ANNALES
DE LA FACULTÉ
DES SCIENCES
DE TOULOUSE
Mathématiques

FRANÇOIS DELGOVE, NICOLAS RETAILLEAU

Sur la classification des hexagones hyperboliques à angles droits en dimension 5

Tome XXIII, n° 5 (2014), p. 1049-1061.

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# Sur la classification des hexagones hyperboliques à angles droits en dimension 5

FRANÇOIS DELGOVE$^{(1)}$, NICOLAS RETAILLEAU$^{(2)}$

**ABSTRACT.** — The aim of this paper is to give a classification of the right-angled hyperbolic hexagons in the real hyperbolic space $\mathbb{H}_R^5$, by using a quaternionic distance between geodesics in $\mathbb{H}_R^5$.

**RÉSUMÉ.** — Le but de cet article est d'énoncer un théorème de classification des hexagones hyperboliques à angles droits dans l'espace hyperbolique réel de dimension 5, en utilisant une distance quaternionique entre les géodésiques.

## Introduction

Un hexagone à angles droits (orienté) de l'espace hyperbolique réel $\mathcal{H}^n$ est un sextuplet $(S_1, S_2, S_3, S_4, S_5, S_6)$ de géodésiques orientées de $\mathcal{H}^n$ de dimension $n \ge 2$ telles que $S_{i-1} \neq S_{i+1}$ et que $S_i$ et $S_{i+1}$ soient orthogonales pour $i$ modulo 6. Le groupe des isométries préservant l'orientation de $\mathcal{H}^n$ agit diagonalement sur l'ensemble des hexagones à angles droits de $\mathcal{H}^n$. Si $n=2,3$, la classification des hexagones à angles droits modulo isométrie préservant l'orientation est bien connue, voir par exemple [5] et [6]. Le but de cet article est de donner une telle classification pour $n=5$ à l'aide des quaternions.

Soit $\mathbb{H}$ le corps des quaternions de Hamilton, muni de sa structure euclidienne usuelle. Son groupe multiplicatif $\mathbb{H}^\times$ agit par conjugaisons simulwanées sur $\mathbb{H} \times \mathbb{H} \times \mathbb{H}$, par $x \cdot (a, b, c) = (xax^{-1}, xbx^{-1}, xcx^{-1})$. Le birapport

<footnote>(1) 73, rue de Versailles, 91400, Orsay, France
francois.delgove@u-psud.fr</footnote>

<footnote>(2) 46, rue Aristide Briand, 90300, Offemont, France
nicolas.retailleau@u-psud.fr</footnote>
de quatre éléments $a, b, c, d$ deux à deux distincts de $\mathbb{H}$ est $[a, b, c, d] = (c - b)^{-1}(c - a)(d - a)^{-1}(d - b)$.

Dans le modèle du demi-espace supérieur $\mathcal{H}^5 = \{(z, t) \in \mathbb{H} \times \mathbb{R} : t > 0\}$ muni de la métrique riemannienne $ds^2 = \frac{ds_{\mathbb{H}}^2+dt^2}{t^2}$, considérons trois géodésiques orientées $\alpha, \beta, \gamma$ d'extrémités deux à deux distinctes $\alpha^{-}, \alpha^{+}, \beta^{-}, \beta^{+}, \gamma^{+}, \gamma^{-}$, telles que $\gamma$ soit orthogonale à $\alpha$ et $\beta$ et orientée de $\alpha$ vers $\beta$ si $\gamma \cap \alpha \neq \gamma \cap \beta$. On peut alors définir la *distance quaternionique* entre les deux géodésiques orientées $\alpha$ et $\beta$ par $\Delta(\alpha, \beta, \gamma) = [\alpha^{+}, \beta^{+}, \gamma^{+}, \gamma^{-}]$. La norme de ce quaternion décrit la longueur du segment perpendiculaire commun à $\alpha, \beta$ et son quotient par sa norme la rotation nécessaire pour passer de $\alpha$ à $\beta$ après translation parallèle le long de ce segment, par les liens bien connus entre le groupe des quaternions de norme 1 et $SO(4)$ (voir par exemple le chapitre 8 de [13]).

Le but de cet article est de démontrer le théorème de classification suivant, disant que les hexagones hyperboliques à angles droits en dimension 5 sont déterminés par les longueurs quaternioniques de trois côtés consécutifs, comme c’est le cas en dimension 3 avec les longueurs complexes dans [6].

**THÉORÈME.** — *L'application qui au sextuplet de géodésiques ($S_1, S_2, S_3, S_4, S_5, S_6$) associe ($\Delta(S_6, S_2, S_1)$, $\Delta(S_1, S_3, S_2)$, $\Delta(S_2, S_4, S_3)$) induit une bijection de l'ensemble des hexagones à angles droits non dégénérés de $\mathcal{H}^5$, modulo isométries préservant l'orientation, sur l'ensemble des triplets de quaternions non dégénérés, modulo conjugaisons simultanées.*

Nous définirons les termes “non dégénérés” plus tard (dans le cas des hexagones, il s’agit de demander que les points d’intersection avec $S_i$ de $S_{i-1}$ et $S_{i+1}$ soient distincts pour tout $i$ modulo 6 et que $S_i$ soit orientée de $S_{i-1}$ vers $S_{i+1}$). Dans une première partie, nous commencerons par rappeler et définir les outils algébriques et géométriques nécessaires à notre étude et dans une seconde partie, nous démontrerons le théorème de classification énoncé plus haut.

Avant de commencer, nous tenons à remercier Frédéric Paulin pour ses conseils et les améliorations qu’il a apportées à cet article. Nous remercions aussi le rapporteur pour ses corrections fort utiles.
# 1. Outils algébriques et géométriques

## 1.1. Quaternions et homographies quaternioniques

Dans cet article, nous noterons $\mathbb{H}$ le corps des quaternions de Hamilton. Si $q \in \mathbb{H}$, nous noterons $\bar{q}$ son conjugué, $\mathbf{n}(q) = q\bar{q}$ sa norme et $\mathrm{tr}(q) = q + \bar{q}$ sa trace. Soit $\hat{\mathbb{H}} = \mathbb{H} \cup \{\infty\}$ le compactifié d'Alexandroff de $\mathbb{H}$, les actions par translations à gauche et à droite de $\mathbb{H}$ sur lui-même s'étendent continûment de manière unique à $\hat{\mathbb{H}}$. Notons $M_2(\mathbb{H})$ l'anneau des matrices 2-2 à coefficients dans $\mathbb{H}$ et $\mathrm{GL}_2(\mathbb{H})$ le sous-groupe des matrices inversibles de $M_2(\mathbb{H})$.

Si $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{H})$, on définit le déterminant de Dieudonné de $A$ par

$$ \Delta(A) = (\mathbf{n}(a)\mathbf{n}(d) + \mathbf{n}(b)\mathbf{n}(c) - \mathrm{tr}(a\bar{c}db))^{1/2}, $$

et on a les deux propriétés suivantes :

(1) $\Delta(A) \neq 0$ si et seulement si $A$ inversible,

(2) $\Delta(AB) = \Delta(A)\Delta(B)$.

Concernant la théorie du déterminant de Dieudonné, on pourra consulter [4] et [2]. On peut alors définir le sous-groupe fermé $\mathrm{SL}_2(\mathbb{H})$ de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{H})$ comme le noyau du morphisme continu $\Delta : \mathrm{GL}_2(\mathbb{H}) \to \mathbb{R}_+^*$, c'est-à-dire le groupe topologique des matrices de déterminant de Dieudonné égal à 1. Par la suite, nous aurons besoin du lemme suivant (nous renvoyons au lemme 17 de [12] pour une démonstration) :

**LEMME 1.1.** — Le groupe $\mathrm{SL}_2(\mathbb{H})$ est engendré par les matrices de la forme :

$$ \begin{pmatrix} 1 & \theta \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

où $\theta \in \mathbb{H}$ vérifie $\mathbf{n}(\theta) \le 1$.

Pour terminer avec les notations, dans cet article, nous utiliserons le modèle du demi-espace supérieur $\mathcal{H}^5 = \{(z, t) \in \mathbb{H} \times \mathbb{R} : t > 0\}$ muni de la métrique riemannienne $ds^2 = \frac{ds_\perp^2 + dt^2}{t^2}$, dont le bord à l'infini est $\hat{\mathbb{H}} = \mathbb{H} \cup \{\infty\}$.

L'action par homographies de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{H})$ sur $\hat{\mathbb{H}}$ est définie en posant, pour tous les $z \in \hat{\mathbb{H}}$ et $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{H})$,
$$ A \cdot z = \begin{cases} ac^{-1} & si z = \infty \\ \infty & si z = -c^{-1}d \\ (az + b)(cz + d)^{-1} & sinon. \end{cases} $$

Il est bien connu que l'application $(A, z) \mapsto A \cdot z$ est une action, et que cette action est transitive sur les triplets de points deux à deux distincts de $\hat{\mathbb{H}}$ (voir par exemple [8] et [10]). Pour toute matrice $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \text{SL}_2(\mathbb{H})$ et tout élément $(z, t) \in \mathcal{H}^5$, posons

$$ A \cdot (z, t) = \left( \frac{(az + b)(\overline{cz + d}) + a\bar{c}t^2}{\mathbf{n}(cz + d) + \mathbf{n}(c)t^2}, \frac{t}{\mathbf{n}(cz + d) + \mathbf{n}(c)t^2} \right). $$

Par exemple par le lemme 6.6 de [11], l'application $(A, (z, t)) \mapsto A \cdot (z, t)$, dite extension de Poincaré, est une action isométrique du groupe $\text{SL}_2(\mathbb{H})$ sur $\mathcal{H}^5$, qui s'étend continûment à $\hat{\mathbb{H}}$ par l'action par homographies. De plus, cette action induit un isomorphisme de $\text{PSL}_2(\mathbb{H}) = \text{SL}_2(\mathbb{H})/\{\pm Id\}$ sur le groupe des isométries préservant l'orientation de $\mathcal{H}^5$.

## 1.2. Le birapport quaternionique

**DÉFinition 1.2.** — Le birapport de quatre points $a,b,c,d \in \mathbb{H}$ deux à deux distincts est

$$ [a, b, c, d] = (c - b)^{-1}(c - a)(d - a)^{-1}(d - b). $$

Il s'étend continûment, de manière unique, aux quadruplets $(a, b, c, d)$ de points deux à deux distincts de $\hat{\mathbb{H}}$ tels que $b \neq \infty$, en posant

$$ [\infty, b, c, d] = (c - b)^{-1}(d - b), $$

$$ [a, b, \infty, d] = (d - a)^{-1}(d - b), $$

$$ [a, b, c, \infty] = (c - b)^{-1}(c - a). $$

Mais par contre (contrairement à ce qui est affirmé en fin de page 1045 de [7]), le birapport $[a, b, c, d]$ pour $a, c, d$ fixés deux à deux distincts dans $\hat{\mathbb{H}}$ n'a pas de limite quand $b$ tend vers $\infty$, car l'ensemble des valeurs d'adhérence de $[a, b, c, d]$ est alors exactement l'ensemble des conjugués $u^{-1}(c-a)(d-a)^{-1}u$ de $(c-a)(d-a)^{-1}$, où $u \in \mathbb{H}^\times$. Nous poserons alors

$$ [a, \infty, c, d] = (c - a)(d - a)^{-1}. $$
*Remarque*. — On remarque que le birapport est à valeur dans $\mathbb{H}^*$.

On pourra consulter [7] au sujet du birapport quaternionique où l'on peut trouver une autre démonstration de la proposition suivante.

**PROPOSITION 1.3.** — Soit $A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \in \text{SL}_2(\mathbb{H})$, pour $a, b, c, d$ deux à deux distincts dans $\hat{\mathbb{H}}$, nous avons

$$[A \cdot a, A \cdot b, A \cdot c, A \cdot d] = \begin{cases} (\gamma b + \delta)[a, b, c, d](\gamma b + \delta)^{-1} & \text{si } \gamma b + \delta \neq 0 \\ [a, b, c, d] & \text{sinon.} \end{cases}$$

*Démonstration*. — Commençons par montrer le résultat pour les matrices qui engendrent $\text{SL}_2(\mathbb{H})$ données par le lemme 1.1 :

(1) Soient $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $a, b, c, d \in \mathbb{H}$ deux deux à distincts, on a alors, pour tous les $u, v \in \mathbb{H}^*$ distincts,

$$A \cdot u - A \cdot v = v^{-1} - u^{-1} = u^{-1}(u - v)v^{-1},$$

On obtient alors en étudiant les cas suivants : si les 4 points sont dans $\mathbb{H}^*$, si l'un est nul, si l'un est égal à l'infini et si deux points sont égaux respectivement à l'infini et zéro.

$$[A \cdot a, A \cdot b, A \cdot c, A \cdot d] = \begin{cases} b[a, b, c, d]b^{-1} & \text{si } b \neq 0 \\ [a, b, c, d] & \text{sinon,} \end{cases}$$

ce qui est la propriété demandée.

(2) Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & \theta \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, on a alors, pour tous les $u, v \in \mathbb{H}$ distincts

$$A \cdot u - A \cdot v = u - v,$$

et on obtient bien pour $a, b, c, d \in \mathbb{H}$ deux à deux distincts

$$[A \cdot a, A \cdot b, A \cdot c, A \cdot d] = [a, b, c, d].$$

Le résultat général s'en déduit par récurrence sur la longueur de l'écriture d'un élément de $\text{SL}_2(\mathbb{H})$ comme produit des matrices qui engendrent $\text{SL}_2(\mathbb{H})$. $\square$

**COROLLaire 1.4.** — Le groupe $\text{SL}_2(\mathbb{H})$ préserve les birapports réels et la norme des birapports.

*Démonstration*. — Il suffit de se souvenir que $\mathbf{n}(xy) = \mathbf{n}(x)\mathbf{n}(y)$ et que le centre de $\mathbb{H}$ est $\mathbb{R}$. $\square$
### 1.3. Racine carrée d'un quaternion

Nous rappelons un résultat sur les racines carrées d'un quaternion, qui servira par la suite (voir par exemple [9]).

**PROPOSITION 1.5.** — Soit $q \in \mathbb{H}$, il existe $z \in \mathbb{H}$ tel que $z^2 = q$ et tout tel élément $z$ est appelé une racine carrée de $q$. De plus, si on a $q \notin ]-\infty, 0[$, il y a exactement deux racines carrées de $q$, qui sont opposées. Si $q \in \mathbb{R}_- = ]-\infty, 0[$, il existe une infinité non dénombrable de racines carrées.

### 1.4. Propriétés des géodésiques dans $\mathcal{H}^5$

Par géodésique de $\mathcal{H}^5$, nous entendons une application isométrique de $\mathbb{R}$ dans $\mathcal{H}^5$. Nous appellerons arc géodésique la restriction d'une géodésique à un sous-intervalle compact de $\mathbb{R}$.

Rappelons (voir par exemple [1] et [3]) que les géodésiques de $\mathcal{H}^5$ sont les demi-cercles, contenus dans le demi-espace supérieur, orthogonaux à $\mathbb{H} \times \{0\}$, dont le centre est sur $\mathbb{H} \times \{0\}$, et les demi-droites verticales. Nous noterons $]a, b[$ un tel demi-cercle, où $a$ et $b$ sont les points d'intersection du demi-cercle avec $\mathbb{H} \times \{0\}$ et $]a, \infty[$ les demi-droites verticales où $a$ est le point d'intersection de la demi-droite verticale avec $\mathbb{H} \times \{0\}$. Rappelons que l'intersection entre deux géodésiques d'images distinctes est soit vide soit réduite à un point, et que pour toute géodésique $]a, b[$ de $\mathcal{H}^5$, il existe une isométrie préservant l'orientation $\omega$ de $\mathcal{H}^5$ telle que $\omega([a, b]) =]0, \infty[$. Le résultat suivant étend le cas bien connu des dimensions 2 et 3.

**LEMME 1.6.** — Soient $a, b, c, d \in \hat{\mathbb{H}}$ deux à deux distincts, alors les deux géodésiques $]a, b[$ et $]c, d[$ sont orthogonales si et seulement si $[a, b, c, d] = -1$.

*Démonstration.* — Considérons deux géodésiques $]a, b[$ et $]c, d[$ d'extrémités deux à deux distinctes, nous pouvons toujours supposer à isométries près que $]a, b[=]0, \infty[$ et $]c, d[=]1, x[$, avec $x \neq 1, 0, \infty$. Dans ce cas, nous avons

$$[0, \infty, 1, x] = x^{-1}.$$

Il s'agit donc de montrer que $]0, \infty[$ et $]1, x[$ sont orthogonales si et seulement si $x = -1$. Il est immédiat que $]1, -1[$ et $]0, \infty[$ sont bien orthogonales. Il reste à montrer que c'est la seule possibilité. Déjà, comme les tangentes à une demi-droite verticale sont des droites verticales, il faut que la tangente au demi-cercle soit une tangente horizontale, or la tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon, ce qui impose que le centre soit l'origine, et le point d'intersection des géodésiques sera alors le point $(0, 1)$, ce qui nous impose maintenant $x = -1$. $\square$
DÉFINITION 1.7. — Soient trois géodésiques orientées L, M et N distinctes deux à deux, on dit que N est une perpendiculaire commune à L et M si elle est orthogonale à la fois à L et à M, et, lorsque $L \cap N \neq M \cap N$, si N est orientée de L vers M. On dit alors que le triplet (L,M,N) est un double pont.

Rappelons aussi que pour tout $n \ge 3$, étant donné quatre points $a, b, c, d$ deux à deux distincts de $\partial_{\infty}\mathcal{H}^n$, il existe au moins une géodésique dans $\mathcal{H}^5$ qui est une perpendiculaire commune aux géodésiques d'extrémité $a, b$ et $c, d$ et qu'une telle perpendiculaire commune est unique si et seulement si ces géodésiques sont disjointes. Dans le cas où $n = 5$ et $(a, b, c) = (0, \infty, 1)$, nous pouvons avoir les précisions suivantes :

THÉORÈME 1.8. — *Soit $q \in \mathbb{H} - \{0,1\}$, les perpendiculaires communes aux géodésiques $]0, \infty[$ et $]1, q[$ sont de la forme $]-\sqrt{q}, \sqrt{q}$ où $\sqrt{q}$ est une racine carrée de $q$. De plus, il y a unicité de la perpendiculaire commune si et seulement si $q \notin \mathbb{R}_-$.*

*Démonstration.* — Notons $]x, y[$ la géodésique recherchée, nous devons donc avoir $]0, \infty, x, y[ = -1$, ce qui donne $x = -y$. Ensuite, on doit aussi avoir $]1, q, x, y[ = -1$, ce qui nous donne

$$ (x-1)^{-1}(x-q)(x+q)^{-1}(x+1) = -1. $$

Ceci implique que $x$ est une fraction rationnelle en $q$, donc $x$ et $q$ commutent, ainsi les quatre termes du produit commutent. D'où

$$ (x+1)(x-q) = -(x+q)(x+1), $$

c'est-à-dire, après développement,

$$ x^2 = q. $$

Le résultat en découle, à l'aide de la proposition 1.5 pour le cas d'unicité. $\square$

La définition suivante prolonge la notion de distance complexe définie, par exemple dans [6], pour étudier et classer les hexagones à angles droits en dimension 3.

DÉFINITION 1.9. — Soient $L = ]a, b[$, $M = ]c, d[$ et $N = ]e, f[$ trois géodésiques orientées, telles que $(L, M, N)$ soit un double pont. On pose alors $\Delta(L, M, N) = [b, d, f, e]$ et on appelle $\Delta(L, M, N)$ la distance quaternionique de L à M.
*Remarque.* — En gardant les notations de la définition précédente, on peut remarquer que ce birapport est toujours bien défini (donc à valeur dans $\mathbb{H}^*$); en effet, si $L$ et $M$ admettent un double pont alors $a, b, c, d$ sont deux à deux distincts et comme $N$ est perpendiculaire à $M$ et $N$, on a $e, f$ distincts de $a, b, c, d$.

**PROPOSITION 1.10.** — *Soit* $(L, M, N)$ un double pont constitué des trois géodésiques orientées $L = ]a, b[, M = ]c, d[ \text{ et } N = ]e, f[$. Alors on a $n(\Delta(L, M, N)) \neq 1$ si et seulement si $L$ et $M$ ne se coupent pas ou de manière équivalente si et seulement si $L \cap N \neq M \cap N$.

*Démonstration.* — Nous pouvons supposer que $N = ]0, \infty[, M = ]-1, 1[$. Comme $L$ doit être orthogonale à $N$, $L$ est de la forme $]-a, a[$ avec $a \neq 0$, on a alors $\Delta(L, M, N) = [a, 1, \infty, 0] = a^{-1}$.

Supposons $n(\Delta(L, M, N)) = n(a^{-1}) \neq 1$. Alors $L$ est un demi-cercle de rayon différent de 1 de centre 0, ce qui permet de conclure. Supposons, maintenant, que $n(\Delta(L, M, N)) = n(a^{-1}) = 1$ alors $L$ est un cercle de rayon 1 de centre 0 et on aura $L \cap N = M \cap N = \{(0, 1)\}$. $\square$

**DÉFINITION 1.11.** — *Soit* $(L, M, N)$ un double pont, on dit qu'il est non dégénéré si $n(\Delta(L, M, N)) \neq 1$ et dégénéré sinon.

*Remarque.* — On remarque que $(L, M, N)$ est non dégénéré si et seulement si on a $L \cap M = \emptyset$, donc si et seulement si $N$ est l'unique perpendiculaire commune à $L$ et à $M$.

On termine par un théorème qui nous sera utile pour classer les hexagones dans la partie suivante :

**THÉORÈME 1.12.** — Soient $a, b, c, d \in \mathbb{H}$ distincts deux à deux, et considérons les géodésiques $L = ]a, b[$ et $M = ]c, d[$, il existe alors une perpendiculaire commune $N$ telle que le double pont $(L, M, N)$ soit non dégénéré si et seulement si

$$ (c - b)(c - a)^{-1}(d - a)(d - b)^{-1} \notin \mathbb{R}_{-}. $$

*Démonstration.* — On commence par le cas où $(a, b, c, d) = (0, \infty, 1, q)$. Par un résultat classique de géométrie euclidienne sur l'intersection entre droites et cercles, nous avons $q \notin \mathbb{R}_-$ si et seulement si $L \cap M = \emptyset$, donc par les rappels sur les géodésiques hyperboliques, si et seulement s'il existe une et une seule perpendiculaire commune $N$ à $L$ et à $M$, et donc si et seulement si $(L, M, N)$ est un double pont non dégénéré. Pour le cas général, on se ramène au cas précédent grâce à l'action de la matrice
Sur la classification des hexagones hyperboliques à angles droits en dimension 5

$$ \begin{pmatrix} (c-b)(c-a)^{-1} & -(c-b)(c-a)^{-1}a \\ 1 & -b \end{pmatrix} \text{ qui envoie } a \text{ sur } 0, b \text{ sur } \infty, c \text{ sur } 1 \text{ et } d \text{ sur } (c-b)(c-a)^{-1}(d-a)(d-b)^{-1}. \quad \square $$

## 2. Classification des hexagones à angles droits dans $\mathcal{H}^5$

### 2.1. Définition d'un hexagone à angles droits

**DÉFINITION 2.1.** — On appelle hexagone à angles droits dans $\mathcal{H}^5$ tout sextuplet de géodésiques orientées $S=(S_1,S_2,S_3,S_4,S_5,S_6)$ dans $\mathcal{H}^5$ vérifiant :

(1) pour tout $i$ mod $6$, $S_i$ est orthogonal à $S_{i+1}$,

(2) pour tout $i$ mod $6$, $S_i$ est distinct de $S_{i+2}$,

et on note, pour tout $i$ mod $6$, $H_i = S_i \cap S_{i+1}$. Le point $H_i$ est appelé le $i^{\text{ème}}$ sommet de l'hexagone et l'arc géodésique $[H_i, H_{i+1}]$ est le $i^{\text{ème}}$ côté. Nous dirons que $S$ est non-dégénéré si $H_i \neq H_{i+1}$, et si $S_i$ est orienté de $H_{i-1}$ vers $H_i$ pour tout $i$ mod $6$. Par la suite, lorsque nous parlerons d'hexagones à angles droits, nous supposerons qu'ils sont toujours non dégénérés. De plus, $(S_{i-1}, S_{i+1}, S_i)$ est un double pont et on écrira alors $\Delta_i = \Delta(S_{i-1}, S_{i+1}, S_i)$ et $\Delta_i = \Delta_i(S)$ lorsqu'il est utile de le préciser.

Par la proposition 1.10, la condition (2) est automatiquement vérifiée.

### 2.2. Théorème de classification

Pour tout triplet $(q_1, q_2, q_3)$ de quaternions, posons :

$$ a = (1 + q_1)^{-1} (1 - q_1), $$

$$ b = (1 - q_1)^{-1} (1 + q_1), $$

$$ c = q_2 (q_3 - 1) (1 + q_3)^{-1}, $$

$$ d = q_2 (1 + q_3) (q_3 - 1)^{-1}. $$

**DÉFINITION 2.2.** — On dit que le triplet $(q_1, q_2, q_3)$ de quaternions est non dégénéré s'il vérifie les conditions suivantes :

$$ q_1, q_2, q_3 \neq 0 \tag{2.1} $$

$$ \mathbf{n}(q_1), \mathbf{n}(q_2), \mathbf{n}(q_3) \neq 1 \tag{2.2} $$

$$ a \neq c, a \neq d, b \neq c, b \neq d. \tag{2.3} $$

$$ (c-b)(c-a)^{-1}(d-a)(d-b)^{-1} \notin \mathbb{R}_{-} \tag{2.4} $$
Par la suite, on notera $\tilde{\Omega}_{\mathbb{H}}$ l'ensemble des triplets d'éléments de $\mathbb{H}$ non dégénérés.

*Remarque.* — Les expressions de $a, b, c, d$ sont bien définies dans $\mathbb{H}$ si et seulement si respectivement $q_1 \neq -1$, $q_1 \neq 1$, $q_3 \neq -1$, $q_3 \neq 1$. Ces conditions sont vérifiées sous les hypothèses (1) et (2), et donc les conditions (3) et (4) sont bien définies.

**THÉORÈME 2.3.** — *Soit $(q_1, q_2, q_3)$ un triplet non dégénéré de quaternions, alors il existe un unique hexagone $(S_1, S_2, S_3, S_4, S_5, S_6)$ tel que*

$$S_1 = ]-1, 1[, \quad S_2 = ]0, \infty[, \quad \Delta_1 = q_1, \quad \Delta_2 = q_2, \quad \Delta_3 = q_3.$$

*Démonstration.* — Lorsque nous écrirons $]a, b[$, la géodésique sera orientée de $a$ vers $b$. De plus, comme nous cherchons des hexagones non dégénérés, nous n'aurons pas à nous occuper de la condition (2) de la définition 2.1, elle sera automatiquement vérifiée d'après la remarque qui suit la définition 2.1.

Fixons $S_1 = ]-1, 1[$ et $S_2 = ]0, \infty[$. On notera $S_i = ]s_i^-, s_i^+[$. À cause des relations d'orthogonalité et de double pont, on peut remarquer que pour $i = 1, 3, 4, 6$, on a $s_i^{\pm} \neq \infty$.

Déjà la condition (1) est nécessaire d'après la remarque qui suit la définition 1.9.

(1) Commençons par déterminer $S_3$.

La géodésique $S_3$ est orthogonale à $S_2$ si et seulement s'il existe $x \in \mathbb{H}^*$ tel que $S_3 = ]-x, x[$. Or $\Delta_2 = [1, x, \infty, 0] = x$. D'où $\Delta_2 \neq 0$ et

$$S_3 = ]-\Delta_2, \Delta_2[$.$$$

Réciproquement $S_3 = ]-q_2, q_2[$ est une géodésique bien définie si et seulement si $q_2 \neq 0$, ce qui est assuré par la condition (1). De plus $H_1 \neq H_2$ si et seulement si $n(q_2) \neq 1$ (voir la proposition 1.10), ce qui est assuré par la condition (2).

(2) Déterminons $S_6$.

Si un tel hexagone existe, alors nous devons avoir $n(\Delta_1) \neq 1$, en particulier $\Delta_1 \neq -1, 1$ (par la proposition 1.10) et $\Delta_1 \neq 0$ (par la remarque qui suit la définition 1.9). De plus, nous devons aussi avoir $\Delta_1 = [s_6^+, \infty, 1, -1]$, ce qui donne après calcul en utilisant que $\Delta_1 \neq 1$

$$s_6^+ = (1 - \Delta_1)^{-1} (1 + \Delta_1).$$
De plus, par le lemme 1.6, les géodésiques $S_6$ et $S_1$ sont orthogonales si et seulement si $[s_6^-, s_6^+, -1, 1] = -1$, ce qui donne après calcul en utilisant $\Delta_1 \neq 0$, si et seulement si

$$s_6^- = (1 + \Delta_1)^{-1} (1 - \Delta_1).$$

Réciproquement, étant donné $(q_1, q_2, q_3)$ vérifiant les conditions (1) à (4), posons

$$a = (1 + q_1)^{-1} (1 - q_1),$$

$$b = (1 - q_1)^{-1} (1 + q_1).$$

La géodésique $S_6 =]$a, b[ est bien définie si a et b le sont, c'est-à-dire si on a $q_1 \neq -1, 1$ et si $a \neq b$, c'est-à-dire, après calcul, si $q_1 \neq 0$. De plus $H_6 \neq H_1$ si et seulement si $\mathbf{n}(q_1) \neq 1$ (par la proposition 1.10), ce qui est assuré par la condition (2).

(3) Déterminons $S_4$.

De même que précédemment, si un tel hexagone existe, nous devons avoir $\Delta_3 \neq -1, 1, 0$ et que $\Delta_3 = [\infty, s_4^+, \Delta_2, -\Delta_2]$, ce qui donne par équivalence

$$s_4^+ = \Delta_2 (1 + \Delta_3) (\Delta_3 - 1)^{-1}.$$

De plus, $S_3$ et $S_4$ sont orthogonales si et seulement si $[-\Delta_2, \Delta_2, s_4^-, s_4^+] = -1$, c'est-à-dire si et seulement si (en utilisant le fait que $\Delta_2, \Delta_3 \neq 0$)

$$s_4^- = \Delta_2 (\Delta_3 - 1) (1 + \Delta_3)^{-1}.$$

Réciproquement, posons

$$c = q_2 (q_3 - 1) (1 + q_3)^{-1},$$

$$d = q_2 (1 + q_3) (q_3 - 1)^{-1}.$$

La géodésique $S_4 =]$c, d[ est bien définie si c et d le sont, c'est-à-dire si $q_3 \neq -1, 1$ et si $c \neq d$, c'est-à-dire, après calcul, $q_2 \neq 0$ et si $q_3 \neq 0$, ce qui est assuré par les conditions (1) et (2). De plus $H_2 \neq H_3$ si et seulement si $\mathbf{n}(q_3) \neq 1$ (par la proposition 1.10), ce qui est assuré par la condition (2).

(4) Il ne reste plus qu'à déterminer $S_5$.

Pour commencer, il faut $S_4 \neq S_6$ ce qui nous donne $a \neq c$, $a \neq d$, $b \neq c$ et $b \neq d$, ce qui est assuré par la condition (3). Réciproquement si $a \neq c$, $a \neq d$, $b \neq c$ et $b \neq d$ alors $S_4 \neq S_6$. Maintenant, par le
théorème 1.12, la géodésique $S_5$ orthogonale à $S_4$ et $S_6$ existe, est unique et forme un double pont avec $S_4$ et $S_5$ si et seulement si

$$ (s_4^- - s_6^+)(s_4^- - s_6^-)^{-1}(s_4^+ - s_6^-)(s_4^+ - s_6^+)^{-1} \notin \mathbb{R}_{-}. $$

ce qui est exactement la condition (4), étant donné ce qui précède.

En conclusion, nous avons donc bien construit un hexagone à angles droits. De plus, le raisonnement précédent a été fait par équivalence, donc tout hexagone vérifie bien ces conditions.

Pour l'unicité, il suffit de remarquer que dans la démonstration de l'existence, à chaque étape, les solutions des équations sont uniques et on notera alors $S(\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3)$ cet hexagone. $\square$

Notons $Hex_5^+$ l'ensemble des hexagones à angles droits orientés à isométrie conservant l'orientation près. Le groupe multiplicatif $\mathbb{H}^\times$ agit par conjugaisons simultanées sur $\mathbb{H} \times \mathbb{H} \times \mathbb{H}$, par $x \cdot (a, b, c) = (xax^{-1}, xbx^{-1}, xcx^{-1})$. Notons $\Omega_{\mathbb{H}}$ le quotient de $\tilde{\Omega}_{\mathbb{H}}$ par cette action. On a alors le corollaire suivant.

**COROLLAIRE 2.4.** — *L'application suivante est une bijection entre $\Omega_{\mathbb{H}}$ et $Hex_5^+$ :*

$$ f: \left| \begin{array}{ccc} \Omega_{\mathbb{H}} & \to & Hex_5^+ \\ (\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3) & \to & S(\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3) \end{array} \right. $$

*Démonstration.* — Le fait que cette application est bien définie provient du théorème précédent. La surjectivité est évidente, en effet dès qu'on a un double pont, la distance quaternionique est définie. L'injectivité est une conséquence de la proposition 1.3 et du fait que $PSL_2(\mathbb{H})$ est isomorphe au groupe des isométries de $\mathcal{H}^5$ préservant l'orientation. $\square$

## Bibliographie

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