beaucoup plus petite que la transition He/H. Si l'on regarde à nouveau la structure des sdB (figure 2.5 du Chapitre 2), on remarque effectivement une évidente similitude avec les naines blanches au niveau de la stratification des éléments chimiques. On observe notamment deux pics associés au terme de Ledoux (figure 2.6) caractéristiques des deux zones de transitions chimiques présentes dans ces étoiles (C-O/He et He/H; mais rappelons pour cette dernière, qu'il ne s'agit pas d'une enveloppe d'H pur). On peut donc imaginer que le phénomène de piégeage et de confinement des modes qui se produit dans les naines blanches puisse, pour les mêmes raisons (stratification chimique), exister dans les sdB.

Pour illustrer ce phénomène, les spectres d'énergie cinétique (en log) des modes g pour $l=1, 2$ et $3$ sont tracés en fonction de leur période respective (panneau du haut dans la figure 3.1). La ressemblance avec le même type de graphique pour les modes g dans les étoiles naines blanches est particulièrement frappante (voir, par exemple, la figure 1 de Brassard et al., 1992c). Les modes dont l'énergie cinétique atteint un minimum (e.g., les modes $k=5$; $l=1, 2$ et $3$) sont dits piégés en surface alors que les modes se trouvant à un maximum d'énergie (e.g., les modes $k=10$; $l=1, 2$ et $3$) sont confinés dans les régions profondes de l'étoile. Notons que les minima sont beaucoup plus étroits que les maxima, le piégeage est donc, comme dans les naines blanches, plus sélectif que le confinement. La décroissance globale de l'énergie cinétique des modes à mesure que la période augmente est l'expression directe de la relation (3.1), donnant explicitement $E_{cin} \propto \sigma^2 \propto 1/P^2$.

Le panneau du bas montre une autre manifestation du phénomène de piégeage à travers, cette fois, l'espacement en période entre deux modes consécutifs (pour un $l$ donné). Là encore, ce graphique dévoile une ressemblance frappante avec la figure 3 de Brassard et al., 1992c. Les modes piégés ainsi que leurs voisins immédiats ($\Delta k = \pm 1$) occupent les minima dans le diagramme $\Delta P - P$. Curieusement, dans chaque séquence, un des minima (le deuxième) correspond non pas à un mode piégé mais à un mode confiné se trouvant à un maximum secondaire de l'énergie cinétique. On pourrait qualifier ce mode comme étant doublement confiné à la fois par l'interface He/H à la base de l'enveloppe et par l'interface C-O/He séparant le cœur convectif et le cœur radiatif. Ce double confinement semble produire le même effet de concentration des périodes observé pour les modes piégés. Il est cependant peu courant puisqu'un seul mode, dans toute la région du spectre explorée (jusqu'à $k=29$ pour $l=3$), en subit les effets.

## Considérations théoriques

Dans Brassard et al., 1992a, une approche semi-analytique reposant sur la théorie asymptotique de Tassoul, 1980 a été développée pour étudier les effets d'une discontinuité dans la fréquence de Brunt-Väisälä engendrée, entre autres, par la stratification chimique dans les naines blanches. Les sdB étant elles-mêmes stratifiées, ce formalisme trouve une application pertinente également dans ces étoiles. Pour éviter de surcharger inutilement le texte, les détails de cette approche asymptotique adaptée aux sdB sont relégués en Annexe B et seuls quelques résultats importants sont repris pour éclairer notre discussion. Si la ressemblance avec les naines blanches est évidente, il demeure néanmoins quelques différences intéressantes à noter. La théorie conduit, au premier ordre, à la relation asymptotique pour l'espacement moyen entre deux modes piégés consécutifs d'indices $i$ et $i+1$ pour une valeur de $l$ fixée

$$ \overline{P_{i+1} - P_i} = \Pi_{H,l} \quad \text{avec} \quad \Pi_{H,l} = \frac{2\pi^2}{\sqrt{l(l+1)}} \left( \int_{r_H}^{R} \frac{|N|}{r} dr \right)^{-1} ; \qquad (3.4) $$
où $r_H$ indique la position de la transition entre l'enveloppe riche en hydrogène et le noyau riche en hélium, $R$ est le rayon de l'étoile et $N$ est la fréquence de Brunt-Väisälä. L'espacement moyen entre deux modes consécutifs d'indices $k$ et $k + 1$ est aussi évalué par la théorie asymptotique:

$$ \overline{P_{k+1} - P_k} = \Pi_{0,l}^{\text{rad}} \quad \text{avec} \quad \Pi_{0,l}^{\text{rad}} = \frac{2\pi^2}{\sqrt{l(l+1)}} \left( \int_{r_c}^{R} \frac{|N|}{r} dr \right)^{-1} ; \qquad (3.5) $$

où, cette fois-ci, l'intégration se fait à partir de $r_c$, la position de l'interface entre le cœur convectif et le noyau radiatif de l'étoile. La théorie indique également que les périodes réduites $P_{k,l}\sqrt{l(l+1)}$ sont indépendantes de l'indice $l$ pour tous les modes, qu'ils soient piégés ou non. Tous les modes d'ordre radial $k$ fixé ont donc la même période réduite et tous les modes piégés d'ordre $i$ donné sont de même ordre radial $k$ quel que soit leur indice angulaire $l$. C'est une situation propre aux sdB qui ne se retrouve pas au niveau des naines blanches (voir Brassard et al., 1992a; Brassard et al., 1992c). Il faut noter que cette particularité est entièrement causée par la présence du noyau central convectif; un

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Figure 3.2: Idem figure 3.1 mais cette fois en fonction des périodes réduites $P_{k,l}[l(l+1)]^{1/2}$. La fenêtre couvre l'intervalle comprenant les trois premiers modes piégés. Les valeurs asymptotiques $\Pi_0^{\text{rad}} = \Pi_{0,l}^{\text{rad}}[l(l+1)]^{1/2} \approx 367$ s et $\Pi_H = \Pi_{H,l}[l(l+1)]^{1/2} \approx 2020$ s, calculées à partir des quantités non perturbées du modèle de référence selon les relations (3.4) et (3.5), sont aussi indiquées.</figcaption></figure>
attribut absent des modèles d'étoiles naines blanches. Comme notre modèle de référence est doté d'un tel noyau, on s'attend donc à observer ce phénomène. Toutefois, certains modèles d'âge suffisamment avancé pour que la zone convective centrale ait disparu devraient montrer une structure pour les modes g en tout point identique à celle des naines blanches.

La figure 3.2 reproduit essentiellement les mêmes informations que la figure 3.1 mais exprimées, cette fois-ci, en terme des périodes réduites toujours pour notre modèle de référence. Une partie des modes représentés se trouvent dans la table 3.1 (ceux dont les périodes sont inférieures à 1500 s). Comme prévu par la théorie asymptotique, on observe que les modes de même ordre radial $k$ ont sensiblement les mêmes périodes réduites. Les modes pour lesquels $k$ est plus élevé obéissent d'ailleurs plus strictement à cette règle conformément à l'idée que cette théorie soit valide dans la limite des grandes valeurs de $k$. Les modes piégés correspondant aux minima de l'énergie cinétique ont aussi, comme prévu, essentiellement les mêmes périodes réduites. Il s'agit des modes avec $k=5, 14, et 20$ (respectivement $i=1, 2, et 3$; $i$ étant l'indice des modes piégés). Le mode $i=4$ n'apparaît pas sur la figure mais le prolongement du tracé laisse entrevoir sans ambiguïté qu'il s'agit du mode avec $k=26$. La figure ne montre pas suffisamment de modes pour mettre clairement en évidence la constance de

l'intervalle entre les modes piégés consécutifs. Le premier intervalle entre $i=1$ et $i=2$ semble plus grand que les deux autres mais il se trouve en dehors du domaine de validité de la théorie asymptotique (grandes valeurs de $k$). Il est donc normal d'observer ici les plus grandes déviations vis-à-vis des prédictions de cette dernière. Il semble, par contre, que l'intervalle entre $i=2$ et $i=3$ soit essentiellement identique à celui qui sépare $i=3$ et $i=4$. Ils sont caractérisés par $\Delta k = 6$ et un intervalle moyen $\overline{P_{i+1} - P_i \sqrt{l(l+1)}} \sim 2000$ s qui correspond au comportement prédit par la théorie asymptotique $(\Delta P \sqrt{l(l+1)}) = \Pi_H \approx 2020$ s entre deux modes piégés). Notons par ailleurs que la largeur de cet intervalle dépend de la position, dans l'étoile, de la transition entre l'enveloppe riche en hydrogène et le noyau riche en hélium (mais, c.f., section 3.4).

## Origine du piégeage et du confinement

Une petite expérience permet de mettre en valeur les effets des transitions chimiques sur le piégeage des modes. Elle consiste à recalculer les périodes adiabatiques à partir de modèles artificiellement modifiés pour en atténuer autant que possible l'influence. La méthode la plus simple est de supprimer les pics du terme de Ledoux dans la fréquence de Brunt-Väisälä en imposant $B=0$ dans les régions où existe un gradient de composition chimique. Les effets sur la fréquence de Brunt-Väisälä engendrés par cette procédure sont illustrés dans la figure 3.3. Pour cette expérience, deux modèles modifiés issus de la structure

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Figure 3.3: Fréquences de Brunt-Väisälä pour le modèle de référence (Ref.) et ses équivalents modifiés pour lesquels $B=0$ à la transition C-O/He (modèle B(C-O/He)=0) et $B=0$ partout dans l'étoile (modèle B=0). Les courbes ont été translatées verticalement pour faciliter la lecture.</figcaption></figure>
de référence (Ref. dans la figure) ont été utilisés. L'un deux a été débarrassé de la composante centrale du terme de Ledoux associée à la transition chimique qui marque la frontière entre le cœur en carbone/oxygène et le noyau riche en hélium; il s'agit du modèle “B(C-O/He)=0” dont la fréquence de Brunt-Väisälä est représentée dans la figure 3.3. Dans le second modèle modifié, une valeur nulle est imposée au terme de Ledoux dans toute l'étoile (modèle “B=0”) et les effets de la transition C-O/He dans le noyau et de la transition He/H à la base de l'enveloppe sont ainsi minimisés. Chacun des deux modèles artificiellement modifiés a été soumis au calcul des périodes adiabatiques suivant les mêmes conditions observées pour le modèle de référence. Les résultats obtenus sont présentés graphiquement dans la figure 3.4 en comparaison avec le modèle non modifié. Cette figure est similaire à la figure 3.1 mais seuls les modes g avec $l=3$ sont ici représentés.

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Figure 3.4: Effets des transitions chimiques sur le piégeage et le confinement des modes g dans les sdB. En haut, énergie cinétique des modes g ($l=3$) en fonction de la période dans une fenêtre de 0 à 3300 secondes (correspondant à $k \sim 30$). Les trois modèles de la figure 3.3 sont représentés. En bas, espacement en période $\Delta P = P_{k+1} - P_k$ en fonction de $P_k$ pour ces trois modèles. Les quantités $\Pi_{0,3}^{\text{rad}}$ et $\Pi_{H,3}$ issues de la théorie asymptotique sont aussi mentionnées.</figcaption></figure>

En trait plein, on reconnaît la structure de piégeage constatée pour le modèle de référence. Le modèle “B(C-O/He)=0” (ligne pointillée) montre, sans ambiguïté, que le rôle joué par la transition C-O/He est marginal dans ce phénomène. La structure en énergie du spectre des modes g demeure en effet globalement inchangée dans ce modèle bien que l'on puisse observer une légère modification
des périodes. On note aussi que le petit maximum secondaire de l'énergie (mode avec $k=10$), auquel était associé le second minimum dans le graphique $\Delta P - P$, a disparu. Ceci confirme l'interprétation initiale de double confinement par la transition C-O/He pour ce mode très particulier. Le modèle $B=0$ (ligne en tirets) démontre, quant à lui, très clairement que la transition chimique He/H située à la base de l'enveloppe est bien responsable de ce phénomène. On remarque en effet la quasi-disparition des minima et maxima dans la structure de l'énergie cinétique ainsi que dans le diagramme $\Delta P - P$. L'espacement en période entre deux modes consécutifs tend d'ailleurs à devenir constant (vers la valeur $\Pi_{0,3}^{\text{rad}} \approx 106$ s), comme prévu par la théorie asymptotique pour un modèle uniforme (c.a.d. sans discontinuité; c.f., Annexe B). La persistence d'une structure "oscillante" reflète les effets, certes moins importants, des transitions chimiques sur les autres quantités thermodynamiques décrivant la structure de l'étoile. Ceux-ci ne peuvent cependant pas être supprimés avec autant d'aisance, comme ce fut le cas pour la fréquence de Brunt-Väisälä.

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Figure 3.5: Fonctions propres de quelques modes g représentatifs (avec $l=3$) en fonction de la profondeur dans l'étoile exprimée en fraction de masse (log q). Les panneaux (a) et (b) montrent respectivement $y_1$ et $y_2$ pour un mode piégé ($k=14$), un mode normal (c.a.d. ni piégé, ni confiné; $k=12$) et un mode confiné ($k=9$). Les panneaux (c) et (d) montrent respectivement $y_1$ et $y_2$ pour deux modes g ($l=3$) possédant environ la même période (~1450 s). En trait plein, il s'agit du mode piégé $k=14$ appartenant au modèle de référence. En pointillés, c'est le mode de période équivalente ($k=12$) pris dans le modèle où B a été fixé artificiellement à zéro. La position de l'interface He/H définie par le maximum du pic de Ledoux dans le modèle de référence est indiquée dans chaque panneau.</figcaption></figure>
## Fonctions propres

Si l'on se penche maintenant sur les fonctions propres $y_1$ et $y_2$ respectivement reliées aux déplacements radial $\xi_r$ et horizontal $\xi_h$, il est possible d'observer les effets de la transition He/H sur l'amplitude relative des oscillations à différentes profondeurs dans l'étoile. Les panneaux (a) et (b) de la figure 3.5 représentent ces deux quantités pour un mode piégé, un mode confiné et un mode à caractère intermédiaire, ni piégé, ni confiné, que l'on qualifiera de "normal". Les amplitudes sont normalisées arbitrairement en surface par la contrainte $y_1^2 + y_2^2 = 1$. La position du maximum du pic de Ledoux associé à la transition He/H est aussi indiquée, définissant l'interface entre le noyau et l'enveloppe.

On peut constater, à partir de cette figure, que le mode piégé possède un nœud situé légèrement au dessus de l'interface He/H pour $y_1$ et légèrement en dessous pour $y_2$. Cette observation est cohérente avec Brassard et al., 1992a qui a montré, dans le contexte analogue des naines blanches, qu'il s'agit de la configuration minimisant l'énergie d'un mode et entraînant donc son piégeage en surface. L'origine de la plus faible énergie des modes piégés apparaît ici clairement comme une conséquence de leurs plus faibles amplitudes dans les couches profondes de l'étoile (sous la transition He/H, dans le noyau). Pour rappel, ces dernières, plus denses, possèdent un poids important sur l'énergie d'un mode. Un mode piégé est donc un mode qui subit une – presque – parfaite réflexion à l'interface de la transition chimique et se trouve ainsi capturé dans l'enveloppe de l'étoile.

La situation est inversée pour les modes confinés. Cette fois-ci, les nœuds de $y_1$ et $y_2$ se trouvent respectivement en dessous et au dessus de l'interface. Contrairement aux modes piégés, il est impossible d'obtenir que les nœuds de $y_1$ et $y_2$ tombent proche de l'interface en même temps, rendant le confinement bien moins efficace que le piégeage. Ces modes montrent des amplitudes anormalement élevées dans le noyau de l'étoile, expliquant ainsi leur plus grande énergie cinétique. Les nœuds des modes intermédiaires ("normaux") étant éloignés de l'interface de la transition chimique, ils sont moins affectés par celle-ci et les amplitudes sont "normales" dans les régions profondes. Comme les nœuds des modes g migrent vers la surface à mesure que l'indice radial $k$ augmente, il se crée une alternance entre modes piégés et modes confinés, en passant par les modes intermédiaires, qui est effectivement observée dans le spectre.

Les panneaux (c) et (d) de la figure 3.5 illustrent d'une autre manière l'influence de la transition He/H en comparant les amplitudes des fonctions propres $y_1$ et $y_2$ pour deux modes g semblables (c.a.d. approximativement de même période) calculés pour le modèle de référence et pour le modèle $"B=0"$ de la figure 3.3. Si les fonctions propres se superposent dans l'enveloppe de l'étoile, des différences majeures apparaissent à partir de l'interface He/H. Le mode du modèle $"B=0"$, malgré un nœud situé proche de l'interface, ne voit pas son amplitude affectée dans les couches plus profondes comme c'est le cas pour le mode équivalent du modèle de référence non modifié. Il y a donc ici une confirmation claire du rôle joué par la transition chimique He/H comme surface de réflexion pour certains modes résonants, produisant ce phénomène de piégeage.

## Régions de formation des périodes

Pour finir ce tour d'horizon sur les caractéristiques du spectre des modes g dans les sdB, il reste à déterminer où se trouvent les régions de formation des périodes pour ces modes. Il existe déjà plusieurs indices suggérant que les modes g sont essentiellement des modes d'intérieur:
* Nous avons d'abord vu au Chapitre 2, d'après la structure des fréquences de Lamb et de Brunt-Väisälä (figure 2.5), que la zone de propagation des modes g (région où $\sigma^2 < L_l^2, N^2$) est située en profondeur dans l'étoile.

* Ensuite, le tableau 3.1 montre que les modes g ont les énergies cinétiques les plus élevées de tous les modes. Or les régions qui contribuent le plus à l'énergie d'un mode sont précisément les régions profondes en raison de leur plus grande densité.

* Enfin, la figure 3.5 dévoile qu'en général les modes g oscillent avec de grandes amplitudes en dessous de l'enveloppe riche en hydrogène, dans le noyau en hélium de l'étoile.

Une façon complémentaire de localiser les régions de formation des modes consiste à regarder la structure des fonctions Poids ("Weight Functions") associées à chacun d'eux. On a vu au Chapitre 1 que les fréquences propres obéissent à un principe variationnel où $\sigma^2$ est donnée par la forme intégrale

$$ \sigma^2 \propto \int_0^R F(y_1, y_2, y_3, y_4; r) \, dr, \qquad (3.6) $$

avec $y_1, y_2, y_3$ et $y_4$ les fonctions propres associées à $\sigma^2$ et qui extrémisent cette expression. Ici l'intégrant $F(y_1, y_2, y_3, y_4; r)$ est appelé la fonction Poids car elle joue, dans l'intégrale, le rôle d'une fonction de pondération dont les valeurs relatives à différentes positions $r$ nous renseignent sur les régions de l'étoile qui contribuent à la valeur de $\sigma^2$. Plus la quantité $F$ est grande dans une région donnée, plus celle-ci possède de poids sur la fréquence (période) du mode. La figure 3.6 reproduit cette fonction de pondération, normalisée à l'unité au maximum, pour trois modes g représentatifs des modes piégés, des modes confinés et des modes dits normaux (ni piégés, ni confinés).

Le mode confiné apparaît ici clairement comme un mode d'intérieur. Le maximum de sa fonction Poids est situé au niveau de la transition C-O/He qui marque la frontière entre le noyau convectif et le manteau radiatif riche en hélium. Les pics secondaires de $F$ diminuent en amplitude à mesure que l'on se déplace vers la surface de l'étoile. Ces régions externes affectent donc de moins en moins la fréquence (période) du mode. Au delà de la transition He/H, dans l'enveloppe riche en hydrogène, la contribution devient très faible. Il est donc clair ici que les modes g confinés sont, en quelque sorte, capturés dans le noyau radiatif de l'étoile délimité par les deux zones de transition chimique. Le mode "normal" ressemble beaucoup au mode confiné avec le maximum de sa fonction Poids situé lui aussi au niveau de la transition C-O/He. Ce mode s'étend cependant davantage au delà de la transition He/H et les régions situées à la base de l'enveloppe contribuent un peu plus à la période du mode. Cette comparaison montre néanmoins que la différentiation que l'on a introduite entre les modes confinés et les modes "normaux" est assez floue. La raison en est la piètre efficacité du processus de confinement incapable de sélectionner clairement des modes bien particuliers du spectre. A ce titre, les modes "normaux" sont donc davantage des modes légèrement moins confinés que des modes formant une classe spécifique bien définie.

Concernant le processus de piégeage, l'efficacité de la sélection n'est pas ici a remettre en cause. Le mode piégé montre, en effet, les caractéristiques les plus atypiques du spectre des modes g au niveau des fonctions Poids. Ainsi, le maximum de $F$ pour le mode piégé se situe maintenant au niveau de la transition He/H et les régions du bas de l'enveloppe contribuent de manière importante à la période.
Comme le piégeage n'est pas parfait, les régions profondes et la zone de transition C-O/He influencent aussi la période mais à un degré moindre. Les modes g piégés constituent donc une famille à part dont la principale région de formation se situe à la base de l'enveloppe riche en hydrogène, bien au dessus des régions où se forment la plupart des modes g dans ces étoiles.

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Figure 3.6: Fonctions poids (“Weight Functions”) pour 3 modes g (avec $l=3$) représentant un mode piégé ($k=5$), un mode normal ni piégé, ni confiné ($k=4$) et un mode confiné ($k=3$). Les caractéristiques de ces trois modes sont données dans le tableau 3.1. Deux signets indiquent les positions respectives des pics de Ledoux associés aux transitions chimiques C-O/He et He/H.</figcaption></figure>

Pour finir, mentionnons deux particularités à partir de la figure 3.6. Premièrement, on remarque que le noyau convectif situé en dessous de la transition C-O/He ($\log q \gtrsim -0.23$) ne contribue pas, ou très peu, à la période des modes g (la fonction Poids est presque nulle dans cette région). C'est donc environ 40% de l'étoile (en masse) qui demeure sans effet, ou presque, sur les périodes de ces modes. Ainsi, lorsqu'on les qualifie de modes d'intérieur, on parle bien sûr de modes oscillants principalement en dessous de l'enveloppe riche en hydrogène, dans la partie radiative du noyau. En second lieu, on note que la région de transition chimique C-O/He, matérialisée par le pic central de Ledoux dans la fréquence de Brunt-Väisälä, affecte de façon assez significative les périodes des modes g (mais un peu moins toutefois les périodes des modes piégés). Ceci explique qualitativement pourquoi les périodes du modèle artificiel $B(C-O/He)=0$ de la figure 3.3 sont légèrement différentes du modèle de référence
non modifié alors que la structure de l'énergie cinétique demeure sensiblement identique. Il semble
bon que cette région, spacialement peu étendue, contribue bien plus à la période des modes qu'à leur
énergie.

3.2.3 Caractéristiques des modes p

Après l'étude portant sur les modes g, un regard approfondi sur les modes acoustiques permet
de révéler plusieurs caractéristiques intéressantes et utiles pour la suite de cette exploration qui nous
ont échappé à la seule lecture du tableau 3.1.

Le spectre acoustique

A la différence des modes g largement étudiés précédemment, les modes acoustiques ou modes p ne
montrent, à partir du tableau 3.1, aucune évidence flagrante trahissant l'existence d'un quelconque
phénomène de piégeage. L'énergie cinétique évolue en effet de façon plutôt monotone d'un mode à
l'autre du spectre. Pour illustrer plus précisément cette situation, l'énergie des modes p (log E<sub>cin</sub>) ainsi
que l'espacement en fréquence (Δν) entre deux modes consécutifs (Δk = 1) sont portés en graphique
en fonction de leur fréquence respective (figure 3.7). L'usage des fréquences préférentiellement aux
périodes pour discuter du comportement des modes p revêt ici principalement un caractère pratique.
Pour ces modes, c'est en effet la fréquence, et non la période, qui augmente avec l'indice radial k. De
plus, la théorie asymptotique (c.f., Annexe B) prévoit un spectre uniforme généré par la relation<sup>2</sup>

$$
\nu_{kl} = \left( k + \frac{l}{2} + \frac{n_e}{2} + \frac{1}{4} \right) \left( 2 \int_{0}^{R} \frac{dr}{C_s} \right)^{-1} \quad \text{avec} \quad C_s = \left( \frac{\Gamma_1 P}{\rho} \right)^{\frac{1}{2}} . \qquad (3.7)
$$

$\nu_{kl}=1/P_{kl}$ est la fréquence du mode d'indices radial $k$ et angulaire $l$, $C_s(r)$ est la vitesse adiabatique locale du son dans l'étoile et $n_e$ représente l'indice polytropique des couches superficielles. Dans la limite asymptotique des grandes valeurs de $k$, il faut donc s'attendre à obtenir un espacement en fréquence $\Delta\nu=\nu_{k+1} - \nu_k$ constant, donné par la relation

$$
\Delta\nu = \left( 2 \int_{0}^{R} \frac{dr}{C_s} \right)^{-1}, \qquad (3.8)
$$

alors que $\Delta P$ décroît comme $\nu^{-2} \propto k^{-2}$, rendant la présentation graphique du spectre acoustique en
terme des périodes beaucoup plus délicate.

Dans la figure 3.7, le profil de l'énergie des modes p (cercles pleins et traits pleins) est très
différent de celui observé pour les modes g (figure 3.1). Ici, aucun maxima ni minima locaux évidents
imputables aux phénomènes de piégeage et de confinement ne sont observés. On note plutôt une
baisse monotone de l'énergie des modes pour les faibles valeurs de k, suivie d'un minimum global assez
mal défini (situé aux alentours de k ~ 15), puis d'une remontée lente et apparamment linéaire pour

<footnote n="2"><sup>2</sup>Cette relation est valide aussi pour l = 0 à la nuance près que le mode radial d'ordre k correspond au mode p non-radial d'ordre k + 1. Ainsi dans la formule (3.7), lorsque l = 0, k correspond à l'ordre du mode donné dans le tableau 3.1 plus un.</footnote>
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Figure 3.7: Energie cinétique (log $E_{\text{cin}}$) et espacement en fréquence ($\Delta\nu = \nu_{k+1} - \nu_k$) entre deux modes consécutifs ($\Delta k = 1$) en fonction de leur fréquence respective ($\nu_k = 1/P_k$) pour les pulsations radiales ($l=0$) et non-radiales ($l=1, 2$ et 3). Le mode fondamental (mode f; $k=0$) possède la plus petite (grande) fréquence (période) et se situe à gauche dans chaque panneau. La fréquence (période) augmente (diminue) avec l'indice radial $k$. Les modes associés au modèle de référence sont représentés par les cercles pleins reliés par les traits pleins alors que les cercles vides reliés par les lignes pointillées appartiennent au modèle artificiel “B = 0” représenté dans la figure 3.3. La valeur asymptotique pour $\Delta\nu$ ($\sim 1.4$ mHz) est indiquée dans chaque diagramme $\Delta\nu - \nu$ par la ligne horizontale en tirets.</figcaption></figure>
les grandes valeurs de $k$. A cette structure d'ensemble, sont superposées de petites fluctuations qui affectent marginalement mais perceptiblement l'énergie cinétique (variations de l'ordre de 0.1 dex sur log $E_{cin}$). Les diagrammes $\Delta\nu - \nu$ associés mettent en évidence plus clairement ces perturbations du spectre. Globalement, le comportement est tout de même assez proche des prédictions de la théorie asymptotique impliquant, pour les grandes valeurs de $k$, un $\Delta\nu$ constant ($\simeq 1.4$ mHz d'après l'équation (3.8) évaluée à partir des quantités non perturbées du modèle de référence) et indépendant de $l$. Les fluctuations observées possèdent une amplitude d'environ 0.15 mHz (soit près de 10%) autour de la valeur asymptotique. Notons aussi de larges déviations par rapport à cette valeur pour les modes de faible ordre radial $k$ (en deçà de $\nu \simeq 12$ mHz), ce qui, bien entendu, n'est pas une surprise puisque ces modes sont en dehors du domaine de validité de la théorie asymptotique (grandes valeurs de $k$).

Afin de tester les effets des discontinuités du terme de Ledoux sur les modes p et éventuellement déterminer si elles jouent un rôle dans les perturbations observées, les calculs adiabatiques ont été reconduits, dans des conditions identiques, sur le modèle artificiellement modifié “$B=0$” présenté dans la figure 3.3. Les résultats sont reproduits dans la figure 3.7 (cercles vides et lignes pointillées) à des fins comparatives. Force est de constater le peu d'effet de cette expérience sur le spectre acoustique. Globalement, l'énergie des modes est légèrement plus élevée dans le modèle “$B=0$” et certaines fréquences (périodes), principalement pour les modes de faible ordre radial $k$, sont perceptiblement affectées. Toutefois, la forme du profil d'énergie n'est pas modifiée dans l'opération, indiquant qu'elle n'est d'aucune façon reliée à ces discontinuités locales.

Le diagramme $\Delta\nu - \nu$ ne dévoile pas non plus de grande différence entre les modèles. Malgré un léger décalage entre les deux tracés engendré par la petite perturbation observée sur les fréquences, la structure reste essentiellement insensible à la présence ou non des discontinuités de Ledoux dans la fréquence de Brunt-Väisälä. Le spectre tend vers la même valeur asymptotique $\Delta\nu \simeq 1.4$ mHz et les fluctuations conservent les mêmes amplitudes.

Pouvons nous conclure pour autant que les discontinuités produites par les transitions chimiques sont sans effet sur les modes p? Et bien non. Il y a peu, nous avons vu que les modes g sont extrêmement sensibles aux discontinuités dans la fréquence de Brunt-Väisälä qui constitue la fréquence naturelle d'oscillation pour les ondes de gravité. Or, la fréquence naturelle pour les ondes acoustiques n'est pas la fréquence de Brunt-Väisälä mais plutôt la fréquence de Lamb, directement reliée à la vitesse du son dans l'étoile. Cette dernière présente aussi des discontinuités associées aux transitions chimiques qui pourraient très bien produire des effets plus marqués sur les modes p. Malheureusement, il n'est pas possible de jouer avec ces discontinuités comme nous avons pu le faire pour la fréquence de Brunt-Väisälä (l'influence des gradients de composition chimique n'est pas clairement exprimée dans les quantités physiques autres que la fréquence de Brunt-Väisälä). Il est donc difficile d'approfondir davantage la question à ce stade des discussions. Toutefois, de nouveaux éléments seront apportés à la section 3.4 pour éclaircir cette situation.

## Fonctions propres

Un regard sur les fonctions propres $y_1$ et $y_2$ permet de comprendre un peu mieux les propriétés des modes p. Ces fonctions propres sont reproduites dans la figure 3.8 pour une poignée de modes radiaux ($l=0$) et non-radiaux ($l=1, 2$ et $3$). Elles sont, comme à l'accoutumée, normalisées en surface par la
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Figure 3.8: Fonctions propres $y_1$ et $y_2$ pour les modes radiaux ($l=0$) avec $k=0, 1, 5, 15$ et $25$ et les modes non-radiaux ($l=1, 2$ et $3$) avec $k=0, 1, 5, 15$ et $25$ (sauf pour le cas $l=1$ qui ne possède pas de mode f). La position de l'interface He/H est indiquée dans chacun des panneaux.</figcaption></figure>
contrainte $y_1^2 + y_2^2 = 1$. Grâce à cette figure, la raison pour laquelle le piégeage semble peu efficace sur les ondes p devient évidente: ces modes oscillent avec des amplitudes suffisamment grandes uniquement dans l'enveloppe de l'étoile, bien au dessus de la transition He/H dont la position est indiquée dans la figure. Toute influence de cette région sur les modes p ne peut donc être que minime. Ceci explique aussi la plus faible énergie des modes p comparativement aux modes g. Les modes de faible ordre radial ($k=0, 1$) sont clairement les plus profonds de la famille; on en distingue encore l'amplitude en dessous de l'enveloppe alors qu'avec les modes d'ordres plus élevés, l'échelle de la figure est déjà trop grande. La décroissance initiale du spectre d'énergie des modes p trouve donc ici une explication naturelle avec le déplacement vers les couches superficielles des oscillations. Toutefois, vers $k \sim 15$, l'accumulation des nœuds en surface (car les nœuds migrent vers la surface lorsque l'ordre radial $k$ augmente) semble opérer une lente inversion de la tendance en "forçant" des amplitudes plus grandes dans les couches plus profondes de l'enveloppe et donc l'énergie à augmenter avec $k$. Si cette interprétation est valide, la forme du spectre d'énergie est attribuable à un effet de surface plutôt qu'à un quelconque effet de structure du modèle. Ce problème sera discuté plus en détails à la prochaine section dans le contexte des modèles d'enveloppes et des comparaisons avec les modèles évolutifs.

Hormis les fonctions propres $y_2$ des modes $k=0, l=0, 2, 3$ et $k=1, l=1$ pour lesquelles une légère distorsion par la transition He/H est discernable, aucune perturbation n'est apparente dans les fonctions d'ondes des modes p. Elles nous apprennent donc bien peu de choses sur les fluctuations constatées dans la figure 3.7. Insistons néanmoins sur le fait que si les amplitudes sont généralement très faibles dans les couches profondes, elles n'y sont pas strictement nulles rendant ainsi les modes p tout de même faiblement sensibles à la structure de ces régions.

## Régions de formation des périodes

Pour clore cette discussion, il reste à déterminer clairement quelles sont les régions de l'étoile qui influencent le plus les fréquences (périodes) des modes p. Les indices recueillis jusqu'à présent suggèrent fortement que les ondes acoustiques, à la différence des ondes de gravité, sont des modes d'enveloppe. Pour résumer la situation, nous avons observé jusqu'à présent que:

* La zone de propagation des modes p ($\sigma^2 > L_l^2, N^2$), d'après la structure des fréquences de Lamb et de Brunt-Väisälä (figure 2.6 du Chapitre 2), est située essentiellement vers la surface de l'étoile.

* L'énergie cinétique des modes p, d'après le tableau 3.1, est sensiblement plus faible que celle des modes g. Ceci suggère des amplitudes plus faibles pour les modes p dans ces régions profondes de l'étoile qui transportent plus d'énergie en raison de leur densité importante.

* La figure 3.8 montre que les amplitudes des fonctions propres des modes p sont effectivement très faibles dans le noyau de l'étoile alors que de grandes oscillations se produisent dans la partie supérieure de l'enveloppe, bien au dessus de la transition He/H.

Comme ce fut le cas pour les modes g, l'ultime réponse à cette question se trouve dans la fonction Poids associée à chaque mode. Celles-ci sont présentées dans la figure 3.9 pour les modes p et f avec $k=0, 1, 5$ et $l=0, 1, 2, 3$ formant un échantillon représentatif. En rappelant que les régions où la valeur de cette fonction est grande contribuent beaucoup à la période du mode, on note que les modes
<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>Figure 3.9: Fonctions poids (“Weight Functions”), normalisées à 1 au maximum, pour quelques modes p et f représentatifs des pulsations radiales ($l = 0$) et non-radiales ($l = 1, 2$ et $3$). Les caractéristiques de ces modes sont données dans le tableau 3.1. Deux signets indiquent les positions respectives des transitions chimiques C-O/He et He/H.</figcaption></figure>
p sont formés davantage en surface que les modes g (c.f., figure 3.6). Les modes $k=5, l=1, 2$ et 3 sont les plus superficiels de la figure avec un maximum situé très haut dans l'enveloppe (aux alentours de $log q \approx -10.6$). Des pics secondaires sont cependant visibles jusqu'au centre de l'étoile mais avec des amplitudes de plus en plus faibles. Aussi, ces régions profondes contribuent elles néanmoins à la période de ces modes, ce qui n'était guère évident à la simple vue des fonctions propres (figure 3.8).

Les modes $k=1$ et $k=0$ sont formés plus profondément dans l'étoile avec une mention particulière pour les modes $k=1, l=0, 2$ et 3. Pour ces derniers, les régions du noyau radiatif, en dessous de la transition He/H, et celles du noyau convectif (incluant la zone de transition C-O/He) contribuent substantiellement à leur période. Ces modes sont donc, en quelque sorte, confinés dans les couches profondes de l'étoile. Toutefois, à la différence des modes g, il s'agit ici d'un phénomène peu répandu ne touchant, semble t-il, que ces quelques modes particuliers. En comparaison, les modes $k=0, l=0, 2, 3$ et $k=1, l=1$ apparaissent davantage piégés au dessus de la transition He/H. Les régions en dessous de cette transition y contribuent en effet beaucoup moins que pour n'importe quel autre mode. Mais là encore, il ne s'agit pas d'un phénomène d'ensemble se manifestant régulièrement dans le spectre des modes p.

Il est intéressant de noter que la région de la transition He/H influence de manière assez importante la fréquence (période) de tous les modes p présentés dans cette figure. Bien souvent, le maximum de la fonction Poids est localisé à cet endroit et s'il ne l'est pas, un pic de hauteur non négligeable y est associé. Tout aussi intéressant, ce pic ne disparaît pas pour les modes issus du modèle “$B=0$” artificiellement modifié (ces modes ne sont pas montrés en graphique). Ceci confirme l'hypothèse selon laquelle les petites fluctuations en fréquence observées dans la figure 3.7 sont engendrées par des discontinuités associées aux zones de transitions chimiques (en particulier la transition He/H) dans les quantités du modèle autres que la fréquence de Brunt-Väisälä.

### 3.2.4 Diagramme de propagation

Avant d'inventorier l'ensemble des propriétés que nous venons de mettre à jour pour les modes p, f et g, une petite parenthèse sur ce qu'Osaki, 1975 a appelé un "diagramme de propagation" (voir aussi Cox, 1980; Unno et al., 1989) est certainement œuvre utile pour compléter notre vision du spectre des modes propres d'oscillation dans les étoiles sous-naines de type B. Ce type de diagramme a déjà été ébauché au cours du Chapitre 2 (figure 2.6) pour illustrer les profils des fréquences de Brunt-Väisälä et de Lamb dans ces étoiles et pour donner un premier aperçu sur les caractéristiques des pulsations par la localisation des zones de propagation des modes p et des modes g. Pour construire un véritable diagramme de propagation, nous sommes maintenant en mesure d'ajouter l'information sur les périodes et les fonctions propres issues des calculs adiabatiques, ce que la figure 3.10 propose pour notre modèle de référence.

Une série de modes, d'indice angulaire $l=2$, est représentée en surimposition des profils des fréquences de Brunt-Väisälä ($log N^2$) et de Lamb pour $l=2$ ($log L_2^2$). Chaque mode est positionné selon sa fréquence propre par une droite horizontale d'ordonnée $log \sigma_k^2$, où $\sigma_k \equiv 2\pi/P_k$ (avec $P_k$, la période du mode d'ordre radial k donnée dans le tableau 3.1). Les modes sont identifiés par leur type (p, f ou g) et par leur ordre $k$, un mode nommé $g_2$ correspondant ainsi au mode g d'ordre $k=2$. Pour chaque mode, les positions des nœuds des fonctions propres $y_1$ sont indiquées par les cercles pleins.
Cette figure complète assez bien l'ensemble des remarques que nous venons de faire jusqu'à présent sur les caractéristiques des modes de pulsation. D'après la position des nœuds des fonctions propres, les modes p oscillent manifestement, comme attendu, dans la région où $\sigma^2 > L_2^2$, $N^2$ et les modes g dans la région profonde où $\sigma^2 < L_2^2$, $N^2$. Le profil de la fréquence de Brunt-Väisälä dans les hautes couches de l'étoile contribue donc, compte tenu du fait que $L_2^2 \ll N^2$ dans ces régions, à imposer une valeur limite inférieure à la fréquence des modes p, une caractéristique qualitative qu'il est utile de garder à l'esprit. Les fréquences des modes g sont, par contre, maintenues en dessous de

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>Figure 3.10: Diagramme de propagation pour le modèle de référence. Les modes p jusqu'à $k=8$, f et g jusqu'à $k=5$ sont placés selon leur fréquence respective $\log \sigma^2$ (avec $\sigma = 2\pi/P$, où $P$ est la période). Les positions des nœuds des fonctions propres $y_1$ sont indiquées pour chaque mode (cercles pleins) et les profils pour la fréquence de Brunt-Väisälä ($\log N^2$) et la fréquence de lamb ($\log L_2^2$) sont disponibles.</figcaption></figure>

la fréquence de Brunt-Väisälä dans les couches profondes de l'astre (où $L_2^2 > N^2$) alors que dans les couches plus superficielles, le profil de la fréquence de Lamb les contraint davantage. Ce diagramme, conforté par l'ensemble des remarques apportées au cours des sections précédentes, autorise ainsi une interprétation schématique des comportements considérant les valeurs des fréquences propres des premiers modes g (c'est-à-dire pour $k \sim 1$) subordonnées au seul profil de la fréquence de Brunt-Väisälä dans la région centrale et celles des premiers modes p subordonnées au seul profil dans l'enveloppe et au voisinage de la transition He/H. Nous verrons à la section 3.4 que, pour schématique qu'elle
soit, cette interprétation permet néanmoins d'expliquer qualitativement les grandes tendances que l'on observe dans le comportement du spectre des périodes.

Pour en finir avec ce diagramme, remarquons que le mode $g_5$, mode piégé d'après le tableau 3.1, dispose d'un nœuds (celui le plus proche de la surface) situé presque exactement sur la transition He/H, caractérisée par le pic principal dans la fréquence de Brunt-Väisälä ou encore par la discontinuité dans la fréquence de Lamb vers $log q \approx -4.0$, conformément aux résultats des sections précédentes.

### 3.2.5 Inventaire des aspects importants à retenir

Dans cette section, nous avons présenté les premiers résultats de calculs de pulsation dans l'approximation adiabatique sur un modèle d'étoile sous-naine de type B représentatif de sa classe. Il en ressort plusieurs aspects importants à l'endroit des propriétés sismiques de ces étoiles qu'il est utile de résumer ici.

Une première constatation, très bien illustrée par les résultats obtenus pour ce modèle de référence, permet d'annoncer que ces objets possèdent un spectre de périodes très riche dans la fenêtre habituellement accessible à l'observation avec les techniques de photométrie rapide (80 à 1500 s). Dans cette fenêtre, le spectre dévoile une grande diversité de modes comprenant des pulsations radiales ($l=0$) et non-radiales ($l=1, 2, 3$). Pour les pulsations non-radiales, on observe à la fois des modes p (et f) ainsi que des modes g. Tous, modes p, modes g, modes radiaux et non radiaux, sont de faible ordre radial $k$.

S'agissant des modes p, on dénombre plusieurs caractéristiques générales qui se retrouvent qualitativement dans tous les modèles d'étoiles sous naines de type B. Le résumé de ces caractéristiques est le suivant:

* Schématiquement, les modes acoustiques (modes p) et les modes f possèdent des périodes généralement inférieures à 600 secondes dépendant, bien entendu, des paramètres particuliers de chaque modèle. Ces périodes diminuent lorsque l'indice radial $k$ augmente.

* Ces modes oscillent davantage en surface, dans l'enveloppe riche en hydrogène de l'étoile, au dessus de la transition He/H. Ces régions contribuent d'ailleurs principalement à l'établissement de leurs périodes. Ce sont donc des modes d'enveloppes; un résultat peu surprenant puisque les modes acoustiques sont typiquement des modes d'enveloppe ou de surface dans les étoiles non-dégénérées.

* On note aussi que la transition He/H affecte assez peu les modes p puisque ces derniers sont déjà principalement "piégés" dans l'enveloppe de l'étoile. Le pic de Ledoux associé à cette transition chimique est d'ailleurs totalement sans effet sur les modes p. Par contre, il existe possiblement un petit mécanisme de piégeage de ces modes (appelons le micro-piégeage) engendré par les effets de la transition chimique sur d'autres quantités physiques du modèle et en particulier sur la vitesse adiabatique locale du son dans cette région. Ceci reste toutefois à confirmer (mais, voir section 3.4).

Concernant maintenant la structure du spectre des modes g, plusieurs comportements intéressants et tout aussi généraux sont à répertorier:
* Les périodes des ondes de gravité sont essentiellement supérieures à 600 s (pour les modes avec $l=1$), diminuant lorsque l'indice angulaire $l$ du mode croît et augmentant avec l'indice radial $k$. Les périodes précises dépendent bien entendu fortement des paramètres qui caractérisent chaque modèle.

* Contrairement aux modes p, les modes g oscillent principalement en profondeur dans l'étoile ou, pour être plus précis, dans le noyau radiatif riche en hélium. Il est intéressant de noter que le cœur convectif, qui comprend une bonne partie de la masse de l'étoile, ne contribue pas (ou très peu) à la période et au comportement des modes g. On peut toutefois les qualifier de modes d'intérieur puisqu'ils sont essentiellement formés en dessous de l'enveloppe riche en hydrogène. Là encore, cette situation est typique des étoiles non-dégénérées.

* Il exite un effet de piégeage très important pour les modes g. Le phénomène est très similaire à celui observé dans les naines blanches et la transition He/H à la base de l'enveloppe riche en hydrogène en est responsable. Certains modes g se trouvent ainsi piégés “en surface” et deviennent davantage des modes formés près de la base de l'enveloppe que des modes d'intérieur. Ce phénomène est typique des étoiles stratifiées pour lesquels les pulsations peuvent entrer en résonance avec l'épaisseur des différentes couches de l'étoile.

Ces caractéristiques globales associées aux deux catégories de modes rencontrées dans nos modèles de sdB sont à garder en mémoire puisqu'elles permettront par la suite de comprendre un peu mieux la façon dont ces modes sont affectés par les changements de structure dans ces étoiles; changements dictés, notamment, par l'évolution stellaire.

## 3.3 Modèles statiques d'enveloppes

Jusqu'à présent, la discussion fut centrée sur les résultats obtenus à partir d'un modèle évolutif de référence. Ces modèles évolutifs sont, de prime abord, les objets les plus réalistes qui soient à notre disposition pour décrire les étoiles sous-naines de type B que l'on cherche à étudier. Toutefois, la contre-partie à ce réalisme se traduit par un manque de souplesse important qui rend très difficile toute tentative pour comprendre les comportements des périodes en fonction des paramètres qui caractérisent un modèle (essentiellement $T_{eff}$, $\log g$, $M_{env}$ et $M_*$). Ce problème peut être contourné en utilisant plutôt des modèles statiques d'enveloppes certes moins réalistes à priori que les structures évolutives mais, comme nous allons le montrer dans cette section, en mesure de les remplacer très avantageusement pour étudier certains aspects des pulsations dans ces étoiles.

L'objet de nos préoccupations est maintenant de mener une étude comparative entre les résultats issus de calculs de pulsation obtenus respectivement pour un modèle évolutif et une structure d'enveloppe équivalente. Nous reprenons donc notre modèle de référence largement disséqué au cours de la section précédente pour le confronter à son “sosie” statique. Les paramètres de ce modèle d'enveloppe, déjà utilisé au Chapitre 2 à des fins de comparaisons structurelles, sont $M = 0.476 M_\odot$, $\log q(H) = -4.1$, $T_{eff} = 31310$ K et $\log g = 5.75$. Ces valeurs ont bien entendu été choisies pour reproduire au mieux le modèle évolutif. Les détails sur les différences et les similitudes entre les deux structures ont été discutés au cours du Chapitre 2 (section 2.4) et il sera opportun de s'y référer régulièrement dans les discussions à venir.
### 3.3.1 Comparaison des quantités adiabatiques

Le calcul des périodes adiabatiques pour le modèle d'enveloppe a été effectué dans des conditions identiques à celles employées pour le modèle évolutif de référence: soit l'usage de 800 éléments quadratiques dans une fenêtre de périodes couvrant l'intervalle 80 – 1500 s. La condition frontière au centre (CFC; voir Chapitre 1) de la “sphère molle”, produisant, de prime abord, de meilleurs résultats que la condition de “sphère dure”, a été adoptée au moins provisoirement dans les calculs. Le choix de cette condition frontière influence légèrement les résultats lorsque les calculs portent sur des modèles d'enveloppes par nature incomplets (il manque les couches internes de l'astre). Par contre, il n'affecte d'aucune façon les résultats concernant les modèles évolutifs complets puisque les deux conditions frontières deviennent équivalentes lorsque le rayon de la première couche du modèle tend vers zéro (c'est-à-dire qu'elle se rapproche du centre de l'étoile). Les valeurs obtenues sont disponibles dans le tableau 3.2 pour les modes radiaux ($l=0$) et non-radiaux ($l=1, 2$ et $3$; modes p, f et g); elles doivent être confrontées à celles du tableau 3.1 calculées pour l'étude du modèle évolutif de référence.

<table><caption>Tableau 3.2: Périodes adiabatiques pour la structure d'enveloppe reproduisant le modèle évolutif de référence. Les paramètres de l'enveloppe sont $T_{eff} = 31310$ K, $\log g = 5.75$, $M = 0.476 M_{\odot}$ et $\log q(H) = -4.1$. Les valeurs sont à comparer avec celles du tableau 3.1.</caption><thead><tr><th rowspan="2">k</th><th colspan="2">l = 0</th><th colspan="3">l = 1</th><th colspan="3">l = 2</th><th colspan="3">l = 3</th></tr><tr><th>P (s)</th><th>log E<sub>cin</sub></th><th>P (s)</th><th>log E<sub>cin</sub></th><th>C<sub>kl</sub></th><th>P (s)</th><th>log E<sub>cin</sub></th><th>C<sub>kl</sub></th><th>P (s)</th><th>log E<sub>cin</sub></th><th>C<sub>kl</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>7</td><td>...</td><td>...</td><td>82.67</td><td>40.76</td><td>0.0097</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>6</td><td>89.06</td><td>40.85</td><td>92.88</td><td>40.84</td><td>0.0038</td><td>89.93</td><td>40.83</td><td>0.0074</td><td>85.94</td><td>40.85</td><td>0.0294</td></tr><tr><td>5</td><td>98.24</td><td>41.08</td><td>104.76</td><td>41.30</td><td>0.0088</td><td>99.20</td><td>41.12</td><td>0.0148</td><td>95.14</td><td>40.92</td><td>0.0253</td></tr><tr><td>4</td><td>113.64</td><td>41.30</td><td>117.26</td><td>41.39</td><td>0.0011</td><td>114.15</td><td>41.28</td><td>0.0159</td><td>110.35</td><td>41.25</td><td>0.0404</td></tr><tr><td>3</td><td>128.80</td><td>42.08</td><td>141.30</td><td>41.97</td><td>0.0071</td><td>133.44</td><td>41.96</td><td>0.0568</td><td>123.65</td><td>41.73</td><td>0.0798</td></tr><tr><td>2</td><td>147.31</td><td>42.09</td><td>157.64</td><td>42.47</td><td>0.0112</td><td>151.40</td><td>42.12</td><td>0.0422</td><td>146.53</td><td>41.97</td><td>0.0477</td></tr><tr><td>1</td><td>164.24</td><td>43.02</td><td>209.76</td><td>43.03</td><td>0.0186</td><td>191.19</td><td>43.60</td><td>0.3488</td><td>171.42</td><td>43.17</td><td>0.1688</td></tr><tr><td>0</td><td>210.42</td><td>43.04</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>209.81</td><td>43.06</td><td>0.0340</td><td>207.79</td><td>43.01</td><td>0.0172</td></tr><tr><td>1</td><td>...</td><td>...</td><td>545.40</td><td>47.76</td><td>0.4284</td><td>348.38</td><td>46.94</td><td>0.0927</td><td>272.56</td><td>46.01</td><td>0.0259</td></tr><tr><td>2</td><td>...</td><td>...</td><td>848.18</td><td>47.34</td><td>0.4242</td><td>518.83</td><td>46.97</td><td>0.0990</td><td>390.28</td><td>46.55</td><td>0.0246</td></tr><tr><td>3</td><td>...</td><td>...</td><td>1155.67</td><td>46.48</td><td>0.4488</td><td>690.73</td><td>46.23</td><td>0.1198</td><td>508.05</td><td>45.91</td><td>0.0419</td></tr><tr><td>4</td><td>...</td><td>...</td><td>1401.15</td><td>45.19</td><td>0.4950</td><td>819.84</td><td>45.05</td><td>0.1685</td><td>588.74</td><td>44.88</td><td>0.0919</td></tr><tr><td>5</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>895.89</td><td>45.33</td><td>0.1517</td><td>647.11</td><td>45.36</td><td>0.0651</td></tr><tr><td>6</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1056.33</td><td>46.09</td><td>0.1429</td><td>761.49</td><td>46.09</td><td>0.0604</td></tr><tr><td>7</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1235.83</td><td>46.34</td><td>0.1475</td><td>887.09</td><td>46.33</td><td>0.0648</td></tr><tr><td>8</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1422.27</td><td>46.27</td><td>0.1512</td><td>1017.53</td><td>46.27</td><td>0.0683</td></tr><tr><td>9</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1149.16</td><td>45.93</td><td>0.0709</td></tr><tr><td>10</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1278.21</td><td>45.19</td><td>0.0715</td></tr><tr><td>11</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1373.67</td><td>44.05</td><td>0.0579</td></tr><tr><td>12</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1433.43</td><td>44.45</td><td>0.0707</td></tr></tbody></table>

### Modes acoustiques et modes f

La comparaison pour les modes p (et f) est particulièrement encourageante. La capacité du modèle d'enveloppe à reproduire les périodes du modèle évolutif semble visiblement très bonne. La comparaison quantitative proposée dans le tableau 3.3 indique qu'à de rares exceptions près (les trois modes $k=1, l=0$ et $2; k=2, l=1$), les périodes sont similaires à l'intérieur d'une marge de moins de 1%. Compte tenu des faibles différences, les tendances apparentes pour les modes d'indices $l=2$ et $l=3$ (dont les
périodes sont systématiquement plus grandes pour le modèle d'enveloppe) peuvent difficilement être considérées comme significatives. Les variations sur l'énergie cinétique (log $E_{cin}$) sont aussi de faible ampleur, inférieures à 0.5% pour la majorité des modes. Les plus gros écarts (néanmoins inférieurs à 1.1%) sont essentiellement associés aux quelques modes déjà mentionnés et qui semblent légèrement plus sensibles aux différences de structure entre les deux modèles. La troisième quantité issue des calculs adiabatiques, les coefficients de rotation $C_{kl}$, dévoile en revanche des variations importantes d'un modèle à l'autre. Toutefois, étant donné les très faibles valeurs des coefficients $C_{kl}$ pour les modes p et la précision fournie dans les tableaux 3.1 et 3.2 (4 chiffres significatifs), il est probable que ces différences trouvent leur origine dans le bruit inhérent à tout modèle numérique.

<table><caption>Tableau 3.3: Comparaison entre les valeurs du tableau 3.2 (structure d'enveloppe) et celles du tableau 3.1 (modèle évolutif). Chaque quantité est exprimée en % et le signe indique le sens des variations: "+" lorsque la valeur pour le modèle d'enveloppe est supérieure à celle du modèle évolutif et "-" quand elle est inférieure.</caption><thead><tr><th rowspan="2">k</th><th colspan="2">l = 0</th><th colspan="3">l = 1</th><th colspan="3">l = 2</th><th colspan="3">l = 3</th></tr><tr><th>ΔP/P</th><th>ΔE<sub>cin</sub>/E<sub>cin</sub></th><th>ΔP/P</th><th>ΔE<sub>cin</sub>/E<sub>cin</sub></th><th>ΔC<sub>kl</sub>/C<sub>kl</sub></th><th>ΔP/P</th><th>ΔE<sub>cin</sub>/E<sub>cin</sub></th><th>ΔC<sub>kl</sub>/C<sub>kl</sub></th><th>ΔP/P</th><th>ΔE<sub>cin</sub>/E<sub>cin</sub></th><th>ΔC<sub>kl</sub>/C<sub>kl</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>7</td><td>...</td><td>...</td><td>-0.4</td><td>-0.4</td><td>-67.1</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>6</td><td>+0.6</td><td>-0.2</td><td>+0.4</td><td>-0.3</td><td>-79.6</td><td>+0.8</td><td>-0.2</td><td>-73.7</td><td>+0.3</td><td>-0.2</td><td>-25.0</td></tr><tr><td>5</td><td>+0.3</td><td>-0.3</td><td>-1.2</td><td>-0.1</td><td>-68.2</td><td>+0.1</td><td>-0.4</td><td>-69.5</td><td>+0.6</td><td>-0.3</td><td>-31.8</td></tr><tr><td>4</td><td>+1.1</td><td>-0.1</td><td>-0.8</td><td>-0.5</td><td>-95.2</td><td>+0.9</td><td>-0.2</td><td>-53.0</td><td>+0.9</td><td>-0.2</td><td>-2.7</td></tr><tr><td>3</td><td>-0.6</td><td>+0.1</td><td>-0.5</td><td>-0.1</td><td>-61.6</td><td>+0.6</td><td>-0.1</td><td>-38.8</td><td>+0.0</td><td>-0.2</td><td>-3.3</td></tr><tr><td>2</td><td>-0.7</td><td>-0.1</td><td>-2.0</td><td>-0.7</td><td>-54.1</td><td>+0.9</td><td>-0.2</td><td>-37.8</td><td>+0.8</td><td>-0.2</td><td>+2.1</td></tr><tr><td>1</td><td>-6.8</td><td>-1.1</td><td>+0.7</td><td>-0.2</td><td>+1.1</td><td>+2.9</td><td>-0.1</td><td>+24.4</td><td>-0.6</td><td>-0.2</td><td>+18.0</td></tr><tr><td>0</td><td>+0.6</td><td>-0.2</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>+0.8</td><td>-0.1</td><td>+29.8</td><td>+0.8</td><td>-0.2</td><td>+22.9</td></tr><tr><td>1</td><td>...</td><td>...</td><td>+28.3</td><td>-0.8</td><td>-5.4</td><td>+25.7</td><td>+0.6</td><td>-31.0</td><td>+21.6</td><td>+2.3</td><td>-49.4</td></tr><tr><td>2</td><td>...</td><td>...</td><td>+26.3</td><td>-1.0</td><td>-6.5</td><td>+27.5</td><td>-0.7</td><td>-20.0</td><td>+27.3</td><td>-0.1</td><td>-39.7</td></tr><tr><td>3</td><td>...</td><td>...</td><td>+20.6</td><td>-1.7</td><td>-2.1</td><td>+21.3</td><td>-1.7</td><td>-5.1</td><td>+21.4</td><td>-1.7</td><td>-4.8</td></tr><tr><td>4</td><td>...</td><td>...</td><td>+12.2</td><td>-2.5</td><td>+5.8</td><td>+11.7</td><td>-2.5</td><td>+24.2</td><td>+10.6</td><td>-2.3</td><td>+70.8</td></tr><tr><td>5</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>+5.0</td><td>+0.5</td><td>-10.4</td><td>+6.0</td><td>+0.9</td><td>-27.1</td></tr><tr><td>6</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>+13.4</td><td>+1.5</td><td>-8.8</td><td>+13.9</td><td>+1.5</td><td>-15.6</td></tr><tr><td>7</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>+14.2</td><td>+0.6</td><td>-1.5</td><td>+14.4</td><td>+0.6</td><td>-2.7</td></tr><tr><td>8</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>+14.1</td><td>-0.1</td><td>-0.7</td><td>+14.2</td><td>-0.1</td><td>-1.4</td></tr><tr><td>9</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>+14.2</td><td>-1.0</td><td>-1.0</td></tr><tr><td>10</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>+16.2</td><td>-2.8</td><td>-1.1</td></tr><tr><td>11</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>+17.7</td><td>-4.7</td><td>-21.4</td></tr><tr><td>12</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>+12.5</td><td>-2.7</td><td>-5.7</td></tr></tbody></table>

## Modes g

Poursuivons les comparaisons en regardant maintenant les modes g. La situation est manifestement moins bonne que pour les modes p car les périodes apparaissent systématiquement plus grandes avec le modèle d'enveloppe dans une proportion d'environ 15 à 30 % pour la grande majorité des modes (c.f., tableau 3.3). On peut remarquer que les différences sont toutefois plus petites pour les deux premiers modes piégés répertoriés dans cet intervalle de période (on se réfère ici aux modes du modèle évolutif avec $k=5, l=2$ et 3). On note à ce sujet, à partir du tableau 3.2, que les premiers modes piégés pour le modèle d'enveloppe sont les modes $k=4, l=2, 3$ et probablement $l=1$ et non les modes $k=5$ comme pour le modèle évolutif. Les périodes pour la structure d'enveloppe étant systématiquement et sensiblement plus grandes, il ne serait pas surprenant que les positions des nœuds des fonctions
propres, qui jouent un rôle majeur dans les conditions de piégeage d'un mode, soient significativement
changées d'un modèle à l'autre, expliquant ce décalage entre modes piégés. Les différences enregistrées
au niveau des énergies cinétiques sont aussi de faible ampleur. Les plus importantes se produisent
surtout au voisinage des modes piégés en raison, probablement, du décalage que nous venons de
mentionner entre ces derniers. De plus, pour les mêmes raisons, le sens des variations alterne plus
ou moins périodiquement avec un changement de signe situé au voisinage de chaque mode piégé. Les
coefficients de rotation apparaissent très semblables d'un modèle à l'autre (moins de 7% de différence
pour $l = 1$). Toutefois les variations s'amplifient à mesure que l'indice angulaire $l$ augmente. Etant
donné les valeurs plus faibles des $C_{kl}$ pour les grandes valeurs de $l$, il est probable, comme pour les
modes p, que le bruit numérique intervient pour une bonne part dans ces différences.

Commentaires sur les différences observées

En vertu des conclusions tirées de l'étude détaillée du modèle de référence (section 3.2), il n'y a pas
régellement de surprise avec les résultats obtenus pour le modèle d'enveloppe. Ce dernier, construit pour
reproduire le modèle évolutif, fait très bien son travail dans les couches externes de l'étoile, notamment
au niveau de l'enveloppe riche en hydrogène (voir aussi la comparaison structurelle de la section 2.4
du Chapitre 2). Toutefois, les divergences grandissent dans les profondeurs de l'astre, en dessous de la
transition He/H, où la structure d'enveloppe offre moins de réalisme que le modèle évolutif. Puisque
les modes acoustiques sont principalement des modes d'enveloppe où les modèles statiques et évolutifs
se confondent très bien, il n'est pas étonnant que les différences observées soient faibles. On remarque
aussi, dans le même esprit, que les quelques modes p mentionnés à la section 3.2.3 pour être davantage
influencés par les couches profondes (les modes $k=1, l=0$ et $2; k=2, l=1$) sont précisément ceux
pour lesquels les différences sont plus marquées (tout en restant inférieures à 7%). Pour les modes g,
nous avons vu que ce sont principalement des modes d'intérieur influencés surtout par la structure du
noyau radiatif de l'étoile, une région moins bien reproduite par le modèle d'enveloppe (c.f., figure 2.8,
Chapitre 2). Les différences systématiques et quantitativement plus importantes observées pour ces
modes sont donc parfaitement attendues et normales.

L'absence de réelle surprise dans les résultats issus du modèle d'enveloppe ne doit pas nous
dissuader pour autant de poursuivre encore plus avant la confrontation avec le modèle évolutif. Il est
important de mettre à jours tous les principaux changements et d'en identifier, autant que possible,
les origines parmi les différences de structure entre les deux modèles.

3.3.2 Comparaisons sur la structure du spectre des modes g

La rapide comparaison précédente concernant les spectres des modes g a laissé entrevoir, à partir
des tableaux 3.2 et 3.3, que leur structure n'est que marginalement différente d'un modèle à l'autre.
Afin de confirmer cette impression, une illustration complète de cette structure est proposée dans la
figure 3.11 pour le modèle d'enveloppe.

L'énergie cinétique (log E$_{cin}$) ainsi que l'espacement en période réduite ($\Delta P\sqrt{l(l+1)}$) des 22 premiers modes pour $l=1, 2$ et $3$ sont tracés en fonction de leur période réduite respective. Cette figure est de nature identique à la figure 3.2 montrant le spectre des modes g pour le modèle évolutif et à laquelle elle doit être comparée. Formellement, le spectre des modes g du modèle d'enveloppe apparaît manifestement similaire à celui du modèle évolutif, incluant les phénomènes de piégeage et
de confinement. Ces derniers prennent naissance en raison de la transition chimique entre le noyau en hélium et l'enveloppe riche en hydrogène présente aussi bien dans le modèle évolutif que dans le modèle d'enveloppe. Il n'est donc guère surprenant (c'est même souhaitable) d'en retrouver les effets dans les deux calculs de pulsations. Il est aussi notable que le modèle d'enveloppe, ne possédant pas de noyau enrichi en carbone/oxygène contrairement au modèle évolutif, ne montre pas de structure secondaire dans le spectre des modes g lié à la transition C-O/He.

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>Figure 3.11: Diagrammes log $E_{\text{cin}}$ et $\Delta P - P$ en fonction des périodes réduites $P_{k,l}[l(l+1)]^{1/2}$. La fenêtre couvre l'intervalle comprenant les trois premiers modes piégés. Les valeurs asymptotiques $\Pi_0^{\text{rad}} = \Pi_{0,l}^{\text{rad}}[l(l+1)]^{1/2} \simeq 378$ s et $\Pi_H = \Pi_{H,l}[l(l+1)]^{1/2} \simeq 1950$ s, calculées à partir des quantités non perturbées du modèle d'enveloppe selon les relations (3.4) et (3.5), sont indiquées dans le panneau du bas.</figcaption></figure>

La théorie asymptotique avait permis, pour les modèles évolutifs, de mettre à jour plusieurs règles de comportement qui semblent toujours valides pour nos modèles d'enveloppes. On se souvient notamment que l'existence d'un noyau convectif, région où les ondes de gravité ne se propagent pas, induit quelques propriétés particulières pour le spectre des modes g. Ainsi, nous avions noté que les modes de même ordre radial $k$ mais d'indices angulaires $l$ différents possèdent essentiellement les mêmes périodes réduites. Cette règle était aussi valable pour les modes piégés de même indice $i$ (pour des $l$ différents); impliquant par ailleurs que ces modes aient tous le même ordre radial $k$. A partir de la figure 3.11, on peut constater que ces mêmes règles s'appliquent également aux modèles statiques pourtant dépourvus, par construction, de ce noyau convectif. Ce constat n'est pas surprenant lorsqu'on
réalise que ce n'est pas tant sa qualité de zone convective que son caractère de région évanescente qui engendre ces propriétés. Dès lors, lorsque, pour le calcul des pulsations dans les modèles d'enveloppes, des conditions frontières évanescentes sont utilisées (comme c'est le cas avec les conditions de sphère molle et de sphère dure), il est normal de retrouver les mêmes comportements au sein du spectre.

Au chapitre des différences, il est intéressant de remarquer, comme cela a déjà été mentionné un peu plus tôt, que les modes piégés du modèle d'enveloppe ne sont pas les mêmes en terme d'ordre radial *k* que ceux du modèle évolutif. De plus, il apparaît que l'intervalle entre deux modes piégés est de $\Delta k=5$ pour la structure d'enveloppe et de $\Delta k=6$ pour son équivalent évolutif. Nul doute que cette différence amplifie encore davantage le décalage observé entre les modes piégés des deux modèles. La théorie asymptotique (Annexe B) fournit une explication naturelle sur l'origine de cette différence. Les quantités $\Pi_0^{\text{rad}}$, représentative de l'espacement moyen entre modes d'indices *k* consécutifs ($\Delta k=1$), et $\Pi_H$, associée à l'espacement en période entre deux modes piégés successifs ($\Delta i=1$), ont été évaluées pour le modèle d'enveloppe (les résultats sont indiqués dans la figure 3.11). Les valeurs obtenues sont proches de celles calculées pour le modèle évolutif (c.f., figure 3.2). Néanmoins, il apparaît que la valeur de $\Pi_H$ est légèrement plus faible pour le modèle d'enveloppe (1950 s contre 2020 s dans le modèle évolutif) alors que celle de $\Pi_0^{\text{rad}}$ est plus grande (378 s contre 367 s). Ces différences minimes, conséquences de structures qui ne sont pas rigoureusement identiques, modifient cependant l'intervalle $\Delta k$ entre deux modes piégés dont la valeur moyenne peut être estimée par la relation asymptotique (6.27) de l'Annexe B: $\Delta k \approx \Pi_H/\Pi_0^{\text{rad}}$. La valeur asymptotique de $\Delta k$ est alors plus proche de 5 pour le modèle d'enveloppe et plus proche de 6 pour le modèle évolutif, conformément à ce que le calcul numérique montre.

### 3.3.3 Comparaisons sur la structure du spectre des modes p

D'après les tableaux 3.2 et 3.3, le spectre des modes p, au moins pour les 6 ou 7 premières harmoniques, ne semble pas vraiment affecté par l'usage du modèle d'enveloppe à la place de la structure évolutive. La figure 3.12 permet toutefois d'obtenir une image plus globale de la comparaison des spectres acoustiques entre les deux modèles. La présentation de la figure 3.7 est reprise avec quatre séries de deux panneaux pour les modes radiaux ($l=0$) et non-radiaux ($l=1, 2$ et 3). Le premier panneau représente l'énergie cinétique des modes p (log $E_{\text{cin}}$) en fonction de leur fréquence propre respective $\nu$ (en mHz). Le second panneau affiche l'espacement en fréquence $\Delta\nu = \nu_{k+1} - \nu_k$ en fonction de $\nu_k$ pour ces mêmes modes. Les deux modèles, évolutif (cercles vides et lignes pointillées) et d'enveloppe (cercles pleins et traits pleins), sont représentés ensemble dans la figure afin de faciliter les comparaisons entre les deux structures.

#### Physionomie des spectres

Dans le panneau représentant l'énergie cinétique, les spectres se confondent assez bien pour les petites valeurs de $\nu$ (c'est-à-dire les modes de faible ordre radial $k$). Toutefois, vers $k \sim 10$, des divergences importantes apparaissent. Alors que la forme du spectre pour le modèle évolutif amorce une lente remontée, celle du modèle d'enveloppe continue de descendre jusqu'à $k \approx 23$ avant d'inverser la tendance. A ce stade, les différences en énergie cinétique atteignent tout de même 3 ordres de grandeur environ entre les deux modèles. Au niveau des diagrammes $\Delta\nu - \nu$, les comportements sont à peu près identiques. Pour les grandes valeurs de $\nu$ (ou, de façon équivalente, les grandes valeurs de $k$), les spectres tendent vers des limites asymptotiques similaires ($\Delta\nu = 1.44$ mHz pour la structure d'enveloppe contre
<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>Figure 3.12: Energie cinétique (log $E_{cin}$) et espacement en fréquence entre deux modes consécutifs ($\Delta\nu = \nu_{k+1} - \nu_k$) en fonction de leur fréquence respective ($\nu_k = 1/P_k$) pour les pulsations radiales ($l=0$) et non-radiales ($l=1, 2$ et 3). Le mode fondamental (mode f; $k=0$) possède la plus petite (grande) fréquence (période) et se situe à gauche dans chaque panneau. La fréquence (période) augmente (diminue) avec l'indice radial $k$. Les modes associés au modèle d'enveloppe sont représentés par les cercles pleins reliés entre eux par les traits pleins alors que les cercles vides reliés par les lignes pointillées appartiennent au modèle évolutif de référence. La valeur asymptotique $\Delta\nu$ ($\sim 1.44$ mHz) pour le modèle d'enveloppe est indiquée dans chaque diagramme $\Delta\nu - \nu$.</figcaption></figure>
$\Delta\nu = 1.4$ mHz pour le modèle évolutif) et les fluctuations, supposément associées au micro-piégeage des modes p par la transition He/H, sont de même amplitude. En y regardant de plus près, on s'aperçoit que le comportement particulier de l'énergie cinétique au niveau du point d'inflexion va de paire avec une légère distorsion des fréquences ($\Delta\nu$ devient légèrement plus petit dans cette région du spectre). L'effet est nettement plus marqué sur le modèle d'enveloppe pour lequel l'inversion de tendance se fait plus rapidement. Dans le modèle évolutif, cette inversion est douce et l'effet sur les fréquences presque imperceptible.

Au cours des discussions de la section 3.2.3, nous avons suggéré que ce comportement particulier du spectre d'énergie qui, nous venons de le voir, affecte également le spectre des fréquences, soit une conséquence de l'accumulation des noeuds des fonctions propres vers la surface<fnref n="3" /> du modèle. Nous avons vu que les grandes amplitudes pour les modes p tendent à migrer vers la surface lorsque l'indice radial $k$ augmente, provoquant la baisse initiale de l'énergie cinétique. Toutefois, avec la condition frontière de reflexion totale des ondes en surface qui force, à partir d'une certaine valeur de $k$, l'accumulation des nœuds et l'accroissement des amplitudes dans des couches de plus en plus profondes, la tendance sur l'énergie s'inverse. La différence importante que l'on observe entre le modèle d'enveloppe et le modèle évolutif s'oriente parfaitement dans le sens de cette interprétation. La surface de la structure évolutive est en effet située vers $log q \simeq -13$ alors que celle du modèle d'enveloppe intervient plus haut, vers $log q \simeq -16$. Dans ces circonstances, il faut s'attendre à ce que l'accumulation des nœuds en surface se produise plus loin dans le spectre (c'est-à-dire pour des modes d'ordre radial $k$ plus élevé) avec le modèle d'enveloppe. Or c'est précisément la tendance qui est observée dans la figure 3.12, confortant du même coup cette interprétation.

## Effet de surface

Afin d'établir clairement l'influence jouée par la position de la surface dans ce phénomène, la figure 3.13 montre à nouveau les spectres d'énergie pour les modes $l=0, 1, 2$ et $3$ associés au modèle d'enveloppe (cercles pleins et traits pleins) comparés, cette fois-ci, à la même structure d'enveloppe amputée de ses couches supérieures à $log q = -13$ (cercles vides et lignes pointillées). Ce modèle amputé constitue d'ailleurs une reproduction plus fidèle du modèle évolutif car ce dernier ne possède pas de couches calculées au delà de $log q = -13$.

Le résultat de cette expérience est particulièrement révélateur. Le modèle amputé dont la structure, mis à part les couches supérieures qui ont été supprimées, est strictement identique à celle du modèle d'enveloppe complet, reproduit à s'y méprendre le spectre d'énergie du modèle évolutif (figure 3.12). Le facteur essentiel qui intervient dans les divergences entre ces deux derniers modèles est donc clairement la position de la surface ou encore la profondeur minimale à laquelle le calcul du modèle est arrêté. Puisque ce paramètre affecte les modes p pour les grandes valeurs de $k$, il convient de s'en soucier lorsqu'on manipule de tels modes.

Pour mesurer les effets de ce paramètre sur les périodes qui sont, après tout, les quantités observables de la théorie, les panneaux $\Delta P/P$ en fonction de la fréquence $\nu$ apportent une comparaison chiffrée entre le modèle d'enveloppe et le modèle amputé. La quantité $\Delta P = P_{\text{env}} - P_{\text{amp}}$ mesure les

<footnote n="3">³Par surface, on entend ici l'endroit le plus élevé du modèle où le calcul est arrêté sachant que la surface physique de l'étoile se situe, strictement parlant, à $log q = -\infty$</footnote>
<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>Figure 3.13: Spectre de l'énergie cinétique pour les modes p ($l=0, 1, 2$ et $3$) du modèle d'enveloppe (cercles pleins et traits pleins) comparé à un modèle amputé de ses couches supérieures à $log q = -13$. Les panneaux $\Delta P/P = (P_{\text{env}} - P_{\text{amp}})/P_{\text{amp}}$ montrent une comparaison directe des périodes entre ces deux modèles.</figcaption></figure>
écarts entre les périodes calculées pour les deux modèles et son signe nous indique le sens des variations. Puisque l'influence de ce que l'on pourrait appeler “l'effet de surface” ne se fait sentir qu'à partir d'une valeur suffisamment élevée de l'ordre radial *k*, les périodes pour les premiers modes *p* ne sont pas affectées par ce phénomène (Les *ΔP/P* dans la figure 3.13 sont, à toutes fins pratiques, nuls pour les 11 premiers modes environ). A partir de *k* ~ 12, l'effet de surface dans le modèle amputé commence à devenir perceptible et des divergences apparaissent vis-à-vis des périodes, non encore affectées, du modèle d'enveloppe. Celles-ci deviennent systématiquement plus grandes et les différences s'amplifient pour atteindre 1.6% environ vers *k* = 20, juste avant que l'effet de surface ne touche à son tour le spectre du modèle d'enveloppe (à *k* = 21). Lorsque finalement cela se produit, les différences grimpent rapidement à 3.4% environ (en raison de la distorsion sur *Δν* observée dans la figure 3.12) pour ensuite se stabiliser à cette valeur (avec quelques fluctuations). Cette limite constitue ainsi une estimation de l'effet total de l'ablation des couches superficielles comprises entre log *q* ≃ -13 et log *q* ≃ -16 sur les périodes des modes acoustiques d'ordre *k* élevé.

## Comparaison approfondie des périodes

Pour achever cette étude comparative du spectre des modes *p*, la figure 3.14 reproduit un équivalent graphique de la table 3.3 en comparant quantitativement les périodes entre le modèle d'enveloppe et le modèle évolutif ($\Delta P/P$ avec $\Delta P = P_{\text{env}} - P_{\text{evol}}$; cercles pleins et traits pleins) et, en parallèle, les périodes entre le modèle amputé et le modèle évolutif ($\Delta P/P$ avec $\Delta P = P_{\text{amp}} - P_{\text{evol}}$; cercles vides et lignes pointillées). On distingue principalement trois régions dans l'espace des fréquences qui sont sensibles à différents effets.

La première région concerne les modes de “basse” fréquence (entre $\nu \simeq 5$ mHz et $\nu \simeq 25$ mHz) correspondant aux petites valeurs de *k* (de *k* = 0 à *k* ≃ 16). Les 6 ou 7 premiers modes sont d'ailleurs répertoriés dans le tableau 3.3. Dans cette zone, les courbes issues du modèle d'enveloppe et du modèle amputé sont essentiellement confondues, confirmant ainsi qu'il n'y a pas de différence à utiliser l'un ou l'autre pour tenter de reproduire les périodes du modèle évolutif. Ceci implique que les variations pour les modes de faible ordre radial *k* observées entre le modèle évolutif et le modèle d'enveloppe ne sont pas induites par l'absence ou la présence des couches superficielles.

La seconde région touche les modes “intermédiaires” dont les fréquences sont comprises entre $\nu \simeq 25$ mHz et $\nu \simeq 35$ mHz (de $k \simeq 17$ à $k \simeq 25$). Ici, les deux tracés se séparent en raison de l’effet de surface que l’on vient d’identifier (figure 3.13) et qui introduit des divergences entre le modèle amputé et le modèle complet. Le tracé associé au modèle amputé semble par ailleurs s’engager sur une pente décroissante à mesure que la fréquence (l’ordre radial *k*) augmente, entraînant une accentuation des divergences avec le modèle évolutif. Pour le modèle d’enveloppe complet, cette décroissance est contre-balancée par l’effet de surface qui influence les périodes dans la direction opposée.

La troisième région s’adresse aux modes d’ordre *k* élevé (*k* ≳ 25 ou $\nu$ ≳ 35 mHz). Dans cette partie du spectre, l’effet de surface a pleinement influencé les périodes et le “régime stationnaire” est établi. Il y a donc un décalage systématique entre les modes du modèle d’enveloppe et les modes du modèle amputé qui correspond bien à la valeur limite $\Delta P/P \simeq 3.4\%$ obtenue à partir de la figure 3.13. De plus, ce décalage se maintient au cours de la décroissance de $\Delta P/P$ puisque les deux tracés évoluent essentiellement suivant la même pente.
<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>Figure 3.14: Comparaisons entre les périodes des modes p calculées à partir du modèle évolutif de référence et celles évaluées pour l'enveloppe complète et l'enveloppe amputée à $log q = -13$.</figcaption></figure>

En termes comparatifs, le modèle amputé est la structure qui ressemble le plus au modèle évolutif. Pourtant, en raison de la décroissance systématique de $\Delta P/P$ avec l'augmentation de l'indice radial $k$, les écarts entre périodes ont tendance à se creuser (les périodes du modèle amputé deviennent plus petites). Pour comprendre l'origine de ce décalage, il faut retourner à la formulation asymptotique de la théorie (Annexe B). Dans cette limite, nous avons vu que l'écart en fréquence entre deux modes consécutifs est constant, donné par la relation (3.8) de la section 3.2.3. La quantité $C_s$ (la vitesse adiabatique du son) intervenant dans cette formule est une quantité thermodynamique qui dépend bien entendu de la structure précise du modèle. Or, les modèles d'enveloppes que l'on utilise, quoique similaires et très fidèles aux structures évolutives, ne leur sont pas rigoureusement identiques en terme de physique utilisée. Ces différences, même mineures, se reflètent sur la quantité $C_s$ et par conséquent affectent la valeur asymptotique de $\Delta\nu$. Le calcul numérique de cette quantité montre qu'il y a effectivement de petites variations: pour le modèle évolutif, $\Delta\nu(\text{evol}) \simeq 1.4$ mHz alors que pour le modèle d'enveloppe amputé, $\Delta\nu(\text{amp}) \simeq 1.49$ mHz<fnref n="4" />. Cette petite différence a néanmoins une

<footnote n="4">⁴Il est intéressant de remarquer que cette valeur était $\Delta\nu(\text{env}) = 1.44$ mHz pour le modèle d'enveloppe complet. Cela confirme que les couches de l'étoile situées au dessus de $log q = -13$ contribuent encore de façon appréciable aux périodes</footnote>
conséquence importante: dans la limite asymptotique, les écarts entre fréquences se trouvent amplifiés à mesure que l'ordre radial augmente. En effet, si l'on se place dans ce régime (k suffisamment grand), les spectres respectifs peuvent approximativement être représentés par les relations

$$ \nu_n(\text{evol}) \approx \nu_0(\text{evol}) + n\Delta\nu(\text{evol}) \quad \text{et} \quad \nu_n(\text{amp}) \approx \nu_0(\text{amp}) + n\Delta\nu(\text{amp}) \quad ; \quad (3.9) $$

où $\nu_0(\text{evol})$, $\nu_0(\text{amp})$ sont les fréquences, pour chacun des modèles comparés, à partir desquelles l'approximation asymptotique devient appropriée<fnref n="5" /> et $n$ est l'ordre radial du mode (différent de $k$ puisque $n=0$ correspond au mode de fréquence $\nu_0$ telle que définie précédemment et non au mode fondamental du spectre acoustique). En supposant, pour simplifier, que $\nu_0(\text{evol})=\nu_0(\text{amp}) \equiv \nu_0$ (c'est-à-dire que les fréquences des modes p pour les deux modèles sont strictement identiques jusqu'à cette valeur $\nu_0$), l'écart entre les périodes des modèles amputé et évolutif peut s'écrire

$$ \frac{\Delta P}{P} \equiv \frac{P_n(\text{amp}) - P_n(\text{evol})}{P_n(\text{evol})} = \frac{\nu_n(\text{evol}) - \nu_n(\text{amp})}{\nu_n(\text{amp})} \approx n \frac{\Delta\nu(\text{evol}) - \Delta\nu(\text{amp})}{\nu_n(\text{amp})} \quad . \quad (3.10) $$

En utilisant maintenant la deuxième relation (3.9), on obtient

$$ n = \frac{\nu_n(\text{amp}) - \nu_0}{\Delta\nu_n(\text{amp})} \quad \text{et donc} \quad \frac{\Delta P}{P} \approx \frac{\Delta\nu(\text{evol}) - \Delta\nu(\text{amp})}{\Delta\nu(\text{amp})} \left(1 - \frac{\nu_0}{\nu_n(\text{amp})}\right) \quad . \quad (3.11) $$

Compte tenu des valeurs asymptotiques calculées pour chaque modèle, on voit très bien que le facteur $[\Delta\nu(\text{evol}) - \Delta\nu(\text{amp})]/\Delta\nu(\text{amp})$ est négatif (sa valeur est environ -0.06) et qu'il imprime le sens observé pour les variations. Pour $n=0$, la relation $\nu_n(\text{amp})=\nu_0$ implique, par construction, $\Delta P/P=0$. Lorsque $n$ augmente (et, avec lui, l'ordre radial réel $k$), le rapport $\nu_0/\nu_n(\text{amp})$ diminue et, comme on peut le constater, les écarts $\Delta P/P$ sont, en valeur absolue, amplifiés. On peut aussi noter que, pour les grandes valeurs de $n$ telles que $\nu_n(\text{amp}) \gg \nu_0$, la quantité $\Delta P/P$ plafonne vers la valeur -0.06 (soit -6%). Cette valeur limite n'est manifestement pas encore atteinte pour les spectres représentés dans la figure 3.14.

En résumé, la dégradation de $\Delta P/P$ qui touche les modes d'ordres $k$ élevés est une amplification normale des effets des petites différences structurelles entre le modèle d'enveloppe et le modèle évolutif. A ce phénomène vient se superposer l'effet de surface que l'on a décrit un peu plus tôt. Ce dernier œuvre dans le sens opposé et compense donc provisoirement la décroissance de $\Delta P/P$. Ceci peut créer l'illusion que le modèle d'enveloppe complet fait un meilleur travail de reproduction (pour $l=0$ par exemple) que le modèle amputé, ressemblant pourtant davantage au modèle évolutif. Il faut donc être conscient qu'il s'agit là d'un effet fortuit et qu'il convient d'être prudent dans les conclusions.

### 3.3.4 Sur l'origine des divergences

Dans l'optique d'évaluer précisément quelles sont les origines des divergences entre les modes calculés pour le modèle d'enveloppe et ceux calculés pour le modèle évolutif, il est utile de présenter un bref rappel des différences structurelles essentielles qui existent entre ces deux derniers. Ceci a déjà été discuté de façon détaillée au cours du Chapitre 2 (section 2.4) mais on peut dresser un tableau

<footnote>des modes acoustiques d'ordre élevé.</footnote>

<footnote n="5">⁵La définition est vague mais tout à fait suffisante pour les besoins de cette argumentation.</footnote>
complet de la situation à partir de la liste exhaustive suivante:

• 1– La différence majeure entre les deux modèles est l'absence de noyau central pour les structures d'enveloppes. Ces dernières sont calculées jusqu'à des profondeurs $log q \simeq -0.075$, n'englobant que 84% de la masse totale de l'étoile. Bien entendu, les modèles évolutifs n'ont pas cette faiblesse et ils offrent une structure complète pratiquement jusqu'au centre de l'astre ($log q \simeq 0$).

• 2– Une autre différence importante est l'absence de traitement des réactions nucléaires dans les modèles d'enveloppes. Celles-ci provoquent l'apparition d'un imposant noyau convectif dans les modèles évolutifs qui fait donc défaut dans les structures d'enveloppes.

• 3– Ces réactions nucléaires transforment l'hélium en carbone/oxygène, enrichissant de ces éléments les couches centrales de l'étoile. Ceci conduit à l'apparition d'un gradient chimique à l'interface entre le cœur convectif enrichi en C-O et la partie supérieure du noyau, radiative et non-contaminée, composée essentiellement d'hélium. Dans les modèles d'enveloppes, il n'y a pas de noyau riche en C-O et donc, pas de transition chimique de cette nature. Cela se traduit, dans ces modèles, par l'absence du pic de Ledoux associé à la transition C-O/He.

• 4– Moins importantes sont les différences dans les structures liées à une approche physique pas tout à fait identique (tables d'opacité et codes numériques différents, $Z=0.02$ pour les modèles d'enveloppes alors que la valeur précise pour les modèles évolutifs est $Z = 0.017178$, formes des transitions He/H non strictement similaires, équations d'état légèrement différentes, etc...). Ceci entraîne quelques écarts minimes dans la partie supérieure des modèles (c'est-à-dire dans l'enveloppe riche en hydrogène de l'étoile).

• 5– La comparaison des structures évolutive et d'enveloppe montre toutefois que les écarts sont légèrement plus marqués dans le noyau radiatif. Ceux-ci proviennent soit d'une plus grande différence dans les traitements physiques appliqués dans cette région, soit d'une amplification des petits écarts qui se créent au niveau des couches supérieures des modèles.

• 6– Enfin, la dernière différence notable provient de ce que les modèles d'enveloppes sont calculés très haut (jusqu'à $log q \simeq -16$ pour le modèle utilisé) alors que la surface des modèles évolutifs est située plus en profondeur (vers $log q \simeq -13$).

Ce dernier point a déjà été évoqué au cours de la section précédente en raison de son implication dans la perturbation du spectre des modes p pour les grandes valeurs de k (effet de surface). Son action est donc déjà identifiée et, puisqu'elle n'intervient pas dans d'autres contextes, il est inutile de revenir sur la question. Les trois premiers points répertoriés renferment l'essentiel des effets qu'il convient d'appréhender pour statuer sur l'origine des divergences entre les périodes des modèles d'enveloppes et celles des modèles évolutifs. Toutes les différences qui posent problème sont localisées dans les régions profondes de l'étoile, vers les basses couches des modèles d'enveloppes où le réalisme de leur structure se perd. Afin de tester l'influence de ces régions sur les périodes des modes de pulsation, une petite expérience d'amputation des modèles se révèle des plus instructives.

## Pour les modes p

En premier lieu, attardons nous à l'étude du comportement des modes p suite à une série de coupures effectuées à différentes profondeurs, $log q(\text{min})$, dans l'intervalle $-0.5 \le \log q \le 0$. L'expérience est
menée parallèlement sur les deux modèles, évolutif et d'enveloppe, dans le but de confronter les périodes dans diverses situations comparables. Les résultats pour les 6 premiers modes p avec $l=0, 1, 2$ et $3$ sont illustrés dans la figure 3.15.

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>Figure 3.15: Périodes pour un échantillon de modes p en fonction de log q(min), la valeur en fraction de masse à laquelle le modèle est amputé de son noyau. En trait plein, il s'agit du modèle évolutif de référence et, en pointillés, du modèle d'enveloppe équivalent. La position de l'interface entre le noyau convectif riche en carbone/oxygène et le noyau radiatif en hélium est indiquée par un signet.</figcaption></figure>

Globalement, que cela soit pour le modèle évolutif (traits pleins) ou pour le modèle d'enveloppe (lignes pointillées), on constate que les périodes demeurent essentiellement inchangées par cette opération d'amputation des couches profondes. Quelques exceptions surviennent toutefois, notamment pour le mode $k = 1, l = 2$, mais elles brillent par leur marginalité. Les modes radiaux ($l = 0$) expriment légèrement moins d'indifférence vis-à-vis du paramètre log q(min), leurs périodes variant davantage selon la profondeur de la base du modèle. Ces derniers oscillent, contrairement aux modes non-radiaux, jusqu'au centre de l'étoile et il n'est pas surprenant de leur trouver une plus grande sensibilité envers l'altération de ces régions. Celle-ci demeure tout de même de faible ampleur puisque, comme nous le savons maintenant fort bien, les ondes p sont avant tout des modes d'enveloppe bien peu incommodés par la structure des couches internes.
La comparaison des périodes entre le modèle d'enveloppe et le modèle évolutif pour l'intervalle $-0.23 \ge \log q(\text{min}) \ge -0.5$ permet de s'affranchir des effets parasites majeurs cités dans les trois premiers points de notre liste. Puisque l'effet de surface (le sixième point) n'intervient pas pour ces modes de faible ordre radial, les écarts observés sont pleinement une estimation quantitative des points 4 et 5, c'est-à-dire des effets engendrés par les différences structurelles mineures associées aux procédés non-strictement identiques du traitement de la physique dans le calcul des modèles. Or, force est de constater que ces effets sont extrêmement faibles sur les périodes des modes p, tant les tracés se superposent bien pour ces valeurs de $\log q(\text{min})$ (les différences sont typiquement inférieures à 1.5%). Les écarts pour les modes $k = 1, l = 2$ et, dans une moindre mesure, $k = 1, l = 3$ sont toutefois légèrement plus importants (mais néanmoins inférieurs à 4% environ). Ces modes, comme on a pu le voir à la section 3.2.3, sont anormalement profonds comparativement à leurs congénères. Ils sont donc davantage influencés par les basses couches des modèles où les différences entre les structures sont plus marquées, expliquant les écarts plus importants.

A $\log q(\text{min}) \approx -0.23$ intervient la transition C-O/He (indiquée dans la figure 3.15) entre le cœur convectif et le noyau radiatif. Cette transition produit un pic de Ledoux dans la fréquence de Brunt-Väissälä du modèle évolutif qui n'apparaît pas dans le modèle d'enveloppe (point 3 dans la liste). Il est manifeste que cette transition C-O/He n'influence pas de façon détectable les périodes de la plupart des modes p. Les exceptions sont, encore une fois, ces quelques modes anormalement profonds que nous venons de citer (mais les effets sur ces derniers restent mineurs).

En dessous de la transition chimique, pour $\log q(\text{min}) \ge -0.23$, nous entrons dans la région du noyau convectif (pour le modèle évolutif seulement car le modèle d'enveloppe ne possède pas de zone convective centrale) et l'influence du deuxième point de la liste des différences est ici testé. Pour le modèle évolutif, les périodes des modes non-radiaux ($l=1, 2$ et $3$) ne changent pratiquement pas avec $\log q(\text{min})$. C'est le signe d'une parfaite neutralité de la région vis-à-vis de ces modes acoustiques. La comparaison avec les périodes du modèle d'enveloppe révèle que, mis à part les quelques modes particuliers déjà cités, il n'y a pas d'écarts significatifs engendrés par les différences de structures dans cette région entre les deux modèles. *Les pulsations acoustiques non-radiales se montrent donc manifestement insensibles à la présence ou non d'un noyau convectif et à l'absence des couches centrales dans les modèles d'enveloppes.*

Dans cette région profonde, la situation pour les pulsations radiales ($l=0$) est un peu plus compliquée. On observe, pour les modes du modèle évolutif avec $k \ge 1$, une légère décroissance des périodes entre $\log q(\text{min}) = 0$ (modèle complet présenté dans le tableau 3.1) et $\log q(\text{min}) \approx -0.20$. Les variations, qui s'élèvent à hauteur de 4 à 9%, demeurent tout de même assez faibles. Ces chiffres constituent toutefois une estimation de l'influence totale des couches les plus profondes sur les périodes des modes radiaux. La comparaison avec le modèle d'enveloppe montre un très bon accord jusque vers la valeur $\log q(\text{min}) \approx -0.15$. Plus profondément, des divergences apparaissent alors que chaque période du modèle d'enveloppe (sauf pour le mode $k=1$) grimpe rapidement vers une valeur limite qui, curieusement, correspond environ à la période pour le modèle évolutif complet. Cette constatation introduit un doute de fortuité sur l'excellent accord illustré par le tableau 3.3 entre les périodes des modes radiaux. Ce doute est par ailleurs renforcé par une série de calculs d'essai montrant que, selon les paramètres utilisés pour les modèles, l'accord entre les périodes des modes radiaux pour les modèles évolutifs et les structures d'enveloppes est plus ou moins bon. De plus, comme il en sera discuté à la
prochaine section, cet accord dépend du choix de la condition frontière au centre.

Pour les modes g

Penchons nous à présent sur la façon dont les modes g réagissent dans cette expérience d'amputation. La figure 3.16 illustre le comportement des 6 premiers modes g appartenant aux spectres d'indices angulaires $l=1, 2$ et $3$. Les modes sont présentés en fonction de leur période réduite respective (donnée par $P[l(l + 1)]^{1/2}$) pour des raisons de commodité.

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>Figure 3.16: Semblable à la figure 3.15 mais cette fois pour un échantillon de modes g.</figcaption></figure>

D'un point de vue d'ensemble et conformément à notre attente, on peut constater que les périodes des modes g sont fortement influencées par les couches internes de l'étoile et *a fortiori* par l'amputation de ces dernières à différentes profondeurs, log *q*(min). Ceci n'est bien sûr pas surprenant dans la mesure où les modes g sont essentiellement des modes d'intérieur. En regardant plus en détails, zone par zone, l'évolution des périodes, d'intéressantes remarques peuvent être apportées.

A log *q*(min) ≈ -0.5, il est remarquable que les périodes du modèle d'enveloppe (lignes pointillées) convergent toutes vers celles du modèle évolutif (traits pleins). A ce stade, les écarts de périodes entre les deux modèles se trouvent réduits à moins de 1%. Ils sont principalement imputables au
quatrième point de notre liste qui, de toute évidence, joue un rôle extrêmement minime. Puisque les différences de périodes s'élèvent typiquement à hauteur de 15 à 30% (tableau 3.3), la majeure partie des écarts pour les modes g sont établis dans les couches situées en dessous de $log q(\min) \simeq -0.5$.

La région délimitée par l'intervalle $-0.23 \ge \log q(\min) \ge -0.5$ contient les basses couches du noyau radiatif dans le modèle évolutif. Dans cette zone, les périodes diminuent régulièrement lorsque $log q(\min)$ augmente, confirmant qu'il s'agit d'une région dotée de beaucoup de poids sur les modes g (voir la section 3.2.2). A noter que les modes piégés (ici $k=4$), formés plus haut dans l'étoile, sont sensiblement moins affectés par cette tendance. La comparaison avec le modèle d'enveloppe montre que les écarts se creusent entre les périodes lorsque des couches de plus en plus profondes sont prises en compte dans les calculs. Dans cette région, les différences de structure entre les modèles sont imputables au point 5 de notre liste et contribuent pour 9% et moins aux écarts entre périodes. A ce titre, il est remarquable que les modes piégés ($k=4$) présentent les plus faibles divergences (inférieures à 2% environ) pour les mêmes raisons citées auparavant.

A $log q(\min) \simeq -0.23$ se trouve la discontinuité de Ledoux associée à la transition chimique C-O/He. Nous savons, depuis la section 3.2.2, que les périodes des modes g sont sensibles à cette discontinuité. La figure 3.16 le confirme en plus d'apporter une estimation quantitative des effets de cette transition. Dans cette seule région géographiquement très restreinte, les périodes pour le modèle évolutif peuvent varier de près de 15%. Il est, de plus, notable que les modes piégés deviennent, à partir de cette transition, les modes d'indice radial $k=5$ et qu'ils subissent, comme attendu, les plus faibles changements de périodes (seulement 3 à 4% environ). Remarquons aussi que le passage, pour les modes piégés, de l'indice $k=4$ à l'indice $k=5$ s'effectue lorsque les périodes des modes $k=4$ pour $log q(\min) \lesssim -0.23$ correspondent environ à celles des modes $k=5$ pour $log q(\min) \ge -0.23$. Ceci confirme l'interprétation faite à la section 3.3.2 sur l'origine de ce décalage entre modes piégés des deux modèles. La structure d'enveloppe ne disposant pas de transition C-O/He, elle ne montre pas de comportement semblable. D'après la figure, il est manifeste que les écarts entre les périodes des modes g de nos deux modèles sont, pour une très grande part, engendrés par la transition chimique C-O/He (point 3 de la liste).

Le mode $l=1, k=1$ du modèle d'enveloppe mérite ici une petite parenthèse en raison de la légère distorsion de sa période qui se produit au niveau de la transition C-O/H (il s'agit bien entendu d'une coïncidence de position puisque ces modèles statiques ne possèdent pas de transitions chimiques à cet endroit). Elle est causée par l'apparition, dans le spectre des modes g, d'un faux mode f qui devrait normalement être doté d'une fréquence propre nulle (période infinie; voir Cox, 1980). Il se manifeste dans la structure d'enveloppe mais aussi dans le modèle évolutif lorsque les couches centrales sont amputées, sa position dans le spectre dépendant très fortement du paramètre $log q(\min)$. Cela suggère que le faux mode f possède une période finie probablement parce que les structures numériques ne se rendent pas rigoureusement jusqu'au centre de l'étoile. Quoiqu'il en soit, ce faux mode est systématiquement éliminé du spectre mais il peut néanmoins perturber les périodes de modes qu'il approche de trop près (comme c'est le cas ici avec le mode $k=1, l=1$ du modèle d'enveloppe).

La zone située à $log q(\min) \ge -0.23$ correspond au noyau convectif dans le modèle évolutif. Cette région se comporte de façon essentiellement neutre sur les périodes de ce modèle, conformément aux observations faites au cours de la discussion de la section 3.2.2 (i.e., les modes g ne se propagent
pas dans le cœur convectif de l'étoile et n'y sont donc pas très affectés). Si les périodes du modèle évolutif sont indépendantes de log q(min) dans cette région, celles du modèle d'enveloppe continuent de décroître à mesure que l'on se rapproche du centre (pour la structure d'enveloppe, cette zone est toujours radiative et les modes g s'y propagent). L'effet est de réduire très légèrement l'écart qui s'est creusé entre les périodes des deux modèles. On peut toutefois affirmer que l'absence ou la présence des couches centrales et du noyau convectif (points 1 et 2) n'affecte que marginalement les périodes des modes g.

### 3.3.5 A propos des conditions frontières

Avant de clore cette discussion sur la comparaison entre modèles évolutifs et modèles d'enveloppes, il est judicieux d'ouvrir une parenthèse sur la question du choix des conditions frontières centrales (CFC) dans le calcul des périodes. La question se pose en ces termes: est-il préférable d'utiliser la condition de "sphère molle" (SM; $d/dr[\xi_r/r] = 0$ à $log q = log q[min]$, la base du modèle) ou bien la condition de "sphère dure" (SD; $\xi_r/r = 0$ à $log q = log q[min]$) pour les calculs de pulsations sur les modèles d'enveloppes? On est alors tenté de répondre: celle qui donne de meilleurs résultats comparativement aux périodes du modèle évolutif. Selon ce principe, la condition de "sphère molle" a été adoptée pour notre comparaison avec le modèle évolutif de référence. Néanmoins, deux observations jettent le trouble sur la pertinence de ce choix. La première provient de la discussion précédente (section 3.3.4) qui, d'après la figure 3.15, suggère que la bonne correspondance entre les périodes des pulsations radiales du modèle évolutif et du modèle d'enveloppe obtenue exclusivement avec la CFC de "sphère molle" serait de nature fortuite, conséquence d'un choix heureux de paramètres stellaires. La seconde, appuyant cette idée, surgit du tableau 3.4 qui compare les périodes pour des structures de paramètres différents.

<table><caption>Tableau 3.4: Périodes adiabatiques (en secondes) pour un modèle évolutif complet (évol.) de paramètres: $T_{eff}=34223$ K, $log g = 5.78$, $M = 0.476 M_\odot$ ($M_c = 0.4758 M_\odot$, $M_{env} = 0.0002 M_\odot$) et âgé d'environ 103 millions d'années depuis la ZAEHB. Les périodes pour les modèles d'enveloppes équivalents ont été calculées en utilisant la CFC de "sphère molle" [env.(SM)] et la CFC de "sphère dure" [env.(SD)]. A titre de comparaison, le modèle évolutif amputé au niveau de la première couche du modèle d'enveloppe est disponible pour les deux choix de CFC [évol.(SM) et évol.(SD)].</caption><thead><tr><th rowspan="2">k</th><th colspan="5">l = 0</th><th colspan="5">l = 1</th></tr><tr><th>évol.</th><th>env.(SM)</th><th>évol.(SM)</th><th>env.(SD)</th><th>évol.(SD)</th><th>évol.</th><th>env.(SM)</th><th>évol.(SM)</th><th>env.(SD)</th><th>évol.(SD)</th></tr></thead><tbody><tr><td>5</td><td>92.9</td><td>91.1</td><td>90.8</td><td>89.6</td><td>91.0</td><td>101.1</td><td>98.5</td><td>101.1</td><td>98.3</td><td>100.8</td></tr><tr><td>4</td><td>107.5</td><td>103.3</td><td>104.6</td><td>100.8</td><td>105.4</td><td>112.7</td><td>112.4</td><td>112.7</td><td>112.5</td><td>112.5</td></tr><tr><td>3</td><td>121.0</td><td>114.8</td><td>115.5</td><td>113.9</td><td>116.9</td><td>136.2</td><td>134.4</td><td>136.3</td><td>134.7</td><td>136.1</td></tr><tr><td>2</td><td>141.0</td><td>138.0</td><td>138.4</td><td>137.6</td><td>139.3</td><td>152.4</td><td>150.5</td><td>152.4</td><td>150.7</td><td>152.2</td></tr><tr><td>1</td><td>162.2</td><td>153.3</td><td>155.9</td><td>153.3</td><td>158.2</td><td>200.5</td><td>203.2</td><td>200.5</td><td>203.3</td><td>200.5</td></tr><tr><td>0</td><td>201.2</td><td>203.9</td><td>201.1</td><td>204.0</td><td>201.1</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>1</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>321.5</td><td>498.6</td><td>318.7</td><td>508.7</td><td>316.7</td></tr><tr><td>2</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>572.4</td><td>752.2</td><td>572.0</td><td>765.4</td><td>676.1</td></tr><tr><td>3</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>826.1</td><td>1010.2</td><td>825.5</td><td>1021.6</td><td>827.1</td></tr><tr><td>4</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1011.3</td><td>1251.6</td><td>1010.2</td><td>1259.3</td><td>1013.5</td></tr><tr><td>5</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1157.2</td><td>1368.6</td><td>1155.5</td><td>1372.9</td><td>1156.6</td></tr></tbody></table>

Les pulsations non-radiales sont ici représentées uniquement par les modes $l=1$, les résultats pour les modes $l=2$ et 3 étant de même nature. Conformément à ce qui fut noté avec le modèle de référence,
les périodes des modes p sont manifestement peu sensibles au type de modèle utilisé (enveloppe ou évolutif) ainsi qu'au choix de l'une ou l'autre des conditions frontières. Pour les modes g, les différences observées entre le modèle d'enveloppe et le modèle évolutif sont similaires à celles identifiées pour notre modèle de référence, les écarts de périodes provenant principalement de l'absence de la transition C-O/He dans le modèle d'enveloppe. Le choix de la condition de "sphère dure" n'affecte que faiblement les périodes du modèle d'enveloppe (moins de 2%) et encore moins celles du modèle évolutif (moins de 1%). Le choix de la CFC n'est donc pas déterminant pour calculer les périodes des ondes de gravité.

L'observation qui nous intéresse principalement est contenue dans les colonnes montrant les périodes de pulsations radiales (l=0). Elle s'appuie sur le fait que les périodes du modèle d'enveloppe calculées avec la CFC de la "sphère molle" [env.(SM)] ne sont pas aussi proches des périodes du modèle évolutif complet (évol.) qu'elles pouvaient l'être dans le cas du modèle de référence. Les différences atteignent, dans le premier cas, 2 à 6% alors qu'elles sont confinées à moins de 1% dans le second. Plus intéressant encore, les périodes du modèle d'enveloppe avec la CFC de "sphère dure" [env.(SD)] ne sont pas très différentes de celles calculées avec la condition de "sphère molle" [env.(SM)]. Si nous avions utilisé ce modèle comme référence, notre premier choix de CFC pour les calculs dans les enveloppes serait apparu bien moins évident qu'il ne le fût. D'autres calculs similaires effectués sur des structures

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>Figure 3.17: Semblable à la figure 3.15 mais en utilisant cette fois la condition frontière au centre de la "sphère dure".</figcaption></figure>
caractérisées par des paramètres différents confirme l'aspect de "dépendance au modèle" des bons résultats de la CFC de "sphère molle".

Pour revenir à notre modèle de référence et afin d'évaluer les comportements des périodes sous l'emploi de la condition frontière de la "sphère dure", la même expérience d'amputation des modèles à été reprise suivant ces nouvelles modalités de calcul. Les résultats pour les 6 premiers modes p (pour $l=0, 1, 2, \text{ et } 3$) sont présentés dans la figure 3.17, alors que la figure 3.18 montre les 6 premiers modes g (toujours pour $l=1, 2 \text{ et } 3$).

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>Figure 3.18: Semblable à la figure 3.16 mais en utilisant cette fois la condition frontière au centre de la "sphère dure".</figcaption></figure>

Ces figures illustrent avant tout que le choix des conditions frontières, auquel cette discussion peut sembler prêter une importance majeure, est loin d'occasionner des changements draconiens au niveau des périodes des modes de pulsation. Les oscillations non-radiales (modes p, f et g) sont clairement peu sensibles à l'utilisation de l'une ou l'autre des CFC, les caractéristiques générales des différences entre le modèle d'enveloppe et le modèle évolutif restant qualitativement et quantitative-ment similaires. La motivation de cette discussion concernait avant tout les modes radiaux pour lesquels de légères différences surgissent selon le choix de la condition frontière. Concentrons nous donc sur le panneau $l=0$ de la figure 3.17 en le comparant à celui de la figure 3.15.
Notons pour commencer que, globalement, les différences sont minimes entre les deux figures. Le comportement et les périodes du modèle évolutif amputé ne sont guère influencées par le choix de la CFC. Les périodes du modèle d'enveloppe sont, comme auparavant, très proches des valeurs du modèle évolutif à un log $q(\text{min})$ donné. Les variations entre les deux séries de calculs apparaissent seulement à partir de log $q(\text{min}) \ge -0.15$ ou les périodes pour le modèle d'enveloppe avec CFC de "sphère dure" ne varient pas dans cette région contrairement à celles obtenues avec la condition de "sphère molle". De ce fait, les premières se trouvent décalées par rapport aux périodes du modèle évolutif complet. Toutefois, on note que les périodes calculées avec la CFC de "sphère dure" sont plus proches des périodes du modèle évolutif amputé au même endroit que le modèle d'enveloppe (c'est-à-dire à log $q(\text{min}) \approx -0.075$) que celles calculées à partir de la CFC de "sphère molle".

Avec ce modèle en particulier, il semble donc que la condition de "sphère dure" produise de moins bons résultats (écarts de 5 à 6% avec le modèle évolutif complet) que la condition de "sphère molle" (écarts de moins de 1%). Le succès de cette dernière est cependant suspect puisqu'il semble émerger fortuitement du choix des paramètres du modèle de référence. Dans l'absolu, elles ne serait donc pas meilleure pour reproduire systématiquement les valeurs des modèles évolutifs. Dans ces conditions, l'avantage revient plutôt à la condition de "sphère dure" car, si celle-ci peut sembler moins réaliste (les deux CFC sont, de toute façon, irréalistes), elle possède néanmoins le gros avantage d'imposer un comportement neutre des régions centrales de l'étoile vis-à-vis des périodes. Cette condition force, en effet, l'amplitude des fonctions propres à demeurer petites près de la limite inférieure du modèle (par la contrainte $\xi_r/r = 0$ à log $q = \log q[\text{min}]$), signifiant que les régions près de cette limite n'auront que peu de poids sur la période. La condition de "sphère molle" ($d/dr[\xi_r/r] = 0$ à log $q = \log q[\text{min}]$), au contraire, n'impose pas une telle contrainte et l'amplitude peut être élevée ou faible selon la valeur de la fonction propre à la base du modèle. Cette région apparaît donc plus ou moins neutre selon la position des nœuds des fonctions propres relativement à log $q(\text{min})$.

Ainsi, à tout choix égal quant à l'inexactitude de ses résultats, celui qui n'introduit pas d'effets additionnels imprévisibles et demeure d'influence neutre sur les périodes est certainement préférable. Aussi, par la suite, et contrairement au choix qui a été fait dans cette étude comparative, la condition frontière centrale de "sphère dure" sera utilisée pour le calcul des périodes avec les modèles statiques.

### 3.3.6 Modèles d'enveloppes - Mode d'emploi

Cette section, dédiée à la comparaison des calculs de pulsation entre modèles évolutifs et modèles d'enveloppes, fut riche en enseignements nouveaux qui devraient permettrent de délimiter clairement le champ d'usage pertinent et admissible des structures d'enveloppes pour l'étude séismologique des étoiles sous-naines de type B. Avant de procéder aux conclusions, un résumé des nombreux résultats discutés s'avère nécessaire pour clarifier la situation et faire la part entre les points réellement importants et les détails plutôt mineurs. Les aspects fondamentaux qui ressortent de la comparaison et qui concernent les modes acoustiques (modes p et f) sont répertoriés dans la liste suivante:

* En premier lieu, l'accord entre les périodes des modèles d'enveloppes et des modèles évolutifs est excellent. Les écarts sont inférieurs à 1% pour les modes non-radiaux mais ils peuvent atteindre, selon les cas, environ 6% pour les pulsations radiales et quelques modes marginaux. Le comportement général du spectre est aussi très bien reproduit (micro-piégeage, etc...). Les
différences demeurent toujours assez faibles car les modes p sont avant tout des modes d'enveloppe, une région décrite adéquatement par les modèles statiques.

* Les petits écarts qui persistent sont attribuables essentiellement à des différences mineures dans le traitement de la physique lors des calculs de structures stellaires ou dans le choix des paramètres définissant un modèle. Il est important de noter qu'à ce niveau, nos modèles d'enveloppes sont probablement plus réalistes que les structures évolutives en raison de l'utilisation de données physiques plus récentes (notamment pour les tables d'opacité).

* Pour le cas particulier des modes radiaux, la grosse partie des écarts enregistrés dans certains domaines de l'espace des paramètres stellaires sont causés par l'absence de noyau central dans les modèles d'enveloppes. Il s'agit clairement d'une situation où les structures évolutives, plus réalistes dans les régions centrales, affirment leur supériorité sur les modèles d'enveloppes. Cependant, ces écarts ne sont pas trop gênants puisqu'ils demeurent d'une ampleur très limitée (~6% au pire) et systématiquement dans un sens donné (ils peuvent donc éventuellement être corrigés).

* Il existe un effet de surface, lié à la profondeur de la dernière couche des modèles, qui affecte le spectre des modes p pour les grandes valeurs de k. Cet effet est d'autant plus retardé que la surface effective du modèle se trouve proche de la surface physique ($\log q = -\infty$). A ce titre, les modèles d'enveloppes sont mieux adaptés que les structures évolutives puisque ces dernières sont calculées jusqu'à $\log q \approx -13$ contre $\log q \approx -16$ pour les premiers.

Quant à la situation suite à la comparaison des spectres des modes g, elle peut se résumer par la liste de remarques suivante:

* L'accord entre les périodes du modèle évolutif et du modèle d'enveloppe est manifestement moins bon que pour les modes acoustiques. L'effet est systématique et entraîne une surestimation de 15 à 30% des périodes avec le modèle d'enveloppe. Toutefois, les principales caractéristiques du spectre (piégeage, confinement, comportement asymptotique, etc...) sont respectées.

* Les origines de ces différences de périodes émergent essentiellement des couches profondes des modèles où les modes g, comme modes d'intérieur, sont principalement formés. Plus précisément, l'absence de la transition chimique C-O/He dans les modèles d'enveloppes peut contribuer jusqu'à 15% environ aux écarts observés, constituant ainsi la cause principale des divergences entre les deux types de modèles. La seconde contribution importante à ces écarts (jusqu'à 10% environ) provient de différences dans la structure des couches basses du noyau radiatif entre les deux types de modèles. Toutefois celles-ci, liées à l'amplification des petits écarts de structure et/ou aux traitements non-identiques de la physique, ne sont pas nécessairement assimilables à une faiblesse des modèles d'enveloppes.

* Enfin, il est intéressant de souligner que l'absence du noyau et de la zone convective centrale dans les structures d'enveloppes n'affecte que très faiblement les modes de gravité.

Pour replacer la discussion dans le contexte de l'étude des pulsations, il est utile de rappeler l'exigence fondamentale que l'on attend des modèles d'enveloppes: reproduire aussi fidèlement que possible le spectre de périodes et sa structure tels qu'ils auraient été obtenus à partir d'un modèle évolutif
possédant des paramètres stellaires identiques, l'objectif étant d'utiliser éventuellement ces enveloppes à la place des structures évolutives. Suite au précédent résumé des résultats de la confrontation entre les deux types de modèles, il apparaît que les modèles d'enveloppes satisfont parfaitement bien à cette exigence lorsqu'il s'agit des modes p pour lesquels ils remplacent avantageusement, et parfois avec un plus grand réalisme, les structures évolutives. La difficulté rencontrée pour les modes radiaux dans certains modèles n'est pas majeure et peu éventuellement être compensée approximativement. Pour autant que les modes acoustiques soient concernés, les modèles d'enveloppes représentent une alternative pratique certainement très utile même pour une éventuelle étude astéroséismologique précise. S'agissant des modes g, les structures d'enveloppes ne peuvent pas prétendre, dans l'état actuel des choses, être utilisées pour des comparaisons avec d'éventuelles périodes observées. Néanmoins, les comportements généraux de ces modes étant conservés, elles possèdent une utilité certaine pour comprendre qualitativement les réactions des modes de gravité dans diverses situations.

## 3.4 Exploration de l'espace des paramètres

Nous venons d'établir, à l'étape précédente (section 3.3), qu'il est possible d'utiliser des modèles d'enveloppes à la place des structures évolutives pour étudier certains aspects des comportements du spectre des pulsations dans les sdB. Nous allons donc immédiatement saisir cette opportunité pour élargir notre champ d'investigation en explorant, avec ces modèles, l'espace des paramètres physiques qui caractérisent l'ensemble de la classe des étoiles sous-naines de type B. L'usage de structures d'enveloppes est crucial dans cette entreprise car elles permettent, par leur souplesse, de modifier un à un et indépendamment les paramètres stellaires, privilège que n'autorisent pas les modèles évolutifs.

Les structures d'enveloppes sont calculées en spécifiant quatre paramètres principaux: la température effective $T_{\text{eff}}$, la gravité de surface log g, la position log q(H) de la transition He/H entre le noyau et l'enveloppe riche en hydrogène, et la masse totale $M_*$ de l'étoile. Pour couvrir la région de l'espace des paramètres occupée par les sdB (voir Chapitre 2), une grille de modèles d'enveloppes a été construite en variant, à l'intérieur de limites raisonables, les quatres quantités mentionnées. Les limites et la résolution adoptées pour la grille sont: 41000 K $\le T_{\text{eff}} \le 22000$ K avec $\Delta T_{\text{eff}} = 1000$ K, $6.4 \le \log g \le 4.9$ avec $\Delta \log g = 0.1$, $-5.0 \le \log q(H) \le -2.0$ avec $\Delta \log q(H) = 0.5$, et $0.46 \le M_{\odot} \le M_* \le 0.50 \le M_{\odot}$ avec $\Delta M_* = 0.01 \le M_{\odot}$. Les calculs adiabatiques ont ainsi été menés sur un total de 11200 modèles, jusqu'à $k=20$ pour les modes p et $k=10$ pour les modes g. Aussi bien les modes radiaux ($l=0$) que les modes non-radiaux pour $l=1, 2$ et $3$ sont concernés par ces calculs: soit 113 modes évalués par modèle ou l'équivalent de 1256 600 périodes adiabatiques calculées pour la totalité de la grille. Compte tenu de l'ampleur de la tâche, le code des pulsations adiabatiques a été utilisé avec 150 éléments quadratiques (au lieu des 800 employés dans l'étude du modèle de référence) pour réduire appréciablement les temps de calcul. Des essais ont assuré que les périodes ne sont que faiblement affectées par cette réduction du nombre d'éléments, celui-ci restant suffisant pour maintenir une résolution de grille acceptable dans chaque modèle. Les structures d'enveloppes ont par ailleurs été construites jusqu'à des profondeurs $\log q(\text{min}) \approx -0.1$ et, suite à la discussion de la section 3.3.5, la condition frontière centrale de la "sphère dure" a été adoptée pour le calcul des périodes.
Pour manipuler cette importante quantité d'information, une procédure automatique d'identification des modes (sous la forme d'un programme FORTRAN) a été mise sur pied, tirant avantage des caractéristiques du spectre et des comportements asymptotiques des périodes. Globalement, la procédure fait preuve de fiabilité, limitant à un nombre acceptable les interventions manuelles parfois nécessaires. Néanmoins, l'identification devient plus difficile lorsque les modes adoptent une nature mixte cumulant celle des modes p avec celle des modes g (phénomène présent dans les étoiles dont la masse se condense fortement au centre). Comme nous allons le voir, cela se produit surtout avec les modèles à hautes températures et basses gravités pour lesquels reclasser les modes selon la nomenclature habituelle est parfois ambigu. Malgré ces difficultés, la procédure mise en place se comporte honorablement en assignant, la plupart du temps, correctement l'ordre radial des modes.

### 3.4.1 Influence de la température et de la gravité

La construction de cette imposante grille permet maintenant de visualiser les effets découpés de chacun des paramètres définissant un modèle. Les deux principales quantités qui, en premier lieu, vont nous intéresser sont la température effective et la gravité de surface. Celles-ci disposent en effet du grand mérite d'être directement mesurables grâce aux techniques actuelles de spectrométrie et de modélisation d'atmosphère, leur conférant le statut de quantités observables dans la théorie. Ces deux paramètres agissent différemment sur les modes p et sur les modes g. Nous allons donc étudier leur comportement séparément.

#### Sur les modes acoustiques et les modes f

Pour les modes p et f, le comportement des périodes en fonction de ces deux quantités est illustré par les figures 3.19 et 3.20, où les valeurs typiques $log q(H) = -4.0$ et $M_* = 0.48 M_\odot$ ont été adoptées comme paramètres fixes (ils seront explorés plus tard). La figure 3.20 constitue une représentation équivalente, en 2 dimensions, de la figure 3.19 offrant une meilleure lisibilité des valeurs que prennent les périodes adiabatiques. Toutefois, seul un choix de gravité sur deux ($4.9 \le \log g \le 6.3$ par pas de 0.2) est affiché dans cette version en 2 dimensions afin d'éviter une surcharge de la figure. Un échantillon de trois modes pour chaque valeur de $l$ ($l = 0, 1, 2$ et 3) apporte un aperçu complet de la situation et montre qu'une distinction dans les comportements peut être établie entre les modes radiaux et les modes non-radiaux.

Les modes radiaux, ici représentés pour $k = 0, 1$ et 10, connaissent les dépendances les plus simples par rapport aux deux paramètres testés. L'effet dominant sur les périodes est clairement associé à la valeur de la gravité de surface du modèle, celles-ci variant, pour le mode fondamental, de 1000 s environ pour $log g = 4.9$ à moins de 100 s pour $log g = 6.3$. Il y a donc une importante baisse des périodes associée à l'augmentation de la gravité de surface dans les modèles. Les résultats montrent par ailleurs que les périodes des oscillations radiales obéissent, grosso modo, à une relation de la forme $log P_k \approx \alpha_k \log g + \beta_k$ permettant d'évaluer approximativement la période des pulsations radiales pour un modèle de gravité donnée sans effectuer le moindre calcul numérique. Avec les modes à notre disposition, il apparaît que le coefficient $\alpha_k$ est approximativement indépendant de l'ordre radial du mode ($\alpha_k \approx -0.8; \forall k$) alors que $\beta_k$ en dépend. A l'opposé, les périodes font preuve d'une très faible sensibilité vis-à-vis de la température effective des modèles, celles-ci diminuant seulement de 5 à 7% approximativement entre $T_{\text{eff}}=41000$ K et $T_{\text{eff}}=22000$ K.
<figure><img src="image_39.png" /></figure>

**Figure 3.19:** Echantillon de modes *p* et *f* dans l'espace log *g* − *T*<sub>eff</sub>: Périodes adiabatiques. Chaque rangée correspond, en partant du haut, respectivement aux modes radiaux (*l* = 0) et aux modes non-radiaux (*l* = 1, 2 et 3). Les deux paramètres stellaires fixes ont reçu les valeurs typiques: *M*<sub>*</sub> = 0.48 *M*<sub>☉</sub> et log *q*(*H*) = −4.0.
<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>Figure 3.20: Idem figure 3.19 avec représentation en 2D de la grille des périodes. Les valeurs de log *g* (seulement une sur deux pour des raisons de lisibilité) sont indiquées à coté de chaque tracé.</figcaption></figure>
Pour les pulsations non-radiales, la situation est plus complexe. Dans la région des hautes gravités et/ou basses températures, les périodes se comportent qualitativement comme celles des modes radiaux. L'effet dominant est donc, comme pour ces derniers, la gravité de surface (log g) du modèle alors que la dépendance vis-à-vis de la température effective ($T_{eff}$) est bien moins importante (il y a toutefois une sensibilité par rapport à $T_{eff}$ légèrement plus marquée pour les modes $k=0, 1; l=2, 3$). En dehors de cette région, c'est-à-dire pour des températures plus élevées et/ou des gravités plus faibles, les modes p (et f) non-radiaux deviennent subitement très sensibles au paramètre $T_{eff}$. Les périodes, pour une gravité donnée (par exemple $log g=5.3$), se trouvent soudainement bousculées vers de plus faibles valeurs à mesure que la température augmente. Ainsi, en prenant l'exemple du mode $k=1, l=1$ pour cette même gravité de surface, la période passe de 460 s environ pour $T_{eff} = 22000$ K à près de 300 s pour $T_{eff} = 41000$ K. Il est intéressant de noter que cette dépendance sur $T_{eff}$, loin d'être monotone, se manifeste par paliers. Pour reprendre l'exemple du mode $k=1, l=1$ à $log g=5.3$, la période est d'abord insensible à $T_{eff}$ de 22000 K à 28000 K comme pour les modes radiaux. Ensuite, elle subit une forte décroissance entre 28000 K et 32000 K pour à nouveau devenir constante de 32000 K à 40000 K et terminer par une autre baisse importante au delà de cette température. Il y a donc alternance entre un régime où les modes p se conduisent comme les pulsations radiales et un régime où leur nature est très différente de ces dernières. Il est aussi remarquable que ces effets particuliers interviennent dans une région plus restreinte du diagramme $log g - T_{eff}$ lorsqu'on considère des modes d'ordre radial plus élevé (par exemple, les modes $k=10$ dans les figures 3.19 et 3.20 pour lesquels ces effets apparaissent dans la région $log g \lesssim 5.3$ et $T_{eff} \gtrsim 30000$ K). L'origine de ce comportement est à chercher du côté de la condensation des régions centrales dans certains modèles qui confère à quelques modes une nature duale d'onde acoustique et d'onde de gravité. Selon les circonstances, et pour éviter toute collision entre modes<fnref n="6" />, l'une ou l'autre des natures est favorisée, les modes se comportant tantôt comme des modes p, tantôt comme des modes g. Dans la région où ce phénomène opère massivement (à très basse gravité et très haute température), l'identification des modes s'avère parfois difficile car le nombre de nœuds de la fonction propre $y_1$ ne correspond plus à l'ordre véritable du mode et les périodes sont grandement affectées par le processus. Nous reviendrons sur ce phénomène, qui fait aussi intervenir les modes g, lorsque les principaux aspects se rapportant au comportement de la totalité du spectre de modes dans le diagramme $log g - T_{eff}$ auront été présentés.

Après cet aperçu sur la dépendance des périodes vis-à-vis de $log g$ et $T_{eff}$ pour les modes acoustiques, la figure 3.21 illustre le comportement du spectre à travers l'énergie cinétique des 12 modes représentatifs en fonction de ces deux paramètres.

Comme pour les périodes, la série des modes radiaux ($l=0$) présente les structures les plus pures de tout l'échantillon. L'énergie des modes ne varie que très faiblement dans la totalité du plan $log g - T_{eff}$ exploré. On distingue néanmoins quelques "vagues" sur les surfaces associées aux modes $k=1$ et $k=10$ et celle du mode $k=0$ n'est pas rigoureusement plate. Ces petites distorsions du spectre se manifestent plus distinctement à travers la quantité $\Delta P/P$ (exprimée en %) mesurant l'écart en période entre deux modes d'ordres radiaux consécutifs (figure 3.22). On y découvre de façon plus évidente, et selon l'ordre radial k, une succession de bosses et de creux striant les surfaces. Il apparaît que plus l'indice k est élevé (par exemple $k=10$), plus nombreuses sont les "vallées" et les "collines"

<footnote n="6">⁶Deux modes d'ordres radiaux différents ne peuvent posséder les mêmes périodes, il leur est donc interdit de se croiser lorsqu'une collision survient entre eux (en anglais "mode bumping"), entraînant l'apparition d'un processus d'évitement ("avoided crossing")</footnote>
<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>Figure 3.21: Idem figure 3.19 mais pour l'énergie cinétique log E$_{cin}$ des modes.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>Figure 3.22: Idem figure 3.19 mais pour $\Delta P/P = |P_k - P_{k+1}|/P_k$ (en %) entre modes d'ordres radiaux consécutifs.</figcaption></figure>
présentes dans l'intervalle des paramètres exploré. Ces "fluctuations" ne peuvent être associées au phénomène de mixité des modes ou aux effets de collisions puisque ceux-ci sont inexistants pour les pulsations radiales. Il est, par contre, tentant de les attribuer au phénomène de micro-piégeage que nous avons déjà mentionné dans la section 3.2. Celui-ci est supposément engendré (mais cela reste à confirmer) par la discontinuité chimique de la transition He/H entre le noyau de l'étoile et son enveloppe riche en hydrogène. Suivant cette hypothèse, selon la position relative des nœuds des fonctions propres par rapport à la transition He/H, position qui change légèrement selon les paramètres physiques du modèle, les modes se trouveraient plus ou moins piégés en surface ou en profondeur, affectant à la fois $log E_{cin}$ (mais faiblement) et $\Delta P/P$ (plus sensiblement). Cette interprétation est cohérente avec l'observation qu'il y a plus de fluctuations pour le mode $k=10$ que pour les modes $k=1$ et $k=0$, ces derniers offrant moins de nœuds pour favoriser les phénomènes de réflexion des ondes caractéristiques du piégeage.

Les surfaces $log E_{cin}$ et $\Delta P/P$ que l'on obtient pour les modes p avec $l=1, 2$ et $3$ sont, à basses températures et/ou hautes gravités, très similaires à celles que l'on vient de décrire pour les oscillations radiales. On y retrouve les petites structures oscillantes que l'on associe au phénomène de micro-piégeage. Les différences surviennent dans les régions où l'on a observé, pour les périodes, des changements de comportement soudains attribués à la mixité de caractère de certains modes et au phénomène du "bumping". Pour les surfaces d'énergie cinétique, cela se traduit par l'apparition de "chaines de montagnes" suivies de "vallées à fond plat" traversant la région à basse gravité et à haute température du plan $log g - T_{eff}$.

Ces pics d'énergie surviennent lorsqu'un mode mixte se comportant principalement comme un mode p change subitement de nature, suite à une collision avec un autre mode, pour adopter un comportement plus proche des modes g. Il oscille alors davantage dans les couches profondes de l'étoile, augmentant ainsi son énergie cinétique. Dans le diagramme $\Delta P/P$, ces "chaines de montagnes" sont associées à de profonds "canyons" traversant la partie à basse gravité et à haute température. Il est par ailleurs intéressant de remarquer que le bord du "canyon" situé à $log g = 5.6$ et $T_{eff} = 41000$ K pour le mode $l=1, k=2$ correspond au minimum du premier "canyon" pour le mode $l=1, k=1$. A cette température et gravité, la période de ce dernier s'étant rapprochée fortement de celle de son voisin (petite valeur de $\Delta P/P$), le mode $k=1$ a littéralement poussé le mode $k=2$ vers de plus courtes périodes. Ce dernier se rapproche alors du mode voisin (le mode $k=3$) qu'il finira à son tour par repousser, et ainsi de suite, créant cette alternance de monts et vallées dans les figures 3.21 et 3.22. La cause initiale qui a forcé le premier mode (ici, $k=1, l=1$) à entrer en collision avec son voisin ($k=2$) met en jeu le comportement des modes g par rapport aux deux paramètres $log g$ et $T_{eff}$ que nous allons maintenant étudier.

## Sur les modes de gravité

Les périodes adiabatiques obtenues pour les modes g et leur comportement vis-à-vis des paramètres $log g$ et $T_{eff}$ sont illustrés dans les figures 3.23 et 3.24. Comme auparavant pour les modes p, les valeurs typiques $log q(H) = -4.0$ et $M_* = 0.48 M_\odot$ ont été attribuées pour les paramètres fixes de cette grille. Un échantillon de 3 modes ($k=1, 5$ et $10$) nous apporte un aperçu complet de la situation.

Ce qui frappe, de prime abord, c'est la dépendance marquée des modes g à la fois envers la gravité de surface ($log g$) et la température effective ($T_{eff}$) des modèles. Leur comportement est donc plus complexe que celui des modes p. La tendance est globalement monotone par rapport à $T_{eff}$ puisque
les périodes diminuent rapidement lorsque la température effective augmente, et ce d'autant plus que la gravité de surface est faible. En fonction de log *g*, l'évolution des périodes n'est pas aussi uniforme. A basses températures ($T_{eff} \approx 22000$ K), le comportement demeure monotone et les périodes augmentent avec la baisse du paramètre log *g*. Toutefois, à hautes températures, vers $T_{eff} \approx 40000$ K, les périodes s'allongent lorsque la gravité baisse de log *g* = 6.4 à log *g* $\approx 5.7$ pour ensuite diminuer avec elle quand log *g* $\lesssim 5.7$. Dans ce régime de températures, un maximum est donc atteint pour les périodes des modes *g* dans les modèles à gravités de surface intermédiaires (log *g* $\approx 5.7$).

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>Figure 3.23: Echantillon de modes *g* dans l'espace log *g* – *T*<sub>eff</sub>: Périodes adiabatiques. Chaque rangée correspond, en partant du haut, respectivement aux modes *l*=1, 2 et 3. Les deux paramètres stellaires fixes ont reçu les valeurs typiques: *M*<sub>*</sub> = 0.48 *M*<sub>☉</sub> et log *q*(*H*) = −4.0.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>Figure 3.24: Idem figure 3.23 avec représentation en 2D de la grille des périodes. Les valeurs de log g (seulement une sur deux pour des raisons de lisibilité) sont indiquées à coté de chaque tracé.</figcaption></figure>

Cette description pourrait suffir à rendre compte des comportements des modes g d'ordres *k* élevés (par exemple, les modes *k*=10 dans nos figures). Elle est cependant incomplète pour les modes de faible ordre radial (dans les figures, les modes *k*=5 mais surtout *k*=1). Comme pour les ondes p, une structure particulière apparaît dans la région des hautes températures et des basses gravités. On observe une succession de phases où, à log *g* constant (par exemple log *g* = 5.1), ces modes se comportent alternativement comme les autres modes *g* puis comme des modes *p* (leur période devient soudainement indépendante de *T*<sub>eff</sub>). Ce phénomène est manifestement relié au spectre des modes *p* via
le processus de collision entre modes (“mode bumping”). Les conditions pour ce genre de collisions sont, en effet, clairement réunies d’après les comportements constatés propres aux spectres des modes p et des modes g. Les périodes de ces derniers diminuant fortement, à basses gravités, lorsque $T_{\text{eff}}$ augmente alors qu’en parallèle celles des modes p s’allongent exponentiellement ($P \sim 10^{-0.8 \log g}$) lorsque $\log g$ diminue tout en restant “indépendantes” de $T_{\text{eff}}$, il paraît inévitable qu’il y ait rencontre entre les deux types de spectres dans cette région à haute température et basse gravité.

Pour finir ce tour d'horizon sur le comportement des périodes des ondes de gravité, un commen-
taire s'impose sur les petites perturbations qui surviennent dans le spectre $l=1$ pour le mode $k=1$.

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>Figure 3.25: Idem figure 3.23 mais pour l'énergie cinétique log $E_{\text{cin}}$ des modes.</figcaption></figure>
(mais aussi, à un degré moindre, pour le mode $k=5$) dans la région à basse température et gravité élevée. Après inspection des modèles, il apparaît que le faux mode $f$ dont nous avions parlé à la section 3.3 est impliqué dans ces petites fluctuations. Pour $l=1$, ce mode ne doit pas exister ou du moins (voir Cox, 1980) sa fréquence doit être nulle (période infinie). En pratique, probablement parce que les modèles numériques utilisés ne se rendent pas strictement jusqu'au centre de l'étoile, les calculs de pulsation lui attribuent une valeur non nulle. Dans les modèles évolutifs, cette fréquence est suffisamment proche de zéro pour que le faux mode $f$ soit inséré loin dans le spectre des modes $g$. Toutefois, pour les modèles d'enveloppes, celui-ci peut apparaître au beau milieu de la partie du spectre qui nous intéresse (modes de faible ordre radial) ou éventuellement, comme c'est souvent le

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>Figure 3.26: Idem figure 3.23 mais pour $\Delta P/P = |P_k - P_{k+1}|/P_k$ (en %) entre modes d'ordres radiaux consécutifs.</figcaption></figure>
cas, entre les modes p et les modes g, à la place habituelle des modes f. Ce mode est systématiquement éliminé dans notre procédure d'identification pour construire les grilles de périodes. Il a toutefois cet effet inattendu et artificiel, que l'on ne peut hélas supprimer, de perturber les périodes des modes g lorsqu'il apparaît trop près de l'un d'eux via le même phénomène de collision de modes qui intervient entre modes p et modes g. Heureusement, la perturbation occasionnée reste de faible ampleur et très localisée dans le spectre.

Poursuivons cette exploration sur les modes g en jetant un œil sur les profils d'énergie cinétique présentés dans la figure 3.25. La curiosité de ces surfaces d'énergie tient à leur relief "vallonné" qui illustre parfaitement le phénomène de piégeage que nous avons longuement abordé au cours de la section 3.2. Lorsque les périodes des modes changent, suite à différents choix de paramètres log g et $T_{\text{eff}}$, les nœuds de leurs fonctions propres se déplacent par rapport à la transition chimique He/H, changeant leur état de piégeage ou de confinement. Ainsi, les modes $k=10$, possédant beaucoup de nœuds, traversent-ils 2 fois environ les conditions requises pour leur piégeage et leur confinement dans l'intervalle $log g - T_{\text{eff}}$ exploré. Dans la région à hautes températures et basses gravités, où les collisions entre modes sont nombreuses, l'énergie cinétique des ondes g se trouve réduite de manière substantielle lorsqu'ils adoptent un comportement de mode p. Il y a, par la suite, alternance entre les deux natures caractéristiques de ces modes mixtes.

A travers l'espacement entre périodes de deux modes consécutifs ($\Delta k=1$), la figure 3.26 montre sensiblement les mêmes phénomènes, avec cependant plus d'acuïté, que le précédent graphique. Les profondes vallées traversant les surfaces de part en part sont autant de symptômes trahissant l'existence du phénomène de piégeage. Comme nous l'avons constaté à la section 3.2, celui-ci affecte en effet les modes piégés et leurs voisins directs en rapprochant notamment leurs périodes les unes des autres, d'où un $\Delta P/P$ plus petit. Remarquons au passage que les effets secondaires engendrés par le faux mode f sur le mode $k=1, l=1$ (perturbation de la période) se font plus aigus dans cette représentation du spectre, à en juger par l'importance des pics observés à basses températures et hautes gravités. Toutefois, ce n'est pas une nouveauté de constater que les écarts $\Delta P/P$ entre périodes de modes successifs sont un diagnostique très sensible aux fluctuations et autres perturbations du spectre.

## Collisions entre modes

Nous avons, à plusieurs reprises, fait mention des collisions entre modes ("mode bumping") pour expliquer les comportements particuliers que l'on observe pour les pulsations non-radiales dans certains régimes de température et de gravité. Toutefois, la nature du phénomène a pu paraître obscure compte tenu du fait que les collisions interviennent entre modes d'un même modèle alors que nos illustrations portaient sur les comportements d'un seul mode à la fois. Afin de remédier à cette faiblesse, nous allons suivre l'évolution de plusieurs modes p, f, et g en même temps pour une série de modèles avec gravité de surface fixée (par exemple à $log g=5.3$) et de température effective variable (entre 22000 K et 41000 K). Toutes les informations utiles à cette discussion sont présentées dans la figure 3.27.

Le panneau (a) apporte une vue d'ensemble sur le phénomène qui se produit au cours des collisions entre modes ainsi que sur l'origine de celui-ci. Le panneau montre l'évolution de 4 modes g, du mode f et de 4 modes p appartenant à la série $l=2$ lorsque la température effective des modèles s'accroît à gravité constante. Comme nous l'avons vu un peu plus tôt, les périodes des modes
<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>Figure 3.27: Illustration du phénomène de collisions entre modes (“mode bumping”) à l’aide d’une série de modèles dont seule la température effective $T_{\text{eff}}$ varie. Le panneau (a) montre le processus dans son ensemble pour un échantillon de 4 modes g, le mode f et 4 modes p d’indices angulaires $l=2$. Le panneau (b) reprend les modes de la série $l=2$ en mettant l’emphase sur les ondes acoustiques, jusqu’à $k=10$. Le panneau (c) donne, à titre de comparaison, le comportement des modes radiaux.</figcaption></figure>
g diminuent rapidement dans ce processus alors que celles des modes p et f demeurent quasiment constantes. Donc inévitablement, le mode $g_1$ rencontre, vers $T_{\text{eff}} = 29000$ K, le mode f et engage une procédure d'évitement ("avoided crossing") car en aucun cas les périodes de ces deux modes ne peuvent se croiser (il ne peut y avoir de dégénérescence pour les périodes autrement que par l'indice azimutal $m$). Pour s'éviter mutuellement, le mode $g_1$, maintenant de nature mixte, adopte le caractère du mode f (sa période devient "indépendante" de $T_{\text{eff}}$) et ce dernier emprunte celui du mode $g_1$ (sa période commence à décroître). A 33000 K, le mode f, dont la période n'a cessé de diminuer depuis $T_{\text{eff}}=29000$ K, rencontre le mode $p_1$ jusque là peu affecté. Il lui transmet alors son caractère de mode g dans une manœuvre d'évitement et reprend son ancien comportement de mode f (période à peu près constante). Entre temps, le mode $g_1$, dont la période n'a que peu changé depuis sa rencontre avec le mode f, se voit percuté par son compatriote $g_2$ à $T_{\text{eff}} = 34000$ K, lui refilant du même coup son caractère de mode f pour retrouver un comportement de mode g et fondre à nouveau sur le mode f pour une deuxième collision à 38000 K environ. Le processus se répète ainsi de suite, à chaque collision, impliquant davantage de modes à mesure que la température effective des modèles augmente.

Le panneau (b) reprend les mêmes modes que le panneau (a) en portant l'attention principalement sur les modes p, jusqu'à $k = 10$. Outre le mécanisme d'évitement déjà décrit auparavant, on peut constater que, dans l'intervalle de température exploré et pour cette gravité de surface, les modes d'ordre $k$ élevé (ici à partir de $k \simeq 5$) ne sont pas touchés par ce phénomène de collisions. C'est d'ailleurs généralement le cas pour tout mode p et tout mode g possédant un ordre radial suffisamment grand. A titre de comparaison, le panneau (c) montre les périodes des modes radiaux qui ne sont pas du tout concernés par un tel phénomène puisqu'il n'existe pas, pour les pulsations radiales, de modes g susceptibles de produire la première collision et créer cet "effet de dominos".

## Nature et origine de ces comportements - L'effet de la température

Les comportements des périodes adiabatiques que nous venons de décrire sont intimement reliés aux variations de structure que les changements de paramètres stellaires induisent dans les modèles. Afin d'en saisir les mécanismes, il est donc nécessaire de se pencher sur l'évolution des quantités physiques qui possèdent une influence majeure sur les pulsations. Comme nous l'avons souvent mentionné, les deux quantités fondamentales à suivre sont la fréquence de Brunt-Väisälä et la fréquence de Lamb qui, surtout pour la première, conditionnent les périodes des différents types de modes que l'on rencontre dans les sdB (c.f., le diagramme de propagation de la figure 3.10, section 3.2). La figure 3.28 représente les profils de ces deux quantités pour une série de modèles à gravité, $\log q(H)$, et masse constantes où seule la température effective varie de 22000 K à 40000 K par pas de 2000 K. Les valeurs typiques $\log q(H) = -4.0$ et $M_* = 0.48 M_\odot$ ont, comme ce fut le cas jusqu'à présent, été choisies et la gravité de surface a été fixée à $\log g = 5.3$ afin d'englober un large éventail des phénomènes rencontrés, incluant les collisions entre modes p et modes g à basses gravités. En vertu de la discussion sur les diagrammes de propagation, une frontière schématique entre la région des modes p et la région des modes g a été tracée (ligne verticale en tirets). Comme nous allons le voir, cette dichotomie permet de rendre compte qualitativement des comportements observés.

Si l'évolution des profils en fonction de la température effective est manifestement uniforme pour la fréquence de Lamb ($\log L_2^2$ augmente avec $T_{\text{eff}}$ dans toutes les régions de l'étoile), la fréquence de Brunt-Väisälä adopte une attitude particulière. Dans les couches externes des modèles, pour
$\log q \lesssim -4.8$, $\log N^2$ décroît lorsque $T_{\text{eff}}$ augmente alors que la tendance est inversée en dessous de ce point, dans les régions profondes de l'étoile. De ce comportement particulier de la structure des modèles découle l'ensemble des propriétés que nous venons de mettre à jour concernant l'évolution des modes en fontion de $T_{\text{eff}}$.

Selon l'interprétation schématique, les périodes des modes p sont essentiellement fixées par le profil de la fréquence de Brunt-Väisälä dans les régions externes de l'étoile, principalement aux alentours de la transition He/H et au delà, dans l'enveloppe riche en hydrogène. Si l'on considère que les fréquences propres de ces modes suivent, grosso modo, l'évolution de ce profil, alors les régions externes ($\log q \lesssim -4.8$) tendent à faire baisser leur fréquence pendant que les régions plus profondes ($-2.0 \lesssim \log q \lesssim -4.8$) contribuent à les augmenter lorsque la température effective croît. Puisque ces tendances sont antagonistes et approximativement de même ampleur, on peut soupçonner que l'effet net sur les fréquences des modes p est essentiellement nul. Celles-ci demeurent donc globalement indépendantes de la température effective, comme il nous est donné de l'observer.

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>Figure 3.28: Profils des fréquences de Brunt-Väisälä ($\log N^2$; traits pleins) et de Lamb ($\log L_2^2$; lignes pointillées) pour une série de modèles à différentes températures effectives ($T_{\text{eff}} = 22000$ K à 40000 K par pas de 2000 K). Une ligne verticale en tirets délimite, schématiquement, les parties extérieures qui influencent les fréquences des modes p des régions centrales qui agissent principalement sur celles des modes g.</figcaption></figure>
Pour les modes g, que l'on considère principalement affectés par les couches profondes délimitées schématiquement par la ligne verticale en tirets, la fréquence de Brunt-Väisälä connaît, dans cette région, une importante augmentation (environ un ordre de grandeur pour $N^2$) avec l'accroissement de la température effective des modèles. Dès lors, leurs fréquences (périodes) propres, suivant les profils de log N² dans cette zone, sont susceptibles de croître (décroître) dans les mêmes proportions; ce que nous avons effectivement constaté un peu plus tôt dans notre grille.

Suivant ces raisonnements schématiques, les variations des périodes pour les modes p et les modes g trouvent donc une explication naturelle attachée aux comportements de la fréquence de Brunt-Väisälä dans différentes régions de l'étoile. Ils permettent aussi de jeter davantage de lumière sur le phénomène des collisions entre modes. Il apparaît en effet, qu'à cette gravité de surface, la bosse qui caractérise le profil de la fréquence de Brunt-Väisälä dans les couches profondes des modèles (entre log q=0 et 1), est à ce point magnifiée à hautes températures que la zone de propagation des modes g ($\sigma^2$ < $N^2$, $L_2^2$) chevauche, dans l'espace des fréquences, la zone de propagation des modes p ($\sigma^2$ > $N^2$, $L_2^2$). Ainsi, si aucune intéraction entre modes p et modes g ne survenait, certains modes g possèderaient des périodes plus courtes que les premiers modes acoustiques. Cette situation ne peut évidemment pas se produire, donnant lieu aux phénomènes associés aux collisions entre modes ("mode bumping", "avoided crossing" et mixité des caractères). Nous reviendrons sur cette situation un peu plus tard, devant le diagramme de propagation de l'un de ces modèles à haute température et basse gravité.

Pour mieux cerner l'origine des comportements de la fréquence de Brunt-Väisälä vis-à-vis de la température effective, nous allons suivre l'évolution des différentes quantités qui la composent. L'équation (1.30) de la section 1.3.3 du Chapitre 1, exprimée en log, prend la forme

$$ \log N^2 = 2 \log g(r) + \log \frac{\rho}{P} + \log \frac{\chi_T}{\chi_{\rho}} + \log (\nabla_{\text{ad}} - \nabla + B) . \qquad (3.12) $$

Les quatres quantités logarithmiques constituant le membre de droite sont ainsi présentées séparément dans la figure 3.29 pour la série de modèles que nous venons d'utiliser. log g(r) correspond à l'accélération gravitationnelle locale ($g(r) = Gm(r)/r^2$), log($\rho/P$) représente le rapport de la densité sur la pression, log($\chi_T/\chi_\rho$) donne le rapport des compressibilités alors que log($\nabla_{\text{ad}} - \nabla + B$) correspond au critère de stabilité de Ledoux pour la convection (critère qui apparaît naturellement dans la fréquence de Brunt-Väisälä).

Ces deux dernières quantités (panneaux du bas dans la figure 3.29), même si elles influencent manifestement le profil de log N² dans certaines régions (voir la section 2.3, Chapitre 2), contribuent assez peu à son évolution en fonction de la température effective. Leur impact sur les variations des périodes pour les modes de pulsation est donc très faible et la totalité des tendances observées sont associées aux seuls comportements des quantités log g(r) et log($\rho/P$) présentées dans les deux panneaux supérieurs de cette même figure.

La hausse de la température effective sur des modèles à gravité de surface constante a pour effet d'accroître la concentration de la masse dans les régions centrales de l'étoile afin de maintenir l'équilibre hydrostatique dans un contexte ou la pression gazeuse augmente. De ce fait, les profils de l'accélération
gravitationnelle locale log g(r) s'en trouvent affectés. Ils le sont assez peu dans les couches externes (log q ≲ −5.0), où la contrainte d'une gravité de surface constante les force à converger vers une même valeur, mais ils réagissent de façon beaucoup plus marquée dans les régions centrales (log q ≳ −5.0). Vers le maximum de ces profils (à log q ∼ −0.25), la différence atteint approximativement +0.8 dex

<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>Figure 3.29: Profils des quantités physiques intervenant dans la fréquence de Brunt-Väisälä pour des modèles à différentes températures effectives (22000 K à 40000 K par pas de 2000 K). En haut à gauche, il s'agit de la gravité locale log g(r); en haut à droite du rapport densité sur pression log(ρ/P); en bas à gauche du rapport log(χT/χρ); et en bas à droite de la quantité log(∇ad − ∇ + B).</figcaption></figure>

entre le modèle à 22000 K et le modèle à 40000 K, introduisant une variation d'environ +1.6 dex dans la fréquence de Brunt-Väisälä en raison du facteur 2 devant le terme log g(r) dans l'équation (3.12). Cette croissance est contre-balancée par l'évolution du terme log(ρ/P) qui, contrairement à la gravité locale, décroît lorsque que la température effective augmente. Dans la région centrale située vers log q ≃ −0.25, la variation de log(ρ/P) atteint approximativement −0.6 dex, correspondant ainsi à un accroissement net dans la fréquence de Brunt-Väisälä situé à hauteur de +1.0 dex environ qui correspond effectivement à ce que l'on observe dans la figure 3.28. Dans les couches plus superficielles des modèles, les différences entre les profils de log g(r) tendent à disparaître à mesure que l'on se rapproche de la surface alors qu'elles persistent dans les profils de log(ρ/P). Il y a donc un endroit dans les modèles (vers log q ≃ −5.0) à partir duquel la dominance du profil de log g(r) dans la fréquence
de Brunt-Väisälä cède le pas à celle du profil de log(ρ/P). Au dessus de cette limite (log q ≲ −5.0), le comportement de log N² vis-à-vis de la température effective est alors celui de log(ρ/P) (décroissance lorsque Tₐff augmente) et en dessous (log q ≳ −5.0), celui de log g(r) (croissance lorsque Tₐff augmente avec formation d'un pic prononcé vers log q ≃ −0.25).

Nature et origine de ces comportements - L'effet de la gravité

Après l'influence de la température effective, penchons nous sur les effets engendrés par des variations
dans la gravité de surface des modèles. Celle-ci constitue un paramètre essentiel puisqu'elle affecte de
façon dramatique à la fois les périodes des modes p et celles des modes g. La figure 3.30 illustre la
nature et l'origine de ces comportements par le biais des fréquences de Lamb et de Brunt-Väisälä.
Comme auparavant avec la température effective, une série de modèles construits pour différentes
gravités de surface (log g varie de 4.9 à 6.3 par pas de 0.2) sont représentés. Les autres paramètres,
maintenus constants dans les calculs, ont reçu les valeurs typiques T<sub>eff</sub>=34000 K, log q(H) = −4.0 et
M=0.48 M<sub>☉</sub>. Là encore, une ligne verticale en tirets délimite schématiquement les deux régions qui
affectent respectivement les modes g (au centre) et les modes p (dans les couches externes).

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>Figure 3.30: Idem figure 3.28 pour une série de modèles avec gravité de surface variable (4.9 ≤ log g ≤ 6.3, Δ log g = 0.2).</figcaption></figure>
L'effet de ce paramètre est manifestement très prononcé, aussi bien sur la fréquence de Brunt-Väisälä que sur la fréquence de Lamb. Toutes deux connaissent une importante hausse (jusqu'à 2 ordres de grandeur environ) associée à l'augmentation de la gravité de surface, à la notable exception toutefois des couches très profondes des modèles (log q ≳ −0.5) pour lesquelles l'évolution n'est pas monotone. Pour les modes p, cela se traduit par une hausse systématique des fréquences, et donc par un raccourcissement des périodes, dans des proportions similaires (soit approximativement un facteur 10 entre les périodes des modes acoustiques d'un modèle à log g=6.3 et celles d'un modèle à log g=4.9; ce que nous observons effectivement d'après la figures 3.20).

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>Figure 3.31: Idem figure 3.29 pour une série de modèles avec gravité de surface variable (4.9 ≤ log g ≤ 6.3, Δ log g =0.2).</figcaption></figure>

Pour les modes g, la situation est plus nuancée en raison du comportement non monotone de la fréquence de Brunt-Väisälä dans les régions profondes. A log g=4.9, le profil de log N² possède, dans cette zone, une proéminence assez prononcée qui tend à s'évanouir à mesure que la gravité de surface augmente. Pour les faibles valeurs de log g, cette tendance domine sur la croissance globale des profils au point de faire baisser la valeur de log N² dans cette région (on notera au passage que la fréquence de Lamb suit le même mouvement). Vers log g ≃ 5.3, la “bosse” continue de s’appliquer mais la hausse globale des profils prend le dessus, forçant les valeurs de log N² à augmenter à nouveau dans la région centrale. Pour les fréquences (périodes) des modes g, cela se traduit par une baisse (hausse) à basses gravités suivie du comportement inverse pour les modèles à hautes gravités, phénomène que l’on a
effectivement observé dans notre grille. A noter que la “bosse” prononcée qui caractérise les profils de log N² dans les modèles à basses gravités favorise, comme nous l’avons constaté, les collisions entre le spectre des modes g et celui des modes p.

Un rapide coup d'oeil sur les quantités physiques qui composent la fréquence de Brunt-Väisälä (figure 3.31) montre, comme auparavant, que les deux quantités représentées dans les panneaux du bas jouent un rôle marginal dans les grandes tendances qui se manifestent avec le paramètre log *g*. L'évolution des profils est clairement dominée par les ajustements survenant dans l'accélération gravitationnelle locale. Il est vrai qu'en modifiant la gravité de surface des modèles, cette quantité est directement et drastiquement affectée. Cette dominance marquée est certainement à l'origine de la relation “empirique” qui semble gouverner les périodes des pulsations radiales: soit log P<sub>k</sub> ≃ α log *g* + β<sub>k</sub> avec α ≃ -0.8 (voir le début de la section concernant les modes p). Si l'on a en effet log σ<sup>2</sup> ~ 2 log *g* + C (où C désigne une constante) en supposant que les fréquences propres des modes suivent la même évolution que log N<sup>2</sup>, alors log P ~ -log *g* + C', une relation de même forme que celle obtenue à partir de la grille. En réalité, le coefficient α (en valeur absolue) est inférieur à 1 car les autres quantités qui interviennent dans la fréquence de Brunt-Väisälä ne sont pas rigoureusement insensibles à log *g* comme le montre la figure 3.31. En particulier, le terme log(ρ/P) qui évolue dans une direction opposée à celle de log *g*(*r*) contribue à ce que la valeur de |α| soit effectivement plus petite que l'unité.

Dans les régions centrales des modèles (log *q* ≳ −1.0), ce sont également les profils de log *g*(*r*) qui façonnent le comportement de log N². Les structures à basses gravités adoptent un état d'équilibre hydrostatique favorisant une plus grande concentration de la masse dans les régions centrales alors qu'à température effective identique, les modèles à hautes gravités de surface la distribuent de façon plus uniforme. Ces particularités imposées par les conditions d'équilibre dans les structures stellaires induisent donc les comportements observés pour les périodes des modes g.

## Nature et origine de ces comportements - Modes mixtes et collisions

Nous avons assez fréquemment mentionné les phénomènes associés aux collisions entre modes pour les avoir régulièrement rencontrés au cours de notre exploration des propriétés de pulsation dans les sdB. Pour compléter notre compréhension de ces phénomènes, la figure 3.32 expose un diagramme de propagation pour un modèle à haute température (T<sub>eff</sub>=39000 K) et basse gravité (log *g* = 5.3) sujet à ce genre d'effets. Nous avons vu que ces collisions se produisent lorsque les zones de propagation des modes p et g se chevauchent en fréquences (ou périodes), introduisant pour certains modes de faible ordre radial un caractère de mixité dans leur comportement. La figure 3.32 illustre précisément cet aspect de mixité. Les modes touchés par ce phénomène sont les modes *p*<sub>4</sub> à *p*<sub>1</sub>, *f*, *g*<sub>1</sub> et *g*<sub>2</sub> caractérisés par l'existence, dans leurs fonctions propres *y*<sub>1</sub> respectives, d'au moins un nœud dans chacune des zones de propagation. En effet, les modes p et g habituels possèdent généralement une seule zone de propagation dans laquelle l'ensemble des nœuds, dont le nombre total caractérise leur ordre radial respectif, se concentrent (par exemple, les modes *p*<sub>5</sub> à *p*<sub>8</sub> et *g*<sub>3</sub> à *g*<sub>7</sub> dans cette figure ou encore la totalité des modes dans la figure 3.10).

Pour les modes de nature mixte, oscillant aussi bien dans la région des ondes acoustiques que dans la région des ondes de gravité, le nombre total de nœuds dans la fonction propre *y*<sub>1</sub> ne correspond plus, dans la nomenclature habituelle, à l'ordre radial réel des modes. Toutefois, suivant Unno et al., 1989,
cet ordre radial peut être retrouvé en considérant l'indice *k* non plus comme le nombre total de nœuds mais comme la quantité $|N_g - N_p|$, où $N_g$ et $N_p$ représentent respectivement les nombres de nœuds dans les régions des modes *g* et des modes *p* (si $N_g > N_p$ il s'agit d'un mode *g*, si $N_g = N_p$ on a le mode *f* et si $N_g < N_p$, c'est un mode *p*). L'amplitude des oscillations dans chacune des zones indique

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>Figure 3.32: Diagramme de propagation pour les modes *l* = 2 d'un modèle de la grille dont les paramètres sont $T_{eff} = 39000$ K, $\log g = 5.3$, $\log q(H) = -4.0$ et $M = 0.48 M_\odot$. Les modes $p_4 - p_1$, *f*, $g_1$ et $g_2$ ont, dans ce modèle, une nature mixte.</figcaption></figure>

le caractère du mode qui est favorisé. Si les oscillations sont importantes dans la région des ondes de gravité et faibles dans la zone des ondes acoustiques, le caractère mode *g* est dominant alors qu'en situation inverse, le caractère mode *p* est favorisé. Cette mixité confère aux modes qui la possèdent cette étonnante capacité d'adapter leurs caractères suivant les circonstances pour éviter les collisions interdites ("avoided crossing") lorsque les périodes de deux d'entre eux se rapprochent un peu trop.

### 3.4.2 Influence de l'épaisseur de l'enveloppe

Il est temps de poursuivre plus avant notre exploration portant sur l'influence des divers paramètres stellaires sur les modes de pulsation dans les étoiles sous-naines de type B. Après ce large aperçu sur les effets de la température effective et de la gravité de surface, nous allons nous concentrer sur un
troisième paramètre essentiel dans la structure de ces étoiles: le paramètre $log q(H)$. Celui-ci indique la position, exprimée en fraction de la masse de l'étoile, à laquelle la transition chimique entre le noyau riche en hélium et l'enveloppe riche en hydrogène commence. Il détermine donc, en quelque sorte, la limite entre le noyau et l'enveloppe des modèles ainsi que la masse de cette dernière qui représente, pour les sdB, un paramètre fondamental. Comme auparavant, nous allons étudier séparément l'influence de ce paramètre sur les modes p (f) et sur les modes g.

## Sur les modes p et f

Pour les modes p et f, le comportement des périodes est illustré par la figure 3.33 pour un échantillon de modes radiaux ($l = 0$) et non-radiaux ($l = 1, 2$ et $3$), représentatif du spectre acoustique. Pour cette présentation en 3 dimensions de la grille, les quantités variables choisies sont la température effective, dont on connaît maintenant le peu d'emprise sur les modes p et f (si l'on fait abstraction des phénomènes de collisions entre modes), et bien entendu le paramètre $log q(H)$ que l'on veut tester. Les quantités qui demeurent constantes ont, comme d'habitude, reçues des valeurs typiques pour les étoiles sous-naines de type B: $log g = 5.6$ et $M = 0.48 M_\odot$.

De cette figure, il ressort que les périodes sont globalement assez peu affectées par le paramètre $log q(H)$ à en juger par les échelles indiquées sur l'axe des périodes et sans tenir compte des effets de collisions qui surviennent à hautes températures. Il y a néanmoins quelques comportements de second ordre qu'il est intéressant de noter. Ainsi, pour les pulsations radiales non sujettes aux perturbations engendrées par les collisions, de petites fluctuations de périodes se manifestent suivant l'axe des valeurs de $log q(H)$ pour une température effective donnée; celles-ci étant plus nombreuses pour les modes d'ordre $k$ élevé (par exemple le mode $k = 5$ dans la figure comparativement aux modes $k = 0$ et $k = 1$). Ces fluctuations sont, par ailleurs, d'amplitudes légèrement plus marquées pour les modes de faible ordre radial. Il est donc évident que le paramètre $log q(H)$, représentant la position de la transition chimique He/H dans les modèles, perturbe les périodes des modes acoustiques. Cette constatation apporte un indice supplémentaire en faveur de l'hypothèse du phénomène de micro-piégeage avancée à la section 3.2, phénomène tenu responsable des perturbations dans le spectre des modes p. Les pulsations non-radiales réagissent de la même façon au paramètre $log q(H)$, celui agissant indifféremment sur les unes et sur les autres. Toutefois, pour les modes non-radiaux, viennent se superposer à cela les collisions entre modes, caractérisées par l'affaissement des périodes qu'elles produisent. Nous avions déjà noté leur apparition à hautes températures et basses gravités, la figure 3.33 nous apprend maintenant qu'une enveloppe plus épaisse — c'est-à-dire un modèle avec $log q(H)$ plus grand — favorise ce type de phénomène (par exemple, il fait son apparition à plus basse température pour les structures avec $log q(H) = -2.0$).

Les figures 3.34 et 3.35 montrent respectivement l'énergie cinétique ($log E_{cin}$) et l'espacement relatif en périodes $\Delta P/P$ pour l'échantillon de modes p et f que nous avons selectionné. La première figure dévoile des surfaces essentiellement planes dans tout l'espace exploré pour les modes radiaux et dans la région à faibles températures pour les modes non-radiaux. Pour ces derniers, le phénomène de collisions entre modes se manifeste, comme à l'accoutumée, par l'apparition de "chaines de montagnes" (valeurs de $log E_{cin}$ plus élevées) lorsque certains modes p empruntent le caractère mode g pour éviter leur voisin. Un regard attentif porté sur ces surfaces d'énergie permet de déceler de petites fluctuations semblables à celles observées pour les périodes. Ce sont toutefois dans les diagrammes
<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>Figure 3.33: Echantillon de modes p et f dans l'espace log q(H)–T<sub>eff</sub>: Périodes adiabatiques. Chaque rangée correspond, en partant du haut, respectivement aux modes radiaux (l = 0) et aux modes non-radiaux (l = 1, 2 et 3). Les deux paramètres stellaires fixes ont reçu les valeurs typiques: M<sub>*</sub> = 0.48 M<sub>☉</sub> et log g = 5.6.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>Figure 3.34: Idem figure 3.33 mais pour l'énergie cinétique log E$_{cin}$ des modes.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>Figure 3.35: Idem figure 3.33 mais pour $\Delta P/P = |P_k - P_{k+1}|/P_k$ (en %) entre modes d'ordres radiaux consécutifs.</figcaption></figure>
$\Delta P/P$, particulièrement sensibles aux perturbations, qu'elles ressortent avec davantage de force. L'identification avec les structures observées sur les surfaces des périodes est ici très claire, confirmant leur parenté avec les phénomènes dominants que sont le micro-piégeage et les collisions entre modes.

## Phénomène du micro-piégeage

Plusieurs indices, présentés tout au long de ce chapitre, s'inscrivent dans l'idée qu'un phénomène, appelé micro-piégeage depuis la section 3.2, lié à la transition chimique He/H entre l'enveloppe et le noyau de l'étoile, soit responsable des petites fluctuations observées dans le spectre des modes acoustiques. Puisque, à la différence du piégeage existant pour les modes g, les perturbations ne pouvaient provenir de la discontinuité de Ledoux dans la fréquence de Brunt-Väisälä, il était alors naturel d'invoquer les autres discontinuités, issues elles aussi de la transition He/H, présentes dans les profils d'autres quantités physiques (et notamment dans la vitesse locale du son) comme cause probable de ce phénomène. Jusqu'à présent, nous n'avions pas réellement les moyens de tester cette hypothèse étant donné l'impossibilité de neutraliser, par modification artificielle des modèles, les effets

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

**Figure 3.36:** Espacement en fréquence ($\Delta\nu$) des 20 premiers modes radiaux ($k = 0$ à 19; $l = 0$) pour une série de modèles à température effective, gravité de surface et masse constantes ($T_{\text{eff}} = 34000$ K, $\log g = 5.6$ et $M = 0.48 M_{\odot}$) pour différentes valeurs de $\log q(H)$ (de -2.0 à -5.0 par pas de 0.5). Chaque tracé est décalé verticalement de la valeur inscrite entre parenthèse pour assurer une bonne lisibilité des résultats.
de ces discontinuités sur les modes de pulsation. Avec les structures d'enveloppes maintenant à notre disposition, il est possible de modifier à loisir l'emplacement de cette transition chimique grâce au paramètre $log q(H)$. Ainsi, en observant les réactions du spectre acoustiques au cours d'une telle manipulation, nous sommes en mesure d'apporter quelques éléments nouveaux pour tenter d'infirmer ou de confirmer le bien-fondé de l'interprétation du micro-piégeage.

La figure 3.36 expose les spectres des modes acoustiques représentant les pulsations radiales ($l=0$) jusqu'à $k=19$ pour une série de modèles à température, gravité, masse constantes ($T_{\text{eff}}=34000$ K, $log g=5.6$, $M=0.48 M_{\odot}$) et $log q(H)$ variable de $-5.0$ à $-2.0$ par pas de 0.5. Les pulsations radiales offrent ici le double avantage d'être à la fois représentatives des modes acoustiques en général (les modes non-radiaux réagissent principalement de la même façon; voir section 3.2) tout en ne subissant pas les effets des collisions entre modes qui pourraient compliquer l'interprétation des résultats. Dans cette expérience, la position de l'interface He/H est donc progressivement déplacée des couches superficielles de l'étoile vers les régions plus centrales, manœuvre revenant à augmenter la masse de l'enveloppe riche en hydrogène.

Chaque spectre de la figure a été translaté verticalement afin d'assurer une bonne lisibilité du diagramme. En effet, l'écart moyen en fréquence ($\Delta\nu$) entre deux modes consécutifs est sensiblement identique ($\Delta\nu \simeq 1.1$ mHz) d'un modèle à l'autre, le paramètre $log q(H)$ n'affectant pas la structure globale du spectre acoustique. C'est au niveau des fluctuations autour de cette valeur moyenne que des modifications intéressantes surviennent. Il existe, en effet, une dépendance flagrante de la structure de ces dernières vis-à-vis de la profondeur à laquelle se situe la transition chimique He/H. Ainsi, le spectre du modèle avec $log q(H) = -2.0$ n'apparaît quasiment pas perturbé avant le mode d'ordre $k \simeq 14$. A mesure que $log q(H)$ diminue, les perturbations surviennent de plus en plus tôt dans le spectre et les fluctuations se font plus abruptes, plus rapprochées. Initialement assimilables à des structures périodiques "douces", englobant plusieurs modes dans un seul cycle (par exemple 4 modes environ pour le modèle avec $log q(H) = -3.5$), elles finissent, à $log q(H) = -5.0$, par ressembler à des structures triangulaires caractérisées par d'importantes variations entre modes voisins. Cette corrélation marquée entre la nature des fluctuations dans le spectre et la position de la transition chimique He/H dans les modèles constitue une forte évidence en faveur du phénomène de micro-piégeage tel que nous l'avons défini jusqu'à présent.

Le comportement des fluctuations avec $log q(H)$ appelle cependant d'autres commentaires. Il peut, en effet, paraître surprenant que les fluctuations soient repoussées dans les profondeurs du spectre, vers les modes d'ordre $k$ élevé, pour les modèles possédant les plus grosses enveloppes ($log q(H) \gtrsim -3.0$). Pourquoi les modes de faible ordre radial, par nature plus profonds que les modes d'ordre $k$ élevé, seraient-ils insensibles à la transition He/H alors que ces derniers en subissent les distorsions? Pour comprendre cet état de fait, deux propriétés sont à mettre en valeur. La première découle de l'absence de réponse globale du spectre acoustique, abstraction faite des – légères – distorsions occasionnées par le micropiégeage et éventuellement par les collisions entre modes, vis-à-vis des modifications du paramètre $log q(H)$. C'est en effet une caractéristique généralement constatée (par exemple, dans la figure 3.33) que les périodes des modes p sont marginalement affectées par les changements imposés à ce paramètre. On imagine donc que les aspects structurels de ces modes (fonctions propres, positions des nœuds, etc...) n'évoluent guère d'un modèle à l'autre. Aussi, lorsqu'on change la position de l'interface He/H en variant le paramètre $log q(H)$, les positions relatives entre
les discontinuités physiques associées à cette interface et les nœuds des fonctions propres restés essentiellement fixes sont modifiées. Les conditions de micro-piégeage qui, à l'instar des modes g, doivent se réaliser lorsqu'un nœud prend place au voisinage de l'interface chimique, s'en trouvent ainsi altérées. La seconde propriété est illustrée par le diagramme de propagation présenté dans la figure 3.37. Le spectre des modes radiaux jusqu'à $k=15$ pour le modèle de la figure 3.36 étiqueté $\log q(H) = -2.5$ y est représenté. On remarque avant tout, conformément à la première propriété énoncée juste avant, que les nœuds des fonctions propres n'ont pas accompagné le pic de Ledoux caractéristique de la transition He/H dans la fréquence de Brunt-Väisälä dans sa migration vers les régions centrales de l'étoile. Un rapide regard sur les diagrammes de propagation présentés dans les sections précédents (figures 3.10 et 3.32) confirme que les nœuds des modes p restent sensiblement à la même place, quelle que soit la position de la transition. L'ensemble des caractéristiques du micro-piégeage deviennent alors évidentes.

<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>Figure 3.37: Diagramme de propagation pour les modes radiaux ($l=0$) d'un modèle de paramètres $T_{\text{eff}} = 34000$ K, $\log g = 5.6$, $\log q(H) = -2.5$ et $M = 0.48 M_{\odot}$.</figcaption></figure>

Pour les modèles possédant une enveloppe massive (par exemple $\log q(H) = -2.5$ comme dans la figure 3.37), la transition chimique He/H se retrouve excentrée par rapport à la position habituelle des nœuds des fonctions propres, plutôt concentrés vers $\log q(H) = -5.0$. Aussi, les modes de faible ordre radial sont-ils épargnés par les effets de la discontinuité, celle-ci se trouvant trop éloignée de
leurs nœuds pour que le micro-piégeage soit efficace. Lorsque l'indice radial $k$ augmente, les nœuds déjà existants migrent vers la surface du modèle alors que les nouveaux nœuds apparaissent dans les couches profondes. Le point intéressant est que le nouveau nœud se place à chaque fois un peu plus en profondeur que pour le mode précédent. Il arrive donc un moment où ils rejoignent la région de la transition He/H, permettant au processus de micro-piégeage d'opérer. Pour le modèle de la figure 3.37, cela se produit à partir du mode d'indice $k \simeq 9$, en parfait accord avec la structure du spectre présentée dans la figure 3.36.

Puisque les positions des nœuds ne varient guère lorsque la valeur $\log q(H)$ est diminuée, on comprend très bien ce qu'il advient au niveau du spectre. La discontinuité He/H est ramenée vers les régions où se concentrent les nœuds, entraînant deux effets effectivement observés dans la figure 3.36: les modes d'ordre radial de plus en plus faible peuvent être perturbés par le micro-piégeage et, devant la multitude de nœuds qui s'amoncellent dans ces régions, de plus en plus de modes s'en trouvent affectés, rendant la structure des fluctuations plus "hachée". Apparamment, la configuration optimale pour le micro-piégeage se présente pour $\log q(H) \simeq -5.0$. Tous les modes, ou presque, sont alors affectés en raison de la grande densité de nœuds dans cette région de l'étoile.

## Sur les modes g

L'influence du paramètre $\log q(H)$ sur le spectre des modes g constitue maintenant la cible de notre investigation. Les figures 3.38 et 3.39 illustrent, respectivement en 3 dimensions et 2 dimensions (pour faciliter une lecture quantitative), les périodes des ondes de gravité en fonction de celui-ci. La seconde quantité variable dans notre représentation est la température effective dont les effets sur les périodes des modes g sont maintenant bien connus. Les autres paramètres fixes ont reçu les valeurs typiques habituelles: $\log g = 5.6$ et $M = 0.48 M_\odot$. Comme auparavant, un échantillon de 9 modes pour les pulsations d'indices angulaires $l = 1, 2$ et 3 donne un aperçu représentatif des comportements de l'ensemble du spectre.

L'impression générale dominante que suscitent ces figures est celle d'une évolution monotone des périodes en fonction des deux paramètres représentés. Il y a confirmation de la baisse marquée de ces dernières avec l'accroissement de la température des modèles; baisse qui survient, comme on pouvait l'anticiper, quelle que soit la valeur de $\log q(H)$. La tendance qui nous intéresse dans cette section, tendance associée au paramètre $\log q(H)$, est manifestement, elle aussi, au racourcissement des périodes lorsque l'enveloppe des modèles devient plus étoffée ($\log q(H)$ augmente). Néanmoins, si ces variations sont importantes suite aux changements de température effective, elles demeurent plus mesurées avec ceux du paramètre $\log q(H)$, les périodes augmentant environ d'un facteur 2 entre $\log q(H) = -2.0$ et $\log q(H) = -5.0$.

Ces comportements généraux subissent quelques perturbations à certains régimes de $T_{\text{eff}}$ et/ou $\log q(H)$. Toutefois, aucun phénomène nouveau n’est à déclarer puisque leur existence provient des processus de collisions entre modes et du piégeage maintenant bien connus. Les collisions interviennent à hautes températures et sont favorisées dans les modèles possédant des enveloppes massives (vers $\log q \simeq -2.0, -2.5$ et $T_{\text{eff}} \simeq 35000$ K, 41000 K pour le mode $k=1, l=1$ par exemple). Cependant, pour ce choix de gravité de surface ($\log g = 5.6$), les perturbations restent assez limitées et, avec des structures à basses gravités ($\log g \lesssim 5.3$), le phénomène s'étend sur une fraction plus importante
de l'espace $T_{\text{eff}} - \log q(H)$. Les processus de piégeage se manifestent, quant à eux, par de légères perturbations des périodes, provoquant l'apparition d'une succession de "creux et bosses" sur les surfaces présentées, ceux-ci devenant d'autant plus nombreux que l'ordre radial $k$ des modes est élevé (comme en témoignent les modes avec $k=10$ dans les figures). Le phénomène du piégeage tirant son essence des positions relatives entre les nœuds des fonctions propres et l'interface de la transition He/H spécifiée par le paramètre $\log q(H)$, il est donc normal d'observer ce type de réactions dans le spectre des modes $g$ lorsque cette interface est déplacée.

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>Figure 3.38: Echantillon de modes $g$ dans l'espace $\log q(H) - T_{\text{eff}}$: Périodes adiabatiques. Chaque rangée correspond, en partant du haut, respectivement aux modes $l=1, 2$ et $3$. Les deux paramètres stellaires fixes ont reçu les valeurs typiques: $M_* = 0.48 M_{\odot}$ et $\log g = 5.6$.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>Figure 3.39: Idem figure 3.38 avec représentation en 2D de la grille des périodes. Les valeurs de $T_{\text{eff}}$/1000 K (seulement une sur deux pour des raisons de lisibilité) sont indiquées à coté de chaque tracé.</figcaption></figure>

Les effets du paramètre $\log q(H)$ sur l'énergie cinétique des modes, quantité disponible dans la figure 3.40, illustrent encore davantage les structures associées au piégeage et aux collisions entre modes. Les surfaces, surtout pour les modes d'ordre $k$ élevé, sont jalonnées de “vallées” (le mode est piégé et son énergie est plus faible) et de “collines” (le mode est confiné et possède une plus grande énergie). Les collisions se manifestent par une baisse marquée de $\log E_{\text{cin}}$ ainsi que par un ensemble de structures abruptes pour les modes de faible ordre radial dans la région à haute température et pour les modèles à enveloppes massives (avec des valeurs de $\log q(H)$ plus élevées). Celles-ci surviennent
lorsque les modes devenus mixtes commencent à alterner entre les caractères d'ondes acoustiques et ceux d'ondes de gravité.

<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>Figure 3.40: Idem figure 3.38 mais pour l'énergie cinétique log E$_{cin}$ des modes.</figcaption></figure>

## Influence sur l'effet de piégeage

Au cours des sections 3.2 et 3.3, nous avons insisté sur les structures particulières que le piégeage et le confinement par la transition chimique He/H induisent dans le spectre des modes g (voir les figures 3.1, 3.2, 3.4 et 3.11 de ces mêmes sections). Nous avons vu que l'énergie cinétique ainsi que les périodes des modes s'en trouvent grandement affectées. Puisque ces phénomènes de piégeage et
de confinement sont intimement liés à la discontinuité chimique entre le noyau riche en hélium et l'enveloppe d'hydrogène de l'étoile, la position de cette dernière dans les modèles, donc *a fortiori* le paramètre $log q(H)$, ont vocation à les influencer de manière importante. La figure 3.41, présentant les spectres des modes g d'indices $l=3$ pour un ensemble de modèles avec $T_{\text{eff}} = 34000$ K, $log g = 5.6$, $M = 0.48 M_{\odot}$ et $log q(H)$ variable (de $-5.0$ à $-2.0$ par pas de 0.2), illustre parfaitement l'ascendance que peut avoir ce paramètre sur les structures de piégeage au niveau de l'énergie cinétique ($log E_{\text{cin}}$) et des écarts de périodes ($\Delta P = P_{k+1} - P_k$) des modes de gravité. Le panneau de gauche expose les profils de $log E_{\text{cin}}$ pour cette série de modèles, chacun étant décalé verticalement par la quantité correspondante entre parenthèses pour maintenir la lisibilité du graphique. Dans le panneau de droite, les mêmes spectres sont disponibles, représentés sous la forme de diagrammes $\Delta P - P$ décalés eux aussi verticalement de la valeur indiquée entre parenthèses.

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>Figure 3.41: Effets du paramètre $log q(H)$ sur la structure de piégeage des modes g. Une série de spectres pour $l=3$ issus des modèles avec $T_{\text{eff}} = 34000$ K, $log g = 5.6$, $M = 0.48 M_{\odot}$ et $-2.0 \ge \log q(H) \ge -5.0$ (par pas de 0.5) sont présentés au travers de l'énergie cinétique des modes ($\log E_{\text{cin}}$; graphique de gauche) et de l'écart entre périodes des modes consécutifs ($\Delta P$ en secondes; graphique de droite).</figcaption></figure>

A partir de cette figure, il ressort principalement deux tendances engendrées par les modifications du paramètre $log q(H)$. La première, particulièrement évidente, se rapporte à la réduction systématique des écarts entre modes piégés à mesure que l'interface He/H est déplacée vers les couches profondes.
L'espacement $\Delta k$ ainsi que les différences de périodes $\Delta P$ entre deux modes piégés consécutifs ($\Delta i=1$) se trouvent peu à peu réduits dans l'opération. De plus, cette évolution s'accompagne d'une diminution assez marquée de l'amplitude des perturbations causées par le piégeage. La seconde tendance concerne la diminution importante des écarts moyens entre modes consécutifs ($\Delta k = 1$). Ainsi, les profils présentés contiennent, dans l'intervalle de périodes exploré (de 0 à 3000 s), plus de modes pour les grandes valeurs de $\log q(H)$ puisque les $\Delta P$ moyens (panneau de droite) passent de 120 s environ pour $\log q(H) = -5.0$ à près de 40 s pour le modèle avec $\log q(H) = -2.0$. A noter au passage, la chute de $\log E_{\text{cin}}$ pour les modes de faible ordre radial lorsque la masse de l'enveloppe est augmentée, chute produite lors de l'apparition des phénomènes de mixité des modes et de collisions.

Ces comportements sont le reflet d'évolutions structurelles dans les modèles qui se répercutent directement sur les quantités physiques intervenant dans la théorie asymptotique (c.f., Annexe B et section 3.2). Les plus importantes d'entre elles, dans le contexte des modes g, sont évaluées pour la série de modèles de la figure 3.41 et présentées dans le tableau 3.5. Leurs définitions sont données par les relations (3.4) et (3.5) de la section 3.2 ou encore par (6.20) et (6.21) dans l'annexe B. On peut

toutefois rappeler que pour le spectre des modes g avec $l = 3$, les quantités $\Pi_{0,3}^{\text{rad}}$ et $\Pi_{H,3}^{\text{rad}}$ correspondent, dans la limite de la théorie asymptotique (grandes valeurs de $k$), à l'écart moyen $\Delta P$ respectivement entre les périodes des modes consécutifs ($\Delta k = 1$) et celles des modes piégés successifs ($\Delta i = 1$ mais $\Delta k \gtrsim 1$). La quantité $\overline{\Delta k}$ apparaissant dans le tableau est une estimation, toujours selon les résultats de la théorie asymptotique, de la différence $\Delta k$ moyenne séparant deux modes piégés consécutifs. Elle correspond, grosso modo, à l'entier le plus proche obtenu à partir du ratio $\Pi_H/\Pi_0^{\text{rad}}$ (Annexe B).

<table><caption>Tableau 3.5: Quantités asymptotiques définies et calculées par les relations (3.4) et (3.5) dans la section 3.2 pour la série de modèles de la figure 3.41. Ici, $\Pi_H = \Pi_{H,l}[l(l+1)]^{1/2}$, $\Pi_0^{\text{rad}} = \Pi_{0,l}^{\text{rad}}[l(l+1)]^{1/2}$ et $\overline{\Delta k} \approx \Pi_H/\Pi_0^{\text{rad}}$ (c.f., Annexe B).</caption><thead><tr><th>log q(H)</th><th>Π<sub>0</sub><sup>rad</sup> (s)</th><th>Π<sub>H</sub> (s)</th><th>Π<sub>0,3</sub><sup>rad</sup> (s)</th><th>Π<sub>H,3</sub> (s)</th><th>Δk</th></tr></thead><tbody><tr><td>-5.0</td><td>415</td><td>3066</td><td>120</td><td>885</td><td>7</td></tr><tr><td>-4.5</td><td>390</td><td>2490</td><td>113</td><td>719</td><td>6</td></tr><tr><td>-4.0</td><td>355</td><td>1959</td><td>103</td><td>566</td><td>6</td></tr><tr><td>-3.5</td><td>315</td><td>1511</td><td>91</td><td>436</td><td>5</td></tr><tr><td>-3.0</td><td>267</td><td>1097</td><td>77</td><td>317</td><td>4</td></tr><tr><td>-2.5</td><td>212</td><td>768</td><td>61</td><td>222</td><td>4</td></tr><tr><td>-2.0</td><td>148</td><td>464</td><td>43</td><td>134</td><td>3</td></tr></tbody></table>

L'évolution de ces quantités physiques, estimées uniquement à partir des structures à l'équilibre des modèles sans que n'intervienne le moindre calcul de pulsations, apparaissent parfaitement cohérentes avec les observations de la figure 3.41. D'abord qualitativement puisque la tendance est à la baisse conjointe des quantités $\Pi_{0,3}^{\text{rad}}$ et $\Pi_{H,3}$, associées, comme on vient de le rappeler, à l'écart moyen entre les périodes des modes successifs et entre celles des modes piégés consécutifs, lorsque $\log q(H)$ passe de -5.0 à -2.0. Ensuite quantitativement en comparant les résultats du tableau 3.5 avec les valeurs obtenues par les calculs de pulsations qui sont présentés dans cette figure. La quantité $\overline{\Delta k}$, dont la baisse résulte de la décroissance plus rapide de $\Pi_H$ par rapport à $\Pi_0^{\text{rad}}$, offre en particulier une remarquable correspondance avec ce qui est observé dans les spectres.

## Nature et origine de ces comportements

D'un point de vue structurel, les diverses tendances occasionnées par les changements dans le paramètre $\log q(H)$ et dévoilées au cours de cette section sont le fait d'ajustements dans les modèles qui se répercutent sur des quantités comme les fréquences de Brunt-Väisälä et de Lamb dont on connaît
l'importance pour les pulsations. Aussi, comme auparavant pour la température effective et la gravité de surface, les profils de ces deux quantités sont exposés dans la figure 3.42 pour la série de modèles avec $T_{\text{eff}} = 34000$ K, $\log g = 5.6$, $M = 0.48 M_{\odot}$ et $\log q(H)$ compris entre -2.0 et -5.0 (par pas de 0.5). Encore une fois, la droite verticale en tirets délimite, schématiquement, la région agissant principalement sur les modes g de celle qui influence surtout les modes p.

<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>Figure 3.42: Profils des fréquences de Brunt-Väisälä (log N²; traits pleins) et de Lamb (log L₂; lignes pointillées) pour une série de modèles avec différentes valeurs de log q(H) (log q(H) = -5.0 à -2.0 par pas de 0.5). Une ligne verticale en tirets délimite schématiquement les parties extérieures qui influencent les fréquences des modes p des régions centrales qui agissent principalement sur les celles des modes g.</figcaption></figure>

La première constatation évidente est la superposition de tous les profils dans les couches externes des modèles (pour $\log q \lesssim -5.0$), les conditions de surface ($T_{\text{eff}}$ et $\log g$) demeurant inchangées pour toute cette série de structures. Puisque les modes p établissent la majeure partie de leurs périodes dans ces régions externes, il n'est donc pas surprenant que celles-ci soient globalement (c.à.d., abstraction faite des perturbations dues au micro-piégeage) peu affectées par le paramètre $\log q(H)$. Pour les modes g, l'effet est plus marqué car la fréquence de Brunt-Väisälä, principale quantité à influencer leurs périodes, croît dans les régions centrales à mesure que $\log q(H)$ augmente. Pour ces modes, cela se traduit par la baisse des périodes que nous constatons effectivement dans la grille. On réalise aussi que les plus grandes valeurs de $\log q(H)$, en affectant les profils de $\log N^2$ de telle manière à créer un
chevauchement entre les zones de propagation, favorisent les collisions entre le spectre des modes g et celui des modes p.

A propos des phénomènes de piégeage et de micro-piégeage, on notera qu'il existe finalement une similitude dans les façons dont le spectre acoustique et le spectre des modes de gravité se comportent vis-à-vis du déplacement de la transition He/H. En schématisant, les nœuds des modes p se concentrent habituellement vers $log q \approx -5.0$ quelle que soit la valeur de $log q(H)$ alors que ceux des modes g s'accumulent plutôt autour de $log q \approx -1.0$ (voir par exemple les diagrammes de propagation dans les figures 3.10 et 3.32). Pour les deux catégories de modes, lorsque l'ordre radial $k$ augmente, les nœuds des fonctions propres migrent vers d'autres régions: en direction à la fois des couches profondes et des couches externes pour les modes p; uniquement vers les régions externes pour les modes g. Ainsi, pour $log q(H) = -5.0$, la transition He/H se situe au beau milieu du “conglomérat” de nœuds des modes p, produisant par micro-piégeage cette structure étriquée observée au niveau du spectre acoustique dans la figure 3.36. Elle est, par contre, très éloignée de l'ensemble des nœuds des modes g, engendrant alors

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

Figure 3.43: Profils des quantités physiques intervenant dans la fréquence de Brunt-Väisälä pour des modèles avec différentes enveloppes ($log q(H) = -5.0$ à $-2.0$ par pas de 0.5). En haut à gauche, il s'agit de la gravité locale $log g(r)$; en haut à droite du rapport densité sur pression $log(\rho/P)$; en bas à gauche du rapport $log(\chi_T/\chi_\rho)$; et en bas à droite de la quantité $log(\nabla_{\text{ad}} - \nabla + B)$.
la structure de piégeage clairement dissociée que l'on observe et dont les effets se manifestent lorsque les nœuds, très espacés dans cette région, rencontrent dans leur migration la discontinuité chimique. Curieusement, quand $log q(H)$ est augmenté pour atteindre la valeur -2.0, la situation inverse se met en place. Les modes p, maintenant éloignés de la région de la transition He/H, présentent un spectre relativement "propre" dans lequel les structures de micro-piégeage sont bien définies. A l'inverse, la discontinuité s'étant rapprochée du groupe de nœuds des modes g, leur spectre devient étriqué au point de ressembler manifestement, par la forme, à celui des modes p dans le modèle avec $log q(H) = -5.0$. Cette caractéristique étonnante est possible car la transition chimique He/H, responsable du piégeage et du micro-piégeage, est située approximativement entre les zones de propagation respectives des modes p et des modes g.

La figure 3.43 illustre les comportements des quatre quantités qui composent la fréquence de Brunt-Väisälä. Encore une fois, seules les deux quantités du haut, $log g(r)$ et $log(ρ/P)$, contribuent significativement aux variations globales observées dans les profils. Néanmoins, on peut noter la contribution locale importante du terme $log(∇_ad - ∇ + B)$ via la discontinuité de Ledoux associée à la transition chimique He/H dont la position dépend du paramètre $log q(H)$. Comme nous l'avons déjà remarqué, les régions externes, au delà de $log q \simeq -5.0$ ne sont pas perturbées par les variations de ce paramètre. Seules les régions internes, situées en dessous de la transition He/H, en subissent l'influence. La plus grosse part des changements proviennent de l'accélération gravitationnelle locale $log g(r)$ qui augmente dans les couches profondes lorsque l'enveloppe d'hydrogène devient plus massive. Ces modèles à $log q(H)$ élevé concentrent donc davantage leur masse dans les régions centrales, provoquant cet ajustement sur $log g(r)$ qui se répercute sur la fréquence de Brunt-Väisälä puis finalement sur les périodes des modes g.

### 3.4.3 Influence de la masse

Le quatrième et dernier paramètre essentiel à intervenir dans la construction des structures d'étoiles sous-naines est la masse totale $M_*$ de l'étoile. Cette quantité est fortement contrainte par la nécessité pour les séquences évolutives de traverser les régions de l'espace des paramètres dans lesquelles ces objets sont observés (c.f., Chapitre 2). La liberté sur $M_*$ est donc sévèrement réduite à de très faibles variations autour de la valeur typique $M_* \simeq 0.48 M_⊙$ communément admise. Pour ces raisons, notre grille de modèles d'enveloppes n'explore que la région avoisinante de cette valeur, région comprise entre $M=0.46 M_⊙$ et $M=0.50 M_⊙$.

#### Sur les modes p et f

Les réactions des modes p et f à la modification de la masse totale des modèles sont illustrées, pour les périodes, dans les figures 3.44 et 3.45 respectivement en 3 dimensions et en 2 dimensions (pour faciliter une lecture quantitative). Pour cet échantillon de modes représentatifs des pulsations radiales ($l=0$) et non-radiales (pour $l=1, 2$ et 3), les paramètres fixes choisis pour les modèles sont dotés des valeurs typiques $log g = 5.6$ et $log q(H) = -4.0$. Outre la masse de l'étoile, la température effective constitue le second paramètre variable dans nos illustrations, les comportements des modes p et f vis-à-vis de cette quantité étant maintenant bien connus.

Compte tenu des faibles modifications infligées au paramètre $M_*$, on ne s'attend pas à observer des comportements spectaculaires de la part des périodes des modes acoustiques. Les deux figures
<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>Figure 3.44: Echantillon de modes p et f dans l'espace $M_* - T_{eff}$: Périodes adiabatiques. Chaque rangée correspond, en partant du haut, respectivement aux modes radiaux ($l=0$) et aux modes non-radiaux ($l=1, 2$ et $3$). Les deux paramètres stellaires fixes ont reçu les valeurs typiques: $\log g = 5.6$ et $\log q(H) = -4.0$.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>Figure 3.45: Idem figure 3.44 avec représentation en 2D de la grille des périodes. Les valeurs de $T_{eff}/1000$ K (seulement une sur deux pour des raisons de lisibilité) sont indiquées à coté de chaque tracé.</figcaption></figure>
confirment clairement cet état de fait, les variations étant de très faible ampleur pour les modes radiaux et les modes non-radiaux en dehors des phénomènes de collisions (principalement à hautes températures). Ces derniers se présentent d'ailleurs majoritairement comme un effet de la température effective des modèles alors que leur dépendance vis-à-vis de $M_*$ apparaît minime (les collisions se produisent tout de même à une température légèrement plus basse pour les modèles à faibles masses). Globalement, les périodes n'évoluent pas beaucoup avec le paramètre $M_*$ (à $T_{\text{eff}}$ constante), mais une petite tendance systématique est néanmoins notable. Ainsi, les périodes sont-elles légèrement plus courtes pour les modèles de faibles masses, l'effet ne s'élevant guère à plus de 2% entre $M_* = 0.46 M_\odot$ et $M_* = 0.50 M_\odot$. On peut toutefois remarquer que cette dépendance devient plus prononcée lorsque, suite à une collision, un mode p (ou f) adopte un comportement de mode g caractérisé par la baisse marquée de sa période avec la hausse de la température. Cela suggère que les modes g sont davantage sensibles à la masse de l'étoile que les modes p, comme nous allons le vérifier un peu plus tard.

Pour le paramètre $M_*$, les autres quantités habituellement intéressantes comme l'énergie cinétique des modes ainsi que l'écart relatif entre les périodes des modes successifs n'apportent rien de nouveau, son effet étant apparenté à une translation globale des périodes qui n'affecte pas la structure du spectre. Ces quantités ne sont donc pas présentées ici.

## Sur les modes g

L'influence du paramètre $M_*$ sur les périodes des modes g est illustrée par les figures 3.46 et 3.47 respectivement en 3 dimensions et 2 dimensions. Les modèles présentés sont calculés, comme pour les modes p, avec les paramètres fixes $\log g = 5.6$ et $\log q(H) = -4.0$ alors que les deux autres quantités, $T_{\text{eff}}$ et bien entendu $M_*$, sont variables. L'échantillon de 9 modes (3 pour chaque valeur de $l$ comprise entre 1 et 3) assure une bonne représentativité des comportements des modes g vis-à-vis de ces paramètres.

L'évolution des périodes des modes de gravité en fonction de la température effective des modèles est maintenant un phénomène bien connu que l'on retrouve effectivement dans ces deux figures. Ainsi, constatons nous une baisse importante des périodes alors que la température augmente, baisse contrariée uniquement dans certaines régions de la grille par les phénomènes de collisions entre modes.

La dépendance des périodes vis-à-vis de la masse totale de l'étoile est conforme à ce que les comportements des ondes p dans les zones de collisions laissaient entrevoir : à savoir une plus grande sensibilité envers ce paramètre. La baisse des périodes avec $M_*$ est ainsi légèrement plus prononcée que pour les modes p, les variations se chiffrant à 15% environ entre $M_* = 0.46 M_\odot$ et $M_* = 0.50 M_\odot$. Pour les modes de faible ordre radial (ici, $k=1, l=2$ et 3; mais cela dépend bien entendu du choix des valeurs de $\log g$ et dans une moindre mesure de $\log q(H)$, la position de l'interface He/H), on observe, à hautes températures, quelques structures de collisions avec le spectre acoustique caractérisées par la subite "indépendance" des périodes vis-à-vis de $T_{\text{eff}}$. On remarque aussi, plus clairement qu'avec les modes p, la légère dépendance de l'apparition de ce phénomène par rapport à $M_*$, celle-ci intervenant à plus basse température pour les modèles de faibles masses. Cette dépendance survient, sans aucun doute, de la décroissance plus rapide des périodes des modes g qui favorise la rencontre avec le spectre acoustique.
<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>Figure 3.46: Echantillon de modes g dans l'espace $M_* - T_{eff}$: Périodes adiabatiques. Chaque rangée correspond, en partant du haut, respectivement aux modes $l=1, 2$ et $3$. Les deux paramètres stellaires fixes ont reçu les valeurs typiques: $\log g = 5.6$ et $\log q(H) = -4.0$.</figcaption></figure>

A l'image des modes p, les grilles représentant les autres quantités associées aux pulsations comme l'énergie cinétique des modes ($\log E_{cin}$) et leur espacement relatif en période ($\Delta P/P$) n'apportent rien de nouveau sur les caractéristiques des oscillations dans ces étoiles, le paramètre $M_*$ agissant relativement faiblement sur leur structure. Aussi, pour ce paramètre, n'est-il pas utile d'en présenter les illustrations habituelles.