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# Modélisation de la dynamique sédimentaire pour les transferts des radionucléides dans les cours d'eau.

Ouafae El Ganaoui-Mourlan

► To cite this version:

Ouafae El Ganaoui-Mourlan. Modélisation de la dynamique sédimentaire pour les transferts des radionucléides dans les cours d'eau.. Mécanique des fluides [physics.class-ph]. Université d'Aix Marseille II, 2002. Français. NNT: tel-04135041

HAL Id: tel-04135041

https://theses.hal.science/tel-04135041

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Open licence - etalab
UNIVERSITÉ DE LA MÉDITERRANÉE AIX-MARSEILLE II
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE MÉCANIQUE DE MARSEILLE

THÈSE

pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ D'AIX MARSELLE II

Discipline : MÉCANIQUE

Option : FLUIDES

Présentée et soutenue publiquement

par

Ouafae EL GANAOUI

Ingénieur

Le 28 mars 2002

MODÉLISATION DE LA DYNAMIQUE SÉDIMENTAIRE POUR LES
TRANSFERTS DES RADIONUCLÉIDES DANS LES COURS D'EAU

<table>
  <tr>
    <td>M H. MÉTIVIER (Professeur, IRSN, Clamart)</td>
    <td>Président</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>M F. ANSELMET (Directeur de recherches CNRS, IRPHE, Marseille)</td>
    <td>Directeur de thèse</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>M. D. D. ADAMS (Professeur, Université de Plattsburgh, New York)</td>
    <td>Rapporteur</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>M C. MIGNIOT (Professeur, retraité, Paris)</td>
    <td>Rapporteur</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>M H. PEERHOSSAINI (Professeur, École Polytechnique, Nantes)</td>
    <td>Rapporteur</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Mme M. AMIELH (Chargée de recherches CNRS, IRPHE, Marseille)</td>
    <td>Invitée</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>M P. BOYER (Ingénieur, IRSN, Cadarache)</td>
    <td>Invité</td>
  </tr>
</table>
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
<figure><img src="image_4.png" /></figure>
<figure><img src="image_5.png" /></figure>
Remerciements

Je remercie M. J. C. Gariel de m'avoir bien accueillie dans son service

M. P. Santucci m'a intégrée au sein de son laboratoire, je tiens à saluer sa personnalité à la fois sympathique, sérieuse et surtout modeste, il s'est toujours soucié du bon déroulement de ce travail, m'a encouragée, conseillée et aidée, merci encore Pascal.

Un grand merci à M. H. Métivier, qui est toujours présent pour aider les thésards et encourager leurs recherches. Il a accepté sans aucune hésitation de participer à mon jury de thèse.

M. C. Migniot, je me considère chanceuse d'avoir croisé votre chemin, je vous remercie car grâce à vous j'ai beaucoup appris, vous m'avez orientée et conseillée le long de cette étude. Je n'oublierai pas votre premier conseil : "il faut mettre la main à la vase pour faire de la sédimentation" c'est ce que j'ai fait !

Je remercie également, M. D. Adams et M. H. Peerhossaini d'avoir accepté, sans hésitation, d'être rapporteurs de ce travail.

M. C. Grenz, a mis à ma disposition le canal à courant dont dispose le centre Océanologique de Marseille : il m'a permis ainsi de démarrer la partie expérimentale de mon travail. Je te remercie Christian pour ton aide ainsi que toute ton équipe qui m'a toujours bien reçue et efficacement aidée.

Mme F. Eyrolle, m'a appris la rigueur dans les préparations des mesures au laboratoire et m'a toujours bien accueillie, je te remercie Fred.

M. F. Anselmet, mon directeur de thèse a su encourager mes démarches et mes propositions d'orientation du travail durant cette étude, m'a toujours bien reçue, bien écoutée, je te remercie vivement Fabien.

Mme M. Amielh a participé à l'encadrement de ce travail, je te remercie Mumu pour ta gentillesse, ta sympathie et ta contribution au bon déroulement de ma thèse.

M. P. Boyer a participé également à l'encadrement de ce travail, je te remercie Patrick pour ta sympathie et ton aide.

Mon travail de thèse s'est déroulé dans une très bonne ambiance notamment lors de mes missions terrain, je pense à Vincent, Alain, Remy, Marcel et tous les techniciens du SERNAT et SERLAB que je remercie sincèrement.

Au sein du SERLAB, j'ai passé d'agréables moments avec des personnes que je juge très sympathiques, serviables et compétentes, je pense à : Sylvie, Sophie, Juliette, Claudine, Héliane, Philippe, Christophe, Hervé, Guillaume, Laurent, Christian, Jean Michel, Benoît, Fabien et Vivien.

Madame Catherine Rommens et Messieurs : Baudin Jean Pierre, Brêchignac François, Louvat Didier, Deville-Cavellin Gérard, ont toujours été à mon écoute et m'ont beaucoup conseillée. Je vous remercie tous et espère collaborer avec des personnes comme vous plus tard.
## CHAPITRE I ÉTUDE BIBLIOGRAPHIQUE .................................................................................... I-11

I.1 OBJECTIFS DE L'ÉTUDE BIBLIOGRAPHIQUE................................................................................ I-13

I.2 DÉFINITIONS RELATIVES À LA RADIOACTIVITÉ................................................................................ I-13

I.3 PROCESSUS DE TRANSFERTS DE RADIOACTIVITÉ ........................................................................ I-18

I.4 LES MATIÈRES DANS UN COURS D'EAU ........................................................................................ I-28

I.5 LES PRINCIPAUX PROCESSUS HYDROSÉDIMENTAIRES DES SÉDIMENTS COHÉSIFS...................... I-32

I.6 HYDRAULIQUE FLUVIALE................................................................................................................ I-54

I.7 OBJECTIFS ET BESOINS D'UN MODÈLE DE QUALITÉ D'EAUX .................................................... I-64

I.8 MODÈLE TRIDIMENSIONNEL ................................................................................................................ I-65

I.9 MODÈLE BIDIMENSIONNEL VERTICAL ........................................................................................ I-68

I.10 MODÈLE BIDIMENSIONNEL HORIZONTAL ................................................................................ I-71

I.11 MODÈLE MONODIMENSIONNEL ........................................................................................................ I-73

I.12 RÉCAPITULATIF SUR LA MODÉLISATION........................................................................................ I-74

I.13 ORIENTATION DU TRAVAIL SUITE AUX CONCLUSIONS DE L'ÉTUDE BIBLIOGRAPHIQUE......... I-74

## CHAPITRE II PRÉSENTATION DU CODE TRACE........................................................................ II-77

II.1 OBJECTIFS.................................................................................................................................................... II-79

II.2 MODÈLE HYDRAULIQUE : HYPOTHÈSES ET ÉQUATIONS........................................................ II-80

II.3 MODÈLE SÉDIMENTAIRE : HYPOTHÈSES ET ÉQUATIONS........................................................ II-81

II.4 MODÈLE RADIOÉCOLOGIQUE : HYPOTHÈSES ET ÉQUATIONS................................................ II-84

II.5 RÉSOLUTION NUMÉRIQUE ................................................................................................................ II-85

II.6 PARAMÈTRES SÉDIMENTAIRES DU MODÈLE ................................................................................ II-98

## CHAPITRE III PARAMÉTRISATION DES FLUX DE DÉPÔT ET D'ÉROSION ...................... III-99

III.1 OBJECTIFS.................................................................................................................................................... III-101

III.2 DESCRIPTION DU CANAL À COURANT ET DE SA SECTION TEST ................................................ III-101

III.3 PROTOCOLE DE MESURE DU FROTTEMENT................................................................................ III-103

III.4 PROTOCOLE DE L'EXPÉRIENCE DE REMISE EN SUSPENSION................................................ III-110

III.5 RÉSULTATS D'APPLICATION AUX SÉDIMENTS DE FOND DU CANAL BRL .................................... III-111

III.6 MODÉLISATION DE L'EXPÉRIENCE DE REMISE EN SUSPENSION PAR LE MODÈLE EROD. III-114

III.7 VALIDATION EXPÉRIMENTALE DE L'ALGORITHMÈ DE CALAGE ................................................ III-120

III.8 COHÉRENCES DU MODÈLE AVEC LES PARAMÈTRES PHYSIQUES ............................................ III-124

III.9 CONCLUSION DU CHAPITRE ........................................................................................................ III-130

## CHAPITRE IV CARACTÉRISATION DES PARTICULES EN SUSPENSION...................... IV-131

IV.1 OBJECTIF.................................................................................................................................................... IV-133

IV.2 MATÉRIELS ET PROTOCOLE EXPÉRIMENTAL ................................................................................ IV-133

IV.3 MODÉLISATION DE LA DÉCANTATION DANS LA COLONNE D'EAU ........................................ IV-138

IV.4 RÉSULTATS DES CAMPAGNES DE PRÉLÈVEMENT RÉALISÉES DANS LE RHÔNE AVANT L'ENTRÉE DU CANAL BRL ................................................................................................................................................ IV-141

IV.5 CARACTÉRISATION DE LA CHARGE INITIALE PAR CLASSE DE PARTICULES ...................... IV-145

IV.6 MÉTHODE DE CALAGE MODÈLE / EXPÉRIENCE........................................................................ IV-152
<table><tr><td>IV.7 COMMENTAIRES</td><td>IV-154</td></tr><tr><td>IV.8 PROCESSUS DOMINANTS SELON LES VITESSES DE L'ÉCOULEMENT</td><td>IV-155</td></tr><tr><td>IV.9 COMPARAISON DE LA GRANULOMÉTRIE DES EXPÉRIENCES DE REMISE EN SUSPENSION ET DE DÉCANTATION</td><td>IV-156</td></tr><tr><td>IV.10 CONCLUSION DU CHAPITRE</td><td>IV-157</td></tr></table>

## CHAPITRE V CAS TEST DE VALIDATION ET APPLICATION AU CANAL BAS RHÔNE LANGUEDOC

<table><tr><td>V.1 OBJECTIFS</td><td>V-161</td></tr><tr><td>V.2 COMPARAISON ENTRE LES APPROCHES MULTI-CLASSES ET GLOBALE POUR LA COLONNE D'EAU</td><td>V-162</td></tr><tr><td>V.3 COMPARAISON ENTRE APPROCHE MULTI-CLASSES ET APPROCHE GLOBALE POUR LES SÉDIMENTS DE FOND</td><td>V-165</td></tr><tr><td>V.4 DESCRIPTION DES CAMPAGNES DE PRÉLÈVEMENTS DES SÉDIMENTS DU FOND DU CANAL BRL V-168</td><td></td></tr><tr><td>V.5 PREMIÈRE CAMPAGNE DE PRÉLÈVEMENTS</td><td>V-171</td></tr><tr><td>V.6 DEUXIÈME CAMPAGNE DE PRÉLÈVEMENTS</td><td>V-175</td></tr><tr><td>V.7 SIMULATIONS NUMÉRIQUES</td><td>V-178</td></tr></table>

## CHAPITRE VI CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
<figure><img src="image_6.png" /></figure>
INTRODUCTION

En France, 70 % des centrales électronucléaires sont installées au bord de fleuves ou de rivières. Elles y rejettent, en accord avec la législation en vigueur, des effluents liquides faiblement radioactifs. Un intérêt particulier quant à l'évaluation de leur impact sur la contamination des eaux douces, milieu vital pour tout un écosystème (poissons, plantes, animaux, hommes...), permet d'identifier au mieux le site adéquat et les installations nécessaires pour réduire autant que possible toute nuisance à l'environnement.

L'évolution enregistrée depuis 30 ans pour les rejets des installations nucléaires du cycle du combustible est incontestablement à la baisse. Cependant, il est nécessaire de minimiser l'impact de ces rejets sur l'environnement en privilégiant les déchets solides et en assurant la dispersion maximale des effluents gazeux et liquides ; telles sont les orientations de la politique des Autorités pour assurer une radioprotection satisfaisante.

L'une des principales activités de l'Institut de Radioprotection et de Sûreté Nucléaire (IRSN), où le présent travail s'est déroulé, est de développer des modèles de transfert des radionucléides dans l'environnement (eau, sol, plante ...). Ce travail vise principalement la prise en compte de la dynamique sédimentaire dans la modélisation des transferts dans les milieux aquatiques et, à montrer explicitement l'influence de celle ci sur l'impact radioécologique.

Le but est de proposer une modélisation mécaniste, intégrant les différents processus d'échange de radioactivité entre les trois compartiments physiques d'un cours d'eau (eau, matières en suspension et sédiments de fond). Ces processus se résument en l'adsorption-désorption et le dépôt-érosion. Pour répondre à cette tâche et aux besoins de l'IRSN en terme de modélisation, le travail présenté ici s'articule en cinq chapitres :

Le premier chapitre présente une synthèse bibliographique concernant l'hydraulique, la dynamique sédimentaire en milieu marin et/ou fluvial et la radioécologie. L'objectif de ce chapitre est de mieux cerner la physique du problème et de rassembler les principales modélisations appliquées aux processus impliqués.

Il s'agit tout d'abord d'identifier le domaine commun aux trois thèmes : radionucléides, matières, eau. Cette action va aboutir, dans un contexte radioécologique, à l'identification et à la caractérisation des principaux processus physico-chimiques qui impliquent et qui lient ces trois compartiments.

Le deuxième chapitre présente le modèle radioécologique TRACE (TRAnsferts par Classe de matières dans les cours d'Eau), développé en fonction des points importants soulevés dans le premier chapitre. La détermination des paramètres nécessaires pour le fonctionnement des sous-modèles sédimentaire et radioécologique nécessitait des expérimentations in situ et en laboratoire. À ce stade, il fallait alors définir des protocoles expérimentaux, et ce, pour une évaluation précise des paramètres lors de l'étude d'un site donné. L'effort a porté particulièrement sur la définition des termes liés à la dynamique sédimentaire (tensions critiques d'érosion, taux d'érosion et vitesses de chute).

La paramétrisation des flux de dépôt et d'érosion fait l'objet des troisième et quatrième chapitres. On y présente des expériences de remise en suspension réalisées dans le canal à courant du Centre Océanologique de Marseille (COM). Deux campagnes de prélèvement des sédiments du fond situés à l'entrée du canal Bas Rhône Languedoc (BRL) ont eu lieu.

Les différents paramètres trouvés sont utilisés au dernier chapitre de ce mémoire, le chapitre 5, afin d'étudier le comportement du code mis en oeuvre. Une application expérimentale et numérique du code sur le canal BRL conclut ce travail tout en laissant des perspectives pour sa poursuite.
<figure><img src="image_7.png" /></figure>
# Chapitre I Étude bibliographique

<table><tr><td>I.1 OBJECTIFS DE L'ÉTUDE BIBLIOGRAPHIQUE</td><td>I-13</td></tr><tr><td>I.2 DÉFINITIONS RELATIVES À LA RADIOACTIVITÉ</td><td>I-13</td></tr><tr><td>I.2.1 La radioactivité d'origine naturelle</td><td>I-14</td></tr><tr><td>I.2.2 La radioactivité d'origine artificielle</td><td>I-15</td></tr><tr><td>I.2.3 Réglementation</td><td>I-17</td></tr><tr><td>I.3 PROCESSUS DE TRANSFERTS DE RADIOACTIVITÉ</td><td>I-18</td></tr><tr><td>I.3.1 Dispersion au sein de chaque compartiment</td><td>I-18</td></tr><tr><td>I.3.2 Échanges de radioactivité entre la phase dissoute et les phases particulaires</td><td>I-21</td></tr><tr><td>I.3.3 Échanges de radioactivité entre les matières en suspension et les sédiments de fond</td><td>I-27</td></tr><tr><td>I.4 LES MATIÈRES DANS UN COURS D'EAU</td><td>I-28</td></tr><tr><td>I.4.1 Principaux paramètres des matières</td><td>I-28</td></tr><tr><td>I.4.2 Principales classes des matières</td><td>I-30</td></tr><tr><td>I.5 LES PRINCIPAUX PROCESSUS HYDROSÉDIMENTAIRES DES SÉDIMENTS COHÉSIFS</td><td>I-32</td></tr><tr><td>I.5.1 Dispersion</td><td>I-32</td></tr><tr><td>I.5.2 Dépôt et érosion</td><td>I-32</td></tr><tr><td>I.5.3 Lois pour évaluer les flux de dépôt et d'érosion</td><td>I-33</td></tr><tr><td>I.5.4 Récapitulatif sur la modélisation des flux de dépôt et d'érosion</td><td>I-35</td></tr><tr><td>I.5.5 Détermination de la vitesse de chute des suspensions</td><td>I-36</td></tr><tr><td>I.5.6 Détermination des tensions critiques de dépôt</td><td>I-45</td></tr><tr><td>I.5.7 Consolidation des dépôts cohésifs</td><td>I-46</td></tr><tr><td>I.5.8 Détermination des tensions critiques d'érosion</td><td>I-52</td></tr><tr><td>I.6 HYDRAULIQUE FLUVIALE</td><td>I-54</td></tr><tr><td>I.6.1 Principaux éléments géométriques d'un cours d'eau</td><td>I-54</td></tr><tr><td>I.6.2 Écoulement dans les cours d'eau</td><td>I-55</td></tr><tr><td>I.6.3 Modélisation de base pour l'hydraulique fluviale</td><td>I-57</td></tr><tr><td>I.7 OBJECTIFS ET BESOINS D'UN MODÈLE DE QUALITÉ D'EAUX</td><td>I-64</td></tr><tr><td>I.8 MODÈLE TRIDIMENSIONNEL</td><td>I-65</td></tr><tr><td>I.8.1 Équations du modèle sédimentaire</td><td>I-66</td></tr><tr><td>I.8.2 Équations du modèle radioécologique</td><td>I-67</td></tr><tr><td>I.9 MODÈLE BIDIMENSIONNEL VERTICAL</td><td>I-68</td></tr><tr><td>I.9.1 Équations pour le modèle sédimentaire</td><td>I-68</td></tr><tr><td>I.9.2 Équations pour le modèle radioécologique</td><td>I-69</td></tr><tr><td>I.10 MODÈLE BIDIMENSIONNEL HORIZONTAL</td><td>I-71</td></tr><tr><td>I.10.1 Équations pour le modèle sédimentaire</td><td>I-71</td></tr><tr><td>I.10.2 Équations pour le modèle radioécologique</td><td>I-72</td></tr><tr><td>I.11 MODÈLE MONODIMENSIONNEL</td><td>I-73</td></tr><tr><td>I.11.1 Équations pour le modèle sédimentaire</td><td>I-73</td></tr><tr><td>I.11.2 Équations pour le modèle radioécologique</td><td>I-73</td></tr><tr><td>I.12 RÉCAPITULATIF SUR LA MODÉLISATION</td><td>I-74</td></tr><tr><td>I.13 ORIENTATION DU TRAVAIL SUITE AUX CONCLUSIONS DE L'ÉTUDE BIBLIOGRAPHIQUE</td><td>I-74</td></tr><tr><td>I.13.1 Conclusions</td><td>I-74</td></tr><tr><td>I.13.2 Orientation de l'étude</td><td>I-75</td></tr></table>
<figure><img src="image_8.png" /></figure>
## I.1 Objectifs de l'étude bibliographique

Dès lors qu'un effluent radioactif est introduit dans un cours d'eau, les radionucléides qui le composent vont être distribués entre et au sein des différents compartiments physiques du milieu : l'eau, les matières en suspension et les sédiments de fond.

Dans un cours d'eau, les radionucléides sont susceptibles d'exister sous une forme soluble, fixés sur les matières en suspension et fixés dans les sédiments de fond. Cette distribution est largement tributaire de l'état physico-chimique et de l'action et des interactions des différents composants du milieu.

A l'IRSN, dans le cadre de l'étude des transferts des radionucléides dans l'environnement, les travaux menés jusqu'à présent en terme de développement des modèles de transferts dans les cours d'eau intégraient la dispersion de l'activité dissoute. Or, pour tenir compte dans ces modèles des échanges entre les phases dissoutes et particulaires, il faut intégrer la dynamique sédimentaire dans les modèles développés et ce, afin de prévoir à la fois le transport des matières ayant adsorbé de la radioactivité et les éventuels échanges et transferts de masse entre les matières en suspension et les sédiments de fond. Cette prise en compte de la dynamique sédimentaire dans les modèles de qualité d'eau demeure inédite à l'IRSN.

C'est pour cela que l'étude bibliographique, qui fait l'objet de ce chapitre, a du être plus qu'approfondie pour mieux appréhender cette problématique et mettre en place les fondations du travail à réaliser au cours de cette étude.

Une des premières problématiques à aborder dans ce propos est de rappeler quelques définitions liées aux radionucléides, leurs caractéristiques, leurs provenances et la réglementation des rejets d'effluents liquides dans les cours d'eau et ce, avant de passer à l'étude de leurs interactions avec les matières et à la modélisation des processus mis en jeu.

## I.2 Définitions relatives à la radioactivité

Les radionucléides sont des noyaux qui se transforment par désintégration en un autre nucléide. Ces désintegrations sont accompagnées d'émission de rayonnements sous forme de rayons alpha, bêta, gamma, ou X. L'activité d'un radionucléide exprime le nombre de désintegrations par unité de temps et se mesure en Becquerels (1 Bq = une désintégration par seconde). L'ancienne unité de mesure de l'activité est le Curie (1 Ci = $3,7.10^{10}$ Bq).

La période radioactive ou demi-vie est le temps nécessaire pour que la moitié de la quantité de radioactivité disparaisse par désintégration. Ainsi, les durées de vie des différents radionucléides sont très variables, de quelques millisecondes à plusieurs millions d'années.

La décroissance radioactive des activités est caractérisée par une constante de décroissance radioactive propre au radionucléide considéré. Cette constante est reliée à T, période radioactive, par la relation :

$$ \lambda = \frac{\ln 2}{T} $$
Le tableau I.1 présente les caractéristiques de quelques-uns des principaux radionucléides rejetés par les installations nucléaires (Ancelin *et al*, 1979).

<table><caption>tableau I.1: Présentation des principaux radionucléides associés aux effluents liquides rejetés par les centrales électronucléaires</caption><thead><tr><th>Radioélément</th><th>Élément stable associé</th><th>Période radioactive</th><th>Nombre de Bq pour 1 g</th></tr></thead><tbody><tr><td><sup>3</sup><sub>1</sub>H</td><td><sup>1</sup>H</td><td>12,34 ± 0,002 ans</td><td>3,57.10<sup>14</sup></td></tr><tr><td><sup>14</sup><sub>6</sub>C</td><td><sup>12</sup>C</td><td>5730 ± 40 ans</td><td>1,65.10<sup>11</sup></td></tr><tr><td><sup>60</sup><sub>27</sub>Co</td><td>Co</td><td>5,271 ± 0,001 ans</td><td>4,18.10<sup>13</sup></td></tr><tr><td><sup>90</sup><sub>38</sub>Sr</td><td>Sr</td><td>28,15 ± 0,10 ans</td><td>5,22.10<sup>12</sup></td></tr><tr><td><sup>131</sup><sub>53</sub>I</td><td>I</td><td>8,021 ± 0,001 jours</td><td>4,60.10<sup>15</sup></td></tr><tr><td><sup>134</sup><sub>55</sub>Cs</td><td>Cs</td><td>2,066 ± 0,001 ans</td><td>4,78.10<sup>13</sup></td></tr><tr><td><sup>137</sup><sub>55</sub>Cs</td><td>Cs</td><td>30,15 ± 0,02 ans</td><td>3,20.10<sup>12</sup></td></tr></tbody></table>

Dans le milieu aquatique, la présence des radionucléides a de ce fait deux origines : l'une artificielle que nous venons de dénombrer, l'autre naturelle.

## I.2.1 La radioactivité d'origine naturelle

Deux groupes d'éléments radioactifs peuvent être qualifiés de naturels, les radionucléides d'origine cosmique et tellurique.

### Radionucléides d'origine cosmique

Il s'agit d'éléments continuellement générés en haute atmosphère par interaction des rayons cosmiques. Ces derniers sont répertoriés en deux catégories :

La première est constituée des rayonnements d'origine galactique. Il s'agit de protons, de particules alpha, d'électrons, de positrons, de noyaux d'éléments plus lourds comme le fer, le nickel. Ces particules chargées, accélérées par les champs interstellaires, acquièrent des énergies très élevées, supérieures à 100 MeV.

La deuxième catégorie des rayonnements cosmiques est constituée de rayonnement d'origine solaire, les particules correspondantes varient en nombre et en énergie selon l'activité du soleil. Leur énergie dépasse rarement 100 MeV.

Les rayonnements cosmiques, quelle que soit leur origine, interagissent avec les noyaux présents dans l'atmosphère, donnant alors des particules élémentaires très variées et de nombreux radionucléides ($^{3}$H, $^{7}$Be, $^{10}$Be, $^{14}$C, $^{32}$P, $^{33}$P, $^{22}$Na, $^{35}$S, $^{39}$Cl,...).

### Radionucléides d'origine tellurique

Les rayonnements d'origine tellurique sont émis par des radionucléides primaires, présents lors de la formation de la terre et dont la période est au moins égale à 300 millions d'années. Ce sont principalement $^{40}$K, $^{238}$U, $^{235}$U et $^{232}$Th.

Le potassium 40 et le rubidium 87 se transforment par désintégration β en éléments stables.

Le thorium 232, l'uranium 238 et l'uranium 235 sont des émetteurs α qui donnent chacun, par filiation, une famille de descendants radioactifs, aboutissant au plomb stable. L'exposition externe due aux rayonnements telluriques est de 0,46 mSv an$^{-1}$

Remarque : L'effet des rayonnements ionisants sur les tissus vivant est exprimé en Sievert (Sv) ($1\,mSv = 1\,millisievert = 0,001\,Sv$).
### I.2.2 La radioactivité d'origine artificielle

La radioactivité d'origine artificielle provient de diverses sources : les essais d'explosions d'armes nucléaires réalisés dans l'atmosphère entre 1945 et 1980 avec des périodes de tirs intenses entre 1952-1954, 1957-1958 et 1961-1962, les retombées liées à l'accident survenu à la centrale de Tchernobyl en 1986, les rejets contrôlés d'effluents liquides faiblement radioactifs des installations nucléaires, les hôpitaux, ... (Charmasson, 2000).

Lors du fonctionnement normal d'un réacteur électrogène du type REP (Réacteur à Eau Pressurisé figure I.1), le flux neutronique génère trois formes de réactions nucléaires.

La principale est la fission du combustible :

Sous l'impact des neutrons, les noyaux d'uranium se scindent en noyaux plus petits, appelés produits de fission, ce qui libère l'énergie dite nucléaire.

La deuxième est l'activation neutronique des produits de corrosion des matériaux de structure, ainsi que des sous-produits du fonctionnement du réacteur.

La dernière produit des transuraniens par capture neutronique. La succession des trois barrières de sécurité que représentent la gaine des crayons de combustible, l'isolement du circuit primaire et l'enceinte de confinement du réacteur permet de retenir ces produits radioactifs. Cependant, des pertes subsistent à différents niveaux et constituent, les effluents primaires généralement réutilisables d'une part, les effluents usés d'autre part. De ce fait, chaque catégorie d'effluents subit un traitement spécifique. Pour les centrales situées au bord des fleuves, les principaux produits d'activation sont ³H, ⁶⁰Co, ⁵⁸Co, ⁵⁴Mn, ¹¹⁰mAg, ¹²⁴Sb, ¹⁴C. Les principaux produits de fission sont ³H, ¹³¹I, ¹³⁴Cs, ¹³⁷Cs, ⁹⁰Sr. Par traitement des eaux dans les centrales, la grande majorité de ces radionucléides est extraite et évacuée, sous forme de déchets solides. Il reste, néanmoins, une partie qui est stockée dans des cuves. Ces dernières sont vidangées périodiquement, dans le fleuve, dans la limite des normes de rejets, imposées par la législation en vigueur tableau I.1.
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>figure I.1 : Schéma simplifié d'un réacteur nucléaire à eau pressurisée</figcaption></figure>
### I.2.3 Réglementation

Les rejets d'effluents radioactifs sont obligatoirement soumis à autorisation. Tout prélèvement d'eau pour une installation nucléaire de base est également soumis à autorisation. A cet effet, un dossier de demande d'autorisation de rejet d'effluents gazeux et liquides et de prélèvement d'eau doit être constitué. Depuis le 4 mai 1995, la procédure administrative réglementaire est définie par le décret 95-540. Les rejets d'effluents liquides et gazeux des installations nucléaires de base, y compris les installations classées secrètes, sont autorisés par les arrêtés conjoints pris par les ministres en charge de la Santé, de l'Industrie et de l'Environnement. Ce décret permet de présenter un seul et même dossier de demande d'autorisation pour tous les rejets et les prélèvements d'eau d'une installation nucléaire.

Ces rejets se font dans des conditions bien déterminées, définies par différents décrets qui sont les suivants :

- Décret du 18 avril 1988, relatif aux principes généraux de protection contre les rayonnements ionisants.

- Arrêté du 10 août 1976 concernant les conditions et les autorisations de rejets d'effluents pour chaque type d'installation nucléaire, publié au Journal Officiel du 12 septembre 1976.

- Un décret particulier d'autorisation de rejets concernant chaque centrale nucléaire fixe un seuil d'activité de l'eau du fleuve qui ne doit pas être dépassé. La centrale détermine alors, en fonction du débit du cours d'eau et de l'activité du rejet, la quantité d'effluents qu'elle peut rejeter.

- Loi sur l'eau du 3 janvier 1992.

En plus de ces textes, il existe des normes ISO pour le matériel.

L'application de ces décrets est surveillée par l'Office de Protection contre les Rayonnements Ionisants (OPRI) sous la tutelle des ministères de la Santé et du Travail.

Des principes généraux, tels le stockage et l'analyse obligatoire de tous les effluents des circuits primaires et secondaires en laboratoire avant rejet dans l'environnement, s'appliquent aux effluents liquides des centrales. Des seuils à ne pas dépasser ont été mis en place : l'activité volumique ajoutée dans le fleuve est ainsi limitée obligatoirement à 0,8 Bq.l⁻¹, en moyenne quotidienne. Ceci est valable pour toutes les centrales françaises indépendamment de leur puissance et du nombre de leurs réacteurs. Cependant, l'expérience acquise sur toutes les centrales lors de la dernière décennie confirme que l'activité volumique moyenne mesurée est incontestablement à la baisse et reste largement inférieure à cette valeur seuil.
## I.3 Processus de transferts de radioactivité

### I.3.1 Dispersion au sein de chaque compartiment

La dispersion d'une concentration ou d'une substance dissoute dans un fluide cumule deux processus : le transport par la vitesse moyenne du fluide en mouvement et les diffusions moléculaire et turbulente. La figure I.2 schématise le processus de dispersion.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>figure I.2: Schéma du processus de dispersion</figcaption></figure>

#### I.3.1.1 Transport

Qu'ils soient sous forme dissoute ou particulaire, les radionucléides introduits dans un cours d'eau se déplacent selon la vitesse moyenne de l'écoulement. Ainsi, on distingue un processus de transport associé à ce déplacement et caractérisé par les composantes moyennes de la vitesse de l'écoulement ($u_x, u_y, u_z$). Le transport par les sédiments de fond est communément appelé le charriage. Ce processus concerne principalement les matériaux non cohésifs<fnref n="1" /> et ne sera abordé que de manière concise pour des raisons que l'on expliquera plus loin.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>figure I.3 : Repères d'un écoulement vu de dessus</figcaption></figure>

#### I.3.1.2 Diffusion

On paramètre la diffusion selon la composante $x_i$ par un coefficient de diffusion noté ($D_{xi}$). Pour la diffusion longitudinale, Elder (1959), cité par (Lebreton, 1974), propose pour un écoulement uniforme dans un canal bidimensionnel la loi suivante :

$$K_x = D_d \cdot u^* \cdot h \quad \text{avec } D_d = 5,93$$

$h$ : hauteur d'eau (m)

$u^*$ : vitesse de frottement (m.s⁻<fnref n="1" />)

équation I.1

<footnote n="1">¹ Matières dont le diamètre est supérieur à 64 micromètres (cf I.4.2)</footnote>
Pour des phénomènes naturels, le coefficient ($D_d$) peut atteindre des valeurs beaucoup plus importantes. Dans les rivières naturelles, $D_d$ vaut 10 à 500 pour les coefficients de dispersion longitudinale et de 0,3 à 0,7 pour les coefficients de dispersion transversale.

En pratique, seul un recalage sur des données naturelles permet d'étalonner le coefficient de dispersion, par une expérience de dispersion de traceur (colorants par exemple).

L'application de cette expérience à la Seine aux alentours de Paris par Dijon (1983) et Simon (1995), (cités dans Viollet, 1998) a permis l'obtention de ces coefficients de dispersion essentiellement pour deux types de biefs :

* Bief sensiblement rectiligne, avec un débit variant entre 50 et 300 m³.s⁻¹ :

$$D_x = 0,5 \text{ à } 10 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-1} \quad \text{et} \quad D_y = 0,05 \text{ à } 0,15 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-1}$$

* Bief comportant des méandres, avec un débit variant entre 50 et 200 m³.s⁻¹ :

$$D_x = 5 \text{ à } 40 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-1} \quad \text{et} \quad D_y = 0,15 \text{ à } 0,30 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-1}$$

Le processus de dispersion d'un effluent rejeté dans un cours d'eau peut être abordé différemment selon que l'on se situe plus ou moins loin du point d'émission et que l'on s'intéresse à une situation à caractère permanent ou transitoire. En fonction de ces considérations, plusieurs hypothèses simplificatrices peuvent être posées.

### I.3.1.3 Les différentes étapes de la dispersion le long d'un cours d'eau

Le long d'un cours d'eau, le processus de dispersion d'un rejet peut être schématiquement découpé selon quatre zones successives, relatives à la distance par rapport au point de rejet (Boyer, 2001).

- La zone proche : C'est la zone sur laquelle s'applique le terme source. Elle concerne le mélange initial de l'effluent. Les paramètres du rejet tels que la quantité de mouvement à l'émission, la différence de densité entre l'effluent et le milieu, la forme et la disposition du ou des points d'émission y sont prépondérants. L'évaluation de ces paramètres nécessite la mise en œuvre de modèles thermiques, de modèles de jets turbulents et de modèles hydrodynamiques tridimensionnels. La longueur de cette zone peut être de l'ordre d'une centaine de mètres et sa largeur au niveau du rejet de quelques mètres.

- La zone intermédiaire : La zone intermédiaire est atteinte lorsque l'influence des caractéristiques du rejet n'est plus motrice. Cependant, le processus de dispersion dans cette zone présente toujours des caractéristiques tridimensionnelles et des modèles hydrodynamiques de ce type sont encore nécessaires. La longueur ajoutée de cette zone et de la précédente est comprise entre 50 et 100 voire 200 fois la profondeur de l'écoulement.

- La zone moyenne : La zone moyenne est caractérisée par une distribution homogène du rejet dans le plan vertical. Le processus de dispersion peut être abordé par des modèles bidimensionnels. Elle s'étend sur plusieurs kilomètres voire des dizaines de kilomètres en aval du rejet.

- La zone lointaine ou zone de bon mélange : A partir de cette zone le rejet est entièrement et uniformément dilué sur toute la section du cours d'eau. Le processus de dispersion présente des caractéristiques mono dimensionnelles qui permettent de simplifier, en grande partie, la démarche. En particulier, pour des situations stationnaires le processus de diffusion devient négligeable.

Pour les problèmes radioécologiques, la zone de bon mélange présente plusieurs intérêts. D'une part, elle recouvre la plus grande partie de la zone d'impact et, d'autre part, elle admet des
hypothèses qui simplifient l'expression du processus de dispersion et par conséquent l'évaluation
de l'impact des rejets.

Elle est caractérisée par la Distance de Bon Mélange (DBM) qui correspond à la distance en aval du rejet qui marque le début de cette zone. En fonction des caractéristiques du rejet et de l'hydraulique du cours d'eau, cette distance est généralement de plusieurs kilomètres.

Pour un rejet permanent, la concentration dans cette zone est constante et homogène. Sa valeur est définie par la Concentration de Bon Mélange (CBM) :

$$
CBM = C_{rejet} \cdot \frac{q_{rejet}}{Q_{rivière}}
$$

$C_{rejet}$ : concentration du rejet (Bq.m⁻³)

$q_{rejet}$ : débit du rejet (m³.s⁻¹)

$Q_{rivière}$ : débit de la rivière (m³.s⁻¹)

On définit le Coefficient de Dilution Liquide (CDL) :

$$
CDL = \frac{C_{rivière}}{CBM}
$$

Dans la zone de bon mélange en régime permanent, on a : CDL = 1.

Il existe de nombreuses expressions pour évaluer la DBM. La plus répandue est celle proposée par Fisher (1979). Recommandée par l'AFNOR (1994), cette expression se présente sous la forme suivante :

$$
DBM = \frac{k \overline{U_x} \cdot \overline{L}^2}{Dy}
$$

$U_x$ : vitesse moyenne longitudinale (m.s⁻¹)

Dy : coefficient de diffusion transversal (m².s⁻¹)

k : degré du mélange

L : largeur du cours d'eau (m)

Pour le coefficient de mélange transversal D<sub>y</sub> et la vitesse de frottement u* on a

$$
\overline{Dy} = 0,2 \cdot \overline{h} \cdot u
$$

avec

$$
\overline{u} = \sqrt{g \cdot \overline{h} \cdot i} , i : \text{pente du fond (m.m}^{-1})
$$

Ainsi, la distance de bon mélange peut s'exprimer sous la forme suivante :

$$
DBM = k \cdot \overline{U_x} \cdot \overline{L}^2 / (0,63 \cdot \sqrt{i \cdot \overline{h}}^3)
$$
### I.3.2 Échanges de radioactivité entre la phase dissoute et les phases particulaires

Les processus d'échanges d'activité entre l'eau et les matières (en suspension ou en sédiment de fond) englobent l'adsorption et la désorption. L'adsorption correspond à la fixation d'un radionucléide sur la surface d'un sédiment et la désorption à son relarguage :

Pour les éléments présents sous une forme cationique, comme $ ^{65}\text{Zn} $, $ ^{60}\text{Co} $, $ ^{54}\text{Mn} $, $ ^{137}\text{Cs} $, $ ^{109}\text{Cd} $ et $ ^{90}\text{Sr} $, les processus de sorption par les sédiments dépendent de mécanismes plus complexes qu'un simple échange ionique. Le cobalt est fixé sur les sédiments par l'intermédiaire d'un cation monovalent, $ \text{Co(OH)}^{+} $ (Chester, 1965, cité par Ancelin et al, 1979). Le cadmium 109 est relativement bien fixé par la calcite. Le césium 137 n'est pratiquement pas fixé sur les carbonates (Ojima et al, 1965 ; Pesret, 1976, cités par Ancelin et al, 1979) et peu sur les kaolinites. Par contre, sa fixation est favorisée par la présence d'une argile de type illitique sur laquelle il montre deux possibilités de fixation : sorption sur la bordure des minéraux argileux où existent des charges libres et sorption à l'intérieur des minéraux phylliteux altérés où il se placerait entre les feuillets en remplacement du potassium interfoliaire déficitaire.

En résumé, les processus d'adsorption désorption dépendent de :

- La nature des matières (minérale ou organique)

- La granulométrie des matières : d'une manière générale, la fixation des radionucléides sur les matières est d'autant plus importante que les particules élémentaires sont plus fines (surface spécifique importante).

- La forme physico-chimique de l'élément : les radionucléides hydrolysables comme $ ^{95}\text{Zr} $, $ ^{144}\text{Ce} $ ou $ ^{59}\text{Fe} $, présentent une grande affinité ionique de fixation.

Le cas du césium illustre bien le fait que la fixation de radionucléides sur les sédiments peut être défavorisée en cas de compétitions ioniques propres au milieu (Ancelin et al, 1979).

#### I.3.2.1 Kd : coefficient de partage à l'équilibre

Dans la pratique, les échanges de radioactivité entre la phase dissoute et les phases particulaires sont déterminés à partir d'un coefficient de distribution à l'équilibre noté Kd (Lepicard, 1993 ; Albrecht, 1998). Celui-ci repose sur une hypothèse de partage à l'équilibre entre la phase dissoute et la phase particulaire d'un élément radioactif. Ce coefficient traduit une loi linéaire réversible exprimée par la formule suivante (Buffle, 1988) :

$$ Kd_{dis}^{SS} = \frac{C_{dis}^{SS}}{C_{dis}^{équilibre}} = \frac{k_{1}}{k_{-1}} \cdot \frac{[X - S]^{*}}{[X]} \qquad \text{équation I.2} $$

Avec :

$SS$ : Concentration en matières en suspension (g.l$^{-1}$).

$C_{dis}^{SS}$ : Activité massique fixée sur les matières en suspension à l'équilibre, (Bq.kg$^{-1}$).

$C_{dis}^{équilibre}$ : activité volumique dissoute dans l'eau à l'équilibre, (Bq.m$^{-3}$).

$a_S$ : activité spécifique du radioélément (Bq.mol$^{-1}$).

$[R]$ : concentration des radionucléides dissous dans l'eau (mol.m$^{-3}$).

$[X-S]$ : concentration des compétiteurs cationiques fixés sur les matières en suspensions (mol.m$^{-3}$).
[X] : concentration des compétiteurs cationiques<fnref n="2" /> dissous dans l'eau (mol.m³)

k₁ : constante cinétique d'adsorption (m³.mol⁻¹.s⁻¹)

k₁ : constante cinétique de désorption (m³.mol⁻¹.s⁻¹)

[X-S]⁺ = [X-S] / SS : concentration massique du compétiteur fixé sur les matières en suspensions

(mol.kg⁻¹)

Cette expression découle de l'hypothèse de deux réactions chimiques d'échange ionique caractérisées par des cinétiques d'ordre 1 :

$$[R] + [X-S] \overset{k_1}{\rightleftharpoons} [R-S] + [X] \quad \text{pour l'adsorption}$$

$$[R] + [X-S] \overset{k_{-1}}{\rightleftharpoons} [R-S] + [X] \quad \text{pour la désorption}$$

[R-S] : concentration des radionucléides fixés sur les suspensions (mol.m⁻³)

En supposant que ces deux réactions soient réversibles (hypothèse généralement admise), on obtient la réaction chimique suivante :

$$[R] + [X-S] \overset{k_1}{\rightleftharpoons} [R-S] + [X]$$

En fonction de la loi d'action des masses émise par Guldberg et Waage, les vitesses de réaction (mol.m⁻³.s⁻¹) sont respectivement pour l'adsorption et la désorption :

$$V_{\text{adsorption}} = k_1 \cdot [R] \cdot [X-S] \quad \text{et} \quad V_{\text{désorption}} = k_{-1} \cdot [R-S] \cdot [X]$$

Ces relations permettent de poser les deux équations de bilan suivantes :

$$\frac{d[R]}{dt} = -k_1[R][X-S] + k_{-1}[R-S][X] \qquad \text{équation I.3}$$

$$\frac{d[R-S]}{dt} = k_1[R][X-S] - k_{-1}[R-S][X] \qquad \text{équation I.4}$$

Avec

$$C_{ss} = \frac{as[R-S]}{SS} \quad \text{l'activité massique fixée sur les suspensions (Bq.kg⁻¹).}$$

Ces notations permettent d'écrire les deux équations de bilan sous la forme suivante :

$$\frac{dC_{dis}}{dt} = -k_1 \cdot SS \cdot C_{dis} \cdot [X-S]^* + k_{-1} \cdot SS \cdot C_{ss} \cdot [X] \qquad \text{équation I.5}$$

$$\frac{d\{C_{ss} \cdot SS\}}{dt} = +k_1 \cdot SS \cdot C_{dis} \cdot [X-S]^* - k_{-1} \cdot SS \cdot C_{ss} \cdot [X] \qquad \text{équation I.6}$$

À l'équilibre on a :

$$\frac{d \{ C_{ss} \cdot SS \}}{dt} = \frac{d C_{dis}}{dt} = 0 \qquad \text{équation I.7}$$

Il est admis que l'apport de radionucléides est négligeable par rapport à l'élément compétiteur X, naturellement présent dans le milieu. En conséquence, X est supposé être et demeurer à l'équilibre. Cette hypothèse se traduit par :

<footnote n="2">² Le compétiteur cationique [X] est, par définition, l'élément chimique associé à chaque radionucléide (parfois c'est son isotope le plus stable) et qui rentre en compétition avec lui pour se fixer sur les matières.</footnote>
$$ \frac{[X-S]^*}{\frac{\text{équilibre}}{[X]}} = \frac{[X-S]^*}{[X]} = Kd_X^{X-S} \qquad \text{équation I.8} $$

$Kd_X^{X-S}$ est un coefficient de partage qui exprime le rapport à l'équilibre entre les phases particulaire et dissoute de l'élément compétiteur $X$ ($m^3.kg^{-1}$).

De même, on déduit :

$$ Kd_{dis}^{SS} = \frac{C_{dis}^{SS}}{C_{dis}^{\text{équilibre}}} = \frac{k_1}{k_{-1}} \frac{[X-S]^*}{[X]} = \frac{\lambda_{dis}^{SS}}{\lambda_{dis}^{SS}} \qquad \text{équation I.9} $$

$Kd_{dis}^{SS}$ : le coefficient de partage à l'équilibre qui exprime le rapport à l'équilibre entre les phases particulaire et dissoute du radionucléide ($m^3.kg^{-1}$).

$\lambda_{dis}^{SS} = k_1[X-S]$ : la constante cinétique d'adsorption ($m^3.kg^{-1}.s^{-1}$).

$\lambda_{dis}^{SS} = k_{-1}[X]$ : la constante cinétique de désorption ($s^{-1}$).

Pour les matières présentes dans les sédiments de fond, ce type d'échange concerne principalement l'eau interstitielle et la couche d'interface du lit sédimentaire, pour les matières en suspension il s'applique à toute la colonne d'eau. En conséquence, il apparaît que les coefficients de partage entre la contamination de la colonne d'eau et celle des sédiments de fond sont nettement inférieurs à ceux observés pour les matières en suspension (tableau I.2). En pratique, pour les sédiments de fond, cette constatation justifie de négliger ce processus d'échange par rapport aux échanges entre les matières en suspension et les sédiments de fond lorsqu'il y a dépôt.

<table><caption>tableau I.2: Exemple de valeurs de Kd dans les matières en suspension et dans les sédiments de fond</caption><thead><tr><th>radionucléide</th><th>temps de contact</th><th>conditions d'obtention</th><th>Kd (m³.Kg⁻¹)</th></tr></thead><tbody><tr><td><sup>137</sup>Cs</td><td>5 heures</td><td>Garonne ; Q = 275 m³.s⁻¹ ; SS = 10 mg.l⁻¹</td><td>11</td></tr><tr><td><sup>137</sup>Cs</td><td>7 jours</td><td>Garonne ; Q = 275 m³.s⁻¹ ; SS = 10 mg.l⁻¹</td><td>52</td></tr><tr><td><sup>54</sup>Mn</td><td>5 heures</td><td>Garonne ; Q = 90 m³.s⁻¹ ; SS = 11 mg.l⁻¹</td><td>245</td></tr><tr><td><sup>54</sup>Mn</td><td>7 jours</td><td>Garonne ; Q = 90 m³.s⁻¹ ; SS = 11 mg.l⁻¹</td><td>20100</td></tr><tr><td><sup>131</sup>I</td><td>5 heures</td><td>Seine ; Q = 21 m³.s⁻¹ ; SS = 22 mg.l⁻¹</td><td>31</td></tr><tr><td><sup>137</sup>Cs</td><td>7 jours</td><td>Garonne ; SF (20 µm &lt; D &lt; 40 µm)</td><td>0,014</td></tr><tr><td><sup>54</sup>Mn</td><td>7 jours</td><td>Garonne ; SF (40 µm &lt; D &lt; 80 µm)</td><td>0,119</td></tr><tr><td><sup>131</sup>I</td><td>7 jours</td><td>Garonne ; SF (2,5 µm &lt; D &lt; 20 µm)</td><td>0,00027</td></tr></tbody></table>

Avec : Q : débit ($m^3.s^{-1}$)

SF : concentration dans les sédiments de fond (g.l⁻¹) et D : diamètre des particules (µm)
### I.3.2.2 Domaine d'interaction entre eau – matières - radionucléides

De nombreuses expériences ont montré que le coefficient de partage à l'équilibre (Kd), est d'autant plus grand que les particules sont fines. Ainsi, il ressort que les matières qui participent le plus aux transferts des radionucléides dans les cours d'eau sont principalement les matières cohésives<fnref n="3" />. Comparativement, l'influence des matières non cohésives est négligeable.

En conséquence, on limitera la suite de ce propos à l'étude de la dynamique sédimentaire des matières cohésives. Pour exemple, le tableau I.3 et la figure I.4, présentent des résultats de mesures d'activité effectuées dans la région de Fermanville (Nord Cotentin) (Ancelin et al, 1979) :

<caption>tableau I.3: Radioactivité des sédiments en fonction de la granulométrie (pCi/g sec)</caption>

(Guéguéniat et al, 1976 : cité dans Ancelin et al, 1979)

<table><thead><tr><th>Radionucléide Granulométrie</th><th><sup>144</sup>Ce</th><th><sup>137</sup>Cs</th><th><sup>95</sup>Zr</th><th><sup>125</sup>Sb</th><th><sup>110m</sup>Ag</th><th><sup>103</sup>Ru</th><th><sup>134</sup>Cs</th><th><sup>60</sup>Co</th></tr></thead><tbody><tr><th>&lt; 28µm</th><td>217 400</td><td>4699</td><td>13 667</td><td>1946</td><td>38</td><td>972</td><td>400</td><td>108</td></tr><tr><th>28 à 50 µm</th><td>32 489</td><td>990</td><td>359</td><td>59</td><td>34</td><td>39</td><td>224</td><td>—</td></tr><tr><th>50 à 100 µm</th><td>34 079</td><td>933</td><td>277</td><td>137</td><td>—</td><td>68</td><td>93</td><td>&lt;20</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>figure I.4 : Pourcentage de fixation par radionucléides pour trois classes de particules</figcaption></figure>

(Guéguéniat et al, 1976 : cité dans Ancelin et al, 1979)

<footnote n="3">³ Particules dont le diamètre est inférieur à 64 µm.</footnote>
Ces résultats montrent que les radionucléides se fixent davantage sur la fraction inférieure à 28µm que sur celle allant de 50 à 100µm. Le rapport de fixation entre ces deux fractions est de l'ordre de 50 pour le Zirconium (⁹⁵Zr), 15 pour l'Antimoine (¹²⁵Sb) et 6 pour le Cérium (¹⁴⁴Ce).

On peut noter que le Cesium (¹³⁷Cs) présente une affinité de fixation du même ordre pour les deux fractions (de 28 à 50µm et de 50 à 100µm). Ceci peut s'expliquer par sa nature alcaline qui lui confère la particularité d'être le plus électropositif des éléments (Pannetier, 1980). Globalement, son coefficient d'adsorption à l'équilibre noté Kd est de l'ordre 10² à 10³ m³.kg⁻¹ (Abril et Fraga, 1996) et ses cinétiques d'adsorption et de désorption peuvent être considérées comme réversibles. De plus, son comportement par rapport à la matière organique est inerte et n'a pas de rôle biologique connu. Ainsi, le ¹³⁷Cs se présente comme un bon traceur in-situ pour évaluer sa fixation sur des particules allant jusqu'à 100 µm.

Abril et Fraga (1996) proposent une formule théorique pour calculer le coefficient d'adsorption à l'équilibre pour des radionucléides artificiels en fonction de la taille des particules. Ces dernières sont considérées minérales, parfaitement sphériques, d'une densité ρ homogène, et d'un rayon r. L'échange entre radionucléides et particules se fait principalement à travers la surface supérieure de la particule d'épaisseur ξ, (figure I.5). C<sub>w</sub>, est l'activité d'eau filtrée pour le radionucléide étudié. C<sub>s</sub> est l'activité spécifique à la surface et C<sub>c</sub> est l'activité spécifique dans la partie centrale de la particule

En calculant l'activité totale de la particule et en supposant que l'activité centrale est nulle, Abril et Fraga (1996) proposent la formule suivante pour le Kd :

$$ K_d = \frac{C_w}{C_s} \cdot (1 - (1 - \frac{\zeta}{r})^3) \qquad \text{équation I.10} $$

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>figure I.5 : Représentation schématique d'une particule sphérique (Abril et Fraga, 1996)</figcaption></figure>

La formule proposée a montré un bon accord avec des expériences réalisées par Al- Jundi et al (1993), présentées sur la figure I.6 (Les traits horizontaux)
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>figure I.6 : Activité en fonction de la taille des particules (Abril et Fraga, 1996)</figcaption></figure>

À titre d'exemple, le ¹³⁷Cs et le ²¹⁰Pb sont généralement utilisés comme traceurs pour évaluer l'impact radioécologique des dépôts de sédiments dans le milieu fluvial ou marin, ainsi que, l'érosion dans les bassins de drainage.

Ces radionucléides, étant rapidement et fortement adsorbés par les sols et les sédiments, il est important de comprendre leur distribution sur les différentes tailles de particules avant de les utiliser comme traceur.

Le fait de négliger l'affinité de ces radionucléides par rapport à la taille des particules en situation d'érosion d'un sol, peut entraîner une surestimation du taux d'érosion. Ainsi, Walling et Woodward (1992) trouvent pour des sols collectés d'un ruisseau du bassin versant Jackmoor (Devon, UK) que les concentration en ¹³⁷Cs, dans la fraction fine (less than 8 µm) sont différentes comparées à celles dans la fraction grossière. D'une façon similaire, Livens et Baxter (1988) reportent la variation de la distribution des radionucléides pour différentes fractions du sol. Chaque sol a été séparé en différentes fractions allant de 2 µm jusqu'à 250-2000 µm. Les concentrations en ¹³⁷Cs ont montré une décroissance quand la fraction croît (He et Walling, 1995).

Dans les publications, l'échantillonnage des tailles de particules minérales est rarement traité. Citons néanmoins sur ce sujet, les récents travaux de He et Walling (1995) et Borovec (2000). Une telle information est pourtant importante pour des traçages par exemple.
### I.3.3 Échanges de radioactivité entre les matières en suspension et les sédiments de fond

Dans la chaîne des événements qui contribuent à l'impact d'un rejet en rivière de radionucléides, la dynamique sédimentaire des fleuves englobe principalement les processus de dépôt des matières en suspension et d'érosion et de charriage des sédiments de fond. Ces processus participent pour une grande part aux transferts d'activité entre les matières en suspension et les sédiments de fond. En conséquence, la prise en compte de ces échanges nécessite de tenir compte de la dynamique sédimentaire de ces matières dans le cours d'eau.

Dans la suite du présent travail, nous nous intéresserons à l'étude de la dynamique sédimentaire des sédiments cohésifs, puisqu'ils représentent le principal vecteur de transport de radioactivité dans les cours d'eau. On gardera en mémoire que la prise en compte de l'adsorption-désorption dans les différentes classes granulométriques est assez récente comme démarche scientifique, il devient prépondérant d'en tenir compte dans les modèles radioécologiques.

Dans le paragraphe suivant, les processus hydrosédimentaires seront évoqués, ainsi que les modèles et les méthodes expérimentales mis en œuvre pour les caractériser.
## I.4 Les matières dans un cours d'eau

D'origine minérale et organique, les matières présentes dans un cours d'eau se répartissent entre les suspensions dans la colonne d'eau et les sédiments de fond qui constituent le lit sédimentaire.

### I.4.1 Principaux paramètres des matières

#### I.4.1.1 Diamètre des particules élémentaires

Il existe plusieurs méthodes de détermination et de désignation du diamètre des particules élémentaires (Vatan, 1967 ; Rivière, 1977).

Pour les particules les plus grossières on considère généralement le diamètre D évalué par tamisage mécanique. À noter que ce diamètre est généralement différent du diamètre nominal $D_n$, qui est celui de la sphère de même poids et de même densité que les particules.

Pour les particules fines, il n'est plus possible de déterminer le diamètre par tamisage. On utilise alors la notion de diamètre équivalent $D_e$, défini comme étant le diamètre de la sphère ayant la même vitesse de chute et la même densité que les particules élémentaires. Notons que le diamètre réel peut être très différent du diamètre équivalent.

Il existe encore d'autres types de diamètres, à titre d'exemple, on cite :

$D_i$: diamètre tel que i% (0<i<100) en poids des particules ont un diamètre inférieur, $D_{50}$ et $D_{90}$ sont souvent utilisés. On définit la moyenne géométrique par $D = \sqrt{D_{84} \cdot D_{16}}$ (Le Hir, 1999).

$D_f$: le diamètre de Feret, qui est le diamètre du floc en projection perpendiculairement à la direction de chute (Tambo et Watanabe, 1979).

$D_v$: le diamètre d'une sphère ayant la même aire que la surface du floc en projection.

*Remarque : les notations $D_e$ et $D_n$, sont peu utilisées. Dans la suite de ce rapport on adoptera la notation D pour l'ensemble des diamètres des particules élémentaires.*

#### I.4.1.2 Masse et surface spécifiques des particules ; coefficient de forme

La masse spécifique $\rho_s$ des particules sédimentaires varie entre 2,3 et 2,9 (g.l⁻¹) suivant leur nature minéralogique. La moyenne étant en général voisine de 2,5 à 2,6 (g.l⁻¹) pour les particules de quartz et de calcaire (Migniot, 1982). Le rapport $\rho_s/\rho$, désigne la densité des particules par rapport à l'eau, $\rho$ étant la masse spécifique de l'eau.

Outre leur diamètre et masse spécifique, les particules sont aussi caractérisées par leur surface spécifique S ou surface développée d'une masse de particules et leur coefficient de forme Y. Ce dernier est un coefficient volumique défini comme étant le rapport du volume V de la particule au volume de la sphère de même densité et ayant pour diamètre sa plus grande dimension L (Migniot, 1982).
Cet indice sera d'autant plus élevé que les particules seront plus arrondies. Un coefficient de forme égal à 1 implique que la particule est parfaitement sphérique.

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

$$C_F = \frac{V}{\frac{\pi}{6} \cdot L^3} \qquad \text{équation I.11}$$

Ce coefficient est défini également par la formule suivante (Migniot, 1982 ; Tanguy, 1991) :

$$C_F = \frac{a_3}{\sqrt{a_1 \cdot a_2}}$$

Où $a_1$, $a_2$, $a_3$ sont respectivement les longueurs du plus grand, du moyen et du plus petit des trois axes du grain.

La forme des particules exerce une influence notable sur le coefficient de traînée. Albertson (1953) cité par Tanguy (1991) a trouvé une bonne corrélation entre la vitesse de chute des particules (que l'on définira ultérieurement) et le coefficient de forme. L'abaque de la figure I.7 donne la valeur du coefficient de traînée $C_x$ en fonction du nombre de Reynolds de chute pour différentes valeurs de $C_F$.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>figure I.7 : Coefficient de traînée en fonction du nombre de Reynolds pour différents coefficients de forme (Albertson, 1953 cité par Tanguy, 1991)</figcaption></figure>
## I.4.2 Principales classes des matières

Les nomenclatures varient avec les auteurs et les pays (tableau I.4). En général, on classe les matériaux d'origines minérales ou organiques en fonction de leur diamètre selon trois ensembles correspondant aux rudites, arénites et lutites ou pélites (Migniot, 1982, Villaret, 1987).

<table><caption>tableau I.4: Classification des différentes matières</caption><thead><tr><th></th><th>Rudites</th><th>D>2mm</th></tr></thead><tbody><tr><td></td><td>Blocs</td><td>D>200mm</td></tr><tr><td></td><td>Galets</td><td>20&lt;D&lt;200mm</td></tr><tr><td></td><td>Graviers</td><td>2&lt;D&lt;20mm</td></tr><tr><td></td><td><strong>Arénites</strong></td><td><strong>0,064mm&lt;D&lt;2mm</strong></td></tr><tr><td rowspan="6">NON<br>COHESIFS</td><td>Sables très grossiers</td><td>1&lt;D&lt;2mm</td></tr><tr><td>Sables grossiers</td><td>0,5&lt;D&lt;1mm</td></tr><tr><td>Sables moyens</td><td>0,25&lt;D&lt;0,5mm</td></tr><tr><td>Sables fins</td><td>0,125&lt;D&lt;0,25mm</td></tr><tr><td>Sables très fins</td><td>0,064&lt;D&lt;0,125mm</td></tr><tr><td><strong>Lutites ou pélites</strong></td><td><strong>D&lt;64µm</strong></td></tr><tr><td rowspan="3">COHESIFS</td><td>Silts</td><td>4&lt;D&lt;64µm</td></tr><tr><td>Précolloïdes</td><td>0,12&lt;D&lt;4µm</td></tr><tr><td>Colloïdes</td><td>D&lt;0,12µm</td></tr></tbody></table>

* Les rudites et arénites sont principalement constitués de matériaux d'origine minérale.

* Les lutites ou pélites sont principalement composés de limons, des argiles, des vases, des boues, des poudres...

- Les limons sont des roches sédimentaires détritiques qui ne comportent pratiquement pas d'éléments inférieurs à 2 microns (Migniot, 1982).

- Les argiles sont des roches sédimentaires meubles. Elles ont une granulométrie inférieure à quelques microns ($D < 2 \mu m$) (Migniot, 1982).

- Les vases sont des matériaux très fins, polydispersés, contenant un pourcentage élevé de précolloïdes et de colloïdes ainsi que des traces plus ou moins importantes de matières organiques. La fraction argileuse est élevée et des silts ou même des sables très fins peuvent se trouver mélangés à ces matériaux. Bien que les vases se forment par dépôts maritimes ou estuariens, cette appellation est fréquemment étendue à tous les éléments très fins rencontrés dans la nature (Migniot, 1982 ; Guglielmi, 1982).

- Les boues sont constituées de terres ou de poussières mélangées d'eau. Elles sont associées à un dépôt récent.

- Les poudres sont rattachées à des substances solides finement broyées et sèches. Les matières solides peuvent être naturelles (calcaire, kaolin...) ou artificielles (produits plastiques...).

- Les colloïdes naturels sont formés à la fois de matières inorganiques (oxydes et hydroxydes de manganèse et de fer par exemple) et de matières organiques qui sont le produit des processus biologiques de dégradation et d'exsudation.

La limite entre les phases dissoute et particulaire est fixée arbitrairement à 0,45 µm. Tout ce qui passe à travers un filtre à 0,45µm de diamètre fait partie de la phase dissoute. Les particules de
taille inférieure à 2,5 nm représentent la matière entièrement dissoute, les particules dissoutes de taille supérieure sont des précolloïdes. Ces différentes limites sont récapitulées sur la figure I.8 :

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>figure I.8: limite entre phase dissoute et particulaire</figcaption></figure>

Le comportement de ces matières dans le cours d'eau permet de définir deux grandes catégories (tableau I.4) : Les sédiments non cohésifs (rudites et arénites) et les sédiments cohésifs (lutites ou pélites).

### I.4.2.1 Les sédiments non cohésifs et les sédiments cohésifs

Les sédiments non cohésifs sont de type galets, graviers, sables... Leur taille permet de les considérer individuellement. Ils ne sont pas affectés par la présence d'un milieu aqueux. Leur dynamique dépend uniquement des caractéristiques propres du grain (sa densité, sa forme et ses dimensions). Ils subissent un transport par charriage ou par saltation (El Ganaoui, 1998).

Pour ce qui est des sédiments cohésifs, ce sont des matériaux très fins, le plus souvent de nature argileuse. Les processus de sédimentation, d'érosion et de dispersion dépendent non seulement des caractéristiques hydrodynamiques de l'écoulement mais aussi des propriétés de la suspension (*interactions particule-particule*), du milieu aqueux (*salinité, pH...*) et de celles du lit (*porosité, rugosité,...*). Leur transport s'effectue principalement en suspension suivant la direction de l'écoulement.

Les fonds de rivières sont souvent constitués de mélange de sédiments fins à dominante vaseuse. Ce sont des mélanges de silts, de sable fins de diamètre compris entre 40 et 100 µm, de limons de diamètre compris entre 2 et 20 ou 40 µm et d'argiles de diamètre compris entre 1 et 2µm. Parmi les argiles entrant dans la composition des vases naturelles on cite (Rouas, 1996) : La kaolinite, la smectite (ou montmorillonite) et l'illite (ou attapulgite).

À ces particules minérales élémentaires s'ajoutent des matières solides détritiques d'origine microorganique (fibres, filaments de cellulose, algues, etc...) qui peuvent modifier les propriétés de ces mélanges (Van Leussen, 1988, cité par Rouas, 1996).
## I.5 Les principaux processus hydrosédimentaires des sédiments cohésifs

Sous l'action des courants, des houles et des vents, les particules solides que l'on rencontre dans les fleuves, les estuaires et le long du littoral peuvent être arrachées des fonds, entraînées en suspension sur des distances plus ou moins grandes et se redéposer dans les zones calmes. Pour les sédiments cohésifs, ces mouvements sédimentaires sont caractérisés par des processus de dispersion, de dépôt, de consolidation des dépôts et d'érosion résultant des interactions entre le fluide en mouvement et les sols sur lesquels il s'écoule. Cette dynamique sédimentaire dépend de multiples paramètres : gradient de vitesse du fluide, turbulence, géométrie des fonds, tracés des rives, nature des matériaux, porosité et cohésion des dépôts, caractéristiques physico-chimiques du fluide... De plus, les variations spatio-temporelles de ces paramètres accentuent la complexité de cette dynamique dont les principaux processus sont décrits dans la figure I.9:

Bien que chaque particule ait un comportement lié à ses caractéristiques propres et à son histoire hydrodynamique, il existe, en fonction de la nature des matériaux et des types d'écoulement, de nombreuses lois théoriques et empiriques pour caractériser ces différents processus. C'est le sujet de ce paragraphe.

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>figure I.9: différents processus hydrosédimentaires</figcaption></figure>

### I.5.1 Dispersion

Les matières présentes dans le cours d'eau sont transportées par la vitesse de l'écoulement. Selon leur taille, elles subissent deux types de transport. Elles sont charriées lorsqu'elles se dispersent par sauts successifs (saltation), glissent ou roulent sur la surface du lit. C'est le cas des sédiments non cohésifs.

Elles sont transportées en suspension lorsqu'elles suivent l'écoulement avec une vitesse relative plus ou moins importante. C'est le cas des sédiments cohésifs.

### I.5.2 Dépôt et érosion

De façon générale, les dépôts de particules fines sur le lit des cours d'eau s'observent dans les zones calmes (zones de stockage, berges, barrage...). Des expériences en canal ont montré qu'en fonction de la nature des matières, il existe une tension critique de frottement à la paroi en dessous de laquelle les suspensions peuvent se déposer (Krone, 1962 ; Partheniades, 1965 et 1962). Ces frottements de fond étant plus ou moins proportionnels à la vitesse et à la turbulence de l'écoulement, c'est donc dans les zones calmes que les dépôts de particules fines seront les plus importants.
$$ \text{Si } \tau_f > \tau_{ce}: E=m \cdot (\tau_f - \tau_{ce})^{3/2} \qquad \text{équation I.14} $$

$$ \text{Si } \tau_f < \tau_{ce}: E = 0 $$

$$ \tau_{ce}: \text{tension critique d'érosion (N.m}^{-2}) $$

$m$: facteur qui dépend de la provenance des vases (g·m·N$^{3/2}$·s$^{-1}$) (par exemple, $m = 330$ pour des vases de la Loire et $m = 180$ pour une boue de craie).

- Pour des lits consolidés relativement denses et uniformes, il a été supposé que la concentration de la suspension augmente linéairement avec la contrainte critique d'érosion. Des mesures réalisées dans une canalisation en charge et dans un canal en circuit fermé ont permis de proposer la forme suivante :

$$ \text{Si } \tau_f > \tau_{ce}: E = e_0 \cdot \left( \frac{\tau_f}{\tau_{ce}} - 1 \right) \qquad \text{équation I.15} $$

$$ \text{Si } \tau_f < \tau_{ce}: E = 0 $$

$$ e_0: \text{taux d'érosion (g.m}^{-2}.s^{-1}) $$

Il faut souligner les aspects fortement empiriques et locaux de ces expressions au sein desquelles les paramètres $m$ et $e_0$ dépendent du type de sédiment, de la teneur en eau de la vase érodée et des ions présents dans l'eau... Par exemple, Van Rijn (1990, 1993) rapporte des valeurs de $e_0$ comprises entre $10^{-5}$ et $4 \cdot 10^{-4}$ (Kg.m$^{-2}$.s$^{-1}$) et Ariathurai et Arulanandan (1977) présentent des valeurs comprises entre $5 \cdot 10^{-4}$ et $5 \cdot 10^{-3}$ (Kg.m$^{-2}$.s$^{-1}$) en se basant sur une étude réalisée sur plus de 200 échantillons de matériaux cohésifs (Migniot, 1996).

- Sheng (1983 et 1989) propose, à partir d'une étude en bac circulaire de 1 m de diamètre, la loi suivante :

$$ \text{Si } \tau_f > \tau_{ce}: E = 4,12 \cdot 10^{-6} \cdot (\tau_f - 1.51) \qquad \text{équation I.16} $$

$$ \text{Si } \tau_f < \tau_{ce}: E = 0 $$

- Pour caractériser une vase de la Gironde, Bonnefille et Cormault (1970) expriment $e_0$ en fonction de la concentration du lit (SF) (g.l$^{-1}$) :

$$ \text{Si } \tau_f > \tau_{ce}: E = 0,55 \cdot 10^{-9} \cdot SF^3 \cdot \left( \frac{\tau_f}{\tau_{ce}} - 1 \right) \qquad \text{équation I.17} $$

$$ \text{Si } \tau_f < \tau_{ce}: E = 0 $$

- À partir d'expériences réalisées sur des vases fortement consolidées et de concentration supérieure à 300 g.l$^{-1}$, Partheniades (1965) a proposé la formule suivante:

$$ \text{Si } \tau_f > \tau_{ce}: E = K_e \cdot (\tau_f - \tau_{ce}) \qquad \text{équation I.18} $$

$$ \text{Si } \tau_f < \tau_{ce}: E = 0 $$

- Le flux d'érosion varie de la même façon pour les différentes provenances de vases et, ce flux, s'exprime de la façon suivante (Migniot, 1982) :

$$ \text{Log}(E) = A \cdot u^* + B \qquad \text{équation I.19} $$

$A$: constante qui dépend de la nature minéralogique et granulométrique des sédiments
B : fonction décroissante de la concentration de la vase (Kg.m⁻².s⁻¹)

u*: vitesse de frottement (m.s⁻¹)

Les différentes lois pour modéliser les flux de dépôt et d'érosion que l'on vient de présenter sont basées sur des tensions critiques seuils<fnref n="4" />. Il existe néanmoins dans la littérature des lois qui sont basées sur la charge à l'équilibre de l'écoulement, les flux de dépôt et d'érosion sont alors donnés respectivement en fonction de cette charge notée SS*.

$$
\text{Si } SS > SS^* : \quad D = W_c \cdot (SS - SS^*) \quad \text{et } D=0 \quad \text{sinon} \quad \text{équation I.20}
$$

$$
\text{Si } SS < SS^* : \quad E=e_0 \cdot W_c \cdot (SS^* - SS) \quad \text{et } E=0 \quad \text{sinon} \quad \text{équation I.21}
$$

SS* correspond à la capacité sédimentaire près du fond d'un écoulement stationnaire et uniforme. Elle s'exprime en fonction du frottement sur le fond, de la rugosité du lit, de la granulométrie des sédiments et de leur vitesse de chute, elle peut être définie selon diverses méthodes telles que celles proposées par (Bijker, 1968 ; Van Rijn, 1986 ; Zheleznyak, 1997).

I.5.4 Récapitulatif sur la modélisation des flux de dépôt et d'érosion

Ce que l'on vient d'exposer montre que deux approches sont principalement utilisées pour la
modélisation des flux de dépôt et d'érosion (figure I.10) :

- La première approche relie les flux de dépôt et d'érosion au frottement du fluide en mouvement sur le fond du cours d'eau.

- La deuxième approche les relie à la charge à l'équilibre du milieu.

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>figure I.10 : Approches pour la modélisation des flux de dépôt et d'érosion</figcaption></figure>

Dans le cadre de cette étude, nous nous sommes intéressés à la première approche, car la
deuxième est souvent utilisée dans le cas du transport des sédiments non cohésifs, qui ne font pas
l'objet principal de ce travail, car il a été montré que le transport des radionucléides est effectué
principalement par les sédiments cohésifs. Cependant, la question qui se pose maintenant est
comment déterminer les différents paramètres afférents à cette approche. Il s'agit de la vitesse de
chute, des tensions critiques de dépôt et d'érosion et du taux d'érosion.

On présente, par la suite, quelques méthodes de détermination de la vitesse de chute des particules ainsi que les lois semi- empiriques rencontrées dans la bibliographie consultée pour déterminer les autres paramètres expérimentaux des flux de dépôt et d'érosion.

<footnote n="4">⁴ Voir aussi comme références (Ariathurai (1975, 1976, 1977(a et b)) ; Sheng et Viollet, 1989 ; Villaret, 1987 ; Dyer, 1986 ; Hwang, 1989)</footnote>
### I.5.5 Détermination de la vitesse de chute des suspensions

En paramétrant le flux de dépôt (équation I.12), la vitesse de chute des suspensions conditionne le terme d'échange vers les sédiments de fond et assure la conservation de la masse de matière présente dans le domaine d'étude. Elle conditionne ainsi, l'apport en masse de la colonne d'eau chargée en suspension vers les sédiments de fond. Il existe de nombreuses approches théoriques et expérimentales pour déterminer ce paramètre, encore difficile à préciser. Nous avons retenu celles présentées dans ce qui suit.

#### I.5.5.1 Approche de base pour une seule particule

Une particule solide, supposée sphérique, de diamètre D, tombant en chute libre dans un fluide au repos est soumise à deux forces opposées (Migniot, 1982) :

- Son poids apparent :

$$Pa = \frac{(\rho_s - \rho) \cdot g \cdot \pi \cdot D^3}{6} \qquad \text{équation I.22}$$

- La résistance hydrodynamique exercée par le fluide $T = \frac{C_x \cdot \rho \cdot \pi \cdot D^2 \cdot W_c^2}{8}$

La vitesse de chute limite est atteinte lorsque les deux forces s'égalisent d'où :

$$W_{c \cdot \max} = \frac{4 \cdot g \cdot D \cdot (\rho_s - \rho)}{3 \cdot \rho \cdot C_x} \qquad \text{équation I.23}$$

$C_x$ : coefficient de traînée

La vitesse de chute dépend de la turbulence de l'écoulement autour du grain caractérisé par son nombre de Reynolds : $Re = \frac{W_c \cdot D}{\nu}$. En régime laminaire ($Re < 1$) et pour des sphères équivalentes à la classe des sédiments considérés on a : $C_x = 24 / Re$

Le tableau I.5, présente différentes expressions de la vitesse de chute en fonction des régimes d'écoulement et des classes de matière. Mais il en existe d'autres, qui tiennent compte notamment de la non sphéricité des grains (Dietrich, 1982; Coastal Engineering Manual, Washington, 1998).

<table><caption>tableau I.5: Différentes expressions de la vitesse de chute en fonction des particules et du régime d'écoulement</caption><thead><tr><th>Régime laminaire (Re &lt; 1)</th><th>Régime transitoire (1 &lt; Re &lt; 10<sup>3</sup>)</th><th>Régime turbulent (Re &gt; 10<sup>3</sup>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Loi de Stokes<br>(valable pour les sédiments fins)<br><br>$W_c = \frac{g \cdot R}{18 \cdot \nu} \cdot D^2$</td><td>Loi de Budryck<br>(valable pour les sables)<br><br>$W_c = \frac{8,92}{D} \cdot [1 + 95 \cdot R \cdot D^3]^{1/2}$<br><br>École hollandaise<br>(valable pour les sables)<br><br>$W_c = 1,1 \cdot [R \cdot g \cdot D]^{1/2}$</td><td>Loi de Rittinger<br>(valable pour les sédiments<br>grossiers)<br><br>$W_c = 1,1 \cdot [\frac{8}{3} \cdot R \cdot g \cdot D]^{1/2}$</td></tr></tbody></table>

$R=(\frac{\rho_s-\rho}{\rho})$ : la densité spécifique du matériel submergé.
Par principe, ces lois ne sont valables que pour des particules isolées. Elles ne peuvent plus être
utilisées dès que la concentration des matières en suspension n'est plus négligeable (à partir de
0,1 g.l⁻¹).

I.5.5.2 Approche tenant compte du processus de flocation

Dans certaines conditions physico-chimiques les sédiments cohésifs peuvent former des flocons
ou des agrégats de dimension très supérieure aux particules élémentaires (par exemple, des
particules de quelques dixièmes de micromètres peuvent former des agrégats de 0,1 à 2 mm).
Cette propriété des sédiments cohésifs correspond au processus de flocation qui, lorsqu'il se
produit, peut modifier de façon importante le flux de dépôt de la suspension. À titre d'exemple,
si l'on considère une particule élémentaire de 1 µm de diamètre, si le milieu favorise sa
flocation, une augmentation de son diamètre d'un facteur 10, entraînera une augmentation de
sa vitesse de chute d'un facteur 100, la vitesse de chute étant calculée par la loi de Stokes.

Krone (1962) a proposé un modèle de formation des agrégats :

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>figure I.11: Structure des agrégats (Krone, 1962)</figcaption></figure>

Les particules fines sont caractérisées par une charge électrostatique de surface. Il semblerait que le processus de flocation dépende principalement des caractéristiques cationiques du milieu. Ainsi, les cations tels que H₃O⁺, Ca²⁺, Mg²⁺, Na⁺, K⁺ favorisent la flocation des suspensions. Par exemple, des essais comparatifs réalisés en eau douce et en eau de mer pour différentes salinités montrent que la flocation apparaît dès que la salinité atteint 1⁰/⁰₀.

Les cations bivalents ont une influence 10 fois plus grande que les monovalents (Migniot, 1982) et inversement, les anions favorisent la disparition des flocons.

De nombreuses études (Migniot, 1982 ; Pradoto, 1984) confirment ce point de vue en montrant
que le processus de flocation contribue à diminuer la charge électrique de la suspension.
L'attraction entre ions de signes différents s'accompagne d'une atténuation des pouvoirs
électrophiles et nucléophiles du milieu.

Il faut également retenir que la flocation est nettement plus importante à chaque fois que la température augmente (*facteur qui favorise l'accélération des réactions chimiques*), que le pH diminue et que la surface spécifique des matières est grande (Migniot, 1982).
En somme, une suspension de matières cohésives est d'autant plus susceptible de floculer que :

- sa surface spécifique est grande,

- sa concentration est importante,

- le milieu contient des sels floculants.

Variant dans le temps et l'espace, le processus de flocation complique la détermination des évaluations de la vitesse de chute des particules cohésives.

Comme on l'a vu précédemment, la vitesse de chute est proportionnelle au carré du diamètre équivalent de la particule élémentaire (*loi de Stokes*). Donc, cette vitesse peut être fortement influencée par la formation des agrégats.

En milieu défloculé, la vitesse de chute d'une particule cohésive est très faible. Elle est de l'ordre de quelques millièmes de millimètres par seconde. Par contre, quand il y a formation d'agrégats elle peut atteindre 0,1 à 0,6 mm.s⁻¹.

Pour prendre en compte le phénomène de flocation, un facteur de flocation F a été défini comme étant le rapport de la vitesse de chute de la suspension à l'état floculé par la vitesse de chute des particules élémentaires.

$$F = \frac{W_{floc}}{W_{c}} \text{, avec } W_{floc} \text{ la vitesse de chute du floc}$$

En pratique, F varie comme l'inverse du carré des diamètres : de 20 000 environ pour des particules de 0,1 micron à 1 pour des particules de 40 microns. Pour ces dernières, la flocation n'influence plus la vitesse de chute (tableau I.6 et figure I.12).

<table><caption>tableau I.6: Facteur de flocation en fonction de la taille des particules élémentaires</caption><tr><td>D(µm)</td><td>0,1</td><td>1</td><td>10</td><td>40</td></tr><tr><td>F</td><td>20 000</td><td>500</td><td>5</td><td>1</td></tr></table>

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>figure I.12: Influence de la taille des particules sur la vitesse de chute (Migniot, 1968).</figcaption></figure>
Tambo et Watanabe, (1979) furent parmi les premiers à proposer une approche théorique et expérimentale tenant compte du processus de flocation pour la détermination de la vitesse de chute. Pour cela, ils se sont intéressés à la détermination de la taille $d_{floc}$, et de la densité $\rho_{floc}$, des flocs à partir d'un dispositif original d'observation de leur formation en suivant, par prises de vues successives, la chute des particules dans une colonne de sédimentation. En fonction de la taille et de la densité, les vitesses de chute $W_{floc}$, sont estimées en appliquant la formulation suivante (Tambo et Watanabe, 1979) :

$$W_{floc} = \frac{g}{34 \cdot \mu} (\rho_{floc} - \rho) \cdot d_{floc}^2 = \frac{g}{34 \cdot \mu} \rho_e \cdot d_{floc}^2 \qquad \text{équation I.24}$$

($\rho_{floc}-\rho=\rho_e$ : densité effective des flocs. $d_{floc}$ : diamètre des flocs.

Selon Migniot (1982), la vitesse de chute des flocons est une fonction croissante de la charge des eaux. En eau calme et pour des charges inférieures à 1 g.l⁻¹, il propose la formulation suivante :

$$W_{floc} = 0,5 \cdot SS^{1,3} \qquad \text{équation I.25}$$

Les processus de flocation et la vitesse de chute des flocons sont sensibles à la concentration des matières de la suspension (figure I.13).

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>figure I.13 : variation de la vitesse de chute des flocs avec la concentration (Migniot, 1968)</figcaption></figure>

$W_{floc}$ augmente progressivement avec la concentration. Elle passe par un maximum pour des concentrations de 10 g.l⁻¹ en particules de 0,1 à 1 µm et des concentrations de 20 à 30 g.l⁻¹ en limons de 20 microns. Au-delà de ces concentrations, la vitesse de chute devient entravée (figure I.13).

Connaissant le diamètre de l'agrégat et la nature des particules primaires qui le composent, un modèle de représentation fractale, permet par exemple, d'en déduire sa masse ou sa vitesse de chute (Thill, 1999).
Ce modèle repose sur une construction itérative à partir d'une particule et selon un motif de base comme l'illustre la figure I.14 :

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>figure I.14 : motif en croix (Thill, 1999)</figcaption></figure>

Soient $d$ et $m$ le diamètre et la masse des particules primaires ; dans l'exemple ci-dessus, le diamètre $D$, et la masse $M$ de l'agrégat évoluent selon les lois : $D=3^n.d$ et $M=5^n.m$

On a donc la relation $\frac{M}{m} = \left(\frac{D}{d}\right)^{\frac{\ln 5}{\ln 3}}$ ; l'exposant $\frac{\ln 5}{\ln 3}$ est la dimension fractale ($d_f$) de l'agrégat. Il dépend de la façon dont celui-ci est construit.

Connaissant la dimension fractale on peut en déduire la masse volumique de l'agrégat: $\rho_s=k_0\rho_0\left(\frac{r}{a}\right)^{d_f-3}$ et sa fraction massique $\varphi=k_0\left(\frac{r}{a}\right)^{d_f-3}$

où, r, $\rho_0$ et $V_0$ sont respectivement le rayon, la masse volumique et le volume des particules primaires, $k_0$ est le préfacteur (fonction de la dimension fractale et de la compacité initiale du système). Il est maintenant bien établi que les agrégats naturels obéissent à ce type de lois et que la dimension fractale des agrégats est généralement comprise entre 1,4 et 2,8 (Axelos et al, 1986 ; Li et Ganczarczyk, 1989 ; Ganczarczyk, 1994, Thill et al, 2001).

Pour plus de détails relatifs à la vitesse de chute, l'agrégation et la notion de dimension fractale, on renvoie le lecteur vers les références suivantes (Brinkman, 1947 ; Sutherland et Tan, 1970 ; Neal et al, 1973 ; Matsumoto et Suganuama, 1977 ; Masliyah et Polikar, 1980 ; Simpson, 1982 ; Gibbs, 1985 ; Alldredge et al, 1989 ; Rogak et Flagan, 1990 ; Weisner, 1992 ; Syvitski et al, 1995 ; Adachi et Tanaka, 1997 ; M'Chirgui, 1997 ; Jiang et Logan, 1991 ; Chellam et Wiesner, 1993)
### I.5.5.3 Approche tenant compte de la concentration

Dans la plupart des études sédimentaires, la vitesse de chute apparente de la suspension est reliée expérimentalement à sa concentration massique (Le Normant, 1995 (a) ; Rouas, 1996). Deux cas se distinguent :

- Les concentrations sont comprises entre 0,1 et $10 \text{ g. l}^{-1}$.

Pour des concentrations massiques comprises entre 0,1 et $10 \text{ g. l}^{-1}$, les observations montrent que la vitesse de chute évolue selon la formulation suivante (Krone, 1962) :

$$W_c=K \cdot SS^n \qquad \text{équation I.26}$$

K : constante empirique qui dépend de la granulométrie.

n : facteur compris entre 1,1 et 3.

Remarque : Cette loi est plus générale que la relation donnée dans l'équation I.25.

- Les concentrations sont supérieures à $10 \text{ g. l}^{-1}$.

Quand la concentration augmente ($SS > 10 \text{ g. l}^{-1}$), la vitesse de chute diminue en raison des collisions induites par les mouvements browniens des particules. Dans ce cas, on peut appliquer la loi de Zaki-Richardson (1954) cité par Le Normant (1995 (a)) et Rouas (1996) :

$$W_c=W_0 \cdot (1-k \cdot SS)^\beta \qquad \text{équation I.27}$$

$W_0$ : vitesse de chute de référence déduite de la formulation de Stokes (m.s$^{-1}$).

k : paramètre qui dépend de la composition du sédiment (nature, granulométrie,...).

β : coefficient qui dépend de la taille des particules (de l'ordre de 5).

Comme l'illustre la courbe présentée sur la figure I.15, ces deux lois ont été vérifiées expérimentalement par Thorn (1970) (cité par Le Hir, 1999) :

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>figure I.15: relation entre la vitesse de chute et la concentration (Thorn, 1970 cité par Le Hir, 1999)</figcaption></figure>
### I.5.5.4 Approche tenant compte de la vitesse de chute entravée

Pour les fortes concentrations (> 10 g.l⁻¹), quand la vitesse de chute devient maximale, il est possible de prendre en compte l'effet d'entravement entre les flocons, avec la relation suivante (Le Hir et al, 1999) :

$$SS \le SS_{Wmax} \Rightarrow W_c = W_{min} \cdot (1 + \alpha_1 \cdot SS + \alpha_2 \cdot SS^2)$$

$$SS_{Wmax} \le SS \le SS_{cr} \Rightarrow W_c = (1 - \beta_1 \cdot SS^{\beta_2})^{4,65} \cdot \frac{W_{min} \cdot (1 + \alpha_1 \cdot SS_{Wmax} + \alpha_2 \cdot SS_{Wmax}^2)}{(1 - \beta_1 \cdot SS_{Wmax}^{\beta_2})^{4,65}}$$

*SS<sub>wmax</sub>: concentration pour laquelle la vitesse de chute est maximale (W<sub>max</sub>) (g.l⁻¹).

*W<sub>min</sub>: vitesse de chute des particules à l'état non floculé (m.s⁻¹).

*α₁ et α₂: constantes empiriques pour avoir une vitesse de chute maximale à la concentration SS<sub>wmax</sub>.

*β₁·SS<sup>β₂</sup>: concentration volumique.

*4,65: constante classique depuis les expériences de Richardson et Zaki.*

*SS<sub>cr</sub>: Concentration critique au delà de laquelle on entre dans une phase de consolidation (g.l⁻¹).*

*β₂: constante rendant compte d'une possible densification des flocs, au-dessous de la concentration critique SS<sub>cr</sub>. En général, elle est égale à 0,5.*

Au-delà de SS<sub>cr</sub>, la sédimentation est supposée varier en fonction de la concentration selon la loi :

$$W_c = \gamma \cdot SS^{\delta} ; \gamma \text{ et } \delta \text{ sont des constantes empiriques} \qquad \text{équation I.28}$$

En pratique, l'ensemble de ces paramètres doit être ajusté expérimentalement.

Mc Nown et Lin (cité par Tanguy, 1991) ont quantifié l'effet de la concentration en particules sur la vitesse de chute. Le rapport de la vitesse entravée W<sub>max</sub> sur la vitesse de chute libre W<sub>c</sub> peut être exprimé par :

$$\frac{W_{max}}{W_c} = (1 - SS)^n \qquad \text{équation I.29}$$

Où n est un coefficient qui varie de 4,5 pour des sables très fins à 2,5 pour des matériaux grossiers, SS est la concentration volumique.

### I.5.5.5 Approche tenant compte de la concentration et de la turbulence

En condition de floculation, indépendamment de la concentration de la suspension, un régime d'écoulement "faiblement turbulent" peut favoriser la formation des agrégats. Inversement, un régime "fortement turbulent" est susceptible de les détruire. Van Leussen (1994), cité par (Le Normant, 1995 (a) ; Rouas, 1996), propose une expression de la vitesse de chute qui intègre un facteur turbulent traduisant ce rapport entre la formation et la fragmentation des flocons sous l'effet de la turbulence.

$$W_c = K \cdot SS^n \cdot \frac{1+a \cdot G}{1+b \cdot G^2} \qquad \text{équation I.30}$$
$G$ : gradient de vitesse turbulent (appelé aussi gradient de vitesse absolu). Il varie entre 1 et 50 s⁻¹.
Défini par Camp et Stein, 1943 (Le Normant, 1995 (a) ; Rouas, 1996), il traduit le rapport entre l'énergie de dissipation turbulente $\epsilon$, qui joue un rôle important dans la destruction des flocons, et la viscosité moléculaire $v$. $$G = \sqrt{\frac{\epsilon}{v}}$$

Les termes $(1+a.G)$ et $(1+b.G²)$ traduisent les effets de la turbulence respectivement sur la flocculation et sur la cassure des flocs.

Des expériences réalisées en colonne de sédimentation avec une turbulence générée à partir d'une grille oscillante, ont permis de déterminer les coefficients a et b pour :

la Kaolinite : $a = 12, b = 3$,

la vase de l'Erms : $a = 0,3$ et $b = 0,09$.

Les vitesses de chute maximales obtenues avec ces coefficients correspondent à des faibles valeurs de $G$ ($G < 1 \text{ s}^{-1}$), (Le Normant, 1995 (a) ; Rouas, 1996).

### I.5.5.6 Évaluation expérimentale de la vitesse de chute

La vitesse de chute des particules est fréquemment évaluée en observant la décantation dans une colonne d'une solution au repos obtenue après agitation d'un échantillon de vase prélevé dans le cours d'eau. En fonction du protocole opératoire, les résultats obtenus par cette méthode sont plus ou moins variables et ne peuvent pas être utilisés tels quels dans les modèles. La méthode décrite ci-après permet d'apprécier la vitesse de décantation *in situ* à partir d'une interprétation des profils verticaux de concentration des matières en suspension. En particulier, EDF<fnref n="5" /> a utilisé cette méthode pour caler le modèle radioécologique de son modèle CALIDO sur la Vienne (Siclet *et al*, 1996).

- Bases théoriques : dans les zones de dépôt (écoulement calme) et en écoulement permanent et uniforme, la distribution verticale de la concentration des matières en suspension peut être approchée par l'équation de transport suivante, qui exprime l'équilibre entre l'effet de la vitesse de chute et la diffusion turbulente :

$$W_c \frac{\partial SS}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (K_z \frac{\partial SS}{\partial z}) \rightarrow SS(z) W_c = K_z \frac{dSS(z)}{dz}$$

Dans un canal et dans la couche où les mesures de concentration sont effectuées et en supposant que les particules solides fines suivent le mouvement des particules fluides, la répartition verticale de la diffusivité est donnée par :

$$K_z = k \cdot u^* \cdot \frac{z}{h} \cdot (h-z)$$

$K_z$ est la diffusion turbulente (Graf, 1984)

$k$ : constante de Karman qui est égale à 0,4.

$u^*$ : vitesse de frottement (m,s⁻¹).

$h$ : tirant d'eau (m).

$z$ : distance comptée depuis le fond (m).

<footnote n="5">⁵ Électricité De France</footnote>
La solution analytique de l'équation précédente est :

$$ \frac{SS(z)}{SS(z^*)} = \left( \frac{h-z}{z} \cdot \frac{z^*}{h-z^*} \right)^y \quad \text{avec } y = \frac{W_c}{k \cdot u^*} $$

$z^*$ : hauteur de référence près du fond (m)

Cette loi est appelée généralement la loi de Rousse (Zyserman et Fredsoe, 1994) dont le coefficient Y porte le nom. Cette équation, tel qu'elle a été développée, fait intervenir la concentration auprès du fond. Cette dernière doit être traitée avec beaucoup de précaution car, dans cette zone, il faut maîtriser à la fois la vitesse de chute entravée et l'état de la turbulence dans la couche limite.

- Méthode : dans une zone de dépôt, la méthode consiste à mesurer expérimentalement un profil vertical de concentration et à caler la valeur de la vitesse de chute pour faire coïncider au mieux le profil théorique précédent et le profil mesuré.

Sur le principe, cette méthode est relativement simple puisqu'elle repose sur la seule mesure des concentrations selon la verticale. À titre d'exemple, des mesures de concentration des matières en suspension de la Vienne en étiage ont été réalisées par EDF pour différentes classes granulométriques sur une profondeur de 2,5 m. L'application de cette méthode a donné une vitesse de chute de l'ordre de 0,6 mm.s⁻¹ (Siclet et al, 1996).

### I.5.5.7 Autres paramètres influençant la vitesse de chute

La viscosité cinématique de l'eau varie avec la température (Migniot, 1996) :

$$ \text{à } 4^{\circ}\text{C} \quad v = 1,6 \ 10^{-6} \ \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1} $$

$$ \text{à } 20^{\circ}\text{C} \quad v = 10^{-6} \ \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1} $$

$$ \text{à } 30^{\circ}\text{C} \quad v = 0,8 \ 10^{-6} \ \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1} $$

En conséquence, la température joue un rôle important sur la vitesse de chute. A titre d'exemple, pour des mêmes éléments fins, la vitesse de chute est réduite de moitié quand la température de l'eau passe de 30°C à 4°C. Donc, dans la nature, la décantation n'est pas la même en été et en hiver. Pour une concentration en sédiments égale à 5 g.l⁻¹, les vitesses de chute moyennes augmentent brusquement lorsque la salinité varie entre 0 et 5°/oo, au-delà de 10°/oo la salinité n'a plus d'influence sur la vitesse de chute qui reste proche d'une valeur égale à 0,16 mm.s⁻¹.
### I.5.6 Détermination des tensions critiques de dépôt

Dans la pratique, les tensions critiques de dépôt peuvent être déterminées en suivant l'évolution temporelle de la concentration moyenne sur la verticale en fonction de la vitesse de frottement, $u^*$, associée à l'écoulement :

$$ \frac{dSS_h}{dt} = f(\tau_f) \qquad \text{équation I.31} $$

Les conditions de dépôt sont vérifiées dès que ce gradient est négatif. Inversement, comme nous le verrons plus tard, cette méthode permet également d'évaluer la tension critique d'érosion quand ce gradient est positif.

Cette méthode expérimentale repose sur le tracé de la variation du gradient de la concentration moyenne sur la verticale en fonction de la tension de frottement exercée par le fluide sur le lit sédimentaire (El Ganaoui, 1998 et 2000).

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>figure I.16: Évaluation des tensions critiques de dépôt et d'érosion en fonction de la variation de la concentration au cours du temps</figcaption></figure>

En pratique, ce gradient est négligeable lorsque les tensions de frottement sont comprises entre les tensions critiques de dépôt et d'érosion. Comme l'illustre la figure I.16, les limites de ce domaine peuvent être assimilées à ces deux tensions critiques.

De façon générale, ces expérimentations de calage sont lourdes à mettre en œuvre et délicates à interpréter car elles nécessitent une très bonne précision sur l'évaluation de l'évolution du gradient, d'une part et, sur la détermination de la tension de frottement en chaque point d'autre part. Des tests en canal au cours desquels la vitesse de l'écoulement était lentement augmentée jusqu'à ce que plus aucun dépôt ne se produise, ont permis d'estimer la gamme de variation de la tension critique de dépôt pour les sédiments cohésifs entre 0,04 N.m⁻² et 0,2 N.m⁻² (Le Normant, 1995 (a))

Avant de s'intéresser à la détermination de la tension critique d'érosion, il faut d'abord étudier la consolidation d'un dépôt cohésif. Ce processus, propre aux sédiments cohésifs, a une grande influence sur la précision des paramètres relatifs au flux d'érosion. L'étude de la consolidation repose sur différentes approches, l'objectif étant de relier la consolidation de la vase à sa rigidité initiale (sa résistance au cisaillement) et au taux de vide présent dans le mélange eau – sédiment qui la compose (sa concentration).
### I.5.7 Consolidation des dépôts cohésifs

Lorsqu'elles se déposent, les matières cohésives forment des couches qui se tassent les unes sur les autres. En modifiant la rigidité initiale de ces différentes couches, ce tassement transforme leurs propriétés d'érosion. Ainsi, on distingue trois grands domaines d'érosion : les *vases liquides* fraîchement déposées qui se comportent comme un fluide dense (*présence d'eau interstitielle*) figure I.17, les *vases plastiques* qui commencent à se consolider en prenant un aspect plastique (*présence d'eau liée uniquement*) figure I.18 et les *vases solides* qui après un tassement prolongé présentent une très grande résistance à l'érosion (*absence d'eau*) figure I.19 (Partheniades, 1965)

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>figure I.17: Structure très lâche de la vase récemment déposée, Partheniades (1965)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>figure I.18: Structure de dépôt après réarrangement des agrégats, Partheniades (1965)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>figure I.19: Structure dense du dépôt consolidé, Partheniades (1965)</figcaption></figure>

Pour décrire cette mécanique, il existe des lois de tassement qui donnent l'évolution au cours du temps de la concentration des sédiments de fond à partir de laquelle il devient possible d'estimer la rigidité des couches sédimentaires. On distingue quatre grands types d'approches :

- des approches empiriques globales qui décrivent l'évolution moyenne des couches,

- des approches empiriques verticales qui décrivent l'évolution verticale des couches,

- une approche théorique propre aux mécaniciens des sols,

- une approche théorique propre aux hydrodynamiciens.
### I.5.7.1 Approches empiriques globales

Ces approches empiriques décrivent l'évolution moyenne de la concentration des dépôts et ne permettent pas d'appréhender l'hétérogénéité verticale des différentes couches sédimentaires. Pour décrire ces évolutions moyennes, Lane et Koelzer (1953) cités par (Rouas, 1996) proposent une formulation déduite de l'analyse de nombreux échantillons de dépôts consolidés dans des réservoirs d'eau. Cette formulation est la suivante :

$$SF_{moy} = \alpha \cdot \log t + \beta \qquad \text{équation I.32}$$

*SF<sub>moy</sub>: concentration moyenne du sédiment de fond (kg<sub>sec</sub>.m<sup>-3</sup>)

*β*: concentration moyenne du sédiment de fond après un an de consolidation (kg<sub>sec</sub>.m<sup>-3</sup>)

*α*: coefficient (kg<sub>sec</sub>.m<sup>-3</sup>s<sup>-1</sup>)

*t*: le temps (s).

Pour les limons $\beta \approx 1050 \text{ kg}_{\text{sec}}.\text{m}^{-3}$.

Pour les argiles $\beta \approx 250 \text{ kg}_{\text{sec}}.\text{m}^{-3}$.

En 1968, Migniot affine la paramétrisation du coefficient $\alpha$ en expérimentant le tassement des sédiments cohésifs dans des colonnes de sédimentation transparentes initialement remplies d'une suspension homogène de concentration $SS_{moy}$. Comme l'illustre la figure I.20 (Rouas, 1996), le principe consiste à observer la décantation des particules au cours du temps.

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>figure I.20: Représentation de la sédimentation en colonne</figcaption></figure>

La décantation est considérée en cinq étapes :

*A*: suspension homogène,

*B*: suspension stratifiée associée au début de la chute des particules,

*C*: accentuation de la chute et suspension très concentrée,

*D*: début de formation du lit cohésif,

*E*: lit consolidé.
Les courbes d'évolution en temps de la concentration moyenne du dépôt d'une suspension de sédiments cohésifs en eau calme sont de la forme suivante présentée sur la figure I.21 :

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>figure I.21: courbe de tassement d'un dépôt de vase, Migniot (1968)</figcaption></figure>

À partir de ces évolutions, Migniot (1968) propose de paramétrer le coefficient $\alpha$ en fonction de la phase de sédimentation et du diamètre équivalent des particules :

$\alpha = 0,01 + 0,05 D$ en phase de décantation (D en microns)

$\alpha = 0,01 + 0,015 D$ en phase d'élimination de l'eau interstitielle

$\alpha = 0,01 + 0,001 D$ en phase d'élimination de l'eau fixée

L'application de cette loi à des sédiments provenant de l'estuaire de la Loire a donné<fnref n="6" /> :

$SF_{moy}=136.2\log(t+5.42)$ pour $0 < t < 24 h$ équation I.33

$SF_{moy}=70\log t+200$ pour $t > 24 h$ équation I.34

<footnote n="6">⁶ $\alpha$ a une dimension plus importante dans les expressions qui suivent à cause de la conversion du (temps en secondes) en (temps en heures).</footnote>
### I.5.7.2 Approches empiriques verticales

Ces approches visent à caractériser l'hétérogénéité verticale des différentes couches sédimentaires. Le lit sédimentaire est discrétisé en un nombre fixe de couches.

En fonction du temps de séjour *t*, Hayter (1982) et Triatmodjo (1987) cités par Le Normant (1995 (a)) et Rouas (1996) caractérisent chaque couche *i* par sa concentration moyenne $SF_{moy}(i, t)$. Le tassement des différentes couches induit par les dépôts frais, qui arrivent sur la première couche, est modélisé en considérant que l'épaisseur, notée *epai(i, t)*, de vase non érodée qui subsiste dans la couche *i* bascule à la fin du temps de séjour *t* dans la couche (*i* + 1) plus consolidée:

$$epai(i+1,t) = epai(i+1,t) + epai(i,t) \cdot \frac{SF_{moy}(i,t)}{SF_{moy}(i+1,t)} \qquad \text{équation I.35}$$

La conservation de la cote du fond est imposée en posant :

$$epai(i, t) = 0$$

Migniot (1968) propose, également, une loi de distribution verticale de la concentration des dépôts :

$$SF_{moy}(h) = SF_{moy}(S) + n \cdot \log(h) \qquad \text{équation I.36}$$

*h* : profondeur du sol (m)

$SF_{moy}(h)$ : concentration moyenne à la profondeur $h$ (g.I¹)

$SF_{moy}(s)$ : concentration à la surface du sol (g.I¹)

*n* : paramètre qui dépend de la nature du complexe sol - eau et des conditions de sédimentation (pour la vase de la Vilaine ce paramètre varie entre 50 et 80).

### I.5.7.3 Théorie des mécaniciens des sols

L'évaluation du tassement à partir des théories de la mécanique des sols s'appuie sur la détermination de la capacité des mouvements de l'eau dans les sédiments de fond. L'une des principales variables d'état est l'indice de vide *e* qui exprime le rapport entre le volume vide et le volume solide. Pour les sédiments de fond d'un cours d'eau, le milieu est saturé et le volume vide représente le volume d'eau présent dans le sol.

Pour un volume de sédiment de fond, on note :

$$V_T = V_V + V_S \qquad \text{équation I.37}$$

$$e = \frac{V_V}{V_S} \rightarrow (1 + e) \cdot V_S = V_T \qquad \text{équation I.38}$$

*V_S* : volume solide (m³) ; *V_V* : volume vide (m³) ; *V_T* : volume total (m³)

Par hypothèse, le volume solide est supposé invariant et l'évolution du tassement est uniquement attribuée aux variations du volume d'eau ou du vide. Avec cette considération, le tassement dépend uniquement des flux d'eau entrant et sortant. Pour déterminer ces flux, il est nécessaire de connaître les contraintes qui s'exercent sur le volume total.
Pour le sédiment de fond, on admet le postulat de Terzaghi (1923) (cité par Gibson et al, 1967), qui établit que la contrainte $\sigma$ exercée sur un volume élémentaire, est la somme de la contrainte effective des grains $\sigma'$ et, de la contrainte $P$ exercée par la pression de l'eau interstitielle.

$$ \sigma = \sigma' + P \qquad \text{équation I.39} $$

À partir de là, Gibson et al (1967) proposent un modèle de consolidation en se basant sur les hypothèses suivantes :

- les grains et le fluide sont incompressibles,

- la distribution granulaire est uniforme,

- les mouvements des grains et de l'eau interstitielle s'effectuent uniquement le long de la verticale,

- la perméabilité et la contrainte effective ne dépendent que de l'indice de vide,

- l'écoulement de l'eau suit une loi de Darcy généralisée qui exprime que la vitesse relative moyenne du fluide par rapport aux particules solides $W_m$, est proportionnelle au gradient hydraulique $\varepsilon_H$.

$$ W_m = n \cdot (W_f - W_s) = - \frac{k}{\rho_f} \cdot \frac{\partial H}{\partial z} \qquad \text{équation I.40} $$

$k$: la perméabilité du sol ($m \cdot s^{-1}$),

$\rho_f$: masse volumique du fluide ($kg \cdot m^{-3}$),

$n$: la porosité,

$Wf$: vitesse verticale du fluide ($m \cdot s^{-1}$),

$Ws$: vitesse verticale des particules solides ($m \cdot s^{-1}$),

$\varepsilon_H = \frac{\partial H}{\partial z}$ : le gradient hydraulique, $H$ : côte de la surface libre (m).

La porosité $n$ est le rapport entre le volume du vide et le volume total. Elle peut s'exprimer en fonction de l'indice de vide $e$.

$$ n = \frac{V_v}{V_T} \rightarrow n = \frac{e}{1+e} \qquad \text{équation I.41} $$

La perméabilité du sol $k$ exprime la possibilité d'évacuation de l'eau interstitielle contenue entre les particules solides. Par hypothèse, $k$ est fonction de l'indice de vide $e$ et, les relations qui relient ces deux entités sont purement empiriques. Ce facteur qui peut indiquer la rapidité de la consolidation du fond (tableau I.7) (*rapide voire instantanée si $k > 10^{-5} m \cdot s^{-1}$*, plus lente dans le cas contraire) varie selon la nature du sol. Il est d'autant plus important que les sédiments sont cohésifs (Migniot, 1982) :

<table><caption>tableau I.7: variabilité de la perméabilité en fonction de la nature du sol</caption><thead><tr><th>sable<br>(m·s<sup>-1</sup>)</th><th>sable argileux<br>(m·s<sup>-1</sup>)</th><th>limon<br>(m·s<sup>-1</sup>)</th><th>argile maigre<br>(m·s<sup>-1</sup>)</th><th>argile grasse<br>(m·s<sup>-1</sup>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>10<sup>-1</sup> à 10<sup>-3</sup></td><td>10<sup>-3</sup> à 10<sup>-4</sup></td><td>10<sup>-6</sup> à 10<sup>-7</sup></td><td>10<sup>-7</sup> à 10<sup>-8</sup></td><td>10<sup>-8</sup> à 10<sup>-9</sup></td></tr></tbody></table>
Le gradient hydraulique $\varepsilon_H$ représente l'excès de la pression interstitielle par rapport à la pression hydrostatique. Cet excès diminue quand les contacts entre les grains augmentent. En l'absence de contacts entre les grains, cet excès représente le poids de ces derniers.

En ajoutant à ces lois celles trouvées expérimentalement reliant la perméabilité $k(e)$ et la contrainte effective<fnref n="7" /> $\sigma'(e)$ à l'indice de vide $e$, on aboutit à l'équation de Gibson, qui traduit la variation verticale, au cours du temps, de l'indice de vide dans le lit sédimentaire.

$$ \frac{\partial e}{\partial t} + \left( \frac{\gamma_s}{\gamma_f} - 1 \right) \cdot \frac{\partial}{\partial e} \left[ \frac{k(e)}{1+e} \right] \frac{\partial e}{\partial z} + \frac{1}{\gamma_f} \frac{\partial}{\partial z} \left[ \frac{k(e)}{1+e} \frac{\partial \sigma(e)'}{\partial e} \frac{\partial e}{\partial z} \right] = 0 \quad \text{équation I.42} $$

$\gamma_s$ et $\gamma_f$ sont les poids volumiques du sédiment sec et du fluide respectivement.

Cette première approche théorique consiste donc en une approche compartimentale qui traite séparément les milieux fluide et solide en faisant appel à des théories de la mécanique des sols pour caractériser le mouvement d'eau entre les grains sédimentaires, la variable d'état considérée est l'indice de vide. Or, cette approche est fondée sur l'hypothèse que la contrainte effective n'est fonction que de l'indice de vide. Alexis et al (1992) ont tracé la variation de la contrainte effective en fonction de l'indice des vides, cette courbe a montré qu'on peut avoir pour des contraintes très distinctes un même indice de vide.

Remarque : voir aussi (Peltier et al, 1996).

### I.5.7.4 Théorie des hydrodynamiciens

Les hydrodynamiciens s'intéressent au suivi du mouvement descendant des particules, en suivant la variation de leur vitesse de sédimentation (ou de chute), la variable d'état, cette fois-ci est la concentration. On fait une hypothèse simplificatrice $W_s = F(SS)$, équation de Kynch (1951) :

$$ \frac{\partial SS}{\partial t} + \frac{\partial(SS \cdot W_c)}{\partial z} = 0 $$

Cette approche considère qu'on a un seul mélange eau-sédiment, avec une concentration qui devient plus importante en allant vers le fond du cours d'eau. Cette théorie est souvent utilisée au vu de sa simplicité et de son coût faible en temps de calcul.

Avec cette approche, il s'agit de quantifier le déplacement des grains de concentration SS vers le bas.

<footnote n="7">⁷ $\sigma'(e)$ est la contrainte effective qui se transmet directement d'un grain à l'autre</footnote>
I.5.8 Détermination des tensions critiques d'érosion

I.5.8.1 Détermination des tensions critiques d'érosion à partir de la rigidité initiale

Migniot (1982) exprime la tension critique d'érosion en fonction de la rigidité initiale du lit $\tau_y$. Pour un dépôt cohésif, ce paramètre rhéologique est déterminé expérimentalement en mesurant la force nécessaire pour faire tourner un axe ou un rotor posé dans la couche de surface du lit sédimentaire.

On distingue trois grands domaines d'érosions en fonction de la phase de consolidation des dépôts :

- Pour des vases fluides : $\tau_y < 3 \text{ N.m}^{-2}$

- Pour des vases plastiques : $3 \text{ N.m}^{-2} < \tau_y < 75 \text{ N.m}^{-2}$

- Pour des vases solides : $\tau_y > 75 \text{ N.m}^{-2}$

La tension de frottement exercée par l'écoulement sur le fond s'exprime en fonction de la vitesse de frottement $u^* : \tau_f = \rho \cdot u^* \tau^2$

Ainsi, de la même façon que l'on définit une tension critique d'érosion, on peut définir $u_{ce}^*$, la vitesse de frottement critique d'érosion lui correspondant.

En fonction de la rigidité initiale, les vitesses de frottement critiques d'érosion pour les vases fluides et plastiques sont (Migniot, 1982) :

Pour des vases fluides ($\tau_y < 3 \text{ N.m}^{-2}$) : $u_{ce}^*=1,3 \cdot \tau_y^{1/4} \rightarrow \tau_{ce}=0.169 \cdot \tau_y^{1/2}$ équation I.43

Pour des vases plastiques ($3 \text{ N.m}^{-2} < \tau_y < 75 \text{ N.m}^{-2}$) : $u_{ce}^*=\tau_y^{1/2} \rightarrow \tau_{ce}=0.324 \cdot \tau_y^{0.62}$ équation I.44

I.5.8.2 Détermination de la tension critique d'érosion en fonction de la concentration

La vitesse de frottement critique d'érosion, nécessaire pour provoquer un début d'érosion peut être associée à la concentration (SF) des dépôts :

Pour des vases fluides : $u_{ce}^*=K \cdot SF$ équation I.45

Pour des vases plastiques : $u_{ce}^*=K' \cdot SF^2$ équation I.46

Pour des vases solides : $u_{ce}^*=K'' \cdot SF^2$ équation I.47

$K, K'$ et $K''$ dépendent de la nature des sédiments étudiés et ont une valeur d'autant plus grande que le sédiment est plus fin.
### I.5.8.3 Détermination expérimentale des tensions critiques d'érosion

Comme pour le dépôt (cf I.5.2), le taux d'érosion peut être déterminé en suivant l'évolution dans le temps de la concentration moyenne sur la verticale en supposant que l'érosion et la sédimentation ne peuvent pas avoir lieu en même temps (Villaret, 1987). L'érosion est associée aux évolutions positives de ce gradient.

Différents contacts, avec des laboratoires de recherches qui s'intéressent à ces problématiques, ont montré que l'estimation de la tension critique d'érosion reste un thème de recherche très ouvert.

### I.5.8.4 Récapitulatif sur la détermination de la contrainte d'érosion

En résumé, la contrainte critique d'érosion peut être déterminée soit à partir de la rigidité initiale, soit à partir de la concentration des matières. On récapitule ci-dessous les principales expressions précitées (tableau I.8) :

<table><caption>tableau I.8: lois d'érosion selon la consolidation d'un dépôt cohésif</caption><thead><tr><th></th><th>Concentration dans les dépôts SF (g.l<sup>-1</sup>)</th><th>Rigidité initiale τ<sub>y</sub> (N.m<sup>-2</sup>)</th><th>Vitesse critique d'érosion u<sup>*</sup><sub>ce</sub> en fonction de (SF)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Vase fluide</td><td>100 &lt; SF &lt; 250</td><td>τ<sub>y</sub> &lt; 3</td><td>u<sup>*</sup><sub>ce</sub>=K·(SF)</td></tr><tr><td>Vase plastique</td><td>SF &gt; 250</td><td>3 &lt; τ<sub>y</sub> &lt; 75 N.m<sup>-2</sup></td><td>u<sup>*</sup><sub>ce</sub>=K·(SF)<sup>2</sup></td></tr><tr><td>Vase solide</td><td>SF &gt; 300</td><td>τ<sub>y</sub> &gt; 75 N.m<sup>-2</sup></td><td>u<sup>*</sup><sub>ce</sub>=K''·(SF)<sup>2</sup></td></tr></tbody></table>

La tension critique d'érosion est reliée directement au frottement exercé par l'écoulement sur le fond, ce frottement est susceptible de changer selon la nature de l'écoulement et des fonds des cours d'eau.

Rappelons que le but de ce travail est l'étude de l'influence de la dynamique sédimentaire sur les transferts des radionucléides émis par les installations nucléaires du cycle du combustible, la quasi totalité de ces dernières sont disposées à proximité de cours d'eau caractérisés par des conditions d'écoulement fluviales (Rhône, Loire, Vienne, ...). C'est la raison pour laquelle on s'intéressera plus spécifiquement dans la suite à ce type d'écoulement ou d'hydraulique.
# I.6 Hydraulique fluviale

## I.6.1 Principaux éléments géométriques d'un cours d'eau

Les principaux éléments géométriques d'un cours d'eau sont caractérisés par des profils en long et en travers.

Les éléments géométriques d'un profil en travers sont les suivants (Graf, 1993):

- Le périmètre mouillé (P) correspond à la partie mouillée du périmètre dans une section droite du chenal.

- La section ou surface mouillée (A) est la section du cours d'eau délimitée par le périmètre mouillé et la surface libre.

- Le rayon hydraulique ($R_H$) est déterminé par le quotient de la surface mouillée A, et du périmètre mouillé P : $R_H = \frac{A}{P}$

- La largeur au miroir (L) est la largeur de la surface libre,

- La profondeur hydraulique ($D_H$) est définie par : $D_H = \frac{A}{L}$.

- La profondeur (h) ou hauteur d'eau est attribuée à la profondeur maximale du cours d'eau.

Les éléments géométriques des profils en long sont principalement :

- L'angle de l'axe hydraulique avec une direction fixe pour le tracé en plan dans le cas des lits à méandres : $\alpha$

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

- La pente du profil en long : J

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

Pour les grands fleuves, cette pente est faible, elle est de l'ordre de 1 % o.
## I.6.2 Écoulement dans les cours d'eau

De façon générale, les écoulements dans les cours d'eau sont des écoulements à surface libre (présence d'une surface de séparation entre l'air et l'eau où la pression est égale à la pression atmosphérique).

### I.6.2.1 Types d'écoulement

Les types d'écoulement dépendent de la combinaison des variations de condition dans le temps et dans l'espace. Dans le temps, on distingue les écoulements permanents et non permanents. Dans l'espace, on distingue les écoulements uniformes et non uniformes (Graf, 1993).

- Le mouvement est permanent si les vitesses moyennes $U$, et ponctuelles$^8$ $u$, ainsi que la profondeur $h$ ou $D_H$, restent invariables dans le temps en grandeur et en direction. Par conséquent, le débit $Q$ est constant : $UA = Q$. Dans le cas contraire, le mouvement est non permanent.

- Le mouvement est uniforme si la profondeur $D_H$, ainsi que les autres paramètres, restent invariables dans les diverses sections du cours d'eau. Pour un écoulement uniforme et permanent, la ligne de la pente de fond est parallèle à la ligne de la surface libre.

Remarque : On peut donc avoir trois grands types d'écoulements :

- permanent - uniforme

- permanent - non uniforme

- non permanent - non uniforme.

### I.6.2.2 Régimes d'écoulement

L'écoulement dans un cours d'eau résulte principalement de l'action de trois forces : forces d'inertie, forces de gravité et forces de frottement.

Les régimes d'écoulement caractérisent l'influence plus ou moins forte de ces trois forces. Pour quantifier cette influence dans les canaux et les rivières, on considère les nombres sans dimension suivants :

- Le nombre de Froude, qui exprime le rapport entre les forces d'inertie et les forces de gravité, $Fr=\frac{U}{\sqrt{g \cdot D_H}}$

- Le nombre de Reynolds, qui est le rapport entre les forces d'inertie et les forces de frottement, $Re=\frac{U \cdot R_H}{\nu}$

<footnote n="8">⁸ U est la moyenne de la vitesse ponctuelle, u, sur toute la section, A.</footnote>
Ces nombres permettent de caractériser les écoulements comme le résume le tableau I.9 (Graf, 1993) :

<table><caption>tableau I.9: Caractérisation des écoulements selon les nombres de Reynolds et de Froude</caption><thead><tr><td>ÉCOULEMENT</td><td>CARACTÉRISTIQUES</td></tr></thead><tbody><tr><td>Laminaire</td><td>Re &lt; 500</td></tr><tr><td>Turbulent</td><td>Re &gt; 2000</td></tr><tr><td>Transition</td><td>500 &lt; Re &lt; 2000</td></tr><tr><td>Fluvial</td><td>Fr &lt; 1</td></tr><tr><td>Torrentiel</td><td>Fr &gt; 1</td></tr><tr><td>Critique</td><td>Fr = 1</td></tr></tbody></table>

Les combinaisons entre ces caractéristiques définissent quatre régimes d'écoulement (Graf, 1993) :

<table><caption>tableau I.10: Régimes d'écoulement.</caption><thead><tr><td>ECOULEMENT</td><td>CARACTÉRISTIQUES</td></tr></thead><tbody><tr><td>Fluvial - laminaire</td><td>Fr &lt; 1 et Re &lt; 500</td></tr><tr><td>Fluvial - turbulent</td><td>Fr &lt; 1 et Re &gt; 2000</td></tr><tr><td>Torrentiel - laminaire</td><td>Fr &gt; 1 et Re &lt; 500</td></tr><tr><td>Torrentiel - turbulent</td><td>Fr &gt; 1 et Re &gt; 2000</td></tr></tbody></table>

Une relation profondeur/vitesse, tirée d'expériences réalisées par Robertson et Rouse (Graf, 1993), est donnée par la figure I.22 pour des canaux rectangulaires très larges. Cette figure illustre les quatre régimes de l'écoulement (Graf, 1996).

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>figure I.22: Abaques de régime de l'écoulement selon la vitesse et la hauteur d'eau (Graf, 1996)</figcaption></figure>
### I.6.3 Modélisation de base pour l'hydraulique fluviale

Après quelques rappels de base, on présente ci-dessous l'approche qui est la plus répandue pour modéliser l'hydraulique de ce type d'écoulement.

#### I.6.3.1 Équations générales du mouvement

Les équations générales du mouvement reposent sur les équations de Navier - Stokes en fluide incompressible qui s'expriment par une équation de conservation de la quantité de mouvement et une équation de continuité. Sous leur forme générale, ces équations s'écrivent respectivement (Schiestel, 1993) :

$$ 
\begin{gathered}
\frac{\partial \rho \cdot u_i}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_j} (\rho \cdot u_i \cdot u_j) + \frac{\partial p}{\partial x_i} - \frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j} - \rho \cdot F_i = 0 \\
\frac{\partial u_i}{\partial x_i} = 0
\end{gathered}
\qquad \text{équation I.48}
$$

$u_i$ : composantes du vecteur vitesse (m·s⁻¹)

$\rho$ : masse volumique du fluide (kg·m⁻³)

$\tau_{ij}$ : tenseur symétrique des contraintes visqueuses (N·m⁻²)

$p$ : pression (N·m⁻²)

$\rho F_i$ : forces de volume qui sont en général nulles (N·m⁻³).

Pour les fluides newtoniens, les contraintes visqueuses sont exprimées par :

$$ \tau_{ij} = \mu \cdot \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \qquad i,j = 1,2,3 \qquad \text{équation I.49} $$

$\mu$ : viscosité dynamique du fluide (kg·m⁻¹·s⁻¹).

En adoptant la décomposition de Reynolds, qui consiste à représenter chaque quantité instantanée (a) par la somme d'une grandeur moyenne ($\overline{a}$) et d'une grandeur fluctuante (a)' ($a=\overline{a}+a'$), on obtient les équations de Reynolds pour le mouvement moyen :

$$ 
\begin{gathered}
\frac{\partial \rho \cdot \overline{u_i}}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_j} (\rho \cdot \overline{u_i u_j}) + \frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} - \frac{\partial}{\partial x_j} (\overline{\tau_{ij}} - \rho \cdot \overline{u_i u_j}) = 0 \\
\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_i} = 0
\end{gathered}
\qquad \text{équation I.50}
$$

Dans les équations précédentes, les termes $\overline{u_i u_j}$ sont les tensions de Reynolds qui traduisent les effets non linéaires de la turbulence, on appelle souvent contraintes turbulentes $\tau_t$, les quantités $\rho \cdot \overline{u_i u_j}$. Avec ces termes, le système d'équation comporte plus d'inconnues que d'équations. Pour le résoudre, il est nécessaire de modéliser ces tensions. On présente ci-après deux modèles de fermeture facilement applicables.
### I.6.3.1.1 Le modèle à viscosité constante

C'est le modèle le plus simple. Il consiste à évaluer les tensions turbulentes par analogie avec l'expression des contraintes visqueuses :

$$ \overline{u_i' u_j'} = -v_i \cdot \left( \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u_j}}{\partial x_i} \right) \quad i, j = 1,2,3 \qquad \text{équation I.51} $$

$v_i$: viscosité turbulente (m².s⁻¹).

Cette expression est utilisable quand l'écoulement est assez homogène et peu perturbé par la présence d'ouvrages. C'est le cas en pleine mer ou en section courante d'une rivière (Tanguy, 1991).

### I.6.3.1.2 Le modèle à longueur de mélange

La théorie de longueur de mélange a été présentée par Prandtl en 1945 (Schiestel, 1993). Par analogie avec la théorie cinétique des gaz, Prandtl fit l'hypothèse que la composante fluctuante de la vitesse est proportionnelle au gradient de la vitesse moyenne dans la direction perpendiculaire à cette vitesse, soit :

$$ \overline{u_i' u_j'} = (l_m \cdot \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j})^2 \qquad \text{équation I.52} $$

$l_m$: la longueur de mélange, supposée isotrope (m).

La viscosité turbulente et la contrainte turbulente ont comme expression (Schiestel, 1993):

$$ v_t = l_m^2 \cdot \left| \frac{\partial \overline{u}}{\partial z} \right| \qquad \text{équation I.53} $$

et

$$ \tau_t = \rho \cdot l_m^2 \cdot \left| \frac{\partial \overline{u}}{\partial z} \cdot \frac{\partial \overline{u}}{\partial z} \right| \qquad \text{équation I.54} $$

Ce modèle nécessite de connaître la loi de longueur de mélange, qui est définie suivant la nature de l'écoulement. Pour une couche limite : $l = \min(\kappa.z, \lambda.\delta)$

$\kappa$: constante de Von Karman (m) $\lambda = 0,09$ (m)

$z$: distance à la paroi (m) $\delta$: épaisseur de la couche limite (m)

Si ces deux méthodes présentent l'avantage d'être facilement applicables, il existe d'autres méthodes plus évoluées, nous citons à titre d'exemple le modèle $k-\epsilon$ qui fait intervenir deux équations supplémentaires (énergie cinétique et taux de dissipation). Pour plus de détails sur les modèles de fermeture, on renvoie le lecteur vers des ouvrages spécialisés, entre autres celui de Schiestel (1993).
### I.6.3.2 Distribution verticale des vitesses - Notions de couche limite

À partir de l'expression de la contrainte de cisaillement, Von Karman a montré qu'au voisinage du fond, la longueur de mélange est proportionnelle à la distance à la paroi ($l_m=\kappa \cdot z$). La contrainte turbulente est alors donnée par :

$$ \tau_t = \rho \cdot \kappa^2 \cdot z^2 \cdot \left| \frac{\partial \bar{u}}{\partial z} \right| \cdot \frac{\partial \bar{u}}{\partial z} \qquad \text{équation I.55} $$

En additionnant la contrainte visqueuse (équation I.49), on obtient l'expression de la contrainte totale (figure I.23), soit :

$$ \begin{align*} \tau &= \tau_l + \tau_t = \mu \cdot \frac{\partial u}{\partial z} + \rho \cdot \kappa^2 \cdot z^2 \cdot \left| \frac{\partial \bar{u}}{\partial z} \right| \cdot \frac{\partial \bar{u}}{\partial z} \tag*{équation I.56} \\ &= \tau_f = \text{Constante à travers tout l'écoulement} \\ &= \rho \cdot u^{*2} \end{align*} $$

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>figure I.23⁹ : Description de l'écoulement dans la verticale (Tanguy, 1991).</figcaption></figure>

Pour un écoulement pleinement développé, on distingue la sous-couche visqueuse, au sein de laquelle l'écoulement est dominé par les forces de viscosité, et la couche externe, caractérisée par une turbulence pleinement développée et dominée par les forces d'inerties.

#### I.6.3.2.1 A l'intérieur de la sous-couche visqueuse

La sous-couche visqueuse est la partie de la couche limite qui la relie à la paroi. Les forces de viscosité y sont dominantes et, à l'intérieur de cette couche d'épaisseur très faible, ($0 < \frac{u^{*} \cdot z}{v} < 5$), on peut admettre $\tau_l=\tau_f$. En partant de l'équation I.56 et en intégrant du fond à la cote z à l'intérieur de cette couche, nous obtenons une expression linéaire :

$$ \frac{u(z)}{u^*} = \frac{u^{*} \cdot z}{v} \qquad \text{équation I.57} $$

<footnote n="9">⁹ Le signe $\delta$ sur la figure ainsi que dans l'équation I-58 de la page suivante, ne signifie pas l'épaisseur de la couche limite, ce n'est qu'une coïncidence de notation.</footnote>
### I.6.3.2.2 A l'extérieur de la sous-couche visqueuse

Bien au-delà de la sous-couche visqueuse, les forces d'inertie deviennent prédominantes. Pour $\frac{u^* \cdot z}{\nu} > 70$, on peut considérer que $\tau_t = \tau_f$.

En partant de l'équation I.56 et en intégrant entre $\delta$ et la cote $z$, nous obtenons :

$$ \frac{u(z)}{u^*} = \frac{1}{\kappa} \cdot \text{Log} \frac{z}{\delta} + B \qquad \text{équation I.58} $$

$B$ : coefficient expérimental.

À partir de nombreux essais réalisés en canal avec du sable, Nikuradze a montré que deux régimes pouvaient être distingués (Tanguy, 1991 ; Le Hir, 1999) :

$$ \text{Un régime turbulent lisse : } \left( \frac{u^* \cdot k_s}{\nu} \le 5 \right) \Rightarrow B = 2,5 \cdot \text{Log} \frac{u^* \cdot k_s}{\nu} + 5,5 $$

$$ \text{Un régime turbulent rugueux : } \left( \frac{u^* \cdot k_s}{\nu} > 70 \right) \Rightarrow B = 8,5 $$

$k_s$ : coefficient de rugosité de Nikuradze (m), il est en général proportionnel à 2 ou 3 fois le diamètre des particules qui constituent le fond (Le Hir, 1999)

$\frac{u^* \cdot k_s}{\nu}$ : nombre de Reynolds de frottement. Il permet de différentier les fonds lisses et les fonds rugueux.

L'intervalle $5 \le \frac{u^* \cdot k_s}{\nu} \le 70$ est un intervalle de transition entre le régime turbulent lisse et le régime turbulent rugueux.

### I.6.3.3 Approche classique pour l'hydraulique fluviale - Équations de Barré St Venant

Ce que l'on vient de présenter se situe aux bases de la mécanique des fluides. Les rivières et les fleuves qui nous intéressent sont caractérisés par des écoulements à surface libre en eau peu profonde. Dans ces conditions, il est courant de ne pas chercher à connaître la répartition verticale des vitesses et de considérer uniquement les vitesses moyennes dans le plan horizontal. Cette approche qui est acceptable quand la cambrure de la surface est faible, ainsi que la pente du fond vis-à-vis de la profondeur d'eau, ne peut pas être appliquée à l'étude de la circulation générale dans les lacs et les bassins océaniques profonds.

En admettant que l'écoulement est quasi horizontal, que l'accélération verticale des vitesses est négligeable et que la pression est hydrostatique, le principe consiste à calculer les vitesses horizontales $U$ et $V$, moyennées selon la verticale. Pour cela, il faut intégrer les équations de Reynolds dans le plan vertical.
I.6.3.3.1 Intégration des équations de Reynolds dans le plan vertical

Pour obtenir les vitesses moyennes sur la verticale U et V il faut intégrer l'équation I.50 entre la
cote du fond (z = z₁) et la cote de la ligne d'eau (z = z₂). Pour cela, on définit la moyenne selon la
profondeur h d'une grandeur quelconque, f, par (Viollet et al, 1998) :

$$
F = \langle f \rangle = \frac{1}{h} \cdot \int_{z_1}^{z_2} f \cdot dz
$$

Pour les vitesses on aura :

$$
U(x, y, t) = \frac{1}{h(x, y, t)} \cdot \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y, t)} u(x, y, z, t) \cdot dz \quad \text{et} \quad V(x, y, t) = \frac{1}{h(x, y, t)} \cdot \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y, t)} v(x, y, z, t) \cdot dz
$$

Pour tenir compte de l'hétérogénéité verticale des vitesses dans l'intégration selon z, on définit un
écart par rapport à la moyenne spatiale :

$$
\bar{u}(x, y, z, t) = U(x, y, t) + u''(x, y, z, t) \text{ et } \bar{v}(x, y, z, t) = V(x, y, t) + v''(x, y, z, t)
$$

$$
\langle \bar{u}^2 \rangle = U^2 + \langle (u'')^2 \rangle + \langle \bar{v}^2 \rangle = V^2 + \langle (v'')^2 \rangle + \langle \bar{u} \cdot \bar{v} \rangle = U \cdot V + \langle u'' \cdot v' \rangle
$$

Avec ces considérations, l'intégration verticale des équations de Reynolds aboutit aux équations
bidimensionnelles de Saint Venant applicables pour les écoulements en eau peu profonde (Le
Hir, 1980 ; Viollet et al, 1998) :

$$
\begin{gather*}
\frac{\partial U}{\partial t} + U \cdot \frac{\partial U}{\partial x} + V \cdot \frac{\partial U}{\partial y} = -g \cdot \frac{\partial Z_2}{\partial x} + \frac{1}{h} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (h \cdot D_{x,x}) + \frac{1}{h} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (h \cdot D_{x,y}) + \frac{F_x}{h} + \frac{S_x}{h} \\
\frac{\partial V}{\partial t} + U \cdot \frac{\partial V}{\partial x} + V \cdot \frac{\partial V}{\partial y} = -g \cdot \frac{\partial Z_2}{\partial y} + \frac{1}{h} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (h \cdot D_{x,y}) + \frac{1}{h} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (h \cdot D_{x,y}) + \frac{F_y}{h} + \frac{S_y}{h}
\end{gather*}
\text{équation I.59}
$$

$$
\frac{\partial V}{\partial t} + U \cdot \frac{\partial V}{\partial x} + V \cdot \frac{\partial V}{\partial y} = -g \cdot \frac{\partial Z_2}{\partial y} + \frac{1}{h} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (h \cdot D_{x,y}) + \frac{1}{h} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (h \cdot D_{x,y}) + \frac{F_y}{h} + \frac{S_y}{h}
$$

$D_{x,y}$ est un tenseur 2\*2 qui regroupe les effets visqueux, la diffusion turbulente

$S_y$ et $S_x$ représentent le frottement en surface.

$F_x$ et $F_y$, représentent le frottement sur le fond.

$$
\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial(h \cdot U)}{\partial x} + \frac{\partial(h \cdot V)}{\partial y} = 0 \qquad \text{équation I.60}
$$

Pour la détermination de ces termes, on renvoie le lecteur aux ouvrages de références (Graf,
1996 ; Viollet *et al*, 1998).
### I.6.3.3.2 Équations monodimensionnelles de Saint-Venant

Pour les écoulements dans les biefs de grande longueur des rivières et des canaux, lorsqu'on ne cherche pas les détails transversaux de l'écoulement, il est possible de se restreindre à une approche monodimensionnelle selon la direction x.

Pour cela, on intègre sur la transversale, les équations bidimensionnelles de Saint-Venant. Pour l'équation de continuité (équation I.60), cette intégration donne:

$$ \frac{\partial A}{\partial t} + \frac{\partial (A \cdot U)}{\partial x} = 0 \qquad \text{équation I.61} $$

Pour l'équation de quantité de mouvement (équation I.59), cette approche permet d'appréhender l'équilibre global entre les forces de frottement, d'inertie et de gravité (Viollet et al, 1998). En négligeant les phénomènes de diffusion - dispersion et de frottement à la surface l'intégration selon la direction y donne :

$$ \frac{\partial U}{\partial t} + U \cdot \frac{\partial U}{\partial x} = -g \cdot \frac{\partial Z_2}{\partial x} - g \cdot J = -g \cdot \frac{\partial h}{\partial x} + g \cdot (I - J) \qquad \text{équation I.62} $$

$$ I = - \frac{\partial z_2}{\partial x} \qquad \text{Pente du fond (m·m⁻¹)} \qquad \text{équation I.63} $$

$$ J = \frac{\tau_f}{\rho \cdot g \cdot R_H} \qquad \text{Frottement sur le fond et les berges (m·m⁻¹)} \qquad \text{équation I.64} $$

### I.6.3.3.3 Détermination du frottement sur le fond

Le frottement sur le fond s'exprime à partir de la tension de cisaillement liée à l'état de contraintes associées à la dynamique du fluide (contraintes visqueuses et turbulentes), (Lebreton, 1974 ; Viollet et al, 1998) :

$$ \tau_f = \rho \cdot u^* \qquad \text{équation I.65} $$

La vitesse de frottement, $u^*$, est reliée à la vitesse et à un coefficient de perte de charge linéaire $\lambda_c$, par la loi suivante :

$$ u^* = \sqrt{\frac{\lambda_c}{8}} \cdot U \qquad \text{équation I.66} $$

Le coefficient de perte de charge $\lambda_c$ dépend du nombre de Reynolds et de la rugosité relative par rapport au diamètre hydraulique. Dans le milieu naturel, les écoulements sont souvent caractérisés par des régimes turbulents rugueux. Pour ces régimes, l'influence du nombre de Reynolds disparaît et $\lambda_c$, ne dépend plus que de la nature du fond et de la hauteur d'eau.

Dans les problèmes d'écoulement à surface libre, la hauteur d'eau est généralement un paramètre inconnu. Pour cette raison, il est pratique d'utiliser le coefficient de Strickler $K_s$ qui dépend uniquement de la rugosité du fond. Pour des conditions d'écoulement permanent et uniforme il est relié à $\lambda_c$ par :

$$ K_s = \sqrt{\frac{8 \cdot g}{\lambda_c \cdot R_H^{1/3}}} \qquad \text{équation I.67} $$
Finalement, la tension de frottement sur le fond peut s'exprimer par :

$$ \tau_f = \frac{U^2}{KS^2} \cdot \frac{g}{R_H^{1/3}} \qquad \text{équation I.68} $$

Pour un fond régulier constitué de matériaux de diamètre *D*, il est possible d'utiliser le résultat suivant :

$$ K_s = \frac{26}{D^{1/6}} \qquad \text{équation I.69} $$

Quand la granulométrie des matériaux du fond n'est pas homogène, on admet que ce sont les plus gros grains qui sont responsables du frottement et on prend le *D*<sub>90</sub>, diamètre tel que 90 % en masse des matériaux du fond soient de diamètre plus petit. Dans la pratique, le coefficient de Strickler est calé à partir de résultats de mesure. On regroupe dans le tableau I.11 quelques grandeurs caractéristiques en fonction de la nature du fond.

<table><caption>tableau I.11: Valeurs du coefficient de Strickler en fonction de la nature du sol</caption><thead><tr><th>CARACTÉRISTIQUES DU FOND</th><th>K<sub>s</sub><br>(m<sup>1/3</sup>·s<sup>-1</sup>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Parois très lisses : revêtements en mortier de ciment et sable, très lisses ; planches rabotées ; tôle métallique sans soudures saillantes</td><td>100 à 90</td></tr><tr><td>Mortier lissé</td><td>85</td></tr><tr><td>Parois lisses : planches avec des joints mal soignés ; enduit ordinaire ; grés</td><td>80</td></tr><tr><td>Béton lisse ; canaux en béton avec des joints nombreux</td><td>75</td></tr><tr><td>Maçonnerie ordinaire ; « cement-gun » ; terre exceptionnellement régulière</td><td>70</td></tr><tr><td>Parois rugueuses : terre irrégulière ; béton rugueux ou vieux ; maçonnerie vielle ou mal soignée</td><td>60</td></tr><tr><td>Parois très rugueuses : terre très irrégulière avec des herbes ; rivières régulières en lit rocheux</td><td>50</td></tr><tr><td>Terre en mauvais état ; rivières en lit de cailloux</td><td>40</td></tr><tr><td>Terre complètement à l'abandon ; torrents transportant de gros blocs</td><td>20 à 15</td></tr></tbody></table>
I.7 Objectifs et besoins d'un modèle de qualité d'eaux

Un modèle de qualité radioécologique des eaux de surface a pour objectifs d'évaluer et de prévoir en fonction de l'espace, du temps et des différents compartiments physiques des hydro systèmes fluviaux (eau, matières en suspension, sédiments de fond) la répartition des polluants radioactifs.

Pour chaque radionucléide, il faut considérer les processus de transferts suivants (cf I.3) :

– la dispersion (transport et diffusion) au sein de chaque compartiment physique,

– les transferts entre les compartiments physiques,

– la décroissance radioactive.

Globalement, la caractérisation de ces différents processus implique de connaître à l'échelle du bassin versant les termes sources (apports de radionucléides, de matières solides, d'eau et de diverses espèces), les paramètres géométriques et topologiques (réseau hydrographique), les paramètres hydrauliques (modèle hydraulique), les paramètres de dynamique sédimentaire (modèle de dynamique sédimentaire) et les paramètres physico-chimiques (modèle d'échange entre phases).

En conséquence, la structure du modèle radioécologique repose sur quatre grands types de modèles :

- Un modèle de réseau hydrographique : ce modèle, représente le domaine d'étude (lacs, rivières, eaux souterraines, zones humides, etc). Support des autres modélisations impliquées dans le modèle global, il joue un rôle fédérateur. Il intègre un système de coordonnées géographiques, un système de projection et un modèle topologique pour structurer ses entités graphiques et hydrographiques.

- Un modèle hydraulique : son rôle est d'évaluer les paramètres hydrauliques nécessaires aux autres modèles du système. Entre autres, ces paramètres sont : les vitesses de l'écoulement, la hauteur d'eau et les tensions de cisaillement sur le fond aux différentes sections du réseau, les coefficients de rugosité, ...

- Un modèle sédimentaire : son rôle est d'évaluer comment les matières présentes dans le cours d'eau en suspension ou dans les sédiments de fond sont transportées, charriées, déposées ou érodées.

- Un modèle radioécologique : en s'appuyant sur les paramètres issus des modèles précédents, le rôle du modèle radioécologique est de décrire la dispersion au cours du temps et de l'espace de la radioactivité dissoute dans l'eau, fixée sur les matières en suspension ou dans les sédiments de fond. Il décrit aussi les transferts de radioactivité entre ces trois compartiments physiques et la décroissance radioactive.

In fine, le modèle intègre les différents processus évoqués jusqu'à présent dans ce chapitre, radioécologiques, dynamique sédimentaire et hydrauliques. Se basant sur le modèle hydraulique, les deux sous modèles radioécologique et dynamique sédimentaire comportent les cinq équations d'advection – dispersion suivantes :

une équation pour les matières en suspension,

- une équation pour les sédiments de fond,

– une équation pour l'activité dans l'eau,

– une équation pour la fraction adsorbée sur les matières en suspension,

– une équation pour la fraction adsorbée sur les sédiments de fond.
$c(x, y, z)$, est la concentration en suspension du traceur considéré. En l'occurrence, les traceurs modélisent les cinq variables suivantes :

- les matières en suspension notées (SS).

- les sédiments de fond notés (SF).

- l'activité dans les matières en suspension notée ($C_{SS}$).

- l'activité dans les sédiments de fond notée ($C_{SF}$).

- l'activité dans l'eau notée ($C_{EAU}$).

Remarque : On notera dans la suite : $C^{SS} = SS C_{SS}$ et $C^{SF} = SF C_{SF}$ ; $C^{SS}$ et $C^{SF}$ s'expriment en $\text{Kg.m}^{-3}$ d'eau et $\text{Kg.m}^{-2}$ respectivement au lieu de $(\text{Bq.Kg}_{\text{sec}}^{-1})$.

### I.8.1 Équations du modèle sédimentaire

**Équation pour les matières en suspension :** l'équation I.70 appliquée pour les matières en suspension, donne l'équation suivante

$$ \frac{\partial SS_{x,y,z}}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_i} q_{x_i}(SS_{x,y,z}) = 0 \quad i=x, y, z \text{ avec} $$

équation I.71

$$ q_{x_i}(SS_{x,y,z}) = (\bar{U}_i - \varepsilon_i \cdot \frac{\partial}{\partial x_i})(SS_{x,y,z}) $$

$SS_{x,y,z}$ est la concentration des matières en suspension. $(\text{g.l}^{-1})$

**Équation pour les sédiments de fond :** Au niveau du fond, les termes d'advection diffusion s'annulent (vitesse négligeable auprès du fond) et la variation de la concentration se traduit par la différence entre le flux de dépôt et celui d'érosion (cf I.5.3). Cette équation peut être exprimée de deux façons (Hita, 1996 ; Zheleznyak, 1997):

Soit en terme de variation de la concentration dans la couche du fond.

$$ \frac{\partial SF}{\partial t} = D - E \qquad \text{équation I.72} $$

Cette équation est adaptée pour les fonds plats où la variation de hauteur est supposée homogène partout.

Soit en terme de variation de la hauteur de la couche du charriage d'épaisseur, $z^*$, c'est le cas des fonds à géométrie complexe.

$$ \rho_s \cdot (1 - n) \cdot \frac{\partial z^*}{\partial t} = D - E \qquad \text{équation I.73} $$

$n$ : porosité du milieu.

$\rho_s$ : densité des matières en suspension ($\text{kg.m}^{-3}$).

Dans le cas des lits cohésifs et, dans le cas où le transport s'effectue principalement en suspension, le flux résultant ($D - E$) traduit la variation de la concentration dans les sédiments de fond (Hita, 1996). Les flux de dépôt et d'érosion sont exprimés par les formules de Krone et Partheniades. Dans le second cas, ils sont exprimés en fonction de la charge à l'équilibre (cf I.5.3).
## I.8.2 Équations du modèle radioécologique

**Équation pour la phase dissoute** : L'équation pour la phase dissoute, tient compte de l'interaction entre l'eau et les matières en suspension<fnref n="10" /> ainsi que du terme de décroissance radioactive.

$$ \frac{\partial C_{EAU x,y,z}}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_i} q_{x_i} (C_{EAU x,y,z}) = - K_{CS} \cdot SS_{x,y,z} \cdot (K_{dSS} \cdot C_{EAU x,y,z} - C_{x,y,z}) - \lambda \cdot C_{EAU x,y,z} \quad \text{équation I.74} $$

$$ \text{Avec } q_{x_i}(C_{EAU x,y,z}) = (\vec{U}_i - \varepsilon_i \cdot \frac{\partial}{\partial x_i})(C_{EAU x,y,z}) $$

$\lambda$ : constante de décroissance radioactive (s⁻¹).

$K_{CS}$ : taux d'échange entre l'eau et les matières en suspension (s⁻¹)

$K_{dSS}$ : coefficient de distribution à l'équilibre entre l'eau et les matières en suspension (m³.Kg⁻¹)

**Équation pour la phase adsorbée sur les matières en suspension**

$$ \frac{\partial C^{SS}_{x,y,z}}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_i} q_{x_i} (C^{SS}_{x,y,z}) = K_{CS} \cdot SS_{x,y,z} \cdot (K_{dSS} \cdot C_{EAU x,y,z} - C_{x,y,z}) - \lambda \cdot C^{SS}_{x,y,z} \quad \text{équation I.75} $$

$$ \text{avec } q_{x_i}(C^{SS}_{x,y,z}) = (\vec{U}_i - \varepsilon_i \cdot \frac{\partial}{\partial x_i})(C^{SS}_{x,y,z}) $$

**Équation pour la phase déposée sur les sédiments de fond** : Par analogie avec l'équation de la variation de la concentration dans les sédiments de fond pour le modèle de dynamique sédimentaire, celle pour le modèle radioécologique tient compte en plus du terme puits dû à la décroissance radioactive.

$$ \frac{\partial C^{SF}}{\partial t} = D \cdot C^{SS}_{x,y,z} - E \cdot C_{SF} - \lambda \cdot C^{SF} \quad \text{équation I.76} $$

La variation de la concentration dans les sédiments de fond traduit l'apport par le dépôt des matières en suspension contaminées et la perte en contamination par l'érosion des sédiments de fond et décroissance radioactive.

<footnote n="10">¹⁰ On supposera dans toutes les équations du modèle radioécologique que le terme d'interaction entre l'eau et les sédiments de fond est nulle pour simplifier les expressions</footnote>
## I.9 Modèle bidimensionnel vertical

Ces modèles sont utilisés lorsque l’écoulement peut être assimilé à un écoulement monodimensionnel suivant la direction longitudinale, ce qui suppose que les variables sont homogènes latéralement. Dans la direction verticale, par contre, l’information est complète, ce qui permet d’étudier d’une manière plus précise, des configurations où les profils de vitesse et de concentrations ne sont pas homogènes et s’écartent de leur valeur moyenne. On se ramène à ce modèle, en procédant par intégration des différentes équations du modèle tridimensionnel entre les berges.

### I.9.1 Équations pour le modèle sédimentaire

**Équation pour les matières en suspension** : on intègre chaque terme de l'équation I.71 entre les deux berges $y_1$ et $y_2$, en utilisant la formule de Leibnitz (Viollet, 1998)

$$ \int_{y_1}^{y_2} \frac{\partial SS_{x,y,z}}{\partial t} dy = \frac{\partial L \cdot SS_{x,z}}{\partial t} + SS_{x,y,z}(y_1) \cdot \frac{\partial y_1}{\partial t} - SS_{x,y,z}(y_2) \cdot \frac{\partial y_2}{\partial t} \qquad \text{équation I.77} $$

$L$ : largeur du domaine d'étude (m).

$SS_{x,z}$ est la concentration moyennée sur la latéral (kg.m⁻³).

la somme des intégrales donne l'équation bilan suivante :

$$ \frac{\partial L \cdot SS_{x,z}}{\partial t} + \frac{\partial L \cdot \overline{q_x(SS_{x,y,z})}}{\partial x} + \frac{\partial L \cdot \overline{q_z(SS_{x,y,z})}}{\partial z} + SS_{x,y,z}(y_1) \cdot \frac{\partial y_1}{\partial t} - SS_{x,y,z}(y_2) \cdot \frac{\partial y_2}{\partial t} + \bar{q}(y_1) \cdot \vec{n}_1 + \bar{q}(y_2) \cdot \vec{n} $$

$n_1(\frac{\partial y_1}{\partial x}, +1, \frac{\partial y_1}{\partial z})$ et $n_2(-\frac{\partial y_2}{\partial x}, -1, -\frac{\partial y_2}{\partial z})$ représentent les vecteurs normaux aux deux berges.

Les deux termes qui apparaissent aux frontières, représentent les échanges de matériaux au droit des berges :

$$ SS_{x,y,z}(y_i) \cdot \frac{\partial y_i}{\partial t} + \bar{q}(y_i) \cdot \vec{n}_i \qquad i=1,2 $$

Ces termes deviennent nuls avec l'hypothèse que les berges sont fixes.

L'équation se réduit donc à :

$$ \frac{\partial L \cdot SS_{x,z}}{\partial t} + \frac{\partial L \cdot \overline{q_x(SS_{x,y,z})}}{\partial x} + \frac{\partial L \cdot \overline{q_z(SS_{x,y,z})}}{\partial z} = 0 $$

Par ailleurs, l'équation de continuité du fluide, intégrée sur l'horizontale a pour expression I.6.3.3.1 :

$$ \frac{\partial L}{\partial t} + \frac{\partial L \cdot U_{x,z}}{\partial x} + \frac{\partial L \cdot W_{x,z}}{\partial z} = 0 ; U_{x,z} \text{ et } W_{x,z} \text{ sont les vitesses moyennées sur l'horizontale.} $$

En combinant les deux équations ci-dessus et en supposant constants les coefficients de diffusion sur une même horizontale on obtient les formulations suivantes :

$$ \frac{1}{L} \int_{y_1}^{y_2} \varepsilon_x \cdot \frac{\partial SS_{x,y,z}}{\partial x} \cdot dy = \overline{\varepsilon_x} \cdot \frac{\partial SS_{x,z}}{\partial x} \quad \text{et} \quad \frac{1}{L} \int_{y_1}^{y_2} \varepsilon_z \cdot \frac{\partial SS_{x,y,z}}{\partial z} \cdot dy = \overline{\varepsilon_z} \cdot \frac{\partial SS_{x,z}}{\partial z} $$
En supposant, en plus que la vitesse de chute varie très peu sur la verticale, l'équation finale est :

$$ \frac{\partial SS_{x,z}}{\partial t} + U_{x,z} \frac{\partial SS_{x,z}}{\partial x} + (W_{x,z} - W_c) \frac{\partial SS_{x,z}}{\partial z} - \frac{1}{L} \frac{\partial}{\partial x} (L \cdot \overline{\varepsilon_x} \frac{\partial SS_{x,z}}{\partial x}) - \frac{1}{L} \frac{\partial}{\partial z} (L \cdot \overline{\varepsilon_z} \frac{\partial SS_{x,z}}{\partial z}) = 0 $$

Avec l'hypothèse que la largeur et la diffusion moyenne selon x sont constantes, l'équation précédente peut s'écrire :

$$ \frac{\partial SS_{x,z}}{\partial t} + U_{x,z} \frac{\partial SS_{x,z}}{\partial x} + (W_{x,z} - W_c) \frac{\partial SS_{x,z}}{\partial z} - \overline{\varepsilon_x} \frac{\partial^2 SS_{x,z}}{\partial x^2} - \frac{\partial}{\partial z} (\overline{\varepsilon_z} \frac{\partial SS_{x,z}}{\partial z}) = 0 \quad \text{équation I.78} $$

Les conditions aux limites sont définies à la surface de la ligne d'eau ($z = z_2$) et au niveau du fond ($z = z_1$) comme suit :

- A $z = z_2$; le flux vertical de sédiments à travers la surface est nul, ce qui se traduit par :

$$ (W - W_c) \cdot SS_{x,z_2} = \overline{\varepsilon_z} \cdot \frac{\partial SS_{x,z_2}}{\partial z} \quad \text{équation I.79} $$

- A $z=z_1$; la vitesse de l'écoulement devient nulle et le flux vertical qui traduit la conservation de la masse des sédiments est égale à la différence entre les flux de dépôt et d'érosion, soit :

$$ W_c \cdot SS_{x,z1} + \overline{\varepsilon_z} \cdot \frac{\partial SS_{x,z1}}{\partial z} = D - E \quad \text{équation I.80} $$

**Équation pour les sédiments de fond** : l'équation pour les sédiments de fond reste la même que pour un modèle tridimensionnel (équation I.72), car la variation du lit est en chaque point traduite par la différence entre le flux ascendant diffusif (flux d'érosion) et le flux descendant convectif (flux de dépôt).

## I.9.2 Équations pour le modèle radioécologique

**Équation pour la phase dissoute** : En adoptant la même méthode d'intégration, cette fois-ci pour l'équation I.74, l'équation pour la phase dissoute dans le cas bidimensionnel vertical s'écrit :

$$ \frac{\partial C_{EAU_{x,z}}}{\partial t} + U_{x,z} \cdot \frac{\partial C_{EAU_{x,z}}}{\partial x} + W_{x,z} \cdot \frac{\partial C_{EAU_{x,z}}}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \overline{\varepsilon_x} \cdot \frac{\partial C_{EAU_{x,z}}}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \overline{\varepsilon_z} \cdot \frac{\partial C_{EAU_{x,z}}}{\partial z} \right) - K_{SS} \cdot SS_{x,z} \cdot \left( Kd \cdot \overline{C_{EAU_{x,z}}} - C_{SS_{x,z}} \right) - \lambda_{EAU_{x,z}} \cdot C_{EAU_{x,z}} \quad \text{équation I.81} $$

Les conditions aux limites pour l'évolution spatio-temporelle et compartimentale de l'activité dans l'eau s'expriment également à la surface et au niveau du fond comme suit (Zheleznyak et al, 1992):

- A $Z=Z_2$; le flux vertical de sédiments à travers la surface est nul, ce qui se traduit par :

$$ W \cdot C_{EAU_{x,z}} = \overline{\varepsilon_z} \cdot \frac{\partial C_{EAU_{x,z}}}{\partial z} \quad \text{équation I.82} $$

- A $Z=Z_1$; la vitesse de l'écoulement devient nulle et le flux diffusif est en équilibre avec le flux du taux d'échange entre l'eau et les sédiments de fond contaminés. Ceci est sur une couche du fond susceptible d'être érodée dès son dépôt (cas d'une vase fluide) (Zheleznyak et al, 1992).

$$ \overline{\varepsilon_z} \cdot \frac{\partial C_{EAU_{x,z}}}{\partial z} = \rho_s \cdot (1-n) \cdot z^* \cdot K_{SF} \cdot (Kd \cdot \overline{C_{EAU_{x,z}}} - C_{SF}) \quad \text{équation I.83} $$
n est la porosité de la couche du fond, z* est l'épaisseur de la couche du charriage.

Dans cette formule on voit apparaître une cinétique d'échange eau - sédiments de fond ($K_{SF}$), ce terme qui est généralement négligeable peut ne pas l'être dans cette couche, car la présence de l'eau interstitielle peut entraîner des échanges avec les sédiments de fond et, par suite un terme ($K_{d} \cdot C_{EAU_{x,z}}$) significatif.

**Équation pour la phase adsorbée sur les matières en suspension :** L'intégration de l'équation I.71 donne :

$$ \frac{\partial C_{x,z}^{SS}}{\partial t} + U_{x,z} \cdot \frac{\partial C_{x,z}^{SS}}{\partial x} + (W_{x,z} - W_c) \cdot \frac{\partial C_{x,z}^{SS}}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial x} (\overline{\varepsilon_x} \cdot \frac{\partial C_{x,z}^{SS}}{\partial x}) + \frac{\partial}{\partial z} (\overline{\varepsilon_z} \cdot \frac{\partial C_{x,z}^{SS}}{\partial z}) + K_{SS} c \cdot SS_{x,z} \cdot (K_{d} \cdot C_{x,z} - C_{x,z}) - \lambda \cdot C_{x,z}^{SS} $$

L'équation précédente a pour conditions aux limites :

- A $z=z_2$; le flux vertical de sédiments à travers la surface est nul, ce qui se traduit par :

$$ (W_{x,z} - W_c) \cdot C_{x,z}^{SS} = \overline{\varepsilon_z} \cdot \frac{\partial C_{x,z}^{SS}}{\partial z} \qquad \text{équation I.84} $$

Ce qui traduit un équilibre entre le flux descendant du à la gravité et la vitesse verticale du fluide et le flux ascendant du à la turbulence.

- A $z=z_1$; la vitesse de l'écoulement devient nulle et le flux diffusif est en équilibre avec le flux du taux d'échange entre l'eau et les sédiments de fond contaminés.

$$ W_c \cdot C_{x,z}^{SS} + \overline{\varepsilon_z} \cdot \frac{\partial C_{x,z}^{SS}}{\partial z} = C_{SS_{x,z}} \cdot D - C_{SF} \cdot E \qquad \text{équation I.85} $$

**Équation pour la phase adsorbée sur les sédiments de fond :** l'intégration de l'équation I.75 donne :

$$ \frac{\partial C^{SF}}{\partial t} = D \cdot C_{x,z}^{SS} - E \cdot C_{SF} - \lambda \cdot C^{SF} \qquad \text{équation I.86} $$

Ces cinq équations constituent le modèle bidimensionnel vertical. Nous avons vu qu'il s'obtient par intégration du modèle tridimensionnel entre les deux berges du domaine d'étude. l'intégration de ce dernier entre la profondeur et la surface va donner un modèle bidimensionnel horizontal.
# I.10 Modèle bidimensionnel horizontal

La modélisation bidimensionnelle horizontale est adaptée au cas des estuaires bien mélangés verticalement. Dans ce cas, les équations de l'écoulement et de transport des sédiments et contaminant sont intégrées sur la verticale. Ces modèles permettent de tenir compte des paramètres hydrosédimentaires le long des berges et des vasières latérales.

## I.10.1 Équations pour le modèle sédimentaire

**Équation pour les matières en suspension** : on intègre chaque terme de l'équation I.70 entre la profondeur $z_1$ et la surface $z_2$ :

$$ \frac{\partial h \cdot SS_{x,y}}{\partial t} + \frac{\partial h \cdot q_x (SS_{x,y,z})}{\partial x} + \frac{\partial h \cdot q_y (SS_{x,y,z})}{\partial y} + SS_{x,y,z}(z_1) \cdot \frac{\partial z_1}{\partial t} - SS_{x,y,z}(z_2) \cdot \frac{\partial z_2}{\partial t} + \vec{q}(z_1) \cdot \vec{n}_1 + \vec{q}(z_2) \cdot \vec{n}_2 = 0 $$

$h$ : hauteur du domaine d'étude (m),

$\vec{q}(q_x, q_y, q_z)$ représente le vecteur de transport,

$n_1(\frac{\partial z_1}{\partial x}, \frac{\partial z_1}{\partial y}, +1)$ et $n_2(-\frac{\partial z_2}{\partial x}, -\frac{\partial z_2}{\partial y}, -1)$ représentent les vecteurs normaux au fond et à la surface.

Les deux termes qui apparaissent aux frontières représentent les échanges de matériaux au fond et à la surface du domaine.

Au fond le terme d'échange s'écrit :

$$ SS_{x,y,z}(z_1) \cdot \frac{\partial z_1}{\partial t} + \vec{q}(z_1) \cdot \vec{n}_1 $$

Le premier terme dynamique représente la vitesse de déplacement du fond perpendiculairement à cette surface. Ce déplacement est provoqué par les flux de dépôt – érosion.

Le deuxième terme représente le débit solide normal au fond.

À la surface, le terme d'échange s'écrit :

$$ SS_{x,y,z}(z_2) \cdot \frac{\partial z_2}{\partial t} + \vec{q}(z_2) \cdot \vec{n}_2 $$

Le premier terme représente cette fois-ci la vitesse de déplacement de la surface libre, perpendiculairement à cette surface. Cependant ce terme peut être traité par le modèle hydraulique, il est nul pour le modèle sédimentaire.

Le deuxième terme représente le débit solide qui traduit l'entrée des sédiments au niveau de la surface libre $F_{\text{surface}}$.
L'équation bilan s'écrit donc :

$$ \frac{\partial h \cdot SS_{x,y}}{\partial t} + \frac{\partial h \cdot \overline{q_x(SS)}}{\partial x} + \frac{\partial h \cdot \overline{q_y(SS)}}{\partial y} + (D - E) + F_{\text{surface}} = 0 $$

Par ailleurs, l'équation de continuité du fluide, intégrée sur la verticale a pour expression I.6.3.1.1 :

$$ \frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial h \cdot U_{x,y}}{\partial x} + \frac{\partial h \cdot V_{x,y}}{\partial y} = 0 $$

$U_{x,y}$ et $V_{x,y}$ étant les vitesses moyennées sur la verticale.

En combinant les deux équations ci-dessus et en supposant constant les coefficients de diffusion sur la verticale cette fois ci :

$$ \frac{1}{h} \int_{z1}^{z2} \varepsilon_x \cdot \frac{\partial SS_{x,y,z}}{\partial x} \cdot dz = K_x \cdot \frac{\partial SS_{x,y}}{\partial x} \quad \text{et} \quad \frac{1}{h} \int_{z1}^{z2} \varepsilon_y \cdot \frac{\partial SS_{x,y,z}}{\partial y} \cdot dz = K_y \cdot \frac{\partial SS_{x,y}}{\partial y} $$

$K_x$ et $K_y$ sont les coefficients de dispersion moyennés sur la verticale (m²·s⁻¹).

Le modèle de dynamique sédimentaire intégré sur la verticale est donc :

$$ \frac{\partial SS_{x,y}}{\partial t} + U_{x,y} \cdot \frac{\partial SS_{x,y}}{\partial x} + V_{x,y} \cdot \frac{\partial SS_{x,y}}{\partial y} - \frac{1}{h} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left(h \cdot K_x \cdot \frac{\partial SS_{x,y}}{\partial x}\right) - \frac{1}{h} \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left(h \cdot K_y \cdot \frac{\partial SS_{x,y}}{\partial y}\right) + \frac{1}{h} \left[(E - D) + F_{\text{surface}}\right] = 0 \quad \text{équation I.87} $$

## I.10.2 Équations pour le modèle radioécologique

**Équation pour la phase dissoute :** en adoptant la même méthode d'intégration, cette fois-ci pour l'équation I.74, l'équation pour la phase dissoute dans le cas bidimensionnel s'écrit :

$$ \frac{\partial C_{EAU_{x,y}}}{\partial t} + U_{x,y} \cdot \frac{\partial C_{EAU_{x,y}}}{\partial x} + V_{x,y} \cdot \frac{\partial C_{EAU_{x,y}}}{\partial y} = \frac{1}{h} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left(h \cdot K_x \cdot \frac{\partial C_{EAU_{x,y}}}{\partial x}\right) + \frac{1}{h} \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left(h \cdot K_y \cdot \frac{\partial C_{EAU_{x,y}}}{\partial y}\right) \\ - K_c \cdot SS_{x,y} \cdot \left(Kd \cdot \frac{C_{EAU_{x,y}}}{SS_{x,y}} - C_{SS_{x,y}}\right) - \lambda \cdot C_{EAU_{x,y}} \quad \text{équation I.88} $$

**Équation pour la phase adsorbée sur les matières en suspension :** l'intégration de l'équation I.75 donne :

$$ \frac{\partial C_{x,y}^{SS}}{\partial t} + U_{x,y} \cdot \frac{\partial C_{x,y}^{SS}}{\partial x} + V_{x,y} \cdot \frac{\partial C_{x,y}^{SS}}{\partial y} = \frac{1}{h} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left(h \cdot K_x \cdot \frac{\partial C_{x,y}^{SS}}{\partial x}\right) + \frac{1}{h} \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left(h \cdot K_y \cdot \frac{\partial C_{x,y}^{SS}}{\partial y}\right) \\ + \frac{C \cdot E - C_{SS_{x,y}} \cdot D}{h} - K_c \cdot SS_{x,y} \cdot \left(Kd \cdot C_{x,y}^{SS} - C_{SS_{x,y}}\right) - \lambda \cdot C_{x,y}^{SS} \quad \text{équation I.89} $$

**Équation pour la phase adsorbée sur les sédiments de fond :** l'intégration de l'équation I.75 donne :

$$ \frac{\partial C^{SF}}{\partial t} = D \cdot C_{SS} - E \cdot C_{SF} - \lambda \cdot C^{SF} \quad \text{équation I.90} $$

L'équation I.87 jusqu'à l'équation I.90 constituent le modèle bidimensionnel horizontal. Il s'obtient par intégration du modèle tridimensionnel entre la surface et le fond du domaine d'étude. L'intégration de ce modèle entre les berges va donner le modèle monodimensionnel.
# I.11 Modèle monodimensionnel

Un modèle monodimensionnel est l’intégration des équations de la mécanique des fluides le long des axes verticaux et transversaux. L’avantage d’un tel modèle est d’abord sa simplicité, vu qu’on néglige quelques phénomènes, puis la possibilité qu’il offre pour faire des études sur des échelles de temps et d’espaces assez longues. Ces modèles sont adaptés pour les fleuves (Hita, 1996).

## I.11.1 Équations pour le modèle sédimentaire

**Équation pour les matières en suspension :** l’intégration de chaque terme de l’équation I.87 entre les berges y₁ et y₂, donne :

$$ 
\begin{gathered}
\frac{\partial A \cdot SS_x}{\partial t} + \frac{\partial A \cdot q_x (SS_{x,y,z})}{\partial x} + L(D - E + F_{\text{surface}}) = 0 \\
\text{avec } \overline{q_x (SS_{x,y,z})} = (U_x \cdot SS_x - K_x \cdot \frac{\partial SS_x}{\partial x})
\end{gathered}
$$

A, étant la section du domaine considéré ; $SS_{x,y}$ est la concentration moyenne sur a verticale

L’équation de continuité intégrée latéralement donne :

$$ \frac{\partial A}{\partial t} + \frac{\partial A \cdot U_x}{\partial x} = 0 $$

En introduisant l’équation de continuité et en faisant l’hypothèse que le flux de sédiments à travers la surface est nul, l’équation pour les matières en suspension dans le cas monodimensionnel se réduit à :

$$ \frac{\partial SS_x}{\partial t} + U_x \cdot \frac{\partial SS_x}{\partial x} = \frac{1}{A} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (A \cdot K_x \cdot \frac{\partial SS_x}{\partial x}) + \frac{1}{h} \cdot (D - E) \quad \text{équation I.91} $$

## I.11.2 Équations pour le modèle radioécologique

**Équation pour la phase dissoutée :** l’intégration de l’équation I.88 entre les berges donne

$$ \frac{\partial C_{EAU_x}}{\partial t} + U_x \cdot \frac{\partial C_{EAU_x}}{\partial x} - \frac{1}{A} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (A \cdot K_x \cdot \frac{\partial C_{EAU_x}}{\partial x}) = -k_{SS} \cdot SS_x \cdot (Kd \cdot C_{EAU_x} - C_x) - \lambda \cdot C_{EAU_x} \quad \text{équation I.92} $$

**Équation pour la phase adsorbée sur les matières en suspension :** l’intégration de l’équation I.88 entre les berges donne :

$$ \frac{\partial C_x^{SS}}{\partial t} + U_x \cdot \frac{\partial C_x^{SS}}{\partial x} - \frac{1}{A} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( A \cdot K_x \cdot \frac{\partial C_x^{SS}}{\partial x} \right) = - \frac{D \cdot C_x}{h} + \frac{E \cdot C_x}{h} + kc \cdot SS_x \cdot \left( Kd \cdot C_x - C_x \right) - \lambda \cdot C_x^{SS} \quad \text{équation I.93} $$

**Équation pour la phase adsorbée sur les sédiments de fond :** l’intégration de l’équation I.90 entre les berges donne :

$$ \frac{\partial C_x^{SF}}{\partial t} = D \cdot C_x^{SS} - E \cdot C_x^{SF} - \lambda \cdot C_x^{SF} \quad \text{équation I.94} $$
## I.12 Récapitulatif sur la modélisation

Nous avons présenté la démarche suivie pour obtenir un modèle monodimensionnel de radioécologie, partant d'un modèle tridimensionnel.

Les critères de choix d'un modèle dépendent principalement du site d'étude.

La modélisation est tridimensionnelle si le site connaît une disparité transversale due à la variation de profondeur dans sa géométrie et des stratifications dues aux gradients de densité.

Elle est bidimensionnelle verticale en cas de non-homogénéité des profils de vitesse et de concentration dans la direction verticale, avec une homogénéité latérale. Dans ce cas, on fait l'hypothèse que l'écoulement est monodimensionnel suivant la direction longitudinale. L'utilisation de ces modèles est particulièrement indiquée pour l'étude, en nature, des évolutions des lits ou encore des phénomènes de transport littéraux de sables ou de galets, à l'origine de profils de concentration très incurvés dans la verticale.

Elle est bidimensionnelle horizontale, dans le cas où les profils de vitesse et de concentration sont homogènes sur la verticale, avec une non homogénéité latérale. Ceci nécessite de tenir compte des paramètres hydrosédimentaires le long des berges. Une telle modélisation est souvent utilisée pour les problèmes d'aménagement des estuaires où la structure verticale des courants et du transport sédimentaire n'a pas grand intérêt.

Elle est monodimensionnelle, quand le site d'étude connaît une géométrie simple, avec un fond plat. Cette modélisation fait l'hypothèse que le milieu est homogène en terme de vitesse et de concentration dans les directions latérale et verticale. Cette modélisation s'applique pour les cours d'eau en zone de bon mélange où l'hydraulique du milieu est fluviale. Les modèles monodimensionnels ont l'avantage d'être simple et peu coûteux, ce qui permet leur application sur des échelles de temps et d'espaces assez larges.

## I.13 Orientation du travail suite aux conclusions de l'étude bibliographique

### I.13.1 Conclusions

L'évaluation de l'influence de la dynamique sédimentaire sur les transferts des effluents radioactifs dans les cours d'eau implique trois disciplines : la radioécologie, la dynamique sédimentaire et l'hydraulique.

Pour cadrer ce travail par rapport à la problématique radioécologique, il s'agissait tout d'abord d'identifier le domaine de plus forte interaction entre les matières, l'eau et les radionucléides. Cette recherche bibliographique a fait ressortir trois points importants :

Les radionucléides interagissent principalement avec les sédiments cohésifs constitués de particules de diamètre inférieur à 64 µm. Dans cette classe le taux de fixation des radionucléides varie principalement selon le diamètre des particules. En effet, plus les particules sont fines, plus l'adsorption est importante. Le comportement des sédiments cohésifs est conditionné par les processus hydrosédimentaires suivants : dispersion, floculation, dépôt, consolidation et érosion.

Pour la dynamique sédimentaire, l'étude bibliographique a permis de passer en revue les principales approches mises en œuvre pour modéliser ces processus. Il ressort deux points importants : le choix des modèles dépend de la nature du site et l'obtention des paramètres (vitesse de chute, tension critique de dépôt et d'érosion...) doit se faire par expérimentation in
situ et/ou en laboratoire. Il est hasardeux d'extrapoler à un site les paramètres obtenus sur un site différent. En particulier, il faut être vigilant dans la détermination de la vitesse de chute et des conditions d'érosion. L'étude de ces paramètres présente deux domaines de recherche qui restent ouverts.

L'hydraulique permet d'évaluer les conditions de dispersion (vitesse et turbulence) et de frottement sur le fond qui conditionnent la dynamique sédimentaire. Il ressort de l'étude bibliographique que le choix du modèle est fortement lié à la nature du site. Pour les cours d'eau récepteurs d'effluents de l'industrie nucléaire, l'approche en modélisation la mieux appropriée est celle de l'hydraulique fluviale monodimensionnelle.

### I.13.2 Orientation de l'étude

Les différences de comportements radioécologiques en fonction de la granulométrie des sédiments suggèrent que pour affiner la prise en compte de la dynamique sédimentaire en radioécologie, il devient important de distinguer les différentes classes de particules. Que ce soit dans les modèles radioécologiques, ou dans les protocoles expérimentaux mis au point à ce jour pour déterminer les paramètres relatifs à la dynamique sédimentaire et la radioécologie (estimation des flux de dépôt ou d'érosion, taux d'adsorption désorption sur les sédiments lors d'un rejet d'effluents liquides radioactifs ...).

En radioécologie, les approches classiques pour caractériser la dynamique sédimentaire des matières ne distinguent généralement pas les différentes classes de particules. L'adsorption, la désorption, le dépôt et l'érosion sont considérés en fonction de la charge globale du cours d'eau. Or, les comportements sédimentaire et radioécologique en fonction des classes de sédiments suggèrent qu'il est important de distinguer ces différentes classes pour affiner les évaluations. L'étape suivante de ce travail a donc été le développement d'un modèle radioécologique qui intègre une approche pour plusieurs classes de particules.

Un tel modèle doit tenir compte des deux points suivants:

* L'adsorption par classe de matière.

* La dynamique sédimentaire de ces classes.

Le chapitre suivant, sera consacré à la présentation de ce modèle, à sa paramétrisation et au plan expérimental que l'on proposera pour sa validation.

Afin de valider ce modèle, une détermination expérimentale des différents paramètres précités s'impose. Pour ce faire, le canal **Bas Rhône Languedoc (BRL)** situé dans la région du Bas Rhône a été choisi comme site atelier.

Le canal BRL présente l'avantage d'avoir un profil bathymétrique simple et uniforme, son régime hydraulique fluvial est contrôlé par une vanne située à l'entrée. Il constitue en plus une defluence du Rhône marquée par les rejets de Marcoule.
<figure><img src="image_35.png" /></figure>
# Chapitre II Présentation du code TRACE<fnref n="11" />

<table><tr><td>II.1 OBJECTIFS</td><td>II-79</td></tr><tr><td>II.2 MODÈLE HYDRAULIQUE : HYPOTHÈSES ET ÉQUATIONS</td><td>II-80</td></tr><tr><td>II.3 MODÈLE SÉDIMENTAIRE : HYPOTHÈSES ET ÉQUATIONS</td><td>II-81</td></tr><tr><td>II.3.1 Modélisation des flux de dépôt et d'érosion</td><td>II-82</td></tr><tr><td>II.4 MODÈLE RADIOÉCOLOGIQUE : HYPOTHÈSES ET ÉQUATIONS</td><td>II-84</td></tr><tr><td>II.5 RÉSOLUTION NUMÉRIQUE</td><td>II-85</td></tr><tr><td>II.5.1 Expression numérique des termes dynamiques</td><td>II-85</td></tr><tr><td>II.5.2 Expression numérique des gradients d'espace</td><td>II-85</td></tr><tr><td>II.5.3 Expression numérique des termes de diffusion</td><td>II-86</td></tr><tr><td>II.5.4 Résolution du modèle hydraulique</td><td>II-87</td></tr><tr><td>II.5.5 Résolution du modèle sédimentaire</td><td>II-90</td></tr><tr><td>II.5.6 Résolution du modèle radioécologique</td><td>II-92</td></tr><tr><td>II.5.7 Consistance et stabilité des schémas numériques</td><td>II-95</td></tr><tr><td>II.6 PARAMÈTRES SÉDIMENTAIRES DU MODÈLE</td><td>II-98</td></tr></table>

<footnote n="11">¹¹ Transferts des RAdionucléides par Classe de matières dans les cours d'Eau</footnote>
<figure><img src="image_36.png" /></figure>
## II.1 Objectifs

Le site atelier sélectionné pour cette étude est le premier tronçon du canal Bas Rhône Languedoc (BRL). Long d'une dizaine de kilomètres ce tronçon présente un régime d'écoulement fluvial et une géométrie trapézoïdale uniforme. Suite aux conclusions du premier chapitre nous nous sommes orientés vers une modélisation monodimensionnelle qui intègre un sous modèle hydraulique de type Barré St Venant, ainsi qu'un sous modèle sédimentaire et un sous modèle radioécologique qui permettent de prendre en compte plusieurs classes de particules. L'objectif de ce chapitre est de présenter cette modélisation mise en œuvre par le code TRACE (Transferts des Radionucléides par Classe de matières dans les cours d'Eau) développé dans le cadre de cette étude.

Le code TRACE s'appuie sur la structure suivante :

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>figure II.1: Structure du code TRACE</figcaption></figure>

Sur la base du sous modèle hydraulique (I.6.3.3.2), les modèles sédimentaire et radioécologique reposent sur plusieurs équations de bilan. Pour chaque classe de particules, le modèle sédimentaire applique une équation bilan pour la concentration des matières en suspension et une équation bilan pour la concentration des sédiments de fond. Le modèle radioécologique repose sur une équation bilan de l'activité volumique de l'eau et, pour chaque classe de particules, une équation bilan de l'activité massique des matières en suspension et des sédiments de fond.
## II.2 Modèle hydraulique : hypothèses et équations

Le modèle hydraulique est un modèle monodimensionnel qui s'applique à un bief uniforme de section trapézoïdale pour des régimes d'écoulement fluviaux. Dans ces conditions, on peut appliquer les équations monodimensionnelles de St- Venant. Il s'agit respectivement d'une équation de continuité et d'une équation bilan de quantité de mouvement.

$$ \frac{\partial A}{\partial t} + \frac{\partial (U \cdot A)}{\partial x} = 0 \qquad \text{équation II.1} $$

$$ \frac{\partial U}{\partial t} + U \cdot \frac{\partial U}{\partial x} = -g \cdot \frac{\partial h}{\partial x} + g \cdot (I - J) \qquad \text{équation II.2} $$

t : temps (s)

g : gravité (m.s⁻²)

x : abscisse en long (m)

I : pente du fond (m.m⁻¹)

A : section mouillée (m²)

J : frottement sur le fond et les berges (m.m⁻¹)

h : hauteur d'eau (m)

Sur la base d'une géométrie trapézoïdale, la section mouillée, le périmètre mouillé et le rayon hydraulique sont respectivement donnés par les relations suivantes :

$$ A = h \cdot (b + m \cdot h) $$

$$ P = 2 \cdot h \cdot \sqrt{1 + m^2} + b $$

$$ R_h = \frac{A}{P} = \frac{h \cdot (b + m \cdot h)}{2 \cdot h \cdot \sqrt{1 + m^2} + b} $$

$$ m = \operatorname{ctg}(f_i) $$

b : largeur au plafond

(m)

fi : angle des berges

(rad)

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>figure II.2: Section trapézoïde d'un canal</figcaption></figure>

L'équation de continuité s'écrit :

$$ \left(\frac{b}{h} + 2 \cdot m\right) \left(\frac{\partial h}{\partial t} + U \cdot \frac{\partial h}{\partial x}\right) + (b + m \cdot h) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \qquad \text{équation II.3} $$

Dans l'équation de bilan de quantité de mouvement le frottement est exprimé par (Viollet *et al*, 1998):

$$ J = \frac{U \cdot U}{R_H^3} \cdot K_s^2 \qquad \text{équation II.4} $$

$K_s$ est le coefficient de Manning présenté au chapitre I.
## II.3 Modèle sédimentaire : hypothèses et équations

L'originalité de ce travail repose principalement sur le modèle sédimentaire qui propose des expressions de flux de dépôt et d'érosion permettant de prendre en compte plusieurs classes de particules. Comme pour le modèle hydraulique l'approche est monodimensionnelle. Les principales hypothèses sont les suivantes :

- Plusieurs classes de particules.

- Une classe est un ensemble de particules qui présentent la même dynamique.

- Pas d'interactions entre les particules (pas de floculation et pas de stratification liée aux fortes concentrations).

- Approche surfacique pour le sédiment de fond (pas de changement des caractéristiques de surface).

Pour chaque classe de particules on considère deux équations bilan. Une pour $SS_c$ ($kg_{sec} \cdot m^{-3}$) la concentration dans la suspension et une pour $SF_c$ ($kg_{sec} \cdot m^{-2}$) la concentration dans le sédiment de fond.

$$ \frac{\partial SS_c}{\partial t} + \frac{\partial(U \cdot SS_c)}{\partial x} = \frac{1}{A} \cdot \frac{\partial}{\partial x} [A \cdot Kx \cdot \frac{\partial SS_c}{\partial x}] + \frac{1}{h} \cdot [(E_c - D_c)] $$ $$ \frac{\partial SF_c}{\partial t} = D_c - E_c $$

c : indice de la classe granulométrique

$SS_c$: concentration de la classe c dans la suspension $kg_{sec} \cdot m^{-3}$

$SF_c$ : concentration de la classe c dans le sédiment de fond $kg_{sec} \cdot m^{-2}$

Kx: coefficient global de dispersion longitudinal $m^2 \cdot s^{-1}$

$E_c$ : flux d'érosion de la classe c $kg_{sec} \cdot m^{-2} \cdot s^{-1}$

$D_c$ : flux de dépôt de la classe c $kg_{sec} \cdot m^{-2} \cdot s^{-1}$

La prise en compte de toutes les classes est donnée par :

$$ \frac{dSS}{dt} = \sum_{c=0}^{c=N} \frac{dSS_c}{dt} \quad \text{et} \quad \frac{dSF}{dt} = \sum_{c=0}^{c=N} \frac{dSF_c}{dt} $$

Le coefficient global de diffusion longitudinale est déduit des paramètres hydrauliques. Pour une section trapézoïdale son expression est (Fisher et col., 1979) :

$$ Kx = \frac{0,011 \cdot U^2 \cdot b^2}{h \cdot u^*} $$

$u^*$ ($m \cdot s^{-1}$) est la vitesse de frottement donnée par $u^* = \sqrt{\frac{\tau}{\rho}} = \sqrt{I \cdot g \cdot R_H}$.
II.3.1 Modélisation des flux de dépôt et d'érosion

En règle générale les flux de dépôt et d'érosion pour les sédiments cohésifs sont évalués en considérant des tensions critiques de dépôt et d'érosion (cf. chapitre I). En pratique, cette approche n'est pas directement applicable à un modèle multi-classes car s'il est possible de déterminer les tensions critiques d'érosion des différentes classes à partir d'installations expérimentales (canal hydraulique), ce n'est pas le cas pour les tensions critiques de dépôt (cf. chapitre III).

Les approches classiques s'appliquent à la charge globale d'un cours d'eau et reposent sur l'hypothèse que les processus de dépôt et d'érosion ne peuvent pas avoir lieu simultanément. Avec une approche multi-classes cette hypothèse n'est plus vérifiée puisque le dépôt d'une classe peut être accompagné par l'érosion d'une autre. Si, en situation d'érosion, on admet qu'une particule puisse se déposer et être immédiatement remise en suspension, il devient possible de supprimer la contrainte critique de dépôt. On suppose alors que le processus de dépôt a lieu quel que soit le frottement<fnref n="12" /> et qu'il est pondéré par le flux d'érosion.

Sur cette base, on propose d'adapter les expressions de Krone et Partheniades pour les rendre applicables à une approche multi-classes.

- Pour chaque classe c le flux de dépôt est donné par :

$$
D_c = W_c \cdot SS_c \quad \text{quel que soit } \tau_f
$$

- Pour chaque classe c le flux d'érosion est donné par :

$$
E_c = e_{0,c} \cdot \left( \frac{\tau_f}{\tau_{ce,c}} - 1 \right) \quad \text{si } \tau_f > \tau_{ce,c} \text{ et } SF_c > 0
$$

$$
E_c = 0 \quad \text{si } \tau_f < \tau_{ce,c} \text{ ou } SF_c = 0
$$

$W_c :$ vitesse de chute en eau calme de la classe c (m·s⁻¹)

$\tau_{ce,c}$ : tension critique d'érosion de la classe c (N·m⁻²)

$e_{0,c}$ : taux d'érosion de la classe c (kg$_{sec}$·m⁻²·s⁻¹)

II.3.1.1 Interprétation de la méthode

Pour interpréter cette approche on considère l'équation de bilan de la concentration de la classe c dans la suspension sans les termes de transport et de diffusion. Dans ces conditions on écrit :

$$
\text{si } \tau_f < \tau_{ce,c} \text{ ou } SF_c = 0 \qquad \frac{dSS_c}{dt} = -\frac{D_c}{h} = -\frac{W_{c,c} \cdot SS_c}{h}
$$

$$
\text{si } \tau_f > \tau_{ce,c} \text{ et } SF_c > 0: \qquad \frac{dSS_c}{dt} = \frac{E_c - D_c}{h} = \frac{e_{0,c} \cdot \left( \frac{\tau_f}{\tau_{ce,c}} - 1 \right) - W_{c,c} \cdot SS_c}{h}
$$

<footnote n="12">¹² Discussions avec Pierre Le HIR (IFREMER – Brest).</footnote>
A présent on cherche les conditions d'équilibre.

° Pour $\tau_f < \tau_{ce,c}$, l'équilibre est obtenu si : $\frac{dSS_c}{dt} = 0 \rightarrow SS_c = 0$.

° Pour $\tau_f > \tau_{ce,c}$, l'équilibre est atteint si : $\frac{dSS_c}{dt} = 0 \rightarrow SS_c = \frac{e_{0,c}}{W_{c,c}} \cdot (\frac{\tau_f}{\tau_{ce,c}} - 1)$

En notant $SS_c^*$, la concentration d'équilibre, on a :

° Pour $\tau_f < \tau_{ce,c}$ : $SS_c^* = 0$.

° Pour $\tau_f > \tau_{ce,c}$ : $SS_c^* = \frac{e_{0,c}}{W_{c,c}} \cdot (\frac{\tau_f}{\tau_{ce,c}} - 1)$

En fonction des conditions d'écoulement $SS_c^*$ apparaît comme une concentration d'équilibre des matières en suspension de la classe c. Si ($SS_c > SS_c^*$) le flux de dépôt est dominant et si ($SS_c < SS_c^*$) c'est le flux d'érosion qui prédomine (figure II.3)

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>figure II.3 : Processus sédimentaires selon le frottement</figcaption></figure>

Les flux de dépôt et d'érosion peuvent être réécrits sous la forme d'un seul flux global donné par :

$$E_C - D_C = W_{c,c} \cdot (SS_C^* - SS_C)$$

Avec :

° $SS_c^* = 0$ si $\tau_f < \tau_{ce,c}$

° $SS_c^* = \frac{e_{0,c}}{W_{c,c}} \cdot (\frac{\tau_f}{\tau_{ce,c}} - 1)$ si $\tau_f > \tau_{ce,c}$
II.4 Modèle radioécologique : hypothèses et équations

Comme les modèles précédents, le modèle radioécologique est monodimensionnel. Il repose sur les hypothèses suivantes :

- Un seul type de radionucléide par calcul.

- Plusieurs classes de matière en suspension et dans le sédiment de fond.

- Pour chaque classe de matière l'affinité au radionucléide est modélisée par un coefficient de partage à l'équilibre et une cinétique d'ordre 1.

Le modèle comprend une équation bilan pour l'activité volumique dissoute $C_{EAU} (Bq·m^{-3})$ et, pour chaque classe de particules, une équation bilan pour l'activité massique de la suspension $C_{SS_c} (Bq·kg_{sec}^{-1})$ et une équation bilan pour l'activité massique du sédiment de fond $C_{SF_c} (Bq·kg_{sec}^{-1})$.

$$ \frac{\partial C_{EAU}}{\partial t} + \frac{\partial(U \cdot C)}{\partial x} - \frac{1}{A} \cdot \frac{\partial}{\partial x} [A \cdot Kx \cdot \frac{\partial C}{\partial x}] = -\lambda \cdot C_{EAU} - \sum_{c=1}^{N} K_c \cdot SS_c \cdot (Kd_c \cdot C_{SS_c} - C) $$

équation II.5

$$ - \frac{\sum_{c=1}^{N} K_c \cdot SF_c \cdot (Kd_c \cdot C - C)}{h} $$

$$ \frac{\partial (SS_c \cdot C)}{\partial t} + \frac{\partial (U \cdot SS_c \cdot C)}{\partial x} - \frac{1}{A} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left[ A \cdot Kx \cdot \frac{\partial (SS_c \cdot C)}{\partial x} \right] = - K_c \cdot (SS_c \cdot C) $$

équation II.6

$$ - \frac{W_c}{h} \cdot (SS_c \cdot C) - \lambda \cdot (SS_c \cdot C) + K_c \cdot Kd_c \cdot SS_c \cdot C_{EAU} + \frac{E_c}{h} \cdot C_{SF_c} $$

$$ \frac{\partial(SF_c \cdot C)}{\partial t} = D_c \cdot SS_c \cdot C_{SS_c} - E_c \cdot C_{SF_c} - \lambda \cdot SF_c \cdot C_{SF_c} + K_c \cdot SF_c \cdot (Kd_c \cdot C_{SS_c} - C) $$

équation II.7

$C_{EAU}$ : radioactivité volumique de l'eau $Bq·m^{-3}$

$C_{SS_c}$ : radioactivité massique de la classe c en suspension $Bq·kg_{sec}^{-1}$

$C_{SF_c}$ : radioactivité massique de la classe c dans le sédiment de fond $Bq·kg_{sec}^{-1}$

$K_{SS_c}$ : cinétique de désorption de la classe c en suspension $s^{-1}$

$Kd_{SS_c}$ : coefficient de distribution à l'équilibre de la classe c en suspension $m^3·kg_{sec}^{-1}$

$Kd_{SF_c}$ : coefficient de distribution à l'équilibre de la classe c dans le sédiment de fond $m^3·kg_{sec}^{-1}$

$\lambda$ : constante de décroissance radioactive du radionucléide $s^{-1}$
## II.5 Résolution numérique

Pour les trois modèles présentés la résolution des équations est réalisée par une méthode numérique aux différences finies (Euvrard, 1987 ; Dautray, 1988 ; Crouzeix et Migniot, 1989 ; Demailly, 1991 ; Lascaux et Théodor, 1987). On applique un schéma explicite qui permet de calculer les grandeurs à l'instant $n+1$ en fonction des résultats obtenus à l'instant $n$.

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

Le domaine spatial est discrétisé de telle façon que le pas d'espace $\Delta x$ soit le même partout. En notant $C_{esp}$, une grandeur générique, on présente ci-après les expressions numériques considérées pour les différents termes des équations.

### II.5.1 Expression numérique des termes dynamiques

Les termes dynamiques sont discrétisés de la façon suivante :

$$ \left[ \frac{\partial C_{esp}}{\partial t} \right]_i^{n+1} = \frac{C_{esp}^{n+1} - C_{esp}^n}{\Delta t} \quad \Delta t: \quad \text{pas de temps} \quad (s) $$

### II.5.2 Expression numérique des gradients d'espace

Pour exprimer les dérivées premières dans l'espace on utilise un schéma décentré amont :

$$ \frac{\partial C_{esp}}{\partial x} = \frac{C_{esp}^n - C_{esp}^{n-1}}{\Delta x} $$
II.5.3 Expression numérique des termes de diffusion

Les termes de diffusion sont entièrement développés. Soit :

$$
\frac{1}{A} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( Kx \cdot A \cdot \frac{\partial C}{\partial x} \right) = \frac{1}{A} \cdot \left[ Kx \cdot A \cdot \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} + A \cdot \frac{\partial Kx}{\partial x} \cdot \frac{\partial C}{\partial x} + Kx \cdot \frac{\partial A}{\partial x} \cdot \frac{\partial C}{\partial x} \right]
$$

En procédant par un développement de Taylor, les dérivées secondes s’écrivent :

$$
\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} = \frac{C_{i-l}^n - 2 \cdot C_i^n + C_{i+l}^n}{\Delta x^2} ;
$$

Δx : pas d'espace (m)

Finalement, les termes de diffusion s'écrivent de la façon suivante :

$$
\left[ \frac{1}{A} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( A \cdot Kx \cdot \frac{\partial C}{\partial x} \right) \right]_i^{n+1} = \frac{1}{A_i} \cdot \left[ \begin{aligned}
& C_{i-1}^n \cdot \left( \frac{Kx_i^n \cdot A_i^n}{\Delta x^2} - \frac{2 \cdot Kx_i^n \cdot A_i^n - Kx_i^n \cdot A_{i-1}^n - Kx_{i-1}^n \cdot A_i^n}{\Delta x^2} \right) \\
& + C_{i-1}^n \cdot \left( -\frac{2 \cdot Kx_i^n \cdot A_i^n}{\Delta x^2} + \frac{2 \cdot Kx_i^n \cdot A_i^n - Kx_{i-1}^n \cdot A_i^n - Kx_i^n \cdot A_{i-1}^n}{\Delta x^2} \right) \\
& + C_{i+1}^n \cdot \left( \frac{Kx_i^n \cdot A_i^n}{\Delta x^2} \right)
\end{aligned} \right]
$$
II.5.4 Résolution du modèle hydraulique

La résolution du modèle hydraulique permet de calculer l'évolution dans l'espace et dans le temps des différents paramètres hydrauliques : vitesses, hauteur d'eau, débits, tensions de frottement, ...

Compte tenu de la méthode générale de résolution, les formes numérisées de l'équation de continuité et de l'équation bilan de quantité de mouvement sont les suivantes.

– Équation de continuité

$$
h_i^{n+1} = h_i^n + \frac{\Delta t}{2 \cdot \Delta x} \left[ U_i^n \cdot (h_{i-1}^n - h_{i+1}^n) + \frac{a_i^n}{d_i^n} (U_{i-1}^n - U_{i+1}^n) \right] \qquad \text{équation II.8}
$$

$$
\text{Avec } a_i^n = b + m \cdot h_i^n \text{ et } d_i^n = \frac{b}{h_i^n} + 2 \cdot m
$$

– Équation de quantité de mouvement

$$
(U_i^{n+1})^2 + \Phi_i^n \cdot U_i^{n+1} - \Phi_i^n \cdot E_i^n = 0
$$

$$
\text{Avec } (\phi_i^n)^{-1} = \frac{n^2}{R_h^{4/3}} \cdot g \cdot \Delta t \text{ et } E_i^n = \left[ U_i^n + \frac{\Delta t}{2 \cdot \Delta x} \cdot U_i^n \cdot (U_{i-1}^n - U_{i+1}^n) + g \cdot \frac{\Delta t}{2 \cdot \Delta x} \cdot (h_{i-1}^n - h_{i+1}^n) + g \cdot \Delta t \cdot I \right]
$$

L'équation précédente est une équation quadratique en $U_i^{n+1}$. Il en résulte :

$$
U_i^{n+1} = \frac{1}{2} \cdot \left[ -\Phi_i^n + (\Phi_i^n^2 + 4\Phi_i^n \cdot E_i^n)^{1/2} \right] \qquad \text{équation II.9}
$$

Pour un pas d'espace (n + 1), ces équations permettent de calculer $h_i^{n+1}$, la profondeur d'eau, et $U_i^{n+1}$ la vitesse de l'écoulement. A partir de la hauteur d'eau on calcule la section mouillée $A_i^{n+1}$ puis le débit $Q_i^{n+1}$, le coefficient de diffusion $K_i^{n+1}$ et la tension de frottement $\tau_i^{n+1}$.

$$
A_i^{n+1} = (b + m \cdot h_i^{n+1}) \cdot h_i^{n+1} ; \quad R_{H_i}^{n+1} = \frac{h_i^{n+1} \cdot (b+m \cdot h_i^{n+1})}{2 \cdot h_i^{n+1} \cdot \sqrt{1+m_2+b}} ; \quad Q_i^{n+1} = A_i^{n+1} \cdot U_i^{n+1} ;
$$

$$
K_i^{n+1} = \frac{0.011 \cdot U_i^{n+1} \cdot b^2}{h_i^{n+1} \cdot u_i^{n+1} *} ; u_i^{n+1*} = \sqrt{I \cdot g \cdot R_{H_i}^{n+1}} ; \tau_{f,i}^{n+1} = \rho \cdot I \cdot g \cdot R_{H_i}^{n+1}
$$
II.5.4.1 Conditions initiales

Pour lancer un calcul, il est nécessaire d'initialiser les paramètres hydrauliques sur l'ensemble du bief. Trois options d'initialisation sont possibles.

* Si $h_0^0$, la hauteur à l'entrée du bief est fixée, et que le débit initial, $Q_i^0$ est nul, les hauteurs d'eau $h_i^0$ sont initialisées de façon à ce que $ZSL_i^0$, la côte de la surface libre, soit constante sur tout le bief.

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

Dans ce cas on a : $Q_i^0=0$ ; $U_i^0=0$ ; $ZSL_i^0=h_0^0+I \cdot i \cdot \Delta x$

* Si $h_0^0$, la hauteur à l'entrée du bief est fixée et que le débit initial, $Q_i^0$ est inconnu, les hauteurs d'eau $h_i^0$ sont initialisées de façon à être constantes et égales à $h_0^0$ sur tout le bief. Dans ce cas les vitesses et les débits sont constants sur tout le bief et sont déduits de la formule de Manning - Strickler.

$$U_i^0 = K_s \cdot i \cdot R h^3 \cdot \sqrt{I} ; \quad Q_i^0 = U_i^0 \cdot A_i^0$$

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

* La ligne d'eau peut être initialisée à partir des résultats d'un calcul précédent.
## II.5.4.2 Conditions aux limites

La résolution des schémas numériques aux première et dernière sections implique les sections d'indice (-I) et (N+I) qui n'existent pas. En ces sections il est nécessaire d'appliquer une résolution spécifique dite condition de bord amont pour la première section et condition de bord aval pour la dernière.

Dans le cas du canal d'étude le débit est imposé à l'aval par une pompe et la côte à l'amont par l'ouvrage d'entrée. La condition de bord amont consiste à donner la hauteur $h_0^0$ à l'entrée et la condition de bord aval repose sur la connaissance du débit $Q_0^N$ à la sortie.

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

### II.5.4.2.1 Condition de bord amont

Au cours du temps, $h_0^n$, la hauteur d'eau à la première section du canal est supposée connue. Connaissant cette valeur, la vitesse en cette section est déduite de la relation de Manning - Strickler :

$$U_0^n = \frac{1}{K_s} \cdot (Rh_0^n)^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{J}$$

Le débit est donné par : $Q_0^n = U_0^n \cdot A_0^n$

### II.5.4.2.2 Condition de bord aval

A l'aval, l'évolution de $Q_N^n$, le débit à la dernière section, est connu. Pour déduire la hauteur d'eau on applique le schéma suivant :

$$h_N^{n+1} = h_N^n + \frac{\Delta t}{\Delta x} \cdot [U_N^n \cdot (h_{N-1}^n - h_N^n) + \frac{h_N^n \cdot (b+m \cdot h_N^n)}{(b+2 \cdot m \cdot h_N^n)} \cdot (U_{N-1}^n - U_N^n)]$$

La profondeur d'eau au pas de temps (n+1) étant calculée, la vitesse est obtenue par :

$$U_N^{n+1} = \frac{Q_N^{n+1}}{A_N^{n+1}}$$
### II.5.4.3 Conditions de stabilité

Pour obtenir une solution stable, il est nécessaire de respecter partout la condition de stabilité de courant :

$$ \Delta t \le \frac{\Delta x}{(|U| + c)} $$

c est la célérité d'onde qui s'exprime en fonction de la profondeur et de la gravité : $c^2=g \cdot h$

## II.5.5 Résolution du modèle sédimentaire

En intégrant les paramètres hydrauliques issus du modèle du même nom, la résolution du modèle sédimentaire donne, pour chaque classe de matière, l'évolution dans l'espace et le temps des flux d'érosion et de dépôt et des concentrations dans la suspension et le sédiment de fond.

Pour chaque classe, compte tenu de la méthode générale de résolution, les formes numérisées des équations bilan pour les concentrations de matières dans la suspension et le sédiment sont les suivantes.

* **Concentration de la classe c en suspension**

$$ SS_{c,i}^{n+1} = C1ms_{i}^{n} \cdot SS_{c,i-1}^{n} + C2ms_{c,i}^{n} \cdot SS_{c,i}^{n} + C3ms_{i}^{n} \cdot SS_{c,i+1}^{n} + C4ms_{c,i}^{n} $$

Avec :

$$ \left\{ \begin{array}{l} C1ms_{i}^{n} = \frac{\Delta t}{\Delta x} \cdot U_{i}^{n} + \frac{\Delta t}{A_{i}^{n}} \cdot \left( \frac{Kx_{i}^{n} \cdot A_{i}^{n}}{\Delta x^{2}} - \frac{2 \cdot Kx_{i}^{n} \cdot A_{i}^{n} - Kx_{i}^{n} \cdot A_{i-1}^{n} - Kx_{i-1}^{n} \cdot A_{i}^{n}}{\Delta x^{2}} \right) \\ \\ C2ms_{c,i}^{n} = 1 - \frac{\Delta t}{\Delta x} \cdot (2 \cdot U_{i}^{n} - U_{i-1}^{n}) + \frac{\Delta t}{A_{i}^{n}} \cdot \left( -\frac{Kx_{i}^{n} \cdot A_{i}^{n}}{\Delta x^{2}} + \frac{2 \cdot Kx_{i}^{n} \cdot A_{i}^{n} - Kx_{i-1}^{n} \cdot A_{i}^{n} - Kx_{i}^{n} \cdot A_{i-1}^{n}}{\Delta x^{2}} \right) - \frac{\Delta t}{h_{i}^{n}} \cdot W_{c} \\ \\ C3ms_{i}^{n} = Kx_{i}^{n} \cdot \frac{\Delta t}{\Delta x^{2}} \\ \\ \left\{ \begin{array}{l} \text{si } \tau_{i}^{n} > \tau_{c,i}^{n} \rightarrow C4ms_{c,i}^{n} = \frac{\Delta t}{h_{i}^{n}} \cdot e_{c,i}^{n} \cdot \left( \frac{\tau_{i}^{n}}{\tau_{c,i}^{n}} - 1 \right), \text{si } C4ms_{c,i}^{n} > SF_{c,i}^{n} \rightarrow C4ms_{c,i}^{n} = SF_{c,i}^{n} \\ \\ \text{si } \tau_{i}^{n} < \tau_{c,i}^{n} \rightarrow C4ms_{c,i}^{n} = 0 \end{array} \right. \end{array} \right. $$

* **Concentration de la classe c dans le sédiment de fond**

$$ SF_{c,i}^{n+1} = SF_{c,i}^{n} + \Delta t \cdot W_{c} \cdot SS_{c,i}^{n} - Cmd_{c,i}^{n} $$

avec :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \text{si } \tau_{i}^{n} > \tau_{c,i}^{n} \rightarrow Cmd_{c,i}^{n} = \Delta t \cdot e_{c,i}^{n} \cdot \left( \frac{\tau_{i}^{n}}{\tau_{c,i}^{n}} - 1 \right), \text{ si } Cmd_{c,i}^{n} > SF_{c,i}^{n} \rightarrow Cmd_{c,i}^{n} = SF_{c,i}^{n} \\ \\ \text{si } \tau_{i}^{n} < \tau_{c,i}^{n} \rightarrow Cmd_{c,i}^{n} = 0 \end{array} \right. $$
<table><tr><td>SS<sub>c,i</sub><sup>n</sup></td><td>concentration de la classe c en suspension à la section i à l'instant n</td><td>Kg<sub>sec</sub>.m<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>SF<sub>c,i</sub><sup>n</sup></td><td>concentration de la classe c dans le sédiment de fond à la section i à l'instant n</td><td>Kg<sub>sec</sub>.m<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>U<sub>i</sub><sup>n</sup></td><td>vitesse moyenne de l'écoulement à la section i à l'instant n</td><td>m.s<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>τ<sub>i</sub><sup>n</sup></td><td>tension de frottement à la section i à l'instant n</td><td>N.m<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>A<sub>i</sub><sup>n</sup></td><td>surface mouillée à la section i à l'instant n</td><td>m<sup>2</sup></td></tr><tr><td>h<sub>i</sub><sup>n</sup></td><td>hauteur d'eau moyenne à la section i à l'instant n</td><td>m</td></tr><tr><td>K<sub>i</sub><sup>n</sup></td><td>coefficient de diffusion à la section i à l'instant n</td><td>m<sup>2</sup>.s<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>I</td><td>pente du fond</td><td>m.m<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>J<sub>i</sub><sup>n</sup></td><td>frottement à la section i à l'instant n</td><td>m.m<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>τ<sub>c</sub></td><td>tension critique d'érosion de la classe c</td><td>N.m<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>e<sub>c</sub></td><td>taux d'érosion de la classe c à la section i et au temps n</td><td>g.m<sup>-2</sup>.s<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>W<sub>c</sub></td><td>vitesse de chute de la classe c</td><td>m.s<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>t<sup>n</sup></td><td>temps au n<sup>ième</sup> pas de temps</td><td>s</td></tr><tr><td>Δt</td><td>pas de temps</td><td>s</td></tr><tr><td>x<sub>i</sub></td><td>abscisse de la section i</td><td>m</td></tr><tr><td>i</td><td>indice numérique de l'espace</td><td></td></tr><tr><td>n</td><td>indice numérique du temps</td><td></td></tr><tr><td>N</td><td>nombre de pas d'espace</td><td></td></tr></table>

### II.5.5.1 Conditions initiales

Le domaine d'étude peut être initialisé selon deux options.

- L'utilisateur peut fournir les valeurs initiales. Dans ce cas ces valeurs sont supposées uniformes sur l'ensemble du domaine :

$$SS_{c,i}^{0} = SS0_{c} \text{ et } SF_{c,i}^{0} = SF0_{c}$$

- L'initialisation peut être réalisée à partir de la distribution spatiale correspondante à l'état final d'un calcul précédent

### II.5.5.2 Conditions aux limites

Les conditions aux limites concernent la résolution des équations de la concentration des classes dans la suspension à la première et à la dernière section du bief.

#### II.5.5.2.1 Résolution à la première section

A la première section, qui correspond à l'entrée dans le domaine de calcul, les concentrations sont supposées connues et fournies par l'utilisateur.

$SS_{c,0}^n$ : connues pour tout n.
II.5.5.2.2 Résolution à la dernière section

A la dernière section le schéma implique la section d'indice (N + I) qui n'existe pas. Les concentrations en cette section sont évaluées par interpolation linéaire des concentrations obtenues aux sections N et (N - I).

$$
SS_{c,N+I}^{n} = 2 \cdot SS_{c,N}^{n} - SS_{c,N-I}^{n}
$$

II.5.6 Résolution du modèle radioécologique

En tenant compte des résultats hydrauliques et sédimentaires, la résolution du modèle
radioécologique donne les distributions dans l'espace et au cours du temps de l'activité
volumique de l'eau et, pour chaque classe de matière, des activités massiques dans la suspension
et le sédiment de fond.

Compte tenu de la méthode de résolution, les formes numérisées des équations bilan de ces
différentes activités sont présentées ci-dessous.

• Activité volumique dissoute

$$
\begin{align*}
C_{EAU}^{n+1} &= A1eau_{i}^{n} \cdot C_{EAU}^{n} + A2eau_{c,i}^{n} \cdot C_{EAU}^{n} + A3eau_{i}^{n} \cdot C_{EAU}^{n} + \Delta t \cdot \sum_{c=1}^{N} K_{SF_c} (SS_c \cdot C_{SSc}^{n})_{i}^{n} + \frac{\Delta t \cdot \sum_{c=1}^{N} K_{SF_c} \cdot (SF_c \cdot C_{SF_c}^{n})_{i}^{n}}{h_i^n} \\
\text{Avec :} \quad \left\{
\begin{aligned}
A1eau_{i}^{n} &= \frac{\Delta t}{\Delta x} \cdot U_{i}^{n} + \frac{\Delta t}{A_{i}^{n}} \cdot \left( \frac{Kx_{i}^{n} \cdot A_{i}^{n}}{\Delta x^{2}} - \frac{2 \cdot Kx_{i}^{n} \cdot A_{i}^{n} - Kx_{i}^{n} \cdot A_{i-1}^{n} - Kx_{i-1}^{n} \cdot A_{i}^{n}}{\Delta x^{2}} \right) \\
A2eau_{c,i}^{n} &= 1 - \frac{\Delta t}{\Delta x} \cdot (2 \cdot U_{i}^{n} - U_{i-1}^{n}) + \frac{\Delta t}{A_{i}^{n}} \cdot \left( -\frac{2 \cdot Kx_{i}^{n} \cdot A_{i}^{n}}{\Delta x^{2}} + \frac{2 \cdot Kx_{i}^{n} \cdot A_{i}^{n} - Kx_{i-1}^{n} \cdot A_{i}^{n} - Kx_{i}^{n} \cdot A_{i-1}^{n}}{\Delta x^{2}} \right) \\
&\quad - \Delta t \cdot \lambda - \Delta t \cdot \sum_{c=1}^{N} K_{SS_c} \cdot Kd_{SS_c} \cdot SS_{c,i}^{n} - \frac{\Delta t \cdot \sum_{c=1}^{N} K_{SF_c} \cdot Kd_{SF_c} \cdot SF_{c,i}^{n}}{h_i^n}
\end{aligned}
\right.
\end{align*}
A3eau_{i}^{n} = Kx_{i}^{n} \cdot \frac{\Delta t}{\Delta x^{2}}
$$
• Activité massique de la classe c en suspension

$$ (SS_c \cdot C_i)^{n+1} = A1ms_i^n \cdot (SS_c \cdot C_{i-1})^n + A2ms_{c,i}^n \cdot (SS_c \cdot C_i^n + A3ms_i^n \cdot (SS_c \cdot C_{SSC}) + A4ms_{c,i}^n \cdot C_{EAU}^n + A5ms_{c,i}^n \cdot SF_{c,i}^n \cdot C_{SFC}^n) $$

Avec :

$$ A1ms_i^n = \frac{\Delta t}{\Delta x} \cdot U_i^n + \frac{\Delta t}{A_i^n} \cdot \left( \frac{Kx_i^n \cdot A_i^n}{\Delta x^2} - \frac{2 \cdot Kx_i^n \cdot A_i^n - Kx_i^n \cdot A_{i-1}^n - Kx_{i-1}^n \cdot A_i^n}{\Delta x^2} \right) $$

$$ A2ms_{c,i}^n = 1 - \frac{\Delta t}{\Delta x} \cdot (2 \cdot U_i^n - U_{i-1}^n) + \frac{\Delta t}{A_i^n} \cdot \left( -\frac{2 \cdot Kx_i^n \cdot A_i^n}{\Delta x^2} + \frac{2 \cdot Kx_i^n \cdot A_i^n - Kx_{i-1}^n \cdot A_i^n - Kx_i^n \cdot A_{i-1}^n}{\Delta x^2} \right) - \frac{\Delta t}{h_i^n} \cdot W_c - K_{SSC} \cdot \Delta t - \Delta t \cdot \lambda $$

$$ A3ms_i^n = Kx_i^n \cdot \frac{\Delta t}{\Delta x^2} $$

$$ A4ms_{c,i}^n = \sum_{c=1}^{N} \Delta t \cdot K_{SS_c} \cdot Kd \cdot SS_{c,i}^n $$

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \text{si} & \tau_i^n > \tau_{c,i}^n \rightarrow A5ms_{c,i}^n = \min \left[ \frac{\Delta t}{h_i^n} \cdot e_{c,i}^n \cdot \left( \frac{\tau_i^n}{\tau_{c,i}^n} - 1 \right); \frac{SF_{c,i}^n}{h_i^n} \right] \\ \text{si} & \tau_i^n < \tau_{c,i}^n \rightarrow A5ms_{c,i}^n = 0 \end{array} \right. $$

• Activité massique de la classe c dans le sédiment de fond

$$ (SF_c \cdot C_i)^{n+1} = A1md_{c,i}^n \cdot (SF_c \cdot C_i^n + A2md \cdot (SS_c \cdot C_i^n + A3md_{c,i}^n \cdot C_{EAU}^n) $$

Avec :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \text{si} & \tau_i^n > \tau_{c,i}^n \text{ et } \Delta t \cdot e_{c,i}^n \cdot \left( \frac{\tau_i^n}{\tau_{c,i}^n} - 1 \right) < SF_{c,i}^n \rightarrow A1md_{c,i}^n = 1 - \Delta t \cdot \left( \lambda - \frac{K_{SFC}}{SF_{c,i}^n} \cdot e_{c,i}^n \cdot \left( \frac{\tau_i^n}{\tau_{c,i}^n} - 1 \right) \right) \\ \text{sinon} & A1md_{c,i}^n = 1 - \Delta t \cdot \left( \lambda + \frac{K_{SFC}}{SF_c} \right) \end{array} \right. $$

$$ A2md = \Delta t \cdot W_c $$

$$ A3md_{c,i}^n = \Delta t \cdot K_{SFC} \cdot SF_{c,i}^n \cdot Kd_{SFC} $$
<table><tr><td>C<sup>n</sup><sub>EAU</sub></td><td>activité volumique de l'eau à la section i et à l'instant n</td><td>Bq.m<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>C<sup>n</sup><sub>SS</sub></td><td>activité massique de la classe c en suspension à la section i et à l'instant n</td><td>Bq.kg<sub>sec</sub><sup>-1</sup></td></tr><tr><td>C<sup>n</sup><sub>SF</sub></td><td>activité massique de la classe c dans le sédiment à la section i et à l'instant n</td><td>Bq.kg<sub>sec</sub><sup>-1</sup></td></tr><tr><td>K<sub>SSc</sub></td><td>cinétique de désorption de la classe c en suspension</td><td>s<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>K<sub>SSc</sub></td><td>coefficient de partage à l'équilibre entre l'activité dans l'eau et la classe c en suspension.</td><td>m<sup>3</sup>.kg<sub>sec</sub><sup>-1</sup></td></tr><tr><td>K<sub>SFc</sub></td><td>cinétique de désorption de la classe c dans le sédiment</td><td>s<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>K<sub>SFc</sub></td><td>coefficient de partage à l'équilibre entre l'activité dans l'eau et la classe c dans le sédiment.</td><td>m<sup>3</sup>.kg<sub>sec</sub><sup>-1</sup></td></tr><tr><td>λ</td><td>constante de décroissance radioactive du radionucléide considéré</td><td>s<sup>-1</sup></td></tr></table>

### II.5.6.1 Conditions initiales

Comme pour le modèle sédimentaire, le domaine d'étude peut être initialisé selon deux options.

* L'utilisateur peut fournir les valeurs initiales. Dans ce cas ces valeurs sont supposées uniformes sur l'ensemble du domaine :

$$C^{0}_{eau_i} = C0; C^{0}_{SS_{c_i}} = C0; C^{0}_{SF_{c_i}} = C0$$

* L'initialisation peut être réalisée à partir de la distribution spatiale correspondante à l'état final d'un calcul précédent

### II.5.6.2 Conditions aux limites

Les conditions aux limites concernent la résolution des équations pour l'activité volumique dissoute et les activités massiques des différentes classes en suspension.

#### II.5.6.2.1 Résolution à la première section

La première section correspond à l'entrée dans le domaine de calcul. Les activités y sont supposées connues et fournies par l'utilisateur.

$$C^{n}_{eau0}, C^{n}_{SS_{c0}} \text{ et } C^{n}_{SF_{c0}} \text{ sont supposées connues pour tout n.}$$
### II.5.6.2.2 Résolution à la dernière section

A la dernière section le schéma implique la section d'indice (N + 1) qui n'existe pas. Les activités en cette section sont évaluées par interpolation linéaire des activités obtenues aux sections N et (N - 1).

$$C_{eau N+1}^n = 2 \cdot C_{eau N}^n - C_{eau N-1}^n$$

$$C_{SS_{C,N+1}}^n = 2 \cdot C_{SS_{C,N}}^n - C_{SS_{C,N-1}}^n$$

## II.5.7 Consistance et stabilité des schémas numériques

### II.5.7.1 Définitions

- **Erreur de troncature et consistance**

On appelle erreur de troncature (ou erreur de discrétisation), l'erreur commise lorsqu'un opérateur continu est approché par un opérateur discret. L'erreur d'un schéma est évaluée en développant chaque terme de l'équation algébrique en série de Taylor. Si l'erreur de troncature tend vers zéro lorsque le pas de temps et le pas d'espace tendent tous deux vers zéro, alors le schéma est dit consistant avec l'équation aux dérivées partielles que l'on cherche à résoudre.

- **Exemple d'étude de la consistance d'un schéma:**

Considérons l'équation d'advection – diffusion sans termes sources :

$$\frac{\partial u}{\partial t} + a \cdot \frac{\partial u}{\partial x} - v \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 \qquad \text{équation II.10}$$
$0<x<1$ et $t>0$

$$u(0, t) = u_0; \quad u(1, t) = u_1$$

$$u(x, 0) = u_0(x)$$

Cette équation peut s'écrire sous la forme :

$$\frac{\partial u}{\partial t} = L \cdot u \text{ avec } L = \left(a \cdot \frac{\partial}{\partial x} - v \cdot \frac{\partial^2}{\partial x^2}\right) \qquad \text{équation II.11}$$

a, étant constante et v est la diffusion.
Pour discrétiser cette équation, nous considérons un schéma centré à deux niveaux de temps

$$ \delta_x u_i = \frac{u_{i+1} - u_{i-1}}{2 \cdot \Delta x} \quad \text{et} \quad \delta_{xx} u_i = \frac{u_{i+1} - 2 \cdot u_i + u_{i-1}}{(\Delta x)^2} $$

donc $L_h u_i = -a \cdot \delta_x u_i + v \cdot \delta_{xx} u_i$

On applique le $\theta$-Schéma pour discrétiser l'équation précédente, soit :

$$ \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} - \theta \cdot L_h u_i^{n+1} - (1 - \theta) \cdot L_h u_i^n = 0 \quad \text{i=1 à n-1} \quad \text{équation II.12} $$

$\theta$, est un paramètre compris entre 0 et 1, le schéma change de propriétés selon la valeur de $\theta$ considérée :

* si $\theta = 0$, on a un schéma d'Euler explicite

* si $\theta = 1$, on a un schéma d'Euler implicite

* si $\theta = 1/2$, on a un schéma Crank-Nicolson

Pour étudier la consistance du schéma, on suppose $u(x, t)$ solution de l'Équation II-2 et on porte ensuite $u(x_i, t_n)$ dans l'Équation II-3 et effectuons un développement de Taylor par rapport à $(x_i, t_n)$.

Après développement, on trouve cette expression pour l'erreur de troncature :

$$ E = \underbrace{(\frac{\partial u}{\partial t} - Lu)}_{=0} + \underbrace{\frac{\Delta t}{2} \cdot \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial u}{\partial t} - 2 \cdot \theta \cdot Lu)}_{\text{Partie principale de l'erreur de troncature E en } (\Delta t)} + 0((\Delta t)^2, (\Delta x)^2) $$

On conclut que quel que soit $\theta$, l'erreur de troncature tend vers zéro quand les deux pas de temps et d'espace tendent vers zéro, le schéma est donc consistant (Peyret, 1997).

Si $\theta \neq 1/2$ ; $E = 0((\Delta t), (\Delta x)^2)$ : le schéma est du premier ordre en temps et du second ordre en espace.

Si $\theta = 1/2$ ; $E = 0((\Delta t)^2, (\Delta x)^2)$ : le schéma est du second ordre en temps et en espace.

## – Stabilité

Un schéma numérique est qualifié de stable, si l'ensemble des erreurs de toutes sortes (troncatures, arrondis...) n'augmente pas d'un pas de calcul à l'autre. La stabilité peut être étudiée à l'aide de la méthode de Von Neuman (Peyret, 1997).

Cette méthode est basée sur le principe que chaque fonction peut s'exprimer dans la base harmonique par la somme de composantes de Fourier, cette méthode consiste à étudier le comportement du schéma numérique, après avoir introduit une composante de Fourier de l'ordre $k$, définie au point d'abscisse $j \cdot \Delta x$, dans l'équation algébrique. En monodimensionnel, cette composante a pour expression :

$$ u_j^n = \hat{u}^n \cdot e^{ik_j \Delta x} \quad \text{avec} \quad i^2 = -1 \qquad \hat{u}^n, \text{ est le coefficient de Fourier d'ordre } k $$

On définit, un facteur d'amplification $g(k)$ comme étant le rapport de la composante de Fourier entre deux instants consécutifs, soit : $g = \hat{u}^{n+1}/\hat{u}^n$. $g$ est généralement un nombre complexe, qui peut être exprimé en fonction de son module et sa phase. La condition de stabilité du schéma est obtenue quand le module de $g(k)$ est inférieur ou égal à 1, autrement, le schéma est instable.