# Lois de répartition des diviseurs, 3

par

GÉRALD TENENBAUM* (Talence)

**1. Introduction.** Soit $(\lambda, t)$ un couple de réels appartenant à $[0, 1] \times [1, +\infty[$; nous avons étudié dans l'article précédent [3] quelques propriétés des diviseurs d'un entier $n$ qui sont dans l'intervalle $[n^{\lambda/t}, n^{1/t}[$. Nous avons montré en particulier:

1) L'existence pour tout entier positif ou nul $k$ d'une fonction continue $f_k(\lambda, t)$ égale à la densité asymptotique de la suite des entiers $n$ ayant dans l'intervalle $[n^{\lambda/t}, n^{1/t}]$ exactement $k$ diviseurs premiers. On a pour $t \ge k+1$

$$ (1) \qquad f_k(\lambda, t) = \frac{\lambda}{k!} (\log 1/\lambda)^k \left(1 + \frac{a_k(\lambda, t)}{\Gamma(t-k)}\right) $$
avec $|a_k(\lambda, t)| \le 2.$

2) L'existence d'une fonction continue $h(\lambda, t)$ égale à la densité asymptotique de la suite des entiers $n$ ayant dans l'intervalle $[n^{\lambda/t}, n^{1/t}]$ au moins un diviseur, premier ou non.

La fonction $h(\lambda, t)$ est donc l'analogue, pour les diviseurs quelconques, de $1-f_0(\lambda, t)$. Nous montrerons dans un prochain article que le cas $k=0$ est en fait le seul non trivial, l'analogue de $f_k(\lambda, t)$ pour $k \ge 1$ étant iden-tiquement nul. Comme la fonction $1-f_0(\lambda, t)$ tend vers une limite (égale à $1-\lambda$) lorsque $t$ tend vers l'infini nous sommes portés à conjecturer l'existence d'une limite

$$ (2) \qquad h(\lambda) := \lim_{t \to \infty} h(\lambda, t) $$

qui soit une fonction continue de $\lambda$; c'est ce que nous nous proposons de démontrer dans cet article.

**Notations.** Outre celles introduites ci-dessus, nous utiliserons les notations suivantes:

Pour toute suite $\mathcal{A}$ d'entiers, nous désignerons par $\text{dens}(\mathcal{A})$ la densité asymptotique, lorsqu'elle existe, de la suite $\mathcal{A}$.

<footnote>* Laboratoire associé au C. N. R. S. n° 226.</footnote>
Pour tout couple de réels $(\lambda, y)$ de $[0, 1] \times [1, +\infty[$ nous noterons $d(\lambda, y)$ la densité asymptotique de la suite des entiers ayant au moins un diviseur dans $[y^\lambda, y[$.

Les lettres $a, b, c, d, k, l, m, n, z$ désigneront des entiers naturels positifs alors que les lettres $p$ et $q$ désigneront exclusivement des nombres premiers.

Pour tout entier $n$, nous noterons:

$p(n)$ (resp. $q(n)$) le plus grand (resp. le plus petit) des facteurs premiers de $n$;

$\Omega(n)$ (resp. $\omega(n)$) le nombre de facteurs premiers de $n$ comptés avec (resp. sans) leur ordre de multiplicité;

$\mu(n)$ la valeur en $n$ de la fonction de Möbius.

Le plus petit commun multiple à $k$ entiers $a_1, \dots, a_k$ sera noté $[a_1, \dots, a_k]$.

La fonction $t \mapsto \varrho(t)$ est définie pour $t \ge 0$ par

$$ \begin{cases} \varrho(t) = 1 & \text{pour } 0 \le t \le 1, \\ \varrho \text{ continue à droite en } t = 1, \\ t\varrho'(t) + \varrho(t-1) = 0 & \text{pour } t > 1. \end{cases} $$

La fonction $s \mapsto \zeta(s)$ est la fonction zêta de Riemann.

Enfin dans tout cet article, nous poserons:

$$ \delta = 1 - \frac{\log(\mathrm{elog}2)}{\log 2} = 0.0860\dots $$

Notre résultat principal s'énonce ainsi:

**THÉORÈME.** Soit $\lambda$ un réel fixé dans $[0, 1]$; alors la fonction $y \mapsto d(\lambda, y)$, égale à la densité des entiers ayant au moins un diviseur dans $[y^\lambda, y[$, admet une limite $h(\lambda)$ lorsque $y$ tend vers l'infini.

La fonction $\lambda \mapsto h(\lambda)$ est continue et vérifie

$$ (2) \qquad h(\lambda) = \lim_{t \to \infty} h(\lambda, t) $$

où $h(\lambda, t)$ désigne la densité des entiers $n$ ayant au moins un diviseur dans $[n^{\lambda/t}, n^{1/t}]$.

De plus, on a pour tout $\lambda$ de $[0, 1]$ l'encadrement:

$$ (3) \qquad 1 - \lambda \le h(\lambda) \le 6(1 - \lambda)^d. $$

Notons que l'encadrement (3) est une conséquence immédiate de la relation (1) appliquée pour $k=0$ et de la majoration de $h(\lambda, t)$ démontrée dans [3] (formule (34)).

**2. Cinq lemmes.** La preuve du théorème repose sur les cinq lemmes suivants:

**LEMME 1.** Soit $y$ un nombre réel supérieur ou égal à 1, et soient $\mathcal{X}$, $\mathcal{J}$ deux ensembles d'entiers contenus dans $[1, y[$ et tels que $\mathcal{J} \notin \mathcal{X}$. On désigne par $\mathcal{A}$ (resp. $\mathcal{A}_y$) la suite des entiers positifs qui sont multiples d'au moins un nombre de $\mathcal{J}$ mais ne sont multiples d'aucun nombre de $\mathcal{X}$ (resp. et tels que $p(a) \le y$). Alors $\mathcal{A}$ possède une densité et l'on a

$$ \mathrm{dens}(\mathcal{A}) = \prod_{p \le y} (1 - p^{-1}) \sum_{a \in \mathcal{A}_y} a^{-1}. $$

Démonstration. $\mathcal{A}$ est une réunion finie (dans $N^*$) de classes de congruence, donc $\mathcal{A}$ possède une densité, égale à la densité analytique:

$$ \mathrm{dens}(\mathcal{A}) = \lim_{s \to 1} \zeta^{-1}(s) \sum_{a \in \mathcal{A}} a^{-s}. $$

Posons, pour $s > 1$:

$$ \mathcal{A}(s) := \zeta^{-1}(s) \sum_{a \in \mathcal{A}} a^{-s} $$

on a:

$$ \mathcal{A}(s) = \prod_{p \le y} (1 - p^{-s}) \sum_{d \ge 1} \hat{\mu}(d) d^{-s} \sum_{a \in \mathcal{A}} a^{-s} $$

où l'on a posé:

$$ \hat{\mu}(d) := \begin{cases} \mu(d) & \text{si } q(d) > y \ (\hat{\mu}(1) = 1), \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases} $$

De plus, on peut écrire:

$$ \sum_{d \ge 1} \hat{\mu}(d) d^{-s} \sum_{a \in \mathcal{A}} a^{-s} = \sum_{n \ge 1} g(n) n^{-s} $$

avec:

$$ g(n) = \sum_{\substack{d|n \\ n \in \mathcal{A}}} \hat{\mu}(d). $$

En particulier, $g(n) = 0$ si $n$ n'est pas dans $\mathcal{A}$. Décomposons chaque $n$ de $\mathcal{A}$ sous la forme $n = bc$ avec:

$$ b = \prod_{\substack{p' \nmid n \\ p \le y}} p. $$

Comme le plus grand diviseur de $n$ appartenant à $\mathcal{J} \setminus \mathcal{X}$ est formé de facteurs premiers $\le y$, il divise $b$ et donc $b$ est dans $\mathcal{A}$. Alors, si $d$ est un diviseur de $n$, $\hat{\mu}(d)$ ne peut être non nul que si $d$ divise $c$; mais, dans ce cas, $n/d$ est multiple de $b$, donc appartient à $\mathcal{A}$. D'où, pour $n$ dans $\mathcal{A}$:

$$ g(n) = \sum_{d|c} \mu(d) = \begin{cases} 1 & \text{si } c=1, \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$
on en déduit l'expression de $\Lambda(s)$

$$ \Lambda(s) = \prod_{p \le y} (1 - p^{-s}) \sum_{a \le y} a^{-s} $$

et, finalement, le résultat en faisant tendre $s$ vers 1.

**LEMME 2.** Soit $\mathcal{L}$ une suite, finie ou non, d'entiers distincts. On définit pour tous entiers $n, k$ la quantité $r_k(n)$ comme le nombre de représentations de $n$ sous la forme $n = [z_1, ..., z_k]$ avec $z_j \in \mathcal{L}$ pour $j = 1, ..., k$ et $z_1 < ... < z_k$; on pose

$$ r(n) := \sum_{k \ge 1} (-1)^{k-1} r_k(n). $$

Alors on a l'égalité :

$$ |r(n)| \le 2^{\omega(n)}. $$

Démonstration. Posons, pour $n$ et $k$ entiers positifs :

$$ a_k(n) := \sum_{d|n} r_k(d). $$

On voit que si $n$ possède exactement $l$ diviseurs distincts dans $\mathcal{L}$, on a :

$$ a_k(n) = \begin{pmatrix} l \\ k \end{pmatrix} $$

avec la convention $\begin{pmatrix} l \\ k \end{pmatrix} = 0$ si $l < k$.

On en déduit la relation :

$$ \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} a_k(n) = \epsilon_n $$

où $\epsilon_n$ vaut 1 si $n$ a au moins un diviseur dans $\mathcal{L}$ et vaut 0 sinon. Cela équivaut à l'égalité suivante, valable pour tout entier positif $n$

$$ \sum_{d|n} r(d) = \epsilon_n, $$

on peut encore l'écrire :

$$ r(n) = \sum_{d|n} \mu(d) \epsilon_n/d. $$

On a donc, finalement :

$$ |r(n)| \le \sum_{d|n} |\mu(d)| = 2^{\omega(n)}, $$

**LEMME 3.** Soit $k$ un entier positif et soit $\bar{a} = (a_1, ..., a_{2k})$ un $2k$-uple de nombres réels tel que pour tout $i = 1, ..., k$ on ait $0 < a_{i-1} \le a_{i} < 1$. On pose

$$ N = N(\bar{a}; x) = \mathrm{card}\{n \le x : \forall d \ (d|n \Rightarrow \forall i (i = 1, ..., k) \ d \notin [x^{a_{2i-1}}, x^{a_{2i}}[\}. $$

Alors il existe une fonction continue $f: ]0, 1^{[2k} \to ]0, 1]$ telle que :

$$ (*) \qquad N(\bar{a}; x) = \omega f(\bar{a}) + o(x) $$

où la quantité $o(x)$ est uniforme en $\bar{a}$ lorsque $\bar{a}$ appartient à un compact inclus dans $]0, 1^{[2k}$.

De plus la relation (*) est encore valable si l'on remplace dans la définition de $N$, pour chaque $i$, les intervalles fermés-ouverts $[x^{a_{2i-1}}, x^{a_{2i}}[$ par des intervalles fermés, ouverts ou ouverts-fermés.

**Démonstration.** Il suffit de prouver le lemme dans le cas particulier où les intervalles $[x^{a_{2i-1}}, x^{a_{2i}}[$ sont fermés-ouverts et où on a pour tout $i$ ($i = 1, ..., k$)

$$ a_{2i} \le 1/2. $$

En effet, en utilisant la continuité de $f$, on étend sans peine le résultat à des intervalles quelconques, puis, en utilisant la symétrie des diviseurs de $n$ autour de $n^{1/2}$ (qu'on peut remplacer par $x^{1/2}$, quitte à faire une erreur qui est $o(x)$, comme on l'a montré au lemme 7 de [3]) on obtient l'énoncé général.

Nous allons voir que le lemme se démontre à partir du cas $k = 1$, traité dans [3]. Nous avons, en effet, montré dans [3] l'existence, pour tout $a$ de $]0, 1[$ d'une quantité $c(a)$, ne dépendant que de $\alpha$, telle que l'on ait

$$ (4) \qquad \forall \varepsilon > 0 \quad (1 - c(\alpha)\varepsilon^\delta \le f(\alpha - \varepsilon, \alpha + \varepsilon) \le 1). $$

Considérons donc $\bar{a} = (a_1, ..., a_{2k})$. Pour tout $\varepsilon \ge 0$, on pose :

$$ N'_{\bar{a}} = N'_{\bar{a}}(\bar{a}; x) = \mathrm{card}\{n \le x : \exists d|n, \exists i (1 \le i \le k) \\ d \in [x^{a_{2i-1}}, x^{a_{2i}}[ \text{ et } q(\bar{d}) \ge x^{\delta}\}. $$

Alors $N'_{\bar{a}} = [x] - N$; de plus, si un entier $n \le x$ est compté dans $N'_{\bar{a}}$ mais pas dans $N'$ pour $\varepsilon > 0$, il existe un entier $i$ ($1 \le i \le k$) pour lequel $n$ possède au moins un diviseur $d$ dans $[x^{a_{2i-1}}, x^{a_{2i}}[$ mais tel que tous les diviseurs $d$ de $n$ dans $[x^{a_{2i-1}}, x^{a_{2i}}[$ vérifient également $q(d) < x^\delta$.

Si on pose, pour un tel $n$

$$ d^* := \min\{d : d|n \text{ et } x^{a_{2i-1}} \le d < x^{a_{2i}}\}, $$

on a alors $d^*/q(d^*) < x^{a_{2i-1}}$, donc :

$$ x^{a_{2i-1}} \le d^* < x^{a_{2i-1}+\varepsilon}. $$

D'après (4) le nombre de tels $n$ est donc majoré, pour $x$ assez grand, par $2c(a_{2i-1}) e^\delta x$ et on a, en posant $D(\bar{a}) := 2 \max_{1 \le i \le k} c(a_{2i-1})$, pour $x$ assez grand :

$$ 0 \le N'_{\bar{a}} - N'_{\bar{a}} \le D(\bar{a}) e^\delta x. $$
Cela montre qu'on peut se ramener pour prouver l'existence de $f$ à prouver, pour tout $\varepsilon > 0$, l'existence d'une fonction $g_\varepsilon$ vérifiant:

$$N'_\varepsilon(\bar{a}; x) = xg_\varepsilon(\bar{a}) + o(x).$$

En effet $g_\varepsilon$ sera une fonction décroissante de $\varepsilon$ et on aura $f = 1 - \lim_{\varepsilon \to 0} g_\varepsilon$.

D'autre part, si $f$ existe, c'est nécessairement une fonction continue de $\bar{a}$ car, si $\beta := (\beta_1, \dots, \beta_{2k})$ est tel que $\max|a_i - \beta_i| < \gamma$, on montre à la aide de (4) qu'il existe une constante $\mathcal{F}(\bar{a})$ telle que, pour $x$ assez grand, on ait:

$$(5) \qquad |N(\bar{a}; x) - N(\bar{\beta}; x)| \le \mathcal{F}(\bar{a}) \gamma^\delta x.$$

Il ne nous reste plus qu'à prouver l'existence de $g_\varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$ fixé. Si nous posons:

$$(6) \qquad Z_\varepsilon = \left\{ \bigcup_{i=1}^k \left[ x^{a_2 i - 1}, x^{a_2 i} \right] \cap \{z \le x : q(z) \ge a^f\} \right\}$$

on a:

$$N'_\varepsilon(\bar{a}; x) = \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m-1} B_m(x),$$

avec:

$$B_m(x) = \sum_{\substack{z_1 < \dots < z_m \\ z_j \le z_e}} \left[ \frac{[x]}{[z_1, \dots, z_m]} \right].$$

On montre alors exactement comme dans le cas $k = 1$ (traité dans [3], page 31 — la seule modification consistant à remplacer la définition de $Z_\varepsilon$ dans [3] par la définition (6)) que la sommation sur $m$ est en fait finie, que le nombre de valeurs de $m$ est borné indépendamment de $x$, et que, pour tout $m$, $x^{-1}B_m(x)$ tend vers une limite lorsque $x$ tend vers l'infini.

Cela achève donc de prouver l'existence de $f$; montrons que dans l'égalité:

$$N(\bar{a}; x) = xf(\bar{a}) + o(x)$$

a quantité $o(x)$ est uniforme lorsque $\bar{a}$ parcourt un compact $K$ de $]0, 1]^{2k}$. S'il n'en était pas ainsi, il existerait une constante $c$, une suite $x_n$ de réels tendant vers $+\infty$ et une suite $\bar{a}_n$ de points de $K$ tels que pour tout entier $n$, on ait:

$$(7) \qquad |N(\bar{a}_n, x_n) - x_n f(\bar{a}_n)| \ge c \varepsilon x_n.$$

Comme $\bar{a}_n$ est dans $K$ pour tout $n$ on peut supposer qu'il existe un $\bar{a}$ dans $K$ tel que:

$$\lim_{n} \bar{a}_{n} = \bar{a}.$$

Posons $\varepsilon_n = \max_i |a_{n,i} - a_i|$; $\varepsilon_n$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers l'infini. D'après (5) on a pour $x_n$ assez grand:

$$|N(\bar{a}_n, x_n) - x_n f(\bar{a}_n)| \le |N(\bar{a}_n, x_n) - N(\bar{a}, x_n)| + |N(\bar{a}, x_n) - x_n f(\bar{a})| + \\ + x_n |f(\bar{a}) - f(\bar{a}_n)| \le 2 \mathcal{E}(\bar{a}) \varepsilon_n^\delta x_n + o(x_n),$$

ce qui contredit (7) pour $n$ assez grand, et achève la démonstration.

**LEMME 4.** *Soit $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ une fonction intégrable au sens de Riemann dont le support est inclus dans un compact de $]0, +\infty[$. Alors :*

$$\lim_{x \to \infty} \sum_{p_1, \dots, p_n} \frac{1}{p_1 \dots p_n} f\left(\frac{\log p_1}{\log x}, \dots, \frac{\log p_n}{\log x}\right) = \int_{\mathbb{R}^n} f(u_1, \dots, u_n) \frac{du_1}{u_1} \dots \frac{du_n}{u_n}.$$

La démonstration de ce lemme a été donnée dans [3] (lemme 9). Le lemme suivant a été montré par Bovey dans [1] (lemma 4).

**LEMME 5.** *Pour tous réels $y \ge 3$ et $t > 0$, on a:*

$$\sum_{\substack{n > y^t \\ p(n) \le v}} \frac{1}{n} = \log y \int_t^\infty \varrho(u) du + o(\log y).$$

**3. Démonstration de la première partie du théorème.** Nous nous proposons de démontrer dans ce paragraphe l'existence et la continuité en $\lambda$ de la limite:

$$h(\lambda) = \lim_{y \to \infty} d(\lambda, y).$$

D'après un résultat d'Erdös [2] on sait qu'il existe deux fonctions $R_1(\varepsilon)$ et $R_2(y)$ telles que:

$$(8) \qquad d(1-\varepsilon, y) \le R_1(\varepsilon) + R_2(y), \quad \lim_{\varepsilon \to 0} R_1(\varepsilon) = \lim_{y \to \infty} R_2(y) = 0.$$

Posons, pour tout $\varepsilon > 0$:

$$d_{\varepsilon}(\lambda, y) := \operatorname{dens}\{n: \exists d | n, y^2 \le d < y^{1-\varepsilon}, \text{ non } \exists d | n, y^{1-\varepsilon} \le d \le y\}.$$

D'après (8), on a:

$$(9) \qquad d_{\varepsilon}(\lambda, y) \le d(\lambda, y) \le d_{\varepsilon}(\lambda, y) + R_1(\varepsilon) + R_2(y) + 1/y.$$

Il suffit donc de prouver l'existence de la limite:

$$h_{\varepsilon}(\lambda) := \lim_{y \to \infty} d_{\varepsilon}(\lambda, y);$$

en effet, en faisant tendre $y$ vers l'infini puis $\varepsilon$ vers 0 dans (9); nous obtiendrons l'existence de $h(\lambda)$ et nous allons voir que si $h(\lambda)$ existe, c'est nécessairement une fonction continue de $\lambda$:
en un point $\lambda \neq 0$ on a pour tout $\varepsilon > 0$

$$0 \le d(\lambda, y) - d(\lambda + \varepsilon, y) \le \bar{d} \left( \frac{1}{1 + \varepsilon/\lambda}, y^{\lambda+\varepsilon} \right) \le R_1 \left( \frac{\varepsilon}{\lambda+\varepsilon} \right) + R_2(y^{\lambda+\varepsilon})$$

d'où la continuité en $\lambda$;

la continuité en $\lambda = 0$ découle simplement de la majoration pour tout $\varepsilon > 0$ de $1 - d(\varepsilon, y)$ par la densité des entiers n'ayant pas de facteur premier dans $[y^\lambda, y]$:

$$1 - d(\varepsilon, y) \le \prod_{y^\lambda \le p < y} (1 - p^{-1}) = \varepsilon + o(1).$$

Appliquons le lemme 1 avec $\mathcal{F} = [y^\lambda, y]$, $\mathcal{H} = [y^{1-\varepsilon}, y]$; nous obtenons l'expression de $\bar{d}_*(\lambda, y)$:

$$\bar{d}_*(\lambda, y) = \prod_{p \le y} (1 - p^{-1}) \sum_{(10)} a^{-1}$$

où la sommation porte sur les entiers $a$ vérifiant les conditions:

$$(10) \qquad \left\{ \begin{array}{l} p(a) \le y, \\ \exists \bar{d} | a, y^\lambda \le \bar{d} < y^{1-\varepsilon}, \\ \text{non } \exists \bar{d} | a, y^{1-\varepsilon} \le \bar{d} \le y. \end{array} \right.$$

D'après le théorème de Mertens, il suffit d'étudier l'existence de la limite en $y$ de la quantité

$$(\log y)^{-1} \sum_{(10)} a^{-1}.$$

Fixons $t > 1$ (grand); on pose

$$\sum_{(10)} a^{-1} = \sum_{\substack{(10) \\ a < y^t}} a^{-1} + H(y, t).$$

D'après le lemme 5, on a:

$$H(y, t) \ll \log y \int_{t}^{\infty} \mathcal{L}(u) du;$$

comme $\int_{t}^{\infty} \mathcal{L}(u) du$ tend vers 0 lorsque $t$ tend vers l'infini, il nous suffit de montrer que pour tout $t$ fixé la quantité suivante admet une limite en $y$

$$(\log y)^{-1} \sum_{\substack{(10) \\ a < y^t}} a^{-1}.$$

Pour chaque entier $a$ considérons la décomposition $a = bc$ où $c$ est le plus grand diviseur de $a$ dans l'intervalle $[y^\lambda, y^{1-\varepsilon}$. Alors $q(b) \ge y^\lambda$, et, puisque $b \le a < y^t$, le nombre des facteurs premiers de $b$ est inférieur

à $t/\varepsilon$. Cela montre que nous pouvons nous ramener à étudier, pour tout entier $k$ fixé, la limite en $y$ des quantités suivantes:

$$S_k := (\log y)^{-1} \sum_{(11)} b^{-1} \sum_{(12)} c^{-1}$$

où la sommation en $b$ porte sur les entiers vérifiant

$$(11) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \Omega(b) = k, \\ y^\lambda \le q(b) \le p(b) \le y^{1-\varepsilon}, \\ b \le y^{t-\lambda} \end{array} \right.$$

et où la sommation en $c$ porte sur les entiers vérifiant

$$(12) \qquad \left\{ \begin{array}{l} y^\lambda \le c < y^{1-\varepsilon}, \\ c \le y^t b^{-1}, \\ \forall d (d|bc \Rightarrow d \notin ]c, y[). \end{array} \right.$$

Pour tout entier $j \ge 1$, on écrit alors:

$$\sum_{(12)} c^{-1} = \sum_{i=0}^{j-1} \sum_{(12,i)} c^{-1}$$

où la sommation intérieure porte sur les entiers $c$ qui vérifient, outre les conditions (12),

$$(13) \qquad \theta_{i,j} \le \frac{\log c}{\log y} < \theta_{i+1,j}$$

avec, pour tout $i$ ($1 \le i \le j$)

$$\theta_{i,j} = \lambda + \frac{i}{j} (1 - \lambda - \varepsilon).$$

Considérons un entier $b$ fixé vérifiant (11). La dernière condition de (12) s'écrit

$$\forall \beta | b (\beta \neq 1) \forall d (d|c \Rightarrow d \notin ]c\beta^{-1}, y\beta^{-1}[).$$

Cela permet l'encadrement suivant, valable pour $0 \le i \le j - 1$,

$$\sum_{(12,i)}^{*} c^{-1} \le \sum_{(12,i)} c^{-1} \le \sum_{(12,i)}^{**} c^{-1}$$

où $\sum_{(12,i)}^{*}$ (resp. $\sum_{(12,i)}^{**}$) désigne la sommation sur les entiers $c$ de l'intervalle $[y^{\theta_{i,j}}, y^{\theta_{i+1,j}} \cap [y^\lambda, y^t b^{-1}]$ qui n'ont pas de diviseur dans $\bigcup_{\substack{\beta | b \\ \beta \neq 1}} [y^{\theta_{i,j}}, y^{\beta^{-1}}]$ (resp. $\bigcup_{\substack{\beta | b \\ \beta \neq 1}} [y^{\theta_{i+1,j}}, y^{\beta^{-1}}]$).
Posons

$$ \varphi := \min \left( 1, t - \frac{\log b}{\log y} \right) \quad \text{et} \quad \psi := \min \left( 1, \frac{\varphi - \lambda}{1 - \lambda - \varepsilon} \right). $$

Pour tous les entiers $i$ tels que $i/j \le \psi$ sauf au plus un, la somme $\sum_{(12,4)}^* (\text{resp. } \sum_{(12,4)}^{**})$ est étendue aux entiers de l'intervalle $[y^{0_i, j}, y^{0_{i+1}, j}]$ [qui n'ont pas de diviseur dans chacun des intervalles $]y^{a_2 r-1}, y^{a_2 r}]$ ($1 \le r \le h$)] où $\bar{a} = (a_1, \dots, a_{2h})$ est la valeur d'une fonction continue

$$ \bar{a} \left( \frac{i}{j}, \frac{\log p_1}{\log y}, \dots, \frac{\log p_k}{\log y} \right) \quad (\text{resp.} \quad \bar{a} \left( \frac{i-1}{j}, \frac{\log p_1}{\log y}, \dots, \frac{\log p_k}{\log y} \right)) $$

où $p_1, \dots, p_k$ désignent les facteurs premiers distincts ou non de $b$. D'après le lemme 3 il existe une fonction continue $f: ]0, 1]^{2h} \to [0, 1]$ vérifiant:

$$ (14) \quad \sum_{(12,4)}^* c^{-1} = \frac{1-\lambda-\varepsilon}{j} f\left(\bar{a}\left(\frac{i}{j}, \frac{\log p_1}{\log y}, \dots, \frac{\log p_k}{\log y}\right)\right) + \eta_i(y) \log y, $$

$$ (15) \quad \sum_{(12,4)}^{**} c^{-1} = \frac{1-\lambda-\varepsilon}{j} f\left(\bar{a}\left(\frac{i+1}{j}, \frac{\log p_1}{\log y}, \dots, \frac{\log p_k}{\log y}\right)\right) + \eta'_i(y) \log y $$

où $\eta_i(y)$ et $\eta'_i(y)$ sont des fonctions de $y$ tendant vers 0 lorsque $y$ tend vers l'infini et ne dépendant pas de $b$ puisque les $\log p_i/\log y$ ($1 \le l \le k$) sont tous dans l'intervalle $[\varepsilon, 1-\varepsilon]$.

Posons alors $F = f \circ \bar{a}: ]0, 1]^{k+1} \to [0, 1]$; $F$ est une fonction continue et pour tous les entiers $i$ tels que $i/j \le \psi$ sauf au plus un on a:

$$ (16) \quad \sum_{(12,4)}^* c^{-1} = \frac{1-\lambda-\varepsilon}{j} F\left(\frac{i}{j}, \frac{\log p_1}{\log y}, \dots, \frac{\log p_k}{\log y}\right) + \eta_i(y) \log y, $$

$$ (17) \quad \sum_{(12,4)}^{**} c^{-1} = \frac{1-\lambda-\varepsilon}{j} F\left(\frac{i+1}{j}, \frac{\log p_1}{\log y}, \dots, \frac{\log p_k}{\log y}\right) + \eta'_i(y) \log y. $$

Pour les entiers $i$ tels que $i/j > \psi$ la somme $\sum_{(12,4)}^*$ (resp. $\sum_{(12,4)}^{**}$) est vide sauf pour au plus une valeur de $i$.

Soit alors $g: ]0, 1]^{k+1} \to [0, 1]$ la fonction intégrable au sens de Riemann définie par:

$$ g(u, u_1, \dots, u_k) = \begin{cases} F(u, u_1, \dots, u_k) & \text{si } u \le \min \left( 1, \frac{t - \sum_{r=1}^k u_r - \lambda}{1 - \lambda - \varepsilon} \right), \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases} $$

D'après ce qui précède, on a l'encadrement

$$ \begin{align} (18) \quad & \frac{1-\lambda-\varepsilon}{j} \sum_{i=0}^{j-1} \sum_{(11)} b^{-1} g\left(\frac{i}{j}, \frac{\log p_1}{\log y}, \dots, \frac{\log p_k}{\log y}\right) \nonumber \\ & - \frac{2(1-\lambda-\varepsilon)}{j} \sum_{(11)} b^{-1} - j \max_{i=1, \dots, j-1} \eta_i(y) \sum_{(11)} b^{-1} \nonumber \\ & \le S_k \le \frac{1-\lambda-\varepsilon}{j} \sum_{i=0}^{j-1} \sum_{(11)} b^{-1} g\left(\frac{i+1}{j}, \frac{\log p_1}{\log y}, \dots, \frac{\log p_k}{\log y}\right) \nonumber \\ & + \frac{2(1-\lambda-\varepsilon)}{j} \sum_{(11)} b^{-1} + j \max_{i=1, \dots, j-1} \eta'_i(y) \sum_{(11)} b^{-1}. \end{align} $$

Or d'après le lemme 5, on a:

$$ (a) \quad \lim_{y \to \infty} \sum_{(11)} b^{-1} = \int_{\Delta} \frac{du_1}{u_1} \dots \frac{du_k}{u_k}, $$

(b) pour $u$ dans $[0, 1]$

$$ \lim_{y \to \infty} \sum_{(11)} b^{-1} g\left( u, \frac{\log p_1}{\log y}, \dots, \frac{\log p_k}{\log y} \right) = \int_{\Delta} g(u, u_1, \dots, u_k) \frac{du_1}{u_1} \dots \frac{du_k}{u_k} $$

où $\Delta$ est le domaine de $R^k$ défini par la condition

$$ \varepsilon \le u_1 \le \dots \le u_k \le 1 - \varepsilon. $$

En faisant tendre $y$ puis $j$ vers l'infini dans (18), on obtient:

$$ \lim_{y \to \infty} S_k = (1 - \lambda - \varepsilon) \int_0^1 du \int_j^1 g(u, u_1, \dots, u_k) \frac{du_1}{u_1} \dots \frac{du_k}{u_k}, $$

ce qui achève la démonstration.

**4. Fin de la démonstration du théorème.** Nous allons maintenant montrer que $\lambda \mapsto h(\lambda)$ vérifie (2). Posons:

$$ h_*(\lambda, t) := \text{dens}\{n: \exists d \mid n, n^{2l} \le d < n^{1l}, \text{ et } q(d) > n^{\alpha/l}\}; $$

nous avons vu dans [3] (pages 30 et 31) que, pour $\lambda \ne 0$, on a:

$$ (19) \qquad |h(\lambda, t) - h_*(\lambda, t)| \le \varepsilon^\delta $$
et

$$
(20) \qquad h_s(\lambda, t) \sim \sum_{n \le x} \frac{r(n, x)}{n}
$$

où $r(n, x)$ est égale à la fonction $r(n)$ du lemme 2 lorsqu'on choisit
$\mathcal{L} = \{z: x^{\lambda/t} \le z < x^{1/t} \text{ et } q(z) > x^{\epsilon/t}\}$. Comme on a:

$$
d_s(\lambda, x^{1/t}) = \sum_{n \ge 1} \frac{r(n, x)}{n},
$$

on peut écrire :

$$
(21) \qquad h_s(\lambda, t) = d_s(\lambda, x^{1/t}) - \sum_{n>x} \frac{r(n, x)}{n} - o(1).
$$

Décomposons alors :

$$
\sum_{n>x} \frac{r(n, x)}{n} = \Sigma_1 + \Sigma_2
$$

où Σ₁ (resp. Σ₂) correspond aux entiers sans (resp. ayant au moins un)
facteur carré.

En utilisant le lemme 2, on a :

$$
\begin{align*}
|\Sigma_2| &\le \sum_{\omega^{\epsilon/t} < p < \omega^{1/t}} p^{-2} \sum_{\substack{n \ge 1 \\ \omega^{\epsilon/t} < q(n) \le p(n) \\ n < \omega^{1/t}}} 2^{\omega(n)} n^{-1} \\
&\le \omega^{-\epsilon/t} \prod_{\omega^{\epsilon/t} < p < \omega^{1/t}} (1-2p^{-1})^{-1} \le \omega^{-\epsilon/t} \prod_{\omega^{\epsilon/t} \le p \le \omega^{1/t}} (1-p^{-1})^{-2} \le \omega^{-\epsilon/t}.
\end{align*}
$$

D'autre part, on a :

$$
\begin{align*}
|\Sigma_1| &= \left| \sum_{j>t} \sum_{\substack{n>o \\ \omega(n)=\omega}} r(n, \omega) n^{-1} \right| 
&\le \sum_{j \ge t} \frac{2^j}{j!} \left\{ \sum_{\substack{n^{\epsilon} \le p < n^{1/t} \\ \omega^{\epsilon} \le n^{1/t}}} p^{-1} \right\}^j \\
&\ll \sum_{j \ge t} \frac{2^j}{j!} \log^j 1/\epsilon \equiv \mathcal{R}(t, \epsilon)
\end{align*}
$$

$$
\text{avec } \lim_{t \to \infty} \mathcal{R}(t, \epsilon) = 0.
$$

En faisant tendre dans (21) $\omega$ puis $t$ tend vers l'infini on obtient :

$$
\lim_{t \to \infty} h_s(\lambda, t) = h_s(\lambda).
$$

En faisant tendre $\epsilon$ vers 0 et en utilisant (19) on obtient donc (2).

Bibliographie

[1] J. D. Bovey, On the size of prime factors of integers, Acta Arith. 33 (1977), p. 65-80.

[2] P. Erdös, A generalization of a theorem of Besicovitch, J. London Math. Soc. 11 (1936), p. 92-98.

[3] G. Tenenbaum, *Lois de répartition des diviseurs*, 2, Acta Arith. 38 (1980), p. 1-36.

U. E. R. DE MATHEMATIQUES ET D'INFORMATIQUE
UNIVERSITÉ DE BORDEAUX I

351, cours de la Libération
33405 Talence Cedex

Reçu le 6. 2. 1978 (1042)