[Geometry in problems, in Russian, 4th edition, with minor corrections)

Alexander Shen

► To cite this version:

Alexander Shen. [Geometry in problems, in Russian, 4th edition, with minor corrections). MCCME publishers, 2020, 978-5-4439-4120-2. lirmm-03059734

HAL Id: lirmm-03059734

https://hal-lirmm.ccsd.cnrs.fr/lirmm-03059734

Submitted on 13 Dec 2020

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
А. Шень

# ГЕОМЕТРИЯ В ЗАДАЧАХ

Издание четвёртое, стереотипное

Издательство МЦНМО
Москва, 2020
УДК 514.112
ББК 22.151.0
Ш47

Шень А.

Ш47 Геометрия в задачах. — М.: МЦНМО, 2020. — 4-е изд., стереотип. — 240 с.: ил.

ISBN 978-5-4439-4120-2

Сборник задач по геометрии рассчитан на школьников средних и старших классов, а также преподавателей и любителей математики. Он содержит более 750 задач, по большей части снабжённых решениями, а также задачи для самостоятельного решения (многие — с указаниями). Каждый раздел предваряется кратким перечнем сведений, нужных для понимания и решения задач. Необходимые чертежи (более 450) вынесены на поля.

Прорешав задачи сборника, читатель познакомится с основными фактами и методами школьного курса планиметрии и (мы надеемся) получит удовольствие.

Предыдущее издание книги вышло в 2017 г.

ББК 22.151.0

Книга является свободно распространяемой; электронная версия доступна по адресу

ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/geometry.zip

Фотография на обложке: Бьярне Паг Бюнак (Bjarne Pagh Byrnak), см. www.bjarne.alternvista.org/rct/introduction.html.

12+

ISBN 978-5-4439-4120-2

© Шень А., 2013
Памяти Израиля Моисеевича Гельфанда
Оглавление

<table><tr><td>Предисловие</td><td>5</td></tr><tr><td>1. Измерение отрезков</td><td>6</td></tr><tr><td>2. Измерение углов</td><td>10</td></tr><tr><td>3. Неравенство треугольника</td><td>17</td></tr><tr><td>4. Равные фигуры</td><td>24</td></tr><tr><td>5. Признаки равенства треугольников</td><td>26</td></tr><tr><td>6. Равнобедренные треугольники</td><td>32</td></tr><tr><td>7. Окружность</td><td>37</td></tr><tr><td>8. Построения циркулем и линейкой</td><td>41</td></tr><tr><td>9. Параллельность</td><td>45</td></tr><tr><td>10. Прямоугольные треугольники</td><td>55</td></tr><tr><td>11. Параллелограммы</td><td>59</td></tr><tr><td>12. Прямоугольник, ромб, квадрат</td><td>64</td></tr><tr><td>13. Клетчатая бумага</td><td>71</td></tr><tr><td>14. Равносторонние треугольники</td><td>77</td></tr><tr><td>15. Средняя линия треугольника</td><td>80</td></tr><tr><td>16. Теорема Фалеса</td><td>84</td></tr><tr><td>17. Трапеция</td><td>91</td></tr><tr><td>18. Простейшие неравенства</td><td>95</td></tr><tr><td>19. Осевая симметрия</td><td>99</td></tr><tr><td>20. Центральная симметрия</td><td>111</td></tr><tr><td>21. Углы в окружности</td><td>115</td></tr><tr><td>22. Касательные</td><td>125</td></tr><tr><td>23. Две окружности</td><td>131</td></tr><tr><td>24. Описанная окружность. Серединные перпендикуляры</td><td>139</td></tr><tr><td>25. Вписанная окружность. Биссектрисы</td><td>143</td></tr><tr><td>26. Вписанные и описанные четырёхугольники</td><td>146</td></tr><tr><td>27. Площади</td><td>152</td></tr><tr><td>28. Теорема Пифагора</td><td>169</td></tr><tr><td>29. Подобие</td><td>180</td></tr><tr><td>30. Координаты на прямой</td><td>197</td></tr><tr><td>31. Координаты на плоскости</td><td>202</td></tr><tr><td>32. Общая мера</td><td>210</td></tr><tr><td>33. Тригонометрия</td><td>222</td></tr><tr><td>Послесловие</td><td>234</td></tr></table>
# Предисловие

Дорогие читатели-школьники и их родители!<fnref n="1" />

В этой книжке собрано более 750 задач по школьному курсу планиметрии, по большей части несложных (но есть и трудные). В их число входят основные теоремы этого курса. Решая задачи, вы познакомитесь с основными фактами и методами планиметрии (или вспомните их ещё раз, если уже проходили в школе).

Задачи разбиты по темам. Перед каждым разделом мы кратко напоминаем основные определения и факты, которые могут понадобиться при решении задач. Большая часть задач снабжена решениями. Тем не менее мы советуем не торопиться читать решение. Лучше сначала попробовать решить задачу (или хотя бы как следует осознать её условие). Тогда решения (иногда довольно краткие) будет легче прочесть и понять.

В книжке также приводятся задачи для самостоятельного решения. Многие из них снабжены краткими указаниями.

Желаем успехов!

<footnote n="1">¹Обсуждение принципов отбора задач для этого сборника, рассчитанное на преподавателей математики, вынесено в послесловие.</footnote>
# 1. Измерение отрезков

Две геометрические фигуры (отрезки, углы, треугольники и др.) считаются равными, если их можно наложить друг на друга так, чтобы они совпали.

Отрезки равны, если равны их длины.

Если точка B лежит на отрезке AC, то $AB + BC = AC$.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

1. На прямой выбраны три точки A, B и C, причём $AB = 3$, $BC = 5$. Чему может быть равно AC? (Есть разные возможности.)

▷ Если точка B находится между точками A и C, то это расстояние равно $3+5=8$. Но возможен и другой случай, когда B находится вне отрезка AC. Нарисовав картинку, убеждаемся, что в этом случае расстояние равно $5-3=2$. ▽

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

2. На прямой выбраны четыре точки A, B, C, D, причём $AB = 1$, $BC = 2$, $CD = 4$. Чему может быть равно AD? Укажите все возможности.

▷ Сначала посмотрим, чему может быть равно расстояние между точками A и C. Как и в предыдущей задаче, тут есть две возможности (точка B внутри AC или вне) — и получается либо 3, либо 1. Теперь мы получаем две задачи: в одной из них $AC = 3$ и $CD = 4$, в другой — $AC = 1$, $CD = 4$. Каждая имеет по два ответа, так что всего ответов получается четыре: $4+3, 4-3, 4+1$ и $4-1$. Ответ: расстояние AD может равняться 1, 3, 5 или 7. ▽

3. На деревянной линейке отмечены три деления: 0, 7 и 11 сантиметров. Как отложить с её помощью отрезок в (а) 8 см; (б) 5 см?

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

▷ Используя деления 7 и 11, легко отложить 4 сантиметра. Сделав это дважды, получим отрезок в 8 сантиметров. Отложить 5 сантиметров немного сложнее: умея откладывать 8 и 7, можно отложить 1 сантиметр. Сделав это 5 раз, получаем 5 сантиметров. ▽
Можно сделать иначе: мы умеем откладывать
4 см и 1 см, так что можно отложить их подряд
и получить 5 см. Ещё один способ: $5 = 3 \cdot 11 - 4 \cdot 7$,
так что достаточно отложить 3 раза по 11 см и по-
том 4 раза по 7 в другую сторону. (Преимущество
приведённого сначала способа в том, что он годится
для любого целого числа сантиметров.)

4. Точка В лежит на отрезке AC длиной 5. Найдите расстояние между серединами отрезков AB и BC.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

▷ Точка B можно выбирать по-разному. Напри-
мер, пусть она делит отрезок AC на части в 1 см
и 4 см. Середины этих частей (отрезков AB и BC)
отстоят от B на 0,5 см и на 2 сантиметра, всего по-
лучается 2,5 см. Попробовав другие варианты рас-
положения точки B, можно убедиться, что во всех
случаях расстояние между серединами отрезков AB
и BC равно 2,5 см. Почему? Дело в том, что это
расстояние составлено из половин отрезков AB и
BC. Вместе эти отрезки состаляют 5 см, значит,
их половины вместе составят 2,5 см. ◁

5. В деревне у прямой дороги стоят две избы А и В на расстоянии 50 метров друг от друга. В какой точке дороги надо построить колодец, чтобы сумма расстояний от колодца до изб была бы наименьшей?

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

▷ Если действовать по справедливости, то надо построить колодец посередине между избами: тогда до каждой будет 25 метров, а в сумме 50. Однако с точки зрения условия задачи любая точка X на участке дороги между А и В одинаково хороша, поскольку в сумме отрезки AX и XB составляют 50 метров. (Например, если построить колодец в 10 метрах от А, то расстояния будут 10 и 40 метров, то есть 50 в сумме.) ◁

$$
\frac{\text{A} \quad \text{X} \quad \text{B}}{\text{A} - \text{X} + \text{B}} \quad \text{AX + XB = AB}
$$

6. Та же задача для трёх и четырёх изб, стоящих
вдоль дороги с интервалами в 50 метров: где надо
строить колодец в этом случае?

▷ Для трёх изб: если среднюю избу не учиты-
вать, то все точки на отрезке между крайними изба-
<figure><img src="image_8.png" /></figure>

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

ми были бы одинаково хороши. Значит, наилучшее положение колодца для трёх изб — у средней избы.

Для четырёх изб (обозначим их А, B, C, D): будем отдельно рассматривать две крайние избы (А, D) и отдельно две средние (B, C). В первом случае все точки отрезка AD одинаково хороши: сумма расстояний до А и D будет 150 метров. Во втором наименьшую сумму длин (50 метров) дают точки меньшего отрезка ВС. Ответ: наименьшая сумма длин (200 метров) достигается для всех точек из отрезка ВС. ◁

7. В деревне А живёт 100 школьников, в деревне В живёт 50 школьников. Расстояние между деревнями 3 километра. В какой точке дороги из А в В надо построить школу, чтобы суммарное расстояние, проходимое всеми школьниками, было как можно меньше?

▷ Здесь кажется справедливым построить школу ближе к А, так как там больше школьников. Но насколько ближе? Иногда предлагают построить школу в километре от А и в двух от В (вдвое больше школьников — вдвое ближе школа). Но с точки зрения поставленной задачи (суммарное расстояние как можно меньше) этот вариант не наилучший — лучше всего построить школу прямо в А.

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

В этом можно убедиться так: если расстояния от школы до А и В равны х и 3 – x соответственно, то суммарное расстояние, проходимое всеми школьниками, равно $100x + 50(3 - x) = 100x + 150 - 50x = 50x + 150$, так что оно наименьшее (и равно 150 км), когда $x = 0$. ◁

То же самое можно объяснить и без формул: каждый метр сдвига школы в сторону А сокращает на метр путь для 100 школьников и удлиняет на метр путь для 50 школьников, то есть суммарный путь уменьшается на 50 метров.

Можно сказать ещё и так: разделим всех школьников А произвольным образом на две группы по 50 человек. Если бы второй группы не было, то было бы всё равно, где строить школу (задача о колод-
це) — а с точки зрения второй группы лучше всего
строить её в А.

Ещё несколько задач

8. На прямой даны точки A, B и C. Известно, что $AB = 5$, а отрезок AC длиннее BC на 1. Найдите длины отрезков AC и BC. Может ли точка B лежать вне AC?

9. На прямой даны точки A, B и C. Известно, что $AB = 5$, а отрезок AC длиннее BC в полтора раза. Найдите длины отрезков AC и BC. (Укажите все возможности.)

10. Точка B делит отрезок AC в отношении 2 : 1. Точка D делит отрезок AB в отношении 3 : 2. В каком отношении делит точка D отрезок AC?

11. Точки C, D и E делят отрезок AB в отношении 1 : 2, 1 : 3 и 1 : 4 соответственно. В каком отношении точка D делит отрезок CE?

12. На стороне AB треугольника АВС взята произвольная точка X. Затем на стороне AC взята точка X', для которой $AX = AX'$. После этого на стороне BC взята точка X'', для которой $CX' = CX''$ и так далее (см. рисунок). Докажите, что после нескольких раз мы попадём в исходную точку X.

13. Шесть машин едут по дороге из города А в город Б. В данный момент они находятся в разных точках дороги, но известно, что суммарное расстояние, которое проехали (считая от А) все машины — 75 километров, а до Б осталось им ехать (тоже в сумме) 45 километров. Какова длина дороги из А в Б?

<figure><img src="image_11.png" /></figure>
## 2. Измерение углов

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

Углы равны, если равны их величины.

Если луч ОВ делит угол AOC на две части, то угол AOC равен сумме его частей AOB и BOC. (запись: $∠AOC = ∠AOB + ∠BOC$).

Развёрнутый угол (угол между двумя половинами одной прямой) считается равным 180° градусам (180°). Другими словами, градус — это 1/180 часть развёрнутого угла.

Прямой угол — половина развёрнутого, т. е. 90°.

Углы, меньшие прямого, называют острыми, большие прямого — тупыми.

14. Имеется деревянный угольник с углом в 40°. Как построить с его помощью угол (а) 80°; (б) 160°; (в) 20°?

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

▷ Построить угол в 80° просто — надо отложить дважды угол по 40°. Дальше получатся углы в 120° и в 160° (который нам нужен). Заметим теперь, что 20° — это дополнение 160° до развёрнутого угла, так что если мы продолжим одну из сторон угла в 160° за его вершину, то получим искомый угол в 20°. ◁

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

15. Один из четырёх углов, образующихся при пересечении двух прямых, равен 41°. Чему равны три остальных угла?

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

▷ Соседние углы дополняют угол в 41° до развёрнутого, который составляет 180°, поэтому они содержат $180° - 41° = 139°$. В свою очередь, чтобы дополнить угол в 139° до развёрнутого, нужен угол в 180° - 139° = 41°. Таким образом, два угла из трёх равны 139°, а один — 41°. ◁

16. В Париже в течение долгого времени хранился эталон метра (пока метр не стали определять через скорость света и единицы времени), однако эталона градуса там никогда не было. Как вы думаете, почему?
▷ Специального эталона не нужно: любая прямая может считаться эталоном развёрнутого угла. ◁

При пересечении двух прямых образуются чётыре угла. Если два из них имеют общую сторону, их называют смежными, если не имеют — вертикальными.

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

17. Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол (180°). Выведите отсюда, что вертикальные углы равны.

▷ Рассуждаем как в задаче 15 — каждый из двух вертикальных углов дополняет смежный с ни-ми угол до развёрнутого, значит, они равны. ◁

18. На сколько градусов поворачивается за минуту минутная стрелка? Часовая стрелка?

▷ За час минутная стрелка делает целый оборот, за полчаса она поворачивается на 180° (развёрнутый угол). Полчаса — это 30 минут, значит, за минуту она поворачивается на 1/30 часть угла в 180°, то есть на 180/30 = 6°.

Часовая стрелка за час проходит 1/12 часть круга, то есть движется в 12 раз медленнее минутной. За минуту она поворачивается на 0,5°. ◁

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

19. Какой угол образуют минутная и часовая стрелки ровно в 3 часа 05 минут?

▷ За пять минут, прошедших после 3 часов, минутная стрелка повернётся на 30°. Но для правильного ответа надо учесть, что повернётся и часовая стрелка. На сколько? За час она поворачивается на одно часовое деление циферблата, то есть на те же 30°. Значит, за 5 минут она повернётся на 1/12 долю от 30°, то есть на 2,5°. Теперь легко получить ответ: из начального угла в 90° надо вычесть 30° и прибавить 2,5°, получится 62,5°. ◁

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

20. Из точки O выходят лучи OA, OB, OC, OD (см. рисунок). Известно, что ∠AOC = ∠BOD. Докажите, что ∠AOB = ∠COD.
<figure><img src="image_21.png" /></figure>

▷ Если из равных величин вычесть одно и то же — останутся равные. Здесь так и происходит: из равных углов AOC и BOD мы вычитаем их пересечение — угол BOC. Остаются как раз углы AOB и COD. ◁

Луч, делящий угол пополам, называется его биссектрисой.

Два луча (или две прямые), образующие прямой угол, называют перпендикулярными.

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

21. Докажите, что биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны. Докажите, что биссектрисы двух вертикальных углов лежат на одной прямой.

▷ Рассмотрим два смежных угла, каждый из которых разделён биссектрисой на две равные части. Таким образом, развёрнутый угол разделён на чётыре части — две равные половины одного угла и две равные половины другого. Если из этих четырёх частей оставить только две (по одной из каждой пары равных), то они составят половину развёрнутого угла, то есть прямой угол. Первая часть задачи решена.

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

Пусть теперь даны две прямые, в пересечении которых получается четыре угла. Нам надо достать, что биссектрисы противоположных (вертикальных) углов лежат на одной прямой, то есть продолжают друг друга. Проведём биссектрисы всех чётырёх углов. Мы уже видели, что соседние из них образуют прямой угол. Два прямых угла в сумме дают развёрнутый, так что противоположные биссектрисы действительно лежат на одной прямой. ◁

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

22. Пять лучей, выходящих из одной точки, разрезают плоскость на пять равных углов. Найдите величину этих углов.

▷ В сумме эти пять углов составляют полный круг, то есть два развёрнутых угла, то есть $2 \times 180° = 360°$. Каждый из них составляет одну пятую от 360°, то есть $360°/5 = 72°$. ◁

Эта задача и её решение требуют некоторых комментариев. Дело в том, что разные учебники геометрии по-раз-
ному трактуют понятие угла. Можно считать, что угол — это геометрическая фигура, составленная из двух лучей. А можно считать, что угол — это не сами лучи, а часть плоскости, между ними содержащаяся. При таком понимании два луча с общей вершиной определяют два угла: они получаются, если сделать разрезы по сторонам. Один из этих углов меньше развёрнутого, а другой больше.

При первом подходе максимально возможная величина угла — это 180° (развёрнутый угол), при втором — 360° (полный круг, который можно условно считать дополнением к углу в 0°).

Какое отношение это имеет к предыдущей задаче? Вот какое: если мы разрешаем углы больше 180°, то всё Proceed — угол в 360° разрезан на 5 равных частей, сумма которых равна 360°, и т. д. Если же мы не хотим говорить об углах, больших 180°, то это рассуждение не годится и надо действовать чуть сложнее. Проведём какую-нибудь прямую через заданную точку, которая разделит два из пяти углов на части. Всего получится 7 частей. В сумме эти части дают столько же, сколько наши пять углов (каждый разрезанный угол равен сумме двух его частей). С другой стороны, эти части складываются в два развёрнутых угла, поэтому в сумме дают $2 \times 180°$.

23. Из точки выходят четыре луча, делящие плоскость на четыре угла. При этом оказалось, что (считая против часовой стрелки) первый угол равен третьему, а второй — четвёртому. Докажите, что лучи составляют две прямые (продолжая друг друга).

▷ Обозначим первый и третий углы (они равны) через $\alpha$, а второй и четвёртый — через $\beta$. Тогда $\alpha + \beta + \alpha + \beta = 360°$, то есть $2\alpha + 2\beta = 360°$, поэтому $2(\alpha + \beta) = 360°$, и $\alpha + \beta = 180°$. А рядом находящиеся углы, в сумме дающие 180°, составляют развёрнутый угол. <

## Ещё несколько задач

24. Имеется деревянный угольник с углом в 19°. Как построить с его помощью угол в 1°? (Что будет, если откладывать угол в 19°, пока не получится полный круг?)

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

<figure><img src="image_27.png" /></figure>
25. Прямой угол разделен двумя лучами на три угла. Один из них на 10° больше другого и на 10° меньше третьего. Найдите величины углов. [Ответ: 30°, 20°, 40°.]

26. Прямой угол разделен двумя лучами на три угла. Один из них в два раза меньше другого и в три раза меньше третьего. Найдите величины углов. [Ответ: 15°, 30°, 45°.]

27. В полдень минутся и часовая стрелки совпа- ли. Когда они совпадут в следующий раз? [Ответ: Через 12/11 часа.]

28. Сколько раз в течение суток часовая и минут- ная стрелки совпадают? Сколько раз они образуют развёрнутый угол? прямой угол?

29. Через точку на плоскости провели 10 пря- мых, после чего плоскость разрезали по этим пря- мым на углы. Докажите, что хотя бы один из этих углов меньше 20°. (Всего 20 лучей, 20 углов по 20° дают 400° > 360°.)

30. Из одной точки выходят четыре луча OA, OB, OC, OD (перечисленные по часовой стрел- ке), которые делят плоскость на четыре угла, три из которых таковы: $∠AOB = 45°$, $∠BOC = 90°$, $∠COD = 105°$. Найдите четвёртый угол AOD. Най- дите углы AOC и BOD. [Ответ: 120°, 135°, 165° (если брать угол, меньший 180°; если складывать BOC и COD, то получится угол в 195°, больший развёрнутого).]

31. Из одной точки проведены три луча OA, OB и OC. Известно, что $∠AOB = 10°$, $∠BOC = 20°$. Чему может быть равен угол AOC? Укажите все возможности. [Ответ: 10°, 30°.]

32. Из одной точки проведены четыре луча OA, OB, OC и OD. Известно, что $∠AOB = 10°$, $∠BOC = 20°$ и $∠COD = 40°$. Чему может быть равен угол AOD? Укажите все возможности. [Ответ: 10°, 30°, 50°, 70°.]
33. Угол АОВ равен 100°. Луч ОС проведён так, что угол АОС на 10° больше угла ВОС. Чему равны углы АОС и ВОС? (Укажите все возможности.) [Ответ: 55°, 45°; другой вариант — 135°, 125°.]

34. Угол АОВ равен 100°. Луч ОС проведён так, что угол АОС в полтора раза больше угла ВОС. Чему равны углы АОС и ВОС? (Укажите все возможности.) [Ответ: 60°, 40°; другой вариант — 156°, 104°.]

35. Из точки провели четыре луча, делящих плоскость на четыре угла, которые пронумеровали по часовой стрелке. Докажите, что если первый и третий углы равны, то биссектрисы второго и четвёртого лежат на одной прямой.

36. Из точки на листе бумаги провели четыре луча, делящих плоскость на четыре угла. Затем лист разрезали по биссектрисам этих углов на четыре части (которые тоже являются углами). Докажите, что два из этих углов образуют в сумме 180°, и два остальных — тоже.

37. Прямой угол разделён на два. Найдите угол между биссектрисами получившихся углов.

38. Из бумаги вырезано много одинаковых углов, величина которых составляет целое число градусов. Известно, что 21 такой угол можно приложить друг к другу, и они ещё не заполнят всей плоскости, а 22 уже не поместятся. Найдите величину углов. [Ответ: $360/21 > x > 360/22$; $x = 17°$.]

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

39. Можно ли нарисовать треугольник и точку внутри него, из которой любая сторона видна под прямым углом? ($3 \times 90 = 270 < 360$.)

40. Пчелиные соты состоят из примыкающих друг к другу одинаковых шестиугольников, в которых все углы равны. Чему равны эти углы?

41. Из точки O на плоскости выходят четыре луча OA, OB, OC и OD (перечислены против側овой стрелки). Известно, что сумма углов AOB и

<figure><img src="image_29.png" /></figure>
COD равна 180°. Докажите, что биссектрисы углов АОС и BOD перпендикулярны.

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

42. Кусок бумаги с прямым краем перегнули по прямой и сплющили (см. рисунок). Как найти угол β, зная угол α?

43. Вы хотите нарисовать в тетрадке прямой угол, но забыли угольник дома. Как это можно сделать? [Ответ: Взять листок бумаги с прямым краем и сложить его пополам; если прямого края нет, можно сначала сложить сам листок вдвое и потом вчетверо.]

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

44. Клочок бумаги согнули (верхний рисунок) и сплющили, прижав к столу. Потом развернули и отметили линии сгиба — четыре луча, которые образуют четыре угла (нижний рисунок). Оказалось, что два из этих углов (соседние) равны 57° и 83°. Чему равны остальные два угла?

<figure><img src="image_32.png" /></figure>
### 3. Неравенство треугольника

Если точка B не лежит на отрезке AC, то расстояние AC меньше суммы расстояний AB и BC.

45. Докажите, что в треугольнике любая сторона меньше суммы двух других сторон. (Треугольник — фигура из трёх точек, не лежащих на одной прямой, соединённых отрезками. Точки эти называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника.)

▷ На самом деле эта задача всего-навсего понторяет приведённое выше утверждение: если A, B и C — вершины треугольника, AC — одна из его сторон, а AB и BC — две другие стороны, то как раз и надо доказать, что $AC < AB + BC$. (Точка B не лежит на отрезке AC, так как точки A, B и C не лежат на одной прямой.) ◁

Поэтому приведённое выше неравенство ($AC < AB + BC$) так и называют — неравенство треугольника.

Неравенство треугольника можно сформулировать и так: $AB + BC \ge AC$, причём равенство достигается в том и только в том случае, когда точка B лежит на отрезке AC.

46. Расстояние AB равно 5, а расстояние BC равно 3. Может ли расстояние AC быть равно 9? Может ли расстояние AC быть равно 1?

▷ На оба вопроса ответ отрицательный. В первом случае это невозможно, так как AC не может быть больше $AB + BC = 5 + 3 = 8$. Во втором случае дело немного сложнее, и надо применить неравенство треугольника к тем же точкам в другом порядке. Если $AC = 1$, то получится, что $AC + CB = 3 + 1 = 4$; между тем AB = 5. Поэтому, что $AB > AC + CB$, чего не может быть (неравенство треугольника, только точки переименованы). ◁

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

прямой путь ($A \to C$)

короче непрямого

($A \to B \to C$)

<figure><img src="image_34.png" /></figure>
<figure><img src="image_35.png" /></figure>

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

47. На плоскости даны четыре точки A, B, C и D. Докажите, что $AD \le AB + BC + CD$.

▷ Это неравенство можно было бы называть неравенством четырёхугольника и прочесть так: сторона четырёхугольника не больше суммы трёх других его сторон. (Или так: ломаный путь ABCD не короче прямого AD.) Оно является следствием неравенства треугольника, и чтобы увидеть это, достаточно провести в четырёхугольнике диагональ. В самом деле, если в сумме $AB + BC + CD$ заменить два первых слагаемых на AC, то по неравенству треугольника сумма уменьшится (или останется той же, если точка B лежит на отрезке AC). Остаётся второй раз применить неравенство треугольника и заметить, что $AC + CD \ge AD$.

Повторим наше рассуждение более формально. По неравенству треугольника, $AB + BC \ge \frac{3}{2}AC$. Прибавляя к обеим частям CD, видим, что $AB + BC + CD \ge \frac{5}{2}AC + CD$. С другой стороны, по неравенству треугольника $AC + CD \ge AD$. ◁

48. Докажите, что в треугольнике любая сторона меньше половины периметра (суммы сторон).

▷ Здесь удобно обозначить стороны треугольника буквами a, b и c. Тогда полупериметр будет $(a+b+c)/2$ и нам надо доказать, что сторона треугольника (пусть a) меньше, то есть что

$$a < \frac{a+b+c}{2}.$$

Удобнее умножить обе части неравенства на 2 и доказывать, что $2a < a + b + c$. А это понятно, по скольку $a < b + c$ по неравенству треугольника и остаётся добавить a к обеим частям. ◁

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

49. Докажите, что в четырёхугольнике любая диагональ меньше половины периметра (суммы четырёх сторон).

▷ Пусть диагональ четырёхугольника со сторонами a, b, c, d равна х (см. рисунок). Она разбивает его на два треугольника. Запишем два неравенства
для этих треугольников:

$$x < a + b; x < c + d.$$

Если их сложить, получится, что $2x < a+b+c+d$. Остаётся поделить обе части пополам. ◁

**50.** Двухзванный шарнир состоит из звеньев длиной 5 и 3 см, концы которых соединены так, что могут вращаться друг относительно друга (см. рисунок). Какое расстояние (минимальное и максимальное) может быть между другими концами?

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

▷ Вопрос можно сформулировать так: в каких пределах может меняться расстояние АС, если АВ = 5, BC = 3? Неравенство треугольника говорит, что АС не может быть больше АВ + BC = 5 + 3 = 8 см. Это значение достигается, если точки А, B, C лежат на одной прямой (в указанном порядке). Итак, максимальное значение АС есть 8. С другой стороны, расстояние АС не может быть меньше 2, так как в этом случае АС + СВ было бы меньше 2 + 3 = 5, что противоречит неравенству АС + СВ ≥ АВ. Минимальное значение АС = 2 достигается, когда С лежит на отрезке АВ. ◁

Наглядно это можно пояснить так: если тянуть за концы шарнира, стараясь максимально развести их друг от друга, то он полностью раскроется, отрезки АВ и BC будут продолжать друг друга и расстояние АС будет равно 8. Напротив, если мы пытаемся приблизить С к А насколько возможно, то С будет на отрезке АВ. При этом АС будет равно 2.

**51.** Четыре дома А, B, C и D расположены в вершинах четырёхугольника (см. рисунок). Где нужно вырыть колодец X, чтобы сумма расстояний от него до четырёх домов была наименьшей?

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

▷ Если заботиться только о жителях домов А и C, забыв об интересах жителей В и D, то оптимальными будут точки X на отрезке АС (и с точки зрения суммы AX + XC они все одинаково хороши). Аналогичным образом, с точки зрения суммы
<figure><img src="image_40.png" /></figure>

$BX + XD$ оптимальными являются точки отрезка $BD$. Тем самым точка пересечения $AC$ и $BD$ является оптимальной во всех отношениях: для неё обе суммы $AX+XC$ и $BX+XD$ принимают минимально возможные значения, и, следовательно, общая сумма $AX + BX + CX + DX$ также минимальна. ◁

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

52. Внутри треугольника $ABC$ взята точка $D$. Докажите, что $AD + DC \le AB + BC$.

▷ Чтобы решить эту задачу, сделаем, как говорят, дополнительное построение: продолжим отрезок $AD$ за точку $D$ до пересечения со стороной $BC$. Назовём точку пересечения $E$. Теперь возьмём $AE + EC$ в качестве промежуточной величины для сравнения. Путь $A-B-C$ длиннее пути $A-E-C$, ведь участок $E-C$ у них общий, а $AB + BE$ длиннее $AE$ по неравенству треугольника. Далее, путь $A-E-C$ длиннее пути $A-D-C$, поскольку участок $A-D$ у них общий, а $DE + EC > DC$. ◁

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

53. Докажите, что длина ломаной линии (непрерывной линии, составленой из нескольких отрезков) не меньше расстояния между её концами. (Таким образом, прямой путь всегда короче непрямого.)

▷ Будем спрямлять наш путь постепенно. Возьмём какой-то участок пути из двух звеньев $PQ$ и $QR$ и заменим участок $P-Q-R$ на отрезок $P-R$. По неравенству треугольника путь сократится, а количество звеньев ломаной уменьшится на 1. После нескольких таких сокращений мы и получим прямой путь. ◁

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

54. Многоугольник разрезали по прямой на две части. Докажите, что периметр каждой из частей меньше периметра исходного многоугольника. (Другими словами, если отрезать от бумажного многоугольника кусок, сделав прямой разрез, то его периметр уменьшится.)

▷ Периметр каждой из частей отличается от полного периметра исходного многоугольника тем, что ломаный участок пути заменён на прямой. От этого периметр может только уменьшиться. ◁
Эта задача требует некоторого пояснения. Вообще говоря, прямая может делить многоугольник не на две части, а на три или даже больше (см. рисунок). Такие многоугольники называют невыпуклыми. Но и в этом случае периметр каждой части (по тем же причинам) не больше периметра исходного многоугольника.

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

Можно по-разному объяснять, что такое выпуклый многоугольник. Вот несколько вариантов: многоугольник выпуклый, если

* всякий отрезок, соединяющий две точки внутри многоугольника, целиком лежит в нём;

* многоугольник лежит по одну сторону от любой прямой, проведённой по его стороне;

* все углы в нём меньше 180°;

* его можно вырезать из бумаги, разрезая её по прямым.

Интуитивно ясно, что все эти свойства описывают одни и те же многоугольники (как говорят математики, эквиваленты), но строго доказать это (и даже сформулировать) совсем не просто.

55. Один выпуклый многоугольник лежит внутри другого. Докажите, что периметр внутреннего многоугольника меньше периметра внешнего.

▷ Внутренний многоугольник можно вырезать из внешнего, проводя разрезы по сторонам. Каждый из таких разрезов отрезает от остающегося многоугольника кусок и (как мы видели в задаче 54) уменьшает периметр, пока в итоге не получится внутренний многоугольник. ▷

## Ещё несколько задач

56. Может ли в треугольнике сторона быть вдвое больше другой стороны и вдвое меньше третьей? [Ответ: $x/2 + x < 2x$, нет.]

57. Трёхзвенный шарник состоит из звеньев длиной 2, 5 и 8 см. Какое расстояние (минимальное и максимальное) может быть между его концами? [Ответ: 1, 15.]
58. Докажите, что в четырёхгольнике сумма диагоналей меньше периметра (суммы сторон).

59. Внутри треугольника АВС взята точка X. Докажите, что сумма расстояний ХА + ХВ + ХС не меньше половины периметра треугольника. (Воспользуйтесь неравенством ХА + ХВ ≥ АВ и аналогичными.)

60. Один выпуклый четырёхгольник находится внутри другого. Может ли сумма диагоналей внутреннего четырёхгольника быть больше суммы диагоналей внешнего? (Может, особенно если у внешнего одна диагональ длинная, а другая — короткая.)

61. Утверждение задачи 52 является простым следствием задачи 54. Почему? (Меньший треугольник можно получить из большего, отрезав кусок дважды.)

62. Может ли прямая пересекать все стороны невыпуклого 4-угольника? [Ответ: Да.]

63. Может ли прямая пересекать все стороны невыпуклого 5-угольника? (Нет: мы не можем пять раз перейти прямую канаву и вернуться в исходную точку.)

64. Две черепахи, ведущая и ведомая, ползут по плоскости из А в B. Они ползут по очереди: сначала ведущая проползает какое-то расстояние, потом ведомая проползает какое-то расстояние по прямой в сторону ведущей, потом ведущая снова ползёт куда-то, затем ведомая ползёт в сторону ведущей, и так далее. Наконец, обе они доползают до B. Покажите, что ведомая черепаха проползла не больше, чем ведущая. (Величина (путь первой черепахи) — (путь второй черепахи) — (расстояние между черепахами) может только увеличиваться.)

Утверждение этой задачи сформулировал (без доказательства) Толстой («Война и мир», том 4): «...ещё другая причина представлялась Кутузову для замедления движения войск и для выжидания. Цель русских войск была — следование за французами. Путь французов был неизвестно».

<figure><img src="image_45.png" /></figure>
стен, и потому, чем ближе следовали наши войска по пя-
там французов, тем больше они проходили расстояния.
Только следуя в некотором расстоянии, можно было по
кратчайшему пути перерезывать зигзаги, которые делали
французы.»

65. По одну сторону от прямой расположены две точки А и В на разных расстояниях от неё. Как найти на прямой точку Х, для которой разность между расстояниями до этих двух точек максимальна?
### 4. Равные фигуры

Две геометрические фигуры (треугольники, четырёхугольники и др.) считаются равными, если они имеют одинаковую форму и размер, то есть если они могут быть совмещены друг с другом наложением. При этом фигуру разрешается переворачивать, так что, например, буквы R и Я считаются равными.

**66.** Уголок, составленный из 3 квадратов, можно разрезать на 2, 3 и на 4 равные части. Как это сделать?

▷ На две равные части разрезать легко: достаточно соединить углы (см. рисунок). Ещё проще разрезать на три равные части — на три квадратика.

Сложнее разрезать уголок на 4 равные части, но и это возможно: получится четыре уголка поменьше (см. рисунок). ◁

Две фигуры, равные третьей, равны между собой.

**67.** Как с помощью этого свойства проверить равенство фигур на двух рисунках в книжке (не вырезая фигур из книжки)?

▷ Срисовать один рисунок на прозрачную плёнку (кальку) и сравнить с другим. ◁

**68.** Разрежьте треугольник на рисунке на 4 равных треугольника.

▷ Достаточно соединить между собой середины его сторон. ◁

**69.** Разрежьте квадрат на рисунке на четыре равные части так, чтобы каждая из них содержала по одному заштрихованному квадратику.

▷ См. рисунок. ◁

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

<figure><img src="image_52.png" /></figure>
Ещё несколько задач

70. Разрежьте фигуру на рисунке на две равные части. А как разрезать её на три равные части? (Линии разреза не обязаны проходить по сторонам клеток.)

71. Символ инь-ян состоит из двух равных фигур — белой и чёрной. Вместе они образуют круг. Как разрезать одну из этих фигур на 7 равных частей? (Если вы догадались, как это сделать, то легко разрежете её на любое число равных частей.)

72. Некоторые фигуры можно положить на своё место несколькими способами (например, треугольник на рис. (а) можно оставить как есть, а можно повернуть вокруг вертикальной оси — всего два способа), некоторые — только одним (b). Сколькими способами можно положить на место фигуры рисунков (c), (d), (e), (f)?

73. Квадрат можно разрезать на две равные части разными способами. Два способа показаны на рисунке (по диагонали и по линии, соединяющей середины противоположных сторон). А можно ли разрезать квадрат на две равные части прямой, не проходящей ни через вершины, ни через середины сторон?

74. Проведите на рисунке прямую, которая разделит на две равные части и квадрат, и круг.

75. Разрежьте фигуру на рисунке на две равные части.

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>(a)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>(b)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>(c)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>(d)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>(e)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>(f)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_61.png" /></figure>

<figure><img src="image_62.png" /></figure>

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

<figure><img src="image_64.png" /></figure>
## 5. Признаки равенства треугольников

В равных треугольниках равны (соответственные) стороны и углы.

Чтобы убедиться в равенстве двух треугольников, не надо сверять все стороны и углы — можно воспользоваться одним из признаков равенства треугольников.

**Первый признак:** по двум сторонам и углу между ними. Треугольники ABC и $A_1B_1C_1$ равны, если $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

**Второй признак:** по стороне и примыкающим к ней двум углам. Треугольники ABC и $A_1B_1C_1$ равны, если $AB = A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$.

**Третий признак:** по трём сторонам. Треугольники ABC и $A_1B_1C_1$ равны, если $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $BC = B_1C_1$.

На рисунках показаны те элементы треугольника (стороны и углы), которые нужно сверять, чтобы воспользоваться этими признаками равенства треугольников.

Наглядное объяснение, почему эти признаки верны, совсем просто для первого и второго признаков и немного сложнее для третьего.

**Первый признак.** По предположению углы А и $A_1$ равны. Совместим их друг с другом так, чтобы отрезок AB пошёл вдоль $A_1B_1$, а AC — вдоль $A_1C_1$. Поскольку $AB = A_1B_1$, то точки В и $B_1$ при таком наложении совпадут. Аналогично точки С и $C_1$ тоже совпадут. Значит, все три вершины треугольников совместятся.

**Второй признак.** Наложим сторону AB на равную ей сторону $A_1B_1$, причём так, чтобы точка А наложилась на $A_1$, точка В наложилась на $B_1$, а точки С и $C_1$ оказались по одну сторону от AB. Тогда в силу равенства углов А и $A_1$ прямая AC наложится на $A_1C_1$ (хотя мы пока не знаем, совместятся ли точки С и $C_1$). По аналогичным причинам прямая BC наложится на $B_1C_1$. Значит, точка C, в которой пересекаются прямые AC и BC, наложится на точку $C_1$, и треугольники совместятся.

<figure><img src="image_65.png" /></figure>

<figure><img src="image_66.png" /></figure>

<figure><img src="image_67.png" /></figure>

<figure><img src="image_68.png" /></figure>

<figure><img src="image_69.png" /></figure>
Для третьего признака нам понадобится вспомогательное замечание: если в треугольнике две стороны равны, то и противолежащие им углы равны. (Такой треугольник называют равнобедренным.) В самом деле, пусть в треугольнике ABC стороны AB и AC равны. Перевернём его так, чтобы точка A наложилась на sięby, но сторона AB пошла по AC и наоборот. Поскольку AB = AC, то точка B наложится на точку C и наоборот. Значит, угол B совместится с углом C, то есть они равны.

Теперь уже можно перейти к третьему признаку равенства треугольников. Приложим треугольники ABC и $A_1B_1C_1$ друг к другу сторонами AB и $A_1B_1$ так, чтобы C и $C_1$ оказались по разные стороны. Треугольники $ACC_1$ и $BC_1$ равнобедренные, поэтому одинаково обозначенные на рисунке углы равны. Сложив их, получим, что углы C и $C_1$ равны, остаётся воспользоваться первым признаком.

Эти объяснения не являются «строгим доказательством», как говорят математики, но тем не менее довольно убедительны.

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

<figure><img src="image_71.png" /></figure>

**76.** В четырёхугольнике точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам. Докажите, что противоположные стороны этого четырехугольника равны.

▷ Пусть ABCD — данный четырёхугольник, а O — точка пересечения его диагоналей. Отметим на рисунке пары равных по условию отрезков — одну пару одинарной чёрточкой, другую — двойной. Кроме того, отметим вертикальные (и, следовательно, равные) углы AOB и COD. Теперь есть все условия для применения первого признака равенства к треугольникам AOB и COD (две стороны и угол между ними). Из равенства этих треугольников заключаем, что AB = CD. Рассмотрев два других треугольника (каких?), аналогичным образом убеждаемся, что BC = AD. <

<figure><img src="image_72.png" /></figure>

**77.** На продолжении стороны AB треугольника ABC за точку A взята точка D, причём AD = AB. На продолжении стороны AC треугольника ABC за точку A взята точка E, причём AE = AC. Найдите расстояние между точками D и E, если BC = 5.

<figure><img src="image_73.png" /></figure>
▷ Эта задача решается почти так же, как предыдущая. По условию в треугольниках **АВС** и **АDE** (в котором надо провести ещё сторону **ED**) равны по две стороны: $АВ = АD, АС = АE$. Углы **BAC** и **DAE** являются вертикальными, и потому тоже равны. По первому признаку равны и треугольники, так что $ED = BC = 5$. ◁

<figure><img src="image_74.png" /></figure>

78. В треугольнике **АВС** медиана **AM** (отрезок, соединяющий вершину **A** с серединой **M** стороны **BC**), продолжена за точку **M** на расстояние, равное **AM**. Найдите расстояние от полученной точки до точек **B** и **C**, если стороны **AB** и **AC** равны соответственно 5 и 4.

▷ Пусть $N$ — конец продолженной медианы, так что $N$ лежит на продолжении $AM$ за точку $M$ и $AM = MN$. Тогда в четырёхугольнике $ABNC$ диагонали делятся точкой пересечения полюам, так что можно сослаться на уже решённую задачу и увидеть, что противоположные стороны четырёхугольника равны, то есть $NB = AC = 4$, $NC = AB = 5$. ◁

79. Докажите, что в произвольном треугольнике **АВС** медиана **AM** не превосходит полусуммы стороны **AB** и **AC**.

▷ Нам надо доказать, что удвоенная медиана не превосходит суммы $AB + AC$. В предыдущей задаче как раз была построена удвоенная медиана $AN$, которая была стороной треугольника $ABN$, две другие стороны которого $AB$ и $BN = AC$. Остаётся сослаться на неравенство треугольника. ◁

<figure><img src="image_75.png" /></figure>

80. Пользуясь первым признаком равенства треугольников, докажите, что в двух равных треугольниках медианы, проведенные к соответственным сторонам, равны.

<figure><img src="image_76.png" /></figure>

▷ Пусть **АВС** и $A'B'C'$ — эти треугольники (равные стороны и углы обозначены одинаковыми буквами), **АМ** и $A'M'$ — проведённые в них медианы (так что **M** — середина **BC**, а $M'$ — середина $B'C'$). Посмотрим на треугольники **АВМ** и $A'B'M'$.
В них равны углы B и B', стороны AB и A'B', а также стороны BM и B'M' (как половины равных сторон BC и B'C'). Поэтому эти треугольники равны по первому признаку, и соответственные стороны (в том числе те, которые являются медианами) равны.

Заметим, что мы с тем же успехом могли бы использовать треугольники AMC и A'M'C'. ◁

**81.** Пользуясь вторым признаком равенства треугольников, докажите, что в двух равных треугольниках биссектрисы, делящие соответственные углы пополам, равны.

▷ (В задаче идёт речь, конечно, об отрезках биссектрис до противоположной стороны.) Пусть AD и A'D' — такие отрезки. Следуя решению предыдущей задачи, рассмотрим треугольники ABD и A'B'D' — в них равны стороны AB и A'B', а также углы B и B'. Кроме того, угол DAB равен углу D'A'B', так как они составляют половины равных углов САВ и С'A'B'. Остаётся воспользоваться вторым признаком равенства треугольников. ◁

**82.** В четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны. Докажите, что противоположные углы в нём равны. (Такие четырёхугольники называются параллелограммами и мы к ним ещё вернёмся).

▷ Пусть ABCD — такой четырёхугольник. Проведём в нём диагональ, например, AC. Она разобьёт его на два треугольника АВС и ADC, к которым можно применить третий признак равенства треугольников — сторона AC у них общая, а две другие пары сторон равны по условию. Значит, равны и все углы, в частности, и углы B и D.

Аналогичное рассуждение (с какими треугольниками?) показывает, что углы А и С равны. ◁

**83.** Три балки соединены болтами по концам (см. рисунок). Полученная конструкция будет жёсткой, хотя вокруг болтов балки могут проворачиваться. Какой признак равенства треугольников является тому причиной?

<figure><img src="image_77.png" /></figure>

<figure><img src="image_78.png" /></figure>

<figure><img src="image_79.png" /></figure>

<figure><img src="image_80.png" /></figure>
▷ Балки являются сторонами треугольника, а болты — его углами. Возможность вращения в точках крепления означает, что углы треугольника не фиксированы. Зато длины сторон — расстояния между отверстиями в балках — меняться не могут, и третий признак равенства треугольников гарантирует, что углы тоже меняться не могут. ◁

**84.** Верно ли такое утверждение: если в двух четырёхугольниках $АВСD$ и $А'B'C'D'$ соответствующие стороны равны ($АВ = А'B'$, $ВС = В'C'$ и т.д.), то четырёхугольники равны?

<figure><img src="image_81.png" /></figure>

▷ Вспоминая предыдущую задачу, можно сформулировать вопрос так: будет ли жёстким шарнирный четырёхугольник? Сразу ясно, что нет — взявшись руками за противоположные вершины, можно сдвигать их и раздвигать. На рисунке показаны два положения шарниров — два различных четырёхугольника с соответственно равными сторонами. ◁

Все три признака равенства треугольников имеют один и тот же общий вид: треугольник определяется некоторыми тремя элементами однозначно. (В первом признаке это две стороны и угол между ними, во втором — сторона и два прилегающих угла, в третьем — три стороны.) Не следует думать, однако, что эти три элемента могут быть любыми. Например, мы увидим дальше, что три угла не определяют треугольник однозначно — бывают треугольники одинаковой формы, но разного размера (см. рисунок). Такие треугольники называют подобными, и мы к ним ещё вернёмся.

<figure><img src="image_82.png" /></figure>

Более хитрый пример, когда треугольник не определяется тремя элементами, даёт следующая задача:

**85.** Приведите пример треугольников $АВС$ и $А_1B_1C_1$, в которых $АВ = А_1B_1$, $АС = А_1C_1$, $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$, но которые тем не менее не равны.

Эта задача показывает, что в признаке равенства треугольников «по двум сторонам и углу между ними»
ми» нельзя пропустить слова между ними: если равны углы, противолежащие двум равным сторонам, это не гарантирует равенства треугольников.

▷ Нарисуем острый угол с вершиной B. На одной стороне возьмём какую-нибудь точку A. На другой стороне с помощью циркуля найдём две точки C и $C_1$ на равном расстоянии от A. Тогда треугольники ABC и $ABC_1$ будут искомыми. ◁

<figure><img src="image_83.png" /></figure>

## Ещё несколько задач

**86.** Диагональ делит выпуклый четырёхугольник на два равных треугольника. Докажите, что другая диагональ делит четырёхугольник либо на два равных треугольника, либо на два равнобедренных треугольника.

**87.** В четырёхугольнике ABCD проведена диагональ AC. Оказалось, что «накрест лежащие» углы при этой диагонали равны: $∠BAC = ∠ACD$, $∠CAD = ∠ACB$. Докажите, что противоположные стороны четырёхугольника равны.

<figure><img src="image_84.png" /></figure>
## 6. Равнобедренные треугольники

<figure><img src="image_85.png" /></figure>

Треугольник называют **равнобедренным**, если две его стороны равны. Эти равные стороны называют **боковыми сторонами** треугольника, а третью сторону — его основанием.

<figure><img src="image_86.png" /></figure>

Слова «основание» и «боковые стороны» создают впечатление, что основание должно быть обязательно нижней (на рисунке) стороной треугольника, а боковые стороны должны быть слева и справа. Но математические термины, взятые из обычного языка, часто меняют смысл, и означают только то, что написано в определении (а совсем не то, что понимает под этим нормальный человек в обычной жизни). В данном случае требуется лишь равенство боковых сторон, так что основание вполне может быть, скажем, вертикальным.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Если в треугольнике углы при основании равны, то он равнобедренный.

Эти два утверждения можно сформулировать так: углы, противолежащие равным сторонам треугольника, равны; стороны, противолежащие равным углам треугольника, равны.

Их можно рассматривать как частные случаи двух первых признаков равенства треугольников и объяснить тем же способом.

<figure><img src="image_87.png" /></figure>

Первое: если треугольник **АВС** равнобедренный и (скажем) **АВ = АС**, то перевернём его и наложим на себя так, чтобы точка **А** осталась на месте, а сторона **АВ** пошла по **АС** — тогда **АС** пойдёт по **АВ**. Поскольку **АВ = АС**, то точки **В** и **С** наложатся друг на друга. (Это рассуждение мы уже приводили, говоря о третьем признаке равенства треугольников.)

Второе: перевернём треугольник и наложим **ВС** на себя так, чтобы **В** наложилось на **С** и наоборот. Мы предполагаем, что углы при основании равны, поэтому боковые стороны наложатся на себя, и точка их пересечения — вершина **А** — останется на месте.
**88.** В равнобедренном треугольнике проведена медиана, соединяющая середину основания с противоположной вершиной. Докажите, что эта медиана является высотой (перпендикулярна основанию) и биссектрисой (делит угол пополам).

▷ Обозначим наш треугольник через **АВ** (основание **ВС**, боковые стороны **АВ** и **АС**). Медиана **АМ** соединяет вершину **А** с серединой основания **ВС**. Она делит треугольник на две половины **АВМ** и **АСМ**. Легко видеть, что эти половины равны по третьему признаку (одна сторона общая, две другие равны, потому что треугольник равнобедренный, оставшаяся пара — потому что медиана делит основание пополам). Значит, углы при вершине **А** равны (медиана является биссектрисой). Углы при вершине **М** тоже равны и вместе составляют 180°, значит, каждый из них равен 90°. Следовательно, медиана является высотой. ◁

<figure><img src="image_88.png" /></figure>

**89.** Докажите, что в равнобедренном треугольнике **АВС** (где $\text{АВ} = \text{АС}$) биссектриса угла при вершине (А) является высотой, т.е. перпендикулярна стороне **ВС**, и медианой, т.е. делит сторону **ВС** пополам.

▷ Обозначим эту биссектрису через **АМ**. Треугольники **АМВ** и **АМС** имеют равные углы при вершине **А** (определение биссектрисы) и две пары равных сторон около этих углов (одна сторона общая, две другие равны, так как треугольник равнобедренный). Значит, по первому признаку они равны. В частности, равны стороны **МВ** и **МС**, то есть биссектриса является медианой. Кроме того, равны углы при вершине **М**, которые в сумме равны 180°, значит, каждый из них равен 90°, так что биссектриса является высотой. ◁

Впрочем, если приглядеться, то эта задача в точности совпадает с предыдущей. Там мы должны были доказать, что в равнобедренном треугольнике медиана является биссектрисой, а сейчас — что биссектриса является медианой. То есть в обоих слу-

<figure><img src="image_89.png" /></figure>
чаях надо было доказать, что биссектриса и медиана совпадают, только сформулировано это было по-разному. (И ещё надо было доказать, что эти совпадающие биссектриса и медиана перпендикулярны основанию.)

**90.** В треугольнике **АВС** медиана **АМ**, соединяющая точку **А** с серединой **М** стороны **ВС**, является высотой, то есть перпендикулярна стороне **ВС**. Докажите, что треугольник **АВС** равнобедренный: стороны **АВ** и **АС** равны.

▷ Посмотрим на треугольники **АВМ** и **АСМ**. В них углы при вершине **М** прямые по условию, $ВМ = СМ$, а сторона **АМ** — общая. Значит, по первому признаку равенства треугольников они равны. В частности, равны стороны, противолежащие прямому углу: $АВ = АС$. △

<figure><img src="image_90.png" /></figure>

**91.** В треугольнике **АВС** медиана **АМ**, соединяющая точку **А** с серединой **М** стороны **ВС**, является биссектрисой угла **А**. Докажите, что треугольник **АВС** равнобедренный: стороны **АВ** и **АС** равны.

▷ Если пытаться рассуждать как в предыдущей задаче, то можно заметить, что в треугольниках **BMA** и **СМА** равны по две стороны и по одному углу. Но угол этот не лежит между сторонами, так что признаки равенства треугольника тут не помогают (см. задачу 85).

<figure><img src="image_91.png" /></figure>

Так что эта задача сложнее предыдущей и для её решения понадобится, как говорят, дополнительное построение. Это построение часто применяется, когда в задаче идёт речь о медиане (мы уже встречались с ним в задаче 78).

Продолжим медиану **АМ** за точку **М** на расстояние, равное её длине, и получим точку **N**, которую соединим с точкой **В**. Мы уже видели, что треугольник **BMN** равен треугольнику **СМА** по двум сторонам и углу между ними (углы при вершине **М** являются вертикальными, $ВМ = МС$ по условию, $АМ = MN$ по построению). В частности, угол **BNM** равен углу **САМ**, и тем самым углу **ВАМ**.
Значит, в треугольнике **ABN** углы при стороне **AN** равны, и потому он равнобедренный: **AB** = **BN**.
Но **BN** = **AC** (из равенства треугольников **BNM** и **CMA**), так что **AB** = **AC**, что и требовалось доказать. ◁

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину.

**92.** Докажите, что любая точка серединного перпендикуляра к отрезку **AB** равноудалена (находится на одинаковом расстоянии) от точек **A** и **B**.

▷ Пусть **M** — середина отрезка **AB**, и **X** находится на серединном перпендикуляре. Соединим **X** с точками **A** и **B**. В треугольниках **AMX** и **BMX** два угла прямые, одна сторона (**MX**) общая. а **AM**=**MB**. Поэтому эти треугольники равны по первому признаку, в частности, **AX** = **XB**. ◁

В сущности, мы повторили рассуждение о том, что если медиана является высотой, то треугольник равнобедренный.

**93.** Докажите, что любая точка, равноудалённая от точек **A** и **B**, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку **AB**.

▷ Пусть точка **X** равноудалена от точек **A** и **B**. Соединим её с этими точками, получится равнобедренный треугольник **AXB**. Соединим точку **X** с серединой стороны **AB**, которую мы обозначим **M**. Получится медиана **XM** этого равнобедренного треугольника, которая, как мы знаем, является высотой. Значит, **XM** есть серединный перпендикуляр к **AB** (и точка **X** на нём лежит). ◁

С помощью этой задачи можно объяснить такое наблюдение: если бумажку сложить вдвое, а потом развернуть, то линия сгиба будет прямой. Проколем сложенную бумажку иголкой и отметим точки провола на развёрнутой бумажке (**А** и **В**). Покажем, что все точки линии сгиба лежат на прямой — серединном перпендикуляре к отрезку **AB**. В самом деле, для любой точки **X** на сгибе отрезки **XA** и

<figure><img src="image_92.png" /></figure>

<figure><img src="image_93.png" /></figure>

<figure><img src="image_94.png" /></figure>
ХВ равны: ведь при сгибе они совмещаются. Остаётся воспользоваться только что решённой задачей.

94. Равнобедренный треугольник разделён на два отрезком, соединяющим вершину с некоторой точкой основания. Докажите, что в этих треугольниках можно найти две равные пары сторон и равную пару углов.

▷ Равные пары сторон — это две боковые стороны равнобедренного треугольника, а также две стороны, примыкающие друг к другу по линии разреза. Равные углы — углы при основании равнобедренного треугольника. <

Эта задача напоминает, что в первом признаке равенства треугольников важно, чтобы равные углы находились между соответственно равными сторонами. (Ср. задачу 85 в предыдущем разделе.)

<figure><img src="image_95.png" /></figure>

## Ещё несколько задач

95. В выпуклом четырёхугольнике АВСD две пары сторон равны: AB = BC, AD = DC. Докажите, что его диагонали перпендикулярны. (Соедините вершины B и D с серединой диагонали АС.)

96. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведённые к его боковым сторонам, равны.

97. Докажите, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведённые к его боковым сторонам, равны.

98. Все четыре стороны четырёхугольника равны. Докажите, что его диагонали делят его на четыре равных треугольника и пересекаются под прямым углом.

99. В треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена. Докажите, что в этом треугольнике один из углов равен сумме двух других. (Впоследствии мы узнаем, что сумма углов треугольника равна 180°, поэтому такой треугольник будет прямоугольным.)

<figure><img src="image_96.png" /></figure>
## 7. Окружность

Точки, лежащие на заданном расстоянии от заданной точки (центра) образуют окружность. Расстояние это называют радиусом окружности. Отрезок, соединяющий центр окружности с любой из её точек, также называют радиусом. Круг — это окружность вместе со всеми точками внутри неё.

**100.** Центр окружности и любые две точки на ней являются вершинами равнобедренного треугольника.

▷ Это — совсем простая задача: две стороны получающегося треугольника являются радиусами и потому равны. ◁

**101.** Точка X лежит внутри трёх окружностей радиуса 1. Докажите, что их центры можно накрыть кругом радиуса 1.

▷ Нарисуем круг радиуса 1 с центром в точке X (на рисунке изображён пунктиром). По условию точка X лежит внутри окружностей. Значит, расстояние от X до центров окружностей меньше 1. Поэтому эти центры попадут внутрь нарисованного круга. ◁

**102.** Две окружности имеют радиусы 3 и 5, расстояние между их центрами равно 9. Будут ли они пересекаться? Тот же вопрос, если расстояние между их центрами равно 1.

▷ Пересечения не будет. В первом случае: если бы X была общей точкой двух окружностей, то расстояния до центров от X были бы 3 и 5, и по неравенству треугольника расстояние между центрами было бы не больше 8.

Во втором случае меньшая окружность лежит целиком внутри большей. Убедиться в отсутствии точек пересечения снова можно с помощью неравенства треугольника: если бы X была точкой пересечения, то расстояние до центра меньшей окружности было бы 3, расстояние между центрами 1,

<figure><img src="image_97.png" /></figure>

<figure><img src="image_98.png" /></figure>

<figure><img src="image_99.png" /></figure>

<figure><img src="image_100.png" /></figure>

<figure><img src="image_101.png" /></figure>
значит, расстояние до центра большей окружности было бы не больше 4 (а оно равно 5). ◁

**103.** Две деревни находятся на расстоянии 3 километра. Нарисуйте, где можно устроить пикник, если требуется, чтобы (а) расстояние до ближайшей деревни было не более 2 километров; (б) расстояние до любой деревни было не более 2 километров.

<figure><img src="image_102.png" /></figure>

<figure><img src="image_103.png" /></figure>

▷ Для каждой деревни есть свой круг — в нём находятся точки, до которых от неё не более 2 километров. В пункте (а) нам годятся точки любого круга, и ответом является (как говорят математики) объединение кругов. В задаче (б) нам годятся лишь точки, попадающие в оба круга, и ответом будет пересечение кругов. ◁

<figure><img src="image_104.png" /></figure>

Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

**104.** Длина хорды не превышает удвоенного радиуса окружности (и равна ему, только если хорда является диаметром).

<figure><img src="image_105.png" /></figure>

▷ Соединим концы хорды с центром окружности. Получится треугольник, образованный двумя радиусами и хордой. По неравенству треугольника хорда не превосходит суммы двух других сторон, то есть удвоенного радиуса. Равенство возможно, если треугольник превращается в отрезок, то есть если центр окружности лежит на хорде. (А такая хорда называется диаметром.) ◁

Диаметром окружности называют не только проходящую через центр хорду, но и её длину. Диаметр (как хорда) состоит из двух радиусов (отрезков), поэтому диаметр окружности (как число) равен удвоенному радиусу (как числу).

Теперь утверждение задачи 104 можно прочесть так: длина любой хорды окружности не превосходит диаметра окружности.
105. Докажите, что отрезок, соединяющий середину хорды с центром окружности, перпендикулярен хорде.

▷ Этот отрезок является медианой равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой, и потому является его высотой. ▶

<figure><img src="image_106.png" /></figure>

## Ещё несколько задач

106. На большом поле есть узкая прямая канава длиной 500 метров. Турист стоит на берегу канавы на расстоянии 200 метров от её конца (и 300 метров от другого конца). Нарисуйте часть поля, в которую он может попасть, пройдя не более 400 метров (и не переходя канавы). (Эта область ограничена дугами (частями) окружностей.)

107. Колцевое шоссе имеет форму прямоугольника со сторонами 5 и 7 км. Турист хочет поставить палатку так, чтобы расстояние от стоянки до ближайшей точки шоссе было не меньше километра. Нарисуйте область возможных положений палатки.

108. Две окружности разных радиусов с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках C и D. Докажите, что прямая $O_1O_2$ перпендикулярна отрезку CD и делит его пополам. (Обе точки $O_1$ и $O_2$ лежат на серединном перпендикуляре к CD.)

109. Докажите, что расстояние между двумя точками внутри круга не больше диаметра круга. (Отрезок, соединяющий эти точки, является частью хорды.)

110. Докажите, что хорда окружности образует равные углы с радиусами, проведёнными к её концам.

111. Посмотрев вокруг себя, мы увидим довольно много окружностей. Можете ли вы придумать правдоподобное объяснение, почему (или зачем) круглы (а) колёса у велосипеда; (б) круги на воде; (в) луна на небе; (г) капля в воздухе; (д) крышки канализационных люков; (е) стволы деревьев; (ё) мо-
неты; (ж) грампластинки и компакт-диски; (з) руло-
ны туалетной бумаги; (и) завинчивающиеся крышки
от банок; (й) радуга на небе?

Не огорчайтесь, если не можете — иногда объ-
яснение требует хорошего знания физики, а иногда
есть несколько правдоподобных вариантов, и трудно
выбрать один из них.

112. Даны две (различные) точки А и В. Где может находиться точка С, если известно, что тревольник АВС равнобедренный (имеет две равные стороны)?
## 8. Построения циркулем и линейкой

С помощью линейки можно проводить прямую через две данные точки. С помощью циркуля можно строить окружность с данным центром и данным радиусом. После этого можно отмечать точки пересечения построенных прямых и окружностей и использовать их в дальнейших построениях.

113. Отложите от заданной точки A на заданной прямой l отрезок, равный данному.

▷ Для этого достаточно циркуля: установим раствор циркуля равным длине данного отрезка и построим окружность такого радиуса с центром в A. Она пересечёт прямую l в двух точках, назовём их B и C. Отрезки AB и AC и будут искомыми. ◁

<figure><img src="image_107.png" /></figure>

Если бы на линейке были деления (или хотя бы можно было делать карандашные пометки), то циркуль бы не понадобился. Но для нас линейка — это возможность проводить прямую через две данные точки, и не более того.

114. Дан треугольник АВС и отрезок А'В', равный отрезку АВ. Постройте треугольник А'В'С', равный треугольнику АВС.

▷ Положения точек А' и В' нам даны. Надо найти точку С'. Расстояние от неё до точки А' известно: оно равно AC. Значит, точка С' лежит на окружности с центром в А' и радиусом AC. Построим эту окружность. Аналогичным образом точка С' лежит на окружности с центром в В' радиуса BC. Чтобы решить задачу, осталось найти точки пересечения этих окружностей. (Их две, поскольку треугольник можно отложить по обе стороны отрезка А'В'.) ◁

<figure><img src="image_108.png" /></figure>

115. Постройте треугольник по трём сторонам.

▷ Эта задача отличается от предыдущей тем, что стороны треугольника заданы сами по себе, а не в составе треугольника. Но решение остаётся прежним: мы берем одну из заданных сторон, и вокруг её
концов строим окружности, радиусы которых равны двум другим сторонам.

Заметим, что эти окружности могут и не пересечься: если заданные три отрезка не удовлетворяют неравенству треугольника (один больше суммы двух других), то искомого треугольника не существует. ◁

<figure><img src="image_109.png" /></figure>

### 116. Отложите от заданного луча угол, равный данному.

▷ Эту задачу можно свести к предыдущим. Возьмём какие-нибудь две точки на сторонах угла, получится треугольник. Построим равный ему треугольник (проведя две окружности и найдя их пересечение). Один из углов этого треугольника будет искомым. ◁

<figure><img src="image_110.png" /></figure>

Чтобы задача имела единственное решение, надо ещё указать, в какую сторону от заданного луча надо откладывать угол (и тем самым какую из двух точек пересечения окружностей надо брать).

Эта задача легко позволяет построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам: надо отложить на какой-нибудь прямой заданный отрезок, а потом провести два луча под заданными углами.

Вспоминая признаки равенства треугольников, можно ещё заметить, что построить треугольник по двум сторонам и углу между ними совсем просто: достаточно отложить два данных отрезка на сторонах угла.

### 117. Найдите середину данного отрезка.

▷ Мы построим серединный перпендикуляр к отрезку, тем самым будет найдена его середина. Мы знаем, что на серединном перпендикуляре лежат точки, одинаково удалённые от концов отрезка. Поэтому достаточно найти две такие точки и провести через них прямую. Чтобы найти их, построим две окружности равного радиуса с центрами в концах отрезка. Точки их пересечения и будут искомыми.
Итак, построение: построим две окружности равного радиуса с центрами в концах отрезка и соединим точки их пересечения прямой. Эта прямая и разделит отрезок пополам. ◁

Радиус окружностей можно выбирать разным, но важно, чтобы он не был слишком маленьким, иначе окружности не пересекутся. Можно, например, взять в качестве радиуса длину исходного отрезка.

**118. Разделите данный угол пополам.**

▷ Пусть О — вершина угла. Отложим с помощью циркуля на его сторонах равные отрезки OA и OB. Их длина (то есть раствор циркуля) может быть любой. Мы уже знаем из решения предыдущей задачи, как строить серединный перпендикуляр к отрезку AB. Точка O равноудалена от А и В по построению и потому лежит на этом серединном перпендикуляре. Мы построили высоту равнобедренного треугольника OAB, которая одновременно будет и биссектрисой угла AOB. ◁

<figure><img src="image_111.png" /></figure>

**119. Дана точка А на прямой l. Проведите через А прямую, перпендикулярную l.**

▷ Эту задачу легко свести к уже решённым: мы умеем строить серединный перпендикуляр к отрезку (решение задачи 117), так что достаточно найти на прямой l отрезок, серединой которого была бы точка А. А это легко сделать, отложив от А равные отрезки в разные стороны. ◁

<figure><img src="image_112.png" /></figure>

**120. Дана точка А, не лежащая на прямой l. Проведите через А прямую, перпендикулярную l.**

▷ Эту задачу также можно свести к предыдущим: если провести окружность с центром в А, пересекающую прямую в двух точках, то эти точки пересечения равноудалены от А, и потому А лежит на серединном перпендикуляре к отрезку к концами в этих точках. А таковой мы строить умеем. ◁

<figure><img src="image_113.png" /></figure>

<figure><img src="image_114.png" /></figure>
Ещё несколько задач

<figure><img src="image_115.png" /></figure>

Более экономное построение перпендикуляра из заданной точки А к заданной прямой $l$ (не проходящей через эту точку) приведено в учебнике И. Ф. Шарыгина: построим две окружности с центрами на прямой $l$, проходящие через точку А. Они пересекутся в точке А и ещё в одной точке; соединив эти точки прямой, получим искомый перпендикуляр.

121. Покажите, что это построение действительно даёт требуемое.

122. Как разделить отрезок на четыре равные части циркулем и линейкой?

123. Как разделить угол на четыре равные части циркулем и линейкой?

Впоследствии мы научимся делить отрезок на любое число равных частей, см. задачу 305. А вот с делением угла на равные части ситуация совсем другая: французский математик Ванцель в статье 1837 года доказал, что для некоторых углов задача о трисекции угла (делении его на три равные части) не может быть решена с помощью циркуля и линейки. Например, с их помощью нельзя разделить угол в 60° на три равные части, то есть нелъзя построить угол в 20°; сам угол в 60°, как мы вскоре увидим, построить легко. В той же статье доказывается неразрешимость другой знаменитой задачи: удвоения куба (построение ребра куба вдвое большего объёма, чем данный), а также выясняется, какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой. Оказывается, что для этого число сторон должно быть произведением степени двойки и различных простых чисел вида $2^{2^k} + 1$ (таковы $3 = 2^1 + 1, 5 = 2^2 + 1, 17 = 2^4 + 1, 257 = 2^8 + 1, 65537 = 2^{16} + 1$; других простых чисел такого вида пока не известно).
## 9. Параллельность

Две различные прямые называются параллельными, если они не пересекаются. Прямую считают также параллельной самой себе.

Два основных факта о параллельных прямых:

(1) через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную заданной, причём только одну;

(2) две прямые параллельны в том и только в том случае, если третья прямая пересекает их под равными углами.

<figure><img src="image_116.png" /></figure>

Утверждение (1) можно пояснить так. На рисунке через точку проходит пунктирная прямая, параллельная сплошной. Если сплошная прямая неподвижна, а пунктирную поворачивают вокруг отмеченной точки, то имеется ровно одно положение, в котором прямые не пересекаются. Если хоть чуть-чуть повернуть прямую влево или вправо, то появится точка пересечения (которая будет тем дальше, чем меньше мы повернём прямую).

В «неевклидовой» геометрии (геометрии Лобачевского) это неверно (и отличает неевклидову геометрию от евклидовой): есть целый диапазон углов, в котором прямые не пересекаются.

Утверждение (2) использует не очень привычный оборот «в том и только в том случае». Смысл его такой: во-первых, если третья прямая пересекает две прямые под равным углом, то эти прямые параллельны (не пересекаются); во-вторых, если две прямые параллельны, то любая третья прямая пересекает их под равными углами. (Первая часть соответствует словам «в том», а вторая — «только в том».)

Традиционно в учебниках геометрии утверждение (1) считают аксиомой, а утверждение (2) — её следствием.

Иногда прямую не считают параллельной самой себе (совпадающие прямые не считаются параллельными); тогда в утверждении (2) нужна соответствующая оговорка.

124. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

▷ Эту задачу можно решить двумя способами — либо с помощью утверждения (1), либо с помощью утверждения (2). Приведём оба варианта.
<figure><img src="image_117.png" /></figure>

(Первый вариант) Пусть две прямые $m_1$ и $m_2$ параллельны третьей прямой $l$. Могут ли они пересечься в какой-то точке $X$? Нет, потому что в этом случае через $X$ проходило бы две прямые, параллельные данной. Значит, если у них есть общая точка, то они совпадают (а совпадающие прямые также считаются параллельными).

<figure><img src="image_118.png" /></figure>

(Второй вариант) Пересечём все три прямые какой-то прямой $n$ и отметим образующиеся углы как на рисунке. Поскольку прямые $l$ и $m_1$ параллельны, то углы $\alpha$ и $\gamma$ равны. Поскольку прямые $l$ и $m_2$ параллельны, то углы $\alpha$ и $\beta$ равны. Значит, все три отмеченных угла равны. А из равенства углов $\beta$ и $\gamma$ следует параллельность прямых $m_1$ и $m_2$. ◁

<figure><img src="image_119.png" /></figure>

125. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

▷ Это — прямое следствие свойства (2), так как углы, образуемые при пересечении двух прямых их общим перпендикуляром, прямые и потому равны. ◁

<figure><img src="image_120.png" /></figure>

Пары углов, образующихся при пересечении двух прямых третьей (которую традиционно называют секущей) имеют традиционные названия, которые мы поясним рисунком. Углы $\alpha$ и $\beta$ называют внутренними накрест лежащими; то же название относится к паре углов $\gamma$ и $\delta$. Углы $\alpha$ и $\delta$ называют внутренними односторонними; то же название относится к паре $\beta$ и $\gamma$.

<figure><img src="image_121.png" /></figure>

Вспоминая, что вертикальные углы равны, а смежные углы составляют в сумме 180°, можно сформулировать свойство (2) так: прямые параллельны в том и только том случае, когда внутренние накрест лежащие углы при секущей равны.

<figure><img src="image_122.png" /></figure>

Или так: прямые параллельны в том и в только том случае, когда внутренние односторонние углы составляют в сумме 180°.

Иногда говорят даже о «внешних накрест лежащих» и «внешних односторонних» углах.
**126.** Докажите, что через данную точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную заданной.

▷ Это — в точности повторение предыдущей задачи: если провести две такие прямые, то они будут двумя перпендикулярами к заданной прямой. По предыдущей задаче они параллельны — и не могут проходить через одну точку (не совпадая)! △

Есть два выражения, относящихся в построению перпендикуляров.

Если точка А не лежит на прямой l и мы проводим через А прямую, перпендикулярную l, это называется «опустить из А перпендикуляр на l». (Даже если на рисунке точка А ниже прямой l, всё равно говорят «опустить».)

Если точка А лежит на прямой l и мы проводим через А прямую перпендикулярно l, это называется «восставить перпендикуляр к l в точке А».

Задача 126, таким образом, говорит, что из данной точки можно опустить только один перпендикуляр к данной прямой. (Как это сделать циркулем и линейкой, мы уже видели в задаче 120.)

**127.** В четырёхугольнике ABCD угол АСВ равен углу CAD. Докажите, что у него есть две параллельные стороны.

▷ Эта задача — прямое следствие свойства (2): по условию накрест лежащие углы АСВ и CAD при секущей АС равны, и потому прямые AD и BC параллельны. △

**128.** Два соседних угла четырёхугольника составляют в сумме 180°. Докажите, что две его стороны параллельны. Докажите, что два других угла также составляют в сумме 180°.

▷ Пусть в четырёхугольнике ABCD углы А и В составляют в сумме 180°. Они являются внутренними односторонними углами при секущей AB, и потому прямые AD и BC параллельны.

Теперь рассмотрим сторону CD как секущую, при которой лежат два внутренних односторонних угла C и D. Раз прямые параллельны, по свойству (2) сумма этих углов равна 180°. △

опустить

<figure><img src="image_123.png" /></figure>

восстановить

<figure><img src="image_124.png" /></figure>

<figure><img src="image_125.png" /></figure>

<figure><img src="image_126.png" /></figure>
**129.** Докажите, что перпендикуляры к параллельным прямым параллельны.

<figure><img src="image_127.png" /></figure>

▷ Пусть $l_1$ и $l_2$ — параллельные прямые, $m_1$ — перпендикуляр к $l_1$, а $m_2$ — к $l_2$. Убедимся, что прямые $m_1$ и $l_2$ пересекаются под прямым углом: прямая $m_1$ пересекает две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$ под равными углами (по свойству (2)).

Теперь видно, что $m_1$ и $m_2$ — два перпендикулярна к $l_2$ и потому параллельны (задача 125) ▷

<figure><img src="image_128.png" /></figure>

<figure><img src="image_129.png" /></figure>

**130.** Стороны одного угла параллельны сторонам другого (и идут в тех же направлениях, см. рисунок). Докажите, что углы равны.

▷ Оба эти угла равны третьему, который образуется при пересечении одной стороны одного угла с непараллельной ей стороной другого угла (дважды используем свойство (2)). ▷

<figure><img src="image_130.png" /></figure>

**131.** Через вершину В треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне АС. Отметьте на рисунке углы, равные углам А и С треугольника. Выведите отсюда, что сумма углов треугольника равна 180°.

<figure><img src="image_131.png" /></figure>

▷ Отмеченные на рисунке углы равны углам А и С как внутренние накрест лежащие и дополняют угол В с двух сторон до развёрнутого. ▷

**132.** В треугольнике все стороны равны. Найдите его углы.

<figure><img src="image_132.png" /></figure>

▷ Равносторонний треугольник (в котором все стороны равны) является частным случаем равнобедренного, причём за основание можно принять любую сторону. Поэтому в нём все углы равны. Так как в сумме углы составляют 180° (предыдущая задача), то каждый из них равен 60°. ▷

**133.** В равнобедренном треугольнике один из углов равен 80°. Каковы его другие углы? (Укажите все возможности.)

▷ В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны. Если один из них равен 80°, то в сумме они равны 160°, и на третий угол (при верши-
не) остаётся 20°. Если же угол при вершине равен 80°, то на два угла при основании остаётся 100°, и каждый из них равен 50°. ◁

**134.** В равнобедренном треугольнике один из углов равен 60°. Докажите, что треугольник равносторонний.

▷ Неважно, какой именно угол равен 60° (угол при основании или у вершины), всё равно остальные углы тоже равны 60°. Но мы знаем, что если в треугольнике два угла равны, то противолежащие им стороны равны. Значит, раз все три угла равны, то и все три стороны равны. ◁

**135.** Какие значения может принимать наибольший угол треугольника? Какие значения может принимать наименьший угол треугольника? Какие значения может принимать третий (средний по величине) угол треугольника?

▷ Если три числа в сумме равны 180°, то наибольшее из них не меньше 60° (наче все остальные меньше 60° и сумма меньше 180°). Таким образом, больший угол треугольника может быть от 60° до 180°. По аналогичным соображениям меньший угол может быть от 0° до 60°. Средний угол больше 0° и меньше 90°, так как в сумме с большим углом он меньше 180°. Все эти варианты действительно возможны (что можно проверить для случая равнобедренных треугольников). ◁

**136.** Докажите, что сумма углов четырёхугольника равна 360°, разрезав его на два треугольника.

▷ Проведя диагональ, мы разрезаем четырёхугольник на два треугольника. При этом два угла четырёхугольника разбиваются на две части (каждый). Если мы сложим все шесть углов в двух треугольниках, то получим $2 \times 180° = 360°$. С другой стороны, эта сумма представляет собой сумму углов четырёхугольника (если сгруппировать пары углов с общими вершинами). ◁

Это решение, строго говоря, требует некоторых уточнений. Дело в том, что диагональ четырёх-

<figure><img src="image_133.png" /></figure>
<figure><img src="image_134.png" /></figure>

угольника может оказаться вне четырёхугольника. (Многоугольники, в которых такое случается, называют невыпуклыми.) Но всё равно сумма углов, если разрешать углы больше 180°, будет равна 360°. В самом деле, можно разрезать четырёхугольник по другой диагонали и применить то же самое рассуждение, что и раньше.

<figure><img src="image_135.png" /></figure>

137. Чему равна сумма углов выпуклого пятиугольника?

▷ Как и в предыдущей задаче, разрежем его на треугольники, проведя две диагонали. Получится 3 треугольника. Значит, сумма углов выпуклого пятиугольника равна $3 \times 180° = 540°$. ◁

<figure><img src="image_136.png" /></figure>

138. Найдите сумму углов выпуклого $n$-угольника.

▷ Возьмём одну из вершин и проведём из неё все диагонали. Их будет $n - 3$ (из $n$ вершин выпадают три — сама вершина и две соседние). Они разрезают многоугольник на $n - 2$ треугольника (каждый разрез увеличивает число частей на 1, вначале была одна часть). В каждом треугольнике сумма углов равна 180°. Складывая все углы всех треугольников, получаем сумму всех углов многоугольника, которая тем самым равна $180(n - 2)°$. ◁

<figure><img src="image_137.png" /></figure>

139. Докажите, что внешний угол при вершине А треугольника АВС (см. рисунок) равен сумме углов В и С.

▷ Сумма трёх углов треугольника равна 180°. Следовательно, сумма двух из них равна разности 180° и третьего угла, то есть равна углу, смежному с третьим. Что и требовалось доказать. ◁

140. Сторона АВ треугольника АВС длиннее стороны АС, и на ней отложен отрезок AD, равный отрезку АС. Докажите, что угол при основании равнобедренного треугольника ACD настолько же больше угла АВС, насколько меньше угла АСВ.

▷ Углы при основании CD равнобедренного треугольника ACD равны. Один из них меньше
угла АСВ на величину угла DCB. Другой является внешним углом треугольника DCB, и потому равен сумме угла DCB и угла АВС. Следовательно, в обоих случаях разница равна величине угла DCB. ◁

**141.** Чему равна сумма внешних углов при трёх вершинах треугольника?

▷ Вместе с тремя внутренними углами (которые в сумме дают 180°) получается три развёрнутых угла, то есть 540°, поэтому сумма внешних углов равна $540 - 180 = 360°$. ◁

<figure><img src="image_138.png" /></figure>

**142.** Чему равна сумма внешних углов при чётырёх вершинах выпуклого четырёхугольника?

▷ Чтобы найти сумму этих углов (они показаны на рисунке одиночными дугами, но это не значит, что они равны!), рассмотрим соответствующие внутренние углы. Вместе с 4 внутренними углами (которые в сумме дают 360°) получается 4 развёрнутых угла, то есть 720°, поэтому сумма внешних углов равна $720 - 360 = 360°$. ◁

<figure><img src="image_139.png" /></figure>

**143.** Чему равна сумма внешних углов при пяти вершинах выпуклого пятиугольника?

▷ Вместе с 5 внутренними углами (которые в сумме дают 540°) получается 5 развёрнутых углов, то есть 900°, поэтому сумма внешних углов равна $900 - 540 = 360°$. ◁

<figure><img src="image_140.png" /></figure>

Аналогичным способом можно убедиться, что сумма внешних углов выпуклого шести-, семи- и во-обще любого n-угольника равна 360°. В самом деле, вместе с внутренними углами получается n развёрнутых углов, то есть $n \cdot 180°$, а внутренние углы дают $(n - 2) \cdot 180°$, так что на долю внешних приходится разница в $2 \cdot 180 = 360°$.

Впрочем, есть другое, более наглядное (хотя и менее формальное) объяснение. Представим себе автомобиль, который объезжает многоугольник по периметру. Углы многоугольника являются точками поворота автомобиля. В каждой точке он поворачивает на угол, равный внешнему углу многоугольни-
ка. Объехав круг, автомобиль сделает полный оборот, то есть повернёт на 360°.

**144.** Дана прямая и точка, на ней не лежащая. Как провести (циркулем и линейкой) прямую через данную точку, параллельную данной прямой?

<figure><img src="image_141.png" /></figure>

▷ Вот один из способов. Пусть даны прямая *l* и точка *A*. Проведём через точку *A* какую-нибудь прямую *m*, пересекающую прямую *l*. Искомая прямая пересекает прямую *m* под тем же углом, что и прямая *l*, так что надо просто отложить этот угол от прямой *m* (задача 116).

Можно выбрать угол пересечения прямым: опускаем из А перпендикуляр *m* на прямую *l*, а затем из той же точки А восставляем перпендикуляр к прямой *m* (используя задачи 120 и 119). ◁

## Ещё несколько задач

**145.** Дайте другое доказательство теоремы о сумме углов выпуклого четырёхугольника, разрезав его двумя диагоналями на четыре треугольника.

**146.** Докажите, что в выпуклом четырёхугольнике ABCD (вершины перечислены по часовой стрелке)

$$ \angle CAD + \angle BDA = \angle DBC + \angle ACB. $$

<figure><img src="image_142.png" /></figure>

**147.** Докажите, что сумма пяти углов у вершин пятиконечной звезды (отмечены одинарной дугой, но могут быть различными) одинакова у всех звёзд. Чему она равна?

<figure><img src="image_143.png" /></figure>

**148.** Треугольник **ABC** — равнобедренный с основанием **AC**. Отрезок **AM** делит его на два равнобедренных треугольника с основаниями **AB** и **MC**. Найдите угол **B**. [Ответ: 36°.]

<figure><img src="image_144.png" /></figure>

**149.** Продолжения двух противоположных сторон **AB** и **CD** четырёхугольника ABCD пересекаются под углом 20°, продолжения двух других противоположных сторон (AD, BC) — тоже. Докажите, что два угла в четырёхугольнике равны, а два других отличаются на 40°.
150. Стороны угла в 75° перпендикулярны сторонам другого угла. Чему может быть равен этот угол? (Возможны разные варианты.)

151. Две прямые движутся параллельно самим себе. Докажите, что угол между ними остаётся неизменным.

152. Вспоминая доказательство формулы для суммы углов $n$-угольника, получите в качестве следствия, что при любом способе разрезания диагоналями выпуклого $n$-угольника на треугольники (диагонали не обязаны выходить из одной вершины) получается одно и то же число треугольников ($n-2$).

153. Какое наибольшее число острых углов может быть в выпуклом 4-угольнике? в выпуклом 5-угольнике? в выпуклом 100-угольнике?

154. Прямая пересекает стороны угла и его бисектрису, образуя три угла (см. рисунок). Докажите, что средний из этих углов равен полусумме крайних.

<figure><img src="image_145.png" /></figure>

155. Через данную точку проведите (циркулем и линейкой) прямую, которая пересекает две данные (не параллельные) прямые под равными углами.

156. Робот проезжает по прямой 1 метр, поворачивает направо на некоторый угол $\alpha$, проезжает прямо ещё 1 метр, опять поворачивает направо на тот же угол $\alpha$, снова проезжает 1 метр и так далее. Докажите, что точки поворотов робота лежат на одной окружности.

<figure><img src="image_146.png" /></figure>

157. Кусок бумаги дважды согнули по прямым, а потом разрезали ножницами по пунктирной линии и развернули. Как найти углы получившегося

<figure><img src="image_147.png" /></figure>
четырёхугольника (дырки), если известны углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$?

**158.** По прямому шоссе со скоростью 60 км/ч едет машина. Параллельно шоссе стоит дом длиной 100 метров. Каждую секунду пассажир машины измеряет угол, под которым виден дом (фасад дома). Докажите, что сумма всех измеренных им углов не больше 1100°.

В задаче 118 мы делили угол на две равные части (строили биссектрису угла) циркулем и линейкой. А можно ли циркулем и линейкой разделить угол на три равные части? Эта задача называется «трисекцией угла». Она известна со времён древней Греции, и Архимед придумал решение с небольшим жульничеством — или, как сейчас говорят, креативно использовал линейку, сделав на ней пометки. Вот это построение.

Желая разделить на три части угол АОВ, проведём окружность некоторого радиуса с центром в O. Затем, не меняя раствора циркуля, сделаем на линейке две пометки P и Q (расстояние между ними равно радиусу окружности). Теперь приложим линейку так, чтобы она проходила через точку окружности на луче ОВ, а две пометки попали бы на прямую АО и на окружность. Тогда угол, образуемый линейкой с прямой АО, будет равен трети исходного.

<figure><img src="image_148.png" /></figure>

**159.** Докажите, что построение Архимеда действительно позволяет построить угол, равный трети данного. (Треугольники PQO и OQB' — равнобедренные; здесь B' — точка пересечения ОВ с окружностью.)

Мы уже упомнали, что (как было доказано много позже, в XIX веке) без таких хитростей (используя линейку лишь для того, чтобы провести прямую через уже имеющиеся точки, а циркуль — лишь для построения окружности с уже построенным центром и известным радиусом) обойтись нельзя.
## 10. Прямоугольные треугольники

Прямоугольным называется треугольник, в котором один из углов прямой. Прилежащие к этому углу стороны называются катетами треугольника, а противолежащая сторона — гипотенузой.

**160.** Докажите, что в прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе в сумме составляют прямоугольном треугольнике (кроме прямого) — острые: если их сумма равна прямому углу, то каждое из слагаемых меньше прямого.

▷ Сумма всех трёх углов составляет 180°, значит, на долю двух других остаётся $180° - 90° = 90°$. ◁

Отсюда следует, что остальные углы в прямоугольном треугольнике (кроме прямого) — острые: если их сумма равна прямому углу, то каждое из слагаемых меньше прямого.

**161.** Найдите углы прямоугольного равнобедренного треугольника.

▷ Углы при основании равнобедренного треугольника равны, а в сумме составляют 90°, так что каждый из них равен 45°. ◁

Несколько следующих задач дают признаки равенства прямоугольных треугольников.

**162.** (а) Докажите признак равенства прямоугольных треугольников «по двум катетам»: если у двух прямоугольных треугольников ($АВС$ и $А'B'C'$ с прямыми углами $B$ и $B'$) равны соответствующие катеты ($АВ = А'B' и BC = B'C'$), то треугольники равны.

(б) Сформулируйте и докажите признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прлегающему к нему острому углу.

▷ Эти признаки не требуют специального доказательства: они всего лишь частные случаи первого и второго признаков равенства треугольников, когда один из углов прямой. ◁

В следующей задаче уже нельзя сослаться на признаки равенства треугольников (потому что тот признак, на который хотелось бы сослаться, неверен — см. задачу 85).
<figure><img src="image_149.png" /></figure>

163. Катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого. Докажите, что треугольники равны.

▷ Приложим треугольники друг к другу равными катетами $BC$ и $B'C'$ (см. рисунок). Поскольку треугольники прямоугольные, то два других катета составят одну прямую ($AA'$) и два треугольника составят больший треугольник. По условию гипотенузы равны, поэтому этот больший треугольник получится равнобедренным. Докажем, что точка $C$ (совмешённая с $C'$) является серединой $AA'$. Вском деле, если серединой $AA'$ была какая-нибудь другая точка $M$, то $BM$ была бы медианой равнобедренного треугольника $ABA'$, а потому и его высотой, и мы получили бы два разных перпендикуляра, опущенных из точки $B$ на прямую $AA'$ — отрезки $BC$ и $BM$. Значит, $C$ и $M$ совпадают, отрезки $AC$ и $A'C'$ равны и наши треугольники равны, например, по двум катетам. (Или по трём сторонам.) ◁

<figure><img src="image_150.png" /></figure>

Можно рассуждать иначе, совместив равные катеты так, чтобы треугольники оказались по одну сторону (см. рисунок). Если при этом точки $A$ и $A'$ совпадут, то треугольники равны. Если же нет, то образуется треугольник $CAA'$. Он должен быть равнобедренным, так как $CA = CA'$ по условию (гипотенузы равны). С другой стороны, в нём один из углов при основании (на рисунке $∠CAA'$) тупой, так как смежный к нему угол ($∠CAB$) острый. Углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а второго тупого угла быть не может (сумма углов $180°$). Значит, этот случай (несовпадение $A$ и $A'$) невозможен.

164. Гипотенуза одного прямоугольного треугольника равна гипотенузе другого; один из пролегающих к ней углов равен углу при гипотенузе другого треугольника. Докажите, что треугольники равны.

▷ Поскольку в обоих треугольниках сумма углов равна $180°$ и у них есть два равных угла, то равны
и третьи углы, и треугольники равны по гипотенузе и двум примыкающим к ней углам. ◁

**165.** Катет одного прямоугольного треугольника равен катету другого; противолежащие им углы также равны. Докажите, что треугольники равны.

▷ В каждом из двух треугольников острые углы в сумме дают 90°, поэтому если противолежащие равным катетам углы равны, то и прилежащие к ним углы тоже равны. Остаётся воспользоваться вторым признаком равенства треугольников. ◁

**166.** В прямоугольном треугольнике один из катетов вдвое короче гипотенузы. Найдите углы треугольника.

▷ Возьмём два таких треугольника и приложим их длинными катетами друг к другу. Короткие катеты будут составлять один отрезок (углы прямые). Длина этого отрезка по условию равна длине гипотенузы, так что получится равносторонний треугольник, в котором углы равны 60°. Ответ: 60°, 30°, 90°. ◁

<figure><img src="image_151.png" /></figure>

**167.** В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°. Докажите, что один из катетов вдвое короче гипотенузы.

▷ Приложим два таких треугольника друг к другу катетами так, чтобы два угла в 30° образовали угол в 60°. Получится равнобедренный треугольник с углом при вершине 60°, который будет равносторонним. Следовательно, удвоенный меньший катет равен гипотенузе, что и требовалось доказать. ◁

<figure><img src="image_152.png" /></figure>

**168.** Как построить прямоугольный треугольник, если даны его катет и гипотенуза?

▷ Построим прямой угол. На одной из его сторон отложим данный катет. Затем возьмём циркуль с раствором, равным гипотенузе, поставим одну ножку циркуля в конец катета и сделаем нужную отметку на другой стороне угла. ◁
Ещё несколько задач

169. Докажите, что в тупоугольном треугольнике только один угол тупой, а два остальных — острые.

170. Медиана треугольника вдвое короче стороны, к которой она проведена ($AM = \frac{1}{2}BC$ для медианы $AM$ треугольника $ABC$). Покажите, что этот треугольник прямоугольный: $\angle A = 90^\circ$.

171. Покажите, что любой прямоугольный треугольник можно разрезать на два прямоугольных треугольника, у которых те же самые углы, что у исходного.

172. Вася утверждает, что разрезал тупоугольный треугольник на несколько остроугольных. Может ли так быть?
# 11. Параллелограммы

Четырёхугольник ABCD называется параллелограммом, если его противоположные стороны попарно параллельны.

<figure><img src="image_153.png" /></figure>

173. Докажите, что в параллелограмме углы при соседних вершинах дают в сумме 180°, а углы при противоположных вершинах равны.

▷ Пусть ABCD — параллелограмм. По основному свойству параллельных прямых все четыре отмеченных на рисунке угла равны. Обозначим их величину через α. Тогда углы А и С равны α (второй — как вертикальный к углу α), а углы В и D являются смежными к углам величины α и потому равны 180° – α. ◁

<figure><img src="image_154.png" /></figure>

174. Докажите, что диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

▷ Проведём в параллелограмме ABCD диагональ BD. Поскольку стороны AB и CD параллельны, углы ABD и BDC равны как накрест лежащие. Аналогичным образом параллельность сторон BC и AD гарантирует, что углы CBD и BDA равны. Диагональ BD является общей стороной треугольников ABD и CDB. Остаётся воспользоваться признаком равенства треугольников по стороне и двум углам. ◁

<figure><img src="image_155.png" /></figure>

175. Докажите, что противоположные стороны параллелограмма равны.

▷ Это является очевидным следствием предыдущей задачи: если треугольники равны, то равны и их стороны. ◁

176. Диагонали делят параллелограмм на 4 треугольника. Докажите, что среди них есть две пары равных.

▷ Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Докажем, что треугольники AOD и COB равны. В самом деле, стороны AD и BC равны (по предыдущей задаче), углы OAD и OSB, а также ODA и OBC равны как внутренние

<figure><img src="image_156.png" /></figure>
накрест лежащие. Осталось применить признак равенства треугольников по стороне и двум углам. ◁

**177. Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую из диагоналей пополам.**

▷ Это очевидно следует из предыдущей задачи: в равных треугольниках равны стороны. ◁

**178. Докажите, что если в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно равны (АВ = CD, AD = BC), то это параллелограмм.**

<figure><img src="image_157.png" /></figure>

▷ Проведём диагональ BD. Она разделит четырёхугольник на два треугольника, которые равны по трём сторонам (BD — общая, остальные пары сторон равны по предположению). Следовательно, углы CDB и ABD равны, поэтому прямые АВ и CD параллельны (углы являются внутренними накрест лежащими). Аналогичным образом прямые AD и BC параллельны, и ABCD — параллелограмм. ◁

**179. Докажите, что четырёхугольник, в котором противоположные углы попарно равны, являются параллелограммом.**

<figure><img src="image_158.png" /></figure>

▷ Пусть два противоположных угла четырёхугольника равны $\alpha$, а два других угла равны $\beta$. Тогда сумма всех углов, то есть $2\alpha + 2\beta$, равна $360^{\circ}$, поэтому $\alpha + \beta = 180^{\circ}$. Поэтому противоположные стороны четырёхугольника параллельны (углы $\alpha$ и $\beta$ являются при них внутренними односторонними). ◁

**180. Точка пересечения диагоналей четырёхугольника делит каждую из них пополам. Докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм.**

<figure><img src="image_159.png" /></figure>

▷ Пусть O — точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD. Треугольники AOB и COD равны по первому признаку (углы при вершине O вертикальны, стороны равны по условию). В частности, углы OAB и OCD равны. А они являются внутренними накрест лежащими при секущей AC, поэтому стороны AD и BC параллельны. Анало-
гичным образом (какие для этого нужны треугольники?) доказывается, что стороны AB и CD параллельны. ◁

181. Докажите, что если в четырёхугольнике ABCD стороны AD и BC равны и параллельны, то это параллелограмм.

▷ Проведём диагонали; пусть O — точка их пересечения. Рассмотрим треугольники AOD и BOC. Они равны по стороне и двум углам (AD = BC, примыкающие углы равны как внутренние накрест лежащие), поэтому AO = OC, BO = OD. Теперь можно сослаться на предыдущую задачу (или повторить рассуждение: треугольники AOB и COD равны по углу и двум сторонам). ◁

<figure><img src="image_160.png" /></figure>

182. Два параллелограмма ABCD и DCEF приложены друг к другу общей стороной CD. Докажите, что четырёхугольник ABEF — тоже параллелограмм.

▷ Посмотрим на отрезки AB, DC и FE. Так как ABCD — параллелограмм, первый отрезок параллелен и равен второму. Так как DCEF — параллелограмм, второй отрезок равен и параллелен третьему. Поэтому первый и третий отрезки равны и параллельны (вспомним, что две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу). Остаётся сослаться на предыдущую задачу. ◁

<figure><img src="image_161.png" /></figure>

183. В треугольнике АВС медиана АМ продолжена за точку М до точки D на расстояние, равное АМ (так что AM = MD). Докажите, что ABDC — параллелограмм.

▷ В получающемся четырёхугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам по пострению, остаётся воспользоваться задачей 180. ◁

Такая конструкция (продление медиан вдвоев) нам уже встречалась. С её помощью мы доказывали, что медиана в треугольнике не превосходит полусуммы двух примыкающих к ней сторон.

<figure><img src="image_162.png" /></figure>
Точку пересечения диагоналей параллелограмма называют его центром.

**184.** Прямая проходит через центр параллелограмма. Докажите, что её отрезок, заключенный внутри параллелограмма, делится центром пополнам.

<figure><img src="image_163.png" /></figure>

▷ В заштрихованных треугольниках равны стороны, являющиеся половинками диагонали (центр делит диагональ пополам), и примыкающие к ним углы (одна пара — вертикальные углы, другая — внутренние накрест лежащие). ◁

## Ещё несколько задач

**185.** На плоскости даны три точки, не лежащие на одной прямой. Мы хотим поставить четвертую точку, чтобы получились вершины параллелограмма. Сколькими способами это можно сделать?

**186.** Диагональ разбивает четырёхугольник на два равных треугольника. Можно ли заключить из этого, что этот четырёхугольник — параллелограмм?

**187.** Пол вымощен керамическими плитками, имеющими форму параллелограмма с неравными сторонами. Одна из плиток расшаталась и её выпнули. Сколькими способами можно вернуть её на место, если плитку разрешается переворачивать?

**188.** Имеется треугольная плитка, у которой все три стороны разной длины. Как сложить параллелограмм из двух таких плиток? Как вымостить плоскость такими плитками?

<figure><img src="image_164.png" /></figure>

**189.** Шестиугольник выложен тремя плитками, имеющими форму параллелограммов. Как выложить его теми же плитками, но другим способом? (Как рисуют куб на картинках?)

**190.** Докажите, что отрезок, соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма, проходит через его центр.
191. Говорят, что точки A и A' симметричны относительно точки O, если O является серединой отрезка AA'. Докажите, что если точки A' и B' симметричны точкам A и B относительно одной и той же точки O, то отрезки AB и B'A' равны и параллельны.

192. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF (вершины перечислены по часовой стрелке) противоположные стороны AB и DE равны и параллельны. Противоположные стороны BC и EF тоже равны и параллельны. Докажите, что и третья пара противоположных сторон (CD и AF) обладает этим свойством и что диагонали AD, BE и CF проходят через одну точку. (Диагонали делятся пополам точкой пересечения.)

193. Две одинаковые плитки, имеющие форму четырёхугольника, приложили друг к другу соответствующими сторонами, как показано на рисунке. Показите, что в получившемся шестиугольнике есть три пары параллельных сторон.

194. В выпуклом пятиугольнике ABCDE стороны AB и CD равны и параллельны, сторона DE параллельна диагонали AC, а угол ВСЕ прямой. Показите, что отрезок EC является биссектрисой угла BED. (Продолжите ED до пересечения с BC в точке F; воспользуйтесь свойствами параллелограммов ABCD и ACFD и покажите, что CE является серединным перпендикуляром к BF.)

<figure><img src="image_165.png" /></figure>

<figure><img src="image_166.png" /></figure>
## 12. Прямоугольник, ромб, квадрат

Параллелограмм, в котором все углы прямые, называется прямоугольником.

**195.** Если в параллелограмме есть хотя бы один прямой угол, то это прямоугольник.

▷ В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна 180°. Поэтому если один из углов равен 90°, то и соседние, и противоположный также будут равны 90°. ◁

**196.** Четырёхугольник, в котором все углы прямые, — прямоугольник.

▷ Надо доказать, что это параллелограмм. В самом деле, противоположные стороны параллельны, так как сумма внутренних односторонних углов равна двум прямым углам. ◁

**197.** Докажите, что диагонали прямоугольника равны.

<figure><img src="image_167.png" /></figure>

▷ Разрежем этот параллелограмм диагональю на два треугольника двумя способами (проведя две разные диагонали). Все четыре треугольника будут прямоугольные и будут иметь одинаковые категории (противоположные стороны прямоугольника, как у любого параллелограмма, равны). Поэтому треугольники равны, и их гипотенузы тоже равны. ◁

<figure><img src="image_168.png" /></figure>

**198.** Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник.

▷ Как и в предыдущей задаче, разрежем его на треугольники двумя способами. Снова все эти треугольники равны, но по другой причине: по трём сторонам (пары противоположных сторон параллелограмма и его диагонали). Поэтому все углы параллелограмма равны. В сумме они дают 360°, значит, все они прямые. ◁

**199.** Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

<figure><img src="image_169.png" /></figure>
▷ Снова применим приём удвоения медианы. Пусть ABC — прямоугольный треугольник, угол A — прямой, AM — медиана (так что M — середина стороны BC). Продолжим AM за точку M на расстояние, равное AM. Получим точку N, коротую соединим с вершинами B и C. В четырёхугольнике ABNC диагонали делятся пополам точкой пересечения. Значит, это параллелограмм. Один из углов его прямой — значит, это прямоугольник. В прямоугольнике диагонали равны — значит, удвоенная медиана равна стороне BC. ◁

<figure><img src="image_170.png" /></figure>

**200.** У вертикальной стены стоит лестница, короткая начинает скользить вниз. По какой линии движется кошка, сидящая на середине лестницы?

<figure><img src="image_171.png" /></figure>

▷ По дуге окружности. В самом деле, лестница является гипотензой прямоугольного треугольника, а кошка — серединой гипотенузы, поэтому расстояние от кошки до вершины прямого угла равно половине длины лестницы и не меняется. Значит, кошка двигается по дуге (части) окружности. ◁

<figure><img src="image_172.png" /></figure>

**201.** Из двух точек прямой опущены перпендикуляры на параллельную ей прямую. Докажите, что они равны.

<figure><img src="image_173.png" /></figure>

▷ В самом деле, получается четырёхугольник, в котором все углы прямые, то есть прямоугольник. Его противоположные стороны равны. ◁

Таким образом, расстояние между двумя параллельными прямыми можно определить как длину отрезка, высекаемого ими на перпендикулярной прямой — по предыдущей задаче оно не зависит от того, где мы проведём этот перпендикуляр.

**202.** Перпендикуляры, опущенные из точек A и B на прямую l, равны. Докажите, что отрезок AB параллелен прямой l.

<figure><img src="image_174.png" /></figure>

▷ В получающемся четырёхугольнике две стороны (перпендикуляры, опущенные на l) равны и параллельны, поэтому это параллелограмм, и две другие стороны тоже параллельны. ◁
<figure><img src="image_175.png" /></figure>

**203.** Две параллельные прямые находятся на расстоянии *a*. Точка находится на расстоянии *d* от одной из них. Каким может быть её расстояние от другой прямой? (Укажите все варианты. Учтите, что *a* может быть и меньше *d*, и больше *d*.)

▷ Представим себе две прямые как параллельные дороги на расстоянии *a* друг от друга. Мы пересекаем эти дороги, двигаясь в перпендикулярном направлении. Когда остаётся *d* до первой дороги, до второй остаётся *d* + *a*. Переехав первую дорогу на расстояние *d*, но не доехав до второй (при *d* < *a*), мы будем от неё на расстоянии *a* - *d*. Переехав вторую дорогу (при *d* ≥ *a*), мы будем от неё на расстоянии *d* - *a*. Второй и третий случаи можно объединить одной формулой |*d* - *a*|. Ответ: *d* + *a*, |*d* - *a*|. ◁

Ромбом называется параллелограмм, в котором все четыре стороны равны.

<figure><img src="image_176.png" /></figure>

**204.** Четырёхугольник, в котором все стороны равны, является ромбом.

▷ Достаточно вспомнить, что четырёхугольник, в котором равны противоположные стороны, является параллелограммом. ◁

<figure><img src="image_177.png" /></figure>

**205.** Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

▷ Разрежем его диагоналями на четыре треугольника. Они окажутся равными по трём сторонам (напомним, что диагонали любого параллелограмма делятся пополам точкой пересечения). Значит, все четыре угла, возникающие при пересечении диагоналей, равны. Значит, они прямые. ◁

**206.** Если в параллелограмме диагонали пересекаются под прямым углом, то это ромб.

▷ Как и в предыдущей задаче, разрежем параллелограмм на четыре треугольника диагоналями. Они снова равны, только теперь не по трём сторонам, а по двум сторонам и (прямому) углу между ними. ◁
Прямоугольник, являющийся одновременно
ромбом, называется квадратом: у него все сто-
роны равны, а все углы прямые.

<figure><img src="image_178.png" /></figure>

207. Какой угол образует диагональ квадрата с его стороной?

<figure><img src="image_179.png" /></figure>

▷ Это — острый угол в прямоугольном равно-
бедренном треугольнике, который равен 45°. △

Ещё несколько задач

208. Докажите, что в прямоугольнике точка пересечения диагоналей равноудалена от всех четырёх вершин.

209. Докажите, что вершины прямоугольного треугольника лежат на окружности, центр которой находится в середине гипотенузы.

210. Дан прямой угол. Из произвольной точки X внутри этого угла опускают перпендикуляры XР и XQ на стороны этого угла. Нарисуйте, где находятся точки X, для которых расстояние между точками P и Q меньше 1.

<figure><img src="image_180.png" /></figure>

211. Какое максимальное число прямых углов может иметь четырёхугольник, не будучи прямоугольником?

212. Какое максимальное число равных углов может иметь четырёхугольник, не будучи прямоугольником?

213. Какое максимальное число равных сторон может иметь четырёхугольник, не будучи ромбом?

214. Две окружности одинакового радиуса пересекаются в двух точках. Докажите, что их точки пересечения и центры лежат в вершинах ромба.

215. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

216. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

<figure><img src="image_181.png" /></figure>
<figure><img src="image_182.png" /></figure>

217. На сторонах квадрата ABCD от вершин A, B, C, D по часовой стрелке отложены равные отрезки AA₁, BB₁, CC₁, DD₁. Докажите, что точки A₁, B₁, C₁, D₁ являются вершинами квадрата.

218. Один квадрат вписан в другой (четыре вершины первого лежат на четырёх сторонах второго). Докажите, что четыре остающихся (от большого квадрата после вырезания малого) треугольника равны.

219. Чтобы проверить, что лист бумаги с прямыми краями прямоугольный, Вова сложил его вдвое (согнув по средней линии) и убедился, что две половины в точности накладываются друг на друга. Гарантирует ли это, что лист действительно имеет форму прямоугольника? А если согнуть ещё и по другой средней линии?

220. Что можно сказать о четырёхугольнике, если после складывания его вдвое по любой из диагоналей две его половины в точности накладываются друг на друга?

<figure><img src="image_183.png" /></figure>

221. Бумажная полоска имеет параллельные прямые края. Две такие полоски одинаковой ширины наложены друг на друга. Докажите, что в пересечении получается ромб. На какой угол повернутся диагонали ромба, если одну из полосок повернуть на угол $\alpha$?

<figure><img src="image_184.png" /></figure>

222. Два угла квадрата со стороной а выступают за пределы полосы ширины а с параллельными краями. Стороны квадрата пересекают края полосы в четырёх точках. Докажите, что диагонали четырёхугольника, вершинами которого являются эти точки, пересекаются под углом в $45^\circ$. (Используйте предыдущую задачу.)

<figure><img src="image_185.png" /></figure>

223. Бумажная полоска имеет параллельные прямые края. Её перегнули и сплющили как на рисунке (пунктир дорисован вдоль невидимой части края). Докажите, что образующийся треугольник (где полоска лежит в два слоя) — равнобедренный.
224. Бумажная полоска имеет параллельные пря- мые края. Её завязали в узел и сплющили как на рисунке (пунктир дорисован вдоль невидимой части края). Докажите, что получающийся пятиугольник правильный (это значит, что все стороны в нём рав- ны и все углы равны).

<figure><img src="image_186.png" /></figure>

225. Квадрат разрезали по отрезкам, соединяю- щим вершины с серединами противоположных сто- рон (см. рисунок). Покажите, что средняя часть то- же будет квадратом, а из оставшихся частей можно сложить ещё четыре таких же квадрата.

<figure><img src="image_187.png" /></figure>

226. Крест состоит из пяти равных квадратов. Как разрезать его на части, из которых можно сло- жить (без промежутков, перекрытий и использовав все части) один квадрат?

<figure><img src="image_188.png" /></figure>

227. В прямоугольном кузове грузовика (размер 3 × 7 метров) валется двухметровая жердь. Посе- редине у неё гвоздь, который царапает дно кузова. Нарисуйте, какая часть кузова останется не поцаара- панной, как бы долго грузовик ни трясся по ухабам.

228. На основании равнобедренного треугольни- ка выбрана точка X. Докажите, что сумма рассто- яний от X до боковых сторон треугольника будет одной и той же при любом положении точки X. 〈Покажите, что при сдвиге точки X в другое место X' увеличение одного расстояния в точности ском- пенсируется уменьшением другого.〉

229. На сторонах AB и AC треугольника АВС (вершины перечисляются по часовой стрелке) по- строены квадраты AKLB и АСNM. Покажите, что отрезки КС и ВМ перпендикулярны.

230. (Продолжение). Покажите, что отрезки КС и ВМ перпендикулярны.

231. (Продолжение). Покажите, что медиана AD треугольника АВС, соединяющая А с серединой D стороны BC, перпендикулярна отрезку КМ и вдвое короче его.
**232.** На сторонах параллелограмма построены квадраты (снаружи от параллелограмма). Покажите, что центры этих квадратов сами являются вершинами квадрата.

**233.** Замощение Пенроуза (названное в честь Роджера Пенроуза, предложившего его в 1970-е годы) покрывает плоскость ромбами двух типов, как показано на рисунке. Каковы углы этих ромбов?

<figure><img src="image_189.png" /></figure>
## 13. Клетчатая бумага

Клетчатая бумага разбита параллельными горизонталями и вертикалями на квадратные клетки одинакового размера.

На практике сторона клетки бывает разной. В традках часто бывают клетки со стороной 5 мм; для более точных чертежей используют миллиметровую бумагу, где сторона клетки 1 мм и через каждые десять клеток, то есть через 1 см, идёт более жирная линия (см. рисунок).

<figure><img src="image_190.png" /></figure>

**234.** Сколько маленьких квадратиков содержится в одном большом?

▷ Обе стороны большого квадрата делятся на 10 частей, всего получается $10 \times 10 = 100$ маленьких квадратиков. Другими словами, один квадратный сантиметр равен 100 квадратным миллиметрам. ◁

**235.** Пользуясь только линейкой, постройте на клетчатой бумаге отрезок CD, равный и параллельный отрезку AB (см. рисунок).

▷ По рисунку легко догадаться, как это сделать. Точка B на две клеточки правее и на три клеточки выше, чем точка A. По аналогии возьмём точку D на две клеточки правее и на три клеточки выше, чем точка C, и соединим её с C отрезком. ◁

Аналогия, конечно, дело хорошее, но как доказать, что построенный таким образом отрезок CD параллелен и равен AB? Под углом наклона прямой на клетчатой бумаге будем понимать угол, который она образует с горизонталями. (Все горизонтали параллельны, поэтому углы одинаковы, и можно брать любую горизонталь.) Чтобы доказать, что прямые AB и CD параллельны, достаточно убедиться, что их углы наклона одинаковы (признак параллельности). Но это следует из равенства заштрихованных треугольников (по двум катетам: мы откладывали поровну клеток). Из равенства треугольников также следует, что их гипотенузы равны.

<figure><img src="image_191.png" /></figure>

<figure><img src="image_192.png" /></figure>

<figure><img src="image_193.png" /></figure>
Ещё можно заметить, что задача имеет два решения: можно было бы взять точку D на две клетки левее и на три клетки ниже C. В этом случае отрезок CD будет направлен в другую сторону от C, но по-прежнему параллелен AB (по тем же причинам).

**236.** Постройте на том же рисунке (тоже только линейкой) прямую, перпендикулярную AB и проходящую через точку C.

<figure><img src="image_194.png" /></figure>

▷ Мы уже знаем, как по клеточкам строить параллельный отрезок CD. Осталось повернуть его на 90°. Это тоже можно сделать по клеточкам: отложив влево столько клеточек, сколько было вверх, а вверх — столько, сколько было вправо. ◁

<figure><img src="image_195.png" /></figure>

<figure><img src="image_196.png" /></figure>

Как доказать, что полученный отрезок действительно будет перпендикулярен CD (и потому AB)? Это снова можно сделать с помощью равенства заштрихованных на рисунке треугольников. (Про отрезок AB уже можно забыть, и он не показан.) Это прямоугольные треугольники, равные по двум катетам. К точке C примыкают больший и меньший углы этих треугольников, которые в сумме равны 90°, и остаётся ещё 90°.

Узлами сетки называют точки пересечения вертикальных и горизонтальных линий.

Для металлической сетки узлы — это места сварки горизонтальных прутьев с вертикальными.

Описывая рисунок на клетчатой бумаге словами, узлы называют как в шахматах (где клетка e2 означает клетку на вертикали «е» и второй горизонтали). Единственная разница — вертикали тоже нумеруются числами, слева направо. (А горизонтали, как в шахматах, снизу вверх.)

Эти числа называют координатами и пишут обычно через запятую в скобках.

Скажем, точка A на рисунке имеет координаты (1, 2), а точка B имеет координаты (4, 3).

**237.** Один из узлов сетки имеет координаты (x, y). Какие координаты имеет его правый сосед?

<figure><img src="image_197.png" /></figure>
левый сосед? верхний сосед? нижний сосед? [Ответ: $(x+1,y)$; $(x-1,y)$; $(x,y+1)$; $(x,y-1)$.]

**238.** Какая буква получится, если соединить ломаной линией точки $(0,0)-(0,2)-(1,1)-(2,2)-(2,0)$? [Ответ: М.]

Координаты точек указывают программам подготовки рисунков. Например, рисунок на полях получен с помощью программы METAPOST из такого текста: «draw ((0,0)--(0,2)--(1,1)--(2,2)--(2,0)) scaled 5mm». Этот текст просит нарисовать (draw) ломаную с вершиами в указанных точках в масштабе 5 миллиметров на клетку.

<figure><img src="image_198.png" /></figure>

Точку $(0,0)$ называют началом координат. Но сетку можно продолжить и за начало координат, только числа будут уже отрицательными: левее вертикали $0$ и $-1$, ещё левее $-2$ и так далее.

**239.** Середина отрезка находится в точке $(0,0)$, а один из его концов имеет координаты $(a,b)$. Какие координаты имеет другой конец? [Ответ: $(-a, -b)$.]

**240.** Три вершины параллелограмма (в порядке обхода) имеют координаты $(a,b)$, $(0,0)$ и $(c,d)$. Каковы координаты четвёртой вершины?

▷ Мы уже видели, что если отсчитать то же число клеток по горизонтали и вертикали, то получится равный и параллельный отрезок. Поэтому надо отсчитать от точки $(c+d)$ вправо $a$ клеток и вверх $b$ клеток. Получится точка $(c+a, d+b)$. ▷

Физики называют эту операцию сложением векторов: два вектора (сплошные стрелки на рисунке) в сумме дают третий (пунктирная стрелка). Если векторы изображают силу (куда тянут и насколько сильно), то две силы, приложенные к одной точке, можно заменить их суммой (равнодействующей), которая находится по описанному нами правилу параллелограмма.

<figure><img src="image_199.png" /></figure>

**241.** Через точки $(0,0)$ и $(5,3)$ проведена пряма. Проходит ли она ещё через какие-нибудь узлы сетки?

▷ Конечно, проходит. Отложим от узла $(5,3)$ ещё пять клеток вправо и три клетки вверх. Этот

<figure><img src="image_200.png" /></figure>
<figure><img src="image_201.png" /></figure>

отрезок будет иметь тот же угол наклона, что и отрезок $(0,0)-(5,3)$, то есть будет его продолжением. Значит, и точка $(10,6)$, то есть его конец, будет лежать на прямой. Так можно продолжать: следующая точка будет $(15,9)$, потом $(20,12)$ и так далее. (Можно пойти и в другую сторону: $(-5,-3)$, потом $(-10,-6)$, и т. д.) ◁

Эта задача показывает, что если прямая проходит через несколько узлов сетки, то на неё попадает бесконечная серия узлов, и они идут через равные промежутки. В самом деле, рассмотрим два самых близких узла, они идут через какой-то промежуток. Мы видели, что можно откладывать его в обе стороны и попадать снова в узлы. (И других узлов не будет, иначе этот промежуток не был бы минимальным.)

**242.** А можно ли провести на клетчатой бумаге прямую, которая не проходит ни через один узел сетки?

<figure><img src="image_202.png" /></figure>

▷ Можно: проведём прямую с углом наклона $45°$, которая проходит через узлы сетки, а потом сдвинем её на полклетки вверх (см. рисунок). легко заметить, что она пересекает все горизонтали и вертикали в серединах клеток. ◁

Интереснее другой вопрос: можно ли провести прямую, которая проходит ровно через один узел? Оказывается, что тоже можно, и это связано с иррациональными числами. (Например, годится прямая $y = x\sqrt{2}$.)

## Ещё несколько задач

<figure><img src="image_203.png" /></figure>

**243.** На клетчатой бумаге отмечены три точки (см. рисунок). Покажите, где можно отметить четвёртую точку, чтобы получились четыре вершины параллелограмма. (Укажите все возможности.)

<figure><img src="image_204.png" /></figure>

**244.** На клетчатой бумаге отмечены две точки. Добавьте к ним ещё две таким образом, чтобы четыре получившиеся точки были вершинами квадрата. Укажите все возможные варианты. (Их не два, а три.)
245. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 5 × 7 клеток и в нём проведена диагональ. Сколько клеток она пересекает? (Считаются клетки, внутрь которых она заходит.) (Диагональ делится на отрезки, которых столько же, сколько пересекаемых клеток, а разделяются эти отрезки точками пересечения с вертикалями и горизонталями сетки.)

246. Докажите, что сумма углов, под которыми виден отрезок AB из точек C, D и E, равна 45°.

247. Лежит ли точка с координатами (2, 1) внутри или вне треугольника с вершинами (1, 1), (2, 4) и (4, 0)?

<figure><img src="image_205.png" /></figure>

248. Раскрасьте узлы сетки в два цвета таким образом, чтобы узлы каждого цвета сами образовывали квадратную сетку (с большим размером клетки). Тот же вопрос для трёх цветов. (Сетки разных цветов могут иметь разный размер клетки.)

249. Раскрасьте узлы сетки в четыре цвета таким образом, чтобы узлы каждого цвета сами образовывали квадратную сетку, причём все четыре сетки имели одинаковый размер клетки. Тот же вопрос для пяти цветов.

250. Сторона квадрата соединяет точки (0, 0) и (a, b). Найдите координаты двух других вершин квадрата. (Есть два возможных положения квадрата.)

251. В узлах сетки 5 × 5 клеток, кроме левого нижнего узла (0, 0), высажены деревья, а в левом нижнем находится наблюдатель. Он видит не все деревья: например, дерево (1, 0) загораживает все следующие на той же горизонтали. Сколько деревьев он видит? Перечислите их справа налево, начиная от (1, 0) и кончая (0, 1).

<figure><img src="image_206.png" /></figure>

252. Отметьте на клетчатой бумаге узлы (x, y), для которых $y = x$.

253. ...для которых $y = x + 1$.

254. ...для которых $y = 2x$.

255. ...для которых $2y = x$.
<figure><img src="image_207.png" /></figure>

256. ...для которых $x + y = 5$.

257. ...для которых $x + y$ чётно.

258. Укажите узел сетки, находящийся на равном расстоянии от (1, 0) и (2, 3).

259. Укажите ещё несколько таких узлов.

260. Используя предыдущую задачу, докажите, что гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3 и 4, равна 5.

В разделе 28 мы увидим, что гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ равна квадратному корню из $a^2 + b^2$ (теорема Пифагора). В данном случае
$$5 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}.$$

261. Муравей ползёт по линиям сетки. Доползши до узла, он обязательно поворачивает (налево или направо). Докажите, что если в конце он вернулся в исходный узел, то его путь (число пройдённых сторон) делится на 4. (Скажем, чтобы обойти квадрат сетки по сторонам, нужно как раз четыре шага.) (Раз он вернулся в исходную точку, то влево он сделал столько же шагов, сколько вправо, а вверх — сколько вниз. Эти два числа равны, так как он каждый раз поворачивал.)

262. Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью и поворачивает на 90° в любую сторону (по своему выбору) каждый час: проползла час по прямой, повернула, ещё час, снова повернула и так далее. Докажите, что она может вернуться в исходную точку только через целое число часов, кратное четырём.
## 14. Равносторонние треугольники

Напомним, что если в треугольнике все стороны равны, то все углы равны 60°.

263. С помощью циркуля нарисуйте окружность. После этого, не меняя раствора циркуля, отложите на окружности шесть раз расстояние, равное её радиусу (расстояние считается не по окружности, а по хорде). Если сделать это аккуратно, то последняя точка совпадёт с начальной. Почему?

▷ Две соседние точки и центр окружности являются вершинами треугольника (его стороны — радиусы и хорда), и треугольник этот равносторонний. Значит, все углы равны 60°, и шесть таких углов составят полный круг. ◁

264. Найдите угол между диагоналями соседних граней куба, имеющими общий конец (см. рисунок).

▷ Достаточно провести еще одну диагональ, чтобы стало ясно, что интересующий нас угол является углом равностороннего треугольника и потому равен 60°. ◁

265. Внутри квадрата ABCD построен равносторонний треугольник ABM, и вершина M соединена с точками C и D. Найдите углы треугольника CMD.

▷ Углы равностороннего треугольника равны 60°, поэтому угол при вершине A равнобедренного треугольника AMD равен $90° - 60° = 30°$. Поэтому углы при его основании равны $(180° - 30°)/2 = 75°$. Значит, угол CDM равен $90° - 75° = 15°$ (равно как и $∠MCD$). ◁

266. Внутри квадрата ABCD построен равнобедренный треугольник ABL с основанием AB и углами при основании, равными 15°. Под каким углом из вершины L видна сторона CD?

▷ Конечно, эта задача по существу совпадает с предыдущей: построим правильный треугольник CDM внутри квадрата, тогда AM и BM будут как раз идти под углом 15° к сторонам, то есть M совпадёт с L. ◁

<figure><img src="image_208.png" /></figure>

<figure><img src="image_209.png" /></figure>

<figure><img src="image_210.png" /></figure>

<figure><img src="image_211.png" /></figure>

<figure><img src="image_212.png" /></figure>

<figure><img src="image_213.png" /></figure>
Если не знать предыдущей задачи, то эта задача окажется довольно трудной — непонятно, как догадаться, что треугольник CDL правильный, не зная этого заранее.

**267.** В шестиугольнике, все углы которого равны 120°, стороны равны *a*, *b*, *c*, *d*, *e*, *f* (по часовой стрелке). Докажите, что

$$d - a = b - e = f - c.$$

<figure><img src="image_214.png" /></figure>

▷ Докажем для начала, что противоположные стороны параллельны. Продолжим стороны *a* и *c* до пересечения. В образующемся треугольнике все углы равны 60°. Теперь видно, что стороны *c* и *f* параллельны, потому что внутренние односторонние углы при секущей *a* равны соответственно 120° и 60° и в сумме дают 180°. Аналогично доказывается параллельность и других пар сторон.

Теперь проведём линии, параллельные сторонам, внутри шестиугольника, как показано на рисунке. Получатся три параллелограмма (их противоположные стороны параллельны) с углами 120° и 60°, а также треугольник с углами 60°, то есть равносторонний. Стороны этого треугольника легко найти (вспомнив, что в параллелограмме противоположные стороны равны) — они равны *d* — *a*, *f* — *c* и *b* — *e*. ◁

## Ещё несколько задач

**268.** Шесть точек на окружности в задаче 263 являются вершинами шестиугольника. Докажите, что большие диагонали этого шестиугольника (соединяющие вершину с противоположной, через две по кругу) пересекаются в одной точке.

**269.** Даны две точки *A* и *B*. Не используя линейки, постройте с помощью циркуля точку *C*, для которой *B* будет серединой отрезка *AC*.

<figure><img src="image_215.png" /></figure>

**270.** На сторонах правильного треугольника по часовой стрелке от вершин *A*, *B* и *C* отложены рав-
ные отрезки AA₁, BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ равносторонний.

271. На сторонах правильного треугольника взяты три точки, которые в свою очередь являются вершинами (меньшего) правильного треугольника. Покажите, что три оставшихся треугольника (дополняющие меньший до большего) равны.

272. В прямоугольнике ABCD стороны AB и CD вдвое короче сторон BC и AD. На стороне BC выбрана точка M, для которой угол MAB равен 15°. Найдите угол MDA.

273. Высота треугольника (перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону) вдвое меньше стороны, на которую она опущена, а один из углов, примыкающих к этой стороне, равен 75°. Найдите углы треугольника. (И тут полезно вспомнить задачу 265.)

274. Существует ли шестиугольник, у которого все углы равны, а стороны равны 1, 2, 3, 4, 5, 6 (не обязательно в таком порядке)?

275. Докажите, что сумма расстояний от точки внутри равностороннего треугольника до его сторона не зависит от того, где находится эта точка. (Используя задачу 228, покажите, что эта сумма не меняется, когда мы сдвигаем точку параллельно одной из сторон треугольника.)

276. Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AC находится точка D. При этом ∠ACD = 30° и ∠DAC + ∠BAC = 60°. Докажите, что ∠DBC = ∠DAC. (Поместим треугольник ABC внутрь равностороннего треугольника AEC. Тогда треугольники ABE, ADC и CBE будут равны, и BD параллельно EC.)

277. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол при вершине B равен 100°. Точка D внутри ABC такова, что ∠DAC = 20°, ∠DCA = 30°. Найдите ∠ADB. (См. предыдущую задачу.)
## 15. Средняя линия треугольника

278. Через середину M стороны ABC треугольника ABC проведены прямые, параллельные сторонам AB и AC. Докажите, что они пересекают стороны AC и AB в их серединах.

<figure><img src="image_216.png" /></figure>

▷ Эти прямые разрезают треугольник на два треугольника ВМК и MCL и на четырёхугольник АКМL, который по построению является параллелограммом. Треугольники ВМК и MCL равны по сторонам $BM = MC$ и прилегающим к ним углам (которые равны как углы при секущей). В частности, $КМ = LC$. С другой стороны, $КМ = AL$ как противоположные стороны параллелограмма, так что все три отрезка $КМ, AL и LC равны, и L — середина АС. Аналогично K — середина AB. △

<figure><img src="image_217.png" /></figure>

279. Отрезок, проведённый через середину одной из сторон треугольника параллельно другой стороне, делит третью сторону пополам.

<figure><img src="image_218.png" /></figure>

▷ Ровно это и утверждалось в предыдущей задаче (для двух таких отрезков). △

(Мы специально сначала спросили про два отрезка, так как удобнее доказывать это для двух отрезков одновременно.)

280. Докажите, что отрезок, соединяющий середины двух сторон (АВ и BC) треугольника ABC, параллелен третьей стороне (AC) и вдвое короче её.

<figure><img src="image_219.png" /></figure>

▷ В предыдущей задаче мы проводили отрезок через середину M стороны BC параллельно стороне AC и убеждались, что он делит сторону AB пополам. Теперь же мы разделили сторону AB пополам и хотим убедиться, что соединяющий середины сторон отрезок параллелен стороне AC. Но это одно и то же: обе задачи говорят, что два построенных отрезка (идущий из M в середину стороны AB и идущий из M параллельно стороне AC) совпадают. △
Этот отрезок называют *средней линией треугольника*.

**281.** Любой треугольник можно разрезать на 4 равных треугольника. Как?

▷ Провести три средние линии — во всех獲取殖工人ьихся треугольниках стороны будут равны положинам сторон исходного, и потому все четыре треугольника будут равны. ▽

<figure><img src="image_220.png" /></figure>

**282.** Докажите, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Каковы стороны этого параллелограмма, если диагонали исходного четырёхугольника равны *a* и *b*?

<figure><img src="image_221.png" /></figure>

▷ Диагональ четырёхугольника разрезает его на два треугольника. В них две стороны будущего параллелограмма являются средними линиями, и потому оба этих отрезка равны половине диагонали и параллельны ей. Поэтому получается параллелограмм со сторонами *a*/2 и *b*/2. ▽

**283.** Докажите, что середины сторон ромба образуют прямоугольник, середины сторон прямоугольника образуют ромб, а середины сторон квадрата — квадрат.

<figure><img src="image_222.png" /></figure>

▷ (Мы уже встречали эти утверждения раньше, в задачах 215 и 216, но теперь можно рассуждать проще.) Решение предыдущей задачи показывает, что стороны параллелограмма параллельны диагоналям четырёхугольника и равны их половинам. Поэтому если диагонали перпендикулярны (как у ромба), то получится прямоугольник, а если диагонали равны (как у прямоугольника), то получится параллелограмм с равными сторонами, то есть ромб. Для квадрата получится ромб и прямоугольник одновременно, то есть квадрат. ▽

**284.** Докажите, что средняя линия треугольника делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

<figure><img src="image_223.png" /></figure>
▷ В самом деле, этот отрезок разбивает треугольник на два. В каждом из треугольников имеется прямая (средняя линия большого треугольника), которая проходит через середину одной стороны параллельно основанию. Как мы видели, такая прямая будет средней линией. ◁

**285.** Даны три произвольные точки на плоскости, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник, у которого они будут серединами сторон.

<figure><img src="image_224.png" /></figure>

▷ Отрезки, соединяющие заданные точки (А, B, C), будут средними линиями искомого треугольника, поэтому его стороны легко построить (проведя через А прямую, параллельную BC и так далее). Получатся 4 равных треугольника (они равны, так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника). Поэтому точки A, B, C будут серединами сторон большого треугольника. ◁

**286.** В треугольнике проведены две медианы. Докажите, что точка их пересечения делит каждую из медиан в отношении 2 : 1 (считая от вершины).

<figure><img src="image_225.png" /></figure>

▷ Пусть в треугольнике АВС медианы AK и CL пересекаются в точке O. Нам надо доказать, что AO : OK = CO : OL = 2 : 1. Отметим середины отрезков AO (пусть это будет точка M) и CO (точка N). Надо доказать, что каждая медиана разделилась на три равные части.

<figure><img src="image_226.png" /></figure>

Проведём отрезки LK и MN. Каждый из них является средней линией в треугольнике (треугольники АВС и АОС). Поэтому каждый из них параллелен стороне АС и равен её половине. Значит, KLMN — параллелограмм. А потому диагонали его, пересекаясь, делятся пополам. Таким образом, два отрезка из трёх, на которые делится медиана, равны. Но точки M и N по построению были серединами отрезков АО и CO, значит, и все три отрезка, на которые делится медиана, равны. ◁

**287.** Докажите, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
▷ По существу, мы уже это доказали в предыдущей задаче. В самом деле, проведём одну из медиан. В какой точке пересечёт её вторая медиана? Это мы знаем: в точке, делящей её в отношении 2 : 1 (на расстоянии трети от конца). А где пересечёт её третья медиана? Точка пересечения первой и третьей медианы тоже должна делить первую медиану в отношении 2 : 1, и потому это та же самая точка! ◁

## Ещё несколько задач

**288.** Из вершин треугольника ABC проведены отрезки АК, BL и CM, соединяющие их с некоторыми точками на противоположных сторонах. Могут ли середины этих трёх отрезков лежать на одной прямой? (Где может находиться каждая из этих точек?)

**289.** Докажите, что середины пары противоположных сторон четырёхугольника и середины его диагоналей являются вершинами параллелограмма. Найдите его стороны, если известны стороны четырёхугольника.

**290.** Один конец эластичной нити закреплён неподвижно в точке O, а другой конец A движется по прямой l. По какой траектории движется середина L отрезка OA?

**291.** Середины сторон параллелограмма являются вершинами другого параллелограмма, а середины сторон этого параллелограмма являются вершинами третьего параллелограмма. Докажите, что стороны третьего параллелограмма параллельны сторонам исходного.

<figure><img src="image_227.png" /></figure>

<figure><img src="image_228.png" /></figure>
16. Теорема Фалеса

Пусть даны три прямые $l, m$ и $n$. Рассмотрим точку на прямой $l$, которая отбрасывает тень на прямую $m$ («экран»), когда свет падает вдоль (параллельно) прямой $n$. Другими словами, тенью точки $X$ на прямой $l$ называется такая точка $Y$ на прямой $m$, что отрезок $XY$ параллелен прямой $n$.

<figure><img src="image_229.png" /></figure>

292 (Теорема Фалеса<fnref n="1" />). Равные отрезки отбрасывают равные тени.

<figure><img src="image_230.png" /></figure>

Более формально, нужно доказать такое утверждение. Точки $A, B, C, D$ лежат на прямой $l$, точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ лежат на прямой $m$. Отрезки $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ параллельны прямой $n$. Известно, что $AB = CD$. Тогда $A_1B_1 = C_1D_1$.

<figure><img src="image_231.png" /></figure>

▷ Проведём отрезки $AB_2$ и $CD_2$ параллельно прямой $m$. Они параллельны друг другу, и потому в треугольниках $ABB_2$ и $CDD_2$ углы $A$ и $C$ равны. Прямые $BB_1$ и $DD_1$ также параллельны, поэтому и углы $B$ и $D$ в этих треугольниках равны. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум углам. В частности, $AB_2 = CD_2$. Остаётся заметить, что $AA_1B_1B_2$ и $CC_1D_1D_2$ — параллелограммы, у которых противоположные стороны равны (и потому все четыре отрезка $AB_2, CD_2, A_1B_1$ и $C_1D_1$ равны). ◁

<figure><img src="image_232.png" /></figure>

293. Теорема Фалеса показывает, что если точка $X$ равномерно движется по прямой $l$ (то есть покрывает равные расстояния за равные времена), то её тень $Y$ равномерно движется по прямой $m$. Может ли $Y$ двигаться быстрее $X$? Медленнее $X$?

▷ Возможно и то, и другое (см. рисунок). ◁

<footnote n="1">¹Фалес — греческий философ, живший в VI веке до н.э.; сочинения его не сохранились, но традиция связывает с его именем некоторые геометрические утверждения. Например, в сочинении римского историка Плутарха «Пир семи мудрецов» один из гео-роев, обращаясь к Фалесу, говорит: «Ты поставил свой посох там, где кончалась тень от пирамиды, так что солнечный луч, касаясь их вершин, образовал два треугольника; и ты показал, что как длина одной тени относится к длине другой тени, так и высота пирамиды к высоте посоха» (перевод М. Л. Гаспарова).</footnote>
294. Точки A, B, C лежат на прямой l, точки A₁, B₁, C₁ — их тени на m. Точка B делит отрезок AC в отношении 2 : 3. Докажите, что точка B₁ делит отрезок A₁C₁ также в отношении 2 : 3.

▷ Достаточно разделить отрезок AC на пять равных частей, две из которых составят AB, а три — BC, и провести через точки деления прямые, параллельные прямой n. По теореме Фалеса они выделект на прямой m пять равных отрезков, два из которых составят отрезок A₁B₁, а три — B₁C₁. ◁

295. Если два отрезка на прямой l относятся как 5 : 7, то их тени на прямой m также относятся как 5 : 7.

▷ Отличие этой задачи от предыдущей в том, что отрезки на прямой l не обязательно примыкают друг к другу; они могут быть в разных местах (или даже пересекаться). Но решение остаётся по существу таким же. Разобьём первый отрезок на 5 частей, а второй на 7 — тогда все части будут равными. Проведём через точки деления прямые параллельно прямой n. Эти прямые разобьют тени отрезков на 5 и 7 частей, и по теореме Фалеса все части будут равными. ◁

296. Выведите из теоремы Фалеса уже известное нам свойство средней линии треугольника: если в треугольнике АВС из середины D стороны AB провести отрезок, параллельный AC, до пересечения с BC в точке E, то эта точка окажется серединой BC.

▷ Точки B, E и C являются тенями точек B, D и A при проектировании (освещении) вдоль прямой AC. Остаётся применить теорему Фалеса к равным отрезкам AD и DB и заключить, что их тени CE и EB равны. (Тот факт, что точка B является своей собственной тенью, ничему не мешает.) ◁

Теперь легко доказать аналогичное утверждение и не только для середин сторон:

297. В треугольнике АВС точка D делит сторону AB в отношении AD : DB = 2 : 1. Через точку D проведена прямая, параллельная AC, до

<figure><img src="image_233.png" /></figure>

<figure><img src="image_234.png" /></figure>
<figure><img src="image_235.png" /></figure>

пересечения со стороной $ВС$ в точке $E$. Докажите, что стороны треугольника $DBE$ в три раза меньше сторон треугольника $ABC$.

▷ По условию $DB$ составляет треть стороны $AB$. То, что $E$ делит сторону $BC$ в отношении 1 : 2, следует из теоремы Фалеса (как в предыдущей задаче). Поэтому $BE$ составляет треть стороны $BC$.

Сложнее доказать, что $DE$ составляет треть стороны $AC$. Для этого мы сделаем дополнительное построение: проведём прямую $EF$ из точки $E$ параллельно стороне $AB$ до пересечения с $AC$ в точке $F$.

Снова применим теорему Фалеса, но теперь уже вдоль $AB$. Точки $A, F, C$ являются тенями точек $B, E, C$, поэтому $AF : FC = BE : EC = 1 : 2$. Значит, $AF$ составляет треть $AC$. Остаётся заметить, что $ADEF$ — параллелограмм (противоположные стороны параллельны по построению), и потому его стороны $DE$ и $AF$ равны. Значит, и $DE$ составляет треть $AC$. ◁

Как и в случае средней линии, можно действовать и «в обратном направлении»:

**298.** На сторонах $AB$ и $CB$ треугольника $ABC$ взяты точки $D$ и $E$, делящие их в отношении $AD : DB = CE : EB = 2 : 1$. Докажите, что $DE$ параллельно $AC$.

▷ Если $DE$ не параллельно $AC$, проведём через $D$ другую прямую, параллельную $AC$, до пересечения со стороной $BC$ в точке $E'$. По предыдущей задаче точка $E'$ делит сторону $CB$ в том же отношении 2 : 1, что и точка $E$, и потому совпадает с $E$. ◁

<figure><img src="image_236.png" /></figure>

**299.** С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на 3 равные части.

▷ Пусть $AB$ — данный отрезок. Проведем через точку $A$ какой-нибудь луч и отложим на нём с помощью циркуляя три равных отрезка $AX_1, X_1X_2$ и $X_2X_3$. (Длина этих отрезков может быть любой, важно только, чтобы все они были одной длины.)
Теперь соединим Х₃ с точкой В, получится прямая. Проведём параллельные ей прямые через точки Х₁ и Х₂ (как мы знаем, это можно сделать с помощью циркуля и линейки). Эти прямые по теореме Фалеса разделят отрезок AB на три равные части. ◁

Справедлива общая теорема Фалеса: длины отрезков относятся так же, как длины их теней.

Для случая, когда отрезки имеют общую меру (отрезок, укладывающийся в обоих целое число раз), мы это по существу уже доказали в задаче 295. Общее доказательство использует тот факт, что любое число может быть сколь угодно точно приближено дробью с целым численом и знаменателем.

Возвращаясь к формулировке общей теоремы Фалеса, можно прочитать её так: фиксируем три параллельные прямые и будем пересекать их разными прямыми. На каждой секущей получается два смежных отрезка. Теорема гласит, что отношение этих отрезков не зависит от выбора секущей.

**300.** Отрезок на прямой *l* втрое длиннее своей тени. Докажите, что любой другой отрезок на прямой *l* также втрое длиннее своей тени.

▷ Это следует из общей теоремы Фалеса и свойств пропорций. В самом деле, пусть отрезок втрое длиннее своей тени. Если длину отрезка увеличить в какое-то число раз, то по теореме Фалеса его тень увеличится во столько же раз, и отрезок останется втрое длиннее своей тени. ◁

<figure><img src="image_237.png" /></figure>

**301.** Докажите аналогичное утверждение в общем виде: отношение длины отрезка к длине его тени одно и то же для всех отрезков.

(Разумеется, мы имеем в виду, что две прямые, на которых лежат отрезок и его тень, и направление проектирования фиксированы.)

▷ Пусть отрезки длины *a* и *b* имеют тени длиной *a'* и *b'*. По теореме Фалеса *a/b* = *a'/b'*. Теперь воспользуемся свойством пропорций (дробей): умножая это равенство на *bb'*, получим, что
ab' = a'b. Теперь, деля на a'b', получаем, что
a/a' = b/b'. Что и требовалось доказать. ◁

<figure><img src="image_238.png" /></figure>

302. На клетчатой бумаге проведена прямая и отмечены её точки пересечения с горизонталями сетки. Докажите, что эти точки идут через равные промежутки.

▷ На вертикальной прямой горизонтали сетки высекают равные отрезки, поэтому по теореме Фалеса они высекают равные отрезки и на любой другой прямой. ◁

Ещё несколько задач

303. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки D и E, делящие их в отношении 3 : 4 (так что AD : DB = 3 : 4, CE : EB = 3 : 4). Докажите, что DE параллельно AC.

304 (Продолжение). Докажите, что длина DE составляет 4/7 от длины AC.

305. Как разделить отрезок на произвольное заданное число равных частей циркулем и линейкой?

306. Точки A и B движутся произвольным образом по неподвижным параллельным прямым l и m. Где может оказаться середина отрезка AB? (Нарисуйте множество всех возможных её положений.) Где может находиться точка C, делящая отрезок AB в отношении AC : CD = 2 : 3?

307. Противоположные стороны AB и CD четырёхугольника ABCD разделены на три равные части каждая, и точки деления соединены отрезками. Докажите, что середины этих отрезков, а также сторон BC и AD лежат на одной прямой на равных расстояниях друг от друга. (Воспользуйтесь тем, что середины сторон любого четырёхугольника образуют параллелограмм.)

<figure><img src="image_239.png" /></figure>

Физический смысл этой задачи можно объяснить так. Две машины ехали с постоянными скоростями: одна из А в В, другая из D в С. Они выехали и приехали одновременно. Тогда середина отрезка между машинами также движется равномерно и прямолинейно.
Физики объяснили бы это так: скорость этой точки (середины отрезка) равна полусумме векторов скорости машин и поэтому постоянна. Аналогичным образом можно доказать, скажем, что точка, делящая отрезок между машинами в отношении 1 : 2, тоже движется равномерно (см. следующую задачу, где предлагается дать геометрическое доказательство аналогичного утверждения).

**308.** Каждая из сторон четырёхугольника ABCD поделена на три равные части, и точки деления соединены отрезками (см. рисунок). Покажите, что каждый из этих отрезков делится другими также на три равные части. (Воспользуйтесь несколько раз предыдущей задачей.)

<figure><img src="image_240.png" /></figure>

**309.** По морю плывут два корабля. Каждый движается по своей прямой со своей (постоянной) скоростью. Как определить, есть ли опасность столкновения? Моряки пользуются таким правилом: если другой корабль кажется неподвижным на фоне далёких берегов, то опасность есть (и надо менять курс или скорость, пока не поздно). Объясните, как это правило следует из (общей) теоремы Фалеса.

**310.** Точка А равномерно движется по неподвижной прямой $l$, удаляясь от другой (неподвижной) прямой $m$. Покажите, что расстояние от А до $m$ увеличивается равномерно (то есть за равные промежутки времени увеличивается на одинаковую величину).

**311.** На клетчатой бумаге нарисован (наклонный) луч. Ползя по этому лучу от его начала, муравей отмечает пересечения с линиями сетки: буквой В для вертикальных и Г для горизонтальных. Например, если он ползёт как на рисунке, под углом в 45°, то получится последовательность ВГ.ВГ.ВГ... (точки разделяют повторяющиеся группы). Мы считаем, что в узлы сетки (где непонятно, какую букву писать) муравей не попадает.

Как должен ползти муравей, чтобы получилась последовательность ВВГ.ВВГ... (и возможно ли это)?

<figure><img src="image_241.png" /></figure>
312 (Продолжение). Тот же вопрос для последовательности ВВГГ.ВВГГ...

313 (Продолжение). Тот же вопрос для последовательности ВГВГВГВВГВГВ.ВГВГ... (она соответствует чередованию длинных и коротких месяцев, начиная с января, а также белых и чёрных клавиш, начиная с ноты «фа»).

314 (Продолжение). Докажите, что для любого луча последовательность букв В и Г, записанных муравьём, обладает таким свойством: в двух её участках равной длины количество букв В либо совпадает, либо отличается на единицу.
## 17. Трапеция

Четырёхугольник, в котором две противоположные стороны параллельны, называется трапецией. (Иногда требуют, чтобы две другие стороны не были бы параллельны, исключая параллелограммы из числа трапеций.) Параллельные друг другу стороны называют основаниями трапеции, а две другие — её боковыми сторонами.

**315.** Два из углов трапеции равны 60° и 130°. Что можно сказать о её остальных углах?

▷ Углы при боковой стороне трапеции составляют в сумме 180° (как внутренние односторонние). Поэтому в трапеции есть ещё углы 180°–60° = 120° и 180°–130° = 50°. Таким образом, все четыре угла найдены. ◁

**316.** Два из углов трапеции равны 60° и 120°. Что можно сказать о её остальных углах?

▷ Разница с предыдущей задачей в том, что сейчас данные углы составляют в сумме 180° и потому вполне могут быть углами при одной и той же боковой стороне трапеции. Тогда углы при другой стороне трапеции могут быть произвольными, надо только, чтобы в сумме они давали 180°. ◁

**317.** Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен её основаниям.

▷ Будем действовать «в обратном направлении»: проведём через середину боковой стороны отрезок, параллельный основанию, и убедимся, что он разделит другую сторону пополам (и тем самым совпадёт с отрезком из условия задачи). Но это — прямое следствие теоремы Фалеса. ◁

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называют средней линией трапеции.

**318.** Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. (Указание. Проведите диагональ трапеции.)
<figure><img src="image_242.png" /></figure>

▷ Проведём диагональ AC трапеции ABCD. Затем через середину боковой стороны AB проведём прямую, параллельную основаниям трапеции. Она пересечёт диагональ трапеции в её середине (как мы видели в разделе о средней линии треугольника). Далее она пересечёт боковую сторону CD, также в её середине. Тем самым средняя линия трапеции окажется разбитой на два отрезка, один из которых есть средняя линия треугольника ABC, а другой — средняя линия треугольника ACD. Каждый из этих отрезков равен половине соответствующего основания трапеции. ◁

<figure><img src="image_243.png" /></figure>

**319.** Докажите, что в любом четырёхугольнике ABCD расстояние между серединами противоположных сторон AB и CD не превосходит полусуммы $(BC + AD)/2$ и что это неравенство обращается в равенство только для трапеций.

▷ Проведём диагональ AC. Пусть M — её середина. Точка M вместе с серединами сторон AB и CD образует треугольник, одна сторона которого равна половине основания BC (как средняя линия), другая — половине основания AD, а третья — расстояние, о котором идёт речь в задаче. Остаётся воспользоваться неравенством треугольника.

Неравенство треугольника обращается в равенство, если три точки лежат на прямой — но тогда эта прямая будет параллельной и AC, и BD (средняя линия треугольника параллельна основанию), так что в этом случае ABCD будет трапецией. ◁

Трапецию, в которой боковые стороны равны, но не параллельны, называют *равнобочной*.

Если боковые стороны равны и параллельны, то это будет параллелограмм. Как мы уже говорили, иногда параллелограммы включают в число трапеций — но даже в этом случае их не называют равнобочными трапециями.

**320.** Докажите, что в равнобочной трапеции углы при основании равны.

▷ Проведём через вершину C трапеции ABCD прямую, параллельную боковой стороне AB. Она
разрежет трапецию на параллелограмм **АВСМ** и треугольник **CDM**. При этом **СМ** будет равно **АВ**, а угол **CMD** будут равен углу **А** трапеции. Если трапеция равнобочная, то треугольник **CMD** — равнобедренный и углы при его основании равны. Значит, и углы при основании трапеции равны. ◁

<figure><img src="image_244.png" /></figure>

**321.** Докажите, что если в трапеции углы при основании равны, то она равнобочная.

▷ Задача решается с помощью того же дополнительного построения, что и предыдущая: надо только воспользоваться тем, что против равных углов в треугольнике лежат равные стороны. ◁

**322.** Докажите, что в равнобочной трапеции диагонали равны.

▷ Мы уже знаем, что углы при основании **AD** равнобочной трапеции **ABCD** равны, поэтому треугольники **ABD** и **ACD** равны по двум сторонам и углу между ними. ◁

<figure><img src="image_245.png" /></figure>

**323.** Докажите, что если диагонали трапеции равны, то она равнобочная.

▷ Эта задача чуть сложнее предыдущей, здесь понадобится дополнительное построение. Проведём прямую **СЕ** параллельно диагонали **BD** до пересечения с основанием в точке **Е**. В параллелограмме **BCED** противоположные стороны **BD** и **СЕ** равны, поэтому **AC** = **СЕ**. В равнобедренном треугольнике **ACE** углы при основании равны. Они равны также углу **BDA** (секущая **AE** пересекает параллельные прямые **BD** и **СЕ**). Остаётся воспользоваться признаком равенства треугольников **CAD** и **BDA** по двум сторонам (диагонали равны, сторона **AD** — общая) и углу между ними. ◁

<figure><img src="image_246.png" /></figure>

## Ещё несколько задач

**324.** В трапеции **ABCD** на боковых сторонах выбраны точки **E** и **F**, делящие их в отношении 2 : 1 (так что **AE** : **EB** = **DF** : **FC** = 2 : 1). Докажите, что отрезок **EF** параллелен основаниям трапеции.
325 (Продолжение). Найдите длину отрезка EF,
если AD = a, BC = b.

326. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. На его противоположных сторонах AB и CD берут точки P и Q и затем отмечают середину отрезка PQ. Укажите, какие точки будут отмечены, если P и Q выбирать всеми возможными способами. (Как говорят, найдите геометрическое место середин отрезков PQ.) 〈Ответом будет некоторый многоугольник.〉
## 18. Простейшие неравенства

**327.** Докажите, что в треугольнике внешний угол всегда больше внутреннего, с ним не смежного.

▷ В самом деле, внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов. ◁

**328.** Докажите, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. (Другими словами, если в треугольнике **АВС** сторона **АВ** длиннее стороны **АС**, то угол **С** больше угла **В**.)

▷ Отложим на стороне **АВ** отрезок **AD**, равный **АС**. В равнобедренном треугольнике **АСD** углы при основании равны. Остаётся заметить, что эти равные углы меньше угла **АСВ** (угол **АСD** составляет его часть), но больше угла **АВС** (в треугольнике **ВСD** угол **В** внутренний, а угол **ADC** — внешний, см. предыдущую задачу). ◁

**329.** Докажите, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона. (Другими словами, если в треугольнике **АВС** угол **С** больше угла **В**, то **АВ** длиннее **АС**.)

▷ По существу, эта задача уже решена. Мы знаем, что против большей стороны лежит больший угол и что против равных сторон лежат равные углы (свойство равностороннего треугольника). Сравним стороны **АВ** и **АС**. Могут ли они быть равны? Не могут, так как тогда углы **В** и **С** были бы равны. Может ли сторона **АС** быть длиннее **АВ**? Не может, так как тогда лежащий против неё угол **В** был бы больше угла **С**. Остаётся единственная возможность: сторона **АВ** длиннее стороны **АС**. ◁

Такой способ рассуждения математики называют доказательством от противного.

**330.** Докажите, что в прямоугольном треугольнике самой длинной стороной является гипотенуза, а в тупоугольном — сторона, противолежащая тому углу.

<figure><img src="image_247.png" /></figure>
▷ Прямой (и тем более тупой) угол будет больше других углов треугольника, так как сумма трёх углов равна 180°. ◁

**331.** Дана прямая *l* и не лежащая на ней точка А. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки на прямую, — кратчайшее расстояние от точки А до точек, лежащих на прямой *l*.

▷ Нам надо сравнить перпендикуляр *AM* с расстоянием *AN* от точки А до какой-то другой точки *N* на прямой *l*. Но мы уже знаем, что в прямоугольном треугольнике *AMN* гипотенуза *AN* длиннее катета *AM*. ◁

<figure><img src="image_248.png" /></figure>

Утверждение предыдущей задачи иногда формулируют так: перпендикуляр короче наклонной.

**332.** Прямая *l* является серединным перпендикуляром к отрезку *AB*. Докажите, что точки, находящиеся с одной стороны от этой прямой, ближе к А, чем к *B*, а с другой стороны — наоборот.

▷ Мы уже видели, что точки на самом серединном перпендикуляре одинаково удалены от А и от *B*. Рассмотрим теперь точку *X*, находящуюся по ту же сторону, что и точка А, соединим её с А и *B* отрезками и покажем, что *XA* < *XB*. Отрезок *XB* пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке *M*, которая находится на равном расстоянии от А и *B*: отрезки *MA* и *MB* равны. Теперь заметим, что *XB* = *XM* + *MB* = *XM* + *MA*, а по неравенству треугольника последняя сумма больше *XA*. Что и требовалось доказать. ◁

<figure><img src="image_249.png" /></figure>

Таким образом, если в пустыне есть два колодца А и *B*, то с одной стороны серединного перпендикуляра живут люди, которым ближе колодец А, а с другой — которым ближе колодец *B*.

Рассмотрим теперь угол *AOB* и точку *X* внутри него. Опустим из *X* перпендикуляры на стороны угла. Какой из них длиннее? Ответ определяется тем, с какой стороны от биссектрисы угла находится точка *X*.

<figure><img src="image_250.png" /></figure>
**333.** Докажите, что если X лежит на биссектрисе, то перпендикуляры равны; если X лежит с той же стороны биссектрисы, что и сторона ОВ, то короче перпендикуляр, опущенный на ОВ; если X лежит с другой стороны биссектрисы, короче другой перпендикуляр.

▷ Опустим из точки X перпендикуляры ХР и XQ на стороны ОА и ОВ данного угла. Если X лежит на биссектрисе угла, то прямоугольные треугольники ОХР и ОХQ равны по гипотенузе и острому углу.

Пусть теперь X не лежит на биссектрисе и, скажем, лежит с той же стороны от неё, что сторона ОВ. Пусть Y — точка пересечения перпендикуляра ХР с биссектрисой. Тогда отрезок YP равен перпендикуляру YR, опущенному из Y на ОВ. Тогда ХР = ХУ + УР равно ХУ + YR, что больше XR по неравенству треугольника. В свою очередь XR больше XQ, так как перпендикуляр короче наклонной. Что и требовалось доказать. ◁

На самом деле в решении не рассмотрен случай, когда угол тупой и один из перпендикуляров падает не на сторону угла, а на её продолжение, как на рисунке. Но в этом случае этот перпендикуляр пересекает другую сторону угла и потому заведомо длиннее, чем другой (который является кратчайшим расстоянием до этой стороны) — даже если не учитывать его кусок под ОА.

**334.** Точка O находится внутри треугольника АВС. Докажите, что сторона АС видна из неё под большим углом, чем из точки B.

▷ Сравним треугольники АВС и АОС. Углы А и С второго треугольника меньше соответствующих углов первого. Поскольку сумма углов в обоих треугольниках одна и та же, то угол O в треугольнике АОС будет больше угла B в треугольнике АВС. ◁

<figure><img src="image_251.png" /></figure>

<figure><img src="image_252.png" /></figure>

<figure><img src="image_253.png" /></figure>

<figure><img src="image_254.png" /></figure>
Ещё несколько задач

<figure><img src="image_255.png" /></figure>

**335.** Точка M лежит на стороне BC треугольника АВС. Докажите, что отрезок AM короче хотя бы одной из сторон АВ и АС. (Один из углов АМВ и АМС — прямой или тупой.)

**336.** На двух сторонах треугольника взято по точке. Докажите, что расстояние между этими точками не превосходит самой длинной стороны треугольника. (Дважды воспользоваться предыдущей задачей.)

**337.** Докажите, что расстояние между любыми двумя точками внутри треугольника не превосходит самой длинной стороны треугольника. (Воспользоваться предыдущей задачей.)

**338.** Внутри треугольника АВС взята точка X. Может ли сумма расстояний ХА + ХВ + ХС быть больше периметра треугольника? (Пусть АС — самая длинная сторона треугольника. Покажите, что ХВ ≤ АС и ХА + ХС ≤ ВА + ВС.)

**339.** На клетчатой бумаге в вершинах клеток размещены колодцы; жители ходят к ближайшему колодцу. Нарисуйте «зону обслуживания» каждого из колодцев.
<figure><img src="image_256.png" /></figure>

геометрия

LEOMETYKA

<figure><img src="image_257.png" /></figure>

Симметричную кляксу легко получить, капнув чернил и сложив бумажку вдвое (см. рисунок, на котором сама бумажка тоже симметрична: края были оборваны, когда она была сложена вдвое).

**341.** Напишите слово «ГЕОМЕТРИЯ» печатными буквами, а затем постройте симметричную фигуру.

▷ См. рисунок. Он получен автоматически с помощью программы МЕТАПОСТ (она же использовалась при подготовке большинства рисунков в книге), так что это не вполне честно. Вручную удобно делать это на клетчатой бумаге, а ось симметрии взять горизонтальной или вертикальной. ◁

**342.** Даны точка А и точка А', в которую А переходит при осевой симметрии. Как построить ось симметрии циркулем и линейкой?

▷ Серединный перпендикуляр мы уже строили в задаче 117: можно построить две окружности равных радиусов с центрами в А и А' и соединить точки их пересечения. ◁

Если нужно построить его не циркулем и линейкой, а на листе бумаги, то можно просто согнуть лист пополам, чтобы А совместилась с А' (правда, для этого нужно, чтобы бумага была не очень плотной и можно было бы смотреть на просвет).

**343.** Докажите, что симметрия сохраняет расстояния: если точки А' и В' симметричны точкам А и В, то расстояния АВ и А'В' равны.

▷ Наглядно это совсем понятно: при переворачивании листа вокруг оси симметрии точки А и В совмещаются с точками А' и В', и расстояние между ними не меняется.

Можно доказать это, сославшись на уже известные нам геометрические факты. Продолжим АВ до пересечения с осью симметрии l в точке L. По определению l является серединным перпендикуляром к АА'. Значит, точка L, лежащая на этом перпендикуляре, равноудалена от А и А', то есть AL = A'L.
Аналогично $BL = B'L$. Значит,

$$AB = AL - BL = A'L - B'L = A'B'$$

что и требовалось доказать?

Внимательный читатель, наверно, сразу заметил ошибку (в отличие от невнимательного автора: в первом издании это неверное рассуждение приведено как правильное). Дело в том, что хотя на рисунке точки $A'$, $B'$, $L$ лежат на одной прямой, но это пока не доказано. Соответственно, нельзя утверждать, что $A'L - B'L = A'B'$, и последнее равенство в нашем рассуждении не обосновано. Как выйти из положения? Кратчайший (хотя и немного странный) способ рассуждения таков: хотя мы и не знаем пока, что точки $A'$, $B'$, $L$ лежат на одной прямой, мы всё равно можем записать неравенство треугольника: $A'B' + B'L \ge A'L$, так что $A'B' \ge A'L - B'L = AL - BL = AB$. Мы доказали, что при осевой симметрии расстояние между точками не уменьшается. Остаётся заметить, что и $AB$ получается осевой симметрией из $A'B'$, так что можно применить это уже доказанное утверждение в обратную сторону и заключить, что $AB \ge A'B'$. Таким образом, $AB = A'B'$, что и требовалось доказать. ◁

Более традиционное доказательство можно получить, рассмотрев точку $K$, в которой отрезок $AA'$ пересекает пряму $l$. По определению симметрии точка $K$ является серединой отрезка $AA'$, и этот отрезок пересекает пряму $l$ под прямым углом. Аналогичную точку для $BB'$ обозначим через $M$. Соединим $K$ с точками $B$ и $B'$. Прямоугольные треугольники $KMB$ и $KMB'$ равны по двум катетам, значит, $KB = KB'$ и $\angle BKM = \angle B'KM$. Из равенства этих углов следует равенство их дополнений до $90^\circ$: углы $BKA$ и $B'KA'$ равны. Теперь треугольники $BKA$ и $B'KA'$ равны по двум сторонам и углу между ними, откуда $AB = A'B'$.

Из сохранения расстояний следует, что отрезок при осевой симметрии переходит в отрезок: если точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то симметричная

<figure><img src="image_258.png" /></figure>
ей точка $С'$ лежит на отрезке $А'Б'$, соединяющем
симметричные точки к А и В. В самом деле, ес-
ли С лежит на АВ, то $АВ = AC + CB$, поэтому
$А'Б' = А'С' + С'В'$ (сохранение расстояний), по-
этому С' лежит на $А'В'$ (неравенство треугольника
обращается в равенство лишь в этом случае).

Аналогичное рассуждение показывает, что луч
переходит в луч, прямая — в прямую, так что гео-
метрические фигуры сохраняют свой вид (напри-
мер, треугольник остаётся треугольником).

344. Докажите, что симметрия сохраняет не только длины сторон треугольника, но и его углы.

▷ Третий признак равенства треугольников га-
рантирует, что если длины сторон не изменились,
то не изменились и углы. ◁

Осевую симметрию часто называют «зеркаль-
ной», поскольку симметричная фигура выглядит как
отражение в зеркальной поверхности (на рисунке
надпись на бумажке отражается в гладкой поверхно-
сти круглой пластины, вынутой из «жёсткого диска»
компьютера).

<figure><img src="image_259.png" /></figure>

Чтобы понять, почему это происходит, надо немно-
го знать физику, но проиллюстрировать это можно
следующей задачей:
345. Луч света выходит из точки A, отражается от прямой PQ в точке L по закону «угол падения равен углу отражения», и наконец попадает в точку B. Докажите, что точка A', симметричная точке A относительно PQ, лежит на прямой BL (так что наблюдателю в точке B может казаться, что свет идёт из A').

<figure><img src="image_260.png" /></figure>

▷ Симметрия сохраняет углы, так что углы, образуемые лучами LA и LA' с осью симметрии, равны: $∠ALP = ∠A'LP$. Значит, и углы BLQ и A'LP равны, так что лучи LA' и LB продолжают друг друга. ◁

Из этой задачи следует, что если из точки выходят несколько лучей и все они отражаются относительно одной прямой по закону «угол падения равен углу отражения», то отраженные лучи тоже кажутся вышедшими из одной точки (физики говорят, что в этой точке находится «мнимое изображение» — мнимое, потому что реально через эту точку свет не проходит).

<figure><img src="image_261.png" /></figure>

Закон «угол падения равен углу отражения» можно наблюдать на фотографии: луч света от лазерной указки отражается от зеркальной поверхности, лежашей на дне плошки с водой (цветную фотографию можно посмотреть в электронной версии книги).

<figure><img src="image_262.png" /></figure>

346. На одну из сторон прямого угла падает луч и отражается сначала от неё, а потом от другой стороны (по закону «угол падения равен углу отражения»). Докажите, что после двух отражений луч будет параллелен исходному.

<figure><img src="image_263.png" /></figure>
▷ Обозначим равные углы при первом отражении за $\alpha$, а при втором — за $\beta$. Тогда при первом отражении луч поворачивается на $180° - 2\alpha$, а при втором — на $180° - 2\beta$. Нам нужно доказать, что эти углы поворота — смежные односторонние при параллельных прямых, то есть что их сумма равна $180°$. Но $\alpha$ и $\beta$ — острые углы прямоугольного треугольника, так что $\alpha + \beta = 90°$. Поэтому

$$(180° - 2\alpha) + (180° - 2\beta) = 360° - 2(\alpha + \beta) = \\ = 360° - 2 \cdot 90° = 180°,$$

что и требовалось доказать. ▽

При лазерной локации Луны измеряют время, которое нужно лучу света, чтобы достичь поверхности Луны и вернуться обратно. Просто так мощности лазера едва хватает, чтобы зарегистрировать отражённые фотоны. Поэтому на Луну доставили зеркало, отражающее луч света обратно. (Такие эксперименты были в американской лунной программе, а также с советскими «Луноходами», и доставленные на Луну отражатели используют до сих пор.) Но как добиться, чтобы луч света отразился точно обратно? Для этого, следуя предыдущей задаче, используют зеркала, сходящиеся под прямым углом (только их берут три, а не два, так как наш мир трёхмерен). Это устройство называют «уголковым отражателем». (Подробности см. в журнале «Успехи физических наук», 1971, том 103, вып. 1, с. 139–154.)

Условие следующей задачи не упоминает симметрию, но в решении она нужна.

347. Турист выходит из точки А и идёт в точку B, находящуюся по ту же сторону от прямого ручья l. По дороге он должен набрать воду из ручья. Каков будет его кратчайший маршрут?

▷ Сразу же понятно, что оба участка пути (до ручья и после) должны быть прямыми. Вопрос только в том, к какой точке ручья идти. Для выбора этой точки нам поможет такое соображение.

В задаче сказано, что А и B находятся по одну сторону ручья. А что было бы, если бы они были по разные стороны? (Ручей считаем прямым и узким, так что его можно перейти, а шириной пренебречь.)

<figure><img src="image_264.png" /></figure>
Тогда ответ очевиден: надо просто идти по прямой из одной точки в другую, а в том месте, где мы пересечём ручей, заодно набрать и воду.

Теперь заметим, что если заменить точку A на симметричную точку A', то расстояние на первом участке (до ручья) не изменится, и потому выгодно набирать воду в том же самом месте. Таким образом, чтобы найти наилучший вариант, нужно построить точку A', симметричную A относительно прямой (ручья), и взять точку пересечения отрезка A'B с ручьём. ◁

<figure><img src="image_265.png" /></figure>

348. Точки A и B находятся по одну сторону от прямой l. Точка A' симметрична точке A относительно прямой l. Отрезок A'B пересекает l в точке K, а точка M лежит на прямой l и не совпадает с K. Докажите, что AK + KB < AM + MB.

▷ Это та же самая задача, но без «оживляжа» о ручье, туристах и пр. Соответственно изложим и решение. Поскольку l является серединным перпендикуляром к AA', а точки K и M на нём лежат, то AK = A'K и AM = A'M. По неравенству тругольника (A'MB) имеем

$$A'M + MB > A'B = A'K + KB,$$

и заменяя слагаемые на равные, получаем

$$AM + MB > AK + KB,$$

что и требовалось доказать. ◁

<figure><img src="image_266.png" /></figure>

Эта задача показывает, что путь света, при котором угол падения равен углу отражения, является кратчайшим. Иногда говорят, что свет «выбирает кратчайший путь» из точки в точку. Это звучит глупо — во-первых, когда луч света отражается, он ещё не знает, в какую точку он попадёт, во-вторых, что он, человек, что ли, чтобы выбирать? Тем не менее в физике этот принцип имеет большой смысл, только вместо «кратчайший» надо говорить «быстрейший» — и тогда из него можно вывести законы преломления (как меняется направление луча, когда из одной среды, скажем, воздуха, луч переходит в другую, скажем, воду).
Закон «угол падения равен углу отражения» применим не только к лучам света, но и к бильярдным шарам (в первом приближении: вращение шара вносит поправки). Поэтому в руководствах по бильяру упоминают симметрию: «Чтобы определить точку, в которой шар должен удариться о борт, нужно сначала найти точку X', зеркально отразив положение шара X от борта, через который вы будете бить, а затем из точки X' провести линию до лузы, в которую шар должен попасть. Вы получите точку Y, в которую должен удариться шар, чтобы попасть в лузу»<fnref n="1" />. Другой совет тоже использует симметрию, но отражать нужно лузу, а не шар: «Для отработки ударов с отражением от борта можно использовать воображение, в котором приставить вплотную к длинному борту стола „столфантом“. Он должен быть зеркальным отражением настоящего стола. А теперь определите на „столе-фантоме“ воображаемую лузу, в которую вы хотите положить шар, прищельтесь в нее и бейте. Самое удивительное, что реальный шар отразится от борта и пойдет в реальную лузу напротив»<fnref n="2" />.

**349.** Прямые $l$ и $m$ пересекаются в точке $O$. Произвольную точку $A$ отразили симметрично относительно прямой $l$, получили точку $A'$. Затем точку $A'$ отразили симметрично относительно прямой $m$, получили точку $A''$. Докажите, что угол $AOA''$ не зависит от выбора точки $A$ и равен удвоенному углу между прямыми $l$ и $m$.

▷ Угол $AOA''$ разбивается на четыре части, в которых есть две пары равных частей. Оставляя от каждой пары по одной части, получаем как раз угол между $l$ и $m$. ◁

В решении предыдущей задачи мы использовали конкретное расположение точки $A$ (если бы она была на месте $A'$, надо было бы рассуждать иначе), но само утверждение верно для любого положения точки $A$. Иногда его выражают словами: композиция двух осевых симметрий с пересекающимися осями — поворот на удвоенный угол между осями.

<figure><img src="image_267.png" /></figure>

<footnote n="1">¹Г. Я. Мисуна. Справочник бильярдиста. М.: АСТ, 2004.</footnote>

<footnote n="2">²Рекомендации с сайта http://www.billiardpool.ru/. Надеемся, что такое поведение шара вас (в отличие от авторов рекомендации) не особенно удивляет.</footnote>
Ещё несколько задач

350. Как построить точку, симметричную дан-
ной, пользуясь только циркулем (но не линейкой)?
(Проведите несколько окружностей с центрами на
оси симметрии, проходящих через данную точку.)

351. Начинающий шахматист Боря, узнав прави-
ла игры, думает: играя чёрными, я могу отвечать
симметрично ходам противника, и тогда заведомо
не проиграю. В чём он не прав?

352. Встаньте перед зеркалом и поднимите ле-
вую руку. Какую руку поднимет ваше отражение?

В связи с зеркалами часто задают такой вопрос: по-
чему зеркало меняет местами правое и левое, но не ме-
няет местами верх и низ? Вопрос выглядит безобидно,
но попытки на него ответить показывают, что он, можно
сказать, философский — чем больше про это думаешь,
тем меньше понятно, что спрашивается. (Подумайте про
это на досуге. Так ли это, если лечь на пол у зеркала?
что сказала бы на эту тему камбала? Можно уточнить
слова «меняет правое и левое», сказав, что «движение в
пространстве, наилучшим образом совмещающее стояще-
го перед зеркалом человека с его отражением, совмещает
одну его руку с отражением другой», но тогда становится
непонятно, в чём же тут вопрос.)

353. Что снято на этой фотографии?

354. .нръдвє йотє энвоплєү этнтроqП

355. Какие из русских букв имеют ось симме-
трии? (Ответ зависит от того, брать ли строчные
буквы или прописные, и как их писать. Например,
буква А симметрична, а буква Л — нет.)

356. Для каких букв русского алфавита симме-
тричных нет в русском, но есть в латинском алфа-
вите?

357. Какие треугольники имеют ось симметрии?
Сколько осей симметрии может быть у треугольни-
ка?

358. Сколько осей симметрии может быть у че-
тырёхугольника?

<figure><img src="image_268.png" /></figure>
<figure><img src="image_269.png" /></figure>

**359.** Выпуклый пятиугольник имеет ось симметрии. Докажите, что она проходит через одну из его вершин. (При симметрии вершины переходят в вершины.)

**360.** Почему спереди у некоторых машин специального назначения надпись делают зеркальной?

**361.** В своей книжке «Занимательная физика» замечательный популяризатор науки Я. И. Перельман (1882–1942, умер от голода в блокадном Ленинграде) пишет: «Оказывается, что и обыкновенным зеркалом не все умеют пользоваться. Сплошь и рядом, желая хорошо осветить себя в зеркале, ставят лампу позади себя, чтобы „осветить своё отражение“, вместо того, чтобы осветить самих себя! Многие женщины поступают именно таким образом». Проделайте этот опыт. Чего не учёл Яков Исидорович, критикуя прекрасных дам?

**362.** На фотографии (сделанной Н. Кайзером в зоопарке Рóстока и помещённой им в википедии) изображён крокодил (Caiman уасаге) и его отражение в воде. Где здесь крокодил, а где отражение? По какому признаку вы это определили? (Здесь воспроизведён лишь кусок фотографии, и он мог быть перевёрнут.)

<figure><img src="image_270.png" /></figure>
363. Разберите другие варианты расположения точки A в задаче 349.

364. Два прямых шоссе, пересекаясь, делят лес на четыре части — два острых угла и два тупых. Турист поставил палатку в одной из частей, имеющих вид острого угла. Он хочет выйти по очереди сначала на одно шоссе, потом на другое, а потом вернуться в палатку. Как ему идти, чтобы путь был как можно короче? А что будет, если он поставил палатку внутри тупого угла?

365. Точки A и B находятся по разные стороны от прямой l. Как найти на прямой l точку K, для которой расстояния AK и BK отличаются как можно меньше? как можно больше?

366. Может ли фигура иметь ровно пять осей симметрии?

367. Может ли фигура иметь ровно две оси симметрии, параллельные друг другу?

368. Бывают ли другие углы (кроме прямого), которые обладают описанным в задаче 346 свойством: вошедший в них луч после нескольких отражений обязательно выходит в направлении, параллельном исходному?

369. Луч входит в угол в 13° с зеркальными стенками и далее отражается от них по закону отражения. Может ли он там застрять (отражаться бесконечно много раз, так и не выйдя)? Если нет, то какое максимальное число отражений возможно?

370. Прямые l и m параллельны. Точку A отразили симметрично относительно прямой l, получив точку A'. Затем точку A' отразили симметрично относительно прямой m, получив точку A''. Докажите, что расстояние между точками A и A'' не зависит от выбора точки A (в частности, не зависит от того, с какой стороны от прямых она лежит).

371. Луч света падает на прямую в точке O и отражается от неё по закону «угол падения равен углу отражения». На какой угол повернётся отражённый луч, если прямую повернуть на угол α?
372. Двое по очереди ставят слонов одного цвета на шахматную доску. Тот, кто поставит слона под бой уже стоявших на доске слонов, проигрывает. Придумайте, как надо играть второму игроку, чтобы гарантированно выиграть. (Эта задача не случайно попала в раздел об осевой симметрии.)

373. На плоскости нарисованы три точки, являющиеся вершинами треугольника. Где можно поставить четвёртую точку, чтобы получившаяся фигура имела ось симметрии? (Вариантов положения четвёртой точки может быть несколько; это зависит от расположения исходных точек, так что надо разбирать несколько случаев.)
## 20. Центральная симметрия

Точки А и А' называют симметричными относительно точки О (которую называют центром симметрии), если О является серединой отрезка АА'.

**374.** Даны точка А и центр симметрии О. Как построить точку А', симметричную А относительно О, с помощью циркуля и линейки?

<figure><img src="image_271.png" /></figure>

▷ Провести по линейке прямую через А и О, а затем циркулем отложить отрезок, равный АО, по другую сторону от О. ◁

**375.** На рисунке были изображены точки А и А', центрально-симметричные друг другу относительно точки О. Затем точку О стёрли, а точки А и А' остались. Как восстановить положение точки О?

▷ Построить середину отрезка АА'. ◁

Применяя центральную симметрию ко всем точкам фигуры, мы получаем центрально-симметричную ей фигуру. Если она совпадает с исходной, то говорят, что фигура имеет центр симметрии.

**376.** Напишите печатными буквами слово ГЕОМЕТРИЯ, а затем нарисуйте симметричную фигуру (относительно какой-либо точки).

<figure><img src="image_272.png" /></figure>

▷ См. рисунок. ◁

Центральную симметрию можно описать как поворот на 180° относительно центра симметрии: отрезок ОА поворачивается на 180° и превращается в ОА'.

**377.** Докажите, что центральная симметрия не меняет расстояний: если точки А' и В' симметричны точкам А и В относительно точки О, то расстояния АВ и А'B' равны.

<figure><img src="image_273.png" /></figure>

▷ Как и с осевой симметрией, это не вызывает сомнения: при повороте бумаги вокруг точки О расстояния не меняются, а отрезок АВ переходит в А'B'. Но можно доказать это и с помощью при-
знака равенства треугольников: треугольники AOB и A'OB' равны по двум сторонам (OA = OA', OB = OB') и углу между ними (вертикальные углы равны). ◁

Как и в случае с осевой симметрией, из сохранения расстояний следует, что отрезок переходит в отрезок, прямая — в прямую, угол — в равный по величине угол и т. д.

**378.** У каких букв русского алфавита есть центр симметрии?

**379.** Докажите, что параллелограмм всегда имеет центр симметрии.

▷ В самом деле, диагонали параллелограмма делятся пополам точкой пересечения, значит, каждая его вершина переходит в противоположную. ◁

**380.** Точку A подвергли центральной симметрии с центром в точке O, получилась точка A'. Затем точку A' подвергли центральной симметрии с центром в другой точке O', получилась точка A''. Найдите расстояние между A и A'', если расстояние между O и O' равно a.

▷ Расстояние между O и O' вдвое меньше расстояния между A и A', так как OO' является средней линией треугольника AA'A''. Ответ: 2a. ◁

<figure><img src="image_274.png" /></figure>

Иногда центральная симметрия помогает в решении задач на построение (даже если в условии и не упоминается):

**381.** Дан треугольник ABC и точка O внутри него. Постройте отрезок с серединой в точке O, концы которого лежат на границе треугольника ABC. Какое максимальное количество решений может иметь эта задача?

▷ Нам надо найти точку X на границе треугольника, для которой симметричная ей (относительно O) точка X' также оказывается на границе треугольника.

Для этого спросим себя: а где вообще может быть X', симметричная точке X на границе треугольника.
треугольника АВС? В такой форме ответ ясен: на границе симметричного треугольника А'В'С' (точки А', В', С' симметричны точкам А, В, С отнсительно точки O). Значит, нужно построить этот симметричный треугольник и взять в качестве X' одну из точек его пересечения с исходным. Таких точек пересечения максимум 6, они группируются в три пары, значит, задача может иметь максимум три решения. ◁

<figure><img src="image_275.png" /></figure>

## Ещё несколько задач

**382.** Какое поле симметрично полю е2 относительно центра шахматной доски?

**383.** На плоскости нарисованы три точки, являющиеся вершинами треугольника. Где можно поставить четвёртую точку, чтобы получившаяся фигура имела центр симметрии? Укажите все варианты. Сколько их?

**384.** Закончите предложение: «Чтобы достроить треугольник до параллелограмма, надо добавить к нему треугольник, симметричный относительно...».

**385.** Может ли выпуклый пятиугольник (все углы меньше развёрнутого) иметь центр симметрии?

**386.** Флажок имеет показанную на рисунке форму и вешается на гвоздик за середину привязанной к нему верёвки; верхний край флажка горизонтален. Нарисуйте, в какую часть стены нужно вбивать гвоздик, чтобы флажок закрыл пятно на стене. (Пятно считайте точкой.)

<figure><img src="image_276.png" /></figure>

**387.** Двое игроков по очереди кладут одинаковые монеты на прямоугольный стол. Касаться уже лежащих монет или сдвигать их нельзя. Кто не может положить монету (так, чтобы она не упала со стола), проигрывает. Как должен играть первый игрок, чтобы гарантировать себе выигрыш? (Вначале он должен положить монету точно в центр стола, далее см. название раздела.)
388. Разорвём оборотную сторону конверта и развернём его на плоскость, получится фигура с неровными краями. Покажите, что копиями такой фигуры можно замостить плоскость.

<figure><img src="image_277.png" /></figure>

<figure><img src="image_278.png" /></figure>
## 21. Углы в окружности

Если разрезать окружность в каких-то двух точках А и В, то она распадётся на две дуги. И ту, и другую называют «дуга AB» (если из контекста не ясно, какая из двух дуг имеется в виду, то выбирают точку C на дуге и говорят «дуга ACB»).

Соединяя центр окружности с концами дуги, получаем центральный угол, ей соответствующий. Величину этого угла называют величиной дуги. Величина дуги (как и величина соответствующего угла) измеряется в градусах.

<figure><img src="image_279.png" /></figure>

Более точно было бы говорить «угловая величина дуги», поскольку дуга данной величины может быть и в маленькой, и в большой окружности, и нормальный человек (не математик) вряд ли скажет, что эти дуги «одной величины».

Рассмотрим две дуги, на которые точки А и В разбивают окружность. Два соответствующих центральных угла в сумме составляют 360°, так что нам нужны углы, большие развёрнутого (см. обсуждение на с. 12). Избежать этого можно, изменив формулировки: величину дуги, большей полуокружности, можно определить как 360° минус центральный угол другой дуги.

Отметим следующее свойство дуг, которое сразу же следует из определения: если дуга ACB разбита точкой C на две дуги AC и CB, то величина дуги ACB равна сумме величин дуг AC и CB.

(В самом деле, соответствующий центральный угол тоже разбивается на две части.)

389. Докажите, что если две дуги одной окружности имеют равные величины, то стягивающие их хорды равны.

▷ Соединив концы хорд с центром окружности, получим два треугольника, которые равны по двум сторонам (радиусам) и углу между ними. ◁

(То же самое можно сказать и про две дуги одной величины в двух окружностях равных радиусов.)

<figure><img src="image_280.png" /></figure>
Можно ли сказать, что верно обратное: если равны хорды, то равны стягивающие их дуги? Не совсем: одна хорда стягивает две разные дуги, так что надо быть аккуратнее.

**390.** Окружность разбита пятью точками на пять дуг одинаковой величины. Найдите величину кольцой из них.

▷ На все дуги вместе приходится $360°$, поэтому каждая из них равна $360°/5 = 72°$. ◁

<figure><img src="image_281.png" /></figure>

(Теорема о вписанном угле) Пусть $A, B$ и $C$ — точки окружности с центром $O$. Тогда угол $ВАС$ равен половине величины дуги $ВС$, то есть половине угла $ВОС$.

Угол $ВАС$ называют вписанным углом, опирающимся на дугу $ВС$. Тогда можно сказать так: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

<figure><img src="image_282.png" /></figure>

**391.** Выведите из теоремы о вписанном угле, что все отмеченные на рисунке углы (опирающиеся на одну и ту же дугу) равны.

▷ Все они равны половине соответствующего центрального угла. ◁

Как доказывается теорема о вписанном угле? Для начала в следующих двух задачах разберём частные случаи теоремы о вписанном угле, когда одна из сторон треугольника $АВС$ является диаметром окружности.

**392.** Если $АВ$ — диаметр окружности, а $С$ — произвольная её точка, то угол $АСВ$ — прямой. (а) Выведите это утверждение из теоремы о вписанном угле. (б) Докажите его, не ссылаясь на эту теорему.

<figure><img src="image_283.png" /></figure>

▷ (а) Угол $АСВ$ опирается на дугу, составляющую половину окружности. Соответствующий центральный угол будет развёрнутым, и его величина равна $180°$. Поэтому вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине от $180°$, то есть $90°$.

(б) Соединим точку $C$ с центром окружности $O$ (серединой диаметра $AB$). Получатся два равнобедренных треугольника $АОС$ и $СОВ$. В равнобе-
дренном треугольнике углы при основании равны, поэтому угол **АСВ** (равный ∠АСО + ∠ОСВ) равен сумме углов **А** и **В** треугольника **АВС**. А если в треугольнике один угол равен сумме двух других, то он прямой (так как сумма углов треугольника равна 180°). ◁

393. Если **АВ** — диаметр окружности с центром в **O**, а **С** — произвольная точка окружности, то угол **СОВ** вдвое больше угла **САВ**. (а) Выведите это утверждение из теоремы о вписанном угле. (б) Докажите его, не ссылаясь на эту теорему.

▷ (а) В самом деле, согласно этой теореме угол ∠САВ равен половине величины дуги ВС, то есть половине соответствующего ей центрального угла СОВ.

(б) Треугольник **АОС** — равнобедренный, поэтому углы при его основании равны. Значит, его внешний угол **СОВ** (равный сумме двух углов при основании) вдвое больше каждого из них. ◁

Решив предыдущую задачу, мы тем самым доказали теорему о вписанном угле для случая, когда одна из сторон этого угла является диаметром. Оказывается, общий случай легко сводится к этому частному. Пусть ∠CAD — произвольный вписанный угол.

Проведём через его вершину диаметр. Этот диаметр разделит угол и соответствующую ему дугу на две части. Каждая из частей угла имеет своей стороной диаметр, и потому (по предыдущей задаче) равна половине дуги, на которую опирается. Значит, и весь угол равен половине дуги, на которую опирается. Теорема о вписанном угле доказана.

Внимательный читатель заметил, вероятно, что мы не рассмотрели случай, когда стороны вписанного угла лежат по одну сторону от диаметра, проведённого через его вершину (см. рисунок). Этот случай рассматривается аналогично, только надо не складывать углы, а вычитать:

$$ 
\begin{aligned}
\angle CAD &= \angle CAB - \angle DAB = \frac{1}{2} \angle COB - \frac{1}{2} \angle DOB = \\
&= \frac{1}{2} (\angle COB - \angle DOB) = \frac{1}{2} \angle COD.
\end{aligned}
$$

394. Минутная стрелка часов движется по окружности циферблата. Паук смотрит на её конец,

<figure><img src="image_284.png" /></figure>

<figure><img src="image_285.png" /></figure>

<figure><img src="image_286.png" /></figure>
<figure><img src="image_287.png" /></figure>

сидя в некоторой точке той же окружности. На какой угол поворачивается конец стрелки за минуту с его точки зрения?

▷ За минуту стрелка проходит дугу в $360/60 = 60°$ градусов. Вписанной угол, опирающийся на эту дугу, равен $6/2 = 3°$. Поэтому с точки зрения паука конец стрелки смещается на $3°$ в минуту. Другими словами, равномерное движение точки по окружности остаётся равномерным, если смотреть не из центра, а из какой-то точки окружности, только угловая скорость вдвое меньше. ◁

<figure><img src="image_288.png" /></figure>

Теорему о вписанном угле можно ещё проиллюстрировать так: если мы хотим от одного конца длинного дома пройти к другому концу и при этом видеть дом всё время под одним углом, то нужно двигаться по дуге окружности.

Аккуратная формулировка теоремы о вписанном угле требует некоторых уточнений. Во-первых, мы говорили о «дуге BC», в то время как таких дуг две, и нужно сказать, какую из них взять. Имеется в виду та, которая лежит внутри угла BAC (что соответствует интуитивному пониманию слов «опираются на дугу»).

Во-вторых, чтобы наша формулировка была правильной, надо рассматривать дуги, большие 180°. Этого можно избежать, но тогда формулировка теоремы о вписанном угле становится более сложной: если вписанной угол острый, то он равен половине угла между радиусами, а если тупой, то дополняет её до 180°.

**395.** В четырёхугольнике ABCD два противоположных угла A и C прямые. Докажите, что угол CBD равен углу CAD.

<figure><img src="image_289.png" /></figure>

▷ Диагональ BD разрезает четырёхугольник на два прямоугольных треугольника. Построим окружность, у которой эта диагональ будет диаметром. Эта окружность пройдет через вершины четырёхугольника (вспомним, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине). Остаётся применить теорему о вписанном угле. ◁
**396.** Вершины равностороннего треугольника лежат на окружности. Докажите, что из любой точки окружности одна из сторон треугольника видна под углом 120°, а две другие — под углом 60°.

▷ Все углы равностороннего треугольника равны 60°, поэтому дуги, на которые они опираются, равны 120°. Поэтому углы AMB и BMC на рисунке также равны 60°, а AMC равен 120°. ◁

<figure><img src="image_290.png" /></figure>

**397.** Если две хорды одной окружности параллельны, то заключённые между ними дуги равны по величине.

▷ Соединим противоположные концы хорд отрезком, получим два равных накрест лежащих угла. Значит, дуги окружности, на которые они опираются, равны. ◁

<figure><img src="image_291.png" /></figure>

**398.** Докажите, что если окружность проходит через все четыре вершины трапеции, то боковые стороны трапеции равны (трапеция равнобочная).

▷ По предыдущей задаче дуги, заключённые между основаниями трапеции, равны. Следовательно (задача 389), стягивающие их хорды, то есть боковые стороны трапеции, равны. ◁

**399.** Вершины четырёхугольника ABCD лежат на окружности. Докажите, что сумма двух его противоположных углов (А и C, а также B и D) равна 180°.

▷ Эти противоположные углы опираются на взаимно дополнительные дуги, составляющие вместе целую окружность, то есть 360°. Значит, сумма углов равна половине от 360°, то есть 180°. ◁

**400.** Вершины четырёхугольника ABCD лежат на окружности. Проведены диагонали AC и BD. Укажите четыре пары равных углов, вершины которых лежат на окружности.

▷ См. рисунок, где одинаково обозначены равные углы, опирающиеся на общую дугу. ◁

<figure><img src="image_292.png" /></figure>
**401.** Отрезки AB и BC — диаметры двух окружностей, пересекающихся в B и еще одной точке. Докажите, что эта вторая точка лежит на прямой AC.

▷ Пусть D — другая точка пересечения. Угол BDA опирается на диаметр окружности и потому прямой. Аналогичным образом угол BDC — прямой. Значит, отрезки AD и DC составляют развёрнутый угол, то есть продолжают друг друга, то есть точка D лежит на прямой AC. ◁

<figure><img src="image_293.png" /></figure>

**402.** Мы видели, что из любой точки окружности её диаметр виден под прямым углом. Докажите, что из точек внутри окружности он виден под тупым углом, а из точек вне окружности — под острым.

<figure><img src="image_294.png" /></figure>

▷ Пусть AB — диаметр, а C — точка внутри окружности. Докажем, что угол АСВ тупой. Продолжим АС до пересечения с окружностью в точке D. Угол ADB будет прямым, а угол АСВ будет внешним углом прямоугольного треугольника, смежным к его остому углу, и потому тупым.

<figure><img src="image_295.png" /></figure>

Если же C лежит вне окружности и отрезок AC пересекает окружность в точке D, то угол ADB будет прямым, а угол C будет острым углом прямоугольного треугольника CDB.

<figure><img src="image_296.png" /></figure>

Может случиться, правда, что АС не пересекает окружность вовсе, но тогда надо поменять ролями точки А и B, рассмотрев точку пересечения отрезка BC с окружностью. Можно также сдвинуть точку C в направлении центра, поместив её на окружность, и воспользоваться утверждением задачи 334. ◁

Следующие две задачи указывают, чему равен избыток (или недостаток) угла АСВ в предыдущей задаче по сравнению с прямым углом: он оказывается равен полошине некоторой дуги окружности.

<figure><img src="image_297.png" /></figure>

**403.** Докажите, что угол между двумя пересекающимися хордами AB и CD равен полусумме дуг BD и AC (заключённых внутри этого угла и вертикального к нему).

▷ Пусть O — точка пересечения хорд. Проведём хорду AD. Интересующий нас угол BOD является
внешним углом треугольника AOD и потому равен сумме двух не смежных с ним углов этого треугольника. Оба этих угла — вписанные, один из них равен половине дуги АС, а другой — половине дуги BD. ◁

**404.** Угол $\beta$ между продолжениями двух непере-секающихся хорд AB и CD равен половине разности величин дуг BD и AC.

▷ Обозначим через O точку пересечения про-должений хорд. Проведём хорду ВС. В треугольнике OBC сумма угла $\beta$ и вписанного угла АВС равна внешнему углу ВСD, поэтому угол $\beta$ равен разности этих двух углов, то есть полуразности сов-ответствующих дуг. ◁

<figure><img src="image_298.png" /></figure>

**405.** Прямая пересекает окружность в точках А и B и делит круг на две части (называемые сегментами). Рассмотрим один из них, ограниченный хордой АВ и дугой окружности. Как мы знаем (те-орема о вписанном угле), из всех точек этой дуги хорда АВ видна под одним и тем же углом. Дока-жите, что из всех внутренних точек сегмента она видна под большим углом, а из точек, лежащих вне окружности (но с той же стороны от прямой) — под меньшим.

▷ Для прямого угла мы эту задачу уже реша-ли, и можно было бы действовать тем же способом. Но теперь мы можем вместо этого сослаться на две предыдущие задачи.

Нам нужно доказать, что угол AOB больше по-ловины дуги АВ (имеется в виду дуга, лежащая с другой стороны от прямой). В самом деле, по за-даче 403 этот угол равен полусумме дуги АВ и PQ на рисунке, и превышение над исходным углом (он равен половине дуги АВ) равно половине дуги PQ.

Если же точка O лежит вне сегмента, то угол AOB равен полуразности дуги АВ и PQ (задача 404) и потому меньше половины дуги АВ на величину, равную половине дуги PQ. ◁

<figure><img src="image_299.png" /></figure>

<figure><img src="image_300.png" /></figure>
<figure><img src="image_301.png" /></figure>

<figure><img src="image_302.png" /></figure>

<figure><img src="image_303.png" /></figure>

На самом деле возможны и другие случаи расположения точки O вне сегмента, но во всех случаях угол AOB оказывается меньше половины интересующей нас дуги. Например, в показанном на рисунке случае угол AOB равен полуразности PQ и верхней из двух дуг с концами A и B, и уменьшаемое (дуга PQ) меньше дуги APQB.

**406.** Даны две точки A и B. Нарисуйте, где находятся точки C, из которых отрезок AB виден под углом 30°.

▷ Построим правильный треугольник ABC со стороной AB и окружность с центром в точке C, проходящую через точки A и B. Дуга AB этой окружности видна из центра под углом 60°, и потому из точек окружности (лежащих по ту же сторону от AB, что и точка C) отрезок виден под углом 30°. То же относится и к симметричной дуге окружности по другую сторону от AB. Получаем фигуру из двух дуг окружностей, из любой точки которой отрезок AB виден под углом 30°. Как показывает предыдущая задача, из точек внутри этой фигуры отрезок AB виден под бойшим углом, а из точек вне её — под меньшим. ◁

## Ещё несколько задач

**407.** Окружность разделена на пять равных дуг, и соседние точки деления соединены отрезками. Докажите, что в полученном пятиугольнике все стороны и углы равны. (Такие многоугольники называют-ся правильными.)

**408.** Нарисуйте на плоскости шесть точек таким образом, чтобы любые три из них были вершинами равнобедренного треугольника. (См. предыдущую задачу.)

**409.** Вершины треугольника лежат на окружности, радиус которой равен одной из сторон треугольника. Каким может быть угол треугольника, противолежащий этой стороне? (Есть два варианта.)

**410.** Даны две точки A и B. Нарисуйте, где может находиться точка C, если известно, что тре-
угольник **АВС** прямоугольный (но не сказано, какой именно из его углов прямой).

411. Величина дуги **АВ** равна $\alpha$. Найдите угол **ВАО**, если $\text{О} — \text{центр окружности}$.

412. На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах построены окружности. Все четыре окружности имеют общую точку. Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны.

413. На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах построены круги. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник. (Если точка останется непокрытой, то каждая сторона четырёхугольника будет видна из неё под острым углом.)

414. Окружность разделена четырьмя точками на четыре дуги. Середины этих дуг являются вершинами четырёхугольника. Докажите, что диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны.

415. Дан остроугольный треугольник. Как с помощью циркуля и линейки найти точку, из которой все стороны треугольника видны под углом $120^{\circ}$?

Можно доказать (но это уже сложнее), что в этой точке сумма расстояний до вершин треугольника достигает минимума. Эту точку иногда называют **точкой Ферма-Торичелли** (это тот самый Ферма, который сформулировал «великую теорему Ферма» и доказал «малую теорему Ферма», и тот самый Торичелли, который поднимался на гору с изобретённым им ртутным барометром).

416. На сторонах остроугольного треугольника **АВС** построены равносторонние треугольники **АКВ**, **BLC** и **СМА** (вершины всех треугольников перечисляются по часовой стрелке), и около них описаны окружности. (Это значит, что вершины какжого из трёх равносторонних треугольников лежат на соответствующей окружности.) Покажите, что эти три окружности проходят через одну точку. (См. предыдущую задачу.)

417. На сторонах остроугольного треугольника **АВС** построены равносторонние треугольники **АКВ**, **BLC** и **СМА** (вершины всех треугольников
<figure><img src="image_304.png" /></figure>

перечисляются по часовой стрелке). Покажите, что отрезки AL, BM и CK проходят через одну точку и пересекаются в ней под углами 60°.

**418.** Два прожектора равномерно вращаются по часовой стрелке с одинаковой скоростью: за секунду каждый из них поворачивается на 1°. По какой траектории движется точка пересечения лучей этих прожекторов? [Ответ: По дуге окружности.]

**419.** В остроугольном треугольнике ABC прозведены высоты AK и BL, пересекающиеся в точке O. Докажите, что (а) точки A, B, K, L лежат на одной окружности; (б) точки O, K, L, C лежат на одной окружности; (в) углы BAK, BLK и OCK равны; (г) CO при продолжении пересекает AB под прямым углом; (д) в остроугольном треугольнике три высоты проходят через одну точку; (е) в треугольнике, вершинами которого являются основания высот, сами эти высоты служат биссектрисами; (ё) прямая, соединяющая середины отрезков AB и OC, перпендикулярна отрезку KL и делит его пополам.
## 22. Касательные

Пусть А — точка окружности, ОА — ведущий в неё радиус. Возьмём на окружности другую точку В. Если величина дуги АВ равна $\alpha$, то угол ОАВ равен $90° - \frac{\alpha}{2}$ (поскольку сумма углов в равнобедренном треугольнике ОАВ равна $180°$). Когда дуга АВ уменьшается и стягивается в точку, угол $\alpha$ стремится к нулю, угол ОАВ становится прямым, а секущая АВ превращается в касательную, что приводит к такому определению:

Касательной к окружности называют прямую, проведённую через какую-либо точку окружности (называемую точкой касания) перпендикулярно к радиусу, проведённому в точку касания.

Из сказанного нами следует, что касательная имеет единственную точку пересечения с окружностью. Если бы их было две, как на рисунке (точки А и В), то в равнобедренном треугольнике ОАВ углы при основании были бы острыми, а не прямыми. Касательная является единственной прямой, проходящей через данную точку окружности и не имеющей других пересечений с окружностью. (В следующей задаче уточняется, где будет вторая точка пересечения, если касательную повернуть на угол $\beta$.) Поэтому во многих учебниках касательную к окружности так и определяют — как прямую, имеющую одну общую точку с окружностью.

**420.** Касательную к окружности повернули на угол $\beta$ вокруг точки касания, отчего она стала секущей. Найдите величину дуги, которую она отсекает.

▷ Пусть ОА — радиус, проведённый в точку касания, АВ — секущая. Касательная перпендикулярна радиусу, поэтому угол ОАВ между радиусом и секущей равен $90° - \beta$. Треугольник ОАВ равнобедренный, поэтому второй угол в нём также равен $90° - \beta$, а третий угол (с вершиной в центре окружности) равен $2\beta$. Таким образом, повёр-

<figure><img src="image_305.png" /></figure>

<figure><img src="image_306.png" /></figure>

<figure><img src="image_307.png" /></figure>