les effets sur la diffusion du fer. L'influence des éléments traces sur l'équilibre hydrostatique n'est également pas prise en compte dans l'évaluation des profils d'abondance, permettant de découpler le problème de la construction des structures d'enveloppes de celui du calcul de diffusion. Si la contribution des éléments traces à la pression totale du gaz est sans aucun doute très faible, justifiant sa négligence, il n'en est pas toujours de même de leur contribution à l'opacité moyenne de Rosseland. En particulier, le fer influence significativement, même lorsqu'il est uniquement présent sous forme de traces, l'opacité du gaz et donc la structure thermique de l'enveloppe. Cependant, pour l'évaluation des profils d'abondance seulement (voir la section 5.3), cette contribution sera ignorée et le fer sera considéré, en approximation, comme un élément trace à part entière (c'est-à-dire aussi bien pour l'équation d'état que pour l'opacité moyenne du gaz).

En second lieu, les calculs s'appuient sur des approximations valides uniquement à l'équilibre thermodynamique local (ETL) et à grandes profondeurs optiques. Cette approche est totalement justifiée dans la mesure où seul nous intéresse l'établissement d'un réservoir dans les couches profondes de l'enveloppe, bien en dessous de la photosphère, où ces deux conditions sont très bien satisfaites. De plus, les quantités de fer supportées dans l'atmosphère de l'étoile ne nous sont pas particulièrement utiles dans le contexte des pulsations. Ces approximations ont également le mérite de simplifier radicalement le traitement de la lévitation radiative des éléments atomiques lourds.

Enfin, les profils d'abondance sont calculés en supposant l'équilibre entre les processus de lévitation radiative et de triage gravitationnel. Toute information temporelle relative à la mise en place des réservoirs est donc occultée par cette approche (celle-ci est statique et non dynamique, d'où l'épithète souvent utilisé de "théorie à l'équilibre"). Toutefois, dans l'enveloppe des sdB, les temps typiques de diffusion (~ $10^4 - 10^5$ années) sont généralement significativement plus courts que le temps caractéristique associé à cette phase évolutive (~ $10^8$ ans; Michaud et al., 1985 ou Fontaine & Chayer, 1998 pour une revue sur la diffusion de l'hélium dans ces étoiles). La distribution d'abondance prédite par la théorie à l'équilibre est donc très rapidement atteinte. Dès lors, à partir du moment ou un élément chimique est présent dans le gaz de l'enveloppe, l'utilisation de la théorie à l'équilibre devient parfaitement appropriée pour calculer les profils d'abondance résultant des processus de diffusion.

### 5.2.2 Formulation du problème

Dans un plasma d'hydrogène pur complètement ionisé, comme c'est le cas dans l'enveloppe des étoiles sous-naines de type B, la vitesse de diffusion d'un élément ionisé de charge Z et de masse atomique A est donnée par la relation (voir par exemple, Bergeron et al., 1988)

$$v_D = D_{12} \left[ -\frac{\partial \ln c}{\partial r} - \left(A - \frac{Z}{2} - \frac{1}{2}\right) \frac{m_p g}{kT} + \frac{A m_p g_{rad}}{kT} \right], \quad (5.1)$$

où c est la concentration du ion en question, $m_p$ est la masse du proton, $D_{12}$ représente le coefficient de diffusion atomique de l'élément dans l'hydrogène pur ionisé, g est l'accélération gravitationnelle locale et $g_{rad}$ est l'accélération radiative appliquée sur cet élément. Dans cette approche, la diffusion thermique est généralement négligée puisque ses effets sont généralement relativement faibles dans l'enveloppe des étoiles (Paquette et al., 1986b).
L'équilibre diffusif est atteint lorsque, en chaque point de l'enveloppe, la vitesse de diffusion $v_D$ tend vers une valeur nulle. Le profil d'abondance à l'équilibre peut alors être évalué directement à partir de l'équation (5.1). Il est d'usage, en bonne approximation et par souci de simplicité, de négliger le gradient de concentration qui, *a posteriori*, se révèle de toute façon relativement insignifiant comparativement aux deux autres termes dans l'équation (5.1). Ainsi, le profil d'abondance est simplement obtenu en imposant à la somme des deux derniers termes d'être égale à zéro. La condition d'équilibre s'écrit alors sous la forme

$$g_{\text{rad}} = \left(1 - \frac{Z}{2A} - \frac{1}{2A}\right) g \quad . \qquad (5.2)$$

En pratique, la formulation du problème est sensiblement plus complexe en raison des différents états d'ionisation, chacun possédant sa propre mobilité (i.e, son propre coefficient de diffusion), dans lesquels peuvent se retrouver une fraction des éléments chimiques diffusés. Pour tenir compte de ce couplage diffusion-ionisation, Montmerle & Michaud, 1976 ont introduit une formulation en terme de quantités moyennes pondérées par l'état d'occupation et la mobilité des différents états d'ionisation accessibles à l'espèce chimique concernée. La relation (5.2) se réécrit, dans ce contexte, sous la forme

$$\bar{g}_{\text{rad}} = \left(1 - \frac{\bar{Z}}{2A} - \frac{1}{2A}\right) g \quad . \qquad (5.3)$$

Dans le terme de droite, la charge Z du ion diffusé a été remplacée par une charge moyenne pondérée par le nombre d'occupation des différents états d'ionisation. Ainsi, si l'indice *i* indique le *i*-ème état d'ionisation (de charge $Z_i$ et de densité numérique $N_i$),

$$\bar{Z} = \sum_{i} \frac{N_i}{N_{\text{tot}}} Z_i \quad \text{avec} \quad N_{\text{tot}} = \sum_{i} N_i \quad . \qquad (5.4)$$

L'expression de droite au complet correspond alors, dans l'équation (5.3), à la gravité effective moyenne ressentie localement par l'élément de masse atomique A en tenant compte de toutes les variantes ioniques présentes, à cet endroit, dans le plasma. Le terme de gauche contient en revanche la contribution moyenne de l'accélération radiative subie localement par ce même élément. Cette quantité est plus difficile à déterminer puisqu'elle doit intégrer les différentes mobilités associées à chaque ion ainsi que les effets d'ionisation pouvant intervenir, généralement par collision avec les électrons du plasma, suite à une première photo-absorption. L'expression utilisée dans Chayer et al., 1995a est dérivée de Montmerle & Michaud, 1976 et peut s'écrire sous la forme

$$\bar{g}_{\text{rad}} = \sum_{i} g_{\text{rad}}^{i} \frac{N_i}{N_{\text{tot}}} \frac{1}{\bar{D}} \left[ D_i \left( \frac{\beta_{\text{col},i}}{\beta_{\text{ion},i} + \beta_{\text{col},i}} \right) + D_{i+1} \left( \frac{\beta_{\text{ion},i}}{\beta_{\text{ion},i} + \beta_{\text{col},i}} \right) \right] , \qquad (5.5)$$

où $g_{\text{rad}}^i$ représente l'accélération radiative transmise à un atome dans un état d'ionisation *i* alors que $D_i$, $D_{i+1}$, et $\bar{D}$ sont respectivement les coefficients de diffusion de l'état d'ionisation *i*, de l'état d'ionisation *i* + 1 et le coefficient de diffusion moyen, ce dernier étant donné par la relation

$$\bar{D} = \sum_{i} \frac{N_i}{N_{\text{tot}}} D_i \quad . \qquad (5.6)$$
Les coefficients de diffusion sont évalués à partir des formules proposées par Paquette et al., 1986a. Dans l'équation (5.5), le premier (second) terme entre parenthèses correspond à la probabilité pour que la quantité de mouvement reçue après une photo-absorption soit utilisé dans l'état d'ionisation *i* (*i* + 1). Les coefficients $\beta_{\text{coll},i}$ et $\beta_{\text{ion},i}$ sont donc respectivement les taux de collision et d'ionisation associés à l'ion de type *i*. Pour les collisions dans un plasma d'hydrogène pur complètement ionisé, la première quantité s'écrit

$$ \beta_{\text{col},i} = \frac{N_0 k T}{A D_i} . \qquad (5.7) $$

Le taux d'ionisation est, quant à lui, plus difficile à évaluer. Dans le contexte qui nous intéresse, l'expression suggérée par Michaud et al., 1976 a été adoptée:

$$ \beta_{\text{ion},i} = 0.3 T^2 \frac{\chi_i}{kT} \exp\left(-\frac{\chi_i}{kT}\right) , \qquad (5.8) $$

où $\chi_i$ représente le potentiel d'ionisation pour les ions de type *i*. Cette expression estime grossièrement le taux d'ionisation radiative depuis l'état fondamental à partir de sections efficaces de photo-ionisation hydrogéniques dans l'approximation des photons énergétiques.

Pour évaluer l'abondance supportée par le champ de photons, le calcul des accélérations radia- tives constitue la partie la plus lourde à gérer. Il faut essentiellement tenir compte des principales transitions atomiques qui peuvent contribuer significativement, pour chaque état d'ionisation, à cette quantité. Pour des éléments chimiques disposant, comme le fer, d'un grand nombre d'électrons, la quantité de transitions accessibles devient très vite astronomique, nécessitant d'importantes ressources informatiques pour des calculs souvent très longs. La physique de base qui se cache derrière l'évaluation de accélérations radiatives est relativement simple (c.f., Gonzalez et al., 1995 et Chayer et al., 1995a). Un photon appartenant au champ de radiation transmet généralement son impulsion à un atome du gaz lorsqu'il est absorbé. Dans un intervalle de fréquence $d\nu$, à travers une surface $dS$ et durant un temps $dt$, l'impulsion nette transportée par un champ de radiation de flux $\mathcal{F}_\nu$ est donnée, en partant de la fameuse relation $E_\nu = p_\nu c$ applicable aux photons, par l'équation

$$ dp_\nu d\nu = \frac{\mathcal{F}_\nu}{c} dS d\nu d\nu \qquad (5.9) $$

La force radiative poussant, dans l'intervalle $d\nu$, un élément de masse atomique A, se trouvant dans un état d'ionisation *i*, à travers la transition électronique $j \rightarrow k$ de section efficace $\sigma_i^{jk}(\nu)$, est donc obtenue par la relation

$$ F_{\nu}^{i,jk} d\nu \equiv \frac{dp_{\nu}}{dt} d\nu = \frac{\mathcal{F}_{\nu} dS}{c} d\nu = \sigma_{i}^{jk}(\nu) \frac{\mathcal{F}_{\nu}}{c} d\nu \qquad (5.10) $$

Si $N_A^{ij}$ représente la densité numérique d'éléments A dans l'état d'ionisation *i* et d'excitation *j*, la force radiative totale appliquée sera alors $F_{\nu}^{i,jk}(\text{tot}) = N_A^{ij} F_{\nu}^{i,jk}$. Pour obtenir l'accélération correspondante, il suffit de diviser $F_{\nu}^{i,jk}(\text{tot})$ par la densité massique $X(A_i^j)\rho$ des ions *i* peuplant l'état d'excitation *j* qui sont présents dans le plasma. L'accélération radiative agissant, dans l'intervalle $d\nu$, sur les ions *i* à travers la transition $j \rightarrow k$ s'écrit alors

$$ g_{\nu}^{i,jk} d\nu = \frac{F_{\nu}^{i,jk}(\text{tot})}{X(A_{i}^{j})\rho} d\nu = \frac{N_{A}^{ij}}{\rho} \sigma_{i}^{jk}(\nu) \frac{\mathcal{F}_{\nu}}{X(A_{i}^{j})c} d\nu \qquad (5.11) $$
En utilisant, de plus, la définition de l'opacité monochromatique $\kappa_i^{jk} \equiv N_A^{ij} \sigma_i^{jk} / \rho$, on obtient

$$g_{\nu}^{i,jk} d\nu = \kappa_{i}^{jk}(\nu) \frac{\mathcal{F}_{\nu}}{X(A_{i}^{j})c} d\nu \quad . \qquad (5.12)$$

L'accélération radiative totale appliquée sur l'élément A dans son i-ème état d'ionisation s'obtient en intégrant sur toutes les fréquences et en sommant les diverses transitions électroniques accessibles. On retrouve alors, en utilisant la définition du flux d'Eddington ($\mathcal{H}_{\nu} = \mathcal{F}_{\nu}/4\pi$), l'équation (1) de Chayer et al., 1995a exprimant la quantité $g_{\text{rad}}^i$ intervenant dans l'équation (5.5):

$$g_{\text{rad}}^{i} = \frac{1}{X(A_i)c} \sum_j \sum_{k>j} \int_0^\infty \kappa_i^{jk}(\nu) \mathcal{F}_\nu d\nu = \frac{4\pi}{c} \frac{1}{X(A_i)} \sum_j \sum_{k>j} \int_0^\infty \kappa_i^{jk}(\nu) \mathcal{H}_\nu d\nu \quad . \qquad (5.13)$$

Dans l'approximation ETL, utilisée pour ces calculs, l'opacité monochromatique due aux transitions électroniques entre états liés peut s'écrire sous la forme

$$\kappa_i^{jk}(\nu) = \frac{N_A^{ij} \pi e^2}{\rho m_e c} f_i^{jk} \phi_i^{jk}(\nu) \left(1 - e^{-\frac{h\nu}{kT}}\right) \quad , \qquad (5.14)$$

où $e$, $m_e$, $f_i^{jk}$ et $\phi_i^{jk}$ représentent respectivement la charge de l'électron, la masse de l'électron, la force d'oscillateur de la transition $j \to k$ et le profil normalisé de la raie d'absorption correspondant à cette transition. Le facteur contenant le terme exponentiel apporte la correction à l'opacité occasionnée par les phénomènes d'émission induite. En toute rigueur, les transitions électroniques entre états liés et états libres (photo-ionisation directe) devraient également être prises en compte dans l'évaluation des forces radiatives. Toutefois, d'après Michaud et al., 1976, ces processus de photo-ionisation contribuent beaucoup moins au transfert d'impulsion entre le champ radiatif et le gaz que les mécanismes de photo-absorption. Cependant, plus récemment, Gonzalez et al., 1995 ont suggéré que la photo-ionisation puisse éventuellement avoir des effets non-négligeables dans certaines étoiles. Par souci de simplicité, cette contribution est néanmoins ignorée dans les calculs d'abondance menés pour les sdB. Elle pourra cependant faire ultérieurement l'objet d'investigations pour en évaluer l'importance dans le contexte des sdB pulsantes.

Concernant la détermination des opacités, des profils de Voigt ont été adoptés pour les raies d'absorption. Ils correspondent à la convolution entre un profil Doppler (Gaussien) dû à l'agitation thermique des éléments du gaz et un profil de Lorentz issu de l'élargissement des raies par collision. La contribution Lorentzienne de l'élargissement naturel des raies n'est pas prise en compte car beaucoup moins importante, dans les étoiles sous-naines (en raison des gravités de surface relativement élevées), que la contribution collisionnelle. Le profil d'une raie est donc donné par

$$\phi_i^{jk}(\nu) = \frac{H(a, v)}{\sqrt{\pi \Delta \nu_D}} \quad , \qquad (5.15)$$

où $H(a, v)$ est la fonction de Voigt dont les paramètres sont

$$a = \frac{\Delta\nu_c}{2\Delta\nu_D} \quad \text{et} \quad v = \frac{(\nu - \nu_{jk})}{\Delta\nu_D} \quad . \qquad (5.16)$$
Dans ces expressions, $\Delta\nu_D$ correspond à la largeur à mi-hauteur du profil Doppler

$$ \Delta\nu_D = \frac{\nu_{jk}}{c} \left( \frac{2N_0kT}{A} \right)^{\frac{1}{2}} , \qquad (5.17) $$

où $\nu_{jk}$ est la fréquence centrale de la transition, $N_0$ est le nombre d'Avogadro, $k$ est la constante de Boltzmann, $T$ est la température et $A$, le poids atomique de l'élément. Pour $\Delta\nu_c$, la largeur à mi-hauteur du profil de Lorentz dû à l'élargissement par pression, l'expression semi-empirique proposée par Alecian et al., 1993 a été utilisée

$$ \Delta\nu_c = 6.3 \times 10^{-6} \frac{n_j^4 + n_k^4}{(Z_i + 1)^2} \frac{N_e}{\sqrt{T}} , \qquad (5.18) $$

où $n_j$ ($n_k$) est le nombre quantique principal de l'état d'excitation $j(k)$, $Z_i$ est la charge du ion de type $i$ et $N_e$ est la densité électronique du gaz.

Les données atomiques nécessaires à l'évaluation des opacités monochromatiques correspondant aux diverses transitions électroniques proviennent de la base de donnée TOPBASE (décrite par Cunto & Mendoza, 1992). Cette dernière fournit les informations utiles sur différents éléments chimiques allant de l'hydrogène jusqu'au fer pour la plupart de leurs états d'ionisation. Pour les transitions entre états liés, les niveaux d'énergie, les nombres quantiques associés, les poids statistiques et les forces d'oscillateur sont disponibles. Dans le contexte des étoiles sous-naines, seules les transitions autorisées dans l'approximation dipolaire électrique pour lesquelles $gf > 10^{-3}$ ($gf$ est la force d'oscillateur pondérée par le poids statistique de la transition) et $\lambda \le 10^4$ Å ont été incorporées dans les calculs de forces radiatives. Ces approximations sont justifiées dans la mesure où des tests montrent que les raies plus faibles ($gf < 10^{-3}$) ne contribuent pas de manière significative au support radiatif. De plus, en raison des températures effectives élevées qui caractérisent les sdB, le flux pour $\lambda > 10^4$ Å est tellement faible relativement au pic de la distribution spectrale que son influence est négligeable sur la lévitation radiative des éléments chimiques. Concernant le fer, qui accapare tout notre attention dans le contexte du mécanisme d'excitation des modes de pulsation, le nombre de transitions atomiques ultimement considérées est indiqué, pour chaque état d'ionisation, dans le tableau 1 de Chayer et al., 1995a. Il s'agit, à ce jour, de la plus complète et de la plus fiable banque de donnée utilisée pour ce genre de calculs.

La dernière quantité à évaluer, pour déterminer complètement l'accélération radiative $g_{rad}^i$ qui s'applique sur chaque espèce ionique $i$, est le flux d'Eddington $\mathcal{H}_\nu$. A grandes profondeurs optiques ($\tau_\nu \gg 1$), comme c'est le cas dans l'enveloppe des étoiles, l'approximation de diffusion peut être employée pour obtenir une expression utile de cette quantité

$$ \mathcal{H}_\nu \approx \frac{1}{3} \frac{dB_\nu}{d\tau_\nu} = \frac{1}{3\kappa(\nu)\rho} \frac{dB_\nu}{dT} \frac{dT}{dr} , \qquad (5.19) $$

où $B_\nu$ est la distribution de Planck, $dT/dr$ est le gradient de température et $\kappa(\nu)$ représente l'opacité monochromatique totale pouvant s'écrire sous la forme

$$ \kappa(\nu) = \kappa_b(\nu) + \kappa_i^{jk}(\nu) , \qquad (5.20) $$
où $\kappa_b(\nu)$ (le suffixe “b” correspond à “background”) représente l'opacité totale provenant des espèces atomiques autres que l'élément en lévitation. Dans notre cas, il s'agit de l'opacité de fond produite par le plasma d'hydrogène pur ionisé. Le gradient de température apparaissant dans l'équation (5.19) est approximé par l'expression valide pour les enveloppes radiatives et à grandes pronfondeurs optiques ($\tau_R = \kappa_R \rho r \gg 1$, où $\kappa_R$ est l'opacité moyenne de Rosseland)

$$ \frac{dT}{dr} = -\frac{3}{16} \kappa_R \rho \frac{R^2 T_{\text{eff}}^4}{r^2 T^3}, \qquad (5.21) $$

où R, r et T sont respectivement le rayon total de l'étoile, le rayon et la température local en un point donné de l'enveloppe. La dérivée de la distribution de Planck par rapport à la température, qui s'obtient facilement à partir de l'expression habituelle

$$ B_{\nu} = \frac{2h\nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1}, \qquad (5.22) $$

peut s'écrire sous la forme

$$ \frac{dB_{\nu}}{dT} = \frac{2k^3 T^2}{c^2 h^2} P(u) \quad \text{avec} \quad P(u) = u^4 \frac{e^u}{(e^u - 1)^2} \quad \text{et} \quad u = \frac{h\nu}{kT}. \qquad (5.23) $$

En regroupant toutes ces équations, l'accélération radiative subie par les ions de type i à travers les transition électroniques entre états liés peut finalement s'écrire

$$ g_{\text{rad}}^{i} = \frac{\pi k^4 T_{\text{eff}}^4 R^2}{2h^3 c^3} \frac{\kappa_{\text{R}}}{r^2 X(A_i)} \sum_j \sum_{k>j} \int_0^\infty \frac{\kappa_i^{jk}(\nu)}{\kappa_b(\nu) + \kappa_i^{jk}(\nu)} P(u) du . \qquad (5.24) $$

L'équation (5.24) est fonction de l'abondance $X(A_i)$ de l'élément dans son état d'ionisation i. Avec la relation (5.6) et la contrainte (5.4) qui s'applique en tout point de l'enveloppe, les profils d'abondance d'un élément donné (dans notre cas, le fer), correspondant à l'équilibre entre l'accélération radiative moyenne agissant sur cet élément et l'accélération gravitationnelle effective (i.e., incluant la correction pour les champs électriques), peuvent ainsi être déterminés. Notons qu'il peut arriver que l'équation (5.4) soit sans solution lorsque le maximum de $\bar{g}_{\text{rad}}$ est inférieur $g_{\text{eff}}$. Quand de tels cas se présentent, cela signifie que l'élément n'est tout simplement pas supporté par radiation et donc que l'abondance persistante est nulle.

### 5.2.3 Profils d'abondance pour le fer

Avec les outils construits à partir des formulations et des hypothèses présentées au cours des deux sections précédentes, une grille de modèles couvrant l'espace occupé, dans le plan $\log g - T_{\text{eff}}$, par les étoiles sous-naines de type B a été échafaudée. Chaque modèle donne, en fonction de la température effective et de la gravité de surface choisie, le profil d'abondance de fer supporté par lévitation radiative tel que prédit par la théorie à l'équilibre. Les limites et la résolution de cette grille sont $4.34 \le \log T_{\text{eff}} \le 4.62$ avec $\Delta \log T_{\text{eff}} = 0.04$ et $4.8 \le \log g \le 6.4$ avec $\Delta \log g = 0.2$. Les profils d'abondance obtenus pour chaque modèle sont illustrés dans la figure 5.1. Chaque panneau est associé à une température effective donnée alors que les différents tracés en traits pleins correspondent
<figure><img src="image_91.png" /></figure>

Figure 5.1: Profils non-uniformes d'abondance de fer (log N(Fe)/N(H); traits pleins) dans une enveloppe d'hydrogène pur ionisé calculés à l'équilibre entre accélération radiative et accélération gravitationnelle effective pour une grille de modèles avec $4.34 \le \log T_{\text{eff}} \le 4.62$ par pas de 0.04 (chaque panneau) et $4.8 \le \log g \le 6.4$ par pas de 0.2 (de haut en bas dans un même panneau), correspondant aux paramètres des sdB dans le plan $\log g - T_{\text{eff}}$. La ligne horizontale en pointillés indique l'abondance solaire habituelle pour le fer: $\log N(Fe)/N(H) \approx -4.5$.
respectivement, de bas en haut, aux gravités de surface disponibles classées par valeur décroissante. L'abondance solaire uniforme pour le fer ($\log N(Fe)/N(H) \simeq -4.5$) est également indiquée par les droites horizontales en pointillés.

Les profils présentés montrent, comme cela avait déjà été mentionné à l'occasion des dernières discussions du Chapitre 4, que d'importantes sur-abondances sont théoriquement capables de se constituer dans l'enveloppe de ces étoiles. Celles-ci dépassent parfois par plus de deux ordres de grandeur les quantités de fer normalement rencontrées dans un milieu de composition solaire et, comme attendu, l'enrichissement est important dans la région possédant des vertus déstabilisatrices pour les pulsations (entre $\log q \sim -8$ et $-10$). A noter, à propos des sur-abondances de fer, que les quantités supportées par lévitation radiative prédites au niveau de la photosphère (point, en allant vers la surface, où les profils sont interrompus) sont très souvent sans aucun rapport avec les quantités supportées dans les régions plus profondes. Ainsi, l'abondance de fer peut être approximativement solaire, voire en dessous de cette valeur, à la surface de l'étoile (et celle-ci sera éventuellement mesurée par spectrosphotométrie) alors que l'enrichissement des couches profondes est important. Autrement dit, lorsque les processus de diffusion sont à l'œuvre, les concentrations d'éléments chimiques observées dans l'atmosphère sont très souvent sans rapport avec les quantités effectivement supportées dans l'enveloppe, sous la photosphère.

Les caractéristiques des réservoirs de fer constitués par lévitation radiative en fonction des paramètres atmosphériques utilisés dans les modèles de la grille sont typiques des phénomènes de cette nature. Lorsque la température effective augmente, le champ de radiation, en plus de recentrer sa distribution de photons vers de plus courtes longueurs d'ondes, devient globalement plus intense (i.e., il y a plus de photons disponibles) et le réservoir en lévitation prend davantage de prestance avec des abondances supportées plus importantes. Lorsque la gravité de surface diminue (à température effective constante), la même tendance se produit simplement parce que la force de gravité, contre laquelle les forces radiatives luttent, devient plus faible, autorisant davantage de fer à léviter dans l'enveloppe de l'étoile. Puisque le mécanisme de déstabilisation tire apparamment directement sa substance de la quantité de fer présent dans une région particulière de l'enveloppe, cette dépendance marquée des profils d'abondance envers $T_{eff}$ et $\log g$ laisse donc clairement entrevoir que ces paramètres devraient également modeler significativement les propriétés d'une éventuelle bande d'instabilité. Ce dernier point sera exploré un peu plus tard dans ce Chapitre.

## 5.3 Construction des modèles de seconde génération

Pour construire les modèles de seconde génération dont nous avons besoin, il est maintenant nécessaire d'incorporer dans le calcul des structures stellaires les profils d'abondance non-uniformes, issus de l'équilibre entre les accélérations radiatives et gravitationnelles s'appliquant sur les éléments chimiques, que nous venons de présenter à la section précédente. Quelques ajustements sur les modèles décrits en détails au Chapitre 2 sont donc nécessaires, introduisant bien entendu, vis-à-vis des modèles de première génération calculés à métallicité uniforme, quelques différences structurelles importantes que nous illustrerons au cours de cette section.
Il est, à l'heure actuelle, très difficile de construire des modèles stellaires combinant simultanément le suivi des processus évolutifs à la gestion des mécanismes de diffusion des éléments chimiques en raison, notamment, des échelles de temps caractéristiques très différentes sur lesquelles opèrent ces phénomènes. Ils constitueraient ultimement, étant donné la nature du mécanisme d'excitation des modes de pulsation, les structures les plus adéquates pour étudier avec précision les oscillations dans les étoiles sous-naines de type B. Celles-ci demeurant pour le moment inaccessibles, nous devons donc nous rabattre sur des constructions plus modestes de modèles stellaires incluant la diffusion. Encore une fois, les structures statiques d'enveloppes abondamment utilisées au cours des chapitres antérieurs vont nous fournir les solutions simples et utiles pour néanmoins obtenir un aperçu complet des principales caractéristiques des instabilités engendrées par l'accumulation de métaux lourds dans certaines régions de l'enveloppe de ces étoiles.

### 5.3.1 Physique constitutive

Les modèles de seconde génération sont des structures statiques d'enveloppes ressemblant, dans les grandes lignes, à leurs homologues de première génération décrits dans la section 2.4 du Chapitre 2. Leur construction est donc identique à ces derniers hormis pour quelques points particuliers que nous allons développer.

Les principales différences surviennent dans la construction de l'enveloppe riche en hydrogène surplombant le manteau d'hélium caractéristique des modèles statiques de branche horizontale étendue. En effet, comme nous l'avons vu à la section précédente, les réservoirs d'éléments chimiques produits par la diffusion se constituent dans ces couches superficielles. La composition chimique de l'enveloppe des modèles de première génération consistait en un mélange calqué sur les abondances solaires comprenant (en masse) ~ 70% d'hydrogène pour ~ 28% d'hélium (les ~ 2% d'éléments plus lourds apparaissant sous forme de traces). Par souci de cohérence avec les calculs de la section 5.2 donnant les profils non-uniformes pour le fer, les structures de seconde génération seront plutôt constituées d'enveloppes composées exlusivement d'hydrogène pur dans lequel seul l'élément fer sera présent sous forme de trace. Encore une fois, si cette représentation idéalisée a été choisie principalement pour ces vertues simplificatrices relativement à la construction des modèles, sa justification physique demeure néanmoins satisfaisante. Nous savons effectivement que l'hélium est fortement sous-abondant dans l'atmosphère des étoiles sous-naines de type B (voir la section 2.2.3 du Chapitre 2 ainsi que les références données), celui-ci n'étant pas supporté par le champ de radiation et ayant alors tendance à couler rapidement sous l'effet de la gravité. Il est donc probable que l'enveloppe de ces étoiles devienne très vite fortement déficiente en hélium suite aux effets du triage gravitationnel, justifiant dès lors l'utilisation de modèles dont l'enveloppe est constituée exclusivement d'hydrogène pur. La restriction de la contamination du gaz au fer uniquement, bien qu'approximative, est également justifiée dans le contexte des pulsations où cet élément joue le rôle prépondérant concernant la structure de l'opacité et notamment au niveau de la bosse secondaire responsable de l'excitation des modes d'oscillation.

L'équation d'état de Saumon-Chabrier (Saumon et al., 1995), adaptée pour un gaz constitué d'hélium et d'hydrogène, a été utilisée pour la construction des structures d'enveloppes à la place de l'équation d'état EFF (Eggleton et al., 1973), plus ancienne. Dans les régimes de températures et de densités rencontrés pour les sdB, les différences entre les deux équations d'état demeurent toutefois minimes. Notons que le fer, considéré comme un élément trace même lorsqu'il est présent à
des concentrations plusieurs centaines de fois supérieures à son abondance solaire habituelle, n'influence pas de façon significative l'équation d'état du système.

Si le fer constitue manifestement un élément trace au niveau de l'équation d'état, son effet sur l'opacité moyenne de Rosseland s'avère au contraire dominant. Il est donc impératif de pouvoir suivre, lors du calcul de l'opacité, les variations d'abondance de cet élément s'échelonnant, en raison des processus de diffusion, sur plusieurs ordres de grandeur. Nous avons pour cela obtenu des tables d'opacité spéciales (Rogers & Iglesias, 1996; communication privée) appropriées pour un plasma d'hydrogène contaminé par différentes quantités de fer. Ces tables permettent de couvrir la totalité des régimes de sous-(sur-)abondances de fer rencontrés dans les conditions de température effective et de gravité de surface correspondant aux étoiles sous-naines de type B. La figure 5.2 illustre les 17

<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>Figure 5.2: Echantillonnage des tables d'opacité pour différentes concentrations de fer. Les quantités log κ ont été calculées pour un profil (ρ, T) issu d'un modèle homogène (avec $T_{\text{eff}}=34000$ K, $\log g=5.8$, $M=0.48 M_{\odot}$, $\log q(H)=-4.0$ et $Z=0.02$). De bas en haut, les courbes sont associées respectivement aux valeurs $N(Fe)/N(H)$ correspondant à 0× (hydrogène pur), 0.05×, 0.15×, 0.5×, 1× (valeur solaire; courbe en pointillés), 2×, 5×, 10×, 15×, 21×, 32×, 43×, 55×, 121×, 204×, 309×, 447× la valeur solaire.</figcaption></figure>

tables d'opacité, échantillonnées à partir d'un profil (ρ, T) tiré d'un modèle à métallicité uniforme dont les paramètres sont $T_{\text{eff}} = 34000$ K, $\log g = 5.8$, $M = 0.48 M_{\odot}$, $\log q(H) = -4.0$ et $Z = 0.02$, correspondant aux différentes valeurs de l'abondance relative $N(Fe)/N(H)$ (relativement à la valeur
solaire $N(Fe)/N(H) \simeq 10^{-4.5}$). Les tables autorisent des mélanges allant d'un plasma constitué d'hydrogène parfaitement pur (0× l'abondance solaire en fer) à un gaz contaminé par 447 fois cette valeur, le tracé en pointillés correspondant au profil obtenu à métallicité solaire. L'énorme influence de cet élément chimique sur l'opacité moyenne de Rosseland, particulièrement dans la région d'ionisation partielle située vers $log q \simeq -10$ où le mécanisme d'excitation des pulsations opère, est ici clairement démontrée. Ainsi, avant même d'effectuer les calculs de stabilité et comformément à nos présomptions, le potentiel pour déstabiliser des modes d'oscillation à partir de processus d'enrichissements locaux en métaux semble donc très fortement présent dans ces étoiles.

En pratique, lors de la construction des modèles de seconde génération, les équations de la structure stellaire sont résolues en tenant compte, dans l'enveloppe riche en hydrogène, de la distribution non-uniforme du fer issue des calculs de diffusion. Selon la quantité locale de fer, l'opacité moyenne correspondante est évaluée par interpolation dans la grille constituée des 17 tables disponibles que nous avons présentées dans la figure 5.2. Le profil de fer pour un choix de paramètres stellaires $log g$ et $T_{eff}$ arbitraire est également évalué par interpolation à travers la grille de profils présentée dans la figure 5.1. Cette méthode de prise en compte des effets de la diffusion n'est pas entièrement auto-consistante dans la mesure où le calcul des profils d'abondance est découlé de celui de la structure de l'enveloppe. Il faudrait rigoureusement évaluer simultanément l'abondance locale de fer et l'opacité correspondante puisque l'une et l'autre s'affectent mutuellement. Malgré cela, il demeure néanmoins raisonnable de penser que les structures obtenues de cette manière reproduisent, en bonne approximation, les propriétés globales des mécanismes en jeu.

### 5.3.2 Effets de la diffusion sur l'opacité moyenne

L'échantillonage des tables d'opacité a montré, dans la section précédente, l'effet draconien que peut avoir le fer, même présent sous forme de traces, sur cette quantité. Toutefois, maintenant que nous sommes en mesure de construire des structures statiques d'enveloppes à partir des distributions d'abondances non-uniformes, il est possible de juger directement de l'influence des accumulations locales de fer sur la forme des profils d'opacité en fonction de la température effective et de la gravité de surface des modèles.

L'influence de $T_{eff}$ peut être explorée à travers la série de modèles calculés à gravité constante ($log g = 5.8$, mais aussi $M = 0.48 M_\odot$ et $log q(H) = -4.0$) présentés dans la figure 5.3. Le logarithme de l'opacité de Rosseland ($log \kappa$; pointillés) est reproduit en fonction de la position dans l'étoile exprimée en fraction de masse ($log q$) pour une série de structures avec $4.62 \ge \log T_{eff} \ge 4.34$ par pas de 0.04. A titre indicatif, la distribution d'abondance pour le fer ($log N(Fe)/N(H)$; traits pleins) est à nouveau illustrée comparativement à la valeur solaire habituelle (lignes en tirets). Il est ainsi possible de constater que les grandes sur-abondances locales de fer présentes dans les modèles à hautes températures, où le champ de radiation est plus intense et, a fortiori, la capacité plus importante à supporter par lévitation radiative les éléments chimiques, induisent des profils d'opacité avec une bosse principale, située aux alentours $log q \simeq -9, -10$ et responsable de l'excitation des modes de pulsation (c.f., Chapitre 4), fortement prononcée et particulièrement abrupte. Il est notoire que cette structure a tendance à s'effacer lorsque la température effective diminue, alors que les quantités de fer supportées par la radiation deviennent plus faibles. Cette évolution du profil de l'opacité de Rosseland laisse entrevoir l'existence d'une limite vers les basses températures (ou "red-edge") sous laquelle les
instabilités engendrées par le mécanisme d'excitation pourraient disparaître simplement par manque de fer dans la région déstabilisatrice. L'existence d'une limite similaire vers les hautes températures (ou "blue-edge") est également suggérée par la migration vers les couches externes de la bosse d'ionisation partielle du fer avec l'augmentation de $T_{\text{eff}}$. Il est probable que le mécanisme perde rapidement en efficacité en raison de cette dérive vers les couches moins massives de l'étoile. Ces questions de "red-edge" et de "blue-edge" seront toutefois discutées un peu plus tard en fonction des résultats complets de l'étude de stabilité des modèles (c.f., section 5.5).

<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>Figure 5.3: Profils d'abondance de fer (log N(Fe)/N(H); traits pleins) et du logarithme de l'opacité de Rosseland (log $\kappa$; pointillés) pour une série de modèles à gravité de surface constante (log g = 5.8) et température effective variable (4.34 ≤ log T$_{\text{eff}}$ ≤ 4.62 par pas de 0.04). La ligne horizontale en tirets indique l'abondance solaire pour le fer.</figcaption></figure>

Une série similaire de modèles calculés, cette fois-ci, à température effective constante (log T$_{\text{eff}}$ = 4.50; soit T$_{\text{eff}}$ ≈ 31623 K avec, comme d'habitude, M = 0.48 M$_{\odot}$ et log q(H) = -4.0) mais à gravité de surface variable (5.0 ≤ log g ≤ 6.4 par pas de 0.2) est présentée dans la figure 5.4. Nous pouvons alors constater que les sur-abondances de fer, plus importantes dans les modèles à faibles gravités de surface, produisent des pics d'ionisation partielle dans les profils d'opacité sensiblement plus abrupts – une configuration qui favorise grandement les instabilités pulsationnelles – dans ces derniers que dans les structures à hautes gravités. Il est donc très probable que le mécanisme d'excitation associé à cette bosse dans l'opacité de Rosseland soit beaucoup plus puissant dans les modèles à faibles gravités et que les éventuelles instabilités aient tendance à disparaître, également par manque de fer dans la
<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>Figure 5.4: Idem figure 5.3 mais cette fois pour une série de modèles à température effective constante (log T<sub>eff</sub> = 4.50) et gravité de surface variable (5.0 ≤ log *g* ≤ 6.4 par pas de 0.2).</figcaption></figure>

région déstabilisatrice, dans les structures plus compactes. Notons, de surcroît, la légère migration du pic d'ionisation vers la surface de l'étoile lorsque log *g* augmente, réduisant encore davantage l'efficacité du mécanisme d'excitation à haute gravité.

5.3.3 Comparaisons structurelles avec la première génération

Les modèles de seconde génération, par l'usage de profils de métallicités non-uniformes et par
leurs hypothèses de construction parfois dissemblables, montrent, à paramètres stellaires identiques, des
différences de structure notables vis-à-vis de leurs homologues de première génération. Dans la mesure
où les périodes des modes de pulsation dépendent à divers degrés de cette structure, il faut s'attendre à
ce qu'elles soient affectées appréciablement par l'introduction des effets de diffusion dans les modèles.
Il est donc intéressant, éventuellement pour la suite des discussions, de comparer les structures de
modèles identiques issus des deux générations respectives avec Z uniforme (1ère génération) et Z
non-uniforme (2ème génération).
<figure><img src="image_95.png" /></figure>

Figure 5.5: Comparaison structurelle entre les modèles de référence ($T_{\text{eff}} = 34000$ K, $\log g = 5.8$, $M = 0.48 M_{\odot}$ et $\log q(H) = -4.0$) de seconde génération (Z non uniforme; traits pleins) et de première génération (métallicité uniforme, $Z = 0.02$; lignes pointillées). Les profils de plusieurs quantités physiques (voir le texte pour la signification de chacune d'elle) sont donnés en fonction de la profondeur dans l'étoile exprimée en fraction de masse $\log q$.
La figure 5.5 propose une mosaïque de profils correspondant aux diverses quantités physiques qui caractérisent la structure d'un modèle. Les courbes en traits pleins sont associées au modèle de seconde génération avec $T_{\text{eff}}=34000$ K, $\log g = 5.8$, $M = 0.48 M_{\odot}$ et $\log q(H) = -4.0$ (dorénavant, il s'agira de notre modèle de référence) alors que les tracés en pointillés sont affiliés au modèle équivalent (c'est-à-dire disposant des mêmes paramètres stellaires) de première génération. En fonction de la profondeur exprimée en fraction de masse $\log q = \log(1 - m(r)/M_*)$, les quantités proposées sont respectivement de gauche à droite et de haut en bas: la masse $\log m(r)$ ($m(r)$ donné en g) à l'intérieur de la sphère de rayon $r$; le rayon $\log r$ ($r$ en cm); la densité $\log \rho$ ($\rho$ en g.cm$^{-3}$); la pression $\log P$ ($P$ en dixièmes de Pascals); la température $\log T$ ($T$ en Kelvin); les gradients de température adiabatique $\nabla_{\text{ad}}$ et radiatif $\nabla_{\text{rad}}$; les compressibilités $\chi_{\rho}$ et $\chi_{\text{T}}$; les exposants adiabatiques $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ et $\Gamma_3$; l'opacité moyenne de Rosseland $\log \kappa$ ($\kappa$ en cm$^2$/g); et les dérivées de l'opacité $\kappa_{,\rho}$ et $\kappa_{,\text{T}}$.

Les différences de structure entre les deux générations de modèles sont déjà perceptibles au niveau des principales caractéristiques physiques que sont les stratifications en densité, pression et température. Pour cette dernière, la liaison avec les différences entre les profils d'opacité est directe, le gradient de température étant directement proportionnel à $\kappa$. Ainsi, de $\log q \simeq -11$ à $\log q \simeq -7$, l'opacité plus importante du gaz dans le modèle de seconde génération, en raison des sur-abondances locales de fer, induit des températures plus élevées dans cette région de l'enveloppe. En revanche, plus en profondeur, pour $\log q \gtrsim -7$, l'opacité devient moins élevée pour le modèle avec diffusion que pour la structure à métallicité solaire uniforme. Le gradient de température étant alors plus élevé pour cette dernière, le modèle de première génération se montre légèrement plus chaud dans les régions centrales de l'étoile. Au niveau de l'opacité moyenne de Rosseland, le profil est également caractérisé par la bosse hypertrophiée, comparativement à celle du modèle avec $Z$ uniforme, située vers $\log q \simeq -10$. Les dérivées $\kappa_{,\rho}$ et $\kappa_{,\text{T}}$ de cette quantité exhibent également un comportement beaucoup plus abrupt dans le modèle de seconde génération, renforçant encore davantage le potentiel pour déstabiliser des modes d'oscillation particulièrement sensibles aux variations d'opacité. Le fait que l'enveloppe des modèles de seconde génération soit constituée exclusivement d'hydrogène pur, contrairement aux modèles à métallicité uniforme, entraîne également des différences entre les deux types de structures. Ces variations sont particulièrement apparantes à travers les gradients de température ($\nabla_{\text{ad}}$ et $\nabla_{\text{rad}}$), la compressibilité isotherme ($\chi_{\text{T}}$) et les coefficients adiabatiques ($\Gamma_1$, $\Gamma_2$ et $\Gamma_3$). Les pics présents dans ces quantités pour le modèle de première génération et associés à l'ionisation partielle $\text{He}_{\text{II}}/\text{He}_{\text{III}}$ (vers $\log q \simeq -12.5$) sont tout naturellement absents (ou moindres) dans les structures de seconde génération. En conséquence, il est donc normal que la zone de convection engendrée par cette région d'ionisation de l'hélium ait disparu dans ce dernier. En revanche, des structures plus prononcées, identifiables à la bosse métallique (vers $\log q \simeq -10$), sont observables dans ces quantités associées au modèle avec diffusion. En particulier, on notera que dans cette région, le gradient radiatif devient supérieur au gradient adiabatique impliquant l'existence d'une très mince couche convective associée à l'ionisation partielle du fer et qui n'était pas présente dans les structures à métallicité solaire et uniforme. D'autres différences, très certainement reliées aux comportements particuliers de l'opacité engendrés par les variations d'abondance de fer avec la profondeur dans l'enveloppe de l'étoile, sont également visibles dans ces profils.

Dans le contexte des pulsations, une comparaison des fréquences de Brunt-Väisälä ($\log N^2$) et de Lamb ($\log L_l^2$) sont d'un intérêt particulier. La figure 5.6 montre ces quantités en fonction de $\log q$, la profondeur exprimée en fraction de la masse totale de l'étoile pour le modèle de référence présenté un
peu plus tôt. Les fréquences de Lamb sont représentées pour $l=1, 2$ et $3$. Les courbes en traits pleins correspondent au modèle avec métallicité non-uniforme alors que celles en lignes pointillées réfèrent à la structure avec métallicité uniforme ($Z=0.02$), permettant une comparaison directe entre les deux catégories de modèles.

<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>Figure 5.6: Comparaison des fréquences de Brunt-Väisälä et de Lamb (pour $l=1, 2$ et $3$) entre les modèles de référence appartenant aux deux générations ($Z$ non-uniforme en traits pleins et $Z=0.02$ uniforme en lignes pointillées).</figcaption></figure>

Des différences notables apparaissent, principalement au niveau de la fréquence de Brunt-Väisälä, dans l'enveloppe riche en hydrogène des modèles ($\log q \lesssim -4$). Elles illustrent notamment ce que nous mentionnions plus tôt concernant l'absence, dans le modèle de seconde génération, de la zone convective associée à l'ionisation partielle $He_{II}/He_{III}$ caractérisée par le puits dans $\log N^2$ présent pour le modèle avec $Z=0.02$, et l'existence d'une région de convection associée à l'ionisation du fer dans le modèle avec $Z$ non-uniforme (puits dans $\log N^2$ situé vers $\log q \simeq -10$). Notons également les différences de profils pour $\log N^2$ dans la région $-4.0 \gtrsim \log q \gtrsim -9.0$ attribuables probablement aux comportements particuliers de $\nabla_{\text{rad}}$ sous l'effet des variations d'opacité engendrées par les abondances variables de fer. Dans le cœur riche en hélium, pour $\log q \gtrsim -4.0$, la métallicité demeure uniforme (à $Z=0.02$) pour les deux types de modèles et les écarts observés sont principalement causés par les conditions de température et de densité légèrement différentes qui règnent à la base de l'enveloppe riche en hydrogène. Ainsi, le modèle de seconde génération étant plus froid dans les régions centrales,
la fréquence de Brunt-Väisälä y est plus faible que dans le modèle de première génération. Pour ce dernier, les fréquences de Lamb s'avèrent également systématiquement plus grandes dans les régions centrales.

Ces différences laissent présager quelques changements dans les périodes des modes d'oscillation que l'on peut qualitativement entrevoir en s'appuyant sur les remarques effectuées au cours du Chapitre 3. Ainsi, les modes g étant particulièrement sensibles aux régions internes de l'étoile, entre $log q \simeq 0$ et $log q \simeq -2$, les profils de $log N^2$ suggèrent que leurs périodes sont systématiquement plus grandes pour le modèle de seconde génération. Pour les modes p, ce sont principalement les régions externes situées au delà de $log q \lesssim -2$ qui contribuent à leurs périodes. Toutefois, dans ces régions, les valeurs de la fréquence de Brunt-Väisälä pour le modèle de seconde génération, tantôt plus élevées, tantôt plus faibles que celles du modèle à métallicité uniforme, ne permettent pas de préciser un sens privilégié pour les variations de période que seul le calcul numérique détaillé est en mesure de préciser.

## 5.4 Stabilité pour un modèle de référence

Avec les structures de seconde génération échafaudées précédemment nous sommes maintenant en mesure d'évaluer précisément les effets, sur les périodes et la stabilité des modes de pulsation, engendrés par la distribution non-uniforme de fer dans l'enveloppe des sdB. Pour débuter, l'emphase sera mise sur un modèle de référence, celui-là même ayant servi à illustrer la structure des modèles à métallicité non-uniforme dans la section précédente, dont les paramètres de surface $T_{eff} = 34000$ K, $log g = 5.8$, $M = 0.48 M_\odot$ et $log q(H) = -4.0$ sont typiques de la plupart des sdB pulsantes maintenant reconnues (c.f., tableau 4.6 de la section 4.4.3 du Chapitre 4).

A l'image des calculs effectués pour la première étude de stabilité, le code non-adiabatique a été utilisé avec 160 éléments quadratiques afin d'assurer à la fois une bonne résolution spatiale du maillage des modèles tout en évitant les problèmes de convergence qui surviennent lorsque le nombre d'éléments devient trop élevé.

### 5.4.1 Calculs non-adiabatiques

Les quantités non-adiabatiques ont été évaluées, pour ce modèle de référence, dans la fenêtre de périodes comprises entre 60 et 1500 secondes appropriée pour un objet de cette température effective et gravité de surface. Les modes p, f et g sont ainsi représentés dans le tableau 5.1 à la fois pour les pulsations radiales ($l=0$) et non-radiales (avec $l=1, 2$ et $3$). Chaque mode est alors caractérisé, comme à l'accoutumée, par son ordre radial $k$, sa période non-adiabatique $P$ exprimée en secondes et son temps caractéristique de croissance $\tau_e$ exprimé en années lorsque le mode est instable. Pour rappel, cette dernière quantité correspond à $1/|\sigma_l|$ (où $\sigma_l$ représente la partie imaginaire de la fréquence propre du mode en question) et sa valeur nous renseigne sur l'importance de l'effet déstabilisateur sur ce mode.

D'après les résultats du Chapitre 4, un modèle de première génération possédant ces paramètres stellaires est localisé en dehors de la région d'instabilité et ne montre donc pas de modes excités dans son spectre de périodes. Le tableau 5.1 dévoile que ce n'est plus le cas pour une structure de seconde
<table><caption>Tableau 5.1: Périodes non-adiabatiques (P en secondes) et, lorsque approprié (modes instables), temps caractéristiques de croissance ($\tau_e$ en années) des modes radiaux $l=0$ et non-radiaux (pour $l=1, 2$ et $3$) situés dans la fenêtre $60-1500$ s issus du modèle de référence avec $T_{eff}=34000$ K, $\log g=5.8$, $\log q(H)=-4.0$, $M=0.48 M_\odot$ et Z non-uniforme. Les modes g (bas du tableau) sont séparés des modes p (haut du tableau) par les modes fondamentaux ($k=0$).</caption><thead><tr><th rowspan="2">k</th><th colspan="2">l = 0</th><th colspan="2">l = 1</th><th colspan="2">l = 2</th><th colspan="2">l = 3</th></tr><tr><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th></tr></thead><tbody><tr><td>9</td><td>...</td><td>...</td><td>63.75</td><td>stable</td><td>62.40</td><td>stable</td><td>60.73</td><td>stable</td></tr><tr><td>8</td><td>64.59</td><td>stable</td><td>69.07</td><td>stable</td><td>68.02</td><td>stable</td><td>66.84</td><td>stable</td></tr><tr><td>7</td><td>69.95</td><td>stable</td><td>77.41</td><td>6.98 × 10<sup>-3</sup></td><td>76.26</td><td>stable</td><td>74.08</td><td>stable</td></tr><tr><td>6</td><td>78.05</td><td>2.56 × 10<sup>-3</sup></td><td>87.05</td><td>7.75 × 10<sup>-4</sup></td><td>83.95</td><td>9.94 × 10<sup>-4</sup></td><td>80.49</td><td>1.19 × 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>88.83</td><td>6.32 × 10<sup>-4</sup></td><td>95.73</td><td>6.16 × 10<sup>-4</sup></td><td>93.70</td><td>5.12 × 10<sup>-4</sup></td><td>91.66</td><td>4.91 × 10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>4</td><td>97.56</td><td>7.60 × 10<sup>-4</sup></td><td>110.63</td><td>9.98 × 10<sup>-4</sup></td><td>108.57</td><td>9.47 × 10<sup>-4</sup></td><td>104.01</td><td>1.05 × 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>3</td><td>111.64</td><td>1.08 × 10<sup>-3</sup></td><td>129.89</td><td>8.37 × 10<sup>-3</sup></td><td>121.77</td><td>5.36 × 10<sup>-3</sup></td><td>114.55</td><td>1.82 × 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>134.05</td><td>7.74 × 10<sup>-3</sup></td><td>142.74</td><td>1.00 × 10<sup>-2</sup></td><td>140.66</td><td>7.27 × 10<sup>-3</sup></td><td>138.43</td><td>6.16 × 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>144.64</td><td>1.55 × 10<sup>-2</sup></td><td>176.18</td><td>3.84 × 10<sup>-1</sup></td><td>174.25</td><td>3.14 × 10<sup>-1</sup></td><td>159.07</td><td>2.04 × 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>0</td><td>176.66</td><td>4.09 × 10<sup>-1</sup></td><td>...</td><td>...</td><td>190.43</td><td>7.25 × 10<sup>1</sup></td><td>176.12</td><td>4.62 × 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>1</td><td>...</td><td>...</td><td>597.12</td><td>stable</td><td>375.05</td><td>stable</td><td>290.26</td><td>stable</td></tr><tr><td>2</td><td>...</td><td>...</td><td>923.44</td><td>stable</td><td>559.50</td><td>stable</td><td>417.41</td><td>stable</td></tr><tr><td>3</td><td>...</td><td>...</td><td>1219.28</td><td>stable</td><td>717.53</td><td>stable</td><td>516.30</td><td>stable</td></tr><tr><td>4</td><td>...</td><td>...</td><td>1311.33</td><td>stable</td><td>770.64</td><td>stable</td><td>559.29</td><td>stable</td></tr><tr><td>5</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>944.33</td><td>stable</td><td>684.10</td><td>stable</td></tr><tr><td>6</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1138.20</td><td>stable</td><td>819.51</td><td>stable</td></tr><tr><td>7</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1335.92</td><td>stable</td><td>957.68</td><td>stable</td></tr><tr><td>8</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1096.75</td><td>stable</td></tr><tr><td>9</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1153.73</td><td>stable</td></tr><tr><td>10</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1248.03</td><td>stable</td></tr><tr><td>11</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1389.74</td><td>stable</td></tr><tr><td>12</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1467.07</td><td>stable</td></tr></tbody></table>

génération incluant les effets d'une distribution non-uniforme d'abondance de fer engendrée par les processus diffusifs. Une large bande de modes instables est effectivement constatée, couvrant les modes p (et f) de faible ordre radial (de $k=0$ à $k \simeq 7$) dans l'intervalle de période situé entre 77 s et 190 s environ. Les modes excités prédits concernent à la fois les pulsations radiales et non-radiales pour lesquels les très faibles temps caractéristiques de croissance ($\sim 10^{-1}$ à $10^{-4}$ ans devant un temps évolutif typique de $10^8$ années) suggèrent que ces instabilités disposent de tout le temps nécessaire pour atteindre des amplitudes observables. Le tableau montre également que les modes g, à l'inverse des oscillations acoustiques, demeurent stables dans ce modèle. Nous verrons un peu plus tard (section 5.5) qu'il s'agit, à quelques exceptions près, d'une caractéristique générale des modèles de seconde génération.

## 5.4.2 Comparaison avec les périodes observées

Nous avons choisi notre modèle de référence en fonction des quelques données observationnelles recueillies sur les premiers objets découverts appartenant à la classe des sdB pulsantes. Ses paramètres
de surface, en particulier log g et $T_{\text{eff}}$, ont été fixés pour correspondre approximativement aux valeurs
typiquement observées pour ces objets. Il est donc particulièrement intéressant de comparer les
périodes des modes instables obtenues théoriquement avec celles effectivement détectées dans ces
étoiles. Ces dernières sont sommairement indiquées dans le tableau 4.6 alors que les détails sont
disponibles dans les référence mentionnées à cette occasion pour chacune des étoiles composant la liste.
Une illustration graphique de cette première comparaison entre théorie et observation est cependant
proposée dans la figure 5.7.

<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>Figure 5.7: Comparaison entre les périodes observées pour quatre des sdB pulsantes découvertes (voir, par exemple, le tableau 4.6) et celles calculées avec le modèle de référence ($T_{\text{eff}}=34000$ K, log g=5.8, $M=0.48 M_{\odot}$ et log q(H)=-4.0). Les périodes des modes avec $l=0, 1, 2$ et 3 situées dans l'intervalle $60-280$ s sont indiquées (voir également le tableau 5.1). Ils correspondent aux modes p (et f) de faible ordre radial alors que les modes g, de périodes supérieures à 280 secondes, n'apparaissent pas dans la figure. Les modes instables sont représentés par les segments continus et les modes stables, par les segments en pointillés.</figcaption></figure>

Le bas de cette figure reproduit, sous forme de segments verticaux, le spectre théorique pour $l=0, 1, 2$ et 3 correspondant aux périodes des modes p (et f) directement issus du tableau 5.1. Les modes g ne sont par représentés dans ce graphique puisque nous venons de constater qu'ils demeurent stables. Les segments en traits pleins indiquent les périodes des modes excités alors que ceux en lignes pointillées sont associés aux modes acoustiques stables. Dans la partie supérieure de la figure, les périodes observées pour 4 des 12 sdB pulsantes découvertes (chronologiquement, les quatre premiers
objets reconnus comme tels), dont les paramètres atmosphériques sont similaires à ceux du modèle de référence, sont également indiquées par des segments en traits pleins. Soulignons qu'il ne s'agit ici en aucune façon d'une tentative pour reproduire ("fitter") en détails, en ajustant les paramètres des modèles, les périodes observées pour chacune des étoiles mentionnées. Ce problème spécifique, qui demeure principalement du ressort de l'étude astéroséismologique de ces étoiles, sera, pour l'heure, laissé en suspend. En effet, il est encore prématuré, à ce stade, de s'engager dans cette voie.

En dépit de cette approche approximative, il est néanmoins particulièrement remarquable que la totalité des périodes observées pour ces 4 étoiles pulsantes tombent à l'intérieur de la bande de modes instables prédite par la théorie. Cette constatation constitue sans aucun doute une très forte évidence en faveur du mécanisme de déstabilisation proposé. De plus, elle nous indique clairement que les modes instables détectés dans ces sdB pulsantes sont exclusivement des ondes acoustiques de faible ordre radial *k*. De plus, pour un même objet, les faibles écarts entre les périodes observées montrent également sans ambiguïté qu'il ne peut s'agir uniquement de pulsations radiales et que des oscillations non-radiales sont nécessairement impliquées dans les variations de luminosité.

L'excellente concordance entre observations et théorie ne doit cependant pas masquer les petits défauts qui ressortent néanmoins de cette comparaison. Il semble en particulier que la bande de modes instables soit trop large par rapport à ce qui est effectivement observé, bien que cette remarque nécessite la plus grande prudence dans la mesure où il n'est pas assuré que toutes les périodes ont effectivement été détectées pour ces étoiles (en raison notamment des petits télescopes utilisés). Si cela était cependant confirmé, nous disposerions alors d'une forte indication que le mécanisme déstabilisateur est légèrement trop puissant dans nos modèles de seconde génération. Ce problème sera éventuellement discuté au cours des prochaines sections de ce chapitre.

### 5.4.3 Mécanisme de déstabilisation

Afin d'établir définitivement, bien que cela soit déjà très fortement suggéré par les résultats obtenus jusqu'à présent, que le grand responsable de ces instabilités est bien le mécanisme $\kappa$ associé à l'ionisation partielle du fer présent localement en sur-abondances dans l'enveloppe de l'étoile, la figure 5.8 montre les profils de l'intégrant de l'intégrale de travail $d\overline{W}/dr$ et de l'intégrale courante $\overline{W}(r)$ correspondante (voir le Chapitre 1 ou 4 pour les détails sur ces quantités) appartenant au mode acoustique instable d'ordre radial $k=3$, d'indice angulaire $l=2$ et de période $P=121.77$ s (c.f., tableau 5.1). Rappelons que lorsque $d\overline{W}/dr$ est positif dans une région donnée de l'étoile, celle-ci contribue à exciter le mode alors qu'elle tend à le stabiliser dans le cas contraire où $d\overline{W}/dr$ est négatif. La stabilité effective du mode est alors déterminée par le signe de $\overline{W}(r)$ vers la surface de l'étoile ($r \to R$ ou, de façon équivalente, $\log q \to -\infty$): positif pour globalement instable et négatif pour globalement stable. Ainsi, le mode instable présenté montre-t-il, comme il se doit, une valeur positive de $\overline{W}(r)$ dans les couches externes du modèle, signifiant que la zone d'excitation (le pic positif de $d\overline{W}/dr$) surpasse en efficacité les régions stabilisatrices (zones négatives de $d\overline{W}/dr$).

La superposition du profil de l'opacité de Rosseland ($\log \kappa$) confirme l'origine de l'excitation des modes. Le pic positif dans le profil de $d\overline{W}/dr$ est, comme attendu, clairement associé à la bosse métallique engendrée par l'ionisation partielle du fer, celle-ci s'avérant extrêmement abrupte en raison des importantes sur-abondances locales résultant des processus de diffusion sur cet élément chimique.
<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>Figure 5.8: Profils respectifs du logarithme de l'opacité de Rosseland log κ, de l'intégrant de l'intégrale de travail dW/dr et de l'intégrale courante W(r) en fonction de la profondeur dans l'étoile exprimée en fraction de masse log q pour le mode acoustique instable d'ordre k=3, d'indice l=2 et de période P=121.77 s (c.f., tableau 5.1). Les valeurs positives de dW/dr correspondent aux régions contribuant à la déstabilisation du mode alors que les valeurs négatives indiquent les zones stabilisatrices.</figcaption></figure>

L'implication et l'efficacité du mécanisme κ identifié dès l'étude de stabilité sur les modèles de première génération apparaît donc clairement et solidement établie par ces calculs portant sur le modèle de référence plus réaliste appartenant à la seconde génération (voir également Charpinet et al., 1997a).

## 5.5 Stabilité dans le plan gravité-température

Les nouvelles structures d'enveloppes tenant compte des processus de diffusion agissant sur le fer semblent, d'après l'étude du modèle de référence, reproduire convenablement, en terme des périodes des modes de pulsation excités, les caractéristiques générales des étoiles EC14026. Ces modèles paraissent donc appropriés pour mettre sur pied une représentation théorique générale, en fonction des paramètres physiques caractérisant ces étoiles, des comportements liés aux instabilités. Comme auparavant aux Chapitres 3 et 4, l'utilisation de modèles statiques d'enveloppes constitue un atout
majeur dans cette démarche puisqu'ils permettent la construction de grilles complètes dans lesquelles tous les paramètres nécessaires à la définition d'une structure sont découplés et peuvent donc être modifiés indépendamment les uns des autres.

A l'image de l'exploration adiabatique effectuée dans la section 3.4 du Chapitre 3, nous avons donc construit une grille de modèles d'enveloppes de seconde génération afin de couvrir l'ensemble de la région de l'espace des paramètres où l'on retrouve les étoiles sous-naines de type B. Toutefois, en raison des temps de calcul sensiblement plus élevés, la grille en question n'explore, pour le moment, que les effets des variations de température effective et de gravité de surface des modèles. Les deux autres paramètres principaux ont été fixés aux valeurs habituelles typiques des sdB: $M = 0.48 M_⊙$ et $\log q(H) = -4.0$. L'objectif principal étant de déterminer les propriétés des modes instables et sachant que celles-ci ne sont guère affectées par ces deux derniers paramètres (c.f., Chapitre 4), cette limitation provisoire demeure certainement satisfaisante pour nos besoins immédiats et surtout sans grande incidence sur les propriétés générales des instabilités que nous allons extraire des calculs non-adiabatiques appliqués sur cette grille. Les dimensions et la résolution de cette dernière sont légèrement différentes de celles utilisées dans le contexte adiabatique. L'espace en température effective et gravité de surface est en effet couvert dans les limites $41000 \text{ K} \le T_{\text{eff}} \le 22000 \text{ K}$ avec $\Delta T_{\text{eff}} = 500 \text{ K}$ et $6.4 \le \log g \le 5.1$ avec $\Delta \log g = 0.05$; soit un total de 1053 modèles statiques d'enveloppes de seconde génération. Afin de faciliter l'identification automatique des modes et de réduire les longs calculs non-adiabatiques au strict minimum requis, une grille de périodes adiabatiques de même dimension fut préalablement construite de façon similaire à celles utilisées au Chapitre 3, incluant les caractéristiques des modes p (et f) pour $l=0, 1, 2$ et 3, jusqu'à l'ordre radial $k=20$ et des modes g pour $l=1, 2$ et 3, jusqu'à $k=10$. Une fois les spectres de périodes constitués et bien déterminés, seuls les modes acoustiques de faible ordre radial ($k=0$ à 10) ont été sélectionnés, par économie de temps de calcul, pour une évaluation systématique de leurs quantités non-adiabatiques (soit un total de 33696 modes sur l'ensemble de la grille). Des tests préalables ont en effet révélé que les modes p d'ordre radial plus élevé et, en général, les modes $g^1$ demeurent stables sur l'ensemble du plan $\log g - T_{\text{eff}}$ occupé par les sdB. Durant ces calculs, les deux codes de pulsations, adiabatiques et non-adiabatiques, furent utilisés sur une base de 150 éléments quadratiques répartis dans les structures d'enveloppes de seconde génération. Suite à la discussion de la section 3.3 du Chapitre 3, la condition frontière centrale de la "sphère dure", applicable vers $\log q(\text{min}) \approx -0.5$ dans ces modèles de seconde génération, a été adoptée pour l'évaluation des périodes.

### 5.5.1 Comportements non-adiabatiques des modes acoustiques

A chaque point de la grille, correspondant à un modèle de température effective et de gravité de surface données, sont associées les différentes quantités non-adiabatiques issues du code de pulsation et qui caractérisent les modes d'oscillation. Ainsi, pour chaque mode acoustique radial et non-radial (pour $l=1, 2$ et 3) jusqu'à l'ordre $k=10$, la période adiabatique $P_{\text{ad}}$ (en secondes), la période non-adiabatique $P_{\text{nad}}$ (en secondes), la partie imaginaire de la fréquence propre $\sigma_I$ (en $s^{-1}$ ou Hz), l'énergie cinétique $\log E_{\text{cin}}$ et le coefficient de rotation rigide du premier ordre $C_{kl}$ sont disponibles. Une visualisation rapide, notamment à travers les figures qui suivent, de ces quantités dans le plan $\log g - T_{\text{eff}}$ permet

<footnote n="1">¹Dans les modèles à basses gravités de surface et hautes températures effectives, certains modes mixtes catégorisés comme modes g selon la classification standard peuvent s'avérer instables. Cependant, cela se produit dans une région extrême de la grille située dans une zone du plan $\log g - T_{\text{eff}}$ inoccupée ou marginalement occupée par les sdB.</footnote>
de constater que les comportements généraux, répertoriés durant la section 3.4 du Chapitre 3 dans le contexte des calculs adiabatiques portant sur des modèles statiques de première génération, demeurent qualitativement inchangés avec les structures de seconde génération.

## Périodes non-adiabatiques

Ces similitudes se retrouvent en particulier au niveau de la structure globale des surfaces représentant, dans le plan température effective-gravité de surface, les valeurs des périodes de pulsation pour différents modes donnés. La figure 5.9, comparable à la figure 3.19 de la section 3.4 (Chapitre 3), présente un échantillon de modes p (et f) pour différentes valeurs de *k* et *l*. Les tendances observées pour les périodes adiabatiques dans les modèles à métallicité uniforme sont également constatées au niveau des structures de seconde génération. Cela ne signifie cependant pas que les périodes des modes d'oscillation sont identiques d'une grille de modèles à l'autre, comme nous pourrons le vérifier un peu plus tard.

Pour les pulsations radiales, la gravité de surface constitue le paramètre d'influence dominant sur les périodes, celles-ci diminuant rapidement lorsques $log g$ augmente. A contrario, la dépendance des périodes envers la température effective reste, comme auparavant pour les modèles de première génération, très restreinte. Il faut toutefois noter que de petites variations additionnelles de périodes, quoique peu visibles sur cette figure, sont néanmoins présentes dans la grille de modèles de seconde génération. Elles sont dues à la dépendance des profils non-uniformes d'abondance de fer vis-à-vis des paramètres $T_{eff}$ et $log g$. Cet effet, issu des variations de structure des modèles engendrés par les profils changeants de l'opacité de Rosseland, demeure néanmoins assez faible sur les modes acoustiques (modes d'enveloppes) alors qu'il touche plus fortement les modes g, sensibles aux régions profondes de l'étoile.

L'illustration des oscillations non-radiales (pour $l = 1, 2$ et $3$) confirme également qu'à la dépendance principale des périodes envers la gravité de surface des modèles s'ajoutent les structures occasionnées, à hautes températures et basses gravités, par les phénomènes de collision entre modes (voir Chapitre 3). On notera, par comparaison avec la figure 3.19, que ces structures interviennent à plus hautes températures et à plus basses gravités dans la grille des modèles de seconde génération en raison des périodes systématiquement plus grandes obtenues, avec ces structures, pour les modes g.

## Modes étranges

Un regard attentif sur quelques-unes des surfaces présentées, en particulier pour les modes avec $k=10$, $l = 1, 2$ et $3$, révèle l'existence de lignes de distorsion des périodes traversant une partie du plan $log g - T_{eff}$. Un examen plus approfondi des calculs non-adiabatiques menés sur les modèles concernés a dévoilé l'origine de ces perturbations. Pour chaque mode, notre méthode d'évaluation des quantités non-adiabatiques s'appuie sur une première estimation des périodes et fonctions propres à l'aide de la théorie des pulsations adiabatiques, un balayage en période dans un intervalle spécifié par l'utilisateur permettant de répertorier l'ensemble des modes adiabatiques présents. La convergence s'effectue alors directement de l'estimé adiabatique qui, généralement, diffère très peu de la solution non-adiabatique. Nous avons cependant pu constater, en particulier pour ces modèles, qu'il existe parfois deux points de convergence possibles au voisinage de l'estimation adiabatique. Après vérification du code non-adiabatique, pour lequel aucun défaut de programmation ne fut découvert, il nous semble acquis que
<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>Figure 5.9: Echantillon de modes p et f dans l'espace log g – T<sub>eff</sub>: Périodes non-adiabatiques. Chaque rangée correspond, en partant du haut, respectivement aux modes radiaux (l = 0) et aux modes non-radiaux (l = 1, 2 et 3). Les deux paramètres stellaires fixes ont reçu les valeurs typiques M = 0.48 M<sub>☉</sub> et log q(H) = -4.0.</figcaption></figure>
le spectre non-adiabatique dispose, dans une fenêtre de périodes donnée, d'un nombre plus important de modes que le spectre adiabatique habituel (modes p, f et g).

Par nature, la méthode employée pour localiser les modes oscillatoires dans un intervalle de périodes donné ne nous permet pas, dans la plupart des cas, de détecter la présence de ces modes particuliers. Cependant, il arrive parfois, dans certaines conditions de température effective et de gravité de surface, que l'un deux ait une période très proche d'un mode acoustique classique duement répertorié au cours du balayage adiabatique. Le code non-adiabatique peut alors accidentellement converger vers la période de ce mode plutôt que vers celle du mode p, produisant la légère distorsion observée sur certaines surfaces de la figure 5.9.

Quelques tests sur les modèles incriminés dans la détection accidentelle de ces modes particuliers suggèrent que ces derniers sont relativement difficiles à saisir en raison d'une dépendance très forte relativement aux paramètres stellaires utilisés. Il semble également que leur apparition devienne plus fréquente<fnref n="2" /> dans la région à haute température et basse gravité du plan $log g - T_{eff}$, correspondant aux modèles disposant des plus grands rapports luminosité sur masse ($L/M$). Enfin, il apparaît, d'après l'occurence relativement faible de leur détections accidentelles, que ces modes supplémentaires d'origine exclusivement non-adiabatique ne soient pas très nombreux dans l'intervalle de période exploré.

La rapide description précédente des propriétés entrevues caractérisant ces modes n'est pas sans analogie avec le phénomène des modes étranges rapporté par plusieurs auteurs au cours des deux dernières décennies (par exemple, Saio et al., 1984; Gautschy & Glatzel, 1990). Ces modes, généralement observés lorsque le degré de non-adiabaticité est élevé, semblent appartenir à un ou plusieurs spectres dont les périodes se superposent à celles du spectre habituel (modes p, f et/ou g). Le problème de l'origine et de la nature des modes étranges demeure néanmoins, encore aujourd'hui, très peu clarifié d'autant que de fortes présomptions suggèrent qu'il en existe différents types (c.f., les deux références précédentes mais également Gautschy & Glatzel, 1991; Zalewski, 1992; Glatzel, 1994; Buchler et al., 1997; ou encore Saio et al., 1998). L'éventualité de la présence de modes étranges également dans le spectre acoustique non-adiabatique des sdB (comme le suggèrent les calculs effectués sur la grille de modèles statiques) offre donc l'opportunité d'apporter une nouvelle contribution à ce débat. Si le sujet est particulièrement intéressant, nos outils actuels ne permettent pas, dans l'immédiat, d'enquêter sur les comportements de ces modes très particuliers. En effet, pour les détecter et les suivre dans leur évolution, la méthode de recherche des périodes en utilisant l'approximation adiabatique devient inadaptée. L'adaptation des codes de pulsation, afin de permettre la recherche des modes propres directement à partir du système complet des équations non-adiabatiques, impose des changements majeurs qui ne peuvent être facilement et rapidement implémentés. Faute de temps, la question des modes étranges dans les étoiles sous-naines de type B est donc laissée en suspend. Elle fera certainement l'objet, dans un proche avenir, d'une étude plus approfondie.

## Localisation des instabilités

A travers la partie imaginaire des fréquences propres complexes, le calcul non-adiabatique nous renseigne sur la stabilité des modes de pulsation. La grille de modèles couvrant le plan $log g - T_{eff}$ nous

<footnote n="2">²Ce fait n'apparaît pas distinctement dans la figure 5.9 car beaucoup d'efforts ont été apportés dans cette région pour que le code non-adiabatique converge vers les périodes correspondant aux modes acoustiques habituels.</footnote>
permet donc de visualiser, pour chaque mode acoustique disponible (jusqu'à l'ordre $k = 10$), l'état d'excitation en fonction de chacun de ces deux paramètres atmosphériques. La figure 5.10 illustre, pour chaque mode radial ($l=0$) d'ordre $k=0$ à 8, les valeurs de $\log(-\sigma_I)$ associées, le cas échéant, aux modes instables (i.e., ceux pour lesquels $\sigma_I < 0$). Une valeur plancher de -13 pour la quantité $\log(-\sigma_I)$ a été assignée lorsque les modes sont stables (i.e., $\sigma_I > 0$).

Cette figure permet de constater l'existence d'une large zone d'instabilité couvrant une partie du plan $\log g - T_{\text{eff}}$. Celle-ci s'étire des plus hautes gravités de surface, où l'intervalle de température dans lequel on retrouve les instabilités est le plus étroit, vers les plus faibles gravités de surface, où la

<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>Figure 5.10: Echantillon de modes acoustiques dans l'espace $\log g - T_{\text{eff}}$: Partie imaginaire des fréquences propres. Chaques panneaux, en partant du coin supérieur gauche, correspondent aux modes radiaux ($l=0$) d'ordre $k=0$ à 8.</figcaption></figure>
bande en température correspondant aux modes instables est la plus large. Pour les pulsations radiales, seuls les modes de faible ordre radial, avec $k \le 6$, sont déstabilisés. Pour $k \ge 7$, l'effet de dissipation radiative, qui s'accroît généralement avec la multiplication des nœuds dans les fonctions propres, outrepasse systématiquement, dans la totalité de l'espace physique exploré, l'influence déstabilisatrice du fer. Deux tendances qualitatives ressortent assez bien de cet échantillon de modes. En premier lieu, la région instable semble s'étendre lorsque l'indice radial, de faible valeur ($k=0, 1$), augmente. Elle se contracte ensuite sévèrement jusqu'à finalement disparaître pour les plus grandes valeurs de $k$. Un déplacement du "blue edge" et du "red edge" vers les plus grandes températures effectives est également observé lorsque l'indice radial augmente. De plus, notons que les valeurs de $\sigma_I$ deviennent

<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>Figure 5.11: Echantillon de modes p et f dans l'espace log g - $T_{\text{eff}}$: Partie imaginaire des fréquences propres. Idem figure 5.10 mais pour les modes non-radiaux avec $l=2$.</figcaption></figure>
systématiquement plus grandes pour les modèles à faibles gravités de surface et hautes températures effectives; une tendance conforme à l'idée généralement admise de la plus forte non-adiabaticité des modes acoustiques dans les modèles disposant de hauts rapports $L/M$.

La figure 5.11 illustre, à la manière de la figure 5.10, les régions d'instabilités pour les pulsations non-radiales à travers l'exemple représentatif du spectre des modes p (et f) d'indice angulaire $l=2$. La structure des surfaces reste globalement inchangée relativement à celles correspondant aux pulsations radiales et les tendances observées sont identiques. Remarquons simplement que les modes acoustiques non-radiaux peuvent être instables jusqu'à l'ordre radial $k=7$ (contre $k=6$ pour les modes radiaux; mais on se souviendra qu'un mode p non-radial d'ordre $n$ correspond à un mode radial d'ordre $n-1$) et que le mode f, ou mode de Kelvin, est excité (bien que la valeur de $|σ_I|$ soit généralement très faible) dans une large région du plan $log g - T_{eff}$.

### 5.5.2 Aperçu des tendances

Une visualisation en deux dimensions, moins spectaculaire mais quantitativement plus utile, d'une fraction de la grille permet de confirmer et/ou d'avancer un ensemble de prédictions théoriques qu'il sera par la suite possible de confronter aux observations. La figure 5.12 donne un aperçu du comportement des instabilités en fonction de la température effective des modèles tout en maintenant la gravité de surface constante. En parallèle, la figure 5.13 illustre les résultats obtenus pour une série de modèles à température effective constante mais à gravité de surface variable. Les paramètres fixes des modèles ont été choisis pour correspondre aux caractéristiques de la plupart des étoiles EC14026: $log g = 5.8$ dans le premier cas (figure 5.12) et $T_{eff} = 34000$ K dans la seconde situation (figure 5.13). Seuls les modes p (et f) avec $l=0, 1, 2$, et 3, jusqu'à l'ordre radial $k=10$ sont représentés dans la mesure où les modes g, ainsi que les modes p d'ordre radial supérieur, demeurent stables<fnref n="3" /> sur tout l'intervalle des paramètres exploré (prédiction #1). Les modes instables sont représentés par des cercles pleins de différentes tailles selon la valeur de $|σ_I|$, où $σ_I$ est la partie imaginaire de la fréquence propre des modes (c.f., la légende de la figure 5.12 pour les détails).

Au niveau de la figure 5.12, pour ce choix de gravité de surface, les périodes des modes p (et f) considérés se situent dans la fenêtre $50-340$ secondes et exhibent, hormis pour les deux modes

<footnote n="3">³Toutefois, dans la figure 5.13, vers la région à basse gravité ($log g \lesssim 5.5$), des modes mixtes instables, non représentés dans ce graphique parce qu'ils appartiennent au spectre des modes g, font également leur apparition dans les modèles. Leurs périodes sont cependant situées dans la fenêtre définie par les modes instables affichés dans cette figure.</footnote>
f avec $l=2$ et $l=3$, une très faible dépendance envers la température effective. Les modes excités définissent, toujours pour ce choix de gravité de surface, une large bande d'instabilité comprise entre 27000 K ("red-edge") et 39000 K ("blue edge") dont l'origine physique a été discutée brièvement au cours de la section 5.3.2. Il est cependant notoire que la région disposant du plus grand nombre de modes instables, de la plus large bande de périodes excitées ainsi que des plus importantes valeurs de $|σ_I|$, autant d'indices suggérant que les instabilités sont plus fortes dans ces modèles, est localisée vers $33000 \text{ K} \lesssim T_{\text{eff}} \lesssim 36000 \text{ K}$ (prédiction #2). Notons également qu'il existe une corrélation entre l'ordre

<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>Figure 5.12: Spectres des périodes pour un ensemble de modèles de seconde génération avec $M=0.48 M_⊙$, $\log q(H)=-4.0$, $\log g=5.8$ et $T_{\text{eff}}$ compris entre 41000 K et 22000 K par pas de 500 K. Tous les modes p (et f) avec $l=0, 1, 2, 3$ et $k=0$ à 10 (sauf avec la série $l=1$ pour laquelle il n'existe pas de mode fondamental $k=0$) sont illustrés. Les modes stables sont représentés par de petits points alors que les modes instables apparaissent sous la forme de cercles pleins. 8 différentes tailles de cercles sont associées aux valeurs de $|σ_I|$ (en Hz) avec par ordre de taille croissante: $|σ_I| < 10^{-7}$, $10^{-7} \le |σ_I| < 5 \times 10^{-7}$, $5 \times 10^{-7} \le |σ_I| < 10^{-6}$, $10^{-6} \le |σ_I| < 5 \times 10^{-6}$, $5 \times 10^{-6} \le |σ_I| < 10^{-5}$, $10^{-5} \le |σ_I| < 5 \times 10^{-5}$, $5 \times 10^{-5} \le |σ_I| < 10^{-4}$, and $|σ_I| \ge 10^{-4}$. La courbe en traits pleins (pointillés; tirets; longs tirets) joint les modes avec $l=0$ et $k=0$ ($l=1$ et $k=1$; $l=2$ et $k=0$; $l=3$ et $k=0$) ensembles. Les modes g, toujours stables, ne sont pas présentés dans la figure mais leurs périodes, pour un $l$ donné, se situent au dessus des courbes correspondantes.</figcaption></figure>

radial des modes excités et la température effective des modèles telle que plus $T_{\text{eff}}$ est élevée, plus l'indice $k$ des modes instables est grand. Ainsi, si les périodes des modes acoustiques dépendent très peu de la température effective de l'étoile, il existe néanmoins, en terme des périodes excitées (celles qui peuvent éventuellement être observées), une tendance à la baisse lorsque $T_{\text{eff}}$ augmente (prédiction #3).
La figure 5.13 illustre une nouvelle fois l'extrême sensibilité des périodes des modes p (et f) vis-à-vis de la gravité de surface des modèles. Dans l'intervalle de gravité exploré, les modes se répartissent dans une fenêtre couvrant les périodes allant de 700 s environ (à faible log g) jusqu'à 20 s environ (à log g élevé). Les modes excités suivent manifestement la même tendance; il faut donc s'attendre à observer des périodes d'oscillation plus longues dans les sdB pulsantes de faibles gravités de surface (prédiction #4). De plus, en raison de l'espacement des périodes entre modes consécutifs qui augmente lorsque log g diminue, la bande de modes excités devient plus large (en période) à ces faibles

<figure><img src="image_103.png" /><figcaption>Figure 5.13: Similaire à la figure 5.12 excepté pour le fait que les effets de la gravité de surface, entre log g = 5.1 et log g = 6.4 par pas de 0.05, sont ici explorés. Les paramètres fixes des modèles sont toujours M = 0.48 M⊙, log q(H) = -4.0 et T$_{eff}$ = 34000 K.</figcaption></figure>

gravités (prédiction #5). Conformément à notre attente relativement à la façon dont le mécanisme déstabilisateur fonctionne (c.f., section 5.3.2), la bande d'instabilité apparaît limitée pour les grande valeurs de log g (pour ce choix de température effective, pas de modes instables si log g ≳ 6.30) mais ne semble pas disposer, dans l'intervalle exploré, de borne inférieure pour les basses gravités. La figure montre également que les modes instables des modèles à faible gravité de surface disposent des taux de croissance (ou, de manière équivalente, des |σ<sub>I</sub>|) les plus élevés. Ceci suggère, pour autant que l'on puisse se fier à la théorie linéaire concernant ce type de problème, que les sdB pulsantes de plus faibles gravités devraient montrer, à température effective identique, les plus grandes amplitudes d'oscillation
(prédiction #6). Cette dernière prédiction demeure toutefois incertaine puisqu'en toute rigueur, seule la théorie non-linéaire peut nous renseigner sur le niveau de saturation des amplitudes des modes excités.

Ce premier aperçu des résultats, issus des calculs non-adiabatiques appliqués sur une grille de modèles couvrant l'ensemble du plan $log g - T_{eff}$ où l'on retrouve les étoiles sous-naines de type B, permet donc de déterminer plusieurs propriétés des modes d'oscillation excités par le mécanisme déstabilisateur que nous avons identifié. Ces propriétés constituent autant de prédictions théoriques qu'il est possible de tester par comparaison directe avec les caractéristiques des étoiles EC14026 connues. Dans cette optique, il est intéressant de se référer au tableau 4.6 qui résume les paramètres observés pour les 12 objets de cette catégorie répertoriés à ce jour. En particulier PG 1605+072, une étoile de gravité de surface significativement plus faible que celle des autres étoiles connues, dispose des plus longues périodes observées (de 200 à 600 secondes; c.f., prédiction #4), couvrant également le plus large intervalle de période (~400 secondes; prédiction #5). Cet objet présente aussi les plus grandes amplitudes de pulsation jamais observées jusqu'à présent (c.f., prédiction #6). Pour l'ensemble des sdB pulsantes, les périodes observées correspondent, d'après l'évaluation de leurs paramètres stellaires, aux modes acoustiques de faible ordre radial *k* (c.f., prédiction #1). Malgré la dominance des effets de la gravité, une légère tendance impliquant de plus faibles périodes pour les étoiles avec des températures effectives plus élevées est suggérée dans le tableau (c.f., prédiction #3). De plus, malgré la dispersion assez importante des températures observées, les étoiles EC14026 semblent se regrouper aux alentours de $T_{eff} \approx 34000$ K (c.f., prédiction #2).

Ces résultats obtenus avec la grille de modèles de seconde génération apportent donc quelques éléments très suggestifs qui confortent encore un peu plus l'idée proposée pour le mécanisme de déstabilisation (voir également Fontaine et al., 1998). Cependant, pour obtenir une vision globale des caractéristiques des pulsations dans ces objets sur l'ensemble de la région intéressante du plan $log g - T_{eff}$, et pas seulement autour du point $log g = 5.8$ et $T_{eff} = 34000$ K, il est nécessaire de représenter la totalité des calculs effectués sur ces modèles.

### 5.5.3 Domaine d'instabilité

Une première étape fondamentale est de déterminer, à partir de la grille de structures d'enveloppes, les caractéristiques du domaine d'instabilité dans lequel les sdB pulsantes doivent théoriquement se trouver. Une façon d'illustrer le processus d'apparition et de disparition des instabilités en fonction des paramètres stellaires adoptés consiste à dénombrer les modes excités pour chaque série d'indice angulaire *l* donné. En général, ce nombre est faible pour les modèles situés en bordure de la zone d'instabilité et plus élevé près du centre de cette région, où le mécanisme déstabilisateur atteint son paroxysme. Il apporte ainsi une indication quantitative sur l'efficacité du mécanisme ou, de façon équivalente, sur l'importance des instabilités<fnref n="4" />.

<footnote n="4">⁴Cette indication pourrait éventuellement être diluée dans un effet mécanique superposé si, dans l'intervalle de périodes excitées, la densité de mode change beaucoup avec les paramètres de l'étoile. Ce n'est définitivement pas le cas pour les modes p insensibles à la température effective. En fonction de $log g$, si l'écart en période entre modes successifs augmente lorsque la gravité diminue, la largeur de la fenêtre d'instabilité s'accroît. Le nombre de modes instables constitue donc, pour ces étoiles, un bon indicateur de la puissance du mécanisme d'excitation.</footnote>
La figure 5.14 montre, sous la forme d'iso-contours dans le plan $log g - T_{eff}$, le nombre de modes instables dans le spectre des pulsations radiales ($l=0$) à travers l'ensemble de la grille de modèles d'enveloppes. La figure 5.15 propose le même type d'illustration pour les pulsations non-radiales ($l=1, 2$ et $3$) mais la similitude des résultats obtenus nous incite à nous concentrer principalement sur les modes radiaux. Chaque contour correspond à la limite inférieure où $N$ modes instables sont comptabilisés ($N=1, 2, 3$, etc ..., jusqu'à $N=7$ pour les pulsations radiales et parfois $N=8$ pour

<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>Figure 5.14: Plan $log g - T_{eff}$ où les cercles vides correspondent aux étoiles sous-naines de type B non encore observées par photométrie rapide (Saffer et al., 1995; communication privée), les cercles pleins représentent les 63 sdB observées par notre groupe mais pour lesquelles aucune pulsation n'a été constatée et les point cerclés numérotés indiquent les 12 sdB pulsantes connues. La grille de modèles d'enveloppes est superposée aux observations (chaque point correspond à un modèle de la grille) et les iso-contours indiquent, pour les pulsations radiales ($l=0$), le nombre de modes instables dans les modèles. Le plus externe correspond à la limite $N=1$ mode excité, $N$ allant en augmentant de l'extérieur vers l'intérieur de la bande d'instabilité.</figcaption></figure>

les pulsations non-radiales). Le contour le plus large indique la limite $N=1$ et les modèles situés en dehors de cette région du plan $log g - T_{eff}$ ne disposent d'aucun mode radial excité ($N=0$). Cette représentation dans le plan gravité-température favorise les comparaisons directes des résultats théoriques avec les propriétés des sdB pulsantes observées. A cette fin, les étoiles pour lesquelles ces
paramètres stellaires ont été évalués par spectrométrie et modélisation d'atmosphère (cercles vides;
Saffer et al., 1995; communication privée), incluant les 12 étoiles EC14026 connues (points cerclés) et
un échantillon de 63 étoiles observées par photométrie rapide dans le cadre de notre programme de
recherche observationnelle de sdB pulsantes (Billères, 1999) mais pour lesquelles aucune pulsation n'a
été détectée (cercles pleins), sont superposées aux résultats théoriques issus de la grille.

<figure><img src="image_105.png" /></figure>

Figure 5.15: Semblable à la figure 5.14 pour les modes de pulsations non-radiales d'indice angulaire $l=1, 2$ et $3$. Chaque panneau est associé à l'une des valeurs de $l$.
Un premier et rapide coup d'oeil sur la figure 5.14 permet de constater que le mécanisme d'excitation impliqué déstabilise une large bande de modèles dans le plan $log g - T_{eff}$. Cette région instable, bien qu'elle n'occupe pas toute la grille, englobe néanmoins la quasi-totalité des étoiles sous-naines de type B connues. S'il est difficile, à ce stade, d'évaluer précisément, avec seulement 12 sdB pulsantes répertoriées, les limites et le profil de la bande d'instabilité réelle, l'extrême largeur du domaine d'instabilité théorique semble suggérer, encore une fois, que le mécanisme d'excitation est trop puissant dans nos modèles. Cette possibilité sera discutée plus en détails lorsque les limitations dues aux hypothèses de construction des modèles de seconde génération seront abordées.

En dépit de la largeur importante du domaine d'instabilité théorique, il demeure néanmoins particulièrement intéressant de constater que le nombre de modes instables atteint, comme attendu, un maximum vers la région centrale de ce domaine. Pour les pulsations radiales, le "sommet" de la "montagne" d'instabilité, avec 7 modes instables, est situé approximativement dans l'intervalle $5.6 \lesssim log g \lesssim 5.95$ et $35000 K \gtrsim T_{eff} \gtrsim 33000 K$. La situation est essentiellement identique pour les modes non-radiaux bien que le pic apparaisse un peu plus large pour $l=2$ et $l=3$, englobant les modèles jusqu'à $log g \simeq 5.5$ et $log g \simeq 6.0$ en gravité et $T_{eff} \simeq 32000 K$ en température. Pour $l=2$, un maximum avec 8 modes instables est même atteint pour un seul modèle dont les paramètres sont $log g = 5.75$ et $T_{eff} = 34500 K$. Cette région relativement restreinte semble donc correspondre à la situation qui offre les conditions de température effective et de gravité de surface les plus favorables au mécanisme de déstabilisation. Nous pouvons, de ce fait, confirmer et généraliser la prédiction #2 en affirmant que les instabilités les plus fortes interviennent dans l'intervalle de température et de gravité mentionné ci-dessus. Dans ce contexte, il est particulièrement remarquable de constater que la distribution des étoiles EC14026 connues suggère sans équivoque une concentration de sdB pulsantes exactement dans cette région du plan $log g - T_{eff}$.

Le nombre de modes excités décroît graduellement à mesure que l'on s'éloigne du pic d'instabilité jusqu'à ce que les modèles deviennent finalement stables. Les profils des différents contours indiquent très clairement une dépendance de l'efficacité du mécanisme non seulement par rapport à la température effective mais aussi en fonction de la gravité de surface des modèles. L'orientation des iso-contours montre que le mécanisme favorise, à fortes gravités de surface, les instabilités dans les étoiles à hautes températures et, à faibles gravités, les instablités dans les étoiles à basses températures (prédiction #7). A ce niveau, les positions (et les températures effectives) des sdB pulsantes de faibles gravités PG1605+072 (étoile 8) et Feige 48 (étoile 9) dans le plan $log g - T_{eff}$ constituent – comme le font remarquer à juste titre Koen et al., 1998b – une indication très forte de cette tendance s'inscrivant parfaitement dans le sens de la prédiction théorique. Parallèlement, on notera que l'ensemble des 12 étoiles EC14026, bien que disséminées sur une grande surface dans le plan gravité-température, se trouvent pratiquement sans exception à l'intérieur des trois contours correspondant aux plus grands nombres de modes instables ($N=7, 6$ et $5$ pour $l=0$) et semblent également, même en dépit du petit nombre d'objets actuellement disponibles, en épouser grossièrement la forme.

Le mécanisme d'excitation responsable des instabilités ne doit son efficacité qu'à l'accumulation de quantités importantes de fer dans l'enveloppe de l'étoile sous l'influence des processus de diffusion. Dans nos calculs, l'équilibre entre triage gravitationnel et lévitation radiative a été adopté, générant un profil non-uniforme mais fixe pour l'abondance du fer. Pour cette raison, tous les modèles calculés dans notre grille et situés dans le domaine d'instabilité montrent des modes excités dans leur spectre
acoustique. Toutefois, par la nature même du mécanisme de déstabilisation, il est extrêmement pro-
bable qu’un paramètre supplémentaire, autre que la gravité de surface et la température effective, est
en mesure de peser sur la stabilité des modèles. Ce paramètre est relié à l’importance des vents stellaires
dans ces étoiles qui, comme on le sait maintenant très bien (par exemple, Fontaine & Chayer, 1998),
influencent directement les réservoirs d’éléments lourds constitués par les processus de diffusion.
Pour autant que les vents stellaires ne soient pas trop forts au point de détruire complètement la
distribution non-uniforme des divers éléments atomiques présents dans l’enveloppe de ces étoiles, les
calculs suggèrent que les profils d’abondance, en présence d’un faible vent, adoptent une configuration
stationnaire proche des profils obtenus à l’équilibre. Toutefois, à la différence de ces derniers, le réservoir
à tendance à se vider par la base, toujours sous l’effet du vent, conduisant, à terme, à la disparition
totale de certains éléments. Au cours du Chapitre 2 (section 2.2), nous avons vu que les étoiles sous-
naines de type B sont fortement suspectées d’entretenir un vent faible de nature à influencer les
réservoirs constitués par la diffusion. Il est donc extrêmement probable que les sur-abondances de fer
soient peu à peu entamées, en commençant par la base du réservoir, sous l’action des processus de
perte de masse. Après un certain temps, on peut donc s’attendre à ce que la disparition du fer atteigne
la région déstabilisatrice de l’étoile, détruisant du même coup le mécanisme d’excitation des modes
de pulsation. Autrement dit, les vents stellaires faibles susceptibles d’être présents dans les sdB font
qu’il est possible, à une même température effective et gravité de surface, que deux étoiles d’apparence
identiques présentent l’une des variations de luminosité alors que l’autre demeure stable (prédiction
#8). La distribution, dans le plan $log g - T_{eff}$, des étoiles observées par photométrie rapide mais qui
ne présentent aucune pulsation (cercles pleins) révèle sans ambiguïté, par leur coexistence avec les
sdB pulsantes connues, que l’influence sur le mécanisme d’excitation d’un paramètre additionnel est
indispensable. Or, à travers la prédiction #8, le mécanisme proposé offre une explication naturelle à
cette observation.

5.5.4 Nature et propriétés des modes instables

Outre l'énumération des modes instables et la localisation d'un domaine d'instabilité dans le plan $log g - T_{eff}$, la grille de modèles d'enveloppes nous apporte également toute une batterie d'informations utiles sur la nature et les propriétés des modes excités par le mécanisme $\kappa$ associé aux sur-abondances de fer. Les quantités particulièrement importantes sont les périodes des modes instables en fonction de la température effective et de la gravité de surface des modèles. Celles-ci définissent notamment une fenêtre de périodes qu'il est possible de confronter à ce que l'on observe pour les pulsateurs réels. Toutefois, avant de présenter ces résultats, nous allons regarder de plus près à quel type de modes, selon la position dans le plan $log g - T_{eff}$, s'identifient les instabilités.

Nature des modes excités

A travers l'ensemble des calculs non-adiabatiques effectués sur la grille de modèles de seconde géné-
ration couvrant l'espace occupé par la plupart des sdB, seuls les modes acoustiques et les deux
modes f (pour l=2 et 3) se sont révélés en mesure de développer des instabilités. Les modes g, plus
profonds et donc moins portés à osciller avec de grandes amplitudes dans la région où le mécanisme $\kappa$
opère, demeurent généralement stables hormis dans la région à haute température et basse gravité où
l'apparition de modes à caractère mixte vient parfois compliquer la situation. Cette partie de la grille
est toutefois principalement située en dehors de la région des sdB; elle présente donc moins d'intérêt.
Ainsi, nous pouvons généraliser la prédiction #1 de la section 5.5.2 à l'ensemble des étoiles sous-naines
<figure><img src="image_106.png" /></figure>

Figure 5.16: Idem Figure 5.14 mais les contours correspondent maintenant à l'ordre radial minimal associé aux modes excités. Chaque panneau illustre respectivement les pulsations radiales ($l=0$) et les oscillations non-radiales ($l=1, 2$ et $3$). Le contour le plus large, qui rejoint les plus faibles températures effectives, indique l'ordre $k_{exc}(\text{min})=0$ ($k_{exc}(\text{min})=1$) pour les spectres $l=0, 2$ et $3$ ($l=1$). La valeur de $k_{exc}(\text{min})$ augmente ensuite d'une unité à chaque contour. Tous les modes de pulsation dont l'ordre radial est mentionné sont des modes p (ou f); les modes g demeurent généralement stables et ne sont pas représentés ici.
<figure><img src="image_107.png" /></figure>

Figure 5.17: Semblable à la Figure 5.16 mais les contours correspondent, cette fois-ci, à l'ordre radial maximal $k_{exc}(max)$ associé aux modes excités.
de type B pulsantes typiques (i.e., avec $log g \sim 5.8$ et $T_{eff} \sim 34000$ K) pour lesquelles aucun mode de gravité ne devrait être observé.

Concernant les modes p (et f), seuls à développer des instabilités, il est intéressant de qualifier davantage la nature des modes excités. A cette fin, la figure 5.16 indique, sous la forme d'iso-contours dans le plan $log g - T_{eff}$, la valeur $k_{exc}(min)$ de l'ordre radial correspondant au premier mode p (ou f) instable présent dans chacun des spectres radial ($l=0$) et non-radiaux ($l=1, 2$ et 3). En parallèle, la figure 5.17 donne, toujours pour chaque indice angulaire $l$, la valeur $k_{exc}(max)$ de l'ordre radial associé au dernier mode p (ou f) excité. Ces deux graphiques utilisés conjointement permettent donc également de déterminer, en chaque point du plan $log g - T_{eff}$, l'intervalle $\Delta k_{exc}$ définissant, en terme d'ordre radial $k$, la largeur de la bande de modes instables.

Les valeurs de $k_{exc}(min)$ et $k_{exc}(max)$ associées à chaque contour (les détails sont donnés dans les légendes des figures 5.16 et 5.17) confirment la tendance pressentie à la section 5.5.2 que seuls les modes acoustiques de faible ordre radial et les modes f sont sujets aux instabilités (prédiction #1). A ce titre, l'ordre radial du dernier mode p excité, qui dépend bien entendu de $T_{eff}$ et de $log g$, ne dépasse pas la valeur $k_{exc}(max) = 7$ ($k_{exc}(max) = 6$ pour les pulsations radiales) obtenue principalement à hautes températures effectives et gravités de surface. Comme nous l'avons déjà mentionné précédemment, cette coupure au niveau des instabilités trouve principalement son origine dans l'importance grandissante que prend l'effet d'amortissement radiatif lorsque la quantité de nœuds augmente dans les fonctions propres des modes d'oscillation. En effet, au delà d'une certaine valeur de $k$, qui dépend de l'efficacité du mécanisme d'excitation mais aussi du positionnement des nœuds relativement à la zone déstabilisatrice de l'étoile, le mécanisme devient insuffisant pour contre-balancer l'effet dissipatif des régions avoisinantes et les modes sont globalement stabilisés.

Parallèlement, l'ordre radial des premiers modes excités à tendance à croître avec $T_{eff}$, passant de $k_{exc}(min) = 0$ ($k_{exc}(min) = 1$ pour $l=1$) dans les régions froides à $k_{exc}(min) \sim 5-6$ dans les parties chaudes de la grille. Cette tendance semble directement associée à la migration, lorsque la température effective croît, de la région d'ionisation partielle du fer vers la surface de l'étoile où l'amplitude relative des premiers modes p (et f), plus profonds que leurs homologues d'ordre plus élevé, devient plus faible. L'efficacité du mécanisme déstabilisateur se retrouve alors amoindrie jusqu'à provoquer, éventuellement, la stabilisation de ces modes. Ainsi, des tendances observées pour $k_{exc}(min)$ et $k_{exc}(max)$, il s'en suit, comme nous l'avions déjà remarqué au cours de la section 5.5.2 (en rapport avec la prédiction #3), un déplacement de la bande de modes instables vers de plus grandes valeurs de $k$ lorsque la température effective des modèles augmente. Ceci entraîne, comme nous allons maintenant le confirmer, une dépendance des périodes excitées par rapport à cette quantité.

## Périodes des modes instables

Les quantités théoriques fondamentales indispensables à toute étude astéroséismologique sont, bien entendu, les périodes des modes excités obtenues en fonction des différents paramètres stellaires. La grille construite à partir des modèles de seconde génération donne accès à l'ensemble des périodes d'intérêt pour toutes les valeurs $T_{eff}$ et $log g$ identifiables aux étoiles sous-naines de type B. Les paramètres $M_*$ et $log q(H)$ (ou de façon équivalente $M_{env}$) n'exercent qu'une influence secondaire sur les périodes d'oscillation et l'état d'excitation des modes (c.f., Chapitres 3 et 4). Il serait fastidieux
et plutôt inutile, dans un contexte d'exploration des propriétés d'ensemble des modes excités (par opposition à une comparaison détaillée des périodes théoriques avec celles d'un objet particulier), d'afficher, sur l'ensemble de la grille, les résultats quantitatifs pour chaque mode instable présent dans les modèles. Ceux-ci sont néanmoins disponibles sur demande en fonction des besoins rencontrés. Un aperçu intéressant du comportement des périodes des modes instables peut toutefois être proposé à travers les quantités $P_{exc}(max)$ et $P_{exc}(min)$ correspondant respectivement à la plus grande et à la plus petite période excitée.

<figure><img src="image_108.png" /><figcaption>Figure 5.18: Idem Figure 5.14 mais les contours correspondent à la valeur, indiquée auprès de chacun d'eux, de la plus grande période excitée ($P_{exc}(max)$, exprimée en secondes).</figcaption></figure>

La figure 5.18 illustre, toujours sous la forme d'iso-contours, la quantité $P_{exc}(max)$ en fonction de l'emplacement du modèle dans le plan $log g - T_{eff}$. La valeur en secondes de la plus grande période excitée est indiquée, dans le domaine d'instabilité, auprès de chaque contour. Bien sûr, cette quantité correspond à l'un des modes excités possédant les plus faibles ordres radiaux mais son identification change selon la région de la bande d'instabilité dans laquelle on se trouve. Ainsi, dans la partie à basse température et haute gravité ($T_{eff} \lesssim 34000$ K et $log g \gtrsim 5.4$), $P_{exc}(max)$ est essentiellement associé au
mode f d'indice $l=2$. Les modes de Kelvin possédant, comme nous l'avons vu au chapitre 3 ou plus récemment dans la figure 5.9, une dépendance assez marquée envers $T_{\text{eff}}$ (leur période augmente lorsque la température effective baisse à gravité de surface constante), il n'est donc pas surprenant d'observer un tel comportement dans cette région du plan $\log g - T_{\text{eff}}$. Toujours dans la partie froide mais cette fois à plus faible gravité ($T_{\text{eff}} \lesssim 34000$ K et $\log g \lesssim 5.4$), la plus grande période excitée correspond davantage au mode radial fondamental (c'est-à-dire $l=0$ et $k=0$). Ce dernier, épargné par les phénomènes de collisions avec les modes de gravité qui affectent uniquement le spectre des pulsations non-radiales, est

<figure><img src="image_109.png" /><figcaption>Figure 5.19: Semblable à la Figure 5.18 mais les contours correspondent maintenant à la valeur de la plus petite période excitée ($P_{\text{exc}}(\text{min})$, exprimée en secondes).</figcaption></figure>

pratiquement insensible, à l'instar des autres modes acoustiques et comme en témoignent les contours presque horizontaux dans cette région de la bande d'instabilité, aux variations de température effective. Finalement, dans la zone à hautes températures ($T_{\text{eff}} \gtrsim 34000$ K), avant que les processus de collision deviennent trop importants ($\log g \gtrsim 5.4$), $P_{\text{exc}}(\text{max})$ est associé aux modes acoustiques d'ordre radial plus élevé (probablement d'indice $l=0$) en raison de la tendance, déjà mentionnée à plusieurs reprise, relative au déplacement de la bande de modes instables vers les plus grandes valeurs de $k$ lorsque la
température effective des modèles augmente. En conséquence, dans cette région du plan $log g - T_{eff}$ et conformément à l'énoncé de la prédiction #3, la valeur de la plus grande période excitée diminue lorsque $T_{eff}$ croît. Mentionnons également, conformément aux comportements observés jusqu'à présent pour les périodes des modes p (et f) en fonction de la gravité de surface des modèles, que $P_{exc}(max)$ augmente de façon monotone lorsque $log g$ est en baisse.

La figure 5.19 propose le même type d'illustration que la figure 5.18 mais cette fois pour la plus petite période excitée observée dans les modèles. Cette quantité correspond généralement à la période du mode acoustique d'ordre radial $k_{exc}(max)$ (c.f., figure 5.17) et d'indice angulaire $l = 3$ (en raison des propriétés des modes p et de la dépendance de leurs périodes vis-à-vis de l'indice angulaire $l$; c.f., Chapitre 3, annexe B). La forme des contours est alors le reflet d'une superposition entre le comportement habituel des modes p en fonction des paramètres $log g$ et $T_{eff}$ et les variations de $k_{exc}(max)$ suivant ces mêmes quantités. Ainsi, les périodes augmentent lorsque $log g$ diminue tout

<figure><img src="image_110.png" /><figcaption>Figure 5.20: Semblable à la Figure 5.18 mais les contours correspondent à la valeur moyenne des périodes excitées ($<P_{exc}>$, exprimée en secondes).</figcaption></figure>
en demeurant essentiellement indépendantes de $T_{\text{eff}}$ dans les régions où $k_{\text{exc}}(\text{max})$ ne varie pas (par exemple vers $T_{\text{eff}} \sim 34000$ K). En revanche, vers la bordure froide de la bande d'instabilité ("red edge"), nous avons vu que la valeur de $k_{\text{exc}}(\text{max})$ diminue lorsque $T_{\text{eff}}$ baisse à gravité de surface constante, induisant mécaniquement la croissance de la plus petite période excitée que nous observons.

<figure><img src="image_111.png" /><figcaption>Figure 5.21: Semblable à la Figure 5.18 mais les contours correspondent à la largeur de la fenêtre des périodes excitées ($\Delta P_{\text{exc}} = P_{\text{exc}(\text{max})} - P_{\text{exc}(\text{min})}$, exprimée en secondes).</figcaption></figure>

Les figures 5.18 et 5.19 utilisées conjointement permettent de déterminer, en chaque point du plan $\log g - T_{\text{eff}}$, la fenêtre de périodes excitées correspondante. Il est alors possible de confronter directement, pour chacune des sdB pulsantes, l'intervalle de période observé à celui donné par ces prédicitions théoriques. Dans cet esprit, une comparaison étoile par étoile des données observationnelles avec les résultats théoriques fera prochainement l'objet d'une discussion. Notons seulement que, globalement, l'intervalle de période observé pour les 12 objets connus (c.f., tableau 4.6) correspond assez bien à la fenêtre théorique correspondante en ce sens que les périodes détectées tombent à l'intérieur de cette dernière. Il y a cependant une très nette indication que la fenêtre théorique est plus large que l'intervalle de période réel, renforçant le soupçon déjà soulevé à plusieurs reprises que le mécanisme d'excitation tel que décrit par nos modèles est légèrement trop puissant.
Pour compléter la représentation des résultats relatifs aux périodes excitées dans les modèles de la grille, une illustration un peu différente de celles proposées dans les deux figures précédentes peut s'avérer utile. A ce titre, la figure 5.20 montre les iso-contours associés à la valeur moyenne $<P_{exc}>$ (exprimée en secondes), évaluée sans pondération, des périodes correspondant aux modes excités. Les tendances que l'on observe dans cette figure s'apparentent alors à une superposition des effets décrits dans les deux représentations précédentes. Pour accompagner ce graphique, la figure 5.21 apporte l'information supplémentaire nécessaire pour caractériser complètement la fenêtre théorique de périodes excitées. Les contours correspondent maintenant à la quantité $\Delta P_{exc}$ dont la valeur indique la largeur, exprimée en secondes, de la bande de périodes correspondant aux modes instables. Ces deux dernières figures permettent (permettront) éventuellement une première confrontation plus aisée entre les prédictions théoriques obtenues à partir de cette grille de modèles de seconde génération et les périodes observées pour les sdB pulsantes connues à ce jour (et à découvrir).

## Non-adiabaticité des modes excités

La partie imaginaire $\sigma_I$ de la fréquence propre nous indique, par son signe, la stabilité ou l'instabilité d'un mode. Quant à sa magnitude, elle traduit généralement, de manière quantitative, l'influence conjuguée de plusieurs effets distincts sur les modes de pulsation. Une contribution naturelle à la valeur de $\sigma_I$ est bien entendu la puissance du mécanisme de déstabilisation: plus celle-ci est importante, plus on s'attend à ce que $|\sigma_I|$ soit élevé. Ce n'est cependant pas le seul paramètre en mesure d'influencer cette quantité car le degré de non-adiabaticité dans l'enveloppe de l'étoile ainsi que la position de la zone de formation des périodes des modes d'oscillation possèdent tout autant d'ascendance sur sa magnitude. L'interprétation physique des valeurs obtenues pour cette quantité n'est donc pas aisée compte tenu des divers facteurs qui les façonnent. La figure 5.22 indique néanmoins les valeurs typiques que prend la partie imaginaire de la fréquence propre à travers le plan $log g - T_{eff}$. Les contours correspondent à $max(|\sigma_I|)$, la plus grande valeur obtenue dans chaque modèle de la grille pour la quantité $|\sigma_I|$ (les détails sur les valeurs associées à chaque contour sont énoncés dans la légende de la figure 5.22). En général, la valeur sélectionnée est associée aux modes excités d'ordre radial élevé. Ces derniers sont en effet moins profonds que les modes instables de faible ordre radial; l'amplitude relative de leurs oscillations est donc plus importante dans les hautes couches de l'enveloppe de l'étoile où les effets non-adiabatiques sont plus marqués. En conséquence, le module de la partie imaginaire de la fréquence propre des modes d'ordre radial élevé est naturellement plus élevé.

Sans surprise, les plus petites valeurs de $max(\sigma_I)$ sont observées en bordure de la bande d'instabilité, où le mécanisme d'excitation ne surpasse que très faiblement les effets de dissipation radiative qui stabilisent les modes. De plus, près des limites de ce domaine et en particulier du coté froid ("red-edge"), les modes excités sont généralement de plus faible ordre radial, réduisant mécaniquement, en vertu du commentaire précédent, la valeur de $max(\sigma_I)$. Globalement, la tendance manifeste qui ressort de cette illustration montre que le module des parties imaginaires des fréquences propres augmente lorsque la température effective des modèles croît et que leur gravité de surface baisse. Cette observation concorde avec la constatation générale que le degré de non-adiabaticité des modes acoustiques est plus important pour les objets à haut rapport $L/M$ (on notera en effet qu'à masse constante, $L/M \propto g^{-1}T_{eff}^4$). La forme des contours reflète également, superposé à la tendance mentionnée précédemment, l'apparition et la disparition des modes excités d'ordre radial plus élevé qui contribuent généralement à $max(\sigma_I)$.
<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>Figure 5.22: Idem Figure 5.14 mais les contours représentent, cette fois, la distribution de la plus grande valeur obtenue pour $|σ_I|$ (modes $l=0, 1, 2$ et $3$ inclus) dans chaque modèle de la grille. Le contour le plus large correspond à la limite artificielle $σ_I=0$ à l'extérieur de laquelle les modèles sont stables. Les contours successifs indiquent respectivement les valeurs de $|σ_I|$ (en Hz) correspondant à $1 \times 10^{-8}, 1 \times 10^{-7}, 1 \times 10^{-6}, 5 \times 10^{-6}, 1 \times 10^{-5}, 3 \times 10^{-5}, 5 \times 10^{-5}, 8 \times 10^{-5}, 1 \times 10^{-4}, 1.2 \times 10^{-4}, 1.5 \times 10^{-4}, \text{et } 1.8 \times 10^{-4}$.</figcaption></figure>

Les valeurs typiques observées dans la région où se trouvent les 12 sdB pulsantes répertoriées sont comprises essentiellement entre $|σ_I| \sim 10^{-4}$ et $|σ_I| \sim 10^{-5}$ Hz et satisfont la corrélation mentionnée dans le paragraphe précédent relativement à $T_{eff}$ et $\log g$. En terme des temps caractéristiques de croissance ($τ_e$), cet intervalle correspond à des valeurs comprises respectivement entre $τ_e \sim 2$ heures et $τ_e \sim 28$ heures. Ces temps caractéristiques sont évidemment très courts comparativement aux temps évolutifs typiques pour ces objets ($\sim 10^7 - 10^8$ années) et les oscillations ont donc, quel que soit l'emplacement de l'objet à l'intérieur de la bande d'instabilité couvrant le plan $\log g - T_{eff}$, tout le temps nécessaire pour croître en amplitude. Bien que la théorie linéaire des pulsations stellaires ne puisse prétendre apporter d'information quantitative sur l'amplitude des modes d'oscillation, les valeurs des temps caractéristiques de croissance sont parfois utilisées comme une indication qualitative
sur leur magnitude. L'argument est alors que les modes disposant des temps de croissance les plus courts sont susceptibles d'atteindre des amplitudes de saturation plus importantes. Dans ce contexte, d'après la figure 5.22, les étoiles sous-naines pulsantes de faible gravité de surface et/ou de hautes températures effectives devraient montrer des modes de pulsation avec des amplitudes plus importantes (généralisation de la *prédiction* #6). L'objet de faible gravité de surface PG1605+072 (8), puisqu'il possède les plus grandes amplitudes observées parmi toute la classe des étoiles EC14026, semble s'inscrire dans cette tendance. Il convient toutefois de rester extrêmement prudent avec cette interprétation de la théorie linéaire (et donc vis-à-vis de la *prédiction* #6) car seul un traitement non-linéaire rigoureux des équations de pulsation peut être réellement en mesure de déterminer avec fiabilité le comportement des amplitudes des modes d'oscillation (notamment au niveau des phénomènes de saturation qui entrent en jeu).

### 5.5.5 Comparaisons individuelles

Les résultats théoriques dévoilés au cours des pages précédentes furent présentés de manière à faciliter une comparaison rapide – mais approximative car il ne s'agit en aucun cas d'une tentative pour “fitter” précisément chaque étoile – entre les quantités calculées et les propriétés observées pour les pulsateurs réels. Dans cet esprit, pour chacune des figures proposées, les 12 objets membres de la classe des étoiles EC14026 ont été superposés aux modèles de la grille suivant leur position respective dans le plan log g - T<sub>eff</sub>, permettant ainsi une lecture directe des caractéristiques sismiques théoriques correspondantes. Les figures 5.18 à 5.22 apportent les principales informations nécessaires à cette

<table><caption>Tableau 5.2: Comparaison étoile par étoile entre théorie et observations.</caption><thead><tr><th rowspan="2">#</th><th rowspan="2">Nom</th><th colspan="2">P(min)-P(max) (s)</th><th colspan="2">&lt;P<sub>exc</sub>&gt; (s)</th><th colspan="2">ΔP<sub>exc</sub> (s)</th><th rowspan="2">max(|σ<sub>I</sub>|) (Hz)</th><th rowspan="2">Δm (mmag)</th></tr><tr><th>Obs.</th><th>Thé.</th><th>Obs.</th><th>Thé.</th><th>Obs.</th><th>Thé.</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>EC14026-2647</td><td>134-144</td><td>50-110</td><td>139</td><td>75</td><td>10</td><td>60</td><td>3.0×10<sup>-5</sup></td><td>4-12</td></tr><tr><td>2</td><td>PB8783</td><td>94-136</td><td>130-240</td><td>115</td><td>180</td><td>42</td><td>110</td><td>1.2×10<sup>-4</sup></td><td>1-9</td></tr><tr><td>3</td><td>EC10228-0905</td><td>139-152</td><td>60-122</td><td>146</td><td>90</td><td>13</td><td>72</td><td>3.0×10<sup>-5</sup></td><td>4-14</td></tr><tr><td>4</td><td>EC20117-4014</td><td>137-159</td><td>70-150</td><td>148</td><td>100</td><td>22</td><td>80</td><td>8.0×10<sup>-5</sup></td><td>1-4</td></tr><tr><td>5</td><td>PG1047+003<sup>†*</sup></td><td>91-162</td><td>78-175</td><td>127</td><td>120</td><td>71</td><td>97</td><td>9.5×10<sup>-5</sup></td><td>0.7-8.5</td></tr><tr><td>6</td><td>PG1336-018</td><td>141-184</td><td>96-220</td><td>163</td><td>150</td><td>43</td><td>124</td><td>9.0×10<sup>-5</sup></td><td>5-10</td></tr><tr><td>7</td><td>KPD2109+4401<sup>†*</sup></td><td>104-213</td><td>90-210</td><td>159</td><td>130</td><td>109</td><td>120</td><td>3.0×10<sup>-5</sup></td><td>0.2-7.6</td></tr><tr><td>8</td><td>PG1605+072<sup>†</sup></td><td>290-601</td><td>270-550</td><td>446</td><td>380</td><td>311</td><td>280</td><td>1.0×10<sup>-4</sup></td><td>1-25</td></tr><tr><td>9</td><td>Feige 48<sup>†</sup></td><td>258-376</td><td>190-340</td><td>317</td><td>260</td><td>117</td><td>150</td><td>5.0×10<sup>-5</sup></td><td>0.4-6.2</td></tr><tr><td>10</td><td>PG1219+534</td><td>128-149</td><td>90-210</td><td>139</td><td>138</td><td>21</td><td>120</td><td>8.0×10<sup>-5</sup></td><td>2-9</td></tr><tr><td>11</td><td>PG0911+456</td><td>155-166</td><td>86-205</td><td>161</td><td>130</td><td>11</td><td>119</td><td>4.0×10<sup>-5</sup></td><td>2-7</td></tr><tr><td>12</td><td>PG0014+067<sup>†</sup></td><td>80-169</td><td>80-200</td><td>125</td><td>130</td><td>89</td><td>120</td><td>8.0×10<sup>-5</sup></td><td>0.4-2.5</td></tr></tbody></table>

comparaison préliminaire entre théorie et observations. A ce titre, le tableau 5.2 propose, pour chaque sdB pulsante répertoriée, une synthèse des quantités théoriques intéressantes issues de ces figures comparées aux données observationnelles. D'autres informations sur les 12 étoiles sous-naines pulsantes ainsi que les références correspondantes sont disponibles dans le tableau 4.6 présenté au Chapitre 4 (section 4.4.3). L'ordre de présentation et de numérotation des 12 étoiles pulsantes est identique à celui

<footnote>†Ces étoiles ont été observées au TCFH, permettant ainsi d'acquérir les meilleures données de l'échantillon.</footnote>

<footnote>*Etoile observée au Mont Bigelow, Arizona (USA)</footnote>
utilisé dans les figures de la section précédente. Pour chaque objet, la plus petite et la plus grande période observée ($P(\text{min})-P(\text{max})$; obs.) sont confrontées aux prédictions théoriques (Thé.). Les valeurs moyennes $\langle P_{\text{exc}} \rangle$ ainsi que les largeurs $\Delta P_{\text{exc}}$ observées et prédites sont également comparées. A ce sujet, notons que l'évaluation de $\langle P_{\text{exc}} \rangle$ pour les observations a été effectuée en moyennant, sans pondération, la plus petite et la plus grande période observée. En revanche, l'estimation théorique de $\langle P_{\text{exc}} \rangle$ est une moyenne, toujours sans pondération, sur l'ensemble des modes excités répertoriés dans un modèle. En bout de ligne, si les résultats issus de ces deux procédures de calcul différent peu, la quantité $\langle P_{\text{exc}} \rangle$ théorique sera néanmoins légèrement sous-estimée dans la mesure où la densité de modes augmente dans la partie de la fenêtre d'instabilité correspondant aux courtes périodes. Les deux dernières colonnes confrontent les valeurs théoriques obtenues pour $\max(|\sigma_I|)$ aux amplitudes des variations lumineuses observées. Les principales informations sont maintenant réunies pour entreprendre une rapide discussion, au cas par cas, des correspondances entre prédictions et observations.

## 1: EC14026-2647

S'agissant de la première sdB pulsante découverte, cette étoile constitue le prototype de la classe à laquelle elle a maintenant prêté son nom. Observée sur un petit télescope en Afrique du Sud, elle ne montre que deux modes aux périodes relativement proches ($\Delta P_{\text{exc}} = 10$ s). Les modes instables théoriques correspondant aux paramètres $\log g$ et $T_{\text{eff}}$ annoncés pour cet objet ont des périodes plus courtes que celles observées. Néanmoins, en tenant compte des incertitudes typiques qui planent sur ces quantités ($\Delta \log g \sim \pm 0.1 - 0.2$ et $\Delta T_{\text{eff}} \sim \pm 1000 - 2000$ K), il est possible de cadrer les périodes observées à l'intérieur de la fenêtre de période théorique associée aux modes instables. Toutefois, les résultats sismologiques suggèrent fortement que la gravité de surface déterminée par spectroscopie est légèrement surestimée pour cette étoile.

## 2: PB8783

Cet objet, annoncé avec une gravité de surface relativement faible ($\log g \simeq 5.54$) comparativement à celle de la majorité des autres membres de la classe ($\log g \sim 5.8$), est probablement mal positionné dans le plan $\log g - T_{\text{eff}}$ comme en témoignent les périodes observées beaucoup plus courtes que les périodes théoriques des modes acoustiques excités. D'après la référence correspondante (Koen et al., 1997), PB8783 est membre d'un système binaire pour lequel la déconvolution spectrale des composantes est délicate. Les incertitudes sur les paramètres atmosphériques de cette étoile sont donc très importants et il est fort probable, d'après les données astéroséismologiques maintenant disponibles, que sa gravité de surface se situe davantage autour de $\log g \sim 5.75 - 5.8$ (voir O'Donoghue et al., 1998b).

## 3: EC10228-0905

Cette étoile compte parmi les premières sdB pulsantes rendues publiques en 1996. Avec seulement 3 périodes connues, elle n'a toutefois été ciblée uniquement en Afrique du Sud sur un télescope de petite taille. Encore une fois, les périodes détectées sont légèrement trop longues comparativement à celles prédites par le calcul. Toutefois, les différences s'inscrivent tout à fait dans les limites liées aux incertitudes sur les paramètres $\log g$ et $T_{\text{eff}}$ de cette étoile. Les périodes observées suggèrent néanmoins une gravité de surface légèrement moins élevée que celle annoncée.
### 4: EC20117-4014

Comme pour l'objet précédent, on ne connait de cette étoile que 3 périodes définissant une fenêtre assez étroite ($\Delta P_{exc} \simeq 22$ s). Il est cependant possible que tous les modes n'aient pas été détectés pour les mêmes raisons évoquées auparavant. Les périodes observées s'inscrivent grosso-modo dans la partie supérieure de l'intervalle prédit par la théorie (on peut également tenir compte des incertitudes sur les paramètres atmosphériques proposés pour cet objet).

### 5: PG1047+003

Ce candidat s'avère particulièrement intéressant pour au moins deux raisons. En premier lieu, cet objet a été observé à la fois au télescope de 1.6 m du Mont Bigelow (Arizona, USA) et au Télescope Canada-France-Hawaii de 3.6 m; nous avons donc obtenu des données séismologiques de très bonne qualité pour cette étoile. En conséquence, 16 modes indépendants couvrant un intervalle $\Delta P_{exc} \simeq 77$ s ont été extraits de la courbe de lumière. Parmi les objets de sa catégorie (c'est-à-dire avec des températures effectives et des gravités de surface similaires), c'est celui qui montre le plus grand nombre de modes et l'intervalle de périodes le plus étendu. Il est très probable que l'utilisation de télescopes plus puissants ne soit pas étrangère à cette situation. En second lieu, la distribution des périodes observées s'inscrit très bien dans la fenêtre théorique correspondant à la position de cet objet dans le plan $log g - T_{eff}$. Notons également la remarquable similitude entre les périodes moyennes observées et théoriques. Toutefois, l'intervalle $\Delta P_{exc}$ prédit par le calcul demeure significativement plus large que celui observé. Si l'on estime que toutes les périodes de pulsation présentes dans cette étoile ont été détectées (grâce aux courbes de lumière de très bonne qualité), il s'agit alors d'un autre sérieux indice suggérant que le mécanisme déstabilisateur est trop puissant dans nos modèles.

### 6: PG1336-018

Cet objet a la particularité d'appartenir à un système binaire à éclipse de type HW Vir possédant une très courte période orbitale (~2.4 heures). PG1336-018, la composante sdB du couple (le compagnon serait une étoile de la séquence principale de type ~ M5), révèle donc des oscillations additionnelles de courtes périodes imputables à des pulsations. Toutefois, seulement deux périodes sont actuellement connues pour cet astre bien qu'il y en ait probablement d'autres (l'éclipse ne facilite cependant pas la recherche des modes de pulsation). Les périodes connues tombent néanmoins à l'intérieur de l'intervalle théorique et les valeurs moyennes $<P_{exc}>$ semblent correspondre.

### 7: KPD2109+4401

Objet intéressant à plusieurs égards puisqu'il s'agit de l'étoile disposant de la plus faible température effective parmi l'ensemble des sdB pulsantes à hautes gravités de surface (c'est-à-dire avec $log g \sim 5.8$). De plus, KPD2109+4401 a été observée au TCFH et le spectre de périodes qu'elle nous montre est probablement proche de la complétude (i.e., tous les modes indépendants ou presque, soit 12 au total, ont été répertoriés). Les périodes observées tombent très précisément à l'intérieur de la fenêtre théorique et l'on remarque que la largeur $\Delta P_{exc}$ prédite pour la bande de modes instables, bien que légèrement trop grande, correspond assez bien à celle effectivement observée. Cette étoile constitue, avec PG1047+003, l'un des objets qui partage le plus de similitudes avec les propriétés prédites par les calculs théoriques. Il permet également de souligner encore une fois l'importance des gains réalisés
lorsqu'un télescope de grande taille, avec une sensibilité fortement accrue, est utilisé pour obtenir des courbes de lumières avec le meilleur rapport signal sur bruit possible.

## 8: PG1605+072

Il s'agit de l'objet disposant de la plus faible gravité de surface parmi tout l'échantillon de sdB pulsantes disponibles à ce jour. Par sa position dans le plan $log g - T_{eff}$, elle constitue donc une étoile importante pour tester les prédictions théoriques. La correspondance entre les périodes calculées et les périodes observées s'avère globalement très bonne, ces dernière s'inscrivant convenablement dans la fenêtre théorique (compte tenu également des incertitudes sur la gravité de surface de l'étoile). Curieusement, c'est la seule étoile pour laquelle, après avoir supprimé les structures harmoniques correspondant à des combinaisons linéaires des fréquences propres des modes de pulsation dues à la réponse non-linéaire du flux émergent (Brassard et al., 1995) – structures nombreuses parce que l'amplitude des modes est importante dans cet objet –, la largeur observée de la bande de périodes instables apparaît légèrement plus importante que la largeur prédite par le calcul. Notons, toutefois, que ces valeurs demeurent néanmoins assez proches l'une de l'autre pour demeurer dans l'intervalle d'incertitude sur les paramètres atmosphériques. Enfin, remarquons que PG1605+072 est l'étoile sousnaine pulsante qui montre les plus grandes amplitudes d'oscillation et pour laquelle correspond les plus grandes valeurs théoriques de $max(|σ_I|)$. Cet objet semble donc conforter la prédiction #6 bien que cette dernière demeure toujours incertaine pour les raisons évoquées auparavant.

## 9: Feige 48

Cet astre est également intéressant en raison de sa gravité de surface intermédiaire entre PG1605+072 et les autres membres de la classe des étoiles EC14026. L'estimation de sa température effective suggère également qu'il s'agit de la plus froide de tout l'échantillon. Comme prévu par la théorie, les périodes observées sont situées entre celles de PG1605+072 et celles correspondant aux objets à plus hautes gravités ($log g \sim 5.8$). Pour les paramètres atmosphériques proposés, elles sont cependant légèrement plus longues que les périodes prédites. Observation et théorie restent néanmoins compatibles dans la limite des incertitudes sur $log g$ et $T_{eff}$. Les courbes de lumière obtenues au TCFH ont encore une fois permis d'étendre l'intervalle de périodes observé. Toutefois, malgré une largeur assez grande (mais toujours inférieure à celle prédite par la théorie), on pourra remarquer que cette étoile ne montre qu'un nombre assez restreint de modes.

## 10: PG1219+534

Cet objet possède le profil typique, en terme de ces paramètres de surface, de la majorité des sdB pulsantes. Les quelques modes détectés (4 au total, mais sur un petit télescope) ont des périodes qui s'inscrivent clairement dans la fenêtre théorique définie par les modes excitées. Toutefois, il sera certainement indispensable d'obtenir, à l'aide d'un grand télescope (TCFH par exemple), des courbes de lumière de haute qualité sur cet objet pour contraindre davantage les modèles théoriques.

## 11: PG0911+456

Une étoile aux caractéristiques similaires à la précédente et pour laquelle 3 modes seulement sont disponibles. Les périodes observées tombent à l'intérieur de la bande théorique des modes instables.
Ici également, de meilleures données observationnelles sont souhaitables pour mieux répertorier les modes présents dans le spectre de cette étoile.

## 12: PG0014+067

Découverte au TCFH, cette étoile aux paramètres atmosphériques typiques de la majorité des objets de la classe EC14026 montre des oscillations de très faibles amplitudes. 13 modes indépendants ont néanmoins été extraits de la courbe de lumière. Parmi ceux-ci, une période de 80 secondes, jusqu'à présent la plus courte jamais observée pour ces étoiles, apparaît clairement dans le spectre de fourier. Les intervalles de période théorique et observé se superposent très bien et, en conséquence, la correspondance entre les valeurs de $<P_{exc}>$ et $\Delta P_{exc}$ s'affirme parmi les meilleures obtenues sur l'ensemble de l'échantillon.

### Commentaires additionnels

Globalement, sans tenter de reproduire dans le détail les périodes observées, les résultats théoriques concordent de manière extrêmement satisfaisante avec les propriétés des modes détectés, particulièrement pour les étoiles dont les données proviennent du TCFH. Il apparaît cependant, peut être à une exception près (PG1605+072), que l'intervalle théorique des périodes excitées est systématiquement plus large que la fenêtre réellement observée. Concernant bon nombre d'objets de l'échantillon pour lesquels seuls quelques modes sont disponibles, il est toutefois probable que toutes les périodes n'ont pas été découvertes. Les quelques étoiles pour lesquelles des courbes de lumière d'excellente qualité ont été obtenues au TCFH ou au mont Bigelow, parce qu'elles présentent généralement plus de modes répartis dans un intervalle de périodes plus large, renforcent d'ailleurs fortement cette présomption. En dépit de ce facteur, même pour les objets disposant de meilleures données, il semble néanmoins ressortir que la fenêtre théorique est trop étendue comparativement à ce qui est observé pour les sdB pulsantes. Notons également, hormis pour le cas de PG1605+072 comparé aux autres membres de la classe, qu'il n'existe pas de corrélation flagrante entre les amplitudes observées et les valeurs des parties imaginaires des fréquences propres correspondant aux modes excités. L'utilisation de cette dernière quantité pour estimer qualitativement l'amplitude attendue des oscillations en fonction de la position d'un objet dans le plan $log g - T_{eff}$ doit donc être considérée avec une extrême méfiance.

### 5.5.6 Limites des modèles de seconde génération

Les structures de seconde génération utilisées pour la construction de cette grille apportent donc, comme les discussions des sections précédentes l'ont montré, d'excellents résultats reproduisant un grand nombre des propriétés sismiques observées dans les étoiles EC14026. Ils confortent ainsi de manière convaincante l'idée du mécanisme $\kappa$ engendré par l'ionisation partielle d'importantes quantités de fer accumulées par lévitation radiative dans l'enveloppe riche en hydrogène de ces étoiles pour déstabiliser certains modes de pulsation. Toutefois, en marge de ces bons résultats, plusieurs incohérences entre théorie et observations nous rappellent que ces modèles demeurent encore, à plusieurs égards, des représentations relativement grossières des mécanismes physiques présumément en jeu dans ces objets. Ces incohérences nous renseignent généralement sur les limites des structures théoriques utilisées et, en conséquence, dans notre cas particulier, sur celles des modèles de seconde génération. Deux constatations observationnelles posent surtout problème à notre modélisation:
• 1– Le mécanisme d’excitation des modes, comme nous l’avons constaté à plusieurs reprises aussi bien au niveau de la trop grande largeur des bandes de périodes excitées qu’au niveau de l’étendue trop importante de la bande d’instabilité, apparaît beaucoup plus fort dans les modèles théoriques qu’il ne semble l’être dans la nature.

• 2– En s’appuyant sur le nombre à présent significatif de sdB observées par photométrie rapide, il semble maintenant acquis qu’il y a cohabitation, dans une même région du plan $log g - T_{eff}$, entre les étoiles sous-naines pulsantes et celles qui demeurent constantes. Cette observation, qui implique l’existence d’un paramètre supplémentaire agissant sur l’efficacité du mécanisme d’excitation, ne peut pas être reproduite par les modèles de seconde génération prédisant que toutes les sdB situées à l’intérieur de la bande d’instabilité doivent être pulsantes.

Il faut néanmoins réaliser que ces difficultés ne remettent aucunement en question l'idée proposée pour le mécanisme de déstabilisation des modes d'oscillation. Celles-ci ont même tendance à la conforter pour autant que l'on s'aperçoive qu'elles sont inhérentes aux processus de diffusion, desquels dépend toute l'efficacité du mécanisme. En effet, c'est en retournant aux hypothèses adoptées pour la construction des modèles de seconde génération que l'origine de ces incohérences devient plus claire.

Pour nos besoins, les profils de fer dans les structures théoriques avaient été calculés en supposant une enveloppe d'hydrogène pur contaminée uniquement par des traces de fer et en utilisant la théorie de l'équilibre statique entre les effets du triage gravitationnel et de la lévitation radiative agissant sur cet élément. Ces hypothèses entraînent deux conséquences fondamentales pour nos modèles:

• 1– Les autres éléments lourds, présents également sous forme de traces, sont ignorés dans le calcul du profil d'abondance de fer. Or ces éléments, en absorbant des photons du champ de radiation et l'impulsion qui leur est associée, sont éventuellement en mesure d'entrer en compétition directe avec le fer dans le processus de distribution des forces radiatives disponibles. Autrement dit, dans une mixture composée de plusieurs éléments lourds comme c'est généralement le cas dans les étoiles, il faut s'attendre à ce que d'autres espèces atomiques dérobent des photons parmi ceux qui, dans le cas d'une composition pure, reviendraient exclusivement au fer. La pression radiative sur ce dernier serait donc en réalité moins forte que celle actuellement évaluée en ne tenant compte que d'un seul élément trace. Ainsi, si elle simplifie énormément la tâche<fnref n="5" />, cette hypothèse de travail suretime donc certainement l'abondance de fer supportée dans l'enveloppe de ces étoiles. Or, moins de fer en lévitation dans la région déstabilisatrice implique un mécanisme de d'excitation moins efficace. En pratique cela devrait se traduire, dans les modèles, par un rétrécissement de la fenêtre des périodes instables et, dans le plan $log g - T_{eff}$, par un replis du domaine d'instabilité. Ce dernier devrait se contracter autour de la région où le mécanisme semble le plus efficace, précisément là où se trouvent toutes les sdB pulsantes répertoriées (c.f., les résultats présentés dans la figure 5.14).

• 2– Les effets éventuels de vents stellaires de faible magnitude ne sont pas pris en compte dans les calculs. Or, comme cela fut brièvement discuté au cours du Chapitre 2 (section 2.2.3) dans le cadre des abondances de surface particulières observées pour l'hélium, la présence de tels vents est fortement suspectée dans la plupart des sdB. Leur principale influence serait alors de vider

<footnote n="5">⁵Les calculs de diffusion impliquant plusieurs éléments atomiques en compétition ne sont pas encore disponibles. Il n’est d’ailleurs pas du tout évident de déterminer quantitativement comment une telle compétition pourrait évoluer.</footnote>
petit à petit le réservoir de fer qui s'est constitué dans l'enveloppe riche en hydrogène. Le profil d'abondance du fer demeurerait pratiquement inchangé par rapport à la distribution établie à l'équilibre (celle utilisée pour les modèles de seconde génération), celui-ci ne correspondant cependant plus à un état statique mais plutôt à un état stationnaire. Le réservoir aurait alors tendance à se vider depuis ses couches inférieures en remontant peu à peu vers la surface de l'étoile (voir, par exemple, Fontaine & Chayer, 1998). Il devient alors naturel d'imaginer qu'au moment ou le réservoir de fer commence à être entamé dans la région qui déstabilise les modes, le mécanisme perde rapidement de son efficacité et que les pulsations finissent par s'évanouir. Ainsi, l'intensité des vents stellaires (les taux de perte de masse) et l'âge des étoiles depuis leur arrivée sur la ZAEHB constituraient les paramètres supplémentaires, naturellement attachés aux processus de diffusion et donc au mécanisme d'excitation, en mesure d'expliquer la coexistence entre étoiles pulsantes et étoiles stables dans les mêmes régions du plan $log g - T_{eff}$.

Comme ces effets n'ont pas été pris en compte dans la construction des modèles de seconde génération, il est donc normal que ces derniers ne soient pas aptes à reproduire les phénomènes qui leurs sont associés. Une approche quantitative à ces questions nécessitera donc l'usage de modèles de 3ème génération (et au-delà) prévoyant un traitement encore plus sophistiqué des processus de diffusion dans ces étoiles. La voie est donc grande ouverte pour poursuivre plus avant cette exploration et la direction suggérée semble manifestement très prometteuse.

## 5.6 Prélude à l'étude astéroséismologique des sdB

Jusqu'ici nous avons principalement discuté des aspects comportementaux des modes d'oscillation, que cela soit au niveau des dépendances des périodes vis-à-vis des paramètres stellaires ou bien concernant les propriétés des instabilités, sans réellement aborder la question, qui constitue finalement l'objectif ultime, de l'étude astéroséismologique détaillée de cette nouvelle classe d'étoiles pulsantes. Il est bien évident que toutes les informations acquises au long des chapitres antérieurs vont contribuer, à divers degrés, à mieux maîtriser, à l'avenir, l'interprétation des données astéroséismologiques accumulées sur ces objets. Nous sommes d'ailleurs déjà en mesure d'entrevoir les possibilités et les contraintes qui vont apparaître dans ce domaine. Nous allons donc, dans cette courte section, préciser davantage les directions que devraient emprunter nos tentatives d'étude astéroséismologique des étoiles sous-naines de type B pulsantes.

### 5.6.1 Sur le choix des modèles à utiliser

A partir du moment où l'objectif principal devient l'analyse astéroséismologique des étoiles sous-naines pulsantes, la principale préoccupation s'arrête alors sur la capacité qu'ont les calculs de pulsation appliqués aux modèles stellaires appropriés à fournir des périodes théoriques fiables capables de reproduire aussi précisément que possible les périodes observées. Pour cela, il semble donc nécessaire d'utiliser les structures stellaires les plus réalistes possibles. Nous allons cependant voir qu'il est parfois possible et avantageux d'effectuer certains compromis dans ce domaine.

Comme cela a été souligné à maintes reprises au cours de cette étude, nous disposons de deux catégories de structures pour modéliser les étoiles sous-naines de type B: des structures évolutives
distribuées sur 7 séquences et des structures statiques d'enveloppes. Ces dernières sont, à première vue, moins réalistes que les modèles évolutifs puisqu'elles ne reproduisent pas le noyau convectif enrichi en C/O qui caractérise la région centrale de ces objets. Elles sont, en revanche, parfaitement appropriées pour modéliser les couches externes de ces étoiles (par couches externes, on entend le noyau radiatif en hélium et l'enveloppe riche en hydrogène). Outre ces deux catégories, deux générations de modèles ont également été utilisées. La première génération de structures, pour lesquelles une métallicité uniforme (solaire ou non) est imposée dans l'enveloppe riche en hydrogène de l'étoile, comprend à la fois l'ensemble des modèles évolutifs ainsi que certaines structures statiques. La seconde génération, dotée de profils de métallicité non-uniformes dans l'enveloppe riche en hydrogène de l'étoile, ne fait intervenir que des modèles statiques d'enveloppes; les séquences couplant les effets de la diffusion des éléments lourds avec les processus évolutifs n'étant pas encore accessibles à ce jour. Il est donc important de préciser quelles sont, parmi cet ensemble de structures, celles qui seront les plus adaptées pour l'analyse séismologique détaillée des sdB pulsantes.

De prime abord, les modèles évolutifs qui, contrairement aux modèles d'enveloppes, reproduisent la structure de l'étoile jusqu'en son centre, semblent mieux préparés pour fournir les périodes réalistes dont nous avons besoin. Néanmoins, en pratique, leur réalisme s'avère plus contraignant que profitable dans la mesure où il est difficile de contrôler précisément les paramètres stellaires (dans le plan $log g - T_{eff}$, par exemple) des objets avec ce type de modèle. De plus, nous avons montré dans la section 3.3 du Chapitre 3 que les périodes des modes p (et f), qui correspondent certainement aux modes instables observés dans les sdB pulsantes, sont très peu sensibles aux régions internes des modèles. Autrement dit, les avantages que possèdent les structures évolutives sur les modèles statiques n'influencent pratiquement pas les valeurs des périodes intéressantes pour l'analyse séismologique des étoiles sous-naines de type B.

Le tableau 5.3 donne, dans la fenêtre 80-1500 secondes pour $l=0, 1, 2$ et $3$, un échantillon de périodes adiabatiques correspondant aux trois types de modèles utilisés. $P_{evol}$, $P_{env1}$ et $P_{env2}$ sont associées respectivement aux structures évolutive (1ère génération), statique avec $Z=0.02$ (1ère génération également) et statique avec $Z$ non-uniforme (2ème génération). Le modèle évolutif est celui utilisé comme référence aux Chapitres 2, 3 et 4 ($T_{eff}=31310$ K, $log g=5.75$, $M_c=0.4758 M_⊙$, $M_{env}=0.0002 M_⊙$ et âgé d'environ 62 millions d'années depuis la ZAEHB). Les modèles d'enveloppes sont donc construits avec les paramètres correspondants (même température effective et gravité de surface, $M=0.476 M_⊙$ et $log q(H)=-4.1$). Pour les modes p qui nous intéressent avant tout, la comparaison montre que les différences entre $P_{env1}$ et $P_{env2}$ sont généralement du même ordre ou supérieures à celles constatées entre $P_{evol}$ et $P_{env1}$, dont une partie seulement est due à l'absence du noyau convectif dans les structures d'enveloppes; l'autre partie venant des différences mineures dans la physique constitutive (c.f., section 3.3 du Chapitre 3). Autrement dit, les effets engendrés sur les périodes des modes p par l'utilisation de profils d'abondance de fer non-uniformes sont plus importants que l'influence des parties centrales de l'étoile. Comme les effets de diffusion sont certainement présents dans ces étoiles, les modèles d'enveloppes de seconde génération sont donc plus réalistes pour calculer les périodes de pulsation que les structures évolutives de première génération. De plus, ils permettent d'obtenir une information supplémentaire sur la stabilité des modes que les modèles évolutifs ne peuvent apporter. Il semble donc préférable d'utiliser ces modèles d'enveloppes de 2ème génération pour effectuer une étude astéroséismologique détaillée des étoiles EC14026.
Notons, par curiosité, que les modes g sont beaucoup plus sensibles à ces paramètres que les modes acoustiques. Les ondes de gravité, pénétrant plus profondément dans l'étoile, sont davantage dépendantes de la structure interne de l'astre. Or, la métallicité différente entre modèles de première et de seconde génération change, via l'opacité, le gradient de température dans l'enveloppe riche en

<table><caption>Tableau 5.3: Comparaison des périodes adiabatiques entre modèles de première génération (évolutif et statique) et de secondes génération (statiques). Le modèle évolutif de référence utilisé au cours des Chapitres 2, 3 et 4 a été repris. Les modèles statiques d'enveloppes correspondants ont été calculés avec les mêmes paramètres stellaires.</caption><thead><tr><th rowspan="2">k</th><th colspan="3">l = 0</th><th colspan="3">l = 1</th><th colspan="3">l = 2</th><th colspan="3">l = 3</th></tr><tr><th>P<sub>evol</sub><br>(s)</th><th>P<sub>env1</sub><br>(s)</th><th>P<sub>env2</sub><br>(s)</th><th>P<sub>evol</sub><br>(s)</th><th>P<sub>env1</sub><br>(s)</th><th>P<sub>env2</sub><br>(s)</th><th>P<sub>evol</sub><br>(s)</th><th>P<sub>env1</sub><br>(s)</th><th>P<sub>env2</sub><br>(s)</th><th>P<sub>evol</sub><br>(s)</th><th>P<sub>env1</sub><br>(s)</th><th>P<sub>env2</sub><br>(s)</th></tr></thead><tbody><tr><td>7</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>82.98</td><td>80.56</td><td>82.52</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>6</td><td>88.52</td><td>81.68</td><td>83.27</td><td>92.47</td><td>91.60</td><td>94.46</td><td>89.19</td><td>89.46</td><td>92.07</td><td>85.69</td><td>85.82</td><td>88.24</td></tr><tr><td>5</td><td>97.90</td><td>92.70</td><td>95.67</td><td>105.99</td><td>102.66</td><td>104.20</td><td>99.15</td><td>98.75</td><td>101.12</td><td>94.58</td><td>95.10</td><td>98.42</td></tr><tr><td>4</td><td>112.39</td><td>105.28</td><td>106.74</td><td>118.18</td><td>116.46</td><td>118.62</td><td>113.11</td><td>114.00</td><td>116.96</td><td>109.39</td><td>110.34</td><td>114.01</td></tr><tr><td>3</td><td>129.58</td><td>118.07</td><td>119.73</td><td>142.08</td><td>140.53</td><td>143.10</td><td>132.60</td><td>133.26</td><td>135.57</td><td>123.66</td><td>123.67</td><td>125.92</td></tr><tr><td>2</td><td>148.31</td><td>143.17</td><td>146.13</td><td>160.89</td><td>157.08</td><td>155.31</td><td>150.12</td><td>151.40</td><td>151.69</td><td>145.37</td><td>146.56</td><td>149.06</td></tr><tr><td>1</td><td>176.24</td><td>160.19</td><td>158.93</td><td>208.24</td><td>209.75</td><td>188.15</td><td>185.82</td><td>192.45</td><td>186.81</td><td>172.44</td><td>171.64</td><td>178.80</td></tr><tr><td>0</td><td>209.12</td><td>210.41</td><td>188.64</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>208.06</td><td>209.95</td><td>220.14</td><td>206.19</td><td>207.81</td><td>190.53</td></tr><tr><td>1</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>425.09</td><td>569.47</td><td>708.35</td><td>277.24</td><td>356.57</td><td>443.82</td><td>224.09</td><td>275.71</td><td>342.51</td></tr><tr><td>2</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>671.44</td><td>871.48</td><td>1096.52</td><td>406.90</td><td>528.29</td><td>662.47</td><td>306.59</td><td>394.82</td><td>492.93</td></tr><tr><td>3</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>958.60</td><td>1174.02</td><td>1441.28</td><td>569.27</td><td>699.24</td><td>844.13</td><td>418.65</td><td>512.62</td><td>604.94</td></tr><tr><td>4</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1248.31</td><td>1408.11</td><td>...</td><td>733.89</td><td>822.84</td><td>910.53</td><td>532.40</td><td>590.27</td><td>660.90</td></tr><tr><td>5</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1465.47</td><td>...</td><td>...</td><td>853.19</td><td>901.59</td><td>1121.28</td><td>610.41</td><td>650.81</td><td>811.04</td></tr><tr><td>6</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>931.69</td><td>1063.10</td><td>1352.33</td><td>668.64</td><td>765.74</td><td>972.20</td></tr><tr><td>7</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1082.23</td><td>1242.16</td><td>...</td><td>775.64</td><td>891.18</td><td>1137.87</td></tr><tr><td>8</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1246.14</td><td>1427.95</td><td>...</td><td>891.19</td><td>1021.27</td><td>1283.87</td></tr><tr><td>9</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1407.05</td><td>...</td><td>...</td><td>1006.65</td><td>1152.58</td><td>1319.04</td></tr><tr><td>10</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1100.36</td><td>1281.20</td><td>1482.20</td></tr><tr><td>11</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1167.58</td><td>1374.68</td><td>...</td></tr><tr><td>12</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1273.72</td><td>1435.78</td><td>...</td></tr><tr><td>13</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1387.66</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>14</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1451.01</td><td>...</td><td>...</td></tr></tbody></table>

hydrogène et donc, à $T_{eff}$ et $\log g$ constants, l'équilibre hydrostatique dans les couches profondes. Les périodes des modes g s'en trouvent donc fortement affectées (elles deviennent systématiquement et significativement plus longues dans les modèles de seconde génération).

## 5.6.2 Résultats préliminaires

Une des étoiles sous-naines pulsantes de l'échantillon, PG1047+003, semble dès à présent consti- tuer une candidate de choix sur laquelle il serait intéressant d'effectuer une analyse astéroséismologique détaillée. Cet objet dévoile en effet un nombre relativement élevé de modes (16 périodes indépendantes répertoriées) s'inscrivant parfaitement dans la fenêtre théorique définie par les périodes excitées (c.f., la section 5.5.5). Or, un modèle aux paramètres atmosphériques similaires ($\log g = 5.8$ et $T_{eff} = 34000$ K), dont la masse totale et la position de la transition entre l'enveloppe riche en hydrogène et le cœur en hélium ont été fixés respectivement à $M = 0.49 M_\odot$ et $\log q(H) = -4.0$, offre un agencement de périodes qui n'est pas sans ressemblance avec celui observé pour cette étoile.
La figure 5.23 illustre la comparaison des périodes des modes p (et f) obtenues avec ce modèle, pour les séries d'indice angulaire $l = 0$ (radial), 1, 2 et 3 (non-radiales), avec les périodes observées pour PG1047+003. Les modes excités (indiqués par des segments verticaux en traits pleins sous chacun desquels est mentionné l'ordre radial correspondant) forment la bande de périodes instables à l'intérieur de laquelle se trouvent les périodes de cette étoile. C'est en combinant l'ensemble des périodes prédites sur une seule et unique ligne que la similitude avec le spectre de PG1047+003 devient frappante.

<figure><img src="image_113.png" /><figcaption>Figure 5.23: Comparaison entre les périodes théoriques des modes p calculées pour $l=0, 1, 2$ et $3$ à partir d'un modèle aux paramètres de surface ($T_{eff} = 34000$ K, $log g = 5.8$) similaires à ceux de PG1047+003 et les périodes effectivement observées pour cette étoile. L'ordre radial $k$ de chaque mode théorique est indiqué en dessous en dessous de chaque segment vertical respectif. Les modes instables sont représentés par des segments en traits pleins alors que le modes stables sont indiqués par des segments en lignes pointillées.</figcaption></figure>

Les mêmes structures, alternant périodes isolées et groupements de modes, sont identifiables dans les deux spectres. Certaines périodes, ou groupe de périodes, semblent même parfois correspondre avec précision (en autres, les modes $l = 3, k = 1$; et $l = 0, k = 1$; $l = 3, k = 4$). Bien sûr, il est prématuré de prétendre que le modèle proposé représente un “fit” des périodes observées dans la mesure où nous n'avons pas cherché, en variant seulement deux des quatre paramètres importants, à obtenir la meilleure correspondance possible entre périodes théoriques et périodes observées. En particulier, le paramètre $log q(H)$ qui, sans affecter globalement les périodes des modes acoustiques,
modifie légèrement la distribution spectrale en perturbant individuellement les modes (phénomène de micro-piégeage discuté dans la section 3.4 du Chapitre 3), n'a pas été modifié dans les modèles utilisés jusqu'à présent. Autrement dit, il est raisonnable de penser qu'il est possible, en variant simultanément les quatres paramètres stellaires principaux nécessaires à la construction des structures d'enveloppes, de trouver un modèle améliorant encore davantage la correspondance entre périodes théoriques et observées. C'est l'une des étapes très prometteuses que nous seront bientôt en mesure de franchir dans le domaine de l'étude astéroséismologique des sdB pulsantes en automatisant, dans une grille de modèles pré-calculée, la recherche de la structure qui propose le meilleur "fit" possible des périodes observées (Brassard et al., 1998). L'immense potentiel de l'astéroséismologie pour sonder l'intérieur des étoiles sous-naines de type B, sujet que nous allons aborder brièvement dans la prochaine section, semble donc maintenant pratiquement à portée de main.

### 5.6.3 Sonder les sdB avec l'astéroséismologie

L'imminence de l'application des outils de l'astéroséismologie pour sonder la structure des étoiles sous-naines de type B soulève, dès à présent, la question du potentiel véritable de cette technique. En d'autres termes, que pouvons-nous vraiment espérer apprendre de la structure de ces étoiles en observant et interprétant les périodes d'oscillation qu'elles nous dévoilent. Il est souvent clamé que ces vibrations sont une fenêtre directe sur les couches profondes d'un objet stellaire, par ailleurs inaccessibles à travers le vecteur d'information habituel qu'est la lumière. Si cette affirmation comporte une bonne part de vérité, il faut néanmoins en tempérer la portée car, en réalité, les modes de pulsation nous renseignent principalement sur les régions qui contribuent à la formation de leurs périodes. Cette nuance est d'importance dans la mesure où l'on peut difficilement espérer apprendre quelque chose sur l'intérieur d'une étoile à partir de modes d'enveloppes ou encore sonder les régions externes avec des modes d'intérieur. Evidemment, dans le contexte des étoiles sous-naines de type B, cette contrainte dresse un certain nombre de limitations pour le potentiel de l'analyse séismologique de ces objets que nous aborderons brièvement au cas par cas dans cette section. Si l'on se fie aux résultats des sections précédentes, il semble maintenant fermement établi que les périodes observées dans les étoiles EC14026 sont identifiables principalement aux vibrations acoustiques de faible ordre radial. Ces modes de pulsation sont avant tout des modes d'enveloppe et, comme tels, les amplitudes relatives de leurs oscillations deviennent très faibles dans les régions profondes de l'astre (c.f., Chapitre 3). En conséquence, les périodes qui les caractérisent reflètent principalement la structure des couches externes et ne dépendent finalement que très peu du noyau central. Du point de vue de l'astéroséismologie, les modes observés devraient donc permettre de sonder exclusivement l'enveloppe de ces étoiles alors que les régions centrales resteront probablement largement inaccessibles.

Les modèles statiques d'enveloppes que nous pouvons utiliser, pour tenter de rapprocher les périodes théoriques de celles observées, disposent de quatre paramètres principaux (log *g*, $T_{\text{eff}}$, log *q*(*H*) et $M_*$) que nous sommes en mesure de faire varier indépendamment les uns des autres. L'analyse astéroséismologique d'une étoile donnée devrait donc nous permettre d'obtenir une estimation des valeurs associées à ces quatre quantités qui reproduisent le mieux possible les périodes observées. La difficulté sera toutefois d'évaluer l'importance des contraintes imposées sur ces valeurs (c'est-à-dire, en quelque sorte, les incertitudes associées à cette estimation). Compte tenu des résultats accumulés jusqu'à présent, il apparaît sans conteste que la gravité de surface (log *g*), dont les périodes des modes *p* (et *f*) dépendent grandement, sera le paramètre le plus fortement astreint par l'analyse sismique. En
fait, il s'avère que l'astéroséismologie permettra probablement d'établir les gravités de surface des sdB pulsantes avec beaucoup plus de précision que ne l'autorise actuellement l'analyse spectroscopique. Les autres paramètres influencent beaucoup moins les périodes des modes acoustiques; ils seront donc moins strictement contraints par l'analyse sismique. La température effective ($T_{eff}$) reste néanmoins accessible compte tenu de la dépendance des périodes excitées vis-à-vis de ce paramètre. La position log $q(H)$ de la transition chimique entre l'enveloppe riche en hydrogène et le manteau riche en hélium affecte également, à travers le phénomène de micropiégeage, les périodes individuelles des modes de pulsation. Ce paramètre devrait contrôler, sans changer les limites de la fenêtre des périodes excitées, la distribution des modes à l'intérieur de cette dernière. Aussi, la comparaison entre les distributions théoriques et observées devrait nous permettre d'accéder à la valeur de cette quantité. Enfin, les périodes des modes acoustiques dépendent également légèrement de la masse totale de l'étoile. Il n'est pas garanti que nous puissions contraindre fortement cette quantité à partir des données séismologiques mais cette opportunité demeure néanmoins présente.

Dans l'hypothèse où plusieurs des quatre paramètres principaux pourront être déterminés par l'astéroséismologie de manière indépendante, d'autres informations particulièrement utiles et bien souvent inédites sur les propriétés de ces étoiles deviendront alors mesurables. Ainsi, avec la gravité de surface et la masse totale, on obtient immédiatement le rayon de l'étoile par la relation triviale

$$R = \sqrt{\frac{GM_*}{g}} \quad \text{où} \quad G \text{ est la constante gravitationnelle.} \qquad (5.25)$$

Si la température effective de l'étoile est également disponible, sa luminosité intrinsèque totale, sa magnitude absolue ainsi que sa distance peuvent alors être déterminées, en principe, à travers les relations habituelles

$$\mathcal{L} = 4\pi R^2 \sigma T_{\text{eff}}^4, \quad \mathcal{M} = \mathcal{M}_{\odot} + 2.5 \log \left( \frac{\mathcal{L}}{\mathcal{L}_{\odot}} \right) \quad \text{et} \quad m - \mathcal{M} = 5 - 5 \log d \quad ; \quad (5.26)$$

où $\mathcal{M}$ et $\mathcal{M}_{\odot}$ correspondent à la magnitude bolométrique absolue respectivement de l'étoile cible et du soleil alors que $d$ représente la distance, exprimée en parsecs, de l'étoile. Avec les valeurs de log $q(H)$ et de $M_*$, la masse du cœur riche en hélium ($M_c$) ainsi que la masse de l'enveloppe riche en hydrogène ($M_{\text{env}}$) deviennent disponibles tout simplement à travers les définitions

$$M_{\text{env}} = M_{*} \times 10^{\log q(H)} \quad \text{et} \quad M_{c} = M_{*} - M_{\text{env}} \quad . \qquad (5.27)$$

Ces deux dernières quantités, encore jamais mesurées pour les étoiles sous-naines de type B, sont d'un intérêt majeur pour les personnes impliquées dans la modélisation des objets de la branche horizontale étendue. Leur détermination par l'analyse séismologique constituerait certainement une avancée importante dans ce domaine de l'astrophysique stellaire.

Parmis les aspects de la structure des sdB qui resteront probablement hors d'atteinte de l'astéro-séismologie, on retrouve essentiellement tous les phénomènes qui se produisent dans les couches centrales de ces étoiles. Tous les modèles actuels suggèrent qu'un vaste noyau convectif, éventuellement surmonté d'une zone semi-convective selon l'état d'avancement du processus évolutif, en constitue le centre (c.f., Chapitre 2 et références incluses). Malheureusement, l'influence de ces régions sur les périodes des modes acoustiques est certainement beaucoup trop faible pour qu'il soit possible d'obtenir
de l'information sur leur structure. Incidemment, les variations des principaux paramètres stellaires à l'intérieur même de leur domaine d'incertitude produiraient des effets plus importants que ceux engendrés par les régions centrales. A moins de connaître avec une très grande précision les valeurs de ces quantités — ce qui paraît difficilement envisageable à l'heure actuelle —, il semble donc impossible d'utiliser les périodes des modes observés pour sonder le cœur des étoiles sous-naines de type B.

Parallèlement à l'étude des périodes de pulsation, l'approche non-adiabatique renferme également, à travers l'information qu'elle fournit sur l'excitation des modes, un sérieux potentiel pour tester les processus physiques qui contribuent à la structure de ces étoiles. En particulier, le nombre de modes instables, la largeur de la bande de périodes excitées ainsi que l'étendue du domaine d'instabilité dans le plan $log g - T_{eff}$ sont directement reliés à la puissance du mécanisme déstabilisateur. Or, les deux principaux facteurs qui influencent sa force sont la quantité de fer accumulée dans l'enveloppe de l'étoile, en particulier dans la région excitatrice, et l'opacité moyenne de cet élément. Ainsi, l'opportunité nous est donnée de tester la théorie de la diffusion des éléments atomiques dans les étoiles ainsi que les valeurs des tables d'opacité pour le principal contributeur au mécanisme de déstabilisation: le fer. Les vents stellaires sont également en mesure d'influencer la stabilité des modes de pulsation en vidant le réservoir de fer constitué dans l'enveloppe de l'étoile sous l'effet de la lévitation radiative. Il est donc envisageable d'étudier, à partir de l'astéroséismologie, les mécanismes à l'origine de ces processus de perte de masse.

A celà mentionnons, pour plusieurs étoiles EC14026 de l'échantillon (voir les références correspondantes données dans le tableau 4.6), l'existence de plusieurs composantes très rapprochées associées à certaines périodes observées (ces modes apparaissent parfois en triplets ou quintuplets). La présence de “splitting” dû à la rotation de l'étoile, ou éventuellement à la présence de champs magnétiques (plutôt improbable, toutefois), est donc très fortement suggérée par les données recueillies sur les sdB pulsantes. Avec les calculs de pulsation qui permettent d'évaluer quantitativement la séparation en fréquence engendrée par ces phénomènes, il serait donc possible de déterminer les périodes de rotation, ou éventuellement la magnitude des champs magnétiques, de ces étoiles.

Finalement, l'observation régulière des étoiles EC14026 au cours des prochaines années devrait permettre d'établir les taux de changement des périodes engendrés par les processus évolutifs. Comme cela fut discuté au cours de la section 3.5 du Chapitre 3, si l'interprétation des valeurs qui seront éventuellement mesurées ne sera pas une tâche facile, des informations utiles sur le stade évolutif atteint par chacune des étoiles observées deviendront cependant accessibles. En particulier, l'évolution séculaire des périodes devrait assez clairement nous indiquer si une étoile pulsante donnée est encore dans une phase de fusion de l'hélium dans les régions centrales, ou bien si la phase de brûlage en couche a débuté. Dans le premier cas, puisque les sdB nous montrent principalement leurs modes acoustiques, il sera éventuellement possible de préciser, avec le signe des $\dot{P}$, si cette étoile est plutôt proche de l'épuisement de ces réserves centrales d'hélium ou, au contraire, si elle se trouve a proximité de la ZAEHB; fournissant dès lors un indice sur son âge.

Comme nous pouvons le constater, en dépit des limitations qui s'appliquent à l'analyse séismologique des sdB pulsantes en raison de la nature des modes observés, le potentiel que renferme cette technique pour étudier diverses facettes caractérisant ces étoiles demeure extrêmement important. Il ne fait aucun doute qu'à l'avenir, beaucoup d'attention sera portée sur ces nouvelles avenues de
recherche ouvertes dans les domaines de l'astrophysique stellaire et de la théorie des pulsations. C'est dans cette voie que nous nous sommes déjà très largement engagés; c'est également celle que nous comptons explorer encore davantage dans les années futures.

## 5.7 Résumé et perspectives

Dans ce chapitre, nous avons entrepris l'étude systématique des propriétés et de la stabilité des modes de pulsation à partir de modèles d'enveloppes de seconde génération. Ces structures ont été construites pour inclure les profils d'abondance de fer non-uniformes prédits par la théorie de l'équilibre entre les processus de triage gravitationnel et de lévitation radiative. Ces efforts furent motivés par l'identification, suite aux résultats présentés au Chapitre 4, d'un mécanisme de déstabilisation dont l'efficacité dépend fondamentalement des quantités de fer accumulées dans la région d'excitation des modes. L'application du code des pulsations non-adiabatiques sur ces modèles nous a alors conduit à proposer de nouvelles prédictions théoriques qu'il est (ou sera) possible de confronter aux récentes (futures) données observationnelles. Ces prédictions sont résumées une à une dans la liste suivante.

* **Prédiction #1:** Les périodes excitées, donc susceptibles d'être observées dans les étoiles EC14026, correspondent aux modes p (et f), radiaux et non-radiaux, de faible ordre radial k. On ne s'attend donc pas, dans la plupart des cas (c'est-à-dire lorsque les modes de faible ordre radial n'adoptent pas une nature mixte), à détecter des modes g dans le spectre de périodes de ces objets.

* **Prédiction #2:** L'efficacité maximale du mécanisme de déstabilisation est atteinte dans une région du plan $log g - T_{eff}$ définie approximativement par les bornes $5.6 \leq \log g \leq 5.95$ et $33000 K \leq T_{eff} \leq 35000 K$. Les instabilités étant plus fortes dans cette zone et ses environs immédiats, les étoiles sous-naines pulsantes devraient s'y trouver en plus grand nombre.

* **Prédiction #3:** La plus grande période excitée diminue lorsque la température effective augmente. A gravité de surface identique, des périodes plus courtes sont donc attendues pour les sdB pulsantes plus chaudes.

* **Prédiction #4:** Les périodes des modes excités augmentent considérablement et de façon monotone lorsque la gravité de surface diminue.

* **Prédiction #5:** La fenêtre définie par les périodes excitées devient plus large lorsque la gravité de surface diminue.

* **Prédiction #6:** Les modules des parties imaginaires des fréquences propres sont systématiquement plus élevés dans les modèles à faibles gravités de surface et/ou à hautes températures effectives. Une interprétation de la théorie linéaire qu'il faut prendre avec beaucoup de précautions suggère que les amplitudes des modes d'oscillation sont plus importantes pour les étoiles situées dans cette partie du plan $log g - T_{eff}$.

* **Prédiction #7:** Le mécanisme d'excitation favorise, à faibles gravités de surface, les instabilités dans les étoiles à plus faibles températures effectives et, à gravités de surface élevées, les instabilités dans les étoiles à plus hautes températures effectives.
* **Prédiction #8:** Par l'action de vents stellaires de faibles magnitudes, probablement présents dans ces étoiles, qui peuvent éventuellement vider, après un certain temps, le réservoir de fer responsable de l'excitation des modes, il est possible que des étoiles sous-naines pulsantes et non-pulsantes coexistent dans une même région du plan $log g - T_{eff}$.

Afin de faciliter les comparaisons directes avec les observations disponibles, les propriétés des modes de pulsation, répertoriées à partir de l'échantillon des 12 étoiles EC14026 documentées, sont présentées dans la liste suivante selon la même numérotation utilisée pour les prédictions théoriques.

* **Observation #1:** Les périodes observées pour les 12 sdB pulsantes connues sont généralement compatibles, selon leurs paramètres atmosphériques respectifs spécifiés indépendamment, aux modes acoustiques de faible ordre radial. La densité de modes observée indique également qu'il ne peut s'agir uniquement de pulsations radiales; des oscillations non-radiales sont donc nécessairement présentes dans ces objets. Les écarts observés entre groupes de périodes sont également compatibles avec l'intervalle théorique entre les modes acoustiques consécutifs de faible ordre radial. En revanche, ils ne le sont pas avec les écarts de période entre les modes g typiquement constatés dans les modèles.

* **Observation #2:** La plupart des sdB pulsantes découvertes jusqu'à présent se concentrent autour des valeurs typiques $T_{eff} = 34000$ K et $log g = 5.8$, soit à l'intérieur ou à proximité de la région privilégiée par le mécanisme d'excitation d'après les prédictions théoriques.

* **Observation #3:** Les observations actuelles suggèrent que les étoiles à hautes températures effectives ont tendance à montrer des périodes plus courtes. Mais la comparaison est encore difficile en raison des incertitudes sur la gravité de surface de ces étoiles; un paramètre dont l'influence sur les périodes est plus importante que l'effet de la température effective.

* **Observation #4:** Les deux étoiles avec des gravités de surface moins élevées (PG1605+072 et Feige 48) montrent également des périodes d'oscillation significativement plus longues que celles observées dans les autres sdB pulsantes. De plus, ces périodes correspondent très bien, pour les paramètres atmosphériques appropriés à chacune des deux étoiles, à celles prédites par le calcul.

* **Observation #5:** PG1605+072, l'étoile dont la gravité de surface est la plus faible de tout l'échantillon, devoile la fenêtre de périodes observées la plus étendue. Pour les autres objets, les données sont généralement de qualité insuffisante pour déterminer adéquatement cette bande de périodes excitées.

* **Observation #6:** A la position de PG1605+072 dans le plan $log g - T_{eff}$ correspondant, relativement à toutes les étoiles de l'échantillon, les plus grandes valeurs pour la partie imaginaire des fréquences propres. Or, il s'avère que PG1605+072 oscille également avec les plus grandes amplitudes jamais observées jusqu'à présent pour ces étoiles.

* **Observation #7:** Les deux étoiles avec les plus faibles gravités de surface (PG1605+072 et Feige 48) font également partie des plus froides de l'échantillon. Les sdB pulsantes ayant des gravités plus élevées sont, en général, significativement plus chaudes.

* **Observation #8:** Les positions, dans le plan $log g - T_{eff}$, des 12 sdB pulsantes connues à ce jour comparées à celles de plus de 60 étoiles sous-naines observées par photométrie rapide et classifiées
comme non-pulsantes montrent, sans ambiguïté, qu'il y a coexistence entre ces deux catégories d'objets.

L'ensemble de ces résultats constitue, à nos yeux, une excellente confirmation de l'hypothèse selon laquelle un mécanisme $\kappa$, nécessitant des surabondances de fer produites par lévitation radiative dans l'enveloppe riche en hydrogène, engendrerait des pulsations dans les étoiles sous-naines de type B. De plus, l'accord entre théorie et observations, tant au niveau des périodes des modes excités que des propriétés générales des instabilités, ouvre plusieurs perspectives nouvelles pour l'étude de ces étoiles. La plus importante sera sans doute la possibilité, à l'aide des modèles décrits dans ce chapitre, d'effectuer les premières analyses séimologiques détaillées de ces objets pour tenter de déterminer plusieurs caractéristiques de leur structure. La forte dépendance, à travers l'opacité du gaz, du mécanisme déstabilisateur envers les processus rattachés aux phénomènes de diffusion (compétition entre éléments atomiques différents, vents stellaires, etc...) permettra également de tester, par le biais des pulsations, la physique encore parfois incertaine mise en œuvre dans ces calculs.

Les modèles de seconde génération, bien qu'ils aient apporté d'incomparables résultats sur les propriétés des modes instables, ont également révélé leurs limites lorsqu'il s'agit de reproduire certains aspects des données observationnelles. Les deux principales incohérences rencontrées avec ces structures sont les suivantes:

* Le mécanisme d'excitation, tel qu'il est modélisé, se révèle manifestement trop puissant par rapport à ce que suggèrent les informations accumulées sur les étoiles sous-naines pulsantes. Les fenêtres théoriques correspondant aux périodes instables semblent systématiquement plus larges que celles observées et le domaine d'instabilité dans le plan $log g - T_{eff}$ apparaît clairement trop étendu.

* Les modèles ne reproduisent pas la coexistence entre étoiles pulsantes et non-pulsantes dans le plan $log g - T_{eff}$. Le paramètre additionnel qui entre en jeu dans la détermination de la stabilité des modes de pulsation est donc extérieur à ceux utilisés jusqu'alors dans la construction de ces structures.

Heureusement, les origines de ces "difficultés" sont bien identifiées puisqu'elles découlent sans aucun doute des hypothèses simplificatrices utilisées pour calculer les profils d'abondance de fer à partir de la théorie de la diffusion des éléments chimiques. Ces incohérences proviennent respectivement des deux suppositions suivantes:

* Le fer, plongé dans un bain d'hydrogène pur, est considéré comme le seul et unique élément atomique à léviter sous l'action du champ de radiation. En conséquence, les couplages engendrés par la diffusion simultanée des diverses populations atomiques qui constituent habituellement le plasma stellaire sont ignorés; la compétition entre les éléments chimiques pour absorber les photons disponibles n'est donc pas prise en compte. Il est alors probable que le fer, principal contributeur au mécanisme d'excitation, lévite en réalité en moins grandes quantités qu'actuellement prédit par les modèles de seconde génération. Il faut donc effectivement s'attendre à ce que le mécanisme de déstabilisation soit moins puissant dans la nature qu'il ne l'est actuellement dans ces structures théoriques.
* L'influence des vents stellaires est ignorée dans les calculs théoriques. Ces derniers, en vidant le réservoir de fer constitué par lévitation radiative, seraient en mesure, après un certain temps, lorsque suffisamment de fer se retrouve finalement expulsé de la région déstabilisatrice, de détruire le mécanisme d'excitation responsable des pulsations. Selon la magnitude de son vent et son âge, qui sont des caractéristiques individuelles propres à chaque objet observé, une étoile donnée peut donc aussi bien appartenir à la classe des pulsantes qu'à celle des non-pulsantes.

En définitive, la construction de modèles encore plus réalistes (3ème génération et au delà), incluant les deux effets mentionnés auparavant, constitue donc une autre voie dans laquelle il serait très intéressant de s'engager, en marge ou en complément de l'analyse astéroséismologique détaillée qui nous est maintenant accessible pour plusieurs sdB pulsantes. Il s'agit certainement d'une étape que nous seront en mesure d'explorer dans les mois à venir.
# Chapitre 6

## Activité Sismique dans les Etoiles en
Phase Post-EHB

### 6.1 Introduction

L'application des connaissances théoriques accumulées aussi bien sur la structure des étoiles sous-naines de type B que sur la théorie des pulsations stellaires aura permis, comme nous l'avons démontré au cours des précédents chapitres, de déterminer avec succès, et uniquement par le calcul, les potentialités dont disposent ces étoiles pour développer et entretenir des oscillations. Cette prédiction théorique a, bien entendu, des répercussions qui dépassent largement le cadre des sdB puisqu'elle apporte la preuve qu'il est possible d'obtenir, dans une discipline où presque toutes les découvertes de nouvelles classes d'objets pulsants furent purement observationnelles et la plupart du temps le fruit du hasard, des résultats convaincants en s'appuyant principalement sur la modélisation. C'est donc un succès important pour la théorie des pulsations qui devrait nous inciter à procéder de manière similaire pour explorer d'autres catégories d'étoiles.

Dans cet esprit, il est approprié de rappeler que nous disposons de 7 séquences évolutives complètes d'étoiles appartenant à la branche horizontale étendue (EHB). Dans notre investigation précédente, nous nous sommes concentrés sur les modèles qui correspondent aux étoiles sous-naines de type B, laissant de coté une fraction importante des chemins évolutifs qui se rendent, par ailleurs, jusqu'à la séquence de refroidissement des naines blanches. Tous les modèles en phase évolutive post-EHB, traversant le domaine des étoiles sous-naines de type O (sdO), puis celui des naines blanches DAO, n'ont donc pas encore été exploités. Comptes tenu des résultats particulièrement encourageants obtenus pour les sdB, ils mériteraient néanmoins que l'on s'y attarde un peu plus.
Dans ce cours chapitre, nous allons explorer la stabilité des modèles post-EHB dont nous disposons. Les 7 séquences évolutives seront donc entièrement soumises aux calculs non-adiabatiques depuis le point correspondant à l'épuisement de l'hélium au centre jusqu'à la jonction avec les naines blanches. Les résultats seront rapportés dans la section 6.2. et discutés dans la section 6.3.

## 6.2 Analyse de stabilité sur les modèles post-EHB

Les modèles évolutifs utilisés pour ces calculs ont largement été présentés au cours du Chapitre 2, du moins dans leur phase évolutive identifiable aux sdB. Pour mémoire, 5 des séquences suivent l'évolution d'étoiles avec un noyau d'hélium de masse fixée à $M_c=0.4758 M_\odot$ surmontées, d'enveloppes riches en hydrogène de masses initiales respectives $M_{\text{env}} = 0.0002, 0.0012, 0.0022, 0.0032, 0.0042 M_\odot$ (sur la ZAEHB). Les 2 séquences additionnelles, initialement ajoutées pour offrir une meilleur couverture de la région du plan $log g - T_{\text{eff}}$ occupée par les sdB, décrivent l'évolution d'objets avec $M_c=0.4690 M_\odot$ pour $M_{\text{env}}=0.0001$ et $0.0007 M_\odot$. Les principaux paramètres caractérisant les modèles à différents stades de l'évolution sont disponibles, jusqu'à la séquence de refroidissement des naines blanches, dans les 7 tableaux proposés en annexe A.

Dans le contexte des pulsations, les modèles post-EHB deviennent intéressant principalement en raison de l'activation du brûlage en couche de l'hélium et du renforcement de celui de l'hydrogène. Ce dernier en particulier, essentiellement insignifiant durant toute la phase d'évolution EHB, peut croître et contribuer pour plus de 50% à la luminosité totale de l'étoile au cours des phases plus avancées. Il s'agit donc d'un candidat potentiel important pour déstabiliser certains modèles. En revanche, le mécanisme $\kappa$ que l'on a vu à l'œuvre dans les étoiles sous-naines de type B n'est pas vraiment intéressant pour les étoiles plus évoluées. Dans le domaine des sdO (juste après la phase sdB), les modèles sont manifestement trop chauds pour que le mécanisme basé sur l'ionisation du fer soit efficace, la bosse correspondante dans l'opacité moyenne de Rosseland se trouvant trop proche de la surface de l'étoile. Dans la phase de refroidissement, vers le domaine des naines blanches DAO puis DA, c'est la gravité de surface trop élevée qui, cette fois, interdit au mécanisme d'opérer efficacement (le fer ne pourrait pas être supporté en quantités suffisantes par le champ de radiation; voir les résultats du Chapitre 5 sur les comportements des instabilités liées à ce mécanisme lorsque $log g$ augmente).

### 6.2.1 Bande d'instabilité

La figure 6.1 représente, dans le plan $log g - T_{\text{eff}}$, les chemins évolutifs pour 3 de nos séquences ($M_c=0.4758 M_\odot$ avec $M_{\text{env}}=0.0042, 0.0012$ et $0.0002 M_\odot$ respectivement). Les positions de 213 sdB connues (Saffer et al., 1997; communication privée) sont indiquées dans la région supérieure droite du diagramme, alors que celles des naines blanches de type DAO et de type DA à hautes températures analysées dans Bergeron et al., 1994 sont données dans la partie inférieure du graphique. Dans le contexte actuel, il est particulièrement intéressant de souligner que ces auteurs identifient 6 des étoiles DAO de leur échantillon (celles distribuées autour de nos séquences évolutives) à des objets post-EHB descendant directement des sdB. En revanche, la plupart des naines blanches à hautes températures discutées dans cet article ont des gravités de surface plus élevées (c.f., figure 6.1) et doivent être considérées plutôt comme des étoiles post-AGB.
L'analyse de stabilité a été conduite sur tous les modèles évolutifs situés au delà de la phase sdB. Nous avons considéré tous les modes avec $l = 0$ (radiaux), 1, 2 et 3 (non-radiaux) dans une fenêtre de périodes couvrant 5 à 500 secondes. Les périodes deviennent, en effet, globalement plus courtes que celles observées dans les sdB en raison des gravités de surface généralement plus importantes caractérisant les modèles post-EHB. Les codes adiabatiques et non-adiabatiques, décrits au Cha-

<figure><img src="image_114.png" /><figcaption>Figure 6.1: Chemins évolutifs typiques dans le plan $log g - T_{eff}$ pour des modèles en phases EHB et post-EHB. Les trois séquences représentées correspondent aux objets avec $M_c=0.4758 M_\odot$ et $M_{env}=0.0042, 0.0012, \text{et } 0.0002 M_\odot$ (sur la ZAEHB). Les modèles individuels sont représentés, le long d'une séquence, par des croix jointes par des segments en lignes pointillées. Les séquences couvrent l'évolution depuis la ZAEHB jusqu'à la phase de refroidissement des naines blanches. Dans le coin supérieur droit sont indiquées, sous la forme de petits cercles vides, les positions de 213 sdB observées (Saffer et al., 1997; communication privée). De plus, les positions des naines blanches de type DAO connues (cercles pleins) et de type DA à hautes températures (cercles vides) sont illustrées dans la partie inférieure du graphique. Les segments en traits pleins épais, apparaissant pour deux des séquences, indiquent la position des modèles instables.</figcaption></figure>

pitre 1 et sur lesquels s'est appuyée l'étude des sdB, ont bien entendu été utilisés pour conduire cette exploration théorique. Pour les raisons déjà mentionnées au Chapitre 4, 150 éléments quadratiques furent adoptés pour mener à bien ces calculs, assurant une résolution spatiale suffisante pour modéliser la structure entière de l'étoile et obtenir des résultats numériques cohérents et robustes.

Suite à ces calculs, nous avons noté l'apparition, dans 4 des 7 séquences évolutives, d'une région où les modèles deviennent instables (segments en traits gras dans la figure 6.1). Ces résultats définissent
une bande d'instabilité relativement large couvrant l'intervalle $76000 K \gtrsim T_{eff} \gtrsim 44000 K$ et identifiable à la phase DAO de l'évolution post-EHB. Il y a, de plus, une nette corrélation entre la masse initiale de l'enveloppe riche en hydrogène des modèles ($M_{env}$) et la présence des instabilités. Ainsi, les 3 séquences qui demeurent stables sont, sans ambiguïté, celles qui présentent les enveloppes les moins massives ($M_{env}=0.0001, 0.0002$ et $0.0007 M_{\odot}$). Les 4 séquences additionnelles, avec $M_{env} \gtrsim 0.0012 M_{\odot}$, développent quant-à elles cette région d'instabilité.

La relation entre $M_{env}$ et l'état d'excitation des modes suggère fortement que les réactions nucléaires impliquant l'hydrogène à la base de l'enveloppe jouent, à travers le mécanisme $\epsilon$, un rôle majeur dans la déstabilisation des modèles. La puissance dégagée à cet endroit par les couches actives s'avère, en effet, d'autant plus importante si la masse de l'enveloppe est plus élevée. Pour confirmer cette contribution, il est cependant nécessaire d'examiner de plus près la nature des modes excités dans les modèles occupant la bande d'instabilité.

### 6.2.2 Nature des modes instables

Les propriétés sismiques d'un modèle instable typique appartenant à la séquence $M=0.4758 + 0.0012 M_{\odot}$ sont, en partie, présentées dans le tableau 6.1. Il s'agit du modèle #32 dont les paramètres physiques sont $log g=7.24, T_{eff}=55560 K, L=6.31 L_{\odot}$ pour un âge de 139 millions d'années depuis la ZAEHB. Le tableau 6.1 donne les périodes (P, en secondes) et les temps caractéristiques de croissance

<table><caption>Tableau 6.1: Périodes de pulsation (P, en secondes) et temps caractéristiques de croissance ($\tau_e$, en années) pour un modèle représentatif des DAO. Il s'agit du modèle #32 de la séquence $M=0.4758 + 0.0012 M_{\odot}$ (c.f., annexe A).</caption><thead><tr><th rowspan="2">k</th><th colspan="3">l = 1</th><th colspan="3">l = 2</th><th colspan="3">l = 3</th></tr><tr><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)<sup>†</sup></th><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)<sup>†</sup></th><th>P (s)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)</th><th>τ<sub>e</sub> (ans)<sup>†</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>3</td><td>10.99</td><td>stable</td><td>stable</td><td>10.48</td><td>stable</td><td>stable</td><td>9.78</td><td>stable</td><td>stable</td></tr><tr><td>2</td><td>13.63</td><td>stable</td><td>stable</td><td>11.90</td><td>stable</td><td>stable</td><td>11.24</td><td>stable</td><td>stable</td></tr><tr><td>1</td><td>15.61</td><td>stable</td><td>stable</td><td>15.19</td><td>stable</td><td>stable</td><td>14.75</td><td>stable</td><td>stable</td></tr><tr><td>0</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>20.70</td><td>stable</td><td>stable</td><td>17.18</td><td>stable</td><td>stable</td></tr><tr><td>1</td><td>82.37</td><td>6.99×10<sup>6</sup></td><td>stable</td><td>54.11</td><td>9.98×10<sup>5</sup></td><td>stable</td><td>42.41</td><td>2.42×10<sup>5</sup></td><td>stable</td></tr><tr><td>2</td><td>109.78</td><td>9.01×10<sup>4</sup></td><td>stable</td><td>69.33</td><td>1.34×10<sup>4</sup></td><td>stable</td><td>50.25</td><td>1.14×10<sup>4</sup></td><td>stable</td></tr><tr><td>3</td><td>122.73</td><td>1.14×10<sup>4</sup></td><td>stable</td><td>74.59</td><td>4.70×10<sup>4</sup></td><td>stable</td><td>59.59</td><td>stable</td><td>stable</td></tr><tr><td>4</td><td>158.70</td><td>stable</td><td>stable</td><td>101.64</td><td>stable</td><td>stable</td><td>76.55</td><td>stable</td><td>stable</td></tr><tr><td>5</td><td>187.84</td><td>stable</td><td>stable</td><td>114.16</td><td>stable</td><td>stable</td><td>87.22</td><td>stable</td><td>stable</td></tr></tbody></table>

($\tau_e$, en années; pour les modes instables uniquement) correspondant aux modes p, f et g de faible ordre radial $k$. Les modes radiaux ($l=0$) et les modes d'ordre plus élevé ne sont pas présentés car ils demeurent continuellement stables tout au long de l'évolution post-EHB.

<footnote>†Modèle avec $\epsilon_H$ artificiellement fixé à zéro.</footnote>
Dans cette structure et dans toutes celles qui dévoilent des instabilités, seuls les modes g de faible ordre radial sont excités, les modes p demeurant toujours stables. Les périodes excitées correspondantes sont comprises, pour ce modèle particulier, entre 42 et 123 secondes; ces valeurs dépendant toutefois de la température effective et de la gravité de surface. Les temps caractéristiques de croissance doivent être comparés avec le temps évolutif typique nécessaire pour qu'une étoile post-EHB traverse complètement la bande d'instabilité. D'après les séquences à notre disposition (c.f., annexe A), ce temps est estimé approximativement à $4.0×10^6$ ans, soit substantiellement plus long (parfois par un facteur 100) que la plupart des valeurs de $\tau_e$ obtenues par le calcul. On peut donc penser que les modes ont tout le temps nécessaire pour développer des amplitudes observables.

Une expérience simple permet d'identifier précisément l'origine des instabilités dans ces structures post-EHB. Elle consiste à supprimer l'influence des différentes régions de brûlage nucléaire en imposant, pour les calculs de stabilité, une valeur nulle aux quantités $\epsilon_H$ et/ou $\epsilon_{He}$ reliées au processus de fusion associés respectivement à l'hydrogène et à l'hélium. Si la contrainte $\epsilon_{He} = 0$ avec $\epsilon_H \neq 0$ ne modifie en rien les résultats sur la stabilité des modes, la situation inverse ($\epsilon_H = 0$ avec $\epsilon_{He} \neq 0$), comme le montre les 3ème, 6ème et 9ème colonnes du tableau 6.1 marquées par le signe “†”, révèle en revanche, puisque tous les modes sont maintenant stables, l'importance du mécanisme $\epsilon$ associé au brûlage de l'hydrogène en couches dans le processus d'excitation.

### 6.2.3 Le mécanisme de déstabilisation

Quelques propriétés structurelles propres aux modèles et au mécanisme de déstabilisation sont illustrées dans la figure 6.2. Dans le panneau du haut, les positions des couches de brûlage nucléaire sont indiquées à travers le profil du taux de génération d'énergie ($\epsilon_N$; lignes pointillées), la contribution due à l'hélium ($\epsilon_{He}$) se révélant minuscule à l'échelle proposée dans la figure et comparativement à la contribution de l'hydrogène ($\epsilon_H$; provenant majoritairement du cycle CN). La faiblesse de la zone de brûlage de l'hélium dans ces modèles à l'évolution déjà très avancée explique donc naturellement le rôle essentiellement insignifiant qu'elle joue, contrairement à la région active résiduelle alimentée par la fusion de l'hydrogène, dans le processus d'excitation des modes de pulsation. Le panneau du bas montre la stratification chimique du modèle, très proche de celle des naines blanches, ainsi que le profil de luminosité à travers toute l'étoile. Ce dernier confirme que près de 40% de la luminosité totale émise par l'objet trouve son origine à la base de l'enveloppe riche en hydrogène, où les réactions nucléaires s'appuyant sur cet élément sont actives.

Les instabilités engendrées par ce mécanisme $\epsilon$ favorisent clairement les modes g pour la simple raison que leurs principales zones de formation migrent lentement des régions profondes, dans la phase EHB (c.f., le Chapitre 3), vers les couches externes de l'enveloppe lorsque l'état de naine blanche pulsante froide de type ZZ Ceti est atteint (Brassard et al., 1992c). Dans la partie de la phase post-EHB correspondant aux DAO, les modes g se trouvent dans un état intermédiaire où ils sont principalement sensibles aux conditions physiques dans l'enveloppe profonde des modèles, précisément là où se trouve la couche de brûlage de l'hydrogène. Les modes g, pour être excités, doivent posséder des amplitudes relatives importantes dans cette zone nucléairement active. En pratique, cela signifie que le maximum primaire du profil correspondant à la perturbation Lagrangienne de la température (en général, il s'agit du premier maximum rencontré en partant de la surface du modèle) doit approximativement coïncider avec cette région. Or, lorsque l'ordre radial $k$ augmente,
ce maximum se déplace vers la surface de l'étoile pour ultimement rejoindre des régions situées dans l'enveloppe de l'étoile, au dessus de la zone de brûlage de l'hydrogène. Aussi, au delà d'un certain point, ces modes ne peuvent plus être excités efficacement par le mécanisme et on s'attend, comme nous pouvons effectivement l'observer dans le tableau 6.1, à ce qu'une limite en $k$, au dessus de laquelle tous les modes $g$ restent stables, fasse son apparition.

<figure><img src="image_115.png" /><figcaption>Figure 6.2: Dans le panneau supérieur, la courbe en pointillés montre le profil du taux de production d'énergie par réactions nucléaires. Les positions et contributions des couches de brûlage de l'hélium ($\epsilon_{He}$) et de l'hydrogène ($\epsilon_H$) sont indiquées. Les profils additionnels montrent, en valeur absolue, les amplitudes relatives de la perturbation Lagrangienne de la température pour 3 modes $g$ avec $l=1$. De ces modes, seul celui avec $k=2$ est excité. Le panneau du bas donne le profil de luminosité en fonction de profondeur exprimée en fraction de masse $\log q = \log(1 - M(r)/M_*)$ pour notre modèle représentatif. Les 3 autres courbes montrent la stratification chimique pour H, He et C (en fraction de masse).</figcaption></figure>

Dans le panneau supérieur de la figure 6.2, superposés au profil de $\epsilon_N$, les tracés du module de la perturbation Lagrangienne de la température ($|\delta T/T|$) pour 3 modes représentatifs tirés du tableau 6.1 illustrent les commentaires du paragraphe précédent. Les 3 modes proposés sont respectivement le mode instable $l=1, k=2$ et les deux modes stables avec $l=1, k=5$ et $k=8$ (les périodes sont disponibles dans le tableau 6.1 sauf pour le mode avec $k=8$ pour lequel $P=272.70$ s). Notons que, puisque ces fonctions propres sont normalisées arbitrairement pour chaque mode, seule l'information reliée aux positions et à la magnitude relative des maxima pour un mode donné est pertinente. Il est alors remarquable que le mode instable présenté dans cette figure soit précisément celui pour lequel le premier – et plus important – maximum dans $|\delta T/T|$ coïncide avec le pic de $\epsilon_H$ associé.