# Modèles numériques multi-échelles du comportement anélastique des matériaux et leurs applications en analyse non linéaire et en conception optimale

Damijan Markovic, Adnan Ibrahimbegovic, Sergiy Melnyk, Igor Gresovnik

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Damijan Markovic, Adnan Ibrahimbegovic, Sergiy Melnyk, Igor Gresovnik. Modèles numériques multi-échelles du comportement anélastique des matériaux et leurs applications en analyse non linéaire et en conception optimale. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01813050

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# Modèles numériques multi-échelles du comportement anélastique des matériaux et leurs applications en analyse non linéaire et en conception optimale

Damijan Markovic*,** — Adnan Ibrahimbegovic* — Sergiy Melnyk* — Igor Gresovnik***

* LMT/ENS de Cachan

61, avenue du Président Wilson, F-94235 Cachan cedex

markovic@lmt.ens-cachan.fr

** Center for Aerospace Structures, University of Colorado, CO 80309 Boulder

*** Centre for Computational Continuum Mechanics, Ljubljana, Slovénie

RÉSUMÉ. Dans ce travail nous nous intéressons aux problèmes d'analyse non linéaire du comportement anélastique des matériaux et à leur conception optimale. Pour pouvoir interpréter un tel comportement d'une manière plus fiable, on propose ici une approche multi-échelles où l'interprétation des mécanismes anélastiques est cherchée à l'échelle micro. Les échelles sont considérées comme couplées, ce qui nous oblige de faire avancer le calcul simultanément sur les deux échelles, macro et micro. Nous appliquons cette stratégie multi-échelles à un problème d'optimisation où nous cherchons à trouver une forme optimale d'une inclusion afin de maximiser l'énergie dissipée d'une structure sous une sollicitation extrême.

ABSTRACT. In this work we deal with nonlinear analysis of inelastic material behavior and their optimal design. To be able to describe such a behavior in a reliable manner, we propose a multi-scale approach where inelastic mechanisms are represented at a micro scale. The scales are considered as coupled, which imposes to carry out the computations on the scales, micro and macro, simultaneously. We apply this multi-scale strategy to an optimization problem where we seek for an optimal inclusion shape in order to maximize the dissipated energy of a structure under extreme loading.

MOTS-CLÉS : modélisation multi-échelles, optimisation, méthode des éléments finis, plasticité, endommagement.

KEYWORDS: multi-scale modelling, optimization, finite element method, plasticity, damage.
# 1. Introduction

Dans la conception courante des structures du génie civil et du génie mécanique on a tendance à chercher une optimalité du comportement par rapport aux dimensions à l'échelle de la structure tout en négligeant les aspects du dimensionnement de la microstructure. Néanmoins, pour les matériaux composites les différents paramètres de leur composition, comme le sont par exemple les taux volumiques de différentes phases, la distribution, la taille et la forme des inclusions, peuvent considérablement influencer le comportement global d'une structure. Cela est d'autant plus vrai si nous analysons la structure à son état limite ultime, où des phénomènes non-linéaires sont activés et où les échelles deviennent fortement couplées. Pour que l'effet des propriétés de la microstructure puisse être pris en compte correctement, nous avons besoin d'une stratégie de calcul adéquate. Les approches classiques à la modélisation des matériaux composites, basées sur les méthodes d'homogénéisation (voir par exemple [BEN78], [BER79] ou une revue récente, [BOR01]), se sont montrées très efficaces notamment pour un comportement linéaire et ne sont pas toujours extensibles à un comportement anélastique non-linéaire (voir par exemple [GIL95]). De plus, les méthodes d'homogénéisation sont toujours fondées sur l'hypothèse que les échelles en question sont complètement séparées et ne peuvent pas prendre en compte un couplage fort entre les échelles, caractéristique pour des sollicitations extrêmes.

Deux entre nous avons récemment proposé une stratégie de calcul multi-échelles adaptée à la modélisation des structures hétérogènes obéissant aux comportements non-linéaires (voir [IBR03], [MAR04b]). Comme cette approche permet de modéliser un couplage fort entre les échelles, elle est parfaitement applicable au cadre de ce travail sur l'optimisation. Même si notre méthode entraîne un coût de calcul assez élevé, puisqu'elle utilise une représentation très fine de la microstructure par la méthode des éléments finis (MEF), le temps de calcul peut rester dans les limites raisonnables, grâce à l'efficacité de l'implantation permettant le calcul parallèle. Nous appliquons la méthode multi-échelles développée à un problème d'optimisation de la forme des inclusions. Plus précisément, on cherche à établir la forme optimale d'interface entre les phases d'un matériau composite. Le problème choisi ici est un matériau modèle constitué de deux phases, une avec un comportement plastique et l'autre avec endommagement ou les vides. Une approche originale, permettant de trouver la solution d'une manière beaucoup plus efficace que l'approche standard est construite (voir [IBR04a]), en suivant les idées proposées par notre travail récent sur une autre classe de problème en mécanique non linéaire en grandes transformations (voir [IBR04b]).
## 2. Formulation du couplage multi-échelles

### 2.1 Concept des échelles fortement couplées

Nous considérons le cadre général des analyses des structures hétérogènes, soumises à un chargement important et obéissant aux comportements anélastiques non-linéaires du type plasticité et/ou endommagement. Nous supposons que les échelles sont fortement couplées et que les évolutions correspondantes doivent être calculées simultanément. La MEF s'est montrée incontestablement efficace pour des problèmes en mécanique des solides, ce qui nous a amenés à l'utiliser aux deux échelles en question. Alors, la structure est maillée par un maillage EF macro, dont chaque élément est maillé par un maillage EF micro (voir Figure 1).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1 :** Modèle EF micro-macro d'une structure simple. Chaque EF macro représente également le sous-domaine du modèle micro défini aussi par la MEF.</figcaption></figure>

Les quantités du modèle EF macro (résidu, raideur etc.) sont obtenues à partir des calculs micro, remplaçant ainsi l'emploi d'une loi de comportement au niveau d'un élément fini et non pas au niveau d'un point d'intégration de Gauss.

### 2.2. Formulation variationnelle et implantation numérique

Le couplage entre les échelles est établi par la méthode des multiplicateurs de Lagrange localisés (voir par exemple [PAR02] et [PAR00]), où le maillage macro joue le rôle du "cadre", qui est lié au maillage micro par les multiplicateurs de Lagrange. Nous pouvons écrire le potentiel élastique, dont la valeur stationnaire mène à la solution du problème, de la manière suivante :

$$ \Pi = \int_{\Omega^m} \Psi^m(\epsilon, \xi_k) \, dV + \int_{\Gamma} \lambda(u_m - u_M) \, dS - \int_{\partial\sigma\cap\Omega} u_M t \, dS - \int_{\Omega} u_m f \, dV \mapsto \text{stat.} $$
où $u_M$ est le champ de déplacement (discrétisation grossier) et $u_m$ est le champ de déplacement micro (discrétisation fine). De même, $\Psi^m$ est l'énergie libre micro, $\varepsilon$ est le champ de déformation à l'échelle micro, $\xi_k$ sont les variables internes à l'échelle micro, et $\lambda$ est le champ des multiplicateurs de Lagrange, liant deux échelles différentes. Enfin, $\Omega$ définit le domaine total, $\partial_o\Omega$ est la partie du bord, où les efforts sont imposés et $\Gamma$ dénote l'interface totale entre les échelles. En utilisant la condition pour le point stationnaire du potentiel, nous pouvons obtenir la formulation faible en termes des trois groupes d'équations : l'équilibre micro, la compatibilité micro-macro et l'équilibre macro. A partir de la formulation variationnelle introduite, nous construisons deux sortes différentes d'interface, l'interface en déplacement et l'interface en effort. Les deux résultent d'un choix particulier sur la discrétisation du champ de multiplicateurs de Lagrange, dont l'effet sur la qualité des résultats est étudié dans [MAR04b].

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 2 :** Schéma du calcul parallèle. A l'échelle macro nous effectuons la résolution et l'assemblage (opérateur A) standard d'EF. Les résidus et les raideurs élémentaires sont obtenus par les analyses EF à l'échelle micro pour les déplacements macro donnés.</figcaption></figure>

La méthode a été implantée dans le code EF FEAP (développé à l'Université de Californie, Berkeley, E.-U.), couplé avec le code de communication vis réseau CTL (développé à l'Université technique de Braunschweig, Allemagne), qui permet d'effectuer les calculs parallèles. L'implantation est construite de telle manière qu'à chaque sous-problème micro on attribue un processus indépendant, qui peut occuper un seul processeur d'une machine parallèle (voir Figure 2). Les détails de cette implantation sont présentés dans [MAR04a] et [MAR04c].

### 3. Problème d'optimisation de forme

En s'appuyant sur la formulation de problèmes d'optimisation selon [IBR04b] et adaptée pour des cas anélastiques non-linéaires dans [IBR04a], nous considérons dans l'exemple présent un processus de flexion trois point d'une structure hétérogène, dans lequel nous voulons maximiser la dissipation anélastique. La
structure est composée d'une matrice, où des inclusions sont distribuées périodiquement (voir Figure 3). La matrice est supposée obéir à un comportement élasto-plastique et les inclusions à un comportement endommageable.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 3 :** *Structure hétérogène à une distribution régulière des inclusions. Parmi les ellipses nous cherchons la forme optimale d'inclusion, qui rend la dissipation anélastique dans la matrice maximale.*</figcaption></figure>

Notre objectif étant de maximiser la dissipation anélastique dans la matrice nous imposant aussi des contraintes concernant les inclusions. En particulier, nous résolvons deux problèmes avec deux contraintes différentes. Dans le premier cas, nous imposons une borne supérieure au volume des inclusions et dans le deuxième cas, à la dissipation de l'endommagement dans les inclusions. Dans Figure 4 nous observons que les ellipses optimales ainsi obtenues se différencient surtout dans le volume, leurs formes comme les orientations restant très proches.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 4 :** *Deux formes d'inclusions menant à une dissipation maximale pour deux types différents de limites supérieures : sur le volume de l'inclusion (à droite) et sur la dissipation d'endommagement (à gauche).*</figcaption></figure>

## 4. Conclusions

Dans ce travail nous proposons une stratégie d'optimiser des propriétés du matériau à une échelle microscopique par rapport à un comportement global désiré de la structure. Une formulation récente du problème d'optimisation est reprise et adapté au modèle multi-échelles, qui permet de modéliser le couplage fort entre les échelles. Grâce à l'implantation efficace pour le calcul parallèle, l'algorithme est applicable aux problèmes d'une grande taille. Dans l'exemple numérique nous
modélisons un essai de la flexion trois points d'une structure hétérogènes, où nous cherchons à maximiser l'énergie dissipée en optimisant la forme d'inclusion.

## 5. Bibilographie

[BEN 78] BENSSOUSAN A., LIONS J., PAPANICOULAU G., *Asymptotic analysis for periodic structures*, North Holland, Amsterdam, 1978.

[BER 79] BERVEILLER M., ZAOUI A., « An extension of the self-consistent scheme to plas- tically flowing polycristal. », *J.Mech.Phys.Solids*, vol. 6, 1979, p. 325-344.

[BOR 01] BORNERT M., BRETHEAU T., GILORMINI P., *Homogénéisation en mécanique des matériaux*, vol. I & II, Hermes-Science, Paris, 2001.

[GIL 95] GILORMINI P., « A shortcoming of the classical non-linear extension of the self-consistent model », *C.R. Acad. Sci. Paris*, vol. 320 (116), 1995, p. 115-122.

[IBR 03] IBRAHIMBEGOVIC A., MARKOVIC D., « Strong coupling methods in multiphase and multiscale modeling of inelastic behavior of heterogeneous structures », *Com- put.Meth.Appl.Mech.Engrg*, vol. 192, 2003, p. 3089-3107.

[IBR 04a] IBRAHIMBEGOVIC A., GRESOVNIK I., MARKOVIC D., MELNYK S., RODIC T., « Shape optimization of two-phase material with microstructure », *Eng.Comp.*, vol. in press, 2004.

[IBR 04b] IBRAHIMBEGOVIC A., KNOPF-LENOIR C., KUCEROVA A., VILLON P., « Opti- mal design and optimal control of structures undergoing finite rotations and elastic defor- mations », *Int.J.Numer.Meth.Engrg*, vol. 61, 2004, p. 2428-2460.

[MAR 04a] MARKOVIC D., « Multi-scale modeling of heterogeneous structures with nonli- near inelastic behaviors », PhD thesis (in French), ENS Cachan, 2004.

[MAR 04b] MARKOVIC D., IBRAHIMBEGOVIC A., « On micro-macro interface conditions for micro-scale based FEM for inelastic behavior of heterogeneous materials. », *Com- put.Meth.Appl.Mech.Engrg*, vol. 193, 2004, p. 5503-5523.

[MAR 04c] MARKOVIC D., NIEKAMP R., IBRAHIMBEGOVIC A., MATTHIES H., TAYLOR R., « Multi-scale modeling of heterogeneous structures with inelastic constitutive behavior : Part I — Physical and Mathematical aspects », *Eng.Comp.*, vol. in press, 2004.

[PAR 00] PARK K., FELIPPA C., « A variational principle for the formulation of partitioned structural systems. », *Int.J.Numer.Meth.Engrg*, vol. 47, 2000, p. 395-418.

[PAR 02] PARK K., FELIPPA C., REBEL G., « A simple algorithm for localized construction of non-matching structural interfaces. », *Int.J.Numer.Meth.Engrg*, vol. 53, 2002, p. 2117-2142.