# Sur la construction de processus réels homogènes non additifs

A. Tortrat

► To cite this version:

A. Tortrat. Sur la construction de processus réels homogènes non additifs. Annales de l'ISUP, 1970, XIX (4), pp.91-100. hal-04083527

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Submitted on 27 Apr 2023

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# SUR LA CONSTRUCTION DE PROCESSUS REELS HOMOGENES NON ADDITIFS

## A. TORTRAT

### Summary

We answer a question of P. LEVY : construct a non additive process $x(t)$ with $x(t') - x(t)$ obeying the infinitely divisible laws $\mu^{tt'}$. We give under very large conditions strictly stationnary such processes.

## I. INTRODUCTION

Considérons un processus aléatoire réel $x(t)$, où $t$ parcourt la droite réelle $\mathbb{T}$, et $x(0) = 0$. Nous appelons loi temporelle de ce processus le système cohérent des lois 1-dimensionnelles (I entier $\ge 1$ arbitraire ) des v.a. $\prod_{1}^{I} x(t_i)$, aussi bien des lois des v.a. $\prod_{1}^{I} \Delta_i x$, avec $\Delta x = x(t') - x(t)$, $\Delta_i = ]t_i, t'_{i}]$. Il est aisé de montrer que cette loi temporelle est univoquement définie par les lois de toutes les v.a.

$$ \xi = \sum_{1}^{I} n_i \Delta_i x, $$

où l'on pourra toujours supposer les intervalles $\Delta_i$ disjoints.

En général la donnée des seules lois des $\xi = \sum_{1}^{I} \Delta_i x$ (I et les $\Delta_i$ variant arbitrairement), a fortiori celle des seules lois des $\Delta_i x$, doit donc permettre l'existence de nombreuses lois temporelles distinctes. D'où deux problèmes.

### PROBLEME I :

Etant donné un processus $\xi(t)$, existe-t-il, et, en ce cas, construire un autre processus, soit $x(t)$ tel qu'on ait.

$$ (1) \Delta x \stackrel{\text{loi}}{=} \Delta \xi, \text{ pour tout } \Delta = ]t. t']. $$
## PROBLEME II.

Même problème que I, avec les v.a. $\sum_{i=1}^{I} \Delta_i x$, au lieu des seules $\Delta_i x$. Plus précisément caractériser les processus (ou définir des familles de tels processus) pour lesquels le système des lois des $\sum_{i=1}^{I} \Delta_i x$ définit univoquement une loi temporelle. Dans le cas contraire, construire des contre-exemples.

Réponses connues :

A) RENYI. - Soit plus précisément un anneau $\mathcal{A}$, et un système $x_A$ de v.a. obéissant à des lois de Poisson (chargeant $0,1...$) d'espérances $\lambda\lambda$, telles que $\lambda\lambda$ soit une fonction $\ge 0$, $\sigma$-additive sur $\mathcal{A}$ et dont le prolongement à $\sigma(\mathcal{A})$ est non atomique. Alors à des $A_i$ dis joints ($i=1,...,I$) correspondent des v.a. $x_{A_i}$ mutuellement indépendantes.

B) SHEPP, LEE. - Il existe un processus ponctuel, sur $T$, homogène, $x(t)$, (i.e. à loi temporelle invariante par translation sur l'axe des temps $T$) dont les accroissements $\Delta x$ obéissent à des lois de Poisson de paramètre $|\Delta|$ (longueur de $\Delta$).

C) Posant ces problèmes, M. Paul LEVY a donné (+) un des éléments de la solution que nous allons développer, en indiquant des extensions d'exemples de M. GIRAULT M., de lois, non normales, dans $\mathbb{R}^I$ telles que de nombreuses combinaisons linéaires des lois coordonnées soient normales :

Si $y_0(x) = \frac{1}{(2\pi)^{1/2}} e^{-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{I} x_i^2}$ on considère la loi de densité

$$y(x) = y_0(x)[1 + \epsilon(x)] \text{avec } \epsilon(x) = \begin{cases} \text{signe du} \\ \text{déterminant} \end{cases}$$

$$ \left| \begin{array}{ccc} x_1 & x_1^3 & x_1^{2I-1} \\ x_2 & \cdots & x_2^{2I-1} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ x_I & \cdots & x_I^{2I-1} \end{array} \right| $$

<footnote>(+) Au séminaire de l'Institut de Statistique de l'Université de Paris, le 2 décembre 1968</footnote>
Sur la construction de processus réels homogènes non additifs.

II. - Cas où la loi $\mu$ de $\xi(1) - \xi(0)$ est indéfiniment divisible et symétrique.

C'est dire que nous nous donnons un processus homogène additif (au sens de M. Paul LEVY : à accroissements indépendants) $\mathfrak{F}(t)$, $\mu^t$ désignant la loi, symétrique, de $\xi(t)$ ($t>0$, $\xi(0)=0$).

1.- Le premier pas (suivant LEE) consiste à définir la loi $v(d x)$ de $\prod_{1}^{4} X_i$, où

$$X_i = x(i) - x(i-1), \quad i = 1, 2, 3, 4, \quad d x = \prod_{1}^{4} d x_i.$$

Conformément à C) ci-dessus, nous posons :

$v(d x) = \prod_{1}^{4} \mu(d x_i) [1 + \varepsilon(x)]^i$, avec $\varepsilon(x) = $ signe du déterminant

$$\left| \begin{array}{c} x_1 \quad x_1^{(3)} \quad x_1^{(5)} \quad x_1^{(7)} \\ x_2 \quad \cdots \quad \cdots \\ \vdots \\ x_4 \quad x_4^{(3)} \quad x_4^{(5)} \quad x_4^{(7)} \end{array} \right|$$

L'invariance de la loi $\prod_{1}^{4} \mu(d x_i)$ pour les permutations de deux coordonnées, et les opérations $x_i \to -x_i$ (uni, vu, en ce 2ème cas, la symétrie supposée de la loi $\mu$), et les propriétés d'antisymétrie du déterminant ci-dessus, pour ces mêmes opérations entraîne que :

(+)

Toute combinaison linéaire $\sum_{1}^{4} a_i X_i$ a même loi, soit $\prod_{1}^{4} |a_i| \mu$ que $\sum_{1}^{4} a_i \Delta_i \xi$, si deux des $a_i$ : sont égaux ou si l'un d'eux est nul. De plus, trois des quatre v.a. $X_i$ sont toujours (mutuellement) indépendantes, de même que deux d'entre elles et la somme des deux autres.

2.- Ceci étant, comme dans [1], nous définissons la loi du processus $x(t)$, pour $t \in [0,4]$, par les lois conditionnelles.

$$(2) \left\{ \prod_{1}^{4} [x(t_i) - x(t_{i-1})] \mid X_i = x_i, i = 1 \text{ à } 4 \right\}, \quad t_i \in \Delta_i = [i-1, i]$$

(+) Produit à entendre au sens de la convolution, et à $\mu$ au sens de l'homo-thètie
que nous imposons identiques à celles du processus $\xi(t)$, pour les mêmes valeurs $x_i$ des $\Delta_i \xi$. Nous noterons que ces lois (pour $\xi(t)$) existent car la continuité en probabilité de ce processus fait qu'il suffit de considérer une partie dénombrable dense de $T$, alors le théorème d'existence de Jirina est applicable.

Montrons que pour tout $\Delta = ]a,b]$, avec $0 \le a < b \le 4$, $\Delta x$ admet $\mu|\Delta|$ pour loi ($|\Delta| = b-a$). Il suffit de faire la démonstration pour $0 < a < 1$, $3 < b < 4$. Le couple $(X_2, X_3)$ ayant même loi que le couple $(\Delta_2 \xi, \Delta_3 \xi)$, la loi conditionnelle de $\{x(t_1), x(t_4) - x(3) \mid x_1, x_4, x_2 + x_3\}$ est la même que la loi correspondant au processus $\xi(t)$. En effet, intégrant la loi commune (2), limitée à $x(t_1) \times [x(t_4) - x(3)]$ par rapport à la loi commune de $dX_2 \times dX_3$, sur $x+x' \in \text{dt fixé}$, on en déduit que la loi de $\{x(t_1), x(t_4) - x(3) \mid X_1 = x_1, x_2 + x_3 = t, X_4 = x_4\}$ est identique à celle relative à $\xi(t)$; puisque le triplet $(X_1, X_2 + X_3, X_4)$ a même loi $\mu(d x_1) \times \mu^2(dt) \times \mu(d x_4)$ que le triplet $(\Delta_1 \xi, \Delta_2 \xi + \Delta_3 \xi, \Delta_4 \xi)$, on conclut à l'indépendance des v.a. $x(1) - x(a)$, $x(3) - x(1)$ et $x(h) - x(3)$

Pour $t \in [0,4]$, on définit $x(t)$ de façon identique dans chaque intervalle $\Delta'_p = ]4p, 4(p+1)]$ (p entier relatif), et le processus tout entier (sur $T$) est défini par l'indépendance des accroissements intérieurs à de tels $\Delta'_p$ disjoints.

REMARQUE 1 - Le processus ainsi défini n'est pas "homogène". Il est, en effet clair qu'il est additif sur tout intervalle de longueur $< 2$, et qu'il l'est sur les intervalles $[4p+1, 4p+7]$, on a $l = 2$, $L = 6$ pour les longueurs respectives $l$ et $L$ ainsi définies :

$x(t)$ est additif sur tout $\Delta$ tel que $|\Delta| < l$, $L = \sup |\Delta|$ la borne supérieure étant prise sur l'ensemble des $\Delta$ sur lesquels $x(t)$ est additif.

3. - Construction de $y(t)$ homogène. Suivant l'idée de LEE, nous allons définir à partir de $x(t)$ un processus $y(t)$ homogène satisfaisant comme $x(t)$ à (1) : on mélange $x(t)$ avec ses tradatés $x(t+h)$, $h$ variant continûment de 0 à 4. Ce point appelle, croyons-nous, les précisions ci-dessous : pour connaitre la loi temporelle du nouveau processus

nous devons définir la loi $v$, dans $\mathbb{R}^1$, de tout système $\prod_{1}^{I} \Delta_i y$ (I fini arbitraire). Désignons par $v$ la loi correspondante à $x(t)$, par $v(h)$ celle relative à $x(t+h)$, et posons
Sur la construction de processus réels homogènes non additifs.

$$ (3) \quad v' = \frac{1}{4} \int_{0}^{4} v(h) \, dh \text{ ; c'est à dire } v' \ B = \frac{1}{4} \int_{0}^{4} v_h \ B \, dh, \\ \text{B borélien dans } \mathbb{R}^{1}. $$

1º) Les lois marginales (de toutes dimensions $J<1$) de $v'$ sont les "mélanges" des lois marginales de $v$ (puisque ce sont des restrictions à des sous-tribus), ce qui assure la compatibilité (ou "cohérence") des $v'$. lorsque $I$ et les $\Delta_i$ varient. En particulier pour $I=1$, l'invariance de $v$ par translation : $v = v_h$ (qui résulte de (1) et de l'homogénéité de $\xi(t)$), entraine $v' = v$, donc le nouveau processus $y(t)$ satisfait à (1).

2º) $y(t)$ est homogène, c.a.d. que $v'_h = v'$. C'est évident si, $h>4$, et pour $0<h<4$ celà résulte de

$$ v'_{h} - v' = \frac{1}{4} \int_{4}^{4+h} v(h) \, dh - \frac{1}{4} \int_{0}^{h} v(h) \, dh = 0. $$

Il est évident qu'on a maintenant $l = L = 2$, et toujours indépendance des portions du processus relatives à deux parties $T_1$ et $T_2$ séparées par un intervalle $\Delta'_p$.

4. - Construction d'un processus $y(t)$ avec $L=0$. Par itération du procédé du n° 1, puis mélange par translations suivant le n° 3 qui précède, nous allons définir $y(t)$ homogène qui ne soit additif sur aucun intervalle (si petit soit-il).

Il nous suffit de définir la suite cohérente ($I=0,1,...$) des lois temporelles relatives aux temps $c = i/4I$, i entier variant de $0$ à $4^{1+1}$, car nous conservons l'indépendance relative aux différents $\Delta'_p = ]4p, 4(p+1)]$, et, sur l'ensemble $Q$ des $c = i/4I$ (i et $I$ variant) $x(c)$ sera uniformément continu en probabilité puisque $\xi(t)$ l'est, si $\Delta x \stackrel{\text{loi}}{=} \Delta \xi$.

Bornons nous à expliquer l'itération pour $I=1$. Les $X_i$ du n° 1 deviennent les $X_{oi}$ relatives à $I=0$: $X_{oi} = \Delta_{oi} x$, $\Delta_{oi} = ]i-1, i]$, i de 1 à 4. Chaque $\Delta_{oi}$ se partage en quatre $\Delta_{li}$, d'où les $X_{li} = \Delta_{li} x$ avec i variant de 1 à 16.
Nous posons pour $\prod_{1}^{16} X_{1i}$ la loi

$$ (4) \quad \prod_{1}^{16} \mu^{1/4} (dx_{11}) (1+\epsilon(x_{01}, x_{02}, x_{03}, x_{04})) $$

$$ \prod_{j=0}^{3} [1+\epsilon(x_{1,4j+1}, x_{1,4j+2}, x_{1,4j+3}, x_{1,4j+4})]. $$

C'est dire qu'à chaque division d'un $\Delta_{11}$ (ici $I=0$) en quatre parties, nous superposons un facteur $(1+\epsilon(\cdot))$ du type du n° 1. Dans (4) on a évidemment $x_{01} = x_{1,1} + \dots + x_{1,4}$, $x_{02} = x_{1,5} + \dots + x_{1,8}$, $\dots$.

Recommençant ainsi, pour chaque $I$, à introduire $4^I$ facteurs $1+\epsilon(\cdot)$, on définit la loi temporelle de $x(t)$, sur $Q$, donc de $x(t)$ sur $T$ (par continuité), puis celle de $y(t)$ par le mélange susdit.

**REMARQUE 2** : Le processus $x(t)$ (c.a.d. avant le mélange) n'est homogène sur aucun intervalle car par exemple les v.a.

$x(1/4) - x(1/8)$, $x(3/8) - x(1/4)$, $x(3/4) - x(5/8)$, $x(7/8) - x(3/4)$ ne sont pas indépendantes, tandis qu'après translation de $1/4$ elles le deviennent.

**REMARQUE 3** : On peut remplacer les divisions successives en quatre parties égales, par divisions en $n_I > 4$ parties égales.

**THEOREME 1.** Si $\xi(t)$ est un processus réel additif homogène (avec $\xi(0) = 0$) et si, $\mu^t$ désignant la loi $\xi(t)$ (pour $t>0$), $\mu$ donc toutes les lois des $\xi(t)$, $\Delta\xi$ sont symétriques, alors il existe un processus $Y(t)$ homogène qui n'est additif sur aucun intervalle et tel que tout accroissement $\Delta_Y$ ait même loi $\mu^{|\Delta|}$ que $\Delta\xi^t$.

### III. EXTENSION AU CAS OU UNE SUITE DE LOIS $\mu^{1/n_1 \cdots n_I}$ POSSEDE DES COMPOSANTES SYMETRIQUES,
1. - DEFINITION : $\mu$ possède une composante (au sens additif) symétrique si $\exists$ une mesure $\mu_s$ propre (non réduite à $\delta(a)$) symétrique par rapport au point $a$ ($\therefore$ invariante pour $x \to 2a-x$), et une mesure $\mu'$ (toutes deux $\mu$ telles que :

$$ (5) \quad \mu = \mu_s + \mu'. $$

REMARQUE 4 : Dire que $\mu$ ne possède pas de telle composante équivaut à dire que $\mu'$, symétrique de $\mu$ par rapport à 0, est singulière p.r. à toutes les translatées $\mu_\alpha$ de $\mu$ (exception faite d'un atome commun possible). En effet la mesure inf. $(\mu^-, \mu_\alpha)$ est la plus grande (en variation totale) des $\mu_s$ possibles dans (5), relativement au centre de symétrie $a/2$.

Si $\mu$ possède une composante symétrique $\mu_s$, la définition en II-I de la loi $\prod_{1}^{4} \Delta_{i} x$ peut être reprise, en faisant porter la modification (par rapport à la loi de $\prod_{1}^{4} \Delta_{i} \xi$) seulement sur la composante $\prod_{1}^{4} \mu_{s}(dx_{i})$ ; dans le déterminant on écrira $x_i-a$ au lieu de $x_i$, si $a$ est le centre de symétrie de $\mu_s$. Comme nous ne sommes plus assurés que $\mu^{1/4}I$ possède une composante symétrique, nous obtenons l'extension suivante du théorème 1.

THEOREME 2 : Si $\xi(t)$ est un processus réel additif homogène (avec $\xi(0)=0$), pour lequel il existe $\ell > 0$ et une suite infinie d'entiers $n_1 \ge 4$) tels que les lois $\mu^{\ell/n_1 \dots n_I}$ aient toutes une composante symétrique, alors il existe un processus homogène $y(t)$ qui n'est additif sur aucun intervalle, et dont les accroissements $\Delta x$ ont même loi $\mu^{|\Delta|}$ que les $\Delta \xi$ correspondantes.

2. - Lois indéfiniment divisibles sans composante symétrique.

PROPOSITION 1 : Toute loi $\mu$ absolument continue possède une composante symétrique.

Preuve : Soit $m$ la mesure de Lebesgue, et $\mu(dx) = f(x) m(dx)$.

La mesure inf $(\mu^-, \mu_{2\alpha})$ est la mesure de densité $g_\alpha(x) = \inf (f(-x), f(2a+x))$. Elle est nulle si et seulement si $g_\alpha(x) = 0$ $\forall p, p(m)$, donc si et seulement si

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$$h(-x) = \int f(-x) f(2a+x) \, dm(x) = \frac{\mu^2(-dx)}{m(-dx)}$$

est nulle p.p., ce qui est impossible.

**PROPOSITION 2 :** Soit A un ensemble (borné) parfait indépendant dans R, et $A^N$ la somme vectorielle de N ensembles égaux à A.

Alors $-A^M$ (symétrique de $A^M$) et $A^N + a$ (translaté de $A^N$) n'ont pour chaque $a$ qu'un nombre fini de points communs.

Preuve : Par définition de "indépendant", si les $x_i$ de A sont distincts, $\sum_{i=1}^I n_i x_i = 0$ nécessite $n_1 = \dots = n_I = 0$. Soit donc, avec des $x_i$ distincts (tous ceux intervenant pour représenter $x, y, x', y'$)

$$ (6) \qquad -a = x+y = x' + y' \quad \text{avec} \quad \left\{ \begin{array}{l} x = \sum m_i x_i \quad \varepsilon A^M \quad ( \sum m_i = M ) \\ y = \sum n_i x_i \quad \dot{\varepsilon} A^N \quad ( \sum n_i = N ) \\ x' = \sum m'_i x_i \quad \varepsilon A^M \quad ( \sum m'_i = M ) \\ y' = \sum n'_i x_i \quad \varepsilon A^N \quad ( \sum n'_i = N ) \end{array} \right. $$

On déduit de (6), où les $m_i, m'_i, n_i, n'_i$ sont $\ge 0$,

$$y-y' = x'-x = \sum \mu_i x_i = - \sum \nu_i x_i$$

$$\text{avec } \mu_i = m'_i - m_i, \quad \nu_i = n'_i - n_i.$$

$\mu_i = -\nu_i$ implique $-m_i \le \mu_i \le n_i$. C'est dire que si $x$ est un point commun à $A^M$ et $-(A^N + a)$, et si $\sum m_i x_i$ et $\sum n_i x_i$ sont les "représentations", uniques, de $x$ et $y = -x - a$, le nombre des autres points (soit $x'$) communs à $A^M$ et $-(A^N + a)$ est fini.

**PROPOSITION 3 :** On désigne par $F$ une mesure de variation totale 1, continue, singulière, portée par un parfait indépendant A. Alors toutes lois $\mu^\alpha$ ($\alpha > 0$) avec

$$\mu = e(F) = \frac{1}{e} \sum_{0}^{\infty} \frac{F^n}{n!}$$

sont sans composante symétrique.
Preuve : D'après la proposition 2, et puisque $F^n$ est portée par $A^n$, $(F^n)^-$ est étrangère à chaque translatée $(F^m)_\alpha$ de $F^m$. $\mu^-$ et $\mu_\alpha$ sont donc étrangères l'une à l'autre, à moins que $a=0$ (la mesure $\frac{1}{e}\delta(0)$ leur étant alors une composante commune).

Les $\mu^\alpha$ sont bien sans composante symétrique car le raisonnement vaut aussi bien avec $\mu^\alpha = e^{-\alpha} \sum_{0}^{\infty} \frac{\alpha^n F^n}{n!}$, c'est à dire avec la mesure $\alpha F$ au lieu de $F$.

## IV. REMARQUE CONCERNANT LE PROBLEME II.

1. - La proposition de Renyi (cf. I-A) trouve une application importante aux processus à accroissements indépendants $x(t)$ prenant leurs valeurs dans un espace métrique complet $\mathcal{X}$. On supposera $x(t)$ continu en probabilité, les lois des $x(t)$ $\tau$-régulières : à supports séparables), et la probabilité $P$ sur l'espace de base $(\Omega, \mathcal{F})$ complète. Il existe alors une définition de $P$ dans l'espace $D_q(T)$ des trajectoires sans discontinuités de 2ème espèce, et continues à droite. A toute partie borélienne $A$ de $\mathcal{X}$, à distance positive de l'unité $e$ du groupe $\mathcal{X}$, correspond un processus de Poisson $N_A(t)$, où $N_A(t)$ est le nombre de sauts de $x(t)$ entre les instants $0$ et $t$ (ou $t$ et $0$ si $t < 0$), prenant leurs valeurs dans $A$. L'espérance $F(A,t)$ de $N_A(t)$ définit une mesure sur $\mathcal{X} \times T$, non atomique parce que $F(A,t') - F(A,t)$ est uniformément petite avec $t'-t$ (sur les parties de $\mathcal{X} \times T$ bornées en projections sur $T$, et à distance $> 0$ de $e$, en projection sur $\mathcal{X}$). La proposition de Renyi assure alors l'indépendance (mutuelle) des processus $N_A(t)$, et des processus sauts correspondants $z_A(t)$, pour I parties $A_i$ disjointes deux à deux (cf. [4]).

2. - Dans le cas où $\xi(t)$, processus de Poisson sur $T$, n'est pas continu en probabilité (i.e. la fonction d'intervallees $\mathcal{X}(\Delta) = E(\Delta \mathcal{F})$ n'est pas continue) la méthode de II-1 (ou celle de LEE) fournit un contre-exemple à la proposition de Renyi : si $X'_1 = \delta\xi(i)$, $i = 0, 1, 2$, désigne trois sauts de $\xi(t)$ supposés placés aux instants $0, 1, 2$, il suffit de définir une modification $(X_0, X_1, X_2)$ du triplet $(X'_0, X'_1, X'_2)$, comme en II-1 on a défini $\prod_{1}^{4} X_i$ à partir de $\prod_{1}^{4} \Delta_i \xi$, mais en l'appliquant seulement (comme en III-1) à des composantes à deux valeurs des lois de $X'_0, X'_1, X'_2$; en ce
qui concerne les valeurs de $t$ différentes de 0, 1, 2, on ne modifie pas
le processus $\xi(t)$, qu'on pose indépendant de $(X_0, X_1, X_2)$. Le proces-
sus ainsi modifié a gardé les mêmes lois de ses accroissements (pris iso-
lément) mais n'est plus additif sur $[0,2]$.

3. - Revenons au processus $x(t)$ tel que nous l'avons construit en II-2 (avant le mélange de II-3 et sans l'itération de II-4). $\Delta_i$ désignant toujours l'intervalle $]i-1, i]$, on peut voir que si $\Delta'_i$ désigne, pour chaque $i$ de 1 à 4, un intervalle $\subset \Delta_i$, et si deux de ces $\Delta'_i$ se superposent par la translation qui superpose les $\Delta_i$ correspondants, alors on a

$$ (7) \quad \sum_{i=1}^{4} \Delta'_{i} \text{ x } = \sum \Delta'_{i} \xi. $$

C'est encore le cas, si par exemple, ces $\Delta'_i$ sont de longueurs $1/4$, d'extremités de la forme $p/4$, et si la loi de $\frac{16}{1} \left[x\left(\frac{i}{4}\right) - x\left(\frac{i-1}{4}\right)\right]$ est celle définie par (4) en II-4 ci-dessus. Mais il semble assuré que (7) ne vaut pas pour des $\Delta'_i$ quelconques, dans l'un et l'autre cas.

PROBLEME :

Construire des processus $x(t)$, comme ci-dessus, qui soient indéfi-
niment divisibles.

BIBLIOGRAPHIE

[1] - GOLDMANN (J.R.) : Stochastic point processes : limit theorems (cf. appendix). Ann. Math. Stat. 38 (1967) 771-779.

[2] , LEE (P.M.) : Some examples of infinitely divisible point processes. Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica 3. (1968) 219-224

[3] - RENYI (A.) : Remarks on the Poisson Process, Lecture notes in Mathematics 31 (Springer 1967).

[4] - TORTRAT (A.) : *Calcul des probabilités - Introduction aux processus aléatoires*. Masson (1971).

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Reçu en Octobre 1970

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