# Banque de Brevets : petits exercices avec résultats :
théorie des poutres (résistance des matériaux),
dynamique des structures, incertitudes, mathématiques,
mécanique des solides déformables, modélisation des
solides, Logiciel CATIA, mécanique des fluides,
pédagogie par CRAIES et ceintures

Paul Bottois, Jean-Michel Génevaux

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Paul Bottois, Jean-Michel Génevaux. Banque de Brevets : petits exercices avec résultats : théorie des poutres (résistance des matériaux), dynamique des structures, incertitudes, mathématiques, mécanique des solides déformables, modélisation des solides, Logiciel CATIA, mécanique des fluides, pédagogie par CRAIES et ceintures. École d'ingénieur. France. 2023, pp.155. cel-00611694v29

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Banque de Brevets
(petits exercices avec résultats)

théorie des poutres (résistance des matériaux),
dynamique des structures,
incertitudes,
mathématiques,
mécanique des solides déformables,
modélisation des solides,
Logiciel CATIA,
mécanique des fluides,
pédagogie par CRAIES et ceintures.

Paul Bottois et Jean-Michel Génevaux
avec la complicité des étudiants qui ont corrigé les fautes d'orthographe et de grammaire,
et ont créé quelques brevets.

jmgenev@univ-lemans.fr
http://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php?id=403

February 7, 2025
# Contents

<table><tr><td>1 Les énoncés de brevet</td><td>4</td></tr><tr><td>2 Les coups de pouce.</td><td>192</td></tr><tr><td>3 Les réponses des brevets</td><td>202</td></tr></table>
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Jean-Michel
Bibliography

[1] Batoz,JL Dhatt,G Modélisation des structures par éléments finis : volume 2 : poutres et plaques Hermès, Paris, 1990

[2] Coulon,F Théorie et traitement des signaux Dunod, 1984

[3] Ewins,DJ Modal testing : theory and practice Wiley and sons, 1994, cote BU le Mans 534.08 EW1

[4] M.I. Friswell J.E. Mottershead, Finite Element updating in structural dynamics, *Kluwer Academic Publishers*, Netherland

[5] Génevaux, JM *genemad : A propos des tenseurs*
http://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php?id=403

[6] Génevaux, JM 4a.pdf : Statique des poutres (résistance des matériaux), Modélisation, Utilisation des incertitudes en travaux pratiques
http://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php?id=403

[7] Génevaux, JM 5a.pdf : Méthodes approchées en dynamique des structures, Analyse Modale, Recalage de modèle http://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php?id=403

[8] Géraldin,M Rixen,D Théorie des vibrations : application à la dynamique des structures 2nd édition
Masson Recherches en Mécanique

[9] Gmür,T Dynamique des structures : analyse modale numérique Presses polytechniques et universitaires romandes 1997

[10] Joly,N Analyse numérique cours ENSIM 2A, janvier

[11] P. Ladevez, D. Nedjar, M. Reynier, 1994, Updating of finite element models using vibration tests
*AIAA-journal*, 32 (7) :1485-1491

[12] Lalane,M Berthier,P Der Hagopian,J Mécanique des vibrations linéaires Masson,

[13] Maillet,D Schmitt,JF Vibrations mécaniques linéaires : méthodes exactes cours de 2nd année de l'ENSEM, 1998

[14] Pascal,JC *Vibration des systèmes continus*
http://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php?id=403

[15] Pascal,JC Vibrations et Acoustique 1
http://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php?id=403

[16] Piranda,J Analyse Modale Expérimentale,

[17] Béquin,P Dalmont,JP Génevaux,JM Mécanique des Fluides, cours LPIAV, Le Mans, 2000.
# Chapter 1

## Les énoncés de brevet

### brevet 001 : orientation de fibre moyenne et repère local

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Efforts intérieurs* et de regarder les vidéos afférentes.

Soient quatre points A,B,C,D positionnés tels que $\vec{BC} = \vec{l_i}, \vec{BD} = -R\vec{j}, \vec{BA} = -2R\vec{j}$. Soit une poutre de fibre moyenne AB (1/2 cercle de rayon R de centre D) et BC (ligne droite). Au point B la ligne moyenne ne fait pas de point anguleux. Soit un point $H_1$ de la fibre moyenne BC repéré par $B\vec{H}_1 = x_{H1}\vec{i}$, et un point $H_2$ de la fibre moyenne AB repéré par $D\vec{H}_2 = R\cos(\theta)\vec{j} - R\sin(\theta)\vec{i}$. La poutre est encastrée en C et en appui sur rouleau de normale $\vec{j}$ en B.

Exprimez les repères locaux ($H_1, \vec{x_1}, \vec{y_1}, \vec{z_1}$) et ($H_2, \vec{x_2}, \vec{y_2}, \vec{z_2}$) en fonction des vecteurs ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$) :

* si on oriente la poutre de A vers C

* si on oriente la poutre de C vers A

### brevet 002 : choix du secteur aval ou amont à utiliser pour le calcul du torseur des efforts intérieurs

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Efforts intérieurs* et de regarder les vidéos afférentes.

Soient les points A,B,C,D,E positionnés tels que $\vec{AB} = \vec{l_i} + a\vec{j}, \vec{AC} = 2\vec{l_i}, \vec{AE} = 2.5\vec{l_i}, \vec{AD} = 3\vec{l_i}$. Soit une poutre formée par les lignes droites AB, BC, CE et ED. Cette poutre est en appui simple en A et en appui sur rouleau de normale $\vec{j}$ en C. Elle résiste vaillamment à une charge répartie sur le segment ED de force linéique $d\vec{F} = p dx\vec{j}$. Soient ($H_1, H_2, H_3$) les points courants des fibres moyennes AC, CE et ED. La poutre est orientée de A vers D.

Donnez pour chaque point $H_1, H_2, H_3$, la définition du torseur des efforts intérieurs que vous utiliserez pour faire le moins de calculs possibles (vers l'aval ou vers l'amont ?).

### brevet 003 : déplacement par les formules de Bresse

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .
Soient les points A,B,O positionnés tels que $\vec{OA} = R\vec{j}, \vec{OB} = R\vec{i}$. Soit une poutre de ligne moyenne circulaire de centre O de rayon R et rejoignant les points B et A (1/4 de cercle) orientée de B vers A. Soit $H_1$ un point courant de la fibre moyenne BA repéré par $\vec{OB} = R\cos(\theta)\vec{i} + R\sin(\theta)\vec{j}$. Cette poutre est encastrée en A et chargée en B par une force concentrée $\vec{F} = F\vec{i}$.

Le torseur des efforts intérieurs fourni :

* un effort normal $N = F \sin(\theta)$

* un effort tranchant $T_y = F \cos(\theta)$

* un moment fléchissant $M_{fz} = -FR \sin(\theta)$

Calculez par les formules de Bresse, le déplacement du point B. Application numérique avec : $F = 100$ N, $R = 0.100$ m, $E = 2.10 10^{11}$ Pa, $I_{Hz} = 1.04 10^{-10}$ m$^4$, $S = 5.00 10^{-5}$ m$^2$.

## brevet 004 : calcul d'un déplacement par méthode énergétique

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soient les points A,B positionnés tels que $\vec{BA} = l\vec{j}$. La poutre est formée par une ligne moyenne rectiligne entre B et A. Elle est encastrée en B et chargée en A par un effort $\vec{F} = F(-1/\sqrt{2}\vec{i} - 1/\sqrt{2}\vec{j})$.

Calculez par une méthode énergétique le déplacement du point A dans la direction $\vec{j}$. Application numérique : $F = 100$ N, $l = 0.10$ m, $E = 2.10 10^{11}$ Pa, $S = 5.00 10^{-5}$ m$^2$.

## brevet 005 : torseur des efforts intérieurs dans le cas d'un chargement linéique.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Efforts intérieurs* et de regarder les vidéos afférentes.

Soient les points A,B positionnés tels que $\vec{AB} = l\vec{i}$. La poutre est formée par une ligne moyenne rectiligne entre A et B. Elle est encastrée en A et chargée aux points P du tronçon AB tel que $\vec{AP} = x_p\vec{i}$ par une charge répartie $d\vec{F}_1 = a x_p dx_P \vec{j}$, et une charge concentrée en B : $\vec{F}_2 = -F_2\vec{j}$.

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points et les éventuels repères locaux.

Quel est le torseur des efforts intérieurs en un point H tel que $\vec{AH} = x_H\vec{i}$. Application numérique : $F_2 = 100$ N, $l = 0.200$ m, $a = 200$ N.m$^{-2}$, $x_H = 0.100$ m.

## brevet 006 : Moment quadratique

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] et cours "mécanique générale" ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Moment quadratique - rayon de giration - produit quadratique d'une aire plane* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit dans un repère global $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, un tube d'acier de masse volumique $\rho = 7800$ kg.m$^{-3}$ de section circulaire de diamètre extérieur $d = 0.3$ m, de diamètre intérieur $d_1 = 0.25$ m, de longueur $l = 1.4$ m, de centre d'inertie G, d'axe $G\vec{k}$.

Une section droite de ce cylindre, nécessite l'utilisation du repère local $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$, avec l'axe $\vec{x}$ parallèle à l'axe $\vec{k}$. Quel est le moment quadratique $I_{Hz}$ de la section droite passant par le point $H = G$ ?
brevet 006 bis : Moment quadratique et moment d'inertie

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] et cours "mécanique générale" ; autoattribution .

Soit dans un repère global (î, j, k), un cylindre d'acier S, de masse volumique ρ = 7800 kgm⁻³ de section circulaire de diamètre d = 0.3 m, de longueur l = 1.4 m, de centre d'inertie G, d'axe Gk.

Quelle est l'inertie $I_{S,Gk}$ de ce cylindre autour de l'axe $G\vec{k}$ ?

Une section droite de ce cylindre, nécessite l'utilisation du repère local ($\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$), avec l'axe $\vec{x}$ parallèle à l'axe $\vec{k}$. Quel est le moment quadratique $I_{Hz}$ de la section droite passant par le point $H = G$ ?

brevet 006 ter : moment quadratique d'une section rectangulaire

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] et cours "mécanique générale" ; autoattribution .

Une section droite d'une poutre de direction $\vec{x}$ est de forme rectangulaire avec $b = 0.01$ m dans la direction $\vec{y}$ et $h = 0.02$ m dans la direction $\vec{z}$ avec l'axe $\vec{x}$ parallèle à l'axe $\vec{k}$.

Faites un dessin 3D de la poutre coupée au point H et positionnez le repère local et les dimensions.

Quels sont les moments quadratiques $I_{Hy}$ et $I_{Hz}$ de la section droite passant par le point H barycentre de cette section ?

brevet 007 : évaluation manuelle de l'incertitude sur une droite passant au mieux de points expérimentaux d'incertitude connue

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours [6] ; Autoattribution .

Soient des données représentées par des couples (x,y) exprimés en (mètres,Volts) tels que (1,0.84), (1.3,1.19), (1.7,1.5), (2,1.91), (2.5,2.5), (3,2.75), (4,3.95), (4.2,4.22), (4.3,4.5). Les incertitudes sont $\Delta x = 0.2$ m et $\Delta y = 0.15$ V.

Tracez, mesurez et affichez la précision sur la pente d'un modèle linéaire passant par ces points.

brevet 007bis : évaluation manuelle de l'incertitude sur une droite passant au mieux de points expérimentaux d'incertitude connue

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours [6] ; Autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Formules de Bresse* et de regarder les vidéos afférentes.

Soient des données représentées par des couples (x,y) exprimés en (ampère,kilogramme) tels que (1,0.84), (1.3,1.19), (1.7,1.5), (2,1.91), (2.5,2.5), (3,2.75), (4,3.95), (4.2,4.22), (4.3,4.5). Les incertitudes sont $\Delta x = 0.08$ A et $\Delta y = 0.05$ kg.

Tracez, mesurez et affichez la précision sur la pente d'un modèle linéaire passant par ces points.

brevet 008 : évaluation statistique de l'incertitude sur une droite passant au mieux de points expérimentaux d'incertitude inconnue

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours [6] .
Soit un jeu de points expérimentaux $(a_i, b_i)$ exprimés en (V,m) tels que : (1,0.84), (1.3,1.19), (1.7,1.5), (2,1.91), (2.5,2.5), (3,1.75), (4,3.95), (4.2,4.22) et (4.3,4.5). Les incertitudes sur les grandeurs *a* et *b* ne sont pas connues.

Si l'on modélise le lien entre *a* et *b* par un modèle linéaire $b = pa + c$, quelle est la précision, avec un taux de confiance de 95%, sur la pente *p* passant par ces points ?

brevet 008 bis : évaluation statistique de l'incertitude sur une
droite passant au mieux de points expérimentaux d'incertitude
inconnue

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours [6] .

A partir d'un jeu de points expérimentaux dont les rectangles d'incertitudes ne sont pas connus, affichez la précision sur la pente d'un modèle linéaire passant par ces points.

Faire le td *td5bis.ods* disponible sur http://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php?id=403

brevet 008 ter : évaluation statistique de l'incertitude sur une
droite passant au mieux de points expérimentaux d'incertitude
inconnue

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours [6] .

Une image de référence a chaque pixel codé entre 0 et 255 pour chaque couleur. En niveau de gris, la moyenne des trois couleurs est faite. La répartition des niveaux de gris dans l'image implique une valeur moyenne, une valeur médiane *med* et un écart type *eca*. Pour accéder à ces valeurs avec *Gimp* : ouvrir une image, couleur, information, histogramme. Lors de la transmission de cette image, du bruit peu être rajouté. Vous le simulerez sur gimp par : filtre, bruit, brouillage RVB, RVB indépendants, taux de bruit compris entre 0 et 1 (valeur *tb* à choisir identique sur chaque canal.

Pour l'image *tesse.jpg* disponible sur http://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php?id=403 , pour des valeurs de *tb* comprises entre 0 et 1, mesurez les évolutions associées de la médiane, et de l'écart type. Si l'on suppose un modèle affine entre les deux paramètres *tb* et *med*, quelle est la valeur de la pente avec son incertitude élargie à un taux de confiance de 95% ?

brevet 008 quad : évaluation statistique de l'incertitude sur une
droite passant au mieux de points expérimentaux d'incertitude
inconnue

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours [6] .

Suite à l'examen de gestions des aléas de mars 2011, les étudiants ont fournis de façon anonyme le
couple (nbabsence, note) avec nbabsence le nombre de séances de gestion des aléas auxquelles ils ne sont
pas venus cette année là, et note la note qu'ils ont obtenus à l'examen : (0,13), (0,18), (0,6), (0,4), (0,15),
(0,13), (0,8), (0,14), (0,1), (0,4), (0,8), (0,16), (0,11), (0,8), (0,16), (1,6), (1,15), (1,4), (1,14), (2,0), (2,11),
(2,10), (2,6), (2,6), (3,20), (3,10), (3,14), (3,10), (3,1), (5,11).

Peut-on affirmer, avec un taux de confiance de 95%, que être absent aux séances implique une réussite plus faible à l'examen ?

brevet 009 : évaluation de l'incertitude sur un modèle

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] .
A partir d'une formule traduisant le calcul d'une grandeur en fonction de paramètres mesurés, calculez la précision sur l'évaluation de cette grandeur.

Faire le sujet td1.sxc disponible sur http://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php?id=403

## brevet 010 : comparaison entre un modèle et une expérience

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] .

Une modélisation permet de trouver un encadrement d'une grandeur $a : 13.43 < a_{theo} < 14.56$. Une expérience permet de trouver l'encadrement expérimental de la même grandeur $a : 12.26 < a_{expe} < 13.57$.
Le modèle est-il adapté à l'expérience ?

## brevet 010 bis : comparaison entre un modèle et une expérience

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] .

Une modélisation permet de trouver un encadrement d'une grandeur $y : 1.23 < y_{theo} < 1.45$. Une expérience permet de trouver l'encadrement expérimental de la même grandeur $y : 1.14 < y_{expe} < 1.21$.
Le modèle est-il adapté à l'expérience ?

## brevet 011 : équations de Lagrange, système à 2 degrés de liberté

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours "Mécanique Générale" .

Déterminer par les équations de Lagrange les deux équations de mouvement relatives au système présenté figure 1.1. Un pendule AB (barre de masse $m$, de longueur $l$ dans la direction $\vec{x}_1$, de faible section par rapport à la longueur) dont la liaison pivot est en liaison glissière d'axe $A\vec{x}$, maintenue par un ressort de rigidité $k$ agissant dans cette même direction, est placée dans un champs de pesanteur $g\vec{x}$. Un effort extérieur $\vec{F}$ constant est appliqué dans la direction $\vec{y}_1$ orthogonale à la direction de la barre $\vec{x}_1$. On notera $A_0$ la position de l'axe du pendule, au repos, sous son propre poids (sans l'effort $\vec{F}$).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1.1: Un pendule dont l'axe est retenu par un ressort.</figcaption></figure>
brevet 012 : calcul d'un torseur des déformations

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Cinématique d'un point de la fibre moyennes* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une fibre moyenne constituée d'un segment de droite AB, tel que $\vec{AB} = l_1\vec{i}$. La position d'un point courant H sera repérée par $\vec{AH} = x\vec{i}$. Cette poutre est déformée telle que le point H subisse un déplacement $\vec{u} = 3x^2\vec{j}$.

Après avoir écrit la relation entre la pente d'une fonction et l'angle par rapport à l'axe des abscisses, calculez le torseur des déformations en H.

brevet 013 : degré d'hyperstatisme d'une structure tridimensionnelle

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *isostaticité - hyperstaticité* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre constituée d'un segment de droite AB, tel que $\vec{AB} = l_1\vec{i}$, un segment de droite BC, tel que $\vec{BC} = l_2\vec{j}$, et un segment de droite CD, tel que $\vec{CD} = l_3\vec{k}$. Cette structure est liée au référentiel extérieur :

* en A par une glissière d'axe $A\vec{i}$

* en B, par un appui ponctuel de normale $B\vec{j}$

* en C, par un appui plan de normale $C\vec{i}$.

Elle subit un torseur de chargement quelconque en B.

Quel est le degré d'hyperstatisme de cette structure ?

brevet 014 : degré d'hyperstatisme d'une structure plane

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours genesdp ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *isostaticité - hyperstaticité* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit le problème plan, formé par une poutre constituée d'un segment de droite AB, tel que $\vec{AB} = l_1\vec{i}$, un segment de droite BC, tel que $\vec{BC} = l_2\vec{j}$. Cette structure est liée au référentiel extérieur :

* en A un appui simple,

* en C, un appui sur rouleau de normale $C\vec{i}$.

Cette structure subie un chargement au point B :

* une force $\vec{F}$ dont la direction n'est pas précisée,

* un couple $C\vec{k}$.

Quel est le degré d'hyperstatisme de cette structure ?
brevet 015 : choix de l'équation permettant de déterminer l'inconnue hyperstatique d'une structure plane.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours genesdp ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *isostaticité - hyperstaticité* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit le problème plan, formé par une poutre constituée d'un segment de droite AB, tel que $\vec{AB} = l_1\vec{i}$,
un segment de droite BC, tel que $\vec{BC} = l_2\vec{j}$. Cette structure est liée au référentiel extérieur :

* en A un encastrement,

* en C, un appui sur rouleau de normale $C\vec{i}$.

Soit un chargement au point B constitué d'un couple $C\vec{k}$. Le degré d'hyperstatisme de cette structure est 1.

Si l'on choisi comme inconnue hyperstatique la réaction en C, quelle est l'équation cinématique qui permet d'obtenir une équation supplémentaire permettant de déterminer l'inconnue hyperstatique ?

brevet 016 : détermination du système isostatique associé à un
système hyperstatique.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *isostaticité - hyperstaticité* et
de regarder les vidéos afférentes.

Soit le problème plan, formé par une poutre constituée d'un segment de droite AB, tel que $\vec{AB} = l_1\vec{i}$,
un segment de droite BC, tel que $\vec{BC} = l_2\vec{j}$. Cette structure est liée au référentiel extérieur :

* en A un encastrement,

* en C, un appui sur rouleau de normale $C\vec{i}$.

Soit un chargement au point B constitué d'un couple $C\vec{k}$. Le degré d'hyperstatisme de cette structure est de 1.

* a) Si l'on choisi comme inconnue hyperstatique la réaction en C, quel est le système isostatique associé et le chargement qui lui est appliqué ?

* b) Si l'on choisi comme inconnue hyperstatique la réaction dans la direction $\vec{i}$ en A, quel est le système isostatique associé et le chargement qui lui est appliqué ?

brevet 017 : calcul d'un déplacement d'une poutre circulaire.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours genesdp ; autoattribution .

Soit le problème plan, formé par une poutre dont la fibre moyenne est représentable par un arc de cercle de centre O de rayon R entre les points A et B, avec les coordonnées de A et B telles que : $\vec{OA} = R\vec{i}$ et $\vec{OB} = R\vec{j}$. Cette poutre est encastrée en A, chargée en point B par une force $F\vec{j}$. On considérera $E = 2, 1e^{11}$ Pa, $I_{gz} = 0.833 10^{-9}$ m$^4$, $S = 10^{-4}$ m$^2$, $R = 1$ m, $F = 9.81$ N.

Quel est le déplacement du point B dans la direction $\vec{j}$ ?

Le déplacement dû à l'effort normal est-il négligeable devant celui dû au moment fléchissant ?
brevet 018 : torseur des efforts intérieurs et torseur de chargement.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Efforts intérieurs* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit le problème plan, formé par une poutre constituée d'un segment de droite AB, tel que $\vec{AB} = l_1\vec{i}$.
Le point A est encastré. Soit un chargement au point B constitué d'un couple $C\vec{k}$. Soit H un point
courant compris entre A et B. La poutre est orientée de B vers A.

Le torseur,

$$
\{\tau_1\} = \left\{ \begin{matrix} 0 \\ C \vec{k} \end{matrix} \right\}_H \qquad (1.1)
$$

est-il un torseur des efforts intérieur ou un torseur de chargement ?

brevet 019 : Compositions de vitesses.

Ce brevet est présenté figure 1.2.

brevet 020 : calcul de composantes d'un tenseur d'inertie d'un solide non parralélépipédique.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours "mécanique générale : cinétique d'un solide : paragraphe 1-3" ; attribution : autoattribution .

Soit un cube en acier de masse volumique ρ = 7800 kg.m⁻³, de coté de longueur a = 12 cm. Soit 6 de
ses sommets positionnés tels que leurs coordonnées dans un repère (O, ⃗x, ⃗y, ⃗z) soient : A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); C(0, 0, a); D(0, a, 0);
Ce cube est coupé par le plan passant pas les points CBEF.

Si l'on considère le solide S limité par les arrêtes reliant ces 6 points,

• calculez l'inertie du solide S autour de l'axe A\vec{y}.

• calculez le terme hors diagonale (produit d'inertie) -P<sub>xy</sub>

brevet 021 : Lagrange : énergie cinétique.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours "mécanique générale : équations de Lagrange" ;
attribution : autoattribution .

Soit une barre de section circulaire, de rayon r, de longueur l, de masse totale m parallèle à l'axe
⃗x. A ses deux extrémités A et B, elle est liée à un repère galiléen (⃗x, ⃗y, ⃗z) par des ressorts de raideur k
agissants dans la direction ⃗y. Soit H le centre de gravité de la barre, et C un point de la barre tel que
AC = ax auquel est appliqué une force extérieure F sin(ωt)⃗y. Les points A et B ne peuvent se déplacer
que dans la direction ⃗y, leurs déplacements respectifs, par rapport à la position d'équilibre sont repérés
par y₁ et y₂. Le poids propre de la barre sera négligé.

Calculez l'énergie cinétique de la barre en sachant que r = l/8.
Auteur : N. Dauchez

(d'après http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/meca/manege.html)

Ressource : N. Dauchez Cours de mécanique générale - Cinématique - ENSIM 1<sup>ère</sup> année.

Un enfant parcourt avec une vitesse uniforme $v=3$ km/h un diamètre d'un manège circulaire qui tourne avec une vitesse angulaire constante $\Omega=12$ tour/min. Donnez les expressions des vitesses et accélérations de l'enfant en fonction du temps $t$, dans le repère lié au manège R (O centre du manège, x et y dans le plan du manège, z axe de rotation) puis dans le repère lié au sol $R_0$ ($O_0$, $x_0$ et $y_0$ axes horizontaux, z).

Donnez les valeurs des accélérations centrifuges et de Coriolis lorsque l'enfant est à 2 m du centre du manège.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 1.2: Brevet 19</figcaption></figure>
brevet 022 : Lagrange : forces généralisées.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours "mécanique générale : équations de Lagrange" ;
attribution : autoattribution .

Soit une barre de section circulaire, de rayon $r$, de longueur $l$, de masse totale $m$ parallèle à l'axe $\vec{x}$. A ces deux extrémités A et B, elle est liée à un repère galiléen ($\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$) par des ressorts de raideur $k$ agissants dans la direction $\vec{y}$. Soit $G$ le centre de gravité de la barre, et $C$ un point de la barre tel que $\vec{AC} = a\vec{x}$ auquel est appliqué une force extérieure $F \sin(\omega t)\vec{y}$. Les points A et B ne peuvent se déplacer que dans la direction $\vec{y}$, leurs déplacements respectifs, par rapport à la position d'équilibre sont repérés par $y_1$ et $y_2$. Le poids propre de la barre sera négligé. Calculez les efforts généralisés associés aux degrés de libertés $y_1$ et $y_2$ de la barre.

brevet 023 : Lagrange : écriture des équations.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours "mécanique générale : équations de Lagrange" ;
attribution : autoattribution .

Soit une barre de section circulaire, de rayon $r$, de longueur $l$, de masse totale $m$ parallèle à l'axe $\vec{x}$. A ces deux extrémités A et B, elle est liée à un repère galiléen ($\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$) par des ressorts de raideur $k$ agissants dans la direction $\vec{y}$. Soit $G$ le centre de gravité de la barre, et $C$ un point de la barre tel que $\vec{AC} = a\vec{x}$ auquel est appliqué une force extérieure $F \sin(\omega t)\vec{y}$. Les points A et B ne peuvent se déplacer que dans la direction $\vec{y}$, leurs déplacements respectifs, par rapport à la position d'équilibre sont repérés par $y_1$ et $y_2$. Le poids propre de la barre sera négligé.

Ecrire les deux équations de Lagrange associés aux degrés de libertés $y_1$ et $y_2$ de la barre.

brevet 024 : sollicitations d'une poutre.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; attribution : autoattribution .

Soit une barre de section circulaire, de rayon $r$, de longueur $l$ entre les points A et B tels que $\vec{AB} = l\vec{j}$, de masse totale $m$. A son extrémité A elle est liée par un encastrement à un repère galiléen ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). En $B$ sont appliqués une force extérieure $-F\vec{j}$ et un couple $C\vec{k}$. En un point $H$ courant de la fibre moyenne telle que $\vec{AH} = s\vec{j}$, si on oriente la poutre de $A$ vers $B$, le torseur des efforts intérieurs est donné par :

$$ \{\tau_H\} = \begin{Bmatrix} -F\vec{j} \\ C\vec{k} \end{Bmatrix}_H \qquad (1.2) $$

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points, les éventuels repères locaux, les liaisons et les chargements.

Quelles sont les sollicitations de cette poutre ?

brevet 025 : différence entre torseur de liaison et torseur des efforts intérieurs.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; attribution : autoattribution .

Soit une barre de section circulaire, de rayon $r$, de longueur $l$ entre les points A et $B$ tels que $\vec{AB} = l\vec{j}$, de masse totale $m$. A son extrémité A elle est liée par un appuis simple à un repère galiléen ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$), ainsi qu'en $B$ par un appuis simple de normale $\vec{n}$. En $B$ sont appliqués une force extérieure $-F\vec{j}$ et un couple $C\vec{k}$. Soit le point $H$ courant de la fibre moyenne tel que $\vec{AH} = s\vec{j}$. On oriente la poutre de $A$ vers $B$.
Soit le torseur exprimé en H :

$$ \{\tau_H\} = \begin{Bmatrix} -F_j \\ C_k \end{Bmatrix}_H \qquad (1.3) $$

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points, les éventuels repères locaux, les liaisons et les chargements.

Est-ce un torseur d'efforts intérieur, un torseur de chargement exprimé en H ou un torseur d'inter effort à une liaison exprimé en H ?

## brevet 026 : savoir évaluer une incertitude avec un taux de confiance de 95% sur une valeur moyenne de mesures obtenues par répétabilité

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; attribution : autoattribution .

Soit un jeu de points expérimentaux ($a_i$) de valeurs en mètres 4.63, 4.62, 4.78, 4.23, 4.56, 4.56, 4.63, 4.72 et 4.56. Les incertitudes sur la grandeur $a$ ne sont pas connues.

Calculez les valeurs minimales et maximales de la moyenne $\bar{a}$ avec un taux de confiance de 95%. En cas de recherche de point aberrant, on utilisera un taux de signification du test de $\alpha = 0.1$.

## brevet 026 bis : savoir évaluer une incertitude avec un taux de confiance de 95% sur une valeur moyenne de mesures obtenues par répétabilité

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; attribution : autoattribution .

Soit un jeu de points expérimentaux ($a_i$) de valeurs 1.28, 1.27, 1.35, 1.26, 1.34, 1.12, 1.18, 1.23, 1.24. Les incertitudes sur la grandeur $a$ ne sont pas connues.

Calculez les valeurs minimales et maximales de la moyenne $\bar{a}$ avec un taux de confiance de 95%.

## brevet 027 : savoir choisir le nombre de mesures pour obtenir une incertitude relative de x % sur une valeur moyenne de mesure obtenue par répétabilité

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; attribution : autoattribution .

Télécharger le tableur-sujet td2bis.ods disponible sur http://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php?id=403. Compléter les cases avec des "?".
brevet 028 : Deux écritures de torseur

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] .

Soit le torseur de déplacement au point A qui est composé par une translation $0.12\vec{j}$ [m] et d'une rotation $0.045\vec{k}$, et un torseur de chargement composé d'une force $34\vec{k}$ [N] et d'un couple $-78\vec{i}$ [N.m].

Écrire chacun de ces deux torseurs avec deux notations : verticale (méthode Catherine Potel) et horizontale (méthode Jean-Michel Génevaux).

brevet 029 : évaluation statistique de la fin de dépendance linéaire
entre deux variables $y = px + c$

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] .

Soit un jeu de points expérimentaux $(a_i, b_i)$ tels que : (1,0.84), (1.3,1.19), (1.7,1.5), (2,1.91), (2.5,2.5), (3,3), (3.5,3), (4,3.25) et (4.3,2.95). Les incertitudes sur les grandeurs $a$ et $b$ ne sont pas connues.

Si l'on modélise le lien entre $a$ et $b$ par un modèle linéaire $b = pa + c$ à partir des premiers points de mesure, détectez la fin de linéarité avec un taux de confiance de 95%, donnez le nombre de points tels que l'hypothèse de linéarité est valide et l'incertitude sur la pente.

brevet 029 bis : évaluation statistique de la fin de dépendance
linéaire entre deux variables $y = px + c$

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] .

A partir d'un jeu de points expérimentaux dont les rectangles d'incertitudes ne sont pas connus, détectez la fin de linéarité, et donnez le nombre de points tels que l'hypothèse de linéarité est valide depuis le premier point.

Faire le sujet *td7bis.ods* disponible sur http://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php?id=403

brevet 029 ter : évaluation statistique de la fin de dépendance
linéaire entre deux variables $y = px + c$

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] .

Une image de référence à chaque pixel codé entre 0 et 255 pour chaque couleur. En niveau de gris, la moyenne des trois couleurs est faite. La répartition des niveaux de gris dans l'image implique une valeur moyenne, une valeur médiane et un écart type *eca*. Pour accéder à ces valeurs avec *Gimp* : ouvrir une image, couleur, information, histogramme. Lors de la transmission de cette image, du bruit peu être rajouté. Vous le simulerez sur gimp par : filtre, bruit, brouillage RVB, RVB indépendants, taux de bruit compris entre 0 et 1 (valeur *tb* à choisir identique sur chaque canal.

Pour l'image *tesse.jpg* disponible sur http://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php?id=403, pour des valeurs de *tb* comprises entre 0 et 1, mesurez les évolutions associées de la médiane, et de l'écart type. Peux-ton affirmer que un modèle affine n'est pas acceptable pour la relation entre *tb* et *eca* ? Quelle est la valeur de la pente avec son incertitude élargie à un taux de confiance de 95% ?
brevet 030 : savoir évaluer une incertitude sur une valeur moyenne de mesures obtenues par répétabilité avec un taux de confiance de 90%

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; attribution : autoattribution .

Soient les mesures d'une tension en volts a faites successivement : 1.23, 1.45, 1.43, 1.27, 1.34, 1.18.

Quelle est l'incertitude sur la valeur moyenne ±Δā avec un taux de confiance de 90% ? On pourra si nécessaire considérer α = 0.1 si vous souhaitez tester la présence de points aberrants.

brevet 031 : torseur de déplacement d'un solide, formule de changement de point d'un torseur

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6], Autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Liaisons parfaites normalisée - torseur des efforts transmissibles* et de regarder les vidéos afférentes.

Soient trois points A,B,C dans l'espace affine de base ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$), tels que $\vec{AB} = 12\vec{i}$ m et $\vec{BC} = 3\vec{j} - 6\vec{k}$ m. Soit un solide indéformable reliant les points A,B et C. Si le point A subit une translation $4\vec{j} - 4\vec{k}$ m et une rotation $2\vec{i}$ rad, quel est le torseur de déplacement de ce solide exprimée au point C ?

brevet 032 : Utilisation des formules de Bresse en compression charge linéique.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soit une poutre droite AB, de module d'Young $E = 2.1e11$ Pa, de coefficient de poisson $\nu = 0.28$, de masse volumique $\rho = 7800$ kg m$^{-3}$, d'aire de section droite circulaire de rayon $R = 0.05$ m dans le champs de pesanteur $\vec{g} = -9.81\vec{j}$, dont le vecteur $\vec{AB} = l\vec{j} = 10\vec{j}$ m, encastrée en A et portant à son extrémité B une masse ponctuelle $M = 200$ kg. Sous l'effet de la pesanteur, le torseur des efforts intérieur en un point H tel que $\vec{AH} = x\vec{j}$ est composé d'un effort normal $N = -g(M + \rho\pi R^2(l-x))$.

Quel est le déplacement vertical du point B ?

brevet 033 : formule de changement de point.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soient, dans la base orthonomée directe ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$), les points O,A,B tels que $\vec{OA} = 3\vec{i} + 2\vec{k}$, $\vec{OB} = 5\vec{i} - 2\vec{j}$.
Soit le torseur,

$$ \{\tau\} = \begin{Bmatrix} 4\vec{k} - 5\vec{j} \\ 2\vec{i} \end{Bmatrix}_A . \qquad (1.4) $$

Quelle est l'expression de ce torseur lorsqu'il est exprimé en B ?

brevet 034 : énergie potentielle de pesanteur.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours vibration 1 de JC Pascal ; autoattribution .
Soit un solide de masse $m = 2 \text{ kg}$ dans un champs de pesanteur $\vec{g} = 9.81\vec{z} \text{ ms}^{-2}$ avec $(O,\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ un repère galiléen orthonormé. Ce solide est déplacé de la position A à la position B tels que $\vec{OA} = 1\vec{x}+3\vec{y}+1\vec{z}$ en m et $\vec{OB} = 3\vec{x} + 5\vec{y} - 2\vec{z}$ en m.

Quelle est la variation d'énergie potentielle $V$ de ce solide entre les deux points A et B.

### brevet 035 : énergie potentielle d'un ressort.

auteur: JM Génevaux ; ressource: cours vibration 1 de JC Pascal ; autoattribution.

Soit un ressort de rigidité $k = 2 \text{ Nm}^{-1}$. Dont les extrémités A et B ont comme coordonnées dans un repère galiléen orthonormé $(O,\vec{x},\vec{y},\vec{z})$: $\vec{OA} = 1\vec{x}+3\vec{y}+1\vec{z}$ en m et $\vec{OB} = 3\vec{x}+5\vec{y}-2\vec{z}$ en m. Les extrémités de ce ressort sont déplacées aux positions A' et B' de coorsdonnées telles que $\vec{OA}' = 1\vec{x}+3\vec{y}+2\vec{z}$ en m et $\vec{OB}' = 1\vec{x}+5\vec{y}-2\vec{z}$ en m.

Quelle est la variation d'énergie potentielle $V$ entre les deux positions du ressort.

### brevet 036 : Raideur équivalente de deux ressorts en série.

auteur: JM Génevaux ; ressource: cours vibration 1 de JC Pascal ; autoattribution.

Soit une masse $m$ assujetie à se déplacer suivant l'axe $\vec{x}$ et reliée au repère galiléen par 2 ressorts en série de rigidité $k_1 = 2 \text{ Nm}^{-1}$ et $k_2 = 1 \text{ Nm}^{-1}$.

Quelle est la rigidité $k_3$ du ressort équivalent ?

### brevet 037 : Torseur transmissible par la liaison bidimensionnelle appuis sur rouleaux

auteur: JM Génevaux ; ressource: cours techno-mécanique ; autoattribution.

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Liaisons parfaites normalisée - torseur des efforts transmissibles* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit pour un problème dans le plan $(A,\vec{x},\vec{y})$, une liaison appuis sur rouleau en un point B de normale $\vec{y}$.

Si la liaison est parfaite, quel est le torseur des efforts transmissibles ? Vous l'exprimerez en B.
brevet 038 : Torseur transmissible par la liaison tridimensionnelle hélicoidale

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours techno-mécanique ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Liaisons parfaites normalisée - torseur des efforts transmissibles* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit pour un problème dans l'espace $(A,\vec{x},\vec{y},\vec{z})$, une liaison hélicoidale d'axe $B\vec{y}$ de pas $p$.

Si la liaison est parfaite, quel est le torseur des efforts transmissibles ? Vous l'exprimerez en B.

brevet 039 : Chargement réparti de couples

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours techno-mécanique ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Torseurs de chargement* et
de regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre droite AB de longueur $l = 2 \text{ m d'axe } \vec{i}$, soumise tout son long à une répartition de couples par unité de longueur $\check{c} = 0.1 \vec{j}$ en Nm/m.

Donnez l'expression de son torseur équivalent au point B.

brevet 040 : Moment polaire d'une section droite

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours techno-mécanique ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Moment quadratique - rayon de giration - produit quadratique d'une aire plane* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une section droite de section carré de coté $a = 10 \text{ mm}$, évidée en son centre par une section circulaire de diamètre $d = 5 \text{ mm}$.

Quelle est la valeur de son moment polaire $I_0$ par rapport à son axe $H\vec{x}$, avec $H$ son barycentre et $\vec{x}$
le vecteur normal à cette surface.

brevet 041 : Raideur d'un plot en compression, ajusté dans un contenant cylindrique parfaitement lubrifié

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Formules de Bresse* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un cylindre de direction $\vec{j}$, de section droite circulaire de diamètre $d = 10 \text{ mm}$, en aluminium AU4G, de longueur $l = 50 \text{ mm}$, ajusté dans un contenant cylindrique indéformable parfaitement lubrifié. Ce plot est soumis à une force $\vec{F} = -200\vec{j}$ sur sa surface supérieure. Sa surface inférieure est bloquée en translation par une surface de normale $\vec{n}$. Sous cette charge, la surface supérieure se déplace d'une valeur $\vec{u} = -u\vec{j}$.

Quelle est la rigidité $k = F/u$ de ce plot ?
brevet 041 bis : Contrainte dans un plot en compression, ajusté
dans un contenant cylindrique parfaitement lubrifié

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soit un cylindre de direction $\vec{j}$, de section droite circulaire de diamètre $d = 10$ mm, en aluminium AU4G, de longueur $l = 50$ mm, ajusté dans un contenant cylindrique indéformable parfaitement lubrifié. Ce plot est soumis à une force $\vec{F} = -200\vec{j}$ sur sa surface supérieure. Sa surface inférieure est bloquée en translation par une surface de normale $\vec{j}$.

Quel est le tenseur des contraintes dans la section droite à distance égale des extrémités de la poutre ?

brevet 042 : Raideur d'un plot en compression posé sur un plan parfaitement lubrifié

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Formules de Bresse* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un cylindre de direction $\vec{j}$, de section droite circulaire de diamètre $d = 10$ mm, en aluminium AU4G, de longueur $l = 50$ mm. Ce plot est soumis à une force $\vec{F} = -200\vec{j}$ sur sa surface supérieure. Sa surface inférieure est bloquée en translation dans la direction $\vec{j}$ par une surface parfaitement lubrifiée. Sous cette charge, la surface supérieure se déplace d'une valeur $\vec{u} = -u\vec{j}$.

Quelle est la rigidité $k = F/u$ de ce plot ?

brevet 042 bis : Contraintes dans un plot en compression posé
sur un plan parfaitement lubrifié

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soit un cylindre de direction $\vec{j}$, de section droite circulaire de diamètre $d = 10$ mm, en aluminium AU4G, de longueur $l = 50$ mm. Ce plot est soumis à une force $\vec{F} = -200\vec{j}$ sur sa surface supérieure. Sa surface inférieure est bloquée en translation dans la direction $\vec{j}$ par une surface parfaitement lubrifiée.

Quel est le tenseur des contraintes dans la section droite à distance égale des extrémités de la poutre ?

brevet 043 : Détermination d'une incertitude de type A, avec un taux de confiance de 90%

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soit la mesure d'une même longueur $a$ faite par répétabilité. Les valeurs mesurées successivement sont exprimées en mètres : 1.22, 1.24, 1.22, 1.25, 1.23, 1.30, 1.23

Après avoir vérifié l'absence de point aberrant avec un taux de signification $\alpha = 0.05$, quelle est la valeur moyenne $\bar{a}$ et son incertitude au taux de confiance de 90% ? Vous pouvez utiliser le tableur *incvalmoy.ods* ou *incvalmoy.sci*
brevet 043 bis : Détermination d'une incertitude de type A, avec
un taux de confiance de 95%

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soit la mesure d'une même grandeur *a* faite par répétabilité. Les valeurs mesurées successivement sont : 3.23, 3.43, 3.24, 3.12

Quelle est la valeur moyenne $\bar{a}$ et son incertitude au taux de confiance de 95% ? Vous pouvez utiliser
le tableur incvalmoy.ods ou incvalmoy.sci

brevet 044 : Détermination d'une incertitude de type B d'une
mesure faite avec un pied à coulisse.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soit la mesure de la dimension d'une pièce avec un pied à coulisse mécanique sans affichage digital, dont les graduations sont faites tous les 0.02 mm. La mesure donne $a = 12.34$ mm.

Quelle est l'incertitude élargie sur cette mesure ?

brevet 044 bis : Détermination d'une incertitude de type B d'une
mesure faite avec un réglet.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soit la mesure de la dimension d'une pièce avec un réglet, dont les graduations sont faites tous les 1 mm. La mesure donne $a = 143$ mm.

Quelle est l'incertitude élargie sur cette mesure ?

brevet 045 : Détermination d'une incertitude de type B d'une
valeur donnée dans la littérature.

auteur : JM Génevaux et A Houdouin ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soient trois grandeurs a, b et c qui sont données dans la littérature a = 12.3 m, b = 13400 A et c = 28.0 kg sans indications complémentaires

Quelles sont les incertitudes élargies que l'on peut considérer sur ces grandeurs en faisant l'hypothèse
que le rédacteur de l'ouvrage est cohérent ?

brevet 045 bis : Détermination d'une incertitude de type B d'une
valeur donnée dans la littérature.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soient trois grandeurs a, b et c qui sont données dans la littérature a = 0.3256, b = 1200 et c = 14.0 sans indications complémentaires
Quelle sont les incertitudes élargies que l'on peut considérer sur ces grandeurs en faisant l'hypothèse
que le rédacteur de l'ouvrage est cohérent ?

brevet 046 : Incertitude sur une grandeur composée

auteur : JM Génevaux T Jupin; ressource : [6] ; autoattribution .

Soit une grandeur y composée de grandeurs a, b, c, d par la relation $y = (ab)/(c + 2d)$. La valeur $a = 12.34$ mm est mesurée au pied à coulisse dont les graduations sont distantes de 0.02 mm. La valeur $b$ est mesurée par une répétabilité de 12 mesures (1.123, 1.124, 1.119, 1.130, 1.124, 1.128, 1.121, 1.120, 1.123, 1.117, 1.127, 1.125), la valeur $c$ est donnée dans la litérature $c = 12.3$ V et la valeur $d$ est de moyenne $\bar{d} = 1.25$ V avec un écart type sur la moyenne de $\sigma_{\bar{d}} = 0.04$ V et une loi de répartition de Student à 12 degrés de liberté autour de cette moyenne.

Quelle est la valeur moyenne et l'incertitude élargie sur $y$ à un taux de confiance de 95% ?

brevet 046 bis : Incertitude sur une grandeur composée

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soit une grandeur y composée de grandeurs a, b, c, d par la relation $y = \frac{\sqrt{ab}}{c+d^2}$. La valeur $a = 12$ mm est mesurée au réglet dont les graduations sont distantes de 1 mm. La valeur $b$ en kg est mesurée par une répétabilité de 7 mesures (1.34, 1.35, 1.33, 1.29, 1.35, 1.36, 1.32), la valeur $c$ est donnée dans la littérature $c = 3.0$ mm² et la valeur $d$ est de moyenne $\bar{d} = 4$ mm avec un écart type sur la moyenne de $\sigma_{\bar{d}} = 0.23$ mm et une loi de répartition de Student à 7 degrés de liberté autour de cette moyenne.

Quelle est la valeur moyenne et l'incertitude élargie sur $y$ à un taux de confiance de 95% ?

brevet 047 : Incertitude sur une grandeur composée à partir des
sommation d'erreurs relatives

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soit une grandeur y composée de grandeurs a, b, c, d par la relation $y = (ab)/(c + 2d)$. La valeur $a = 12.34$ mm est mesurée au pied à coulisse dont les graduations sont distantes de 0.02 mm. La valeur $b$ est mesurée par une répétabilité de 12 mesures (0.123, 0.124, 0.119, 0.130, 0.124, 0.128, 0.121, 0.120, 0.123, 0.117, 0.127, 0.125), la valeur $c$ est donnée dans la litérature $c = 12,3$ V et la valeur $d$ est de moyenne $\bar{d} = 1.25$ avec une variance de $\sigma_d = 0.12$ et une loi de répartition de Student à 12 degrés de liberté autour de cette moyenne.

Pouvez-vous déterminer la valeur moyenne et l'incertitude élargie sur $y$ à un taux de confiance de 95%
à l'aide de la méthode des dérivées logarithmiques (méthode de grand-papa) ?

brevet 047 bis : Incertitude sur une grandeur composée

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soit une grandeur y composée de grandeurs a, b, c, d par la relation $y = \frac{\sqrt{ab}}{c+d^2}$. La valeur $a = 12$ mm est mesurée au pied à coulisse dont les graduations sont distantes de 1 mm. La valeur $b$ est mesurée par une répétabilité de 7 mesures (1.34, 1.35, 1.33, 1.29, 1.35, 1.36, 1.32), la valeur $c$ est donnée dans la litérature $c = 3.0$ et la valeur $d$ est de moyenne $\bar{d} = 4$ avec une variance de $\sigma_d = 0.23$ et une loi de répartition de Student à 7 degrés de liberté autour de cette moyenne.
Pouvez-vous déterminer la valeur moyenne et de l'incertitude élargie sur *y* à un taux de confiance de 95% à l'aide de la méthode des dérivées logarithmiques (méthode de grand-papa) ?

brevet 048 : Deux moyennes sont-elles significativement différentes ?

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soit une promotion de l'élèves de l'Ensim qui ont été examinés par deux jurys. Les notes des étudiants qui ont été évalués par le jury 1 sont : 12, 11, 14, 9, 15, 6, 12, 10, 11, 13. Les notes des étudiants qui ont été évalués par le jury 2 sont : 8, 15, 4, 18, 11, 10, 14, 8, 9, 7, 5, 10, 11, 13, 12, 9, 8, 9, 10, 8.

Les moyennes de ces deux groupes sont-elles significativement différentes au seuil de 95% de confiance ? Vous pouvez utiliser le programme *comvalmoy.ods*.

brevet 048 bis : Deux moyennes sont-elles significativement différentes ?

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soit une promotion de l'élèves de l'Ensim qui ont été examinés par deux jurys. Les notes des étudiants qui ont été évalués par le jury 1 sont : 8, 9, 10, 8 et 7. Les notes des étudiants qui ont été évalués par le jury 2 sont : 6, 7, 13, 5, 8, 10 et 11.

Les moyennes de ces deux groupes sont-elles significativement différentes au seuil de 95% de confiance ? Vous pouvez utiliser le programme *comvalmoy.ods*.

brevet 048 ter: Deux moyennes sont-elles significativement différentes ?

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

La consultation du site web UMTICE sur les incertitudes est mesurée pour deux populations : les invités et les étudiants. Entre Octobre 2008 et Août 2009, les consultations sont données ci-dessous :

• invité : 33, 1477, 2656, 2313, 2586, 2094, 2051, 2026, 2149, 1563, 941

• étudiant : 465, 519, 1097, 2566, 902, 1675, 178, 336, 56, 301, 6

Les moyennes de ces deux groupes sont-elles significativement différentes au seuil de 95% de confiance ? Vous pouvez utiliser le programme *comvalmoy.ods*.

brevet 048 quad : Deux moyennes sont-elles significativement différentes ?

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

A l'examen de gestion des aléas de mars 2011, deux populations d'étudiants étaient présentes : les étudiants suivant la formation informatique et ceux suivant la formation vibration acoustique capteur. Les notes de ces deux populations sont données ci-dessous :

• informatique : 5.1, 7.5, 9.9, 10.0, 3.6, 0.4, 9.9, 7.1, 10.0, 5.6, 6.9, 9.6, 1.5, 1.4, 9.4, 16.1, 1.5, 2.3, 6.1, 8.1, 8.5, 5.0, 3.8, 6.0
* vibration acoustique capteur : 5.8, 13.8, 9.9, 10.0, 14.1, 17.1, 14.1, 15.5, 15.8, 5.6, 11.8, 6.6, 10.4, 12.9, 10.8, 8.6, 16.5, 15.2, 14.1, 10.1, 12.3, 10.8, 15.1, 5.1, 6.1, 14.6, 1.9, 16.0, 10.4, 4.6, 11.8, 11.8, 8.9

Les moyennes de ces deux groupes sont-elles significativement différentes au seuil de 95% de confiance ? Vous pouvez utiliser le programme *comvalmoy.ods*.

## brevet 049 : Contrainte de cisaillement maximale dans une section droite ?

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Troisième cinématique* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre droite de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.1 \text{ m}$ dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.2 \text{ m}$ dans la direction $\vec{y}$. Dans une section droite l'effort tranchant est $T_y = 1000 \text{ N}$.

Faites un dessin de la structure.

Quelle est la contrainte de cisaillement $\sigma_{yx}$ maximale dans la section droite en utilisant la cinématique 3 (avec voilement de la section droite car les contraintes sont non constantes dans la section droite) ?
Diffère-t-elle de la contrainte de cisaillement que vous obtenez avec l'hypothèse de la cinématique 2 (sans voilement de section droite, car les contraintes sont constantes dans la section droite) ?

## brevet 050 : Déplacement pour une poutre en traction

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Formules de Bresse* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre droite de longueur $l = 1 \text{ m}$, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.1 \text{ m}$ dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.2(s + 1) \text{ m}$ dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $\vec{AH} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ et global $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré, et une force à l'extrémité B implique que l'effort normal dans toute la poutre est $N = 1000 \text{ N}$. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \times 10^{11} \text{ Pa}$.

Quel est le déplacement du point B ?

## brevet 050 bis : Contraintes pour une poutre en traction

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Formules de Bresse* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre droite de longueur $l = 1 \text{ m}$, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.1 \text{ m}$ dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.2(s + 1) \text{ m}$ dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $\vec{AH} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ et global $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré, et une force à l'extrémité B implique que l'effort normal dans toute la poutre est $N = 1000 \text{ N}$. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \times 10^{11} \text{ Pa}$.
Quel est la contrainte dans la section droite passant par le point H tel que $s = 0.5$ m ?

## brevet 051 : Déplacement pour une poutre en flexion dû au moment fléchissant

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Formules de Bresse* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.15$ m dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.02(s + 1)$ m dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $\vec{AH} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ et global $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré, et une force à l'extrémité B dans la direction $\vec{j}$ implique que l'effort tranchant $T_y = 1000$ N et un moment fléchissant $Mf_z(s) = 1000(l-s)$ Nm. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \ 10^{11}$ Pa.

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points, les éventuels repères locaux, les liaisons et les chargements.

Quel est le déplacement dans la direction $\vec{j}$ du point B dû au moment fléchissant ?

## brevet 052 : Déplacement pour une poutre en flexion dû à l'effort tranchant dans le cas de la cinématique 3 (avec voilement de la section droite)

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Formules de Bresse* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.15$ m dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.02(s + 1)$ m dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $\vec{AH} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ et global $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré, et une force à l'extrémité B dans la direction $\vec{j}$ implique que l'effort tranchant $T_y = 1000$ N et un moment fléchissant $Mf_z(s) = 1000(l-s)$ N.m. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \ 10^{11}$ Pa, son coefficient de Poisson est $\nu = 0.3$.

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points, les éventuels repères locaux, les liaisons et les chargements.

Quel est le déplacement dans la direction $\vec{j}$ du point B dû à l'effort tranchant dans le cas de la cinématique 3 ?

## brevet 053 : Déplacement pour une poutre en flexion dû à l'effort tranchant dans le cas de la cinématique 2

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Formules de Bresse* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.15$ m dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.02(s + 1)$ m
dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $A\vec{H} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ et global $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré, et une force à l'extrémité B dans la direction $\vec{j}$ implique que l'effort tranchant $T_y = 1000$ N et un moment fléchissant $Mf_z(s) = 1000(l-s)$ Nm. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \ 10^{11}$ Pa, son coefficient de Poisson est $\nu = 0.3$..

Quel est le déplacement dans la direction $\vec{j}$ du point B dû à l'effort tranchant dans le cas de la cinématique 2 ?

## brevet 054 : Déformation mesurée sur une poutre en traction

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution.

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Exemple d'utilisation : sollicitation de traction* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.015$ m dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.02(s+1)$ m dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $A\vec{H} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ et global $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré, et une force à l'extrémité B implique que l'effort normal dans toute la poutre est $N = 1000$ N. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \ 10^{11}$ Pa, son coefficient de Poisson est $\nu = 0.3$.

Si une jauge de déformation est collée sur la surface libre de normale $+\vec{j}$ dans la section droite du point H d'abscisse $s = 0.2$ m, quelle est la déformation mesurée si la jauge est collée dans la direction $\vec{i}$ ? Même question si elle est collée dans la direction $\vec{k}$ ?

## brevet 055 : Déformations mesurées sur une poutre en flexion

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution.

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.15$ m dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.02(s+1)$ m dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $A\vec{H} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ et global $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré, et une force à l'extrémité B dans la direction $\vec{j}$ implique que l'effort tranchant $T_y = 1000$ N et un moment fléchissant $Mf_z(s) = 1000(l-s)$ Nm. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \ 10^{11}$ Pa, son coefficient de Poisson est $\nu = 0.3$..

Si une jauge de déformation est collée sur la surface libre de normale $+\vec{j}$ dans la section droite du point H d'abscisse $s = 0.2$ m, quelle est la déformation mesurée si la jauge est collée dans la direction $\vec{i}$ ?

## brevet 056 : Le principe de superposition est-il applicable ?

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution.

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Résolution par superposition* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.015$ m dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.02$ m dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $A\vec{H} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ et global $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré. Un premier chargement est constitué d'une force à l'extrémité B $\vec{F}_1 = 100\vec{j}$. Un second chargement est constitué d'une force à l'extrémité B $\vec{F}_2 = -1000\vec{j}$. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \ 10^{11}$ Pa.
Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points, les éventuels repères locaux, les liaisons et les chargements.

En calculant le déplacement en bout de poutre, dites si les hypothèses du principe de superposition sont vérifiées dans ce cas ?

## brevet 057 : Énergie de déformation

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Résolution par superposition* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.15$ m dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.02$ m dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $\vec{AH} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ et global $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré. Un chargement est constitué d'une force à l'extrémité B $\vec{F}_2 = 100\vec{j}$ N. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \cdot 10^{11}$ Pa.

Quelle est l'énergie de déformation $W_{int}$ contenue dans la poutre ?

## brevet 058 : Réciprocité

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Théorème de réciprocité de Maxwell-Betti* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.015$ m dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.02$ m dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $\vec{AH} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ et global $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré. Un chargement 1 est constitué d'une force à l'extrémité B $\vec{F}_1 = 100\vec{j}$ N. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \cdot 10^{11}$ Pa. Sous cette charge, le déplacement en milieu de poutre (point C) est $u_C = 0.0139$ m. Le chargement 1 est enlevé. Une seconde charge $\vec{F}_2 = 50\vec{j}$ N est appliquée au point C.

Quelle est le déplacement au point B sous cette seconde charge ?

## brevet 059 : Castigliano

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Théorème de Castigliano* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.015$ m dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.02$ m dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $\vec{AH} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ et global $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré. Un chargement est constitué d'une force à l'extrémité B $\vec{F}_2 = 100\vec{j}$ N. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \cdot 10^{11}$ Pa.

Quel est le déplacement du point B dans la direction de la force qui lui est appliqué ?
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 1.3: Curseurs d'un pied à coulisse</figcaption></figure>

brevet 060 : détermination de la valeur moyenne d'un exposant d'une relation non linéaire

auteur : JM Génevaux ; ressource : [5] ; autoattribution .

Soit des grandeurs *a* et *b* dont on cherche à déterminer l'exposant de la fonction théorique qui passe au mieux des mesures expérimentales (*a*ᵢ, *b*ᵢ) : (0.25,0.69), (0.32,0.73), (0.41,0.78), (0.52,0.83), (0.67,0.89), (0.86,0.96), (1.10,1.03), (1.41,1.10).

Si la loi théorique testée est $b = a^c$, quelle est la valeur moyenne de c ?

brevet 060 bis: détermination de la valeur moyenne d'un exposant d'une relation non linéaire

auteur : JM Génevaux ; ressource : [5] ; autoattribution .

Soit des grandeurs *a* et *b* dont on cherche à déterminer l'exposant de la fonction théorique qui passe au
mieux des mesures expérimentales (*a*ᵢ, *b*ᵢ) : (0.25,0.39), (0.32,0.46), (0.41,0.53), (0.52,0.61), (0.67,0.70),
(0.86,0.80), (1.10,0.92), (1.41,1.04).

Si la loi théorique testée est $b = c + a^d$, quelle est la valeur moyenne de d ? (Vous pouvez optimiser c
afin de minimiser la dispersion des points autours de la droite des moindres carrés).

brevet 061 : Mesure avec un pied à coulisse

auteur : JM Génevaux ; ressource : [5] ; autoattribution .

Soit une mesure de longueur à l'aide d'un pied à coulisse, telle que montrée sur la figure 1.3.

Quelle est la longueur mesurée ?

brevet 061 bis : Mesures avec un pied à coulisse

auteur : JM Génevaux ; ressource : [5] ; attribution par un détenteur du brevet 061 bis .

Vous tirez dans une enveloppe, une longueur que vous devez régler sur le Pied à coulisse. Vous demandez à un détenteur du brevet 061 bis de vérifier votre réglage. Vous faite cela trois fois de suite..
brevet 062 : Choix de l'échantillonage de points de mesures

auteur : JM Génevaux ; ressource : [5] ; autoattribution .

Soit un système qui implique une relation entre une grandeur *a* et une grandeur *b*. Les valeurs admis-
sibles de *a* par le système sont comprises entre $a_{mini} = 0$ et $a_{maxi} = 12$. Pour simuler le comportement
du système (que vous n'avez pas entre les mains pour faire ce brevet), supposons que la relation entre *b*
et *a* que vous cherchez à mesurer expérimentalement est : $b = 2 + 3a^3 - \sqrt{1/(a+1)}$.

Dans quel ordre ordonnez-vous les réglages de *a* ?

brevet 062bis : Choix de l'échantillonage de points de mesures

auteur : JM Génevaux ; ressource : [5] ; autoattribution .

Soit un système qui implique une relation entre une grandeur *a* et une grandeur *b*. Les valeurs admissibles par le système sont $a_{mini} = 0$ et $a_{maxi} = 12$. Pour simuler le comportement du système (que vous n'avez pas entre les mains pour faire ce brevet), supposons que la relation entre *b* et *a* que vous cherchez à mesurer expérimentalement est : $b = 2 + 0,3a^3 - a^2 + \frac{1}{a-6,01}$.

Dans quel ordre ordonnez-vous les réglages de *a* ?

brevet 063 : Présentation dans un tableau de points de mesures,
et de grandeurs calculées

auteur : JM Génevaux ; ressource : [5] ; autoattribution .

Soit un système qui implique une relation entre une grandeur *a* et une grandeur *b* et vous souhaitez présenter la grandeur *c* = *a*/*b*. Les données sont données par des couples (*a*ᵢ, *b*ᵢ) : (0.45,1234.6) et (0.98,2454.9) lorsque les couples sont exprimés en (m,A).

Faire le tableau présentant ces résultats de *a*, *b* et *c*.

brevet 064 : Présentation dans un graphe de points de mesures

auteur : JM Génevaux ; ressource : [5] ; autoattribution .

Soit un système qui implique une relation entre une grandeur *a* et une grandeur *b*. Les données sont données par des couples (*a*ᵢ, *b*ᵢ) : (0.45,1234.6), (0.98,2454.9) et (1.3,3234.7) lorsque les couples sont exprimés en (m,A).

Faire le graphe présentant ces résultats de *b* en fonction de *a*.

brevet 064bis : Présentation dans un graphe de points de mesures

auteur : JM Génevaux ; ressource : [5] ; autoattribution .

Soit un système qui implique une relation entre une grandeur *a* et une grandeur *b*. Les données sont données par des couples (*a*ᵢ, *b*ᵢ) : (1,4.00), (2,4.04), (4,4.43), (8,5.07), (16,5.90), (32,6.92) et (64,8.16) lorsque les couples sont exprimés en (m,A).

Faire le graphe présentant ces résultats de *b* en fonction de *a*.
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 1.4: Une poutre en pivot, avec un ressort.</figcaption></figure>

brevet 065 : Coefficients de la droite des moindres carrés associée
à des mesures expérimentales (1ière version)

auteur : JM Génevaux ; ressource : [5] ; autoattribution .

Soit un système qui implique une relation entre une grandeur *a* et une grandeur *b*. Les données sont données par des couples (*a*ᵢ, *b*ᵢ) : (0.45,1234.6), (0.98,2454.9) et (1.3,3234.7) lorsque les couples sont exprimés en (m,A).

Quelles sont les valeurs *p* et *c* de la droite des moindres carrés du modèle *b* = *pa* + *c* ?

brevet 066 : Coefficients de la droite des moindres carrés associés
à des mesures expérimentales (2nd version)

auteur : JM Génevaux ; ressource : [5] ; autoattribution .

Soit un système qui implique une relation entre une grandeur *a* et une grandeur *b*. Les données sont données par des couples (*a*ᵢ, *b*ᵢ) : (-3,26), (-2,11), (-1,2), (2,13), (4,47) et (5,74) lorsque les couples sont exprimés en (m,A).

Quels sont les valeurs *p* et *c* de la droite des moindres carrés du modèle *b* = *pa* + *c* ?

brevet 067 : déformée d'une poutre articulée est liée à un ressort,
formules de Bresse

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7] ; auto-attribution .

Soit le problème plan d'une poutre de section *S* de moment quadratique *I*<sub>Gz</sub>, de module d'Young *E*, de masse volumique *ρ*, formée de deux tronçons droits AB et BC, telles que *A*(0, 0), *B*(0, *b*), *C*(*b*, *b*) dans le repère (*A*, **X**, **Y**) (voir figure 1.4). Le point A est en liaison appui simple avec le référentiel, et le point B est lié avec le référentiel par un ressort rigidité *k* agissant dans la direction **X**.

Calculez la déformée du système sous une charge ponctuelle $F\vec{Y}$ en C. On pourra adimensionnaliser la solution en posant l'abscisse curviligne du point G1 adimensionnelle $sg1a = sg1/b$ ($sg1$ distance entre G1 et A, la rigidité adimensionnelle du ressort $ka = k/(F/b)$, la rigidité adimensionnelle en flexion de la fibre moyenne $eia = E * Igz/(Fb^2)$, la rigidité adimensionnelle en traction de la fibre moyenne $esa = E * S/F$,
### Dispersions en tournage (dressage de face)

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 1.5: Dressage d'une face au tour.</figcaption></figure>

le déplacement adimensionnel du point G1 dans la direction $\vec{X}$ sera noté ug1xa. Faites les calculs pour les valeurs ka = 10, eia = 10, esa = 10.

## brevet 068 : chaîne de cote

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; auto-attribution.

Lors du dressage de la face, telle que représentée figure 1.5, la distance $d_1$ entre la surface dressée et la surface de référence dépend des qualités des appuis et de certaines distances de la machine.

Tracez la chaîne de cote associée à cette distance $d_1$.

## brevet 069 : Equations associées à une chaîne de cote

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; auto-attribution.

Lors du dressage de la face, la distance $d_1$ entre la surface dressée et la surface de référence dépend des cotes et des qualités de contacts telles que représentés figure 1.21.

Donnez l'équation liant $d_1$ aux autres cotes. Donnez l'expression des valeurs maxi et mini ($d_{1M}$ et $d_{1m}$).
<table><caption>Figure 1.6: Les dispersions dépendent du type de surface et du type de contact.</caption><thead><tr><th colspan="4">Dispersions dues à l'usure de l'outil</th></tr><tr><td colspan="4">Valeurs variables suivant notamment la nature de l'outil, la nature de la pièce, les conditions de coupe, le temps de coupe.</td></tr><tr><th colspan="4">Dispersions dues aux prises de pièces (mm)</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">surface d'appui de la pièce</td><td rowspan="3">brute</td><td>moulée au sable</td><td>0,4</td></tr><tr><td>moulée en coquille</td><td>0,2</td></tr><tr><td>sciée</td><td>0,1 à 0,4</td></tr><tr><td colspan="2"></td><td>usinée</td><td>0,02 à 0,1</td></tr><tr><th colspan="4">Dispersions dues aux butées de course (mm)</th></tr><tr><td>type de butée</td><td>ébauche</td><td>finition</td></tr><tr><td>fixe</td><td>0,04 à 0,08</td><td>0,02 à 0,04</td></tr><tr><td>debrayage mécanique</td><td>0,1 à 0,2</td><td>0,05 à 0,1</td></tr><tr><td>débrayage électrique</td><td>0,05 à 0,1</td><td>0,03 à 0,05</td></tr><tr><th colspan="4">Dispersions dues aux porte-plèces (mm)</th></tr><tr><td>Mandrin 3 mors durs</td><td></td><td>0,1 à 0,2</td></tr><tr><td>Mandrin 3 mors doux</td><td></td><td>0,02 à 0,04</td></tr><tr><td>centre cylindrique</td><td rowspan="4">dispersion de coaxialité</td><td>fonction du jeu</td></tr><tr><td>centre quelconque</td><td>0,02 à 0,04</td></tr><tr><td>rondelles Ringspann</td><td>0,01 à 0,02</td></tr><tr><td>expansibles</td><td>0,01 à 0,02</td></tr><tr><td colspan="3">Valeurs courantes données à titre de première estimation</td></tr></tbody></table>

## brevet 070 : Incertitudes sur une cote de fabrication

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; auto-attribution .

Lors du dressage de la face, la distance $d_1$ entre la surface dressée et la surface de référence dépend des cotes et des qualités de contacts telles que représentés figure 1.21. La chaîne de cote associée fournit l'équation $d_1 = d_2 + d_{12} + d_3 + d_4 + d_5 + d_6 - d_7 - d_8 - d_9 - d_{10} - d_{11}$.

A partir du tableau présenté figure 1.6, donnez la valeur de l'incertitude en dessous de laquelle la cote $d_1$ ne peut pas être réalisée sur cette machine. On fera cette estimation dans le cas d'une petite série.

## brevet 071 : Gamme d'usinage

auteur : S Deslandes ; ressource : [6] ; auto-attribution .

Le bureau d'étude transmet au bureau des méthodes le dessin de définition d'une pièce (fig. 1.7).

Dessiner la gamme de fabrication si l'ordre d'obtention des surfaces est 4 puis 1 puis 2 puis 3.

## brevet 071 bis : Gamme d'usinage

auteur : S Deslandes ; ressource : [6] ; auto-attribution .

Le bureau d'étude transmet au bureau des méthodes le dessin de définition d'une pièce (fig. 1.7).

Dessiner la gamme de fabrication si l'ordre d'obtention des surfaces est 1 puis 4 puis 3 puis 2.

## brevet 072 : Répartition des intervalles de tolérance sur des cotes de fabrication

auteur : S Deslandes ; ressource : [6] ; auto-attribution .
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 1.7: Dessin de définition d'une pièce à fabriquer.</figcaption></figure>
Le bureau d'étude a transmis au bureau des méthodes le dessin de définition d'une pièce (fig. 1.7).
Ceci a donné lieu à une gamme de fabrication avec un ordre d'obtention des surfaces qui est 4 puis 1 puis
2 puis 3 (fig. 1.20.

Répartir les intervalles de tolérance sur les différentes cotes de fabrication.

brevet 072 bis : Répartition des intervalles de tolérance sur des cotes de fabrication

auteur : S Deslandes ; ressource : [6] ; auto-attribution .

Le bureau d'étude a transmis au bureau des méthodes le dessin de définition d'une pièce (fig. 1.7).
Ceci a donné lieu à une gamme de fabrication avec un ordre d'obtention des surfaces qui est 1 puis 4 puis
3 puis 2 (fig. 1.26.

Répartir les intervalles de tolérance sur les différentes cotes de fabrication.

brevet 073 : Choix d'une procédure de fabrication

auteur : S Deslandes ; ressource : [6] ; auto-attribution .

Le bureau d'étude a transmis au bureau des méthodes le dessin de définition d'une pièce (fig. 1.7).
Ceci a donné lieu à deux gammes de fabrication avec un ordre d'obtention des surfaces différents (fig.
1.20 et donc des intervalles de tolérances différents sur les cotes de fabrications (fig. ?? pour la gamme 1
et 1.26 pour la gamme 2).

Quelle est la gamme de fabrication a choisir.

brevet 074 : Le principe de superposition est-il applicable ? (version 2)

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; auto-attribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe Résolution par superposition
et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de
section droite rectangulaire de largeur $b = 0.015$ m dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.02$ m dans la
direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $\vec{AH} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$
et global $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré. Un premier chargement est constitué d'une force à
l'extrémité B $\vec{F}_1 = 1000\vec{i}$. Un second chargement est constitué d'une force à l'extrémité B $\vec{F}_2 = -100\vec{j}$.
Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \ 10^{11}$ Pa.

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points, les éventuels repères locaux, les liaisons et les chargements.

En calculant le moment en A dans la configuration de référence et dans la configuration déformée,
dites si les hypothèses du principe de superposition sont vérifiées dans ce cas ?

brevet 075 : Démarche générale de résolution d'un problème de déplacement en théorie des poutres

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; auto-attribution .
Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Résolutions de problèmes* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un crochet fixé au plafond, représenté par une poutre en acier de diamètre *d*, composé d'un segment droit reliant les points *A* et *B*, puis d'un segment d'arc de cercle de rayon *r* reliant les points *B* et *C*. On appellera *O* le centre du cercle. Les coordonnées des points dans un repère (*O*, *i*, *j*) sont $A(0, r+l), B(0, r), C(0, -r), D(-r, 0)$. Une force $\vec{F} = -F\vec{j}$ est exercée en *C*.

Donnez la démarche pour calculer le déplacement du point *C* (ne pas faire les calculs).

## brevet 076 : Démarche générale de résolution d'un problème de contrainte en théorie des poutres

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Méthode de calcul : détermination des limites d'élasticité* et de regarder les vidéos afférentes.

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *2nd cinématique* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un crochet fixé au plafond, représenté par une poutre en acier de diamètre *d*, composé d'un segment droit reliant les points *A* et *B*, puis d'un segment d'arc de cercle de rayon *r* reliant les points *B* et *C*. On appellera *O* le centre du cercle. Les coordonnées des points dans un repère (*O*, *i*, *j*) sont $A(0, r+l), B(0, r), C(0, -r), D(-r, 0)$. Une force $\vec{F} = -F\vec{j}$ est exercée en *C*.

Donnez la démarche pour calculer le point le plus sollicité entre *A* et *D* (ne pas faire les calculs).

## brevet 077 : Démarche générale de résolution d'un problème hyperstatique en théorie des poutres

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Résolution de systèmes hyperstatiques - extérieurement* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un crochet fixé au plafond, représenté par une poutre en acier de diamètre *d*, composé d'un segment droit reliant les points *A* et *B*, puis d'un segment d'arc de cercle de rayon *r* reliant les points *B*, *C*, *D* et *E*. On appellera *O* le centre du cercle. Les coordonnées des points dans un repère (*O*, *i*, *j*) sont $A(0, r+l), B(0, r), C(r, 0), D(0, -r), E(-r, 0)$. Une force $\vec{F} = -F\vec{j}$ est exercée en *D*. Le point *C* (qui touche le mur latéral) est en liaison appui sur rouleau de normale $C(-i)$.

Donnez la démarche pour calculer le déplacement du point *D* (ne pas faire les calculs).

## brevet 078 : Identification de poutres parmi des objets manufac-turés

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *De l'élasticité à la théorie des poutres* et de regarder les vidéos afférentes.
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 1.8: Un bureau plein d'objets manufacturés (pas de remarque sur le rangement... merci !)</figcaption></figure>

Déterminez parmi les objets présents sur la figure 1.8, au moins 6 objets qui soient modélisables par une poutre, ou dont une partie est modélisable par une poutre.

## brevet 079 : déplacement d'une poutre en flexion pure

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

On suppose que la mat de l'éolienne représentée figure 1.9 n'est soumise qu'au couple des pales sur la génératrice. On néglige le poids propre de la structure, les actions de trainée du vent sur le mat et sur les pales. Si l'on suppose que le mat est de section circulaire creuse, de diamètre extérieur $d = 2$ m sur toute la hauteur $h = 40$ m, que l'épaisseur du tube en acier est $e = 0.05$ m, que le couple exercé est $C = 6.34 \times 10^5$ N.m (puissance 2MW, et rotation de 30 tours/min),

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points, les éventuels repères locaux, les liaisons et les chargements.

Quel est le déplacement en bout de mat dû à ce couple, en supposant l'encastrement du mat dans le sol parfait.

## brevet 080 : contrainte sur une poutre en torsion sans correction de cisaillement

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6], paragraphe .

Soit une poutre de section droite carrée de coté $a = 10$ mm. Elle est soumise à un couple $C = 12$ N.m.

Quelles sont les valeurs des contraintes de cisaillement $\sigma_1$ et $\sigma_2$, respectivement au milieu d'une des faces latérales et sur une arrête de deux faces latérales si aucune correction en cisaillement n'est considérée ?
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 1.9: Quelques éoliennes</figcaption></figure>

brevet 081 : contrainte sur une poutre en torsion

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6], paragraphe .

Soit une poutre de section droite carré de coté a = 10 mm. Elle est soumise à un couple C = 12 N.m.

Quelles sont les valeurs des contraintes de cisaillement σ₁ et σ₂, respectivement au milieu d'une des faces latérales et sur une arrête de deux faces latérales en prenant en compte une correction en cisaillement ?
brevet 082 : angle d'une poutre en torsion

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6], paragraphe .

Soit une poutre en acier de section droite carré de coté $a = 10$ mm. Elle est soumise à un couple $C = 12$ N.m.

Quelle est la longueur de cette poutre pour que sous ce couple, l'une des extrémités tourne d'un tour complet par rapport à l'autre extrémité. Vous ne prendrez pas en compte la correction en cisaillement.

brevet 083 : directions principales d'une section droite

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6], paragraphe .

Soit une poutre en acier de section droite en forme de "L" chaque branche du "L" ayant une longueur $a = 10$ mm et une épaisseur $e = 1$ mm.

Quelles sont les directions principales de cette section droite ?

brevet 084 : Incertitude composée et covariance

auteur : JM Génevaux et S VERHAEGHE ; ressource : [6], paragraphe .

Soit une série de plaque qui ont été découpées sur une même machine. On mesure les deux dimensions $a$ et $b$ dans le plan moyen de cette plaque. On obtient les couple en (m,m) : (1.23,2.34), (1.18,2.17), (1.25,2.32), (1.30,2.41), (1.19,2.21) et (1.21,2.25). Soit $s = ab$ l'aire de la surface de ces plaques.

Quelle est la valeur moyenne de $s$ et l'incertitude élargie $\Delta \bar{s}$ avec un taux de confiance de 95% ?

brevet 085 : Détection statistique d'une valeur aberrante lors de
la détermination d'une valeur moyenne

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6], paragraphe .

Soit un jeu de points expérimentaux ($a_i$) qui sont des masses de pièces sortant d'une machine de production. Les valeurs en kg sont 4.63, 4.62, 4.78, 4.23, 4.56, 4.56, 4.63, 4.72 et 4.56. Les incertitudes sur la grandeur $a$ ne sont pas connues.

Quelles sont les valeurs $a_i$ à considérer aberrantes au seuil de signification $\alpha = 10\%$ ?

brevet 086 : Détection statistique d'une valeur aberrante lors de
la détermination d'une relation linéaire

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6], paragraphe .

Soit un jeu de points expérimentaux ($a_i, b_i$) exprimés en (kg,V) tels que : (1,0.84), (1.3,1.19), (1.7,1.5), (2,1.91), (2.5,2.5), (3,1.75), (4,3.95), (4.2,4.22) et (4.3,4.5). Les incertitudes sur les grandeurs $a$ et $b$ ne sont pas connues.

Existe-t-il un ou plusieurs points aberrants au seuil de signification $\alpha = 5\%$ ? Si oui, lesquels ?
brevet 087 : passage d'un spectre en bande fine en un spectre en 1/3 d'octave

auteurs : B Brouard et JM Génevaux ; ressource : [?], paragraphe .

Un spectre de perte par tranmission en dB est mesuré en bande fines sur une échelle logarithmique en fréquences. Les données sont disponibles en (Hz,dB) sur le fichier *fleur* accessible par UMTICE :
http://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php?id=403

Quel est le niveau en bande de 1/3 d'octave des pertes par transmission entre les bandes centrées sur 12.5 Hz à 400 Hz ?

brevet 088 : passage d'un spectre en bande fine en un spectre en
bande d'octave

auteurs : B Brouard et JM Génevaux ; ressource : [?], paragraphe .

Un spectre de perte par tranmission en dB est mesuré en bande fines sur une échelle logarithmique en fréquences. Les données sont disponibles sur le fichier *fleur* accessible par UMTICE :
http://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php?id=403

Quel est le niveau en bande d'octave des pertes par transmission entre les bandes centrées sur 16 Hz à 250 Hz ?

brevet 089 : Formule de Bresse et intégration

auteurs : B Brouard et JM Génevaux ; ressource : [?], paragraphe .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Formules de Bresse* et de regarder les vidéos afférentes.

Le problème est plan. Soit une poutre reliant les points A, B et D, qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0), (0,1,0,0) et (0,2,0,1,0) en m dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). On oriente la poutre de A vers D. Le point A est encastré, le point D chargé par une force $10\vec{i}$ N. La poutre est de section circulaire de diamètre $d = 0.005$ m, en acier de module de Young $E = 2.1 \ 10^{11}$ Pa.

Si l'on note $H_1$ un point courant de AB tel que $\vec{AH}_1 = s_1\vec{i}$, les composantes du torseur des efforts intérieurs sont $N_1 = 10$ N, $T_{y1} = 0$ N et $M_{fz1} = -1$ N.m.

Si l'on note $H_2$ un point courant de BD tel que $\vec{BH}_2 = s_2(\vec{i}/\sqrt{2} + \vec{j}/\sqrt{2})$ alors les composantes du torseur des efforts intérieurs sont $N_2 = 10/\sqrt{2}$ N, $T_{y2} = -10/\sqrt{2}$ N et $M_{fz2} = -(\sqrt{2} - 10s_2)/\sqrt{2}$ N.m.

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points, les éventuels repères locaux, les liaisons et les chargements.

Quel est le déplacement du point D exprimé dans la base ($\vec{i}, \vec{j}$) ?

brevet 090 : Réalisation expérimentale de liaisons et de charge-
ments

auteurs : JM Génevaux ; ressource : [6], paragraphe .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Torseurs de chargement* et de regarder les vidéos afférentes.
Le problème est plan. Soit une poutre reliant les points A, B, qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0) et (l,0,0) dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Le point A est encastré, le point B chargé par une force $-F\vec{j}$ (avec $F > 0$).

Réalisez ce système à l'aide d'un spaghetti, deux parallélépipèdes et votre doigt.

## brevet 090 bis : Réalisation expérimentale de liaisons et de chargements

auteurs : JM Génevaux ; ressource : [6], paragraphe .

Le problème est plan. Soit une poutre reliant les points A, B et C, qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0), (l/3,0,0) et (l,0,0) dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Le point A est en appuis sur rouleau de normale $\vec{j}$, le point B chargé par une force $-F\vec{j}$ (avec $F > 0$), le point C est sur un appui sur rouleau de normale $\vec{j}$.

Réalisez ce système à l'aide d'un spaghetti, deux cylindres et votre doigt.

## brevet 090 ter : Réalisation expérimentale de liaisons et de chargements

auteurs : JM Génevaux ; ressource : [6], paragraphe .

Le problème est plan. Soit une poutre reliant les points A, B et C, qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0), (l/3,0,0) et (l,0,0) dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Le point A est encastré, le point B chargé par un couple $-C\vec{k}$ (avec $C > 0$), le point C est sur un appui sur rouleau de normale $\vec{j}$.

Réalisez ce système à l'aide d'un spaghetti, deux parallélépipèdes, d'un cylindre et votre doigt.

## brevet 091 : Détection expérimentale d'un système hyperstatique

auteurs : JM Génevaux ; ressource : [6], paragraphe .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Formation à la compétence marron de statique des poutres* et de regarder les vidéos afférentes.

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *isostaticité - hyperstaticité* et de regarder les vidéos afférentes.

Le problème est plan. Soit une poutre reliant les points A, B, C et D, qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0), (l/3,0,0), (2l/3,0,0) et (l,0,0) dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Les points A B et D sont sur des appuis sur rouleau de normale $\vec{j}$, le point C chargé par une force $-F\vec{j}$ (avec $F > 0$).

Réalisez ce système à l'aide d'un spaghetti, trois cylindres de diamètres différents et votre doigt. La pesanteur suffit-elle pour que le contact au point A, B et D ait lieu quelque soit la valeur de $F$ ?

## brevet 092 : Réalisation expérimentale d'un système isostatique associé à un système hyperstatique

auteurs : JM Génevaux ; ressource : [6], paragraphe .
Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *isostaticité - hyperstaticité* et de regarder les vidéos afférentes.

Le problème est plan. Soit une poutre reliant les points A, B, C et D, qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0), (l/3,0,0), (2l/3,0,0) et (l,0,0) dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Les points A B et D sont sur des appuis sur rouleau de normale $\vec{j}$, le point C chargé par une force $-\vec{f}\vec{j}$ (avec $F > 0$).

Si on considère la réaction au point A comme hyperstatique, réalisez le système isostatique associé à l'aide d'un spagetti, deux cylindres de diamètres différents et deux doigts.

## brevet 093 : Comparaison expérimentale des moments quadra-tiques d'une poutre

auteurs : JM Génevaux ; ressource : [6], paragraphe .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Formules de Bresse* et de regarder les vidéos afférentes.

Le problème est plan. Soit une poutre reliant les points A, B et C, qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0), (l/2,0,0) et (l,0,0) dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Les points A et B sont sur des appuis sur rouleau de normale $\vec{j}$, le point C chargé par une force $-\vec{f}\vec{j}$ (avec $F > 0$).

La poutre est réalisée par le collage le long de leur génératrice de 8 spaguettis, tel que la section droite soit un assemblage de 4 x 2 spaguettis.

Les appuis sur rouleau sont réalisé par le contact entre la poutre et deux cylindres. Le chargement est réalisé par un doigt.

La rigidité de la structure est-elle plus grande lorsque la grande hauteur de la section droite (4 spaguettis) est parallèle au chargement ?

## brevet 094 : Comparaison expérimentale des moments polaires de deux poutres

auteurs : JM Génevaux ; ressource : [6], paragraphe .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Moment quadratique - rayon de giration - produit quadratique d'une aire plane* et de regarder les vidéos afférentes.

Le problème est plan. Soit deux poutres de fibres moyennes reliant les points A et B, qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0) et (l,0,0) dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Le point A est encastré et le point B est soumis à un couple $C\vec{i}$ (avec $C > 0$).

La première poutre est réalisée par le collage le long de leur génératrice de 7 spaguettis, tel que la section droite est représentée figure 1.10a. La seconde poutre est réalisée par le collage le long de leur génératrice de 6 spaguettis, tel que la section droite est représentée figure 1.10b. Pour les fabriquer, nous vous suggérons aux deux extrémités de la poutre, d'insérer un petit bout de spaguetti au centre tel que la longueur soit très inférieure à l : cela permettra de positionner les spaguettis.

L'encastrement et le couple sont appliqués à l'aide de vos mains.

Les rigidités en torsion des deux poutres sont-elles significativement différentes ?
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 1.10: Deux sections droites de poutre.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 1.11: Un montage de test de la dépendance de la rigidité à la cinématique possible de section droite.</figcaption></figure>

brevet 095 : Comparaison expérimentale des rigidités de deux plots en fonction de leur cinématiques possibles

auteurs : JM Génevaux ; ressource : [6], paragraphe .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Formules de Bresse* et de regarder les vidéos afférentes.

Le problème est plan tel que représenté figure 1.11. Soit deux poutres de fibres moyennes reliant les points A et B, qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0) et (0,l,0) dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Le point A est encastré et le point B est soumis à une force $-F\vec{j}$ (avec $F > 0$). Les poutres sont en caoutchouc, ou en flamby, ou en flan patissier maison. L'une d'elle est insérée dans un cylindre creux parfaitement ajusté et lubrifié, l'autre est libre de se dilater. Les forces égales sont réalisées en posant de façon bien symétrique une masse.

Après chargement, la masse est-elle inclinée (contractions différentes des deux plots) ?

brevet 096 : Déterminations expérimentales du lieu de déplacement maximal et du lieu de rupture

auteurs : JM Génevaux ; ressource : [6], paragraphe .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Formules de Bresse* et de regarder les vidéos afférentes.

Le problème est plan. Soit une poutre reliant les points A, B et C, qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0), (l/3,0,0) et (l,0,0) dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Le point A est encastré, le point B chargé par une force $-F\vec{j}$ (avec $F > 0$).
Expérimentalement, la poutre est réalisée avec un spaghetti, l'encastrement à l'aide de deux parallélépipèdes, le chargement par votre doigt.

Quel est le point de déplacement maximum ? Quel est le point où se produit la rupture ?

## brevet 096 bis : Déterminations expérimentales du lieu de déplacement maximal et du lieu de rupture

auteurs : JM Génevaux ; ressource : [6], paragraphe .

Le problème est plan. Soit une poutre reliant les points A, B et C, qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0), (l/3,0,0) et (l,0,0) dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Les points A et C sont sur des appuis sur rouleau de normale $\vec{j}$, le point B chargé par une force $-\vec{F}\vec{j}$ (avec $F > 0$).

Expérimentalement, la poutre est réalisée avec un spaguetti, les appuis sur rouleau à l'aide de deux cylindres, le chargement par votre doigt.

Quel est le point de déplacement maximum ? Quel est le point où se produit la rupture ?

## brevet 097 : Vérification expérimentales approximative du principe de superposition

auteurs : JM Génevaux ; ressource : [6], paragraphe .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Résolution par superposition* et de regarder les vidéos afférentes.

Le problème est plan. Soit une poutre reliant les points A, B, C et D qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0), (l/3,0,0), (l/2,0,0) et (l,0,0) dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Le point A est encastré, le point B chargé par une force $-\vec{F}_1\vec{j}$ (avec $F_1 > 0$), le point C chargé par une force $-\vec{F}_2\vec{j}$ (avec $F_2 > 0$).

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points, les éventuels repères locaux, les liaisons et les chargements.

Expérimentalement, la poutre est réalisée avec un spaghetti, l'encastrement à l'aide de deux parallélépipèdes, les chargements, en suspendant avec un fil un tube de tipex ou un stylo.

Mesurez le déplacement du point D sous le chargement en B dû au tipex, puis lorsque le chargement en C est dû au stylo, puis lorsque les deux chargements sont appliqués simultanément.

Le principe de superposition est-il vérifié approximativement ?

## brevet 097 bis : Vérification expérimentales approximative du théorème de Maxwell-Betti

auteurs : JM Génevaux ; ressource : [6], paragraphe .

Le problème est plan. Soit une poutre reliant les points A, B et C qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0), (l/3,0,0) et (l,0,0) dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Le point A est encastré, le point B ou le point C peuvent être chargés par une force $-\vec{F}_1\vec{j}$ (avec $F_1 > 0$).

Expérimentalement, la poutre est réalisée avec un spaguetti, l'encastrement à l'aide de deux parallélépipèdes, les chargements, en suspendant avec un fil un tube de tipex.

Mesurez le déplacement du point C sous le chargement en B dû au tipex. Puis mesurez le déplacement du point B sous le chargement en C dû au tipex.

Les deux déplacements mesurés sont-ils approximativement les mêmes ?
brevet 098 : Détermination d'une incertitude de type A, avec un taux de confiance de 90%

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Théorème de réciprocité de Maxwell-Betti* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit la mesure d'une même grandeur *a* faite par répétabilité. Les valeurs mesurées successivement sont : 1.22, 1.24, 1.22, 1.25, 1.25, 1.23, 1.30, 1.23

Après avoir vérifié l'absence de point aberrant, quelle est la valeur moyenne $\bar{a}$ et son incertitude au taux de confiance de 90% ? Vous pouvez utiliser le tableur *incvalmoy.ods* ou *incvalmoy.sci*

brevet 099 : Nombre de chiffres significatifs

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe "Homogénéité, adimension-alisation" et de regarder les vidéos afférentes.

Quels sont le nombre de chiffres significatifs de $a = 23.3 \times 10^5$, $b = 1230$, $c = 0.054$, $d = 34.70$, $e = a * c$ et $f = d + c$ ?

brevet 101 : calcul d'une matrice de masse et de rigidité d'une structure discrète

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Soit la structure formée de masses discrètes astreintes à se déplacer uniquement sur l'axe horizontal voir figure 1.12. On notera $x_1, x_2, x_3$ les déplacements des masses de gauche à droite.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 1.12: Une structure discrète</figcaption></figure>

Calculez les matrices de masse et de rigidité.
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 1.13: Une structure discrète</figcaption></figure>

## brevet 101bis : calcul d'une matrice de masse et de rigidité d'une structure discrète

auteur : A Pagès ; ressource : [7], paragraphe .

Soit la structure formée de masses discrètes astreintes à se déplacer uniquement sur l'axe horizontal voir figure 1.13. On notera $x_1, x_2, x_3, x_4$ les déplacements des masses de gauche à droite.

Calculez les matrices de masse et de rigidité.

## brevet 102 : calcul d'un quotient de Rayleigh pour une structure discrète

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Soit la structure formée de masses discrètes astreintes à se déplacer uniquement sur l'axe horizontal voir figure 1.12

Si le mode de vibration est $\vec{v} = [1 \ 2 \ 1]^t$, calculez le coefficient de Rayleigh, et la pulsation propre associée.

Après obtention du résultat de la correction, si tu as écrit un code de calcul pour le résoudre, faire varier $\vec{v}$ pour tenter de trouver un coefficient de Rayleigh plus petit.

## brevet 102 bis : calcul d'un quotient de Rayleigh pour une structure discrète

auteur : A Pagès ; ressource : [7], paragraphe .

Soit la structure formée de masses discrètes astreintes à se déplacer uniquement sur l'axe horizontal voir figure 1.13

Si le mode de vibration est $\vec{v} = [1 \ 2 \ 1]^t$, calculez le coefficient de Rayleigh, et la pulsation propre associée.

## brevet 103 : calcul exact des fréquences propres d'une structure discrète

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Soit la structure formée de masses discrètes astreintes à se déplacer uniquement sur l'axe horizontal voir figure 1.12

Donnez les trois pulsations propres exactes de ce système.
brevet 104 : calcul exact des formes propres d'une structure discrète

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Soit la structure formée de masses discrètes astreintes à se déplacer uniquement sur l'axe horizontal
voir figure 1.12

Donnez les trois vecteurs propres exacts de ce système.

brevet 105 : projection dans un sous-espace de dimension moin-
dre, d'une structure discrète

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Soit la structure formée de masses discrètes astreintes à se déplacer uniquement sur l'axe horizontal
voir figure 1.12

On souhaite projeter ce problème dans un sous-espace engendré par les deux vecteurs :

$$
\bullet \vec{b}_1 = [1 \ 1.5 \ 2]^t
$$

$$
\bullet \vec{b}_2 = [1 - 0.1 - 0.5]^t
$$

Donnez les matrices de masse et de rigidité réduites.

brevet 105 bis : projection dans un sous-espace de dimension
moindre, d'une structure discrète

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Soit la structure formée de masses discrètes astreintes à se déplacer uniquement sur l'axe horizontal
voir figure 1.13

On souhaite projeter ce problème dans un sous-espace engendré par les deux vecteurs :

$$
\bullet \vec{b}_1 = [1 \ 1.5 \ 2 \ 1]^t
$$

$$
\bullet \vec{b}_2 = [1 - 0.1 - 0.5 \ 1]^t
$$

Donnez les matrices de masse et de rigidité réduites.

brevet 106 : poutre continue, conditions aux limites et fonctions
de base

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Soit la structure suivante : une poutre droite d'axe $\vec{x}$, de section $S$, de moment quadratique $I_{gz}$, de masse volumique $\rho$, de module d'Young $E$, de longueur $l$, reposants en $x = 0$ sur un appui simple et en $x = l$ sur un appui sur rouleau de normale $\vec{y}$, supportant en son milieu une masse concentrée $m$. On souhaite calculer le premier mode propre de cette structure.

1. Des trois fonctions de forme suivantes, laquelle vous semble la plus adaptée pour un calcul par la méthode de Rayleigh ? Pourquoi ?

$$
\bullet \Psi_a(x) = 4 \frac{x}{l} \left(1 - \frac{x}{l}\right)
$$

$$
\bullet \Psi_b(x) = \sin\left(\frac{\pi x}{l}\right)
$$

$$
\bullet \Psi_c(x) = \frac{x}{l} \left(3 - 4\left(\frac{x}{l}\right)^2\right)
$$

2. Calculez les pulsations propres $\omega_i$ associées à chaque $\Psi_i$.
brevet 106 bis

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7] ; auto-attribution .

Seule la question 3 est relative au cours de dynamique des structures par des méthodes approchées. Vous pouvez donc admettre les deux premières questions.

Soit le problème plan d'une poutre de section $S$ de moment quadratique $I_{Gz}$, de module d'Young $E$, de masse volumique $\rho$, formée de deux tronçons droits AB et BC, tels que $A(0, 0)$, $B(0, b)$, $C(b, b)$ dans le repère $(A, \vec{X}, \vec{Y})$ (voir figure 1.4). Le point A est en liaison appui simple avec le référentiel, et le point B est lié avec le référentiel par un ressort rigidité $k$ agissant dans la direction $\vec{X}$.

La déformée du système sous une charge ponctuelle $F\vec{Y}$ en C peut être calculée. Adimensionalisée, en posant l'abscisse curviligne du point G1 adimensionnelle $sg1a = sg1/b$ ($sg1$ distance entre G1 et A, la rigidité adimensionnelle du ressort $ka = k/(F/b)$, la rigidité adimensionnelle en flexion de la fibre moyenne $eia = E*Igz/(Fb^2)$, la rigidité adimensionnelle en traction de la fibre moyenne $esa = E*S/F$, le déplacement adimensionnel du point G1 dans la direction $\vec{X}$ sera noté $ug1xa$, et pour les valeurs $ka = 10$, $eia = 10$, $esa = 10$, les déplacements sont

* pour le point G1 :

* $ug1xa = -\frac{sg1a}{12} - \frac{sg1a^3}{60}$,

* $ug1ya = \frac{sg1a}{10}$,

* $ome1 = \frac{1}{12} + \frac{sg1a^2}{20}$

* pour le point G2 : $ug2xa = \frac{1}{10}$,

* $ug2ya = \frac{1}{10} + \frac{2}{15}sg2a - \frac{1}{60}sg2a^2(\text{sg2a} - 3)$,

* $ome2 = \frac{2}{15} - \frac{1}{20}sg2a(-2 + sg2a)$

Pour les mêmes valeurs de paramètres adimensionnels, calculez par Rayleigh la valeur du carré de la première pulsation propre ($\omega^2$) avec la déformée statique décrite ci-dessus. Vous ferez le calcul en négligeant les inerties de rotation, l'énergie de déformation due à l'effort tranchant, mais prendrez en compte les deux composantes de vitesse et l'énergie de déformation due à l'effort normal et au moment fléchissant. Vous pourrez utiliser le fait que $E/(\rho b^2) = \omega_0^2$ est homogène au carré d'une pulsation. Quelle aurait été la valeur de $\omega^2$ lorsque vous négligez l'énergie de déformation due à l'effort normal.

brevet 107 : Premier mode d'une structure continue 1D coudée

Soit une poutre reliant les points A, B et C par deux segments de droite de longueurs respectives $l$ et $l/2$ (Fig. 1.14). Le module de Young de cette poutre est $E$, son moment quadratique par rapport à un axe perpendiculaire à la figure est $I$, sa masse volumique est $\rho$ et l'aire de sa section droite est $S$.

On notera $f_1(s_1)$ la fonction de déplacement transverse sur le segment AB, avec $s_1$ repérant la distance entre A et un point courant $H_1$ de la poutre. Au point B, conserver l'orthogonalité implique que le segment BC subit une fonction de déplacement $f'_1(l)s_2 + f_2(s_2)$ avec $s_2$ repérant la distance entre B et un point courant $H_2$ de la poutre.

Si l'on prend pour $f_1(s_1)$ et $f_2(s_2)$ les fonctions polynomiales les plus simples possibles, telles que le déplacement vertical de B soit $f_1(l) = \alpha$ et que le déplacement horizontal de C comporte le terme $f_2(l/2) = \alpha/4$, quelle est la pulsation propre de cette poutre calculée par Rayleigh ?

brevet 108

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe ; auto-attribution .
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 1.14: Une poutre cantilever coudée.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 1.15: une poutre cantilever avec une masselotte en bout</figcaption></figure>

On souhaite calculer le premier mode d'une poutre droite d'axe $\vec{X}$, de rigidité équivalente en flexion EI, de masse linéique $\rho S$ encastrée en $x = 0$ et supportant a son extrémité ($x = b$), une masselotte $m$ (figure 1.15).

1) Calculer le torseur des efforts intérieurs en un point G de coordonnée $x_G$, si cette poutre est soumise à une densité linéique de charge $p(x)$ dans le direction $\vec{Y}$, et à une force concentrée $F$ dans le direction $\vec{Y}$ en $x = b$.

2) Donner la formule donnant le déplacement transverse $v\vec{Y}$ d'un point G, suite à ce chargement.

3) Nous utiliserons la méthode de la puissance itérée pour déterminer le premier mode propre. Pour faciliter les calculs et les écritures, on adimensionnalisera le problème avec : $x_g = x_{ga}b$, $m = m_a\rho Sb$, $EI = \gamma\rho Sb^4$. On initialisera avec la fonction de forme : $\Psi_1(x_{ga}) = x_{ga}$. On calculera dans l'ordre : le coefficient de Rayleigh associé, les forces d'inertie dues à $\Psi_i(x_{ga})$, le champs de déplacement engendré pas ces forces $\psi_i(i + 1)(x_{ga})$. 4) Observer la convergence des résultats en dessinant les formes propres $\Psi_i(x_{ga})$, ainsi que les différences $\Psi_{i+1}(x_{ga}) - \Psi_i(x_{ga})$, pour $m_a = 1$ et $\gamma = 10$.

brevet 109 : comparaison de Rayleigh -Ritz et Rayleigh

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7] ; auto-attribution .

Pourquoi la méthode de Rayleigh -Ritz utilisée pour la détermination de la plus basse fréquence propre d'un système discret, et qui utilise deux vecteurs de base $\vec{V}_1$ et $\vec{V}_2$, peut être plus précise que la méthode de Rayleigh qui utiliserait successivement ces deux mêmes vecteurs $\vec{V}_1$ et $\vec{V}_2$?
brevet 110

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

On souhaite calculer les vibrations d'un bras d'éolienne de type Darrius dans le plan (O, $\vec{x}_0$, $\vec{y}_0$). Elle est constituée d'un bras OA et d'une pale BAC. Les deux poutres sont de masse volumique ρ, d'aire de section droite S, de rigidité en flexion EI$_{Gz}$. La première poutre droite OA est encastrée en O et telle que OA = 1$\vec{x}_0$ (longueur unitaire). La seconde poutre droite BAC est en rotation autour de l'axe A$\vec{z}_0$ et telle que BA = $l_1$$\vec{y}_1$, AC = $l_2$$\vec{y}_1$, avec le vecteur $\vec{y}_1$ faisant un angle θ avec le vecteur $\vec{y}_0$. Un ressort de rigidité k en A relie le bras à la pale et s'oppose à la rotation α.

L'étude dynamique sous les actions du vent en considérant la structure formée de solides indéformables a été menée par un étudiant de 3ième année en 1999-2000. Une étude simplifiée a été l'objet de l'examen de mécanique générale de 1999-2000. Nous nous intéressons à la prise en compte des déformations de flexion des structures poutres pour calculer les fréquences de vibration autour d'une position moyenne définie par un angle d'inclinaison de pale θ.

1. Calculer la vitesse d'un point P appartenant à la pale, si l'on cherche des vibrations de structure du type ($\phi_1\sin(\omega t)$, $\phi_2\sin(\omega t)$, $\alpha\sin(\omega t)$), avec $\phi_1(s_1)$ la fonction de forme du bras, $\phi_2(s_2)$ la fonction de forme de la pale, $\alpha$ l'angle de rotation en A de la pale par rapport au bras. On exprimera le résultat dans la base ($\vec{x}_1$, $\vec{y}_1$), on prendra l'origine de $s_1$ en O, l'origine de $s_2$ en A.

2. Calculer l'énergie cinétique du bras $T_1$, et celle de la pale $T_2$.

3. Calculer l'énergie de déformation du bras $V_1$, et celle de la pale $V_2$, et celle dans le ressort $V_3$.

4. Calculez la fréquence propre par la méthode de Rayleigh. Vous préciserez parmi les fonctions polynomiales vos choix de $\phi_1(s_1)$, $\phi_2(s_2)$, $\alpha$ et vos motivations.

5. Dans le cas où les paramètres de structure sont tels que $\theta = 0, l_1 = 1/2, l_2 = 1/4$, donnez l'expression de $\omega^2$ en fonction de $\gamma = (EI_{Gz})/(\rho S)$, $\beta = k/(EI_{Gz})$.

6. S'il vous reste des paramètres, comment trouver les valeurs optimales ?

7. Que dire lorsque k tend vers l'infini ?

brevet 111

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

On souhaite calculer les vibrations d'une structure dans le plan (O, $\vec{x}_0$, $\vec{y}_0$). Elle est constituée d'une masse $m_1$ en translation rectiligne dans la direction $\vec{x}_0$, reliée au repère galiléen par un ressort de rigidité k (voir figure 1.16). On souhaite effectuer un équilibrage dynamique de cette structure, en lui ajoutant une structure de masse plus faible (de l'ordre de 10% de la masse $m_1$). Cette structure d'équilibrage est une poutre droite de direction $\vec{y}_0$, de masse volumique ρ, d'aire de section droite S, de rigidité en flexion EI$_{Gz}$, encastrée dans la masse $m_1$, et de longueur unitaire.

1. Calculer la vitesse d'un point P appartenant à la poutre. On posera $\phi(y)\sin(\omega t)$, la fonction de forme du bras par rapport au repère galiléen (et non par rapport à la masse $m_1$ en translation). On prendra l'origine de la poutre en y = 0, et si nécessaire, on orientera la poutre dans le sens des y croissants. (1 points)

2. Sous une charge $F\vec{x}_0$ en bout de poutre, la fonction de déformée statique pourrait être calculée (ne le faites pas). Quelle critique pouvez-vous apporter au choix d'une fonction propre sous cette forme pour le calcul de la première fréquence propre par Rayleigh ? (3 points)

3. On décide d'utiliser la méthode de Rayleigh-Ritz pour résoudre le problème. Expliquer succinctement celle-ci et son intérêt. (3 points)
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 1.16: équilibrage dynamique d'une structure</figcaption></figure>

4. Choisir deux fonctions propres polynomiales que vous noterez $\phi_1(y)$ et $\phi_2(y)$. (2 points)

5. Calculez les matrices de masse et de rigidité généralisées. (4 points)

6. Faites apparaître les grandeurs adimensionnelles du problème, en prenant comme référence la masse $m_1$, la pulsation $\omega_0 = \sqrt{k/m_1}$. On posera $\gamma = (EI_{Gz})/(\rho S\omega_0^2)$, $m = \rho S/m_1$. Ecrire sous forme matricielle le système que doivent vérifier les coordonnées généralisées $q_i$ ($q_i$ est associée à la forme propre $\phi_i(y)$). Vous ne calculerez pas le déterminant donnant les pulsations propres de la structure. (3 points)

7. Comment aurait-on pu résoudre ce problème par sous-structuration ? (6 points)

brevet 112 : critères de choix de la fonction test

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Pour trouver par Rayleigh, la première pulsation propre d'une poutre droite de masse linéique $\rho S$, de longueur $l$, encastrée à l'une de ses extrémités, et portant à l'autre une masse ponctuelle $m$ (voir figure 1.15). On pourra utiliser la variable adimensionnelle $\tilde{m} = \frac{m}{\rho S l}$. Vous utiliseriez successivement :

* une fonction de forme $\psi(s) = s$

* une fonction de forme $\psi(s) = s^2$

* une fonction de forme obtenue par le calcul de la déformée statique sous une charge en bout de poutre

* une fonction de forme obtenue par le calcul de la déformée statique sous une charge linéique transverse $f(s) = s^2$

Justifiez vos refus et vos choix.

brevet 113 : structure continue, éolienne

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

On souhaite calculer les vibrations d'un bras d'éolienne de type Darrius dans le plan $(O, \vec{x}_0, \vec{y}_0)$. Elle est constituée d'un bras $OA$ et d'une pale $BAC$. Les deux poutres sont de masse volumique $\rho$, d'aire de section droite $S$, de rigidité en flexion $EI_{Gz}$. La première poutre droite OA est encastrée en O et telle que $OA = 1\vec{x}_0$ (longueur unitaire). La seconde poutre droite BAC est en rotation autour de l'axe $A\vec{z}_0$ et
<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Figure 1.17: Portique</figcaption></figure>

telle que BA = $l_1\vec{y}_1$, AC = $l_2\vec{y}_2$, avec le vecteur $\vec{y}_1$ faisant un angle $\theta$ avec le vecteur $\vec{y}_0$. Un ressort de rigidité $k$ en A relie le bras à la pale et s'oppose à la rotation $\alpha$.

L'étude dynamique sous les actions du vent en considérant la structure formée de solides indéformables a été menée par un étudiant de 3ième année de l'Ecole Nationale Supérieure d'Electricité et de Mécanique en 1999-2000. Une étude simplifiée a été l'objet de l'examen de mécanique générale de 1999-2000. Nous nous intéressons à la prise en compte des déformations de flexion des structures poutres pour calculer les fréquences de vibration autour d'une position moyenne définie par un angle d'inclinaison de pale $\theta$.

On souhaite aborder ce calcul par éléments finis en flexion. On supposera les matrices de masse élémentaire $M^e$ et de rigidité élémentaire $K^e$ connues. On notera $v_i$ le déplacement transverse du noeud $i$, et $\psi_i$ sa rotation.

1. Combien de noeud au minimum faut-il pour décrire ce problème ? Les dessiner.

2. Dans le cas où l'angle $\theta = \Pi/2$, assembler la matrice de masse globale, ainsi que la matrice de rigidité globale dans le cas où le ressort est de raideur nulle. On notera $M_{ij}^e$, la matrice de masse élémentaire de l'élément reliant le noeud $i$ au noeud $j$.

3. Comment prendre en compte le ressort dans la matrice de rigidité globale ?

4. Comment prendre en compte les conditions aux limites en $O$ ?

## brevet 114: coefficient de Rayleigh d'une structure continue avec un ressort

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Donnez l'expression du coefficient de Rayleigh (ne pas faire les intégrales) pour une structure (figure 1.17) formée de deux poutres de masse linéique $\rho S$, de rigidité de flexion $EI_{gz}$, de couleur grise, de section droite rectangulaire $bh$, et liée à son extrémité par un ressort de rigidité $k$.

## brevet 115 : calcul par méthode itérative de la première pulsation propre pour une structure discrète

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Soit la structure formée de masses discrètes astreintes à se déplacer uniquement sur l'axe horizontal voir figure 1.12. Montrer la convergence de la pulsation propre obtenue par Rayleigh, lorsque l'on utilise la méthode itérative. Vous initialiserez le calcul avec un vecteur déplacement non optimisé : $\vec{x} = [1, 0, 0]^t$
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure 1.18: Une structure discrète.</figcaption></figure>

## brevet 115 bis : calcul par méthode itérative de la première pulsation propre pour une structure discrète

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Soit la structure formée de masses discrètes astreintes à se déplacer uniquement sur l'axe horizontal voir figure 1.13.

Montrer la convergence de la pulsation propre obtenue par Rayleigh lorsque l'on utilise la méthode itérative et donner le vecteur propre à convergence. Vous initialiserez le calcul avec un vecteur déplacement non optimisé : $\vec{v}_{test} = [1, 0, 0, 0]^t$.

## brevet 115 ter : calcul par méthode itérative de la première pulsation propre pour une structure discrète

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Soit la structure formée de masses discrètes astreintes à se déplacer uniquement sur l'axe vertical voir figure 1.18.

Montrer la convergence de la pulsation propre obtenue par Rayleigh lorsque l'on utilise la méthode itérative et donner le vecteur propre à convergence. Vous normerez ce vecteur en mettant sa dernière composante égale à 1.

## brevet 116 : calcul par méthode itérative de la seconde pulsation propre pour une structure discrète

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Soit la structure formée de masses discrètes astreintes à se déplacer uniquement sur l'axe horizontal voir figure 1.12. Montrer la convergence de la seconde pulsation propre obtenue par Rayleigh, lorsque l'on utilise une méthode itérative. Vous initialiserez le calcul avec un déplacement non optimisé : $\vec{x} = [1, 0, 0]^t$. La première pulsation propre est $\omega = .5600135572\sqrt{k/m}$, de vecteur propre $\vec{v}_1 = [0.789\ 1.06\ 1.000]^t$.
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure 1.19: Poutre articulée avec masselotte et rigidité extérieure.</figcaption></figure>

brevet 117 : calcul par Rayleigh de la première fréquence propre d'une structure mixte (continue et discrète)

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Le problème est dans le plan (x, y). Soient 4 points A, B, C, D de coordonnées respectives (0, 0), (a, 0), (2a, 0), (4a, 0).
Soit une poutre droite de rigidité EI<sub>gz</sub>, de masse volumique ρ, de section droite S, reliant les points A, B, C, D (voir figure 1.19). Cette poutre,

* est liée en A au référentiel galiléen par une liaison appui simple (rotation autour de $\vec{z}$ possible, deux translations bloquées)

• porte en B une masse concentrée m,

* est liée en C au référentiel galiléen par un ressort de rigidité k agissant dans la direction $\vec{y}$

Nous souhaitons évaluer la première pulsation propre par la méthode de Rayleigh, en prenant comme fonction test $\psi(x) = \alpha + \beta \frac{x}{a} + \gamma (\frac{x}{a})^2 + \delta (\frac{x}{a})^3$.

• a) expliquez pourquoi il est judicieux de prendre $\alpha = 0$

• b) expliquez pourquoi il est judicieux de prendre $\gamma = 0$

• c) expliquez pourquoi il est alors judicieux de poser $\tilde{\beta} = \frac{\beta}{\delta}$

* d) donnez l'expression de la pulsation propre obtenue par Rayleigh en fonction de $\tilde{m} = \frac{m}{\rho S4a}$, $\tilde{k} = \frac{ka^3}{EI_{gz}}$, $\omega_0^2 = \frac{EI_{gz}}{\rho S a^4}$, $\tilde{\beta}$.

* e) dans le cas où $\tilde{m} = 1$, $\tilde{k} = 1$, quelle est la valeur de $\tilde{\beta}$ qui fournit la meilleure approximation de la pulsation propre du système ? Pourquoi ?

* f) dans ce cas, quelle est la pulsation propre obtenue. Vous l'exprimerez en fonction de $\omega_0$ et d'un nombre réel.

brevet 118 : Calcul exact de la sensibilité d'un vecteur propre à un paramètre d'un modèle

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours *Dynamique des structure 1, JC Pascal* ; autoattribution .

Soit deux masses m1 et m2 assujetties à ne se déplacer que suivant l'axe x. m1 est liée au référentiel galiléen par un ressort de rigidité k1. m1 et m2 sont reliées entre elles par un ressort de rigidité k2. Les positions relatives des masses, par rapport à leur position d'équilibre sont notées x1 et x2.

Calculez de façon analytique exacte, la sensibilité du premier vecteur propre, par rapport à la rigidité k1, dans le cas où m1 = 1, m2 = 2, k1 = 2 et k2 = 3.
brevet 119 : Calcul numérique de la sensibilité d'un vecteur pro-
pre à un paramètre d'un modèle

auteur : JM Génevaux ; ressource : [4], paragraphe 2.6 p24 ; autoattribution .

Soit deux masses m1 et m2 assujetties à ne se déplacer que suivant l'axe $\vec{x}$. m1 est liée au référentiel galiléen par un ressort de rigidité k1. m1 et m2 sont reliées entre elles par un ressort de rigidité k2. Les positions relatives des masses, par rapport à leur position d'équilibre sont notées x1 et x2.

Calculez de façon numérique, la sensibilité du premier vecteur propre, par rapport à la rigidité k1, dans le cas où m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, k1 = 2 N/m et k2 = 3 N/m.

brevet 120 : Calcul élément fini de la répartition des contraintes
dans une poutre cantilever de section rectangulaire dont la hau-
teur est variable

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] cours de modélisation, travaux pratiques de modélisation, N Joly, ; autoattribution .

Soit une poutre droite de longueur $l = 1m$, encastré en un point $A(0,0)$ et chargée en un point $B(1,0)$ par une force $\vec{F} = -1\vec{y}$. La largeur de cette poutre dans la direction $\vec{z}$ est $b = 0.01$, l'épaisseur de cette poutre dans la direction $\vec{y}$ est linéairement décroissante : en $A h_1 = 0.05m$ et en $B, h_2 = 0.01m$. Le module d'Young est $E = 2.1e11Pa$.

Le calcul se fera sous rdm6, avec deux éléments de type poutre de section constante le long de cet élément.

Quelle est l'évolution le long de la poutre, de la contrainte $\hat{\sigma}$ sur la fibre supérieure ?

brevet 121 : Calcul de l'indicateur d'écart en énergie entre un
champs de contrainte lissé et un champs élément fini discontinu

auteur : JM Génevaux ; ressource : [4], ; autoattribution .

Soit une poutre droite de longueur $l = 1m$, encastré en un point $A(0,0)$ et chargée en un point $B(1,0)$ par une force $\vec{F} = -1\vec{y}$. La largeur de cette poutre dans la direction $\vec{z}$ est $b = 0.01$, l'épaisseur de cette poutre dans la direction $\vec{y}$ est linéairement décroissante : en $A h_1 = 0.05m$ et en $B, h_2 = 0.01m$. Le module d'Young est $E = 2.1e11Pa$.

Le calcul fait sous rdm6, avec deux éléments de type poutre de section constante le long de cet élément fournit l'évolution le long de la poutre, de la contrainte $\hat{\sigma}$ sur la fibre supérieure.

Si l'on pose $\sigma_0 = \frac{6Fl}{bh_1^2}$, $\tilde{x} = x/l$, $\tilde{h} = h_2/h_1$, $\tilde{\sigma} = \hat{\sigma}/\sigma_0$,

Pour $\tilde{x}$ compris entre 0 et 0.5 :

$$
\hat{\sigma} = \frac{1}{0.24} (0.375 + (0.188 - 0.375)\tilde{x}) \quad (1.5)
$$

Pour $\tilde{x}$ compris entre 0.5 et 1 :

$$
\hat{\sigma} = \frac{1}{0.24} \left( 0.75 + (0. - 0.75) \frac{\tilde{x} - 1}{0.5 - 1} \right) \quad (1.6)
$$

Pour avoir une idée du niveau d'erreur due à la discrétisation, il faut calculer un champs de contrainte $\sigma^*$ lissé, ne faisant plus apparaître les discontinuités de contrainte aux noeuds.

* Calculez l'indicateur d'écart en énergie entre ce champs lissé et le champs élément fini, pour chaque élément.

* Précisez sur lequel des deux éléments, il faut porter l'effort de discrétisation.
brevet 122 : Comparaison des indicateurs d'écart en énergie basé
sur le champs de contrainte lissé et le champs de contrainte exact

auteur: JM Génevaux; ressource: [4]; autoattribution.

Pour le problème du brevet 119,

• le champs de contrainte exact est donné par

$$
\tilde{\sigma} = \frac{1 - \tilde{x}}{(1 + (\tilde{h} - 1)\tilde{x})^2}. \qquad (1.7)
$$

• le champs de contrainte élément fini discontinu est donné par, Pour $\tilde{x}$ compris entre 0 et 0.5 :

$$
\hat{\sigma} = \frac{1}{0.24} (0.375 + (0.188 - 0.375)\tilde{x}) \quad (1.8)
$$

Pour $\tilde{x}$ compris entre 0.5 et 1 :

$$
\hat{\sigma} = \frac{1}{0.24} \left( 0.75 + (0. - 0.75) \frac{\tilde{x} - 1}{0.5 - 1} \right) \quad (1.9)
$$

• l'indicateur d'écart en énergie basé sur le champs de contrainte lissé donne:

$$
-e_1^2 = 0.0190 \, \text{Ebl} \text{ soit } 20\% \text{ de la somme}
$$

$$
-e_2^2 = 0.0762 \, \text{Ebl} \text{ soit } 80\% \text{ de la somme}
$$

Calculez pour chaque élément, l'indicateur d'écart en énergie basé sur le champs de contrainte exact.
L'effort de raffinement porte-t-il sur le même élément ?

brevet 123 : Calcul de la matrice MAC entre les résultats d'un
modèle et d'une expérience

auteur: JM Génevaux ; ressource : [4], paragraphe 4.1 ; autoattribution .

Le système à deux masses modélisé lors du brevet 118 nous a fourni les vecteurs propres analytiques :

$$
\phi_{m1} = [.4264014327, .6396021490]^t \qquad (1.10)
$$

$$
\phi_{m2} = [-.9045340338, .3015113446]^t \quad (1.11)
$$

L'expérience a été menée sur cette structure à l'aide d'un marteau d'impact et d'un accéléromètre positionné sur l'une des masses. Aucune indication particulière n'est fournie dans le rapport sur la masse de cet accéléromètre ni son positionnement. Les vecteurs propres mesurés sont :

$$
\phi_{e1} = [.4212016219, .6057572905]^t \qquad (1.12)
$$

$$
\phi_{e2} = [-.6994682700, .3647713046]^t \quad (1.13)
$$

Calculez la matrice MAC de ces deux familles de vecteurs propres.

brevet 124 : Calcul de la matrice de MAC modifiée entre les résultats d'un modèle et d'une expérience

auteur: JM Génevaux ; ressource : [4] paragraphe 4.2 ; autoattribution .

Le système à deux masses modélisé lors du brevet 118 nous a fourni les vecteurs propres analytiques :

$$
\phi_{m1} = [.4264014327, .6396021490]^t \qquad (1.14)
$$

$$
\phi_{m2} = [-.9045340338, .3015113446]^t \quad (1.15)
$$
L'expérience a été menée sur cette structure à l'aide d'un marteau d'impact et d'un accéléromètre positionné sur l'une des masses. Aucune indication particulière n'est fournie dans le rapport sur la masse de cet accéléromètre ni son positionnement. Les vecteurs propres mesurés sont :

$$ \phi_{e1} = [.4212016219, .6057572905]^t \qquad (1.16) $$

$$ \phi_{e2} = [-.6994682700, .3647713046]^t \qquad (1.17) $$

Calculez la matrice MAC (modifiée par la matrice de masse du modèle) de ces deux familles de vecteurs propres.

Que dire des termes hors diagonale.

## brevet 125 : L'amortissement est-il proportionnel ?

auteur : JM Génevaux ; ressource : [4], paragraphe 2.4, ; autoattribution .

Soit deux masses $m1 = 1$ kg et $m2 = 2$ kg assujetties à ne se déplacer que suivant l'axe $\vec{x}$. $m1$ est liée au référentiel galiléen par un ressort de rigidité $k1 = 2$ N/m. $m1$ et $m2$ sont reliées entre elles par un ressort de rigidité $k2 = 3$ N/m et un amortisseur visqueux de constante $c$. Les positions relatives des masses, par rapport à leur position d'équilibre sont notées $x1$ et $x2$.

L'amortissement de ce système à deux degrés de liberté est-il proportionnel ?

## brevet 126 : Calcul exact des vecteurs propres d'un système non conservatif à deux degrés de liberté

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], ; autoattribution .

Soit deux masses $m1 = 1$ kg et $m2 = 2$ kg assujetties à ne se déplacer que suivant l'axe $\vec{x}$. $m1$ est liée au référentiel galiléen par un ressort de rigidité $k1 = 2$ N/m. $m1$ et $m2$ sont reliées entre elles par un ressort de rigidité $k2 = 3$ kg.m$^{-1}$ et un amortisseur visqueux de constante $c = 2$ Ns/m. Les positions relatives des masses, par rapport à leur position d'équilibre sont notées $x1$ et $x2$.

Calculez de façon analytique exacte, les pulsations propre complexe et les vecteurs propres complexes associés, normés par rapport à la matrice de masse $M$.

## brevet 127 : Calcul exact des vecteurs propres d'un système conservatif à deux degrés de liberté

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], ; autoattribution .

Soit deux masses $m1$ et $m2$ assujetties à ne se déplacer que suivant l'axe $\vec{x}$. $m1$ est liée au référentiel galiléen par un ressort de rigidité $k1$. $m1$ et $m2$ sont reliées entre elles par un ressort de rigidité $k2$. Les positions relatives des masses, par rapport à leur position d'équilibre sont notées $x1$ et $x2$.

Calculez de façon analytique exacte, les pulsations propres et les vecteurs propres normés par rapport à la matrice de masse $M$, dans le cas où $m1 = 1$ kg, $m2 = 2$ kg, $k1 = 2$ N/m et $k2 = 3$ N/m.

## brevet 128 : Passage d'un mode complexe à un mode réel

auteur : JM Génevaux ; ressource : [fris99], paragraphe 4.4, ; autoattribution .

Soit deux masses $m1 = 1$ kg et $m2 = 2$ kg assujetties à ne se déplacer que suivant l'axe $\vec{x}$. $m1$ est liée au référentiel galiléen par un ressort de rigidité $k1 = 2$ N/m. $m1$ et $m2$ sont reliées entre elles par un ressort de rigidité $k2 = 3$ N/m et un amortisseur visqueux de constante $c = 2$ Ns/m. Les positions relatives des masses, par rapport à leur position d'équilibre sont notées $x1$ et $x2$.
Les pulsations propres complexes et les vecteurs propres complexes associés sont :

$$ \omega_{m1} = (0.735 + 0.048i) s^{-1}; \phi_{m1} = \begin{bmatrix} 0.586 + 0.107i \\ 0.803 \end{bmatrix} \text{ m.} $$

$$ \omega_{m2} = (2.510 + 0.583i)s^{-1}; \phi_{m2} = \begin{bmatrix} 0.457 + 0.083i \\ 0.626 \end{bmatrix} \text{ m.} $$

Calculer les vecteurs propres réels associés par la méthode d'amplitude et de la transformation complexe T. Comparez via les matrices de MAC, les résultats avec les modes obtenus sur la structure sans amortissement (brevet 127).

## brevet 129 : Réduction statique (de Guyan) d'un système conservatif à deux degrés de liberté

auteur : JM Génevaux ; ressource : [4] ; autoattribution .

Soit deux masses $m1$ et $m2$ assujetties à ne se déplacer que suivant l'axe $\vec{x}$. $m1$ est liée au référentiel galiléen par un ressort de rigidité $k1$. $m1$ et $m2$ sont reliées entre elles par un ressort de rigidité $k2$. Les positions relatives des masses, par rapport à leur position d'équilibre sont notées $x1$ et $x2$. Pour $m1 = 1$, $m2 = 2$, $k1 = 2$ et $k2 = 3$, les matrices de masse $M$ et de rigidité $K$, sont données par,

$$ M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \qquad (1.18) $$

$$ K = \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 3 \end{bmatrix} \qquad (1.19) $$

Construire les matrices de masse et de rigidité réduites, par la méthode de réduction statique, en prenant comme degré de liberté maître $x_2$. Donnez la pulsation et le vecteur propre normé obtenu. Le vecteur propre sera exprimé dans la base de départ.

## brevet 130 : Réduction dynamique d'un système conservatif à deux degrés de liberté

auteur : JM Génevaux ; ressource : [4], paragraphe 4.4.2 ; autoattribution .

Soit deux masses $m1$ et $m2$ assujetties à ne se déplacer que suivant l'axe $\vec{x}$. $m1$ est liée au référentiel galiléen par un ressort de rigidité $k1$. $m1$ et $m2$ sont reliées entre elles par un ressort de rigidité $k2$. Les positions relatives des masses, par rapport à leur position d'équilibre sont notées $x1$ et $x2$. Pour $m1 = 1$ kg, $m2 = 2$ kg, $k1 = 2$ N/m et $k2 = 3$ N/m, les matrices de masse $M$ et de rigidité $K$, sont données par,

$$ M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \text{ kg} \qquad (1.20) $$

$$ K = \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 3 \end{bmatrix} \text{ N/m} \qquad (1.21) $$

Construire les matrices de masse et de rigidité réduites, par la méthode de réduction dynamique, en prenant comme degré de liberté maître $x_2$, et une pulsation de référence $\omega_0 = 0.8$. Donnez la pulsation et le vecteur propre normé obtenu. Une méthode itérative est-elle possible ?

## brevet 131 : Processus de réduction vers un système équivalent appliquée à un système conservatif à deux degrés de liberté

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours [4], paragraphe 4.4.4 ; autoattribution .
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Figure 1.20: Gammes d'usinage d'une pièce à fabriquer.</figcaption></figure>
Soit deux masses $m1$ et $m2$ assujetties à ne se déplacer que suivant l'axe $\vec{x}$. $m1$ est liée au référentiel galiléen par un ressort de rigidité $k1$. $m1$ et $m2$ sont reliées entre elles par un ressort de rigidité $k2$. Les positions relatives des masses, par rapport à leur position d'équilibre sont notées $x1$ et $x2$. Pour $m1 = 1$, $m2 = 2$, $k1 = 2$ et $k2 = 3$, les matrices de masse $M$ et de rigidité $K$, sont données par,

$$ M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \qquad (1.22) $$

$$ K = \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 3 \end{bmatrix} \qquad (1.23) $$

Le premier vecteur propre obtenu analytiquement est,

$$ \phi_1 = \begin{bmatrix} -0.3162277661 \\ -0.4743416491 \end{bmatrix} \qquad (1.24) $$

Construire les matrices de masse et de rigidité réduites, par la méthode SEREP, en prenant comme degré de liberté maître $x_2$. Donnez la pulsation et le vecteur propre normé obtenu.

## brevet 132 : Calcul exact de la répartition des contraintes dans une poutre cantilever de section rectangulaire dont la hauteur est variable

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6], ; autoattribution .

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, encastré en un point $A(0, 0)$ et chargée en un point $B(1, 0)$ par une force $\vec{F} = -1\vec{y}$ N. La largeur de cette poutre dans la direction $\vec{z}$ est $b = 0.01$ m, l'épaisseur de cette poutre dans la direction $\vec{y}$ est linéairement décroissante : en $A h_1 = 0.05$ m et en $B, h_2 = 0.01$ m. Le module d'Young est $E = 2.1e11$ Pa.

Quelle est l'évolution le long de la poutre, de la contrainte $\sigma$ sur la fibre supérieure ?

## brevet 133 : Système discret ou continu ? (version 1)

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6], ; autoattribution .

Soit une poutre droite $AB$ de longueur $l = 1$ m, encastré en un point $A(0, 0)$ et portant en un point $B(1, 0)$ un solide de masse $m$. La largeur de cette poutre dans la direction $\vec{z}$ est $b = 0.01$ m, l'épaisseur de cette poutre dans la direction $\vec{y}$ est $h = 0.01$ m. La masse de la poutre $m_p$ est 10 fois plus petites que la masse $m$.

Peut-on considérer pour la première fréquence de vibration, cette structure comme un système discret : une masse $m$ reliée au bâti par un ressort de rigidité $k$ ?

## brevet 134 : Energie cinétique d'une poutre et d'une masse ?

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours [6], ; autoattribution .

Soit une poutre droite $AB$ de longueur $l = 1$ m, encastré en un point $A(0, 0)$ et portant en un point $B(1, 0)$ un solide de masse $m$. La largeur de cette poutre dans la direction $\vec{z}$ est $b = 0.01$ m, l'épaisseur de cette poutre dans la direction $\vec{y}$ est $h = 0.01$ m. La masse de la poutre $m_p$ est 10 fois plus petites que la masse $m$. Si l'on considère que à la première pulsation propre $\omega$, la poutre se déforme suivant l'équation $y(x, t) = a(\frac{x}{l})^2 \cos(\omega t)$,

Quelles sont les énergies cinétiques $T_{poutre}$ de la poutre et $T_{masse}$ de la masse en bout de poutre ?
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure 1.21: Dressage d'une face au tour.</figcaption></figure>

brevet 135 : Relation pulsation-période ?

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], ; autoattribution .

Soit un système vibrant sinusoidalement avec une période $T = 3$ s.

Quelle est la pulsation $\omega$ associée ?

brevet 136 : Relation rotation-fréquence ?

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], ; autoattribution .

Soit un rotor tournant à la vitesse $\Omega = 1500$ tours / minutes déséquilibré. Le balourd crée une force centrifuge qui crée dans une direction une force sinusoidale à la fréquence $f$..

Quelle est la valeur de la fréquence $f$ lorsqu'elle est exprimée en Hz ?

brevet 137 : Harmonique

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], ; autoattribution .

Soit une poutre encastrée à l'une de ses extrémités et libre de l'autre. On écarte cette poutre de sa position initiale et on la lâche. Les oscillations que l'on mesure en bout de poutre comportent plusieurs
fréquences. La première est $f_1 = 14.2$ Hz, la seconde $f_2 = 88.8$ Hz et la troisième $f_3 = 250$ Hz.

La fréquence $f_2$ est-elle une harmonique de la fréquence $f_1$ ?

## brevet 138 : Sous-harmonique

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], ; autoattribution .

Soit une fine couche d'eau posée sur une plaque horizontale qui vibre. Si l'accélération de la plaque est suffisemment importante en amplitude, l'interface entre l'eau et l'air se déstabilise du fait de l'instabilité de Faraday. Si la fréquence d'oscillation de la plaque est $f_1 = 70$ Hz, on mesure que la lame d'eau vibre à la fréquence $f_2 = 35$ Hz.

La fréquence $f_2$ est-elle une sous-harmonique de la fréquence $f_1$ ?

## brevet 139 : Système discret ou continu ? (version 2)

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours ..., ; autoattribution .

Soit une poutre droite AB de longueur $l = 1$ m, est appuyée simplement sur ces deux extrémités $A(0, 0, 0)$ et $B(1, 0, 0)$. Les coordonnées sont données en mètres dans un repère $(A, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ orhonormé direct. Au centre $C(0.5, 0, 0)$ de cette poutre est fixée une masse $m$ ponctuelle. La largeur de cette poutre dans la direction $\vec{y}$ est $b = 0.01$ m, l'épaisseur de cette poutre dans la direction $\vec{z}$ est $h = 0.01$ m. La masse de la poutre $m_p$ est 10 fois plus petites que la masse $m$. On recherche la seconde fréquence propre de cette structure, qui comporte un noeud de vibration en son centre de symétrie.

Pour cette seconde fréquence de vibration, peut-on considérer cette structure comme un système discret ?

## brevet 140 : Système discret ou continu ? (version 3)

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours ..., ; autoattribution .

Soit une poutre droite AB de longueur $l = 1$ m, est appuyée simplement sur ces deux extrémités $A(0, 0, 0)$ et $B(1, 0, 0)$. Les coordonnées sont données en mètres dans un repère $(A, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ orhonormé direct. Au centre $C(0.5, 0, 0)$ de cette poutre est fixée une masse $m$ ponctuelle. La largeur de cette poutre dans la direction $\vec{y}$ est $b = 0.01$ m, l'épaisseur de cette poutre dans la direction $\vec{z}$ est $h = 0.01$ m. La masse de la poutre $m_p$ est 10 fois plus petites que la masse $m$. On recherche la première fréquence propre de cette structure, qui comporte un ventre de vibration en son centre de symétrie.

Pour cette première fréquence de vibration, peut-on considérer cette structure comme un système discret ?

## brevet 141 : Potentiel de dissipation et frottement visqueux.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours ..., ; autoattribution .

Soit un solide sur lequel agit une force extérieure $\vec{F}$ dont le module est proportionnel à la vitesse $\vec{v}$ du solide par rapport à un repère galiléen, et dans la direction opposée à cette vitesse. Lorsque la vitesse $v = 2$ ms$^{-1}$, la force extérieure est de module 10 N. Cette force dérive du potentiel de dissipation D.

A cette vitesse, quelle est la valeur de ce potentiel de dissipation ?
brevet 142 : Potentiel de dissipation et frottement sec.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours ..., ; autoattribution .

Soit un solide sur lequel agit une force extérieure $\vec{F}$ de frottement sec contre un autre solide dont le module est constant lorsque la vitesse de glissement $\vec{v}$ entre les deux solides est différente de 0. Cet effort est de direction opposée à cette vitesse. Lorsque la vitesse $v = 2 \text{ ms}^{-1}$, la force extérieure est de module 10 N.

Cette force dérive-t-elle d'un potentiel de dissipation ?

brevet 143 : Fréquence propre d'un système à 1 ddl de translation.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15] ; autoattribution .

Soit un solide de masse $m = 2 \text{ kg}$ guidé en translation dans la direction $\vec{x}$, et relié au repère galiléen par un ressort de rigidité $k = 8 \text{ Nm}^{-1}$.

Quelle est la fréquence propre $f$ de ce système ?

brevet 144 : Pulsation propre d'un système à 1 ddl de translation et pesanteur.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], ; autoattribution .

Soit un solide de masse $m = 2 \text{ kg}$ guidé en translation dans la direction $\vec{x}$, et relié au repère galiléen par un ressort de rigidité $k = 8 \text{ Nm}^{-1}$. L'axe $\vec{x}$ fait un angle $\theta$ avec la direction $\vec{x}_0$ de la pesanteur ($g = 9.81 \text{ ms}^{-2}$).

Sa pulsation propre dépent-elle de $\theta$ ?

brevet 145 : Phase du mouvement d'un système à 1 ddl de translation et pesanteur.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], ; autoattribution .

Soit un solide de masse $m = 2 \text{ kg}$ guidé en translation dans la direction $\vec{x}$, et relié au repère galiléen par un ressort de rigidité $k = 8 \text{ Nm}^{-1}$. Deux essais sont faits. Au premier essai, le solide est écarté de 0.1 m de sa position d'équilibre, et lâché sans vitesse initiale à $t_0 = 0 \text{ s}$. Au second essai, le solide n'est pas écarté de sa position initiale, mais lancé à la vitesse $v = 0.05 \text{ ms}^{-1}$ au temps $t_1 = 2,36 \text{ s}$.

Pour des supérieurs à $t_1$, les deux mouvements sont-ils en phase ? Ont-ils la même amplitude ?

brevet 146 : Inertie équivalente d'un système à 1 ddl.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], ; autoattribution .

Soit une crémaillère que l'on peut assimiler à un solide de masse $m = 2 \text{ kg}$ guidée en translation dans la direction $\vec{x}$, et l'engrenage d'inertie de rotation $J = 7 \text{ kgm}^2$ en contact avec la crémaillère. Le rapport entre la vitesse de rotation $\Omega$ de l'engrenage et la vitesse $v$ de translation de la crémaillère est de $\Omega/v = 5 \text{ m}^{-1}$.
Si une force agit sur la crémaillère, quelle est la masse apparente $m_{ap}$ du système à écrire dans l'équation de mouvement ? Si un couple agit sur l'engrenage, quel est le moment d'inertie $J_{ap}$ apparent du système à écrire dans l'équation de mouvement ?

brevet 147 : Nombre de ddl indépendants.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], ; autoattribution .

Soit une crémaillère que l'on peut assimiler à un solide de masse *m* guidée en translation dans la direction $\vec{x}$, et l'engrenage d'inertie de rotation *J* en contact avec la crémaillère. Le rapport $\Omega/v$ entre la vitesse de rotation $\Omega$ de l'engrenage et la vitesse *v* de translation de la crémaillère est fixée par le diamètre nominal de l'engrenage.

Ce système est-il modélisable par un système à un degré de liberté ?

brevet 148 : Sous-amortissement d'un système

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], ; autoattribution .

Soit un solide de masse $m = 2$ kg guidé en translation dans la direction $\vec{x}$, et relié au repère galiléen par un ressort de rigidité $k = 8$ Nm$^{-1}$ et un amortisseur visqueux de coefficient d'amortissement $c = 3$ kgs$^{-1}$.

Ce système est-il sous-amorti ?

brevet 149 : Pseudo-pulsation d'un système

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], ; autoattribution .

Soit un solide de masse $m = 2$ kg guidé en translation dans la direction $\vec{x}$, et relié au repère galiléen par un ressort de rigidité $k = 8$ Nm$^{-1}$ et un amortisseur visqueux de coefficient d'amortissement $c = 3$ kgs$^{-1}$.

Quelle est la pseudo pulsation $\omega_d$ de ce système sous-amorti ?

brevet 150 : Extraction du taux l'amortissement d'un système à partir de la réponse libre.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], ; autoattribution .

Soit un solide de masse $m = 2$ kg guidé en translation dans la direction $\vec{x}$, et relié au repère galiléen par un ressort de rigidité $k$ et un amortisseur visqueux de coefficient d'amortissement $c$. La réponse libre du système est présentée figure 1.22.

Quelle est le taux d'amortissement $\zeta$ de ce système ?

brevet 151 : Tracé dans le plan de Nyquist des frf déplacement/force, vitesse/force, accélération/force pour un système à 1 ddl amorti.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], ; autoattribution .
<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Figure 1.22: Réponse libre d'un système à un essai de lacher.</figcaption></figure>

Soit un solide de masse $m = 2$ kg guidé en translation dans la direction $\vec{x}$, et relié au repère galiléen par un ressort de rigidité $k = 8$ Nm$^{-1}$ et un amortisseur visqueux de coefficient d'amortissement $c = 0.5$ kgs$^{-1}$. Une force $F = 2 \cos(\omega t)$ N est appliquée à ce solide. On appelle $x(t) = X \cos(\omega t + \phi)$ le déplacement de la masse $m$. On peut faire correspondre les fonction complexes associées $\vec{F} = 2e^{i\omega t}$, $\tilde{X} = (X_r + iX_l)e^{i\omega t}$ avec et la réponse forcée du système peut être quantifiée par $H_d = \tilde{X}/\vec{F}$, $H_v = \tilde{X}/\vec{F}$ ou $H_a = \tilde{X}/\vec{F}$.

Tracez dans le plan de Nyquist ces 3 fonctions ?

brevet 152 : Silent-block.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15] chapitre 2, 1.4, ; autoattribution .

Soit un solide de masse $m = 2$ kg guidé en translation dans la direction $\vec{x}$, relié par un ressort de rigidité $k$ et un amortisseur visqueux de coefficient d'amortissement $c = 3$ kgs$^{-1}$ à un point A. Ce point A est soumis à un mouvement sinusoidal $y(t) = Y \cos(\omega t)$. On appelle $x(t) = X \cos(\omega t + \phi)$ le déplacement de la masse $m$..

Coment choisir $k$ pour que le rapport $X/Y$ soit inférieur à 0.1 à la fréquence de 50 Hz ?

brevet 153 : Oscillation(s) d'un système à 1ddl en présence de frottement sec.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15] chapitre 2, 2.1, ; autoattribution .

Soit un solide de masse $m = 2$ kg guidé en translation dans la direction $\vec{x}$, relié par un ressort de
rigidité $k = 5$ Nm$^{-1}$ et un amortisseur sec de coefficient de frottement $\mu = 0,03$ kgs$^{-1}$ et une force normale au contact sec $N = mg$ avec $g = 9,81$ ms$^{-2}$. On appelle $x(t)$ le déplacement de la masse $m$. Ce système est écarté de la position $x = 0$ pour laquelle le ressort est au repos, et laché sans vitesse initiale pour une position $x_0 = 0,2$ m.

Le système oscillera-t-il plusieurs fois ? A quelle position $x_{stop}$ s'arrêtera-t-il ?

## brevet 154 : Facteur de perte.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15] chapitre 2, 2.3, ; autoattribution .

Soit un solide de masse $m = 2$ kg guidé en translation dans la direction $\vec{x}$, relié par un ressort de rigidité $k = 5$ Nm$^{-1}$ et un amortisseur visqueux de coefficient d'amortissement $c = 3$ kgs$^{-1}$. Ce solide est soumis à une force sinusoidale à la pulsation $\omega = 1$ rad.s$^{-1}$.

Quel est le facteur de perte $\eta$ à la résonnance ? Quel est le facteur de perte $\eta_1$ à la pulsation $\omega$ ?

## brevet 155 : Homogénéité. Amortissement hystérétique.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15] chapitre 2, 2.3, ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe "Homogénéité, adimension-alisation" et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un solide de masse $m = 2$ kg guidé en translation dans la direction $\vec{x}$, relié par un ressort de rigidité $k = 5$ Nm$^{-1}$ et un amortisseur hystérétique de coefficient d'amortissement $\beta = 1$ ?? . L'énergie dissipée $\Delta E$ pendant un cycle d'amplitude $X$ de mouvement de la masse, est reliée au coefficient d'amortissement hystérétique par

$$ \Delta E = \pi k \beta X^2, \qquad (1.25) $$

Quelles sont les unités de mesures de $\beta$ dans le Système International ?

## brevet 156 : Amortissement et largeur de bande à -3dB.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15] chapitre 2, Application 5, ; autoattribution .

Soit un solide de masse $m$ kg guidé en translation dans la direction $\vec{x}$, relié par un ressort de rigidité $k$ Nm$^{-1}$ et un amortisseur visqueux de coefficient d'amortissement $c$. Le système est soumis à une force $F$ dont la fréquence varie pas à pas. Ceci permet de mesurer la fonction de réponse en fréquence $h_d$ ratio du déplacement et de la force.

A partir de la fonction de réponse en fréquence représentée figures 1.23 et 1.24, donnez par la méthode de largeur de bande à -3dB, le taux d'amortissement $\zeta$ de ce système ?

## brevet 157 : Parties réelles et imaginaires d'une frf déplacement/force pour un système à 1 ddl non amorti.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], ; autoattribution .

Soit un solide de masse $m = 2$ kg guidé en translation dans la direction $\vec{x}$, et relié au repère galiléen par un ressort de rigidité $k = 8$ Nm$^{-1}$. Une force $f(t) = F \cos(\omega t) = 2 \cos(\omega t)$ N est appliquée à ce
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Figure 1.23: Amplitude of the function of response in frequency : low-pass filter lineaire.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Figure 1.24: Amplitude of the function of response in frequency : low-pass filter in dB.</figcaption></figure>
solide. Si l'on appelle $x(t) = X \cos(\omega t)$ le déplacement de la masse $m$, la réponse forcée du système peut être quantifiée par $H_d = X/F$.

Tracez l'évolution des parties réelles et imaginaires de cette fonction de réponse en fréquence.

## brevet 158 : Réponse impulsionelle et essai de lâcher.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15] chapitre 1, 2.1 et chapitre 2, 3.1, ; autoattribution

Soit un solide de masse $m = 2$ kg guidé en translation dans la direction $\vec{x}$, et relié au repère galiléen par un ressort de rigidité $k = 8$ Nm$^{-1}$ et un taux d'amortissement $\zeta$. Deux essais peuvent être menés : a) un essais de lâcher sans vitesse initiale depuis une position $x_0 = 2$ m, et b) un impact par une force impulsionelle $F\delta(t_1)$ N, avec $\delta(t_1)$ la fonction de Dirac. On appelle $x_a(t) = Ae^{-\zeta\omega_0 t} \sin(\omega_d t + \phi_a)$ le déplacement de la masse $m$ sous l'essais a pour $t > 0$, et $x_b(t) = \frac{F}{m\omega_d}e^{-\zeta\omega_0 t} \sin(\omega_d(t-t_1))$ le déplacement de la masse $m$ sous l'essai b pour $t > t_1$.

Quelles sont les valeurs de $F$ et $t_1$ en fonction de $m$, $k$, $\zeta$ pour que les deux courbes se superposent à partir de l'instant $t_1$, avec l'hypothèse que $\zeta \ll 1$ ?

## brevet 159 : Identification des paramètre par lissage de cercle.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15] paragraphe 7.2.3, ; autoattribution .

Soit un solide de masse $m$ kg guidé en translation dans la direction $\vec{x}$, relié par un ressort de rigidité $k$ Nm$^{-1}$ et un amortisseur visqueux de coefficient d'amortissement $c$. Le système est soumis à une force $F$ dont la fréquence varie pas à pas. Ceci permet de mesurer la fonction de réponse en fréquence $h_d$ ratio du déplacement et de la force. Cette FRF est représentée par son Nyquist figures 1.25 et les valeurs sont les suivantes :
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Figure 1.25: Nyquist d'une fonction de réponse en fréquence.</figcaption></figure>

<table><thead><tr><th>ω</th><th>real(h<sub>d</sub>)</th><th>imag(h<sub>d</sub>)</th><th>ω</th><th>real(h<sub>d</sub>)</th><th>imag(h<sub>d</sub>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>0.00</td><td>0.125</td><td>0.0000</td><td>2.04</td><td>-0.282</td><td>-0.890</td></tr><tr><td>0.01</td><td>0.125</td><td>-0.000</td><td>2.05</td><td>-0.333</td><td>-0.843</td></tr><tr><td>0.02</td><td>0.125</td><td>-0.0001</td><td>2.06</td><td>-0.375</td><td>-0.793</td></tr><tr><td>0.03</td><td>0.125</td><td>-0.0002</td><td>2.07</td><td>-0.408</td><td>-0.741</td></tr><tr><td>...</td><td></td><td></td><td>2.08</td><td>-0.432</td><td>-0.689</td></tr><tr><td>1.79</td><td>0.477</td><td>-0.268</td><td>2.09</td><td>-0.450</td><td>-0.639</td></tr><tr><td>1.80</td><td>0.487</td><td>-0.288</td><td>2.10</td><td>-0.461</td><td>-0.591</td></tr><tr><td>1.81</td><td>0.496</td><td>-0.310</td><td>2.11</td><td>-0.468</td><td>-0.546</td></tr><tr><td>1.82</td><td>0.505</td><td>-0.334</td><td>2.12</td><td>-0.470</td><td>-0.504</td></tr><tr><td>1.83</td><td>0.514</td><td>-0.361</td><td>2.13</td><td>-0.469</td><td>-0.465</td></tr><tr><td>1.84</td><td>0.521</td><td>-0.390</td><td>2.14</td><td>-0.465</td><td>-0.429</td></tr><tr><td>1.85</td><td>0.527</td><td>-0.422</td><td>2.15</td><td>-0.460</td><td>-0.397</td></tr><tr><td>1.86</td><td>0.531</td><td>-0.457</td><td>2.16</td><td>-0.453</td><td>-0.367</td></tr><tr><td>1.87</td><td>0.533</td><td>-0.495</td><td>2.17</td><td>-0.444</td><td>-0.340</td></tr><tr><td>1.88</td><td>0.531</td><td>-0.536</td><td>2.18</td><td>-0.435</td><td>-0.315</td></tr><tr><td>1.89</td><td>0.526</td><td>-0.581</td><td>...</td><td></td><td></td></tr><tr><td>1.90</td><td>0.516</td><td>-0.628</td><td>2.97</td><td>-0.101</td><td>-0.015</td></tr><tr><td>1.91</td><td>0.500</td><td>-0.678</td><td>2.98</td><td>-0.100</td><td>-0.015</td></tr><tr><td>1.92</td><td>0.476</td><td>-0.730</td><td>2.99</td><td>-0.098</td><td>-0.015</td></tr><tr><td>1.93</td><td>0.445</td><td>-0.782</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1.94</td><td>0.406</td><td>-0.833</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1.95</td><td>0.356</td><td>-0.881</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1.96</td><td>0.298</td><td>-0.923</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1.97</td><td>0.231</td><td>-0.959</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1.98</td><td>0.158</td><td>-0.984</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1.99</td><td>0.080</td><td>-0.998</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>2.00</td><td>0.00</td><td>-1.00</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>2.01</td><td>-0.078</td><td>-0.988</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>2.02</td><td>-0.153</td><td>-0.965</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>2.03</td><td>-0.222</td><td>-0.932</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

A partir du Nyquist, donnez le taux d'amortissement $\zeta$, la rigidité apparente et la masse apparente de ce système.
brevet 160 : Réponse d'un système à deux degrés de liberté en excitation forcée à une fréquence imposée

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15] *paragraphe III.1.3* Soit deux masses $m_1 = 1$ kg et $m_2 = 2$ kg assujetties à ne se déplacer que suivant l'axe $\vec{x}$. $m_1$ est liée au référentiel galiléen par un ressort de rigidité $k_1 = 3$ N/m. $m_1$ et $m_2$ sont reliées entre elles par un ressort de rigidité $k_2 = 5$ N/m. Les positions relatives des masses, par rapport à leur position d'équilibre sont notées $x_1$ et $x_2$.

Calculez l'amplitude de vibration de ces masses, lorsque la première est excitée par une force $\vec{F} = 300 \sin(\omega_f t) \vec{x}$ N, avec $\omega_f = 2\pi$ s$^{-1}$.

brevet 161 : Antirésonnance d'un système à deux degrés de liberté en excitation forcée à une fréquence imposée

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15] *paragraphe III.1.3.* Soit deux masses $m_1 = 1$ kg et $m_2 = 2$ kg assujetties à ne se déplacer que suivant l'axe $\vec{x}$. $m_1$ est liée au référentiel galiléen par un ressort de rigidité $k_1 = 3$ N/m. $m_1$ et $m_2$ sont reliées entre elles par un ressort de rigidité $k_2 = 5$ N/m. Les positions relatives des masses, par rapport à leur position d'équilibre sont notées $x_1$ et $x_2$.

Quelle est la pulsation d'excitation $\omega_f$ d'un effort appliqué à la masse $m_2$, telle que l'amplitude de vibration de la masse $m_2$ soit nulle ?

brevet 162 : Equation dynamique normalisée par la matrice de masse

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], *paragraphe III.2.1.* Soit deux masses $m_1 = 1$ kg et $m_2 = 2$ kg assujetties à ne se déplacer que suivant l'axe $\vec{x}$. $m_1$ est liée au référentiel galiléen par un ressort de rigidité $k_1 = 3$ N/m. $m_1$ et $m_2$ sont reliées entre elles par un ressort de rigidité $k_2 = 5$ N/m. Les positions relatives des masses, par rapport à leur position d'équilibre sont notées $x_1$ et $x_2$.

Quelle est la matrice de rigidité $\vec{K}$ qui apparaît dans l'équation dynamique normalisée ?

brevet 163 : Matrice orthogonale d'un problème de dynamique à 2 ddl

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], *paragraphe III.2.1.* Soit deux masses $m_1 = 1$ kg et $m_2 = 2$ kg assujetties à ne se déplacer que suivant l'axe $\vec{x}$. $m_1$ est liée au référentiel galiléen par un ressort de rigidité $k_1 = 3$ N/m. $m_1$ et $m_2$ sont reliées entre elles par un ressort de rigidité $k_2 = 5$ N/m. Les positions relatives des masses, par rapport à leur position d'équilibre sont notées $x_1$ et $x_2$.

Quelle est la matrice orthogonale $P$ de projection, composée des vecteurs propres normalisés ?

brevet 164 : Normalisation de vecteurs propres par rapport à la matrice de masse

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], *paragraphe III.2.1.* Soit deux masses $m_1 = 1$ kg et $m_2 = 2$ kg assujetties à ne se déplacer que suivant l'axe $\vec{x}$. $m_1$ est liée au référentiel galiléen par un ressort de rigidité $k_1 = 3$ N/m. $m_1$ et $m_2$ sont reliées entre elles par un ressort de rigidité $k_2 = 5$ N/m. Les positions relatives des masses, par rapport à leur position d'équilibre sont notées $x_1$ et $x_2$.

Quels sont les vecteurs propres $v_{n1}$ et $v_{n2}$ normalisés par rapport à la matrice de masse ?
<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Figure 1.26: Répartition des intervalles de tolérance pour d'une pièce à fabriquer.</figcaption></figure>
brevet 165 : Position des masses d'un système 2ddl lors d'un essai avec positions et vitesses initiales données.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], paragraphe III.2.1. Soit deux masses $m_1 = 1$ kg et $m_2 = 2$ kg assujetties à ne se déplacer que suivant l'axe $\vec{x}$. $m_1$ est liée au référentiel galiléen par un ressort de rigidité $k_1 = 3$ N/m. $m_1$ et $m_2$ sont reliées entre elles par un ressort de rigidité $k_2 = 5$ N/m. Les positions relatives des masses, par rapport à leur position d'équilibre sont notées $x_1$ et $x_2$.

Le système est écarté de sa position initiale $x_{10} = 0.1$ m et $x_{20} = 0$, puis lancé avec les vitesses $\dot{x}_{10} = 0$ ms⁻¹ et $\dot{x}_{20} = 0.2$ ms⁻¹.

Quelles sont les positions des masses à l'instant $t = 2$ s ?

brevet 166 : Matrice d'amortissement approchée lorsque l'amortissement n'est pas proportionnel ?

auteur : JM Génevaux ; ressource : [15], paragraphe II.2.2 ; autoattribution.

Soit deux masses $m_1 = 1$ kg et $m_2 = 2$ kg assujetties à ne se déplacer que suivant l'axe $\vec{x}$. $m_1$ est liée au référentiel galiléen par un ressort de rigidité $k_1 = 2$ N/m. $m_1$ et $m_2$ sont reliées entre elles par un ressort de rigidité $k_2 = 3$ N/m et un amortisseur visqueux de constante $c = 3$ Ns/m. Les positions relatives des masses, par rapport à leur position d'équilibre sont notées $x_1$ et $x_2$. Ce système défini une matrice d'amortissement $C$. L'amortissement de ce système à deux degrés de liberté n'est pas proportionnel.

Quelle est la matrice d'amortissement proportionnelle $\tilde{C}$ la plus proche (en terme des moindres carrés) de la matrice $C$ du système réel.

brevet 167 : Mesure au marteau d'impact de l'amplitude d'une fonction de réponse en fréquence

auteur : JM Génevaux ; ressource : polycopié de travaux pratique Vibration acoustique 1

Pour une structure donnée, à l'aide d'une excitation au marteau d'impact en un point $i$ de la structure, et d'un accéléromètre positionné en un point $j$ de la structure,

* mesurez l'amplitude de la fonction de réponse en fréquence (accélérance) à l'une des fréquences de résonnance de celle-ci,

* donnez la précision sur cette mesure, et précisez les unités.

brevet 168 : Calibration relative d'une chaine de mesure de fonction de réponse en fréquence, par la méthode du marteau d'impact

auteur : JM Génevaux ; ressource : polycopié de travaux pratique Vibration acoustique 1

A l'aide d'une masse pure suspendue ou tenue dans la main, d'un accéléromètre et d'un marteau d'impact, calibrer la chaine d'acquisition de fonction de réponse en fréquence.

On rapelle que :
* L'équation de mouvement est donnée par,

$$mx(\ddot{t}) = F(t). \qquad (1.26)$$

* L'accélérance est donc donnée par le ratio de la transformée de Fourier de l'accélération $\ddot{(X)}$ et de la transformée d Fourier de la force d'excitation $F(\omega)$.

$$\frac{\ddot{(X)}(\omega)}{F(\omega)} = m \qquad (1.27)$$

brevet 169 : Mesure au marteau d'impact de l'amortissement d'une structure à une fréquence propre.

auteur : JM Génevaux ; ressource : polycopié de travaux pratique Vibration acoustique 1

Pour une structure donnée, à l'aide d'une excitation au marteau d'impact en un point i de la structure, et d'un accéléromètre positionné en un point j de la structure, mesurez l'amortissement de la structure à l'une des fréquences de résonnance de celle-ci. Donnez la précision sur cette mesure, et précisez les unités.

brevet 170 : Mesure du coefficient d'absorption sous incidence normale d'un matériau isolant acoustique.

auteur : JM Génevaux ; ressource : polycopié de travaux pratique Vibration acoustique 2

Pour un matériau donnée, à l'aide d'une excitation acoustique dans un tube de Kundt à un seul microphone, mesurez le coefficient d'absorption $\alpha$ pour une fréquence donnée. Donnez la précision sur cette mesure, et précisez les unités.

brevet 171 : Réglage d'un absorbeur dynamique.

auteur : JM Génevaux ; ressource : polycopié de travaux pratique Vibration acoustique 2

Pour une structure présentant une résonnance à une pulsation $\omega_0$, à l'aide d'un système masse-ressort, de masse bien inférieure à celle de la structure initiale, mettre en oeuvre un absorbeur dynamique. Donnez le ratio entre l'amplitude des vibrations à la résonnance du sytème avec et sans absorbeur.

brevet 172 : Mesure d'un coefficient d'amortissement modal par un essai de lacher.

auteur : JM Génevaux ; ressource : polycopié de travaux pratique Vibration acoustique 2

Par un essai de lacher, sur une structure présentant une résonnance à une pulsation $\omega$, à l'aide de la mesure de sa réponse temporelle, mesurer le coefficient d'amortissement modal $\xi$. Donnez la précision sur celui-ci, et ses unités.
brevet 173 : Animation d'une forme propre d'une structure obtenue par analyse modale expérimentale.

auteur : JM Génevaux ; ressource : polycopié de travaux pratique Vibration acoustique 2

Pour une structure donnée, dont des degrés de liberté ont été choisis,

* mesurez les fonctions de réponses en fréquence entre les ddl

* identifiez les caractéristiques modales expérimentale de l'un des modes propres

* définissez un maillage spatial

* faire correpondre les FRFs et les degrés de liberté

* visualisez les mouvements (obtenus expérimentalement) de la structure à la fréquence du mode propre choisi.

brevet 174 : Processus d'expansion utilisant les matrices de masse et de rigidité du modèle, pour un système conservatif à deux degrés de liberté.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours [4], paragraphe 4.5.1 ; autoattribution .

Le système à deux masses modélisé lors du brevet 118 nous a fourni analytiquement les matrices de masse et de rigidité :

$$ M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \qquad (1.28) $$

$$ K = \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 3 \end{bmatrix} \qquad (1.29) $$

L'expérience a été menée sur cette structure à l'aide d'un marteau d'impact et d'un accéléromètre positionné sur l'une des masses. L'accéléromètre a été placé sur la première masse, et l'impact n'a eu lieu que sur celle-ci. On ne dispose donc de mesures que sur le degré de liberté $x_1$. Les vecteurs propres mesurés ne sont donc connus que sur leur première composante :

* pour la première pulsation propre mesurée $\omega_1 = .68$,

$$ \phi_{m1} = [.42,?] \qquad (1.30) $$

* pour la seconde pulsation propre mesurée $\omega_1 = 2.1$,

$$ \phi_{m2} = [-.70,?] \qquad (1.31) $$

Pour pouvoir comparer au modèle, il faut extrapoler les vecteurs propres, sur les degrés de liberté non mesurés.

Utilisez les matrices de masse et de rigidité du modèle pour compléter les vecteurs propres, puis les normer à travers la matrice de masse. Commentez les vecteurs trouvés.

brevet 175 : Processus d'expansion utilisant les données modales expérimentales, pour un système conservatif à deux degrés de liberté.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours [4], paragraphe 4.5.2 ; autoattribution .
Le système à deux masses modélisé lors du brevet 118 nous a fourni les vecteurs propres analytiques :

$$ \phi_{a1} = [.4264014327, .6396021490] \qquad (1.32) $$

$$ \phi_{a2} = [-.9045340338, .3015113446] \qquad (1.33) $$

L'expérience a été menée sur cette structure à l'aide d'un marteau d'impact et d'un accéléromètre positionné sur l'une des masses. L'accéléromètre a été placé sur la première masse, et l'impact n'a eu lieu que sur celle-ci. On ne dispose donc de mesures que sur le degré de liberté $x_1$. Les vecteurs propres mesurés ne sont donc connus que sur leur première composante :

* pour la première pulsation propre mesurée $\omega_1 = .68$,

$$ \phi_{m1} = [.42, ?] \qquad (1.34) $$

* pour la seconde pulsation propre mesurée $\omega_1 = 2.1$,

$$ \phi_{m2} = [-.70, ?] \qquad (1.35) $$

Pour pouvoir comparer au modèle, il faut extrapoler les vecteurs propres, sur les degrés de liberté non mesurés.

Utilisez les données modales expérimentales et les vecteurs propres analytique pour compléter les vecteurs propres, et lisser la valeurs mesurées.

## brevet 176 : poutre continue et masse concentrée, Rayleigh-Ritz

auteur : JM Génevaux, G Napias; ressource : [7], paragraphe .

Soit la structure suivante : une poutre droite d'axe $\vec{x}$, de section $S$, de moment quadratique $I_{gz}$, de masse volumique $\rho$, de module d'Young $E$, de longueur $l$, reposants en $x = 0$ sur un appui simple et en $x = l$ sur un appui sur rouleau de normale $\vec{y}$, supportant en son milieu une masse concentrée $m$. On souhaite calculer le premier mode propre de cette structure.

Lorsque vous utilisez les fonctions polynomiales, $\psi_4 = \sum a_n(\frac{\pi}{l})^n$ calculez par -Ritz la première fréquence propre en utilisant deux termes.

## brevet 177 : Recalage de paramètres d'un modèle

auteur : JM Génevaux; ressource : [7], paragraphe .

Soit la structure à trois degrés de liberté 1.12. Les trois pulsations propres et vecteurs propres sont :

$$ \omega_{1m} = 0.560 \sqrt{\frac{k}{m}} \text{ avec } \vec{v}_{1m} = [0.789 \ 1.06 \ 1.000]^t $$

$$ \omega_{2m} = 0.912 \sqrt{\frac{k}{m}} \text{ avec } \vec{v}_{2m} = [-0.459 \ -0.498 \ 1.000]^t $$

$$ \omega_{3m} = 1.820 \sqrt{\frac{k}{m}} \text{ avec } \vec{v}_{3m} = [49.7 \ -7.96 \ 1.000]^t $$

Lorsque l'on compare avec une expérience, les valeurs obtenues sont :

$$ \omega_{1e} = 0.651 \sqrt{\frac{k}{m}} \text{ avec } \vec{v}_{1e} = [0.636 \ 0.820 \ 1.000]^t $$

$$ \omega_{2e} = 1.071 \sqrt{\frac{k}{m}} \text{ avec } \vec{v}_{2e} = [-0.677 \ -0.627 \ 1.000]^t $$

$$ \omega_{3e} = 1.834 \sqrt{\frac{k}{m}} \text{ avec } \vec{v}_{3e} = [27.87 \ -5.059 \ 1.000]^t $$

On soupconne des erreurs sur les paramètres de raideur des ressorts. L'appairage par la matrice de MAC a donné :
• 1m appairé avec 1e,

• 2m appairé avec 2e,

• 3m appairé avec 3e.

En modifiant les valeurs des rigidités, montrez que l'on peut diminuer les écarts entre les fréquences propres, par exemple en quantifiant une fonction coût $\Phi = \sqrt{\sum_{i=1}^{3} (\omega_{im} - \omega_{ie})^2}$.

## brevet 178 : poutre continue et Rayleigh-Ritz

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Soit la structure suivante : une poutre droite d'axe $\vec{x}$, de section $S$, de moment quadratique $I_{gz}$, de masse volumique $\rho$, de module d'Young $E$, de longueur $l$, reposants en $x = 0$ sur un appui simple et en $x = l$ sur un appui sur rouleau de normale $\vec{y}$. On souhaite calculer le premier mode propre de cette structure.

Lorsque vous utilisez les fonctions polynomiales, $\psi_4 = \sum a_n (\frac{x}{l})^n$ calculez par -Ritz la première fréquence propre en utilisant deux termes.

## brevet 179 : Solide et équilibre

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Soit la structure suivante : une cube dont les huit sommets A,B,C,D,E,F,G,Q sont positionnés telles que leurs coordonnées respectives dans un repère $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ orthonormé direct soient $(a, -a, -a)$, $(a, a, -a)$, $(a, a, a)$, $(a, -a, a)$, $(-a, -a, -a)$, $(-a, a, -a)$, $(-a, a, a)$ et $(-a, -a, a)$. Ce solide est lié au référentiel extérieur par une liaison glissière d'axe $B\vec{j}$ et avec un appui ponctuel $E\vec{j}$. Ce cube subit une force en C de direction $\vec{j}$ et de module 324 [N].

Le système est-il isostatique ? Quelles sont les réactions aux liaisons ?

## brevet 180 : Solide en deux morceaux et équilibre

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Soit les structures suivantes :

• un cube dont les huit sommets A,B,C,D,E,F,G,Q sont positionnés telles que leurs coordonnées respectives dans un repère $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ orthonormé direct soient $(a, -a, -a)$, $(a, a, -a)$, $(a, a, a)$, $(a, -a, a)$, $(-a, -a, -a)$, $(-a, a, -a)$, $(-a, a, a)$ et $(-a, -a, a)$. Ce solide est lié au référentiel extérieur par une liaison glissière d'axe $B\vec{j}$. Ce cube subit une force en C de direction $\vec{j}$ et de module 324 [N].

• une poutre ST d'axe $S\vec{i}$ de rayon $a/10$ de longueur $3a$, avec S milieu de la face ABCD et $S\vec{T} = 3a\vec{i}$. Il est en appui ponctuel $T\vec{j}$.

Quelles sont les actions en $S$ de la poutre sur le cube ?
brevet 181 : Solide en deux morceaux et équilibre

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Soit les structures suivantes :

* un cube dont les huit sommets A,B,C,D,E,F,G,Q sont positionnés telles que leurs coordonnées respectives dans un repère $(O,i,j,k)$ orthonormé direct soient $(a, -a, -a), (a, a, -a), (a, a, a), (a, -a, a), (-a, -a, -a), (-a, a, a)$ et $(-a, -a, a)$. Ce solide est lié au référentiel extérieur par une liaison glissière d'axe $B\vec{j}$. Ce cube subit une force en C de direction $\vec{j}$ et de module 324 [N].

* un cylindre ST d'axe $S\vec{i}$ de rayon $a/2$ de longueur $2a$, avec S milieu de la face ABCD et $S\vec{T} = 2a\vec{i}$. Il est en appui ponctuel $T\vec{j}$.

Quelles sont les actions en S du cube sur le cylindre ?

brevet 182 : Poutre en deux morceaux et équilibre

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Soit une poutre de section circulaire de rayon $a/20$ reliant les points B,C,S,T sont positionnés telles que leurs coordonnées respectives dans un repère $(O,i,j,k)$ orthonormé direct soient $(a, a, -a), (a, a, a), (a, 0, 0)$ et $(4a, 0, 0)$. Ce solide est lié au référentiel extérieur par une liaison glissière d'axe $B\vec{j}$. Ce cube subit une force en C de direction $\vec{j}$ et de module 324 [N] et est en appui ponctuel $T\vec{j}$.

Quelles sont les composantes du torseur des efforts intérieurs en un point U de coordonnées $(1.05a, 0, 0)$ si l'on oriente la poutre de B vers T ?

brevet 183 : calcul d'une matrice de masse et de rigidité d'une
structure discrète

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Soit la structure formée de masses discrètes astreintes à se déplacer uniquement sur l'axe vertical voir figure 1.27.

Calculez les matrices de masse et de rigidité.
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Figure 1.27: Une structure discrète</figcaption></figure>
brevet 184 : Solide en deux morceaux, équilibre et torseur ex-
primé dans la base tangente locale

auteur : JM Génevaux ; ressource : [7], paragraphe .

Soit un cube dont les huit sommets A,B,C,D,E,F,G,Q sont positionnés telles que leurs coordonnées respectives dans un repère (O,i,j,k) orthonormé direct soient (a, -a, -a), (a, a, -a), (a, a, a), (a, -a, a), (-a, -a, -a), (-a, a, -a), (-a, a, a) et (-a, -a, a). Ce solide est lié au référentiel extérieur par une liaison encastrement au point A. Ce cube subit une force en C de direction j. Ce cube est coupé en deux par un plan passant par son barycentre O et de normale le vecteur n = cos 3π/8j + sin 3π/8j.

Dessinez ce cube, la normale et le plan de coupe. Quelles sont les actions du morceau S2 de solide contenant le point C, sur le morceau S1 du solide contenant le point A, exprimées au point O et dans la base locale du plan tangent et de la normale ?

brevet 185 : Contrainte de cisaillement maximale dans une section droite.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soit une poutre droite de section droite rectangulaire de largeur b = 0.1 m dans la direction z et de hauteur h = 0.2 m dans la direction y. Dans une section droite l'effort tranchant est T_y = 1000 N.

Faites un dessin de la structure.

Quelle est la contrainte de cisaillement $\sigma_{yx}$ maximale dans la section droite en utilisant la cinématique avec voilement de la section droite car les contraintes sont non constantes dans la section droite ?

brevet 186 : Contraintes en un point d'une poutre en flexion simple.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soit une poutre droite de section droite rectangulaire de largeur b = 0.1 m dans la direction z et de hauteur h = 0.2 m dans la direction y. Dans une section droite l'effort tranchant est T_y = 1000 [N] et le moment fléchissant autour de l'axe Hz est Mfz = 100 [N.m].

Faites un dessin de la structure.

Quelle est la contrainte de cisaillement $\sigma_{xx1}$ au point P₁ tel que $\vec{HP}_1 = h/2\vec{y}$ et $\sigma_{xx2}$ au point P₂ tel que $\vec{HP}_2 = -h/2\vec{y} + b/2\vec{z}$ ?

brevet 187 : Conditions cinématiques pour les liaisons normalisées bidimensionnelles.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soit un solide lié au monde extérieur à l'aide d'une liaison au point A. Le problème est bidimensionnel dans le plan (A, i, j).

Pour chacune des liaisons suivantes, donnez les déplacements $u_i$, $u_j$ ou rotation $\omega$ bloqué-e-s :

* a) liaison appui sur rouleau en A de normale j,
* b) liaison encastrement bidimensionnel en A,

* c) liaison glissière en A d'axe $\vec{i}$,

* d) absence de liaison en A,

* e) liaison appui simple en A.

brevet 188 : Dessin de mouvements possible d'une structure 2D.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soit une poutre liée au monde extérieur à l'aide de liaisons aux points A, B, D, E, tels que les coordonnées des points soient respectivement dans le plan ($A, \vec{i}, \vec{j}$) : (0,0), (a,0), (2a,-a) et (2a,0). Les liaisons sont : en A pas de liaison, en B encastrement, en D glissière d'axe $\vec{i}$ et en E appuis sur rouleau d'axe $\vec{i}$.

Dessinez la structure non déformée, ainsi que une déformée possible qui respecte les conditions aux limites cinématiques.

brevet 189 : Dessin d'une potentielle première forme propre possible d'une structure 2D.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soit une poutre liée au monde extérieur à l'aide de liaisons aux points A, B, D, E, tels que les coordonnées des points soient respectivement dans le plan ($A, \vec{i}, \vec{j}$) : (0,0), (a,0), (2a,-a) et (2a,0). Les liaisons sont : en A pas de liaison, en B encastrement, en D glissière d'axe $\vec{i}$ et en E un appui sur rouleau d'axe $\vec{i}$.

Dessinez la structure non déformée, ainsi que la déformée potentiellement possible en vibrations du premier mode propre et du second mode propre.

brevet 190 : Fonction de forme polynomiale la plus simple pour vérifier les conditions aux limites d'une structure 2D.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [6] ; autoattribution .

Soit une poutre liée au monde extérieur à l'aide de liaisons aux points A, B, D tels que les coordonnées des points soient respectivement dans le plan ($A, \vec{i}, \vec{j}$) : (0,0), (a,0), (2a,-a) et (2a,0). Les liaisons sont : en A pas de liaison, en B une glissière d'axe $\vec{j}$, en D un encastrement.

Quelle est la fonction polynomiale la plus simple qui vérifie les conditions aux limites cinématiques ?

brevet 201 : composantes contravariantes

auteur : J Hladik ; ressource : [5] .

Soient deux vecteurs de $E_3$ : $\vec{A} = (a_1, a_2, a_3)$ et $\vec{B} = (b_1, b_2, b_3)$. Soit une base de $E_3$ définie par :

* $\vec{e}_1 = (1, 1, 1)$

* $\vec{e}_2 = (0, 1, 1)$

* $\vec{e}_3 = (0, 0, 1)$
Déterminez les composantes contravariantes de $\vec{A}$ et $\vec{B}$.

## brevet 202 : composantes covariantes

auteur : J Hladik ; ressource : [5] .

Soient deux vecteurs de $E_3 : \vec{A} = (a_1, a_2, a_3)$ et $\vec{B} = (b_1, b_2, b_3)$. Soit une base de $E_3$ définie par :

$$ \bullet \vec{e}_1 = (1, 1, 1) $$

$$ \bullet \vec{e}_2 = (0, 1, 1) $$

$$ \bullet \vec{e}_3 = (0, 0, 1) $$

Déterminez les composantes covariantes de $\vec{A}$ et $\vec{B}$.

## brevet 203 : composantes covariantes et contravaraintes avec application numérique

auteur : J Hladik ; ressource : [5] .

Soit le vecteur de $E_3 : \vec{A} = (4, 1, 2)$. Soit une base de $E_3$ définie par :

$$ \bullet \vec{e}_1 = (1, 1, 1) $$

$$ \bullet \vec{e}_2 = (0, 1, 1) $$

$$ \bullet \vec{e}_3 = (0, 0, 1) $$

Déterminez les composantes covariantes et contravariantes de $\vec{A}$.

## brevet 204 : calcul d'un produit scalaire à l'aide des composantes covariantes et contravariantes

auteur : J Hladik ; ressource : [5] .

Soient deux vecteurs de $E_3 : \vec{A} = (4, 1, 2)$ et $\vec{B} = (1, 3, 5)$. Soit une base de $E_3$ définie par :

$$ \bullet \vec{e}_1 = (1, 1, 1) $$

$$ \bullet \vec{e}_2 = (0, 1, 1) $$

$$ \bullet \vec{e}_3 = (0, 0, 1) $$

Déterminez le produit scalaire $\vec{A} \cdot \vec{B}$ à partir des composantes covariantes et contravariantes.

## brevet 205 : produit tensoriel

auteur : J Hladik ; ressource : [5] .

Soient $\vec{e}_1, \vec{e}_2$ une base de l'espace vectoriel $E_2$ et soient deux vecteurs de $E_2 : \vec{X} = 2\vec{e}_1 + 4\vec{e}_2$ et $\vec{Y} = 5\vec{e}_1 + 3\vec{e}_2$. On note $\vec{e}_1 \otimes \vec{e}_2$ les vecteurs de base d'un espace $E_4 = E_2 \otimes E_2$.

Déterminez l'expression du produit tensoriel $\vec{X} \otimes \vec{Y}$.
brevet 206 : Est-ce un produit tensoriel ?

auteur : J Hladik ; ressource : [5] .

Soient $\vec{e}_1, \vec{e}_2$ une base de l'espace vectoriel $E_2$ et soient deux vecteurs de $E_2$ : $\vec{X} = 2\vec{e}_1 + 4\vec{e}_2$ et $\vec{Y} = 5\vec{e}_1 + 3\vec{e}_2$. On note $\vec{e}_1 \otimes \vec{e}_2$ les vecteurs de base d'un espace $E_4 = E_2 \otimes E_2$.

Le tenseur $U = 11\vec{e}_1 \otimes \vec{e}_1 + 8\vec{e}_1 \otimes \vec{e}_2 + 20\vec{e}_2 \otimes \vec{e}_1 + 12\vec{e}_2 \otimes \vec{e}_2$ est-il le produit tensoriel de deux vecteurs de $E_2$ ?

brevet 207 : Équation d'une droite passant par deux points.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de math de seconde ; autoattribution .

Soit deux points A et B dans un espace affine de dimension 2 de repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ tels que $\vec{OA} = 3\vec{i} + 2\vec{j}$ et $\vec{OB} = 5\vec{i} - 3.2\vec{j}$. Soit un point P tel que $\vec{OP} = x\vec{i} + y\vec{j}$ appartenant à la droite $y = ax + b$ passant par les deux points A et B. Quelles sont les valeurs de $a$ et $b$?

brevet 208 : Intégration avec changement de variable.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de math de bac +1 ; autoattribution .

Soit la fonction,

$$f(x) = \sqrt{3x + 6}. \tag{1.36}$$

Quelle est l'intégrale de cette fonction entre $x = 0$ et $x = 2$?

brevet 209 : Déterminant d'une matrice 3x3.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de math de bac +1 ; autoattribution .

Soit la matrice,

$$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 4 \\ 5 & 0 & 2 \end{bmatrix} \tag{1.37}$$

Quel est le déterminant de cette matrice ?

brevet 210 : Produit vectoriel de deux vecteurs.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de math de bac +1 ; autoattribution .

Soit dans une base directe orthonormée $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$, les deux vecteurs $\vec{a} = 3\vec{x} + 5\vec{y}$ et $\vec{b} = 4\vec{y} + 5\vec{z}$, calculez $\vec{c} = \vec{a} \wedge \vec{b}$

brevet 211 : Homogénéité d'une équation (version 1).

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de physique de bac +1 ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe "Homogénéité, adimension-alisation" et de regarder les vidéos afférentes.

Soit $F$ une force, $g$ la pesanteur, $m$ une masse, $a$ et $b$ des longueurs, l'équation,

$$F = \frac{a + b}{80} \frac{2m}{g}, \tag{1.38}$$
est-elle homogène ?

brevet 212 : Homogénéité d'une équation (version 2).

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de physique de bac +1 ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe "Homogénéité, adimension-alisation" et de regarder les vidéos afférentes.

Soit F une force, g la pesanteur, m une masse, a et b des longueurs, l'équation,

$$
F = \frac{a + b^2}{b} 2mg, \tag{1.39}
$$

est-elle homogène ?

brevet 213 : Homogénéité d'une équation (version 3).

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de physique de bac +1 ; autoattribution .

Soit $\omega$ une pulsation, $k$ la rigidité d'un ressort en torsion, $J$ une inertie de rotation d'un solide autour d'un axe, l'équation,

$$
\omega = 23 \sqrt{\frac{k}{J}} \tag{1.40}
$$

est-elle homogène ?

brevet 214 : Dimension tensorielle (version 1).

auteur : JM Génevaux ; ressource : [5] ; autoattribution .

Soit $\vec{v}$ la vitesse d'un point d'un solide dans l'espace tridimensionnel. L'égalité

$$
\vec{v} = 3 \, \text{ms}^{-1} \tag{1.41}
$$

égale-t-elle des éléments de même dimension tensorielle ?

brevet 215 : Dimension tensorielle (version 2).

auteur : JM Génevaux ; ressource : [5] ; autoattribution .

Soit $T$ l'énergie cinétique d'un solide par rapport à un repère galiléen tridimensionnel. L'égalité

$$
T = 3 \, \text{kgms}^{-1} \tag{1.42}
$$

égale-t-elle des éléments de même dimension tensorielle ?

brevet 216 : Intégration triple.

auteur : JM Génevaux ; ressource : bac +1 ; autoattribution .

Soit l'intégrale

$$
I = \int_{x=0}^{2} \int_{y=2}^{3} \int_{z=0}^{4} (xy + z^2) \, dxdydz. \tag{1.43}
$$

Quelle est la valeur de cette intégrale ?
brevet 217 : Produits de tenseurs du second ordre et vecteurs.

auteur : JM Génevaux ; ressource : bac +1 ; autoattribution .

Soit les vecteurs $\vec{v}_1 = 1\vec{x} + 2\vec{y} - \vec{z}$ et $\vec{v}_2 = 3\vec{x} + 2\vec{y} + 1\vec{z}$ et le tenseur du second ordre

$$ M = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})\otimes(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} \qquad (1.44) $$

Quelle est la valeur du scalaire $a = \vec{v}_1 \cdot M \vec{v}_2$ ?

brevet 218 : Dérivée d'une fonction trigonométrique.

auteur : JM Génevaux ; ressource : 2nd ; autoattribution .

Soit la fonction $f(x) = 3 \sin(2\pi x)$.

Quelle est la valeur de sa dérivée au point $x = 1.28$ ?

brevet 219 : Intégrale d'une fonction trigonométrique.

auteur : JM Génevaux ; ressource : terminale ; autoattribution .

Soit la fonction $f(x) = 3 \sin(2\pi x)$.

Quelle est la valeur de son intégrale en $x$ entre les points $x = 1.15$ et $x = 1.28$ ?

brevet 220 : Intégrale d'une fonction polynome.

auteur : JM Génevaux ; ressource : terminale ; autoattribution .

Soit la fonction $f(x) = 25x^4 + 2x^{-2}$.

Quelle est la valeur de son intégrale en $x$ entre les points $x = 1.15$ et $x = 1.28$?

brevet 221 : Intégrale d'une fonction à plusieurs variables.

auteur : S Mézil ; ressource : cours *Terminales*, ; autoattribution .

Soit la fonction $f(x, y, z) = x^3 + x \sin(6y)$.

Que valent les intégrales : $I_1 = \int_1^5 f(x, y, z) \, dx$, $I_2 = \int_0^3 f(x, y, z) \, dy$ et $I_3 = \int_1^{10} f(x, y, z) \, dz$ ?

brevet 222 : Différence entre vecteur et matrice associée (version 1)

auteur : JM Génevaux ; ressource : bac +1 ; autoattribution .

Soit les vecteurs $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$ tels que $\vec{v}_1 = 1\vec{x} + 2\vec{y} - \vec{z}$ et $\vec{v}_2$ soit associé à la matrice

$$ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}_{(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})} \qquad (1.45) $$

Les deux vecteurs $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$ sont-ils les mêmes?
brevet 223 : Différence entre vecteur et matrice associée (version 2)

auteur : JM Génevaux ; ressource : bac +1 ; autoattribution .

Soit les vecteurs $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$ tels que $\vec{v}_1 = 1\vec{x} + 2\vec{y} - \vec{z}$ et $\vec{v}_2$ soit associé à la matrice

$$ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}_{(\vec{x}+\vec{y}, \vec{y}, \vec{z})} \qquad (1.46) $$

Les deux vecteurs $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$ sont-ils les mêmes?

brevet 224 : Détermination des dimensions d'un paramètre à partir de l'homogénéité

auteur : JM Génevaux ; ressource : bac +1 ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe "Homogénéité, adimension-alisation" et de regarder les vidéos afférentes.

Le nombre de Reynolds $Re = \frac{vd}{\nu}$ est adimensionnel. Il relie $d$ une longueur caractéristique de l'écoulement, $v$ une vitesse caractéristique de l'écoulement et $\nu$ la viscosité cinématique.

Quelle est la dimension de $\nu$, et ses unités dans le système international ?

brevet 224 bis : Détermination des dimensions d'un paramètre à partir de l'homogénéité

auteur : JM Génevaux ; ressource : bac +1 ; autoattribution .

Le nombre de Reynolds $Re = \frac{vd}{\eta}$ est adimensionnel. Il relie $\rho$ la masse volumique, $d$ une longueur caractéristique de l'écoulement, $v$ une vitesse caractéristique de l'écoulement et $\eta$ la viscosité dynamique.

Quelle est la dimension de $\eta$, et ses unités dans le système international ?

brevet 225 : Produit scalaire de deux vecteurs.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de math de bac +1 ; autoattribution .

Soit dans une base directe orthonormée $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$, les deux vecteurs $\vec{a} = 3\vec{x} + 5\vec{y}$ et $\vec{b} = 4\vec{y} + 5\vec{z}$.

Calculez le produit scalaire de ces deux vecteurs : $c = \vec{a} \cdot \vec{b}$

brevet 226 : Projection d'un vecteur dans une base.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de math de bac +1 ; autoattribution .

Soit dans une base directe orthonormée $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$, le vecteur $\vec{a} = 3\vec{x} + 5\vec{y}$. Soit une autre base $(\vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1)$ image de $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ par une rotation autour de l'axe $\vec{z}$ d'un angle $\pi/3$.

Quelles sont les nouvelles coordonnées de : $\vec{a}$ dans la base $(\vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1)$ ?
brevet 227 : Projection d'une équation de mouvement dans deux directions.

auteur: JM Génevaux; ressource: cours de math de bac +1; autoattribution.

Soit dans une base directe orthonormée $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$, et un système repéré par sa position $x(t)$ dont l'une des équations de mouvement est

$$m\ddot{x} = F \sin(\omega t)\vec{y}_1 - c \sin(\alpha)\dot{x}\vec{z}_1 - kx\vec{x}, \quad (1.47)$$

avec la base $(\vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1)$ image de $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ par une rotation autour de l'axe $\vec{z}$ d'un angle $\pi/3$.

Quelles sont les 2 équations de mouvement si on les exprime dans la base $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ ?

brevet 228 : Équation aux dimensions avec dérivée et intégrale.

auteur: JM Génevaux; ressource: cours de math de bac +1; autoattribution.

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe "Homogénéité, adimension-alisation" et de regarder les vidéos afférentes.

Soit la grandeur $g$ donnée par

$$g(x, y) = \frac{\frac{\partial t(x, y)}{\partial x} c}{\int_{0}^{y} h(y_1) dy_1} \quad (1.48)$$

avec $t$ en s, $x$ en V, $y$ en kg, $c$ en m et $h$ en V.

Quelle est la dimension de $g(x, y)$ exprimée dans les unités de base ?

brevet 229 : Fonction trigonométrique.

auteur: JM Génevaux; ressource: cours de math de seconde; autoattribution.

Soit la grandeur $g$ donnée par

$$g(x) = -0.3 \sin 2x. \quad (1.49)$$

Tracez $g(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [-1,3.14].

brevet 230 : Fonctions exponentielle et logarithme.

auteur: JM Génevaux; ressource: cours de math Licence 2; autoattribution.

A l'aide d'une calculatrice, donnez les valeurs de

* $\log(2.1)$,

* $\log_{10}(2.1)$

* $e^{3.2}$

* $p$ en dB, lorsque la valeur de la pression est $p = 234$ Pa

* $a$ en m.s$^{-2}$, lorsque la valeur de l'accélération est $a = 102.9$ dB, l'accélération de référence étant de $a_{ref} = 10^{-6}$ m.s$^{-2}$
brevet 231 : Fonctions de Bessel.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de math Licence 2 ; autoattribution .

A l'aide d'un ordinateur, donnez la plus petite des valeurs de r tel que $J_{0.3}(r) = J_{3/2}(r)$.

brevet 232 : Fonctions de Bessel.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de math Licence 2 ; autoattribution .

Un haut parleur est conçu en utilisant une plaque circulaire de diamètre d de faible épaisseur e comme surface émettante de par des vibrations qui lui sont imposées. Grâce à un baffle qui prolonge le plan de la plaque, ce haut parleur émet du son dans un demi-espace infini de fluide.

Quel type de coordonnées doit-être utilisé pour effectuer les calculs,

• si l'on souhaite calculer les modes propres de la plaque,

• si l'on souhaite mesurer la pression à une grande distance de la plaque

brevet 233 : Trace d'une matrice.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de math Licence 2 ; autoattribution .

Soit la matrice des contraintes (exprimée en MPa),

$$
\bar{\sigma} = \begin{bmatrix} 120 & 15 & -30 \\ 15 & 10 & 45 \\ -30 & 45 & -60 \end{bmatrix}_{(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \otimes (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})} , \qquad (1.50)
$$

Quelle est la trace de cette matrice ?

brevet 234 : chiffres significatifs pour une addition.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours physique pour l'ingénieur ; autoattribution .

Donnez le résultat des opérations suivantes en veillant au nombre de chiffres significatifs du résultat.

$$
a = 23,56 + 5,3 + 0,004 = ?
$$

$$
b = 0,07 \, \text{m} + 51 \, \text{cm} + 41,34 \, \text{dam} = ?
$$

brevet 235 : chiffres significatifs pour une multiplication ou division.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours physique pour l'ingénieur ; autoattribution .

Donnez le résultat des opérations suivantes en veillant au nombre de chiffres significatifs du résultat.

$$
a = 23,56 * 5,3/0,004 = ?
$$

$$
b = 0,07 \, \text{m} * 51 \, \text{kg} * 41,34 \, \text{s} = ?
$$

brevet 237 : Changement des composantes d'un vecteur lors d'un changement de base.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours physique pour l'ingénieur ; autoattribution .
Soit le vecteur $\vec{e} = 0.2\vec{i} + 0.4\vec{j} - 1.2\vec{k}$ avec $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ une base orthonormée directe. Soit une seconde base orthonormée directe $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ telle que elle soit obtenue à partir de la base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ par une rotation autour de $\vec{j}$ d'un angle $-\pi/6$.

Quelles sont les composantes de $\vec{e}$ dans la base $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ ?

brevet 238 : capacité 011 : Allongement d'une barre.

auteur : S Durand et JM Génevaux ; ressource : terminale .

Soit une barre ABC constituée de 2 matériaux. La première partie AB de longueur 1.2 [m] est en acier et elle subit une déformation de +3% en longueur. La seconde BC est en aluminium, de longueur 0.8 [m], et elle subit une déformation de +5% en longueur.

Quel est l'allongement total de la barre suite à ces déformations ?

brevet 239 : capacité 011 : cinématique et vitesse moyenne.

auteur : Samuel Gougeon ; ressource : terminale .

Une voiture rouge fait un trajet entre deux villes distantes de 134 [km]. La traversée des agglomérations à la vitesse moyenne de 43 [km/h] représente 32% de la distance. Le reste du trajet se fait sur routes départementales à la vitesse moyenne de 76 [km/h].

Quelle est la vitesse moyenne pendant l'ensemble du trajet ?

brevet 240 : capacité 011 : Les professeur·e·s détectent les pi-
peaux mal accordés.

auteur : T Vicente ; ressource : terminale .

Un élève prend soin d'accorder son pipeau à l'aide d'une note à 440 Hz et répète une dernière fois sa partition avant son audition. Lorsque que l'élève monte sur l'estrade et commence à jouer du pipeau; sa professeure lui fait alors remarquer qu'il n'est plus accordé. La même note du pipeau joue alors une fréquence de 447 Hz. On prendra comme approximation que la fréquence de la note jouée par le pipeau s'exprime de la manière suivante: $f = \frac{20\pm\sqrt{T}}{\lambda}$ avec T la température en Kelvin.

Quelle est la variation relative de la température à l'intérieur du pipeau? (A exprimer en pourcentage, avec deux chiffres significatifs)

brevet 241 : capacité 011 : Temps de calcul en fonction du nom-
bre de degrés de liberté dans un modèle élément finis.

auteur : N Joly ; ressource : terminale .

Pour obtenir la solution d'une modélisation en éléments finis, la dernière étape du calcul consiste à résoudre un système linéaire. Pour résoudre un système linéaire de dimension N (N = nombre d'inconnues du système linéaire = nombre de degrés de liberté [ddl] du modèle) le coût de calcul par une méthode directe (Gauss, LU, Cholesky,...) évolue comme N³. Ce coût de calcul est représentatif du nombre d'opérations à effectuer et du temps calcul.
Si, pour N = 10 000 ddl, la solution est obtenue après 2 minutes de calcul, combien de temps faudra-t-il attendre pour réaliser un calcul de 20 000 ddl ? pour 100 000 ddl ?

brevet 242 : capacité 011 : Un bon coup de pédale sur un vélo.

auteur : G Minko Mi Mvono; ressource : terminale .

Soit un cycliste se déplaçant sur un terrain plat. Pour un tour de pédale effectué, sa roue arrière de diamètre 700 [mm] tourne 2.5 fois grâce au système de transmission : chaîne, plateau et pignon.

1 - Quelle est la distance parcourue pour un tour de pédale (un développement) sachant qu'elle dépend du diamètre de la roue ?

2 - Combien de tours de pédale le cycliste doit-il effectuer pour parcourir 650 [m] ?

brevet 243 : capacité 011 : ...

auteur : A Aklouche; ressource : terminale .

...

Quel est ...

brevet 300 : Dérivée lagrangienne

auteur : JM Génevaux ; ressource : ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Un camion roule sur une route à une vitesse constante de 50 km/h. A l'instant $t=0$ s il passe devant une vache. Ce camion est suivi par deux voitures qui roulent à vitesse constante toutes les deux à 100 km/h. A l'instant $t=0$, la première voiture est à une distance $d_1(0) = 300$ m du camion, et la seconde à la distance $d_2(0) = 600$ m du camion.

Chaque voiture ne peut appercevoir le camion précédent que lorsqu'elle sera à une distance $d_{vue} = 200$ m de celui-ci. Le conducteur lachera alors l'accélérateur et le véhicule relentira, à décélération constante $a = -0.5 \text{ m.s}^{-2}$ jusqu'à atteindre la vitesse du véhicule précédent.

Du point de vue des conducteurs, quelles seront les vitesses lagrangiennes et accélérations lagrangiennes des véhicules lorsqu'ils passeront devant la vache ?

brevet 301 : Dérivée eulerienne

auteur : JM Génevaux ; ressource : ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Un camion roule sur une route à une vitesse constante de 50 km/h. A l'instant $t=0$ s il passe devant une vache. Ce camion est suivi par deux voitures qui roulent à vitesse constante toutes les deux à 100 km/h. A l'instant $t=0$, la première voiture est à une distance $d_1(0) = 300$ m du camion, et la seconde à la distance $d_2(0) = 600$ m du camion.

Chaque voiture ne peut appercevoir le camion que lorsqu'elle sera à une distance $d_{vue} = 200$ m de celui-ci. Le conducteur lachera alors l'accélérateur et le véhicule relentira, à décélération constante $a = -0.5 \text{ m.s}^{-2}$ jusqu'à atteindre la vitesse du véhicule précédent.

Du point de vue de la vache, quelles seront les vitesses euleriennes des véhicules lorsqu'ils passeront devant elle ? Donnez un ordre de grandeur de l'accélération eulerienne $\frac{\partial v}{\partial t}$.
brevet 302 : Gradient de déplacement d'un volume élémentaire représentatif

auteur : JM Génevaux ; ressource : ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit dans une base directe orthonormée $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$, et un parrallélépipède élémentaire de dimensions $(dx = 0.01, dy = 0.02, dz = 0.03)$ en m, avec les points P et M de coordonnées respectives (0,0,0) et $(dx, dy, dz)$.

a) Dans le cas d'une rotation d'un angle $\beta = 0.02$ radian autour de l'axe $P\vec{z}$, quel est le gradient du champs de déplacement de ce volume élémentaire ?

b) Dans le cas d'une déformation de cisaillement tel que le plan $(M, \vec{z}, \vec{x})$ glisse dans la direction $\vec{z}$ et que $\vec{y}$ tourne d'un angle $\gamma = 0.05$ radian, quel est le gradient du champs de déplacement de ce volume élémentaire ?

brevet 303 : Tenseur de Green-Lagrange d'un volume élémentaire représentatif

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit dans une base directe orthonormée $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$, et un parrallélépipède élémentaire de dimensions $(dx = 0.01, dy = 0.02, dz = 0.03)$ en m, avec les points P et M de coordonnées respectives (0,0,0) et $(dx, dy, dz)$.

a) Dans le cas d'une rotation d'un angle $\beta = 0.02$ radian autour de l'axe $P\vec{z}$, quel est le tenseur de Green-Lagrange de ce volume élémentaire ?

b) Dans le cas d'une déformation de cisaillement tel que le plan $(M, \vec{z}, \vec{x})$ glisse dans la direction $\vec{z}$ et que $\vec{y}$ tourne d'un angle $\gamma = 0.05$ radian, quel est le tenseur de Green-Lagrange de ce volume élémentaire ?

brevet 304 : Déplacement d'un volume élémentaire représentatif

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/uf à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit dans une base directe orthonormée $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$, et un parrallélépipède élémentaire de dimensions $(dx = 0.01, dy = 0.02, dz = 0.03)$ en m, avec les points P et M de coordonnées respectives (0,0,0) et $(dx, dy, dz)$.