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# Intégrales stochastiques dépendant d'un paramètre

C. Doléans

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C. Doléans. Intégrales stochastiques dépendant d'un paramètre. Annales de l'ISUP, 1967, XVI (1), pp.23-34. hal-04083841

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Submitted on 27 Apr 2023

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# INTÉGRALES STOCHASTIQUES DÉPENDANT D'UN PARAMÈTRE

## C. DOLÉANS

On considère des intégrales stochastiques de la forme $\int_{-\infty}^{t_\infty} \Phi_t^b dX_t^b$, où le processus $(\Phi_t^b)$ et la martingale $(X_t^b)$ dépendent mesurablement d'un paramètre b. Ces intégrales sont des classes de fonctions, et l'on montre qu'il est possible d'en choisir des représentants qui dépendent mesurablement de b.

Je remercie messieurs P. Courrège et P.A. Meyer pour l'aide qu'ils m'ont apportée dans la rédaction de ce travail.

**0. Notations.** — On renvoie à [1] pour les définitions fondamentales concernant les intégrales stochastiques. Tout ce que nous faisons ci-dessous pour des martingales pourrait se faire pour des martingales généralisées au sens de [1].

$(\Omega, \mathcal{F}, P)$ est un espace probabilisé complet, muni d'une famille croissante $(\mathcal{F}_t)_{t \in \mathbb{R}_+}$ de sous tribus de $\mathcal{F}$. On suppose que cette famille est continue à droite, et que $\mathcal{F}_t$ contient les ensembles négligeables pour tout $t \in \mathbb{R}_+$. Tous les processus dont il sera question seront adaptés à cette famille. $(B, \mathcal{B})$ est un espace mesurable. Nous dirons qu'une famille de processus $((Y_t^b)_{t \in \mathbb{R}_+})_{b \in \mathcal{B}}$, indexée par $B$, dépend mesurablement de b si l'application $(b, t, \omega) \to Y_t^b(\omega)$ est mesurable.

Nous désignerons par $(X_t^b)$ une famille de martingales de carré intégrable, continues à droite et quasi-continues à gauche, dépendant mesurablement de b. Pour tout $b \in B$ nous désignerons par $(A_t^b)$ une version du processus croissant (continu) associé à la martingale de carré intégrable $(X_t^b)$.

Nous dirons qu'une famille de processus $(\Phi_t^b)$ est admissible si elle dépend mesurablement de b (ce qui entraîne que chaque processus de la famille est mesurable), si $(\Phi_t^b)$ est fortement adapté pour tout $b \in B$ (autrement dit si $\Phi_t^b$ est $\mathcal{F}_t^b$-mesurable pour tout temps d'arrêt fini T et tout b), et si l'on a pour tout $b \in B$
$$E\left[\int_{0}^{\infty} |\Phi_{t}^{b}|^{2} dA_{t}^{b}\right] < + \infty \quad (1)$$

On peut alors définir, pour tout $b \in B$, les intégrales stochastiques

$$Y^{b} = \int_{0}^{\infty} \Phi_{s}^{b} dX_{s}^{b}; \quad (2)$$

$$Y_{t}^{b} = \int_{0}^{t} \Phi_{s}^{b} dX_{s}^{b} \quad (t \in \mathbb{R}_{+}) \quad (3)$$

Ces intégrales stochastiques ne sont pas des fonctions, mais des classes de fonctions. Nous appellerons représentant de l'intégrale stochastique (2) [resp. (3)] toute fonction

$$(b, \omega) \rightarrow Y^{b}(\omega) \text{ [resp. } (b, t, \omega) \rightarrow Y_{t}^{b}(\omega)]$$

telle que $Y^b \in \mathcal{Y}^b$ pour tout $b$ [resp. telle que le processus $(Y_t^b)$ soit une martingale continue à droite pour tout $b$, et que l'on ait $Y_t^b \in \mathcal{Y}_t^b$ pour tout $b$ et tout $t$].

**1. Enoncés des théorèmes.** - Voici alors les énoncés des théorèmes sur les intégrales stochastiques dépendant d'un paramètre.

**THÉORÈME 1.** - Quelle que soit la famille admissible $(\Phi_t^b)$ de processus, il est possible de choisir une fonction mesurable $(b, \omega) \rightarrow Y^b(\omega)$, qui soit un représentant de l'intégrale stochastique (2).

**THÉORÈME 2.** - Quelle que soit la famille admissible $(\Phi_t^b)$ de processus, il est possible de choisir une fonction mesurable

$$(b, t, \omega) \rightarrow Y_{t}^{b}(\omega),$$

qui soit un représentant de l'intégrale stochastique (3). Si les martingales $(X_t^b)$ sont continues, on peut supposer de plus que les martingales $(Y_t^b)$ sont continues.

Autrement dit, si les processus $(\Phi_t^b)$ et $(X_t^b)$ dépendent mesurablement de $b$, les intégrales stochastiques $(Y_t^b)$ peuvent être choisies telles qu'elles dépendent mesurablement de $b$.

On peut étendre la définition de l'intégrale stochastique par rapport à une martingale de carré sommable $(X_t)$, dont le processus croissant associé $(A_t)$ est presque sûrement une fonction certaine, ou bien est tel que la mesure $dA_t$ soit p.s. absolument continue par rapport à la mesure $dt$: dans ce cas, on peut intégrer des processus $(\Phi_t)$ qui sont seulement mesurables et
adaptés à la famille ($\mathcal{F}_t$) (et non plus fortement adaptés) (voir [2]
pages 439 - 440 - 446 - 447). Les théorèmes 1 et 2 sont susceptibles
d'une extension analogue. Voici enfin un résultat auxiliaire utile.

### THÉORÈME 3.
Il est possible de choisir des versions des processus croissants ($A_t^b$) qui dépendent mesurablement de b.

## 2. Démonstration du théorème 1.
Nous commençons par établir un lemme de mesurabilité voisin du théorème 46 du chapitre 4 de [3].

LEMME 1. - Considérons une suite de fonctions $(b, \omega) \to Y_n^b(\omega)$ mesurables par rapport au couple $(b, \omega)$. Supposons que pour tout $b \in B$, la suite $(Y_n^b)$ converge en norme dans $\mathcal{L}^2(\Omega)$ [resp. $\mathcal{L}^1(\Omega)$]. Il existe alors une fonction $(b, \omega) \to Y^b(\omega)$, mesurable par rapport au couple $(b, \omega)$, telle que l'on ait pour tout $b$, $Y^b = \lim_n Y_n^b$ dans $L^2[\text{resp. dans } L^1]$.

DÉMONSTRATION. - Munissons $L^2(\Omega)$ [resp. $L^1(\Omega)$] de la métrique d de la convergence en norme dans $L^2$ [resp. dans $L^1$] et considérons, pour tout entier $k_1$, les ensembles

$$A_{k_1} = \left\{ b ; \sup_{h>0} d \left[ Y_{k_1}^b - Y_{k_1+h}^b \right] < \frac{1}{2^2} \right\}$$

et

$$B_{k_1} = A_{k_1} \setminus A_{k_1-1};$$

on obtient ainsi une partition mesurable $(B_{k_1})_{k_1 \in \mathbb{N}}$ de $B$, et la fonction définie par

$$Z_1^b(\omega) = \sum_{k=0}^{\infty} Y_{k_1}^b(\omega) I_{B_{k_1}}(b)$$

est mesurable par rapport au couple $(b, \omega)$. Si nous considérons maintenant, pour tout couple d'entiers $(k_1, k_2)$ tels que $k_1 \le k_2$, les ensembles

$$A_{k_1, k_2} = \left\{ b ; \sup_{h>0} d \left[ Y_{k_2}^b - Y_{k_2+h}^b \right] < \frac{1}{2^3} \right\} \cap A_{k_1}$$

et les ensembles

$$B_{k_1, k_2} = A_{k_1, k_2} \setminus A_{k_1, k_2-1}$$
nous obtenons des partitions mesurables $(B_{k_1, k_2})_{k_2 \ge k_1}$ des ensembles $B_{k_1}$ ; la fonction

$$Z_2^b(\omega) = \sum_{k_1=0}^{\infty} \sum_{k_2=k_1}^{\infty} Y_{k_2}^b(\omega) I_{B_{k_1, k_2}} \quad (b)$$

est mesurable par rapport au couple $(b, \omega)$, et l'on a $d[Z_1^b - Z_2^b] < \frac{1}{2}$ pour tout $b \in B$.

En itérant ce procédé nous construisons une suite de fonctions $(Z_n^b)_{n \ge 1}$. Chaque fonction de cette suite est mesurable par rapport au couple $(b, \omega)$ ; pour chaque $b$, la suite des fonctions $(Z_n^b)_{n \ge 1}$ est une sous-suite de la suite $(Y_n^b)$ ; et l'on a $d[Z_n^b - Z_{n+1}^b] < \frac{1}{2^n}$ pour tout $b$.

Posons alors

$Y^b(\omega) = \lim Z_n^b(\omega)$ pour tout $(b, \omega)$ où cette limite existe

$Y^b(\omega) = 0$ là où la limite n'existe pas.

Cette fonction est mesurable par rapport au couple $(b, \omega)$ et pour tout $b$ $Y^b$ est la limite dans $L^2$ [resp. dans $L^1$] des $Y_n^b$.

c. q. f. d.

Nous introduisons maintenant la tribu $\mathcal{A}_g$ sur $B \times \mathbf{R}_+ \times \Omega$, engendrée par les fonctions de $(b, t, \omega)$ de la forme

$$\sum_{i=0}^{n} g_{i}^{b}(\omega) 1_{[t_{i}, t_{i+1}]}(t), \qquad (4)$$

où $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_{n+1}$, et où la fonction $(b, \omega) \to g_1^b(\omega)$ est bornée, et mesurable par rapport à la tribu $\mathcal{R} \times \mathcal{F}_{t_1}$. Une telle fonction sur $B \times \mathbf{R}_+ \times \Omega$ définit évidemment une famille de processus admissible. On montre même en utilisant le théorème 20 du chapitre 1 de [3], qu'une fonction $\Phi$ sur $B \times \mathbf{R}_+ \times \Omega$, $\mathcal{A}_g$-mesurable, définit une famille admissible $(\Phi_t^b)$ de processus si, et seulement si, on a pour tout $b \in B$

$$E\left[\int_{0}^{\infty} |\Phi_{t}^{b}|^{2} d\mathbf{A}_{t}^{b}\right] < + \infty$$

LEMME 2. — Soit $(\Phi_t^b)$ une famille admissible de processus telle que la fonction $(b, t, \omega) \to \Phi(b, t, \omega)$ soit $\mathcal{A}_g$-mesurable. Cette famille satisfait alors à l'énoncé du théorème 1.
DÉMONSTRATION. – Tout d'abord, si la fonction

$$ (b, t, \omega) \to \Phi(b, t, \omega) $$

est de la forme (4), les intégrales stochastiques des processus $\Phi_t^b$ ont les valeurs suivantes

$$ \int_0^{+\infty} \Phi_t^b dX_t^b = \sum_{i=0}^{n} g_i^b(\omega) (X_{t_{i+1}}^b - X_{t_i}^b) \quad \text{p.s. (propriété (IS) de [1]) ;} $$

et la famille de processus $(\Phi_t^b)$ satisfait donc à l'énoncé du théorème 1.

Considérons maintenant pour tout intervalle $I$ compact de $\mathbb{R}$, l'ensemble $C_I$ [resp. $\mathcal{H}_I$] des fonctions de la forme (4), et nulles hors de $B \times I \times \Omega$ [resp. $\alpha_g$-mesurables, bornées, nulles hors de $B \times I \times \Omega$, et satisfaisant à l'énoncé du théorème 1]. Il est facile de montrer que $\mathcal{H}_I$ et $C_I$ satisfont aux hypothèses du théorème 20 du chapitre 1 de [3] (ceci en utilisant la propriété $(IS_1)$ de [1], et le lemme 1 ci-dessus). $\mathcal{H}_I$ contient donc toutes les fonctions bornées, mesurables par rapport à la tribu engendrée par les éléments de $C_I$. Autrement dit, toutes les fonctions $\alpha_g$-mesurables, bornées, et nulles hors de $B \times I \times \Omega$ (où $I$ est un intervalle compact de $\mathbb{R}$) satisfont à l'énoncé du théorème 1.

Si $(\Phi_t^b)$ désigne maintenant une famille admissible de processus, telle que la fonction $(b, t, \omega) \to \Phi_t^b(\omega)$ soit $\alpha_g$-mesurable, considérons la suite de fonctions $(\Phi_{n,t}^b)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par

$$ \Phi_{n,t}^b(\omega) = \begin{cases} \Phi_t^b(\omega) & \text{si } t \in [-n, +n] \\ 0 & \text{pour nulleurs} \end{cases} \quad \text{et si } |\Phi_t^b(\omega)| \le n $$

Pour tout $b$, les fonctions $\Phi_n^b$ convergent vers $\Phi^b$ dans $L^2$, et chaque famille $(\Phi_{n,t}^b)_{b \in \mathbb{B}}$ satisfait à l'énoncé du théorème 1 ; il suffit alors d'utiliser la propriété $(IS_1)$ de [1] et le lemme 1 ci-dessus pour montrer que la famille $(\Phi_t^b)$ satisfait aussi à l'énoncé du théorème 1. Ce qui achève la démonstration du lemme 2.

Nous introduisons maintenant la tribu $\alpha_d$ sur $B \times \mathbb{R} \times \Omega$, engendrée par les familles $(F_t^b)$ de processus adaptés, dépendant mesurablement de $b$, et dont les trajectoires sont continues à droite et pourvues de limites à gauche. Il est alors facile de montrer (T. 20 du chapitre 1 de [3]) que pour qu'une telle famille soit admissible, il suffit que l'on ait, pour tout $b \in B$,

$$ E \left[ \int_0^\infty |F_t^b|^2 dA_t^b \right] < + \infty $$
Le lemme suivant permet de démontrer le théorème 1 pour des familles admissibles de processus $\alpha_d$-mesurables.

LEMME 3. – Soit $(F_t^b)$ une famille de processus, telle que la fonction $(b, t, \omega) \to F_t^b(\omega)$ soit $\alpha_d$-mesurable. Il existe alors une famille $(\Phi_t^b)$ de processus, telle que la fonction $(b, t, \omega) \to \Phi_t^b(\omega)$ soit $\alpha_g$-mesurable, et que l'on ait pour tout $b$ la propriété

L'ensemble des $t$ tels que $\Phi_t^b(\omega) \neq F_t^b(\omega)$ est p.s. dénombrable.

En particulier, on a $E\left[\int_0^\infty |\Phi_t^b - F_t^b|^2 dA_t^b\right] = 0$ ; si $(F_t^b)$ est admissible, $(\Phi_t^b)$ l'est aussi et les intégrales stochastiques sont les mêmes pour les deux familles.

DÉMONSTRATION. – La fonction $F$ est $\alpha_d$-mesurable, il existe donc une suite $(F_{n,t}^b)$ de familles de processus adaptés, dépendant mesurablement de $b$, et dont les trajectoires sont continues à droite et pourvues de limite à gauche, telle que $F$ soit mesurable par rapport à la tribu sur $B \times \mathbb{R}, \times \Omega$ engendrée par les fonctions $(b, t, \omega) \to F_{n,t}^b(\omega)$. Désignons par $E$ l'espace compact $\bar{\mathbb{R}}^N$, et par $\theta$ la fonction à valeur dans $E$ définie par

$$ \theta_t^b(\omega) = (F_{n,t}^b(\omega))_{n \in \mathbb{N}} $$

La fonction $F$ est mesurable par rapport à la tribu engendrée par la fonction $\theta$, il existe donc une fonction borélienne $f$ sur $E$ telle que l'on ait

$$ F_t^b(\omega) = f(\theta_t^b(\omega)) $$

pour tout $b \in B$, tout $t \in \mathbb{R}_+$, et tout $\omega \in \Omega$.

Considérons les familles de processus

$$ \Phi_{n,t}^b(\omega) = \lim_{s \downarrow t, s < t} F_{n,t}^b(\omega) $$

(les limites considérées ci-dessus existent d'après les propriétés des $F_n$), désignons par $(\gamma_t^b)$ la famille de processus à valeurs dans $E$ définie par

$$ \gamma_t^b(\omega) = (\Phi_{n,t}^b(\omega))_{n \in \mathbb{N}} $$

et par $(\Phi_t^b)$ la famille de processus à valeur dans $\bar{\mathbb{R}}$, définie par

$$ \Phi_t^b(\omega) = f(\gamma_t^b(\omega)) $$
La fonction $(b, t, \omega) \to \Phi_t^b(\omega)$ est $\mathcal{A}_g$-mesurable ; pour tout b la fonction $t \to F_n^b(t, \omega)$ a p.s. au plus une infinité dénombrable de discontinuités, donc l'ensemble des t tels que $\Phi_t^b(\omega) \neq F_t^b(\omega)$ est p.s. dénombrable. Les processus croissants $(A_t^b)$ étant continus (T. 25 du chapitre 8 de [3]), on a alors

$$ E \left[ \int_0^\infty |\Phi_t^b - F_t^b|^2 dA_t^b \right] = 0 \qquad c. q. f. d. $$

Nous passons enfin au cas général grâce au lemme suivant.

**LEMME 4.** — 1/ Soit $(G_t^b)$ une famille de processus fortement adaptés à la famille $(F_t)$, et dépendant mesurablement de b. Elle satis-fait alors à la propriété suivante

(4.1) Il existe une famille $(F_t^b)$ de processus, telle que la fonction $(b, t, \omega) \to F_t^b(\omega)$ soit $\mathcal{A}_d$-mesurable, et que pour tout $b \in B$, et tout temps d'arrêt T fini on ait p.s. $F_T^b = G_T^b$.

2/ On a alors $E \left[ \int_0^\infty |F_t^b - G_t^b| dA_t^b \right] = 0$; si $(G_t^b)$ est admis-sible, $(F_T^b)$ l'est aussi et les intégrales stochastiques sont les mêmes pour les deux familles.

**DÉMONSTRATION.** — 1/ Soit $\mathfrak{S}$ l'espace vectoriel constitué par les familles de processus $(G_t^b)$ uniformément bornés, dépendant mesurablement de b, et ayant la propriété suivante

Il existe une famille $(F_t^b)$ de processus, telle que la fonction $(b, t, \omega) \to F_t^b(\omega)$ soit $\mathcal{A}_d$-mesurable, et que pour tout b et tout temps d'arrêt T fini on ait p.s. $F_T^b = E[G_T^b | \mathfrak{F}_T]$.

Il est clair que $\mathfrak{S}$ est stable pour les passages à la limite le long de suites monotones uniformément bornées ; de plus $\mathfrak{S}$ contient toutes les fonctions de la forme

$$ 1_{A_1}(b) \times 1_{[t_1, t_2[} (t) \times 1_{A_2}(\omega), \text{ où } A_1 \in \mathcal{R}, A_2 \in \mathfrak{F} \text{ et } t_1 < t_2. $$

D'après le théorème 20 du chapitre 1 de [3], $\mathfrak{S}$ contient donc toutes les familles de processus $(G_t^b)$ bornées et dépendant mesurablement de b.

Il en résulte que la propriété (4.1) est satisfaite pour toutes les familles de processus $(G_t^b)$ fortement adaptés à la famille $(\mathfrak{F}_t)$, dépendant mesurablement de b et uniformément bornés. On passe ensuite au cas des familles de processus non uniformément bornées en considérant les processus
$$ \left( \frac{G_t^b}{1 + |G_t^b|} \right) $$

2/ La seconde partie du lemme 4 résulte alors du théorème 15 du chapitre 7 de [3].

On a donc étendu le théorème 1 aux familles admissibles $\alpha_g$-mesurables (lemme 2), puis aux familles admissibles $\alpha_d$-mesurables (lemme 3), et enfin aux familles admissibles les plus générales (lemme 4).

REMARQUE 1. — Nous énonçons ici une conséquence directe de la première partie du lemme 4, obtenue en prenant pour ensemble des temps l'ensemble trivial. Cet énoncé nous sera utile dans l'appendice.

Désignons par $\mathcal{G}$ une sous tribu complète de $\mathcal{F}$, et par $X(b, \omega)$ une fonction $(\mathcal{B} \times \mathcal{F})$-mesurable ; il existe alors une fonction $(b, \omega) \to Y(b, \omega)$, $(\mathcal{B} \times \mathcal{G})$-mesurable et telle que, pour tout $b \in B$, on ait

$$ Y(b, .) = E[X(b, .) | \mathcal{G}] \quad \text{p.s.} $$

3. Démonstration du théorème 2. — Nous commençons par un lemme permettant d'obtenir des familles de processus dépendant mesuralement de $b$, et à trajectoires régulières.

LEMME 5. — 1/ Considérons une famille de processus $(Y_t^b)$ vérifiant les propriétés $(A_1)$ et $(A_2)$ suivantes

(A₁) Pour tout $b$, la trajectoire $t \to Y_t^b(\omega)$ est p.s. continue à droite et pourvue de limites à gauche.

(A₂) Pour tout $t$, il existe une fonction $(b, \omega) \to U_t(b, \omega)$, $(\mathcal{B} \times \mathcal{F})$-mesurable, telle que l'on ait, pour tout $b \in B$,

$$ U_t(b, \omega) = Y_t^b(\omega) \quad \text{p.s.} $$

Il existe alors une famille de processus $(X_t^b)$ dépendant mesuralement de $b$, telle que pour tout $b$, le processus $(X_t^b)$ soit à trajectoires continues à droite et pourvues de limites à gauche, et que $P(\{\omega, X_t^b \neq Y_t^b \text{ pour un } t \text{ au moins}\}) = 0$.

2/ Si la condition (A₁) est remplacée par la condition $(A_1)$ suivante

$(A_1)$ Pour tout $b$, la trajectoire $t \to Y_t^b(\omega)$ est p.s. continue, alors les processus $(X_t^b)$ sont à trajectoires p.s. continues.
DÉMONSTRATION. - Remarquons tout d'abord que la seconde partie du lemme est une conséquence immédiate de la première. Pour démontrer cette première partie nous rappellerons un résultat sur les fonctions à valeurs réelles donné aux N° 20 - 21 - T 22 du chatitre 4 de [3].

(a) Si $f(t)$ est une fonction réelle définie sur un sous-ensemble borné de $\mathbf{R}$, elle admet des limites à droite et à gauche en tout point de $\bar{S}$ si et seulement si, $M(f, S, [a, c])$ (nombre de montées de $f$ sur $S$ par dessus $[a, c]$) est fini quels que soient les rationnels $a, c$ tels que $a < c$.

(b) Si $(X_t)_{t \in \mathbb{R}}$ est un processus stochastique mesurable, et $S$ un sous-ensemble borné dénombrable de $\mathbb{R}$, alors l'ensemble

$$F = \bigcap_{a,c \in \mathcal{Q}} \{\omega, M(X(., \omega), S, [a, c]) + \infty\}$$

appartient à $\mathcal{F}$ ; et $\omega \in F$ si, et seulement si, sa trajectoire considérée sur $S$ admet des limites à droite et à gauche en tout point de $\bar{S}$.

Considérons maintenant une famille de processus $(Y_t^b)$ vérifiant les conditions $(A_1)$ et $(A_2)$ du lemme 5, et désignons par $E$ l'ensemble

$$E = \bigcap_{m \in \mathbb{N}} \bigcap_{\substack{a < c \\ a, c \in \mathcal{Q}}} \{(b, \omega) ; M(U.(b, \omega), [-m, +m] \cap \mathcal{Q}, [a, c]) < +\infty\}.$$

(où $U$ est la fonction figurant dans l'hypothèse $(A_2)$). L'ensemble $E$ appartient à $(\mathcal{B} \times \mathcal{F})$ et ses sections $E_b = \{\omega ; (b, \omega) \in E\}$ ont pour probabilité 1. Pour chaque $(b, \omega) \in E$, la fonction $t \to U_t(b, \omega)$ a des limites à droite et à gauche le long de $\mathcal{Q}$ ; nous pouvons donc considérer la famille de processus $(X_t^b)$ définie par

$$X_t^b(\omega) = \lim_{\substack{r \ge t \\ r > t \\ r \in \mathcal{Q}}} U_r(b, \omega) \quad \text{si} \quad (b, \omega) \in E.$$

$$X_t^b(\omega) = 0 \quad \text{si} \quad (b, \omega) \notin E.$$

Les trajectoires des processus $(X_t^b)$ sont continues à droite et pourvues de limites à gauche ; et l'on a pour tout $b, P(\{\omega, X_t^b(\omega) \ne Y_t^b(\omega) \text{ pour un } t \text{ au moins}\}) = 0$.

La relation

$$\{(b, t, \omega) ; X_t^b(\omega) \le d\} = \begin{cases} (C \in \mathbf{R}) & \text{U D si } d \ge 0 \\ D & \text{si } d < 0 \end{cases}$$
(où D désigne l'ensemble

$$D = \bigcap_{m \in \mathbb{N}} \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \bigcup_{r \in Q} \left[ r - \frac{1}{n}, r \right] \times \left( E \cap \left\{ (b, \omega) ; U_r(b, \omega) \le d + \frac{1}{m} \right\} \right)$$

montre alors que la famille $(X_t^b)$ dépend mesurablement de b.

c. q. f. d.

Considérons maintenant une famille admissible $(\Phi_t^b)$ de processus, il existe alors des versions $(Y_t^b)$, à trajectoires continues à droite et pourvues de limite à gauche [resp. continues si les martingales $(X_t^b)$ sont continues] des martingales $(\int_0^t \Phi_s^b dX_s^b)_{t \in \mathbb{R}_+}$ (propositions 4 et 5 de [1]).

Le théorème 1 et le lemme 5 permettent de choisir ces versions de telle sorte que la famille $(Y_t^b)$ dépend mesurablement de b, et ceci achève de démontrer le théorème 2.

**4. Appendice.** - Nous donnons ici une démonstration du théorème 3.

**REMARQUE 2.** - Il n'est pas nécessaire de supposer dans ce théorème que la famille de martingales $(X_t^b)$ dépend mesurablement de b. Il suffit que pour chaque $t$ la fonction $(b, \omega) \to X_t^b(\omega)$ soit $(\mathcal{B} \times \mathcal{F})$-mesurable. Nous aurons par contre besoin de la quasi continuité à gauche des martingales $(X_t^b)$.

**DÉMONSTRATION.** - Nous allons reprendre le procédé de construction du processus croissant $(A_t^b)$ associé à la martingale de carré intégrable $(X_t^b)$ donné en [3] (n° 27 - T 28 - T 29 - du chapitre 7 et n° 23 - 25 du chapitre 8), et nous étudierons à chaque étape les mesurabilités.

a) Les martingales $(X_t^b)$ étant de carré intégrable, la fonction $X_\infty^b = \lim_{t \to +\infty} X_t^b$ est p.s. définie et de carré intégrable. On peut alors, grâce à la remarque 1 et le lemme 5, choisir des versions $(M_t^b)$ des martingales $E[(X_\infty^b)^2 | \mathcal{F}_t]$, de telle sorte que la famille $(M_t^b)$ dépende mesurablement de b, et que chaque martingale $(M_t^b)$ soit à trajectoires continues à droite et pourvues de limite à gauche. Les potentiels $(Y_t^b) = (M_t^b - (X_t^b)^2)$ sont alors des potentiels continus à droite et réguliers de la classe (D).

b) Soit $h > 0$. La remarque 1 et le lemme 5 nous permettent encore de choisir une famille de processus $(Y_t^{h,b})$ dépendant mesurablement de b, et telle que $(Y_t^{h,b})$ soit pour tout b une version continue à droite de la surmartingale $E[Y_{t+h}^b | \mathcal{F}_t]$ ; et les fonctions
$$ (b, t, \omega) \longrightarrow A_t^{h,b}(\omega) = \int_0^t \frac{Y_s^b(\omega) - Y_s^{h,b}(\omega)}{h} ds $$

sont alors $(\mathcal{B} \times \mathcal{B}(\mathbb{R}) \times \mathcal{F})$-mesurables.

c)- Les surmartingales $(Y_t^b)$ étant des potentiels réguliers de la classe (D), on a les propriétés suivantes (T. 37 du chapitre 7 de [3]).

pour tout $b$, $(A_t^b)$ est à trajectoires p.s. continues,

pour tout $b$ et tout $t$, $E[|A_t^b - A_t^{h,b}|] \to 0$

$h \to 0$

Le lemme 1 montre qu'il existe alors, pour tout $t$, des fonctions $(b, \omega) \longrightarrow A_t^{b}(\omega)$ vérifiant les propriétés suivantes

la fonction $(b, \omega) \longrightarrow A_t^{b}(\omega)$ est $(\mathcal{B} \times \mathcal{F})$-mesurable,

pour tout $b \in B$, on a $A_t^{b} = A_t^{b}$ p.s.

Il suffit alors d'utiliser le lemme 5 pour achever la démonstration.

Bibliographie

[1] COURRÈGE (P.) -- Intégrales stochastiques et martingales de carré intégrable, Séminaire de Théorie du Potentiel, Institut Henri Poincaré, Paris, 7ème année, 1962-1963.

[2] DOOB (J.L.) -- *Stochastic processes*, John Wiley, New York, (1953).

[3] MEYER (P.A.) -- *Probabilités et potentiel*, Hermann, Paris, (1966).

Reçu le 20 décembre 1966

Institut de Recherche Mathématique

(Laboratoire associé au C.N.R.S.)

Université de Strasbourg

67 - Strasbourg, France
$$ \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \left[ \frac{1}{1 + e^{-x}} \right]^{\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{(x/A)^2}{2}} dx $$

is class (D) on a two-dimensional Euclidean space (1) if the objective function of the optimization problem is non-negativity (1) and the constraint (2) is non-negativity (2).

Conclusions: the function $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{-x}}}$ is a solution of the optimization problem (1) and (2) for any positive constant $A > 0$.

In the following, we consider the case $A > 0$ and $\alpha > 0$. The function $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{-x}}} + \alpha e^{-\alpha x}$ is a solution of the optimization problem (1) and (2) for any positive constant $\alpha > 0$.

In the following, we consider the case $\alpha > 0$ and $\alpha \neq 1$. The function $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{-x}}} + \alpha e^{-\alpha x}$ is a solution of the optimization problem (1) and (2) for any positive constant $\alpha > 0$.

In the following, we consider the case $\alpha > 0$ and $\alpha \neq 1$. The function $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{-x}}} + \alpha e^{-\alpha x}$ is a solution of the optimization problem (1) and (2) for any positive constant $\alpha > 0$.

In the following, we consider the case $\alpha > 0$ and $\alpha \neq 1$. The function $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{-x}}} + \alpha e^{-\alpha x}$ is a solution of the optimization problem (1) and (2) for any positive constant $\alpha > 0$.

In the following, we consider the case $\alpha > 0$ and $\alpha \neq 1$. The function $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{-x}}} + \alpha e^{-\alpha x}$ is a solution of the optimization problem (1) and (2) for any positive constant $\alpha > 0$.

In the following, we consider the case $\alpha > 0$ and $\alpha \neq 1$. The function $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{-x}}} + \alpha e^{-\alpha x}$ is a solution of the optimization problem (1) and (2) for any positive constant $\alpha > 0$.

In the following, we consider the case $\alpha > 0$ and $\alpha \neq 1$. The function $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{-x}}} + \alpha e^{-\alpha x}$ is a solution of the optimization problem (1) and (2) for any positive constant $\alpha > 0$.