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# Systèmes économiques de production à rendement croissant

André Nataf

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## To cite this version:

André Nataf. Systèmes économiques de production à rendement croissant. Annales de l'ISUP, 1960, IX (2), pp.161-170. hal-04092814

HAL Id: hal-04092814

https://hal.science/hal-04092814

Submitted on 9 May 2023

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# SYSTÈMES ÉCONOMIQUES DE PRODUCTION
A RENDEMENT CROISSANT (1)

André NATAF

## INTRODUCTION

L'étude mathématique de la production a conduit les économistes à admettre, en première approximation, un système simple de relations entre la production des biens et l'utilisation des fournitures nécessaires à cette production, cette utilisation étant désignée sous le nom de consommation intermédiaire.

Si l'on désigne :

$1/- \underline{\underline{\text{par } j}}$

$j = 1, 2, \dots, q$

un bien produit ou une fourniture (car un objet matériel selon son utilisation peut être tout aussi bien un produit de consommation ou une fourniture).

$2/- \underline{\underline{\text{par } x_j}}$

La quantité fabriquée du bien j au cours d'une période T prise pour unité de temps,

$3/- \underline{\underline{\text{par } x_{jj}}}$

La quantité du produit i, considérée comme consommation intermédiaire dans la fabrication de la quantité $x_j$ du bien j, on admet très souvent que le rapport $\frac{x_{ij}}{x_j}$ est une constante $a_{ij}$, indépendante de $x_j$ et

--------------

<footnote>(1) Cette étude trouve son origine dans les problèmes pratiques et théoriques qu'a rencontrés le "Service des Etudes économiques et financières" du Ministère des Finances dans la préparation d'une part des budgets économiques annuels et d'autre part des programmations des Plans français.</footnote>
caractérisant la technique employée.

Dans ces conditions, si au cours de T une entité économique a produit des quantités $x_1, x_2, \dots, x_j, \dots, x_q$ des biens 1, 2, \dots, j', \dots, q, elle aura été obligée d'utiliser les quantités $\sum_{j=1}^{q} a_{ij}x_j$ du bien i comme consommation intermédiaire.

La quantité disponible pour la consommation pure ou d'autres usages, de i n'est donc plus que :

$$y_i = x_i - \sum_{j=1}^{q} a_{ij}x_j \quad (1)$$
$$i = 1, 2, \dots, q$$

L'ensemble des $y_i$ constitue ce que l'on appelle la **demande finale** ou disponibilité finale des divers biens.

Si l'on désigne par x et y, sans indice, les vecteurs colonnes de composantes $x_i$ et $y_i$ et si l'on représente par A la matrice dont l'élément de la ième ligne et jème colonne est $a_{ij}$ les q équations (1) se résument en l'équation matricielle :

$$y = x - A x = (I - A) x \quad (2)$$

Le système (1) [ou (2)] n'est pas un système linéaire quelconque en x. Il n'a en effet de sens économique que si toutes les quantités $x_i, y_i, a_{ij}$ sont positives ou nulles éventuellement.

Dans ces conditions un problème important du point de vue des applications économiques, et mathématiquement non dénué d'intérêt, est de caractériser l'ensemble V, manifestement positivement homogène et linéaire, des vecteurs y et x positifs ou nuls (c'est-à-dire à coordonnées toutes positives ou nulles, en abrégé y ≥ 0 et x ≥ 0) vérifiant (1) ou (2) pour A donné.

En fait ce problème se ramène identiquement à caractériser A de façon qu'à tout vecteur y ≥ 0 on puisse faire correspondre un vecteur x ≥ 0. De nombreux travaux ont caractérisé complètement la matrice A ou I - A dans ce cas (1). On démontre en particulier les propositions suivantes :

<footnote>(1) Un exposé très élégant et très simple de ces résultats a été donné par Lionel Mac Kenzie dans : Econometrica vol. 25 n° 3 juillet 1957 p. 456-462.</footnote>
### Proposition P₁.

Une condition nécessaire et suffisante pour qu'à tout y > 0 donné corresponde un et un seul x > 0 est qu'il existe un système de coefficients strictement positifs :

$$p_i \quad i = 1, 2, \dots, q$$

que nous représentons par un vecteur colonne p, tel que :

$$p' (I - A) \qquad (3)$$

soit strictement positif (1) (l'accent prime indiquant selon l'usage qu'on a transposé la matrice qui en est affecté).

### Proposition P₂.

Dans ces conditions, I - A est une matrice régulière, résultat évident mais bien utile.

Il est alors commode d'opérer un changement d'unités en prenant comme unité physique de mesure du bien i la quantité qui a pour valeur l'unité de monnaie.

A ce moment on peut prendre pour p' le vecteur ligne 1, 1, ..., 1 et la condition (3) exprime, sur les nouveaux a_{ij} que la somme des termes (tous positifs ou nuls) d'une colonne de A est strictement inférieure à 1, ce qui constituera la proposition P₁.

Sous cette forme il est alors particulièrement facile de retrouver les résultats en remarquant que :

### Proposition P₃.

(I - A) admet une inverse développable en une série convergente de matrices (2)

$$(I - A)^{-1} = I + A + A^2 + \dots + A^n + \dots$$

<footnote>(1) Economiquement ceci s'interprète par l'existence d'un système de prix, tel que les différentes productions des biens i puissent toutes s'opérer avec un bénéfice strictement positif.</footnote>

<footnote>(2) Cf. par exemple ce résultat établi d'ailleurs de façon plus forte dans Wong "Minkowski-Leontief" Matrices (p. 228 notamment) dans le livre "Economic Activity Analysis" édité par O Morgenstern - John Wiley and Sors. New-York 1954.</footnote>
(2) peut alors se résoudre par la formule :

$$x = y + Ay + A^2 y + \dots + A^n y + \dots$$

ou encore en recherchant la limite de la suite rattachée à (2) :

$$x^0 = y$$

$$x^1 = y + A x_0 = y + Ay$$

$$x^2 = y + A x^1 = y + Ay + A^2 y$$

......

$$x^n = y + A x^{n-1} \quad (2^1)$$

## Terminologie.

On dit, d'après l'auteur qui le premier a étudié ces questions que les systèmes ou matrices vérifiant ces propriétés sont des **systèmes ou matrices de Léontief**, en abrégé **systèmes ou matrices L**. (Cette dénomination s'applique aussi bien à A qu'à I - A, le contexte évitant en général tout risque d'erreur).

I - EXTENSION DE CERTAINES PROPRIETES A DES SYSTEMES PLUS GENERAUX QUE LES SYSTEMES L.

Nous nous proposons, en utilisant souvent d'ailleurs pour ce faire les propositions $P_1$ à $P_3$, de généraliser certaines propriétés à des cas où les coefficients $a_{ij}$ ne sont plus indépendants des $x_j$, mais varient dans le cadre d'hypothèses que nous appellerons H. Ces hypothèses sont sans doute restrictives encore mais leur forme mathématique s'applique assez bien à de nombreuses circonstances économiques. Nous supposerons donc :

1.1 - Hypothèses H.

H₁. Les $x_{1j}$ ne sont fonctions que de $x_j$ seul.

H₂. Les techniques utilisées sont à rendement croissant.

$H_2$ signifie que si la production $x_j$ de j augmente il est nécessaire de ne pas diminuer la consommation intermédiaire $x_{1j}$ de i, mais si $x_{1j}$ augmente ce ne sera jamais plus que proportionnellement à l'augmentation de $x_j$. Mathématiquement ceci se traduit par le fait que $x_{1j}$ est une fonction $f(x_j)$ de $x_j$, non décroissante, continue, et que $\frac{x_{1j}}{x_j}$ est une fonction non croissante, continue (sauf peut être à l'origine, ce qui n'aura pas beaucoup d'importance) de $x_j$.
Si on trace la courbe $\Gamma_{ij}$ d'équation $x_{ij} = f(x_j)$ cette courbe peut admettre des paliers en $x_{ij}$, et la pente $\frac{x_{ij}}{x_j} = a_{ij}(x_j)$ de la droite joignant l'origine O des coordonnées au point M($x_j$, $x_{ij}$) est non croissante ; (elle peut parfaitement être constante dans certains intervalles).

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Nous avons représenté dans la figure 1 une telle courbe $\Gamma_{ij}$ en explicitant en $M_1, M_2$ un palier et en $M_2, M_3$ une portion de rayon où le rapport $\frac{x_{ij}}{x_j}$ reste constant. Enfin dans cette figure pour $x_j = 0$, $x_{ij}(0) = OM_0 \neq 0$ cas qui se produit souvent car il faut souvent, au démarrage d'une production, même très faible en quantité, des fournitures relativement importantes. Dans d'autres cas on pourra considérer que $M_0$ est en O avec une pente finie ou infinie. De toutes façons ces différences de comportement ne joueraient pas dans l'étude qui va suivre.

## 1.2/- Conditions d'unicité de la solution dans le cas des hypothèses H.

Considérons les points $A^1$ et $A^2$ de la courbe $\Gamma_{ij}$ correspondant aux productions $x_1^1$ et $x_2^1$ de j et aux consommations intermédiaires respectives $x_1^2$ et $x_2^2$ de i. En raison des hypothèses H la pente $\frac{x_{ij}^2(x_j^2)-x_{ij}^1(x_j^1)}{x_j^2 - x_j^1} = \alpha_{ij}(x_j^2 x_j^1)$ de A est positive ($x_{ij}^2 - x_{ij}^1$ nul ou du même signe que $x_j^2 - x_j^1$) ; et moindre que l'une quelconque des pentes $m_1$ et $m_2$ de $OA_1$ et $OA_2$ (fig. 2).

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Nous désignerons par $\alpha$ ($x^1, x^2$) la matrice des éléments $\alpha_{ij}$. Supposons alors qu'il existe 2 solutions déterminées $x^1$ et $x^2$ au système (2) (où évidemment les éléments de A sont des fonctions de x), ces solutions correspondant à une même demande finale y.

On a donc simultanément :

$$ 
\left. 
\begin{array}{l}
y = x^1 - A(x^1) x^1 \\
y = x^2 - A(x^2) x^2
\end{array}
\right\} \qquad (4)
$$

Par soustraction on en déduit :

$$ C = x^2 - x^1 - [A(x^2) x^2 - A(x^1) x^1] \qquad (5) $$
ou encore d'après la définition de $\alpha$ :

$$0 = (x^2 - x^1) [I - \alpha(x^2, x^1)] \quad (6)$$

Si l'une des matrices $A(x^2)$ ou $A(x^1)$ est une matrice $L$, par un choix convenable des unités elle vérifiera $P_1'$. A fortiori $\alpha$ qui est majorée par cette matrice vérifiera $P_1'$ et par suite $I - \alpha$ vérifie $P_2$ et (6) n'admet donc que la seule solution nulle $x^2 - x^1 = 0$.

$$\text{ou :} \qquad x^2 = x^1 \qquad (7)$$

Nous allons tirer des conséquences plus maniables de cette propriété d'unicité.

### 1ère conséquence.

Si, par un procédé quelconque, on trouve une solution $x^0$ au système (4) correspondant à un vecteur $y^0$ donné et que l'on constate que $I - A(x^0)$ n'est pas une matrice $L$, il y aura peut-être d'autres solutions $x$ que la solution $x^0$, mais on pourra être sûr que les matrices correspondantes ne seront pas de Léontief car dans ce cas là on a vu, conséquence très intéressante en elle-même, d'après (7), que le système ne pouvait avoir qu'une solution.

### 2ème conséquence.

Si, quelque soit $x \ge 0$, $I - A(x)$, est une matrice $L$, on peut être sûr que le système (4) n'admet qu'une solution.

En combinant ce résultat avec l'étude que nous allons maintenant entreprendre en 1.3. de la résolution du système (4), nous pourrons affirmer de plus que le système admet bien une solution.

$$1.3/- \text{Résolution du système } y = (I - A_{(x)})x.$$

Pour bien montrer qu'au contraire de (4), où l'on suppose trouvées des solutions, nous cherchons maintenant à établir un procédé de résolution, nous désignerons par (8) le système :

$$y = [I - A_{(x)}] x. \qquad (8)$$

Supposons que non seulement les hypothèses H sont vérifiées mais que de plus il existe un vecteur $\xi \ge 0$ pour lequel $I - A(\xi)$ est une matrice $L$. Dans ces conditions $I - A(w)$ sera encore une matrice $L$ pour tout $w \ge \xi$.
(8) peut s'écrire :

$$x = y + A(x) x \qquad (9)$$

A l'image de ce qui était possible d'après $P_3$, lorsque $I - A$ était une matrice $L$ indépendante de $x$ nous allons étudier la résolution de (9) par une série d'itérations. Nous partirons de $x^0 = y$.

Ensuite nous calculerons :

$$x^1 = y + A(y) y = y + A(x^0) x^0$$

$$\text{puis :} \qquad x^2 = y + A(x^1) x^1$$

et d'une façon générale nous considérerons la suite :

$$x^n = y + A(x^{n-1}) x^{n-1} \qquad (10)$$

Montrons que (10) converge vers une solution de (9) :

La transformation $A(x^1) x$ est une transformation positive en ce sens que si $x$ est positif, $A(x^1)$ ayant tous ses éléments non négatifs transforme $x$ en un vecteur positif, éventuellement positif ou nul. Avec les hypothèses H ceci sera vrai également des transformations $\alpha (x^1, x^k)$ majorées par $A(x^1)$ et $A(x^k)$ mais à éléments tous non négatifs. Nous allons en déduire que la suite (10) est non décroissante, ou encore que $x^{n+1} - x^n \ge 0$ quel que soit $n$.

En effet :

$$\begin{align}
x^{n+1} - x^n &= A(x^n)x^n - A(x^{n-1})x^{n-1} \tag{11} \\
&= \alpha (x^n, x^{n-1}) (x^n - x^{n-1}) \nonumber
\end{align}$$

Notre assertion sur $x^{n+1} - x^n$ sera donc vérifiée, $\alpha$ étant positive si $x^n - x^{n-1}$ vérifie la même assertion. Par voie de récurrence on se ra–mène donc à vérifier que :

$$x^1 - x^0 = y + A(y)y - y = A(y)y$$

est non négatif ce qui est évident $A(y)$ et $y$ l'étant par hypothèse ou par nature.

Donc la suite $x^n$ de (10) est non décroissante. Nous allons maintenant démontrer, par l'absurde, qu'elle est bornée, ce qui nous permettra d'affirmer qu'elle converge.
Si en effet (10) n'était pas bornée certains des $x_j^n$ tendraient vers l'infini positif.

Pour la clarté de l'exposé supposons d'abord que pour tout $j$, $j = 1, 2, \dots, q$, $x_j^n$ tende vers l'infini. Nous pourrions alors affirmer que pour $n$ supérieur ou égal à un nombre déterminé $N$, $x^n$ dépasse $\xi$ dans toutes les composantes. Mais alors $A(x^n)$ serait une matrice $L$, majorée d'ailleurs par $A(\xi)$ pour $n \ge N$. Donc la suite divergente (10) serait majorée par la suite :

$$U^{n+1} = y + A(\xi) U^n$$

établie à partir de $n = N$ et $U^n = x^n$, et qui, elle converge d'après la propriété $P_3$.

Nous tombons donc sur une contradiction et $x_j^n$ ne peut tendre vers l'infini quel que soit $j$.

Cependant il pourrait se faire que pour une partie $j_1$ des $j_i$, $x_{j_1}^n$ tende vers l'infini, tandis que pour les $j$ restants, que nous appellerons $j_2$, $x_{j_2}^n$ tende vers des valeurs finies $x_{j_2}$. Nous allons montrer que ceci est encore impossible. Il suffit de prouver que les seuls $x_{j_1}^n$ ne peuvent tendre vers l'infini. Or pour un $j_1$ que nous appellerons $k_1$ :

$$x_{k_1}^n = y_{k_1} + \sum_{j_2} x_{k_1 j_2} (x_{j_2}^{n-1}) + \sum_{j_1} a_{k_1 j_1} (x_{j_1}^{n-1}) x_{j_1}^{n-1} \quad (12)$$

On voit qu'on peut majorer $x_{k_1}^n$ : d'abord en majorant $\sum_{j_2} x_{k_1 j_2} (x_{j_2}^{n-1})$ par $\sum_{j_2} x_{k_1 j_2} (x_{j_2})$ du moment que les $x_{j_2}^{n-1}$ atteignent leur limite $x_{j_2}$ par valeurs croissantes et que, d'après $H_2$, $x_{k_1 j_2} (x_{j_2})$ est fonction non décroissante de $x_j$ pour tout $j$, ce qui nous donnera une majoration $U_{k_1}$ indépendante de $n$.

Ensuite en majorant les termes de $\sum_{j_1}^n$ en remplaçant, pour $n-1$ assez grand (supérieur ou égal à $N$ tel que $x_{j_1}^n > \xi_{j_1}$), $a_{k_1 j_1} (x_{j_1}^{n-1})$ par $a_{k_1 j_1} (\xi_{j_1})$ qui lui est au moins égal et en laissant d'abord pour $n-1=N$ les termes $x_j^{n-1} = x_j^n$ mais ensuite, une fois calculée de cette façon la 1ère majoration qui s'explicite :

$$v_{k_1}^{n+1} = y_{k_1} + U_{k_1} + \sum_{j_1} a_{k_1 j_1} (\xi_{j_1}) x_{j_1}^n, \quad (13)$$

en remplaçant également les $x_{j_1}^{n+p}$ successifs par les $v_{j_1}^{n+1+p}$ successifs obtenus à partir de (13).
Mais (13) est encore une suite convergente car elle est de la
forme :

$$
v^n = (y + u) + B(\xi) v^{n-1} \quad (14)
$$

où :

1/- les vecteurs colonnes sont limités aux composantes j ;

2/- B(ξ) est une matrice des lignes et colonnes j₁ seules, extraites
de A(ξ), vérifiant donc à fortiori P₁ ou P'₁ et par suite matrice L elle-
même.

Il est donc absurde de supposer que même seuls certains xᵢⱼⁿ pour-
raient tendre vers l'infini. Donc xⁿ est non décroissant et borné. Il tend
donc vers une limite x et comme A (x) est une matrice fonction continue
de x, on a bien à la limite :

$$
x = y + A_{(x)} x
$$

On a ainsi mis en évidence l'existence d'une solution au moins
correspondant à y positif donné quelconque.

Les 2 conséquences explicitées à la fin de 1.2. permettront dans
beaucoup de cas pratiques de reconnaitre si cette solution est la seule.

II - APPLICATION A DES PROBLEMES D'ECHANGES EXTERIEURS.

Dans la réalité il n'est pas absurde d'admettre les hypothèses H
de rendement croissant car il est en général extrêmement onéreux d'uti-
liser un procédé de fabrication au-delà d'une certaine valeur C<sub>j</sub> de pro-
duction pour laquelle il a été conçu. Sans doute en cas d'à-coups de la
demande pourra-t-on un peu dépasser C<sub>j</sub> (jamais beaucoup d'ailleurs).
Mais dans une programmation cohérente des productions il est hors de
doute qu'il convient au moins pour l'étude d'une variante importante de
considérer que C<sub>j</sub> est une limite de capacité de production au-delà de
laquelle il convient de ne pas pousser. Si l'on peut admettre ce raison-
nement à l'échelle d'une nation et que l'ensemble des limites C<sub>j</sub> soit
insuffisant à satisfaire les besoins de la nation, il est en général pos-
sible de subvenir à ces besoins au moyen d'importations. Dans ces con-
ditions il se pose sans doute des problèmes de devises ou d'exportations
compensatrices pour payer les importations. Mais si l'on reste sur le
plan technique de production qui fait l'objet de notre étude, l'existence
d'une importation du produit j à partir d'une production limite x<sub>j</sub> = C<sub>j</sub> se
traduira par le fait que la courbe Γ<sub>ij</sub>, quelque soit i, se réduit pour
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fig. 3.</figcaption></figure>

$x_j > C_j$ à la demi droite $x_{ij} = x_{ij}(C_j)$ (cf. fig. 3). On peut dire qu'il est difficile en un certain sens de trouver un rendement plus croissant, puisque l'accroissement de consommation intermédiaire est nul à partir de $C_j$. De toutes facons les hypothèses H sont vérifiées et leur relative généralité, loin de relever d'un raffinement

purement mathématique, se prête à une interprétation économique des plus concrètes et des plus courantes. L'introduction des hypothèses H permet alors de faire rentrer, ipso facto, dans le cadre uniforme du traitement de la généralisation des systèmes L, le cas des importations qui, dans la littérature habituelle, introduit à tant le moins des discontinuités de raisonnement.

Si en particulier on suppose que l'on travaille au voisinage d'un x tel que $A(x)$ soit une matrice L et que l'on soit amené à considérer des importations éventuelles, on voit qu'il y a un unicité de la solution des systèmes des productions et importations correspondant à une demande finale donnée y. On voit en particulier que s'il y a importation du produit j il y a eu également au préalable utilisation concomitante de la pleine capacité $C_j$ de production de j, alors que si $x_j < C_j$ il n'y a aucune importation du produit j. Ces remarques s'appliquent notamment dans le cas auquel on est souvent réduit par la pauvreté des statistiques et où la matrice $A(x)$ est une matrice L indépendante de x.

### III - CONCLUSIONS.

Les résultats exposés constituent des théorèmes d'existence de solutions de systèmes économiques à rendement croissant jusqu'ici peu explorés du point de vue mathématique.

La procédure d'itération exposée en 1.3. est parfaitement applicable en pratique dans des calculs numériques soit à la main, soit par machine. Il est d'ailleurs évidemment possible, à partir des majorants introduits de trouver des limites supérieures du nombre d'itérations nécessaires à la résolution à une approximation donnée, au moins dans certaines zônes d'existence des xⁿ.

Mais de plus si l'on utilise d'autres procédés de résolution de ces systèmes il sera souvent très précieux de combiner les théorèmes d'existence reconnus avec les propriétés peut-être plus intéressantes du point de vue calcul rapide de ces autres procédés de résolution, mais propriétés dont l'affirmation s'appuie souvent sur l'existence de la solution. Nous espérons d'ici quelque temps mettre au point certaines études en cours à ce sujet.