_{m} (\Re K_{m,n} + i \Im K_{m,n}) e^{-\Re \lambda_m X} e^{i(n\omega t - \Im \lambda_m X)} \quad (35)$$

sa conjuguée aura la forme :

$$\overline{G(X,t)} = \sum_{n} \sum_{m} (\Re K_{m,n} - i \Im K_{m,n}) e^{-\Re \lambda_m X} e^{-i(n\omega t - \Im \lambda_m X)} \quad (36)$$

finalement son écriture réelle dans le repère relatif est :

$$G(X,t) = \sum_{n} \sum_{m} |K_{m,n}| e^{-\Re \lambda_m X} \cos(n\omega t - \Im \lambda_m X + \varphi) \quad (37)$$

avec :

$$|K_{m,n}| = \sqrt{(\Re K_{m,n})^2 + (\Im K_{m,n})^2} \\ \tan \varphi_{m,n} = \frac{\Im K_{m,n}}{\Re K_{m,n}}$$

$$\Re \lambda_m = \sqrt{\frac{|m|\omega}{2C}} \\ \Im \lambda_m = \Re \lambda_m \quad \text{si } m \ge 0 \\ \Im \lambda_m = -\Re \lambda_m \quad \text{si } m < 0$$

Nous rappelons que $x$ est l'abscisse réelle dans le repère absolu correspondant à la pénétration horizontale (fig.1) dans le massif; d'après (4) et (9),

$$X = x - \frac{H_m + A \sin \omega t}{P} = x - a(t) \quad (38)$$

La cote physique de la surface libre de l'eau dans le talus, est définie par (1) qui peut être exprimée aussi explicitement par son carré défini en (9) et (37) :

$$h^2(x,t) = \sum_n \sum_m |K_{m,n}| e^{-\Re \lambda_m (x-a(t))} \\ \cos(n\omega t - \Im \lambda_m (x-a(t)) + \varphi_{m,n}) \quad (39)$$

Tous les paramètres sont déjà définis auparavant, $K_{m,n}$ est une matrice carrée de centre $(m,n) = (0,0)$. Nous choisisons les valeurs entières extrêmes positives et négatives de $m$ et de $n$, qui sont fonction de l'ordre d'itération "j".

$$\begin{aligned} \max(m) &= \max(n) = j+1 \\ \min(m) &= \min(n) = -(j+1) \end{aligned} \quad (40)$$

Si une précision suffisante est atteinte au bout de cinq itérations
(j=5), par exemple, la matrice finale $K_{m,n}$ utilisée pour le calcul de la fonction (39) doit être définie par $m$ et $n$ balayant l'intervalle des entiers relatifs [-6, +6].

### 3. Applications

#### 3.1. Calcul manuel

En pratique les calculs se font sur un tableau de valeurs $K_{m,n}$ centré en $n=0$ et $m=0$, dont $m$ est le nombre de lignes, et $n$ le nombre de colonnes, (Tableau I et II). A l'aide de la formule (32) on peut remplir une case autre que la diagonale du tableau. Par exemple pour remplir une case dans une ligne, on somme les deux cases voisines de la même ligne en multipliant le résultat

par le facteur $R_{m,n}$ décrit en (31). Sur la diagonale du tableau on fait appel à la formule (33) qui utilise la somme des éléments des colonnes déjà calculées.

Tableau I et Tableau II montrent le mécanisme de calcul respectivement pour la première et la deuxième itération.

A une itération "j" donnée, l'expression littérale de chaque case

prend la forme d'un polynôme en $(\frac{A}{2P} \sqrt{\frac{\omega}{2C}})$ avec des coefficients qui varient peu, de signes quelconques, et décroissent en fonction de l'augmentation du nombre d'itérations "j".

<table><caption>Tableau I. Calcul de $K_{m,n}^1$</caption><thead><tr><th>m\n</th><th>-2</th><th>-1</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th></tr></thead><tbody><tr><th>-2</th><td>-A<sup>2</sup>/4</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>-1</th><td></td><td>iAH<sub>m</sub></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>0</th><td></td><td></td><td>H<sub>m</sub><sup>2</sup>+A<sup>2</sup>/2</td><td></td><td></td></tr><tr><th>1</th><td></td><td></td><td></td><td>-iAH<sub>m</sub></td><td></td></tr><tr><th>2</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td>-A<sup>2</sup>/4</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Tableau II. Calcul de $K_{m,n}^2$</caption><thead><tr><th>m\n</th><th>-3</th><th>-2</th><th>-1</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th></tr></thead><tbody><tr><th>-3</th><td>-R<sub>2,3</sub>(-A<sup>2</sup>/4)</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>-2</th><td>R<sub>2,3</sub>(-A<sup>2</sup>/4)</td><td>-A<sup>2</sup>/4-R<sub>1,2</sub>(iAH<sub>m</sub>)</td><td>R<sub>2,1</sub>(-A<sup>2</sup>/4)</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>-1</th><td></td><td>R<sub>1,2</sub>(iAH<sub>m</sub>)</td><td>iAH<sub>m</sub>-[R<sub>2,1</sub>(-A<sup>2</sup>/4)+R<sub>0,1</sub>(H<sub>m</sub><sup>2</sup>+A<sup>2</sup>/2)]</td><td>R<sub>1,0</sub>(iAH<sub>m</sub>)</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>0</th><td></td><td></td><td>R<sub>0,1</sub>(H<sub>m</sub><sup>2</sup>+A<sup>2</sup>/2)</td><td>H<sub>m</sub><sup>2</sup>+A<sup>2</sup>/2-[R<sub>1,0</sub>(iAH<sub>m</sub>) + R<sub>1,0</sub>(-iAH<sub>m</sub>)]</td><td>R<sub>0,1</sub>(H<sub>m</sub><sup>2</sup>+A<sup>2</sup>/2)</td><td></td><td></td></tr><tr><th>1</th><td></td><td></td><td></td><td>R<sub>1,0</sub>(-iAH<sub>m</sub>)</td><td>-iAH<sub>m</sub>-[R<sub>2,1</sub>(-A<sup>2</sup>/4)+R<sub>0,1</sub>(H<sub>m</sub><sup>2</sup>+A<sup>2</sup>/2)]</td><td>R<sub>1,2</sub>(-iAH<sub>m</sub>)</td><td></td></tr><tr><th>2</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td>R<sub>2,1</sub>(-A<sup>2</sup>/4)</td><td>-A<sup>2</sup>/4-R<sub>1,2</sub>(iAH<sub>m</sub>)</td><td>R<sub>2,3</sub>(-A<sup>2</sup>/4)</td></tr><tr><th>3</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>-R<sub>2,3</sub>(-A<sup>2</sup>/4)</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Tableau III.</caption><thead><tr><th>Type de sol</th><th colspan="2">Porosité n</th><th colspan="2">Perméabilité k (m/s)</th><th colspan="2">Rapport k/n (m/s)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Sables</td><td>0,30</td><td>0,45</td><td>1 10<sup>-2</sup></td><td>5 10<sup>-5</sup></td><td>3,33 10<sup>-2</sup></td><td>1,11 10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>Limon-sableux</td><td>0,35</td><td>0,45</td><td>5 10<sup>-5</sup></td><td>3 10<sup>-6</sup></td><td>1,43 10<sup>-4</sup></td><td>0,66 10<sup>-5</sup></td></tr><tr><td>Limons</td><td>0,35</td><td>0,50</td><td>1 10<sup>-5</sup></td><td>5 10<sup>-7</sup></td><td>2,86 10<sup>-5</sup></td><td>1,00 10<sup>-6</sup></td></tr><tr><td>Argiles</td><td>0,40</td><td>0,55</td><td>5 10<sup>-6</sup></td><td>5 10<sup>-8</sup></td><td>1,25 10<sup>-5</sup></td><td>0,00</td></tr></tbody></table>
D'après le critère de convergence de d'Alembert pour les séries aux termes réels, ce processus itératif de calcul des coefficients $K_{m,n}$ ne converge que si :

$$ \frac{A}{2P} \sqrt{\frac{\omega}{2C}} < 1 \qquad (41) $$

d'où finalement une condition sur la pente P, pour une convergence assurée des calculs, en fonction des paramètres A, ω, Hm, n, k, car :
$C=kH_m/n$, (Rezzoug 1990).

$$ P > P_L = A \sqrt{\frac{\omega}{8H_m\left(\frac{k}{n}\right)}} \qquad (42) $$

Cette condition n'est pas toujours nécessaire mais elle est suffisante. $P_L$ est la pente limite.

La programme délimité par une courbe qui représente la variation de la pente limite (minimale) en fonction du rapport (k/n) caractérisant le type de sol. Le tableau III représente une étendue des caractéristiques hydrauliques des sols, (Alexis 1987). Nous pouvons alors tracer la pente limite en fonction de Log(k/n) de manière à faire apparaître les différents types de sol (fig. 4). La validité et la commodité de cette méthode est remarquable pour les graviers et les sables. Dans ces types de sols, cette méthode ne cesse pas d'être précise et complète pour la recherche d'allures de surface libre de la nappe, lors des différents cycles du marnage, et pour n'importe quelle pente non pratiquement nulle. Alors que les problèmes de stabilité des calculs des coefficients $K_{m,n}$ se posent pour les sols fins. La convergence ne peut être atteinte qu'avec une pente égale au moins 1 dans le cas de l'argile.

## 3.2. Calcul numérique

Le calcul manuel des coefficients $K_{m,n}$, dans des expressions analytiques, est long et fastidieux. Un programme de calcul, itératif simple, sur tableaux, est nécessaire. Pour procéder à ce calcul, chaque tableau est déduit du tableau précédent par des opérations simples. Nous définissons une précision suffisante de l'ordre du millimètre à l'échelle des talus naturels. Cette précision ne demande que quelques itérations, citons par exemple, un massif de limon sableux de pente unité ne demande que 6 itérations sur les coefficients $K_{m,n}$ pour qu'une précision suffisante soit atteinte.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4 : $P_L$ pente limite du domaine de convergence en fonction du rapport (k/n) pour $A = 2 \text{ m}$; $H_m = 8 \text{ m}$.</figcaption></figure>

<caption>Figure 4 : Limit slope of convergence field ($P_L$) versus the ratio (k/n) for $A = 2 \text{ m}$; $H_m = 8 \text{ m}$.</caption>

A.N.

Pour $A=2\text{m}$ et $H_m =6\text{m}$ : $P > 0,47$

Pour $A=2\text{m}$ et $H_m =8\text{m}$ : $P > 0,41$

Pour $A=4\text{m}$ et $H_m =8\text{m}$ : $P > 0,85$

Ces valeurs sont prises pour le cas d'un sol de référence de perméabilité $k = 0,0792\text{m/h}$ et de porosité $n = 0,4$.

La pulsation de la marée est $\omega = \frac{\pi}{6} \text{rd/h}$.

Nous avons explicité le domaine de convergence par un dia-

cul, chaque tableau est déduit du tableau précédent par des opérations simples. Nous définissons une précision suffisante de l'ordre du millimètre à l'échelle des talus naturels. Cette précision ne demande que quelques itérations, citons par exemple, un massif de limon sableux de pente unité ne demande que 6 itérations sur les coefficients $K_{m,n}$ pour qu'une précision suffisante soit atteinte.

La figure 5 donne l'algorithme généralisé du programme de calculs depuis l'introduction des données jusqu'au traçage des profils de surface libre dans le talus.
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 5 : Algorithme de résolution
Figure 5 : Resolution algorythm</figcaption></figure>

## 4. Cas particulier d'un massif vertical

### 4.1. Calcul du niveau d'équilibre

Nous soulignons que pour le cas d'un massif vertical quand $\theta \to \pi/2 \Rightarrow D \to 0$ et $R_{m,n} \to 0$, quelque soit $m \neq n$; la formule de passage se réduit alors, quelque soit l'ordre d'itérations, à

$$ K_{m,n} = 0 \quad \text{si } m \neq n \\ \text{et } K_{n,m} = L_n \quad \text{si } m = n \qquad (43) $$

L'expression (37) se ramène alors à l'équation (18). Sa partie réelle tend vers $H_m^2+A^2/2$ quand $x \to \infty$. La racine de cette valeur exprimée en (6), définit physiquement le niveau d'équilibre qui s'établit au fond du massif sur la limite infinie du côté terre (en "BC" sur fig. 1).

$$ Ne = \sqrt{H_m^2 + \frac{A^2}{2}} \qquad (44) $$

### 4.2. Validation de la linéarisation

Le passage de l'équation de Dupuit (3) à l'équation de Boussinesq est assuré par la linéarisation en carré (8) rarement utilisée dans la littérature des écoulements périodiques dans les sols. Si l'équation (3) non linéaire pose d'énormes difficultés de résolution analytique, elle pourra sûrement nous donner au moins la possibilité de prévoir le niveau d'équilibre $Ne$ défini auparavant. Ce dernier peut être un moyen suffisant pour justifier le choix de cette linéarisation si nous pouvons retrouver (44) à partir de (3). Nous avons indiqué en (7) que la fonction $h(x,t)$ est périodique, soit $T$ cette période. Nous pouvons écrire autour d'un instant $t_0$ donné

$$ h(x, t_0 + T) - h(x, t_0) = \int_{t_0}^{t_0+T} \frac{\partial h(x, t)}{\partial t} dt = 0 \qquad (45) $$

d'après (3),

$$ \int_{t_0}^{t_0+T} \frac{\partial^2 h^2(x,t)}{\partial x^2} dt = 0 \qquad (46) $$

c'est à dire

$$ \int_{t_0}^{t_0+T} h^2(x,t) dt = C_1 x + C_2 \qquad (47) $$

$C_1$ et $C_2$ sont les constantes d'intégration. $C_1=0$ d'après (CL2) du (12), ainsi que (9). Dans le cas d'un massif vertical, pour tout $x$, nous avons

$$ C_2 = \int_{t_0}^{t_0+T} (H_m + A \sin \omega t)^2 dt = T(H_m^2 + \frac{A^2}{2}) \qquad (48) $$

Puisque l'intégrale est indépendante de la variable $x$, elle pourra donc nous aider à évaluer la moyenne quadratique pour un cycle de marée autour de l'instant $t_0$ en $x=0$ et $x \to \infty$,

$$ \begin{aligned} \overline{h^2}(x=0, t_0) &= \overline{h^2}(x \to \infty, t_0) \\ &= \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} h^2(x,t) dt = H_m^2 + \frac{A^2}{2} \end{aligned} \qquad (49) $$

d'où

$$ Ne = \sqrt{H_m^2 + \frac{A^2}{2}} $$

Le niveau d'équilibre est alors bien celui trouvé en (44), après la procédure de linéarisation au carré. Nous vérifions ainsi la validité du modèle proposé dans ce cas particulier simple. (39) est alors une solution générale complète pour tous les cas de pentes naturelles.

## 5. Résultats de la modélisation

Nous avons choisi de représenter quelques exemples des résultats, de manière à pouvoir appréhender les divers aspects du phénomène.

La figure 6 représente la convergence de la hauteur libre en fonction du nombre d'itérations à mi-flot pour une pente unité. Pour un nombre d'itérations inférieur à 6, la hauteur oscille autour de la position stable, obtenue à partir de l'itération 6. Les courbes sont tracées à mi-flot, pour une pente unité composée d'un limon sableux de référence : $k = 2,2 \times 10^{-5}$ m/s et $n = 0,4$ ; marée : $A = 2$ m, $H_m = 8$ m.

La figure 7 montre la montée de la surface libre dans un talus de pente $P=0,5$ lors du flot. Le talus simule une rive d'inclinaison 26° composée d'un limon de perméabilité $2,2 \times 10^{-5}$ m/s et de porosité 0,3 ; sur lequel agit une marée de période de 12 heures, d'amplitude 2 m et de niveau moyen compté à partir du substratum imperméable de 8 m. Les courbes sont représentées à toutes les heures du flot, de la basse mer (B.M.) à la pleine mer (P.M.). Elles correspondent aux instants : $t = 10, 11, 12$ heures du cycle, et $t = 0, 1, 2, 3$ du cycle suivant. Elles tendent vers un niveau d'équilibre $Ne = 9,06$ m, alors que le niveau moyen de la marée n'est que $H_m=8$ m.

De même, la figure 8 montre, pendant le jusant la descente progressive du niveau de la mer sur le même talus. Les profils correspondent respectivement du haut vers le bas aux instants $t=4, 5, 6, 7, 8$ et 9 heures du cycle. La question du suintement ne fait pas l'objet de cette étude. la hauteur de suintement fait partie de la ligne de surface libre ; analytiquement dit : la courbe représentant la ligne de saturation est continue et dérivable du point,
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 6 : Convergence de la hauteur libre en fonction du nombre d'itérations.
Figure 6 : Free level convergence versus number of iterations.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 7. Surface libre d'écoulement dans un talus de pente = 0,5 lors du flot.
Figure 6 : Free surface of flow in bank with slope = 0,5 during flood.</figcaption></figure>

(sur l'interface eau-sol), de la hauteur libre de la nappe extérieure à la pénétration horizontale infinie dans le talus. Le suintement est défini, donc, par le rapprochement de la ligne de saturation à la ligne de pente, (Fig. 8. et Fig.9)

Pour le même talus, nous avons représenté sur la figure 9, les courbes qui mettent en évidence une zone de perturbations. Nous

appelons l'ensemble de cette surface, représentée par les courbes enveloppes, et la surface juste au-dessous jusqu'au substratum par la "zone battue". Dans cette zone des phénomènes cycliques lents se produisent et peuvent occasionner des altérations des caractéristiques du matériau. Nous convenons de définir sa longueur horizontale par la distance à l'intérieur du talus où l'amplitude
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 8 : Surface libre d'écoulement dans un talus de pente = 0,5 lors du jusant.
Figure 8 : Free surface of flow in bank with slope = 0,5 during ebb.</figcaption></figure>

de propagation de la nappe libre n'est plus que 10% de l'amplitude de la marée. Verticalement, elle s'étend du substratum jusqu'au niveau supérieur de la nappe.

Si le cas du limon permet de comprendre les phénomènes, il semble indispensable de les quantifier pour les différents types de sols. La figure 10 montre la surélévation du niveau d'équilibre *Ne* en fonction de l'inclinaison du talus, pour une amplitude

$A = 2\text{m}$, niveau moyen $H_m = 8\text{m}$ et un rapport de perméabilité $k/n$ variable en fonction du type de sol.

Les parties interrompues des courbes représentent la continuité probable, (où les calculs divergent), pour les sols très fins et les petites pentes, alors que les courbes continues proviennent des résultats de cette méthode.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 9. Diagramme enveloppe des lignes de surface d'écoulement dans un talus de pente = 0,5
Figure 9. Envelope curves for free surface of flow in bank with slope = 0,5</figcaption></figure>
Deux points remarquables sont à noter. Le point de coordonnées (0°, 2m) ne peut jamais être atteint. En effet dans le cas où la pente est pratiquement nulle, le point sur la pente relatif au niveau P.M. est à l'infini. Par conséquent le temps du marnage n'est pas suffisant pour permettre à l'eau de parcourir une distance infinie sur le sol. Alors on voit qu'il n'y a pas de contact périodique complet eau-sol. Le point (90°, 0,12m) montre que pour un massif droit vertical, la surélévation de l'eau au dessus du niveau moyen de la marée est $\Delta Ne = 12,4\text{cm}$, et indépendante du type de sol.

J. Chapon, 1966, dans son ouvrage "Travaux maritimes", a étudié le bilan des poussées qui peuvent solliciter un ouvrage portuaire à écran tel que les bassins et les ouvrages d'accostages. Il reconnait que le niveau de la nappe dans le sol à quelque distance de l'ouvrage est généralement un peu supérieur au niveau moyen de la mer. La surpression hydrostatique est importante et transmise directement à l'ouvrage par l'intermédiaire des remblais. Il est donc prudent d'admettre dans le cas d'un marnage important de 4m une pression hydrostatique correspondant à une sur-

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 10. Surélévation du niveau d'équilibre en fonction de l'inclinaison du talus pour différents types de sols, $\Delta Ne = Ne - H_m$.</figcaption></figure>

<caption>Figure 10. Raising versus inclination of slope for different types of soils, $\Delta Ne = Ne - H_m$.</caption>

## 6. Comparaison avec les observations en nature et conclusion

Ces différents résultats théoriques et numériques apportent des informations originales sur l'écoulement dans les talus portuaires. Ce phénomène n'avait pas été jusqu'alors étudier de façon quantitative. Il avait, toutefois, été observé par De Cazenove (1971), et analysé qualitativement par Chapon (1966).

De Cazenove 1971, a constaté ce qu'il définit par la dissymétrie des marées d'estuaire :

- à marée haute, grande hauteur noyée, l'onde va vite très loin,

- à marée basse, le vidage de la nappe est lent;

- d'où marée montante rapide, marée descendante lente, longue étale de pleine mer, brève étale de basse mer; et niveau moyen au-dessus du niveau moyen de la mer (un peu au-dessus si le substratum est très en dessous des basses mers, très au-dessus si le substratum est découvert à marée basse).

D'après cet auteur, les nappes libres communiquant avec la mer, la pente du rivage d'une part son colmatage d'autre part, peuvent accentuer l'effet d'estuaire, ou le diminuer : à marée haute l'eau s'infiltra par une plus grande surface, mais la vase est placée contre les ouvertures du sol à marée basse, la pente du sol freine l'écoulement, mais des résurgences peuvent se faire jour à travers la vase.

charge hydrostatique d'au moins 1m.

Les observations en nature et les analyses qualitatives de ces deux auteurs valident cette étude et mettent en relief l'intérêt de ses résultats originaux : modélisation et quantification du processus d'écoulement dans les talus. Le présent article permet ainsi de donner une justification théorique à ces observations en nature, et constitue la base de nos futurs travaux de recherche, qui seront étendus à d'autres domaines scientifiques, en particulier à l'étude du suintement.

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