<figure><img src="image_139.png" /><figcaption>FIGURE 13.1 – Les différents symboles pour la terre et la masse. Celui que nous utilisons dans ce cours et celui en forme de râteau : « masse ; chassis ».</figcaption></figure>

### 13.2.2 Tension électrique

L'état électrique d'un point est donné par son potentiel $v$, qui s'exprime en volts (V). Entre deux points, la différence de potentiel est appelée tension, et caractérise la propension des électrons à se rendre d'un point à un autre.

La tension entre deux points A et B correspond à la différence de potentiel entre ces deux points (figure 13.2). C'est une grandeur algébrique :

$$U_{AB} = V_A - V_B \qquad (13.4)$$

<figure><img src="image_140.png" /><figcaption>FIGURE 13.2 – Tension aux bornes d'un dipôle AB. Le symbole en forme de rateau représente l'origine des potentiels, la masse.</figcaption></figure>

La tension entre deux points est représentée par une courbe en arc-de-cercle avec un signe + d'un côté. Par convention<fnref n="2" />, la tension $U_{AB}$ est associée à un arc-de-cercle avec un signe + du côté de A.

### 13.2.3 Intensité du courant électrique

L'intensité est la mesure du débit de charges à travers la section du conducteur. Pour cela, on compte les $\Delta n$ porteurs de charges qui traversent une section d'aire S du conducteur pendant l'intervalle de temps $\Delta t$, entre $t$ et $t + \Delta t$ (voir la figure 13.3). La charge totale correspondante est : $\Delta q = \Delta n \times q$, où $q$ est la charge d'un des porteurs. L'intensité du courant électrique correspond à :

$$i = \frac{\Delta q}{\Delta t} \qquad (13.5)$$

<footnote n="2">2. Il existe d'autres conventions, notamment avec une flèche pointant de B vers A comme dans beaucoup d'ouvrages en français (ou dans l'autre sens dans d'autres conventions). La convention en arc-de-cercle est utilisée, entre autres, dans vos cours à l'UFR de physique. Elle a le mérite d'éviter la notation habituellement utilisée pour les vecteurs, une tension étant un scalaire.</footnote>
L'intensité s'exprime en ampère (A), c'est-à-dire des coulombs par seconde : $1 \text{ A} = 1 \text{ C} \cdot \text{s}^{-1}$.

À un instant $t$, on définit l'intensité $i(t)$ comme :

$$i(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \left( \frac{\Delta q}{\Delta t} \right) \qquad (13.6)$$

<figure><img src="image_141.png" /></figure>

FIGURE 13.3 – Illustration de l'intensité du courant électrique comme débit de charges à travers une section du conducteur. Attention : les charges schématiquement représentées ici sont des charges positives.

L'intensité est une grandeur algébrique matérialisée sur un circuit par une flèche sur les fils de connexion.

### 13.2.4 Puissance et énergie électrocinétique reçue

#### Conventions électriques

Si $u = V_A - V_B$ et $i$ sont de sens opposés, on est en convention récepteur (figure 13.4a).

Si $u = V_A - V_B$ et $i$ sont de même sens, on est en convention générateur (figure 13.4b).

<figure><img src="image_142.png" /><figcaption>FIGURE 13.4 – Les conventions électriques.</figcaption></figure>

La convention choisie ne dépend pas du fonctionnement réel du dipôle, comme l'illustre la figure 13.4c, où le dipôle $D_1$ est en convention récepteur, tandis que le dipôle $D_2$ est en convention générateur.

#### Puissance électrocinétique reçue par un dipôle

Considérons le dipôle AB de la figure 13.5 en convention récepteur. Dans le cadre de l'ARQS, on a :

$$i(t) = i_A(t) = i_B(t) \qquad (13.7)$$

Calculons l'énergie $\delta W$ reçue par le dipôle entre les instants $t$ et $t + \delta t$, avec $\delta t$ très petit.
<figure><img src="image_143.png" /><figcaption>FIGURE 13.5 – Puissance reçue par un dipôle.</figcaption></figure>

Entre $t$ et $t + \delta t$, en toute section $S$ d'un conducteur constituant le circuit, dans le sens positif, il y a passage de $\delta q = i\delta t$ charges. Le dipôle reçoit en $A$ une charge $\delta q = i\delta t$; il cède en $B$ une charge $\delta q = i\delta t$.

Par ailleurs, une charge $q$ située à un endroit où règne un potentiel $V$ possède une énergie potentielle $qV$. Donc le dipôle reçoit en $A$ une énergie $\delta q \cdot V_A$; il cède en $B$ une énergie $\delta q \cdot V_B$.

Au final, le dipôle reçoit une énergie :

$$ \delta W = \delta q \cdot V_A - \delta q \cdot V_B = \delta q(V_A - V_B) \qquad (13.8) $$

soit :

$$ \delta W = i \cdot u \cdot \delta t \qquad (13.9) $$

Donc la puissance correspondante est :

$$ p = \frac{\delta W}{\delta t} = u(t) \cdot i(t) \qquad (13.10) $$

Si $\delta t \to 0$, on obtient la puissance instantanée à l'instant $t$, $p(t)$.

$\delta W$ est l'énergie potentielle perdue par la charge $\delta q$ lorsqu'elle passe de $V_A$ à $V_B$, énergie qui est gagnée par le dipôle. Autrement dit, $-\delta W$ est le travail qu'il faut fournir à la charge $\delta q$ pour la faire passer de $V_A$ à $V_B$.

▲ Remarque : en convention récepteur, on a : $p = +u \cdot i$; en convention générateur, on a $p = -u \cdot i$ car alors $u = V_B - V_A$. Mais attention : le signe de $p$ ne dépend pas de la convention choisie!

Si $p > 0$, cela signifie que le dipôle reçoit de l'énergie. Il est récepteur d'énergie électrique de la part du reste du circuit. Cette énergie peut-être transformée, selon la nature du dipôle, en énergie thermique dissipée (dans une résistance), en énergie chimique (dans un électrolyseur), en énergie mécanique (dans un moteur), etc.

Si $p < 0$, cela signifie que le dipôle cède de l'énergie au reste du circuit. Il est générateur d'énergie électrique. Cette énergie lui a été fournie sous une autre forme (mécanique, chimique...).

### 13.2.5 Régimes de fonctionnement

Le régime de fonctionnement d'un circuit désigne la manière dont les grandeurs électriques évoluent dans le temps. On distingue généralement quatre régimes.

**Le régime continu** : toutes les grandeurs électriques sont constantes.

**Le régime transitoire** : c'est le régime qui intervient quand on change de régime, par exemple d'un régime continu à un autre, d'un régime continu à un régime harmonique. Il y a un intervalle de temps, plus ou moins long, pendant lequel certaines grandeurs oscillent, avant d'atteindre un nouveau **régime permanent** (c'est-à-dire stable dans le temps).
**Le régime harmonique ou sinusoïdal** : les grandeurs électriques varient sinusoïdalement dans le circuit. Il faut que la fréquence ne soit pas trop élevée pour rester dans l'ARQS. Toutes les tensions et toutes les intensités possèdent la même fréquence. L'intérêt principal de ce régime est qu'un régime quelconque peut se décomposer en une somme de régimes harmoniques grâce à la décomposition mathématique de toute fonction périodique en une somme de fonctions sinusoïdale (séries de Fourier).

Les circuits électriques domestiques fonctionnent en régime sinusoïdal de fréquence 50 Hz.

**Le régime quelconque** : c'est le régime le plus répandu, « réel ». Si le régime est quelconque mais les signaux périodiques, on peut se ramener à une somme de signaux sinusoïdaux.

## 13.3 Le circuit électrique

### 13.3.1 L'architecture du circuit

Un circuit électrique est une association de composants. Pour en étudier le fonctionnement, on réduit sa structure à un assemblage de dipôles, qui sont les briques élémentaires permettant éventuellement de construire des structures complexes.

#### Définitions

**Un nœud** est un point du circuit auquel sont connectés au moins trois composants.

**Une branche** est une portion de circuit comprise entre deux nœuds voisins.

**Une maille** est une portion de circuit fermée, c'est-à-dire une succession de branches aboutissant au nœud de départ.

<figure><img src="image_144.png" /><figcaption>FIGURE 13.6 – Exemple de circuit avec ses branches et ses mailles.</figcaption></figure>

Par exemple, sur le circuit constitué de 5 dipôles comme illustré sur la figure 13.6a, on peut identifier trois branches, en haut sur la figure 13.6b et trois mailles, en bas sur la figure 13.6b.

### 13.3.2 Lois structurelles du circuit

Des lois sur chaque élément du circuit ont été formulées en 1845 par Gustav Kirchhoff et portent son nom.
Loi des branches

Dans le cadre de l'ARQS, l'intensité i(t) est la même en tout point d'une branche : elle ne dépend pas de l'abscisse x le long de la branche.

▲ L'intensité électrique, bien qu'identique en tout point de la branche, peut varier dans le temps!

Loi des nœuds

La conservation de la charge implique qu'au niveau d'un nœud, la charge totale qui arrive doit être égale à la charge totale qui part. Donc, la somme des intensités qui arrivent doit être égale à la somme des intensités qui partent de ce nœud :

$$
\sum_{k} i_{k}^{\text {arrivant }}=\sum_{m} i_{m}^{\text {partant }}
\qquad(13.11)
$$

Sur les schémas de circuits, les intensités sont algébriques et le sens indiqué est arbitraire. Il est
donc possible de voir un nœud vers lequel toutes les flèches convergent vers lui, auquel cas :

$$
\sum_k i_k = 0 \tag{13.12}
$$

Loi des mailles

La somme des tensions le long de la maille ABCDA de la figure 13.7 est :

$$
U_{BA} + U_{CB} + U_{DC} + U_{AD} = (V_B - V_A) + (V_C - V_B) + (V_D - V_C) + (V_A - V_D) = 0 \quad (13.13)
$$

Comme une tension est une différence de potentiel entre le nœud de départ et celui d'arrivée, si ce dernier est le même, comme c'est le cas dans une maille, alors la tension est nulle.

<figure><img src="image_145.png" /><figcaption>FIGURE 13.7 – Illustration de la loi des mailles.</figcaption></figure>

En généralisant : la somme algébrique des tensions relevées le long d'une maille, dans un sens de parcours donné, est nulle :

$$
\boxed{\sum_{k}^{\text{maille}} u_{k} = 0} \tag{13.14}
$$

▲ Si toutes les tensions portées le long de la maille ne sont pas dans le même sens, celles qui sont dans le sens inverse du sens de parcours choisi seront soustraites.
On distingue les dipôles actifs et les dipôles passifs :

→ Un dipôle **actif** contient une source de puissance; il est susceptible de fonctionner durablement en mode générateur.

→ Un dipôle **passif** ne contient pas de source de puissance.

### 13.4.2 Relation caractéristique d'un dipôle

C'est la relation entre $i$ et $u$, caractéristique courant-tension $i = f(u)$ ou caractéristique tension-courant $u = f(i)$.

Dans le cas d'un dipôle linéaire, la caractéristique est soit une droite soit une relation linéaire entre $i$ et $u$ : l'équation qui décrit le dipôle est une équation différentielle linéaire, c'est-à-dire ne contenant que $i$, $u$, et leurs dérivées respectives par rapport au temps.

Par exemple, les équations :

$$u = ki, \quad u = k \frac{di}{dt}, \quad u = k \frac{di}{dt} + \text{constante}, \quad u = k \frac{d^3 i}{dt^3}, \quad u = \text{constante} \quad (13.15)$$

sont linéaires.

Et les équations :

$$u = k \left( \frac{di}{dt} \right)^3, \quad u = ki + hui \quad (13.16)$$

ne le sont pas.

On distingue la relation caractéristique *statique I(U)* obtenue en appliquant une tension constante, et la caractéristique *dynamique i(u)* obtenue en appliquant une tension sinusoidale $u(t) = U_0 \cdot \cos(\omega t)$ au dipôle.

### 13.4.3 Dipôles linéaires idéaux

#### Dipôle résistif

En convention récepteur on a (loi d'Ohm) :

$$u = R \cdot i \quad (13.17)$$

où le coefficient de proportionnalité $R$ est la résistance, exprimée en ohm : $[R] = V \cdot A^{-1} = \Omega$.

Les caractéristiques statiques et dynamiques d'une résistance sont identiques (figure 13.9).

<figure><img src="image_146.png" /><figcaption>FIGURE 13.9 – Relation caractéristique de la résistance.</figcaption></figure>

Pour un conducteur cylindrique de longueur $L$ et de section $S$, on a :

$$R = \rho \cdot \frac{L}{S} \quad (13.18)$$

où $\rho$ est la résistivité électrique du matériau, elle s'exprime en $\Omega \cdot m$. L'inverse est la conductance qui s'exprime en siemens (S).
**Aspect énergétique** On a (en convention récepteur) :

$$U = RI \tag{13.19}$$

et :

$$P = UI \tag{13.20}$$

donc :

$$P = RI^2 \tag{13.21}$$

Ce résultat est indépendant de la convention choisie<fnref n="3" />. Comme $P = RI^2 > 0$, le dipôle résistif (ou résistor) est toujours récepteur. Il s'agit d'un dipôle dissipatif qui convertit l'énergie électrique en énergie thermique. Cette conversion s'appelle l'**effet Joule**.

## Dipôle auto-inductif idéal

En convention récepteur, on a (voir cours sur l'induction) :

$$u = L \cdot \frac{di}{dt} \tag{13.22}$$

où $L$ est l'inductance (positive) de la bobine, qui s'exprime en henry : $[L] = \Omega \cdot s = H$.

Dans le cours sur l'induction, on avait :

$$e_{\text{fém}}^{\text{auto}}(t) = -L \cdot \frac{dI}{dt} \tag{13.23}$$

le signe – provient du fait que l'on se plaçait alors en convention générateur sans le dire explicitement.

Lorsque l'intensité qui traverse une inductance idéale est constante, la tension aux bornes du dipôle est nulle et la caractéristique statique est une droite verticale. En régime continu une inductance idéale se comporte comme un fil.

Pour obtenir la caractéristique dynamique, appliquons un courant sinusoïdal : $i(t) = I_0 \cos(\omega t)$, auquel cas, on a :

$$u(t) = L \cdot \frac{di}{dt} = -LI_0 \omega \sin(\omega t) \tag{13.24}$$

Les deux équations :

$$\begin{cases} i(t) = I_0 \cos(\omega t) \\ u(t) = -LI_0 \omega \sin(\omega t), \end{cases} \tag{13.25}$$

définissent une ellipse dans le plan $(i, u)$ en représentation paramétrique de paramètre $t$ (figure 13.10).

**Aspect énergétique** On a :

$$\left. \begin{cases} u(t) = L \cdot \frac{di}{dt} \\ P(t) = u(t) \cdot i(t) \end{cases} \right\} \text{soit } P(t) = Li \frac{di}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} Li^2 \right) \tag{13.26}$$

Contrairement au cas de la résistance, cette puissance peut être positive ou négative.

Et comme on a :

$$P(t) = \frac{dE}{dt} \tag{13.27}$$

où $E$ est l'énergie stockée dans la bobine à l'instant $t$, on obtient alors :

$$E(t) = \frac{1}{2} Li^2 \tag{13.28}$$

<footnote n="3">3. En convention générateur, on a : $U = -RI$ et $P = -UI$, donc $P = RI^2$.</footnote>
<figure><img src="image_147.png" /><figcaption>FIGURE 13.10 – Relations caractéristiques statique (ω = 0) et dynamique de l'inductance.</figcaption></figure>

## Dipôle capacitif idéal

On a, en convention récepteur <fnref n="4" /> :

$$i(t) = C \frac{du}{dt} \qquad (13.32)$$

où C est la capacité du condensateur, elle s'exprime en farad : $[C] = \Omega^{-1} \cdot s = F$

Une valeur constante de la tension U est associée à une valeur nulle de l'intensité I = 0, la caractéristique statique du condensateur idéal est donc une droite horizontale. En régime continu la capacité s'apparente donc à un interrupteur ouvert.

La caractéristique dynamique vérifie :

$$\begin{cases} u(t) = U_0 \cos(\omega t) \\ i(t) = -CU_0\omega \sin(\omega t), \end{cases} \qquad (13.33)$$

qui est également une ellipse paramétrée par le temps t (figure 13.11).

<figure><img src="image_148.png" /><figcaption>FIGURE 13.11 – Relations caractéristiques statique (ω = 0) et dynamique de la capacité.</figcaption></figure>

$$i = \frac{dq}{dt} \qquad (13.29)$$

$$q = C \cdot u \qquad (13.30)$$

$$i(t) = C \cdot \frac{du}{dt} \qquad (13.31)$$

<footnote n="4">4. On a :</footnote>

<footnote>et :</footnote>

<footnote>d'où :</footnote>
**Aspect énergétique** On a :

$$ 
\left. 
\begin{aligned}
i(t) &= C \cdot \frac{du}{dt} \\
P(t) &= u(t) \cdot i(t)
\end{aligned}
\right\} \text{soit } P(t) = Cu \frac{du}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} Cu^2 \right) \qquad (13.34)
$$

On en déduit l'énergie stockée dans la capacité à l'instant $t$ :

$$ E(t) = \frac{1}{2} Cu^2 \qquad (13.35) $$

### 13.4.4 Association de dipôles idéaux

#### Association en série de dipôles linéaires

La figure 13.12a montre deux résistances en série. On a :

$$ u = u_1 + u_2 = R_1 i + R_2 i = (R_1 + R_2) i = Ri \qquad (13.36) $$

où $R$ est la résistance équivalente. En généralisant à $N$ résistances en série :

$$ R = \sum_{i=1}^{i=N} R_i \qquad (13.37) $$

De même, la figure 13.12b montre deux capacités en série. On a :

$$ u = u_1 + u_2 \qquad (13.38) $$

donc :

$$ \frac{du}{dt} = \frac{du_1}{dt} + \frac{du_2}{dt} = \frac{i}{C_1} + \frac{i}{C_2} = i \left( \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_1} \right) = \frac{i}{C} \qquad (13.39) $$

où $C$ est la capacité équivalente. En généralisant à $N$ capacités équivalentes, on a :

$$ \frac{1}{C} = \sum_{i=1}^{i=N} \frac{1}{C_i} \qquad (13.40) $$

La figure 13.12c montre deux inductances ou bobines en série. On a :

$$ u = u_1 + u_2 = L_1 \cdot \frac{di}{dt} + L_2 \cdot \frac{di}{dt} = (L_1 + L_2) \cdot \frac{di}{dt} = L \cdot \frac{di}{dt} \qquad (13.41) $$

où $L$ est l'auto-inductance équivalente. En généralisant à $N$ bobines, cela donne :

$$ L = \sum_{i=1}^{N} L_i \qquad (13.42) $$

#### Association en parallèle de dipôles linéaires

La figure 13.13a montre deux résistances en parallèle. On a :

$$ i = i_1 + i_2 = \frac{u}{R_1} + \frac{u}{R_2} = u \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = \frac{u}{R} \qquad (13.43) $$

où $R$ est la résistance équivalente. En généralisant à $N$ résistances en parallèle, on a :

$$ \frac{1}{R} = \sum_{i=1}^{i=N} \frac{1}{R_i} \qquad (13.44) $$
<figure><img src="image_149.png" /><figcaption>FIGURE 13.12 – Associations de dipôles en série.</figcaption></figure>

La figure 13.13c montre deux bobines en parallèle. On a :

$$i = i_1 + i_2 \tag{13.45}$$

soit :

$$\frac{di}{dt} = \frac{di_1}{dt} + \frac{di_2}{dt} = \frac{u}{L_1} + \frac{u}{L_2} = u\left(\frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}\right) = \frac{u}{L} \tag{13.46}$$

où L est l'inductance équivalente. En généralisant à N bobines en parallèle, on a :

$$\frac{1}{L} = \sum_{i=1}^{i=N} \frac{1}{L_i} \tag{13.47}$$

La figure 13.13b montre deux capacités en parallèle. On a :

$$i = i_1 + i_2 = C_1 \frac{du}{dt} + C_2 \frac{du}{dt} = \frac{du}{dt} \cdot (C_1 + C_2) = C \frac{du}{dt} \tag{13.48}$$

où C est la capacité équivalente. En généralisant à N capacités en parallèle, on a :

$$C = \sum_{i=1}^{i=N} C_i \tag{13.49}$$

<figure><img src="image_150.png" /><figcaption>FIGURE 13.13 – Associations de dipôles en parallèle.</figcaption></figure>

## Cas des dipôles non linéaires

Dans le cas de dipôles non linéaires en série (figure 13.14), on utilise leurs caractéristiques pour déterminer la tension ou l'intensité du courant à leurs bornes.
<figure><img src="image_151.png" /><figcaption>FIGURE 13.14 – Cas de deux dipôles non linéaires en série. Leurs caractéristiques est représentée à droite : on les utilise pour déterminer la tension aux bornes des deux dipôles.</figcaption></figure>

## Sources idéales de tension et de courant

**Une source idéale de tension** impose une tension fixe à ses bornes, sa force électromotrice *e* (fém), quel que soit le courant :

$$u = e \forall i \qquad (13.50)$$

en convention générateur.

La tension délivrée par la source idéale ne dépend donc pas du circuit auquel elle est reliée.

La représentation d'une source idéale de tension est donnée sur la figure 13.15a, ainsi que sa caractéristique.

<figure><img src="image_152.png" /><figcaption>FIGURE 13.15 – Sources idéales de tension et de courant.</figcaption></figure>

**Une source idéale de courant** débite dans le circuit auquel elle est reliée un courant d'intensité fixe, le courant électromoteur $\eta$ (cém), et ce quel que soit la tension à ses bornes :

$$i = \eta \forall u \qquad (13.51)$$

en convention générateur.

Sa représentation et sa caractéristique sont données sur la figure 13.15b.
**Remarques :** ces sources sont des modèles idéaux et non des composants réels. Ainsi, une source idéale de tension ne peut pas être court-circuitée : on ne peut pas relier ses deux pôles par un fil sans résistance. Si tel était le cas, elle imposerait $u = e$ à un fil où $u = 0$, la loi des mailles ne peut donc être respectée.

En revanche, il est possible de court-circuiter une pile avec un fil (réel), car celui-ci a une résistance non nulle.

Il est également impossible de laisser une source idéale de courant en circuit ouvert, car alors $i = 0$ dans le fil. Si tel était le cas, un arc électrique d'intensité constante entre les bornes du fil circulerait.

### 13.4.5 Modélisation des composants réels

Une résistance réelle est un dipôle spécialement conçu pour imposer une relation de proportionnalité entre tension et intensité. Néanmoins, selon le régime avec lequel elle est utilisée, des écarts peuvent apparaître.

#### Écarts à la linéarité

Pour des tensions ou des intensités élevées, le composant ne répond plus linéairement. À cause de l'effet Joule, quand la puissance est élevée, la température augmente et modifie les propriétés linéaires. Au-delà d'un certain seuil, le composant peut être endommagé.

Pour décrire la caractéristique expérimentale on peut alors ajouter des termes non linéaires à la loi $i(u)$. Dans ce cas, le circuit ne peut être étudié que de façon numérique, la résolution analytique n'est plus possible.

#### Effets capacitifs et inductifs parasites

Aux fréquences élevées, la caractéristique d'une résistance se déforme pour devenir elliptique. Cette déformation est liée à des effets capacitifs et inductifs parasites. On peut les modéliser en associant à la résistance des capacités (en parallèle) et des inductances (en série), ce qui permet de conserver des équations linéaires.

#### Résistance réelle

Une résistance réelle est composée d'oxydes métalliques pressés. Dans la majorité des cas, la modélisation par une résistance idéale suffit. On peut néanmoins tenir compte d'effets capacitifs et inductifs parasites, en particulier à hautes fréquences (figure 13.16a).

<figure><img src="image_153.png" /><figcaption>(a) Modèle linéaire d'une résistance réelle, tenant compte des effets capacitifs (c) et inductifs (ℓ) à haute fréquence.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_154.png" /><figcaption>(b) Modèle linéaire d'une bine réelle, tenant compte des effets résistifs (r).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_155.png" /><figcaption>(c) Modèle linéaire d'un condensateur réel, tenant compte du petit courant de fuite.</figcaption></figure>

FIGURE 13.16 – Modèles linéaires des dipôles réels usuels.
## Bobine réelle

Une bobine est un enroulement de fil encerclant éventuellement un cylindre de fer doux. Les bobines réelles sont donc des conducteurs ohmiques qui présentent une faible résistance interne, modélisée par une résistance en série (figure 13.16b).

## Condensateur réel

On a :

$$q = C \cdot u \qquad (13.52)$$

donc la charge $q$ traversant le condensateur est proportionnelle à la tension à ses bornes.

On a vu en électrostatique que cette relation est assurée par une structure composée de deux armatures conductrices séparées par un isolant. Il existe toujours un petit courant de fuite à travers l'isolant que l'on peut modéliser par une résistance très élevée en parallèle d'une capacité idéale (figure 13.16c).

## Modélisation de composants actifs réels

Un générateur de puissance réel combine généralement une source idéale et une résistance interne.

L'association en série de la source de tension (de fém $e$) et de la résistance $R$ donne la relation (figure 13.17a) :

$$u = e - Ri \qquad (13.53)$$

L'association en parallèle de la source de courant et de la résistance donne :

$$i = \eta - \frac{u}{R}, \quad \text{soit :} \quad u = R\eta - Ri \qquad (13.54)$$

Les deux relations sont identiques si on pose :

$$e = R\eta \qquad (13.55)$$

En fait il n'existe qu'une seule sorte de générateur réel (dont la caractéristique est donnée sur la figure 13.18), dont on peut donner deux représentations équivalentes (figure 13.17) : la **représentation de Thévenin** (source idéale de tension et résistance en série) et la **représentation de Norton** (source idéale de courant en parallèle avec une résistance).

On passe facilement de l'une à l'autre représentation (ou modélisation) avec les relations (13.53), (13.54) et (13.55) qui sont données sur les figures 13.17.

<figure><img src="image_156.png" /><figcaption>(a) Représentation de Thévenin d'un générateur réel.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_157.png" /><figcaption>(b) Représentation de Norton d'un générateur réel.</figcaption></figure>

<caption>FIGURE 13.17 – Modélisation des générateurs de puissances réels.</caption>
<figure><img src="image_158.png" /><figcaption>FIGURE 13.18 – Caractéristique du générateur réel.</figcaption></figure>

# 13.5 Méthodes d'études des circuits dans l'ARQS

## 13.5.1 Point de fonctionnement d'un circuit non ramifié

Considérons un circuit simple constitué uniquement de deux dipôles, dont un générateur de puissance, comme sur la figure 13.19. Le **point de fonctionnement** du circuit est l'intersection des deux caractéristiques *statiques* des deux composants, le générateur et le dipôle quelconque. Physiquement, il s'agit de la valeur de la tension et du courant à l'équilibre en fonctionnement.

<figure><img src="image_159.png" /><figcaption>FIGURE 13.19 – Le point de fonctionnement d'un circuit simple est obtenu en superposant les caractéristiques statiques des composants le constituant.</figcaption></figure>

Trouver le point de fonctionnement d'un circuit simple ou non ramifié constitué de deux dipôles revient à résoudre le système de deux équations obtenu en posant les deux relations caractéristiques des dipôles.

### Méthode de détermination du point de fonctionnement d'un circuit non ramifié

→ Décomposer le circuit en deux dipôles, l'un en convention générateur, l'autre en convention récepteur.

→ Tracer les deux caractéristiques statiques sur un même graphe; ou bien résoudre le système de deux équations obtenues par les relations caractéristiques des dipôles.

→ Le point de fonctionnement est le point à l'intersection des deux caractéristiques, qui est aussi solution du système d'équations.

## 13.5.2 Associations successives de dipôles en régime stationnaire

En régime stationnaire, un circuit comporte essentiellement des résistances et des générateurs. En effet, dans ce cadre, les capacités sont équivalentes à des « coupe-circuits » ou circuits ouverts (car
l'intensité les traversant est nulle : $i = \frac{du}{dt} = 0)$. Et les bobines se comportent comme des « court-circuits » ou de simples fils (car la tension à leurs bornes est alors nulle : $u = \frac{di}{dt} = 0)$.

## Associations de résistances

Pour simplifier un circuit, on peut associer les résistances selon qu'elles sont en série ou en parallèle.

Dans une association série, la tension aux bornes d'une résistance est proportionnelle à cette résistance : la tension se porte majoritairement sur la résistance la plus élevée. Dans une association parallèle, le courant qui traverse une résistance est inversement proportionnel à la résistance : l'intensité choisit préférentiellement la branche de plus petite résistance.

**Pont diviseur de tension** Pour deux résistances placées en série (figure 13.20a), la tension aux bornes de l'une d'elles s'exprime en fonction de la tension aux bornes des deux :

$$u_2 = \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right) u \qquad (13.56)$$

car : $u_2 = R_2 \cdot i$ et $u = R_2 \cdot i + R_1 \cdot i$.

<figure><img src="image_160.png" /><figcaption>FIGURE 13.20 – Pont diviseur de tension.</figcaption></figure>

Il faut que le même courant traverse les deux résistances. Si ce n'est pas le cas (figure 13.20b), la formule ne s'applique pas.

## Associations de générateurs réels

La combinaison de plusieurs générateurs réels placés en série ou en parallèle s'effectue en utilisant l'équivalence des représentations de Thévenin et de Norton.

Dans le cas d'une **association série**, on choisit de représenter tous les générateurs par leurs modèles de Thévenin. Le générateur réel équivalent aura ainsi une fém qui sera la somme (algébrique) de toutes les fém individuelles et une résistance interne qui sera la somme des résistances de chaque générateur :

$$U = \sum_k E_k - I \sum_k R_k \qquad (13.57)$$

Dans le cas d'une **association parallèle**, on choisit de représenter tous les générateurs par leurs modèles de Norton. Le générateur réel équivalent aura ainsi un cém qui sera la somme alégbrique des cém individuels. L'inverse de la résistance interne équivalent sera la somme des inverses des résistances individuelles de chaque générateur :

$$I = \sum_k \eta_k - U \sum_k \frac{1}{R_k} \qquad (13.58)$$
## Méthode générale

En associant les résistances entres elles et en combinant les générateurs, on peut souvent se rame-ner à une maille simple où se succèdent en série générateurs de tension idéaux et résistances. Auquel cas, l'intensité du courant se calcule aisément (en supposant un sens arbitraire dans la maille) :

$$I = \frac{\sum_{k=1}^{N} E_k}{\sum_{k=1}^{M} R_k} \qquad (13.59)$$

Il s'agit de la loi de Pouillet.

Un exemple est donné sur la figure 13.21. Dans ce cas, la loi de Pouillet donne :

$$i_0 = \frac{E_0 - E_{\text{éq}}}{R_{\text{éq}}} = \frac{(R_1 + R_2)E_0}{R_1 R_2} - \frac{E_1}{R_1} \qquad (13.60)$$

<figure><img src="image_161.png" /><figcaption>FIGURE 13.21 – Réduction d'un circuit par équivalences et associations successives.</figcaption></figure>

### 13.5.3 Étude d'un circuit ramifié par les lois de Kirchhoff dans l'ARQS

L'exploitation des lois de Kirchhoff constitue la méthode générale d'étude des circuits dans l'ARQS. Elle s'applique à tous les types de circuits. Elle consiste à écrire les relations caractéristiques de tous les composants (liant l'intensité à la tension), ainsi que les lois structurelles du circuit (loi des mailles et loi des nœuds).

La méthode recèle deux difficultés. La première est d'écrire le bon nombre de lois structurelles de façon à aboutir à un système comportant autant d'équations que d'inconnues. La deuxième est de résoudre ce système, ce qui peut nécessiter un traitement numérique lorsque le circuit comporte des composants non linéaires.

La géométrie du circuit est décrite par son nombre de branches *b*, son nombre de nœuds *n* et de mailles *m*. Les grandeurs caractéristiques des composants (résistances $R_k$, capacités $C_k$, induc-tances $L_k$, forces électromotrices $e_k$ et courants électromoteurs $\eta_k$) sont des données. Les grandeurs électriques (potentiels $v_k$, tensions $u_k$ et intensités $i_k$) sont les inconnues.
**Utilisation de la loi des branches** Comme l'intensité $i_k$ qui circule dans une branche est unique, un circuit est entièrement décrit par les $b$ intensités qui circulent dans ses $b$ branches. La tension $u_k$ aux bornes d'un dipôle quelconque se déduit alors de l'intensité qui le traverse et de sa relation caractéristique.

**Utilisation de la loi des nœuds** Les $n$ nœuds permettent d'écrire $n$ équations. Néanmoins elles ne sont pas indépendantes. Comme une branche relie deux nœuds, elle intervient nécessairement dans deux lois différentes : l'intensité qui la traverse est comptée une fois positivement pour le nœud vers lequel elle pointe et une fois négativement pour le nœud dont elle s'éloigne. La somme de toutes les lois des nœuds aboutit donc nécessairement à « 0 = 0 ». Chaque nouvelle loi des nœuds écrite fait intervenir de nouvelles intensités. Seule la dernière loi pour le dernier nœud ne fait pas intervenir de nouvelles intensités, elle est donc redondante.

Il faut donc utiliser $(n-1)$ lois des nœuds.

**Utilisation de la loi des mailles** Avec $b$ inconnues et $(n-1)$ équations (lois des nœuds), il manque $b - (n-1)$ équations pour pouvoir résoudre le problème. Ces équations sont fournies par la loi des mailles et les relations caractéristiques des dipôles pour conserver les intensités comme inconnues.

Il faut, en écrivant cela, prendre garde à la convention d'écriture des tensions pour chaque dipôle.

Pour écrire les lois de $b - (n-1)$ mailles, il faut prendre garde à inclure chaque branche (donc chaque composant) du circuit.

Remarque : une branche qui comporte une source idéale de courant donne directement le courant qui la traverse, à savoir le courant électromoteur de cette source.

En résumé :

→ Dénombrer les $n$ nœuds et les $b$ branches du circuit.

→ Écrire $(n-1)$ lois des nœuds.

→ Écrire $(b-n+1)$ lois des mailles recouvrant toutes les branches du circuit.

→ Utiliser les relations caractéristiques des dipôles pour formuler les lois des mailles avec les intensités.

→ Résoudre le système de $b$ équations à $b$ inconnues obtenu.
# Chapitre 14

## Système linéaire du premier ordre

### 14.1 Qu'est-ce?

Il s'agit d'un système physique unidimensionnel qui est régi par une équation différentielle temporelle du premier ordre, c'est-à-dire une équation liant la grandeur physique à sa dérivée première par rapport au temps.

Dans de nombreux cas, l'équation est linéaire.

On trouve ce genre de système ainsi décrit mathématiquement dans tous les domaines des sciences (freinage par frottement visqueux, décroissance radioactive, cinétique d'une réaction chimique, dynamique d'une population, etc. En électrocinétique nous allons étudier dans la suite la réponse à un échelon de tension (c'est-à-dire le moment où l'on ferme l'interrupteur pour établir le régime permanent) d'un circuit constitué d'une résistance *R* et d'une capacité *C* en série (circuit *RC* série), ou d'une résistance *R* et d'une bobine *L* en série (circuit *RL* série).

### 14.2 Équation différentielle

L'équation différentielle régissant ces systèmes peut s'écrire :

$$ \tau \cdot \frac{df}{dt} + f = \beta \qquad (14.1) $$

où *f* est la grandeur physique étudiée, *τ* et *β* sont des constantes.

D'un point de vue mathématique il s'agit d'une équation différentielle (il y a des dérivées de la grandeur *f*) du premier ordre (la dérivée la plus élevée est celle d'ordre 1) linéaire (la fonction *f* et sa dérivée n'apparaissent que comme des polynômes de degré 1) à coefficients constants (*τ* est une constante) non homogène (le second membre, *β*, est non nul).

#### 14.2.1 Résolution de l'équation différentielle

##### 1re méthode : séparation des variables

Une première technique consiste à séparer les variables, *f* d'un côté et *t* de l'autre :

$$ \tau \cdot \frac{df}{dt} + f = \beta \Rightarrow \tau \cdot \frac{df}{dt} = \beta - f \Rightarrow \frac{df}{f-\beta} = -\frac{dt}{\tau} \qquad (14.2) $$

On peut alors intégrer cette relation aisément :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \text{si } f > \beta & \ln(f - \beta) = -\frac{t}{\tau} + K \\ \text{si } f < \beta & \ln(\beta - f) = -\frac{t}{\tau} + K \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} \text{si } f > \beta & f - \beta = \exp\left(-\frac{t}{\tau} + K\right) \\ \text{si } f < \beta & \beta - f = \exp\left(-\frac{t}{\tau} + K\right) \end{array} \right. \Rightarrow f - \beta = \underbrace{\pm \exp(K)}_{A} \cdot \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \qquad (14.3) $$
La constante d'intégration $K$ est un réel quelconque que l'on peut choisir librement ou bien qui est imposée par les conditions aux limites du système. On obtient ainsi :

$$f(t) = \beta + A \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \qquad (14.4)$$

## 2ᵉ méthode : ajustement d'une solution exponentielle type

La solution générale de l'équation avec second membre (non homogène) est la somme de la solution générale de l'équation sans second membre (homogène) et d'une solution particulière de l'équation avec second membre.

Une solution particulière de l'équation avec second membre est la constante $\beta$ :

$$f^{\text{particulière}}(t) = \beta \qquad (14.5)$$

Pour trouver la solution générale de l'équation homogène, on cherche une solution de la forme :

$$f(t) = A \cdot \exp(\lambda \cdot t) \qquad (14.6)$$

On détermine les constantes $A$ et $\lambda$ en injectant cette solution dans l'équation différentielle homogène :

$$\tau \frac{d[A \cdot \exp(\lambda \cdot t)]}{dt} + A \cdot \exp(\lambda \cdot t) = 0 \Rightarrow [\tau\lambda + 1]A \cdot \exp(\lambda \cdot t) = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{\tau} \qquad (14.7)$$

Le terme $A$ peut prendre une valeur quelconque, c'est la constante d'intégration, d'où la solution générale de l'équation homogène :

$$f^{\text{homogène}}(t) = A \cdot \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \qquad (14.8)$$

La solution générale de l'équation non homogène est donc :

$$f(t) = f^{\text{particulière}}(t) + f^{\text{homogène}}(t) = \beta + A \cdot \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \qquad (14.9)$$

Cette méthode est dérivée de la méthode de la variation de la constante qui permet de résoudre l'équation différentielle quand le second membre dépend de $t$.

Dans le cas qui nous intéresse, la première méthode est en générale assez simple et plus aisée à retenir.

# 14.3 Échelon de tension

## 14.3.1 Régime permanent

Le régime permanent est le régime stable observable après un certain temps après la mise sous tension (fermeture de l'interrupteur).

Quand on ferme l'interrupteur d'un circuit, celui-ci est soumis à un régime transitoire qui précède l'établissement du régime permanent.

À $t = 0$, on ferme un interrupteur sur une source idéale de tension constante $E$, ce qui revient mathématiquement à appliquer au circuit une source de fém $e(t)$, à savoir un échelon de tension ou fonction de Heaviside :

$$Y(t) = \begin{cases} 0 & \text{si } t \le 0 \\ 1 & \text{si } t > 0 \end{cases} \qquad (14.10)$$
### 14.3.2 Régime libre

Le régime libre est le régime observé lorsque toutes les sources sont éteintes (ie lorsqu'on ouvre l'interrupteur du circuit).

En ouvrant ainsi l'interrupteur, on provoque un échelon de tension de $E$ à 0.

On pourra ainsi étudier le régime transitoire en réponse à un échelon de tension en générant un signal en créneau (figure 14.1) avec un générateur basse fréquences (GBF), qui permettra d'avoir des « régimes transitoires » successifs entre régime permanent et régime libre.

<figure><img src="image_162.png" /><figcaption>FIGURE 14.1 – De l'échelon de tension au signal en créneau. On ferme l'interrupteur en haut à gauche; on l'ouvre en haut à droite.</figcaption></figure>

## 14.4 Exemple du circuit RC série

On considère le circuit de la figure 14.2 constitué d'une source idéale de tension $u_G$, d'une résistance $R$ et d'un condensateur $C$ placés en série.

<figure><img src="image_163.png" /><figcaption>FIGURE 14.2 – Circuit RC série.</figcaption></figure>

La loi des mailles et les caractéristiques de chaque dipôle permettent d'écrire :

$$ \begin{cases} u_G = u_C + u_R \\ u_R = R i \\ i = C \frac{du_C}{dt} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad u_G(t) = u_C + RC \frac{du_C}{dt} \qquad (14.11) $$

### 14.4.1 Réponse à un échelon de tension

Dans ce cas, on a :

$$ \begin{cases} u_G = 0 & \text{si } t \le 0 \\ u_G = E & \text{si } t > 0 \end{cases} \qquad (14.12) $$

soit :

$$ RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E \qquad (14.13) $$
La solution de l'équation homogène est :

$$u_C^1(t) = \lambda \cdot e^{-\frac{t}{RC}} \quad (14.14)$$

Une solution particulière de l'équation non homogène est :

$$u_C^2(t) = E \quad (14.15)$$

Donc la solution générale de l'équation est :

$$u_C(t) = E + \lambda \cdot e^{-\frac{t}{RC}} \quad (14.16)$$

Or à $t = 0$, on a : $u_C(0) = 0$ (conditions initiales), car la charge du condensateur est continue en $t = 0$, donc la tension à ses bornes $u_C = q/C$ également. Donc on a : $0 = E + \lambda$, soit $\lambda = -E$. D'où :

$$u_C(t) = E \left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right) \quad (14.17)$$

On en déduit l'équation de l'intensité du courant :

$$i(t) = C \frac{du_C}{dt} = \frac{E}{R} e^{-\frac{t}{RC}} \quad (14.18)$$

Ainsi que l'équation de la charge $q(t)$ du condensateur :

$$q(t) = C \cdot u_C(t) = CE \left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right) \quad (14.19)$$

## Étude de ces fonctions

On pose $\tau = RC$, la constante de temps du circuit (ou temps de relaxation).

On a :

$$\lim_{t \to \infty} q(t) = CE = C \cdot \lim_{t \to \infty} u_C(t) \quad (14.20)$$

à savoir un régime permanent.

Et :

$$\lim_{t \to \infty} i(t) = 0 \quad (14.21)$$

ce qui signifie qu'en régime permanent, le condensateur agit comme un *coupe-circuit*, le courant ne circule plus.

Les courbes $q(t)$ et $i(t)$ sont représentées sur les figures 14.3a et 14.3b respectivement.

Le coefficient directeur de la tangente à l'origine de $q(t)$ vaut :

$$\frac{dq}{dt}(0) = i(0) = \frac{E}{R} = \frac{CE}{RC} = \lim_{t \to \infty} \frac{q(t)}{\tau} > 0 \quad (14.22)$$

On note que l'écart relatif qui sépare la fonction $q(t)$ de sa valeur limite CE est :

$$\left| \frac{q(t) - CE}{CE} \right| = e^{-\frac{t}{\tau}} \quad (14.23)$$

Pour $t = \tau$, on est à 37 % de la valeur limite, pour $t = 3\tau$, on est à 5 % de la valeur limite.

De même, le coefficient directeur de la tangente à l'origine de $i(t)$ est donné par :

$$\frac{di}{dt}(0) = -\frac{E}{R^2 C} = -\frac{i(0^+)}{\tau} \quad (14.24)$$

Remarque : il y a théoriquement une discontinuité du courant $i(t)$ en $t = 0$ :

$$i(0^{-}) \neq i(0^{+}) \Rightarrow 0 \neq \frac{E}{R} \quad (14.25)$$

Dans la réalité, $i(t)$ n'est pas discontinu mais varie très vite de 0 à $E/R$.
<figure><img src="image_164.png" /></figure>

<figure><img src="image_165.png" /><figcaption>FIGURE 14.3 – Réponse à un échelon de tension d'un circuit RC série.</figcaption></figure>

Interprétation physique

Au moment où l'on applique une tension continue dans une branche contenant un condensateur, le courant ne peut circuler que pendant un court intervalle de temps (de l'ordre de $\tau$). Les charges véhiculées par le courant ne peuvent traverser le condensateur et vont s'accumuler sur les armatures : les charges + du côté où arrive le courant, les charges - de l'autre côté, par influence, d'où le saut de l'intensité du courant. Les charges ne traversent pas physiquement le diélectrique isolant entre les armatures, mais leur accumulation s'apparente au passage d'un courant électrique.

Une fois qu'une armature est « pleine », la répulsion entre les charges ne permet pas d'en accueillir de nouvelles. On atteint alors le régime continu, le courant ne circule plus, et la différence de potentiel d'origine électrostatique (la tension) entre les armatures est maximale (illustration sur la figure 14.4).

14.4.2 Régime libre

Il s'agit du régime lorsque l'on éteint la source de tension. Dans ce cas, on a :

$$
\begin{cases}
u_G = E & \text{si } t \le 0 \\
u_G = 0 & \text{si } t > 0
\end{cases}
\qquad (14.26)
$$

soit :

$$
RC \frac{du_C}{dt} + u_C = 0 \tag{14.27}
$$

Cette fois l'équation est homogène, la solution s'écrit :

$$
u_C(t) = K \cdot e^{-\frac{t}{RC}} \tag{14.28}
$$

À l'instant initial, $u_C(0) = E$, car la tension aux bornes du condensateur est continue en $t = 0$. Donc :
$K = E$, ainsi :

$$
u_C(t) = E \cdot e^{-\frac{t}{RC}} \tag{14.29}
$$

On en déduit l'intensité du courant :

$$
i(t) = C \frac{du_C}{dt} = -\frac{E}{R} e^{-\frac{t}{RC}} \quad (14.30)
$$

On constate que $i(t) < 0$.

La charge $q(t)$ du condensateur s'écrit :

$$
q(t) = C \cdot u_C(t) = CE \cdot e^{-\frac{t}{RC}} \quad (14.31)
$$

Les courbes représentant $q(t)$ et $i(t)$ sont représentées sur les figures 14.5a et 14.5b respective-
ment.
<figure><img src="image_166.png" /><figcaption>FIGURE 14.4 – Explication schématique de la charge du condensateur.</figcaption></figure>

### 14.4.3 Étude énergétique

La puissance instantanée est donnée par :

$$p(t) = u_G(t) \cdot i(t) \qquad (14.32)$$

avec :

$$u_G(t) = u_C + RC \frac{du_C}{dt} = \frac{q}{C} + R \frac{dq}{dt} \quad \text{et} \quad i(t) = \frac{dq}{dt} \qquad (14.33)$$

soit :

$$p(t) = u_G(t) \cdot i(t) = R \left( \frac{dq}{dt} \right)^2 + \frac{q}{C} \cdot \frac{dq}{dt} \qquad (14.34)$$

soit :

$$p(t) = u_G(t) \cdot i(t) = R \cdot i^2 + \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} \frac{q^2}{C} \right) \qquad (14.35)$$

où :

→ $u_G(t) \cdot i(t)$ est la puissance électrocinétique fournie par la source.

→ $R \cdot i^2$ est la puissance dissipée dans la résistance par effet Joule.

→ $\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} \frac{q^2}{C} \right)$ est la puissance (instantanée) stockée dans le condensateur.

#### Réponse à l'échelon

Avec $u_G(t) = E$, on a :

$$p(t) = E \cdot i(t) = R \cdot i^2 + \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} \frac{q^2}{C} \right) \qquad (14.36)$$
<figure><img src="image_167.png" /><figcaption>(a) Courbe de la décharge $q(t)$ du condensateur. Avec $CE = 5$ et $\tau = 2$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_168.png" /><figcaption>(b) Courbe de l'intensité du courant $i(t)$ dans le circuit en régime libre. Avec $E/R = 2,5$ et $\tau = 2$.</figcaption></figure>

FIGURE 14.5 – Régime libre (décharge du condensateur) d'un circuit RC série.

**L'énergie $\mathcal{E}_G$ fournie par le générateur** entre $t = 0$ et $t \to \infty$ est telle que :

$$ \mathcal{E}_G = \int_0^\infty E \cdot i(t) dt = E \int_0^\infty \frac{dq}{dt} dt = E[q(t)]_0^\infty = E(q(\infty) - q(0)) = E(CE - 0) \quad (14.37) $$

Ainsi :

$$ \mathcal{E}_G = CE^2 \quad (14.38) $$

**L'énergie $\mathcal{E}_C$ stockée dans le condensateur** entre $t = 0$ et $t \to \infty$ est telle que :

$$ \mathcal{E}_C = \int_0^\infty \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} \frac{q^2}{C} \right) dt = \left[ \frac{1}{2} \frac{q^2}{C} \right]_0^\infty = \frac{1}{2} \frac{1}{C} [q^2(\infty) - q^2(0)] = \frac{1}{2} \frac{1}{C} [(CE)^2 - 0] \quad (14.39) $$

Donc :

$$ \mathcal{E}_C = \frac{1}{2} CE^2 \quad (14.40) $$

La moitié de l'énergie fournie par le générateur est donc stockée dans le condensateur.

**L'énergie $\mathcal{E}_J$ dissipée par la résistance** entre $t = 0$ et $t \to \infty$ est telle que :

$$ \mathcal{E}_J = \int_0^\infty R \cdot i^2(t) dt = \int_0^\infty R \cdot \left( \frac{E}{R} e^{-\frac{t}{RC}} \right)^2 dt = \int_0^\infty \frac{E^2}{R} e^{-\frac{2t}{RC}} dt = \frac{E^2}{R} \cdot \left[ -\frac{RC}{2} e^{-\frac{2t}{RC}} \right]_0^\infty \quad (14.41) $$

Soit :

$$ \mathcal{E}_J = \frac{1}{2} CE^2 \quad (14.42) $$
On constate que l'effet Joule dans la résistance ne dépend de la valeur de la résistance R. Une résistance faible conduit à une intensité du courant élevée pendant un régime transitoire de courte durée ($\tau = RC$). Une résistance élevée diminue l'intensité du courant qui circule pendant le régime transitoire qui dure plus longtemps. L'énergie dissipée par la résistance est ainsi inchangée.

Notons que cette énergie correspond à de l'énergie dissipée (énergie thermique); c'est un phénomène irréversible.

## Régime libre

Dans ce cas : $u_G(t) = 0$, soit :

$$p(t) = E \cdot i(t) = R \cdot i^2 + \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} \frac{q^2}{C} \right) = 0 \quad (14.43)$$

donc :

$$R \cdot i^2 = -\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} \frac{q^2}{C} \right) \quad (14.44)$$

En intégrant cette équation entre $t=0$ et $t \to \infty$ :

$$\int_{0}^{\infty} R \cdot i^2 dt = - \int_{0}^{\infty} \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} \frac{q^2}{C} \right) dt \quad (14.45)$$

soit :

$$\mathcal{E}_J = \frac{1}{2} C E^2 = -\frac{1}{2} \frac{1}{C} [q^2(\infty) - q^2(0)] = -\frac{1}{2} \frac{1}{C} [0 - (CE)^2] = \frac{1}{2} CE^2 \quad (14.46)$$

donc :

$$\mathcal{E}_J = \frac{1}{2} C E^2 = \mathcal{E}_C \quad (14.47)$$

Le générateur ne fournit plus de puissance, le condensateur se décharge et l'énergie qu'il avait emmagasinée se dissipe dans la résistance.
# Chapitre 15

## Filtrage linéaire

### 15.1 Principe du filtrage harmonique

#### 15.1.1 Décomposition de Fourier d'un signal périodique

→ Une fonction **périodique** $f(t)$ se décompose en une somme **discrète** de termes sinusoïdaux dont les pulsations sont toutes des multiples entiers de la pulsation $\omega$ de la fonction $f$ :

$$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(n\omega t + \varphi_n) \quad (15.1)$$

Cette somme peut comporter un nombre infini de termes et néanmoins converger pour toute valeur du temps $t$. On parle de **série** en mathématiques (série de Fourier).

→ Une fonction **non périodique** $f(t)$ se décompose en une somme **continue** de termes sinusoïdaux, c'est-à-dire une intégrale portant sur la pulsation $\omega$ (transformation de Fourier) :

$$f(t) = \int_{\omega=0}^{+\infty} A(\omega) \sin(\omega t + \varphi(\omega)) d\omega \quad (15.2)$$

Chaque composante sinusoïdale se caractérise par son amplitude $A$ et sa phase $\varphi$. Pour connaître entièrement un signal, il faut connaître les amplitudes et les phases de toutes ses composantes. Le **spectre** du signal donne ainsi :

→ Deux suites $A_n$ et $\varphi_n$ dans le cas des fonctions périodiques (figure 15.1).

→ Deux fonctions $A(t)$ et $\varphi(t)$ dans le cas des fonctions non périodiques.

Nous nous limiterons ici au cas des fonctions périodiques (voir figure 15.1) :

→ La composante d'amplitude $A_1$ fixe la fréquence du signal : c'est l'**harmonique fondamental** <fnref n="1" />.

→ Les composantes suivantes sont les **harmoniques** et donnent sa forme au signal.

#### Quelques rappels de mathématiques

**Le théorème de Fourier** énonce que toutes les fonctions périodiques $f(t)$ de période $T_0$ continues dérivables (ou bien présentant un nombre fini de discontinuités) et telles que $\int_{t_0}^{t_0+T_0} f(t) dt$ soit calculable peuvent s'écrire comme une somme de fonctions sinusoïdales de pulsation $n\omega_0$ avec $n$ entier naturel. Il est courant de proposer pour $f(t)$ la forme suivante en notation réelle :

$$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t)] \quad (15.3)$$

<footnote n="1">1. « harmonique » est un nom masculin. Au féminin, cela sous-entend une fréquence harmonique (adjectif).</footnote>
<figure><img src="image_169.png" /><figcaption>FIGURE 15.1 – Illustration du spectre d'un signal avec les amplitudes $A_n$ et les phases $\varphi_n$ de toutes les composantes du signal. Pour un signal périodique, le spectre est discret.</figcaption></figure>

ou bien, de manière équivalente :

$$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos(n\omega_0 t - \varphi_n) \qquad (15.4)$$

avec :

$$a_o = f_{\text{moy}} = \frac{1}{T_0} \int_{t_0}^{t_0+T_0} f(t) dt, \qquad (15.5)$$

la valeur moyenne de la fonction $f$, où $t_0$ correspond à un instant quelconque et $T_0$ est la période de la fonction $f$ :

$$T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} \qquad (15.6)$$

Les coefficients de la série de Fourier sont donnés par :

$$a_n = \frac{2}{T_0} \int_{t_0}^{t_0+T_0} f(t) \cos(n\omega_0 t) dt, \quad b_n = \frac{2}{T_0} \int_{t_0}^{t_0+T_0} f(t) \sin(n\omega_0 t) dt \qquad (15.7)$$

et :

$$A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}, \quad \varphi_n = \arctan\left(\frac{b_n}{a_n}\right) \qquad (15.8)$$
Par ailleurs, si la fonction *f* est *paire*, comme l'est la fonction cosinus, auquel cas : *f*(-*t*) = *f*(*t*) et :

$$a_0 = f_{\text{moy}} = \frac{2}{T_0} \int_{t_0}^{t_0+T_0/2} f(t) dt \quad a_n = \frac{4}{T_0} \int_{t_0}^{t_0+T_0/2} f(t) \cos(n\omega_0 t) dt, \quad b_n = 0 \quad (15.9)$$

Si la fonction *f* est *impaire*, comme l'est la fonction sinus, auquel cas : $f(-t) = -f(t)$ et :

$$a_0 = 0 \quad a_n = 0 \quad b_n = \frac{4}{T_0} \int_{t_0}^{t_0+T_0/2} f(t) \sin(n\omega_0 t) dt \quad (15.10)$$

**L'égalité de Parseval** : la valeur moyenne du carré du signal *f* est donnée par :

$$\frac{1}{T_0} \int_{t_0}^{t_0+T_0} f^2(t) dt = a_0^2 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{a_n^2}{2} + \frac{b_n^2}{2} \right) = a_0^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} A_n^2 \quad (15.11)$$

La valeur moyenne du carré du signal est proportionnelle à son énergie. Par exemple, si *f* représente la tension aux bornes d'un condensateur, l'énergie est $E = \frac{1}{2}Cu^2 \propto u^2$; de même l'énergie emmagasinée dans une bobine est donnée par $E = \frac{1}{2}Li^2 \propto i^2$, donc *f* peut ici être l'intensité du courant.

L'égalité de Parseval stipule ainsi que l'énergie moyenne (ou la puissance moyenne) d'un signal physique est la somme de l'énergie moyenne (ou de la puissance moyenne) de la composante continue et des composantes harmoniques.

## Exemple d'un signal en créneau

Considérons un signal en créneau d'amplitude *U* (figure 15.2) représenté par la fonction *impaire* :

$$f(t) = \begin{cases} U & \text{pour } t \in [n \times T_0, (2n+1)/2 \times T_0] \\ -U & \text{pour } t \in [(n+1)/2 \times T_0, (n+1) \times T_0] \end{cases} \quad (15.12)$$

pour $n \in \mathbb{Z}$.

<figure><img src="image_170.png" /><figcaption>FIGURE 15.2 – Signal en créneau.</figcaption></figure>

La fonction *f* étant *impaire*, seul le coefficient $b_n$ est non nul :

$$\begin{align} b_n &= \frac{4}{T_0} \int_{t_0}^{t_0+T_0/2} f(t) \sin(n\omega_0 t) dt = \frac{4}{T_0} \int_{0}^{T_0/2} U \sin(n\omega_0 t) dt = \frac{4U}{T_0} \left[ \frac{-\cos(n\omega_0 t)}{n\omega_0} \right]_0^{T_0/2} \nonumber \\ &= \frac{4U}{T_0} \left[ \frac{-\cos\left(n\frac{2\pi}{T_0}\frac{T_0}{2}\right)}{n\frac{2\pi}{T_0}} + \frac{\cos 0}{n\frac{2\pi}{T_0}} \right] \tag{15.13} \end{align}$$

$$= \frac{2U}{n\pi} (1 - \cos(n\pi)) = \frac{2U}{n\pi} (1 - (-1)^n) \quad (15.14)$$
Donc :

$$f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(n\omega_0 t) = \frac{2U}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-(-1)^n)}{n} \sin(n\omega_0 t) \quad (15.15)$$

Seuls les termes impaires subsistent, les termes pairs sont nuls. On peut donc réécrire cela de la façon suivante :

$$f(t) = \frac{4U}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin[(2k+1)\omega_0 t]}{2k+1} \quad (15.16)$$

En écrivant les premiers termes, cela donne :

$$f(t) = \frac{4U}{n\pi} \left[ \sin(\omega_0 t) + \frac{\sin(3\omega_0 t)}{3} + \frac{\sin(5\omega_0 t)}{5} + \frac{\sin(7\omega_0 t)}{7} + \dots \right] \quad (15.17)$$

Ces quatre termes sont représentés sur la figure 15.3, à gauche. Leurs sommes sont représentées à droite en ajoutant un terme à chaque fois. On observe la fonction créneau se former petit à petit au fur et à mesure que l'on ajoute des harmoniques.

### 15.1.2 Principe du filtrage linéaire

Les fonctions sinusoïdales constituent une base (au sens mathématique) dans laquelle n'importe quelle fonction se décompose. L'avantage de cette base, par rapport à d'autres, est, entre autre, que la fonction sinus reste une fonction sinus de même fréquence (pulsation) après dérivation :

$$f_n(t) = A_n \sin(n\omega t + \varphi_n) \quad \Rightarrow \quad \frac{df_n}{dt} = n\omega A_n \cos(n\omega t + \varphi_n) = n\omega A_n \sin\left(n\omega t + \varphi_n + \frac{\pi}{2}\right) \quad (15.18)$$

cette propriété rend les équations différentielles relativement simples.

D'un point de vue physique, la base des fonctions sinusoïdales permet d'étudier la réponse d'un système physique soumis à l'excitation de seulement une composante du signal.

Pour étudier la réponse d'un système linéaire à un signal quelconque, on établit le spectre du signal d'entrée en le décomposant dans une base de fonctions sinusoïdales. On étudie la réponse du système à chacun des harmoniques, puis on recompose le signal de sortie à partir de son spectre. Le traitement spécifique effectué par le système sur chaque harmonique du signal est appelé **filtrage**.

Remarque : en pratique, il suffit d'étudier la réponse générale du système à un harmonique quelconque de pulsation $\omega$ pour connaître la réponse à tous les autres.

### 15.1.3 Valeurs moyennes et valeurs efficaces

Pour caractériser une fonction périodique, on utilise deux moyennes effectuées sur une période $T$ :

* La **valeur moyenne** est obtenue en additionnant continûment toutes les valeurs prises par la fonction au cours d'une période à l'aide d'une intégrale, en divisant l'ensemble par la période :

$$\langle f(t) \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt \quad (15.19)$$

* La **valeur efficace** (ou moyenne quadratique) est la valeur moyenne du carré de la fonction dont on prend la racine carrée :

$$F_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f^{2}(t) dt} \quad (15.20)$$

La valeur efficace traduit l'effet énergétique d'un signal, proportionnel à son carré.

Pour illustrer la différence entre ces deux moyennes, prenons la moyenne d'un signal sinusoïdal aux bornes d'une résistance : elle sera nulle. Malgré cela, on constate un échauffement dû à l'effet Joule. Cet échauffement est pris en compte grâce à la valeur efficace de l'intensité.
<figure><img src="image_171.png" /><figcaption>FIGURE 15.3 – Représentation des quatre premiers harmoniques de la fonction créneau. À gauche, les quatre fonctions sinusoïdales indépendemment les unes des autres, à l’échelle sur une amplitude unité. À droite, on a représenté leurs sommes successives, comme le montre l’équation 15.17, avec le terme $4/π$ en facteur.</figcaption></figure>

## Valeur moyenne d'un signal sinusoïdal

La valeur moyenne des harmoniques d'un signal est nulle. En effet :

$$ \forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \langle f_n(t) \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T A_n \sin(n\omega t + \varphi_n) dt = - \frac{A_n}{n\omega T} [\cos(n\omega t + \varphi_n)]_0^T = 0 \quad (15.21) $$
Seul le fond continu (terme $a_0$) est éventuellement de moyenne non nulle. Donc :

$$ \langle f(t) \rangle = a_0 \qquad (15.22) $$

## Valeur efficace d'un signal sinusoidal

En revanche la valeur efficace d'un harmonique n'est pas nulle :

$$ \begin{aligned} \forall n \in \mathbb{N}^*, \quad f_{n,\text{eff}} &= \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} A_{n}^{2} \sin^{2}(n\omega t + \varphi_{n}) dt} = \sqrt{\frac{A_{n}^{2}}{T} \int_{0}^{T} \left(\frac{1 - \cos(2(n\omega t + \varphi_{n}))}{2}\right) dt} \\ &= \sqrt{\frac{A_{n}^{2}}{2T} \int_{0}^{T} dt - \underbrace{\frac{A_{n}^{2}}{2T} \int_{0}^{T} \cos(2(n\omega t + \varphi_{n})) dt}_{=0}} \end{aligned} \qquad (15.23) $$

soit :

$$ f_{n,\text{eff}} = \frac{A_n}{\sqrt{2}} \qquad (15.24) $$

La valeur efficace d'un signal est donnée par l'égalité de Parseval :

$$ F_{\text{eff}}^{2} = a_{0}^{2} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} A_{n}^{2} \qquad (15.25) $$

# 15.2 Notation complexe

## 15.2.1 Les nombres complexes

La solution générale de l'équation quadratique : $az^2 + bz + c = 0$ pour l'inconnue $z$ est donnée par $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Si le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est négatif, il faut prendre la racine d'un nombre négatif pour trouver $z$. On introduit donc les nombres imaginaires, avec :

$$ i = \sqrt{-1} \qquad (15.26) $$

et $i^2 = -1$. Alors :

$$ \sqrt{-16} = \pm 4i, \quad \sqrt{-3} = \pm i\sqrt{3}, \quad i^3 = -i $$

sont des nombres imaginaires. Mais :

$$ i^2 = -1, \quad \sqrt{-2}\sqrt{-8}, \quad i^{4n} = 1 $$

(avec $n$ un entier) sont des réels.

Un nombre complexe $z$ est un couple de nombres réels $x, y$, avec :

$$ z = x + iy \qquad (15.27) $$

Le réel $x$ est la partie réelle de $z$, et le réel $y$ est la partie imaginaire de $z$ :

$$ \operatorname{Re}(z) = x \quad \text{et} \quad \operatorname{Im}(z) = y \quad (\text{et non : } iy) \qquad (15.28) $$
Algèbre

→ **Égalité** : deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties imaginaires sont égales et leur parties réelles sont égales. Donc, si $u$ et $v$ sont deux nombres complexes :

$$u = v \quad \text{si } \operatorname{Re}(u) = \operatorname{Re}(v) \text{ et } \operatorname{Im}(u) = \operatorname{Im}(v) \qquad (15.29)$$

→ **Multiplication par un réel** : soit $c$ un nombre réel. Alors :

$$c(x + iy) = cx + icy. \qquad (15.30)$$

Donc $c\operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(cz)$ et $c\operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(cz)$.

→ **Addition** : Soit $z = x + iy$ et $w = u + iv$ deux nombres complexes (avec $(x, y, u, v)$ des réels). Alors

$$z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v). \qquad (15.31)$$

Donc $\operatorname{Re}(z+w) = \operatorname{Re}(z) + \operatorname{Re}(w)$ et $\operatorname{Im}(z+w) = \operatorname{Im}(z) + \operatorname{Im}(w)$.

→ **Multiplication de deux nombres complexes** : soit $z = x + iy$ et $w = u + iv$ deux nombres complexes. Alors :

$$zw = (x + iy)(u + iv) = xu + ixv + iyu - yv = (xu - yv) + i(xv + yu) = wz. \qquad (15.32)$$

**Complexe conjugué** : la conjugaison complexe est une nouvelle opération qui n'existe pas pour les réels.

Soit $z = x + iy$ un nombre complexe, avec $x, y$ réels. Alors son complexe conjugué $z^*$ est donné par :

$$z^* = x - iy \qquad (15.33)$$

On a :

$$(z^*)^* = z \qquad (15.34)$$

Donc pour deux complexes $w$ et $z$, on a :

$$(z + w)^* = z^* + w^* \qquad (15.35)$$

$$(zw)^* = z^* w^* \qquad (15.36)$$

$$\left(\frac{z}{w}\right)^* = \frac{z^*}{w^*} \qquad (15.37)$$

**Module de z** : par définition, si $z = x + iy$, alors :

$$|z| = +\sqrt{x^2 + y^2} \ge 0 \qquad (15.38)$$

où $|z|$ est le module de $z$.

On a :

$$zz^* = (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2 \qquad (15.39)$$

et

$$|z| = \sqrt{zz^*} \qquad (15.40)$$

En particulier, la multiplication prend une forme simple en utilisant les complexes conjugués :

$$|zw| = |z||w| \qquad (15.41)$$

car :

$$|zw| = \sqrt{(zw)(zw)^*} = \sqrt{(zw)(z^*w^*)} = \sqrt{zz^*ww^*} = \sqrt{zz^*}\sqrt{ww^*} = |z||w| \qquad (15.42)$$

<footnote n="2">2. Il est aussi souvent noté par $\bar{z}$.</footnote>
**Division** : avec le complexe conjugué, il est facile de trouver la partie réelle et imaginaire de : $\frac{z}{w}$.

Multiplions par $1 = w^*/w^*$ :

$$
\frac{z}{w} = \frac{zw^*}{ww^*} = \frac{zw^*}{|w|^2} = \frac{1}{|w|^2} zw^* \quad (15.43)
$$

De même :

$$
\left| \frac{z}{w} \right| = \frac{|z|}{|w|} \tag{15.44}
$$

15.2.2 Représentation polaire

On peut représenter le nombre complexe $z = x + iy$ dans un plan où l'axe $x$ représente la partie réelle et l'axe $y$, la partie imaginaire. La longueur entre l'origine et le point $(x, y)$ est donnée par le module de $z$. On peut ainsi repérer le point complexe $z$ de coordonnées $(x, y)$ par ses coordonnées polaires :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = |z| \cos \theta \\
y = |z| \sin \theta
\end{array}
\right.
\qquad (15.45)
$$

où $\theta$ est l'argument de $z$ (défini modulo $2\pi$) :

$$
\theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{\operatorname{Im}(z)}{\operatorname{Re}(z)}\right) \quad \text{pour} \quad \theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \quad (15.46)
$$

et :

$$
\theta = \arg(z) = -\arctan\left(\frac{y}{x}\right) = -\arctan\left(\frac{\operatorname{Im}(z)}{\operatorname{Re}(z)}\right) \quad \text{pour} \quad \theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\right] \quad (15.47)
$$

On a :

$$
\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2 \tag{15.48}
$$

et :

$$
\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg z_1 - \arg z_2 \tag{15.49}
$$

On peut alors écrire :

$$
z = x + iy = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) \tag{15.50}
$$

et :

$$
z^* = x - iy = |z|(\cos\theta - i\sin\theta) \quad (15.51)
$$

À partir des développements en séries entières des fonctions exponentielles, cosinus et sinus, on
peut montrer³ que :

$$
e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \tag{15.57}
$$

3. Les développements en série entière de ces fonctions sont donnés par :

$$
\forall z \in \mathbb{C}, e^z = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!} = 1 + \frac{z}{1!} + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \dots \quad (15.52)
$$

$$
\forall z \in \mathbb{C}, \sin z = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \dots \quad (15.53)
$$

$$
\forall z \in \mathbb{C}, \cos z = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \dots \quad (15.54)
$$

Donc :

$$
e^{i\theta} = 1 + i\theta + \frac{i^2\theta^2}{2} + \frac{i^3\theta^3}{3!} + \frac{i^4\theta^4}{4!} + \dots \quad (15.55)
$$

$$
\begin{align*}
&= \left[ 1 - \frac{\theta^2}{2} + \frac{\theta^4}{4!} + \dots \right] + i \left[ \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \dots \right] \\
&= \cos\theta + i\sin\theta \tag{15.56}
\end{align*}
$$
qui est la formule d'Euler.

On a :

$$|e^{i\theta}| = \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1 \qquad (15.58)$$

On peut ainsi écrire z sous la forme :

$$z = |z|e^{i\theta} \quad \text{et} \quad z^* = |z|e^{-i\theta} \qquad (15.59)$$

Sous cette forme dite polaire, l'expression pour la multiplication et la division de deux nombres complexes $z_1 = e^{i\theta_1}$ et $z_2 = e^{i\theta_2}$ se simplifie beaucoup :

$$z_1 z_2 = e^{i(\theta_1 + \theta_2)}, \qquad \frac{z_1}{z_2} = e^{i(\theta_1 - \theta_2)} \qquad (15.60)$$

### 15.2.3 Notation complexe en physique

La notation complexe revient à utiliser la notation polaire pour simplifier certains calculs. Un signal physique (intensité, tension...) sinusoïdal s'écrivant :

$$y(t) = Y_m \cos(\omega t + \varphi) \qquad (15.61)$$

où $Y_m$ est l'amplitude du signal, peut être associé à un nombre complexe :

$$\underline{y}(t) = Y_m[\cos(\omega t + \varphi) + j \sin(\omega t + \varphi)] = Y_m e^{j(\omega t + \varphi)} = Y_m e^{j\varphi} \qquad (15.62)$$

Le nombre imaginaire $j$ correspond au $i$ utilisé en mathématique. On le note $j$ en électrocinétique pour éviter de le confondre avec l'intensité du courant.

On peut également définir une amplitude complexe :

$$\underline{Y} = Y_m e^{j\varphi}, \qquad (15.63)$$

dans ce cas :

$$\underline{y}(t) = \underline{Y} e^{j(\omega t)} \qquad (15.64)$$

Cette notation est un artifice de calcul, la partie imaginaire n'a aucune réalité physique. Une fois les calculs effectués, on revient au signal physique en prenant la partie réelle :

$$\underline{y}(t) = \operatorname{Re}(\underline{y}(t)) \qquad (15.65)$$

De même l'amplitude et la phase du signal sont donnés par :

$$Y_m = |\underline{Y}| = |\underline{y}(t)| \quad \text{et} \quad \varphi = \arg(\underline{Y}) \qquad (15.66)$$

### 15.2.4 Intérêt de la notation complexe

Soit une tension $u(t)$ sous forme complexe :

$$\underline{u}(t) = U_0 \exp[j(\omega t + \varphi)] \qquad (15.67)$$

Les opérations de dérivation et d'intégration par rapport au temps se résument à multiplier et diviser par le facteur $j\omega$ :

$$\frac{d\underline{u}(t)}{dt} = U_0 \times j\omega \times \exp[j(\omega t + \varphi)] = j\omega \cdot \underline{u}(t) \qquad (15.68)$$

et :

$$\int \underline{u}(t) dt = U_0 \frac{\exp[j(\omega t + \varphi)]}{j\omega} = \frac{\underline{u}(t)}{j\omega} \qquad (15.69)$$
### 15.2.5 Impédance complexe d'un dipôle symétrique

En régime sinusoïdal un dipôle linéaire est décrit par sa relation caractéristique, dont la forme générale est :

$$a_0 u + a_1 \frac{du}{dt} + a_2 \frac{d^2 u}{dt^2} + \dots = b_0 i + b_1 \frac{di}{dt} + b_2 \frac{d^2 i}{dt^2} + \dots \quad (15.70)$$

où les $a_i$ et $b_i$ sont des constantes.

En utilisant la notation complexe, cela donne :

$$[a_0 + a_1(j\omega) + a_2(j\omega)^2 + \dots] \underline{u} = [b_0 + b_1(j\omega) + b_2(j\omega)^2 + \dots] \underline{i} \quad (15.71)$$

Pour un dipôle linéaire symétrique, dont la caractéristique s'annule en zéro, nous obtenons :

$$\boxed{\underline{u} = \underline{Z} \cdot \underline{i}}, \quad \text{avec} \quad \underline{Z}(\omega) = \frac{b_0 + b_1(j\omega) + b_2(j\omega)^2 + \dots}{a_0 + a_1(j\omega) + a_2(j\omega)^2 + \dots} \quad (15.72)$$

La grandeur $\underline{Z}$ est l'impédance du dipôle, elle le caractérise complètement. Elle dépend a priori de la pulsation $\omega$.

L'impédance complexe relie la tension et l'intensité qui sont, pour un dipôle linéaire, deux fonctions sinusoïdales de même pulsation :

$$\left\{ \begin{array}{l} \underline{u} = U_0 \exp[j(\omega t + \varphi_u)] \\ \underline{i} = I_0 \exp[j(\omega t + \varphi_i)] \end{array} \right. \Rightarrow \underline{Z} = \frac{U_0}{I_0} \exp[j(\varphi_u - \varphi_i)] \quad (15.73)$$

L'impédance se manipule comme une résistance (associations séries et parallèles, notamment). Son module se mesure en $\Omega$.

Le module de l'impédance correspond au rapport entre les amplitudes $U_0$ de la tension et $I_0$ de l'intensité, tandis que sa phase traduit le déphasage entre ces deux grandeurs.

#### Impédance des dipôles symétriques usuels

##### Résistance

$$\underline{u} = R \underline{i} \quad \rightarrow \quad \boxed{\underline{Z_R} = R} \quad (15.74)$$

L'impédance de la résistance est réelle, la tension et l'intensité sont en phase (figure 15.4a).

**Bobine** : pour une inductance idéale, on a :

$$\underline{u} = L \frac{di}{dt} = jL\omega i \quad \rightarrow \quad \boxed{\underline{Z_L} = jL\omega} \quad (15.75)$$

La phase de l'impédance vaut $\varphi_u - \varphi_i = +\pi/2$ car $j = e^{j\pi/2}$, ce qui signifie que la tension précède l'intensité en régime sinusoïdal (figure 15.4b). En effet, une bobine retarde l'établissement du courant qui la traverse. Elle s'oppose aux variations brusques de courant$^4$.

L'impédance d'une bobine tend vers 0 quand $\omega \to 0$ (court-circuit); elle tend vers l'infini à haute fréquence (circuit ouvert).

$$E_P = \frac{1}{2} Li^2 \quad (15.76)$$

et la force qui dérive de cette énergie s'écrit :

$$\vec{F} = - \overrightarrow{\text{grad } E_P} \quad (15.77)$$

Ainsi, $E_P$ ne peut varier brusquement, sinon $\vec{F} \to \infty$. Donc $i$ est nécessairement continu.

<footnote n="4">4. L'énergie potentielle emmagasinée par une bobine est :</footnote>
<figure><img src="image_172.png" /><figcaption>FIGURE 15.4 – Illustration des impédances complexes des trois dipôles usuels, montrant le déphasage entre la tension et le courant : à gauche sur le plan complexe (représentation de Fresnel) et à droite sur un signal sinusoïdal.</figcaption></figure>

**Capacité idéale** : pour une capacité idéale, on a :

$$ \underline{i} = C \frac{du}{dt} = jC\omega\underline{u} \quad \rightarrow \quad \boxed{\frac{Z_C}{jC\omega} = \frac{1}{C\omega} \exp(-j\frac{\pi}{2})} \qquad (15.78) $$

Cette fois, la phase de l'impédance vaut : $\varphi_u - \varphi_i = -\pi/2$ car $1/j = -j = e^{-j\pi/2}$. L'intensité précède la tension aux bornes du condensateur (figure 15.4c). En effet, le courant charge le condensateur dont la tension augmente progressivement.

L'impédance d'une capacité tend vers l'infini quand $\omega \to 0$ (circuit ouvert); elle tend vers zéro à haute fréquence (court-circuit).

### 15.2.6 Lois de l'électricité en régime sinusoïdal

Les lois structurelles du circuit vues à la section 13.3.2, page 194, se transposent au cas des régimes sinusoïdaux en utilisant les notations complexes.

Les lois de Kirchhoff (loi des branches, loi des mailles, loi des nœuds) s'appliquent que les composants soient linéaires ou non, mais nécessitent des régimes lentement variables pour cela. Pour un régime sinusoïdal, il faut donc vérifier que la pulsation est suffisamment faible compte tenu des dimensions du circuit (voir section 13.1.1) pour pouvoir négliger la propagation du potentiel électrique.

De la même façon que l'on associe des résistances (section 13.4.4) on peut associer des impédances en notation complexe (et donc également des inductances et des capacités).

La formule du pont diviseur est également valable en notation complexe.
## 15.3 Chaîne de traitement du signal et quadripôle

Beaucoup de circuits électroniques prennent la forme d'une chaîne de traitement du signal, c'est-à-dire d'une succession de blocs effectuant chacun une opération particulière sur la tension qui leur est appliquée. Chaque étape de la chaîne constitue un quadripôle.

La chaîne est alimentée par un signal quelconque que nous pouvons interpréter comme une somme de composantes sinusoïdales, les harmoniques. L'étude de la réponse d'un quadripôle donné à un harmonique de fréquence donnée permettra de traiter la réponse de la chaîne entière à un signal quelconque.

Un quadripôle (figure 15.5) est une portion de circuit comportant quatre bornes, deux d'entre elles permettant de lui appliquer une tension d'entrée $u_E$, les deux autres délivrant une tension de sortie $u_S$. Une borne commune à l'entrée et la sortie constitue la masse. La masse étant le point du circuit de référence des potentiels électriques, dont le potentiel est généralement choisi arbitrairement nul.

<figure><img src="image_173.png" /><figcaption>FIGURE 15.5 – Schéma d'un quadripôle.</figcaption></figure>

### 15.3.1 Fonction de transfert

Afin de caractériser l'action d'un quadripôle sur un signal, appliquons une tension sinusoïdale $u_E$ à ce quadripôle et mesurons la tension « à vide » de sortie $u_S$, c'est-à-dire quand aucun courant ne sort du quadripôle par les bornes de sortie (non connectées).

La fonction de transfert complexe $\underline{H}$ du quadripôle est définie comme le rapport (sans dimension) des tensions complexes de sortie (à vide!!) et d'entrée :

$$ \underline{H} = \frac{u_S}{u_E} \qquad (15.79) $$

Lorsque tous les composants d'un quadripôle sont linéaires, un signal d'entrée sinusoïdal $u_E$ de pulsation $\omega$ engendre un signal de sortie sinusoïdal $u_S$ de même pulsation. La dépendance temporelle de ces deux signaux se neutralisent dans la fonction de transfert $\underline{H}$, qui est indépendante du temps :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \underline{u}_E(t) = U_E \exp(j(\omega t + \varphi_E)) \\ \underline{u}_S(t) = U_S \exp(j(\omega t + \varphi_S)) \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \underline{H} = \frac{U_S}{U_E} \exp(j(\varphi_S - \varphi_E)) \qquad (15.80) $$

Cette fonction de transfert rassemble les informations sur l'amplitude et la phase du signal de sortie. Dans la majorité des cas, elle dépend de la pulsation $\omega$ du signal d'entrée : les différentes composantes fréquentielles du signal d'entrée sont alors traitées différemment par le quadripôle, qui constitue ainsi un filtre.

Un filtre est un quadripôle linéaire dont la fonction de transfert dépend de la pulsation $\omega$. Cette fonction peut s'exprimer comme le rapport de deux polynômes $\underline{N}(\omega)$ et $\underline{D}(\omega)$ :

$$ \underline{H}(\omega) = \frac{\underline{N}(\omega)}{\underline{D}(\omega)}, \qquad (15.81) $$

l'ordre du filtre est l'exposant le plus élevé qui apparaît dans ces deux polynômes.
Exemple du quadripôle RC

On considère le quadripôle RC de la figure 15.6a. La fonction de transfert de ce quadripôle est donnée par un pont diviseur de tension entre la résistance et le condensateur :

$$
\underline{u}_S = \left( \frac{\frac{1}{jC\omega}}{R + \frac{1}{jC\omega}} \right) \underline{u}_E = \frac{1}{1 + jRC\omega} \underline{u}_E \qquad (15.82)
$$

d'où la fonction de transfert :

$$
\underline{H}_{\text{vert}} = \frac{1}{1 + jRC\omega} \qquad (15.83)
$$

<figure><img src="image_174.png" /><figcaption>FIGURE 15.6 – Exemples de quadripôles.</figcaption></figure>

Si on échange la résistance et le condensateur, on obtient le quadripôle de la figure 15.6b, pour
lequel :

$$
\underline{u}_S = \left( \frac{R}{R + \frac{1}{jC\omega}} \right) \underline{u}_E = \frac{jRC\omega}{1 + jRC\omega} \underline{u}_E \quad (15.84)
$$

d'où la fonction de transfert :

$$
\underline{H}_{\text{bleu}} = \frac{jRC\omega}{1 + jRC\omega} \qquad (15.85)
$$

La somme de ces deux fonctions de transfert vaut 1 : $\underline{H}_{\text{vert}} + \underline{H}_{\text{bleu}} = 1$.

Ces deux fonctions de transfert sont des filtres du premier ordre.

Un quadripôle linéaire apparaît ainsi comme une « boîte noire » dont la fonction de transfert permet de prévoir le comportement sans avoir à entrer dans le détail de ses composants.

**15.3.2 Modélisation d'un quadripôle linéaire**

Nous avons vu que la fonction de transfert d'un quadripôle était calculée « à vide », sans qu'aucun dipôle ne soit connecté à sa sortie. Qu'en est-il lorsque le quadripôle est inséré dans un circuit ?

Inséré dans un circuit, un quadripôle perturbe les éléments placés en amont, de même qu'il est
perturbé par ceux placés en aval. Pour tenir compte de cela, on modélise le quadripôle par :

→ son **impédance d'entrée** $\underline{Z}_E$ calculée à vide (aucun dipôle n'étant connecté à la sortie, soit $i_S = 0$).

→ son **impédance de sortie** Zs calculée en court-circuitant l'entrée, soit uE = 0.

-> sa fonction de transfert H calculée à vide (aucun dipôle n'étant connecté à la sortie, soit iS = 0).

Un quadripôle linéaire se modélise comme sur la figure 15.7.
<figure><img src="image_175.png" /><figcaption>FIGURE 15.7 – Vu de l'extérieur, un quadripôle linéaire quelconque est équivalent à une impédance $Z_E$ placée entre ses bornes d'entrée et une source réelle d'impédance $Z_S$ et de force électromotrice $H u_F$ placée entre ses bornes de sortie.</figcaption></figure>

### Exemple du quadripôle RC

On prend l'exemple du quadripôle RC de la figure 15.6a.

**Impédance d'entrée** L'impédance d'entrée, complexe, est telle que :

$$ \underline{Z_E} = \frac{u_E}{i_E} \qquad (15.86) $$

soit, ici :

$$ \underline{u_E} = \left( R + \frac{1}{jC\omega} \right) \underline{i_E} \qquad (15.87) $$

donc :

$$ \underline{Z_E} = R + \frac{1}{jC\omega} \qquad (15.88) $$

**Impédance de sortie** L'impédance de sortie est telle que :

$$ \underline{Z_S} = \frac{u_S}{i_S} \qquad (15.89) $$

Annuler la tension d'entrée, revient ici à placer les deux dipôles R et C en parallèle, donc :

$$ \frac{1}{\underline{Z_S}} = \frac{1}{R} + jC\omega \qquad (15.90) $$

soit :

$$ \underline{Z_S} = \frac{R}{R + jC\omega} \qquad (15.91) $$

### Chaîne de quadripôles

En mettant en cascade différents quadripôles (chaîne de traitement du signal), on pourrait être tenté de multiplier leurs fonctions de transfert en tant que fonction de transfert équivalente. Par exemple, pour deux quadripôles en cascade, 1 et 2, on a :

$$ \underline{H_1} = \frac{u_S^1}{u_E^1} \quad \text{et} \quad \underline{H_2} = \frac{u_S^2}{u_E^2} \qquad (15.92) $$

mais : $\underline{u_S^1} = \underline{u_E^2} = \underline{u_I}$, donc :

$$ \underline{H_{\text{éq}}} = \frac{u_S}{u_E} = \frac{u_S^2}{u_E^1} = \underline{H_1} \cdot \underline{H_2} \qquad (15.93) $$
Mais cela n'est vrai que si les deux quadripôles ne sont pas connectés (fonction de transfert à vide). Avec des quadripôles connectés, la modélisation précédente (voir la figure 15.8) modifie la valeur de la tension intermédiaire $u_I$, affectée par la présence du quadripôle 2, selon (diviseur de tension) :

$$ \underline{u_I} = \left( \frac{\underline{Z_E^2}}{\underline{Z_S^1} + \underline{Z_E^2}} \right) \underline{H_1} \cdot \underline{u_E^1} \qquad (15.94) $$

donc :

$$ \underline{u_S^2} = \underline{H_2 u_I} = \underline{H_1} \cdot \underline{H_2} \left( \frac{\underline{Z_E^2}}{\underline{Z_S^1} + \underline{Z_E^2}} \right) \underline{u_E^1} \qquad (15.95) $$

Soit :

$$ \underline{H_{\text{eq}}} = \frac{\underline{u_S^2}}{\underline{u_E^1}} = \left( \frac{\underline{Z_E^2}}{\underline{Z_S^1} + \underline{Z_E^2}} \right) \underline{H_1} \cdot \underline{H_2} \neq \underline{H_1} \cdot \underline{H_2} \qquad (15.96) $$

<figure><img src="image_176.png" /><figcaption>FIGURE 15.8 – Modélisation de deux quadripôles en cascade.</figcaption></figure>

Pour minimiser cet effet, il faudrait que $|\underline{Z_S^1}| \ll |\underline{Z_E^2}|$. Une solution à ce problème est d'intercaler un quadripôle actif (c'est-à-dire alimenté autrement que par le circuit) qui a la particularité d'avoir une impédance d'entrée très élevée (de l'ordre de $10^{12} \Omega$), une impédance de sortie très faible (de l'ordre de 50 Ω) et une fonction de transfert unité. Ce quadripôle est un amplificateur opérationnel, aussi appelé *montage suiveur*, étudié dans d'autres cours. En intercalant ce type de quadripôle entre deux quadripôles, on s'assure que la fonction de transfert équivalente à l'ensemble est le produit des fonctions de transfert.

## 15.4 Diagramme de Bode d'un quadripôle linéaire

Hendrik Wade Bode (ingénieur et inventeur américain – 1905-1982), des Laboratoires Bell, a proposé ce diagramme pour l'étude graphique simple d'un asservissement et de la contre-réaction dans un dispositif électronique. Il permet de visualiser rapidement la marge de gain, la marge de phase, le gain continu, la bande passante, le rejet des perturbations et la stabilité des systèmes à partir de la fonction de transfert.

Dans le cadre de ce cours nous nous limitons aux systèmes du premier ordre.

### 15.4.1 Représentation de Bode

Pour chaque composante $\omega$ du signal d'entrée, la fonction de transfert (complexe) permet de déterminer l'amplitude et la phase du signal de sortie (voir la figure 15.9a) :

$$ \underline{H}(\omega) = \frac{\underline{u_S}(\omega)}{\underline{u_E}(\omega)} = \left[ \frac{\underline{U_S}(\omega)}{\underline{U_E}(\omega)} \right] \exp[j(\varphi_S(\omega) - \varphi_E(\omega))] \qquad (15.97) $$

On distingue les deux effets, amplitude et phase, en écrivant la fonction de transfert complexe sous forme polaire (voir figure 15.9b) :

$$ \underline{H}(\omega) = G(\omega) \exp(j\varphi(\omega)) \qquad (15.98) $$
<figure><img src="image_177.png" /></figure>

(a) Représentation des signaux d'entrée et de sortie dans
le plan complexe.

<figure><img src="image_178.png" /></figure>

(b) Représentation de la fonction de transfert dans le plan complexe.

FIGURE 15.9 – Représentation des signaux d'entrée et de sortie, ainsi que de la fonction de transfert dans le plan complexe.

→ Le terme *G* est appelé **gain du quadripôle** et correspond au rapport des amplitudes des signaux de sortie et d'entrée.

→ Le terme $\varphi$ est appelé **phase du quadripôle** et correspond au déphasage entre les signaux de sortie et d'entrée.

On a :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
G(\omega) \\
\varphi = \arg(H) \quad \text{tel que :} \quad \tan \varphi = \displaystyle\frac{\operatorname{Im}(\underline{H})}{\operatorname{Re}(\underline{H})}
\end{array}
\right.
\qquad (15.99)
$$

Par convention, ces propriétés d'un quadripôle sont présentées par le tracé en échelle logarith-
mique des deux courbes correspondantes, ce qui constitue le **diagramme de Bode**.

Pour chacune de ces deux courbes, on place en abscisse le logarithme décimal de la variable x réduite :

$$
\log(x) = \log\left(\frac{f}{f_0}\right) = \log\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) \qquad (15.100)
$$

La fréquence de référence *f*₀ (ou pulsation de référence *ω*₀) est choisie arbitrairement.

Sur le premier graphe, l'ordonnée est donnée par le gain en décibel G<sub>dB</sub>, obtenu selon :

$$
G_{dB} = 20 \log G \qquad (15.101)
$$

Remarque : le gain en décibels est sans dimensions.

Sur le second graphe, on place la phase en échelle linéaire.

15.4.2 Choix du décibel

Le *bel* (B) est défini comme le logarithme décimal du rapport entre deux puissances en télécommunica-
tions, électronique ou acoustique. Il est ainsi nommé d'après le pionnier des télécommunica-
tions Alexandre Graham Bell (1847-1922). Le bel est peu utilisé seule la sous-unité *décibel* (dB) (un
dixième de bel) l'est :

$$
X_B = \log \frac{P}{P_0} = 10 \cdot X_{dB} \qquad (15.102)
$$

donc :

$$
X_{\text{dB}} = 10 \cdot \log \frac{P}{P_0} \qquad (15.103)
$$
où P est une puissance, et $P_0$ une puissance de référence<fnref n="5" />.

Une fonction de transfert peut mettre en œuvre des tensions ou des courants en électrocinétique, mais le concept peut également s'appliquer dans d'autres domaines des sciences (vitesse, pression, etc). Les grandeurs énergétiques (puissance) varient toujours comme le carré des grandeurs dite de champ. Ainsi :

$$X_{\text{dB}} = 20 \cdot \log \frac{U}{U_0} \qquad (15.104)$$

où $U$ (et $U_0$) sont des grandeurs de champ (tension, par exemple), avec $P \propto U^2$. On peut noter quelques valeurs à avoir en tête dans le tableau 15.1.

<table><caption>TABLE 15.1 – Quelques valeurs en décibels.</caption><thead><tr><th></th><th>3 dB</th><th>6 dB</th><th>10 dB</th><th>20 dB</th></tr></thead><tbody><tr><th>Puissance</th><td>× 2</td><td>× 4</td><td>× 10</td><td>× 100</td></tr><tr><th>Tension</th><td>× √2</td><td>× 2</td><td>× √10</td><td>× 10</td></tr></tbody></table>

### 15.4.3 Exemple pour le quadripôle RC

<figure><img src="image_179.png" /><figcaption>FIGURE 15.10 – Quadripôle RC.</figcaption></figure>

On s'intéresse au quadripôle RC de la figure 15.10. On a vu que (15.83) :

$$\underline{H}_{\text{RC}} = \frac{1}{1 + jRC\omega} \qquad (15.105)$$

On note $\omega_0 = \frac{1}{RC}$ et $x = \frac{\omega}{\omega_0}$, ce qui donne :

$$\underline{H}_{\text{RC}} = \frac{1}{1 + jx} = \frac{1 - jx}{1 + x^2} \qquad (15.106)$$

On obtient alors :

$$G(x) = \sqrt{\frac{1}{1+jx} \cdot \frac{1}{1-jx}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \quad \Rightarrow \quad G_{\text{dB}} = 20 \cdot \log \left( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right) \qquad (15.107)$$

et :

$$\left\{ \begin{array}{l} \operatorname{Re}(\underline{H}) = \frac{1}{1+x^2} \\ \\ \operatorname{Im}(\underline{H}) = \frac{-x}{1+x^2} \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \tan \varphi = \frac{\operatorname{Im}(\underline{H})}{\operatorname{Re}(\underline{H})} = -x \qquad (15.108)$$

<footnote n="5">5. Par exemple, si le rapport entre les puissances est de $10^2$, cela fait 2 B ou 20 dB.</footnote>
Les courbes correspondantes sont représentées sur la figure 15.11. Le tracé du gain montre une courbe horizontale pour $log(x) < 0$, qui s'incurve en zéro pour prendre la forme d'une droite de pente -20 décibels.

Il s'agit ainsi d'un filtre *passe-bas*: les basses fréquences ($log(x) < 0$) ont un gain en décibels nul, donc un gain réel unitaire, tandis que les hautes fréquences ($log(x) > 0$) ont un gain en décibels très négatif, donc un gain réel très petit devant un. Les basses fréquences ne sont pas modifiées, tandis que les hautes fréquences sont très atténuées. Le filtre laisse donc *passer* les basses fréquences et « coupe » les hautes fréquences.

<figure><img src="image_180.png" /><figcaption>FIGURE 15.11 – Diagramme de Bode (gain en haut, phase en bas), du circuit RC.</figcaption></figure>

### 15.4.4 Diagramme asymptotique

Les courbes de gain, comme celle de la figure 15.11 font souvent apparaître des zones où le tracé est rectiligne. Elles admettent des asymptotes à basse et haute fréquences.

#### Exemple du quadripôle RC

Aux basses fréquences ($x \to 0$ ou $log(x) \to -\infty$), le gain en décibels est nul. Sur le diagramme de Bode, cela correspond à une asymptote horizontale :

$$ \lim_{x \to 0} G_{\text{dB}}(x) = \lim_{x \to 0} \left[ 20 \cdot \log \left( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \right) \right] = 0 \qquad (15.109) $$

Aux hautes fréquences ($x \to +\infty$ ou $log(x) \to +\infty$), on a la fonction équivalente :

$$ G_{\text{dB}}(x)|_{x \to +\infty} = \left[ 20 \cdot \log \left( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \right) \right]_{x \to +\infty} \sim -20 \log(x) \qquad (15.110) $$

Dans ce cas, le gain en décibels admet une asymptote de pente -20 dB, passant par l'origine. Les deux asymptotes se coupent en $x = 1$ (figure 15.12).

Pour tracer un diagramme de Bode, on commence par les asymptotes, puis on étudie la fonction pour effectuer le tracé au milieu. La dérivée du gain donne la présence d'un éventuel extremum. Dans
<figure><img src="image_181.png" /><figcaption>FIGURE 15.12 – Diagramme asymptotique de Bode du circuit RC et coupure à -3 dB.</figcaption></figure>

le cas du quadripôle RC, on a :

$$G(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \quad \Rightarrow \quad \frac{dG}{dx} = \frac{-x}{(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}} < 0 \qquad (15.111)$$

donc le gain est monotone décroissant, y compris en décibels.

### 15.4.5 Pulsation de coupure et bande passante

Le diagramme de Bode des figures 15.11 et 15.12 fait apparaître une asymptote de pente -20 décibels par décade (une décade est une variation de 1 unité de log(x), donc un facteur 10 pour $\omega$) en $+\infty$. Pour les hautes fréquences ($x \to +\infty$), le gain en décibel tend vers $-\infty$, donc le gain tend vers zéro : les harmoniques correspondants ne sont pas transmis par le filtre.

Par convention, nous considérons qu'une composante sinusoïdale est coupée au-delà de la **pulsation de coupure**.

Les **pulsations de coupure** d'un filtre correspondent aux valeurs de la pulsation pour lesquelles le gain du filtre est réduit d'un facteur $\sqrt{2}$ par rapport à sa valeur maximale :

$$G(\omega_c) = \frac{G_{\max}}{\sqrt{2}} \qquad (15.112)$$

où $\omega_c$ est la pulsation de coupure (en rad·s⁻¹) et $G_{\max}$ est le gain maximal.

À partir du gain en décibels, on a :

$$20\log(G(\omega_c)) = 20\log\left(\frac{G_{\max}}{\sqrt{2}}\right) \qquad (15.113)$$

soit :

$$G_{\text{dB}}(\omega_c) = 20\log(G_{\max}) - 10\log(2) \qquad (15.114)$$

Numériquement, le facteur : $-10\log(2) = -3$ (à 3 ‰ près), d'où le terme de **coupure à 3 décibels** habituellement utilisé.

Les pulsations de coupure du filtre permettent de définir la **bande passante** du filtre, ainsi que les bandes coupées.

Les zones du diagramme de Bode pour lesquelles le gain est supérieur à sa valeur de coupure constituent la **bande passante**.

La forme de la bande passante est directement liée à la nature du filtre :

* La bande passante d'un filtre *passe bas* s'étend sur un intervalle de pulsations $[0, \omega_c]$.

* La bande passante d'un filtre *passe haut* s'étend sur un intervalle $[\omega_c, +\infty[$.

* La bande passante d'un filtre *passe bande* s'étend sur un intervalle $[\omega_{c1}, \omega_{c2}]$.
→ La bande passante d'un filtre coupe bande s'étend sur un intervalle $[0, \omega_c1] \cup [\omega_c2, +\infty[$.

Le quadripôle RC étudié ici est donc un filtre passe-bas. La coupure à -3 dB se trouve à l'intersec-
tion des asymptotes (figure 15.12). Le gain maximal vaut un, à la fréquence nulle. La fréquence de
coupure vérifie :

$$
\frac{1}{\sqrt{1 + x_c^2}} = \frac{G_{\max}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \qquad (15.115)
$$

soit :

$$
1 + x_c^2 = 2 \quad \text{soit} \quad x_c = \pm 1 \tag{15.116}
$$

On a ainsi :

$$
\frac{\omega_c}{\omega_0} = \pm 1 \tag{15.117}
$$

soit la seule solution positive :

$$
\omega_c = \omega_0 = \frac{1}{RC} \tag{15.118}
$$

15.4.6 Méthode pour tracer le diagramme de Bode d'un filtre

1. Déterminer la fonction de transfert $\underline{H}(j\omega)$ du filtre en appliquant les diviseurs de tension et des associations d'impédances.

2. Écrire la fonction de transfert $\underline{H}(j\omega)$ comme le rapport de deux polynômes $\underline{N}(j\omega)$ et $\underline{D}(j\omega)$. Pour un filtre du premier ordre, faire apparaître la pulsation de référence $\omega_{\text{réf}}$ en mettant le dénominateur sous la forme :

$$
\underline{D}(jx) = 1 + jx \quad \text{avec} \quad x = \frac{\omega}{\omega_{\text{réf}}} \qquad (15.119)
$$

3. Exprimer le gain en décibel $G(x) = 20\log|\underline{H}(jx)|$ et la phase $\varphi(x) = \arg(\underline{H}(jx))$ associés à la fonction de transfert $\underline{H}(jx)$.

4. Déterminer les fonctions vers lesquelles tend le gain en décibel aux basses fréquences ($x \to 0$), puis aux hautes fréquences ($x \to \infty$). En déduire les asymptotes correspondantes.

5. Déterminer les extrema éventuels du gain en décibels.

6. Tracer les asymptotes du diagramme de Bode, puis le gain G en fonction de log(x) en prenant en compte la présence d'extrema éventuels.

7. Déterminer les limites de la phase aux basses fréquences. En déduire les asymptotes corres-
pondantes. Tracer la phase $\varphi$ en fonction de log(x).

15.5 Applications du filtrage linéaire

15.5.1 Réponse d'un filtre linéaire à un signal périodique non sinusoïdal

En traitant un signal périodique non sinusoïdal avec un filtre linéaire, il est possible de supprि-
mer sélectivement certaines composantes de son spectre. On peut ainsi réaliser des opérations très
diverses : éliminer une composante continue, lisser un signal, supprimer des fréquences indésirables
ou sélectionner une plage de fréquence, moyenner, intégrer ou dériver un signal.

Éliminer la composante continue

On élimine la composante continue en utilisant un filtre passe haut dont la fréquence de cou-
pure est inférieure à la pulsation du fondamental (figure 15.13a) : tous les harmoniques sont ainsi
conservés et le signal est recentré sur une valeur moyenne nulle, sans subir de déformation.
## Lisser un signal

Pour lisser un signal, il faut enlever les composantes de hautes fréquences, qui traduisent des fluctuations sur des temps brefs, comme, par exemple, le bruit aléatoire lié aux erreurs aléatoires de l'acquisition (figure 15.13b)).

On utilise pour cela un passe bas dont la fréquence de coupure est supérieure à celle des derniers harmoniques significatifs du signal.

Remarque : en lissant un signal, on élimine nécessairement ses harmoniques à partir d'une certaine fréquence, ce qui équivaut à perdre une partie de l'information qu'il contient. Les détails correspondant à une variation rapide du signal sont perdus : la résolution est réduite.

## Couper des fréquences indésirables

* On peut isoler un signal de fréquence donnée parmi d'autres. Cette opération est réalisée par un filtre passe bande (étudié dans d'autres cours).

* On peut également chercher à réduire la quantité d'informations portée par le signal en couplant certaines fréquences indésirables, toujours avec un passe bande. Par exemple, pour restituer un signal sonore, il n'est pas utile de stocker ou de transmettre des fréquences non audibles par l'oreille humaine.

* On peut éliminer une fréquence parasite à l'aide d'un filtre coupe bande.

<figure><img src="image_182.png" /><figcaption>FIGURE 15.13 – Exemples de filtres pour éliminer le fond continu et lisser le signal.</figcaption></figure>
## 15.5.2 Réaliser des opérations analogiques

Les filtres du premier ordre peuvent être utilisés pour réaliser des opérations sur un signal analogique : l'intégrer, le moyenner ou le dériver.

### Intégrer avec un passe bas

On a :

$$ \underline{H}_{\text{passe bas}}(x) = \frac{1}{1 + jx} \qquad (15.120) $$

qui donne, pour des fréquences très grandes par rapport à la fréquence de coupure :

$$ \underline{H}_{\text{passe bas}}^{x \gg 1}(x) = \frac{1}{jx} \qquad (15.121) $$

soit :

$$ \underline{u}_S(x) \approx \frac{\underline{u}_E(x)}{jx} \qquad (15.122) $$

Pour un harmonique, cette opération équivaut, à une constante près, à une intégration. En effet, soit :

$$ \underline{u}_E(t) = U_E \exp(j\omega t + \varphi_E) \qquad (15.123) $$

on intègre :

$$ \int \underline{u}_E(t) dt = \frac{U_E \exp(j\omega + \varphi_E)}{j\omega} + \text{cte} \qquad (15.124) $$

soit, avec $x = \omega/\omega_0 = \omega/\omega_c$ :

$$ \int \underline{u}_E(t) dt = \frac{\underline{u}_E(t)}{j\omega} + \text{cte} = \frac{\underline{u}_E(t)}{jx\omega_c} + \text{cte} \qquad (15.125) $$

À la sortie du filtre, en considérant la constante d'intégration nulle, tous les harmoniques sont ainsi intégrés et multipliés par la pulsation de coupure $\omega_c$ :

$$ \underline{u}_S(x) \approx \frac{\underline{u}_E(x)}{jx} \quad \Rightarrow \quad \underline{u}_S(x) \approx \omega_c \int \underline{u}_E(t) dt \qquad (15.126) $$

Le signal de sortie est ainsi approximativement proportionnel à l'intégrale du signal d'entrée, à laquelle s'ajoute le fond continu non filtré.

Traité par ce montage pseudo intégrateur, un signal en créneau, constant par morceaux, conduit à un signal en triangle, un signal en triangle conduit à un signal parabolique (figure 15.14).

Un tel circuit est pseudo intégrateur parce qu'il n'intègre pas la totalité de la plage de fréquence : le fond continu, en particulier, est restitué à l'identique et non intégré.

Le filtre doit être adapté au signal à traiter : la fréquence de coupure doit s'approcher de l'harmonique fondamental, sans toutefois le dépasser.

### Moyenne avec un passe bas

Le circuit précédent peut être utilisé pour ne conserver que la composante continue du signal. Il suffit pour cela de choisir une pulsation de coupure très inférieure à celle de l'harmonique principal, de façon à rendre imperceptible l'ensemble des harmoniques du signal. On isole ainsi le fond continu ou, ce qui revient au même, on effectue la moyenne du signal d'entrée. C'est un circuit moyenneur.
<figure><img src="image_183.png" /><figcaption>FIGURE 15.14 – Réponse d'un circuit pseudo-intégrateur à un créneau et à un triangle.</figcaption></figure>

## Dériver avec un passe haut

Avec un circuit passe haut, dont la fonction de transfert s'écrit :

$$ \underline{H}_{\text{passe haut}}(x) = \frac{jx}{1 + jx} \qquad (15.127) $$

Pour des pulsations très inférieures à la pulsation de coupure, on a :

$$ \underline{H}_{\text{passe haut}}(x) \approx \begin{cases} jx & x \ll 1 \\ 0 & x \gg 1 \end{cases} \qquad (15.128) $$

soit :

$$ \underline{u}_S(x) \approx \begin{cases} jxu_E(x) & x \ll 1 \\ 0 & x \gg 1 \end{cases} \qquad (15.129) $$

Ce qui revient à dériver le signal d'entrée. Le montage obtenu est pseudo dérivateur car tous les harmoniques ne sont pas dérivés, notamment ceux au-dessus de la pulsation de coupure. Il est donc préférable de choisir une pulsation de coupure très supérieure au fondamental.
# Annexe A

## Systèmes de coordonnées

Un point M peut être représenté dans plusieurs systèmes de coordonnées.

* En coordonnées cartésiennes, les trois variables sont $(x, y, z) : \overrightarrow{OM} = x\vec{e}_x + y\vec{e}_y + z\vec{e}_z$.

* En coordonnées cylindriques, les trois variables sont $(r, \phi, z)$, avec $r \ge 0$ et $0 \le \phi \le 2\pi$. r désigne la distance entre le point M et l'axe $(Oz) : \overrightarrow{OM} = r\vec{e}_r + z\vec{e}_z$.

* En coordonnées sphériques, les trois variables sont $(r, \theta, \phi)$ avec $r \ge 0$, $0 \le \theta \le \pi$ et $0 \le \phi \le 2\pi$. r désigne la distance entre le point M et le point O : $\overrightarrow{OM} = r\vec{e}_r$.

La base des coordonnées cylindriques ($\vec{e}_r, \vec{e}_\phi, \vec{e}_z$) et la base des coordonnées sphériques ($\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\phi$) sont des bases locales. À l'exception du vecteur $\vec{e}_z$, les vecteurs unitaires de ces bases dépendent de la position du point M.

<figure><img src="image_184.png" /><figcaption>FIGURE A.1 – Systèmes de coordonnées.</figcaption></figure>

* Passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes et réciproquement :

$$ 
\begin{aligned}
x &= r \cos \phi \\
y &= r \sin \phi \\
z &= z
\end{aligned} 
\qquad 
\begin{aligned}
r &= \sqrt{x^2 + y^2} \\
\cos \phi &= \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \\
\sin \phi &= \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}
\end{aligned} 
\qquad 
\begin{aligned}
\vec{e}_r &= \cos \phi \vec{e}_x + \sin \phi \vec{e}_y \\
\vec{e}_\phi &= -\sin \phi \vec{e}_x + \cos \phi \vec{e}_y \\
\vec{e}_z &= \vec{e}_z
\end{aligned}
$$

Lorsque $z = 0$, on obtient le système des coordonnées polaires.
* Passage des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes et réciproquement :

$$
\begin{align*}
x &= r \sin \theta \cos \phi & r &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} & \vec{e}_r &= \sin \theta (\cos \phi \vec{e}_x + \sin \phi \vec{e}_y) + \cos \theta \vec{e}_z \\
y &= r \sin \theta \sin \phi & \tan \phi &= y/x & \vec{e}_\theta &= \cos \theta (\cos \phi \vec{e}_x + \sin \phi \vec{e}_y) - \sin \theta \vec{e}_z \\
z &= r \cos \theta & \cos \theta &= \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} & \vec{e}_\phi &= -\sin \phi \vec{e}_x + \cos \phi \vec{e}_y
\end{align*}
$$

Les déplacements élémentaires s’écrivent :

• en coordonnées cartésiennes : $d\vec{OM} = dx\vec{e}_x + dy\vec{e}_y + dz\vec{e}_z$

• en coordonnées cylindriques : $d\vec{OM} = dr\vec{e}_r + rd\phi\vec{e}_\phi + dz\vec{e}_z$

• en coordonnées sphériques : $d\vec{OM} = dr\vec{e}_r + rd\theta\vec{e}_\theta + r\sin\theta d\phi\vec{e}_\phi$

Les volumes élémentaires s'écrivent :

• en coordonnées cartésiennes : $dv = dxdydz$

• en coordonnées cylindriques : $dv = r dr d z d\phi$

• en coordonnées sphériques : $dv = r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi$
# Annexe B

## Formulaire d'analyse vectorielle

### B.1 Calcul vectoriel

$$ \overrightarrow{\text{rot grad } V} = \vec{0} \qquad (\text{B.1}) \qquad \overrightarrow{\text{grad}(V_1 V_2)} = V_1 \overrightarrow{\text{grad } V_2} + V_2 \overrightarrow{\text{grad } V_1} \qquad (\text{B.5}) $$

$$ \text{div} \vec{\text{rot } \vec{A}} = 0 \qquad (\text{B.2}) \qquad \vec{\text{rot}}(V \vec{A}) = V \vec{\text{rot}} \vec{A} + \overrightarrow{\text{grad}} V \wedge \vec{A} \qquad (\text{B.6}) $$

$$ \text{div} \vec{\text{grad } V} = \Delta V \qquad (\text{B.3}) \qquad \text{div}(V \vec{A}) = V \text{div} \vec{A} + \overrightarrow{\text{grad}} V \cdot \vec{A} \qquad (\text{B.7}) $$

$$ \vec{\text{rot}} \vec{\text{rot}} \vec{A} = \overrightarrow{\text{grad}} \text{div} \vec{A} - \Delta \vec{A} \qquad (\text{B.4}) \qquad \text{div}(\vec{A}_1 \wedge \vec{A}_2) = \vec{A}_2 \cdot \vec{\text{rot}} \vec{A}_1 - \vec{A}_1 \cdot \vec{\text{rot}} \vec{A}_2 \qquad (\text{B.8}) $$

### B.2 Coordonnées cartésiennes

<figure><img src="image_185.png" /></figure>

$$ \overrightarrow{\text{grad } V} = \frac{\partial V}{\partial x} \vec{e}_x + \frac{\partial V}{\partial y} \vec{e}_y + \frac{\partial V}{\partial z} \vec{e}_z \qquad (\text{B.9}) $$

$$ \text{div} \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \qquad (\text{B.10}) $$

$$ \vec{\text{rot}} \vec{A} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) \vec{e}_x + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) \vec{e}_y + \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) \vec{e}_z \qquad (\text{B.11}) $$

$$ \Delta V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} \qquad (\text{B.12}) $$
B.3 Coordonnées cylindriques

<figure><img src="image_186.png" /></figure>

$$
\overrightarrow{\text{grad } V} = \frac{\partial V}{\partial r} \vec{e}_r + \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial V}{\partial \phi} \vec{e}_\phi + \frac{\partial V}{\partial z} \vec{e}_z \quad (B.13)
$$

$$
\operatorname{div} \vec{A}=\frac{1}{r} \cdot \frac{\partial\left(r A_{r}\right)}{\partial r}+\frac{1}{r} \cdot \frac{\partial A_{\phi}}{\partial \phi}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z} \quad(\mathrm{~B} .14)
$$

$$
\overrightarrow{\text{rot } \vec{A}} = \left( \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial A_z}{\partial \phi} - \frac{\partial A_\phi}{\partial z} \right) \cdot \vec{e}_r + \left( \frac{\partial A_r}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial r} \right) \cdot \vec{e}_\phi \\
+ \frac{1}{r} \cdot \left( \frac{\partial(r A_\phi)}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial \phi} \right) \cdot \vec{e}_z \tag{B.15}
$$

$$
\Delta V = \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial V}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial^2 V}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} \quad (\text{B.16})
$$

B.4 Coordonnées sphériques

<figure><img src="image_187.png" /></figure>

$$
\overrightarrow{\text{grad } V} = \frac{\partial V}{\partial r} \vec{e}_r + \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial V}{\partial \theta} \vec{e}_\theta + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial V}{\partial \phi} \vec{e}_\phi \quad (B.17)
$$

$$
\operatorname{div} \vec{A} = \frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial(r^2 A_r)}{\partial r} + \frac{1}{r \sin\theta} \cdot \frac{\partial(\sin\theta A_\theta)}{\partial\theta} + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial\phi} \quad (\text{B.18})
$$

$$
\begin{align}
\overrightarrow{\text{rot } \vec{A}} &= \frac{1}{r \sin \theta} \cdot \left( \frac{\partial(\sin \theta A_{\phi})}{\partial \theta} - \frac{\partial A_{\theta}}{\partial \phi} \right) \cdot \vec{e}_r \nonumber \\
&\quad + \frac{1}{r} \cdot \left( \frac{1}{\sin \theta} \cdot \frac{\partial A_r}{\partial \phi} - \frac{\partial(r A_{\phi})}{\partial r} \right) \cdot \vec{e}_{\theta} \tag{B.19} \\
&\quad + \frac{1}{r} \cdot \left( \frac{\partial(r A_{\theta})}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right) \cdot \vec{e}_{\phi} \nonumber
\end{align}
$$

$$
\Delta V = \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial^2(rV)}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \cdot \frac{\partial}{\partial\theta} \left( \sin\theta \frac{\partial V}{\partial\theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 V}{\partial\phi^2} \quad (\text{B.20})
$$

B.5 Théorèmes

B.5.1 Théorème de Green-Ostrogradsky

S étant une surface fermée, τ le volume intérieur à S :

$$
\iint_{(S)} \vec{A} \cdot \vec{dS} = \iiint_{(\tau)} \operatorname{div} \vec{A} \cdot d\tau \qquad (B.21)
$$

B.5.2 Théorème de Stokes

C étant une courbe fermée bordant une surface S :

$$
\oint_{(C)} \vec{A} \cdot \vec{d\ell} = \iint_{(S)} \overrightarrow{\text{rot}} \vec{A} \cdot \vec{dS} \quad (B.22)
$$
# Annexe C

## Quelques notions de sécurité électrique

### C.1 Courant extérieur et intérieur

Le corps humain est conducteur de l'électricité. À la différence des métaux dans lesquels ce sont les électrons libres qui assurent la passage du courant, dans le corps humain, ce sont les ions en solution dans les milieux extracellulaires qui permettent la circulation du courant.

Le système nerveux utilise des courants électriques générés par des différences de concentrations ioniques de part et d'autre des membranes cellulaires pour communiquer et contrôler les différents organes. La circulation d'un courant provenant d'une source extérieure peut ainsi provoquer des effets dévastateurs en interférant avec cet influx nerveux.

### C.2 Électrisation

Pour qu'un courant s'établisse à travers le corps humain il faut qu'il devienne partie intégrante d'un circuit électrique fermé. Toucher un fil dénudé ne suffit généralement pas pour être traversé par un courant. Néanmoins, nous sommes généralement en contact avec le sol qui constitue un résevoir naturel de charges électriques (la terre a effectivement une capacité importante) : les charges peuvent transiter facilement à travers la terre. On peut ainsi toucher un fil électrique dénudé et éviter d'être traversé par un courant si on s'isole (électriquement) de la terre (du sol) avec des chaussures à semelles isolantes, par exemple.

Si jamais un courant traverse le corps humain, la personne subit une électrisation. Si l'électrisation entraîne la mort, on parle d'électrocution.

### C.3 Conséquences

La gravité des conséquences dépend uniquement de l'intensité du courant qui circule dans le corps (et dans une moindre mesure de la durée du passage du courant – voir la figure C.1) et de sa fréquence.

Ainsi pour des courants basse fréquence (entre 10 et 100 Hz), on a :

* $I < 0,5$ mA : pas de sensation;

* $0,5$ mA < $I$ < $10$ mA : sensation faible;

* $10$ mA < $I$ < $30$ mA : forte interaction avec le système nerveux, les muscles se contractent rendant très difficile la simple action de lâcher volontairement la source de courant. La durée de contact est très importante, les dégâts augmentent avec la durée, pour une intensité donnée;

* $30$ mA < $I$ < $50 - 75$ mA : seuil de paralysie respiratoire;

* $50 - 75$ mA < $I$ < $1000$ mA : seuil de fibrillation cardiaque (désorganisation du rythme cardiaque) irréversible : le muscle cardiaque est victime de fibrillations ventriculaires associées à une désynchronisation du mécanisme du pompage du sang, ce qui fait chuter le débit sanguin
<figure><img src="image_188.png" /><figcaption>FIGURE C.1 – Effets du passage d'un courant à travers le corps humain en fonction de l'intensité du courant et de la durée de l'électrisation, pour des fréquences de 10 à 100 Hz. D'après la norme IEC 479-2 (1984).</figcaption></figure>

en deçà du minimum vital. On peut néanmoins survivre à un courant de plusieurs ampères s'il est de courte durée : une telle décharge paralyse complètement le cœur, mais celui-ci peut reprendre une fois le choc passé (principe du défibrillateur, appareil qui délivre une brève et intense décharge électrique dans le cœur dans l'espoir de lui faire reprendre son rythme normal).

→ 1000 mA ≲ I : arrêt cardiaque.

En plus des effets sur le système nerveux et les muscles, les forts courants provoquent des brûlures par effet Joule.

La résistance électrique du corps humain est composée de plusieurs résistances en série et/ou en parallèle selon le trajet du courant dans le corps, d'après la loi d'Ohm. La peau a ainsi une résistance variant de 500 Ω (peau fine et humide) à $2 \cdot 10^6$ Ω pour une peau sèche et calleuse. Les autres tissus ont des résistances variables, le plus souvent faible (900 Ω pour le foie), mais élevée pour les os (300000 Ω).

Pour le corps entier, la résistance varie typiquement de $10^4$ à $10^6$ Ω si la peau est sèche. Ainsi pour une tension de 220 V, on s'expose au maximum à des courants de l'ordre de 20 mA, et donc à des contractions musculaires : il convient néanmoins de limiter la durée du courant à 1 seconde, au-delà de laquelle la paralysie respiratoire guette.

Par contre, si la peau est humide la résistance du corps chute à ~ $10^3$ Ω. Dans ce cas, avec une tension de 220 V, les courants pouvant traverser le corps sont de l'ordre de 220 mA. Au-delà d'une exposition brève (50 ms), la paralysie respiratoire guette. Si un contact avec l'intérieur du corps est établi (par une lésion cutanée), la résistance chute à quelques dizaines d'ohms.

## C.4 Protection

Dans les installations électriques domestiques, on installe un disjoncteur différentiel. Ce dispositif permet de détecter une différence entre l'intensité du courant dans une des phases et celle dans le
neutre, ce qui implique un courant de fuite vers la terre ou vers un corps humain puis vers la terre, en fonctionnement « normal » l'intensité du courant est la même dans tout le circuit. Si ce courant de fuite est supérieur à 30 mA (seuil de paralysie respiratoire), le disjoncteur actionne un interrupteur qui coupe le courant (figure C.2).

Le fonctionnement du disjoncteur différentiel est simple : chaque conducteur passe dans un circuit magnétique (en général torique), formant ainsi des champs électromagnétiques identiques et en opposition qui s'annulent. En cas de différence, d'où son nom de différentiel, le champ électromagnétique résultant actionne un dispositif qui coupe rapidement le courant (voir la partie du cours sur l'induction).

<figure><img src="image_189.png" /><figcaption>FIGURE C.2 – Principe de fonctionnement du disjoncteur différentiel. Source : http://energie-developpement.blogspot.com/2012/07/interrupteur-differentiel-disjoncteur-securite-electrique.html.</figcaption></figure>
Annexe D

L'orage et la foudre

Le texte qui suit a été écrit pour le magazine *Carnets d'Aventures* n° 61, d'octobre-décembre 2020.
# ORAGE ET FOUDRE

## TEXTE ET ILLUSTRATIONS

Guillaume Blanc · gblanc.fr

Éclair photographié en septembre 1999 depuis l'observatoire du Pic du Midi. Photo : Guillaume Blanc.

<figure><img src="image_190.png" /></figure>

Un claquement, fort, puissant, ébranle la sarabande des masses d'air. Une presse, celle du ciel, se met en contact avec une autre, celle de la terre et j'ai la sale impression d'être écra- sée entre les deux. Fugitive vision d'un éclair blanc qui sort de mes pieds, paralyse qui me saisit, m'engourdit, rigidifie tous mes membres, bloque la course du sang dans mes arêtes. Ins- tantanément, je me durcis comme du verre. Dans un ralentit qui semble infiniment amer, quelqu'un me fauche les jambes, je pars en arrière, heureusement l'arête est large à cet endroit, et je ne chute pas dans le vide mais sur une caillasse saturée d'électricité et d'ozone. Le verre se brise, je m'avachis, comprends ce qui m'arrive, re- couvre ma mobilité, hurdle, un mélange de colère et de peur dans la voix : « La foudre l'ai pris la foudre ! Remonte, vite !. »» Lionel Daudet, Le tour de la France exactement

## LA CHARGE ET AUTRES DÉLICES ÉLECTRIQUES

Les constituants élémentaires de la matière possèdent une propriété physique qui s'appelle la *charge électrique*, qui peut avoir trois états : *positive*, *négative* ou *neutre*. Cette par- ticularité fut mise en évidence à partir du XVIIIᵉ siècle grâce à la force induite entre deux objets chargés : ils se repoussent si leurs charges sont de mêmes signes, ils s'attirent si elles sont de signes contraires. Rien ne se passe entre deux objets neutres. Au fur et à mesure que les connaissances ont pro- gressé, on s'est rendu compte que la matière est constituée d'atomes, eux-mêmes constitués d'électrons orbitant autour d'un noyau. Les électrons sont des particules élémentaires de charge négative, tandis que les noyaux sont de charge positive. Dans un atome, il y a autant de charges négatives que de charges positives, il est neutre. La matière est donc *neutre*. Il est néanmoins possible de la charger, en arra- chant des électrons superficiels par frottement. C'est ce qui se passe quand on frotte un ballon de baudruche avec un chiffon : des électrons sont arrachés, le ballon devient ainsi chargé. En l'approchant de petits bouts de papier (ou des cheveux), ceux-ci sont attirés : la charge du ballon les pola- rise, c'est-à-dire qu'elle induit une répartition non uniforme des charges dans le petit bout de papier. Le côté dont la charge est opposée à celle du ballon est donc attisé par lui ; si le morceau de papier est suffisamment léger, une force « électrique » le soulève en dépit de son poids et le « colle » au ballon.

<figure><img src="image_191.png" /></figure>

<figure><img src="image_192.png" /></figure>

La force entre deux objets chargés est proportionnelle à cha- cune des deux charges et inversement proportionnelle au carré de leur distance. La présence d'un objet chargé crée donc un champ de force. On l'appelle le *champ électrique*. Il existe essentiellement deux types de matériaux, l'un est *conducteur* de l'électricité, les électrons peuvent y circuler à peu près librement. L'autre est *isolant*. Les électrons ne peuvent pas y circuler facilement. L'ensemble des matériaux que nous connaissions forme un continuum entre les conducteurs et les isolants. Les métaux sont ainsi de bons conducteurs, c'est pourquoi les fils conduisant le courant
<figure><img src="image_193.png" /><figcaption>**Plage de Sainte-Barbe à Plouhuel.**
Un bel orage s'apprête à célébérer la fin de notre péripole à vélo en famille. (Heureusement, nous avons pu dormir dans le fourgon d'amis, tandis que le camping voisin était évacué !)
Photo : Alexandre.</figcaption></figure>

électrique sont généralement en cuivre, tandis que le bois, par exemple, est un mauvais conducteur. L'eau est également un bon conducteur...

Oltre la charge et le champ électrique, une troisième grandeur importante est le **potentiel électrique**. On parle souvent de **différence de potentiel** – ou tension – qui se mesure en volts, et qui traduit la capacité des charges à se déplacer : une charge positive « tombe » vers des zones de faible potentiel (et inversement pour les charges négatives), comme une pomme « tombe » d'un arbre (et il n'y a pas de masse négative donc les pommes mûres ne « tombent » pas vers le haut !). Le champ électrique pointe vers les charges négatives et s'éloigne des charges positives, et va donc des potentiels élevés vers les potentiels faibles. Le courant électrique traduit un **déplacement de charges**, il se mesure en amperes.

Dans un **conducteur** dans lequel ne s'écoule aucun courant (on dir qu'il est à l'équilibre électrostatique), il ne peut y avoir de champ électrique, sinon il y aurait un **déplacement** de charges, et donc un courant ; les charges sont fortement en surface. Cette propriété est utilisée pour se protéger des champs électriques, à l'aide d'un dispositif métallique, la

cage de Foraday : une **armature métallique**, pleine ou grilla-gée, **empêche** ainsi les charges de pénétrer à l'intérieur. À la surface d'un **conducteur** en **équilibre** électrostatique la quantité de charges, en surface, est plus importante dans les zones proéminentes de petites courbures, à savoir les pointes. Le champ électrique résultant est donc plus intense au niveau des pointes qu'au niveau des zones « plates ». Il s'agit de l'**effet de pointe**.

## L'ARC ÉLECTRIQUE ET LES ABEILLES

Dans l'air, quand le champ électrique entre deux objets de charges électriques différentes devient suffisamment intense, on peut voir un arc électrique, un « éclair ». L'air contient toujours quelques molécules qui ont été ionisées elles ont perdu un électron, elles sont donc chargées par un choc avec un rayon cosmique, par radioactivité naturelle, ou autre. Le champ électrique engendre une force sur ces ions ce qui les accélère et provoque des chocs en cascades sur d'autres molécules qui perdent ainsi un électron et viennent grossir le nombre d'ions qui s'agissent frémetiquement. On obtient un plasma (mélange d'ions, chargés positivement, et d'électrons chargés négativement). Si le champ est suffisamment intense, cela crée un courant (à savoir un déplacement de particules chargées), l'air qui était isolant **devient** **conducteur**. Il est **chauffé** à très haute température par le **phénomène d'ionisation**, ce qui entraîne le flash lumineux qu'est **éclair**. Sa couleur apparaît généralement blanche, superposition de différentes couleurs spécifiques des atomes qui sont ionisés, l'azote et l'oxygène. La température élevée au cœur de l'arc provoque une **brusque** surpression par rapport au gaz alentour. Cette surpression

se propage (onde acoustique, c'est le **bruit de claquage** que l'on peut entendre. Le courant, fugace, rétablit l'équilibre des charges électriques entre les deux objets. Les arcs électriques apparaissent plus facilement au niveau des proéminences – ou pointes – des objets conducteurs, à cause de l'effet de pointe.

Sous une ligne électrique de tension très élevée, on peut parfois entendre un bourdonnement ou grésillement. Les petites asperités du câble, poussières, insectes, gouttes d'eau, formation des « pointes » qui vont concentrer le champ électrique et induire des petits arcs électriques avec l'air environnant, accompagnées du bruit de claquage caractéristique. Comme la tension varie cinqante fois par seconde (50 Hz), ce bruit provoque un grésillement continu. En montagne, quand l'orage arrive, le champ électrique dans l'air augmente, et chaque pointe – rochers, piolet, gouttes d'eau, cheveux humides – peut générer de petites décharges, et donc un bruit désagréable de bourdonnement, comme si des abeilles volaient autour. Une lumière, due à l'ionisation de l'air, peut être observée, sous forme de couronne autour des câbles électriques, de lueurs au sommet des mâts des bateaux ou à l'extrémité des ailes des avions (feux de Saint-Elme). Toutes ces manifestations constituent l'**effet couronne**.

## LES ORAGES, SANS DÉSÉPOIR

Par bea temps, il y a un champ électrique dans l'atmosphère, dirige vers le bas, entre le sol, charge négativement et une zone située à 50 km d'altitude, l'ionosphère, chargée positivement. Il est d'environ 100 volts par mètre au niveau du sol.

Dans une atmosphère instable, chaude et humide proche du sol, sèche et froide en altitude, un petit volume d'air se met en mouvement sous l'effet de la convection : il monte (cf. Décrypteur CAS3, entre autres). Parvenu en altitude, la vapeur d'eau qu'il contient se condense en gouttelettes et forme un nuage (de type cumulus). Plus haut, l'air froid environnant refroidit les gouttes qui gèlent et forment des grêlons. Top lourdés pour être portés par le courant ascendant, ces grêlons tombent. Le tout se fait au sein d'un nuage de forte extension verticale (typiquement entre 2 et 5 km d'altitude pour sa base et 10 à 15 km pour son faîte), le cumulonimbus. Comme les grêlons fondent souvent avant d'arriver au sol, cela provoque une forte averse.

Le cumulonimbus n'est pas chargé de manière homogène. Généralement sa base est fortement négative, son sommet est fortement positif. Il se crée donc un champ électrique entre la base du nuage et le sol, 100 fois plus intense que celui qui règne par beau temps, et de sens opposé. Le sol se charge ainsi positivement.

Le mécanisme expliquant cette séparation des charges dans le nuage n'est pas clairement compris, plusieurs hypothèses subsistent. Cela pourrait venir des chocs entre grêlons et gouttes d'eau, les grêlons sont polarisés (basse positive, sommet négatif), en tombant, ils transfèrent leurs charges positives aux gouttes d'eau qui montent. Ils se retrouvent en bas, négatifs, tandis que les gouttes, positives, sont en haut, ce qui renforce le champ électrique. Une autre explication fait intervenir un effet **thermochimique** dans le processus de congélation des gouttes d'eau. D'autres font appel à la turbulence...

## POLARISATION D'UN OBJET

Un objet se polarise dans un champ électrique s'il est conducteur (la glace et l'eau le sont), les charges positives sont soumises à une force dirigée vers le champ électrique. Les charges négatives sont poussées à l'opposé. Dans un isolant, comme les petits bouts de papiers sous le ballon de baudruche, les charges ne peuvent pas bouger ce sont les molécules du papier qui s'orientent dans le champ électrique créant également une polarisation globale.

<figure><img src="image_194.png" /><figcaption>conducteur</figcaption></figure>

<figure><img src="image_195.png" /></figure>

<figure><img src="image_196.png" /><figcaption>isolant</figcaption></figure>

<figure><img src="image_197.png" /><figcaption>force électrique</figcaption></figure>

<figure><img src="image_198.png" /><figcaption>force électrique</figcaption></figure>

beau temps

<figure><img src="image_199.png" /></figure>

orage

<figure><img src="image_200.png" /></figure>
LA FOUDRE ET SON COUP

Quand le champ électrique entre le sol et le nuage (ou même à l'intérieur du nuage) dépasse la limite de déclenchement d'un arc électrique, on obtient une décharge qui vise à rééquilibrer les charges. C'est le coup de foudre.

La première phase d'un coup de foudre est la formation d'une pré-décharge, appelée traceur, qui peut partir du nuage vers le sol ou inversement. Elle forme un canal conducteur pour préparer la voie au coup de foudre. On peut classer les coups de foudre en quatre catégories : selon le sens de développement du traceur d'une part (ascendant ou descendant), et selon le sens du courant principal (néga-tif du nuage vers le sol, positif du sol vers le nuage), d'autre part. Dans une région plate, le coup de foudre le plus fré-quent est descendant. Il faut une proéminence importante (montagne, monument...) pour avoir un coup de foudre ascendant. Dans les régions tempérées, les coups de foudre négatifs sont majoritaires.

Dans un coup de foudre descendant négatif, le traceur prend naissance à la base du nuage, négative. Il progresse vers le sol par bonds successifs de quelques dizaines de mètres, cherchant le chemin de moindre résistance élec-trique. Quand sa pointe s'approche du sol, une décharge quitte la terre à partir d'un point anguleux (arbre, tour, maison, etc.) ; quand elle rejoint le traceur par bonds, un chemin conducteur ininterrompu se forme entre le sol et le nuage, il va permettre le passage d'un courant de forte intensité. Courant constitué des charges positives sur le sol qui remontent neutraliser les charges négatives de la base du nuage. A ce moment, un éclair progresse à 40.000 km/s du sol vers le nuage, c'est l'air en retour, très luminieux. Plu-sieurs décharges successives peuvent se produire dans le canal fortement ionisé, donc conducteur.

“ La puissance d'un coup de foudre est de l'ordre de 50 milliards de watts ”

L'intensité du courant atteint plus de 30.000 ampères, la différence de potentiel entre le sol et le nuage 100 millions de volts. Un coup de foudre dure 0,3 à 0,5 seconde ; une décharge dure environ 2 millièmes de secondes. Pendant la décharge en retour, la température au sein du canal ionisé atteint 30.000 degrés, ce qui augmente la pression de l'air (de l'ordre de 20 bars à 2 mètres du canal de foudre) sur une très courte durée, il s'ensuit une onde de choc qui se trans-forme en onde sonore, c'est le tonnerre. Le grondement provient des différentes régions du coup de foudre qui parviennent à des instants différents. L'éclair, la manifestation lumineuse du coup de foudre, provient de l'ionisation des gaz constituant l'air.

La puissance d'un coup de foudre est de l'ordre de 50 miliards de watts, qui sont dissipés pendant environ 10 millièmes de seconde, ce qui fait une énergie de 500 millions de joules (ce que consomme un réfrigérateur en moyenne pendant un mois).

<figure><img src="image_201.png" /></figure>

<figure><img src="image_202.png" /></figure>

SE PROTÉGER DE LA FOUDRE

Il y a environ 40.000 orages par jour dans le monde, et une centaine d'éclairs entre le sol et les nuages chaque seconde. Chaque année, en moyenne, en France, il y a 483.000 im-pacts de foudre au sol ; entre 50 et 100 personnes sont fou-droyées, dont 16 personnes meurent.

La foudre peut provoquer des incendies, compte tenu de la température de l'éclair. Elle peut faire fondre de petits conducteurs électriques. Elle peut faire exploser un arbre en vaporisant l'humidité qu'il contient. Ce même effet peut endommager des bâtiments.

Les effets de la foudre sur les êtres vivants sont divers : le passage d'un courant dans le corps (électrocution), la brû-lure directe par l'éclair ou la brûlure par effet j'oule quand le courant traverse le corps et dégage une énergie thermique. On ne meurt pas forcément ; comme en témoigne Léonel Daudet, notamment si le courant ne passe pas par le cœur.

La foudre peut frapper les êtres vivants de différentes fa-cons.

* Par foudroie indirect.

* Par foudroie indirect : la personne ou l'animal se trouve à proximité (quelques dizaines de mètres) de l'im-pact de la foudre. Comme un courant diffusé dans la terre depuis le point d'impact, un courant dérivé peut pénétrer dans le corps par une jambe ou une patte, et ressortir par

Soy et tumeire sur fond de volcans siciliens !
Par chance, ce soi nous sommes à l'abri pour mieux profiter du spectacle.
Ile de Lipari dans les Eoleines.
Photo: Johanna

l'autre, provoquant une électrocution par « tension de pas » ». Même chose si une personne touche un mur ou un objet conducteur touché par la foudre, une partie du courant peut la traverser (« tension de toucher »).

* Sous un arbre foudroyé, le courant, toujours à la re-ch器se du chemin de moindre résistance électrique peut « sauter » vers une personne se trouvant sous son hou-pier. Un arbre a cinquante fois plus de chance de se faire foudroyer qu'une personne débout.

* Par électrocution due à une ramification du coup de foudre.
<figure><img src="image_203.png" /></figure>

On comprend ainsi qu'en cas d'orage⁹, il faut :

* s'éloigner des arbres, ou tout du moins, comme en forêt par exemple, s'éloigner des arbres les plus élevés (pas forcément facile à voir « d'hen bas »), s'éloigner des troncs.

* Il vaut mieux être assis en boule que débout.

* Il est préférable de s'isoler électriquement du sol (s'asseoir sur une corde lovée, sur un sac, etc.).

* Éloigner tous les objets métalliques s'ils sont pointus (pistolet, parapluie, etc.), tout au moins ne pas les brandir au-dessus de sa tête.

* Ne pas s'abriter dans une grotte (possibilité d'électrocutation par tension de toucher ou de pas), à défaut s'y asseoir en boule sans toucher les parois.

* Éviter de faire du vélo, de l'équitation ou d'être dans l'eau.

En montagne, il faut :

* d'urgence s'éloigner des sommets et des crêtes (au moins 30 m sous le sommet),

* éviter de se réfugier dans les failles humides, à l'entrée d'une grotte où l'on peut être traversé par un arc dérivé (comme sous un arbre), ou au fond de celles-ci (s'en tenir éloigné de sa propre hauteur).

En bateau, on peut se protéger en reliant par un fil conducteur le mat métallique à la coque si elle métallique ou à l'eau directement, pour faire un paratonnerre.

Sous la tente, la protection n'est pas adéquate : il faut éviter de poser celle-ci sous un arbre, sur une crête, ou dans un endroit humide ou susceptible d'être humide en cas de pluie

> Sous la tente, la protection n'est pas adéquate : il faut éviter de poser celle-ci sous un arbre, sur une crête, ou dans un endroit humide

<figure><img src="image_204.png" /></figure>

(écoulement). Il vaut mieux la placer sous un ressaut pour bénéficier de son effet protecteur.

Les abris légers de type tarps ou tipis (pointus donc) sont à ranger dans la catégorie des tentes, avec un éventuel effet de pointe exacerbe en terrain dégaçé. Le hanac entre deux arbres n'est pas non plus une bonne idée en cas d'orage. En forêt, il vaut mieux se recroqueviller, si possible loin des grands arbres, et loin de troncs. Et attendre que ça passe !

<figure><img src="image_205.png" /></figure>

### À gauche.

Monagant. Au bivouac sur une île croite lors d'un pépire en kayak de mer. Après avoir opté ce soir pour la tente à la place des hamacs, nous contemplantons avec un brin d'inquiétude l'orage qui s'approche à grands pas !

Photo : Johanna

### À droite.

Retour au calme ?
Le gros de la tempête est passé : le soleil en profite pour pointer le bout de son nez. Nous sortons timidement de la yourte qui nous a offert un réfuge bienvenu.
Voyage à travers la Mongolie.

Photo : Olivier

**Référence :** La foudre, nature, histoire, risques et protection, Claude Gary, 3e édition, 2004, Dunod.

### Notes :

1) Dans les fils électriques, conducteurs, le courant électrique est un déplacement d'électrons, de charges négatives.

2) Ainsi l'armature métallique d'un avion protège les passagers d'éventuels coups de foudre : tout comme la carcasse métallique d'une voiture. Un four à micro-onde est entouré de métal (y compris sur la porte) pour éviter les fuites d'ondes. Un ordinateur est métallique pour proleger l'électrique.

3) Pour qu'un arc se forme dans l'air, il faut que le champ électrique soit supérieur au champ « disruptif », soit 3 millions de volts par mètre dans l'air sec. Dans l'air humide cette valeur est moindre, l'eau étant bonne conductrice de l'électricité.

4) L'électrocution est le passage du courant électrique à travers le corps. Ses effets dépendent de son intensité et de la durée du passage du courant, par exemple, pour un courant alternatif comme celui de nos maisons, 50 mA pendant 1 s entraîne une fibrillation ventriculaire (cause d'arrêt cardiaque). Voir : insfr.fr/risques/electriques/accidents-origine-electrique.html. La durée moyenne d'un coup de foudre étant de 15 ms, l'intensité du courant de fibrillation est d'environ 1 A.

5) Voir et écouter : franciculture.fr/emissions/une-histoire-particulière-un-recit-documentaire-en-deux-parties/les-fulgures-dazerailles-12-surpris-par-lovage-traverses-par-la-foudre.

6) C'est la différence de potentiel électrique (ou tension) entre deux parties du corps qui est dangereuse, car elle en-

traine un courant (loi d'Ohm : U = R * I, où U est la tension, R la résistance et l'intensité du courant). Notre corps peut se trouver à un potentiel très élevé (plusieurs millions de volts), du moment qu'il est uniforme sur tout le corps, sans que cela ne pose de problème.

7) En France, par exemple, la densité moyenne de foudroiement est de 0,75 coup de foudre au sol par kilomètre carré et par an (voir carte : public.meteorage.fr/web_statsmap/web_statsmap.html). On peut déterminer, par un modèle, la surface potentiellement protégée autour d'un objet proche. Pratiquement, on peut considérer que cette surface consiste à augmenter la surface au sol de l'objet d'une bande sur son pourtour de largeur deux fois la hauteur de l'objet. Pour un homme de 1,75 m, cette surface est de p x (2 x 1,75)² = 38,5 m². Pour un arbre de 10 m de haut avec une couvronne de 10 m de diamètre, cette surface est : p x (5 + 2 x 10)² = 1963,5 m². Ainsi, une personne débout a une probabilité de se faire foudroyer en France (en moyenne) d'une fois tous les 26,000 ans, tandis qu'un arbre, c'est une fois tous les 510 ans, soit 50 fois plus. La notion de zone protégée est relative, elle dépend en fait de l'intensité du courant de foudre, elle ne fonctionne pas toujours (le pied d'un clocher peut être foudroyé) : il ne faut donc pas tout miser sur l'efficacité d'un paratonnerre.

8) Voir aussi : aplfoudre-fr/?q=20-recommandations-en-cas-orage.

9) Selon Claude Gary dans La foudre, vouloir jeter ses objets métalliques, pionets, pitons, crampons, est une idée reçue : en effet, ils n'attirent pas la foudre. Ce n'est que pointés vers le ciel, sur une crête qu'ils pourraient éventuellement servir de paratonnerre. Et encore, qui sait si le pionet de Lionel Daudet, sur son sac à dos ne lui a pas sauvé la vie ?
# Annexe E

## Calcul d'une intégrale délicate

L'intégrale :

$$ \mathcal{I} = \int_{z_1}^{z_2} \frac{dz}{(r^2 + z^2)^{3/2}} \qquad (E.1) $$

revient quelque fois en cours ou en TD. Voici une méthode pour la résoudre. On l'écrit sous la forme :

$$ \mathcal{I} = \frac{1}{r^3} \int_{z_1}^{z_2} \frac{dz}{\left[1 + \left(\frac{z}{r}\right)^2\right]^{3/2}} \qquad (E.2) $$

On fait ensuite le changement de variable : $\tan \theta = \frac{z}{r}$, soit :

$$ dz = rd(\tan\theta) = r \frac{d\theta}{\cos^2\theta} $$

ce qui donne, pour la primitive (sans les bornes) :

$$ \mathcal{I} = \frac{1}{r^3} \int \frac{1}{(1 + \tan^2 \theta)^{3/2}} \cdot r \frac{d\theta}{\cos^2 \theta} \qquad (E.3) $$

or :

$$ 1 + \tan^2 \theta = 1 + \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\cos^2 \theta + \operatorname{div} \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} \qquad (E.4) $$

soit :

$$ \mathcal{I} = \frac{1}{r^2} \int \frac{d\theta}{\cos^2\theta} \cdot (\cos^2\theta)^{3/2} = \frac{1}{r^2} \int \cos\theta d\theta = \frac{1}{r^2} \sin\theta \qquad (E.5) $$

Donc, avec la variable initiale :

$$ \mathcal{I} = \frac{1}{r^2} \cdot \sin\left(\arctan\frac{z}{r}\right) \qquad (E.6) $$

or, si on a :

$$ y = \sin(\arctan u) $$

$$ y^2 = \sin^2(\arctan u) = 1 - \cos^2(\arctan u) = 1 - \frac{1}{1 + \tan^2(\arctan u)} = 1 - \frac{1}{1 + u^2} = \frac{u^2}{1 + u^2} $$

soit :

$$ y = \frac{u}{\sqrt{1 + u^2}} $$

Donc, en reprenant (E.6), avec $u = z/r$ :

$$ \mathcal{I} = \frac{1}{r^2} \cdot \frac{\frac{z}{r}}{\sqrt{1 + \left(\frac{z}{r}\right)^2}} = \frac{1}{r^3} \cdot \frac{z}{\frac{1}{r}\sqrt{r^2 + z^2}} = \frac{1}{r^2} \cdot \frac{z}{\sqrt{r^2 + z^2}} \qquad (E.7) $$

D'où, finalement :

$$ \mathcal{I} = \frac{1}{r^2} \cdot \left[ \frac{z_2}{\sqrt{r^2 + z_2^2}} - \frac{z_1}{\sqrt{r^2 + z_1^2}} \right] \qquad (E.8) $$
# Annexe F

## Symétries du champ magnétique

On considère une distribution de courants quelconque représentée sur la figure F.1. On raisonne sur le champ magnétique $dB$ créé en deux points de l'espace $M$ et $M_S$, symétriques par rapport à (P), par deux éléments symétriques de la distribution de courant, $J$ au point $P$ et $J_s$ au point $P_S$, en considérant leurs composantes respectivement parallèle et perpendiculaire à (P).

<figure><img src="image_206.png" /><figcaption>FIGURE F.1 – La distribution de courants considérée et son plan de symétrie (P). Attention : les points $M$ et $M_S$ n'appartiennent généralement pas au plan formé par les deux vecteurs $J$ et $J_s$. Les points $H$ et $H'$ sont les milieux de $[PP_S]$ et $[MM_S]$ respectivement, ils sont sur le plan (P).</figcaption></figure>

On rappelle que (P) est un plan d'antisymétrie pour un champ vectoriel si, la valeur du champ en un point $M$ de l'espace étant $\vec{U}$, la valeur du champ en un point $M_S$, symétrique de $M$ par rapport à (P), est l'opposée du vecteur symétrique de $\vec{U}$ par rapport à (P).

### F.1 Loi 1

À l'aide de la loi de Biot et Savart, montrons que si un plan (P) est un plan de symétrie pour une distribution de courant, (P) est un plan d'antisymétrie pour le champ magnétique $\vec{B}$ créé par ces courants.

La loi de Biot et Savart s'écrit :

$$ \vec{dB} = \frac{\mu_0 \vec{J} d\tau \wedge \vec{u}}{4\pi r^2} $$

Les courants $\vec{J}$ et $\vec{J}_S$ sont symétriques par rapport au plan (P). On cherche à déterminer la contribution de $\vec{J}$ (P) et $\vec{J}_S(P_S)$ au champ $\vec{B}$ en deux points $M$ et $M_S$ symétriques l'un de l'autre par rapport au plan (P).

En considérant des petits volumes égaux $d\tau$ autour des points $P$ et $P_S$, la loi de Biot et Savart
s'écrit au point M :

$$
\overrightarrow{dB}(M) = \frac{\mu_0 d\tau}{4\pi} \left[ \vec{J} \wedge \frac{\overrightarrow{PM}}{PM^3} + \vec{J}_S \wedge \frac{\overrightarrow{P_S M}}{P_S M^3} \right]
$$

et au point M<sub>S</sub> :

$$
\overrightarrow{dB}(M_S) = \frac{\mu_0 d\tau}{4\pi} \left[ \vec{J} \wedge \frac{\overrightarrow{PM_S}}{PM_S^3} + \vec{J}_S \wedge \frac{\overrightarrow{P_S M_S}}{P_S M_S^3} \right]
$$

Avec :

$$
\vec{J} = \vec{J}_{\parallel} + \vec{J}_{\perp} \quad (F.1)
$$

$$
\vec{J}_S = \vec{J}_{S\parallel} + \vec{J}_{S\perp} \qquad (\text{F.2})
$$

et, compte tenu des symétries :

$$
\begin{aligned}
\vec{J}_{\parallel} &= \vec{J}_{S\parallel} \\
\vec{J}_{\perp} &= -\vec{J}_{S\perp}
\end{aligned}
$$

On décompose chaque vecteur en une composante parallèle au plan (P) et une composante perpendiculaire à (P).

On peut ainsi réécrire :

$$
\overrightarrow{dB}(M) = \frac{\mu_0 d\tau}{4\pi} \left[ (\vec{J}_{\parallel} + \vec{J}_{\perp}) \wedge \frac{\overrightarrow{PM}_{\parallel} + \overrightarrow{PM}_{\perp}}{PM^3} + (\vec{J}_{S\parallel} + \vec{J}_{S\perp}) \wedge \frac{\overrightarrow{P_S M_{\parallel}} + \overrightarrow{P_S M_{\perp}}}{P_S M^3} \right]
$$

Et comme les composantes perpendiculaires au plan sont colinéaires entre elles :

$$
\overrightarrow{dB}(M) = \frac{\mu_0 d\tau}{4\pi} \left[ \frac{\vec{J}_{\parallel} \wedge \overrightarrow{PM}_{\parallel} + \vec{J}_{\parallel} \wedge \overrightarrow{PM}_{\perp} + \vec{J}_{\perp} \wedge \overrightarrow{PM}_{\parallel}}{PM^3} + \frac{\vec{J}_{S\parallel} \wedge \overrightarrow{P_S M_{\parallel}} + \vec{J}_{S\parallel} \wedge \overrightarrow{P_S M_{\perp}} + \vec{J}_{S\perp} \wedge \overrightarrow{P_S M_{\parallel}}}{P_S M^3} \right]
$$

Et avec $\vec{J}_{\parallel} = \vec{J}_{S\parallel}$ et $\vec{J}_{\perp} = -\vec{J}_{S\perp}$ :

$$
\overrightarrow{dB}(M) = \frac{\mu_0 d\tau}{4\pi} \left[ \frac{\vec{J}_{\parallel} \wedge \overrightarrow{PM}_{\parallel} + \vec{J}_{\parallel} \wedge \overrightarrow{PM}_{\perp} + \vec{J}_{\perp} \wedge \overrightarrow{PM}_{\parallel}}{PM^3} + \frac{\vec{J}_{\parallel} \wedge \overrightarrow{P_S M_{\parallel}} + \vec{J}_{\parallel} \wedge \overrightarrow{P_S M_{\perp}} - \vec{J}_{\perp} \wedge \overrightarrow{P_S M_{\parallel}}}{P_S M^3} \right]
$$

On a de même :

$$
\overrightarrow{dB}(M_S) = \frac{\mu_0 d\tau}{4\pi} \left[ (\vec{J}_{\parallel} + \vec{J}_{\perp}) \wedge \frac{\overrightarrow{PM}_{S\parallel} + \overrightarrow{PM}_{S\perp}}{PM_S^3} + (\vec{J}_{S\parallel} + \vec{J}_{S\perp}) \wedge \frac{\overrightarrow{P_S M}_{S\parallel} + \overrightarrow{P_S M}_{S\perp}}{P_S M_S^3} \right]
$$

ce qui donne finalement :

$$
\overrightarrow{dB}(M_S) = \frac{\mu_0 d\tau}{4\pi} \left[ \frac{\vec{J}_{\parallel} \wedge \overrightarrow{PM}_{S\parallel} + \vec{J}_{\parallel} \wedge \overrightarrow{PM}_{S\perp} + \vec{J}_{\perp} \wedge \overrightarrow{PM}_{S\parallel}}{PM_S^3} + \frac{\vec{J}_{\parallel} \wedge \overrightarrow{P_S M}_{S\parallel} + \vec{J}_{\parallel} \wedge \overrightarrow{P_S M}_{S\perp} - \vec{J}_{\perp} \wedge \overrightarrow{P_S M}_{S\parallel}}{P_S M_S^3} \right]
$$

On veut montrer que $\overrightarrow{dB}(M)$ et $\overrightarrow{dB}(M_S)$ sont antisymétriques, donc que :

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{dB(M)}_{\parallel} &= -\overrightarrow{dB(M_S)}_{\parallel} \\
\overrightarrow{dB(M)}_{\perp} &= \overrightarrow{dB(M_S)}_{\perp}
\end{aligned}
$$

Les symétries font que :

$\rightarrow \overrightarrow{P_S M_S}$ est le symétrique de $\overrightarrow{P M}$ par rapport (P), on a :

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{PM} &= P_S M_S \\
\overrightarrow{PM}_{\parallel} &= P_S M_{S\parallel} \\
\overrightarrow{PM}_{\perp} &= -P_S M_{S\perp}
\end{aligned}
$$
$\vec{PM}_S$ est le symétrique de $\vec{P_S M}$ par rapport (P), on a :

$$
\begin{align*}
\overrightarrow{PM_S} &= P_S M \\
\overrightarrow{P_S M_{\parallel}} &= \overrightarrow{PM_{S\parallel}} \\
\overrightarrow{P_S M_{\perp}} &= -\overrightarrow{PM_{S\perp}}
\end{align*}
$$

On peut donc réécrire $\vec{dB}(M_S)$ :

$$
\vec{dB}(M_S) = \frac{\mu_0 d\tau}{4\pi} \left[ \frac{\vec{J}_{\parallel} \wedge \vec{P}_S \vec{M}_{\parallel} - \vec{J}_{\parallel} \wedge \vec{P}_S \vec{M}_{\perp} + \vec{J}_{\perp} \wedge \vec{P}_S \vec{M}_{\parallel}}{P_S M^3} + \frac{\vec{J}_{\parallel} \wedge \vec{P} \vec{M}_{\parallel} - \vec{J}_{\parallel} \wedge \vec{P} \vec{M}_{\perp} - \vec{J}_{\perp} \wedge \vec{P} \vec{M}_{\parallel}}{P M^3} \right]
$$

or :

$$
\begin{align*}
\vec{dB}_{\parallel}(M) &= \frac{\mu_0 d\tau}{4\pi} \left[ \frac{\vec{J}_{\parallel} \wedge \vec{P} \vec{M}_{\perp} + \vec{J}_{\perp} \wedge \vec{P} \vec{M}_{\parallel}}{P M^3} + \frac{\vec{J}_{\parallel} \wedge \vec{P} \vec{M}_{\perp} - \vec{J}_{\perp} \wedge \vec{P} \vec{M}_{\parallel}}{P_S M^3} \right] \\
\vec{dB}_{\perp}(M) &= \frac{\mu_0 d\tau}{4\pi} \left[ \frac{\vec{J}_{\parallel} \wedge \vec{P} \vec{M}_{\parallel}}{P M^3} + \frac{\vec{J}_{\perp} \wedge \vec{P} \vec{M}_{\parallel}}{P_S M^3} \right]
\end{align*}
$$

et :

$$
\begin{align*}
\vec{dB}_{\parallel}(M_S) &= \frac{\mu_0 d\tau}{4\pi} \left[ \frac{-\vec{J}_{\parallel} \wedge \vec{P} \vec{M}_{\perp} - \vec{J}_{\perp} \wedge \vec{P} \vec{M}_{\parallel}}{P M^3} + \frac{-\vec{J}_{\parallel} \wedge \vec{P}_S \vec{M}_{\perp} + \vec{J}_{\perp} \wedge \vec{P}_S \vec{M}_{\parallel}}{P_S M^3} \right] \\
\vec{dB}_{\perp}(M_S) &= \frac{\mu_0 d\tau}{4\pi} \left[ \frac{\vec{J}_{\parallel} \wedge \vec{P} \vec{M}_{\parallel}}{P M^3} + \frac{\vec{J}_{\perp} \wedge \vec{P} \vec{M}_{\parallel}}{P_S M^3} \right]
\end{align*}
$$

On a donc bien : $\vec{dB}(M)_{\parallel} = -\vec{dB}(M_S)_{\parallel}$ et $\vec{dB}(M)_{\perp} = \vec{dB}(M_S)_{\perp}; \vec{dB}(M)$ et $\vec{dB}(M_S)$ sont antisymétriques.

En sommant sur tous les vecteurs $\vec{J}(P)$ aux différents points P de la distribution de courants, on obtient que $\vec{B}(M)$ et $\vec{B}(M_S)$ sont antisymétriques.

En généralisant : tout plan de symétrie de la distribution de courants est un plan d'antisymétrie pour le champ magnétique $\vec{B}$.

## F.2 Loi 2

On en déduit que le champ magnétique $\vec{B}$ créé par une distribution de courants en un point appartenant à un plan de symétrie (ie $M \in (P)$) de cette distribution est perpendiculaire à ce plan. Si le point où l'on détermine le champ $\vec{B}$ appartient au plan de symétrie (P) de la distribution de courant, il est son propre symétrique par rapport à (P) : $M \equiv M_S \equiv R$, et donc :

$$
\begin{align*}
\vec{B}(R)_{\parallel} &= -\vec{B}(R)_{\parallel} \\
\vec{B}(R)_{\perp} &= \vec{B}(R)_{\perp}
\end{align*}
$$

La seconde équation est toujours vérifiée, mais la première implique que $\vec{dB}(R)_{\parallel} = \vec{0}$.

Donc, en un point appartenant à un plan de symétrie de la distribution de courant, le champ magnétique $\vec{B}$ est perpendiculaire à ce plan.

## F.3 Loi 3

Montrons que tout plan d'antisymétrie d'une distribution de courants est un plan de symétrie pour le champ magnétique créé par ces courants.

Dans ce cas, $\vec{J}_S$ est l'opposé du symétrique de $\vec{J}$, et on a :

$$
\begin{align*}
\vec{J}_{\parallel} &= -\vec{J}_{S\parallel} \\
\vec{J}_{\perp} &= \vec{J}_{S\perp}
\end{align*}
$$

En reprenant le calcul précédent, en changeant les signes aux bons endroits, on obtient :
$$ \vec{dB}_{\parallel}(M) = \frac{\mu_0 d\tau}{4\pi} \left[ \frac{\vec{J}_{\parallel} \wedge \overline{PM}_{\perp} + \vec{J}_{\perp} \wedge \overline{PM}_{\parallel}}{PM^3} + \frac{-\vec{J}_{\parallel} \wedge \overline{P_S M_{\perp}} + \vec{J}_{\perp} \wedge \overline{P_S M_{\parallel}}}{P_S M^3} \right] $$

$$ \vec{dB}_{\perp}(M) = \frac{\mu_0 d\tau}{4\pi} \left[ \frac{\vec{J}_{\parallel} \wedge \overline{PM}_{\parallel}}{PM^3} - \frac{\vec{J}_{\perp} \wedge \overline{P_S M_{\parallel}}}{P_S M^3} \right] $$

et :

$$ \vec{dB}_{\parallel}(M_S) = \frac{\mu_0 d\tau}{4\pi} \left[ \frac{+\vec{J}_{\parallel} \wedge \overline{PM}_{\perp} + \vec{J}_{\perp} \wedge \overline{PM}_{\parallel}}{PM^3} + \frac{-\vec{J}_{\parallel} \wedge \overline{P_S M_{\perp}} + \vec{J}_{\perp} \wedge \overline{P_S M_{\parallel}}}{P_S M^3} \right] $$

$$ \vec{dB}_{\perp}(M_S) = \frac{\mu_0 d\tau}{4\pi} \left[ \frac{-\vec{J}_{\parallel} \wedge \overline{PM}_{\parallel}}{PM^3} + \frac{\vec{J}_{\perp} \wedge \overline{P_S M_{\parallel}}}{P_S M^3} \right] $$

donc on a :

$$ \vec{dB}(M)_{\parallel} = \vec{dB}(M_S)_{\parallel} $$

$$ \vec{dB}(M)_{\perp} = -\vec{dB}(M_S)_{\perp} $$

$\vec{dB}(M)$ et $\vec{dB}(M_S)$ sont donc des vecteurs symétriques par rapport au plan (P).

En généralisant, on peut dire que tout plan d'antisymétrie de la distribution de courant est un plan de symétrie du champ magnétique $\vec{B}$.

## F.4 Loi 4

On en déduit que le champ $\vec{B}$ créé par une distribution de courants en un point appartenant à un plan d'antisymétrie de cette distribution est contenu dans ce plan.

Si : $M \equiv M_S \equiv R$ sur le plan (P), on a :

$$ \vec{B}(R)_{\parallel} = \vec{B}(R)_{\parallel} $$

$$ \vec{B}(R)_{\perp} = -\vec{B}(R)_{\perp} $$

La seconde équation implique que : $\vec{B}_{\perp}(R) = \vec{0}$. Donc, en un point appartenant à un plan d'antisymétrie de la distribution de courant, le champ magnétique $\vec{B}$ est contenu dans ce plan.
# Annexe G

## Champ magnétique créé par un dipôle actif

On peut utiliser l'intermédiaire commode du potentiel vecteur pour calculer le champ magnétique partout dans l'espace (mais « **loin** » de la boucle) créé par une boucle circulaire de rayon R parcouru par un courant I. On a déjà vu le champ créé sur l'axe de la boucle (cf précédemment et TD).

Le calcul général est plus simple en passant par le potentiel vecteur que par la loi de Biot et Savart, mais il reste néanmoins un peu « difficile. »

La géométrie du problème stipule que l'on utilise les coordonnées sphériques $(r, \theta, \Phi)$. L'origine O des coordonnées est prise au centre de la boucle.

On considère un point M de l'espace (tel que $OM \gg R$), on choisit le système de coordonnées sphériques tel que $M(r, \theta, 0)$ (donc M est dans le plan $xOz$. Voir les figures G.1).

Soit un point P sur la boucle de courant. Le potentiel vecteur $\vec{A}(M)$ s'écrit alors (dans la jauge de Coulomb) :

$$ \vec{A}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \frac{Id\ell}{PM} $$

Comme $\vec{A}(M) \propto \vec{J}$, le vecteur $\vec{A}$ suit les mêmes symétries que la distribution de courant. Or le plan $(\vec{e}_r, \vec{e}_\theta)$ passant par M et l'axe $Oz$ de la boucle est un plan d'antisymétrie de la distribution de courant. Le vecteur $\vec{A}$ est donc perpendiculaire à ce plan.

Donc $\vec{A}(M) \propto \vec{e}_\Phi$.

On note (figure G.1a) :

→ $\alpha$ l'angle entre $Ox$ et $\vec{OP}$

→ $\psi$ l'angle entre $\vec{OP}$ et $\vec{OM}$

Le point $M'$ est la projection du point M sur $Ox$.

Compte tenu de l'origine des coordonnées choisie, on a $\vec{e}_y = \vec{e}_\Phi$ et :

$$ \vec{d\ell} = d\ell \cos \alpha \vec{e}_\Phi - d\ell \sin \alpha \vec{e}_x $$

Or, seule la composante $A_\Phi$ selon $\vec{e}_\Phi$ de $\vec{A}$ est non nulle, donc :

$$ A_{\Phi} = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \frac{Id\ell \cos \alpha}{PM} $$

avec : $d\ell = Rda$ et :

$$ \begin{align*} PM^2 &= PO^2 + OM^2 + 2 \cdot \overrightarrow{PO} \cdot \overrightarrow{OM} \\ &= PO^2 + OM^2 - 2 \cdot \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OM} \\ &= R^2 + r^2 - 2rR \cos \psi \end{align*} $$
<figure><img src="image_207.png" /><figcaption>FIGURE G.1 – Schéma du dipôle étudié avec les différentes variables utilisées.</figcaption></figure>

Donc :

$$ \frac{1}{PM} = (R^2 + r^2 - 2rR \cos \psi)^{-1/2} = \frac{1}{r} \left( 1 + \frac{R^2}{r^2} - 2 \frac{R}{r} \cos \psi \right)^{-1/2} $$

Comme le point M est « loin » de la boucle ($r \gg R$), on peut faire un développement limité au premier ordre en $R/r$ :

$$ \frac{1}{PM} \approx \frac{1}{r} \left( 1 + \frac{R}{r} \cos \psi \right) \quad \text{car} \quad (1 + \varepsilon)^{-1/2} = 1 - \frac{1}{2}\varepsilon + o(\varepsilon) \quad \text{pour } \varepsilon \to 0 \qquad (G.1) $$

Il reste à exprimer $\cos \psi$ en fonction de $\alpha$ et $\theta$.

## Parenthèse de trigonométrie sphérique

Considérons une sphère de rayon 1, centrée sur O; soient les points A, B, et C définissant un triangle sphérique ABC avec les angles au sommet O, $\alpha = \overline{AOB}$, $\psi = \overline{BOC}$, $\pi/2 - \theta = \overline{AOC}$ (figure G.2). On définit le point $H_B$ projeté de B sur Ox et $H_C$, projeté de C sur Ox.

$$ \begin{aligned} \text{On a : } \cos \psi &= \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OB} &= (\overrightarrow{OH_C} + \overrightarrow{HC}\vec{C}) \cdot (\overrightarrow{OH_B} + \overrightarrow{HB}\vec{B}) \\ &= \overrightarrow{OH_C} \cdot \overrightarrow{OH_B} + \overrightarrow{OH_C} \cdot \overrightarrow{HB}\vec{B} + \overrightarrow{HC}\vec{C} \cdot \overrightarrow{OH_B} + \overrightarrow{HC}\vec{C} \cdot \overrightarrow{HB}\vec{B} \end{aligned} $$

avec :

$$ \rightarrow \overrightarrow{OH_C} = \cos(\pi/2 - \theta) \cdot \overrightarrow{e_x} = \sin\theta \cdot \overrightarrow{e_x} $$

$$ \rightarrow \overrightarrow{OH_B} = \cos \alpha \cdot \overrightarrow{e_x} $$

$$ \rightarrow \overrightarrow{OH_C} \perp \overrightarrow{HB} \text{ donc } \overrightarrow{OH_C} \cdot \overrightarrow{HB} = 0 $$

$$ \rightarrow \overrightarrow{HC}\vec{C} \perp \overrightarrow{OH_B} \text{ donc } \overrightarrow{HC}\vec{C} \cdot \overrightarrow{OH_B} = 0 $$

$$ \rightarrow \overrightarrow{HC}\vec{C} \perp \overrightarrow{HB}\vec{B} \text{ donc } \overrightarrow{HC}\vec{C} \cdot \overrightarrow{HB}\vec{B} = 0 $$

Donc finalement :

$$ \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OH_C} \cdot \overrightarrow{OH_B} $$

$$ \text{soit : } \cos \psi = \sin \theta \cos \alpha $$
<figure><img src="image_208.png" /><figcaption>FIGURE G.2 – Schéma du triangle sphérique ABC.</figcaption></figure>

On peut ainsi reporter ce résultat dans l'équation précédente (G.1), ce qui donne :

$$ \frac{1}{PM} \approx \frac{1}{r} \left( 1 + \frac{R}{r} \cos \alpha \sin \theta \right) $$

Soit :

$$
\begin{align*}
A_{\Phi} &= \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \frac{IRd\alpha \cos\alpha}{r} \left(1 + \frac{R}{r}\cos\alpha \sin\theta\right) \\
&= \frac{\mu_0 IR}{4\pi r} \left[ \int_0^{2\pi} \cos\alpha d\alpha + \frac{R}{r} \sin\theta \int_0^{2\pi} \cos^2\alpha d\alpha \right] \\
&= \frac{\mu_0 IR^2}{4\pi r^2} \sin\theta \int_0^{2\pi} \frac{1+\cos(2\alpha)}{2} d\alpha \\
&= \frac{\mu_0 IR^2}{4\pi r^2} \sin\theta \left( \frac{2\pi}{2} + \frac{1}{4} \left[ \sin(2\alpha) \right]^2_0 \right) \\
&= \frac{\mu_0 I \pi R^2}{4\pi r^2} \sin\theta
\end{align*}
$$

On peut introduire le vecteur moment dipolaire magnétique $\vec{M} = I \cdot \vec{S}$, où $\vec{S}$ est le vecteur surface de la boucle orienté « dans le bon sens »; ici $\vec{S} = S\vec{e}_z$.

$$ \vec{A}(M) = \frac{\mu_0 M}{4\pi r^2} \sin\theta \vec{e}_{\Phi} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{M} \wedge \vec{e}_r}{r^2} \qquad (G.2) $$

En coordonnées sphériques, le rotationnel de $\vec{A}$ s'écrit :

$$ \vec{\text{rot}} \vec{A} = \frac{1}{r^2 \sin\theta} \vec{e}_r \left( \frac{\partial(r \sin\theta A_{\Phi})}{\partial\theta} - \frac{\partial(r A_{\Phi})}{\partial\Phi} \right) + \frac{1}{r \sin\theta} \vec{e}_{\theta} \left( \frac{\partial A_r}{\partial\Phi} - \frac{\partial(r \sin\theta A_{\Phi})}{\partial r} \right) \\ + \frac{1}{r} \vec{e}_{\Phi} \left( \frac{\partial(r A_{\theta})}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial\theta} \right) $$

donc, finalement :

$$ \vec{B} = \vec{\text{rot}} \vec{A} = \frac{\mu_0}{4\pi} M \frac{2 \cos\theta \vec{e}_r + \sin\theta \vec{e}_\theta}{r^3} \qquad (G.3) $$

On peut retenir que le champ magnétique créé par un dipôle actif est tel que :

$$ \vec{B} \propto \frac{1}{r^3} \cdot \vec{e}_{\theta} \qquad (G.4) $$