# Equivalence dans une généralisation du théorème de Cayley-Hamilton : artifaille du buzoqueur

David Pigeon

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# Equivalence dans une généralisation du théorème de Cayley-Hamilton : artifaille du buzoqueur

David Pigeon*

9 décembre 2025

**Mots clés** : réduction, théorème de Cayley-Hamilton, polynôme caractéristique, polynôme minimal.

## Résumé

On donne deux généralisations simples du théorème de Cayley-Hamilton. On obtient alors une définition algébrique du polynôme caractéristique d'une matrice carrée.

## Table des matières

<table><tr><td>1</td><td>Généralisations du théorème de Cayley-Hamilton</td><td>4</td></tr><tr><td>1.1</td><td>Autour de la matrice A</td><td>4</td></tr><tr><td>1.2</td><td>Deux décompositions de l'algèbre C[X, Y]</td><td>5</td></tr><tr><td>1.3</td><td>Les idéaux XY<sub>0</sub>(A), XY<sub>0</sub>† et XM<sub>0</sub>(A)</td><td>7</td></tr><tr><td>1.4</td><td>Les idéaux XY<sub>c</sub>(A) et XY<sub>c</sub>†</td><td>11</td></tr><tr><td>1.5</td><td>Fausse preuve du théorème 1.10</td><td>17</td></tr><tr><td>1.6</td><td>Caractérisation de XY<sub>c</sub>(A)</td><td>19</td></tr><tr><td>2</td><td>L'application Chi Pique</td><td>21</td></tr><tr><td>2.1</td><td>L'opération ♦</td><td>21</td></tr><tr><td>2.2</td><td>Caractérisations de CH(A) et de CH<sub>A</sub>†</td><td>22</td></tr><tr><td>2.3</td><td>Caractérisation de CH<sub>0</sub>(A)</td><td>23</td></tr><tr><td>2.4</td><td>Buzoque associée à une matrice et caractérisation de CH<sub>c</sub>(A)</td><td>24</td></tr><tr><td>A</td><td>Interpolation de Lagrange</td><td>27</td></tr></table>

<footnote>*https://sites.google.com/view/davidpigeon/</footnote>
En général, la réduction d'une matrice se divise en deux parties<fnref n="1" /> :

* la partie géométrique : étude des directions propres;

* la partie algébrique : étude de l'idéal des polynômes annulateurs d'une matrice.

Regardons ces deux étapes plus en détails. Fixons un entier $n \ge 1$ et une matrice carrée $A$ de taille $n$ à coefficients dans $\mathbb{C}$ (i.e. $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$).

**Définition géométrique de $\chi_A(X)$**. Pour toute valeur propre $\lambda \in \mathbb{C}$ de $A$ (i.e. $\lambda \in \text{Sp}(A)$), le sous-espace propre $E_\lambda(A) := \text{Ker}(\lambda I_n - A)$ de $\mathbb{C}^n$ est non réduit à $\{0\}_{\mathbb{C}^n}$ i.e. $\det(\lambda I_n - A) = 0$. Plus exactement, on a l'équivalence :

$$ \forall \lambda \in \mathbb{C}, \lambda \in \text{Sp}(A) \iff \det(\lambda I_n - A) = 0. $$

Ainsi on définit le **polynôme caractéristique** de $A$ par :

$$ \chi_A(X) := \det(XI_n - A). $$

**Définition algébrique de $\pi_A(X)$**. On définit l'ensemble des polynômes annulateurs de $A$ :

$$ \{P(X) \in \mathbb{C}[X], P(A) = 0_n\}. $$

C'est un idéal de l'anneau principal $\mathbb{C}[X]$. Il est engendré par $\pi_A(X) \in \mathbb{C}[X]$, le **polynôme minimal** de $A$.

**Théorème de Cayley-Hamilton.** Le théorème de Cayley-Hamilton affirme que²³ :

$$ \chi_A(A) = 0_n. $$

i.e. on a $\chi_A(X) \in \pi_A(X)\mathbb{C}[X]$. Ce théorème fait donc un lien entre la partie géométrique et la partie algébrique.

**Définition géométrique de $\pi_A(X)$**. On peut factoriser $\pi_A(X)$ en :

$$ \pi_A(X) = \prod_{\lambda \in \text{Sp}(A)} (X - \lambda)^{d_\lambda} \quad (1) $$

On peut donner une définition géométrique du polynôme minimal de $A$ i.e. de la famille $(d_\lambda)_\lambda$. Soit $\lambda \in \text{Sp}(A)$. Posons :

$$ \forall k \in \mathbb{N}, F_{\lambda,k} := \text{Ker}((\lambda I_n - A)^k). $$

La suite $(F_{\lambda,k})_k$ est une suite strictement croissante pour l'inclusion de sous-espaces vectoriels de $\mathbb{C}^n$ stationnaire à partir de l'entier $d_\lambda$.

Le but de ce texte est :

Donner une définition algébrique du polynôme caractéristique de $A$ en étudiant des idéaux de $\mathbb{C}[X, Y]$.

<footnote n="1">1. A vrai dire, la partie géométrique est parsemée d'outils et techniques algébriques : déterminant, matrice, polynôme... Pour le texte, séparons-les un temps. Ce que nous voulons mettre en avant, c'est les justifications algébriques et géométriques des polynômes caractéristiques et minimaux.</footnote>

<footnote n="2">2. Voir Denis Serre, *Matrices, Theory and Applications*, Springer, (2000) pour des détails et les preuves usuelles sur la théorie des matrices.</footnote>

<footnote n="3">3. $0_n$ est la matrice nulle de taille $n$.</footnote>
Pour tout $F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$, nous obtenons les équivalences :

$$ \forall B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), F(B, B) = 0_n $$

$$ \iff \forall B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \chi_{B,F}(B) := \det(F(X, B))(B) = 0_n $$

$$ \iff \exists G(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y], F(X, Y) = (X - Y)G(X, Y). $$

Nous avons donc une justification algébrique du polynôme caractéristique usuel d'une matrice A.
# 1 Généralisations du théorème de Cayley-Hamilton

## 1.1 Autour de la matrice $A$

Dans cette sous-section, on rappelle des résultats usuels d'algèbre commutative. Les notations définies seront utilisées dans tout le texte.

• **Morphisme d'évaluation.** On a un morphisme d'évaluation de $\mathbb{C}$-algèbres :

$$ \begin{array}{ccc} \text{ev}_A: & \mathbb{C}[X] & \to \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \\ & P(X) & \mapsto P(A) \end{array} $$

On pose :

$$ \mathbb{C}[A] := \operatorname{Im}(\operatorname{ev}_A) = \{P(A), P(X) \in \mathbb{C}[X]\}. \qquad (2) $$

Comme le noyau de $\operatorname{ev}_A$ est un idéal de l'anneau principal $\mathbb{C}[X]$, il existe un unique polynôme unitaire $\pi_A(X) \in \mathbb{C}[X]$, appelé le **polynôme minimal de A**, tel que :

$$ \operatorname{Ker}(\operatorname{ev}_A) = \{P(X) \in \mathbb{C}[X], P(A) = 0_n\} = \pi_A(X) \cdot \mathbb{C}[X]. $$

Ainsi $\operatorname{ev}_A$ induit un isomorphisme de $\mathbb{C}$-algèbres :

$$ \mathbb{C}[X]/(\pi_A(X)) \to \mathbb{C}[A] $$

• **Décompositions de $\chi_A(X)$ et $\pi_A(X)$**. Comme $\mathbb{C}$ est algébriquement clos, il existe un entier naturel $r$ non nul, une famille $(\lambda_i)_i \in \mathbb{C}^r$ d'éléments distincts (les valeurs propres de $A$) et deux familles $(m_i)_i, (d_i)_i \in \mathbb{N}^r$ tels que $4^5$ :

$$ \operatorname{Rac}(\chi_A(X)) = \operatorname{Rac}(\pi_A(X)) = \operatorname{Sp}(A) := \{\lambda_i, i \in \{1, \dots, r\}\} \qquad (3) $$

$$ \chi_A(X) := \det(XI_n - A) = \prod_{i=1}^{r} (X - \lambda_i)^{m_i} \qquad (4) $$

$$ \pi_A(X) = \prod_{i=1}^{r} (X - \lambda_i)^{d_i} \qquad (5) $$

Par le théorème de Cayley-Hamilton, $\chi_A(X)$ est un polynôme annulateur de $A$ i.e. $\pi_A(X)$ divise $\chi_A(X)$. Ainsi on a :

$$ \forall i \in \{1, \dots, r\}, \quad 1 \le d_i \le m_i. \qquad (6) $$

On posera aussi :

$$ \Delta_A(X) := \prod_{i=1}^{r} (X - \lambda_i). \qquad (7) $$

• **Trigonalisation.** Comme $A$ est trigonalisable dans $\mathbb{C}$, il existe une matrice $Q \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$ telle que :

$$ T := Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & (*) \\ & \ddots & \\ (0) & & \lambda_r \end{pmatrix}. \qquad (8) $$

Comme pour tout $k \in \mathbb{N}$ :

$$ T^k = Q^{-1}A^k Q = \begin{pmatrix} \lambda_1^k & & (*) \\ & \ddots & \\ (0) & & \lambda_r^k \end{pmatrix} $$

<footnote n="4">4. Pour tout polynôme $P(X) \in \mathbb{C}[X]$, on note $\operatorname{Rac}(P(X))$ l'ensemble des racines complexes de $P(X)$ i.e. $\operatorname{Rac}(P(X)) := \{\lambda \in \mathbb{C}, P(\lambda) = 0\}$.</footnote>

<footnote n="5">5. Toute valeur propre de $A$ est racine de tout polynôme annulateur de $A$.</footnote>
on a pour tout $P(X) \in \mathbb{C}[X]$ :

$$ P(T) = Q^{-1}P(A)Q = \begin{pmatrix} P(\lambda_1) & & (*) \\ & (0) & P(\lambda_r) \end{pmatrix}. \qquad (9) $$

* **Diagonalisation.** Dans le cas où $T$ est diagonale i.e. $A$ est diagonalisable, on a pour tout $P \in \mathbb{C}[X]$ :

$$ P(T) = Q^{-1}P(A)Q = Q^{-1} \begin{pmatrix} P(\lambda_1) & & (0) \\ & (0) & P(\lambda_r) \end{pmatrix} Q. \qquad (10) $$

et :

$$ \forall i \in \{1, \dots, r\}, \quad 1 = d_i \le m_i \qquad (11) $$

$$ \pi_A(X) = \prod_{i=1}^{r} (X - \lambda_i). \qquad (12) $$

* **Homothérie.** Dans le cas où $A := \lambda I_n$ (et donc $r := 1$ et $Q := I_n$), on a pour tout $P \in \mathbb{C}[X]$ :

$$ P(A) = \begin{pmatrix} P(\lambda) & & (0) \\ & (0) & P(\lambda) \end{pmatrix} = P(\lambda)I_n. \qquad (13) $$

## 1.2 Deux décompositions de l'algèbre $\mathbb{C}[X, Y]$

On définit la $\mathbb{C}$-algèbre $\mathbb{C}[X, Y]$ par :

$$ \mathbb{C}[X, Y] := \mathbb{C}[Y][X]. $$

On confondra par la suite $\mathbb{C}[Y][X]$ et $\mathbb{C}[X][Y]$.

### Lemma 1.1: Première décomposition

Pour tout $F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$, il existe un unique $G(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$ tel que :

$$ F(X, Y) = F(Y, Y) + (X - Y)G(X, Y). $$

*Démonstration.* Montrons le résultat de deux façons différentes, cela permettra de voir des techniques simples que nous utiliserons.

(1) Soit $F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$. Voyons $F(X, Y)$ comme un élément de $\mathbb{C}(Y)[X]$. Par division euclidienne dans $\mathbb{C}(Y)[X]$ de $F(X, Y)$ par le polynôme unitaire $X - Y$ de degré 1 en $X$, il existe un unique $G(X, Y) \in \mathbb{C}(Y)[X]$ et un unique $R(Y) \in \mathbb{C}(Y)$ tels que :

$$ (*) : F(X, Y) = (X - Y)G(X, Y) + R(Y). $$

Comme le polynôme $X - Y$ est unitaire en $X$, la division euclidienne<fnref n="6" /> se fait dans $\mathbb{C}[X, Y]$ i.e. $G(X, Y) \in \mathbb{C}[Y][X] = \mathbb{C}[X, Y]$ et $R(Y) \in \mathbb{C}[Y]$. Enfin, on a par $(*)$ :

$$ F(Y, Y) = R(Y) + (Y - Y)G(Y, Y) = R(Y). $$

D'où le résultat.

<footnote n="6">6. Dans l'algorithme de la division euclidienne, des dénominateurs apparaissent quand le polynôme diviseur n'est pas unitaire.</footnote>
(2) Soit $^7$:

$$F(X, Y) := \sum_{k,l \ge 0} f_{k,l} X^k Y^l \in \mathbb{C}[X, Y].$$

On a :

$$ 
\begin{align*}
F(X,Y) - F(Y,Y) &= \sum_{k,l \ge 0} f_{k,l} X^k Y^l - \sum_{k,l \ge 0} f_{k,l} Y^{k+l} \\
&= \sum_{k \ge 1, l \ge 0} f_{k,l} (X^k - Y^k) Y^l \\
&= (X-Y) \sum_{k \ge 1, l \ge 0} f_{k,l} \left( \sum_{i=0}^{k-1} X^i Y^{k-1-i} \right) Y^l.
\end{align*}
$$

D'où le résultat avec :

$$G(X, Y) := \sum_{k \ge 1, l \ge 0} f_{k,l} \left( \sum_{i=0}^{k-1} X^i Y^{k-1-i} \right) Y^l.$$

□

On a donc la décomposition en somme directe :

$$\mathbb{C}[X, Y] = \mathbb{C}[Y] \oplus (X - Y)\mathbb{C}[X, Y]. \qquad (14)$$

On continue cette sous-section par une nouvelle décomposition en somme directe de $\mathbb{C}[X, Y]$ en utilisant l'interpolation de Lagrange (voir l'annexe A).

## Lemma 1.2: Deuxième décomposition

Soit $F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$. Alors il existe un unique $G(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$ tel que :

$$F(X, Y) = \sum_{j=1}^{r} F(X, \lambda_j) L_j(Y) + \Delta_A(Y) G(X, Y).$$

*Démonstration. Posons :*

$$\mathbb{K} := \text{Frac}(\mathbb{C}[X]) = \mathbb{C}(X).$$

On confond $\mathbb{C}[X][Y]$ et $\mathbb{C}[X, Y]$ dans le raisonnement : en particulier on voit $\mathbb{C}[X, Y]$ comme une sous-$\mathbb{C}$-algèbre de $\mathbb{K}[Y]$.

Considérons la division euclidienne de $F(X, Y) \in \mathbb{K}[Y]$ par $\Delta_A(Y)$. Comme $\text{deg}(\Delta_A(Y)) = r$, il existe des uniques polynômes $G(X, Y) \in \mathbb{K}[Y]$ et $H(X, Y) \in \mathbb{K}_{r-1}[Y]$ tels que $^8$:

$$F(X, Y) = H(X, Y) + \Delta_A(Y)G(X, Y).$$

Comme $\Delta_A(Y)$ est unitaire, l'algorithme de division euclidienne se déroule dans $\mathbb{C}[X][Y]$ (il n'y a pas de dénominateur de $\mathbb{C}[X]$ apparaissant dans l'algorithme) i.e. on a :

$$G(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y], \quad H(X, Y) \in (\mathbb{C}[X])_{r-1}[Y].$$

Revoyons $H(X, Y)$ comme un élément de $\mathbb{K}_{r-1}[Y]$, on a par interpolation de Lagrange :

$$H(X, Y) = \sum_{j=1}^{r} H(X, \lambda_j) L_j(Y)$$

<footnote n="7">7. La famille $(f_{k,l})_{k,l} \in \mathbb{C}(\mathbb{N}^2)$ est à support fini dans $\mathbb{N}^2$.</footnote>

<footnote n="8">8. Pour tout anneau commutatif $\mathbb{A}$ et tout entier $k \in \mathbb{N}$, on note $\mathbb{A}_k[Z]$ le $\mathbb{A}$-module des polynômes $P(Z)$ de degré inférieur à $k$.</footnote>
$$ 
\begin{aligned}
&= \sum_{j=1}^{r} [F(X, \lambda_j) - \Delta_A(\lambda_j) G(X, \lambda_j)] L_j(Y) \\
&= \sum_{j=1}^{r} F(X, \lambda_j) L_j(Y)
\end{aligned}
$$

i.e. on a :

$$ F(X, Y) = \sum_{j=1}^{r} F(X, \lambda_j)L_j(Y) + \Delta_A(Y)G(X, Y). $$

□

On en déduit alors la décomposition en somme directe :

$$ \mathbb{C}[X, Y] = \left( \bigoplus_{j=1}^{r} L_j(Y) \mathbb{C}[X] \right) \oplus \Delta_A(Y) \mathbb{C}[X, Y]. \qquad (15) $$

## 1.3 Les idéaux $XY_0(A)$, $XY_0^\dagger$ et $XM_0(A)$

On définit les deux sous-ensembles de $\mathbb{C}[X, Y]$ :

$$ \mathbf{XY}_0(A) := \{F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y], F(A, A) = 0_n\} \qquad (16) $$

$$ \mathbf{XY}_0^\dagger := \{F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y], \forall B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), F(B, B) = 0_n\} = \bigcap_{B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} \mathbf{XY}_0(B) \qquad (17) $$

On a alors les caractérisations simples.

### Proposition 1.3

(i) On a :

$$ \mathbf{XY}_0(A) = \pi_A(Y)\mathbb{C}[Y] \oplus (X - Y)\mathbb{C}[X, Y] $$

(ii) On a :

$$ \mathbf{XY}_0^\dagger = \bigcap_{\lambda \in \mathbb{C}} \mathbf{XY}_0(\lambda I_n) = (X - Y)\mathbb{C}[X, Y]. $$

**Démonstration.** Soit $F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$. Par le lemme 1.1, il existe $G(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$ tel que :

$$ (*) : F(X, Y) = F(Y, Y) + (X - Y)G(X, Y). $$

Posons $R(Y) := F(Y, Y)$.

(i) On a les équivalences :

$$ F(X, Y) \in \mathbf{XY}_0(A) \iff F(A, A) = 0_n \iff F(Y, Y) \in \pi_A(Y)\mathbb{C}[Y]. $$

(ii) Montrons les trois inclusions :

$$ \mathbf{XY}_0^\dagger \subset \bigcap_{\lambda \in \mathbb{C}} \mathbf{XY}_0(\lambda I_n) \subset (X - Y)\mathbb{C}[X, Y] \subset \mathbf{XY}_0^\dagger. $$

• On a l'inclusion :

$$ \mathbf{XY}_c^\dagger = \bigcap_{B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} \mathbf{XY}_c(B) \subset \bigcap_{\lambda \in \mathbb{C}} \mathbf{XY}_0(\lambda I_n). $$

• Supposons que $F(X, Y) \in \bigcap_{\lambda \in \mathbb{C}} \mathbf{XY}_0(\lambda I_n)$. Montrons que $R(Y)$ est nulle en montrant qu'il s'annule sur tout $\mathbb{C}$. Soit $\lambda \in \mathbb{C}$. Comme $F(X, Y) \in \mathbf{XY}_0(\lambda I_n)$ i.e. $F(\lambda I_n, \lambda I_n) = 0_n$, on a par $(*)$ :

$$ 0_n = F(\lambda I_n, \lambda I_n) $$
$$
\begin{align*}
&= R(\lambda I_n) + (\lambda I_n - \lambda I_n)G(\lambda I_n, \lambda I_n) \\
&= R(\lambda I_n) \\
&= R(\lambda)I_n.
\end{align*}
$$

i.e. $R(\lambda) = 0$. Donc $R(Y) = 0$. Ainsi par $(*)$, on a :

$$
F(X, Y) = (X - Y)G(X, Y) \in (X - Y)\mathbb{C}[X, Y].
$$

D'où la deuxième inclusion.

• Supposons que $F(X, Y) \in (X - Y)\mathbb{C}[X, Y]$ i.e. $R(Y) = 0$. On a par $(*)$ :

$$
\forall B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), F(B, B) = (B - B)G(B, B) = 0_n
$$

$$
\text{i.e. } F(X, Y) \in \mathbf{X}\mathbf{Y}_0^{\dagger}.
$$

□

En complément, on a la remarque suivante qui permet d'avoir d'autres intuitions sur ces résultats simples. Le lecteur désireux de ne comprendre que la généralisation du théorème de Cayley-Hamilton peut passer directement à la sous-section suivante 1.4.

Remarque 1.4: Autour des idéaux $\mathbf{X}Y_0(A)$ et $\mathbf{X}Y_0^\dagger$.

(1) L'ensemble **XY**₀(**A**) est un idéal car c'est le noyau du morphisme d'évaluation de ℂ-algèbres :

$$
\mathrm{ev}_A^{(1,2)} : \begin{array}{ccc} \mathbb{C}[X,Y] & \to & \mathbb{C}[A] \\ F(X,Y) & \mapsto & F(A,A) \end{array}
$$

Ce morphisme $ev_A^{(1,2)}$ est surjectif car en voyant $\mathbb{C}[X]$ comme une sous-$\mathbb{C}$-algèbre de $\mathbb{C}[X, Y]$
par le morphisme injectif de $\mathbb{C}$-algèbres :

$$
\begin{array}{ccc}
\mathbb{C}[X] & \to & \mathbb{C}[X, Y] \\
P(X) & \mapsto & P(X)Y^0
\end{array}
$$

on a :

$$
\mathbb{C}[A] := \{P(A), P(X) \in \mathbb{C}[X]\} \subset \{F(A, A), F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]\} = \mathrm{Im}(\mathrm{ev}_A^{(1,2)}) \subset \mathbb{C}[A].
$$

i.e. on a $\mathrm{Im}(\mathrm{ev}_A^{(1,2)}) = \mathbb{C}[A]$. Le morphisme $\mathrm{ev}_A^{(1,2)}$ induit donc un isomorphisme de $\mathbb{C}$-algèbres :

$$
\mathbb{C}[X, Y]/\mathbf{X}Y_0(A) \to \mathbb{C}[A]
$$

(2) Dit autrement, l'ensemble **XY**₀(**A**) est un idéal de ℂ[X, Y] car c'est l'image réciproque de l'idéal ℛₐ(Y) ℂ[Y] de ℂ[Y] par le morphisme surjectif diagonal :

$$
\text{diag} : \begin{array}{ccc} \mathbb{C}[X,Y] & \to & \mathbb{C}[Y] \\ F(X,Y) & \mapsto & F(Y,Y) \end{array}
$$

On a donc une autre preuve des deux premières inclusions du point (ii) de la proposition1.3
(la dernière inclusion est comme dans la preuve) :

$$
\mathbf{X}\mathbf{Y}_0^\dagger = \bigcap_{B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} \mathbf{X}\mathbf{Y}_c(B) \\
\subset \bigcap_{\lambda \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} \mathbf{X}\mathbf{Y}_c(\lambda I_n)
$$
$$
\begin{align*}
&= \bigcap_{\lambda \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} \mathrm{diag}^{-1}(\pi_{\lambda I_n}(Y)\mathbb{C}[Y]) \\
&= \bigcap_{\lambda \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} \mathrm{diag}^{-1}((Y - \lambda)\mathbb{C}[Y]) \\
&= \mathrm{diag}^{-1}\left(\bigcap_{\lambda \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} (Y - \lambda)\mathbb{C}[Y]\right) \\
&= \mathrm{diag}^{-1}(\{0\}) = \mathrm{Ker}(\mathrm{diag}) \\
&= (X - Y)\mathbb{C}[X, Y]
\end{align*}
$$

En particulier, on a donc :

$$
\mathbf{X}\mathbf{Y}_0^\dagger = \mathrm{diag}^{-1}(\{0\}) = \mathrm{Ker}(\mathrm{diag})
$$

et ainsi le morphisme diag induit l'isomorphisme simple de $\mathbb{C}$-algèbres :

$$
\mathbb{C}[X, Y]/\mathbf{X}\mathbf{Y}^{\dagger} = \mathbb{C}[X, Y]/(X - Y) \rightarrow \mathbb{C}[Y]
$$

Comme $\pi_A(Y) \neq 0$, on a donc l'inclusion stricte :

$$
(X - Y) \notin \mathbf{X}\mathbf{Y}_0(A).
$$

Dans le corollaire suivant, on en déduit que l’idéal $\mathbf{X}\mathbf{Y}_0(A)$ n’est pas principal.

Corollaire 1.5

$\mathbf{X}\mathbf{Y}_0(A)$ est un idéal non principal de $\mathbb{C}[X, Y]$.

Démonstration. Supposons qu'il existe $F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$ tel que $\mathbf{X}\mathbf{Y}_0(A) = F(X, Y)\mathbb{C}[X, Y]$. Comme $X - Y \in \mathbf{X}\mathbf{Y}_0(A)$, il existe $G(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$ tel que :

$$
(*) : X - Y = F(X, Y)G(X, Y).
$$

On a par (*) :

$$
\deg_Y(F(X, Y)), \deg_X(F(X, Y)) \in \{0, 1\} \\
\deg_X(G(X, Y)) = 1 - \deg_X(F(X, Y)), \quad \deg_Y(G(X, Y)) = 1 - \deg_Y(F(X, Y)).
$$

On a quatre cas.

(1) **Cas** $\deg_Y(F(X, Y)) = \deg_X(F(X, Y)) = 1$ **i.e.** $\deg_Y(G(X, Y)) = \deg_X(G(X, Y)) = 0$. Donc il existe $a, b, c, d, e \in \mathbb{C}$ tels que :

$$
F(X, Y) = (aX + b)Y + cX + d, \quad G(X, Y) = e.
$$

Ainsi (*) devient :

$$
X - Y = e(aX + b)Y + ecX + ed
$$

et donc par unicité de la décomposition dans $\mathbb{C}[X, Y]$, on a :

$$
\epsilon a = 0, \epsilon b = -1, \epsilon c = 1, \epsilon d = 0
$$

i.e. on a :

$a = d = 0, b = -c, e = 1/c.$
Ainsi on a en particulier :

$$F(X, Y) = (aX + b)Y + cX + d = -cY + cX = c(X - Y) \in (X - Y).$$

Comme $(X - Y) \subset \mathbf{X}\mathbf{Y}_0(A)$, on a :

$$(X - Y) \subset \mathbf{X}\mathbf{Y}_0(A) = (F(X, Y)) = (F(X, Y)) \subset (X - Y)$$

i.e. $\mathbf{X}\mathbf{Y}_0(A) = (X - Y)$ ce qui est absurde par le point (i) de la proposition 1.3.

(2) **Cas** $\deg_Y(F(X, Y)) = \deg_X(F(X, Y)) = 0$ i.e. $F(X, Y) \in \mathbb{C}^*$. Ainsi on a :

$$\mathbf{X}\mathbf{Y}_0(A) = (F(X, Y)) = (1) = \mathbb{C}[X, Y]$$

ce qui est absurde car pour $G(X, Y) := 1 \in \mathbb{C}[X, Y]$, on a $G(A, A) = I_n \neq 0_n$ donc $1 \notin \mathbf{X}\mathbf{Y}_0(A)$.

(3) **Cas** $\deg_Y(F(X, Y)) = \deg_X(G(X, Y)) = 1$ i.e. $\deg_X(F(X, Y)) = \deg_Y(G(X, Y)) = 0$. Donc il existe $a, b, c, d, e \in \mathbb{C}$ tels que :

$$F(X, Y) = aY + b, \quad G(X, Y) = cX + d.$$

Ainsi (*) devient :

$$X - Y = (aY + b)(cX + d) = acXY + bcX + adY + bd$$

et donc par unicité de la décomposition dans $\mathbb{C}[X, Y]$, on a :

$$ac = 0, \quad bc = 1, \quad ad = -1, \quad bd = 0$$

ce qui est contradictoire.

(4) **Cas** $\deg_Y(G(X, Y)) = \deg_X(F(X, Y)) = 1$ i.e. $\deg_X(G(X, Y)) = \deg_Y(F(X, Y)) = 0$ ($F(X, Y)$ et $G(X, Y)$ jouent de rôle symétrique dans (*)). On obtient une contradiction comme dans le cas (3).

Donc tous les cas sont contradictoires i.e. $\mathbf{X}\mathbf{Y}_0(A)$ n'est pas un idéal principal de $\mathbb{C}[X, Y]$. $\square$

Finissons la sous-section avec l'algèbre $\mathbb{C}[X, A]$ définie par :

$$\mathbb{C}[X, A] := \mathbb{C}[A][X] \cong \mathbb{C}[X][A].$$

En général, $\mathbb{C}[X, A]$ n'est pas principal car on a les équivalences entre :

* $\mathbb{C}[X, A]$ est un anneau principal;

* $\mathbb{C}[A]$ est un corps;

* $\pi_A(Y)\mathbb{C}[Y]$ est un idéal maximal de $\mathbb{C}[Y]$;

* $\deg(\pi_A(Y)) = 1$;

* $A$ est une homothétie i.e. $A \in \text{Vect}(I_n)$.

Posons :

$$\mathbf{X}\mathbf{M}_0(A) := \{F(X, A), F(X, Y) \in \mathbf{X}\mathbf{Y}_0(A)\}. \qquad (18)$$

Contrairement à l'idéal $\mathbf{X}\mathbf{Y}_0(A)$ qui n'était pas principal, $\mathbf{X}\mathbf{M}_0(A)$ est un idéal principal.

## Proposition 1.6: Propriétés de l'idéal $\mathbf{X}\mathbf{M}_0(A)$

L'ensemble $\mathbf{X}\mathbf{M}_0(A)$ est un idéal principal de $\mathbb{C}[X, A]$. Plus précisément, on a :

$$\mathbf{X}\mathbf{M}_0(A) = (XI_n - A)\mathbb{C}[X, A].$$
**Démonstration.** $\mathbf{XM}_0(A)$ est un idéal car c'est l'image de l'idéal $\mathbf{XY}_0(A)$ par le morphisme surjectif d'évaluation de $\mathbb{C}$-algèbres :

$$ \mathrm{ev}_A^{(1)}: \begin{array}{ccc} \mathbb{C}[X,Y] & \longrightarrow & \mathbb{C}[X,A] \\ F(X,Y) & \longmapsto & F(X,A) \end{array} $$

Donnons deux preuves de l'inclusion directe.

(1) Soit $F(X, Y) \in \mathbf{XY}_0(A)$. Par le point (i) de la proposition 1.3, il existe $S(Y) \in \mathbb{C}[Y]$ et $G(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$ tels que :

$$ F(X, Y) = \pi_A(Y)S(Y) + (X - Y)G(X, Y) \in \mathbf{XY}_0(A) $$

On a alors :

$$ \begin{aligned} F(X, A) &= \pi_A(A)S(A) + (XI_n - A)G(X, A) \\ &= (XI_n - A)G(X, A) \in (XI_n - A)\mathbb{C}[X, A] \end{aligned} $$

(2) Soit :

$$ F(X, Y) := \sum_{k,l \ge 0} f_{k,l} X^k Y^l \in \mathbf{XY}_0(A). $$

Comme $F(A, A) = 0_n$, on a :

$$ \begin{aligned} F(X, A) &= \sum_{k,l \ge 0} f_{k,l} X^k A^l \\ &= \sum_{k,l \ge 0} f_{k,l} X^k A^l - F(A, A) \\ &= \sum_{k \ge 1, l \ge 0} f_{k,l} (X^k I_n - A^k) A^l \\ &= \sum_{k \ge 1, l \ge 0} f_{k,l} (XI_n - A) \left( \sum_{i=0}^{k-1} X^i A^{k-1-i} \right) A^l \\ &= (XI_n - A) \sum_{k \ge 1, l \ge 0} f_{k,l} \left( \sum_{i=0}^{k-1} X^i A^{k-1-i} \right) A^l \end{aligned} $$

i.e. on a :

$$ F(X, A) \in (XI_n - A)\mathbb{C}[X, A]. $$

Réciproquement, soit $H(X, A) \in (XI_n - A)\mathbb{C}[X, A]$. Il existe $G(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$ tel que :

$$ H(X, A) = (XI_n - A)G(X, A) $$

Posons :

$$ F(X, Y) := (X - Y)G(X, Y). $$

On a $F(A, A) = (A-A)G(A, A) = 0_n$. Ainsi $F(X, Y) \in \mathbf{XY}_0(A)$ i.e. $H(X, A) \in \mathbf{XM}_0(A)$ car $H(X, A) = F(X, A)$. $\square$

On peut voir $\mathrm{ev}_A^{(1,2)}$ comme la composition des deux morphismes d'évaluation de $\mathbb{C}$-algèbres :

$$ \mathrm{ev}_A^{(1)}: \begin{array}{ccc} \mathbb{C}[X,Y] & \longrightarrow & \mathbb{C}[X,A] \\ F(X,Y) & \longmapsto & F(X,A) \end{array} , \quad \mathrm{ev}_A^{(2)}: \begin{array}{ccc} \mathbb{C}[X,A] & \longrightarrow & \mathbb{C}[A] \\ F(X,A) & \longmapsto & F(A,A) \end{array} $$

i.e. on a :

$$ \mathrm{ev}_A^{(1,2)} = \mathrm{ev}_A^{(2)} \circ \mathrm{ev}_A^{(1)}. $$

## 1.4 Les idéaux $XY_c(A)$ et $XY_c^\dagger$
## Définition 1.7

Soit $F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$.

(i) Le déterminant de $A$ le long de $F(X, Y)$ est le polynôme de $\mathbb{C}[X]$ défini par :

$$ \chi_{A,F}(X) := \det(F(X, A)). $$

(ii) On dit que $F(X, Y)$ est **caractéristique pour A** si $\chi_{A,F}(A) = 0_n$ i.e. $\chi_{A,F}(X) \in \pi_A(X)\mathbb{C}[X]$.

On note $\mathbf{XY}_c(A)$ l'ensemble des éléments de $\mathbb{C}[X, Y]$ caractéristiques pour $A$.

(iii) On dit que $F(X, Y)$ est **universellement caractéristique** si $\chi_{B,F}(B) = 0_n$ pour tout $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

On note $\mathbf{XY}_c^\dagger$ l'ensemble des éléments de $\mathbb{C}[X, Y]$ universellement caractéristiques.

On a donc :

$$ \mathbf{XY}_c(A) := \{F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y], \chi_{A,F}(A) = 0_n\} \qquad (19) $$

$$ \mathbf{XY}_c^\dagger := \{F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y], \forall B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \chi_{B,F}(B) = 0_n\} \qquad (20) $$

$$ = \bigcap_{B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} \mathbf{XY}_c(B) \qquad (21) $$

On a une expression simple de $\chi_{A,F}(X)$ en utilisant la trigonalisation de $A$ (voir équations (8) et (9)).

## Lemma 1.8

On a pour tout $F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$ :

$$ \chi_{A,F}(X) = \prod_{j=1}^{r} F(X, \lambda_j)^{m_j}. $$

En particulier pour toute famille $(P_i(X))_i \in \mathbb{C}[X]^r$, posons :

$$ F(X, Y) := \sum_{j=1}^{r} P_j(X) L_j(Y) + \Delta_A(Y) G(X, Y). $$

On a :

$$ \chi_{A,F}(X) = \prod_{j=1}^{r} P_j(X)^{m_j}. $$

*Démonstration.* Donnons deux preuves en utilisant la trigonalisation (voir équations (8) et (9)).

(1) **Par calculs directs.** Soit :

$$ F(X, Y) := \sum_{k,l \ge 0} f_{k,l} X^k Y^l \in \mathbb{C}[X, Y]. $$

On a deux expressions de $F(X, T)$ :

$$ (i) \quad : \quad F(X, T) = \sum_{k,l \ge 0} f_{k,l} X^k T^l = Q^{-1} \left( \sum_{k,l \ge 0} f_{k,l} X^k A^l \right) Q = Q^{-1} F(X, A) Q; $$

$$ (ii) \quad : \quad F(X, T) = \sum_{k,l \ge 0} f_{k,l} X^k T^l = \sum_{k,l \ge 0} f_{k,l} X^k \begin{pmatrix} \lambda_1^l & \cdots & (*) \\ (0) & \cdots & \lambda_n^l \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F(X, \lambda_1) & \cdots & (*) \\ (0) & \cdots & F(X, \lambda_r) \end{pmatrix}. $$
On en déduit que :

$$F(X, A) = Q \begin{pmatrix} F(X, \lambda_1) & & (*) \\ & \ddots & \\ (0) & & F(X, \lambda_r) \end{pmatrix} Q^{-1}.$$

Ainsi on a :

$$\chi_{A,F}(X) = \chi_{T,F}(X) = \prod_{i=1}^{r} F(X, \lambda_i)^{m_i}.$$

(2) **En utilisant l'interpolation.** Soit $F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$. Par le lemme 1.2, il existe $G(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$ tel que :

$$F(X, Y) = \sum_{j=1}^{r} F(X, \lambda_j) L_j(Y) + \Delta_A(Y) G(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y].$$

En utilisant la trigonalisation de $A$, on a :

$$
\begin{align*}
F(X, A) &= \sum_{j=1}^{r} F(X, \lambda_j) L_j(A) + \Delta_A(A) G(X, A) \\
&= Q \left( \sum_{j=1}^{r} F(X, \lambda_j) L_j(T) + \Delta_A(T) G(X, T) \right) Q^{-1} \\
&= Q \sum_{j=1}^{r} F(X, \lambda_j) \begin{pmatrix} L_j(\lambda_1) + \Delta_A(\lambda_1) G(X, \lambda_1) & & (*) \\ & \ddots & \\ (0) & & L_j(\lambda_r) + \Delta_A(\lambda_r) G(X, \lambda_r) \end{pmatrix} Q^{-1} \\
&= Q \sum_{j=1}^{r} F(X, \lambda_j) \begin{pmatrix} \delta_{1,j} & & (*) \\ & \ddots & \\ (0) & & \delta_{r,j} \end{pmatrix} Q^{-1} \\
&= Q \begin{pmatrix} F(X, \lambda_1) & & (*) \\ & \ddots & \\ (0) & & F(X, \lambda_r) \end{pmatrix} Q^{-1}
\end{align*}
$$

Ainsi on a :

$$\chi_{A,F}(X) = \det(F(X, A)) = \prod_{i=1}^{r} F(X, \lambda_i)^{m_i}.$$

□

Cette définition généralise la définition usuelle du polynôme caractéristique d'une matrice carrée. La seule différence est que la notion de "caractéristique" n'est plus donnée au déterminant $\chi_{A,F}(X)$ mais au polynôme $F(X, Y)$.

## Exemple 1.9: Exemples de déterminant le long de F

(1) Posons :

$$F(X, Y) := X - Y := XY^0 - Y.$$

On a :

$$F(X, A) = XI_n - A$$

et :

$$\chi_{A,X-Y}(X) = \det(F(X, A)) = \det(XI_n - A) = \chi_A(X)$$

i.e. le déterminant de $A$ le long de $X-Y$ est le polynôme caractéristique usuel de $A$. Le polynôme $X-Y$ est donc caractéristique pour toute matrice d'après le théorème de Cayley-Hamilton i.e. $X-Y$ est universellement caractéristique.
$$
(2) \text{ Posons :} \qquad F(X,Y) := Y.
$$

On a :
$$
F(X, A) = A
$$

et :
$$
\chi_{A,Y}(X) = \det(A)
$$

i.e. le déterminant de A le long de Y est simplement le déterminant. Le polynôme Y donc est caractéristique pour A si et seulement si $\det(A) = 0$ i.e. A est non inversible.

$$
(3) \text{ Posons :} \qquad F(X, Y) := X.
$$

On a :
$$
F(X, A) = X I_n
$$

et :
$$
\chi_{A,X}(X) = X^n.
$$

Le polynôme *X* est donc caractéristique pour *A* si et seulement si *A* est nilpotente.

On a alors une première généralisation du théorème de Cayley-Hamilton.

Théorème 1.10: Généralisation du théorème de Cayley-Hamilton

On a :
$$
\mathbf{X}\mathbf{Y}_0(A) \subset \mathbf{X}\mathbf{Y}_c(A)
$$

$$
\text{i.e. :} \quad \forall F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y], F(A, A) = 0_n \implies \chi_{A,F}(A) = 0_n.
$$

Démonstration. Soit $F(X, Y) \in \mathbf{X}\mathbf{Y}_0(A)$ i.e. $F(A, A) = 0_n$. Donnons deux preuves.

(1) **En utilisant le théorème de Cayley-Hamilton.** Par la proposition 1.3, il existe $S(Y) \in \mathbb{C}[Y]$ et $G(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$ tels que :

$$
F(X, Y) = \pi_A(Y)S(Y) + (X - Y)G(X, Y).
$$

Comme :

$$
\begin{align*}
F(X, A) &= \pi_A(A)S(A) + (XI_n - A)G(X, A) \\
&= (XI_n - A)G(X, A)
\end{align*}
$$

on a :

$$
\begin{align*}
\chi_{A,F}(X) &= \det(F(X, A)) \\
&= \det(XI_n - A)\det(G(X, A)) \\
&= \chi_A(X)\chi_{A,G}(X).
\end{align*}
$$

Ainsi par le théorème de Cayley-Hamilton, on a :

$$
\chi_{A,F}(A) = \chi_A(A)\chi_{A,G}(A) = 0_n
$$

i.e. on a $F(X, Y) \in \mathbf{X}\mathbf{Y}_c(A)$.
(2) En utilisant la comatrice. Posons :

$$
F(X, Y) := \sum_{k,l \ge 0} f_{k,l} X^k Y^l.
$$

Il existe une famille $(\gamma_i)_i \in \mathbb{C}^{(\mathbb{N})}$ à suport fini telle que :

$$
\chi_{A,F}(X) = \det(F(X, A)) = \sum_{i \ge 0} \gamma_i X^i.
$$

On a un isomorphisme canonique de $\mathbb{C}$-algèbres :

$$
\begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_n(\mathbb{C}[X]) & \to & \mathcal{M}_n(\mathbb{C})[X] \\
(\sum_{k \ge 0} a_{i,j,k} X^k)_{i,j} & \to & \sum_{k \ge 0} (a_{i,j,k})_{i,j} X^k
\end{array}
$$

qui nous permet d'identifier $\mathcal{M}_n(\mathbb{C}[X])$ et $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})[X]$. Ainsi il existe une famille $(C_j)_{j \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})^{(\mathbb{N})}}$ à suport fini telle que :

$$
\mathrm{Com}(F(X, A))^T = \sum_{j \ge 0} X^j C_j.
$$

Alors on a<fnref n="9" /> :

$$
\begin{align*}
\sum_{i \ge 0} \gamma_i X^i I_n &= \chi_{A,F}(X) I_n = \det(F(X, A)) I_n \\
&= F(X, A) \mathrm{Com}(F(X, A))^T \\
&= \left( \sum_{k,l \ge 0} f_{k,l} X^k A^l \right) \left( \sum_{j \ge 0} X^j C_j \right) \\
&= \sum_{k,l,j \ge 0} f_{k,l} X^{k+j} A^l C_j \\
&= \sum_{i \ge 0} X^i \left( \sum_{0 \le k \le i} \sum_{l \ge 0} f_{k,l} A^l C_{i-k} \right)
\end{align*}
$$

Par unicité de la décomposition dans l'anneau $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})[X]$, on a pour tout $i \in \mathbb{N}$ :

$$
(*) : \qquad \gamma_i I_n = \sum_{0 \le k \le i} \sum_{l \ge 0} f_{k,l} A^l C_{i-k}
$$

Ainsi on a :

$$
\begin{align*}
\sum_{i \ge 0} A^i \times (*)_i : \qquad \chi_{A,F}(A) &= \sum_{i \ge 0} \gamma_i A^i I_n = \sum_{i \ge 0} A^i \left( \sum_{0 \le k \le i} \sum_{l \ge 0} f_{k,l} A^l C_{i-k} \right) \\
&= \sum_{i \ge 0} \left( \sum_{0 \le k \le i} \sum_{l \ge 0} f_{k,l} A^{l+i} C_{i-k} \right) \\
&= \sum_{k \ge 0} \left( \sum_{i \ge k} \sum_{l \ge 0} f_{k,l} A^{l+i} C_{i-k} \right) \\
&= \sum_{k \ge 0} \left( \sum_{m \ge 0} \sum_{l \ge 0} f_{k,l} A^{l+k+m} C_m \right) \\
&= \sum_{m \ge 0} \left( \sum_{k,l \ge 0} f_{k,l} A^{k+l} \right) A^m C_m \\
&= \sum_{m \ge 0} F(A, A) A^m C_m
\end{align*}
$$

<footnote n="9">9. Pour tout anneau commutatif $\mathbb{A}$ et toute matrice $M$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{A})$, on a $\det(M)I_n = M\mathrm{Com}(M)^T$. Ici on prend $\mathbb{A} := \mathbb{C}[X]$ et $M := F(X, A)$.</footnote>
$$ 
\begin{aligned}
&= \sum_{m \ge 0} 0_n A^m C_m \\
&= 0_n
\end{aligned}
$$

i.e. on a $F(X, Y) \in \mathbf{XY}_c(A)$.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

L'inclusion du théorème 1.10 peut-être stricte. Donnons quelques exemples et contre-exemples.

Exemple 1.11

(1) Cas où $F(X, Y) := Y$ et $A$ une matrice non inversible et non nulle (donc $n \ge 2$) : prendre par exemple la matrice élémentaire $A := E_{1,n}^{(n)}$ de taille $n$. On a (voir l'exemple (2) de 1.9) :

$$ \chi_{A,Y}(X) = \det(A) = 0 $$

et donc $\chi_{A,Y}(A) = 0_n$ et $F(A, A) = A \neq 0_n$. Ainsi on a :

$$ Y \in \mathbf{XY}_c(A) - \mathbf{XY}_0(A). $$

(2) Cas où $F(X, Y) := X$ et $A$ une matrice nilpotente (donc d'indice de nilpotence inférieur à la taille $n$ de $A$ i.e. $A^n = 0_n$) et non nulle (donc $n \ge 2$) : prendre par exemple encore une fois $A := E_{1,n}^{(n)}$. On a (voir l'exemple (3) de 1.9) :

$$ \chi_{A,X}(X) = X^n $$

et donc $\chi_{A,X}(A) = A^n = 0_n$ et $F(A, A) = A \neq 0_n$. Ainsi on a :

$$ X \in \mathbf{XY}_c(A) - \mathbf{XY}_0(A). $$

(3) Soit $\lambda \in \mathbb{C}$. On a :

$$ 
\begin{aligned}
F(\lambda I_n, \lambda I_n) &= F(\lambda, \lambda) I_n \\
F(X, \lambda I_n) &= F(X, \lambda) I_n
\end{aligned}
$$

Donc on a :

$$ 
\begin{aligned}
\chi_{\lambda I_n, F}(X) &= \det(F(X, \lambda I_n)) = \det(F(X, \lambda) I_n) = F(X, \lambda)^n \\
\chi_{\lambda I_n, F}(\lambda I_n) &= F(\lambda I_n, \lambda)^n = F(\lambda, \lambda)^n I_n
\end{aligned}
$$

Ainsi on a :

$$ 
\begin{aligned}
\mathbf{XY}_0(\lambda I_n) &= \{F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y], F(\lambda I_n, \lambda I_n) = 0_n\} \\
&= \{F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y], F(\lambda, \lambda) = 0\}
\end{aligned}
$$

$$ 
\begin{aligned}
\mathbf{XY}_c(\lambda I_n) &= \{F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y], \chi_{\lambda I_n, F}(\lambda I_n) = 0_n\} \\
&= \{F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y], F(\lambda, \lambda) = 0\}
\end{aligned}
$$

i.e. on a :

$$ \mathbf{XY}_0(\lambda I_n) = \mathbf{XY}_c(\lambda I_n). $$
On en déduit alors une deuxième généralisation du théorème de Cayley-Hamilton, cette fois-ci in-
dépendante de la matrice A.

## Corollaire 1.12: Généralisation universelle du théorème de Cayley-Hamilton

On a :

$$ \mathbf{X}\mathbf{Y}_0^\dagger = \mathbf{X}\mathbf{Y}_c^\dagger = (X - Y)\mathbb{C}[X, Y]. $$

*Démonstration.* On sait par la proposition 1.3 que :

$$ \bigcap_{\lambda \in \mathbb{C}} \mathbf{X}\mathbf{Y}_0 (\lambda I_n) = \mathbf{X}\mathbf{Y}_0^\dagger = (X - Y)\mathbb{C}[X, Y]. $$

On a aussi par l'exemple (3) de 1.11 que :

$$ \forall \lambda \in \mathbb{C}, \mathbf{X}\mathbf{Y}_c(\lambda I_n) = \mathbf{X}\mathbf{Y}_0(\lambda I_n). $$

Donc on a par le point (ii) de la proposition 1.3 :

$$ \mathbf{X}\mathbf{Y}_c^\dagger = \bigcap_{B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} \mathbf{X}\mathbf{Y}_c(B) \subset \bigcap_{\lambda \in \mathbb{C}} \mathbf{X}\mathbf{Y}_c(\lambda I_n) = \bigcap_{\lambda \in \mathbb{C}} \mathbf{X}\mathbf{Y}_0(\lambda I_n) = \mathbf{X}\mathbf{Y}_0^\dagger = (X - Y)\mathbb{C}[X, Y]. $$

Réciproquement, par le théorème 1.10 on a :

$$ \forall B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \mathbf{X}\mathbf{Y}_0(B) \subset \mathbf{X}\mathbf{Y}_c(B). $$

D'où l'inclusion :

$$ \bigcap_{B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} \mathbf{X}\mathbf{Y}_0(B) \subset \bigcap_{B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} \mathbf{X}\mathbf{Y}_c(B) $$

$$ \text{i.e. } \mathbf{X}\mathbf{Y}_0^\dagger \subset \mathbf{X}\mathbf{Y}_c^\dagger. $$

□

## Définition 1.13

L'idéal universellement caractéristique est l'idéal :

$$ \mathbf{X}\mathbf{Y}^\dagger := \mathbf{X}\mathbf{Y}_0^\dagger = \mathbf{X}\mathbf{Y}_c^\dagger = (X - Y)\mathbb{C}[X, Y]. $$

Le corollaire 1.12 nous donne une équivalence à une généralisation du théorème de Cayley-Hamilton (et donc une réciproque). Pour tout $F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$, on a :

$$ \forall B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), F(B, B) = 0_n $$

$$ \iff \forall B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \chi_{B,F}(B) = 0_n $$

$$ \iff \exists G(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y], F(X, Y) = (X - Y)G(X, Y). $$

Nous avons donc une justification algébrique du polynôme caractéristique usuel d'une matrice A comme étant le déterminant de A le long de l'élément générateur X - Y de l'idéal universellement caractéristique $\mathbf{X}\mathbf{Y}^\dagger$.

## 1.5 Fausse preuve du théorème 1.10

Soit $F(X, Y) \in \mathbf{X}\mathbf{Y}_0(A)$. Etudions plus en détails, une fausse preuve du théorème 1.10 qu'il est tentant de faire car "cela se voit que dans le déterminant c'est nul donc le déterminant est nul" :

$$ \chi_{A,F}(A) = \det(F(A, A)) = \det(0_n) = 0. $$
Ce raisonnement est faut car les objets ne sont pas dans les mêmes espaces :

$$ \chi_{A,F}(A) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \ , \ \det(F(A,A)) = \det(0_n) = 0 \in \mathbb{C}. \qquad (22) $$

Mais continuons tout de même. Utilisons pour cela l'Injection naturelle :

$$ \iota: \mathbb{C} \to \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \\ \lambda \mapsto \lambda I_n $$

qui nous permet d'identifier tout nombre complexe $\lambda \in \mathbb{C}$ à la matrice $\lambda I_n \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. On obtient alors une nouvelle fausse preuve :

$$ \chi_{A,F}(A) = \det(F(A,A)) I_n = \det(0_n) I_n = 0_n. $$

Etudions alors cette nouvelle fausse preuve et fixons $F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$. L'évaluation en $A$ de $\chi_{A,F}(X)$ induit donc une application de :

$$ \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_n(\mathbb{C})[X] & \to & \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \\ F(X, A) & \mapsto & \chi_{A,F}(A) \end{array} $$

Décortiquons cette application de deux façons différentes (on confond $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})[X]$ et $\mathcal{M}_n(\mathbb{C}[X])$ dans toute la suite).

## (1) La bonne façon : ce qu'on veut calculer.

* $F(X, A)$ est un élément $\mathcal{M}_n(\mathbb{C}[X])$;

* comme c'est une matrice, on calcule son déterminant $\chi_{A,F}(X)$ qui est un élément de $\mathbb{C}[X]$;

* puis on évalue ce polynôme $\chi_{A,F}(X)$ en $X := A$.

On a donc la suite :

$$ \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_n(\mathbb{C})[X] & \to & \mathbb{C}[X] \\ F(X, A) & \mapsto & \chi_{A,F}(X) = \det(F(X, A)) \end{array} \quad \to \quad \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \\ \hline \chi_{A,F}(A) = \det(F(X, A))(A) \end{array} $$

## (2) La mauvaise façon : ce qu'on aimerait voir.

* $F(X, A)$ est un élément $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})[X]$;

* comme c'est un polynôme, on l'évalue en $X := A : F(A, A)$;

* puis comme $F(A, A)$ est une matrice, on calcule son déterminant $\det(F(A, A))$ qui nous donne un élément de $\mathbb{C}$;

* on n'a pas encore un élément de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

On a donc la suite :

$$ \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_n(\mathbb{C})[X] & \to & \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \\ F(X, A) & \mapsto & F(A, A) \end{array} \quad \to \quad \det(F(A, A)) \quad \to \quad \det(F(A, A)) I_n $$

Imaginons que ces deux "chemins" de calculs donnent le même résultat. On a donc un diagramme commutatif :

$$ \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_n(\mathbb{C}[X]) & \xrightarrow{\text{det}} & \mathbb{C}[X] \\ \text{ev}_A \downarrow & & \text{ev}_A \downarrow \\ \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) & \xrightarrow{\text{det}} & \mathbb{C} \xrightarrow{\iota} \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \end{array} $$
où aller par le haut ou par le bas donne le même résultat. Dis autrement, on a l'égalité :

$$ \chi_{A,F}(A) = \det(F(A,A)) I_n $$

i.e. on a :

$$ \det(F(X,A))(A) = \det(F(A,A))I_n. $$

On voit encore que d'un côté on a une matrice qui peut a priori être quelconque $\det(F(X,A))(A)$ et de l'autre une matrice scalaire $\det(F(A,A))I_n$.

**Conclusion.** Le raisonnement (22) est comme nous venons de voir faux. Mais de dire que "comme cela s'annule dans le déterminant en évaluant en $A$ alors la généralisation du théorème de Cayley-Hamilton est vraie", cela est vrai et c'est le théorème 1.10.

Ce texte a commencé avec une question d'un de mes élèves qui me dit que le théorème de Cayley-Hamilton est trivial car "cela se voit". Je lui dis que non c'est pas trivial. En y réfléchissant le soir, j'avais envie de lui dire qu'il avait un peu raison quand même, c'est là que je me suis dit "Et si on prend une autre fonction de $A$ et $X$ (i.e. un élément de $\mathbb{C}[X,A]$) qui s'annule en $A$, a-t-on "un" théorème de Cayley-Hamilton". Et la réponse à cette question m'a emmené à écrire ce texte. Je ne m'attendais pas à démontrer en conséquence le corollaire 1.12.

## 1.6 Caractérisation de $XY_c(A)$

On finit cette section avec une caractérisation de $XY_c(A)$. Avant cela définissons quelques notations.

### Notation 1.14

(1) Pour tout $P(X) \in \mathbb{C}[X]$ et tout $\lambda \in \mathbb{C}$, on note $\text{Mult}(P(X), \lambda)$ la multiplicité de $\lambda$ dans le polynôme $P(X)$.

(2) On note :

$$ \mathbf{BZ}_A := \left\{ (P_i(X))_i \in \mathbb{C}[X]^r, \forall i \in \{1, \dots, r\}, \sum_{j=1}^r \text{Mult}(P_j(X), \lambda_i) m_j \ge d_i \right\}. $$

On a alors le théorème final.

### Proposition 1.15

On a :

$$ \mathbf{XY}_c(A) = \left\{ \sum_{j=1}^{r} P_j(X)L_j(Y), (P_j(X))_j \in \mathbf{BZ}_A \right\} \oplus \Delta_A(Y) \cdot \mathbb{C}[X,Y]. $$

*Démonstration.* Montrons le résultat par double inclusion. Soit $F(X,Y) \in \mathbf{XY}_c(A)$. Par le lemme 1.2, il existe $G(X,Y) \in \mathbb{C}[X,Y]$ tel que :

$$ F(X,Y) = \sum_{j=1}^{r} F(X, \lambda_j)L_j(Y) + \Delta_A(Y)G(X,Y). $$

Comme par le lemme 1.8 :

$$ \chi_{A,F}(X) = \prod_{j=1}^{r} F(X, \lambda_j)^{m_j} $$

et comme $\chi_{A,F}(A) = 0_n$ i.e. $\pi_A(X)$ divise $\chi_{A,F}(X)$, on doit avoir pour tout $i \in \{1, \dots, r\}$ :

$$ d_i = \text{Mult}(\pi_A(X), \lambda_i) \le \text{Mult}(\chi_{A,F}(X), \lambda_i) = \sum_{j=1}^{r} \text{Mult}(F(X, \lambda_j), \lambda_i) m_j $$
i.e. on a $(F(X, \lambda_i))_i \in \mathbf{BZ}_A$. D'où la première inclusion.

Réciproquement, soit une famille $(P_j(X))_j \in \mathbf{BZ}_A$ et $G(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$. Posons :

$$F(X, Y) := \sum_{j=1}^{r} P_j(X)L_j(Y) + \Delta_A(Y)G(X, Y).$$

Comme par le lemme 1.8 :

$$\chi_{A,F}(X) = \prod_{j=1}^{r} P_j(X)^{m_j},$$

on a :

$$\forall i \in \{1, \dots, r\}, \text{ Mult}(\chi_{A,F}(X), \lambda_i) = \sum_{j=1}^{r} \text{ Mult}(P_j(X), \lambda_i) m_j \geq d_i$$

i.e. $\pi_A(X)$ divise $\chi_{A,F}(X)$. Ainsi $\chi_{A,F}(A) = 0_n$ i.e. $F(X, Y) \in \mathbf{XY}_c(A)$. D'où la deuxième inclusion. $\square$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
## 2 L'application Chi Pique

Nous étudions dans cette section, l'image des ensembles déjà définis par l'application<fnref n="10" /> :

$$ \begin{array}{ccc} \spadesuit_A: & \mathbb{C}[X,Y] & \to \mathbb{C}[X] \\ F(X,Y) & \mapsto & \chi_{A,F} \end{array} $$

### 2.1 L'opération ♠

Posons :

$$ \mathbf{M}(A) := \sum_{i=1}^{r} m_i \mathbb{N} \qquad (23) $$

L'ensemble $\mathbf{M}(A)$ est un sous-monoïde de $(\mathbb{N}, +, 0)$. On a l'équivalence :

$$ \mathbf{M}(A) = \mathbb{N} \iff \min\{m_i, i \in \{1, \dots, r\}\} = 1. \qquad (24) $$

On définit alors la trifouille<fnref n="11" /> associée à la matrice A.

#### Définition 2.1

La **triffouille associée à A** est le sous-ensemble de $\mathbb{C}[X]$ défini par :

$$ \mathbb{C}[X \spadesuit A] := \left\{ \prod_{i=1}^{s} P_i(X)^{n_i}, s \in \mathbb{N} \wedge (P_i)_i \in \mathbb{C}[X]^s \wedge (n_i)_i \in \mathbf{M}(A)^s \right\}. $$

L'ensemble $\mathbb{C}[X \spadesuit A]$ est donc un sous-monoïde de $(\mathbb{C}[X], \times, 1)$. On a par exemple :

$$ \mathbf{M}(A) = \mathbb{N} \iff \mathbb{C}[X \spadesuit A] = \mathbb{C}[X]. \qquad (25) $$

#### Lemma 2.2

On a les équivalences pour tout $R(X) \in \mathbb{C}[X]$ :

(i) $R(X) \in \mathbb{C}[X \spadesuit A]$;

(ii) il existe $R_1(X), \dots, R_r(X) \in \mathbb{C}[X]$ tels que $R(X) = \prod_{i=1}^r R_i(X)^{m_i} \in \mathbb{C}[X]$;

(iii) pour tout $\alpha \in \mathrm{Rac}(R(X))$, $\mathrm{Mult}(R(X), \alpha) \in \mathbf{M}(A)$.

**Démonstration.** Soit $R(X) \in \mathbb{C}[X \spadesuit A]$. Alors il existe par définition $s \in \mathbb{N}$, $(P_i)_i \in \mathbb{C}[X]^s$ et $(n_i)_i \in \mathbf{M}(A)^s$ tels que :

$$ R(X) = \prod_{i=1}^{s} P_i(X)^{n_i}. $$

Pour tout $i \in \{1, \dots, s\}$, il existe une famille $(a_{i,j})_{j \in \mathbb{N}^r}$ telle que :

$$ n_i = \sum_{j=1}^{r} a_{i,j} m_j. $$

Ainsi on a :

$$ R(X) = \prod_{i=1}^{s} \prod_{j=1}^{r} P_i(X)^{a_{i,j}m_j} = \prod_{j=1}^{r} \left( \prod_{i=1}^{s} P_i(X)^{a_{i,j}} \right)^{m_j}. $$

<footnote n="10">10. "Chi" (/ki/) et "Pique" (/pik/).</footnote>

<footnote n="11">11. Triffouiller signifie en normand "farfouiller". J'ai choisi ce nom là car on ne prend que les polynômes qui n'ont des multiplicités de racines dans $\mathbf{M}(A)$, il faut alors trifouiller dans $\mathbb{C}[X]$ pour les trouver!</footnote>
D'où le point (ii).

Supposons qu'il existe $R_1(X), \dots, R_r(X) \in \mathbb{C}[X]$ tels que $R(X) = \prod_{i=1}^r R_i(X)^{m_i} \in \mathbb{C}[X]$. Alors on a pour tout $\alpha \in \mathrm{Rac}(R(X))$ :

$$ \mathrm{Mult}(R(X), \alpha) = \sum_{i=1}^{r} m_i \mathrm{Mult}(R_i(X), \alpha) \in \mathbf{M}(A). $$

D'où le point (iii).

Supposons que pour tout $\alpha \in \mathrm{Rac}(R(X))$, $\mathrm{Mult}(R(X), \alpha) \in \mathbf{M}(A)$. Ainsi on a :

$$ R(X) = \prod_{\alpha \in \mathrm{Rac}(R(X))} (X - \alpha)^{\mathrm{Mult}(R(X), \alpha)}. $$

D'où le point (i).

□

On en déduit donc que pour tout $R(X) \in \mathbb{C}[X \spadesuit A]$ :

$$ \deg(R(X)) \in \mathbf{M}(A) \qquad (26) $$

## 2.2 Caractérisations de CH(A) et de CH_A^\dagger

On pose :

$$ \mathrm{CH}(A) := \spadesuit_A (\mathbb{C}[X, Y]) = \{\chi_{A,F}(X), F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]\} \qquad (27) $$

$$ \mathrm{CH}_A^\dagger := \spadesuit_A (\mathbf{X}\mathbf{Y}^\dagger) = \{\chi_{A,F}(X), F(X, Y) \in \mathbf{X}\mathbf{Y}^\dagger\} \qquad (28) $$

On a alors les caractérisations suivantes.

**Proposition 2.3**

(i) On a :

$$ \mathrm{CH}(A) = \mathbb{C}[X \spadesuit A]. $$

(ii) On a :

$$ \mathrm{CH}_A^\dagger = \chi_A(X)\mathbb{C}[X \spadesuit A]. $$

*Démonstration.* (i) Montrons le résultat par double inclusion. Soit $F(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$. Par le lemme (1.8), on a :

$$ \chi_{A,F}(X) = \prod_{i=1}^{r} F(X, \lambda_i)^{m_i} \in \mathbb{C}[X \spadesuit A]. $$

D'où la première inclusion.

Réciproquement, soit $R(X) \in \mathbb{C}[X \spadesuit A]$ i.e. il existe $R_1(X), \dots, R_r(X) \in \mathbb{C}[X]$ tels que :

$$ R(X) := \prod_{i=1}^{r} R_i(X)^{m_i} \in \mathbb{C}[X]. $$

Faisons une interpolation. Posons :

$$ F(X, Y) := \sum_{j=1}^{r} R_j(X) L_j(Y). $$

Par le lemme (1.8), on a donc :

$$ \chi_{A,F}(X) = \prod_{i=1}^{r} F(X, \lambda_i)^{m_i} $$
$$
\begin{align*}
&= \prod_{i=1}^{r} \left( \sum_{j=1}^{r} R_j(X) L_j(\lambda_i) \right)^{m_i} \\
&= \prod_{i=1}^{r} \left( \sum_{j=1}^{r} R_j(X) \delta_{i,j} \right)^{m_i} \\
&= \prod_{i=1}^{r} R_i(X)^{m_i} \\
&= R(X).
\end{align*}
$$

(ii) On a par le corollaire 1.12 :

$$
\begin{align*}
\mathbf{CH}_A^\dagger &= \{ \chi_{A,F}(X), F(X,Y) \in \mathbf{XY}^\dagger \} \\
&= \{ \chi_{A,F}(X), F(X,Y) \in (X-Y)\mathbb{C}[X,Y] \} \\
&= \{ \chi_{A,(X-Y)G}(X), G(X,Y) \in \mathbb{C}[X,Y] \} \\
&= \{ \chi_A(X)\chi_{A,G}(X), G(X,Y) \in \mathbb{C}[X,Y] \} \\
&= \chi_A(X)\mathbb{C}[X \spadesuit A].
\end{align*}
$$

□

On a alors :

$$
\begin{equation}
\spadesuit_A (\mathbb{C}[X, Y]) = \mathbb{C}[X \spadesuit A] \tag{29}
\end{equation}
$$

2.3 Caractérisation de CH₀(A)

Posons :

$$
\mathbf{CH}_0(A) := \spadesuit_A (\mathbf{XY}_0(A)) = \{ \chi_{A,F}(X), F(X,Y) \in \mathbf{XY}_0(A) \} \quad (30)
$$

On a alors la caractérisation suivante.

Théorème 2.4

On a :

$$
\mathrm{CH}_0(A) = \chi_A(X)\mathbb{C}[X \spadesuit A].
$$

Démonstration. Montrons le résultat par double inclusion.

Soit $F(X,Y) \in \mathbf{XY}_0(A)$. Par le point (i) de la proposition 1.3, il existe $S(Y) \in \mathbb{C}[Y]$ et $G(X,Y) \in \mathbb{C}[X,Y]$ tels que :

$$
F(X, Y) = \pi_A(Y)S(Y) + (X - Y)G(X, Y).
$$

On a donc :

$$
F(X, A) = (XI_n - A)G(X, A).
$$

et :

$$
\chi_{A,F}(X) = \chi_A(X)\chi_{A,G}(X) \in \chi_A(X)\mathbb{C}[X \spadesuit A].
$$

D'où la première inclusion.
Réciproquement, soit $P(X) \in \chi_A(X)\mathbb{C}[X \spadesuit A]$ i.e. il existe $R(X) \in \mathbb{C}[X \spadesuit A]$ tel que $P(X) = \chi_A(X)R(X)$. Donc il existe $R_1(X), \dots, R_r(X) \in \mathbb{C}[X]$ tels que :

$$R(X) = \prod_{i=1}^{r} R_i(X)^{m_i} \in \mathbb{C}[X].$$

Faisons une interpolation. Posons :

$$G(X, Y) := \sum_{j=1}^{r} R_j(X) L_j(Y) \quad , \quad F(X, Y) := (X - Y)G(X, Y).$$

Donc on a :

$$\begin{align*}
\chi_{A,F}(X) &= \chi_{A,(X-Y)G}(X) = \chi_{A,X-Y}(X) \cdot \chi_{A,G}(X) \\
&= \chi_A(X) \prod_{i=1}^{r} R_j(X)^{m_i} \\
&= \chi_A(X)R(X) \\
&= P(X)
\end{align*}$$

i.e. $P(X) \in \mathbf{CH}_0(A)$ car $P(A) = \chi_A(A)R(A) = 0_n$. D'où la deuxième inclusion. $\square$

## 2.4 Buzoque associée à une matrice et caractérisation de $CH_c(A)$

Pour tout entier $\ell \in \mathbb{N}$, posons :

$$\mathfrak{p}_A(\ell) := \min \{k \in \mathbf{M}(A), k \ge \ell\}.$$

On définit alors la buzoque<fnref n="12" /> associée à A.

### Définition 2.5

La buzoque associée à A est le polynôme défini par :

$$\mathfrak{B}_A(X) := \prod_{i=1}^{r} (X - \lambda_i)^{\mathfrak{p}_A(d_i)}.$$

### Exemple 2.6

Dans le cas où $\mathbf{M}(A) = \mathbb{N}$ i.e. $\min\{m_i, i \in \{1, \dots, r\}\} = 1$, on a :

$$\mathfrak{B}_A(X) = \prod_{i=1}^{r} (X - \lambda_i)^{d_i} = \pi_A(X).$$

Posons :

$$\mathbf{CH}_c(A) := \spadesuit_A (XY_c(A)) = \{\chi_{A,F}(X), F(X, Y) \in XY_c(A)\} \quad (31)$$

On a alors la caractérisation suivante.

<footnote n="12">12. Buzoquer ou busoquer signifie en normand "bricoler", "effectuer un petit travail". J'espère que ce mot signifiera pour le lecteur la même sensation que moi quand j'ai écrit ce texte, nous avons pris mon temps pour arriver jusqu'à là, pour faire ce petit travail, ce bricolage. Voir aussi https://www.wikimanche.fr/Busoquer.</footnote>
## Proposition 2.7

On a :

$$ \mathbf{CH}_c(A) = \mathfrak{B}_A(X)\mathbb{C}[X \spadesuit A] $$

*Démonstration.* Montrons le résultat par double inclusion.

Soit $F(X, Y) \in \mathbf{XY}_c(A)$. Par la proposition 1.15, il existe $(P_i(X))_i \in \mathbf{BZ}_A$ et $G(X, Y) \in \mathbb{C}[X, Y]$ tels que :

$$ F(X, Y) = \sum_{j=1}^{r} P_j(X)L_j(Y) + \Delta_A(Y)G(X, Y). $$

Comme par le lemme 1.8 :

$$ \chi_{A,F}(X) = \prod_{j=1}^{r} P_j(X)^{m_j}, $$

et comme pour tout $i \in \{1, \dots, r\}$ :

$$ \mathrm{Mult} (\chi_{A,F}(X), \lambda_i) = \sum_{j=1}^{r} \mathrm{Mult} (P_j(X), \lambda_i) m_j \in \mathbf{M}(A) $$

$$ \mathrm{Mult} (\chi_{A,F}(X), \lambda_i) = \sum_{j=1}^{r} \mathrm{Mult} (P_j(X), \lambda_i) m_j \geq d_i $$

on a pour tout $i \in \{1, \dots, r\}$ :

$$ \mathrm{Mult} (\chi_{A,F}(X), \lambda_i) = \sum_{j=1}^{r} \mathrm{Mult} (P_j(X), \lambda_i) m_j \geq \mathfrak{p}_A(d_i) $$

i.e. $\chi_{A,F}(X)$ est divisible par $\mathfrak{B}_A(X)$. Ainsi on a :

$$ \chi_{A,F}(X) \in (\mathfrak{B}_A(X)\mathbb{C}[X]) \cap \mathbb{C}[X \spadesuit A] = \mathfrak{B}_A(X)\mathbb{C}[X \spadesuit A]. $$

D'où la première inclusion.

Réciproquement, soit $P(X) \in \mathfrak{B}_A(X)\mathbb{C}[X \spadesuit A]$ i.e. il existe $R_1(X), \dots, R_r(X) \in \mathbb{C}[X]$ tels que :

$$ (*) : P(X) = \left( \prod_{k=1}^{r} (X - \lambda_k)^{\mathfrak{p}_A(d_k)} \right) \left( \prod_{i=1}^{r} R_j(X)^{m_i} \right). $$

Pour tout $k \in \{1, \dots, r\}$, il existe une famille $(\mu_{k,j})_{j \in \mathbb{N}^r}$ telle que :

$$ \mathfrak{p}_A(d_k) = \sum_{j=1}^{r} \mu_{k,j} m_j. $$

On a donc par $(*)$ :

$$ P(X) = \prod_{j=1}^{r} \left( R_j(X) \prod_{k=1}^{r} (X - \lambda_k)^{\mu_{k,j}} \right)^{m_j}. $$

Faisons une interpolation. Posons :

$$ F(X, Y) := \sum_{j=1}^{r} \left( R_j(X) \prod_{k=1}^{r} (X - \lambda_k)^{\mu_{k,j}} \right) L_j(Y). $$

Ainsi on a par le lemme 1.8 :

$$ \chi_{A,F}(X) = \prod_{j=1}^{r} \left( R_j(X) \prod_{k=1}^{r} (X - \lambda_k)^{\mu_{k,j}} \right)^{m_j} $$
$$ = \left( \prod_{k=1}^{r} (X - \lambda_k)^{\mathfrak{P}_A(d_k)} \right) \cdot \left( \prod_{i=1}^{r} R_j(X)^{m_i} \right) \\ = P(X) $$

i.e. $P(X) \in \mathbf{CH}_c(A)$ car $P(A) = \mathfrak{B}_A(A)R(A) = 0_n$. D'où la deuxième inclusion. □

On en déduit le corollaire suivant.

### Corollaire 2.8

On a les équivalences entre :

(i) $\min\{m_i, i \in \{1, \dots, r\}\} = 1$.

(ii) $\mathbf{CH}(A) = \mathbb{C}[X]$;

(iii) $\mathbf{CH}_A^\dagger = \chi_A(X)\mathbb{C}[X]$;

(iv) $\mathbf{CH}_0(A) = \chi_A(X)\mathbb{C}[X]$;

(v) $\mathbf{CH}_c(A) = \mathfrak{B}_A(X)\mathbb{C}[X]$;

*Démonstration.* Cela découle des équivalences :

$$ \min\{m_i, i \in \{1, \dots, r\}\} = 1 \iff \mathbf{M}(A) = \mathbb{N} \\ \iff \mathbb{C}[X \ \clubsuit \ A] = \mathbb{C}[X] $$

□
# A Interpolation de Lagrange

Posons<fnref n="13" /> :

$$ \mathbb{K} := \text{Frac}(\mathbb{C}[X]) = \mathbb{C}(X) $$

et :

$$ \forall j \in \{1, \dots, r\}, \quad L_j(Y) := \prod_{\substack{i=1 \\ i \neq j}}^{r} \frac{Y - \lambda_i}{\lambda_i - \lambda_j} \qquad (32) $$

On a donc pour tous $i, j \in \{1, \dots, r\}$ :

$$ L_j(\lambda_i) = \delta_{i,j} := \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq j \\ 1 & \text{si } i = j. \end{cases} \qquad (33) $$

## Lemma A.1

La famille $(L_j(Y))_{1 \le j \le r}$ forme une base orthonormée pour le produit scalaire usuel sur $\mathbb{K}_{r-1}[Y]$ défini par :

$$ \forall P, Q \in \mathbb{K}_{r-1}[X], \quad \langle P, Q \rangle := \sum_{k=1}^{r} P(\lambda_k)Q(\lambda_k). $$

**Démonstration.** On a pour tout $j \in \{1, \dots, r\}$ :

$$ \deg(L_j(Y)) = r - 1. $$

Pour tous $i, j \in \{1, \dots, r\}$, on a :

$$ \langle L_i, L_j \rangle = \sum_{k=1}^{r} L_i(\lambda_k) L_j(\lambda_k) = \sum_{k=1}^{r} \delta_{i,k} \delta_{j,k} = \delta_{i,j}. $$

en particulier la famille $(L_j(Y))_{1 \le j \le r}$ est libre. On a de plus :

$$ \dim(\mathbb{K}_{r-1}[X]) = r = \text{Card}((L_j(Y))_{1 \le j \le r}). $$

D'où le résultat.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

On a alors le résultat usuel sur l'interpolation de Lagrange.

## Proposition A.2

Soit l'application :

$$ \Phi: \begin{array}{ccc} \mathbb{K}_{r-1}[Y] & \to & \mathbb{K}^r \\ P(Y) & \mapsto & (P(\lambda_i))_i \end{array}. $$

L'application $\Phi$ est un isomorphisme de $\mathbb{C}$-espaces vectoriels de réciproque :

$$ \Psi: \begin{array}{ccc} \mathbb{K}^r & \to & \mathbb{K}_{r-1}[Y] \\ (y_i)_i & \mapsto & \sum_{j=1}^{r} y_j L_j(Y) \end{array}. $$

<footnote n="13">13. Pour tout anneau commutatif $\mathbb{A}$ et tout entier $k \in \mathbb{N}$, on note $\mathbb{A}_k[Z]$ le $\mathbb{A}$-module des polynômes $P(Z)$ de degré inférieur à $k$.</footnote>
Démonstration. Soit $P(Y) \in \mathbb{K}_{r-1}[Y]$. On a pour tout $k \in \{1, \dots, r\}$ :

$$ 
\begin{align*}
(\Psi \circ \Phi)(P(Y))(\lambda_k) &= \Psi((P(\lambda_i))_i)(\lambda_k) \\
&= \sum_{j=1}^{r} P(\lambda_j) L_j(\lambda_k) \\
&= \sum_{j=1}^{r} P(\lambda_j) \delta_{j,k} \\
&= P(\lambda_k)
\end{align*}
$$

Donc les polynômes $(\Psi \circ \Phi)(P(Y))$ et $P(Y)$ sont égaux sur les $r$ valeurs distinctes $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ i.e. $(\Psi \circ \Phi)(P(Y)) = P(Y)$. Et donc :

$$ \Psi \circ \Phi = \mathrm{Id}_{\mathbb{K}_{r-1}[Y]}. $$

Pour tout $(y_i)_i \in \mathbb{K}^r$, on a :

$$ 
\begin{align*}
(\Phi \circ \Psi)((y_i)_i) &= \Phi\left(\sum_{j=1}^{r} y_j L_j(Y)\right) \\
&= \left(\sum_{j=1}^{r} y_j L_j(\lambda_i)\right)_i \\
&= \left(\sum_{j=1}^{r} y_j \delta_{i,j}\right)_i \\
&= (y_i)_i
\end{align*}
$$

i.e. on a :

$$ \Phi \circ \Psi = \mathrm{Id}_{\mathbb{K}^r}. $$

D'où le résultat

□

Pour tout $P \in \mathbb{K}_{r-1}[Y]$, on a $(\Psi \circ \Phi)(P(Y)) = P(Y)$ i.e. :

$$ P(Y) = \sum_{j=1}^{r} P(\lambda_j) L_j(Y). \qquad (34) $$