# Le potentiel de l'astéroséismologie pour les étoiles sous-naines de type B

Stéphane Charpinet

► To cite this version:

Stéphane Charpinet. Le potentiel de l'astéroséismologie pour les étoiles sous-naines de type B. As-trophysique stellaire et solaire [astro-ph.SR]. Université de Montréal, 1999. Français. NNT: . tel-04281065

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Submitted on 12 Nov 2023

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LE POTENTIEL DE L'ASTÉROSÉISMOLOGIE
POUR LES ÉTOILES SOUS-NAINES
DE TYPE B

Par

STÉPHANE CHARPINET

Département de Physique, Université de Montréal, C.P. 6128,
Succ. Centre-Ville, Montréal, Québec, Canada, H3C 3J7
charpinet@astro.umontreal.ca

Thèse de Doctorat sous la direction de
Gilles Fontaine & Pierre Brassard

©Stéphane Charpinet, 1998
Université de Montréal
Faculté des études supérieures Cette thèse intitulée:

LE POTENTIEL DE L'ASTÉROSÉISMOLOGIE POUR LES ÉTOILES
SOUS-NAINES DE TYPE B

présentée par:

Stéphane Charpinet

a été évaluée par un jury composé des personnes suivantes:

François Wesemael, président-rapporteur
Gilles Fontaine, directeur de recherche
Pierre Brassard, codirecteur
Serge Demers, membre du jury
Pierre Demarque, examinateur externe

Thèse acceptée le: 11 décembre 1998
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# Sommaire

L'objectif principal de cette thèse consiste à évaluer les possibilités que les étoiles sous naines de type B, aussi appelées sdB, puissent développer des variations de luminosité engendrées par des phénomènes de pulsations. Dans la mesure où, au commencement de cette étude, les sdB ne sont pas connues pour montrer ce type de comportement, notre approche s'effectue exclusivement sur des bases théoriques visant à déterminer, par le calcul, si ces étoiles ont le potentiel pour devenir instables. Le cas échéant, il s'agira d'évaluer quels sont les résultats susceptibles d'émerger d'un sondage de la structure interne de ces étoiles avec les méthodes de l'astéroséismologie.

Après avoir introduit le contexte et les outils théoriques nécessaires à ce projet (théorie des pulsations stellaires et modèles d'étoiles sous-naines de type B), la démarche passe obligatoirement par une étude exhaustive des propriétés des modes de pulsation dans ces étoiles. Nous l'avons entreprise de manière systématique afin d'évaluer et de comprendre les comportements des oscillations en fonction des différents paramètres physiques qui caractérisent une sdB. Par souci de complétude, nous étudions également les rapports qu'entretiennent évolution et périodes de pulsation au cours de la phase sdB. Par la suite, fort des connaissances nouvellement acquises, nous nous lançons dans l'étude de la stabilité des modes d'oscillation, l'objectif étant d'identifier, le cas échéant, un mécanisme capable de déstabiliser, dans certaines conditions, une fraction de ces étoiles. Par cette approche, nous déterminons qu'un mécanisme $\kappa$ associé à une région d'ionisation partielle de l'élément fer agit efficacement dans l'enveloppe des sdB si, toutefois, le fer y est présent en quantités extra-solaires. Nous montrons alors que des processus de diffusion, déjà fortement suspectés d'exister dans ces étoiles, sont en mesure d'accumuler des quantités de fer largement suffisantes pour engendrer des pulsations, nous conduisant ainsi à avancer la prédiction que des sdB pulsantes doivent exister.

L'annonce, indépendante et pratiquement simultanée, de la découverte de véritables sdB pulsantes ainsi que les premières comparaisons entre théorie et observations nous poussent alors à consanguire des modèles plus sophistiqués – incluant les effets de la diffusion sur le fer –, mieux adaptés pour décrire le mécanisme de déstabilisation proposé. Nous constatons alors un très bon accord quantitatif entre les propriétés sismiques déduites des modèles théoriques et celles effectivement observées dans les sdB pulsantes, confirmant dès lors le rôle joué par le mécanisme en question.
Nous discutons également des aspects reliés à l'étude astéroséismologique de ces étoiles dont l'objectif, ultimement, est d'en sonder l'intérieur. Bien qu'il soit encore prématuré d'appliquer une telle méthode sur les sdB, nous explorons rapidement les moyens pour y parvenir et nous tentons de préciser quels sont les éléments de la structure des sdB que nous pouvons espérer mesurer avec cette technique.

Finalement, suite aux résultats satisfaisants obtenus pour les sdB, nous entreprenons de poursuivre l'étude de stabilité sur les modèles évolutifs en phase post-EHB. Nous constatons alors l'existence de modèles instables, identifiables aux étoiles naines blanches de type DAO, pour lesquels des modes g de faible ordre radial sont excités par un mécanisme $\epsilon$ associé à la région de brûlage en couche résiduel de l'hydrogène situé à la base de l'enveloppe des modèles. Ce résultat nous conduit ainsi à proposer l'existence d'une autre classe d'étoiles pulsantes parmi les DAO. Contrairement aux sdB, cette prédiction reste toutefois à confirmer par l'observation.
# Table des matières

<table><tr><td>Sommaire</td><td>i</td></tr><tr><td>Table des matières</td><td>iii</td></tr><tr><td>Liste des figures</td><td>vii</td></tr><tr><td>Liste des tableaux</td><td>xi</td></tr><tr><td>Remerciements</td><td>xiii</td></tr><tr><td>Dédicace</td><td>xv</td></tr><tr><td>Introduction</td><td>1</td></tr></table>

## I Astéroséismologie et Etoiles Sous-Naines 5

### 1 Les Etoiles Variables Pulsantes – Théorie des Oscillations Stellaires 7

<table><tr><td>1.1 Introduction</td><td>7</td></tr><tr><td>1.2 Naissance d'une théorie - Les étoiles pulsantes</td><td>8</td></tr><tr><td>1.2.1 La physique des pulsations stellaires</td><td>8</td></tr><tr><td>1.2.2 Différents types d'étoiles pulsantes</td><td>10</td></tr><tr><td>1.2.3 L'astéroséismologie</td><td>13</td></tr><tr><td>1.3 Théorie des pulsations stellaires</td><td>13</td></tr><tr><td>1.3.1 Les équations de base</td><td>13</td></tr><tr><td>1.3.2 Equilibre hydrostatique</td><td>14</td></tr><tr><td>1.3.3 Equations d'oscillation - Linéarisation</td><td>15</td></tr><tr><td>1.4 Approximation adiabatique</td><td>18</td></tr><tr><td>1.4.1 Approximation de Cowling et traitement local</td><td>19</td></tr><tr><td>1.4.2 Energie cinétique</td><td>20</td></tr><tr><td>1.4.3 Principe variationnel</td><td>21</td></tr></table>
<table><tbody><tr><td>1.4.4</td><td>Régions de formation des périodes</td><td>22</td></tr><tr><td>1.4.5</td><td>Effets de la rotation</td><td>22</td></tr><tr><td>1.4.6</td><td>Le code des pulsations adiabatiques</td><td>23</td></tr><tr><td>1.5</td><td>Théorie non-adiabatique</td><td>25</td></tr><tr><td>1.5.1</td><td>Solutions non-adiabatiques</td><td>26</td></tr><tr><td>1.5.2</td><td>Intégrale de travail</td><td>26</td></tr><tr><td>1.5.3</td><td>Mécanismes de déstabilisation</td><td>27</td></tr><tr><td>1.5.4</td><td>Le code des pulsations non-adiabatiques</td><td>29</td></tr><tr><td><b>2</b></td><td><b>Les Etoiles Sous-Naines de Type B</b></td><td><b>31</b></td></tr><tr><td>2.1</td><td>Introduction</td><td>31</td></tr><tr><td>2.2</td><td>La nature des étoiles sous-naines</td><td>32</td></tr><tr><td>2.2.1</td><td>Classification spectrale et paramètres de surface</td><td>32</td></tr><tr><td>2.2.2</td><td>Un puzzle théorique</td><td>33</td></tr><tr><td>2.2.3</td><td>Les anomalies d'abondances</td><td>35</td></tr><tr><td>2.3</td><td>Structures évolutives</td><td>37</td></tr><tr><td>2.3.1</td><td>Généralités</td><td>38</td></tr><tr><td>2.3.2</td><td>Construction des modèles</td><td>39</td></tr><tr><td>2.3.3</td><td>Séquences évolutives</td><td>41</td></tr><tr><td>2.3.4</td><td>Le modèle de référence</td><td>44</td></tr><tr><td>2.4</td><td>Structures statiques d'enveloppes</td><td>48</td></tr><tr><td>2.4.1</td><td>Construction des enveloppes</td><td>49</td></tr><tr><td>2.4.2</td><td>Comparaisons structurelles</td><td>50</td></tr><tr><td>2.5</td><td>Potentiels à explorer</td><td>53</td></tr></tbody></table>

## II Modèles de Première Génération

### Une Nouvelle Classe d'Etoiles Pulsantes ?

### 3 Etude Adiabatique – Structure des Modes de Pulsation

<table><tbody><tr><td>3.1</td><td>Introduction</td><td>57</td></tr><tr><td>3.2</td><td>Structure du spectre des modes de pulsation</td><td>58</td></tr><tr><td>3.2.1</td><td>Quantités adiabatiques</td><td>58</td></tr><tr><td>3.2.2</td><td>Caractéristiques des modes g</td><td>62</td></tr><tr><td>3.2.3</td><td>Caractéristiques des modes p</td><td>71</td></tr><tr><td>3.2.4</td><td>Diagramme de propagation</td><td>77</td></tr><tr><td>3.2.5</td><td>Inventaire des aspects importants à retenir</td><td>79</td></tr><tr><td>3.3</td><td>Modèles statiques d'enveloppes</td><td>80</td></tr><tr><td>3.3.1</td><td>Comparaison des quantités adiabatiques</td><td>81</td></tr><tr><td>3.3.2</td><td>Comparaisons sur la structure du spectre des modes g</td><td>83</td></tr><tr><td>3.3.3</td><td>Comparaisons sur la structure du spectre des modes p</td><td>85</td></tr><tr><td>3.3.4</td><td>Sur l'origine des divergences</td><td>91</td></tr><tr><td>3.3.5</td><td>A propos des conditions frontières</td><td>97</td></tr><tr><td>3.3.6</td><td>Modèles d'enveloppes - Mode d'emploi</td><td>100</td></tr><tr><td>3.4</td><td>Exploration de l'espace des paramètres</td><td>102</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td>3.4.1</td><td>Influence de la température et de la gravité</td><td>103</td></tr><tr><td>3.4.2</td><td>Influence de l'épaisseur de l'enveloppe</td><td>123</td></tr><tr><td>3.4.3</td><td>Influence de la masse</td><td>139</td></tr><tr><td>3.4.4</td><td>Rétrospective</td><td>146</td></tr><tr><td>3.5</td><td>Evolution stellaire et pulsations</td><td>148</td></tr><tr><td>3.5.1</td><td>Séquences évolutives et périodes</td><td>149</td></tr><tr><td>3.5.2</td><td>Influence du noyau sur l'évolution des modes g</td><td>153</td></tr><tr><td>3.5.3</td><td>Taux de changement des périodes - Modes p</td><td>156</td></tr><tr><td>3.5.4</td><td>Taux de changement des périodes - Modes g</td><td>165</td></tr><tr><td>3.5.5</td><td>Principaux résultats à retenir</td><td>174</td></tr><tr><td>3.6</td><td>Synthèse et perspectives</td><td>176</td></tr><tr><td>4</td><td>Etude Non-Adiabatique – Stabilité des Modes de Pulsation</td><td>179</td></tr><tr><td>4.1</td><td>Introduction</td><td>179</td></tr><tr><td>4.2</td><td>Stabilité des modèles évolutifs</td><td>180</td></tr><tr><td>4.2.1</td><td>Périodes non-adiabatiques</td><td>180</td></tr><tr><td>4.2.2</td><td>Influence des régions déstabilisatrices potentielles</td><td>182</td></tr><tr><td>4.3</td><td>Influence de la métallicité</td><td>186</td></tr><tr><td>4.3.1</td><td>Structures statiques modifiées</td><td>186</td></tr><tr><td>4.3.2</td><td>Grilles de modèles d'enveloppes</td><td>187</td></tr><tr><td>4.3.3</td><td>Modes instables</td><td>189</td></tr><tr><td>4.3.4</td><td>Influence de M<sub>env</sub> et M*</td><td>191</td></tr><tr><td>4.3.5</td><td>Mécanisme de déstabilisation</td><td>193</td></tr><tr><td>4.4</td><td>Une nouvelle classe d'étoiles pulsantes?</td><td>194</td></tr><tr><td>4.4.1</td><td>La métallicité des sdB</td><td>195</td></tr><tr><td>4.4.2</td><td>Prédictions théoriques</td><td>197</td></tr><tr><td>4.4.3</td><td>Confrontation avec les observations</td><td>198</td></tr><tr><td>4.5</td><td>Perspectives</td><td>200</td></tr><tr><td>III</td><td>Modèles de Seconde Génération</td><td></td></tr><tr><td></td><td>Succès et Potentiel de l'Approche Théorique</td><td>203</td></tr><tr><td>5</td><td>Nouvelle Etude de Stabilité – Modèles de Seconde Génération</td><td>205</td></tr><tr><td>5.1</td><td>Introduction</td><td>205</td></tr><tr><td>5.2</td><td>Diffusion des éléments lourds</td><td>206</td></tr><tr><td>5.2.1</td><td>Hypothèses de calcul</td><td>207</td></tr><tr><td>5.2.2</td><td>Formulation du problème</td><td>208</td></tr><tr><td>5.2.3</td><td>Profils d'abondance pour le fer</td><td>213</td></tr><tr><td>5.3</td><td>Construction des modèles de seconde génération</td><td>215</td></tr><tr><td>5.3.1</td><td>Physique constitutive</td><td>216</td></tr><tr><td>5.3.2</td><td>Effets de la diffusion sur l'opacité moyenne</td><td>218</td></tr><tr><td>5.3.3</td><td>Comparaisons structurelles avec la première génération</td><td>220</td></tr><tr><td>5.4</td><td>Stabilité pour un modèle de référence</td><td>224</td></tr><tr><td>5.4.1</td><td>Calculs non-adiabatiques</td><td>224</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td>5.4.2</td><td>Comparaison avec les périodes observées</td><td>225</td></tr><tr><td>5.4.3</td><td>Mécanisme de déstabilisation</td><td>227</td></tr><tr><td>5.5</td><td>Stabilité dans le plan gravité-température</td><td>228</td></tr><tr><td>5.5.1</td><td>Comportements non-adiabatiques des modes acoustiques</td><td>229</td></tr><tr><td>5.5.2</td><td>Aperçu des tendances</td><td>235</td></tr><tr><td>5.5.3</td><td>Domaine d'instabilité</td><td>238</td></tr><tr><td>5.5.4</td><td>Nature et propriétés des modes instables</td><td>242</td></tr><tr><td>5.5.5</td><td>Comparaisons individuelles</td><td>252</td></tr><tr><td>5.5.6</td><td>Limites des modèles de seconde génération</td><td>256</td></tr><tr><td>5.6</td><td>Prélude à l'étude astéroséismologique des sdB</td><td>258</td></tr><tr><td>5.6.1</td><td>Sur le choix des modèles à utiliser</td><td>258</td></tr><tr><td>5.6.2</td><td>Résultats préliminaires</td><td>260</td></tr><tr><td>5.6.3</td><td>Sonder les sdB avec l'astéroséismologie</td><td>262</td></tr><tr><td>5.7</td><td>Résumé et perspectives</td><td>265</td></tr><tr><td><b>6</b></td><td><b>Activité Sismique dans les Etoiles en Phase Post-EHB</b></td><td><b>269</b></td></tr><tr><td>6.1</td><td>Introduction</td><td>269</td></tr><tr><td>6.2</td><td>Analyse de stabilité sur les modèles post-EHB</td><td>270</td></tr><tr><td>6.2.1</td><td>Bande d'instabilité</td><td>270</td></tr><tr><td>6.2.2</td><td>Nature des modes instables</td><td>272</td></tr><tr><td>6.2.3</td><td>Le mécanisme de déstabilisation</td><td>273</td></tr><tr><td>6.3</td><td>Discussion et perspectives</td><td>275</td></tr><tr><td colspan="2"><b>Conclusion</b></td><td><b>277</b></td></tr><tr><td colspan="2"><b>Références</b></td><td><b>285</b></td></tr><tr><td colspan="2"><b>IV Annexes</b></td><td><b>287</b></td></tr><tr><td colspan="2"><b>Annexe A – Paramètres Stellaires pour les Séquences Evolutives</b></td><td><b>289</b></td></tr><tr><td colspan="2"><b>Annexe B – Etude Asymptotique des Modes de Pulsation</b></td><td><b>297</b></td></tr><tr><td colspan="2"><b>Annexe C – Périodes Adiabatiques pour les Séquences Evolutives</b></td><td><b>303</b></td></tr><tr><td colspan="2"><b>Annexe D – Collection d'Articles</b></td><td><b>395</b></td></tr></tbody></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>3.21</td>
      <td>Echantillon de modes p et f dans l'espace log g − T<sub>eff</sub>: Energies cinétiques</td>
      <td>107</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.22</td>
      <td>Echantillon de modes p et f dans l'espace log g − T<sub>eff</sub>: ΔP/P</td>
      <td>108</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.23</td>
      <td>Echantillon de modes g dans l'espace log g − T<sub>eff</sub>: Périodes adiabatiques</td>
      <td>110</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.24</td>
      <td>Echantillon de modes g dans l'espace log g − T<sub>eff</sub>: Périodes adiabatiques (en 2D)</td>
      <td>111</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.25</td>
      <td>Echantillon de modes g dans l'espace log g − T<sub>eff</sub>: Energies cinétiques</td>
      <td>112</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.26</td>
      <td>Echantillon de modes g dans l'espace log g − T<sub>eff</sub>: ΔP/P</td>
      <td>113</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.27</td>
      <td>Phénomène de collisions entre modes (“mode bumping”)</td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.28</td>
      <td>Effets de la température effective sur les fréquences de Brunt-Väisälä et de Lamb</td>
      <td>117</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.29</td>
      <td>Effets de la température effective sur plusieurs quantités physiques des modèles</td>
      <td>119</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.30</td>
      <td>Effets de la gravité de surface sur les fréquences de Brunt-Väisälä et de Lamb</td>
      <td>120</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.31</td>
      <td>Effets de la gravité de surface sur plusieurs quantités physiques des modèles</td>
      <td>121</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.32</td>
      <td>Diagramme de propagation pour un modèle à haute température et basse gravité</td>
      <td>123</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.33</td>
      <td>Echantillon de modes p et f dans l'espace log q(H) − T<sub>eff</sub>: Périodes adiabatiques</td>
      <td>125</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.34</td>
      <td>Echantillon de modes p et f dans l'espace log q(H) − T<sub>eff</sub>: Energies cinétiques</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.35</td>
      <td>Echantillon de modes p et f dans l'espace log q(H) − T<sub>eff</sub>: ΔP/P</td>
      <td>127</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.36</td>
      <td>Effets du paramètre log q(H) sur le spectre des modes p - micro-piégeage</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.37</td>
      <td>Diagramme de propagation - Effet du micro-piégeage</td>
      <td>130</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.38</td>
      <td>Echantillon de modes g dans l'espace log q(H) − T<sub>eff</sub>: Périodes adiabatiques</td>
      <td>132</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.39</td>
      <td>Echantillon de modes g dans l'espace log q(H) − T<sub>eff</sub>: Périodes adiabatiques (en 2D)</td>
      <td>133</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.40</td>
      <td>Echantillon de modes g dans l'espace log q(H) − T<sub>eff</sub>: Energies cinétiques</td>
      <td>134</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.41</td>
      <td>Effet du paramètre log q(H) sur la structure de piégeage des modes g</td>
      <td>135</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.42</td>
      <td>Effets du paramètre log q(H) sur les fréquences de Brunt-Väisälä et de Lamb</td>
      <td>137</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.43</td>
      <td>Effets du paramètre log q(H) sur plusieurs quantités physiques des modèles</td>
      <td>138</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.44</td>
      <td>Echantillon de modes p et f dans l'espace M<sub>*</sub> − T<sub>eff</sub>: Périodes adiabatiques</td>
      <td>140</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.45</td>
      <td>Echantillon de modes p et f dans l'espace M<sub>*</sub> − T<sub>eff</sub>: Périodes adiabatiques (en 2D)</td>
      <td>141</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.46</td>
      <td>Echantillon de modes g dans l'espace M<sub>*</sub> − T<sub>eff</sub>: Périodes adiabatiques</td>
      <td>143</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.47</td>
      <td>Echantillon de modes g dans l'espace M<sub>*</sub> − T<sub>eff</sub>: Périodes adiabatiques (en 2D)</td>
      <td>144</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.48</td>
      <td>Effets de la masse totale sur les fréquences de Brunt-Väisälä et de Lamb</td>
      <td>145</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.49</td>
      <td>Effets de la masse totale sur plusieurs quantités physiques des modèles</td>
      <td>146</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.50</td>
      <td>Evolution des périodes le long des séquences évolutives</td>
      <td>150</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.51</td>
      <td>Evolution des périodes le long des séquences évolutives (suite)</td>
      <td>151</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.52</td>
      <td>Effets de la transition C-O/He sur l'évolution des modes g</td>
      <td>154</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.53</td>
      <td>P&#x0307;<sub>k</sub>/P<sub>k</sub> en fonction de P<sub>k</sub> pour les modes p</td>
      <td>160</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.54</td>
      <td>P&#x0307;<sub>k</sub>/P<sub>k</sub> en fonction de P<sub>k</sub> pour les modes p (suite)</td>
      <td>161</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.55</td>
      <td>&lt;P&#x0307;<sub>k</sub>/P<sub>k</sub>&gt; en fonction de l'âge - Modes p (l=0)</td>
      <td>162</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.56</td>
      <td>&lt;P&#x0307;<sub>k</sub>/P<sub>k</sub>&gt; en fonction de log g et T<sub>eff</sub> - Modes p (l=0)</td>
      <td>164</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.57</td>
      <td>P&#x0307;<sub>k</sub>/P<sub>k</sub> en fonction de la période réduite pour les modes g</td>
      <td>168</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.58</td>
      <td>P&#x0307;<sub>k</sub>/P<sub>k</sub> en fonction de la période réduite pour les modes g (suite)</td>
      <td>169</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.59</td>
      <td>P&#x0307;<sub>k</sub>/P<sub>k</sub> pour le spectre des modes g dans une séquence avec B(C-O/He)=0</td>
      <td>171</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.60</td>
      <td>&lt;P&#x0307;<sub>k</sub>/P<sub>k</sub>&gt; en fonction de l'âge - Modes g (l=2)</td>
      <td>172</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.61</td>
      <td>&lt;P&#x0307;<sub>k</sub>/P<sub>k</sub>&gt; en fonction de log g et T<sub>eff</sub> - Modes g (l=0)</td>
      <td>173</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
Chapitre 4 : Etude Non-Adiabatique – Stabilité des Modes de Pulsation 179

<table><tr><td>4.1</td><td>Intégrale de travail pour un mode du modèle de référence</td><td>183</td></tr><tr><td>4.2</td><td>Profils de l'opacité de Rosseland pour différentes métallicités</td><td>187</td></tr><tr><td>4.3</td><td>Grilles de modèles d'enveloppes à diverses métallicités</td><td>188</td></tr><tr><td>4.4</td><td>Intégrales de travail pour différentes métallicités</td><td>193</td></tr><tr><td>4.5</td><td>Profils d'abondance de fer dans les sdB.</td><td>196</td></tr><tr><td>4.6</td><td>Les sdB pulsantes dans le plan log g - T<sub>eff</sub></td><td>199</td></tr></table>

Chapitre 5 : Nouvelle Etude de Stabilité – Modèles de Seconde Génération 205

<table><tr><td>5.1</td><td>Profils non-uniformes d'abondance de fer.</td><td>214</td></tr><tr><td>5.2</td><td>Illustration des tables d'opacité avec abondances de fer élevées</td><td>217</td></tr><tr><td>5.3</td><td>Profils d'abondance de fer et de l'opacité de Rosseland en fonction de T<sub>eff</sub></td><td>219</td></tr><tr><td>5.4</td><td>Profils d'abondance de fer et de l'opacité de Rosseland en fonction de log g</td><td>220</td></tr><tr><td>5.5</td><td>Comparaison structurelle entre les modèles de référence</td><td>221</td></tr><tr><td>5.6</td><td>Comparaison des fréquences de Brunt-Väisälä et de Lamb</td><td>223</td></tr><tr><td>5.7</td><td>Comparaison entre périodes théoriques et périodes observées.</td><td>226</td></tr><tr><td>5.8</td><td>Intégrale de travail pour un mode instable du modèle de référence</td><td>228</td></tr><tr><td>5.9</td><td>Echantillon de modes p et f dans l'espace log g - T<sub>eff</sub>: Périodes non-adiabatiques</td><td>231</td></tr><tr><td>5.10</td><td>Echantillon de modes acoustiques dans l'espace log g - T<sub>eff</sub>: σ<sub>I</sub> (l=0)</td><td>233</td></tr><tr><td>5.11</td><td>Echantillon de modes p et f dans l'espace log g - T<sub>eff</sub>: σ<sub>I</sub> (l=2)</td><td>234</td></tr><tr><td>5.12</td><td>Spectres des périodes pour les modes p en fonction de T<sub>eff</sub></td><td>236</td></tr><tr><td>5.13</td><td>Spectres des périodes des modes p en fonction de log g</td><td>237</td></tr><tr><td>5.14</td><td>Plan log g - T<sub>eff</sub> – Iso-contours: # de modes instables (l=0).</td><td>239</td></tr><tr><td>5.15</td><td>Plan log g - T<sub>eff</sub> – Iso-contours: # de modes instables (l=1, 2 et 3).</td><td>240</td></tr><tr><td>5.16</td><td>Plan log g - T<sub>eff</sub> – Iso-contours: k<sub>exc</sub>(min)</td><td>243</td></tr><tr><td>5.17</td><td>Plan log g - T<sub>eff</sub> – Iso-contours: k<sub>exc</sub>(max)</td><td>244</td></tr><tr><td>5.18</td><td>Plan log g - T<sub>eff</sub> – Iso-contours: P<sub>exc</sub>(max)</td><td>246</td></tr><tr><td>5.19</td><td>Plan log g - T<sub>eff</sub> – Iso-contours: P<sub>exc</sub>(min)</td><td>247</td></tr><tr><td>5.20</td><td>Plan log g - T<sub>eff</sub> – Iso-contours: &lt;P<sub>exc</sub>&gt;</td><td>248</td></tr><tr><td>5.21</td><td>Plan log g - T<sub>eff</sub> – Iso-contours: ΔP<sub>exc</sub></td><td>249</td></tr><tr><td>5.22</td><td>Plan log g - T<sub>eff</sub> – Iso-contours: max(|σ<sub>I</sub>|)</td><td>251</td></tr><tr><td>5.23</td><td>Comparaison entre périodes théoriques et périodes observées pour PG1047+003</td><td>261</td></tr></table>

Chapitre 6 : Activité Sismique dans les Etoiles en Phase Post-EHB 269

<table><tr><td>6.1</td><td>Chemins évolutifs dans le plan log g - T<sub>eff</sub> pour les phases EHB et post-EHB.</td><td>271</td></tr><tr><td>6.2</td><td>Eléments sur la structure du modèle représentatif des DAO</td><td>274</td></tr></table>
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Remerciements

Pour la bonne conduite de cette thèse, je tiens à exprimer ma gratitude envers mes directeurs de recherche Pierre Brassard, pour son soutien technique, et Gilles Fontaine, dont la clairvoyance, l'enthousiasme et le financement m'ont permis de travailler sur un projet extrêmement stimulant, de le poursuivre avec entrain et de passer quelques années dans la belle province.

Je souhaite également remercier mes compagnons étudiants avec qui j'ai passé de nombreux moments inoubliables. Enfin, merci à tous mes parents et amis, qu'ils fussent au Québec ou en France, pour leur précieux soutien moral durant toutes ces années.
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A mes parents et amis du Québec, de France et d'Ailleurs...
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# Introduction

Des étoiles, nous n'observons généralement que les couches superficielles, celles constituant ce que l'on nomme l'atmosphère, desquelles s'échappe la lumière que nous captons depuis notre position terrestre. Toutes les régions situées en dessous de cette atmosphère, occultées par l'opacité du mélange gazeux qui les surplombe, demeurent ainsi inaccessibles aux observateurs avec les techniques habituelles utilisées en astronomie (principalement la photométrie et la spectroscopie). S'il est, fort heureusement, possible de déduire la structure des couches profondes d'une étoile en s'appuyant sur les lois physiques qui régissent leur stabilité (via la théorie des structures stellaires), la recherche d'opportunités pour contraindre et vérifier ces constructions théoriques de manière plus directe constitue néanmoins une préoccupation importante en astrophysique stellaire.

Depuis environ deux décennies, beaucoup d'espoirs en ce sens ont été projetés sur une discipline émergente à laquelle on se réfère communément sous le nom d'analyse astéroséismologique (ou astéro-séismologie) des étoiles pulsantes. Analogue, dans son principe, à l'étude de la structure terrestre à travers la mesure de son activité sismique, cette branche récente de l'astrophysique affiche l'ambition de sonder les régions profondes des étoiles afin d'en tirer de nouvelles contraintes sur les modèles théoriques censés les représenter. Une condition à l'utilisation de cette technique demeure cependant, et bien naturellement, incontournable: les objets visés doivent nécessairement appartenir à la classe des étoiles variables pulsantes. Ces astres, parce qu'ils sont l'objet de phénomènes vibratoires analogues aux séismes que l'on rencontre sur Terre, entrouvrent une fenêtre sur leur structure interne qui devient accessible pour quiconque est en mesure d'interpréter les signaux qu'ils nous font parvenir à travers les variations, souvent multi-périodiques, de leur luminosité intrinsèque. L'astéroséismologie, dont les fondements s'appuient sur la théorie des pulsations stellaires décrivant les propriétés de ces vibrations en fonction de la structure des étoiles, est alors en mesure de fournir les outils nécessaires à l'interprétation des données issues de cette activité sismique.

Plusieurs catégories d'étoiles pulsantes aux propriétés physiques très diverses sont aujourd'hui répertoriées, démontrant ainsi que le phénomène est loin d'être marginal dans la nature. De plus, celles-ci présentent l'énorme avantage d'échantilloner plusieurs des grandes phases à travers lesquelles évoluent habituellement les étoiles. Il est donc théoriquement possible, avec l'astéroséismologie, de sonder l'intérieur d'objets représentatifs des grandes époques de la vie d'une étoile (séquence principale, branche horizontale, ou encore séquence de refroidissement des naines blanches). En dépit
du nombre relativement important de classes d'étoiles pulsantes connues à ce jour, le caractère généralement fortuit des découvertes qui ont lieu dans ce domaine laisse néanmoins présager que la liste demeure probablement incomplète. Il ne serait donc pas surprenant, à l'avenir, que de nouvelles catégories d'objets pulsants viennent enrichir le parc déjà existant, ouvrant ainsi la voie à l'application des techniques de l'astéroséismologie pour sonder de nouvelles phases de l'évolution stellaire.

Dans cette thèse, nous allons prêter attention à une catégorie d'étoiles qui semblent disposer d'un potentiel intéressant dans ce domaine. Les étoiles sous-naines de type B, appelées également sdB, sont des objets situés à l'extrémité chaude de la branche horizontale. Leur masse est estimée environ à 0.5 fois la masse du soleil ($M_\odot$) alors que leur température de surface (ou température effective) s'élève à plus de 20000 degrés Kelvin pour y demeurer tout au long du processus évolutif. Comme toutes les étoiles de la branche horizontale, leur structure est imposée par un équilibre basé sur la fusion nucléaire de l'hélium dans les régions centrales de l'astre. Le noyau d'hélium, résidu d'une vie antérieure passée sur la séquence principale, est également surmonté d'une enveloppe riche en hydrogène. La différence principale entre les sdB et les autres étoiles de la branche horizontale tient principalement à l'épaisseur de cette enveloppe, très mince et peu massive pour les premières. Leurs histoires évolutives respectives different également puisque les sdB rejoignent directement la séquence de refroidissement des naines blanches sans passer par les phases des géantes rouges (sur la branche asymptotique) et des nébuleuses planétaires habituellement traversées par les objets de la branche horizontale.

Du point de vue de l'observation, les étoiles sous-naines de type B ne montrent, au moment où ce projet est initié (septembre 1994), aucune évidence laissant imaginer que certaines d'entre elles développent une activité sismique. D'un point de vue théorique, elles demeurent néanmoins dignes d'attention puisque l'on retrouve, dans leur structure, certains éléments qui contribuent à rendre pulsantes d'autres catégories d'étoiles. En particulier, l'analogie avec les étoiles naines blanches pulsantes de type DB, dont les oscillations sont excitées par une petite région convective engendrée par l'hélium partiellement ionisé — région qui est également présente dans l'enveloppe des modèles de sdB —, constitue en apparence une indication sérieuse qu'il existe bel et bien un potentiel pour l'astéroséismologie dans ces étoiles. L'évaluation réelle de ce potentiel ne peut toutefois se contenter de simples analogies et il s'avère indispensable d'échafauder une étude quantitative systématique pour clarifier cette question.

La démarche que nous allons employer pour mener à bien cette thèse est inédite dans le domaine des oscillations stellaires et des étoiles variables pulsantes. Nous avons déjà mentionné que ces dernières furent, quasiment sans exception, le fruit de découvertes hasardeuses et, en conséquence, rarement motivées par des considérations théoriques. Nous proposons cette fois-ci une démarche inverse, totalement basée sur des outils théoriques, pour évaluer quantitativement le potentiel que représente l'astéroséismologie appliquée aux étoiles sous-naines de type B, et donc pour déterminer si certaines d'entre elles sont en mesure de développer des pulsations.

Dans ce contexte, et suivant les objectifs que nous nous sommes fixés, nous allons commencer cette étude en présentant plus en détails, au Chapitre 1, les caractéristiques générales de l'ensemble de la classe des étoiles pulsantes afin de définir un peu plus le cadre dans lequel tout ce travail s'inscrit. Nous en profiterons également pour rappeler les grandes lignes de la théorie des pulsations stellaires sur laquelle tous les développements seront construits. Nous présenterons également les instruments
numériques nécessaires à la conduite de ce projet.

Au Chapitre 2, une revue plus poussée des propriétés des étoiles sous-naines de type B, tant d'un point de vue phénoménologique que théorique, sera entreprise. Nous présenterons et comparerons à cet effet les différents types de modèles, évolutifs et statiques, qui seront utilisés pour les calculs de pulsation.

Les premiers résultats théoriques issus des calculs numériques seront présentés au Chapitre 3 suite à une étude exhaustive, basée sur l'approximation des oscillations adiabatiques, des propriétés des modes de pulsation dans ces étoiles. Alors que tout dans ce domaine reste à défricher, l'objectif principal sera d'ériger un filet de connaissances suffisant sur lequel s'appuyer pour comprendre et interpréter les comportements des modes d'oscillation. Nous aborderons des sujets aussi importants que les dépendances des périodes de pulsation vis-à-vis des paramètres physiques des modèles, où encore le couplage entre pulsations et évolution.

Au Chapitre 4, nous entrerons au cœur de cet ouvrage avec la présentation des résultats sur une étude de stabilité visant à évaluer, dans un contexte où aucune sdB pulsante n'était encore annoncée, les possibilités pour que certaines de ces étoiles deviennent instables. Nous présenterons donc les découvertes issues de la recherche d'un mécanisme déstabilisateur efficace et les conditions pour que celui-ci devienne opérant. Enfin, nous énoncerons une prédiction théorique sur la possibilité pour ces étoiles de développer des pulsations; prédictions que nous serons en mesure de comparer à une récente et importante découverte observationnelle de véritables sdB pulsantes.

Nous présenterons par la suite une seconde étude de stabilité appliquée sur des modèles plus sophistiqués d'étoiles sous-naines de type B destinés à prendre en compte, de manière plus réaliste, les processus physiques importants qui interviennent dans le mécanisme identifié. Les résultats de ces nouveaux calculs seront ensuite confrontés aux réalités des observations afin d'établir les succès, mais aussi les limites, des représentations théoriques que nous avons utilisées dans cette étude. Nous discuterons également brièvement des implications et des perspectives dressées par ces résultats concernant l'étude astéroséismologique de ces objets.

Enfin, au Chapitre 6, nous étendrons l'étude de stabilité au delà de la phase évolutive correspondant aux étoiles sous-naines de type B. Les phases ultérieures seront explorées jusqu'à la séquence de refroidissement des naines blanches pour tenter de mettre en évidence, le cas échéant, une nouvelle classe d'étoiles pulsantes dans cette phase peu connue de l'évolution stellaire.
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# Partie I

## Astéroséismologie
et
Etoiles Sous-Naines
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# Chapitre 1

## Les Etoiles Variables Pulsantes
Théorie des Oscillations Stellaires

### 1.1 Introduction

L'étude scientifique des étoiles variables, ces objets dont l'éclat lumineux perçu depuis la Terre est changeant au cours du temps, constitue un champs relativement nouveau de l'astrophysique moderne. Si les premières observations recensées sont assez anciennes, c'est véritablement au cours des XIXᵉme et XXᵉme siècles que les bases physiques sous-jacentes aux phénomènes donnant lieu à ces variations de brillance ont pu être identifiées. Il est alors rapidement devenu clair que, sous l'étiquette d'étoiles variables, se cachaient une multitude de processus physiques aux origines très diverses. Ce n'est pas vraiment le propos de cet ouvrage, quoique plusieurs exemples soient cités dans les prémices de la section 1.2, de recencer et de présenter les différentes catégories d'étoiles variables connues à ce jour. Cependant, l'une d'entre elle, la catégorie des étoiles pulsantes, mérite néanmoins notre attention puisque toute cette étude sur le potentiel de l'astéroséismologie pour les étoiles sous-naines de type B va s'appuyer sur l'expérience et les développements théoriques acquis au fil des années sur ce type d'objets. Il est donc primordial, et c'est l'objectif de ce chapitre, d'introduire le contexte et les aspects fondamentaux qui accompagnent la physique des étoiles variables pulsantes.

En premier lieu, il sera utile de s'attarder sur l'état général des connaissances accumulées sur les étoiles pulsantes. La section 1.2 fournira donc l'occasion de rappeler quelques faits importants relatifs aux divers types d'astres constituant cette classe d'objets stellaires pulsants ainsi qu'aux principaux aspects théoriques qui nous permettent de les comprendre.
Par la suite, les fondements de la théorie des pulsations stellaires seront présentés de façon plus formelle dans la section 1.3. Le cheminement de base, menant aux équations d’oscillation, qui autorise ensuite l’étude théorique de cette catégorie d’étoiles sera introduit à cette occasion.

Dans la section 1.4, nous nous attarderons sur un traitement approximatif des équations de la théorie des pulsations stellaires. Celui-ci, identifié sous le nom d’approximation adiabatique, s’avère, la plupart du temps, très utile et suffisamment précis pour étudier convenablement les propriétés des vibrations dans les étoiles.

L'approximation adiabatique ne permet pas, en revanche, de préciser sur des bases théoriques l'évolution des oscillations au cours du temps, en particulier pour ce qui touche à l'amortissement ou au développement des amplitudes de vibration. Puisque l'un des objectifs de cette étude est justement d'évaluer les possibilités de croissance des amplitudes d'oscillation dans les étoiles sous-naines de type B, le traitement complet, non-adiabatique, des équations de la théorie des pulsations stellaires sera abordé dans la section 1.5.

## 1.2 Naissance d'une théorie - Les étoiles pulsantes

Il est connu depuis très longtemps que certains objets de notre ciel ont un éclat qui varie de façon périodique au cours du temps. Algol<fnref n="1" /> (β Per) et Mira<fnref n="2" /> (o Ceti) en sont les plus anciens et illustres exemples. Une multitude de phénomènes sont en mesure d'induire des variations de luminosité chez une étoile. Par exemple si celle-ci est membre d'un système binaire à éclipse, la variabilité résultera d'une occultation périodique de l'une ou l'autre des composantes (Algol appartient à cette catégorie). Ou bien, s'il s'agit d'une nova récurrente (variable cataclysmique), les variations dépendront de la succession plus ou moins régulière de phases éruptives et de phases plus calmes. Toutefois, pour bon nombre de ces objets (c'est le cas pour Mira), la variabilité résulte d'un comportement physique intrinsèque à l'étoile – par opposition à l'origine géométrique des variations dans les binaires éclipsantes – étroitement lié à sa structure interne (une proposition avancée dès la deuxième moitié du XIXᵉ siècle par Ritter, 1879). Cette idée conduisit à la formulation de la théorie des pulsations stellaires qui permet, aujourd'hui, de rendre compte de la quasi-totalité des observations modernes concernant cette catégorie d'étoiles variables auxquelles on se réfère sous le nom d'étoiles pulsantes.

### 1.2.1 La physique des pulsations stellaires

La théorie des pulsations stellaires fut développée essentiellement dans la première moitié du XXᵉ siècle (c.f., les revues de Rosseland, 1949 et Ledoux & Walraven, 1958 au sujet de ces premières contributions théoriques). Cependant, il aura fallu attendre les années 60 et l'avènement de l'ère informatique pour identifier les mécanismes physiques responsables des pulsations dans certaines étoiles (c.f., la revue de Cox, 1974 sur cette période de l'histoire de l'astéroséismologie).

<footnote n="1">¹Les astronomers arabes avaient probablement déjà remarqué sa variabilité dès le moyen-age.</footnote>

<footnote n="2">²Sa variabilité fut découverte par Fabricus en 1536.</footnote>
Selon cette théorie, une étoile, comme tout système mécanique, a la possibilité de vibrer ou d'osciller dans certains modes particuliers possédant chacun une fréquence propre. On parle alors des modes propres d'oscillations de l'étoile qui sont parfaitement analogues aux modes propres observés, par exemple, dans un système de pendules couplés entre eux par des ressorts. Bien sûr, une étoile est un système bien plus complexe que celui des pendules mais surtout, il s'agit d'un système qui peut osciller en trois dimensions autour d'une position d'équilibre possédant une symétrie sphérique (dans le cas généralement utilisé, par souci de simplicité, où l'on considère que la rotation et les champs magnétiques ne brisent pas la sphéricité de l'étoile). Dans ces conditions, il est possible de définir deux types de modes de pulsation: les modes radiaux et les modes non-radiaux. Cette dichotomie ne possède cependant aucun sens physique réel puisque, comme nous le verrons prochainement plus en détails, les pulsations radiales sont un cas particulier des pulsations non-radiales. La raison de cette distinction est plutôt de nature historique car les premières étoiles pulsantes découvertes étaient toutes des pulsateurs radiaux.

Un mode radial est ce qu'il y a de plus facile à imaginer comme oscillation pour un système sphérique. Il s'agit simplement d'un mouvement périodique de contraction puis de dilatation de toute la sphère (l'étoile) autour de l'état d'équilibre. Ainsi, l'étoile change de volume tout en gardant sa forme sphérique; un peu comme le mouvement régulier d'une respiration. La théorie des pulsations radiales est largement développée dans le livre de Cox, 1980. Par opposition, les modes oscillatoires non-radiaux ne conservent pas cette symétrie sphérique et l'étoile subit plutôt des déformations de surface possédant différentes phases selon leur position angulaire. Les pulsations non-radiales ressemblent, en quelque sorte, à des creux et des bosses qui se propagent horizontalement à la surface de l'astre<fnref n="3" />. Une formulation complète et rigoureuse de la théorie des pulsations non-radiales est dispensée dans le livre de Unno et al., 1989. Qualitativement, pour réaliser que les pulsations radiales sont un cas particulier des pulsations non-radiales, il suffit d'imaginer un mode radial comme un creux (ou une bosse) qui, à un temps donné, couvre toute la surface de l'étoile.

Une classification plus physique de la nature des modes peut se faire en fonction du type de force de rappel qui entre en jeu dans les oscillations. Lorsque cette force de rappel est la gravité (comme c'est le cas, par exemple, pour les vagues à la surface de l'océan), il s'agit alors de modes g. Lorsque c'est la pression (comme pour les ondes sonores), on parle de modes acoustiques ou modes p. Il existe une troisième catégorie constituée en fait d'un mode unique, le mode fondamental (mode f), qui possède un caractère hybride entre les modes p et les modes g. La théorie montre que les pulsations radiales sont obligatoirement des modes acoustiques et, par conséquent, que les ondes de gravité (modes g) sont nécessairement non-radiales.

Pour qu'une étoile développe ce genre de pulsations, un mécanisme déstabilisateur est indis-
pensable afin d'entretenir les oscillations du système. Tout le problème de la stabilité des modes réside
dans la façon dont le flux d'énergie est modulé au cours d'un cycle de pulsation. Pour engendrer une
instabilité, cette modulation doit être telle que les régions oscillantes absorbent de l'énergie lorsqu'elles
sont au maximum de compression et qu'elles en perdent à l'apogée de la phase d'expansion. Ce phasage
particulier entraîne l'accroissement de l'amplitude des oscillations à chaque cycle, et donc provoque
une instabilité (excitation). Dans la situation inverse où l'énergie est perdue au maximum et gagnée au

<footnote n="3">³Il est important toutefois de garder à l'esprit que si ces oscillations ont l'apparence d'ondes de surface, c'est néanmoins toute l'étoile qui est en vibration.</footnote>
minimum de la compression, la tendance est alors à l'amortissement des oscillations, et donc conduit
à la stabilité. Dans une étoile, les conditions physiques varient beaucoup d'un endroit à l'autre et les
régions d'excitation alternent avec les régions d'amortissement. La stabilité globale d'un mode dépend
donc de la balance entre ces deux phénomènes antagonistes.

Les conditions propices à la déstabilisation des modes proviennent généralement d'un jeu d'opa-
cité favorable (les mécanismes $\kappa$ et $\gamma$) que l'on retrouve très souvent dans les enveloppes stellaires où des
processus d'ionisation partielle des principaux constituants du gaz (par exemple, l'hydrogène, l'hélium,
etc...) se produisent. Les réactions nucléaires ont aussi le potentiel pour déstabiliser l'étoile puisque
les taux des réactions atteignent un maximum lorsque la compression est maximale (mécanisme $\epsilon$).
Cependant, en pratique, ce mécanisme s'avère très souvent inefficace car les régions de combustion
nucléaire (régions centrales ou de brûlage en couche) sont généralement situées bien trop en profondeur
dans l'étoile, là où les oscillations se font sans échanges d'énergie (régions fortement adiabatiques) et
où leurs amplitudes relatives sont habituellement faibles.

Une approche plus rigoureuse et plus complète de la théorie des pulsations non-radiales sera, bien entendu, proposée au cours des sections qui vont suivre. Toutefois, comme le but ici n'est pas de traiter en profondeur de cette théorie (ce qui augmenterait considérablement le volume de cette thèse), la présentation des équations fondamentales sera généralement succinte et orientée en fonction des besoins auxquels nous seront plus tard confrontés. Les détails sur cette théorie sont néanmoins disponibles dans les livres de Unno et al., 1989 et Cox, 1980 qui demeurent les deux principaux ouvrages de référence dans ce domaine.

1.2.2 Différents types d'étoiles pulsantes

D'un point de vue phénoménologique, la classe des étoiles variables pulsantes est composée
d'une gamme de caractères empreinte d'une grande diversité. Les variations de luminosité que l'on
peut observer couvrent un vaste domaine en terme des périodes, allant de l'ordre de la minute ou
dizaine de minutes, par exemple pour le soleil et les naines blanches, jusqu'à plusieurs centaines de
jours pour les variables à longues périodes. De plus, ces étoiles pulsantes sont parfois mono-périodiques
(un seul mode visible), parfois multi-périodiques (superposition de plusieurs modes). Selon les cas, elles
oscillent radialement et/ou non-radialement; montrent des modes p, des modes g ou bien les deux à la
fois avec des amplitudes qui restent généralement faibles (sauf pour certains objets pulsants particuliers
dits à grande amplitude).

Lorsque l'on examine l'ensemble des étoiles pulsantes connues à ce jour, on s'aperçoit qu'elles
occupent des régions bien spécifiques distribuées un peu partout dans le diagramme HR (voir la figure
1.1). Une région délimitée par les lignes pointillés et qui porte le nom de bande d'instabilité classique,
englobe quatre types majeurs d'étoiles pulsantes:

* À haute luminosité, les Céphéides forment un groupe important dont l'utilité comme indicateurs de distance n'est plus à démontrer. Ce sont des étoiles de masse intermédiaire ($M \sim 10 M_\odot$) qui pulsent dans un, parfois deux modes radiaux (le fondamental et éventuellement le premier harmonique). Les périodes sont typiquement de quelques dizaines de jours dépendant de la masse de l'étoile (la relation période-luminosité).
• Les étoiles RR Lyrae qui appartiennent à la branche horizontale ($M \sim 1 M_\odot$) et qui sont également des pulsateurs radiaux avec des périodes typiques de l'ordre de quelques heures.

• Les $\delta$ Scutti, sur la séquence principale, subissent à la fois des pulsations radiales et non-radiales. Les modes p et g sont observables en même temps avec des périodes de l'ordre de l'heure. A ce jour, ce sont les étoiles qui montrent la plus grande diversité de modes.

• Enfin, à très faible luminosité se trouvent les étoiles naines blanches variables riches en hydrogène (les DAV ou ZZ Ceti) pour lesquelles seuls les modes g (non-radiaux) sont observés à des périodes typiques de quelques centaines de secondes.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 1.1: Les différentes classes d'étoiles variables pulsantes (représentées par les points noirs) dans le diagramme HR (d'après Gautschy & Saio, 1995). Comme points de repère, les tracés théoriques de la séquence principale (trait gras) et de plusieurs chemins évolutifs importants (RGB, post-AGB, étoiles massives de la séquence principale et séquence de refroidissement des naines blanches) sont indiqués. Les détails concernant la figure sont dispensés dans le texte.</figcaption></figure>

Le mécanisme de déstabilisation, relié au comportement de l'opacité dans la région d'ionisation partielle de l'hydrogène (mécanisme $\kappa$), est le facteur commun à ces quatre catégories d'étoiles par ailleurs très dissemblables par leur structure interne et leurs propriétés sismiques. C'est l'efficacité de ce mécanisme $\kappa$ associé à l'hydrogène qui définit la bande d'instabilité classique. À droite de cette bande, vers les températures plus froides, se trouvent:
* Les variables de type Mira (M) et les étoiles rouges à longues périodes semi-régulières (SR) qui sont des objets au sommet de la branche asymptotique (AGB) sur le point d'éjecter leur enveloppe pour former des nébuleuses planétaires (PN). Les pulsations dans ces étoiles sont probablement radiales et de fortes amplitudes (contrairement à la majorité des étoiles pulsantes).

* Le Soleil, sur la séquence principale, indiqué par un ⊙, est un objet un peu particulier puisque c'est la seule étoile pour laquelle la surface est complètement et précisément résolue. Le Soleil est une variable pulsante et montre une multitude de modes acoustiques non-radiaux de très faibles amplitudes possiblement excités par la zone de convection en surface (le bruit du bouillonnement convectif, en quelque sorte). Les périodes typiques sont de l'ordre de cinq minutes. Le Soleil est le seul pulsateur de ce type connu à ce jour puisque les modes observés sont, avec les moyens actuels, indétectables à la distance où se trouvent les autres étoiles. Il forme donc à lui tout seul une classe à part étudiée par une branche spéciale de l'astéroséismologie que l'on nomme l'hélioséismologie.

La partie plus chaude de ce diagramme HR, donc à gauche de la bande d'instabilité classique, est peuplée d'une multitude de différentes classes d'étoiles pulsantes. Parmi celles-ci, on peut noter l'existence de deux autres classes de naines blanches variables:

* Les naines blanches pulsantes riches en hélium (DBV) qui, comme leurs homologues DAV, montrent un spectre de modes g (pulsations non-radiales) avec des périodes entre 100 et 1000 secondes. Le mécanisme $\kappa$ associé à l'ionisation partielle de l'He$_{II}$/He$_{III}$ serait responsable de la déstabilisation de ces modes (Winget et al., 1983).

* Les naines blanches variables chaudes (DOV ou PG 1159, d'après le prototype), au sommet de la séquence de refroidissement, oscillent aussi dans les modes g avec des périodes du même ordre de grandeur que celles des DBV et DAV. Le mécanisme d'excitation, compte tenu de la température effective élevée de ces objets, est cette fois associé à l'ionisation partielle de l'oxygène et du carbone. On trouve également, dans ces régions du diagramme HR, certains noyaux de nébuleuses planétaires variables (PNNV) dont la structure est très proche de celle des DOV.

Sur la séquence principale et à hautes luminosités, plusieurs autres classes d'étoiles pulsantes sont répertoriées:

* Les étoiles O-B pulsantes (les $\beta$ Céphéides, les SPB (Slowly Pulsating Blue Stars) et les étoiles Be) dont les périodes sont typiquement de quelques heures. Dans ces étoiles, l'effet déstabilisateur serait, cette fois, associé à un mécanisme $\kappa$ lié à une région d'ionisation partielle du fer (appelé également le mécanisme "Z-bump"); voir, par exemple, Gautschy & Saio, 1993).

* Dans la catégorie supergéantes, les LBV (Luminous Blue Variables) et certaines étoiles Wolf-Rayet (WR) seraient également des variables pulsantes; cela reste cependant à confirmer.

Cette liste, qui reflète les connaissances du moment, pourrait très bien se grossir de nouvelles classes d'étoiles pulsantes ayant, pour l'heure, échappé à l'oeil des observateurs. Cette simple énumération, même si elle est probablement incomplète à ce jour, montre bien cependant que le phénomène des pulsations stellaires est largement répandu dans la nature et qu'il est observé pour un grand nombre de phases majeures de l'évolution stellaire.
### 1.2.3 L'astéroséismologie

L'astéroséismologie s'emploie à étudier, en s'appuyant sur la théorie des pulsations stellaires, les variations périodiques de luminosité que l'on observe dans les étoiles pulsantes. Au même titre que la séismologie terrestre nous renseigne sur la structure profonde de notre planète, elle nous offre une chance unique de sonder les intérieurs stellaires d'objets occupant divers stades de l'évolution. L'utilisation de cette technique a déjà porté ses fruits avec l'hélioséismologie qui se spécialise dans l'étude de notre Soleil. L'astéroséismologie appliquée sur d'autres étoiles, malgré une accessibilité aux données plus limitée (le disque d'une étoile éloignée ne peut pas, en général, être résolu depuis notre position terrestre), a dévoilé un potentiel intéressant notamment en ce qui concerne l'étude de la structure des naines blanches. Toutefois, cette méthode demeure encore en pleine jeunesse (son essor a commencé il y a seulement une quinzaine d'années) et beaucoup de choses restent à explorer dans ce domaine de l'astrophysique stellaire.

## 1.3 Théorie des pulsations stellaires

L'un des piliers de l'astéroséismologie est, comme nous l'avons déjà mentionné à plusieurs reprises, la théorie des pulsations stellaires. C'est également en partie sur celle-ci que nous allons appuyer l'ensemble des évaluations théoriques qui seront présentées dans cette étude. Un rappel des grandes lignes de la théorie des pulsations, ainsi qu'une courte description du code de résolution des équations de pulsation utilisé s'àvèrent donc indispensables. Mentionnons que tous les détails théoriques en rapport avec ce sujet sont disponibles aussi bien dans le livre de Unno et al., 1989: "Nonradial Pulsations of Stars" que dans celui de Cox, 1980: "Theory of Stellar Pulsations", qui sont les deux principaux ouvrages de référence en théorie des pulsations stellaires (voir également Brassard, 1991).

### 1.3.1 Les équations de base

Une étoile est un système auto-gravitant, constitué d'un mélange gazeux, dont la structure obéit aux lois de la thermodynamique et de la dynamique des fluides. Le système est donc gouverné par un ensemble d'équations traduisant, respectivement, la conservation de la masse (ou équation de continuité; voir, par exemple, Cox & Giuli, 1968)

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot (\rho \vec{v}) = 0, \qquad (1.1) $$

la conservation de l'énergie

$$ \rho T \left( \frac{\partial}{\partial t} + \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) S = \rho \epsilon_N - \vec{\nabla} \cdot \vec{F}_R , \qquad (1.2) $$

les lois de la mécanique Newtonienne pour les fluides (équation de Navier-Stokes)

$$ \rho \left( \frac{\partial}{\partial t} + \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{v} = -\vec{\nabla} P - \rho \vec{\nabla} \Phi , \qquad (1.3) $$
et l'équation de Poisson qui relie le champ gravitationnel à la distribution de matière

$$ \vec{\nabla}^2 \Phi = 4\pi G\rho . \qquad (1.4) $$

Tous les symboles possèdent ici leur sens habituel, à savoir: $\rho$, la densité du gaz; $T$, la température; $S$, l'entropie; $P$, la pression; $\epsilon_N$, le taux d'énergie produite par réactions nucléaires; $F_R$, le flux d'énergie radiative; $\Phi$ le potentiel gravitationnel; et $\vec{v}$, le champ de vitesse du fluide. Il est à noter que dans cette formulation, tous les termes relatifs à la convection, les turbulences (frictions et viscosités) ainsi que toutes les forces susceptibles d'apparaître suite à la rotation de l'étoile (forces inertielles) et à la présence éventuelle de champs magnétiques (forces électromagnétiques), ont explicitement été négligés. En théorie standard des pulsations, l'étoile est supposée sans rotation ni champ magnétique pour des raisons de simplicité. Ceux-ci peuvent être incorporés par la suite comme de faibles perturbations des solutions ainsi calculées (c.f., section 1.4.2). Le traitement de la convection s'avère, quant à lui, délicat dans le contexte des pulsations et le problème est généralement éludé en négligeant toute perturbation des quantités convectives (on dit alors que la convection est gelée; "frozen convection approximation"). Cette approximation n'a, à priori, aucune légitimité d'ordre physique. Toutefois, pour les objets qui vont nous intéresser, elle est certainement acceptable compte tenu du fait que l'énergie est essentiellement transportée par radiation dans les sdB (hormis au centre de l'étoile, ou les oscillations sont habituellement de faibles amplitudes, et dans une région très étroite proche de la surface; c.f., Chapitre 2).

A ces quatre équations viennent se greffer deux autres relations qui permettent de fermer le système. La première est l'équation d'état qui relie la pression à la température et à la densité du gaz (de forme rarement analytique). La deuxième est affiliée au transfert de l'énergie dans l'étoile (transfert radiatif et/ou conductif). Dans un milieu optiquement épais, comme c'est le cas dans les intérieurs stellaires, ce transfert d'énergie s'écrit, dans l'approximation de diffusion,

$$ \vec{F}_R = -K \vec{\nabla} T \quad \text{avec} \quad K = \frac{4ac}{3\kappa\rho} T^3 . \qquad (1.5) $$

Dans ce système d'équations, l'opacité $\kappa$ et le taux d'énergie libérée par les réactions nucléaires $\epsilon_N$ sont des fonctions de la densité, de la température et de la composition chimique du gaz auxquelles ont peut accéder à travers les tables appropriées.

Ces six équations sont à la base de la formulation du problème concernant les structures stellaires. Elles constituent également les fondements mathématiques pour décrire les phénomènes de pulsation dans les étoiles.

### 1.3.2 Equilibre hydrostatique

Ce système admet une solution, dite à l'équilibre hydrostatique, pour laquelle les quantités décrivant la structure de l'étoile ($\rho, P, T$, etc ...) ne dépendent pas du temps. En annulant toutes les dérivées temporelles et en imposant $\vec{v} = \vec{0}$ (on ne considère pas la rotation éventuelle de l'étoile), les équations (1.1) à (1.5) se réduisent à

$$ -\vec{\nabla} P_0 - \rho_0 \vec{\nabla} \Phi_0 = \vec{0} \qquad (1.6) $$
$$ \rho_0 \epsilon_{N,0} - \vec{\nabla} \cdot \vec{F}_0 = 0 \qquad (1.7) $$

$$ \vec{\nabla}^2 \Phi_0 - 4\pi G \rho_0 = 0 \qquad (1.8) $$

$$ \vec{F}_0 + K_0 \vec{\nabla} T_0 = \vec{0} ; \qquad (1.9) $$

où l'indice “0” met en valeur le fait qu'il s'agisse de quantités décrivant un système en équilibre *statique*. Les relations (1.6) à (1.9) ne représentent, en fait, rien d'autre que le système d'équations décrivant la structure stellaire à l'équilibre hydrostatique. Une formulation plus familière correspondant à un système à symétrie sphérique (les variables ne dépendent que de $r$ dans le système de coordonnées sphériques $r, \theta, \phi$) est

$$ \frac{dP}{dr} = -\rho g \quad \text{où} \quad g = \vec{\nabla} \Phi_0 = \frac{d\Phi_0}{dr} = \frac{GM_r}{r^2} \qquad (1.10) $$

$$ \frac{dL_r}{dr} = 4\pi r^2 \rho \epsilon_N \quad \text{avec} \quad L_r = 4\pi r^2 F_r \qquad (1.11) $$

$$ \frac{dM_r}{dr} = 4\pi r^2 \rho \qquad (1.12) $$

$$ \frac{dT}{dr} = - \frac{3\kappa \rho L_r}{4acT^3 4\pi r^2} . \qquad (1.13) $$

La solution de ces équations constitue ce que l'on appelle, en théorie des pulsations, la solution non-perturbée du système. Obtenir cette solution est du ressort de la théorie des structures stellaires et les modèles de sdB que nous décrirons au Chapitre 2 constitueront pour nous cette solution non-perturbée.

### 1.3.3 Equations d'oscillation - Linéarisation

Le système contient également des solutions stables en équilibre non-statique, c'est-à-dire dépendantes du temps. Toutefois, en raison de la non-linéarité des équations hydrodynamiques, la détermination de ces solutions générales est une tâche particulièrement complexe. Heureusement, dans la nature, les étoiles pulsantes subissent rarement des déformations de grande amplitude. Il est donc possible d'aborder le problème en superposant de petites perturbations sur les quantités évaluées à l'équilibre hydrostatique puis le simplifier en linéarisant les équations ainsi obtenues.

Il existe deux façons équivalentes pour décrire ces perturbations. La formulation Eulerienne considère chaque quantité physique comme une variable de champ évaluée en chaque point $\vec{r}, t$. Une quantité quelconque $f$ peut alors s'écrire

$$ f(\vec{r}, t) = f_0(\vec{r}, t) + f'(\vec{r}, t) ; \qquad (1.14) $$

où $f'(\vec{r}, t)$ représente la perturbation Eulerienne appliquée sur la quantité non-perturbée $f_0(\vec{r}, t)$. Avec la deuxième approche, on cherche plutôt à suivre un élément particulier du fluide. C'est la formulation Lagrangienne dans laquelle la même quantité $f$ peut s'écrire

$$ f(\vec{r}, t) = f_0(\vec{r}_0, t) + \delta f(\vec{r}, t) . \qquad (1.15) $$
Cette fois-ci, la perturbation Lagrangienne $\delta f(\vec{r}, t)$ a déplacé l'élément du fluide de la position à l'équilibre $\vec{r}_0$ vers une nouvelle position $\vec{r}$. Ici donc, $\vec{r}$ et $t$ ne sont plus des paramètres indépendants, comme c'était auparavant le cas avec la formulation Eulerienne. En fait, le vecteur déplacement $\vec{\xi} \equiv \delta\vec{r} = \vec{r} - \vec{r}_0$, est lui même une quantité Lagrangienne. Ces deux formulations étant équivalentes, il existe une transformation qui permet de passer de l'une vers l'autre. Nous voyons immédiatement de (1.14) et (1.15) que cette relation prend la forme

$$ \delta f(\vec{r}, t) = f'(\vec{r}, t) + [f_0(\vec{r}, t) - f_0(\vec{r}_0, t)] . \qquad (1.16) $$

Lorsque l'on s'intéresse au cas des petites perturbations ($f'/f_0 \ll 1$ et $\delta f/f_0 \ll 1$), le déplacement Lagrangien $\vec{\xi}$ devient également une quantité petite et il est possible de développer en série de Taylor, au premier ordre, la partie entre crochets de l'équation (1.16)

$$ f_0(\vec{r}, t) - f_0(\vec{r}_0, t) = f_0(\vec{r}, t) - f_0(\vec{r} - \vec{\xi}, t) \qquad (1.17) $$

$$ = \vec{\xi} \cdot \vec{\nabla} f_0(\vec{r}, t) + \vartheta(\xi^2) . \qquad (1.18) $$

La relation entre perturbations Euleriennes et Lagrangiennes devient alors

$$ \delta f(\vec{r}, t) \approx f'(\vec{r}, t) + \vec{\xi} \cdot \vec{\nabla} f_0(\vec{r}, t) . \qquad (1.19) $$

La procédure consiste ensuite à introduire dans les équations (1.1) à (1.5) l'équivalent, pour chaque quantité physique, de (1.14) et/ou (1.15) en ne gardant que les termes au premier ordre en $f'$ et/ou $\delta f$. En ce faisant, les termes non-perturbés disparaissent en raison des relations (1.6) à (1.9) et on obtient un système d'équations différentielles linéaires dont les variables sont les perturbations Euleriennes ou Lagrangiennes des quantités physiques. Les coefficients de ces équations sont des fonctions des quantités non-perturbées qui, pour une étoile à symétrie sphérique, ne dépendent que de la variable radiale $r$. Ceci permet de réduire le système en séparant les variables $r, \theta, \phi$ et $t$. On remarque alors, après séparation des variables, que les quantités perturbées s'écrivent sous la forme

$$ f'_{klm}(r, \theta, \phi, t) = f'_{kl}(r) Y_m^l(\theta, \phi) e^{i\sigma_{kl}t} \quad \text{et} \quad \delta f_{klm}(r, \theta, \phi, t) = \delta f_{kl}(r) Y_m^l(\theta, \phi) e^{i\sigma_{kl}t} \qquad (1.20) $$

où $\sigma_{kl}$ est une constante (la fréquence d'oscillation), et $Y_m^l(\theta, \phi)$ symbolise une harmonique sphérique ($l$ est un entier positif ou nul et $m$ est un entier compris entre $-l$ et $+l$). La forme exprimée en (1.20) représente un mode normal du système d'équations. Il est caractérisé par les indices non-radiaux $l$ et $m$, par un indice radial $k$ qui provient des équations sur la variable $r$ considérées avec leurs conditions aux frontières (voir plus loin), ainsi que par sa fréquence propre $\sigma_{kl}$ et son vecteur propre$^4 f'_{kl}(r)$. Dans la situation où $l=0$, l'harmonique sphérique $Y_0^l(\theta, \phi)$ est une constante et les perturbations ne dépendent pas des variables angulaires $\theta$ et $\phi$. Les pulsations sont alors radiales et il s'agit donc bien d'un cas particulier des pulsations non-radiales. Les équations étant par construction linéaires, la solution générale du système sera donc une combinaison linéaire de plusieurs modes propres (on parle alors de superposition de modes), chacun possédant sa fréquence propre:

$$ f'(r, \theta, \phi, t) = \sum_{k,l,m} \alpha_{klm} f'_{klm}(r, \theta, \phi, t) = \sum_{k,l,m} \alpha_{klm} f'_{kl}(r) Y_m^l(\theta, \phi) e^{i\sigma_{kl}t} , \qquad (1.21) $$

<footnote>$^4$En l'absence de rotation et de champ magnétique, on s'aperçoit que ces deux dernières quantités ne dépendent pas de l'indice $m$. Le mode avec la fréquence propre $\sigma_{kl}$ est donc dégénéré $2l + 1$ fois.</footnote>
où $\alpha_{klm}$ représente un coefficient arbitraire — dont la valeur peut tout à fait être nulle — relié à l'amplitude du mode d'indices $k, l$ et $m$ (amplitude qui ne peut être déterminée physiquement à partir de la théorie linéaire).

Une fois les variables du système séparées, les quantités qui restent à déterminer sont les fréquences des modes propres ainsi que leurs vecteurs propres. Cette information est incluse dans le système des 6 équations d'oscillation auxquelles on aboutit par cette procédure:

$$ \frac{1}{\rho} \frac{dP'}{dr} + \frac{g}{\rho c_s^2} P' + (N^2 - \sigma^2)\xi_r + \frac{d\Phi'}{dr} = g \nabla_{\text{ad}} \frac{\rho T}{P} \delta S \quad (1.22) $$

$$ \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} (r^2 \xi_r) + \frac{1}{\Gamma_1} \frac{d \ln P}{dr} \xi_r + \left(1 - \frac{L_l^2}{\sigma^2}\right) \frac{P'}{\rho c_s^2} - \frac{l(l+1)}{\sigma^2 r^2} \Phi' = \nabla_{\text{ad}} \frac{\rho T}{P} \delta S \quad (1.23) $$

$$ \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{d\Phi'}{dr} \right) - \frac{l(l+1)}{r^2} \Phi' - 4\pi G \rho \left( \frac{P'}{\rho c_s^2} + \frac{N^2}{g} \xi_r \right) = -4\pi G \nabla_{\text{ad}} \frac{\rho^2 T}{P} \delta S \quad (1.24) $$

$$ K \frac{dT'}{dr} = -F'_r - K' \frac{dT}{dr} \quad (1.25) $$

$$ i\sigma\rho T \delta S = (\rho\epsilon_N)' - \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} (r^2 F'_r) - \frac{l(l+1)}{r^2} KT' \quad (1.26) $$

$$ \frac{\delta T}{T} = \frac{\Gamma_2 - 1}{\Gamma_2} \frac{\delta P}{P} + \frac{\delta S}{C_p} \quad (1.27) $$

pour les 6 inconnues du problème: $P'(r)$ ou $\delta P(r)$, $\xi_r(r)$, $\Phi'(r)$, $\delta S(r)$, $T'(r)$ ou $\delta T(r)$, et $F'_r(r)$. Ici, $F'_r(r)$ est la composante radiale de la perturbation sur le flux radiatif et $\xi_r(r)$ est la composante radiale du vecteur déplacement Lagrangien

$$ \vec{\xi} = \left[ \xi_r(r), \xi_h(r) \frac{\partial}{\partial \theta}, \xi_h(r) \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \right] Y_m^l(\theta, \phi) e^{i\sigma t} \quad \text{où} \quad \xi_h(r) = \frac{1}{\sigma^2 r} \left( \frac{P'}{\rho} + \Phi' \right) . \quad (1.28) $$

Parmi les fonctions qui constituent les coefficients de ces équations différentielles, on retrouve une batterie de quantités thermodynamiques (comme, par exemple, $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\nabla_{\text{ad}}$, etc...) que l'on trouve définies dans tout bon livre de thermodynamique (par exemple, Reif, 1965). Notons également que les indices “0” indiquant les quantités à l'équilibre ont été supprimés par commodité d'écriture. Il n'y a cependant aucune ambiguïté avec cette notation si l'on garde à l'esprit, par exemple, que $\rho=\rho_0$ dans ce contexte.

Dans ces équations, apparaissent deux quantités particulièrement importantes pour les pulsations et auxquelles on fera référence par la suite. Il s'agit, primo, de la fréquence de Brunt-Väisälä

$$ N^2 \equiv g \left( \frac{1}{\Gamma_1} \frac{d \ln P}{dr} - \frac{d \ln \rho}{dr} \right) \quad (1.29) $$

qui peut aussi s'exprimer en terme des gradients de température réel ($\nabla$) et adiabatique ($\nabla_{\text{ad}}$) accompagnés d'un terme $B$ (appelé terme de Ledoux) décrivant la contribution d'éventuels gradients de
composition chimique dans l'étoile (une forme plus commode à manipuler numériquement; voir la discussion dans Brassard et al., 1992b):

$$N^2 = \frac{g^2 \rho \chi_T}{P \chi_\rho} (\nabla_{\text{ad}} - \nabla + B); \quad B \equiv -\frac{1}{\chi_T} \sum_{i=1}^{N_c-1} \chi_{x_i} \frac{d \ln X_i}{d \ln P} \quad \text{et} \quad \chi_{x_i} = \left( \frac{\partial \ln P}{\partial \ln X_i} \right)_{\rho,T,\{X_j \neq i\}} \quad (1.30)$$

où $N_c$ est le nombre d'espèces chimiques présentes dans le gaz (la somme se fait sur $N_c - 1$ espèces indépendantes en raison de la contrainte $\sum_{i=1}^{N_c} X_i = 1$; $X_i$ étant la fraction de masse du i-ème élément). La seconde quantité fondamentale est la fréquence de Lamb définie, en fonction de la vitesse adiabatique locale du son $c_s(r)$, par

$$L_l^2 \equiv \frac{l(l+1)c_s^2}{r^2} \quad \text{avec} \quad c_s^2 = \frac{\Gamma_1 P}{\rho} . \qquad (1.31)$$

On peut également noter qu'en raison du terme imaginaire présent dans l'équation (1.26), toutes les quantités que l'on cherche à déterminer (fréquences propres et fonctions propres) sont des quantités complexes. Ceci est particulièrement important lorsque l'on traite de la stabilité des modes (voir la section 1.5). Dans sa forme générale linéarisée, le problème des pulsations consiste donc à résoudre ce système couplé de 6 équations différentielles linéaires complexes.

## 1.4 Approximation adiabatique

Jusqu'à présent, à part dans la linéarisation des équations hydrodynamiques, aucune approximation n'a encore été faite et, comme on peut le constater, le système à résoudre est assez compliqué. Lorsque que l'on cherche à évaluer les fréquences propres et les fonctions propres des modes sans se soucier des questions de stabilité, il est toutefois possible de simplifier énormément le problème en négligeant les échanges d'énergie entre le bain thermique (l'énergie interne du gaz) et les oscillations (l'énergie cinétique du mouvement macroscopique des éléments gazeux). C'est l'approximation des pulsations adiabatiques qui consiste à imposer $\delta S = 0$ dans le système d'équations (1.22) à (1.27). Par cette procédure, on réduit le problème à la seule description du comportement mécanique des oscillations et des 6 équations complexes de départ, on ne conserve que 3 équations avec 3 inconnues (réelles cette fois-ci). Ces 3 équations proviennent de (1.22), (1.23) et (1.24) avec $\delta S = 0$ et cela donne

$$\frac{1}{\rho} \frac{dP'}{dr} + \frac{g}{\rho c_s^2} P' + (N^2 - \sigma^2) \xi_r = - \frac{d\Phi'}{dr} \qquad (1.32)$$

$$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \xi_r \right) - \frac{g}{c_s^2} \xi_r + \left( 1 - \frac{L_l^2}{\sigma^2} \right) \frac{P'}{\rho c_s^2} = \frac{l(l+1)}{\sigma^2 r^2} \Phi' \qquad (1.33)$$

$$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{d\Phi'}{dr} \right) - \frac{l(l+1)}{r^2} \Phi' = 4\pi G \rho \left( \frac{P'}{\rho c_s^2} + \frac{N^2}{g} \xi_r \right) . \qquad (1.34)$$
(1.32) et (1.33) sont des équations différentielles du 1er ordre et (1.34) est du 2ème ordre. Ce système est donc équivalent à une seule équation différentielle du 4ème ordre (en choisissant, par exemple, la variable $\xi_r$). Avec 4 conditions aux frontières, 2 au centre et 2 en surface (voir Unno et al., 1989):

$$ \frac{d\Phi'}{dr} - \frac{l\Phi'}{r} = 0 \quad \text{et} \quad \xi_r - \frac{l}{\sigma^2 r} \left( \frac{P'}{\rho} + \Phi' \right) = 0 \quad \text{à} \quad r=0 \qquad (1.35) $$

$$ \frac{d\Phi'}{dr} + \frac{l+1}{r}\Phi' = 0 \quad \text{et} \quad \delta P = 0 \quad \text{à} \quad r=R, \qquad (1.36) $$

le système (1.32) à (1.34) se réduit à un problème aux valeurs propres (où $\sigma^2$ est la valeur propre). A ce titre, il est possible de montrer que le système peut s'écrire sous la forme de l'équation aux valeurs propres $\mathcal{L}[\xi_r] = \sigma^2\xi_r$, où $\mathcal{L}$ est un opérateur différentiel du 4ème ordre (c.f., Unno et al., 1989).

### 1.4.1 Approximation de Cowling et traitement local

Afin de développer une certaine intuition des phénomènes décrits par ces équations adiabatiques, il est utile de faire quelques approximations supplémentaires qui, sans nécessairement être bien rigoureuses ou appropriées, simplifient grandement le problème et permettent de tirer quelques renseignements sur les caractéristiques globales des oscillations à partir de relations analytiques.

La première approximation est due à Cowling (1941) et consiste à négliger la perturbation du champ gravitationnel (en imposant $\Phi' = 0$). Cette approximation n'est pas très bonne pour les modes de faible ordre radial $k$ et de faible degré $l$ ou pour les modes acoustiques, mais elle est certainement suffisante pour la discussion qui va suivre. Dans cette approximation, seules 2 équations subsistent

$$ \frac{1}{\rho} \frac{dP'}{dr} + \frac{g}{\rho c_s^2} P' + (N^2 - \sigma^2) \xi_r = 0 \qquad (1.37) $$

$$ \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} (r^2 \xi_r) - \frac{g}{c_s^2} \xi_r + \left(1 - \frac{L_l^2}{\sigma^2}\right) \frac{P'}{\rho c_s^2} = 0 \qquad (1.38) $$

que l'on peut réécrire, à partir du changement de variables

$$ \tilde{\xi} \equiv r^2 \xi_r \exp \left( - \int_0^r \frac{g}{c_s^2} dr \right) \quad \text{et} \quad \tilde{\eta} \equiv \frac{P'}{\rho} \exp \left( - \int_0^r \frac{N^2}{g} dr \right) , \qquad (1.39) $$

sous la forme plus commode à utiliser

$$ \frac{d\tilde{\xi}}{dr} = h(r) \frac{r^2}{c_s^2} \left( \frac{L_l^2}{\sigma^2} - 1 \right) \tilde{\eta} \quad \text{et} \quad \frac{d\tilde{\eta}}{dr} = \frac{1}{r^2 h(r)} (\sigma^2 - N^2) \tilde{\xi} \qquad (1.40) $$

$$ \text{avec} \quad h(r) \equiv \exp \left[ \int_{0}^{r} \left( \frac{N^2}{g} - \frac{g}{c_s^2} \right) dr \right] > 0 . \qquad (1.41) $$
Dans l'approximation locale, la dépendance en $r$ des coefficients présents dans les relations (1.40) est négligée. Il est alors possible de décrire ce système par une équation du deuxième ordre identique, par sa forme, à celle d'un oscillateur harmonique:

$$ \frac{d^2 \tilde{\xi}}{dr^2} + k_r^2 \tilde{\xi} = 0 \quad \text{avec} \quad k_r^2 = \frac{1}{c_s^2 \sigma^2} (\sigma^2 - L_l^2) (\sigma^2 - N^2) . \qquad (1.42) $$

La deuxième expression correspond à la relation de dispersion pour ce type d'oscillations; la solution de cette équation étant de la forme $\tilde{\xi}(r) \propto \exp(ik_r r)$. En conséquence, l'oscillation se propage radialement si $k_r$ est réel et elle devient évanescente si $k_r$ est imaginaire.

D'après la relation de dispersion, il existe deux zones de propagation qui correspondent à deux groupes distincts de modes d'oscillation. Ainsi, $k_r^2$ est positif (et donc $k_r$ est réel) pour $\sigma^2 > L_l^2$, $N^2$ (ondes acoustiques ou modes p en raison de la force de rappel qui est la pression) et pour $\sigma^2 < L_l^2$, $N^2$ (modes g pour lesquels la force de rappel est la gravité). Dans les régions de l'étoile où $L_l^2 < \sigma^2 < N^2$ et $N^2 < \sigma^2 < L_l^2$, $k_r^2$ est négatif (donc $k_r$ est imaginaire) et les ondes sont évanescentes.

Si l'on pousse encore plus loin les approximations, on obtient plusieurs renseignements qualitatifs sur le comportement des périodes des modes p et g. Dans la limite $\sigma_p^2 \gg L_l^2$, $N^2$ (modes p), la relation de dispersion (1.42) peut s'écrire

$$ \sigma_p^2 \approx c_s^2 k_r^2 . \qquad (1.43) $$

On voit alors que la fréquence (période) augmente (diminue) lorsque $k_r$ (c.-à-d., le nombre de nœuds dans la direction radiale) augmente. Pour les modes g, la limite $\sigma_p^2 \ll L_l^2$, $N^2$ donne

$$ \sigma_g^2 \approx \frac{l(l+1)N^2}{k_r^2 r^2} . \qquad (1.44) $$

Cette fois-ci, la fréquence (période) diminue (augmente) lorsque $k_r$ augmente. De plus, la fréquence (période) s'accroît (décroît) lorsque l'indice $l$ devient plus grand. Ce sont deux caractéristiques générales des modes g qui sont effectivement observées dans les calculs détaillés. Soulignons aussi l'existence d'un mode fondamental pour $l = 0$ et $l \ge 2$ (il n'existe pas pour $l = 1$) dont la période se situe entre celle du premier mode p et celle du premier mode g.

## 1.4.2 Energie cinétique

Une quantité intéressante qui aide à caractériser un mode de pulsation est son énergie cinétique. Pour un fluide quelconque, celle-ci est donnée par la relation générale

$$ E_{\text{cin}} \equiv \frac{1}{2} \int_V \rho v^2 dV \quad ; \qquad (1.45) $$

où l'intégration se fait sur le volume total occupé par le fluide (en l'occurence toute l'étoile pour le cas qui nous concerne). Si l'on néglige la rotation de l'étoile et tout autre mouvement macroscopique du fluide (convection, circulation méridienne, etc...), on a alors

$$ v^2 = |\delta v|^2 = \delta \vec{v} \cdot \delta \vec{v}^* = \frac{\partial \vec{\xi}}{\partial t} \cdot \frac{\partial \vec{\xi}^*}{\partial t} = \sigma^2 \vec{\xi}(\vec{r}) \cdot \vec{\xi}^*(\vec{r}) . \qquad (1.46) $$
Pour les oscillations radiales et non-radiales, la définition (1.45) prend donc la forme

$$E_{\text{cin}} \equiv \frac{\sigma^2}{2} \int_V \rho \vec{\xi}(\vec{r}) \cdot \vec{\xi}^*(\vec{r}) \, dV . \qquad (1.47)$$

En terme des composantes du vecteur déplacement Lagrangien, on peut montrer, à partir des relations (1.28) et des propriétés d’intégration des harmoniques sphériques, que l’équation (1.47) devient

$$E_{\text{cin}} \equiv \frac{\sigma^2}{2} \int_{0}^{R} \left[ \xi_r(r)^2 + l(l+1) \xi_h(r)^2 \right] \rho r^2 dr \quad ; \qquad (1.48)$$

où l’intégration se fait maintenant du centre ($r=0$) à la surface ($r=R$) de l’étoile. Notons que la normalisation des fonctions propres, arbitraire en théorie linéaire, implique que l’énergie d’un mode est définie à une constante multiplicative près. En pratique, cela signifie que seules les comparaisons relatives des énergies cinétiques entre différents modes ont un sens.

### 1.4.3 Principe variationnel

Il a été démontré par Lynden-Bell & Ostriker, 1967 que les valeurs propres des équations adiabatiques peuvent également être obtenues à partir d'un principe variationnel (voir aussi Cox, 1980; Unno et al., 1989; et Brassard, 1991). Dans le cas général où la rotation de l'étoile est prise en compte, ces auteurs ont réécrit, en combinant toutes les équations adiabatiques, le problème des oscillations stellaires sous la forme (en fonction du vecteur déplacement Lagrangien)

$$-\sigma^2 \vec{\xi} + 2i\sigma \mathcal{M} \vec{\xi} + \mathcal{M}^2 \vec{\xi} = -\frac{1}{\rho} (\mathcal{P} + \mathcal{V}) \vec{\xi} . \qquad (1.49)$$

où $\mathcal{M}$, $\mathcal{P}$ et $\mathcal{V}$ sont des opérateurs linéaires reliés aux perturbations de la pression et du potentiel gravitationnel. Leurs expressions respectives sont

$$\mathcal{M} \vec{\xi} = (\vec{v}_0 \cdot \vec{\nabla}) \vec{\xi} , \qquad (1.50)$$

$$\mathcal{P} \vec{\xi} = -\frac{\delta \rho}{\rho^2} \vec{\nabla} P + \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} P' + \frac{1}{\rho} \vec{\xi} \cdot \vec{\nabla} (\vec{\nabla} P) \quad , \text{et} \qquad (1.51)$$

$$\mathcal{V} \vec{\xi} = \nabla \Phi' + (\vec{\xi} \cdot \vec{\nabla}) \vec{\nabla} \Phi . \qquad (1.52)$$

Suivant Brassard, 1991, le produit scalaire (effectué par la gauche) de $\vec{\xi}^*$ avec la relation (1.49), puis l’intégration sur toute la masse de l’étoile donnent

$$-A\sigma^2 + B\sigma + C = -D . \qquad (1.53)$$

où les nouveaux coefficients sont

$$A = \int_V \vec{\xi}^* \cdot \vec{\xi} \rho dV \quad , \quad B = 2i\sigma \int_V \vec{\xi}^* \cdot \mathcal{M} \vec{\xi} \rho dV \quad , \qquad (1.54)$$

$$C = \int_V \vec{\xi}^* \cdot \mathcal{M}^2 \vec{\xi} \rho dV \quad , \quad D = \int_V \vec{\xi}^* \cdot (\mathcal{M} + \mathcal{V}) \vec{\xi} \rho dV \quad . \qquad (1.55)$$

Ces dernières expressions sont particulièrement utiles pour déterminer les régions où se forment les périodes des modes normaux ainsi que les effets engendrés par la rotation de l’étoile.
### 1.4.4 Régions de formation des périodes

Les indications intéressantes sur les régions de formation des modes peuvent être obtenues en négligeant la rotation de l'étoile ($\vec{v}_0=\vec{0}$) dans la relation (1.53). Les termes où l'opérateur $\mathcal{M}$ intervient sont alors tous nuls, conduisant à la relation simplifiée

$$ \sigma^2 = \frac{D}{A} \qquad (1.56) $$

Le dénominateur $A$ est directement proportionnel à l'énergie cinétique du mode (voir la section 1.4.2). L'évaluation du numérateur $D$ est toutefois plus compliquée. Après manipulation, la relation finale proposée dans Brassard, 1991 (équation [105]$^5$) s'écrit

$$ D = \int_{0}^{R} \left[ \xi_{r}^{2} N^{2} + \frac{(P')^{2}}{\Gamma_{1} P \rho} + \Phi' \left( \frac{P'}{\Gamma_{1} P} + \xi_{r} \frac{N^{2}}{g} \right) \right] \rho r^{2} dr \quad . \qquad (1.57) $$

Les solutions du système sont celles qui extrémisent la relation (1.56), de telle sorte que $\delta\sigma^2 = 0$ (au premier ordre) pour la famille $(\sigma, \xi_r, P', \Phi')$ correspondant à un mode normal (solution des équations d'oscillation). De plus, on remarque que le terme à l'intérieur de l'intégrale se trouvant au numérateur joue le rôle d'un facteur de pondération variant en fonction de la profondeur dans l'étoile. Autrement dit, il nous renseigne sur la contribution respective des différentes régions de l'étoile à la valeur des fréquences propres. Cette fonction, à laquelle on se réfère habituellement sous l'épithète de fonction poids ("weight function"), nous permet donc de connaître les régions auxquelles les périodes des modes sont sensibles.

### 1.4.5 Effets de la rotation

Un autre effet intéressant que la formulation du principe variationnel permet d'évaluer est celui de la rotation lente sur les modes de pulsation. Lorsque celle-ci est prise en compte, l'étoile n'est plus statique et doit s'accommoder d'un champ de vitesse $\vec{v}_0$ non nul, mais suffisamment faible pour ne pas modifier la structure où la forme de l'étoile. Cette hypothèse permet alors d'adopter une approche perturbative pour évaluer les effets de la rotation. On considère pour cela que la fréquence propre et les fonctions propres peuvent s'écrire sous la forme

$$ \sigma = \sigma^{(0)} + \sigma^{(1)} \quad \text{et} \quad \vec{\xi} = \vec{\xi}^{(0)} + \vec{\xi}^{(1)} \quad , \qquad (1.58) $$

où les termes d'indice (0) indiquent la solution sans rotation et les termes d'indice (1) représentent la perturbation à cette solution. Une fois introduit dans la relation (1.53), tout en ne conservant que les termes d'ordre 0 et 1, le développement précédent conduit à une solution générale qui peut s'écrire sous la forme (voir, Brassard, 1991)

$$ \sigma^{(1)} = i \frac{\int_V \vec{\xi}^{*(0)} \cdot \mathcal{M} \vec{\xi}^{(0)} \rho \, dV}{\int_V \vec{\xi}^{*(0)} \cdot \vec{\xi}^{(0)} \rho \, dV} \quad . \qquad (1.59) $$

<footnote>$^5$Dans la référence citée, l'équation est erronée. La relation (1.57) est la forme appropriée et constitue un erratum à l'équation [105] de Brassard, 1991.</footnote>
Si, de plus, l'on considère que l'étoile est en rotation rigide, c.-à-d. que sa vitesse angulaire $\vec{\Omega}$ est constante, le champ de vitesse du fluide peut alors s'écrire

$$ \vec{v}_0 = \vec{v}_{\text{rot}} = \vec{\Omega} \times \vec{r} = (0, 0, \Omega r \sin \theta) , \qquad (1.60) $$

si l'on choisit un système de référence dans lequel $\vec{\Omega}=(\Omega \cos \theta, -\Omega \sin \theta, 0)$. L'action de l'opérateur $\mathcal{M}$ sur le vecteur déplacement Lagrangien donne alors

$$ \mathcal{M} \vec{\xi}^{(0)} = (\vec{v}_{\text{rot}} \cdot \vec{\nabla}) \vec{\xi}^{(0)} = \Omega \frac{\partial \vec{\xi}^{(0)}}{\partial \phi} = im\Omega \vec{\xi}^{(0)} + \vec{\Omega} \times \vec{\xi}^{(0)} . \qquad (1.61) $$

L'équation (1.59) peut ensuite être transformée en introduisant un coefficient de rotation ($C_{\text{rot}}$; également appelé coefficient du premier ordre pour la rotation rigide). Le terme de perturbation associé à la fréquence propre s'écrit alors

$$ \sigma^{(1)} \equiv -m\Omega(1 - C_{\text{rot}}) , \qquad (1.62) $$

où $C_{\text{rot}}$ prend la forme

$$ \Omega C_{\text{rot}} = i \frac{\int_V \vec{\xi}^{*(0)} \cdot \vec{\Omega} \times \vec{\xi}^{(0)} \rho \, dV}{\int_V \vec{\xi}^{*(0)} \cdot \vec{\xi}^{(0)} \rho \, dV} . \qquad (1.63) $$

En utilisant, pour finir, les composantes de $\vec{\Omega}$ telles que définies dans le référentiel choisi ainsi que les composantes radiales ($\xi_r$) et tangentielles ($\xi_h$) de $\vec{\xi}^{(0)}$, la relation (1.63) devient

$$ C_{\text{rot}} = \frac{\int_0^R (2\xi_r \xi_h + \xi_h^2) \rho r^2 dr}{\int_0^R [\xi_r^2 + l(l+1)\xi_h^2] \rho r^2 dr} . \qquad (1.64) $$

L'effet de la rotation, en introduisant une dépendance des fréquences propres sur l'indice angulaire $m$, est donc de lever, par une sorte d'effet Zeeman, la dégénérescence qui pèse sur les modes propres d'oscillation. Notons également que l'espacement en fréquence entre les modes d'indices $m$ différents (mais avec $k$ et $l$ indentiques) est constant. Sa valeur est donnée par

$$ \Delta\sigma = \Omega(1 - C_{\text{rot}}) . \qquad (1.65) $$

Enfin, remarquons que le coefficient de rotation $C_{\text{rot}}$ dépend des indices $k$ et $l$ identifiant un mode propre d'oscillation (puisque les composantes $\xi_r$ et $\xi_h$ dépendent de ces indices).

### 1.4.6 Le code des pulsations adiabatiques

Le système d'équations présenté en introduction de la section 1.4 et qui régit les pulsations dans l'approximation adiabatique ne peut être résolu analytiquement. C'est uniquement par des techniques numériques qu'il est possible d'extraire les fréquences propres et les fonctions propres du système. Dans le cadre de l'étude des pulsations dans les étoiles naines blanches, P. Brassard a développé un outil général parfaitement adapté au problème qui nous concerne. Le code est décrit en détail dans Brassard et al., 1992d mais en voici quelques aspects principaux.
Pour commencer, il est utile de réécrire le système (1.32) – (1.34) sous la forme de 4 équations différentielles du 1er ordre avec les 4 variables sans dimension introduites par Dziembowski, 1971:

$$y_1 \equiv \frac{\xi_r}{r} ; \quad y_2 \equiv \frac{1}{gr} \left( \frac{P'}{\rho} + \Phi' \right) ; \quad y_3 \equiv \frac{1}{gr} \Phi' ; \quad y_4 \equiv \frac{1}{g} \frac{d\Phi'}{dr} . \qquad (1.66)$$

Pour achever l'adimensionalisation des équations, il faut introduire une fréquence sans dimension

$$\omega^2 = \frac{\sigma^2 R^3}{GM}, \qquad (1.67)$$

où M et R sont, respectivement, la masse et le rayon de l'étoile; et il faut définir des quantités sans dimensions pour la structure stellaire, la fréquence de Brunt-Väisälä et la variable d'intégration; en l'occurence, il s'agit de

$$U \equiv \frac{d \ln M_r}{d \ln r} = \frac{4\pi r^3 \rho}{M_r}, \quad V \equiv -\frac{d \ln P}{d \ln r} = \frac{\rho gr}{P} \qquad (1.68)$$

$$C_1 \equiv \left(\frac{r}{R}\right)^3 \left(\frac{M}{M_r}\right), \quad A \equiv -\frac{N^2}{g} \quad \text{et} \quad x \equiv \ln\left(\frac{r}{P}\right). \qquad (1.69)$$

Avec ces nouvelles quantités, les équations adiabatiques prennent la forme qui sera utilisée dans le code de résolution numérique,

$$(V + 1) \frac{dy_1}{dx} = \left(\frac{V}{\Gamma_1} - l - 1\right) y_1 + \left[ \frac{l(l + 1)}{C_1 \omega^2} - \frac{V}{\Gamma_1} \right] y_2 + \frac{V}{\Gamma_1} y_3, \qquad (1.70)$$

$$(V + 1) \frac{dy_2}{dx} = (C_1 \omega^2 + rA) y_1 + (3 - l - U - rA) y_2 + rA y_3, \qquad (1.71)$$

$$(V + 1) \frac{dy_3}{dx} = (3 - l - U) y_3 + y_4, \qquad (1.72)$$

$$(V + 1) \frac{dy_4}{dx} = -rAU y_1 + \frac{UV}{\Gamma_1} y_2 + \left[ l(l + 1) - \frac{UV}{\Gamma_1} \right] y_3 + (2 - U - l) y_4 \qquad (1.73)$$

et les deux conditions au centre (CFC) s'écrivent

$$C_1 \omega^2 y_1 - ly_2 = 0 \mid_{\text{centre}} \quad \text{et} \quad ly_3 - y_4 = 0 \mid_{\text{centre}}. \qquad (1.74)$$

En surface, les deux conditions limites sont

$$(V - 4 - C_1 \omega^2) y_1 + \left[ \frac{l(l + 1)}{C_1 \omega^2} - V \right] y_2 + (V - l - 1) y_3 = 0 \mid_{\text{surface}}, \qquad (1.75)$$

$$U y_1 + (l + 1)y_3 + y_4 = 0 \mid_{\text{surface}}. \qquad (1.76)$$

Finalement, puisque le système d'équations est homogène, il faut utiliser une condition de normalisation arbitraire pour les fonctions propres. Dans notre cas, ce sera la normalisation

$$y_1^2 + y_2^2 = 1 \mid_{\text{surface}}. \qquad (1.77)$$
Pour résoudre le système, le code utilise une version généralisée de la méthode des éléments finis de Galerkin (voir Brassard et al., 1992d pour de plus amples renseignements sur le sujet). Grossièrement, cette méthode consiste à approximer, dans chaque élément constituant le maillage spatial du modèle, la solution d'une équation différentielle par une combinaison linéaire de fonctions indépendantes formant une base dans cet élément. De manière générale, pour une équation du type

$$ \frac{dy}{dx} = f(x)y(x) \quad , \quad \tilde{y}^{(j)}(x) = \sum_{k=1}^{N} \alpha_{jk} \Phi_{k}^{(j)}(x) . \qquad (1.78) $$

on approxime, pour l'élément $j$, par

$$ \tilde{y}^{(j)}(x) = \sum_{k=1}^{N} \alpha_{jk} \Phi_{k}^{(j)}(x) . \qquad (1.79) $$

Les fonctions $\Phi_k^{(j)}(x)$ sont choisies pour former une base dans l'élément $j$ et sont généralement des polynômes de degré $N-1$ définis localement dans cet élément. Pour $N=2$ on parle d'éléments linéaires (les fonctions $\Phi_1(x)$ et $\Phi_2(x)$ sont des polynômes d'ordre 1), pour $N=3$ ce sont des éléments quadratiques ($\Phi_1(x)$, $\Phi_2(x)$ et $\Phi_3(x)$ sont des polynômes d'ordre 2), pour $N=4$ ce sont des éléments cubiques ($\Phi_1(x)$, $\Phi_2(x)$, $\Phi_3(x)$ et $\Phi_4(x)$ sont des polynômes d'ordre 3), etc... La solution du problème (i.e, les coefficients $\alpha_{jk}$) est obtenue en minimisant le résidu

$$ R(x, \{\alpha_{jk}\}) \equiv \frac{d\tilde{y}(x)}{dx} - f(x)\tilde{y}(x) \qquad (1.80) $$

par orthogonalisation avec tous les éléments de l'ensemble $\{\Phi_k(x)\}$. Cette méthode, généralisée à un système d'équations différentielles du premier ordre, permet de résoudre très efficacement et de manière robuste les équations de pulsation.

Le code de résolution numérique est un programme FORTRAN dont la stratégie peut être résumée en 3 grandes étapes successives: 1- Lecture des quantités physiques provenant du modèle stellaire à étudier et calcul, pour chacune des couches du modèle, des quantités structurelles sans dimension. 2- Balayage d'un intervalle de périodes spécifié par l'utilisateur (pour nous, ce sera typiquement de 80 à 1500 s par pas de 1.0 s) pendant lequel une des conditions aux frontières sert de discriminant pour estimer les périodes propres. L'estimation des valeurs propres se fait en solutionnant, par un schème explicite, le système d'équations à l'aide de 2000 éléments linéaires. 3- Le système complet est alors résolu à partir des estimés de périodes propres en utilisant cette fois un schème implicite avec, au choix de l'utilisateur, des éléments linéaires, quadratiques ou cubiques.

## 1.5 Théorie non-adiabatique

Pour traiter la théorie linéaire des pulsations stellaires dans son ensemble, il est nécessaire de retourner au système des équations d'oscillation présenté à la fin de la section 1.3. Les relations (1.22) à (1.27) constituent en effet le système de base qu'il faut maintenant résoudre complètement, sans faire d'approximation préalable. Pour la compréhension des phénomènes qui entrent en jeu, il est utile de s'attarder sur quelques concepts importants de la théorie non-adiabatique. Ils sont donc présentés dans cette section avec quelques détails sur le code numérique destiné à résoudre le problème.
### 1.5.1 Solutions non-adiabatiques

Le système des équations non-adiabatiques repose sur 6 équations différentielles complexes (en raison du terme imaginaire dans l'équation [1.26]). Pour cette raison, les fonctions propres et valeurs propres solutions du système sont des quantités complexes. En particulier, la fréquence propre s'écrit maintenant sous la forme

$$ \sigma = \sigma_R + i\sigma_I \quad \text{où } \sigma_R \text{ et } \sigma_I \text{ sont des nombres réels.} \qquad (1.81) $$

Puisque la dépendance temporelle des fonctions propres est de la forme

$$ \exp(i\sigma t) = \exp[i(\sigma_R + i\sigma_I)t] = \exp(i\sigma_R t) \exp(-\sigma_I t) , \qquad (1.82) $$

on obtient non seulement une partie oscillante de fréquence $\sigma_R (=2\pi/P)$ qui caractérise la fréquence (ou période) du mode, mais aussi un terme supplémentaire d'amortissement ou de croissance exponentielle, inexistant en théorie adiabatique, constitué par la partie imaginaire de la fréquence propre. C'est ce terme qui nous renseigne sur la stabilité des modes de pulsation. Si le signe de $\sigma_I$ est positif, la petite perturbation initiale va subir un amortissement exponentiel avec le temps qui empêche la formation d'une oscillation avec une amplitude observable; le mode est alors stable. Si, par contre, $\sigma_I$ est négatif, l'amplitude d'oscillation subit une croissance exponentielle avec $t$ et le mode devient instable. Dans ce deuxième cas, la théorie prédit une amplitude qui croît à l'infini avec $t$. Bien sûr, ce comportement n'est pas réaliste et il marque la limite de la théorie linéaire des pulsations. Il est probable que des phénomènes non-linéaires négligés dans cette théorie vont entrer en compétition avec la croissance exponentielle afin d'établir une "amplitude d'équilibre". De fait, la théorie linéaire ne permet pas de calculer l'amplitude des modes d'oscillation. Tout au plus, on peut imaginer que les modes instables pour lesquels $\sigma_I$ est plus grand en valeur absolue développeront des amplitudes plus importantes (et encore convient-il d'être prudent sur cette interprétation).

On définit souvent une quantité plus intuitive qui caractérise l'instabilité des modes. Il s'agit du temps caractéristique de croissance ("e-folding time" en anglais) relié à la partie imaginaire de la fréquence propre par

$$ \tau_e = -\frac{1}{\sigma_I} \quad \text{donnant des fonctions propres proportionnelles à} \quad \exp\left(\frac{t}{\tau_e}\right) . \qquad (1.83) $$

$\tau_e$ est généralement donné en années, permettant une comparaison directe avec les temps évolutifs typiques des étoiles. Bien entendu, pour obtenir des pulsations, ces derniers doivent être très supérieurs à $\tau_e$ pour que le développement des instabilités ne soit pas en compétition avec les changements structuraux engendrés par l'évolution de l'étoile.

### 1.5.2 Intégrale de travail

Au cours d'une période de pulsation, chaque coquille de gaz en mouvement dans l'étoile se comporte comme un cycle de Carnot transformant de l'énergie thermique en énergie mécanique (ou inversement). Pour un mode, le travail effectué localement au cours d'une pulsation est donné par
$$ \frac{dW}{dM_r} = \oint dQ = \oint T \frac{dS}{dt} dt . \qquad (1.84) $$

Si l'on suppose que le système retourne à son état initial après un cycle (oscillation strictement périodique), on peut alors écrire

$$ \frac{dW}{dM_r} = \oint \delta T \frac{d\delta S}{dt} dt = \oint \frac{\delta T}{T} \delta \left( \epsilon_N - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} \cdot \vec{F}_R \right) . \qquad (1.85) $$

De plus, en effectuant l'intégrale cyclique, on obtient

$$ \frac{dW}{dM_r} = \frac{\pi}{\sigma_R} \mathrm{Re} \left\{ \frac{\delta T^*}{T} \left[ \delta \epsilon_N - \delta \left( \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} \cdot \vec{F}_R \right) \right] \right\} . \qquad (1.86) $$

Cette quantité peut donc se calculer à partir des fonctions propres du système.

Le signe de $dW/dM_r$ nous renseigne localement sur l'effet stabilisateur ou déstabilisateur d'une région de l'étoile. Si $dW/dM_r < 0$, cette région se retrouve, après un cycle, avec un défaut d'énergie qui sera prélevé à l'énergie cinétique du mode. L'amplitude de celui-ci tend alors à diminuer localement, c'est une région de "damping" (ou de dissipation). Si $dW/dM_r > 0$, la région se retrouve avec un surplus d'énergie à la fin du cycle qui sera transféré à l'énergie cinétique du mode. L'amplitude a donc tendance à croître localement, on parle alors d'une région de "driving" (ou d'excitation).

La stabilité ou l'instabilité globale d'un mode est déterminée par la somme de toutes les contributions locales à l'excitation et à la dissipation. Cette somme, que l'on appelle l'intégrale de travail ("work integral"), s'écrit donc

$$ W = \int_{0}^{M} \frac{dW}{dM_r} dM_r . \qquad (1.87) $$

Si $W < 0$, la dissipation domine sur l'excitation et le mode est globalement stable. Si $W > 0$, c'est au contraire l'excitation qui domine sur la dissipation et le mode devient instable.

### 1.5.3 Mécanismes de déstabilisation

Le "driving" et le "damping" résultent d'une modulation particulière du flux d'énergie au cours des oscillations. Cette modulation introduit un déphasage entre la perturbation de la pression et la perturbation de la densité. Pour déstabiliser un mode, le maximum de pression doit intervenir après le maximum de compression. S'il se produit avant, le mode sera stabilisé. L'analogie avec la balançoire (Cox, 1980) permet de comprendre aisément ce phénomène. L'amplitude du balancement sera en effet augmentée si la poussée (pression) intervient après le passage au maximum d'amplitude (densité). Si celle-ci se produit avant, le balancement sera amorti. A partir des équations de pulsations, on peut montrer que cet état (maximum de pression après le maximum de densité) se produit lorsque, localement, le gaz gagne de l'énergie au maximum de compression (et inversement pour le "damping").

Dans les étoiles, il existe deux phénomènes permettant de créer les conditions propices à l'excitation. Il s'agit du brûlage nucléaire et des processus d'ionisation partielle. Le premier est associé au
terme en $\delta\epsilon_N$ de l'équation (1.86) et on lui attribue l'épithète de mécanisme $\epsilon$. La partie de l'intégrale de travail qui lui correspond peut s'écrire

$$ \frac{dW_N}{dM_r} = \frac{\pi}{\sigma_R} \mathrm{Re} \left( \frac{\delta T^*}{T} \delta \epsilon_N \right) = \frac{\pi}{\sigma_R} \mathrm{Re} \left[ \frac{\delta T^*}{T} \epsilon_N \left( \epsilon_T \frac{\delta T}{T} + \epsilon_\rho \frac{\delta \rho}{\rho} \right) \right] . \qquad (1.88) $$

où les quantités $\epsilon_T$ et $\epsilon_\rho$ décrivent le comportement des taux de réactions nucléaires $\epsilon_N$ lors des changements en température et en densité du gaz,

$$ \epsilon_T = \left( \frac{\partial \ln \epsilon_N}{\partial \ln T} \right)_\rho \quad \text{et} \quad \epsilon_\rho = \left( \frac{\partial \ln \epsilon_N}{\partial \ln \rho} \right)_T . \qquad (1.89) $$

Compte tenu du comportement de ces dérivées ($\epsilon_T$ et $\epsilon_\rho$ sont, en général, positifs) et du fait que la perturbation en température est essentiellement en phase avec la perturbation en densité, la contribution de ce mécanisme $\epsilon$ est toujours positive et il tend systématiquement à déstabiliser les modes.

Le second mécanisme est plus subtil. Sa formulation mathématique est dissimulée dans le deuxième terme de l'intégrale de travail

$$ \frac{dW_F}{dM_r} = \frac{\pi}{\sigma_R} \mathrm{Re} \left[ \delta \left( -\frac{1}{\rho} \vec{\nabla} \cdot \vec{F}_R \right) \right] . \qquad (1.90) $$

Sans entrer dans ces détails mathématiques, mentionnons qu'il survient du comportement particulier du mélange gazeux et de l'opacité dans les régions d'ionisation partielle. En situation normale, un élément du gaz porté à son maximum de compression pendant un cycle d'oscillation voit son opacité diminuer, perdant ainsi de l'énergie par radiation (il devient davantage transparent). Il possède donc un effet de dissipation sur les pulsations (on parle souvent de dissipation radiative). Dans une zone d'ionisation partielle, le comportement est différent pour deux raisons.

* 1- les valeurs des exposants adiabatiques du gaz deviennent très petites car l'énergie est principalement absorbée pour ioniser le gaz au dépend de l'élévation de la température. De fait, $\delta T/T$ décroit rapidement à la base de la zone d'ionisation (partie à plus haute température) engendrant une baisse de $\delta L_R/L_R$. Le gaz absorbe donc de l'énergie au maximum de compression et cette région produit du "driving". La partie externe de la zone d'ionisation (à basse température) entraîne l'effet inverse puisque l'amplitude de $\delta T/T$ devient plus grande et $\delta L_R/L_R$ augmente à nouveau pour retrouver son amplitude d'avant la zone d'ionisation. Cette région perd donc de l'énergie et produit du "damping". Ce processus est parfois appelé mécanisme $\gamma$.

* 2- L'opacité du gaz devient plus grande au maximum de compression dans les zones d'ionisation partielle (contrairement à d'autres régions de l'étoiles). Celui-ci absorbe donc de l'énergie lorsqu'il est comprimé, produisant du "driving" sur les pulsations. On parle alors de mécanisme $\kappa$.

Les mécanismes $\gamma$ et $\kappa$ tels que décrits auparavant sont généralement intimement reliés et l'on fait souvent référence à ces deux phénomènes sous le nom d'un seul et même mécanisme d'opacité (ou d'ionisation partielle), le mécanisme $\kappa$, en omettant de faire une quelconque distinction.
1.5.4 Le code des pulsations non-adiabatiques

Le code des pulsations non-adiabatiques s'appuie sur la même méthode numérique (éléments finis de Galerkin) que le code adiabatique présenté à la section 1.4.6. Il s'attaque cette fois-ci au système plus compliqué des 6 équations différentielles complexes décrivant les oscillations non-adiabatiques. L'intéraction entre convection et pulsations est, comme c'était déjà le cas pour l'adiabatique, négligée dans ces calculs (“frozen convection”), faute d'une théorie adéquate sur la question.

Le programme non-adiabatique utilise les résultats préalablement calculés par le code adiaba-
tique comme premiers estimés des périodes de pulsation (les périodes adiabatiques diffèrent géné-
ralement peu des périodes non-adiabatiques). Il fournit en retour les périodes non-adiabatiques et la
partie imaginaire de la fréquence propre (σ<sub>I</sub>) importante pour évaluer la stabilité globale des modes.
Les fonctions propres sont aussi disponibles ainsi que l'intégrale de travail (W) et sa dérivée (dW/dr).
<figure><img src="image_10.png" /></figure>
# Chapitre 2

## Les Etoiles Sous-Naines de Type B

### 2.1 Introduction

Une catégorie d'objets va, tout au long de cette étude, accaparer notre attention en tant que vivier potentiel de nouvelles étoiles pulsantes sur lesquelles pourront éventuellement s'appliquer les méthodes de l'astéroséismologie. Ces astres, au nom peu évocateur d'étoiles sous-naines de type B (ou sdB), constituent une classe longtemps négligée par les astronomers et qui demeure l'une des dernières frontières dans nos connaissances des différentes phases de l'évolution stellaire. Que ces étoiles présentent, par analogie<fnref n="1" /> structurelle avec certains types d'objets pulsants, de sérieuses potentialités pour développer des oscillations s'avère donc particulièrement intéressant puisqu'elles laissent miroiter la possibilité de sonder, un jour peut-être, leur structure interne. Dans l'immédiat, les étoiles sous-naines de type B n'étant pas réputées pour leurs pulsations (aucune sdB pulsante n'a, au jour où cette étude est entreprise (1995), été découverte), l'essentiel du potentiel repose sur l'évaluation détaillée et quantitative, sur des bases purement théoriques, des possibilités qu'ont ces étoiles à devenir pulsantes. Nous disposons pour cela des outils indispensables de la théorie des pulsations stellaires décrits au Chapitre 1 auxquels nous allons maintenant fournir la matière première essentielle à ce projet: les structures appropriées pour modéliser les sdB.

Avant de présenter les modèles que nous allons utiliser, un bref rappel général sur la nature des étoiles sous-naines est nécessaire (section 2.2). Il comprendra un rapide aperçu historique du sujet à travers la littérature classique ainsi que l'énumération de quelques propriétés spécifiques à ces étoiles qui présenteront, à l'avenir, une importance particulière pour les pulsations.

<footnote n="1">¹Ces analogies seront soulignées et discutées au cours de ce chapitre.</footnote>
La section 2.3 sera consacrée à la présentation du premier type de structures que nous allons utiliser pour les calculs de pulsations. Il s'agira de séquences de modèles évolutifs identifiés aux étoiles sous-naines de type B que l'on observe.

Le groupe de séquences évolutives sera suppléé par un ensemble de modèles statiques d'enveloppes dont l'utilité deviendra manifeste au cours des prochains chapitres. Dans la section 2.4, des détails sur la construction de ces enveloppes ainsi qu'une comparaison structurelle avec les modèles évolutifs seront donc proposés.

Enfin, une première discussion sur les potentiels à explorer dans ces étoiles en terme de pulsations sera amorcée dans la section 2.5. Quelques aspects de leur structure analogues à ce que l'on retrouve dans certaines classes d'étoiles pulsantes seront énumérés et discutés.

## 2.2 La nature des étoiles sous-naines

Depuis la découverte des étoiles sous-naines dans les années 50 (Humason & Zwicky, 1947; Iriarte & Chavira, 1957; Chavira, 1958; Feige, 1958), des progrès considérables ont été accomplis au niveau de la compréhension de leurs propriétés physiques et de leur statut évolutif. Ces étoiles doivent leur nom de “sous-naines” à leur luminosité trop faible pour leur couleur (ou température) comparativement à leurs homologues de la séquence principale que l’on appelle parfois les étoiles naines. Ainsi, dans le diagramme d’Hertzsprung-Russell (HR), les sous-naines se situent en dessous de la séquence principale. Leur position est caractéristique d’une structure plus compacte que celle des étoiles de la séquence principale. A température égale, les sous-naines sont moins lumineuses que les étoiles naines. Cela implique notamment que leur rayon est plus petit et par conséquent que leur gravité de surface est plus importante.

### 2.2.1 Classification spectrale et paramètres de surface

En raison de leur forte gravité de surface, les sous-naines présentent une signature spectrale particulière qui fut à l'origine des premières classifications d'étoiles bleues de faible luminosité (FBS<fnref n="2" />) (Greenstein, 1960; Berger, 1963; Greenstein, 1966). Ainsi, les étoiles bleues dont les raies spectrales de la série de Balmer apparaissent anormalement larges (sous l'effet de la forte gravité) comparativement aux étoiles de la séquence principale sont classées dans la catégorie des sous-naines. Des critères supplémentaires ont permis de définir deux sous-groupes parmi ces dernières. Suivant la classification de Sargent & Searle, 1968, les sous-naines de type O (sdO), en plus de leur couleur typique des étoiles O de la séquence principale, exhibent des raies d'hélium dans leur spectre. Les sous-naines de type B (sdB), dont la couleur correspond davantage aux étoiles B de la séquence principale, montrent en revanche une déficience importante en hélium dans leur atmosphère (faiblesse ou absence des raies d'hélium dans le spectre). Une classe intermédiaire, les sdOB, a été introduite plus tard (Baschek & Norris, 1975) lorsque l'on s'est aperçu que certaines sous-naines de type O (d'après leur indice de couleur) montraient des déficiences en hélium comme les sdB (voir aussi Heber, 1986).

<footnote n="2">²Faint Blue Stars</footnote>
Avec les progrès réalisés dans le domaine des atmosphères stellaires et de la modélisation de spectres synthétiques, une détermination réaliste des paramètres de surface des étoiles sous-naines (température effective, gravité de surface et abondances de surface) est devenue possible (voir par exemple Greenstein & Sargent, 1974; Hunger et al., 1981; Bergeron et al., 1984; Heber et al., 1984b; Saffer et al., 1994). De cette dernière référence, la plus récente et la plus complète étude à ce jour, il ressort que les sdB et les sdOB possèdent des températures effectives comprises entre 24000 et 42000 K pour des gravités de surface $5.0 \le \log g \le 6.2$. Les sdO, plus chaudes, ont des températures effectives allant de 40000 à 80000 K, la majorité se trouvant cependant dans la tranche 40000 – 50000 K, pour des gravités de surface comparables à celles des sdB (Heber et al., 1984a; Thejll et al., 1994). Dans un diagramme HR, les sdB, sdOB et sdO forment alors une extension vers le bleu de la branche horizontale (EHB<fnref n="3" />) et se situent entre la séquence principale et la séquence de refroidissement des naines blanches (Greenstein & Sargent, 1974).

### 2.2.2 Un puzzle théorique

Le statut évolutif des sous-naines est longtemps resté un mystère pour les spécialistes de l'évolution stellaire. Les difficultés rencontrées pour faire passer des chemins évolutifs dans la partie du diagramme HR occupée par les sdB, sdOB et sdO (voir e.g., Greenstein & Sargent, 1974) ont favorisé l'apparition de toutes sortes de propositions originales pour tenter d'expliquer, sur un plan théorique, la nature de ces étoiles. Parmi celles-ci, citons l'hypothèse de l'évolution binaire (Mengel et al., 1976) où les transferts de masse d'une composante en phase géante rouge remplissant son lobe de Roche vers un compagnon seraient en mesure de créer une étoile avec un cœur d'hélium généralement inerte et dégénéré surmonté, éventuellement, d'une très fine couche d'hydrogène. De tels objets traverseraient, au cours de leur évolution, les régions du diagramme HR occupées par les sdB et sdOB (voir Iben & Tutukov, 1986) avant de rejoindre la séquence de refroidissement des naines blanches. Quoi qu'il en soit, les temps évolutifs dans le cadre de ce scénario (de $5 \times 10^6$ à $5 \times 10^3$ années environ) sont beaucoup trop courts pour être compatibles avec la densité de naines blanches observées (Saffer et al., 1994). Une autre hypothèse s'appuie sur la possibilité de fusion de deux cœurs dégénérés He-He ou CO-He, suite à une évolution binaire serrée (Iben, 1990), qui conduit à la formation d'une étoile de faible masse ($0.3 \text{ à } 0.7 M_\odot$) de structure similaire à celle des étoiles de la HeMS<fnref n="4" />. La difficulté de ce scénario provient de la trop grande dispersion en masse qui mène à une distribution dans le diagramme HR incompatible avec celle des sdB et sdOB (Saffer et al., 1994). De plus, il nécessite l'existence d'un trop grand nombre de systèmes triples puisqu'environ 60% des sdB connues à ce jour sont membres de systèmes binaires (Allard et al., 1994). D'autres propositions basées uniquement sur l'évolution de systèmes simples ont également vu le jour (e.g. Faulkner, 1972; Sweigart et al., 1974; Wesemael et al., 1982). Parmi celles-ci, l'évolution post branche horizontale (post-HB) permet éventuellement de traverser la région occupée par les sdO mais en aucun cas ne peut coïncider avec la position des sdB (voir néanmoins Demarque & Eder, 1985 pour une estimation des effets causés par d'éventuelles pertes de masse au cours de l'évolution HB).

Ces dernières années, le problème du statut évolutif des étoiles sous-naines s'est acheminé vers une explication plus consistante. Comme l'avaient déjà remarqué plusieurs auteurs au début des années 70 (Faulkner, 1972; Greenstein & Sargent, 1974), il est possible d'interpréter les sdB et sdOB comme

<footnote n="3">³Extended Horizontal Branch</footnote>

<footnote n="4">⁴Helium Main Sequence (Paczyński, 1971)</footnote>
une extension de la branche horizontale (EHB) vers de plus hautes températures et gravités de surface. D'après ce scénario, les sdB et sdOB seraient alors des étoiles de masse ~ 0.5 $M_\odot$ en phase de combustion centrale de l'hélium (à l'instar des étoiles de la branche horizontale) surmontées d'une très mince enveloppe d'hydrogène de masse < 0.02 $M_\odot$ (e.g. Caloi, 1972; Sweigart et al., 1974). A l'époque, cette interprétation avait été rejetée en raison des difficultés à invoquer un mécanisme de perte de masse capable de supprimer la quasi totalité de l'enveloppe avant et/ou pendant le flash de l'hélium, au sommet de la branche des géantes (Sweigart et al., 1974). L'idée a cependant été reprise par Heber et al., 1984b suite à plusieurs travaux théoriques portant sur cette brève et violente phase de l'évolution stellaire (e.g. Deupree & Cole, 1981) et laissant entrevoir des possibilités jusqu'alors insoupçonnées d'importantes expulsions de masse. Aujourd'hui, les récents modèles évolutifs de EHB (Caloi, 1989; Horch et al., 1992; Dorman et al., 1993; Castellani et al., 1995; Dorman, 1996), associés à la reconnaissance du fait que les processus de perte de masse dans la phase géante rouge semblent apparamment en mesure de produire assez naturellement des étoiles de ce type (D'Cruz et al., 1996, ou encore Sweigart, 1997), corroborent largement l'idée originellement avancée par Faulkner.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 2.1: Représentation schématique des divers chemins évolutifs ouverts aux étoiles de la branche horizontale (c.f., texte). Les objets sur la EHB ne disposent pas d'enveloppes suffisamment massives pour atteindre les phases évolutives AGB et post-AGB (P-AGB dans la figure) habituelles. La figure est inspirée de Dorman et al., 1993 (Fig. 1).</figcaption></figure>
La morphologie de la branche horizontale dans le diagramme HR peut être comprise et reproduite si toutes les étoiles qui la composent possèdent un noyau d'hélium de masse $M_c$ essentiellement fixe (aux alentours de $0.48 M_\odot$ avec une très faible dispersion) surmonté d'une enveloppe de masse $M_{\text{env}}$ variable. Pour ces objets, $M_{\text{env}}$ constitue le paramètre critique qui détermine la position de l'étoile dans le diagramme HR ainsi que son évolution subséquente (voir par exemple Dorman, 1992b et Dorman et al., 1993). L'enveloppe agit principalement comme une couche isolante entre le noyau d'hélium initialement identique pour chaque objet et l'espace circumstellaire. Plus elle est épaisse (jusqu'à $M_{\text{env}} \simeq 0.5 M_\odot$), moins l'étoile sera chaude en surface (jusqu'à $T_{\text{eff}} \simeq 5000$ K) et inversement, plus l'enveloppe de l'étoile est ténue, plus sa température effective est élevée. La figure 2.1 tirée de Dorman et al., 1993 (fig. 1) reproduit schématiquement les différents chemins évolutifs accessibles à ces objets. Lorsque l'enveloppe est de masse suffisante ($M_{\text{env}} \gtrsim 0.02 M_\odot$), l'étoile appartient à la branche horizontale standard (HB) et son évolution s'effectue de façon classique à travers les phases AGB et post-AGB (P-AGB dans la figure) conduisant à la formation d'une nébuleuse planétaire. Si l'enveloppe d'origine n'est pas suffisamment massive ($M_{\text{env}} \lesssim 0.02 M_\odot$), l'étoile se place sur la EHB car elle n'atteindra jamais la phase des pulses thermiques au sommet de la branche asymptotique et rejoindra donc la séquence de refroidissement des naines blanches sans passer par la phase des nébuleuses planétaires. Deux parcours sont possibles pour les objets de la EHB. Si $M_{\text{env}}$ reste néanmoins suffisamment élevée, l'étoile est en mesure de développer, à un moment donné de sa vie (en phase post-EHB principalement), une enveloppe convective qui la propulse sur la branche asymptotique des géantes. Toutefois, consumée à sa base par les réactions nucléaires du brûlage en couche de l'hydrogène et évaporée en surface par le vent stellaire, l'enveloppe de l'étoile ne peut demeurer convective jusqu'au sommet de la branche asymptotique. Celle-ci quitte donc l'AGB avant les pulses thermiques pour rejoindre les naines blanches via le chemin P-EAGB ("Post-Early AGB"). Pour les modèles extrêmes de la EHB que l'on identifie aux sdB, la masse de l'enveloppe est tellement faible que l'essentiel de la luminosité provient des réactions nucléaires impliquant l'hélium au centre de l'étoile. L'enveloppe reste alors inerte et l'étoile demeure à haute température ($\gtrsim 20000$ K) tout au long de son évolution post-EHB pour ensuite rejoindre la séquence de refroidissement des naines blanches. Ces étoiles ne passent donc pas par le chemin évolutif habituel de la branche asymptotique et, a fortiori, par la phase des nébuleuses planétaires. Ces étoiles post-EHB en phase de brûlage de l'hélium en couche, auxquelles on se réfère habituellement sous le nom d' "AGB-Manqué" (Greggio & Renzini, 1990), sont par ailleurs identifiées en partie aux étoiles sous-naines de type O que l'on observe dans le champ (Dorman et al., 1995).

### 2.2.3 Les anomalies d'abondances

Les étoiles sous-naines de type B<fnref n="5" /> possèdent un trait de caractère très particulier qui se révèlera d'une importance capitale un peu plus tard, dans le contexte des pulsations. Depuis les années 70, suite aux travaux précurseurs de Baschek & Norris, 1970 et Greenstein & Sargent, 1974, il est bien connu que les sdB présentent des compositions chimiques de surface totalement atypiques. Les anomalies d'abondances sont observées aussi bien pour l'hélium, principal constituant des étoiles après l'hydrogène, que pour plusieurs éléments lourds ou métaux habituellement présents sous formes de traces dans les atmosphères stellaires (en particulier C, N et Si; voir par exemple Heber, 1991). Ces anomalies ont très vite été attribuées, dans les années 80, aux processus de diffusion des éléments

<footnote n="5">⁵Sous cette étiquette nous incluons à présent, et pour la suite des discussions, les deux classes définies spectroscopiquement sous les noms de sdB et sdOB.</footnote>
chimiques qui peuvent, dans les sdB, s'établir très rapidement comparativement aux temps évolutifs typiques pour ces étoiles (Michaud et al., 1985; Michaud et al., 1989; mais aussi Wesemael et al., 1982 et Bergeron et al., 1988).

Les anomalies d'abondances dans les sdB sont maintenant particulièrement bien documentées pour l'hélium grâce aux efforts, au cours des années 90, de plusieurs groupes (Moehler et al., 1990; Theissen et al., 1993; Saffer et al., 1994; et Allard et al., 1998) qui ont pu déterminer, à l'aide de modélisations d'atmosphères poussées combinées avec la spectroscopie optique, les propriétés de surface d'un grand nombre de ces objets. De ces travaux, synthétisés dans la figure 2.2 (initialement la figure 1 de Fontaine & Chayer, 1998) pour un échantillon de 141 étoiles (cercles pleins), il ressort que la majorité des sdB ont typiquement des déficiences en hélium s'élevant à plus d'un ordre de grandeur (en nombre) par rapport à l'abondance cosmique (ligne pointillée). La dispersion est néanmoins très marquée puisque, dans l'échantillon, quelques objets aux proportions d'hélium normales côtoient des étoiles avec des sous-abondances très prononcées ($N(He)/N(H) \lesssim 10^{-4}$).

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Figure 2.2: Abondances photosphériques d'hélium (log N(He)/N(H); en nombre) pour un échantillon de 141 sdB en fonction de leur température effective respective ($T_{eff}$). La ligne horizontale en pointillés correspond à la valeur habituelle pour le rapport $N(He)/N(H)$. Les courbes en trait plein, tirets et longs tirets donnent les abondances de surface prédites, à l'équilibre, par la théorie de la lévitation radialive et du triage gravitationnel pour les modèles avec log g = 5.0, 5.5 et 6.0, respectivement. La figure provient de Fontaine & Chayer, 1998 (fig. 1).
Le processus invoqué pour expliquer les déficiences en hélium dans les sdB est relié à l'action du champ gravitationnel sur les différents éléments qui composent le gaz de l'étoile. Les éléments plus lourds, comme l'hélium comparativement à l'hydrogène, ont tendance à couler sous l'action de la gravité; ce phénomène porte le nom de triage gravitationnel. Dans ces étoiles, le temps caractéristique pour que l'hélium disparaisse en dessous de la photosphère est évalué à $10^4$ années environ (c.f., Wesemael et al., 1982), beaucoup plus court que le temps évolutif typique ($10^8$ ans). En l'absence de processus compétiteur, le triage gravitationnel est donc en mesure de supprimer la totalité de l'hélium dans l'atmosphère des sdB. Aussi, la constatation qu'il subsiste des traces de cet élément dans les étoiles observées suggère clairement l'existence d'un mécanisme capable de contrecarrer ou de ralentir l'effet de la gravité.

L'opposante naturelle au processus de triage est la lévitation radiative qui, par pression selective des photons sur certains éléments constituant le gaz, permet d'en supporter une quantité minimale dans une région où aucun d'entre eux n'aurait, autrement, pu demeurer très longtemps sans sombrer. Les courbes en trait plein, tiret et longs tirets dans la figure 2.2 — courbes réalisées pour les sdB par Fontaine & Chayer, 1998 avec les mêmes outils numériques utilisés par Chayer et al., 1995a et Chayer et al., 1995b dans un contexte d'étoiles naines blanches — montrent les quantités d'hélium supportées par pression radiative dans l'hypothèse d'un strict équilibre entre l'accélération radiative appliquée sur cet élément et la gravité effective pour des modèles avec $log g = 5.0, 5.5$ et $6.0$, respectivement. Ces résultats assurent sans ambiguïté que la lévitation radiative, bien qu'elle assure une abondance minimale en surface pour l'hélium, n'est pas suffisante (les rapports N(He)/N(H) prédits sont environ 2 ordres de grandeur trop faibles) pour rendre compte à elle seule des quantités observées dans les atmosphères des sdB. En conséquence, d'autres mécanismes additionnels sont nécessaires pour lutter contre les effets du triage gravitationnel.

Une possibilité très souvent mise en avant est celle d'un vent stellaire faible qui, en imposant un champ de vitesse radial orienté vers l'extérieur de l'étoile, pourrait éventuellement contrer efficacement la “chute” vers l'intérieur, engendrée par le triage gravitationnel, des éléments lourds (par exemple, Michaud et al., 1985; Michaud et al., 1989; Heber, 1991). Dans Fontaine & Chayer, 1998, des calculs effectués en introduisant les effets d'un vent de faible intensité en sus des mécanismes de tri par gravité et de lévitation radiative démontrent qu'il est possible de maintenir des niveaux d'abondance d'hélium semblables à ce qui est observé durant un laps de temps suffisamment long comparativement à la durée de vie de ces étoiles si les taux de perte de masse se situent autour de $M \approx 10^{-14} - 10^{-13} M_\odot$/an.

En ce qui nous concerne, retenons surtout que ces résultats suggèrent fortement que les processus de diffusion des éléments chimiques (hélium mais aussi éléments lourds) sont communs dans les étoiles sous-naines de type B bien qu'ils ne puissent, dans la plupart des cas, être les seuls à influencer les abondances. Les vents stellaires faibles joueraient également un rôle important dans ce domaine.

## 2.3 Structures évolutives

Pour évaluer par le calcul les propriétés sismiques des étoiles sous-naines de type B, il est indispensable d'apporter au système des équations d'oscillation à résoudre les quantités non perturbées adéquates. Il est très clair que les résultats dépendront pour une bonne part du degré de réalisme des
structures qui seront utilisées pour modéliser ces objets. Aussi, la première catégorie de modèles sur lesquels ce projet va s'appuyer consiste en une série de structures évolutives appartenant aux séquences de la branche horizontale étendue (EHB) qui correspondent à ces étoiles. Dans cette section, nous allons donc présenter plus en détails les aspects principaux de leur structure ainsi que les ingrédients physiques qui entrent dans la composition de ces modèles. Il sera aussi possible, à travers les profils de diverses quantités physiques comme par exemple la fréquence de Brunt-Väisälä et la fréquence de Lamb, d'établir, à titre indicatif et bien avant d'effectuer le moindre calcul numérique, quelques prédictions qualitatives quant à la nature et les propriétés des modes d'oscillation dans ces objets. On pourra aussi relever quelques aspects de leur structure qui offrent potentiellement de quoi déstabiliser des modes et engendrer des pulsations dans les sdB.

### 2.3.1 Généralités

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 2.3: Coupe schématique de la structure d'une sdB d'après les modèles évolutifs de EHB. Le noyau convectif où se tiennent les réactions nucléaires impliquant l'hélium (I), la partie radiative du cœur composée d'hélium (presque) pur (II), l'enveloppe riche en hydrogène (III), ainsi que la zone de convection HeII/HeIII (IV) sont indiqués. Les deux échelles en $log q \equiv \log(1 - M(r)/M_*)$ et $log T$ sont issues d'un modèle à $T_{\text{eff}} = 31310$ K, $\log g = 5.75$, $M_c = 0.4758 M_\odot$, $M_{\text{env}} = 0.0002 M_\odot$ et d'âge $\sim 62$ millions d'années depuis la ZAEHB.</figcaption></figure>

Dans la précédente section, il a déjà été mentionné que les étoiles sous-naines de type B sont des objets appartenant à la branche horizontale étendue (EHB) dont les masses individuelles ($\sim 0.5 M_\odot$) varient peu au sein du groupe. Ces étoiles sont donc dans une phase paisible de fusion nucléaire centrale de l'hélium en carbone/oxygène et leur structure ressemble schématiquement à ce qui est présenté dans la figure 2.3. Ces objets possèdent un cœur en hélium (régions I + II), résidu de la première phase de brûlage nucléaire de l'hydrogène, dont la masse est essentiellement constante pour toutes les étoiles de la branche horizontale. La forte dépendance en température du taux de réactions nucléaires de la chaîne triple-$\alpha$ ($\propto T^{32}$) est responsable de la formation d'un noyau convectif au centre de l'étoile (région I). En remontant vers la surface, le taux de réactions nucléaires chute rapidement et le cœur en hélium devient radiatif (région II). Ce cœur est surmonté d'une enveloppe riche en hydrogène (régions III et IV) dont la masse ($M_{\text{env}}$) est le paramètre fondamental qui va déterminer la position sur la branche horizontale.

(en terme, par exemple, de la température effective et de la gravité de surface) et conditionner l'évolution subséquente de l'étoile (c.f. encore une fois Dorman et al., 1993). La base de l'enveloppe, entre la zone II et la zone III, est en effet le théâtre d'une activité nucléaire, plus ou moins intense selon l'importance de son épaisseur, qui met en jeu la fusion de l'hydrogène en hélium. Les objets de la branche horizontale disposent donc de deux régions génératrices d'énergie et si la zone de brûlage de l'hydrogène est suffisamment puissante à la base de l'enveloppe (lorsque $M_{\text{env}}$ est assez élevée), elle
peut en modifier fortement la structure et la rendre éventuellement convective. Les étoiles de la EHB sont caractérisées par une $M_{\text{env}}$ extrêmement faible et la luminosité provenant des couches de brûlage de l'hydrogène est, durant une grande partie de l'évolution suivie, négligeable devant celle issue de la combustion centrale de l'hélium (i.e., la luminosité de l'étoile ne dépend, pratiquement, que de la masse du cœur). Ainsi, l'enveloppe d'hydrogène de ces objets reste inerte au cours de l'évolution et les étoiles de la EHB, identifiables aux sdB, demeurent toujours à hautes températures. Remarquons que l'existence de cette région de combustion en couche de l'hydrogène présente un intérêt potentiel pour les pulsations à travers le mécanisme déstabilisateur associé aux réactions nucléaires (mécanisme $\epsilon$; voir Chapitre 1, section 1.6). Pour ces objets, le brûlage semble cependant trop faible pour déstabiliser efficacement des modes d'oscillation$^6$. Dans la figure 2.3, la région IV indique l'emplacement d'une mince zone convective engendrée par l'ionisation partielle $He_{II}/He_{III}$. C'est une caractéristique générale des modèles de la EHB que de posséder cette région convective proche de la surface. La remarque peut paraître anodine mais il y a ici un potentiel intéressant dans le contexte des pulsations puisqu'une telle région peut éventuellement déstabiliser des modes à travers le mécanisme d'opacité (mécanisme $\kappa$; voir Chapitre 1, section 1.6). Il existe de plus une analogie intéressante avec les DBV (c.f. Chapitre 1; Winget et al., 1983), une classe d'étoiles naines blanches pulsantes possédant une zone convective d'hélium similaire qui s'avère effectivement responsable des instabilités observées.

Les deux échelles de température (log T) et de profondeur, exprimée en fraction de masse (log q ≡ log(1 − M(r)/M$_{*}$) ou M(r) est la masse contenue dans la sphère de rayon r et M$_{*}$ est la masse totale de l'étoile), sont issues d'un modèle type représentatif des sdB (voir la section 2.3.3) qui servira d'illustration par la suite et dont les paramètres physiques sont une température effective $T_{\text{eff}}$=31310 K, une gravité de surface log q=5.75, une masse du cœur $M_c$=0.4758 M$_{\odot}$, une masse pour l'enveloppe $M_{\text{env}}$=0.0002 M$_{\odot}$ et un âge de 62 millions d'années environ depuis la branche horizontale d'âge zéro (ZAHB). L'échelle en log q (log q=0 au centre et log q = −∞ à la surface) sera abondamment utilisée par la suite puisqu'elle permet de mettre en valeur les régions externes de l'étoile où l'essentiel des comportements de pulsation prennent corps. Le modèle utilisé comme référence est typique des modèles évolutifs de sous-naines pour lesquelles l'enveloppe compte pour moins de 1% de la masse totale de l'étoile (i.e., log q(H) = log(M$_{\text{env}}$/M$_{*}$) ≲ −2).

## 2.3.2 Construction des modèles

Les structures évolutives à notre disposition nous ont été données par B. Dorman (1995, communication privée). Ce sont les modèles les plus réalistes à ce jour pour ce type d'étoiles et bien que leur structure soit discutée en détails dans Dorman, 1992b; Dorman, 1992a; et Dorman et al., 1993, nous allons néanmoins les étudier d'un peu plus près.

Comme les étoiles sur la branche horizontale ont atteint un stade avancé de leur évolution, leur structure résulte, à divers degrés, de toute leur histoire passée. Rigoureusement, pour modéliser ces objets, il faudrait suivre leur évolution depuis la naissance sur la séquence principale jusqu'à l'arrivée sur la branche horizontale. En pratique, cette approche s'avère difficile en raison des multiples

<footnote>$^6$Cette remarque vaut pour les sdB mais il est intéressant de noter qu'au cours de l'évolution post-EHB (ou AGB-manqué) vers la séquence de refroidissement des naines blanches, la situation change et cette région de brûlage en couche peut contribuer à plus de 50% à la luminosité totale de l'étoile. Le potentiel du mécanisme $\epsilon$ pour ces objets assimilables aux étoiles sdO puis aux naines blanches de type DAO s'en trouve décuplé (voir Charpinet et al., 1997b et le Chapitre 6).</footnote>
embûches que recellent, pour la modélisation, certaines phases de l'évolution stellaire. En particulier, pour les étoiles de faible masse ($\lesssim 8 M_\odot$), le passage du flash de l'hélium<fnref n="7" /> au sommet de la branche des géantes rouges, est un événement suffisamment rapide et violent pour perturber les codes d'évolution. De ce fait, il est plus simple et plus judicieux, en l'absence d'un traitement numérique suffisamment réaliste et robuste pour suivre une telle transition violente, de reprendre les calculs évolutifs après le flash de l'hélium en postulant une structure initiale appropriée. Afin de refléter le mieux possible l'histoire de l'étoile, cette structure initiale se doit de tenir compte de toutes les contraintes imposées par les phases évolutives antérieures.

Les modèles initiaux, sur la branche horizontale d'âge zéro (ZAHB), sont construits à partir de modèles de géantes rouges sur le point de déclencher le flash de l'hélium (pour ces modèles, voir VandenBerg, 1992) et selon la procédure décrite dans Dorman et al., 1991. Le noyau riche en hélium (résidu du brûlage nucléaire de l'hydrogène) est intégralement repris pour former le cœur de l'étoile sur la branche horizontale. Sa masse est donc déterminée par la masse critique à laquelle la dégénérescence du noyau est levée au cours du flash. Cette quantité dépend très peu de la masse totale initiale de la géante rouge. C'est la raison pour laquelle toutes les étoiles sur la branche horizontale ont, à peu de choses près, un cœur de même masse ($\sim 0.5 M_\odot$). Ce qui différencie les modèles entre eux, c'est la quantité de matière conservée pour former l'enveloppe riche en hydrogène. Cette quantité, qui dépend des mécanismes encore bien mal connus de pertes de masse dans la phase géante rouge, est considérée comme un paramètre libre qui caractérise le modèle. La masse de l'enveloppe se situe généralement entre 0 et $\sim 0.5 M_\odot$ et pour les étoiles de la branche horizontale étendue (EHB), assimilables aux sdB, elle est très petite.

Construire les modèles d'étoiles de la EHB et les faire évoluer nécessite de résoudre les équations physiques qui gouvernent les structures stellaires. Elles sont l'expression des lois de l'hydrodynamique et de la thermodynamique des gaz auxquelles s'ajoutent les équations et données pour la génération et le transfert de l'énergie par radiation, conduction et/ou convection (c.f., Chapitre 1, section 1.3 pour une liste des équations non-perturbées). Il serait ici hors de propos de s'aventurer dans les méandres des techniques de résolution de ces équations (voir pour celà Cox & Giuli, 1968) mais un aperçu des ingrédients physiques qui entrent dans la construction des modèles de sdB est néanmoins nécessaire.

* Les opacités radiatives utilisées dans le calcul des modèles sont interpolées dans les tables d'OPAL décrites par Rogers & Iglesias, 1992. Celles-ci incluent la contribution d'une mixture d'éléments chimiques plus lourds que H et He et supposés en proportions solaires selon la prescription "Grevesse & Noels, 1993". Dans le noyau, des tables avec H et He variables sont utilisées.

* Les opacités conductives sont issues des tables d'Itoh et al., 1983

* Les taux de réactions nucléaires pour la chaîne triple-$\alpha$ impliquant l'hélium ainsi que pour celles mettant en jeu l'hydrogène (à la base de l'enveloppe) par les cycles p-p et CNO sont calculés d'après les tables de Caughlan & Fowler, 1988

* Les régions convectives au centre et dans la zone d'ionisation partielle $He_{II}/He_{III}$ sont traitées suivant la théorie habituelle de la longueur de mélange avec le paramètre $\alpha = 1/H_p$ (où $H_p$ est

<footnote n="7">⁷Le flash de l'hélium correspond à l'allumage des réactions nucléaires de la chaîne triple-$\alpha$ dans des conditions dégénérées. Cela conduit à un emballement du processus nucléaire qui provoque une situation explosive.</footnote>
la hauteur caractéristique de pression) fixé à 1.5 (VandenBerg & Poll, 1989).

* Le traitement de la région semi-convective qui s'instaure au dessus du noyau convectif au cours de l'évolution sur la EHB (donc avant l'épuisement de l'hélium et l'arrêt des réactions nucléaires centrales) est utilisé selon les prescriptions de Dorman & Rood, 1993 et Dorman, 1996.

* Le comportement du gaz est décrit par l'équation d'état EFF (Eggleton et al., 1973). Cette équation d'état est appropriée pour un gaz parfait arbitrairement relativiste et/ou dégénéré. Elle simule, en plus, les effets de l'ionisation par pression (non-inclus dans les équations habituelles de Saha) en apportant une correction phénoménologique dépendant de la densité du gaz au potentiel d'ionisation de chaque espèce atomique présente. A noter que les effets non-idéaux ne sont pas pris en compte dans cette équation d'état. Si l'approximation du gaz parfait est justifiée pour un gaz majoritairement constitué d'hélium, elle ne l'est plus pour un gaz constitué de carbone/oxygène (i.e., $\Gamma = E_{coulomb}/E_{therm} \sim 1$ pour un gaz de C/O). Donc, les effets non-idéaux deviennent, au cours de l'évolution sur la branche horizontale, de plus en plus importants à mesure que l'hélium central est transformé en carbone/oxygène et, rigoureusement, ils ne peuvent plus être négligés. Cette carence dans le traitement de l'équation d'état fera certainement l'objet d'améliorations dans un futur proche.

* Pour le calcul des modèles, la composition de l'enveloppe est supposée solaire avec la fraction de masse de l'hélium $Y = 0.29911$ et la fraction de masse des éléments lourds $Z = 0.017178$. Le reste ($1 - Y - Z = 0.683712$) est de l'hydrogène. Ces valeurs sont justifiées pour les étoiles du champ mais notons néanmoins que ces modèles ne tiennent pas compte des processus de diffusion des éléments chimiques mentionnés à la section 2.2.3 et que la métallicité y est donc uniforme.

Tous ces éléments de la physique constitutive sont typiques de ce que l'on rencontre aujourd'hui dans l'élaboration des modèles d'étoiles appartenant à la branche horizontale (HB et EHB).

### 2.3.3 Séquences évolutives

Afin de mener à bien cette étude systématique des pulsations dans les étoiles sous-naines de type B, il est nécessaire de travailler sur un ensemble de modèles dont les paramètres sont globalement représentatifs de la distribution observée pour ces objets. Les séquences dont nous disposons sont au nombre de 7 et couvrent, comme nous le montre la figure 2.4, la majeure partie du plan $log g - T_{eff}$<fnref n="8" /> peuplé par les sdB connues. Elles ont été calculées pour des enveloppes de masses $M_{env} = 0.0001, 0.0002, 0.0007, 0.0012, 0.0022, 0.0032$ et $0.0042 M_{\odot}$; les modèles les plus chauds possédant les enveloppes les plus minces. Pour les 7 séquences, la masse du cœur est essentiellement constante, fixée à $0.4758 M_{\odot}$ sauf pour les deux séquences avec $M_{env} = 0.0001$ et $0.0007 M_{\odot}$ pour lesquelles $M_c = 0.4690 M_{\odot}$. Toutes s'étendent de la ZAEHB (premier modèle de la série) jusqu'à la séquence de refroidissement des naines blanches. Les principales quantités physiques qui caractérisent chaque modèle de chaque séquence sont disponibles en Annexe A et dans le tableau 2.1 pour une séquence de référence dont la masse vaut $M = 0.4758 + 0.0002 M_{\odot}$ (c'est-à-dire $M_c = 0.4758 M_{\odot}$ et $M_{env} = 0.0002 M_{\odot}$). Les colonnes des tableaux donnent respectivement de gauche à droite le numéro (#) du modèle dans la séquence; son âge exprimé

<footnote n="8">⁸La représentation des séquences dans ce plan est préférable à celle, plus habituelle, dans le diagramme HR pour la simple raison que les quantités directement mesurées grâce aux techniques de modélisations d'atmosphères sont la température effective et la gravité de surface (et non la luminosité) de l'étoile.</footnote>
en millions d'années depuis la ZAEHB; sa luminosité totale (log L/L☉); sa température effective (Teff en Kelvin); sa gravité de surface (log g, avec g en cm.s⁻²); la quantité d'hélium au centre exprimée en fraction de masse (Yc); la température centrale (log Tc, avec Tc en Kelvin); la densité centrale (log ρc, avec ρc en g.cm⁻³); la pression centrale (log Pc, avec Pc en dixièmes de Pascals); et la limite supérieure du cœur convectif (log qcc = log(1 − Mcc/M*), où Mcc est la masse du cœur convectif et M* la masse totale de l'étoile).

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 2.4: Séquences évolutives associées aux sdB observées (cercles vides; d'après Saffer et al., 1994) dans un diagramme log g − T$_{eff}$. Les 7 séquences calculées par B. Dorman possèdent, respectivement de gauche (hautes T$_{eff}$) à droite (basses T$_{eff}$), une enveloppe de masse M$_{env}$ = 0.0001, 0.0002, 0.0007, 0.0012, 0.0022, 0.0032 et 0.0042 M☉. La masse du cœur est M$_{c}$ = 0.4758 M☉ pour toutes les séquences sauf pour la première et la troisième (en partant de la gauche) pour lesquelles M$_{c}$ = 0.4690 M☉. Chaque carré plein représente un modèle dans une séquence.</figcaption></figure>

Dans le tableau 2.1 (et également dans ceux de l'Annexe A), les principales phases traversées par les modèles au cours de l'évolution sont indiquées. Celle-ci commence sur la branche horizontale d'âge zéro (ZAEHB) et se poursuit lentement tant et aussi longtemps que l'hélium demeure disponible dans les régions centrales pour produire l'énergie nécessaire au soutien de l'étoile. Cette phase persiste durant 100 millions d'années environ, correspondant au temps nécessaire pour épuiser le carburant nucléaire dans le noyau. Durant celle-ci, l'étoile amorce un léger mouvement vers de plus faibles températures effectives et gravités de surface (l'étoile se dilate) pour ensuite, vers 90 millions d'années, s'engager sur une voie de contraction pour compenser la baisse d'efficacité des réactions nucléaires du fait de la
raréfaction du combustible ($T_c$ et $\rho_c$ augmentent). L'enveloppe étant inerte, toute l'étoile se contracte ainsi $T_{eff}$ et $\log g$ augmentent également. L'étoile développe, durant la phase EHB, un imposant noyau convectif (jusqu'à 47% de la masse totale de l'objet) qui, dans les premiers temps, s'étend vers les régions externes pour ensuite se stabiliser plus ou moins (présence de petites oscillations). Vers 107

<table><caption>Tableau 2.1: Principaux paramètres physiques pour les modèles appartenant à la séquence évolutive $M = 0.4758+0.0002 M_\odot$ fournie par Dorman, 1995 (communication privée). La séquence s'étend de la ZAEHB (modèle #1) jusqu'à la phase des naines blanches (derniers modèles). La signification des quantités présentées pour chaque modèle est donnée dans le texte (voir aussi l'Annexe A).</caption><thead><tr><th rowspan="2">#</th><th rowspan="2">Age</th><th colspan="3">surface</th><th colspan="5">centre</th></tr><tr><th>log L/L<sub>☉</sub></th><th>T<sub>eff</sub></th><th>log g</th><th>Y<sub>c</sub></th><th>log T<sub>c</sub></th><th>log ρ<sub>c</sub></th><th>log P<sub>c</sub></th><th>log q<sub>cc</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="10"><strong>ZAEHB</strong></td></tr><tr><td>1</td><td>1.79</td><td>1.156</td><td>31462</td><td>5.898</td><td>0.928</td><td>8.066</td><td>4.353</td><td>20.257</td><td>-0.113</td></tr><tr><td>2</td><td>12.06</td><td>1.184</td><td>31399</td><td>5.866</td><td>0.811</td><td>8.072</td><td>4.348</td><td>20.244</td><td>-0.140</td></tr><tr><td>3</td><td>18.98</td><td>1.200</td><td>31351</td><td>5.847</td><td>0.750</td><td>8.075</td><td>4.342</td><td>20.234</td><td>-0.158</td></tr><tr><td>4</td><td>21.73</td><td>1.206</td><td>31331</td><td>5.840</td><td>0.727</td><td>8.076</td><td>4.340</td><td>20.230</td><td>-0.165</td></tr><tr><td>5</td><td>28.83</td><td>1.221</td><td>31292</td><td>5.823</td><td>0.673</td><td>8.080</td><td>4.333</td><td>20.220</td><td>-0.184</td></tr><tr><td>6</td><td>46.87</td><td>1.259</td><td>31253</td><td>5.783</td><td>0.537</td><td>8.090</td><td>4.321</td><td>20.201</td><td>-0.215</td></tr><tr><td>7<sup>†</sup></td><td>61.90</td><td>1.294</td><td>31310</td><td>5.751</td><td>0.418</td><td>8.100</td><td>4.317</td><td>20.193</td><td>-0.239</td></tr><tr><td>8</td><td>73.01</td><td>1.324</td><td>31454</td><td>5.729</td><td>0.317</td><td>8.110</td><td>4.322</td><td>20.196</td><td>-0.252</td></tr><tr><td>9</td><td>81.14</td><td>1.350</td><td>31679</td><td>5.715</td><td>0.236</td><td>8.121</td><td>4.333</td><td>20.209</td><td>-0.196</td></tr><tr><td>10</td><td>87.19</td><td>1.371</td><td>31968</td><td>5.710</td><td>0.175</td><td>8.132</td><td>4.350</td><td>20.230</td><td>-0.269</td></tr><tr><td>11</td><td>91.79</td><td>1.387</td><td>32300</td><td>5.713</td><td>0.129</td><td>8.142</td><td>4.371</td><td>20.256</td><td>-0.248</td></tr><tr><td>12</td><td>95.14</td><td>1.398</td><td>32632</td><td>5.719</td><td>0.099</td><td>8.151</td><td>4.391</td><td>20.282</td><td>-0.275</td></tr><tr><td>13</td><td>97.94</td><td>1.407</td><td>33014</td><td>5.730</td><td>0.073</td><td>8.160</td><td>4.415</td><td>20.312</td><td>-0.163</td></tr><tr><td>14</td><td>100.12</td><td>1.415</td><td>33416</td><td>5.743</td><td>0.054</td><td>8.169</td><td>4.440</td><td>20.345</td><td>-0.278</td></tr><tr><td>15</td><td>101.71</td><td>1.419</td><td>33779</td><td>5.757</td><td>0.041</td><td>8.177</td><td>4.462</td><td>20.374</td><td>-0.160</td></tr><tr><td>16</td><td>103.17</td><td>1.424</td><td>34223</td><td>5.775</td><td>0.030</td><td>8.185</td><td>4.489</td><td>20.409</td><td>-0.190</td></tr><tr><td>17</td><td>104.28</td><td>1.427</td><td>34616</td><td>5.792</td><td>0.022</td><td>8.193</td><td>4.512</td><td>20.440</td><td>-0.200</td></tr><tr><td>18</td><td>106.49</td><td>1.439</td><td>36479</td><td>5.871</td><td>0.005</td><td>8.223</td><td>4.622</td><td>20.585</td><td>-0.132</td></tr><tr><td>19</td><td>107.23</td><td>1.495</td><td>39863</td><td>5.970</td><td>0.000</td><td>8.254</td><td>4.819</td><td>20.835</td><td>-0.011</td></tr><tr><td colspan="10"><strong>Disparition du noyau convectif</strong></td></tr><tr><td>20</td><td>107.37</td><td>1.524</td><td>41473</td><td>6.009</td><td>0.000</td><td>8.247</td><td>4.924</td><td>20.956</td><td>0.000</td></tr><tr><td>21</td><td>107.60</td><td>1.522</td><td>43301</td><td>6.086</td><td>0.000</td><td>8.245</td><td>5.045</td><td>21.103</td><td>0.000</td></tr><tr><td colspan="10"><strong>Brûlage en couche de l'hélium – Evolution post-EHB</strong></td></tr><tr><td>22</td><td>108.59</td><td>1.606</td><td>43771</td><td>6.021</td><td>0.000</td><td>8.177</td><td>5.159</td><td>21.215</td><td>0.000</td></tr><tr><td>23</td><td>116.79</td><td>1.833</td><td>47107</td><td>5.921</td><td>0.000</td><td>8.106</td><td>5.336</td><td>21.436</td><td>0.000</td></tr><tr><td>24</td><td>124.78</td><td>2.036</td><td>53333</td><td>5.935</td><td>0.000</td><td>8.100</td><td>5.517</td><td>21.700</td><td>0.000</td></tr><tr><td>25</td><td>129.01</td><td>2.186</td><td>61358</td><td>6.028</td><td>0.000</td><td>8.080</td><td>5.682</td><td>21.946</td><td>0.000</td></tr><tr><td>26</td><td>131.66</td><td>2.202</td><td>72008</td><td>6.290</td><td>0.000</td><td>8.043</td><td>5.839</td><td>22.181</td><td>0.000</td></tr><tr><td>27</td><td>133.08</td><td>1.816</td><td>75458</td><td>6.757</td><td>0.000</td><td>8.015</td><td>5.954</td><td>22.356</td><td>0.000</td></tr><tr><td colspan="10"><strong>Séquence de refroidissement – Evolution naine blanche</strong></td></tr><tr><td>28</td><td>133.59</td><td>1.160</td><td>63616</td><td>7.116</td><td>0.000</td><td>8.006</td><td>6.023</td><td>22.462</td><td>0.000</td></tr><tr><td>29</td><td>134.52</td><td>0.663</td><td>53340</td><td>7.307</td><td>0.000</td><td>7.956</td><td>6.089</td><td>22.561</td><td>0.000</td></tr><tr><td>30</td><td>136.77</td><td>0.103</td><td>42215</td><td>7.461</td><td>0.000</td><td>7.859</td><td>6.151</td><td>22.654</td><td>0.000</td></tr><tr><td>31</td><td>141.17</td><td>-0.412</td><td>33135</td><td>7.555</td><td>0.000</td><td>7.756</td><td>6.186</td><td>22.705</td><td>0.000</td></tr><tr><td>32</td><td>150.06</td><td>-0.902</td><td>25908</td><td>7.618</td><td>0.000</td><td>7.647</td><td>6.206</td><td>22.734</td><td>0.000</td></tr><tr><td>33</td><td>172.62</td><td>-1.377</td><td>20240</td><td>7.664</td><td>0.000</td><td>7.509</td><td>6.218</td><td>22.752</td><td>0.000</td></tr><tr><td>34</td><td>230.67</td><td>-1.845</td><td>15764</td><td>7.698</td><td>0.000</td><td>7.331</td><td>6.227</td><td>22.764</td><td>0.000</td></tr><tr><td>35</td><td>332.43</td><td>-2.308</td><td>12255</td><td>7.724</td><td>0.000</td><td>7.145</td><td>6.232</td><td>22.772</td><td>0.000</td></tr></tbody></table>
millions d'années, l'hélium est épuisé et le cœur convectif disparaît. Dès lors, plus rien ne supporte l'étoile qui s'effondre de plus en plus rapidement sur elle même, la contraction produisant l'essentiel de la luminosité durant cette période. En l'espace de quelques centaines de milliers d'années, la température s'est suffisamment accrue à la base du manteau d'hélium pour que la phase post-EHB correspondant au brûlage en couche de cet élément s'enclenche. En parallèle, la base de l'enveloppe riche en hydrogène commence à brûler plus activement contribuant de plus en plus à la luminosité totale des modèles. La phase post-EHB est caractérisée par un temps évolutif plus court (de 20 à 25 millions d'années) durant laquelle la température effective des modèles s'accroît considérablement à mesure que les zones de brûlage nucléaire en couche progressent vers la surface. La gravité de surface, en baisse dans un premier temps suite à un réajustement structurel des modèles après l'ignition de l'hélium dans le manteau et à la montée en puissance de la coquille d'hydrogène à la base de l'enveloppe, rejoint également une pente croissante qui va conduire l'étoile directement vers la séquence de refroidissement des naines blanches. Durant cette phase post-EHB, les modèles peuvent atteindre des températures aussi élevées que $T_{\text{eff}} \approx 80000$ K pour des luminosités totales $L \sim 100 L_{\odot}$.

Dans le contexte qui nous intéresse, seuls les modèles identifiables aux étoiles sous-naines de type B devront être soumis à l'évaluation des propriétés des pulsations. D'après les paramètres de surface ($\log g$ et $T_{\text{eff}}$) des modèles présentés dans les tableaux à notre disposition et dans la figure 2.4, seuls les structures de la phase EHB correspondent à ces objets (environ 150 modèles parmi les 7 séquences évolutives). Avec l'épuisement des ressources nucléaires au centre, l'évolution devient rapide et très vite les modèles quittent la région d'intérêt. Les températures effectives dans la phase post-EHB sont trop élevées pour être assimilées aux sdB et ces modèles correspondent davantage aux sdO. La fin des séquences est par ailleurs identifiable aux étoiles naines blanches de type DAO (Bergeron et al., 1994).

### 2.3.4 Le modèle de référence

Les modèles de la EHB assimilables aux sdB, bien que leurs paramètres de surface diffèrent d'un objet à l'autre et d'une séquence à l'autre, présentent une structure générale similaire pour l'ensemble de la classe. Aussi est-il intéressant et utile de choisir un modèle typique parmi les séquences afin de l'élever au rang de structure de référence pour l'ensemble des sdB. Le modèle sélectionné appartient à la séquence de masse $M = 0.4758 + 0.0002 M_{\odot}$, est âgé de 62 millions d'années environ depuis la ZAEHB ce qui lui confère les paramètres de surface $T_{\text{eff}}=31310$ K et $\log g \approx 5.75$. Dans le tableau 2.1 il s'agit du modèle #7 signalé par le caractère “†” qui occupe, dans le plan $\log g - T_{\text{eff}}$ de la figure 2.4, une position “centrale” représentative de l'ensemble de l'échantillon des sdB.

Pour compléter davantage la présentation de la structure de ces étoiles, une mosaïque de profils pour diverses quantités physiques décrivant le modèle de référence est présentée dans la figure 2.5. En fonction de la fraction de masse $\log q = \log(1 - m(r)/M_*)$, il s'agit respectivement de gauche à droite et de haut en bas des profils de la masse $\log m(r)$ ($m(r)$ donné en g) à l'intérieur de la sphère de rayon $r$; du rayon $\log r$ ($r$ en cm); de la densité $\log \rho$ ($\rho$ en g.cm$^{-3}$); de la pression $\log P$ ($P$ en dixièmes de Pascals); de la température $\log T$ ($T$ en Kelvin); des gradients de température adiabatique $\nabla_{\text{ad}}$, radiatif $\nabla_{\text{rad}}$ et réel $\nabla$; des compressibilités $\chi_{\rho}$ et $\chi_{T}$; des exposants adiabatiques $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ et $\Gamma_3$; des fractions d'ionisation $N(\text{H}_{\text{II}})/N(\text{H})$, $N(\text{He}_{\text{II}})/N(\text{He})$ et $N(\text{He}_{\text{III}})/N(\text{He})$; de l'opacité de Rosseland $\log \kappa$ ($\kappa$ en cm$^2$/g); des dérivées de l'opacité $\kappa_{,\rho}$ et $\kappa_{,T}$; des fractions de masse pour l'hydrogène (X), l'hélium (Y) et le carbone (C); des luminosités totales $L_{\text{tot}}/L_{\text{surf}}$ et radiatives $L_{\text{rad}}/L_{\text{surf}}$ en fraction de la luminosité
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 2.5: Mosaïque de profils qui illustrent la structure du modèle #7 de la séquence M = 0.4758 + 0.0002 M⊙ constituant dès à présent notre modèle de référence. Chaque quantité physique reproduite est identifiée dans le texte.</figcaption></figure>
de surface $L_{surf}$; du taux de génération d'énergie impliquant l'hélium ($\epsilon_{He}$ en erg/g/s); et du taux de génération d'énergie impliquant l'hydrogène ($\epsilon_{H}$ en erg/g/s).

Outre les profils habituels pour le rayon, la température, la densité et la pression qui sont typiques de la stratification dans ces étoiles relativement compactes, on notera la signature des deux régions convectives à travers les gradients de température. Au centre, vers $log q \simeq 0$, $\nabla_{rad}$ est beaucoup plus grand que $\nabla_{ad}$ signifiant que la radiation seule est incapable d'évacuer l'énergie produite dans le noyau conduisant ainsi à la formation de la région convective centrale. Cette situation se produit également dans une mince région superficielle (vers $log q \simeq -12.2$) correspondant à un pic dans l'opacité de Rosseland identifiable à la région d'ionisation partielle de $He_{II}$ en $He_{III}$ auquel est donc associé une mince zone de convection. Cette région, par le comportement abrupte qu'elle induit dans l'opacité et dans ses dérivées $\kappa, \rho$ et $\kappa, T$, est d'un intérêt particulier pour les pulsations via le mécanisme $\kappa$ souvent rencontré, sous une forme ou sous une autre, pour déstabiliser certaines catégories d'étoiles pulsantes. Notons au passage, le second pic dans l'opacité (vers $log q \simeq -9.8$) occasionné par les éléments lourds très opaques comme le fer. Les profils des fractions de masse des divers constituants qui composent le modèle illustrent clairement la stratification chimique de ces étoiles. L'hydrogène, majoritairement présent dans l'enveloppe ($X \simeq 0.7$) devient inexistant dans les régions internes où il a été complètement consumé durant les phases précédentes sur la séquence principale et sur la branche des géantes. L'hélium, produit du brûlage de l'hydrogène, est majoritaire dans ces régions. Une seconde stratification se met en place dans les couches profondes du modèle alors que l'hélium est transformé en carbone et oxygène (c.f., la distribution de $C$, la fraction de masse pour le carbone). Finalement, les profils de la luminosité et des taux de réactions nucléaires illustrent le fait que la quasi totalité de l'énergie est générée dans les couches centrales de l'étoile par les réactions nucléaires de la chaîne triple-$\alpha$. La région de brûlage de l'hydrogène en couche à la base de l'enveloppe se révèle effectivement d'une extrême faiblesse faisant de celle-ci une bien piètre candidate pour le mécanisme $\epsilon$.

La structure des étoiles de la EHB se reflète également à travers plusieurs quantités physiques d'importance primordiale pour les pulsations. Les plus fondamentales sont les fréquences de Lamb et de Brunt-Väisälä définies au cours de la section 1.3 du Chapitre 1. Pour rappel, leurs expressions sont respectivement

$$L_l^2 = \frac{l(l+1)C_s^2}{r^2} \quad \text{et} \quad N^2 = \frac{g^2 \rho \chi_T}{P \chi_\rho} (\nabla_{ad} - \nabla + B) \qquad (2.1)$$

où $C_s$ est la vitesse adiabatique du son alors que $B$, le terme de Ledoux, contient les effets engendrés par les gradients de composition chimique éventuellement présents dans les étoiles. La figure 2.6 reproduit, à partir des relations (2.1) et pour le modèle de référence, les profils de la fréquence de Brunt-Väisälä (traits pleins) et des fréquences de Lamb avec $l=1, 2$ et $3$ (lignes pointillées). Le terme de Ledoux est également présenté séparément dans la figure incrustée.

Dans les modèles évolutifs de sdB, ce terme se résume à la présence de deux pics très localisés au niveau de deux régions de transition chimique; sa valeur est nulle partout ailleurs dans l'étoile. Le premier pic, situé vers $log q \simeq -4$, correspond à la transition entre l'enveloppe riche en hydrogène et le cœur riche en hélium (transition H/He; voir, dans la figure 2.5, les profils des fractions de masse de l'hélium et de l'hydrogène). Le deuxième pic, quant à lui, se développe au cours de l'évolution de l'étoile. Il est la signature de la transition He/C-O au bord du noyau convectif. Sur la ZAEHB, ce pic
est presque inexistant puisque les réactions nucléaires au centre n'ont pas encore eu le temps de détruire beaucoup d'hélium pour imposer un gradient d'abondance. Cependant, avec le temps, à mesure que la quantité de C-O (He) augmente (diminue), une nouvelle stratification se met en place et crée ce second pic dans le terme de Ledoux. Toutefois, celui-ci n'a généralement que très peu d'influence sur le comportement des modes de pulsation en raison de son positionnement trop profond dans l'étoile, là où les amplitudes sont habituellement faibles. Par contre, le pic de la transition H/He, comme nous le verrons plus tard, est en mesure de transformer appréciablement les propriétés des modes d'oscillation. Il joue donc un rôle important pour les pulsations.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 2.6: Profils de la fréquence de Brunt-Väisälä (log N²; trait plein) et des fréquences de Lamb pour l=1, 2 et 3 (log Lᵢ², l=1, 2 et 3; lignes pointillées) pour le modèle de référence. Le panneau incrusté montre le profil du terme de Ledoux (B) qui entre dans la composition de la fréquence de Brunt-Väisälä.</figcaption></figure>

La fréquence de Brunt-Väisälä est un miroir de la structure d'une étoile. On peut effectivement le constater en rapprochant le tracé de log N² aux profils présentés dans la figure 2.5. On retrouve les principales caractéristiques de la structure des sdB avec, en partant de la surface, un puits situé vers log q ~ -12.2 qui correspond à la région convective d'ionisation partielle de l'He₉₁ en He₉₃ (d'un intérêt particulier pour la déstabilisation des modes de pulsation). Ceci correspond très bien à ce que l'on observe pour cette région de l'étoile où l'ionisation partielle force ∇_ad à être plus petit que ∇_rad (c'est le fameux critère de Schwartzchild pour la déstabilisation convective). Le puits observé dans la fréquence de Brunt-Väisälä est donc caractéristique d'un milieu convectif puisque, dans l'équation
(2.1), $N^2$ devient négatif dans ces régions (en l'absence de gradient chimique, $B=0$ et $\nabla \gtrsim \nabla_{ad}$). Plus profondément, à $\log q \simeq -4$, c'est la "discontinuité" qui marque la transition entre l'enveloppe et le cœur de l'étoile. Cette discontinuité est essentiellement due au terme de Ledoux comme discuté un peu plus tôt. A $\log q \simeq -0.2$, c'est une deuxième discontinuité qui marque la transition entre le noyau convectif riche en C-O et le cœur radiatif riche en He. Enfin, la zone convective au centre de l'étoile apparaît aussi dans la fréquence de Brunt-Väisälä puisqu'on observe à nouveau, pour $\log q \gtrsim -0.2$, le puits caractéristique de la convection.

Les profils des fréquences de Lamb sont beaucoup moins éloquents que celui de la fréquence de Brunt-Väisälä. Leur valeur tend vers l'infini dans la limite où $r$ (le rayon) tend vers 0 (ou encore $\log q$ tend vers 0) et vers la surface, la quantité $L_l^2$ devient très faible. On notera également qu'elle augmente avec l'indice angulaire $l$ des modes de pulsation (d'après l'équation (2.1), c'est mécanique). Enfin, une discontinuité survient à la position de la transition chimique He/H. Celle-ci provient très certainement de la vitesse adiabatique du son qui varie subitement au passage d'un gaz dominé par l'hydrogène à un gaz composé essentiellement d'hélium.

Une dernière observation concernant cette figure rejoint la discussion sur le traitement local des équations adiabatiques (section 1.4 du Chapitre 1). On remarque en effet que la zone de propagation des modes $g$ ($\sigma^2 < N^2$, $L_l^2$) se situe très en profondeur dans l'étoile alors que celle des modes $p$ ($\sigma^2 > N^2$, $L_l^2$) se trouve davantage dans les régions externes. Ceci laisse présager que les modes de gravité sont très profonds alors que les ondes acoustiques sont plutôt superficielles comme c'est généralement le cas pour les étoiles non-dégénérées (et à l'inverse des étoiles dégénérées; voir Unno et al., 1989). Notons aussi, avant d'effectuer un quelconque calcul avec les codes de pulsation, qu'il est possible d'estimer grossièrement l'ordre de grandeur de la période des premiers modes propres (i.e., $k \sim 1$). On remarque en effet que la "valeur moyenne" pour $\log N^2$ est d'environ $-3.2$ dans l'intervalle $0 \lesssim \log q \lesssim -10$. Si l'on utilise cette valeur pour calculer une période d'oscillation approximative, on obtient $P = 2\pi/\sqrt{10^{-3.2}} \sim 250$ secondes (un bon estimé comparé aux résultats numériques qui seront présentés pour ce modèle au Chapitre 3).

## 2.4 Structures statiques d'enveloppes

Une seconde catégorie de modèles va s'avérer particulièrement utile pour explorer les propriétés sismiques des étoiles sous-naines de type B. Il s'agit de structures statiques d'enveloppes construites à partir d'ingrédients physiques similaires à ceux employés pour les modèles évolutifs et qui couvrent la région de l'espace des paramètres où ces étoiles sont observées. Il va sans dire que ces modèles d'enveloppes, parce qu'ils ne prennent pas en compte les processus d'évolution et qu'ils ne reproduisent pas les régions centrales de l'étoile, sont moins réalistes que leurs homologues évolutifs. Néanmoins, et cela sera discuté en détails dans la section 3.3 du Chapitre 3, ils seront d'une aide précieuse dans le contexte des pulsations où la plupart des phénomènes importants qui affectent les modes d'oscillation naissent dans les régions externes des étoiles assez bien modélisées par ces structures. Nous allons donc, dans cette section, discuter quelques points sur la construction de ces modèles statiques et effectuer une comparaison avec les structures évolutives équivalentes.
## 2.4.1 Construction des enveloppes

La motivation pour construire ces modèles d'enveloppes est de proposer des structures additionnelles complémentaires et plus souple d'utilisation que les modèles évolutifs. Le principal souci est donc, dans un premier temps, de produire des structures qui imitent autant que possible les modèles plus réalistes des séquences évolutives.

Les enveloppes ont été construites à partir d'une version spécialement adaptée du code de structure stellaire décrit dans Brassard & Fontaine, 1994. Schématiquement, il s'agit de résoudre les équations de la structure stellaire en considérant constante la luminosité totale de l'étoile à travers toute sa structure. Cette simplification permet de supprimer, dans le système à résoudre, l'équation décrivant les processus de génération d'énergie; les réactions nucléaires ne sont donc pas prises en compte dans ces modèles. L'approximation appliquée aux étoiles sous-naines de type B est particulièrement bonne dans la mesure où la luminosité de ces objets provient presque totalement des régions centrales. L'étendue très restreinte de la région soumise aux réactions nucléaires de la chaîne triple-α et l'extrême faiblesse de la zone de brûlage en couche de l'hydrogène constituent donc avantage dans ce contexte. De la surface au noyau convectif, au dessus duquel la luminosité est essentiellement constante, les structures d'enveloppes devraient donc reproduire honorablement les modèles évolutifs. En dessous, alors que la luminosité décroît à mesure que l'on se rapproche du centre, l'approximation n'est plus valide et les modèles d'enveloppes deviennent inaptes à imiter leurs homologues évolutifs.

Soucieux de reproduire au mieux les modèles évolutifs, nous nous sommes efforcés d'introduire autant que possible les mêmes ingrédients physiques dans la construction des enveloppes statiques. Les points qui diffèrent sont donnés dans la liste suivante:

* Les opacités radiatives utilisées pour les structures d'enveloppes sont un peu plus récentes (opacités OPAL calculées en 1995) que les tables employées pour les modèles évolutifs. La mixture d'éléments chimiques lourds reste identique ("Grevesse & Noels, 1993").

* Aucune réaction nucléaire n'est prise en compte dans le calcul des structures d'enveloppes. Les modèles statiques ne disposent donc pas d'un noyau convectif enrichi en carbonne/oxygène, ni d'une zone de semi-convection.

* Les régions convectives sont traitées par la théorie de la longueur de mélange avec $\alpha=1.0$ (ML1). En l'absence du noyau convectif central, l'impact de ce paramètre est de toute façon très minime.

* L'équation d'état utilisée est également celle de Eggleton et al., 1973. Le traitement numérique utilisé pour la calculer est néanmoins différent, introduisant quelques légères variations entre l'un et l'autre type de modèles.

* La composition de l'enveloppe riche en hydrogène des modèles statiques est supposée solaire. Toutefois, la métallicité utilisée ($Z = 0.02$) est légèrement plus élevée que celle des modèles évolutifs ($Z = 0.017178$). Les proportions d'hélium et d'hydrogène sont par ailleurs quasi-identiques.

* Enfin, les codes numériques pour résoudre les équations de la structure stellaire étant différents, on peut suspecter de petites variations additionnelles entre modèles statiques et structures évolutives.
Ces différences, mineures la plupart du temps, font que nos modèles d'enveloppes ne pourront en aucun cas reproduire strictement les modèles évolutifs. On notera également que sous certains aspects, par exemple l'utilisation d'une génération plus récente de tables d'opacité, les structures statiques peuvent s'avérer plus réalistes que les modèles évolutifs; les différences observées avec ces derniers ne sont donc pas nécessairement une mauvaise chose.

Dans la construction d'un modèle d'enveloppe, quatre paramètres principaux sont à spécifier pour définir la structure. Il s'agit de la température effective $T_{\text{eff}}$, de la gravité de surface $\log g$, de la position $\log q(H) = \log(1 - m(r_H)/M_*)$ du début (en partant de la surface) de la transition chimique He/H$^9$, et de la masse totale de l'étoile $M_*$. Contrairement aux modèles évolutifs pour lesquels, après avoir imposé $M_*$ et $\log q(H)$ (ou de façon équivalente $M_{\text{env}}$), les quantités $\log g$ et $T_{\text{eff}}$ sont contraintes par la structure à adopter certaines valeurs, les modèles d'enveloppes disposent de paramètres complètement indépendants les uns des autres. Ainsi température effective, gravité de surface, masse totale et masse de l'enveloppe peuvent être ajustés individuellement selon les besoins; une flexibilité que les structures évolutives sont incapables d'offrir.

## 2.4.2 Comparaisons structurelles

Afin d'illustrer jusqu'à quel point les modèles d'enveloppes reproduisent les structures évolutives, une comparaison directe des diverses quantités physiques composant ces modèles est certainement révélatrice. La figure 2.7 montre une mosaïque de profils tirés d'un modèle d'enveloppe construit pour imiter le modèle évolutif de référence. Les paramètres employés à cette occasion correspondent autant que possible à ceux du modèle évolutif: $T_{\text{eff}}=31310$ K, $\log g=5.75$, $M_*=0.476 M_{\odot}$ et $\log q(H)=-4.1$. L'étendue de la zone de transition chimique entre le noyau en hélium et l'enveloppe riche en hydrogène a également été ajustée pour reproduire au mieux celle du modèle de référence$^{10}$.

Les tracés en traits pleins correspondent aux profils issus du modèle d'enveloppe alors qu'en lignes pointillées, il s'agit de ceux obtenus pour la structure évolutive de référence. Les différences les plus importantes apparaissent aux extrémités des modèles. Ainsi, la structure évolutive modélise l'étoile plus en profondeur (c.f., les profils de $\log m(r)$ et $\log r$). Le calcul est par contre moins poussé dans les couches externes puisqu'il prend fin vers $\log q \simeq -13$ alors que le modèle d'enveloppe s'étend jusqu'à la photosphère située aux alentours de $\log q \simeq -16$. Entre les deux, la superposition des diverses courbes est généralement très bonne. Notons quelques divergences mineures dans les quantités thermodynamiques $\chi_{\rho}$, $\chi_{\text{T}}$, $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ et $\Gamma_3$ pour $\log q \gtrsim -4$ dont l'origine se trouve dans les petites différences de traitement de l'équation d'état. Les gradients radiatifs de température montrent également des différences importantes pour $\log q \gtrsim -1$, dans une région où les modèles d'enveloppes perdent en réalisme compte tenu de l'absence de traitement des réactions nucléaires. Au niveau des profils de l'opacité et de ses dérivées, les petits écarts observés sont certainement dus à l'utilisation d'une métallicité légèrement plus importante pour les modèles d'enveloppes ($\log \kappa$ est un peu plus élevé pour ces derniers) et à l'usage de tables d'opacité plus récentes.

<footnote>$^9$Fixer ce paramètre équivaut à spécifier $M_{\text{env}}$, la masse de l'enveloppe riche en hydrogène, suivant la relation $\log q(H) \sim \log(M_{\text{env}}/M_*)$.</footnote>

<footnote>$^{10}$Ce paramètre, une fois fixé pour la structure de référence, ne sera plus modifié. Il s'agit donc en quelque sorte d'une calibration de la forme du profil de la transition chimique sur ce modèle particulier. Heureusement, elle reproduit généralement très bien la transition He/H des autres modèles évolutifs et l'on peut raisonnablement la considérer appropriée pour toutes les structures d'enveloppes.</footnote>
<figure><img src="image_17.png" /></figure>

Figure 2.7: Mosaïque de profils pour un échantillon de quantités physiques décrivant la structure du modèle statique d'enveloppe (traits pleins) construit pour reproduire le modèle évolutif de référence. Les lignes pointillées représentent, en comparaison, les profils des mêmes quantités pour la structure évolutive.
Dans le contexte des pulsations, cette comparaison structurelle s'avère également intéressante à travers les fréquences de Brunt-Väisälä et de Lamb. La figure 2.8 en reproduit les tracés pour le modèle d'enveloppe (traits pleins) comparativement à la structure évolutive (lignes pointillées). Les différences au niveau de $log N^2$ sont manifestement très faibles dans l'enveloppe riche en hydrogène de l'étoile; une région où les modèles statiques n'ont rien à envier aux structures évolutives. Le pic de Ledoux associé à la transition He/H (vers $log q \simeq -4$) est également bien reproduit sachant que la forme des profils des compositions chimiques ont été calibrées pour obtenir cette correspondance. Dans le manteau d'hélium, en dessous de la transition He/H, les divergences s'accroissent légèrement

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure 2.8: Comparaison des fréquences de Brunt-Väisälä et de Lamb (pour $l=1, 2$ et $3$) issues respectivement du modèle d'enveloppe (traits pleins) et de la structure évolutive équivalente (modèle de référence; lignes pointillées)</figcaption></figure>

entre les deux profils en raison des petites variations déjà remarquées au niveau des quantités $\chi_\rho$ et $\chi_T$. Comme attendu, ce sont dans les régions centrales que les différences sont les plus marquées: d'abord par l'absence, dans les modèles statiques, du noyau enrichi en C-O et donc du pic de Ledoux associé à la transition chimique C-O/He; ensuite par l'absence de la région convective centrale et donc du puits qui lui correspond dans la fréquence de Brunt-Väisälä. Au niveau des profils des fréquences de Lamb, la superposition entre les deux types de modèles est excellente jusqu'à $log q \simeq -0.5$. En dessous de cette limite, dans les régions centrales de l'étoile, les divergences s'accentue appréciablement à l'image des quantités physiques ($\Gamma_1$, mais surtout $\rho$ et $P$) qui la composent.
## 2.5 Potentiels à explorer

Les structures d'étoiles sous-naines que nous venons de présenter sont, dans le contexte des pulsations stellaires, intéressantes sur plus d'un point. Il est bien entendu que ces objets, en l'absence de variations de luminosité observées provenant d'instabilités pulsationnelles, présenteront un intérêt pour l'astéroséismologie uniquement s'ils sont en mesure de proposer un mécanisme d'excitation des modes de pulsation potentiellement efficace. Or ces étoiles en présentent plusieurs.

La première particularité des modèles dont le potentiel pour les pulsations est important réside dans la petite région externe d'ionisation partielle $He_{II}/He_{III}$. Celle-ci, par son opacité accrue, est déjà responsable de l'existence d'une mince zone convective superficielle et on la sait en mesure de déstabiliser, à travers le mécanisme $\kappa$, les modes d'oscillation dans certaines catégories d'étoiles pulsantes (c.f, les naines blanches DBV; Winget et al., 1983). Elle est donc, à première vue, une candidate toute désignée pour jouer éventuellement un rôle dans la déstabilisation des sdB.

Une seconde possibilité, moins probable mais néanmoins présente, découle de l'existence de réactions nucléaires à la base de l'enveloppe riche en hydrogène. Celles-ci sont théoriquement capables, bien que cela n'ait encore jamais été constaté dans la nature, de déstabiliser, via le mécanisme $\epsilon$, les étoiles et les contraindre à pulser. En pratique, les processus nucléaires sont généralement situés bien trop en profondeur pour constituer un moteur efficace en mesure d'entraîner des oscillations. Dans les sdB, c'est certainement le cas pour le brûlage nucléaire central impliquant l'hélium mais ce n'est pas évident pour la couche d'hydrogène en fusion. Cependant, pour ces objets, toute la difficulté de ce mécanisme réside dans l'extrême faiblesse du brûlage en couche au cours de la phase EHB. Notons néanmoins que durant l'évolution post-EHB, il se renforce considérablement et peut devenir plus intéressant pour les pulsations (c.f., Charpinet et al., 1997b).

Un troisième mécanisme potentiel se cache dans la structure des modèles sous les traits d'un pic secondaire dans le profil de l'opacité moyenne de Rosseland ($\log \kappa$) situé vers $log q \simeq -9.8$. Comme nous l'avons déjà mentionné un peu plus tôt au cours du chapitre, cette protubérance est engendrée par l'ionisation partielle des métaux, en particulier le fer, présents dans le gaz. Certains auteurs lui ont récemment découvert des vertues déstabilisatrices en mesure d'expliquer l'existence des étoiles OB pulsantes à travers un mécanisme $\kappa$ habituel auquel on se réfère parfois sous le nom de "mécanisme Z-bump" (voir Cox et al., 1992; Moskalik & Dziembowski, 1992; Dziembowski & Pamiatnykh, 1993; et Gautschy & Saio, 1993).

Ces trois mécanismes, s'ils sont bien présents dans tous les modèles de sdB, ne disposent pas nécessairement de la force requise suffisante pour engendrer des vibrations dans ces étoiles. Il est impossible à ce stade, sans qu'un seul calcul ne soit encore effectué, d'inférer sur l'efficacité réelle de chacun d'eux. Les principaux efforts futurs s'orienteront donc, après que les propriétés mécaniques de ces objets aient été explorées au prochain chapitre, vers l'évaluation quantitative de l'influence de chaque mécanisme potentiel sur la stabilité des modes d'oscillation.
<figure><img src="image_19.png" /></figure>
# Partie II

## Modèles de Première Génération
Une Nouvelle Classe d'Etoiles
Pulsantes ?
<figure><img src="image_20.png" /></figure>
# Chapitre 3

## Etude Adiabatique
Structure des Modes de Pulsation

### 3.1 Introduction

Le champ de recherche abordé dans cette étude est encore vierge de toute exploration. Aussi ne connaissons nous pratiquement rien sur le comportement mécanique des étoiles sous-naines de type B soumises à des vibrations de type pulsations radiales et/ou non-radiales. Nous devons donc en premier lieu, en particulier avant de chercher à répondre aux questions de stabilité portant sur l'existence ou non de pulsations auto-excitées dans les sdB, conduire une exploration pour accéder à une meilleure compréhension de la structure des modes de pulsation dans ces étoiles. Cette étape est indispensable car tous les développements futurs dans ce domaine seront le reflet plus ou moins direct de cette structure et faire l'impasse sur cet aspect du problème, qui ne présente pas nécessairement un intérêt observationnel immédiat, nous limiterait à une vision superficielle des phénomènes auxquels nous seront confrontés. C'est donc à l'établissement des bases pour les discussions à venir que ce chapitre est consacré et dans l'esprit d'exploration qui nous anime, la théorie des pulsations dans l'approximation adiabatique (c.f., Chapitre 1) se montre idéale pour une étude à la fois "réaliste et simple" des modèles stellaires appropriés. Les questions sur la stabilité des modes, pour lesquelles la théorie adiabatique est inadaptée, sont temporairement laissées de côté jusqu'au prochain chapitre.

La première étape de cette investigation sera de comprendre la structure des différents modes de pulsation dans un modèle de référence représentatif des étoiles sous-naines de type B (section 3.2). L'ambition sera de mettre en évidence un certain nombre de caractères fondamentaux, essentiellement qualitatifs, propres à l'ensemble de ces modèles.
En second lieu, il s'agira de démontrer la pertinence et de cerner les limites de l'usage de modèles statiques d'enveloppes en remplacement des structures évolutives complètes pour l'étude des pulsations dans les sdB (section 3.3). Une comparaison avec les modèles évolutifs est donc nécessaire et s'avérera très utile pour la suite de ce travail. Les modèles d'enveloppes constituent en effet, dans bien des situations, des outils plus souples et mieux adaptés à nos besoins que les modèles évolutifs.

Avec ces nouvelles connaissances à l'esprit, une approche plus globale des pulsations dans les étoiles sous-naines de type B se trouvera à notre portée. Il sera alors possible d'étudier la façon dont les modes oscillatoires sont affectés par les paramètres physiques qui caractérisent ces étoiles ($T_{eff}$, $log g$, $log q(H)$ et $M_*$). L'usage de modèles d'enveloppes sera tout à fait approprié pour mener à bien cette tâche particulière (section 3.4).

Finalement, l'étude du comportement des pulsations dans un contexte évolutif sera abordée à la lumière des discussions précédentes (section 3.5). D'un intérêt particulier pour l'astéroséismologie, la détermination des taux de changement des périodes ($\dot{P}$) à partir des séquences évolutives sera entreprise. Cette quantité est, en principe, directement mesurable après un suivi de plusieurs années d'observation sur un même objet.

La section 3.6 sera consacrée au résumé des principaux résultats de cette approche exploratoire afin de dresser un premier bilan sur les pulsations dans les étoiles sous-naines de type B et de définir un ensemble de perspectives à venir.

## 3.2 Structure du spectre des modes de pulsation

Le code adiabatique décrit au Chapitre 1 (section 1.4) a été utilisé pour le calcul des périodes propres de chaque modèle appartenant aux 7 séquences évolutives présentées au Chapitre 2 (section 2.3). Les 800 éléments quadratiques employés pour ce calcul ont permis d'assurer une bonne résolution spatiale dans chacun d'eux. Les résultats de ces calculs extensifs effectués sur près de 150 modèles seront illustrés ultérieurement dans toute leur globalité (section 3.5 et annexe C). Pour l'heure, un regard attentif sur les résultats obtenus avec un modèle de référence représentatif de la classe des sdB nous dévoile quantités de caractères intéressants sur les pulsations dans ces étoiles.

Dans les discussions qui suivent, le modèle évolutif déjà choisi pour illustrer la structure des sdB au Chapitre 2 (section 2.3.4) est repris comme modèle de référence. Pour mémoire, il s'agit du modèle #7 de la séquence de masse $M = 0.4758 + 0.0002 M_\odot$, âgé d'environ 62 millions d'années (depuis la ZAHB) et dont les paramètres de surface sont $T_{eff}=31310$ K et $log g = 5.75$. Les détails sur sa structure sont exposés au Chapitre 2 et il sera utile de s'y réferer de temps à autre, au fil des discussions.

### 3.2.1 Quantités adiabatiques

Le calcul a été effectué dans une fenêtre de périodes comprises entre 80 et 1500 secondes. Il s'agit de l'intervalle de temps le plus aisément accessible avec les techniques actuelles de photométrie rapide et constitue donc un domaine de choix à explorer théoriquement et observationnellement. L'étude
concerne à la fois les modes radiaux ($l=0$) et les modes non-radiaux pour $l=1, 2$, et 3. Au delà de $l=3$, les effets de dilution ("cancellation") au niveau des variations de luminosité (puisque la lumière observée est intégrée sur la totalité du disque visible de l'étoile) deviennent trop importants<fnref n="1" /> et ces modes, même s'ils sont excités, restent pratiquement indétectables par photométrie. Les résultats adiabatiques, pour notre modèle de référence, sont présentés dans le tableau 3.1.

<table><caption>Tableau 3.1: Périodes adiabatiques pour le modèle de référence avec $M_{\text{env}}=0.0002 M_{\odot}$, $T_{\text{eff}}=31310$ K, $\log g=5.75$ et âgé d'environ 62 millions d'années depuis la ZAEHB. Sont indiqués, l'ordre radial $k$ des modes et pour chaque valeur de $l$ (entre 0 et 3), la période $P$ en secondes, l'énergie cinétique $\log E_{\text{cin}}$ du mode et, lorsque approprié (i.e., pour $l \ge 1$), le coefficient de rotation $C_{kl}$. Une distinction est faite entre les modes p (haut du tableau), le mode f ou mode de Kelvin ($k=0$ pour $l \ge 2$) et les modes g (bas du tableau).</caption><thead><tr><th rowspan="2">k</th><th colspan="2">l = 0</th><th colspan="3">l = 1</th><th colspan="3">l = 2</th><th colspan="3">l = 3</th></tr><tr><th>P (s)</th><th>log E<sub>cin</sub></th><th>P (s)</th><th>log E<sub>cin</sub></th><th>C<sub>kl</sub></th><th>P (s)</th><th>log E<sub>cin</sub></th><th>C<sub>kl</sub></th><th>P (s)</th><th>log E<sub>cin</sub></th><th>C<sub>kl</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>7</td><td>...</td><td>...</td><td>82.98</td><td>40.92</td><td>0.0295</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>6</td><td>88.52</td><td>40.93</td><td>92.47</td><td>40.97</td><td>0.0187</td><td>89.19</td><td>40.92</td><td>0.0281</td><td>85.69</td><td>40.94</td><td>0.0392</td></tr><tr><td>5</td><td>97.90</td><td>41.22</td><td>105.99</td><td>41.36</td><td>0.0277</td><td>99.15</td><td>41.27</td><td>0.0485</td><td>94.58</td><td>41.06</td><td>0.0371</td></tr><tr><td>4</td><td>112.39</td><td>41.36</td><td>118.18</td><td>41.59</td><td>0.0231</td><td>113.11</td><td>41.38</td><td>0.0338</td><td>109.39</td><td>41.33</td><td>0.0415</td></tr><tr><td>3</td><td>129.58</td><td>42.02</td><td>142.08</td><td>42.01</td><td>0.0185</td><td>132.60</td><td>42.02</td><td>0.0928</td><td>123.66</td><td>41.83</td><td>0.0825</td></tr><tr><td>2</td><td>148.31</td><td>42.14</td><td>160.89</td><td>42.79</td><td>0.0244</td><td>150.12</td><td>42.22</td><td>0.0679</td><td>145.37</td><td>42.05</td><td>0.0467</td></tr><tr><td>1</td><td>176.24</td><td>43.49</td><td>208.24</td><td>43.10</td><td>0.0184</td><td>185.82</td><td>43.66</td><td>0.2804</td><td>172.44</td><td>43.27</td><td>0.1431</td></tr><tr><td>0<sup>†</sup></td><td>209.12</td><td>43.12</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>208.06</td><td>43.12</td><td>0.0262</td><td>206.19</td><td>43.09</td><td>0.0140</td></tr><tr><td>1</td><td>...</td><td>...</td><td>425.09</td><td>48.14</td><td>0.4529</td><td>277.24</td><td>46.66</td><td>0.1343</td><td>224.09</td><td>44.98</td><td>0.0512</td></tr><tr><td>2</td><td>...</td><td>...</td><td>671.44</td><td>47.84</td><td>0.4537</td><td>406.90</td><td>47.28</td><td>0.1238</td><td>306.59</td><td>46.59</td><td>0.0408</td></tr><tr><td>3</td><td>...</td><td>...</td><td>958.60</td><td>47.28</td><td>0.4583</td><td>569.27</td><td>47.02</td><td>0.1262</td><td>418.65</td><td>46.69</td><td>0.0440</td></tr><tr><td>4</td><td>...</td><td>...</td><td>1248.31</td><td>46.36</td><td>0.4680</td><td>733.89</td><td>46.19</td><td>0.1357</td><td>532.40</td><td>45.96</td><td>0.0538</td></tr><tr><td>5</td><td>...</td><td>...</td><td>1465.47</td><td>45.19</td><td>0.5001</td><td>853.19</td><td>45.09</td><td>0.1693</td><td>610.41</td><td>44.96</td><td>0.0893</td></tr><tr><td>6</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>931.69</td><td>45.40</td><td>0.1567</td><td>668.64</td><td>45.39</td><td>0.0716</td></tr><tr><td>7</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1082.23</td><td>46.07</td><td>0.1497</td><td>775.64</td><td>46.06</td><td>0.0666</td></tr><tr><td>8</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1246.14</td><td>46.33</td><td>0.1522</td><td>891.19</td><td>46.33</td><td>0.0693</td></tr><tr><td>9</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1407.05</td><td>46.41</td><td>0.1541</td><td>1006.65</td><td>46.39</td><td>0.0716</td></tr><tr><td>10</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1100.36</td><td>46.50</td><td>0.0723</td></tr><tr><td>11</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1167.58</td><td>46.24</td><td>0.0737</td></tr><tr><td>12</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1273.72</td><td>45.70</td><td>0.0750</td></tr><tr><td>13</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1387.66</td><td>44.77</td><td>0.0724</td></tr><tr><td>14</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>1451.01</td><td>44.04</td><td>0.0592</td></tr></tbody></table>

## Modes et périodes

Ce tableau illustre un premier résultat caractéristique de tous les modèles d'étoiles sous-naines de type B explorés dans cette étude: ces objets possèdent un spectre de modes très riche dans l'intervalle de périodes intéressant pour l'observation. On y trouve à la fois des modes radiaux de faible ordre $k$ ($k=0$ à 6) avec des périodes inférieures à ~210 secondes (pour ce modèle en particulier) et des modes non-radiaux également de faible ordre radial $k$. A la différence des modes radiaux qui sont exclusivement des ondes acoustiques (les modes f et g n'existent pas pour $l=0$; voir Chapitre 1), le spectre des pulsations non-radiales présente les trois types de modes (p, f et g). Les modes p et f sont

<footnote>†Précisions que le mode $k=0, l=0$ (appelé mode fondamental pour les pulsations radiales) n'est pas de même nature que les modes f ($k=0, l \ge 2$). Il s'agit d'un mode acoustique similaire aux modes p.</footnote>

<footnote n="1">¹Le flux de lumière intégré sur le disque visible correspond à une moyenne spatiale des fluctuations engendrées par les pulsations. Si la dimension des fluctuations est petite par rapport au disque de l'étoile ($l$ grand), celles-ci seront diluées dans la moyenne et l'amplitude intégrée sera faible.</footnote>
caractérisés par des périodes inférieures à 209 s (leur période diminue à mesure que k augmente) et les modes g oscillent à plus de 224 s (mode $k=1, l=3$; leur période augmente avec $k$). On note aussi que l'espacement en période entre 2 modes p successifs est beaucoup plus faible ($\sim 15$ s) que celui défini par 2 modes g consécutifs ($\sim 100$ s). Le spectre de périodes des modes p est donc beaucoup plus dense que celui des modes g. Par ailleurs, comme nous aurons l'occasion de le vérifier au cours des sections à venir, les mêmes calculs effectués sur d'autres modèles montrent que ces densités de modes sont sensibles aux paramètres stellaires utilisés. Il faut, en effet, bien garder à l'esprit que les valeurs des périodes présentées dans le tableau 3.1 sont particulières au modèle choisi. Celles-ci dépendent notamment de la température effective, de la gravité de surface et plus généralement de la structure interne de l'étoile. Schématiquement, les modes p ont des périodes inférieures à $\sim 600$ s (pour les sdB à faible gravité; diminuant lorsque $\log g$ augmente) et les modes g se situent à plus de 600 s. Ces questions seront abordées plus en détail et quantitativement à la section 3.4. Le point important ici est que les résultats obtenus pour tous les modèles explorés sont qualitativement comparables à ceux obtenus pour le modèle de référence.

## Spectre d'énergie

La colonne du tableau 3.1 spécifiant l'énergie cinétique ($\log E_{cin}$) de chaque mode contient aussi quelques informations très intéressantes. L'énergie cinétique d'un mode est fonction des déplacements Lagrangiens radiaux $\xi_r$ et horizontaux $\xi_h$ (voir Chapitre 1 ou Brassard, 1991). Pour mémoire, l'énergie cinétique d'un mode est donnée par

$$E_{\text{cin}} = \frac{\sigma^2}{2} \int_V \rho \vec{\xi}(\vec{r}) \cdot \vec{\xi}^*(\vec{r}) dV = \frac{\sigma^2}{2} \int_0^R [\xi_r^2 + l(l+1)\xi_h^2] \rho r^2 dr \quad . \quad (3.1)$$

Comme les fonctions propres sont normalisées arbitrairement, cette quantité est définie uniquement à une constante multiplicative près. Les valeurs données dans le tableau 3.1 ne sont donc pas des quantités absolues et seule une comparaison relative entre modes est pertinente. La première constatation que l'on puisse faire tient à la différence d'ordre de grandeur ($\sim 4$) entre l'énergie cinétique des modes p et celle des modes g. Pour une amplitude donnée, les modes p sont manifestement moins avides d'énergie que les modes g (on notera que c'est la situation inverse qui prévaut dans les étoiles naines blanches). Ceci pourrait avoir des conséquences au niveau de l'amplitude réelle des modes si ceux-ci se trouvaient excités par un mécanisme quelconque. Un mode nécessitant plus d'énergie pour vibrer atteindrait probablement une amplitude plus faible qu'un mode en demandant moins; il serait donc plus difficile à observer, le cas échéant.

D'après l'équation (3.1), l'intégrale s'effectue sur les amplitudes des fonctions propres associées au déplacement Lagrangien pondérées par un terme $\rho r^2$. Or, la densité $\rho$, importante dans les régions centrales de l'étoile ($\sim 10^3$ g.cm$^{-3}$), devient très faible dans les couches externes ($\sim 10^{-5}$ g.cm$^{-3}$). Elle domine ainsi toute la pondération et, en conséquence, les zones profondes plus massives transportent une plus grande part de l'énergie cinétique des modes. La différence observée entre les modes p et les modes g suggère alors que ces derniers oscillent probablement avec des amplitudes plus grandes dans les régions internes de l'étoile que les premiers. Cette observation rejoint les commentaires de la section 2.3.4 du Chapitre 2 suscités par les emplacements respectifs des zones de propagation des modes p et des modes g dans ces étoiles.
Il est aussi remarquable que l'énergie cinétique ne soit pas uniforme au sein des modes g. On peut en effet constater des variations de plus de 2 ordres de grandeur entre deux modes du spectre (par exemple, pour $l = 3$, les modes avec $k = 10$ et $k = 14$). Un phénomène similaire est observé pour les naines blanches (voir Brassard et al., 1992a) où il est engendré par le piégeage en surface et le confinement en profondeur de certains modes g par la présence de zones de transition dans la composition chimique. L'étude de ce phénomène pour les sdB sera détaillée à la section 3.2.2. Notons que cette caractéristique ne semble pas se retrouver au niveau des modes p pour lesquels l'énergie cinétique décroît de façon monotone lorsque l'indice radial $k$ augmente (mais, c.f., section 3.2.3).

## Coefficients de rotation

La troisième colonne du tableau 3.1 fournit les valeurs des coefficients de rotation pour les modes non-radiaux (les modes radiaux ne sont pas affectés par la rotation de l'étoile). Pour rappel (c.f., Chapitre 1), les coefficients $C_{kl}$ sont évalués en considérant une faible rotation rigide de vitesse angulaire $\Omega = \Omega \ddot{z}$. Une approche perturbative au premier ordre conduit alors à une nouvelle valeur pour la fréquence propre d'un mode dont les indices $k, l$ et $m$ sont donnés:

$$ \sigma_{klm} = \sigma_{kl}^{(0)} + m(1 - C_{kl})\Omega \quad \text{avec} \quad C_{kl} = \frac{\sigma^2}{2E_{\text{cin}}(k,l)} \int_0^R [2\xi_r\xi_h + \xi_h^2]_{kl} \rho r^2 dr, \quad (3.2) $$

où $\sigma_{kl}^{(0)}$ représente la fréquence obtenue sans rotation ($\sigma_{kl}^{(0)} = 2\pi/P_{kl}$, avec la période $P_{kl}$ donnée dans le tableau 3.1) et $\xi_r, \xi_h$ sont les fonctions propres, elles aussi obtenues sans rotation. L'effet de celle-ci est donc de lever la dégénérescence sur la fréquence $(2l+1)$ fois dégénérée) par une sorte "d'effet Zeemann" sur les états propres de pulsation.

Dans le tableau 3.1, on constate que les valeurs des coefficients de rotation sont généralement très faibles pour les modes p (de l'ordre de $10^{-1} - 10^{-2}$) à la notable exception des modes $k=1, l=2$ et 3. Si l'on fait abstraction de ces deux cas particuliers (les raisons de leur particularité n'étant pas évidentes à ce stade), les valeurs des $C_{kl}$ sont à toutes fins pratiques négligeables pour ces modes. Ils subissent donc tous approximativement le même effet de séparation ("splitting") indépendamment de leurs indices $l$ et $k$. Celui-ci est donné par la relation

$$ \sigma_{klm} \approx \sigma_{kl}^{(0)} + m\Omega \quad \text{avec} \quad m = -l, \dots, 0, \dots + l. \quad (3.3) $$

Les modes avec $l=1, 2$ et 3 donnent donc naissance, en théorie linéaire, respectivement à des triplets, quintuplets et heptaplets sous l'effet de la rotation; l'espacement en fréquence entre chaque mode séparé par $\Delta m = \pm 1$ étant approximativement constant.

Pour les modes g, la situation est moins uniforme. Il y a, en effet, une corrélation entre les valeurs du coefficient $C_{kl}$ et l'indice angulaire $l$. Lorsque $l$ augmente, $C_{kl}$ diminue approximativement selon la loi $C_{kl} \sim [l(l+1)]^{-1}$ (qui est la valeur de $C_{kl}$ dans la limite asymptotique de la théorie adiabatique). Pour $l=1$, cette valeur limite est $C_{kl}^{\text{asy}} = 0.5$; pour $l=2$, $C_{kl}^{\text{asy}} \simeq 0.15$ et pour $l=3$, $C_{kl}^{\text{asy}} \simeq 0.07$. La comparaison avec les résultats du tableau 3.1 est assez éloquente.
### 3.2.2 Caractéristiques des modes g

Le simple calcul des quantités adiabatiques présenté dans le tableau 3.1 n'a laissé entrevoir qu'une faible fraction des propriétés qui caractérisent les modes g dans les sdB. Une étude plus approfondie sur la question sera donc l'objet de toute notre attention au cours des prochaines pages.

#### Retour sur le spectre d'énergie

Le comportement non monotone de l'énergie cinétique des modes g présentés dans le tableau 3.1 suggère, par analogie avec les naines blanches, qu'il existe aussi pour les sdB un phénomène de piégeage en surface et de confinement en profondeur pour ces modes. Dans les naines blanches de

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure 3.1: Pour un modèle de référence avec $M_{\text{env}} = 0.0002 M_{\odot}$, $M_c = 0.4758 M_{\odot}$, $T_{\text{eff}} = 31310$ K, $\log g = 5.75$ et un âge de ~62 millions d'années depuis la ZAHB: $\log E_{\text{cin}}$ en fonction de $P$ pour les modes g avec $l=1, 2$ et $3$ (panneau supérieur). Pour ces mêmes modes, $\Delta P = P_{k+1} - P_k$ est donné en fonction de $P$ (ici, $P = P_k$; panneau inférieur). Chaque séquence commence sur la gauche avec le mode d'ordre $k=1$.</figcaption></figure>

type DA, ce phénomène est essentiellement engendré par la transition de composition chimique entre la mince enveloppe riche en hydrogène et les couches inférieures riches en hélium (Brassard et al., 1992a; Brassard et al., 1992c). La transition entre le noyau en C/O et le manteau d'hélium possède aussi cette capacité à piéger certains modes mais, dans les naines blanches, elle se manifeste à une échelle