# Beveik sandaugos struktūros metrinėje hiperplokštuminių elementų erdvėje

Irena KATINIENĖ (VPU)

Tegu $M_n(x^i, u_j)$ – metrinė hiperplokštuminių elementų erdvė. Jos metrinis tenzorius $g_{ij}(x, u)$ ir atvirkštinis tenzorius $g^{ij}(x, u)$ tenkina diferencialinių lygčių sistemas

$$ 
\begin{aligned}
dg_{ij} - g_{ik}\omega_j^k - g_{kj}\omega_i^k &= g_{ijk}\omega^k + g_{ij}^k\theta_k, \\
dg^{ij} + g^{kj}\omega_i^j + g^{ik}\omega_k^j &= g_k^{ij}\omega^k + g^{ijk}\theta_k,
\end{aligned}
 $$

kur

$$ \theta_i = du_i - u_k \omega_i^k \quad (i, j, \dots = 1, 2, \dots, n). $$

Čia bendru atveju

$$ g_{ijk} \neq g_{ikj}, \quad g^{ijk} \neq g^{ikj}. $$

Šioje erdvėje nagrinėta Kartano tipo metrinė sietis $(\tilde{\Gamma}_{jk}^i(x, u), \Gamma_{ij}(x, u), C_j^{ik}(x, u))$ ir gauta [2]

$$ 2C_j^{ik} = g_{jp}(g^{ikp} - g^{kpi} - g^{pik}). \quad (1) $$

Reikalaujame, kad metrika ir ši sietis būtų invariantinės atžvilgiu transformacijų

$$ u_i = \rho u_i \quad (\rho > 0). $$

Tada

$$ g_{ij}^k u_k = 0, \quad g^{ijk} u_k = 0, \quad C_k^{ij} u^k = -g^{kij} u_k, $$

kur

$$ u^k = g^{ki} u_i. $$

Tegu erdvėje $M_n$ duotas neišsigimęs tipo (1, 1) tenzorinis laukas $F$, tenkinantis sąlygas

$$ 
\begin{aligned}
&F_j^i F_k^j = \lambda \delta_k^i \quad (\lambda = \pm 1), \\
&dF_j^i - F_k^j \omega_j^k + F_j^k \omega_k^i = F_{jk}^j \omega^k + F_j^{ik} \theta_k,
\end{aligned}
 \quad (2) $$
kur bendru atveju

$$F_{jk}^{i} \neq F_{kj}^{i}.$$

Kai $\lambda = -1$ sakysime, kad laukas $F$ erdvėje $M_n$ apibrėžia beveik kompleksinę struktūrą, o kai $\lambda = 1$ – beveik sandaugos struktūrą.

Tegu erdvėje $M_n$ duoti dar du laukai $L_\alpha^i$ ir $T_a^i$:

$$dL_{\alpha}^{i} - L_{\beta}^{i} v_{\beta}^{\beta} + L_{\alpha}^{j} \omega_{j}^{i} = L_{\alpha j}^{i} \omega^{j} + L_{\alpha}^{ij} \theta_{j},$$

$$dT_{a}^{i} - T_{b}^{i} v_{a}^{b} + T_{a}^{j} \omega_{j}^{i} = T_{a j}^{i} \omega^{j} + T_{a}^{ij} \theta_{j},$$

kur $v_\alpha^\beta$ ir $v_a^b$ – tiesinės ir tiesiškai nepriklausomos diferencialinės formos, tenkinančios diferencialinių lygčių sistemas

$$Dv_{\beta}^{\alpha} = v_{\gamma}^{\alpha} \Lambda v_{\beta}^{\gamma} + \omega^{i} \Lambda v_{\beta i}^{\alpha},$$

$$Dv_{b}^{a} = v_{c}^{a} \Lambda v_{b}^{c} + \omega^{i} \Lambda v_{bi}^{a}$$

($\alpha, \beta, \dots = 1, 2, \dots, m$; $a, b, \dots = m+1, \dots, n$).

Nagrinėsime tą atvejį, kai

$$\operatorname{rang} \|L_{\alpha}^{i}\| = m, \quad \operatorname{rang} \|T_{a}^{i}\| = n - m, \quad \det \|L_{\alpha}^{i}, T_{a}^{i}\| \neq 0. \qquad (3)$$

Tada dydžiams $L_\alpha^i$, $T_a^i$ egzistuoja atvirkštiniai $\tilde{L}_\alpha^i$, $\tilde{T}_a^i$, tenkinantys sąlygas

$$L_{\alpha}^{i} \tilde{L}_{i}^{\beta} = \delta_{\alpha}^{\beta}, \quad T_{a}^{i} \tilde{T}_{i}^{b} = \delta_{a}^{b}, \qquad (4)$$

$$L_{\alpha}^{i} \tilde{L}_{j}^{\alpha} + T_{a}^{i} \tilde{T}_{j}^{a} = \delta_{j}^{i}. \qquad (5)$$

Surišus (5) lygybes su $T_b^j \tilde{L}_i^\beta$ ir $\tilde{T}_i^b L_\beta^j$, gausime

$$\tilde{L}_i^\beta T_a^j = 0, \quad L_\beta^i \tilde{T}_i^b = 0. \qquad (6)$$

Sudarykime tiesiškai nepriklausomų vektorių sistemą

$$\vec{L}_{\alpha} = L_{\alpha}^{i} \vec{e}_{i}, \quad \vec{T}_{a} = T_{a}^{i} \vec{e}_{i},$$

ir išdėstykime vektorius $F \vec{L}_\alpha, F \vec{T}_a$ bazėje $\vec{L}_\alpha, \vec{T}_a$, t.y.

$$\begin{aligned} F \vec{L}_{\alpha} &= f_{\alpha}^{\beta} \vec{L}_{\beta} + u_{\alpha}^{a} \vec{T}_{a}, \\ F \vec{T}_{a} &= -v_{a}^{\alpha} \vec{L}_{\alpha} + t_{a}^{b} \vec{T}_{b}. \end{aligned} \qquad (7)$$
Pasinaudojus (2) lygtimis, iš (7) lygčių gausime

$$
\begin{align*}
f_{\beta}^{\alpha} f_{\gamma}^{\beta} &= \lambda \delta_{\gamma}^{\alpha} + v_{a}^{\alpha} u_{\gamma}^{a}, \\
f_{\alpha}^{\beta} u_{\beta}^{a} &= -u_{a}^{b} t_{b}^{a}, \\
t_{a}^{c} t_{c}^{b} &= \lambda \delta_{a}^{b} + v_{a}^{\alpha} u_{\alpha}^{b},
\end{align*}
\tag{8}
$$

ir sakysime, kad dydžiai *f*, *v*, *u*, *t* apibrėžia metrinėje hiperplokštuminių elementų erdvėje (*f*, *v*, *u*, *t*) struktūrą. Iš (7) lygčių taip pat išplaukia

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
f_{\alpha}^{j} &= F_{i}^{j} L_{\alpha}^{i} \tilde{L}_{j}^{\beta}, & u_{\alpha}^{a} &= F_{i}^{j} L_{\alpha}^{i} \tilde{T}_{j}^{a}, \\
-v_{a}^{\alpha} &= F_{i}^{j} \tilde{L}_{j}^{\alpha} T_{a}^{i}, & t_{a}^{b} &= F_{i}^{j} T_{a}^{i} \tilde{T}_{j}^{b}.
\end{aligned}
\tag{9}
\end{equation}
$$

Taigi, įrodyta teorema:

**Teorema 1.** Metrinėje hiperplokštuminių elementų erdvėje duoti objektai *F*, *L*, *T*, tenkinantys sąlygas (2), (3), indukuoja (*f*, *v*, *u*, *t*) struktūrą, apibrėžtą objektais (9).

Iš (7) lygčių, pasinaudojus (8) lygtimis, gausime

$$
F_j^i = f_\alpha^\beta L_\beta^i \tilde{L}_j^\alpha + u_\alpha^a T_a^i \tilde{L}_j^\alpha - v_\alpha^\alpha L_\alpha^i \tilde{T}_j^a + t_a^b T_b^i \tilde{T}_j^a \quad (10)
$$

ir be to

$F_j^i F_k^j = \lambda \delta_k^i .$

Tokiu būdu įrodėme teoremą:

**Teorema 2.** Erdvėje $M_n$ duotoji ($f, v, u, t$) struktūra, tenkinanti (8) sąlygas, indukuoja tenzorinę struktūrą (2), kurios struktūrinis objektas $F_j^i$ apibrėžiamas (10) lygtimis.

Metrinėje hiperplokštuminių elementų erdvėje surastos tokios beveik sandaugos struktūros
*F* ir jų indukuotosios (*f*, *v*, *u*, *t*) struktūros:

1. $F_j^i = \delta_j^i - 2L_\alpha^i \tilde{L}_j^\alpha = -\delta_j^i + 2T_\alpha^i \tilde{T}_j^a$, $f_\beta^\alpha = -\delta_\beta^\alpha$, $u_\alpha^a = 0$, $v_\alpha^\alpha = 0$, $t_a^b = \delta_a^b$.

2. $F_j^i = \delta_j^i - ku^\beta L_\beta^i U_j$, $2 = ku^\alpha u_\alpha$, $f_\beta^\alpha = \delta_\beta^\alpha - ku_\beta u^\alpha$, $u_\alpha^a = 0$, $v_\alpha^\alpha = ku_\alpha u^\alpha$, $t_a^b = \delta_a^b$.

3. $F_j^i = \delta_j^i - ku^i u_j$, $2 = ku^i u_i$, $f_\beta^\alpha = \delta_\beta^\alpha - ku_\beta u^\alpha$, $u_\alpha^a = -ku_\alpha u^a$, $v_\alpha^\alpha = ku_\alpha u^\alpha$, $t_a^b = \delta_a^b - ku_\alpha u^b$.

4. $F_j^i = \delta_j^i - ku_a T_j^a u^i$, $2 = ku_a u^a$, $f_\beta^\alpha = \delta_\beta^\alpha$, $u_\alpha^a = 0$, $v_\alpha^\alpha = ku_a u^\alpha$,
$$t_a^b = \delta_a^b - ku_a u^b.$$

$$5. \quad F_j^i = \delta_j^i - ku_\alpha \tilde{L}_j^\alpha u^\beta L_\beta^i, \quad 2 = ku_\alpha u_\alpha, \quad f_\beta^\alpha = \delta_\alpha^\beta - ku_\alpha u^\beta, \quad u_\alpha^a = 0, \\ v_\alpha^a = 0, \quad t_a^b = \delta_a^b.$$

$$6. \quad F_j^i = \delta_j^i - ku_\alpha \tilde{L}_j^\alpha u^\beta L_\beta^i, \quad 2 = ku^\alpha u_\alpha, \quad f_\beta^\alpha = \delta_\beta^\alpha, \quad u_\alpha^a = 0, \quad v_\alpha^a = 0, \\ t_a^b = \delta_a^b - ku_a u^b.$$

$$7. \quad F_j^i = \delta_j^i - ku^i \tilde{L}_j^\alpha u_\alpha, \quad 2 = ku_\alpha u^\alpha, \quad f_\beta^\alpha = \delta_\beta^\alpha - ku_\beta u^\alpha, \quad u_\alpha^a = -ku_\alpha u^a, \\ v_\alpha^a = 0, \quad t_a^b = \delta_a^b.$$

$$8. \quad 7F_j^i = \delta_j^i - ku_i T_a^j u^a, \quad 2 = ku_a u^a, \quad f_\beta^\alpha = \delta_\beta^\alpha, \quad u_\alpha^a = -u_\alpha u^a, \quad v_\alpha^a = 0, \\ t_a^b = \delta_a^b - ku_a u^b.$$

$$9. \quad F_j^i = \delta_j^i - kt^i u_j, \quad 2 = kt^i u_i, \quad f_\beta^\alpha = \delta_\beta^\alpha - kt^\alpha u_\beta, \quad u_\alpha^a = -kt^a u_\alpha, \\ v_\alpha^a = kt^\alpha u_\alpha, \quad t_a^b = \delta_a^b - kt^b u_\alpha.$$

$$10. \quad F_j^i = \delta_j^i - kc_j u^i, \quad 2 = kg_{ij}^j u^i, \quad f_\beta^\alpha = \delta_\alpha^\beta - kc_\beta u^\alpha, \quad u_\alpha^a = -kc_\alpha u^a, \\ v_\alpha^a = kc_\alpha u^\alpha, \quad t_a^b = \delta_a^b - kc_\alpha u^b, \quad \text{kur } t^i = g^{ipq} g_{pq}, \quad t^\alpha = t^i \tilde{L}_i^\alpha, \quad t^a = t^i \tilde{T}_i^a, \\ c_k = c_k^{ij} g_{ij}, \quad c_\alpha = c_i L_\alpha^i, \quad c_\alpha = c_i T_a^i, \quad u_\alpha = L_\alpha^i u_i, \quad u_a = T_a^i u_i, \quad u^\alpha = \tilde{L}_i^\alpha u^i, \\ u^a = \tilde{T}_i^a u^i.$$

## Literatūra

[1] И.Х. Медведевайте, Некоторые вопросы геометрии метрического пространства гиперплоских элементов, *Liet. Matem. Rink.*, **6**(4), 533–539 (1966).

[2] А. Башкенс, О структурах, индуцируемых на подмногообразиях почти комплексного многообразия, *Liet. Matem. Rink.*, **16**(1), 24–34 (1976).

# Les structures presque produit dans l'espace métrique des éléments hyperplaniques

## I. Katinienė

Dans cet article on étudie l'espace métrique d'éléments d'appuis dont élément d'appuis est un hyperplan. Du tenseur métrique et ces prolongements partiels on a reçu dix différents structures presque produit de cet espace.