# La loi normale : la reine de l'aléatoire

Patrick J C Tardivel

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Patrick J C Tardivel. La loi normale: la reine de l'aléatoire. Rallyes des collèges et lycées de Bourgogne, Jun 2024, Dijon, France. hal-04722799

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Submitted on 6 Oct 2024

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>

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<figure><img src="image_2.png" /></figure>

On lâche une bille sur une planche de Galton. A chaque niveau la bille tombe à gauche ou à droite avec la même probabilité. La position aléatoire de la bille, en bas de la planche, correspond au nombre de niveaux pour lesquels la bille est tombée à droite.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

La probabilité que la bille tombe en position $k$ vaut

$$ \frac{1}{2^{\text{nombre de niveaux}}} \times \frac{\text{nombre de niveaux!}}{k! \times (\text{nombre de niveaux} - k)!} $$

où $n!$ représente le produit des entiers de 1 à $n$. Pour une planche avec beaucoup de niveaux on peut approcher la probabilité associée à chaque position à l'aide de la loi normale

$$ N\left(\frac{1}{2} \text{ nombre de niveaux}, \sqrt{\frac{1}{4} \text{ nombre de niveaux}}\right). $$

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Cette approximation apparaît dans l'ouvrage publié en 1738 « The Doctrine of Chances » par Abraham de Moivre. Historiquement de Moivre cherchait à savoir si, à la naissance, la probabilité d'avoir une fille était égale à la probabilité d'avoir un garçon.

## La loi normale

Dans les pas d'Abraham de Moivre

La loi normale, notée $N(\text{moyenne}, \text{écart-type})$, dépend de deux paramètres : la moyenne qui donne la valeur centrale de cette loi et l'écart-type qui mesure la dispersion autour de la moyenne. La densité de cette loi a pour expression

$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \times \text{écart-type}} \times \exp\left(-\frac{(x - \text{moyenne})^2}{2 \times \text{écart-type}^2}\right). $$

Supposons que la probabilité d'avoir une fille soit égale à la probabilité d'avoir un garçon alors, sur 10000 naissances, le nombre aléatoire de filles suit approximativement une loi normale $N(5000, 50)$. La densité de cette loi est illustrée ci-dessous :

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

L'aire jaune vaut 0,6827 donc, d'après cette modélisation, la probabilité d'avoir entre 4950 et 5050 filles vaut approximativement 68,27%.

**La loi normale centrée réduite :** Pour les calculs on se ramène à une loi normale centrée (de moyenne nulle) et réduite (d'écart-type 1) notée $N(0,1)$. Soit $X$ une variable aléatoire de loi normale $N(\text{moyenne}, \text{écart-type})$. La probabilité que la variable aléatoire $X$ soit comprise entre valeur$_1$ et valeur$_2$, notée $P(\text{valeur}_1 \le X \le \text{valeur}_2)$, est égale à :

$$ P\left(\frac{\text{valeur}_1 - \text{moyenne}}{\text{écart-type}} \le \underbrace{\frac{X - \text{moyenne}}{\text{écart-type}}}_{\text{suit une loi } N(0, 1)} \le \frac{\text{valeur}_2 - \text{moyenne}}{\text{écart-type}}\right). $$

**Challenge :** Sur 1600 naissances, peux-tu donner une approximation de la probabilité d'avoir entre 790 et 810 filles ?

## L'inégalité de corrélation gaussienne

En l'honneur de Thomas Royen

Un ensemble $C$ est un convexe du plan si tout segment dont les extrémités sont des points de $C$ est inclus dans $C$.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Convexe</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Convexe</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Pas convexe</figcaption></figure>

Soient $(X, Y)$ un point aléatoire où l'abscisse $X$ suit une loi $N(0, \text{écart-type}_1)$, l'ordonnée $Y$ suit une loi $N(0, \text{écart-type}_2)$ et $C, D$ deux ensembles convexes du plan pour lesquels l'origine est un centre de symétrie alors

$$ \begin{aligned} & \mathbb{P}((X, Y) \text{ appartienne à l'intersection } C \cap D) \\ \geq & \mathbb{P}((X, Y) \text{ appartienne à } C) \times \mathbb{P}((X, Y) \text{ appartienne à } D). \end{aligned} $$

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

L'inégalité de corrélation gaussienne a été conjecturée en 1955. Soixante ans après la conjecture, une preuve de cette inégalité a été donnée par Thomas Royen un statisticien allemand. Cette inégalité est très utile en biostatistique.