нутая на угол $\beta$ касательная отсекает дугу величины $2\beta$. ◁

Утверждение предыдущей задачи можно сформулировать так: угол между касательной и хордой, выходящей из точки касания, равен половине дуги, отсекаемой хордой.

**421.** Нарисована окружность, треугольник с вершинами на этой окружности и прямая, касающаяся окружности в одной из вершин треугольника. Укажите на этом рисунке две пары равных углов.

▷ См. рисунок: оба отмеченных угла равны половине отмеченной дуги. Аналогично находим ещё одну пару равных углов. ◁

<figure><img src="image_308.png" /></figure>

**422.** Прямая касается окружности. Докажите, что точка касания — ближайшая к центру окружности точка прямой.

▷ Эта задачу мы по существу уже решали (перпендикуляр короче наклонной, задача 331 на с. 96). ◁

**423.** Докажите, что угол $ВМА$ между касательной $МВ$ и секущей $МАС$ равен половине разности дуг $ВС$ и $АВ$.

<figure><img src="image_309.png" /></figure>

▷ В треугольнике $MBA$ угол $M$ равен разности внешнего угла $BAC$ (который есть половина дуги $BC$, так как на неё опирается) и угла $MBA$ (который есть угол между касательной и хордой и равен половине дуги $AB$). ◁

Эта задача является предельным случаем задачи 404, если условно считать, что касательная есть секущая, пересекающая окружность в двух бесконечно близких точках.

**424.** Касательная к окружности в точке $A$ и хорда $BC$ параллельны. Докажите, что дуги $AB$ и $AC$ равны.

<figure><img src="image_310.png" /></figure>

▷ Соединим точку касания с одним из концов хорды, например, с $В$. Тогда внутренние накрест лежащие углы (отмеченные на рисунке) будут равны. Один из них равен половине дуги $AC$ (как вписанный угол, на неё опирающийся), а другой равен
половине дуги АВ (как угол между касательной и хордой). ◁

**425.** Из точки А проведены две касательные к окружности. Докажите, что их отрезки от точки А до точек касания равны.

▷ Соединим центр окружности с точками касания. Получится два прямоугольных треугольника, в которых гипотенуза общая, а катеты равны (как радиусы окружности). Поэтому и другие катеты, то есть интересующие нас отрезки, тоже равны. ◁

<figure><img src="image_311.png" /></figure>

**426.** Дана окружность и точка вне неё. Проведите через точку касательную к окружности, пользуясь циркулем и линейкой.

Первая реакция любого нормального человека: а циркуль-то зачем?! Приложим линейку так, чтобы она проходила через заданную точку и касалась заданной окружности, — вот и всё!

Тем не менее мы обязаны ограничиваться разрешёнными операциями с циркулем и линейкой: прямоугольно проводить через две уже построенные точки, поэтому сначала надо построить точку касания. Покажем, как это сделать (мы приведём два разных способа).

▷ Первый способ. Предположим, что прямая уже построена, и соединим точку касания К с центром окружности О. Получится прямоугольный треугольник АОК (угол К прямой, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). В этом треугольнике нам известны гипотенуза АО и катет ОК (заранее, до построения касательной). Поэтому мы можем построить в сторонке треугольник, равный АОК (см. задачу 168, с. 57), и тем самым найти расстояние АК. Остаётся провести окружность с центром в А и радиусом АК — она пересечёт заданную окружность как раз в точках касания.

<figure><img src="image_312.png" /></figure>

Другой способ состоит в следующем: так как треугольник АКО прямоугольный, то точка К лежит на окружности, построенной на АО как на диаметре. Остаётся пересечь эту окружность с заданной. ◁
427. Даны две точки. Постройте прямую, проходящую через первую точку и отстоящую от второй точки на заданное расстояние.

▷ Эта задача по существу является переформулировкой задачи о построении касательной. Ведь сказать «прямая l отстоит из точки А на расстояние r» — это всё равно что сказать «прямая l касается окружности с центром в А радиуса r». ◁

428. Докажите, что общие внешние касательные к двум окружностям равного радиуса параллельны друг другу и линии центров (прямой, проходящей через центры окружностей). (Прямая называется общей внешней касательной к двум окружностям, если они её касаются и лежат с одной стороны от неё.)

<figure><img src="image_313.png" /></figure>

▷ Докажем, что общая касательная параллельна линии центров. Соединим центры с точками касания. Полученные отрезки равны (как радиусы равных окружностей) и параллельны (как перпендикуляры к общей касательной). Значит, они являются противоположными сторонами параллелограмма, и две другие его стороны тоже параллельны. ◁

Наглядный смысл этой задачи: если поставить шкаф с плоским дном на круглые катки одинакового радиуса, то он будет стоят горизонтально. (Так делают, когда надо передвигать тяжёлые предметы по ровному полу: освободившиеся с одной стороны катки подкладывают с другой.)

429. Две параллельные прямые касаются двух окружностей. Докажите, что радиусы окружностей равны.

<figure><img src="image_314.png" /></figure>

▷ Докажем, что радиус окружности, касающейся двух параллельных прямых, равен половине расстояния между ними (определяемого, напомним, как длина общего перпендикуляра). В самом деле, отрезки, соединяющие центр окружности с точками касания, продолжают друг друга (как перпендикуляры к параллельным прямым) и соединяются в общий перпендикуляр к двум прямым, являющийся диаметром окружности. ◁
Ещё несколько задач

430. Шесть касательных к окружности образуют шестиугольник со сторонами (в порядке обхода по часовой стрелке) a, b, c, d, e, f. Как найти f, если известны a, b, c, d, e?

431. Круговой сектор (часть круга, ограниченную дугой окружности и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром окружности) перекатывают туда-сюда (так что он касается прямой разными точками дуги). По какой траектории движется центр этого сектора?

432. По какой траектории движется центр шестиугольного колеса (см. рисунок), катящегося по прямой?

Оказывается, что катки не обязательно должны быть круглыми, чтобы шкаф катился ровно. Немецкий инженер Рело в конце XIX века заметил, что катки в форме правильного треугольника с выпуклыми боками тоже годятся.

433. Треугольник Рело получится, если взять правильный треугольник ABC и провести дуги BC, AC, AB (с центрами в A, B, C соответственно). Покажите, что он является кривой постоянной ширины: если зажать его между двумя параллельными прямыми, то расстояние между ними будет одно и то же, как его ни поворачивай. Чему равно это расстояние?

Инженер сказал бы, что при измерении диаметра треугольника Рело штангенциркулем (которым обычно измеряют диаметры свёрл, винтов и пр.) результат не зависит от того, в каком направлении мы мерим.

434. По какой траектории будет двигаться центр треугольника Рело, если использовать его в качестве катка?

435. Треугольник Рело можно вращать внутри квадрата, сторона которого равна его ширине, при этом он будет касаться всех четырёх сторон. Будут ли при этом точки на сторонах квадрата, которых он так и не коснётся?

<figure><img src="image_315.png" /></figure>
<figure><img src="image_316.png" /></figure>

<figure><img src="image_317.png" /></figure>

Треугольник Рело — не единственная фигура, которая имеет постоянную (одинаковую во всех направлениях) ширину. Другая кривая постоянной ширины использована в английских монетах. (Постоянная ширина полезна в reduced size и торговых автоматах, при проверке размера брошенной туда монеты.)

436. Попытайтесь по рисунку понять, как строится контур английской монеты.

437. Две окружности касаются прямой в одной и той же точке, но с разных сторон. Из другой точки этой прямой проведены касательные к окружностям (см. рисунок). Докажите, что отрезки этих касательных (до точек касания) равны.

438. На фотографии (которую сделал Owne Вугпе в Сан-Франциско, лицензия Creative Commons) снят люк на улице. Как вы думаете, какова форма этого люка и зачем это может быть нужно?

<figure><img src="image_318.png" /></figure>
## 23. Две окружности

**439.** Даны две концентрические (с общим центром) окружности радиусов $r$ и $R$ (считаем, что $r < R$). Меньшую окружность начинают двигать, увеличивая расстояние $d$ между центрами окружностей. При каком значении $d$ она коснётся большей окружности? Сколько точек пересечения будет у окружностей после этого? Когда они вновь перестанут пересекаться?

<figure><img src="image_319.png" /></figure>

► Удобно провести линию центров — прямую, проходящую через центры окружностей, и считать, что большая окружность неподвижна, а центр меньшей движется по этой прямой. Видно, что когда величина $d$ достигнет разницы радиусов ($R - r$), меньшая окружность упрётся в большую и они будут иметь общую точку на линии центров. Эта точка будет единственной. (Если из рисунка это не ясно, можно рассуждать так. Пусть $O$ — центр большей окружности, $O'$ — центр меньшей. Если $X$ — общая точка окружностей, не лежащая на линии центров, то возникает треугольник $OO'X$; его стороны равны $R, r$ и $d = R - r$, и сторона $R$ равна сумме двух других, что невозможно.)

<figure><img src="image_320.png" /></figure>

$$d = R - r$$

Отодвигая меньшую окружность ещё, мы получим две точки пересечения (часть меньшей окружности находится внутри большей, часть — вне, и точки пересечения разделяют эти части).

<figure><img src="image_321.png" /></figure>

Так будет продолжаться, пока расстояние $d$ не станет равно сумме радиусов — в этот момент обе точки солюются в одну, лежащую на линии центров (см. рисунок), после чего окружности разойдутся и больше не пересекутся. ◁

<figure><img src="image_322.png" /></figure>

$$d = R + r$$

Ответ к этой задаче можно записать в виде таблицы (левая колонка — соотношение между $d, R$ и $r$, правая — число общих точек).

<table><tr><td>$d < R - r$</td><td>0</td></tr><tr><td>$d = R - r$</td><td>1</td></tr></table>
<table><tr><td>R - r &lt; d &lt; R + r</td><td>2</td></tr><tr><td>d = R + r</td><td>1</td></tr><tr><td>d &gt; R + r</td><td>0</td></tr></table>

Когда две окружности имеют одну общую точку (вторая и четвёртая строки таблицы), говорят, что они касаются друг друга. Касание бывает внутренним (одна окружность внутри другой, $d = R - r$) или внешним ($d = R + r$).

Если две окружности касаются, то их единственная общая точка лежит на линии центров, и, проведя через неё перпендикуляр к линии центров, мы получим прямую, которая касается обеих окружностей в этой точке.

<figure><img src="image_323.png" /></figure>

<figure><img src="image_324.png" /></figure>

**440.** Дан круг. Начнём к нему прикладывать круги того же радиуса. Докажите, что поместится ровно 6 таких кругов (они будут касаться данного, а соседние — друг друга, см. рисунок).

▷ Обозначим через $r$ радиус данного круга, а через $O$ — его центр. Тогда центры касающихся его кругов будут лежать на окружности с центром $O$ и радиусом $2r$. Чтобы прикладываемые круги касались друг друга, надо, чтобы расстояние между их центрами также равнялось $2r$. А такая задача у нас уже была: если шесть раз построить хорду, длина которой равна радиусу окружности, то цепочка замкнётся. (Напомним: две соседние точки образуют с центром равносторонний треугольник, поэтому отстоят по окружности ровно на 60°, то есть на шестую часть окружности.) ▷

<figure><img src="image_325.png" /></figure>

Интересно, что аналогичная задача для шаров совсем не проста: великий Ньютон спорил со своим знакомым, можно ли приложить к шару 13 таких же шаров или только 12 — и только в ХХ веке доказали, что 13 шаров приложить нельзя.

С помощью решённой нами задачи можно объяснить, как приложить 12 шаров. Мы видели, что к кругу можно приложить 6 кругов. К каждому из приложенных уже примыкают три круга, добавим еще три и так далее — получатся шестиугольные соты из кругов. Представим себе, что это не круги, а шары, уложенные на ровном столе
(вид сверху). Тогда в луночки между соседними тремя кругами можно уложить такой же шар. Сделав это (не для всех луночек, а через одну — во все не поместятся!), получим второй слой шаров. Он будет иметь такое же строение, что и первый (каждый шар второго слоя касается шести других), и на него можно уложить третий слой. Тогда каждый шар второго слоя касается трёх шаров первого, трёх шаров третьего и шести в своём слое, всего будет 12.

Впрочем, чтобы представить себе описанную укладку шаров, надо иметь хорошее воображение или большой запас шариков для подшипников (для настольного тенниса тоже годятся).

441. Нарисуйте четыре окружности так, чтобы любые две из них касались друг друга внешним образом.

▷ См. рисунок. △

442. Нарисуйте пять окружностей так, чтобы любые две из них касались друг друга.

▷ Эта задача — хорошая шутка, особенно если дать её после предыдущей: можно долго пытаться нарисовать эти окружности и так и этак, и ничего не будет получаться. Подвoux тут в том, что не трёбуется, чтобы касание было внешним, и можно нарисовать сколько угодно окружностей, проходящих через одну точку и касающихся в ней. ▶

Пусть даны две окружности, пересекающиеся в точке Х. Проведём через точку Х касательные к окружностям. Угол между ними называют для краткости углом между окружностями. Аналогично определяется угол между окружностью и прямой.

443. Окружность пересекает прямую в двух точках. Докажите, что она образует равные углы с прямой в этих точках.

▷ Следуя определению угла между прямой и окружностью, проведём две касательные в точках пересечения. Вместе с нашей прямой они образуют равнобедренный треугольник (отрезки касательных равны) и потому углы при его основании равны. ▶

<figure><img src="image_326.png" /></figure>

<figure><img src="image_327.png" /></figure>
Строго говоря, нужно было бы ещё рассмотреть служай, когда касательные параллельны. Но тогда радиусы, проведённые к точкам касания, вместе образуют диаметр, так что угол между прямой и окружностью в обеих точках пересечения будет прямым.

<figure><img src="image_328.png" /></figure>

**444.** Две окружности пересекаются в точке под углом $\alpha$. Найдите угол между радиусами окружностей, проведёнными в точку пересечения.

▷ Проведём две касательные. Вспоминая, что касательная перпендикулярна радиусу, видим, что два прямых угла перекрываются по углу $\alpha$. Значит, нужно их сложить и вычесть $\alpha$, так что искомый угол равен $180^{\circ} - \alpha$. ◁

**445.** Две окружности пересекаются в двух точках. Докажите, что углы, под которыми они пересекаются в этих точках, равны.

<figure><img src="image_329.png" /></figure>

▷ Проведём радиусы в точки пересечения, а также соединим центры окружностей отрезком. Получатся два равных треугольника (по трём сторонам). Поэтому углы между радиусами равны, и остаётся сослаться на предыдущую задачу. ◁

**446.** Даны две окружности. Мы хотим провести общую касательную — прямую, которая касается обеих окружностей. Сколько таких прямых существует? (Ответ зависит от соотношения радиусов окружностей и расстояния между их центрами.)

▷ Пусть радиусы окружностей равны $r$ и $R$ (считаем, что $r < R$), расстояние между их центрами равно $d$.

<figure><img src="image_330.png" /></figure>

(1) Если $d < R - r$, то одна окружность лежит внутри другой и общих касательных нет (любая прямая, касающаяся внутренней окружности, пересекает внешнюю).

<figure><img src="image_331.png" /></figure>

(2) При $d = R - r$ (внутреннее касание окружностей) есть ровно одна общая касательная (проходящая через точку касания окружностей).

<figure><img src="image_332.png" /></figure>

(3) Если окружности пересекаются (это бывает при $R - r < d < R + r$), есть ровно две общие касательные.
(4) Раздвигая центры всё дальше, мы доходим до момента $d = R + r$, в этот момент появляется ещё одна общая касательная, проходящая через точку (внешнего) касания окружностей, и всего касательных будет три.

(5) Наконец, при $d > R + r$ имеется четыре касательных — две внешних и две внутренних. ◁

Общая касательная к двум окружностям бывает внешней (обе окружности лежат по одну сторону от касательной) или внутренней (окружности по разные стороны).

<figure><img src="image_333.png" /></figure>

447. Имеются два круглых забора, огораживающих непересекающиеся круглые участки. Нарисуйте, где находятся точки, из которых один из заборов не виден (то есть второй его полностью заслоняет).

▷ Это — участки области между общими внешними касательными, расположенные вне кругов (если окружности разного размера, то один из них будет ограничен, а другой уходить в бесконечность). ◁

<figure><img src="image_334.png" /></figure>

448. Можно ли нарисовать три непересекающихся (и не касающихся) круга и точку вне этих кругов, для которой круги закрывают весь горизонт (любой луч, выходящий из точки, упирается в один из кругов)? Можно ли сделать то же самое с двумя кругами?

▷ Каждый круг закрывает угол зрения между двумя касательными (см. рисунок). Этот угол меньше 180°, поэтому два круга не могут закрыть весь горизонт (360°).

<figure><img src="image_335.png" /></figure>

А три уже могут. Разделим весь горизонт обозра на три сектора по 120°. Каждый сектор закроем своим кругом. Если все круги взять одного радиуса, то они будут касаться, что не допускается условием. Но радиус мы можем регулировать, приближая или отдаляя круг (и соответственно меняя его размер). Таким образом можно избавиться от пересечения (касания) кругов. После этого даже можно

<figure><img src="image_336.png" /></figure>
чуть-чуть увеличить размеры кругов, чтобы с гарантией перекрыть путь лучам на границе секторов. ◁

**449.** Две точки А и В находятся на расстоянии 8. Сколько существует прямых, которые находятся на расстоянии 5 от точки А и расстоянии 3 от точки B?

▷ Прямая *l* находится на расстоянии *d* от точки А, когда она касается окружности радиуса *d* с центром в А. Поэтому задачу можно переформулировать так: даны две окружности радиусов 3 и 5, расстояние между центрами равно 8. Сколько существует общих касательных?

Эту задачу мы уже решали; так как $3 + 5 = 8$, окружности касаются внешним образом и общих касательных будет три. ◁

**450.** Постройте циркулем и линейкой общую внешнюю касательную к двум данным окружностям (лежащим одна вне другой).

▷ Условие задачи можно перевести на язык расстояний: надо найти прямую, которая отстоит на данные расстояния (радиусы $r_1$ и $r_2$, считаем, что $r_1 > r_2$) от двух данных точек (центры $O_1$ и $O_2$), причём обе точки должны лежать по одну сторону прямой (внешняя касательная).

Пусть такая прямая построена. Что будет, если сдвинуть её на расстояние х (параллельно самой себе)? Расстояния от обеих точек одновременно увеличатся или уменьшатся на х. Приблизим прямую к точкам, сдвинув её на расстояние $r_2$. Расстояние от точки $O_1$ до прямой станет равно $r_1 - r_2$, а расстояние от $O_2$ до прямой обратится в нуль, то есть прямая будет проходить через точку $O_2$. Другими словами, эту сдвинутую прямую можно построить как касательную к данной окружности из данной точки. (Окружность будет радиуса $r_1 - r_2$ с центром в $O_1$, а точка будет $O_2$.)

Теперь ясно, как построить общую касательную. Построим окружность радиуса $r_1 - r_2$ с центром в $O_1$. Проведём через точку $O_2$ касательную к этой окружности (таких касательных существует две).

<figure><img src="image_337.png" /></figure>

<figure><img src="image_338.png" /></figure>
Полученная прямая будет отстоять от точки $O_1$ на расстояние $r_1 - r_2$. Сдвинув её на расстояние $r_2$, получим прямую, которая отстоит на расстояние $r_2$ от точки $O_2$ и на расстояние $(r_1 - r_2) + r_2 = r_1$ от точки $O_1$. Эта прямая и будет общей внешней касательной к окружностям (одной из двух касательных). ◁

## Ещё несколько задач

**451.** Центры трёх окружностей, касающихся парно внешним образом, образуют треугольник со сторонами *a*, *b*, *c*. Найдите (выразите через *a*, *b*, *c*) радиусы этих окружностей.

**452.** Несколько окружностей имеют общую точку и касаются друг друга в этой точке. Докажите, что можно провести отрезок, который пересекает все эти окружности в разных точках, но под одним и тем же углом 50° (см. рисунок).

**453.** Две окружности пересекаются под прямым углом. Докажите, что можно построить третью окружность, которая проходит через центры данных окружностей и через обе точки их пересечения.

**454.** Даны две точки А и В. Сколько существует прямых, которые находятся на расстоянии 5 от точки А и расстоянии 3 от точки В, если расстояние AB равно 1? равно 2? равно 4? равно 6? равно 9?

**455.** Можно ли использовать описанное в задаче 450 построение внешних общих касательных, если две данные нам окружности пересекаются?

**456.** Даны две окружности, лежащие одна вне другой. Как построить (циркулем и линейкой) общие внутренние касательные?

**457.** К двум окружностям, находящимся одна вие другой, проведены внешние общие касательные. На каждой из них отмечен отрезок между двумя точками касания. Покажите, что два отмеченных отрезка равны. (Можно продолжить касательные до пересечения и воспользоваться задачей 425.)

<figure><img src="image_339.png" /></figure>
458 (Продолжение). Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для внутренних общих касательных.

459. Две окружности лежат одна вне другой. Проведены четыре общие касательные (две внешние и две внутренние). Возьмём внешнюю касательную и отрезок на ней между точками касания. Этот отрезок делится внутренними касательными на три части. Докажите, что две крайние части равны.

<figure><img src="image_340.png" /></figure>
## 24. Описанная окружность.
Серединные перпендикуляры

**460.** Даны две точки А и В. Рассмотрим всевозможные окружности, проходящие через обе точки А и В. Где находятся их центры?

▷ Если окружность с центром O проходит через точки А и В, то расстояния OA и OB равны (как радиусы этой окружности). Как мы знаем, в этом случае точка O лежит на серединном перпендикуляре к AB.

Напротив, любая точка O серединного перпендикуляра равноудалена от А и В, и если провести окружность с центром в O и радиусом OA, то она пройдёт и через B.

Получается, что центры окружностей, проходящих через А и В, заполняют серединный перпендикуляр к отрезку AB. ◁

**461.** Учитель задал такую задачу: есть три колодца А, B, C; каждый житель ходит к ближайшему. Нарисовать, откуда ходят к каждому из колодцев. Один из школьников нарисовал серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC (см. рисунок) и думает, куда же ходят люди из маленького треугольника в середине: с одной стороны А им ближе, чем C; с другой стороны, В им ближе, чем А. Наконец, C им ближе, чем В. Как же так может быть? В чём ошибка в его рассуждениях?

<figure><img src="image_341.png" /></figure>

▷ Рассуждения его правильны, но означают всего лишь, что такого треугольника не существует, то есть все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке. ◁

То же самое можно сказать и немного иначе:

**462.** Дан треугольник ABC. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC пересекаются в точке M. Докажите, что серединный перпендикуляр к AC также проходит через M (так что три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке).

<figure><img src="image_342.png" /></figure>
▷ Поскольку точка *М* лежит на серединном перпендикуляре к *АВ*, она одинаково удалена от *А* и *В*. Поскольку *М* лежит на серединном перпендикуляре к *ВС*, она одинаково удалена от *В* и *С*. Выходит, что она одинаково удалена от всех трёх точек *А*, *В* и *С*. Значит, она лежит на серединном перпендикуляре к *АС*, что и требовалось доказать. ◁

**463.** Дан треугольник. Как построить окружность, проходящую через его вершины?

▷ Условие этой задачи можно переформуливать так: нам надо найти точку, находящуюся на одинаковом расстоянии от вершин треугольника (центр искомой окружности). Мы видели, что для этого надо построить серединные перпендикуляры к двум сторонам и найти точку их пересечения. (Эта точка окажется и на третьем серединном перпендикуляре.) ◁

Не может ли так случится, что серединные перпендикуляры не пересекутся? Если они параллельны, то две стороны, которым они перпендикулярны, перпендикулярны двум параллельным прямым. При этом они проходят через общую точку (вершину треугольника), поэтому должны друг друга, чего быть не может (вершины треугольника не могут лежать на одной прямой).

**464.** Могут ли две разные окружности пересекаться в трёх точках?

▷ Пусть две окружности имеют три общие точки *А*, *В* и *С*. Тогда центр любой из них можно построить как пересечение серединных перпендикуляров к *АВ* и к *АС*, то есть центры совпадают. А если у двух окружностей общий центр и они имеют общую точку, то у них одинаков и радиус. ◁

Окружность, проходящую через вершины треугольника, называют *описанной вокруг* этого треугольника (а треугольник называют *вписанным* в окружность). Предыдущая задача говорит, что такая окружность только одна. Поэтому можно говорить «описанная вокруг треугольника *АВС* окружность», не опасаясь неоднозначного толкования.
**465.** Дана окружность, но центр её не указан. Восстановите этот центр при помощи циркуля и линейки.

▷ Мы уже знаем, как построить окружность, проходящую через данные три точки — при этом построении строится и её центр. Так что достаточно взять любые три точки окружности и выполнить это построение. ▲

**466.** Может ли радиус описанной около треугольника окружности быть больше 1 метра, если все стороны треугольника не превосходят 1 сантиметра?

▷ Задачу легко решить, если переформулировать её так: можно ли вписать в окружность большого радиуса маленький треугольник? Конечно, можно: возьмём на ней три близкие точки и объявим их вершинами треугольника. ▲

<figure><img src="image_343.png" /></figure>

**467.** Вершины треугольника **АВС** лежат на окружности. Биссектриса угла **А** пересекает эту окружность в точке **М**. Докажите, что точка **М** лежит на серединном перпендикуляре к стороне **ВС**.

▷ Биссектриса делит угол на два равных вписанных угла, которые, следовательно, опираются на равные дуги. Следовательно, хорды **МВ** и **МС** равны. Поэтому точка **М** одинаково удалена от точек **В** и **С**, то есть лежит на серединном перпендикуляре к стороне **ВС**. ▲

<figure><img src="image_344.png" /></figure>

Утверждение этой задачи можно прочесть так: серединный перпендикуляр к стороне треугольника и биссектриса противолежащего ей угла пересекаются на описанной вокруг треугольника окружности.

**468.** Докажите, что три высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

▷ Проведём через каждую вершину треугольника прямую, параллельную противоположной стороне. Образуются три параллелограмма, каждый из которых разрезан на два треугольника, равных исходному. Легко заметить, что высоты исходного треугольника являются серединными перпендикуляра-

<figure><img src="image_345.png" /></figure>
ми в получившемся большом треугольнике, и поэтому пересекаются в одной точке (центре окружности, описанной около большого треугольника). ◁

Эта задача нам уже встречалась раньше (задача 419).

## Ещё несколько задач

**469.** Что можно сказать о треугольнике, если центр описанной около него окружности лежит на одной из сторон? Для каких треугольников центр описанной окружности лежит вне треугольника, а для каких — внутри?

**470.** Докажите, что для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

**471.** На гипотенузе $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ построен квадрат с центром в $O$. Найдите угол $OAB$.

**472.** Три окружности радиуса 1 с центрами в точках $A, B, C$ проходят через одну точку. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

**473** (Продолжение). Пусть $P, Q, R$ — три других точки пересечения этих окружностей. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $PQR$.

**474.** На сторонах $AB, BC$ и $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ взяты точки $K, L, M$ (соответственно). Докажите, что окружности, описанные около треугольников $AKM, BKL$ и $CLM$, проходят через одну точку.
## 25. Вписанная окружность. Биссектрисы

475. Дан угол. Где может находиться центр окружности, если эта окружность касается обеих сторон угла?

▷ Если окружность касается прямой, то её радиус, проведённый в точку касания, является кратчайшим расстоянием до прямой. Значит, центр окружности, касающейся сторон угла, одинаково удалён от этих сторон и потому лежит на биссектрисе угла. ◁

476. В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В пересекаются в точке М. Докажите, что биссектриса угла С также проходит через точку М.

▷ Точки, лежащие на биссектрисе угла, одинаково удалены от его сторон. Значит, точка М одинаково удалена от сторон АВ и АС (лёжа на биссектрисе угла А), а также от сторон АВ и ВС (лёжа на биссектрисе угла В). Поэтому она одинаково удалена от всех трёх сторон, и, следовательно, лежит и на биссектрисе угла С. ◁

Таким образом, биссектрисы трёх углов треугольника пересекаются в одной точке.

477. Дан треугольник. Постройте окружность, лежащую внутри него и касающуюся всех трёх его сторон.

▷ Центр этой окружности одинаково удалён от сторон треугольника (на расстояние, равное радиусу окружности) и потому лежит в точке пересечения биссектрис треугольника. Как строить биссектрисы, мы знаем. ◁

Окружность, лежащая внутри треугольника и касающаяся трёх его сторон, называется вписанной в треугольник. (А про треугольник говорят, что он описан вокруг этой окружности.)

478. Окружность вписана в треугольник со сторонами а, b, с. Найдите длины отрезков, на которые точки касания делят стороны этого треугольника.
<figure><img src="image_346.png" /></figure>

▷ Здесь понадобится немного алгебры. Среди этих отрезков есть три пары равных. Обозначим их длины х, у и z. Получим систему уравнений:

$$ egin{cases} x + y = a, \\ x + z = b, \\ y + z = c. \end{cases} $$

Сложим все три уравнения: $2x+2y+2z = a+b+c$, откуда $x+y+z = (a+b+c)/2$. Вычитая из полученного равенства три данных, получаем, что $z = (b+c-a)/2$, $y = (a+c-b)/2$, $x = (a+b-c)/2$. △

**479.** Дан треугольник АВС. Постройте окружность, касающуюся стороны ВС и продолжений сторон АВ и AC за точки B и C.

<figure><img src="image_347.png" /></figure>

▷ Центр этой окружности лежит на биссектрисе угла А, а также на биссектрисах внешних углов треугольника в вершинах B и C, так что достаточно построить эти биссектрисы. △

Окружность, построенную в предыдущей задаче, называют вневписанной окружностью треугольника. Таких окружностей три.

Кроме того, наши рассуждения показывают, что биссектриса внутреннего угла треугольника и две биссектрисы двух других внешних его углов пересекаются в одной точке.

## Ещё несколько задач

**480.** Докажите, что точка пересечения внешних касательных к паре окружностей лежит на прямой, соединяющей центры окружностей. Докажите то же самое для внутренних касательных.

**481.** Стороны треугольника равны a, b и c. Найдите отрезки, на которые делит сторону с точка касания этой стороны с вневписанной окружностью.

**482.** На стороне треугольника отмечены две точки: точка касания со вписанной окружностью и точка касания с вневписанной окружностью. Они делят
эту сторону на три отрезка. Докажите, что два из
этих отрезков равны.

483. Биссектрисы всех четырёх углов выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, c и d (пЕречисленными в порядке обхода по часовой стрелке) пересекаются в одной точке. Докажите, что a + c = b + d.

484. Докажите, что отрезок, соединяющий центры двух вневписанных окружностей треугольника, проходит через одну из его вершин.

485. Докажите, что в любом треугольнике центр одной из вневписанных окружностей, центр вписанной окружности и какие-то две вершины треугольника лежат на одной окружности.
## 26. Вписанные и описанные
четырёхугольники

Вокруг любого треугольника можно описать окружность; в любой треугольник можно вписать окружность.

Для четырёхугольников это не так: для того, чтобы вокруг четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов были равны 180°.

Для того, чтобы в выпуклый четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных сторон были равны друг другу.

Эти и родственные факты составляют содержание задач данного раздела.

**486.** Докажите, что если вершины четырёхугольника лежат на окружности, то суммы противоположных углов равны 180°.

▷ Это уже обсуждалось в задаче 399: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается; противоположные углы четырёхугольника опираются на дуги, составляющие в сумме полную окружность (360°). <

**487.** Докажите, что если окружность касается всех четырёх сторон четырёхугольника, то суммы его противоположных сторон равны.

Другими словами, проведя четыре касательные к окружности, мы получаем четырёхугольник, в котором суммы противоположных сторон равны.

▷ Воспользовавшись задачей 425 (равенство касательных к окружности, проведённых из одной точки), можно найти на рисунке четыре пары равных отрезков. Теперь видно, что сумма двух противоположных сторон (любой пары) включает в себя все эти четыре отрезка по одному разу. <

**488.** Проведём окружность через вершины A, B и C четырёхугольника ABCD. Докажите, что если точка D оказалась вне окружности, то сумма углов

<figure><img src="image_348.png" /></figure>

<figure><img src="image_349.png" /></figure>
B и D меньше 180°, а сумма углов А и С больше 180°. Докажите, что если точка D попадает внутрь этой окружности (как на рисунке), то сумма углов B и D больше 180°, а сумма углов А и С меньше 180°.

▷ Прежде всего заметим, что сумма всех четырёх углов равна 360°. Поэтому если сумма одной пары углов больше 180°, то сумма второй пары меньше, и наоборот.

Пусть точка D оказалась вне окружности. Что случится с углами четырёхугольника, если заменить её на точку $D'$ (лежащую на окружности и внутри четырёхугольника)? Угол B, естественно, не изменится. Что произойдёт с углом D, ясно не сразу, но вот углы А и С, как видно из рисунка, уменьшатся. (А следовательно, D увеличится, поскольку сумма всех углов неизменно равна 360°.) У нового четырёхугольника $ABCD'$ суммы противоположных углов равны 180°. Следовательно, у старого сумма углов B и D была меньше 180°, а сумма углов А и С была больше 180°.

Совершенно так же можно рассуждать для случая, когда точка D оказалась внутри четырёхугольника. Надо только заменить её на точку $D'$ на окружности так, чтобы углы А и С величились. (Годится не любая точка окружности: нужно взять $D'$ внутри угла, являющегося вертикальным к углу D.) $\angle D$

**489.** Докажите, что если суммы противоположных углов четырёхугольника равны 180°, то вокруг него можно описать окружность.

▷ Это легко следует из предыдущей задачи: если мы проведём окружность через три его вершины, то четвёртая на неё попадёт. В самом деле, она не может быть ни внутри, ни вне окружности, поскольку в этом случае сумма противоположных углов будет меньше или больше 180°. $\angle D$

**490.** Выпусклый четырёхугольник имеет стороны a, b, c и d (перечислены по часовой стрелке).

<figure><img src="image_350.png" /></figure>

$$\angle B + \angle D > 180^{\circ}$$

<figure><img src="image_351.png" /></figure>

<figure><img src="image_352.png" /></figure>
<figure><img src="image_353.png" /></figure>

Окружность касается сторон *a*, *b* и *с*. Докажите, что если сторона *d* не имеет общих точек с окружностью, то *a* + *c* > *b* + *d*. Докажите, что если сторона *d* пересекает окружность, то *a* + *c* < *b* + *d*.

▷ Эта задача решается чуть более сложно, чем предыдущая, но похожим способом: мы изменяем четырёхугольник так, чтобы все четыре стороны стали касаться окружности, и сравниваем изменённый с исходным.

<figure><img src="image_354.png" /></figure>

Пусть сторона *d* не имеет общих точек с окружностью. Подвинем её в направлении центра так, чтобы она коснулась окружности. Как изменятся длины сторон? Стороны *a* и *с*, естественно, укоротятся. Обозначим их новые длины через *a'* и *c'*. Сторона *b* не изменится, так что её новая длина *b'* равна прежней длине *b*. Что произойдёт со стороной *d*? Это зависит от ситуации: новая длина (обозначим её *d'*!) может быть и меньше, и больше старой. Нас интересует соотношение между *a* + *c* и *b* + *d*.

Мы знаем, что $a' + c' = b' + d'$. Посмотрим, насколько уменьшились $a+c$ и $b+d$ при переходе от исходного четырёхугольника к новому (со штрихами). Сумма $a+c$ уменьшилась на величину, равную сумме двух противоположных сторон заштрихованного четырёхугольника. Сумма $b+d$ уменьшилась на $d - d'$ (поскольку $b = b'$). (В зависимости от знака $d - d'$ это уменьшение может быть и увеличением.)

Осталось заметить, что для любого четырёхугольника разность двух его сторон меньше суммы двух других сторон. В самом деле, если $p, q, r, s$ — его стороны, то $p - q < r + s$, поскольку $p < q + r + s$ («неравенство четырёхугольника»). Итак, сумма противоположных сторон *a* и *с* уменьшилась больше, чем сумма противоположных сторон *b* + *d*, после чего эти суммы сравнялись. Поэтому исходно было $a + c > b + d$.

Вторая часть задачи (что будет, если *d* пересекает окружность) решается точно так же: надо отодвинуть сторону *d* так, чтобы она стала касаться
окружности, и сравнить старый и новый четырёхугольники. ◁

491. Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

(Если в шарнирный четырёхугольник нельзя вписать окружность, то изменение углов не поможет.)

▷ Следствие предыдущей задачи: впишем окружность так, чтобы она касалась трёх сторон. Тогда четвёртая сторона также обязана коснуться окружности: иначе по предыдущей задаче суммы противоположных сторон будут не равны. ◁

Условие выпуклости существенно: можно нарисовать невыпуклый четырёхугольник с двумя равными парами сторон. В нём суммы противоположных сторон, конечно, равны, но вписать в него окружность нельзя (даже трёх сторон одновременно она касаться не может).

Мы доказали сформулированные в начале раздела утверждения о «необходимых и достаточных» условиях. Надо только объяснить, как математики понимают слова «необходимость» и «достаточность». Наверное, вы знаете признак делимости целого числа на 9: сумма цифр делится на 9. Этот признак содержит два утверждения:

(1) Если число делится на 9, то его сумма цифр делится на 9.

(2) Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

Первое утверждение формулируют так: для того, чтобы число делилось на 9, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 9. А второе так: для того, чтобы число делилось на 9, достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Другими словами: делимость суммы цифр на 9 является необходимым условием делимости числа на 9 (первое утверждение), а также достаточным условием делимости числа на 9 (второе утверждение).

Ещё говорят так: «число делится на 9 тогда и только тогда (вариант: в том и только том случае), когда сумма его цифр делится на 9». При этом слово «тогда» («в том случае») соответствует утверждению (2), а слова «только тогда» («только в том случае») соответствуют утверждению (1).

<figure><img src="image_355.png" /></figure>
Возвращаясь к нашим четырёхугольникам: равенство сумм противоположных сторон необходимо и достаточно для того, чтобы в выпуклый четырёхугольник можно было вписать окружность. Необходимость: если можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны. Достаточность: если суммы противоположных сторон равны, то можно вписать.

**492.** Докажите, что вокруг выпуклого четырёхугольника ABCD можно описать окружность в том и только том случае, когда сторона CD видна из точек А и В под одним и тем же углом.

▷ Если окружность описать можно, то углы, под которыми видна сторона CD из точек А и В, являются вписанными углами, опирающимися на одну дугу, и потому равны. Наоборот: пусть эти углы равны. Проведём окружность через точки A, C и D. Тогда точка B попадёт на ту же окружность. В самом деле, из точек вне окружности отрезок CD виден под меньшим углом, чем из точек дуги CAD, а из точек внутри — под большим (задача 405). ▷

**493.** Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике ABCD сумма углов А и C равна 180°, то сторона CD видна из точек А и В под одинаковыми углами.

▷ Очевидная комбинация предыдущих задач. ▷

Интересно то, что в такой формулировке нет ни слова о каких бы то ни было окружностях, а решение существенно использует вспомогательную окружность.<fnref n="1" />

## Ещё несколько задач

**494.** Желая узнать, делится ли число 1233 на 9, Маша вычислила сумму его цифр $1+2+3+3=9$, заметила, что она делится на 9 и заключила, что само число тоже делится на 9. Какой частью признака делимости на 9 она воспользовалась: (1) или (2)?

<footnote n="1">¹Эту задачу можно также решить с помощью подобных треугольников; о которых говорится в главе 29. Если O — точка пересечения противоположных сторон BC и AD, то трехугольники OAB и OCD подобны, поэтому OB : OD = OA : OC и треугольники OAC и OBD тоже подобны, так что ∠OCA = ∠ODB.</footnote>
Желая узнать, делится ли число 1236 на 9, Коля вычислил сумму его цифр $1+2+3+6=12$, заменил, что она не делится на 9 и заключил, что само число тоже не делится на 9. Какой частью признака делимости на 9 он воспользовался: (1) или (2)?

**495.** Профессор математики и дома пользуется научной терминологией: она говорит своему сыну Васе, что получение последним пятёрки за четверть является необходимым условием приобретения велосипеда. А привыкший к такому обращению Вася слушает и думает про себя: «Вот если бы это было достаточным условием, то стоило бы постараться». Что они имеют в виду, если сказать по-простому?

**496.** В четырёхугольнике ABCD два противоположных угла B и D прямые. Докажите, что $∠DAC = ∠DBC$.

**497.** В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и BL, пересекающиеся в точке O. (Высота соединяет вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и перпендикулярна этой стороне.) Докажите, что $∠BLK = ∠OSB$.

**498.** Докажите, что для описанного около окружности шестиугольника со сторонами a, b, c, d, e, f (в порядке обхода) выполняется равенство:

$$a - b + c - d + e - f = 0.$$

Является ли это равенство необходимым условием для того, чтобы в выпуклый шестиугольник можно было вписать окружность? а достаточным?

**499.** Пятиугольник со сторонами a, b, c, d, e (перечисленными по часовой стрелке) вписан в окружность некоторого радиуса. Докажите, что можно построить пятиугольник со сторонами a, c, b, d, e (также по часовой стрелке), вписанный в окружность того же радиуса. Докажите, что можно построить пятиугольник со сторонами a, c, b, e, d, вписанный в окружность того же радиуса.
## 27. Площади

Площадь фигуры — неотрицательное число. Равные фигуры имеют равные площади. Если фигура разрезана на части, то её площадь равна сумме площадей частей. Площадь квадрата со стороной 1 принимается за единицу площади.

Название единицы площади определяется тем, какая у нас единица длины. Скажем, если мы измеряем длину в метрах, то площадь измеряется в квадратных метрах (один квадратный метр — это площадь квадрата со стороной в один метр). Именно в квадратных метрах обычно измеряют площадь квартиры. А, скажем, поверхность озёр обычно измеряют в квадратных километрах (один квадратный километр — это площадь квадрата со стороной в один километр).

В геометрии часто опускают название единицы и говорят просто об отрезке длиной 2 или треугольнике площадью $7/2$, не уточняя, идёт ли речь об отрезке длиной $2$ см и треугольнике площадью $7/2 \text{ см}^2$ или об отрезке длиной $2$ км и треугольнике площадью $7/2 \text{ км}^2$. (А американские школьники могут представлять себе отрезок длиной $2$ фута и треугольник площадью $7/2$ квадратных фута.)

**500. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 3 и 5.**

▷ Такой прямоугольник можно разрезать на 15 единичных квадратов, поэтому его площадь равна сумме площадей этих квадратов, то есть 15. △

<figure><img src="image_356.png" /></figure>

**501. Сколько квадратных сантиметров в квадратном метре?**

▷ Квадрат со стороной в 1 метр можно разбить на $100 \times 100$ квадратов со стороной 1 сантиметр, поэтому в одном квадратном метре помещается $100 \cdot 100 = 10000$ квадратных сантиметров. △

**502. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 1/3 и 1/5.**

▷ Если единичный квадрат разрезать на 3 части по горизонтали и 5 частей по вертикали, то каждая часть как раз и будет прямоугольником со сторона-

<figure><img src="image_357.png" /></figure>
ми $1/3$ и $1/5$. Всего частей 15, они равны, поэтому площадь каждой части будет $1/15$. ◁

**503.** Найдите площадь прямоугольника со сторонами $2/3$ и $3/5$.

▷ Такой прямоугольник составлен из $2 \times 3$ прямоугольников размера $1/3 \times 1/5$, поэтому его площадь равна $6/15 = (2/3) \cdot (3/5)$. ◁

Площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равна $ab$. В частности, площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$.

В предыдущей задаче мы по существу доказали это для случая, когда стороны прямоугольника рациональны (измеряются дробями с целыми числителями и знаменателями). Для общего случая это можно доказать, заключая прямоугольник между меньшим и большим прямоугольниками с рациональными сторонами.

Заметим ещё, что эта задача объясняет, почему произведение $a \cdot a$ называют «а в квадрате» или «а квадрат».

**504.** Найдите площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого имеют длину $1$.

▷ Диагональ разрезает единичный квадрат на два таких треугольника, поэтому площадь каждого из них равна $1/2$. ◁

**505.** Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны $3$ и $5$.

▷ Из двух таких треугольников можно составить прямоугольник $3 \times 5$, поэтому площадь каждого из них равна половине площади прямоугольника, то есть $3 \cdot 5/2$. ◁

Решение предыдущей задачи показывает, что площадь прямоугольного треугольника составляет половину произведения его катетов.

В следующей задаче нужно найти площадь треугольника, не являющегося прямоугольным.

**506.** Найдите площадь треугольника (см. рисунок) на клетчатой бумаге. (Сторона клетки 1.)

▷ Его можно разрезать на две части, площади которых равны $(1 \cdot 1)/2 = 1/2$ и $(1 \cdot 2)/2 = 1$. Общая площадь будет $1,5$. ◁

<figure><img src="image_358.png" /></figure>

<figure><img src="image_359.png" /></figure>

<figure><img src="image_360.png" /></figure>

5

<figure><img src="image_361.png" /></figure>

<figure><img src="image_362.png" /></figure>
<figure><img src="image_363.png" /></figure>

<figure><img src="image_364.png" /></figure>

**507.** Та же задача для другого треугольника (см. рисунок)

▷ Этот треугольник не так легко разрезать на части известной площади. Зато его можно дополнить до квадрата $3 \times 3$ тремя прямоугольными треугольниками, площади которых мы искать умеем (они равны $2 \cdot 2/2 = 2$, $1 \cdot 3/2 = 1,5$ и $3 \cdot 1/2 = 1,5$). Ответ: площадь треугольника равна $9 - 2 - 1,5 - 1,5 = 4$. ◁

Две фигуры, имеющие равную площадь, называют **равновеликими**.

Чтобы доказать, что две фигуры равновелики, можно разрезать одну из них на части, а затем сложить из этих частей другую фигуру.

**508.** Разрежьте треугольник на две части, из которых можно сложить параллелограмм.

<figure><img src="image_365.png" /></figure>

▷ Можно разрезать треугольник по средней линии, после чего меньшую часть повернуть на 180° и приложить к большей (см. рисунок). Чтобы доказать, что всё сходится, заметим, что средняя линия проходит через середины сторон и параллельна третьей стороне, и дополним трапецию до параллелограмма. Легко доказать, что выступающая часть треугольника равна недостающей (по стороне и двум углам). ◁

**509.** Разрежьте параллелограмм на части, из которых можно составить прямоугольник.

<figure><img src="image_366.png" /></figure>

▷ Положим параллелограмм на горизонтальную прямую и опустим высоты из концов его верхнего основания. Видно, что если отрезать треугольник слева и приложить его справа, то как раз получится прямоугольник. (Эти два прямоугольных треугольника — выступающий и недостающий — равны, например, по гипотенузе и острому углу.)

<figure><img src="image_367.png" /></figure>

Впрочем, такой приём не всегда годится — может оказаться, что высота падает вовне основания (см. рисунок). Тогда можно положить параллелограмм другим боком: если сделать горизонтальной большую сторону параллелограмма, такого случиться не может.
Есть и другой способ — можно разрезать параллелограмм на несколько слоёв, каждый переделать в прямоугольник и потом эту стопку прямоугольников сделать вертикальной. Получится один большой прямоугольник, у которого сторонами будут горизонтальная сторона параллелограмма и его высота. ◁

<figure><img src="image_368.png" /></figure>

**510.** Медиана делит треугольник на два треугольника. Докажите, что эти треугольники равновелики, разрезав один из них на две части, из которых можно сложить второй.

▷ Проведём две средние линии. Получатся два треугольника, равных как половинки параллелограмма, и два, которые равны по трём сторонам (какая сторона вдвоем меньше соответствующей стороны большого треугольника). ◁

<figure><img src="image_369.png" /></figure>

**511.** Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону.

▷ Можно использовать решённую нами задачу и разрезать параллелограмм на части, из которых сложить прямоугольник. Но можно сделать и иначе. Если добавить к параллелограмму ABCD треугольник CDE (DE — высота, опущенная из точки D на прямоуголь AB, см. рисунок), получится трапеция ABCE. Та же самая трапеция получится, если добавить к прямоугольнику BCEF (BF — высота) треугольник ABF. Прямоугольные треугольники ABF и CDE равны по гипотенузе и острому углу. Значит, и параллелограмм, и прямоугольник получаются вычитанием равных треугольников из трапеции и потому имеют одинаковую площадь.

<figure><img src="image_370.png" /></figure>

Этот приём проходит без изменения и в случае, когда высота падает вне основания параллелограмма. ◁

Приём, использованный в решении этой задачи, называют так: мы доказали, что параллелограмм и прямоугольник равновелики по дополнению (получаются из равных фигур отрезанием равных частей, но в разных местах).
<figure><img src="image_371.png" /></figure>

<figure><img src="image_372.png" /></figure>

<figure><img src="image_373.png" /></figure>

<figure><img src="image_374.png" /></figure>

<figure><img src="image_375.png" /></figure>

512. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, опущенную на это основание.

▷ В самом деле, два таких треугольника образуют параллелограмм, площадь которого равна произведению основания на высоту. ◁

513. Используя предыдущую задачу, докажите (другим способом по сравнению с задачей 510), что медиана делит треугольник на две половины равной площади.

▷ В самом деле, у этих половин одинаковые основания и общая высота. ◁

514. Докажите, что площадь трапеции равна произведению её высоты на полусумму оснований.

▷ Разрежем трапецию диагональю на два треугольника. Высоты этих треугольников равны расстоянию между прямыми, продолжающими основания трапеции, то есть высоте трапеции. Площадь каждого из них равна половине произведения высоты трапеции на одно из оснований, остаётся сложить эти равенства. ◁

515. В треугольнике одна сторона вдвое длиннее другой. Докажите, что одна из высот треугольника вдвое короче другой.

▷ Формулу для площади треугольника можно применять к разным сторонам, и площадь должна получиться одной и той же. Значит, раз одна сторона вдвое длиннее другой, а произведение стороны и высоты одно и то же, то одна из высот вдвое короче другой. ◁

В общем случае то же рассуждение показывает, что высоты треугольника обратно пропорциональны опущенным на них сторонам.

516. На одной из двух параллельных прямых взят неподвижный отрезок AB, а по другой перемещается точка C. Докажите, что площадь треугольника ABC остаётся неизменной.
▷ В самом деле, если опускать из точки C вы-
соту на прямую AB, то её длина не зависит от по-
ложения точки C. ◁

517. В трапеции ABCD (основания AD и BC) диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что треугольники AOB и COD имеют равную площадь.

▷ Это становится ясным, если к обоим треугольникам добавить треугольник AOD — получатся два треугольника ABD и ACD, которые имеют общее основание AD и равные высоты, опущенные на это основание. ◁

518. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка M, делящая её в отношении AM : MC = 1 : 3. Найдите площадь треугольника ABM, если площадь треугольника ABC равна 1.

▷ В треугольниках ABC и ABM есть общая вы-
сота, опущенная из точки B, а стороны AC и AM,
на которые она опущена, отличаются в четыре раза.
Поэтому площадь треугольника ABM равна 1/4. ◁

То же рассуждение показывает, что если одну сторону треугольника увеличить или уменьшить в k раз, оставив другую сторону и угол между сторонами неизменным, то площадь треугольника увеличится или уменьшится в те же k раз.

519. В треугольнике ABC середина K стороны AB соединена с точкой M, делящей сторону AC в отношении AM : MC = 1 : 3. Найдите площадь треугольника АКM, если площадь треугольника ABC равна 1.

▷ Сравним оба треугольника с промежуточным
треугольником ABM. Сначала мы уменьшаем сто-
рону AC треугольника ABC в четыре раза до AM,
получаем треугольник ABM. Как мы видели, пло-
щадь при этом также уменьшается в четыре раза.
Затем мы уменьшаем сторону AB вдвое до АК, пло-
щадь уменьшается ещё в два раза. Получаем ответ:
1/8. ◁

Это рассуждение показывает, что если мы меняем две стороны треугольника, оставляя угол между ними неиз-

<figure><img src="image_376.png" /></figure>

<figure><img src="image_377.png" /></figure>

<figure><img src="image_378.png" /></figure>

<figure><img src="image_379.png" /></figure>
менным, то площадь меняется пропорционально произве-
дению этих двух сторон.

520. Окружность радиуса r вписана в треугольник периметра p и площади S. Как связаны эти три величины?

<figure><img src="image_380.png" /></figure>

▷ Соединив центр окружности с вершинами треугольника, получим три треугольника, каждый из которых имеет высоту r, опущенную на одну из сторон треугольника (a, b, c). Площади этих трёх частей равны соответственно ar/2, br/2 и cr/2. Складывая, получаем, что $S = (a+b+c)r/2 = pr/2$. ◁

Используя понятие площади, можно найти отно-
шение диагонали квадрата к его стороне. Вот как
это делается.

521. Во сколько раз нужно увеличить сторону квадрата, чтобы его площадь увеличилась в четыре раза?

▷ Площадь прямоугольника со сторонами a и b равна ab, поэтому площадь квадрата со стороной a равна $a \cdot a = a^2$. Увеличив сторону квадрата вдвое, мы увеличим его площадь в четыре раза: $(2a)^2 = 2^2 a^2 = 4a^2$. ◁

522. Во сколько раз нужно увеличить сторону квадрата, чтобы его площадь увеличилась в 2 раза?

▷ При увеличении стороны квадрата в k раз его площадь увеличивается в $k^2$ раз: если раньше сторона была a и площадь a², то теперь сторона ka и площадь (ka)² = $k^2 a^2$. Значит, нужно найти такое k, что $k^2$ равно 2. Такое число (положительное) называется квадратным корнем из 2 и обозначается $\sqrt{2}$. (На многих калькуляторах есть соответствующая клавиша; нажав её, можно убедиться, что $\sqrt{2} \approx 1,4142...$) ◁

<figure><img src="image_381.png" /></figure>

С другой стороны, увеличение площади квадра-
та вдвое легко выполнить геометрически. Нарисуем
на клетчатой бумаге квадрат по диагонали (см. ри-
сунок).
523. Докажите, что площадь этого квадрата вдвое больше площади клетки.

▷ Он состоит из четырёх треугольников, каждый из которых равен половине клетки. ◁

Значит, сторона большего квадрата, то есть диагональ клетки, в $\sqrt{2}$ раз больше стороны клетки.

Другими словами, диагональ равнобедренного прямоугольного треугольника в $\sqrt{2}$ раз длиннее его катетов.

Можно доказать, что число $\sqrt{2}$ нельзя представить в виде дроби с целым числителем и знаменателем. Другими словами, уравнение $(m/n)^2 = 2$ нельзя решить, если в качестве $m$ и $n$ брать только целые числа. Как говорят, число $\sqrt{2}$ иррационально (рациональными называют дроби с целым числителем и знаменателем), и это знали уже древние греки.

Почему число $\sqrt{2}$ иррационально? Предположим, что оно рационально, тогда его можно записать в виде несократимой дроби $m/n$ (пока дробь сократима — сокращаем). Уравнение $(m/n)^2 = 2$ можно переписать в виде $m^2 = 2n^2$. Сразу же видно, что $m$ чётно, иначе левая часть была бы нечётной, а правая всегда чётна. (Любое нечётное число можно записать в виде $(2k+1)$; его квадрат равен $(2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1$, и потому будет нечётным числом.) Зная, что $m$ чётно, запишем его в виде $2u$, тогда $m^2 = 4u^2 = 2n^2$ и $2u^2 = n^2$. Теперь видно, что $n$ тоже должно быть чётным, иначе правая часть нечётна, а левая чётна. Но тогда дробь $m/n$ можно сократить — противоречие.

Можно было бы сказать и короче: дробь $m/n$ несократима, значит, в разложении на простые множители чисел $m$ и $n$ нет общих множителей. Значит, и в разложении $m^2$ и $n^2$ (в них те же множители, что в $m$ и $n$) нет общих множителей, и потому дробь $m^2/n^2$ тоже несократима. С другой стороны, она сокращается до $2$ — противоречие. Но это рассуждение использует однозначность разложения на простые множители (так называемую **основную теорему арифметики**).

Иррациональность $\sqrt{2}$ означает, что сторона квадрата и его диагональ не имеют общей меры, то есть что не liability найти отрезок, который укладывался бы в той и в другой целое число раз. (Если он укладывается $m$ раз в
диагонали и $n$ раз в стороне, то отношение их длин будет равно $m/n$, а оно иррационально.) Как говорят, диагональ квадрата и его сторона несоизмеримы. (Подробнее см. в разделе 32.)

Древние греки вообще не рассматривали никаких чисел, кроме рациональных. Поэтому для них несоизмеримость стороны квадрата и его диагонали была особенно поразительной: это означало, что отношение диагонали к стороне вообще не является числом.

Хотя $\sqrt{2}$ и нельзя записать в виде простой (или конечной десятичной) дроби, его можно найти с любой нужной нам точностью. Будем пробовать $1,1^2 = 1,21$, $1,2^2 = 1,44$, $1,3^2 = 1,69$, $1,4^2 = 1,96$ — всё ещё мало, но $1,5^2 = 2,25$ — уже много. Значит, $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$.

Теперь можно пробовать $1,41^2 = 1,9881$ — мало, $1,42^2 = 2,0164$ — уже много. Значит, $1,41 < \sqrt{2} < 1,42$, то есть $\sqrt{2} = 1,41...$ и так далее (можно найти сколько угодно цифр после запятой). Примерно это и делает калькулятор (на самом деле там чуть более сложный, но более быстрый алгоритм).

## Ещё несколько задач

**524.** В выпуклом четырёхгольнике $ABCD$ известны площади треугольников $ABC$, $ABD$ и $ACD$. Как, зная их, найти площадь треугольника $BCD$?

**525.** Один фут (единица измерения в США и Великобритании) равен 30,48 см. Что больше: десять квадратных футов или один квадратный метр?

**526.** В футе 12 дюймов. Сколько квадратных дюймов в квадратном футе?

**527.** Одну сторону прямоугольника увеличили на 10%, а другую уменьшили на 10% (проценты берутся от длины соответствующей стороны). Увеличилась при этом площадь прямоугольника или уменьшилась? А периметр (сумма длин сторон)?

**528.** Найдите площади треугольников на рисунке.

<figure><img src="image_382.png" /></figure>

**529.** Может ли площадь треугольника с вершиками в узлах квадратной сетки со стороной 1 быть равна $1/3$?
530. Нарисуйте треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки со стороной 1, у которого все стороны длиннее 4, а площадь меньше 1.

531. Могут ли три высоты треугольника иметь длины 1/2, 1/3 и 1/6?

532. Две высоты треугольника (опущенные из двух вершин на противоположные стороны или их продолжения) равны 2 и 3. Чему может быть равна третья высота?

533. На сторонах квадрата взяты четыре точки, делящие эти стороны в отношении 1 : 2 (считая по часовой стрелке). По задаче 217 эти точки являются вершинами квадрата. Какова площадь этого квадрата, если площадь исходного равна S?

534. Середины сторон треугольника являются вершинами меньшего треугольника. Найдите его площадь, если площадь исходного треугольника равна S.

535. Две медианы делят треугольник площади S на четыре части. Найдите площади этих частей.

536. В треугольнике ABC на медиане AM взята произвольная точка X. Она соединена с точками B и C. Укажите на получившемся рисунке три пары равновеликих треугольников.

537. В треугольнике ABC взята точка X, причём треугольники AХВ и АХС оказались равновеликими. Докажите, что точка X лежит на медиане АМ. (Продолжим АХ до пересечения со стороной BC в точке M. Покажите, что треугольники АМВ и АМС равновелики.)

538. Точка K лежит на стороне AC треугольника ABC, а точка O лежит на отрезке ВК. Докажите, что отношение площадей треугольников AОВ и СОВ равно AK : KC.

539. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки M, K и L соответственно, при-
чём отрезки АК, BL и СМ проходят через одну точку. Докажите, что произведение трёх отношений АМ : MB, ВК : КС и CL : LA (все они записаны в направлении по часовой стрелке) равно единице. «Как выразить эти отношения в виде отношений площадей треугольников?»

540. Докажите обратное утверждение: если на сторонах АВ, ВС и СА взяты точки М, К и L, для которых произведение трёх отношений АМ : MB, ВК : КС и CL : LA равно единице, то отрезки АК, BL и СМ проходят через одну точку. «Если надо, подвинем одну из точек K, L, M так, чтобы три отрезка прошли через одну точку, а затем заметим, что она не подвинулась, так как произведение отношений осталось прежним.»

Утверждения двух предыдущих задач вместе называют теоремой Чевы (в честь итальянского математика XVII века).

541. В четырёхугольнике ABCD проведены диагонали, которые пересекаются в точке O. Они делят его на четыре треугольника, из которых два, примыкающие к противоположным сторонам АВ и CD, оказались равновеликими. Докажите, что четырёхугольник — трапеция.

542. Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых S₁, S₂, S₃ и S₄. Как найти S₄, если известны S₁, S₂ и S₃?

543. Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (задача 282). Какова площадь этого параллелограмма, если площадь исходного четырёхугольника равна S? (Этот параллелограмм получается отрезанием четырёх треугольников; докажите, что сумма площадей двух противоположных из них равна S/4.)

544. Докажите, что площадь ромба равна полине произведения его диагоналей (точнее, длин этих диагоналей).
Верно и более общее утверждение:

545. Диагонали четырёхугольника перпендикулярны. Докажите, что его площадь равна половине произведения длин диагоналей.

546. Докажите, что если изменить четырёхугольник, сохранив прежними длины его диагоналей и угол между ними, то площадь четырёхугольника не изменится.

547. Дан треугольник АВС. Как найти такую точку М, чтобы все три треугольника АВМ, АСМ и ВСМ были бы равновелики? Как получить новое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке?

548. По неподвижной прямой l равномерно движется точка А, а лежащие вне этой прямой точки B и C неподвижны. Докажите, что площадь треугольника АВС либо вовсе не меняется, либо сначала равномерно уменьшается, а затем равномерно увеличивается. (Равномерность означает, что за равные промежутки времени расстояние уменьшается или увеличивается на одинаковую величину.)

549. Точка А движется по прямой с постоянной скоростью, а лежащая вне прямой точка B неподвижна. Докажите, что за равные промежутки времени отрезок AB заметает равные площади. (На рисунке отмечены положения точки A через равные промежутки времени; надо доказать, что образующиеся треугольники равновелики.)

<figure><img src="image_383.png" /></figure>

Это утверждение можно рассматривать как частный случай второго закона Кеплера (1571–1630): при обращении планеты вокруг Солнца отрезок, соединяющий планету с Солнцем, за равные промежутки времени заметает равные площади. Наша задача соответствует случаю, когда планета далеко от Солнца: тогда притяжения практически нет, и она равномерно движется по прямой.

550. Внутри правильного треугольника взята произвольная точка O, из которой опущены три перпендикуляра на стороны треугольника. Докажите, что сумма этих перпендикуляров не зависит от по-

<figure><img src="image_384.png" /></figure>
ложения точки O внутри треугольника. (Эта задача у нас уже была под номером 275, но теперь её можно решить проще, используя площади.) (Соедините точку O с вершинами треугольника: треугольник разобьётся на три треугольника, сумма площадей которых постоянна.)

<figure><img src="image_385.png" /></figure>

**551.** Решите задачу 228 с помощью площадей: доказайте, что сумма длин перпендикуляров, опущенных из какой-то точки основания равнобедренного треугольника на его боковые стороны, одинакова для всех точек основания.

<figure><img src="image_386.png" /></figure>

**552.** Принципом Кавальери называют следующее утверждение: если две фигуры на плоскости тако- вы, что любая горизонтальная прямая пересекает их по равным отрезкам, то эти фигуры имеют равную площадь. (Неформально говоря, можно одну из фи- гур разрезать на бесконечное число бесконечно тон- ких отрезков, а потом сдвинуть их по горизонтали и получить другую фигуру.) Показайте, как решить некоторые из разобранных нами задач с помощью этого принципа.

<figure><img src="image_387.png" /></figure>

**553.** Нарисуйте на клетчатой бумаге прямо- угольный треугольник с катетами 1 и 2 (считая сто- рону клетки за единицу), постройте на его диагона- ли квадрат и найдите площадь этого квадрата. Вы- ведите отсюда, что диагональ прямоугольного тре- угольника с катетами 1 и 2 равна $\sqrt{5}$.

Мы используем аналогичное рассуждение дальше, при доказательстве знаменитой теоремы Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае $(\sqrt{5})^2 = 1^2 + 2^2$.

**554.** По углам квадратного бассейна растут че- тыре дерева. Как увеличить площадь бассейна вдвое, не трогая их (и оставив бассейн квадратным)?

**555.** Доказайте, что площадь круга радиуса $r$ не меньше $2r^2$ и не больше $4r^2$, сравнив его со впи- санным и описанным квадратами.

Точная формула для площади круга радиуса $r$ гово- рит, что она равна $\pi r^2$, где греческая буква $\pi$ (читает-
ся: «пи») обозначает константу 3,1415926... Утверждение этой задачи означает, что $2 \le \pi \le 4$.

556. Назовём диагональ выпуклого пятиугольника «хорошей», если она параллельна одной из его сторон. Докажите, что если четыре диагонали данного пятиугольника хорошие, то и пятая — тоже хорошая. (Эта задача не случайно отнесена к разделу о площадях: диагональ АС пятиугольника АBCDE хороша в том и только том случае, когда площади двух треугольников BDE и CDE равны.)

557. Рассказывают, что на каком-то тесте по математике была дана задача: «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10, а опущенная на неё высота равна 6. Чему равна площадь треугольника?». Легенда гласит, что хорошие ученики получили за этот пункт теста мало очков, а плохие — много. Как вы думаете, почему такое могло случиться?

558. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10. Какую максимальную площадь может иметь этот треугольник?

559. Две стороны треугольника равны а и b. Какую максимальную площадь может иметь этот треугольник?

560. Прямоугольник имеет периметр (сумму сторон) 4. Докажите, что площадь этого прямоугольника не больше 1. (Приложим его к квадрату со стороной 1, наложив один из углов прямоугольника на один из углов квадрата. Как доказать, что выступающая часть квадрата больше выступающей части прямоугольника? Можно также доказывать алгебраически, заметив, что если одна сторона прямоугольника периметра 4 равна $1+x$, то другая равна $1-x$.)

561. Прямоугольник имеет периметр не больше 4. Докажите, что его площадь не больше 1.

562. Параллелограмм имеет периметр не больше 4. Докажите, что его площадь не больше 1.

На самом деле любой четырёхугольник периметра 4 (или меньше) имеет площадь не более 1, но это доказать сложнее.
563. Имеется невыпуклый четырёхугольник. Как построить выпуклый четырёхугольник с теми же сторонами, но большей площади?

564. Дан выпуклый четырёхугольник со сторонами a, b, c, d (перечислены по часовой стрелке). Как построить четырёхугольник со сторонами a, c, b, d, имеющий ту же площадь?<fnref n="1" />

565. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, c, d не превосходит (ab + cd)/2. Докажите, что равенство тут возможно только для четырёхугольников, которые могут быть вписаны в окружность.

566. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, c, d не превосходит (ac + bd)/2, и равенство возможно только для четырёхугольников, вписанных в окружность.

Говорят, что два многоугольника равносоставлены, если один из них можно разрезать на многоугольные части, из которых сложить другой. (Мы видели в задаче 508, что треугольник равноставлен с параллелограммом, а в задаче 509 — что параллелограмм равносоставлен с прямоугольником.)

Из определения ясно, что если многоугольник А равносоставлен с В, то и В равносоставлен с А (оба многоугольника можно сложить из одних и тех же частей). Это свойство называют симметричностью. Другое очевидное свойство — рефлексивность: каждый многоугольник равносоставлен сам с собой (достаточно одной части). Третье свойство, которое сначала выглядит неожиданно, но на самом деле тоже несложно, называют транзитивностью:

567. Докажите, что если многоугольник А равносоставлен с многоугольником В, а многоугольник В равносоставлен с многоугольником С, то А и С равносоставлены. (Отметим на В, как его надо разрезать, чтобы из частей потом составить А. Потом

<footnote n="1">¹Этот четырёхугольник, вопреки сказанному в первых изданиях этой книги, может не быть выпуклым; на эту ошибку любезно указал Денис Кодрян (Нарофоминск).</footnote>
отметим отдельно, как надо разрезать, чтобы из ча-
стей получился С. Теперь разрежем по тем и дру-
гим линиям.»

568. Докажите, что всякий треугольник равно-
составлен с некоторым прямоугольником.

569. Докажите, что квадрат со стороной √2 и прямоугольник 1 × 2 равносоставлены.

570. На рисунке показан параллелограмм, из вершин которого опущены высоты на его стороны. Найдите там два прямоугольника и докажите, что они имеют одинаковую площадь и равносоставлены.

571. Докажите, что любые два прямоугольника равной площади равносоставлены. (Чтобы доказать, что прямоугольник $a \times b$ равносоставлен с прямоугольником $a' \times b'$ (пусть $a < a'$), постройте параллелограмм со сторонами $a'$ и $b$, имеющий равную площадь с обоими прямоугольниками.)

572. Докажите, что любой параллелограмм рав-
носоставлен с некоторым прямоугольником, одна из
сторон которого равна 1. Докажите то же самое для
треугольников. Докажите то же самое для произ-
вольных многоугольников.

573. Докажите, что любые два многоугольника равной площади равносоставлены.

Это утверждение называют теоремой Бойяи-Гервина.
(Интересно, что у Евклида её нет — она была доказана
только в XIX веке.)

Для многогранников это уже не так: нельзя разрезать
правильный тетраэдр на многогранные части, из которых
составить куб. Вопрос об этом был поставлен знаменитым
немецким математиком Давидом Гильбертом на матема-
тическом конгрессе 1900 года (под номером 3 в списке
важнейших нерешённых проблем в математике) и полу-
чил название «третьей проблемы Гильберта»; уже через
год ответ (с очень красивым и оригинальным доказатель-
ством) был дан учеником Гильберта, Максом Деном.

574. В книжке Мартина Гарднера «Математиче-
ские чудеса и тайны» есть картинка с двумя рав-
носоставленными прямоугольниками разной площа-
ди. (Посчитайте площадь на рисунке по клеточкам:

<figure><img src="image_388.png" /></figure>
8 × 21 = 168 в одном, 13 × 13 = 169 в другом). Как так может быть? Объясните, в чём тут подвох.

<figure><img src="image_389.png" /></figure>

<figure><img src="image_390.png" /></figure>

<figure><img src="image_391.png" /></figure>

575. Четырёхугольник вписан в квадрат (на кайдой стороне квадрата лежит по вершине четырёхугольника). Оказалось, что четыре оставшихся от квадрата треугольника имеют равные площади. Докажите, что эти треугольники равны.

576. Более быстрый способ приближённого вычисления квадратного корня из 2 состоит в следующем. Пусть какое-то приближение х уже найдено. Тогда x и 2/x лежат по разные стороны от $\sqrt{2}$ (почему?) и в качестве следующего приближения можно взять их среднее арифметическое $\frac{1}{2}(x + 2/x)$. Например, если x = 1, то 2/x = 2 и следующее приближение будет средним арифметическим 1 и 2, то есть 1,5. Сколько раз нужно повторить этот процесс, чтобы получить ошибку меньше 1/10000? Может ли после 10 повторений ошибка быть больше $10^{-100}$? (Если x — текущее приближение, а y = (1/2)(x + 2/x) — следующее, то y² - 2 = (x² - 2)²/(4x²), так что отклонения квадрата от 2 очень быстро убывают.)
## 28. Теорема Пифагора

В этом разделе мы разными способами докажем знакоменитую теорему Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Начнём с повторения уже разбиравшихся примеров.

577. Нарисуйте на клетчатой бумаге равноберденный прямоугольный треугольник с катетом, равным стороне клетки, и проверьте для него теорему Пифагора: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

▷ Квадраты, построенные на катетах, имеют единичную площадь. Квадрат, построенный на гипотенузе, разбивается на четыре треугольника, кaudый из которых составляет половину квадрата сетки, и потому имеет площадь 2 — как и требуется. ◁

<figure><img src="image_392.png" /></figure>

578. Проверьте теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2.

▷ Квадраты, построенные на катетах, имеют площадь 1 и 4. Остаётся найти площадь квадрата, построенного на гипотенузе. Это можно сделать двумя способами. Во-первых, его можно разрезать на 4 треугольника и центральный квадрат. Треугольники равны исходному (катеты 1 и 2) и имеют площадь 1. Площадь четырёх таких треугольников равна 4, да ещё единичный квадрат в центре, всего получается 5, как и требовалось.

Другой способ вычислить площадь квадрата, построенного на гипотенузе, состоит в том, чтобы обложить его с четырёх сторон треугольниками, дополнив до большого квадрата. Добавив четыре треугольника, равных исходному, мы получим квадрат $3 \times 3 = 9$, таким образом, искомая площадь равна $9 - 4 = 5$. ◁

<figure><img src="image_393.png" /></figure>

<figure><img src="image_394.png" /></figure>

579. Докажите теорему Пифагора в общем случае, разрезав построенный на гипотенузе квадрат на четыре треугольника и внутренний квадрат.
<figure><img src="image_395.png" /></figure>

▷ Пусть катеты исходного треугольника равны $a$ и $b$ (считаем, что $a < b$) и на его гипотенузе с построен квадрат. Разрежем этот квадрат как на рисунке. Более подробно, построим на каждой стороне квадрата (внутри него) прямоугольный треугольник, равный исходному. Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, эти треугольники уложатся без щелей. Останется квадрат: в самом деле, каждая из сторон оставшейся части равна $b-a$, а все углы прямые. Таким образом, квадрат со стороной $c$ разрезан на четыре треугольника, равные исходному (площадь каждого $ab/2$, всего $2ab$), и квадрат со стороной $b-a$ и площадью $(b-a)^2$. В сумме имеем

$$2ab + (b-a)^2 = 2ab + b^2 + a^2 - 2ab = a^2 + b^2,$$

как и говорит теорема Пифагора. ▽

<figure><img src="image_396.png" /></figure>

<figure><img src="image_397.png" /></figure>

Вместо разрезания квадрата на части можно было бы дополнить его до большего квадрата. Это доказательство можно сделать совсем наглядным. Рассмотрим два способа разрезать квадрат со стороной $a+b$ на части (см. рисунок). В первом случае получаются квадрат $a \times a$, квадрат $b \times b$ и четыре прямоугольных треугольника с катетами $a$ и $b$. Во втором случае получаются те же четыре треугольника и один большой квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$. Поэтому суммарная площадь двух квадратов со сторонами $a$ и $b$ равна площади большого квадрата.

Другими словами, интересующие нас фигуры (одна составлена из двух квадратов катетов, вторая — квадрат гипотенузы) равновелики по дополнению: добавив к ним один и те же четыре треугольника, можно получить одинаковые квадраты.

<figure><img src="image_398.png" /></figure>

**580.** Используя рисунок, объясните, как можно любые два квадрата разрезать на пять частей и сложить из них один квадрат.

▷ Пусть стороны квадратов равны $a$ и $b$, причём $a < b$. Приложим квадраты друг к другу как на рисунке (слева больший, со стороной $b$) и отложим (слева) на нижней стороне большего квадрата отрезок, равный $a$. Соединим полученную точку с
левым верхним и правым верхним углами картинки и сделаем разрезы по этим линиям. Получатся два прямоугольных треугольника со сторонами $a$ и $b$ (один цельный, другой составлен из двух частей). Пристроим их сверху как на рисунке — получится квадрат. ◁

Картинка из предыдущей задачи может быть основой для замощения плоскости квадратными плитками. Фигуру, составленную из двух квадратов (большего и меньшего), можно повторять периодически, помещая левый нижний угол следующей фигуры в выемку предыдущей (см. рисунок). Получится полоска, в которой оба края (нижний и верхний) — «лесенка» одной и той же формы. Теперь, используя такие полоски как паркетные доски и прикладывая их друг к другу, можно замостить всю плоскость.

Пунктирные линии показывают, что вместо пары квадратов со сторонами $a$ и $b$ можно было бы использовать один квадрат со стороной $c$, где $c$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$. При этом по-прежнему будет замощение всей плоскости без пробелов и перекрытий. Значит, площади обеих фигур ($a^2 + b^2$ и $c^2$) одинаковы, так что мы вновь приходим к теореме Пифагора.

Теорему Пифагора можно переформулировать так: квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, можно разрезать на две части, равновеликие квадратам, построенным на его катетах. Следующая задача показывает, какими могут быть эти части.

**581.** На сторонах прямоугольного треугольника построены квадраты. Высота, опущенная из прямого угла, продолжена и разрезает построенный на диагонали квадрат на два прямоугольника. Докажите, что они равновелики квадратам, построенным на катетах.

▷ Решение этой задачи проще всего пояснить последовательностью картинок.

Нам нужно доказать, что каждый из заштрихованных прямоугольников равновелик квадрату, построенному на (соответствующем) катете. Удобно

<figure><img src="image_399.png" /></figure>

<figure><img src="image_400.png" /></figure>

<figure><img src="image_401.png" /></figure>
<figure><img src="image_402.png" /></figure>

<figure><img src="image_403.png" /></figure>

<figure><img src="image_404.png" /></figure>

<figure><img src="image_405.png" /></figure>

перейти к половинкам, разрезав квадрат и прямоугольник по диагонали. (Если половинки двух фигур равновелики, то и сами фигуры равновелики.)

Возьмём треугольник, составляющий половину квадрата катета. Мы уже видели, что можно сдвинуть вершину треугольника параллельно противолежащей стороне, и площадь треугольника от этого не меняется. Сдвинем левую вершину вверх, получим другой треугольник той же самой площади.

Теперь повернём этот треугольник по часовой стрелке на 90° вокруг тупого угла. Получим другой треугольник, равный предыдущему по двум сторонам и углу между ними.

Теперь вспомним о высоте, опущенной из прямоугольного угла и продолженной за гипотенузу. Мы снова можем сдвинуть вершину треугольника вдоль этой высоты без изменения его площади.

Все: мы получили треугольник, составляющий половину нужного прямоугольника. (Рассуждение для квадрата другого катета ровно такое же: нарисуйте соответствующие картинки сами.) ◁

Теорема Пифагора позволяет найти гипотенузу с прямоугольного треугольника по его катетам a и b по формуле

$$c = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

Наоборот, зная гипотенузу и один катет, можно найти второй:

$$a = \sqrt{c^2 - b^2}.$$

**582.** Найдите высоту и площадь правильного треугольника со стороной a.

▷ В равнобедренном треугольнике высота совпадает с медианой (и биссектрисой). Значит, она делит правильный треугольник на два прямоугольных треугольника, в которых гипотенуза равна a, один из катетов равен a/2, а высота h является другим
катетом. Значит, её можно найти по формуле:

$$h = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a.$$

Соответственно, площадь правильного треугольника равна $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.

В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 гипотенуза, найденная по теореме Пифагора, оказывается целым числом: она равна $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Так бывает, естественно, не всегда: взяв площадь два целых катета $a$ и $b$, мы скорее всего не получим точного квадрата ($a^2 + b^2$ не будет квадратом целого числа). Скажем, для треугольника с катетами 3 и 5 получится $3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$, и гипотенуза $\sqrt{34}$ не будет целым числом. Однако указанный нами пример прямоугольного треугольника с целыми сторонами не единственный.

**583.** Укажите ещё несколько других примеров прямоугольных треугольников с целыми сторонами.

▷ Во-первых, можно умножить катеты треугольника на любое целое число. Скажем, вместо треугольника с катетами 3 и 4 (и гипотенузой 5) можно взять треугольник с вдвое большими катетами 6 и 8. Его гипотенуза будет равна

$$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 = 2 \cdot 5.$$

Вообще, если умножить катеты на число $k$, то гипотенуза, найденная по теореме Пифагора, тоже умножится на $k$:

$$\sqrt{(ka)^2 + (kb)^2} = \sqrt{k^2a^2 + k^2b^2} = \\ = \sqrt{k^2(a^2 + b^2)} = k\sqrt{a^2 + b^2}.$$

Но есть и более интересные примеры. Можно, например, искать их среди треугольников, у которых гипотенуза на единицу длиннее катета. Если катет равен $a$, а гипотенуза $a+1$, то второй катет равен

$$\sqrt{(a+1)^2 - a^2} = \sqrt{a^2 + 2a + 1 - a^2} = \sqrt{2a + 1}.$$
Нужно только, чтобы второй катет был целым, то есть чтобы число $2a + 1$ было точным квадратом. Но это несложно: любое нечётное число имеет вид $2a + 1$, так что надо просто найти нечётные точные квадраты: $9 = 3^2$, $25 = 5^2$, $49 = 7^2$ и так далее. При $2a + 1 = 9$ получаем $a = 4$, то есть треугольник с катетами 3 и 4 (уже был). При $2a + 1 = 25$ получаем $a = 12$, то есть треугольник с катетами 12 и 5. Его гипотенуза равна $\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$. Как мы и обещали, она на 1 длиннее катета. ◁

**584.** Какой следующий прямоугольный треугольник с целыми сторонами получится таким способом?

Целые числа $a, b, c$, для которых $a^2 + b^2 = c^2$, называют пифагоровыми тройками.

**585.** Покажите, что для любых целых положительных $m$ и $n$ с $m > n$ числа $a = m^2 - n^2$, $b = 2mn$, $c = m^2 + n^2$ образуют пифагорову тройку. При каких значениях $m$ и $n$ получатся уже известные нам тройки 3, 4, 5 и 5, 12, 13?

▷ Можно долго гадать, откуда взялись такие формулы, но проверить, что числа $a, b, c$ образуют пифагорову тройку, совсем несложно:

$$ (m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 + n^4 - 2m^2n^2 + 4m^2n^2 = \\ = m^4 + n^4 + 2m^2n^2 = (m^2 + n^2)^2. $$

Известные нам тройки получаются по этой формуле при $m = 2$, $n = 1$ и при $m = 3$, $n = 2$ (легко найти подбором, вариантов совсем немного). ◁

В «Началах» Евклида (древнегреческом учебнике геометрии, около 300 лет до Р. Х.) доказано, что, применяя два упомянутых нами приёма (формулу последней задачи и умножение всех чисел тройки на одно и то же $k$), можно получить все пифагоровы тройки.

Если вы когда-нибудь окажётесь на необитаемом острове и вам захочется построить прямой угол, а
ничего, кроме прочной верёвки, под рукой не будет, то можно воспользоваться пифагоровыми тройками. Вот как это делается.

Завяжите на верёвке два узла на каком-то расстояния, а потом отложите это же расстояние (сложив вместе два куска верёвки) 12 раз и свяжите верёвку в кольцо. Получится верёвочное кольцо, разбитое на 12 равных участков. Теперь вспомните, что $12 = 3 + 4 + 5$, возьмите три колышка и...

### 586...и что надо делать дальше?

Колышки надо вбить в землю, натягивая на них верёвочное кольцо, с таким расчётом, чтобы образовался треугольник со сторонами 3, 4, 5 (удобнее всего, наверно, сначала вбить колышки на расстоянии 5, а потом вбить третий колышек в нужном месте, натягивая верёвку). По теореме Пифагора получится прямоугольный треугольник. ◁

Иногда рассказывают, что такой метод применяли древние египтяне, которым нужно было строить пирамиды с прямыми углами, и даже называют треугольник со сторонами 3, 4, 5 «египетским треугольником». Римский историк Плутарх (I–II век от Р. Х.) писал в одной из своих книг: «И, видимо, египтяне сравнивают природу Всеобщности с красивейшим из треугольников, так что Платон в „Государстве“, кажется, воспользовался им, сочиняя символическое обозначение брака. Этот треугольник имеет катет из трёх частей, основание — из четырёх и гипотенузу — из пяти, причем сила [квадрат] её равна силе [сумме сил] двух других сторон. Таким образом, катет можно считать мужским началом, основание — женским, а гипотенузу — отпрыском обоих. Также Осириса можно считать началом, Исиду — вместилищем, а Гора — исходом. К тому же „три“ является первым нечётным и совершенным числом; „четыре“ — это квадрат, стороны которого — чётные двойки; „пять“ же частью походит на отца, частью — на мать, будучи составлено из тройки и двойки» (перевод Н. Н. Трухиной). Впрочем, в сохранившихся египетских папирусах математического содержания (один из них хранится в Москве, ещё один — в Лондоне) прямого указания на использование такого треугольника для построения прямых углов нет.
Педант отметил бы, что при изложенном построении прямого угла используется не теорема Пифагора, а обратная к ней: если в треугольнике квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других, то противолежащий ей угол прямой.

**587.** Доказайте эту теорему, используя теорему Пифагора.

▷ Это совсем просто. Пусть в треугольнике со сторонами *a*, *b*, *c* выполнено равенство *a*²+*b*² = *c*². Доказем, что он прямоугольный. Построим прямоугольный треугольник с катетами *a* и *b*. Его гипотенуза по теореме Пифагора равна

$$ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{c^2} = c. $$

Остаётся заметить, что этот треугольник равен исходному (по трём сторонам), и потому углы в них тоже равны. Значит, исходный треугольник был прямоугольным. ◁

## Ещё несколько задач

<figure><img src="image_406.png" /></figure>

**588.** Пользуясь этим рисунком из старинной китайской рукописи, воспроизведите доказательство теоремы Пифагора для частного случая и покажите, что диагональ прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 равна 5.

**589.** На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 нарисована окружность с центром в одной из вершин клеток и радиусом 5. Через сколько вершин клеток пройдёт такая окружность?

Эту задачу полезно иметь в виду, если надо нарисовать на клетчатой бумаге красивую окружность.

<figure><img src="image_407.png" /></figure>

**590.** Доказательство теоремы Пифагора, приписываемое Леонардо да Винчи, состоит в следующем. Добавим к квадрату, построенному на гипотенузе с прямоугольного треугольника со сторонами *a* и *b*, ещё один такой же треугольник с другой стороны. Получится шестиугольник. Другой шестиугольник строим так: возьмём два квадрата со сторонами *a*
и *b*, совместим их углы и дополним двумя треугольниками до шестиугольника.

Нам надо показать, что площади этих шестиугольников равны (вычитая треугольники, мы получим, что $a^2 + b^2 = c^2$). Покажите, что разрезав шестиугольники по длинной диагонали, мы получим равные части, только приложенные по-разному.

**591.** Используя картинку с двумя вписанными друг в друга квадратами (доказательство теоремы Пифагора на с. 170), докажите, что центр квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, совпадает с центром большого квадрата и потому лежит на биссектрисе прямого угла. (Получается другое решение задачи 471.)

**592.** Как поместить внутрь круга радиуса *r* шесть примыкающих друг к другу правильных треугольников со стороной *r*? Что из этого можно заключить про площадь круга радиуса *r*?

**593.** Чему равна площадь равнобедренного треугольника, у которого основание имеет длину *a*, а один из углов равен 120°?

**594.** Найдите длину высоты прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, опущенной на гипотенузу. (Чему равна площадь этого треугольника?)

Теорема Пифагора утверждает, что квадрат стороны *c*, лежащей против прямого угла треугольника, равен сумме квадратов двух других сторон. Обратную теорему можно переформулировать так: если угол в треугольнике не прямой, то квадрат лежащей против него стороны *н* равен сумме квадратов двух других сторон. Другими словами, он должен быть больше или меньше. Возникает естественный вопрос: когда он больше, а когда он меньше? и на сколько? Следующие задачи дают ответ на этот вопрос.

**595.** Сторона *c* лежит против тупого угла треугольника, *a* и *b* — две другие стороны этого треугольника. Докажите, что $c^2$ больше $a^2 + b^2$ на величину, равную удвоенному произведению стороны

<figure><img src="image_408.png" /></figure>

<figure><img src="image_409.png" /></figure>
<figure><img src="image_410.png" /></figure>

a на проекцию стороны b на сторону a (см. рисунок): $c^2 = a^2 + b^2 + 2ad$. (Примените теорему Пифагора к двум прямоугольным треугольникам: с катетами d и h, а также с катетами $a+d$ и $h$.)

**596.** Сторона c лежит против острого угла треугольника, a и b — две другие стороны этого треугольника. Докажите, что $c^2$ меньше $a^2 + b^2$ на величину, равную удвоенному произведению стороны a на проекцию стороны b на сторону a (см. рисунок): $c^2 = a^2 + b^2 - 2ad$.

В курсе тригонометрии утверждения двух предыдущих задач называют теоремой косинусов.

**597.** Докажите, что сумма квадратов четырёх сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. (Соединим две вершины диагональю и опустим из двух других вершин перпендикуляры на эту диагональ. Выразите входящие в условие задачи величины через длины возникающих при этом отрезков.)

Используя теорему косинусов (задачи 595 и 596) и навыки алгебраических преобразований, можно доказать формулу Герона (названную в честь Герона Александрийского, греческого математика, жившего в первом веке до Р.Х.):

**598.** Докажите, что площадь треугольника со сторонами a, b, c может быть найдена по формуле

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$

где $p = (a+b+c)/2$ — полупериметр треугольника. (По задачам 595 и 596 можно найти $d$, после чего найти $h$ по теореме Пифагора и $S$ как $ah/2$.)

Подставив выражение для $p$ в формулу, мы получим

$$S = \sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}{16}}.$$

Видно, что когда треугольник сплющивается и сумма двух его сторон приближается к третьей, то одна из скобок стремится к нулю, и площадь тоже, как и следовало ожидать. Из этих соображений можно запомнить три скобки, четвёртая нужна по соображениям размерности, и она должна быть симметрична относительно a, b, c.
**599.** Как, используя формулу Герона, найти радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами *a*, *b*, *c*?

**600.** Известны стороны треугольника. Как найти длину его медиан? (Продолжив медиану, можно достроить треугольник до параллелограмма и воспользоваться задачей 597.)

Ещё один вариант доказательства теоремы Пифагора (см. рисунки на полях): продолжим верхние стороны квадратов, построенных на катетах, до пересечения; это пересечение окажется на продолжении высоты треугольника (почему?).

Скосим теперь квадраты, построенные на катетах, чтобы длинные стороны соответствующих параллелограммов стали вертикальными.

После этого снова сделаем их прямоугольниками, и эти прямоугольники заполнят квадрат, построенный на диагонали.

**601.** Дайте обоснование для всех шагов этого рассуждения (и тем самым завершите ещё одно доказательство теоремы Пифагора).

<figure><img src="image_411.png" /></figure>

<figure><img src="image_412.png" /></figure>

<figure><img src="image_413.png" /></figure>
## 29. Подобие

Говоря неформально, подобные объекты — это объекты одинаковой формы, но (возможно) разных размеров.

**602.** Приведите несколько примеров подобных объектов из «реальной жизни».

▷ Фотографии разного размера, отпечатанные с одного и того же негатива (как сказали бы раньше) или файла (в цифровой фотографии). Настоящий автомобиль и его модель (если она выполнена точно в масштабе). Все круги подобны. Все квадраты подобны. Все равносторонние треугольники подобны. ◁

Иногда кажущиеся подобными объекты на самом деле не подобны. Например, фотографии одного и того же здания, сделанные с разных расстояний, не совсем подобны (при подходе к зданию видимые пропорции немного меняются). То же самое можно сказать о бутылках и банках разных размеров, имеющих одинаковые крышки. Буквы типографского шрифта разных размеров (одного и того же типа шрифта — как говорят полиграфисты, одной гарнитуры) почти подобны, но не всегда в точности подобны (буквы меньшего размера бывают более приземисты).

Два треугольника подобны, если их соответственные углы равны и стороны одного в одно и то же число раз больше (или меньше) соответственных сторон другого. Это число называется коэффициентом подобия.

Обозначение $АВС \sim А'B'C'$ указывает, что треугольники $АВС$ и $А'B'C'$ (соответственные вершины обозначены обозначены одинаковыми бу- квами) подобны.

**603.** Докажите, что первого условия уже достаточно: если углы одного треугольника равны углам другого, то стороны пропорциональны (отличаются в одно и то же число раз)

▷ Пусть $АВС$ — больший треугольник, а $А'B'C'$ — меньший. Наложим меньший на больший так,

<figure><img src="image_414.png" /></figure>
чтобы вершины А и А' совместились, А'В' пошло
по АВ и А'С' пошло по АС (это возможно, так
как углы А и А' равны). Тогда сторона В'С' будет
параллельной ВС (поскольку углы В' и В равны).
По теореме Фалеса (лучи света направлены вдоль
ВС) отрезок АВ во столько же раз больше отрезка
А'В', во сколько его тень АС больше А'С'. Таким
образом, из трёх отношений сторон

АВ : А'В', АС : А'С, ВС : В'С

два первых равны. Но то же самое рассуждение
можно провести и для другой вершины, и получит-
ся, что другие два отношения равны. Значит, равны
все три. ◁

**604.** Докажите обратное утверждение: если все стороны одного треугольника в одно и то же число раз больше соответственных сторон второго треугольника, то соответственные углы треугольников равны.

▷ Пусть все стороны треугольника **АВС** в одно и то же число раз больше сторон треугольника **А'В'С'**. Применим такой трюк: построим треугольник **А"В"С"**, у которого все углы равны соответствующим углам треугольника **АВС**, а сторона **А"В"** равна стороне **А'В'**. (Его можно построить по стороне и двум углам, третий угол автоматически получится правильным, так как сумма углов равна 180°.)

Теперь смотрите: по предыдущей задаче (603) треугольник **А"В"С"** подобен **АВС**. В частности, все его стороны меньше сторон треугольника **АВС** в одно и то же число раз. Это же верно и для треугольника **А'В'С'** — его стороны также меньше сторон треугольника **АВС** в одно и то же число раз. И это число будет одинаковым для обоих треугольников, так как $А'В' = А"В"$. Значит, треугольники **А'В'С'** и **А"В"С"** равны по трём сторонам, и углы у них тоже равны. Осталось вспомнить, что углы треугольника **А"В"С"** были равны углам треугольника **АВС**. ◁
**605.** В треугольниках $АВС$ и $А'В'С'$ углы $А$ и $А'$ равны. Кроме того, отношения сторон $А'В' : AB$ и $А'C' : AC$ равны. Докажите, что треугольники подобны.

▷ Наложим меньший треугольник (пусть это будет $А'В'С'$) на больший так, чтобы вершины $А$ и $А'$ совместились, $А'В'$ пошло по $AB$ и $А'C'$ пошло по $AC$ (это возможно, так как углы $А$ и $А'$ равны). Если мы докажем, что $В'C'$ стало параллельным $BC$, то всё будет сделано (можно воспользоваться уже решённой задачей 603: все три пары соответственных углов равны). Чтобы доказать это, сделаем так: проведём отрезок $В'C''$, параллельный $BC$, и докажем, что $С''$ совпадёт с $C'$. В самом деле, треугольники $AB'C''$ и $ABC$ подобны (задача 603), значит, отношения $А'C'' : AC$ и $А'В' : AB$ равны и равны отношению $А'C' : AC$ по условию. Значит, $А'C''$ и $А'C'$ составляют одну и ту же долю $АС$ и потому точки $C'$ и $C''$ совпадают. ◁

<figure><img src="image_415.png" /></figure>

Три предыдущие задачи называют тремя признаками подобия: по трём углам, по трём сторонам и по двум сторонам и углу.

**606.** Какой из признаков нужно применить, чтобы доказать, что любые два равносторонних треугольника подобны?

▷ Годится любой из трёх: все углы равны 60°, отношения сторон равны (поскольку в каждом из треугольников все стороны равны). ◁

При решении задач очень важно увидеть на чертеже подобные треугольники.

**607.** В трапеции проведены диагонали. Какие треугольники подобны?

▷ Отмеченные на рисунке углы равны, поэтому примыкающие к основаниям трапеции треугольники подобны (поскольку имеют равные углы). ◁

<figure><img src="image_416.png" /></figure>

**608.** Боковые стороны трапеции продолжены до пересечения. Какие треугольники подобны?
▷ Треугольники, образуемые боковыми сторонами трапеции с её основаниями, подобны (по трём углам): OBC ~ OAD. ◁

**609.** Во вписанном четырёхугольнике проведены диагонали. Найдите две пары подобных треугольников.

▷ Диагонали делят четырёхугольник на четыре треугольника. Отмеченные углы равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, поэтому противоположные треугольники подобны. (Можно ещё заметить, что третьи углы образуют пару вертикальных углов.)

Аналогично для другой пары треугольников. ◁

По сравнению с задачей о трапеции есть два отличия: во-первых, тут две пары подобных треугольников, во-вторых, соответственными являются другие пары сторон и углов.

**610.** Противоположные стороны вписанного четырёхугольника продолжены до пересечения. Найдите подобные треугольники.

▷ Противоположные углы вписанного четырёхугольника составляют в сумме 180°, поэтому отмеченные на рисунке углы равны. Значит, треугольники, в которые эти углы входят, подобны.

(Если продолжить другую пару противоположных сторон до пересечения, получится ещё пара подобных треугольников.) ◁

**611.** Из точки A, лежащей вне окружности, проведена касательная АХ (причём X — точка касания), а также секущая, пересекающая окружность в точках Y и Z; точки X, Y и Z соединены отрезками. Найдите подобные треугольники.

▷ Оба угла АХY и ХZA равны половине дуги XY, к тому же угол А в треугольниках АХY и АХZ общий, значит они подобны. ◁

Последняя задача может рассматриваться как предельный случай предпоследней: когда одна сторона вписанного четырёхугольника стремится к нулю, секущая превращается в касательную.

<figure><img src="image_417.png" /></figure>

<figure><img src="image_418.png" /></figure>

<figure><img src="image_419.png" /></figure>

<figure><img src="image_420.png" /></figure>
Для подобия прямоугольных треугольников достаточно равенство одной пары острых углов (поскольку прямые углы заведомо равны).

**612.** В остроугольном треугольнике из двух вершин опущены высоты на противоположные стороны. Найдите два подобных треугольника.

▷ Пусть в треугольнике **АВС** проведены высоты **АК** и **BL**. Тогда получается два прямоугольных треугольника **АКС** и **BLC**, содержащих угол **С**. Поэтому они подобны. ◁

<figure><img src="image_421.png" /></figure>

**613.** В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла опущена высота на гипотенузу. Найдите три подобных треугольника.

▷ На рисунке легко увидеть три прямоугольных треугольника: исходный треугольник и две части, на которые его делит высота. Каждая из частей имеет общий угол с исходным треугольником и потому ему подобна. ◁

<figure><img src="image_422.png" /></figure>

**614.** Несколько лучей, выходящих из одной точки, пересекают две параллельные прямые. Найдите несколько пар подобных треугольников.

▷ Треугольники, ограниченные двумя соседними (или даже не обязательно соседними) лучами и параллельными прямыми, имеют равные углы и потому подобны. ◁

<figure><img src="image_423.png" /></figure>

**615.** В треугольнике **АВС** из вершин **В** и **С** опущены высоты на биссектрису **АМ** угла **А**. Найдите две пары подобных треугольников.

▷ Пусть **ВК** и **CL** — эти высоты. В прямоугольных треугольниках **АВК** и **ACL** острые углы при вершине **А** равны (свойство биссектрисы), поэтому они подобны.

<figure><img src="image_424.png" /></figure>

С другой стороны, прямоугольные треугольники **ВМК** и **CML** тоже подобны, поскольку имеют одинаковые (вертикальные) углы при вершине **М**. ◁

**616.** Биссектриса **АМ** треугольника **АВС** продолжена до пересечения с описанной окружностью в точке **К**. Найдите на рисунке три треугольника, которые все подобны друг другу.

<figure><img src="image_425.png" /></figure>
▷ Мы уже знаем, что треугольники **АВМ** и **МКС** подобны по трём углам — независимо от того, является **АМ** биссектрисой или нет. Но если является, то треугольник **АВМ** подобен и треугольнику **АКС** (углы **B** и **K** этих треугольников опираются на одну дугу, а углы при вершине **A** равны по определению биссектрисы). ▶

В следующих задачах мы пользоваемся подобием обнаруженных нами треугольников.

**617.** Докажите, что в трапеции точка пересечения диагоналей делит обе диагонали в одном и том же отношении, равном отношению оснований трапеции.

▷ Пусть диагонали **АС** и **ВD** трапеции **АВСD** с основаниями **АD** и **ВС** пересекаются в точке **O**. Тогда треугольники **AOD** и **SOB**, как мы видели, подобны. По свойству подобных треугольников

$$AO : OC = DO : OB = AD : BC,$$

что и требовалось доказать. ▶

**618.** Известны длины боковых сторон **АВ** и **CD** трапеции **АВСD**, а также длины её оснований **АD** и **ВС**, причём $AD > BC$. Продолжения боковых сторон пересекаются в точке **M**. Найдите расстояния от точки **M** до вершин трапеции.

<figure><img src="image_426.png" /></figure>

▷ Как мы видели, треугольники **AMD** и **BMC** подобны. Их коэффициент подобия $k = AD/BC$ нам известен. Отрезок **АМ** больше отрезка **ВМ** в $k$ раз. Остаётся выполнить вычисления:

$$AM = k \cdot BM, \quad AB = AM - BM = (k-1)BM,$$

$$BM = AB/(k-1), \quad AM = AB \cdot k/(k-1)$$

Подставляя выражение для $k$ и делая аналогичные выкладки для второй боковой стороны, получаем

$$BM = \frac{AB \cdot BC}{AD - BC}, \quad AM = \frac{AB \cdot AD}{AD - BC}, \\ CM = \frac{CD \cdot BC}{AD - BC}, \quad DM = \frac{CD \cdot AD}{AD - BC}.$$

Все четыре расстояния, таким образом, найдены. ▶

<figure><img src="image_427.png" /></figure>
**619.** Дана точка, лежащая внутри окружности. Через неё проводят хорду, которая делится этой точкой на два отрезка, и вычисляют произведение длин этих отрезков. Докажите, что это произведение не зависит от того, как провести хорду.

<figure><img src="image_428.png" /></figure>

▷ Надо провести хорду двумя способами и показать, что произведение отрезков будет одинаковым. Другими словами, надо доказать, что если хорды AC и BD пересекаются в точке O, то $AO \cdot OC = BO \cdot OD$.

Соединив концы хорд, получим вписанный четырёхугольник, который делится диагоналями на две пары подобных треугольников. В частности, треугольники ABO и DCO подобны, и потому $AO : OD = BO : OC$. Умножая это равенство на $OC \cdot OD$, получаем искомое утверждение. ◁

Можно было бы воспользоваться и двумя другими треугольниками (какими?) и получить то же равенство другим способом.

**620.** Дана точка A, лежащая вне окружности. Через неё проводят луч, пересекающий окружность в точках B и C. Докажите, что произведение $AB \cdot AC$ не зависит от того, какой луч провести.

<figure><img src="image_429.png" /></figure>

▷ Пусть из точки A проведён ещё один луч, пересекающий окружность в точках D и E. Надо доказать, что $AB \cdot AC = AD \cdot AE$. Соединив вершины четырёхугольника BCED, увидим знакомую картину: противоположные стороны вписанного четырёхугольника продолжены до пересечения. В этом случае треугольники ABD и AEC подобны, поэтому $AB : AE = AD : AC$. Умножая это равенство на $AE \cdot AC$, получаем искомое утверждение. ◁

**621.** Докажите, что произведение в предыдущей задаче равно квадрату длины касательной, проведённой к окружности из точки A.

<figure><img src="image_430.png" /></figure>

▷ Пусть из точки A выходит луч, пересекающий окружность в точках B и C, а также касательная АК. Как мы видели, треугольники АВК и АКС подобны, поэтому $АК : AC = АВ : АК$. Умножая
на $AK \cdot AC$, получаем, что $AK^2 = AB \cdot AC$, что и требовалось. <

Эту задачу можно считать предельным случаем предыдущей, когда две точки пересечения сливаются, образуя точку касания. С другой стороны, из неё можно вывести предыдущую (ведь для каждой из двух секущих, о которых шла речь, произведение отрезков равно квадрату касательной).

Квадрат длины касательной, проведённой к окружности из некоторой точки, называют степенью этой точки относительно окружности. (Вообще-то из данной точки можно провести две касательные, но длины их одинаковы.) Теперь можно сказать, что произведение двух отрезков секущей (от данной точки до двух точек пересечения) равно степени точки.

**622.** Докажите, что в произвольном треугольнике высоты обратно пропорциональны сторонам, на которые они опущены (во сколько раз одна сторона больше другой, во столько раз опущенная на неё высота меньше).

▷ Пусть в треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $BL$. Прямоугольные треугольники $AKC$ и $BLC$ имеют общий угол $C$. Поэтому они подобны, и отношение высот $AK : BL$ равно отношению сторона $AC : BC$. Другими словами, если одна сторона в $k$ раз больше другой, то опущенная на неё высота в $k$ раз меньше, что и требовалось доказать. <

<figure><img src="image_431.png" /></figure>

Другое решение этой задачи (как мы уже упоминали) получается с использованием площадей: удвоенная площадь треугольника равна произведению стороны на высоту, и можно взять любую сторону, поэтому если одна сторона больше другой, то опущенная на неё высота во столько же раз меньше. (См. задачу 515.)

**623.** Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, делит его гипотензу на два отрезка. Докажите, что

(1) высота равна среднему геометрическому этих отрезков (квадратному корню из произведения);
(2) каждый катет равен среднему геометрическому всей гипотенузы и отрезка, к нему прилегающего;

(3) отношение отрезков, на которые высота делит гипотенузу, равно квадрату отношения катетов.

<figure><img src="image_432.png" /></figure>

▷ Пусть катеты треугольника равны $a$ и $b$, гипотенуза равна $c$ и делится высотой $h$ на отрезки $p$ и $q$. Из подобия двух частей треугольника получаем, что $p : h = h : q$, то есть $pq = h^2$ и $h = \sqrt{pq}$.

Части подобны целому треугольнику, поэтому $p : a = a : c$ и $pc = a^2$, откуда $a = \sqrt{pc}$. Аналогично $b = \sqrt{qc}$.

$$ \text{Наконец, } p : q = \frac{p}{h} \cdot \frac{h}{q} = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = (a/b)^2. \triangle $$

**624.** Выведите из предыдущей задачи, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

▷ Используя те же обозначения, что и в решении предыдущей задачи, можно записать $pc = a^2$, $qc = b^2$. Если сложить эти равенства, получим, что $(p+q)c = a^2 + b^2$. Остаётся заметить, что два отрезка $p$ и $q$ в сумме дают $c$. △

Таким образом, мы дали ещё одно доказательство теоремы Пифагора, на этот раз без всяких упоминаний о площадях.

<figure><img src="image_433.png" /></figure>

**625.** Три прямые проходят через одну точку $O$ и пересекают две параллельные прямые: одну в точках $A, B, C$, другую в точках $A', B' и C'$. Докажите, что $AB : BC = A'B' : B'C'$.

▷ Эту теорему можно сформулировать так: если точечный источник света $O$ освещает две параллельные прямые, то отрезки на одной прямой относятся так же, как их тени на другой прямой.

Пусть $A, B$ и $C$ — точки на одной из прямых, а $A', B'$ и $C'$ — их тени. Треугольник $OA'B'$ подобен треугольнику $OAB$, и коэффициент подобия может быть записан как $OA'/OA, OB'/OB$ или как $A'B'/AB$. Треугольники $OB'C'$ и $OBC$ также подобны, и коэффициент подобия может быть записан как $OB'/OB, OC'/OC$ или $B'C'/BC$. Значит, коэффи-
циенты подобия равны (в обоих случаях они равны $OB'/OB$); обозначим этот общий коэффициент подобия через $k$. Тогда $A'B' = k \cdot AB$, $B'C' = k \cdot BC$, и потому $A'B' : B'C' = AB : BC$, что и требовалось доказать.

Это доказательство применимо и к случаю, когда параллельные прямые находятся по разные стороны от точки O, хотя о тенях в таком случае говорить не приходится. ◁

В этой задаче важно, что две прямые (где точки и где тени) параллельны: без этого условия утверждение задачи может быть неверным.

Оказывается, что тем не менее двойное отношение четырёх точек сохраняется и для непараллельных прямых. Оно определяется (для точек A, B, C, D на одной прямой) как отношение $\frac{AC}{BC} : \frac{AD}{BD}$ (отношение отношений — отсюда такое название). Знающие тригонометрию могут убедиться в сохранении двойного отношения, выразив его через отношение синусов углов между лучами OA, OB, OC, OD.

<figure><img src="image_434.png" /></figure>

**626.** Докажите, что боковые стороны трапеции и прямая, соединяющая середины её оснований, пересекаются в одной точке.

▷ Возьмём точку пересечения боковых сторон и проведём прямую через эту точку и середину верхнего основания. Предыдущая задача показывает, что эта прямая разделит нижнее основание также на две равные части. ◁

<figure><img src="image_435.png" /></figure>

**627.** Докажите, что диагонали трапеции и прямая, соединяющая середины её оснований, пересекаются в одной точке.

▷ Здесь доказательство аналогично: проведём через точку пересечения диагоналей и середину одного из оснований прямую. Она разделит другое основание в том же отношении, что и первое, то есть пополам. ◁

<figure><img src="image_436.png" /></figure>

**628.** Дана трапеция. Как найти середины её оснований с помощью одной линейки?

▷ Мы уже знаем, что четыре точки (середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка
<figure><img src="image_437.png" /></figure>

пересечения продолжений боковых сторон) лежат на одной прямой. Но две последние точки можно найти с помощью линейки, поэтому эту прямую можно построить. Точки, в которых она пересечёт основания, будут их серединами. ◁

**629.** Даны две параллельные прямые и отрезок на одной из них. Как найти его середину с помощью одной линейки?

▷ Если взять произвольные две точки на другой прямой, получится трапеция, и мы свели задачу к предыдущей. ◁

**630.** Биссектриса угла треугольника делит противолежающую сторону на два отрезка. Докажите, что отношение этих отрезков равно отношению прилегающих к ним сторон треугольника.

<figure><img src="image_438.png" /></figure>

▷ Пусть $AM$ — биссектриса в треугольнике $ABC$. Опустим на неё перпендикуляры $BK$ и $CL$ из точек $B$ и $C$. Треугольники $ABK$ и $ACL$, как мы видели в задаче 615), подобны, поэтому $BK : CL = AB : AC$. С другой стороны, треугольники $KBM$ и $LCM$ тоже подобны, поэтому $BK : CL = BM : MC$. Соединяя эти равенства, получаем, что $AB : AC = BM : MC$, что и требовалось. ◁

**631.** Докажите, что квадрат длины биссектрисы $AM$ треугольника $ABC$ равен $AB \cdot AC - MB \cdot MC$. (Используя эту задачу и предыдущую, можно найти длину биссектрисы, если известны длины всех сторон.)

<figure><img src="image_439.png" /></figure>

▷ Надо доказать, что $AM^2 = AB \cdot AC - MB \cdot MC$. Сделаем дополнительное построение из задачи 616. Треугольники $ABM$ и $AKC$ подобны, поэтому

$$AB : AM = AK : AC,$$

то есть

$$ 
\begin{aligned}
AB \cdot AC &= AM \cdot AK = AM \cdot (AM + MK) = \\
&= AM^2 + AM \cdot MK = AM^2 + BM \cdot MC,
\end{aligned}
$$
что и требовалось. (Равенство $AM \cdot MK = BM \cdot MC$ известно из задачи 619.) ◁

С помощью признаков подобия можно дать новое доказательство того факта, что медианы делятся точкой их пересечения в отношении 2 : 1.

**632.** В треугольнике **ABC** проведены медианы **AK** и **CM**, пересекающиеся в точке **O**. Через точку **K** проведен отрезок **KN**, параллельный стороне **AB**, до пересечения с медианой **CM** в точке **N**. Докажите, что треугольник **KON** подобен треугольнику **AOM**, а треугольник **CNK** подобен треугольнику **CMB**. Докажите, что $AO : OK = 2 : 1$.

▷ Поскольку **KN** параллельно **AM**, то углы в треугольниках **KON** и **AOM** равны, так что они подобны по трём углам. Аналогично для треугольников **CNK** и **CMB**. Поскольку **K** — середина **BC**, то треугольник **CNK** вдвое меньше треугольника **CMB**, в частности, $KN = \frac{1}{2}MB$. Из этого, в свою очередь, следует, что **KON** вдвое меньше **AOM**, так что $AO : OK = 2 : 1$. ◁

<figure><img src="image_440.png" /></figure>

## Ещё несколько задач

**633.** В равнобедренном треугольнике с углами 36°, 72° и 72° проведена биссектриса угла в 72°, делящая противоположную сторону на два отрезка. Докажите, что больший отрезок относится к меньшему так же, как вся сторона относится к большему отрезку.

Утверждение предыдущей задачи формулируют так: биссектриса такого треугольника делит противоположную сторону в отношении «золотого сечения». Принято считать, что это отношение часто используется в архитектуре и живописи, так как приятно для глаз.

**634.** Докажите, что отношение боковой стороны равнобедренного треугольника с углами 36°, 72° и 72° к основанию составляет $(\sqrt{5} + 1)/2$.

**635.** Два треугольника подобны с коэффициентом $k$. Докажите, что медианы, биссектрисы и высоты первого треугольника в $k$ раз отличаются от
соответствующих медиан, высот и биссектрис второго треугольника. Докажите, что площадь первого треугольника в $k^2$ раз отличается от площади второго треугольника.

Эта задача позволяет дать ещё одно доказательство теоремы Пифагора. Вспомним разбиение прямоугольного треугольника на два меньших, подобных исходному. Получается три подобных треугольника, и площади их пропорциональны квадратам гипотенуз этих треугольников, то есть квадратам сторон исходного треугольника. Но сумма площадей двух маленьких треугольников равна площади большого, значит, это верно и для пропорциональных им квадратов.

А. Гивенталь предложил рассказывать это доказательство теоремы Пифагора в виде сказки для младших школьников. Нарисуем картинку из теоремы Пифагора и проведём в прямоугольном треугольнике высоту. На этой картинке можно увидеть три «домика» (для трёх поросят — младшие школьники любят такой «оживляж»). Самый большой из них (для наиболее трудолюбивого поросёнка) нарисован нормально (чердак сверху) и обведён жирной линией. Два других домика нарисованы повёрнутыми и заштрихованы по-разному. (Для наглядности мы нарисовали ещё и окошки с форточками, но это уже к делу не относится.) Все три домика состоят из квадратного «основания» и треугольного кособокого «чердака»; они имеют одну и ту же форму, хотя и разный размер. Значит, треугольник чердака по площади составляет одну и ту же долю от квадрата основания во всех трёх. Но чердаки двух маленьких домиков вместе дают чердак большого, значит, и с основаниями то же самое — что и требовалось доказать Пифагору.

**636.** «На Земле живёт несколько миллиардов человек, — рассуждает Маленький Принц. — Моя планета в миллион раз меньше. Значит, на ней должно помещаться в миллион раз меньше людей, то есть несколько тысяч человек. Но радиус Земли примерно 6000 км, а радиус моей планеты в миллион раз меньше, примерно шесть метров, и несколько тысяч человек там никак не поместятся, даже если выкорчевать все баобабы и не оставлять места для моего цветка. Как же так?»

<figure><img src="image_441.png" /></figure>

<figure><img src="image_442.png" /></figure>
**637.** Даны две параллельные прямые и точка, на них не лежащая. Как провести через неё прямую, параллельную данным, с помощью одной линейки?

**638.** Даны две параллельные прямые и отрезок на одной из них. Как удвоить его (построить отрезок вдвое большей длины), пользоваясь одной линейкой?

**639.** На этом старинном рисунке изображён прибор, называемый пантографом, используемый для копирования рисунков с уменьшением. Он представляет собой шарнирный механизм. Левая нижняя точка (опора X) закреплена неподвижно; остриём (в центре круга справа внизу) обводят некоторую линию, и карандаш (в середине) обводит линию той же формы, но меньшего размера. Объясните принцип его действия.

<figure><img src="image_443.png" /></figure>

**640.** В треугольнике АВС проведены медиана СМ и отрезок АК, причём K делит сторону BC в отношении ВК : KC = 1 : 2. Они пересекаются в точке O. Найдите отношение АО : ОК. (Проведите через K отрезок KN, параллельный стороне АВ, до пересечения с медианой СМ в точке N. Ответ: 3 : 2.)

**641.** На продолжении стороны AB треугольника АВС взята точка K; на стороне BC взята точка L и на стороне CA взята точка M. При этом оказалось, что точки K, L и M лежат на одной прямой.

<figure><img src="image_444.png" /></figure>
<figure><img src="image_445.png" /></figure>

Докажите, что произведение отношений АК : КВ, BL : LC и СМ : МА равно 1. (Проведите СТ параллельно АВ до пересечения с прямой, и найдите подобные треугольники.)

Утверждение предыдущей задачи называют теоремой Менелая (в честь древнегреческого геометра Менелая Александрийского). Обратите внимание на аналогию с теоремой Чевы (с. 162): там было условие, при котором три отрезка пересекаются в одной точке, а сейчас — условие, при котором три точки лежат на одной прямой.

Обе эти теоремы могут использоваться вместе для дополнительства теоремы о полном четырёхстороннике (следующая задача).

<figure><img src="image_446.png" /></figure>

**642.** Докажите, что в полном четырёхстороннике (конфигурация, показанная на рисунке) отношения AL : LB и АК : КВ равны.

**643.** Дана точка L на отрезке AB, причём AL > LB. Как, пользуясь одной только линейкой, построить точку K на продолжении AB за точку B, для которой AL : LB = АК : КВ?

<figure><img src="image_447.png" /></figure>

**644.** Стороны треугольника разделены в отношении 1 : 2, считая по часовой стрелке, и точки деления соединены с противолежащими вершинами. Какова площадь отмеченного на рисунке треугольника, если площадь исходного равна $S$? [Ответ: $S/7$.]

**645.** Каково соотношение сторон бумажного прямоугольника, если его можно разрезать на две половины, подобные исходному прямоугольнику (имеющие то же отношение сторон)?

Примерно такое отношение сторон у листов бумаги, используемых в Европе (распространённый формат А4 имеет размер 210 мм на 297 мм).

**646.** Каково соотношение сторон бумажного прямоугольника, если его можно разрезать на квадрат и прямоугольник, подобный исходному?

Мы уже встречались с этим отношением (золотое сечение) в задаче 633.
647. Две окружности пересекаются. Через точки пересечения проведена прямая. Из точки на этой прямой, лежащей вне окружностей, проведены две касательные к окружностям. Докажите, что отрезки до точек касания равны.

<figure><img src="image_448.png" /></figure>

648. Докажите обратное к предыдущей задаче утверждение: если проведённые из точки отрезки касательных к двум пересекающимся окружностям оказались равными, то эта точка лежит на прямой, соединяющей точки пересечения окружностей.

649. (а) Через две точки, лежащие на прямой l, проходит несколько окружностей. Ко всем этим окружностям из точки O, также лежащей на прямой l, проведены касательные. Докажите, что отрезки от O до точек касания равны. (б) Как построить с помощью циркуля и линейки окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой? (Точки находятся на разном расстоянии от прямой.)

650. Докажите, что если отрезки касательных, проведённые из некоторой точки к двум касающимся окружностям, оказались равными, то эта точка лежит на общей касательной к окружностям.

<figure><img src="image_449.png" /></figure>

651. Три окружности попарно касаются друг друга внешним образом. Докажите, что три их общие касательные, проходящие через точки касания окружностей, пересекаются в одной точке.

652. В трёх перекрывающихся окружностях величи отрезки, соединяющие попарно точки их пересечения. Докажите, что эти три отрезка проходят через одну точку.

<figure><img src="image_450.png" /></figure>

653. Дан отрезок единичной длины, а также отрезки длины a и b. Как построить циркулем и линейкой отрезки длины a · b и a/b? (Отрезок длиной a · b — это решение пропорции x : a = b : 1.)

654. Из точки на диаметре полуокружности составлен перпендикуляр до пересечения с окружностью. Докажите, что длина этого перпендикуляра

<figure><img src="image_451.png" /></figure>
<figure><img src="image_452.png" /></figure>

равна среднему геометрическому между отрезками, на которые точка делит диаметр: $b = \sqrt{ac}$.

**655.** Дан отрезок единичной длины, а также длины $a$. Как построить циркулем и линейкой отрезок длины $\sqrt{a}$? (См. предыдущую задачу.)

Два многоугольника называются подобными, если имеют одинаковую форму (но, возможно, разные размеры), то есть если соответственные углы равны, а стороны пропорциональны. Мы уже видели, что любой прямоугольный треугольник, а также некоторые прямоугольники можно разрезать на две части, подобные исходной фигуре. Известен ещё один такой пример (см. рисунок), называемый шестиугольником Амманна. Совсем недавно (в 2010 году) Дж. Шмерль доказал, что других примеров такого рода не существует<fnref n="1" />.

**656.** Найдите соотношение сторон в шестиугольнике Амманна.

**657.** Объясните, как построена мозаика на рисунке, приведённом на задней стороне обложки (замощение шестиугольниками Амманна двух разных размеров).

<figure><img src="image_453.png" /></figure>

**658.** В «средствах массовой информации»<fnref n="2" /> говорилось, что изображение на полях представляет собой спутниковый снимок малайзийского «Боинга-777» (в верхнем левом углу) перед катастрофой. Сравнивая величину изображения самолёта и взлётной полосы (вертикальная полоса в правом нижнем углу, по длине чуть меньше изображения самолёта), объясните, почему это не так: оцените высоту, с которой можно было бы сделать такой «спутниковый снимок». (Длина «Боинга-777» меньше 80 м, длина полосы аэропорта — несколько километров.)

<footnote n="1">¹J. H. Schmerl. Dividing a polygon into two similar polygons // Discrete Mathematics. 2011. V. 311, № 4. P. 220–231.</footnote>

<footnote n="2">²См., например, www.1tv.ru/news/leontiev/271824.</footnote>
## 30. Координаты на прямой

Выберем на прямой точку O (начало координат) и одно из двух направлений (на рисунке — вправо, показано стрелкой). Отложим в этом направлении отрезок единичной длины, получим точку с координатой 1. Отложив ещё один такой же отрезок, получим точку с координатой 2. Отложив от начала координат единичный отрезок в другую сторону, получим точку с координатой $-1$, затем $-2$ и так далее (см. рисунок).

<figure><img src="image_454.png" /></figure>

В общем виде: отложив от точки O отрезок длины х в выбранном положительном направлении, получим точку с координатой х, а в противоположном отрицательном направлении — точку с координатой $-x$.

<figure><img src="image_455.png" /></figure>

**659.** Сдвинемся из точки с координатой 7 на 10 единиц вправо (в положительном направлении). Какова координата получившейся точки? [Ответ: $17 = 7 + 10$.]

**660.** Сдвинемся из точки с координатой х на 10 единиц вправо (в положительном направлении). Какова координата получившейся точки? [Ответ: $x + 10$.]

Заметим, что ответ $x + 10$ годится при любых х, в том числе отрицательных. Скажем, если мы начнём в точке $-17$, то окажемся в точке $-7 = (-17) + 10$, а если начнём в точке $-6$, то окажемся в точке $4 = (-6) + 10$.

<figure><img src="image_456.png" /></figure>

**661.** Сдвинемся из точки с координатой х на y (в положительном направлении, если $y > 0$; в отрицательном направлении на $-y$, если $y < 0$). Какова координата получившейся точки? [Ответ: $x + y$.]

**662.** Точку A сдвинули вправо на 13 единиц и получили точку с координатой 8. Какова была координата точки A?

▷ Пусть А имела координату a. Тогда $a+13=8$, и $a = 8 - 13 = -5$. ▷
<figure><img src="image_457.png" /></figure>

**663.** Кузнечик прыгнул из точки с координатой 8 в точку с координатой 17,5. Затем он сделал ещё один такой же прыжок (в том же направлении). В точке с какой координатой он оказался?

▷ Длина прыжка $17,5 - 8 = 9,5$; ещё один прыжок даст $17,5 + 9,5 = 27$. △

<figure><img src="image_458.png" /></figure>

**664.** Даны две точки $A(-3)$ и $B(7)$ (в скобках указаны их координаты). Найдите координату середины отрезка $AB$.

▷ Расстояние $AB$ равно $7 - (-3) = 10$, половина расстояния 5. Сдвигая $A$ на 5 вправо (или $B$ на 5 влево), получаем точку с координатой 2.

**665.** Найдите координату середины отрезка, концы которого имеют координаты $a$ и $b$.

▷ Пусть $a < b$. Тогда длина отрезка равна $b - a$. Половина длины будет $(b - a)/2$, и надо сдвинуть $a$ на $(b - a)/2$, получится $a + (b - a)/2 = (a + b)/2$. Таким образом, координата середины отрезка равна среднему арифметическому координат его концов. Та же формула $(a + b)/2$ годится и при $a > b$, поскольку замена $a$ на $b$ в ней ничего не меняет. △

**666.** Какая из точек $A(5/8)$ и $B(8/13)$ находится левее? (В скобках указаны координаты точек; положительное направление — вправо.)

▷ Координаты увеличиваются слева направо, так что надо сравнить дроби $5/8$ и $8/13$ по величине:

$$ \frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 13}{8 \cdot 13} = \frac{65}{8 \cdot 13} > \frac{64}{8 \cdot 13} = \frac{8 \cdot 8}{8 \cdot 13} = \frac{8}{13}. $$

Значит, координата точки $A$ больше, так что левее находится точка $B$.

**667.** Найдите расстояние между точками $A$ (с координатой $a$) и $B$ (с координатой $b$).

▷ Чтобы найти это расстояние, надо из большей координаты вычесть меньшую. Таким образом, оно равно $b - a$ при $b > a$ и $a - b$ при $a > b$. При $a = b$ расстояние, естественно, равно нулю. △
Формулу для расстояния удобно записывать с помощью знака модуля:

Абсолютной величиной, или модулем числа $u$ называют само $u$, если $u$ неотрицательно, и противоположное число $-u$, если $u$ отрицательно. Обозначение: $|u|$. Таким образом,

$$|u| = \begin{cases} u, & \text{если } u \ge 0; \\ -u, & \text{если } u < 0. \end{cases}$$

Напимер, $|3| = 3$, $|0| = 0$, $|-2| = |2| = 2$.

Часто на вопрос «Что такое модуль числа?» школьники отвечают: «Это число без знака». И хотя их за такой ответ справедливо ругают (мол, это не определение, а неизвестно что), но как практический рецепт нахождения модуля, если дано число в виде десятичной или обыкновенной дроби, такое правило годится. Но надо быть осторожным:

**668.** Чему равно $|a|$, если $a < 0$: будет ли это $a$ или $-a$?

▷ Хочется сказать, что $a$ (ведь модуль — «число без знака», а в $-a$ есть знак «минус»), но это неверно. Ведь $a$ отрицательно, а модуль должен быть положителен. Чтобы найти модуль, надо из двух чисел $a$ и $-a$ выбрать положительное (точнее, неотрицательное), и в данном случае им будет как раз $-a$. ◁

С помощью знака модуля можно записать формулу расстояния так: расстояние между точками с координатами $a$ и $b$ равно $|a - b|$.

**669.** Для каких чисел $x$ выполняется равенство $x + |x| = 0$?

▷ Это равенство означает, что $|x| = -x$, это бывает при $x \le 0$. (Заметим, что граничная точка $0$ тоже входит.) ◁

**670.** Для каких чисел $x$ выполняется неравенство $|x - 1| < 2$?

▷ Величина $|x - 1|$ есть расстояние от точки $x$ до точки 1 (полностью надо сказать: «от точки с

<figure><img src="image_459.png" /></figure>
координатой х до точки с координатой 1), и это
расстояние должно быть меньше 2. Отсюда ясно,
что х должно лежать между точками -1 и 3. Ответ:
-1 < x < 3. ◁

671. Машина едет по оси координат с посто-
янной скоростью v (положительные значения v со-
ответствуют движению в положительном направле-
нии). В момент времени t = 0 она находится в точке
a. В какой точке она находится в произвольный мо-
мент времени t?

▷ За время t она сдвигается на расстояние vt,
поэтому её координата в момент t равна a + vt. Эта
же формула годится и при t < 0. (А также и при
v < 0, то есть когда движение происходит в отри-
цательном направлении со скоростью |v| = -v.) ◁

Ещё несколько задач

672. Найдите координату правого конца отрезка,
если левый его конец имеет координату 8, а сере-
дина имеет координату 17,5.

673. Деревянную рейку длиной 1 м разделили
на пять равных частей и пометили точки деления
синим карандашом. Затем её же разделили на семь
равных частей и пометили точки деления красным
карандашом. Перечислите цвета помеченных точек,
идя слева направо.

674 (Продолжение). Затем рейку распилили во
всех красных и во всех синих точках. Сколько по-
лучилось кусков и какой длины самый короткий и
самый длинный куски?

675. Точка A имеет координату 7, точка B имеет координату 17. Точка M делит отрезок AB в отношении 1 : 2, считая от точки A. Какова координата точки M?

676. К невесому стержню на концах прикреп-
лены грузы масс M и m. Центром тяжести такой
системы называется точка, которая делит стержень
в отношении, обратно пропорциональном весам гру-

<figure><img src="image_460.png" /></figure>

<figure><img src="image_461.png" /></figure>
зов (ближе к тяжёлому концу). Физики знают, что именно в этой точке нужно подпереть рычаг, чтобы он был в равновесии. Найдите координату центра тяжести, если координаты точек масс M и m равны соответственно a и b. [Ответ: $(Ma+mb)/(M+m)$.]

**677.** При каких х выполнено равенство

$$|x - 1| + x = 1?$$

**678.** ...выполнено равенство $|x - 1| + |x| = 1$?

**679.** ...выполнено равенство $|x - 1| + |x| = 7$?

**680.** Чему равен квадратный корень из $x^2$? (Число х может быть и положительным, и отрицательным.)

**681.** Каково наименьшее возможное значение выражения $|x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + |x - 4|$?

**682.** Каково наименьшее возможное значение выражения $100|x| + 50|x - 3|$? (См. задачу 7.)

**683.** Рассмотрим три точки А, В, С с координатами 0, х и х + у. Запишите в этих координатах неравенство треугольника (АС ≤ АВ + ВС; хотя в данном случае треугольник вырождается в отрезок, всё равно прямой путь из А в С не длиннее пути с остановкой в В). [Ответ: $|x + y| ≤ |x| + |y|$.]

**684.** Докажите неравенство $|x + y| ≤ |x| + |y|$, не ссылаясь на неравенство треугольника, а разобрав случаи разных знаков по очереди. В каком случае это неравенство обращается в равенство? (Неравенство обращается в равенство, если х и у одного знака.)

**685.** Докажите неравенство $|x + y| ≤ |x| + |y|$, возведя обе его части в квадрат.

**686.** Машина равномерно движется по прямой. В момент $t_0$ она была в точке $x_0$, а в момент $t_1$ она была в точке $x_1$. Найдите её координату в произвольный момент $t$.

$$[\text{Ответ: } x = x_0 + (x_1 - x_0)(t - t_0)/(t_1 - t_0).]$$
## 31. Координаты на плоскости

<figure><img src="image_462.png" /></figure>

Проведём вертикальную и горизонтальную прямые — оси координат. Их пересечение называется началом координат. Чтобы найти координаты произвольной точки $M$, надо спроектировать её на оси координат (опустить перпендикуляры) и взять координаты соответствующих точек по горизонтальной и вертикальной осям.

Узлы сетки (клетчатая бумага со стороной клетки 1, см. раздел 13) имеют целые координаты, если оси координат идут по линиям сетки.

Традиционно горизонтальную ось координат называют осью абсцисс, или осью $OX$ (и координаты по этой оси часто обозначают буквой $x$), а вертикальную ось называют осью ординат, или осью $OY$ (координаты по этой оси часто обозначают буквой $y$). Но, конечно, можно взять за оси любые перпендикулярные прямые: надо лишь указать положительные направления на них и сказать, какая ось будет первой, а какая второй (при записи координат в виде пары чисел).

**687.** Чему равно расстояние точки $M(x, y)$ от осей координат?

▷ Глядя на прямоугольник на картинке, хочется сказать, что расстояние до оси абсцисс равно $y$, а расстояние до оси ординат равно $x$. Но точка может находиться и ниже оси абсцисс, и левее оси ординат, так что правильные ответы будут $|y|$ и $|x|$. ◁

**688.** Где находятся точки $M(x, y)$, у которых $x = y$ (первая координата равна второй)?

▷ Эти точки равноудалены от осей, так что они лежат на биссектрисе угла между осями. ◁

**689.** Где находятся точки $M(x, y)$, у которых $y > x$ (вторая координата больше первой)?

▷ Такие точки получаются, если взять вторую координату равной первой (по предыдущей задаче), а затем увеличить. При увеличении второй координаты (первая не меняется) точка смещается вер-

<figure><img src="image_463.png" /></figure>
тикально вверх. Значит, искомые точки находятся
сверху от прямой $y = x$.

Поскольку неравенство строгое, то точки на са-
мой прямой не удовлетворяют условию. Поэтому са-
ма прямая не входит в интересующее нас множество
точек и показана на рисунке пунктиром. ◁

Можно было бы сказать также, что точки с $x < у$ получаются из точек с $x = у$ уменьшением $x$, то есть сдвигом влево, то есть ответом будет область, лежащая слева от прямой $x = у$. (Это, разумеется, та же самая область.)

**690.** Где находятся точки, у которых обе координаты $x$ и $y$ положительны? у которых $x > 0$, $y < 0$? у которых $x < 0$, $y > 0$? у которых обе координаты отрицательны?

▷ См. рисунок. ◁

<figure><img src="image_464.png" /></figure>

**691.** Точка $M$ имеет координаты $(x, y)$. Найдите координаты точки $M'$, симметричной точке $M$ относительно оси абсцисс. Тот же вопрос для точки, симметричной $M$ относительно оси ординат, а также для точки, симметричной $M$ относительно начала координат.

▷ Точки $M$ и $M'$ лежат на одной вертикальной прямой, поэтому их абсциссы одинаковы. Они находятся на одном расстоянии от оси абсцисс по разные стороны от неё, так что их ординаты равны по величине и противоположны по знаку. Ответ: $(x, -y)$. (Заметим, что этот ответ сохраняет силу и при $y = 0$, и при $y < 0$.)

Точка, симметричная $M$ относительно оси ординат, имеет координаты $(-x, y)$.

Точка, симметричная $M$ относительно начала координат, имеет координаты $(-x, -y)$. (Можно заметить, что она получается последовательными отражениями относительно оси абсцисс и оси ординат, так что оба знака меняются.) ◁

<figure><img src="image_465.png" /></figure>

**692.** Где находятся точки $(x, y)$, у которых сумма координат равна нулю, то есть $x + y = 0$?
<figure><img src="image_466.png" /></figure>

<figure><img src="image_467.png" /></figure>

<figure><img src="image_468.png" /></figure>

<figure><img src="image_469.png" /></figure>

$$ \frac{\text{дорога}}{100 \text{ м}} \rightarrow 5 \text{ м} $$

▷ Условие $x + y = 0$ можно переписать как $y = -x$. Таким образом, эти точки симметричны точкам прямой $y = x$. Получается биссектриса (другого) угла между осями координат. △

**693.** Где находятся точки, у которых $y = 2x$?

▷ Если нарисовать на клетчатой бумаге несколько таких точек (скажем, (0,0), (1,2), (2,4)), то видно, что они ложатся на прямую. Чтобы убедиться, что действительно все точки лежат на одной прямой, рассмотрим произвольную точку $(x, 2x)$ и проверим, что она видна из начала координат в том же направлении, что и точка (1,2). Два треугольника на рисунке подобны по двум катетам и (прямому) углу между ними. Значит, углы в них равны. △

То же самое можно сказать про уравнение $y = kx$ и при других $k$: это уравнение задёт прямую, проходящую через начало координат (0,0) и точку (1, k). Чем больше $k$, тем выше эта вторая точка и тем круче идёт вверх прямая. При $k = 0$ получается прямая $y = 0$, то есть ось абсцисс. А при отрицательных $k$ получается прямая, наклонённая вправо (тем круче, чем больше $k$ по абсолютной величине).

Число $k$ будем называть наклоном прямой на координатной плоскости. (Обычно говорят более длинно: «тангенс угла наклона прямой», или «угловой коэффициент прямой», но мы для краткости будем говорить просто о «наклоне». По-английски говорят коротко «slope».)

Интуитивный смысл коэффициента $k$: если мы смещаем точку на прямой на единицу вправо, то она поднимается на $k$ вверх. Скажем, дорожный подъём с наклоном в 0,05 означает, что на каждые 100 м горизонтального смещения дорога поднимается на 5 м.

Обратите внимание, что мы говорим о 100 м смещении по горизонтали, а не 100 м по дороге. (Расстояние по дороге будет немного больше горизонтального смещения: гипотенуза длиннее катета.)
Наклон можно рассматривать как новую меру «крутизны» подъёма прямой (помимо угла с горизонталью). Сравним её с углом для нескольких значений:

**694.** Найдите наклон прямой, образующей с го- ризонталью угол 45°.

▷ Мы уже знаем, что такая прямая задаётся уравнением $y = x$, так что наклон равен 1. ▽

**695.** Найдите наклон прямой, образующей с го- ризонталью угол 60°.

▷ В прямоугольном треугольнике с углом 60° меньший катет равен половине гипотенузы (достроим до правильного треугольника, задача 167). Приняв меньший катет равным 1, мы можем найти больший катет по теореме Пифагора: он равен $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$. Таким образом, наклон прямой, идущей под углом 60°, равен $\sqrt{3}$. ▽

<figure><img src="image_470.png" /></figure>

**696.** Найдите наклон прямой, образующей с го- ризонталью угол 30°.

▷ Та же пропорция между катетами прямоугольного треугольника с углами в 30° и 60°, применённая в обратную сторону, даёт ответ: $k = 1/\sqrt{3}$. ▽

Есть и другие «удачные» значения углов, когда наклон можно выразить формулой (с квадратными корнями). Так можно сделать для угла в 72° или в 15° (см. задачи 706 и 707). Но, скажем, для угла в 20° никакой формулы с квадратными корнями для наклона нет (и это связано с тем, что угол в 60° нельзя разделить на три равные части циркулем и линейкой). Зато этот наклон можно описать как корень кубического уравнения с целыми коэффициентами (и вообще, для угла в целое или рациональное число градусов наклон будет корнем какого-то многочлена с целыми коэффициентами). На практике пользуются программами для приближённого вычисления наклона по углу; в калькуляторе это делается с помощью клавиши «tg» (тангенс).

До сих пор речь шла о прямых, проходящих через начало координат. Другие прямые получаются из них сдвигом.
**697.** Где находятся точки $(x, y)$, для которых $y = 2x + 1$?

▷ Чтобы получить такую точку, можно сначала взять точку $(x, y)$, у которой $y = 2x$, а потом увеличить $y$ на 1. Другими словами, нужно взять прямую $y = 2x$ и потом подвинуть все её точки вверх ровно на 1, то есть всё построение на клетчатой бумаге просто переносится на клетку выше. ◁

<figure><img src="image_471.png" /></figure>

В общем виде:

Точки $(x, y)$, удовлетворяющие уравнению $y = kx + b$, образуют прямую. Эта прямая параллельна прямой $y = kx$ и пересекает ось ординат в точке $(0, b)$ (при $x = 0$ из уравнения получаем $y = b$). Таким образом можно задать любую невертикальную прямую.

**698.** На координатной плоскости изображено несколько прямых (обозначенных цифрами). Каждая из них задаётся уравнением $y = kx + b$ с какими-то $k$ и $b$. Перечислите прямые (а) в порядке возрастания коэффициентов $k$; (б) в порядке возрастания значений $b$.

<figure><img src="image_472.png" /></figure>

▷ Коэффициент $k$ (наклон) тем больше, чем кручче прямая поднимается вверх при движении слева направо. Прямая № 2 имеет отрицательный наклон, далее в порядке возрастания идут прямые 1, 3, 4.

Чтобы упорядочить прямые по возрастанию $b$, надо посмотреть на их точки пересечения с осью ординат и перечислить прямые снизу вверх: 4, 1, 3, 2. ◁

Расстояние между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ можно найти по теореме Пифагора:

<figure><img src="image_473.png" /></figure>

$$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}.$$

**699.** Составьте уравнение для координат точек $(x, y)$, равноудалённых от $(-2, 2)$ и $(2, 0)$.

▷ Мы знаем, что такие точки находятся на серединном перпендикуляре, который можно нарисовать на клетчатой бумаге и затем найти его уравнение.
Но можно действовать и алгебраически: равенство
расстояний равно сильно равноству их квадратов, по-
этому условие равноудалённости можно переписать
как $(x+2)^2 + (y-2)^2 = (x-2)^2 + y^2$, то есть
$x^2+4x+4+y^2-4y+4 = x^2-4x+4+y^2$, или
$8x+4=4y$, или $y=2x+1$. ∠

700. Найдите расстояние от точки (x, y) до прямой y = x.

▷ По вертикали это расстояние равно |y-x| (см. рисунок). Но кратчайшее расстояние будет перпендикуляром, опущенным на прямую. В прямоугольном треугольнике с углами в 45° катет в √2 раз короче гипотенузы, так что ответ будет |y - x|/√2. ∠

<figure><img src="image_474.png" /></figure>

Ещё несколько задач

701. Точка M имеет координаты (x, y). Найдите координаты точки M', симметричной точке M относительно прямой y = x.

702. Как описать геометрически преобразование,
переводящее точку (x, y) в точку (-y, x)? [Ответ:
Поворот против часовой стрелки на 90°.]

703. Где находятся точки, у которых $|x| = |y|$?
(Это условие выполняется, если $y = x$ или если
$y = -x$.)

704. Где находятся точки, у которых $x^2 = y^2$?
(См. предыдущую задачу. Можно также заметить,
что $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Когда произведение
двух сомнителей равно нулю?)

705. Найдите расстояние от точки (x, y) до прямой y + x = 0. Тот же вопрос для прямой 3x + 4y - 5 = 0.

706. Найдите наклон прямой, образующей угол
в 72° с горизонталью. (См. задачу 634.)

707. Найдите наклон прямой, образующей угол
в 15° с горизонталью. (Биссектриса угла в 30° пря-
моугольного треугольника делит противоположный
катет на части, пропорциональные прилегающим
сторонам.)
708. Где находятся точки $(x, y)$, для которых $(y-x)(y-2x) < 0$?

709. Где находятся точки $(x, y)$, для которых $(x-1)(y-1)(x+y-3) < 0$?

710. По шоссе в одну сторону движутся пешеход и велосипедист, в другую сторону — телега и автомобиль. Все участники движутся с постоянными скоростями (каждый со своей). Велосипедист сначала обогнал пешехода, потом через некоторое время встретил телегу, а потом ещё через такое же время встретил машину. Машина сначала встретила велосипедиста, потом через некоторое время встретила пешехода, и потом ещё через такое же время обогнала телегу. Велосипедист обогнал пешехода в 10 часов, а пешеход встретил машину в 11 часов. Когда пешеход встретил телегу? (Медианы треугольника, пересекаясь, делятся в отношении 2 : 1.)

711. В курсе алгебры параболу определяют как множество точек $(x, y)$, для которых $y = x^2$. Но в Древней Греции параболу определяли иначе: как множество точек, для которых расстояние от данной точки (фокуса) равно расстоянию от данной прямой (директрисы). Подберите фокус и директрису для параболы $y = x^2$. [Ответ: Фокус будет $(0, 1/4)$, директрисой будет прямая $y = -1/4$.]

712. Напишите уравнение, которому удовлетворяют координаты точек $(x, y)$, лежащих на окружности с центром в $(a, b)$ и радиусом $r$.

713. Покажите, что точки $(x, y)$, для которых $x^2 - 2x + y^2 + 2y = 11$ , образуют окружность, и найдите её центр и радиус.

714. На плоскости даны две точки А и В. Докажите, что точки М, для которых расстояние МА вдвое больше расстояния МВ, образуют окружность.

715. На плоскости даны две точки А и В. Докажите, что точки М, для которых расстояние $MA^2 - MB^2$ равна некоторому постоянному значению с, образуют прямую, перпендикулярную отрез-
ку АВ. Выведите отсюда, что для двух окружностей, лежащих вне друг друга, множество точек, из которых отрезки касательных к этим окружностями имеют равную длину, представляет собой прямую.

716. При каком условии точки (0, 0), (x₁, y₁) и (x₂, y₂) лежат на одной прямой? [Ответ: x₁y₂ = x₂y₁.]

717. Найдите площадь треугольника с вершинами (0, 0), (x₁, y₁), (x₂, y₂). [Ответ: $\frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$.]
## 32. Общая мера

Представим себе, что нам нарисовали два отрезка и просят найти отношение их длин (во сколько раз один длиннее другого). При этом у нас есть циркуль и линейка (без делений). Мы сможем ответить на вопрос, если найдём «общую меру» этих отрезков. Например, если какой-то отрезок (выбанный в качестве меры длины) укладывается в одном отрезке 15 раз, а во втором — только 12, то мы сразу можем сказать, что длины отрезков относятся как $15 : 12 = 5 : 4$, то есть что первый на 25% (в 1,25 раза) длиннее.

> Общей мерой двух отрезков называется такой отрезок, который укладывается целое число раз в каждом из них.

Другими словами, если принять общую меру двух отрезков за единицу длины, то длины этих отрезков будут целыми.

718. Вернёмся к примеру, когда общая мера укладывается в одном отрезке 15 раз, а в другом 12 раз. Можно ли найти больший отрезок, который тоже будет общей мерой?

> Да: $15 = 3 \cdot 5$, а $12 = 3 \cdot 4$, поэтому если взять общую меру втрое длиннее, то она будет укладываться (соответственно) 5 раз и 4 раза. <

> В этом примере нам удалось найти большую общую меру; найти меньшую можно всегда (достаточно поделить общую меру на несколько равных частей).

719. Прямоугольник разрезали на квадраты, проводя прямые, параллельные его сторонам. Докажите, что все квадраты равны и что их сторона является общей мерой сторон прямоугольника.

> В самом деле, соседние квадраты имеют одинаковый размер, поскольку у них общая сторона. Значит, и все квадраты имеют одинаковый размер (можно пройти по цепочке). Получается отрезок,
который укладывается в каждой из сторон прямоугольника целое число раз. ◁

Как найти общую меру двух отрезков, зная их длины? Если длины заданы конечными десятичными дробями, то можно выбрать наибольшее число знаков после запятой и взять соответствующую единицу длины (десятую, сотую и т.п.); например, отрезки в 0,57 м и 1,9 м имеют общей мерой отрезок в 0,01 м, то есть 1 см.

**720.** Будет ли сантиметровый отрезок наибольшей общей мерой этих двух отрезков?

▷ Нет: можно взять отрезок в 19 см: он укладывается три раза в первом отрезке и десять раз во втором. ◁

Несложно найти общую меру и у двух отрезков, длины которых заданы обыкновенными дробями.

**721.** Найдите общую меру у двух отрезков длиной 1/5 м и 1/3 м.

▷ Отрезок длиной 1/15 м укладывается три раза в первом и пять раз во втором. ◁

В арифметике аналогичное действие называют приведением дробей к общему знаменателю. В качестве общего знаменателя можно взять произведение знаменателей дробей, если ничего меньшего найти не удалось.

**722.** Найдите общую меру у отрезков длиной $\frac{4}{15}$ и $\frac{8}{21}$.

▷ Можно взять отрезок длиной $\frac{1}{15 \cdot 21} = \frac{1}{315}$ в качестве общей меры. Видно, что

$$ \frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 21}{15 \cdot 21} \quad \text{и} \quad \frac{8}{21} = \frac{15 \cdot 8}{15 \cdot 21}, $$

так что предложенный отрезок укладывается $4 \cdot 21$ раз в первом отрезке и $15 \cdot 8$ раз во втором. ◁

**723.** (Продолжение). Есть ли более длинные общие меры?

▷ Есть. Например, можно заметить, что $15 = 3 \cdot 5$ и $21 = 3 \cdot 7$, поэтому дроби можно переписать в виде $\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 7}{3 \cdot 5 \cdot 7}$ и $\frac{8}{21} = \frac{8 \cdot 5}{3 \cdot 5 \cdot 7}$, так что отрезок длиной
$\frac{1}{3 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{1}{105}$ будет общей мерой. Он втрое длиннее ранее предложенного и укладывается $4 \cdot 7 = 28$ раз в первом отрезке и $8 \cdot 5 = 40$ раз во втором. ◁

**724** (Продолжение). А есть ли ещё более длинная общая мера?

▷ Есть. Заметим, что оба числа 28 и 40 кратны 4, поэтому если взять вчетверо более длинный отрезок, то он уложится 7 раз в первом и 10 раз во втором. ◁

Не всякие два отрезка имеют общую меру. Это связано с существованием иррациональных чисел (см. обсуждение на с. 159). Например, сторона квадрата и его диагональ не имеют общей меры. В самом деле, если в каких-то единицах измерения квадрат имел бы целую сторону $n$ и целую диагональ $m$, то $m^2 = n^2 + n^2 = 2n^2$ по теореме Пифагора, и $(m/n)^2 = 2$, а никакая дробь с целым числителем и знаменателем не даёт в квадрате 2. Другое, геометрическое доказательство несоизмеримости стороны и диагонали квадрата мы разберём в этом разделе после алгоритма Евклида — способа найти общую меру двух отрезков (если она существует).

Отрезки, имеющие общую меру, называют соизмеримыми.

**725.** Докажите, что два отрезка соизмеримы тогда и только тогда, когда отношение их длин рационально (выражается дробью с целыми числителем и знаменателем).

▷ Если общая мера укладывается в первом отрезке $m$ раз, а во втором $n$ раз, то отношение длин равно $m/n$. В другую сторону: если отношение длин $a/b$ равно рациональному числу $m/n$, то $a/m = b/n$, и отрезок такой длины укладывается в $a$ ровно $m$ раз, а в $b$ ровно $n$ раз. ◁

**726.** Даны два отрезка: более длинный (a) и более короткий (b). Тогда можно рассмотреть их разность $c = a - b$ (отрезать от a отрезок, равный b, и взять остаток с). Докажите, что общие меры у a и b те же самые, что у b и с.

<figure><img src="image_475.png" /></figure>
▷ Нам надо доказать две вещи: (1) если какой-то отрезок *d* укладывается в *a* и в *b* целое число раз, то он укладывается и в *c* целое число раз. И наоборот: (2) если он укладывается в *b* и в *c* целое число раз, то он укладывается и в *a* целое число раз. Но это почти очевидно: замостим *a* копиями отрезка *d*; какое-то (целое) число их попадёт в *b*, а оставшися копиями замостят *c*. Напротив, если *b* и *c* можно замостить копиями *d*, то в итоге и получится *a*. ◁

Эту же задачу можно объяснить иначе: от прямоугольника $a \times b$ отрезали квадрат $b \times b$, получился прямоугольник $b \times c$. Так вот, общие меры у сторон исходного прямоугольника те же, что и у полученного после отрезания квадрата.

727. Изобретатель-самоучка Алгоритм Евклидов сделал автомат, который устроен так: в него можно засунуть бумажный прямоугольник, и он отрежет от него квадрат (проверяя разрез параллельно меньшей стороне). Затем оставшийся прямоугольник можно засунуть в автомат снова, от него снова отрежут квадрат, и так далее. Что получится, если начать с прямоугольника $14 \times 36$?

▷ Сначала автомат отрежет квадрат $14 \times 14$, останется прямоугольник $14 \times 22$. Затем будет отрезан ещёё один квадрат $14 \times 14$, останется прямоугольник $14 \times 8$. На следующем шаге будет отрезан квадрат $8 \times 8$, останется прямоугольник $8 \times 6$; от него отрежут квадрат $6 \times 6$ и останется прямоугольник $6 \times 2$, который будет постепенно разрезан на три квадрата $2 \times 2$. ◁

728 (Продолжение). Докажите, что любой прямоугольник с целыми сторонами будет таким способом разрезан на несколько квадратов.

▷ Ясно, что в этом случае все квадраты и все прямоугольники в ходе процесса будут иметь целые стороны. При отрезании периметр уменьшается, оставаясь целым, так что это не может продолжаться долго (число шагов не превосходит периметра исходного прямоугольника). ◁

<figure><img src="image_476.png" /></figure>

a

<figure><img src="image_477.png" /></figure>

<figure><img src="image_478.png" /></figure>
729 (Продолжение). Докажите, что если стороны прямоугольника имеют общую меру, то описанный процесс разрежет его на несколько квадратов.

▷ По существу эта задача совпадает с предыдущей: примем общую меру за единицу длины. ◁

Алгоритм Евклида нахождения общей меры двух отрезков: пока отрезки не равны, уменьшить больший отрезок на длину меньшего.

Схема алгоритма:

пока $a \neq b$:

$$a > b \Rightarrow a \leftarrow a - b$$

$$b > a \Rightarrow b \leftarrow b - a$$

Когда (и если) отрезки станут равными, процесс прекращается, и получившийся отрезок (любой из двух равных) будет ответом.

Пример: начав с отрезков длины 14 и 36, мы приходим к отрезкам длины 2:

$$(14,36) \rightarrow (14,22) \rightarrow (14,8) \rightarrow \\ \rightarrow (6,8) \rightarrow (6,2) \rightarrow (4,2) \rightarrow (2,2).$$

Мы должны обосновать название алгоритма:

730. Докажите, что если алгоритм Евклида заканчивает работу (приводит к паре равных отрезков), то эти отрезки будут общей мерой двух исходных отрезков.

▷ Задача 726 говорит, что в ходе алгоритма общие меры (если они есть) остаются те же самые: скажем, у отрезков длиной 14 и 36 они те же, что у отрезков длиной 14 и 22, те же, что у отрезков 14, 8, ..., те же, что и у отрезков (2,2). А равные отрезки будут своей собственной общей мерой (которая укладывается в каждом из них ровно один раз). ◁

731. Докажите, что если два отрезка имеют общую меру, то алгоритм Евклида через несколько шагов приведёт к равным отрезкам (и остановится).

▷ Примем общую меру за единицу длины. Тогда длины отрезков выражаются положительными
целыми числами. При вычитании одного отрезка из другого числа остаются целыми и положительными, при этом больший отрезок уменьшается, и это не может продолжаться неограниченно долго (число шагов не может быть больше начальной длины большего отрезка). ◁

Можно сказать, что эта задача даёт способ выяснить, соизмеримы ли два данных отрезка: надо начать применять к ним алгоритм Евклида и посмотреть, остановится ли он. (Проблема, конечно, в том, что если он не остававливается, мы ни в какой момент этого не увидим — ведь процесс никогда не закончится.)

732. Кузнечик прыгает по прямой влево и вправо, при этом он может делать большие прыжки на 36 см и малые прыжки на 14 см (влево или вправо). Может ли он за несколько прыжков сдвинуться на 3 см от начального положения? на 2 см? на 1234 см?

▷ Сдвинуться на 3 см он не сможет, так как все его прыжки смещают его на чётное число сантиметров (а складывая или вычитая чётные сдвиги, мы не можем получить нечётный: любой сдвиг будет кратен 2 см).

На 2 см кузнечик сдвинуться может. В самом деле, кузнечик может прыгнуть на 22 см, если прыгнет на 36 см в одну сторону и потом вернётся обратно на 14 см (36 – 14 = 22). Умея сдвигаться на 22 см (пусть за два прыжка вместо одного) и на 14 см, он может сдвинуться на 8 см (22 – 14 = 8). Умея сдвигаться на 14 и на 8 см, он может сдвинуться на 6 = 14 – 8 см. Наконец, умея сдвигаться на 8 и 6 см, он может сдвинуться на 2 = 8 – 6 см.

Затем, повторяя многократно сдвиг на 2 см, можно сдвинуться на любое чётное число сантиметров, в том числе на 1234. (Поскольку 1234 = 2·617, надо повторить сдвиг на 2 см 617 раз.) ◁

Программисты бы сказали так: имея команды сдвига на 36 и 14 см, можно написать подпрограмму (процедуру, вспомогательный алгоритм) сдвига на 22 см. Затем, используя эту подпрограмму и команду сдвига на 14 см, пишем подпрограмму сдвига на 8 = 22 – 14 см и так да-
лее, пока не дойдём до сдвига на 2 см. Теперь, повторяя команду сдвига на 2 см 617 раз, мы можем сдвинуться на 1234 см.

**733** (Продолжение). Сколько и каких прыжков должен сделать кузнечик для того, чтобы сдвинуться на 2 см, как в предыдущей задаче?

▷ Это можно подсчитать, следуя её решению:

$$22 = 36 - 14;$$

$$8 = 22 - 14 = (36 - 14) - 14 = 36 - 2 \cdot 14;$$

$$6 = 14 - 8 = 14 - (36 - 2 \cdot 14) = 3 \cdot 14 - 36;$$

$$\begin{aligned} 2 = 8 - 6 &= (36 - 2 \cdot 14) - (3 \cdot 14 - 36) = \\ &= 2 \cdot 36 - 5 \cdot 14. \end{aligned}$$

Получается 2 прыжка в одну сторону на 36 см (всего 72 см) и 5 прыжков в другую сторону на 14 см (всего 70 см). Всё сходится: $72 - 70 = 2$. ◁

**734.** Докажите, что алгоритм Евклида в применении к паре отрезков, имеющих общую меру, даёт их наибольшую общую меру, и эта наибольшая мера кратна любой другой общей мере.

▷ В самом деле, для пар отрезков, появляющихся в ходе алгоритма, общие меры одни и те же (задача 726), а для пары равных отрезков, очевидно, их длина будет наибольшей общей мерой, кратной любой другой. ◁

Если длины отрезков целые, то алгоритм Евклида даёт наибольший общий делитель двух целых положительных чисел $a$ и $b$, и этот наибольший общий делитель делится на любой другой общий делитель $a$ и $b$.

(Целое число $d > 0$ называется делителем числа $x$, если $x$ делится на $d$ без остатка, то есть $x/d$ — целое число. Среди всех общих делителей чисел $a$ и $b$ можно найти наибольший общий делитель.)

**735.** Найдите наибольший делитель пары чисел 123456789 и 987654321 (другими словам, наибольшую общую меру отрезков таких длин).

▷ В принципе эту задачу можно решить перебором (и даже за разумное время, если под ру-
кой есть компьютер), попробовав все числа от 1 до 123456789 (большие явно не подходят).

Но можно обойтись и без компьютера, пользуясь алгоритмом Евклида. Число 987654321 можно заменить на $987654321 - 123456789 = 864197532$. Ещё раз вычитая $123456789$, получаем $740740743$, за-тем $617283954$, $493827165$, $370370376$, $246913587$, $123456798$ и, наконец, $123456798 - 123456789 = 9$. (В итоге мы поделили $987654321$ на $123456789$ с остатком и получили в остатке 9.) Как мы видели, общие делители у исходной пары и у пары $123456789$, 9 одинаковые, и дальше по алгоритму Евклида надо вычитать 9 из $123456789$. Число $123456789$ делится на 9 (оно равно $9 \cdot 13717421$), так что при вычитании мы получим 9 (и потом 0). Ответ: наибольший общий делитель равен 9. ◁

**736.** Отрезок разделён на две части в отношении золотого сечения (это означает, что большая часть относится к меньшей так же, как весь отрезок относится к большей части). Докажите, что отрезок и его большая часть не имеют общей меры.

▷ Вспомним алгоритм Евклида: применяя его к паре (отрезок, его большая часть), мы получаем пару (большая часть, меньшая часть). По условию отношение отрезков в паре не изменяется, то есть мы просто уменьшили оба отрезка в какое-то число раз. Значит, на следующем шаге будет всё то же са-мое, и отрезки снова пропорционально уменьшатся, и так далее, так что процесс никогда не кончится. Следовательно, общей меры не существует. ◁

Это рассуждение становится более наглядным, если провести его с прямоугольниками: если стороны прямоугольника образуют золотое сечение, это значит, что при отрезании квадрата получится прямоугольник меньшего размера, подобный исходному (с тем же отношением сторон). Поскольку отношение сторон то же, то и свойство золотого сечения сохранится: отрезем квадрат от оставшейся части, получится ещё меньший прямоугольник, подобный

<figure><img src="image_479.png" /></figure>
исходному. И так будет продолжаться всё время: ал-
горитм Евклида никогда не завершится.

Можно сказать, что после бесконечного числа шагов
прямоугольник золотого сечения будет разрезан на бес-
конечно много квадратов. Впрочем, одна из точек прямо-
угольника не попадёт ни в один из квадратов; из рисунка
примерно видно, где она находится.

737. Пользуясь рисунком, дайте геометрическое доказательство того, что сторона и диагональ квадрата не имеют общей меры.

▷ Согнём бумажный квадрат так, чтобы его сторона AD пошла по диагонали AC (линией сгиба будет биссектриса AF угла CAD). Получатся два равных прямоугольных треугольника AFD и AFE, а треугольник CEF будет прямоугольным с углом 45°, поэтому равнобедренным. Отсюда видно, что CE = EF = FD, а также AE = AD. Теперь видно, как будет применяться алгоритм Евклида к стороне и диагонали квадрата: от диагонали AC после вычитания AD = AE останется CE, а от стороны CD после вычитания CE = DF останется CF. Вновь получается пара отрезков CE и CF, которые относятся друг к другу как сторона квадрата к диагонали, и всё повторяется сначала (так что никогда не кончится). ◁

<figure><img src="image_480.png" /></figure>

Ещё несколько задач

738. Каждый из двух отрезков *a* и *b* укладывает-
ся в некотором отрезке *с* целое число раз. Следует
ли отсюда, что отрезки *a* и *b* имеют общую меру?

739. Найдите наименьшее положительное число х (не обязательно целое), для которого оба числа $\frac{4}{15}x$ и $\frac{8}{21}x$ будут целыми.

740. Будет ли отрезок длиной 19 см в задаче 720 наибольшей общей мерой или есть ещё больший? (Большая общая мера может укладываться не три раза, а два или один.)
741. Найдите отношение сторон разрезанного на квадраты прямоугольника на рисунке.

<figure><img src="image_481.png" /></figure>

На первый взгляд прямоугольник на рисунке выглядит как квадрат, но на самом деле его стороны немного разные. Квадрат тоже можно разрезать на квадраты разных размеров, но их нужно больше. Такой пример найти совсем не просто: он был построен в 1930-е годы, при этом обнаружились аналогии между разрезанием на квадраты и законами Кирхгофа для тока в электрических цепях. Тогда же было доказано, что стороны прямоугольника, разрезанного на квадраты, обязательно имеют общую меру (и это тоже не так просто).

Основная сложность в разрезании квадрата на разные квадраты — придумать схему разрезания; найти подходящие к этой схеме размеры уже не так сложно (решение систем линейных уравнений).

742. Как замостить плоскость без пробелов и перекрытий квадратами, чтобы все они были разного размера? (Воспользуйтесь разрезанием прямоугольника на различные квадраты.)

743. На обложке приведена фотография квадратной подушки, разделенной на меньшие квадраты (схему разрезания предложил А. Дюйвестейн (A. J. W. Duijvestijn) в 1978 г., а саму подушку сделала М. Бомхольт (Magda Julie Bomholt)). Подберите подходящие размеры квадратов, чтобы всё сходилось.

744. Что получится, если разрезать прямоугольный лист бумаги формата А4 (210 × 297 мм) на квадраты с помощью автомата из задачи 727?

745. Сравните результат задачи 727 с представлением числа 36/14 в виде цепной дроби:

$$ \frac{36}{14} = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}} $$

Проверьте обнаруженные закономерности, взяв в качестве примера другой прямоугольник с целыми сторонами.
746. Применяя автомат задачи 727 к некоторому прямоугольнику, получили пять квадратов, и все они оказались разного размера, кроме двух самых маленьких. Каково было соотношение сторон исходного прямоугольника?

747. Прямоугольник разрезали на несколько квадратов по задаче 727. Докажите, что стороны всех полученных квадратов (а также стороны исходного прямоугольника) выражаются целыми числами, если принять за единицу длины сторону наименьшего квадрата.

748. Прямоугольник с отношением сторон, равным золотому сечению, разрезан на квадраты, как на рисунке к задаче 736. (Квадраты отрезаются по кругу: снизу, справа, сверху, слева, снова снизу и т.д.) Как найти положение оставшейся точки, используя циркуль и линейку?

749. Кузнечик прыгает по прямой, делая прыжки (в любом направлении) двух типов: большие и маленькие. При этом длины большого и маленького прыжков всегда одинаковы, и длина большого прыжка несоизмерима (не имеет общей меры) с длиной маленького. Докажите, что где бы ни находился кузнечик и какой бы короткий промежуток на прямой мы ни выбрали, кузнечик всегда сможет (несколькими прыжками) попасть в этот промежуток.

750. На клетчатой бумаге провели прямую и из каждого узла сетки опустили на эту прямую перпендикуляр. Основания этих перпендикуляров отметили, и все они оказались разными. Докажите, что они всюду плотны на этой прямой: на любой сколь угодно малый отрезок попадает хотя бы одно из них.

751. Муравей бегает по круговой дорожке длиной 10 м (всё время в одну сторону) и делает остановки через равные расстояния. Докажите, что каново бы ни было расстояние между остановками, можно найти две точки остановки, отстоящие друг от друга не более чем на 1 мм.
752. В узлах клетчатой бумаги, кроме (0,0), на-
рисовали маленькие окружности одного и того же
размера (центры окружностей — в узлах). Докажи-
те, что как бы ни был мал размер окружностей, они
полностью закрывают вид из точки (0,0): любой
луч, выходящий из этой точки, пересекает хотя бы
одну окружность.

753. Пользуясь рисунком, покажите, что если площадь одного квадрата с целочисленными сторонами вдвое больше площади другого квадрата с целочисленными сторонами, то можно найти пару квадратов меньшего размера (с целочисленными сторонами) с тем же свойством. Повторяя это многократно, мы приходим к противоречию, доказав тем самым иррациональность числа $\sqrt{2}$.

754. (Продолжение) Пользуясь следующим рисунком, докажите аналогичным образом иррациональность числа $\sqrt{3}$.

<figure><img src="image_482.png" /></figure>

<figure><img src="image_483.png" /></figure>
## 33. Тригонометрия

### Что такое тригонометрия?

Представьте себе, что злой волшебник Бормидав запер вас в темнице и говорит: «Выпущу, если найдёшь третью сторону треугольника со сторонами 1 м и 2 м и углом в 40° между ними, притом с ошибкой не более 1 мм». Как выбраться из темницы?

Что можно сказать по поводу этого вопроса? Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними говорит, что все треугольники с данной парой сторон и углом между ними равны, так что вопрос имеет смысл. В принципе, конечно, можно пытаться сделать точный чертёж и измерить по нему, но вряд ли реально выполнить построение с такой точностью (даже если в темнице есть карандаш, бумага, линейка и транспортер).

Можно ещё заметить, что искомое расстояние явно больше метра и меньше трёх, так что можно перепробовать все варианты (с шагом 1 мм) — один из них будет правильным. Но что делать, если волшебник наказывает за неправильные ответы?

В этом разделе мы увидим, как можно найти искомую сторону с помощью «теоремы косинусов» (имея калькулятор и таблицу косинусов). Такого типа задачи: зная некоторые элементы треугольника (стороны и углы), найти другие его элементы, — относят к тригонометрии. Слово «тригонометрия» можно расшифровать как «измерение треугольников»; тригон — это треугольник, подобно тому как пентагон — пятиугольник. (Зловещий «Пентагон» советской пропаганды — всего лишь пятиугольное здание министерства обороны США.)

Находить элементы треугольников нужно было при составлении карт. В XIX веке не было ни спутников системы GPS, ни даже аэрофотосъёмки — а карты местности тем не менее были, и притом довольно точные. Как же их делали? На местности строили сеть геодезических вышек, и вся территория
рия страны разбивалась на треугольники с вершинами в этих вышках. (Некоторые вышки сохранились и до сих пор, так что вы могли их видеть.) Это называлось научным словом «триангуляция». Важно, чтобы с каждой вышки были хорошо видны соседние. Забравшись на такую вышку, геодезист измерял углы между направлениями на соседние вышки (углы треугольников). После этого достаточно было один раз померить расстояние между какими-то двумя соседними вышками, чтобы найти все остальные расстояния с помощью тригонометрии. (Конечно, на практике для надёжности мерили несколько расстояний.)

Сейчас, конечно, есть другие способы составления карт, но что такое тригонометрические функции (синус, косинус и другие), всё равно знать нужно (хотя бы для программирования тех же спутников и навигаторов).

* * *

Нарисуем несколько прямоугольных треугольников с одним и тем же острым углом $\alpha$. Все они потребны друг другу, и потому отношения сторон у них одинаковые. Эти отношения имеют традиционные названия:

* Синусом острого угла $\alpha$ называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Обозначение: $\sin \alpha$.

* Косинусом острого угла $\alpha$ называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Обозначение: $\cos \alpha$.

* Тангенсом острого угла $\alpha$ называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Обозначение: $\tan \alpha$.

Удобно представлять себе треугольник с гипотензой 1: катеты такого треугольника равны $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$, а их отношение равно $\operatorname{tg} \alpha = \sin \alpha / \cos \alpha$.

**755.** Докажите, что синус и косинус острого угла меньше 1.

▷ Катет короче гипотенузы. ▶

<figure><img src="image_484.png" /></figure>

<figure><img src="image_485.png" /></figure>
<figure><img src="image_486.png" /></figure>

**756.** Докажите, что $\sin \alpha + \cos \alpha > 1$ для любого острого угла $\alpha$.

▷ Сумма катетов длиннее гипотенузы (неравенство треугольника). ◁

**757.** Докажите, что $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

▷ Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. ◁

**758.** Докажите, что $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$.

▷ Катет, противолежащий одному острому углу, будет прилежащим к другому, который как раз равен $90^\circ - \alpha$ (где $\alpha$ — первый угол). ◁

**759.** Чему равен $\operatorname{tg}(90^\circ - \alpha)$, если $\operatorname{tg} \alpha = a$?

▷ Синус и косинус меняются местами, так что $\operatorname{tg}(90^\circ - \alpha) = 1/a$. ◁

**760.** Чему равны синусы, косинусы и тангенсы углов в 30°, 45°, 60°, 90°?

▷ В прямоугольном треугольнике с углом в 30° меньший катет равен половине гипотенузы (достраиваем до правильного треугольника, задача 167), так что $\sin 30^\circ = 1/2$. Большой катет можно найти по теореме Пифагора: если гипотенуза равна 1, то он равен

$$ \cos 30^\circ = \sqrt{1^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Их отношение, $\operatorname{tg} 30^\circ$, поэтому равно $1/\sqrt{3}$.

Для угла в 60° всё наоборот: $\cos 60^\circ = 1/2$, $\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2$, $\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$.

Наконец, для прямоугольного треугольника с углом 45° (равнобедренный прямоугольный треугольник, половинка квадрата) имеем

$$ \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = 1/\sqrt{2} $$

(диагональ квадрата в $\sqrt{2}$ раз длиннее его стороны), а $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$. ◁

**761.** Известно, что $\operatorname{tg} \alpha = 2$ (для острого угла $\alpha$). Найдите $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$.
▷ Примем прилежащий катет за единицу, тогда противолежащий катет будет 2. По теореме Пифагора гипотенуза равна $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$, так что $\sin \alpha = 2/\sqrt{5}$ и $\cos \alpha = 1/\sqrt{5}$. ◁

В общем виде: если $\tan \alpha = a$, то гипотенуза будет $\sqrt{1 + a^2}$, так что $\cos \alpha = 1/\sqrt{1 + a^2}$ и $\sin \alpha = a/\sqrt{1 + a^2}$. Другими словами, можно написать такие формулы, выражающие синус и косинус острого угла через его тангенс:

$$ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}}; \quad \sin \alpha = \frac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} $$

Выразить тангенс через синус (или косинус) ещё проще: так как $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, то

$$ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} $$

значит,

$$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}} $$

(аналогично для косинуса).

Эти формулы позволяют найти синус по тангенсу или наоборот, но как найти синус, если известна градусная мера угла? Для этого выпускались таблицы в виде книг. Например, в СССР неоднократно издавалась книга «Восьмизначные таблицы тригонометрических функций» Л. С. Хренова (464 страницы в издании 1967 года); его же «Семизначные таблицы...» занимали 406 страниц (издание 1971 года), «Шестизначные таблицы...» издания 1978 года — 367 страниц, а «Пятизначные таблицы...» (издание 1949 года) — всего 103 страницы. В стандартный комплект школьных учебников издавна входили «таблица VIII. СИНУСЫ».

<table><caption></caption><thead><tr><th>A</th><th>0'</th><th>6'</th><th>12'</th><th>18'</th><th>24'</th><th>30'</th><th>36'</th><th>42'</th><th>48'</th></tr></thead><tbody><tr><td>35°</td><td>0.5736</td><td>5750</td><td>5764</td><td>5779</td><td>5793</td><td>5807</td><td>5821</td><td>5835</td><td>585</td></tr><tr><td>36°</td><td>5878</td><td>5892</td><td>5906</td><td>5920</td><td>5934</td><td>5948</td><td>5962</td><td>5976</td><td>598</td></tr><tr><td>37°</td><td>6018</td><td>6032</td><td>6046</td><td>6060</td><td>6074</td><td>6088</td><td>6101</td><td>6115</td><td>612</td></tr><tr><td>38°</td><td>6157</td><td>6170</td><td>6184</td><td>6198</td><td>6211</td><td>6225</td><td>6239</td><td>6252</td><td>626</td></tr><tr><td>39°</td><td>6293</td><td>6307</td><td>6320</td><td>6334</td><td>6347</td><td>6361</td><td>6374</td><td>6388</td><td>640</td></tr><tr><td>40°</td><td>0.6428</td><td>6441</td><td>6455</td><td>6468</td><td>6481</td><td>6494</td><td>6508</td><td>6521</td><td>654</td></tr><tr><td>41°</td><td>6561</td><td>6574</td><td>6587</td><td>6600</td><td>6613</td><td>6626</td><td>6639</td><td>6652</td><td>666</td></tr><tr><td>42°</td><td>6691</td><td>6704</td><td>6717</td><td>6730</td><td>6743</td><td>6756</td><td>6769</td><td>6782</td><td>679</td></tr><tr><td>43°</td><td>6820</td><td>6833</td><td>6845</td><td>6858</td><td>6871</td><td>6884</td><td>6896</td><td>6909</td><td>692</td></tr><tr><td>44°</td><td>6947</td><td>6959</td><td>6972</td><td>6984</td><td>6997</td><td>7009</td><td>7022</td><td>7034</td><td>704</td></tr></tbody></table>
цы Брадиса» — брошюра с разными математическими таблицами, составленная В. М. Брадисом. Фрагмент таблицы синусов из этой брошюрки воспроизведён на рисунке выше. (Конечно, сами значения в этих таблицах были известны и до Хренова с Брадисом, они лишь организовали материал и подготовили издание.) Удивительным образом эти таблицы до сих пор переиздаются, и в интернет-магазинах можно купить издание 2012 года, которое, как и много лет назад, открывается таблицей «Точные произведения двузначных чисел».

Определение синуса и косинуса можно пересказать другими словами.

Нарисуем на координатной плоскости круг единичного радиуса и возьмём на нём точку, видимую из центра круга под углом α к горизонтали (см. рисунок). Тогда координаты этой точки будут (cos α, sin α).

**762.** Формально синус и косинус определены у нас для острых углов. Как вы думаете, чему разумно считать равным синус и косинус прямого угла?

▷ Когда угол приближается к прямому, точка на окружности приближается к вертикальной оси, и для прямого угла её координаты будут (0, 1). Поэтому разумно считать cos 90° = 0, sin 90° = 1. ▷

Легко догадаться, как разумно определить синус и косинус для тупых углов: нужно просто идти дальше по тому же кругу, пока угол не станет тупым, и взять координаты получившейся точки.

При этом косинус (первая координата) станет отрицательным, поскольку точка лежит слева от вертикальной оси.

**763.** Чему равны sin(90° + β) и cos(90° + β)? [Ответ: sin(90° + β) = cos β; cos(90° + β) = -sin β.]

Тангенс можно представлять себе так: проведём на координатной плоскости прямую под углом α (с горизонталью) до пересечения с вертикальной прямой x = 1. Получится прямоугольный треугольник с углом α и прилежащим катетом 1, так что координаты точки пересечения будут (1, tg α).

<figure><img src="image_487.png" /></figure>

<figure><img src="image_488.png" /></figure>

<figure><img src="image_489.png" /></figure>
Уравнение прямой будет $y = (tg \alpha) \cdot x$, так что то, что мы кратко называли «наклоном» прямой (коэффициент при $x$), будет тангенсом угла наклона этой прямой. Видно, что с ростом (острого) угла $\alpha$ величина $tg \alpha$ возрастает (а когда угол приближается к прямому, точка пересечения уходит вверх неограниченно и тангенс, как говорят, «стремится к бесконечности»). Из формулы $cos \alpha = 1/\sqrt{1 + tg^2 \alpha}$ видно, что с ростом $\alpha$ и $tg \alpha$ значение cos $\alpha$ убывает (знаменатель растёт). А с убыванием cos $\alpha$ значение $sin \alpha = \sqrt{1 - cos^2 \alpha}$ растёт. (Наглядно рост $sin \alpha$ и убывание cos $\alpha$ с ростом угла $\alpha$ тоже понятны: когда острый угол $\alpha$ увеличивается, точка на окружности движется влево-вверх.)

**764.** Докажите, что если стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а угол между ними равен $\gamma$, то площадь этого параллелограмма равна $ab \sin \gamma$.

▷ Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Взяв $a$ в качестве основания, видим, что опущенная на него высота равна $b \sin \gamma$. ◁

Эта формула годится не только для острого угла $\gamma$, но и для тупого. Для прямого угла она превращается в формулу для площади прямоугольника (произведение сторон), поскольку синус прямого угла равен единице.

**765.** Две стороны треугольника равны $a$ и $b$, а угол между ними равен $\gamma$. Чему равна площадь этого треугольника?

▷ Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма из предыдущей задачи (половине произведения основания на высоту), то есть $\frac{1}{2} ab \sin \gamma$. ◁

Заметим, что в формуле для площади треугольника можно брать разные углы (и соответствующие стороны). Например, для треугольника ABC со сторонами $a, b, c$ (лежащими против одноимённых углов, см. рисунок) можно написать

<figure><img src="image_490.png" /></figure>

$$2S = ab \sin \angle C = bc \sin \angle A.$$

<figure><img src="image_491.png" /></figure>
В последнем равенстве можно $b$ сократить, и получится $a \sin \angle C = c \sin \angle A$. Другими словами, $a/(\sin \angle A) = c/(\sin \angle C)$: отношение стороны к синусу противолежащего угла одно и то же у двух сторон. Разумеется, точно так же можно сравнить и две другие стороны, так что мы приходим к равенству, которое называют теоремой синусов:

$$ \left| \frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} = \frac{c}{\sin \angle C}. \right. $$

Можно доказать теорему синусов и не используя площади:

**766.** Вписанный в окружность радиуса $R$ угол $\alpha$ опирается на хорду длины $a$. Докажите, что $a = 2R \sin \alpha$.

<figure><img src="image_492.png" /></figure>

▷ Прежде всего заметим, что все вписанные угла, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны. Поэтому при вычислении длины хорды можно брать тот угол, который удобнее. Возьмём угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности. Образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой $2R$ и острым углом $\alpha$. Катет, противолежащий этому углу, и есть интересующая нас хорда. Значит, её длина равна $2R \sin \alpha$. ▷

**767.** Докажите с помощью предыдущей задачи теорему синусов и установите, что указанное в ней отношение равно диаметру описанной около треугольника окружности.

▷ В самом деле, предыдущая задача показывает, что $a = 2R \sin \angle A$, то есть что

$$ \frac{a}{\sin \angle A} = 2R. $$

Аналогично и для двух других сторон треугольника. ▷

Теорема синусов может быть полезна для отыскания элементов треугольника. Пусть, скажем, мы знаем все три стороны треугольника и один из его углов (точнее, его синус). Тогда с помощью теоремы синусов можно найти синусы двух других углов.
Однако элой волшебник, с которого мы начали этот раздел, хотел другого: известны две стороны треугольника и угол между ними, найти третью сторону. Для этого годится другая теорема, называемая теоремой косинусов:

В треугольнике со сторонами $a, b, c$ выполнено равенство:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \angle C,$$

где $C$ — угол, опирающийся на сторону $c$.

**768. Докажите теорему косинусов.**

▷ По существу мы уже встречались с этой теоремой в задачах 595 и 596, но теперь можно доказать её совсем просто с помощью формулы для расстояния в координатах. Расположим наш треугольник так, чтобы точка $C$ попала в начало координат, сторона $a$ шла по горизонтальной оси (а сторона $b$ — как получится, то есть под углом $\angle C$ к горизонтали). Тогда координаты точки $A$ будут $(a, 0)$, а координаты точки $B$ будут $(b \cos \angle C, b \sin \angle C)$. Чтобы найти $c = AB$, можно воспользоваться формулой для расстояния в координатах (для краткости мы обозначаем угол просто буквой $C$):

<figure><img src="image_493.png" /></figure>

$$ 
\begin{aligned}
c^2 &= (b \cos C - a)^2 + (b \sin C - 0)^2 = \\
    &= b^2 \cos^2 C - 2ab \cos C + a^2 + b^2 \sin^2 C.
\end{aligned}
$$

Остаётся заметить, что

$$b^2 \cos^2 C + b^2 \sin^2 C = b^2(\cos^2 C + \sin^2 C) = b^2.$$

Теорема косинусов доказана. ◁

На нашем рисунке угол $\angle C$ был острым, но ровно то же самое рассуждение годится и для тупого угла $\angle C$.

Теперь мы можем ответить на вопрос, с которого начинался раздел. Если две стороны треугольника равны 1 и 2, а угол между ними равен 40°, то по теореме косинусов квадрат третьей стороны равен

$$1^2+2^2-2 \cdot 1 \cdot 2 \cos 40^\circ = 1+4-4 \cdot 0,7660 \dots \approx 1,9358 \dots$$
и сама эта сторона равна $\sqrt{1,9358...} = 1,3913...$; сказав «1 метр и 391 миллиметр», мы выходим из заточения.

Правда, для этого нужна не только теорема косинусов, но и таблица, в которой можно найти косинус 40°. (А также надо уметь складывать, вычитать, умножать, вычислять квадратные корни и оценивать точность вычислений, так что всё не так просто.)

Ещё, конечно, неплохо бы объяснить, откуда люди узнали, чему равен $\cos 40°$, то есть как были составлены первые таблицы тригонометрических функций. Это сложная история; считается, что первые подобные таблицы были составлены древнегреческим астрономом Гиппархом, но они не сохранились. В новейшие времена тригонометрические функции вычисляют с помощью средств математического анализа (разложение в ряды и пр.) — сначала это делали вручную, а теперь соответствующие программы есть в большинстве калькуляторов.

На этом мы заканчиваем наше краткое знакомство с тригонометрией; многие важные утверждения приведены ниже в качестве задач.

## Ещё несколько задач

**769.** Как выразить $\sin(180° - \alpha)$ и $\cos(180° - \alpha)$ через $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$?

**770.** На картинке (взятой с сайта известной фирмы детских игрушек) предлагается способ отыскания катета прямоугольного треугольника, лежащего

<figure><img src="image_494.png" /></figure>
против угла в 35°, если другой катет равен 100 м.
Что имели в виду авторы этой картинки и почему
их способ неверен? (Правильный ответ около 70 м.)

771. Докажите, что для произвольного острого угла выполняется неравенство $\sin \alpha + \cos \alpha \le \sqrt{2}$. Для каких $\alpha$ достигается равенство? (Нарисуйте на координатной плоскости окружность и прямую $x+y=\sqrt{2}$.)

772. Имеются три угла $\alpha, \beta, \gamma$, причём

$$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}.$$

Докажите, что $\sin \alpha \le \sin \beta + \sin \gamma$. (Можно записать неравенство треугольника для треугольника с углами $\alpha, \beta$ и $\gamma$.)

773. Рассмотрим равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине равен $2\alpha$, а боковые стороны равны 1. Показите, что его основание равно $2\sin\alpha$, а высота равна $\cos\alpha$, так что площадь треугольника равна $\sin\alpha \cdot \cos\alpha$. Показите, что его площадь также равна $\frac{1}{2}\sin(2\alpha)$, тем самым доказав формулу синуса двойного угла:

$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha.$$

774. Вычислите площадь треугольника на рисунке двумя способами (целиком и по частям) и доказите таким образом, что

$$\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta=\frac{\sin \left(\alpha+\beta\right)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}.$$

Выведите отсюда формулу синуса суммы:

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta.$$

775. Координатную плоскость повернули вокруг начала координат на угол $\alpha$ против часовой стрелки. Куда после этого попала точка $(x, 0)$? [Ответ: $(x \cos \alpha, x \sin \alpha)$.]

776 (Продолжение). Куда после этого попала точка $(0, y)$? [Ответ: $(-y \sin \alpha, y \cos \alpha)$.]

<figure><img src="image_495.png" /></figure>
777 (Продолжение). Куда после этого попала точка (x, y)?

[Ответ: $(x \cos \alpha - y \sin \alpha, x \sin \alpha + y \cos \alpha)$.]

778 (Продолжение). Применив предыдущую задачу к точке $(\cos \beta, \sin \beta)$, получите снова формулу синуса суммы, а также формулу косинуса суммы:

$$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta. $$

779. Найдите $\cos 2\alpha$, если $\cos \alpha = a$. [Ответ: $2a^2 - 1$.]

780. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей, умноженного на синус угла между ними.

781. Докажите теорему Птолемея: произведение диагоналей вписанного четырёхугольника со сторонами $a, b, c, d$ равно сумме произведений противоположных сторон $ac + bd$. (Площадь четырёхугольника равна полупроизведению диагоналей, умноженному на синус угла $\gamma$ между ними. Перевернём треугольник со сторонами $b, c$ на другую сторону (вместе с сегментом окружности, в который он вписан). Получится четырёхугольник той же площади, и эту площадь можно найти как половину от $ac \sin \gamma + bd \sin \gamma$ (проверьте, что снова появляется тот же угол $\gamma$).)

<figure><img src="image_496.png" /></figure>

<figure><img src="image_497.png" /></figure>

782. Покажите, что если одна из диагоналей четырёхугольника в теореме Птолемея является диаметром, то мы получаем в качестве частного случая формулу суммы синусов.

783. На координатной плоскости нарисована окружность единичного радиуса $x^2 + y^2 = 1$. Через точку $A(-1, 0)$ этой окружности проведена прямая с наклоном $k$. Найдите уравнение этой прямой и вторую точку её пересечения с окружностью. (Уравнение прямой $y = k(x + 1)$; вторая точка пересечения находится из условия $x^2 + k(x+1)^2 = 1$; это квадратное уравнение, у которого один корень равен $-1$, второй можно найти по теореме Виета)
и он равен $(1 - k^2)/(1 + k^2)$, получается точка $((1 - k^2)/(1 + k^2), 2k/(1 + k^2))$.}$

**784** (Продолжение). Выведите отсюда формулы, выражающие $\cos 2\alpha$ и $\sin 2\alpha$ через $\tg \alpha$:

$$ \cos 2\alpha = \frac{1 - \tg^2 \alpha}{1 + \tg^2 \alpha}; \quad \sin 2\alpha = \frac{2 \tg \alpha}{1 + \tg^2 \alpha}. $$

**785** (Продолжение). Покажите, что если число $k$ рационально, то и вторая точка пересечения прямой с окружностью имеет обе рациональные координаты. Как найти с помощью этого наблюдения бесконечно много рациональных точек на окружности ($=\text{точек, обе координаты которых рациональны}$)? Почему так получатся все рациональные точки окружности? Как связаны рациональные точки на окружности с пифагоровыми тройками (прямогольными треугольниками с целыми сторонами)?

**786.** В семизначных таблицах тригонометических функций профессора Хренова (о которых мы говорили) 406 страниц, а в пятизначных — всего 103. Почему такая разница — два лишних знака (семь вместо пяти) увеличивают объём таблиц чуть ли не в четыре раза? (Тут есть причина, не связанная с размером страниц книги, шрифта, набором табулируемых функций и пр.)
# Послесловие

## Цели школьного курса геометрии

Школьная геометрия вообще вещь довольно странная. Традиционно евклидова геометрия служила для философов образцом строгости — но невозможно строго и понятно изложить доказательства признаков равенства треугольников. Элементарную геометрию преподают по всему миру уже несколько тысяч лет — но трудно сказать, кому уж так важно знать, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Знаменитый французский математик Жан Двёдонне с большим жаром и остроумием пишет в предисловии к своей книге «Линейная алгебра и элементарная геометрия» (М.: Наука, 1972, русский перевод): «В элементарной геометрии [в результате развития линейной алгебры] открылся (...), „королевский путь“: отправляясь от очень простых аксиом (...) можно при помощи тривиальных вычислений непосредственно и в несколько строчек получить всё то, для чего раньше нужно было возводить леса искусственных и сложных систем треугольников, чтобы во что бы то ни стало свести задачу к священным случаям „равенства“ или „подобия“ треугольников — к единственной основе всей традиционной техники Евклида».

В других местах того же предисловия: «Важнее ли (...), для конструктора знать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, или же овладеть принципами теории сопротивления материалов? Конечно, тригонометрические формулы совершенно необходимы для представителей трёх очень почтенных профессий: (1) для астрономов; (2) для геодезистов; (3) для составителей учебников тригонометрии». А также: «Следствием развития математики является то, что результаты, которые первооткрыватели получают после трудных рассуждений, зачастую через 50–100 лет могут быть выведены на нескольких строчках. (...), Примером (...), является изобретение анализа бесконечно малых. Оно сразу свело решение проблем, над которыми бились изощрённые умы Евдокса и Архимеда, к почти автоматическим вычислениям».

Подобными соображениями руководствовался не только Двёдонне, и не только во Франции: примерно те же мотивы привели к замене «арифметического решения текстовых задач» и простых дробей в младших классах на «уравнения с иксами» и калькуляторы, а также к введению в школьную программу «элементов математического анализа».

К сожалению, эти реформы (теперь, видимо, это уже всем стало ясно) оказались откровенно неудачными, несмотря на участие в них выдающихся математиков. Скажем, учебник геометрии с участием Колмо-
горова<fnref n="1" /> (как, впрочем, и последующий учебник Погорелова<fnref n="2" />), как показала практика, оказался явно менее удачным, чем старинный учебник Киселёва<fnref n="3" /> — не имевшего никаких математических достижений. Как мне кажется, принципиальная ошибка была в следующем: цель курса математики не в сообщении заранее определённого набора сведений логически кратчайшим путём<fnref n="4" />, а в практике решения задач и получения удовольствия от этого. Пробежки в парке на уроках физкультуры вовсе не теряют смысла от того, что вдоль него проложили автобусный маршрут. И как бы ни были ограничены (подготовкой, природными склонностями и пр.) возможности школьника к самостоятельному движению, от замены его поездками в автобусе-экспрессе будет только вред.<fnref n="5" />

## Задачник и учебник

Если исходить из сказанного выше, то самое главное в школьном курсе геометрии — практика решения задач. Выучивание теорем и доказательств само по себе бессмысленно, если не решать задач. С другой стороны, большая часть теоретического материала может быть развёрнута в последовательность задач.<fnref n="6" />

В отличие от ситуации с учениками, в последние десятилетия появилось много хороших задачников по геометрии (в частности, задачники

<footnote n="1">¹А.Н. Колмогоров, А.Ф. Семенович, Р.С. Черкасов. Геометрия. Учебное пособие для 6–8 классов. М.: Просвещение, 1980.</footnote>

<footnote n="2">²А.В. Погорелов. Геометрия: Учебное пособие для 6–10 классов средних школ. М.: Просвещение, 1985.</footnote>

<footnote n="3">³А.П. Киселёв. Элементарная геометрия. Для средних учебных заведений. М.: Типография Рябушинского, 1914.</footnote>

<footnote n="4">⁴Как до сих пор считают чиновники от образования, объявляющие конкурс учебников по заранее составленной программе.</footnote>

<footnote n="5">⁵В принципе, Дьёдонне это понимал. В том же предисловии он пишет: «Согласен, скажете вы, пусть теоремы, которым учат школьников, предназначены для того, чтобы в дальнейшем быть забытыми; однако, упражняясь на этих искусственных примерах, они познакомятся с методами исследований и приобретут навыки мышления, которые в дальнейшем окажут им большую помощь». Но дальше он странным образом отвечает на это: «Сказанное, несомненно, было правильным в эпоху, предшествующую Декарту, но оно устарело уже для современников Ньютона. Действительно, следствием развития математики является то, что результаты, которые первооткрыватели получают, следуя по извилистым и иногда тёмным путям, зачастую через 50–100 лет могут быть выведены на нескольких строчках» (мы уже приводили конец этой цитаты). Не очень понятно, как этот вывод «на нескольких строчках» может заменить приобретение навыков мышления (пусть на искусственных примерах).</footnote>

<footnote n="6">⁶Так происходит, например, на уроках Р.К. Гордина в московской школе № 57 — школьникам раздаются листки с задачами, которые они решают на уроках и дома, а учебник открывают разве что при подготовке к экзамену в самом конце. Надо учесть, впрочем, что это школа с углублённым изучением математики и соответствующим уровнем школьников.</footnote>
Гордина, Прасолова, Шарыгина<fnref n="1" />). Н них собрано множество интересных и трудных задач — и это достоинство оборачивается недостатком, ес- ли речь идёт о изучении базовых понятий и методов курса геометрии, когда важны прежде всего простые (но разнообразные, не сводящиеся к повторению по образцу) задачи.

Цель этого сборника состоит в том, чтобы попытаться собрать такие (простые, но разнообразные) задачи и расположить их в таком порядке, чтобы они могли служить основой для постепенного изучения планиметрии. Сборник, конечно, не может быть заменой учебника (такая задача требовала бы как минимум многолетнего опыта преподавания с его помощью и соответственной коррекции), но сделана попытка включить базовый теоретический материал в последовательность естественно развивающихся задач. Некоторая доля более сложных задач тоже включена, чтобы и лучше подготовленным школьникам (и преподавателям) было интересно. Задачи предваряют краткие пояснения, рассчитанные на то, что школьники отчасти знакомы с понятиями и терминологией (из объяснений учителя, учебников и пр.).

При отборе задач я старался в первую очередь включить задачи с интересными и легко запоминающимися условиями и решениями, а также задачи, связывающие геометрию с окружающей действительностью (в том числе и не очень формально поставленные). Конечно, в практическом преподавании по технологическим причинам необходимы и похожие (однотипные) задачи, а также зачастую скучные задачи на вычисление — просто потому, что их легче проверять (по ответу). В сборнике таких совсем мало, и тут, видимо, надо обращаться к другим задачникам.

## Математическая строгость

Как мне кажется, геометрические доказательства должны (по крайней мере вначале) восприниматься как убедительные рассуждения о свойствах реальных предметов — вырезанных из бумаги треугольников, измеренных линейкой отрезков и т. п. Поэтому, скажем, «доказательство» признака равенства треугольников, основанное на прикладывании одного к другому или на переворачивании треугольника, хотя и может рассматриваться как доказательство с большой натяжкой (в учебнике Погорелова есть аксиома о возможности откладывания треугольника, равного данному, по данную сторону от данного луча), тем не менее вполне уместно.

<footnote n="1">¹Р. К. Гордин. Планиметрия. Задачник. 7–9 классы. М.: МЦНМО, 2012; В. В. Прасолов. Задачи по планиметрии. М.: Наука, 1986, МЦНМО, 2007; И. Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии. Планиметрия. М.: Наука, 1982.</footnote>
С другой стороны, в тех случаях, когда рассуждение имеет ясную логическую структуру, её следует подчёркивать.

Более или менее разумная граница, по-моему, проходит так: если мы утверждаем, что какие-то отрезки равны, это доказывать надо, а вот обосновывать, что какие-то прямые действительно пересекутся или что точка действительно попадет по данную сторону от прямой — не надо (разве что это можно сделать особенно красиво и убедительно). Таким образом, вся часть рассуждений, связанная с «аксиомами порядка» (в терминологии «Оснований геометрии» Гильберта<fnref n="1" />) более или менее полностью пропадает. Как мне кажется, такая граница между тем, что принято доказывать, и тем, что доказывать не принято, достаточно хорошо воспринимается школьниками (и лишь в конце курса, уже имея некоторую математическую культуру, лучшие из них могут осознать имевшие место пробелы аргументации).

Об измерении отрезков и углов: Евклид<fnref n="2" /> и старинные учебники (Адамар<fnref n="3" />, отчасти Киселёв) уделяют этому большое внимание, а современные с самого начала предполагают, что длина отрезка и величина угла являются числами (что бы это ни значило) и обладают нужными свойствами. Видимо, второе более практично, и надо так и делать.

В качестве de facto аксиом стоит использовать утверждения, которые чаще всего нужны при решении задач: признаки равенства треугольников, критерий параллельности прямых (равенство углов при секущей), сохранение отношений отрезков при параллельном проектировании (доказав для случая соизмеримых отрезков, можно пользоваться общим утверждением), формулу для площади прямоугольника (см. соответствующие разделы). Обсуждение проблем «строгого» доказательства этих фактов явно выходит за рамки базового курса геометрии. (См. брошюру автора<fnref n="4" />, где рассмотрены некоторые из них.)

## Как возникла эта книга

Эти задачи в основном были собраны в середине 1990-х годов, когда я ездил к И. М. Гельфанду для совместной работы над заданиями организованной им заочной математической школы при Rutgers University, а также над книжкой для школьников по алгебре<fnref n="5" />. В частности, под на-

<footnote n="1">¹Д. Гильберт. Основания геометрии. М.: ОГИЗ, 1948.</footnote>

<footnote n="2">²Начала Евклида. Книги I–VI. М. – Л.: ГТГИ, 1948.</footnote>

<footnote n="3">³Ж. Адамар. Алементарная геометрия. Часть первая. Планиметрия. М.: Учпедгиз, 1948.</footnote>

<footnote n="4">⁴А. Шень. О «математической строгости» и школьном курсе математики. М.: МЦНМО, 2011.</footnote>

<footnote n="5">⁵И. М. Гельфанд, А. Шень. Алгебра. М.: МЦНМО, 2009.</footnote>
блюдением И. М. я составлял список задач по планиметрии — но так и не успел тогда закончить, и этот текст представляет собой промежуточную рабочую версию, впоследствии дополненную (и за ошибки в которой И. М. никак не ответствен).

Мне хочется надеяться, что идеи и замечания И. М. по поводу этих задач (и вообще по поводу преподавания математики) в достаточной степени проявились в получившемся сборнике.

Как сообщила мне Т. Алексеевская, сейчас готовится к изданию (на английском языке) книга для школьников по геометрии, написанная ею совместно с И. М.

Пользуюсь случаем поблагодарить своих учителей (в частности, геометрии) и коллег, разговоры и советы которых (по поводу этого сборника, преподавания геометрии и вообще) оказали на меня большое влияние, в том числе Г. А. Чувахину, Т. М. Великанову, Б. П. Гейдмана, Р. К. Гордина, С. В. Маркелова, В. В. Прасолова, В. М. Сапожникова, И. Ф. Шарыгина. Эта книга так бы и не появилась, если бы не П. Р. Гольдштейн, который прочёл предварительный вариант текста, указав на разные ошибки (ныне исправленные), и убедил довести дело до конца.

Благодарю также Ольгу Гагаркину и Дмитрия Щербакова, изготовивших МЕТАPOST-программы для большей части рисунков (остальные я сделал сам), а также всех читателей предварительного варианта, указавших на недочёты книги. Татьяна Коробкова обнаружила множество ошибок и опечаток, не замеченных мною, а Виктор Шувалов их исправил (или велел исправить), а также усовершенствовал вёрстку и размещение картинок. Большое спасибо!

### Александр Шень

shen@landau.ac.ru, shen@mccme.ru, sasha.shen@gmail.com.

Москва, Монпельье, март 2013 года.

Р.С. (июнь 2017) Я благодарен издательству Американского математического общества за публикацию английского перевода этой книжки (Сергей Гельфанд это предложил, Мария Бродская перевела на английский, а Майа Аверетт отредактировала, большое спасибо всем!); мне было особенно приятно узнать, что в Украине (в 2017 году) был сделан перевод части глав на украинский язык, и я признателен переводчикам (Светлане Юрьевне Игнатович и Вите Алексеевне Василенко, а также помогавшим им Валерии Гончаровой, Лолите Мантуле и Аркадию Костромину) и за оказанную честь, и за указание на множество опечаток.
Учебно-методическое издание

Александр Шень

ГЕОМЕТРИЯ В ЗАДАЧАХ

Редактор Т. Л. Коробкова

Рисунки (МЕТАPOST): О. Гагаркина, А. Шень, Д. Е. Щербаков

Подписано в печать 08.06.2020 г. Формат 60 × 90 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 15. Тираж 2000 экз. Заказ №

Издательство Московского центра непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-08-04.

Отпечатано в ООО «Типография „Миттель Пресс“».
г. Москва, ул. Руставели, д. 14, стр. 6.
Тел./факс +7 (495) 619-08-30, 647-01-89.
E-mail: mittelpress@mail.ru

Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине
«Математическая книга», Москва, Большой Власьевский пер., д. 11.
Тел. (495) 745-80-31. E-mail: biblio@mccme.ru
<figure><img src="image_498.png" /></figure>

**Предупреждение.** Автор является научным сотрудником лаборатории LIRMM в г. Монпелье (Франция) и может рассматриваться de facto правительством России как «иностранный агент» в смысле поправок к «закону об иностранных агентах», принятых 21.11.2019.