<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>Figure 3.47: Idem figure 3.46 avec représentation en 2D de la grille des périodes. Les valeurs de $T_{\text{eff}}$/1000 K (seulement une sur deux pour des raisons de lisibilité) sont indiquées à coté de chaque tracé.</figcaption></figure>

## Nature et origine de ces comportements

Comme auparavant pour les autres paramètres stellaires, Les origines de ces variations de périodes sont contenues dans les réajustements structurels des modèles qui affectent la fréquence de Brunt-Väisälä et la fréquence de Lamb lorsque la masse $M_*$ est modifiée. La figure 3.48 illustre les profils de ces quantités pour une série de modèles avec $T_{\text{eff}} = 34000$ K, $\log g = 5.6$, $\log q(H) = -4.0$ et $M_*$ compris, comme d'habitude, entre $0.46 M_\odot$ et $0.50 M_\odot$ (par pas de $0.01 M_\odot$).
Les variations observées dans les profils sont à l'image de celles que l'on a imposées au paramètre $M_*$, c'est-à-dire de faible ampleur, d'où les tendances peu marquées que l'on constate sur les périodes. On note toutefois que la hausse (en fréquence) des profils est significativement plus prononcée vers les régions internes des modèles, dans la zone délimitée schématiquement par la ligne verticale en tirets à laquelle les périodes des modes g sont sensibles. Par contraste, les différences entre profils s'évanouissent

<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>Figure 3.48: Profils des fréquences de Brunt-Väisälä (log N²; traits pleins) et de Lamb (log L₂; lignes pointillées) pour une série de modèles avec différentes masses ($M_* = 0.46 M_⊙$ à 0.50 $M_⊙$ par pas de 0.01 $M_⊙$). Une ligne verticale en tirets délimite, schématiquement, les parties extérieures qui influencent les fréquences des modes p des régions centrales qui agissent principalement sur les celles des modes g.</figcaption></figure>

peu à peu dans les couches externes des structures, régions auxquelles les modes acoustiques doivent la plus grande contribution à l'établissement de leurs périodes. Il est donc naturel, dans ces conditions, d'observer une moindre dépendance vis-à-vis du paramètre $M_*$ pour les périodes des modes p que pour celles des modes g.

Les diverses composantes de la fréquence de Brunt-Väisälä sont représentées dans la figure 3.49. Pour toutes les quantités, à l'exception de l'accélération gravitationnelle locale $log g(r)$, les variations associées au paramètre $M_*$ apparaissent extrêmement faibles. Elles ne contribuent donc pas aux tendances observées, toute la responsabilité en incombant à $log g(r)$. Cette quantité révèle sa
propension à croître dans les régions profondes de l'étoile, conséquence d'une plus grande concentration de la masse vers le centre des modèles pour les structures à faibles masses mais à gravité de surface constante. Par cette contrainte, les profils de log g(r) tendent par ailleurs à converger vers une même

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>Figure 3.49: Profils des quantités physiques intervenant dans la fréquence de Brunt-Väisälä pour des modèles avec différentes masses ($M_* = 0.46 M_\odot$ à $0.50 M_\odot$ par pas de $0.01 M_\odot$). En haut à gauche, il s'agit de la gravité locale $\log g(r)$; en haut à droite du rapport densité sur pression $\log(\rho/P)$; en bas à gauche du rapport $\log(\chi_T/\chi_\rho)$; et en bas à droite de la quantité $\log(\nabla_{ad} - \nabla + B)$.</figcaption></figure>

valeur de surface, entraînant l'aménagement des différences dans les régions externes. Ainsi, l'évolution des profils de $\log g(r)$ en fonction de la masse totale des modèles rend compte, à elle seule, des comportements que l'on observe pour les périodes des modes de pulsation.

### 3.4.4 Rétrospective

Tout au long de cette section, la flexibilité des modèles d'enveloppes fut mise à profit pour étudier, indépendamment les uns des autres, les effets qu'engendrent sur les pulsations chacun des paramètres stellaires qui caractérisent les étoiles sous-naines de type B. A cette fin, une grille de modèles couvrant la totalité de la région de l'espace des paramètres occupée par ces objets fut soumise à l'évaluation intensive des propriétés des modes de pulsation à l'aide du code numérique adiabatique
décrit au Chapitre 1. Les comportements des modes p, f et g à travers les périodes, mais aussi par les divers aspects structurels des spectres, furent ainsi explorés en fonction des quatre quantités principales qui interviennent dans la construction des modèles: $T_{eff}$, $log g$, $log q(H)$ et $M_{*}$.

Outre l'influence importante de ces paramètres sur les périodes des modes de pulsation dont la caractérisation constitua l'essentielle motivation à l'élaboration de cette grille, d'intéressants phénomènes prennent corps en affectant les structures de piégeage et de micro-piégeage (respectivement des modes g et p) ainsi qu'en provoquant, dans certaines circonstances, les conditions propices à l'apparition de collisions entre modes non-radiaux ("mode bumping"). Le tableau 3.6 propose un

<table><caption>Tableau 3.6: Résumé des diverses tendances imposées par les paramètres stellaires sur les spectres des modes p (f) et g pour les périodes, les structures de piégeage et de micro-piégeage ainsi que les phénomènes de collisions entre modes.</caption><thead><tr><th rowspan="2">Paramètre</th><th colspan="3">Spectre des modes p et f</th><th colspan="3">Spectre des modes g</th></tr><tr><th>Périodes</th><th>Micropiégeage</th><th>Collisions</th><th>Périodes</th><th>Piégeage</th><th>Collisions</th></tr></thead><tbody><tr><td>T<sub>eff</sub></td><td>P ≃ constant sauf dans les régions propres aux collisions entre modes</td><td>Affecte individuellement les modes, peu la structure d'ensemble du spectre</td><td>Favorisées à hautes températures</td><td>P diminue beaucoup lorsque T<sub>eff</sub> augmente (facteur 1.5 à 4 entre 22000 K et 41000 K selon log g)</td><td>Affecte individuellement les modes, peu la structure d'ensemble du spectre</td><td>Favorisées à hautes températures</td></tr><tr><td>log g</td><td>P augmente lorsque log g diminue (env. un facteur 10 entre log g = 4.9 et 6.4</td><td>Affecte individuellement les modes, peu la structure d'ensemble du spectre</td><td>Favorisées à basses gravités</td><td>Effet non monotone selon T<sub>eff</sub>: P croît à haute gravité pour ensuite diminuer à faible log g</td><td>Affecte individuellement les modes, peu la structure d'ensemble du spectre</td><td>Favorisées à basses gravités</td></tr><tr><td>log q(H)</td><td>P ≃ constant globalement</td><td>Affecte individuellement les modes et la structure des fluctuations dans le spectre</td><td>Favorisées pour les enveloppes massives</td><td>P diminue lorsque log q(H) augmente</td><td>Affecte individuellement les modes et la structure d'ensemble du spectre</td><td>Favorisées pour les enveloppes massives</td></tr><tr><td>M<sub>*</sub></td><td>P décroît avec M<sub>*</sub> (env. 2% 0.46 et 0.50M<sub>☉</sub>)</td><td>Très faible influence</td><td>Favorisées pour les petites masses</td><td>P décroît avec M<sub>*</sub> (env. 15% 0.46 et 0.50M<sub>☉</sub>)</td><td>Très faible influence</td><td>Favorisées pour les petites masses</td></tr></tbody></table>

résumé qualitatif des divers comportements constatés pour les différents types de modes en fonction de chacun des paramètres explorés. On pourra ainsi souligner le rôle prépondérant joué par les paramètres $T_{eff}$ et $log g$ sur les périodes d'oscillation; les modes p, contrairement aux modes g, étant néanmoins peu influencés par la température effective sauf dans certains régimes de basses gravités et hautes températures où les processus de collisions (les modes adoptent alors une nature mixte entre modes p et modes g) sont favorisés. Ces deux paramètres affectent aussi le piégeage et le micro-piégeage des modes – phénomènes engendrés par la transition chimique He/H – mais principalement sur une
base individuelle: c'est-à-dire chaque mode, par l'évolution de sa période, rencontre alternativement les conditions propres à son piégeage puis à son confinement sans toutefois que la structure globale du spectre ne soit fortement affectée. Cette dernière, aussi bien pour les modes p que pour les modes g, sera exclusivement façonnée par le paramètre $log q(H)$, seul facteur véritablement en mesure d'en modifier profondément les caractéristiques. La position de l'interface He/H, spécifiée par ce paramètre $log q(H)$, joue en effet le rôle fondamental dans les phénomènes de résonances qui conduisent au piégeage et au confinement de certains modes. Finalement, on notera que le quatrième paramètre principal, la masse totale de l'étoile, est certainement le moins important de tous en terme d'impact sur les modes de pulsations. Il est vrai, cependant, que les contraintes imposées sur ce paramètre par les observations n'offrent guère de latitude quant à l'étendue de l'espace des masses possibles pour ces étoiles. Les expériences sur ce paramètre ont donc porté sur de petites variations de $M_*$ autour de la valeur typique $M_* \approx 0.48 M_\odot$, produisant tout naturellement d'assez faibles changements sur les modes de pulsation. Retenons néanmoins la tendance systématique à la baisse des périodes, faible pour les modes p (environ 2% entre $M_* = 0.46 M_\odot$ et $M_* = 0.50 M_\odot$) mais un peu plus marquée pour les modes g (environ 15% entre les mêmes limites de masses), qui se manifeste lorsque la masse totale des modèles diminue.

## 3.5 Evolution stellaire et pulsations

L'ensemble des résultats mis à jour dans les sections précédentes tant au niveau de l'étude du modèle de référence (section 3.2), des comparaisons avec les structures d'enveloppes (section 3.3), ou bien de l'influence de chaque paramètre stellaire sur les pulsations (section 3.4), constitue un solide filet de connaissances par lequel plusieurs aspects des pulsations dans les étoiles sous-naines de type B pourront être abordés avec davantage de transparence. Les questions associées à l'évolution de ces objets et ses répercussions sur les modes d'oscillation, particulièrement sur leurs périodes, entrent indubitablement dans cette catégorie. En effet, si les modèles d'enveloppes ont permis, au cours de la section 3.4, de mettre en œuvre une approche découplée pour identifier l'influence de chaque paramètre physique caractérisant une structure, les contraintes imposées par les lois de l'évolution stellaire conduisent en revanche à l'interdépendance de chacun d'entre eux. Ainsi, pour les structures évolutives, la température effective, la gravité de surface, la masse de l'enveloppe (ou, de façon équivalente, la position de la frontière entre l'enveloppe riche en hydrogène et le noyau en hélium), et la masse totale de l'étoile sont autant de quantités liées les unes aux autres, évoluant de concert avec l'âge des modèles. Nul doute, donc, qu'en l'absence de toute autre source d'information, un tel imbroglio d'interdépendances aurait rendu totalement opaque l'identification de l'influence de chaque paramètre stellaire sur les périodes de pulsation au cours d'une séquence évolutives complète.

Pour étudier le couplage entre évolution et pulsations, les 7 séquences évolutives présentées au cours du Chapitre 2 – et desquelles le modèle de référence de la section 3.2 fut tiré – ont été exploitées dans la région identifiable, dans le plan $log g - T_{eff}$, aux étoiles sous-naines de type B observées. Il s'agit donc, pour l'essentiel, de modèles en phase de combustion centrale de l'hélium depuis la ZAEHB jusqu'à épuisement total de cet élément, la plupart des modèles quittant la région des sdB au moment de l'ignition de la phase post-EHB caractérisée par le brûlage en couche de l'hélium. Au total, 149 modèles évolutifs ont ainsi alimenté le code de pulsations stellaires adiabatiques utilisé dans
des conditions similaires à celles employées pour le modèle de référence (par l'usage notamment de 800 éléments quadratiques dans les calculs). Les résultats, pour chaque modèle de chaque séquence, sont disponibles sous forme de tableaux dans l'Annexe C où, pour des raisons de place, seuls les modes de faible ordre radial, jusqu'à $k = 10$ (modes p, f et g; radiaux et non-radiaux pour $l = 1, 2$ et $3$), sont présentés; les modes d'ordre plus élevé demeurant néanmoins à disposition au besoin.

### 3.5.1 Séquences évolutives et périodes

Dans le contexte des pulsations stellaires, l'aspect le plus intéressant qui soit associé aux mécanismes d'évolution des étoiles concerne la façon dont les périodes des modes d'oscillation changent au cours du temps suite aux réajustements structurels qui ne manquent pas d'intervenir avec leur vieillissement. Pour les sdB, cette marche inexorable est rythmée par les processus de fusion nucléaire qui transforment peu à peu les réserves d'hélium présentes dans les régions centrales en éléments plus lourds comme le carbone et l'oxygène; l'équilibre hydrostatique atteint durant cette phase se modifiant au fur et à mesure de l'appauvrissement des couches profondes. Tout cela se traduit par des changements lents mais réguliers au niveau de la gravité de surface et de la température effective des modèles, définissant dans le plan $log g - T_{eff}$ ces trajectoires particulières que sont les séquences évolutives. Nous avons étudié, à la section 3.4, comment des changements apportés sur ces paramètres de surface peuvent modifier les périodes des modes d'oscillations. Il semble donc inévitable que l'évolution séculaire des sdB, au moins via les changements qu'elle induit sur la température effective et la gravité de surface, entraîne des variations majeures au niveau des spectres de pulsation.

Une fraction des calculs adiabatiques entrepris sur les séquences évolutives – calculs dont les résultats complets sont disponibles en Annexe C – est illustrée par les figures 3.50 et 3.51. Chaque ensemble de 4 panneaux, un ensemble se référant à une séquence de masse donnée, montre l'évolution, en fonction de l'âge des modèles, d'un échantillon de périodes représentatif des modes p, f et g pour les pulsations radiales ($l=0$) et non-radiales (avec $l=1, 2$ et $3$). Les périodes obtenues pour chaque modèle sont représentées par les cercles et les triangles vides selon qu'il s'agisse de modes p (f) ou de modes g. Les valeurs entre les modèles, indiquées par les lignes pointillées, ont été interpolées en utilisant la méthode des splines cubiques (voir, par exemple, Numerical Recipies Second Edition, 1992) afin d'assurer la continuité des dérivées premières $dP/dt$; une quantité qui fera l'objet d'une discussion complète un peu plus tard. Toutefois, dans les régions d'âge avancé où les périodes subissent des changements rapides, l'interpolation par splines cubiques rencontre parfois des difficultés (apparition d'oscillations parfois appelées bruit de Gibbs) nous obligeant, quand cela s'avère nécessaire, à lui substituer un simple schéma d'interpolation linéaire dans le temps.

L'évolution des périodes reflète les réajustements structurels qui se mettent en place à diverses époques de la vie d'une sdB. Comme les modes p et les modes g ne sont pas sensibles aux mêmes régions physiques de l'étoile, ils se comportent généralement différemment tout au long d'une séquence évolutives à l'image de ce que nous dévoilent les figures 3.50 et 3.51. Aussi allons nous discuter séparément de l'influence du vieillissement des modèles sur chaque type de modes.

#### Evolution des modes acoustiques

Pour l'ensemble des séquences évolutives, si l'on fait momentanément abstraction des effets additionnels qui, pour les modes p (et f) non-radiaux, viennent, dans certaines circonstances, se greffer par
dessus le schéma évolutif global, deux phases principales dominent manifestement la structure de l'évolution des périodes. Celles-ci ressortent très clairement dans le cas des pulsations radiales ($l=0$) exemptes de toute perturbation pouvant altérer lourdement l'évolution séculaire des modes (comme, par exemple, les processus de collisions avec les modes g).

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

**Figure 3.50:** Evolution des périodes le long des séquences évolutives pour un échantillon de modes représentatif des pulsations radiales ($l=0$), non radiales (pour $l=1, 2$ et $3$) et des ondes p, f et g. Les tracés en lignes pointillées reliant chaque modèle d'une séquence (cercles et triangles vides) ont été obtenus en utilisant une méthode d'interpolation par splines cubiques. L'âge correspondant des modèles est donné en millions d'années depuis la ZAEHB.
<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>Figure 3.51: Evolution des périodes le long des séquences évolutives (suite).</figcaption></figure>

La première phase, celle de plus longue durée, correspond à la croissance régulière des périodes des modes p. Dans le plan $\log g - T_{\text{eff}}$, cette phase est identifiable à une époque de lente diminution de la gravité de surface à mesure que l'âge des modèles s'accroît sur la séquence (c.f., figure 2.4 du Chapitre 2). Les grilles de modèles statiques développées dans la précédente section ont effectivement mis en évidence le rôle prépondérant, voire exclusif dans le cas des pulsations radiales, joué par la
gravité de surface sur les périodes des modes acoustiques, celles-ci augmentant de façon exponentielle lorsque $\log g$ diminue ($P \sim 10^{-0.8 \log g}$).

La seconde phase correspond à la baisse des périodes survenant aux alentours de 90 millions d'années après la ZAEHB et se poursuivant jusqu'à l'allumage du brûlage en couche de l'hélium (approximativement vers 110 millions d'années après la ZAEHB). Dans le plan $\log g - T_{\text{eff}}$ (c.f., figure 2.4), cette phase intervient lorsque les modèles amorcent une contraction ($\log g$ augmente à nouveau ainsi que $T_{\text{eff}}$) pour compenser la raréfaction du combustible au centre qui rend la production d'énergie moins efficace. Encore une fois, durant cette phase les modes p réagissent essentiellement à l'accroissement de la gravité de surface (d'où la baisse des périodes) tout en restant pratiquement indifférents aux variations marquées de la température effective (c.f., section 3.4). La décroissance des périodes a, de plus, tendance à s'accentuer fortement à l'approche de l'épuisement complet des réserves d'hélium dans le noyau car la contraction de l'étoile par effondrement gravitationnel devient de plus en plus rapide pour maintenir le flux d'énergie sortant.

Pour les séquences $M=0.4690+0.0007 M_\odot$ et $M=0.4758+0.0012 M_\odot$, le dernier modèle utilisé pour les calculs de pulsation se situe dans la phase post-EHB de l'évolution qui commence à l'allumage de la combustion de l'hélium en couche. A ce stade, l'équilibre de l'étoile est retrouvé et la contraction de la structure est stoppée, voire inversée. Cela se traduit immédiatement par un changement radical d'évolution au niveau des périodes puisqu'à la baisse marquée de ces dernières succède une nouvelle hausse, très rapide cette fois-ci. La phase post-EHB dispose donc d'une signature très caractéristique au niveau de l'évolution des périodes des modes de pulsation.

## Evolution des modes g

L'évolution des modes g apparaît visiblement plus tortueuse que celle des modes p en raison, notamment, de la double dépendance de leurs périodes vis-à-vis de la gravité de surface et de la température effective. Il est, de plus, très probable qu'une ou plusieurs influences additionnelles, liées à l'évolution des modèles et ayant échappé à notre investigation basée sur les structures d'enveloppes, affectent également les périodes des modes de gravité. Il est en effet curieux de constater, suite aux résultats de la section 3.4, que les périodes de ces modes demeurent approximativement constantes ou subissent eventuellement une légère baisse durant la première phase évolutive, alors que la gravité de surface et parfois la température effective des modèles diminuent (c.f., figure 2.4). L'étude des comportements des modes g en fonction de $\log g$ et $T_{\text{eff}}$ nous a effectivement appris que les périodes, dans les régimes de température et de gravité traversés par les séquences, augmentent lorsque ces deux quantités diminuent. Que cela ne soit pas clairement et systématiquement observé pour les modes g des séquences évolutives suggère donc qu'il existe d'autres ajustements structurels en compétition qui tendent à diminuer leurs périodes pour compenser, voire surpasser, les effets de ces paramètres.

Deux aspects de l'évolution qui n'ont pas été pris en compte dans la section 3.4 viennent naturellement à l'esprit comme candidats potentiels pour expliquer ce comportement particulier des modes g. Le premier est relié à la formation de la discontinuité chimique C-O/He entre le cœur convectif, enrichi en C-O, où se produisent les réactions nucléaires et le noyau radiatif riche en hélium qui demeure chimiquement inchangé avec l'âge. Cette discontinuité, initialement absente des modèles de la ZAEHB, se développe à mesure que l'hélium est transformé en carbone et en oxygène
dans les régions centrales. Or, nous avons vu dans les sections 3.2 et 3.3 que cette discontinuité contribue significativement à la période des modes g, celles-ci étant plus faibles lorsqu'il existe une telle transition chimique dans les modèles. On peut donc imaginer que les périodes des modes g soient graduellement incitées à la baisse par l'émergence de la transition C-O/He au cours de l'évolution de l'étoile, compensant éventuellement les effets antagonistes engendrés par les changements dans log g et $T_{\text{eff}}$. Si tel est le cas, il faut s'attendre à ce que les modes piégés, moins sensibles à cette transition chimique, aient tendance à suivre préférentiellement l'évolution dictée par la gravité de surface et la température effective, impliquant durant la première phase évolutive une augmentation des périodes avec l'âge des modèles. Le modes piégé $g_5$ ($l=3$) de la séquence $M = 0.4758 + 0.0002 M_{\odot}$ semble effectivement suivre ce schéma comparativement aux modes confinés $g_2$ et $g_3$ (toujours pour $l=3$) beaucoup plus sensibles à la transition C-O/He. Le second aspect non exploré au cours de la section 3.4, et qui pourrait éventuellement peser sur l'évolution des périodes des modes g, est associé à la région convective logée au centre des modèles. Si, suite aux discussions de la section 3.3, il apparaît que cette zone n'affecte pas en tant que telle les comportements de ces modes puisqu'ils ne peuvent s'y propager, la position de sa limite supérieure, qui varie au cours du temps, pourrait éventuellement produire certains effets sur leurs périodes. D'autres commentaires seront apportés un peu plus tard (section 3.5.2) pour préciser davantage les effets causés par l'évolution du noyau sur les modes g.

Pour la seconde phase de l'évolution caractérisée par la contraction des modèles (log g et $T_{\text{eff}}$ augmentent), les modes g réagissent principalement comme les modes p en adoptant un profil de baisse rapide et marquée des périodes. Il est très clair, pendant cette phase, que les effets évolutifs associés aux réajustements de la température effective et de la gravité de surface dominent le comportement des périodes (voir section 3.4) et qu'ils surpassent manifestement les éventuelles influences originaires du noyau de l'étoile.

## Collisions entre modes

Les pulsations non-radiales subissent, au cours de l'évolution, l'influence additionnelle des phénomènes de collisions entre modes. Inexistantes dans les séquences de faibles masses d'enveloppes, sauf en fin de phase EHB alors que les modèles atteignent des températures effectives très élevées, les collisions se généralisent dans les séquences dotées d'enveloppes plus massives (par exemple entre les modes $g_1$ et $g_2$ pour $l=2$ dans la séquence $M=0.4758+0.0032 M_{\odot}$). Durant ces collisions, on observe une alternance entre les comportements évolutifs typiques des ondes p et g selon que ces modes mixtes favorisent l'une ou l'autre de leur nature. L'apparition des collisions dans les séquences dotées d'épaisses enveloppes s'explique naturellement à la lumière des résultats de la section 3.4. Celles-ci disposent en effet de plus faibles gravités de surface et la transition chimique He/H s'y trouve enfouie plus profondément dans l'étoile (le paramètre $\log q(H)$ possède une valeur élevée): deux conditions qui favorisent grandement l'apparition de ce phénomène.

### 3.5.2 Influence du noyau sur l'évolution des modes g

Nous venons de constater que le comportement évolutif des modes g est certainement influencé par des ajustements structurels qui se produisent dans les régions centrales de l'étoile, au niveau de l'interface entre le noyau convectif enrichi en carbone/oxygène et le cœur radiatif principalement et immuablement composé d'hélium. Les deux mécanismes soupçonnés d'affecter les périodes sont la formation, avec l'apparition du C/O au centre des modèles, d'une discontinuité chimique et la
migration, au cours de l'évolution, de la frontière entre la zone convective et la région radiative. Nous allons donc tenter d'évaluer l'impact prévisible de chacun des deux effets sur les périodes des modes de gravité.

## Effets de la discontinuité C-O/He

En vertu des discussions menées dans les précédentes sections (sections 3.2 et 3.3 principalement), plusieurs indices laissent à penser que la formation de la discontinuité chimique C-O/He au cours de l'évolution sur la EHB est en mesure de provoquer, pour les modes de gravité, une baisse des périodes capable de concurrencer les effets engendrés par les variations séculaires de log g et $T_{\text{eff}}$. Pour tester cette hypothèse, une expérience simple consiste à recalculer les périodes adiabatiques pour une séquence où les modèles sont artificiellement modifiés afin de minimiser l'impact de cette transition. En pratique, il s'agit d'imposer au terme de Ledoux, terme représentant les gradients de composition chimique dans la fréquence de Brunt-Väisälä, une valeur nulle dans la région de la transition C-O/He; les modes g sont en effet principalement sensibles aux discontinuités présentes dans cette quantité (c.f.,

<figure><img src="image_72.png" /></figure>

**Figure 3.52:** Idem figure 3.50 pour la séquence $M = 0.4758 + 0.0002 M_\odot$ artificiellement modifiée en imposant dans chaque modèle, pour minimiser l'influence de la transition chimique C-O/He, une valeur nulle au terme de Ledoux dans cette région (B(C-O/He)=0). Le saut en période apparaissant, vers 100 Ma, pour le mode $g_1$, $l=1$ est causé par une perturbation due au faux mode f (voir section 3.3); il est donc artificiel.
section 3.2). Le résultat attendu, si cette transition joue effectivement le rôle qu'on lui attribue, sera
donc de réduire la pression à la baisse qu'elle imprime sur les périodes des modes g. Ceux-ci, dès lors,
seront essentiellement affectés par l'évolution de log g et $T_{\text{eff}}$ et leurs périodes augmenteront durant la
première phase évolutive.

La figure 3.52 présente le même échantillon de modes que les figures 3.50 et 3.51 pour la séquence
$M = 0.4758 + 0.0002 M_{\odot}$ artificiellement modifiée selon les préceptes de l'expérience proposée au
paragraphe précédent. Les résultats ainsi obtenus apportent une nette confirmation des soupçons
portés sur le rôle concurrent joué par la transition C-O/He. Comme attendu en cas de dominance des
effets causés par l'évolution des paramètres log g et $T_{\text{eff}}$, les périodes des modes g augmentent, durant
la première phase, de façon analogue à celles des modes acoustiques pour ensuite décroître rapidement
pendant la seconde phase (à partir de 80 millions d'années environ après la ZAEHB). A ce sujet, il
est d'ailleurs notable que le point d'inflexion des périodes pour les modes g se situe légèrement avant
celui des modes p. Un petit retour sur les séquences évolutives dans le diagramme $log g - T_{\text{eff}}$ (figure
2.4) permet d'en découvrir la raison. On remarque en effet que la température effective des modèles
commence à augmenter légèrement avant le point d'inflexion de la gravité de surface. Les modes
g, sensibles à la fois à $T_{\text{eff}}$ et $log g$ contrairement aux modes p qui réagissent exclusivement à $log g$,
voient donc leurs périodes s'infléchir légèrement plus tôt sur la séquence. On peut aussi confirmer sans
surprise que les modes p ne sont guère affectés par la transition C-O/He et remarquer, en comparant
quantitativement la figure 3.52 avec le panneau correspondant de la figure 3.50, que les modes g du
premier modèle de la séquence, modèle proche de la ZAEHB pour lequel le noyau central n'est encore
que très faiblement enrichi en C-O, possèdent sensiblement les mêmes périodes pour les deux séries
de calculs, avec et sans la discontinuité C-O/He dans le terme de Ledoux.

Effets de la migration de la région convective

Nous venons d'avoir confirmation que le comportement particulier de l'évolution des périodes des
modes g est principalement dicté par le développement de la stratification chimique dans les régions
internes de l'étoile. Le second effet invoqué, celui de la migration de la frontière entre la zone convective
centrale et le noyau radiatif, ne possède donc très probablement qu'une influence minime sur cette
 évolution. Il peut néanmoins être intéressant de cerner qualitativement comment un tel phénomène
peut se répercuter sur les périodes des modes g. Un retour sur les figure 3.16 et 3.18 de la section 3.3
apporte des éléments utiles pour discuter ce point particulier.

Nous savons en effet, comme l'illustre cette figure, que les modes g ne sont pas ou peu affectés
par les régions centrales situées dans la zone de convection car ils ne peuvent s'y propager. Aussi,
supprimer les couches de l'étoile dans cette région convective n'influence pratiquement pas leurs
périodes. Autrement dit, le déplacement de la frontière de la région convective peut être assimilé,
en bonne approximation, à une amputation de la structure des modèles à différentes profondeurs
spécifiées, comme dans la section 3.3.4, par le paramètre $log q(\text{min})$.

Dans la séquence $M = 0.4758 + 0.0002 M_{\odot}$, faisant ici figure d'exemple, la région convective
commence, en premier lieu, par s'étendre. Sa frontière transite de $log q \simeq -0.11$ vers la ZAEHB
jusqu'à $log q \simeq -0.27$ aux alentours de 90 millions d'années pour finalement se résorber et disparaître
suite à l'épuisement de l'hélium dans les régions centrales (la convection est en effet maintenue grâce
à l'énergie dégagée par les réactions nucléaires de la chaîne triple-α). La figure 3.16 (ou 3.18) est donc parfaitement adaptée à la situation puisqu'elle couvre un champ d'amputation des modèles compris dans l'intervalle $0 \ge \log q(\text{min}) \ge -0.50$. En se référant au modèle d'enveloppe présenté dans cette figure (lignes pointillées), le comportement auquel on assiste pour la majorité des modes g lorsque les structures sont coupées à différentes profondeurs suggère une légère augmentation (baisse) des périodes quand la région convective s'étend (se rétracte). Cet effet agirait donc dans le même sens que les tendances engendrées par les variations de la gravité de surface et de la température effective durant la première phase de l'évolution.

### 3.5.3 Taux de changement des périodes - Modes p

Dans le contexte de l'évolution des étoiles, des quantités qui présentent un intérêt bien particulier, car directement mesurables si l'on observe une étoile pulsante sur une base de temps suffisamment longue, sont les dérivées premières des périodes par rapport au temps ($dP/dt \equiv \dot{P}$), aussi appelées “taux de changement des périodes”. Elles sont directement et théoriquement dérivables à partir des calculs de pulsations effectués sur les séquences évolutives; calculs qui établissent les relations, présentées dans les figures 3.50 et 3.51, entre les périodes de chaque mode et l'âge des modèles. La méthode d'interpolation par splines cubiques, utilisée pour obtenir les périodes des modes entre les modèles d'une séquence donnée, présente l'avantage d'assurer la continuité de ces dérivées premières sur la totalité de l'intervalle ainsi interpolé. Les valeurs des $\dot{P}$ de chaque mode acoustique jusqu'à l'ordre radial $k=10$ ont alors été évaluées pour tous les modèles de chacune des 7 séquences évolutives.

Un échantillon de modes p est présenté dans le tableau 3.7 pour la séquence de masse $M = 0.4758 + 0.0002 M_\odot$ et des tableaux similaires pour les six autres séquences sont placés en Annexe C. L'échantillon est constitué principalement de modes radiaux – modes qui ne subissent pas d'influence autre que celle engendrée par l'évolution séculaire des paramètres physiques de l'étoile (essentiellement $\log g$ et $T_{\text{eff}}$) – pour différentes valeurs de $k$ (modes notés $p_{0,k}$ avec $k=0, 2, 4, 6$ et 8) ainsi que de 3 modes non-radiaux d'ordre $k$ fixé (ici, $k=4$) et d'indices angulaires $l$ différents (modes notés $p_{l,4}$ avec $l=1, 2$ et 3). Pour chacun des modes, la période $P$ (en secondes) et son taux de changement $\dot{P}$ (en secondes par millions d'années; avec $1 \text{s/Ma} \simeq 3.169 \times 10^{-14} \text{s/s}$) sont indiqués en fonction de l'âge des modèles exprimé en millions d'années depuis la ZAEHB. A titre indicatif, la fraction $Y_c$ (en masse) d'hélium présent au centre de l'étoile est donnée comme témoin de l'état d'avancement du processus de brûlage nucléaire central (phase EHB).

Les deux phases qui gouvernent l'évolution des périodes possèdent une signature bien particulière sur leurs taux de changement. Pour les modes p, en l'absence de phénomènes de collisions qui compliquent notoirement les comportements, la quantité $\dot{P}$ est positive pendant la première phase évolutive puis négative durant la seconde. Le changement de signe intervient approximativement entre 87 et 91 millions d'années après la ZAEHB (pour toutes les séquences) alors que la fraction de masse de l'hélium est réduite à moins de 17% dans le cœur des modèles et que l'étoile amorce sa contraction faute de support énergétique.

De plus, les taux de changement $\dot{P}$ pour un mode donné sont approximativement constants durant la première phase pour alors que la décroissance des périodes accélère pendant la seconde. On remarque aussi une baisse des $\dot{P}$ lorsque, dans un modèle donné, les modes d'ordres $k$ plus élevés
sont considérés; un comportement qui ne se manifeste pas quand l'indice *l* des modes de même ordre radial est changé, les valeurs de $dP/dt$ restant pratiquement constantes dans ce cas. A cela s'ajoute une dépendance accrue par rapport à la masse des séquences évolutives puisque, pour des modes de même ordre radial, les taux de changement des périodes tendent à augmenter pour les modes *p* des modèles dotés d'enveloppes plus massives (voir à ce sujet les tableaux présentés en Annexe C).

<table><caption>Tableau 3.7: *P* et $\dot{P}$ pour un échantillon de modes *p* sur la séquence $M=0.4758 + 0.0002 M_{\odot}$.</caption><thead><tr><th rowspan="2">âge<br>(Ma)</th><th rowspan="2">Y<sub>c</sub></th><th colspan="2"><i>p</i><sub>0,0</sub></th><th colspan="2"><i>p</i><sub>0,2</sub></th><th colspan="2"><i>p</i><sub>0,4</sub></th><th colspan="2"><i>p</i><sub>0,6</sub></th></tr><tr><th><i>P</i><br>(s)</th><th><i>P&#775;</i><br>(s/Ma)</th><th><i>P</i><br>(s)</th><th><i>P&#775;</i><br>(s/Ma)</th><th><i>P</i><br>(s)</th><th><i>P&#775;</i><br>(s/Ma)</th><th><i>P</i><br>(s)</th><th><i>P&#775;</i><br>(s/Ma)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1.79</td><td>0.928</td><td>159.92</td><td>+9.52×10<sup>-1</sup></td><td>115.18</td><td>+6.49×10<sup>-1</sup></td><td>86.48</td><td>+5.08×10<sup>-1</sup></td><td>68.42</td><td>+3.93×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>12.06</td><td>0.811</td><td>169.18</td><td>+7.99×10<sup>-1</sup></td><td>121.48</td><td>+5.43×10<sup>-1</sup></td><td>91.48</td><td>+4.46×10<sup>-1</sup></td><td>72.37</td><td>+3.67×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>18.98</td><td>0.750</td><td>174.46</td><td>+7.93×10<sup>-1</sup></td><td>125.05</td><td>+5.37×10<sup>-1</sup></td><td>94.44</td><td>+4.36×10<sup>-1</sup></td><td>74.84</td><td>+3.52×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>21.73</td><td>0.727</td><td>176.73</td><td>+8.60×10<sup>-1</sup></td><td>126.60</td><td>+5.81×10<sup>-1</sup></td><td>95.67</td><td>+4.50×10<sup>-1</sup></td><td>75.80</td><td>+3.43×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>28.83</td><td>0.673</td><td>183.06</td><td>+8.81×10<sup>-1</sup></td><td>130.86</td><td>+5.95×10<sup>-1</sup></td><td>98.84</td><td>+4.40×10<sup>-1</sup></td><td>78.11</td><td>+3.18×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>46.87</td><td>0.537</td><td>197.40</td><td>+7.53×10<sup>-1</sup></td><td>140.57</td><td>+5.00×10<sup>-1</sup></td><td>106.32</td><td>+3.96×10<sup>-1</sup></td><td>83.84</td><td>+3.11×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>61.90</td><td>0.418</td><td>209.12</td><td>+8.32×10<sup>-1</sup></td><td>148.31</td><td>+5.63×10<sup>-1</sup></td><td>112.39</td><td>+4.28×10<sup>-1</sup></td><td>88.52</td><td>+3.23×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>73.01</td><td>0.317</td><td>218.17</td><td>+7.24×10<sup>-1</sup></td><td>154.36</td><td>+4.48×10<sup>-1</sup></td><td>117.05</td><td>+3.71×10<sup>-1</sup></td><td>92.05</td><td>+2.92×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>81.14</td><td>0.236</td><td>223.32</td><td>+5.70×10<sup>-1</sup></td><td>157.28</td><td>+3.11×10<sup>-1</sup></td><td>119.55</td><td>+2.45×10<sup>-1</sup></td><td>94.04</td><td>+1.82×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>87.19</td><td>0.175</td><td>225.86</td><td>+1.46×10<sup>-1</sup></td><td>158.61</td><td>+4.44×10<sup>-2</sup></td><td>120.52</td><td>+3.83×10<sup>-2</sup></td><td>94.70</td><td>+1.80×10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>91.79</td><td>0.129</td><td>225.24</td><td>-3.96×10<sup>-1</sup></td><td>157.98</td><td>-3.03×10<sup>-1</sup></td><td>120.09</td><td>-2.39×10<sup>-1</sup></td><td>94.31</td><td>-2.03×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>95.14</td><td>0.099</td><td>223.00</td><td>-1.04×10<sup>0</sup></td><td>156.39</td><td>-7.08×10<sup>-1</sup></td><td>118.82</td><td>-5.44×10<sup>-1</sup></td><td>93.26</td><td>-4.35×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>97.94</td><td>0.073</td><td>218.88</td><td>-1.96×10<sup>0</sup></td><td>153.60</td><td>-1.33×10<sup>0</sup></td><td>116.73</td><td>-9.91×10<sup>-1</sup></td><td>91.63</td><td>-7.71×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>100.12</td><td>0.054</td><td>213.70</td><td>-2.79×10<sup>0</sup></td><td>149.96</td><td>-2.06×10<sup>0</sup></td><td>114.00</td><td>-1.56×10<sup>0</sup></td><td>89.50</td><td>-1.21×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>101.71</td><td>0.041</td><td>208.58</td><td>-3.77×10<sup>0</sup></td><td>146.14</td><td>-2.75×10<sup>0</sup></td><td>111.11</td><td>-2.09×10<sup>0</sup></td><td>87.26</td><td>-1.62×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>103.17</td><td>0.030</td><td>202.32</td><td>-5.19×10<sup>0</sup></td><td>141.71</td><td>-3.54×10<sup>0</sup></td><td>107.72</td><td>-2.74×10<sup>0</sup></td><td>84.62</td><td>-2.15×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>104.28</td><td>0.022</td><td>196.56</td><td>-1.16×10<sup>1</sup></td><td>137.78</td><td>-7.97×10<sup>0</sup></td><td>104.68</td><td>-6.08×10<sup>0</sup></td><td>82.23</td><td>-4.72×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>106.49</td><td>0.005</td><td>170.96</td><td>-3.64×10<sup>1</sup></td><td>120.16</td><td>-2.60×10<sup>1</sup></td><td>91.25</td><td>-1.98×10<sup>1</sup></td><td>71.80</td><td>-1.55×10<sup>1</sup></td></tr><tr><td>107.23</td><td>0.000</td><td>144.01</td><td>-6.77×10<sup>1</sup></td><td>100.91</td><td>-4.83×10<sup>1</sup></td><td>76.61</td><td>-3.67×10<sup>1</sup></td><td>60.35</td><td>-2.89×10<sup>1</sup></td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th rowspan="2">âge<br>(Ma)</th><th rowspan="2">Y<sub>c</sub></th><th colspan="2"><i>p</i><sub>0,8</sub></th><th colspan="2"><i>p</i><sub>1,4</sub></th><th colspan="2"><i>p</i><sub>2,4</sub></th><th colspan="2"><i>p</i><sub>3,4</sub></th></tr><tr><th><i>P</i><br>(s)</th><th><i>P&#775;</i><br>(s/Ma)</th><th><i>P</i><br>(s)</th><th><i>P&#775;</i><br>(s/Ma)</th><th><i>P</i><br>(s)</th><th><i>P&#775;</i><br>(s/Ma)</th><th><i>P</i><br>(s)</th><th><i>P&#775;</i><br>(s/Ma)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1.79</td><td>0.928</td><td>55.96</td><td>+3.08×10<sup>-1</sup></td><td>92.15</td><td>+5.06×10<sup>-1</sup></td><td>87.20</td><td>+5.06×10<sup>-1</sup></td><td>84.51</td><td>+4.89×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>12.06</td><td>0.811</td><td>59.07</td><td>+2.92×10<sup>-1</sup></td><td>97.11</td><td>+4.37×10<sup>-1</sup></td><td>92.16</td><td>+4.36×10<sup>-1</sup></td><td>89.36</td><td>+4.40×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>18.98</td><td>0.750</td><td>61.03</td><td>+2.77×10<sup>-1</sup></td><td>100.01</td><td>+4.27×10<sup>-1</sup></td><td>95.05</td><td>+4.29×10<sup>-1</sup></td><td>92.30</td><td>+4.27×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>21.73</td><td>0.727</td><td>61.78</td><td>+2.67×10<sup>-1</sup></td><td>101.22</td><td>+4.53×10<sup>-1</sup></td><td>96.26</td><td>+4.53×10<sup>-1</sup></td><td>93.49</td><td>+4.31×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>28.83</td><td>0.673</td><td>63.57</td><td>+2.47×10<sup>-1</sup></td><td>104.51</td><td>+4.57×10<sup>-1</sup></td><td>99.53</td><td>+4.52×10<sup>-1</sup></td><td>96.48</td><td>+4.11×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>46.87</td><td>0.537</td><td>68.02</td><td>+2.42×10<sup>-1</sup></td><td>112.02</td><td>+3.97×10<sup>-1</sup></td><td>107.00</td><td>+3.97×10<sup>-1</sup></td><td>103.57</td><td>+3.84×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>61.90</td><td>0.418</td><td>71.66</td><td>+2.51×10<sup>-1</sup></td><td>118.18</td><td>+4.34×10<sup>-1</sup></td><td>113.11</td><td>+4.24×10<sup>-1</sup></td><td>109.39</td><td>+3.95×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>73.01</td><td>0.317</td><td>74.40</td><td>+2.24×10<sup>-1</sup></td><td>122.89</td><td>+3.80×10<sup>-1</sup></td><td>117.74</td><td>+3.86×10<sup>-1</sup></td><td>113.72</td><td>+3.71×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>81.14</td><td>0.236</td><td>75.94</td><td>+1.47×10<sup>-1</sup></td><td>125.57</td><td>+2.83×10<sup>-1</sup></td><td>120.48</td><td>+2.76×10<sup>-1</sup></td><td>116.33</td><td>+2.45×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>87.19</td><td>0.175</td><td>76.48</td><td>+1.14×10<sup>-2</sup></td><td>126.74</td><td>+4.54×10<sup>-2</sup></td><td>121.59</td><td>+4.97×10<sup>-2</sup></td><td>117.23</td><td>+3.10×10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>91.79</td><td>0.129</td><td>76.15</td><td>-1.64×10<sup>-1</sup></td><td>126.24</td><td>-2.58×10<sup>-1</sup></td><td>121.15</td><td>-2.55×10<sup>-1</sup></td><td>116.76</td><td>-2.63×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>95.14</td><td>0.099</td><td>75.31</td><td>-3.53×10<sup>-1</sup></td><td>124.88</td><td>-6.02×10<sup>-1</sup></td><td>119.78</td><td>-5.91×10<sup>-1</sup></td><td>115.38</td><td>-5.76×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>97.94</td><td>0.073</td><td>73.96</td><td>-6.36×10<sup>-1</sup></td><td>122.53</td><td>-1.11×10<sup>0</sup></td><td>117.53</td><td>-1.05×10<sup>0</sup></td><td>113.23</td><td>-9.99×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>100.12</td><td>0.054</td><td>72.24</td><td>-9.54×10<sup>-1</sup></td><td>119.60</td><td>-1.58×10<sup>0</sup></td><td>114.73</td><td>-1.51×10<sup>0</sup></td><td>110.57</td><td>-1.45×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>101.71</td><td>0.041</td><td>70.48</td><td>-1.29×10<sup>0</sup></td><td>116.72</td><td>-2.13×10<sup>0</sup></td><td>111.96</td><td>-2.04×10<sup>0</sup></td><td>107.90</td><td>-1.96×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>103.17</td><td>0.030</td><td>68.36</td><td>-1.73×10<sup>0</sup></td><td>113.18</td><td>-2.91×10<sup>0</sup></td><td>108.56</td><td>-2.83×10<sup>0</sup></td><td>104.62</td><td>-2.73×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>104.28</td><td>0.022</td><td>66.45</td><td>-3.80×10<sup>0</sup></td><td>109.95</td><td>-6.43×10<sup>0</sup></td><td>105.41</td><td>-6.20×10<sup>0</sup></td><td>101.59</td><td>-5.90×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>106.49</td><td>0.005</td><td>58.06</td><td>-1.24×10<sup>1</sup></td><td>95.73</td><td>-2.05×10<sup>1</sup></td><td>91.72</td><td>-1.97×10<sup>1</sup></td><td>88.55</td><td>-1.90×10<sup>1</sup></td></tr><tr><td>107.23</td><td>0.000</td><td>48.87</td><td>-2.33×10<sup>1</sup></td><td>80.56</td><td>-3.83×10<sup>1</sup></td><td>77.13</td><td>-3.67×10<sup>1</sup></td><td>74.52</td><td>-3.53×10<sup>1</sup></td></tr></tbody></table>
Une relation empirique entre les périodes et la gravité de surface des modèles, valable principalement pour les modes radiaux ($l = 0$) mais aussi applicable aux pulsations acoustiques non-radiales dans les régions de l'espace des paramètres épargnées par les collisions avec les modes g, permet de comprendre qualitativement ces comportements le long des séquences évolutives. Les périodes, maintenant fonctions du temps, sont en effet approximativement données par (voir section 3.4.1)

$$ \log P_k(t) \approx \alpha \log g(t) + \beta_k, \qquad (3.13) $$

où $\alpha$ est une constante négative essentiellement indépendante de $k$ et de $t$ (dont la valeur approximative a été estimée à $\alpha \simeq -0.8$) alors que $\beta_k$ est une constante indépendante de $t$ mais propre à chaque mode (donc, dépendante de l'indice radial $k$). Ainsi, la dérivée première de la période par rapport au temps conduit à la relation

$$ \frac{dP_k}{dt} \approx P_k \alpha' \frac{d \log g}{dt} \approx -P_k \alpha \frac{2}{R} \frac{dR}{dt} \quad \text{avec} \quad \alpha' \equiv \alpha \ln 10 < 0, \qquad (3.14) $$

où l'on a utilisé la définition $g = GM/R^2$ avec $M$, la masse totale de l'étoile, constante et $R$ représentant le rayon total de l'astre. Avec $\alpha, \alpha' < 0$ et $d \log g/dt < 0$ ($dR/dt > 0$) dans la première phase évolutives, les périodes augmentent avec le temps ($dP_k/dt > 0$) conformément à ce qui est observé. Tout aussi conforme aux résultats numériques, on a $d \log g/dt > 0$ ($dR/dt < 0$) dans la seconde phase évolutives entraînant la baisse des périodes ($dP_k/dt < 0$). De plus, le coefficient $\alpha$ (ou $\alpha'$) étant indépendant des modes et la dérivée première de $\log g$ étant constante si l'on considère un modèle particulier donné, la valeur de $dP_k/dt$, qui ne dépend plus que de la période $P_k$, décroît pour les modes d'ordre $k$ plus élevés (la période des modes p diminue lorsque $k$ augmente). Pour la même raison, les modèles dotés d'enveloppes plus massives doivent montrer, parce que leurs gravités de surface sont beaucoup plus faibles impliquant des périodes appréciablement plus longues pour les modes p, des valeurs plus élevées pour les $\dot{P}$. On notera toutefois, dans ce dernier cas, que les quantités $d \log g/dt$ n'ont pas à être identiques d'une séquence à l'autre bien que les différences semblent noyées dans l'effet, plus important, de la hausse globale des périodes. Enfin, précisons que l'apparente constance, pour un mode donné, de la quantité $dP/dt$ au cours de la première phase de l'évolution, alors que la croissance des périodes devrait en susciter la hausse, suggère un lent ralentissement de l'expansion de l'étoile qui se traduit par une baisse progressive du terme $d \log g/dt$ compensant approximativement la croissance des périodes.

## Spectre des modes p (et f) à travers $dP/dt$

Jusqu'à présent, le principal aperçu de l'évolution des périodes pour les modes acoustiques fut donné exclusivement à travers le comportement d'un échantillon de quelques modes représentatifs. La structure du spectre des modes p considéré dans son ensemble pourrait néanmoins, à travers la quantité $dP/dt$, apporter quelques informations supplémentaires intéressantes. Pour visualiser ces spectres, les figures 3.53 et 3.54 proposent, par le biais de deux modèles représentatifs dans chacune des séquences des deux phases évolutives identifiées pour les modes de pulsations, une représentation de la quantité $\dot{P}/P$ en fonction de la période pour l'ensemble des modes p (et f) jusqu'à $k=10$ et $l=3$. La quantité $\dot{P}/P$, ou taux relatif de changement des périodes, sera dorénavant utilisée de préférence à $dP/dt$ car, en vertu de la discussion précédente, elle permet de supprimer l'effet induit par les différences de périodes pour ne retenir que les aspects liés à l'évolution structurelle des modèles.
Les structures observées dans la quantité $\dot{P}/P$ semblent, de prime abord, très complexes mais plusieurs remarques méritent néanmoins d'être apportées. Avant tout, notons que les valeurs des taux de changement relatif des périodes pour les modes acoustiques appartenant à un même modèle sont approximativement identiques indépendamment des indices *k* et *l*, conformément à la forme de l'équation (3.14). Il ne s'agit évidemment pas d'une égalité stricte puisque de nombreuses fluctuations issues de phénomènes affectant chaque mode individuellement viennent se greffer sur le spectre pour en briser l'uniformité. Au moins deux sources de perturbations semblent en mesure de contribuer significativement à ses fluctuations: le micro-piégeage des modes acoustiques, phénomène engendré par la transition chimique He/H entre l'enveloppe de l'étoile riche en hydrogène et son noyau d'hélium, et les processus de collisions entre modes qui apparaissent pour certaines valeurs particulières de la gravité de surface et de la température effective.

Les modes radiaux, représentés dans chaque panneau par les cercles vides reliés par les traits pleins, ne sont pas assujettis aux phénomènes de collisions contrairement aux pulsations non-radiales. Ils sont donc les meilleurs révélateurs de la structure issue des mécanismes de micro-piégeage. Si l'on regarde plus en détails les modèles proposés en exemples, on s'aperçoit que le spectre des pulsations radiales montre des structures fluctuantes différentes selon la masse de l'enveloppe des diverses séquences. Ainsi, les modèles dotés d'enveloppes ténues<fnref n="7" /> (par exemple, pour les séquences avec $M_{env}=0.0002$, 0.0007 et 0.0012 $M_\odot$) montrent des profiles de spectre radiaux en "dents de scie" alors que leur structure est plus uniforme pour les modèles à enveloppes massives (par exemple, pour les séquences avec $M_{env}=0.0032$ et 0.0042 $M_\odot$). Sachant qu'un modèle doté d'une enveloppe plus massive correspond à une structure pour laquelle la valeur du paramètre $\log q(H)$ — une quantité reliée à la position de l'interface He/H dans l'étoile — est plus élevée, les spectres des pulsations radiales observés à travers $\dot{P}/P$ possèdent une remarquable similitude de comportement avec les représentations qui en sont faites dans la figure 3.36 de la section 3.4.2 en terme d'espacement en fréquence ($\Delta\nu$) entre modes consécutifs.

L'apparition de ces structures fluctuantes, dues sans aucun doute au micro-piégeage, dans les taux de changement des périodes pose l'épineuse question de l'origine de ces petites variations dans l'évolution des modes acoustiques. Ces derniers, comme nous le savons depuis la section 3.4, sont affectés par les changements qui interviennent au niveau de la gravité de surface des modèles. Plus précisément, en modifiant la gravité de surface, la structure mécanique de l'étoile change et, en conséquence, les périodes naturelles des modes oscillatoires varient. Parce que les modes p sont globalement formés au même endroit (dans l'enveloppe de l'étoile), ils sont essentiellement affectés de la même façon par ces modifications de structure et leurs périodes évoluent globalement au même taux. Toutefois, une petite fraction de la période provient des régions plus profondes, en dessous de la transition He/H, et avec l'effet du micro-piégeage il est possible que certains modes soient plus ou moins sensibles aux régions centrales par rapport à la moyenne des modes. Comme l'évolution des périodes dépend localement de l'évolution des régions qui y contribuent, des différences de $\dot{P}$ peuvent se manifester au sein d'un même spectre acoustique. Un autre effet, mécanique celui-là, consiste, pour un mode donné, à changer d'état de piégeage suite aux déplacements des nœuds de sa fonction propre relativement à l'interface chimique responsable du phénomène éventuellement engendré par l'évolution de sa période. Cet effet perturbatif pourrait altérer les taux de changement des périodes à une époque

<footnote n="7">⁷Ceci ne s'applique pas à la séquence $M = 0.4690 + 0.0001 M_\odot$ pour laquelle la transition chimique He/H est atrophiée suite à un dragage convectif ("dredge-up"), durant la phase RGB, entre l'enveloppe riche en hydrogène, devenue trop mince, et le noyau d'hélium. Les effets du micro-piégeage sont donc beaucoup plus faibles pour ces modèles.</footnote>
donnée lors du passage d'un état de confinement à un état de piégeage ou vice-versa. Quoiqu'il en soit, estimer la part de l'une et/ou l'autre des possibilités dans les fluctuations de la structure des $\dot{P}$ semble une tâche plutôt difficile; aussi, laisserons nous cette question en suspend pour le moment.

<figure><img src="image_73.png" /></figure>

Figure 3.53: $\dot{P}_k/P_k$ en fonction de $P_k$ ($k=0$ à 10) pour les modes p (avec $l=0, 1, 2$ et 3) appartenant à deux modèles représentatifs, pour chaque séquence, des deux phases évolutives identifiées qui caractérisent l'évolution des périodes (le numéro du modèle dans la séquence est indiqué dans chaque panneau). Les modèles correspondants à la première phase ont été choisis pour avoir un âge compris approximativement entre 50 et 60 millions d'années après la ZAEHB. Par ailleurs, le modèle #7 de la séquence $M=0.4758 + 0.0002 M_\odot$ était notre modèle de référence dans la section 3.2.
<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>Figure 3.54: $\dot{P}_k/P_k$ en fonction de $P_k$ pour les modes p (suite de la figure 3.53).</figcaption></figure>

Les pulsations non-radiales sont sujettes, en plus des effets du micro-piégeage, aux perturbations engendrées par les collisions avec le spectre des modes g. Comme nous pourrons le constater un peu plus tard dans la section 3.5.4, les modes de gravité montrent des spectres de $\dot{P}$ avec, en terme d'amplitude, beaucoup plus de fluctuations que les spectres des modes acoustiques; certains d'entre eux contenant parfois des différences de signes d'un mode à l'autre. En percutant les modes p non-radiaux, ils leurs
transmettent ces caractéristiques que l'on peut effectivement remarquer pour certains modes de faible ordre radial. Les modèles appartenant aux séquences dotées d'enveloppes massives et/ou se trouvant dans la seconde phase évolutive ($\dot{P}$ négatifs) présentent les plus grandes prédispositions à l'apparition de ce phénomène pour les raisons déjà mentionnées auparavant. Ainsi, puisque ces modes de nature mixte alternent, au cours de l'évolution, entre un comportement de modes p et un comportement de modes g, le profile de la quantité $\dot{P}/P$ qui leur est associé devient généralement très compliqué le long d'une séquence.

## Taux moyens de changement des périodes

Bien que les périodes des modes acoustiques soient affectées sur une base individuelle par diverses perturbations comme le micro-piégeage et les collisions avec les modes g, une évolution générale propre à chaque séquence semble néanmoins se dessiner à travers les taux de changement des périodes pris sur l'ensemble du spectre. Si l'on oublie un instant les fluctuations dans la quantité $\dot{P}_k/P_k$, les modes acoustiques d'un modèle donné évoluent sensiblement au même rythme. Aussi, pour extraire l'information sur ce comportement global, il est utile de définir un taux relatif moyen de changement des périodes noté $\langle \dot{P}_k/P_k \rangle$ et évalué en moyennant l'ensemble des quantités $\dot{P}_k/P_k$ calculées pour chaque mode p.

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>Figure 3.55: Taux relatifs moyens de changement des périodes pour les modes radiaux ($l=0$) en fonction de l'âge des modèles pour chacune des 7 séquences évolutives. La valeur moyenne est calculée sur les 11 premiers modes de la série.</figcaption></figure>
La figure 3.55 présente les valeurs de ce taux relatif moyen de changement des périodes pour chacune des 7 séquences évolutives à notre disposition. Pour chaque modèle, $\langle \dot{P}_k/P_k \rangle$ a été évalué à partir des modes de pulsations radiales ($l=0$) jusqu'à l'ordre $k=10$. L'usage des seuls 11 premiers modes dans le calcul de cette moyenne apparaît suffisant pour mettre en valeur les grandes tendances qui nous intéressent mais il sera certainement préférable, pour obtenir une détermination plus précise de cette quantité, d'utiliser davantage de modes dans le calcul; d'autant que les plus importantes fluctuations surviennent pour les modes de faible ordre radial. De plus, nous avons jugé préférable de cantonner l'évaluation de $\langle \dot{P}_k/P_k \rangle$ aux seuls modes radiaux afin d'éviter les effets de collisions très importants dans certains modèles. Notons qu'inclure les ondes p non-radiales dans le calcul de la moyenne ne pose pas réellement de problème en soi sinon qu'il est conseillé, dans ce cas là, d'utiliser plus de modes d'ordre élevé pour compenser les grandes fluctuations dues aux collisions.

La figure met en valeur plusieurs caractéristiques des séquences évolutives dont quelques unes ont déjà été abordées auparavant. Parmi ces dernières, remarquons le changement de sens de l'évolution des périodes, trahi par l'inversion de signe dans la quantité $\langle \dot{P}_k/P_k \rangle$, qui survient approximativement entre 87 et 95 millions d'années après la ZAEHB lorsque l'étoile s'engage dans une ère de contraction pour compenser l'essoufflement des réactions nucléaires dû à la raréfaction du combustible d'hélium dans le noyau. Avant cette date fatidique, l'étoile connaît une évolution plutôt paisible où seuls quelques lents réajustements de structure conduisent à une légère dilatation de son rayon. Comme nous l'avons déjà remarqué, ces réajustements entraînent une lente croissance des périodes des modes p que l'on retrouve à travers la quantité $\langle \dot{P}_k/P_k \rangle$. Durant toute cette période, les valeurs typiques se situent autour de $\langle \dot{P}_k/P_k \rangle \simeq 5 \times 10^{-3} \text{ Ma}^{-1}$ correspondant à un temps caractéristique d'environ 200 millions d'années compatible avec la durée de vie habituelle des séquences évolutives sur la ZAEHB (autour de $10^8$ années).

Deux tendances se manifestent très explicitement dans cette première phase de la vie d'une sdB. La première tendance concerne la baisse systématique de la quantité $\langle \dot{P}_k/P_k \rangle$ à mesure que les modèles vieillissent. Lente et presque uniforme durant les 80 premiers millions d'années, elle s'accélère par la suite jusqu'à devenir négative pour les raisons déjà mentionnées. Cette tendance montre qu'il y a, dès les premiers temps de l'évolution de ces étoiles, un ralentissement du mouvement d'expansion qui préfigure déjà l'effondrement ultérieur de l'astre. Elle rappelle aussi que la relation entre le taux de changement des périodes et le taux d'énergie dégagée par réactions nucléaires qui gouverne l'évolution du noyau est loin d'être triviale car il s'agit d'une relation indirecte via les réajustements de la gravité de surface de l'étoile. Il est en effet symptômatique de constater une baisse de $\langle \dot{P}_k/P_k \rangle$ avec l'âge alors que l'étoile accroît sa luminosité et accélère son rythme d'évolution en brûlant de plus en plus rapidement ses réserves d'hélium.

La seconde observation remarquable qui caractérise cette phase de l'évolution est la corrélation, sans ambiguïté possible, entre la masse de l'enveloppe des modèles et la valeur du taux relatif moyen de changement des périodes. La figure montre que les séquences dotées d'enveloppes massives disposent de $\langle \dot{P}_k/P_k \rangle$ plus élevés; la différence pouvant atteindre 40% entre les deux extrêmes (modèles avec les plus petites et les plus grosses enveloppes). Ceci indique que les séquences pourvues d'enveloppes massives ont une phase d'expansion – où le rayon de l'étoile augmente et sa gravité de surface baisse – plus rapide que les séquences dotées d'enveloppes ténues. L'origine de ces différences semble, encore une fois, difficile à identifier. On pourra noter naïvement un écart de luminosité $\Delta L/L \simeq 2.5\%$ entre
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>Figure 3.56: Taux relatifs moyens de changement des périodes pour les modes acoustiques en fonction de la gravité de surface et de la température effective des modèles pour chacune des 7 séquences évolutives. La valeur moyenne est calculée à partir des 11 premiers modes de la série $l=0$ (pulsations radiales).</figcaption></figure>
deux modèles d'âge équivalent (les modèles #1) tirés respectivement des séquences avec $M_{\text{env}}=0.0002 M_{\odot}$ et $M_{\text{env}}=0.0042 M_{\odot}$; la plus massive étant la plus lumineuse. Une température centrale légèrement plus élevée dans le modèle plus massif ($T_c=116.51 \times 10^6$ K contre $116.37 \times 10^6$ K, soit $\Delta T_c/T_c \simeq 0.1\%$) semble en mesure d'expliquer la différence de luminosité observée en raison de l'extrême sensibilité des réactions de la chaîne triple-$\alpha$ à la température ($\epsilon \propto T_c^{32}$, soit très approximativement $L \sim T_c^{32}$ et $\Delta L/L \sim 3.2\%$ en prenant $\Delta T/T \simeq 0.1\%$). Les taux des réactions nucléaires étant plus élevés pour la séquence plus massive, son temps évolutif caractéristique est légèrement plus cours de $\Delta t/t \simeq 1.3\%$ pour un modèle âgé d'environ 91 millions d'années – qui, au passage, correspond assez bien à l'estimation que l'on peut faire sur $\Delta t/t$ à partir de $\Delta L/L \simeq 2.5\%$ en supposant que les deux séquences disposent de la même quantité totale d'énergie à libérer – dont la fraction d'hélium au centre est réduite à $Y_c \simeq 0.129$. Comparativement aux écarts entre les temps caractéristiques moyens d'évolution des périodes qui s'élèvent, entre les deux séquences, à plus de 40%, les petites variations dans les temps évolutifs dues aux légères différences de taux de réactions nucléaires semblent donc bien insuffisantes pour en être directement la cause. Cette conclusion est par ailleurs confortée par les positions apparamment "normales" des séquences #1 et #3 dans la figure 3.55 alors que leur noyau est moins massif que celui des autres séquences et que les réactions nucléaires au centre y sont moins intenses, impliquant l'existence d'un paramètre plus important pour influencer les périodes.

Si les noyaux des modèles sont trop peu dissemblables d'une séquence à l'autre pour expliquer l'importance des écarts observés dans la quantité $\langle \dot{P}_k/P_k \rangle$, un autre mécanisme est nécessaire pour accélérer le mouvement d'expansion des séquences plus massives durant la première phase évolutive (i.e., de 0 à 85 millions d'années environ) afin d'accroître les taux de changement des périodes. La couche de brûlage de l'hydrogène située à la base de l'enveloppe semble constituer un bon candidat car sa puissance s'accroît lorsque $M_{\text{env}}$ augmente et on la sait responsable, pour les séquences de la branche horizontale, de la dilatation importante de l'enveloppe (le rayon de l'étoile augmente alors que $T_{\text{eff}}$ et $\log g$ diminuent) conduisant à terme à la phase géante rouge sur la branche asymptotique. Pour nos séquences sur la EHB, cette phase AGB n'est, bien entendu, jamais atteinte mais il est néanmoins possible que les séquences possédant les plus fortes régions de brûlage d'hydrogène en couche amorcent une expansion plus marquée que les séquences disposant d'une couche d'hydrogène moins active. Ainsi, parce que l'évolution des périodes des modes acoustiques n'est qu'un reflet indirect de l'évolution séculaire du noyau à travers une quantité physique globale comme la gravité de surface, son interprétation s'avère très complexe compte tenu des divers sources susceptibles de l'affecter.

On pourra à l'avenir être intéressé par une comparaison des taux de changement des périodes théoriques avec d'éventuelles mesures observationnelles. Dans cette optique, la figure 3.55 pose un problème majeur car l'âge d'une étoile n'est pas une quantité directement accessible par l'observation. Les paramètres physiques que l'on pourra déterminer se limitent essentiellement à la température effective et à la gravité de surface. Aussi, dans le but d'offrir une représentation des résultats théoriques sur laquelle il sera possible de superposer des valeurs observées, les 7 séquences sont reproduites dans la figure 3.56 à travers la quantité $\langle \dot{P}_k/P_k \rangle$ en fonction, cette fois-ci, des observables $\log g$ et $T_{\text{eff}}$.

### 3.5.4 Taux de changement des périodes - Modes g

Après cette investigation poussée sur l'évolution des modes p, penchons nous à présent sur le cas des modes g aux comportements d'apparence plus complexes. De même que pour les modes
acoustiques, les quantités $\dot{P}$ des ondes de gravité jusqu'à l'ordre $k=30$ ont été évaluées pour chaque modèle des 7 séquences évolutives en utilisant la technique d'interpolation par splines cubiques.

Un échantillon de modes g est présenté dans le tableau 3.8 pour la séquence $M=0.4758+0.0002 M_{\odot}$. Les autres séquences disposent de tableaux similaires déposés, pour consultation, en Annexe C. L'échantillon est constitué principalement de modes g de faible ordre radial ($k=1$ à 6) appartenant à

<table><caption>Tableau 3.8: $P$ et $\dot{P}$ pour un échantillon de modes g sur la séquence $M=0.4758+0.0002 M_{\odot}$.</caption><thead><tr><th rowspan="2">âge<br>(Ma)</th><th rowspan="2">Y<sub>c</sub></th><th colspan="2">g<sub>3,1</sub></th><th colspan="2">g<sub>3,2</sub></th><th colspan="2">g<sub>3,3</sub></th><th colspan="2">g<sub>3,4</sub></th></tr><tr><th>P<br>(s)</th><th>dot<br>(s/Ma)</th><th>P<br>(s)</th><th>dot<br>(s/Ma)</th><th>P<br>(s)</th><th>dot<br>(s/Ma)</th><th>P<br>(s)</th><th>dot<br>(s/Ma)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1.79</td><td>0.928</td><td>240.56</td><td>+2.05×10<sup>-1</sup></td><td>332.20</td><td>-7.69×10<sup>-1</sup></td><td>425.16</td><td>-2.74×10<sup>0</sup></td><td>495.76</td><td>-1.83×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>12.06</td><td>0.811</td><td>242.42</td><td>+1.33×10<sup>-1</sup></td><td>324.54</td><td>-6.98×10<sup>-1</sup></td><td>402.56</td><td>-1.12×10<sup>0</sup></td><td>483.39</td><td>+3.92×10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>18.98</td><td>0.750</td><td>242.82</td><td>-4.20×10<sup>-2</sup></td><td>319.32</td><td>-9.17×10<sup>-1</sup></td><td>399.51</td><td>-1.81×10<sup>-1</sup></td><td>488.89</td><td>+1.05×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>21.73</td><td>0.727</td><td>242.40</td><td>-3.26×10<sup>-1</sup></td><td>316.34</td><td>-1.31×10<sup>0</sup></td><td>398.84</td><td>-3.11×10<sup>-1</sup></td><td>491.51</td><td>+8.69×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>28.83</td><td>0.673</td><td>237.92</td><td>-6.39×10<sup>-1</sup></td><td>305.57</td><td>-1.18×10<sup>0</sup></td><td>397.08</td><td>+5.32×10<sup>-2</sup></td><td>497.34</td><td>+9.28×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>46.87</td><td>0.537</td><td>232.21</td><td>-4.08×10<sup>-1</sup></td><td>306.07</td><td>+2.41×10<sup>-1</sup></td><td>410.49</td><td>+7.56×10<sup>-1</sup></td><td>518.98</td><td>+1.07×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>61.90</td><td>0.418</td><td>224.09</td><td>-3.83×10<sup>-1</sup></td><td>306.59</td><td>+2.74×10<sup>-1</sup></td><td>418.65</td><td>+6.69×10<sup>-1</sup></td><td>532.40</td><td>+9.67×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>73.01</td><td>0.317</td><td>221.76</td><td>-1.92×10<sup>-1</sup></td><td>309.37</td><td>-3.05×10<sup>-1</sup></td><td>424.83</td><td>-1.33×10<sup>-2</sup></td><td>540.97</td><td>+1.37×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>81.14</td><td>0.236</td><td>221.16</td><td>+2.63×10<sup>-1</sup></td><td>304.02</td><td>-5.70×10<sup>-1</sup></td><td>421.70</td><td>-3.77×10<sup>-1</sup></td><td>538.62</td><td>-3.56×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>87.19</td><td>0.175</td><td>223.37</td><td>+1.57×10<sup>-1</sup></td><td>300.96</td><td>-7.70×10<sup>-1</sup></td><td>418.70</td><td>-1.02×10<sup>0</sup></td><td>533.82</td><td>-1.89×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>91.79</td><td>0.129</td><td>222.60</td><td>-4.20×10<sup>-1</sup></td><td>295.73</td><td>-1.42×10<sup>0</sup></td><td>411.20</td><td>-2.13×10<sup>0</sup></td><td>521.42</td><td>-2.99×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>95.14</td><td>0.099</td><td>220.37</td><td>-1.02×10<sup>0</sup></td><td>290.65</td><td>-1.58×10<sup>0</sup></td><td>403.28</td><td>-2.54×10<sup>0</sup></td><td>509.63</td><td>-4.74×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>97.94</td><td>0.073</td><td>216.28</td><td>-1.94×10<sup>0</sup></td><td>285.40</td><td>-2.44×10<sup>0</sup></td><td>394.76</td><td>-3.96×10<sup>0</sup></td><td>493.02</td><td>-6.72×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>100.12</td><td>0.054</td><td>211.15</td><td>-2.78×10<sup>0</sup></td><td>278.37</td><td>-4.14×10<sup>0</sup></td><td>384.42</td><td>-5.26×10<sup>0</sup></td><td>477.67</td><td>-7.38×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>101.71</td><td>0.041</td><td>206.07</td><td>-3.73×10<sup>0</sup></td><td>270.90</td><td>-5.05×10<sup>0</sup></td><td>374.95</td><td>-7.15×10<sup>0</sup></td><td>464.70</td><td>-9.44×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>103.17</td><td>0.030</td><td>199.90</td><td>-5.07×10<sup>0</sup></td><td>263.39</td><td>-5.25×10<sup>0</sup></td><td>364.33</td><td>-8.03×10<sup>0</sup></td><td>448.51</td><td>-1.18×10<sup>1</sup></td></tr><tr><td>104.28</td><td>0.022</td><td>194.28</td><td>-1.14×10<sup>1</sup></td><td>257.56</td><td>-1.26×10<sup>1</sup></td><td>355.42</td><td>-1.84×10<sup>1</sup></td><td>435.44</td><td>-2.54×10<sup>1</sup></td></tr><tr><td>106.49</td><td>0.005</td><td>169.15</td><td>-3.61×10<sup>1</sup></td><td>229.80</td><td>-5.69×10<sup>1</sup></td><td>314.73</td><td>-9.11×10<sup>1</sup></td><td>379.31</td><td>-1.37×10<sup>2</sup></td></tr><tr><td>107.23</td><td>0.000</td><td>142.43</td><td>-6.72×10<sup>1</sup></td><td>187.68</td><td>-1.20×10<sup>2</sup></td><td>247.34</td><td>-3.05×10<sup>2</sup></td><td>278.22</td><td>-2.64×10<sup>2</sup></td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th rowspan="2">âge<br>(Ma)</th><th rowspan="2">Y<sub>c</sub></th><th colspan="2">g<sub>3,5</sub></th><th colspan="2">g<sub>3,6</sub></th><th colspan="2">g<sub>1,4</sub></th><th colspan="2">g<sub>2,4</sub></th></tr><tr><th>P<br>(s)</th><th>dot<br>(s/Ma)</th><th>P<br>(s)</th><th>dot<br>(s/Ma)</th><th>P<br>(s)</th><th>dot<br>(s/Ma)</th><th>P<br>(s)</th><th>dot<br>(s/Ma)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1.79</td><td>0.928</td><td>535.15</td><td>-1.17×10<sup>0</sup></td><td>620.73</td><td>-4.31×10<sup>0</sup></td><td>1162.35</td><td>-6.38×10<sup>0</sup></td><td>686.22</td><td>-3.51×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>12.06</td><td>0.811</td><td>529.36</td><td>+6.41×10<sup>-1</sup></td><td>590.81</td><td>-1.17×10<sup>-1</sup></td><td>1119.83</td><td>+3.42×10<sup>-1</sup></td><td>662.37</td><td>+4.43×10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>18.98</td><td>0.750</td><td>539.15</td><td>+1.75×10<sup>0</sup></td><td>601.28</td><td>+1.95×10<sup>0</sup></td><td>1139.67</td><td>+3.39×10<sup>0</sup></td><td>672.10</td><td>+1.74×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>21.73</td><td>0.727</td><td>544.02</td><td>+1.86×10<sup>0</sup></td><td>606.13</td><td>+1.70×10<sup>0</sup></td><td>1147.70</td><td>+2.58×10<sup>0</sup></td><td>676.27</td><td>+1.35×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>28.83</td><td>0.673</td><td>558.73</td><td>+2.08×10<sup>0</sup></td><td>618.80</td><td>+1.83×10<sup>0</sup></td><td>1164.61</td><td>+2.52×10<sup>0</sup></td><td>685.17</td><td>+1.37×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>46.87</td><td>0.537</td><td>589.18</td><td>+1.43×10<sup>0</sup></td><td>649.50</td><td>+1.43×10<sup>0</sup></td><td>1217.30</td><td>+2.52×10<sup>0</sup></td><td>715.57</td><td>+1.48×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>61.90</td><td>0.418</td><td>610.41</td><td>+1.49×10<sup>0</sup></td><td>668.64</td><td>+1.29×10<sup>0</sup></td><td>1248.31</td><td>+2.16×10<sup>0</sup></td><td>733.89</td><td>+1.31×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>73.01</td><td>0.317</td><td>624.52</td><td>+7.17×10<sup>-1</sup></td><td>679.84</td><td>+3.11×10<sup>-1</sup></td><td>1266.22</td><td>+2.09×10<sup>-2</sup></td><td>745.14</td><td>+9.52×10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>81.14</td><td>0.236</td><td>625.99</td><td>-2.41×10<sup>-1</sup></td><td>670.66</td><td>-3.19×10<sup>0</sup></td><td>1257.32</td><td>-1.40×10<sup>0</sup></td><td>740.89</td><td>-6.33×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>87.19</td><td>0.175</td><td>613.93</td><td>-5.27×10<sup>0</sup></td><td>645.68</td><td>-4.01×10<sup>0</sup></td><td>1239.91</td><td>-6.20×10<sup>0</sup></td><td>732.79</td><td>-3.04×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>91.79</td><td>0.129</td><td>584.94</td><td>-4.72×10<sup>0</sup></td><td>630.81</td><td>-2.57×10<sup>0</sup></td><td>1203.01</td><td>-7.74×10<sup>0</sup></td><td>713.68</td><td>-4.32×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>95.14</td><td>0.099</td><td>570.47</td><td>-6.57×10<sup>0</sup></td><td>621.49</td><td>-3.60×10<sup>0</sup></td><td>1173.18</td><td>-1.30×10<sup>1</sup></td><td>696.78</td><td>-7.07×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>97.94</td><td>0.073</td><td>547.52</td><td>-7.34×10<sup>0</sup></td><td>608.41</td><td>-5.63×10<sup>0</sup></td><td>1128.10</td><td>-1.65×10<sup>1</sup></td><td>672.14</td><td>-9.48×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>100.12</td><td>0.054</td><td>532.44</td><td>-8.68×10<sup>0</sup></td><td>594.06</td><td>-7.82×10<sup>0</sup></td><td>1092.71</td><td>-1.75×10<sup>1</sup></td><td>651.07</td><td>-1.03×10<sup>1</sup></td></tr><tr><td>101.71</td><td>0.041</td><td>514.47</td><td>-1.37×10<sup>1</sup></td><td>578.87</td><td>-1.19×10<sup>1</sup></td><td>1059.99</td><td>-2.46×10<sup>1</sup></td><td>632.56</td><td>-1.35×10<sup>1</sup></td></tr><tr><td>103.17</td><td>0.030</td><td>496.86</td><td>-1.06×10<sup>1</sup></td><td>562.39</td><td>-1.23×10<sup>1</sup></td><td>1021.33</td><td>-2.61×10<sup>1</sup></td><td>609.99</td><td>-1.58×10<sup>1</sup></td></tr><tr><td>104.28</td><td>0.022</td><td>485.14</td><td>-2.52×10<sup>1</sup></td><td>548.76</td><td>-2.86×10<sup>1</sup></td><td>992.40</td><td>-6.10×10<sup>1</sup></td><td>592.41</td><td>-3.54×10<sup>1</sup></td></tr><tr><td>106.49</td><td>0.005</td><td>429.47</td><td>-1.21×10<sup>2</sup></td><td>485.62</td><td>-1.32×10<sup>2</sup></td><td>857.59</td><td>-3.29×10<sup>2</sup></td><td>514.09</td><td>-1.93×10<sup>2</sup></td></tr><tr><td>107.23</td><td>0.000</td><td>340.12</td><td>-4.99×10<sup>2</sup></td><td>387.69</td><td>-5.38×10<sup>2</sup></td><td>614.25</td><td>-8.17×10<sup>2</sup></td><td>371.33</td><td>-3.91×10<sup>2</sup></td></tr></tbody></table>
la série *l* = 3 afin de couvrir l'ensemble des caractéristiques des modes *g* (modes piégés et confinés). Deux autres modes d'indice *k* fixé (*k* = 4) avec respectivement *l* = 1 et *l* = 2 complètent les tableaux.

En raison du phénomène de piégeage, très important pour les ondes de gravité, ces modes sont sensibles à différentes régions des modèles. Dans ces conditions, plusieurs modes appartenant à un même spectre peuvent réagir de manières très diverses face au processus d'évolution de l'étoile. Le tableau 3.8 montre clairement, à travers les modes du spectre *l* = 3, cette diversité de comportement. Durant la première phase évolutive et pour un même modèle, certains modes voient leurs périodes diminuer (*P* < 0) alors que pour d'autres, elles augmentent (*P* > 0). Par contraste et bien que des fluctuations persistent, la seconde phase dicte une évolution générale – par une baisse marquée et accélérée des périodes (*P* < 0 et |*P*| augmente) – identique pour tous les modes *g* en raison de la hausse de la gravité de surface et surtout de la température effective. A ce sujet, on notera à nouveau que la seconde phase survient légèrement plus tôt pour les modes *g* que pour les modes *p* en raison de leur grande sensibilité à *T*<sub>eff</sub> dont le point d'inflexion est situé avant celui de log *g* sur les séquences.

Physiquement, deux – peut-être trois – phénomènes sont en compétition pour contrôler le comportement des modes *g*. Les lents réajustements structurels qui, tout au long de l'évolution, se reflètent sur la gravité de surface et la température effective des modèles sont, sans équivoque, des acteurs privilégiés de la modification des périodes. Un élément concurrent essentiel se manifeste toutefois à travers la formation progressive d'une région de transition chimique entre le noyau convectif central, s'enrichissant en carbone/oxygène, et les couches du manteau d'hélium, nucléairement inactives. Un troisième acteur potentiel, à l'influence mal définie mais probablement assez faible, est associé aux déplacements de la frontière du noyau convectif qui agit principalement comme un mur sur lequel les modes de gravité se réfléchissent. Ainsi, selon qu'un mode donné soit piégé ou confiné, il sera plus ou moins sensible aux différentes régions de l'étoile dans lesquels ces divers phénomènes opèrent, donnant lieu à toutes sortes de comportements différents.

En raison des nombreuses et importantes fluctuations survenant dans les taux de changement des périodes, il est difficile d'établir, comme ce fut possible de le faire pour les modes *p*, une relation générale simple avec les quantités physiques des modèles. En regardant néanmoins les modes disposant d'un même ordre radial *k* pour *l* = 1, 2 et 3 (modes *g*<sub>1,4</sub>, *g*<sub>2,4</sub> et *g*<sub>3,4</sub> dans le tableau 3.8), qui sont approximativement dans un même état de piégeage ou de confinement (c.f., section 3.2.2), on note une excellente similitude de comportement à travers l'évolution des *P*. De plus, ces modes dévoilent deux caractéristiques que l'on retrouve chez les modes *p*: les valeurs des taux de changement des périodes diminuent avec celles-ci lorsque l'indice *l* augmente et la quantité *P*/*P* qui leur est associée est approximativement constante pour un modèle donné.

## Spectre des modes g à travers dP/dt

Une vision d'ensemble des comportements du spectre des modes *g* est plus facilement accessible à travers l'inspection de modèles représentatifs de chacune des phases importantes que subissent les modes de pulsation au cours de la vie d'une étoile sur la EHB. Aussi, comme auparavant pour les modes acoustiques (figures 3.53 et 3.54), deux modèles types associés aux deux principales phases évolutives reconnues sont présentées dans les figures 3.57 et 3.58 pour chacune des 7 séquences. Les spectres des modes *g* pour *l* = 1, 2, 3 et *k* = 1 à 30 sont illustrés en terme de la quantité relative *P*/*P*
(pour éliminer les effets induits sur les taux de changement par différentes valeurs des périodes) en fonction de la période réduite $P[l(l+1)]^{1/2}$ des modes. Cette dernière quantité s'avère d'un usage préférable compte tenu des propriétés asymptotiques particulières des modes g (c.f., section 3.2.2). Les mêmes modèles utilisés dans la section précédente pour l'étude des modes p ont été choisis afin de permettre, au besoin, une comparaison directe avec les figures 3.53 et 3.54.

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>Figure 3.57: $\dot{P}_k/P_k$ en fonction de la période réduite $P_k\sqrt{l(l+1)}$ pour les modes g (avec $l=1, 2, 3$ et $k=1$ à 30) appartenant à deux modèles représentatifs, pour chaque séquence, des deux phases évolutives reconnues qui caractérisent l'évolution des périodes (le numéro du modèle dans la séquence est indiqué dans chaque panneau).</figcaption></figure>
<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>Figure 3.58: $\dot{P}_k/P_k$ en fonction de $P_k$ pour les modes g (suite de la figure 3.57).</figcaption></figure>

En première remarque, notons pour chaque modèle l'excellente correspondance (ou superposition) entre les trois spectres de modes g d'indices angulaires *l* différents. En accord avec les prédictions de la théorie asymptotique (c.f., Annexe B), les périodes réduites des modes de même indice radial *k* sont pratiquement identiques et leur état de piégeage ou de confinement sont similaires comme le confirme la correspondance des valeurs des $\dot{P}/P$. Ajoutons que les prédictions de la théorie asympto-
tique sont, comme il se doit, d'autant mieux respectées que l'ordre radial des modes est élevé (longues périodes). D'importantes déviances se manifestent parfois pour les premiers modes (périodes courtes) qui, par ailleurs, ont tendance à s'accentuer dans les séquences dotées d'enveloppes plus massives. Rien toutefois de surprenant dans ces divergences dans la mesure où la théorie asymptotique n'est pas adaptée aux modes de faible ordre radial et que les phénomènes de collisions font leur apparition dans les séquences plus massives.

La forme générale des spectres à travers la quantité $\dot{P}/P$ se montre, comme attendu, extrêmement découpée par l'alternance de pics et de creux prononcés intervenant à intervalles presque réguliers. Pour les modèles situés dans la première phase évolutive, ces alternances conduisent très souvent, et contrairement à ce que l'on observe pour les modes acoustiques, à des variations de signes dans les taux de changement des périodes d'un mode à l'autre du spectre. Le lien avec les phénomènes de piégeage devient manifeste si l'on regarde, par exemple, le modèle #7 de la séquences $M = 0.4758 + 0.0002 M_⊙$. Puisque celui-ci fut notre structure de référence dans la section 3.2, il est possible de comparer les résultats sur les quantités $\dot{P}/P$ avec les structures de piégeage illustrées, pour les mêmes modes, dans les figures 3.1 et 3.2. On remarque ainsi que les modes piégés ($k=5, 14, 20$ et $26$) correspondent aux pics dans la figure 3.57, leurs périodes augmentant avec l'âge des modèles. Inversement, les modes dits confinés, avec en particulier le mode $k=10$ que l'on avait qualifié de mode doublement confiné conjointement par les transitions He/H et C-O/He, sont associés aux creux dans la structure en $\dot{P}/P$ du spectre, conduisant parfois à des taux de changement négatifs pour leurs périodes. La correspondance devient encore plus marquée en notant, pour le modèle de référence, que l'espacement typique entre les pics (par exemple ceux situés vers 7000 s et 9000 s respectivement) correspond à $\Delta k = 6$ et $\Delta P[l(l+1)]^{1/2} \simeq 2000$s, comme dans les figures 3.1 et 3.2, et que les structures se condensent ($\Delta k$ et $\Delta P$ deviennent plus petits) à mesure que la masse de l'enveloppe augmente; une enveloppe plus massive correspondant à une hausse du paramètre $\log q(H)$ dont les effets, illustrés par la figure 3.41 de la section 3.4, concordent avec ce que l'on observe. Remarquons, pour finir, que les modèles en seconde phase évolutive montrent des structures de $\dot{P}/P$ identiques à celles de leurs homologues de la première phase. Cependant, pour ces modèles, l'ensemble du spectre est décalé vers des taux de changement des périodes négatifs induits par la contraction et le réchauffement rapide de l'étoile.

L'interprétation physique de l'origine de ces structures rejoint parfaitement les commentaires apportés au cours de la section 3.5.2 sur l'évolution des périodes le long d'une séquence évolutive (figures 3.50, 3.51 et 3.52). Elles seraient la résultante de deux tendances antagonistes dont l'influence respective sur les modes dépendrait de leur état de piégeage ou de confinement. Ainsi, aux effets principaux et globaux de l'évolution séculaire de la température effective et de la gravité de surface qui tendent à accroître les périodes ($\dot{P}/P > 0$) durant la première phase évolutive, vient s'opposer l'influence d'une interface chimique en formation entre le noyau central enrichi en C-O et le manteau riche en hélium qui tend, au contraire, à raccourcir les périodes ($\dot{P}/P < 0$). Le comportement global de chaque mode sera donc dicté par l'importance relative de l'une ou l'autre de ces contributions sur sa période. Si tous les modes $g$ subissent l'influence des changements dans $\log g$ et $T_{\text{eff}}$ de manière quasi-identique indépendamment de leur état de piégeage, ils sont différemment affectés par la transition C-O/He. Les modes piégés, aux amplitudes plus faibles dans les régions centrales, sont moins sensibles à cet effet que les modes confinés, beaucoup plus profonds. Aussi, n'est-il pas surprenant de constater, durant la première phase, que l'influence de la transition C-O/He domine l'évolution des périodes de ces derniers ($\dot{P}/P < 0$) alors que l'effet de $\log g$ et $T_{\text{eff}}$ domine l'évolution des modes piégés ($\dot{P}/P > 0$).
Une expérience très instructive met encore davantage en valeur l'existence de ces mécanismes qui régissent l'évolution des périodes des modes de gravité. La figure 3.59 illustre, pour les deux modèles de la séquence $M=0.4758+0.0002 M_\odot$ artificiellement modifiée en imposant une valeur nulle au terme de Ledoux dans la région de la transition chimique C-O/He, la quantité $\dot{P}/P$ pour l'ensemble des modes g avec $l=1, 2, 3$ et $k=1$ à 30 en fonction des périodes réduites respectives. L'échelle de la figure a été volontairement conservée pour permettre une comparaison directe avec le panneau de la séquence correspondante dans la figure 3.57. L'effet attendu pour cette expérience, si notre interprétation est correcte, sera d'inhiber le rôle joué par la transition C-O/He sur l'évolution des périodes et donc de détruire la structure en "dents de scie" observée dans la quantité $\dot{P}/P$.

<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>Figure 3.59: $\dot{P}_k/P_k$ pour les spectres des modes g ($l=1, 2, 3$ et $k=1$ à 30) de deux modèles issus de la séquence $M=0.4758+0.0002 M_\odot$ artificiellement modifiée en imposant $B=0$ dans la région de la transition chimique C-O/He.</figcaption></figure>

Les résultats de la figure 3.59 correspondent parfaitement à notre attente: l'unique influence persistante associée aux variations de température effective et de gravité de surface des modèles étant de nature globale, les modes évoluent principalement suivant le même taux relatif de changement des périodes, quel que soit leur état de piégeage. Toutefois, l'influence de la transition C-O/He n'étant pas complètement éliminée des modèles (elle se manifeste à travers d'autres quantités physiques), on notera la présence de pics résiduels survenant à intervalles réguliers qui sont associés aux modes piégés.
Taux moyens d'évolution des périodes

Pour les modes de gravité, les fluctuations dans les taux relatifs de changement des périodes sont telles que définir une valeur moyenne pour cette quantité peut sembler présomptueux. Il sera certes extrêmement ardu, en moyennant les $\dot{P}/P$ sur l'ensemble des modes du spectre, d'extraire une relation quantitative claire avec les temps évolutifs typiques qui rythment, via les taux de réactions nucléaires, le vieillissement de ces étoiles. Parce que l'évolution des périodes des modes g résulte principalement, au moins durant la phase d'expansion des modèles, de la compétition entre deux processus aux effets contraires possédant une composante individuelle (chaque mode subit différemment l'un et l'autre de ces processus) et une composante globale (le spectre dans son ensemble est affecté), une quantité intégrée sur la totalité du spectre (moyenne) permet néanmoins, en diluant les fluctuations, d'extraire à différents stades évolutifs l'importance relative de chacune des influences sur les comportements généraux des périodes.

<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>Figure 3.60: Taux relatifs moyens de changement des périodes pour les modes g ($l=2$) en fonction de l'âge des modèles pour chacune des 7 séquences évolutives. La valeur moyenne est calculée sur les 30 premiers modes de la série.</figcaption></figure>

Un aperçu sur ces tendances générales de l'évolution des modes g pouvant s'avérer utile, une valeur moyenne $\langle \dot{P}_k/P_k \rangle$ a été calculée pour chaque modèle le long de chaque séquence à partir des 30 premiers modes g de la série $l=2$ (les résultats sont similaires avec $l=1$ ou $l=3$). Les quantités $\langle \dot{P}_k/P_k \rangle$ en fonction de l'âge sont disponibles, pour les 7 séquences évolutives, dans la figure 3.60.
<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>Figure 3.61: Taux relatifs moyens de changement des périodes pour les modes g en fonction de la gravité de surface et de la température effective des modèles pour chacune des 7 séquences évolutives. La valeur moyenne est calculée à partir des 30 premiers modes de la série l=2.</figcaption></figure>
Les valeurs obtenues ($|\langle \dot{P}_k / P_k \rangle| \simeq 10^{-3} - 10^{-2} \text{ Ma}^{-1}$ durant la première phase) sont cohérentes, en ordre de grandeur, avec les temps évolutifs typiques des sdB ($\sim 10^8$ années). En dépit des fluctuations survenant d'un modèle à l'autre sur les séquences, cette quantité suggère clairement l'existence de diverses tendances générales ponctuant l'évolution des périodes des modes g. De la ZAEHB à $t \simeq 20$ millions d'années, on observe une augmentation globale significative des taux de changement des périodes. Il est fort probable que nous assistions, durant cette courte période, à la mise en place de la discontinuité chimique à la frontière du noyau convectif. Inexistante dans les modèles de la ZAEHB, les premiers temps de sa formation constituent certainement un changement majeur pour les modes de gravité contribuant à raccourcir de manière appréciable leurs périodes, d'où les plus faibles valeurs de $\langle \dot{P}_k / P_k \rangle$. Une fois la transition chimique établie, les effets de l'accroissement du contraste entre les régions centrales riches en C-O et le manteau d'hélium, bien qu'ils affectent les périodes des modes g toujours de la même façon (tendance à la baisse), faiblissent relativement à l'influence globale de l'évolution des paramètres physiques comme la température effective et la gravité de surface. Les taux relatifs moyens de changement des périodes deviennent alors plus élevés conformément à ce que l'on observe.

Passé 20 millions d'années, la lente expansion de l'étoile (le rayon augmente alors que $\log g$ et $T_{\text{eff}}$ diminuent) devient le régime dominant dans l'évolution globale des périodes, imposant des valeurs positives à $\langle \dot{P}_k / P_k \rangle$. Les valeurs des taux de changement des périodes tendent néanmoins à diminuer avec l'âge en raison du ralentissement précédant l'inversion de l'expansion de l'étoile. Vers 60 millions d'années environ, la température effective des modèles commence à augmenter et les périodes des modes g, très sensibles aux variations de $T_{\text{eff}}$, sont forcées à diminuer ($\langle \dot{P}_k / P_k \rangle < 0$). Aux alentours de 85 millions d'années, alors que l'étoile commence à se contracter, c'est au tour de la gravité de surface d'entrer en régime de croissance et d'amplifier encore davantage la baisse globale des périodes. Elle se poursuivra jusqu'au début de l'évolution post-EHB caractérisée par l'ignition des processus de fusion nucléaire de l'hélium en couches.

La figure 3.61 présente les 7 séquences évolutives à travers le taux relatif moyen de changement des périodes pour les modes g ($l=2$) en fonction des quantités observables que sont la température effective et la gravité de surface des étoiles. A l'avenir, on pourra, le cas échéant, superposer sur ces diagrammes théoriques des mesures observationnelles directes des taux de changement des périodes associés à d'éventuels modes g excités dans les sdB.

### 3.5.5 Principaux résultats à retenir

Dans cette section, nous avons abordé les principaux aspects relatifs au couplage entre l'évolution des étoiles sous-naines de type B et l'évolution des périodes des modes d'oscillation. Les 7 séquences évolutives à notre disposition, couvrant une grande part du plan $\log g - T_{\text{eff}}$ où l'on observe ces objets, ont permis d'évaluer la dépendance d'un large éventail de modes p, f et g envers l'âge des modèles. Les taux de changement des périodes – des quantités à priori observables – ont ainsi été calculés pour divers stades de la vie d'une sdB. Ils sont le reflet complexe de multiples tendances, aux effets parfois antagonistes, induites par les réajustements structurels de différentes régions de l'étoile rythmés par les taux de brûlage nucléaire. Parce que l'influence, sur les périodes de pulsation, de l'évolution séculaire des modèles est de nature indirecte et parfois originaire de plusieurs sources agissant de concert ou concurement, une relation quantitative directe et non-ambigüe liant les taux de réactions
nucléaires de la chaine triple-α aux taux de changement des périodes semble difficile à établir. Il existe néanmoins plusieurs aspects intéressants ressortant de l'évolution des périodes des modes d'oscillation qu'il convient de souligner.

Les modes acoustiques sont manifestement ceux qui réagissent le plus simplement à l'évolution des modèles. Leur comportement, essentiellement dicté par le seul mécanisme d'évolution de la gravité de surface le long des séquences, peut se décrire en terme de deux grandes phases principales clairement définies. La première phase, entre la ZAEHB ($t=0$) et 90 millions d'années environ, est caractérisée par la hausse systématique des périodes ($\dot{P} > 0$) pour l'ensemble des modes p, à l'exception de quelques modes de faible ordre radial $k$ sujets, dans certaines séquences, aux phénomènes de collisions avec les modes g. La seconde phase, de 90 millions d'années jusqu'au commencement de l'évolution post-EHB (environ 110 millions d'années après la ZAEHB), correspond à une baisse rapide et accélérée des périodes ($\dot{P} < 0$) pour tous les modes p sans exception. Physiquement, ces deux phases évolutives sont clairement identifiées respectivement à la période d'expansion des modèles, caractérisant les premiers temps de l'évolution des étoiles sur la EHB, et à la période de contraction qui lui succède, lorsque le combustible d'hélium commence à manquer dans les régions centrales. A supposer que certaines étoiles sous-naines de type B vibrent dans le spectre acoustique, les mesures des taux de changement des périodes devraient permettre d'établir sans ambiguïté, par le signe des variations, dans laquelle des deux phases se situe un objet en particulier. Durant la première phase, la valeur moyenne des taux relatifs de changement des périodes semblent dépendre légèrement de la masse de l'enveloppe des modèles (à masse du cœur constante), les séquences plus massives présentant les taux les plus élevés. Ces quantités dépendent aussi de la masse du noyau de l'étoile qui fixe le rythme auquel les régions centrales transforment l'hélium en carbone/oxygène. Dans la mesure où les séquences avec des cœurs moins massifs brûlent l'hélium légèrement plus lentement, on peut s'attendre à des taux relatifs de changement des périodes un peu plus faibles pour ces dernières. Néanmoins, la relation quantitative entre les taux de changement des périodes et les temps caractéristiques des divers ajustements structurels demeure loin d'être clairement établie puisque les $\dot{P}/P$ dépendent aussi de l'âge des modèles, un paramètre difficile à contraindre par les observations.

Les comportements des modes de gravité au cours de l'évolution se révèlent beaucoup plus complexes en raison de la triple (voire quadruple) dépendance de leur période envers la température effective, la gravité de surface et la formation de la discontinuité chimique entre le cœur convectif riche en C-O et le manteau en hélium (et, éventuellement, envers les déplacements de la zone convective centrale). Malgré cette complexité, les deux phases principales définies pour les modes p sont également présentes dans l'évolution des modes g à quelques nuances près et avec l'ajout d'une phase supplémentaire. Ainsi, de la ZAEHB jusqu'à 60 millions d'années environ, les taux de changement des périodes sont globalement positifs (bien qu'ils puissent être négatifs pour certains modes). De 60 à 90 millions d'années, les périodes diminuent ($\dot{P} < 0$) en raison de l'inversion qui survient dans l'évolution de la température effective des modèles (cette phase n'apparaît pas pour les modes p insensibles à $T_{eff}$). Finalement, à partir de 90 millions d'années et jusqu'à l'allumage de l'hélium en couche, la baisse des périodes s'accentue encore davantage en raison de la contraction accélérée de l'étoile (log g et $T_{eff}$ augmentent de plus en plus vite). Si une hypothétique sdB pulsante nous dévoilait un spectre de pulsation constitué de modes g et en supposant que le nombre de modes soit suffisant pour écarter, autant que possible, les fluctuations individuelles causées par le phénomène de piégeage, il devrait être possible de spécifier dans laquelle des trois phases évolutives se trouve cette étoile. Au delà de
cette information, le lien quantitatif entre d'éventuelles valeurs observées et les temps caractéristiques associés aux divers mécanismes qui modifient les périodes des modes g semble particulièrement difficile à extraire.

## 3.6 Synthèse et perspectives

Au cours de ce chapitre, nous avons mené un vaste programme de calculs numériques à l'aide du code adiabatique dans le but d'explorer en détails les propriétés mécaniques des modes de pulsations radiales et non-radiales dans les étoiles sous-naines de type B. L'approximation adiabatique, bien qu'elle ne permette pas de statuer sur la stabilité intrinsèque des modes d'oscillation, donne de très bons résultats pour la détermination de la structure et des périodes de pulsation. Les calculs furent menés conjointement sur des structures évolutives et des modèles statiques d'enveloppes couvrant la totalité du plan log g-T<sub>eff</sub> où ces étoiles sont effectivement observées. L'exploration fut d'abord orientée sur la structure des spectres des modes acoustiques et des ondes de gravité dans un modèle évolutif de référence (section 3.2). Après quoi, une comparaison des résultats entre les modèles d'enveloppes, à priori moins réalistes mais d'utilisation plus aisée, et les modèles évolutifs fut entreprise (section 3.3) afin de cerner les limites de l'utilisation alternative des structures statiques pour l'étude des modes d'oscillation. Suite à cela, les modèles d'enveloppes furent utilisés pour l'importante exploration des effets engendrés sur les modes de pulsation par les variations des différents paramètres physiques qui définissent un modèle. Enfin, le couplage entre évolution et pulsations fut abordé en détails dans la section 3.5, complétant ce large tour d'horizon sur les propriétés sismiques des sdB.

Une grande quantité de résultats intéressants ont vu le jour suite à cette exploration. Certains d'entre eux, par nature inobservables, ne dépasseront probablement jamais le cadre d'une simple connaissance académique. D'autres en revanche, d'un intérêt particulier dans le contexte de l'astéro-séismologie, pourront éventuellement être confrontés à l'observation afin de sonder véritablement la structure de ces étoiles. Aussi, pour opérer un tri parmi cet ensemble de résultats théoriques, est-il nécessaire de rappeler succinctement quels sont les plus importants d'entre eux, aussi bien pour d'éventuelles études astéroséismologiques menées dans le future que pour la suite de ce projet, à travers la liste suivante:

• 1- Selon les calculs adiabatiques, dans la fenêtre de périodes la plus aisément accessible avec les techniques actuelles de photométrie rapide, entre 80 et 1500 secondes, cohabitent à la fois des modes p, des modes f et des modes g. Le spectre des pulsations est donc particulièrement riche et diversifié pour ces étoiles.

• 2- Les périodes des modes dépendent des paramètres stellaires qui caractérisent les modèles. Ainsi, les modes acoustiques montrent une très forte sensibilité vis-à-vis de la gravité de surface des étoiles ($P \sim 10^{-0.8 \log g}$). Les modes g sont, quant à eux, sensibles aussi bien à la gravité de surface qu'à la température effective (P augmente lorsque $T_{eff}$ diminue mais la dépendance sur log g n'est pas toujours monotone; c.f., section 3.4). La masse totale de l'étoile influence aussi, à une échelle moindre, les périodes des modes p, f et g; celles-ci diminuant légèrement avec elle.
* 3- Il existe pour ces étoiles un phénomène de piégeage des modes engendré, comme dans les naines blanches, par la stratification des éléments chimiques qui se manifeste notamment à travers les périodes de pulsation. Les modes g sont particulièrement sensibles à ce phénomène mais également, dans une moindre mesure, les modes p pour lesquels on parlera plutôt de micro-piégeage. Ces derniers étant avant tout – et contrairement aux ondes de gravité – des modes d'enveloppe, les perturbations causées par les transitions chimiques situées plus profondément dans l'étoile ne les affectent que faiblement. On retiendra néanmoins, pour une éventuelle étude astéroséismologique, que les structures de piégeage et de micro-piégeage dépendent directement de l'épaisseur – et donc de la masse – de l'enveloppe riche en hydrogène qui caractérise une étoile sur la EHB.

* 4- Les mesures des taux de changement des périodes, principalement pour les modes acoustiques, devraient permettre d'identifier la phase évolutives, d'expansion ou de contraction, dans laquelle se situe une étoile particulière. Eventuellement, d'utiles informations pourraient être obtenues sur les temps caractéristiques liés à l'évolution de ces objets (taux des réactions nucléaires pour la chaîne triple-α, vitesses de contraction des modèles, ...).

* 5- Enfin, il a été montré que l'usage de modèles statiques d'enveloppes est, dans bien des situations, parfaitement adapté pour étudier les pulsations dans ces étoiles. Ces structures reproduisent particulièrement bien les périodes des modes acoustiques (les écarts avec les modèles évolutifs équivalents sont souvent inférieurs à 1%) et l'on peut certainement envisager de les utiliser pour faire de l'astéroséismologie à partir d'observations de modes p dans les sdB, le cas échéant.

Cette étude adiabatique aura permis de comprendre un peu mieux quels sont les caractéristiques et les comportements des modes de pulsation dans ces étoiles; un atout indispensable pour poursuivre l'évaluation du potentiel de l'astéroséismologie pour les sdB. Nous avons plusieurs fois mentionné l'éventualité d'une confrontation des résultats théoriques avec des mesures observationnelles de périodes dans le but de procéder à une étude astéroséimologique de ces étoiles. Encore faudrait-il, pour cela, qu'existent de véritables sdB pulsantes en mesure de nous montrer quelques uns de leurs modes; sans quoi, tous ces résultats n'auront guère d'autre application que de satisfaire la curiosité des théoriciens des pulsations stellaires.

Au commencement de ce projet, aucune sdB pulsante n'avait été signalée dans le ciel; ce qui, bien entendu, n'excluait pas outre mesure leur existence puisqu'aucun effort particulier pour en trouver n'avait, à notre connaissance, été accompli. Tout le potentiel de l'astéroséismologie pour les sdB était donc subordonné à la découverte de véritables sdB pulsantes ou bien à l'identification, sur des bases purement théoriques, d'un mécanisme en mesure de les faire vibrer. Dans la continuité de cette approche théorique, nous avons donc tenté d'évaluer, comme cela est maintenant documenté dans les chapitres qui vont suivre, si oui ou non les étoiles sous-naines de type B sont en mesure de développer des instabilités pouvant conduire à des pulsations observables. Les outils numériques à notre disposition et les informations accumulées au cours de ce chapitre ont constitué des atouts indéniables pour y parvenir.
<figure><img src="image_82.png" /></figure>
# Chapitre 4

## Etude Non-Adiabatique
Stabilité des Modes de Pulsation

### 4.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous allons concentrer nos efforts sur l'évaluation de la stabilité des modes de pulsation dans les étoiles sous-naines de type B. L'objectif sera d'identifier un mécanisme d'excitation, notamment parmi ceux déjà pressentis au Chapitre 2, dont la puissance pourrait, le cas échéant, s'avérer suffisante pour provoquer des vibrations dans ces étoiles. En l'absence d'évidences observationnelles tangibles trahissant l'existence de telles vibrations, comme c'était encore le cas au commencement de ce projet, cette approche constituait l'unique façon permettant de statuer réellement sur le potentiel que peut présenter l'astéroséismologie pour ces objets.

Jusqu'à présent, les propriétés des oscillations ont été explorées avec les seuls outils de la théorie des pulsations stellaires dans l'approximation adiabatique. Celle-ci, comme nous pourrons le vérifier au cours de ce chapitre, permet d'obtenir avec une excellente précision l'ensemble des quantités habituellement recherchées dans le contexte de l'astéroséismologie. Elle ne délivre, en revanche, aucune information sur l'évolution de l'amplitude des modes au cours du temps (stabilité ou instabilité). Parce que les pulsations sont artificiellement découpées du bain thermique (aucun échange d'énergie thermique avec le gaz n'est permis), les modes oscillent continuellement avec la même amplitude. Il n'existe donc pas de phénomène d'amortissement ou d'amplification des vibrations dans le cadre de la théorie des oscillations adiabatiques. Pour répondre aux questions de stabilité, il n'y a alors pas d'autre alternative que d'attaquer le problème de front, directement à partir de la théorie complète des pulsations non-adiabatiques par laquelle les échanges d'énergie sont pris en compte. Le traitement numérique des modèles devient plus lourd mais c'est un passage incontournable pour la suite du projet.
La première étape (section 4.2) consistera à entreprendre les calculs non-adiabatiques sur l'ensemble des modèles évolutifs identifiables aux sdB que nous avons à notre disposition. Le modèle de référence utilisé à plusieurs reprises aux cours des Chapitres 2 et 3 sera repris pour illustrer les résultats de cette exploration numérique.

Suite aux indices révélés par les structures évolutives, l'investigation se poursuivra à travers plusieurs grilles de modèles d'enveloppes spécialement adaptés pour évaluer l'efficacité d'un mécanisme d'excitation au potentiel intéressant (section 4.3).

Les résultats seront alors discutés parallèlement à certaines caractéristiques propres aux sdB afin de trancher sur la question si, oui ou non, une fraction de ces objets peut théoriquement constituer une nouvelle classe d'étoiles pulsantes. Une confrontation des prédicitions théoriques avec les récentes observations dans ce domaine permettront de cerner les atouts, mais aussi les limites, des modèles numériques, dits de “première génération”, utilisés dans ce Chapitre (section 4.4).

La section 4.5 sera consacrée à un bref résumé des résultats non-adiabatiques obtenus avec ces modèles. Elle sera également l'occasion de dresser une ébauche sur les voies de recherche dans lesquelles s'engager pour franchir une étape supplémentaire.

## 4.2 Stabilité des modèles évolutifs

Les 149 modèles évolutifs répartis sur les 7 séquences, et dont les paramètres atmosphériques correspondent à ceux des sdB connues, ont été soumis au calcul des pulsations non-adiabatiques à travers le code numérique décrit au Chapitre 1 (section 1.5). Il fonctionne à partir des résultats du code adiabatique, ce dernier lui fournissant les quantités initiales (“guess”) pour converger vers les solutions non-adiabatiques, généralement assez proches. Contrairement à l'étude adiabatique du Chapitre 3, le nombre d'éléments quadratiques utilisés se restreint à 160 (contre 800 dans le premier cas). En effet, si ce nombre est trop élevé (supérieur à 200, environ), le code n'est plus en mesure de converger vers les solutions recherchées. A 160 éléments, le comportement des calculs demeure généralement excellent et la résolution spatiale du maillage des modèles reste malgré tout suffisante pour que les résultats soient cohérents.

Les solutions obtenues apparaissent, encore une fois, qualitativement semblables pour tous les modèles explorés dans cette série de calculs. Nous allons donc les illustrer et les discuter à travers le modèle de référence que nous avons déjà abondamment utilisé aux Chapitres 2 et 3. Pour mémoire, ses paramètres stellaires sont $T_{\text{eff}} = 31310$ K, $\log g = 5.75$, $M = 0.4758 + 0.0002 M_{\odot}$ et son âge se situe autour de 62 millions d'années depuis la ZAEHB.

### 4.2.1 Périodes non-adiabatiques

Les quantités non-adiabatiques ont été évaluées dans la fenêtre habituelle de 80 à 1500 secondes pour les modes p, f et g correspondant aux pulsations radiales ($l=0$) et non-radiales ($l=1, 2$ et 3). La justification de ce choix de paramètres est précisée dans la section 3.2 (Chapitre 3) à laquelle on
pourra se référer. Le tableau 4.1 illustre les résultats en présentant, pour le modèle de référence et pour chaque mode situé dans cette fenêtre, les périodes adiabatiques ($P_{ad}$) et non-adiabatiques ($P_{nad}$) exprimées en secondes ainsi que la partie imaginaire de la fréquence propre non-adiabatique ($\sigma_I$ en $s^{-1}$ ou Hz).

Les périodes adiabatiques présentées dévoilent de petits écarts (quelques %) par rapport à celles proposées dans le tableau 3.1 du Chapitre 3 (section 3.2) en raison du nombre différent d'éléments quadratiques utilisés entre ces deux calculs. En revanche, la comparaison directe avec $P_{nad}$ illustre bien la très faible influence des effets non-adiabatiques dans les sdB ($\Delta P \lesssim 0.1\%$ pour les modes p; $\Delta P \lesssim 0.005\%$ pour les modes g), comme c'est généralement le cas pour la plupart des étoiles pulsantes. Elle justifie donc, a posteriori, l'usage de l'approximation adiabatique pour l'étude des propriétés

<table><caption>Tableau 4.1: Quantités non-adiabatiques pour le modèle évolutif de référence (modèle #7 de la séquence de masse $M = 0.4758 + 0.0002 M_{\odot}$). Les périodes adiabatiques ($P_{ad}$), non-adiabatiques ($P_{nad}$) ainsi que la partie imaginaire des fréquences propres ($\sigma_I$) sont disponibles pour les modes p, f et g, radiaux ($l=0$) et non-radiaux ($l=1, 2$ et 3). Le calcul a été effectué sur une base de 160 éléments quadratiques.</caption><thead><tr><th rowspan="2">k</th><th colspan="3">l = 0</th><th colspan="3">l = 1</th><th colspan="3">l = 2</th><th colspan="3">l = 3</th></tr><tr><th>P<sub>ad</sub><br>(s)</th><th>P<sub>nad</sub><br>(s)</th><th>σ<sub>I</sub><br>(s<sup>-1</sup>)</th><th>P<sub>ad</sub><br>(s)</th><th>P<sub>nad</sub><br>(s)</th><th>σ<sub>I</sub><br>(s<sup>-1</sup>)</th><th>P<sub>ad</sub><br>(s)</th><th>P<sub>nad</sub><br>(s)</th><th>σ<sub>I</sub><br>(s<sup>-1</sup>)</th><th>P<sub>ad</sub><br>(s)</th><th>P<sub>nad</sub><br>(s)</th><th>σ<sub>I</sub><br>(s<sup>-1</sup>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>7</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>82.91</td><td>83.00</td><td>1.4×10<sup>-4</sup></td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>6</td><td>88.49</td><td>88.57</td><td>1.2×10<sup>-4</sup></td><td>92.15</td><td>92.21</td><td>1.0×10<sup>-4</sup></td><td>89.21</td><td>89.29</td><td>1.2×10<sup>-4</sup></td><td>85.80</td><td>85.88</td><td>1.2×10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>97.43</td><td>97.46</td><td>4.3×10<sup>-5</sup></td><td>106.13</td><td>106.14</td><td>2.5×10<sup>-5</sup></td><td>99.02</td><td>99.04</td><td>3.5×10<sup>-5</sup></td><td>94.18</td><td>94.23</td><td>7.1×10<sup>-5</sup></td></tr><tr><td>4</td><td>111.88</td><td>111.89</td><td>2.2×10<sup>-5</sup></td><td>117.54</td><td>117.54</td><td>1.0×10<sup>-5</sup></td><td>112.64</td><td>112.65</td><td>2.0×10<sup>-5</sup></td><td>109.29</td><td>109.31</td><td>2.5×10<sup>-5</sup></td></tr><tr><td>3</td><td>129.05</td><td>129.05</td><td>2.6×10<sup>-6</sup></td><td>141.76</td><td>141.76</td><td>2.3×10<sup>-6</sup></td><td>132.78</td><td>132.78</td><td>2.5×10<sup>-6</sup></td><td>123.41</td><td>123.41</td><td>4.5×10<sup>-6</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>146.93</td><td>146.93</td><td>1.6×10<sup>-6</sup></td><td>160.23</td><td>160.23</td><td>2.2×10<sup>-7</sup></td><td>148.91</td><td>148.91</td><td>1.2×10<sup>-6</sup></td><td>144.43</td><td>144.43</td><td>2.0×10<sup>-6</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>175.00</td><td>175.00</td><td>3.6×10<sup>-8</sup></td><td>206.61</td><td>206.61</td><td>6.5×10<sup>-8</sup></td><td>185.58</td><td>185.58</td><td>2.0×10<sup>-8</sup></td><td>172.14</td><td>172.14</td><td>5.5×10<sup>-8</sup></td></tr><tr><td>0</td><td>207.42</td><td>207.42</td><td>6.2×10<sup>-8</sup></td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>206.31</td><td>206.31</td><td>6.1×10<sup>-8</sup></td><td>204.30</td><td>204.30</td><td>6.5×10<sup>-8</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>414.91</td><td>414.91</td><td>1.3×10<sup>-13</sup></td><td>269.50</td><td>269.51</td><td>8.4×10<sup>-12</sup></td><td>217.45</td><td>217.45</td><td>1.3×10<sup>-9</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>663.76</td><td>663.77</td><td>1.7×10<sup>-13</sup></td><td>401.89</td><td>401.89</td><td>6.7×10<sup>-13</sup></td><td>302.80</td><td>302.80</td><td>5.3×10<sup>-12</sup></td></tr><tr><td>3</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>953.08</td><td>953.08</td><td>4.8×10<sup>-13</sup></td><td>565.90</td><td>565.90</td><td>7.3×10<sup>-13</sup></td><td>416.25</td><td>416.25</td><td>1.6×10<sup>-12</sup></td></tr><tr><td>4</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1244.22</td><td>1244.22</td><td>2.2×10<sup>-12</sup></td><td>731.48</td><td>731.48</td><td>2.9×10<sup>-12</sup></td><td>530.71</td><td>530.71</td><td>4.5×10<sup>-12</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1456.22</td><td>1456.22</td><td>5.5×10<sup>-11</sup></td><td>847.25</td><td>847.25</td><td>6.5×10<sup>-11</sup></td><td>605.64</td><td>605.64</td><td>8.1×10<sup>-11</sup></td></tr><tr><td>6</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>923.21</td><td>923.21</td><td>4.9×10<sup>-11</sup></td><td>662.93</td><td>662.93</td><td>4.8×10<sup>-11</sup></td></tr><tr><td>7</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1076.07</td><td>1076.07</td><td>3.1×10<sup>-11</sup></td><td>771.29</td><td>771.29</td><td>3.2×10<sup>-11</sup></td></tr><tr><td>8</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1240.28</td><td>1240.28</td><td>3.8×10<sup>-11</sup></td><td>886.87</td><td>886.87</td><td>3.9×10<sup>-11</sup></td></tr><tr><td>9</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1403.85</td><td>1403.85</td><td>5.1×10<sup>-11</sup></td><td>1003.11</td><td>1003.11</td><td>5.4×10<sup>-11</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1109.61</td><td>1109.61</td><td>6.8×10<sup>-11</sup></td></tr><tr><td>11</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1187.53</td><td>1187.53</td><td>8.6×10<sup>-11</sup></td></tr><tr><td>12</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1277.58</td><td>1277.58</td><td>3.0×10<sup>-10</sup></td></tr><tr><td>13</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1385.99</td><td>1385.99</td><td>3.1×10<sup>-9</sup></td></tr><tr><td>14</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1447.24</td><td>1447.24</td><td>2.5×10<sup>-8</sup></td></tr></tbody></table>

des modes d'oscillation entreprise au Chapitre 3. Puisque les régions où les effets non-adiabatiques deviennent importants sont situées vers la surface de l'étoile, il n'est pas surprenant que les modes p, en tant que modes d'enveloppe, y soient légèrement plus sensibles que les modes g, beaucoup plus profonds. Ce degré de non-adiabaticité se reflète également à travers les valeurs des parties imaginaires des fréquences propres ($\sigma_I$): elles sont très faibles pour les modes g ($\sigma_I \simeq 10^{-11} - 10^{-13} s^{-1}$) comparativement à celles des modes acoustiques ($\sigma_I \simeq 10^{-4} - 10^{-8} s^{-1}$). Notons pour ces derniers
que les valeurs de $\sigma_I$ augmentent lorsque l'indice radial $k$ croît, conformément au fait que les modes d'ordre plus élevé oscillent davantage vers la surface de l'astre où les effets non-adiabatiques sont importants. Cette tendance est également présente pour les modes g en raison de l'extension vers les couches externes, à mesure que les périodes augmentent, de la zone de propagation qui leur est associée.

Concernant le modèle présenté, toutes les valeurs obtenues pour $\sigma_I$ sont positives; aussi bien pour les modes dont les périodes se situent dans la fenêtre privilégiée (modes donnés dans le tableau 4.1) que pour ceux d'ordre plus élevé (explorés juqu'à $k \simeq 30$). Pour des modes d'ordre radial encore plus grand, l'amortissement radiatif (aussi appelé "damping radiatif" ou "dissipation radiative") devient généralement très important au point de les stabiliser très efficacement. Des instabilités dans ces régions non-explorées du spectre des périodes ne sont donc pas attendues dans ces étoiles; elles ne feront donc pas l'objet de notre attention pour la suite de l'étude. Dans la mesure où l'amplitude des oscillations est, en théorie linéaire non-adiabatique, directement proportionnelle à $\exp(-\sigma_I t)$, les résultats montrent que les modes sont amortis ($\sigma_I > 0$) – et donc stables – dans le modèle de référence. De plus, il s'avère que l'ensemble des 149 modèles évolutifs explorés ne possèdent aucun mode instable dans leur spectre. Ce décevant constat pourrait, de prime abord, mettre un terme à ce projet en réduisant à néant le potentiel de l'astéroséismologie pour ces objets<fnref n="1" />. Néanmoins, avant de conclure qu'il n'y a pas de pulsations dans les sdB, il est important d'examiner plus en détails la structure des régions d'excitation ("driving") et d'amortissement ("damping") des modes à l'intérieur des modèles.

### 4.2.2 Influence des régions déstabilisatrices potentielles

Différencier les régions de l'étoile qui contribuent à déstabiliser un mode de celles qui tendent à l'amortir est une tâche dont l'intégrale de travail, brièvement présentée dans la section 1.5 du Chapitre 1, s'acquitte généralement très bien. Cette quantité, est-il besoin de le rappeler, correspond au bilan énergétique d'un mode particulier au cours d'un cycle complet de pulsation (c'est-à-dire une période). D'après Unno et al., 1989 (voir aussi le Chapitre 1 pour plus de détails), l'intégrale de travail, habituellement notée $W$, est donnée par

$$W = \int_{0}^{R} \frac{dW}{dr} dr = \int_{0}^{R} dr \oint \delta T \frac{d\delta S}{dt} dt = \int_{0}^{R} \frac{\pi}{\sigma_{R}} \text{Re} \left\{ \frac{\delta T^{*}}{T} \left[ \delta \epsilon_{N} - \delta \left( \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} \cdot \vec{F}_{R} \right) \right] \right\} \quad (4.1)$$

où l'intégrale cyclique sur la coordonnée temporelle se fait sur une période ($P=2\pi/\sigma_R$) et $\delta T$, $\delta S$, $R$ correspondent respectivement à la perturbation Lagrangienne de la température, à celle de l'entropie et au rayon de l'étoile. Cette quantité est par ailleurs reliée à la partie imaginaire de la fréquence propre du mode par la relation

$$\sigma_I = -\frac{1}{2PE_{\text{cin}}}W \equiv -\overline{W} = -\frac{1}{2PE_{\text{cin}}} \int_{0}^{R} \frac{dW}{dr} dr \equiv -\int_{0}^{R} \frac{d\overline{W}}{dr} dr \quad . \quad (4.2)$$

Ainsi, si le signe de $W$ (ou $\overline{W}$) est négatif, $\sigma_I$ est positif et le mode est stable alors que si $W$ (ou $\overline{W}$) est positif, $\sigma_I$ est négatif et le mode est instable. D'un point de vue local, une région de l'étoile caractérisée

<footnote n="1">¹Rappelons qu'à l'époque où ces résultats furent obtenus (automne 1995), l'existence de véritables sdB pulsantes n'était pas connue puisque leur découverte par les astronomers d'Afrique du Sud ne fut annoncée qu'en juin 1996.</footnote>
par une valeur négative de $dW/dr$ (ou $\overline{dW}/dr$) contribue à stabiliser le mode alors qu'une région avec une valeur de $dW/dr$ (ou $\overline{dW}/dr$) positive tend, au contraire, à le déstabiliser. Une instabilité globale se développera donc s'il y a quantitativement plus d'excitation que d'amortissement dans l'étoile. Pour des raisons pratiques, nous allons utiliser préférenciellement la quantité $\overline{W}$, qui n'est pas la définition standard de l'intégrale de travail bien qu'elle en soit équivalente, pour illustrer l'influence des diverses zones des modèles sur les modes de pulsation.

<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>Figure 4.1: Intégrale de travail ($\overline{W}(r)$ et $\overline{dW}/dr$; voir la définition de ces quantités dans le texte) pour un mode p ($l=2, k=2$ et $P=148.91$ s) du modèle de référence en fonction de la profondeur exprimée en fraction de masse ($\log q$). Le profil de l'opacité moyenne de Rosseland ($\log \kappa$) pour ce modèle est également disponible. Les positions des régions de brûlage nucléaire de l'hélium (au centre), de l'hydrogène (en couche) ainsi que la zone de convection associée à l'ionisation partielle de l'HeII en HeIII sont indiquées. Les valeurs positives de $\overline{dW}/dr$ correspondent aux régions de déstabilisation et les valeurs négatives sont les régions qui stabilisent le mode.</figcaption></figure>

La figure 4.1 expose le profil de $\overline{dW}/dr$ (normalisé à l'unité au maximum) en fonction de la profondeur dans l'étoile pour le mode acoustique avec $l=2, k=2$ et $P=148.91$ secondes. Celui-ci est représentatif d'une fraction des modes de pulsation qui présentent une caractéristique particulièrement intéressante. La quantité $\overline{dW}/dr$ qui leur est associée trahit en effet, par un pic positif situé vers $\log q \simeq -9.7$, l'existence d'une région de déstabilisation d'ampleur significative. Immédiatement sous ce pic, une vaste région stabilisatrice, comprise entre $-5.6 \gtrsim \log q \gtrsim -9.2$, entre en compétition
avec la zone d'excitation. Puisque le mode est stable, cette dernière n'est donc pas suffisamment puissante pour produire une instabilité globale conduisant à l'amplification de son amplitude. Ceci est particulièrement bien illustré par le profil de la quantité $\overline{W}(r)$ correspondant à l'intégrale courante de $d\overline{W}/dr$ partant du centre de l'étoile jusqu'à la sphère de rayon $r$ (avec $\overline{W}(r=R)=\overline{W}=-\sigma_I$). Depuis le centre ($\log q=0$), les valeurs négatives de $d\overline{W}/dr$, principalement dans la région stabilisatrice, induisent une baisse significative de $\overline{W}(r)$ alors que la remontée subséquente produite par le pic d'excitation s'avère insuffisante pour rejoindre, lorsque $r \to R$ ($\log q \to -\infty$), les valeurs positives synonymes d'instabilité. En surface, $\overline{W}(r)$ se stabilise vers $-1.24 \times 10^{-6} \text{ s}^{-1}$ correspondant approximativement, comme attendu, à la valeur de $-\sigma_I$ donnée dans le tableau 4.1 pour ce mode.

<table><caption>Tableau 4.2: Périodes non-adiabatiques ($P_{nad}$) et partie imaginaire de la fréquence propre ($\sigma_I$) pour les modes avec $l=2$ appartenant au modèle de référence où la contribution des mécanismes $\epsilon$ est respectivement prise en compte (modèle avec $\epsilon_N$) et occultée (modèle sans $\epsilon_N$).</caption><thead><tr><th rowspan="2">k</th><th colspan="2">avec ε<sub>N</sub></th><th colspan="2">sans ε<sub>N</sub></th></tr><tr><th>P<sub>nad</sub> (s)</th><th>σ<sub>I</sub> (s<sup>-1</sup>)</th><th>P<sub>nad</sub> (s)</th><th>σ<sub>I</sub> (s<sup>-1</sup>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>6</td><td>89.287443289</td><td>1.224471952 × 10<sup>-4</sup></td><td>89.287443289</td><td>1.224471952 × 10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>99.041300139</td><td>3.488222861 × 10<sup>-5</sup></td><td>99.041300139</td><td>3.488222861 × 10<sup>-5</sup></td></tr><tr><td>4</td><td>112.647954623</td><td>2.041244283 × 10<sup>-5</sup></td><td>112.647954623</td><td>2.041244283 × 10<sup>-5</sup></td></tr><tr><td>3</td><td>132.783224167</td><td>2.482582361 × 10<sup>-6</sup></td><td>132.783224167</td><td>2.482582361 × 10<sup>-6</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>148.907265742</td><td>1.187795009 × 10<sup>-6</sup></td><td>148.907265742</td><td>1.187795009 × 10<sup>-6</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>185.584827139</td><td>1.962181160 × 10<sup>-8</sup></td><td>185.584827139</td><td>1.962181181 × 10<sup>-8</sup></td></tr><tr><td>0</td><td>206.310048673</td><td>6.093826866 × 10<sup>-8</sup></td><td>206.310048673</td><td>6.093826868 × 10<sup>-8</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>269.506176895</td><td>8.423531598 × 10<sup>-12</sup></td><td>269.506176895</td><td>8.426131509 × 10<sup>-12</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>401.893202927</td><td>6.663781767 × 10<sup>-13</sup></td><td>401.893202927</td><td>6.675189682 × 10<sup>-13</sup></td></tr><tr><td>3</td><td>565.900957716</td><td>7.311889715 × 10<sup>-13</sup></td><td>565.900957716</td><td>7.318512019 × 10<sup>-13</sup></td></tr><tr><td>4</td><td>731.480498466</td><td>2.883158518 × 10<sup>-12</sup></td><td>731.480498466</td><td>2.883676504 × 10<sup>-12</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>847.248572417</td><td>6.490660210 × 10<sup>-11</sup></td><td>847.248572417</td><td>6.490679302 × 10<sup>-11</sup></td></tr><tr><td>6</td><td>923.209869478</td><td>4.868062620 × 10<sup>-11</sup></td><td>923.209869478</td><td>4.868113280 × 10<sup>-11</sup></td></tr><tr><td>7</td><td>1076.069546170</td><td>3.090815736 × 10<sup>-11</sup></td><td>1076.069546170</td><td>3.090905344 × 10<sup>-11</sup></td></tr><tr><td>8</td><td>1240.280035217</td><td>3.765877646 × 10<sup>-11</sup></td><td>1240.280035217</td><td>3.766063245 × 10<sup>-11</sup></td></tr><tr><td>9</td><td>1403.853905497</td><td>5.080302041 × 10<sup>-11</sup></td><td>1403.853905497</td><td>5.080889449 × 10<sup>-11</sup></td></tr></tbody></table>

Les positions des différentes régions soupçonnées de jouer éventuellement un rôle dans la déstabilisation des modes de pulsation sont indiquées dans la figure. Sans aucune surprise, les zones de brûlage nucléaire de l'hélium (au centre) et de l'hydrogène (en couche) apportent une contribution insignifiante à l'intégrale de travail présentée. La première est située bien trop en profondeur dans l'étoile, là où l'amplitude des modes est très faible. La seconde, trop inactive dans les sdB<fnref n="2" />, est incapable de peser efficacement contre la stabilité des modes. Pour évaluer plus quantitativement l'influence des mécanismes $\epsilon$ reliés aux processus de réactions nucléaires, le tableau 4.2 présente, pour

<footnote n="2">²Soulignons que passé la phase sdB, les modèles développent une importante coquille de brûlage de l'hydrogène en couche pouvant contribuer pour une part significative de la luminosité totale de l'étoile (voir, pour cela, le Chapitre 2). Son effet sur la stabilité des modes de pulsation pourrait alors éventuellement devenir important (voir le Chapitre 6 ainsi que Charpinet et al., 1997b).</footnote>
les modes avec $l=2$ situés dans la fenêtre 80-1500 secondes, les résultats d'une expérience numérique menée sur le modèle de référence où ces mécanismes ont été respectivement pris en compte (modèle normal "avec $\epsilon_N$") et artificiellement déconnectés (modèle "sans $\epsilon_N$"). Les valeurs des périodes non-adiabatiques et des $\sigma_I$ sont données jusqu'à 9 chiffres significatifs afin de permettre la détection de petites variations survenant d'un modèle à l'autre. Les quantités du modèle "avec $\epsilon_N$" sont strictement identiques à celles du tableau 4.1 (il s'agit exactement du même modèle). Les périodes des modes p, f et g ne sont manifestement pas affectées par cette expérience (i.e., $\Delta P < 10^{-9}$ s) mais des différences apparaissent au niveau de $\sigma_I$, principalement pour les modes g. Les valeurs obtenues avec le modèle "sans $\epsilon_N$" s'avèrent systématiquement plus élevées conformément au fait que le réactions nucléaires contribuent toujours à déstabiliser les modes. Les différences entre les deux modèles sont toutefois extrêmement faibles, s'élevant, pour l'ensemble des modes, à $\Delta\sigma_I(N) \simeq 10^{-14} - 10^{-15} s^{-1}$. Les ondes g sont donc davantage sensibles à ce phénomène en raison de leurs plus grandes amplitudes dans ces régions particulières du modèle (qui se traduit également par de plus faibles valeurs de $\sigma_I$ en raison des énergies cinétiques plus importantes pour ces modes). Concernant les ondes p, l'effet est clairement négligeable puisque $\Delta\sigma_I(N) \ll \sigma_I$. Pour l'ensemble des étoiles sous-naines de type B, les mécanismes $\epsilon$ ne sont donc pas en mesure de provoquer des instabilités.

De retour à la figure 4.1, l'apparente neutralité de la région d'ionisation partielle $He_{II}/He_{III}$, caractérisée par la mince région convective superficielle, constitue certainement une surprise. Le profil de l'opacité de Rosseland ($\log \kappa$; donné dans la figure) montre que le pic associé à cette région d'ionisation partielle est pourtant bien présent dans le modèle. Il ne trouve cependant pas d'écho dans la quantité $d\overline{W}/dr$ comme l'analogie avec d'autres catégories d'étoiles pulsantes nous le laissait entrevoir. Un agrandissement de cette région, présenté dans le panneau incrusté, dévoile néanmoins, par la petite protubérance dans le profil de $d\overline{W}/dr$, qu'elle produit une légère contribution à l'excitation du mode mais d'ampleur négligeable. En rétrospective, il apparaît que la région d'ionisation partielle $He_{II}/He_{III}$ est située bien trop haute dans l'enveloppe de l'étoile (à $\log q \simeq -12$, la quantité totale de matière dans les couches situées au dessus n'est plus que de $10^{-12}$ fois la masse totale de l'objet) pour posséder un quelconque poids sur la déstabilisation des modes. Puisque la position de cette région d'ionisation partielle est fonction principalement de la température effective de l'étoile, nous pouvons conclure, et cela s'applique à l'ensemble de la classe des sdB, que celle-ci est trop élevée pour que ce mécanisme soit efficace.

Le pic d'excitation dominant est situé vers $\log q \simeq -9.7$ et une bosse secondaire dans le profil de l'opacité lui est clairement associée. Comme cela a déjà été mentionné au Chapitre 2, cette structure dans l'opacité est engendrée par l'ionisation partielle d'éléments lourds, en particulier le fer, et elle tend à disparaître lorsque la métallicité de l'étoile est réduite. Ainsi, il existe dans les sdB un mécanisme déstabilisateur qui œuvre à travers l'opacité de Rosseland — il s'agit donc d'un mécanisme $\kappa$ — et dont la ressemblance avec le mécanisme "Z-bump" identifié récemment dans les étoiles OB pulsantes (par exemple, Cox et al., 1992; Gautschy & Saio, 1993), des objets de température effective similaire à celle des sdB, ne peut être totalement fortuite. Toutefois, et contrairement à ces dernières, à métallicité solaire ($Z \simeq 0.02$), l'excitation, bien qu'elle soit significative pour certains modes, n'est pas en mesure de surpasser la dissipation radiative et tous les modes sont globalement stables.

Malgré ce premier résultat négatif concernant la possibilité pour les étoiles sous-naines de type B de développer des instabilités pulsationnelles, l'identification d'un mécanisme déstabilisateur associé
à la métallicité de l'étoile permet d'ouvrir une nouvelle voie d'investigation vers laquelle s'orienter. Elle consiste à explorer les effets que peuvent engendrer l'augmentation, dans les modèles, de la concentration des métaux lourds sur la stabilité des modes. La légitimité physique d'une telle approche sera discutée ultérieurement, à la fin de ce Chapitre.

## 4.3 Influence de la métallicité

Pour explorer les effets de la métallicité sur les modes de pulsation et leur stabilité, nous allons à nouveau faire appel aux structures statiques d'enveloppes présentées au Chapitre 2 et déjà utilisées pour l'étude adiabatique menée au Chapitre 3. Ces modèles, par leur plus grande souplesse, vont nous permettre d'expérimenter à loisir sur les paramètres stellaires tout en modifiant les ingrédients physiques qui les composent, en particulier la métallicité dans l'enveloppe riche en hydrogène. L'utilisation de ce type de structure pour étudier la stabilité des modes est pleinement justifiée dans la mesure où, comme nous venons de le constater auparavant, le mécanisme $\epsilon$ ne joue aucun rôle prépondérant (les modèles statiques ne tiennent, en effet, pas compte des réactions nucléaires et se seraient avérés inadaptés pour modéliser ce mécanisme) et la totalité des processus importants ont lieu dans l'enveloppe de l'étoile, adéquatement reproduite par les modèles statiques (c.f., Chapitre 2).

### 4.3.1 Structures statiques modifiées

Les structures statiques présentées au Chapitre 2, construites à l'époque pour une métallicité solaire (Z=0.02) afin de reproduire au mieux les modèles évolutifs, ont été adaptées à nos nouveaux besoins en ajoutant la possibilité d'accroître la quantité d'éléments lourds dans l'enveloppe riche en hydrogène de l'étoile. Concrètement, les ingrédients physiques utilisés pour leur construction demeurent inchangés si ce n'est l'opportunité d'utiliser les tables d'opacité d'OPAL pour Z = 0.04, 0.06, 0.08 ou 0.10 en remplacement des tables avec Z = 0.02. L'équation d'état subit également une légère modification pour tenir compte des effets engendrés sur la thermodynamique du gaz par l'addition d'éléments lourds. Ceux-ci demeurent néanmoins assez mineurs puisque les métaux, même à Z=0.10, sont toujours à l'état de traces dans le plasma et l'équation d'état reste dominée par les éléments plus abondants (en nombre d'atomes) que sont l'hydrogène et l'hélium. L'influence d'une métallicité plus importante est principalement ressentie dans l'opacité du gaz à laquelle contribuent majoritairement les métaux.

Cette influence est illustrée par les profils de l'opacité de Rosseland présentés dans la figure 4.2 pour diff'erentes métallicités variant de Z = 0.02 (profil du bas) à Z = 0.10 (profil du haut) par pas de 0.02. Les paramètres utilisés pour la construction de ces modèles statiques ($T_{eff}$ = 31310K, $log g$ = 5.75, M = 0.476 $M_\odot$ et $log q(H)$ = -4.1) sont ceux là mêmes qui reproduisent, à Z = 0.02, la structure évolutive de référence dont le profil pour $log \kappa$ est également indiqué en pointillés à titre de comparaison (Z = 0.017178 pour les modèles évolutifs). Une augmentation de la métallicité dans l'enveloppe riche en hydrogène entraîne une hausse globale de l'opacité, traduisant la plus grande difficulté qu'ont les photons à traverser le plasma sans être diffusés ou absorbés. Cette hausse est particulièrement marquée au niveau de la bosse des métaux (vers $log q \simeq -9.7$) principalement dominée par l'ionisation partielle du fer. Pour $Z \gtrsim 0.06$, celle-ci devient même la structure principale dans le
profil de l'opacité, surpassant le pic associé à l'ionisation partielle He$_{II}$/He$_{III}$. La bosse métallique devient également plus abrupte lorsque Z augmente, ce qui favorise généralement, dans les étoiles,

<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>Figure 4.2: Série de profils de l'opacité de Rosseland (log κ) pour les modèles d'enveloppes (traits pleins) avec des paramètres identiques à la structure de référence (T$_{eff}$ = 31310 K, log g = 5.75, M = 0.476 M$_{⊙}$ et log q(H) = −4.1) pour cinq métallicité différentes allant, de bas en haut, de Z = 0.02 (solaire) à Z = 0.10. La ligne pointillée indique le profil de l'opacité pour le modèle évolutif de référence.</figcaption></figure>

la déstabilisation des modes par le mécanisme κ. Compte tenu des conclusions de la section 4.2 sur l'influence de cette structure d'opacité sur certains modes d'oscillation, une plus grande métallicité dans l'enveloppe riche en hydrogène des modèles semble donc en mesure de renforcer significativement la région déstabilisatrice identifiée pour éventuellement conduire à des instabilités.

4.3.2 Grilles de modèles d'enveloppes

Afin de couvrir complètement l'espace des paramètres caractérisant les étoiles sous-naines de type B, 5 grilles ont été construites, chacune constituée de 72 modèles d'enveloppes, dans l'intervalle 4.34 ≤ log T$_{eff}$ ≤ 4.62 par pas de 0.04 et 4.8 ≤ log g ≤ 6.4 par pas de 0.2. La masse totale de chaque modèle est fixée à 0.48 M$_{⊙}$ et la position de l'interface entre l'enveloppe riche en hydrogène et le cœur en hélium est choisie à log q(H) = −4. Ces deux derniers paramètres ne seront pas modifiés dans cette exploration puisque, comme nous le vérifierons un peu plus tard, ils n'affectent pratiquement pas la stabilité des modes pour autant que des valeurs raisonnables soient utilisées. Les grilles ont été
<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>Figure 4.3: Quatre panneaux qui représentent les grilles de modèles d'enveloppes pour 4 métallicités différentes (Z = 0.04, 0.06, 0.08 et 0.10). Chaque grille comporte 72 modèles couvrant la région du diagramme log g – log T$_{eff}$ où les sdB sont observées (4.34 ≤ log T$_{eff}$ ≤ 4.62, par pas de 0.04 et 4.8 ≤ log g ≤ 6.4, par pas de 0.2). Les sdB dont les paramètres de surface ont été déterminés par Saffer et al., 1994 sont également indiquées (petits cercles vides). Chaque cercle plein de la grille correspond à un modèle instable alors que chaque cercle vide indique un modèle stable.</figcaption></figure>
produites pour 5 différentes métallicités allant de $Z = 0.02$ (la métallicité solaire; équivalente à nos modèles évolutifs) jusqu'à $Z = 0.10$ par pas de 0.02. Chaque modèle a ensuite été soumis au code de pulsation non-adiabatique en utilisant, comme auparavant pour les modèles évolutifs, 160 éléments quadratiques. Les résultats de ces calculs systématiques sont illustrés par la figure 4.3.

La grille calculée à métallicité solaire ($Z=0.02$) n'est pas présentée dans cette figure puisque, comme nous pouvions le prévoir suite aux résultats obtenus sur les structures évolutives de métallicité sensiblement identique, aucun modèle de cette grille ne développe d'instabilité. Les résultats intéressants émergent à $Z \gtrsim 0.04$ puisque nous observons l'apparition de modes instables dans certains modèles de la grille (cercles pleins dans la figure 4.3). Les modèles en question sont localisés vers les faibles températures effectives et gravités de surface. De plus, à mesure que $Z$ augmente, cette région d'instabilité s'étend, touchant environ un quart de la grille pour $Z=0.10$.

Pour ces modèles instables, la figure suggère l'existence d'une limite supérieure en température ("blue edge") situé quelque part entre $\log T_{\text{eff}} = 4.46$ ($T_{\text{eff}} \approx 28800$ K) et $\log T_{\text{eff}} = 4.50$ ($T_{\text{eff}} \approx 31600$ K), dépendant légèrement de la métallicité, au delà de laquelle les instabilités s'évanouissent. Une explication plausible pour ce phénomène viendrait du fait que l'augmentation de la métallicité affecte, pour une température effective donnée, principalement la taille de la bosse secondaire dans l'opacité plutôt que sa position dans l'enveloppe. Le "blue-edge" serait alors causé par le déplacement vers la surface de la zone d'ionisation partielle des métaux responsable de l'excitation à mesure que la température effective augmente. Ces régions en surface disposant d'un poids plus faible sur la stabilité globale des modes, l'excitation serait ainsi vidée peu à peu de sa force pour finalement devenir incapable de compenser les effets de la zone dissipative située plus profondément dans l'étoile (c.f., figure 4.1). Notons également l'existence d'une limite supérieure en gravité pour l'existence de modèles instables ($\log g \lesssim 5.7$ à $Z=0.10$) qui semble dépendre plus fortement de la métallicité.

### 4.3.3 Modes instables

Un exemple caractéristique de résultats non-adiabatiques obtenus pour les modèles situés dans la région d'instabilité est donné dans le tableau 4.3. La structure ayant jusqu'à présent servi de référence ne possède pas les paramètres atmosphériques adéquats pour développer les instabilités observées. Aussi, le modèle figurant dans le tableau 4.3 correspond-t-il mieux au nouveau chemin qu'emprunte notre exploration. Ses paramètres de surface sont $\log T_{\text{eff}} = 4.42$ ($T_{\text{eff}} \approx 26303$ K), $\log g = 5.2$, $M = 0.48$ $M_{\odot}$, $\log q(H) = -4.0$ et il est disponible pour les cinq métallicités propres à chacune des grilles ($Z=0.02, 0.04, 0.06, 0.08$ et $0.10$). Seuls les modes les plus intéressants, pour lesquels la période non-adiabatique ($P$ en secondes) et le temps caractéristique de croissance ($\tau_e$ en années) sont disponibles, sont présentés dans le tableau. Cette dernière quantité est directement reliée à $\sigma_I$, la partie imaginaire de la fréquence propre, par la relation $\tau_e = 1/|\sigma_I|$ lorsque $\sigma_I$ est négatif (c'est-à-dire lorsque le mode est instable). Dans la situation où le mode est stable, cette quantité n'est pas calculée et l'étiquette "stable" est apposée dans la colonne du tableau 4.3 correspondant à $\tau_e$.

Aussi bien les modes radiaux ($l = 0$) que les modes non-radiaux (pour $l = 1, 2$ et $3$) sont représentés dans ce tableau. Leurs périodes sont légèrement sensibles aux variations de métallicité puisque ces dernières, en affectant l'opacité du gaz, modifient le gradient de température du modèle, se répercutent sur la structure de l'étoile et donc sur les fréquences propres des modes d'oscillation.
L'effet demeure néanmoins assez limité, s'élevant, entre $Z=0.02$ et $Z=0.10$, de 2 à 4% pour les modes p et jusqu'à 15% pour les modes g. Il est compréhensible que les ondes de gravité soient plus sensibles à la métallicité compte tenu du fait que l'opacité affecte le gradient de température ($dT/dr$), produisant des différences de structure faibles en surface (les modèles ont la même température effective) mais plus marquées dans les régions internes où ces derniers oscillent avec de grandes amplitudes relatives.

<table><caption>Tableau 4.3: Périodes non-adiabatiques (en secondes) et temps caractéristiques de croissance $\tau_e$ (e-folding time) exprimés en années pour un modèle d'enveloppe typique avec $\log T_{eff} = 4.42$, $\log g = 5.2$, $M = 0.48 M_\odot$, $\log q(H) = -4$ et $Z=0.02$ (solaire), 0.04, 0.06, 0.08, et 0.10. La quantité $\tau_e$ est donnée uniquement pour les modes instables.</caption><thead><tr><th rowspan="2">l</th><th rowspan="2">k</th><th colspan="2">Z = 0.02</th><th colspan="2">Z = 0.04</th><th colspan="2">Z = 0.06</th><th colspan="2">Z = 0.08</th><th colspan="2">Z = 0.10</th></tr><tr><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>3</td><td>317.39</td><td>stable</td><td>317.60</td><td>stable</td><td>315.21</td><td>stable</td><td>312.08</td><td>stable</td><td>309.01</td><td>stable</td></tr><tr><td>0</td><td>2</td><td>358.97</td><td>stable</td><td>351.63</td><td>stable</td><td>349.21</td><td>stable</td><td>348.97</td><td>stable</td><td>349.61</td><td>stable</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>421.19</td><td>stable</td><td>425.12</td><td>stable</td><td>428.49</td><td>stable</td><td>431.20</td><td>stable</td><td>433.61</td><td>7.7×10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>568.94</td><td>stable</td><td>577.34</td><td>stable</td><td>583.04</td><td>2.2×10<sup>0</sup></td><td>587.32</td><td>7.1×10<sup>-1</sup></td><td>590.92</td><td>4.6×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>4 (p)</td><td>311.71</td><td>stable</td><td>310.06</td><td>stable</td><td>306.94</td><td>stable</td><td>303.87</td><td>stable</td><td>301.41</td><td>stable</td></tr><tr><td>1</td><td>3 (p)</td><td>350.33</td><td>stable</td><td>346.08</td><td>stable</td><td>345.70</td><td>stable</td><td>346.43</td><td>stable</td><td>347.60</td><td>stable</td></tr><tr><td>1</td><td>2 (p)</td><td>418.85</td><td>stable</td><td>423.26</td><td>stable</td><td>426.73</td><td>stable</td><td>429.40</td><td>stable</td><td>431.75</td><td>8.1×10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>1 (p)</td><td>547.89</td><td>stable</td><td>524.56</td><td>stable</td><td>515.74</td><td>stable</td><td>497.27</td><td>3.7×10<sup>1</sup></td><td>485.87</td><td>1.4×10<sup>1</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>1 (g)</td><td>890.29</td><td>stable</td><td>853.07</td><td>stable</td><td>831.31</td><td>6.7×10<sup>4</sup></td><td>810.86</td><td>2.0×10<sup>4</sup></td><td>795.58</td><td>1.1×10<sup>4</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>2 (g)</td><td>1358.61</td><td>stable</td><td>1302.69</td><td>stable</td><td>1266.97</td><td>stable</td><td>1267.6</td><td>stable</td><td>1216.83</td><td>stable</td></tr><tr><td>2</td><td>3 (p)</td><td>327.98</td><td>stable</td><td>329.44</td><td>stable</td><td>330.01</td><td>stable</td><td>328.61</td><td>stable</td><td>326.02</td><td>stable</td></tr><tr><td>2</td><td>2 (p)</td><td>374.38</td><td>stable</td><td>364.10</td><td>stable</td><td>356.81</td><td>stable</td><td>352.40</td><td>stable</td><td>350.58</td><td>stable</td></tr><tr><td>2</td><td>1 (p)</td><td>419.83</td><td>stable</td><td>422.22</td><td>stable</td><td>424.96</td><td>stable</td><td>427.23</td><td>stable</td><td>429.28</td><td>9.0×10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>0 (f)</td><td>555.49</td><td>stable</td><td>540.10</td><td>stable</td><td>527.07</td><td>2.3×10<sup>2</sup></td><td>514.25</td><td>1.4×10<sup>1</sup></td><td>504.56</td><td>7.6×10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>1 (g)</td><td>573.05</td><td>stable</td><td>571.38</td><td>stable</td><td>575.06</td><td>2.4×10<sup>0</sup></td><td>578.11</td><td>6.7×10<sup>-1</sup></td><td>580.78</td><td>4.2×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>2 (g)</td><td>831.60</td><td>stable</td><td>797.03</td><td>stable</td><td>775.40</td><td>8.8×10<sup>3</sup></td><td>757.81</td><td>3.0×10<sup>3</sup></td><td>743.95</td><td>1.6×10<sup>3</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>3 (g)</td><td>1106.73</td><td>stable</td><td>1061.81</td><td>stable</td><td>1031.94</td><td>stable</td><td>1010.41</td><td>stable</td><td>992.57</td><td>5.8×10<sup>4</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>4 (g)</td><td>1374.63</td><td>stable</td><td>1318.57</td><td>stable</td><td>1280.10</td><td>stable</td><td>1254.40</td><td>stable</td><td>1232.44</td><td>stable</td></tr><tr><td>3</td><td>2 (p)</td><td>362.44</td><td>stable</td><td>352.57</td><td>stable</td><td>347.90</td><td>stable</td><td>345.99</td><td>stable</td><td>345.59</td><td>stable</td></tr><tr><td>3</td><td>1 (p)</td><td>412.87</td><td>stable</td><td>413.03</td><td>stable</td><td>410.30</td><td>stable</td><td>403.91</td><td>stable</td><td>397.55</td><td>stable</td></tr><tr><td>3</td><td>0 (f)</td><td>451.19</td><td>stable</td><td>435.01</td><td>stable</td><td>428.78</td><td>stable</td><td>427.32</td><td>stable</td><td>427.83</td><td>1.1×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>3</td><td>1 (g)</td><td>556.15</td><td>stable</td><td>560.33</td><td>stable</td><td>562.34</td><td>2.9×10<sup>0</sup></td><td>561.70</td><td>8.4×10<sup>-1</sup></td><td>557.25</td><td>9.9×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>3</td><td>2 (g)</td><td>630.59</td><td>stable</td><td>604.77</td><td>stable</td><td>589.40</td><td>2.6×10<sup>1</sup></td><td>578.82</td><td>2.2×10<sup>0</sup></td><td>574.47</td><td>5.8×10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>3</td><td>3 (g)</td><td>819.37</td><td>stable</td><td>785.97</td><td>stable</td><td>764.13</td><td>2.5×10<sup>3</sup></td><td>747.85</td><td>9.6×10<sup>2</sup></td><td>734.54</td><td>5.3×10<sup>2</sup></td></tr><tr><td>3</td><td>4 (g)</td><td>1004.39</td><td>stable</td><td>963.32</td><td>stable</td><td>935.64</td><td>6.1×10<sup>3</sup></td><td>916.42</td><td>2.3×10<sup>3</sup></td><td>900.29</td><td>1.4×10<sup>3</sup></td></tr><tr><td>3</td><td>5 (g)</td><td>1182.32</td><td>stable</td><td>1129.63</td><td>stable</td><td>1093.49</td><td>5.9×10<sup>3</sup></td><td>1068.85</td><td>1.2×10<sup>3</sup></td><td>1047.82</td><td>5.6×10<sup>2</sup></td></tr><tr><td>3</td><td>6 (g)</td><td>1294.04</td><td>stable</td><td>1219.94</td><td>stable</td><td>1173.57</td><td>stable</td><td>1143.16</td><td>stable</td><td>1118.37</td><td>stable</td></tr></tbody></table>

Pour une métallicité solaire ($Z=0.02$), tous les modes apparaissent effectivement stables. C'est aussi le cas avec $Z = 0.04$, mais uniquement pour ce modèle particulier. Des instabilités surgissent vers $Z \sim 0.06$ et deviennent plus importantes lorsque $Z$ augmente encore davantage, des bandes plus larges de modes étant excitées dans ces modèles à hautes métallicités. Comme autre indice du renforcement du mécanisme d'excitation, les valeurs du temps caractéristique de croissance $\tau_e$, pour un mode donné, diminuent lorsque $Z$ augmente. L'amplitude des modes instables croît donc plus vite lorsque la métallicité est plus élevée. Ces calculs prédissent une grande diversité de modes excités avec à la fois des pulsations radiales et non-radiales, des modes p, des modes f et des modes g, tous de faible ordre radial k. Les temps caractéristiques de croissance caractérisant ces modes sont compris entre $10^{-2}$ et $10^4$ années environ. Ils sont donc beaucoup plus courts que le temps évolutif typique des sdB
(environ $10^8$ ans) et ces instabilités linéaires devraient normalement se développer rapidement pour atteindre des amplitudes observables.

### 4.3.4 Influence de $M_{\text{env}}$ et $M_*$

Pour les grilles de modèles échafaudées à l'étape précédente nous n'avons considéré que les variations de la température effective et de la gravité de surface pour couvrir le champ occupé par les sdB dans le plan $log g - T_{\text{eff}}$. Les deux autres paramètres principaux qui entrent dans la construction des modèles, à savoir la masse de l'enveloppe riche en hydrogène à travers la quantité $log q(H)$ et la masse totale $M_*$ de l'étoile, se virent attribuer des valeurs fixes tout au long de l'étude de stabilité. Les tableaux 4.4 et 4.5 montrent que cette approche est justifiée dans la mesure où, dans un intervalle de valeurs raisonnable pour les sdB, ces paramètres n'interferent pas, au contraire de $log g$ et $T_{\text{eff}}$, avec les processus de déstabilisation des modes.

Concernant l'influence de la masse de l'enveloppe, le tableau 4.4 montre, pour différentes valeurs de $log q(H)$ comprises entre -2.0 et -5.0 (intervalle typique dans lequel on retrouve, d'après les modèles évolutifs, la majeure partie des sdB), la bande de modes instables pour le spectre $l=2$ obtenu dans le modèle avec $log T_{\text{eff}} = 4.42$, $log g = 5.2$, $M = 0.48 M_{\odot}$ et $Z = 0.10$. L'ampleur des instabilités estimée par les valeurs des temps caractéristiques de croissance, globalement comparables d'un modèle à l'autre, ne semble donc pas affectée par l'épaisseur de l'enveloppe riche en hydrogène. La principale

<table><caption>Tableau 4.4: Influence du paramètre $log q(H)$ sur les instabilités. Les périodes (exprimées en secondes) et les temps caractéristiques de croissance (donnés, le cas échéant, en années) appartiennent aux modes $l=2$ obtenus pour le modèle avec $log T_{\text{eff}}=4.42$, $log g=5.2$, $M=0.48 M_{\odot}$ et $Z=0.10$.</caption><thead><tr><th rowspan="2">k</th><th colspan="2">log q(H) = -2.0</th><th colspan="2">log q(H) = -3.0</th><th colspan="2">log q(H) = -4.0</th><th colspan="2">log q(H) = -5.0</th></tr><tr><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th></tr></thead><tbody><tr><td>3 (p)</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>326.02</td><td>stable</td><td>345.77</td><td>stable</td></tr><tr><td>2 (p)</td><td>...</td><td>...</td><td>339.62</td><td>stable</td><td>350.58</td><td>stable</td><td>386.05</td><td>stable</td></tr><tr><td>1 (p)</td><td>...</td><td>...</td><td>363.62</td><td>stable</td><td>429.28</td><td>9.0 × 10<sup>-2</sup></td><td>438.73</td><td>4.0 × 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>0 (f)</td><td>...</td><td>...</td><td>444.26</td><td>8.6 × 10<sup>-2</sup></td><td>504.56</td><td>7.6 × 10<sup>0</sup></td><td>526.85</td><td>1.5 × 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>1 (g)</td><td>...</td><td>...</td><td>502.29</td><td>3.8 × 10<sup>0</sup></td><td>580.78</td><td>4.2 × 10<sup>-1</sup></td><td>621.84</td><td>1.6 × 10<sup>2</sup></td></tr><tr><td>2 (g)</td><td>382.86</td><td>stable</td><td>581.25</td><td>5.2 × 10<sup>-1</sup></td><td>743.95</td><td>1.6 × 10<sup>3</sup></td><td>911.43</td><td>4.1 × 10<sup>4</sup></td></tr><tr><td>3 (g)</td><td>404.06</td><td>stable</td><td>671.18</td><td>5.3 × 10<sup>1</sup></td><td>992.57</td><td>5.8 × 10<sup>4</sup></td><td>1210.27</td><td>stable</td></tr><tr><td>4 (g)</td><td>457.34</td><td>1.1 × 10<sup>-1</sup></td><td>801.35</td><td>4.9 × 10<sup>1</sup></td><td>1232.44</td><td>stable</td><td>1504.49</td><td>stable</td></tr><tr><td>5 (g)</td><td>491.82</td><td>2.6 × 10<sup>0</sup></td><td>867.77</td><td>3.7 × 10<sup>2</sup></td><td>1446.74</td><td>stable</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>6 (g)</td><td>556.02</td><td>8.1 × 10<sup>-1</sup></td><td>1030.33</td><td>stable</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>7 (g)</td><td>587.41</td><td>3.6 × 10<sup>0</sup></td><td>1206.84</td><td>stable</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>8 (g)</td><td>643.94</td><td>2.9 × 10<sup>0</sup></td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>9 (g)</td><td>681.12</td><td>4.8 × 10<sup>1</sup></td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>10 (g)</td><td>765.80</td><td>8.4 × 10<sup>2</sup></td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>11 (g)</td><td>833.85</td><td>4.3 × 10<sup>2</sup></td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>12 (g)</td><td>878.80</td><td>2.4 × 10<sup>3</sup></td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>13 (g)</td><td>954.49</td><td>stable</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>14 (g)</td><td>1033.12</td><td>stable</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr></tbody></table>

différence qui se manifeste concerne le nombre et le type de modes excités. Ainsi, 9 modes instables (modes g de $k=4$ à $k=12$) sont répertoriés dans le modèle avec $log q(H) = -2.0$, alors que 4 modes seulement (modes $p_1$, $f$, $g_1$ et $g_2$) sont instables dans le modèle avec $log q(H) = -5.0$. Il faut bien
réaliser qu'il ne s'agit ici aucunement d'une indication que le mécanisme d'excitation est plus efficace pour les enveloppes massives. L'explication vient plutôt de la façon dont les modes acoustiques et les modes de gravité se comportent en fonction de ce paramètre (c.f., Chapitre 3). Nous constatons en effet, à partir du tableau 4.4, que la bande de modes instables est définie non pas en terme de l'ordre radial $k$ mais plutôt en fonction de la période. Ainsi, pour le modèle présenté, les instabilités surviennent approximativement entre $P=430$ s et $P=990$ s quel que soit la valeur de $\log q(H)$. Or, lorsque ce paramètre augmente (l'enveloppe devient plus massive), les périodes des modes $g$ diminuent et se concentrent (i.e., $\Delta P$ entre modes consécutifs baisse également), conduisant à une plus grande quantité de modes $g$ avec des périodes situées dans la fenêtre instable. En parallèle, pour les enveloppes très massives (par exemple $\log q(H)=-2.0$), les phénomènes de collisions entre modes entrent en jeu et poussent les périodes des modes $p$ vers de plus faibles valeurs. Ces derniers quittent alors l'intervalle de périodes privilégié et deviennent stables. Les processus de collision entre modes couplés à la baisse systématique des périodes des modes $g$ avec l'augmentation de la masse de l'enveloppe contribuent donc, sans que le mécanisme d'excitation ne soit moindremment affecté, à déplacer la bande d'instabilité vers les modes $g$ d'ordre radial plus élevé.

A propos de la masse totale de l'étoile, le tableau 4.5 montre, pour différentes valeurs de $M_*$ comprises entre $0.46 M_\odot$ et $0.50 M_\odot$, la bande de modes instables du spectre $l=2$ pour le même modèle statique utilisé précédemment ($\log T_{eff}=4.42$, $\log g=5.2$, $\log q(H)=-4.0$ et $Z=0.10$). Celui-ci permet de constater également que ce paramètre n'affecte pas les capacités de déstabilisation du mécanisme d'opacité identifié. Comme les périodes des modes $p$, $f$ et $g$ varient beaucoup moins avec

<table><caption>Tableau 4.5: Influence du paramètre $M_*$ sur les instabilités. Les périodes (exprimées en secondes) et les temps caractéristiques de croissance (donnés, le cas échéant, en années) appartiennent aux modes $l=2$ obtenus pour le modèle avec $\log T_{eff}=4.42$, $\log g=5.2$, $\log q(H)=-4.0 M_\odot$ et $Z=0.10$.</caption><thead><tr><th rowspan="2">k</th><th colspan="2">M = 0.46 M<sub>☉</sub></th><th colspan="2">M = 0.47 M<sub>☉</sub></th><th colspan="2">M = 0.48 M<sub>☉</sub></th><th colspan="2">M = 0.49 M<sub>☉</sub></th><th colspan="2">M = 0.50 M<sub>☉</sub></th></tr><tr><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th></tr></thead><tbody><tr><td>3 (p)</td><td>315.58</td><td>stable</td><td>320.68</td><td>stable</td><td>326.02</td><td>stable</td><td>331.41</td><td>stable</td><td>335.39</td><td>stable</td></tr><tr><td>2 (p)</td><td>345.69</td><td>stable</td><td>347.88</td><td>stable</td><td>350.58</td><td>stable</td><td>354.22</td><td>stable</td><td>358.26</td><td>stable</td></tr><tr><td>1 (p)</td><td>426.03</td><td>9.3 × 10<sup>-2</sup></td><td>427.70</td><td>9.1 × 10<sup>-2</sup></td><td>429.28</td><td>9.0 × 10<sup>-2</sup></td><td>430.82</td><td>9.0 × 10<sup>-2</sup></td><td>432.26</td><td>9.0 × 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0 (f)</td><td>469.55</td><td>3.4 × 10<sup>0</sup></td><td>485.93</td><td>5.5 × 10<sup>0</sup></td><td>504.56</td><td>7.6 × 10<sup>0</sup></td><td>525.84</td><td>8.4 × 10<sup>0</sup></td><td>543.88</td><td>7.0 × 10<sup>0</sup></td></tr><tr><td>1 (g)</td><td>575.68</td><td>3.8 × 10<sup>-1</sup></td><td>578.25</td><td>4.0 × 10<sup>-1</sup></td><td>580.78</td><td>4.2 × 10<sup>-1</sup></td><td>583.32</td><td>4.4 × 10<sup>-1</sup></td><td>585.90</td><td>4.7 × 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>2 (g)</td><td>687.14</td><td>4.9 × 10<sup>2</sup></td><td>714.87</td><td>9.1 × 10<sup>2</sup></td><td>743.95</td><td>1.6 × 10<sup>3</sup></td><td>774.68</td><td>2.7 × 10<sup>3</sup></td><td>803.67</td><td>4.1 × 10<sup>3</sup></td></tr><tr><td>3 (g)</td><td>914.64</td><td>1.5 × 10<sup>4</sup></td><td>953.84</td><td>2.6 × 10<sup>4</sup></td><td>992.57</td><td>5.8 × 10<sup>4</sup></td><td>1030.91</td><td>1.6 × 10<sup>6</sup></td><td>1069.72</td><td>stable</td></tr><tr><td>4 (g)</td><td>1136.08</td><td>stable</td><td>1185.26</td><td>stable</td><td>1232.44</td><td>stable</td><td>1277.49</td><td>stable</td><td>1325.22</td><td>stable</td></tr><tr><td>5 (g)</td><td>1347.03</td><td>stable</td><td>1399.80</td><td>stable</td><td>1446.74</td><td>stable</td><td>1488.31</td><td>stable</td><td>1529.54</td><td>stable</td></tr></tbody></table>

$M_*$ qu'elles ne le font avec $\log q(H)$, les modes ne quittent pratiquement pas, dans l'intervalle de masse exploré, la fenêtre de périodes instables. De plus, les phénomènes de collisions étant moins sensibles à ce paramètre (ils sont inexistants dans ce modèle pour toutes les masses proposées), les mêmes modes, en terme de type et d'ordre radial, sont excités quel que soit la valeur de $M_*$, à l'exception du mode $g$ d'indice radial $k=3$ dans le modèle de masse $M=0.50 M_\odot$ dont la période sort probablement de la bande d'instabilité.
4.3.5 Mécanisme de déstabilisation

Les résultats des sections précédentes apportent déjà une solide confirmation de l'idée, sugérée
à la section 4.2, qu'il existe, dans les modèles d'étoiles sous-naines de type B, un mécanisme de
déstabilisation lié aux effets, sur l'opacité du gaz, d'une région d'ionisation partielle d'éléments lourds.
Il est cependant intéressant de visualiser explicitement cet effet à travers la comparaison des intégrales
de travail (et de leur dérivée première) pour des modèles à différentes métallicités. La figure 4.4 propose
les profils de ces quantités correspondant au mode f du spectre l = 2 tiré du même modèle instable
utilisé jusqu'à présent (log T<sub>eff</sub> = 4.42, log g = 5.2, M = 0.48 M<sub>☉</sub> et log q(H) = -4.0) pour des métallicités
respectives de Z = 0.02, 0.04, 0.06, 0.08 et 0.10.

<figure><img src="image_86.png" /></figure>

Figure 4.4: Panneau supérieur: Intégrants de l'intégrale de travail ($d\bar{W}/dr$) du mode f (avec $l=2$) pour les modèles d'enveloppes avec log $T_{\text{eff}}$ = 4.42, log = 5.2, $M = 0.48 M_{\odot}$, log $q(H)$ = -4 et, respectivement, $Z = 0.02, 0.04, 0.06, 0.08$ et 0.10. Panneau central: Profils de l'intégrale de travail ($\bar{W}$) pour ce même mode issu des mêmes modèles. Panneau inférieur: Profils correspondants pour l'opacité moyenne de Rosseland (log $\kappa$).
Le panneau du haut montre l'intégrant de l'intégrale de travail ($d\overline{W}/dr$) normalisé à l'unité au maximum en fonction de la profondeur dans l'étoile. Les pics associés à la région déstabilisatrice ($d\overline{W}/dr > 0$) concordent toujours, en accord avec les résultats de la section 4.2, à la structure de l'opacité engendrée par l'ionisation des éléments lourds (c.f., panneau du bas). Ils sont, par construction, en raison de la normalisation arbitraire utilisée pour représenter les profils, tous de même hauteur bien que leurs amplitudes réelles puissent être différentes. Les écarts surviennent au niveau de la région stabilisatrice, située en dessous du pic d'excitation ($d\overline{W}/dr < 0$), qui semble moins profonde pour les modèles disposant de plus grandes métallicités. Là encore, il ne s'agit que d'un effet relatif induit par la normalisation utilisée. Cette comparaison permet néanmoins de conclure que la région stabilisatrice devient plus faible par rapport à la zone d'excitation lorsque la métallicité est accrue dans l'enveloppe des modèles.

Le panneau central présente les intégrales courantes $\overline{W}(r)$ calculées à partir des fonctions $d\overline{W}/dr$ données dans le panneau du haut. Elles montrent de manière plus quantitative la contribution respective de chacune des régions à la déstabilisation ou à la stabilisation globale du mode. Le mode présenté dans la figure est stable pour $Z \lesssim 0.04$ car la baisse de $\overline{W}(r)$ engendrée par la zone de stabilisation radiative est trop importante pour que la région d'excitation puisse ensuite amener cette quantité à rejoindre les valeurs positives. Pour $Z \gtrsim 0.06$, le mode devient instable et la baisse associée à la région stabilisatrice semble moins prononcée. Le mécanisme d'excitation est alors capable de surpasser l'effet de ces régions conduisant en bout de ligne à une valeur positive, synonyme d'instabilité, pour $\overline{W}$. Il est difficile d'établir si, lorsqu'on augmente la métallicité, les instabilités surgissent en raison d'une région d'excitation plus forte (dans l'absolu) ou bien parce que la zone de stabilisation devient moins active. La figure semble, curieusement et contre-intuitivement, suggérer la seconde solution.

Une dernière remarque sur cette figure concerne le petit déplacement, vers la surface de l'étoile, de la région d'excitation qui accompagne la hausse de métallicité dans les modèles. Le gradient de température plus important imposé par la plus grande opacité est probablement responsable du déplacement vers le haut de la zone d'ionisation des éléments lourds (pour des modèles possédant la même température effective). Cet effet, qui pourrait affaiblir le mécanisme d'excitation, demeure cependant de second ordre comparativement au gain relatif en efficacité que celui-ci reçoit par l'enrichissement de l'enveloppe en métaux.

## 4.4 Une nouvelle classe d'étoiles pulsantes?

Dans cette section, nous allons discuter des résultats obtenus relativement à la stabilité des modes d'oscillation dans les sdB. Il est important de faire un lien entre les expériences numériques menées jusqu'à présent, en particulier celles reliées à la métallicité dans les modèles, et les connaissances amassées au fil des années sur ces objets. Bien entendu, compte tenu du mécanisme à pied d'œuvre, les questions primordiales tournent principalement autour des possibilité dont disposent ces étoiles pour concentrer une quantité suffisante de métaux dans leur enveloppe riche en hydrogène afin d'engendrer des pulsations. La difficulté majeure émerge du constat qu'une métallicité solaire ($Z \sim 0.02$) ne suffit pas à déstabiliser ces étoiles et qu'il faut nécessairement faire appel à des abondances métalliques plus importantes ($Z \gtrsim 0.04$) pour voir apparaître des modes excités. Est-il possible,
dans la nature, de rencontrer des étoiles sous-naines de type B possédant un tel enrichissement en métaux? Existe-t-il des solutions alternatives plausibles favorisant également le mécanisme d'excitation identifié et ainsi le développement de pulsations? Autant de questions fondamentales dont les réponses conditionnent, dans un contexte où les étoiles sous-naines pulsantes n'ont pas encore été annoncées, les conclusions sur l'existence ou non d'oscillations dans ces étoiles et donc sur le potentiel que représente l'astéroséismologie pour ces objets.

### 4.4.1 La métallicité des sdB

Pour tous les modèles utilisés, qu’ils soient évolutifs ou bien statiques, nous avons implicitement supposé que la distribution des métaux était uniforme dans l’enveloppe de l’étoile et que la métallicité reflète, en conséquence, la composition du milieu interstellaire environnant. Les modèles évolutifs ont été construits en supposant une métallicité solaire, appropriée pour des étoiles appartenant au disque de notre galaxie. Pour obtenir des instabilités dans les modèles, nous avons vu qu’il fallait accroître la valeur de cette métallicité d’au moins un facteur 2 ($Z \ge 0.04$). Est-il possible de trouver dans notre galaxie des régions à ce point enrichies en métaux? Cela semble plutôt difficile d’autant que les sdB, objets évolués descendant d’étoiles peu massives de la séquence principale, appartiennent généralement à une vieille population.

Il existe cependant une alternative bien plus intéressante et prometteuse. L'idée se base sur un fait observationnel bien connu parmi les gens qui s'intéressent aux sdB et déjà brièvement mentionné au cours du Chapitre 2. Il s'avère, en effet, que toutes les sdB observées à ce jour présentent des anomalies d'abondance dans leur atmosphère (quelques références sont données à la section 2.2.3 du Chapitre 2). Celles-ci sont, comme nous l'avons déjà mentionné, communément attribuées à des mécanismes de diffusion des éléments chimiques suite à la compétition entre le triage gravitationnel, dont la tendance est de faire couler les éléments plus lourds, et la lévitation radiative, dont la tendance est au contraire de les supporter par pression radiative. En l'absence d'autres mécanismes en compétition (vents stellaires faibles, accrétion, turbulences), il est possible de montrer qu'un état d'équilibre entre ces deux phénomènes est atteint assez rapidement, avec des temps caractéristiques bien inférieurs au temps évolutif typique des sdB ($10^8$ ans). Les calculs de forces radiatives sur les métaux présents dans l'enveloppe des sdB conduisent effectivement à la prédiction d'abondances de surface anormales et constituent un premier pas vers la compréhension de ces observations. D'un intérêt plus direct pour nous, ces calculs entraînent également, dans ces étoiles, à l'apparition de distributions d'abondances *non-uniformes*, avec des *sur-abondances* et des *sous-abondances* locales, qui dépendent de la structure atomique de chaque élément chimique. Le point important dans le contexte des pulsations est de réaliser que pour déstabiliser les modes, il n'est pas nécessaire d'accroître la métallicité uniformément dans toute l'enveloppe et que la présence de *sur-abondances locales* en métaux situées au niveau de la région excitatrice doit théoriquement suffire.

Un contributeur majeur à l'opacité du gaz, par son abondance et sa structure atomique, est le fer. Celui-ci est essentiellement responsable de la bosse secondaire observée dans l'opacité de Rosseland et associée à l'excitation des modes dans les sdB. Il est donc intéressant de regarder la distribution d'abondance non-uniforme prédite par la théorie de la lévitation radiative pour cet élément. Ces profils sont donnés dans la figure 4.5 pour 8 enveloppes avec $log g = 5.4$ et $log T_{eff} = 4.34$ jusqu'à 4.62 par pas de 0.04. Ils furent calculés par P. Chayer avec les mêmes outils décrits dans Chayer et al., 1995a dans
un contexte de naines blanches (voir également la section 5.2 du Chapitre 5). L'équilibre est supposé entre la force radiative et la force de gravité sans autre processus en compétition et l'enveloppe est constituée d'hydrogène pur contaminé uniquement par des traces de fer. L'absence d'hélium dans la composition chimique est, de toute façon, pleinement justifiée pour les sdB puisque la plupart d'entre elles montrent des déficiences importantes en hélium dans leur atmosphère (c.f., section 2.2.3). De plus, d'après les calculs de diffusion, l'hélium n'est pas soutenu par la radiation et coule très rapidement vers les couches profondes de l'étoile.

<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>Figure 4.5: Profils d'abondance de fer calculés selon la théorie de la lévitation radiative à l'équilibre pour 8 modèles d'enveloppes de sdB constituées d'hydrogène pur (et de traces de fer) avec $log g = 5.4$ et, respectivement de bas en haut, $log T_{eff} = 4.34, 4.38, 4.42, 4.46, 4.50, 4.54, 4.58$ et $4.62$. La ligne pointillée indique la proportion de fer correspondant à une métallicité solaire ($log N(Fe)/N(H) = -4.5$).</figcaption></figure>

Nous observons, dans cette figure, un comportement typique en théorie de la lévitation radiative: lorsque la température augmente, le champ de radiation devient plus intense et, en conséquence, la quantité de fer supportée dans l'enveloppe devient plus grande. Pour les pulsations, les profils présentés sont d'une importance primordiale puisqu'ils montrent que les quantités de fer (en nombre d'atomes) atteignent localement, pour les modèles les plus chauds, des concentrations jusqu'à 100 fois plus élevées que celles rencontrées dans un mélange de composition solaire. On remarque de plus que les maxima des distributions se situent à proximité de la région de déstabilisation (grossièrement dans l'intervalle $-8 \gtrsim log q \gtrsim -10$, dépendant de la température effective du modèle). Ceci renforce très fortement le potentiel pour exciter des modes de pulsation, d'autant que pour obtenir de telles sur-abondances locales, il n'est pas nécessaire de disposer au départ de grandes quantités de fer puisque le réservoir en lévitation dans l'enveloppe ne représente qu'une infime partie de la quantité totale de fer présent dans l'étoile. Du moment que cette dernière n'est pas complètement dépourvue de cet élément, les sur-abondances locales présentées dans la figure 4.5 vont s'établir.
4.4.2 Prédictions théoriques

Les remarques précédentes nous autorisent à avancer plusieurs conclusions au sujet de la stabilité des modes de pulsations dans les étoiles sous-naines de type B. Nous avons identifié un mécanisme d'excitation qui devient effectif à hautes métallicités, déstabilisant certains modèles pour $Z \gtrsim 0.04$, soit deux fois la métallicité solaire. Ce mécanisme étant associé à une région d'ionisation partielle d'éléments lourds – principalement du fer – très localisée dans l'étoile, nous avons précisé que cette sur-abondance en métaux (par rapport aux quantités solaires) est uniquement nécessaire localement, dans la région où le mécanisme déstabilisateur opère. Nous avons vu que les phénomènes de diffusion, courants dans les sdB, sont en mesure d'instaurer des distributions d'abondances non-uniformes pour les divers éléments chimiques habituellement présents dans l'enveloppe de ces étoiles. En particulier, un réservoir de fer, contributeur majeur à l'opacité du gaz et en grande partie responsable de la bosse secondaire d'ionisation partielle, s'établit en produisant d'importantes accumulations locales, notamment dans la région où se produit l'excitation des modes. Ces constatations suggèrent donc très fortement que parmi les étoiles sous-naines de type B, certaines devraient être en mesure de développer des pulsations. A l'époque (automne 95 et hiver 1996), alors que la découverte de la classe des sdB pulsantes n'était pas encore annoncée (voir section 4.4.3), cette conclusion constitua une prediction théorique en faveur de l'existence d'une telle catégorie d'objets pulsants et fut présentée en juin 1996 à l'occasion du 10ème Workshop Européen sur les Naines Blanches à Blanes, en Espagne (Charpinet et al., 1997c). Parallèlement, un article dans Astrophysical Journal Letters fut publié à ce sujet (Charpinet et al., 1996; voir l'annexe D).

Au delà de cette prédiction théorique suggérant l'existence d'une catégorie de sdB pulsantes, les calculs effectués dans ce chapitre apportent également quelques éléments quantitatifs en mesure d'être confrontés aux observations. Il faut néanmoins être conscient que dans le contexte du mécanisme proposé qui entre en œuvre — mécanisme dont l'efficience est possible uniquement par accumulation locale, sous l'effet de phénomènes de diffusion (triage gravitationnel et lévitation radiative), dans la région déstabilisatrice, de quantités de fer plus importantes que les proportions habituellement rencontrées dans les étoiles de composition solaire — les modèles utilisés avec des sur-abondances métalliques globales et uniformes (obtenues avec des métallicités plus élevées que $Z=0.02$) font figure d'approximation grossière, disons d'ordre zéro, de la structure de ces étoiles lorsque les mécanismes diffusifs doivent être pris en compte (comme c'est dorénavant le cas pour étudier la stabilité des modes de pulsation). Les résultats quantitatifs obtenus à partir de ces structures, que l'on qualifiera de modèles de première génération, sont donc à prendre avec précaution tant leur représentativité est assujettie au degré de validité de l'approximation de métallicité uniforme utilisée pour simuler les sur-abondances locales. Les calculs effectués sur ces modèles indiquent que les instabilités surviennent dans les structures de faibles températures effectives et gravités de surface. La bande d'instabilité dispose d'un "blue edge" en température et d'une limite supérieure en gravité qui dépendent tous deux de la métallicité dans l'enveloppe des modèles. La région instable la plus vaste est obtenue avec $Z=0.10$ et couvre les étoiles pour lesquelles $T_{\text{eff}} \lesssim 29000$ K et $\log g \lesssim 5.7$; à plus faibles métallicités, ces valeurs limites tendent à diminuer. Les modes instables prédits par ces calculs sont à la fois des pulsations radiales et non-radiales comprenant des modes p, f et g de faible ordre radial. Les périodes excitées attendues dépendent bien entendu des paramètres atmosphériques des modèles mais se distribuent, pour la structure présentée dans le tableau 4.3, dans une fenêtre de 400 à 1100 secondes environ.
### 4.4.3 Confrontation avec les observations

Indépendamment et parallèlement à cette étude de stabilité, un groupe d'astronomes de l'Observatoire Astronomique d'Afrique du Sud (SAAO) annonçait, également à l'occasion du 10ème Workshop Européen sur les Naines Blanches, et donc en même temps que la présentation de nos prédicitions théoriques, la découverte d'une nouvelle classe d'objets pulsants parmi les étoiles sous-naines de type B (O'Donoghue et al., 1997a). Cette découverte accidentelle, fruit d'une méprise dans la procédure de classification des objets répertoriés dans le catalogue Edinburgh-Cape Town ("EC Survey"; voir Kilkenny et al., 1997), a sonné pour nous comme la confirmation des prédicitions avancées suite à la reconnaissance, par les calculs théoriques, du mécanisme de déstabilisation lié à la métallicité. En Espagne, quatre objets appartenant à cette nouvelle classe de pulsateurs, à laquelle le prototype EC14026-2647 a maintenant donné son nom, furent rendus publiques. Depuis, 12 sdB pulsantes avec leurs paramètres de surface et leurs périodes d'oscillation ont fait — ou feront prochainement — l'objet de publications. Aussi, les prédicitions quantitatives issues des calculs de pulsation effectués sur les modèles de première génération ont-elles pu, très rapidement, être confrontées aux récentes données observationnelles.

<table><caption>Tableau 4.6: Liste des 12 sdB pulsantes découvertes et rendues publiques à ce jour (août 1998). Les différents paramètres qui les caractérisent (température effective $T_{eff}$, gravité de surface log g, périodes détectées P, nombre de modes répertoriés $N_{obs}$ et amplitudes des oscillations $\Delta m$) sont donnés ainsi que les références correspondantes.</caption><thead><tr><th>Nom</th><th>T<sub>eff</sub> (K)</th><th>log g</th><th>N<sub>obs</sub></th><th>P (s)</th><th>Δm (mmag)</th><th>Référence</th></tr></thead><tbody><tr><td>PB 8783</td><td>35,700</td><td>5.54</td><td>5</td><td>120-134</td><td>1-9</td><td>Koen et al., 1997</td></tr><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>11</td><td>94-136</td><td>...</td><td>O'Donoghue et al., 1998b</td></tr><tr><td>EC 20117-4014</td><td>34,800</td><td>5.87</td><td>3</td><td>137-159</td><td>1-4</td><td>O'Donoghue et al., 1997b</td></tr><tr><td>EC 14026-2647</td><td>34,700</td><td>6.10</td><td>2</td><td>134-144</td><td>4-12</td><td>Kilkenny et al., 1997</td></tr><tr><td>PG 1047+003</td><td>34,370</td><td>5.70</td><td>13</td><td>104-162</td><td>2-9</td><td>Billères et al., 1997</td></tr><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>16</td><td>91-162</td><td>0.7-8.5</td><td>en préparation</td></tr><tr><td>...</td><td>35,000</td><td>5.90</td><td>9</td><td>104-162</td><td>...</td><td>O'Donoghue et al., 1998a</td></tr><tr><td>EC 10228-0905</td><td>33,500</td><td>6.00</td><td>3</td><td>139-152</td><td>4-14</td><td>Stobie et al., 1997</td></tr><tr><td>PG 1336-018</td><td>33,000</td><td>5.70</td><td>2</td><td>141-184</td><td>5-10</td><td>Kilkenny et al., 1998</td></tr><tr><td>KPD 2109+4401</td><td>31,200</td><td>5.84</td><td>5</td><td>182-198</td><td>2-9</td><td>Billères et al., 1998b</td></tr><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>12</td><td>104-213</td><td>0.2-7.6</td><td>en préparation</td></tr><tr><td>PG 1605+072</td><td>30,000</td><td>5.20</td><td>50?</td><td>290-601</td><td>1-25</td><td>en préparation</td></tr><tr><td>...</td><td>32,100</td><td>5.25</td><td>35</td><td>207-539</td><td>2-64</td><td>Koen et al., 1998a</td></tr><tr><td>Feige 48</td><td>28,900</td><td>5.45</td><td>4</td><td>340-380</td><td>1-7</td><td>Koen et al., 1998b</td></tr><tr><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>6</td><td>258-376</td><td>0.4-6.2</td><td>en préparation</td></tr><tr><td>PG1219+534</td><td>32,800</td><td>5.76</td><td>4</td><td>128-149</td><td>2-9</td><td>Koen et al., 1999</td></tr><tr><td>PG0911+456</td><td>31,900</td><td>5.80</td><td>3</td><td>155-166</td><td>2-7</td><td>Koen et al., 1999</td></tr><tr><td>PG0014+067</td><td>33,310</td><td>5.79</td><td>13</td><td>80-169</td><td>0.4-2.5</td><td>en préparation</td></tr></tbody></table>

Les propriétés physiques ($T_{eff}$, log g, les périodes d'oscillations P exprimées en secondes, le nombre de modes détectés et leurs amplitudes $\Delta m$ en milli-magnitudes) des 12 sdB pulsantes répertoriées sont résumées dans le tableau 4.6 (les références aux articles correspondants sont également indiquées).
La comparaison des paramètres connus pour ces objets avec les prédictions théoriques de la section 4.4.2 n'apparaît, de toute évidence, pas très enthousiasmante. Les instabilités prévues par le calcul se trouvent dans les modèles à faibles températures effectives et gravités de surface alors que l'ensemble, ou presque, des objets observés disposent de températures élevées ($T_{eff} \sim 34000$ K) et de gravités importantes ($\log g \sim 5.8$). De plus, de manière peu surprenante en raison des différences de gravité, les périodes prévues apparaissent trop longues par rapport à celles observées; ces dernières étant au demeurant, en raison des paramètres stellaires correspondant à ces objets, identifiées à des modes acoustiques radiaux et non radiaux de faible ordre radial (voir Stobie et al., 1997, le Chapitre 3 et également le Chapitre 5).

<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>Figure 4.6: Echantillon, dans le plan $\log g - T_{eff}$, d'étoiles sous-naines de type B observées jusqu'à présent (août 1998) par photométrie rapide. Les petits cercles pleins représentent les 63 objets stables identifiés dans l'échantillon de Montréal, alors que les points cerclés numérotés montrent les positions des 12 sdB pulsantes répertoriées dans le tableau 4.6. La croix en bas à gauche donne une estimation typique de l'incertitude sur la température effective et la gravité de surface déterminées par spectrométrie et modélisation d'atmosphère. Le rectangle dans le coin supérieur droit délimité par les lignes pointillées indique schématiquement la région où se trouvent les modèles instables, d'après la grille avec $Z=0.10$.</figcaption></figure>

L'apparente incohérence entre les valeurs observées et les prédictions théoriques est également illustrée, de manière plus visuelle, par la figure 4.6. Elle représente un plan $\log g - T_{eff}$ dans lequel sont disposées toutes les étoiles sous-naines de type B scrutées à ce jour pour rechercher d'éventuelles variations de luminosité. La plupart (ici, 63 étoiles issues de l'échantillon de Montréal), représentées par de petits cercles pleins, sont stables. Par ailleurs, les 12 objets pulsants mentionnés dans le tableau 4.6
sont indiqués par les points cerclés numérotés (à chaque numéro est associé le nom, également fourni
dans la figure, correspondant à l'une de ces sdB pulsantes). Le rectangle délimité en haut à droite par
les lignes pointillées représente la portion du plan log g − T$_{eff}$ où les modèles instables sont confinés.
Cette région tend à rétrécir vers de plus faibles gravités de surface et températures effectives lorsque
la métallicité diminue dans l'enveloppe des modèles pour finalement disparaître à Z < 0.04.

Cette représentation montre très clairement que la correspondance entre les prédictions théo-
riques et les données observationnelles est mauvaise. Cependant, contrairement aux apparences, la
situation n'est pas dramatique pour l'ensemble des conclusions énoncées auparavant à l'aide de la
théorie, concernant en particulier l'existence même du mécanisme d'excitation identifié dans les mo-
dèles. Les structures de première génération calculées à metallicité *uniforme* sont, comme nous l'avons
déjà mentionné, une représentation grossière des effets engendrés par l'accumulation d'éléments lourds,
en particulier le fer, dans la région de déstabilisation des modes puisque les profils d'abondance
des éléments chimiques engendrés par les processus de diffusion sont clairement *non-uniformes*. La
confrontation avec les observation des résultats théoriques obtenus à partir de ces modèles ne disqualifie
donc pas le mécanisme d'excitation invoqué. Elle montre cependant très clairement que cette approche
grossière, si elle a permis de prédire l'existence de sdB pulsantes, n'est pas en mesure, et c'était
prévisible, de reproduire dans le détail, avec une précision acceptable, les propriétés observées qui
caractérisent cette nouvelle classe d'étoiles variables.

4.5 Perspectives

Dans ce chapitre, nous avons axé nos efforts sur l'évaluation, à partir des outils de la théorie non-
adiabatique des pulsations stellaires appliqués à nos modèles évolutifs et statiques, du potentiel que
peuvent avoir certains modes à devenir instables dans les étoiles sous-naines de type B. La tentative
fut fructueuse dans la mesure où un processus efficace de déstabilistation des modes, un mécanisme
κ lié à l'ionisation partielle d'éléments metalliques (en particulier le fer), a pu être identifié dans les
modèles. Celui-ci n'est cependant capable de déstabiliser des modes qu'à hautes métallicités (Z ≳ 0.04;
soit au moins deux fois la métallicité solaire). Néanmoins, en raison des phénomènes de diffusion des
éléments chimiques qui se manifestent dans ces étoiles, nous avons constaté, suite à plusieurs calculs
préliminaires de profils d'abondances obtenus à l'équilibre diffusif, la constitution d'un important
réservoir de fer dans l'enveloppe des modèles. Ainsi, la concentration de cet élément peut atteindre,
localement, plusieurs dizaines de fois la proportion solaire, notamment dans la région d'excitation des
modes par le mécanisme d'opacité identifié. Une situation qui suggère donc très fortement que certaines
sdB peuvent devenir instables sous l'effet couplé de la diffusion des éléments lourds et du mécanisme
κ. Les premiers résultats issus de l'observation vont dans le sens de cette prédiction. Toutefois, la
comparaison quantitative entre les données obtenues et les résultats des calculs révèle une apparente
incohérence. Loin de disqualifier le mécanisme invoqué, celle-ci semble plutôt souligner les limites des
modèles d'étoiles sous-naines utilisés jusqu'à présent où, pour simuler les profils non-uniformes des
abondances d'éléments lourds occasionnant des accumulations locales supra-solaires, la métallicité a
été accrue uniformément dans toute l'enveloppe des modèles (structures de première génération).
Les limites rencontrées avec cette approximation “grossière” montrent que ces modèles de première génération ne permettent pas de confirmer sans équivoque, c’est-à-dire en prédisant quantitativement plusieurs des principales caractéristiques observées pour les sdB pulsantes, l’implication du mécanisme d’opacité suggéré. Ainsi, même si les présomptions penchent très fortement en sa faveur de celui-ci pour engendrer des pulsations dans les sdB, l’absence de concordance suffisante entre observations et calculs est en mesure de susciter, avec raison, le doute quant à sa réelle effectivité. Aussi, pour palier à ce problème, la perspective future sera certainement de gravir une marche supplémentaire dans le réalisme de la représentation des modèles d’étoiles sous-naines en tenant compte plus rigoureusement des effets de diffusion des éléments lourds. Aux structures de première génération, l’ordre zéro en terme du traitement des sur-abondances d’éléments chimiques (profils *uniformes* pour la métallicité), nous devons donc substituer des modèles de deuxième génération, construits à partir de distributions *non-uniformes* de métaux (en particulier de fer) imposées par les processus diffusifs. Cette prochaine étape sera l’objet des discussions dans le Chapitre suivant.
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# Partie III

## Modèles de Seconde Génération
Succès et Potentiel de l'Approche
Théorique
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# Chapitre 5

## Nouvelle Etude de Stabilité
Modèles de Seconde Génération

### 5.1 Introduction

Le mécanisme d'excitation des modes de pulsation dans les sdB, découvert durant l'étude de stabilité présentée au chapitre précédent, devient fonctionnel lorsque la concentration d'éléments lourds dans l'enveloppe riche en hydrogène de l'étoile atteint des proportions extra-solaires. Bien que de telles quantités de métaux soient difficilement justifiables dans un contexte d'enrichissement global du matériel composant l'étoile, il s'avère que des accumulations locales d'éléments lourds sont, en raison des processus de diffusion à l'œuvre dans les sdB, fortement suspectées dans les régions où le mécanisme déstabilisateur opère. Dans ce contexte, les structures de première génération, calculées à métallicité élevée mais uniforme, sont davantage assimilables à une tentative grossière de modélisation des effets, notamment sur l'opacité, de l'enrichissement local en métaux du gaz constituant l'enveloppe de ces objets. Au delà de la prédiction théorique affirmant l'existence d'une classe d'étoiles sous-naines de type B pulsantes, cette approximation s'est révélée, sans grande surprise *a posteriori*, d'une piètre capacité à reproduire quantitativement les récentes données issues de l'observation. Aussi, convaincus que le mécanisme de déstabilisation identifié n'est pas remis en cause par ces incohérences, mais conscients que des arguments quantitatifs plus solides sont nécessaires pour conforter les présomptions quant à son rôle dans l'excitation des modes de pulsation, une seconde étude de stabilité portant sur des structures nouvelles, incluant de façon plus réaliste les effets de la diffusion des éléments lourds, nous est apparue nécessaire. Ce Chapitre relate donc les différentes étapes de cette entreprise ainsi que les principaux résultats qui en découlent.
Afin de tenir compte des effets de diffusion des éléments chimiques dans les modèles, nous sommes contraints de faire appel aux résultats issus de la théorie de l'équilibre entre lévitation radiative et triage gravitationnel, celle-ci permettant d'évaluer quantitativement les profils d'abondance non-uniformes des divers éléments atomiques composant le gaz. Par souci de compléture, quelques aspects importants qui caractérisent cette théorie seront donc abordés dans la section 5.2.

La section 5.3 sera consacrée aux détails de la construction des modèles de seconde génération dans lesquels sont inclus les profils d'abondance non-uniformes générés par les processus de diffusion. Une comparaison structurelle avec les modèles à métallicité uniforme sera également proposée afin de cerner les différences majeures qui peuvent apparaître entre ces deux types de structures.

La stabilité d'un modèle de référence, aux paramètres de surface typiques de la majorité des sdB pulsantes maintenant connues, calculé selon les préceptes de la section précédente, fera alors l'objet de toute notre attention (section 5.4). Les résultats obtenus constitueront très certainement une étape fondamentale pour la poursuite de cette étude théorique dans la voie qui s'est naturellement dessinée jusqu'à présent.

A l'aide d'une grille de modèles de seconde génération couvrant la totalité de la région du plan log g - T<sub>eff</sub> occupée par les sdB, nous serons alors en mesure de proposer plusieurs prédictions additionnelles concernant les propriétés globales de cette classe d'objets pulsants (section 5.5). Celles-ci pourront être comparées avec les récentes données observationnelles recueillies pour 12 objets disponibles dans le domaine public. Les succès, mais aussi les limites, des modèles de seconde génération seront alors discutés. Ils laisseront entrevoir les diverses directions vers lesquelles il sera possible de s'orienter pour les investigations futures.

Dans la section 5.6, nous aborderons le sujet qui, à terme, occupera la plupart des astronomers impliqués dans l'étude des sdB pulsantes: l'utilisation des périodes de pulsation observées pour sonder, à l'aide de l'astéroséismologie, la structure de ces étoiles. Cette section ne constituera qu'un prélude visant principalement à souligner le potentiel de cette technique dans le contexte des étoiles sous-naines de type B. Nous chercherons aussi à cerner, à la lumière des résultats accumulés tout au long des chapitres antérieurs, les contraintes et les limites qui surgiront face aux astronomers impliqués dans cette recherche.

Finalement, un cours résumé des principaux résultats amassés tout au long de ce Chapitre et des perspectives à venir ouvertes par cette étude des modèles de seconde génération sera dispensé dans la section 5.7.

## 5.2 Diffusion des éléments lourds

Lorsqu'un gaz suffisamment et durablement stable, c'est-à-dire non sujet aux mouvements turbulents ou convectifs de grande ampleur, est constitué d'une mixture d'éléments chimiques variés, des processus diffusifs peuvent, dans certaines circonstances, s'établir et s'amplifier. Sous l'action de forces sélectives, par exemple la gravitation ou encore la pression radiative, certains éléments
vont alors migrer à travers le gaz conduisant, à terme, sinon à une séparation complète des diverses composantes chimiques, du moins à une distribution non-uniforme des constituants du gaz. Ainsi, la force de gravité, qui possède une influence prépondérante sur le gaz composant les étoiles, affecte différemment les diverses espèces chimiques en présence. Les éléments les plus lourds seront amenés à sombrer vers l'intérieur de l'astre alors que les plus légers, subissant la poussée d'Archimède, auront davantage tendance à flotter et s'élever vers la surface de l'étoile. Ce processus, auquel il est souvent fait référence sous le nom de triage gravitationnel, doit normalement, en l'absence d'autres mécanismes en compétition, après un certain laps de temps qui dépend de la mobilité de chaque espèce chimique, conduire à une séparation complète entre les diverses composantes du gaz. Il existe toutefois des processus capables d'empêcher cette lente ségrégation du matériel stellaire parmi lesquels le transport convectif qui, par son brassage continu à travers plusieurs couches de l'étoile, peut contrer ou ralentir efficacement la chute des éléments lourds; ou encore les forces radiatives qui s'opposent généralement à la force de gravité. Ces dernières présentent un intérêt particulier puisqu'à travers les mécanismes de photo-absorption, elles agissent sélectivement sur les éléments chimiques autorisant, pour chacun d'eux, une certaine quantité à léviter dans les hautes couches de l'étoile (dans l'enveloppe et l'atmosphère). Ce phénomène est généralement évoqué sous le nom de lévitation radiative et son implication dans la formation des anomalies d'abondance parfois observées dans l'atmosphère de certaines étoiles (en particulier dans celle des sdB; voir la section 2.2.3 du Chapitre 2 et les références qui y sont proposées) est maintenant reconnue.

Dans le contexte particulier qui nous concerne, à savoir les possibilités de formation d'un important réservoir de fer dans l'enveloppe des étoiles sous-naines de type B, la lévitation radiative, et sa capaciter à lutter contre l'effet de séparation engendré par la force de gravité, occupe la position centrale parmi l'ensemble des mécanismes qui peuvent engendrer le transport d'espèces chimiques par diffusion. Pour cette raison, un soin particulier fut apporté à l'évaluation des accélérations radiatives agissant sur les constituants du gaz.

### 5.2.1 Hypothèses de calcul

L'approche adoptée pour évaluer les profils d'abondance non-uniformes est présentée en détails dans Chayer et al., 1995a. Elle fut appliquée, à l'époque, dans le contexte des naines blanches mais la méthode s'adapte néanmoins sans difficulté au cas des étoiles sous-naines de type B (Chayer, 1996; communication privée). En raison de la lourdeur du traitement de la diffusion dû, en particulier, à la prise en compte des forces radiatives, le calcul repose sur plusieurs hypothèses simplificatrices qu'il convient de préciser avant de présenter la formulation du problème et les résultats qui en découlent.

En premier lieu, la situation est idéalisée en considérant la diffusion entre deux constituants du gaz uniquement: l'un est présent sous forme de traces (c'est-à-dire en très petites quantités) et baigne dans un plasma presque pur constitué de l'autre élément chimique. Pour les modèles de sdB qui nous intéressent, l'enveloppe est donc composée d'hydrogène pur contaminée seulement par des traces de fer. Si l'hypothèse d'une enveloppe d'hydrogène pur semble assez justifiée (l'hélium, constituant généralement la seconde espèce chimique majoritaire présente dans les étoiles, parce qu'il n'est pas supporté en grandes quantités par le champ de radiation, est suspecté d'être fortement sous-abondant dans l'enveloppe des sdB), en revanche, des éléments lourds autres que le fer polluent certainement le gaz. Néanmoins, leur présence sous forme de trace permet, en première approximation, d'en ignorer