TAOUFIQ BENKIRAN

# Étude d'un système de contrôle optimal perturbé non classique

*Annales mathématiques Blaise Pascal, tome 4, n° 2 (1997), p. 1-9*

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ETUDE D'UN SYSTEME DE CONTROLE OPTIMAL
PERTURBE NON CLASSIQUE

TAOUFIQ BENKIRAN

UNIV.CADI AYYAD, FAC.SCIENCES SEMLALIA,

U.F.R. MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES,
B.P.S.15, 40002, MARRAKECH,

MAROC

**Abstract.** This article deals with the study of existence and behavior of the optimal control and the state of a perturbed boundary optimal control linear system which arises in aerodynamics.

**Résumé :** Dans cet article, nous étudions (sous certaines conditions) l'existence et le comportement de la solution d'un problème de contrôle optimal perturbé non classique qui apparaît naturellement en aérodynamique.

**0. Introduction et position du problème :**

Dans tout ce qui suit Ω désignera un ouvert borné de Rⁿ, de frontière Γ = ∂Ω variété indéfiniment différentiable de dimension (n-1), Ω étant localement d'un seul côté de Γ.
Soit U_ad un sous-espace fermé de L²(Γ).

Pour v ∈ L²(Γ), on considère le problème aux limites perturbé suivant :

$$ (S_{\varepsilon})(v) = \begin{cases} -\Delta y_{\varepsilon}(v) = 0 & \text{dans } \Omega \\ \frac{\partial}{\partial \nu} y_{\varepsilon}(v) + \varepsilon y_{\varepsilon}(v) = v & \text{sur } \Gamma \\ y_{\varepsilon}(v) \in H^1(\Omega) \end{cases} $$

Notons par T_ε l'application :

$$ (1) \qquad T_{\varepsilon}: L^{2}(\Gamma) \rightarrow L^{2}(\Gamma) \\ \qquad v \mapsto y_{\varepsilon}(v)_{\Gamma} $$

où y_ε(v)Γ désigne la trace de la solution y_ε(v) du problème (S_ε)(v) sur Γ = ∂Ω.
On considère aussi le problème de contrôle optimal suivant :

$$ (m_{\varepsilon}) \qquad J_{\varepsilon}(u_{\varepsilon}) = \operatorname{Inf}\{J_{\varepsilon}(v); v \in U_{ad}\} $$

La fonction coût J_ε est donnée par :

$$ (2) \qquad J_{\varepsilon}(v) = \|T_{\varepsilon}(v) - z\|^2 = \langle T_{\varepsilon}(v) - z, T_{\varepsilon}(v) - z \rangle $$

||·|| désigne la norme dans l'espace L²(Γ), z un élément non nul de L²(Γ).

Notons par :

$$ (3) \qquad U_0 = \{v \in L^2(\Gamma); \int_{\Gamma} v d\Gamma = 0\}, \quad V = \{y \in H^1(\Omega); \int_{\Gamma} y_{\Gamma} d\Gamma = 0\} $$
Dans cet article, nous commençons par l'étude du comportement de la solution $y_\epsilon(v)$ du problème $(S_\epsilon)(v)$ (paragraphe I), nous étudions aussi l'existence, l'unicité du contrôle $u_\epsilon$ dans $U_{ad}$ et le comportement de la fonction $(u_\epsilon, y_\epsilon(u_\epsilon))$ dans l'espace $L^2(\Gamma) \times H^1(\Omega)$ dans un premier temps lorsque $U_{ad}$ est un sous-espace de $U_0$ (paragraphe II), puis lorsque $U_{ad}$ est un sous espace de $L^2(\Gamma)$ tel que $U_{ad} \cap U_0 \neq U_{ad}$ (paragraphe III). Nous terminons cet article par des remarques et des conclusions.

# I. Etude du comportement de la solution du problème $(S_\epsilon)(v)$.

Nous consacrons ce premier paragraphe à l'énoncé et la démonstration de certains résultats utilisés dans la suite.

**Lemme 1 (cf. [6]) :**

Pour $\rho \ge 0$, nous considérons l'application :

$$ (4) \qquad \Psi_{\rho} : H^1(\Omega) \to R^+ \\ y \to \sqrt{\|\nabla y\|_{L^2(\Omega)}^2 + \rho \int_{\Gamma} |y_{\Gamma}|^2 d\Gamma} $$

(i) $\Psi_0$ est une norme dans $V$ équivalente à la norme usuelle $\|\cdot\|_{H^1(\Omega)}$ dans $H^1(\Omega)$.

(ii) Si $\rho > 0$, l'application $\Psi_\rho$ est une normédans $H^1(\Omega)$ équivalente à la norme usuelle $\|\cdot\|_{H^1(\Omega)}$.

(c.à.d. il existe deux constantes $A$ et $B$ telles que: $A\|y\|_{H^1(\Omega)} \le \Psi_\rho(y) \le B\|y\|_{H^1(\Omega)}$ pour $y \in H^1(\Omega)$).

**Proposition 1 :**

Pour tout $v$ de l'espace $L^2(\Gamma)$ et $\varepsilon > 0$, le problème $(S_\epsilon)(v)$ admet une seule solution $y_\epsilon(v)$ donnée par :

$$ (5) \qquad y_{\epsilon}(v) = \frac{1}{\epsilon|\Gamma|} \int_{\Gamma} vd\Gamma + y_{\epsilon}(P_{0}(v)) $$

La fonction $(y_\epsilon(v) - \frac{1}{\epsilon|\Gamma|} \int_{\Gamma} vd\Gamma)$ converge dans l'espace $H^1(\Omega)$ vers la solution $y_0(P_0(v)) = y_0$ du problème $(Q_0)(P_0(v))$ :

$$ (Q_0)(P_0(v)) = \begin{cases} -\Delta y_0 = 0 & \text{dans } \Omega \\ \frac{\partial}{\partial \nu} y_0 = P_0(v) & \text{sur } \Gamma \\ y_0 \in V & \end{cases} $$

Et nous avons :

$$ (6) \qquad \left\| y_{\epsilon}(v) - \frac{1}{\epsilon|\Gamma|} \int_{\Gamma} vd\Gamma - (y_{0+} + \epsilon y_1 + \epsilon^2 y_2 + \dots + \epsilon^k y_k) \right\|_{H^1(\Omega)} \le C_k \sqrt{\epsilon^{k+1}} $$

où pour $k \ge 1$, $y_k(v) = y_k$ désigne la solution du problème $(Q_k)(v)$ :

$$ (Q_k)(v) = \begin{cases} -\Delta y_k = 0 & \text{dans } \Omega \\ \frac{\partial}{\partial \nu} y_k = -y_{k-1} & \text{sur } \Gamma \\ y_k \in V & \end{cases} $$
où $P_0(v) = v - \frac{1}{|\Gamma|} \int_{\Gamma} v d\Gamma$ désigne la projection orthogonale de $v$ sur l'espace $U_0$ et $C_k$ une constante positive indépendante de $\varepsilon$.

**Preuve :**

Pour $\varepsilon > 0$ et $v \in L^2(\Gamma)$, le problème $(S_\varepsilon)(v)$ admet une seule solution $y_\varepsilon(v)(\text{cf. [2], [6]})$. Nous avons donc :

$$0 = \int_{\Omega} \Delta y_{\varepsilon}(v) \cdot 1 \, dx = \int_{\Gamma} \frac{\partial}{\partial \nu} y_{\varepsilon}(v) \, d\Gamma = \int_{\Gamma} (v - \varepsilon T_{\varepsilon}(v)) \, d\Gamma$$

c.à.d.

$$(7) \qquad \int_{\Gamma} T_{\varepsilon}(v) d\Gamma = \frac{1}{\varepsilon} \int_{\Gamma} v d\Gamma$$

Cette égalité nous permet de postuler le développement asymptotique de $y_\varepsilon(v)$ suivante :

$$(8) \qquad y_{\varepsilon}(v) = \varepsilon^{-1} y_{-1}(v) + y_0(v) + \varepsilon y_1(v) + \varepsilon^2 y_2(v) + \dots$$

En reportant ce développement dans l'équation $(S_\varepsilon)(v)$ et en groupant les termes en $\varepsilon$, nous obtenons :

*$y_{-1}(v) = y_{-1}$ est la solution du problème $(Q_{-1})(v)$ :

$$(Q_{-1})(v) = \begin{cases} -\Delta y_{-1} = 0 & \text{dans } \Omega \\ \frac{\partial}{\partial \nu} y_{-1} = 0 & \text{sur } \Gamma \\ \int_{\Gamma} y_{-1} \, d\Gamma = \int_{\Gamma} v \, d\Gamma \end{cases}$$

c.à.d.

$$(9) \qquad y_{-1} = \frac{1}{|\Gamma|} \int_{\Gamma} v d\Gamma$$

*$y_0(P_0(v)) = y_0$ est la solution du problème $(Q_0)(P_0(v))$.

Et pour tout $k \ge 1$, $y_k(v) = y_k$ est la solution du problème $(Q_k)(v)$.

D'autre part la fonction $\Phi_{\varepsilon,k}(v)$ définie par :

$$\Phi_{\varepsilon,k}(v) = \Phi_{\varepsilon,k} = y_{\varepsilon}(v) - \frac{1}{\varepsilon|\Gamma|} \int_{\Gamma} v d\Gamma - (y_0 + \varepsilon y_1 + \varepsilon^2 y_2 + \dots + \varepsilon^k y_k)$$

est la solution du problème $(S_{\varepsilon,k})(v)$ :

$$(S_{\varepsilon,k})(v) = \begin{cases} -\Delta \Phi_{\varepsilon,k} = 0 & \text{dans } \Omega \\ \frac{\partial}{\partial \nu} \Phi_{\varepsilon,k} + \varepsilon \Phi_{\varepsilon,k} = -\varepsilon^{k+1} y_k & \text{sur } \Gamma \\ \Phi_{\varepsilon,k} \in V & \end{cases}$$

Grâce à la formulation variationnelle du problème $(S_{\varepsilon,k})(v)$ et l'inégalité de Poincaré, nous obtenons alors :

$$\|\nabla \Phi_{\varepsilon,k}\|_{L^2(\Omega)}^2 + \varepsilon \|\Phi_{\varepsilon,k} \Gamma\|^2 \le \frac{\varepsilon^{k+1}}{2} (\|\Phi_{\varepsilon,k} \Gamma\|^2 + \|y_k \Gamma\|^2)$$
c.à.d.

$$ \|\nabla \Phi_{\epsilon,k}\|_{L^2(\Omega)} \le \|y_k \Gamma\| \sqrt{\epsilon^{k+1}} $$

Par conséquent, pour $k \ge 0$, il existe une constante $C_k$ indépendante de $\epsilon$ telle que :

$$ (10) \qquad \|\Phi_{\epsilon,k}\|_{H^1(\Omega)} \le C_k \sqrt{\epsilon^{k+1}} $$

**Remarques 1 :**

(i) Si $v \in U_0$ (c.à.d. $P_0(v) = v$), $y_\epsilon(v)$ converge dans l'espace de Sobolev $H^1(\Omega)$ vers la solution $y_0(v)$ du problème aux limites $(Q_0)(v)$ :

$$ (Q_0)(v) = \begin{cases} -\Delta y_0(v) = 0 & \text{dans } \Omega \\ \frac{\partial}{\partial \nu} y_0(v) = v & \text{sur } \Gamma \\ y_0(v) \in V & \end{cases} $$

(ii) Si $v \notin U_0$ (c.à.d. $\int_{\Gamma} v d\Gamma \ne 0$), alors $T_\epsilon(v)$ n'est pas bornée dans l'espace $L^2(\Gamma)$.

**Lemme 2 :**

L'application $T_\epsilon$ est linéaire, continue, injective, auto adjoint et pour tout $v$ de $L^2(\Gamma)$:

$$ (11) \qquad T_{\epsilon}(v) = \frac{1}{\epsilon|\Gamma|} \int_{\Gamma} v d\Gamma + y_{\epsilon}(P_{0}(v))_{\Gamma} $$

où $P_0(v)$ désigne la projection orthogonale de $v$ sur l'espace $U_0$.

**Preuve :**

* La formulation variationnelle du problème $(S_\epsilon)(v)$ s'écrit :

$$ \|\nabla y_\epsilon(v)\|_{L^2(\Omega)}^2 + \epsilon \|T_\epsilon(v)\|^2 = \int_{\Gamma} v T_\epsilon(v) d\Gamma \le \|T_\epsilon(v)\| \cdot \|v\| $$

donc $T_\epsilon$ est continue.

* Soit $v \in L^2(\Gamma)$ telle que : $T_\epsilon(v) = 0$, alors $y_\epsilon(v)$ est la solution du problème $(D_\epsilon)(v)$ :

$$ (D_\epsilon)(v) = \begin{cases} -\Delta y_\epsilon(v) = 0 & \text{dans } \Omega \\ y_\epsilon(v)_\Gamma = T_\epsilon(v) = 0 & \text{sur } \Gamma \end{cases} $$

par conséquent $y_\epsilon(v) = 0$ c.à.d. $v = 0$.

* Soit $(v, w) \in L^2(\Gamma) \times L^2(\Gamma)$ :

$$ \int_{\Omega} \nabla y_{\epsilon}(v) \cdot \nabla y_{\epsilon}(w) dx = \langle T_{\epsilon}(v), w - \epsilon T_{\epsilon}(w) \rangle = \langle T_{\epsilon}(w), v - \epsilon T_{\epsilon}(v) \rangle $$

Alors : $\langle T_\epsilon(v), w \rangle = \langle v, T_\epsilon(w) \rangle$

* Soit $v = (v_0 + v_1) \in L^2(\Gamma)$, avec $v_0 = P_0(v) = v - \frac{1}{|\Gamma|} \int_{\Gamma} v d\Gamma$ et $v_1 = \frac{1}{|\Gamma|} \int_{\Gamma} v d\Gamma$, alors :

$$ T_{\epsilon}(v) = T_{\epsilon}(v_0 + v_1) = T_{\epsilon}(v_0) + T_{\epsilon}(v_1) $$
avec $T_e(v_1) = \frac{1}{e|\Gamma|} \int_{\Gamma} v d\Gamma$ et $T_e(v_0) = T_e(P_0(v))$.

**Remarques 2 :**

(i) Posons, pour $z \in L^2(\Gamma)$, $z_0 = P_0(z) = z - \frac{1}{|\Gamma|} \int_{\Gamma} zd\Gamma$ et $z_1 = \frac{1}{|\Gamma|} \int_{\Gamma} zd\Gamma$, alors la fonction coût $J_e$ devient :

$$J_e(v) = \|T_e(v_0) - z_0\|^2 + \|T_e(v_1) - z_1\|^2 = \|T_e(v_0) - z_0\|^2 + \frac{1}{|\Gamma|^2} \left[ \int_{\Gamma} (v - \varepsilon z) d\Gamma \right]^2$$

(ii) Si $v \notin U_0$, le problème $(S_0)(v)$:

$$(S_0)(v) \quad \begin{cases} -\Delta y_0 = 0 & \text{dans } \Omega \\ \frac{\partial}{\partial \nu} y_0 = v & \text{sur } \Gamma \\ y_0 \in H^1(\Omega) \end{cases}$$

n'admet pas de solution.

(iii) Si $v \in U_0$ (c.à.d. $P_0(v) = v$), le problème $(S_0)(v)$ admet une infinité de solutions, $y_{-1} = 0$ et $y_e(v)$ converge dans $H^1(\Omega)$ vers $y_0$ vérifiant :

$$(Q_0)(v) \quad \begin{cases} -\Delta y_0 = 0 & \text{dans } \Omega \\ \frac{\partial}{\partial \nu} y_0 = v & \text{sur } \Gamma \\ y_0 \in V \end{cases}$$

## II. Etude de l'existence et le comportement de la solution du système $(S_e)(v)$ et $(m_e)$ lorsque l'espace des contrôles admissibles $U_{ad}$ est un sous-espace de $U_0$ :

**Théorème 1 :**

On suppose que $U_{ad}$ est un sous espace de $U_0$ de dimension finie. Alors on a :

(i) Le problème de contrôle optimal perturbé $(m_e)$ admet une solution unique $u_e$ qui converge dans l'espace $L^2(\Gamma)$ vers la solution $u$ du problème de contrôle limite $(m_0)$ :

$$(m_0) \quad \begin{cases} J_0(u) = \Min\{J_0(v), \ v \in U_{ad}\}, \\ J_0(v) = \|y_0(v)_\Gamma - z\|^2 = \langle y_0(v)_\Gamma - z, y_0(v)_\Gamma - z \rangle \end{cases}$$

où $y_0(v)$ est la solution du problème $(Q_0)(v)$.

(ii) L'état $y_e(u_e)$ du système $(S_e)(v)$ et $(m_e)$ converge dans $H^1(\Omega)$ vers l'état limite $y_0(u)$ du système $(Q_0)(u)$ et $(m_0)$.

**Preuve :**

(i) L'existence et l'unicité du contrôle $u_e$ sont des conséquences des conditions suivantes (cf. [4]):

* L'application $v \mapsto J_e(v)$ est s.c.i. (c.à.d. semi-continue inférieurement) dans l'espace $U_{ad}$ et strictement convexe :
Soit $(v,w) \in L^2(\Gamma) \times L^2(\Gamma)$, tel que $2J_e(\frac{v+w}{2}) = J_e(v) + J_e(w)$ c.à.d.

$$ 
\begin{aligned}
\langle T_e(v) + T_e(w) - 2z, T_e(v) + T_e(w) - 2z \rangle &= 2 \|T_e(v) - z\|^2 + 2 \|T_e(w) - z\|^2 = \\
&= \|T_e(v) - z\|^2 + \|T_e(w) - z\|^2 + 2 \langle T_e(w) - z, T_e(v) - z \rangle
\end{aligned}
$$

$\|T_e(v - w)\|^2 = \|T_e(v) - z\|^2 + \|T_e(w) - z\|^2 - 2\langle T_e(w) - z, T_e(v) - z \rangle = 0$, par conséquent $v = w$.

* Soit $(v_n)$ la suite de $U_{ad}$ telle que : $\lim_{n \to +\infty} \|v_n\| = +\infty$.

Comme $U_{ad}$ est un sous-espace de dimension finie alors $G(T_e^{-1}) = \{(T_e(v),v); v \in U_{ad}\}$ est un fermé de $L^2(\Gamma)xL^2(\Gamma)$, par conséquent $T_e^{-1}$ est linéaire, continue donc il existe une constante $K_e > 0$ telle que (cf. [3]):

$\|v\| \le K_e \|T_e(v)\| \quad \text{pour tout } v \text{ dans } U_{ad}$

En particulier, $\|v_n\| \le K_e \|T_e(v_n)\|$, donc $\lim_{n \to +\infty} J_e(v_n) = +\infty$

Soit $\{\phi_i, 1 \le i \le n\}$ une base orthonomée de $U_{ad}$, le contrôle $u_e$ s'écrit alors sous la forme suivante :

$$ (12) \qquad u_e = \sum_{1 \le i \le n} < u_e, \phi_i > \phi_i $$

et donc $T_e(u_e) = \sum_{1 \le i \le n} < u_e, \phi_i > T_e(\phi_i)$, d'autre part $J_e(u_e) \le J_e(v)$ pour tout $v \in U_{ad}$, en particulier $J_e(u_e) \le J_e(0) = \|z\|$, alors $\|T_e(u_e)\| \le 2\|z\|$ c.à.d. pour $1 \le i \le n, \le u_e, \phi_i \ge$ tend vers $a_i$, par conséquent $u_e$ converge dans $L^2(\Gamma)$ vers $u = \sum_{1 \le i \le n} a_i \phi_i \in U_0$.

En faisant donc appel à la proposition 1, $y_e(\phi_i)$ converge dans $H^1(\Omega)$ vers la solution $y_0(\phi_i)$ du problème $(Q_0)(\phi_i)$ (pour $1 \le i \le n$), par conséquent $y_e(u_e) = \sum_{1 \le i \le n} <u_e, \phi_i> y_e(\phi_i)$ converge dans $H^1(\Omega)$ vers la solution $y_0(u) = \sum_{1 \le i \le n} a_i y_0(\phi_i)$ du problème $(Q_0)(u)$. En utilisant le théorème de trace et la continuité de la norme dans $L^2(\Gamma)$, nous obtenons pour tout $v \in U_{ad}$ :

$$ (13) \qquad J_0(u) = \lim_{e \to 0} J_e(u_e) \le \lim_{e \to 0} J_e(v) = J_0(v) $$

c.à.d. u est la solution du problème $(m_0)$.

**Remarque 3 (cf. [1]):**

Si l'espace des contrôles admissibles $U_{ad}$ est un sous-espace de $U_0$ de dimension infinie (par exemple $U_{ad} = U_0$) le problème $(m_e)$ n'admet pas en général de solution dans $U_{ad}$.

### III. Etude de l'existence et le comportement de la solution du système $(S_e)(v)$ et $(m_e)$ lorsque l'espace des contrôles admissibles $U_{ad}$ est un sous-espace de $L^2(\Gamma)$ tel que $U_{ad} \cap U_0 \neq U_{ad}$.

Dans ce paragraphe, on suppose que $U_{ad}$ est un sous-espace de $L^2(\Gamma)$ tel que $U_{ad} \cap U_0 \neq U_{ad}$ et alors nous avons un système limite $(S_0)(v)$ et $(m_0)$ à états multiples. Nous commençons par l'étude du système suivant (pour un élément fixé w de $U_0$):

$$ (S_0)(w) \qquad \begin{cases} -\Delta y(w) = 0 & \text{dans } \Omega \\ \frac{\partial}{\partial \nu} y(w) = w & \text{sur } \Gamma \\ y(w) \in H^1(\Omega) \end{cases} $$
et

$$
(N)(w) \quad \begin{cases} I_w(y) = \min \{I_w(s); s \in E(w)\} \\ I_w(s) = \|s_{\Gamma} - z\|^2 \end{cases}
$$

$$
\text{avec} \quad E(w) = \{y \in H(\Omega); \Delta y = 0 \text{ dans } \Omega \text{ et } \frac{\partial}{\partial \nu} y = w \text{ sur } \Gamma\}
$$

**Proposition 2 :**

Pour un élément fixe v de U₀, le système (S₀)(v) et (N)(v) admet une seule solution y(v) dans E(v) donnée par :

$$
(14) \qquad y(v) = y_0(v) + \frac{1}{|\Gamma|} \int_{\Gamma} zd\Gamma
$$

où y₀(v) est la solution du problème (Q₀)(v).

**Preuve :**

L'existence et l'unicité de la solution du système (S₀)(v) et (N)(v) sont assurées par (cf.[4]). L'application I_v est continue et strictement convexe. Soit (s_n) une suite de E(v) vérifiant lim_{n→+∞} ||s_n||_{H¹(Ω)} = +∞.

Comme s_n ∈ E(v), alors ||∇s_n||^2_L^2(Ω) = ∫_Γ v.s_n dΓ et grâce à l'inégalité de Poincaré et le lemme 1 (pour ρ = 1/2) nous obtenons :

$$
(15) \qquad A^2 \|s_n\|_{H^1(\Omega)}^2 \le \bar{\Psi}_{1/2}(s_n)^2 \le \|s_n \Gamma\|^2 + \frac{1}{2} \|v\|^2
$$

par conséquent : $\lim_{n \to +\infty} I_v(s_n) = +\infty$.

D'autre part la solution y₀(v) du problème (Q₀)(v) est un élément de E(v), et tout autre élément s de E(v) s'écrit sous la forme s = y₀(v) + δ (avec δ une constante), alors la fonction coût I_v devient :

$$
(16) \qquad
\begin{aligned}
I_v(s) &= \langle (y_0(v) - z) + \delta, (y_0(v) - z) + \delta \rangle \\
&= \|y_0(v)\}_\Gamma - z\|^2 - 2\delta \int_\Gamma zd\Gamma + \delta^2 |\Gamma|.
\end{aligned}
$$

I_v est minimum pour δ = 1/|Γ| ∫_Γ zdΓ, par conséquent l'état du système (S₀)(v) et (N)(v) est donné par la formule (14) et I_v(y(v)) = J₀(v) - 1/|Γ| [∫_Γ zdΓ]².

Nous étudions maintenant le système de contrôle perturbé (S<sub>ε</sub>)(v) et (m<sub>ε</sub>), nous avons alors le théorème suivant :

**Théorème 2 :**

On suppose que l'espace des contrôles admissibles U<sub>ad</sub> est un sous-espace de L<sup>2</sup>(Γ) de dimension finie et tel que U<sub>ad</sub>∩U<sub>0</sub> ≠ U<sub>ad</sub>. Alors nous avons :

(i) Le problème $(m_e)$ admet une solution unique $u_e$ dans $U_{ad}$ caractérisée par :

$$
(17) \qquad \int_{\Gamma} u_{\varepsilon} d\Gamma = \varepsilon \int_{\Gamma} zd\Gamma
$$

et qui converge dans L²(Γ) vers un élément u appartenant à U<sub>ad</sub>∩U<sub>0</sub>.

(ii) L'état y<sub>e</sub>(u<sub>e</sub>) du système perturbé (S<sub>e</sub>) et (m<sub>e</sub>) converge dans H<sup>1</sup>(Ω) vers l'état y(u)
du système $(S_0)(u)$ et $(N)(u)$.

**Preuve :**

(i) Le problème $(m_\epsilon)$ admet une solution unique $u_\epsilon$ (cf. théorème 1).

D'autre part pour $v \in U_{ad}$, la solution du problème $(S_\epsilon)(v)$ s'écrit sous la forme : $y_\epsilon(v) = \epsilon^{-1}\alpha + y_0 + \epsilon y_1 + \epsilon^2 y_2 + \dots$, avec $\alpha = \frac{1}{|\Gamma|} \int_{\Gamma} v d\Gamma$, par conséquent (comme $y_k \in V$) :

$$ (18) \qquad f(\alpha) = J_{\epsilon}(v) = \frac{\alpha^2}{\epsilon^2} |\Gamma| - \frac{2\alpha}{\epsilon} \int_{\Gamma} zd\Gamma + \|z - y_0\|^2 + 2\epsilon \le y_1, y_0-z > +\dots $$

Alors $J_\epsilon(u_\epsilon) = \text{Min}\{f(\alpha); \alpha = \frac{1}{|\Gamma|} \int_{\Gamma} v d\Gamma \in \mathbb{R}, \text{ avec } v \in U_{ad}\} = f(\alpha_\epsilon) \text{ où } \alpha_\epsilon = \frac{\epsilon}{|\Gamma|} \int_{\Gamma} zd\Gamma = \frac{1}{|\Gamma|} \int_{\Gamma} u_\epsilon d\Gamma \text{ (c.à.d. } f'(\alpha_\epsilon) = 0) \text{ et nous avons :}$

$$ J_{\epsilon}(u_{\epsilon}) = \|z - y_{0}\|^{2} - \frac{1}{|\Gamma|} (\int_{\Gamma} zd\Gamma)^{2} + 2\epsilon [\langle y_{1}, y_{0}-z \rangle + \dots] = $$

$$ (19) \qquad = \|y_0 + \frac{1}{|\Gamma|} \int_{\Gamma} zd\Gamma - z\|^2 + 2\epsilon [\langle y_1, y_0 - z \rangle + \dots] = \\ = I_u(y(u)) + 2\epsilon [\langle y_1, y_0 - z \rangle + \dots] $$

Par conséquent $u \in U_{ad} \cap U_0$ (car $|\int_{\Gamma} u_{\epsilon} d\Gamma| \le \epsilon |\int_{\Gamma} zd\Gamma|$).

(ii) La fonction $\chi_\epsilon = [y_\epsilon(u_\epsilon) - \frac{1}{|\Gamma|} \int_{\Gamma} zd\Gamma - y_0(u)]$ est solution du problème $(Y_\epsilon)(u_\epsilon)$

$$ (Y_{\epsilon})(u_{\epsilon}) = \begin{cases} -\Delta \chi_{\epsilon} = 0 & \text{dans } \Omega \\ \frac{\partial}{\partial \nu} \chi_{\epsilon} = (u_{\epsilon} - u) - \epsilon y_{\epsilon}(u_{\epsilon})_{\Gamma} & \text{sur } \Gamma \\ \chi_{\epsilon} \in V & \end{cases} $$

La formulation variationnelle de $(Y_\epsilon)(u_\epsilon)$ sur $H^1(\Omega)$ donne :

$$ \|\chi_{\epsilon}\|_{H^1(\Omega)}^2 \le C \|\nabla \chi_{\epsilon}\|_{L^2(\Omega)}^2 = C \int_{\Gamma} \chi_{\epsilon} [(u_{\epsilon} - u) - \epsilon T_{\epsilon}(u_{\epsilon})] d\Gamma \le C\beta \|(u_{\epsilon} - u) - \epsilon T_{\epsilon}(u_{\epsilon})\| $$

(car $\|\chi_\epsilon \Gamma\| = \|T_\epsilon(u_\epsilon) - \frac{1}{|\Gamma|} \int_\Gamma zd\Gamma - y_0(u)_\Gamma\| \le \beta$ et $\chi_\epsilon \in V$), donc $y_\epsilon(u_\epsilon)$ converge dans $H^1(\Omega)$ vers $y_0(u) + \frac{1}{|\Gamma|} \int_\Gamma zd\Gamma$.

**Remarques 4 :**

(i) En général pour $v \notin U_0$, $J_\epsilon$ ne converge pas mais : $\lim_{\epsilon \to 0} J_\epsilon(u_\epsilon) = I_u(y(u)) = J_0(u) - \frac{1}{|\Gamma|} (\int_{\Gamma} zd\Gamma)^2$ ($u_\epsilon \notin U_0$ et $u \in U_0$).

(ii) L'espace des contrôles admissibles $U_{ad}$ est un sous-espace de $L^2(\Gamma)$ de dimension finie, le contrôle optimal $u_\epsilon$ vérifie nécessairement la condition d'optimalité suivante :

$$ (20) \qquad J'_{\epsilon}(u_{\epsilon}) \cdot w = 2\langle T_{\epsilon}(u_{\epsilon}) - z, T_{\epsilon}(w) \rangle = 0 \quad \forall w \in U_{ad} $$

(iii) Si l'espace des contrôles admissibles $U_{ad}$ est un sous espace de dimension infinie (par exemple $U_{ad} = L^2(\Gamma)$) le problème $(m_\epsilon)$ n'admet pas en général de solution dans
$U_{ad}$.

(iv) Si $U_{ad}$ est remplacé par un ensemble K fermé, convexe et borné de

$$U_1 = \{ v \in L^2(\Gamma); \int_{\Gamma} v d\Gamma \geq a > 0 \},$$

vers $u \in K$ et la fonction $y_e(u_e) - \frac{1}{e||\Gamma|} \int_{\Gamma} u_e d\Gamma$ converge dans $H^1(\Omega)$ vers la solution $y_0(P_0(u))$ du problème $(Q_0)(P_0(u))$.

$$(Q_0)(P_0(u)) = \begin{cases} -\Delta y_0 = 0 & \text{dans } \Omega \\ \frac{\partial}{\partial \nu} y_0 = P_0(u) & \text{sur } \Gamma \\ y_0 \in V & \end{cases}$$

(v) Ces résultats restent valables si nous remplaçons $U_{ad}$ par l'espace affine $D + U_{ad}$, où D est un convexe, fermé borné de $L^2(\Gamma)$.

Références

1.T.Benkiran, On a non Classical Perturbed Boundary Optimal Control System, Libertas Mathematica, Vol.XVI (1996).

2.T.Benkiran, Etude d'un problème de perturbation singulière non classique, Bolletino U.M.I. (7) 11-A (1997), 93-103.

3.H.Brezis, Analyse fonctionnelle, Théorie et Applications, Masson, Paris 1983.

4.J.L.Lions, Contrôle optimal des systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles, Dunod Gauthier-Villars, Paris 1968.

5.J.L.Lions, Perturbations singulières dans les problèmes aux limites et en contrôle optimal, Springer-Verlag, Berlin 1973.

6.J.L.Lions and E.Magenes, Problèmes aux limites non homogènes et applications, Vol.1, 2, Dunod, Paris 1969.