Soit donc $\Phi$ la famille donnée. Désignons par $S$ la somme de tous les ensembles de la famille $\Phi$ et, d'une façon générale, par $CH$ l'ensemble $S-H$.

Soit $E$ un ensemble de la famille $\Phi_{esq}$. L'ensemble $E$ peut donc être représenté dans la forme

$$ (2) \qquad E = [(M_1 - N_1) + (M_2 - N_2) + \dots + (M_k - N_k)] - [(P_1 - Q_1) + (P_2 - Q_2) + \dots + (P_l - Q_l)], $$

où $k$ et $l$ sont des nombres naturels, $M_i$ ($i=1,2,\dots,k$) sont des ensembles de la famille $\Phi$ et $N_i$ ($i=1,2,\dots,k$), $P_i$ et $Q_i$ ($i=1,2,\dots,l$) sont des ensembles de la famille $\Phi$ ou bien des ensembles vides.

D'après les formules de De Morgan, on peut évidemment écrire en vertu de (2) <fnref n="1" />)

$$ E = (M_1 CN_1 + M_2 CN_2 + \dots + M_k CN_k) (CP_1 + Q_1) (CP_2 + Q_2) \dots (CP_l + Q_l). $$

En développant ce produit (fini), on conclut sans peine que l'ensemble $E$ est une somme finie d'ensembles de la forme

$$ (3) \qquad A_1 A_2 \dots A_p \cdot CB_1 \cdot CB_2 \dots CB_q, $$

où $A_i$ ($i=1,2,\dots,p$) sont des ensembles de la famille $\Phi$ et $B_i$ ($i=1,2,\dots,q$) sont des ensembles de $\Phi$ ou bien vides. Il en résulte que tout ensemble $E$ de la famille $\Phi_{esq}$ est de la forme

$$ (4) \qquad E = \sum_{i=1}^{m} M_i^l M_2^i \dots M_{p_i}^i \cdot CN_1^l \cdot CN_2^l \dots CN_{q_i}^l - \sum_{i=1}^{n} P_1^i P_2^i \dots P_{r_i}^i \cdot CQ_1^l \cdot CQ_2^l \dots CQ_{s_i}^l $$

où $M_j^i$ ($i=1,2,\dots,m$; $j=1,2,\dots,p_i$) sont des ensembles de la famille $\Phi$ et $N_j^i$ ($i=1,2,\dots,m$; $j=1,2,\dots,p_i$), $P_j^i$ ($i=1,2,\dots,n$; $j=1,2,\dots,r_i$) et $Q_j^i$ ($i=1,2,\dots,n$; $j=1,2,\dots,s_i$) sont des ensembles de la famille $\Phi$ ou vides. D'après (4), nous pouvons écrire aussi

$$ E = \sum_{i=1}^{m} M_1^i M_2^i \dots M_{p_i}^i \cdot CN_1^i \cdot CN_2^i \dots CN_{q_i}^i \cdot \prod_{l=1}^{n} (CP_1^l + CP_2^l + \dots + CP_{r_l}^l + Q_1^l + Q_2^l + \dots + Q_{s_l}^l). $$

En développant cette expression de $E$, on voit que $E$ est en-
core une somme finie d'ensembles de la forme (3), où

$$ (5) \quad A_i \in \Phi \text{ pour } i=1,2,\dots,p \text{ et } B_i \in \Phi \text{ ou bien } B_i=0 \text{ pour } i=1,2,\dots,q. $$

Sur le plus petit corps contenant une famille donnée d'ensembles.

Par

Wacław Sierpiński (Warszawa).

$\Phi$ étant une famille donnée d'ensembles, nous désignons: par $\Phi_q$ la famille formée de tous les ensembles $E$ de la famille $\Phi$ et de tous les ensembles de la forme $E_1-E_2$, où $E_1$ et $E_2$ sont des ensembles de la famille $\Phi$, et par $\Phi_s$ la famille de tous les ensembles qui sont des sommes d'un nombre fini d'ensembles de la famille $\Phi$.

Une famille d'ensembles est dite (d'après M. F. Hausdorff) un corps d'ensembles, si elle contient les ensembles $E_1+E_2$ et $E_1-E_2$ dès qu'elle contient les ensembles $E_1$ et $E_2$.

Le but de cette Note est de démontrer ce

**Théorème.** Le plus petit corps d'ensembles contenant une famille donnée $\Phi$ d'ensembles est la famille $\Phi_{esqs}$.

Ajoutons que, d'après un théorème de M-elle S. Piccard, il existe une famille finie $\Phi$ d'ensembles telle que

$$ \Phi_{esqs} \equiv \Phi_{esq}^{1)}. $$

Démonstration. Comme on voit sans peine, il suffit, pour démontrer notre théorème, d'établir, pour toute famille $\Phi$ d'ensembles, la formule

$$ (1) \qquad \Phi_{esqs} = \Phi_{esqs}^{2)}. $$

<footnote n="1">¹) Fund. Math. **26**, p. 265. M-elle Piccard a démontré que $\Phi_{esq\sigma} = \Phi_{q\sigma q\sigma}$, mais, pour les familles finies $\Phi$, on a évidemment $\Phi_{q\sigma q} = \Phi_{esq}$ et $\Phi_{q\sigma q\sigma} = \Phi_{esqs}$.</footnote>

<footnote n="2">²) Cf. S. Piccard, Fund. Math. **26**, p. 264, th. II. Or, il existe des familles $\Phi$ d'ensembles telles que toutes les familles $\Phi, \Phi_q, \Phi_{qq}, \Phi_{qqq}, \dots$ sont distinctes. Telle est p. ex. la famille $\Phi = (E_1, E_2, E_3, \dots)$, où $E_1 = (1, 2, 3, \dots)$ et $E_n = (2n-1, 2n, \dots, n)$ pour $n=2, 3, 4, \dots$; cf. aussi Fund. Math. **14**, p. 88.</footnote>

<footnote n="1">¹) Cf. ma Note *Sur quelques propriétés des ensembles dénombrables* dans le Bull. Acad. Bulgare des Sciences **53**, p. 182.</footnote>
Or, on a l'identité

$$ (6) \qquad A_1A_2...A_p \cdot CB_1 \cdot CB_2...CB_q = \\ = A_1 - [(A_1-A_2)+(A_1-A_3)+...+(A_1-A_p)+B_1+B_2+...+B_q] $$

et on en conclut d'après (5) que (6) est un ensemble de la famille $\Phi_{qsq}$.

Ainsi, $E$ est une somme d'un nombre fini d'ensembles de la famille $\Phi_{qsq}$; c'est donc un ensemble de la famille $\Phi_{qsqs}$.

Nous avons ainsi établi que $\Phi_{qsqsq} \subset \Phi_{qsqs}$.

Or, on a évidemment $\Phi_{qsqs} \subset \Phi_{qsqsq}$. L'égalité (1) est ainsi établie, c. q. f. d.

On peut évidemment exprimer notre théorème de la façon suivante:

La plus petite famille d'ensembles contenant une famille donnée $\Phi$ et close par rapport aux opérations $\ominus$ et $s$ est la famille $\Phi_{qsqs}$.

Comme on sait, on ne peut pas remplacer dans cet énoncé l'opération $s$ par l'opération $\sigma$ (la sommation finie ou dénombrable d'ensembles), puisqu'il est en défaut p.ex. pour la famille $\Phi$ de tous les intervalles rectilignes (car il existe des ensembles mesurables $B$ qui ne sont pas des $F_{q,s,q}$). Or, il résulte tout de suite du théorème précité de M-elle Piccard (th. II) que l'on peut remplacer dans notre énoncé l'opération $s$ par l'opération $\Sigma$ (la sommation finie on infinie quelconque, même indénombrable, d'ensembles).

Une construction du plus petit corps $\mathbb{W}$ d'ensembles contenant une famille donnée $\Phi$ d'ensembles a été donnée par M. F. Hausdorff dans son livre Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914, p.16. M. Hausdorff construit d'abord le plus petit anneau $\Theta$ d'ensembles contenant $\Phi$ (en appelant anneau toute famille d'ensembles qui contient la somme et le produit de tout couple d'ensembles qu'elle contient) et montre ensuite qu'on a $\mathbb{W}=\Theta_{qs}$. Pour la famille $\Theta$, M. Hausdorff donne la formule $\Theta=\Phi_{ds}=\Phi_{sd}$, où $\Phi_d$ désigne la famille de tous les produits finis d'ensembles de la famille $\Phi$. Ainsi la formule pour $\mathbb{W}$, trouvée par M. Hausdorff, est $\mathbb{W}=\Phi_{dsqs}=\Phi_{sdqs}$. Quant à la relation de la famille $\Phi_d$ aux familles de la suite $\Phi_0, \Phi_{qs}, \Phi_{qsq}, ..., $, on trouve sans peine que $\Phi_d \subset \Phi_{qsq}$, l'inclusion $\Phi_d \subset \Phi_{qs} $ pouvant être en défaut. Or, on peut démontrer que $\mathbb{W}=\Phi_{ds}$.

## Sur les familles monotones d'ensembles fermés et leurs applications à la théorie des espaces connexes <fnref n="1" />).

Par
Casimir Kuratowski (Warszawa).

Dans tout ce qui suit, l'espace $\mathcal{M}$ sera supposé métrique séparable.

1. **Familles monotones d'ensembles fermés.** Une famille d'ensembles est dite monotone, lorsqu'on a pour chaque couple $A,B$ de ses éléments soit $A \subset B$, soit $B \subset A$. Une famille monotone sera considérée comme ordonnée: nous dirons que $A \succêde B$ lorsque $A \subset B$ et $A \supset B$.

D'après un théorème de M. Sierpiński <fnref n="2" />), dans toute famille monotone $F$ d'ensembles fermés, chaque élément de $F$, sauf une infinité dénombrable, est la fermeture de la somme de tous les éléments qui le précèdent et le produit de tous les éléments qui le suivent.

Pour s'en convaincre, désignons par $R_1,R_2,...$ la base de l'espace $\mathcal{M}$ et, par $A^*$ l'ensemble formé par la réunion de tous les éléments de $F$ qui précèdent $A$. A chaque $A$ tel que $A \supset A^*$ faisons correspondre un indice $n(A)$ satisfaisant à la condition $A \cdot R_n(A) \supset 0 = A^* \cdot R_n(A)$. Si $A \supset B \supset B^*$, on a $n(A) \supset n(B)$. La famille de tous les éléments $A$ tels que $A \supset A^*$ est donc dénombrable <fnref n="3" />).

Le cas des éléments qui ne coïncident pas avec le produit des éléments qui le suivent est analogue.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

<footnote n="1">1) Présenté au III Congrès des Mathématiciens Polonais à Varsovie, le 30. IX. 1937.</footnote>

<footnote n="2">2) Bull. de l'Acad. l'olon. des Sc. 1921, p. 62. Le théorème de M. Sierpiński contient comme des cas particuliers les théorèmes classiques de Baire sur les familles bien ordonnées d'ensembles fermés (croissants ou décroissants).</footnote>

<footnote n="3">3) Nous entendons par dénombrable tout ensemble de puissance $\leq N_0$.
Fundamenta Mathematicae, T. XXX.</footnote>