Enfin, la fonction $g$ est une homéomorphie sur $\mathcal{C}-F$. En effet, la condition $\lim_{x_n \to x} g(x_n) = g(x)$ entraîne

$$ \lim_{x_n \to x} \delta(x_n) = \delta(x) \quad \text{et} \quad \lim_{x_n \to x} x_n \cdot \delta(x_n) = x \cdot \delta(x). $$

En supposant que $g(x) \in g(\mathcal{C}-F)$, on a $\delta(x) \neq 0$, d'où $\delta(x_n) \neq 0$ pour $n$ suffisamment grand et par conséquent

$$ \lim_{x_n \to x} x_n \cdot \delta(x_n) = \lim_{x_n \to x} \frac{x_n \cdot \delta(x_n)}{\delta(x_n)} = x. $$

2. De là résulte facilement un cas particulier de votre théorème, à savoir:

Soit $f_0$ une transformation continue d'un sous-ensemble fermé $F$ de l'espace métrique $\mathcal{C}$ en l'espace métrique séparable $\mathcal{S}=f_0(F)$. $\mathfrak{Z}$ désignant l'espace de Hilbert, il existe une transformation continue de l'espace $\mathcal{C}$ tout entier en un sous-ensemble du produit cartésien $\mathfrak{Z} \times \mathcal{S} \times \mathcal{L}$ qui coïncide avec $f_0$ sur $F$ et qui est une homéomorphie sur $\mathcal{C}-F$.

En effet, en considérant $\mathcal{S}$ comme sous-ensemble de $\mathfrak{Z}$ et en désignant par $f$ une extension continue de la fonction $f_0$ (telle que $f(\mathcal{C}) \subset \mathfrak{Z}$), on définit $g$ comme auparavant.

Bien entendu, au lieu de supposer que l'espace $\mathcal{S}$ est séparable, on peut admettre qu'il en est ainsi de l'espace $\mathcal{C}$, puisqu'une image continue d'un espace métrique séparable est toujours séparable.

3. Le cas particulier où la fonction $f_0$ est constante sur $F$ se prête à des applications fréquentes. Il signifie que, étant donné dans un espace $\mathcal{C}$ un sous-ensemble fermé $F$, on peut réduire $F$ en un seul point par une transformation continue qui est une homéomorphie sur $\mathcal{C}-F$. En supposant l'espace $\mathcal{C}$ séparable, on obtient directement ce théorème par la méthode des décompositions semi-continues: $\mathcal{C}$ étant supposé immergé dans l'espace compact $\mathfrak{Z}$ de Hilbert, la décomposition de $\mathfrak{Z}$ en points individuels de $\mathfrak{Z}-\bar{F}$ et en $\bar{F}$ (où $\bar{F}$ désigne la fermeture de $F$ dans $\mathfrak{Z}$) est semi-continue; il existe par conséquent une fonction continue $g$ définie sur $\mathfrak{Z}$, constante sur $\bar{F}$ et biunivoque sur $\mathfrak{Z}-\bar{F}$; comme $\bar{F} \cdot \mathcal{C}=F$, la fonction $g$ transforme $\mathcal{C}$ de la façon demandée.

## Remarques sur les transformations continues des espaces métriques.

Par

Casimir Kuratowski (Warszawa).

(Extrait d'une lettre adressée à M. F. Hausdorff).

Voici quelques remarques concernant les résultats contenus dans votre Note „Erweiterung einer stetigen Abbildung“, parue dans ce volume.

1. Soit $f$ une transformation continue d'un espace métrique $\mathcal{C}$ en un espace métrique $\mathfrak{Z}$. Désignons par $\mathcal{L}$ un espace linéaire (vectoriel normé) contenant topologiquement $\mathcal{C}$ (p. ex. l'espace des fonctions continues à valeurs réelles définies sur $\mathcal{C}^1$)) et par $\mathcal{E}$ l'espace des nombres réels. A chaque sous-ensemble fermé $F$ de $\mathcal{C}$ correspond alors une transformation continue $g$ de $\mathcal{C}$ en un sous-ensemble du produit cartésien $\mathfrak{Z} \times \mathcal{E} \times \mathcal{L}$ qui coïncide avec $f$ sur $F$ et qui est une homéomorphie sur $\mathcal{C}-F$.

A savoir, $g$ est la fonction définie pour chaque $x \in \mathcal{C}$ par l'égalité

$$ g(x)=[f(x), \delta(x), x \cdot \delta(x)], $$

$\delta(x)$ désignant la distance du point $x$ à l'ensemble $F$, $\mathfrak{Z}$ étant identifié avec l'„axe“ $\mathfrak{Z} \times 0 \times 0$ et $\mathcal{C}$ étant considéré comme sous-ensemble de $\mathcal{L}$.

**Démonstration.** On a d'abord, pour $x \in F$, l'égalité $\delta(x)=0$, d'où $g(x)=[f(x),0,0]$. Puis, la fonction $g$ est biunivoque sur $\mathcal{C}-F$, car la condition $g(x)=g(x')$ entraîne les égalités $\delta(x)=\delta(x')$ et $x \cdot \delta(x)=x' \cdot \delta(x')$ et, comme $\delta(x) \neq 0$ pour $x \in \mathcal{C}-F$, il vient $x=x'$.

<footnote n="1">1) Voir ma note des Fund. Math. 25 (1935), p. 543.</footnote>