# Une idée concernant la majoration numérique de la solution du problème de Neumann relatif à l'équation de la chaleur

par G. ADLER (Budapest)

Dans ce travail nous allons présenter une méthode pour la majoration a priori de la solution du second problème aux limites relatif à l'équation de la chaleur.

La méthode utilisée ne convient actuellement que pour le traitement du problème à 1-dimension, cependant elle s'applique aussi au cas d'une frontière variable.

**§ 1. Définitions.** Soit $\bar{D}$ un domaine fermé du plan $(x, t)$, limité par les droites $t=0, t=T$ ($>0$) et par les courbes continues $\Sigma_1, \Sigma_2$ données par les équations

$$ \Sigma_1: x = \xi_1(t), \quad \Sigma_2: x = \xi_2(t), \\ \text{où} \\ \xi_1(t) < \xi_2(t), \quad 0 \le t \le T. $$

Introduisons les notations :

$$ l(t) = \xi_2(t) - \xi_1(t), \quad L = \max_{\substack{0 \le t \le T \\ t=1,2}} |\xi_1(t)|. $$

Soit $\mathcal{S}$ la partie de la frontière de $\bar{D}$ composée de $\Sigma_1, \Sigma_2$ et du segment $\{\xi_1(0) \le x \le \xi_2(0), t=0\}$. Posons $D = \bar{D}-\mathcal{S}$.

Dans cette note nous allons considérer l'équation de la chaleur

$$ (1) \qquad \frac{\partial}{\partial x} \left[ k(x) \frac{\partial u}{\partial x} \right] = p(x) \frac{\partial u}{\partial t} - f(x, t), $$

dont les coefficients satisfont aux conditions suivantes (¹):

<footnote>(¹) On dira qu'une fonction $g(x)$ (dépendant de la seule variable $x$) est définie (resp. possède des certaines propriétés) sur un ensemble $E$ de l'espace cartésien $(x, t)$, si elle est définie (resp. si elle possède les propriétés en question) pour les abscisses $x$ de tous les points $(x, t) \in E$.</footnote>
1° $k(x)$ est continue dans $\bar{D}$ et admet une seconde dérivée continue dans $D$, de plus

$$k(x) \geqslant k > 0 \quad (k = \text{const.});$$

2° $p(x)$ est continue dans $\bar{D}$ et admet une première dérivée dans $D$ de plus

$$p(x) \geqslant p > 0 \quad (p = \text{const.});$$

3° $f(x, t)$ admet une première dérivée par rapport à $x$ dans $D$.

Les lemmes du § 2 se référeront à l'équation un peu plus générale

$$(2) \qquad a(x) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + b(x) \frac{\partial u}{\partial x} + c(x) u = \frac{\partial u}{\partial t} + d(x, t)$$

de type parabolique, avec des coefficients bornés et

$$a(x) \geqslant a > 0 \quad (a = \text{const.}).$$

Si l'on dit que $u(x, t)$ satisfait à l'équation (1) ou (2) dans $D$, on sous-entend que toutes ses dérivées qui figurent dans ces équations, existent et sont continues dans $D$.

Nous introduisons les notations suivantes pour la fonction $u(x, t)$ définie et continue dans $\bar{D}$ et y admettant une dérivée continue par rapport à $x$:

$$\max_{\bar{D}} |u| = m, \quad \max_{S} \left| \frac{\partial u}{\partial x} \right| = M, \quad \max_{\bar{D}} \left| \frac{\partial u}{\partial x} \right| = \bar{M},$$

et posons

$$Q = \int_{\xi_1(0)}^{\xi_2(0)} p(x)u(x, 0)dx, \quad F(t) = \int_0^t \int_{\xi_1(\tau)}^{\xi_2(\tau)} |f(x, \tau)|dx d\tau.$$

**§ 2. Lemmes.** Les idées de la démonstration des lemmes suivants sont connues (voir p.e. [1]). Nous ne citons ces lemmes que pour être complet.

**LEMME 1** (principe du maximum). *Soit $u(x, t)$ une solution dans $D$ de l'équation (2), continue dans $\bar{D}$. Supposons $c(x) \leq 0$ et $d(x, t) \leq 0$ dans $D$. Alors $u(x, t)$ (supposée non-identiquement constante) ne peut pas admettre un minimum négatif dans $D$ (plus précisément: si $u(x, t)$ atteint dans $D$ le minimum de ces valeurs prises dans $\bar{D}$, alors ce minimum est non-négatif); il s'en suit:*

$$\min_{\bar{D}} u(x, t) \geqslant \min_{S} \{\min_{S} u(x, t); 0\}.$$

**LEMME 2.** *Soit $u(x, t)$ une solution dans $D$ de l'équation (2), continue dans $\bar{D}$. Supposons $c(x) \leq 0$ dans $D$. Alors*

$$\max_{\bar{D}} |u(x, t)| \leq \max_{S} |u(x, t)| + e^{2\lambda L \sup_{\bar{D}} |d(x, t)|},$$
où $\lambda$ est un nombre positif tel que

(*) $$ \inf_D [a(x)\lambda^2 + b(x)\lambda + c(x)] = 1. $$

**Démonstration.** Nous effectuerons la démonstration en 4 pas:

1° Supposons que

$$ \gamma = \sup_D d(x, t) \ge 0. $$

La fonction

$$ v \equiv u - \gamma e^{\lambda L} e^{\lambda x} $$

satisfait à l'équation

$$ (2') \quad a(x) \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + b(x) \frac{\partial v}{\partial x} + c(x) v \\ = \frac{\partial v}{\partial t} + d(x, t) - \gamma e^{\lambda L} [a(x) \lambda^2 + b(x) \lambda + c(x)] e^{\lambda x}. $$

En vertu de la condition (*) on a:

$$ d(x, t) - \gamma e^{\lambda L} [a(x) \lambda^2 + b(x) \lambda + c(x)] e^{\lambda x} \le d(x, t) - \gamma e^{\lambda L} \cdot 1 \cdot e^{-\lambda L} \le 0, $$

donc on peut appliquer le lemme 1 à l'équation (2'), et il en résulte:

$$ \begin{align*} u(x, t) \ge u(x, t) - \gamma e^{\lambda L} e^{\lambda x} &\ge \min_S \{\min_S [u(x, t) - \gamma e^{\lambda L} e^{\lambda x}; 0]\} \\ &\ge -\max_S |u(x, t)| - \gamma e^{2\lambda L}. \end{align*} $$

2° Supposons que

$$ \delta = \inf_D d(x, t) \le 0. $$

En appliquant le résultat obtenu dans 1° à la fonction $-u(x, t)$ on obtient:

$$ -u \ge -\max_S |u| - \delta e^{2\lambda L}, \quad u \le \max_S |u| + \delta e^{2\lambda L}. $$

3° Supposons que

$$ \gamma = \sup_D d(x, t) \le 0. $$

Dans ce cas on a, selon le lemme 1,

$$ u \ge -\max_S |u|. $$

4° Supposons que

$$ \delta = \inf_D d(x, t) \ge 0. $$

En appliquant le résultat du 3° à la fonction $-u(x, t)$, il vient

$$ -u \ge -\max_S |u|, \quad u \le \max_S |u|. $$
Nous distinguons trois cas:

$$
a) \quad \inf_D d(x, t) \ge 0,
$$

$$
b) \quad \sup_D d(x, t) \le 0,
$$

$$
c) \quad \sup_D d(x, t) > 0, \quad \inf_D d(x, t) < 0.
$$

Nous obtenons l'inégalité à démontrer

dans le cas a) de 1º et 4º;

dans le cas b) de 2º et 3º;

dans le cas c) de 1º et 2º.

LEMME 3. Soit $u(x, t)$ une solution de l'équation (2) dans $D$, continue dans $\bar{D}$. Supposons $\kappa = \sup_D c(x) > 0$. Alors

$$
\max_{\bar{D}} |u(x, t)| \leq [\max_{S} |u(x, t)| + e^{2\lambda L} \sup_{D} |d(x, t)|] e^{\lambda T},
$$

où $\lambda$ est un nombre positif tel que

$$
\inf_D [a(x)\lambda^2 + b(x)\lambda + c(x) - \kappa] = 1.
$$

Démonstration. La fonction

$$
v(x, t) \equiv u(x, t) e^{-\lambda t}
$$

satisfait à l'équation

$$
a(x) \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + b(x) \frac{\partial v}{\partial x} + [c(x) - \kappa]v = \frac{\partial v}{\partial t} + d(x, t) e^{-\kappa t}.
$$

Ici le coefficient $c(x) - \kappa$ est non-positif, ainsi, il découle du lemme 2, que

$$
\begin{align*}
\max_{\bar{D}} |v(x, t)| &= \max_{\bar{D}} |u(x, t)e^{-\kappa t}| \\
&\le \max_{S} |u(x, t)e^{-\kappa t}| + e^{2\lambda L} \sup_{D} |d(x, t)e^{-\kappa t}| \\
&\le \max_{S} |u(x, t)| + e^{2\lambda L} \sup_{D} |d(x, t)|.
\end{align*}
$$

Ainsi le lemme 3 est établi.

Les résultats du paragraphe présent obtenus jusqu’ici peuvent être
résumés comme suit:

LEMME 4. *Soit u(x, t) une solution de l'équation (2) dans D, continue dans D. Alors*

$$
\[
\max_{\bar{D}} |u(x, t)| \le [\max_{S} |u(x, t)| + A] e^{\lambda T},
\]
où
$$

$$
\kappa = \max[\sup_D c(x); 0], \quad A = e^{2\lambda L} \sup_D |d(x, t)|,
$$
et $\lambda$ est un nombre positif tel que

$$ \inf_D [a(x)\lambda^2 + b(x)\lambda + c(x) - \kappa] = 1. $$

LEMME 5. Soit $u(x, t)$ une solution de l'équation (1), admettant la dérivée $\partial u/\partial x$ continue dans $\bar{D}$ et admettant les dérivées $\partial^2 u/\partial x^2$, $\partial^2 u/\partial x \partial t$, $\partial^2 u/\partial t \partial x$ continues dans $D$. Alors

$$ \max_{\bar{D}} \left| \frac{\partial u}{\partial x} \right| \le \left[ \max_S \left| \frac{\partial u}{\partial x} \right| + A \right] e^{\kappa T}, $$

où

$$ \kappa = \max \left[ \sup_D \left( \frac{k'(x)}{p(x)} \right)' ; 0 \right], \quad A = e^{2\lambda L} \sup_D \left| \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{f(x, t)}{p(x)} \right) \right|, $$

et $\lambda$ est un nombre positif tel que

$$ \inf_D \left[ \frac{k(x)}{p(x)} \lambda^2 + \left( \left( \frac{k(x)}{p(x)} \right)' + \frac{k'(x)}{p(x)} \right) \lambda + \left( \frac{k'(x)}{p(x)} \right)' - \kappa \right] = 1. $$

Démonstration. En dérivant l'équation (1) par rapport à $x$, on vérifie que $\partial u/\partial x$ satisfait dans $D$ à l'équation

$$ \begin{aligned} & \frac{k(x)}{p(x)} \cdot \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) + \left[\left(\frac{k(x)}{p(x)}\right)' + \frac{k'(x)}{p(x)}\right] \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) + \left(\frac{k'(x)}{p(x)}\right)' \frac{\partial u}{\partial x} \\ & \qquad = \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) - \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{f(x, t)}{p(x)}\right). \end{aligned} $$

En appliquant le lemme 4 à la fonction $\partial u/\partial x$ et à l'équation ci-dessus, l'assertion est immédiate.

La quantité $\bar{M}$ peut donc être majorée, en vertu du lemme 5, par une expression de la forme

$$ \bar{M} \le \alpha M + \beta, $$

où $\alpha$ et $\beta$ sont deux constantes explicitement déterminées, indépendantes de $u(x, t)$ et ne dépendant que de la forme du domaine $D$ et des coefficients de l'équation (1).

### § 3. Théorèmes.
Nous distinguerons deux cas essentiellement différents: les cas des domaines "croissants" respectivement "décroissants" par rapport à la variable $x$:

$$ \xi_1(t') \ge \xi_1(t''), \quad \xi_2(t') \le \xi_2(t''), \quad t' < t'', $$

respectivement

$$ \xi_1(t') \le \xi_1(t''), \quad \xi_2(t') \ge \xi_2(t''), \quad t' < t''. $$

Les autres cas peuvent être traités sur le modèle de ces deux cas principaux.
### THÉORÈME 1. Supposons que

1.° la fonction $u(x, t)$

(i) satisfasse à l'équation (1) dans D,

(ii) admette la dérivée $\partial u/\partial x$ continue dans $\bar{D}$,

(iii) admette les dérivées $\partial^3 u/\partial x^3$, $\partial^2 u/\partial x \partial t$, $\partial^2 u/\partial t \partial x$ continues dans D;
2.°

$$ \xi_1(t') \le \xi_1(t''), \quad \xi_2(t') \ge \xi_2(t'') \quad \text{pour } t' < t''. $$

Alors

$$ m \le \max \left\{ (aM + \beta)l(0); \frac{M}{l(T)} \left[ 2T \frac{\max k(x)}{\frac{\Sigma_1 + \Sigma_2}{\bar{D}} p(x)} + \frac{1}{2} al(0)^2 \right] + \right. \\ \left. + \frac{1}{l(T)} \left[ \frac{Q + F(T)}{\min p(x)} + \frac{1}{2} \beta l(0)^2 \right] \right\}^{(2)}. $$

### Démonstration.
Soit $(x^*, t^*)$ un point du domaine $\bar{D}$ où la fonction $|u(x, t)|$ prend le maximum de ses valeurs prises dans $\bar{D}$:

$$ |u(x^*, t^*)| = m, \quad (x^*, t^*) \in \bar{D}. $$

Si la fonction $z(x) = u(x, t^*)$ s'annule dans l'intervalle $\xi_1(t^*) \le x \le \xi_2(t^*)$, alors la majoration suivante est évidente:

$$ (3) \qquad m \le \bar{M}l(t^*) \le (aM + \beta)l(0). $$

Si la fonction $z(x)$ ne s'annule pas dans l'intervalle en question, alors supposons-là positive sans restriction de la généralité.

Étant donné que $u(x, t^*)$ est supposée positive, on aura

$$ m = u(x^*, t^*) \quad [= \max_{\xi_1(t^*) \le x \le \xi_2(t^*)} u(x, t^*)], $$

et $u(x, t^*)$ peut être minorée de la façon suivante:

$$ u(x, t^*) \ge m - |x - x^*| \bar{M} \quad [\xi_1(t^*) \le x \le \xi_2(t^*)]. $$

On en obtient, par un calcul élémentaire,

$$ \begin{align} (4) \quad \int_{\xi_1(t^*)}^{\xi_2(t^*)} u(x, t^*) dx &\ge l(t^*) m - \frac{1}{2} \bar{M} \{[x^* - \xi_1(t^*)]^2 + [\xi_2(t^*) - x^*]^2\} \nonumber \\ &\ge ml(t^*) - \frac{1}{2} \bar{M} l(t^*)^2 \ge ml(T) - \frac{1}{2} \bar{M} l(0)^2. \end{align} $$

<footnote>(*) Ici $\alpha$ et $\beta$ sont les deux constantes introduites à la fin du § 2.</footnote>
Intégrons l'équation (1) par rapport à $x$ de $\xi_1(t)$ à $\xi_2(t)$ en tenant $t$ fixe:

$$ \int_{\xi_1(t)}^{\xi_2(t)} \frac{\partial}{\partial x} \left[ k(x) \frac{\partial u}{\partial x} \right] dx = \left[ k(x) \frac{\partial u}{\partial x} \right]_{x=\xi_1(t)}^{x=\xi_2(t)} = \int_{\xi_1(t)}^{\xi_2(t)} p(x) \frac{\partial u}{\partial t} dx - \int_{\xi_1(t)}^{\xi_2(t)} f(x, t) dx. $$

En intégrant cette équation par rapport à $t$ entre les limites $t = 0$ et $t = t^*$, nous obtenons (3):

$$ 
\begin{aligned}
& (5) \quad \int_0^{t^*} \left[ k(x) \frac{\partial u}{\partial x} \right]_{x=\xi_1(t)}^{x=\xi_2(t)} dt \\
&= \int_0^{t^*} \left\{ \left[ \int_{\xi_1(t^*)}^{\xi_2(t^*)} + \int_{\xi_1(t^*)}^{\xi_2(t^*)} + \int_{\xi_2(t^*)}^{\xi_2(t)} \right] p(x) \frac{\partial u}{\partial t} dx \right\} dt \\
&= \int_{\xi_1(0)}^{\xi_2(0)} p(x) [u(x, \xi_1^{-1}(x)) - u(x, 0)] dx + \int_{\xi_1(t^*)}^{\xi_2(t^*)} p(x) [u(x, t^*) - u(x, 0)] dx + \\
& \qquad + \int_{\xi_2(t^*)}^{t^*} p(x) [u(x, \xi_2^{-1}(x)) - u(x, 0)] dx - \int_0^{t^*} \int_{\xi_1(t)}^{\xi_2(t)} f(x, t) dx dt \\
&= -Q - \int_0^{t^*} \int_{\xi_1(t)}^{\xi_2(t)} f(x, t) dx dt + \int_{\xi_1(0)}^{\xi_2(t^*)} p(x) u(x, \xi_1^{-1}(x)) dx + \\
& \qquad + \int_{\xi_2(t^*)}^{\xi_2(0)} p(x) u(x, \xi_2^{-1}(x)) dx + \int_{\xi_1(t^*)}^{\xi_2(t^*)} p(x) u(x, t^*) dx.
\end{aligned}
$$

Les intégrales qui figurent dans cette équation peuvent être majorées respectivement minorées de la manière suivante:

$$ \int_0^{t^*} \left[ k(x) \frac{\partial u}{\partial x} \right]_{x=\xi_1(t)}^{x=\xi_2(t)} dt \le 2 \max_{\Sigma_1+\Sigma_2} k(x) Mt^* \le 2MT \max_{\Sigma_1+\Sigma_2} k(x); $$

compte tenu de la positivité de $u(x, t)$ et de $p(x)$:

$$ \int_{\xi_1(0)}^{\xi_2(0)} p(x) u(x, \xi_1^{-1}(x)) dx \ge 0, \quad \int_{\xi_2(t^*)}^{\xi_2(0)} p(x) u(x, \xi_2^{-1}(x)) dx \ge 0; $$

$$ \xi_t^{-1}(x) = \min_{\xi_t(t)=x} t. $$

Il est facile à vérifier que le changement de l'ordre des intégrations par rapport à $x$ et $t$ est légitime.

<footnote>(3) $t = \xi_t^{-1}(x)$ ($i = 1, 2$) dénote l'inverse de la fonction $x = \xi_t(t)$. Pour obtenir une fonction univalente elle est définie par la relation</footnote>
en raison de la positivité de $p(x)$ et de (4):

$$ \int_{\xi_1(t^*)}^{\xi_2(t^*)} p(x) u(x, t^*) dx \geq \min_{\bar{D}} p(x) [ml(T) - \frac{1}{2} \bar{M} l(0)^2]; $$

et finalement

$$ F(t^*) \leq F(T). $$

En substituant aux termes figurant dans (5) les bornes supérieures respectivement inférieures ci-dessus, l'inégalité à démontrer en découle.

Remarque. Si l'intervalle $\xi_1(t) \leq x \leq \xi_2(t)$ se contracte à un seul point pour $t \to T_0$, c'est-à-dire si

$$ \lim_{T \to T_0-0} l(T) = 0, $$

alors la borne supérieure fournie par le théorème 1 tend vers l'infini pour $T \to T_0$. Nous montrerons que ce phénomène n'est pas une lacune de la méthode appliquée, mais est un caractéristique essentiel du problème.

Considérons la fonction

$$ u(x, t) = \int_{0}^{t} \frac{h(\tau)}{\sqrt{\tau - \tau}} \left[ e^{-\frac{(x-1+\tau)^2}{4(t-\tau)}} + e^{-\frac{(x+1-\tau)^2}{4(t-\tau)}} \right] d\tau. $$

Cette fonction satisfait à l'équation

$$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial u}{\partial t} $$

dans l'intérieur $D$ du domaine $\bar{D}$ limité par l'axe $x$ et par les droites $t = 1-x$, $t = 1+x$, dans des conditions assez faibles relatives à la fonction $h(\tau)$. Si $h(\tau) \to +\infty$ assez rapidement pour $\tau \to 1$, alors $u(x, t) \to +\infty$ pour $(x, t) \to (0, 1)$, $(x, t) \in D$.

Étant donné que $u(x, t)$ est symétrique par rapport à l'axe $t$, on a

$$ \frac{\partial u(0, t)}{\partial x} = 0 \quad (0 \le t < 1). $$

Il en découle l'existence d'un sous-domaine fermé $\bar{D}_s$ de $\bar{D}$, contenant le segment $\{x = 0, 0 \le t \le 1\}$, pour lequel

$$ \left| \frac{\partial u}{\partial x} \right| \le \varepsilon, \quad (x, t) \in [\bar{D}_s - (x = 0, t = 1)], $$

où $\varepsilon > 0$ est un nombre arbitrairement petit. À l'encontre du fait que $|\partial u/\partial x|$ reste inférieure à une borne indépendante de $T$ sur la frontière du domaine $\bar{D}_s \times (0 \le t \le T)$ pour un $T < 1$ arbitraire, $u(x, t)$ ne reste pas bornée dans $\bar{D}_s \times (0 \le t \le T)$ pour $T \to 1$.
### THÉORÈME 2. Supposons que

1. la condition 1. du Théorème 1 soit satisfaite;

2.° (i) $\xi_1(t') \ge \xi_1(t'')$, $\xi_2(t') \le \xi_2(t'')$ pour $t' < t''$,

$$ (ii) \quad \frac{l(T)-l(0)}{l(0)} < \frac{\min p(x)}{\max_{\Sigma_1+\Sigma_2} p(x)} \quad (4). $$

Alors

$$ m \le \max\{(aM + \beta)l(T); $$

$$ (M[2T\max_{\Sigma_1+\Sigma_2}k(x) + \frac{1}{2}al(T)^2\min_{\bar{D}}p(x)] + Q + F(T) + \frac{1}{2}\beta l(T)^2\min_{\bar{D}}p(x)) \times \\ \times \{l(0)\min_{\bar{D}}p(x) - [l(T) - l(0)]\max_{\Sigma_1+\Sigma_2}p(x))^{-1}\}. $$

Démonstration. On peut entreprendre la démonstration analogue-
ment à la démonstration du théorème précédent. Soit $(x^*, t^*) \in \bar{D}$ un
point pour lequel on a

$$ |u(x^*, t^*)| = m. $$

Si la fonction

$$ z(x) = u(x, t^*) $$

s'annule dans l'intervalle $\xi_1(t^*) \le x \le \xi_2(t^*)$, alors on obtient l'inégalité
analogue à (3):

$$ (3') \qquad m \le \bar{M}l(t^*) \le (aM + \beta)l(T). $$

Si elle ne s'annule pas, alors, en la supposant positive, on a l'inéga-
lité suivante, analogue à (4):

$$ (4') \qquad \int_{\xi_1(t^*)}^{\xi_2(t^*)} u(x, t^*) dx \ge ml(0) - \frac{1}{2} \bar{M} l(T)^2. $$

(4) Si la condition 2° (ii) n'est pas réalisée, mais si l'intervalle $0 \le t \le T$ peut être
divisé par les points $0 = T_0 < T_1 < T_2 < \dots < T_s = T$ de telle façon que

$$ \frac{l(T_{i+1}) - l(T_i)}{l(T_i)} < \frac{\min_{\Sigma_1+\Sigma_2} p(x)}{\max_{\Sigma_1+\Sigma_2} p(x)} \quad (i = 0, 1, \dots, s-1), $$

où

$$ \mathcal{D}_i = \mathcal{D} \times (T_i \le t \le T_{i+1}), $$

$$ \Sigma_{i1} = \Sigma_1 \times (T_i \le t \le T_{i+1}), $$

$$ \Sigma_{i2} = \Sigma_2 \times (T_i \le t \le T_{i+1}), $$

alors la majoration de $m$ peut être établie graduellement, en progressant de $\bar{D}_i$ à $\bar{D}_{i+1}$.
Dans ce cas la relation suivante, analogue à (5), est valable:

$$ (5') \quad \int_0^{t^*} \left[ k(x) \frac{\partial u}{\partial x} \right]_{x=\xi_1(t)}^{x=\xi_2(t)} dt = -Q - \int_0^{t^*} \int_{\xi_1(t)}^{\xi_2(t)} f(x,t) dx dt - \\ - \int_{\xi_1(t^*)}^{\xi_1(0)} p(x) u(x, \xi_1^{-1}(x)) dx - \int_{\xi_2(0)}^{\xi_2(t^*)} p(x) u(x, \xi_2^{-1}(x)) dx + \int_{\xi_1(t^*)}^{\xi_2(t^*)} p(x) u(x, t^*) dx. $$

Dans cette égalité les deux intégrales, essentiellement différentes— par leur signe—des intégrales analogues figurant dans (5), peuvent se majorer comme suit:

$$ \int_{\xi_1(t^*)}^{\xi_1(0)} p(x) u(x, \xi_1^{-1}(x)) dx \le \max_{\Sigma_1} p(x) m[\xi_1(0) - \xi_1(t^*)] \\ \le \max_{\Sigma_1} p(x) m[\xi_1(0) - \xi_1(T)], $$

$$ \int_{\xi_2(0)}^{\xi_2(t^*)} p(x) u(x, \xi_2^{-1}(x)) dx \le \max_{\Sigma_2} p(x) m[\xi_2(T) - \xi_2(0)]. $$

En substituant aux termes dans (5') les bornes établies ci-dessu respectivement sous (4') et dans la démonstration du théorème précédent, il en découle l'assertion.

## Travaux cités

[1] M. Krzyżański, Certaines inégalités relatives aux solutions de l'équation parabolique linéaire normale, Bull. Acad. Polon. Sci. 7 (1959), p. 131-135.

Reçu par la Rédaction le 17. 12. 1962