# Réduction de modèles de rotors de turbomachines

Arnaud Sternchüss, Etienne Balmès

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Arnaud Sternchüss, Etienne Balmès. Réduction de modèles de rotors de turbomachines. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. hal-01491489

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Submitted on 17 Mar 2017

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# Réduction de modèles de rotors de turbomachines

Arnaud Sternchüss* — Étienne Balmès* **

*Laboratoire MSSMAT UMR 8579
Grande Voie des Vignes
F-92295 Châtenay-Malabry Cedex
{arnaud.sternchuss,etienne.balmes}@ecp.fr

** SDTools
balmes@sdtools.com

RÉSUMÉ. Cet article présente une extension de la symétrie cyclique aux rotors de turbomachines dans le cas courant où les disques aubagés qui le composent sont maillés indépendamment les uns des autres. Les principales caractéristiques du mouvement d'un assemblage de structures cycliques sont exposées dans un premier temps afin de mettre en évidence le contenu harmo-nique des modes. Ensuite, la méthode de calcul des déformées cycliques est appliquée au cadre d'étude choisi. Enfin, la construction du sous-espace contenant ces déformées ainsi que des modes de secteur à interfaces fixes est décrite et appliquée à un cas particulier.

ABSTRACT. This paper describes the extension of cyclic symmetry to multi-stage rotor models in the case of non conforming meshes of the bladed disks. The motion of such assemblies is first described in order to investigate the harmonic content of the modes. Then, the calculations of the cyclic rotor modeshapes are introduced in the current case. Finally, a reduced model based on sector superelements is built from these shapes and sector modes with fixed interfaces and the results obtained for the proposed sample are discussed.

MOTS-CLÉS : Turbomachines, Disques Aubagés, Réduction de Modèles, Symétrie Cyclique

KEYWORDS: Jet Engines, Bladed Disks, Model Reduction, Cyclic Symmetry
# 1. Introduction

Dans cet article, on a cherché à construire un modèle réduit susceptible de représenter le comportement vibratoire d'un rotor de turbomachine composé de disques aubagés monoblocs (DAM). La pratique industrielle actuelle consiste à subdiviser le rotor en disques indépendants de façon à étudier séparément leurs réponses libre et forcée, ce qui a l'inconvénient majeur de mettre a priori de côté la notion de couplage inter-disques. Seul le disque pour lequel les résultats obtenus ne sont pas satisfaisants, en terme de marge sur un diagramme de Campbell, de niveau de contrainte dynamique sur un diagramme de Haigh ou d'amplitude en tête d'aubage, fait l'objet d'une reconception.

La première étape du calcul mono-disque s'effectue sur la configuration nominale cyclique (accordée) pour laquelle on peut utiliser une décomposition en série de Fourier du déplacement et des efforts (Ewins, 1973). La configuration réelle est asymétrique (désaccordée) à cause des tolérances de fabrication et de l'usure en fonctionnement, avec une réponse dynamique qui peut être notablement différente. Des études statistiques sont réalisées sur des modèles réduits qui se basent sur la connaissance a priori du modèle nominal (Castanier et al., 2006).

# 2. Modes du rotor complet et déformées cycliques

## 2.1. Calcul des modes du modèle complet

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1.** Modèle de rotor complet et modèle réduit</figcaption></figure>

Le point délicat de l'approche mono-disque est le choix de conditions aux limites pertinentes traduisant le couplage inter-disque (Bladh et al., 2003). En effet, comme
la théorie des groupes ne s'applique plus à l'assemblage complet, sauf cas très particuliers, les modes d'un rotor composé de disques accordés ne peuvent pas être tous mono-harmoniques.

Appelons $\{q^1\}$ et $\{q^2\}$ les vecteurs des degrés de liberté de chacun des disques accordés composant un rotor. Entre ces disques a été définie une virole servant d'interface volumique notée $\mathcal{R}$ n'ayant aucun degré de liberté intérieur, comme le montre la figure 1. Le problème mécanique couplé s'écrit :

$$ \left( \left[ \begin{array}{cc} Z^1 & 0 \\ 0 & Z^2 \end{array} \right] + [Z^{\mathcal{R}}] \right)_{N \times N} \left\{ \begin{array}{c} q^1 \\ q^2 \end{array} \right\}_{N \times 1} = \left\{ \begin{array}{c} f^1 \\ f^2 \end{array} \right\}_{N \times 1} \quad [1] $$

$[Z^1]$ et $[Z^2]$ sont les rigidités dynamiques de chacun des disques et $[Z^{\mathcal{R}}]$ est la matrice de rigidité dynamique de la virole.

L'exemple est composé de deux disques à 12 et 15 secteurs identiques et comporte au total $N = 12636$ degrés de liberté. Une analyse de Fourier des modes de l'ensemble a été effectuée sur chaque disque et on a comparé le poids relatif des différents harmoniques. La figure 2 présente les résultats obtenus pour un mode couplé semblant avoir 2 diamètres nodaux à 4250 Hz et un mode localisé sur le premier disque à 2987 Hz. L'étude des premiers modes montre qu'il est assez difficile de tirer une règle générale de cette analyse puisque certains modes fortement couplés semblent mono-harmoniques (une harmonique domine nettement), tandis que des modes localisés sur un seul disque et susceptibles de correspondre à une harmonique élevée sont en fait clairement multi-harmoniques. Ceci renvoie à la terminologie de désaccordage de rotor introduite dans (Bladh et al., 2003).

## 2.2. Extension de la symétrie cyclique aux rotors

Pour traiter le problème couplé, les auteurs ont utilisé l'idée initialement proposée dans (Laxalde et al., 2006) qui consiste à chercher les modes de l'assemblage complet dans un sous-espace formé de vecteurs propres cycliques associés à un secteur générateur du rotor. L'hypothèse sous-jacente est que les maillages des surfaces annulaires en vis à vis sont compatibles. La sous-structure intermédiaire sans degré de liberté interne est introduite pour s'afranchir de cette condition. Ainsi, suivant la valeur du coefficient de Fourier $\delta$, trois cas se présentent :

- $\delta = 0$ implique que les harmoniques sont réelles et les solutions cycliques correspondantes vérifient

$$ \left( \left[ \begin{array}{cc} N_s^1 & Z^{1,0} \\ 0 & N_s^2 Z^{2,0} \end{array} \right] + [\hat{Z}_0^{\mathcal{R}}] \right) \left\{ \begin{array}{c} \hat{q}_0^1 \\ \hat{q}_0^2 \end{array} \right\} = \{0\} \quad [2] $$

$[Z^{d,s}]$ désigne la rigidité dynamique du secteur $s$ du disque $d$. $[\hat{Z}_0^{\mathcal{R}}]$ est calculée en reconstruisant a priori la forme des vecteurs sur l'interface. Il faut ajouter les relations sur le mouvement des faces gauche (l) et droite (r) de chaque secteur $\{\hat{q}_{0l}^d\} = \{\hat{q}_{0r}^d\}$ valables pour $d = 1$ et $d = 2$.
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 2.** Mode mono-harmonique couplé à 4250 Hz (haut) et mode multi-harmonique localisé à 2987 Hz (bas) et poids relatif de leurs harmoniques</figcaption></figure>

– $\delta$ non nul et différent de $N_s^1/2$ ou $N_s^2/2$, les harmoniques sont complexes et les solutions cycliques satisfont

$$ \left( \begin{bmatrix} \frac{N_s^1}{2} Z^{1,0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{N_s^1}{2} Z^{1,0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{N_s^2}{2} Z^{2,0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{N_s^2}{2} Z^{2,0} \end{bmatrix} + [\hat{Z}_\delta^R] \right) \left\{ \begin{matrix} \Re(\hat{q}_\delta^1) \\ \Im(\hat{q}_\delta^1) \\ \Re(\hat{q}_\delta^2) \\ \Im(\hat{q}_\delta^2) \end{matrix} \right\} = \{0\} \quad [3] $$

On ajoute les conditions $\{\hat{q}_{\delta l}^d\} = \{\hat{q}_{\delta r}^d\} e^{i \delta 2\pi/N_s^d}$.

– $\delta = N_s^1/2$ ou $\delta = N_s^2/2$ est un cas hybride des deux cas précédents puisque seule l'harmonique de Fourier du disque concerné est réelle.

# 3. Modèle à superéléments

## 3.1. Construction du modèle

Le calcul cyclique présente l'avantage de parfaitement restituer les modes du rotor qui sont mono-harmoniques. Pour retrouver les autres modes, le problème mécanique
décrit par l'équation (1) est projeté sur le sous-espace constitué des vecteurs mono-harmoniques que l'on vient de calculer. Pour ce faire, on construit un superélément par secteur à partir du secteur initial auquel on retire les éléments qui forment l'interface gauche. Les éléments de la virole et les éléments inter-secteurs sont conservés tels quels. Le modèle réduit est celui présenté figure 1. Pour construire la condensation as-sociée aux superéléments, on cible un ensemble de vecteurs cycliques complété par un ensemble de modes de secteur à interfaces fixes qui décrivent le mouvement de pale. Ces vecteurs sont orthonormalisés via une Orthogonal Maximum Sequence (Balmès, 2005). In fine, on obtient un sous-espace $[T_M]$ sur lequel on projette le problème (1)

$$[Z_M(\omega, \Omega)]_{N_M \times N_M} \{q_M(\Omega)\}_{N_M \times 1} = \{f_M(\omega, \Omega)\}_{N_M \times 1} \quad [4]$$

La relation suivante permet de revenir aux degrés de liberté physiques.

$$\{q\}_{N \times 1} = [T_M]_{N \times N_M} \{q_M\}_{N_M \times 1} \quad [5]$$

## 3.2. Résultats numériques

La méthode proposée a été appliquée au cas test décrit précédemment pour plu-sieurs jeux de vecteurs cycliques. Dans chaque cas, les modes obtenus ont été compa-rés à la solution de référence. Les courbes d'erreur relative en fréquence et de valeur de MAC des 500 premiers modes appariés sont tracées sur la figure 3. Les meilleurs résultats obtenus l'ont été avec des jeux de 120 vecteurs, aboutissant à un modèle ma-triciel de taille 9020². Le modèle réduit proposé est cohérent avec le caractère cyclique des deux disques et on construit aisément une représentation spatiale des modes gé-néralisés qui donne une indication de la répartition du mouvement disque par disque et secteur par secteur. On effectue également une analyse de Fourier directement sur ces modes et les résultats sont parfaitement cohérents avec l'analyse des modes d'en-semble.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3. Erreur relative en fréquence et MAC pour les 1000 premiers modes appariés</figcaption></figure>
## 4. Conclusions et perspectives

La méthode proposée dans cet article complète l'extension de la symétrie cyclique introduite dans (Laxalde et al., 2006) en ajoutant une interface volumique permettant de s'affranchir des problèmes d'incompatibilité de maillage entre deux disques adjacents. La reconstruction des déformées modales se fait à partir de vecteurs calculés sur un secteur de rotor en symétrie cyclique auquel on ajoute les déformées du secteur à interfaces fixes. Cette méthode donne des résultats satisfaisants sous réserve de bien choisir les vecteurs cycliques.

La paramétrisation du problème en vitesse de rotation ne posera pas de difficulté (Sternchüss, A. and Balmès, E., 2006). Par contre, il conviendra de s'intéresser de près à la réponse forcée des rotors à des sollicitations d'ordres distincts sur les différents disques. En outre, la corrélation des simulations numériques d'un modèle industriel à des mesures sur une structure réelle pourra être intéressante du point de vue de la validation.

## 5. Remerciements

Les auteurs remercient la Snecma pour son soutien technique et financier. Ce travail s'inscrit dans le projet fédérateur MAIA de recherche et technologie en mécanique soutenu par le CNRS, l'Onera et le groupe SAFRAN.

## 6. Bibliographie

* Balmès E., « Orthogonal Maximum Sequence Sensor Placements Algorithms for modal tests, expansion and visibility. », p. 204-210, 2005.

* Bladh R., Castanier M. P., Pierre C., « Effects of Multistage Coupling and Disk Flexibility on Mistuned Bladed Disk Dynamics », *ASME Journal of Engineering for Gas Turbines and Power*, vol. 125, p. 121-130, 2003.

* Castanier M. P., Pierre C., « Modeling and Analysis of Mistuned Bladed Disk Vibration : Status and Emerging Directions », *Journal of Propulsion and Power*, vol. 22, n° 2, p. 384-396, 2006.

* Ewins D. J., « Vibration characteristics of bladed disk assemblies », *Journal of Mechanical Engineering Science*, vol. 15, n° 3, p. 165-186, 1973.

* Laxalde D., Dupeux J., Lombard J.-P., « Analyse Dynamique des Structures Cycliques Multi-Étages », *Actes du XVè Colloque Vibrations, Chocs et Bruit*, 2006.

* Sternchüss, A. and Balmès, E., « On the reduction of quasi-cyclic disks with variable rotation speeds », *Proceedings of the International Conference on Advanced Acoustics and Vibration Engineering (ISMA)*, p. 3925-3939, 2006.