# Analyser les réseaux personnels en tenant compte de la position d'Ego¹²

Alain Degenne, Février 2024

Note technique

## Table des matières

<table><tr><td>Analyser les réseaux personnels en tenant compte de la position d'Ego</td><td>1</td></tr><tr><td>Introduction</td><td>1</td></tr><tr><td>Les réseaux personnels et les données</td><td>2</td></tr><tr><td>Les générateurs de noms</td><td>3</td></tr><tr><td>L'enquête de Caen</td><td>4</td></tr><tr><td>Trois exemples</td><td>6</td></tr><tr><td>Florence en 1998</td><td>6</td></tr><tr><td>Agnès en A995</td><td>6</td></tr><tr><td>Étienne en 2001</td><td>6</td></tr><tr><td>Les différentes formes d'équivalence dans les réseaux</td><td>7</td></tr><tr><td>Le réseau résumé par les orbites</td><td>11</td></tr><tr><td>Les cliques-orbites</td><td>12</td></tr><tr><td>Le réseau résumé par les cliques-orbites</td><td>12</td></tr><tr><td>Les centralités ; l'intermédiarité</td><td>13</td></tr><tr><td>Une expérience sur l'intermédiarité et les réseaux résumés</td><td>16</td></tr><tr><td>La déconstruction des réseaux</td><td>18</td></tr><tr><td>Les arêtes absentes</td><td>19</td></tr><tr><td>Stables et nombre de stabilité</td><td>19</td></tr><tr><td>Les réseaux personnels dans la durée</td><td>20</td></tr><tr><td>L'outil PaohVis</td><td>20</td></tr><tr><td>Discussion</td><td>22</td></tr></table>

## Introduction

Le terme de réseau est très polysémique ; on connaît le réseau ferré, le réseau routier ou le réseau téléphonique. Ces acceptations font référence à des réseaux physiques sur lesquels circulent des véhicules, ds personnes ou des

<footnote n="1">¹ Ego désigne la personne interrogée et les personnes de son entourage qu'elle désigne sont appelées les Alters.</footnote>

<footnote n="2">² Je remercie vivement Michel Grossetti pour son aide dans la mise au point de ce texte.</footnote>
informations. Le champ dans lequel nous nous situons est celui des réseaux sociaux qui étudie les échanges et les relations entre des personnes. Il s'est beaucoup transformé depuis que Moreno étudiait les relations de camaraderie entre des élèves, Barnes les relations entre les habitants d'une île norvégienne ou Bott les liens au sein des familles anglaises<fnref n="3" />. L'évolution principale est sans doute l'arrivée des réseaux sociaux en ligne (« online social networks, OSN»)<fnref n="4" />. Ils permettent d'enregistrer l'existence d'échanges entre des personnes, sans avoir à les interroger ; on peut ainsi observer des réseaux entre plusieurs milliers de personnes. Ceci ne fait pas disparaître les enquêtes qui sont souvent associées à un domaine spécifique comme les organisations, l'entraide ou l'utilisation des media de communication.

L'étude des réseaux personnel est une branche de l'analyse des réseaux sociaux (au sens d'agrégats de relations entre des entités sociales) qui reconstruit un entourage de relations autour de chaque enquêté. Souvent ces réseaux sont étudiés du point de vue de leur composition (la part des liens familiaux par exemple) ou de leur taille (le nombre de relations documentées), mais assez peu de leur structure, au-delà d'estimations de la densité, contrairement à ce qui est privilégié dans d'autres approches, comme celle des réseaux complus par exemple (documenter les relations au sein d'un ensemble social déterminé, un collectif de travail par exemple). Dans ce texte, je propose des notions pour mieux analyser les structures des réseaux personnels.

## Données

Nous utilisons les données d'une enquête longitudinale qui s'est déroulée à Caen en quatre vagues séparées par trois années, entre 1995 et 2004, auprès de jeunes en phase de passage à la vie adulte. En effet les 89 jeunes enquêtés étaient scolarisés, en fin d'études secondaires. (Une cinquième vague a permis d'enquêter un nombre plus réduit de personnes en 2007). Même si nous apportons des interprétations, le propos de ce texte est spécifiquement méthodologique. L'enquête a fait l'objet de nombreuses exploitations et publications sur lesquelles nous ne reviendrons pas. Le lecteur trouvera l'annexe bibliographique, les références utiles.

Cette enquête a produit 306 réseaux distincts.

Plusieurs choses frappent quand on les représente ou qu'on les analyse :
Nombre d'entre eux montrent des sommets qui occupent des positions intermédiaires ou centrales.

Il y a très souvent des cliques ; certaines sont particulièrement grosses, compte tenu de la taille du réseau.

Au cours du temps, puisqu'il y a plusieurs vagues, les réseaux se modifient énormément.

Ces aspects sont à l'origine de cette note méthodologique.

## Plan de l'article

Nous présenterons d'abord les réseaux personnels et des données que nous allons utiliser.

Nous aborderons ensuite la notion d'équivalence de position des sommets dans le réseau et particulièrement l'équivalence automorphique qui est centrale dans notre propos. Nous en déduirons deux types de réseaux résumés.

Sur la base de ces notions, nous aborderons les indicateurs de centralité et, plus particulièrement la centralité d'intermédiarité.

L'algorithme de déconstruction par recalcul de la centralité d'intermédiarité permettra de faire le lien avec les orbites et les cliques-orbites ainsi qu'avec les ensembles stables, c'est-à-dire les ensembles de sommets non connectés entre eux. L'application PaohVis qui permet de représenter l'évolution des hypergraphes donnera une vision globale des transformations du réseau et des cliques-orbites au cours du temps.

# Les réseaux personnels et les données

Il y a des enquêtes qui privilégient l'observation des échanges de manière à recueillir une information aussi « neutre » ou « objective » que possible. Quand un opérateur de communications internet enregistre les

<footnote n="3">³ Moreno J. L., 1943, *Who shall survive?*, tr. fr. *Fondements de la sociométrie*, Paris, PUF, 1954. Barnes J. E., 1954, *Class and committees in a Norvegian island parish*, *Human Relations*, VII, 1, 39-58. Bott E., 1957, *Family and social network*, 2ème éd., 1971, New York, The Free Press.</footnote>

<footnote n="4">⁴Michel Grossetti. Que font les réseaux sociaux aux réseaux sociaux ? Réseaux personnels et nouveaux moyens de communication. Réseaux : communication, technologie, société, 2014, Trente années d'une revue, 2-3 (184-185), pp.187-209. 10.3917/res.184.0187. halshs-01408349. En France l'usage s'est imposé d'appeler simplement réseaux sociaux, les réseaux sociaux en ligne, ce qui est une source de confusions.</footnote>
connections entre l'un de ses abonnés et ses « amis », et qu'il peut inclure des informations sur les liens entre ces « amis », il crée un réseau de ce type. On peut créer un réseau entre les auteurs dans un domaine donné, en relevant ceux qui sont co-auteurs dans des ouvrages ou des articles de revue. L'enquête « contacts entre les personnes » conduite par l'Ined et l'Insee entre 1982 et 1983 auprès 5900 ménages, prévoyait deux entretiens et entre les 2 visites laissait un carnet à remplir pendant 7 jours en indiquant les personnes rencontrées. <fnref n="5" /> Ici nous allons parler de réseaux de relations entre des personnes et plus particulièrement de réseaux personnels, La littérature sur le sujet est abondante et montre une grande variété de définitions et de mises en œuvre. En effet les réseaux personnels n'existent pas physiquement ; ce qui existe, ce sont des interactions entre des personnes ou des groupes de personnes au cours de situations auxquelles chacune de ces personnes peut attribuer un sens, et qui influencent le souvenir qu'elles en gardent, ou parfois laissent des traces enregistrées. Ce qu'on appelle les réseaux personnels se fonde sur ces souvenirs ou ces traces.

Quelle est la taille d'un réseau personnel ?

Dans un récent article, on trouve la synthèse suivante : <fnref n="6" />

« Ces études suggèrent que, chez les humains, un individu a généralement affaire à environ 150 relations, y compris des parents et des amis. Ces relations sont en outre organisées en un ensemble de couches hiérarchiquement inclusives, de taille croissante avec une intensité émotionnelle décroissante, dont les tailles suivent une séquence caractéristique avec un rapport d'échelle proche de 3 : 5, 15, 50, 150. Bien que la taille globale des réseaux ait été associée à notre capacité cognitive, aucune explication théorique n'a été donnée pour expliquer la structure en couches et le rapport d'échelle cohérent, même si de nombreuses études différentes en attestent l'existence »

La plupart de ces études concernent le continent américain. Le premier chiffre, 5 correspond aux personnes avec lesquelles on discute de choses importantes et personnelles. Le second, 15 correspond aux personnes proches, celles auxquelles on peut demander de l'aide. 50, c'est la taille du cercle dans lequel on évolue (famille, collègues, voisins.). Enfin 150, c'est l'ordre de grandeur du réseau global. C'est aussi le nombre de personnes avec lesquelles on peut entretenir des relations, compte tenu de nos capacités cognitives, d'après le psychologue Robin Dunbar. Il s'agit là d'un résumé à partir de nombreux travaux. Il faut ajouter qu'en proposant à des enquêtés de repérer des noms dans l'annuaire téléphonique, des personnes adultes peuvent en reconnaître entre 2000 et 5000, mais cela n'implique pas qu'elles connaissent les personnes et qu'on puisse les inclure dans leur réseau personnel.<fnref n="7" />

## Les générateurs de noms

Les générateurs de noms sont les questions qui constituent le protocole d'interrogation visant à obtenir des réseaux personnels.

En 1984, Ronald Burt proposait que soit inclus dans le General Social Survey un module consacré aux réseaux. Sa proposition se présentait ainsi<fnref n="8" /> :

« De temps en temps, la plupart des gens discutent de sujets personnels importants avec d'autres personnes. Au cours des six derniers mois, quelles sont les personnes avec lesquelles vous avez discuté d'un sujet personnel important ? Veuillez m'indiquer leur prénom ou leurs initiales. »

<footnote n="5">⁵ Héran F., 1988b, La sociabilité, une pratique culturelle, *Economie et statistique*, 216, 3-21.</footnote>

<footnote>Héran F., 1988a, Un monde sélectif : les associations, *Economie et statistique*, 208, 17-31.</footnote>

<footnote n="6">⁶ Tamarit I., Cuesta J. A., Dunbar R.J.M., Sanchez A., Cognitive resource allocation determines the organization of personal networks 8316–8321 j PNAS j August 14, 2018 j vol. 115 j no. 33</footnote>

<footnote n="7">⁷ Sola Pool I. de, 1978, *Contacts and influence, Social Networks*, 1, 5-51, réédité in M. Kochen (éd.), *The small world*, Norwood, Ablex Publishing Corporation, 1989.</footnote>

<footnote>Freeman L., Thompson C. R., 1989, Estimating acquaintanceship volume, in M. Kochen (éd.), *The small world*, Norwood, Ablex Publishing, 147-158.</footnote>

<footnote n="8">⁸ Burt R.S., Network items and the General Social Survey, *Social Networks*, 6, 1984</footnote>
Si la personne donnait moins de cinq noms, il était demandé à l'enquêteur d'effectuer une relance pour arriver à cinq personnes.

C'est un exemple intéressant parce qu'il est conçu pour être incorporé dans une enquête de grande taille et pour produire des réponses standardisées. La taille du réseau est limitée à cinq personnes.

Parfois le nombre de noms est laissé libre et va donc varier ; c'est le cas dans l'enquête de Caen que nous utilisons.

Isidro Marya Jariego plaide pour l'utilisation d'un nombre fixe d'alters dans les enquêtes par générateurs de noms.
Lui même a utilisé 45 personnes citées dans une de ses enquêtes sur des étudiants. <fnref n="9" />

L'enquête de Claude Fischer réalisée en 1982 dans la région de Chicago, utilise un questionnaire que l'on peut considérer comme un archétype, car il combine des éléments d'entraide et de pratique de sociabilité qui ont souvent été repris par la suite. Voici comment il définit sa procédure :

« Notre objectif était de demander aux répondants de décrire leurs réseaux personnels - le type de personnes avec lesquelles ils étaient impliqués et la nature de ces implications - de la manière la plus complète et la plus efficace possible. (Nous ne disposions que de vingt à trente minutes de chaque entretien pour cette tâche). La procédure de base consistait à demander aux personnes interrogées de nommer les personnes clés, puis à leur poser des questions sur chacune d'entre elles. Nous avons obtenu ces noms en demandant aux personnes interrogées de citer les personnes qui leur ont apporté, leur apporteraient ou pourraient leur apporter différents types de soutien. Nous sommes partis du principe que les personnes qui aidaient les personnes interrogées étaient aidées par elles en retour et qu'elles étaient généralement des membres essentiels de leurs réseaux. <fnref n="10" />»

Cette déclaration d'intentions est importante car elle montre plusieurs aspects qui sont souvent à la base de l'utilisation des générateurs de noms. Le temps consacré à l'interrogation est réduit. C'est ce que l'on avait noté également avec la proposition de Burt pour le GSS. L'utilisation de l'entraide comme indicateur d'une relation est aussi un trait qui se retrouve souvent dans les enquêtes. ; et l'hypothèse que l'aide entraîne une aide en retour, ce qui autorise à considérer le réseau comme non orienté.

Michel Grossetti a adapté au cas français le questionnaire de Fischer pour son enquête comparative réalisée sur la région de Toulouse en 2001 <fnref n="11" />

## L'enquête de Caen

L'enquête explore différents aspects de l'entrée dans la vie adulte. Les entretiens ont été très approfondis et les relations sociales en sont un élément essentiel.

Claire Bidart qui a piloté l'enquête, écrit : « Nous abordons ainsi systématiquement les contextes suivants : études, activités de loisir dans le cadre des études, relations anciennes d'école ou de lycée, travail y compris les petits boulots, relations conservées d'anciens collègues, stages, loisirs, sports, activités culturelles, vie associative et citoyenne (club, syndicat, parti politique, groupes divers), anciennes participations aujourd'hui abandonnées, activités associées à la pratique d'une religion, vacances, voyages, bandes de copains, ex-bandes de copains, résidences, amis des parents, autres relations anciennes, service national, autres lieux de fréquentations, vie amoureuse et relations induites et bien entendu, la famille. Sont posées là des questions générales nous permettant de situer le jeune dans ces contextes et de mesurer l'investissement qu'il y réalise »<fnref n="12" />

<footnote n="9">⁹ Maya Jariego, I. (2018). Why name generators with a fixed number of alters may be a pragmatic option for personal network analysis. *American Journal of Community Psychology*, 62(1-2), 233-238.</footnote>

<footnote n="10">¹⁰ Fischer C.S., To Dwell Among Friends: Personal Networks in Town and City. Chicago: University of Chicago Press, 1982.</footnote>

<footnote n="11">¹¹ en France, Grossetti M., 2005, Where do social relations come from? A study of personal networks in the Toulouse *Social Networks*, 27, pp.289-300.</footnote>

<footnote n="12">¹² Claire Bidart. Panel "Sociabilité et insertion sociale" : une enquête longitudinale. Processus d'entrée dans la vie adulte, insertion professionnelle et évolution des réseaux sociaux : Hypothèses, élaboration de l'enquête et suivi du panel. 2006. ffhalshs-00118258v1l.</footnote>
C'est à partir de ces entretiens que les réseaux sont construits. Les réseaux sur lesquels nous travaillons sont ceux qui rassemblent à chaque vague, les liens importants, ceux qui comptent pour l'enquêté.

Ego est donc central, présent dans ce réseau. Il lui est alors demandé d'indiquer quelles sont les relations entre ceux qu'il a désignés comme alters. On obtient ainsi un réseau complet particulier en ceci que l'une des personne, Ego, est liée à toutes les autres.

Pour des raisons d'homogénéité, dans cette note, nous nous limitons aux quatre premières vagues.

## Le codage

Dans les représentations, nous utilisons un codage des sommets ; les prénoms ou les surnoms cités par Ego ne nous apportent en effet pas d'information sur le lien entre Ego et les personnes de son entourage. Le codage permet d'inclure quelques éléments d'information sur ce lien. Ce codage est fiable pour la famille, mais assez approximatif pour les alters hors famille car les relations évoluent et sont souvent multiplexes.

<table><thead><tr><th>Alter</th><th>Code</th><th>famille du partenaire</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>partenaire</td><td>p</td><td>hors famille</td><td>il</td></tr><tr><td>père</td><td>f</td><td>école, université</td><td>nf</td></tr><tr><td>mère</td><td>m</td><td>voisins, résidence</td><td>st</td></tr><tr><td>frère</td><td>b</td><td>travail, collègues</td><td>r</td></tr><tr><td>soeur</td><td>s</td><td>enfance, histoire</td><td>w</td></tr><tr><td>grand-père</td><td>gf</td><td>activité, associations</td><td>h</td></tr><tr><td>grand-mère</td><td>gm</td><td>relation de la famille</td><td>ac</td></tr><tr><td>autre famille (oncle, tante, cousins)</td><td>of</td><td>relation plus forte</td><td>fy</td></tr></tbody></table>

Compte tenu de la jeunesse des enquêtés, il y a peu de relations de travail identifiables. Certaines apparaissent sous le code w. Le plus souvent, elles sont regroupées sous le code ac.

## La place d'Ego

Très souvent, dans les représentations en graphes et les analyses, les liens entre Ego et les alters sont oubliés car ils n'apportent pas d'information supplémentaire dans la mesure où Ego est lié à tous les alters par construction du réseau et que la prise en compte de ces liens surchargerait inutilement le graphe. Si l'on n'y est pas très attentif, cela pose plusieurs problèmes.

Il devient très facile d'oublier qu'on ne travaille pas sur le réseau au complet. En effet Ego en est l'acteur essentiel et les différents indicateurs que l'on peut calculer sur le réseau varient suivant qu'Ego y est ou non présent.

Le réseau apparaît souvent comme non connexe alors qu'il est fondamentalement par définition.

On ne calcule pas la centralité d'intermédiarité d'Ego. Certes, elle est élevée et même maximum puisque Ego est lié à tous les autres sommets, et donc leur plus proche intermédiaire, mais pour autant elle n'est pas en général égale à 1. Tout dépend de la structure du réseau et des liens entre les alters. Si ceux-ci sont très connectés, la centralité d'intermédiarité d'Ego en est affectée. Partons donc du principe que nous travaillons avec un réseau où Ego est présent et relié à tous les alters. Néanmoins, dans les représentations des réseaux, nous n'introduirons pas Ego pour plus de lisibilité.

Nous considérerons le réseau comme non orienté, bien qu'en fait, les choix d'Ego soient orientés puisqu'on ne sait pas si les alters choisiraient Ego si nous construisions leur réseau ; mais les liens entre les alters sont donnés par Ego et ne sont pas en général orientés.
## Trois exemples

Nous ne pouvons pas illustrer l'analyse par les 306 réseaux de l'enquête. Nous en avons choisi 3 qui nous semblent particulièrement intéressants : Etienne en 2001, Agnès en 1995, et Florence en 1998.

### Florence en 1998

En 1998, Florence a 20 ans. Elle est étudiante en biologie, après avoir tenté médecine. Elle vit avec son partenaire Thomas, mais la relation bat de l'aile. Sa famille est composée de ses parents, Lise, sa mère, Patrick son père ses deux sœurs Karine et Audrey, sa grand-mère Henriette. Son réseau est composé des membres de sa famille, de copains, surtout du Lycée ou de la fac. Son père a été hospitalisé pour dépression quelques années avant. Les relations entre eux sont difficiles.

AAA

### Agnès en A995

Agnès a 20 ans, elle est toujours au Lycée car elle a redoublé deux fois. Ses parents se sont séparés six ans plus tôt. Jusqu'à ses 19 ans, elle vivait à Avranches où ses parents étaient restés, à proximité aussi de ses grands-parents. Maintenant, elle est à Caen où sa mère (Jocelyne) s'est installée. Son père (Michel) est à Granville. Agnès sort énormément. Qu'elle soit à Caen ou à Granville, elle a les voitures de ses parents à sa disposition et une totale liberté. Elle a donc un groupe d'amis du lycée de Caen, un groupe plus ancien d'Avranches avec, en particulier son grand-père (Louis) qui lui a fait fréquenter le monde des courses hippiques. Elle retrouve aussi une partie de ses amis à Granville pendant les vacances, ou aux iles Chausey où l'un d'entre eux a une maison. Il y a ainsi plusieurs groupes en fonction des lieux de rencontre ou autour d'activités comme la planche, le foot, mais elle crée un lien entre ces groupes.

Le réseau d'Agnès est ainsi assez complexe. On n'y retrouve pas un noyau familial fort ni des groupes vraiment denses, plutôt des sous-réseaux.

### Étienne en 2001

Etienne a fini ses études, un bac Pro en électricité. Il est artisan dans l'entretien des ascenseurs et des portes automatiques. Il est marié avec Christelle et ils ont deux filles.

Étienne est très lié à ses parents et fait des rallyes automobiles avec son père Jacques. Il cite d'autres couples d'amis : René et Martine, Fabrice-B et Béatrice sont aussi des couples qui font des rallyes. Renaud est un copain connu au foot. Alexandra est sa compagne.

Pascal, Fabrice, Nicolas, Franck, Jean-Pierre sont des collègues qui comptent pour son travail ; ils ont des liens d'entraide, mais il ne les considère pas comme des amis.

Le gros bloc, c'est la famille ; il ne détaille pas les relations. Il y a Christelle, son épouse au même titre que les autres, sa sœur Delphine, ses oncles, tantes, beaux-frères, belle-sœur, cousins et les parents proches de Christelle. Son père Jacques et sa mère, Claudine sont intermédiaires avec les autres couples. C'est donc un réseau à la structure très simple, pensé en termes de groupes.
# Les différentes formes d'équivalence dans les réseaux

Dès que l'on dessine les réseaux, on remarque des différences de forme, certains montrent un fouillis de relations, d'autres des paquets de sommets, des cliques qui en facilitent la lecture. A partir de nos trois exemples qui ont été choisis dans ce but, nous allons présenter des outils d'analyse et d'interprétation. Le premier est l'équivalence automorphique. Evoquons d'abord les différents types d'équivalence.

## Équivalence structurale

Nous sommes dans un réseau et, pour l'instant nous ne savons rien de plus que les relations entre les sommets. L'équivalence que nous définissons est une équivalence de positions dans le réseau. Deux sommets sont dits structuralement équivalents s'ils sont reliés aux mêmes autres sommets ; leurs voisinages sont identiques. C'est une condition très exigeante, ce qui fait que, dans la pratique, on se contente souvent d'une équivalence approchée qui correspond au fait que les deux voisinages se ressemblent beaucoup. Reste à l'analyste à apprécier la qualité de cette ressemblance

Telle qu'on la définit, l'équivalence structurale concerne des individus ou des éléments qui ne sont pas reliés par une arête, car s'il existe une arête entre eux, leurs voisinages ne sont pas identiques.

Dans le réseau ci-dessous, un point de vue de l'équivalence structurale stricte, il n'y a que E et F d'une part et H et I d'autre part qui peuvent être considérés comme structuralement équivalents.

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Figure 1</figcaption></figure>

En pratique, les programmes d'analyse des réseaux sociaux proposent plutôt une approche statistique de l'équivalence structurale, dans la logique des « blocks models ». Ceux-ci ont été introduits par Harrison White et ses collègues, avec l'idée de mettre en évidence des structures de rôles<fnref n="13" />. Par la suite les blocks models ont donné lieu à des développements approfondis<fnref n="14" />.

## L'équivalence régulière

On définit une autre équivalence qui représente bien les rôles institués, c'est l'équivalence régulière. Si nous considérons un réseau qui représente, par exemple la relation d'enseignement. Il y a les professeurs et les élèves ; chaque professeur a au moins un élève et chaque élève a au moins un professeur. Les professeurs d'une part et les élèves d'autre part sont en équivalence régulière. Dans un réseau, deux sommets sont

<footnote n="13">13 White H. C., Boorman S. A., Breiger R. L. (1976), *Social Structure from multiple Networks*. I. Blockmodels of Roles and Positions. *The American Journal of Sociology*, 81-4, 730-780</footnote>

<footnote>Boorman S. A., White H. C., 1976, "Social Structure from Multiple Network, II, Role Structure". *The American Journal of Sociology*, 81-6, 1384-1446.</footnote>

<footnote n="14">14 Doreian P., Batagelj V., Ferligoj A., 2005, *Generalized Blockmodeling*, Cambridge, Cambridge University Press</footnote>
régulièrement équivalents s'ils sont reliés à des sommets eux-mêmes régulièrement équivalents. Dans le réseau ci-dessus (figure 6-1) B, C, D d'une part et E, F, G, H, I, d'autre part sont régulièrement équivalents. Dans la matrice d'incidence du graphe, il est possible de réorganiser les lignes et les colonnes de manière à regrouper les éléments par classes d'équivalence. On constate que les blocs diagonaux sont vides alors que dans les blocs non diagonaux, il y a au moins un 1 dans chaque ligne et chaque colonne. C'est une propriété caractéristique de l'équivalence régulière.

Ici c'est l'équivalence automorphique qui va nous intéresser.

## L'équivalence automorphique et les orbites

Un automorphisme d'un graphe G est une bijection f, de G sur lui-même telle que $a \sim b$ est une arête si et seulement si, $f(a) \sim f(b)$ est une arête.

Hanneman donne la définition suivante qu'il emprunte à Borgatti, Everett et Freeman<fnref n="15" /> : Formellement, "Deux sommets u et v d'un graphe étiqueté G sont automorphiquement équivalents si tous les sommets peuvent être réétiquetés pour former un graphe isomorphe avec les étiquettes de u et v interchangées. Deux sommets automorphiquement équivalents partagent les mêmes propriétés indépendantes de l'étiquette". (Borgatti, Everett et Freeman, 1996 : 119). "Plus intuitivement, les acteurs sont automorphiquement équivalents si nous pouvons permuter les sommets du réseau de telle sorte que l'échange des deux acteurs n'a pas d'effet sur les distances entre tous les acteurs réseau. Si nous voulons évaluer si deux acteurs sont automorphiquement équivalents, nous imaginons d'abord qu'ils échangent leurs positions dans le réseau. Ensuite, nous regardons si, en changeant également d'autres acteurs, nous pouvons créer un réseau dans lequel tous les acteurs sont à la même distance qu'ils étaient l'un de l'autre dans le réseau original".

Telle qu'elle est définie ci-dessus, l'équivalence automorphique n'apparaît pas directement intuitive, peut-être aussi à cause de son appellation, mais elle a l'avantage de dire que deux sommets équivalents sont à la même distance de tous les autres sommets.

Il faut faire un effort de s'habituer à cette équivalence, et elle devient alors très naturelle et plutôt bien adaptée et intuitive, lorsqu'il s'agit de réseaux personnels. Nous allons le montrer sur des exemples.
Dans le graphe de la figure 1, si nous considérons la bijection $f(B)=D, f(E)=H, f(F)=I$, elle définit une équivalence automorphique. On peut renommer B en D, D en B, E en H, H en E, F en I et I en F, sans modifier la structure du graphe.<fnref n="16" />

Une clique isolée fournit un exemple simple d'équivalence automorphique. Tout élément peut être échangé avec n'importe quel autre sans modifier la structure globale ni les distances entre les éléments ; mais il ne s'agit pas d'une équivalence stricte car deux sommets distincts ne sont jamais liés exactement aux mêmes autres sommets.

Usuellement, dans un graphe, les classes d'équivalence automorphiques sont appelées des orbites.
Nous proposons de conserver ce terme d'orbite pour bien marquer le type d'équivalence dont on parle.
Dans une orbite, on peut trouver des sommets isolés, des couples, des cliques et aussi des cycles sans cordesi leurs sommets sont disposés de la même manière par rapport aux autres ; dans ce cas en effet, une permutation de ces sommets ne change pas la forme du réseau.

## Illustration de l'équivalence automorphique à partir des trois exemples de l'enquête de Caen

<footnote n="15">¹⁵ Hanneman, Robert A. and Mark Riddle. 2005. *Introduction to social network methods*. Riverside, CA: University of California, Riverside (published in digital form at http://faculty.ucr.edu/~hanneman/).</footnote>

<footnote n="16">¹⁶ Everett M., Borgatti S., 1988, Calculating rôle similarities : an algorithm that helps determine the orbits of a graph. *Social Networks*, 10, 77-91</footnote>
Sur les illustrations, Ego n'y figure pas, il est lié à tous les sommets.
Commençons par le réseau d'Etienne qui est le plus intuitif

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2 : Le réseau d'Etienne en 2001</figcaption></figure>

Sur ce graphique, les orbites sont représentées par la forme des sommets : tous les sommets qui ont la même forme correspondent à la même orbite. Les carrés représentent, globalement les membres de la famille. Les losanges représentent le la mère et le père d'Etienne. Les triangles désignent des couples amis d'Etienne et de ses parents et les cercles sont des collègues de travail.

Consciemment ou non, en décrivant les liens, Etienne nous fournit une grille de lecture.

## Le réseau d'Agnès en 1995

Comme elles sont nombreuses et petites, les orbites sont entourées sur ce graphique.

Le réseau d'Agnès est plus complexe ; elle est encore étudiante en 1995 et a de nombreux groupes d'amis avec lesquels elle partage de nombreuses activités. Les orbites entourées correspondent à des copains, de lycée, de vacances ou d'activités partagées. Sous forme de sommets isolés, on voit les parents, un frère et des amis proches qui sont en position d'intermédiaires.

Remarquons en haut du graphique, que l'orbite (37_gf, 38_gm, 8_of, 9_of) est composée de deux cliques alors que toutes les autres orbites sont des cliques.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3 : le réseau d'Agnès en 1995</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Le réseau de Florence en 1998

Ce réseau ne présente aucun regroupement par l'équivalence automorphique. Les orbites sont les sommets eux-mêmes.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 4 : Le réseau de Florence en 1998</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /></figure>
## Le réseau résumé par les orbites

A partir des calles d'équivalence automorphiques, les orbites, il est possible de construire le réseau résumé dans lequel les sommets sont les orbites et les arêtes représentent toutes les arêtes de l'arbre initial qu'elles remplacent. On peut aussi donner aux sommets une taille proportionnelle au nombre de sommets initiaux qu'ils remplacent.

Voici le résumé du réseau d'Etienne suivant ces règles :

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 5 : le réseau d'Etienne résumé sur la base des orbites</figcaption></figure>

Et voici le réseau d'Agnès résumé sur le même principe

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 6 : le réseau d'Agnès résumé sur la base des orbites</figcaption></figure>

Il n'y a pas de résumé pour le réseau de Florence ; il est identique au réseau initial.
## Les cliques-orbites

Reprenons le réseau d'Etienne de la figure 3.

L'équivalence automorphique résulte bien de la manière dont Ego construit son réseau, mais elle confond des motifs qu'Ego avait distingués. Il avait distingué les individus isolés 212,213, 303, 304, 305. Il ne les a pas réunis dans une clique, ce qu'il a fait pour les membres de sa famille. Il a aussi distingué les couples 215-- 302, 306- 307 et 11—301 qui constituent des cliques de deux éléments.

Il nous paraît important de respecter ces choix en définissant de nouveaux motifs qui sont constitués de sommets qui sont équivalents automorphiquement, mais qui forment une clique. Nous les appelons des cliques-orbites, pour bien marquer qu'ils sont en équivalence automorphique et qu'ils ont été rassemblés en une clique. Les cliques-orbites sont donc des sous-ensembles des orbites qui nous semblent respecter au mieux l'information transmise par Ego.

Comme nous l'avons fait pour les orbites, nous pouvons créer le réseau résumé par les cliques-orbites, pour Etienne puis pour Agnès ; cela n'a pas de sens pour Florence.

## Le réseau résumé par les cliques-orbites

Voici l'image du réseau d'Etienne résumé par les cliques-orbites, pour comparer à celui du réseau résumé par les orbites.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 7 : le réseau d'Etienne résumé par les cliques-orbites.</figcaption></figure>

Concernant le réseau d'Agnès résumé par les cliques-orbites, nous avons noté sur la figure 4 qu'une seule orbite était composée de deux cliques-orbites. On retrouve sur ce graphique, les deux cliques-orbites séparées.
<figure><img src="image_13.png" /></figure>

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 8 : le réseau d'Agnès résumé par les cliques-orbites</figcaption></figure>

## Les centralités ; l'intermédiarité

Parmi toutes les analyses que l'on peut être amené à faire sur un réseau personnel, les mesures de centralité et l'intermédiarité vont nous intéresser particulièrement ici. Étant donné que notre point de vue est plutôt illustratif et pragmatique, on distinguera les indicateurs de centralité par la quantité d'information qu'ils mobilisent ce qui rejoint la complexité de la procédure de leur mise en œuvre. Nous verrons que ce choix n'est pas tout-à-fait arbitraire.

### La centralité de degré

La centralité de degré d'un sommet du réseau est égale au nombre d'autres sommets auxquels il est directement relié par une arête. La centralité de degré d'Ego est égale à n-1 si n est le nombre de sommets du graphe, y compris Ego est n. Plus la centralité de degré d'un sommet est proche de n-1 et plus ce sommet est considéré comme central. Nous avons qualifié d'alter-ego, les sommets qui ont une centralité égale à n-1 ou très proche. Cela arrive, en particulier pour des époux qui partagent les mêmes relations.

### La centralité de proximité

Est-ce que deux sommets sont proches dans le réseau ? on peut le mesurer en comptant le nombre minimum d'arêtes que l'un des deux doit franchir pour rejoindre l'autre. C'est la distance entre les deux sommets. Plus ce nombre est faible, plus les sommets sont proches. Si nous faisons la somme des distances entre un sommet s et tous les autres, plus cette somme est faible, plus le sommet est central.

Cette question n'a pas d'intérêt si nous considérons le réseau avec Ego. En effet, Ego est relié à tous les sommets, il suffit donc de franchir deux arêtes au maximum pour rejoindre deux sommets en passant par Ego. Ego est le sommet le plus central, sa distance aux autres est égale à 1 et la somme de ces distances est égale à n-1.
Ces deux indicateurs sont simples et peuvent se calculer à la main sur les réseaux personnels. Nous allons maintenant considérer des indicateurs de centralité plus complexes.

## Centralité d'intermédiarité

On constate dans la littérature un relatif consensus sur la mesure de la centralité d'intermédiarité. Pour autant, à travers cette mesure de centralité, les analystes cherchent des choses très différentes.

Il y a le pouvoir de contrôle ; lorsqu'un individu se trouve dans un réseau dans une position qui en fait un passage obligé entre d'autres individus, il peut éventuellement contrôler la circulation des informations ou de biens entre ces personnes. Lorsque l'enjeu est le pouvoir il peut en tirer parti pour éviter que les autres se coalisent, éventuellement contre lui et gagner en autonomie pour jouer sa propre partition.

Parce qu'il prend le point de vue d'un Ego placé dans une compétition au sein d'une organisation, Burt met l'accent sur la position d'Ego dans le réseau et les liens entre les alters auxquels il est lié. Pour lui, il est intéressant que ces alters ne soient pas liés entre eux, cela pour deux raisons : la première est que des alters qui sont liés entre eux vont disposer de ressources (informations, pouvoir) redondantes et que les efforts que doit faire Ego pour entretenir ces relations, en temps par exemple, ne sont pas investis de façon optimale ; il y a redondance de ces relations. La seconde raison est que dans une vision stratégique, Ego n'est pas libre de jouer ses cartes dans le réseau si les alters peuvent échanger entre eux ; c'est le principe de diviser pour régner ; Il accorde donc de l'importance dans la mesure du capital social d'Ego à ce qu'il appelle des « trous structuraux », c'est à dire des couples d'alters non reliés entre eux.<fnref n="17" />

Cette vision très politique de l'intermédiarité est souvent présente dans les analyses de réseaux.

Dans l'enquête de Caen, même si l'on ne peut jamais complètement l'exclure, les générateurs de noms utilisés laissent peu de place à cette interprétation. Certes dans la première période, lorsque les enquêtés sont encore jeunes et vivent avec leurs parents, ceux-ci connaissent leurs fréquentations et peuvent les influencer. Par la suite, ils apparaissent comme intermédiaires lorsqu'Ego recense les interconnaissances entre les alters de son réseau, mais rien ne permet de penser qu'il donne à ces intermédiaires un pouvoir quelconque.

L'intermédiarité est le résultat d'une histoire qui peut donner un statut, sans que l'interprétation utilitariste ou politique s'impose.

C'est donc plutôt sous cet angle d'un statut moral que nous considérerons ici l'intermédiarité. C'est, par exemple, ce qui apparaîtra quand des personnes sont entrées en relation par l'intermédiaire de quelqu'un.

L'article le plus souvent cité à propos de la centralité d'intermédiarité est celui de Linton Freeman en 1978¹⁸, qui est consacré à une mise au point sur les notions de centralité. Il définit trois grandes catégories d'indices de centralité, la centralité de degré, la centralité d'intermédiarité et la centralité de proximité. C'est cependant un article de 1977 que ce même auteur consacre à la centralité d'intermédiarité<fnref n="19" />. Il attribue l'origine du concept à Bavelas, dans un article de 1948²⁰ :

> « This idea of point centrality was introduced by Bavelas (1948) in his first paper on the subject. He suggested that when a particular person in a group is strategically located on the shortest communication path connecting pairs of others, that person is in a central position. Other members of the network were assumed to be "responsive" to persons in such central positions who could influence the group by "withholding

<footnote n="17">17 Burt R.S., 1992, Structural holes, the social structure of competition, Cambridge, Cambridge University Press.
Burt R.S., 1995, Capital social et trous structuraux, *Revue Française de Sociologie*, XXVI-4, 599-628.</footnote>

<footnote n="18">18 Freeman L., 1978, Centrality in Social Networks, Conceptual Clarification, *Social Networks* 1, 215-239</footnote>

<footnote n="19">19 Freeman L., 1977, A set of measures of centrality based on betweenness, *Sociometry*, 40-1,35-41.</footnote>

<footnote n="20">20 Bavelas A., 1948, A mathematical model for group structure, *Applied Anthropology*, 7:16-30.</footnote>
information (or) coloring or distorting it in transmission.” Il cite également Anthonisse (1971), comme auteur précurseur<sup>21</sup>

Freeman définit l'indice de centralité d'intermédiarité de la même manière, en se référant aux chemins de longueur minimum entre deux sommets : Soit $k$ un sommet du réseau $G$ et soit $i$ et $j$ deux sommets quelconques du même réseau ; Soit $c_{i,j}$ le nombre de géodésiques, c'est-à-dire de chemins de longueur minimale, entre $i$ et $j$. Soit $c_{i,j,k}$ le nombre de ces géodésiques qui passent par $k$. La centralité d'intermédiarité de $k$ est définie par

$$b_k = \sum_{i,j} (c_{i,j,k} / c_{i,j}) , \text{ i et j \neq k.}$$

C'est donc, parmi tous les plus courts chemins entre deux sommets ($k$ exclu), la proportion de ces chemins qui passent par $k$.

Comme $b_k$ est une somme de rapports calculés pour tous les couples $i,j$, il peut être grand et en tout cas pas compris entre 0 et 1, comme on le souhaite en général. On utilise donc plutôt le coefficient d'intermédiarité d'un sommet sous sa forme pondérée par le nombre de couples $i, j$ où $i$ et $j$ sont différents de $k$.

$$\beta_k = 2b_k/(n-1) (n-2)$$

$\beta_k$ prend sa valeur maximale 1 dans le cas d'un réseau en étoile et son minimum 0 dans le cas d'une clique, d'un sommet pendant ou d'un sommet, isolé.

Parmi les intérêts de cette définition, il y a le fait qu'elle peut s'appliquer à des réseaux non connexes. D'autres définitions de la centralité d'intermédiarité ont été proposées, soit qu'il s'agisse de traiter le cas des graphes orientés ou des graphes pondérés, ou encore de considérer non seulement les géodésiques mais tous les chemins possibles afin de prendre en compte les flux à l'intérieur du réseau.<sup>22</sup>

Linton Freeman a défini un indice de centralisation d'intermédiarité globale du réseau à partir des centralités d'intermédiarité des sommets du réseau. Elle est égale à la somme sur tous les sommets, de la différence entre la plus forte centralité observée et la centralité du sommet, divisée par $(n-1)(n-2)$ qui est la valeur maximale que peut prendre cette somme dans le cas où le réseau a la forme d'une étoile. Cet indice de centralisation d'intermédiarité varie entre 0 et 1 et il prend la valeur 1 dans le cas d'une étoile.
Le fait qu'Ego soit dans le réseau influence fortement le calcul des centralités. En effet, lorsqu'on dénombre les géodésiques présentes entre deux sommets quelconques, pour mesurer la proportion de celles qui passent par un sommet donné, il y a toujours une géodésique qui passe par Ego ; donc la centralité d'intermédiarité d'un sommet calculée sur le réseau avec Ego est plus faible que celle qui est calculée sur le réseau sans Ego. La centralisation du réseau considère la somme des écarts entre la centralité maximum rencontrée dans le réseau et celle des autres sommets. Or la centralité maximum est celle d'Ego (qui peut avoir des ex-æquo). En fait ces différences sont généralement très proches de la centralité d'Ego. Il en résulte que la centralisation d'intermédiarité du réseau et la centralité d'Ego sont très proches l'une de l'autre.

Burt était parti d'une idée voisine, comme base de sa théorie des trous structuraux<sup>23</sup> : si les alters sont liés entre eux, Ego est moins autonome. Son indice de contrainte en est l'expression. Toutefois, il n'est pas identique à la centralité d'intermédiarité d'Ego et, sur les 306 réseaux de notre enquête, la corrélation entre les deux indices est de -0,51 ; elle est négative parce que la contrainte représente l'inverse d'une centralité. Calculer la centralité d'intermédiarité d'Ego est essentiel pour mieux cerner la position d'Ego dans le réseau, mais cela peut également permettre d'apprécier l'existence ou la non-existence d'un ou plusieurs « Alter ego », c'est-à-dire de quelqu'un qui a une position très centrale dans le réseau, ce qui se caractérise par une

<footnote n="21"><sup>21</sup> Anthonisse, J.M. (1971). *The rush in a directed graph*. *Stichting Mathematisch Centrum. Mathematische Besliskunde*. Stichting Mathematisch Centrum.</footnote>

<footnote n="22"><sup>22</sup> Brandes U., 2008, On variants of shortest-path Betweenness centrality and their generic computation, *Social Networks* 30 (2), 136-145</footnote>

<footnote>Everett, M. G., & Borgatti, S. P. 1999. The centrality of groups and classes. *Journal of Mathematical Sociology*. 23(3): 181-201.</footnote>

<footnote n="23"><sup>23</sup> Burt R. S., 1992, *Structural Holes: The Social Structure of Competition*, Harvard University Press, Cambridge.</footnote>
centralité d'intermédiarité égale à celle d'Ego ou très proche. C'est, en particulier ce qui se passe avec certains conjoints ou parents d'Ego qui sont liés à tous ou presque tous les sommets du réseau. Dans les réseaux personnels, on pourrait songer à créer un indicateur de centralité des sommets en pondérant la centralité d'intermédiarité telle que définie ci-dessus par la centralité d'intermédiarité d'Ego.

## Intermédiarité des arêtes

On définit de la même manière la centralité d'intermédiarité des arêtes :
Soit $e_{i,j,kl}$ le nombre de ces géodésiques qui passent par une arête (k--l). L'intermédiarité de (k--l) est définie par $d_{k-l} = \sum_{i,j} (e_{i,j,kl}/e_{i,j})$ ; i et j $\neq$ k,l. et l'intermédiarité pondérée est définie par $\delta_{kl} = d_{kl}/(n-1)(n-2)$. En fait l'intermédiarité nous dit dans quelle mesure l'arête est un passage obligé dans le réseau.

Nous y reviendrons à propos des communautés.

## La centralité de prestige ou « eigenvector centrality »

Ce coefficient a été introduit par Claude Berge<fnref n="24" /> en 1958 sous le nom d'indice de prestige. Il a été proposé à nouveau par Philip Bonacich en 1972²⁵. Le principe est qu'un individu est d'autant plus central qu'il est relié à des individus eux-mêmes plus centraux. Il s'agit d'une extension de la centralité de degré.

Le résultat est donné par les composantes du premier vecteur propre, celui qui correspond à la plus grande valeur propre de la matrice d'adjacence du graphe.

## La centralité des sous graphes ou « subgraph centrality »

Une autre extension de la centralité de degré est obtenue avec la centralité des sous-graphes<fnref n="26" /> ou subgraph centrality.

La valeur de la *subgraph centrality* d'un sommet, soit i, est obtenue en comptant le nombre de sous-graphes connexes auxquels ce sommet participe et en utilisant une pondération qui donne un poids plus élevé aux petits sous-graphes qu'aux plus grands. En pratique, on utilise le nombre de chaînes fermées de longueur k qui passent par le sommet i. Il est donné par la valeur que l'on observe sur la ligne i sur la kième puissance de la matrice d'incidence du graphe. On fait une somme pondérée de ces valeurs pour chaque sommet et pour toutes les valeurs de k entre 1 et le nombre de sommets.

Nous verrons que ces deux derniers indices, du fait de la quantité d'information sur la structure du réseau qu'ils mobilisent, présentent, en plus de leur intérêt intrinsèque comme indice de centralité, un intérêt dans la détection des communautés, en particulier les classes d'équivalence automorphiques.

## Une expérience sur l'intermédiarité et les réseaux résumés

L'intermédiarité dont on parle est la centralité d'intermédiarité de Freeman, celle que nous avons toujours utilisée.

Partons d'un réseau qui n'est pas dans l'enquête, mais c'est un réseau du même type. Les centralités d'intermédiarité figurent à côté de chaque sommet.

<footnote n="24">²⁴ Berge C., 1958, *Théorie des graphes et ses applications*, Paris, Dunod.</footnote>

<footnote n="25">²⁵ Bonacich P., 1972, *Factoring and weighting approaches to status scores and clique identification*, *Journal of mathematical sociology*, **2-1**.</footnote>

<footnote n="26">²⁶Ernesto Estrada and Juan A. Rodríguez-Velázquez, 2005, *Subgraph centrality in complex networks*, *Phys. Rev. E* **71**, 056103 – Published 6 May 2005</footnote>
<figure><img src="image_15.png" /></figure>

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 9</figcaption></figure>

Les sommets c,d,e,f sont automorphiquement équivalents. Ils ont bien la même centralité d'intermédiarité mais, le résultat est un peu contre-intuitif ; la centralité d'intermédiarité des sommets c,d,e,f se dissout en fonction de leur nombre alors que l'on s'attendrait à leur trouver une centralité maximale.

Passons alors au graphe réduit avec pondération. La clique-orbite (c,d,e,f) trouve bien sa centralité maximale qui correspond à sa position dans le réseau.

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure 10</figcaption></figure>
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure 12</figcaption></figure>

On peut remarquer que le premier intermédiaire est le père d'Agnès et que, mis à part le second qui est une camarade de lycée très proche d'Agnès, les autres, sauf les deux derniers sont des membres de la famille. Compte tenu de sa particularité de n'avoir pas d'orbite, l'arbre pour Florence ne présente guère d'intérêt, il ne sera donc pas construit.

## Les arêtes absentes

Quand on analyse un réseau, on est naturellement incités à regarder les relations qui existent plutôt que celles qui n'existent pas. Ces dernières sont pourtant très révélatrices et formellement liées à l'existence des intermédiaires : s'il n'y avait pas d'arêtes absentes, il n'y aurait pas d'intermédiaires.

## Stables et nombre de stabilité

On s'intéresse là aux ensembles de sommets qui ne sont pas reliés entre eux. C'est ce qu'on appelle un « ensemble stable » ou plus simplement « stable » (en anglais « Independent set »).

Un stable d'un graphe G correspond à une clique dans le graphe G' des arêtes absentes de G.

**Propriété :** Tous les stables de taille maximum ont le même nombre de sommets. C'est un théorème. Ce nombre est appelé nombre de stabilité. C'est un nombre caractéristique du graphe. Ce nombre est le même, qu'on le calcule sur le réseau initial ou sur le réseau résumé des cliques orbites ; en effet, les éléments des cliques orbites sont interchangeables et deux éléments d' une même clique-orbite ne peuvent pas faire partie d'un même ensemble stable.

Reprenons le cas du réseau d'Etienne :

Le nombre de stabilité est de 9. Il y a 120 ensemble stables différents. En voici 3

[1] 1_p, 11_fr, 212_ac, 213_w, 215_fr, 303_w, 304_w.

[8] 305_w, 306_ac.

[1] 1_p, 11_fr, 212_ac, 213_w, 215_fr, 303_w, 304_w.

[8] 305_w, 307_ac.
[1] 1_p, 11_fr, 212_ac, 213_w, 302_fr, 303_w, 304_w,

[8] 305_w, 306_ac.

Remarquons que l'arbre de déconstruction permet de trouver des ensembles stables ; il suffit de prendre un élément dans chaque feuille de l'arbre. Il n'y a qu'une manière de le faire dans les cinq isolés. Il y a 8 manières de faire (2³) dans les couples et il y a 15 manières de prendre un élément dans la grosse clique orbite. 8*15*1 = 120, et l'on prend bien à la fois 9 éléments. Dans nos petits réseaux, cette technique donne en général les stables maximaux, mais nous avons un contre-exemple où ce n'est pas le cas, on peut ajouter un élément supplémentaire du tronc de l'arbre.

Si nous cherchons les stables à partir du graphe résumé des cliques-orbites, il n'y en a plus qu'un seul qui a bien 9 éléments. C'est un autre résultat qui nous conforte dans l'idée que le réseau des cliques-orbites représente bien le point de vue d'Ego.

Le réseau d'Agnès a lui aussi un nombre de stabilité de 9. On en trouve 7920 si on les recherche sur le réseau initial et 5 si on les recherche sur le réseau résumé des cliques-orbites.

Concernant le réseau de Florence, le nombre de stabilité est de 12 mais il n'y a qu'un ensemble de sommets non connectés.

## Les réseaux personnels dans la durée

L'enquête de Caen est destinée à étudier l'évolution des relations dans la période de l'entrée dans la vie adulte. La première enquête, en 1995 se déroule quand les enquêtés sont en fin d'études. Ils ont été revus en 1998, en 2001 et en 2004, pour la plupart. Certains ont été réinterrogés en 2007 ; nous ne les utilisons pas ici. Regardons dans la durée, l'évolution des réseaux de Florence, d'Étienne et d'Agnès.

### L'outil PaohVis

Sous le nom PaohVis, l'Inria offre en ligne un outil de visualisation de l'évolution des hypergraphes. Une présentation en français est proposée par Laurent Beauguitte<fnref n="30" />

Cette représentation synthétique donne une vue d'ensemble des relations de nos trois exemples entre 1995, à la sortie du lycée, jusqu'en 2004.

Chaque ligne représente une personne qu'elle a citée au moins une fois dans la période. Ces citations sont marquées par des points noirs. Deux points ou plus sont reliés par un trait quand ces personnes constituent une clique-orbite dans le réseau.

### Evolution du réseau de Florence

Le réseau de Florence fait apparaître très peu de telles équivalences, ce qui signifie qu'elle distingue soigneusement les relations entre les alters de son réseau à chaque période et crée peu de regroupements

<footnote n="30">³⁰ https://shLaurent Beauguitte. Paohvis, un outil pour l'exploration visuelle d'hypergraphes dynamiques. 2020. halshs-02570627 - Paola R Valdivia, Paolo Buono, Catherine Plaisant, Nicole Dufournaud, Jean-Daniel Fekete. Analyzing Dynamic Hypergraphs with Parallel Aggregated Ordered Hypergraph Visualization. IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, 2021, 27 (1), pp.1-13. ff10.1109/TVCG.2019.2933196ff. ffhal-02264960f</footnote>
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Figure 13 : évolution du réseau de Florence</figcaption></figure>

Evolution du réseau d'Etienne

Jusqu'en 2001, il y a peu de cliques-orbites. En 2001, on retrouve la grosse clique-orbite familiale. En 2004, la famille est redivisée et une nouvelle clique-orbite apparaît au bas du graphique.

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure14 : évolution du réseau d'Etienne</figcaption></figure>

Evolution du réseau d'Agnès

Ce graphique illustre l'étendue du réseau d'Agnès, ainsi que son évolution et sa complexité. La famille, dans le haut du graphique, reste stable, ainsi qu'un noyau d'amis fidèles.

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Figure 15 : évolution du réseau d'Agnès</figcaption></figure>
# Discussion

Nous avions déjà remarqué que la composition de l'entourage d'Ego que sles réponses permettent d'évaluer était très variable, y compris pour le réseau familial.<fnref n="31" />

Voici une illustration du turnover des alters. L'axe central représente à chaque vague, les nommés stables et les flèches indiquent le nombre de ceux qui sont nouvellement nommés et d ceux qui ne le sont plus. Le turnover est très important pour les alters hors famille, mais il est loin d'être négligeable pour la famille.

Ce sont des résultats statistiques sur l'ensemble des 306 réseaux de l'enquête ; mais ce qui est remarquable, c'est que même à l'échelle individuelle, on retrouve des mouvements très importants.

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Figure 16</figcaption></figure>

Les cliques-orbites nous apportent un autre regard sur la manière dont Ego relie les membres de son réseau, et comment ces liens montrent des équivalences. Dans chaque réseau, il y a des cliques-orbites. Leur taille varie d'un sommet à 25 sommets. En voici la distribution sur la population des 306 réseaux de l'enquête.
Distribution des tailles des cliques-orbites sur les 306 réseaux

<table><thead><tr><th>Taille</th><th>Nombre</th><th>Taille</th><th>Nombre</th><th>Taille</th><th>Nombre</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>3117</td><td>10</td><td>11</td><td>19</td><td>0</td></tr><tr><td>2</td><td>869</td><td>11</td><td>9</td><td>20</td><td>1</td></tr><tr><td>3</td><td>286</td><td>12</td><td>2</td><td>21</td><td>0</td></tr><tr><td>4</td><td>161</td><td>13</td><td>1</td><td>22</td><td>0</td></tr><tr><td>5</td><td>83</td><td>14</td><td>0</td><td>23</td><td>0</td></tr><tr><td>6</td><td>56</td><td>15</td><td>3</td><td>24</td><td>1</td></tr><tr><td>7</td><td>29</td><td>16</td><td>0</td><td>25</td><td>1</td></tr><tr><td>8</td><td>19</td><td>17</td><td>0</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>14</td><td>18</td><td>0</td><td>Total</td><td>4663</td></tr></tbody></table>

La taille 1 correspond aux individus dont les relations aux autres ne montrent aucune équivalence. La question se pose alors de savoir si les classes d'équivalence de deux ou plus d'individus sont interprétables. Pour cela nous utilisons notre code des rôles par rapport à Ego.

<footnote n="31">³¹ Bidart C., Degenne A., Grossetti M., 2011, La vie en réseau, Presses Universitaires de France. P. 145-146</footnote>

<footnote>Degenne A.; Lebeaux M.-O., 2005, The dynamics of personal networks at the time of entry in the adult life, Social Networks,27-4,337-358.</footnote>
Disons-le tout de suite, nous ne trouvons aucune loi. Les individus ne se regroupent pas en classes d'équivalence en fonction de caractéristiques sociodémographiques. Si cela avait été le cas, cela aurait été très décevant car cela aurait signifié qu'il n'y avait aucune autonomie du relationnel.

Mais ce n'est pas non plus le chaos. Nous observons certaines régularités qui donnent un sens à certaines cliques-orbites. Par exemple on observe des cliques orbites autour du thème de l'activité, de la résidence, des relations scolaires ou universitaires. On trouve aussi des cliques-orbites qui regroupent la famille du partenaire ou encore, ceux que l'on a rassemblés sous le code of (autre famille, c'est-à-dire les oncles, tantes cousins, cousines).La famille proche est aussi l'objet d'un traitement variable ; le partenaire est le plus souvent seul ; il n'est équivalent à personne, sauf parfois à Ego. Ce n'est pas surprenant, son lien avec Ego est spécifique mais il arrive qu'il soit dans une clique-orbite familiale, nous l'avons vu avec le cas d'Etienne. Le couple père et mère d'Ego est souvent distingué, mais ils sont aussi assez souvent associés à des frères et sœurs plus jeunes.

Evidemment, quand Ego avance en âge, c'est-à-dire dans la troisième ou quatrième vague, les choses peuvent évoluer.

Ce sont là quelques-unes des régularités que montrent les cliques-orbites. Elles reflètent la manière dont Ego voit son réseau.

Le paragraphe précédent montre aussi l'évolution de la composition des cliques orbites au cours du temps
Nous pouvons donc distinguer deux niveaux d'évolution de la représentation du réseau :

Il y a les apparitions et les disparitions liées à l'âge, à l'éloignement, à l'histoire des liens.

Les cliques-orbites mettent en évidence un mécanisme de confusion/distinction lié au contexte et probablement à des évènements.

L'équivalence automorphique révèle ainsi comme un jeu de percolation de l'entourage relationnel, inégalement actif suivant les individus.

Conclusion

Il est assez rare que l'équivalence automorphique soit mobilisée dans les analyses de réseaux ; on y préfère souvent le résultat d'algorithme qui rassemblent des communautés à partir d'un critère statistique (modularité).

Il est vrai que la mise en évidence des classes d'équivalence automorphiques (orbites) devient rapidement difficile, voire impraticable lorsqu'on a affaire à de grands réseaux. Ici, nos réseaux ne sont pas très grands et nous avons contourné la difficulté en utilisant l'égalité des centralités des sous-graphes pour reconnaître les orbites. Il suffit ensuite de vérifier qu'il ne s'est pas créé de fausses équivalences.

L'intérêt de l'équivalence automorphique est de représenter une véritable interchangeabilité entre les sommets, ce qui fait qu'elle s'impose en toile de fond de tous les indicateurs de centralité et qu'elle fournit des communautés élémentaires du réseau. Nous avons choisi de prendre au sérieux les aspects structurels de la description qu'Ego donne de son entourage. C'est un pari sur l'analyse relationnelle. Elle ne recoupe pas complètement l'analyse par catégories. Par exemple les membres de la famille peuvent être soit regroupés, soit distingués individuellement.

A travers l'équivalence automorphique ce n'est, c'est une analyse multiniveau du réseau qui se construit car dans les analyses multiniveaux, les niveaux sont définis sur des critères extérieurs, qui ne dépendent pas de la structure du réseau. Ici il s'agit plutôt d'une radiographie du réseau, qui révèle sa structure. Elle invite à le considérer comme un hypergraphe.
Bibliographie sur l'enquête

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Bidart C., Degenne A., Grossetti M., (2020), *EPJ Web of Conferences*, 2020 - epj-conferences.org

Claire Bidart. (2020, Comment se font et se défont les relations interpersonnelles. in Serge Paugam. 50 questions de sociologie, *Presses Universitaires de France*, pp.27-35, 2020

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