# UN PROBLÈME ASYMPTOTIQUE
EN CONTRÔLE PONCTUEL

JACQUES-LOUIS LIONS

## Introduction

Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbf{R}^n$, de frontière $\Gamma$ régulière. Dans $\Omega$, on considère un système gouverné par une équation hyperbolique avec contrôle s'exercant en $b$ donné, $b \in \Omega$. Plus précisément on suppose que l'état du système est donné par la solution de

$$ (1) \qquad \epsilon \frac{\partial^2 y_\epsilon}{\partial t^2} + \frac{\partial y_\epsilon}{\partial t} - \Delta y_\epsilon = v(t) \delta(x-b) $$
$$ \text{dans } Q = \Omega \times ]0, T[, $$

où $\epsilon$ est donné $>0$ et est destiné à tendre vers zéro; $\delta(x-b)$ désigne la messe de Dirac au point $b$; le contrôle est $v=v(t) \in L^2(0, T)$. On ajoute à (1) les conditions aux limites et initiales

$$ (2) \qquad y_{\epsilon} = 0 \quad \text{sur } \Sigma = \Gamma \times ]0, T[,$$

$$ (3) \qquad y_{\epsilon}(x, 0) = 0, \quad \frac{\partial y_{\epsilon}}{\partial t}(x, 0) = 0 \quad \text{dans } \Omega. $$

Les équations (1), (2) et (3) définissent de manière unique l'état

$$ (4) \qquad y_{\epsilon} = y_{\epsilon}(x, t, v) = y_{\epsilon}(v) $$

dont on sait (cf. J. L. Lions [6] <fnref n="1" />) que

$$ (5) \qquad y_{\epsilon}(v) \text{ est continue de } [0, T] \to L^2(\Omega). $$

On définit alors la fonction coût

$$ (6) \qquad J_{\epsilon}(v) = \int_{\Omega} [y_{\epsilon}(x, T, v) - z_{d}(x)]^2 dx + N \int_{0}^{T} v(t)^2 dt, $$

où

$$ (7) \qquad z_d \text{ est donné dans } L^2(\Omega), \quad N \text{ est donné positif.} $$

<footnote n="1">¹ La première démonstration de ce fait, par des méthodes puissantes d'Analyse Harmonique, est dûe à Y. Meyer [8] et a été suivie de démonstrations «directes» par L. Nirenberg [9] et l'A. [6].</footnote>
On introduit

$$
(8) \quad \mathcal{U}_{ad} = \text{ensemble convexe fermé non vide de } L^2(0, T)
$$

(l'ensemble des contrôles admissibles) et l'on considère le **problème de contrôle optimal**

$$
(9) \qquad \inf J_{\varepsilon}(v), \quad v \in \mathcal{U}_{\text{ad}}.
$$

Ce problème admet une solution unique $u_\varepsilon$. Nous nous intéressons ici au comportement de $u_\varepsilon$ lorsque $\varepsilon \to 0$.

La situation formelle est « claire ». Le problème limite est un système parabolique
dont l'état

$$
(10) \qquad y = y(x, t, v) = y(v)
$$

est donné par

$$
(11) \qquad \frac{\partial y}{\partial t} - \Delta y = v(t) \delta(x-b)
$$

avec

$$
(12) \qquad y = 0 \quad \text{sur } \Sigma,
$$

$$
(13) \qquad y(x, 0) = 0 \quad \text{dans } \Omega.
$$

La fonction coût est alors donnée par

$$
(14) \quad J(v) = \int_{\Omega} [y(x, T, v) - z_d(x)]^2 dx + N \int_0^T v^2 dt
$$

et on pourrait penser que le « problème limite » est

$$
(15) \qquad \inf J(v), \ v \in \mathcal{U}_{ad}.
$$

Mais il y a une difficulté et le « résultat » précédent n’est pas tout à fait correct.
En effet il existe des $v_0 \in L^2(0, T)$ tels que $y(T, v_0) \notin L^2(\Omega)$.

Si donc on prend pour $\mathcal{U}_{ad}$ l'ensemble $\{v_0\}$, $v_0$ comme ci-dessus, le problème limite (15) n'a pas de sens. En fait on doit introduire l'espace

$$
(16) \quad \mathcal{U}^{(n)}(0, T) = \{v | v \in L^2(0, T), y(T, v) \in L^2(\Omega)\};
$$

cet espace, muni de la norme de graphe

$$
(17) \qquad \left( \int_0^T v^2 dt + \int_\Omega y(x, T, v)^2 dx \right)^{1/2}
$$

est un *espace de Hilbert* étudié dans J. L. Lions [4]—[5], Li Ta-tsien [1]—[2], Shi
Shu-Chung [10], J. Simon [11]. Cet espace (à une équivalence de norme près) est
indépendant de b, de Ω, et même (Li Ta-tsien, loc. cit.) de l'opérateur Δ que peut
être remplacé par un opérateur elliptique du 2ème ordre à coefficients réguliers sans
que l'espace U<sup>(n)</sup> change. Formellement (il y a des difficultés techniques, étudiées
dans J. Simon [11]) l'espace U<sup>(n)</sup>(0, T) coïncide avec l'espace des v∈L<sup>2</sup>(0, T)
telles que

$$
(18) \quad \int_0^T \int_0^T (2T - (t+s))^{-n/2} v(t) \, v(s) \, dt \, ds < \infty.
$$
Le passage à la limite indiqué formellement ci-dessus devient alors correct si l'on suppose que

$$
(19) \qquad \mathcal{U}_{ad} \cap \mathcal{U}^{(n)}(0, T) \neq \emptyset,
$$

le problème limite étant

$$
(20) \qquad \inf J(v), \quad v \in \mathcal{U}_{ad} \cap \mathcal{U}^{(n)}(0, T).
$$

Nous donnons au № 2 ci après des indications, assez rapides, sur la démonstration de ce résultat après avoir donné au № 1 un résultat de perturbation singulière pour un système hyperbolique-parabolique.

1. Perturbation singulière pour un système hyperbolique-parabolique

Avec les notations de l'Introduction, on considère l'équation

$$
(1.1) \qquad \varepsilon \frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2} + \frac{\partial \Phi}{\partial t} - \Delta \Phi = 0 \quad \text{dans } Q = \Omega \times ]0, T[,
$$

$$
(1.2) \qquad \Phi = 0 \quad \text{sur} \quad \Sigma = \Gamma \times ]0, T[,
$$

$$
(1.3) \qquad \left| \begin{array}{l} \Phi(x, 0) = 0 \quad \text{dans } \Omega, \\ \varepsilon \frac{\partial \Phi}{\partial t}(x, 0) = g(x) \quad \text{dans } \Omega \end{array} \right.
$$

avec g donnée dans L²(Ω).

Pour chaque $\varepsilon \to 0$, (1.1), (1.2) et (1.3) admet une solution unique $\Phi_\varepsilon$, telle que

$$
(1.4) \qquad \Phi_{\varepsilon} \text{ est continue de } [0, T] \to H_0^1(\Omega), \footnote{We use the notation $H_0^1(\Omega)$ to denote the space of functions in $L^2(\Omega)$ with zero boundary conditions.}
$$

$$
(1.5) \qquad \frac{\partial \Phi_{\varepsilon}}{\partial t} \text{ est continue de } [0, T] \to L^2(\Omega).
$$

On va montrer que, *lorsque* $\varepsilon \to 0$,

$$
(1.6) \qquad \Phi_{\varepsilon} \to \Phi \text{ dans } L^2(0, T; H_0^1(\Omega)) \text{ faible,}
$$

où $\Phi$ est la solution de

$$
(1.7) \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial t} - \Delta \Phi = 0 \quad \text{dans } Q,
$$

$$
(1.8) \qquad \Phi = 0 \text{ sur } \Sigma,
$$

$$
(1.9) \qquad \Phi(x, 0) = g(x) \quad \text{dans } \Omega.
$$

Remarque 1.1. Il y a donc un phénomène un peu inhabituel pour $t=0$, les conditions (1.3) devenant (1.9).

<footnote n="1">¹ On utilise les notations habituelles des espaces de Sobolev, comme par exemple dans J. L. Lions et E. Magenes [7].</footnote>
La situation est entièrement différente si, au lieu de (1.3), on considère,

$$
(1.10) \qquad \Phi_{\varepsilon}(x, 0) = g^{0}(x), \quad \frac{\partial \Phi_{\varepsilon}}{\partial t}(x, 0) = g^{1}(x).
$$

Cette fois la convergence de $\Phi_{\varepsilon}$ a lieu au sens (1.6), vers $\Phi$ solution de (1.7),
(1.8) et, au lieu de (1.9) :

$$
(1.11) \qquad \Phi(x, 0) = g^0(x).
$$

Pour cette situation, cf. M. Zlámal [12], J. L. Lions [3], chapitre 6, paragraphe 5.

□

Remarque 1.2. Puisque $\Phi_{\varepsilon}(0) \neq \Phi(0)$ (si $g \neq 0$!) il y a une couche limite pour $t=0$. Si l'on suppose que

$g \in H^3(\Omega)$, $g, \Delta g = 0$ sur $\Gamma$
et si l'on pose

$$
w_{\varepsilon} = \Phi_{\varepsilon} - \Phi + g e^{-t/\varepsilon}
$$

alors

$$
\|w_{\varepsilon}\|_{L^{\infty}(0, T; H_{0}^{1}(\Omega))} + \|w'_{\varepsilon}\|_{L^{2}(0, T; L^{2}(\Omega))} \le C \sqrt{\varepsilon}
$$

où C ne dépend que de la norme de g dans H³(Ω). □

Démonstration de (1.6). On introduit :

$$
(1.12) \qquad w_{\varepsilon}(t) = \int_{0}^{T} \Phi_{\varepsilon}(\sigma) \, d\sigma
$$

et on intègre (1.1) de 0 à t ; il vient (on écrit $\Phi'$, $\Phi''$ au lieu de $\partial\Phi/\partial t$, $\partial^2\Phi/\partial t^2$) :

$$
(1.13) \qquad \varepsilon\Phi'_{\varepsilon}(t) - g + \Phi_{\varepsilon}(t) - \Delta w_{\varepsilon}(t) = 0.
$$

On prend le produit scalaire de (1.13) par $-\Delta\Phi_{\epsilon}(t)$.

On pose :

$$
a(\Phi, \gamma) = \int_{\Omega} \nabla\Phi \cdot \nabla\gamma \, dx, \quad a(\Phi, \Phi) = a(\Phi),
$$

$$
(\Phi, \gamma) = \int_{\Omega} \Phi \gamma \, dx, \quad (\Phi, \Phi) = |\Phi|^2.
$$

Alors

$$
\epsilon a(\Phi'_{\epsilon}(t), \Phi_{\epsilon}(t)) + a(\Phi_{\epsilon}(t)) + (\Delta w_{\epsilon}(t), \Delta \Phi_{\epsilon}(t)) = (g, -\Delta \Phi_{\epsilon}(t)),
$$

ou encore

$$
(1.14) \quad \frac{1}{2} \frac{d}{dt} [\varepsilon a(\Phi_{\varepsilon}(t)) + |\Delta w_{\varepsilon}(t)|^2] + a(\Phi_{\varepsilon}(t)) = (g, -\Delta \Phi_{\varepsilon}(t)).
$$

Intégrant (1.14) de 0 à t, il vient :

$$
(1.15) \qquad \varepsilon a(\Phi_{\varepsilon}(t)) + |\Delta w_{\varepsilon}(t)|^2 + 2 \int_{0}^{T} a(\Phi_{\varepsilon}(\sigma)) d\sigma = 2(g, -\Delta w_{\varepsilon}(t)).
$$
Il résulte de (1.15) que, lorsque $\varepsilon \to 0$,

$$
(1.16) \qquad \left| \Phi_{\varepsilon} \text{ (respectif } \sqrt{\varepsilon} \Phi_{\varepsilon} \text{) demeure dans un ensemble borné de} \right.
$$
$$
\left. L^2(0, T; H_0^1(\Omega)) \text{ (respectif de } L^{\infty}(0, T; L^2(\Omega)) \text{)),} \right)
$$

$$
(1.17) \qquad \left| \begin{array}{l} \Delta w_{\varepsilon} \text{ demeure dans un borné de } L^{\infty}(0, T; L^2(\Omega)), \text{ et donc} \\ w_{\varepsilon} \text{ dans un borné de } L^{\infty}(0, T; H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega)). \end{array} \right.
$$

On peut alors extraire une sous suite, encore notée $\Phi_{\varepsilon}$, $w_{\varepsilon}$, telle que

$$
(1.18) \qquad \left| \begin{array}{ll} \Phi_{\varepsilon} \to \Phi & \text{dans } L^2(0, T; H_0^1(\Omega)) \text{ faible,} \\ w_{\varepsilon} \to w & \text{dans } L^{\infty}(0, T; H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega)) \text{ faible étoile.} \end{array} \right.
$$

D'après (1.12) on a

$$
(1.19) \qquad w(t) = \int_{0}^{t} \Phi(\sigma) d\sigma
$$

de sorte que (1.13) donne

$$
\Phi(t) - \Delta \int_{0}^{t} \Phi(\sigma) \, d\sigma = g
$$

d'où le résultat désiré. $\square$

2. Problème de contrôle ponctuel perturbé

Nous reprenons maintenant le problème (9) de l'Introduction, qui admet une
solution unique $u_{\varepsilon}$, caractérisée par le système d'optimalité suivant :

$$
(2.1) \qquad \left| \begin{array}{l} \varepsilon y_{\varepsilon}'' + y_{\varepsilon}' - \Delta y_{\varepsilon} = u_{\varepsilon} \delta(x-b), \\ \varepsilon p_{\varepsilon}'' - p_{\varepsilon}' - \Delta p_{\varepsilon} = 0 \quad \text{dans } Q, \end{array} \right.
$$

$$
(2.2) \qquad \left| \begin{array}{l} y_{\epsilon}(x, 0) = y'_{\epsilon}(x, 0) = 0, \\ p_{\epsilon}(x, T) = 0, \quad \epsilon p'_{\epsilon}(x, T) = -(g_{\epsilon}(x, T) - z_{d}(\lambda)) \quad \text{dans } \Omega, \end{array} \right.
$$

$$
(2.3) \qquad y_{\epsilon} = p_{\epsilon} = 0 \quad \text{sur } \Sigma,
$$

et

$$
(2.4) \qquad \left| \begin{array}{l} \int_0^T (p_\epsilon(b, t) + N u_\epsilon(t))(v(t) - u_\epsilon(t)) dt \ge 0 \quad \forall v \in \mathcal{U}_{ad}, \\ u_\epsilon \in \mathcal{U}_{ad}. \end{array} \right.
$$

Remarque 2.1. On a <fnref n="1" />)

$$
(2.5) \qquad p_{\epsilon}(b, t) \in L^{2}(0, T)
$$

de sorte que (2.4) a un sens. $\square$

<footnote n="1">¹ C'est la propriété «duale» de (5) Introduction, démontrée directement par L. Nirenberg [9].</footnote>
Sous l'hypothèse (19) de l'Introduction, le problème (20) de l'Introduction admet une solution unique $u$, qui est caractérisée par le système d'optimalité suivant :

$$
(2.6) \qquad \left| \begin{array}{l} y' - \Delta y = u\delta(x, b), \\ -p' - \Delta p = 0 \quad \text{dans } Q, \end{array} \right.
$$

$$
(2.7) \qquad \left| \begin{array}{l} y(x, 0) = 0, \\ p(x, T) = y(x, T) - z_d(x) \quad \text{dans } \Omega, \end{array} \right.
$$

$$
(2.8) \qquad \qquad \qquad \qquad y = p = 0 \quad \text{sur} \quad \Sigma,
$$

et

$$
(2.9) \qquad \left| \begin{array}{l} \int_0^T (p(b,t) + Nu(t))(v(t)-u(t))dt \ge 0 \quad \forall v \in \mathcal{U}_{ad} \cap \mathcal{U}^{(n)}(0,T), \\ u \in \mathcal{U}_{ad} \cap \mathcal{U}^{(n)}(0,T). \end{array} \right.
$$

Remarque 2.2. On a montré dans J. L. Lions [4]—[5] que

$$
(2.10) \qquad p(b, t) \in (\mathcal{U}^{(n)}(0, T))'
$$

de sorte que (2.9) a un sens. $\square$

Remarque 2.3. Dans un sens que l’on va préciser, le système (2.6)...(2.9)
est limite du système (2.1)...(2.4). La condition

$$
p(x, T) = y(x, T) - z_d(x) \text{ sur } \Omega
$$

provient des conditions (2.2) pour $p_\varepsilon$, comme l'explique le №1 (avec, par rapport au
№1, un changement de signe dû au fait que pour $p_\varepsilon$ on intègre en $t$ dans le sens
rétrograde). $\square$

On va montrer que, lorsque $\epsilon \to 0$,

$$
(2.11) \qquad \left| \begin{array}{l} u_{\epsilon} \to u \text{ dans } L^2(0, T) \text{ faible,} \\ y_{\epsilon}(., T) \to y(., T) \text{ dans } L^2(\Omega) \text{ faible.} \end{array} \right.
$$

On commence par observer que (grâce au fait que $\mathcal{U}_{ad} \cap \mathcal{U}^{(n)}(0, T)$ n'est pas vide) $J_{\epsilon}(u_{\epsilon}) \le C$ lorsque $\epsilon \to 0$. Donc

$$
(2.12) \quad \left| \begin{array}{l} u_{\epsilon} \text{ (respectif } y_{\epsilon}(., T)\text{)} \text{ demeure dans un borné de } L^2(0, T) \\ \text{(respectif de } L^2(\Omega)\text{).} \end{array} \right.
$$

On peut donc extraire une sous suite, encore notée $u_\epsilon$, $y_\epsilon(\cdot, T)$, telle que

$$
(2.13) \qquad \left| \begin{array}{l} u_{\epsilon} \to u^* \text{ dans } L^2(0, T) \text{ faible,} \\ y_{\epsilon}(., T) \to \eta \text{ dans } L^2(\Omega) \text{ faible.} \end{array} \right.
$$

Il résulte alors du №1 que

$$
(2.14) \qquad p_{\epsilon} \to p^{*} \text{ dans } L^{\infty}(0, T; H_{0}^{1}(\Omega)) \text{ faible}
$$
où $p^*$ est caractérisé par

$$ (2.15) \qquad \left| \begin{array}{l} -\frac{\partial p^*}{\partial t} - \Delta p^* = 0 \quad \text{dans } Q, \\ p^*(x, T) = \eta(x) - z_d(x) \quad \text{dans } \Omega, \\ p^* = 0 \quad \text{sur } \Sigma. \end{array} \right. $$

On peut vérifier que

$$ (2.16) \qquad p_{\varepsilon}(b, t) \to p^*(b, t) \quad \text{dans } (\mathcal{U}^{(n)}(0, T))' \quad \text{faible.} $$

Considérons (2.4) pour $v \in \mathcal{U}_{ad} \cap \mathcal{U}^{(n)}(0, T)$, que nous écrivons

$$ (2.17) \qquad \int_0^T p_\varepsilon(b, t)v(t)dt + N \int_0^T u_\varepsilon(t)v(t)dt \equiv \int_0^T p_\varepsilon(b, t)u_\varepsilon(t)dt + N \int_0^T u_\varepsilon(t)^2dt. $$

Mais par application de la formule de Green,

$$ (2.18) \qquad \left| \int_0^T p_\varepsilon(b, t)u_\varepsilon(t)dt = \int_Q (\varepsilon y_\varepsilon'' + y_\varepsilon' - \Delta y_\varepsilon)p_\varepsilon dx dt = (y_\varepsilon(T), y_\varepsilon(T) - z_d) \right. $$

de sorte que (2.17) s'écrit

$$ (2.19) \qquad \int_0^T (p_\varepsilon(b, t) + Nu_\varepsilon(t))v(t)dt \equiv (y_\varepsilon(T), y_\varepsilon(T) - z_d) + N \int_0^T u_\varepsilon^2 dt. $$

On peut passer à la limite dans (2.19). Il vient :

$$ (2.20) \qquad \left| \begin{array}{l} \int_0^T (p^*(b, t) + Nu^*(t))v(t)dt \equiv (\eta, \eta - z_d) + N \int_0^T (u^*)^2 dt \\ \forall v \in \mathcal{U}_{ad} \cap \mathcal{U}^{(n)}(0, T). \end{array} \right. $$

Notons maintenant que

$$ (2.21) \qquad \left| \begin{array}{l} y_\varepsilon \to y^* \quad \text{dans } L^\infty(0, T; H^{1-n/2-\beta}(\Omega)) \quad \text{faible étoile} \\ \text{où } \beta \text{ est } > 0 \quad \text{quelconque} \end{array} \right. $$

où $y^*$ est la solution de

$$ (2.22) \qquad \left| \begin{array}{l} \frac{\partial y^*}{\partial t} - \Delta y^* = u^* \delta(x, b), \\ y^*(x, 0) = 0 \quad \text{dans } \Omega, \quad y^* = 0 \quad \text{sur } \Sigma. \end{array} \right. $$

Admettant un instant ce point, il en résulte que

$$ (2.23) \qquad \eta = y^*(x, T) \quad \text{dans } \Omega $$

de sorte que (2.22), (2.15) et (2.20) coïncide avec le système d'optimalité (2.6)...(2.9),
lequel admet une solution unique. Donc $u^*=u$, $y^*=y$, $p^*=p$ et l'on a, en particulier, le résultat (2.11), sous réserve de vérifier (2.21) et (2.22).
Tous revient à montrer que

$$
(2.24) \qquad \left| \begin{array}{l} y_{\varepsilon} \text{ demeure dans un borné de } L^{\infty}(0, T; H^{1-n/2-\beta}(\Omega)) \\ \text{où } \beta \text{ est } > 0. \end{array} \right|
$$

Posons : $A = -\Delta$, avec les conditions aux limites de Dirichlet.

Nous utilisons les puissances fractionnaires $A^s$, $s \in \mathbb{R}$.

Prenons le produit scalaire de (2.1)$_1$ par $A^{-3} y'_e$, $\vartheta$ à choisir.

Il vient :

$$
(2.25) \qquad \frac{\varepsilon}{2} \frac{d}{dt} |A^{-3/2} y_{\varepsilon}'|^2 + |A^{-3/2} y_{\varepsilon}'|^2 + \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |A^{(1-3)/2} y_{\varepsilon}|^2 = (A^{-3/2} \delta(x, b), A^{-3/2} y_{\varepsilon}') u_{\varepsilon}(t).
$$

Choisissons $\vartheta$ de manière que

$$
(2.26) \qquad A^{-3/2} \delta(x-b) \in L^2(\Omega).
$$

Comme $\delta(x-b) \in H^{-\sigma}(\Omega)$ si $\sigma > n/2$, on a

$$
A^{-3/2} \delta(x-b) \in H^{3-\sigma}(\Omega) \text{ d'où (2.26) si } \sigma > n/2.
$$

Avec ce choix de $\vartheta$, le 2ème membre de (2.25) est majoré par

$C |u_{\varepsilon}(t)| |A^{-3/2} y_{\varepsilon}'|$

d'où résulte que

$$
A^{-3/2} y'_{\epsilon} \text{ demeure dans un borné de } L^2(0, T; L^2(\Omega))
$$

et que

$$
A^{(1-3)/2} y_{\epsilon} \text{ demeure dans un borné de } L^2(0, T; L^2(\Omega))
$$

d'où résulte (2.24). $\square$

Bibliographie

[1] LI TA-TSIEN [LI DA-QIAN]: Propriétés d'espaces fonctionnels intervenant en contrôle optimal. - C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 289, 1979, 687-690.

[2] LI TA-TSIEN [LI DA-QIAN]: Propriétés d'espaces fonctionnels et problèmes de contrôle optimal de systèmes gouvernés par les équations paraboliques. - C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 290, 1980, 697-700.

[3] LIONS, J. L.: Perturbations singulières dans les problèmes aux limites et en contrôle optimal. - Lecture Notes in Mathematics 323. Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York, 1973.

[4] LIONS, J. L.: Function spaces and optimal control of distributed systems. - [Lecture notes.] Universidade Federal do Rio de Janeiro, Istituto de Matematico, Rio de Janeiro, 1980.

[5] LIONS, J. L.: Some methods in the mathematical analysis of systems and their control. - Science Press, Beijing/Gordon and Breach, Science Publishers, Inc., New York, 1981.

[6] LIONS, J. L.: Some questions in the optimal control of distributed systems. - Actes du congrès international tenu à l'occasion du 50ème anniversaire de l'Institut Mathématique Steklov, Moscou, Sept. 24-26, et Léningrad, Sept. 27-28, 1984. (A paraître.)
[7] LIONS, J. L., et E. MAGENES: Problèmes aux limites non homogènes et applications. 1. - Travaux et recherches mathématiques 17. Dunod, Paris, 1968.

[8] MEYER, Y.: Étude d'un modèle mathématique issu du contrôle des structures spatiales déformables. - Nonlinear partial differential equations and their applications. Collège de France Seminar. VII. Editeurs: H. Brézis et J. L. Lions. Research Notes in Mathematics 122. Pitman Advanced Publishing Program, Boston—London—Melbourne, 1985, 234—242.

[9] NIRENBERG, L.: Communication personnelle.

[10] SHIH SHU-CHUNG: Sur une classe d'espaces fonctionnels intervenant en contrôle optimal. - C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 290, 1980, 761—764.

[11] SIMON, J.: Contrôle de la solution d'une équation parabolique avec donné ponctuelle. - J. Systems Sci. Math. Sci. 3:1, 1983, 1—27.

[12] ZLÁMAL, M.: Sur un problème mixte pour des équations hyperboliques avec un petit paramètre - Czechoslovak Math. J. 10, 1960, 83—122 (en Russe).

Collège de France
F-75231 Paris Cedex 05
France

Reçu le 17 septembre 1984