# Écoulement d'un mélange de deux gaz dans un micro-canal de section variable sous l'effet d'un gradient de pression

Cédric Croizet, Renée Gatignol

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Cédric Croizet, Renée Gatignol. Écoulement d'un mélange de deux gaz dans un micro-canal de section variable sous l'effet d'un gradient de pression. 24ème Congrès Français de Mécanique, Aug 2019, Brest, France. . hal-03791901

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# Ecoulement d'un mélange de deux gaz dans un micro-canal de section variable sous l'effet d'un gradient de pression

C. Croizet & R. Gatignol

Institut Jean Le Rond d'Alembert
Sorbonne Université & CNRS

SORBONNE
UNIVERSITÉ

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

## Introduction

Les dispositifs microscopiques, comme les micro-turbines ou les échangeurs de chaleur à micro-canaux, sont couramment utilisés dans l'industrie. Les écoulements dans les micro-canaux ont ainsi été discutés dans un grand nombre de travaux aussi bien d'un point de vue théorique que numérique ou expérimental [1, 2, 3, 4, 5]. Pour étudier les écoulements gazeux dans ces tubes microscopiques, les méthodes DSMC sont adaptées mais coûteuses en temps de calcul [1, 2]. Le développement de modèles asymptotiques est donc pertinent.

Dans ce travail, on considère l'écoulement stationnaire d'un mélange de deux gaz parfaits compresibles (notés a et b) dans un micro-canal plan, long et symétrique dont la section varie lentement (Fig. 1) et linéairement. Les parois sont au repos. On traite donc un problème à deux petits paramètres :

* $\epsilon_1$ qui caractérise le rapport de forme du canal,

* $\epsilon_2$ qui caractérise la variation de largeur du canal.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Position du problème</figcaption></figure>

Le gaz peut être mis en mouvement sous l'effet d'une différence de pression entre les deux extrémités du canal et/ou d'un gradient de température appliqué le long de la paroi.

## Equations du problème : Navier-Stokes-Fourier

L'écoulement est en régime glissant (modérément raréfié, Knudsen de l'ordre de 0,1) :

* les équations du mouvement sont les lois de bilan usuelles pour la masse, la quantité de mouvement et l'énergie avec des termes additionnels de couplage [6, 4, 5] obtenus à partir d'un modèle cinétique de type BGK,

* les conditions aux parois usuelles doivent être remplacées par des conditions de saut pour la vitesse et la température.

### Equations pour l'espèce a

$$ \frac{\partial \bar{\rho}_a}{\partial \bar{t}} + \bar{\nabla} \cdot (\bar{\rho}_a \bar{\mathbf{u}}_a) = 0, \quad \frac{\partial \bar{\rho}_a \bar{\mathbf{u}}_a}{\partial \bar{t}} + \bar{\nabla} \cdot (\bar{\rho}_a \bar{\mathbf{u}}_a \bar{\mathbf{u}}_a - \bar{\sigma}_a) = \bar{\nu}_{ab} \bar{\rho}_a (\bar{\mathbf{u}}_a - \bar{\mathbf{u}}_a^*), $$

$$ \frac{\partial}{\partial \bar{t}} (\bar{\rho}_a \bar{\mathbf{u}}_a^2 + \bar{\rho}_a \bar{\mathbf{e}}_a) + \bar{\nabla} \cdot \left[ \bar{\rho}_a \left( \frac{1}{2} \bar{\mathbf{u}}_a \cdot \bar{\mathbf{u}}_a + \bar{\mathbf{e}}_a \right) \bar{\mathbf{u}}_a \right] - \bar{\nabla} \cdot \left[ \bar{\sigma}_a \cdot \bar{\mathbf{u}}_a + \bar{\mathbf{q}}_a \right] = S_a^E, $$

avec :

$$ \bar{\mathbf{u}}_a^* = \bar{\mathbf{u}}_b^* = \frac{m_a \bar{\mathbf{u}}_a + m_b \bar{\mathbf{u}}_b}{m_a + m_b}, $$

$$ S_a^E = \frac{1}{2} \bar{\rho}_a \bar{\nu}_{ab} \left[ \bar{\mathbf{u}}_a^{*2} - \bar{\mathbf{u}}_a^2 + \frac{2 r_a}{\gamma_a - 1} (\bar{T}_a^* - \bar{T}_a) \right]. $$

$\bar{T}_a^*$ est donnée par la formule de Morse suivante étendue aux gaz parfaits poly-atomiques [4, 5] :

$$ \bar{T}_a^* = \bar{T}_a + \frac{3(\gamma_a - 1) m_a m_b}{(m_a + m_b)^2} \left( (\bar{T}_b - \bar{T}_a) + \frac{m_b}{6k} (\bar{\mathbf{u}}_b - \bar{\mathbf{u}}_a)^2 \right). $$

* A ces équations s'ajoutent la loi d'état des gaz parfaits et les lois de comportement de Navier-Stokes et de Fourier.

* $\bar{\nu}_{ab}$ est la fréquence de collision des molécules b avec une molécule a.

* Le nombre total de collisions entre les espèces a et b est équilibré : $\bar{n}_a \bar{\nu}_{ab} = \bar{n}_b \bar{\nu}_{ba}$. L'énergie se conserve pour le mélange : $\bar{S}_a^E + \bar{S}_b^E = 0$.

### Conditions aux limites pariétales pour l'espèce a (sur la paroi supérieure)

$$ \bar{\mathbf{u}}_a(\bar{x}, \bar{y} = \bar{H}(\bar{x})) \cdot \bar{\tau} = \left[ \frac{\sigma_{pa} \bar{\mu}_a}{\bar{p}_a} \sqrt{2r_a \bar{T}_a} \bar{\nabla}(\bar{\mathbf{u}}_a \cdot \bar{\tau}) \cdot \mathbf{n} + \frac{\sigma_{Ta} r_a \bar{\mu}_a}{\bar{p}_a} \bar{\nabla}(\bar{T}_a \cdot \bar{\tau}) \right]_{\bar{y}=\bar{H}(\bar{x})}, $$

$$ \bar{\mathbf{u}}_a(\bar{x}, \bar{y} = \bar{H}(\bar{x})) \cdot \mathbf{n} = 0, \quad \bar{T}_a(\bar{x}, \bar{y} = \bar{H}(\bar{x})) = \bar{T}_{paroi} + \left[ \xi_{Ta} \sqrt{2r_a \bar{T}_a} \bar{\nabla}(\bar{T}_a \cdot \mathbf{n}) \right]_{\bar{y}=\bar{H}(\bar{x})}. $$

* On peut écrire des conditions analogues pour la paroi inférieure.

* A ces conditions, s'ajoutent des conditions d'entrée.

* Les équations et conditions aux limites pour l'espèce b s'obtiennent en échangeant a et b.

## Modèle asymptotique

* Nombres sans dimension : $Re_\theta = \frac{\rho_\theta c U h}{\mu_\theta c}$ et $M_\theta = \frac{U}{\sqrt{\gamma_\theta r_\theta T_{\theta c}}}$, $\theta = a, b$.

* $U$ est la vitesse caractéristique axiale.

* Etude des ordres de grandeurs : $Re_\theta = O(\epsilon_1)$, $M_\theta = O(\epsilon_1)$ et $Kn_\theta = \sqrt{\frac{\gamma_\theta \pi}{2} \frac{M_\theta}{Re_\theta}} = O(1)$, $\theta = a, b$.

* On traite les équations au premier ordre d'approximation. Les termes négligés sont $O(\epsilon_1^2)$.

* Conditions aux limites pariétales : la première correction en $\epsilon_2$ doit être conservée ; on néglige les termes $O(\epsilon_1^2 \epsilon_2)$.

* A cet ordre d'approximation :

* $p_\theta = p_\theta(x), \theta = a, b$

* $T_a = T_b = T_{paroi}(x)$

* Les bilans de quantité de mouvement projetés dans la direction axiale permettent d'obtenir explicitement les vitesses longitudinales en fonction des pressions.

* La conservation du débit massique pour chaque espèce permet d'obtenir deux EDO du premier ordre pour les pressions.

* Ces deux EDO sont intégrées numériquement avec quatre conditions aux limites : les deux débits massiques et les pressions d'entrées.

* Comparés aux simulations DSMC, cette approche conduit à des temps de calculs très courts et donne des résultats en bon accord [4, 5].

## Résultats

### Cas d'un mélange Ar (a) / Ne (b)

* Problème isotherme (300 K)

* $p_{a,in} = 3,5331 \times 10^4$ Pa

* $p_{b,in} = 1,5142 \times 10^4$ Pa

* $Q_{ma} = 2,248 \times 10^{-6} \text{ kg.m}^{-1}\text{s}^{-1}$

* $Q_{mb} = 0,485 \times 10^{-6} \text{ kg.m}^{-1}\text{s}^{-1}$

* Trois géométries :

* canal droit : $H_{in} = H_{out} = 0,5 \times 10^{-6} \text{ m}$

* canal convergent : $H_{out} = 0,4 \times 10^{-6} \text{ m}$

* canal divergent : $H_{out} = 0,6 \times 10^{-6} \text{ m}$

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Pression le long de l'axe du canal</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Vitesse longitudinale le long de l'axe du canal</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Profile de vitesse en sortie</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 5 – Nombre de Knudsen le long de l'axe</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 6 – Fraction molaire de l'Argon le long de l'axe</figcaption></figure>

## Conclusions

* Présentation d'un modèle asymptotique pour analyser l'écoulement d'un mélange gazeux dans un micro canal.

* Modèle obtenu partir des équations de Navier-Stokes-Fourier + couplage.

* Les vitesses longitudinales sont exprimées explicitement en fonction des pressions qui sont obtenues par la résolution d'un système d'équations différentielles ordinaires.

* Dans le cas traité :

* Pour des pressions d'entrées et des débits massiques fixés, les pressions de sortie diminuent avec la largeur de sortie du canal

* A l'inverse, les vitesses de sortie augmentent lorsque la largeur de sortie du canal diminue.

* La fraction molaire semble peu affectée par la forme du canal (écart inférieur à 1%).

* Perspectives : effets thermiques, géométries différentes ...

## Références

[1] G. A. Bird. *Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows*. Clarendon Press, 1994.

[2] S.G. Kandlikar, S. Garimella, D. Li, S. Colin, and M.R. King. *Transfer and fluid flow in minichannels and microchannels*. Elsevier, 2005.

[3] G. Karniadakis and A. Beskok. *Microflows - Fundamentals and Simulation*. Springer, 2006.

[4] R. Gatignol and C. Croizet. *Asymptotic modeling of thermal binary mono-atomic gas flows in plane micro-channel - comparison with DSMC simulations*. *Physics of Fluids*, 29(4):042001, 2017.

[5] Cédric Croizet and Renée Gatignol. *Asymptotic modelling of thermal binary gas flows in circular micro-channels*. *Microfluidics and Nanofluidics*, 23(7):94, Jun 2019.

[6] T. G. Elizarova, I. A. Graur, and J. C. Lengrand. *Two-fluid computational model for a binary gas mixture*. *Eur. J. Mech. B-Fluids*, 3:351–369, 2001.