### Brevet 075

* Pour calculer le déplacement en *C*, il faut utiliser les formules de Bresse entre *A* et *C*.

* Pour utiliser les formules de Bresse, il faut connaître les sollicitations en tout point *H*.

* Pour connaître les sollicitations en tout point *H*, il faut connaître le torseur des efforts intérieurs et le repère local.

* Pour connaître le torseur des efforts intérieurs, il faut orienter la poutre et considérer le chargement sur segment entre *H* et *C*.

* Pour connaître le repère local en *H*, il faut placer le vecteur $\vec{x}$ tangent à la fibre moyenne et calculer le changement de base entre $(\vec{i}, \vec{j})$ et $(\vec{x}, \vec{y})$.

* Pour connaître le chargement sur segment entre *H* et *C*, il faut écrire le torseur des actions extérieurs en *C*.

* Maintenant que la méthode est posée, il faut se mettre aux caculs du dernier au premier item.

### Brevet 076

* Pour calculer la contrainte maximale il faut connaître la relation entre contrainte sur les fibres extérieures et les sollicitations en tout point *H*.

* Pour connaître les sollicitations en tout point *H*, il faut connaître le torseur des efforts intérieurs et le repère local.

* Pour connaître le torseur des efforts intérieurs, il faut orienter la poutre et considérer chargement sur segment entre *H* et *C*.

* Pour connaître le repère local en *H*, il faut placer le vecteur $\vec{x}$ tangent à la fibre moyenne et calculer le changement de base entre $(\vec{i}, \vec{j})$ et $(\vec{x}, \vec{y})$.

* Pour connaître le chargement sur segment entre *H* et *C*, il faut écrire le torseur des actions extérieurs en *C*.

* Maintenant que la méthode est posée, il faut se mettre aux caculs du dernier au premier item, et trouver pour quelle valeur de l'abcisse curviligne *s* et si c'est en fibre supérieure ou inférieure que la valeur absolue de la contrainte est maximale.

### Brevet 077

* Pour calculer le déplacement en *D*, il faut utiliser les formules de Bresse entre *A* et *D*.

* Pour connaître le torseur de réaction en *C*, il faut faire écrire par les formules de Bresse l'équation cinématique associée à l'inconnue hyperstatique, cela donne la valeur de l'inconnue hyperstatique en fonction du chargement *F*.

* Pour utiliser les formules de Bresse, il faut connaître les sollicitations en tout point *H*.

* Pour connaître les sollicitations en tout point *H*, il faut connaître le torseur des efforts intérieurs et le repère local.

* Pour connaître le torseur des efforts intérieurs, il faut orienter la poutre et considérer chargement sur segment entre *H* et *D*.

* Pour connaître le repère local en *H*, il faut placer le vecteur $\vec{x}$ tangent à la fibre moyenne et calculer le changement de base entre $(\vec{i}, \vec{j})$ et $(\vec{x}, \vec{y})$.

* Pour connaître le chargement sur segment entre *H* et *D*, il faut écrire le torseur des actions extérieurs en *D* et le torseur de réaction en *C*.

* Pour connaître les chargements, il faut considérer l'inconnue hyperstatique comme un chargement a priori connu.

* Pour choisir l'inconnue hyperstatique, il faut écrire l'équilibre de la structure.

* Maintenant que la méthode est posée, il faut se mettre aux caculs du dernier au premier item.
**Brevet 078** le pied de la lampe, chaque arc qui relie une roulette au centre du fauteuil, la règle posée sur le bureau, chaque pied de table, les arcs qui forment le bougeoir, la crémaillère de la fenêtre, le tuyau d'arrivée d'eau du chauffage central, le cadre du dossier du fauteuil...

**Brevet 079** $u_y = 8.1 \times 10^{-4}$ m

**Brevet 080** $\sigma_1 = 0.78 \times 10^8$ Pa, $\sigma_2 = 1.0 \times 10^8$ Pa

**Brevet 081** $\sigma_1 = 43 \times 10^6$ Pa, $\sigma_2 = 0$ Pa

**Brevet 082** $l = 61$ m

**Brevet 083** Les directions principales sont les deux directions inclinées de 40° par rapport aux branches du "l".

**Brevet 084** $\bar{s} = 2.80$ m², $\Delta\bar{s} = 0.31$ m²

**Brevet 085** La seule valeur à rejeter est la valeur $a_4 = 4.23$ kg

**Brevet 086** La valeur d'indice 6 est la seule à rejeter au seuil de 5%

**Brevet 087** Voir tableau ci-dessous. Attention aux bandes extrêmes calculées : les données ne recouvrent pas obligatoirement les bandes, ce qui peut fausser la mesure.

<table><thead><tr><th>fréquence (Hz)</th><th>pertes par transmission (dB)</th></tr></thead><tbody><tr><td>12.5</td><td>8.7</td></tr><tr><td>16.</td><td>10.6</td></tr><tr><td>20.</td><td>11.9</td></tr><tr><td>25.</td><td>13.4</td></tr><tr><td>31.5</td><td>15.2</td></tr><tr><td>40.</td><td>16.6</td></tr><tr><td>50.</td><td>18.4</td></tr><tr><td>63.</td><td>19.9</td></tr><tr><td>80.</td><td>20.7</td></tr><tr><td>100.</td><td>20.7</td></tr><tr><td>125.</td><td>17.9</td></tr><tr><td>160.</td><td>13.9</td></tr><tr><td>200.</td><td>18.3</td></tr><tr><td>250.</td><td>22.5</td></tr><tr><td>315.</td><td>25.8</td></tr><tr><td>400.</td><td>28.6</td></tr></tbody></table>

<table><tr><td>16.</td><td>10.7</td></tr><tr><td>31.5</td><td>15.5</td></tr><tr><td>63.</td><td>19.9</td></tr><tr><td>125.</td><td>17.9</td></tr><tr><td>250.</td><td>23.6</td></tr></table>

**Brevet 088**

**Brevet 089** $\vec{u}_D = 2.28 \times 10^{-3} \vec{i} - 3.06 \times 10^{-3} \vec{j}$ m.

**Brevet 090** Voir figure 3.3.
<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>Figure 3.3: Un exemple de chargement et conditions aux limites.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>Figure 3.4: Un exemple de chargement et conditions aux limites.</figcaption></figure>

**Brevet 090 bis** Voir figure 3.4.

**Brevet 090 ter** Voir figure 3.5.

**Brevet 091** Non. Voir figures 3.6 et 3.7

**Brevet 092** Voir figure 3.8.

**Brevet 093** Oui.

**Brevet 094** Non : le spaguetti central ne participe que peu à la rigidité en torsion.

**Brevet 095** Oui.

**Brevet 096** Déplacement maxi au point C. Rupture au point A. Voir figures 3.9 et 3.10.

**Brevet 096 bis** Déplacement maxi en un point entre B et C. Rupture au point B. Voir figures 3.11 et 3.12.

**Brevet 097** Oui. Voir figures 3.13, 3.14 et 3.15.

**Brevet 097 bis** Oui. Voir figures 3.16 et 3.17.

**Brevet 098** $1.225 < \bar{a} < 1.243$ car un point aberrant au seuil de confiance de $\alpha = 0.05$
<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>Figure 3.5: Un exemple de chargement et conditions aux limites.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_103.png" /><figcaption>Figure 3.6: Un exemple de système hyperstatique.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>Figure 3.7: Un exemple de système hyperstatique.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_105.png" /><figcaption>Figure 3.8: Un exemple de système isostatique associé à un sytème hyperstatique.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_106.png" /><figcaption>Figure 3.9: Une poutre et son point de déplacement maxi.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_107.png" /><figcaption>Figure 3.10: Une poutre et son point de rupture.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_108.png" /><figcaption>Figure 3.11: Une poutre et son point de déplacement maxi.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_109.png" /><figcaption>Figure 3.12: Une poutre et son point de rupture.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_110.png" /><figcaption>Figure 3.13: Une poutre soumise à un chargement 1.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_111.png" /><figcaption>Figure 3.14: Une poutre soumise à un chargement 2.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>Figure 3.15: Une poutre soumise à un chargement 1 et 2.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_113.png" /><figcaption>Figure 3.16: Une poutre soumise à un chargement 1.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_114.png" /><figcaption>Figure 3.17: Une poutre soumise à un chargement 2.</figcaption></figure>

Brevet 099 a 3 ; b 3 ; c 2 ; d 4 ; e 2 ; f 4

Brevet 101

$$
M = m \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \tag{3.15}
$$

$$
K = k \begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 \\ -2 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix} \qquad (3.16)
$$

Brevet 101 bis

$$
M = m \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \qquad (3.17)
$$

$$
K = k \begin{bmatrix} 5 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 9 & -8 \\ 0 & 0 & -8 & 11 \end{bmatrix} \qquad (3.18)
$$

Brevet 102

$$
R = 0.375 \frac{k}{m} \tag{3.19}
$$

$$
\omega = 0.612 \sqrt{\frac{k}{m}} \tag{3.20}
$$

Brevet 102 bis

$$
R = 1.07 \frac{k}{m} \tag{3.21}
$$

$$
\omega = 1.04 \sqrt{\frac{k}{m}} \tag{3.22}
$$

Brevet 103

$$
\omega_1 = 0.560 \sqrt{\frac{k}{m}} \qquad (3.23)
$$

$$
\omega_2 = 0.912 \sqrt{\frac{k}{m}} \qquad (3.24)
$$

$$
\omega_3 = 1.82 \sqrt{\frac{k}{m}} \qquad (3.25)
$$
Brevet 104

$$
\vec{v}_1 = [0.789\ 1.06\ 1.000]^t \qquad (3.26)
$$

$$
\vec{v}_2 = [-0.459 - 0.498\ 1.000]^t \quad (3.27)
$$

$$
\vec{v}_1 = [49.7 - 7.96\ 1.000]^t \qquad (3.28)
$$

Brevet 105

$$
M' = m \begin{bmatrix} 24.25 & -2.75 \\ -2.75 & 1.80 \end{bmatrix} \qquad (3.29)
$$

$$
K' = k \begin{bmatrix} 8.0 & -1.45 \\ -1.45 & 3.84 \end{bmatrix} \qquad (3.30)
$$

Brevet 105 bis

$$
M' = m \begin{bmatrix} 24.5 & 7.2 \\ 7.2 & 5.77 \end{bmatrix} \qquad (3.31)
$$

$$
K' = k \begin{bmatrix} 26.75 & 21.5 \\ 21.5 & 26.38 \end{bmatrix} \qquad (3.32)
$$

Brevet 106 1. la fonction ψ_b(x) car elle vérifie les conditions aux limites cinématiques et dynamiques aux liaisons. La fonction ψ_a(x) est adaptée car elle vérifie les conditions cinématiques. La fonction ψ_c(x) n'est pas adaptée car elle ne vérifie pas les conditions cinématiques, la pulsation est infinie.
2.

$$
\omega_a = 8 \sqrt{\frac{EI_{qz}}{l^3 \left(\frac{8}{15} l \rho S + m\right)}}
$$

$$
\omega_b = \frac{\pi^2}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{EI_{qz}}{l^3 \left(\frac{1}{2} l \rho S + m\right)}}
$$

$$
\omega_c = \infty.
$$

Brevet 106 bis cas général : $\omega^2 = \frac{315(2eia+3esa+3ka)}{4792esa} \omega_0^2$

$$
\text{effort normal négligé : } \omega^2 = \frac{315(2eia+3ka)}{4792esa} \omega_0^2
$$

Brevet 107 Si l'on choisit $f_1(s_1) = \alpha(s_1/l)^2$ et $f_2(s_2) = \alpha(s_2/l)^2$, alors $\omega_1 = 2.53 \sqrt{\frac{EI}{\rho SI^4}}$

Brevet 108 1.

$$
\bullet N = 0
$$

$$
\bullet T_y = F + \int_{x_g}^{b} p(x) dx
$$

$$
\bullet M_{fz} = F(b - x_g) + \int_{x_g}^{b} p(x)(x - x_g)dx
$$

$$
2. v(y) = \int_{0}^{x_g} \left[ \frac{F(b-x_p) + \int_{x_p}^{b} p(x)(x-x_p)dx}{EI_{gz}} (x_g - x_p)dx_p \right]
$$

3.

Brevet 109 L'espace de recherche de solution n'est pas restreint à 2 droites, mais au plan engendré par ces deux droites.

Brevet110 Attribution par JM Génevaux

Brevet 111 Attribution par JM Génevaux
Brevet 112

* avec $\psi(s) = s$, $\omega^2 = \infty$

* avec $\psi(s) = s^2$, $\omega^2 = \frac{20 EI_{gz}}{1+5\tilde{m} \rho Sl^4}$

* avec $\psi(s) = -\frac{s^3}{6} + \frac{ls^2}{2}$, $\omega^2 = \frac{420 EI_{gz}}{33+140\tilde{m} \rho Sl^4}$

* avec $\psi(s) = \frac{s^6}{360} - \frac{l^3 s^3}{18} + \frac{l^4 s^4}{8}$, $\omega^2 = \frac{47320 EI_{gz}}{3827+15379\tilde{m} \rho Sl^4}$

Brevet 113 Attribution par JM Génevaux

Brevet 114 Attribution par JM Génevaux

Brevet 115 Les pulsations propres convergent vers :

* itération 4 : $\omega = .560\sqrt{k/m}$

Brevet 115 bis La pulsation propre converge vers $\omega = 0.689\sqrt{k/m}$. Le vecteur propre associé à convergence est $\vec{v} = [1, 4.53, 8.28, 7.28]^t$.

Brevet 115 ter La pulsation propre converge vers $\omega = 0.796\sqrt{k/m}$. Le vecteur propre associé à convergence est $\vec{v} = [0.732, 0.366, 1.00]^t$.

Brevet 116 Les pulsations propres convergent vers : $\omega = 0.912\sqrt{k/m}$, de vecteur propre $\vec{v}_2 = [-0.459 - 0.498\ 1.000]^t$

Brevet 117

* a) la condition cinématique en A implique que $\psi(0) = 0$

* b) la condition dynamique en A implique que le moment fléchissant est nul, donc $\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}(0) = 0$

* c) une forme propre est définie à une constante multiplicative près : c'est le ratio de $\delta$ et $\beta$ qui influe sur la forme propre.

* d) $\omega^2 = 105 \omega_0^2 \frac{(\tilde{k} \tilde{\beta}^2 + 8 \tilde{k} \tilde{\beta} + 16 \tilde{k} + 192)}{105 \tilde{m} \tilde{\beta}^2 + 210 \tilde{m} \tilde{\beta} + 105 \tilde{m} + 61440 + 10752 \tilde{\beta} + 560 \tilde{\beta}^2}$

* e) On recherche le minimum du coefficient de Rayleigh en fonction de $\tilde{\beta}$, car la pulsation propre obtenue majore toujours la pulsation propre réelle. Ceci nous donne graphiquement $\tilde{\beta} = 36$.

* f) $\omega = 0.378 \omega_0$

Brevet 118

$$ \frac{\partial \phi_{11}}{\partial k1} = -.06343161808 \qquad (3.33) $$

$$ \frac{\partial \phi_{12}}{\partial k1} = .02114387269 \qquad (3.34) $$

Brevet 119 en m²/N :

$$ \frac{\partial \phi_{11}}{\partial k1} = -.06652424829 \qquad (3.35) $$

$$ \frac{\partial \phi_{12}}{\partial k1} = .02851039213 \qquad (3.36) $$
**Brevet 120** Si l'on pose $\sigma_0 = \frac{6Fl}{bh_1^2}$, $\tilde{x} = x/l$, $\tilde{h} = h_2/h_1$, $\tilde{\sigma} = \hat{\sigma}/\sigma_0$, 
Pour $\tilde{x}$ compris entre 0 et 0.5 :

$$ \hat{\sigma} = \frac{1}{0.24} (0.375 + (0.188 - 0.375)\tilde{x}) \qquad (3.37) $$

Pour $\tilde{x}$ compris entre 0.5 et 1 :

$$ \hat{\sigma} = \frac{1}{0.24} \left( 0.75 + (0. - 0.75) \frac{\tilde{x} - 1}{0.5 - 1} \right) \qquad (3.38) $$

**Brevet 121** Pour chaque élément $i$,

$$ e_i^2 = \frac{Ebl}{3} \int_{\tilde{x}_{i1}}^{\tilde{x}_{i2}} (\sigma_i^*(\tilde{x}) - \hat{\sigma}_i(\tilde{x}))^2 d\tilde{x} \qquad (3.39) $$

Il faut porter l'effort de discrétisation sur le second élément :

* $e_1^2 = 0.0190 Ebl$ soit 20% de la somme

* $e_2^2 = 0.0762 Ebl$ soit 80% de la somme

**Brevet 122**

* $e_{e1}^2 = 0.0143 Ebl$ soit 13% de la somme

* $e_{e2}^2 = 0.1000 Ebl$ soit 87% de la somme

L'effort de raffinement porte sur le même élément : le second.

**Brevet 123**

$$ MAC = \begin{bmatrix} 0.9996165666 & 0.07950055744 \\ 0.01147021128 & 0.9749478412 \end{bmatrix} \qquad (3.40) $$

**Brevet 124**

$$ MAC_{mod} = \begin{bmatrix} 0.9997293164 & 0.0002706836245 \\ 0.03752589761 & 0.9624741025 \end{bmatrix} \qquad (3.41) $$

Les termes hors diagonales devraient être nuls si les modes expérimentaux et du modèle coincident

**Brevet 125** L'amortissement n'est pas proportionnel.

$$ \text{Brevet 126} \quad \omega_{m1} = (0.735 + 0.048i) s^{-1}; \phi_{m1} = \begin{bmatrix} 0.586 + 0.107i \\ 0.803 \end{bmatrix} \text{ m.} $$

$$ \omega_{m2} = (2.510 + 0.583i)s^{-1}; \phi_{m2} = \begin{bmatrix} 0.457 + 0.083i \\ 0.626 \end{bmatrix} \text{ m.} $$

$$ \text{Brevet 127} \quad \omega_{m1} = 0.707 s^{-1}; \phi_{m1} = \begin{bmatrix} 0.426 \\ 0.640 \end{bmatrix} \text{ m.} $$

$$ \omega_{m2} = 2.449s^{-1}; \phi_{m2} = \begin{bmatrix} 0.905 \\ -0.316 \end{bmatrix} \text{ m.} $$
**Brevet 128** Pour la méthode de l'amplitude, $\phi_{a1} = \begin{bmatrix} 0.464 \\ 0.626 \end{bmatrix}$ m ; $\phi_{a2} = \begin{bmatrix} 0.885 \\ -0.328 \end{bmatrix}$ m.

Pour la méthode de la transformation complexe, $\phi_{a1} = \begin{bmatrix} 0.462 \\ 0.626 \end{bmatrix}$ m ; $\phi_{a2} = \begin{bmatrix} 0.885 \\ -0.324 \end{bmatrix}$ m.

La matrice de MAC avec le vecteur obtenu par la méthode de l'amplitude, $MAC = \begin{bmatrix} 1.01 & 0.05 \\ 0.09 & 0.99 \end{bmatrix}$

La matrice de MAC avec le vecteur obtenu par la méthode de la transformation complexe, $MAC = \begin{bmatrix} 1.01 & 0.05 \\ 0.09 & 0.99 \end{bmatrix}$

**Brevet 129**

$$M_r = \begin{bmatrix} 2.36 \end{bmatrix} \qquad (3.42)$$

$$K_r = \begin{bmatrix} 1.20 \end{bmatrix} \qquad (3.43)$$

$$\omega = 0.509 \qquad (3.44)$$

$$\phi = \begin{bmatrix} 0.372 \\ 0.620 \end{bmatrix} \qquad (3.45)$$

**Brevet 130**

$$M_r = \begin{bmatrix} 1.94 \end{bmatrix} \text{kg} \qquad (3.46)$$

$$K_r = \begin{bmatrix} 2.29 \end{bmatrix} \text{N/m} \qquad (3.47)$$

$$\omega = (1.08)s^{-1} \qquad (3.48)$$

$$\phi = \begin{bmatrix} .278 \\ .404 \end{bmatrix} \qquad (3.49)$$

Une méthode itérative est possible : on considère comme pulsation de référence, la pulsation obtenue (ici à l'itération 1 : 1.084992200)

**Brevet 131**

$$M_r = \begin{bmatrix} 1.946889993 \end{bmatrix} \qquad (3.50)$$

$$K_r = \begin{bmatrix} 2.291894621 \end{bmatrix} \qquad (3.51)$$

$$\omega = 1.084992200 \qquad (3.52)$$

$$\phi = \begin{bmatrix} .4931329920 \\ .7166866150 \end{bmatrix} \qquad (3.53)$$

Une méthode itérative est possible : on considère comme pulsation de référence, la pulsation obtenue (ici à l'itération 1 : 1.084992200)

**Brevet 132** Si l'on pose $\sigma_0 = \frac{6Fl}{bh_1^2}$, $\tilde{x} = x/l$, $\tilde{h} = h_2/h_1$, $\tilde{\sigma} = \sigma/\sigma_0$,

$$\tilde{\sigma} = \frac{1 - \tilde{x}}{(1 + (\tilde{h} - 1)\tilde{x})^2} \qquad (3.54)$$

**Brevet 133** oui

**Brevet 134** $T_{\text{poutre}} = \frac{1}{10} m_p a^2 \omega^2 \sin(\omega t)^2$, $T_{\text{masse}} = \frac{1}{2} m a^2 \omega^2 \sin(\omega t)^2$

**Brevet 135** $\omega = 2.09 \text{ s}^{-1}$

**Brevet 136** $f = 25 \text{ Hz}$
Brevet 137 non

Brevet 138 oui.

Brevet 139 non

Brevet 140 oui

Brevet 141 D=10 kgm²s⁻³

Brevet 142 Non. Singularité en v=0.

Brevet 143 f=0.32 Hz

Brevet 144 Non

Brevet 145 Phase : oui. Amplitude : non

Brevet 146 mₐₚ = 177 kg, Jₐₚ = 7,08 kgm²

Brevet 147 oui

Brevet 148 oui

Brevet 149 ω₉ = 1,85 s⁻¹

Brevet 150 ζ = 0.0625

Brevet 151 voir figure 3.18

Brevet 152 k < 17,9 10³ Nm⁻¹

Brevet 153 Non. xₙₐₚ = 0,035 m

Brevet 154 η = 0.95, η₁ = 0.6

Brevet 155 β est sans unité.

Brevet 156 ζ = 0.0625

Brevet 157 voir figure 3.19

Brevet 158 F = 8 N et t₁ = 0.75π

Brevet 159 ζ = 0.0629, m = 2.01 kg, k = 8.00 Nm⁻¹

Brevet 160 x₁ = -9.63 sin(2πt) m, x₂ = 0.651 sin(2πt) m

Brevet 161 ωₜ = 2.83 s⁻¹

Brevet 162 K̃ = [ 8 -3.54 ]
[-3.54 2.5 ]
<figure><img src="image_115.png" /><figcaption>Figure 3.18: Fonctions de réponse en fréquence dans le plan de Nyquist.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_116.png" /><figcaption>Figure 3.19: Evolution des parties réelle (au dessus) et partie imaginaire (en dessous) de la fonction de réponse en fréquence d'un système sans amortissement.</figcaption></figure>

$$ \text{Brevet 163} \quad P = \begin{bmatrix} 0.439 & 0.898 \\ 0.898 & -0.439 \end{bmatrix} $$

$$ \text{Brevet 164} \quad v_{n1} = \begin{bmatrix} 0.327 \\ 0.668 \end{bmatrix}, v_{n2} = \begin{bmatrix} 0.822 \\ 0.402 \end{bmatrix} $$

$$ \text{Brevet 165} \quad x_1 = 0.0438 \text{ m}, x_2 = 0.207 \text{ m} $$

$$ \text{Brevet 166} \quad \tilde{C} = \begin{bmatrix} 4.00 & -2.47 \\ -2.47 & 2.52 \end{bmatrix} \text{ N.s/m} $$

Brevet 167 Autoattribution.

Brevet 168 Autoattribution.

Brevet 169 Autoattribution.

Brevet 170 Autoattribution.

Brevet 171 Autoattribution.

Brevet 172 Autoattribution.

Brevet 173 Autoattribution.
**Brevet 174** Les vecteurs normés sont,

* pour la première pulsation propre mesurée $\omega_1 = .68$,

$$ \phi_1 = \begin{bmatrix} .96 \\ .33 \end{bmatrix} \qquad (3.55) $$

* pour la seconde pulsation propre mesurée $\omega_1 = 2.1$,

$$ \phi_1 = \begin{bmatrix} -.69 \\ -.50 \end{bmatrix} \qquad (3.56) $$

Il est **anormal** que le second mode **ne présente pas** des mouvements des masses en **opposition de phase**. Il doit y avoir quelque chose de faux dans notre modélisation.

**Brevet 175** Les vecteurs sont,

* pour la première pulsation propre mesurée,

$$ \phi_1 = \begin{bmatrix} 0.42 \\ .63 \end{bmatrix} \qquad (3.57) $$

* pour la seconde pulsation propre mesurée,

$$ \phi_2 = \begin{bmatrix} -0.70 \\ 0.23 \end{bmatrix} \qquad (3.58) $$

**Brevet 176** $\omega = 2\sqrt{\frac{EI}{l^3(\frac{lpS}{30} + \frac{m}{16})}}$

**Brevet 177** $k_1 = 1.26k, k_2 = 1.82k, k_3 = 1.38k, k_4 = 1.4k, k_5 = 1.42k$.

**Brevet 178** $\omega = 2\sqrt{30}\sqrt{\frac{EI}{\rho Sl^4}}$

**Brevet 179** $R_{Bi} = 0, R_{Bj} = 0, R_{Bk} = 0, C_{Bi} = 648a \ [N], C_{Bj} = 0, C_{Bk} = 348a \ [N], REj = -324 \ [N],$ isostatique.

**Brevet 180** Au point S, les actions du cube sur le cylindre sont, en [N] pour la résultante et en [N.m] pour le moment $\{\tau\} = \begin{Bmatrix} -324\vec{j} \\ -3a324\vec{k} \end{Bmatrix}_S$

**Brevet 181** Au point S, les actions du cube sur le cylindre sont, en [N] pour la résultante et en [N.m] pour le moment $\{\tau\} = \begin{Bmatrix} 324\vec{j} \\ 2a324\vec{k} \end{Bmatrix}_S$

**Brevet 182** Au point U, si le repère local est $\vec{x} = \vec{i}, \vec{y} = \vec{j}, \vec{z} = \vec{k}$, les composantes du torseur des efforts intérieurs sont : un effort tranchant $T_y = -324[N]$ et un moment fléchissant autour de l'axe U$\vec{z}$ $M_{fz} = -2.95a324[N.m]$.

**Brevet 183**

$$ M = m \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \qquad (3.59) $$

$$ K = k \begin{bmatrix} 4 & -3 & 0 & 0 \\ -3 & 8 & -1 & -4 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & 0 & 4 \end{bmatrix} \qquad (3.60) $$
**Brevet 184**

$$ \{\tau_{S_2/S_1}\} = \left\{ \begin{array}{l} F \sin 3\pi/8\vec{n} + F \cos 3\pi/8\vec{m} \\ -aF \cos 3\pi/8\vec{n} + aF \sin 3\pi/8\vec{m} + aF \vec{k} \end{array} \right\}_O, \qquad (3.61) $$

Avec $\vec{m}$ le vecteur appartenant au plan tangent et orthogonal à $\vec{n}$.

**Brevet 185** $\sigma_{yx} = 75000$ Pa.

**Brevet 186** $\sigma_{xx1} = -0.15$ MPa, $\sigma_{xx2} = 0.15$ MPa.

**Brevet 187** a) $u_j = 0$ ; b) $u_i = 0$, $u_j = 0$ et $\omega = 0$ ; c) $u_j = 0$ et $\omega = 0$ ; d) aucune condition ; e) $u_i = 0$ et $u_j = 0$

**Brevet 188** Voir figure 3.20

<figure><img src="image_117.png" /><figcaption>Figure 3.20: Exemple de deux déformées qui respectent les conditions aux limites.</figcaption></figure>

**Brevet 189** Voir figure 3.21

**Brevet 190** $\psi(s) = a \left( \frac{-11}{3} + \frac{s}{a} + \frac{3}{4} \frac{s^2}{a^2} + \frac{1}{6} \frac{s^3}{a^3} \right)$

**Brevet 201** $(x^1 = a_1; x^2 = a_2 - a_1; x^3 = a_3 - a_2)$ ; $(y^1 = b_1; y^2 = b_2 - b_1; y^3 = b_3 - b_2)$

**Brevet 202** $(x_1 = a_1 + a_2 + a_3; x_2 = a_2 + a_3; x_3 = a_3)$ ; $(y_1 = b_1 + b_2 + b_3; y_2 = b_2 + b_3; y_3 = b_3)$

**Brevet 203** $(x_1 = 7; x_2 = 3; x_3 = 2)$ ; $(x^1 = 4; x^2 = -3; x^3 = 1)$

**Brevet 204** $\vec{A} \cdot \vec{B} = 17$

**Brevet 205** $\vec{X} \otimes \vec{Y} = 10\vec{e}_1 \otimes \vec{e}_1 + 6\vec{e}_1 \otimes \vec{e}_2 + 20\vec{e}_2 \otimes \vec{e}_1 + 12\vec{e}_2 \otimes \vec{e}_2$

**Brevet 206** non

**Brevet 207** $a = -2.6, b = 9.8$

**Brevet 208** 5.97
<figure><img src="image_118.png" /><figcaption>Figure 3.21: Exemple d'une forme modale plausible pour le premier mode propre, qui respectent les conditions aux limites.</figcaption></figure>

Brevet 209 56

Brevet 210 $č = 25x - 15y + 12z$

Brevet 211 non

Brevet 212 non

Brevet 213 oui

Brevet 214 non

Brevet 215 oui

Brevet 216 62.7

Brevet 217 $a = 18$

Brevet 218 $-3.53$

Brevet 219 0.370

Brevet 220 7.30

Brevet 221 $I_1 = 12\sin(6y) + 156$, $I_2 = 3x^3 + x(\frac{1}{6} - \frac{\cos(18)}{6})$, $I_3 = 9(x^3 + x\sin(6y))$

Brevet 222 oui

Brevet 223 oui

Brevet 224 $L^2 T^{-1}, m^2 s^{-1}$

Brevet 224 bis $M L^{-1} T^{-1}, kg m^{-1} s^{-1}$
<figure><img src="image_119.png" /><figcaption>Figure 3.22: correction du brevet 229.</figcaption></figure>

Brevet 225 $c=20$

Brevet 226 $\vec{a} = 5.83\vec{x}_1 - 0.098\vec{y}_1$

Brevet 227

$$m\ddot{x} = -\frac{F}{2}\sin(\omega t) - \frac{\sqrt{3}}{2}c\sin(\alpha)\dot{x} - kx, \quad (3.62)$$

$$0 = \frac{\sqrt{3}}{2} F \sin(\omega t) - \frac{c}{2} \sin(\alpha) \dot{x}. \quad (3.63)$$

Brevet 228 $s^7.m^{-3}.kg^{-3}.A^2$

Brevet 229 voir Fig. 3.22

Brevet 230

* $\log(2.1) = 0.742$,

* $\log_{10}(2.1) = 0.322$,

* $e^{3.2} = 24.5$,

* $p = 141.3$ dB,

* $a = 0.140$ m.s$^{-2}$.

Brevet 231 $r = 1.53$

Brevet 232

* les modes propres de la plaque : cylindrique,

* la pression à une grande distance de la plaque : sphérique

Brevet 233 $\text{trace}(\bar{\sigma}=70)$ MPa.

Brevet 234 $a = 28.8, b = 413.9$ m.

Brevet 235 $a = 3 \ 10^4, b = 1 \ 10^2$ m.kg.s.

Brevet 236
237 $\vec{e} = (-0.43\vec{x} + 0.4\vec{y} - 1.14\vec{z})$ [m]

Brevet 238 allongement total = 0.076 [m]

Brevet 239 vitesse moyenne = 61 [km/h]

Brevet 240 $\Delta T/T = 3.21 \%$

Brevet 241 $t_2 = 16$ [mn]
$t_3=1$ [j] + 13 [h] + 20 [mn]

Brevet 242 $l_1 = 5.5$ [m], $m = 120$ tours

Brevet 244 $\Delta M/M = -2.1 \%$

Brevet 300 Pour le véhicule 1 : $\frac{dx_1}{dt} = 25.9$ m/s, $\frac{d^2x_1}{dt^2} = -0.5$ m.s⁻². Pour le véhicule 2 : $\frac{dx_1}{dt} = 27.8$ m/s, $\frac{d^2x_1}{dt^2} = 0$ m.s⁻².

Brevet 301 $\frac{\partial v}{\partial t}$ voisin de 0.174 m.s⁻².

Brevet 302
a) $\bar{\bar{grad}}\vec{u} = \begin{bmatrix} 0 & -0.02 & 0 \\ 0.02 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} \otimes (\vec{x},\vec{y},\vec{z})$
b) $\bar{\bar{grad}}\vec{u} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.05 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} \otimes (\vec{x},\vec{y},\vec{z})$

Brevet 303
a) $\bar{\bar{grad}}\vec{u} = 10^{-4} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} \otimes (\vec{x},\vec{y},\vec{z})$
b) $\bar{\bar{grad}}\vec{u} = 10^{-4} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 250 \\ 0 & 250 & 25 \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} \otimes (\vec{x},\vec{y},\vec{z})$

Brevet 304
a) $\vec{u}_M = (-4\vec{x} + 2\vec{y}) 10^{-4} m$ ; b) $\vec{u}_M = 10^{-3} \vec{z} m$

Brevet 305
a) $\bar{\bar{\epsilon}} = \bar{0}$ ; b) $\bar{\bar{\epsilon}} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.025 \\ 0 & 0.025 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} \otimes (\vec{x},\vec{y},\vec{z})$

Brevet 306 $\bar{\bar{\epsilon}}(P, \vec{n}) = (\frac{130}{\sqrt{3}}\vec{x} + \frac{200}{\sqrt{3}}\vec{y} + \frac{100}{\sqrt{3}}\vec{z}) 10^{-6}$

Brevet 307 $\epsilon_{nn} = 143 10^{-6}$

Brevet 308 $\epsilon_{11} = -86.1 10^{-6}$, $\epsilon_{22} = 116.1 10^{-6}$ et $\epsilon_{33} = 200 10^{-6}$

Brevet 309 $\vec{e}_1 = 0.652\vec{x} - 0.758\vec{z}$, $\vec{e}_2 = 0.758\vec{x} + 0.652\vec{z}$, $\vec{e}_3 = \vec{y}$

Brevet 310

$$ \bar{\bar{\epsilon}} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0.25 \\ 1 & 0 & 0.5 \\ 0.25 & 0.5 & 3 \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} \quad \text{s}^{-1}, \qquad (3.64) $$

$$ \bar{\bar{\Omega}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -0.25 \\ -1 & 0 & -0.5 \\ 0.25 & 0.5 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} \quad \text{s}^{-1}. \qquad (3.65) $$
Brevet 311 $\vec{rotv} = 1\vec{x} - 0.5\vec{y} - 2\vec{z}$

Brevet 312

$$ \vec{\epsilon} = \begin{bmatrix} 30 & 10 & ? \\ 10 & 50 & ? \\ ? & ? & ? \end{bmatrix}_{(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \otimes (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})} 10^{-6}. \qquad (3.66) $$

Brevet 313 $\vec{n} = 0.707\vec{x} + 0.707\vec{y}$

Brevet 314 a) $\theta = 0$ ; b) $\theta = 0$

Brevet 315 $K_1 = 230 \ 10^{-6}, K_2 = -4.00 \ 10^{-9}, K_3 = -2.00 \ 10^{-12}$.

Brevet 316 Voir figure 3.23

<figure><img src="image_120.png" /><figcaption>Figure 3.23: Demi-cercles de Morh du brevet 316.</figcaption></figure>

Brevet 317 Voir figure 3.24

<figure><img src="image_121.png" /><figcaption>Figure 3.24: Tricercle de Morh du brevet 317.</figcaption></figure>
**Brevet 318** 1/4 pont : $\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}} = 150 \ 10^{-6}$ ; 1/2 pont : $\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}} = -43 \ 10^{-6}$.

**Brevet 319** $\vec{\Gamma} = -1.3 \ 10^{-3} \vec{x} \ \text{m.s}^{-2}$

**Brevet 320** $\vec{F}_{mv} = 590 \ \text{N} \ \vec{x}$, $\vec{F}_{vm} = -590 \ \text{N} \ \vec{x}$, $\vec{F}_{ac} = 590 \ \text{N} \ \vec{x}$, $\vec{F}_{vc} = -590 \ \text{N} \ \vec{x}$, $\vec{F}_{c2} = -590 \ \text{N} \ \vec{x}$, $\vec{F}_{c3} = 1200 \ \text{N} \ \vec{x}$, $\vec{F}_{c4} = -1200 \ \text{N} \ \vec{x}$,

**Brevet 321** $\vec{T}(\vec{P},\vec{x}) = \vec{0}$, $\vec{T}(\vec{P},\vec{y}) = -428 \vec{y}$ Pa, $\vec{T}(\vec{P}, \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{x} + \frac{1}{2} \vec{y}) = -212 \vec{y}$ Pa.

**Brevet 322** Si $\vec{z}$ est le vecteur unitaire ascendant (dans la direction et le sens opposé à la pesanteur), il parle de $\sigma_{zz}$ ; Les 8 autres composantes sont nulles ; $\sigma_{zz}(z_p) = (5.4 - 0.015(z_n - z_p))$ MPa si $z$ est exprimé en m.

**Brevet 323** $\bar{\bar{\sigma}}_A = \begin{bmatrix} ? & -0.032 & ? \\ -0.032 & -0.040 & 0 \\ ? & 0 & ? \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} \times (\vec{x},\vec{y},\vec{z}) \quad 10^6 \ \text{Pa}$;

$\bar{\bar{\sigma}}_B = \begin{bmatrix} ? & 0 & ? \\ 0 & 0 & 0 \\ ? & 0 & ? \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} \times (\vec{x},\vec{y},\vec{z}) \quad 10^6 \ \text{Pa}$;

$\bar{\bar{\sigma}}_C = \begin{bmatrix} -0.107 & 0 & 0 \\ 0 & ? & ? \\ 0 & ? & ? \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} \times (\vec{x},\vec{y},\vec{z}) \quad 10^6 \ \text{Pa}$;

$\bar{\bar{\sigma}}_D = \begin{bmatrix} ? & 0 & ? \\ 0 & -0.011 & 0 \\ ? & 0 & ? \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} \times (\vec{x},\vec{y},\vec{z}) \quad 10^6 \ \text{Pa}$;

**Brevet 324** $\bar{\bar{\sigma}}_S = \begin{bmatrix} -0.013 & 0 & 0 \\ 0 & -0.013 & 0 \\ 0 & 0 & -0.013 \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} \times (\vec{x},\vec{y},\vec{z}) \quad 10^6 \ \text{Pa}$,

$\bar{\bar{\sigma}}_D = \begin{bmatrix} 0.013 & -0.032 & 0 \\ -0.032 & -0.027 & 0 \\ 0 & 0 & 0.013 \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} \times (\vec{x},\vec{y},\vec{z}) \quad 10^6 \ \text{Pa}$.

**Brevet 325** $J_1 = 0$ Pa, $J_2 = 1.6 \ 10^9 \ \text{Pa}^2$ et $J_3 = -1.8 \ 10^{13} \ \text{Pa}^3$.

**Brevet 326** Au point P1, $\vec{u} = \vec{0}$.

**Brevet 327** 12.354 cm

**Brevet 329** a) Au point P1, $u_z = 0$. b) Au point P1, $u_r = 0$, $u_\theta = 0$ et $u_z = 0$. c) Au point P1, $u_z = 0$, au point P2 $u_r = 0$.

**Brevet 330** a) Au point P1, $\sigma_{rz} = 0$ et $\sigma_{\theta z} = 0$, au point P2 $\sigma_{rr} = 0$, $\sigma_{\theta r} = 0$ et $\sigma_{z r} = 0$, au point P3 $\sigma_{rz} = 0$, $\sigma_{\theta z} = 0$, $\sigma_{zz} = -\frac{F}{\pi r^2}$. b) Au point P2 $\sigma_{rr} = 0$, $\sigma_{\theta r} = 0$ et $\sigma_{z r} = 0$, au point P3 $\sigma_{rz} = 0$, $\sigma_{\theta z} = 0$, $\sigma_{zz} = -\frac{F}{\pi r^2}$. c) Au point P1, $\sigma_{rz} = 0$ et $\sigma_{\theta z} = 0$, au point P2 $\sigma_{\theta r} = 0$ et $\sigma_{z r} = 0$, au point P3 $\sigma_{rz} = 0$, $\sigma_{\theta z} = 0$, $\sigma_{zz} = -\frac{F}{\pi r^2}$ et au point P4 $\sigma_{rr} = 0$, $\sigma_{\theta r} = 0$ et $\sigma_{z r} = 0$.

**Brevet 331** a) Pour la craie, le comportement élastique n'est pas observable à l'oeuil, le comportement plastique non plus et la rupture est fragile.

b) Pour le fil de fer, le comportement élastique est observable à l'oeuil, le comportement plastique aussi et la rupture est ductile.

c) Pour le spagetti, le comportement élastique est observable à l'oeuil, le comportement plastique n'est pas observable et la rupture est fragile.
**Brevet 332** Au point P2, $\sigma_{xx} \cos \alpha + \sigma_{xy} \sin \alpha = 0$ et $\sigma_{yx} \cos \alpha + \sigma_{y} \sin \alpha = 0$.
Au point P3, $\sigma_{xx} = 0$ et $\sigma_{yx} = 0$.
Au point P4, $\sigma_{xx} = -\rho g (h - y_p)$ et $\sigma_{yx} = 0$.

**Brevet 333** Pour Von-Mises, $\sigma_{eq} = \text{MPa}$, donc domaine.
Pour Tresca, $\tau_{max} = 145 \text{ MPa}$, donc domaine non élastique.

**Brevet 401** La relation théorique doit être vérifiée. Autoattribution.

**Brevet 402** Le détenteur du brevet vérifie vos trois réglages.

**Brevet 403** Le détenteur du brevet vérifie la validité de vos trois mesures.

**Brevet 404** Le détenteur du brevet vérifie la validité de vos trois mesures.

**Brevet 501** 1)V ; 2)V ; 3)V ; 4)V ; 5)F ; 6)V ; 7)V ; 8)V ; 9)V ; 10)F ; 11)F

**Brevet 502** Si vous avez échangé avec une autre personne sur vos réponses et propositions : Autoattribution.

**Brevet 503** Voir figure 3.25

<figure><img src="image_122.png" /><figcaption>Figure 3.25: Bonne nouvelle ! L'arbre des connaissances du gouvernement de Nicolas n'est pas vide !</figcaption></figure>

**Brevet 504** Voir figure 3.26

**Brevet 505** gestion des aléas : orange. théorie des poutres : verte. modélisation : verte. 90% des étudiants travaillent jusqu'à obtenir la moyenne.

**Brevet 506** Si vous avez échangé avec une autre personne sur vos réponses et propositions : Autoattribution.

**Brevet 507** Si vous avez pour chaque identifiant, le lot de compétences associées : Autoattribution.

**Brevet 508** Si vous avez construit le graphe liant les lots de compétences : Autoattribution.
**Brevet 509** Si vous avez collaboré avec un collègue pour lier vos deux graphes de lots de compétences : Autoattribution.

**Brevet 510** Si vous avez pour chaque question de td identifié la ou les compétences nécessaires : Autoattribution.

**Brevet 511** Si vous mis sous forme de brevet la compétence choisie : Autoattribution.

**Brevet 601** b

**Brevet 602** a

**Brevet 603** au nombre de mouvements de corps rigide du solide

**Brevet 604** $\frac{f_i - f_{iconverge}}{f_{iconverge} - nbddl^3}$

**Brevet 605** a) vrai

**Brevet 606** b) en déformations planes

**Brevet 607** 1 : 2D, ligne moyenne, plaque, élasticité linéaire, axisymétrie et symétrie/ligne, forces centrifuges ; 2 : 2D, surfacie, déformations planes, élasticité linéaire, encastrement à la base, chargement en pression dûe à l'eau et poids propre ; 3 : 2D, ligne moyenne, poutre, encastrement à la base, chargement poids propre et poids du voleur, pas de symétrie, élasticité linéaire anisotrope ; 4 : 1D, ligne, symétrie sphérique, chargement pression extérieure, pas de cl ; 5 : si d'axe horizontal, 2D, symétrie/axe de type Fourier, chargement en pression décomposée en série de Fourier, symétrie / 2 plans perpendiculaires, élasticité linéaire isotrope ; 6 : à l'échelle de quelques mailles, 3D, lignes moyennes, barres, chargement aux noeuds dus à l'écoulement, pas de symétrie, élasticité linéaires

**Brevet 607 bis** 1 : espace 3D, éléments linéiques, type poutre, élasticité linéaire, pas de symétrie, liaison interne pivot avec raideur entre l'axe de l'éolienne et le mat, encastrement à la base, chargement sur les pales et le mat par une force linéique. 2 : espace 1D, élément ponctuel de type axisymétrique, thermo-élasticité linéaire, chargement par une force radiale, pas de conditions aux limites. 3 : espace 3D, éléments volumiques, élasticité linéaire, plan de symétrie dans le plan milieu de l'épaisseur du disque, encastrement sur la circonférence du moyeu, forces centrifuges volumiques, forces de pression normale et tangentielle sur la zone de contact entre la plaquette et le disque.

**Brevet 607 ter** 1 : espace 3D, éléments à feuillet moyen, éléments de type coque, élasticité linéaire, plan de symétrie vertical contenant le plan milieu du siège, chargement surfacique du fait du poids de la personne, encastrement aux points de fixation du siège. 2 : espace 3D, une ligne moyenne, modèle de type poutre, encastrement aux 2 points "haut", forces linéiques et de traînée du fluide sur le fouet. 3 : espace 3D, éléments de type poutre, encastrement à la base du tronc, élasticité linéaire anisotrope, chargement linéique de poids propre et du fluide sur chaque branche.

**Brevet 608** $\omega_{1sans} = 5600 \text{ s}^{-1}$.

**Brevet 608bis** écart=0.302 %, $h_{10} = 0.08 \text{ mm}$

**Brevet 609** $K_{e812} = -2.63 \times 10^4 \text{ N}$

**Brevet 609 bis** $K_{e36} = 0 \text{ N}$

**Brevet 609 ter** non
<figure><img src="image_123.png" /><figcaption>Figure 3.26: Le blason de Nicolas n’est pas vide non plus !</figcaption></figure>

Brevet 610 $I_0^c = 2.16 \ 10^{-10} \text{ m}^4$ ; non

Brevet 610 bis $I_0^c = 2.77 \ 10^{-5} \text{ m}^4$ ; oui

Brevet 610 ter $I_0^c = 9.75 \ 10^{-7} \text{ m}^4$ ; non

Brevet 610 quad $S_y = 3.92 \ 10^{-3} \text{ m}^4$ ; $S_z = 3.92 \ 10^{-3} \text{ m}^4$ ; non

Brevet 610 quin $S_y = 1.36 \ 10^{-3} \text{ m}^4$ ; $S_z = 4.07 \ 10^{-3} \text{ m}^4$ ; non

Brevet 610 sex $r_2 = ??? \text{ m}$ ; oui

Brevet 610 sept $r_2 = ??? \text{ m}$ ; ???

Brevet 611 Les deux fonctions vérifie la nullité au bord.

Brevet 612 La seconde fonction peut permettre d'obtenir la constance du laplacien sur la surface.

Brevet 613 encastrée-libre : -520 $i$ N
encastrée-articulée : -4240 $i$ N

Brevet 614 $f_c = -520 \text{ N}$
Forme de flambement : voir figure 3.27.

Brevet 615 oui ; $\Delta\sigma_{xx} = 0 \text{ Pa}$ ; à proximité de l'encastrement.

Brevet 616 $I_0^c = 2.16 \ 10^{-10} \text{ m}^4$

Brevet 617 oui ; $\Delta\sigma_{Von-Mises} = 0 \text{ Pa}$ avec RDM6, $\Delta\sigma_{Von-Mises} = 0.2 \ 10^5 \text{ Pa}$ avec Comsol

Brevet 618 voir figure 3.28. non

Brevet 619 voir figure 3.29. oui
<figure><img src="image_124.png" /><figcaption>Figure 3.27: Forme du premier mode de flambement.</figcaption></figure>

**Brevet 620** $f_c = 53$ N

Forme de flambement : voir figure 3.30.

**Brevet 621** $\vec{u}_B = m \cdot \text{non.}$

**Brevet 622** cas 1 : $0.0357 \, \vec{j} \, \text{m}$ cas 2 : $0.0357 \, \vec{j} \, \text{m}$ cas 3 : $1.06e-5 \, \vec{j} \, \text{m}$ cas 4 : $1.13e-5 \, \vec{j} \, \text{m}$

**Brevet 623** $k_y = \frac{1}{k_{yy}} = 0.833$

**Brevet 624** Pour $l = 0.15 \, \text{m}$, $\vec{u}_B = 3.5e-3 \, \text{m}$

Déplacements pour $l = 0.15 \, \text{m}$, voir figure ??.

Pour $l = 0.01 \, \text{m}$, $\vec{u}_B = 2.8e-7 \, \text{m}$

Déplacements pour $l = 0.01 \, \text{m}$, voir figure ??.

**Brevet 625** cas 1 : $\sigma_{vm} = \text{Pa}$. cas 2 : $\sigma_{vm} = \text{Pa}$.

**Brevet 627** cas 1 : $\sigma_{vm} = 25e6 \, \text{Pa}$. $F_{flam} = 91900 \, \text{N}$.

cas 2 : $\sigma_{vm} = 22e6 \, \text{Pa}$. $F_{flam} = 32700 \, \text{N}$.

**Brevet 629** $\sigma_{vm} = 9.45e6 \, \text{Pa}$. Localisation voir figure 3.31.

**Brevet 701** Si $\alpha$ est l'inclinaison de la surface par rapport à l'horizontale, alors $\alpha = 0$.

**Brevet 702** $\rho_h = 850 \, \text{kg.m}^{-3}$

**Brevet 703** $p_1 = 0.263 \, 10^5 \, \text{Pa}$, $p_1 = 3.83 \, 10^{-75} \, \text{Pa}$.

**Brevet 704** oui. $\vec{F} = \frac{abc}{2} \rho g (-\vec{j})$

**Brevet 705** $\vec{F} = 127 \, \text{N} \, \vec{n}$, avec $\vec{n}$ la normale au plan du panneau.

**Brevet 706** $F = 46.6 \, 10^3 \, \text{N}$

**Brevet 707** a) $\sigma = 28.5 \, \text{MPa}$, b) $\sigma = 38.4 \, \text{MPa}$, c) la coupe longitudinale
<figure><img src="image_125.png" /><figcaption>Figure 3.28: Calcul d'une déformée en petits déplacements.</figcaption></figure>

Brevet 708 $m_r = 4.91 \ 10^{-3} \text{ kg}$.

Brevet 709 $v_d = 0$.

Brevet 710 $m < 0.015 \text{ kg}$.

Brevet 711 Pour que le ballon en surface commence à couler $m_1 > 3 \text{ kg}$. Pour que le ballon au fond commence à remonter $m_2 < 2.58 \text{ kg}$.

Brevet 712 .

Brevet 713 $p = 1.79 \ 10^5 \text{ Pa}$.

Brevet 714 .

Brevet 715 .

Brevet 716 .
<figure><img src="image_126.png" /><figcaption>Figure 3.29: Calcul d'une déformée en grands déplacements.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_127.png" /><figcaption>Figure 3.30: Forme du premier mode de flambement.</figcaption></figure>

Brevet 717 $F = 126 \text{ N.}$

Brevet 718 .

Brevet 719 .

Brevet 720 .

Brevet 800 Une photo doit être déposée sur Moodle.

Brevet 801 Les conditions aux limites et chargement doivent être écrits sur Moodle.

Brevet 802 Les 3 évaluations doivent être faites et écrites sur Moodle.

Brevet 803

* si vous avez orienté la poutre de A vers E :

$$ \text{-- pour } H_1 : \vec{i} = \cos \theta \vec{y}_1 + \sin \theta \vec{x}_1, \vec{j} = -\cos \theta \vec{x}_1 + \sin \theta \vec{y}_1, \vec{k} = \vec{z}_1, ds = -ad\theta, $$
<figure><img src="image_128.png" /><figcaption>Figure 3.31: Les contraintes dans la cabine d'amerissage d'Appolo 13, sous une décélération de 5g.</figcaption></figure>

– pour $H_2 : \vec{i} = \vec{x}_2, \vec{j} = \vec{y}_2, \vec{k} = \vec{z}_2, ds = ds_2,$

• si vous avez orienté la poutre de E vers A :

– pour $H_1 : \vec{i} = \cos\theta\vec{y}_1 + \sin\theta\vec{x}_1, \vec{j} = -\cos\theta\vec{x}_1 + \sin\theta\vec{y}_1, \vec{k} = \vec{z}_1, ds = ad\theta,$

– pour $H_2 : \vec{i} = -\vec{x}_2, \vec{j} = -\vec{y}_2, \vec{k} = \vec{z}_2, ds = -ds_2,$

### Brevet 804

1. $\vec{F}_p = 100 \text{ N } \vec{x},$

2. $\frac{d\vec{p}}{dt} = 100 \text{ N } \vec{x},$

3. $\vec{F}_a = -100 \text{ N } \vec{x}.$

### Brevet 805

1. $F_{em} = -9,1 \ 10^{-25} \text{ N } \vec{z},$

2. $P = 0,$

3. $\gamma = -1 \ 10^6 \text{ m.s}^{-2} \vec{z},$ circulaire de rayon $r = 10^{-2} \text{ m}$.

### Brevet 806

1. $\vec{a} = -5,5 \text{ m/s}^2 \vec{x},$

2. $\vec{F}_{rs} = 1400 \vec{x} \text{ N},$

3. $\vec{C}_1 = 420 \text{ N.m } \vec{z} ; \vec{C}_2 = 1700 \text{ N.m } \vec{z} ; \vec{F}_{cavant} = 2800 \text{ N.m } \vec{y}, \vec{F}_{carriere} = 2200 \text{ N.m } \vec{y},$

4. $e_{favant} = -0,13 \text{ m} ; e_{farriere} = 0,13 \text{ m} ; \text{rotation anti-trigonométrique autours de } \vec{z,$

5. $Q = 140 \text{ kJ}.$

### Brevet 807

1. $l = 6 \text{ m},$

2. $k = 380 \text{ N/m},$

3. non,

4. $d_2 = 4,4 \text{ m},$

5. $F_c = 520 \text{ N},$

6. Énergie de déformation dans la corde et échauffement de la corde et de la dégaine au point de frottement.
**Brevet 808** Les réponses sont fournies après exécution du qcm.

**Brevet 809** avec $\sigma_{ce} = 22.5$ MPa, $-3500$ [N] < $F_M$.

**Brevet 810** avec $\sigma_{ce} = 22.5$ MPa, $-1750$ [N] < $F_M$.

**Brevet 818** Non. C'est le contraire : le déplacement dû à l'effort tranchant est toujours négligeable devant celui dû au moment fléchissant.

**Brevet 819** La pulsation propre converge vers $\omega = 0.692\sqrt{k/m}$. Le vecteur propre associé à convergence est $\vec{v} = [x_1, x_2, x_3, \alpha]^t = [1.10, 1.12, 1.41, 1.00]^t$.

**Brevet 820** A chaque extrémité du tronçon de tablier est considéré un encastrement. A chaque point d'accroche d'un cable, une force de tension dans la direction du cable. Tout le long du tablier, une force linéique en N/m.

**Brevet 821** La tablier est sollicité en compression, mais subit aussi d'autres sollicitations.

**Brevet 822** La flèche est sollicitée en compression.

**Brevet 823** $\sigma_h = -21$ MPa, $\sigma_m = -13$ MPa, $\sigma_b = -10$ MPa.

**Brevet 824** $\sigma_b = -10$ MPa, $\sigma_m = -9,8$ MPa, $\sigma_h = -9,6$ MPa.

**Brevet 825** La solution optimale est la structure la plus légère possible tout en ayant les contraintes qui restent inférieures à la limite d'élasticité. La structure qui utilise une section décroissante en montant a des contraintes de compression plus proches de la limite d'élasticité.

**Brevet 826** $u_m = u_b - 0.0085$ m, $u_h = u_b - 0.017$ m,

**Brevet 827** $u_h = u_b - 0.024$ m, $u_m = u_b - 0.0098$ m.

**Brevet 828** $\beta = 16$.

**Brevet 829** L'axe entre la boucle et la liaison linéaire annulaire la plus proche des doigts est sollicitée en torsion. Entre la première liaison annulaire et l'ergot est sollicité en torsion et flexion simple. L'ergot est sollicité en flexion simple.

**Brevet 830** $\sigma x\theta = 4.9$ MPa

**Brevet 831** $\beta = 0.11$ degrés

**Brevet 832** $C = 0.74$ N.m. Non.

**Brevet 833** Oui. Non en torsion.

**Brevet 834** $\vec{u}_B \cdot \vec{z} = 0.002$ m.

**Brevet 835** $c = 20$ N.m/m.

**Brevet 836** $\sigma = -15 \cdot 10^6$ [Pa], au point de la poutre BD, le plus proche de B, sur le bord dans la direction $\vec{i}$.

**Brevet 837** $\dot{\omega}_E = -0.042k$ [rad], $\vec{u}_E = (0.056\vec{i} - 0.007\vec{j})$ [m].
<figure><img src="image_129.png" /><figcaption>Figure 3.32: Une structure poutre, ses liaisons, son chargement, ses repères locaux et ses paramétrages.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_130.png" /><figcaption>Figure 3.33: La partie aval pour le point H₁.</figcaption></figure>

Brevet 838 $C = -33$ [N.m]

Brevet 839 $N_3 = 62$ [N]

Brevet 840 Voir figures de 3.32 à 3.36.

Brevet 841 Voir figures de 3.37 et ??.

<figure><img src="image_131.png" /><figcaption>Figure 3.34: La partie aval pour le point H₂.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_132.png" /><figcaption>Figure 3.35: La partie aval pour le point H₃.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_133.png" /><figcaption>Figure 3.36: La partie aval pour le point H₄.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_134.png" /><figcaption>Figure 3.37: Une structure poutre, ses liaisons, son chargement, son repère local en H₅ et son paramétrage.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_135.png" /><figcaption>Figure 3.38: La partie aval pour le point H₅.</figcaption></figure>