portées par S, les courants correspondants ne s'arrêtent que lorsque le champ est devenu strictement normal à la surface.

La répartition des charges portées par un conducteur en équilibre électrostatique dépend des charges portées par les autres corps ainsi que par la position de ces derniers. Ce phénomène est appelé *influence électrostatique*. Le phénomène est réciproque.

### 6.5.2 Conducteur chargé par influence

Dans l'expérience précédente, les charges développées par influence disparaissent quand on éloigne à nouveau A de la sphère isolée (électriquement) S. On peut toutefois charger S de manière durable de la manière suivante : dans la situation de la figure 6.6, on relie S à la terre par un fil conducteur. Les charges positives, repoussées par le champ de A, s'écoulent dans le sol (en fait des électrons allant du sol vers S) et l'on atteint la configuration représentée sur la figure 6.7.

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>FIGURE 6.7 – Sphère au potentiel 0 chargée par influence (solution exacte calculée par ordinateur). Tiré de *Électromagnétisme, volume 1* par H. Gié et J.-P. Sarment (1985).</figcaption></figure>

Si on enlève le fil et que l'on éloigne ensuite A, la sphère S reste chargée négativement, on dit qu'elle a été chargée par *influence*.

### 6.5.3 Théorème des éléments correspondants

Soit T un tube de champ (un ensemble de lignes de champ) issu d'un conducteur A et aboutissant sur un conducteur B. Les portions de surfaces de charges $q_A$ et $q_B$ découpées par ce tube sur les conducteurs sont appelées *éléments correspondants* (figure 6.8).

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>FIGURE 6.8 – Éléments correspondants. Tiré de *Électromagnétisme, volume 1* par H. Gié et J.-P. Sarment (1985).</figcaption></figure>
On peut former une surface fermée en complétant $T$ à l'aide de deux surfaces $S_A$ et $S_B$ situées à l'intérieur des deux conducteurs. La surface fermée est ainsi constituée de ($S_A + T + S_B$). Comme $S_A$ et $S_B$ sont situées à l'intérieur de conducteurs, le champ est nul en tout point de $S_A$ et de $S_B$. Donc le flux du champ est nul à travers $S_A$ et à travers $S_B$. De plus, comme la surface du tube de lignes de champ $T$ est elle-même constituée de lignes de champs, le champ $y$ est parallèle à $T$, et donc normal au vecteur surface : le flux du champ à travers $T$ est ainsi nul également. On en déduit que le flux du champ à travers la surface fermée ($S_A + T + S_B$) est nul.

Le théorème de Gauss permet d'en conclure que :

$$ \Phi = 0 = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = \frac{q_A + q_B}{\varepsilon_0} \qquad (6.24) $$

par définition de $q_A$ et $q_B$. Ce qui donne : $q_A + q_B = 0$ ou encore $q_A = -q_B$.

On en déduit le théorème des éléments correspondants :

Les charges portées par deux éléments correspondants sont opposées.

Ce théorème permet de déduire des renseignements intéressants à partir de cartes de champ connues. Par exemple, dans la situation de la figure 6.7, on peut déduire que comme certaines lignes de champ issues de $A$ n'aboutissent pas sur $S$, la valeur absolue de la charge développée sur $S$ par influence est inférieure à la charge portée par $A$.

### 6.5.4 Influence totale

On dit de deux conducteurs qu'ils sont en état d'influence totale si les lignes de champ issues de l'un d'entre eux (A) aboutissent toutes sur l'autre (B).

Cette situation est notamment réalisée strictement si $A$ est entièrement compris dans une cavité d'un conducteur clos $B$. D'après le théorème des éléments correspondants, on déduit que les charges portées par les faces en regard de deux conducteurs en état d'influence totale sont opposées.

### 6.5.5 Masse ou terre

La masse dans un circuit électrique est la référence (l'origine) des potentiels électriques. On peut donc considérer que $V_{\text{masse}} = 0$. La masse est reliée à la terre. La terre (c'est-à-dire le sol) est considérée comme parfaitement conductrice (même si en réalité, certains sols sont peu conducteurs : sable, granit...), au potentiel 0 volt par convention. La terre constitue un réservoir de charges + et - de capacité considérée comme infinie.

La terre reliée à un conducteur peut ainsi fournir des charges pour le charger par influence s'il est en regard avec un autre conducteur chargé, par exemple, ou bien pour neutraliser le conducteur en question s'il est initialement chargé.

## 6.6 Condensateurs

### 6.6.1 Condensation de l'électricité

À l'aide d'une source de tension (batterie d'accumulateurs, machine électrostatique, etc.), maintenons une tension (différence de potentiel) constante $U = V_1 - V_2$ entre deux plaques métalliques parallèles.

En diminuant la distance $e$ entre les deux plaques, on constate que le champ électrique entre les deux plaques croît en intensité. D'après le théorème de Coulomb, cela signifie que la densité surface de charge croît également. Volta a analysé ce phénomène en 1782 et l'a baptisé « condensation de l'électricité ». Phénomène tout à fait général : l'électricité se condense sur les parties en regard de deux conducteurs sous tension que l'on rapproche l'un de l'autre.
D'après le théorème de Coulomb (6.8), le champ généré par chaque plaque (considérée comme d'extension infinie) est :

$$ \vec{E}_{\text{tot}} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \vec{e}_z + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \vec{e}_z = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \vec{e}_z \quad (6.25) $$

où $\vec{e}_z$ est un vecteur unitaire orthogonal aux plaques, dirigé de la plaque chargée positivement vers celle chargée négativement. De plus, comme : $\vec{E}_{\text{tot}} = -\vec{grad} V = \vec{cte}$, soit :

$$ \vec{E}_{\text{tot}} = -\frac{dV}{dz} \vec{e}_z = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \vec{e}_z \quad (6.26) $$

soit :

$$ dV = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \cdot dz \quad (6.27) $$

d'où, en intégrant de la plaque 1 (+) à la plaque 2 (-) :

$$ V_2 - V_1 = \int_{1}^{2} dV = \int_{1}^{2} -\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \cdot dz = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \cdot (z_2 - z_1) = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \cdot e \quad (6.28) $$

soit :

$$ U = V_1 - V_2 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \cdot e \quad (6.29) $$

où $e = z_2 - z_1$ est la distance entre les plaques et $U$ est la tension entre les plaques.

On obtient ainsi :

$$ \vec{E}_{\text{tot}} = \frac{U}{e} \cdot \vec{e}_z \quad (6.30) $$

Cette expression explique l'augmentation de l'intensité du champ quand la distance entre les plaques diminue, et comme $\sigma = \varepsilon_0 E_{\text{tot}} = \varepsilon_0 \cdot \frac{U}{e}$, l'électricité est effectivement « condensée » quand $e$ diminue.

### 6.6.2 Définition d'un condensateur

Un condensateur est un système de deux conducteurs en influence totale. On appelle *armatures* les conducteurs qui constituent le condensateur. Le théorème des éléments correspondants montre que les armatures portent des charges opposées.

Il y a deux sortes de condensateurs :

* à armatures rapprochées, donc en influence quasi-totale (condensateurs plans, cylindriques);

* à influence totale, quand l'un des conducteurs entoure complètement l'autre (condensateurs sphériques).

### 6.6.3 Capacité d'un condensateur

Considérons un condensateur d'armatures $A_1$ portant la charge $+Q$ et $A_2$ portant la charge $-Q$ (figure 6.9a).

On appelle conventionnellement *charge du condensateur* la charge $Q$ de son armature $A_1$. La tension $U$ aux bornes du condensateur est définie par :

$$ U = V_1(+) - V_2(-) > 0 \quad (6.31) $$

La figure 6.9b montre le schéma électrique du condensateur ainsi que la tension $U$ aux bornes de celui-ci. Nous reviendrons dans la partie du cours sur l'électrocinétique sur ces conventions, et sur la notation de la tension.
<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>FIGURE 6.9 – Schémas du condensateur.</figcaption></figure>

On a :

$$U = V_1 - V_2 = \int_{-}^{+} dV = - \int_{2}^{1} \vec{E} \cdot d\vec{l} = \int_{1}^{2} \vec{E} \cdot d\vec{l} \qquad (6.32)$$

De même :

$$Q = \iint_{A_1} \sigma \cdot ds = \varepsilon_0 \iint_{A_1} \vec{E} \cdot d\vec{s} \qquad (6.33)$$

Par le même raisonnement qu'à la section 6.3, avec les relations (6.32) et (6.33), on montre que la charge d'un condensateur est proportionnelle à la tension entre ses armatures :

$$Q = CU \qquad (6.34)$$

Le coefficient C est la capacité du condensateur. Elle est caractéristique de la forme et des dimensions du condensateur. Elle a les mêmes dimensions que la capacité propre d'un conducteur, elle s'exprime également en farads (F). La figure 6.9 montre que Q et U sont toujours positifs.

### 6.6.4 Diélectrique

Nous avons considéré d'une part que les seules charges à la source du champ entre les armatures sont les électrons libres portés par les armatures, et d'autre part que du vide se trouve entre les armatures. En réalité, on peut augmenter la capacité d'un condensateur en remplaçant le vide entre les armatures par un matériau isolant. Dans ce cas, le champ est modifié par le champ des charges liées aux molécules de ce milieu. Vous étudierez cela en L3, et justifierez alors que dans ce cas, il suffit de multiplier la capacité par un coefficient $\varepsilon_r$, appelé *permittivité relative* (ou constante diélectrique) du matériau. $\varepsilon_r$ est toujours supérieur à 1. Remplacer le vide (ou l'air dont la permittivité relative vaut 1,006, ce qui diffère peu du vide) par un tel matériau améliore grandement les propriétés (capacité, tension maximale) des condensateurs.

### 6.6.5 Énergie stockée dans un condensateur

Dans un condensateur l'armature $A_1$ est chargée avec $Q_1$ et l'armature $A_2$ est chargée avec $Q_2$, tel que $Q_1 = Q = -Q_2$. D'après la relation (5.9), on a :

$$E_{p_{\text{condensateur}}} = \frac{1}{2} Q_1 \cdot V_1 + \frac{1}{2} Q_2 \cdot V_2 = \frac{1}{2} Q (V_1 - V_2) = \frac{1}{2} QU \qquad (6.35)$$
Ou encore :

$$E_{p_{\text{condensateur}}} = \frac{1}{2}QU = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} \qquad (6.36)$$

Cette énergie est stockée dans le champ électrique qui règne entre les armatures.
Deuxième partie

Magnétostatique et induction
<figure><img src="image_54.png" /></figure>
# Chapitre 7

# Le champ magnétique et les forces magnétiques

## 7.1 Le champ magnétique

### 7.1.1 Introduction

Des forces « électriques » agissent sur des charges électriques. Elles sont importantes à l'échelle microscopique (au niveau de la structure de l'atome), elles sont faibles (mais néanmoins existentes et mesurables en TP, par exemple) à l'échelle macroscopique. Elles peuvent modifier les normes des vitesses des charges.

Ces forces sont explicables par des « champs électriques $\vec{E}$ » qui dérivent de « potentiels électriques » $V$ (scalaires), engendrés par des charges électriques immobiles ($\vec{F} = q\vec{E}$ et $\vec{E} = -\overrightarrow{grad}V$ avec $\overrightarrow{dE} = \frac{dq\vec{u}_r}{4\pi\varepsilon_0r^2}$ : c'est le domaine de l'électrostatique).

En plus de ces forces « électriques », on constate expérimentalement qu'il existe des forces « magnétiques » qui agissent sur une charge $q$.

Ces forces sont fortes à l'échelle microscopique : la partie « magnétique » de la force de Lorentz fait tourner les particules – c'est-à-dire qu'elle modifie la direction de leur vitesse – dans de grands accélérateurs (LHC, GANIL, SOLEIL...). Elles sont également fortes à l'échelle macroscopique (la force de Laplace fait tourner les moteurs électriques – robots de cuisine, voitures...) et permettent d'accrocher des « pin's » magnétiques aux réfrigérateurs (ce dernier cas est compliqué – magnétisme de la matière – non abordé dans ce cours).

Ces forces « magnétiques » sont explicables par l'existence de « champs magnétiques » $\vec{B}$, dérivant de « potentiels vecteurs » $\vec{A}$, engendrés par des charges électriques en mouvement (courants) : $\vec{F}_{\text{Lorentz}} = q(\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B})$ et $\overrightarrow{dF}_{\text{Laplace}} = I\overrightarrow{d\ell} \wedge \vec{B}$ avec $\vec{B} = \text{rot} \vec{A}$ et $\overrightarrow{dB} = (\mu_0/4\pi)(I\overrightarrow{d\ell} \wedge \vec{u}_r)/r^2$ : c'est le domaine de la magnétostatique – mal nommée car des charges bougent!

### 7.1.2 Une mise en évidence du champ magnétique

Considérons un aimant en forme de U (figure 7.1a) : il existe un champ magnétique $\vec{B}$ dans l'entrefer de cet aimant. En fait, les lignes de champ magnétique sont fermées : elles se referment à l'intérieur du matériau (ferromagnétique) qui constitue l'aimant permanent (figure 7.1b). Faisons passer un bout de circuit électrique conducteur (fil de cuivre, non ferromagnétique) dans l'entrefer de l'aimant (figure 7.1c). Pas de courant : il ne se passe rien. On fait ensuite circuler un courant électrique $I$ dans le circuit (figure 7.1d). On constate que le morceau de fil soumis au champ magnétique $\vec{B}$ d'un aimant permanent se déplace vers la droite. Si on inverse le sens du courant $I$ (figure 7.1e), le morceau de fil se déplace vers la gauche!

*Remarque:* on pourrait ainsi fabriquer un moteur, avec du courant alternatif, circulant alternativement dans un sens puis dans l'autre, ce serait un moteur en translation. En fait les moteurs élec-
triques fonctionnent selon ce principe mais avec des bouts de circuit en rotation.

Si on retourne l'aimant en U de haut en bas (figure 7.1f), on inverse alors le sens du champ magnétique $\vec{B}$ (figure 7.1f) : on constate que le morceau de fil se déplace vers la droite.

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>FIGURE 7.1 – On met en évidence l'existence d'une force magnétique à l'aide d'un circuit électrique, dont une partie mobile est plongée dans le champ magnétique d'un aimant en U.</figcaption></figure>

### 7.1.3 Rappel : un courant électrique, c'est quoi ?

Dans le premier volume de ce cours, consacré à l'électrostatique, les charges électriques ne bougeaient pas, elles étaient statique. Nous venons de parler de courants électriques. Un courant électrique est produit par des charges électriques en mouvement. Dans un fil conducteur (de l'électricité), des électrons sont mobiles, ils se déplacent sous l'effet d'une différence de potentiel (et donc d'un champ électrique) car la force électrique est : $\vec{F} = q\vec{E}$. Ce déplacement constitue le courant électrique. Son intensité (mesurée en ampères – A) est donnée par la quantité de charges $\Delta q$ transversant une section du fil conducteur pendant un intervalle de temps $\Delta t$ :

$$I = \frac{\Delta q}{\Delta t} \qquad (7.1)$$
### 7.1.4 Un champ vectoriel

Une force s'exerce sur un circuit parcouru par un courant. Elle le fait par l'intermédiaire d'un **champ vectoriel**, le champ magnétique, que l'on note : $\vec{B}$

Un champ vectoriel est une fonction qui associe à chaque position dans l'espace une grandeur vectorielle.

On peut visualiser les **lignes de champ magnétique** à l'aide d'une boussole. On peut ainsi définir la direction de $\vec{B}$.

Une **ligne de champ** est une ligne en tout point de laquelle des vecteurs du champ sont tangents à la ligne.

On a ainsi :

$$ \vec{d\ell} \wedge \vec{B} = \vec{0} $$

où $\vec{d\ell}$ est le vecteur « petit déplacement » le long de la ligne de champ.

Une ligne de champ n'a qu'un seul sens, celui de ses vecteurs tangents. Deux lignes de champ ne peuvent pas se couper, elles sont distinctes.

La figure 7.2 illustre les lignes de champ magnétique autour d'un aimant droit permanent.

**Remarque** : la notion de « pôles » d'un aimant est seulement une convention. Le pôle nord magnétique terrestre situé à proximité du pôle nord géographique, attire le côté de l'aiguille aimanté de la boussole que l'on a donc appelé « pôle nord ». Deux pôles contraires s'attirent, tandis que deux pôles identiques se repoussent. Donc le pôle « nord » magnétique de l'aimant « Terre » est en fait un pôle sud. Comme illustré sur la figure 7.2b, les lignes de champ rentrent par le pôle sud et ressortent par le pôle nord. Nous utiliserons peu cette notion de pôle d'un aimant.

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>(a) Visualisation des lignes de champ magnétique autour d'un aimant permanent avec de la limaille de fer.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>(b) Schéma des lignes de champ magnétique.</figcaption></figure>

**FIGURE 7.2** – Illustration des lignes de champ magnétique. **Attention!** Ces lignes de champs sont dans l'espace en 3D : il faut imaginer une symétrie de révolution autour de l'axe NS de l'aimant!
### 7.1.5 Définition de la force « magnétique »

On peut définir le module de $\vec{B}$ à partir de la force dans l'exemple précédent. On constate expérimentalement que l'intensité de la force magnétique $F_B$ est telle que :

$$F_B \propto I$$

où $I$ est l'intensité du courant électrique. Et que :

$$F_B \propto L$$

où $L$ est la longueur du morceau de circuit mobile. Et que :

$$F_B \propto \sin\theta$$

où $\theta$ est l'angle entre l'entrefer (les extrémités du U) et le morceau de circuit mobile; cet angle vaut $\pi/2$ dans l'exemple de la figure 7.1.

Soit, finalement :

$$F_B \propto I \cdot L \cdot \sin\theta$$

On peut donc définir $B = ||\vec{B}||$ comme étant la grandeur manquante – le coefficient de proportionnalité – pour parvenir à l'égalité (car $F_B$ dépend du fait que le conducteur est dans l'entrefer de l'aimant ou pas) :

$$F_B = I \cdot L \cdot B \cdot \sin\theta$$

L'intensité du champ magnétique $B$ se mesure en tesla (symbole : T) dans le système international d'unités.

Elle est ainsi nommée d'après Nikola Tesla (figure 7.3), inventeur et ingénieur né en 1856 en Croatie et mort en 1943 aux États-Unis. Il a travaillé avec Thomas Edison. Il a, entre autre, mis au point l'alternateur (voir cours sur l'induction).

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>FIGURE 7.3 – Portrait photographique de Nikola Tesla par Napoléon Sarony, vers 1893. Source : Wiki-pédia.</figcaption></figure>

## 7.2 Ordres de grandeurs et sources de champs magnétiques

### 7.2.1 Quelques valeurs du champ magnétique

Remarque : une valeur de 1 T est une valeur « très grande ».

*Champ magnétique terrestre* : varie dans le temps (doucement), et dans l'espace. À Paris, il fait un angle de 64° avec l'horizontale, et plonge vers le sol. Son intensité est de 47 µT.
*Champ magnétique à 2 cm d'un fil électrique parcouru par un courant de 10 A : 100 µT (voir exercices de TD et suite du cours).*

*Champ magnétique à quelques millimètres d'un aimant permanent « puissant » : par exemple comme ceux utilisés en TP (alliage de néodyme-fer-bore) : de 0,1 T à 1 T.*

*Champ magnétique le plus intense produit en laboratoire : à l'aide d'électro-aimants : champ statique ~ 45 T; champ pulsé 91,4 T pendant quelques ms (record du monde, 2011).*

*Magnétar = étoiles à neutrons en rotation avec champ magnétique intense : ~ 10¹<fnref n="1" /> T.*

### 7.2.2 Sources de champs magnétiques

Voici quelques exemples de sources de champs magnétiques :

* les matériaux ferromagnétiques (fer, cobalt, nickel, acier – alliages de Fe et C, etc);

* la Terre, le Soleil, etc (effet dynamo);

* un jet de particules chargées;

* le courant électrique (objet de ce cours).

Toutes ces sources ont en commun d'avoir des particules chargées en mouvement :

* dans les aimants : mouvement microscopique des électrons dans les atomes;

* dans les astres : mouvement macroscopique de plasma (ions + électrons);

* un jet de particules chargées;

* le courant électrique : déplacement d'électrons dans un conducteur.

> Tout champ magnétique est dû à des charges en mouvement

### 7.2.3 Ferromagnétisme

Propriété microscopique de la matière : les électrons possèdent un moment dipolaire magnétique (ce sont de microscopiques « aimants » - voir plus loin « le dipôle magnétique ») qui résulte de leur « spin », moment cinétique intrinsèque. Dans la plupart des cas, le moment dipolaire magnétique des atomes est nul, car les électrons sont couplés par paires de sens opposés.

Mais pour certains matériaux, un moment dipolaire existe pour les atomes le constituant, permanent ou non permanent. Dans le cas où il est permanent, les moments des atomes voisins ont tendance à s'aligner parallèlement les uns aux autres (cf. cours mécanique quantique).

C'est ce mécanisme qui permet d'expliquer le champ magnétique permanent de certains matériaux, dits ferromagnétiques<fnref n="1" />.

### 7.2.4 Planètes et étoiles

Le champ magnétique terrestre est créé par les mouvements de convection du noyau externe, composé de fer et de nickel liquides, ce qui donne une « dynamo » auto-entretenue, c'est-à-dire que le champ magnétique est à l'origine des courants électriques qui eux-mêmes engendrent le champ (imbrication de l'induction électromagnétique et de la loi de Biot et Savart que nous verrons plus loin dans ce cours). L'intensité et la direction du champ magnétique est variable selon l'endroit que l'on considère à la surface de la Terre; elles varient également (lentement) dans le temps<fnref n="2" />. Les lignes de

<footnote n="1">1. *Pour en savoir plus : Benson, p. 386-391.*</footnote>

<footnote n="2">2. *Pour en savoir plus : Benson, p. 392-396.*</footnote>
champ magnétique terrestre contistuent la magnétosphère autour de la Terre (voir figure 7.4c).

Le champ magnétique solaire est produit par un courant électrique circulant dans les couches profondes de l'étoile, courant électrique produit par la rotation différentielle : les régions autour de l'équateur tournent plus rapidement que les régions polaires (voir figure 7.4).

<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>(a) Tâches solaires vues lors de l'éclipse du 23/10/2014 ©Tomruen. Les tâches solaires sont des lieux plus froids de la surface du Soleil, à cause d'une intense activité magnétique.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>(b) Éruption solaire, correspondant à une émission de plasma par l'activité magnétique du Soleil ©NASA.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>(c) Illustration de la magnétosphère terrestre en interaction avec le vent de particules chargées issu du Soleil (vent solaire).</figcaption></figure>

FIGURE 7.4 – Diverses illustrations des champs magnétiques solaire et terrestres.
### 7.2.5 Les aimants du LHC

Le « Large Hadron Collider » (LHC) est un synchrotron (accélérateur de particules en forme d'anneau) de 27 km de circonférence, mis en service en 2008 à Genève.

Des milliers d'aimants de nature et de taille différentes guident les faisceaux de protons le long de l'accélérateur. On utilise notamment 1232 aimants dipolaires (de 15 mètres de long – voir la figure 7.5) pour courber les faisceaux et 392 aimants quadripolaires (de 5 à 7 mètres de long) pour concentrer les faisceaux. Juste avant la collision, un autre type d'aimant vient resserrer les particules et augmenter la probabilité des collisions.

<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>FIGURE 7.5 – Schéma d'un électro-aimant dipolaire du LHC : il produit un champ magnétique vertical de 8,3 T, pour cela il doit être supraconducteur (1,9 K) afin de faire passer un courant électrique de 11850 A; il mesure 15 m de long et pèse 35 tonnes.</figcaption></figure>

## 7.3 La force de Laplace

On a déjà vu que :

$$F_B = ILB \sin \theta$$

On se rend compte de surcroît que la direction de la force est perpendiculaire à la fois au circuit et au champ magnétique, donc au plan défini par $IL\vec{L}$ et $\vec{B}$ (voir la figure 7.1) : le phénomène est donc tridimensionnel.

La force en question est la **force de Laplace** :

$$\vec{F}_{\text{Laplace}} = I \vec{L} \wedge \vec{B}$$

où $\vec{L}$ est un vecteur de même sens que le sens du courant dans le morceau de circuit plongé dans le champ $\vec{B}$, colinéaire au circuit, de norme la longueur du circuit.

On peut généraliser l'expression précédente à un petit élément $d\vec{l}$ de circuit :
$$d\vec{F}_{\text{Laplace}} = I \cdot d\vec{l} \wedge \vec{B} \qquad (7.2)$$

où $dl$ est un petit élément de longueur du circuit plongé dans le champ magnétique; le vecteur $dl$ étant dans le sens de circulation du courant électrique $I$.

On a ainsi :

$$\vec{F}_{\text{Laplace}} = \sum_{\text{circuit}} d\vec{F}_{\text{Laplace}} \qquad (7.3)$$

où :

→ $I$ est l'intensité du courant électrique;

→ $dl$ est un vecteur « petit déplacement » **dans le sens du courant I**, colinéaire au circuit;

→ $\vec{B}$ est le vecteur associé au champ magnétique.

Pour calculer le produit vectoriel, on peut utiliser la règle des trois doigts de la main **droite** pour le produit vectoriel, illustrée sur la figure 7.6.

<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>FIGURE 7.6 – La règle des trois doigts de la main droite pour calculer le produit vectoriel, illustrée ici avec la force de Laplace.</figcaption></figure>

La norme de la force de Laplace s'écrit :

$$||\vec{dF}_{\text{Laplace}}|| = I \cdot ||\vec{dl}|| \cdot ||\vec{B}|| \cdot |\sin(\vec{dl}, \vec{B})|$$

## 7.4 La force de Lorentz

### 7.4.1 Force de Lorentz « magnétique »

On constate qu'une particule chargée de charge $q$ animée d'une certaine vitesse $\vec{v}$ modifie sa trajectoire quand elle pénètre dans un champ magnétique $\vec{B}$. Elle est donc soumise à une « force », la force de Lorentz :

$$\vec{F}_{\text{Lorentz}}^{\text{magn}} = q \cdot \vec{v} \wedge \vec{B} \qquad (7.4)$$

On rappelle l'expression de la force de Lorentz « électrique » :

$$\vec{F}_{\text{Lorentz}}^{\text{élec}} = q\vec{E}$$

On a ainsi une force de Lorentz « totale » :

$$\vec{F}_{\text{Lorentz}} = q \cdot (\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B})$$
### 7.4.2 Retour sur la dimension du champ magnétique

À partir de la force de Lorentz on peut trouver la dimension du champ magnétique :

$$ \vec{F}_{\text{Lorentz}} = q \cdot (\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B}) $$

on a ainsi :

$$ \dim(\vec{E}) = \dim(\vec{v} \wedge \vec{B}) $$

où « dim() » est la dimension de la grandeur entre parenthèses.

Ce qui donne donc :

$$ \dim(\vec{B}) = \frac{\dim(\vec{E})}{\dim(\vec{v})} $$

soit :

$$ 1 \text{ T} = \frac{1 \text{ V} \cdot \text{m}^{-1}}{1 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}} = 1 \text{ V} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{s} $$

Mais aussi, à partir de la force de Laplace :

$$ \dim(\vec{B}) = \frac{\dim(\vec{F})}{\dim(I) \cdot \dim(\vec{L})} $$

soit :

$$ 1 \text{ T} = \frac{1 \text{ N}}{1 \text{ A} \cdot \text{m}} = \frac{1 \text{ kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2}}{1 \text{ A} \cdot \text{m}} = 1 \text{ kg} \cdot \text{A}^{-1} \cdot \text{s}^{-2} $$

On a donc :

$$ 1 \text{ T} = 1 \text{ V} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{s} = 1 \text{ kg} \cdot \text{A}^{-1} \cdot \text{s}^{-2} $$

Les unités en électromagnétisme sont toujours un peu compliquées. Pour s'y retrouver, il faut partir des relations entre les grandeurs. Par exemple : $F = qE$ donne :

$$ 1 \text{ N} = 1 \text{ C} \cdot \text{V} \cdot \text{m}^{-1} $$

soit, avec $F = ma$ (PFD) :

$$ 1 \text{ N} = 1 \text{ kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2} = 1 \text{ C} \cdot \text{V} \cdot \text{m}^{-1} $$

Avec la relation : $I = \frac{dq}{dt}$, on a :

$$ 1 \text{ A} = 1 \text{ C} \cdot \text{s}^{-1} $$

ce qui donne, dans l'expression précédente :

$$ 1 \text{ kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2} = 1 \text{ A} \cdot \text{s} \cdot \text{V} \cdot \text{m}^{-1} $$

d'où :

$$ 1 \text{ V} = 1 \text{ kg} \cdot \text{A}^{-1} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-3} $$

On vérifie ainsi que les deux expressions du tesla sont identiques.

### 7.4.3 Vitesse de dérive

Un métal possède un seul type de porteurs de charges, les électrons. En l'absence de champ électrique, à température ambiante, ces porteurs de charges se déplacent de façon aléatoire de par l'agitation thermique. Leur mouvement global est nul, il n'y a pas de courant électrique.

Lorsqu'on applique un champ électrique $\vec{E}$ au conducteur, les électrons gagnent une vitesse nette dans la direction du champ (mais en sens opposé), créant un courant électrique. Cette vitesse est cependant réduite à cause des collisions des électrons dans leur environnement, en particulier les phonons (quanta de vibration dans le réseau cristallin).
<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>FIGURE 7.7 – Vitesse de dérive des électrons de conduction dans un morceau de conducteur.</figcaption></figure>

La vitesse de dérive est ainsi la vitesse de déplacement physique des électrons dans le conducteur (par opposition à celle du signal électrique qui est celle des ondes électromagnétiques).

Considérons un conducteur de forme parallélépipèdique de longueur $\mathcal{L}$, de largeur $L$ et d'épaisseur $\ell$ – donc de section $S = L \times \ell$ (figure 7.7). La charge contenue dans ce volume est :

$$|Q| = n(\ell \cdot L \cdot \mathcal{L}) \cdot |q| \qquad (7.5)$$

où $n$ est le nombre d'électrons par unité de volume et $q = -e$ est la charge d'un électron. Le courant électrique $I$ est dirigé selon la longueur $\mathcal{L}$, donc la charge $|Q|$ met le temps $\Delta t = \frac{\mathcal{L}}{v_d}$ à traverser la longueur du conducteur, où $v_d$ est la vitesse de dérive des électrons.

Comme $I = \frac{dq}{dt} = \frac{Q}{\Delta t}$, on obtient :

$$v_d = \frac{I}{n(L\ell)|q|} = \frac{I}{nSe} \qquad (7.6)$$

Exemple : considérons un fil de cuivre de section standard $S = 1,5 \text{ mm}^2$ pour alimenter des appareils de faible puissance dans la maison (éclairage, ordinateur, etc.). On suppose que l'intensité du courant qui circule est de $I = 1 \text{ A}$. Le cuivre est un métal conducteur qui fournit un électron par atome à la conduction.

Il faut d'abord estimer le nombre $n$ d'électrons de conduction par unité de volume. Ce nombre est donné par :

$$n = \frac{\alpha \cdot N_{at}}{V} \qquad (7.7)$$

où $\alpha$ est le nombre d'électrons de conduction par atome, $N_{at}$ le nombre d'atomes dans le volume $V$ considéré. Or :

$$N_{at} = \frac{m}{M} \cdot \mathcal{N}_A \qquad (7.8)$$

avec $m$ la masse du conducteur considéré, $M$ sa masse molaire et $\mathcal{N}_A$ le nombre d'Avogadro. Avec : $m = \rho \cdot V$, où $\rho$ est la masse volumique du matériau, on a :

$$N_{at} = \frac{\rho \cdot V}{M} \cdot \mathcal{N}_A \qquad (7.9)$$

d'où :

$$n = \frac{\alpha}{V} \cdot \frac{\rho \cdot V}{M} \cdot \mathcal{N}_A = \frac{\alpha \cdot \rho \cdot \mathcal{N}_A}{M} \qquad (7.10)$$

Pour le cuivre, on a :
$$ \rightarrow \rho = 8,96 \cdot 10^3 \text{ kg} \cdot \text{m}^{-3} $$

$$ \rightarrow M = 63,5 \text{ g} \cdot \text{mol}^{-1} $$

$$ \rightarrow \alpha = 1 $$

d'où :

$$ n = \frac{1 \times 8,96 \cdot 10^3 \times 6,02 \cdot 10^{23}}{63,5 \cdot 10^{-3}} = 8,5 \cdot 10^{28} \text{ électrons} \cdot \text{m}^{-3} \quad (7.11) $$

On en déduit la vitesse de dérive des électrons dans le conducteur considéré :

$$ v_d = \frac{1}{8,5 \cdot 10^{28} \times 1,5 \cdot 10^{-6} \times 1,602 \cdot 10^{-19}} = 5 \cdot 10^{-5} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} = 0,05 \text{ mm} \cdot \text{s}^{-1} \quad (7.12) $$

On constate qu'elle est très petite !

On peut également relier la vitesse de dérive des électrons au champ électrique appliqué :

$$ v_d = \mu \cdot E \quad (7.13) $$

où $\mu$ est la mobilité des électrons. Le modèle de Drude des matériaux de conduction est un modèle simple et classique qui permet de donner une expression de cette mobilité :

$$ \mu = \frac{e \cdot \tau}{m_e} \quad (7.14) $$

avec $\tau$ la durée moyenne entre deux collisions et $m_e$ la masse d'un électron.

### 7.4.4 Force de Laplace et force de Lorentz

Montrons que la force de Laplace $\vec{dF}_{\text{Laplace}} = I \vec{d\ell} \wedge \vec{B}$ qui s'exerce sur un morceau de fil conducteur plongé dans un champ magnétique $\vec{B}$ est la somme des forces de Lorentz $\vec{F}_{\text{Lorentz}}^{\text{magn}}$ qui s'exercent sur tous les électrons de conduction (mobiles) dans ce morceau de fil qui, se déplaçant à la vitesse $\vec{v}_d$ (qui est appelé vitesse de dérive, voir la section 7.4.3), constituent le courant électrique d'intensité $I$.

Pour cela, considérons un morceau de conducteur de longueur $d\ell$ et de section $S$ parcouru par un courant électrique d'intensité $I$ et plongé dans un champ magnétique $\vec{B}$ (voir la figure 7.8).

<figure><img src="image_65.png" /></figure>

FIGURE 7.8 – Force de Lorentz sur les électrons d'un morceau de conducteur parcouru par un courant électrique d'intensité $I$, les électrons se déplaçant à la vitesse $\vec{v}_d$, et sont plongés dans le champ magnétique extérieur $\vec{B}$.

Les électrons, sous l'effet du courant électrique $I$, circulent dans le conducteur à la vitesse $\vec{v}_d$, d'où la force de Lorentz $\vec{dF}$ sur l'ensemble des électrons dans une portion $d\ell$ de conducteur :

$$ \vec{dF} = \sum_{\text{él. cond. dans } d\ell} -e \cdot \vec{v}_d \wedge \vec{B} \quad (7.15) $$
$$ \vec{dF} = \left( \sum_{\text{él. cond. dans } d\ell} -e \cdot \vec{v}_d \right) \wedge \vec{B} \qquad (7.16) $$

où $e$ est la charge élémentaire soit $e = 1.60 \cdot 10^{-19}$ C, la charge de l'électron étant $q_e^- = -e$.

Avec $I = \left| \frac{dq}{dt} \right| = \frac{Ne}{d\ell/v_d} = \frac{N}{d\ell} \cdot e \cdot v_d = nSe v_d$ où $n$ est le nombre d'électrons par unité de volume et $N$ le nombre total d'électrons dans le volume $S \times d\ell$ on a :

$$ \sum_{\text{él. cond. dans } d\ell} -e \cdot \vec{v}_d = -N e \vec{v}_d = I \cdot d\ell \qquad (7.17) $$

soit :

$$ \vec{dF} = I \cdot d\ell \wedge \vec{B} = \vec{dF}_{\text{Laplace}} \qquad (7.18) $$

La force de Laplace correspond ainsi à la somme des forces de Lorentz qui s'exercent sur l'ensemble des porteurs de charge (les électrons) dans un conducteur soumis à un champ magnétique extérieur. C'est une force macroscopique, tandis que la force de Lorentz est une force microscopique.

## 7.5 Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique

Considérons une particule de charge $+q$ animée d'une vitesse initiale $\vec{v}_0 = v_0 \vec{e}_y$ pénétrant dans un champ magnétique uniforme $\vec{B} = B \vec{e}_z$ orthogonal à $\vec{v}_0$ (voir figure 7.9a).

Cette particule est soumise à la force de Lorentz magnétique (son poids est négligeable) :

$$ \vec{F}_B = q \vec{v} \wedge \vec{B} $$

Le Principe Fondamental de la Dynamique (2ᵉ loi de Newton) s'écrit donc :

$$ m \cdot \vec{a} = \vec{F}_B $$

soit :

$$ m \cdot \begin{pmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \\ \ddot{z} \end{pmatrix} = q \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{z} \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ B \end{pmatrix} = qB \cdot \begin{pmatrix} \dot{y} \\ -\dot{x} \\ 0 \end{pmatrix} $$

où la notation $\dot{x}$ désigne la dérivée de $x$ par rapport au temps $t : \dot{x} = \frac{dx}{dt}$; de même, $\ddot{x} = \frac{d^2 x}{dt^2}$. Ce qui donne le système d'équations différentielles :

$$ \begin{cases} \ddot{x} = \omega \dot{y} \\ \ddot{y} = -\omega \dot{x} \\ \ddot{z} = 0 \end{cases} $$

où $\omega = \frac{qB}{m}$.

Selon $z$, on a : $\dot{z} = cte = v_{0z} = 0$, soit $z(t) = cte = 0$. Il n'y a pas de mouvement selon l'axe $z$, la trajectoire de la particule est plane.

On obtient ainsi un système de deux équations différentielles du second ordre couplées en $x$ et $y$ qui décrivent le mouvement.

Une astuce pour résoudre ce système est de faire le changement de variable, en passant ainsi en notation complexe : $u = x + iy$.

Donc :

$$ \ddot{u} = \ddot{x} + i\ddot{y} = \omega(\dot{y} - i\dot{x}) = -i\omega(\dot{x} + i\dot{y}) = -i\omega\dot{u} $$

On a donc à résoudre :

$$ \frac{\ddot{u}}{\dot{u}} = -i\omega $$

soit, en intègrant une première fois :
$$ \ln(\dot{u}) = -i\omega t + cte_1 $$

soit :

$$ \dot{u} = \dot{u}_0 e^{-i\omega t} $$

$$ \text{où : } \dot{u}_0 = \dot{u}(0) = \dot{x}_0 + i\dot{y}_0 = v_{0x} + i v_{0y} = iv_0 $$

On intègre une seconde fois :

$$ u(t) = -\frac{iv_0}{i\omega} e^{-i\omega t} + cte_2 $$

$$ \text{or, à } t = 0, u(0) = x(0) + iy(0) = 0, \text{ donc } cte_2 = +\frac{v_0}{\omega}. \text{ Soit :} $$

$$ \begin{aligned} u(t) &= -\frac{v_0}{\omega} \left( e^{-i\omega t} - 1 \right) \\ &= -\frac{v_0}{\omega} \left( \cos(\omega t) - i \cdot \sin(\omega t) - 1 \right) \\ &= \frac{v_0}{\omega} \left[ (1 - \cos(\omega t)) + i \cdot \sin(\omega t) \right] \end{aligned} $$

$$ \text{Donc : } \begin{cases} x(t) = \frac{v_0}{\omega} (1 - \cos(\omega t)) \\ y(t) = \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t) \end{cases} $$

En élevant au carré pour éliminer le paramètre $t$, on obtient :

$$ \left(x - \frac{v_0}{\omega}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2 \quad \text{car : } \cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t) = 1 $$

Qui est l'équation d'un cercle de rayon $R = \left|\frac{v_0}{\omega}\right| = \frac{v_0 m}{|q|B}$ et de centre $\left(\frac{v_0}{\omega}, 0\right)$, comme illustré sur la figure 7.9b.

En TD, une autre façon de résoudre ce problème sera vue.

<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>FIGURE 7.9 – Trajectoire d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme.</figcaption></figure>
→ Si la vitesse initiale est perpendiculaire au champ $\vec{B}$, le mouvement est plan et circulaire avec la période $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi \cdot m}{|q|B}$;

→ Si la vitesse initiale est quelconque (avec en plus une composante sur $\vec{e}_z$), le mouvement est hélicoïdal;

→ Si la vitesse initiale est nulle ($v_0 = 0$) alors $v(t) = 0, \forall t$: un champ magnétique est incapable de mettre en mouvement une particule chargée (contrairement à un champ électrostatique qui va accélérer une particule chargée).

### 7.5.1 Applications

La combinaison judicieuse de champs électrostatiques et magnétiques est utilisée dans différentes technologies<fnref n="3" />:

→ La spectrométrie de masse (cf TD)

→ Les accélérateurs de particules circulaires :

▶ les cyclotrons, où les particules spiralent au fur et à mesure que leur vitesse augmente;

▶ les synchrotrons (comme le LHC au CERN), où les champs magnétiques et électrostatiques sont ajustés en permanence pour que la trajectoire reste de rayon fixe.

## 7.6 L'effet Hall

### 7.6.1 Principe

Dans un conducteur parcouru par un courant électrique d'intensité $I$, il y a des charges en mouvement, les électrons, qui constituent le courant électrique. En l'absence de champ magnétique extérieur, ces électrons, de charge $q$, sont soumis à une force de Lorentz électrique $\vec{F}_E = q \cdot \vec{E}_0$, où le champ électrique $\vec{E}_0$, parallèle au courant, est à l'origine du courant.

On plonge le conducteur dans un champ magnétique extérieur $\vec{B}$ perpendiculaire au conducteur (figure 7.10). Les électrons du courant électrique sont alors, en plus soumis à la force magnétique de Lorentz: $\vec{F}_B = q \cdot \vec{v}_d \wedge \vec{B}$, où $\vec{v}_d$ est la vitesse de déplacement des électrons ou vitesse de dérive (section 7.4.3).

Dans un régime transitoire, les électrons, sous l'effet de la force de Lorentz magnétique, dirigée vers le bord du conducteur (figure 7.10b), voient leurs trajectoires s'infléchir vers le bord du conducteur. Des charges négatives s'accumulent alors sur ce bord, ce qui crée un défaut de charges sur l'autre bord, donc une accumulation de charges positives, comme illustré sur la figure 7.10b. Cette différenciation des charges génère un champ électrique $\vec{E}_H$ (champ de Hall), transversal au conducteur.

La force engendrée par ce champ, $\vec{F}_H = q \cdot \vec{E}_H$ s'oppose à la force magnétique $\vec{F}_B$.

Au bout d'un certain temps, un régime permanent est obtenu quand le champ électrique de Hall atteint une valeur suffisante pour que : $\vec{F}_B + \vec{F}_H = \vec{0}$. Les lignes de courant redeviennent alors parallèles à $\vec{E}_0$.

### 7.6.2 Modélisation

Considérons maintenant un conducteur de longueur $L$ et de section $S = L \cdot \ell$, parcouru par un courant d'intensité $I$. Un champ magnétique $\vec{B} = B\vec{e}_y$ uniforme est appliqué (voir figure 7.10a). Un électron, de charge $q = -e$ se déplace dans le sens inverse du sens conventionnel du courant, à la vitesse de dérive $\vec{v}_d = -v_d\vec{e}_x$. La force de Lorentz s'appliquant sur cet électron est : $\vec{F}_B = |q|v_d B \cdot \vec{e}_z$. La face supérieure du conducteur se charge négativement, la face inférieure positivement (figure 7.10b).

<footnote n="3">3. Pour en savoir plus : Benson, p. 332-335 (spectrométrie de masse) et p. 335-338 (cyclotron).</footnote>
<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>FIGURE 7.10 – Principe de l'effet Hall.</figcaption></figure>

Cela crée un champ électrique $\vec{E}_H$ dirigé des charges + vers les charges – donc vers le haut. Ce champ génère une force sur les électrons :

$$ \vec{F}_H = -|q|E_H \cdot \vec{e}_z \qquad (7.19) $$

En régime permanent (figure 7.10c), un équilibre est atteint avec : $\vec{F}_B + \vec{F}_H = \vec{0}$, soit $||\vec{F}_B|| = ||\vec{F}_H||$. Soit lorsque $E_H = v_d B$. La différence de potentiel ou tension de Hall correspondante est donc :

$$ U_H = E_H \cdot L = v_d \cdot L \cdot B \qquad (7.20) $$

On peut donc mesurer la tension $U_H$ pour en déduire l'intensité du champ magnétique $B$.

Les appareils de mesure du champ magnétique, comme le teslamètre utilisé en TP fonctionnent selon ce principe.

## 7.7 Parenthèse (rappel) d'analyse vectorielle

Un champ scolaire est une fonction qui associe à chaque position de l'espace une grandeur scolaire (comme la charge, le potentiel électrique...).

Un champ vectoriel est une fonction qui associe à chaque position de l'espace une grandeur vectorielle (comme le champ électrique, le champ magnétique<fnref n="4" />...).

Définition des opérateurs :

→ La divergence est une grandeur scolaire qui mesure localement l'étalement ou le resserrement des lignes de champ ainsi que l'accroissement ou la diminution de l'intensité du champ vectoriel auquel elle s'applique.

En coordonnées cartésiennes, on a, pour le champ vectoriel $\vec{A}$ :

$$ \operatorname{div} \vec{A}(x, y, z) = \left(\frac{\partial A_x}{\partial x}\right)_{y,z} + \left(\frac{\partial A_y}{\partial y}\right)_{x,z} + \left(\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)_{x,y} \qquad (7.21) $$

<footnote n="4">4. Pour être exact, le champ magnétique n'est pas tout à fait un vecteur comme le champ $\vec{E}$, car il se tranforme différemment par une symétrie orthogonale par rapport à un plan (voir section 8.4.1), on dit que c'est un pseudo-vecteur. Nous ne reparlerons pas de cette notion dans la suite.</footnote>
→ Le **rotationnel** est un vecteur donnant une mesure de la « rotation » d'un champ vectoriel auquel il s'applique.

En coordonnées cartésiennes, on a, pour le champ vectoriel $\vec{A}$ :

$$ \vec{\text{rot}} \vec{A} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) \vec{t} + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) \vec{j} + \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) \vec{k} \quad (7.22) $$

Le **flux** $\Phi$ d'un champ de vecteurs $\vec{A}$ à travers une surface (orientée) S est défini par :

$$ \Phi = \iint_S \vec{A} \cdot d\vec{S} \quad (7.23) $$

La **circulation** d'un champ vectoriel $\vec{A}$ est donnée par l'intégrale curviligne sur une courbe C orientée :

$$ \mathcal{C} = \int_C \vec{A} \cdot d\vec{l} \quad (7.24) $$

où $d\vec{l}$ est un vecteur « petit déplacement » sur la courbe C.

**Remarque importante** : si on souhaite calculer l'intégrale curviligne d'un vecteur constant $\vec{V}$ sur un segment de droite entre deux points A d'abscisse a et B d'abscisse b :

$$ \int_{AB} \vec{V} \cdot d\vec{l} $$

<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>FIGURE 7.11 – Attention à l'orientation du contour!</figcaption></figure>

On choisit un vecteur unitaire $\vec{e}_x$ sur $[AB]$, dirigé de A vers B (figure 7.11a), auquel cas : $\vec{e}_x = \frac{\vec{AB}}{||\vec{AB}||}$ et $\vec{V} = V \cdot \vec{e}_x$. Pour calculer cette intégrale, il faut orienter le contour. Dans le cas où cette orientation est opposée au sens du vecteur unitaire, donc de B vers A (figure 7.11b), il faut faire très attention au signe de l'intégrale : un signe « – » apparaît, il ne faut pas le compter deux fois, une fois dans les bornes et une fois dans le vecteur $\vec{d}l$.

On fera donc ce calcul soit selon :

$$ \int_{AB} (V \cdot \vec{e}_x) \cdot (-\vec{e}_x dx) = \int_{AB} -V \cdot dx = \int_{a}^{b} -V \cdot dx = -V(b-a) \quad (7.25) $$

Le signe « – » est dans le vecteur petit déplacement.

Soit selon :

$$ \int_{B}^{A} (V \cdot \vec{e}_{x}) \cdot (\vec{e}_{x} dx) = \int_{b}^{a} V \cdot dx = \int_{b}^{a} V \cdot dx = V(a-b) = -V(b-a) \quad (7.26) $$

en inversant les bornes de l'intégrale ce qui tient compte du signe « – ».

Un champ vectoriel est dit **conservatif** (ou bien **champ de gradient**) si sa circulation sur tout contour fermé est nulle. Son rotationnel est alors nul, c'est un champ **irrotationnel**.
Un champ vectoriel est à *flux conservatif* si son flux à travers toute surface fermée est nul. Auquel cas, sa divergence est nulle.

Deux théorèmes fondamentaux :

→ Théorème de Green-Ostrogradsky ou théorème de la divergence :
Soit un champ de vecteurs quelconque $\vec{C}$. On a :

$$ \iint_S \vec{C} \cdot d\vec{S} = \iiint_V \operatorname{div} \vec{C} \, dV \qquad (7.27) $$

où $V$ est un volume, et $S$ la surface (fermée) qui l'entoure; le vecteur surface infinitésimale $\vec{dS}$ est orienté vers l'extérieur de la surface $S$.

→ Théorème de Stokes :
Soit un champ de vecteur $\vec{D}$ quelconque. On a :

$$ \iint_S \vec{rot} \, \vec{D} \cdot d\vec{S} = \oint_C \vec{D} \cdot d\vec{\ell} \qquad (7.28) $$

où $S$ est une surface quelconque dont le bord est le contour fermé $C$ orienté (règle du tire-bouchon ou de la main droite : la normale à la surface sort du côté où l'on voit $C$ orienté dans le sens trigonométrique – voir la figure 7.12).

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>FIGURE 7.12 – Illustration d'une surface ouverte s'appuyant sur un contour $C$ fermé, orienté selon le sens de parcours de $C$.</figcaption></figure>

Quelques relations entre les opérateurs :

$$ \mathrm{div}(\vec{\mathrm{grad}} \, f) = \nabla^2 f \qquad (7.29) $$

où $\nabla^2$ est l'opérateur laplacien scalaire :

$$ \nabla^2 f \equiv \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \\ \vec{\mathrm{rot}}(\mathrm{grad} \, f) = \vec{0} \qquad (7.30) $$

$$ \mathrm{div}(\vec{\mathrm{rot}} \, \vec{A}) = 0 \qquad (7.31) $$

$$ \vec{\mathrm{rot}}(\mathrm{rot} \, \vec{A}) = \mathrm{grad}(\mathrm{div} \, \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} \qquad (7.32) $$

où $\nabla^2 \vec{A}$ est l'opérateur laplacien vectoriel :

$$ \nabla^2 \vec{A} = (\nabla^2 A_x) \vec{i} + (\nabla^2 A_y) \vec{j} + (\nabla^2 A_z) \vec{k} $$
# 7.8 Lignes de champ magnétique

## 7.8.1 Un champ à divergence nulle

Une propriété fondamentale et tout à fait générale du champ magnétique que l'on appréhende selon trois aspects :

1. La divergence du champ magnétique est nulle :

$$ \mathrm{div} \vec{B} = \nabla \cdot \vec{B} = 0 \qquad (7.33) $$

2. $\vec{B}$ dérive (est le rotationnel) d'un potentiel-vecteur $\vec{A}$ :

$$ \vec{B} = \mathrm{rot} \vec{A} = \nabla \wedge \vec{A} \qquad (7.34) $$

En effet, on la relation d'analyse vectorielle (7.31) :

$$ \nabla \vec{C}, \mathrm{div}(\mathrm{rot} \vec{C}) = 0 $$

où $\vec{C}$ est un champ vectoriel quelconque. Donc, comme $\mathrm{div} \vec{B} = 0$, $\exists \vec{A}/\mathrm{div}(\mathrm{rot} \vec{A}) = 0$ soit $\vec{B} = \mathrm{rot} \vec{A}$.

3. Le flux de $\vec{B}$ à travers toute surface fermée est nul :

$$ \Phi = \oint \oint \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0 \qquad (7.35) $$

Ce que l'on peut montrer à partir du théorème de Green-Ostrogradsky :

$$ \oint \oint \vec{B} \cdot d\vec{S} = \iiint_V \mathrm{div} \vec{B} \, dV = 0 \quad \mathrm{car} \quad \mathrm{div} \vec{B} = 0 $$

Ou bien à partir du théorème de Stokes :

$$ \oint \oint \vec{B} \cdot d\vec{S} = \oint \mathrm{rot} \vec{A} \cdot d\vec{S} = \oint_{C=\emptyset} \vec{A} \cdot d\vec{l} = 0 $$

car la surface S fermée ne s'appuie sur aucun contour C.

→ Ces trois énoncés sont donc équivalents!

## 7.8.2 Conséquences

Comme le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est nul, on en conclut qu'il n'existe pas de « charges » magnétiques isolées, à l'instar des charges électriques.

→ L'existence de charges ou monopôles magnétiques est ainsi exclue par l'électromagnétisme classique, mais pas par la physique quantique; elles ne sont néanmoins pas (encore?) observées.

Contrairement au champ électrostatique $\vec{E}$ les lignes de champ magnétique sont toujours fermées sur elles-mêmes. En effet, elles ne peuvent ni débuter, ni se terminer en un point de l'espace (qui serait alors une charge magnétique). Une ligne de champ fermée n'a en effet ni début ni fin (figure 7.13a).

En raisonnant par l'absurde, si une ligne de champ n'est pas fermée elle a un début D et une fin F (figure 7.13b), par exemple la ligne de champ $\vec{E}$ d'un dipôle électrique. Ou au moins un début D (F est à l'∞) dont partent des lignes de champ dans différentes directions (figure 7.13c). Mais alors, le flux de $\vec{B}$ à travers S, surface fermée entourant D serait non nul ce qui est impossible, compte tenu de la propriété du champ magnétique qui est à divergence nulle (§7.8.1)!

Donc une ligne de champ $\vec{B}$ ne pouvant avoir ni début ni fin doit nécessairement être fermée sur elle-même.
<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>FIGURE 7.13 – Ligne de champ ouverte ou fermée?</figcaption></figure>

### 7.8.3 Le flux du champ magnétique est conservatif

Une autre conséquence du fait que la divergence du champ magnétique est nulle est que le flux du champ magnétique est *conservatif*.

<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>FIGURE 7.14 – Flux magnétique à travers deux surfaces s’appuyant sur le même contour.</figcaption></figure>

Considérons en effet deux surfaces $S_1$ et $S_2$ qui s’appuient sur un même contour $C$, $\vec{S}_1$ et $\vec{S}_2$ étant leurs vecteurs surfaces respectifs, orientés conformément au sens de parcours du contour $C$ (figure 7.14). On a :

$$ \Phi_1 = \iint_{S_1} \vec{B} \cdot d\vec{S}_1 \quad \text{et} \quad \Phi_2 = \iint_{S_2} \vec{B} \cdot d\vec{S}_2 $$

La réunion de $S_1$ et $S_2$ est donc une surface fermée, de normale extérieure $-\vec{S}_1$ sur $S_1$ et $\vec{S}_2$ sur $S_2$. Comme :

$$ \iint_{\text{surface fermée}} \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0 $$

on a :

$$ \iint_{S_1 \cup S_2} \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0 $$

soit :

$$ - \iint_{S_1} \vec{B} \cdot d\vec{S}_1 + \iint_{S_2} \vec{B} \cdot d\vec{S}_2 = 0 $$
donc :

$$ \iint_{S_1} \vec{B} \cdot d\vec{S}_1 = \iint_{S_2} \vec{B} \cdot d\vec{S}_2 \quad \text{ou bien} \quad \Phi_1 = \Phi_2 $$

Ainsi le flux ne dépend pas de la forme de la surface s'appuyant sur le contour C, mais du contour seulement. Ce qui signifie que *le champ magnétique est à flux conservatif*.
# Chapitre 8

# Sources de champ magnétique

## 8.1 Loi de Biot et Savart

### 8.1.1 Un peu d'histoire...

<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>(a) Hans Christian Ørsted (1777-1851).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>(b) Jean-Baptiste Biot (1774-1862).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>(c) Félix Savart (1791-1841).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>(d) André-Marie Ampère (1775-1836).</figcaption></figure>

FIGURE 8.1 – Quelques grandes figures des débuts du magnétisme.

En 1820, le physicien danois Hans Christian Ørsted (1777-1851; figure 8.1a) découvre fortuite- ment l'interaction entre électricité et magnétisme. Il démontre, par l'expérience, qu'un fil transpor- tant du courant est capable de faire bouger l'aiguille aimantée d'une boussole.

En 1820, toujours, Jean-Baptiste Biot (1774-1862; physicien, astronome, mathématicien français; figure 8.1b) et Félix Savart (1791-1841; médecin et physicien français; figure 8.1c) montrent expéri- mentalement que le module du champ magnétique créé par un fil rectiligne parcouru par un courant est proportionnel à l'intensité du courant et inversement proportionnel à la distance au fil.

En 1820, encore, André-Marie Ampère (1775-1836; physicien français; figure 8.1d) montre que deux circuits fermés parcourus par des courants agissent l'un sur l'autre. Il édifie une théorie de l'élec- trodynamique publiée en 1827.

### 8.1.2 Contexte

**Magnétostatique** = régime stationnaire, où les courants électriques *I* qui créent le champ $\vec{B}$ ne dépendant pas du temps (ou bien varient lentement dans le temps = régime quasi-stationnaire). Néanmoins, pour qu'il y ait un champ magnétique, il faut des charges en mouvement (≠ électro- statique)...
### 8.1.3 Loi de Biot et Savart

On considère un circuit C quelconque, filiforme, pas nécessairement contenu dans un plan (figure 8.2).

<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>FIGURE 8.2 – Champ magnétique élémentaire créé en un point M de l'espace par un morceau de circuit parcouru par un courant autour d'un point P. $\triangle$ c'est en 3D! $\overrightarrow{dB} \perp (PM, \overrightarrow{d\ell})$</figcaption></figure>

Un élément $\overrightarrow{d\ell}$ du circuit, situé au point P et orienté dans le sens du courant, crée au point M quelconque de l'espace une contribution vectorielle $\overrightarrow{dB}$ au champ magnétique total :

$$ 
\begin{aligned}
\overrightarrow{dB}(M) &= \frac{\mu_0}{4\pi} I \cdot \overrightarrow{d\ell} \wedge \frac{\overrightarrow{PM}}{(PM)^3} \\
&= \frac{\mu_0}{4\pi} I \cdot \overrightarrow{d\ell} \wedge \frac{\overrightarrow{u_{PM}}}{(PM)^2}
\end{aligned}
\qquad (8.1) $$

où $\overrightarrow{u_{PM}} = \overrightarrow{PM}/(PM)$ est un vecteur unitaire.

Remarque : isoler un élément de circuit $\overrightarrow{d\ell}$ n'a pas de sens physique, car le courant parcourant ce petit bout de fil doit y être amené et en sortir, avec d'autres fils, que l'on ne peut négliger. Ce « découpage » est donc un pur artifice mathématique.

En intégrant sur la totalité du circuit C, on obtient :

$$ \overrightarrow{B}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_C I \cdot \overrightarrow{d\ell} \wedge \frac{\overrightarrow{u_{PM}}}{(PM)^2} \qquad (8.2) $$

Il s'agit de la **loi de Biot et Savart**.

→ Le facteur $\frac{\mu_0}{4\pi}$ est un facteur dimensionnel qui vaut exactement $10^{-7}$ dans les unités du système international :

$$ \mu_0 \equiv 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1} $$

On l'appelle la perméabilité du vide ou constante magnétique.

→ C'est une loi obtenue historiquement expérimentalement, qui de fait ne se démontre pas par le calcul. On peut néanmoins la retrouver avec les autres équations de la magnétostatique.

→ **▲** La loi de Biot et Savart n'est valable que pour un courant constant dans le temps (ou lentement variable).
### 8.1.4 Densités de courant

#### Densité de courant volumique

Soit un petit volume $d\tau$, cylindrique, de conducteur dans lequel circule un courant électrique d'intensité $dI$. On suppose que ce petit volume a son axe parallèle au mouvement des charges $q$, dont la vitesse de dérive est $\vec{v}$. Sa longueur est ainsi $v \cdot dt$, et sa section $dS$ (figure 8.3).

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>FIGURE 8.3 – Densité de courant volumique.</figcaption></figure>

Ce petit volume $d\tau$ contient, à l'instant $t$, $dN_q$ particules chargées contribuant au courant. Le nombre de particules chargées par unité de volume est donc :

$$n_q = \frac{dN_q}{d\tau} \qquad (8.3)$$

Les $dN_q$ particules chargées présentes dans $d\tau$ à l'instant $t$ vont traverser la section $dS$ pendant l'intervalle de temps $dt$. La charge $dq$ correspondante est :

$$dq = dN_q \cdot q = n_q \cdot d\tau \cdot q \qquad (8.4)$$

or :

$$d\tau = (v \cdot dt) \cdot (dS) = \vec{v} \cdot \vec{dS} \cdot dt \qquad (8.5)$$

En reportant dans (8.4) :

$$dq = n_q \cdot \vec{v} \cdot \vec{dS} \cdot dt \cdot q \qquad (8.6)$$

On introduit le vecteur densité volumique de courant $\vec{j}$ correspondant au flux des charges portées par les particules constituant le courant électrique :

$$\vec{j} = n_q \cdot \vec{v} \cdot q \qquad (8.7)$$

soit :

$$dq = \vec{j} \cdot \vec{dS} \cdot dt \qquad (8.8)$$

Comme l'intensité du courant électrique dans le petit volume $d\tau$ est donnée par la quantité de charges $dq$ traversant la section $dS$ pendant $dt$ :

$$dI = \frac{dq}{dt} \qquad (8.9)$$

Cela donne :

$$dI = \vec{j} \cdot \vec{dS} \qquad (8.10)$$

Donc, en intégrant sur l'ensemble du conducteur :

$$I = \iint \vec{j} \cdot \vec{dS} \qquad (8.11)$$

L'intensité du courant électrique est le flux du vecteur densité volumique de courant à travers la section (orthogonale au déplacement des charges constituant le courant) du conducteur (figure 8.4).
<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>FIGURE 8.4 – Illustration de la densité de courant volumique et de l'intensité *I* du courant (avec son sens d'écoulement donné par le vecteur surface $\vec{dS}$) à travers la section *S* du conducteur.</figcaption></figure>

**Unité** Les charges électriques contribuant au courant sont réparties dans le volume du conducteur. D'où l'appellation de « courant volumique ». Mais l'unité de $\vec{j}$ est celle de charges qui traversent une surface (la section du conducteur) par unité de temps :

$$[j] = [n_q] \cdot [v] \cdot [q] = (m^{-3}) \cdot (m \cdot s^{-1}) \cdot (C) = C \cdot s^{-1} \cdot m^{-2} = A \cdot m^{-2}$$

## Densité surfacique de courant

Soit une petite surface $dS$, rectangulaire, de conducteur sur laquelle circule un courant électrique d'intensité $dI$. On suppose que ce petit rectangle a son grand côté parallèle au mouvement des charges $q$, dont la vitesse de dérive est $\vec{v}$. Sa longueur est ainsi $v \cdot dt$, et son petit côté est $d\ell$ (figure 8.5).

<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>FIGURE 8.5 – Densité de courant surfacique.</figcaption></figure>

Cette petite surface $dS$ contient, à l'instant $t$, $dN_q$ particules chargées contribuant au courant. Le nombre de particules chargées par unité de surface de conducteur est donc :

$$n_q = \frac{dN_q}{dS} \qquad (8.12)$$

Les $dN_q$ particules chargées présentes sur $dS$ à l'instant $t$ vont traverser le côté $d\ell$ pendant l'intervalle de temps $dt$. La charge $dq$ correspondante est :

$$dq = dN_q \cdot q = n_q \cdot dS \cdot q \qquad (8.13)$$

or :

$$dS = (v \cdot dt) \cdot (d\ell) = \vec{v} \cdot (\vec{u}_{\perp} d\ell) \cdot dt \qquad (8.14)$$

où $\vec{u}_{\perp}$ est un vecteur unitaire perpendiculaire au côté $d\ell$, donc colinéaire au vecteur vitesse $\vec{v}$. En reportant dans (8.13) :

$$dq = n_q \cdot \vec{v} \cdot \vec{u}_{\perp} d\ell \cdot dt \cdot q \qquad (8.15)$$
On introduit le vecteur densité surfacique de courant $\vec{\lambda}$ correspondant au flux des charges portées par les particules constituant le courant électrique :

$$ \vec{\lambda} = n_q \cdot \vec{v} \cdot q \qquad (8.16) $$

soit :

$$ dq = \vec{\lambda} \cdot (\vec{u}_{\perp} d\ell) \cdot dt \qquad (8.17) $$

Comme l'intensité du courant électrique sur la surface $dS$ est donnée par la quantité de charges $dq$ traversant le côté $d\ell$ pendant $dt$ :

$$ dI = \frac{dq}{dt} \qquad (8.18) $$

Cela donne :

$$ dI = \vec{\lambda} \cdot (\vec{u}_{\perp} d\ell) = \lambda \cdot d\ell \qquad (8.19) $$

Donc, en intégrant sur l'ensemble du conducteur :

$$ I = \iint \lambda \cdot d\ell \qquad (8.20) $$

L'intensité du courant électrique est le flux du vecteur densité surfacique de courant à travers le côté orthogonal au déplacement des charges constituant le courant du conducteur.

**Unité** Les charges électriques contribuant au courant sont réparties sur la surface du conducteur. D'où l'appellation de « courant surfacique ». Mais l'unité de $\vec{\lambda}$ est celle de charges qui traversent un segment (la section du conducteur) par unité de temps :

$$ [\lambda] = [n_q] \cdot [v] \cdot [q] = (m^{-2}) \cdot (m \cdot s^{-1}) \cdot (C) = C \cdot s^{-1} \cdot m^{-1} = A \cdot m^{-1} $$

### Densité de courant linéique

De la même façon, on peut définir une densité de courant linéique, peu ou pas utilisée (en A) :

$$ \vec{j}_L = I \cdot \vec{u} \qquad (8.21) $$

où $\vec{u}$ est un vecteur unitaire parallèle au fil.

### 8.1.5 Généralisations de la loi de Biot et Savart

On peut généraliser la loi de Biot et Savart donnée pour un circuit filiforme à une distribution volumique de courant.

$$ \text{Avec : } I = \iint_S \vec{j} \cdot d\vec{S} \qquad (8.22) $$

$$ \text{on obtient : } \quad \vec{B}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint_V \frac{\vec{j} \wedge \vec{u}_{PM}}{(PM)^2} dV \qquad (8.23) $$

où l'intégrale porte sur tout le volume occupé par le conducteur constituant le circuit.

Pour une distribution surfacique de courant, avec :

$$ I = \int \lambda d\ell_{\perp} \qquad (8.24) $$

où $d\ell_{\perp}$ est l'élément de longueur transversalement à l'écoulement du courant; on a :

$$ \vec{B}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi} \iint_S \frac{\vec{\lambda} \wedge \vec{u}_{PM}}{(PM)^2} d\ell_{\parallel} d\ell_{\perp} = \frac{\mu_0}{4\pi} \iint_S \frac{\vec{\lambda} \wedge \vec{u}_{PM}}{(PM)^2} dS \qquad (8.25) $$

avec $\vec{\lambda} \propto \overrightarrow{d\ell_{\parallel}}$ et $\vec{\lambda} \perp \overrightarrow{d\ell_{\perp}}$
### 8.1.6 Divergence du champ magnétique

Calculons la divergence du champ $\vec{B}$ en un point $M$ quelconque de l'espace :

$$ \mathrm{div} \vec{B}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi} \mathrm{div} \left( \iiint_V \frac{\vec{j} \wedge \overrightarrow{PM}}{(PM)^3} dV \right) \qquad (8.26) $$

L'opérateur divergence n'agit que sur les coordonnées du point $M$ et non sur celles du point $P$ (qui appartient à la distribution de courant) ni sur la densité de courant $\vec{j}$, donc :

$$ \mathrm{div} \vec{B}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint_V \mathrm{div} \left( \frac{\vec{j} \wedge \overrightarrow{PM}}{(PM)^3} \right) dV \qquad (8.27) $$

Or, on a la relation d'analyse vectorielle (voir annexe B) :

$$ \mathrm{div}(\vec{A} \wedge \vec{B}) = (\mathrm{rot} \, \vec{A}) \cdot \vec{B} - \vec{A} (\mathrm{rot} \, \vec{B}) \qquad (8.28) $$

soit :

$$ \mathrm{div} \vec{B}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint_V \left( \mathrm{rot} \, \vec{j} \cdot \frac{\overrightarrow{PM}}{(PM)^3} - \vec{j} \cdot \mathrm{rot} \left( \frac{\overrightarrow{PM}}{(PM)^3} \right) \right) dV \qquad (8.29) $$

Or tout comme l'opérateur divergence, le rotationnel n'agit que sur $M$ et pas sur $\vec{j}$, donc :

$$ \mathrm{div} \vec{B}(M) = -\frac{\mu_0}{4\pi} \iiint_V \vec{j} \cdot \mathrm{rot} \left( \frac{\overrightarrow{PM}}{(PM)^3} \right) dV \qquad (8.30) $$

or, si $M(x, y, z)$ et $P(x_p, y_p, z_p)$ :

$$ \begin{aligned} \mathrm{grad} \frac{1}{PM} &= \mathrm{grad} \left( \frac{1}{\sqrt{(x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 + (z-z_p)^2}} \right) \\ &= \frac{-(x-x_p)\vec{e}_x - (y-y_p)\vec{e}_y - (z-z_p)\vec{e}_z}{[(x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 + (z-z_p)^2]^{3/2}} = -\frac{\overrightarrow{PM}}{PM^3} \end{aligned} \qquad (8.31) $$

donc :

$$ \mathrm{div} \vec{B}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint_V \vec{j} \cdot \mathrm{rot} \left( \mathrm{grad} \frac{1}{(PM)} \right) dV = 0 \qquad (8.32) $$

Car le rotationnel d'un gradient est toujours nul.

On vérifie ainsi la propriété fondamentale du champ magnétique : $\mathrm{div} \vec{B} = 0$.

## 8.2 Champ magnétique créé par des particules chargées en mouvement

Comme $I = \frac{dq}{dt}$, on a :

$$ I d\vec{\ell} = \frac{dq}{dt} d\vec{\ell} = dq \frac{d\vec{\ell}}{dt} = dq \vec{v} \qquad (8.33) $$

où $\vec{v}$ est la vitesse de la charge $dq$.

On en déduit ainsi que le champ magnétique créé en un point $M$ par une particule de charge $q$ située en un point $P$ et animée d'une vitesse $\vec{v}$ dans un référentiel galiléen (figure 8.6) est donné par :

$$ \vec{B}(M) = \frac{\mu_0 q \vec{v} \wedge \overrightarrow{PM}}{4\pi ||\overrightarrow{PM}||^3} \qquad (8.34) $$

▲ Comme la particule chargée ne reste pas immobile, le champ $\vec{B}(M)$ varie dans le temps...
Cette relation n'est valable que pour :
<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>FIGURE 8.6 – Champ magnétique créé au point M par une particule chargée au point P, de charge $q$, de vitesse $\vec{v}$.</figcaption></figure>

→ des particules de vitesse non relativiste ($v \ll c$)

→ des particules de vitesse constante dans le temps (sans accélération)

À l'aide du principe de superposition, on peut généraliser ce résultat au champ magnétique créé en un point M par un ensemble de $N_p$ particules de charges $q_i$ en des points $P_i$ animées de vitesses $\vec{v}_i$ :

$$ \vec{B}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi} \sum_{i=1}^{N_p} \frac{q_i \vec{v}_i \wedge \overrightarrow{P_i M}}{||\overrightarrow{P_i M}||^3} \quad (8.35) $$

## 8.3 Champ magnétique créé par une distribution quelconque de courant : méthode de détermination

On cherche à déterminer l'expression du champ magnétique $\vec{B}$ en un point M de l'espace créé par une distribution quelconque de courants. Voici les différentes étapes d'un tel calcul. Celles qui sont entre parenthèses ne sont pas nécessaires, mais peuvent simplifier les calculs.

1. Tracer un schéma de la situation et dessiner un élément de courant $Id$ quelconque. Choisir un système d'axes qui permettra, au besoin, d'exprimer $dl$ en fonction d'une seule coordonnée.

2. Les étapes ci-dessous ne sont pas obligatoires, mais peuvent simplifier les calculs le cas échéant :

→ (Déterminer les plans de symétrie de la distribution de courant.)

→ (En déduire la direction du champ $\vec{B}$ au point M.)

→ (À l'aide de la règle de la main droite (voir plus loin), en déduire la direction du champ $\vec{B}$.)

→ (Déterminer les invariances (par rotations et translations) de la distribution de courants.)

→ (En déduire les variables dont dépendra le champ $\vec{B}$.)

3. Déterminer les vecteurs $d\vec{l}$ et $PM$ en fonction des variables et des vecteurs unitaires du système de coordonnées, selon la géométrie du problème, où P est un point quelconque de la distribution de courants. On pourra considérer l'origine du repère : $PM = PO + OM$.

4. En déduire l'expression de la longueur PM.

5. Reporter le tout dans l'expression de $d\vec{B}$ (loi de Biot et Savart locale).

6. Intégrer l'expression précédente sur l'ensemble de la distribution de courants.

### 8.3.1 Exemple du champ magnétique créé par un fil rectiligne fini

Soit un morceau de fil rectiligne conducteur parcouru par un courant électrique $I$ (pas très physique, car le circuit n'est pas « fermé »). On se place en coordonnées cylindriques $(r, \Phi, z)$, le fil est selon l'axe $z$. On considère un point $M$ quelconque de l'espace. Le point $O$ d'origine des coordonnées est le projeté de $M$ sur l'axe $z$. On considère un petit élément du fil conducteur $dz$, autour du point $P$ (voir la figure 8.7).

La loi de Biot et Savart donne :
<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>FIGURE 8.7 – Schéma pour le calcul du champ magnétique créé par un fil fini.</figcaption></figure>

$$ \vec{dB}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi} I \cdot \vec{dl} \wedge \frac{\overrightarrow{PM}}{(PM)^3} \qquad (8.36) $$

avec un peu de géométrie :

$$ \rightarrow \overrightarrow{PM} = \overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OM} = -z\vec{e}_z + r\vec{e}_r $$

$$ \rightarrow PM = \|\overrightarrow{PM}\| = \sqrt{r^2 + z^2} $$

$$ \rightarrow \vec{dl} = dz \cdot \vec{e}_z $$

Soit :

$$ \begin{aligned} \vec{dB}(M) &= \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot I dz \cdot \vec{e}_z \wedge \frac{r \vec{e}_r - z \vec{e}_z}{(r^2 + z^2)^{3/2}} \\ &= \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot I r dz \cdot \frac{\vec{e}_z \wedge \vec{e}_r}{(r^2 + z^2)^{3/2}} \\ &= \frac{\mu_0 I}{4\pi} \cdot \frac{r dz}{(r^2 + z^2)^{3/2}} \vec{e}_\Phi \end{aligned} \qquad (8.37) $$

Il reste à intégrer sur l'ensemble de la distribution de courants :

$$ \begin{aligned} \vec{B}(M) &= \int_{z_1}^{z_2} \vec{dB}(M) \\ &= \frac{\mu_0 I}{4\pi} \cdot r \int_{z_1}^{z_2} \frac{dz}{(r^2 + z^2)^{3/2}} \vec{e}_{\Phi} \end{aligned} \qquad (8.38) $$

Cette intégrale n'est pas facile à calculer (voir annexe E), on peut utiliser directement le résultat ta-bulé :

$$ \vec{B}(M) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \cdot r \left[ \frac{1}{r^2} \frac{z}{\sqrt{r^2 + z^2}} \right]_{z_1}^{z_2} \vec{e}_{\Phi} \qquad (8.39) $$
Soit, finalement :

$$ \vec{B}(M) = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \left( \frac{z_2}{\sqrt{r^2 + z_2^2}} - \frac{z_1}{\sqrt{r^2 + z_1^2}} \right) \vec{e}_{\Phi} \qquad (8.40) $$

On constate que : $\vec{B}(M) \propto \vec{e}_{\Phi}$, donc $\vec{B}$ « tourne » autour du courant qui lui donne naissance; il est « orthoradial » (figure 8.8a) : on peut « l'intuiter » avec la règle de la main droite qui relie le sens du champ magnétique et le sens dans lequel le courant électrique se déplace dans un fil conducteur (figure 8.8b).

<figure><img src="image_82.png" /></figure>

<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>FIGURE 8.8 – Champ orthoradial et règle de la main droite : le pouce dirigé selon le courant, les doigts s'enroulent selon la direction du champ magnétique créé.</figcaption></figure>

### Champ magnétique créé par un fil rectiligne fini : autre méthode de calcul

Plutôt que d'utiliser la variable z, on peut passer par la variable α. On a :

$$ \rightarrow \cos \alpha = \frac{r}{PM} $$

$$ \rightarrow \sin \alpha = \frac{z}{PM} $$

$$ \text{donc : } \vec{PM} = r\vec{e}_r - z\vec{e}_z = [\cos \alpha \cdot \vec{e}_r - \sin \alpha \cdot \vec{e}_z] \cdot PM $$

$$ \rightarrow \tan \alpha = \frac{z}{r}, \text{ donc } \frac{d\alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{dz}{r} $$

En reportant dans la loi de Biot et Savart :

$$ \begin{align} \vec{dB}(M) &= \frac{\mu_0}{4\pi} I \cdot \vec{dl} \wedge \frac{\vec{PM}}{(PM)^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} I \cdot \frac{rd\alpha}{\cos^2 \alpha} \frac{PM \cdot \cos \alpha}{(PM)^3} \vec{e}_{\Phi} \nonumber \\ &= \frac{\mu_0}{4\pi} I \cdot \frac{rd\alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha \cos^2 \alpha}{r^2} \vec{e}_{\Phi} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \cos \alpha d\alpha \vec{e}_{\Phi} \tag{8.41} \end{align} $$
Il reste à intégrer entre $\alpha_1$ et $\alpha_2$ :

$$
\begin{align*}
\vec{B}(M) &= \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \int_{\alpha_1}^{\alpha_2} \cos \alpha d\alpha e_{\Phi} \\
&= \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \cdot [\sin \alpha]_{\alpha_1}^{\alpha_2} \vec{e}_{\Phi} \\
&= \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \cdot [\sin \alpha_2 - \sin \alpha_1] \vec{e}_{\Phi} \tag{8.42}
\end{align*}
$$

On retrouve l'expression précédente (en z) avec :

$$
\rightarrow \sin \alpha_1 = \frac{z_1}{\sqrt{r^2 + z_1^2}}
$$

$$
\rightarrow \sin \alpha_2 = \frac{z_2}{\sqrt{r^2 + z_2^2}}
$$

8.3.2 Application au fil infini

Fil « infini » = situation toujours pas très physique (circuit ouvert? ou fermé à l'infini?) mais ap-
proximation correcte si le point M est à une distance r d'un fil de longueur l ≫ r.

On peut soit reprendre la démarche précédente (cas du fil fini, voir la figure 8.7) pour obtenir le champ magnétique (voir exercice en TD), soit utiliser le résultat du cas du fil fini pour l'étendre.

Dans ce dernier cas, on a :

$$
\rightarrow z_1 \rightarrow -\infty \text{ et } z_2 \rightarrow +\infty
$$

Soit :

$$
\vec{B}(M) = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} (1 - (-1)) \vec{e}_{\Phi} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \vec{e}_{\Phi} \quad (8.43)
$$

Ou bien, avec $\alpha$ :

$$
\rightarrow \alpha_1 \rightarrow -\frac{\pi}{2} \text{ et } \alpha_2 \rightarrow \frac{\pi}{2}
$$

Ce qui donne :

$$
\vec{B}(M) = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \cdot \left[ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right] \vec{e}_{\Phi} \quad (8.44)
$$

soit :

$$
\vec{B}(M) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \vec{e}_{\Phi} \tag{8.45}
$$

Remarque : on obtient bien une dépendance en $I/r$, comme montré expérimentalement en 1820 par Biot et Savart.

8.4 Symétries et invariances du champ magnétique

8.4.1 Symétries du champ magnétique

Lignes du champ créé par le fil infini

On a vu que, pour un fil infini, le champ magnétique créé en un point M est :

$$
\vec{B}(M) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \vec{e}_{\Phi}
$$

Les lignes de champ magnétique sont des courbes tangentes au champ $\vec{B}$. Pour trouver l'équation mathématique de ces courbes, on résout l'équation vectorielle traduisant cela :

$$
\vec{B} \wedge \mathrm{d}\vec{l} = \vec{0} \qquad (8.46)
$$
où $\vec{d\ell}$ est le vecteur petit déplacement. On a donc ici :

$$ \vec{d\ell} = dr\vec{e}_r + rd\Phi\vec{e}_\phi + dz\vec{e}_z $$

donc :

$$ \vec{B} \wedge \vec{d\ell} = \left(\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\vec{e}_\phi\right) \wedge \left(dr\vec{e}_r + rd\Phi\vec{e}_\phi + dz\vec{e}_z\right) = -\left(\frac{\mu_0 I dr}{2\pi r}\right)\vec{e}_z + \left(\frac{\mu_0 I dz}{2\pi r}\right)\vec{e}_r $$

L'équation :

$$ -\left(\frac{\mu_0 I dr}{2\pi r}\right)\vec{e}_z + \left(\frac{\mu_0 I dz}{2\pi r}\right)\vec{e}_r = \vec{0} $$

donne donc : $dz = 0$ et $dr = 0$, donc $z = \text{cte}$ et $r = \text{cte}$.

L'équation $z = \text{cte}$ est l'équation de plans orthogonaux au fil. À l'intérieur de ces plans, on a : $r = \text{cte}$, ce qui est l'équation de cercles concentriques (selon la valeur de la constante). Les lignes de champ sont donc des cercles centrés sur le fil comme représentés sur la figure 8.9.

<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>FIGURE 8.9 – Représentation des lignes du champ magnétique créé par un fil infini, vues du dessus : le courant $I$ sort de la page vers le lecteur!</figcaption></figure>

Remarques :

→ les lignes de champ sont circulaires (champ orthoradial selon $\vec{e}_\phi$);

→ les lignes de champs sont contenues dans des plans perpendiculaires au fil;

→ plus le champ est intense, plus les lignes de champ sont resserrées.

### Symétrie orthogonale par rapport à un plan

La symétrie orthogonale par rapport au plan (P) est la transformation qui laisse tous les points de (P) invariants et qui, à tout point M non situé sur (P), associe le point M' tel que (P) soit le plan médiateur de [MM'] (c'est-à-dire le plan passant par le milieu du segment [MM'] et orthogonal à ce segment).

Une telle symétrie conserve les distances et les angles, mais ne conserve pas l'orientation. C'est la raison pour laquelle, quand vous levez la main droite devant votre miroir, votre image lève sa main gauche (voir figure 8.10a).
<figure><img src="image_85.png" /></figure>

<figure><img src="image_86.png" /></figure>

(b) Illustration du plan de symétrie tirée de la publication de Pierre Curie de 1894.

<caption>FIGURE 8.10 – Illustrations du plan de symétrie.</caption>

## Principe de Curie

Le principe de Curie, stipule que : « lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits. »

« La réciproque de ces deux propositions n'est pas vraie, au moins pratiquement, c'est-à-dire que les effets produits peuvent être plus symétriques que les causes. »

Ce principe est tiré de la publication de Pierre Curie : *Sur la symétrie dans les phénomènes physiques, symétrie d'un champ électrique et d'un champ magnétique*, que l'on peut trouver en ligne :
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00239814/document.

## Plan de symétrie et plan d'antisymétrie pour un vecteur

Un vecteur voit sa composante parallèle à un plan de symétrie inchangée, tandis que sa composante orthogonale au plan est changée en son opposée (voir la figure 8.11a).

Inversement, un vecteur voit sa composante parallèle à un plan d'antisymétrie changée en son opposée, tandis que la composante orthogonale reste inchangée (voir la figure 8.11b). Le vecteur antisymétrique est l'opposé du vecteur symétrique.

## Plans de symétrie du fil infini

Supposons que le fil infini soit de section non nulle avec une densité de courant $\vec{j}$ telle que
$$I = \iint_S \vec{j} \cdot d\vec{S}, \text{où S est la section du fil.}$$

Les plans de symétrie de la distribution de courant, c'est-à-dire les plans pour lesquels le vecteur $\vec{j}$ est identique de part et d'autre, sont les plans qui contiennent l'axe du fil, comme illustré sur la figure 8.12a.

Les plans d'antisymétrie de la distribution de courant, c'est-à-dire les plans pour lesquels le vecteur $\vec{j}$ est opposé de part et d'autre, sont les plans qui sont orthogonaux au fil, comme illustré sur la figure 8.12b.
<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>FIGURE 8.11 – Symétrie et antisymétrie d'un vecteur.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>FIGURE 8.12 – Schéma de quelques plans de symétrie et d'antisymétrie de la distribution de courant.</figcaption></figure>

### Propriétés de symétrie du champ magnétique

Les illustrations sur les figures 8.13 permettent d'en déduire les lois suivantes, qui sont générales, même si les figures représentent un cas particulier :
<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>FIGURE 8.13 – Conséquences sur le champ magnétique des plans de symétries.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_90.png" /></figure>

Ces lois se déduisent de la loi de Biot et Savart (voir l'annexe F).

Les plans de symétrie et d'antisymétrie de la distribution de courants permettent d'avoir une information sur la *direction* du champ magnétique créé par la distribution de courants en question. Mais ils ne disent rien sur les variables dont dépend le champ magnétique.

## 8.4.2 Invariances du fil infini

Les invariances, par translation ou par rotation, de la distribution de courants engendrent les mêmes invariances dans le champ magnétique.

Une invariance par translation signifie que la distribution de courant reste identique à elle-même si on lui applique une translation dans une certaine direction (correspondant à une des variables d'espace du problème).

De même une invariance par rotation signifie que la distribution de courant reste identique à elle-même si on lui applique une rotation autour d'un certain axe, et donc selon un certain angle (correspondant à une des variables d'espace du problème).

Dans le cas du fil infini, la distribution de courant est invariante (= identique à elle-même) par rotation selon l'angle $\Phi$; elle est également invariante par translation selon l'axe $z$ (car le fil est de longueur infinie).

Ces invariances se retrouvent dans le champ magnétique créé par cette distribution de courants, qui, dans ce cas, ne dépendra donc pas des variables $\Phi$ et $z$.

Par contre, si on translate la distribution de courant (ie le fil cylindrique infini) dans une direction perpendiculaire à son axe (selon $r$ par exemple), vue depuis le point $M$, elle ne sera pas la même,
et le champ magnétique créé en M non plus. Donc le champ magnétique créé dépend de la variable r.

En résumé, les symétries font que :

$$ \vec{B}(M) = B_{\Phi}(M) \vec{e}_{\Phi} \qquad (8.47) $$

tandis que les invariances font que :

$$ \vec{B}(M) = \vec{B}(r) \qquad (8.48) $$

Ces deux propriétés permettent d'en déduire que :

$$ \vec{B}(M) = B_{\Phi}(r) \vec{e}_{\Phi} \qquad (8.49) $$

# 8.5 Théorème d'Ampère

## 8.5.1 Équation de Maxwell-Ampère

La deuxième équation locale de la magnéto-statique (avec $\text{div} \vec{B} = 0$) est l'équation de Maxwell-Ampère :

$$ \text{rot} \vec{B} = \mu_0 \vec{j} \qquad (8.50) $$

où $\vec{j}$ est la densité volumique de courant (en A·m⁻²).

Lorsque $\vec{B}$ varie dans le temps, il faut rajouter un terme de couplage $(\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t})$ avec les variations du champ $\vec{E}$.

Remarque : on peut montrer que :

$$ \text{rot} \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint_V \text{rot} \left( \frac{\vec{j} \wedge \vec{PM}}{(PM)^3} \right) = \mu_0 \vec{j} \qquad (8.51) $$

mais c'est difficile et fastidieux.

## 8.5.2 Théorème d'Ampère

Calculons la circulation du champ magnétique $\vec{B}$ créé par une distribution de courants volumiques $\vec{j}$ sur un contour fermé $\mathcal{C}$; d'après le théorème de Stokes, on a :

$$ \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \iint_S \text{rot} \vec{B} \cdot d\vec{S} \qquad (8.52) $$

où $S$ est une surface ouverte qui s'appuie sur le contour $\mathcal{C}$, orientée par rapport au sens de circulation sur $\mathcal{C}$.

Or, d'après l'équation de Maxwell-Ampère :

$$ \iint_S \text{rot} \vec{B} \cdot d\vec{S} = \mu_0 \iint_S \vec{j} \cdot d\vec{S} \qquad (8.53) $$

D'où le théorème d'Ampère :

$$ \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enlacé}} \text{ par le contour } \mathcal{C} \quad \text{où } I_{\text{enlacé}} \text{ par le contour } \mathcal{C} = \iint_S \vec{j} \cdot d\vec{S} \qquad (8.54) $$

Énoncé : La circulation du champ $\vec{B}$ sur un contour $\mathcal{C}$ fermé est égale au produit de $\mu_0$ par le courant électrique total enlacé par $\mathcal{C}$ et donc traversant une surface ouverte qui s'appuie sur le contour $\mathcal{C}$, orientée par rapport au sens de circulation sur $\mathcal{C}$.
### 8.5.3 Quelques remarques sur le courant enlacé

L'intensité du courant enlacé $I_{enlacé}$ par le contour $\mathcal{C}$ par le contour $\mathcal{C}$ peut revêtir différentes formes :

→ si le contour encercle plusieurs fils comme sur la figure 8.14, $I_{enlacé}$ par le contour $\mathcal{C} = \sum_k I_k$, où $I_k$ est l'intensité circulant dans le fil $k$. ⚠ C'est une somme algébrique! Par exemple, sur le schéma de la figure 8.14a, on a :

$$I_{enlacé \ par \ le \ contour \ \mathcal{C}} = \sum_{k} I_{k} = I_{1} + I_{2} - I_{3} + I_{4} \qquad (8.55)$$

→ si le contour enlace un courant volumique $\vec{j}$ (figure 8.14b) :

$$I_{enlacé \ par \ le \ contour \ \mathcal{C}} = \iint_{S} \vec{j} \cdot d\vec{s} \qquad (8.56)$$

où $S$ est la surface s'appuyant sur le contour $\mathcal{C}$.

→ si le contour enlace un courant surfacique $\vec{\lambda}$ (figure 8.14c) :

$$I_{enlacé \ par \ le \ contour \ \mathcal{C}} = \pm \int_{\ell} \lambda \cdot d\ell \qquad (8.57)$$

où $\ell$ est la courbe à l'intersection entre le courant surfacique et la surface s'appuyant sur le contour $\mathcal{C}$, le signe + ou – dépend de l'orientation du contour : sur la figure 8.14c, le signe est +, si le contour était orienté dans l'autre sens, ce serait – (voir la règle de la main droite figure 8.8b).

<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>FIGURE 8.14 – Exemples de contours d'Ampère orienté enlacant des distributions de courants.</figcaption></figure>

### 8.5.4 L'utilisation du théorème d'Ampère

Le théorème d'Ampère est une méthode relativement efficace de calcul des champs $\vec{B}$ lorsque les sources de courant présentent des symétries et des invariances fortes.

En pratique, pour calculer le champ $\vec{B}$ en un point $M$ quelconque de l'espace, il faut :

1. d'abord connaître l'orientation des lignes de champ (par les symétries) ainsi que les variables dont dépend le champ (par les invariances);
2. trouver un contour passant par M, « enlaçant » (ou pas!) la distribution de courants choisi (forme, orientation) de telle sorte que l'intégrale soit facile à calculer; pour cela, il faut que sur chaque portion du contour, le champ $\vec{B}$ ait le même module et qu'il soit, soit (idéalement) :

→ colinéaire à la portion du contour ($\vec{d}\ell$), auquel cas B peut sortir de l'intégrale, qui vaut donc la longueur de la-dite portion du contour;

→ perpendiculaire à la portion du contour ($\vec{d}\ell$), auquel cas l'intégrale est nulle;

3. choisir arbitrairement un sens de parcours du contour ce qui oriente la surface ouverte qui s'appuie dessus;

4. déterminer l'intensité du courant « enlacé » qui traverse cette surface (avec son signe).

### 8.5.5 Exemple du fil rectiligne infini parcouru par un courant I

On a déjà vu que le champ $\vec{B}$ créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant I est ortho-radial et qu'il ne dépend que de $r$, soit $\vec{B}(M) = B(r)\vec{e}_\Phi$ (voir les figures 8.13 et la section 8.4.2).

On a : $B(r) = \text{cte et } \vec{B} \propto \vec{e}_\Phi$, on choisit donc un cercle de rayon $r$ centré sur le fil, car alors $\vec{B} \propto \vec{d}\ell$, avec $\vec{d}\ell = r d\Phi \vec{e}_\Phi$. De plus, comme $\vec{B}$ ne dépend pas de la variable $\Phi$, on pourra facilement le sortir de l'intégrale (qui porte sur la variable $\Phi$).

Le théorème d'Ampère donne alors :

$$ \oint_C \vec{B} \cdot \vec{d}\ell = \oint_C B(r) \vec{e}_\Phi \cdot r d\Phi \vec{e}_\Phi = B(r) r \oint_C d\Phi = 2\pi r B(r) = \mu_0 I_{\text{enlacé}} = \mu_0 I \quad (8.58) $$

donc :

$$ B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \quad \text{ou encore :} \quad \vec{B}(M) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \cdot \vec{e}_\Phi \quad (8.59) $$

Quelques remarques :

→ On constate ainsi que le calcul est beaucoup plus rapide et simple avec le théorème d'Ampère qu'avec la loi de Biot et Savart. Néanmoins, l'application du théorème d'Ampère nécessite une configuration très symétrique. Ainsi il n'est pas possible d'utiliser le théorème d'Ampère pour déterminer le champ magnétique produit par un fil de longueur fini. Pourquoi ? Essayez...

→ Le courant I intervient parce qu'il traverse la surface du contour, et non parce que c'est le « seul » courant du problème !

## 8.6 Relation de passage du champ magnétique

Considérons une distribution surfacique de courant $\vec{\lambda} = \lambda \vec{e}_x$, plane, infinie, homogène (figure 8.15).

Les symétries et invariances de cette distribution amènent à un champ magnétique tel que (voir exercice de TD) :

$$ \vec{B}(x, y, z) = B_y(z)\vec{e}_y $$

On applique le théorème d'Ampère sur un contour rectangulaire (voir la figure 8.15), d'une part au-dessus de la nappe (contour $C_{\text{dessus}}$, ce qui donne (attention à bien écrire chaque terme pour ne pas se tromper de signe – voir aussi la remarque page 112) :

$$ \begin{align} \oint_{C_{\text{dessus}}} \vec{B} \cdot \vec{d}\ell &= \int_{[AB]} \vec{B} \cdot \vec{d}\ell + \int_{[BC]} \vec{B} \cdot \vec{d}\ell + \int_{[CD]} \vec{B} \cdot \vec{d}\ell + \int_{[DA]} \vec{B} \cdot \vec{d}\ell \nonumber \\ &= \int_{z}^{z+a} B_y(z) \vec{e}_y \cdot dz (-\vec{e}_z) + \int_{y}^{y+b} B_y(z) \vec{e}_y \cdot dy \vec{e}_y + \int_{z}^{z+a} B_y(z) \vec{e}_y \cdot dz \vec{e}_z + \int_{y}^{y+b} B_y(z+a) \vec{e}_y \cdot dy (-\vec{e}_y) \nonumber \\ &= \int_{y}^{y+b} B_y(z) \vec{e}_y \cdot dy \vec{e}_y + \int_{y}^{y+b} B_y(z+a) \vec{e}_y \cdot dy (-\vec{e}_y) \nonumber \\ &= B_y(z) \cdot (y+b-y) - B_y(z+a) \cdot (y+b-y) = b \cdot [B_y(z) - B_y(z+a)] \tag{8.60} \end{align} $$
<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>FIGURE 8.15 – Distribution surfacique de courant avec les contours d'Ampère rectangulaires considérés. En rouge est indiqué le courant enlacé par le contour à cheval sur la nappe de courant.</figcaption></figure>

Or le contour $C_{\text{dessus}}$ n'enlace aucun courant, donc $I_{\text{enlacé}} = 0$. Soit :

$$ \oint_{C_{\text{dessus}}} \vec{B} \cdot d\vec{l} = b \cdot [B_y(z) - B_y(z + a)] = 0 \quad (8.61) $$

d'où :

$$ B_y(z) = B_y(z + a) \quad (8.62) $$

Cela signifie que $B_y$ ne dépend pas de $z$, donc $B_y = \text{cte}$.

D'autre part, sur le contour $C_{\text{cheval}}$ à cheval sur la nappe, on obtient :

$$ \oint_{C_{\text{cheval}}} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \int_{y}^{y+b} B_y(-a/2) \vec{e}_y \cdot dy \vec{e}_y + \int_{y}^{y+b} B_y(a/2) \vec{e}_y \cdot dy(-\vec{e}_y) \quad (8.63) $$

$$ = b \cdot [B_y(-a/2) - B_y(a/2)] \quad (8.64) $$

Comme, dans ce cas, $I_{\text{enlacé}} = \lambda \cdot b$, donc le théorème d'Ampère donne :

$$ b \cdot [B_y(-a/2) - B_y(a/2)] = \mu_0 \cdot \lambda \cdot b \quad (8.65) $$

or le plan Oxy contenant la nappe de courant est un plan de symétrie de la distribution de courant, c'est donc un plan d'antisymétrie pour $\vec{B}$. On a donc $B(-a/2) = -B(a/2)$. L'équation précédente devient :

$$ -2 \cdot B_y(a/2) = \mu_0 \cdot \lambda \quad (8.66) $$

expression valable $\forall a$, donc, on a :

$$ \vec{B}(z) = -\frac{\mu_0 \lambda}{2} \vec{e}_y \quad \text{pour :} \quad z > 0 \quad (8.67) $$

$$ \vec{B}(z) = \frac{\mu_0 \lambda}{2} \vec{e}_y \quad \text{pour :} \quad z < 0 \quad (8.68) $$

On constate grâce à cet exemple que le champ magnétique est *discontinu* à la traversée d'une nappe de courant (distribution surfacique).

On généralise ce résultat comme :

* la composante *tangentielle* à la nappe du champ magnétique est *discontinue* au passage d'une nappe de courant supposée infiniment mince (densité surfacique de courant);

* la composante *normale* à la nappe du champ magnétique est *continue* à la traversée de la nappe.

En effet : la nappe est un plan de symétrie de la distribution de courant, donc un plan d'antisymétrie pour le champ magnétique !
## 8.7 Dipôle magnétique

### 8.7.1 Champ magnétique créé par une boucle de courant

Considérons le circuit électrique le plus simple qui soit : une boucle circulaire de rayon R.

<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>FIGURE 8.16 – Une boucle de courant créant un champ magnétique.</figcaption></figure>

En utilisant la règle de la main droite (figure 8.8b) appliquée à chaque élément de courant qui constitue la boucle, on peut « intuiter » le sens du champ magnétique. Ainsi, au voisinage du fil, le champ magnétique « rentre » dans la page à l'intérieur de la boucle, et en sort à l'extérieur (voir la figure 8.16).

On peut « voir » les lignes de champ avec de la limaille de fer (figure 8.17a), et les représenter schématiquement comme sur la figure 8.17b.

<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>(a) Lignes de champ autour d'une boucle de courant mises en évidence avec de la limaille de fer.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>(b) Schéma des lignes de champ autour d'une boucle de courant.</figcaption></figure>

FIGURE 8.17 – Lignes de champ autour d'une boucle de courant : le champ généré présente une symétrique de révolution autour de l'axe de la boucle.

L'expression du champ est difficile à calculer (nécessairement avec la loi de Biot et Savart – voir l'annexe G) en tout point de l'espace : un seul plan d'antisymétrie de la distribution de courant passant par un point M(r, θ, Φ) quelconque de l'espace, $\vec{B}$ appartient à ce plan – $\vec{B}(M) = B_r(M)\vec{e}_r + B_\theta(M)\vec{e}_\theta$. Et une seule invariance, par rotation selon Φ, donc : $\vec{B}(M) = B_r(r, \theta)\vec{e}_r + B_\theta(r, \theta)\vec{e}_\theta$.

On le calculera sur l'axe de la boucle en TD. On obtient, sur l'axe Oz, où $z = r$ et $\vec{e}_z = \vec{e}_r$ dans ce cas précis :

$$ \vec{B}(z) = \frac{\mu_0 I}{2} \frac{R^2}{(R^2 + z^2)^{3/2}} \vec{e}_z \propto \frac{1}{z^3} \vec{e}_z \quad (8.69) $$

où R est le rayon de la boucle circulaire, et z est la coordonnée du point M sur l'axe z de la boucle.

Le calcul en tout point de l'espace est fait à l'annexe G.
## 8.7.2 Plusieurs boucles accolées et connectées : le solénoïde

En accolant plusieurs boucles de courant connectées l'une à l'autre comme les spires d'un ressort, on obtient un « solénoïde » (figure 8.18a).

L'examen médical d'imagerie par résonance magnétique (IRM)<fnref n="1" /> utilise un « gros » solénoïde pour générer un champ magnétique statique intense (environ 10 T; pour cela la bobine doit être supracon-ductrice) et uniforme; solénoïde dans lequel est directement plongé le patient (voir la figure 8.18b).

<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>(a) Petit « solénoïde » de 6 spires; on ma-terialise les lignes de champ avec de la li-maille de fer.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>(b) Appareil d'IRM, le patient est directement plongé dans le « tun- nel » constitué par le solénoïde.</figcaption></figure>

<caption>FIGURE 8.18 – Solénoïdes.</caption>

Le calcul du champ dans un solénoïde aux spires jointives et infini sera fait en TD.

Pour un solénoïde de longueur infinie, constitué de *n* spires par unité de longueur, parcouru par un courant d'intensité *I*, d'axe $\vec{e}_z$ :

$$ \overrightarrow{B_{\text{intérieur}}} = \mu_0 n I \cdot \vec{e}_z \qquad (8.70) $$

$$ \overrightarrow{B_{\text{extérieur}}} = \vec{0} \qquad (8.71) $$

Ces relations sont à savoir et à savoir redémontrer. Cela est fait en TD, la méthode est la suivante :

1. Déterminer (à l'aide de la relation de Biot et Savart) le champ magnétique créé par un boucle unique circulaire sur son axe parcourue par un courant (dipôle) (exercice 11).

2. Sommer (avec une intégrale) le champ sur *N* boucles (spires) accolées pour obtenir le champ magnétique sur l'axe de ce solénoïde de longueur finie (exercice 12).

3. Extrapoler ensuite pour obtenir le champ magnétique sur l'axe d'un solénoïde de longueur infinie (exercice 12).

4. Avec le théorème d'Ampère obtienir le champ magnétique généré par un solénoïde de longueur infinie en tout point de l'espace en utilisant le résultat précédent sur son axe.

<footnote n="1">1. Pour en savoir plus sur l'IRM, voir l'article de blog : http://lasciencepourtous.cafe-sciences.org/articles/de-la-rmn-a-lirm/ ainsi que la vidéo sur le projet Iseult : http://www.cea.fr/multimedia/Pages/videos/activites-du-cea/projet-labo-installation/presentation-iseult.aspx.</footnote>
### 8.7.3 Dipôle magnétique

Un dipôle magnétique est une boucle de courant (une spire parcourue par un courant $I$) de petites dimensions.

Si on regarde sur l'axe de la boucle circulaire précédente, en un point $M$ loin de la boucle tel que $z \gg R$ ($R$ étant le rayon de la boucle), on a (figure 8.19) :

$$ \vec{B}_{\text{axe}}(z) \approx \frac{\mu_0 I R^2}{2 z^3} \vec{e}_z $$

Ce que l'on peut écrire selon :

$$ \vec{B}_{\text{axe}}(z) \approx \frac{\mu_0 \mathcal{M}}{2\pi z^3} \vec{e}_z $$

où on introduit $\mathcal{M} = I \cdot S$, le moment dipolaire magnétique de la boucle, avec $S = \pi R^2$.

Plus généralement :

$$ \boxed{\vec{M} = I \cdot \vec{S} \qquad (8.72)} $$

où $\vec{M}$ s'exprime en $\text{A} \cdot \text{m}^2$.

▲ Le sens du courant $I$ fixe celui du vecteur surface $\vec{S}$ !

<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>FIGURE 8.19 – Schéma du dipôle magnétique avec son moment dipolaire.</figcaption></figure>

On définit :

→ un dipôle *actif* qui crée un champ $\vec{B}$ autour de lui;

→ un dipôle *passif* qui se trouve dans un champ $\vec{B}$ extérieur : dans ce cas, en général, on ne tient pas compte du champ créé par le dipôle lui-même;

→ un dipôle *rigide* qui est un dipôle de moment dipolaire $||\vec{M}|| = \text{cte}$, ce qui revient à considérer un circuit *indéformable*.

Remarques :

→ Toute distribution de courant de taille fini va créer un champ magnétique de type dipolaire quand on regarde de suffisamment loin.

→ Une boucle de courant circulaire a un moment dipolaire dirigé selon l'axe de la boucle, le sens du courant donne son orientation (règle de la main droite) (voir figure 8.19).

→ Pour un aimant droit permanent, le moment dipolaire est dirigé selon les « pôles » de l'aimant.
### 8.7.4 Lignes de champ du dipôle

Le champ magnétique le « plus simple » ressemble au champ $\vec{E}$ créé par un dipôle électrique (deux charges opposées) et non à celui créé par une charge. C'est d'ailleurs par analogie de la forme des lignes de champ (voir figure 8.20) avec le dipôle électrostatique (ou électrique) que l'on appelle la boucle de courant un « dipôle » magnétique.

<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>(a) Lignes de champ d'un dipôle électrostatique constitué de deux charges + et -.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>(b) Lignes de champ du dipôle magnétique constitué d'une boucle de courant.</figcaption></figure>

FIGURE 8.20 – Comparaison entre les lignes de champ d'un dipôle électrostatique et celles d'un dipôle magnétique. Il y a une petite erreur sur l'un de ces schémas tirés d'un ouvrage de cours. Laquelle ?

### 8.7.5 Énergie potentielle d'interaction avec un champ extérieur

Pour un dipôle magnétique *rigide*, il existe une énergie potentielle d'interaction entre ce dipôle et un champ magnétique extérieur $\vec{B}_{\text{ext}}$ stationnaire :

$$E_p = -\vec{M} \cdot \vec{B}_{\text{ext}} \qquad (8.73)$$

Cette énergie est minimale lorsque le moment magnétique est aligné sur le champ magnétique (équilibre stable). Voir TD3, exercice 19.

### 8.7.6 Action d'un champ B extérieur sur un dipôle passif

Si $\vec{B}_{\text{ext}}$ est uniforme, la résultante des forces de Laplace s'appliquant sur le dipôle est nulle :

$$\vec{F}_{\text{Laplace}} = \oint I d\vec{l} \wedge \vec{B}_{\text{ext}} = I \left(\oint d\vec{l}\right) \wedge \vec{B}_{\text{ext}} = \vec{0} \qquad (8.74)$$

Le moment des forces en un point O quelconque est donné par :

$$\vec{\Gamma}_O = \oint_{\text{circuit}} \vec{OP} \wedge d\vec{F}_{\text{Laplace}} = \vec{M} \wedge \vec{B}_{\text{ext}} \qquad (8.75)$$
(nous verrons une démonstration de cette relation dans un cas simple en TD).

Donc le dipôle (passif) va voir son axe (son moment dipolaire) s'aligner avec le champ magnétique (par exemple, les particules de limaille de fer ou l'aiguille de la boussole).

Si $\vec{B}_{\text{ext}}$ est stationnaire mais non uniforme (ie $B(x, y, z)$), la force de Laplace subie par le dipôle est :

$$ \vec{F}_{\text{Laplace}}^{\text{dipôle}} = -\overrightarrow{\text{grad}} E_p = \overrightarrow{\text{grad}} (\vec{M} \cdot \vec{B}_{\text{ext}}) \quad (8.76) $$

Par exemple, la composante sur $x$ sera : $F_x = \overrightarrow{M} \cdot \frac{\partial \vec{B}_{\text{ext}}}{\partial x}$

Donc le dipôle est attiré vers les régions de champ intense : la limaille de fer ne se contente pas de s'aligner avec le champ, elle se déplace vers là où il est le plus fort.

## 8.8 Le potentiel vecteur

### 8.8.1 Introduction mathématique : le rotationnel

Tout comme la divergence, le rotationnel est un outil mathématique indispensable en physique.

Comme son nom le suggère, le rotationnel donne une mesure de la « rotation » d'un champ vectoriel : il contient de l'information non seulement sur l'axe de rotation et aussi sur l'amplitude de la rotation. On peut donc deviner que le rotationnel d'un champ vectoriel sera un vecteur (dont la direction est celle de l'axe de rotation).

#### Définition

Le rotationnel de $\vec{a}$, noté $\overrightarrow{\text{rot}}(\vec{a})$ est un vecteur.

La composante de $\overrightarrow{\text{rot}}(\vec{a})$ dans la direction du vecteur unitaire $\vec{e}_n$ est définie par :

$$ \vec{e}_n \cdot \overrightarrow{\text{rot}}(\vec{a}) = \lim_{A \to 0} \left[ \frac{1}{A} \oint_C \vec{a} \cdot d\vec{l} \right] \quad (8.77) $$

où :

→ C est un contour orienté quelconque.

→ A est l'aire de la surface qui s'appuie sur le contour C (en fait, la définition ne dépend pas du choix de la surface).

→ $\vec{e}_n$ est normal à la surface A et orienté du côté d'où l'on voit le chemin C orienté dans le sens anti-horaire (de façon équivalente, $\vec{n}$ est orienté par la règle de la main droite).

Donc $\vec{e}_n \cdot \overrightarrow{\text{rot}}(\vec{a})$ correspond à une circulation par unité de surface.

#### Le rotationnel en coordonnées cartésiennes

Pour trouver $(\overrightarrow{\text{rot}}(\vec{a}))_x$, la composante de $\overrightarrow{\text{rot}}(\vec{a})$ dans la direction $\vec{e}_x$, il suffit de poser $\vec{e}_n = \vec{e}_x$ dans (8.77) et considérer C comme un contour rectangulaire dans le plan orthogonal à $\vec{e}_x$ c'est-à-dire le plan $(y, z)$. Le contour C a pour côtés $dy$ et $dz$, où ces quantités sont supposées infiniment petites. Donc :

$$ A = dydz $$

et il y a 4 contributions à la circulation $c$ :

1. le long du bas du contour : $d\vec{l} = \vec{e}_y dy$, donc

$$ \vec{a} \cdot d\vec{l} = (\vec{a} \cdot \vec{e}_y) dy = a_{y(bas)} dy. $$
2. le long du haut : $d\vec{\ell} = -\vec{e}_y dy$, donc

$$ \vec{a} \cdot d\vec{\ell} = -(\vec{a} \cdot \vec{e}_y) dy = -a_{y(\text{haut})} dy. $$

3. le long du côté gauche : $d\vec{\ell} = -\vec{e}_z dz$, donc

$$ \vec{a} \cdot d\vec{\ell} = -(\vec{a} \cdot \vec{e}_z) dz = -a_{z(\text{gauche})} dz. $$

4. le long du côté droit : $d\vec{\ell} = \vec{e}_z dz$, donc

$$ \vec{a} \cdot d\vec{\ell} = (\vec{a} \cdot \vec{e}_z) dz = a_{z(\text{droite})} dz. $$

En prenant la somme, on a :

$$ \oint_C \vec{a} \cdot d\vec{\ell} = -(a_{y(\text{haut})} - a_{y(\text{bas})}) dy + (a_{z(\text{droite})} - a_{z(\text{gauche})}) dz \quad (8.78) $$

$$ = -\left(\frac{\partial a_y}{\partial z} dz\right) dy + \left(\frac{\partial a_z}{\partial y} dy\right) dz \quad (8.79) $$

$$ = \left(\frac{\partial a_z}{\partial y} - \frac{\partial a_y}{\partial z}\right) dy dz \quad (8.80) $$

Donc de (8.77) avec $A = dydz$ on trouve :

$$ (\vec{\text{rot}}(\vec{a}))_x = \lim_{A \to 0} \frac{1}{A} \left( \frac{\partial a_z}{\partial y} - \frac{\partial a_y}{\partial z} \right) A \quad (8.81) $$

et donc :

$$ (\vec{\text{rot}}(\vec{a}))_x = \left( \frac{\partial a_z}{\partial y} - \frac{\partial a_y}{\partial z} \right) \quad (8.82) $$

De même on a :

$$ (\vec{\text{rot}}(\vec{a}))_y = \left( \frac{\partial a_x}{\partial z} - \frac{\partial a_z}{\partial x} \right) \quad (8.83) $$

et :

$$ (\vec{\text{rot}}(\vec{a}))_z = \left( \frac{\partial a_y}{\partial x} - \frac{\partial a_x}{\partial y} \right) \quad (8.84) $$

On peut donc identifier :

$$ \vec{\text{rot}}(\vec{a}) = \left( \frac{\partial a_z}{\partial y} - \frac{\partial a_y}{\partial z} \right) \vec{e}_x + \left( \frac{\partial a_x}{\partial z} - \frac{\partial a_z}{\partial x} \right) \vec{e}_y + \left( \frac{\partial a_y}{\partial x} - \frac{\partial a_x}{\partial y} \right) \vec{e}_z \quad (8.85) $$

Les composantes du rotationnel dans les autres systèmes de coordonnées sont données dans l'annexe B.

### 8.8.2 Introduction physique

Le potentiel vecteur est un champ vectoriel généralement désigné par $\vec{A}(M)$ qui est le pendant pour le champ magnétostatique du champ scalaire potentiel électrostatique $V(M)$ vis-à-vis du champ électrostatique $\vec{E}(M)$.

Toutefois $\vec{A}(M)$ n'a pas une signification énergétique immédiate comme $V(M)$ ($E_p = q \cdot V$). Son interprétation physique est moins évidente. Son intérêt résulte dans un intermédiaire « commode » pour le calcul de champs magnétostatiques de distributions de courants connues. Ainsi que dans l'étude des champs électriques non permanents (voir plus loin, le chapitre sur l'induction).
### 8.8.3 Définition du potentiel vecteur

La divergence d'un rotationnel est nulle, et réciproquement : on montre que si un champ $\vec{B}$ est à divergence nulle, on peut trouver au moins un champ $\vec{A}$ dont il est le rotationnel.

Or le champ magnétique est un champ à divergence nulle : $\text{div } \vec{B} = 0$, donc il existe au moins un champ vectoriel $\vec{A}$ tel que :

$$ \vec{B} = \text{rot} \vec{A} \qquad (8.86) $$

$\vec{A}$ est appelé *potentiel vecteur* du champ $\vec{B}$. $\vec{A}$ s'exprime en T·m.

### 8.8.4 Flux magnétique

Le flux magnétique $\Phi$ est le flux du vecteur champ magnétique $\vec{B}$ à travers une surface S. On peut l'exprimer en fonction du potentiel vecteur $\vec{A}$, selon :

$$ \Phi = \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} = \iint_S \text{rot} \vec{A} \cdot d\vec{S} \qquad (8.87) $$

$$ = \oint_C \vec{A} \cdot d\vec{l} \qquad (8.88) $$

d'après le théorème de Stokes; S est une surface ouverte, et C est le contour qui s'appuie sur cette surface.

Le flux magnétique s'exprime en weber (Wb) = flux d'un champ de 1 T à travers 1 m² : 1 Wb = 1 T·m².

Le caractère conservatif du flux magnétique $\Phi$ fait qu'il ne dépend pas de la forme de la surface S, seulement du contour C sur lequel elle s'appuie (voir section 7.8.3).

### 8.8.5 Le potentiel vecteur est défini à une « constante près »

Comme le rotationnel d'un gradient est nul, on peut ajouter à un potentiel vecteur donné le gradient de n'importe quel champ scalaire $\varphi$. Si $\text{rot } \vec{A} = \vec{B}$, on peut définir $\vec{A}_1 = \vec{A} + \text{grad } \varphi$, ce qui donne :

$$ \text{rot } \vec{A}_1 = \text{rot}(\vec{A} + \text{grad } \varphi) = \vec{B} + \text{rot}(\text{grad } \varphi) = \vec{B} + \vec{0} = \vec{B} \qquad (8.89) $$

Le choix de la fonction $\varphi$ permet de définir complétement $\vec{A}$; on l'appelle « choix de jauge ». Notons que $\vec{B}$ est invariant par changement de jauge. Cette propriété permet de choisir le potentiel vecteur le plus adapté au problème, c'est-à-dire celui qui simplifie au mieux les calculs.

En magnétostatique, il est commode de choisir un potentiel vecteur qui vérifie en plus :

$$ \text{div } \vec{A} = 0 \qquad (8.90) $$

Il s'agit de la « jauge de Coulomb. » Ce choix ne définit néanmoins pas $\vec{A}$ de manière unique.

### 8.8.6 Équation locale du potentiel vecteur

À partir de l'équation de Maxwell-Ampère :

$$ \text{rot } \vec{B} = \mu_0 \vec{j} \qquad (8.91) $$

en remplaçant $\vec{B}$ par $\text{rot } \vec{A}$, cela donne :

$$ \text{rot}(\text{rot } \vec{A}) = \mu_0 \vec{j} \qquad (8.92) $$

Or on a (annexe B) :

$$ \text{rot}(\text{rot} \vec{A}) = \text{grad}(\text{div} \vec{A}) - \Delta \vec{A} \qquad (8.93) $$
C'est une façon de définir l'opérateur « laplacien vectoriel » $\Delta \vec{A}$.

En coordonnées cartésiennes, $\Delta \vec{A}$ s'écrit :

$$ \Delta \vec{A} = \Delta A_x \vec{e}_x + \Delta A_y \vec{e}_y + \Delta A_z \vec{e}_z \quad (8.94) $$

où $\Delta A_x$ est le laplacien (scalaire) de la composante $A_x$ sur $x$ de $\vec{A}$ :

$$ \Delta A_x = \operatorname{div}(\operatorname{grad}(A_x)) = \frac{\partial^2 A_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} \quad (8.95) $$

Donc, on a, avec (8.92) :

$$ \overrightarrow{\operatorname{grad}(\operatorname{div} \vec{A})} - \Delta \vec{A} = \mu_0 \vec{j} \quad (8.96) $$

Si on choisit la jauge de Coulomb, soit $\operatorname{div} \vec{A} = 0$, alors on obtient :

$$ \Delta \vec{A} = -\mu_0 \vec{j} \quad (8.97) $$

(équation vectorielle équivalente à trois équations scalaires)

Chacune des équations scalaires est de même structure que l'équation de Poisson pour le potentiel électrostatique (scalaire) $V$ créé par une distribution volumique de charges $\rho$ :

$$ \Delta V = \operatorname{div}(\overrightarrow{\operatorname{grad} V}) = -\operatorname{div} \vec{E} \quad \text{soit :} \quad \Delta V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad (8.98) $$

### 8.8.7 Expression du potentiel vecteur

L'équation de Poisson électrostatique sur le potentiel scalaire $V : \Delta V(M) = -\frac{\rho(M)}{\varepsilon_0}$ a pour solution :

$$ V(M) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \iiint \frac{\rho(P)}{PM} d\tau_P \quad (8.99) $$

où $\rho(P)$ est la densité volumique de charges au point $P$, en C·m⁻³.

Donc l'équation sur la composante $A_x$ sur $x$ du potentiel vecteur $\vec{A} : \Delta A_x(M) = -\mu_0 j_x(M)$ a pour solution :

$$ A_x(M) = \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint \frac{j_x(P)}{PM} d\tau_P \quad (8.100) $$

de même pour $A_y$ et $A_z$.

Donc, finalement (en jauge de Coulomb) on a :

$$ \vec{A}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint_V \frac{\vec{j}(P)}{PM} d\tau \quad \text{et} \quad \vec{A}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_C \frac{I \cdot d\vec{l}}{PM} \quad (8.101) $$

où $\vec{j}(P)$ est la densité volumique de courant au point $P$, en A·m⁻².

## 8.9 Énergie magnétostatique

Considérons une distribution de courants, créant un champ magnétique $\vec{B}(M)$ au point $M$. La densité d'énergie magnétique en $M$ est :

$$ u_B = \frac{B^2}{2\mu_0} \quad (8.102) $$

L'énergie magnétique totale de la distribution de courants est :

$$ U_B = \iiint_{\text{espace}} \frac{B^2}{2\mu_0} d\tau \quad (8.103) $$
où l'intégrale porte sur tout l'espace.

On montrera (section 10.4, p. 169) que l'on peut également l'écrire :

$$ U_B = \frac{1}{2} \iiint_{\text{espace}} \vec{j} \cdot \vec{A} d\tau \quad \text{car} \quad \vec{\text{rot}} \vec{B} = \mu_0 \vec{j} \qquad (8.104) $$

où l'intégrale porte sur le volume du conducteur où se trouve la densité de courant $\vec{j}$.
# Chapitre 9

# Induction

## 9.1 Mise en évidence expérimentale de l'induction

Après les expériences d'Ørsted, Biot, Savart dans les années 1820, la tentation devint grande d'es-
sayer de savoir si l'inverse était possible : un champ magnétique peut-il créer un courant électrique?

### 9.1.1 Michael Faraday (1791-1867), physicien britannique

En 1821, Faraday (figure 9.1a) reproduit et modifie les expériences de Ørsted ce qui le mène sur
la mise au point du moteur électrique, rotation d'un conducteur parcouru par un courant dans un
champ magnétique sous l'effet d'une force de Laplace.

<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>(a) Michael Faraday
par Thomas Phillips
huile sur toile, 1841-
1842, National Portrait
Gallery, Londres.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>FIGURE 9.1 – Faraday et son circuit.</figcaption></figure>

En 1831, il découvre¹ que l'on peut « induire » un courant dans un conducteur en ouvrant et fermant un circuit voisin (figure 9.1b). Il finit par comprendre comment fonctionne l'induction (qu'il nomme ainsi) dans un ouvrage publié en 1852 : « Quand un fil se meut directement à travers des lignes de force... la quantité d'électricité passant dans le circuit est proportionnelle au nombre de lignes coupées. »
<figure><img src="image_103.png" /></figure>

(a) Partie d'un circuit que l'on déplace (vers la droite) dans un champ magnétique extérieur.

<figure><img src="image_104.png" /></figure>

(b) Partie d'un circuit que l'on déplace (vers la gauche) dans un champ magnétique extérieur.

<figure><img src="image_105.png" /></figure>

(c) Aimant que l'on déplace devant une partie d'un circuit immobile.

<figure><img src="image_106.png" /></figure>

(d) Circuit immobile dans un champ magnétique variable dans le temps.

FIGURE 9.2 – Trois expériences mettant en évidence un courant induit.

## 9.1.2 Trois expériences

### Expérience 1

On déplace une partie d'un circuit dans un champ magnétique extérieur (figure 9.2). L'entrefer d'un aimant en U fournit le champ extérieur. On fait bouger vers la droite un circuit fermé se trouvant en partie dans l'entrefer.

Le déplacement du circuit (fermé) vers la droite engendre un courant induit $I_{ind}$ dans ce circuit, dans le sens PQRSP (figure 9.2a).

Le déplacement du circuit (fermé) vers la gauche engendre un courant induit $I_{ind}$ dans ce circuit, dans le sens (inverse) PSRQP (figure 9.2b).

Remarque : un déplacement vertical du circuit n'engendre aucun courant; un déplacement selon l'axe « y » non plus...

### Expérience 2

On déplace un aimant devant une partie d'un circuit immobile (figure 9.2c). Le déplacement de l'aimant vers la droite engendre le même courant induit $I_{ind}$ que le déplacement du fil vers la gauche : c'est ce que montre l'expérience et dicte le « bon sens » : dans les deux cas, on « enfonce le cadre dans l'entrefer. »

### Expérience 3

Un circuit électrique $C_{ext}$ immobile crée un champ magnétique variable $\vec{B}_{ext}$ dans le temps en étant alimenté par un courant alternatif $I_{ext}(t)$; le circuit C est plongé dans ce champ magnétique variable (figure 9.2d). On observe l'apparition d'un courant induit $I_{ind}$ dans le circuit C.

Si le courant à l'origine du champ magnétique $\vec{B}_{ext}$ est maintenu constant, aucun courant induit n'apparaît dans le circuit C.

<footnote n="1">1. Voir le documentaire : https://www.youtube.com/watch?time continue=869&v=416mMnKW70s.</footnote>
### Circuit ouvert

Dans le cas où le circuit filiforme est ouvert (par exemple dans l'expérience 1), un courant ne peut y être induit, en revanche une différence de potentiel (tension) entre les extrémités du circuit est observée.

### 9.1.3 Pour résumer...

On constate donc expérimentalement qu'un courant électrique (courant induit) apparaît dans un circuit conducteur dans trois types de cas :

1. soit lorsqu'on déplace le circuit dans le champ magnétique $\vec{B}_{ext}$;

2. soit lorsque ce circuit est fixé mais que c'est la source de champ magnétique $\vec{B}_{ext}$ (aimant...) que l'on déplace;

3. soit lorsque le circuit et la source du champ magnétique $\vec{B}_{ext}$ sont tous deux fixés mais que le champ magnétique $\vec{B}_{ext}(t)$ créé par la source (circuit inducteur) varie au cours du temps (en faisant varier le courant $I_{ext}(t)$ qui y circule au cours du temps.)

Dans tous les cas, pour que se produise un phénomène d'induction il faut que quelque chose varie au cours du temps : soit la position du circuit (ou de la source), soit le champ magnétique auquel est soumis le circuit.

Mais ça ne suffit pas!

### 9.1.4 ⚠ Petite subtilité!

<figure><img src="image_107.png" /></figure>

Dans les deux premiers cas, il faut que seulement une partie du circuit « bouge » dans $\vec{B}_{ext}$ (ou que $\vec{B}_{ext}$ ne soit pas uniforme); ou bien que $\vec{B}_{ext}$ « bouge » sur seulement une partie du circuit...

<figure><img src="image_108.png" /></figure>

(a) Le plan de la boucle est perpendiculaire aux lignes de champ. On observe un courant induit lorsque l'aire de la boucle varie.

<figure><img src="image_109.png" /></figure>

(b) Un courant induit apparaît lorsqu'une boucle tourne dans un champ extérieur.

<caption>FIGURE 9.3 – Variation de surface ou d'orientation par rapport au champ.</caption>

Si le circuit est plongé dans un champ magnétique $\vec{B}_{ext}$ uniforme, pour observer un courant induit, il faut :

* que la surface du circuit soit variable, voir la figure 9.3a.

* ou bien que l'orientation du circuit soit variable, voir la figure 9.3b.

Si un circuit se déplace dans un champ magnétique uniforme sans variation de sa surface exposée au champ ou de son orientation par rapport au champ, aucun courant n'est induit (figures 9.4).
<figure><img src="image_110.png" /></figure>

(a) Déplacement d'un circuit entièrement plongé dans un champ magnétique extérieur perpendiculairement au champ.

<figure><img src="image_111.png" /></figure>

(b) Déplacement d'un circuit entièrement plongé dans un champ magnétique extérieur parallèlement au champ.

FIGURE 9.4 – Déplacement d'un circuit sans variation de sa surface ou de son orientation par rapport au champ, alors il n'y a pas de courant induit.

### 9.1.5 Deux types d'induction

→ Induction de Lorentz : le circuit peut se déplacer ou se déformer en présence d'un champ magnétique extérieur permanent (cas de l'expérience 1).

→ Induction de Neumann : le circuit est immobile dans un champ magnétique variable (cas des expériences 2 et 3).

## 9.2 Induction de Lorentz : expérience 1

Dans la première expérience (figures 9.2a et 9.2b), le courant induit, c'est-à-dire la mise en mouvement des électrons de conduction, s'explique par la partie magnétique de la force de Lorentz exercée sur eux (il n'y a pas de champ électrique extérieur donc pas de partie « électrique » $q_e \vec{E}$) :

$$ \vec{F}_B = q_e \overrightarrow{v_{\text{circuit}}} \wedge \vec{B}_{\text{ext}} \qquad (9.1) $$

où :

→ $q_e = -e$ est la charge d'un électron;

→ $\overrightarrow{v_{\text{circuit}}}$ est la vitesse de déplacement du circuit;

→ $\vec{B}_{\text{ext}}$ est le champ magnétique extérieur, c'est-à-dire celui qui règne dans l'entrefer de l'aimant.

On met le fil en mouvement, ce qui signifie que l'on met en mouvement, en bloc avec lui, tous les électrons de conduction qu'il contient. Puisqu'ils ont une vitesse, ces électrons peuvent subir une force magnétique de Lorentz, ce qui les fera dériver le long du fil.

Pour qu'un courant circule dans le circuit, il faut que globalement (sur l'ensemble du circuit) ces forces entraînent plus les électrons de conduction dans un sens que dans l'autre.

Mathématiquement, cela revient à calculer la circulation de la force de Lorentz magnétique $\vec{F}_B$ tout autour du circuit C (fermé), qui est égale au travail $W_1$ él à fournir (en joules) pour qu'un électron fasse le tour du circuit, soit :

$$ W_1 \text{ él} = \oint_C \vec{F}_B \cdot d\vec{l} = \oint_C q_e (\overrightarrow{v_{\text{circuit}}}(\vec{r}) \wedge \vec{B}_{\text{ext}}(\vec{r})) \cdot d\vec{r} $$

Cette grandeur, intéressante, dépend de la nature des porteurs de charge (ici les électrons de conduction), et on aimerait avoir une grandeur indépendante de la charge. Pour cela, on divise la
force par la charge $q_e$ et on introduit :

$$ \text{le champ électromoteur} \qquad \overrightarrow{E_m} = \frac{\overrightarrow{F_B}}{q_e} = \overline{v_{\text{circuit}}} \wedge \overrightarrow{B_{\text{ext}}} \qquad \text{en V} \cdot \text{m}^{-1} \qquad (9.2) $$

ainsi que sa circulation le long du circuit C :

$$ \text{« la force électromotrice »} \qquad e_{\text{fém}} = \oint_C \overrightarrow{E_m} \cdot d\overrightarrow{l} = \oint_C (\overline{v_{\text{circuit}}} \wedge \overrightarrow{B_{\text{ext}}}) \cdot d\overrightarrow{l} \qquad \text{en V} \qquad (9.3) $$

▲ malgré son nom, la force électromotrice (fém) n'est pas homogène à une force, c'est la circulation du champ électromoteur (en V·m⁻¹), donc elle est homogène à une différence de potentiel (en V).

C'est aussi un « travail par unité de charge » puisque : $e_{\text{fém}} = \frac{W_1 \text{él}}{q_e}$.

Pour souligner l'importance que la force électromotrice soit la circulation le long de la **totalité du circuit (fermé)**, remarquons que si l'on translate un circuit rigide entièrement situé dans un champ extérieur uniforme, la fém s'écrit alors :

$$ e_{\text{fém}} = (\overline{v_{\text{circuit}}} \wedge \overrightarrow{B_{\text{ext}}}) \cdot \oint_C d\overrightarrow{l} = (\overline{v_{\text{circuit}}} \wedge \overrightarrow{B_{\text{ext}}}) \cdot \overrightarrow{0} = 0 \qquad (9.4) $$

la fém est alors nulle, ce qui corrobore la constatation expérimentale.

### 9.2.1 Exemple pour l'expérience 1

Calculons la force électromotrice (fém) pour le circuit que l'on translate dans l'entrefer d'un aimant en U (expérience 1, figure 9.5).

<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>FIGURE 9.5 – Schéma du circuit que l'on déplace dans l'entrefer.</figcaption></figure>

Le système { aimant - circuit } est analysé ici dans le référentiel de l'aimant. Le circuit se déplace par rapport à l'aimant à la vitesse $\overline{v}_{\text{circuit}/a}$.

On calcule la fém (dans le référentiel de l'aimant) par la circulation sur une longueur $l$ (~ la largeur de l'entrefer) du champ électromoteur $\overrightarrow{E_m} = \overline{v_{\text{circuit}}} \wedge \overrightarrow{B_{\text{ext}}}$.

On choisit arbitrairement de calculer la circulation dans le sens PQRSP (voir figure 9.5); le système
de coordonnées cartésiennes est indiqué sur la figure 9.5. On a :

$$
\begin{align*}
e_{\text{fém}}^{\text{PQRSP}}(t) &= \oint_{\text{PQRSP}} \overrightarrow{(v_{\text{circuit/a}} \wedge \overrightarrow{B_{\text{ext}}})} \cdot \overrightarrow{dr} \\
&= \int_{y_0}^{y_0+\ell} [(-v_{\text{circuit/a}} \overrightarrow{e_z}) \wedge (B_{\text{ext}} \overrightarrow{e_x})] \cdot (dy \overrightarrow{e_y}) \\
&= \int_{y_0}^{y_0+\ell} -v_{\text{circuit/a}} B_{\text{ext}} [(\overrightarrow{e_z} \wedge \overrightarrow{e_x}) \cdot \overrightarrow{e_y}] \cdot dy \\
&= \int_{y_0}^{y_0+\ell} -v_{\text{circuit/a}} B_{\text{ext}} \cdot dy = -v_{\text{circuit/a}} B_{\text{ext}} \int_{y_0}^{y_0+\ell} dy \tag{9.5}
\end{align*}
$$

Et donc :

$$
e_{\text{fém}}^{\text{PQRSP}}(t) = -v_{\text{circuit/a}} \cdot B_{\text{ext}} \cdot \ell \quad (9.6)
$$

On constate que $e_{\text{fém}}^{\text{PQRSP}}(t) < 0$ : cela signifie que le courant induit $I_{\text{ind}}$ circule non pas dans le sens
choisit arbitrairement mais dans le sens opposé$^2$ à savoir, ici, PSRQP.

Remarque : si ce circuit est petit et entièrement situé dans l'entrefer de l'aimant, on a $e_{\text{fém}} = 0$.

Dans ce cas, pour avoir une $e_{\text{fém}}$ non nulle, il faudrait que le champ électromoteur $\overrightarrow{v_{\text{circuit}}} \wedge \overrightarrow{B_{\text{ext}}}$ dépende de $\overrightarrow{r}$ :

$\rightarrow$ si $\overrightarrow{B_{\text{ext}}}(\overrightarrow{r})$ : translation d'un circuit dans un champ magnétique non uniforme;

-> si $\overrightarrow{v}_{\text{circuit}}(\overrightarrow{r})$ : *rotation d'un circuit* dans un champ magnétique (uniforme ou pas).

Expression du courant induit

Si on suppose que le circuit a une résistance électrique R, alors le courant induit s'exprime comme :

$$
I_{\text{ind}} = R \cdot |e_{\text{fém}}(t)| \tag{9.7}
$$

d'après la loi d'Ohm.

9.2.2 Exemple d'une boucle rectangulaire en rotation dans un champ magnétique exté-
rieur

On considère le circuit rectangulaire schématisé sur la figure 9.6, en rotation uniforme autour
de l'axe Oz, et plongé dans un champ magnétique extérieur, uniforme, dirigé selon l'axe Ox. Les
différentes grandeurs et variables sont indiquées sur les figures 9.6.

Pour déterminer la force électromotrice, calculons la circulation du champ électromoteur dans le
sens arbitraire BADCB :

$$
\begin{align}
e_{\text{fém}}(t) &= \oint_{\text{cadre}} \overrightarrow{E_m} \cdot \overrightarrow{d\ell} \nonumber \\
&= \oint_{\text{cadre}} \left( \overrightarrow{v}(M) \wedge \overrightarrow{B}_{\text{ext}} \right) \cdot \overrightarrow{d\ell} \tag{9.8}
\end{align}
$$

où M est un point du cadre et $\overrightarrow{d\ell}$ est un vecteur petit déplacement sur le cadre, dirigé dans le sens de
circulation arbitrairement choisi BADCB.

Or, pour un solide en rotation autour d'un axe fixe, on a :
$$ \overrightarrow{v}(M) = \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{OM} $$
avec $\overrightarrow{\Omega} = \Omega \overrightarrow{e_z}$. On a
$$ \overrightarrow{v} = v \cdot \overrightarrow{n} $$
$\overrightarrow{n}$ étant la composante algébrique de la vitesse linéaire du cadre, dont la valeur et le signe

2. La force électromotrice entre S et P est donnée par :

$$
e_{\text{fém}}^{\text{SP}}(t) = \int_{S}^{P} \overrightarrow{E}_{m} \cdot d\vec{\ell} = \int_{S}^{P} -\overrightarrow{\text{grad}} V \cdot d\vec{\ell} = -\int_{S}^{P} dV = -(V(P) - V(S))
$$

or, puisque $e_{\text{fém}}^{\text{SP}}(t) < 0$, on a : $V(P) - V(S) > 0$, soit $V(P) > V(S)$. Le potentiel électrique au point P est supérieur au potentiel au point S, donc le courant (induit) va de P vers S, car il « descend » les potentiels.
<figure><img src="image_113.png" /><figcaption>FIGURE 9.6 – Schéma de la boucle rectangulaire avec les différentes variables du problème.</figcaption></figure>

dépendent de la position du point M sur le cadre. $v_{AB}$ est la vitesse (constante) de la branche AB du cadre tandis que $v_{CD}$ est la vitesse (constante) de la branche CD du cadre, avec $v_{CD} = -v_{AB}$.

Donc :

$$ \vec{v} \wedge \vec{B}_{\text{ext}} = v B_{\text{ext}} (\vec{n} \wedge \vec{e}_z) = -v B_{\text{ext}} \sin \theta \vec{e}_z \quad (9.9) $$

Ce qui donne :

$$
\begin{align}
e_{\text{fém}}(t) &= \int_{AB} -v_{AB} B_{\text{ext}} \sin\theta \vec{e}_z \cdot \vec{e}_z dz + \underbrace{\int_{DA} -v_{DA} B_{\text{ext}} \sin\theta \vec{e}_z \cdot \vec{d}\ell}_{=0 \text{ car } \vec{e}_z \perp \vec{d}\ell} \nonumber \\
&\quad + \int_{CD} -v_{CD} B_{\text{ext}} \sin\theta \vec{e}_z \cdot (-\vec{e}_z dz) + \underbrace{\int_{BC} -v_{BC} B_{\text{ext}} \sin\theta \vec{e}_z \cdot \vec{d}\ell}_{=0 \text{ car } \vec{e}_z \perp \vec{d}\ell} \nonumber \\
&= \int_{AB} -v_{AB} B_{\text{ext}} \sin\theta dz + \int_{CD} v_{CD} B_{\text{ext}} \sin\theta dz \nonumber \\
&= -v_{AB} B_{\text{ext}} \sin\theta \left(\int_{0}^{a} dz + \int_{0}^{a} dz\right) \quad \text{car} \quad v_{CD} = -v_{AB} \nonumber \\
&= -2v_{AB} a B_{\text{ext}} \sin\theta \tag{9.10}
\end{align}
$$

Soit :

$$ e_{\text{fém}}(t) = -\Omega a b B_{\text{ext}} \sin(\Omega t) \quad \text{car } v_{\text{AB}} = \Omega b/2 \text{ et } \theta = \Omega t \quad (9.11) $$

On obtient ainsi un courant alternatif dans le cadre qui circule dans le sens BCDAB (car $e_{\text{fém}}(t) < 0$ pour $0 < \theta < \pi$ et calculée pour le sens de circulation BADCB). C'est le principe de fonctionnement de l'alternateur.
## 9.3 Loi de Lenz (loi de modération)

La loi de Lenz ou loi de modération stipule que :

> Le sens du courant induit est toujours tel qu'il « modère » les causes qui lui ont donné naissance.

Dans le cas de circuits déplacés dans un champ magnétique fixe $\vec{B}_{ext}$ : les courants induits créent des forces de Laplace qui « freinent » le mouvement.

### 9.3.1 Exemple 1 : cadre en translation

On considère un circuit rectangulaire translaté avec une partie plongée dans un champ magnétique (comme pour l'expérience 1), voir la figure 9.7.

<figure><img src="image_114.png" /><figcaption>FIGURE 9.7 – Illustration de la loi de Lenz avec un cadre translaté dans un champ magnétique.</figcaption></figure>

La force de Laplace, $\vec{F}_{Laplace}$, due au courant induit est de sens opposé à la vitesse $\vec{v}_{fil}$ de déplacement du circuit : le sens du courant induit est tel qu'il *modère* ce qui l'a provoqué.

Cette force de Laplace n'est pas la même que la force $\vec{F}_B$ (équation (9.2)) qui est à l'origine du courant induit. La force de Laplace dont il est question ici *découle* de l'existence de ce courant induit.

### 9.3.2 Exemple 2 : cadre en rotation

On reprend le circuit rectangulaire en rotation dans un champ magnétique étudié plus haut (§9.2.2). Les figures 9.8 reprennent la figure 9.6 sur lesquelles sont indiqués le courant induit (en vert) et les forces de Laplace qu'il génère sur chacun des côtés du rectangle (en rouge).

La résultante des forces de Laplace est nulle (si $\vec{B}_{ext}$ est uniforme) :

$$ \vec{F}_{Lapl} = \oint_{cadre} = \vec{F}_{Lapl}^{AB} + \vec{F}_{Lapl}^{BC} + \vec{F}_{Lapl}^{CD} + \vec{F}_{Lapl}^{DA} = \vec{0} \qquad (9.12) $$

ce qui ne donne aucune information sur le côté « résistif » du courant induit.

En revanche, le moment des forces de Laplace résultant, par rapport à l'axe de rotation n'est pas nul. On montrera en TD qu'il s'oppose au moment cinétique, et donc s'oppose au mouvement de rotation...

Quelques rappels de mécanique pour ce faire :
<figure><img src="image_115.png" /><figcaption>FIGURE 9.8 - Cadre en rotation avec le sens du courant induit (en vert) et les forces de Laplace sur chacun des côtés (en rouge).</figcaption></figure>

→ Moment au point O d'une force $\vec{F}$ appliquée au point M :

$$ \vec{M}_O(\vec{F}) = \vec{OM} \wedge \vec{F} \qquad (9.13) $$

→ Moment de la force $\vec{F}$ par rapport à un axe $\Delta$ :

$$ \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F}) = \vec{M}_{O}(\vec{F}) \cdot \vec{e}_{\Delta} = (\vec{OM} \wedge \vec{F}) \cdot \vec{e}_{\Delta} \qquad (9.14) $$

où O est un point de l'axe $\Delta$ et $\vec{e}_{\Delta}$ un vecteur unitaire de cet axe.

→ Théorème du moment cinétique :

$$ \frac{dJ_{\Delta}}{dt} = \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{F}) \qquad (9.15) $$

où $J_{\Delta}$ est le moment cinétique du cadre. On a : $J_{\Delta} = L_{\text{cadre}} \cdot \omega$, où $L_{\text{cadre}}$ est le moment d'inertie du cadre.

### 9.3.3 Quelques remarques

C'est en 1834 que le physicien allemand Heinrich Lenz énonça cette loi : « Un courant induit est toujours tel qu'il « modère » les causes qui lui ont donné naissance. »

Cela peut sembler « bizarre » mais en fait, c'est :

→ **Très général** : il existe diverses lois de modération dans le domaine de la physique et de la chaleur (loi de Le Châtelier) qui disent toutes qu'un système déplacé réagit de façon à modérer ce déplacement.
Par exemple, la loi de Le Châtelier (1884) stipule : « Lorsque les modifications extérieures apportées à un système physico-chimique en équilibre provoquent une évolution vers un nouvel état d'équilibre, l'évolution s'oppose aux perturbations qui l'ont engendrée et en modère l'effet. » ou encore, dit autrement : « un système thermodynamique en équilibre soumis à une perturbation (introduction d'un nouveau constituant, variation de la pression, variation de la température, etc) tend à s'opposer à cette perturbation, le déplacement de l'équilibre tendant à restituer les conditions initiales. »

→ **Très heureux** : imaginons un « anti-univers » où ces lois seraient remplacées par des lois opposées qui diraient qu' « un système déplacé réagit de façon à augmenter ce déplacement » ; les conséquences d'une « anti-loi de Lenz » seraient que si un souffle de vent venait déplacer un circuit initialement immobile dans un champ magnétique extérieur, le courant induit serait tel que les forces de Laplace le feraient se déplacer plus vite, ce qui augmenterait les courants induits, le faisant se déplacer encore plus vite! (et ce qui violerait, au passage, le principe de conservation de l'énergie).

→ **Très pratique** : cela permet de prévoir le sens d'un courant induit sans faire un calcul de force électromotrice.

## 9.4 Induction de Neumann : expériences 2 et 3

### 9.4.1 Un paradoxe

On revient sur l'expérience 2, où le circuit est immobile, c'est l'aimant en U qui se déplace avec le champ magnétique $\vec{B}_{ext}$ (figure 9.9). Dans ce cas, on a :

→ dans le référentiel $\{a\}$ de l'aimant on a : $\vec{v}_{circuit/a} \neq \vec{0}$ et donc $\vec{E}_m = \vec{v}_{circuit/a} \wedge \vec{B}_{ext} \neq \vec{0}$ mais,

→ dans le référentiel $\{c\}$ du circuit où on a : $\vec{v}_{circuit/c} = \vec{0}$, et donc : $\vec{v}_{circuit/c} \wedge \vec{B}_{ext} = \vec{0}$, or on constate qu'il y a un courant induit, et donc que $\vec{E}_m \neq \vec{0}$ : comment écrire $\vec{E}_m$ dans ce cas ?

<figure><img src="image_116.png" /><figcaption>FIGURE 9.9 – Le circuit est immobile, l’aimant se déplace.</figcaption></figure>

### 9.4.2 Que vaut le champ électromoteur ?

Ce qui fait bouger les électrons, c'est une force électromagnétique, donc une force de Lorentz, à savoir : $\vec{F}_{Lorentz} = q(\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B})$.

Or, comme $\vec{v} = \vec{0}$ (dans le référentiel lié au circuit), c'est nécessairement la partie « électrique » de cette force : $\vec{F}_{Lorentz} = q\vec{E}$ qui est responsable du courant induit. Et donc, comme précédemment, on a un champ électromoteur :
$$ \vec{E}_m = \frac{\vec{F}_{\text{Lorentz}}}{q} = ? \qquad (9.16) $$

et une force électromotrice :

$$ e_{\text{fém}} = \oint_C \vec{E}_m \cdot d\vec{l} \qquad (9.17) $$

Mais on sait, d'après le théorème de Stokes, que :

$$ \oint_C \vec{E}_m \cdot d\vec{l} = \iint_{SO} \text{rot} \vec{E}_m \cdot d\vec{S} \qquad (9.18) $$

où $SO$ est une surface quelconque s'appuyant sur le contour $C$ et orientée selon le sens de la circulation sur $C$.

On se pose la question légitime de savoir ce qu'est : $\text{rot } \vec{E}_m = ?$

### 9.4.3 Équation de Maxwell-Faraday

On introduit l'équation de Maxwell-Faraday :

$$ \text{rot} \vec{E}(\vec{r}, t) = -\frac{\partial \vec{B}(\vec{r}, t)}{\partial t} \qquad (9.19) $$

Cette équation traduit le fait que la variation du champ magnétique $\vec{B}$ dans le temps induit un champ électrique $\vec{E}$.

Les autres équations de Maxwell sont :

$$ \text{Équation de Maxwell-Gauss :} \quad \text{div } \vec{E}(\vec{r}, t) = \frac{\rho(\vec{r}, t)}{\varepsilon_0} \qquad (9.20) $$

$$ \text{Équation de Maxwell-Thomson :} \quad \text{div } \vec{B}(\vec{r}, t) = 0 \qquad (9.21) $$

$$ \text{Équation de Maxwell-Ampère :} \quad \text{rot } \vec{B}(\vec{r}, t) = \mu_0 \vec{j}(\vec{r}, t) + \text{???} \qquad (9.22) $$

La dernière équation, de Maxwell-Ampère, est incomplète, il manque un terme $(\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t})$. L'équation complète traduit le couplage avec le champ électrique, notamment que la variation temporelle du champ électrique crée un champ magnétique. Néanmoins, dans le cadre du formalisme de l'induction, cette partie de l'équation est négligeable, elle apparaîtra dans la mise en équation des ondes électromagnétiques (cf. L3).

Revenons à l'équation de Maxwell-Faraday (eq. (9.19)) : dans le cas particulier de l'électrostatique et de la magnétostatique (régimes stationnaires) où « rien » ne dépend du temps, cette équation se réduit à$^3$ :

$$ \text{rot } \vec{E} = \vec{0} \quad \leftrightarrow \quad \vec{E} = -\text{grad } V \qquad (9.23) $$

$$ \text{car : } \text{rot}(\text{grad } V) = \vec{0}. $$

Dans le cas où le champ magnétique dépend du temps $t$ (ce qui est le cas pour l'induction) : $\vec{B}(t)$, on a :

$$ \text{rot } \vec{E}(\vec{r}, t) = -\frac{\partial(\text{rot } \vec{A}(\vec{r}, t))}{\partial t} = \text{rot} \left( -\frac{\partial \vec{A}(\vec{r}, t)}{\partial t} \right) \qquad (9.24) $$

où $\vec{A}$ est le potentiel vecteur.

<footnote n="3">3. Le signe « – » dans l'expression $\vec{E} = -\text{grad } V$ est fixé arbitrairement. On l'introduit pour qu'une position d'équilibre stable corresponde à un minimum de l'énergie potentielle électrostatique $E_p = q \cdot V$ associée.</footnote>
Ce qui donne :

$$ \overrightarrow{\text{rot}}\left(\vec{E} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}\right) = \vec{0} \quad \leftrightarrow \quad \vec{E} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} = -\overrightarrow{\text{grad}} V \qquad (9.25) $$

On en déduit une expression générale et complète du champ électrique $\vec{E}(\vec{r}, t)$ :

$$ \vec{E}(\vec{r}, t) = -\overrightarrow{\text{grad}} V(\vec{r}, t) - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} \qquad (9.26) $$

où $V$ est le potentiel (électrique) scalaire et $\vec{A}$ le potentiel (magnétique) vecteur.

On a donc désormais une expression pour le rotationnel du champ électrique. Ainsi, la circulation de $\vec{E}$ sur un contour fermé s'écrit :

$$ \begin{aligned} \oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} &= \iint_{SO} \overrightarrow{\text{rot}} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \iint_{SO} \overrightarrow{\text{rot}} \left( -\overrightarrow{\text{grad}} V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} \right) \cdot d\vec{S} \\ &= \iint_{SO} \left[ -\overrightarrow{\text{rot}}(\overrightarrow{\text{grad}} V) - \overrightarrow{\text{rot}} \left( \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} \right) \right] \cdot d\vec{S} \\ &= \iint_{SO} \overrightarrow{\text{rot}} \left( -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} \right) \cdot d\vec{S} \\ &= \oint_C \left( -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} \right) \cdot d\vec{l} \end{aligned} \qquad (9.27) $$

Donc seule la partie $-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$ du champ $\vec{E}$ contribue à cette circulation.

### 9.4.4 Champ électromoteur

On est toujours dans le cas des l'expériences 2 et 3, où le circuit est immobile et où c'est le champ magnétique extérieur $\vec{B}_{\text{ext}}(t)$ qui varie au cours du temps... On vient de montrer que dans ce cas, le champ électromoteur s'écrit :

$$ \vec{E}_m(\vec{r}, t) = - \frac{\partial \vec{A}(\vec{r}, t)}{\partial t} \qquad (\text{en V} \cdot \text{m}^{-1}) \qquad (9.28) $$

La force électromotrice s'écrit alors :

$$ e_{\text{fém}}(t) = \oint_C \vec{E}_m(\vec{r}, t) \cdot d\vec{r} = \oint_C \left( -\frac{\partial \vec{A}(\vec{r}, t)}{\partial t} \right) \cdot d\vec{r} \quad (\text{en V}) \qquad (9.29) $$

Dans le référentiel où le circuit est immobile, la force électromotrice est la circulation le long du circuit de l'opposée de la dérivée par rapport au temps du potentiel vecteur $\vec{A}$.

## 9.5 Loi de Faraday

Par le théorème de Stokes, on a :

$$ e_{\text{fém}}(t) = \oint_C \left( -\frac{\partial \vec{A}(\vec{r}, t)}{\partial t} \right) \cdot d\vec{r} = \iint_{SO} \overrightarrow{\text{rot}} \left( -\frac{\partial \vec{A}(\vec{r}, t)}{\partial t} \right) \cdot d\vec{S} \qquad (9.30) $$

Or, comme le circuit est immobile, on peut sortir la dérivée temporelle de l'intégrale (l'intégrale porte sur une surface ouverte s'appuyant sur le circuit C fermé, donc indépendante du temps) :

$$ e_{\text{fém}}(t) = \iint_{SO} \overrightarrow{\text{rot}} \left( -\frac{\partial \vec{A}(\vec{r}, t)}{\partial t} \right) \cdot d\vec{S} = -\frac{\partial}{\partial t} \left( \iint_{SO} \overrightarrow{\text{rot}} \vec{A} \cdot d\vec{S} \right) \qquad (9.31) $$
Et donc :

$$e_{\text{fém}}(t) = -\frac{\partial}{\partial t} \left( \iint_{SO} \vec{B}(\vec{r}, t) \cdot \vec{dS} \right) \qquad (9.32)$$

Cela donne la loi de Faraday :

$$e_{\text{fém}}(t) = -\frac{d\Phi_{\vec{B}}(t)}{dt} \qquad (9.33)$$

où on a introduit le **flux du champ magnétique** (= circulation du potentiel vecteur) à travers une **surface correctement orientée par rapport au sens de circulation sur le contour C, sur lequel elle s'appuie :**

$$\Phi_{\vec{B}}(t) = \iint_{SO} \vec{B}(\vec{r}, t) \cdot \vec{dS} = \oint_{C} \vec{A}(\vec{r}, t) \cdot \vec{dr} \qquad (9.34)$$

Le flux magnétique s'exprime en weber (Wb).

Dans cette loi, le champ électromoteur $\vec{E}_m = -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$ n'apparaît pas explicitement, mais cette loi est très commode pour calculer rapidement les forces électromotrices d'induction.

Remarque : la loi de Faraday est historiquement issue de l'expérience (voir section 9.1.1); elle exprime de manière quantitative l'observation : « à chaque fois qu'il y a un courant induit, le nombre de lignes de champ qui traversent la surface délimitée par le circuit varie dans le temps. »

### 9.5.1 Loi de Faraday et circuit se déplaçant

On peut également utiliser la loi de Faraday pour déterminer la fém sur un circuit qui se déplace dans un champ magnétique extérieur. Pour cela il faut calculer le flux du champ magnétique à travers la surface du circuit exposée au champ et balayée pendant le déplacement du circuit : on parle de « flux coupé ».

Pour cela, nous allons distinguer deux cas :

1. Soit la surface du circuit exposée au champ ne varie pas, dans le cas d'un circuit rigide plongé entièrement dans le champ; auquel cas, c'est le champ qui varie à travers cette surface.

2. Soit la surface du circuit exposée au champ varie, parce que seulement une partie du circuit est soumise au champ magnétique, ou bien parce que le contour du circuit varie.

#### Si la surface ne change pas au cours du déplacement

Considérons, par exemple, le cas de l'exercice 1 du TD4, où un cadre rigide se déplace à vitesse constante dans le champ magnétique non uniforme généré par un fil infini parcouru par un courant (figure 9.10).

Dans ce cas, le flux du champ balayé par le déplacement du circuit est simplement le flux du champ à travers la surface orientée SO du circuit :

$$\Phi_B = \iint_{SO} \vec{B}_{\text{ext}} \cdot \vec{dS} \qquad (9.35)$$

et :

$$e_{\text{fém}} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\frac{d}{dt} \left( \iint_{SO} \vec{B}_{\text{ext}} \cdot \vec{dS} \right) \qquad (9.36)$$

L'orientation arbitraire du vecteur surface $\vec{dS}$ (par exemple dans le même sens que $\vec{B}_{\text{ext}}$) oriente de facto le circuit (également arbitrairement), d'après la règle de la main droite.

D'après la figure 9.10, on aura dans ce cas :

$$\vec{dS} = dx \cdot dz \cdot \vec{e}_y = v \cdot dt \cdot dz \cdot \vec{e}_y$$

Pour la suite du calcul, voir en TD.
<figure><img src="image_117.png" /><figcaption>FIGURE 9.10 – Circuit rigide translaté dans un champ magnétique extérieur non uniforme (exercice 1 du TD4).</figcaption></figure>

Si la surface change au cours du déplacement

Par contre, quand c'est la surface du circuit exposée au champ magnétique extérieur qui varie dans le temps, comme dans l'expérience 1 précédente où le circuit est translaté dans le champ magnétique extérieur de l'aimant (figure 9.11). Dans ce cas, la surface intérieure au circuit exposée au champ magnétique extérieur (généré par l'aimant), s'agrandit au cours du temps, c'est la surface représentée en bleu sur la figure 9.11b.

L'orientation de cette surface « exposée » au champ pendant l'intervalle de temps $dt$ génère une ambiguité sur l'orientation du circuit puisque les deux côtés du rectangle bleu sont issu du même morceau du circuit. Mais en orientant la surface bleue arbitrairement, le côté PS à l'instant $t$ (en trait plein) est orienté dans le sens opposé du côté PS à l'instant $t + dt$ (en tiretés). Comment faire pour que l'orientation même arbitraire du circuit signifie quelque chose (elle donne, selon le signe de la force électromotrice, le sens du courant induit) ?

<figure><img src="image_118.png" /><figcaption>FIGURE 9.11 – Circuit translaté dans un champ magnétique extérieur. La surface colorée est la surface balayée par le circuit pendant $dt$.</figcaption></figure>

Pour lever cette ambiguité on introduit la notion de surface « balayée » ou « coupée » par le circuit, qui est seulement une surface dont on « oriente » les deux directions à l'aide de vecteurs :

$$ \overrightarrow{dS_{\text{coupée}}} = \text{déplacement} \wedge \text{circuit} \qquad (9.37) $$
où le vecteur déplacement est un vecteur élémentaire dans le sens et la direction du déplacement du circuit et le vecteur circuit est un vecteur élémentaire sur le circuit, au sens choisi arbitrairement. Ce produit vectoriel fixe ainsi le sens du vecteur surface $dS_{coupée}$.

En prenant les notations de la figure 9.11b, cela donne, avec déplacement $= \vec{d\delta}$ et circuit $= \vec{d\ell}$ :

$$ \vec{dS} = \vec{d\delta} \wedge \vec{d\ell} $$

avec $\vec{d\delta} = \vec{v} \cdot dt$ le vecteur « petit » déplacement du circuit à la vitesse $\vec{v}$, $\vec{d\ell}$ est le vecteur petit déplacement sur le circuit orienté dans un sens arbitraire. On a ainsi, avec le système de vecteurs unitaires de la figure 9.11b :

$$ \vec{d\delta} = \vec{v} \cdot dt = -vdt \cdot \vec{e}_z \qquad (9.38) $$

et :

$$ \vec{d\ell} = d\ell \cdot \vec{e}_y \qquad (9.39) $$

On appelle « flux coupé élémentaire 4 » le « petit » flux du champ magnétique à travers le petit élément de surface balayé par le circuit :

$$ d^2\Phi_B^{\text{coupé}} = \vec{B}_{\text{ext}} \cdot \vec{dS} = \vec{B}_{\text{ext}} \cdot (\vec{d\delta} \wedge \vec{d\ell}) \qquad (9.40) $$

et le « flux coupé » en intégrant sur toute la surface balayée par le circuit :

$$ \Phi_B^{\text{coupé}} = \iint_{SO} \vec{B}_{\text{ext}} \cdot (\vec{d\delta} \wedge \vec{d\ell}) \qquad (9.41) $$

Avec les relations (9.38) et (9.39), on obtient :

$$ \vec{dS} = \vec{d\delta} \wedge \vec{d\ell} = -vdt \cdot \vec{e}_z \wedge d\ell \cdot \vec{e}_y = -vdtd\ell(-\vec{e}_x) = vdt d\ell \vec{e}_x \qquad (9.42) $$

Donc :

$$ d\Phi_B^{\text{coupé}} = dt \cdot \int_{y=0}^{\ell} B_{\text{ext}} v dy \qquad (9.43) $$

Donc :

$$ d\Phi_B^{\text{coupé}} = B_{\text{ext}} v \cdot \ell \cdot dt \qquad (9.44) $$

d'où :

$$ e_{\text{fém}} = - \frac{d\Phi_B^{\text{coupé}}}{dt} = -B_{\text{ext}} \cdot v \cdot \ell \qquad (9.45) $$

Et comme $e_{\text{fém}} < 0$, cela signifie que le courant induit circule dans le sens opposé à celui choisi pour $\vec{d\ell}$.

## 9.6 Retour sur la loi de Lenz

Dans le cas des expériences 2 et 3, où le circuit est immobile et plongé dans un champ magnétique extérieur qui varie au cours du temps, on peut reformuler de façon plus précise la loi de Lenz (« un courant induit est toujours tel qu'il "modère" les causes qui lui ont donné naissance ») : les courants induits créent un champ magnétique $\vec{B}_{\text{ind}}$ qui vient "modérer" les variations de flux de $\vec{B}_{\text{ext}}$ dans le circuit.

Prenons l'exemple (toujours!) de l'aimant translaté sur le circuit (le fil s'enfonce dans l'entrefer),
voir la figure 9.12.

$$ \Phi_{\vec{B}}(t) = B_{\text{ext}} \cdot \ell \cdot d(t) $$

$\Phi_{\vec{B}}(t)$ croît quand $t$ croît donc $\vec{B}_{\text{ind}}(t)$ « modère » cette augmentation car il est de sens opposé à $\vec{B}_{\text{ext}}$ dans les régions contribuant au flux $\Phi_{\vec{B}}$ (la région bleutée) : le champ $\vec{B}_{\text{ind}}(t)$ est orthoradial par rapport au fil...

<footnote n="4">4. On note un petit élément d'une grandeur physique avec un $d^2$ quand il dépend du produit de deux petits éléments, comme ici, où $d^2\Phi_B^{\text{coupé}}$ dépend des deux éléments de longueur $\vec{d\delta}$ et $\vec{d\ell}$.</footnote>
<figure><img src="image_119.png" /><figcaption>FIGURE 9.12 – Aimant translaté sur le circuit et champ magnétique induit créé par le courant induit dans le circuit.</figcaption></figure>

## 9.7 Expression générale du champ électromoteur

Dans le cas général (et compliqué) où le circuit se déplace à la vitesse $\vec{v}_{cir}$ dans un champ magnétique $\vec{B}(t)$ dépendant du temps, on a :

$$ \vec{E}_m(\vec{r}, t) = \vec{v}_{cir}(\vec{r}, t) \wedge \vec{B}(\vec{r}, t) - \frac{\partial \vec{A}(\vec{r}, t)}{\partial t} \qquad (9.46) $$

et :

$$ e_{fém}(t) = \oint_{C(t)} \vec{E}_m(\vec{r}, t) \cdot d\vec{r} \qquad (9.47) $$

mais ce cas est peu fréquent (il est souvent évitable par un choix astucieux de référentiel).
# Chapitre 10

## Induction mutuelle (entre deux circuits)

### 10.1 Deux circuits immobiles l'un par rapport à l'autre

Soient deux circuits conducteurs $C_1$ et $C_2$ qui sont immobiles l'un par rapport à l'autre (figure 10.1). On se place dans le référentiel où $C_1$ et $C_2$ sont immobiles.

Le circuit $C_1$ est parcouru par un courant $I_1(t)$ qui varie au cours du temps $t$: il va donc créer un champ magnétique $\vec{B}_1(t)$ qui varie aussi au cours du temps.

Le circuit $C_2$ est plongé dans le champ $\vec{B}_1(t)$. Comme ce champ varie au cours du temps, il va y avoir une fém d'induction $e_{\text{fém}}(t)$ dans $C_2$ et celui-ci va être parcouru par un courant induit $I_2(t)$.

<figure><img src="image_120.png" /><figcaption>FIGURE 10.1 – Induction mutuelle entre deux circuits.</figcaption></figure>

On va s'intéresser ici uniquement au circuit $C_2$ (on reviendra plus tard sur $C_1$), et dans $C_2$, à la fém $e_{\text{fém}}^{1 \to 2}(t)$ ainsi qu'au courant induit $I_2^{\text{ind}}(t)$ dû aux variations dans le temps de $I_1(t)$.

#### 10.1.1 Force électromotrice d'induction dans $C_2$

Calculons la fém d'induction dans $C_2$ due aux variations de $I_1(t)$ dans $C_1$ :

$$e_{\text{fém}}^{1 \to 2}(t) = - \frac{d\Phi_{\vec{B}_1}^{C_2}}{dt} \qquad (10.1)$$

où $\Phi_{\vec{B}_1}^{C_2}$ est le flux du champ magnétique $\vec{B}_1$ créé par $C_1$ = flux à travers une surface ouverte (SO), correctement orientée par rapport au sens de circulation choisi dans $C_2$ :

$$\Phi_{\vec{B}_1}^{C_2} = \iint_{SO_2} \vec{B}_1(\vec{r}, t) \cdot d\vec{S} \qquad (10.2)$$
### 10.1.2 Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires (ARQS)

L'Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires (ARQS) revient à négliger le temps de propagation des ondes électromagnétiques devant la période du signal : la taille du circuit est petite devant la longueur d'onde. C'est le cas si les variations temporelles étudiées sont suffisamment lentes (régimes lentement variables).

Dans ce cas, l'équation de Maxwell-Ampère se réduit à celle que nous avons utilisé jusque-là :

$$ \vec{\text{rot}} \vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \approx \mu_0 \vec{j} \qquad (10.3) $$

Conséquences : les lois de la magnétostatique se généralisent aux cas des régimes lentement variables. La loi de Biot et Savart et le théorème d'Ampère sont ainsi encore valides.

On se place dans cette approximation pour étudier l'induction. En effet, si on considère la fréquence de $v = 50$ Hz du courant « domestique, » la longueur d'onde correspondante est de $\lambda = \frac{c}{v} = \frac{3 \cdot 10^5}{50} = 6000$ km, soit bien plus grande que la taille d'un circuit électrique. Ce n'est qu'à partir des hyperfréquences ($v \ge 1$ Ghz soit $\lambda \le 30$ cm), que les phénomènes de propagation à l'intérieur d'un circuit de taille métrique jouent un rôle important.

### 10.1.3 Coefficient d'induction mutuelle

Le champ magnétique $\vec{B}_1(M_2, t)$ généré par le courant électrique circulant dans le circuit $C_1$ est ainsi donné par la loi de Biot et Savart :

$$ \vec{B}_1(M_2, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{C_1} \frac{I_1(t) \overrightarrow{dl_1} \wedge \overrightarrow{P_1 M_2}}{(P_1 M_2)^3} \qquad (10.4) $$

où $P_1$ est un point sur $C_1$ et $M_2$ est un point sur $C_2$.

Que l'on peut réécrire :

$$ \vec{B}_1(M_2, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot I_1(t) \oint_{C_1} \frac{\overrightarrow{dl_1} \wedge \overrightarrow{P_1 M_2}}{(P_1 M_2)^3} = I_1(t) \cdot \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{C_1} \frac{\overrightarrow{dl_1} \wedge \overrightarrow{P_1 M_2}}{(P_1 M_2)^3} \right) = I_1(t) \cdot \vec{K}_{1 \to 2}^{\text{mut}} \qquad (10.5) $$

Donc :

$$ \Phi_{\frac{C_2}{B_1}} = \iint_{SO_2} \vec{B}_1(M_2, t) \cdot \overline{dS} = I_1(t) \cdot \iint_{SO_2} \vec{K}_{1 \to 2}^{\text{mut}} \cdot \overline{dS} \qquad (10.6) $$

On définit le coefficient d'induction mutuelle $M_{C_1 \to C_2}$ de $C_1$ sur $C_2$ :

$$ \Phi_{\frac{C_2}{B_1}} = M_{C_1 \to C_2} \cdot I_1(t) \qquad (10.7) $$

Remarques :

→ Ce coefficient $M_{C_1 \to C_2}$ ne dépend que des caractéristiques géométriques des circuits $C_1$ et $C_2$ (supposés indéformables) et de leur disposition relative (et notamment il ne dépend pas des courants électriques). Il ne dépend pas du temps.

→ Ce coefficient $M_{C_1 \to C_2}$ peut être positif ou négatif. Son signe, sans signification particulière, dépend du sens du courant dans $C_1$ et du sens (arbitraire) choisi pour calculer la force électromotrice dans $C_2$.

D'après la loi de Faraday, on a :

$$ e_{\text{fém}^{1-2}}(t) = -\frac{d\Phi_{\frac{C_2}{B_1}}}{dt} = -\frac{d(M_{C_1 \to C_2} \cdot I_1(t))}{dt} \qquad (10.8) $$
soit :

$$e_{\text{fém}^{1-2}}(t) = - \frac{d\Phi_{\vec{B}_1}^{C_2}}{dt} = -M_{C_1} \frac{dI_1}{dt} \qquad (10.9)$$

Le coefficient d'induction mutuelle $M_{C_1-C_2}$, défini initialement comme le rapport du flux de $\vec{B}_1(t)$ sur $I_1(t)$ :

$$M_{C_1 \to C_2} = \frac{\Phi_{\vec{B}_1}^{C_2}(t)}{I_1(t)} \qquad (10.10)$$

peut aussi être considéré comme le rapport de $e_{\text{fém}^{1-2}}(t)$ sur la dérivée par rapport au temps de $I_1(t)$ :

$$M_{C_1 \to C_2} = - \frac{e_{\text{fém}^{1-2}}(t)}{dI_1(t)/dt} \qquad (10.11)$$

→ L'unité du coefficient d'induction mutuelle est le henry (H) : $1 \text{ H} = 1 \text{ V} \cdot \text{A}^{-1} \cdot \text{s}$.

Calculons ce coefficient d'induction mutuelle. Pour cela, il est plus simple de passer par les potentiels vecteurs :

$$\Phi_{\frac{C_2}{B_1}}(t) = \iint_{SO_2} \vec{B}_1(\vec{r}_2, t) \cdot \overrightarrow{dS_2} = \oint_{C_2} \vec{A}_1(\vec{r}_2, t) \cdot \overrightarrow{dr_2} \qquad (10.12)$$

dans la partie « magnétostatique » du cours (§8.8.7, p. 142), on a vu que :

$$\vec{A}(M) = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \frac{Id\ell}{PM} \quad \text{soit} \quad \vec{A}(M_2) = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{C_1} \frac{I_1 \overrightarrow{dr_1}}{P_1 M_2} \qquad (10.13)$$

donc :

$$\Phi_{\frac{C_2}{B_1}}(t) = \oint_{C_2} \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{C_1} \frac{I_1(t) \overrightarrow{dr_1}}{P_1 M_2} \right) \cdot \overrightarrow{dr_2} = \frac{\mu_0 I_1(t)}{4\pi} \oint_{C_2} \oint_{C_1} \frac{\overrightarrow{dr_1} \cdot \overrightarrow{dr_2}}{P_1 M_2} \qquad (10.14)$$

Donc :

$$M_{C_1 \to C_2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{C_2} \oint_{C_1} \frac{\overrightarrow{dr_1} \cdot \overrightarrow{dr_2}}{P_1 M_2} \qquad (10.15)$$

<figure><img src="image_121.png" /><figcaption>FIGURE 10.2 – Induction mutuelle entre deux circuits, de $C_2$ sur $C_1$.</figcaption></figure>

De la même façon, si on regarde le champ magnétique créé par le circuit $C_2$ et dans lequel le circuit $C_1$ se trouve plongé (figure 10.2), on a le coefficient d'induction mutuelle de $C_2$ sur $C_1$ :

$$M_{C_2 \to C_1} = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{C_1} \oint_{C_2} \frac{\overrightarrow{dr_2} \cdot \overrightarrow{dr_1}}{P_2 M_1} \qquad (10.16)$$
et comme $P_1 M_2 = |\vec{r}_2 - \vec{r}_1| = P_2 M_1$, on en déduit que :

$$ M_{C_1 \to C_2} = M_{C_2 \to C_1} \qquad (10.17) $$

Le coefficient d'induction de $C_1$ sur $C_2$ est égal au coefficient d'induction de $C_2$ sur $C_1$. D'où le qualificatif de « mutuelle » !

### 10.1.4 Exemple de coefficient d'induction : solénoïde entouré d'une boucle

Calculons le coefficient d'induction mutuelle entre un solénoïde *infini* S et une boucle tordue C qui l'entoure (figure 10.3).

<figure><img src="image_122.png" /><figcaption>FIGURE 10.3 – Induction mutuelle entre un solénoïde infini et une boucle C qui l'entoure. Sur cette boucle s'appuie la surface ouverte SO.</figcaption></figure>

Le champ magnétique créé par un solénoïde parcouru par un courant $I_{solé}(t)$ est uniforme à l'intérieur du solénoïde et vaut $\vec{B}_{solé} = \mu_0 n I_{solé}(t) \vec{e}_z$ où n est le nombre de spires par unité de longueur et $\vec{e}_z$ est un vecteur unitaire sur l'axe du solénoïde (voir §8.7.2, p. 136) ; le champ $\vec{B}_{solé}$ est nul à l'extérieur du solénoïde.

Il est facile de calculer le flux dans la boucle C, il suffit de considérer une surface ouverte SO qui s'appuie sur la boucle C entourant le solénoïde et dont une partie est une **section** du solénoïde (en rouge sur le schéma). La surface est orientée conformément à l'orientation (arbitraire) de C.

Ici on a : $\vec{dS} = -dS \cdot \vec{e}_z$.

Donc :

$$ \Phi_{\vec{B}_{solé}}^{C} = (\mu_0 n I_{solé} \vec{e}_z) \cdot (\pi (r_{solé})^2 (-\vec{e}_z)) = -\mu_0 n \pi (r_{solé})^2 I_{solé} \qquad (10.18) $$

Soit :

$$ |M_{solé \to C}| = \left| \frac{\Phi_{\vec{B}_{solé}}^{C}}{|I_{solé}|} \right| = \mu_0 n \pi (r_{solé})^2 \qquad (10.19) $$

Remarques :

1. Le calcul de $M^{solé→C}$ serait impossible sans ordinateur : il faut calculer le champ magnétique créé par la boucle C... Mais heureusement, on a vu que $M_{solé→C} = M_{C→solé}$ !

2. En tout point M du circuit C, on a $\vec{B}_{solé}(M) = \vec{0}!!$
Mais $\vec{A}_{solé}(M) \neq \vec{0}$, donc on a bien :

$$ \Phi_{\vec{B}} = \iint_{SO} \vec{B} \cdot d\vec{S} = \oint \vec{A} \cdot d\vec{r} \neq 0 \qquad (10.20) $$

Donc il existe bien un courant induit dans C!!
## 10.2 Auto-induction

On s'intéresse maintenant aux effets d'induction d'un circuit C sur lui-même, l'auto-induction.

Le circuit C est parcouru par un courant $I(t)$ qui varie au cours du temps $t$: il crée donc un champ magnétique $\vec{B}(t)$ variable qui va avoir un effet d'induction sur lui-même. On va avoir dans C une fém d'induction $e_{fém}(t)$ qui aura, comme toujours, un effet modérateur, en s'opposant au courant $I(t)$ (on l'appelle parfois *force contre-électromotrice* – *fcém*).

Considérons une surface ouverte s'appuyant sur le circuit C, orientée dans le sens (conventionnel) choisi pour mesurer le courant $I(t)$ (compté positivement s'il est dans ce sens, et négativement s'il est dans le sens opposé).

<figure><img src="image_123.png" /><figcaption>FIGURE 10.4 – Flux du champ magnétique à travers une surface ouverte s'appuyant sur le circuit C.</figcaption></figure>

On se persuade assez facilement sur le schéma de la figure 10.4 que le flux de $\vec{B}(t)$ à travers cette surface est toujours du même signe que $I(t)$. Sur le schéma, $I(t)$ et le flux $\Phi_B(t)$ de $\vec{B}(t)$ sont représentés positifs tous les deux. Dans le cas inverse, si $I(t)$ est dans l'autre sens, donc $I(t) < 0$, alors $\vec{B}(t)$ est dans le sens opposé, et le flux est alors négatif, comme l'intensité du courant.

### 10.2.1 Coefficient d'auto-induction

On définit le coefficient d'auto-induction $L_C$ (ou inductance propre ou self-inductance...) :

$$ \Phi_{\frac{C}{B_C}}(t) = L_C \cdot I(t) \qquad (10.21) $$

→ $L_C$ ne dépend que de la géométrie du circuit C

→ $L_C > 0$ (contrairement au coefficient M d'induction mutuelle)

Fém d'auto-induction, calculée à partir de la loi de Faraday :

$$ e_{\text{fém}}^{\text{auto}}(t) = - \frac{d\Phi_{\frac{C}{B_C}}}{dt} = - \frac{d(L_C \cdot I(t))}{dt} \qquad (10.22) $$

donc :

$$ e_{\text{fém}}^{\text{auto}}(t) = -L_C \frac{dI}{dt} \qquad (10.23) $$
Le coefficient d'auto-induction $L_c$ (unité H = henry) défini comme le rapport du flux de $\vec{B}(t)$ sur $I(t)$ :

$$L_c = \frac{\Phi_{\text{fém}}^C}{I(t)} \qquad (10.24)$$

peut aussi être considéré comme le rapport de $e_{\text{fém}}^{\text{auto}}(t)$ sur la dérivée de $I(t)$ par rapport au temps :

$$L_c = - \frac{e_{\text{fém}}^{\text{auto}}(t)}{dI/dt} \qquad (10.25)$$

### 10.2.2 Vérification de la loi de Lenz

Vérifions que cette fém d'auto-induction dans C (calculée dans le sens conventionnel du courant $I(t)$) est bien conforme à la loi de modération. On a :

$$e_{\text{fém}}^{\text{auto}}(t) = -L_c \frac{dI}{dt} \qquad (10.26)$$

<figure><img src="image_124.png" /></figure>

(a) Si $I(t)$ augmente, la « self » tend à modérer son augmentation.

<figure><img src="image_125.png" /></figure>

(b) Si $I(t)$ diminue, la « self » tend à modérer sa diminution.

FIGURE 10.5 – La « self » modère les variations du courant, comme si un générateur était monté en opposition, si $I(t)$ augmente, ou en série, si $I(t)$ diminue.

Si $I(t)$ augmente, la fém d'auto-induction (self) est négative et donc a l'effet d'un générateur (en rouge sur la figure 10.5a) monté en opposition par rapport à celui (G) qui fait circuler $I(t)$.

La « self » tend à faire diminuer $I(t)$ et donc à modérer son augmentation.

Si $I(t)$ diminue la fém d'auto-induction (self) est positive et donc a l'effet d'un générateur (en rouge) monté en série par rapport à celui (G) qui fait circuler $I(t)$.

La « self » tend à faire augmenter $I(t)$ et donc à modérer sa diminution.

Dans tous les cas, la « self » modère les variations de $I(t)$.

## 10.3 Les différences de potentiels en électrocinétique : circuit RL

On met en série un générateur de courant alternatif $I(t)$, une auto-inductance « pure » $L$ (sans résistance interne), une résistance « pure » $R$ (sans auto-inductance interne), comme illustré sur la figure 10.6a.

On cherche à exprimer la différence de potentiel entre A et C, qui s'écrit :

$$V_A - V_C = (V_A - V_B) + (V_B - V_C) \qquad (10.27)$$

Pour cela, partons de l'expression générale du champ électrique :

$$\vec{E} = -\overrightarrow{\text{grad}} V + \vec{E}_m \qquad (10.28)$$
<figure><img src="image_126.png" /></figure>

<figure><img src="image_127.png" /><figcaption>FIGURE 10.6 – Illustration des différences de potentiel dans un circuit RL.</figcaption></figure>

où $\vec{E}_m = -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$ est le champ électromoteur généré par l'auto-inductance.

Calculons la circulation de ce champ $\vec{E}$ entre A et C :

$$ \int_A^C \vec{E} \cdot d\vec{l} = \int_A^C -\overrightarrow{grad} V \cdot d\vec{l} + \int_A^C \vec{E}_m \cdot d\vec{l} = V_C - V_A \quad (10.29) $$

Exprimons chacun des trois termes séparément.

### Loi d'Ohm locale

Dans un conducteur, les porteurs de charge que sont les électrons sont mobiles sous l'influence d'un champ électrique $\vec{E}$. En régime permanent dans l'ARQS, on introduit la notion de « mobilité » notée $\mu > 0$, qui est le facteur de proportionalité entre la vitesse des électrons (vitesse de dérive, déjà vue avec la force de Laplace et l'effet Hall) et le champ électrique :

$$ \vec{v}_d = -\mu \cdot \vec{E} \quad (10.30) $$

où le signe – vient du fait que les électrons sont de charge négative. La mobilité $\mu$ dépend des caractéristiques du conducteur et des porteurs de charges (ici les électrons).

Par ailleurs, la densité volumique de courant $\vec{j}$ s'écrit :

$$ \vec{j} = nq_e \cdot \vec{v}_d \quad (10.31) $$

où $n$ est le nombre d'électrons par unité de volume dans le conducteur considéré, $q_e$ est la charge d'un électron ($nq_e$ est donc la densité volumique de charges).

Donc :

$$ \vec{j} = -n \cdot q_e \mu \cdot \vec{E} = n \cdot e \cdot \mu \cdot \vec{E} \quad (10.32) $$

où $e$ est la charge élémentaire.

On note $\sigma = n \cdot e \cdot \mu$, la conductivité électrique du matériau. On obtient alors la loi d'Ohm locale :

$$ \vec{j} = \sigma \cdot \vec{E} \quad (10.33) $$

### Circulation de $\vec{E}$

En introduisant la loi d'Ohm locale dans le premier terme, on obtient :

$$ \int_A^C \vec{E} \cdot d\vec{l} = \int_A^C \frac{1}{\sigma} \vec{j} \cdot d\vec{l} = \int_A^C \rho \vec{j} \cdot d\vec{l} \quad (10.34) $$
où $\rho = \frac{1}{\sigma}$ est la résistivité électrique du matériau. Soit :

$$ \int_A^C \rho \vec{j} \cdot d\vec{l} = \int_A^B \rho \vec{j} \cdot d\vec{l} + \int_B^C \rho \vec{j} \cdot d\vec{l} \quad (10.35) $$

or entre A et B, on a une auto-inductance pure, c'est-à-dire sans résistance interne. Donc sans résistivité. Ainsi :

$$ \int_A^C \rho \vec{j} \cdot d\vec{l} = \int_B^C \rho \vec{j} \cdot d\vec{l} \quad (10.36) $$

Et comme $\vec{j} \propto d\vec{l}$ aux bornes de la résistance R, on a :

$$ \int_A^C \rho \vec{j} \cdot d\vec{l} = \rho \cdot j \cdot \ell_R \quad (10.37) $$

en supposant que la résistance R est un cylindre de section S et de longueur $\ell_R$. Dans ce cas, l'intensité I du courant traversant R est : $I = j \cdot S$. Alors :

$$ \int_A^C \rho \vec{j} \cdot d\vec{l} = \rho \cdot \ell_R \cdot \frac{I}{S} = \frac{\rho \cdot \ell_R \cdot I}{S} \quad (10.38) $$

La résistance électrique d'un conducteur cylindrique homogène, isotrope de section constante est donnée par :

$$ R = \rho \frac{\ell_R}{S} = \frac{1}{\sigma} \frac{\ell_R}{S} \quad (10.39) $$

R s'exprime en ohms (Ω), la résistivité $\rho$ en Ω·m, la conductivité $\sigma$ en siemens par mètre (S·m⁻¹).

Ce qui donne :

$$ \int_A^C \rho \vec{j} \cdot d\vec{l} = R \cdot I \quad (10.40) $$

**Circulation de $\overrightarrow{\text{grad } V}$**

On a par définition du gradient :

$$ \int_A^C -\overrightarrow{\text{grad}} V \cdot d\vec{l} = \int_A^C -dV = -(V_C - V_A) = V_A - V_C \quad (10.41) $$

**Circulation de $\vec{E}_m$**

On a :

$$ \int_A^C \vec{E}_m \cdot d\vec{l} = \int_A^B \vec{E}_m \cdot d\vec{l} + \int_B^C \vec{E}_m \cdot d\vec{l} = \int_A^B \vec{E}_m \cdot d\vec{l} \quad (10.42) $$

car il n'y a pas d'auto-inductance dans la résistance entre B et C, donc pas de champ électromoteur.

Donc :

$$ \int_A^C \vec{E}_m \cdot d\vec{l} = \int_A^B \vec{E}_m \cdot d\vec{l} \quad (10.43) $$

Et comme le reste du circuit ne présente pas d'auto-inductance, on peut écrire :

$$ \int_A^B \frac{d\vec{A}}{dt} \cdot d\vec{l} = \oint_{\text{circuit}} \frac{d\vec{A}}{dt} \cdot d\vec{l} = -\frac{d}{dt} \iint_{\text{SO}} \vec{\text{rot}} \vec{A} \cdot d\vec{S} = -\frac{d}{dt} \iint_{\text{SO}} \vec{B} \cdot d\vec{S} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = e_{\text{fém}} \quad (10.44) $$

Soit, finalement :

$$ \int_A^C \vec{E}_m \cdot d\vec{l} = e_{\text{fém}} = -L \frac{dI}{dt} \quad (10.45) $$
Différence de potentiel $V_A - V_C$

En fin de compte, l'équation :

$$
\int_A^C \vec{E} \cdot d\vec{l} = \int_A^C -\overrightarrow{\text{grad}} V \cdot d\vec{l} + \int_A^C \vec{E}_m \cdot d\vec{l} \quad (10.46)
$$

devient :

$$
R \cdot I = V_A - V_C - L \cdot \frac{dI}{dt} \qquad (10.47)
$$

Conclusion : si dans le sens conventionnel du courant, le point C est en « aval » du point A, la différence de potentiel entre les deux s'écrit <fnref n="1" /> :

$$
V_A - V_C = R \cdot I(t) - e_{\text{fém}} = R \cdot I(t) + L \cdot \frac{dI}{dt} \quad (10.48)
$$

R peut être soit une résistance « extérieure » présente dans le circuit, soit la résistance du circuit d'auto-induction, que l'on schématise à l'extérieur pour bien en tenir compte.

Du côté (à l'intérieur) du générateur (voir la figure 10.6b) : le courant va de C vers A. Donc, comme pour la bobine d'auto-induction, on a :

$$
V_C - V_A = r_{\text{géné}} I(t) - e_{\text{géné}}(t) = -(V_A - V_C) \quad (10.49)
$$

où $r_{\text{géné}}$ est la résistance interne du générateur et $e_{\text{géné}}$ est la force électromotrice du générateur.

En égalisant ces deux expressions de $V_A - V_C$ (pour le circuit, équation(10.48), et pour le générateur), on obtient :

$$
RI(t) + L \frac{dI}{dt} = e_{\text{géné}}(t) - r_{\text{géné}} I(t) \quad (10.50)
$$

Que l'on peut écrire comme :

$$
e_{\text{géné}}(t) = (r_{\text{géné}} + R)I(t) + L\frac{dI}{dt} \quad (10.51)
$$

ou bien :

$$
e_{\text{géné}}(t) + e_{\text{fém}} = (r_{\text{géné}} + R)I(t) \quad (10.52)
$$

10.4 Énergie magnétique

10.4.1 Décharge d'un circuit RL

À l'instant $t = 0$, on débranche le générateur $G$ et on ferme (en $D$) le circuit RL sur lui-même (figure 10.7). On a alors d'après (10.48) :

$$
V_A - V_C = L \frac{dI}{dt} + RI(t) = 0 \quad (10.53)
$$

On obtient ainsi une équation différentielle en $I(t)$ très simple :

$$
\frac{dI}{dt} = -\frac{R}{L} I(t) \qquad (10.54)
$$

dont la solution est :

$$
I(t) = I_0 \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \qquad (10.55)
$$

avec $I_0 = I(t = 0)$ et $\tau = \frac{L}{R}$, le temps caractéristique de la décharge de ce circuit RL.

On constate ainsi que l'intensité du courant dans le circuit ne s'annule pas au moment où l'on court-circuite le générateur. Pendant un intervalle de temps $\tau$, c'est comme si le circuit d'auto-induction (résistance et bobine) se comportait comme un générateur. Pourquoi ?

<footnote n="1">1. On est, dans ce cas, en convention générateur (voir volume 3).</footnote>
<figure><img src="image_128.png" /><figcaption>FIGURE 10.7 – Décharge d'un circuit RL.</figcaption></figure>

## 10.4.2 Énergie magnétique

Le circuit d'auto-induction précédent restitue ainsi de l'énergie emmagasinée par ailleurs au circuit.

Cette énergie est l'énergie magnétique $E_{magn}$, qui provient du générateur extérieur $G$. L'énergie est fournie pour établir le courant $I_0$ dans la bobine, malgré la force contre-électromotrice que celle-ci oppose au générateur (loi de modération).

Cette énergie $E_{magn}$ n'a pas été dissipée en chaleur (contrairement à l'effet Joule), elle a été « stockée » par la bobine dans le champ magnétique qu'elle a créé.

On peut l'écrire de différentes façons :

$$E_{\text{magn}} = \frac{1}{2}LI^2 = \frac{1}{2}I\Phi_B = \iiint_{\text{tout l'espace}} \frac{(B_{\text{auto}})^2}{2\mu_0} d\tau \quad (10.56)$$

Montrons ces relations.

L'énergie magnétique $E_{magn}$ stockée par la bobine est la partie autre que l'effet Joule (dissipatif) du travail électrique fourni par le générateur $G$. Or ce travail électrique fourni par $G$ pour établir un courant $I_0$ est :

$$W_{\text{él}}^{\text{géné}}(I_0, t_0) = \int_{I=0, t=0}^{I_0, t_0} \delta W_{\text{él}}^{\text{géné}} = \int e_{\text{géné}}(t) dq \quad (10.57)$$

$$\text{car } \delta^2 W = \vec{F} \cdot \vec{d\ell} = (dq \cdot \vec{E}) \cdot \vec{d\ell} = dq \cdot d\boldsymbol{e}_{\text{géné}}.$$

Avec, comme on vient de le voir :

$$e_{\text{géné}}(t) = (r_{\text{géné}} + R)I(t) + L\frac{dI}{dt} = (\sum R)I(t) + L\frac{dI}{dt} \quad \text{et} \quad dq = Idt \quad (10.58)$$

soit :

$$W_{\text{él}}^{\text{géné}}(I_0, t_0) = \int_{I=0, t=0}^{I_0, t_0} \left[ L\frac{dI}{dt} + (\sum R)I(t) \right] \cdot I dt \quad (10.59)$$

soit :

$$W_{\text{él}}^{\text{géné}}(I_0, t_0) = \int_{I=0}^{I_0} LI dI + \int_{t=0}^{t_0} (\sum R) (I(t))^2 dt \quad (10.60)$$

Soit :

$$W_{\text{él}}^{\text{géné}}(I_0, t_0) = \frac{1}{2}LI_0^2 + (\sum R) \int_{t=0}^{t_0} (I(t))^2 dt = E_{\text{magn}}^{\text{auto}}(I_0) + W_{\text{géné}}^{\text{Joule}}(I_0, t_0) \quad (10.61)$$
où :

$$W_{\text{géné}}^{\text{Joule}}(I_0, t_0) = \left(\sum R\right) \int_{t=0}^{t_0} (I(t))^2 dt \qquad (10.62)$$

est la totalité de l'énergie dissipée par effet Joule entre $t = 0$ et $t = t_0$.

Pour un courant $I_0 = I$ quelconque, on a donc :

$$E_{\text{magn}}^{\text{auto}} = \frac{1}{2} LI^2 \qquad (10.63)$$

qui est l'énergie dépensée par le générateur G pour « vaincre » la force contre-électromotrice d'auto-induction développée par la bobine et stockée dans le champ magnétique (et non dissipée).

Avec : $\Phi_{Bauto} = LI$, cela donne :

$$E_{\text{magn}}^{\text{auto}} = \frac{1}{2} I \Phi_{B\text{auto}} \qquad (10.64)$$

### 10.4.3 Énergie magnétique de deux circuits

On vient de voir que l'énergie magnétique stockée par un circuit est :

$$E_{\text{magn}}^{\text{auto}} = \frac{1}{2} LI^2 = \frac{1}{2} I \Phi_{B\text{auto}} \qquad (10.65)$$

Mais on peut montrer de manière plus générale (voir exercice 7 du TD4) que l'énergie magnétique $E_{magn}$ stockée par un système de deux circuits (C et D) proches et parcourus par des courants $I_C$ et $I_D$ peut s'écrire :

$$E_{\text{magn}}^{\text{C et D}} = \frac{1}{2} L_C I_C^2 + \frac{1}{2} L_D I_D^2 + M_C^D I_C I_D \qquad (10.66)$$

où $L_C$ et $L_D$ sont les coefficients d'auto-induction des circuits C et D respectivement, $M_C^D$ est leur coefficient d'induction mutuelle.

On peut aussi écrire (ex. 7, TD4) :

$$E_{\text{magn}}^{\text{C et D}} = \frac{1}{2} (I_C \Phi_{B\text{total}}^C + I_D \Phi_{B\text{total}}^D) = \frac{1}{2} \sum_{i=1,2} I_i \Phi_{B\text{total}}^{C_i} \qquad (10.67)$$

### 10.4.4 Généralisation

On peut généraliser l'expression précédente obtenue pour deux circuits, à n circuits $C_i$ parcourus par des courants $I_i$ :

$$E_{\text{magn}}^{\text{totale}} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} I_i \Phi_{B\text{total}}^{C_i} \qquad (10.68)$$

où $\Phi_{B\text{total}}^{C_i}$ est le flux à travers le circuit $C_i$ du champ magnétique total $\vec{B}_{\text{total}}$ créé par l'ensemble des circuits $C_i$ (y compris lui-même).

Mais, comme :

$$\Phi_B^C = \iint_{SO} \vec{B} \cdot d\vec{S} = \oint_C \vec{A} \cdot d\vec{r} \qquad (10.69)$$

on peut écrire :

$$E_{\text{magn}}^{\text{totale}} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} I_i \oint_{C_i} \vec{A}_{\text{total}}(\vec{r}, t) \cdot d\vec{r} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \oint_{C_i} \vec{A}_{\text{total}}(\vec{r}, t) \cdot I_i(t) d\vec{r} \qquad (10.70)$$

On peut alors remplacer les circuits $C_i$ filiformes par des courants volumiques : $I\vec{d}\vec{r} \to \vec{j}\vec{d}\tau$, auquel cas l'intégrale qui portait sur chaque circuit $C_i$ devient une intégrale sur le volume de tout le conducteur :

$$E_{\text{magn}}^{\text{totale}} = \frac{1}{2} \iiint_{\text{conducteur}} \vec{A}_{\text{total}}(\vec{r}, t) \cdot d\vec{j}(\vec{r}, t) d\tau \qquad (10.71)$$
Et en utilisant l'équation de Maxwell-Ampère, on a :

$$ \vec{j} = \frac{\vec{\text{rot}} \vec{B}}{\mu_0} \qquad (10.72) $$

soit :

$$ E_{\text{magn}}^{\text{totale}} = \frac{1}{2\mu_0} \iiint_{\text{tout l'espace}} \vec{A} \cdot \vec{\text{rot}} \vec{B} \, d\tau \qquad (10.73) $$

où on est passé d'une intégrale sur les régions de l'espace où se trouve un courant $\vec{j}$, c'est-à-dire dans le volume du conducteur, à une intégrale sur les régions de l'espace où se trouve un champ magnétique, c'est-à-dire tout l'espace.

Avec la relation d'analyse vectorielle :

$$ \vec{X} \cdot \text{rot} \vec{Y} = -\text{div}(\vec{X} \wedge \vec{Y}) + \vec{Y} \cdot \text{rot} \vec{X} \qquad (10.74) $$

cela donne :

$$ E_{\text{magn}}^{\text{totale}} = \frac{1}{2\mu_0} \iiint_{\text{tout l'espace}} -\text{div}(\vec{A} \wedge \vec{B}) d\tau + \frac{1}{2\mu_0} \iiint_{\text{tout l'espace}} \vec{B} \cdot \text{rot} \vec{A} d\tau \qquad (10.75) $$

Mais :

$$ \iiint_{\text{tout l'espace}} \text{div}(\vec{A} \wedge \vec{B}) d\tau = \iint_{\text{surface à l'\textit{\textbf{\textit{\textit{\textit{\textit{\textit{\textit{A}}}}}}}}} \left(\vec{A} \wedge \vec{B}\right) \cdot d\vec{S} = 0 \qquad (10.76) $$

car à l'infini, loin de tout circuit, on a $A \propto r^{-2}$ et $B \propto r^{-3}$ (loin d'une distribution de courant de taille finie, le champ magnétique est généralement celui d'un dipôle magnétique) donc $(\vec{A} \wedge \vec{B}) \cdot d\vec{S} \propto r^{-5} \cdot r^2 = r^{-3}$ et $\text{div}_{\text{surface à l'\textit{\textbf{\textit{\textit{\textit{A}}}}}}} r^{-3} \to 0$.

Avec $\text{rot} \vec{A} = \vec{B}$, on obtient finalement :

$$ E_{\text{magn}}^{\text{totale}} = \iiint_{\text{tout l'espace}} \frac{(\vec{B}_{\text{total}}(\vec{r}, t))^2}{2\mu_0} d\tau \qquad (10.77) $$

### 10.4.5 Densité d'énergie électromagnétique

On peut définir une densité volumique d'énergie magnétique :

$$ \rho_{E_{\text{magn}}}(\vec{r}, t) = \frac{(\vec{B}(\vec{r}, t))^2}{2\mu_0} \qquad (10.78) $$

En électrostatique, on a vu la densité volumique d'énergie électrique :

$$ \rho_{E_{\text{elect}}}(\vec{r}, t) = \frac{\varepsilon_0 (\vec{E}(\vec{r}, t))^2}{2} \qquad (10.79) $$

Au total, on aura une densité d'énergie électromagnétique :

$$ \rho_{E}^{\vec{E}, \vec{B}}(\vec{r}, t) = \frac{\varepsilon_{0}(\vec{E}(\vec{r}, t))^{2}}{2} + \frac{(\vec{B}(\vec{r}, t))^{2}}{2\mu_{0}} \qquad (10.80) $$

qui est associée à l'existence du champ électromagnétique $(\vec{E}(\vec{r}, t), \vec{B}(\vec{r}, t))$ dont les deux composantes, électrique et magnétique, sont couplées par l'intermédiaire des équations de Maxwell.
# Chapitre 11

# Quelques applications de l'induction

## 11.1 Le transformateur

Aux bornes d'un circuit « primaire » $C_1$ (en rouge sur la figure 11.1) il existe une différence de potentiel alternative $\Delta V_1(t)$ et on veut obtenir une différence de potentiel alternative $\Delta V_2(t)$, de même fréquence mais d'amplitude différente aux bornes d'un circuit secondaire $C_2$ (en bleu sur la figure 11.1), soit avec $\Delta V_1(t) > \Delta V_2(t)$ soit avec $\Delta V_2(t) > \Delta V_1(t)$.

Les circuits $C_1$ et $C_2$ ne sont pas connectés électriquement l'un à l'autre, mais ils le sont « magnétiquement » (via le champ $\vec{B}$).

<figure><img src="image_129.png" /><figcaption>FIGURE 11.1 – Schéma de principe du transformateur.</figcaption></figure>

On a :

$$ \Delta V_1(t) = U_1(t) = R_1 I_1(t) - e_1(t) = R_1 I_1(t) + \frac{d\Phi_1^{\text{tot}}}{dt} \quad \text{avec} \quad \Phi_1^{\text{tot}} = N_1 \Phi_1^{\text{section}} \quad (11.1) $$

où $R_1$ est la résistance interne de la bobine $C_1$ et $N_1$ est le nombre de spires sur le circuit primaire $C_1$ et $\Phi_1^{\text{section}}$ est le flux magnétique à travers une spire.

De même, on a :

$$ \Delta V_2(t) = U_2(t) = R_2 I_2(t) - e_2(t) = R_2 I_2(t) + \frac{d\Phi_2^{\text{tot}}}{dt} \quad \text{avec} \quad \Phi_2^{\text{tot}} = N_2 \Phi_2^{\text{section}} \quad (11.2) $$
On suppose que le couplage magnétique est parfait (donc $\Phi_1^{section} = \Phi_2^{section} = \Phi^{section}$), que les résistances internes $R_1$ et $R_2$ sont négligeables. On a alors un « transformateur idéal »

Les tensions précédentes deviennent :

$$U_1(t) = N_1 \frac{d\Phi^{section}}{dt} \quad \text{et} \quad U_2(t) = N_2 \frac{d\Phi^{section}}{dt} \qquad (11.3)$$

On a donc :

$$\frac{U_1(t)}{U_2(t)} = \frac{N_1}{N_2} \qquad (11.4)$$

Pour augmenter le flux magnétique entre les deux circuits, on utilise des bobines comportant un grand nombre de spires.

<figure><img src="image_130.png" /><figcaption>FIGURE 11.2 – Feuilletage du noyau ferromagnétique d'un transformateur.</figcaption></figure>

Pour optimiser un « couplage » magnétique entre deux circuits on insère un noyau de matériau ferromagnétique (fer...) pour « guider » les lignes de champ (voir figure 11.2), et feuilleté pour limiter les courants de Foucault (et l'échauffement par effet Joule) (voir plus loin).

## 11.2 Courants de Foucault

### 11.2.1 Léon Foucault

<figure><img src="image_131.png" /><figcaption>FIGURE 11.3 – Portrait du physicien et astronome français Léon Foucault (1819–1868).</figcaption></figure>
Léon Foucault (figure 11.3) est un physicien et astronome français (1819-1868). Il compara, en 1850, les vitesses de la lumière (mesurées par la méthode du miroir tournant) dans le vide, dans l'air et dans divers milieux transparents. Il montra l'existence des courants induits (dits courants de Foucault) dans les masses métalliques (1851) et mit en évidence le mouvement de rotation de la Terre grâce à sa fameuse expérience consistant à suspendre un pendule à la coupole du Panthéon. Il inventa le gyroscope (1852) et préconisa l'emploi de miroirs paraboliques de verre argenté pour les télescopes. (Source : Larousse)

### 11.2.2 Courants de Foucault

Les courants de Foucault sont les courants qui apparaissent dans un conducteur plongé dans un champ magnétique en raison des phénomènes d'induction. On peut les utiliser pour freiner ou bien pour chauffer.

On place un conducteur, de volume $V$, dans un champ magnétique uniforme $\vec{B}_{\text{ext}}(t)$ créé par des sources extérieures. En régime variable, il apparaît, en raison des phénomènes d'induction, un champ électrique induit $\vec{E}_{\text{ind}}$ tel que :

$$ \vec{E}_{\text{ind}} = -\frac{\partial \vec{A}_{\text{ext}}}{\partial t} \quad \text{soit :} \quad \text{rot} \, \vec{E}_{\text{ind}} = -\frac{\partial \vec{B}_{\text{ext}}}{\partial t} \quad (\text{équation de Maxwell-Faraday}), \qquad (11.5) $$

d'où l'existence dans le conducteur, de courants induits, ou courants de Foucault de densité volumique de courant :

$$ \vec{J}_{\text{ind}} = \sigma_{\text{el}} \cdot \vec{E}_{\text{ind}} \quad (\text{loi d'Ohm}) \qquad (11.6) $$

où $\sigma_{\text{el}}$ est la conductivité électrique.

On peut montrer que ces courants sont orthoradiaux par rapport au champ magnétique extérieur (boucles de courants).

### 11.2.3 Formalisme

Pour comprendre ces courants de Foucault, considérons un conducteur cylindrique infiniment long de rayon $a$ et d'axe $Oz$, plongé dans un champ magnétique $\vec{B}(t)$ orienté selon l'axe du cylindre $Oz$ et variable dans le temps.

<figure><img src="image_132.png" /><figcaption>FIGURE 11.4 – Schéma du conducteur cylindrique pour comprendre les courants de Foucault.</figcaption></figure>
Le système est invariant par rotation autour de $Oz$ (selon $\Phi$) et par translation selon $z$ (car infini),
donc la densité volumique de courant peut s'écrire : $\vec{J}(M, t) = \vec{J}(r, t)$

Le plan passant par $M$ et contenant l'axe $Oz$ est un plan de symétrie pour le champ magnétique $\vec{B}$. C'est donc un plan d'antisymétrie pour le courant $\vec{J}$. Donc $\vec{J}$ est orthogonal à ce plan : $\vec{J} = J(r, t) \cdot \vec{e}_{\Phi}$.

Donc les lignes de courant sont des cercles concentriques autour de l'axe $Oz$ dans des plans $z = \text{cte.}$

Calculons la fém sur un contour $C$ de rayon $r < a$ orienté selon $\vec{e}_{\Phi}$ :

$$e = \oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d}{dt} \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} \qquad (11.7)$$

avec $\vec{J} = \sigma_{\text{el}} \cdot \vec{E}$ (loi d'Ohm), $\vec{d}l = r d\Phi \vec{e}_{\Phi}$ et $\vec{d}S = dS \cdot \vec{e}_z$, soit :

$$E \times 2\pi r = -\frac{dB}{dt} \pi r^2 \quad \text{d'où} \quad E = -\frac{1}{2} r \frac{dB}{dt} \qquad (11.8)$$

$$\text{et donc } \vec{J} = -\frac{\sigma_{\text{el}}}{2} r \frac{dB}{dt} \vec{e}_{\Phi} \qquad (11.9)$$

Les courants de Foucault sont donc plus intenses à la périphérie du conducteur ($J \propto r$).

Leur sens obéit à la loi de Lenz : si $B$ diminue, soit $dB/dt < 0$, $\vec{J}$ est dirigé selon $\vec{e}_{\Phi}$, le champ additionnel $\vec{B}_J$ créé par $\vec{J}$ est alors dirigé selon $\vec{e}_z$ sur la surface plane s'appuyant sur $C$. Et inversement.

Si on a une variation sinusoidale de $B(t) = B_0 \cos(\omega \cdot t)$, alors :

$$\vec{J} = -\frac{\sigma_{\text{el}}}{2} r \frac{dB}{dt} \vec{e}_{\Phi} = \frac{\sigma_{\text{el}}\omega}{2} r B_0 \sin(\omega \cdot t) \vec{e}_{\Phi} \qquad (11.10)$$

Les courants de Foucault sont donc d'autant plus intenses que $\vec{B}(t)$ varie rapidement dans le temps ($J \propto \omega$).

Quand un barreau aimanté se rapproche d'une plaque conductrice, le flux magnétique à travers un parcours quelconque sur la plaque augmente (figure 11.5a).

Donc, en vertu de la loi de Lenz, le sens des courants induits va être tel que le champ magnétique qui en résulte va s'opposer à cette augmentation de flux et donc être dirigé vers l'aimant. Le sens du courant induit va donc dans le sens anti-horaire (règle de la main droite).

Si l'aimant s'éloigne de la plaque, le flux diminue, et le courant induit circule dans l'autre sens.

### 11.2.4 Freinage par courants de Foucault

Ces courants de Foucault génèrent des forces de Laplace qui vont s'opposer au mouvement qui a donné naissance aux courants induits (de Foucault) (Loi de Lenz). On peut utiliser cet effet comme processus de freinage ou plutôt de ralentissement.

La figure 11.5b est le schéma d'un frein à courants de Foucault : un disque métallique (D) tourne dans l'entrefer d'un aimant (ou plus fréquemment d'un électro-aimant). Le champ magnétique (en vert) induit des courants circulaires dans le disque (en rouge). Sur le bord gauche de l'aimant, le flux magnétique dans le disque en rotation croît ($d\Phi/dt > 0$ donc $e < 0$), donc le courant induit circule dans le sens trigonométrique. Sur le bord droit de l'aimant, le flux magnétique dans le disque décroît ($d\Phi/dt < 0$ donc $e > 0$), donc le courant induit circule dans le sens des aiguilles d'une montre.

Dans les deux cas, dans la partie située entre les deux pôles de l'aimant, une force de Laplace est générée, dirigée dans le sens opposé au mouvement. D'où ralentissement... L'énergie de rotation est ainsi dissipée en chaleur dans l'effet Joule des courants de Foucault.

La figure 11.6 montre l'utilisation d'un tel dispositif sur un train à grande vitesse.
<figure><img src="image_133.png" /><figcaption>FIGURE 11.5 – Illustration des courants de Foucault.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_134.png" /><figcaption>FIGURE 11.6 – Frein à courants de Foucault sur le train rapide japonais Shinkansen.</figcaption></figure>

### 11.2.5 Puissance dissipée par effet Joule

La puissance volumique élémentaire $dP$ dissipée par effet Joule s'écrit dans un petit volume $dV = d\ell \cdot ds$ de conducteur (de longueur $d\ell$ et de section $ds$) de résistance $R$, dans lequel circule un courant
d'intensité $I$ (sous l'effet du champ électrique de norme $E$) :

$$dP = RI^2 = UI = U \cdot J \cdot ds = Edl \cdot Jds = EJ \cdot d\ell \cdot dS = EJ \cdot dV \quad (11.11)$$

où $U$ est la tension aux bornes de l'élément de volume de conducteur considéré et $J = I/ds$ est la norme de la densité volumique de courant. Soit :

$$\frac{dP}{dV} = \vec{E} \cdot \vec{J} = \frac{J^2}{\sigma_{\text{el}}} \quad (11.12)$$

d'après la loi d'Ohm locale (10.33).

Donc en intégrant sur le volume $V = \pi a^2 h$ du conducteur précédent cylindre de hauteur $h$ et de rayon $a$), on a :

$$ \begin{aligned} P &= \frac{1}{\sigma_{\text{el}}} \int_V J^2 dV = \frac{\sigma_{\text{el}}\omega^2}{4} B_0^2 \sin^2(\omega \cdot t) \int_V r^2 dV \\ &= \frac{\sigma_{\text{el}}\omega^2}{4} B_0^2 \sin^2(\omega \cdot t) h \int_0^a r^2 \cdot 2\pi r dr \\ &= \frac{\sigma_{\text{el}}\omega^2}{4} B_0^2 \sin^2(\omega \cdot t) h \cdot 2\pi \frac{a^4}{4} = \frac{\pi}{8} \sigma_{\text{el}}\omega^2 B_0^2 a^4 h \sin^2(\omega \cdot t) \end{aligned} \quad (11.13) $$

soit :

$$P = \frac{V}{8} \sigma_{\text{el}} \omega^2 B_0^2 a^2 \sin^2(\omega \cdot t) \quad (11.14)$$

La puissance volumique moyenne dans le temps est donc :

$$\frac{\bar{P}}{V} = \frac{1}{8} \sigma_{\text{el}} \omega^2 B_0^2 a^2 \frac{1}{T} \int_0^T \sin^2(\omega \cdot t) dt \quad (11.15)$$

où $T$ est la période; or :

$$\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \sin^2(\omega \cdot t) dt = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} dt = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin(2\omega t)}{2\omega} \right]_{0}^{T=2\pi/\omega} = \frac{1}{2} \quad (11.16)$$

soit :

$$\frac{\bar{P}}{V} = \frac{1}{16} \sigma_{\text{el}} \omega^2 B_0^2 a^2 \quad (11.17)$$

Cette puissance dissipée est donc d'autant plus grande que le conducteur est bon ($\sigma_{\text{el}}$ est grand), que la fréquence est élevée ($\omega$ grand) et que le conducteur est massif (de grande section $a^2$).

### 11.2.6 Application au chauffage

La puissance volumique dissipée par effet Joule dans les courants de Foucault est telle que :

$$\frac{P}{V} \propto \sigma_{\text{el}} B_{\text{ext}}^2 v^2 \quad (11.18)$$

où $v$ est la fréquence du champ $B_{\text{ext}}$.

On peut utiliser ce résultat pour chauffer :

* Cuisson des aliments (plaques à induction – figure 11.7a) : fond de casserole métallique ferro-magnétique (afin que les courants induits pénètrent plus profondément dans le métal) = siège des courants de Foucault.

* Four à induction pour fondre les métaux (figure 11.7b) : le métal à fondre est le siège des courants de Foucault<fnref n="1" />.

<footnote n="1">1. Voir la vidéo : https://youtu.be/u9895Iczhjg.</footnote>
## FOUR CREUSET À INDUCTION

<figure><img src="image_135.png" /><figcaption>(a) Les dessous d'une plaque de cuisson à induction.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_136.png" /><figcaption>(b) Schéma d'un four creuset à induction.</figcaption></figure>

FIGURE 11.7 – Deux exemples d'utilisation du chauffage par induction.

## 11.3 Le générateur de courant : l'alternateur

Un alternateur est constitué de deux parties :

→ une partie mobile, le rotor (inducteur), constituée d'un aimant permanent ou plus souvent d'un électro-aimant.

→ une partie fixe, le stator (induit), constituée d'enroulements de fils conducteurs qui vont être le siège de courants induits par la rotation du rotor.

Le rotor est mis en mouvement soit par :

→ de l'eau arrivant à grande vitesse sur une turbine (centrale hydro-électrique);

→ de la vapeur sous pression arrivant sur une turbine chauffée par une centrale thermique à gaz, charbon ou nucléaire...

→ le mouvement des roues dans une voiture ou sur un vélo;

→ ...
# Chapitre 12

## Équations de Maxwell

Ce chapitre s'appuie sur le chapitre 11 de l'ouvrage : *Électromagnétisme, volume 1*, Hubert Gié et Jean-Pierre Sarmant, 1993, Tec&Doc.

### 12.1 James Clerk Maxwell (1831-1879)

Maxwell est un physicien écossais qui travailla sur la formulation mathématique des résultats expérimentaux obtenus précédemment en électricité et sur le magnétisme, en particulier par Faraday et Ampère. Il abouti à un système de vingt équations différentielles, plus tard réduites à quatre. Équations qu'il présente à la *Royal Society* en 1864. Comme nous allons le voir succinctement, mais plus longuement dans d'autres cours de physique, ces équations unifient l'électricité, le magnétisme et l'induction et décrivent le comportement du champ électromagnétique et son interaction avec la matière.

<figure><img src="image_137.png" /><figcaption>FIGURE 12.1 – James Clerk Maxwell</figcaption></figure>

### 12.2 Les postulats de l'électromagnétisme

L'électromagnétisme décrit les interactions qui s'exercent au sein d'un système de particules chargées. Dans un référentiel *R* galiléen, une particule de charge *q* est soumise à la force de Lorentz :

$$ \vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B}), \qquad (12.1) $$

expression qui définit dans *R* un champ électromagnétique constitué du couple $[\vec{E}(\vec{r}, t), \vec{B}(\vec{r}, t)]$.
Le problème de l'électromagnétisme est résolu si on sait déterminer ce champ à partir des distributions de charges et de courants qui le créent.

Les équations de Maxwell sont le lien entre les *sources* et le *champ*.

## 12.3 Les équations de Maxwell

Les équations de Maxwell ne se démontrent pas, elles sont déduites des expériences.

L'équation du flux magnétique ou de Maxwell-Thompson :

$$ \mathrm{div} \vec{B} = 0 \qquad (12.2) $$

L'équation de Maxwell-Faraday :

$$ \mathrm{rot} \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \qquad (12.3) $$

L'équation de Maxwell-Gauss :

$$ \mathrm{div} \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \qquad (12.4) $$

L'équation de Maxwell-Ampère :

$$ \mathrm{rot} \vec{B} = \mu_0 \left( \vec{j} + \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) \qquad (12.5) $$

Les deux premières équations (12.2) et (12.3) traduisent les propriétés intrinsèques du champ électromagnétique. Tandis que les deux suivantes, (12.4) et (12.5) expriment le lien entre le champ $(\vec{E}, \vec{B})$ et sa source $(\rho, \vec{j})$.

### 12.3.1 Équation de conservation de la charge

En prenant la divergence de l'équation de Maxwell-Ampère :

$$ \mathrm{div}(\mathrm{rot} \vec{B}) = 0 = \mu_0 \left[ \mathrm{div} \vec{j} + \varepsilon_0 \mathrm{div} \left( \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) \right] \qquad (12.6) $$

soit :

$$ \mathrm{div} \vec{j} = -\varepsilon_0 \frac{\partial(\mathrm{div} \vec{E})}{\partial t} \qquad (12.7) $$

soit, avec l'équation de Maxwell-Gauss :

$$ \mathrm{div} \vec{j} = - \frac{\partial \rho}{\partial t}, \qquad (12.8) $$

l'équation de conservation de la charge.

Cette équation exprime un principe physique comme quoi la charge électrique d'un système ne peut être créée ni annihilée, seulement échangée avec un autre système. La forme de l'équation de Maxwell-Ampère a été choisie précisément pour rendre compte de cela.

En effet, si on suppose une surface fermée quelconque S et le volume V délimité par S, contenant une densité de charges $\rho(\vec{r}, t)$, la charge totale contenue dans V à un instant t est :

$$ q(t) = \iiint_V \rho \cdot d\mathbf{v} \qquad (12.9) $$
Par ailleurs, l'intensité $i_S(t)$ du courant électrique qui sort de $S$ à un instant $t$ est donné par :

$$i_S(t) = \oint_S \vec{j} \cdot d\vec{S} \qquad (12.10)$$

où $\vec{j}(\vec{r}, t)$ est la densité volumique de courant.

Comme la charge totale est conservée, l'intensité $i_S$ qui sort de $S$ est égale au taux de diminution de la charge contenue dans $V$ :

$$i_S(t) = -\frac{dq}{dt} \qquad (12.11)$$

Soit, en dérivant (12.9) et en égalisant avec (12.10) :

$$\oint_S \vec{j} \cdot d\vec{S} = - \iiint_V \frac{\partial \rho}{\partial t} dv \qquad (12.12)$$

Soit, d'après le théorème de Green-Ostrogradski :

$$\iiint_V \operatorname{div} \vec{j} \cdot dv = - \iiint_V \frac{\partial \rho}{\partial t} dv \qquad (12.13)$$

Cette égalité étant vérifiée quel que soit $V$, on en déduit la relation de conservation de la charge :

$$\operatorname{div} \vec{j} = - \frac{\partial \rho}{\partial t} \qquad (12.14)$$

Ce raisonnement peut être transposé à n'importe quelle autre grandeur extensive obéissant à un principe de conservation, comme la masse en mécanique des fluides.

### 12.3.2 Contenu physique de l'équation du flux magnétique

Nous avons déjà analysé cette équation dans le cadre de la magnétostatique (voir section 7.8.1). La conclusion (le flux du champ magnétique est conservatif) et ses conséquences, comme le fait que les lignes de champ magnétique ne peuvent diverger depuis des points sources, sont valables dans le cadre ici plus général, puisque l'équation est la même.

### 12.3.3 Contenu physique de l'équation de Maxwell-Faraday

Cette équation permet d'obtenir la loi de Faraday. Elle exprime donc le fait qu'un champ magnétique dépendant du temps donne naissance à un champ électrique à circulation non conservative (circulation égale à la force électromotrice).

Tandis que dans le cas de l'électrostatique ($\overrightarrow{\text{rot } \vec{E}} = \vec{0}$), le champ électrique est à circulation conservative : $\oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$.

### 12.3.4 Contenu physique de l'équation de Maxwell-Gauss

L'équation de Maxwell-Gauss dans le cadre général est la même que dans le cadre restreint de l'électrostatique : on obtient ainsi un théorème de Gauss généralisé.

Par ailleurs cette équation de Maxwell-Gauss permet suivre l'évolution temporelle de la densité volumique de charges $\rho$ dans un conducteur.

En prenant la divergence de la loi d'Ohm (voir l'équation (10.33)) :

$$\operatorname{div} \vec{j} = \operatorname{div}(\sigma \vec{E}) \qquad (12.15)$$

or, on a : $\operatorname{div}(f \cdot \vec{U}) = f \cdot \operatorname{div} \vec{U} + \vec{U} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad} f}$, donc, ici :

$$\operatorname{div} \vec{j} = \sigma \cdot \operatorname{div} \vec{E} + \vec{E} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad} \sigma} \qquad (12.16)$$
En supposant que la conductivité électrique $\sigma$ est homogène dans le conducteur, auquel cas : $\overrightarrow{grad} \sigma = \overrightarrow{0}$, on a :

$$ \mathrm{div} \vec{j} = \sigma \cdot \mathrm{div} \vec{E} \qquad (12.17) $$

Avec l'équation de Maxwell-Gauss, cela donne :

$$ \mathrm{div} \vec{j} = \sigma \frac{\rho}{\varepsilon_0} \qquad (12.18) $$

À partir de l'équation de conservation de la charge (12.8), on obtient :

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} = -\sigma \frac{\rho}{\varepsilon_0} \qquad (12.19) $$

dont la solution s'écrit :

$$ \rho(t) = \rho(0) \cdot e^{-\frac{t}{t_0}} \qquad (12.20) $$

où $t_0 = \frac{\varepsilon_0}{\sigma}$ est le temps de relaxation (ou de mise à l'équilibre) du conducteur, c'est-à-dire l'ordre de grandeur de la durée avec laquelle des charges de signes opposés accumulées dans un conducteur vont migrer vers la surface sous l'effet des forces électriques. Ce temps est très petit, même pour un mauvais conducteur ($\sigma \sim 1 \, \mathrm{S} \cdot \mathrm{m}^{-1}$) :

$$ t_0 \sim \frac{1}{36\pi \cdot 10^{-9}} \sim 10^{-11} \, \mathrm{s} \qquad (12.21) $$

Donc à l'intérieur d'un conducteur métallique homogène, la densité volumique de charge peut-être considérée comme nulle.

### 12.3.5 Contenu physique de l'équation de Maxwell-Ampère

En régime non permanent, calculons la circulation du champ $\vec{B}$ le long d'un contour C fermé :

$$ \oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \iint_{SO} \vec{rot} \vec{B} \cdot d\vec{S} = \mu_0 \left[ \iint_S \vec{j} \cdot d\vec{S} + \iint_S \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \cdot d\vec{S} \right] \qquad (12.22) $$

En introduisant la notation :

$$ \vec{j}_D = \varepsilon_0 \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \qquad (12.23) $$

on obtient :

$$ \oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \cdot \iint_S (\vec{j} + \vec{j}_D) \cdot d\vec{S} = \mu_0 \left[ i_S + \iint_S \vec{j}_D \cdot d\vec{S} \right] \qquad (12.24) $$

où $i_S$ est l'intensité du courant électrique qui traverse la section S. On obtient ainsi l'équivalent du théorème d'Ampère généralisé.

Ou encore :

$$ \vec{rot} \vec{B} = \mu_0 (\vec{j} + \vec{j}_D) \qquad (12.25) $$

Maxwell avait initialement introduit le terme $\vec{j}_D$ dans son équation afin de lui assurer une co-hérence avec le principe de conservation de la charge. Il a nommé ce terme *densité de courant de déplacement*, qui a été conservé. Néanmoins $\vec{j}_D$ ne représente ni un courant (malgré la symétrie avec le terme $\vec{j}$), ni un déplacement. La signification physique est qu'un champ électrique variant dans le temps, est, au même titre qu'un courant, une source de champ magnétique.

En régime stationnaire (magnétostatique), le courant de déplacement n'apparaît pas. En régime non stationnaire, la présence de ces deux termes impose un couplage entre les deux champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ qui en fait des composantes indissociables du champ électromagnétique ($\vec{E}$, $\vec{B}$).
## 12.4 Propagation du champ électromagnétique

Dans une petite région de l'espace, faisons varier, par exemple, le champ électrique dans le temps. On voit avec l'équation de Maxwell-Ampère que cette perturbation va générer un champ magnétique. Champ magnétique qui varie dans le temps, et qui va créer dans son propre voisinage un champ électrique qui varie dans le temps (équation de Maxwell-Faraday). Et ainsi de suite. On imagine que de proche en proche, une telle perturbation peut se propager et former une onde électromagnétique.

À suivre dans d'autres cours!
Troisième partie

Électrocinétique
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# Chapitre 13

# Circuits électriques dans l'approximation des régimes quasi-stationnaire

## 13.1 Cadre de l'électrocinétique

L'électrocinétique est l'étude des circuits électriques. On modélise les circuits par des composants reliés par des fils conducteurs sans résistance. On se limite à l'étude de certains composants reliés au circuit uniquement par deux bornes, les dipôles. Les composants sont vus de l'extérieur. Pour décrire le comportement des circuits on utilise des modèles sous la forme :

* d'une relation mathématique;

* d'un schéma électrique composé de dipôles idéaux simples.

On se limitera aux circuits électriques construits par l'homme. Les circuits naturels comme le système nerveux des animaux ou la foudre ne font pas l'objet de ce cours.

### 13.1.1 Approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS)

Nous avons déjà vu dans le chapitre sur l'induction mutuelle la définition de cette approximation. Voyons-là sous l'angle de l'électrocinétique.

Si l'intensité du courant dépend du temps, elle dépend a priori du point du circuit que l'on considère à cause de la propagation non instantanée du signal. Mais cela dépend justement de la longueur d'onde du signal.

Un régime ou état *stationnaire*<fnref n="1" /> (ou statique) ne dépend pas de la variable temps.

#### Vitesses dans le conducteur

**Vitesse moyenne des porteurs de charge** : en l'absence de courant électrique, un matériau (conducteur ou pas), est le siège de mouvements incessants des particules (atomes ou molécules) qui le composent. Ce sont des mouvements erratiques dû à l'agitation thermique dont l'amplitude dépend directement de la température (voir cours de thermodynamique).

Dans un conducteur la vitesse moyenne d'agitation thermique des électrons à la température ambiante est d'environ $10^5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$.

**Vitesse de dérive des électrons** : lorsqu'un courant circule dans un conducteur, les porteurs de charges sont animés d'un mouvement d'ensemble qui se superpose à l'agitation thermique. Cette vitesse de dérive correspond à la moyenne vectorielle des vitesses des porteurs.

Dans un fil de cuivre de 1 mm de diamètre, parcouru par un courant de 1 A, cette vitesse de dérive des électrons est d'environ $0,1 \text{ mm} \cdot \text{s}^{-1}$ (voir chapitre sur le champ magnétique).

<footnote n="1">1. Un régime *permanent* est un régime stable après une période transitoire, comme le régime sinusoïdal après l'extinction du régime transitoire. Le régime permanent peut être indépendant du temps, auquel cas, il est stationnaire.</footnote>
**Vitesse de propagation de l'information** : lorsqu'une tension est appliquée aux bornes d'un conducteur, la mise en mouvement des électrons n'est pas instantanée en chaque point du conducteur. Elle se produit lorsque l'information (de cette tension, qui se traduit par un champ électrique), véhiculée par une onde électromagnétique, arrive au point considéré. Cette onde se déplace à la vitesse de la lumière dans le vide et à une vitesse moindre dans un milieu matériel comme un conducteur :
$$c \lesssim c_0 = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}.$$

## ARQS

Dans les circuits étudiés en électrocinétique, on considère que le signal (la tension) se progage instantanément dans tout le circuit. Cela impose que la longueur d'onde $\lambda$ de ce signal soit très supérieure à la taille $\mathcal{L}$ du circuit, soit :

$$\mathcal{L} \ll \lambda \qquad (13.1)$$

ou encore :

$$\mathcal{L} \ll c_0 T = \frac{c_0}{\nu} \qquad (13.2)$$

où $c_0$ est la vitesse de la lumière et $\nu$ est la fréquence du signal considéré, soit :

$$\nu \ll \frac{c_0}{\mathcal{L}} \qquad (13.3)$$

Pour un circuit de taille de l'ordre du mètre, $\mathcal{L} \sim 1$ m, cela correspond à une limite en fréquence de l'ordre de : $\nu \ll 300$ MHz. En particulier pour des circuits alimentés avec du courant domestique de fréquence $\nu = 50$ Hz, l'approximation ARQS est tout à fait valable.

## 13.2 Les grandeurs de l'électrocinétique

L'électrocinétique est le domaine de la physique consacrée à l'étude des courants électriques. Le courant électrique est un mouvement d'ensemble de porteurs de charges électriques mobiles présentes dans les matériaux conducteurs. Ces porteurs de charges sont le plus souvent les électrons (de charges négatives), dans les métaux conducteurs, ou dans les décharges électriques (éclairs...); mais ils peuvent également être des ions (positifs ou négatifs) dans des solutions (électrolyte), comme par exemple les piles ou les batteries; dans les semi-conducteurs, les porteurs de charges sont les lacunes électroniques (trous), qui sont positives.

Par convention le sens du courant électrique est celui des charges positives. Dans un métal conducteur, les électrons responsables du courant se déplacent dans le sens inverse à celui du courant.

Pour décrire le phénomène électrique, deux grandeurs sont nécessaires :

* la tension $u$ rend compte de la tendance qu'ont les charges à se déplacer;

* l'intensité $i$ mesure le débit des charges qui traversent une section du conducteur.

### 13.2.1 La masse

La masse dans un circuit électrique est la référence (l'origine) des potentiels électriques. On peut donc considérer que $V_{\text{masse}} = 0$. La masse est reliée à la terre. La terre (c'est-à-dire le sol) est considérée comme parfaitement conductrice (même si en réalité, certains sols sont peu conducteurs : sable, granit...), au potentiel 0 volt par convention. La terre constitue un réservoir de charges + et - de capacité considérée comme infinie. En électricité et électronique, le symbole de la masse est donné sur la figure 13.1.