# Raccordement de développements asymptotiques pour la propagation des ondes dans les milieux comportant des fentes

Patrick Joly, Sébastien Tordeux

► To cite this version:

Patrick Joly, Sébastien Tordeux. Raccordement de développements asymptotiques pour la propagation des ondes dans les milieux comportant des fentes. Séminaire de Mathématiques et de Physique Appliquées, INSTN, CEA, 2005, Saclay, France. inria-00528071

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Raccordement de développements
asymptotiques pour la propagation
des ondes dans les milieux
comportant des fentes

Patrick Joly et Sébastien Tordeux

INSTN Séminaire de Mathématiques et de Physique Appliquées, Saclay, février 2005

Projet POems-INRIA-Rocquencourt

SAM-ETH Zürich
# Une application typique

Comment peut-on étudier la diffraction des ondes
dans les milieux incluant des **fentes minces** ?

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Un problème physique avec deux longueurs **caractéristiques**

$$ \begin{cases} \text{La longueur d'onde } \lambda \\ \text{La largeur de la fente } \varepsilon \end{cases} $$
# Une application typique

Comment peut-on étudier la diffraction des ondes
dans les milieux incluant des **fentes minces** ?

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Une situation **asymptotique**:

$$ \epsilon \ll \lambda $$
# La difficulté numérique

Un pas de maillage plus petit que $\varepsilon$

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Ceci amène à des calculs **coûteux**
# Quelques références

- Fentes minces:
  Harrington, Auckland (1980), Tatout (1996).

- Différences finies:
  Taflove (1995).

- Théorie des plaques, théorie des jonctions,...
  Ciarlet, Le Dret, Dauge-Costabel.

- Développements asymptotiques raccordés:
  McIver, Rawlins (1993), II’in (1992).

- Techniques multi-échelles
  Maz’ya, Nazarov, Plamenevskii (1991)
  Oleinik, Shamaev, Yosifian (1992)
# Un problème simple

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Equation des ondes **scalaires** :

$$ \frac{\partial^2 p^\epsilon}{\partial t^2} - \Delta p^\epsilon = f $$

Régime **harmonique**:

$$ p^{\epsilon}(x, y, t) = \exp(-i\omega t) u^{\epsilon}(x, y) $$

Equation de **Helmholtz** :

$$ \Delta u^{\epsilon} + \omega^2 u^{\epsilon} = -f \quad \text{in } \Omega^{\epsilon} $$
# Un problème simple

Solution **sortante** à l'infini:

$$ \frac{\partial u^{\epsilon}}{\partial n} - i\omega u^{\epsilon} \le \frac{C}{r^2}, \quad \text{pour } r \text{ grand,} $$

Condition aux limites de **Neumann**
(mur rigide)

$$ \frac{\partial u^{\epsilon}}{\partial n} = 0 \quad \text{sur } \partial\Omega^{\epsilon} $$

<figure><img src="image_6.png" /></figure>
# Un problème simple

Solution **sortante** à l'infini:

$$ \frac{\partial u^{\epsilon}}{\partial n} - i\omega u^{\epsilon} \le \frac{C}{r^2}, \quad \text{pour } r \text{ grand,} $$

Condition aux limites de **Neumann**
(mur rigide)

$$ \frac{\partial u^{\epsilon}}{\partial n} = 0 \quad \text{sur } \partial\Omega^{\epsilon} $$

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Avec la condition aux limites de Dirichlet, la transmission dans la fente est **négligeable** ($o(\epsilon^\infty)$).
# Une simulation numérique

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Simulation numérique effectuée avec le code éléments finis d'ordre élevé (M. Duruflé, INRIA)
# Une simulation numérique

Neumann

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

Dirichlet

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

$$ \frac{\varepsilon}{\lambda} = 0.5 $$

<figure><img src="image_11.png" /></figure>
# Une simulation numérique

Neumann

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Dirichlet

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

$$ \frac{\varepsilon}{\lambda} = 0.2 $$

<figure><img src="image_14.png" /></figure>
# Une simulation numérique

Neumann

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

Dirichlet

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

$$ \frac{\varepsilon}{\lambda} = 0.1 $$

<figure><img src="image_17.png" /></figure>
# Objectifs

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

* Développer des méthodes de calcul **précises**
# Objectifs

* Développer des méthodes de calcul **précises**

* Introduction d'une **zone de transition**

<figure><img src="image_19.png" /></figure>
# Objectifs

* Développer des méthodes de calcul **précises**

* Introduction d'une **zone de transition**

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

* Une technique appropriée: les **développements asymptotiques raccordés**

* Définir de **nouveaux modèles approchés** permettant de calculer la solution.

* Maîtriser l'utilisation de techniques "universelles" de calcul numérique (raffinement de maillage).
Apports aux rac. de dév. asympt.

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

Reformuler les **principes de raccord** (pas toujours clairs) proposés par l'école anglo-saxonne.
# Apports aux rac. de dév. asympt.

* Reformuler les **principes de raccord** (pas toujours clairs) proposés par l'école anglo-saxonne.

* Justification mathématique de cette technique.

* Méthode **inspirée** des techniques multi-échelles

* **Existence et unicité** des termes des développements asymptotiques.

* Technique plus spécifique: **estimations d'erreur**.
# Trois zones

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

* Champ lointain (champ 2D)

* Champ proche (couche limite)

* Champ de fente (champ 1D)
# Trois zones

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

Les hypothèses asymptotiques :

$$ \varepsilon \ll \eta_H(\varepsilon) \ll \lambda, $$

$$ \varepsilon \ll \eta_S(\varepsilon) \ll \lambda. $$

$$ \varepsilon \to 0 $$

$$ \eta(\varepsilon) \to 0 $$

$$ \eta(\varepsilon)/\varepsilon \to +\infty $$
# Trois zones

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

Les hypothèses asymptotiques :

$$ \varepsilon \ll \eta_H(\varepsilon) \ll \lambda, $$

$$ \varepsilon \ll \eta_S(\varepsilon) \ll \lambda. $$

$$ \varepsilon \to 0 $$

$$ \eta(\varepsilon) \to 0 $$

$$ \eta(\varepsilon)/\varepsilon \to +\infty $$
# Trois zones

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

Champ lointain

Les hypothèses asymptotiques :

$$ \varepsilon \ll \eta_H(\varepsilon) \ll \lambda, $$

$$ \varepsilon \ll \eta_S(\varepsilon) \ll \lambda. $$

$$ \varepsilon \to 0 $$

$$ \eta(\varepsilon) \to 0 $$

$$ \eta(\varepsilon)/\varepsilon \to +\infty $$
# Trois zones

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

## Champ proche

### Les hypothèses asymptotiques:

$$ \varepsilon \ll \eta_H(\varepsilon) \ll \lambda, $$

$$ \varepsilon \ll \eta_S(\varepsilon) \ll \lambda. $$

$$ \varepsilon \to 0 $$

$$ \eta(\varepsilon) \to 0 $$

$$ \eta(\varepsilon)/\varepsilon \to +\infty $$
# Trois zones

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

## Champ de fente

### Les hypothèses asymptotiques:

$$ \varepsilon \ll \eta_H(\varepsilon) \ll \lambda, $$

$$ \varepsilon \ll \eta_S(\varepsilon) \ll \lambda. $$

$$ \varepsilon \to 0 $$

$$ \eta(\varepsilon) \to 0 $$

$$ \eta(\varepsilon)/\varepsilon \to +\infty $$
# Trois zones

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

lointain et proche

Les hypothèses asymptotiques :

$$ \varepsilon \ll \eta_H(\varepsilon) \ll \lambda, $$

$$ \varepsilon \ll \eta_S(\varepsilon) \ll \lambda. $$

$$ \varepsilon \to 0 $$

$$ \eta(\varepsilon) \to 0 $$

$$ \eta(\varepsilon)/\varepsilon \to +\infty $$
# Trois zones

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

de fente et proche

Les hypothèses asymptotiques:

$$ \varepsilon \ll \eta_H(\varepsilon) \ll \lambda, $$

$$ \varepsilon \ll \eta_S(\varepsilon) \ll \lambda. $$

$$ \varepsilon \to 0 $$

$$ \eta(\varepsilon) \to 0 $$

$$ \eta(\varepsilon)/\varepsilon \to +\infty $$
# Les temps de la méthode

* Dérivation des développements asymptotiques:

* Partie formelle

* Plusieurs présentations possibles
# Les temps de la méthode

* **Dérivation** des développements asymptotiques:

* Partie **formelle**

* Plusieurs présentations possibles

* **Description** des développements asymptotiques

* Partie **rigoureuse**

* **Définition** des termes de développements asymptotiques
# Les temps de la méthode

* **Dérivation** des développements asymptotiques:

* Partie **formelle**

* Plusieurs présentations possibles

* **Description** des développements asymptotiques

* Partie **rigoureuse**

* **Définition** des termes de développements asymptotiques

* **Validation mathématique** du développement asymptotique

* Partie **rigoureuse**

* **Estimations d'erreur**
# Les temps de la méthode

## 2 Dérivation des développements asymptotiques:

* Partie **formelle**

* Plusieurs présentations possibles

## 1 Description des développements asymptotiques

* Partie **rigoureuse**

* Définition des termes de développements asymptotiques

## 3 Validation mathématique du développement asymptotique

* Partie **rigoureuse**

* Estimations d'erreur
# Champ lointain

Contexte asymptotique: $\varepsilon \ll \eta_H \ll \lambda$.

<figure><img src="image_30.png" /></figure>
# Champ lointain

Contexte asymptotique: $\varepsilon \ll \eta_H \ll \lambda$.

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

Pas de normalisation:

$$X = x,$$

$$Y = y.$$
# Champ lointain

Contexte asymptotique: $\varepsilon \ll \eta_H \ll \lambda$.

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

Pas de normalisation:

$X = x,$

$Y = y.$
# Champ lointain

Contexte asymptotique: $\varepsilon \ll \eta_H \ll \lambda$.

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

$$ u^{\varepsilon} = u^{0} + \sum_{i=1}^{+\infty} \sum_{k=0}^{i-1} \varepsilon^{i} (\log \varepsilon)^{k} u_{i}^{k} + o(\varepsilon^{\infty}), \quad \text{dans } \Omega. $$
# Champ lointain

Contexte asymptotique: $\varepsilon \ll \eta_H \ll \lambda$.

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

où les $u_i^k$ vérifient l'équation de **Helmholtz homogène**

$$ \Delta u_i^k + \omega^2 u_i^k = 0. $$
# Champ de fente

<figure><img src="image_35.png" /></figure>
# Champ de fente

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

$$u^{\epsilon}(x, y) = U^{\epsilon}(x, \frac{y}{\epsilon})$$
# Champ de fente

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

Le contexte **asymptotique**: $\varepsilon \ll \eta_S \ll \lambda$.

La **normalisation**: $X = x, Y = \frac{y}{\varepsilon}$.
# Champ de fente

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

Le contexte **asymptotique** : $\varepsilon \ll \eta_S \ll \lambda$.

La **normalisation** : $X = x, Y = \frac{y}{\varepsilon}$.
# Champ de fente

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

Le contexte **asymptotique** : $\varepsilon \ll \eta_S \ll \lambda$.

La **normalisation** : $X = x, Y = \frac{y}{\varepsilon}$.
# Champ de fente

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

$$ u^{\varepsilon}(x, Y\varepsilon) = U^{\varepsilon}(x, Y) = \sum_{i=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{i} \varepsilon^i (\log \varepsilon)^k U_i^k(x, Y) + o(\varepsilon^{\infty}), $$
# Champ de fente

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

où les $U_i^k$ vérifient l'équation de **Helmholtz 1D**:

$$ \frac{d^2 U_i^k}{dx^2} + \omega^2 U_i^k = 0 $$
# Champ proche

<figure><img src="image_42.png" /></figure>
Champ proche

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

$$u^{\epsilon}(x, y) = u_{p}^{\epsilon}\left(\frac{x}{\epsilon}, \frac{y}{\epsilon}\right)$$
# Champ proche

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

Contexte **asymptotique**: $\varepsilon \ll \eta_H \ll \lambda$, $\varepsilon \ll \eta_S \ll \lambda$.

La **normalisation**: $X = \frac{x}{\varepsilon}$, $Y = \frac{y}{\varepsilon}$
# Champ proche

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

Contexte **asymptotique**: $\varepsilon \ll \eta_H \ll \lambda$, $\varepsilon \ll \eta_S \ll \lambda$.

La **normalisation**: $X = \frac{x}{\varepsilon}$, $Y = \frac{y}{\varepsilon}$
# Champ proche

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

Contexte **asymptotique**: $\varepsilon \ll \eta_H \ll \lambda$, $\varepsilon \ll \eta_S \ll \lambda$.

La **normalisation**: $X = \frac{x}{\varepsilon}$, $Y = \frac{y}{\varepsilon}$
# Champ proche

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

Contexte **asymptotique**: $\varepsilon \ll \eta_H \ll \lambda$, $\varepsilon \ll \eta_S \ll \lambda$.

La **normalisation**: $X = \frac{x}{\varepsilon}$, $Y = \frac{y}{\varepsilon}$
Champ proche

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

$$
u^{\varepsilon}(\varepsilon X, \varepsilon Y) = u_{p}^{\varepsilon}(X, Y) = \sum_{i=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{i} \varepsilon^{i} (\log \varepsilon)^{k} (u_{p})_{i}^{k}(X, Y) + o(\varepsilon^{\infty})
$$
# Champ proche

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

où les $(u_p)_i^k$ vérifient l'équation de Laplace (in)homogène.

$$ egin{cases} 
\Delta(\boldsymbol{u}_p)_i^k = 0, & \text{si } i = k \text{ ou } k + 1, \\ 
\Delta(\boldsymbol{u}_p)_i^k = - \omega^2 (\boldsymbol{u}_p)_{i-2}^k, & \text{sinon.} 
\end{cases} 
$$
Ordre 0 : $\underline{u}^0, (\underline{u}_p)^0_0, \underline{U}^0_0$

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

Champ lointain:

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
\text{Chercher } \underline{u}^0 \in H_{loc}^1(\Omega) \text{ tel que :} & \\
\quad -\Delta \underline{u}^0 - \omega^2 \underline{u}^0 = f, & \text{dans } \Omega, \\
\\
\quad \frac{\partial \underline{u}^0}{\partial n} = 0, & \text{sur } \partial\Omega, \\
\\
\text{underline{u}⁰ est sortante.} &
\end{array}
\right.
$$
Ordre 0 : $u^0, (u_p)_0^0, U_0^0$

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

Champ proche :

$$ (u_p)_0^0 (X, Y) = u^0(A), \quad \text{dans } \mathcal{B}_1. $$
Ordre 0 : $u^0, (u_p)^0, U_0^0$

$\mathcal{O}_1$

Champ de fente:

$U_0^0(x, Y) = u^0(A) \exp(i\omega x)$, dans $\mathcal{O}_1$.
Ordre 1 : $\underline{u_1^0}$, $(u_p)_1^0$, $(u_p)_1^1$, $U_1^0$, $U_1^1$

<figure><img src="image_52.png" /></figure>

Approximation de la solution exacte :

$$u^{\epsilon} \approx u^0 + \epsilon u_1^0$$
Ordre 1 : $\underline{u_1^0}$, $(u_p)_1^0$, $(u_p)_1^1$, $U_1^0$, $U_1^1$

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

Forme explicite de $u_1^0$

$$ \underline{u}_1^0(r, \theta) = -\frac{\omega}{2} u^0(A) H_0^{(1)}(\omega r). $$
Ordre 1 : $u_1^0, (u_p)_1^0, (u_p)_1^1, U_1^0, U_1^1$

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

**Approximation de la solution exacte :**

$$ egin{cases} u^{\epsilon}(\epsilon X, \epsilon Y) = u_{p}^{\epsilon}(X, Y), \\ u_{p}^{\epsilon} \approx (u_{p})_{0}^{0} + \epsilon (u_{p})_{1}^{0} + \epsilon \log \epsilon (u_{p})_{1}^{1}. \end{cases} $$
Ordre 1 : $u_1^0, (u_p)_1^0, (u_p)_1^1, U_1^0, U_1^1$

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

Champ proche :

Chercher $(u_p)_1^0 \in H_{loc}^1(\mathcal{B}_1)$ tel que :

$$ egin{cases} 
\Delta(\textcolor{red}{u_p})_1^0 = 0, & \text{dans } \mathcal{B}_1 \\ 
\displaystyle\frac{\partial(\textcolor{red}{u_p})_1^0}{\partial n} = 0, & \text{sur } \partial\mathcal{B}_1. 
\end{cases} $$
Ordre 1 : $u_1^0, (u_p)_1^0, (u_p)_1^1, U_1^0, U_1^1$

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

Le comportement à l'infini dans le demi-espace :

$$ (u_p)_1^0(\rho, \theta) - \frac{\partial u^0}{\partial y}(A) \rho \cos \theta + \frac{\omega}{2} u^0(A) \left[ 1 + \frac{2i}{\pi} (\log \rho + \gamma) \right] = O\left(\frac{1}{\rho}\right). $$
Ordre 1 : $u_1^0, (u_p)_1^0, (u_p)_1^1, U_1^0, U_1^1$

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

Le comportement à l'infini dans le demi-espace:

$$ (u_p)_1^0(\rho, \theta) - \frac{\partial u^0}{\partial y}(A) \rho \cos\theta + \frac{\omega}{2} u^0(A) \left[ 1 + \frac{2i}{\pi} (\log \rho + \gamma) \right] = O\left(\frac{1}{\rho}\right). $$

Le comportement à l'infini dans la fente:

$$ (u_p)_1^0(X, Y) - i\omega u^0(A) X = O(1). $$
Ordre 1 : $u_1^0, (u_p)_1^0, (u_p)_1^1, U_1^0, U_1^1$

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

$$ (u_p)_1^1 = -\frac{i\omega}{\pi} u^0(A) $$
Ordre 1 : $u_1^0, (u_p)_1^0, (u_p)_1^1, \underline{U_1^0}, \underline{U_1^1}$

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

**Approximation de la solution exacte :**

$$ egin{cases} u^{\varepsilon}(x, \varepsilon Y) = U^{\varepsilon}(x, Y), \\ U^{\varepsilon} \approx U_0^{\varepsilon} + \varepsilon U_1^{\varepsilon} + \varepsilon \log \varepsilon U_1^{\varepsilon}. \end{cases} $$
Ordre 1 : $u_1^0, (u_p)_1^0, (u_p)_1^1, \underline{U_1^0}, \underline{U_1^1}$

<figure><img src="image_60.png" /></figure>

Le champ de fente :

$$ \mathbf{U}_1^0(x) = \int_0^1 \mathbf{U}_1^0(0, Y) \, dY \exp(i\omega x), $$
Ordre 1 : $u_1^0, (u_p)_1^0, (u_p)_1^1, U_1^0, U_1^1$

<figure><img src="image_61.png" /></figure>

Le champ de fente :

$$ \mathbf{U}_1^1(x) = -\frac{i\omega}{\pi} u^0(A) \exp(i\omega x). $$
# Les champs lointains d'ordre $i > 1$

* Les champs $u_i^k$ sont définis dans tout le **demi-espace**:

<figure><img src="image_62.png" /></figure>
# Les champs lointains d'ordre $i > 1$

* Les champs $u_i^k$ sont définis dans tout le **demi-espace**:

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

* Les champs lointains $u_i^k$

* vérifient l'équation de **Helmholtz homogène**

* sont **singuliers** au voisinage de l'origine

* sont sortants à l'infini
# Les champs lointains d'ordre $i > 1$

* Les champs $u_i^k$ sont définis dans tout le **demi-espace**:

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

$$ u_i^k = \sum_{p=0}^{+\infty} a_p H_p^{(1)}(\omega r) \cos p\theta $$
# Les champs lointains d'ordre $i > 1$

* Les champs $u_i^k$ sont définis dans tout le **demi-espace**:

<figure><img src="image_65.png" /></figure>

* $u_i^k = \sum_{p=0}^{i-k-1} a_p H_p^{(1)}(\omega r) \cos p\theta$
# Les champs lointains d'ordre $i > 1$

* Les champs $u_i^k$ sont définis dans tout le **demi-espace**:

<figure><img src="image_66.png" /></figure>

$$ u_i^k = \sum_{p=0}^{i-k-1} a_p H_p^{(1)}(\omega r) \cos p\theta $$

Les $a_p$ sont fonctions des termes d'**ordre inférieur**
# Les champs lointains d'ordre $i > 1$

* Les champs $u_i^k$ sont définis dans tout le **demi-espace**:

<figure><img src="image_67.png" /></figure>

* $u_i^k = \sum_{p=0}^{i-k-1} a_p H_p^{(1)}(\omega r) \cos p\theta$

Les $a_p$ sont fonctions des termes d'**ordre inférieur**
# Les champs lointains d'ordre $i > 1$

* Les champs $u_i^k$ sont définis dans tout le **demi-espace**:

<figure><img src="image_68.png" /></figure>

* $u_i^k = \sum_{p=0}^{i-k-1} a_p H_p^{(1)}(\omega r) \cos p\theta$

Les $a_p$ sont fonctions des termes d'**ordre inférieur**
# Les champs proches d'ordre $i > 1$

* Les $(u_p)_i^k(X, Y)$ sont définis sur le domaine **canonique**:

<figure><img src="image_69.png" /></figure>
# Les champs proches d'ordre $i > 1$

* Les $(u_p)_i^k(X, Y)$ sont définis sur le domaine **canonique**:

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

* par des équations de **Laplace**:

$$ \Delta(\boldsymbol{u}_p)_i^k = 0, \quad (i = k \text{ ou } k + 1), $$

$$ \Delta(\boldsymbol{u}_p)_i^k = -\omega^2 (\boldsymbol{u}_p)_{i-2}^k, \quad (i \ge k + 2), $$
# Les champs proches d'ordre $i > 1$

* Les $(u_p)_i^k(X, Y)$ sont définis sur le domaine **canonique**:

<figure><img src="image_71.png" /></figure>

* par des équations de **Laplace**:

* par des **croissances polynomiales** à l'infini:

* Les **croissances** dans le demi-espace sont fonctions des champs **lointains d'ordre inférieur ou égal**

* Les **croissances** dans la fente sont fonctions des champs de **fente d'ordre inférieur**
# Les champs proches d'ordre $i > 1$

* Les $(u_p)_i^k(X, Y)$ sont définis sur le domaine **canonique**:

<figure><img src="image_72.png" /></figure>

* Preuve de l'**existence-unicité**:

* Avec des fonctions de troncature, on retire le comportement croissant à l'infini des $(u_p)_i^k$

* On utilise la **théorie variationnelle "classique"** (espace de Sobolev à poids, Leroux, Hardy,...)
# Les champs de fente d'ordre $i > 1$

* Les $U_i^k$ sont définis sur le domaine **canonique**:

<figure><img src="image_73.png" /></figure>

* $U_i^k(x) = \int_0^1 (u_p)_i^k(0, Y)dY \exp i\omega x$
# Les champs de fente d'ordre $i > 1$

* Les $U_i^k$ sont définis sur le domaine **canonique**:

<figure><img src="image_74.png" /></figure>

* Les $U_i^k$ ne dépendent que de $x$.

* $U_i^k(x) = \int_0^1 (u_p)_i^k(0, Y)dY \exp i\omega x$
# Quelques propriétés

On observe que :

* Plus $i-k$ est grand plus $u_i^k$ est **singulier** à l'origine :

Termes en $r^{-p}$, $p = 0, ..., i - k - 1$
# Quelques propriétés

On observe que :

* Plus $i-k$ est grand plus $u_i^k$ est **singulier** à l'origine :

Termes en $r^{-p}$, $p = 0, ..., i-k-1$

* Plus $i-k$ est grand plus $(u_p)_i^k$ est **croissant** :

$$
\begin{cases}
\text{Termes en } \rho^p, & p = 0, \dots, i-k, \\
\text{Termes en } X^p, & p = 0, \dots, i-k,
\end{cases}
$$
# Quelques propriétés

On observe que :

* Plus $i-k$ est grand plus $u_i^k$ est **singulier** à l'origine :

Termes en $r^{-p}$, $p = 0, ..., i-k-1$

* Plus $i-k$ est grand plus $(u_p)_i^k$ est **croissant** :

$$ \begin{cases} \text{Termes en } \rho^p, & p = 0, ..., i-k, \\ \text{Termes en } X^p, & p = 0, ..., i-k, \end{cases} $$

* Lorsque l'**ordre** $i$ augmente, on a $O(\frac{i^2}{2}) (\times 3)$ termes à calculer...
# Diagramme de dépendance des correcteurs

<figure><img src="image_75.png" /></figure>

Chaque point correspond au triplet $(u_i^k, (u_p)_i^k, U_i^k)$.
# Diagramme de dépendance des correcteurs

<figure><img src="image_76.png" /></figure>

Chaque point correspond au triplet $(u_i^k, (u_p)_i^k, U_i^k)$.
# Ordonnancement naturel des calculs

<figure><img src="image_77.png" /></figure>

Chaque point correspond au triplet $(u_i^k, (u_p)_i^k, U_i^k)$.
# Dérivation des termes des dév. asympt.

<figure><img src="image_78.png" /></figure>

On recherche la solution sous la forme :

$$ \sum_{i \in \mathbb{Z}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varepsilon^i (\log \varepsilon)^k u_i^k \qquad (\text{Champ lointain}) $$

$$ \sum_{i \in \mathbb{Z}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varepsilon^i (\log \varepsilon)^k (u_p)_i^k \qquad (\text{Champ proche}) $$

$$ \sum_{i \in \mathbb{Z}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varepsilon^i (\log \varepsilon)^k U_i^k \qquad (\text{Champ de fente}) $$
# Dérivation des termes des dév. asympt.

<figure><img src="image_79.png" /></figure>

On recherche la solution sous la forme :

$$ \sum_{i \in \mathbb{Z}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varepsilon^i (\log \varepsilon)^k u_i^k \quad (\text{Champ lointain}) $$

$$ \sum_{i \in \mathbb{Z}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varepsilon^i (\log \varepsilon)^k (u_p)_i^k \quad (\text{Champ proche}) $$

$$ \sum_{i \in \mathbb{Z}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varepsilon^i (\log \varepsilon)^k U_i^k \quad (\text{Champ de fente}) $$

<figure><img src="image_80.png" /></figure>

On injecte les équations volumiques et surfaciques
# Dérivation des termes des dév. asympt.

<figure><img src="image_81.png" /></figure>

On recherche la solution sous la forme :

$$ \sum_{i \in \mathbb{Z}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varepsilon^i (\log \varepsilon)^k u_i^k \quad (\text{Champ lointain}) $$

$$ \sum_{i \in \mathbb{Z}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varepsilon^i (\log \varepsilon)^k (u_p)_i^k \quad (\text{Champ proche}) $$

$$ \sum_{i \in \mathbb{Z}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varepsilon^i (\log \varepsilon)^k U_i^k \quad (\text{Champ de fente}) $$

<figure><img src="image_82.png" /></figure>

On injecte les équations volumiques et surfaciques

<figure><img src="image_83.png" /></figure>

Obtention des conditions de **couplage** (la difficulté)
# Raccord lointain-proche

<figure><img src="image_84.png" /></figure>

Dans une **zone épaisse** du type:

$$ \varepsilon \ll \eta_H \ll \lambda. $$

On traduit le raccord:

$$ u^{\varepsilon}(\eta_H, \theta) = (u_p)^{\varepsilon}(\frac{\eta_H}{\varepsilon}, \theta). $$

$$ \begin{gathered} \sum_{i \in \mathbb{Z}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varepsilon^i (\log \varepsilon)^k u_i^k(\eta_H, \theta) \approx \sum_{i \in \mathbb{Z}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varepsilon^i (\log \varepsilon)^k (u_p)_i^k(\frac{\eta_H}{\varepsilon}, \theta) \\ \eta_H \to 0 \qquad \frac{\eta_H}{\varepsilon} \to +\infty \end{gathered} $$
# Raccord lointain-proche

$$ \sum_{i \in \mathbb{Z}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varepsilon^i (\log \varepsilon)^k u_i^k(\eta_H, \theta) \approx \sum_{i \in \mathbb{Z}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varepsilon^i (\log \varepsilon)^k (u_p)_i^k(\frac{\eta_H}{\varepsilon}, \theta) \\ \eta_H \to 0 \qquad \frac{\eta_H}{\varepsilon} \to +\infty $$

On **développe**

<figure><img src="image_85.png" /></figure>

* la série de gauche suivant $\eta_H$ proche de 0

<figure><img src="image_86.png" /></figure>

* la série de droite suivant $\eta_H/\varepsilon$ proche de l'infini

On **identifie** terme à terme les deux séries.
Raccord lointain-proche

Nous obtenons ainsi des **systèmes matricielles** et non plus
**des égalités formelles** entre des séries:

$$
\left\{
\begin{aligned}
u_i^k(r, \theta) &= \sum_{p=0}^{+\infty} (a_i^k)^p H_p^{(1)}(\omega r) \cos p\theta \\
(u_p)_i^k(R, \theta) &= \sum_{l=-\infty}^{+\infty} \sum_{p=0}^{+\infty} (A_i^k)_l^p R^l \cos p\theta + (B_i^k)_l^p R^l \cos p\theta \quad \text{lo}
\end{aligned}
\right.
$$

Il n'y a qu'un **nombre fini** de $(a_i^k)^p$ différents de 0

⇒ Le développement de $u_i^k$ a donc un sens
# Raccord lointain-proche

Nous obtenons ainsi des **systèmes matricielles** et non plus des **égalités formelles** entre des séries:

$$ egin{cases} 
\textcolor{red}{u}_{i}^{k}(r, \theta) = \sum_{p=0}^{+\infty} (\textcolor{red}{a}_{i}^{k})^{p} H_{p}^{(1)}(\omega r) \cos p\theta \\ 
(\textcolor{red}{u}_{p})_{i}^{k}(R, \theta) = \sum_{l=-\infty}^{+\infty} \sum_{p=0}^{+\infty} (\textcolor{red}{A}_{i}^{k})_{l}^{p} R^{l} \cos p\theta + (\textcolor{red}{B}_{i}^{k})_{l}^{p} R^{l} \cos p\theta \quad \text{lo} 
\end{cases} $$

Pour $l \ge 0$, il n'y a qu'un **nombre fini** de

$$ (\textcolor{red}{A}_{i}^{k})_{l}^{p} \text{ et } (\textcolor{red}{B}_{i}^{k})_{l}^{p} $$

différents de 0
Raccord lointain-proche

Nous obtenons ainsi des **systèmes matricielles** et non plus
**des égalités formelles** entre des séries:

$$
\left\{
\begin{aligned}
u_i^k(r, \theta) &= \sum_{p=0}^{+\infty} (a_i^k)^p H_p^{(1)}(\omega r) \cos p\theta \\
(u_p)_i^k(R, \theta) &= \sum_{l=-\infty}^{+\infty} \sum_{p=0}^{+\infty} (A_i^k)_l^p R^l \cos p\theta + (B_i^k)_l^p R^l \cos p\theta \log R
\end{aligned}
\right.
$$

Pour $l < 0$, nous montrons alors le **contrôle**:

$$
\left| \sum_{l=-\infty}^{0} \sum_{p=0}^{+\infty} (A_i^k)_l^p R^l \cos p\theta + (B_i^k)_l^p R^l \cos p\theta \log R \right| = O(1)
$$
Raccord lointain-proche

Nous obtenons ainsi des **systèmes matricielles** et non plus
**des égalités formelles** entre des séries:

$$
\left\{
\begin{aligned}
u_i^k(r, \theta) &= \sum_{p=0}^{+\infty} (a_i^k)^p H_p^{(1)}(\omega r) \cos p\theta \\
(u_p)_i^k(R, \theta) &= \sum_{l=-\infty}^{+\infty} \sum_{p=0}^{+\infty} (A_i^k)_l^p R^l \cos p\theta + (B_i^k)_l^p R^l \cos p\theta \quad \text{lo}
\end{aligned}
\right.
$$

⇒ Le développement de (u_p)_i^k a donc un sens
# Le couplage entre les champs

<figure><img src="image_87.png" /></figure>

Le couplage champ **lointain-champ proche**:

Le comportement **du champ lointain en l'origine** est couplé avec le comportement **du champ proche à l'infini dans le demi-espace**

<figure><img src="image_88.png" /></figure>
# Le couplage entre les champs

<figure><img src="image_89.png" /></figure>

* Le couplage champ **lointain-champ proche**:

<figure><img src="image_90.png" /></figure>

* Le couplage champ **proche-champ de fente**

Le comportement **du champ proche** dans la fente à l'infini est couplé avec le comportement à l'origine du champ de fente (valeurs des dérivées)

<figure><img src="image_91.png" /></figure>

<figure><img src="image_92.png" /></figure>
# Analyse mathématique

<figure><img src="image_93.png" /></figure>

$$ \left\| \mathbf{u}^{\varepsilon} - \mathbf{u}^{0} - \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=0}^{i-1} \varepsilon^{i} (\log \varepsilon)^{k} \mathbf{u}_{i}^{k} \right\|_{H^{1}(\Omega^{R,R'})} \leq C \varepsilon^{n+1} (\log \varepsilon)^{n} \|f\|_{L^{2}(\Omega)}. $$
# Analyse mathématique

<figure><img src="image_94.png" /></figure>

$$ \left\| \textcolor{red}{u^{\varepsilon}} - \textcolor{blue}{u^0} - \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=0}^{i-1} \varepsilon^i (\log \varepsilon)^k \textcolor{red}{u_i^k} \right\|_{H^1(\Omega^{R,R'})} \leq C \varepsilon^{n+1} (\log \varepsilon)^n \|f\|_{L^2(\Omega)}. $$

$$ \left\| \textcolor{red}{u_p^{\varepsilon}} - \sum_{i=0}^{n} \sum_{k=0}^{i} \varepsilon^i (\log \varepsilon)^k (\textcolor{red}{u_p})_i^k \right\|_{H^1(\mathcal{B}_1^{L,L'})} \leq C \varepsilon^{n+1} (\log \varepsilon)^{n+1} \|f\|_{L^2(\Omega)}. $$
# Analyse mathématique

<figure><img src="image_95.png" /></figure>

$$ \left\| \textcolor{red}{u^{\varepsilon}} - \textcolor{red}{u^{0}} - \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=0}^{i-1} \varepsilon^{i} (\log \varepsilon)^{k} \textcolor{red}{u_{i}^{k}} \right\|_{H^{1}(\Omega^{R,R'})} \leq C \varepsilon^{n+1} (\log \varepsilon)^{n} \|f\|_{L^{2}(\Omega)}. $$

$$ \left\| \textcolor{red}{u_{p}^{\varepsilon}} - \sum_{i=0}^{n} \sum_{k=0}^{i} \varepsilon^{i} (\log \varepsilon)^{k} (\textcolor{red}{u_{p}})_{i}^{k} \right\|_{H^{1}(\mathcal{B}_{1}^{L,L'})} \leq C \varepsilon^{n+1} (\log \varepsilon)^{n+1} \|f\|_{L^{2}(\Omega)}. $$

$$ \left\| \textcolor{red}{U^{\varepsilon}} - \sum_{i=0}^{n} \sum_{k=0}^{i} \varepsilon^{i} (\log \varepsilon)^{k} \textcolor{red}{U_{i}^{k}} \right\|_{H^{1}(\mathcal{O}_{1}^{l,l'})} \leq C \varepsilon^{n+1} (\log \varepsilon)^{n+1} \|f\|_{L^{2}(\Omega)}. $$
# Idée de la preuve

Nous souhaitons définir une **approximation** $\tilde{u}_n^\epsilon$ de la solution exacte qui **coïncide** avec:

<figure><img src="image_96.png" /></figure>

• le développement **tronqué** du **champ lointain** loin de la fente dans le demi-espace

$$ u_n^{H,\epsilon}(x,y) = u^0(x,y) + \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=0}^{i-1} \epsilon^i (\log \epsilon)^k u_i^k(x,y) $$

<figure><img src="image_97.png" /></figure>
# Idée de la preuve

Nous souhaitons définir une **approximation** $\tilde{u}_n^\epsilon$ de la solution exacte qui **coïncide** avec:

* le développement **tronqué** en **champ proche** au voisinage de l'embouchure de la fente

$$ u_{n}^{N, \epsilon}(x, y) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{k=0}^{i} \epsilon^{i} (\log \epsilon)^{k} (u_{p})_{i}^{k} \left(\frac{x}{\epsilon}, \frac{y}{\epsilon}\right) $$

<figure><img src="image_98.png" /></figure>
# Idée de la preuve

Nous souhaitons définir une **approximation** $\tilde{u}_n^\epsilon$ de la solution exacte qui **coïncide** avec:

* le développement **tronqué** en **champ de fente** loin dans la fente

$$ u_n^{S, \epsilon}(x, y) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{k=0}^{i} \epsilon^i (\log \epsilon)^k U_i^k(x, \frac{y}{\epsilon}) $$

<figure><img src="image_99.png" /></figure>
# Idée de la preuve

## Introduction d'une partition de l'unité

$$ \tilde{u}_n^{\epsilon}(r, \theta) = \chi_H^{\epsilon} u_n^{H,\epsilon} + \chi_N^{\epsilon} u_n^{N,\epsilon} + \chi_S^{\epsilon} u_n^{S,\epsilon} $$

avec

$$ \chi_H^{\epsilon} + \chi_N^{\epsilon} + \chi_S^{\epsilon} = 1. $$

<figure><img src="image_100.png" /></figure>
Idée de la preuve

Equation portant sur l'**erreur** $e_n^\epsilon = \tilde{u}_n^\epsilon - u^\epsilon$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\Delta e_n^\epsilon + \omega^2 e_n^\epsilon = (\delta_N)_n^\epsilon + (\delta_{H-N})_n^\epsilon + (\delta_{S-N})_n^\epsilon, \quad \text{dans } \Omega_\epsilon, \\
\\
\frac{\partial e_n^\epsilon}{\partial n} = 0, \quad \text{sur } \partial\Omega_\epsilon, \\
\\
e_n^\epsilon \text{ est sortante.}
\end{array}
\right.
$$

($\delta_N$)$_n^\epsilon$ est relié à l'**approximation** de l'équation de Helmholtz
par le champ **proche**

<figure><img src="image_101.png" /></figure>
Idée de la preuve

Equation portant sur l'**erreur** $e_n^\epsilon = \tilde{u}_n^\epsilon - u^\epsilon$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\Delta e_n^\epsilon + \omega^2 e_n^\epsilon = (\delta_N)_n^\epsilon + (\delta_{H-N})_n^\epsilon + (\delta_{S-N})_n^\epsilon, \quad \text{dans } \Omega_\epsilon, \\
\\
\frac{\partial e_n^\epsilon}{\partial n} = 0, \qquad \text{sur } \partial\Omega_\epsilon, \\
\\
e_n^\epsilon \text{ est sortante.}
\end{array}
\right.
$$

($\delta_{H-N}$)$_n^\epsilon$ est relié à l'**erreur de raccord** entre champ **lointain** et champ **proche**

<figure><img src="image_102.png" /></figure>
Idée de la preuve

Equation portant sur l'**erreur** $e_n^\epsilon = \tilde{u}_n^\epsilon - u^\epsilon$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\Delta e_n^\epsilon + \omega^2 e_n^\epsilon = (\delta_N)_n^\epsilon + (\delta_{H-N})_n^\epsilon + (\delta_{S-N})_n^\epsilon, \quad \text{dans } \Omega_\epsilon, \\
\\
\frac{\partial e_n^\epsilon}{\partial n} = 0, \quad \text{sur } \partial\Omega_\epsilon, \\
\\
e_n^\epsilon \text{ est sortante.}
\end{array}
\right.
$$

($\delta_{S-N})_n^\epsilon$ est relié à l'**erreur de raccord** entre champ de **fente** et champ **proche**

<figure><img src="image_103.png" /></figure>
Idée de la preuve

Equation portant sur l'**erreur** $e_n^\epsilon = \tilde{u}_n^\epsilon - u^\epsilon$

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
\Delta e_n^\epsilon + \omega^2 e_n^\epsilon = (\delta_N)_n^\epsilon + (\delta_{H-N})_n^\epsilon + (\delta_{S-N})_n^\epsilon, & \text{dans } \Omega_\epsilon, \\
\\
\frac{\partial e_n^\epsilon}{\partial n} = 0, & \text{sur } \partial\Omega_\epsilon, \\
\\
e_n^\epsilon \text{ est sortante.}
\end{array}
\right.
$$

Démarche asymptotique classique :

<figure><img src="image_104.png" /></figure>

Stabilité: raisonnement par l'**absurde** (Helmholtz)

<figure><img src="image_105.png" /></figure>

● **Consistance:** plus spécifique et technique (étude des
singlularités et croissances par séparation de variables)
# Idée de la preuve

## L'estimation d'erreur globale

$$ \left\{ \begin{array}{l} \| u^{\varepsilon} - \tilde{u}_{n}^{\varepsilon} \|_{H^1(\Omega_{\varepsilon}^{R, \delta})} \le C \left[ \left( \eta_{H}(\varepsilon) \right)^{n} + \left( \frac{\varepsilon}{\eta_{H}(\varepsilon)} \right)^{n} \right] \\ \qquad + C \left[ \left( \eta_{S}(\varepsilon) \right)^{n} + \left( \frac{\varepsilon}{\eta_{S}(\varepsilon)} \right)^{n} \right]. \end{array} \right. $$

<figure><img src="image_106.png" /></figure>
# Idée de la preuve

## L'estimation d'erreur globale

$$ \left\{ \begin{array}{l} \| \mathbf{u}^{\varepsilon} - \tilde{\mathbf{u}}_{n}^{\varepsilon} \|_{H^{1}(\Omega_{\varepsilon}^{R, \delta})} \le C \left[ \left( \eta_{H}(\varepsilon) \right)^{n} + \left( \frac{\varepsilon}{\eta_{H}(\varepsilon)} \right)^{n} \right] \\ \qquad + C \left[ \left( \eta_{S}(\varepsilon) \right)^{n} + \left( \frac{\varepsilon}{\eta_{S}(\varepsilon)} \right)^{n} \right]. \end{array} \right. $$

On choisit $\eta_H(\varepsilon)$ et $\eta_S(\varepsilon)$ pour **optimiser** cette relation

$$ \eta_H(\varepsilon) = \eta_S(\varepsilon) = \sqrt{\varepsilon} $$

Nous tirons

$$ \| \mathbf{u}^{\varepsilon} - \tilde{\mathbf{u}}_{n}^{\varepsilon} \|_{H^{1}(\Omega_{\varepsilon}^{R, \delta})} \le C \varepsilon^{\frac{n}{2}} $$
Idée de la preuve

$$
\| u^{\epsilon} - \tilde{u}_{n}^{\epsilon} \|_{H^{1}(\Omega_{\epsilon}^{R, \delta})} \le C \epsilon^{\frac{n}{2}}
$$

<figure><img src="image_107.png" /></figure>
Idée de la preuve

$$
\| u^{\epsilon} - \tilde{u}_{n}^{\epsilon} \|_{H^{1}(\Omega_{\epsilon}^{R, \delta})} \le C \epsilon^{\frac{n}{2}} \Rightarrow \| u^{\epsilon} - \tilde{u}_{n}^{\epsilon} \|_{H^{1}(\Omega^{R, R'})} \le C \epsilon^{\frac{n}{2}}
$$

<figure><img src="image_108.png" /></figure>
Idée de la preuve

$$
\| \mathbf{u}^{\epsilon} - \tilde{\mathbf{u}}_{n}^{\epsilon} \|_{H^{1}(\Omega_{\epsilon}^{R, \delta})} \le C \epsilon^{\frac{n}{2}} \Rightarrow \| \mathbf{u}^{\epsilon} - \tilde{\mathbf{u}}_{n}^{\epsilon} \|_{H^{1}(\Omega^{R, R'})} \le C \epsilon^{\frac{n}{2}}
$$

Dans la zone de **champ lointain**:

$$
\tilde{u}_n^\epsilon = u_{n}^{H,\epsilon} = u^0 + \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=0}^{i-1} \epsilon^i (\log \epsilon)^k u_i^k
$$
Idée de la preuve

$$
\| \mathbf{u}^{\epsilon} - \tilde{\mathbf{u}}_{n}^{\epsilon} \|_{H^{1}(\Omega_{\epsilon}^{R, \delta})} \le C \epsilon^{\frac{n}{2}} \implies \| \mathbf{u}^{\epsilon} - \tilde{\mathbf{u}}_{n}^{\epsilon} \|_{H^{1}(\Omega^{R, R'})} \le C \epsilon^{\frac{n}{2}}
$$

Dans la zone de **champ lointain**:

$$
\tilde{u}_n^\epsilon = u_n^{H,\epsilon} = u^0 + \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=0}^{i-1} \epsilon^i (\log \epsilon)^k u_i^k
$$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\| \mathbf{u}^{\epsilon} - \mathbf{u}_{3n}^{H,\epsilon} \|_{H^1(\Omega^{R,R'})} \le C \epsilon^{\frac{3n}{2}} \\
\\
\| \mathbf{u}_{3n}^{H,\epsilon} - \mathbf{u}_n^{H,\epsilon} \|_{H^1(\Omega^{R,R'})} \le C \epsilon^{n+1} \log^n \epsilon
\end{array}
\right.
$$
Idée de la preuve

$$
\| \mathbf{u}^{\epsilon} - \tilde{\mathbf{u}}_{n}^{\epsilon} \|_{H^{1}(\Omega_{\epsilon}^{R, \delta})} \le C \epsilon^{\frac{n}{2}} \implies \| \mathbf{u}^{\epsilon} - \tilde{\mathbf{u}}_{n}^{\epsilon} \|_{H^{1}(\Omega^{R, R'})} \le C \epsilon^{\frac{n}{2}}
$$

Dans la zone de **champ lointain**:

$$
\tilde{u}_n^\epsilon = u_n^{H,\epsilon} = u^0 + \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=0}^{i-1} \epsilon^i (\log \epsilon)^k u_i^k
$$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\| \mathbf{u}^{\epsilon} - \mathbf{u}_{3n}^{H,\epsilon} \|_{H^1(\Omega^{R,R'})} \le C \epsilon^{\frac{3n}{2}} \\
\\
\| \mathbf{u}_{3n}^{H,\epsilon} - \mathbf{u}_n^{H,\epsilon} \|_{H^1(\Omega^{R,R'})} \le C \epsilon^{n+1} \log^n \epsilon
\end{array}
\right.
$$

On conclut par **inégalité triangulaire**.
Analyse mathématique

<figure><img src="image_109.png" /></figure>

$$
\left\| \mathbf{u}^{\varepsilon} - \mathbf{u}^{0} - \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=0}^{i-1} \varepsilon^{i} (\log \varepsilon)^{k} \mathbf{u}_{i}^{k} \right\|_{H^{1}(\Omega^{R,R'})} \leq C \varepsilon^{n+1} (\log \varepsilon)^{n} \|f\|_{L^{2}(\Omega)}.
$$

$$
\left\| u_p^\varepsilon - \sum_{i=0}^{n} \sum_{k=0}^{i} \varepsilon^i (\log \varepsilon)^k (u_p)_i^k \right\|_{H^1(\mathcal{B}_1^{L,L'})} \le C \varepsilon^{n+1} (\log \varepsilon)^{n+1} \|f\|_{L^2(\Omega)}.
$$

$$
\left\| \textcolor{red}{U}^{\epsilon} - \sum_{i=0}^{n} \sum_{k=0}^{i} \epsilon^{i} (\log \epsilon)^{k} \textcolor{red}{U}_{i}^{k} \right\|_{H^{1}(\mathcal{O}_{1}^{l,l'})} \leq C \epsilon^{n+1} (\log \epsilon)^{n+1} \|f\|_{L^{2}(\Omega)}.
$$
# Perspectives

1. Analyse mathématique des fentes finies (phénomènes de résonance)

<figure><img src="image_110.png" /></figure>

La difficulté: le résultat de **stabilité**.
Perspectives

1. Analyse mathématique des fentes finies (phénomènes de résonance)

2. Comparaison avec les techniques multi-échelles
# Perspectives

1. Analyse mathématique des fentes finies (phénomènes de résonance)

2. Comparaison avec les techniques multi-échelles

3. Equations de Maxwell 3D

<figure><img src="image_111.png" /></figure>
# Perspectives

1. Analyse mathématique des fentes finies (phénomènes de résonance)

2. Comparaison avec les techniques multi-échelles

3. Equations de Maxwell 3D

4. Domaine temporel (équation d'évolution)

$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \Delta u = 0. $$