# Optimisation multi-fidélité basée sur une approche Gappy-POD. Application à l'écoulement transonique autour de l'aile RAE-2822

Tariq Benamara, Caroline Sainvitu, Piotr Breitkopf, Mickaël Meunier, Jean

Coussirou

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Tariq Benamara, Caroline Sainvitu, Piotr Breitkopf, Mickaël Meunier, Jean Coussirou. Optimisation multi-fidélité basée sur une approche Gappy-POD. Application à l'écoulement transonique autour de l'aile RAE-2822. 12e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2015, Giens, France. hal-01516443

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# Optimisation multi-fidélité basée sur une approche Gappy-POD.
## Application à l'écoulement transonique autour de l'aile RAE-2822

T. Benamara<fnref n="1" />, C. Sainvitu<fnref n="2" />, P. Breitkopf<fnref n="1" />,
M. Meunier<fnref n="3" />, J. Coussirou<fnref n="3" />

**Résumé** — L'optimisation de systèmes complexes fait largement appel à des méthodes de simulation très coûteuses. Dans cette optique, les méthodes de réduction de dimensionnalité ouvrent de nouvelles solutions. Les procédés de conception ingénieurs étant souvent intrinsèquement multi-fidélité, le couplage du potentiel de simplification physique de la décomposition orthogonale aux valeurs propres à des méthodes d'optimisation multi-fidélité est ici proposé. Ces méthodes seront appliquées à l'optimisation de l'aile RAE-2822 en écoulement transonique.

**Mots clés** — Optimisation multi-fidélité, Décomposition Orthogonale aux valeurs Propres, Gappy-POD.

## 1 Introduction

Le recours à la simulation numérique de systèmes complexes a connu une très nette augmentation depuis les deux dernières décennies. Malgré la performance des architectures de calcul récentes, le couplage de codes de simulation haute précision à des codes d'optimisation, permettant une nette réduction des cycles de conception, représente encore un défi majeur à l'heure actuelle. Dans ce contexte, les techniques d'optimisation multi-fidélité, et de réduction de dimensionnalité permettant la concentration des efforts sur les éléments influents du phénomène physique étudié, voient leur popularité croître constamment au cours des dernières décennies.

L'objectif de ce travail, est de proposer une méthodologie permettant simultanément de concentrer les efforts sur les éléments dominant en premier lieu le phénomène physique considéré et de réaliser une optimisation à plusieurs niveaux de fidélité. Après une présentation de l'optimisation multi-fidélité et de l'application aérodynamique choisie, la méthode de "Décomposition Orthogonale aux valeurs Propres" (POD) et son extension aux données incomplètes (Gappy-POD) sont brièvement décrites. Enfin, les intérêts liés au couplage entre ces deux techniques sont présentés au travers de l'application proposée.

## 2 Optimisation Multi-Fidélité

L'optimisation multi-fidélité peut être vue comme l'intégration du processus de conception partant d'une définition grossière avant la mise en place de calculs plus fins, au sein d'une boucle d'optimisation automatisée. Dans la littérature, plusieurs approches cohabitent mais seule sera ici présentée l'optimisation assistée par méta-modèles fusionnant l'information obtenue par des codes de simulation ou des expériences à différents niveaux de précision et donc de coût [6].

Tout comme les modèles d'ordre réduit présentés dans la section suivante, les méta-modèles multi-fidélité sont classifiés parmis les approximations basées sur la physique sous-jacente (voir Keane et Nair [7]). La méthode la plus utilisée dans ce contexte est le co-Kriging, présentée entre autres par Kennedy et O'Hagan en 2000 [8], et notamment appliquée à des simulations basées sur des discrétisations plus ou moins fines. Cette méthode se limite néanmoins à l'approximation de grandeurs scalaires et ne permet pas de traiter des champs vectoriels. La modélisation par co-Kriging est utilisée comme point de

<footnote n="1">¹ Laboratoire Roberval, Université Technologique de Compiègne, {tariq.benamara, piotr.breitkopf}@utc.fr</footnote>

<footnote n="2">² Minamo Team, Cenaero, caroline.sainvitu@cenaero.be</footnote>

<footnote n="3">³ Méthodes Aérodynamiques, Snecma Villaroche, {mickael.meunier, jean.coussirou}@snecma.fr</footnote>
comparaison pour la méthode développée au cours de ce travail.

Une application courante de l'approche multi-fidélité concerne l'optimisation d'ailes, d'abord étudiées via la théorie des "surfaces portantes", avant le passage à des méthodes de simulation plus coûteuses telles que les méthodes RANS, URANS ou LES. Nous proposons d'étudier la modélisation multi-fidélité de l'aile RAE-2822 [3] (voir Figure 1) sous faibles incidences $-5° < \alpha < +5°$ et nombre de Mach $0.55 < M < 0.75$. Un calcul Xfoil [4] avec hypothèse d'écoulement potentiel et correction visqueuse en proche paroi sert de modèle basse-fidélité et une simulation d'écoulement visqueux via une approche RANS 2D avec modèle de Spalart-Allmaras à l'aide du code elsA [2] constitue la solution haute-fidélité.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Répartition du nombre de Mach autour de l'aile RAE-2822 à $\alpha = 2.79°$ et $M_\infty = 0.73$.</figcaption></figure>

Les grandeurs d'intérêt à reconstruire comprennent le vecteur distribution du coefficient de pression d'une part et les coefficients de portance et de trainée d'autre part.

# 3 Décomposition Orthogonale aux valeurs Propres

## 3.1 Introduction

Historiquement, la POD a été utilisée en simulation des écoulements turbulents par Lumley en 1967 [9]. Cette méthode proche de l'Analyse en Composantes Principales (PCA) et de la Décomposition en Valeurs Singulières (SVD) permet d'extraire les structures cohérentes d'un écoulement. La méthode des "snapshots", présentée par Sirovich [10], permet l'extraction de la base de vecteurs orthogonaux optimale pour la représentation des structures dominantes observables au sein d'un nombre prédéfini de clichés simulés pour des champs vectoriels de grande taille.

Considérons une fonction $S$ de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}^m$, donnée par exemple par la résolution numérique des équations de Navier-Stokes. Cette méthode se base sur l'évaluation de $n$ solutions réparties dans l'espace de conception de dimension $d$. Ces solutions, dénommées "snapshots", sont notées $\mathbf{u}_i = S(\mathbf{x}_i)$ avec $i \in [1, n]$ et typiquement $d \ll n \ll m$.

Les vecteurs propres de la base POD sont calculés via une SVD donnée par l'équation $\mathbf{U} = \mathbf{\Phi}\mathbf{D}\mathbf{V}^T$, avec $\mathbf{U}$ la matrice de "snapshots", $\mathbf{\Phi} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ la matrice contenant les vecteurs propres "gauches" du système, et $\mathbf{V} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ les vecteurs propres "droits". La matrice $\mathbf{D}$ est diagonale de taille $n \times n$ à valeurs réelles positives $\sqrt{\lambda_i}$ appelées valeurs propres. La reconstruction d'un champ, contenu ou non dans la base de données de construction, est alors réalisée à l'aide de l'Équation (1),

$$ \mathbf{u} = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \phi_i . \qquad (1) $$

Les termes $\alpha_i$ correspondent aux coefficients de projection du cliché courant dans la base POD, alors que les $\phi_i$ sont les vecteurs colonne de la matrice $\mathbf{\Phi}$. De nombreux articles mentionnent notamment l'application de la SVD sur une matrice contenant les champs vectoriels auxquels est retranché le champ moyen. De plus, une réduction de la dimension du problème peut être réalisée en ne retenant que les vecteurs propres correspondant aux valeurs propres les plus élevées comme expliqué dans [1].
## 3.2 Extension aux données incomplètes

Issue en premier lieu du traitement d'images [5] et utilisée dans l'analyse de données expérimentales [1], la POD associée à des données incomplètes (Gappy-POD) permet de reconstruire des données manquantes suite à des défaillances, par exemple de capteurs, à partir de l'information exploitable.

Cette méthode se base sur un opérateur de projection des vecteurs contenant des données incomplètes $(\mathbf{u}, \mathbf{v})_h$, avec $\mathbf{h}$ le masque situant les données manquantes ou erronnées. L'Equation (2) donne le vecteur $\mathbf{b}$ des coefficients de projection dans la base POD avec $f_i = (\mathbf{g}, \mathbf{\Phi}_i)_h$ et $M_{i,j} = (\mathbf{\Phi}_i, \mathbf{\Phi}_j)_h$.

$$ M \mathbf{b} = \mathbf{f}. \qquad (2) $$

La Gappy-POD permet alors la reconstruction du champ complet $\mathbf{g}$ dans la base POD via l'Equation (3) avec $\tilde{\mathbf{g}} = \sum_{i=1}^{n} b_i \mathbf{\Phi}_i$,

$$ g_i = \begin{cases} \tilde{g}_i & \text{si la donnée est manquante} \\ u_i & \text{sinon} \end{cases}. \qquad (3) $$

# 4 Méta-modèle de fusion de données par Gappy-POD

La génération d'un méta-modèle multi-fidélité basé sur la Gappy-POD a été proposée par Toal [11] en 2014. L'application choisie concerne l'écoulement subsonique et sous faible incidence autour de l'aile NACA-0012. Ses résultats illustrent la bonne reconstruction des coefficients de portance et de trainée à partir de l'approximation via un code panneaux d'une simulation RANS 2D. La plage de variation de l'angle d'incidence étant restreinte, le coefficient de portance est très bien prédit par le code basse-fidélité et seul le coefficient de trainée est réellement problématique. En revanche, il est montré par Toal [11] que l'augmentation de l'angle d'incidence fait apparaître des phénomènes de séparation sur l'extrados invisibles sur la solution basse-fidélité.

Dans le cas que nous souhaitons présenter, l'apparition de chocs sur l'extrados (voir Figure 1) réduit grandement la qualité de la prédiction basse-fidélité dans les zones à nombre de Mach élevé. Ainsi, on peut observer sur la Figure 2 que l'augmentation du nombre de Mach a tendance à accroître l'erreur de reconstruction du coefficient de pression sur le profil via la Gappy-POD. Le plan d'expériences servant à l'entraînement de la base POD comporte 10 points répartis par la méthode d'échantillonnage "Latinized Centroidal Voronoi Tesselation" (LCVT) dans le plan $M-\alpha$, 14 points supplémentaires sont calculés dans ce même plan et servent de validation à la reconstruction proposée. La zone $0.7 < M \cap 1.5 < \alpha$ correspond à des écoulements localement supersoniques présentant une erreur de reconstruction importante comme le montrent les expériences 11 et 22.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Répartition dans le plan $M-\alpha$ de l'erreur relative moyenne entre les coefficients de pression calculés par elsA et prédits via Gappy-POD.</figcaption></figure>

Les données utilisées pour effectuer la reconstruction du profil de pression (cf Figure 3) comprennent l'intégralité des valeurs de coefficient de pression sur le profil basse-fidélité (points rouges) alors que la
totalité des valeurs de pression issues du calcul haute-fidélité sont supposées inaccessibles (+ noirs). Chaque cliché est constitué de la concaténation des distributions des coefficients de pression basse- et haute-fidélité. L'erreur relative moyenne est alors calculée entre la prédiction de ces données manquantes et les valeurs obtenues à l'aide du calcul *elsA*.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Distribution du coefficient de pression basse- et haute-fidélité et de sa reconstruction via POD et Gappy-POD pour l'expérience 22.</figcaption></figure>

On peut notamment relever l'expérience 22 sur la Figure 2, dont l'écoulement présente un choc à environ 50% de corde (voir Figure 3). Ce phénomène n'étant pas prédit par le calcul *Xfoil*, la reconstruction à partir des données basse-fidélité est de qualité réduite (courbe turquoise). La Figure 3 superpose les reconstructions sur base des données complètes et incomplètes ainsi que le profil de pression haute-fidélité. Le profil POD (courbe verte) correspond aux coefficients obtenus en projetant la solution réelle dans la base POD.

Après présentation de la méthode de reconstruction multi-fidélité des champs aérodynamiques haute-fidélité, la géométrie de l'aile RAE-2822 sera modifiée au sein d'une boucle d'optimisation afin de minimiser la trainée à coefficient de portance imposé.

Références

[1] T. Bui-Thanh, K. Willcox. *Aerodynamic data reconstruction and inverse design using proper orthogonal de-composition*, AIAA Journal, AIAA, 1505-1516, 2004.

[2] L. Cambier, S. Heib, S. Plot. *The Onera elsA CFD software : input from research and feedback from industry*, Mechanics & Industry, Cambridge University Press, 159-174, 2013.

[3] P.H. Cook, M.A. McDonald, M.C.P. Firmin. *Aerofoil RAE 2822 - pressure distributions, and boundary layer and wake measurements*, AGARD Report AR 138, 1979.

[4] M. Drela. *XFOIL: An Analysis and Design System for Low Reynolds Number Airfoils*, Low Reynolds Number Aerodynamics, Springer Berlin Heidelberg, 1-12, 1989.

[5] R. Everson, L. Sirovich. *Karhunen-Loeve procedure for gappy data*, Journal of the Optical Society of America A, Optical Society of America, 1657-1664, 1995.

[6] A.J. Keane. *Wing optimization using design of experiment, response surface, and data fusion methods*, Journal of Aircraft, AIAA, 741-750, 2003.

[7] A.J. Keane, P.B. Nair. *Computational Approaches for Aerospace Design : The Pursuit of Excellence*, Wiley & Sons, 2005.

[8] M.C. Kennedy, A. O'hagan. *Predicting the output from a complex computer code when fast approximations are available*, Biometrika, Oxford University Press, 1-13, 2000.

[9] J.L. Lumley. *The structure of inhomogeneous turbulent flows*, Atmospheric turbulence and radio propagation, Nauka, 166-178, 1967.

[10] L. Sirovich. *Turbulence and the Dynamics of Coherent Structures, Part 1 : Coherent Structures*, Brown University, Division of Applied Mathematics, 1987.

[11] D. Toal. *On the potential of a multi-fidelity G-POD based approach for optimization & uncertainty quantification*, Proceedings of ASME Turbo Expo 2014, ASME, 1-14, 2014.