# Modeling the impact bombardment of the planets and moons, with applications to dating by crater counting

Mathieu Le Feuvre

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Mathieu Le Feuvre. Modeling the impact bombardment of the planets and moons, with applications to dating by crater counting. Sciences of the Universe [physics]. Institut de Physique du Globe de Paris (IPGP), 2008. English. NNT: tel-04015436

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Submitted on 5 Mar 2023

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THÈSE

présentée

à l'INSTITUT DE PHYSIQUE DU GLOBE DE PARIS

pour obtenir le titre de

DOCTEUR DE L'INSTITUT DE PHYSIQUE DU GLOBE DE PARIS

spécialité : GÉOPHYSIQUE INTERNE

par

Mathieu Le Feuvre

sujet :

MODÉLISER LE BOMBARDEMENT
DES PLANÈTES ET DES LUNES.

APPLICATION À LA DATATION
PAR COMPTAGE DES CRATÈRES.

soutenue le 3 octobre 2008 devant le jury composé de

Jean Besse Président

Valery Lainey Examinateur

Jacques Laskar Examinateur

Alessandro Morbidelli Rapporteur

Patrick Pinet Rapporteur

Mark Wieczorek Directeur de thèse
...
RÉSUMÉ

L'objectif de ce travail est de donner de nouvelles estimations du taux de formation des cratères à la surface de la Lune et des planètes telluriques. Pour ce faire, nous commençons par bâtir une population réaliste d'impacteurs potentiels, à partir des observations et modèles de la distribution orbitale des astéroïdes et comètes qui parcourent le système solaire interne. Les probabilités d'impact sont calculées en fonction des conditions d'approche avec la planète (vitesse, direction), en utilisant les formules existantes. L'étude de la Lune a nécessité l'établissement de probabilités adaptées, applicables au cas de n'importe quel autre satellite. Connaissant la distribution de probabilité des conditions d'approche, nous déterminons le flux et les conditions d'impact en fonction de la position à la surface du corps bombardé, à l'aide de nouveaux outils analytiques. Par le biais des dernières lois d'échelles qui relient l'impact à la taille du cratère formé, nous convertissons enfin nos estimations en terme de taux de formation des cratères.

Notre modèle reproduit de manière excellente la distribution taille / fréquence des cratères lunaires observés, sous l'hypothèse que le régolithe superficiel induit la formation des petits cratères en régime dit « poreux », tandis que les cratères plus grands, plus profonds, se forment en régime « non poreux ». Le nombre absolu de cratères formés par nos simulations est en accord avec l'hypothèse répandue selon laquelle la population d'impacteurs, réapprovisionnée par les résonances au sein de la ceinture principale d'astéroïdes, est en état de relatif équilibre depuis trois milliards d'années. Le modèle est également en accord raisonnable avec les données sismiques lunaires. Nous prédisons des variations spatiales du taux de cratérisation, significatives en particulier sur Mars et sur la Lune. Les pôles martiens, une fois les variations d'obliquité de la planète prises en compte, accumulent les cratères 30 % plus rapidement que l'équateur (par unité de surface). Sur la Lune, des variations en longitude s'ajoutent, engendrées par sa rotation synchrone. Le minimum est localisé en (±60°N, 90°E), et le maximum, près de 50 % plus élevé, se situe en (0°N, 90°W). Les résultats lunaires semblent être validés par certaines observations, même si les incertitudes associées à ces der-
nières sont grandes. Les variations journalières du flux d'impacts terrestre sont en accord avec les observations radar de météores. Sur l'ensemble de la population de croiseurs, on s'attend à observer deux maxima : l'un à midi, l'autre à minuit. A mesure que l'on considère des projectiles de plus en plus rapides, le flux se concentre autour de 6 heures du matin.

L'âge d'une surface est relié à la densité de cratères qui la recouvrent, via une relation empirique bâtie grâce aux échantillons lunaires. En substance, cette relation prédit une accumulation constante de cratères dans les trois derniers milliards d'années, et un accroissement exponentiel au-delà. Nous corrigeons les points de calibration de la méthode, en tenant compte des variations spatiales. Il s'avère que la solution analytique de référence s'en trouve confortée. La position d'une unité géologique en passe d'être datée devrait être prise en compte pour convertir la densité de cratères mesurée en équivalent planétaire global. Si les incertitudes inhérentes à la méthode sont en général plus grandes que les erreurs induites par les variations spatiales, le biais associé peut être de 800 millions d'années dans le pire des cas. La méthode s'exporte aux autres planètes, à condition de connaître le taux de cratérisation relatif à la Lune. Nos résultats impliquent de nouvelles estimations d'âge. Par exemple, nous calculons que la surface de Vénus est vieille d'environ 230 millions d'années. Caloris Mare, sur Mercure, se voit attribuer un âge de 3.7 milliards d'années. Le temps d'accumulation des cratons terrestres est estimé à 380 millions d'années, ce qui est en parfait accord avec les données géologiques.
ABSTRACT

The aim of this work is to give new estimates of the cratering rate on the Moon and terrestrial planets. We first build a realistic impacting population by using observations and models of the orbital distribution of the asteroids and comets that evolve in the inner solar system. Impact probabilities are then calculated as a function of the encounter conditions with the planet (velocity, direction), by the use of existing formulas. In the case of the Moon, we establish appropriate probabilities, applicable to any other satellite. We calculate the impact flux and impact conditions as a function of the position on the target body, with new analytical tools. Using the latest scaling law that relates the impact to the crater size, we convert our estimates in terms of cratering rate.

Our model reproduce very well the size-frequency distribution of observed lunar craters, under the assumption that the surface regolith implies that small craters form in the porous regime, while large (and thus deep) craters form in the non porous regime. The absolute number of simulated craters is in agreement with the common statement that the impacting population, resupplied via resonances inside the main asteroid belt, has been in a state of relative equilibrium during the last three billion years. We predict spatial variations of the cratering rate, in particular on Mars and the Moon. The martian poles, once the obliquity variations taken into account, accumulate the craters at a rate 30 % higher than the equator (per unit area). On the Moon, as the synchronous rotation induces longitudinal variations, the minimum is at (±60°*N*, 90°*E*), while the maximum, almost 50 % higher, is located at (0°*N*, 90°*W*). The lunar results seems to be validated by some observations, even if uncertainties of these latest are high. Daily variations of the meteoritic flux on Earth are consistent with radar observations. For the entire population of Earth-crossers, we expect a flux that reaches a maximum at noon and another at midnight. By considering faster and faster projectiles, the flux concentrates at 6 a.m.

Surface ages are linked to crater densities, through an empirical relationship built with the lunar samples. In essence, this relationship predicts a constant
accumulation of craters during the last three billion years, and an exponential
enhancement beyond. We correct the calibration points by accounting for the
spatial variations. It follows that the reference analytical solution is reinforced.
One should account for the location of a geologic unit to be dated to convert the
measured crater density into a global average on the entire surface on the planet.
Even if the uncertainties of the method are generally higher than errors induced
by spatial variations, the bias can be as high as 800 millions years in worst
case. Having estimated the cratering rates relative to the Moon, the datation
method can be applied to other planets. Our results give new estimates of several
surface ages. For example, the surface of Venus is estimated to be about 230 Myr
old. Caloris Mare, on Mercury, is dated at 2.70 Gyr. We calculate the time of
accumulation of terrestrial cratons as 380 Myr, which is in perfect agreement with
geologic data.
# Table des matières

Introduction 15

1 Les cratères d'impact 23

1.1 Généralités 24

1.1.1 Observation et morphologie 24

1.1.2 Formation, altération et saturation 26

1.2 Une mesure du temps écoulé 27

1.2.1 La Lune, corps étalon 28

1.2.2 Exportation de la méthode vers les planètes 32

1.2.3 Incertitudes et controverses 35

2 Dynamique du système solaire 39

2.1 Problème à deux corps 40

2.2 Eléments orbitaux 43

2.3 Influence gravitationnelle d'un tiers 50

3 Les projectiles : astéroïdes et comètes 54

3.1 Définitions, origine et observations 55

3.2 Caractériser la population globale 60

3.2.1 Distribution orbitale et magnitude absolue 60

3.2.2 De la magnitude au diamètre 67

3.2.3 Météoroïdes 69

3.2.4 Distribution en taille 72

3.2.5 Synthèse 73

4 Les cibles : planètes et satellites 77

4.1 Géologie de surface 77

4.2 Propriétés physiques et orbitales. Variations séculaires 81
<table><tbody><tr><td>8</td><td>Variations spatiales du taux de cratérisation</td><td>156</td></tr><tr><td>8.1</td><td>Formalisme</td><td>156</td></tr><tr><td>8.2</td><td>Résultats</td><td>158</td></tr><tr><td>8.3</td><td>Confrontation aux observations</td><td>161</td></tr><tr><td>8.4</td><td>Troyens autour de la Terre?</td><td>163</td></tr><tr><td>9</td><td>Révision de la datation par comptage de cratères</td><td>166</td></tr><tr><td>9.1</td><td>Recalibration de la chronologie.</td><td>166</td></tr><tr><td>9.2</td><td>Méthodologie révisée</td><td>168</td></tr><tr><td>9.3</td><td>Attribution de nouveaux âges</td><td>171</td></tr><tr><td colspan="2">Conclusions</td><td>176</td></tr><tr><td>A</td><td>Trajectoires hyperboliques générées par une phase d'approche</td><td>179</td></tr><tr><td>A.0.1</td><td>Hyperboles d'impact</td><td>180</td></tr><tr><td>A.0.2</td><td>Hyperboles dans le système planète-satellite</td><td>182</td></tr><tr><td>B</td><td>Etablissement des probabilités d'Öpik</td><td>186</td></tr><tr><td>C</td><td>Simulation numérique dans le système Terre-Lune</td><td>189</td></tr><tr><td>C.1</td><td>Principe</td><td>189</td></tr><tr><td>C.2</td><td>Détermination de l'impact.</td><td>191</td></tr><tr><td>C.3</td><td>Précision et optimisation du code</td><td>193</td></tr><tr><td>C.4</td><td>Comparaison avec la méthode semi-analytique.</td><td>194</td></tr><tr><td>D</td><td>Article : Nonuniform cratering of the terrestrial planets.</td><td>196</td></tr><tr><td colspan="2">Bibliographie</td><td>226</td></tr></tbody></table>
Table des figures

<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>1.1</td>
      <td>Morphologies de cratères typiques</td>
      <td>25</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.2</td>
      <td>Densité de cratères lunaires d'un diamètre supérieur à 1 km en fonction du temps.</td>
      <td>30</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.3</td>
      <td>Distributions taille-fréquence cumulées de diverses populations de cratères lunaires, normalisées.</td>
      <td>31</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.4</td>
      <td>Exemple de distributions taille-fréquence lunaires</td>
      <td>33</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.5</td>
      <td>Distributions taille-fréquence planétaires, construites par analogie avec la Lune.</td>
      <td>35</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.6</td>
      <td>Cratères secondaires autour du cratère martien Zunil.</td>
      <td>38</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.1</td>
      <td>Géométrie de l'ellipse</td>
      <td>42</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.2</td>
      <td>L'orbite dans l'espace.</td>
      <td>47</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2.3</td>
      <td>Nombre d'astéroïdes observés, en fonction du demi grand axe.</td>
      <td>53</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1</td>
      <td>Ceinture principale d'astéroïdes.</td>
      <td>56</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2</td>
      <td>Objets observés de magnitude H &lt; 15, en fonction du demi grand axe et de l'excentricité</td>
      <td>59</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3</td>
      <td>Modèles de Bottke et al. [2002] et Stuart [2001] en comparaison avec le total des objets observés en janvier 2008.9</td>
      <td>62</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4</td>
      <td>Distribution orbitale des NEO d'après Bottke et al. [2002].</td>
      <td>63</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5</td>
      <td>Nombre cumulé d'objets de périhélies inférieurs à q, en fonction de q, pour différentes magnitudes. Les détails sont donnés dans le texte.</td>
      <td>64</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.6</td>
      <td>Croiseurs observés en fonction de l'inclinaison, par intervalle de 0.5°.</td>
      <td>66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.7</td>
      <td>Distribution orbitale des NEO de diamètre d &gt; 1km.</td>
      <td>70</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.8</td>
      <td>Probabilité annuelle d'impact avec la Terre en fonction du diamètre des projectiles.</td>
      <td>74</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.9</td>
      <td>Distribution orbitale estimée des croiseurs telluriques.</td>
      <td>75</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.10</td>
      <td>Distribution en taille estimée des croiseurs telluriques.</td>
      <td>76</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>4.1</td>
      <td>Colonne stratigraphique lunaire.</td>
      <td>79</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2</td>
      <td>Modélisation des variations à long terme de l'excentricité et de l'inclinaison des planètes telluriques.</td>
      <td>82</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3</td>
      <td>Modélisation des variations à long terme de l'obliquité de Mars.</td>
      <td>84</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4</td>
      <td>Evolution temporelle présumée de la distance Terre-Lune.</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1</td>
      <td>Géométrie de l'approche du projectile.</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2</td>
      <td>Bombardement généré lors d'une phase d'approche.</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3</td>
      <td>Position initiale du projectile lors d'une phase d'approche.</td>
      <td>92</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.4</td>
      <td>Inclinaison mutuelle et noeud commun.</td>
      <td>99</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.5</td>
      <td>Géométrie du mouvement autour du noeud commun.</td>
      <td>100</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.6</td>
      <td>Bombardement d'un système planète-lune généré lors d'une phase d'approche.</td>
      <td>102</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.7</td>
      <td>Noeuds communs de l'hyperbole qui pénètre dans le système planète-lune.</td>
      <td>103</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.8</td>
      <td>Distribution des vitesses d'approche avec les planètes telluriques et la Lune.</td>
      <td>111</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.9</td>
      <td>Comparaison entre les distributions des conditions d'approche calculées en faisant ou non la moyenne sur un cycle de précession pour Mercure et Mars.</td>
      <td>112</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.10</td>
      <td>Distribution des inclinaisons d'approche avec les planètes telluriques, comparées à l'isotropie.</td>
      <td>113</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.11</td>
      <td>Distribution de probabilité des conditions d'approche avec les planètes telluriques et la Lune.</td>
      <td>114</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.12</td>
      <td>Distribution de probabilité des conditions d'approche terrestres.</td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.13</td>
      <td>Comparaison de la distribution terrestre des coordonnées du radiant avec les données radar de Campbell-Brown [2008].</td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.14</td>
      <td>Distribution de probabilité des conditions d'approche lunaires.</td>
      <td>116</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.15</td>
      <td>Influence des variations séculaires sur la distribution des conditions d'approche martiennes.</td>
      <td>117</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.16</td>
      <td>Influence de la distance Terre-Lune sur la distribution de la longueur orbitale d'approche.</td>
      <td>118</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.1</td>
      <td>Illustration schématique de l'effet en latitude.</td>
      <td>121</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2</td>
      <td>Illustration schématique de l'effet apex / antapex.</td>
      <td>122</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3</td>
      <td>Illustration schématique de l'effet face visible / face cachée.</td>
      <td>122</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>6.4</td>
      <td>Relation entre le paramètre d'impact et la distance angulaire au radiant.</td>
      <td>123</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.5</td>
      <td>Passage du repère orbital au repère géographique.</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.6</td>
      <td>Exemples de variations latitudinales du flux d'impacts.</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.7</td>
      <td>Exemples de variations latitudinales de l'angle d'impact.</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.8</td>
      <td>Exemples de variations du flux d'impacts en fonction de la distance à l'apex.</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.9</td>
      <td>Exemples de variations du flux d'impacts en fonction de la distance à l'apex (bis).</td>
      <td>130</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.10</td>
      <td>Variations latitudinales du flux d'impacts à la surface des planètes telluriques.</td>
      <td>131</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.11</td>
      <td>Variations latitudinales du flux d'impacts à la surface de la Lune, en fonction de la séparation Terre-Lune.</td>
      <td>132</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.12</td>
      <td>Variations latitudinales de l'angle moyen d'impact à la surface des planètes telluriques.</td>
      <td>133</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.13</td>
      <td>Variations latitudinales de la vitesse d'impact moyenne à la surface des planètes telluriques.</td>
      <td>134</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.14</td>
      <td>Flux d'impacts à la surface de la Lune. Distance Terre-Lune actuelle.</td>
      <td>135</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.15</td>
      <td>Vitesses et angles d'impact moyens à la surface de la Lune. Distance Terre-Lune actuelle.</td>
      <td>135</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.16</td>
      <td>Effet apex / antapex à la surface de la Lune, en fonction de la séparation Terre-Lune.</td>
      <td>136</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.17</td>
      <td>Flux d'impacts sur Terre en fonction de la latitude et de la longueur orbitales.</td>
      <td>137</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.18</td>
      <td>Comparaison des observations radars d'entrées atmosphériques terrestres [Webster et al., 2004] avec notre simulation.</td>
      <td>138</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.19</td>
      <td>Reproduction à l'identique des résultats de Halliday [1964] et Halliday et Griffin [1982].</td>
      <td>138</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.20</td>
      <td>Modèle de signal sismique généré par un impact.</td>
      <td>139</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.21</td>
      <td>Comparaison du modèle avec les impacts enregistrés par la station sismique Apollo 12.</td>
      <td>140</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.22</td>
      <td>Bruit sismique (modélisé) généré par le bombardement lunaire.</td>
      <td>142</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.1</td>
      <td>Distribution taille / fréquence synthétique lunaire comparée à la courbe de Neukum et al. [2001a].</td>
      <td>151</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2</td>
      <td>Taux de cratérisation relatif à la Lune</td>
      <td>154</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3</td>
      <td>Comparaison des SFD planétaires globales.</td>
      <td>155</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
# Introduction

La formation des cratères d'impact est un processus géologique majeur, qui façonne le relief de l'ensemble des corps rocheux (planètes, lunes, astéroïdes) peu- plant le système solaire. Comprendre ce processus, c'est bien sûr évaluer le risque encouru par la vie terrestre, voire par de futures bases lunaires ou martiennes, mais aussi placer des contraintes sur l'histoire géologique des planètes et l'évolu- tion de la population d'astéroïdes et de comètes à travers le temps. Les cratères sont en effet de précieux marqueurs chronologiques. Connaissant l'âge d'une sur- face, ils sont le reflet de la population des petits corps à cette époque [Öpik, 1960], et témoignent de l'intensité du bombardement. A l'inverse, le nombre de cratères accumulés par une unité géologique nous informe, en prenant quelques précau- tions, sur son âge de formation. Ce travail a pour objet de donner de nouvelles estimations du taux de formation des cratères à la surface de la Lune et des pla- nètes telluriques. Après quelques généralités à propos des cratères d'impact et de la dynamique du système solaire, le problème sera traité étape par étape, partant de la distribution orbitale des astéroïdes et comètes pour aboutir à la distribution taille-fréquence des cratères, en passant par le calcul des probabilités d'impact et la conversion du flux d'impacts en taux de formation de cratères d'une certaine taille.

Le premier chapitre décrit succinctement les différentes morphologies de cra- tères [Melosh, 1989], ainsi que les principales phases de formation consécutives à l'impact. Il se concentre ensuite sur la méthode dite de « datation par comp- tage des cratères », qui se base sur le postulat qu'une surface est d'autant plus vieille qu'elle a accumulé un grand nombre de cratères. Le travail de référence de Wilhelms et al. [1987] établit une cartographie précise de nombreuses unités géo- logiques lunaires, sur des critères stratigraphiques et de composition chimique, à l'aide des images procurées par les missions *Lunar Orbiter* et *Apollo* notamment. Cette cartographie, grâce aux missions *Clementine* et *Lunar Prospector*, n'a cessé de progresser depuis [Jolliff et al., 2000]. Les mesures de densité de cratères, ad-
jointes au principe de superposition, permettent d'établir une chronologie relative de l'histoire géologique lunaire [Baldwin, 1949; Wilhelms et al., 1987]. Suite aux missions Apollo et Luna, de nombreux travaux s'attachent à relier les âges isotopiques mesurés sur les échantillons lunaires à la densité de cratères recouvrant l'unité géologique correspondante, dans le but d'établir une chronologie absolue [Shoemaker et al., 1970; Baldwin, 1971; Hartmann, 1972; Neukum, 1977; Basaltic Volcanism Study Project, 1981]. Neukum et al. [2001a] établissent une relation « âge / densité de cratères » analytique, qui prédit une accumulation constante de cratères d'une taille donnée dans les trois derniers milliards d'années, et exponentielle au-delà. Cela traduit la forte décroissance du bombardement à mesure que le jeune système solaire vieillit, pour atteindre un état d'équilibre après le premier milliard et demi d'années. Cette relation, un raffinement de celle proposée par Neukum, G. [1983], se base sur la dernière tentative en date de faire le lien entre âges isotopiques et unités géologiques majeures, proposée par Stöffler et Ryder [2001].

La mesure du nombre de cratères se fait à l'aide de distributions taille-fréquence, qui répertorient en fonction de leur diamètre le nombre de cratères, et ce sur une gamme de diamètres la plus grande possible afin d'obtenir une mesure robuste, peu sensible aux fluctuations statistiques. G. Neukum et collaborateurs [Neukum, G., 1983; Neukum et Ivanov, 1994; Neukum et al., 2001a], et W. Hartmann et collaborateurs [Basaltic Volcanism Study Project, 1981; Hartmann, 1999], proposent chacun une forme analytique de cette distribution, et concluent à partir de mesures effectuées sur des surfaces d'âges variés qu'elle est restée inchangée au cours des 4 derniers milliards d'années, reflétant la stabilité de la distribution en taille des astéroïdes et comètes. Estimer l'âge d'une surface revient alors à déterminer le nombre absolu de cratères qui permet à la distribution analytique relative de fournir le meilleur accord avec les données.

Le taux de formation de cratères d'une certaine taille n'est pas le même sur la Lune que sur Mercure ou sur Mars, en raison des conditions différentes dans lesquelles s'effectue le bombardement. Par exemple, la proximité de Mars avec la ceinture d'astéroïdes l'expose à un flux d'impacts plus intense, mais aussi à des impacts moins violents (parce que de vitesses moindres), qui produiront en moyenne des cratères plus petits. La gravité de surface joue également un rôle primordial. Il est donc nécessaire de connaître le taux de cratérisation relatif à la Lune afin d'exporter la méthode aux planètes telluriques. A partir de l'estimation faite par Ivanov [2001] du taux de cratérisation relatif martien, qui se base sur
les observations spatiales de la population d'astéroïdes à cette date, Hartmann et Neukum [2001] et plus récemment Fassett et Head [2008] attribuent (notamment) un âge aux coulées volcaniques martiennes récentes. Neukum et al. [2001b] tentent de manière similaire de replacer l'histoire géologique de Mercure dans un contexte chronologique absolu. Notons que ce premier chapitre fait également état des controverses qui entachent la méthode de datation.

Le second chapitre revient sur les fondamentaux de la mécanique céleste [Newton, 1687; Kepler, 1609, 1619], grâce auxquels il place les principaux acteurs du système solaire dans un contexte global. Il donne les outils nécessaires à la description d'une orbite dans l'espace, *via* la définition des éléments orbitaux. Il fait le lien entre ces derniers et les vecteurs position et vitesse de l'objet à un instant donné, exprimés dans un repère adéquat, afin de préparer le lecteur aux calculs qui suivront dans les chapitres suivants. Il introduit également les approximations permettant de traiter le problème à trois corps de manière analytique, à travers la définition de la sphère de Hill, qui découpe l'espace en zones d'influence gravitationnelle centrées sur chaque masse, ainsi que du paramètre de Tisserand, qui permet en particulier de déterminer dans quelle mesure un objet est dynamiquement lié à Jupiter, et de faire le tri entre comètes et astéroïdes. Il évoque enfin le phénomène de résonance avec les géantes gazeuses, qui façonne la répartition orbitales des astéroïdes de la ceinture principale.

Le troisième chapitre a pour objet la construction d'une population réaliste d'impacteurs potentiels pour l'ensemble des planètes telluriques. Après quelques généralités sur les astéroïdes et les comètes (définition, origine, propriétés), il fait la synthèse des observations et modèles concernant la distribution orbitale et la distribution de taille des croiseurs. En particulier, il se concentre sur le modèle orbital de Bottke et al. [2002], qui établissent une carte de probabilité de pré-sence des géocroiseurs dans l'espace des éléments orbitaux. A cet effet, les auteurs intègrent numériquement le comportement orbital de milliers de particules tests initialement placées au niveau des principales résonances du système solaire, et calibrent leurs résultats grâce aux observations du programme *Spacewtach*. Le modèle ne s'appliquant qu'aux planètes incluses dans l'orbite terrestre, nous nous inspirons d'Ivanov [2001] pour inclure les observations de la distribution orbitale des croiseurs martiens dans la construction d'un modèle hybride qui s'applique à l'ensemble des planètes telluriques. Ce modèle suppose que la population de croiseurs, réalimentée par les résonances, est en état d'équilibre depuis au moins trois milliards d'années.
Les observations donnent accès à la magnitude d'un objet (i.e. sa luminosité), et non à son diamètre, même si celui-ci est relié à la magnitude *via* l'albédo [Bowell et al., 1989]. Aucune corrélation n'apparaît entre la distribution orbitale des objets et la magnitude considérée [Bottke et al., 2002; Stuart, 2001]. La conversion de la magnitude en diamètre se fait selon les valeurs d'albédo données par Stuart et Binzel [2004] (voir également Morbidelli et al. [2002]), qui distinguent deux valeurs d'albédo moyennes selon que le croiseur est un astéroïde ou une comète. Le modèle ainsi créé donne la distribution orbitale relative des croiseurs de même taille, et ce quelle que soit cette taille.

La distribution en taille provient quant à elle de l'estimation des probabilités d'impact avec la Terre, dans une gamme de diamètres allant de la dizaine de centimètres à la centaine de kilomètres, estimations qui se basent sur de multiples observations indépendantes. Pour les petites tailles, le recensement des détonations atmosphériques dans un laps de temps donné, par des méthodes acoustiques [ReVelle, 2001] ou photométriques [Halliday et al., 1996; Brown et al., 2002], permet d'estimer la fréquence à laquelle des projectiles d'un certain diamètre entrent en collision avec la Terre (par exemple, en convertissant l'énergie optique dégagée en énergie cinétique puis, connaissant la vitesse d'impact, en masse et enfin en diamètre). La probabilité d'impact calculée pour les plus gros objets provient de l'observation des géocroiseurs, corrigée du biais observationnel, permise par les programmes *Spacewatch* [Bottke et al., 2002; Morbidelli et al., 2002; Rabinowitz et al., 2000], *NEAT* [Rabinowitz et al., 2000] et *LINEAR* [Stuart, 2001; Stuart et Binzel, 2004; Harris, A. W., 2002]. Dans le même esprit qu'Ivanov [2006], la distribution en taille des croiseurs est construite comme une succession de lois de puissance qui reproduit au mieux l'ensemble des estimations.

Le quatrième chapitre passe en revue les propriétés physiques et orbitales des planètes (masse, rayon, densité, demi grand axe, excentricité, inclinaison, obliquité), et donne une description succincte de la géologie de la Lune [Wilhelms, D. E., 1993], de Mercure [Spudis et Guest, 1988; Strom, 1997], de Vénus [Schaber et al., 1992; Phillips et al., 1992; Strom et al., 1994] et de Mars [Tanaka, 1986]. On y évoque la formation de la Lune et des mers de lave qui la recouvrent, les principales ères lunaires, le renouvellement « récent » de la surface de Vénus et le volcanisme plus récent encore de Mars.

Dans un deuxième temps, nous nous appuyons en particulier sur les travaux numériques et analytiques de J. Laskar pour modéliser les variations séculaires et chaotiques auxquelles les planètes sont soumises [Laskar, 1988, 1994, 2008].
Notamment, les grandes variations de l'excentricité et de l'obliquité de Mars
[Laskar et al., 2004; Armstrong et al., 2004] auront une forte incidence sur les
résultats à venir. On s'intéresse enfin à l'évolution du système Terre-Lune, et
notamment à l'accroissement de la distance Terre-Lune avec le temps, qui a lui
aussi une influence significative sur certains de nos résultats. Les données fournies
par la fluctuation des dépôts argileux de marée [Sonett et Chan, 1998] ou la
croissance des coraux [Lambeck, 1980], combinées à des modèles de dissipation
thermique [Webb, 1982], placent certaines contraintes sur l'évolution de la durée
du jour terrestre et donc sur celle de la distance Terre-Lune [Bills et Ray, 1999].

Le cinquième chapitre se penche en détail sur le calcul des probabilités d'impact et des conditions d'approche avec les planètes et la Lune. Connaissant les éléments orbitaux de l'ellipse décrite par un croiseur donné, les travaux de E. J. Öpik et de ses successeurs [Öpik, 1951; Wetherill, 1967; Greenberg, 1982; Bottke et Greenberg, 1993] permettent de calculer la probabilité d'impact avec une planète quelconque, sous l'approximation raisonnable que l'orbite du projectile est animé d'un mouvement de précession uniforme. Les expressions analytiques développées par ces auteurs permettent un calcul rapide du bombardement généré par l'ensemble de la population de croiseurs, en tenant compte de l'influence de la masse de la cible sur la capture des projectiles. Elles permettent également de déterminer les conditions d'approche, c'est-à-dire la vitesse relative entre projectile et cible, et l'orientation du vecteur vitesse dans un repère fixe attaché à la cible. La distribution de ces conditions d'approche permettra dans le chapitre suivant de déterminer les variations du flux d'impacts à la surface de la planète. Dans le cas de la Lune, les projectiles qui pénètrent dans la sphère d'influence terrestre voient leur orbite elliptique se muer en hyperbole, dont les caractéristiques dépendent des conditions d'approche avec le système Terre-Lune. En nous inspirant des travaux mentionnés plus haut, nous développons les outils analytiques nécessaires au calcul des probabilités d'impact avec la Lune, et plus généralement avec n'importe quel autre satellite. Shoemaker et Wolfe [1982] ont déjà réécrit les formules d'Öpik dans le cas d'orbites hyperboliques (voir également Zahnle et al. [1998, 2001]), mais en supposant que le bombardement du système planète-satellite est isotrope.

Les résultats obtenus dans ce chapitre concernent notamment le flux d'impacts
relatif entre les planètes et la Lune, ainsi que les vitesses d'impact moyennes à
la surface de chacune. Nos estimations procurent une mise à jour des résultats
de Neukum et al. [2001b] pour Mercure, de Shoemaker et al. [1991] pour Vénus,
et d'Ivanov [2001] pour Mars. Elles sont proches des résultats de Stuart [2001], Marchi et al. [2005] et Ivanov et al. [2002] pour la Terre, Mercure et Mars, respectivement.

Le sixième chapitre développe des outils analytiques, qui, connaissant la distribution des conditions d'approche avec la cible, permettent de calculer le flux d'impacts relatif en tout point de la surface, en tenant compte de l'obliquité. Puisque la cible est petite au regard de l'orbite d'un astéroïde, on considère que chaque approche décrite par des conditions particulières génère une nuée de projectiles de directions parallèles et d'orbites hyperboliques, qui finiront leur course en différents points de la planète. Deux conditions peuvent mener à l'homogénéité du flux d'impacts à la surface d'une planète. La première est, bien sûr, l'isotropie de la source de projectiles. La seconde est que la masse de la planète soit suffisamment grande au regard de la vitesse des projectiles pour dévier les trajectoires et forcer l'isotropie. Cependant, rien n'indique *a priori* que l'une ou l'autre de ces conditions soit respectée. La rotation des planètes autour de leur axe interdit tout effet de longitude. Si effet il y a, il sera uniquement fonction de la latitude. Sur la Lune, en revanche, comme sur tout satellite en rotation synchrone (i.e., quand la période de révolution coïncide avec la période de rotation propre), on s'attend à observer une variation longitudinale. En premier lieu, le flux d'impacts est *a priori* plus grand à l'apex (le centre de l'hémisphère qui est en tête du mouvement) qu'à l'antapex (le centre de l'hémisphère opposé). Autour de l'apex, la vitesse lunaire s'additionne à la vitesse des projectiles, alors qu'elle se soustrait autour de l'antapex. Le nombre d'impacts par unité de temps est donc nécessairement plus élevé autour du premier que du second. Une seconde asymétrie est possible entre l'hémisphère qui fait face à la Terre et l'hémisphère opposé : la Terre, comme une lentille, est susceptible de concentrer les projectiles le long d'une ligne « focale », qui, lorsqu'elle est croisée par la Lune, intensifie le bombardement sur la face visible. D'éventuelles variations spatiales ont d'importantes implications dans la mise en oeuvre de la méthode de datation par comptage de cratères, qui ne tient pas compte de cette source potentielle d'erreur, considérant que le flux d'impacts est le même partout. Si ce n'est pas le cas, et si certaines zones subissent un flux significativement plus important que d'autres, leur âge se verra surestimé par la méthode (et inversement).

De nombreux travaux ont suspecté l'existence de variations spatiales, et proposé des résultats, souvent en désaccord, voire contradictoires. L'étude de la Lune a notamment fait l'objet d'une attention toute particulière. Citons pour commen-
cer Wiesel [1971], qui, à partir d'une population d'impacteurs estimée au mieux (mais qui diffère sensiblement des connaissances actuelles), prédit un effet apex / antapex significatif, une légère concentration équatoriale, et un très léger effet de concentration sur la face visible. Bandermann et Singer [1973] proposent une expression analytique basée sur de très lourdes approximations qui confirme l'effet apex / antapex mais prédit une très légère concentration de projectiles sur la face cachée. Les simplifications qu'ils utilisent ne leur permettent pas de vérifier l'effet de latitude. Wood [1973] conclut, par l'usage de simulations numériques, à un excès d'impacts localisé entre le centre de la face visible et l'apex, mais se restreint à des projectiles d'inclinaison nulle. Pinet [1985] étudie numériquement les variations spatiales générées par une population d'objets en orbite géocentrique. Il conclut à une concentration autour de l'équateur et de la face visible qui va en s'amenuisant à mesure que la Lune s'éloigne de la Terre, jusqu'à présenter un excès polaire. Si la contribution de tels projectiles au bombardement lunaire a certainement été très importante dans les premières centaines de millions d'années, elle fut probablement minime par la suite, en particulier durant les trois derniers milliards d'années, période à laquelle nous nous intéressons plus particulièrement. Horedt et Neukum [1984], Shoemaker et Wolfe [1982], Zahnle et al. [1998] et Zahnle et al. [2001] proposent tous une expression analytique du flux d'impacts en fonction de la distance angulaire à l'impact, mais l'amplitude de l'effet prédit est très disparate (Horedt et Neukum [1984], notamment, concluent à l'inexistence d'un tel effet sur la Lune). Qui plus est, ces quatre études se basent sur l'hypothèse d'un bombardement isotrope. Halliday [1964] prédit l'existence de variations latitudinales à la surface de la Terre, mais son étude se cantonne au cas de projectiles confinés dans le plan de l'écliptique. Halliday et Griffin [1982] reprennent les résultats d'Halliday [1964], avec un jeu d'orbites plus représentatif mais encore éloigné des estimations récentes. Notre approche, outre le fait de proposer une expression analytique aboutie et rigoureuse du flux d'impacts (validée par des simulations numériques présentées en annexe), se base sur une population réaliste de projectiles. Elle permet également le calcul de la distribution des conditions d'impact (vitesse et angle d'incidence) en fonction de la position. Gallant et al. [2006] proposent une étude parallèle du bombardement Terre-Lune, par intégration numérique du système Soleil-Terre-Lune-astéroïde. Nos résultats indiquent une dépendance systématique du flux en fonction de la latitude sur les planètes telluriques, même si, à l'exception de Mars et de la Lune, celles-ci sont très réduites. Sur la Lune, un effet de longitude significatif est éga-
lement obtenu. Nous comparons ces derniers résultats aux données récoltées par Morota et Furumoto [2003]. Nous estimons également le bombardement terrestre en fonction de l'heure du jour, et comparons nos résultats aux données radar de Campbell-Brown [2008], Webster et al. [2004] et Jones et al. [2005]. Enfin, nous modélisons le bruit sismique généré par les impacts lunaires et comparons nos résultats aux enregistrements des stations sismiques Apollo.

Le septième chapitre fait le lien entre conditions d'impact et taille du cratère formé. L'étude adimensionnée d'expériences de chocs supersoniques effectuées en laboratoire a permis l'établissement de lois d'échelles qui donnent le diamètre du cratère en fonction de la taille du projectile, de sa vitesse, de l'angle d'impact, des masses volumiques du projectile et de la cible, de la cohésion du sol et de la gravité de surface [Schmidt et Housen, 1987; Holsapple et Schmidt, 1987; Holsapple, 1993; Gault, 1974] (voir aussi la revue de Melosh [1989]). La dernière mise à jour de cette relation est due à Holsapple et Housen [2007]. Sur les planètes, des processus d'effondrement dus à la gravité, et non reproductibles en laboratoire, interviennent pour agrandir la taille du cratère final. Ils sont pris en compte comme préconisé par Pike [1980] et Melosh [1989]. Connaissant la distribution en taille des impacteurs, le flux d'impacts absolu et la distribution des conditions d'impact, nous sommes alors en mesure de générer les distributions taille-fréquence des cratères qui recouvrent les planètes et la Lune. Nous nous attachons notamment à réconcilier notre distribution synthétique lunaire avec l'expression polynomiale construite par Neukum et al. [2001a] à partir des observations. La comparaison, excellente, nécessite toutefois de faire intervenir selon leur taille deux régimes de formation des cratères, dits régimes « poreux » et « non poreux » [Schmidt et Housen, 1987], comme le propose Ivanov [2006]. Nous vérifions également l'hypothèse d'un bombardement relativement constant dans les trois derniers milliards d'années. Enfin, nous estimons les taux de cratérisation relatifs à la Lune. Puisque, pour une même taille de projectile, le diamètre moyen du cratère formé n'est pas le même d'une planète à l'autre (vitesse d'impact et gravité de surface différentes), le taux de cratérisation relatif, qui représente le rythme de formation de cratères d'une taille donnée, diffère du flux d'impacts relatif.

Le huitième chapitre se concentre sur les variations spatiales du taux de cratérisation, accentuées par rapport aux variations du flux d'impacts en raison de la dépendance spatiale de la vitesse et de l'angle d'impact, qui contribuent à déterminer la taille du cratère formé. Sur la Lune, par exemple, le bombardement plus
intense à l'équateur s'accompagne d'un angle d'impact en moyenne plus proche de la verticale qu'il ne l'est aux pôles. Pour une même taille de projectile, le cratère formé est donc en moyenne plus grand à l'équateur. Les deux effets se combinent pour accentuer les variations en terme de taux de cratérisation.

Le neuvième et dernier chapitre se base sur les résultats obtenus tout au long des chapitres précédents pour apporter les corrections adéquates à la méthode de datation par comptage des cratères. Nous proposons une correction des points de calibration de la relation « âge / densité de cratères » établie par Neukum et al. [2001a] et Stöffler et Ryder [2001]. Nous développons ensuite une méthodologie qui inclut les variations spatiales du taux de cratérisation dans l'usage de la méthode de datation. Nous proposons enfin des nouvelles estimations d'âge pour quelques exemples typiques sur la Lune, Mercure, Vénus, la Terre et Mars.
# Chapitre 1

## Les cratères d'impact

Les cratères d'impact existent sur tous les corps qui possèdent une surface solide, c'est-à-dire les planètes telluriques, les satellites, les astéroïdes et les comètes. Ils constituent le relief le plus abondant à la surface des planètes géologiquement inactives dotées d'une atmosphère relativement ténue. C'est en général le cas des petites planètes, qui ont rapidement dissipé leur chaleur de formation résiduelle et ne possèdent pas une gravité suffisante pour retenir leurs volatils. En particulier, il suffit de jeter un oeil à la Lune à travers un télescope très modeste pour constater qu'elle en est recouverte. En revanche, si on sait désormais que des cratères se forment régulièrement à la surface de la Terre, la plupart ont disparu, soit à cause de la tectonique des plaques, soit en raison de la forte érosion provoquée par son enveloppe fluide. Quand au petits cratères que l'on peut observer sur la Lune (cette fois avec un télescope nettement plus performant), ils sont tout simplement absents sur la Terre, puisque les objets de petites tailles qui pénètrent dans l'atmosphère sont désintégrés par frottement. Mercure, Venus, Mars et les satellites des géantes gazeuses présentent toutes elles aussi des telles structures.

L'étude des cratères d'impact commence avec la publication de Galilei Galileo en 1610 intitulée *Sidereus Nuncius*, dans laquelle il ébauche une topographie de la surface lunaire. Il faudra plusieurs siècles pour que l'on comprenne le processus de l'impact et que l'on soit convaincu de sa réalité. Le sujet reste un vaste champ d'étude, et les recherches se poursuivent à travers l'observation plus fine permise par la technologie spatiale, les expériences de choc hypersonique en laboratoire, l'exploitation des explosions nucléaires et les modélisations numériques. La bonne compréhension des mécanismes qui mènent à la formation d'un cratère sont d'une importance capitale en planétologie ; elle nous renseigne, entre autres, sur la morphologie des reliefs planétaires, sur la population passée et présente des astéroïdes, sur l'âge de certaines unités géologiques, sur le risque encouru par l'homme et par la vie en général.
### 1.1 Généralités

#### 1.1.1 Observation et morphologie

Les cratères d'impact prennent la forme de dépressions plus ou moins circulaires qui présentent une bordure surélevée. On appelle diamètre apparent la largeur moyenne du cratère à une altitude qui correspond à la topographie environnante, tandis que le diamètre vrai est mesurée de part et d'autre de la bordure. Les observations très précises obtenues sur la Lune ont permis de différencier les cratères d'impact des cratères volcaniques, notamment parce que la taille des premiers couvre un très large spectre, allant de quelques microns à plusieurs milliers de kilomètres (*South Pole-Aitken*, bassin lunaire, est le plus grand bassin d'impact observé dans le système solaire, avec un diamètre d'environ 2500 km). De nombreuses missions spatiales à destination des différentes planètes et satellites ont permis de recenser des centaines de milliers de cratères (par exemple, la mission *Clementine* pour la Lune, *Magellan* pour Venus, *Mars express ...*). Le lecteur est invité à se référer au chapitre 4 pour de plus amples détails.

La classification des cratères d'impact est décrite en détail dans Melosh [1989]. On distingue quatre grands groupes de cratères d'impact (voir la figure 1.1), dont la morphologie a pour critère déterminant la taille considérée :

- les *micro-cratères*, de tailles sub-centimétriques, sont formés par la collision de grains de poussière sidérale. Ils ne sont donc susceptibles de se former que sur des corps sans atmosphère, et furent originellement observés sur les échantillons rocheux rapportés par les missions *Apollo*.

- les *cratères simples* ont la forme d'un bol. Leur bordure est approximativement circulaire, et leur profil vertical est paraboloïde. Leur diamètre est typiquement de l'ordre de quelques mètres à quelques kilomètres. *Meteor Crater*, en Arizona, en est un exemple terrestre. Leur profondeur est de l'ordre du cinquième de leur diamètre.

- les *cratères complexes*, plus grands, présentent en général un fond plat, une bordure en terrasses, et un piton central. Ils résultent de l'effondrement par gravité des bords du cratère initial. On peut donner en exemple le cratère lunaire *Copernicus*. La transition entre cratères simples et complexes se fait autour d'un diamètre critique qui dépend du corps heurté. Ce diamètre seuil varie approximativement de manière inversement proportionnelle à la gravité de surface. Sur la Terre, il est de l'ordre de trois kilomètres, alors qu'il est d'environ 18 kilomètres sur la Lune.
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 1.1 – *En haut à gauche*. Micro-cratère, d'un diamètre de 30 µm, observé sur un échantillon Apollo 11. *En haut à droite*. Meteor Crater, cratère simple d'un diamètre de 1 km, observable en Arizona. *En bas à gauche*. Copernicus, cratère lunaire complexe d'un diamètre de 93 km. *En bas à droite*. Oriental Basin, bassin d'impact lunaire d'un diamètre de 900 km. Crédits NASA/LPI.</figcaption></figure>

– les *bassins à anneaux multiples* constituent la structure d'impact la plus vaste. Ils sont constitués d'une succession de bordures concentriques, et peuvent être en partie remplis de laves. Citons le bassin lunaire *Orientale*, dont le diamètre est de 900 km.

Il existe bien sûr des cratères qui font exception, et ne rentrent dans aucune de ces catégories. En particulier, les rares impacts qui possèdent un angle d'incidence très faible créent des cratères de forme elliptique ; certaines contraintes régionales particulièrement fortes peuvent générer des cratères à géométrie insolite, rectan-
gulaires ou polygonaux; une stratification lithologiquement très contrastée est susceptible de présenter des cratères dont la structure s'apparente à un amphithéâtre, c'est-à-dire à une sorte d'escalier concentrique.

Il faut également mentionner que les cratères récents sont entourés de jets de matière (ejecta) particulièrement visibles, qui rayonnent à partir du point d'impact. On parle de cratères étoilés. Ces structures sont éphémères (voir la section suivante). En guise de très bel exemple, on observera le cratère Tycho, qui balafre la quasi totalité de l'hémisphère visible de la Lune. Ces éjectas sont criblés de petits cratères dit secondaires, par opposition au cratère primaire dont les débris propulsés par l'excavation ont réimpacté la surface.

## 1.1.2 Formation, altération et saturation

Les cratères d'impact résultent de la collision d'un objet céleste avec le sol, qui se produit à une vitesse allant de quelques kilomètres par seconde à la centaine de kilomètres par seconde. Leur formation consiste en une rapide succession de processus, qui débute par l'impact proprement dit et s'achève lorsque la cavité à atteint un état d'équilibre. On distingue trois phases : la phase de compression, la phase d'excavation, et enfin la phase de modification.

- Contact et compression : la brutale décélération du projectile au moment de l'impact transmet son énergie cinétique au sol sous la forme d'ondes de choc. La pression exercée est de l'ordre de $\frac{1}{2}\rho u^2$, $\rho$ étant la densité du matériau et $u$ la vitesse d'impact. Typiquement, $\rho \sim 3000 \text{ kg.m}^{-3}$ et $u \sim 10 \text{ km.s}^{-1}$. La roche est donc aisément compressée par le choc, et une grande quantité de matière est purement et simplement vaporisée (pour la plupart des roches, il suffit de quelques centaines de kilobars). L'onde de choc s'atténue avec la distance pour finalement se transformer en onde sismique, de vitesse acoustique. La durée de cette phase est de quelques millisecondes.

- Excavation : la décompression qui suit l'éloignement de l'onde de choc accélère la matière alentour, et initie un processus d'excavation subsonique, qui voit la formation d'un cratère dit transitoire, dont la taille croît progressivement. La matière déplacée contribue à la formation de la bordure, dont la hauteur représente environ 4 % du diamètre de la cavité pour des cratères simples, ou est expulsée selon une trajectoire quasi parabolique pour former des rais d'éjectas ou des agrégats de cratères secondaires. Typiquement, un projectile d'une taille donnée produit un cratère 10 fois plus grand.
- **Effondrement et modification** : lorsque toute l'énergie de l'impact a été dissipée ou évacuée par les éjectas, la cavité est modifiée par la gravité de surface et par la relaxation du matériel qui forme la base du cratère. Les bords du cratère s'effondrent, accroissant son diamètre et réduisant sa profondeur. La forme finale du cratère, appartenant aux groupes morphologiques décrits plus haut, dépendra principalement de la gravité de la planète. La transition entre cratères simples et complexes est clairement marquée, ces derniers subissant un effondrement plus marqué.

La taille du cratère final dépend de nombreux paramètres : la taille du projectile, la vitesse et l'angle d'incidence au moment de l'impact, la densité et la cohésion des matériaux en jeu, la gravité de surface contribuent tous à la création d'une cavité plus ou moins importante. L'analyse adimensionnée des expériences de choc en laboratoire et la modélisation numérique ont permis d'établir des lois, dites *lois d'échelle*, qui relient ces variables. Nous en donneront la synthèse au chapitre 7.

Sur des échelles de temps très variables, allant du mois au milliard d'années, il existe divers processus qui altèrent les cratères d'impact. Sur Terre, la tectonique des plaques les fait disparaître, la croûte terrestre étant renouvelée par cycles de quelques centaines de millions d'années. L'érosion joue également un rôle important. On estime que la durée de vie d'un cratère terrestre de diamètre kilométrique est de l'ordre du million d'années, à cause de l'érosion tant mécanique que chimique. Les impacts eux-mêmes mettent en place une compétition entre la formation de nouveaux cratères et le maintien des plus anciens. Sur les planètes dépourvues d'atmosphère, le bombardement constant remanie la surface et crée ce qu'on appelle le *régolithe*, mélange de poussière consolidée et de brèches de tailles variables. Par ailleurs, la probabilité pour qu'un nouvel impact détruise un précédent cratère est d'autant plus grande que le nombre de cratères préexistant est important. À un certain stade, chaque impact oblitère en moyenne un cratère. On dit que la surface, en équilibre, est *saturée*. C'est notamment le cas des plus anciennes régions lunaires, les *highlands*, vieilles de ~4.45 Ga.

## 1.2 Une mesure du temps écoulé

Partant du principe simple selon lequel une surface ancienne aura eu le temps d'accumuler un plus grand nombre de cratères qu'une surface récente, il est possible de bâtir une chronologie relative qui s'appuie sur le décompte des cratères.
Cette chronologie bénéficie même, grâce aux âges des échantillons de roches lunaires mesurés en laboratoire, de points de calibration absolus. La Lune est donc la pierre angulaire de la méthode de datation par comptage des cratères. La détermination d'âges sur les autres corps du système solaire se fait par extrapolation, en tenant compte des conditions différentes qui président à la formation des cratères, notamment l'intensité du bombardement, la vitesse d'impact et la gravité de surface. En l'absence d'échantillons ou de mesures *in situ*, les cratères d'impact pourvoient à l'un des seuls moyens de replacer dans un contexte temporel l'évolution géologiques des grands objets du système solaire.

### 1.2.1 La Lune, corps étalon

La surface de la Lune offre un environnement très favorable à l'étude des cratères d'impact. Tout d'abord, sa grande proximité avec la Terre lui a valu (et lui vaut encore) d'être l'objet d'une attention toute particulière. L'intense investigation à laquelle elle fut soumise a permis de collecter quantité d'informations. Ensuite, dans la mesure où la plus grande partie de l'activité géologique du satellite a cessé il y a plus de 3 milliards d'années, les paysages qui la recouvrent mettent les cratères au premier plan.

Comme le mentionne l'introduction, Wilhelms et al. [1987] établit une cartographie de référence de nombreuses unités géologiques lunaires et de leur relations chronologiques, qui, avec l'essor des missions spatiales, n'a cessé de progresser depuis [Jolliff et al., 2000]. Les unités géologiques sont définies sur des critères de composition et/ou de morphologie. Les progrès amenés par les missions spatiales postérieures pourront par exemple être consultés dans Jolliff et al. [2000]. Le principe de superposition géologique, qui dit en substance que les formations géologiques jeunes coupent ou recouvrent les anciennes, permet d'établir une première chronologie relative. Lorsque les contacts géologiques ne sont pas bien définis, ou lorsque l'on souhaite attribuer un âge absolu, il est nécessaire de faire usage des cratères d'impact. Les missions Apollo et Luna offrent en effet l'opportunité de placer l'évolution géologique lunaire dans un contexte chronologique absolu. Au total, neuf missions ont collecté et rapatrié pas moins de 382 kilogrammes de roche lunaire. L'analyse isotopique a permis de dater ces échantillons avec une très bonne précision. Dans le but de relier l'âge d'une unité géologique à la densité de cratère qui la recouvrent, les méthodes qui mènent à la détermination du moment de la dernière cristallisation sont les plus importantes. Citons les méthodes Rb-Sr et Sm-Nd pour les roches à gros grains, et la méthode $^{40}$Ar-$^{39}$Ar
pour les roches ignées et les produits d'impact (voir par exemple Faure [1986]). Le lecteur trouvera de nombreux exemples de datation de roches lunaires, ainsi que de multiples références aux précédentes publications dans l'article de Snyder et al. [2000]. De nombreux travaux s'attachent à relier les âges radiométriques mesurés sur les échantillons lunaires à la densité de cratères recouvrant l'unité géologique correspondante, dans le but d'établir une chronologie absolue [Shoemaker et al., 1970; Baldwin, 1971; Hartmann, W. K., 1969, 1970b,a; Hartmann, 1972; Neukum et al., 1975; Neukum, 1977; Basaltic Volcanism Study Project, 1981; Neukum, G., 1983]. Les travaux conjoints de Stöffler et Ryder [2001] et Neukum et al. [2001a] établissent une relation « âge / densité de cratères » qui fait référence aujourd'hui.

A titre d'exemple, l'âge du bassin Nectaris est déduit des âges isotopiques mesurés sur les échantillons prélevés sur le site d'Apollo 16, pourtant éloigné du bassin de quelques centaines de kilomètres. En effet, la stratigraphie du site présente deux unités géologiques majeures : la formation Cayley, jeune, et la formation Descartes, plus ancienne. On considère que cette dernière a été exposée par les éjectas de l'impact à l'origine du cratère North Ray, il y a environ 50 millions d'années. La formation Descartes est elle-même interprétée comme faisant partie de la matière éjectée par l'événement qui forma le bassin Nectaris [Wilhelms et al., 1987]. La mission Apollo 16 a récolté les éjectas du cratère North Ray. L'âge des plus jeunes brêches qui composent la roche analysée en laboratoire est considéré comme étant l'âge de la formation Descartes, et par conséquent comme l'âge du bassin d'impact Nectaris, soit environ 3.85 milliards d'années [Stöffler et Ryder, 2001]. La densité de cratères correspondante est mesurée sur la bordure du bassin Nectaris, l'intérieur étant occupé par des laves plus jeunes qui forment Mare Nectaris [Neukum et Ivanov, 1994]. De manière plus simple, la mission Luna 24 procure l'âge des basaltes qui forment la partie sud de Mare Crisium, sur laquelle la densité de cratères est directement mesurée.

En se basant sur les points de calibration donnés par Stöffler et Ryder [2001], Neukum et al. [2001a] proposent une solution analytique, représentée en figure 1.2, qui lie la densité de cratères d'un diamètre supérieur à 1 km à l'âge de surface sous la forme

$$N(> 1, t) = 5.44 \times 10^{-14} (e^{6.93 t} - 1) + 8.38 \times 10^{-4} t. \quad (1.1)$$

où $t$, le durée d'accumulation des cratères, s'exprime en milliards d'années. On constate que la relation établie est linéaire pour les ~3.3 derniers milliards d'années, ce qui correspond à un flux de projectiles constant durant cette période.
Au-delà, la relation prend une forme exponentielle, traduisant un bombardement bien plus intense. Cela s'explique par le fait qu'un grand nombre de débris, produits de la compétition agrégation / destruction qui forma les planètes, peuplaient le jeune système solaire. Progressivement, la population d'astéroïdes et de comètes atteint apparemment un état d'équilibre, réalimentée en continu par les immenses réservoirs que sont notamment la ceinture principale et la ceinture de Kuiper (voir le chapitre 3).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG. 1.2 – Densité de cratères d'impact lunaires d'un diamètre supérieur à 1 km en fonction du temps. Figure extraite de Neukum et al. [2001a].</figcaption></figure>

Les petits cratères sont beaucoup plus nombreux que les grands, reflétant la distribution en taille des projectiles. En première approximation, ils suivent une loi de puissance. Pour obtenir des données aussi robustes que possible, on recense le nombre de cratères pour une succession de tailles différentes. Il s'agit de distributions dites « taille-fréquence », auxquelles on fera parfois référence par l'usage de l'acronyme SFD (size-frequency distributions) et qui sont représentées sur un diagramme log-log. Plusieurs types de distributions sont utilisés [Crater analysis techniques working group, 1979]. La forme cumulative donne le nombre de cratères plus grands qu'un diamètre donné, et présente l'avantage (ainsi que l'inconvénient) d'être peu sensible aux variations statistiques. On utilise également la forme différentielle, qui est donnée par le nombre de cratères dans un certain intervalle de taille, divisé par la largeur de cet intervalle, ainsi que la forme relative, qui est le produit de la forme différentielle par le cube du diamètre moyen
de l'intervalle. Ces deux dernières formes reflètent plus fidèlement les proces-
sus géologiques qui affectent certains cratères d'une taille particulière (érosion,
oblitération), mais peuvent présenter de grandes fluctuations statistiques. La dis-
tribution relative, appelée *R-plot*, a été définie comme telle parce que la pente de
la distribution différentielle est souvent proche de -3. Les changements de pente
autour de cette valeur sont alors plus visibles sous cette représentation. On peut
écrire les différentes formes de distributions taille-fréquence, sous l'approximation
qu'une simple loi de puissance est représentative, comme

$$
\text{distribution cumulée} \qquad N(> D) = AD^{-\alpha} \qquad (1.2)
$$

$$
\text{distribution différentielle} \quad N(D) = \frac{d}{dD} N(> D) = A\alpha D^{-(\alpha+1)} \quad (1.3)
$$

$$
\text{distribution relative} \quad r(D) = D^3 N(D) = A \alpha D^{-(\alpha-2)} \quad (1.4)
$$

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG. 1.3 – Distributions taille-fréquence cumulées de diverses populations de cra-
tères lunaires, normalisées. Figure extraite de Neukum et al. [1975].</figcaption></figure>

La figure 1.3, extraite de Neukum et al. [1975], présente diverses distributions
cumulées pour différentes zones de la Lune. Puisque leur âge diffère *a priori*,
elle n'ont pas accumulé le même nombre de cratères, ce qui se traduit par un décalage vertical de la courbe. Ici, toutes les distributions sont normalisées pour comparaison. G. Neukum en conclut que la forme de la distribution en taille des cratères n'a pas varié depuis 4 milliards d'années, et donne une description polynomiale de la distribution cumulée :

$$ \log N(> D) = N(> 1, t) + \sum_{n=1}^{11} a_n \log D^n \quad \text{pour } 0.01 < D < 300 \text{ km,} \quad (1.5) $$

où le premier coefficient, $a_0 = N(> 1, t)$, donne la position verticale de la courbe. Les autres coefficients $a_n$ sont constants et donnés, dans leur dernière version, par Neukum et al. [2001a]. Hartmann conclut lui aussi à la stabilité de la forme de la SFD dans le même laps de temps, mais donne une estimation différente de celle-ci, qui se décompose en 3 lois de puissances successives. Pour une surface ayant accumulé des cratères d'impact depuis un milliard d'années, Hartmann, W. K. [2005] donne

$$ \log N(> D) = -2.616 - 3.82 \log D \quad \text{pour } 0.3 < D < 1.41 \text{ km} \quad (1.6) $$

$$ \log N(> D) = -2.920 - 1.80 \log D \quad \text{pour } 1.41 < D < 64 \text{ km} \quad (1.7) $$

$$ \log N(> D) = -2.198 - 2.20 \log D \quad \text{pour } D > 64 \text{ km.} \quad (1.8) $$

Les outils fournis par les équations (1.5) et (1.1) permettent d'estimer l'âge de n'importe quelle unité géologique lunaire sur laquelle un nombre statistiquement suffisant de cratères est observable. La figure 1.4 donne l'exemple de distributions mesurées sur la Lune par Neukum et al. [2001a], sous forme de distributions cumulées ou relatives. Les termes *copernicien*, *érathosthénien*, *imbrien* et *néctarien* correspondent, par ordre chronologique croissant, aux principales ères géologiques lunaires (voir le chapitre 4).

### 1.2.2 Exportation de la méthode vers les planètes

Connaissant, pour la Lune, la relation qui lie la densité de cratères qui recouvre une surface à son âge, on peut tenter d'exporter la méthode de datation aux planètes telluriques, aux satellites des géantes gazeuses, voire aux gros astéroïdes. Pour cela, il faut successivement

1. Connaître la forme de la distribution taille-fréquence des cratères lunaires

2. Estimer, sur la planète considérée, le taux de formation de cratères relatif à la Lune
<figure><img src="image_5.png" /></figure>

FIG. 1.4 – *A gauche*. Distributions taille-fréquence cumulées pour (1) le bassin Orientale, (2) les cratères érathosthéniens et (3) les cratères étoilés coperniciens. *A droite*. Distributions taille-fréquence relatives pour certaines unités géologiques imbrienne, néctariennes et pré-néctariennes. Figures extraite de Neukum et al. [2001a].

3. Convertir la SFD lunaire en analogue planétaire.

4. Etablir, grâce à la SFD planétaire et aux données, le nombre de cratères d'une certaine taille qui recouvrent la zone étudiée.

5. Reconvertir ce nombre de cratères en équivalent lunaire.

6. Déduire de la relation âge vs. densité établie sur la Lune l'âge de l'unité géologique extralunaire.

La première étape est donnée par l'équation (1.5). Dans un second temps, il est nécessaire d'établir le flux d'impact relatif entre la planète et la Lune, ainsi que les conditions d'impact (par exemple la vitesse d'impact), propres à chaque planète, qui, pour une même taille de projectiles, engendreront un cratère plus ou moins grand (voir les lois d'échelle au chapitre 7). En d'autres termes, il faut
établir le taux relatif de formation de cratère d'une certaine taille par rapport à la Lune. Pour cela, on doit revenir à la distribution orbitale et à la distribution en taille des projectiles qui sont susceptibles d'entrer en collision avec les planètes (voir le chapitre 3). Il faut également, dans certains cas (Venus en particulier) tenir compte du bouclier atmosphérique. Ceci étant fait, on convertit la distribution taille-fréquence lunaire en analogue planétaire en multipliant chaque point (correspondant à un diamètre donné) par le taux de formation de cratères relatif à la Lune, à ce diamètre particulier. Vient le temps d'exploiter les données, de plus en plus nombreuses grâce au nombre croissant de missions spatiales à destination des différentes planètes et satellites du système solaire, qui fournissent des images d'une résolution toujours meilleure (voir le chapitre 4). Elles permettent de caler verticalement (l'abscisse étant *D* et l'ordonnée *N* (> *D*) ) la distribution théorique. On en déduit alors le nombre de cratères d'un diamètre supérieur à 1 kilomètre. Ce nombre est reconvertit en équivalent lunaire pour la même durée et le même diamètre. Il suffit alors de déterminer l'âge grâce à la relation donnée par l'équation (1.1). Notons qu'il est fait usage, à la quatrième étape, de la distribution planétaire théorique en complément des données. En effet, ces dernières ne couvrent pas en général une gamme de diamètres très large, et sont affublées de barres d'erreur assez larges. La SFD théorique (à condition qu'elle soit correcte) permet donc, une fois ajustée aux données, d'établir le nombre de cratères d'une certaine taille avec une plus grande robustesse.

Ces étapes seront effectuées tout au long de ce manuscrit, et comparées avec les travaux existants. Citons dès à présent quelques résultats antérieurs. Mars, notamment, a fait de nombreuses fois l'objet d'une telle démarche. On pourra consulter en particulier Hartmann, W. K. [2005] et Hartmann et Neukum [2001], où la surface des laves, notamment autour de Olympus Mons, le plus grand volcan du système solaire, est estimée à quelques centaines de millions d'années, témoignant d'une activité géologique récente. Il faut noter que ces estimations, déjà du même ordre dans les travaux de W. K. Hartmann datant des années 70, s'étaient vues confirmées dans les années 80 par la datation absolue de métaorites martiennes essentiellement composées de laves. Le cas de Mercure est détaillé dans Neukum et al. [2001b]. Dans cet article, le bassin Caloris, stratigraphiquement parlant le plus jeune des bassins de Mercure, est estimé vieux de 3.77 ±0.06 Ga. L'âge de la surface de Venus, supposée globalement renouvelée par l'activité volcanique, est estimée dans Strom et al. [1994] à environ 600 Ma. La figure 1.5, extraite de Ivanov et al. [2002], résume différentes reconstructions
de distributions planétaires à partir de la distribution lunaire. Les auteurs ont établi la distribution taille-fréquence des projectiles en inversant les données de cratérisation lunaire, et estimé une vitesse d'impact moyenne sur chaque planète à partir des observations orbitales. Ils concluent que l'on peut considérer que l'ensemble des planètes telluriques subissent le bombardement de la même population de projectiles.

### 1.2.3 Incertitudes et controverses

Il existe de nombreuses remises en question de la précision, voire de la validité, de la méthode de chronologie basée sur les cratères d'impact. Les principaux auteurs estiment que celle-ci donne des estimations dont l'incertitude est au mieux d'un facteur 2. Nous allons ici faire la liste de ses principales fragilités.

- La méthode estime l'âge de rétention des cratères d'une certaine surface, et pas nécessairement son âge véritable, puisque l'érosion et l'oblitération peuvent jouer un rôle important. On mesure alors la durée de vie des cratères (si c'est effectivement le cas, ces processus affectent inégalement différentes tailles de cratères, et on peut espérer déduire de la forme des distributions, et des différences avec les modèles, des informations sur la vitesse de renouvellement de la surface.)

- Le flux d'impact est supposé constant depuis environ 3.3 Ga, dans les limites de l'incertitude observationnelle. Pourtant, plusieurs travaux laissent penser que des événements de disruption catastrophique se produisent dans la ceinture principale d'astéroïdes, lorsqu'un gros astéroïde est détruit et que les débris sont éjectés vers les planètes, accroissant ponctuellement et intensément le bombardement. De plus, certains auteurs avancent que le flux d'impacts aurait décru graduellement depuis 3 milliards d'années. Ainsi, Hartmann et al. [2007] suggère que, pendant cette période, le bombardement lunaire aurait décru d'un facteur 3. La même estimation est donnée par Culler et al. [2000], qui ajoute que le bombardement pourrait avoir brutalement augmenté (d'un facteur 4) lors d'une disruption il y a 500 Ma (voir aussi Nesvorný et al. [2002]). Ces travaux se basent principalement sur l'analyse radiogénique de quelques (environ 200) sphérules de verre observées sur un gramme d'échantillon lunaire. L'évolution temporelle du nombre de ces structures, dont l'origine est associée à de petits impacts, est censée refléter l'histoire du bombardement lunaire.
<figure><img src="image_6.png" /></figure>

FIG. 1.5 – Distributions taille-fréquence planétaires relatives, construites par ana- logie avec la Lune, et comparées aux données. Les acronymes NPF et HPF corres- pondent aux distributions données par les équations (1.5) et (1.8), respectivement, recalculées pour les différentes conditions planétaires. (a) Mercure ; highlands et Caloris Basin. (b) Venus ; ensemble des cratères répertoriés. NPF et HPF ne tiennent pas compte de l'atmosphère vénusienne. Les courbes 2 et 3 sont des mo- dèles de désintégration atmosphérique (c) Terre ; distributions normalisées des cratons européens et américains. (d) Mars ; (1) terrains lourdement bombardés, (2) jeunes plaines, (3) jeunes caldeiras. Les diagonales tiretées correspondent au niveau de saturation calculé d'après Hartmann [1995]. Figure extraite de Ivanov et al. [2002]. Voir les références incluses.

- Une seule et même population est supposée être à l'origine des cratères telluriques, et sa distribution en taille est supposée inchangée depuis 4 mil- liards d'années. Pourtant, les disruptions catastrophiques sont susceptibles de modifier ponctuellement cette distribution [Bottke et al., 2005; O'Brien et al., 2006]. Qui plus est, on peut discuter, au vu de la figure 1.5, la corré-
lation supposée des distributions de cratères planétaires. Enfin, Strom et al. [2005] affirment que la distribution en taille des astéroïdes était différente lors de la phase de bombardement intensif.

- Cette unique population est estimée à partir des observations orbitales (qui restent incomplètes) et des modèles associés [Bottke et al., 2002; Stuart, 2001], ou bien à partir de l'inversion des données de cratérisation lunaire [Werner et al., 2002]. Le passage du flux d'impact au taux de formation de cratères se fait par l'usage de lois d'échelles dont certains paramètres, notamment l'angle d'incidence, restent mal contraints.

- Le rôle des comètes quasi-isotropes (voir le chapitre 3) n'est pas certain. Cela dit, les derniers travaux à ce sujet tendent à conclure que leur contribution est modérée, de l'ordre de 1 à 10 % [Bottke et al., 2002, 2005; Weissman et al., 2002].

- La contribution des cratères secondaires fait débat. Les travaux de McEwen et collaborateurs (voir l'article de revue McEwen et Bierhaus [2006]) estiment que la production de petits cratères martiens (taille subkilométrique) est largement dominée par les débris projetés lors de la formation de cratères plus grands. Les cratères secondaires sont dangereux lorsque l'on tente de dater une surface, car il peut s'en former un très grand nombre de manière quasi-simultanée. Ainsi, deux surfaces du même âge peuvent présenter un nombre de petits cratères qui varie considérablement. Un certain nombre de cratères secondaires se différencient nettement des petits cratères primaires, surtout lorsqu'ils sont proches de leur cratère parent, parce qu'ils présentent une morphologie plus irrégulière et forment des amas. Les techniques standard de datation excluent de tels amas du décompte des cratères pour estimer un âge, et considèrent que les cratères secondaires distants recouvrent uniformément la surface et peuvent donc faire partie intégrante du décompte. En effet, leur uniformité présumée leur permet de porter une information chronologique au même titre que les cratères primaires, et il n'est alors pas nécessaire de faire le tri entre les uns et les autres. Cependant, McEwen et Bierhaus [2006] contestent cette hypothèse en affirmant que les amas de cratères secondaires existent et sont difficiles à isoler. Qui plus est, puisque la vitesse d'éjection des débris générés par un impact primaire est d'autant plus grande que le débris est petit, la distribution taille-fréquence des cratères secondaires est *a priori* plus pentue que celle des cratères primaires. McEwen et Bierhaus [2006] estiment à partir
de la distribution taille-fréquence des astéroides [Bottke et al., 2005] que la pente des distributions analytiques établies par Hartmann et Neukum pour les petits cratères est produite par un mélange de cratères primaires et secondaires, et que cette pente est susceptible de varier localement selon la proportion de secondaires. Ces conclusions s'appuient notamment sur l'analyse détaillée du cratère martien Zunil (voir la figure 1.6). La question n'est pas encore tranchée (voir Ivanov et Hartmann, W. K. [2007]).

- La méthode de datation considère que le flux de projectiles est isotrope. Il en découle que le taux de formation de cratères est indépendant de la position sur la planète. Si tel n'était pas le cas, des biais systématiques seraient introduits dans l'attribution d'âges tant relatifs qu'absolus.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIG. 1.6 – Les alentours du cratère martien Zunil vus par infrarouge. Les rais d'ejecta, en orange, présentent une forte concentration de cratères secondaires. Figure extraite de McEwen et Bierhaus [2006].</figcaption></figure>
# Chapitre 2

## Dynamique du système solaire

Le système solaire est le vaste théâtre de quantité d'interactions qui se produisent entre les multiples objets qui le composent. En particulier, le mouvement qui anime chacun est produit, entretenu ou perturbé par celui de tous les autres : chaque objet, de par sa masse, influe sur la totalité du système. Pour comprendre et modéliser la formation des cratères d'impact, il nous faut prendre en compte les mécanismes qui régissent le mouvement des impacteurs potentiels que sont les astéroïdes et les comètes, et celui de leurs cibles, les planètes et leurs lunes. Cet ensemble dynamique très complexe peut heureusement être globalement décrit par l'usage de quelques lois simples qui découlent de certaines approximations.

En effet, l'influence d'un corps croît avec sa masse et diminue avec le carré de la distance. Cette compétition masse/distance établit une hiérarchie parmi les acteurs du mouvement d'un objet donné. Souvent, on peut même raisonnablement considérer, en tout cas pour les applications que nous en ferons, que la trajectoire de l'objet en question n'est déterminée que par un voisin particulièrement massique. Ainsi, l'orbite de la Lune est principalement gouvernée par la Terre, qui est elle-même essentiellement sous la domination du Soleil. Bien évidemment, il s'agit d'approximations qui ne tiennent pas compte des perturbations engendrées par la présence de tiers, mais permettent néanmoins de reproduire convenablement l'apparente stabilité des orbites observées.

Le terme « stabilité apparente » a pour autant toute son importance. On sait maintenant que la somme des forces gravitationnelles exercées par l'ensemble des membres du système solaire ne permet pas de prédire avec certitude le devenir d'un objet céleste quelconque à très long terme. On parle de système chaotique : les équations du mouvement ne trouvent pas de solution mathématique, et leur résolution numérique dépend à tel point de la précision des conditions initiales (fournies par l'observation, et donc nécessairement accompagnées d'incertitudes), que les résultats divergent. Il reste que, souvent, de telles divergence ne se produisent que sur des échelles de temps comparables à l'âge du système solaire.
Dans le cas contraire, il est tout de même possible d'isoler un comportement statistique. Par exemple, l'énorme Jupiter façonne la répartition spatiale des as- téroïdes de telle sorte que certaines zones orbitales, sous l'excitation produite par des phénomènes dit de « résonance », sont continuellement vidées de leurs membres et remplacés par de nouveaux arrivants. Ce comportement présente une régularité qui peut être modélisée.

Lorsque l'on considère qu'un objet n'est sous l'influence que d'une unique masse (celle du Soleil quand il s'agit d'une planète, ou encore celle de la planète- mère pour le satellite), on se place dans le cadre dit du *problème à deux corps*. Les outils qui découlent d'un tel contexte seront décrits succinctement dans la première partie de ce chapitre, puis utilisés dans la deuxième partie pour carac- tériser l'orbite « stable » des objets célestes. Pour finir, nous nous intéresserons aux perturbations induites par la présence d'un troisième intervenant. En parti- culier, l'influence de Jupiter et Saturne sur la répartition globale des petits corps ; ou encore le moment où un impacteur potentiel s'approche suffisamment d'une planète pour se placer sous l'influence conjointe et compétitive de celle-ci et du Soleil.

Il faut noter qu'il existe un autre phénomène, indépendant de la gravitation, qui influe sur l'évolution orbitale des masses sidérales. Il s'agit de la pression radiative solaire, qui, *via* les effets Poynting-Robertson et Yarkovsky, est capable de modifier la trajectoire des objets, d'autant plus que leur masse est faible. Nous laissons ce point au chapitre suivant.

### 2.1 Problème à deux corps

Dans le premier volume de ses *Principia*, Newton [1687] nous dit en substance que la force d'attraction exercée par un objet ponctuel de masse $m_1$ sur un objet de masse $m_2$ peut s'écrire

$$ \mathbf{F} = -\frac{Gm_1m_2}{r^2} \frac{\mathbf{r}}{r}, \qquad (2.1) $$

où $\mathbf{r}$ est le vecteur distance qui relie $m_1$ à $m_2$, et $G$ est la constante universelle de gravitation, telle que $G = 6.67260 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2\text{kg}^{-2}$. Réciproquement, la force exercée sur $m_1$ par $m_2$ est égale à $-\mathbf{F}$. Toujours d'après Newton et son principe fondamental de la dynamique, si $\mathbf{r}_1$ et $\mathbf{r}_2$ sont les vecteurs position respectifs de $m_1$ et $m_2$ par rapport à une origine fixe quelconque, on sait que

$$ m_1\ddot{\mathbf{r}}_1 = \mathbf{F} \quad \text{et} \quad m_2\ddot{\mathbf{r}}_2 = -\mathbf{F}. \qquad (2.2) $$
Puisque $\ddot{\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{r}}_2 - \ddot{\mathbf{r}}_1$, le mouvement relatif de $m_2$ par rapport à $m_1$ peut être décrit par

$$ \ddot{\mathbf{r}} + \frac{\mu}{r^2} \frac{\mathbf{r}}{r} = 0. \qquad (2.3) $$

où $\mu = G(m_1 + m_2)$. Cette configuration est appelée problème à deux corps. En prenant le produit vectoriel de $\mathbf{r}$ avec l'équation (2.3), il vient $\mathbf{r} \times \ddot{\mathbf{r}} = 0$, et donc

$$ \mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}} = \mathbf{h}, \qquad (2.4) $$

où $\mathbf{h}$ est un vecteur constant, perpendiculaire à la fois à $\mathbf{r}$ et $\ddot{\mathbf{r}}$. On en déduit que le mouvement de $m_1$ par rapport à $m_2$ est contenu dans un seul et même plan perpendiculaire à la direction de $\mathbf{h}$. Il apparaît donc naturel d'appliquer un système de coordonnées polaires $(r, \theta)$ au problème. L'usage d'un tel système de coordonnées, centré sur $m_1$ et orienté arbitrairement, permet d'exprimer à partir de l'équation (2.3) la distance qui sépare $m_2$ de $m_1$ (voir par exemple Prussing et Conway [1993]) comme

$$ r = \frac{p}{1 + e \cos(\theta - \omega)}, \qquad (2.5) $$

avec

$$ p = h^2/\mu, \qquad (2.6) $$

et où $e$ et $\omega$ sont deux constantes d'intégration. La trajectoire décrite par l'équation (2.5) est appelée conique; $p$ en est le paramètre et $e$ l'excentricité. La connaisance de la vitesse pour une position donnée permet de caractériser entièrement cette trajectoire, en exprimant les constantes $h$, $e$ et $\omega$ à l'aide de ces conditions initiales. Selon la valeur de $e$, la conique sera d'un type différent. Un cercle correspond à $e = 0$, une ellipse à $0 < e < 1$, une parabole à $e = 1$ et une hyperbole à $e > 1$. Une ellipse dont l'excentricité est proche de 1 sera beaucoup plus aplatie qu'une ellipse d'excentricité quasi nulle.

Une propriété intéressante des coniques est que l'aire balayée par le rayon-vecteur $\mathbf{r}$ est constante dans un laps de temps donné. Dans le repère polaire, on a $|\mathbf{h}| = h = r^2\dot{\theta}$ (Eq. (2.4)). L'aire balayée par $\mathbf{r}$ pendant le temps $\delta t$ s'exprime : $\delta S \simeq \frac{1}{2}r(r + \delta r)\sin\delta\theta \simeq \frac{1}{2}r^2\delta\theta$. En divisant pas $\delta t$ et en prenant la limite, il vient

$$ \frac{dS}{dt} = \frac{h}{2}. \qquad (2.7) $$

En conséquence, $h$ est appelé constante des aires.

On rappelle qu'il est ici question du mouvement relatif de $m_2$ par rapport à $m_1$. Une formulation plus détaillée du problème aurait permis de dire qu'à la fois
$m_1$ et $m_2$ décrivent une conique du même type autour du centre de masse du système, défini par

$$ \mathbf{r}_* = \frac{m_1\mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2}{m_1 + m_2}, \qquad (2.8) $$

et que l'amplitude de cette conique est d'autant plus grande que l'autre masse du système est importante, puisque

$$ R_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2} r \quad \text{et} \quad R_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} r, \qquad (2.9) $$

où $R_1$ et $R_2$ sont les distances respectives de $m_1$ et $m_2$ par rapport au centre de masse.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIG. 2.1 – Géométrie de l'ellipse décrite par $m_2$ autour de $m_1$.</figcaption></figure>

Une ellipse est caractérisée par son demi grand axe $a$ et son demi petit axe $a'$, comme indiqué sur la figure 2.1. Les relations géométriques dans une telle figure nous donnent le paramètre et l'excentricité de l'ellipse comme

$$ p = \frac{a'^2}{a} \quad \text{et} \quad e = \frac{\sqrt{a^2 - a'^2}}{a}, \qquad (2.10) $$

où $\sqrt{a^2 - a'^2}$ équivaut à la distance qui sépare le centre de l'ellipse de l'un ou l'autre de ses foyers. Ces relations nous donnent

$$ p = a(1 - e^2). \qquad (2.11) $$

Sur l'ellipse, la distance minimale au foyer, notée $q$, est appelée péricentre, et correspond à $\theta = \omega$. Pour cette raison, l'angle $\omega$ se nomme argument du péricentre. La distance maximale, l'apocentre $Q$, correspond à $\theta = \omega + \pi$ (Fig. 2.1). D'après les équations 2.5 et 2.11, on a

$$ q = a(1 - e) \quad \text{et} \quad Q = a(1 + e), \qquad (2.12) $$

De manière générale, il est fait usage de l'angle $f$, appelé anomalie vraie, telle que $f = \theta - \omega$. Le péricentre correspond ainsi à $f = 0$, l'apogée à $f = \pi$. D'après
les équations (2.5) et (2.11), la distance qui sépare l'objet de la masse $m_2$, qui
occupe l'un des foyers de l'ellipse, s'écrit donc

$$
r = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e \cos f}. \tag{2.13}
$$

Dans le cas de l'hyperbole, le paramètre s'écrit

$$
p = a(e^2 - 1); \tag{2.14}
$$

la distance au foyer se met alors sous la forme

$$
r = \frac{a(e^2 - 1)}{1 + e \cos f}, \tag{2.15}
$$

et donc

$$
q = p/(1+e) = a(e-1). \tag{2.16}
$$

L'apocentre n'est pas défini, puisque l'orbite n'est pas bornée. On écrit plus gé-
néralement la distance au foyer en faisant intervenir le péricentre (une grandeur
plus intuitive que le demi-grand axe pour une hyperbole), soit

$$
r = \frac{q(1+e)}{1+e \cos f}, \tag{2.17}
$$

Notons que, dans le plan, les quatre paramètres *a*, *e*, *ω* et *f* sont nécessaires et suffisants à la description du mouvement et de la position de l'objet. Nous allons voir qu'ils font partie des six paramètres appelés *éléments orbitaux* qui, grâce a l'outil très précieux que sont les coniques, permettent de décrire et comprendre le mouvement des objets célestes.

2.2 Eléments orbitaux

Puisque le Soleil représente à lui seul plus de 99.8% de la masse totale du système solaire connu, et que la force exercée par un objet est directement proportionnelle à sa masse (Eq. (2.1)), on peut considérer dans une excellente approximation que le mouvement des planètes et des petits corps est en général uniquement influencé par le Soleil, et se placer dans le cadre du problème à deux corps. Nous aborderons plus tard la question des perturbations engendrées par les nombreux autres corps qui peuplent le système solaire. Pour le moment, il nous suffit de considérer que seul le Soleil exerce une force sur l'objet dont nous souhaitons définir l'orbite. Qui plus est, puisque la masse du Soleil, $M_S$, est très grande devant celle de l'objet, on se trouve dans la situation où $\mu \simeq GM_S$. Cela
implique en particulier que le centre de masse du système objet-Soleil se trouve quasiment localisé au centre du Soleil (Eq. (2.8) avec $m_1 >> m_2$), et que ce dernier peut être considéré comme fixe.

Dans la majorité des cas, les objets célestes sont piégés par l'attraction du Soleil, et possèdent donc une orbite bornée elliptique ou quasi-circulaire, dont l'étoile occupe l'un des foyers. C'est le cas des planètes et des astéroïdes, ainsi que de la plupart des comètes. Certaines comètes décrivent cependant une orbite hyperbolique ou quasi-paraboliques, et leur destin est de quitter le système solaire. Cela peut se traduire en terme d'énergie : en prenant le produit scalaire de $\dot{\mathbf{r}}$ avec l'équation (2.3), il vient

$$ \dot{\mathbf{r}} \cdot \ddot{\mathbf{r}} + \mu \frac{\dot{r}}{r^2} = 0, \qquad (2.18) $$

qui s'intègre en

$$ \frac{1}{2} v^2 - \frac{\mu}{r} = \xi, \qquad (2.19) $$

où $v = |\dot{\mathbf{r}}|$ est la vitesse de l'objet, et $\xi$, qui s'avère être l'énergie orbitale par unité de masse, est une constante du mouvement. Il y a conservation de l'énergie. La relation entre $\xi$ et $e$ s'obtient comme suit. Dans notre repère polaire, le carré de la vitesse s'exprime comme

$$ v^2 = \dot{\mathbf{r}} \cdot \dot{\mathbf{r}} = \dot{r}^2 + (r\dot{\theta})^2 = \left[ \left( \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta} \right)^2 \cdot \dot{\theta}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 \right]. \qquad (2.20) $$

En constatant d'après l'équation (2.4) que $C = r^2 \dot{\theta}$, on peut écrire,

$$ v^2 = C^2 \left[ \left( \frac{1}{r} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \left( \frac{1}{r} \right) \right)^2 \right]. \qquad (2.21) $$

En exprimant $r$ d'après l'équation (2.5) dans les équations (2.21) et (2.19), on vérifiera que

$$ \xi = \frac{1}{2} \frac{\mu^2}{h^2} (e^2 - 1). \qquad (2.22) $$

On constate que l'énergie est positive pour $e > 1$, nulle pour $e = 0$, et négative pour $e < 1$.

Les orbites elliptiques, bornées, possèdent donc une énergie négative, qui ne leur permet que d'évoluer entre $r_{min}$ et $r_{max}$ (Eq. (2.19)), tandis que les orbites hyperboliques possèdent une énergie positive qui autorise $r$ à atteindre l'infini. Typiquement, dans ce deuxième cas, il peut s'agir de comètes peuplant le nuage d'Oort et donc lâchement soumise à l'attraction solaire en raison de la distance (voir le chapitre suivant), qui, déstabilisées par le passage d'une étoile, acquièrent
une énergie cinétique suffisante pour « tomber » vers le Soleil selon une trajectoire hyperbolique (ou, le plus souvent, quasi-paraboliques) avec une vitesses qui croît à mesure que la distance au Soleil s'amenuise (Eq. 2.19). Jupiter peut également jouer un rôle d'accélérateur suffisant pour rendre hyperbolique l'orbite d'une comète qui passe à proximité. Au contraire, les orbites elliptiques concernent les objets dotés d'une énergie cinétique insuffisante pour leur permettre d'échapper au puits de potentiel généré par le champ de gravité du Soleil. Comme on l'a dit, la plupart des objets célestes ont une orbite elliptique. Parmi ces membres permanents du système solaire, les planètes ont même, en particulier, une orbite très peu éloignée du cercle ($e \ll 1$), à l'exception de Mercure et de Mars.

En utilisant les équations (2.19), (2.22) et (2.13), la vitesse orbitale sur l'ellipse peut s'écrire

$$v^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right), \qquad (2.23)$$

où l'on voit que $v$ est maximale au péricentre, et minimale à l'apocentre (dans la cas d'orbites autour du Soleil, on parle de périhélie et d'aphélie). Pour une orbite circulaire, la distance au Soleil est constante ($r = a$); en conséquence, la vitesse orbitale est elle aussi constante, telle que $v = \sqrt{\mu/a}$, et est d'autant plus grande que $a$ est petit. Si on considère que les planètes Mercure et Mars décrivent des cercles parfaits, on constate que la première, plus proche du Soleil, se déplace plus vite que la seconde. En réalité, leurs orbites sont quelque peu éloignées du cercle ($e_{mercure} \approx 0.2$ et $e_{mars} \approx 0.09$), et la vitesse oscille entre 40 et 60 km.s$^{-1}$ pour Mercure, entre 22 et 26 km.s$^{-1}$ pour Mars. On voit alors que l'écart de vitesse entre apohélie et perihélie est d'autant plus grand qu'il est permis à $r$ de s'écarter de $a$, en d'autres termes, que l'excentricité est grande. Typiquement, les astéroïdes proviennent de la ceinture d'astéroïdes localisée entre Mars et Jupiter. Un astéroïde dont l'orbite est assez excentrique pour couper l'orbite de Mercure (par exemple Adonis, voir la figure 3.1 du chapitre suivant) aura une vitesse bien plus grande à l'approche de celle-ci ($\sim$ vitesse au périhélie) que de Mars ($\sim$ vitesse à l'aphélie). On devine qu'en moyenne, les vitesses relatives d'impact sont plus élevées sur Mercure que sur Mars, et que la Terre, par exemple, est un cas intermédiaire. Enfin, puisque pour une même distance $r$ au Soleil, la vitesse augmente avec le demi grand axe $a$, une comète, qui provient d'au-delà des géantes gazeuses et dont l'orbite est assez excentrique pour atteindre le système solaire interne, possède une vitesse bien plus élevée qu'un astéroïde qui croise à proximité.

La période de révolution de l'objet s'établit en utilisant la constante de la loi des aires. En l'espace d'une période orbitale $T$, l'aire balayée correspond à l'aire
totale de l'ellipse, $S = \pi aa'$, qui d'après l'équation (2.7) équivaut à $hT/2$. On a donc, avec $h^2 = \mu p = \mu a'^2/a$ (Eqs. (2.6) et (2.10)),

$$T^2 = \frac{4\pi^2}{\mu} a^3 . \qquad (2.24)$$

où l'on voit que $T$ est directement proportionnel au demi grand axe à la puissance $3/2$.

On note que nous avons retrouvé à ce stade les trois lois empiriques établies par Kepler [1609, 1619] pour les planètes, d'après les observations astronomiques réalisées notamment par Tycho Brahe :

- L'orbite de chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers.

- Une ligne reliant la planète au Soleil balaie une aire constante dans un intervalle de temps donné.

- Le carré de la période orbitale de la planète est proportionnel au cube du demi grand axe.

A partir de la conservation de l'énergie mécanique, on obtient l'expression d'une grandeur importante, la *vitesse d'échappement* (ou de *libération*), $v_e$. Elle correspond à la vitesse minimale que doit posséder un objet à la surface d'une planète pour s'affranchir de la gravité de celle-ci et s'échapper librement. La vitesse d'échappement doit vérifier

$$\frac{1}{2}v_e^2 - \frac{\mu}{R_0} = 0, \qquad (2.25)$$

où $R_0$ est la rayon de la planète. Le terme à gauche de la première égalité correspond à l'énergie d'échappement de l'objet, tandis que le terme de droite correspond à l'énergie minimale à l'infini pour que la trajectoire soit non liée, c'est-à-dire zéro. On a donc

$$v_e = \sqrt{\frac{2\mu}{R_0}} . \qquad (2.26)$$

Dans l'espace, en plus des quatre paramètres $a, e, \omega$ et $f$, il faut pour définir l'orientation de l'orbite faire appel à deux autres variables que sont l'*inclinaison*, $i$ et la *longitude du noeud ascendant*, $\Omega$. Comme illustré par la figure 2.2, l'inclinaison correspond à l'angle qui existe entre le plan de l'orbite et un plan de référence, le plus naturel étant le plan de l'écliptique lorsqu'il s'agit d'orbites autour du Soleil. L'intersection du plan orbital et du plan de référence est la *ligne des noeud*, un noeud correspondant au point où l'orbite traverse le plan de référence. L'orbite elliptique en possède deux : l'un qualifié d'*ascendant* si l'objet traverse de bas en haut, l'autre de *descendant* dans le cas contraire. Une direction fixe est
choisie dans le plan de référence (usuellement le point vernal, dont la direction est donnée par l'intersection du plan de l'équateur terrestre et de l'écliptique), et Ω est défini comme l'angle qui sépare cette direction de celle du noeud ascendant (Fig. 2.2 toujours). Enfin, le repère polaire dans le plan de l'orbite est orienté de telle sorte que le noeud ascendant coïncide avec $\theta = 0$ (voir la figure 2.1).

La position de l'objet dans l'espace est donc définie sans ambiguïté à l'aide de six éléments orbitaux indépendants : le demi grand axe *a*, l'excentricité *e*, l'inclinaison *i*, la longitude du noeud ascendant Ω, l'argument du périhélie *ω* et pour finir l'anomalie vraie *f*. Les trois premiers, *a*, *e* et *i*, sont considérés comme les éléments orbitaux principaux, puisqu'ils caractérisent la taille et la forme de l'orbite, ainsi que l'inclinaison de son plan par rapport à l'écliptique. Les deux suivants, Ω et ω, définissent l'orientation de l'orbite. Enfin, *f* indique où l'objet se situe sur sa trajectoire. Dans le cas du satellite, les mêmes conventions s'appliquent, à ceci près que le plan orbital de la planète est alors (en général) choisi comme plan de référence.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIG. 2.2 – L'orbite dans l'espace.</figcaption></figure>

Les éléments orbitaux permettent en particulier de déterminer si la collision entre un objet et une planète est possible ou non, et si oui, dans quelle configuration. Ainsi, un impact n'est envisageable que si $q < Q_0$ ou $Q > q_0$, $q_0$ et $Q_0$
étant respectivement le périhélie et l'apohélie de la planète. Pour une inclinaison mutuelle nulle, c'est-à-dire si planète et objet se meuvent dans le même plan, cela veut dire que les orbites se croisent. Si ces conditions (déterminées par *a* et *e* d'après l'équation (2.12)) sont respectées, et si l'inclinaison mutuelle est non nulle (ce qui est *a priori* le cas), il faut encore que les valeurs de Ω et ω permettent l'existence d'une valeur de *f* telle que les deux corps puissent se télescoper. La vitesse et la géométrie de l'impact dépendront alors de la position des objets sur leur orbite respective et de leur inclinaison mutuelle. Il se trouve que les quantités Ω et ω varient avec le temps ; on parle de précession (voir section suivante). Cette précession, si l'on fait abstraction des phénomènes dits de résonance séculaire, peut être raisonnablement considérée comme uniforme, et une orbite décrite par la triade (*a*, *e*, *i*) présentera toutes les combinaisons possible du couple (Ω, ω). Si bien que, sur le long terme, la seule condition *sine qua non* à l'impact porte sur *a* et *e*. Ceci sera abordé de manière plus détaillée dans le chapitre 5.

En pratique, la détermination d'une orbite se fait en multipliant les observations de l'objet. Par exemple, les observations radar permettent d'estimer à un instant donné les vecteurs position et vitesse de l'objet. Mathématiquement, ces deux seules informations donnent la connaissance des 6 grandeurs scalaires indépendantes suffisantes à la pleine caractérisation de l'orbite. Répéter l'observation permet de réduire l'incertitude inhérente à toute mesure, en recherchant l'orbite qui respecte au mieux chaque couple (r, ṙ). Le chapitre suivant traite plus en détail de l'observation des petits corps.

Connaissant (r, ṙ) à un instant donné, et dans un repère (Î, J, K) donné (comme en figure 2.2), on retrouve les éléments orbitaux en suivant la démarche suivante [voir par exemple Murray et Dermott, 2000] :

Le demi grand axe *a* est donné directement par l'équation (2.23) comme

$$a = \frac{r}{2 - \frac{rv^2}{\mu}}. \qquad (2.27)$$

L'excentricité s'obtient en introduisant le vecteur associé, **e**, qui pointe vers le péricentre à partir du centre attractif, et qui vérifie

$$\mathbf{e} = \frac{\dot{\mathbf{r}} \times \mathbf{h}}{\mu} - \frac{\mathbf{r}}{r}, \qquad (2.28)$$

où **h** est donné par l'équation (2.4)

Introduisons également le vecteur nodal, **n**, qui pointe vers le noeud ascendant et dont la norme est telle que $n = \sin i$, défini par
$$ \mathbf{n} = \hat{\mathbf{K}} \times \frac{\mathbf{h}}{h}. \qquad (2.29) $$

L'inclinaison de l'orbite par rapport au plan de référence (défini par $\hat{\mathbf{I}}$ et $\hat{\mathbf{J}}$) vérifie

$$ \cos i = \frac{\mathbf{h} \cdot \hat{\mathbf{K}}}{h}, \qquad (2.30) $$

ce qui donne $i$ sans ambiguïté puisque $i \in [0, \pi]$.

De la même manière, on trouve la longitude du noeud ascendant telle que

$$ \cos \Omega = \frac{\mathbf{n} \cdot \hat{\mathbf{I}}}{n}, \qquad (2.31) $$

et

$$ \sin \Omega = \frac{\mathbf{n} \cdot \hat{\mathbf{J}}}{n}. \qquad (2.32) $$

L'argument du péricentre vérifie

$$ \cos \omega = \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{e}}{ne}, \qquad (2.33) $$

où $\omega \in [0, \pi]$ si $\mathbf{e} \cdot \hat{\mathbf{K}} \ge 0$, et $\omega \in ]\pi, 2\pi[$ dans le cas contraire.

Enfin, on trouve l'anomalie vraie à partir de

$$ \cos f = \frac{\mathbf{e} \cdot \mathbf{r}}{er}, \qquad (2.34) $$

où $f \in [0, \pi]$ si $\mathbf{r} \cdot \dot{\mathbf{r}} \ge 0$, et $f \in ]\pi, 2\pi[$ sinon.

L'obtention des éléments orbitaux via les équations précédentes s'applique aux orbites aussi bien elliptiques qu'hyperboliques.

Le problème réciproque, à savoir déterminer les vecteurs position et vitesse dans le repère cartésien à partir des éléments orbitaux, se résout comme suit. La norme de $\mathbf{r}$ est donnée par l'équation (2.13) si l'orbite est elliptique, ou par l'équation (2.15) si elle est hyperbolique, et l'on a

$$ \mathbf{r}(\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}) = r \begin{pmatrix} \cos \Omega \cos \theta - \sin \Omega \sin \theta \cos i \\ \sin \Omega \cos \theta + \cos \Omega \sin \theta \cos i \\ \sin \theta \sin i \end{pmatrix}, \qquad (2.35) $$

où l'on rappelle que $\theta = f+\omega$. La norme de $\dot{\mathbf{r}}$, $v$, est donnée par l'équation (2.23), et l'on a

$$ \dot{\mathbf{r}}(\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}) = v \begin{pmatrix} \cos \Omega(\sin \theta + e \sin \omega) + \sin \Omega(\cos \theta + e \cos \omega) \cos i \\ \sin \Omega(\sin \theta + e \sin \omega) - \cos \Omega(\cos \theta + e \cos \omega) \cos i \\ (\cos \theta + e \cos \omega) \sin i \end{pmatrix}. \qquad (2.36) $$

Il sera fait largement usage des relations décrites dans cette section dans le calcul du bombardement des planètes.
### 2.3 Influence gravitationnelle d'un tiers

Puisque la force exercée par toute masse est également inversement proportionnelle au carré de la distance (Eq. (2.1)), l'approximation du problème à deux corps (Soleil et objet) n'est plus valable lorsque l'objet considéré se trouve au voisinage d'un troisième corps massique, l'étendue de ce « voisinage » étant d'autant plus importante que la masse du troisième corps est élevée (pour égaler la perturbation de l'orbite d'une comète qui frôle un astéroïde, il suffira qu'elle passe à distance raisonnable de Jupiter, par exemple). Il s'agit alors d'un problème dit « à trois corps » (extensible à n-corps) qui trouve sa résolution via une approche numérique, ou à l'aide d'une succession d'approximations.

Le mouvement d'une particule soumise à l'influence gravitationnelle de deux objets massiques, $m_1$ et $m_2$, s'écrit, par rapport à une origine quelconque O,

$$ \ddot{\mathbf{r}} = Gm_1 \frac{\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}}{|\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}|^3} + Gm_2 \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}}{|\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}|^3}. \quad (2.37) $$

Si la particule possède une masse négligeable, on se trouve dans la situation dite du problème à trois corps restreint. Les masses $m_1$ et $m_2$ sont animées d'un mouvement décrit par le problème à deux corps, et leurs trajectoires sont des coniques dont le foyer est le centre de masse du système. Les distances $\mathbf{r}_1$ et $\mathbf{r}_2$ sont alors connues en fonction du temps.

Typiquement, on se trouve dans la situation d'un astéroïde qui s'approche d'une planète, et qui voit sa trajectoire, jusqu'alors uniquement déterminée par la masse du Soleil, perturbée par la proximité d'une nouvelle masse. Il n'existe pas de solution analytique à cette équation. Cependant, une résolution numérique est permise, en discrétisant l'équation et en calculant point par point la trajectoire du projectile pour une succession d'intervalles de temps aussi petits que possible. Cette approche sera (entre autres) utilisée dans ce manuscrit pour déterminer le bombardement du système Terre-Lune, et la méthode utilisée est détaillée en annexe C.

S'il n'existe pas de solution formelle à l'équation (2.37), on peut cependant en dégager certains comportements. Considérons que $m_1 > m_2$; $m_1$ et $m_2$ peuvent représenter le Soleil et Jupiter, par exemple, ou encore la Terre et la Lune. La particule peut représenter un astéroïde ou une comète. En ajoutant l'hypothèse que les deux masses $m_1$ et $m_2$ décrivent une orbite circulaire (problème à trois corps circulaire restreint), on peut en déduire les choses suivantes (voir notamment Murray et Dermott [2000]).
- Il est possible d'évaluer dans quelle mesure la particule est dynamiquement liée à $m_2$, par le biais d'une constante du mouvement, la constante de Jacobi. Celle-ci permet d'établir le paramètre de Tisserand, par exemple pour Jupiter, comme

$$T = \frac{a_j}{a} + 2\sqrt{(1 - e^2)\frac{a}{a_j}} \cos i, \qquad (2.38)$$

où $a_j$ et $e_j$ sont la demi-grand axe et l'excentricité de Jupiter, et $a, e, i$ sont les éléments orbitaux du petit corps. Ce paramètre, qui reste inchangé avant ou après un passage à proximité de la géante gazeuse, permet d'établir une classification dans les populations diversement liées à Jupiter, et notamment de discriminer les astéroïdes des comètes dormantes (voir le chapitre suivant).

- Il existe des points de stabilité autour de $m_2$. Il s'agit des points de Lagrange, au nombre de 5, au niveau desquels la particule possède un vitesse nulle dans le référentiel lié à $m_2$. Deux de ces points forment chacun un triangle équilatéral avec $m_1$ et $m_2$. Les trois autres appartiennent à la ligne qui relie les deux masses, l'un entre $m_1$ et $m_2$, un autre « derrière » $m_1$, le dernier « derrière » $m_2$. On observe, notamment dans le cas de Jupiter, une concentration de petits corps aux points de Lagrange. Cette famille d'objets est celle des *Troyens*.

- Il existe une distance entre la particule et $m_2$ à laquelle, dans le repère attaché à $m_2$, les forces de gravité et la force centrifuge (due à la rotation de $m_2$) s'équilibrent de manière à ce que la force résultante qui s'applique au projectile est dirigée vers $m_2$. Cette distance défini la sphère de Hill, dont le rayon est noté $R_H$. Pour $m_1 \gg m_2$,

$$R_H = a_2 \left( \frac{m_2}{3m_1} \right)^{1/3}, \qquad (2.39)$$

où $a_2$ est le demi-grand de $m_2$ autour de $m_1$. Dans le cas où $m_2$ possède une orbite très excentrique, il est préférable de substituer $a_2$ par $q_2$ dans l'équation, pour majorer $R_H$. A l'intérieur de la sphère de Hill, le mouvement de la particule autour de $m_2$ est donc centripète, et on peut se placer dans l'approximation du problème à deux corps.

Bien sûr, le problème à trois corps circulaire restreint n'est jamais vérifié rigoureusement dans la réalité. Pourtant, les conclusions qui en découlent restent de très bonnes approximations du comportement des systèmes naturels.

Revenons à la sphère de Hill. Cet outil nous permet de dire que les satellites qui gravitent autour de leur planète, par exemple la Lune, possèdent une orbite
képlérienne stable s'ils se situent nettement à l'intérieur de cette sphère. Ainsi, on peut raisonnablement considérer que l'orbite du satellite n'est déterminée que par la masse de la planète, formant un système dont le centre de masse coïncide peu ou prou avec le centre de cette dernière. Le mouvement du centre de masse du système est quant à lui régi par le Soleil. Dans le cas du système Terre-Lune, où les orbites de l'une et de l'autre sont quasiment circulaires, la vitesse de la Lune autour de la Terre est alors donnée par $v_{lune} = \sqrt{GM_{terre}/a_{lune}}$ (Eq. (2.23) avec $M_{terre} \gg M_{lune}$ et $r \approx a_{lune}$), tandis que la vitesse du centre de masse autour du Soleil est $v_* = \sqrt{GM_S/a_{terre}}$. Qui plus est, lorsqu'un projectile pénètre dans la sphère de Hill terrestre ($R_H = 0.01$ AU), on peut faire l'approximation que le Soleil n'intervient plus. Ce type d'approximation sera utilisé pour obtenir des descriptions analytiques du flux d'impacts. '

D'une manière plus générale, les grandes masses du système solaire (Jupiter, Neptune) façonnent la répartition orbitale des astéroïdes et comètes, via des phénomènes dits de *résonance*. Il est maintenant reconnu, notamment grâce au travail de J. Wisdom, que ce sont ces mécanismes qui provoquent l'éjection des astéroïdes et comètes de leurs réservoirs respectifs (ceinture principale, ceinture de Kuiper) et provoquent le bombardement des planètes. Une résonance se produit lorsque les périodes de rotation de deux objets sont arithmétiquement liées de façon à ce que leur quotient s'exprime comme le ratio de deux nombres entiers. Cela engendre une stabilité ou au contraire, une instabilité accrue du système. Les progrès de l'investigation numérique permettent de comprendre de mieux en mieux les phénomènes de résonance. La figure 2.3, qui représente le nombre d'astéroïdes observés en fonction de leur demi-grand axe, illustre de façon frappante la structure résonante du système solaire. La période orbitale étant proportionnelle au cube du demi-grand axe, on constate que certaines zones qui correspondent à certaines périodes particulières sont appauvries. On parle des *Kirkwood gaps*. Il s'agit de résonances avec Jupiter. Par exemple, la résonance 3:1 correspond aux astéroïdes possédant un demi-grand axe tel que, pour une révolution jovienne, ils font trois fois le tour du Soleil. A l'inverse, la résonance 1:1, par exemple, montre une concentration d'objets qui correspond aux Troyens.

Le caractère chaotique du système engendre également des phénomènes de variations séculaires. Ainsi, les orbites et l'axe de rotation de tous les objets sont animées d'un mouvement de précession : leur orientation varie dans l'espace, et ce sur des échelles de temps très variables. Les éléments orbitaux principaux des objets $(a, e, i)$ ne sont pas non plus fixes. Ils varient selon des pseudo-cycles dont la
période est de l'ordre du million à la dizaine de millions d'années. Ces variations, notamment celles de Mars – particulièrement spectaculaires –, ont fait l'objet d'études numériques (notamment par J. Laskar ; voir le chapitre 4). Nous verrons dans quelle mesure ces variations affectent le bombardement des planètes.

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

FIG. 2.3 – Nombre d'astéroïdes observés, en fonction du demi grand axe. La magnitude absolue *H* est d'autant plus petite que l'objet est grand. *H* < 18 correspond approximativement à un diamètre supérieur au kilomètre.
# Chapitre 3

## Les projectiles : astéroïdes et comètes

Comme le rappelle Melosh [1989], astéroïdes et comètes n'ont, pendant longtemps, pas eu à endosser la lourde responsabilité d'être à l'origine des paysages grêlés qui recouvrent les planètes les plus exposées (voir également Wilhelms, D. E. [1993]). Il faut dire que la Terre, relativement à l'abri derrière son épaisse atmosphère, et dotée qui plus est d'une vigoureuse activité géologique prompte à effacer toute trace, n'offrait pas à proprement parler l'angle de vue idéal. Encore, dans les années cinquante, pensait-on que les très nombreux cratères lunaires étaient le fait d'un volcanisme intense, ceci en raison de leur forte ressemblance avec une caldeira. Il aura fallu l'émulation intellectuelle qui accompagna l'ère des missions spatiales, à la fin des années soixante, pour que les véritables coupables soient identifiés.

Depuis, l'immense progrès technique dans le domaine des détecteurs optique et infrarouge, l'exploitation des techniques radar, ainsi que la mise en orbite d'observatoires spatiaux, ont permis de recenser plusieurs centaines de milliers d'objets. La liste s'allonge considérablement tous les ans. Ajoutons à ceux-là les météoroïdes, plus petits et d'autant plus nombreux, et les comètes, dont plus de deux mille spécimens sont actuellement recensés (une infime fraction du total estimé), et l'on prendra encore difficilement la mesure de la quantité d'objets qui peuplent le système solaire et le traversent de part en part, autant d'objets qui sont susceptibles de venir finir leur course contre une planète.

Météoroïdes, astéroïdes, comètes : les petits corps qui évoluent au sein du système solaire sont de différents types, eux-mêmes divisés en sous-groupes, chacun traduisant une différence de taille, d'orbite ou de composition. Nous détaillerons les propriétés de chacune de ces catégories, et ferons l'état des lieux des observations les concernant. Enfin, nous nous attacherons à décrire les efforts faits
afin d'obtenir, à partir des observations spatiales incomplètes et biaisées, une vue
globale de la population des impacteurs potentiels.

3.1 Définitions, origine et observations

Les astéroïdes et comètes, tout comme les planètes, sont le produit du phéno-
mène de compétition accrétion/destruction engendré par les multiples collisions
de la matière éparse qui constituait le jeune système solaire. A mesure que les
géantes gazeuses se forment, leur masse augmente les vitesses de collisions dans
les alentours, et, notamment, empêche la formation d'une planète entre Mars et
Jupiter, laissant à la place ce qu'on appelle la *ceinture principale d'astéroïdes*.
Qui plus est, avant que le système ne se stabilise, un scénario plausible suppose
que les variations d'excentricité de ces mêmes géantes gazeuses ont « excité » les
orbites des petits corps voisins, engendrant un bombardement massif sur la Lune
et les planètes telluriques [Gomes et al., 2005]. Par la même occasion, un grand
nombre d'objets auraient été éjectés au-delà de l'orbite de Neptune, créant ainsi
le nuage d' Oort et la ceinture de Kuiper, dont Pluton est aujourd'hui considéré
comme un membre parmi bien d'autres.

Astéroïdes et comètes sont de petits corps rocheux. *Stricto sensu*, les comètes se distinguent des astéroïdes par le fait qu'elles exhibent une traînée de gaz et de poussière. La richesse en volatils des comètes s'explique par leur provenance : la pression solaire à repoussé la plupart des éléments légers dans le système solaire externe. A la différence des astéroïdes, les comètes possèdent en général des orbites très excentriques, ce qui les amène à faire de brèves excursions dans le système solaire interne. L'exposition au Soleil, subitement accrue, provoque alors un dégazage partiel qui englobe le noyau rocheux. Cependant, une exposition prolongée au Soleil est susceptible d'« éteindre » une comète, lui donnant l'apparence d'un astéroïde. Inversement, il n'est pas exclu qu'un astéroïde riche en volatils se métamorphose en comète. L'ambiguïté entre comètes actives, comètes en sommeil et comètes éteintes rend la distinction avec les astéroïdes plutôt floue. Sur des considérations orbitales, on désignera comme comètes (qu'elles soient actives ou non) les objets très excentriques qui résident dans le système solaire externe (incluant la ceinture de Kuiper, le nuage d'Oort) et les objets qui s'en échappent.

La ceinture principale d'astéroïdes s'étend de 2 à 4 unités astronomiques du
Soleil. La figure 3.1, où les 5000 premiers astéroïdes numérotés sont projetés sur
le plan de l'écliptique, la schématise. Les orbites des cinq premières planètes du
système, de Mercure à Jupiter, sont représentées, ainsi que, à titre d'exemple, celle de l'astéroïde Adonis, qui est susceptible de croiser la route de chacune des planètes telluriques. La ceinture principale d'astéroïdes est considérée comme le principal réservoir qui alimente le bombardement des planètes telluriques. Sa masse totale est estimée à environ $5 \times 10^{-4}$ masses terrestres.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIG. 3.1 – Ceinture principale d'astéroïdes. Les disques gris correspondent aux cinq premières planètes. L'astéroïde Adonis est figuré en rouge à titre d'exemple.</figcaption></figure>

La ceinture de Kuiper, qui s'étend au-delà de l'orbite de Neptune, est supposée contenir encore bien plus d'objets que la ceinture principale d'astéroïdes. Plusieurs centaines ont été découverts à ce jour, avec une inclinaison modérée ($\le 30°$) et à des distances héliocentriques inférieures à 50 UA. Sa masse estimée est de l'ordre $3 \times 10^{-3}$ masses terrestres. Elle est considérée comme la principale source du bombardement des satellites des géantes gazeuses [Zahnle et al., 1998, 2001]. Le nuage d'Oort, à la différence de la ceinture de Kuiper, est un réservoir sphérique qui englobe le système solaire, à une distance héliocentrique $\ge 10^4$ UA [Weissman, 1990]. Il est la source de ce qu'on appelle les comètes quasi-isotropes (NIC – *nearly isotropic comets*). Ces comètes ont une excentricité encore supérieure aux comètes écliptiques, et leur orbite s'apparente à une parabole du point de vue des planètes. Comme mentionné au chapitre précédent, le paramètre de Tisserand (Eq. (2.38)) permet de faire un tri entre les comètes [Levison, 1996]. Les comètes pour lesquelles $T < 2$ sont quasi-isotropes. Les autres sont dites comètes écliptiques, puisqu'elles possèdent une inclinaison modérée. Parmi celles-ci, celles dont la paramètre de Tisserand vérifient $2 < T \le 3$ sont dynamiquement liées à Jupiter, et l'on parle de la famille des comètes joviennes (JFC – *Jupiter-Family*
*Comets*). Ces objets se voient donc attribuer le nom de comète, même si leur aspect ne permet pas *a priori* de les distinguer des astéroïdes. Les orbites telles que $T > 3$ ne pénètrent pas dans la sphère de Hill de Jupiter, et sont donc en général considérées comme appartenant à des astéroïdes.

Jusque récemment, les collisions étaient considérées comme le principal mécanisme capable d'éjecter les objets hors de leur réservoir pour les transformer en croiseurs [Wetherill, 1967]. On considère désormais que le phénomène de résonance avec les géantes gazeuses est principalement à l'origine du bombardement des planètes. Comme on l'a vu au chapitre précédent, les plus importantes résonances avec Jupiter engendrent des « creux » dans la répartition des objets de la ceinture principale en fonction du demi-grand axe. Les deux résonances principalement identifiées comme responsables du bombardement des planètes telluriques sont la résonance 3 :1 avec Jupiter et la résonance $v_6$ avec Saturne [Michel et al., 2005], parmi de nombreuses autres [Morbidelli, A. and Gladman, B., 1998]. Ces résonances produisent des changements chaotiques de l'excentricité, capable de mener certains objets vers une trajectoire qui coupe celle des planètes [Wisdom, 1985]. De la même manière, les résonances avec Jupiter, Saturne et Uranus alimentent la famille des comètes écliptiques à partir de la ceinture de Kuiper [Duncan et Levison, 1997]. Ces objets sont les principaux responsables du bombardement des lunes des géantes gazeuses, mais contribuent aussi, dans une moindre mesure, à celui des planètes telluriques [Bottke et al., 2002].

Outre ces mécanismes gravitationnels, il existe un autre phénomène capable de modifier les éléments orbitaux des petits corps du système solaire : l'effet Yarkovsky. La chaleur solaire, accumulée par l'astéroïde sur l'hémisphère diurne, est dissipée lorsque celui-ci, par rotation, devient l'hémisphère nocturne. Typiquement, l'énergie émise est capable, pour un astéroïde de taille kilométrique, de modifier son demi-grand axe d'environ $10^{-4}$ UA par millions d'années. C'est cet effet qui est considéré comme étant à l'origine de la relative stabilité du flux d'impact durant les trois derniers milliards d'années, en réapprovisionnant les zones de résonances de la ceinture principale en astéroïdes d'un diamètre inférieur à 40 kilomètres [Bottke et al., 2000c, 2002, 2005, 2006]. Une fois les objets éjectés des zones chaotiques de résonance, le principal événement (en terme d'échelle de temps) qui affecte la distribution orbitale des croiseurs est la collision avec les planètes. L'effet Yarkovsky n'a donc pas le temps d'influencer significativement leur distribution orbitale [Michel, P. and Yoshikawa, M., 2005].
Les astéroïdes montrent une grande diversité de tailles, allant de quelques dizaines de mètres à plusieurs centaines de kilomètres. Cérès, le plus grand objet de la ceinture principale, possède un diamètre de près de mille kilomètres, et représente à lui seul le tiers de la masse totale estimée de la ceinture. La distribution en taille des astéroïdes suit un comportement de type « loi de puissance », les petits objets étant beaucoup plus nombreux que les grands. Dans les réservoirs, les collisions qui se produisent régénèrent la population de « petits » objets expulsés à partir de l'immense masse offerte par les objets les plus gros, dont on pense qu'ils sont d'âge comparable aux planètes. Les vitesses de collisions sont typiquement de l'ordre de 5 km.s⁻¹ [O'Brien et Greenberg, 2005]. Une population en équilibre collisionnel simple (collision cascade) s'exprime [Dohnanyi, 1972],

$$N(> d) \propto d^{-2.5}, \qquad (3.1)$$

où N est le nombre d'objets d'un diamètre supérieur à d. En réalité, observations et modèles [Bottke et al., 2005; O'Brien et Greenberg, 2005] prédissent une forme ondulée de la distribution en taille des astéroïdes, due au fait que la cohésion du matériau est fonction de sa taille (les petits objets deviennent de plus en plus résistants à mesure que leur taille diminue, car ils présentent moins de fissures ; les gros objets deviennent de plus en plus résistants à mesure qu'ils grossissent, à cause de leur propre gravité). La population des croiseurs reflète celle de leur réservoir, mais les processus qui génèrent ces croiseurs étant fonction de leur diamètre, elle ne la reproduit pas nécessairement à la perfection (voir la section suivante). Notons que les astéroïdes d'une taille inférieure à 50 mètres sont arbitrairement désignés comme étant des météoroïdes.

Il n'est pas trivial d'estimer le diamètre d'un objet. La mesure la plus accessible, par photométrie, est celle de la magnitude apparente, c'est-à-dire la luminosité. La détermination de l'orbite permet de ramener cette mesure à la magnitude absolue, *H*, qui est définie comme la luminosité qu'aurait l'objet s'il était observé à une distance de 1 AU avec un déphasage nul (observateur et Soleil alignés), alors qu'il se trouve à 1 AU du Soleil. *H* ne dépend plus alors que de l'albédo de l'objet et de sa taille selon la relation [Bowell et al., 1989]

$$d = \frac{1347}{\sqrt{\rho_v}} 10^{-H/5}, \qquad (3.2)$$

où *d* s'exprime en kilomètres et $\rho_v$ est l'albédo géométrique de la sphère de diamètre *d*. On note que le diamètre diminue à mesure que la magnitude augmente.

L'albédo dépend de la classe taxinomique de l'objet. Celle-ci est déterminée à partir du spectre optique, qui dépend de la composition de surface. On distingue
principalement deux classes d'astéroïdes, le type C, sombre, et le type S, brillant. La classe C, de type carbonné, est la moins facile à détecter. La classe S, de type silicique, est riche en métal (Fe, Ni, Mg). Luu et Jewitt [1989] considèrent que la distribution d'albédo est bimodale, le premier pic à 0.047 correspondant aux objets sombres, le second à 0.15 correspondant aux objets brillants. En supposant que le ratio réel entre objets sombres et brillants égale 1 [Bottke et al., 2002], l'albédo moyen est 0.098 et les objets d'une magnitude inférieure à 18 ont une taille supérieure à 1 km.

La densité des astéroïdes est très variable, allant de 500 (pour les objets les plus poreux) à 7000 kg.m⁻³ (pour les plus métalliques). Le travail de Britt et al. [2002] isole cependant deux principaux pics de densité dans la distribution des météorites analysée, l'un à 1300 kg.m⁻³ pour les objets de type C, l'autre à 2700 kg.m⁻³ pour le type S, même si certains travaux ont montré que certains grands astéroïdes de type S ont une structure « empilée » qui peut réduire significativement leur densité gobale [Fujiwara et al., 2006]. Qui plus est, la rotation rapide des petits objets ($d \sim\sim 100\text{m}$) suggère que ceux-ci, parce qu'ils sont beaucoup moins poreux, présentent des densités supérieures à leurs plus gros homologues, dont la formation fut gouvernée principalement par la gravité.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIG. 3.2 – Objets observés de magnitude $H < 15$, en fonction du demi grand axe et de l'excentricité. Se référer au texte pour la définition des différents acronymes.</figcaption></figure>

Nous désignons par le terme de *croiseurs* les objets qui coupent l'orbite d'une planète. L'acronyme NEO (*Near Earth Objects*) s'applique aux objets (astéroïdes ou comètes) qui gravitent dans le voisinage de la Terre. Les NEO sont définis par un périhélie $q \le 1.3$ AU et un aphélie $Q \ge 0.983$ AU. Leur définition est
quelque peu arbitraire, et englobe celle des géocroiseurs à proprement parler ($Q \ge 0.983$ et $q \le 1.0167$). La figure 3.2, inspirée de [Bottke et al., 2002], représente l'ensemble des objets observés pour une magnitude inférieure à 15, soit d'une taille approximativement supérieure à quelques km. Sur le long terme des variations d'excentricité martienne (voir le chapitre suivant), les croiseurs martiens vérifient $q \le 1.8$ (pour son excentricité actuelle, $q \le 1.66$). On constate que la proximité de Mars avec la ceinture d'astéroïdes l'expose à un bombardement plus intense. La zone grisée correspond à la famille des comètes dynamiquement liées à Jupiter (JFC) d'inclinaison nulle ($2 < T \le 3$ et $i = 0°$ ; Eq. (2.38)). Cependant, l'étendue de cette zone dépend de l'inclinaison des comètes (même si la plupart des JFC ont une inclinaison modérée).

Depuis les années 90, les petits corps sont recherchés à l'aide de télescopes automatisés munis de détecteurs CCD. D'énormes progrès ont été réalisés grâce à cette technologie, qui permet en général d'observer des objets jusqu'à des magnitudes de 22 (quelques dizaines de mètres). En particulier, le programme LINEAR du MIT a découvert en quelques années plus de NEO qu'il n'en avait été découvert jusque là. Au mois de novembre 2007, 902 NEO d'une magnitude inférieure à 18 (diamètre environ kilométrique) sont recensés, alors qu'en 2002, seuls 400 avaient été observés. Certains objets étant plus faciles à détecter que d'autres (parce que moins brillants ou moins inclinés par rapport à l'écliptique), les observations souffrent nécessairement de biais. Les météoroïdes étant trop petits pour être directement observés, on estime leur flux (terrestre et lunaire) en détectant les flashs lumineux qu'ils produisent en heurtant la surface lunaire ou en pénétrant dans l'atmosphère terrestre. L'intensité du flash lumineux étant reliée à l'énergie cinétique, on peut estimer la masse du projectile en supposant une certaine vitesse d'impact, et donc son diamètre pour une densité donnée. La section suivante relate les efforts faits pour peindre un tableau global de la population des petits corps, à partir de ces observations.

## 3.2 Caractériser la population globale

### 3.2.1 Distribution orbitale et magnitude absolue

Comme nous l'avons dit précédemment, les observations télescopiques sont nécessairement biaisées. Les travaux de Bottke et al. [2002] et Stuart [2001] s'attachent à éliminer ce biais. Il faut souligner qu'à l'époque où ces travaux furent
publiés, moins de 50 % des objets de magnitude $H < 18$ recensés aujourd'hui avaient été découverts. Même si les observations actuelles présentent quelques divergences avec les modèles, ceux-ci restent les plus complets à ce jour. De manière générale, la procédure qui s'applique à corriger les observations consiste à définir une probabilité de détection qui dépend de l'orbite de l'objet, de sa luminosité, et des conditions dans lesquelles se fait l'observation.

Les estimations de Stuart [2001] s'appuient sur les donnés obtenues par le programme LINEAR (pour $H < 22.5$, soit pour un diamètre supérieur à la centaine de mètres environ). La méthodologie décrite dans Stuart [2003] est la suivante : après sélection d'une triade $(a, e, i)$, une population d'ellipses d'orientation aléatoire est générée par un choix équiprobable de $\Omega$ et $\omega$ ; des particules sont disposées tout le long de chaque ellipse en distribuant la valeur de $f$ ; les particules sont détectées ou non en fonction de la fraction de temps pendant laquelle le télescope pointe dans telle ou telle direction ; la valeur maximale de $H$ qui permette une détection, selon les conditions atmosphériques et les caractéristiques techniques du détecteur, est déterminée ; la fraction de chaque quadruplet $(a, e, i, H)$ détecté est enfin convertie en une probabilité de détection. La probabilité de détection, combinée aux observations, permet d'obtenir par inversion le modèle orbital le plus probable. Stuart [2001] ne trouve aucune corrélation entre $H$ et $(a, e, i)$.

Bottke et al. [2002] utilisent une approche différente. Par le biais de simulations numériques intensives, ils intègrent le comportement orbital de milliers de particules tests initialement placées au niveau des principales résonances, et calculent la fraction de temps qu'elles passent au niveau de chaque point de l'espace $(a, e, i)$. Ils construisent ainsi, pour chaque source, une carte de temps de résidence (ou de probabilité de présence) dans l'espace des géocroiseurs. Par comparaison avec les observations préalablement débiaisées du programme Spacewatch (observations pour $H < 22$), ils déduisent la contribution relative de chaque source et construisent le modèle orbital global, étant entendu que la population des croiseurs, réalimentée par la ceinture d'astéroïdes, est en équilibre. Ils concluent que les résonances qui alimentent principalement les croiseurs se situent sur le bord interne de la ceinture principale ($v_6$, 3 : 1, croiseurs martiens), mais que les autres sources sont également significatives. Considérant que chaque région source présente la même distribution de magnitude, et s'appuyant sur de précédents travaux [Bottke et al., 2000a; Rabinowitz et al., 2000], ils donnent une relation pour $N(< H)$ en fonction de $H$.
La figure 3.3 compare ces deux modèles avec l'ensemble des observations disponibles au mois de novembre 2007 (compilées par E. Bowell dans le fichier as-torb.dat<fnref n="1" />). Les trois premiers tableaux représente les distributions marginalisées sur *a*, *e* et *i*, pour l'ensemble des objets de magnitude *H* < 18. Le dernier tableau donne le nombre d'objets d'une magnitude inférieure à *H*, en fonction de *H*. Comme on peut le voir, les observations ont aujourd'hui atteint un niveau qui s'approche du total estimé par les modèles pour *H* < 18, et ne présentent pas un accord idéal avec les modèles. Le nombre d'objets en fonction de *H* est donné comme une loi de puissance qui s'écrit

$$N(< H) = N(< H_0)10^{\alpha_H(H-H_0)}. \quad (3.3)$$

Bottke et al. [2002] donnent $\alpha_H = 0.35 \pm 0.02$ et $N(H < 18) = 960 \pm 120$. Stuart [2001] donne un estimation plus élevée : $N(H < 18) = 1227_{-90}^{+170}$, tandis que la distribution en magnitude s'éloigne quelque peu d'une loi de puissance. Son meilleur ajustement pour l'équation (3.3) donne $\alpha_H = 0.39 \pm 0.013$.

Le modèle de Bottke et al. (représenté par la figure 3.4) présente l'immense avantage de donner une représentation quasi-continue de la distribution orbitale en terme de probabilité de présence. Même si le total des observations s'approche du total prédit par ces auteurs, elles s'assimilent à un instantané. La durée de vie des croiseurs étant de l'ordre de 10 Ma [Morbidelli, A. and Gladman, B., 1998; Morbidelli, 1999], le modèle de Bottke et al. nous fournit, dans l'idéal, une image à long terme de la distribution d'équilibre. Qui plus est, l'évolution des observations nous semble plutôt en faveur de ce modèle. Il faut noter que le nombre absolu d'objets tels que $H < 18$ est un paramètre qui nous apparaît comme l'un des moins contraints dans le travail de Bottke et al. [2002]. Il n'est pas exclu que ce nombre soit sous-estimé, et qu'il s'approche en réalité du total estimé par Stuart [2001]. Les observations, dans ce cas, ne sont pas suffisantes pour discriminer le modèle, qui indique que de nombreux objets de faible demi grand axe et de grande excentricité restent à découvrir. Nous privilégions donc son utilisation par rapport au modèle de Stuart [2001]. Cependant, s'il s'applique à Mercure, Venus et la Terre (et donc la Lune), il n'a pas été construit pour estimer la population de croiseurs martiens.

La figure 3.5 reproduit les observations du nombre cumulé d'objets de périhélie inférieur à *q*, en fonction de *q*, pour différentes magnitudes. La zone grisée correspond au périhélie maximum auquel les objets peuvent croiser l'orbite de

<footnote n="1">¹www.lowell.edu</footnote>
<figure><img src="image_13.png" /></figure>

FIG. 3.3 – Modèles de Bottke et al. [2002] et Stuart [2001] en comparaison avec le total des objets observés en janvier 2008. *En haut à gauche* Nombre de NEO de magnitude $H < 18$ en fonction du demi-grand axe. *En haut à droite* Nombre de NEO de magnitude $H < 18$ en fonction de l'excentricité. *En bas à gauche* Nombre de NEO de magnitude $H < 18$ en fonction de l'inclinaison. *En bas à droite* Nombre cumulé de NEO de magnitude $< H$ en fonction de $H$.

Mars, selon la valeur de l'excentricité martienne, très variable (voir le chapitre suivant). Le modèle de Bottke et al. s'étend jusque $q = 1.3$ UA. La similarité des distributions pour $H < 15$ et $H < 13$ apporte une bonne confiance dans le fait que l'observation des objets de magnitude $H < 15$ est relativement complète [Ivanov, 2001; O'Brien et Greenberg, 2005] dans la zone des croiseurs martiens. Considérant que ces objets représentent un bon compromis entre complétion des observations et nombre statistiquement suffisant d'objets, nous faisons l'hypothèse que leur distribution orbitale actuelle est représentative du temps de résidence relatif dans l'espace de phase $(a, e, i)$. Pour construire un modèle de croiseurs global, nous attribuons à chaque objet observé tel que $H < 15$ une densité de présence $\alpha$ calculée comme $\alpha N_{obs}(1.25 < q < 1.3) = N_{Bot}(1.25 < q < 1.3)$, où $N_{Bot}$ est le nombre de NEO du modèle de Bottke et al. [2002] pour une magnitude quelconque (par exemple $H = 18$). En combinant les objets observés pour lesquels
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIG. 3.4 – Distribution orbitale des NEO d’après Bottke et al. [2002].</figcaption></figure>

$H < 15$ et $1.3 < q < 1.8$ AU avec le modèle de NEO, nous obtenons la proportion relative des objets qui participent au bombardement de toutes les planètes telluriques, proportion indépendante de la magnitude. Ce modèle est représenté par la figure 3.9.

Il faut nous attarder sur les objets qui possèdent une très faible inclinaison. En effet, le modèle de Bottke et al. (tout comme le modèle de Stuart et al.) est construit pour des cellules discrètes qui s'étendent sur 5 degrés d'inclinaison. Or, il se trouve (voir le chapitre 5) que la probabilité de collision entre un objet et une planète est proportionnelle à $1/\sin i_m$, où $i_m$ est l'inclinaison mutuelle entre les deux objets, c'est-à-dire l'angle entre les deux plans orbitaux. L'inclinaison mutuelle varie entre $i_0 - i$ et $i_0 + i$ (où $i_0$ et $i$ sont respectivement l'inclinaison de la planète et celle du projectile par rapport à l'écliptique) en raison de la précession des orbites. Quand $i_0$ et $i$ sont toutes les deux significatives, le temps pendant lequel $i_m = 0$ est faible. Pourtant, puisque l'inclinaison actuelle de la Terre est actuellement nulle, la probabilité d'impact s'accroît considérablement à mesure que $i$ tend vers zéro, et on peut s'attendre à un appauvrissement réciproque du modèle de géocroiseurs, puisque la probabilité excède alors le temps
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIG. 3.5 – Nombre cumulé d’objets de périhélies inférieurs à q, en fonction de q, pour différentes magnitudes. Les détails sont donnés dans le texte.</figcaption></figure>

estimé auquel la population est réapprovisionnée par la ceinture principale. Si cet
appauvrissement n’est pas pris en compte, on doit s’attendre à calculer des proba-
bilités d’impact invraisemblablement élevées pour les projectiles très faiblement
inclinés (et même infinies pour une inclinaison nulle), et à en déduire que seul ce
type de projectiles contribue au bombardement. Les études existantes [Morbidelli
et al., 2002; Stuart et Binzel, 2004], ignorent ce phénomène en calculant simple-
ment la probabilité d’impact associée au centre de chaque cellule de leur modèle,
ce qui correspond à une inclinaison minimale de 2.5°. Il nous semble cependant
nécessaire de mettre en lumière cette source potentielle d’erreur, si l’on devait
considérer que chaque cellule est uniformément peuplée.

Nous modélisons cet appauvrissement pour les projectiles qui croisent l'orbite terrestre en considérant qu'il n'est significatif qu'en-deça d'une inclinaison de 5° (au-delà, la probabilité d'impact varie raisonnablement à l'intérieur de chaque cellule). On considère que le nombre d'objets décrits par une triade (a, e, i) donnée change comme

$$
\frac{dN}{dt} = -PN + F, \tag{3.4}
$$

où P est la probabilité d'impact et F est le taux de réapprovisionnement. Si le modèle est en équilibre, le nombre d'objets s'approche asymptotiquement de F/P. Si on suppose que F est constant pour une variation modérée de (a, e, i), le nombre d'objets est proportionnel à 1/P, soit

$$
N(a, e) = C \sin i, \tag{3.5}
$$
où C est déterminé en égalant le nombre total d'objets tels que $i < 5°$ et la valeur correspondante du modèle de Bottke. Cette approximation est en bon accord avec une simulation des temps de résidence entre 0 et 5° pour environ 10000 particules test (W. Bottke, communication personnelle). Elle est également en accord avec les observations reportées sur la figure 3.6, qui ne souffrent vraisemblablement pas de biais dans une si petite gamme d'inclinaisons.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIG. 3.6 – Croiseurs observés en fonction de l’inclinaison, par intervalle de 0.5°.</figcaption></figure>

Nous devons mentionner que le modèle de Bottke et al. [2002], pour des raisons pratiques, néglige de prendre en compte certaine régions sources dans leurs simulations. Les réservoirs utilisés, ceux au niveau desquels des particules test ont été injectées puis suivies à la manières de traceurs, sont les suivants : la résonance $v_6$ avec Saturne, la résonance 3 : 1 avec Jupiter, les croiseurs martiens dont le comportement orbital reproduit celui de la ceinture principale (IMC, pour *intermediate Mars-crossers*), la ceinture d'astéroïdes externe (qui comporte de nombreuses résonances), et enfin les comètes écliptiques. Les régions écartées, avec le souci de réduire le nombre de paramètres et le coût calculatoire, sont par exemple la famille des Hungarias et celle des Phocaeas. Ces familles, qui possèdent une inclinaison moyenne relativement élevée, bordent la région des IMC. Des tests effectués par Bottke et al. [2002] tendent à montrer qu'elles ne génèrent pas un afflux significatif d'objets vers la région des géocroiseurs, au regard des principales régions sources énumérées plus haut. Stuart [2001] voit dans la non inclusion de ces familles la raison de la principale différence avec son modèle, à savoir une plus grande proportion d'objets fortement inclinés. La nette augmentation des observations – qui approchent de la complétude et dont le biais observationnel se
réduit nécessairement – ne révèle pas un tel comportement orbital. Pour cela,
nous allons dans le sens des conclusions de Bottke et al. [2002].

Le modèle ne prend pas non plus en compte la contribution possible du nuage
d'Oort, c'est-à-dire des comètes quasi-isotropes (NIC), puisqu'aucune n'a été dé-
couverte parmi les NEO par le programme Spacewatch. La plupart des travaux
récents suggèrent cependant que cette contribution est relativement mineure, de
l'ordre de 10 % [Weissman et al., 2002; Bottke et al., 2005]. Strokes et al. [2003]
considèrent même que cette contribution est de l'ordre de 1 %.

Concernant les satellites des géantes gazeuses, très peu d'informations sont
à disposition. L'éloignement rend l'observation très difficile et les statistiques
concernant les croiseurs du système solaire externe sont minces. Qui plus est,
les résonances capables d'éjecter les objets de la ceinture de Kuiper restent mal
connues. Les travaux de Zahnle et al. [1998], Zahnle et al. [2001] et plus récem-
ment Schenk et al. [2004] considèrent que la formation des cratères est majori-
tairement due aux comètes ecliptiques, provenant soit de la ceinture de Kuiper,
soit du disque trans-neptunien [Duncan et Levison, 1997], et que les comètes
quasi-isotropes ne sont pas significativement impliquées. La vitesse à l'infini des
comètes qui heurtent Jupiter est en moyenne de l'ordre de ~ 5 km.s<sup>-1</sup> [Levison
et Duncan, 1997; Levison et al., 2000] – en comparaison, cette vitesse est pour
la Terre trois fois supérieure – et une expression analytique qui reproduit gros-
sièrement la distribution des vitesses pour les quatre planètes gazeuses peut-être
consultée dans Zahnle et al. [2001]. Ce basant sur les 144 impacts observés sur
Jupiter [Levison et Duncan, 1997], Zahnle et al. [1998] et Zahnle et al. [2001]
considèrent que la distribution en inclinaison des projectiles joviens est isotrope.

3.2.2 De la magnitude au diamètre

Pour générer des cratères d'impact, il nous faut connaître la distribution en
taille des croiseurs. Les estimations de Bottke et al. [2002] et Stuart [2001], qui
donnent la distribution de magnitude des géocroiseurs, sont convertibles en dis-
tributions de taille si l'albédo est connu (Eq. (3.2)). Les deux études considèrent
qu'il n'existe pas de corrélation entre la magnitude *H* et les paramètres orbitaux
(*a*, *e*, *i*). La difficulté provient du fait que les croiseurs appartiennent à des classes
taxinomiques très variées (Binzel et al. [2004] définit dix complexes taxinomiques
qui regroupent chacun plusieurs classes, dont *C* et *S* ne sont que particulièrement
représentatives) et présentent donc une grande variété d'albédos. Malheu-
reusement, un nombre limité d'objets a été soumis aux mesures infrarouges qui permettent de déterminer albédo et classe taxinomique.

Morbidelli et al. [2002] estiment la distribution en albédo pour chacune des régions sources qui contribuent à alimenter le modèle construit par Bottke et al. [2002]. Pour cela, ils s'appuient sur les mesures d'albédo obtenues pour les plus gros objets, et extrapolent les distributions obtenues à des tailles qui correspondent aux objets qui peuvent être éjectés de leurs sources et devenir des géocroiseurs. En combinant ces distributions selon la contribution relative de chaque source, ils obtiennent la distribution d'albédo pour l'ensemble des géocroiseurs. Celle-ci leur permet de convertir chaque magnitude en une variété de diamètres, et de bâtir la distribution globale de taille des géocroiseurs. Considérant que la frontière qui sépare objets brillants et objets sombres se situe à un albédo de 0.089 [Tedesco, 1994], ils attribuent à chaque objet une densité de 2700 kg m⁻³ si $p_v < 0.089$, et une densité de 1400 kg m⁻³ si $p_v > 0.089$. Ils calculent ainsi la probabilité d'impact (voir le chapitre 5) avec la Terre en fonction du diamètre, de la densité et de la vitesse du projectile, c'est-à-dire en fonction de l'énergie d'impact, et en déduisent le risque encouru. Stuart et Binzel [2004] poursuit les mêmes objectifs, en utilisant une approche complémentaire. Ils se basent sur les données taxinomiques de Binzel et al. [2004], sur les données d'albédo de Delbó et al. [2003] et sur le modèle orbital de Stuart [2001], et considèrent que les distributions d'albédo et les proportions taxinomiques ne sont corrélées qu'avec la valeur du paramètre de Tisserand (qui, rappelons-le, discrimine les comètes des astéroïdes). Ils obtiennent, en dé-biaisant les observations, une estimation de la proportion relative de chaque classe taxinomique contribuant à former la population des géocroiseurs, ainsi que l'albédo moyen de chaque classe, et déduisent la distribution en diamètre de la distribution en magnitude.

Les deux études concluent que l'albédo moyen des géocroiseurs est de l'ordre de 0.13 – 0.14. La correspondance entre diamètre et magnitude est alors $H = 17.8 \Leftrightarrow d = 1\text{km}$, plutôt que $H = 18 \Leftrightarrow d = 1\text{km}$. D'après le travail de Stuart, cet albédo moyen se scinde en deux albédos représentatifs selon la valeur du paramètre de Tisserand : $p_v = 0.08$ pour $T \le 3$ (comètes) et $p_v = 0.16$ pour $T > 3$ (astéroïdes). Le nombre de NEO d'un diamètre supérieur au kilomètre est estimé à 855±110 pour Morbidelli et al. [2002] et à 1090±180 pour Stuart et Binzel [2004]. Ces derniers estiment alors que la probabilité annuelle d'impact sur la Terre pour les géocroiseurs d'un diamètre supérieur au kilomètre est $1.67_{-0.3}^{+0.4} \times 10^{-6}$ (cela correspond à un impact tous les $0.60 \pm 0.1$ Ma). Les estimations du flux
d'impact terrestre en fonction du diamètre des projectiles sont très similaires pour Morbidelli et al. [2002] (voir la figure 7 de Stuart et Binzel [2004], qui compare les deux travaux), et ce malgré l'écart qui existe au niveau de l'estimation du nombre absolu de projectiles. Cela provient sans doute du fait que l'excédent de projectiles estimé par Stuart est compensé par leur plus forte inclinaison, et donc par leur plus faible probabilité d'impact (voir le chapitre 5).

Stuart et Binzel [2004] estiment la densité moyenne des objets qui heurtent la Terre à 2050 kg m⁻³. Cette estimation se base sur la moyenne des objets, pondérée à la fois par leur distribution taxinomique et par leur probabilité d'impact avec la Terre. Le ratio NEO sombres sur NEO brillants est donné à 1.6 par ces mêmes auteurs, pour un diamètre donné. Il est pourtant frappant de constater que la même valeur de densité est obtenue en considérant que la population des impacteurs terrestres est composée à parts égales d'objets brillant de densité 2700 kg m⁻³ et d'objets sombres de densité 1400 kg m⁻³, laissant supposer que le ratio objets ombres / objets brillants qui participent effectivement au bombardement est proche de l'unité.

Dans la mesure où la répartition objets sombres / objets brillants n'est pas identique pour toutes les régions sources (une plus grande proportion d'objets sombres provient du bord externe de la ceinture principale ou bien sont des comètes dormantes), la distribution orbitale pour un diamètre *d* donné est quelque peu différente de celle pour une magnitude *H* donnée. En particulier, la proportion d'objets de demi-grand axe *a* > 2.5 AU est plus grande dans le premier cas que dans le second, et la proportion d'objets pour lesquels *e* < 0.6 plus faible, puisque la majorité de ces objets vérifie *a* < 2.5 AU (voir Morbidelli et al. [2002]). Nous prenons en compte ces différences, même si elle restent modérées. Ne disposant pas du modèle orbital recalculé pour *d* par Morbidelli et al. [2002], et ce modèle n'incluant pas de toute façon les croiseurs martiens, nous convertissons notre modèle orbital global en considérant l'albédo moyen selon le paramètre de Tisserand jovien, *T*, d'après Stuart et Binzel [2004]. Puisque le paramètre *T* reste raisonnablement inchangé durant l'évolution orbitale des objets, il permet de déterminer grossièrement la provenance des objets. La conversion des objets se fait en calculant la valeur de *T* pour chacun des objets, et en déduisant la magnitude pour un certain diamètre, à l'aide de la valeur d'albédo correspondant à ce *T*. Ainsi, pour *d* = 1 km (par exemple), un astéroïde (*T* > 3) se voit attribuer un magnitude (*H*₁) plus grande qu'une comète (*H*₂). La proportion relative d'objets pour une magnitude donnée (par exemple *H* = 18) est alors
recalculée pour un diamètre $d = 1$ km à l'aide de l'équation (3.3), de telle sorte que $n(a, e, i, d) = n(a, e, i, H)10^{\alpha_H(H_i-18)}$, $H_i$ correspondant à $H_1$ ou $H_2$ selon la valeur de $T$ donnée par $(a, e, i)$. Le modèle résultant, donné par la figure 3.9, est très similaire à la figure 5 de Morbidelli et al. [2002].

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

FIG. 3.7 – Distribution orbitale des NEO de diamètre $d > 1$km. Les distributions présentées sont le résultat de la conversion du modèle de Bottke et al. [2002] pour une magnitude donnée, à l'aide des albédos moyens selon $T$ estimés par Stuart et Binzel [2004]. Le modèle de Bottke et al. [2002] pour $H < 18$ est montré en comparaison. *En haut à gauche* Nombre de NEO en fonction du demi-grand axe. *En haut à droite* Nombre de NEO en fonction de l'excentricité. *En bas* Nombre de NEO en fonction de l'inclinaison.

### 3.2.3 Météoroïdes

L'observation des flashs provoqués par l'impact de petits corps avec la surface de la Lune ou l'atmosphère terrestre permet d'estimer le flux de météoroïdes auquel le système Terre-Lune est soumis. L'observable étant l'énergie optique dégagée par le choc, il faut, pour retrouver l'énergie cinétique du projectile, connaître en particulier la fraction d'énergie cinétique convertie en énergie optique, c'est-à-dire l'efficacité lumineuse. Celle-ci est pauvrement contrainte et dépend *a priori*
de la vitesse, de la masse, de l'angle d'incidence, de la forme, de la composition et de la porosité du projectile. Pour une valeur d'efficacité lumineuse donnée, les observations sont convertibles en flux d'impact en fonction de l'énergie cinétique, après correction bien sûr de la zone de recherche couverte et du temps d'observation. Pour l'exemple, attardons nous sur les estimations de Brown et al. [2002].

Brown et al. [2002] se basent sur l'observation de 300 explosions lumineuses par les satellites militaires pour caractériser le flux d'impacts terrestres pour les projectiles d'un diamètre de quelques mètres. Ils calibrent la relation entre énergie optique observée et efficacité lumineuse à l'aide de 13 événements pour lesquels une estimation de l'énergie cinétique indépendante de l'énergie lumineuse existe (cette estimation étant obtenue principalement par des méthodes infrason). Ils obtiennent ainsi l'énergie cinétique de chaque observation, et donnent le flux d'impacts (nombre d'impacts par an) sous la forme d'une loi de puissance :

$$F(> E) = 3.7 E^{-0.9}, \qquad (3.6)$$

pour $E \in [\sim 0.1, \sim 30]$ ktons. Utilisant une vitesse d'impact moyenne de 20.3 km.s⁻¹ calculée à partir du modèle de Bottke et al. [2002], ils convertissent cette estimation en terme de masses ($E = 0.5 \text{ m } v^2$) telle que

$$F(> m) = 27.83 \times 10^3 \text{ m}^{-0.9}, \qquad (3.7)$$

pour $m \in [\sim 1.5 \times 10^3, \sim 1.5 \times 10^6]$ kg. Enfin, considérant que tous les objets possèdent une densité $\rho$ de 3000 kg.m⁻³ (un compromis entre la densité des chondrites primitives carbonnées et celle des chondrites ordinaires), ils donnent ($m = \frac{\pi}{6} \rho d^3$),

$$F(> d) = 37. d^{-2.7}, \qquad (3.8)$$

pour $d \in [\sim 1, \sim 10]$ m.

Le prolongement de cette loi de puissance vers les plus faibles énergies est en bon accord avec les estimations de Halliday et al. [1996]. A partir des observations réalisées par le réseau canadien de caméras au sol MORP, qui, au cours d'une quinzaine d'années, a déterminé la luminosité, la vitesse et l'orbite de plusieurs centaines de météores, les auteurs estiment le flux d'impacts terrestre pour des énergies cinétiques comprises entre $10^{-5}$ et $10^{-3}$ kton. Il faut noter que Ortiz et al. [2006] contestent les résultats de Brown et al. [2002]. En particulier, il affirment que les valeurs d'efficacité lumineuse utilisées par ces derniers sont nettement
trop élevées. Ils suggèrent que les estimations données plus haut sont au mieux sous estimées d'un facteur 2.

On peut s'interroger sur la légitimité pour Brown et al. [2002] d'utiliser une vitesse d'impact moyenne calculée à partir du modèle de Bottke et al. [2002], modèle donné valide par ses auteurs pour $H < 22$, soit $m \ge 10^9$ kg. En particulier, on peut s'inquiéter de l'effet de la pression radiative solaire (effet Yarkovsky), puisque celle-ci est censée affecter d'autant plus les objets qu'ils sont petits. Nous utilisons pour vérification la base de données<fnref n="2" /> compilée par Lindblad et al. [2003], qui recense un grand nombre d'observations de météores par de multiples programmes de recherches [McCrosky et al., 1978; Ceplecha, 1987; Halliday et al., 1996; Oberst et al., 1998]. La vitesse d'impact moyenne calculée pour l'ensemble des observations pour lesquelles la masse de l'objet a été estimée supérieure à 1 kg ($d > \sim 10$cm) est de 20.7 km.s⁻¹, en excellent accord avec le modèle. Pour $m > 0.1$kg, la vitesse moyenne atteint les 22 km.s⁻¹. Cela est probablement dû, en grande partie, à un biais observationnel. Pour de si petits objets, les chocs atmosphériques ne sont observables qu'à de très grandes vitesses, qui seuls peuvent fournir l'énergie optique (via l'énergie cinétique) suffisante. Cela se traduit par le fait que la proportion de comètes détectées ($T \le 3$) s'accroît pour les faibles masses. Ainsi, cette proportion est de 20 % pour $m > 10$kg, de 24 % pour $m > 1$kg et de 32 % pour $m > 0.1$kg [Ivanov et Hartmann, W. K., 2007]. Il n'est pourtant pas exclu que cette tendance reflète une certaine réalité.

La méthode décrite ici à titre d'exemple n'est pas la seule à permettre l'estimation du flux de météoroïdes. Certains programmes ont mis en place une surveillance infrason / acoustique [ReVelle, 2001]. En particulier, les infrasons émis par une entrée atmosphérique se propagent sur de longues distances. Par ailleurs, le fort champ magnétique terrestre rend possible l'utilisation de techniques radar très basses fréquences [Jones et al., 2005]. Le lecteur est invité à consulter l'article de revue publié par Christou et al [2007].

### 3.2.4 Distribution en taille

La figure 3.8 fait la synthèse des principales estimations de la probabilité d'impact avec la Terre en fonction de la taille des objets [Halliday et al., 1996; ReVelle, 2001; Brown et al., 2002; Harris, A. W., 2002; Rabinowitz et al., 2000; Morbidelli et al., 2002; Stuart et Binzel, 2004]. Harris, A. W. [2002] et Stuart

<footnote n="2">²http://www.astro.sk/ne/IAUMDC/Ph2003/database.html</footnote>
et Binzel [2004] utilisent les données fournies par le programme LINEAR et dé-
biaisent les observations de manière indépendante. Rabinowitz et al. [2000] se
basent sur les observations du programme Spacewatch et NEAT. Les croiseurs
martiens représentés correspondent à la totalité des objets observés susceptibles
de croiser Mars sur un cycle d'excentricité, tels qu'ils sont référencés dans la base
de donnée astorb.dat<fnref n="3" /> compilée par E. Bowell. Ils sont normalisés arbitrairement
pour comparaison. Pour comparaison encore, l'estimation de la distribution en
taille de la ceinture principale d'astéroïdes par O'Brien et Greenberg [2005], est
montrée (normalisation arbitraire). Cette estimation se base sur un modèle nu-
mérique de collisions qui inclut les effets de résonances et l'effet Yarkovsky. Dans
cette représentation, les petits objets ($d \sim \sim 10 \text{ m}$) sont supposés avoir une den-
sité de $2700 \text{ kg.m}^{-3}$ (la valeur la plus communément utilisée dans cette gamme de
taille), tandis que les plus grands possèdent la densité moyenne donnée par Stuart
et Binzel [2004] à $2050 \text{ kg.m}^{-3}$. Cette séparation pour le moins arbitraire n'a pas
réellement d'incidence sur la valeur absolue du flux estimé. Les estimations qui
concernent les objets tels que $d \sim \sim 10 \text{ m}$ ne font pas intervenir la densité comme
variable, tandis que les autres n'y sont pas très sensibles. En effet, les estima-
tions de Brown et al. [2002], par exemple, ne diffèrent que de 10 % selon que
l'on considère que la masse volumique moyenne est de $2000 \text{ kg.m}^{-3}$ ou de $3000
\text{ kg.m}^{-3}$.

On constate la similarité entre les estimations données pour les géocroiseurs et
pour la ceinture principale, même si cette dernière est plus ondulée. Les croiseurs
martiens tels que $d > 1\text{km}$ reproduisent approximativement le comportement des
croiseurs terrestres, laissant penser que la distribution en taille est similaire pour
l'ensemble des planètes telluriques.

Ivanov [2006] propose une tentative de représentation analytique des estima-
tions données par ces différents auteurs, sous la forme d'une succession de lois de
puissances. Pour cela, il construit sa solution de telle sorte que celle-ci respecte
l'ensemble des données publiées à un facteur 2 près. Cette solution s'écrit

$$
\begin{align*}
P_{\text{Terre}}(d) &= 8 \times 10^{-8} d^{-2.95} \quad \text{pour } 10 \text{ cm} < d < 100 \text{ m}, \\
P_{\text{Terre}}(d) &= 1.5 \times 10^{-6} d^{-1.7} \quad \text{pour } 100 \text{ m} < d < 2 \text{ km}, \tag{3.9}
\end{align*}
$$

$$
P_{\text{Terre}}(d) = 2.8 \times 10^{-6} d^{-2.3} \quad \text{pour } 2 \text{ km} < d < 20 \text{ km}. \quad (3.10)
$$

On a donc une pente d'environ 2 pour les projectiles dont la taille s'étale
de la centaine de mètres à quelques dizaines de kilomètres. Elle correspond aux

<footnote n="3">³www.lowell.edu</footnote>
pentes observées sur les populations de cratères des planètes telluriques. Sans entrer dans les détails (cela sera fait au chapitre 7), la pente de la distribution de cratères complexes (cratères plus grands qu'un diamètre de transition, allant de 3 à 20 kilomètres selon les planètes) correspond grossièrement à celle des projectiles. Il s'avère que sur Terre, la pente de la distribution des cratères plus grands que 20-30 km est de 1.8 [Grieve et Shoemaker, 1994]. Il en va de même sur la Lune [Shoemaker, 1983]. On observe une pente de 2 pour les cratères martiens de diamètre compris entre 10 et 50 km [Strom et al., 1992], et pour les cratères vénusiens de taille supérieure à 35 km [Schaber et al., 1992]. Dans le cas des satellites galiléens, la pente est plutôt de l'ordre de 2.2 [Shoemaker et Wolfe, 1982], ce qui laisse à penser que, même si la population de projectiles est différente, leur distribution en taille reste relativement similaire.

### 3.2.5 Synthèse

Nous faisons ici la synthèse des caractéristiques du modèle de croiseurs que nous utilisons dans nos efforts pour simuler le bombardement des planètes. Il doit être considéré comme notre modèle par défaut. Nous sommes cependant susceptibles de faire varier certains de ses paramètres pour explorer des scénarios différents, ou encore pour tester la sensibilité des résultats.

La distribution orbitale des croiseurs de l'ensemble des planètes est représentée sur la figure 3.9. Elle est obtenue en combinant le modèle de géocroiseurs de Bottke et al. [2002] avec l'observation (supposée complète) des croiseurs martiens de magnitude $H < 15$. La conversion de la distribution pour une certaine magnitude en distribution pour une certaine taille est faite à partir des estimations d'albédo de Stuart et Binzel [2004]. La proportion relative d'objets est notée $n(a, e, i)$ et vérifie $\int_{a,e,i} n(a, e, i) da$ de $di = 1$. Celle-ci est supposée indépendante de la taille d'objet considérée.

Nous considérons que la distribution orbitale est stable sur le long terme (au moins pendant les trois derniers milliards d'années), ignorant les phénomènes de disruption. La contribution possible des comètes quasi-isotropes n'est pas incluse.

Dans ce modèle, chaque cellule discrète est peuplée d'objets uniformément distribués, à l'exception des cellules pour lesquelles l'inclinaison est inférieure à 5°. Pour celles-ci, la densité d'objets est proportionnelle à $\sin i$.

La distribution en taille des croiseurs est estimée à partir de la figure 3.8, sous la forme d'une succession de lois de puissance. Elle diffère quelque peu de celle
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIG. 3.8 – Probabilité annuelle d'impact avec la Terre, pour des objets d'un diamètre plus grand que *d*, en fonction de *d*, d'après de multiples auteurs. La courbe grise tiretée, montrée pour comparaison et dont la position verticale est arbitraire, correspond à une estimation de la distribution en taille de la ceinture principale d'astéroïdes.</figcaption></figure>

préconisée par Ivanov [2006]. On la note $S(> d)$ telle que

$$ 
\begin{aligned}
S(> d) &= 6.31 \times 10^{-2} d^{-2.9} && \text{pour } 10^{-4} < d < 0.1 \text{ km,} \\
S(> d) &= d^{-1.7} && \text{pour } 0.1 < d < 2 \text{ km,} \\
S(> d) &= 1.87 d^{-2.6} && \text{pour } 2 < d < 15 \text{ km,} \\
S(> d) &= 5.52 \times 10^{-2} d^{-1.3} && \text{pour } 15 < d < 100 \text{ km.} \qquad (3.11)
\end{aligned}
$$

La fonction $S(> d)$ est définie égale à 1 pour $d = 1\text{km}$, et supposée identique pour toutes les planètes. La figure 3.10 représente la fonction $S(> d)$, accompagnée des données (normalisées ici) qui ont permis de la définir, et qui correspondent aux probabilités d'impact avec la Terre, estimées par de nombreux auteurs et présentées à la section précédente.
<figure><img src="image_19.png" /></figure>

FIG. 3.9 – Distribution orbitale estimée des objets susceptibles de croiser l'orbite des planètes telluriques, tenue pour valide à tout diamètre. A gauche. Proportion relative d'objets en fonction du demi grand axe et de l'excentricité. A droite. Inclinaison moyenne des croiseurs en fonction de leur périhélie.

La probabilité d'impact avec la Terre est estimée à partir des figures 3.8 et 3.10 telle que $P_{Terre}(d > 1\text{km}) = 1.7 \times 10^{-6}\text{an}^{-1}$. La probabilité d'impact avec les autres planètes dépendra du bombardement relatif calculé au chapitre 5.
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIG. 3.10 – Distribution en taille des croiseurs telluriques, normalisée à 1 pour $d = 1$ km. Les observations, également mises à l’échelle, correspondent aux probabilités d’impact avec la Terre données en figure 3.8.</figcaption></figure>
# Chapitre 4

## Les cibles : planètes et satellites

Dans ce chapitre, nous décrivons sommairement les principales structures géo- logiques observées sur la Lune et les planètes telluriques, en nous concentrant sur les cratères d'impact. Les caractéristiques des surfaces planétaires ont été déterminées par le biais de techniques telles que l'imagerie, la photométrie, la polarimétrie, la spectroscopie thermique, le sondage radar, etc. Les images de meilleures qualités proviennent bien évidemment des observations sur site, par l'usage d'orbiteurs ou de robots largués au sol. Citons les missions *Mariner 10* pour Mercure, *Magellan* pour Vénus, les missions *Apollo* (entre autres) pour la Lune, *Viking*, *Mars Pathfinder*, *Mars Global Surveyor* et *Mars Express* pour la planète rouge.

Dans une deuxième partie, nous listons les propriétés physiques (masse, rayon) et orbitales (demi grand axe, excentricité, inclinaison, obliquité). Dans la mesure où les probabilités d'impact dépendent des propriétés orbitales de la cible, et où nous souhaitons estimer le bombardement produit sur de longues échelles de temps (de l'ordre du milliard d'années), il nous faut prendre en compte d'éventuelles variations de l'orbite des planètes dans le passé. Les orbites planétaires sont soumises à des changements séculaires en raison de la nature chaotique du système. Nous nous appuyons sur les travaux de J. Laskar en particulier pour inclure ces variations dans notre modèle de bombardement.

### 4.1 Géologie de surface

On peut constater de visu que la Lune présente deux types de structures géo- logiques qui se distinguent nettement. Il s'agit des *highlands*, clairs, et des plaines sombres dites *maria*, appelées ainsi en raison de leur ressemblance (purement visuelle) avec les mers terrestres. Les mers lunaires sont concentrées sur la face visible de la Lune. Elles représentent environ 20 % de la surface du satellite. La structure la plus répandue sur la Lune est le cratère d'impact. Les high-
lands apparaissent saturées en cratères, au contraires des mers, qui sont donc *a priori* plus jeunes. Celles-ci, d'après les échantillons Apollo et Luna, sont typiquement âgées de 3 à 4 milliards d'années, même si l'on estime que certaines (une grande minorité) se sont formées seulement 2 voire 1 milliard d'années plus tôt [Hiesinger et al., 2003]. Toujours d'après les échantillons rocheux, elles sont composées de basaltes fins et riches en fer, magnésium et titanium. Beaucoup de mers recouvrent les bassins d'impact pré-existants (par exemple Mare Imbrium à l'intérieur d'Imbrium Basin) : la croûte superficielle de faible densité, balayée par l'impact, permet au magma de remonter par flottabilité au bout de plusieurs centaines de millions d'années [Wieczorek et al., 2001]. La croûte lunaire a été pulvérisée par de nombreux impacts, et se compose d'une grande quantité de brèches. La surface elle-même est recouverte de régolithe, produit d'une pulvérisation encore plus poussée dont les micro-météorites sont à l'origine. Le contraste entre highlands et maria suggère que la Lune, comme la Terre, a subi un processus de différenciation globale. Le scénario le plus communément admis quant à la formation de la Lune repose sur l'impact tangentiel avec la Terre d'un objet de taille comparable à celle de Mars, il y a environ 4.5 milliards d'années [Hartmann et Davis, 1975; Cameron et Ward, 1976; Benz et al., 1989; Cameron et Benz, 1991]. La Lune serait le résultat de l'accrétion de la matière éjectée. Cela requiert que la Lune était à l'origine dans un état de fusion totale ou partielle, une conclusion établie indépendamment à partir de l'observation de la haute teneur en feldspath de la croûte primordiale. Cette dernière est probablement le produit de la cristallisation de l'océan de magma global initial. Le processus finissant de cristallisation (il y a environ 4.4 Ga) conduisit à la formation d'une couche de composition chimique inhabituelle, appelée KREEP (potassium, éléments traces terrestres et phosphore) à l'interface manteau-croûte, et excavée en partie par le bassin Imbrium.

La colonne stratigraphique lunaire, empruntée à Stöffler et Ryder [2001] (d'après Wilhelms et al. [1987]), est représentée en figure 4.1. Le système pré-néctarien inclut les unités géologiques antérieures à Nectaris Basin (~ 3.85 – 3.90 Ga), et comporte 30 bassins d'impact identifiés. Le plus vieux bassin est Ocean Procellarum, mais il n'est pas certain qu'un impact soit à son origine. Le plus ancien bassin dont la formation est certainement due à un impact est South Pole-Aitken. Les terrains pré-néctariens, sur lesquels aucune formation volcanique n'est observée, dominent sur la face cachée de la Lune. Le système néctarien comprend les formations géologiques formées entre Nectaris Basin et Imbrium Basin (3.85
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>FIG. 4.1 – Colonne stratigraphique lunaire empruntée à Stöffler et Ryder [2001].</figcaption></figure>

Ga). Onze autres bassins appartiennent à ce système, dont Serenitatis. Le système imbrien est encadré par Imbrium Basin et ~ 3.1 Ga. La grande majorité des plaines volcaniques appartient à ce système (Mare Serenitatis, Tranquilitatis, Crisium, Nectaris, Fecunditatis, Humorum, Nubium, Cognitum, Imbrium Est, Ocean Procellarum Ouest). Les systèmes ératosthénien et copernicien terminent la pile. Leur frontière, mal contrainte, est approximativement définie comme la limite à laquelle les cratères sont suffisamment récents pour exhiber des éjectas étoilés (< ~ 1 Ga). Quelques mers basaltiques appartiennent au système ératos-
thénien. Le cratère Copernicus est évidemment l'exemple typique d'une structure appartenant au système copernicien.

Environ la moitié de la surface de Mercure a été imagée par la mission Mariner 10. La planète est très similaire à la Lune. Comme sur le satellite, les cratères prédominent dans le paysage. La plus grande structure observable est, de loin, Caloris Basin (diamètre de 1300 km), similaire dans sa forme aux grands bassins lunaires. Une différence fondamentale existe cependant entre la Lune et Mercure : cette dernière n'exhibe pas de zones sombres comme le fait la Lune avec les mers basaltiques. Les highlands de Mercure, lourdement bombardés, sont entrecoupés de plaines lisses qui, si elles ressemblent d'une certaine façon aux mers lunaires, n'ont pas la composition de laves [Wilhelms, 1976; Spudis et Guest, 1988].

La surface de Vénus est à l'abri des regards derrière une épaisse couche de nuages. Cependant, certaines longueurs d'onde infrarouges ou fréquences radio traversent cet écran protecteur. La planète a été cartographiée avec une résolution de 100 mètres par l'imagerie radar permise par la mission Magellan. Plusieurs modules Venera ont atteint la surface de la planète. Les analyses in situ révèlent que l'ensemble des roches échantillonnées est de composition basaltique. Environ mille cratères d'impacts ont été identifiés, aucun de diamètre inférieur à 3 kilomètres. Les plus petits cratères sont souvent regroupés en amas, suggérant que les projectiles sont fragmentés par l'atmosphère avant l'impact, du moins les projectiles suffisamment petit pour être affectés, et suffisamment gros pour survivre au passage atmosphérique. La distribution des cratères d'impact, homogène, sugère que l'ensemble de la surface est d'âge similaire. Les structures volcaniques sont légion sur Vénus (domes et couronnes volcaniques notamment), et suggèrent que la surface à été globalement renouvelée par un épisode relativement bref de volcanisme intense. Turcotte [1993] soupçonne la lithosphère vénusienne d'être très épaisse (peut-être 200 km), si bien que la chaleur générée par radioactivité ne peut s'échapper aussi rapidement qu'elle est produite. Il est possible qu'à un certain stade, la lithosphère se rompe et subducte, renouvelant la totalité de la surface dans un laps de temps d'une dizaine de millions d'années. D'autre scénarios tout aussi plausibles existent, et l'on pourra consulter Strom et al. [1994] et les références incluses.

Mars présente une forte asymétrie hémisphérique. L'hémisphère sud, très crâtérisé, est surélevé de quelques kilomètres par rapport à l'hémisphères nord, plus lisse. Les highlands sont saturés en cratères et entrecoupés de plaines plus jeunes. Les éjectas de nombreux cratères semblent avoir flué, ce qui suggère que la croûte
est, ou a été, relativement riche en glace. On observe de nombreux canaux, de
forme similaire aux ramifications des rivières terrestres. Les plus grands canaux,
dits « canaux de débâcle », peuvent atteindre une longueur de plusieurs centaines
de kilomètres pour une largeur de plusieurs dizaines de kilomètres. La présence
d'îlots surélevés et déformés dans le sens du « courant » suggère (parmi d'autres
indices) que les canaux ont été creusés par d'abondantes quantités d'eau liquide,
absente aujourd'hui (la faible pression atmosphérique, d'environ 6 mbar, ne per-
met l'existence de l'eau que sous forme solide ou gazeuse). Les pôles sont géolo-
giquement jeunes. En hiver et à de fortes latitudes, le CO₂ gazeux se solidifie en
glace sèche autour de grains de poussière. En été, il se sublime à nouveau, laissant
la poussière derrière lui et formant à la longue une succession d'alternances glace /
poussière observée par les missions Viking et Mars Global Surveyor. Les densités
de cratères mesurées suggèrent que les plaines martiennes de l'hémisphère nord
sont bien plus jeunes que les highlands [Tanaka, 1986]. Ces plaines semblent s'être
formées par épanchement basaltique quelques trois ou quatre milliards d'années
plus tôt. Le volcanisme martien est évident au niveau de l'immense complexe
volcanique appelé Tharsis. On y trouve en particulier Olympus Mons, le plus im-
portant volcan du système solaire. Les missions martiennes, en particulier Viking
et Mars Express (HRSC), de résolutions respectives 450 m / pixel et 12 m / pixel,
ont permis d'estimer, à partir de la densité des petits cratères (D ~ 0.01 – 0.1
km) qui recouvrent les minces épanchements de lave de la région, que le volca-
nisme martien peut être vieux de seulement quelques dizaines de millions d'années
[Neukum et al., 2004].

## 4.2 Propriétés physiques et orbitales. Variations séculaires

Les principales grandeurs qui caractérisent les planètes telluriques et la Lune sont listées en table 4.1. Mercure et la Lune sont de taille comparable, même si la masse de la première est nettement plus importante (composition plus riche en éléments lourds). Vénus et la Terre sont elles aussi de rayon similaire. Mars présente une taille intermédiaire. Les planètes décrivent une orbite quasi-circulaire; seules Mercure et Mars possèdent une excentricité significative. L'inclinaison par rapport à l'écliptique est très modérée pour chacune d'entre elles, avec un maxi-
mum de 7 degrés pour Mercure. Seules la Terre et Mars possèdent une obliquité significative.

<table><caption>TAB. 4.1 – Propriétés physiques et orbitales des planètes telluriques.</caption><thead><tr><th>Planète</th><th>Mercure</th><th>Vénus</th><th>Terre</th><th>Lune</th><th>Mars</th><th>Mars<br>(moyenne séculaire)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Rayon R<sub>0</sub> (km)</td><td>2440</td><td>6052</td><td>6371</td><td>1737</td><td>3390</td><td>3390</td></tr><tr><td>Masse M<sub>0</sub> (10<sup>23</sup>kg)</td><td>3.302</td><td>48.685</td><td>59.736</td><td>0.7349</td><td>6.4185</td><td>6.4185</td></tr><tr><td>Demi grand axe a<sub>0</sub> (UA)</td><td>0.3871</td><td>0.7233</td><td>1.000</td><td>1.000</td><td>1.5236</td><td>1.5236</td></tr><tr><td>Excentricité ε<sub>0</sub></td><td>0.2056</td><td>0.0068</td><td>0.0167</td><td>0.0167</td><td>0.0934</td><td>0.069</td></tr><tr><td>Inclinaison / écliptique i<sub>0</sub> (degrés)</td><td>7.0</td><td>3.4</td><td>0.0</td><td>0.0</td><td>1.85</td><td>4.0</td></tr><tr><td>Obliquité / orbite ε<sub>0</sub> (degrés)</td><td>0.5</td><td>177.4</td><td>23.45</td><td>1.5</td><td>25.2</td><td>37.6</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIG. 4.2 – Modélisation des variations à long terme de l'excentricité et de l'inclinaison des planètes telluriques, selon Laskar [2008].</figcaption></figure>

La nature chaotique des orbites planétaires est vérifiée par l'usage de simulation numériques lourdes qui intègrent les équations du mouvement de l'ensemble des planètes [Sussman et Wisdom, 1992]. En raison de l'incertitude sur les modèles et les conditions initiales, la nature chaotique du système interdit l'obtention d'une solution précise au-delà de quelques dizaines de millions d'années. Cependant, une étude statistique est possible : en compilant les solutions obtenues pour 1000 simulations basées sur des conditions initiales très proches, Laskar [2008] est à même de produire des fonctions de densité de présence des paramètres orbitaux des planètes sur un intervalle de temps quelconque. Les simulations intègrent numériquement les équations séculaires moyennes développées par Laskar [1989], obtenues par expansion en séries de Fourier des perturbations des orbites képlériennes.
Laskar [2008] constate que les résultats obtenus pour l'excentricité et l'inclinaison sont reproduits de manière excellente par des fonctions densité de Rice, qui s'expriment

$$f_R(x) = \frac{x}{\sigma^2} e^{-\frac{x^2+m^2}{2\sigma^2}} I_0\left(\frac{x m}{\sigma^2}\right), \quad (4.1)$$

où $I_0(z)$ est la fonction modifiée de Bessel de première espèce et d'ordre 0, et $m$ et $\sigma$ sont les paramètres de la fonction, qui dépendent de la planète considérée et du temps écoulé, donnés en tables 4.2 et 4.3. Les fonctions densité sont représentées en figure 4.2 pour 250 Ma et 3 Ga. On constate que le comportement orbital n'est pas extrêmement différent pour ces deux périodes de temps. Mercure et Mars présentent les plus fortes variations. Les variations de la Terre et de Vénus sont très similaires.

TAB. 4.2 – Paramètres de l'équation (4.1) qui décrit la densité de présence des valeurs de l'excentricité des planètes [Laskar, 2008]. $T$ est le laps de temps écoulé depuis le présent, en milliards d'années.

<table><thead><tr><th></th><th>m</th><th>σ<sup>2</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>Mercure</td><td>0.1875</td><td>2.070e-3 + 1.043e-3 T</td></tr><tr><td>Vénus</td><td>0.02235+0.00014 T</td><td>4.197e-4+5.110e-6 T</td></tr><tr><td>Terre</td><td>0.01951+0.00013 T</td><td>3.181e-4 + 3.323e-6 T</td></tr><tr><td>Mars</td><td>0.06437 - 0.00188 T</td><td>1.002e-3 + 9.127e-5 T</td></tr></tbody></table>

TAB. 4.3 – Paramètres de l'équation (4.1) qui décrit la densité de présence des valeurs de l'inclinaison des planètes [Laskar, 2008]. $T$ est le laps de temps écoulé depuis le présent, en milliards d'années.

<table><thead><tr><th></th><th>m</th><th>σ<sup>2</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>Mercure</td><td>4.9896</td><td>9.040 + 1.272 T</td></tr><tr><td>Vénus</td><td>1.5864</td><td>1.492+2.377e-2 T</td></tr><tr><td>Terre</td><td>1.5803</td><td>1.063 + 2.308e-2 T</td></tr><tr><td>Mars</td><td>4.8289 - 0.1703 T</td><td>3.623 + 2.398e-1 T</td></tr></tbody></table>

L'obliquité martienne a fait l'objet d'une étude similaire par Laskar et al. [2004]. La fonction densité est représentée en figure 4.3 pour les trois derniers milliards d'années. Elle s'exprime

$$f_o b(\epsilon) = \frac{\sin \epsilon}{2m} [\operatorname{erf}(b(1 - \cos \epsilon + m)) - \operatorname{erf}(b(1 - \cos \epsilon - m))] , \quad (4.2)$$
avec $b = 7.825$, $m = 1 - \cos\bar{\epsilon}$, et $\bar{\epsilon} = 54.515 + 3.726 \log T - 0.583 \log^2 T$ degrés. On constate sur la figure que l'obliquité de Mars peut atteindre des valeurs très élevées, ce qui aura une très forte incidence sur les variations spatiales du flux d'impacts à la surface de la planète.

L'obliquité de Mercure, actuellement quasi nulle, ne semble pas susceptible d'avoir subi de fortes variations depuis que la planète est piégée dans un état de résonance 3 : 2 avec le Soleil (Mercure fait trois tours sur elle-même pour deux révolutions). Cet état, provoqué par le dépassement d'une valeur critique de l'excentricité, s'est probablement mis en place il y a 3.5 - 4 milliards d'années [Correia et Laskar, 2004]. L'équateur vénusien est actuellement quasiment confondu avec le plan orbitale de la planète, mais la rotation propre se fait dans le sens rétrograde. Cet état, résultant du comportement chaotique du système solaire combiné à la dissipation provoquée par l'épaisse atmosphère, est la conclusion d'une évolution probablement très agitée qui a mené au retournement complet de l'axe de rotation [Correia et Laskar, 2003]. Nous ne disposons pas d'une solution précise décrivant cette évolution à travers le temps. Nous verrons cependant que les variations spatiales du bombardement à la surface de Vénus sont dans tous les cas non significatives, quelle que soit la valeur de l'obliquité. L'obliquité terrestre est quant à elle stabilisée par la présence de la Lune (voir plus loin).

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIG. 4.3 – Modélisation des variations à long terme de l'obliquité de Mars, selon Laskar et al. [2004].</figcaption></figure>

La Lune s'éloigne progressivement de la Terre, à raison aujourd'hui d'environ 4 cm par an. Cela est dû à la perte d'énergie occasionnée par les frictions résultant des forces de marée : le bourrelet terrestre, produit par les différences d'attraction gravitationnelle lunaire en chaque point de la Terre (puisque la distance à la Lune n'est pas la même), en avance sur la révolution lunaire en raison de la rotation terrestre, crée un couple de rappel qui dissipe l'énergie. Cet éloignement ne s'est
pas fait à vitesse constante, en raison de la répartition variable des océans à la surface de la Terre (conséquence de la tectonique des plaques), qui influe fortement sur la dissipation de marée. Le taux de dissipation actuel, si l'on considère qu'il est resté inchangé dans le passé, conduit à une distance Terre-Lune nulle il y a seulement 1.5 milliards d'années, en désaccord majeur avec l'âge de la Lune. Webb [1982] propose un modèle de dissipation qui fait la moyenne statistique de multiples géométries océaniques. Ce modèle produit un âge lunaire supérieur à 3 Ga, encore insuffisant mais nettement meilleur. La croissance des coraux, qui répond à des cycles journaliers et annuels [Lambeck, 1980], ainsi que le taux de dépôt des sédiments sur les bordures oceániques [Sonett et Chan, 1998], procurent des contraintes sur la durée du jour terrestre et par conséquent sur la distance Terre-Lune. La figure 4.4 représente les données de Sonett et Chan [1998] et de Eriksson et Simpson [2000], ainsi que la courbe de Webb [1982] mise à l'échelle de telle sorte que l'âge de la Lune soit correct. Cette mise à l'échelle n'a que peu de valeur en soi, mais tend à montrer, appuyée par les données procurées par les dépôts de marée, que la Lune se trouvait à une distance d'environ 40-45 rayons terrestres il y a 3.5 milliards d'années, et qu'elle s'est éloignée de manière grossièrement linéaire depuis. Ward [1975] et Touma et Wisdom [1994] prédissent qu'entre 40 et 60 rayons terrestres, l'obliquité de la Terre et de la Lune, ainsi que l'inclinaison de l'orbite lunaire n'ont évoluées que de quelques degrés. Cela ne produira aucune différence visible sur nos résultats.

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIG. 4.4 – Evolution temporelle présumée de la distance Terre-Lune. Figure empruntée à M. Wieczorek.</figcaption></figure>
# Chapitre 5

## Probabilité d'impact et conditions d'approche

L'approche la plus directe permettant d'estimer l'intensité du bombardement auquel une planète est soumise consiste à réellement observer les impacts qui se produisent pendant un laps de temps donné, et à en déduire une fréquence de collision moyenne pour une certaine taille de projectiles. Comme il a déjà été évoqué plus haut (chapitre 3), cette méthode n'est applicable qu'aux très petits corps, les météoroïdes, dont la fréquence de collision est suffisante pour recenser un nombre statistiquement satisfaisant d'événements. C'est la détermination en amont — c'est-à-dire à partir de la distribution orbitale des projectiles — de la probabilité d'impact, et des conditions d'approche associées (vitesse, mais aussi inclinaison du projectile), qui fait l'objet de cette section. Connaissant la géométrie des orbites képlériennes du projectile et de la cible, il existe une méthode, dérivée originellement par J. Öpik, qui permet d'estimer la probabilité avec laquelle ceux-ci entreront en collision. A la différence d'une flèche décochée en direction d'une mire, la cible est mouvante, et sa trajectoire, tout comme celle du projectile, décrit une ellipse. Qui plus est, l'orbite de l'un et de l'autre précessent, c'est-à-dire que leur orientation dans l'espace change avec le temps. L'impact ne sera donc possible que pour certaines orientations relatives et la collision n'aura effectivement lieu qu'à la condition que projectile et cible se trouvent dans un voisinage suffisamment proche de l'intersection de leurs orbites à un instant donné. Enfin, la cible possède une masse capable d'attirer à elle les projectiles passant à proximité, « avantage » dont ne bénéficie pas l'archer. Les travaux successifs de Öpik [1951], Wetherill [1967], Greenberg [1982] et enfin Bottke et Greenberg [1993] ont permis l'établissement d'un formalisme qui prend tout ceci en compte dans la détermination de la probabilité d'impact.

Cette détermination n'est possible qu'à la condition de connaître la distribution orbitale des impacteurs potentiels. Celle-ci a été estimée au chapitre 3 à
partir de l'observation des objets suffisamment gros pour être détectés. Aucune corrélation n'apparaissant entre la taille des projectiles et leurs paramètres orbitaux, il est supposé que la distribution orbitale relative est la même à toute taille, et que seul le nombre absolu de projectiles peuplant une région (a, e, i) donnée varie avec d. Le nombre d'impacts de projectiles d'une certaine taille que subit une planète de rayon $R_0$, par unité de temps et de surface (c'est-à-dire le flux d'impacts) peut donc s'écrire sous la forme

$$ \Phi(> d) = \frac{1}{4\pi R_0^2} N(> d) \bar{P}, \qquad (5.1) $$

avec

$$ \bar{P} = \int_{a,e,i} n(a,e,i) P(a,e,i) da \text{ de } di \qquad (5.2) $$

la probabilité d'impact moyenne, où $P(a, e, i)$ est la probabilité d'impact pour une triade (a, e, i) donnée, $n$ est la proportion relative d'objets dont l'orbite est décrite par cette triade (figure 3.9), et $N$ est le nombre total d'objets qui possèdent un diamètre supérieur à $d$ dans l'espace (a, e, i). Ce dernier s'exprime

$$ N(> d) = N_1 S(> D), \qquad (5.3) $$

avec $N_1$ le nombre d'objets tels que $d > 1$ km, et $S(> d)$ est la distribution en taille normalisée, donnée par l'équation (3.11).

On suppose également que $n(a, e, i)$ n'a pas changé par le passé, et que seul le nombre absolu d'objets a pu varier, ce qui permet d'écrire

$$ \Phi(> d, t) = \eta(t) \Phi(> d), \qquad (5.4) $$

avec $\eta(t = 0) = 1$.

La calcul de $P(a, e, i)$ suppose que (1) les trois éléments orbitaux principaux, a, e et i, sont constants dans le temps, et (2) les angles qui définissent l'orientation relative des plans orbitaux de la planète et de l'objet ($\Omega$ et $\omega$ pour chacune des deux orbites) prennent n'importe quelle valeur de manière équiprobable. Or, ces conditions ne sont pas respectées à l'échelle d'un seul objet. Tout d'abord, les probabilités d'impact typiquement calculées à partir des formules d'Öpik sont de l'ordre de $10^{-10} \text{an}^{-1}$, alors que la durée de vie typique d'un astéroïde est plutôt de $10^7$ ans (sa disparition étant due à la collision avec un autre corps ou à l'éjection du système Solaire). Il est donc peu probable que cet astéroïde entrera jamais en collision avec la planète considérée. Qui plus est, au cours de son existence, l'orbite du petit corps connaîtra, en raison des divers phénomènes d'interactions
qui animent le système, de larges variations de ses éléments orbitaux. L'équation (5.1) doit donc être vue comme une estimation à moyen terme de la capacité d'une certaine répartition orbitale à bombarder une planète, étant entendu que cette répartition est en état d'équilibre. Si chaque objet, individuellement, n'est pas fixé dans l'espace (a, e, i), la niche qu'il laisse vacante est réoccupée par un autre objet provenant d'une région adjacente [Milani et al., 1989], et les objets détruits ou perdus sont, à terme, remplacés par de nouveaux arrivants créés dans la ceinture principale [Bottke et al., 2002].

Outre la probabilité totale d'impact avec la planète, nous souhaitons exprimer la distribution de probabilité des conditions d'approche générée par l'ensemble de la population d'astéroïdes. Ces conditions d'approche sont données par l'expression du vecteur vitesse relatif d'approche, noté $U_∞$, dans un repère fixé attaché à la cible. Pour chaque planète, nous construirons dans ce chapitre la distribution de probabilité $p(U_∞)$ qui permettra (au chapitre suivant) de déterminer le bombardement comme fonction de la position géographique.

Dans une première section, nous décrivons le schéma général de l'obtention des probabilités d'impact en fonction des conditions d'approche, et expliquons en quoi ces dernières permettent de simuler le bombardement des planètes et des satellites. Dans un deuxième temps, nous présentons les formules établies par Öpik [1951] et ses successeurs pour calculer les probabilités d'impact sous l'hypothèse que les orbites précessent uniformément. Ces formules sont applicables à la détermination des modalités du bombardement des planètes. Dans un troisième temps, nous établissons une procédure permettant le calcul des probabilités d'impact avec un satellite à partir des conditions d'approche avec le système planète-satellite. Dans ce cas, l'orbite (hyperbolique) du projectile qui pénètre dans le système ne précesse pas, et il est nécessaire d'établir une nouvelle formule. Ensuite, nous résumons la méthodologie employée pour obtenir les résultats, présentés en dernière partie.

# 5.1 Objectifs et méthode générale

## 5.1.1 Conditions d'approche et probabilités

Etant donnée la distribution de probabilité des éléments orbitaux des projectiles, $n(a, e, i)$, l'objectif est de calculer la distribution de probabilité des conditions d'approche avec une cible dont l'orbite est décrite par $(a_0, e_0, i_0)$. Ces condi-
tions d'approche sont décrites par le vecteur vitesse relatif entre le projectile et la cible au point où les deux orbites intersectent, noté $U_∞$. Le symbole $∞$ traduit le fait que, du point de vue de la cible, il s'agit de conditions d'approche à l'« infini », c'est-à-dire avant toute perturbation gravitationnelle de cette dernière. La vitesse relative est calculée de manière purement géométrique selon l'orbite des deux corps et leur point d'intersection, sans tenir compte (à ce stade), de l'accélération provoquée par la masse de la cible. Il est supposé que $U_∞$, calculé ponctuellement du point de vue du corps primaire, change suffisamment peu dans le voisinage de l'intersection pour être considéré valide à une distance qui s'apparente à l'infini pour la cible, petite au regard du système global (dans un système Soleil-planète-astéroide, le corps primaire est le Soleil et la cible est la planète, dans un système planète-lune-astéroïde le corps primaire est la planète et la cible est le satellite).

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIG. 5.1 – Géométrie de l'approche du projectile.</figcaption></figure>

Dans un repère centré sur la cible, $U_∞$ donne la direction d'approche du projectile, que nous appellerons le *radiant*. On choisit le repère (OXYZ) tel que (OXY) représente le plan orbital de la cible, (OX) pointe dans la direction du corps primaire et (OZ) est dirigé vers le haut, comme illustré sur la figure 5.1. Il est commode, pour définir les conditions d'approche, d'utiliser la norme de la vitesse, $U_∞$, ainsi que deux angles, $i_∞$ et $j_∞$, plutôt que d'utiliser les composantes cartésiennes de $U_∞$. L'angle $i_∞$ donne l'inclinaison du radiant par rapport au plan orbital, l'angle $j_∞$ son orientation dans ce plan. On définit ainsi $i_∞$ et $j_∞$ comme une « latitude » et une « longitude » orbitales, telles que

$$ \sin i_{\infty} = \frac{-U_Z}{U_{\infty}}, \qquad (5.5) $$

$$ \cos j_{\infty} = \frac{-U_X}{\sqrt{U_X^2 + U_Y^2}}, \qquad (5.6) $$
$$ \sin j_{\infty} = \frac{-U_{Y}}{\sqrt{U_{X}^{2} + U_{Y}^{2}}} \qquad (5.7) $$

Les formules présentées ou établies plus loin dans ce chapitre permettent, pour chaque projectile $(a, e, i)$, de calculer la probabilité d'impact avec une cible donnée. Cette probabilité d'impact dépend de la géométrie des deux orbites, mais aussi de la masse et du rayon de la cible, comme nous le verrons. Pour chaque objet $(a, e, i)$, la probabilité d'impact s'associe à des conditions d'approche particulières. En répétant ce calcul pour l'ensemble des objets, et en pondérant les résultats par la proportion relative de tel ou tel objet $(n(a, e, i))$, on construit pour une cible donnée la distribution de probabilité des conditions d'approche $P(U_{\infty}, i_{\infty}, j_{\infty})$, où de manière plus concise $P(U_{\infty})$, qui nous permettra de simuler son bombardement, c'est-à-dire de calculer le flux d'impacts auquel elle est soumise en fonction de la position à sa surface. On estimera également dans ce chapitre le bombardement lunaire pour des projectiles de diamètre supérieur au kilomètre $\Phi_{\mathcal{Q}}(d > 1\text{km})$, qui, selon nos hypothèses, donne le flux d'impact à toutes tailles tel que $\Phi_{\mathcal{Q}}(> d) = \Phi_{\mathcal{Q}}(d > 1\text{km}) S(> d)$ (équations (5.1) et (5.3)). Nous calculerons enfin le bombardement relatif entre les planètes et la Lune, $R$, supposé indépendant de $d$ et du temps, tel que

$$ R = \frac{\Phi(> d)}{\Phi_{\mathcal{Q}}(> d)} = \frac{\Phi(d > 1\text{km})}{\Phi_{\mathcal{Q}}(d > 1\text{km})} \qquad (5.8) $$

### 5.1.2 Vers la simulation du bombardement

Pendant la phase d'approche, on considère que le projectile se dirige vers la cible sous l'unique influence gravitationnelle de celle-ci. Plus rigoureusement, la phase d'approche devrait débuter à une distance $R_H$ du centre de la cible (rayon de la sphère d'influence), et non pas à l'infini mathématique. Cependant, cela ne fait aucune différence significative (les résultats ont été validés numériquement, comme le montre l'annexe C) et permet de simplifier considérablement l'expression des formules développées dans ce chapitre et dans le suivant. D'autre part, le projectile est considéré comme un objet ponctuel de masse négligeable devant celle de la planète. Enfin, puisque la cible est petite comparée à la taille du système solaire, chaque approche décrite par $U_{\infty}$ génère une nuée de projectiles de vitesse parallèle à $U_{\infty}$ et de même norme. La nuée de projectiles est initialement positionnée uniformément sur un disque centré sur le radiant, perpendiculaire à celui-ci, et situé à l'infini de la cible. Le rayon de ce disque est tel que les projectiles situés à l'extérieur ne peuvent entrer en collision avec la cible.
Au début de la phase d'approche, le projectile possède une vitesse relative non nulle à une distance infinie de la cible. Son énergie totale par unité de masse dans le référentiel de la cible de masse $M_0$ est donc

$$ \xi = \frac{1}{2}U_{\infty}^2 - \frac{GM_0}{\infty} = \frac{1}{2}U_{\infty}^2 > 0, \qquad (5.9) $$

et correspond simplement à l'énergie cinétique. Comme nous l'avons vu au chapitre 2, une énergie positive implique une trajectoire hyperbolique. Pour chaque $U_{\infty}$, la cible est donc soumise au bombardement d'une nuée de projectiles qui décrivent une trajectoire hyperbolique. L'expression des éléments orbitaux de chaque hyperbole en fonction de la géométrie du problème est établie en annexe A, et permet (1) la description de la trajectoire du projectile à l'approche d'une planète ou d'une lune afin de déterminer les coordonnées de l'impact (chapitre 6). (2) la description des orbites qui pénètrent dans un système planète-satellite, en vue de déterminer la probabilité d'impact avec le satellite (ce chapitre, section 3).

La géométrie du problème est décrite par la figure 5.2. La position initiale sur le disque est caractérisée par le paramètre d'impact, b, et l'angle $\delta$, dont la définition est donnée par la figure 5.3.

Comme il est montré en Annexe A, tous les projectiles pour lesquels $b \le b_{max} = \tau$ entreront en collision avec la cible, avec $\tau$ le rayon de la section gravitationnelle donné par

$$ \tau = R_0 \sqrt{1 + 2 \frac{GM_0}{R_0 U_{\infty}^2}} = R_0 \sqrt{1 + \frac{v_e^2}{U_{\infty}^2}} = R_0 \sqrt{1 + \Delta}, \qquad (5.10) $$

avec $M_0$ et $R_0$ la masse et le rayon de la planète, $v_e$ la vitesse d'échappement. La dernière égalité fait usage d'un nombre sans dimension qui se révélera un paramètre important de notre étude, tel que

$$ \Delta = 2 \frac{GM_0}{R_0 U_{\infty}^2}, \qquad (5.11) $$

où $\Delta$ traduit l'intensité de la déviation gravitationnelle des projectiles par la planète. En effet, la grandeur $\tau$ est d'autant plus grande que la masse de la cible est importante et la vitesse du projectile faible (à l'inverse, $\tau = R_0$ dans les cas limites où $M_0 = 0$ ou $U_{\infty} = \infty$). La vitesse d'impact, accrue par la masse de la planète, est donnée par $u^2 = U_{\infty}^2 + v_e^2$, avec $v_e$ la vitesse d'échappement données par l'équation (2.26).
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIG. 5.2 – Bombardement généré lors d'une phase d'approche décrite par $U_∞$. Tous les projectiles distribués uniformément sur le disque $σ$ entreront en collision avec la cible.</figcaption></figure>

## 5.2 Formalisme d'Opik : probabilité d'impact avec une planète

### 5.2.1 Cible en orbite circulaire d'inclinaison nulle

#### 5.2.1.1 Orbites elliptiques

Nous résumons ici les étapes qui mènent à l'obtention de la probabilité d'impact (et des conditions d'approche associées), dans le cas simple où la planète cible décrit une orbite circulaire autour du Soleil. Le détail des calculs est donné en annexe B. Cette approche n'est pas valide en générale, notamment, nous le verrons, dans le cas de la planète Mars, pour laquelle le flux d'impact varie considérablement selon qu'elle se trouve à son apohélie ou à son périhélie. Cependant, le cas général de l'orbite excentrique fut historiquement formalisé à partir de ce
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIG. 5.3 – Définition du repère ($Ox_1x_2x_3$) et position initiale du projectile sur le disque $\sigma$.</figcaption></figure>

premier travail, que nous devons à Öpik [1951], et son expression relativement simple justifie qu'elle soit décrite ici dans un souci pédagogique. Qui plus est, dans un certain nombre de cas (Venus et le système Terre-Lune), l'approximation est excellente. Pour encore plus de simplicité, nous supposerons que l'inclinaison de la planète est nulle par rapport à l'écliptique ($i_0 = 0$), ce qui, là encore, n'est pas extrêmement éloigné de la réalité, puisque la planète tellurique la plus inclinée, Mercure, l'est de 7°. Toutes les variables accompagnées de l'indice 0 feront référence à la cible (planète); dans le cas contraire, il s'agira du projectile. L'indice $S$ fera référence au corps primaire, le Soleil.

Puisque les deux orbites sont bornées (cercle et ellipse), il existe, quelle que soit leur orientation relative, deux points auxquels l'orbite du projectile transperce le plan orbitale de la planète. On parle des *noeuds communs*. La méthode d'Öpik suppose que l'impact se produira dans le voisinage de ceux-ci. Dans la mesure où l'orbite de la planète appartient au plan de l'écliptique, les noeuds communs correspondent ici au noeuds de l'orbite du projectile ($\theta = 0$ ou $\pi$; voir le chapitre 2).

Commençons par déterminer sous quelles conditions les deux orbites intersectent, c'est-à-dire permettent potentiellement au projectile et à la cible de se trouver exactement au même endroit. La toute première condition est que les orbites du projectile et de la cible s'interprènètrent. Pour cela, il faut

$$q < a_0 \text{ et } Q > a_0 \qquad (5.12)$$