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MÉTHODES CONFORMES
D'ÉLÉMENTS FINIS
AVEC
INTÉGRATION NUMÉRIQUE
POUR DES
PROBLÈMES DE COQUES

Michel BERNADOU

Rapport de Recherche N° 245

Août 1977
MÉTHODES CONFORMES D'ÉLÉMENTS FINIS
AVEC INTÉGRATION NUMÉRIQUE POUR DES PROBLEMES DE COQUES

Michel Bernadou

IRIA/LABORIA

Résumé :

On étudie l'effet de l'intégration numérique dans l'approximation par des méthodes conformes d'éléments finis du problème général de coques, suivant le modèle de W.T. Koiter. On donne des conditions suffisantes qui préservent l'ordre de convergence de la méthode. Ces conditions prennent en compte l'approximation de la solution et le degré de précision du schéma d'intégration numérique. Pour conclure, les résultats sont illustrés par des exemples variés.

Abstract :

We study the effect of numerical integration in conforming finite element methods for the general shell problem, following the model of W.T. Koiter. Sufficient conditions are then given which preserve the order of convergence of the method. These conditions involve both the approximation of the components of the displacement and the degree of accuracy of the numerical quadrature schemes. We conclude by examining various examples.
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## INTRODUCTION

Il existe de nombreuses modélisations des coques minces, notamment celle de KOITER [1] [2] qui se rattache à la famille de KIRCHHOFF-LOVE et celle de NAGHDI [1] [2] qui fait appel à la théorie des surfaces de COSSERAT [1]. Pour les calculs effectifs il semble que la modélisation de KOITER [1] [2] réponde aux besoins des Ingénieurs et c'est ainsi que ARGYRIS-HAASE-MALEJANNAKIS [1], ARGYRIS-SCHARPF [1] [2], DUPUIS [1], DUPUIS-GOËL [2] l'utilisent pour la résolution numérique de problèmes de coques.

Dans un travail précédent (cf. BERNADOU-CIARLET [1] [2]) nous avons démontré l'ellipticité du modèle linéaire de coques de W.T. KOITER et nous en avons déduit l'existence et l'unicité d'une solution. Parallèlement CIARLET [3] [4] [5] a donné une description générale de l'application de la méthode des éléments finis au problème de l'équilibre d'une coque et il a établi des conditions suffisantes, relatives à l'approximation de la géométrie et à l'approximation du déplacement, qui assurent la convergence de cette méthode.

Ce travail a deux ambitions :

D'une part, effectuer une étude de l'approximation des équations linéaires de coque de W.T. KOITER par des méthodes conformes d'éléments finis avec utilisation de schémas d'intégration numérique, et donner une estimation explicite de l'erreur asymptotique.

D'autre part, préparer la programmation de ces méthodes d'éléments finis.

Dans le Paragraphe I nous rappelons brièvement la formulation du problème continu, renvoyant à BERNADOU-CIARLET [1] pour plus de détails. Nous donnons ensuite une nouvelle expression de la forme bilinéaire dont nous explicitons tous les coefficients. Cette nouvelle expression permet de calculer la matrice de rigidité élémentaire.
Le paragraphe 2 donne la description générale de l'application de méthodes conformes d'éléments finis dans le cas d'intégrations exactes et sans approximation de la géométrie. Cette dernière n'est plus nécessaire ici car elle intervient implicitement au Paragraphe 3 dans la prise en compte de l'utilisation de schémas d'intégration numérique. On établit ensuite une estimation d'erreur asymptotique, puis on rappelle quelques exemples d'éléments finis de classe C° et de classe C¹ parmi les plus utilisés par les Ingénieurs. Pour la plupart de ces exemples on précise, outre la définition de ces éléments et les résultats d'interpolation, leurs fonctions de base exprimées à l'aide des coordonnées barycentriques et, le cas échéant, des **paramètres d'excentricité**. Pour un triangle quelconque, ces paramètres d'excentricité, au nombre de trois, sont calculés en fonction des seules coordonnées des sommets du triangle, et ils permettent d'obtenir une expression analytique simple des directions des normales aux côtés du triangle. On termine ce Paragraphe par des exemples d'estimations d'erreur pour des espaces d'approximation construits à l'aide des éléments finis décrits précédemment.

L'étude de la prise en compte de l'intégration numérique fait l'objet du Paragraphe 3. Pour ce faire on s'inspire des travaux de CIARLET-RAVIART [1] [2] et on utilise les résultats de BERNADOU-DUCATEL [1] relatifs à l'approximation de problèmes elliptiques du quatrième ordre par des méthodes conformes d'éléments finis avec intégration numérique. Après avoir défini le problème discret associé à la prise en compte de l'intégration numérique on donne une estimation abstraite de l'erreur. On établit ensuite des conditions suffisantes assurant la propriété d'ellipticité pour le problème discret et on donne des théorèmes généraux pour l'évaluation des erreurs de consistance. En rassemblant les résultats précédents on trouve alors des conditions sur les schémas d'intégration qui conduisent à une estimation asymptotique de l'erreur du même ordre que celle obtenue dans le cas d'intégrations exactes. On termine ce Paragraphe en reprenant les divers exemples d'estimations d'erreur du Paragraphe 2 et en donnant dans chaque cas un ou plusieurs schémas d'intégration numérique convenables. Notons au passage que l'utilisation de schémas d'intégration numérique, qui équivaut à une approximation **implicite** de la géométrie, permet dans la plupart des cas de gagner un ordre au moins dans l'estimation d'erreur par rapport au cas d'une estimation **explicite** de la géométrie (cf. CIARLET [3]).
En conclusion, retenons d'une part que cette étude est valable pour des équations de coques générales utilisant des coordonnées curvilignes quelconques et, d'autre part, que cette étude fournit des critères précis pour le choix de schémas d'intégration numérique convenables.

A notre connaissance ce dernier point est nouveau, le choix de schémas d'intégration numérique pour les équations de coques étant, semble-t-il, basé jusqu'à maintenant sur des méthodes empiriques.

Le plan est le suivant :

1. - LE PROBLEME CONTINU

1.1. La formulation variationnelle du problème linéaire de coques, selon W.T. KOITER.

1.2. Une autre expression pour la forme bilinéaire du problème.

1.3. Calcul explicite des coefficients $A_{IJ}(\xi)$

2. - METHODES CONFORMES D'ELEMENTS FINIS

2.1. Estimation d'erreur en norme $||\cdot||_V$

2.2. Exemples d'éléments finis de classe $C^0$

2.3. Exemples d'éléments finis de classe $C^1$

2.4. Exemples d'estimations d'erreur.

3. - PRISE EN COMPTE DE L'INTEGRATION NUMERIQUE

3.1. Le problème discret associé à la prise en compte de l'intégration numérique

3.2. Estimation abstraite de l'erreur

3.3. Conditions suffisantes pour la vérification de la condition de $\nabla_V$-ellipticité

3.4. Théorèmes généraux pour l'évaluation des termes de consistance

3.5. Conditions sur les schémas d'intégration et théorème d'estimation asymptotique de l'erreur.

3.6. Exemples d'estimations d'erreur.

3.7. Exemples de schémas d'intégration numérique appropriés.

BIBLIOGRAPHIE.
# 1. - LE PROBLEME CONTINU

**Orientation** : Dans ce paragraphe nous rappelons la formulation variation-
nelle du problème linéaire de coques, selon KOITER [1] [2]. On trouvera
une description analogue dans BERNADOU-CIARLET [1], CIARLET [1] [2].

## 1.1. - La formulation variationnelle du problème linéaire de coques, selon W.T. KOITER.

Soit $\Omega$ un ouvert borné d'un plan $\varepsilon^2$ de frontière $\Gamma$. La surface moyenne $S$ de la coque est l'image de la fermeture $\bar{\Omega}$ de l'ouvert $\Omega$ par une application $\vec{\phi} : \bar{\Omega} \subset \mathbb{R}^{\varepsilon^2} \to \mathbb{R}^{\varepsilon^3}$, $\varepsilon^2, \varepsilon^3$ désignant l'espace usuel :

$$S = \{\vec{\phi}(\xi) , \xi = (\xi^1, \xi^2) \in \bar{\Omega}\}.$$

Nous supposons que l'application $\vec{\phi}$ vérifie les hypothèses suivantes

$$ (1.1-1) \quad (i) \quad \vec{\phi} \in C^3(\bar{\Omega}) ; $$

$$ (1.1-2) \quad \left\{ \begin{array}{ll} \text{(ii) tous les points de la surface } S \text{ sont réguliers, i.e., les} & \\ \text{deux vecteurs} & \\ \vec{a}_{\alpha} = \frac{\partial \vec{\phi}}{\partial \xi^{\alpha}} = \vec{\phi}_{,\alpha} & \\ \text{sont linéairement indépendants.} & \end{array} \right. $$

Dans les relations (1.1-2) et dans toute la suite les indices grecs prennent leurs valeurs dans l'ensemble $\{1,2\}$ et les indices latins dans l'ensemble $\{1,2,3\}$, sauf indication contraire. Les notations $f, \alpha, f, \alpha\beta$, etc..., désignent les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial \xi^{\alpha}}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial \xi^{\alpha} \partial \xi^{\beta}}$, etc... On utilise enfin la convention d'Einstein pour la sommation sur les indices répétés.

La première forme fondamentale ($a_{\alpha\beta}$) de la surface $S$ est donnée par
$$a_{\alpha\beta} = \vec{a}_{\alpha} \cdot \vec{a}_{\beta} \text{ et on note a le déterminant de la matrice } (a_{\alpha\beta}). \text{ En tout point}$$
$$\xi \in \bar{\Omega}, \text{ on associe à la base covariante } (\vec{a}_{\alpha}(\xi)) \text{ du plan tangent au point}$$
$$\vec{\phi}(\xi) \text{ la base contravariante } (\vec{a}_{\alpha}^{\alpha}(\xi)), \text{ à l'aide des relations } \vec{a}_{\alpha} \cdot \vec{a}_{\beta} = \delta_{\beta}^{\alpha} \text{ (pas de sommation si } \alpha=\beta). \text{ Enfin, on introduit le vecteur } \vec{a}_{3} = \vec{a}^{3} \text{ normal}$$
$$\text{à la surface, de norme 1, orienté de telle façon que le trièdre } (\vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3}) \text{ soit direct.}$$
Les inconnues du problème sont les trois fonctions

$$
u_i : \xi \in \bar{\Omega} \mapsto \mathbb{R},
$$

qui sont les composantes covariantes du déplacement $\vec{u}$, i.e., en tout point
$\xi \in \bar{\Omega}$, le vecteur $\vec{u}(\xi) = u_i(\xi) \, \vec{a}^i(\xi)$ représente le déplacement du point $\vec{\phi}(\xi)$.
La solution $\vec{u}$ rend minimale, sur un espace $\vec{V}$ que l'on va définir, l'énergie
de la coque, qui se présente sous la forme habituelle

$$
J : \vec{v} \in \vec{V} \mapsto J(\vec{v}) = \frac{1}{2} a(\vec{v}, \vec{v}) - f(\vec{v}).
$$

L'énergie de déformation $a(\vec{v}, \vec{v})$ s'exprime à l'aide d'une intégrale définie
sur la surface moyenne de la coque ($dS = \sqrt{a} \, d\xi$) :

$$
(1.1-3) \quad \left\{
\begin{aligned}
a(\vec{v}, \vec{v}) &= \int_S \frac{Ee}{1-v^2} \left\{ (1-v) \gamma_\beta^\alpha(\vec{v}) \gamma_\alpha^\beta(\vec{v}) + v \gamma_\alpha^\alpha(\vec{v}) \gamma_\beta^\beta(\vec{v}) \right\} dS \\
&\quad + \int_S \frac{Ee^3}{12(1-v^2)} \left\{ (1-v) \bar{\rho}_\beta^\alpha(\vec{v}) \bar{\rho}_\alpha^\beta(\vec{v}) + v \bar{\rho}_\alpha^\alpha(\vec{v}) \bar{\rho}_\beta^\beta(\vec{v}) \right\} dS.
\end{aligned}
\right.
$$

Les paramètres E, v, e représentent respectivement le module de Young, le
coefficient de Poisson, et l'épaisseur (supposée constante pour simplifier)
de la coque. Le tenseur de déformation (γβ(→v)) et le tenseur de changement
de courbure (ρ̄α(→v)) de la surface moyenne ont pour composantes covariantes :

$$
(1.1-4) \qquad \gamma_{\alpha\beta}(\vec{v}) = \frac{1}{2} (v_{\alpha}|_{\beta} + v_{\beta}|_{\alpha}) - b_{\alpha\beta}v_{3} ,
$$

$$
(1.1-5) \quad \bar{\rho}_{\alpha\beta}(\vec{v}) = v_3 |_{\alpha\beta} e^{-c_{\alpha\beta} v_3} + b_{\alpha}^{\lambda} |_{\beta} v^{\lambda} + b_{\alpha}^{\lambda} v_{\lambda} |_{\beta} + b_{\beta}^{\lambda} v_{\lambda} |_{\alpha}.
$$

Dans les expressions (1.1-4) et (1.1-5) les notations $v_\alpha|_\beta$, $v_3|_{\alpha\beta}$, etc..., représentent des dérivées covariantes par rapport à la surface S, ($b_{\alpha\beta}$) et ($c_{\alpha\beta}$) sont respectivement la deuxième et la troisième forme fondamentale de la surface S.

Enfin, l'énergie potentielle des forces extérieures se met sous la forme

$$
(1.1-6) \quad f(\vec{v}) = \int_S \vec{f} \cdot \vec{v} \, dS.
$$

Avant de formuler le problème il reste à définir l'espace $\vec{V}$ des déplacements admissibles. Nous posons
$$
(1.1-7) \qquad \vec{w} = H^1(\Omega) \times H^1(\Omega) \times H^2(\Omega),
$$

$$
(1.1-8) \qquad \vec{v} = H_o^1(\Omega) \times H_o^1(\Omega) \times H_o^2(\Omega),
$$

où $H^m(\Omega)$, $H^m_o(\Omega)$ désignent les espaces de Sobolev usuels. L'espace $\vec{V}$ est un sous-espace de Hilbert de l'espace de Hilbert $\vec{w}$.

On peut alors formuler le problème de coques comme suit :

Problème 1.1-1 : Pour $\vec{\phi} \in (\mathbb{S}^3(\bar{\Omega}))^3$, pour $\vec{f} \in (L_2(\Omega))^3$, trouver $\vec{u} \in \vec{V}$ tel que

$$
(1.1-9) \quad a(\vec{u}, \vec{v}) = f(\vec{v}), \forall \vec{v} \in \vec{V},
$$

où les formes bilinéaire a, linéaire f sont données par les relations
(1.1-3) et (1.1-6) respectivement. ■

Nous avons montré dans BERNADOU-CIARLET [1] [2] que ce problème admet une
solution unique. La difficulté principale de cette démonstration est d'é-
tablir la $\vec{V}$-ellipticité de la forme bilinéaire a, i.e., il existe une
constante $\alpha > 0$ telle que

$$
(1.1-10) \qquad \alpha \|\vec{v}\|_{\vec{V}}^2 \le a(\vec{v}, \vec{v}), \quad \forall \vec{v} \in \vec{V},
$$

avec

$$
(1.1-11) \qquad \|\vec{v}\|_{\vec{V}} = ( \|v_1\|_{1,\Omega}^2 + \|v_2\|_{1,\Omega}^2 + \|v_3\|_{2,\Omega}^2 )^{1/2},
$$

où pour tout entier m,

$$
(1.1-12) \quad \|v\|_{m,\Omega} = \left( \sum_{|\alpha| \le m} \int_{\Omega} |\partial^{\alpha} v|^2 d\xi \right)^{1/2}.
$$

Remarque 1.1-1 : Le choix de $\vec{V}$ comme espace des déplacements admissibles correspond à l'étude de déformations de coques encastrées sur leur bord.
Pour des conditions aux limites plus générales on se reportera à BERNADOU-CIARLET [1].
## 1.2 - Une autre expression pour la forme bilinéaire du problème :
Pour la démonstration de la convergence de la méthode des éléments finis et la mise en oeuvre d'une méthode d'intégration numérique il est commode d'utiliser la proposition suivante :

**Proposition 1.2-1** : (CIARLET [1], proposition 2.1) :
La forme bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$ associée à la forme quadratique (1.1-3) s'écrit

$$ (1.2-1) \qquad a(\vec{u}, \vec{v}) = \int_{\Omega} t U [A_{IJ}] V d\xi $$

où la matrice colonne $V$ (il en va de même pour $U$) regroupe les dérivées partielles des composantes covariantes du déplacement :

$$ (1.2-2) \qquad tV = [v_1 \ v_{1,1} \ v_{1,2} \ v_2 \ v_{2,1} \ v_{2,2} \ v_3 \ v_{3,1} \ v_{3,2} \ v_{3,11} \ v_{3,12} \ v_{3,22}] $$

En outre, si l'on désigne par $\phi_i$ les composantes, sur un repère orthonormé (pour simplifier) fixe, de la carte $\tilde{\phi}$ (i.e., $\tilde{\phi} = \phi_i e_i^i$) définissant la surface moyenne $S$ de la coque, nous avons pour chaque $(I,J), 1 \le I,J \le 12$ :

$$ (1.2-3) \qquad A_{IJ}(\xi) = g_{IJ}(\phi_i, \alpha(\xi), \phi_i, \alpha\beta(\xi), \phi_i, \alpha\beta\gamma(\xi)), $$

où la fonction $g_{IJ}$ est algébrique en ses arguments, son seul dénominateur étant

$$ (1.2-4) \qquad \sqrt{a} = \sqrt{\det(a_{\alpha\beta})} = \left( \left( \sum_{i=1}^{3} (\phi_{i,1})^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{3} (\phi_{i,2})^2 \right) - \left( \sum_{i=1}^{3} \phi_{i,1} \phi_{i,2} \right)^2 \right)^{1/2}. \blacksquare $$

Nous donnons au numéro 1.3 une méthode de calcul de ces coefficients $A_{IJ}$ particulièrement bien adaptée à la résolution numérique de ces équations de coques par des méthodes d'éléments finis avec intégration numérique.

**Remarque 1.2-1** : On notera que les hypothèses (1.1-1) et (1.1-2) entraînent $A_{IJ} \in C^1(\bar{\Omega})$, ce qui est commode pour utiliser des schémas d'intégration numérique. ■
Par analogie avec la Proposition 1.2-1 il vient :

**Proposition 1.2-2** : La forme linéaire (1.1-6) s'écrit

$$
(1.2-5) \qquad f(\vec{v}) = \int_{\Omega} t_F V d\xi
$$

avec

$$
\begin{array}{ll}
(1.2-6) & t_F = \sqrt{a} [f^1 \circ \mathbf{0} \circ f^2 \circ \mathbf{0} \circ f^3 \circ \mathbf{0} \circ \mathbf{0} \circ \mathbf{0}] , \\
& V \text{ donné par la relation (1.2-2),}
\end{array}
$$

où les $f^i$ sont les composantes contravariantes de $\vec{f}$ sur la base $a^i$, i.e.,
$$ \vec{f} = f^i a^i . \quad \blacksquare $$

1.3 - Calcul explicite des coefficients $A_{IJ}(\xi)$ :

Soit à calculer les coefficients $A_{IJ}(\xi)$ qui apparaissent dans la relation (1.2-1). On part de la relation (1.1-3) et on utilise les expressions (1.1-4) (1.1-5) et $\gamma_{\beta}^{\alpha} = a^{\alpha}_{\lambda} \gamma_{\lambda\beta}$, $\bar{\rho}_{\beta}^{\alpha} = a^{\alpha}_{\lambda} \bar{\rho}_{\lambda\beta}$. En désignant par $V$ la matrice colonne dont la transposée est donnée par la relation (1.2-2), on obtient successivement :

1.3.1 - Calcul de $\gamma_{\beta}^{\alpha}(\vec{u})\gamma_{\alpha}^{\beta}(\vec{v})$ :

On peut écrire

$$
(1.3-1) \qquad \gamma_{\alpha}^{\beta}(\vec{v}) = \Lambda_{\alpha}^{\beta} V,
$$

où les $\Lambda_{\alpha}^{\beta}$ sont les 4 matrices de dimension [1,12] suivantes :

$$
(1.3-2) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\Lambda_{\beta}^{\alpha} = [ -a^{\alpha\nu} \Gamma_{\beta\nu}^{1} ; a^{1\alpha}_{\delta} \Gamma_{\beta1}^{1} ; \frac{1}{2} a^{\alpha\lambda}_{\Delta_{\lambda\beta}} ; -a^{\alpha\nu} \Gamma_{\beta\nu}^{2} ; \frac{1}{2} a^{\alpha\lambda}_{\Delta_{\lambda\beta}} ] \\
\qquad + a^{2\alpha}_{\delta} \Gamma_{\beta2}^{2} ; -b^{\alpha}_{\beta} ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0]
\end{array}
\right.
$$

avec

$$
(1.3-3) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\delta_{11} = \delta_{22} = 1, \quad \delta_{12} = \delta_{21} = 0, \\
\Delta_{11} = \Delta_{22} = 0, \quad \Delta_{12} = \Delta_{21} = 1.
\end{array}
\right.
$$

Alors

$$
(1.3-4) \qquad \gamma_{\beta}^{\alpha}(\vec{u}) \gamma_{\alpha}^{\beta}(\vec{v}) = t_{U} (t^{\Lambda}_{\beta} \Lambda^{\beta}_{\alpha} ) v.
$$
1.3-2 Calcul de $\bar{\rho}_{\beta}^{\alpha}(\vec{u})\bar{\rho}_{\alpha}^{\beta}(\vec{v})$ :

Soit $\vec{v} = v_i \vec{a}^i$ ; alors

$$ \bar{\rho}_{\alpha\beta} = b_{\alpha}^{\lambda} (v_{\lambda}, \beta - \Gamma_{\lambda\beta}^{\nu} v_{\nu}) + b_{\beta}^{\lambda} (v_{\lambda}, \alpha - \Gamma_{\lambda\alpha}^{\nu} v_{\nu}) + b_{\alpha}^{\nu} |\beta|^{\nu} v_{\nu} - c_{\alpha\beta} v_{3} - \Gamma_{\alpha\beta}^{\nu} v_{3,\nu} + v^{\nu} M_{\alpha}^{\nu} $$

ou encore, grâce au lemme de Ricci ($a^i|_{\beta}^{\eta\alpha} = 0$),

$$ \begin{aligned} \bar{\rho}_{\beta}^{\eta} = a^{\eta\alpha} \bar{\rho}_{\alpha\beta} = & (b^{\eta\nu}|_{\beta} - b^{\eta\lambda}\Gamma_{\lambda\beta}^{\nu} - b^{\lambda}_{\beta}a^{\eta\alpha}\Gamma_{\lambda\alpha}^{\nu})v_{\nu} + b^{\eta\lambda}v_{\lambda,\beta} + b^{\lambda}_{\beta}a^{\eta\alpha}v_{\lambda,\alpha} - c_{\beta}^{\eta}v_{3} - \\ & - a^{\eta\alpha}\Gamma_{\alpha\beta}^{\lambda}v_{3,\lambda} + a^{\eta\alpha}v_{3,\alpha\beta} \end{aligned} $$

Par analogie avec $\gamma_{\alpha}^{\beta}$, on peut écrire $\bar{\rho}_{\beta}^{\eta}(\vec{v}) = M_{\beta}^{\eta}v$, avec :

$$ (1.3-5) \quad \left\{ \begin{array}{l} M_{\beta}^{\alpha} = \left[ \begin{array}{l} b^{1\alpha}|_{\beta} - b^{\alpha\lambda}\Gamma_{\lambda\beta}^{1} - a^{\alpha\nu}b_{\beta}^{\lambda}\Gamma_{\lambda\nu}^{1} ; \quad b^{\alpha1}\delta_{\beta1} + a^{1\alpha}b_{\beta}^{1} ; \quad b^{\alpha1}\delta_{\beta2} + a^{2\alpha}b_{\beta}^{1} ; \\ b^{2\alpha}|_{\beta} - b^{\alpha\lambda}\Gamma_{\beta\lambda}^{2} - a^{\alpha\nu}b_{\beta}^{\lambda}\Gamma_{\lambda\nu}^{2} ; \quad b^{\alpha2}\delta_{\beta1} + a^{1\alpha}b_{\beta}^{2} ; \quad b^{\alpha2}\delta_{\beta2} + a^{2\alpha}b_{\beta}^{2} ; \\ -c_{\beta}^{\alpha} ; \quad -a^{\alpha\lambda}\Gamma_{\lambda\beta}^{1} ; \quad -a^{\alpha\lambda}\Gamma_{\lambda\beta}^{2} ; \quad a^{1\alpha}\delta_{\beta1} ; \quad a^{\alpha\lambda}\Delta_{\lambda\beta} ; \quad a^{2\alpha}\delta_{\beta2} \end{array} \right] \\ \qquad = \left[ \begin{array}{l} b^{1\alpha}|_{\beta} - b^{\alpha\lambda}\Gamma_{\lambda\beta}^{1} - a^{\alpha\nu}b_{\beta}^{\lambda}\Gamma_{\lambda\nu}^{1} ; \quad b^{\alpha1}\delta_{\beta1} + a^{1\alpha}b_{\beta}^{1} ; \quad b^{\alpha1}\delta_{\beta2} + a^{2\alpha}b_{\beta}^{1} ; \\ b^{2\alpha}|_{\beta} - b^{\alpha\lambda}\Gamma_{\beta\lambda}^{2} - a^{\alpha\nu}b_{\beta}^{\lambda}\Gamma_{\lambda\nu}^{2} ; \quad b^{\alpha2}\delta_{\beta1} + a^{1\alpha}b_{\beta}^{2} ; \quad b^{\alpha2}\delta_{\beta2} + a^{2\alpha}b_{\beta}^{2} ; \\ -c_{\beta}^{\alpha} ; \quad -a^{\alpha\lambda}\Gamma_{\lambda\beta}^{1} ; \quad -a^{\alpha\lambda}\Gamma_{\lambda\beta}^{2} ; \quad a^{1\alpha}\delta_{\beta1} ; \quad a^{\alpha\lambda}\Delta_{\lambda\beta} ; \quad a^{2\alpha}\delta_{\beta2} \end{array} \right] \end{array} \right. $$

où $\delta_{\alpha\beta}$ et $\Lambda_{\alpha\beta}$ sont donnés par les relations (1.3-3).

Alors

$$ (1.3-6) \quad \bar{\rho}_{\beta}^{\alpha}(\vec{u}) \bar{\rho}_{\alpha}^{\beta}(\vec{v}) = t_U (t_{M_{\beta}^{\alpha}} M_{\alpha}^{\beta}) v. $$

1.3-3 - *Expression de $a(\vec{u}, \vec{v})$ :*

Les relations (1.1-3), (1.3-4) et (1.3-6) permettent d'écrire $a(\vec{u}, \vec{v})$

sous la forme :

$$ (1.3-7) \quad \left\{ \begin{array}{l} a(\vec{u}, \vec{v}) = \int_{\Omega} \frac{Ee}{|1-\nu|^2} t_U \left[ \begin{array}{l} (1-\nu) t_{M_{\beta}^{\alpha}} M_{\alpha}^{\beta} + \nu t_{M_{\alpha}^{\beta}} M_{\beta}^{\alpha} + \frac{e^2}{12} (1-\nu) t_{M_{\alpha}^{\beta}} M_{\beta}^{\alpha} + \\ \qquad + \frac{e^2}{12} \nu t_{M_{\alpha}^{\beta}} M_{\beta}^{\beta} \end{array} \right] \sqrt{\nu} \, d\xi \end{array} \right. $$

d'où, en comparant avec l'expression (1.2-1),
$$
(1.3-8) \quad \left[ A_{IJ}(\xi) \right] = \frac{Ee}{(1-\nu)^2} \sqrt{a} \left\{ (1-\nu) t_{\Lambda\beta}^{\alpha\Lambda\beta} + \nu t_{\Lambda\beta}^{\alpha\Lambda\beta} + \frac{e^2}{12} (1-\nu) t_{M\alpha}^{\beta} t_{M\beta}^{\alpha} + \frac{e^2}{12} \nu t_{M\alpha}^{\beta} t_{M\beta}^{\alpha} \right\}.
$$

1.3-4 - Calcul explicite des $A_{IJ}(\xi)$, $1 \le I,J \le 12$ :

Soit une coque de surface moyenne S définie à l'aide d'une carte $\vec{\phi}$ suffisamment régulière, i.e., vérifiant les conditions (1.1-1) et (1.1-2). L'utilisation de schémas d'intégration numérique nécessite seulement la connaissance de $A_{IJ}$ en un nombre fini de points de $\Omega$. Pour calculer $A_{IJ}(\xi)$ en un point $\xi \in \Omega$ on peut procéder comme suit :

(1) Trouver les expressions en fonction de $\xi$ des quantités :

$$
(1.3-9) \quad (a_{\alpha\beta}), a, (a^{\alpha\beta}), (b_{\alpha\beta}), (b_{\beta}^{\alpha}), (b^{\alpha\beta}), (c_{\beta}^{\alpha}), \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha}, b_{\gamma}^{\alpha\beta}
$$

soit en tout, compte tenu des symétries, 33 fonctions ;

(2) Calculer ces 33 fonctions au point $\xi$ considéré ;

(3) Former $\Lambda_{\beta}^{\alpha}$ et $M_{\beta}^{\alpha}$ ;

(4) En déduire $A_{IJ}(\xi) \in \mathbb{R}$, $\xi$ fixé.

Expression des fonctions de (1.3-9) :

$$
(1.3-10) \quad a_{\alpha\beta} = \vec{\phi}_{,\alpha} \cdot \vec{\phi}_{,\beta}
$$

$$
(1.3-11) \quad a = a_{11} a_{22} - (a_{12})^2 = (\vec{\phi}_{,1} \cdot \vec{\phi}_{,1}) (\vec{\phi}_{,2} \cdot \vec{\phi}_{,2}) - (\vec{\phi}_{,1} \cdot \vec{\phi}_{,2})^2
$$

$$
(1.3-12) \quad a^{11} = \frac{a_{22}}{a} , \quad a^{12} = a^{21} = -\frac{a_{12}}{a} , \quad a^{22} = \frac{a_{11}}{a} \ (\Leftrightarrow [a^{\alpha\beta}] = [a_{\alpha\beta}]^{-1}).
$$

$$
(1.3-13) \quad b_{\alpha\beta} = \frac{\vec{\phi}_{,1} \times \vec{\phi}_{,2}}{\sqrt{a}} \cdot \vec{\phi}_{,\alpha\beta},
$$

$$
(1.3-14) \quad \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha} = a^{\alpha\lambda} \Gamma_{\lambda\beta\gamma} = a^{\alpha\lambda} \vec{\phi}_{,\lambda} \cdot \vec{\phi}_{,\beta\gamma},
$$

$$
(1.3-15) \quad c_{\beta}^{\alpha} = b_{\lambda}^{\alpha} b_{\beta}^{\lambda},
$$

$$
b_{\gamma}^{\alpha\beta} = a^{\alpha\lambda} a^{\beta\nu} b_{\lambda\nu} |_{\gamma}
$$

ou encore,
$$
(1.3-16) \quad \left\{
\begin{aligned}
b^{\alpha\beta}|_{\gamma} &= \frac{a^{\alpha}a^{\beta\nu}}{\sqrt{a}} \left\{ (\vec{\phi}_1 \times \vec{\phi}_2) \cdot \vec{\phi} , \lambda\nu\gamma + (\vec{\phi}_1 \gamma \times \vec{\phi}_2)^2 + \vec{\phi}_1 \times \vec{\phi}_2 \right\} \cdot \vec{\phi} , \lambda\nu \right\} \\
&\quad - a^{\alpha\lambda} b^{\beta} \Gamma^{\nu}_{\lambda\gamma} - a^{\beta\lambda} b^{\alpha} \Gamma^{\nu}_{\lambda\gamma} - b^{\alpha\beta} \Gamma^{\nu}_{\lambda\gamma}
\end{aligned}
\right.
$$

2. - METHODES CONFORMES D'ELEMENTS FINIS

Orientation :

Nous donnons ici l'essentiel des notations et des résultats relatifs à l'approximation du Problème 1.1-1 par une méthode conforme d'éléments finis avec intégration exacte. Pour cela, nous utilisons les travaux de CIARLET [2, Paragraphe 6.1] [3] relatifs aux approximations du problème de la plaque encastrée et du problème de coque, respectivement. Dans ce dernier travail CIARLET prend en compte l'approximation expliquite de la géométrie de la surface. Dans notre étude cette approximation apparaît indirectement dans l'utilisation de schémas d'intégration numérique.

2.1. **Estimation d'erreur en norme $||\cdot||_V$ :**

Le domaine $\Omega$ est désormais supposé **polygonal** ce qui permet de le recou-
vrir **exactement** par des triangulations (composées de triangles ou de
quadrilatères). Par la suite, nous considérons une famille **régulière**
de triangulations $\mathcal{C}_h$, i.e.,

(i) il existe une constante $\sigma$ telle que

$$
(2.1-1) \quad \forall h, \forall K \in \mathcal{C}_h, \quad \frac{h_K}{\rho_K} \le \sigma,
$$

où $h_K = \text{diam.}(K)$ et $\rho_K = \sup\{\text{diam.}(C) ; C \text{ est un disque contenu dans } K\}$;

$$
(2.1-2) \quad (ii) \text{ la quantité } h = \max_{K \subset \mathcal{C}_h} h_K \text{ approche zéro.}
$$

A chaque triangulation $\mathcal{C}_h$ on associe un produit d'espaces d'éléments
finis $\vec{X}_h = X_{h1} \times X_{h1} \times X_{h2}$. Ensuite, on définit un sous-espace $\vec{V}_h = V_{h1} \times V_{h1} \times V_{h2}$
de $\vec{X}_h$ convenable (prenant en compte les conditions aux limites contenues
dans la définition de l'espace $\vec{V}$), tel que
$$ (2.1-3) \qquad \vec{v}_h \in \vec{V}, $$

d'où l'appellation de méthode conforme d'éléments finis. Pour satisfaire la condition (2.1-3), les espaces $V_{h1}$ et $V_{h2}$ sont construits comme suit :

$$ (2.1-4) \quad \left\{ \begin{array}{l} \underline{\text{Espace } X_{h1}} : \text{ les fonctions de l'espace } X_{h1} \text{ sont telles que :} \\ \quad \text{(i) Sur chaque } K \in \mathcal{T}_h, \text{ elles appartiennent à l'espace } P_K \subset H^1(K); \\ \quad \text{(ii) Sur chaque } K \in \mathcal{T}_h, \text{ elles sont déterminées par leurs valeurs et par les valeurs de leurs dérivées sur l'ensemble des degrés de liberté de l'élément } K; \\ \quad \text{(iii) } X_{h1} \subset C^\circ(\bar{\Omega}); \\ \underline{\text{Espace } V_{h1}} : \text{ on pose} \\ \quad V_{h1} = \{v_h \in X_{h1} : v_h = 0 \text{ sur } \Gamma\}. \end{array} \right. $$

$$ (2.1-5) \quad \left\{ \begin{array}{l} \underline{\text{Espace } X_{h2}} : \text{ les fonctions de l'espace } X_{h2} \text{ sont telles que :} \\ \quad \text{(i) Sur chaque } K \in \mathcal{T}_h, \text{ elles appartiennent à l'espace } P_K \subset H^2(K); \\ \quad \text{(ii) Sur chaque } K \in \mathcal{T}_h, \text{ elles sont déterminées par leurs valeurs et par les valeurs de leurs dérivées sur l'ensemble des degrés de liberté de l'élément } K; \\ \quad \text{(iii) } X_{h2} \subset C^1(\bar{\Omega}); \\ \underline{\text{Espace } V_{h2}} : \text{ on pose} \\ \quad V_{h2} = \{v_h \in X_{h2} : v_h = \partial_\nu v_h = 0 \text{ sur } \Gamma\}. \end{array} \right. $$

Les inclusions $V_{h1} \subset H_0^1(\Omega)$ et $V_{h2} \subset H_0^2(\Omega)$ sont démontrées dans CIARLET [2, Théorèmes 2.1-1 et 2.1-2], d'où la condition (2.1-3).

**Le problème discret** associé au problème continu (1.1-9) et au sous-espace de dimension finie $\vec{v}_h$ de $\vec{V}$, consiste à trouver une fonction $\vec{u}_h \in \vec{V}_h$ telle que

$$ (2.1-6) \qquad \forall \vec{v}_h \in \vec{V}_h, \quad a(\vec{u}_h, \vec{v}_h) = f(\vec{v}_h). $$
L'inclusion (2.1-3) et les propriétés des formes $a(\cdot, \cdot)$ et $f(\cdot)$
assurent l'existence et l'unicité d'une solution $\vec{u}_h$ pour le problème
discret (2.1-6). Le problème est alors d'estimer l'erreur $\|\vec{u}-\vec{u}_h\|_{\vec{V}}$,
où $\|\cdot\|_{\vec{V}}$ est défini par la relation (1.1-11).

Pour résoudre ce problème d'estimation d'erreur CIARLET [2,N° 6] [3, chap. 3]
utilise l'idée de **famille affine régulière** d'éléments finis. Cette appel-
lation recouvre deux notions distinctes (ce qui suit est relatif au trian-
gle ; il en irait de même pour un rectangle ou un parallèlogramme).

(i) **Triangle de référence $\hat{K}$** : c'est un triangle qui peut être choisi quelconque dans le plan $\mathbb{R}^2$. Alors tout triangle $K \subset \mathcal{T}_h$, supposé d'intérieur non vide, est l'image du triangle de référence $\hat{K}$ par une application affine inversible $F_K$, définie par

$$
(2.1-7) \quad F_K : \hat{x} \in \hat{K} \rightarrow F_K(\hat{x}) = B_K \hat{x} + b_K,
$$

où $B_K$ est une matrice inversible et $b_K$ un vecteur de $\mathbb{R}^2$, telle que

$$
(2.1-8) \quad F_K(\hat{a}_i) = a_i, \quad i=1,2,3.
$$

Les points $\hat{a}_i$, $a_i$ sont les sommets respectifs des triangles $\hat{K}$ et $K$.

(ii) **Elément fini de référence (K, P, Σ):**

Cette notion se rattachera à la précédente puisque aussi bien tout triangle $K \subset \mathcal{T}_h$ est associé à un triangle de référence $\hat{K}$ par l'application affine inversible $F_K$ définie en (2.1-7)(2.1-8). Mais cette notion est plus restrictive que la précédente car la correspondance porte cette fois-ci, non seulement sur la géométrie des triangles, mais aussi sur l'espace fonctionnel d'interpolation et sur les degrés de liberté utilisés.

Plus précisément, soit des ensembles $\Sigma$ de degrés de liberté constitués
par des formes linéaires du type suivant :
$$
(2.1-9) \quad \left\{
\begin{aligned}
\phi_i^0 & : p \to p(a_i^0), \\
\phi_{ik}^1 & : p \to Dp(a_i^1) \quad \xi_{ik}^1, \\
\phi_{ik\ell}^2 & : p \to D^2 p(a_i^2) \quad (\xi_{ik}^2, \xi_{i\ell}^2),
\end{aligned}
\right.
$$

où les points $a_i^r$, $r=0,1,2$, appartiennent au triangle $K$ et les vecteurs non nuls $\xi_{ik}^1, \xi_{ik}^2, \xi_{i\ell}^2$ sont construits ou bien à partir de la géométrie du triangle, ou bien à partir de vecteurs fixés de $\mathbb{R}^2$. Alors, nous dirons que deux éléments finis $(\hat{K}, \hat{P}, \hat{\Sigma})$ et $(K, P, \Sigma)$ avec des degrés de liberté de la forme (2.1-9), sont *affine-équivalents* s'il existe une application affine inversible $F_K$ de type (2.1-7) (2.1-8) telle que :

$$
(2.1-10) \quad \left\{
\begin{array}{l}
K = F_K(\hat{K}), \\[1em]
a_i^r = F(\hat{a}_i^r), \quad r=0,1,2, \\[1em]
\xi_{ik}^1 = B_K \hat{\xi}_{ik}^1, \quad \xi_{ik}^2 = B_K \hat{\xi}_{ik}^2, \quad \xi_{i\ell}^2 = B_K \hat{\xi}_{i\ell}^2,
\end{array}
\right.
$$

où les noeuds $a_i^r$ (resp. $\hat{a}_i^r$), et les vecteurs $\xi_{ik}^1, \xi_{ik}^2, \xi_{i\ell}^2$
(resp. $\hat{\xi}_{ik}^1, \hat{\xi}_{ik}^2, \hat{\xi}_{i\ell}^2$) proviennent de la définition des ensembles $\Sigma$(resp. $\hat{\Sigma}$),
et où

$$
P = \{ p : K \to K ; p = \hat{p} \circ F_K^{-1} , \hat{p} \in \hat{P} \} .
$$

On dit alors que l'on a défini une famille *affine* régulière d'éléments
finis si pour toute famille régulière de triangulation $\mathcal{T}_h$ il est possible
de définir un élément fini (de référence) affine-équivalent à tout élément
fini $(K,P,\Sigma)$, $K \subsetneq \mathcal{T}_h$, de la famille.

En pratique, il est possible d'associer des familles *affines* régulières
à la plupart des éléments finis de classe $\mathcal{C}^0$ usuels. Il n'en va pas de
même pour les éléments finis de classe $\mathcal{C}^1$: l'ensemble des degrés de
liberté de la plupart d'entre eux comporte des valeurs des dérivées
normales aux côtés et ces degrés de liberté ne sont pas invariants par
transformation affine. C'est pourquoi CIARLET [2, Paragraphe 6.1] in-
troduit la notion de famille **presque-affine** : considérons une famille d'éléments finis $(K, P_K, \Sigma_K)$ d'un type donné, pour laquelle s désigne l'ordre maximal des dérivées partielles intervenant dans la définition de l'ensemble $\Sigma_K$. Alors **une telle famille est dite presque-affine si,** pour tous les entiers $k,m \ge 0$ et tous les nombres $p,q \in [1, \infty]$ compatibles avec les inclusions suivantes

$$ (2.1-11) \qquad \left\{ \begin{array}{l} w^{k+1}, p(K) \subsetneq C^s(K) \\ w^{k+1}, p(K) \subsetneq w^m, q(K) \\ P_k(K) \subsetneq P_K \subsetneq w^m, q(K), \end{array} \right. $$

il existe une constante $C$ indépendante de $K$ telle que

$$ (2.1-12) \quad \forall v \in w^{k+1}, p(K), \|v - \pi_K v\|_{m,q,K} \le C(\text{mes}(K))^{\frac{1}{q} - \frac{1}{p}} h_K^{k+1-m} |v|_{k+1,p,K}, $$

où $h_K = \text{diam.}(K)$.

Ainsi le résultat d'estimation d'erreur pour une famille presque-affine d'éléments finis est identique à celui d'une famille affine. **Nous verrons que la prise en compte de l'intégration numérique n'utilise que la notion de triangle de référence $\hat{K}$ à l'exclusion de la notion d'élément fini de référence $(\hat{K}, \hat{P}, \hat{\Sigma})$, et s'applique de la sorte indifféremment à des familles affines ou presque-affines, régulières d'éléments finis.**

Désignons par $P_m(K)$ (resp. $Q_m(K)$) l'espace des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à $m$ par rapport à l'ensemble (resp. chacune) des deux variables. Alors, lorsque toutes les intégrations sont exactes, on obtient le résultat d'estimation d'erreur suivant :

**THEOREME 2.1-1** - Soient deux familles affines ou presque-affines, régulières d'éléments finis, i.e.,

$$ (K, P_{K1}, \Sigma_{K1}), (K, P_{K2}, \Sigma_{K2}) $$

et $V_{h1}, V_{h2}$ les deux espaces d'éléments finis associés vérifiant les deux conditions (2.1-4) (2.1-5), respectivement. Nous supposons en outre que pour tout $K \in \mathcal{T}_h$
$$
(2.1-13) \quad P_{m_1}^{(K)} \subset P_{K1} \quad \text{où } m_1 \in \mathbb{N}, m_1 \ge 1,
$$

$$
(2.1-14) \quad P_{m_2}^{m_2}(K) \subset P_{K2} \quad \text{où } m_2 \in \mathbb{N}, m_2 \ge 2,
$$

$$
(2.1-15) \quad H^{m_1+1}_{\alpha}(K) \subset \mathcal{C}^{s\alpha}(K), \quad \alpha=1,2,
$$

où $s_\alpha$ est l'ordre maximal des dérivées partielles intervenant dans la
définition de l'ensemble des degrés de liberté $\sum_{K\alpha}$, $\alpha=1,2$.

Alors, si la solution $\vec{u}$ du problème continu (1.1-9) appartient à l'espace
$H^{m_1+1}(\Omega) \times H^{m_1+1}(\Omega) \times H^{m_2+1}(\Omega)$, il existe une constante $C$ indépendante
de $h$ telle que

$$
(2.1-16) \quad \left\| \vec{u} - \vec{u}_h \right\|_{\vec{V}} \le C h^{\min(m_1, m_2-1)} \left( |u_1|_{m_1+1, \Omega}^2 + |u_2|_{m_1+1, \Omega}^2 + |u_3|_{m_2+1, \Omega}^2 \right)^{1/2} \\
\text{où } \vec{u}_h \text{ est la solution du problème discret (2.1-6).}
$$

Démonstration :

Pour des familles _affines_, régulières d'éléments finis on se reportera
à CIARLET [3]. Cette démonstration s'étend immédiatement au cas de
familles _presque-affines_, grâce aux relations (2.1-12). ■

Remarque 2.1-1 : Le résultat d'estimation d'erreur (2.1-16) du Théorème 2.1-1 est à rapprocher de celui obtenu par CIARLET [1, Théorème 4.3]. Dans ce dernier travail l'Auteur prend, en outre, en compte l'approximation de la géométrie, i.e., de la carte $\vec{\phi}$, ce qui revient à définir un espace d'éléments finis supplémentaire $\phi_h$ associé à une famille affine ou presque-affine, régulière d'éléments finis

$$
(K, P_{K3}, \Sigma_{K3})
$$

tels que

$$
P_{m_3} \subset P_{K3} \subset \mathcal{C}^3(K), m_3 \ge 3.
$$

on obtient alors le résultat d'estimation d'erreur suivant :

$$
\| \vec{u} - \vec{u}_h \|_{\vec{V}} \le C h^{\min(m_1, m_2-1, m_3-2)} .
$$
L'intérêt de cette méthode est de pouvoir intégrer **exactement** : les fonctions à intégrer sont un produit de trois polynômes de degrés inférieurs ou égaux à $m_1, m_2, m_3$, respectivement. Cependant la mise en oeuvre d'une telle méthode est laborieuse. En outre, pour obtenir une estimation d'erreur du type (2.1-16) (on montre au paragraphe 3 que l'ordre de l'estimation est conservé si l'on utilise des schémas d'intégration numérique convenables) il est nécessaire d'utiliser une famille d'éléments finis différente des deux premières, puisqu'il faut réaliser $m_3 = 2+\min(m_1, m_2-1)$. Ainsi, ou bien, l'utilisation d'une nouvelle famille d'éléments finis (différente des deux premières) complique une mise en oeuvre déjà délicate, ou bien, on perd un ou plusieurs ordres (en h) pour l'estimation d'erreur.

Pour toutes ces raisons l'utilisation de la technique de l'intégration numérique paraît extrêmement souhaitable, et c'est, du reste, la conclusion à laquelle sont arrivés les Ingénieurs.■

## 2.2 Exemples d'éléments finis de classe $C^0$ :

Pour construire l'espace d'éléments finis $V_h$ vérifiant les conditions (2.1-4) il faut utiliser des éléments de classe $C^0$. Nous rappelons ci-après quelques éléments finis triangulaires de classe $C^0$ choisis de telle sorte qu'ils aient le maximum de degrés de liberté communs avec les éléments finis de classe $C^1$ que nous décrirons au paragraphe 2.3. Un tel choix permet d'apporter des simplifications dans la mise en oeuvre numérique : en effet, tout nouveau degré de liberté doit être "géré" : numérotation, éventuelle matrice de passage entre degrés de liberté locaux et globaux, assemblage... ce qui revient à immobiliser des mémoires de l'ordinateur.

Pour chaque exemple, nous donnons la définition de l'élément fini considéré, ses fonctions de base exprimées à l'aide des coordonnées barycentriques et le résultat d'approximation pour lequel nous renvoyons à CIARLET [1] [2].

Pour les figures nous utilisons les conventions suivantes :
$$
(2.2-1) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\text{. les sommets de l'élément sont notés } a_i ; & \\
\text{. la connaissance de la valeur de la fonction (resp. de sa} & \\
\text{différentielle première, resp. de sa différentielle seconde)} \\
\text{en un point est indiquée par un point noir (resp. un cercle} \\
\text{entourant ce point, resp. deux cercles concentriques entou-} \\
\text{rant ce point) ;} & \\
\text{. l'opérateur d'interpolation associé est noté } \pi_K ; & \\
\text{. pour un triangle, le milieu du côté opposé au sommet } a_i, \\
\text{est noté } b_i, \text{ le centre de gravité est noté } a, \text{ les indices} \\
\text{sont comptés modulo 3, les coordonnées barycentriques sont} \\
\text{notées } \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3. &
\end{array}
\right.
$$

Exemple 2.2-1 : Élément fini de Lagrange de type 1

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

$$
P_K = P_I(K) ; \dim. P_K = 3 ;
$$

$$
\Sigma_K = \{p(a_i) , 1 \le i \le 3\} ;
$$

$$
\|v - \pi_K v\|_{m, K} \le C h_K^{2-m} |v|_{2, K}, \forall v \in H^2(K), 0 \le m \le 1.
$$

$$
\pi_K v = \sum_{i=1}^{3} p_i^o v(a_i) ,
$$

où

$$
p_i^o(\lambda) = \lambda_i, \quad 1 \le i \le 3.
$$

FIGURE 2.2-1 : E.F. de Lagrange de type 1
Exemple 2.2-2 : Élément fini de Lagrange de type 2

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

$$
P_K = P_2(K) ; \dim P_K = 6 ;
$$

$$
\Sigma_K = \{p(a_i), p(b_i), \dots, p(b_i^{\wedge} a_i) \mid 1 \le i \le 3\} ;
$$

$$
\|v - \pi_K v\|_{m,K} \le C h_K^{3-m} |v|_{4,K}, \forall v \in H^3(K), 0 \le m \le 2,
$$

$$
\pi_K v = \sum_{i=1}^{3} [v(a_i) p_i^o + v(b_i) q_i^o] ,
$$

où

$$
p_i^o(\lambda) = \lambda_i (2\lambda_i - 1), \quad 1 < i < 3,
$$

$$
q_i^o(\lambda) = \lambda_{i-1} \lambda_{i+1}, \quad 1 \le i \le 3.
$$

Figure 2.2-2 : E.F. de Lagrange de type 2

Exemple 2.2-3 : Élément fini d'Hermite de type 3

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

$$
P_K = P_3(K) ; \dim P_K = 10 ;
$$

$$
\Sigma_K = \{p(a_i), \dots, p(a_i^{(k)}), Dp(a_i^{(k)})(a_{i-1} - a_i), \dots, Dp(a_i^{(k)})(a_{i+1} - a_i)\}_{i=1,2,3} ;
$$

$$
\|v - \pi_K v\|_{m,K} \le C h_K^{4-m} |v|_{4,K}, \forall v \in H^4(K), 0 \le m \le 3.
$$

$$
\pi_K v = v(a) p_a^o + \sum_{i=1}^{3} (v(a_i) p_i^o + Dv(a_i) (a_{i-1} - a_i) p_{i,i-1}^l + Dv(a_i) (a_{i+1} - a_i) p_{i,i+1}^l)
$$

où

$$
p_i^o = -2\lambda_i^3 + 3\lambda_i^2 - 7\lambda_1\lambda_2\lambda_3,
$$

$$
P_{i,i-1}^{l} = \lambda_{i} \lambda_{i-1} (2\lambda_{i} + \lambda_{i-1} - 1) ,
$$

$$
p_{i,i+1}^{l} = \lambda_{i} \lambda_{i+1} (2\lambda_{i} + \lambda_{i+1} - 1) ,
$$

$$
p_a^o = 27 \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 .
$$

Figure 2.2-3 : E.F. d'Hermite de type 3
Exemple 2.2-4 : Élément fini d'Hermite de type 3, réduit

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

$$
P_K = \{ p \in P_3(K) , \Psi(p) = 0 \} \text{ où} \\
\Psi(p) = 6p(a) - 2 \sum_{i=1}^{3} p(a_i) + \sum_{i=1}^{3} Dp(a_i)(a_i - a) ;
$$

$$
\dim P_K = 9 ; P_2(K) \subset P_K \subset P_3(K) ;
$$

$$
\Sigma_K = \{ p(a_i), Dp(a_i)(a_{i-1} - a_i), Dp(a_i)(a_{i+1} - a_i), \dots, Dv(a_i)(a_{i+m} - a_i) \mid 1 \le i \le 3 \};
$$

$$
\|v - \pi_K v\|_{m, K} \le C h_K^{3-m} |v|_{3, K}, \forall v \in H^3(K), 0 \le m \le 2.
$$

$$
\pi_K v = \sum_{i=1}^{3} \left( v(a_i) q_i^o + Dv(a_i) (a_{i-1} - a_i) q_{i,i-1}^1 + Dv(a_i) (a_{i+1} - a_i) q_{i,i+1}^1 \right)
$$

avec

$$
q_i^o = p_i^o + \frac{1}{3} p_a^o = -2\lambda_i^3 + 3\lambda_i^2 + 2\lambda_i\lambda_2\lambda_3
$$

$$
q_{i,i-1}^{1} = p_{i,i-1}^{1} + \frac{1}{18} p_{a}^{o} = \frac{1}{2} \lambda_{i} \lambda_{i-1} (\lambda_{i-1}^{2} - \lambda_{i}^{2})
$$

$$
q_{i,i+1}^{1} = p_{i,i+1}^{1} + \frac{1}{18} p_{a}^{o} = \frac{1}{2} \lambda_{i} \lambda_{i+1} (\lambda_{i+1}^{2} - \lambda_{i}^{2})
$$

où les $p_i^o, p_{i,i-1}^1, p_{i,i+1}^1, p_a^o$ sont les fonctions de base de l'élément
fini d'Hermite de type 3.

Figure 2.2-4 : E.F. d'Hermite de type 3, réduit.
## 2.3 - Exemples d'éléments finis de classe $C^1$ :

Pour construire l'espace d'éléments finis $V_{h2}$ vérifiant les conditions (2.1-5) il faut utiliser des éléments de classe $C^1$. Nous donnons ci-après quelques exemples d'éléments finis de classe $C^1$ parmi les plus couramment utilisés. Outre les conventions indiquées en (2.2-1), nous adoptons les notations suivantes :

$$ (2.3-1) \quad \left\{ \begin{array}{l} - \text{ pour un triangle, le pied de la hauteur issue du sommet } a_i \\ \text{ est noté } c_i \text{ et le paramètre d'excentricité associé (dont nous} \\ \text{ rappelons la définition ci-après) est noté } \eta_i \text{ ;} \\ - \text{ la connaissance de la dérivée normale est indiquée à l'aide} \\ \text{ d'un segment perpendiculaire au côté, au point considéré ;} \\ - \text{ pour un quadrilatère, les indices sont comptés modulo 4.} \end{array} \right. $$

### Les paramètres d'excentricité :

Le paramètre d'excentricité $\eta_i$ est la valeur algébrique du rapport (cf. Figure 2.3-1) :

$$ \eta_i = 2 \frac{c_i - b_i}{a_{i+2} - a_{i+1}}, \quad 1 \le i \le 3. $$

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 2.3-1</figcaption></figure>
L'intérêt de ces paramètres d'excentricité réside dans les deux remarques suivantes :

(i) ils permettent d'exprimer très simplement les polynômes de base d'un élément fini dont certains degrés de liberté sont des dérivées normales, et ceci, quelle que soit la forme du triangle ;

(ii) ils se calculent très simplement à l'aide des coordonnées des trois sommets du triangle, i.e.,

$$ (2.3-2) \qquad \eta_i = \frac{\overrightarrow{a_i a_{i+1}}^2 - \overrightarrow{a_i a_{i+2}}^2}{\overrightarrow{a_{i+1} a_{i+2}}^2}, \quad 1 \le i \le 3. $$

Dans les figures qui suivent, nous donnons pour chaque exemple la définition de l'élément fini considéré, le résultat d'approximation (cf. CIARLET [1][2][6]) et, pour certains d'entre eux, les fonctions de base.
Exemple 2.3-1 : Élément fini d'ARGYRIS

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

$P_K = P_5(K)$ ; $\dim P_K = 21$ ;

$\Sigma_K = \{p(a_i), Dp(a_i)(a_{i-1}-a_i), Dp(a_i)(a_{i+1}-a_i), 1 \le i \le 3, D^2p(a_i)(a_{j+1}-a_{j-1})^2, 1 \le i,j \le 3, Dp(b_i)(a_i-c_i), 1 \le i \le 3\}$

$\|v - \pi_K v\|_{m,K} \le C h_K^{6-m} |v|_{6,K}, \forall v \in H^6(K), 0 \le m \le 5.$

$$
\pi_K v = \sum_{i=1}^{3} v(a_i) p_i^o + \sum_{i=1}^{3} (Dv(a_i)(a_{i-1}-a_i) p_{i,i-1}^1 + Dv(a_i)(a_{i+1}-a_i) p_{i,i+1}^1) \\
+ \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} D^2 v(a_i)(a_{j+1}-a_{j-1})^2 p_{i,j}^2 + \sum_{i=1}^{3} Dv(b_i)(a_i-c_i) p_{\perp i}^1
$$

où

$$
p_i^o = \lambda_i^2 (6\lambda_i^3 - 15\lambda_i^2 + 10\lambda_i + 15\lambda_{i+1}\lambda_{i-1}) \left[ (1+\eta_{i+1})\lambda_{i-1} + (1-\eta_{i-1})\lambda_{i+1} \right]
$$

$$
P_{i,i-1}^{1} = \lambda_{i}^{2} \lambda_{i-1} (4\lambda_{i} - 3\lambda_{i}^{2} - 5\lambda_{i+1}^{2}) + \frac{17+7\eta_{i+1}}{2} \lambda_{i-1} \lambda_{i+1},
$$

$$
P_{i, i+1}^{1} = \lambda_{i}^{2} \lambda_{i+1} (4\lambda_{i} - 3\lambda_{i}^{2} - 5\lambda_{i-1}^{2}) + \frac{17-7\eta_{i-1}}{2} \lambda_{i-1} \lambda_{i+1},
$$

$$
P_{i, i+1}^{2} = \frac{1}{2} \lambda_{i}^{2} \lambda_{i-1} (\lambda_{i} \lambda_{i-1} + \lambda_{i} \lambda_{i+1} - \lambda_{i+1}^{2} + \frac{3+\eta_{i+1}}{2} \lambda_{i+1} \lambda_{i-1}),
$$

$$
P_{i, i}^{2} = \frac{1}{2} \lambda_{i}^{2} \lambda_{i+1} \lambda_{i-1} (1 - 2\lambda_{i}),
$$

$$
P_{i, i-1}^{2} = \frac{1}{2} \lambda_{i}^{2} \lambda_{i+1} (\lambda_{i} \lambda_{i+1} + \lambda_{i} \lambda_{i-1} - \lambda_{i-1}^{2} + \frac{3-\eta_{i-1}}{2} \lambda_{i-1} \lambda_{i-1}),
$$

$$
P_{\perp i}^{1} = 16 \lambda_{i}^{2} \lambda_{i+1}^{2} \lambda_{i-1}^{2}, \quad 1 \le i \le 3.
$$

Figure 2.3-2 : Élément fini d'ARGYRIS
1.3-3)

Pour la mise en oeuvre numérique il est commode d'utiliser la présentation suivante pour les fonctions de base

<table><tbody><tr><td>p<sub>1</sub><sup>0</sup></td><td>4</td><td>0</td><td>0</td><td>20</td><td>20</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>40</td><td>40</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>80</td><td>0</td><td>0</td><td>60(1+η<sub>2</sub>)</td><td>60(1-η<sub>3</sub>)</td><td>λ<sup>5</sup></td></tr><tr><td>p<sub>2</sub><sup>0</sup></td><td>4</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>20</td><td>20</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>40</td><td>40</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>80</td><td>0</td><td>60(1-η<sub>1</sub>)</td><td>0</td><td>λ<sup>5</sup></td></tr><tr><td>p<sub>3</sub><sup>0</sup></td><td>4</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>20</td><td>20</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>40</td><td>40</td><td>0</td><td>0</td><td>80</td><td>0</td><td>60(1+η<sub>1</sub>)</td><td>60(1-η<sub>2</sub>)</td><td>λ<sup>5</sup></td></tr><tr><td>p<sub>1,3</sub><sup>1</sup></td><td>4</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>16</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>16</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>34+14η<sub>2</sub></td><td>-20</td><td>λ<sup>4</sup>λ<sup>3</sup></td></tr><tr><td>p<sub>1,2</sub><sup>1</sup></td><td>4</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>16</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>16</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>-20</td><td>-20</td><td>λ<sup>4</sup>λ<sup>2</sup></td></tr><tr><td>p<sub>2,1</sub><sup>1</sup></td><td>4</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>16</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>16</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>34+14η<sub>3</sub></td><td>34-14η<sub>3</sub></td><td>λ<sup>4</sup>λ<sup>1</sup></td></tr><tr><td>p<sub>2,3</sub><sup>1</sup></td><td>4</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>16</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>16</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>34-14η<sub>1</sub></td><td>0</td><td>λ<sup>4</sup>λ<sup>3</sup></td></tr><tr><td>p<sub>3,2</sub><sup>1</sup></td><td>4</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>16</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>16</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>34+14η<sub>1</sub></td><td>-20</td><td>λ<sup>4</sup>λ<sup>2</sup></td></tr><tr><td>p<sub>3,1</sub><sup>1</sup></td><td>4</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>16</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>16</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>-20</td><td>34-14η<sub>2</sub></td><td>0</td><td>λ<sup>4</sup>λ<sup>1</sup></td></tr><tr><td>p<sub>2,2</sub><sup>2</sup></td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3+η<sub>2</sub></td><td>-2</td><td>λ<sup>3</sup>λ<sup>2</sup></td></tr><tr><td>p<sub>2,3</sub><sup>2</sup></td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>-2</td><td>3-η<sub>3</sub></td><td>3-η<sub>3</sub></td><td>λ<sup>3</sup>λ<sup>2</sup></td></tr><tr><td>p<sub>2,1</sub><sup>2</sup></td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>-2</td><td>3+η<sub>3</sub></td><td>3+η<sub>3</sub></td><td>λ<sup>3</sup>λ<sup>1</sup></td></tr><tr><td>p<sub>3,1</sub><sup>2</sup></td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3-η<sub>1</sub></td><td>0</td><td>λ<sup>3</sup>λ<sup>2</sup></td></tr><tr><td>p<sub>3,2</sub><sup>2</sup></td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3+η<sub>1</sub></td><td>-2</td><td>λ<sup>3</sup>λ<sup>2</sup></td></tr><tr><td>p<sub>1,1</sub><sup>2</sup></td><td>-2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>-2</td><td>3-η<sub>2</sub></td><td>0</td><td>λ<sup>3</sup>λ<sup>1</sup></td></tr><tr><td>p<sub>2,2</sub><sup>2</sup></td><td>-2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td>λ<sup>3</sup>λ<sup>2</sup></td></tr><tr><td>p<sub>3,3</sub><sup>2</sup></td><td>-2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td>λ<sup>3</sup>λ<sup>1</sup></td></tr><tr><td>p<sub>1</sub><sup>1</sup></td><td>64</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>λ<sup>3</sup>λ<sup>2</sup></td></tr><tr><td>p<sub>1</sub><sup>1</sup></td><td>64</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>λ<sup>3</sup>λ<sup>2</sup></td></tr><tr><td>p<sub>1</sub><sup>1</sup></td><td>64</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>λ<sup>3</sup>λ<sup>2</sup></td></tr></tbody></table>
**Exemple 2.3-2 : Élément fini de Bell**

Cet élément fini, de classe $C^1$, est déduit de l'élément fini d'ARGYRIS par élimination des trois degrés de liberté $Dp(b_i)(a_i-c_i)$, $1 \le i \le 3$, conformément à CIARLET [2, Théorème 2.2-12]. L'erreur d'interpolation est étudiée dans CIARLET [6].

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

$$P_K = P_5'(K) = \{p \in P_5(K) ; \partial_v p \in P_3(K') \text{ pour chaque cote } K' \text{ de } K\}$$

$$\dim P_K = 18 ; P_4(K) \subset P_K \subset P_5(K) ;$$

$$\Sigma_K = \{p(a_i), Dp(a_i)(a_{i-1}-a_i), Dp(a_i)(a_{i+1}-a_i), 1 \le i \le 3 ; \\ D^2 p(a_i)(a_{j+1}-a_{j-1})^2, 1 \le i,j \le 3\}.$$

$$\|v - \pi_K v\|_{m,K} \le C h_K^{5-m} |v|_{5,K}, \forall v \in H^5(K), 0 \le m \le 4.$$

$$\pi_K v = \sum_{i=1}^{3} \{v(a_i) q_i^0 + Dv(a_i) (a_{i-1} - a_i) q_{i,i-1}^1 + Dv(a_i) (a_{i+1} - a_i) q_{i,i+1}^1\} \\ + \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} D^2 v(a_i)(a_{j+1} - a_{j-1})^2 q_{i,j}^2 ;$$

où, en adoptant les notations de la Figure 2.3-2,

$$q_i^0 = p_i^0 = \lambda_i^2 (6\lambda_i^3 - 15\lambda_i^2 + 10\lambda_i + 15\lambda_{i+1}\lambda_{i-1}) [(1+\eta_{i+1})\lambda_{i-1} + (1-\eta_{i-1})\lambda_{i+1}]$$

$$\begin{aligned} q_{i,i-1}^1 &= p_{i,i-1}^1 - \frac{1-\eta_{i+1}}{4} p_{\perp i+1}^1 + \frac{1}{2} p_{\perp i-1}^1 \\ &= \lambda_i^2 \lambda_{i-1}^1 [4\lambda_i - 3\lambda_i^2 + 3\lambda_{i+1}^2 + \frac{9+15\eta_{i+1}}{2} \lambda_{i-1} \lambda_{i+1}] \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} q_{i,i+1}^1 &= p_{i,i+1}^1 - \frac{1+\eta_{i-1}}{4} p_{\perp i-1}^1 + \frac{1}{2} p_{\perp i+1}^1 \\ &= \lambda_i^2 \lambda_{i+1}^1 [4\lambda_i - 3\lambda_i^2 + 3\lambda_{i-1}^2 + \frac{9-15\eta_{i-1}}{2} \lambda_{i-1} \lambda_{i+1}] \end{aligned}$$

$$q_{i,i}^2 = p_{i,i}^2 - \frac{1}{16} p_{\perp i+1}^1 - \frac{1}{16} p_{\perp i-1}^1 = -\frac{1}{2} \lambda_i^2 \lambda_{i+1}^1 \lambda_{i-1}^1$$

$$q_{i,i+1}^2 = p_{i,i+1}^2 + \frac{\eta_{i+1}}{16} p_{\perp i+1}^1 + \frac{1}{16} p_{\perp i-1}^1 = \frac{1}{2} \lambda_i^2 \lambda_{i-1}^1 [\lambda_i - \lambda_i^2 + \lambda_{i+1}^2 + \frac{3+5\eta_{i+1}}{2} \lambda_{i+1} \lambda_{i-1}]$$

$$q_{i,i-1}^2 = p_{i,i-1}^2 + \frac{\eta_{i-1}}{16} p_{\perp i+1}^1 - \frac{\eta_{i-1}}{16} p_{\perp i-1}^1 = \frac{1}{2} \lambda_i^2 \lambda_{i+1}^1 [\lambda_i - \lambda_i^2 + \lambda_{i-1}^2 + \frac{3-5\eta_{i-1}}{2} \lambda_{i+1} \lambda_{i-1}]$$

<caption>Figure 2.3-3 : ÉLÉMENT FINI DE BELL</caption>
Pour la mise en oeuvre numérique, il est commode d'adopter une présentation
analogue à celle de (2.3-3).

Exemple 2.3-3 : Élément fini de HSIEH-CLOUGH-TOCHER

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 2.3-4 : ELEMENT FINI DE HSIEH-CLOUGH-TOCHER</figcaption></figure>

Les fonctions de base de l'élément fini de HSIEH-CLOUGH-TOCHER sont données
par MITCHELL [1, p.51] dans le cas particulier du triangle rectangle unité
(le point a coïncidant avec le centre de gravité du triangle K).

Exemple 2.3-4 : Élément fini de HSIEH-CLOUGH-TOCHER réduit.

Cet élément fini, de classe $\mathcal{C}^1$, est déduit de l'élément fini de HSIEH-CLOUGH-TOCHER classique par élimination des trois degrés de liberté
$D_p(b_i)(a_i - c_i)$, $1 \le i \le 3$, conformément à CIARLET [6] où l'on trouve également
l'étude de l'erreur d'interpolation.
<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Les fonctions de base de l'élément fini de HSIEH-CLOUGH-TOCHER réduit sont données par DUPUIS-GOEL [1, Tables I et II] dans le cas particulier du triangle rectangle unité (le point a coïncidant avec le centre de gravité du triangle).
**Exemple 2.3-5 :** *Elément fini rectangulaire de BOGNER-FOX-SCHMIT :*
Le rectangle de BOGNER-FOX-SCHMIT est un élément fini de classe $c^1$
utilisable lorsque le domaine $\Omega$ est rectangulaire.

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

$$P_K = Q_3(K) ; \dim P_K = 16 ;$$

$$\Sigma_K = \{p(a_i), p_1(a_i), p_2(a_i), p_{12}(a_i), 1 \le i \le 4\};$$

$$\|v - \pi_K v\|_{m, K} \le C h_K^{4-m} |v|_{4, K}, \forall v \in H^4(K), 0 \le m \le 3.$$

$$\pi_K v = \sum_{i=1}^{4} v(a_i) p_i^o + \sum_{i=1}^{4} \frac{\partial v}{\partial x_1}(a_i) p_{i,1} + \sum_{i=1}^{4} \frac{\partial v}{\partial x_2}(a_i) p_{i,2} + \sum_{i=1}^{4} \frac{\partial^2 v}{\partial x_1 \partial x_2}(a_i) p_i^2.$$

Les fonctions de base respectivement associées au noeud $a_1$ du rectangle $K$
de sommets (o,o), (λ,o), (λ,μ), (o,μ) ont pour expressions :

$$p_i^o(x_1, x_2) = \frac{(\lambda - x_1)^2 (\mu - x_2)^2 (\lambda + 2x_1) (\mu + 2x_2)}{\lambda^3 \mu^3},$$

$$p_{1,1}^1(x_1, x_2) = \frac{x_1 (\lambda - x_1)^2 (\mu - x_2)^2 (\mu + 2x_2)}{\lambda^2 \mu^3},$$

$$p_{1,2}^1(x_1, x_2) = \frac{(\lambda - x_1)^2 (\lambda + 2x_1) x_2 (\mu - x_2)^2}{\lambda^3 \mu^2},$$

$$p_{1}^{2}(x_{1}, x_{2}) = \frac{x_{1}x_{2}(\lambda - x_{1})^{2}(\mu - x_{2})^{2}}{\lambda^{2}\mu^{2}}.$$

On obtient les 12 autres fonctions de base relatives aux noeuds $a_2, a_3, a_4$ par des considérations de symétrie.

**Figure 2.3-6 :** *ELEMENT FINI DE BOGNER-FOX-SCHMIT*
**Exemple 2.3-6 :** *Elément fini quadrilatéral de FRAEIJS DE VEUBEKE-SANDER*
L'élément fini quadrilatéral de FRAEIJS de VEUBEKE-SANDER est un élément
fini de classe $C^1$. L'erreur d'interpolation a été étudiée par CIAVALDINI-
NEDELEC [1].

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 2.3-7 : ELEMENT FINI DE FRAEIJS de VEUBEKE-SANDER</figcaption></figure>

Exemple 2.3-7 : *Elément fini de FRAEIJS de VEUBEKE - SANDER réduit :*

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 2.3-8 : ELEMENT FINI DE FRAEIJS de VEUBEKE-SANDER réduit</figcaption></figure>

Pour l'étude de l'erreur d'interpolation nous renvoyons à KESAVAN-VANNINATHAN [1].
## 2.4 - Exemples d'estimations d'erreur :

Dans les exemples précédents nous avons rappelé les définitions et les résultats d'interpolation d'un certain nombre d'éléments finis susceptibles d'être utilisés pour la construction des espaces $V_{h1}$ ou $V_{h2}$. Dans les exemples qui suivent nous donnons pour chaque cas le résultat d'estimation d'erreur établi dans le Théorème 2.1-1 (cf. 2.1-16) en précisant notamment :

(i) la valeur de $m = \min(m_1, m_2 - 1)$

(ii) le résultat d'estimation d'erreur sous la forme $o(h^m)$ ;

(iii) les hypothèses sur la solution $\vec{u}$.

Ces résultats sont rassemblés dans les figures 2.4-1 et 2.4-2 relatives aux cas où l'espace $V_{h2}$ est construit à l'aide d'éléments finis triangulaires ou quadrilatéraux, simples ou composites.

Nous avons encadré les combinaisons qui paraissent être les plus satisfaisantes tant du point de vue de l'ordre de l'estimation que du point de vue de la mise en oeuvre. Cette dernière est assez simple si l'on prend $V_{h1} = V_{h2}$ (ce qui revient à approcher "mieux que nécessaire" les composantes tangentielles $u_1$ et $u_2$), ou bien, si l'on prend pour $V_{h1}$ un espace plus "simple" que $V_{h2}$ construit à partir d'un élément fini dont tous (ou "presque" tous) les degrés de liberté sont des degrés de liberté de l'élément fini qui intervient dans la construction de $V_{h2}$.
<table><caption>Figure 2.4-1 : Exemples d'estimations d'erreur dans le cas d'éléments triangulaires</caption><thead><tr><th></th><th>ARGYRIS</th><th>BELL</th><th>H.C.T.</th><th>H.C.T. réduit</th></tr></thead><tbody><tr><td>ARGYRIS</td><td>m=4<br>o(h<sup>4</sup>)<br>→ u ∈ (H<sup>6</sup>(Ω))<sup>3</sup></td><td></td><td>m=2 sur chaque K<sub>i</sub></td><td>m=2 sur chaque K<sub>i</sub></td></tr><tr><td>BELL</td><td>m=4<br>o(h<sup>4</sup>)<br>→ u ∈ (H<sup>5</sup>(Ω))<sup>2</sup>×H<sup>6</sup>(Ω)</td><td>m=3<br>o(h<sup>3</sup>)<br>→ u ∈ (H<sup>5</sup>(Ω))<sup>3</sup></td><td></td><td></td></tr><tr><td>H.C.T.</td><td>m=3<br>o(h<sup>3</sup>)<br>→ u ∈ (H<sup>4</sup>(Ω))<sup>2</sup>×H<sup>6</sup>(Ω)</td><td>m=3<br>o(h<sup>3</sup>)<br>→ u ∈ (H<sup>4</sup>(Ω))<sup>2</sup>×H<sup>5</sup>(Ω)</td><td>m=2<br>o(h<sup>2</sup>)<br>→ u ∈ (H<sup>4</sup>(Ω))<sup>3</sup></td><td></td></tr><tr><td>H.C.T. réduit</td><td></td><td>m=2<br>o(h<sup>2</sup>)<br>→ u ∈ (H<sup>3</sup>(Ω))<sup>2</sup>×H<sup>5</sup>(Ω)</td><td>m=2<br>o(h<sup>2</sup>)<br>→ u ∈ (H<sup>3</sup>(Ω))<sup>2</sup>×H<sup>4</sup>(Ω)</td><td>m=1<br>o(h)<br>→ u ∈ (H<sup>3</sup>(Ω))<sup>3</sup></td></tr><tr><td>Hermite de type 3</td><td>m=3<br>o(h<sup>3</sup>)<br>→ u ∈ (H<sup>4</sup>(Ω))<sup>2</sup>×H<sup>6</sup>(Ω)</td><td>m=3<br>o(h<sup>3</sup>)<br>→ u ∈ (H<sup>4</sup>(Ω))<sup>2</sup>×H<sup>5</sup>(Ω)</td><td>m=2<br>o(h<sup>2</sup>)<br>→ u ∈ (H<sup>4</sup>(Ω))<sup>3</sup></td><td></td></tr><tr><td>Hermite de type 3, réduit</td><td></td><td>m=2<br>o(h<sup>2</sup>)<br>→ u ∈ (H<sup>3</sup>(Ω))<sup>2</sup>×H<sup>5</sup>(Ω)</td><td>m=2<br>o(h<sup>2</sup>)<br>→ u ∈ (H<sup>3</sup>(Ω))<sup>2</sup>×H<sup>4</sup>(Ω)</td><td>m=1<br>o(h)<br>→ u ∈ (H<sup>3</sup>(Ω))<sup>3</sup></td></tr><tr><td>Lagrange de type 2</td><td></td><td></td><td>m=2<br>o(h<sup>2</sup>)<br>→ u ∈ (H<sup>3</sup>(Ω))<sup>2</sup>×H<sup>4</sup>(Ω)</td><td>m=1<br>o(h)<br>→ u ∈ (H<sup>3</sup>(Ω))<sup>3</sup></td></tr><tr><td>Lagrange de type 1</td><td></td><td></td><td></td><td>m=1<br>o(h)<br>→ u ∈ (H<sup>2</sup>(Ω))<sup>2</sup>×H<sup>3</sup>(Ω)</td></tr></tbody></table>
<table><thead><tr><th></th><th>BOGNER-FOX-SCHMIT</th><th>F. de VEUBEKE-SANDER</th><th>F. de V.-S. réduit</th></tr></thead><tbody><tr><td><u>V<sub>h2</sub></u><br>m<sub>2</sub>=3</td><td><u>V<sub>h1</sub></u><br>m<sub>1</sub>=3</td><td><u>V<sub>h1</sub></u><br>m<sub>2</sub>=2</td><td><u>V<sub>h2</sub></u><br>m<sub>2</sub>=3</td></tr><tr><td><u>BOGNER-FOX-SCHMIT</u><br>m<sub>1</sub>=3</td><td>m=2<br>o(h<sup>2</sup>)<br>→u ∈ (H<sup>4</sup>(Ω))<sup>3</sup></td><td></td><td></td></tr><tr><td><u>F. de VEUBEKE-SANDER</u><br>m<sub>1</sub>=3</td><td></td><td>m=2<br>o(h<sup>2</sup>)<br>→u ∈ (H<sup>4</sup>(Ω))<sup>3</sup></td><td></td></tr><tr><td><u>F. de V.-S. réduit</u><br>m<sub>1</sub>=2</td><td></td><td>m=2<br>o(h<sup>2</sup>)<br>→u ∈ (H<sup>3</sup>(Ω))<sup>2×H<sup>4</sup>(Ω)</sup></td><td>m=1<br>o(h)<br>→u ∈ (H<sup>3</sup>(Ω))<sup>3</sup></td></tr><tr><td><u>Lagrange de type 1</u><br>m<sub>1</sub>=1</td><td></td><td>m=1<br>o(h)<br>→u ∈ (H<sup>2</sup>(Ω))<sup>2×H<sup>4</sup>(Ω)</sup></td><td>m=1<br>o(h)<br>→u ∈ (H<sup>2</sup>(Ω))<sup>2×H<sup>3</sup>(Ω)</sup></td></tr></tbody></table>

BOGNER-FOX-SCHMIT

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

F. de VEUBEKE-SANDER

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

F. de V.-S. réduit

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Remarque : Dans le dernier cas ($V_{h1}$, Lagrange de type 1) on considère une partition du quadrilatère en deux triangles et c'est sur chacun des deux triangles qu'on effectue l'interpolation de Lagrange de type 1.

<caption>Figure 2.4-2 : Exemples d'estimations d'erreur dans le cas d'éléments quadrilatéraux</caption>
### 3. PRISE EN COMPTE DE L'INTEGRATION NUMERIQUE

**Orientation :**

Les méthodes conformes d'éléments finis pour les problèmes de coques utilisent des bases polynomiales de haut degré. Si l'on ajoute à cela la présence de coefficients variables dans la définition des formes $a(\cdot, \cdot)$ et $f(\cdot)$ (cf. les relations (1.1-3)(1.1-6)) il est coûteux ou tout simplement impossible de calculer exactement les intégrales qui apparaissent dans la relation (2.1-6). C'est pourquoi nous sommes conduits à utiliser des schémas d'intégration numérique. Nous justifions dans ce paragraphe la convergence de cette nouvelle approximation et nous montrons qu'un choix convenable de schémas d'intégration numérique permet d'obtenir une estimation asymptotique de l'erreur du même ordre que celle obtenue dans le cas d'intégrations exactes.

#### 3.1. Le problème discret associé à la prise en compte de l'intégration numérique.

L'utilisation de schémas d'intégration numérique revient à résoudre un nouveau problème discret :

$$ (3.1-1) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } \vec{u}_h \in \vec{V}_h \text{ tel que pour tout } \vec{v}_h \in \vec{V}_h \\ a_h(\vec{u}_h, \vec{v}_h) = f_h(\vec{v}_h) , \end{array} \right. $$

où $a_h(\cdot, \cdot)$ et $f_h(\cdot, \cdot)$ sont des formes bilinéaire et linéaire approchées définies sur l'espace $\vec{V}_h$ à l'aide des schémas d'intégration numérique utilisés. Ces derniers sont définis à partir d'un schéma d'intégration numérique sur le triangle de référence $\hat{K}$ (ce qui suit s'applique également au cas d'un rectangle de référence) :

$$ (3.1-2) \qquad \int_{\hat{K}} \hat{\phi}(\hat{x}) d\hat{x} \sim \sum_{\ell=1}^{L} \hat{\omega}_{\ell} \hat{\phi}(\hat{b}_{\ell}) . $$

A la fonction $\phi$ défini sur $K$ nous associons la fonction $\hat{\phi}$ définie sur le triangle $\hat{K}$ par $\hat{\phi} = \phi \circ F_K$, et inversement $\phi = \hat{\phi} \circ F_K^{-1}$, où $F_K : \hat{K} \to K$ désigne l'application affine définie par les relations (2.1-7) (2.1-8). Il vient alors
$$
(3.1-3) \quad \int_K \phi(x) dx = \det(B_K) \int_{\hat{K}} \hat{\phi}(\hat{x}) d\hat{x}.
$$

Ainsi le schéma d'intégration numérique (3.1-2) sur le <u>triangle de référence</u>
$\hat{K}$ induit le schéma d'intégration numérique suivant sur le triangle K :

$$
(3.1-4) \quad \int_K \phi(x) dx \sim \sum_{l=1}^{L} \omega_{l,K} \phi(b_{l,K}) ,
$$

avec

$$
(3.1-5) \quad \omega_{\ell,K} = \det(B_K) \hat{\omega}_{\ell} \text{ et } b_{\ell,K} = F_K(\hat{b}_{\ell}) , \quad 1 \le \ell \le L.
$$

Parallèlement, nous définissons les fonctionnelles d'erreur

$$
(3.1-6) \quad E_K(\phi) = \int_K \phi(x) dx - \sum_{\ell=1}^L \omega_{\ell,K} \phi(b_{\ell,K}) ,
$$

$$
(3.1-7) \quad \hat{E}(\hat{\phi}) = \int_{\hat{K}} \hat{\phi}(\hat{x}) d\hat{x} - \sum_{\ell=1}^{L} \hat{\omega}_{\ell} \hat{\phi}(\hat{b}_{\ell}) ,
$$

de telle sorte que

$$
(3.1-8) \quad E_K(\phi) = \det(B_K) \hat{E}(\hat{\phi}).
$$

Les formes bilinéaire et linéaire approchées sont alors définies par
(comparer aux relations (1.1-3) (1.1-6) respectivement) :

$$
(3.1-9) \quad \left\{
\begin{aligned}
a_h(\vec{u}_h, \vec{v}_h) &= \sum_{K \in \mathcal{T}_h} \sum_{\ell=1}^{L} \omega_{\ell,K} \left( \frac{Ee\sqrt{a}}{1-\nu^2} \right) \left\{ (1-\nu) \gamma_{\beta}^{\alpha}(\vec{u}_h) \gamma_{\alpha}^{\beta}(\vec{v}_h) + \nu \gamma_{\alpha}^{\alpha}(\vec{u}_h) \gamma_{\beta}^{\beta}(\vec{v}_h) \right\} \\
&\quad + \frac{Ee^3\sqrt{a}}{12(1-\nu^2)} \left\{ (1-\nu) \bar{\rho}_{\beta}^{\alpha}(\vec{u}_h) \bar{\rho}_{\alpha}^{\beta}(\vec{v}_h) + \nu \bar{\rho}_{\alpha}^{\alpha}(\vec{u}_h) \bar{\rho}_{\beta}^{\beta}(\vec{v}_h) \right\} (b_{\ell,K})
\end{aligned}
\right.
$$

$$
(3.1-10) \quad f_h(\vec{v}_h) = \sum_{K \in \mathcal{K}_h} \sum_{\ell=1}^{L} \omega_{\ell,K} (\sqrt{a} \vec{f} \cdot \vec{v}_h) (b_{\ell,K}).
$$

Les Propositions 1.2-1 et 1.2-2 permettent encore d'écrire, avec des notations évidentes :

$$
(3.1-11) \quad a_h(\vec{u}_h, \vec{v}_h) = \sum_{K \in \mathcal{K}_h} \sum_{\ell=1}^{L} \omega_{\ell,K} \, {}^t U_h(b_{\ell,K}) [A_{IJ}(b_{\ell,K})] V_h(b_{\ell,K}) ,
$$
$$
(3.1.-12) \quad f_h(\vec{v}_h) = \sum_{K \in \mathcal{G}_h} \sum_{\ell=1}^{L} \omega_{\ell,K} \, {}^t F(b_{\ell,K}) v_h(b_{\ell,K}).
$$

Notons que les définitions précédentes utilisent la seule notion de
**triangle de référence** à l'exclusion de la notion **d'élément fini de référence** (cf. la discussion du paragraphe 2.1). Il en ira de même,
sauf mention explicite du contraire, pour les résultats qui suivent.
A ce titre, cette étude est valable pour des **familles affines ou presque affines** d'éléments finis.

Remarque 3.1-1 : Les relations (3.1-9) (3.1-10) mettent en évidence les deux différences de points de vue entre l'approche de CIARLET [3] et la nôtre :

(i) Nous prenons en compte l'intégration numérique ;

(ii) La géométrie de la coque intervient seulement dans le terme
$A_{IJ}(\xi)$ qui, ici, n'est pas approché mais seulement évalué aux noeuds
du schéma d'intégration numérique. $\blacksquare$

3.2. **Estimation abstraite de l'erreur :**

Pour préparer l'obtention d'estimations explicites de l'erreur, nous
donnons dans le Théorème suivant une majoration abstraite de l'erreur
(cf. par exemple CIARLET [1] [2]) :

Théorème 3.2-1 : *Soit une famille de problèmes discrets (3.1-1) pour*
*laquelle les formes bilinéaires* $a_h(\cdot, \cdot)$ $\text{sont } \vec{v}_h$*-elliptiques, unifor-*
*mément par rapport à* $h$, i.e., il existe une constante $\alpha > 0$ **indépendante**
*de* $h$ **telle que**

$$
(3.2-1) \quad \forall \vec{v}_h \in \vec{V}_h, \alpha \|\vec{v}_h\|_{\vec{V}}^2 \le a_h(\vec{v}_h, \vec{v}_h).
$$

Alors il existe une constante C, indépendante de h, telle que

$$
(3.2-2) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\| \vec{u} - \vec{u}_h \|_{\vec{V}} \le C \left[ \begin{array}{@{}l@{}}
    \displaystyle \inf_{\vec{v}_h \in \vec{V}_h} \left\{ \| \vec{u}_h - \vec{v}_h \|_{\vec{V}} + \sup_{\vec{w}_h \in \vec{V}_h} \frac{|a(\vec{v}_h, \vec{w}_h) - a_h(\vec{v}_h, \vec{w}_h)|}{\| \vec{w}_h \|_{\vec{V}}} \right\} \\
    \displaystyle + \sup_{\vec{w}_h \in \vec{V}_h} \frac{|f(\vec{w}_h) - f_h(\vec{w}_h)|}{\| \vec{w}_h \|_{\vec{V}}} \end{array} \right].
\end{array}
\right.
$$
**Démonstration** : L'hypothèse de $\vec{v}_h$-ellipticité (3.2-1) assure l'existence et l'unicité d'une solution $\vec{u}_h$ pour le problème discret (3.1-1). Soit alors $\vec{v}_h$ un élément arbitraire de l'espace $\vec{v}_h$. Nous pouvons écrire :

$$ 
\begin{aligned}
\alpha \|\vec{u}_h - \vec{v}_h\|^2_{\vec{V}} &\le a_h (\vec{u}_h - \vec{v}_h, \vec{u}_h - \vec{v}_h) \\
&= a (\vec{u}_h - \vec{v}_h, \vec{u}_h - \vec{v}_h) + \left[ a (\vec{v}_h, \vec{u}_h - \vec{v}_h) - a_h (\vec{v}_h, \vec{u}_h - \vec{v}_h) \right] \\
&\quad + \left[ f_h (\vec{u}_h - \vec{v}_h) - f (\vec{u}_h - \vec{v}_h) \right],
\end{aligned}
$$

de telle sorte que la continuité de la forme bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$ entraîne, en désignant par $M$ la constante de continuité,

$$ 
\begin{aligned}
\alpha \|\vec{u}_h - \vec{v}_h\|^2_{\vec{V}} &\le M \|\vec{u}_h - \vec{v}_h\|^2_{\vec{V}} + \frac{|a(\vec{v}_h, \vec{u}_h - \vec{v}_h) - a_h(\vec{v}_h, \vec{u}_h - \vec{v}_h)|}{\|\vec{u}_h - \vec{v}_h\|^2_{\vec{V}}} \\
&\quad + \frac{|f_h(\vec{u}_h - \vec{v}_h) - f(\vec{u}_h - \vec{v}_h)|}{\|\vec{u}_h - \vec{v}_h\|^2_{\vec{V}}} \\
&\le M \|\vec{u}_h - \vec{v}_h\|^2_{\vec{V}} + \sup_{\vec{w}_h \in \vec{V}_h} \frac{|a(\vec{v}_h, \vec{w}_h) - a_h(\vec{v}_h, \vec{w}_h)|}{\|\vec{w}_h\|^2_{\vec{V}}} \\
&\quad + \sup_{\vec{w}_h \in \vec{V}_h} \frac{|f_h(\vec{w}_h) - f(\vec{w}_h)|}{\|\vec{w}_h\|^2_{\vec{V}}}.
\end{aligned}
$$

En combinant cette inégalité avec l'inagalité triangulaire

$$ \|\vec{u} - \vec{u}_h\|_{\vec{V}} \le \|\vec{u} - \vec{v}_h\|_{\vec{V}} + \|\vec{v}_h - \vec{u}_h\|_{\vec{V}} $$

et en prenant l'infiniimum par rapport à $\vec{v}_h \in \vec{V}_h$ on obtient l'inégalité (3.2-2). ■

**Remarque 3.2-1** : L'inégalité (3.2-2) généralise l'estimation d'erreur

$$ \|\vec{u} - \vec{u}_h\|_{\vec{V}} \le C \inf_{\vec{v}_h \in \vec{V}_h} \|\vec{u} - \vec{v}_h\|_{\vec{V}}. $$
Ainsi, au terme usuel de la théorie de l'approximation, convient-il d'ajus-
ter les deux termes évaluant la consistance des schémas d'approximation
des formes bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$ et linéaire $f(\cdot)$, respectivement. ■

Pour trouver une estimation explicite de l'erreur dans le cas où l'on uti-
lise des schémas d'intégration numérique nous procédons par analogie avec
les travaux de CIARLET-RAVIART [2] et BERNADOU-DUCATEL [1] relatifs à
l'approximation de problèmes d'ordre 2 et de problèmes d'ordre 4, respec-
tivement. Dans les Théorèmes 3.3-1 à 3.3-3 nous établissons des conditions
suffisantes sur les schémas d'intégration numérique pour que l'hypothèse
(3.2-1) de $\vec{v}_h$-ellipticité uniforme soit satisfaite. Ensuite, dans les
Théorèmes 3.4-1 et 3.4-2 nous préparons l'évaluation des termes de consis-
tance relatifs à l'approximation des formes bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$ et linéaire
$f(\cdot)$. Enfin, dans le Théorème 3.5-1 nous obtenons l'estimation cherchée
en regroupant les résultats des quatre théorèmes précédents ainsi que ceux
du Théorème 2.1-1.

3.3. Conditions suffisantes pour la vérification de la condition de
$\vec{v}_h$-ellipticité.

Pour vérifier que l'hypothèse (3.2-1) est satisfaite nous utilisons, en
particulier, le résultat suivant :

Théorème 3.3-1 : Le système des équations linéaires de coques de
W.T. KOITER est uniformément fortement elliptique.

Démonstration : Suivant **NECAS** [1, §7, Chapitre 3], un système d'équations
aux dérivées partielles linéaires dont la forme bilinéaire associée s'écrit
pour tout $\vec{u}, \vec{v} \in \prod_{i=1}^{m} H^{(\chi_i)}(\Omega), \Omega \subset E_N$,

$$
(3.3-1) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  A(\vec{u}, \vec{v}) = \int_{\Omega} \left( \sum_{r,s=1}^{m} \sum_{\substack{|i| \le \chi_r \\ |j| \le \chi_s}} a_{ij}^{rs}(x) D^i u_r D^j u_s \right) dx, \\
  \text{où } i=(i_1, \dots, i_N), \ j=(j_1, \dots, j_N) \text{ sont des multi-entiers,}
\end{array}
\right.
$$

est dit uniformément fortement elliptique si pour tout $\zeta \in E_N$,
$\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_m \in C$ on a
$$
(3.3-2) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\displaystyle \text{Re} \sum_{r,s=1}^{m} \sum_{|i|=\chi_r} \sum_{|j|=\chi_s} \overline{a_{ij}^{rs}(x)} \zeta^{i+j} \eta_r \bar{\eta}_s \ge C \sum_{r=1}^{m} |\eta_r|^2 |\zeta|^2 \chi_r , \\
\text{où } C \text{ est une constante strictement positive.}
\end{array}
\right.
$$

Dans le cas du système des équations de coques la forme bilinéaire associée est donnée par les relations (1.1-3) ou (1.2-1). En particulier, tous les coefficients sont réels et avec les notations de la relation (3.3-1) on a m=3, N=2, $\chi_1 = \chi_2 = 1$, $\chi_3 = 2$. Alors la relation (3.3-2) s'écrit dans le cas particulier où $\eta_1, \eta_2, \eta_3 \in \mathbb{R}$ :

$$
(3.3-3) \quad \sum_{r,s=1}^{3} \sum_{\substack{|i|=\chi_r \\ |j|=\chi_s}} a_{ij}^{rs}(x) \zeta^{i+j} \eta_r \eta_s \geq C [\eta_1^2 (\zeta_1^2 + \zeta_2^2) + \eta_2^2 (\zeta_1^2 + \zeta_2^2) + \eta_3^2 (\zeta_1^2 + \zeta_2^2)^2].
$$

Dans la relation (3.3-3) il conviendrait d'expliciter les coefficients $a_{ij}^{rs}$ à partir des coefficients $A_{IJ}$ de la relation (1.2-1). Ce calcul est assez facile (il y a 49 coefficients $a_{ij}^{rs}$). Par contre, si l'on se reporte aux expressions (1.3-8) donnant les coefficients $A_{IJ}$ en fonction des dérivées de la carte $\phi$ de la surface moyenne de la coque, il semble qu'une démonstration directe de la relation (3.3-3) scit, pour le moins, extrêmement délicate.

Mais nous avons établi dans BERNADOU-CIARLET [1] [2] que la forme bilinéaire
(1.2-1) est, en particulier, $H_o^1(\Omega) \times H_o^1(\Omega) \times H_o^2(\Omega)$-coercive. Pour conclure,
il suffit alors d'utiliser le résultat suivant (cf. FIGUEIREDO [1],
NIRENBERG [1]) qui généralise aux systèmes un résultat de NEÇAS [1, Théorème
4.7, Chapitre 3] pour les équations :

"Soit Ω un domaine borné de E_N et un système de m×m opérateurs différentiels sous la forme

$$
A_{rs} = \sum_{\substack{|i| \le \chi_r \\ |j| \le \chi_s}} (-1)^{|i|} D^i (a_{ij}^{rs} D^j),
$$

où $\chi_r$, $r=1,2,...,m$, sont des entiers positifs, $a_{ij}^{rs}$ des fonctions mesurables,
bornées dans $\Omega$. On suppose en outre que les coefficients des termes différen-
tiels d'ordre le plus élevé, i.e., $a_{ij}^{rs}$ pour $|i| = \chi_r$, $|j| = \chi_s$ sont continus
sur $\bar{\Omega}$.
Alors si la forme bilinéaire associée (dans le cas présent, (3.3-1)) est
$$ \prod_{i=1}^{m} H_{o}^{(\chi_i)}(\Omega) $$ -coercive, le système est uniformément fortement elliptique." ■

Dans toute la suite de ce paragraphe nous supposons vérifiées les hypothèses du Théorème 2.1-1, en particulier celles relatives aux propriétés *affines* ou *presque-affines* des familles régulières d'éléments finis utilisés, $V_{h1}$ et $V_{h2}$.

Soit $P_{K1}$ (resp. $P_{K2}$) l'espace fonctionnel associé à l'élément fini $K$ de la famille $V_{h1}$ (resp. $V_{h2}$). Nous supposons que

$$ (3.3-4) \quad \left\{ \begin{array}{l} P_{m_1}^{\wedge}(K) \subset P_{K1}, \ m_1 \in \mathbb{N}, \ 1 \le m_1, \\ \text{(resp. } P_{m_2}^{\wedge}(K) \subset P_{K2}, \ m_2 \in \mathbb{N}, \ 2 \le m_2 \text{)}, \end{array} \right. $$

et nous désignons par $\hat{P}_{K1}$ (resp. $\hat{P}_{K2}$) l'espace fonctionnel défini sur le triangle de référence $\hat{K}$ par

$$ (3.3-5) \quad \left\{ \begin{array}{l} \hat{P}_{K1} = \{ \hat{p}_K : \hat{K} \to \mathbb{R} ; \hat{p}_K = p \circ F_K, p \in P_{K1} \} , \\ \text{(resp. } \hat{P}_{K2} = \{ \hat{p}_K : \hat{K} \to \mathbb{R} ; \hat{p}_K = p \circ F_K, p \in P_{K2} \} ) , \end{array} \right. $$

où $F_K$ est l'application affine définie par les relations (2.1-7) (2.1-8). Il convient de souligner qu'avec cette construction les espaces $\hat{P}_{K1}$ et $\hat{P}_{K2}$ ne sont pas en général les espaces fonctionnels attachés aux *éléments finis de référence* des familles $V_{h1}$ et $V_{h2}$. Les relations (3.3-4) et (3.3-5) en-traintenent alors que

$$ (3.3-6) \quad \left\{ \begin{array}{l} P_{m_1}^{\wedge}(\hat{K}) \subset \hat{P}_{K1}, \ m_1 \in \mathbb{N}, \ 1 \le m_1, \\ \text{(resp. } P_{m_2}^{\wedge}(\hat{K}) \subset \hat{P}_{K2}, \ m_2 \in \mathbb{N}, \ 2 \le m_2). \end{array} \right. $$

Revenons à l'hypothèse de $\tilde{V}_h$-ellipticité uniforme en $h$, i.e., (3.2-1). En vertu de l'inégalité de Poincaré-Friedrichs, il s'agit de montrer, avec les notations de la relation (3.3-1) appliquées aux équations de coques, qu'il existe une constante $\alpha > 0$ telle que :
$$
(3.3-7) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\forall \vec{v}_h \in \vec{V}_h, \quad \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \sum_{\ell=1}^{L} \omega_{\ell, K} \left( \sum_{r,s=1}^{3} \sum_{\substack{i \neq j \\ |i| \le \chi_r \\ |j| \le \chi_s}} a_{ij}^{\text{rs}} D^i v_{rh} D^j v_{sh} \right) (b_{\ell, K}) \ge \\
\qquad \ge \alpha \sum_{K \in \mathcal{C}_h} \left( |v_{1h}|_{1,K}^2 + |v_{2h}|_{1,K}^2 + |v_{3h}|_{2,K}^2 \right).
\end{array}
\right.
$$

Pour cela, il suffit que, pour tout $K \in \mathcal{C}_h$,

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_p = (p_1, p_2, p_3) \in P_{K1} \times P_{K1} \succ P_{K2}, \quad \sum_{\ell=1}^{L} \omega_{\ell,K} \left( \sum_{r,s=1}^{3} \sum_{\substack{i \le \chi_r \\ j \le \chi_s}} a_{ij}^{\text{rs}} D^i p_r D^j p_s \right) (b_{\ell,K}) \ge \\
\qquad \ge \alpha (|p_1|^2_{1,K} + |p_2|^2_{1,K} + |p_3|^2_{2,K}).
\end{array}
\right.
$$

D'après la propriété de forte ellipticité uniforme (3.3-3) vérifiée par le
système des équations de coque, et en supposant les poids $\omega_{\ell,K}$ strictement
positifs, i.e., $\hat{\omega}_{\ell} > 0$, $1 \le \ell \le L$, il suffit de montrer que pour tout $K \in \mathcal{C}_h$
on a l'inégalité :

$$
(3.3-8) \quad \left\{
\begin{aligned}
\vec{v}_p = (p_1, p_2, p_3) \in P_{K1} \times P_{K1} \times P_{K2} &; \quad \sum_{\ell=1}^{L} \omega_{\ell,K} \left( \sum_{i,j=1}^{2} \left( p_{i,j}^{(b_{\ell,K})} \right)^2 + \sum_{i,j=1}^{2} \left( p_{3,ij}^{(b_{\ell,K})} \right)^2 \right) \ge \alpha (|p_1|^2_{1,K} + |p_2|^2_{1,K} + |p_3|^2_{2,K})
\end{aligned}
\right.
$$

Dans le Théorème 3.3-2 nous donnons des conditions suffisantes à vérifier
sur le **triangle de référence** pour que la condition (3.2-1) de $\vec{v}_h$-ellipticité
uniforme soit satisfaite. Puis, dans le Théorème 3.3-3, nous donnons des
critères simples permettant d'affirmer que les conditions suffisantes du
Théorème 3.3-2 sont vérifiées.

**Théorème 3.3-2** : On suppose que les espaces fonctionnels $\hat{P}_{K1}$ et $\hat{P}_{K2}$ définis en (3.3-5) vérifient les inclusions

$$
(i) \quad \hat{p}_{K1} \subset \hat{X}_1, \quad \hat{p}_{K2} \subset \hat{X}_2,
$$

où $\hat{X}_1$ et $\hat{X}_2$ sont deux espaces vectoriels de dimension finie composés de fonc-
tions définies sur $\hat{K}$, et indépendants de $K$.
On suppose en outre que la formule de quadrature (3.1-2) sur le triangle de référence $\hat{K}$ vérifie les conditions suivantes :

$$
\text{(ii)} \quad \hat{\omega}_q > 0, \ 1 \le l \le L;
$$

(iii) Il existe des constantes $\hat{\beta}_1$ et $\hat{\beta}_2$ strictement positives telles
que

$$
(3.3-9) \quad \forall \hat{p} \cdot \hat{x}_1, \sum_{l=1}^{L} \hat{\omega}_l \sum_{j=1}^{2} (\hat{p}_j (\hat{b}_l))^2 \geq \hat{\beta}_1 |\hat{p}|_{1,\hat{K}}^2,
$$

$$
(3.3-10) \quad \forall \hat{p} \cdot \hat{x}_2, \sum_{l=1}^{L} \hat{\omega}_l \sum_{i,j=1}^{2} (\hat{p}_{ij} (\hat{b}_l))^2 \geq \hat{\beta}_2 |\hat{p}|_{2,\hat{K}}^2.
$$

Alors la condition (3.2-1) de $\vec{V}_h$-ellipticité uniforme est vérifiée.

Démonstration : D'après ce qui précède une condition suffisante pour que la
propriété (3.2-1) de $\vec{V}_h$-ellipticité uniforme soit vérifiée est que l'inégalité
(3.3-8) soit satisfaite. Soit donc une fonction quelconque

$$
\vec{p} = (p_1, p_2, p_3) \cdot P_{K1} \times P_{K1} \times P_{K2}
$$

et les fonctions associées $\hat{p}_{K1}, \hat{p}_{K2} (\hat{p}_{K1}, \hat{p}_{K3} \in \hat{P}_{K2}$ par les relations (3.3-5).
Observons tout d'abord que

$$
\sum_{j=1}^{2} (p_{i,j}(b_{l,K}))^2
$$

est le carré de la norme euclidienne $||\cdot||$ du vecteur $Dp_i(b_{l,K})$, $i=1,2$.
Alors pour tout $\zeta \in \mathbb{R}^2$ nous avons $D\hat{p}(\hat{b}_l)\zeta = Dp(b_l,K)(B_K\zeta)$, où la matrice
carrée $B_K$ est définie par la relation (2.1-7), soit

$$
\| D \hat{p}_{K1} (\hat{b}_l) \| < \| B_K \| \| D \hat{p}_{K2} (\hat{b}_l) \| , \quad i=1,2,
$$

où $|| B_K ||$ désigne la norme matricielle euclidienne de la matrice $B_K$. Par
suite,

$$
\sum_{j=1}^{2} (\hat{p}_{Ki,j}(\hat{b}_l))^2 < \| B_K \|^2 \sum_{j=1}^{2} (p_{i,j}(b_{l,K}))^2, \quad i=1,2.
$$
Un raisonnement similaire (cf. BERNADOU-DUCATEL [1]) montre que

$$ \sum_{i,j=1}^{2} (\hat{p}_{K3,ij}(\hat{b}_{\ell}))^2 \le 4 \|B_K\|^4 \sum_{i,j=1}^{2} (p_{3,ij}(b_{\ell,K}))^2 . $$

Il est loisible de supposer $\det(B_K) > 0$ ce qui entraîne, avec l'hypothèse $\hat{\omega}_{\ell} > 0$ et l'égalité (3.1-5), $\omega_{\ell,K} > 0$. Alors, pour tout

$$ \hat{p} = (p_1,p_2,p_3) \in P_{K1} \times P_{K1} \times P_{K2}, $$

on obtient :

$$ (3.3-11) \quad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \sum_{\ell=1}^{L} \omega_{\ell,K} \left( \sum_{i,j=1}^{2} (p_{i,j}(b_{\ell,K}))^2 + \sum_{i,j=1}^{2} (p_{3,ij}(b_{\ell,K}))^2 \right) \ge \\ \\ \quad \hat{C} \det(B_K) \sum_{\ell=1}^{L} \hat{\omega}_{\ell} \left\{ \|B_K\|^{-2} \sum_{i,j=1}^{2} (\hat{p}_{Ki,j}(\hat{b}_{\ell}))^2 + \|B_K\|^{-4} \sum_{i,j=1}^{2} (\hat{p}_{K3,ij}(\hat{b}_{\ell}))^2 \right\} \\ \\ \quad \hat{C} \det(B_K) \left\{ \|B_K\|^{-2} \sum_{i=1}^{2} |\hat{p}_{Ki}|^2 + \|B_K\|^{-4} |\hat{p}_{K3}|^2 \right\}. \end{array} \right. $$

Pour cette dernière inégalité nous avons utilisé les hypothèses (i) et (iii), les lettres $\hat{C}$ désignant des constantes strictement positives, indépendantes de K et pouvaient changer d'une inégalité à l'autre. Mais avec CIARLET [2], Théorème 3.1-2] on obtient :

$$ (3.3-12) \quad |\hat{p}_{Ki}|_1 \hat{K} \ge \hat{C} \|B_K^{-1}\|^{-1} (\det(B_K))^{-1/2} |p_i|_{1,K}, \quad i=1,2, $$

et

$$ (3.3-13) \quad |\hat{p}_{K3}|_2 \hat{K} \ge \hat{C} \|B_K^{-1}\|^{-2} (\det(B_K))^{-1/2} |p_3|_{2,K}. $$

De plus, le Théorème 3.1-3 de CIARLET [2] entraîne

$$ \|B_K\| \|B_K^{-1}\| \le \frac{\hat{h}_K}{\hat{b}_K}, $$

soit, avec l'hypothèse (2.1-1) de régularité de la famille de triangulations.

$$ (3.3-14) \quad \|B_K\| \|B_K^{-1}\| \le \hat{C}. $$
En reportant les inégalités (3.3-12) à (3.3-14) dans l'inégalité (3.3-11) on obtient immédiatement la relation (3.3-8), d'où la condition (3.2-1) de $\tilde{V}_h$-ellipticité uniforme en h. ■

Effectuons quelques remarques sur les hypothèses du Théorème 3.3-2 :

**Remarque 3.3-1 :** Sur l'hypothèse (i) du Théorème 3.3-2

Tous les exemples d'éléments finis donnés au numéro 2 sont définis à partir d'espaces fonctionnels $P_K$ de dimension finie, polynomiaux, i.e.,

$$ (3.3-15) \quad P_{K\alpha} \cdot P_n(K), \ n_\alpha \in \mathbb{N}, \ 1 \le n_1, 2 < n_2, \ \alpha=1,2. $$

Ces espaces fonctionnels sont invariants par transformation affine ce qui entraîne que les espaces fonctionnels $\hat{P}_{K1}$ et $\hat{P}_{K2}$ définis en (3.3-5) sont indépendants du triangle K considéré. On peut donc prendre, par exemple,

$$ \hat{X}_1 = \hat{P}_{K1}, \quad \hat{X}_2 = \hat{P}_{K2}. $$

En particulier, lorsque les espaces fonctionnels $P_{K1}$ et $P_{K2}$ sont polynomiaux, i.e.,

$$ P_{K1} \cdot P_{n_1}(K), \ P_{K2} \cdot P_{n_2}(K), \ n_1, n_2 \in \mathbb{N}, $$

on obtient par exemple,

$$ (3.3-16) \quad \hat{P}_{K1} = \hat{X}_1 \cdot P_{n_1}(\hat{K}), \quad \hat{P}_{K2} = \hat{X}_2 \cdot P_{n_2}(\hat{K}). \blacksquare $$

**Remarque 3.3-2 :** Sur l'hypothèse (ii) du Théorème 3.3-2

En pratique il existe de nombreux schémas d'intégration numérique sur le triangle dont les poids $\hat{\omega}_\ell$ sont strictement positifs, $1 \le \ell \le L$, ce qui rend cette hypothèse peu restrictive (cf. LYNESS-JESPERSEN [1], STROUD [1]).
Signalons cependant qu'il est possible d'étudier le cas où certains poids sont strictement négatifs, par analogie avec CIARLET-RAVIART [1] [2]. Les résultats obtenus sont alors plus faibles. ■
**Remarque 3.3-3** : Sur l'hypothèse (iii) du Théorème 3.3-3

Nous donnons dans le Théorème 3.3-3 ci-après des critères simples permettant
d'affirmer que les conditions (3.3-9) et (3.3-10) sont vérifiées. Remarquons
tout de suite que si la formule de quadrature (3.1-2) est exacte pour les
fonctions de la forme $(\hat{p}_j)^2$, $\hat{p} \in \hat{X}_1$ (resp. $(\hat{p}_{ij})^2$, $\hat{p} \in \hat{X}_2$), $1 \le i,j \le 2$,
la condition (3.3-9) (resp. (3.3-10)) a lieu avec $\hat{\beta}_1 = 1$ (resp. $\hat{\beta}_2 = 1$).
En particulier, si $\hat{X}_1 \subset P_{n_1}(\hat{K})$ (resp. $\hat{X}_2 \subset P_{n_2}(\hat{K})$) pour un certain entier
$n_1 \ge 1$ (resp. $n_2 \ge 2$), la condition (3.3-9) (resp. (3.3-10)) est satisfaite
dès que la formule de quadrature est exacte pour les polynômes de degré
inférieur ou égal à $2n_1-2$ (resp. $2n_2-4$). ■

Plus généralement, étant donnés les espaces $\hat{X}_1$ et $\hat{X}_2$ de dimensions finies,
définissons les espaces (de dimensions finies) :

$$
(3.3-17) \quad \hat{X}'_1 = \{ \hat{p}, \alpha : \hat{K} \to \mathbb{R} ; \hat{p} \in \hat{X}_1 , \alpha=1,2 \} ,
$$

$$
(3.3-18) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\hat{X}'_2 = \{ \hat{p}, \alpha : \hat{K} \to \mathbb{R} ; \hat{p} \in \hat{X}_2 , \alpha=1,2 \} , \\
\\
\hat{X}''_2 = \{ \hat{p}, \alpha\beta : \hat{K} \to \mathbb{R} ; \hat{p} \in \hat{X}_2 , \alpha, \beta=1-2 \} .
\end{array}
\right.
$$

**Théorème 3.3-3** : On suppose que les poids $\hat{\omega}_\ell$ sont strictement positifs, $1 \le l \le L$, et que l'ensemble $\{\hat{b}_\ell\}$, $\ell=1, \dots, L$ contient un ensemble $\hat{X}'_1$-unisolvant (resp. $\hat{X}''_2$-unisolvant). Alors la condition (3.3-9) (resp. (3.3-10)) est satisfaite.

**Démonstration** : Rappelons la démonstration donnée par CIARLET-RAVIART [2] pour la vérification de la condition (3.3-9). Cette démonstration s'étend par ANALOGIE à la vérification de la condition (3.3-10).

Lorsque les poids $\hat{\omega}_\ell$ sont $> 0$ l'inégalité (3.3-9) exprime simplement que l'expression

$$
\hat{p} \rightarrow \left( \sum_{\ell=1}^{L} \hat{\omega}_{\ell} \sum_{\alpha=1}^{2} (\hat{p}, \alpha(\hat{b}_{\ell}))^2 \right)^{1/2}
$$

et une norme sur l'espace de dimension finie $\hat{X}_1/P_o(\hat{K})$. Montrons que c'est
effectivement le cas lorsque l'ensemble $\{\hat{b}_\ell\}$, $\ell=1,\dots,L$ contient un ensemble
$\hat{X}'_1$-unisolvant. En effet, si $\hat{\omega}_\ell > 0$, $1 \le \ell < L$ et si
$$ \sum_{l=1}^{L} \hat{\omega}_l \sum_{\alpha=1}^{2} (\hat{p}_{,\alpha} (\hat{b}_l))^2 = 0, $$

on a $\hat{p}_{,\alpha}(\hat{b}_l) = 0, 1 \le l \le L, 1 \le i \le 2$. Puisque $\hat{p}_{,\alpha} \in \hat{X}_1',$ on en déduit que $\hat{p}_{,\alpha} = 0, 1 \le \alpha \le 2$, d'où $\hat{p} \in P_0(\hat{K})$ ce qui prouve notre assertion. ■

En particulier, on obtient les corollaires suivants :

**Corollaire 3.3-1** : Si $\hat{X}_1 \subset P_{n_1}(\hat{K})$ (resp. $\hat{X}_2 \subset P_{n_2}(\hat{K})$) pour un certain entier $n_1 \ge 1$ (resp. $n_2 \ge 2$), si $\{\hat{b}_l\}_{l=1,...,L}$ contient un ensemble $P_{n_1-1}$-unisolvant (resp. $P_{n_2-2}$-unisolvant) et si $\hat{\omega}_l > 0, 1 \le l \le L$, alors la condition (3.3-9) (resp. (3.3-10) est satisfaite. ■

On note $Q_n(\hat{K})$ l'espace vectoriel des polynômes définis sur $\hat{K}$ et de degré inférieur ou égal à $n$ par rapport à chacune des variables $\hat{x}_1, \hat{x}_2$ (en pratique, ce cas se présente lorsque $\hat{K}$ est un rectangle). Alors

**Corollaire 3.3-2** : Si $\hat{X}_1 \subset Q_n(\hat{K})$ (resp. $\hat{X}_2 \subset Q_{n_2}(\hat{K})$) pour un certain entier $n_1 \ge 1$ (resp. $n_2 \ge 2$), si $\{\hat{b}_l\}_{l=1,...,L}$ contient un ensemble $Q_{n_1} \cap P_{2n_1-1}$-unisolvant (resp. $Q_{n_2} \cap P_{2n_2-2}$-unisolvant) et si $\hat{\omega}_l > 0, 1 \le l \le L$, alors la condition (3.3-9)$^2$ (resp. (3.3-10) est satisfaite. ■

Dans ce travail nous n'avons pas cherché à construire de nouveaux schémas d'intégration numérique, ce qui nous conduit parfois à utiliser des schémas ayant des propriétés plus fortes que nécessaire. Ainsi, la Remarque 3.3-3 trouve ici son application. Nous la condensons dans l'énoncé du Corollaire 3.3-3 ci-après, bien qu'il ne s'agisse pas à proprement parler d'une conséquence du Théorème 3.3-3.

**Corollaire 3.3-3** : Si $\hat{X}_1 \subset P_{n_1}(\hat{K})$ (resp. $\hat{X}_2 \subset P_{n_2}(\hat{K})$) pour un certain entier $n_1 \ge 1$ (resp. $n_2 \ge 2$) la condition (3.3-9) (resp. (3.3-10)) est satisfaite dès que la formule de quadrature est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à $2n_1-2$ (resp. $2n_2-4$).

Si $\hat{X}_1 \subset Q_n(\hat{K})$ (resp. $\hat{X}_2 \subset Q_{n_2}(\hat{K})$) pour un certain entier $n_1 \ge 1$ (resp. $n_2 \ge 2$) la condition (3.3-9) (resp. (3.3-10)) est satisfaite dès que la formule de quadrature est exacte pour les polynômes de l'espace $Q_{2n_1}(\hat{K}) \cap P_{4n_1-2}(\hat{K})$ (resp. $Q_{2n_2}(\hat{K}) \cap P_{4n_2-4}(\hat{K}))$. ■
### 3.4 : Théorèmes généraux pour l'évaluation des termes de consistance.
Avec les deux théorèmes suivants nous préparons l'évaluation des termes de consistance de l'inégalité (3.2-2). Nous adaptons pour cela les résultats de CIARLET-RAVIART [2] qui permettent de prendre en compte l'estimation des termes différentiels d'ordre différents apparaissent dans la forme bilinéaire $a(\cdot, \cdot)$, ainsi que l'utilisation d'espaces fonctionnels $P_K$ non polynomiaux. En l'absence de ces deux difficultés on peut utiliser des résultats moins généraux tels que CIARLET [2, Théorèmes 4.1-4 et 4.1-5] pour certains types de problèmes d'ordre 2 et BERNADOU-DUCATEL [1, Théorèmes 3.3 et 3.4] pour certains types de problèmes d'ordre 4. Commençons par rappeler le lemme de Bramble-Hilbert [1] que nous utiliserons constamment dans la suite :

**Lemme 3.4-1 (lemme de Bramble-Hilbert) :**

Soit $\Omega$ un sous-ensemble ouvert de $\mathbb{R}^n$ à frontière Lipschitz-continue. Pour un certain entier $k \ge 0$ et un certain nombre $p \in [0, +\infty]$, soit $f$ une forme linéaire continue sur l'espace $W^{k+1, p}(\Omega)$ telle que

$$ \forall p \in P_K(\Omega), f(p) = 0. $$

Alors il existe une constante $C(\Omega)$ telle que

$$ \forall v \in W^{k+1, p}(\Omega), \quad |f(v)| \le C(\Omega) \|f\|_{k+1, p, \Omega}^* |v|_{k+1, p, \Omega}, $$

où $\|\cdot\|_{k+1, p, \Omega}^*$ est la norme dans l'espace dual de $W^{k+1, p}(\Omega)$.

**Démonstration :** on se reportera à Bramble-Hilbert [1]. ■

Pour tout $K \in \mathcal{T}_h$ nous désignons par $X_K$ (resp. $Y_K$) un espace vectoriel de dimension finie composé de fonctions définies sur $K$. Soit $\hat{X}_K$ (resp. $\hat{Y}_K$) les espaces vectoriels de dimensions finies définis sur le triangle de référence $\hat{K}$ par

$$ (3.4-1) \quad \hat{X}_K = \{ \hat{p}_K : \hat{K} \to \mathbb{R} ; \hat{p}_K = p \circ F_K, p \in X_K \}, $$

$$ (3.4-2) \quad (\text{resp. } \hat{Y}_K = \{ \hat{p}_K : \hat{K} \to \mathbb{R} ; \hat{p}_K = p \circ F_K, p \in Y_K \}), $$

où $F_K$ est l'application affine définie par les relations (2.1-7) (2.1-8)
**Théorème 3.4-1** : On suppose que l'espace $\hat{Y}_K$ construit en (3.4-2) à partir de l'espace $Y_K$ vérifie l'inclusion :

$$ (3.4-3) \qquad \hat{Y}_K \subset \hat{Y} , $$

où $\hat{Y}$ est un espace vectoriel de dimension finie, indépendant de K, composé de fonctions définies sur $\hat{K}$. Soit $\ell$ et s deux entiers avec $\ell \ge 1$, s $\ge 0$. On suppose, d'une part que

$$ (3.4-4) \qquad \hat{Y} \subset H^{\ell}(\hat{K}) \cap \mathcal{C}^s(\hat{K}) , $$

d'autre part, qu'il existe un entier $m \ge 0$ tel que

$$ (3.4-5) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \hat{\phi} \in P_{m-\ell}(\hat{K}) , \forall \hat{w} \in \hat{Y} , \hat{E}(\hat{\phi}\hat{w}) = 0 \text{ si } \ell \le m, \\ \hat{\phi} \in P_m(\hat{K}) , \hat{E}(\hat{\phi}) = 0. \end{array} \right. $$

$$ (3.4-6) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \hat{\phi} \in P_m(\hat{K}) , \hat{E}(\hat{\phi}) = 0. \\ \hat{\phi} \in P_{m-\ell}(\hat{K}) , \hat{E}(\hat{\phi}\hat{w}) = 0 \text{ si } \ell \le m. \end{array} \right. $$

Alors il existe une constante $C > 0$, indépendante de K, telle que, pour toute fonction $\phi \in W^{m+1,q}(K)$ avec $q > \frac{2}{m+1}$ et toute fonction $w \in Y_K$, on ait la majoration

$$ (3.4-7) \qquad |E_K(\phi w)| \le C h_K^{m+1} (\text{mes}(K))^{\frac{1}{2}-\frac{1}{q}} \|\phi\|_{m+1,q,K} \|w\|_{\ell,K}. $$

**Démonstration** : L'hypothèse $q > \frac{2}{m+1}$ assure l'inclusion $W^{m+1,q}(K) \subset \mathcal{C}^\ell(K)$ avec injection continue. Les hypothèses (3.4-3) et (3.4-4) entraînent $Y_K \subset H^{\ell}(K) \cap \mathcal{C}^s(K)$ et, par suite, les expressions $\hat{E}(\hat{\phi}\hat{w})$ et $E_K(\phi w)$ ont un sens. Nous utilisons les correspondances usuelles

$$ \left\{ \begin{array}{l} w \in Y_K \rightarrow \hat{w} = w \circ F_K , \quad \hat{w} \in \hat{Y}_K, \\ \\ \hat{w} \in \hat{Y}_K \rightarrow w = \hat{w} \circ F_K^{-1} , \quad w \in Y_K, \end{array} \right. $$

où $F_K$ désigne l'application affine définie par les relations (2.1-7)(2.1-8).

Pour tout $\phi \in W^{m+1,q}(K)$ et tout $w \in Y_K$, nous avons grâce à la relation (3.1-8)

$$ (3.4-8) \qquad E_K(\phi w) = \det(B_K) \hat{E}(\hat{\phi}\hat{w}) , $$
avec $\hat{\phi} \in W^{m+1,q}(\hat{K})$, $\hat{w} \in \hat{Y}_K$. Mais on peut écrire :

$$ (3.4-9) \quad \hat{E}(\hat{\phi}\hat{w}) = \hat{E}(\hat{\phi}\hat{\pi}_{\ell}\hat{w}) + \hat{E}(\hat{\phi}(\hat{w}-\hat{\pi}_{\ell}\hat{w})) $$

où, de façon générale, $\hat{\pi}_{\ell}$ désigne l'opérateur de projection orthogonale dans $L^2(\hat{K})$ sur le sous-espace $P_{\ell}(\hat{K})$. La démonstration comporte les trois étapes suivantes :

**Etape 1 : Majoration du premier terme** $\hat{E}(\hat{\phi}\hat{\pi}_{\ell}\hat{w})$, $\forall \hat{\phi} \in W^{m+1,q}(\hat{K})$, $\forall \hat{w} \in \hat{Y}$ :

Pour tout $\hat{\psi} \in W^{m+1,q}(\hat{K})$ nous avons

$$ |\hat{E}(\hat{\psi})| \le \hat{C} |\hat{\psi}|_{0,\infty,\hat{K}} \le \hat{C} \|\hat{\psi}\|_{m+1,q,\hat{K}} $$

en raison de l'inclusion $W^{m+1,q}(\hat{K}) \subset C^0(\hat{K})$ avec injection continue. Ici, et par la suite, les lettres $\hat{C}$ désignent des constantes, pouvant changer d'une inégalité à la suivante, et indépendantes du triangle K considéré. L'hypothèse (3.4-5) entraîne $\hat{E}(\hat{\psi}) = 0$ pour tout $\hat{\psi} \in P_m(\hat{K})$, d'où avec le Lemme 3.4-1 (Bramble-Hilbert) :

$$ \forall \hat{\psi} \in W^{m+1,q}(\hat{K}) , \quad |\hat{E}(\hat{\psi})| \le \hat{C} |\hat{\psi}|_{m+1,q,\hat{K}} $$

Soit maintenant $\hat{\psi} = \hat{\phi} \hat{\pi}_{\ell} \hat{w}$ avec $\hat{\phi} \in W^{m+1,q}(\hat{K})$ et $\hat{w} \in \hat{Y}$. En utilisant la formule de Leibnitz et en remarquant que toutes les semi-normes $|\hat{\pi}_{\ell} \hat{w}|_{k,\infty,\hat{K}}$ sont nulles pour $k=\ell+1$ ($\hat{\pi}_{\ell} \hat{w} \in P_{\ell}(\hat{K})$), on obtient

$$ |\hat{E}(\hat{\phi}\hat{\pi}_{\ell}\hat{w})| \le \hat{C} \sum_{j=0}^{\mu} |\hat{\phi}|_{m+1-j,q,\hat{K}} |\hat{\pi}_{\ell}\hat{w}|_{j,\infty,\hat{K}} $$

où $\mu = \min(\ell,m+1)$. Ou encore, en utilisant l'équivalence de normes sur l'espace de dimension finie $P_{\ell}(\hat{K})$ :

$$ |\hat{E}(\hat{\phi}\hat{\pi}_{\ell}\hat{w})| \le \hat{C} \sum_{j=0}^{\mu} |\hat{\phi}|_{m+1-j,q,\hat{K}} |\hat{\pi}_{\ell}\hat{w}|_{j,\hat{K}} $$

Comme $\hat{\pi}_{\ell}$ est un opérateur de projection dans $L^2(\hat{K})$ nous avons, d'une part :

$$ |\hat{\pi}_{\ell} \hat{w}|_{0,\hat{K}} \le |\hat{w}|_{0\hat{K}} $$
D'autre part, pour $j=1,...,\mu$ :

$$|\hat{\pi}_{\ell} \hat{w}|_{j, \hat{K}} \leq |\hat{w} - \hat{\pi}_{\ell} \hat{w}|_{j, \hat{K}} + |\hat{w}|_{j, \hat{K}}.$$

L'opérateur $\hat{\pi}_{\ell}$ laisse invariant l'espace $P_{j-1}(\hat{K})$, $1 \le j \le \mu$ :

Il existe une constante $\hat{C}$ telle que (CIARLET [2, Théorème 3.1-4])

$$(3.4-10) \quad |\hat{w} - \hat{\pi}_{\ell} \hat{w}|_{j, \hat{K}} \le \hat{C} |\hat{w}|_{j, \hat{K}},$$

d'où

$$|\hat{\pi}_{\ell} \hat{w}|_{j, \hat{K}} \le \hat{C} |\hat{w}|_{j, \hat{K}}, \quad j=0, \dots, \mu.$$

En combinant les inégalités précédentes on en déduit l'existence d'une constante $\hat{C}$ telle que

$$(3.4-11) \quad \forall \hat{\phi} \in W^{m+1,q}(\hat{K}) , \forall \hat{w} \in \hat{Y} , \quad |\hat{E}(\hat{\phi}\hat{\pi}_{\ell}\hat{w})| \le \hat{C} \sum_{j=0}^{\mu} |\hat{\phi}|_{m+1-j,q,\hat{K}} |\hat{w}|_{j,\hat{K}}.$$

Cette majoration est en particulier valable pour tout $\hat{w} \in \hat{Y}_K \subset \hat{Y}$.

**Etape 2 : Estimation de $\hat{E}(\hat{\phi}(\hat{w}-\hat{\pi}_{\ell}\hat{w}))$ :**

Si $1 \le \ell \le m$ il vient les inclusions suivantes :

$$(3.4-12) \quad W^{m+1,q}(\hat{K}) \subset W^{m+1-\ell,r}(\hat{K}) \subset C^{\ell}(\hat{K}),$$

où r est donné par

$$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{r} = \frac{1}{q} - \frac{\ell}{2} & \text{si } 1 \le q < \frac{2}{\ell}, \\ \\ r & \text{assez grand pour que } m+1-\ell - \frac{2}{r} > 0 \text{ si } q \ge \frac{2}{\ell}. \end{array} \right.$$

En effet, d'après le théorème d'inclusion de Sobolev, on a

$$W^{\ell,q}(\hat{K}) \subset L^r(\hat{K}),$$

ce qui entraîne la première inclusion (3.4-12). De plus,

$$\left\{ \begin{array}{l} m+1-\ell - \frac{2}{r} = m+1 - \frac{2}{q} > 0 \quad \text{si } 1 \le q < \frac{2}{\ell}, \\ \\ m+1-\ell - \frac{2}{r} > 0 \quad \text{si } q \ge \frac{2}{\ell}, \end{array} \right.$$
ce qui entraîne la deuxième inclusion (3.4-12). D'autre part, la continuité de l'injection canonique de $W^{\ell,q}(\hat{K})$ dans $L^r(\hat{K})$ se traduit par l'inégalité

$$ \forall \hat{\phi} \in W^{\ell,q}(\hat{K}) , \quad |\hat{\phi}|_{o,r,\hat{K}} \le \hat{C} \sum_{j=0}^{\ell} |\hat{\phi}|_{\ell-j,q,\hat{K}} , $$

d'où

$$ (3.4-13) \quad \forall \hat{\phi} \in W^{m+1,q}(\hat{K}) , \quad |\hat{\phi}|_{m+1-\ell,r,\hat{K}} \le \hat{C} \sum_{j=0}^{\ell} |\hat{\phi}|_{m+1-j,q,\hat{K}} . $$

Par analogie avec le raisonnement de l'Etape 1, nous trouvons par exemple que pour tout $\hat{\phi} \in W^{m+1-\ell,r}(\hat{K}) \subset \mathcal{L}^0(\hat{K})$, pour tout $\hat{w} \in \hat{Y}$ on a grâce à l'équivalence de norme sur l'espace vectoriel de dimension finie $\hat{Y} + P_\ell(\hat{K})$ :

$$ \begin{aligned} |\hat{E}(\hat{\phi}(\hat{w}-\hat{\pi}_{\ell}\hat{w}))| & \le \hat{C} |\hat{\phi}(\hat{w}-\hat{\pi}_{\ell}\hat{w})|_{o,\infty,\hat{K}} \le \hat{C} |\hat{\phi}|_{o,\infty,\hat{K}} |\hat{w}-\hat{\pi}_{\ell}\hat{w}|_{o,\infty,\hat{K}} \\ & \le \hat{C} \|\hat{\phi}\|_{m+1-\ell,r,\hat{K}} |\hat{w}-\hat{\pi}_{\ell}\hat{w}|_{o,\hat{K}} . \end{aligned} $$

Ainsi pour un $\hat{w} \in \hat{Y}$ donné, la forme linéaire

$$ \hat{\phi} \in W^{m+1-\ell,r}(\hat{K}) \rightarrow \hat{E}(\hat{\phi}(\hat{w}-\hat{\pi}_{\ell}\hat{w})) $$

est continue avec une norme $\le \hat{C}|\hat{w}-\hat{\pi}_{\ell}\hat{w}|_{o,\hat{K}}$ d'une part, et elle s'annule sur l'espace $P_{m-\ell}(\hat{K})$ grâce à l'hypothèse (3.4-5). Une nouvelle application du Lemme de Bramble-Hilbert montre que

$$ \forall \hat{\phi} \in W^{m+1-\ell,r}(\hat{K}) , \forall \hat{w} \in \hat{Y} , \quad |\hat{E}(\hat{\phi}(\hat{w}-\hat{\pi}_{\ell}\hat{w}))| \le \hat{C}|\hat{\phi}|_{m+1-\ell,r,\hat{K}}|\hat{w}-\hat{\pi}_{\ell}\hat{w}|_{o,\hat{K}} . $$

Comme l'opérateur $\hat{\pi}_{\ell}$ laisse invariant l'espace $P_{j-1}(\hat{K})$ en particulier, $j=1,...,\ell$, on aura (CIARLET [2, Théorème 3.1-4])

$$ (3.4-14) \quad \forall \hat{w} \in \hat{Y} , \quad |\hat{w}-\hat{\pi}_{\ell}\hat{w}|_{o,\hat{K}} \le \hat{C}|\hat{w}|_{j,\hat{K}} , \quad 0 \le j \le \ell, $$

(pour $j=0$ on utilise la propriété de la projection dans $L^2(\hat{K})$, i.e., $|\hat{\pi}_{\ell}\hat{w}|_{o,\hat{K}} \le |\hat{w}|_{o,\hat{K}}$). Les inégalités (3.4-13) et (3.4-14) entraînent :
$$
(3.4-15) \quad \forall \hat{\phi} \in W^{m+1,q}(\hat{K}), \forall \hat{w} \in \hat{Y}, |\hat{E}(\hat{\phi}(\hat{w}-\hat{\pi}_{\ell}\hat{w}))| \le \hat{C} \sum_{j=0}^{\ell} |\hat{\phi}|_{m+1-j,q,\hat{K}} |\hat{w}|_{j,\hat{K}}.
$$

Dans le cas où $\ell \ge m+1$ les inclusions $W^{m+1,q}(\hat{K}) \subset \mathcal{C}^\ell(\hat{K})$ et $\hat{Y} \subset \mathcal{C}^\ell(\hat{K})$ entraînent
$$
\forall \hat{\phi} \in W^{m+1,q}(\hat{K}), \forall \hat{w} \in \hat{Y}, |\hat{E}(\hat{\phi}(\hat{w}-\hat{\pi}_{\ell}\hat{w}))| \le \hat{C} |\hat{\phi}|_{0,\infty,\hat{K}} |\hat{w}-\hat{\pi}_{\ell}\hat{w}|_{0,\infty,\hat{K}}.
$$

Sur l'espace vectoriel de dimension finie $\hat{Y}+P_{\ell}(\hat{K})$ les normes $|\hat{w}-\hat{\pi}_{\ell}\hat{w}|_{Q,\infty,\hat{K}}$
et $|\hat{w}-\hat{\pi}_{\ell}\hat{w}|_{O,\hat{K}}$ sont équivalentes. L'injection continue $W^{m+1,q}(\hat{K}) \subset \mathcal{C}^\ell(\hat{K})$ et
les inégalités (3.4-14) entraînent alors

$$
(3.4-16) \quad \forall \hat{\phi} \in W^{m+1,q}(\hat{K}), \forall \hat{w} \in \hat{Y}, |\hat{E}(\hat{\phi}(\hat{w}-\hat{\pi}_{\ell}\hat{w}))| \le \hat{C} \|\hat{\phi}\|_{m+1,q,\hat{K}} |\hat{w}|_{\ell,\hat{K}}.
$$

Étape 3 : Estimation de $E_K(\phi w)$ :

Pour obtenir l'inégalité (3.4-7) il suffit alors de combiner les égalités
(3.4-8) (3.4-9), les inégalités (3.4-11) (3.4-15) lorsque $\ell \le m$, les inégalités
(3.4-11) (3.4-16 lorsque $m+1 \le \ell$, et les résultats suivants de CIARLET
[2, Théorèmes 3.1-2 et 3.1-3] :

$$
(3.4-17) \quad \left\{
\begin{array}{l}
|\hat{\phi}|_{m+1-j,q,\hat{K}} \le \hat{C} h_K^{m+1-j} (\det(B_K))^{-\frac{1}{q}} |\phi|_{m+1-j,q,K}, \quad j=0,\dots,m+1, \\
|\hat{w}|_{j,\hat{K}} \le \hat{C} h_K^j (\det(B_K))^{-\frac{1}{2}} |w|_{j,K}, \quad j=0,\dots,\ell.
\end{array}
\right.
\qquad \blacksquare
$$

Le théorème 3.4-1 nous permettra d'estimer les expressions du type $E_K(\text{fp})$
rencontrées dans l'intégration numérique du second membre (cf. (3.1-12)).
De même, l'intégration numérique du premier membre (cf. (3.1-11)) conduit
à l'estimation d'expressions du type $E_K(\text{app'})$. On considère cette fois les
deux espaces vectoriels de dimensions finies $\hat{X}_K$ et $\hat{Y}_K$ définis en (3.4-1)
et (3.4-2) à partir des espaces $X_K$ et $Y_K$.

Théorème 3.4-2 : On suppose que les espaces $\hat{X}_K$ et $\hat{Y}_K$ construits en (3.4-1)
et (3.4-2) à partir des espaces vectoriels de dimensions finies $X_K$ et $Y_K$
respectivement, vérifient les inclusions

$$
(3.4-18) \quad \hat{X}_K \subset \hat{X}, \quad \hat{Y}_K \subset \hat{Y},
$$

où $\hat{X}, \hat{Y}$ sont des espaces vectoriels de dimensions finies composés de fonctions
définies sur $\hat{K}$ et indépendants de $K$. Soient $k$ un entier $\ge 1$ et $\ell, s, t$ des
entiers $\ge 0$. On suppose d'une part, que
$$
|\hat{E}(\hat{a}\hat{\pi}_k \hat{v}\hat{\pi}_\ell \hat{w})| \le \hat{C} \sum_{\substack{i+j=0 \\ i \le k \\ j \le \ell}}^{m+1} |\hat{a}|_{m+1-i-j, \infty, \hat{K}} |\hat{\pi}_k \hat{v}|_{i, \infty, \hat{K}} |\hat{\pi}_\ell \hat{w}|_{j, \infty, \hat{K}}
$$

Finalement, $\forall \hat{a} \in W^{m+1,\infty}(\hat{K})$, $\forall \hat{v} \in \hat{X}$, $\forall \hat{w} \in \hat{Y}$ :

$$
(3.4\div27) \quad |\hat{E}(\hat{a}\hat{\pi}_k \hat{v}\hat{\pi}_\ell \hat{w})| \le \hat{C} \sum_{\substack{i+j=0 \\ i \le k \\ j \le \ell}}^{m+1} |\hat{a}|_{m+1-i-j, \infty, \hat{K}} |\hat{v}|_{i, \hat{K}} |\hat{w}|_{j, \hat{K}}
$$

Etape 2 : Estimation des termes $\hat{E}(\hat{a}\hat{\pi}_k \hat{v}(\hat{w}-\hat{\pi}_\ell \hat{w}))$ et $\hat{E}(\hat{a}(\hat{v}-\hat{\pi}_k \hat{v})\hat{\pi}_\ell \hat{w})$ pour tout $\hat{a} \in W^{m+1,\infty}(\hat{K})$, $\hat{v} \in \hat{X}$, $\hat{w} \in \hat{Y}$.

Commençons par le premier de ces deux termes.

Si $l \leq k \leq m$ il vient les inclusions suivantes

$$
W^{m+1, \infty}(\hat{K}) \subset W^{m+1-l}(r(\hat{K}) \subset C^0(\hat{K})),
$$

avec $r \ge l$ et $r > \frac{2}{m+1-l}$. En particulier, $W^{\ell, \infty}(\hat{K}) \subset L^r(\hat{K})$, d'où

$$
\forall \hat{\phi} \in W^{\ell, \infty}(\hat{K}), \quad |\hat{\phi}|_{o,r,\hat{K}} \le \hat{C} \sum_{j=0}^{\ell} |\hat{\phi}|_{\ell-j, \infty, \hat{K}},
$$

soit

$$
\forall \hat{\phi} \in W^{m+1, \infty}(\hat{K}), \quad |\hat{\phi}|_{m+1-l, r, \hat{K}} \le \hat{C} \sum_{j=0}^{l} |\hat{\phi}|_{m+1-j, \infty, \hat{K}}
$$

Alors, par analogie avec l'Etape 2 de la démonstration du Théorème 3.4-1 :

$$
\forall \hat{\phi} \in W^{m+1-l}(r(\hat{K}), \forall \hat{w} \in \hat{Y}, |\hat{E}(\hat{\phi}(\hat{w}-\hat{\pi}_\ell \hat{w}))| \le \hat{C} |\hat{\phi}|_{m+1-l,r,\hat{K}} |\hat{w}-\hat{\pi}_\ell \hat{w}|_{o,\hat{K}},
$$

ou encore,

$$
\forall \hat{\phi} \in W^{m+1, \infty}(\hat{K}), \forall \hat{w} \in \hat{Y}, |\hat{E}(\hat{\phi}(\hat{w}-\hat{\pi}_{\ell} \hat{w}))| \le \hat{C} \sum_{j=0}^{\ell} |\hat{\phi}|_{m+1-j, \infty, \hat{K}} |\hat{w}|_{j, \hat{K}}
$$

En prenant $\hat{\phi} = \hat{a}\hat{\pi}_k\hat{v}$ et en appliquant la formule de Leibnitz, on trouve

$$
|\hat{E}(\hat{a}\hat{\pi}_k \hat{v}(\hat{w}-\hat{\pi}_\ell \hat{w}))| \le \hat{C} \sum_{\substack{i+j=0 \\ i \le k \\ j \le \ell}}^{m+1} |\hat{a}|_{m+1-i-j, \infty, \hat{K}} |\hat{\pi}_k \hat{v}|_{i, \infty, \hat{K}} |\hat{w}|_{j, \hat{K}},
$$
d'où

$$
(3.4-28) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  \forall \hat{a} \in W^{m+1, \infty}(\hat{K}), \forall \hat{v} \in \hat{X}, \forall \hat{w} \in \hat{Y}, \\
  \quad \left| \hat{E}(\hat{a}^{\hat{\pi}_k} \hat{v} (\hat{w}-\hat{\pi}_\ell \hat{w})) \right| \le \hat{C} \sum_{\substack{i+j=0 \\ i \le k \\ j \le \ell}}^{m+1} |\hat{a}|_{m+1-i-j, \infty} \hat{K} |\hat{v}|_i \hat{K} |\hat{w}|_j \hat{K} .
\end{array}
\right.
$$

On vérifie que cette inégalité est encore valable pour $\ell = 0$.

Si $\ell \ge m+1$ alors $W^{m+1, \infty}(\hat{K}) \subset C^0(\hat{K})$ entraîne

$$
\forall \hat{\phi} \in W^{m+1, \infty}(\hat{K}), \forall \hat{w} \in \hat{Y}, \left| \hat{E}(\hat{\phi}(\hat{w}-\hat{\pi}_{\ell} \hat{w})) \right| \le \hat{C} |\hat{\phi}|_{0, \infty, \hat{K}} |\hat{w}|_{\ell, \hat{K}}
$$

En prenant $\hat{\phi} = \hat{a}^{\hat{\pi}_k} \hat{v}$ on obtient

$$
|\hat{E}(\hat{a}^{\hat{\pi}_k} \hat{v}(\hat{w}-\hat{\pi}_\ell \hat{w}))| \le \hat{C} |\hat{a}|_{0,\infty,\hat{K}} |\hat{v}|_{0,\hat{K}} |\hat{w}|_{\ell,\hat{K}},
$$

ou encore,

$$
(3.4-29) \quad \forall \hat{a} \in W^{m+1, \infty}(\hat{K}), \forall \hat{v} \in \hat{X}, \forall \hat{w} \in \hat{Y}, \left| \hat{E}(\hat{a}^{\hat{\pi}_k} \hat{v} (\hat{w}-\hat{\pi}_\ell \hat{w})) \right| \le \hat{C} |\hat{a}|_{0,\infty,\hat{K}} |\hat{v}|_{0,\hat{K}} |\hat{w}|_{\ell,\hat{K}}
$$

Par analogie, on estime le terme $\hat{E}(\hat{a}(\hat{v}-\hat{\pi}_k v)\hat{\pi}_\ell \hat{w})$ comme suit :

Si $l \le k \le m$

$$
(3.4-30) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  \displaystyle \forall \hat{a} \in W^{m+1, \infty}(\hat{K}), \forall \hat{v} \in \hat{X}, \forall \hat{w} \in \hat{Y}, \quad \left| \hat{E}(\hat{a}(\hat{v}-\hat{\pi}_k \hat{v}) \hat{\pi}_\ell \hat{w}) \right| \le \\
  \displaystyle \le \hat{C} \sum_{\substack{i+j=0 \\ i \le k \\ j \le \ell}}^{m+1} |\hat{a}|_{m+1-i-j, \infty, \hat{K}} |\hat{v}|_i \hat{K} |\hat{w}|_j \hat{K} .
\end{array}
\right.
$$

Si $k \ge m+1$

$$
(3.4-31) \quad \forall \hat{a} \in W^{m+1, \infty}(\hat{K}), \forall \hat{v} \in \hat{X}, \forall \hat{w} \in \hat{Y}, \left| \hat{E}(\hat{a}(\hat{v}-\hat{\pi}_k \hat{v}) \hat{\pi}_\ell \hat{w}) \right| \le \hat{C} |\hat{a}|_{0,\infty,\hat{K}} |\hat{v}|_k \hat{K} |\hat{w}|_{0,\hat{K}} .
$$
**Etape 3 : Estimation de** $\hat{E}(\hat{a}(\hat{v}-\hat{\pi}_k\hat{v})(\hat{w}-\hat{\pi}_l\hat{w}))$, $\forall \hat{a} \in W^{m+1,\infty}(\hat{K})$, $\forall \hat{v} \in \hat{X}$, $\forall \hat{w} \in \hat{Y}$

Sur l'espace vectoriel de dimension finie $\hat{X}+P_k(\hat{K})$ (resp. $\hat{Y}+P_l(\hat{K})$) les normes $L^\infty(\hat{K})$ et $L^2(\hat{K})$ sont équivalentes, d'où :

$$ egin{aligned} |\hat{E}(\hat{a}(\hat{v}-\hat{\pi}_k\hat{v})(\hat{w}-\hat{\pi}_l\hat{w}))| &\le \hat{C}|\hat{a}|_{0,\infty,\hat{K}}|\hat{v}-\hat{\pi}_k\hat{v}|_{0,\infty,\hat{K}}|\hat{w}-\hat{\pi}_l\hat{w}|_{0,\infty,\hat{K}} \\ &\le C|\hat{a}|_{0,\infty,\hat{K}}|\hat{v}-\hat{\pi}_k\hat{v}|_{0,\hat{K}}|\hat{w}-\hat{\pi}_l\hat{w}|_{0,\hat{K}}. \end{aligned} $$

Puisque $k+l \ge m+1$ on peut choisir arbitrairement les entiers $i$ et $j$ avec $0 \le i \le k$, $0 \le j \le l$ et $i+j=m+1$ de façon que les inégalités (3.4-14) entraînent

$$ (3.4-32) \quad \forall \hat{a} \in W^{m+1,\infty}(\hat{K}), \forall \hat{v} \in \hat{X}, \forall \hat{w} \in \hat{Y}, |\hat{E}(\hat{a}(\hat{v}-\hat{\pi}_k\hat{v})(\hat{w}-\hat{\pi}_l\hat{w}))| \le \hat{C}|\hat{a}|_{0,\infty,\hat{K}}|\hat{v}|_{i,\hat{K}}|\hat{w}|_{j,\hat{K}} $$

**Etape 4 : Estimation finale (3.4-24) :**

Pour trouver l'estimation finale (3.4-24) il suffit alors d'utiliser les égalités (3.4-25)(3.4-26) puis de reporter dans les inégalités (3.4-27) à (3.4-32) les inégalités suivantes (CIARLET [2, Théorèmes 3.1-2 et 3.1-3]) :

$$ (3.4-33) \quad \left\{ \begin{array}{l} |\hat{a}|_{i,\infty,\hat{K}} \le \hat{C} h_K^i |a|_{i,\infty,K}, \quad i=0,\dots,m+1, \\ |\hat{v}|_{i,\hat{K}} \le \hat{C} h_K^i (\det(B_K))^{-1/2} |v|_{i,K}, \quad i=0,\dots,k, \\ |\hat{w}|_{j,\hat{K}} \le \hat{C} h_K^j (\det(B_K))^{-1/2} |w|_{j,K}, \quad j=0,\dots,l. \end{array} \right. $$

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

### 3.5 Conditions sur les schémas d'intégration et théorème d'estimation asymptotique de l'erreur :

Nous sommes désormais en mesure d'évaluer les différents termes de l'inégalité (3.2-2) et, par là-même, de donner une estimation asymptotique de l'erreur $||\vec{u}-\vec{u}_h||_{\vec{V}}$ entre la solution exacte $\vec{u}$ du problème (1.1-9) et la solution ap-prochée $\vec{u}_h$ du problème (3.1-1). Le Théorème 3.5-1 ci-après donne le résultat général de majoration de l'erreur ; il précise notamment les critères à observer dans le choix des schémas d'intégration numérique pour obtenir la même estimation asymptotique de l'erreur que celle obtenue dans le cas d'in-tégrations exactes (cf. Théorème 2.1-1).
**Théorème 3.5-1** : Soient deux familles affines ou presque-affines, régulières d'éléments finis, $(K, P_{K1}, \Sigma_{K1})$, $(K, P_{K2}, \Sigma_{K2})$ et $V_{h1}, V_{h2}$ les deux espaces d'éléments finis associés vérifiant les conditions (2.1-4), (2.1-5), respectivement. Nous supposons qu'il existe des entiers $m_1, m_2$ tels que pour tout $K \in \mathcal{T}_h$ on ait :

$$ (3.5-1) \quad P_{m_1}^{(K)} \subset P_{K1} \quad \text{où} \quad m_1 \in \mathbb{N}, m_1 \ge 1, $$

$$ (3.5-2) \quad P_{m_2}^{(K)} \subset P_{K2} \quad \text{où} \quad m_2 \in \mathbb{N}, m_2 \ge 2, $$

$$ (3.5-3) \quad H^{m_\alpha+1}(K) \subset C^{s\alpha}(K), \quad \alpha=1,2, $$

où $s_\alpha$ est l'ordre maximal des dérivées partielles intervenant dans la définition de l'ensemble des degrés de liberté $\Sigma_K$, $\alpha=1,2$.

Soient $\hat{P}_{K1}, \hat{P}_{K2}$ les espaces vectoriels de dimension finie composés de fonctions définies sur $\hat{K}$ et donnés par les relations (3.3-5). Nous notons $(\hat{P}_{K,\alpha} = \frac{\partial \hat{P}_K}{\partial \xi^\alpha}, \dots)$ :

$$ (3.5-4) \quad \hat{P}'_{K1} = \{ \hat{P}_{K,\alpha} : \hat{K} \to \mathbb{R} ; \hat{P}_K \in \hat{P}_{K1} , \alpha=1,2 \} , $$

$$ (3.5-5) \quad \hat{P}'_{K2} = \{ \hat{P}_{K,\alpha} : \hat{K} \to \mathbb{R} ; \hat{P}_K \in \hat{P}_{K2} , \alpha=1,2 \} , $$

$$ (3.5-6) \quad \hat{P}''_{K2} = \{ \hat{P}_{K,\alpha\beta} : \hat{K} \to \mathbb{R} ; \hat{P}_K \in \hat{P}_{K2}, \alpha, \beta=1,2 \} . $$

Nous supposons qu'il existe deux espaces vectoriels de dimensions finies $\hat{x}_1$ et $\hat{x}_2$ composés de fonctions définies sur $\hat{K}$, indépendants de $K$, tels que :

$$ (3.5-7) \quad \left\{ \begin{array}{l} \hat{P}_{K1} \subset \hat{x}_1 \subset H^{m_1+1}(\hat{K}) , \\ \hat{P}'_{K1} \subset \hat{x}'_1 \subset H^{m_1}(\hat{K}) , \end{array} \right. $$

$$ (3.5-8) \quad \left\{ \begin{array}{l} \hat{P}_{K2} \subset \hat{x}_2 \subset H^{m_2+1}(\hat{K}) , \\ \hat{P}'_{K2} \subset \hat{x}'_2 \subset H^{m_2}(\hat{K}) , \\ \hat{P}''_{K2} \subset \hat{x}''_2 \subset H^{m_2-1}(\hat{K}) , \end{array} \right. $$
où les espaces $\hat{X}_1'$, $\hat{X}_2'$, $\hat{X}_2''$ sont définis par les relations (3.3-17) (3.3-18).
Nous supposons en outre que la formule de quadrature (3.1-2) sur le tri-
angle de référence $\hat{K}$ vérifie les conditions suivantes (on note $m=-1+\min(m_1, m_2-1)$) :

$$
(3.5-9) \quad (i) \quad \hat{\omega}_{\ell}>0, \ 1<\ell\le L;
$$

$$
(3.5-10) \quad (ii) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\text{Il existe des constantes } \hat{\beta}_1 \text{ et } \hat{\beta}_2 \text{ strictement positives telles que} \\
\quad \forall \hat{p} \in \hat{X}_1, \sum_{\ell=1}^{L} \hat{\omega}_{\ell} \sum_{j=1}^{2} (\hat{p}_j, (\hat{b}_{\ell}))^2 > \hat{\beta}_1 |\hat{p}|_{1,\hat{K}}^2, \\
\\
\quad \forall \hat{p} \in \hat{X}_2, \sum_{\ell=1}^{L} \hat{\omega}_{\ell} \sum_{i,j=1}^{2} (\hat{p}_{ij}, (\hat{b}_{\ell}))^2 \ge \hat{\beta}_2 |\hat{p}|_{2,\hat{K}}^2.
\end{array}
\right.
$$

$$
(3.5-11) \quad (iii) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\forall \hat{\phi} \in P_{m-1}(\hat{K}), \quad \forall \hat{w} \in \hat{X}_1, \quad \hat{E}(\hat{\phi}\hat{w}) = 0, \quad \underline{\text{si }} m \ge 1, \\
\\
\forall \hat{\phi} \in P_m(\hat{K}), \quad \forall \hat{w} \in \hat{X}_1', \quad \hat{E}(\hat{\phi}\hat{w}) = 0.
\end{array}
\right.
$$

$$
(3.5-12) \quad (iv) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\forall \hat{\phi} \in P_{m-2}(\hat{K}), \quad \forall \hat{w} \in \hat{X}_2, \quad \hat{E}(\hat{\phi}\hat{w}) = 0, \quad \underline{\text{si }} m \ge 2, \\
\\
\forall \hat{\phi} \in P_{m-1}(\hat{K}), \quad \forall \hat{w} \in \hat{X}_2', \quad \hat{E}(\hat{\phi}\hat{w}) = 0, \quad \text{si } m \ge 1, \\
\\
\forall \hat{\phi} \in P_m(\hat{K}), \quad \forall \hat{w} \in \hat{X}_2'', \quad \hat{E}(\hat{\phi}\hat{w}) = 0.
\end{array}
\right.
$$

$$
(3.5-13) \quad (v) \quad \forall \hat{\phi} \in P_m(\hat{K}), \quad \hat{E}(\hat{\phi}) = 0.
$$

Alors si la solution $\vec{u} \in \vec{V}$ du problème variationnel (1.1-9) appartient à
l'espace $H^{m_1+1}(\Omega) \times H^{m_1+1}(\Omega) \times H^{m_2+1}(\Omega)$, si $A_{IJ} \in W^{m+1,\infty}(\Omega)$, $1 \le I,J \le 12$, et
si $f^i \in W^{m+1,q}(\Omega)$, $i=1,2,3$, pour un certain nombre $q > \frac{2}{m+1}$, il existe une
constante $C$ indépendante de $h$ telle que :

$$
(3.5-14) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \| \vec{u} - \vec{u}_h \|_{\vec{V}} \le C h^{\min(m_1, m_2-1)} \left\{ \left( \sum_{\alpha=1}^2 |u_{\alpha}|_{m_1+1, \Omega}^2 + |u_3|_{m_2+1, \Omega}^2 \right)^{\frac{1}{2}} + \right. \\
& \qquad \left. + \left( \sum_{i=1}^3 \|f^i\|_{m+1, q, \Omega}^q \right)^{\frac{1}{q}} \right\}
\end{aligned}
\right.
$$

où $\vec{u}_h \in \vec{V}_h$ est la solution du problème discret (3.1-1).
**Démonstration** : Nous sommes dans les conditions d'application du Théorème 3.3-2. Par suite, la condition (3.2-1) de $\vec{v}_h$-ellipticité uniforme est vérifiée et il est loisible d'appliquer le Théorème 3.2-1. Nous allons donc évaluer successivement les trois termes du second membre de l'inégalité (3.2-2).

$$ \text{\underline{Etape 1 : Estimation de } } \inf_{\vec{v}_h \in \vec{V}_h} \|\vec{u}-\vec{v}_h\|_{\vec{V}} $$

Nous appliquons le Théorème 2.1-1 ce qui conduit à

$$ (3.5-15) \quad \inf_{\vec{v}_h \in \vec{V}_h} \|\vec{u}-\vec{v}_h\|_{\vec{V}} \le \|\vec{u}-\vec{v}_h\|_{\vec{V}} \le \hat{C} h \min(m_1, m_2^{-1}) \left( \sum_{\alpha=1}^{2} |u_{\alpha}|_{m_1+1, \Omega}^2 + |u_3|_{m_2+1, \Omega}^2 \right)^{\frac{1}{2}} $$

où, d'une part, $\vec{\pi}_h \vec{u} = (\pi_{h1} u_1, \pi_{h1} u_2, \pi_{h2} u_3)$ désigne la fonction $\vec{v}_h$-interpolée de la fonction $\vec{u} \in \vec{V}$, d'autre part, $\hat{C}$ désigne ici, et par la suite, des consécutantes indépendantes de $h$.

$$ \text{\underline{Etape 2 : Estimation de } } \inf_{\vec{v}_h \in \vec{V}_h} \sup_{\vec{w}_h \in \vec{V}_h} \frac{|a(\vec{v}_h, \vec{w}_h) - a_h(\vec{v}_h, \vec{w}_h)|}{\|\vec{w}_h\|} $$

Les relations (1.2-1), (3.1-11) et (3.1-6) nous permettent d'écrire

$$ (3.5-16) \quad \left| a(\vec{\pi}_h \vec{u}, \vec{w}_h) - a_h(\vec{\pi}_h \vec{u}, \vec{w}_h) \right| \le \sum_{K \in \mathcal{K}} \sum_{I, J=1}^{12} |E_K \{A_{IJ}(\Pi U)_I (W_h)_J\}| $$

où $\vec{w}_h$ désigne un élément quelconque de $\vec{v}_h$. De plus, on note par analogie avec (1.2-2), $(\vec{\pi}_h U)_I$ (resp. $(W_h)_J$) le Ième (resp. Jème) élément de la matrice colonne $\Pi U$ (resp. $W_h$) :

$$ \Pi U = | \pi_{h1} u_1 (\pi_{h1} u_1), \pi_{h1} u_1, \pi_{h1} u_2 (\pi_{h1} u_2), \pi_{h1} u_2, \pi_{h2} u_3 (\pi_{h2} u_3), \pi_{h2} u_3 | $$

(resp.

$$ t_{W_h} = |w_{1h} w_{1h1} w_{1h2} w_{2h} w_{2h1} w_{2h2} w_{3h} w_{3h1} w_{3h2} w_{3h11} w_{3h12} w_{3h22}| $$

Alors la Figure 3.5-1 fait apparaître qu'en appliquant convenablement le Théorème 3.4-2 aux différents types de termes qui apparaissent au second membre de l'inégalité (3.5-16) (on notera, en particulier, que $k+l>m+1 = \min(m_1, m_2-1)$) on obtient :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\sum_{I, J=1}^{12} |E_K\{A_{IJ}(\Pi U) I(w_h) J\}| \le \hat{C} h_K^{\min(m_1, m_2-1)} \left( \sum_{I, J=1}^{12} \|A_{IJ}\|_{\min(m_1, m_2-1), \infty, K} \right) \times \left( \|\pi_{h1} u_1\|_{H}^{2} \mathbf{1}_{m_1+1} + \|\pi_{h1} u_2\|_{H}^{2} \mathbf{1}_{m_1+1} + \|\pi_{h2} u_3\|_{H}^{2} \mathbf{1}_{m_2+1} \right)^{\frac{1}{2}} \|\vec{w}_h\|_{\vec{V}(K)}^{2} , \\
\\
\text{ou encore, avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz et l'hypothèse (2.1-2) :}
\end{array}
\right.
$$

ou encore, avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz et l'hypothèse (2.1-2) :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\left| a(\vec{\pi}_h \vec{u}, \vec{w}_h) - a_h(\vec{\pi}_h \vec{u}, \vec{w}_h) \right| \le \hat{C} h_K^{\min(m_1, m_2-1)} \sum_{I, J=1}^{12} \|A_{IJ}\|_{\min(m_1, m_2-1), \infty, \Omega} \\
\times \left( \|\pi_{h1} u_1\|_{H}^2 \mathbf{1}_{m_1+1} + \|\pi_{h1} u_2\|_{H}^2 \mathbf{1}_{m_1+1} + \|\pi_{h2} u_3\|_{H}^2 \mathbf{1}_{m_2+1} \right)^{\frac{1}{2}} \|\vec{w}_h\|_{\vec{V}} \\
\\
\text{Comme l'opérateur de } P_{K1}\text{-interpolation (resp. } P_{K2}\text{-interpolation) préserve l'espace } P_{m_1}(K) \text{ (resp. } P_{m_2}(K)\text{) nous obtenons}
\end{array}
\right.
$$

Comme l'opérateur de $P_{K1}$-interpolation (resp. $P_{K2}$-interpolation) préserve
l'espace $P_{m_1}(K)$ (resp. $P_{m_2}(K)$) nous obtenons

$$
\| \pi_{h1} u_{\alpha} \|_{m_1+1, \Omega} \le \| u_{\alpha} \|_{m_1+1, \Omega} + \| u_{\alpha} - \pi_{h1} u_{\alpha} \|_{m_1+1, \Omega} \le \hat{C} \| u_{\alpha} \|_{m_1+1, \Omega}, \quad \alpha=1,2,
$$

$$
(\text{resp. } \|\pi_{h2} u_3\|_{m_2+1, \Omega} \le \hat{C} \|u_3\|_{m_2+1, \Omega}) ,
$$

et ainsi

$$
(3.5-17) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
  \underset{\vec{v}_h \in \vec{V}_h}{\inf} & \displaystyle \quad \frac{|a(\vec{v}_h, \vec{w}_h) - a_h(\vec{v}_h, \vec{w}_h)|}{\|\vec{w}_h\|_{\vec{V}}} \le \hat{C} h_K^{\min(m_1, m_2-1)} \\[1em]
  \left( \sum_{I, J=1}^{12} \|A_{IJ}\|_{\min(m_1, m_2-1), \infty, \Omega} \right) \left( \sum_{\alpha=1}^{2} \|u_\alpha\|_{m_1+1, \Omega}^2 + \|u_3\|_{m_2+1, \Omega}^2 \right)^{\frac{1}{2}} &
\end{array}
\right.
$$

$$
\text{\textbf{\underline{Etape 3 : Estimation de}}}} \quad \underset{\vec{w}_h \in \vec{V}_h}{\operatorname{sup}} \quad \frac{|f(\vec{w}_h) - f_h(\vec{w}_h)|}{\|\vec{w}_h\|_{\vec{V}}} \quad \text{\textbf{\underline{:}}}
$$

Les relations (1.2-5)(1.2-6)(3.1-12) et (3.1-6) entraînent

$$
|f(\vec{w}_h) - f_h(\vec{w}_h)| \le \sum_{K \subset \vec{v}_h} |E_K(t^k F W_h)|,
$$

avec $t^{\mathrm{FW}_h} = (f^1 w_{h1} + f^2 w_{h2} + f^3 w_{h3})^{1/\alpha}$. La Figure 3.5-2 montre qu'une application convenable du Théorème 3.4-1 aux deux types de termes ainsi mis en évidence, entraîne :
<table><caption>Figure 3.5-1 : ESTIMATION DES THERMES E<sub>λ</sub>(aw) A : L'ATTE DE THORNE 3.4-2 (dans tous les cas m=m-1+min(m<sub>1</sub>,m<sub>2</sub>-1)).</caption><thead><tr><th>λ</th><th>γ<sub>1</sub></th><th>γ<sub>2</sub></th><th>γ<sub>3</sub></th><th>γ<sub>4</sub></th><th>γ<sub>5</sub></th><th>γ<sub>6</sub></th><th>γ<sub>7</sub></th><th>γ<sub>8</sub></th><th>γ<sub>9</sub></th><th>γ<sub>10</sub></th><th>γ<sub>11</sub></th><th>γ<sub>12</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>λ=1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>k=m<sub>1</sub>+1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>X<sub>1</sub></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>{γ<sub>1</sub> ∈ P<sub>m-1</sub>(R), γ<sub>2</sub> ∈ X<sub>1</sub>, E(φ<sub>2</sub>) = 0<br>si m ≥ 1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>{γ<sub>1</sub> ∈ P<sub>m</sub>(R), E(φ) = 0</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>λ=1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>k=m<sub>1</sub>+1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>X<sub>1</sub></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>{γ<sub>1</sub> ∈ P<sub>m-1</sub>(R), γ<sub>2</sub> ∈ X<sub>1</sub>, E(φ<sub>2</sub>) = 0<br>si m ≥ 1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>{γ<sub>1</sub> ∈ P<sub>m</sub>(R), E(φ) = 0</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>λ=1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>k=m<sub>2</sub>+1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>X<sub>2</sub></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>{γ<sub>1</sub> ∈ P<sub>m-1</sub>(R), γ<sub>2</sub> ∈ X<sub>1</sub>, E(φ<sub>2</sub>) = 0<br>si m ≥ 1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>{γ<sub>1</sub> ∈ P<sub>m</sub>(R), E(φ) = 0</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>λ=1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>k=m<sub>2</sub>+1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>X<sub>2</sub></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>{γ<sub>1</sub> ∈ P<sub>m-1</sub>(R), γ<sub>2</sub> ∈ X<sub>1</sub>, E(φ<sub>2</sub>) = 0<br>si m ≥ 1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>{γ<sub>1</sub> ∈ P<sub>m</sub>(R), E(φ) = 0</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>λ=1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>k=m<sub>2</sub>+1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>X<sub>2</sub></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>{γ<sub>1</sub> ∈ P<sub>m-1</sub>(R), γ<sub>2</sub> ∈ X<sub>1</sub>, E(φ<sub>2</sub>) = 0<br>si m ≥ 1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>{γ<sub>1</sub> ∈ P<sub>m</sub>(R), E(φ) = 0</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
1) $E_K(f^{\alpha} v_{\alpha} \sqrt{a})$, $f^{\alpha} \in W^{m+1,q}(\hat{K})$, $v_{\alpha} \in P_{K1}$, $\alpha=1,2$ :

Alors $\ell=1$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\forall \hat{\phi} \in P_{m-1}(\hat{K}), \forall \hat{w} \in \hat{X}_1, \hat{E}(\hat{\phi}\hat{w}) = 0, \text{ si } m \ge 1, \\
\\
\forall \hat{\phi} \in P_m(\hat{K}), \hat{E}(\hat{\phi}) = 0.
\end{array}
\right.
$$

2) $E_K(f^3 v_3 \sqrt{a})$, $f^3 \in W^{m+1,q}(\hat{K})$, $v_3 \in P_{K2}$ :

Alors $\ell=2$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\forall \hat{\phi} \in P_{m-2}(\hat{K}), \forall \hat{w} \in \hat{X}_2, \hat{E}(\hat{\phi}\hat{w}) = 0, \text{ si } m \ge 2, \\
\\
\forall \hat{\phi} \in P_m(\hat{K}), \hat{E}(\hat{\phi}) = 0.
\end{array}
\right.
$$

**Figure 3.5-2** : ESTIMATION DU TERME $E_K({}^t\mathrm{FW}_h)$ A L'AIDE DU THEOREME 3.4-1
$(m=-1+\min(m_1, m_2-1))$

$$
\begin{align*}
& |f(\hat{w}_h) - f_h(\hat{w}_h)| \le \sum_{K \in \mathcal{K}_h} |E_K({}^t \mathrm{FW}_h)| \\
\le {}& \hat{C} \sum_{K \in \mathcal{K}_h} \min(m_1, m_2-1) (\mathrm{mes}(K))^{\frac{1}{2} - \frac{1}{q}} \left( \sum_{i=1}^{3} \|f^i\|^q_{\min(m_1, m_2-1), q, K} \right)^{\frac{1}{q}} \|\hat{w}_h\|_{\hat{V}(K)} \\
\le {}& \hat{C} h^{\min(m_1, m_2-1)} (\mathrm{mes}(\Omega))^{\frac{1}{2} - \frac{1}{q}} \left( \sum_{i=1}^{3} \|f^i\|^q_{\min(m_1, m_2-1), q, \Omega} \right)^{\frac{1}{q}} \|\hat{w}_h\|_{\hat{V}}.
\end{align*}
$$

Pour cette dernière inégalité, nous utilisons l'inégalité

$$
\sum_K |a_K b_K c_K| \le (\sum_K |a_K|^\alpha) \frac{1}{\alpha} (\sum_K |b_K|^\beta) \frac{1}{\beta} (\sum_K |c_K|^\gamma) \frac{1}{\gamma},
$$

valable pour tous les nombres réels $\alpha \ge 1$, $\beta \ge 1$, $\gamma \ge 1$ satisfaisant

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = 1$. On prend ici $\frac{1}{\alpha} = \frac{1}{2} - \frac{1}{q}$, $\beta=q$, $\gamma=2$, d'où la condition $q \ge 2$.

Ainsi
$$
(3.5-18) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  \displaystyle \frac{|f(\hat{w}_h) - f_h(\hat{w}_h)|}{\|\hat{w}_h\|_{\hat{V}}} \le \hat{C}_h \min(m_1, m_2-1) (\text{mes}(\Omega))^{\frac{1}{2}-\frac{1}{q}} \\[2ex]
  \displaystyle \times \left( \sum_{i=1}^3 \|f^i\|^q_{m_1, m_2-1, q, \Omega} \right)^{\frac{1}{q}} .
\end{array}
\right.
$$

Etape 4 : Nous sommes dans les conditions d'application du Théorème 3.2-1 et 1'on obtient l'estimation (3.5-14) en reportant les inégalités (3.5-15)(3.5-17) (3.5-18) dans la majoration abstraite (3.2-2). ■

Remarque 3.5-1 : En procédant comme indiqué à l'Etape 4 on obtient plus précisément l'estimation ci-dessous, d'où l'on déduit l'estimation (3.5-14) :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\left\| \hat{u} - \hat{u}_h \right\|_{\hat{V}} \le \hat{C}_h \min(m_1, m_2-1) \left\{ \left( \sum_{\alpha=1}^2 |u_\alpha|^2_{m_1+1, \Omega} + |u_3|^2_{m_2+1, \Omega} \right)^{\frac{1}{2}} + \right. \\
\left. \qquad + \left( \sum_{I,J=1}^{12} \|A_{IJ}\|_{m+1, \infty, \Omega} \right) \left( \sum_{\alpha=1}^2 \|u_\alpha\|^2_{m_1+1, \Omega} + \|u_3\|^2_{m_2+1, \Omega} \right)^{\frac{1}{2}} + \text{mes}(\Omega) \right\}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{q} \left( \sum_{i=1}^3 \|f^i\|^q_{m+1, q, \Omega} \right)^{\frac{1}{q}}
\end{array}
\right\}
$$

Dans le cas particulier où les espaces $P_{K1}$ et $P_{K2}$ sont polynomiaux, les Corollaires 3.3-1 à 3.3-3 conduisent aux deux Corollaires suivants du Théorème 3.5-1 :

Corollaire 3.5-1 : Soient deux familles affines ou presque-affines, régulières d'éléments finis, $(K, P_{K1}, \Sigma_{K1})$, $(K, P_{K2}, \Sigma_{K2})$ et $V_{h1}, V_{h2}$ les deux espaces d'éléments finis associés vérifiant les conditions (2.1-4)(2.1-5), respectivement. Nous supposons qu'il existe des entiers $m_1, m_2, n_1, n_2$ tels que

$$
P_{m_1} (K) \subset P_{K1} \subset P_{n_1} (K) , \quad 1 \le m_1 \le n_1,
$$

$$
P_{m_2} (K) \subset P_{K2} \subset P_{n_2} (K) , \quad 2 \le m_2 \le n_2,
$$

$$
H^{\alpha} (K) \subset \mathcal{C}^{\alpha} (K) , \quad \alpha = 1, 2,
$$

où $s_\alpha$ est l'ordre maximal des dérivées partielles intervenant dans la définition de l'ensemble des degrés de liberté $\Sigma_{K\alpha}$, $\alpha=1,2$.
Nous supposons en outre que la formule de quadrature (3.1-2) sur le triangle de référence $\hat{K}$ vérifie les conditions suivantes (on note $m=-1+\min(m_1, m_2-1)$) :

(i) $\hat{\omega}_{\ell} > 0, \ 1 \le \ell \le L$;

$$
\text{(ii)} \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\left\{
  \begin{array}{@{}l@{}}
    \text{L'ensemble des noeuds d'intégration } \{\hat{b}_{\ell}\}, \ell=1,\dots,L \text{ contient un} \\
    \text{ensemble } P_{n_1-1}^{-1}\text{-unisolvant ou } \forall \hat{\phi} \in P_{2n_1-2}(\hat{K}), \hat{E}(\hat{\phi}) = 0,
  \end{array}
\right. \\[1em]
\text{et} \\[1em]
\left\{
  \begin{array}{@{}l@{}}
    \text{L'ensemble des noeuds d'intégration } \{\hat{b}_{\ell}\}, \ell=1,\dots,L \text{ contient un} \\
    \text{ensemble } P_{n_2-2}^{-1}\text{-unisolvant ou } \forall \hat{\phi} \in P_{2n_2-4}(\hat{K}), \hat{E}(\hat{\phi}) = 0;
  \end{array}
\right.
\end{array}
\right.
$$

$$
\text{(iii)} \quad \forall \hat{\phi} \in P_{m+n_1-1}^{\rightarrow}(\hat{K}), \quad \hat{E}(\hat{\phi}) = 0;
$$

$$
\text{(iv)} \quad \forall \hat{\phi} \in P_{m+n_2-2}^{\rightarrow}(\hat{K}), \quad \hat{E}(\hat{\phi}) = 0.
$$

Alors si la solution $\vec{u} \in \vec{V}$ du problème variationnel (1.1-9) appartient à
l'espace $H^{m_1+1}(\Omega) \times H^{m_1+1}(\Omega) \times H^{m_2+1}(\Omega)$, si $A_{IJ} \in W^{m_1+1,\infty}(\Omega)$, $1 \le I,J \le 2$, et
si $f^i \in W^{m_1+1,q}(\Omega)$, $i=1,2,3$ pour un certain nombre $q > \frac{2}{m_1+1}$, il existe une
constante $\hat{C}$, indépendante de $h$, telle que l'estimation d'erreur (3.5-14) soit
vérifiée. ■

Corollaire 3.5-2 : Soient deux familles affines ou presque-affines, régulières d'éléments finis, $(K, P_{K1}, \Sigma_{K1})$, $(K, P_{K2}, \Sigma_{K2})$ et $V_{h1}, V_{h2}$ les deux espaces d'éléments finis associés vérifiant les conditions (2.1-4)(2.1-5), respectivement. Nous supposons qu'il existe des entiers $m_1, m_2, n_1, n_2$ tels que

$$
P_{m_1} (K) \subset P_{K1} \subset Q_{n_1} (K) , \quad 1 \le m_1 \le n_1,
$$

$$
P_{m_2} (K) \subset P_{K2} \subset Q_{n_2} (K) , \quad 2 \le m_2 \le n_2,
$$

$$
H^{m_\alpha+1}(K) \subsetneq \mathcal{C}^{s\alpha}(K), \quad \alpha=1,2,
$$

où $s_\alpha$ est l'ordre maximal des dérivées partielles intervenant dans la définition
de l'ensemble des degrés de liberté $\Sigma_{K\alpha}$, $\alpha=1,2$.

Nous supposons en outre que la formule de quadrature (3.1-2) sur le triangle de référence $\hat{K}$ vérifie les conditions suivantes (on note $m=-1+\min(m_1, m_2-1)$) :
$$
(i) \qquad \hat{\omega}_{\ell} > 0, \ 1 \le \ell \le L;
$$

$$
\text{(ii)} \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\text{L'ensemble des noeuds d'intégration } \{\hat{b}_{\ell}\}, \ell=1,\dots,L \quad \underline{\text{contient}} \\
\qquad \text{un ensemble } Q_{n_1} \cap P_{2n_1-1} - \underline{\text{unisolvant}} \quad \underline{\text{ou}} \quad \forall \hat{\phi} \in Q_{2n_1}(\hat{K}) \cap P_{4n_1-2}(\hat{K}), \\
\qquad \hat{E}(\hat{\phi}) = 0, \\[1em]
\text{et} \\
\text{L'ensemble des noeuds d'intégration } \{\hat{b}_{\ell}\}, \ell=1,\dots,L \quad \underline{\text{contient un}} \\
\qquad \text{ensemble } Q_{n_2} \cap P_{2n_2-2} - \underline{\text{unisolvant}} \quad \underline{\text{ou}} \quad \forall \hat{\phi} \in Q_{2n_2}(\hat{K}) \cap P_{4n_2-4}(\hat{K}), \hat{E}(\hat{\phi}) = 0.
\end{array}
\right.
$$

$$
(iii) \quad \forall \hat{\phi} \in P_m(\hat{K}) , \forall \hat{w} \in Q_{n_1}(\hat{K}) \cap P_{2n_1-1}(\hat{K}) , \hat{E}(\hat{\phi}\hat{w}) = 0 ;
$$

$$
(iv) \quad \forall \hat{\phi} \in P_m(\hat{K}) , \forall \hat{w} \in Q_{n_2}(\hat{K}) \cap P_{2n_2-2}(\hat{K}) , \hat{E}(\hat{\phi}\hat{w}) = 0 .
$$

Alors si la solution $\vec{u} \in \vec{V}$ du problème variationnel (1.1-9) appartient à
l'espace $H^{m_1+1}(\Omega) \times H^{m_1+1}(\Omega) \times H^{m_2+1}(\Omega)$, si $A_{IJ} \in W^{m+1,\infty}(\Omega)$, $1 \le I,J \le 12$, et
si $f^i \in W^{m+1,q}(\Omega)$, $i=1,2,3$ pour un certain nombre $q > \frac{2}{m+1}$, il existe une
constante $\hat{C}$, indépendante de $h$, telle que l'estimation d'erreur (3.5-14)
soit vérifiée.

Démonstration : Ce corollaire est une conséquence immédiate du Théorème 3.5-1
et des Corollaires 3.3-2 et 3.3-3, si l'on observe que les hypothèses

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\forall \hat{\phi} \in P_{m-1}(\hat{K}), \forall \hat{w} \in Q_{n_1}(\hat{K}), \hat{E}(\hat{\phi}\hat{w}) = 0, \text{ si } m \ge 1, \\
\\
\forall \hat{\phi} \in P_m(\hat{K}), \forall \hat{w} \in Q_{n_1}(\hat{K}) \cap P_{2n_1-1}(\hat{K}), \hat{E}(\hat{\phi}\hat{w}) = 0, \\
\\
\text{et} \\
\\
\left\{
\begin{array}{l}
\forall \hat{\phi} \in P_{m-2}(\hat{K}), \forall \hat{w} \in Q_{n_2}(\hat{K}), \hat{E}(\hat{\phi}\hat{w}) = 0, \text{ si } m \ge 2, \\
\\
\forall \hat{\phi} \in P_{m-1}(\hat{K}), \forall \hat{w} \in Q_{n_2}(\hat{K}) \cap P_{2n_2-1}(\hat{K}), \hat{E}(\hat{\phi}\hat{w}) = 0, \text{ si } m \ge 1, \\
\\
\forall \hat{\phi} \in P_m(\hat{K}), \forall \hat{w} \in Q_{n_2}(\hat{K}) \cap P_{2n_2-2}(\hat{K}), \hat{E}(\hat{\phi}\hat{w}) = 0,
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
$$

sont respectivement équivalentes aux hypothèses (iii) et (iv) formulées
ci-dessus. ■
**Remarque 3.5-2** : Une condition suffisante pour que la condition (iii) (resp. la condition (iv)) soit satisfaite est que

$$ 
\begin{gather*}
\forall \hat{\phi} \in Q_{m+n_1} (\hat{K}) \cap P_{m+2n_1-1} (\hat{K}) \ , \hat{E}(\hat{\phi}) = 0, \\
(\text{resp. } \forall \hat{\phi} \in Q_{m+n_2} (\hat{K}) \cap P_{m+2n_2-2} (\hat{K}) \ , \hat{E}(\hat{\phi}) = 0). \quad \blacksquare
\end{gather*}
$$

### 3.6. EXEMPLES D'ESTIMATIONS D'ERREUR :

Nous indiquons maintenant les résultats obtenus lorsqu'on construit les espaces $V_{h1}$ et $V_{h2}$ à partir de familles affines ou presque affines régulières d'éléments finis du type de ceux décrits au Numéro 2. Bien entendu, nous supposons que ces espaces $V_{h1}$ et $V_{h2}$ vérifient les deux conditions (2.1-4), (2.1-5) respectivement.

Les différents résultats sont condensés dans les Figures 3.6-1 à 3.6-4 et sont obtenus en appliquant le Théorème 3.5-1 ou ses Corollaires 3.5-1 et 3.5-2. Dans chaque cas nous indiquons :

(i) la valeur de $m=-1+\min(m_1,m_2-1)$;

(ii) le résultat d'estimation d'erreur sous la forme $o(h^{m+1})$;

(iii) les hypothèses sur le schéma d'intégration numérique;

(iv) un ou deux schémas d'intégration numérique appropriés que nous décrivons dans le Paragraphe 3.7. Lorsque deux schémas sont proposés et ne comportent pas le même nombre de noeuds d'intégration, il appartient à l'utilisateur de choisir le schéma le mieux adapté à sa mise en oeuvre : il peut être préférable d'utiliser un schéma d'intégration comportant un ou deux noeuds supplémentaires, la majorité de ces noeuds se trouvant alors aux sommets ou sur les côtés de l'élément. A ce sujet on pourra consulter la très intéressante étude de LYNESS-JESPERSEN [1];

(v) les hypothèses sur la solution $\vec{u}$, sur les coefficients variables $A_{IJ}$ et sur les composantes $f^i$ de la force $\vec{f}$.

Ces résultats sont donnés pour des combinaisons d'espaces $V_{h1}$ et $V_{h2}$ qui nous ont paru les meilleures

* du point de vue de l'estimation d'erreur, i.e., $m_1=m_2$ ou $m_1=m_2-1$;

* du point de vue de la mise en oeuvre numérique : lorsque les espaces $V_{h1}$ et $V_{h2}$ sont construits à partir d'éléments finis différents, on adopte pour construire l'espace $V_{h1}$ un élément fini ayant la totalité, ou la presque totalité, de ses degrés de liberté contenue dans l'ensemble des degrés de liberté de l'élément fini utilisé pour construire l'espace $V_{h2}$.
Parmi ces combinaisons, nous avons encadré celles qui nous paraissent être les plus satisfaisantes. Dans tous les cas les critères à satisfaire pour le choix des schémas d'intégration numérique assurent la même estimation d'erreur asymptotique que dans le cas d'intégrations exactes, pour les mêmes hypothèses de régularité sur la solution $\vec{u}$.

(comparer avec les Figures 2.4-1 et 2.4-2, où l'on avait noté $m=\min(m_1, m_2-1)$). Dans le cas des éléments composites (Hsieh-Clough et Tocher, Fraeijs de Veubeke et Sander) les critères sur les schémas d'intégration numérique sont à satisfaire sur chacun des triangles élémentaires $K_i$ constituant l'élément :

**C'est nécessaire** : car sur chaque triangle élémentaire $K_i$ constituant l'élément K les conditions du type (3.5-8) sont satisfaites, alors que sur l'élément K, on a tout au plus $P_K \subset H^2(K)$ (cf. CIARLET [2, Remarque 6.1-4]) ;

**C'est suffisant** : car pour établir la propriété de $\vec{V}_h$-éllipticité (3.2-1) et pour obtenir des estimations sur les termes de consistance de l'inégalité (3.2-2), on utilise la notion de triangle de référence, à l'exclusion de la notion d'élément fini de référence. Ces résultats sont donc en particulier valables pour les fonctions polynomiales définies sur chaque triangle élémentaire $K_i$ constituant l'élément composite K.

En pratique, cette observation n'est pas gênante : lors de la mise en oeuvre numérique, les intégrales prises sur un élément composite $K = \cup_i K_i$ doivent être calculées comme somme des intégrales sur chacun des éléments $K_i$ puisque les fonctions approchées changent d'un triangle élémentaire au suivant.

Lorsque le domaine $\Omega$ est rectangulaire on peut utiliser un outre le rectangle de Bogner-Fox-Schmit.
<table><caption>Figure 3.6-1 : Eléments triangulaires</caption><thead><tr><th></th><th>ARGYRIS</th><th>BELL</th></tr></thead><tbody><tr><td>ARGYRIS<br>m<sub>1</sub>=n<sub>1</sub>=5</td><td>m=3 ; o(h<sup>4</sup>)<br>{P<sub>4</sub>-unisolvant et ∀φ∈P<sub>7</sub>, E(φ)=0}<br>ou<br>{∀φ∈P<sub>8</sub>, E(φ)=0}<br>Schéma 1 ou Schéma 2, 16 points<br>ū∈(H<sup>6</sup>(Ω))<sup>3</sup>, A<sub>IJ</sub>∈W<sup>4,∞</sup>(Ω), f<sup>i</sup>∈W<sup>4,q</sup>(Ω)</td><td></td></tr><tr><td>BELL<br>m<sub>1</sub>=4,n<sub>1</sub>=5</td><td>m=3 ; o(h<sup>4</sup>)<br>{P<sub>4</sub>-unisolvant et ∀φ∈P<sub>7</sub>, E(φ)=0}<br>ou<br>{∀φ∈P<sub>8</sub>, E(φ)=0}<br>Schéma 1 ou Schéma 2, 16 points<br>ū∈(H<sup>5</sup>)<sup>2×H<sup>6</sup></sup>; A<sub>IJ</sub>∈W<sup>4,∞</sup>; f<sup>i</sup>∈W<sup>4,q</sup></td><td>m=2 ; o(h<sup>3</sup>)<br>{P<sub>4</sub>-unisolvant et ∀φ∈P<sub>6</sub>, E(φ)=0}<br>ou<br>{∀φ∈P<sub>8</sub>, E(φ)=0}<br>Schéma 1 ou Schéma 2, 16 points<br>ū∈(H<sup>5</sup>)<sup>3</sup>; A<sub>IJ</sub>∈W<sup>3,∞</sup>; f<sup>i</sup>∈W<sup>3,q</sup></td></tr><tr><td>HERMITE de type 3<br>m<sub>1</sub>=n<sub>1</sub>=3</td><td>m=2 ; o(h<sup>3</sup>)<br>{P<sub>3</sub>-unisolvant et ∀φ∈P<sub>5</sub>, E(φ)=0}<br>ou<br>{∀φ∈P<sub>6</sub>, E(φ)=0}<br>Schéma 3,12 points ou Schéma 4,13 p.<br>ū∈(H<sup>4</sup>)<sup>2×H<sup>6</sup></sup>; A<sub>IJ</sub>∈W<sup>3,∞</sup>; f<sup>i</sup>∈W<sup>3,q</sup></td><td>m=2 ; o(h<sup>3</sup>)<br>{P<sub>3</sub>-unisolvant et ∀φ∈P<sub>5</sub>, E(φ)=0}<br>ou<br>{∀φ∈P<sub>6</sub>, E(φ)=0}<br>Schéma 3,12 points ou Schéma 4,13 p.<br>ū∈(H<sup>4</sup>)<sup>2×H<sup>5</sup></sup>; A<sub>IJ</sub>∈W<sup>3,∞</sup>; f<sup>i</sup>∈W<sup>3,q</sup>.</td></tr><tr><td>HERMITE de type 3,<br>réduit<br>m<sub>1</sub>=2,n<sub>1</sub>=3</td><td></td><td>m=1 ; o(h<sup>2</sup>)<br>{P<sub>3</sub>-unisolvant et ∀φ∈P<sub>4</sub>, E(φ)=0}<br>ou<br>{∀φ∈P<sub>6</sub>, E(φ)=0}<br>Schéma 3,12 points ou Schéma 4,13 pts.<br>ū∈(H<sup>3</sup>)<sup>2×H<sup>5</sup></sup>; A<sub>IJ</sub>∈W<sup>2,∞</sup>; f<sup>i</sup>∈W<sup>2,q</sup>.</td></tr><tr><td>LAGRANGE de type 2<br>m<sub>1</sub>=n<sub>1</sub>=2</td><td></td><td>m=1 ; o(h<sup>2</sup>)<br>{P<sub>3</sub>-unisolvant et ∀φ∈P<sub>4</sub>, E(φ)=0}<br>ou<br>{∀φ∈P<sub>6</sub>, E(φ)=0}<br>Schéma 3,12 points ou Schéma 4,13 pts.<br>ū∈(H<sup>3</sup>)<sup>2×H<sup>5</sup></sup>; A<sub>IJ</sub>∈W<sup>2,∞</sup>; f<sup>i</sup>∈W<sup>2,q</sup>.</td></tr></tbody></table>

(Successivement, dans chaque cas : (i) $m=-1+\min(m_1, m_2-1)$ ; (ii) l'estimation d'erreur $o(h^{m+1})$ ; (iii) les hypothèses sur les schémas d'intégration numérique ; (iv) le nombre de noeuds de schémas convenables ; (v) les hypothèses de régularité sur ū, $A_{IJ}$, $f^i$)
<table><caption>Figure 3.6-3 : Élément fini rectangulaire</caption><tr><td></td><td>BOGNER-FOX-SCHMIT<br>(avec les notations du Corollaire 3.5-2,<br>m<sub>2</sub>=n<sub>2</sub>=3)</td></tr><tr><td>BOGNER-FOX-SCHMIT<br>m<sub>1</sub>=n<sub>1</sub>=3</td><td>m=1 ; o(h<sup>2</sup>)<br>{ Q<sub>3</sub> ∩ P<sub>5</sub> -unisolvant et<br>∀ ̂φ∈Q<sub>4</sub> ∩ P<sub>6</sub>, ̂E(̂φ)=0<br>ou<br>{ ∀ ̂φ∈Q<sub>6</sub> ∩ P<sub>10</sub>, ̂E(̂φ)=0<br>Schéma 10, 16 points<br>→ u ∈ (H<sup>4</sup>)<sup>3</sup>, A<sub>IJ</sub>∈W<sup>2,∞</sup>, f<sup>i</sup>∈W<sup>2,q</sup>.</td></tr></table>

(Successivement, dans chaque cas : (i) $m=-1+\min(m_1, m_2-1)$ ; (ii) l'estimation d'erreur $o(h^{m+1})$ ; (iii) les hypothèses sur les schémas d'intégration numérique ; (iv) le nombre de noeuds de schémas convenables ; (v) les hypothèses de régularité sur $\vec{u}$, $A_{IJ}$, $f^i$).
<table><caption>Figure 3.6-4 : Éléments finis quadrilatéraux composites</caption><thead><tr><th></th><th>F. de VEUBEKE-SANDER</th><th>F. de V. - SANDER réduit</th></tr></thead><tbody><tr><td>V<sub>h2</sub></td><td></td><td></td></tr><tr><td>V<sub>h1</sub></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>Sur chaque triangle K<sub>i</sub>, m<sub>2</sub>=n<sub>2</sub>=3</td><td>Sur chaque triangle K<sub>i</sub>, m<sub>2</sub>=2, n<sub>2</sub>=3</td></tr><tr><td>F. de VEUBEKE-SANDER</td><td>m=1 ; o(h<sup>2</sup>)<br>{P<sub>2</sub>(K̂<sub>i</sub>)unisolvant et ∀φ∈P<sub>3</sub>(K̂<sub>i</sub>), E(φ)=0}<br>ou<br>{∀φ∈P<sub>4</sub>(K̂<sub>i</sub>), E(φ)=0}<br>Schéma 5, 7 pts ou Schéma 6, 6 pts.<br>(sur chaque K̂<sub>i</sub>)<br>ū ∈ (H<sup>4</sup>)<sup>3</sup>, A<sub>IJ</sub>∈W<sup>2,∞</sup>, f<sup>i</sup> ∈ W<sup>2,q</sup>.</td><td></td></tr><tr><td>Sur chacun des triangles<br>K<sub>i</sub>, m<sub>1</sub>=n<sub>1</sub>=3</td><td>m=1 ; o(h<sup>2</sup>)<br>{P<sub>2</sub>(K̂<sub>i</sub>)-unisolvant et ∀φ∈P<sub>3</sub>(K̂<sub>i</sub>), E(φ)=0}<br>ou<br>{∀φ∈P<sub>4</sub>(K̂<sub>i</sub>), E(φ)=0}<br>Schéma 5, 7 pts. ou Schéma 6, 6 pts.<br>(sur chaque K̂<sub>i</sub>)<br>ū ∈ (H<sup>3</sup>)<sup>2</sup> × H<sup>4</sup>, A<sub>IJ</sub>∈ W<sup>2,∞</sup>, f<sup>i</sup> ∈ W<sup>2,q</sup>.</td><td>m=0 ; o(h)<br>{P<sub>2</sub>(K̂<sub>i</sub>)-unisolvant et ∀φ∈P<sub>2</sub>(K̂<sub>i</sub>), E(φ)=0}<br>ou<br>{∀φ∈P<sub>4</sub>(K̂<sub>i</sub>), E(φ)=0}<br>Schéma 5, 7 pts. ou Schéma 6, 6 pts.<br>(sur chaque K̂<sub>i</sub>)<br>ū ∈ (H<sup>3</sup>)<sup>3</sup>, A<sub>IJ</sub>∈ W<sup>1,∞</sup>, f<sup>i</sup> ∈ W<sup>1,q</sup>, q > 2.</td></tr><tr><td>F. de V.- S. réduit</td><td>m=0 ; o(h)<br>{P<sub>1</sub>(K̂<sub>i</sub>)-unisolvant et ∀φ∈P<sub>1</sub>(K̂<sub>i</sub>), E(φ)=0}<br>ou<br>{∀φ∈P<sub>2</sub>(K̂<sub>i</sub>), E(φ)=0}<br>Schémas 7 ou 8 ou 9, 3 pts. (sur chaque K̂<sub>i</sub>)<br>ū ∈ (H<sup>2</sup>)<sup>2</sup> × H<sup>4</sup>, A<sub>IJ</sub>∈ W<sup>1,∞</sup>, f<sup>i</sup> ∈ W<sup>1,q</sup>, q > 2.</td><td>m=0 ; o(h)<br>{P<sub>1</sub>(K̂<sub>i</sub>)-unisolvant et ∀φ∈P<sub>1</sub>(K̂<sub>i</sub>), E(φ)=0}<br>ou<br>{∀φ∈P<sub>2</sub>(K̂<sub>i</sub>), E(φ)=0}<br>Schémas 7 ou 8 ou 9, 3 pts. (sur chaque K̂<sub>i</sub>)<br>ū ∈ (H<sup>2</sup>)<sup>2</sup> × H<sup>3</sup>, A<sub>IJ</sub>∈ W<sup>1,∞</sup>, f<sup>i</sup>∈W<sup>1,q</sup>, q > 2.</td></tr><tr><td>Sur chacun des triangles<br>K<sub>i</sub>, m<sub>1</sub>=2, n<sub>1</sub>=3</td><td>m=0 ; o(h)<br>{P<sub>1</sub>(K̂<sub>i</sub>)-unisolvant et ∀φ∈P<sub>1</sub>(K̂<sub>i</sub>), E(φ)=0}<br>ou<br>{∀φ∈P<sub>2</sub>(K̂<sub>i</sub>), E(φ)=0}<br>Schémas 7 ou 8 ou 9, 3 pts. (sur chaque K̂<sub>i</sub>)<br>ū ∈ (H<sup>2</sup>)<sup>2</sup> × H<sup>4</sup>, A<sub>IJ</sub>∈ W<sup>1,∞</sup>, f<sup>i</sup>∈ W<sup>1,q</sup>, q > 2.</td><td>m=0 ; o(h)<br>{P<sub>1</sub>(K̂<sub>i</sub>)-unisolvant et ∀φ∈P<sub>1</sub>(K̂<sub>i</sub>), E(φ)=0}<br>ou<br>{∀φ∈P<sub>2</sub>(K̂<sub>i</sub>), E(φ)=0}<br>Schémas 7 ou 8 ou 9, 3 pts. (sur chaque K̂<sub>i</sub>)<br>ū ∈ (H<sup>2</sup>)<sup>2</sup> × H<sup>3</sup>, A<sub>IJ</sub>∈ W<sup>1,∞</sup>, f<sup>i</sup>∈W<sup>1,q</sup>, q > 2.</td></tr><tr><td>LAGRANGE de type 1<br>Le quadrilatère est décomposé en 2 triangles et à chacun des triangles on associe un élément fini I-LAGRANGE<br>m<sub>1</sub>=n<sub>1</sub>=1</td><td>m=0 ; o(h)<br>{P<sub>1</sub>(K̂<sub>i</sub>)-unisolvant et ∀φ∈P<sub>1</sub>(K̂<sub>i</sub>), E(φ)=0}<br>ou<br>{∀φ∈P<sub>2</sub>(K̂<sub>i</sub>), E(φ)=0}<br>Schémas 7 ou 8 ou 9, 3 pts. (sur chaque K̂<sub>i</sub>)<br>ū ∈ (H<sup>2</sup>)<sup>2</sup> × H<sup>4</sup>, A<sub>IJ</sub>∈ W<sup>1,∞</sup>, f<sup>i</sup>∈ W<sup>1,q</sup>, q > 2.</td><td>m=0 ; o(h)<br>{P<sub>1</sub>(K̂<sub>i</sub>)-unisolvant et ∀φ∈P<sub>1</sub>(K̂<sub>i</sub>), E(φ)=0}<br>ou<br>{∀φ∈P<sub>2</sub>(K̂<sub>i</sub>), E(φ)=0}<br>Schémas 7 ou 8 ou 9, 3 pts. (sur chaque K̂<sub>i</sub>)<br>ū ∈ (H<sup>2</sup>)<sup>2</sup> × H<sup>3</sup>, A<sub>IJ</sub>∈ W<sup>1,∞</sup>, f<sup>i</sup>∈W<sup>1,q</sup>, q > 2.</td></tr></tbody></table>

(Successivement, dans chaque cas : (i) m=-1+min(m<sub>1</sub>,m<sub>2</sub>-1) ; (ii) l'estimation d'erreur o(h<sup>m+1</sup>) ; (iii) les hypothèses sur les schémas d'intégration numérique ; (iv) le nombre de noeuds de schémas convenables ; (v) les hypothèses de régularité sur ū, A<sub>IJ</sub>, f<sup>i</sup>).
### 3.7. EXEMPLES DE SCHEMAS D'INTEGRATION NUMERIQUE APPROPRIES :

Nous rassemblons dans ce paragraphe des schémas d'intégration numérique vérifiant les conditions formulées dans les Figures 3.6-1 à 3.6-4. Ces schémas sont de 3 types :

#### (i) Schémas sur un triangle $\hat{K}$ : Deux types de conditions sont alors à remplir.
D'une part, le schéma doit être exact pour les polynômes d'un certain degré, d'autre part, les noeuds d'un tel schéma doivent contenir un ensemble $P_k$-unisolvant. La première condition est classique ; parmi tous les schémas qui la satisfont, il s'agit alors de retenir le ou les schémas les plus simples qui vérifient la seconde de ces deux conditions. Mais il y a lieu de penser qu'une étude directe de schémas spécifiques peut apporter, dans certains cas, quelques simplifications.

#### (ii) Schémas sur les "macroéléments" ou éléments "composites" :
Dans ce cas, les conditions sur les schémas d'intégration numérique sont à vérifier sur chacun des triangles élémentaires $\hat{K}_i$ composant l'élément $\hat{K}$.
Ces conditions sont du type de celles énoncées en (i). L'intégration numérique s'effectue sur chaque triangle $\hat{K}_i$ séparément, puis on obtient la matrice de rigidité de l'élément $K = \bigcup_i K_i$ par assemblage de ces résultats partiels. La matrice de rigidité globale est alors obtenue de manière classique par un nouvel assemblage.

#### (iii) Schémas pour le rectangle de Bogner-Fox et Schmit :
Nous sélectionnons ici un schéma selon les principes énoncés en (i), l'ensemble $\hat{K}$ étant cette fois-ci un rectangle.

Nous indiquons pour chacun des schémas suivants, la référence, le degré des polynômes exactement intégrés, le nombre de noeuds du schéma et éventuellement les propriétés de $P_k$-unisolvance vérifiées par l'ensemble des noeuds du schéma. Pour simplifier la présentation des résultats (cf. Figure 3.6-1 à 3.6-4) nous désignons ces schémas par "SCHEMA" suivi d'un numéro.

Dans tous les cas S désigne l'aire de l'élément considéré.
LYNESS-JESPERSEN [1, page 30] ;
SCHEMA 1
Exact pour les polynômes de degré 8, 16 noeuds.

SCHEMA 1

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

16 noeuds

<table><caption>Figure 3.7-1</caption><thead><tr><th>Coordonnées barycentriques (ζ₁,ζ₂,1-ζ₁-ζ₂)</th><th>Ordre de Multiplicité</th><th>Poids (à multiplier par S)</th></tr></thead><tbody><tr><td>3.3333333333333Q-01</td><td>1</td><td>1.44315607677862Q-01</td></tr><tr><td>8.141482341455413Q-02</td><td>3</td><td>9.50916342672850Q-02</td></tr><tr><td>8.989055433659379Q-01</td><td>3</td><td>3.245849762319813Q-02</td></tr><tr><td>6.588613844964797Q-01</td><td>3</td><td>1.032173705347184Q-01</td></tr><tr><td>8.394777409957211Q-03</td><td>6</td><td>2.72303141744349Q-02</td></tr></tbody></table>
$$
\begin{array}{l}
\textbf{SCHEMA 2} \\
\left\{
\begin{array}{l}
\text{LYNESS-JESPERSEN [1, Page 30]} \\
\text{Exact pour les polynômes de degré 7, 16 points,} \\
\text{L'ensemble des noeuds d'intégration contient un sous-ensemble} \\
\text{$P_4$-unisolvant (par exemple l'ensemble des noeuds privé du centre} \\
\text{de gravité)}
\end{array}
\right.
\end{array}
$$

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>SCHEMA 2</figcaption></figure>

16 noeuds

<table><thead><tr><th>Coordonnées barycentriques (ζ₁, ζ₂, 1-ζ₁-ζ₂)</th><th>Ordre de Multiplicité</th><th>Poids (à multiplier par S)</th></tr></thead><tbody><tr><td>3.33333333333333Q-01</td><td>1</td><td>1.763126156005252Q-01</td></tr><tr><td>1.000000000000000Q+00</td><td>3</td><td>4.03633844256103Q-03</td></tr><tr><td>6.901278795524791Q-01</td><td>3</td><td>1.166520585899031Q-01</td></tr><tr><td>6.169850771237593Q-02</td><td>3</td><td>1.065039918141740Q-01</td></tr><tr><td>0.0</td><td>6</td><td>2.36850363099265Q-02</td></tr></tbody></table>
SCHEMA 3

COWPER [1] et LYNESS-JESPERSEN [1]

Exact pour les polynômes de degré 6, 12 noeuds.

SCHEMA 3

12 noeuds

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

<table><caption>Figure 3.7-3</caption><thead><tr><th>Coordonnées barycentriques (ζ₁, ζ₂, 1-ζ₁-ζ₂)</th><th>Ordre de Multiplicité</th><th>Poids (à multiplier par S)</th></tr></thead><tbody><tr><td>5.014265096581342Q-01</td><td>3</td><td>1.167862757263407Q-01</td></tr><tr><td>8.738219710169965Q-01</td><td>3</td><td>5.08449063702055Q-02</td></tr><tr><td>6.365024991213939Q-01</td><td>6</td><td>8.28510756183929Q-02</td></tr></tbody></table>

Remarque 3.7-1

Nous utilisons le SCHEMA 3 lorsque l'espace $V_{h1}$ est construit à partir d'éléments finis d'Hermite de type 3 ou de Lagrange de type 2 et lorsque l'espace $V_{h2}$ est construit à partir d'éléments finis du type ARGYRIS ou BELL. Alors, les schémas d'intégration numérique doivent vérifier les critères suivants :

{l'ensemble des noeuds d'intégration contient un sous-ensemble $P_3$-unisolvant
et $\forall \hat{\phi} \in P_5(\hat{K}), \hat{E}(\hat{\phi})=0$}

ou

{ $\forall \hat{\phi} \in P_6, \hat{E}(\hat{\phi})=0$}.

Il est proposé dans LYNESS-JESPERSEN [1, page 29] un schéma exact pour les polynômes de degré 5 et comportant 10 noeuds répartis sur les trois médianes du triangle. Ce schéma ne peut pas être utilisé ici car il ne contient pas de sous-ensemble $P_3$-unisolvant ; en effet, le produit des équations de trois médianes est un polynôme de degré 3 qui s'annule en tous les noeuds d'intégration sans être identiquement nul. Cette remarque vaut également pour le SCHEMA 4. ■
SCHEMA 4

LYNESS-JESPERSEN [1]

Exact pour les polynômes de degré 6, 13 noeuds.

SCHEMA 4

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

13 noeuds

<table><thead><tr><th>Coordonnées barycentriques (ζ₁, ζ₂, 1-ζ₁-ζ₂)</th><th>Ordre de multiplicité</th><th>Poids (à multiplier par S)</th></tr></thead><tbody><tr><td>3.33333333333333Q-01</td><td>1</td><td>1.527089667883523Q-01</td></tr><tr><td>5.233837209269747Q-02</td><td>3</td><td>9.81358680788921Q-02</td></tr><tr><td>6.557646607383649Q-01</td><td>3</td><td>1.295684292806255Q-01</td></tr><tr><td>0.0</td><td>6</td><td>2.73630235221825Q-02</td></tr></tbody></table>
### SCHEMA 5

Ce schéma doit être utilisé sur chacun des trois triangles élémentaires $\hat{K}_i$ constituant l'élément de HSIEH-CLOUGH-TOCHER, ou sur chacun des quatre triangles élémentaires constituant l'élément de F. de VEUBEKE-SANDER.

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

STROUD [1, page 308]

Exact pour les polynômes de degré 3, 7 noeuds

L'ensemble des noeuds d'intégration contient un ensemble $P_2$-unisolvant

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Figure 3.7-5</figcaption></figure>

La propriété de $P_2$-unisolvance est immédiate si l'on remarque que dans l'ensemble des noeuds d'intégration on trouve les 6 noeuds de l'élément fini de Lagrange de type 2.
### SCHEMA 6

Ce schéma doit être utilisé sur chacun des trois triangles élémentaires $\hat{K}_i$ constituant l'élément de HSIEH-CLOUGH-TOCHER, ou sur chacun des quatre triangles élémentaires constituant l'élément de F. de VEUBEKE-SANDER.

LYNESS-JESPERSEN [1]

Exact pour les polynômes de degré 4, 6 noeuds.

### SCHEMA 6

6 noeuds

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

<table><caption>Figure 3.7-6</caption><thead><tr><th>Coordonnées barycentriques (ζ₁, ζ₂, 1-ζ₁-ζ₂)</th><th>Ordre de Multiplicité</th><th>Poids (à multiplier par S)</th></tr></thead><tbody><tr><td>8.168475729804585Q-01 9.157621350977073Q-02</td><td>3</td><td>1.099517436553218Q-01</td></tr><tr><td>1.081030181680702Q-01 4.459484909159649Q-01</td><td>3</td><td>2.233815896780115Q-01</td></tr></tbody></table>
### SCHEMA 7

Ce schéma doit être utilisé sur chacun des trois triangles élémentaires $\hat{K}_i$ constituant l'élément de HSIEH-CLOUGH-TOCHER, ou sur chacun des quatre triangles élémentaires constituant l'élément de F. de VEUBEKE-SANDER.

* HAMMER-STROUD [1], STROUD [1, page 307]

* Exact pour les polynômes de degré 2, 3 noeuds

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Figure 3.7-7</figcaption></figure>

### SCHEMA 8

Ce schéma doit être utilisé sur chacun des trois triangles élémentaires $\hat{K}_i$ constituant l'élément de HSIEH-CLOUGH-TOCHER, ou sur chacun des quatre triangles élémentaires constituant l'élément de F. de VEUBEKE-SANDER.

* COWPER [1], STROUD [1]

* Exact pour les polynômes de degré 2, 3 noeuds

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>Figure 3.7-8</figcaption></figure>
SCHEMA 9

Ce schéma doit être utilisé sur chacun des trois triangles élémentaires $\hat{K}_1$ constituant l'élément de HSIEH-CLOUGH-TOCHER, ou sur chacun ces quatre triangles élémentaires constituant l'élément de F. de VEUBEKE-SANDER.

STROUD [1],
Exact pour les polynômes de degré 1, 3 noeuds, l'ensemble des
noeuds d'intégration est $P_1$-unisolvant.

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>Figure 3.7-9</figcaption></figure>
SCHEMA 10

Formule produit de Gauss, STROUD [1, page 255] ;
Exact pour les polynômes de degré 7, 16 points ;
L'ensemble des noeuds d'intégration contient un sous-ensemble
$Q_3 \cap P_5$-unisolvant.

Posons :

$$r = \sqrt{\frac{15-2\sqrt{30}}{35}}, \quad s = \sqrt{\frac{15+2\sqrt{30}}{35}}$$

$$B_1 = \frac{59+6\sqrt{30}}{864} \text{ s, } \quad B_2 = \frac{59-6\sqrt{30}}{864} \text{ s, } \quad B_3 = \frac{49}{864} \text{ s}$$

Alors, sur le rectangle de base $\hat{K}$ (cf. Exemple 2.3-5) de sommets (0,0), $(\lambda,0)$, $(\lambda,\mu)$, $(0,\mu)$ on obtient le schéma suivant :

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>SCHEMA 10</figcaption></figure>

<table><caption>Figure 3.7-10</caption><thead><tr><th>Coordonnées des noeuds<br>abcisses</th><th>ordonnées</th><th>Multiplicité</th><th>Poids</th></tr></thead><tbody><tr><td>Noeud 1 : <sup>1+r</sup>&frasl;<sub>2</sub> λ</td><td><sup>1+r</sup>&frasl;<sub>2</sub> μ</td><td>4</td><td>B<sub>1</sub></td></tr><tr><td>Noeud 2 : <sup>1+s</sup>&frasl;<sub>2</sub> λ</td><td><sup>1+r</sup>&frasl;<sub>2</sub> μ</td><td>4</td><td>B<sub>3</sub></td></tr><tr><td>Noeud 3 : <sup>1+s</sup>&frasl;<sub>2</sub> λ</td><td><sup>1+s</sup>&frasl;<sub>2</sub> μ</td><td>4</td><td>B<sub>2</sub></td></tr><tr><td>Noeud 4 : <sup>1+r</sup>&frasl;<sub>2</sub> λ</td><td><sup>1+s</sup>&frasl;<sub>2</sub> μ</td><td>4</td><td>B<sub>3</sub></td></tr></tbody></table>

Ce schéma est déduit par transformation affine du schéma proposé par STROUD. Il est symétrique par rapport aux deux droites d'équations $\hat{x}_1 = \frac{\lambda}{2}$ et $\hat{x}_2 = \frac{\mu}{2}$. La propriété de $Q_3 \cap P_5$ unisolvance a été vérifiée numériquement.
REMERCIEMENTS

Nous exprimons notre gratitude à M. le Professeur P.G. CIARLET qui nous a prodigué conseils et encouragements au cours de la réalisation de ce travail.

La présentation matérielle est due à la patience et au dévouement de
Madame F. WEBER.
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