meter less than $\varepsilon>0$ and such that $\mathrm{Fr}(\bar{U})$ is an AR. We have to prove that $p$ is an h. l. p.

Let $r$ be a retraction of $\bar{U}$ to $\mathrm{Fr}(\bar{U})$. Define

$$f(x)=\begin{cases} r(x) & \text{if } x \in \bar{U}, \\ x & \text{if } x \in K-\bar{U}. \end{cases}$$

Then $f(x)$ is a continuous mapping of $K$ into itself, $f(K)$ does not contain $p$ and $\varrho(x,f(x))<\varepsilon$. Hence $p$ is an h. l. p.

Necessity proof. Let $p$ be an h. l. p. and let $\bar{U}$ be a star-shaped neighbourhood of $p$. We have to prove that $\mathrm{Fr}(\bar{U})$ is an AR.

Since $p$ is an h. l. p. there exists a continuous deformation $f(x,t)$ of $\bar{U}$ such that $f(x,0)=x$, $f(x,1)=x$ for $x \in \mathrm{Fr}(\bar{U})$, $f(x,t) \in \bar{U}$, and $p$ is not in $f(\bar{U},1)$. Let $r$ be a retraction of $\bar{U}-(p)$ to $\mathrm{Fr}(\bar{U})$. Then $rf(x,1)$ is a retraction of $\bar{U}$ to $\mathrm{Fr}(\bar{U})$. Since $\bar{U}$ is an AR, so is also $\mathrm{Fr}(\bar{U})$.

REFERENCES

[1] K. Borsuk and J. W. Jaworowski, *On labil and stabil points*, Fund. Math. 39 (1952), p. 159-175.

[2] H. Noguchi, *A characterization of homotopically labil points*, Kodai Mathematical Seminar Reports 1 (1954), p. 13-16.

[3] A. Kosiński, *A topological characterization of 2-polytopes*, Bull. Acad. Polon. Sci., Cl. III, 2 (1954), p. 321-323.

SUR LA STRUCTURE DES ENSEMBLES DE NIVEAU DES FONCTIONS RÉELLES À UNE VARIABLE

PAR

Á. CSÁSZÁR (BUDAPEST)

1. On considère déjà en Analyse élémentaire une classification de l'allure d'une fonction réelle $f(x)$ de la variable réelle $x$ au voisinage d'un point $x_0$ à l'aide de la structure locale des ensembles de niveau

$$ \begin{align*} \mathbb{E}_{x}[f(x)>f(x_0)], \quad \mathbb{E}_{x}[f(x)\ge f(x_0)], \\ \mathbb{E}_{x}[f(x)<f(x_0)] \quad \text{et} \quad \mathbb{E}_{x}[f(x)\le f(x_0)]. \end{align*} $$

Les faits que $f(x)$ est croissante, décroissante, non-décroissante ou non-croissante au point $x_0$, ou qu'elle a en ce point un maximum (au sens strict ou au sens large) etc. peuvent être caractérisés par le type de la structure locale au point $x_0$ des ensembles de niveau mentionnés; or, l'étude de ces types de points est un des problèmes principaux de la théorie élémentaire des fonctions réelles à une variable.

Le but de cette note est de donner deux classifications différentes de l'allure d'une fonction $f(x)$ au voisinage d'un point $x_0$ d'après la structure locale de ses ensembles de niveau et d'examiner la question quels, parmi les différents types d'allure, sont exceptionnels d'un certain point de vue et quels peuvent être considérés ordinaires. Les classifications que nous allons donner dans ce qui suit et les résultats que nous allons obtenir ont leur analogues dans la théorie des fonctions réelles à plusieurs variables réelles; nous reviendrons sur ces généralisations dans un autre article (voir [2]).

2. Désignons par $\mathfrak{N}$ une famille d'ensembles situés sur la droite $-\infty<\mathfrak{x}<+\infty$ qui jouit des propriétés suivantes:

$$ (2.1) \quad \text{Si } A \in \mathfrak{N} \text{ et } B \subset A, \text{ on a } B \in \mathfrak{N}; $$

$$ (2.2) \quad \text{Si } A_k \in \mathfrak{N} \ (k=1,2,...), \text{ on a } \sum_{k=1}^{\infty} A_k \in \mathfrak{N}. $$

Nous désignons par $\overline{\mathfrak{N}}$ la famille des ensembles qui sont de la forme $N+H$, où $N \in \mathfrak{N}$ et $H$ est dénombrable. La famille $\overline{\mathfrak{N}}$ jouit évidemment
des propriétés analogues à celles (2.1) et (2.2). Kemarquons que la famille $\mathfrak{N}$ peut être différente de $\mathfrak{N}$, mais qu'elle coincide avec elle lorsque $\mathfrak{N}$ contient tous les ensembles qui n'ont qu'un seul point.

Considérons une fonction réelle et finie quelconque $f(x)$, définie (pour simplifier les raisonnements) pour $-\infty < x < +\infty$. Convenons de dire que

(a) $f(x)$ est croissante du côté droit au point $x_0$ par rapport à la famille $\mathfrak{N}$ (ou brièvement: $f(x)$ est $C_+(\mathfrak{N})$ au point $x_0$), si l'on a

$$E_x[f(x) \le f(x_0), x_0 < x < x_0 + \delta] \in \mathfrak{N}$$

pour un $\delta > 0$ convenable;

(b) $f(x)$ est non-décroissante du côté droit au point $x_0$ par rapport à la famille $\mathfrak{N}$ ($f(x)$ est $C_+(\mathfrak{N})$ au point $x_0$), si l'on a

$$E_x[f(x) < f(x_0), x_0 < x < x_0 + \delta] \in \mathfrak{N}$$

pour un $\delta > 0$ convenable et

$$E_x[f(x) \le f(x_0), x_0 < x < x_0 + \delta] \in \mathfrak{N}$$

pour tout nombre $\delta > 0$;

(c) $f(x)$ est oscillante du côté droit au point $x_0$ par rapport à la famille $\mathfrak{N}$ ($f(x)$ est $C_+(\mathfrak{N})$ au point $x_0$), si l'on a pour tout nombre $\delta > 0$

$$E_x[f(x) < f(x_0), x_0 < x < x_0 + \delta] \in \mathfrak{N} \quad \text{et} \quad E_x[f(x) > f(x_0), x_0 < x < x_0 + \delta] \in \mathfrak{N}.$$

On donne un sens d'une manière analogue aux expressions $,f(x)$ est décroissante du côté droit au point $x_0$ par rapport à la famille $\mathfrak{N}$ ($f(x)$ est $D_+(\mathfrak{N})$ au point $x_0$) et $,f(x)$ est non-croissante du côté droit au point $x_0$ par rapport à $\mathfrak{N}$ ($f(x)$ est $D_+(\mathfrak{N})$ au point $x_0$), en replaçant dans les définitions (a) et (b) les inégalités $f(x) < f(x_0)$ et $f(x) \le f(x_0)$ par $f(x) > f(x_0)$ et par $f(x) \ge f(x_0)$ respectivement. Nous dirons enfin que $f(x)$ est $C_-(\mathfrak{N})$ au point $x_0$, si $f(-x)$ est $C_+(\mathfrak{N})$ au point $-x_0$, et on définit d'une façon semblable les propriétés $C_-(\mathfrak{N})$, $O_-(\mathfrak{N})$, $D_-(\mathfrak{N})$ et $D_+(\mathfrak{N})$.

En examinant l'allure de la fonction $f(x)$ du côté droit et du côté gauche du point $x_0$ en même temps, on obtient 25 types différents d'allure. Toutefois, ces 25 types se ramènent au 9 types suivants par un simple changement des rôles joués par le côté droit et le côté gauche ou de l'allure croissante et décroissante. Ces 9 types correspondent aux combinations suivantes:

(1) $C_+(\mathfrak{N}), C_-(\mathfrak{N});$

(3) $C_+(\mathfrak{N}), C_-(\mathfrak{N});$

(5) $C_+(\mathfrak{N}), D_-(\mathfrak{N});$

(7) $C_+(\mathfrak{N}), O_-(\mathfrak{N});$

(9) $O_+(\mathfrak{N}), O_-(\mathfrak{N}).$

(2) $C_+(\mathfrak{N}), C_-(\mathfrak{N});$

(4) $C_+(\mathfrak{N}), D_-(\mathfrak{N});$

(6) $C_+(\mathfrak{N}), D_-(\mathfrak{N});$

(8) $C_+(\mathfrak{N}), O_-(\mathfrak{N});$

Nous allons démontrer dans ce qui suit que, parmi les types d'allure (1) à (9), les types (1), (2), (3), (5), (6) et (8) sont exceptionnels dans un certain sens, à savoir que si la fonction $f(x)$ possède une allure d'un de ces types dans tout point d'un ensemble $\mathcal{E}$, l'ensemble $\mathcal{E}$ est la somme de deux ensembles dont l'un contient relativement peu de points, tandis que l'ensemble des valeurs prises par $f(x)$ sur l'autre ne peut contener beaucoup de valeurs.

Par contre, les types (4), (7) et (9) représentent des types d'allure ordinaires, p. ex. si la famille $\mathfrak{N}$ ne contient que l'ensemble vide. C'est évident pour le type (4); l'exemple suivant le montre pour le type (7):

$$f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x \text{ est un nombre irrationnel,} \\ x+1 & \text{si } x \text{ est un nombre rationnel;} \end{cases}$$

en effet, cette fonction présente l'allure du type (7) en tout point irrationnel. Considérons enfin la fonction bien connue construite par H. Lebesgue qui ne prend que des valeurs situées entre 0 et 1, mais prend chacune de ces valeurs dans tout intervalle. Si on modifie la définition de cette fonction en lui attribuant la valeur $1/2$ là où elle prend, d'après sa définition primitive, la valeur 0 ou 1, on obtient une fonction qui présente l'allure du type (9) en tout point.

### 3. Nous commençons par la démonstration d'un lemme.

(3.1) Si $f(x)$ est $C_+(\mathfrak{N})$ ou $(C_-(\mathfrak{N}), \text{ou } D_+(\mathfrak{N}), \text{ou } D_-(\mathfrak{N}))$ en tout point de l'ensemble $\mathcal{E}$, on a $\mathcal{E}=\mathbb{N}+\mathbb{Q}$, où $\mathbb{N} \in \mathfrak{N}$ et $f(\mathbb{Q})$ est dénombrable<fnref n="1" />).

Démonstration. Il suffit évidemment de considérer le cas où $f(x)$ est $C_+(\mathfrak{N})$ en tout point de $\mathcal{E}$. Désignons par $E_n$ l'ensemble des points $x_0$ tels que

(3.2) $$E_n \in \mathbb{N},$$

(3.3) $$E_x[f(x) < f(x_0), x_0 < x < x_0 + \frac{1}{n}] \in \mathfrak{N},$$

(3.4) $$E_x[f(x) = f(x_0), x_0 + \frac{1}{n+1} \le x < x_0 + \frac{1}{n}] \in \mathfrak{N}.$$

<footnote n="1">¹) On désigne par $f(\mathbb{Q})$ l'ensemble des valeurs $f(x)$, $x \in \mathbb{Q}$.</footnote>
On a

$$ (3.5) \qquad E = \sum_{n=1}^{\infty} E_n. $$

En effet, $x_0 \in E$ étant donné, on trouve un nombre naturel $n_0$ tel que (3.3) est valable pour $n \ge n_0$; si (3.4) était en défaut pour tout $n \ge n_0$, on aurait pour tous ces entiers $n$

$$ 
\begin{gather*}
A_n = E_x \left[ f(x) = f(x_0), x_0 + \frac{1}{n+1} \le x < x_0 + \frac{1}{n} \right] \in \mathcal{R}, \\
\sum_{n=n_0}^{\infty} A_n = E_x \left[ f(x) = f(x_0), x_0 < x < x_0 + \frac{1}{n_0} \right] \in \mathcal{R},
\end{gather*}
$$

et ceci entraînerait en vertu de (3.3) (qui est valable pour $n=n_0$)

$$ (3.6) \qquad E_n = \sum_{m=-\infty}^{\infty} E_{nm}. $$

Considérons maintenant un point $\alpha \in E_{nm}$. Pour $\alpha < \beta \in E_{nm}$, on a d'après (3.3) (qui est valable pour $x_0 = \beta$)

$$ 
\begin{gather*}
A = E_x \left[ f(x) < f(\beta), \beta < x < \beta + \frac{1}{n} \right] \in \mathcal{R} \\
\beta < \alpha + \frac{1}{n+1} < \alpha + \frac{1}{n} < \beta + \frac{1}{n},
\end{gather*}
$$

donc, en vertu de (3.4), valable pour $x_0 = \alpha$,

$$ 
\begin{aligned}
B &= E_x \left[ f(x) = f(\alpha), \beta < x < \beta + \frac{1}{n} \right] \\
  &\supset E_x \left[ f(x) = f(\alpha), \alpha + \frac{1}{n+1} \le x < \alpha + \frac{1}{n} \right] \in \mathcal{R}.
\end{aligned}
$$

On a par conséquent $B \bar{\in} \mathcal{R}$, ce qui entraîne l'impossibilité de la relation $B \subset A$; on a donc $f(\beta) \le f(\alpha)$.

On a d'après ce qui précède $f(x) \le f(\alpha)$ pour $x \in E_{nm}$, $x > \alpha$. Puisque d'ailleurs, en vertu de (3.3) qui est valable pour $x_0 = \alpha$,

$$ E_x \left[ f(x) < f(\alpha), \alpha < x < \alpha + \frac{1}{n} \right] \in \mathcal{R}, $$

la partie de l'ensemble $E_{nm}$ qui est située du côté droit du point $\alpha$ est la réunion d'un ensemble qui appartient à la famille $\mathcal{R}$ et d'un autre sur lequel on a $f(x) = f(\alpha)$. En appliquant ce résultat à une suite $\{\alpha_k\} \in E_{nm}$ qui converge vers la borne inférieure de $E_{nm}$, on obtient la relation $E_{nm} = N_{nm} + Q_{nm}$, où $N_{nm} \in \mathcal{R}$ et $f(Q_{nm})$ est dénombrable. La proposition s'ensuit en vertu de (3.5) et (3.6).

Le théorème suivant est une conséquence immédiate du lemme que nous venons de démonter:

(3.8) Si $f(x)$ est du type (3) en tout point d'un ensemble $E$, on a $E = N + H$, où $N \in \mathcal{R}$ et $f(H)$ est dénombrable.

Sur les points du type (5), on peut énoncer le théorème suivant:

(3.9) Si $f(x)$ est du type (5) en tout point d'un ensemble $E$, on a $E \in \overline{\mathcal{R}}$.

Démonstration. D'après le lemme (3.1), on a $E = N + Q$, où $N \in \mathcal{R}$ et $f(Q)$ est dénombrable. On peut donc poser

$$ Q = \sum_{n=1}^{\infty} Q_n $$

de telle façon que $f(x)$ soit constante sur chacun des ensembles $Q_n$. Dé-
signons par $Q_{nm}$ l'ensemble des points $x_0$ tels que

$$ (3.10) \qquad x_0 \in Q_n, $$

$$ (3.11) \qquad E_x \left[ f(x) \ge f(x_0), x_0 - \frac{1}{m} < x < x_0 \right] \in \mathcal{R}. $$

Posons enfin

$$ Q_{nmp} = Q_{nm} \cdot \left[ \frac{p}{m+1}, \frac{p+1}{m+1} \right]; $$

on a évidemment

$$ (3.12) \qquad E = N + \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{p=-\infty}^{\infty} Q_{nmp}. $$

Considérons un point $\beta \in Q_{nmp}$. La fonction $f(x)$ étant constante sur $Q_n \supset Q_{nmp}$, on a $f(\alpha) = f(\beta)$ pour $\alpha < \beta$, $\alpha \in Q_{nmp}$. En appliquant la relation (3.11) pour $x_0 = \beta$, on voit que la partie de $Q_{nmp}$ qui est située du côté gauche du point $\beta$ appartient à la famille $\mathcal{R}$. En considérant une suite $\{\beta_k\} \in Q_{nmp}$ qui converge vers la borne supérieure de $Q_{nmp}$, il s'en-
suit que l'on obtient un ensemble appartenant à $\mathfrak{N}$ si l'on considère l'ensemble $Q_{nmp}$, abstraction faite peut-être de la borne supérieure de celui-ci. On a donc en tout cas $Q_{nmp} \in \mathfrak{N}$ et la proposition en est une conséquence immédiate en vertu de (3.12).

Un raisonnement analogue fournit le théorème suivant:

(3.13) Si $f(x)$ est du type (2) en tout point d'un ensemble $E$, on a $E \in \mathfrak{N}$.

La même conclusion est valable pour les points du type (8):

(3.14) Si $f(x)$ est du type (8) en tout point d'un ensemble $E$, on a $E \in \mathfrak{N}$.

Démonstration. En vertu du lemme (3.1), on peut poser

$$E = N + \sum_{n=1}^{\infty} Q_n,$$

où $N \in \mathfrak{N}$ et $f(x)$ est constante sur chacun des ensembles $Q_n$. Considérons l'ensemble $Q_{nm}$ des points $x_0$ tels que

(3.15) $$x_0 \in Q_n,$$

(3.16) $$E_x[f(x) < f(x_0), x_0 < x < x_0 + \frac{1}{m}] \in \mathfrak{N}.$$

En posant enfin

$$Q_{nmp} = Q_{nm} \cdot \left[ \frac{p}{m+1}, \frac{p+1}{m+1} \right],$$

on a

(3.17) $$E = N + \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{p=-\infty}^{\infty} Q_{nmp}.$$

Les relations $a \in Q_{nmp}$, $\beta \in Q_{nmp}$, $a < \beta$ entraînent $f(a) = f(\beta)$, donc

$$E_x[f(x) < f(\beta), a < x < \beta] = E_x[f(x) < f(a), a < x < \beta].$$

D'après (3.16), qui est valable pour $x_0=a$,

$$E_x[f(x) < f(a), a < x < \beta] \subset E_x[f(x) < f(a), a < x < a + \frac{1}{m}] \in \mathfrak{N},$$

d'où

$$E_x[f(x) < f(\beta), a < x < \beta] \in \mathfrak{N},$$

ce qui est impossible, $f(x)$ étant $O_-(\mathfrak{N})$ au point $\beta$. Vu cette contradiction, l'ensemble $Q_{nmp}$ ne peut posséder qu'un point au plus et, d'après (3.17), on en obtient aisément la proposition.

On peut énoncer un théorème un peu moins simple sur les points du type (6):

(3.18) Si $f(x)$ est du type (6) en tout point d'un ensemble $E$, cet ensemble est de la forme $E = N+R$, où $N \in \mathfrak{N}$, et on peut couvrir l'ensemble $R$ avec une suite d'intervalle ouverts tels que $f(x)$ est constante sur chacun d'eux, exception faite des points d'un ensemble qui appartient à la famille $\mathfrak{N}$.

Démonstration. D'après (3.1), on a de nouveau

$$E = N + \sum_{n=1}^{\infty} Q_n,$$

où $N \in \mathfrak{N}$ et $f(x) = c_n$ pour $x \in Q_n$. Soit $Q_{nm}$ l'ensemble des points $x_0$ tels que

(3.19) $$x_0 \in Q_n,$$

(3.20) $$E_x[f(x) < f(x_0), x_0 < x < x_0 + \frac{1}{m}] \in \mathfrak{N},$$

(3.21) $$E_x[f(x) > f(x_0), x_0 - \frac{1}{m} < x < x_0] \in \mathfrak{N},$$

et posons

$$Q_{nmp} = Q_{nm} \cdot \left[ \frac{p}{m+1}, \frac{p+1}{m+1} \right].$$

On a évidemment

(3.22) $$E = N + \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{p=-\infty}^{\infty} Q_{nmp}.$$

Si l'ensemble $Q_{nmp}$ contient au moins deux points, soit $a \in Q_{nmp}$, $\beta \in Q_{nmp}$, $a < \beta$. En appliquant (3.20) pour $x_0=a$ et (3.21) pour $x_0=\beta$, et d'après l'égalité $f(a)=f(\beta)=c_n$, on conclut que

$$E_x[f(x) \neq c_n, a < x < \beta] \in \mathfrak{N}.$$

Appliquons le résultat que nous venons d'obtenir à une suite $\{\alpha_k\} \in Q_{nmp}$ qui converge vers la borne inférieure de $Q_{nmp}$ et à une suite $\{\beta_k\} \in Q_{nmp}$ qui converge vers la borne supérieure du même ensemble. On obtient de cette façon que $Q_{nmp}$, abstraction faite peut-être de ses bornes supérieure et inférieure, est contenu dans un intervalle ouvert tel que $f(x)$ est constante dans celui-ci, exception faite des points d'un ensemble qui appartient à la famille $\mathfrak{N}$. On a donc $Q_{nmp} = R_{nmp} + S_{nmp}$, où $S_{nmp}$ contient un nombre fini de points et $R_{nmp}$ peut être couvert avec un
intervalle de la propriété indiquée. La même chose est valable si $Q_{nm}$ ne contient qu'un seul point, $R_{nm}$ étant vide en ce cas. En vertu de (3.22), la proposition en est une conséquence immédiate.

On arrive enfin au théorème suivant sur les points du type (1) dont le cas particulier correspondant au cas où la famille $\mathcal{R}$ ne contient que l'ensemble vide a été démontré (même pour des fonctions réelles défi- nies dans un espace métrique séparable quelconque) par Sierpiński [7]: (3.23) Si $f(x)$ est du type (1) en tout point d'un ensemble $E$, on a $E \in \mathcal{R}$.

Démonstration. Soit $E_n$ l'ensemble des points $x_0$ tels que

$$ (3.24) \qquad x_0 \in E, $$

$$ (3.25) \qquad E_{\mathcal{R}}[f(x) \le f(x_0), 0 < |x - x_0| < \frac{1}{n}] \in \mathcal{R}, $$

et posons

$$ E_{nm} = E_n \cdot \left[ \frac{m}{n+1}, \frac{m+1}{n+1} \right]. $$

On a évidemment

$$ (3.26) \qquad E = \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=-\infty}^{\infty} E_{nm}. $$

La relation $\alpha \in E_{nm}$ entraîne

$$ (3.27) \qquad E_{\mathcal{R}}[f(x) \le f(a), x \in E_{nm}, x \ne a] \in \mathcal{R}. $$

Si $f(x)$ prend une valeur maximale sur l'ensemble $E_{nm}$ en un point $x_{nm}$ de celui-ci, on conclut de cette relation en l'appliquant pour $\alpha = \alpha_{nm}$ que l'ensemble $E_{nm}$ appartient, abstraction faite du point $x_{nm}$, à $\mathcal{R}$. Si $f(x)$ n'a pas de valeur maximale sur $E_{nm}$, on applique (3.27) à une suite $\{a_k\} \in E_{nm}$ telle que $f(a_k)$ tend vers la borne supérieure de $f(x)$ sur $E_{nm}$ et on obtient que $E_{nm} \in \mathcal{R}$. Il s'ensuit dans l'un et l'autre cas que $E_{nm} \in \mathcal{R}$, donc, d'après (3.26), que $E \in \mathcal{R}$, ce qu'il fallait démontrer.

4. Nous examinerons dans ce qui suit une classification de l'allure d'une fonction du point de vue de la croissance „approximative”. Nous dirons que

(a) $f(x)$ est $\Gamma_+$ au point $x_0$, si l'ensemble $E_{\mathcal{R}}[f(x) \le f(x_0), x > x_0]$ a au point $x_0$ la densité extérieure zéro;

(b) $f(x)$ est $\Gamma_+^*$ au point $x_0$, si l'ensemble $E_{\mathcal{R}}[f(x) < f(x_0), x > x_0]$ a au point $x_0$ la densité extérieure zéro, mais l'ensemble $E_{\mathcal{R}}[f(x) \le f(x_0), x > x_0]$ a une densité extérieure supérieure positive au point $x_0$;

(c) $f(x)$ est $\Omega_+$ au point $x_0$, si les ensembles $E_{\mathcal{R}}[f(x) < f(x_0), x > x_0]$ et $E_{\mathcal{R}}[f(x) > f(x_0), x > x_0]$ ont une densité extérieure supérieure positive au point $x_0$.

En remplaçant dans les définitions (a) et (b) les inégalités $f(x) < f(x_0)$ et $f(x) \le f(x_0)$ par celles $f(x) > f(x_0)$ et $f(x) \ge f(x_0)$ respectivement, on arrive à la définition des propriétés $\Delta_+$ et $\Delta_+^*$. Nous dirons ensuite que $f(x)$ est $\Gamma_-$ au point $x_0$, si $f(-x)$ est $\Gamma_+$ au point $-x_0$, et on définit d'une façon analogue les propriétés $\Gamma_-^*$, $\Omega_-$, $\Delta_-$ et $\Delta_+^*$.

Tout comme au n° 2, on aura à examiner les 9 types d'allure suivants:

$$ (1') \quad \Gamma_+, \Gamma_-; $$

$$ (2') \quad \Gamma_+^*, \Gamma_-; $$

$$ (3') \quad \Gamma_+^*, \Gamma_-^*; $$

$$ (4') \quad \Gamma_+, \Delta_-; $$

$$ (5') \quad \Gamma_+^*, \Delta_-; $$

$$ (6') \quad \Gamma_+^*, \Delta_-^*; $$

$$ (7') \quad \Gamma_+, \Omega_-; $$

$$ (8') \quad \Gamma_+^*, \Omega_-; $$

$$ (9') \quad \Omega_+, \Omega_-; $$

Parmi ces types d'allure, les types $(1')$, $(2')$, $(3')$, $(5')$, $(6')$ et $(8')$ sont exceptionnels en certain sens, c'est ce qui sera prouvé par les théorèmes qui vont suivre. Par contre, les types $(4')$, $(7')$ et $(9')$ sont des types ordinaires, ce qui est évident pour le type $(4')$. Le type $(9')$ se présente presque partout pour toute fonction qui possède presque partout les nombres dérivés approximatifs supérieurs égaux à $+\infty$ et ceux inférieurs égaux à $-\infty$. Khintchine [4] a donné la construction d'une fonction de cette propriété (qui est même continue).

Quant au type $(7')$, la fonction suivante présente ce type d'allure dans les points d'un ensemble de mesure extérieure positive. On considère d'abord deux ensembles $P$ et $Q$ sans points communs et dont la réunion égale la droite entière $-\infty < x < +\infty$ et tels que la densité extérieure de l'un et de l'autre égale 1 en tout point $x$, $-\infty < x < +\infty$. (Pour la construction de deux ensembles de cette propriété, voir p. ex. [1], p. 352-354.) On définit alors la fonction $f(x)$ comme suit:

$$ f(x) = \begin{cases} x & \text{pour } x \in P, \\ x+1 & \text{pour } x \in Q; \end{cases} $$

$f(x)$ sera du type $(7')$ en tout point $x \in P$.

Les ensembles $P$ et $Q$ de l'exemple précédent, et avec eux la fonction $f(x)$ elle aussi, ne sont pas mesurables. Nous allons voir plus loin que le caractère non-mesurable de la fonction $f(x)$ est nécessaire dans cet exemple, car en se bornant à des fonctions $f(x)$ mesurables, le type $(7')$ devient exceptionnel lui aussi.
5. On commence de nouveau par un lemme.

(5.1). Si $f(x)$ est $\Gamma_+^*$ (ou $\Delta_+^*$, ou $\Gamma_-^*$, ou $\Delta_-^*$) en tout point d'un ensemble $E$, on a $E=N+Q$, où $|N|=0$ et $f(Q)$ est dénombrable.

Démonstration. Il suffit de considérer le cas où $f(x)$ est $\Gamma_+^*$ en tout point de $E$. Soit $E_n$ l'ensemble des points $x_0 \in E$ tels que la densité extérieure supérieure de l'ensemble

$$
\mathbb{E}_{\underline{x}}[f(x) \le f(x_0), x > x_0]
$$

dépasse $1/n$ au point $x_0$. Désignons par $E_{nm}$ l'ensemble des points $x_0$ tels que

$$
(5.2) \qquad x_0 \in E_n,
$$

$$
(5.3) \quad |\mathbb{E}_{\underline{x}}[f(x) < f(x_0), x_0 < x < x_0 + h]| < \frac{1}{6n} h \quad \text{pour } 0 < h < 2^{-m},
$$

$$
(5.4) \quad |\mathbb{E}_{\underline{x}}[f(x) = f(x_0), x_0 + 2^{-m-1} \le x < x_0 + 2^{-m}]| > \frac{1}{2n} \cdot 2^{-m-1}.
$$

On aura alors

$$
(5.5) \qquad E = \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} E_{nm}.
$$

En effet, la relation

$$
E = \sum_{n=1}^{\infty} E_n
$$

étant évidente, considérons un point $x_0 \in E_n$. On peut choisir un nombre naturel $m_0$ tel que (5.3) soit valable pour $m \ge m_0$. Si (5.4) était en défaut pour tous ces nombres $m$, on aurait pour $m \ge m_0$

$$
|\mathbb{E}_{\underline{x}}[f(x) = f(x_0), x_0 + 2^{-m-1} \le x < x_0 + 2^{-m}]| \le \frac{1}{2n} \cdot 2^{-m-1},
$$

et cela entraînerait pour $0 < h < 2^{-m_0}$ l'inégalité

$$
\begin{align*}
|\mathbb{E}_{\underline{x}}[f(x) = f(x_0), x_0 < x < x_0 + h]| &\le |\mathbb{E}_{\underline{x}}[f(x) = f(x_0), x_0 < x < x_0 + 2^{-m_1}]| \\
&\le \frac{1}{2n} \sum_{m=m_1}^{\infty} 2^{-m-1} = \frac{1}{2n} \cdot 2^{-m_1},
\end{align*}
$$

où nous avons posé $2^{-m_1-1} < h \le 2^{-m_1}$. On aurait donc

$$
\frac{1}{h} \left| \mathbb{E}_{\underline{x}} \left[ f(x) = f(x_0), x_0 < x < x_0 + h \right] \right| < \frac{1}{2n} \cdot 2^{-m_1} \cdot 2^{m_1+1} = \frac{1}{n},
$$

donc la densité extérieure supérieure au point $x$ de l'ensemble

$$
\mathbb{E}_{\underline{x}}[f(x) = f(x_0), x > x_0]
$$

ne pourrait pas dépasser $1/n$. L'ensemble

$$
\mathbb{E}_{\underline{x}}[f(x) < f(x_0), x > x_0]
$$

ayant la densité extérieure zéro au même point, $x_0$ ne pourrait pas
appartenir à $E_n$, et cette contradiction prouve l'existence d'un entier $m$
tel que (5.3) et (5.4) soient valables, c'est-à-dire qu'on ait $x_0 \in E_{nm}$. On
a démontré par là la relation (5.5).

Ceci établi, posons $E_{nmp} = E_{nm} \cdot [p \cdot 2^{-m-2}, (p+1) \cdot 2^{-m-2}]$. La formule (5.5) entraîne évidemment que

$$
5.6) \qquad E = \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{p=\infty}^{\infty} E_{nmp}.
$$

Soit $\alpha \in E_{nmp}$, $\beta \in E_{nmp}$, $\alpha < \beta$. On a $\alpha < \beta \le \alpha + 2^{-m-2}$, donc $0 < \alpha + 2^{-m} - \beta < 2^{-m}$. En appliquant (5.4) pour $\alpha = \alpha$, on obtient

$$
(5.7) \quad \left| \mathbb{E}_{\underline{x}} [f(x) = f(\alpha), \alpha + 2^{-m-1} \le x < \alpha + 2^{-m}] \right| > \frac{1}{2n} \cdot 2^{-m-1},
$$

et, en vertu de (5.3) qui est valable pour $x_0=\beta$, il s'ensuit

$$
\begin{align*}
& (5.8) \quad \left| \mathbb{E}_{\underline{x}} [f(x) < f(\beta), \alpha + 2^{-m-1} \le x < \alpha + 2^{-m}] \right| \\
& \le \left| \mathbb{E}_{\underline{x}} [f(x) < f(\beta), \beta < x < \alpha + 2^{-m}] \right| \\
& < \frac{1}{6n} (\alpha + 2^{-m} - \beta) < \frac{1}{6n} \cdot 2^{-m} = \frac{1}{3n} \cdot 2^{-m-1}.
\end{align*}
$$

Si l'on avait $f(\beta) > f(\alpha)$, (5.7) et (5.8) seraient en contradiction; on a donc $f(\alpha) \ge f(\beta)$ pour $\alpha \in E_{nmp}$, $\beta \in E_{nmp}$, $\alpha < \beta$.

On a démontré ainsi que la fonction $f(x)$ est non-décroissante sur l'ensemble $E_{nmp}$, par conséquent elle prend sur cet ensemble toute valeur $y$ une seule fois au plus, exception faite d'un ensemble dénombable de ces valeurs. En désignant donc par $A$ l'ensemble des points $x_0 \in E_{nmp}$ tels que $f(x)$ prend la valeur $f(x_0)$ une seule fois sur l'ensemble $E_{nmp}$, on a pour $x_0 \in A$

$$
\mathbb{E}_{\underline{x}}[x \in A, x > x_0] \subset \mathbb{E}_{\underline{x}}[f(x) < f(x_0), x > x_0],
$$

ce qui entraîne que la densité extérieure au point $x_0$ de l'ensemble

$$
\mathbb{E}_{\underline{x}}[x \in A, x > x_0]
$$

est égale à zéro, tout comme celle de l'ensemble figurant au second
membre. Il s'ensuit que $|A|=0$.

On peut donc poser $E_{nmp} = A + B$, où $|A| = 0$ et $f(B)$ est dénombrable, et, d'après (5.6), on en conclut la proposition.
Le théorème suivant sur les points du type (3') et sur ceux du type (6') est une conséquence immédiate de ce que nous venons de démontrer:

(5.9) Si $f(x)$ est du type (3') ou (6') en tout point d'un ensemble $E$, on a $E=N+Q$, où $|N|=0$ et $f(Q)$ est dénombrable.

On pourrait attendre que, comme au théorème (3.18), si $f(x)$ est du type (6') en tout point de $E$, on ait $E=N+R$, où $|N|=0$ et qu'on puisse couvrir $R$ avec une suite d'intervalles ouverts tels que $f(x)$ soit constante dans chacun d'eux, exception faite des points d'un ensemble de mesure nulle. Cette proposition est tout de même fausse. Soit p. ex. P l'ensemble parfait non dense que l'on obtient de l'intervalle $(0,1)=I$ par la construction connue de Cantor, mais en la modifiant de façon que la longueur totale des intervalles qu'on relève à chacun des pas de la construction égale la longueur totale des intervalles qui sont restés après le pas précédent, multipliée par $c_n$ (au pas $P_n$), où les nombres $0<c_n<1$ sont choisis de façon que le produit infini

$$ \prod_{n=1}^{\infty} (1-c_n) $$

converge vers une valeur positive. Si $f(x)$ désigne la fonction caractéristique de $P$, $f(x)$ est du type (6') en tout point de $P$ où celui-ci a la densité égale à l'unité, donc en tout point d'un ensemble de mesure positive. Mais il est aisé de voir que tout intervalle ouvert qui contient au moins un point de $P$, contient une partie de mesure positive de $P$ et — évidemment — une partie de mesure positive de $I-P$. La fonction $f(x)$ n'est donc constante en aucun intervalle ouvert en question, ni même si l'on ne tient pas compte des points des ensembles de mesure nulle.

Il est aisé de démontrer le théorème suivant:

(5.10) Si $f(x)$ est du type (5') en tout point d'un ensemble $E$, on a $|E|=0$.

**Démonstration.** En vertu de (5.1), $E$ est de la forme

$$ E=N+\sum_{n=1}^{\infty} Q_n, $$

où on a $|N|=0$ et $f(x)$ est constante sur chacun des ensembles $Q_n$. Il s'ensuit pour $x_0 \in Q_n$

$$ \mathbb{E}_{\bar{x}}[x \in Q_n, x < x_0] \subset \mathbb{E}_{\bar{x}}[f(x) \ge f(x_0), x < x_0]. $$

L'ensemble au second membre a la densité extérieure zéro au point $x_0$ par hypothèse, la même proposition est donc valable pour l'ensemble au premier membre, ce qui entraîne $|Q_n|=0$ et on en conclut $|E|=0$.

Un raisonnement analogue nous conduit au théorème suivant:

(5.11) Si $f(x)$ est du type (2') en tout point d'un ensemble $E$, on a $|E|=0$.

La démonstration du théorème suivant sur les points du type (8') est un peu moins simple:

(5.12) Si $f(x)$ est du type (8') en tout point d'un ensemble $E$, on a $|E|=0$.

**Démonstration.** On a d'après le lemme (5.1)

(5.13) $$ E=N+\sum_{n=1}^{\infty} Q_n, $$

où $|N|=0$ et $f(x)$ est constante sur chacun des ensembles $Q_n$.

Soit $Q_{nm}$ l'ensemble des points $x_0$ tels que

(5.14) $x_0 \in Q_n$,

(5.15) la densité extérieure supérieure au point $x_0$ de l'ensemble

$$ \mathbb{E}_{\bar{x}}[f(x)<f(x_0), x<x_0] $$

dépasse $1/m$.

Désignons enfin par $Q_{nmp}$ l'ensemble des points $x_0$ tels que

(5.16) $x_0 \in Q_{nmp}$,

(5.17) $$ |\mathbb{E}_{\bar{x}}[f(x)<f(x_0), x_0<x<x_0+h]|<h/2m \quad \text{pour } 0<h<1/p. $$

On a évidemment

(5.18) $$ Q_n=\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{p=1}^{\infty} Q_{nmp}. $$

Désignons par $c_n$ la valeur constante que $f(x)$ prend sur $Q_n$. A tout point $\alpha \in Q_{nmp}$ correspond une suite $\{\varepsilon_k\}$ telle que

(5.19) $$ \varepsilon_k>0, \quad \varepsilon_k \to 0 $$

et

(5.20) $$ |\mathbb{E}_{\bar{x}}[f(x)<c_n, \alpha-\varepsilon_k<x<a]|>\frac{1}{m}\varepsilon_k, $$

en vertu de (5.15). Pour $\varepsilon_k<1/2p$, l'ensemble $Q_{nmp}$ n'a pas de points communs avec l'intervalle $(\alpha-2\varepsilon_k, \alpha-\varepsilon_k)$. En effet, on aurait au cas contraire un point $\beta \in Q_{nmp}$, $\alpha-2\varepsilon_k<\beta<\alpha-\varepsilon_k$; d'après (5.17)

$$ |\mathbb{E}_{\bar{x}}[f(x)<c_n, \beta<x<a]|<\frac{1}{2m}(\alpha-\beta)<\frac{1}{m}\varepsilon_k, $$

ce qui est en contradiction avec (5.20).
D'après ce qui précède, on a

$$|Q_{nmp}|[\alpha - 2\epsilon_k, \alpha]| \le \epsilon_k,$$

donc, en vertu de (5.19), la densité extérieure supérieure de $Q_{nmp}$ au point $\alpha$ ne peut pas être plus grande que $1/2$. On en conclut $|Q_{nmp}|=0$, et, vu (5.18) et (5.13), la proposition s'ensuit.

Nous démontrons enfin le théorème suivant:

$$(5.21) \quad \text{Si } f(x) \text{ est du type (1') en tout point d'un ensemble } E, \text{ on a } |E|=0.$$

Démonstration. Soit $E_n$ l'ensemble des points $x_0$ tels que

$$(5.22) \quad x_0 \in E,$$

$$(5.23) \quad |\mathbb{E}_x[f(x) \le f(x_0)] \cdot I| \le I/2 \text{ pour tout intervalle } I \text{ tel que } x_0 \in I \text{ et } |I| \le 1/n.$$

On a évidemment

$$(5.24) \qquad E = \sum_{n=1}^{\infty} E_n.$$

Considérons un intervalle $I$ tel que $E_n \cdot I \ne 0$ et que $|I| \le 1/n$. En posant

$$y = \sup_{x \in E_n} f(x),$$

choisissons une suite $\{a_k\}$ telle que $\alpha_k \in E_n$ et, si $f(x)$ ne prend pas la valeur $y$ sur l'ensemble $E_n \cdot I$, que

$$f(a_1) \le f(a_2) \le \dots, \quad f(a_k) \to y,$$

si par contre $f(x)$ prend la valeur $y$ sur l'ensemble $E_n \cdot I$, que $f(\alpha_k) = y$. On a dans l'un et l'autre cas

$$A_k = \mathbb{E}_x [f(x) \le f(a_k)] \cdot I \subset A_{k+1}$$

et

$$(5.25) \qquad E_n \cdot I \subset \sum_{k=1}^{\infty} A_k.$$

On a pour tout point $x_0 \in E_n \cdot I$, d'après (5.23), $|A_k| \le |I|/2$, et, les ensembles $A_k$ formant une suite ascendante,

$$|\sum_{k=1}^{\infty} A_k| = \lim_{k \to \infty} |A_k|,$$

donc, en vertu de (5.25), $|E_n \cdot I| \le |I|/2$.

Ceci étant valable pour tout intervalle $I$ de longueur $\le 1/n$ et ayant de points communs avec $E_n$, celui-ci ne peut avoir la densité extérieure égale à l'unité en aucun de ses points, donc $|E_n|=0$. La proposition en découle en vertu de (5.24).

**6.** Nous supposerons dans ce qui suit que la fonction $f(x)$ soit mesurable. Auprès des théorèmes démontrés dans le n° précédent, on peut énoncer sous cette hypothèse des propositions plus précises. On a d'abord, au lieu du lemme (5.1), le lemme suivant, presque évident, dont la conclusion est pourtant plus précise que celle de (5.1):

$$(6.1) \quad \text{Si } f(x) \text{ est mesurable et si elle est } \Gamma_+^*(\text{ou } \Delta_+^*, \text{ ou } \Gamma_-^*, \text{ ou } \Delta_-^*) \text{ en tout point d'un ensemble } E, \text{ l'ensemble } f(E) \text{ est dénombrable.}$$

Démonstration. Il suffit de considérer le cas où $f(x)$ est $\Gamma_+^*$ en tout point de $E$. Il est aisé de voir que si $x_0 \in E$, l'ensemble $\mathbb{E}_x[f(x)=f(x_0)]$ est de mesure positive. Or, $f(x)$ étant mesurable, l'ensemble des valeurs que la fonction $f(x)$ prend sur un ensemble de mesure positive est dénombrable, d'où découle la proposition.

En s'appuyant sur (6.1), on peut démontrer au lieu de (5.9) le théorème suivant plus précis:

$$(6.2) \quad \text{Si } f(x) \text{ est mesurable et si elle est du type (3') ou (6') en tout point d'un ensemble } E, \text{ l'ensemble } f(E) \text{ est dénombrable.}$$

Nous allons démontrer encore que, pour les fonctions mesurables, le type d'allure (7') est exceptionnel en certain sens. Pour la démonstration de ce fait, nous aurons besoin de quelques propositions auxiliaires.

En désignant par $f_{ap}^+(x)$ le nombre dérivé approximatif inférieur à droite de la fonction $f(x)$, on peut d'abord énoncer la proposition suivante:

$$(6.3) \quad \text{Si } f(x) \text{ est mesurable est si } \text{von a } f_{ap}^+(x) > -\infty \text{ pour } x \in E, \text{ la dérivée approximative } f_{ap}^+(x) \text{ existe et elle est t\'inie presque partout sur } E. \\ \text{Ce théorème fut démontré par Denjoy [3] et Khintchine [4, 5].}$$

$$(6.4) \quad \text{Si } f(x) \text{ est mesurable et si on a } f_{ap}^+(x) = 0 \text{ pour } x \in K, \text{ on a } |f(K)| = 0.$$

Remarque. Cette proposition peut être déduite — même sans faire usage de l'hypothèse de la mesurabilité de $f(x)$ — des théorèmes de la p. 290 du livre de Saks [6]. Nous en donnons pourtant la démonstration puisque, en ne considérant que des fonctions mesurables, elle peut être simplifiée en certaine mesure.

Démonstration. En vertu de la formule

$$f(K) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(K \cdot [n, n+1]),$$

on peut supposer que l'ensemble $K$ soit borné, $K \subset (a, b)=I$. Posons pour $-\infty < y < +\infty$

$$F(y) = |\mathbb{E}_x [f(x) < y, x \in I]|.$$
$f(x)$ étant mesurable, on a pour $\alpha < \beta$

$$ (6.5) \qquad |\mathcal{E}[\alpha \le f(x) < \beta, x \in I]| = F(\beta) - F(a). $$

Considérons un nombre $\varepsilon > 0$. Pour $x_0 \in K$, la relation $f'_{ap}(x_0) = 0$ entraîne que l'ensemble

$$ E_x \left[ -\varepsilon \le \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} < \varepsilon \right] $$

a au point $x_0$ la densité 1, donc

$$ (6.6) \quad \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{h} |\mathcal{E}_x[-\varepsilon(x-x_0) \le f(x) - f(x_0) < \varepsilon(x-x), x_0 < x < x_0 + h]| = 1. $$

On a évidemment

$$ \begin{aligned} & \mathcal{E}_x[-\varepsilon(x-x_0) \le f(x) - f(x_0) < \varepsilon(x-x_0), x_0 < x < x_0 + h] \\ & \subset \mathcal{E}_x[-\varepsilon h \le f(x) - f(x_0) < \varepsilon h, x_0 < x < x_0 + h] \subset (x_0, x_0 + h), \end{aligned} $$

donc, d'après (6.6), a fortiori

$$ (6.7) \quad \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{h} |\mathcal{E}_x[-\varepsilon h \le f(x) - f(x_0) < \varepsilon h, x_0 < x < x_0 + h]| = 1. $$

Pour $h$ suffisamment petit, on a $(x_0, x_0 + h) \subset I$ et alors

$$ \begin{aligned} & \mathcal{E}_x[-\varepsilon h \le f(x) - f(x_0) < \varepsilon h, x_0 < x < x_0 + h] \\ & \subset \mathcal{E}_x[f(x_0) - \varepsilon h \le f(x) < f(x_0) + \varepsilon h, x \in I], \end{aligned} $$

donc, d'après (6.5),

$$ \begin{aligned} & F(f(x_0) + \varepsilon h) - F(f(x_0) - \varepsilon h) \\ & \ge |\mathcal{E}_x[-\varepsilon h \le f(x) - f(x_0) < \varepsilon h, x_0 < x < x_0 + h]|, \end{aligned} $$

d'où, en vertu de (6.7),

$$ \overline{\lim}_{h \to 0^+} \frac{F(f(x_0) + \varepsilon h) - F(f(x_0) - \varepsilon h)}{2\varepsilon h} \ge \frac{1}{2\varepsilon}, $$

donc, $\varepsilon > 0$ étant arbitraire,

$$ \overline{\lim}_{\delta \to 0^+} \frac{F(f(x_0) + \delta) - F(f(x_0) - \delta)}{2\delta} = +\infty. $$

La dérivée $F'(y)$ n'existe donc pas au point $y=f(x_0)$, si $x_0 \in K$. La fonction $F(y)$ étant non-décroissante en vertu de (6.5), sa dérivée finie existe presque partout, on a donc $|f(K)|=0$.

Il nous est maintenant possible de démontrer le théorème suivant sur les points du type (7'):

(6.8) Si $f(x)$ est mesurable et du type (7') en tout point d'un ensemble $E$, on a $E=N+K$, où $|N|=0$ et $|f(K)|=0$.

Démonstration. L'ensemble

$$ \mathcal{E}_x[f(x) \le f(x_0), x_0 < x] $$

ayant pour $x_0 \in E$ la densité zéro au point $x_0$, on a, pour tous ces $x_0$, $f_{ap}^+(x_0) \ge 0$. On a d'après (6.3) $E=N+K$, où $|N|=0$ et $f_{ap}^+(x)$ existe et est finie pour $x \in K$. D'après ce qui précède, l'inégalité $f'_{ap}(x_0) \ge 0$ est valable pour $x_0 \in K$; mais $f'_{ap}(x_0) > 0$ est impossible, car, $f(x)$ étant $\Omega_-$ au point $x_0$, l'ensemble

$$ \mathcal{E}_x[f(x) > f(x_0), x < x_0] $$

ne peut avoir la densité zéro au point $x_0$. On a donc $f'_{ap}(x_0) = 0$ pour $x \in K$ ce qui entraîne en vertu de (6.4) l'égalité $|f(K)|=0$.

## OUVRAGES CITÉS

[1] C. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, 2me éd., Leipzig 1927.

[2] Á. Császár, Sur la structure des ensembles de niveau des fonctions réelles à deux variables, Acta Sci. Math. 15 (1954), p. 183-202.

[3] A. Denjoy, Mémoire sur la totalisation des nombres dérivés non-sommab- les, Annales de l'École Normale Sup. 33 (1916), p. 127-222; 34 (1917), p. 181-238.

[4] A. Khintchine, Recherches sur la structure des fonctions mesurables, Re-ueil Mathématique 31 (1924), p. 265-285, et p. 377-433.

[5] — Recherches sur la structure des fonctions mesurables, Fundamenta Mathe-maticae 9 (1927), p. 212-279.

[6] S. Saks, Theory of the integral, Warszawa-Lwów 1937.

[7] W. Sierpiński, Démonstration de la dénombrabilité des valeurs extrémales d'une fonction, Comptes Rendus de la Société des Sciences de Varsovie 5 (1912), p. 232-237.