# Électromagnétisme en régime quasi-statique et électrocinétique - Licence de Physique 2 e année

Guillaume Blanc

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Guillaume Blanc. Électromagnétisme en régime quasi-statique et électrocinétique - Licence de Physique 2 e année. Licence. Électromagnétisme en régime quasi-statique et électrocinétique, Paris, France. 2022, pp.263. hal-04084140

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Submitted on 27 Apr 2023

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# Électromagnétisme en régime quasi-statique et électrocinétique

## PH03Y020

### Électrostatique – Magnétostatique – Induction – Électrocinétique

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Gabriel Loppé, La Tour Eiffel foudroyée, en 1902, © Musée d'Orsay
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
# Table des matières

<table><tr><td>Liste des figures</td><td>9</td></tr><tr><td>Introduction</td><td>15</td></tr><tr><td>0.1 Une nouvelle grande partie de la physique!</td><td>15</td></tr><tr><td>0.2 Mode d'emploi – méthode de travail</td><td>15</td></tr><tr><td>0.3 Notations mathématiques utilisées</td><td>16</td></tr><tr><td>0.4 Les unités en électromagnétisme</td><td>17</td></tr><tr><td>0.5 Les constantes à savoir par cœur!</td><td>18</td></tr><tr><td>0.6 Alphabet grec</td><td>18</td></tr><tr><td>I Électrostatique</td><td>19</td></tr><tr><td>1 La force électrique</td><td>21</td></tr><tr><td>1.1 La charge électrique</td><td>21</td></tr><tr><td>1.1.1 Une expérience</td><td>21</td></tr><tr><td>1.1.2 La charge est quantifiée</td><td>22</td></tr><tr><td>1.1.3 La matière</td><td>22</td></tr><tr><td>1.1.4 Conservation de la charge</td><td>23</td></tr><tr><td>1.1.5 Conducteurs et isolants</td><td>23</td></tr><tr><td>1.1.6 La conductivité électrique</td><td>23</td></tr><tr><td>1.1.7 Distribution de charges</td><td>24</td></tr><tr><td>1.2 La loi de Coulomb</td><td>26</td></tr><tr><td>1.2.1 Historique</td><td>26</td></tr><tr><td>1.2.2 La loi de Coulomb</td><td>26</td></tr><tr><td>1.2.3 Comparaison avec la force de gravitation</td><td>27</td></tr><tr><td>1.2.4 Le principe de superposition</td><td>27</td></tr><tr><td>2 Le champ électrique</td><td>29</td></tr><tr><td>2.1 Un champ vectoriel</td><td>29</td></tr><tr><td>2.2 Champ électrique créé par une charge ponctuelle</td><td>29</td></tr><tr><td>2.3 Le champ produit par plusieurs charges ponctuelles</td><td>31</td></tr><tr><td>2.4 Les lignes de champ</td><td>31</td></tr><tr><td>2.5 Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme</td><td>33</td></tr><tr><td>2.6 Champ électrique généré par une distribution continue de charges</td><td>34</td></tr><tr><td>2.6.1 Pour une distribution linéique de charge</td><td>35</td></tr><tr><td>2.6.2 Pour une distribution surfacique de charge</td><td>35</td></tr><tr><td>2.6.3 Pour une distribution volumique de charge</td><td>35</td></tr><tr><td>2.6.4 Comment déterminer le champ électrique généré par une distribution continue de charges</td><td>35</td></tr></table>
3 Le potentiel électrique 37

<table><tr><td>3.1</td><td>Préalable mathématique : le gradient</td><td>37</td></tr><tr><td>3.1.1</td><td>Introduction topographique</td><td>37</td></tr><tr><td>3.1.2</td><td>Définition mathématique</td><td>38</td></tr><tr><td>3.1.3</td><td>Champ de gradient</td><td>40</td></tr><tr><td>3.1.4</td><td>Potentiel scalaire</td><td>41</td></tr><tr><td>3.1.5</td><td>Méthode pour trouver un potentiel scalaire</td><td>41</td></tr></table>

<table><tr><td>3.2</td><td>Énergie potentielle d'interaction</td><td>42</td></tr><tr><td>3.2.1</td><td>Travail de la force électrique</td><td>42</td></tr><tr><td>3.2.2</td><td>La force électrique dérive d'une énergie potentielle</td><td>43</td></tr><tr><td>3.2.3</td><td>Travail et énergie potentielle</td><td>44</td></tr><tr><td>3.2.4</td><td>L'énergie potentielle comme l'énergie pour construire la distribution de charge</td><td>44</td></tr></table>

<table><tr><td>3.3</td><td>Le potentiel électrique</td><td>45</td></tr><tr><td>3.3.1</td><td>Le potentiel électrique d'une charge ponctuelle</td><td>45</td></tr><tr><td>3.3.2</td><td>Cas d'un ensemble de charges ponctuelles</td><td>45</td></tr><tr><td>3.3.3</td><td>Distributions continues de charges</td><td>46</td></tr></table>

<table><tr><td>3.4</td><td>Potentiel et champ électrique</td><td>48</td></tr><tr><td>3.4.1</td><td>Relation locale entre le champ et le potentiel</td><td>48</td></tr><tr><td>3.4.2</td><td>Lignes de champ et surfaces équipotentielles</td><td>48</td></tr><tr><td>3.4.3</td><td>Continuité des champs et potentiels</td><td>50</td></tr><tr><td>3.4.4</td><td>Différence de potentiel</td><td>50</td></tr><tr><td>3.4.5</td><td>Potentiel et altitude</td><td>50</td></tr><tr><td>3.4.6</td><td>Potentiel dans un champ uniforme</td><td>51</td></tr></table>

4 Le théorème de Gauss 53

<table><tr><td>4.1</td><td>Le flux électrique</td><td>53</td></tr><tr><td>4.1.1</td><td>Analogie hydraulique</td><td>53</td></tr><tr><td>4.1.2</td><td>Flux d'un vecteur à travers une surface quelconque</td><td>54</td></tr><tr><td>4.1.3</td><td>Cas d'une surface fermée</td><td>54</td></tr></table>

<table><tr><td>4.2</td><td>Le théorème de Gauss</td><td>55</td></tr><tr><td>4.2.1</td><td>Démonstration dans le cas particulier d'une charge ponctuelle</td><td>56</td></tr><tr><td>4.2.2</td><td>Énoncé du théorème de Gauss</td><td>56</td></tr><tr><td>4.2.3</td><td>Démonstration dans le cas général</td><td>57</td></tr></table>

<table><tr><td>4.3</td><td>La symétrie et l'invariance</td><td>61</td></tr><tr><td>4.3.1</td><td>Symétries...</td><td>61</td></tr><tr><td>4.3.2</td><td>Invariances...</td><td>61</td></tr><tr><td>4.3.3</td><td>Quel système de coordonnées?</td><td>61</td></tr><tr><td>4.3.4</td><td>Le principe de Curie</td><td>62</td></tr><tr><td>4.3.5</td><td>Plans de symétrie et d'antisymétrie de la distribution de charges</td><td>62</td></tr><tr><td>4.3.6</td><td>Invariances de la distribution de charges</td><td>63</td></tr><tr><td>4.3.7</td><td>Propriétés de symétrie du champ électrique</td><td>64</td></tr><tr><td>4.3.8</td><td>Utilisation des symétries</td><td>68</td></tr></table>

<table><tr><td>4.4</td><td>L'utilisation du théorème de Gauss</td><td>68</td></tr><tr><td>4.4.1</td><td>La méthode</td><td>68</td></tr><tr><td>4.4.2</td><td>Exemple de la boule uniformément chargée</td><td>69</td></tr><tr><td>4.4.3</td><td>Application à des géométries réelles</td><td>73</td></tr></table>

<table><tr><td>4.5</td><td>Les relations locales de l'électrostatique</td><td>73</td></tr><tr><td>4.5.1</td><td>Notion de divergence</td><td>73</td></tr><tr><td>4.5.2</td><td>La forme locale du théorème de Gauss</td><td>74</td></tr><tr><td>4.5.3</td><td>L'équation de Poisson</td><td>74</td></tr></table>
5 L'énergie électrostatique 77

5.1 Distribution discrète de charges 77

5.2 Distribution continue de charges 78

5.3 Densité volumique d'énergie électrostatique due au champ électrique 78

6 Conducteurs 81

6.1 Conducteur en équilibre électrostatique 81

6.1.1 Conducteur parfait 81

6.1.2 Action d'un champ électrique extérieur sur un conducteur 81

6.1.3 Champ électrique au voisinage de la surface d'un conducteur 82

6.1.4 Cavité vide de charges dans un conducteur 83

6.2 Quelques conséquences pratiques 84

6.2.1 Effet de pointe 84

6.2.2 Cage de Faraday 85

6.2.3 Entretien des lignes à haute tension 86

6.3 Capacité d'un conducteur chargé 86

6.3.1 Capacité d'une sphère 87

6.3.2 Capacité de la Terre 87

6.4 Énergie électrostatique d'un conducteur chargé 88

6.5 Influence électrostatique 88

6.5.1 Expérience 88

6.5.2 Conducteur chargé par influence 89

6.5.3 Théorème des éléments correspondants 89

6.5.4 Influence totale 90

6.5.5 Masse ou terre 90

6.6 Condensateurs 90

6.6.1 Condensation de l'électricité 90

6.6.2 Définition d'un condensateur 91

6.6.3 Capacité d'un condensateur 91

6.6.4 Diélectrique 92

6.6.5 Énergie stockée dans un condensateur 92

II Magnétostatique et induction 95

7 Le champ magnétique et les forces magnétiques 97

7.1 Le champ magnétique 97

7.1.1 Introduction 97

7.1.2 Une mise en évidence du champ magnétique 97

7.1.3 Rappel : un courant électrique, c'est quoi? 98

7.1.4 Un champ vectoriel 99

7.1.5 Définition de la force « magnétique » 100

7.2 Ordres de grandeurs et sources de champs magnétiques 100

7.2.1 Quelques valeurs du champ magnétique 100

7.2.2 Sources de champs magnétiques 101

7.2.3 Ferromagnétisme 101

7.2.4 Planètes et étoiles 101

7.2.5 Les aimants du LHC 103

7.3 La force de Laplace 103

7.4 La force de Lorentz 104

7.4.1 Force de Lorentz « magnétique » 104

7.4.2 Retour sur la dimension du champ magnétique 105

7.4.3 Vitesse de dérive 105
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>7.4.4 Force de Laplace et force de Lorentz</td>
      <td>107</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.5 Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique</td>
      <td>108</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.5.1 Applications</td>
      <td>110</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.6 L'effet Hall</td>
      <td>110</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.6.1 Principe</td>
      <td>110</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.6.2 Modélisation</td>
      <td>110</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.7 Parenthèse (rappel) d'analyse vectorielle</td>
      <td>111</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.8 Lignes de champ magnétique</td>
      <td>114</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.8.1 Un champ à divergence nulle</td>
      <td>114</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.8.2 Conséquences</td>
      <td>114</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.8.3 Le flux du champ magnétique est conservatif</td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>8 Sources de champ magnétique</b></td>
      <td><b>117</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1 Loi de Biot et Savart</td>
      <td>117</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1.1 Un peu d'histoire...</td>
      <td>117</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1.2 Contexte</td>
      <td>117</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1.3 Loi de Biot et Savart</td>
      <td>118</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1.4 Densités de courant</td>
      <td>119</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1.5 Généralisations de la loi de Biot et Savart</td>
      <td>121</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1.6 Divergence du champ magnétique</td>
      <td>122</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2 Champ magnétique créé par des particules chargées en mouvement</td>
      <td>122</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3 Champ magnétique créé par une distribution quelconque de courant : méthode de détermination</td>
      <td>123</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.1 Exemple du champ magnétique créé par un fil rectiligne fini</td>
      <td>123</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.2 Application au fil infini.</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.4 Symétries et invariances du champ magnétique</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.4.1 Symétries du champ magnétique</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.4.2 Invariances du fil infini</td>
      <td>130</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.5 Théorème d'Ampère</td>
      <td>131</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.5.1 Équation de Maxwell-Ampère</td>
      <td>131</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.5.2 Théorème d'Ampère</td>
      <td>131</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.5.3 Quelques remarques sur le courant enlacé</td>
      <td>132</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.5.4 L'utilisation du théorème d'Ampère</td>
      <td>132</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.5.5 Exemple du fil rectiligne infini parcouru par un courant I</td>
      <td>133</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.6 Relation de passage du champ magnétique</td>
      <td>133</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.7 Dipôle magnétique</td>
      <td>135</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.7.1 Champ magnétique créé par une boucle de courant</td>
      <td>135</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.7.2 Plusieurs boucles accolées et connectées : le solénoïde.</td>
      <td>136</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.7.3 Dipôle magnétique</td>
      <td>137</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.7.4 Lignes de champ du dipôle</td>
      <td>138</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.7.5 Énergie potentielle d'interaction avec un champ extérieur.</td>
      <td>138</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.7.6 Action d'un champ B extérieur sur un dipôle passif</td>
      <td>138</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.8 Le potentiel vecteur.</td>
      <td>139</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.8.1 Introduction mathématique : le rotationnel</td>
      <td>139</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.8.2 Introduction physique</td>
      <td>140</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.8.3 Définition du potentiel vecteur</td>
      <td>141</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.8.4 Flux magnétique</td>
      <td>141</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.8.5 Le potentiel vecteur est défini à une « constante près »</td>
      <td>141</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.8.6 Équation locale du potentiel vecteur</td>
      <td>141</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.8.7 Expression du potentiel vecteur</td>
      <td>142</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.9 Énergie magnétostatique</td>
      <td>142</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
9 Induction 145

9.1 Mise en évidence expérimentale de l'induction 145

9.1.1 Michael Faraday (1791-1867), physicien britannique 145

9.1.2 Trois expériences 146

9.1.3 Pour résumer... 147

9.1.4 ▲ Petite subtilité! 147

9.1.5 Deux types d'induction 148

9.2 Induction de Lorentz : expérience 1 148

9.2.1 Exemple pour l'expérience 1 149

9.2.2 Exemple d'une boucle rectangulaire en rotation dans un champ magnétique extérieur 150

9.3 Loi de Lenz (loi de modération) 152

9.3.1 Exemple 1 : cadre en translation 152

9.3.2 Exemple 2 : cadre en rotation 152

9.3.3 Quelques remarques 153

9.4 Induction de Neumann : expériences 2 et 3 154

9.4.1 Un paradoxe 154

9.4.2 Que vaut le champ électromoteur? 154

9.4.3 Équation de Maxwell-Faraday 155

9.4.4 Champ électromoteur 156

9.5 Loi de Faraday 156

9.5.1 Loi de Faraday et circuit se déplaçant 157

9.6 Retour sur la loi de Lenz 159

9.7 Expression générale du champ électromoteur 160

10 Induction mutuelle (entre deux circuits) 161

10.1 Deux circuits immobiles l'un par rapport à l'autre 161

10.1.1 Force électromotrice d'induction dans $C_2$ 161

10.1.2 Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires (ARQS) 162

10.1.3 Coefficient d'induction mutuelle 162

10.1.4 Exemple de coefficient d'induction : solénoïde entouré d'une boucle 164

10.2 Auto-induction 165

10.2.1 Coefficient d'auto-induction 165

10.2.2 Vérification de la loi de Lenz 166

10.3 Les différences de potentiels en électrocinétique : circuit RL 166

10.4 Énergie magnétique 169

10.4.1 Décharge d'un circuit RL 169

10.4.2 Énergie magnétique 170

10.4.3 Énergie magnétique de deux circuits 171

10.4.4 Généralisation 171

10.4.5 Densité d'énergie électromagnétique 172

11 Quelques applications de l'induction 173

11.1 Le transformateur 173

11.2 Courants de Foucault 174

11.2.1 Léon Foucault 174

11.2.2 Courants de Foucault 175

11.2.3 Formalisme 175

11.2.4 Freinage par courants de Foucault 176

11.2.5 Puissance dissipée par effet Joule 177

11.2.6 Application au chauffage 178

11.3 Le générateur de courant : l'alternateur 179
<table><tr><td>12 Équations de Maxwell</td><td>181</td></tr><tr><td>12.1 James Clerk Maxwell (1831-1879)</td><td>181</td></tr><tr><td>12.2 Les postulats de l'électromagnétisme</td><td>181</td></tr><tr><td>12.3 Les équations de Maxwell</td><td>182</td></tr><tr><td>12.3.1 Équation de conservation de la charge</td><td>182</td></tr><tr><td>12.3.2 Contenu physique de l'équation du flux magnétique</td><td>183</td></tr><tr><td>12.3.3 Contenu physique de l'équation de Maxwell-Faraday</td><td>183</td></tr><tr><td>12.3.4 Contenu physique de l'équation de Maxwell-Gauss</td><td>183</td></tr><tr><td>12.3.5 Contenu physique de l'équation de Maxwell-Ampère</td><td>184</td></tr><tr><td>12.4 Propagation du champ électromagnétique</td><td>185</td></tr></table>

III Électrocinétique 187

<table><tr><td>13 Circuits électriques dans l'approximation des régimes quasi-stationnaire</td><td>189</td></tr><tr><td>13.1 Cadre de l'électrocinétique</td><td>189</td></tr><tr><td>13.1.1 Approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS)</td><td>189</td></tr><tr><td>13.2 Les grandeurs de l'électrocinétique</td><td>190</td></tr><tr><td>13.2.1 La masse</td><td>190</td></tr><tr><td>13.2.2 Tension électrique</td><td>191</td></tr><tr><td>13.2.3 Intensité du courant électrique</td><td>191</td></tr><tr><td>13.2.4 Puissance et énergie électrocinétique reçue</td><td>192</td></tr><tr><td>13.2.5 Régimes de fonctionnement</td><td>193</td></tr><tr><td>13.3 Le circuit électrique</td><td>194</td></tr><tr><td>13.3.1 L'architecture du circuit</td><td>194</td></tr><tr><td>13.3.2 Lois structurelles du circuit</td><td>194</td></tr><tr><td>13.4 Dipôles électriques</td><td>196</td></tr><tr><td>13.4.1 Aspect énergétiques</td><td>196</td></tr><tr><td>13.4.2 Relation caractéristique d'un dipôle</td><td>197</td></tr><tr><td>13.4.3 Dipôles linéaires idéaux</td><td>197</td></tr><tr><td>13.4.4 Association de dipôles idéaux</td><td>200</td></tr><tr><td>13.4.5 Modélisation des composants réels</td><td>203</td></tr><tr><td>13.5 Méthodes d'études des circuits dans l'ARQS</td><td>205</td></tr><tr><td>13.5.1 Point de fonctionnement d'un circuit non ramifié</td><td>205</td></tr><tr><td>13.5.2 Associations successives de dipôles en régime stationnaire</td><td>205</td></tr><tr><td>13.5.3 Étude d'un circuit ramifié par les lois de Kirchhoff dans l'ARQS</td><td>207</td></tr></table>

<table><tr><td>14 Système linéaire du premier ordre</td><td>209</td></tr><tr><td>14.1 Qu'est-ce?</td><td>209</td></tr><tr><td>14.2 Équation différentielle</td><td>209</td></tr><tr><td>14.2.1 Résolution de l'équation différentielle</td><td>209</td></tr><tr><td>14.3 Échelon de tension</td><td>210</td></tr><tr><td>14.3.1 Régime permanent</td><td>210</td></tr><tr><td>14.3.2 Régime libre</td><td>211</td></tr><tr><td>14.4 Exemple du circuit RC série</td><td>211</td></tr><tr><td>14.4.1 Réponse à un échelon de tension</td><td>211</td></tr><tr><td>14.4.2 Régime libre</td><td>213</td></tr><tr><td>14.4.3 Étude énergétique</td><td>214</td></tr></table>

<table><tr><td>15 Filtrage linéaire</td><td>217</td></tr><tr><td>15.1 Principe du filtrage harmonique</td><td>217</td></tr><tr><td>15.1.1 Décomposition de Fourier d'un signal périodique</td><td>217</td></tr><tr><td>15.1.2 Principe du filtrage linéaire</td><td>220</td></tr><tr><td>15.1.3 Valeurs moyennes et valeurs efficaces</td><td>220</td></tr></table>
<table><tbody><tr><td>15.2 Notation complexe</td><td>222</td></tr><tr><td>15.2.1 Les nombres complexes</td><td>222</td></tr><tr><td>15.2.2 Représentation polaire</td><td>224</td></tr><tr><td>15.2.3 Notation complexe en physique</td><td>225</td></tr><tr><td>15.2.4 Intérêt de la notation complexe</td><td>225</td></tr><tr><td>15.2.5 Impédance complexe d'un dipôle symétrique</td><td>226</td></tr><tr><td>15.2.6 Lois de l'électricité en régime sinusoïdal</td><td>227</td></tr><tr><td>15.3 Chaîne de traitement du signal et quadripôle</td><td>228</td></tr><tr><td>15.3.1 Fonction de transfert</td><td>228</td></tr><tr><td>15.3.2 Modélisation d'un quadripôle linéaire</td><td>229</td></tr><tr><td>15.4 Diagramme de Bode d'un quadripôle linéaire</td><td>231</td></tr><tr><td>15.4.1 Représentation de Bode</td><td>231</td></tr><tr><td>15.4.2 Choix du décibel</td><td>232</td></tr><tr><td>15.4.3 Exemple pour le quadripôle RC</td><td>233</td></tr><tr><td>15.4.4 Diagramme asymptotique</td><td>234</td></tr><tr><td>15.4.5 Pulsation de coupure et bande passante</td><td>235</td></tr><tr><td>15.4.6 Méthode pour tracer le diagramme de Bode d'un filtre</td><td>236</td></tr><tr><td>15.5 Applications du filtrage linéaire</td><td>236</td></tr><tr><td>15.5.1 Réponse d'un filtre linéaire à un signal périodique non sinusoïdal</td><td>236</td></tr><tr><td>15.5.2 Réaliser des opérations analogues</td><td>238</td></tr><tr><td><b>A Systèmes de coordonnées</b></td><td><b>241</b></td></tr><tr><td><b>B Formulaire d'analyse vectorielle</b></td><td><b>243</b></td></tr><tr><td>B.1 Calcul vectoriel</td><td>243</td></tr><tr><td>B.2 Coordonnées cartésiennes</td><td>243</td></tr><tr><td>B.3 Coordonnées cylindriques</td><td>244</td></tr><tr><td>B.4 Coordonnées sphériques</td><td>244</td></tr><tr><td>B.5 Théorèmes</td><td>244</td></tr><tr><td>B.5.1 Théorème de Green-Ostrogradsky</td><td>244</td></tr><tr><td>B.5.2 Théorème de Stokes</td><td>244</td></tr><tr><td><b>C Quelques notions de sécurité électrique</b></td><td><b>245</b></td></tr><tr><td>C.1 Courant extérieur et intérieur</td><td>245</td></tr><tr><td>C.2 Électrisation</td><td>245</td></tr><tr><td>C.3 Conséquences</td><td>245</td></tr><tr><td>C.4 Protection</td><td>246</td></tr><tr><td><b>D L'orage et la foudre</b></td><td><b>249</b></td></tr><tr><td><b>E Calcul d'une intégrale délicate</b></td><td><b>255</b></td></tr><tr><td><b>F Symétries du champ magnétique</b></td><td><b>257</b></td></tr><tr><td>F.1 Loi 1</td><td>257</td></tr><tr><td>F.2 Loi 2</td><td>259</td></tr><tr><td>F.3 Loi 3</td><td>259</td></tr><tr><td>F.4 Loi 4</td><td>260</td></tr><tr><td><b>G Champ magnétique créé par un dipôle actif</b></td><td><b>261</b></td></tr></tbody></table>
Table des figures

<table><tr><td>1.1</td><td>Expérience de charge de matériaux.</td><td>21</td></tr><tr><td>1.2</td><td>Forces électriques entre une charge ponctuelle et une distribution élémentaire de charges.</td><td>28</td></tr><tr><td>2.1</td><td>Champ électrique créé par une charge ponctuelle.</td><td>31</td></tr><tr><td>2.2</td><td>Illustration des lignes de champ émises par une charge ponctuelle positive.</td><td>32</td></tr><tr><td>2.3</td><td>Vecteurs champ électrique et lignes de champ.</td><td>33</td></tr><tr><td>2.4</td><td>Les lignes de champs renseignent sur l'intensité du champ.</td><td>33</td></tr><tr><td>2.5</td><td>Calcul du champ électrique d'une distribution continue de charge.</td><td>34</td></tr><tr><td>3.1</td><td>Photo aérienne et extrait de carte IGN du Puy de Côme en Auvergne.</td><td>37</td></tr><tr><td>3.2</td><td>Surfaces équipotentielles et graphe de V(r) pour des charges ponctuelles positive et négative.</td><td>46</td></tr><tr><td>3.3</td><td>Potentiel généré par un système de deux charges.</td><td>47</td></tr><tr><td>3.4</td><td>Exemples de surfaces équipotentielles selon différentes géometries de champs.</td><td>49</td></tr><tr><td>3.5</td><td>Illustration des lignes de champ et des surfaces équipotentielles émises par une charge ponctuelle positive.</td><td>49</td></tr><tr><td>3.6</td><td>Illustration de l'analogie entre potentiel et altitude.</td><td>51</td></tr><tr><td>3.7</td><td>Différence de potentiel dans un champ uniforme.</td><td>51</td></tr><tr><td>4.1</td><td>Écoulement d'un fluide et flux d'un champ de vecteurs.</td><td>53</td></tr><tr><td>4.2</td><td>Surface orientée, contour et flux élémentaire.</td><td>54</td></tr><tr><td>4.3</td><td>Surface fermée et flux entrant et sortant.</td><td>55</td></tr><tr><td>4.4</td><td>Angles plan et solide.</td><td>57</td></tr><tr><td>4.5</td><td>L'angle solide élémentaire.</td><td>58</td></tr><tr><td>4.6</td><td>Cas où la charge q est à l'intérieur de la surface fermée.</td><td>59</td></tr><tr><td>4.7</td><td>Cas où la charge q est à l'extérieur de la surface fermée.</td><td>60</td></tr><tr><td>4.8</td><td>Illustration de la charge intérieure à la surface fermée.</td><td>60</td></tr><tr><td>4.9</td><td>Symétries dans l'espace.</td><td>61</td></tr><tr><td>4.10</td><td>Symétries et invariances.</td><td>62</td></tr><tr><td>4.11</td><td>Un des plans de symétrie de la sphère.</td><td>63</td></tr><tr><td>4.12</td><td>Symétries et antisymétries d'une sphère chargée.</td><td>63</td></tr><tr><td>4.13</td><td>Symétrie et antisymétrie d'un vecteur.</td><td>65</td></tr><tr><td>4.14</td><td>Symétrie du champ électrique créé par une distribution symétrique de charge.</td><td>65</td></tr><tr><td>4.15</td><td>Antisymétrie du champ électrique créé par une distribution antisymétrique de charge.</td><td>67</td></tr><tr><td>4.16</td><td>Illustration de la surface de Gauss pour la boule chargée.</td><td>70</td></tr><tr><td>4.17</td><td>Représentation graphique du module du champ électrique de la boule chargée.</td><td>71</td></tr><tr><td>4.18</td><td>Représentation graphique du potentiel électrique de la boule chargée.</td><td>72</td></tr><tr><td>6.1</td><td>Relaxation d'un conducteur sous l'effet d'un champ électrique extérieur.</td><td>82</td></tr><tr><td>6.2</td><td>Illustration de la surface de Gauss à cheval sur la surface d'un conducteur.</td><td>83</td></tr><tr><td>6.3</td><td>Modélisation de l'effet de pointe.</td><td>84</td></tr><tr><td>6.4</td><td>Effet de pointe pour le champ électrique.</td><td>85</td></tr><tr><td>6.5</td><td>Principe de la cage de Faraday.</td><td>85</td></tr></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>6.6</td>
      <td>Effet d'une charge sur une sphère neutre.</td>
      <td>88</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.7</td>
      <td>Sphère chargée par influence.</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.8</td>
      <td>Éléments correspondants.</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.9</td>
      <td>Schémas du condensateur.</td>
      <td>92</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.1</td>
      <td>Mise en évidence de la force « magnétiques ».</td>
      <td>98</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2</td>
      <td>Illustration des lignes de champ magnétique.</td>
      <td>99</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3</td>
      <td>Portrait de Nikola Tesla.</td>
      <td>100</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.4</td>
      <td>Diverses illustrations des champs magnétiques solaire et terrestres.</td>
      <td>102</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.5</td>
      <td>Schéma d'un aimant dipolaire du LHC.</td>
      <td>103</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.6</td>
      <td>La règle des trois doigts de la main droite.</td>
      <td>104</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.7</td>
      <td>Vitesse de dérive des électrons de conduction.</td>
      <td>106</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.8</td>
      <td>Force de Lorentz sur les électrons d'un conducteur.</td>
      <td>107</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.9</td>
      <td>Trajectoire d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme.</td>
      <td>109</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.10</td>
      <td>Principe de l'effet Hall.</td>
      <td>111</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.11</td>
      <td>Attention à l'orientation du contour!</td>
      <td>112</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.12</td>
      <td>Surface orientée.</td>
      <td>113</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.13</td>
      <td>Ligne de champ ouverte ou fermée?</td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.14</td>
      <td>Flux conservatif.</td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1</td>
      <td>Quelques grandes figures des débuts du magnétisme.</td>
      <td>117</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2</td>
      <td>Champ magnétique créé par un circuit parcouru par un courant.</td>
      <td>118</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3</td>
      <td>Densité de courant volumique.</td>
      <td>119</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.4</td>
      <td>Densité de courant volumique.</td>
      <td>120</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.5</td>
      <td>Densité de courant surfacique.</td>
      <td>120</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.6</td>
      <td>Champ magnétique créé par une particule chargée en mouvement.</td>
      <td>123</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.7</td>
      <td>Schéma pour le calcul du champ magnétique créé par un fil fini.</td>
      <td>124</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.8</td>
      <td>Champ orthoradial et règle de la main droite.</td>
      <td>125</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.9</td>
      <td>Lignes de champ magnétique autour d'un fil infini.</td>
      <td>127</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.10</td>
      <td>Illustrations du plan de symétrie.</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.11</td>
      <td>Symétrie et antisymétrie d'un vecteur.</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.12</td>
      <td>Schéma des plans de symétrie et d'antisymétrie de la distribution de courant.</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.13</td>
      <td>Conséquences sur le champ magnétique des plans de symétries.</td>
      <td>130</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.14</td>
      <td>Contour d'Ampère enlaçant des courants.</td>
      <td>132</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.15</td>
      <td>Distribution surfacique de courant avec les contours d'Ampère considérés.</td>
      <td>134</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.16</td>
      <td>Une boucle de courant.</td>
      <td>135</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.17</td>
      <td>Lignes de champ autour d'une boucle de courant.</td>
      <td>135</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.18</td>
      <td>Solénoïdes.</td>
      <td>136</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.19</td>
      <td>Schéma du dipôle magnétique avec son moment dipolaire.</td>
      <td>137</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.20</td>
      <td>Comparaison entre les lignes de champ d'un dipôle électrostatique et celles d'un dipôle magnétique.</td>
      <td>138</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1</td>
      <td>Faraday et son circuit.</td>
      <td>145</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2</td>
      <td>Trois expériences mettant en évidence un courant induit.</td>
      <td>146</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.3</td>
      <td>Variation de surface ou d'orientation par rapport au champ.</td>
      <td>147</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.4</td>
      <td>Déplacement d'un circuit sans variation de sa surface ou de son orientation par rapport au champ.</td>
      <td>148</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.5</td>
      <td>Schéma du circuit que l'on déplace dans l'entrefer.</td>
      <td>149</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.6</td>
      <td>Schéma de la boucle rectangulaire avec les différentes variables du problème.</td>
      <td>151</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.7</td>
      <td>Illustration de la loi de Lenz avec un cadre translaté dans un champ magnétique.</td>
      <td>152</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.8</td>
      <td>Cadre en rotation avec le sens du courant induit et les forces de Laplace.</td>
      <td>153</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.9</td>
      <td>Le circuit est immobile, l'aimant se déplace.</td>
      <td>154</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.10</td>
      <td>Circuit rigide translaté dans un champ magnétique extérieur non uniforme.</td>
      <td>158</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table><tbody><tr><td>9.11 Circuit translaté dans le champ magnétique extérieur.</td><td>158</td></tr><tr><td>9.12 Aimant translaté sur le circuit et champ magnétique induit.</td><td>160</td></tr><tr><td>10.1 Induction mutuelle entre deux circuits.</td><td>161</td></tr><tr><td>10.2 Induction mutuelle entre deux circuits.</td><td>163</td></tr><tr><td>10.3 Induction mutuelle entre un solénoïde infini et une boucle qui l'entoure.</td><td>164</td></tr><tr><td>10.4 Flux du champ magnétique à travers une surface ouverte s'appuyant sur le circuit C.</td><td>165</td></tr><tr><td>10.5 La « self » modère les variations du courant.</td><td>166</td></tr><tr><td>10.6 Illustration des différences de potentiel dans un circuit RL.</td><td>167</td></tr><tr><td>10.7 Décharge d'un circuit RL.</td><td>170</td></tr><tr><td>11.1 Schéma de principe du transformateur.</td><td>173</td></tr><tr><td>11.2 Feuilletage du noyau ferromagnétique d'un transformateur.</td><td>174</td></tr><tr><td>11.3 Portrait de Léon Foucault.</td><td>174</td></tr><tr><td>11.4 Schéma du conducteur cylindrique pour comprendre les courants de Foucault.</td><td>175</td></tr><tr><td>11.5 Illustration des courants de Foucault.</td><td>177</td></tr><tr><td>11.6 Frein à courants de Foucault sur le train rapide japonais Shinkansen.</td><td>177</td></tr><tr><td>11.7 Deux exemples d'utilisation du chauffage par induction.</td><td>179</td></tr><tr><td>12.1 James Clerk Maxwell</td><td>181</td></tr><tr><td>13.1 Les différents symboles pour la masse et la terre</td><td>191</td></tr><tr><td>13.2 Tension aux bornes d'un dipôle.</td><td>191</td></tr><tr><td>13.3 Illustration de l'intensité du courant électrique.</td><td>192</td></tr><tr><td>13.4 Conventions électriques.</td><td>192</td></tr><tr><td>13.5 Puissance reçue par un dipôle.</td><td>193</td></tr><tr><td>13.6 Exemple de circuit avec ses branches et ses mailles.</td><td>194</td></tr><tr><td>13.7 Illustration de la loi des mailles.</td><td>195</td></tr><tr><td>13.8 Symboles de quelques dipôles.</td><td>196</td></tr><tr><td>13.9 Relation caractéristique de la résistance.</td><td>197</td></tr><tr><td>13.10 Relations caractéristiques statique et dynamique de l'inductance.</td><td>199</td></tr><tr><td>13.11 Relations caractéristiques statique et dynamique de la capacité.</td><td>199</td></tr><tr><td>13.12 Associations de dipôles en série.</td><td>201</td></tr><tr><td>13.13 Associations de dipôles en parallèle.</td><td>201</td></tr><tr><td>13.14 Dipôles non linéaires en série.</td><td>202</td></tr><tr><td>13.15 Sources idéales de tension et de courant.</td><td>202</td></tr><tr><td>13.16 Modèles linéaires des dipôles réels usuels.</td><td>203</td></tr><tr><td>13.17 Modélisation des générateurs de puissances réels.</td><td>204</td></tr><tr><td>13.18 Caractéristique du générateur réel.</td><td>205</td></tr><tr><td>13.19 Point de fonctionnement d'un circuit simple.</td><td>205</td></tr><tr><td>13.20 Pont diviseur de tension.</td><td>206</td></tr><tr><td>13.21 Réduction d'un circuit par équivalences et associations successives.</td><td>207</td></tr><tr><td>14.1 De l'échelon de tension au signal en créneau.</td><td>211</td></tr><tr><td>14.2 Circuit RC série.</td><td>211</td></tr><tr><td>14.3 Réponse à un échelon de tension d'un circuit RC série.</td><td>213</td></tr><tr><td>14.4 Explication schématique de la charge du condensateur.</td><td>214</td></tr><tr><td>14.5 Régime libre (décharge du condensateur) d'un circuit RC série.</td><td>215</td></tr><tr><td>15.1 Illustration du spectre d'un signal.</td><td>218</td></tr><tr><td>15.2 Signal en créneau.</td><td>219</td></tr><tr><td>15.3 Représentation des quatre premiers harmoniques de la fonction créneau.</td><td>221</td></tr><tr><td>15.4 Illustration des impédances complexes des trois dipôles usuels.</td><td>227</td></tr><tr><td>15.5 Schéma d'un quadripôle.</td><td>228</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td>15.6 Exemples de quadripôles.</td><td>229</td></tr><tr><td>15.7 Modèle d'un quadrupôle linéaire.</td><td>230</td></tr><tr><td>15.8 Modélisation de deux quadripôles en cascade.</td><td>231</td></tr><tr><td>15.9 Représentation des signaux d'entrée et de sortie, ainsi que de la fonction de transfert dans le plan complexe.</td><td>232</td></tr><tr><td>15.10 Quadripôle RC.</td><td>233</td></tr><tr><td>15.11 Diagramme de Bode du circuit RC.</td><td>234</td></tr><tr><td>15.12 Diagramme asymptotique de Bode du circuit RC.</td><td>235</td></tr><tr><td>15.13 Exemples de filtres.</td><td>237</td></tr><tr><td>15.14 Réponse d'un circuit pseudo-intégrateur à un créneau et à un triangle.</td><td>239</td></tr><tr><td>A.1 Systèmes de coordonnées.</td><td>241</td></tr><tr><td>C.1 Effets du passage d'un courant à travers le corps humain.</td><td>246</td></tr><tr><td>C.2 Principe du disjoncteur différentiel.</td><td>247</td></tr><tr><td>F.1 La distribution de courants considérée et son plan de symétrie (P). Attention : les points M et M<sub>S</sub> n'appartiennent généralement pas au plan formé par les deux vecteurs J&#773; et J&#773;<sub>S</sub>. Les points H et H' sont les milieux de [PP<sub>S</sub>] et [MM<sub>S</sub>] respectivement, ils sont sur le plan (P).</td><td>257</td></tr><tr><td>G.1 Schéma du dipôle étudié avec les différentes variables utilisées.</td><td>262</td></tr><tr><td>G.2 Schéma du triangle sphérique.</td><td>263</td></tr></tbody></table>
# Introduction

## 0.1 Une nouvelle grande partie de la physique!

Ce cours, conséquent, va introduire toute une partie de la physique qui étudie les phénomènes électromagnétiques. L'électromagnétisme est vaste, nous ne ferons pas le tour avec ce cours. Nous ne verrons notamment pas tous les phénomènes liées aux ondes électromagnétiques, ce sera fait dans le cours de L3.

Dans ce premier opus, nous allons étudier d'une part les phénomènes électriques, en régime statique, ce que l'on nomme l'électrostatique. Et d'autre part les phénomènes magnétiques également en régime statique, la magnétostatique. Nous aborderons les variations temporelles avec l'étude de l'induction. Nous terminerons le cours avec une introduction à l'étude des circuits électriques en régime statique (l'intensité du courant électrique ne varie pas dans le temps), et en régime lentement variable (l'intensité du courant électrique varie lentement avec le temps), c'est le domaine de l'électrocinétique. Vous verrez d'autres aspects de l'électrocinétique dans le cours ondes et vibrations au 2ᵉ semestre.

Ce cours est découpé en trois grandes parties :

1. L'électrostatique

2. La magnétostatique et l'induction

3. L'électrocinétique

Vous connaissez des phénomènes électriques et magnétiques. Par exemple, si vous frottez un ballon de baudruche sur votre pull, vous pourrez le « coller » au plafond. Il y a là, la manifestation d'une force, la force électrique. Les éclairs, quand l'orage tonne, sont également une manifestation électrique. Si vous prenez une « châtaigne » – une décharge électrique – en sortant d'une voiture ou en touchant une poignée de porte, c'est encore quelque lié à l'électricité.

Les aimants, sur le frigo (ou ailleurs), l'aiguille de la boussole, sont des manifestations de phénomènes magnétiques que nous aborderons (sauf pour l'aimant permanent qui sera étudié en L3). Un autre phénomène que vous connaissez peut-être, le chauffage des aliments sur une plaque à induction fait appel au phénomène d'induction.

Enfin, l'électrocinétique est une introduction à l'étude du fonctionnement de tout circuit électrique...

**Remarque importante** : l'ensemble de ce cours se place dans le cadre de la physique dite *classique* (c'est-à-dire non relativiste). L'électromagnétisme en relativité sera vu dans d'autres cours.

## 0.2 Mode d'emploi – méthode de travail

Ce manuel de cours est exhaustif, il contient toutes les notions d'électrostatique, de magnétostatique et d'induction à savoir pour le cours d'électromagnétisme en régime quasi-statique, ainsi que les notions d'électrocinétique nécessaires.

Plutôt que d'en réécrire le contenu au tableau ou plutôt que de réciter des diapos projetées, les séances de cours seront consacrées à mieux vous faire comprendre cette partie de la physique, passionnante, mais quelque peu ardue.
Afin de profiter pleinement des séances de cours, il vous faudra faire un peu de travail *avant*, à savoir lire attentivement – et essayer de comprendre – quelques pages du poly. Les pages à lire vous seront données à l'avance. En faisant cela sérieusement, vous pourrez alors récupérer toute la subvarielle moelle du cours. En revanche, si vous attendez la séance pour lire *ensuite* la partie du poly correspondante, vous serez perdu et cela vous démotivera très vite, d'autant que les exercices et questions que je poserai vous passeront au-dessus de la tête. Le cours est long, difficile, c'est un peu comme un marathon, il faut tenir le rythme et surtout le garder jusqu'au bout.

Pour vous aider dans la compréhension du cours, je vous encourage fortement à utiliser l'outil en ligne *Perusall* (http://perusall.com), sur lequel ce document est disponible. Cette application vous permet de poser des questions sur des points précis du poly, de répondre aux questions de vos camarades, et d'interagir avec moi. Il vous permet de lire le document en ligne, de manière active.

Lors des séances, je répondrai à d'éventuelles questions qui n'auront pas été posées ou répondues sur *Perusall*, je testerai votre compréhension avec des quiz, des exercices ou des problèmes.

Une fois un chapitre de cours achevé, faites une fiche résumé avec les principales formules, définitions, lois, théorèmes. Pendant les séances de cours, nous reviendrons de temps en temps sur des notions clefs, car c'est en revoyant les concepts régulièrement qu'ils s'ancrent dans la mémoire. À vous de vous organiser et de planifier votre travail tout au long du semestre, pour éviter de tout macheter la veille d'un contrôle. Il faut au contraire faire régulièrement des révisions.

Si vous avez des difficultés à appliquer cette méthode de travail (à savoir anticiper les cours et les TD, et planifier vos séances de travail), n'hésitez pas à venir m'en parler, je pourrai essayer de vous aider.

## 0.3 Notations mathématiques utilisées

Les systèmes de coordonnées utilisés sont précisés en annexe A des volumes 1 et 2 :

* cartésien : $(x, y, z)$,

* cylindrique : $(r, \phi, z)$,

* sphérique : $(r, \theta, \phi)$.

Un vecteur est désigné d'une lettre chapeautée d'une flèche : $\vec{E}$.

Les vecteurs unitaires des bases orthonormées correspondantes sont désignés avec la lettre *e* : $(\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$.

Le produit scalaire entre deux vecteurs est noté $\vec{A} \cdot \vec{B}$.

Le produit vectoriel entre deux vecteurs est noté $\vec{A} \wedge \vec{B}$.

L'intégrale simple entre deux points A et B est notée :

$$ \int_A^B $$

Un symbole d'intégrale avec un rond :

$$ \oint $$

désigne une intégrale sur un contour fermé.

L'intégrale double sur une surface S est notée :

$$ \iint_S $$
Un symbole d'intégrale double avec un rond :

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

désigne une intégrale (double) sur une surface fermée.

L'intégrale triple sur un volume $V$ est notée :

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Les autres notations mathématiques ou de grandeurs physiques seront précisées au fur et à mesure.

## 0.4 Les unités en électromagnétisme

L'unité d'intensité du courant électrique, l'ampère (A) est une des sept unités de base du système international (avec le mètre, le kilogramme, la seconde, le kelvin, la mole et la candela).

On peut obtenir toutes les autres unités à partir de celles-ci. Pour cela on utilise les relations physiques entre les grandeurs.

Par exemple, l'intensité du courant électrique est donnée par la variation de la charge en fonction du temps : $I = \frac{dq}{dt}$, donc :

$$1 \text{ A} = 1 \text{ C} \cdot \text{s}^{-1}$$

D'où le coulomb (C), l'unité de charge électrique :

$$1 \text{ C} = 1 \text{ A} \cdot \text{s}$$

L'unité de champ électrique peut se déduire de la force : $F = q \cdot E$, soit :

$$\dim(E) = \dim(F)/\dim(q) = \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-3} \cdot \text{A}^{-1}$$

Le lien entre l'unité de champ électrique et celle du potentiel électrique est donné par : $\vec{E} = -\overrightarrow{\text{grad}} V$, donc :

$$\dim(E) = \dim(V)/\dim(\text{longueur})$$

L'unité du potentiel électrostatique, le volt (V), peut être donnée par le lien avec le travail de la force de Coulomb : $W = q\Delta V$, soit :

$$\dim(V) = \dim(W)/\dim(q) = V = J \cdot C^{-1} = \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-3} \cdot \text{A}^{-1}$$

donc :

$$\dim(E) = V \cdot m^{-1}$$

Autres unités :

* l'unité de résistance électrique, l'ohm (Ω), et son inverse, l'unité de conductance électrique, le siemens (S);

* l'unité de capacité électrique, le farad (F);

* l'unité d'intensité de champ magnétique, le tesla (T);

* l'unité de flux de champ magnétique, le weber (Wb);

* l'unité d'inductance, le henry (H).
## 0.5 Les constantes à savoir par cœur!

→ La charge de l'électron : $q_e = -e = -1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C}$

→ La permittivité du vide : $\epsilon_0 = 8,8542 \cdot 10^{-12} \text{ A}^2 \cdot \text{s}^4 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{m}^{-3} = 8,8542 \cdot 10^{-12} \text{ F} \cdot \text{m}^{-1}$ ou bien :

$$ \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \text{ kg} \cdot \text{m}^3 \cdot \text{A}^{-2} \cdot \text{s}^{-4} $$

→ La perméabilité du vide ou constante magnétique :

$$ \mu_0 \equiv 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ kg} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-2} \cdot \text{s}^{-2} = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1} \text{ (par définition)} $$

→ La vitesse de la lumière : $c \equiv 299792458 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \approx 3,00 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$

→ La relation entre $\epsilon_0$, $\mu_0$ et $c$ : $\epsilon_0\mu_0c^2 = 1$

→ Le nombre d'Avogadro : $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ particules} \cdot \text{mole}^{-1}$

## 0.6 Alphabet grec

<table><thead><tr><th>Symbole</th><th>Nom français</th><th>Prononciation</th></tr></thead><tbody><tr><td>α</td><td>alpha</td><td></td></tr><tr><td>β</td><td>bêta</td><td></td></tr><tr><td>γ</td><td>gamma</td><td></td></tr><tr><td>δ</td><td>delta</td><td></td></tr><tr><td>Δ</td><td></td><td></td></tr><tr><td>ε</td><td>epsilon</td><td>(épsilononne)</td></tr><tr><td>ζ</td><td>zêta</td><td></td></tr><tr><td>η</td><td>êta</td><td></td></tr><tr><td>θ</td><td>thêta</td><td></td></tr><tr><td>Θ</td><td></td><td></td></tr><tr><td>ι</td><td>iota</td><td></td></tr><tr><td>κ</td><td>kappa</td><td></td></tr><tr><td>λ</td><td>lambda</td><td></td></tr><tr><td>Λ</td><td></td><td></td></tr><tr><td>μ</td><td>mu</td><td></td></tr><tr><td>ν</td><td>nu</td><td></td></tr><tr><td>ξ</td><td>xi</td><td>(ksi)</td></tr><tr><td>π</td><td>pi</td><td></td></tr><tr><td>Π</td><td></td><td></td></tr><tr><td>σ</td><td>sigma</td><td></td></tr><tr><td>Σ</td><td></td><td></td></tr><tr><td>τ</td><td>tau</td><td></td></tr><tr><td>φ</td><td>phi</td><td></td></tr><tr><td>Φ</td><td></td><td></td></tr><tr><td>χ</td><td>chi</td><td>(qui)</td></tr><tr><td>ψ</td><td>psi</td><td></td></tr><tr><td>Ψ</td><td></td><td></td></tr><tr><td>ω</td><td>oméga</td><td></td></tr><tr><td>Ω</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
Première partie

Électrostatique
<figure><img src="image_6.png" /></figure>
# Chapitre 1

## La force électrique

### 1.1 La charge électrique

#### 1.1.1 Une expérience

Quand on frotte certains matériaux, on se rend compte qu'ils subissent une force. Comme le bal-
lon de baudruche qui vient se « coller » au plafond après avoir été frotté sur un pull. Ce n'est manifes-
tement pas la force de gravité qui produit cet effet. Autre chose.

Pour essayer de mettre en évidence cet « autre chose », il faut faire un certain nombre d'expé-
riences de frottement, avec plusieurs matériaux, tout en observant les effets des matériaux frottés
entre eux et sur la matière environnante. Quand on fait cela de manière rigoureuse (c'est-à-dire avec
un même protocole, avec des mesures, de manière répétée et reproductible), on en déduit l'existence
d'une propriété de la matière que l'on nomme « charge électrique ».

Le type d'expériences que l'on peut faire pour en arriver là est le suivant :

1. On suspend deux boules légères recouvertes de divers matériaux, sans les frotter : il ne se passe rien (figure 1.1a).

2. On frotte les deux boules de même composition (par exemple du verre) avec le même matériau (par exemple de la soie ou de la fourrure) : on constate que les deux boules se repoussent (figure 1.1b).

3. Quand on approche deux boules de compositions différentes (par exemple du verre et de l'ambre <fnref n="1" />), frottés avec un même matériau (soie ou fourrure), on constate que les boules s'attirent (figure 1.1c).

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 1.1 – Expérience de charge de matériaux de diverses natures.</figcaption></figure>

On peut réitérer l'expérience avec beaucoup d'autres matériaux, et on constate que chacun d'eux
se comporte soit comme le verre frotté : il repousse le verre frotté et attire l'ambre frottée; soit comme
l'ambre frottée : il repousse l'ambre frottée et attire le verre frotté.

<footnote n="1">1. L'ambre est de la résine sécrétée par des conifères il y a des millions d'années et fossilisée.</footnote>
Pour rendre compte de ces observations, on doit introduire deux types de charges. En frottant certains matériaux, comme l'ambre ou le verre avec de la soie ou de la fourrure, on charge les matériaux frottés. Comme il y a (jusqu'à preuve du contraire) deux types de comportements, cela induit qu'il y a deux types de charges. On les appelle charge positive (+) et charge négative (-).

L'unité du Système International de la quantité de charge est le **coulomb**, noté « C » en abrégé. Elle est reliée à l'intensité du courant (en ampère) :

> Une charge d'un coulomb est celle qui traverse la section d'un conducteur parcouru par un courant électrique d'un ampère pendant une seconde.

1 C correspond à une très grande quantité de charge. En général, la charge qui est transférée d'un matériau à l'autre par frottement est de l'ordre de $10^{-8}$ C. La foudre transfère une charge de l'ordre de 20 C entre les nuages et la terre.

### 1.1.2 La charge est quantifiée

On s'est rendu compte à la fin du 19ᵉ siècle et au début du 20ᵉ siècle, à la suite de diverses expériences de physique et de chimie, que la charge portée par les matériaux était toujours un multiple d'une charge élémentaire. En cela, l'expérience de Robert A. Millikan en 1909 fut décisive. Dans cette expérience, Millikan a mesuré la charge de gouttes d'huile en suspension dans un champ électrique (nous y reviendrons). En effectuant cette mesure pour des centaines de gouttelettes, il a constaté que toutes les charges étaient un multiple entier de la valeur $1,602 \cdot 10^{-19}$ C. Il s'agit de la *charge élémentaire* que l'on note $e$ :

$$e = 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C} \qquad (1.1)$$

### 1.1.3 La matière

La matière est composée d'atomes qui sont eux mêmes constitués d'un noyau (avec des neutrons et des protons) et des électrons. Dans un atome il y a autant de protons (chargés positivement) que d'électrons (chargés négativement). Ainsi, un atome est neutre, la somme d'une charge élémentaire positive comme le proton et d'une charge élémentaire négative comme l'électron est nulle.

Les électrons forment la structure extérieure de l'atome. La mécanique quantique explique qu'ils ne sont pas localisés précisément (au sens de la mécanique), mais on peut décrire leurs positions en terme de probabilités de présence. Les électrons sont liés au noyau par une énergie potentielle (ie une force).

Il est possible de fournir de l'énergie à l'atome pour enlever un ou plusieurs électrons du cortège électronique. Il s'agit de l'énergie d'ionisation. Ce faisant, l'atome aura, par exemple, un électron en moins, donc une charge élémentaire négative en moins : il sera donc chargé positivement. C'est un ion positif.

En frottant les boules de verre ou d'ambre, on donne de l'énergie mécanique aux atomes que se trouvent à la surface des matériaux, ce qui va les ioniser : ils vont perdre des électrons. Ces électrons peuvent passer de la boule au morceau d'étoffe ou inversement. On charge ainsi les objets en question, ils ne sont plus neutres.

Il n'est pas facile de reproduire fidèlement ce type d'expérience, les frottements entre les matériaux donnent souvent des charges difficilement contrôlables. L'interaction avec les molécules d'air et l'humidité atmosphérique perturbe aussi les résultats. Typiquement, seulement un électron sur 100000 est « arraché » par ce genre de frottement.

L'électron porte une charge négative égale à l'opposé de la charge élémentaire : $-e$. Le matériau qui « perd » des électrons devient ainsi chargé **positivement**. Celui qui « gagne » des électrons devient
chargé « négativement ».

Question : combien faut-il arracher d'électrons pour atteindre la quantité de charge typique d'un frottement ?

### 1.1.4 Conservation de la charge

Dans l'expérience des frottements qui provoquent des transferts de charges d'un matériau à l'autre, on montre que les deux matériaux frottés l'un contre l'autre ont des charges opposées, mais surtout que la quantité totale de charge est nulle. Ce sont des électrons, porteurs de charges élémentaires, qui sont transférés d'un matériau à l'autre. Aucune charge n'est créée ex nihilo.

> Cette propriété est la **conservation de la charge** : la charge totale d'un système électrique-ment isolé reste constante.

« Isolé » signifie ici qu'il n'existe pas de passage, comme un fil conducteur ou de l'air humide (conducteur), par lequel les charges pourraient entrer dans le système ou en sortir.

Une autre propriété de la charge est son **invariance** : la charge d'un système a la même valeur dans tout référentiel.

### 1.1.5 Conducteurs et isolants

Diverses expériences à la fin du 17ᵉ et au début du 18ᵉ siècle ont montré que les matériaux pouvaient être classifiés en deux grandes catégories : ceux où les charges peuvent circuler librement, appelés **conducteurs** (comme les solutions ioniques et les métaux), et ceux qui ne laissent pas circuler les charges, appelés **isolants** (comme le bois, le caoutchouc, la soie ou le verre).

Au 20ᵉ siècle on a découvert un troisième groupe de matériaux, les **semi-conducteurs** (comme le carbone, le silicium ou le germanium) : lorsqu'ils sont très purs, ils se comportent comme des isolants. Mais en leur ajoutant certaines impuretés, on peut modifier leur pouvoir conducteur. Ils sont très utilisés dans les circuits électroniques.

### 1.1.6 La conductivité électrique

Il existe en fait tout un continuum de matériaux entre l'isolant parfait (qui ne laisse ciculer aucune charge) et le conducteur parfait (où les charges sont parfaitement libre de se mouvoir). Ce continuum est caractérisé à l'aide d'une grandeur, mesurable et propre à un matériau donné, la conductivité électrique.

La conductivité électrique permet de donner une valeur au caractère isolant ou conducteur d'un matériau ou d'une solution, et donc de leurs aptitudes à laisser se mouvoir les charges électriques, et donc permettre le passage d'un courant électrique (qui est un ensemble de charges qui se déplace collectivement dans une direction donnée).

La conductivité électrique se mesure en siemens<fnref n="2" /> par mètre (S·m⁻¹). Elle est souvent notée par la lettre grecque sigma : $\sigma$.

On a typiquement pour les matériaux solides :

<footnote n="2">2. Le siemens est l'unité de conductance : $1 \text{ S} = 1 \text{ m}^{-2} \text{ kg}^{-1} \text{ s}^{3} \text{ A}^{2}$. Un matériau a une conductance de $1 \text{ S}$ quand sa résistance vaut 1 Ω.</footnote>
→ conducteurs :

$$ \sigma > 10^5 \text{ S} \cdot \text{m}^{-1} \qquad (1.2) $$

→ semi-conducteurs :

$$ 10^3 \text{ S} \cdot \text{m}^{-1} > \sigma > 10^{-4} \text{ S} \cdot \text{m}^{-1} \qquad (1.3) $$

→ isolants :

$$ 10^{-8} \text{ S} \cdot \text{m}^{-1} > \sigma \qquad (1.4) $$

Pour un conducteur parfait, comme un supraconducteur, la conductivité électrique tend vers l'infini.

<table><caption>TABLE 1.1 – Valeurs de conductivités électriques de quelques matériaux typiques à 20 °C.</caption><thead><tr><th>Matériau</th><th>Conductivité électrique (S·m<sup>-1</sup>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>argent</td><td>6,3·10<sup>7</sup></td></tr><tr><td>cuivre</td><td>5,9·10<sup>7</sup></td></tr><tr><td>aluminium</td><td>3,8·10<sup>7</sup></td></tr><tr><td>carbone (graphite)</td><td>25 à 2,5·10<sup>3</sup></td></tr><tr><td>germanium</td><td>1,45</td></tr><tr><td>silicium</td><td>2,5·10<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>craie</td><td>3·10<sup>-3</sup> à 3·10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>granit</td><td>7·10<sup>-5</sup> à 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>air</td><td>3,3·10<sup>-6</sup></td></tr><tr><td>verre</td><td>10<sup>-13</sup></td></tr><tr><td>PVC</td><td>10<sup>-14</sup></td></tr><tr><td>caoutchouc</td><td>10<sup>-14</sup></td></tr><tr><td>bois sec</td><td>10<sup>-16</sup> à 10<sup>-14</sup></td></tr><tr><td>eau du robinet</td><td>0,04</td></tr><tr><td>eau de mer</td><td>5</td></tr></tbody></table>

Le tableau 1.1 donne quelques valeurs de la conductivité électrique pour des matériaux courants. Ainsi, dans au sein du réseau électrique, généralement les câbles transportant l'électricité sont en cuivre (bon conducteur électrique), tandis que les pièces qui permettent de fixer ou de soutenir les câbles nus sont en verre (isolateurs). Les gaines de câbles électriques doivent également être isolantes et sont généralement en PVC (plastique).

### 1.1.7 Distribution de charges

Une charge est considérée comme ponctuelle lorsque la distance entre la charge et l'observateur est très grande par rapport à la taille caractéristique de la charge.

Une distribution discrète de charges $q_1, q_2, ..., q_N$ est un ensemble de N charges ponctuelles : la distance entre les charges est grande devant la taille caractéristique des charges. La quantité totale de charges Q est alors la somme des charges individuelles :

$$ Q = \sum_{i=1}^{N} q_i \qquad (1.5) $$

Lorsque des charges sont *infiniment* proches les unes des autres, on peut assimiler la distribution de ces charges à une distribution continue. Dans ce cas, un petit élément infinitésimal de quantité de charge est $dq$, que l'on peut assimiler à une charge ponctuelle.

On distingue trois géométries de distributions de charges :
→ **Distribution linéique à une dimension.** Dans ce cas, on introduit une densité linéique de charge (notée avec la lettre grecque lambda – λ –) telle que :

$$dq = \lambda \cdot d\ell \qquad (1.6)$$

où $d\ell$ est un petit élément de longueur le long de la distribution. Comme l'élément de charge $dq$ s'exprime en coulombs (C), que l'élément de longueur $d\ell$ est en mètres (m), la densité linéique de charge s'exprime en coulombs par mètre (C·m⁻¹).

La quantité totale de charge Q d'un élément à une dimension est donnée par :

$$Q = \int \lambda(\ell) \cdot d\ell \qquad (1.7)$$

Dans le cas général, $\lambda$ dépend de la position $\ell$. Souvent, la distribution est uniforme, c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas de l'endroit de l'espace où on se situe, donc $\lambda = \text{cte}$. Dans ce cas et uniquement dans ce cas, on peut écrire :

$$Q = \lambda \int d\ell \qquad (1.8)$$

→ **Distribution surfacique à deux dimensions.** Dans ce cas, on introduit une densité surfacique de charge (notée avec la lettre grecque $\sigma - \sigma'$) telle que :

$$dq = \sigma \cdot ds \qquad (1.9)$$

où $ds$ est un petit élément de surface sur la distribution. Comme l'élément de charge $dq$ s'exprime en coulombs (C), que l'élément de surface $ds$ est en mètres carrés (m²), la densité surfacique de charge s'exprime en coulombs par mètre carré (C·m⁻²).

La quantité totale de charge Q d'une surface (à deux dimensions) est donnée par :

$$Q = \iint \sigma(s) \cdot ds \qquad (1.10)$$

Dans le cas général, $\sigma$ dépend de la position $s$ sur la surface. Souvent, la distribution est uniforme, c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas de l'endroit de l'espace où on se situe, donc $\sigma = \text{cte}$. Dans ce cas et uniquement dans ce cas, on peut écrire :

$$Q = \sigma \iint ds \qquad (1.11)$$

→ **Distribution volumique à trois dimensions.** Dans ce cas, on introduit une densité volumique de charge (notée avec la lettre grecque $\rho - \rho'$) telle que :

$$dq = \rho \cdot dv \qquad (1.12)$$

où $dv$ est un petit élément de volume sur la distribution. Comme l'élément de charge $dq$ s'exprime en coulombs (C), que l'élément de volume $dv$ est en mètres cube (m³), la densité volumique de charge s'exprime en coulombs par mètre cube (C·m⁻³).

La quantité totale de charge Q d'un volume (à trois dimensions) est donnée par :

$$Q = \iiint \rho(v) \cdot dv \qquad (1.13)$$

Dans le cas général, $\rho$ dépend de la position $v$ dans le volume. Souvent, la distribution est uniforme, c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas de l'endroit de l'espace où on se situe, donc $\rho = \text{cte}$. Dans ce cas et uniquement dans ce cas, on peut écrire :

$$Q = \rho \iiint dv \qquad (1.14)$$
## 1.2 La loi de Coulomb

### 1.2.1 Historique

C'est en 1785, presque un siècle après l'énoncé de la loi de la gravitation par Newton (1687), que Charles-Augustin Coulomb (officier, ingénieur et physicien français, 1736-1806) établit expérimentalement la loi donnant la force exercée entre charges électriques. Pour cela il utilisa une balance de torsion avec des sphères métallisées chargées. L'angle de rotation de la balance en torsion sous l'action d'une autre sphère chargée permettait d'en déduire la force appliquée. Coulomb n'avait pas de moyen pour mesurer la charge, il chargeait une boule avec une charge (inconnue) Q, une autre boule identique mais non chargée était alors mis en contact avec la première. Coulomb faisait l'hypothèse de conservation de la charge, auquel cas les deux boules avaient une charge Q/2. Il obtenait ainsi les rapports des charges, sans connaître la valeur de Q.

### 1.2.2 La loi de Coulomb

Les caractéristiques de la force qui s'exerce entre deux charges ponctuelles et immobiles (domaine de l'électrostatique) sont :

→ l'intensité de la force F est inversement proportionnelle au carré de la distance r qui sépare les charges :

$$F \propto \frac{1}{r^2} \qquad (1.15)$$

→ pour une distance entre les charges q₁ et q₂ donnée, la force est proportionnelle au produit des charges :

$$f \propto q_1 q_2 \qquad (1.16)$$

→ la force est radiale, dirigée selon la droite qui relie les deux charges.

De ces observations, on en déduit la **loi de Coulomb** : la force exercée par la charge q₁ sur la charge q₂, immobiles, distantes de r, s'écrit :

$$\vec{F}_{q_1 \to q_2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2} \cdot \vec{u}_{1 \to 2} \qquad (1.17)$$

où $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ est une constante qui dépend du système d'unités utilisé, en l'occurrence le système international ici. $\varepsilon_0$ est appelé la *permittivité du vide*, ce qui signifie que l'équation (1.17) est valable seulement *dans le vide*. On a :

$$\varepsilon_0 = 8,8542 \cdot 10^{-12} \, \text{C}^2 \cdot \text{N}^{-1} \cdot \text{m}^{-2} = 8,8542 \cdot 10^{-12} \, \text{A}^2 \cdot \text{s}^4 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{m}^{-3} \qquad (1.18)$$

On pourra retenir que :

$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \, \text{kg} \cdot \text{m}^3 \cdot \text{A}^{-2} \cdot \text{s}^{-4} \qquad (1.19)$$

De plus, dans l'équation (1.17), le vecteur $\vec{u}_{1 \to 2}$ est un vecteur unitaire dirigé de la charge q₁ vers la charge q₂.

D'après le principe de l'action et de la réaction (3ᵉ loi de Newton), en réaction de la force $\vec{F}_{q_1 \to q_2}$ s'exercée sur q₂ par q₁, il y a une force, de même intensité, mais de sens opposé, qui s'exerce sur q₁, par q₂ :

$$\vec{F}_{q_2 \to q_1} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_2 q_1}{r^2} \cdot \vec{u}_{2 \to 1} = -\vec{F}_{q_1 \to q_2} \qquad (1.20)$$
1.2.3 Comparaison avec la force de gravitation

La loi de Coulomb a exactement la même forme que la loi de la gravitation :

$$
\vec{F}_{m_1 \to m_2} = G \cdot \frac{m_1 m_2}{r^2} \cdot \vec{u}_{1 \to 2} \qquad (1.21)
$$

Les deux forces ont une similitude physique certaine :

→ la cause de la force électrique est attribuée à des charges auxquelles elle est proportionnelle, la cause de la force gravitationnelle est attribuée à des masses ($m_1$ et $m_2$) auxquelles elle est proportionnelle;

-> les deux forces varient en 1/r².

Malgré cela, la force électrique est beaucoup plus intense que la force de gravitation, car les constantes G = 6,6742·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻² et 1/(4πε₀) = 9·10⁹ kg·m<fnref n="3" />·A⁻²·s⁻⁴ sont très différentes : seules des masses considérables, comme celles d'étoiles ou de planètes peuvent exercer des forces gravitationnelles sensibles, alors que de très petites quantités de charges peuvent exercer des forces électriques comparables.

Tout comme la loi de la gravitation universelle ne s'applique qu'à des masses ponctuelles, la loi de Coulomb s'applique à des charges ponctuelles. Dans le cas de corps chargés de forme quelconque, la valeur *r* qui les sépare n'a pas de valeur bien définie.

Pour traiter un problème de charge non ponctuelle, l'objet chargé sera découpé en charges infinitiesimales dq, et la force résultante sera déterminée en intégrant sur tout l'objet.

1.2.4 Le principe de superposition

Le principe de superposition est très général en physique, nous le rencontrerons systématiquement tout au long de ce cours. Les système physiques linéaires obéissent à ce principe. Un système physique linéaire est un système qui peut être décrit par des équations linéaires (équations différentielles linéaires, c'est-à-dire dont la fonction décrivant le système et ses dérivées n'apparaissent pas à des puissances supérieures à 1) ou encore dont toute combinaison linéaire<fnref n="3" /> des variables de ce système est encore une variable de ce système.

La loi de Coulomb est linéaire, cela signifie que la force exercée par deux charges sur une troisième est égale à la somme de la force exercée par la première charge sur la troisième et de la seconde charge sur la troisième : les forces se superposent (vectoriellement). La force résultante est donc :

$$
\vec{F}_{(q_1,q_2) \to q_3} = \vec{F}_{q_1 \to q_3} + \vec{F}_{q_2 \to q_3} \quad (1.22)
$$

On remarque que chaque force entre deux charges ne dépend pas des autres charges en présence
(→F q₁→q₃ ne dépend pas de q₂ et →F q₂→q₃ ne dépend pas de q₁).

Exercice : dessiner ces forces.

Cela se généralise à la force exercée par *N* charges *q*ᵢ, *i* ∈₁, ..., *N* sur une charge *q*₀ :

$$
\vec{F}_{(q_i) \to q_0} = \sum_{i=1}^{N} \vec{F}_{q_i \to q_0} \qquad (1.23)
$$

où les forces $\vec{F}_{q_i \to q_0}$ sont données par la loi de Coulomb.

<footnote n="3">3. En mathématiques, une combinaison linéaire est une expression construite à partir d'un ensemble de termes en multipliant chaque terme par une constante et en ajoutant le résultat. Par exemple, une combinaison linéaire de x et y serait une expression de la forme ax + by, où a et b sont des constantes.</footnote>
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 1.2 – Représentation des forces électriques entre une charge ponctuelle $q_0 > 0$ et une distribution élémentaire de charges $dq > 0$.</figcaption></figure>

On peut généraliser ce résultat aux distributions continues de charges. Si on considère une distribution continue de charges autour d'un point P de charge élémentaire $dq(P)$, alors la force exercée par cette charge sur une charge $q_0$ située au point M est (figure 1.2) :

$$ \vec{dF}_{dq(P) \to q_0} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{dq(P) \cdot q_0}{r^2} \cdot \vec{u}_{PM} \qquad (1.24) $$

où $r = PM$ et $\vec{u}_{PM} = \frac{\vec{PM}}{PM}$ est le vecteur unitaire reliant le point P au point M. Ce vecteur dépend du point P considéré sur la distribution de charges. La force totale sur $q_0$ due à toute la distribution de charge Q est donnée par :

$$ \vec{F}_{Q \to q_0} = \int_{\text{distribution}} \vec{dF}_{dq(P) \to q_0} = \int_{\text{distribution}} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{dq(P) \cdot q_0}{r^2} \cdot \vec{u}_{PM} \qquad (1.25) $$

où l'intégrale est une intégrale simple (curviligne) si la distribution est linéique, une intégrale double si la distribution est surfacique et une intégrale triple si la distribution est volumique.

Par exemple, dans ce dernier cas, sur un volume total $V$, l'équation précédente s'écrit :

$$ \vec{F}_{Q \to q_0} = \iiint_{\text{distribution}} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{dq(P) \cdot q_0}{r^2} \cdot \vec{u}_{PM} = \iiint_V \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{\rho(P) \cdot q_0}{r^3} d\tau \cdot \vec{PM} \qquad (1.26) $$

où $\rho(P)$ est la densité volumique de charge au point P et $d\tau$ un élément de volume infinitésimal.

Exercice : écrire les forces pour une distribution linéique et pour une distribution surfacique.
# Chapitre 2

## Le champ électrique

L'interaction de deux charges à distance, tout comme la force entre deux particules massives a longtemps interrogé les physiciens qui avaient du mal à concevoir de telles interactions sans support matériel. L'histoire des sciences regorge de théories qui tentent de résoudre ce problème : les effluves de Gilbert (1600), l'éther de Descartes (1650) avec des échanges de tourbillons entre les corps, un éther fluide pour Maxwell (19e)… toutes ces notions ont aujourd'hui disparu. La théorie moderne fait appel à un champ pour expliquer ces interactions à distance.

### 2.1 Un champ vectoriel

Selon la loi de Coulomb, si on modifie d'un coup l'un des paramètres de la force électrique, la charge ou la distance entre les charges, l'intensité de la force devrait se modifier instantanément. Cela supposerait que l'information de la modification de la force soit transmise à une vitesse infinie. Or rien ne peut se propager à une vitesse plus grande que celle de la lumière. Si on fait l'expérience, on mesure d'ailleurs un délai avant que la force électrique ne se modifie. Pour deux charges séparées de quelques mètres, dans le vide, ce délai est d'environ $10^{-8}$ s.

Question : quelle est la vitesse correspondante ?

L'existence de ce délai implique obligatoirement l'existence d'un intermédiaire permettant aux charges d'agir l'une sur l'autre. Entre deux charges immobiles, cet intermédiaire est le champ électrique.

Ainsi une charge ponctuelle produit un champ électrique dans tout l'espace. Une deuxième charge ne va ainsi pas interagir directement avec la première charge, mais plutôt avec le champ créé par elle. Et réciproquement.

La nature exacte du champ ne fait pas l'objet de ce cours, certaines théories quantiques permettent de l'expliquer. Nous nous contenterons de dire que le champ électrique est un champ vectoriel, qu'il a donc un sens, une direction et un intensité en tout point de l'espace : un vecteur y est associé. On le note $\vec{E}$.

Le champ gravitationnel étudié en L1 est également un champ vectoriel. Il existe aussi des champs scalaires, où à chaque point de l'espace est associé non pas un vecteur, mais un nombre (un scalaire). Par exemple, la température, la pression sont des champs scalaires.

### 2.2 Champ électrique créé par une charge ponctuelle

Considérons un champ électrique produit par une charge ponctuelle $q$. On peut mesurer la force $\vec{F}_E$ exercée par $q$ sur une autre charge $q_0$. Quelle que soit la position de $q_0$ par rapport à $q$, le rapport
de la force sur $q_0$ ne dépend que de $q$. On peut donc choisir de définir le vecteur champ électrique $\vec{E}$ en un point donné comme :

$$ \vec{E} = \frac{\vec{F}_E}{q_0} \qquad (2.1) $$

Cette définition fixe l'orientation du champ : le vecteur $\vec{E}$ est orienté dans le même sens que la force $\vec{F}_E$. Et lui donne son unité : des newtons par coulomb (N·C⁻¹), que l'on exprimera généralement sous la forme de volts par mètre (V·m⁻¹).

Exercice : vérifier que $1 \text{ N} \cdot \text{C}^{-1} = 1 \text{ V} \cdot \text{m}^{-1}$.

Attention :

→ c'est le champ $\vec{E}$ qui est la cause de la force $\vec{F}_E$ et non l'inverse;

→ le champ $\vec{E}$ existe en tout point de l'espace autour de $q$, même si on retire la charge $q_0$. La charge $q_0$ ne sert qu'à mettre en évidence l'existence du champ $\vec{E}$ de part les effets qu'il a sur elle (force $\vec{F}_E$).

Avec la loi de Coulomb :

$$ \vec{F}_E = \vec{F}_{q \to q_0} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{qq_0}{r^2} \cdot \vec{u}_{q \to q_0}, \qquad (2.2) $$

nous pouvons réécrire l'équation 2.1 :

$$ \vec{E} = \frac{1}{q_0} \cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{qq_0}{r^2} \cdot \vec{u}_{q \to q_0} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} \cdot \vec{u}_{q \to q_0} \qquad (2.3) $$

où $\vec{u}_{q \to q_0}$ est un vecteur unitaire dirigé de $q$ vers $q_0$. La charge $q_0$ peut être n'importe où dans l'espace, par rapport à $q$. Le champ $\vec{E}$ est donc radial.

Si $q > 0$, il s'éloigne (il diverge) de $q$ (figure 2.1a), si $q < 0$, il est dirigé (il converge) vers $q$ (figure 2.1b).

On déduit aisément de la définition (2.1) que la force $\vec{F}_E$ exercée par le champ électrique sur une charge quelconque $q$ est donnée par :

$$ \vec{F}_E = q \cdot \vec{E} \qquad (2.4) $$

Dans cette équation, le champ $\vec{E}$ est produit par des charges sources qui n'incluent pas la charge $q$ : une charge ne peut pas produire un champ exerçant une force sur elle-même (ce qui violerait le principe d'action-réaction!).

Exercice : comparer le champ $\vec{E}$ créé par une charge ponctuelle $q$ sur une sphère de rayon $R_1$ autour de $q$ et celui sur une sphère de rayon $R_2 > R_1$

Le champ électrique est omniprésent dans notre quotidien : il est à l'origine des éclairs, il permet la ciculation du courant électrique dans les fils. Il intervient dans de nombreuses technologies et dans divers phénomènes biologiques.
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 2.1 – Champ électrique créé par une charge ponctuelle dans un plan passant par la charge source : il faut imaginer cette configuration en trois dimensions dans l'espace. La taille des flèches des vecteurs est liée au module du champ : il diminue comme le carré de la distance à la source.</figcaption></figure>

## 2.3 Le champ produit par plusieurs charges ponctuelles

Comme le champ électrique est linéaire avec la force électrique qu'il produit, comme la force électrique (la loi de Coulomb) obéit au principe de superposition, le champ électrique obéit lui-même également au principe de superposition. Ainsi, pour déterminer le champ total créé par un système de N charges ponctuelles, on calcule le champ créé séparément par chaque charge, et on additionne le tout :

$$ \vec{E}_{\text{tot}} = \sum_{i=1}^{N} \vec{E}_i \qquad (2.5) $$

où $\vec{E}_i$ est le champ dû à la charge $q_i$.

## 2.4 Les lignes de champ

Les **lignes de champ** sont une notion abstraite (des lignes « imaginaires ») qui permettent de « désiner » l'allure d'un champ, quel qu'il soit. Champ électrique ici, mais la même notion s'applique au champ magnétique qui sera étudié plus tard dans ce cours.

Une ligne de champ est une ligne qui, en chaque point de l'espace, est tangente au vecteur champ en ce point. Elle est orientée.

Cela se traduit mathématiquement par :

$$ \vec{dl} \wedge \vec{E} = \vec{0} \qquad (2.6) $$

où $\vec{dl}$ est le vecteur petit déplacement dans le système de coordonnées choisi.

Les lignes de champ électrique généré par une charge ponctuelle sont des droites radiales partant de la charge (voir la figure 2.2) ; elles sont d'équations :

$$ \begin{cases} \theta = \text{cte} \\ \phi = \text{cte} \end{cases} $$

en coordonnées sphériques. Ce système d'équations représente les droites radiales sur la figure 2.2.
En effet, le vecteur « petit déplacement » s'écrit en coordonnées sphériques, à partir du vecteur position $\overrightarrow{OM}$ :

$$ \overrightarrow{OM} = r \cdot \vec{e}_r, $$

qui donne, en dérivant :

$$ d\overrightarrow{OM} = dr \cdot \vec{e}_r + r \cdot d\vec{e}_r $$

Exercice : à l'aide des relations entre les coordonnées sphériques et cartésiennes que l'on trouve dans l'annexe A (que l'on peut (re)démontrer également!), montrer que l'on obtient la relation suivante :

$$ \overrightarrow{d\ell} = d\overrightarrow{OM} = dr\vec{e}_r + rd\theta\vec{e}_\theta + r\sin\theta d\phi\vec{e}_\phi $$

Avec :

$$ \vec{E} = E \cdot \vec{e}_r $$

l'équation (2.6) s'écrit :

$$ \begin{pmatrix} dr \\ rd\theta \\ r\sin\theta d\phi \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} E \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ Er \sin\theta d\phi \\ Erd\theta \end{pmatrix} = 0 $$

soit :

$$ \begin{cases} d\phi = 0 \\ d\theta = 0 \end{cases} $$

soit :

$$ \begin{cases} \phi = \text{cte} \\ \theta = \text{cte} \end{cases} $$

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE 2.2 – Illustration des lignes de champ émises par une charge ponctuelle positive, dans toutes les directions de l'espace.</figcaption></figure>

On peut construire géométriquement les lignes de champ résultant d'un ensemble de charges ponctuelles, en dessinant, en chaque point de l'espace, les vecteurs champ électrique pour chacune des charges, et en les sommant vectoriellement. C'est ce qui est fait sur la figure 2.3a pour deux charges, l'une positive, l'autre négative. La figure 2.3b montre le dessin des lignes de champ obte- nues en prenant les tangentes aux différents vecteurs sommés. Il est évidemment représenté dans le plan de la feuille, mais les lignes de champ empissent tout l'espace, puisque le champ $\vec{E}$ rempli tout l'espace.

Au-delà de l'orientation du champ, le dessin des lignes de champ nous renseigne également sur l'intensité du champ (son module) : plus les lignes de champ sont serrées, plus le champ est fort, et inversement, plus elles espacées, plus le champ est faible. Le module du champ est proportionnel à la densité des lignes, c'est-à-dire au nombre de lignes traversant une surface unitaire normale à la direction du champ (figure 2.4).

Quelques propriétés des lignes de champ électrique :

→ Chaque ligne de champ est dirigée d'une charge positive vers une charge négative.
Bilan des forces s'exerçant sur la particule : une seule force, la force électrique : $\vec{F}_E = q \cdot \vec{E}$.

D'après le principe fondamental de la dynamique (2ᵉ loi de Newton), on a donc :

$$ \sum \vec{F} = \vec{F}_E = m \cdot \vec{a} $$

où $\vec{a}$ est l'accélération de la particule.

Ainsi :

$$ \vec{a} = \frac{q \vec{E}}{m} \qquad (2.7) $$

Comme le champ est uniforme ($\vec{E} = \vec{c}_t$), l'accélération est constante en module et en orientation, elle est colinéaire à $\vec{E}$. Le mouvement de la particule chargée est donc **rectiligne uniformément accéléré**.

Pour produire un tel champ uniforme, en pratique on utilise deux plaques portant une même quantité de charge, l'une étant positive, l'autre négative. Nous verrons dans la suite du cours qu'un tel dispositif est appelé condensateur plan.

## 2.6 Champ électrique généré par une distribution continue de charges

La section 1.1.7 a défini la notion de distribution *continue* de charge (donc non ponctuelle). Nous allons voir comment déterminer le champ électrique produit par une telle distribution.

Pour cela, il faut d'abord imaginer que l'on découpe la distribution de charge en éléments infinitsimaux de charge $dq$, qui peuvent être considérés comme des charges ponctuelles. Alors le champ électrique généré par cet élément de charge est donné par l'équation (2.3), où l'on remplace $q$ par $dq$. Supposons en outre que la charge $dq$ soit au point $P$ sur la distribution de charge, comme indiqué sur la figure 2.5. On s'intéresse au champ généré par $dq$ au point $M$ de l'espace, avec $r = PM$. L'équation (2.3) s'écrit donc finalement :

$$ \vec{dE}(M) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{dq(P)}{PM^3} \cdot \vec{PM} \qquad (2.8) $$

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE 2.5 – Pour calculer le champ électrique généré en $M$ par une distribution continue de charge, on détermine d'abord le champ élémentaire $\vec{dE}$ généré par un élément de charge $dq$ situé en $P$ sur la distribution.</figcaption></figure>

Une fois que l'on a déterminé $\vec{dE}$, presque toute la physique est faite, il reste à faire les maths, c'est-à-dire sommer la contribution de tous les éléments $\vec{dE}$ pour chaque point $P$ de la distribution.
Mathématiquement, cela revient à intégrer sur l'ensemble de la distribution. Pour cela, il faut bien faire attention à la nature *vectorielle* du champ $\vec{E}$ :

$$ \vec{E}(M) = \int_{\text{distribution}} \vec{dE}(M) \qquad (2.9) $$

où l'intégrale représente une intégrale simple si la distribution de charge est linéique, une intégrale double si elle est surfacique et une intégrale triple si elle volumique. Cette intégrale résulte du principe de superposition (section 1.2.4).

### 2.6.1 Pour une distribution linéique de charge

L'équation (2.8) s'écrit pour une distribution linéique de charge, où : $dq = \lambda \cdot d\ell$, soit :

$$ \vec{dE}(M) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{\lambda(P) \cdot d\ell}{PM^3} \cdot \vec{PM} \qquad (2.10) $$

Quant à l'équation (2.9), elle devient :

$$ \vec{E}(M) = \int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{\lambda(P) \cdot d\ell}{PM^3} \cdot \vec{PM} \qquad (2.11) $$

### 2.6.2 Pour une distribution surfacique de charge

L'équation (2.8) s'écrit pour une distribution surfacique de charge, où : $dq = \sigma \cdot ds$, soit :

$$ \vec{dE}(M) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{\sigma(P) \cdot ds}{PM^3} \cdot \vec{PM} \qquad (2.12) $$

Quant à l'équation (2.9), elle devient :

$$ \vec{E}(M) = \iint \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{\sigma(P) \cdot ds}{PM^3} \cdot \vec{PM} \qquad (2.13) $$

### 2.6.3 Pour une distribution volumique de charge

L'équation (2.8) s'écrit pour une distribution volumique de charge, où : $dq = \rho \cdot dv$, soit :

$$ \vec{dE}(M) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{\rho(P) \cdot dv}{PM^3} \cdot \vec{PM} \qquad (2.14) $$

Quant à l'équation (2.9), elle devient :

$$ \vec{E}(M) = \iiint \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{\rho(P) \cdot dv}{PM^3} \cdot \vec{PM} \qquad (2.15) $$

### 2.6.4 Comment déterminer le champ électrique généré par une distribution continue de charges

Voici une « recette » pour calculer le champ électrique généré par une distribution de charges.
1. Tracer un **schéma** de la distribution avec tous les éléments géométriques et dessiner un élément de charge *dq* en un point *P* de la distribution en prenant soin de le positionner de manière *quelconque*.

2. Choisir un **système de coordonnées** qui permettra d'exprimer le plus *facilement* possible l'élément infinitésimal de la géométrie autour de $dq : d\ell$ pour une distribution linéique, $ds$ pour une distribution surfacique ou $dv$ pour une distribution volumique.

3. Dessiner le vecteur $\vec{dE}$ sur le schéma en un point $M$ quelconque de l'espace (ou bien selon l'énoncé du problème) (figure 2.5).

4. Exprimer le $d\ell$, le $ds$ ou le $dv$ dans le système de coordonnées choisi.

5. Exprimer le vecteur $\vec{PM}$ dans le système de coordonnées choisi. On pourra introduire l'origine $O$ du repère : $\vec{PM} = \vec{PO} + \vec{OM}$.

6. En déduire l'élément de champ électrique $\vec{dE}$.

7. **Intégrer** sur l'ensemble de la distribution de charge, en faisant particulièrement attention aux vecteurs unitaires qui *varient* avec le point *P* sur la distribution.

8. Pour cela, exprimer l'intégrande (sous le signe intégral) en fonction d'une seule variable (en général l'une des coordonnées du système de coordonnées).
# Chapitre 3

## Le potentiel électrique

Le potentiel électrique ainsi que la différence de potentiel électrique encore appelée tension, et leur unité, le *volt* sont des notions de la vie quotidienne. Nous allons voir dans ce chapitre ce qu'est le potentiel électrique et son lien avec l'énergie électrique et le champ électrique.

### 3.1 Préalable mathématique : le gradient

#### 3.1.1 Introduction topographique

Considérons un volcan du Massif Central, le Puy de Côme (figure 3.1a).

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>(a) Vue aérienne du Puy de Côme depuis le sud-est.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>(b) Extrait de la carte IGN du Puy de Côme. Le nord est en haut, l'est à droite. L'échelle est donnée en bas à gauche. ©IGN.</figcaption></figure>

FIGURE 3.1 – Photo aérienne et extrait de carte IGN du Puy de Côme en Auvergne.

Ce volcan est représenté (projeté) sur un espace à deux dimensions (une feuille de papier) par une carte topographique, comme celle de la figure 3.1b, réalisée par l'IGN.

L'espace est ici à deux dimensions, la surface de la Terre, chaque point étant représenté par sa latitude<fnref n="1" /> et sa longitude<fnref n="2" />, auquel on peut associer un scalaire qui est l'altitude. On a donc un champ scalaire qui est l'altitude. Cette altitude est mesurée en mètres (au-dessus du niveau de la mer). Sur la carte de l'IGN, l'altitude est figurée par des lignes isoscalaires, les courbes de niveau, qui relient les points d'égales altitudes.

<footnote n="1">1. La latitude est équivalente à $\theta - 90^{\circ}$ en coordonnées sphériques; elle est représentée en ordonnée sur les cartes topographiques.</footnote>

<footnote n="2">2. La longitude est l'équivalent de l'angle $\phi$ des coordonnées sphériques; elle est représentée en abscisse sur les cartes topographiques.</footnote>
Sur la figure 3.1b considérons le point A au pied du flanc nord-ouest du volcan à partir duquel on souhaite monter vers son sommet. Pour cela on peut passer par le chemin (représenté en pointillés) et rejoindre le point B dans un premier temps avant de poursuivre sur le chemin en pointillés, on peut également suivre la courbe de niveau (représentée en orangé) et rejoindre le point C (mais dans ce cas, on risque d'avoir du mal à arriver au sommet!) ou bien on peut aussi monter « droit dans la pente » et passer par le point D. La distance entre A et B est de 400 m. L'altitude de A est de 1000 m, celle de B de 1015 m. La différence d'altitude est donc de 15 m. La pente moyenne est donc de 15/400 = 3,75 %. Entre A et C, la différence d'altitude est nulle. Entre A et D, la distance est de 230 m, tandis que la différence d'altitude (ou dénivelé) est de 100 m. La pente moyenne est alors de 100/230 = 43 %.

On s'intéresse alors à la plus grande pente à partir du point A, c'est-à-dire celle qui passe par le point D. On dira que le gradient de l'altitude au point A est de $\frac{100 \text{ m}}{230 \text{ m}} = 0,43 \text{ m} \cdot \text{m}^{-1} = 43 \text{ cm} \cdot \text{m}^{-1}$ et qu'il est dirigé dans la direction de la plus grande pente. Nous avons ainsi associé à un champ de scalaires (l'altitude), un champ de vecteurs indiquant, en sens et direction, la plus grande pente en ce point.

Dit par les mathématiciens, cela donne « le gradient d'un champ de scalaires est le champ de vecteurs associant à tout point du champ de scalaires le vecteur représentant, en grandeur et en direction, la pente maximale en ce point. »

Si on trace les courbes de niveau – iso-altitude – (les courbes orangées sur la carte IGN), on voit que le vecteur gradient leur est perpendiculaire. On dit que le gradient dérive d'un potentiel, qui est l'altitude.

Plus les courbes de niveau (ou iso-altitudes ou équipotentielles) sont serrées, plus le gradient est fort (et plus la pente est importante).

Exercice : quel est le ou les point(s) où le gradient est le plus élevé sur l'extrait de carte IGN de la figure 3.1b ? Quelles sont la valeur et la direction de ce gradient en ce(s) point(s) ?

## 3.1.2 Définition mathématique

### Déplacements infinitésimaux dans l'espace

On considère deux points $M$ et $M'$ très voisins de l'espace : leurs coordonnées spatiales sont différentes d'une quantité infinitésimale. Le vecteur déplacement infinitésimal est : $d\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{MM'}$.

### Notion de gradient

On appelle gradient d'une fonction scalaire $f(M)$ (continue, dérivable), le vecteur, noté $\overrightarrow{\nabla} f$ tel qu'entre deux points voisins $M$ et $M'$ avec $\overrightarrow{MM'} = d\overrightarrow{\ell}$ (déplacement élémentaire) :

$$ df = \overrightarrow{\text{grad}} f \cdot d\overrightarrow{\ell} \qquad (3.1) $$

$$ \overrightarrow{\nabla} = \frac{\partial}{\partial x} \cdot \overrightarrow{e_x} + \frac{\partial}{\partial y} \cdot \overrightarrow{e_y} + \frac{\partial}{\partial z} \cdot \overrightarrow{e_z} $$

Dans ce cours nous n'utiliserons pas cette notation, pratique mais qui peut prêter à confusion.

<footnote n="3">3. On trouve également la notation $\overrightarrow{\nabla} f$ pour le gradient, où $\overrightarrow{\nabla}$ est un opérateur vectoriel, nommé « nabla », qui permet de définir les principaux opérateurs vectoriels. En coordonnées cartésiennes il s'écrit :</footnote>
Les composantes de ce vecteur sont les dérivées partielles de $f$ en fonction des variables d'espace. Justifications-le en coordonnées cartésiennes. En effet, en explicitant les composantes du gradient et celles du déplacement élémentaire $\overrightarrow{d\ell}$ :

$$ \overrightarrow{\text{grad } f} = (\overrightarrow{\text{grad } f})_x \vec{e}_x + (\overrightarrow{\text{grad } f})_y \vec{e}_y + (\overrightarrow{\text{grad } f})_z \vec{e}_z $$

où $(\overrightarrow{\text{grad } f})_x$ signifie la composante selon $\vec{e}_x$ du vecteur $\overrightarrow{\text{grad } f}$.

$$ \overrightarrow{d\ell} = dx\vec{e}_x + dy\vec{e}_y + dz\vec{e}_z $$

on obtient le produit scalaire suivant :

$$ df = (\overrightarrow{\text{grad } f})_x dx + (\overrightarrow{\text{grad } f})_y dy + (\overrightarrow{\text{grad } f})_z dz $$

puis on identifie cette expression à la définition de la différentielle de la fonction $f(x, y, z)$ :

$$ df = \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{y,z} dx + \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{x,z} dy + \left. \frac{\partial f}{\partial z} \right|_{x,y} dz $$

où $\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{y,z}$ est la dérivée partielle de $f$ par rapport à la variable $x$ en gardant $y$ et $z$ constants.

Soit :

$$ \overrightarrow{\text{grad } f} = \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{y,z} \vec{e}_x + \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{z,x} \vec{e}_y + \left. \frac{\partial f}{\partial z} \right|_{x,y} \vec{e}_z \quad (3.2) $$

Avec les coordonnées :

$$ (\overrightarrow{\text{grad } f})_x = \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{y,z} ; \quad (\overrightarrow{\text{grad } f})_y = \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{z,x} ; \quad (\overrightarrow{\text{grad } f})_z = \left. \frac{\partial f}{\partial z} \right|_{x,y} $$

Cette grandeur vectorielle indique la façon dont la grandeur physique $f$ varie dans l'espace. Sa dimension est celle de la grandeur $f$ divisée par une longueur. Ce vecteur est calculé en tout point $M$ de l'espace (si la fonction $y$ est bien dérivable) : on définit ainsi un champ vectoriel noté $\overrightarrow{\text{grad } f}(M)$.

De cette définition, on déduit les propriétés importantes suivantes :

→ si la fonction $f$ est uniforme dans une région de l'espace ($f(x, y, z) = \text{cte}$), le vecteur gradient $y$ est nul et réciproquement;

→ si $\overrightarrow{d\ell}$ est perpendiculaire à $\overrightarrow{\text{grad } f$ le produit scalaire est nul ($df = 0$ donc $f = \text{cte}$), la fonction $f$ ne varie pas dans cette direction : **grad $f$ est normal aux surfaces caractérisées par une valeur $f$ constante** (iso-$f$);

→ en prenant un vecteur déplacement élémentaire $\overrightarrow{d\ell}$ perpendiculaire à une courbe iso-$f$ et dirigé vers la courbe suivante séparée de l'intervalle $df > 0$, le produit scalaire est positif, $\overrightarrow{\text{grad } f}$ est donc dirigé des faibles valeurs de $f$ vers les fortes valeurs de $f$; le vecteur $\overrightarrow{\text{grad } f}$ indique la direction et le sens de la croissance de $f$ dans l'espace.

→ Entre deux positions $M_1$ et $M_2$ :

$$ \Delta f = f(M_2) - f(M_1) = \int_{M_1}^{M_2} df = \int_{M_1}^{M_2} \overrightarrow{\text{grad } f}(M) \cdot \overrightarrow{d\ell} $$

ne dépend que des positions $M_1$ et $M_2$ et non pas du chemin suivi pour passer de $M_1$ à $M_2$. On en déduit que la circulation du gradient sur une courbe fermée est nulle :

$$ \oint \overrightarrow{\text{grad } f}(M) \cdot \overrightarrow{d\ell} = 0 \quad (3.3) $$
## Expression du gradient dans les différents systèmes de coordonnées

On démontre les expressions du gradient en coordonnées cylindriques et sphériques en partant de sa définition :

$$df = \overrightarrow{\text{grad}} f \cdot \overrightarrow{dl}$$

Par exemple pour les coordonnées sphériques, le vecteur petit déplacement s'écrit :

$$\overrightarrow{dl} = dr \vec{e}_r + r d\theta \vec{e}_\theta + r \sin\theta d\phi \vec{e}_\phi$$

et :

$$df = \frac{\partial f}{\partial r} dr + \frac{\partial f}{\partial \theta} d\theta + \frac{\partial f}{\partial \phi} d\phi$$

En posant :

$$\overrightarrow{\text{grad}} f = A_r \vec{e}_r + A_\theta \vec{e}_\theta + A_\phi \vec{e}_\phi$$

On obtient :

$$\frac{\partial f}{\partial r} dr + \frac{\partial f}{\partial \theta} d\theta + \frac{\partial f}{\partial \phi} d\phi = A_r dr + A_\theta r d\theta + A_\phi r \sin\theta d\phi$$

Il suffit d'identifier pour obtenir le résultat.

Les expressions du gradient dans les trois systèmes de coordonnées sont données en annexe B. **Son expression en coordonnées cartésiennes est à savoir par cœur!**

### 3.1.3 Champ de gradient

On dit qu'un champ de vecteurs $\vec{C}$ est un champ de gradient (ou champ conservatif) s'il existe une fonction $f$ telle que, en tout point <fnref n="4" /> :

$$\vec{C} = -\overrightarrow{\text{grad}} f \qquad (3.4)$$

Cette égalité donne :

$$df = \overrightarrow{\text{grad}} f \cdot \overrightarrow{d\ell} = -\vec{C} \cdot \overrightarrow{d\ell} \qquad (3.5)$$

Donc pour qu'elle soit vraie, il faut et il suffit que $df$ soit une différentielle totale exacte (et donc qu'il existe une fonction dont elle dérive), et donc que le théorème de Schwarz soit vérifié.

Le théorème de Schwarz stipule que pour une fonction dont les dérivées partielles existent et sont continues au voisinage d'un point $a$ l'ordre de dérivation par rapport aux variables en ce point n'a pas d'importance. Ce que l'on peut retenir par le fait que les dérivées partielles secondes croisées sont égales.

En effet, dans ce cas, comme $df = -(C_x dx + C_y dy + C_z dz)$, il faut que $C_x(x, y, z) = -\frac{\partial f}{\partial x}$, $C_y(x, y, z) = -\frac{\partial f}{\partial y}$ et $C_z(x, y, z) = -\frac{\partial f}{\partial z}$. Le théorème de Schwarz nous dit que pour que $df$ soit exacte, on doit avoir :

$$\frac{\partial C_x}{\partial y} = \frac{\partial C_y}{\partial x}; \quad \frac{\partial C_x}{\partial z} = \frac{\partial C_z}{\partial x}; \quad \frac{\partial C_y}{\partial z} = \frac{\partial C_z}{\partial y}$$

L'équation de la ligne de champ de vecteurs $\vec{C}$ est donnée par :

$$\overrightarrow{d\ell} \wedge \vec{C} = \overrightarrow{d\ell} \wedge (-\overrightarrow{\text{grad}} f) = \vec{0} \qquad (3.6)$$

<footnote n="4">4. Le signe « - » est choisi arbitrairement pour que dans le cas d'une force conservative, donc dérivant d'une énergie potentielle : $\vec{F} = -\overrightarrow{\text{grad}} E_p$, le minimum de l'énergie corresponde à une position d'équilibre stable.</footnote>
### 3.1.4 Potentiel scalaire

Soit $\vec{C}$ un champ de gradient. On appelle *potentiel scalaire dont dérive le champ* $\vec{C}$ toute fonction scalaire $S$ telle que :

$$ \vec{C} = -\overrightarrow{\text{grad } S} $$

(attention au signe -)

→ Les surfaces $S = \text{cte}$ sont appelées *surfaces équipotentielles*, les lignes de champ sont normales aux surfaces équipotentielles, le champ étant dirigé vers les potentiels décroissants. L'équation des surfaces équipotentielles est donnée par :

$$ \overrightarrow{\text{grad } S \cdot d\vec{l} = 0 \qquad (3.7) $$

car $d\vec{l} \perp \overrightarrow{\text{grad } S}$.

→ Le potentiel $S$ est défini à une constante additive près : si $S$ est un potentiel dont dérive le champ $\vec{C}$, le potentiel $S' = S + \text{cte}$ en est un également. Le choix de la constante est arbitraire (on impose une valeur donnée en un point de l'espace) ; en physique, le choix de la constante dépendra souvent des conditions aux limites.

→ Un champ de gradient est à circulation conservative. En effet la circulation de $\vec{C}$ le long d'un arc $M_1 M_2$ est indépendante du chemin allant de $M_1$ à $M_2$ :

$$ \int_{M_1}^{M_2} \vec{C} \cdot d\vec{l} = \int_{M_1}^{M_2} -\overrightarrow{\text{grad } S} \cdot d\vec{l} = \int_{M_1}^{M_2} -dS = S(M_2) - S(M_1) $$

Ainsi le champ gravitationnel dérive du potentiel gravitationnel; le champ électrique dérive du potentiel électrique (voir plus loin)...

### 3.1.5 Méthode pour trouver un potentiel scalaire

Considérons le champ de vecteur : $\vec{C} = X(x, y, z)\vec{e}_x + Y(x, y, z)\vec{e}_y + Z(x, y, z)\vec{e}_z$. On vérifie que $\vec{C}$ est un champ de gradient et donc qu'il existe une fonction scalaire $S(x, y, z)$ telle que $\vec{C} = -\overrightarrow{\text{grad } S}$.
On a donc trois équations :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial S}{\partial x} = -X(x, y, z) \\ \frac{\partial S}{\partial y} = -Y(x, y, z) \\ \frac{\partial S}{\partial z} = -Z(x, y, z) \end{array} \right. $$

On prend la première, que l'on intégre :

$$ S(x, y, z) = - \int X(x, y, z) dx + K(y, z) $$

où $K$ est une « constante d'intégration » par rapport à $x$ mais qui peut dépendre de $y$ et $z$.
On dérive l'expression obtenue par rapport à $y$ et on l'égalise avec la deuxième équation :

$$ \frac{\partial S}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( -\int X dx \right) + \frac{\partial K}{\partial y} = -Y(x, y, z) $$

Donc :

$$ K(y, z) = - \int Y(x, y, z) dy + \int X dx $$

On recommence avec la troisième équation, ce qui permet au final de déterminer la fonction $K(y, z)$ et donc la fonction $S(x, y, z)$.
## 3.2 Énergie potentielle d'interaction

### 3.2.1 Travail de la force électrique

Une particule ponctuelle de charge $q$ est située au point $O$. Elle génère un champ électrostatique $\vec{E}(M)$ en tout point $M$ de l'espace :

$$ \vec{E}(M) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{OM^3} \cdot \overrightarrow{OM} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} \cdot \vec{e}_r $$

Une autre charge, $q_0$, placée en $M$, subit une force $\vec{F}_E = q_0 \cdot \vec{E}$, puisqu'elle est dans le champ électrique généré par la particule en $O$ :

$$ \vec{F}_E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_0 \cdot q}{r^2} \cdot \vec{e}_r \qquad (3.8) $$

Calculons le travail $W_{F_E}$ de cette force lorsque la charge $q_0$ se déplace d'un point $A$ (avec $\overrightarrow{OA} = r_A \cdot \vec{e}_r$) à un point $B$ (avec $\overrightarrow{OB} = r_B \cdot \vec{e}_r$). Il s'écrit :

$$ W_{F_E}^{A \to B} = \int_A^B \vec{F}_E \cdot d\vec{l} \qquad (3.9) $$

où $d\vec{l}$ est un vecteur « petit déplacement ».

L'objectif de ce calcul est de montrer que, comme pour la force de gravitation, le travail de la force électrique est indépendant du chemin suivi.

Pour cela, nous pouvons décomposer le vecteur $d\vec{l}$ en deux composantes, l'une colinéaire (ou parallèle) au vecteur unitaire $\vec{e}_r$, noté $d\vec{l}_{//}$, l'autre orthogonale au vecteur unitaire $\vec{e}_r$, noté : $d\vec{l}_{\perp}$. On a ainsi :

$$ d\vec{l} = d\vec{l}_{//} + d\vec{l}_{\perp} \qquad (3.10) $$

Et comme on a, en coordonnées sphériques (voir annexe A) :

$$ d\vec{l} = dr \vec{e}_r + r d\theta \vec{e}_\theta + r \sin\theta d\phi \vec{e}_\phi, $$

on obtient :

$$ d\vec{l} = dr \cdot \vec{e}_r + d\vec{l}_{\perp} \qquad (3.11) $$

Question : exprimer $d\vec{l}_{\perp}$ en coordonnées sphériques.

Avec la relation (3.8) et la relation précédente, on peut réécrire l'équation (3.9) donnant le travail de la force :

$$ W_{F_E}^{A \to B} = \int_A^B \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_0 \cdot q}{r^2} \cdot \vec{e}_r \cdot (dr \cdot \vec{e}_r + d\vec{l}_{\perp}) \qquad (3.12) $$

Or, comme : $d\vec{l}_{\perp} \perp \vec{e}_r$ (par définition), le second terme du produit scalaire ci-dessus est nul. On peut donc écrire le premier (et unique) terme, en enlevant les vecteurs $\vec{e}_r$, car $\vec{e}_r \cdot \vec{e}_r = 1$ :

$$ W_{F_E}^{A \to B} = \int_A^B \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_0 \cdot q}{r^2} \cdot dr = \int_{r_A}^{r_B} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_0 \cdot q}{r^2} \cdot dr \qquad (3.13) $$

On peut maintenant intégrer facilement cette expression :

$$ W_{F_E}^{A \to B} = \frac{q \cdot q_0}{4\pi\varepsilon_0} \int_{r_A}^{r_B} \frac{dr}{r^2} $$
soit :

$$W_{FE}^{A→B} = \frac{q \cdot q_0}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_A}^{r_B} = \frac{q \cdot q_0}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \left[ -\frac{1}{r_B} - \left( -\frac{1}{r_A} \right) \right] = \frac{q \cdot q_0}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \left( \frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B} \right)$$

Que l'on peut écrire :

$$W_{FE}^{A→B} = q_0 \left( \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r_A} - \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r_B} \right) \quad (3.14)$$

On peut tirer les conclusions suivantes de ce résultat :

→ Le travail de la force électrique ne dépend donc pas du trajet suivi par la charge $q_0$ entre les points A et B, mais seulement du point de départ et du point d'arrivée. La force électrique est donc une force conservative.

→ Dans le cas où les charges $q$ et $q_0$ sont de même signe, et si $r_B > r_A$ ($q_0$ s'éloigne de $q$), le travail est positif, il est donc moteur : la force électrique éloigne spontanément deux charges de même signe!

→ Dans le cas où les charges $q$ et $q_0$ sont de signes opposés, et si $r_B > r_A$ ($q_0$ s'éloigne de $q$), le travail est négatif, il est donc résistant : il faut lutter contre la force électrique pour éloigner deux charges de signes contraires!

### 3.2.2 La force électrique dérive d'une énergie potentielle

Nous venons de montrer que le travail de la force électrique ne dépend pas du chemin suivi. Donc le travail de cette force calculé sur une trajectoire fermée doit être nul :

$$W_{FE}^{A→A} = \int_{A}^{A} \vec{F}_{E} \cdot d\vec{l} = \oint \vec{F}_{E} \cdot d\vec{l} = 0$$

Le rond sur le signe « intégral » signifie que l'on intégre sur une trajectoire fermée.

Le théorème de Stokes en analyse vectorielle (voir annexe B et partie 2 du cours sur le champ magnétique) permet de passer d'une intégrale simple sur un contour fermé que l'on nomme circulation à une intégrale double portant sur un autre opérateur d'analyse vectorielle, le rotationnel (voir annexe B et plus loin dans le cours) :

$$\oint \vec{F}_E \cdot d\vec{l} = \iint \vec{rot} \vec{F}_E \cdot d\vec{s}$$

La deuxième intégrale (surfacique) porte sur une surface qui s'appuie sur le contour fermé de la première intégrale.

Comme la première intégrale est nulle, la deuxième l'est également :

$$\iint \vec{rot} \vec{F}_E \cdot d\vec{s} = 0$$

Cela entraîne que :

$$\vec{rot} \vec{F}_E = \vec{0}$$

Or cette égalité implique qu'il existe un champ scalaire $E_p$ tel que :

$$\vec{F}_E = -\vec{grad} E_p$$

car un autre résultat général de l'analyse vectorielle dit que quelle que soit une fonction scalaire $f$, on a toujours :

$$\vec{rot} \vec{grad} f = \vec{0}$$

Le champ scalaire $E_p$ introduit ci-dessus est une fonction homogène à une force ($MLT^{-2}$) × une distance (L), donc une énergie ($ML^2T^{-2}$). Il est appelé énergie potentielle électrique. De par sa définition, le champ $E_p$ est défini à une constante près. La valeur de cette dernière est généralement
arbitraire, auquel cas elle est choisie de façon à simplifier les calculs. Le signe « – » est retenu arbitrairement dans la majorité des cas de sorte qu'une position d'équilibre stable corresponde à un minimum de l'énergie potentielle associée.

Plus que la démonstration, on retiendra que :

Comme la force électrique est conservative, elle dérive d'une énergie potentielle $E_p$ selon :

$$ \vec{F}_E = -\overrightarrow{\text{grad } E_p} \qquad (3.15) $$

### 3.2.3 Travail et énergie potentielle

En reprenant la définition du travail (3.9), on obtient, avec (3.15) :

$$ W_{F_E}^{A \to B} = \int_A^B \vec{F}_E \cdot \overrightarrow{d\vec{l}} = \int_A^B -\overrightarrow{\text{grad } E_p} \cdot \overrightarrow{d\vec{l}} = - \int_A^B dE_p \qquad (3.16) $$

d'après la définition du gradient (3.1).

Donc :

$$ W_{F_E}^{A \to B} = -[E_p]_A^B = E_p(A) - E_p(B) \qquad (3.17) $$

On déduit de (3.14) l'expression de l'énergie potentielle entre deux charges $q$ et $q_0$ séparées d'une distance $r$ :

$$ E_p(r) = \frac{q \cdot q_0}{4\pi\varepsilon_0 r} + \text{cte} \qquad (3.18) $$

### 3.2.4 L'énergie potentielle comme l'énergie pour construire la distribution de charge

On peut définir l'énergie potentielle d'une autre manière : c'est l'énergie à fournir (sous forme de travail) par un opérateur pour constituer le système, c'est-à-dire pour apporter la charge $q_0$ de l'infini (où il n'y a pas d'interaction) à sa position finale (le point $M$) distante de $r$ de la charge $q$ supposée immobile et placée en $O$.

Le déplacement de la charge $q_0$ se fait de manière quasi-statique, c'est-à-dire infiniment lentement.

$\vec{E}$ est le champ électrique créé par $q$. Lors du déplacement quasi-statique de $q_0$, l'opérateur doit fournir à chaque instant une force exactement opposée à la force de Coulomb :

$$ \vec{F}_{op} = -\vec{F}_E = -q_0 \vec{E} \qquad (3.19) $$

Le déplacement étant suffisamment lent, la particule n'acquiert pas d'énergie cinétique$^5$. Le travail fourni par l'opérateur est :

$$ \begin{align} W_{op} &= \int_{+\infty}^{M} \overrightarrow{F_{op}} \cdot \overrightarrow{d\vec{l}} = \int_{+\infty}^{M} -q_0 \vec{E} \cdot \overrightarrow{d\vec{l}} \nonumber \\ &= -\frac{q_0 q}{4\pi\varepsilon_0} \int_{+\infty}^{r} \frac{dr}{r^2} = \frac{q_0 q}{4\pi\varepsilon_0 r} \tag{3.20} \\ &= q_0 (V(M) - V(+\infty)) \nonumber \end{align} $$

$$ W_{op} = E_p(r) - E_p(+\infty) = E_p(r) \qquad (3.21) $$

On retrouve bien la même expression de l'énergie potentielle $E_p$ que précédemment.

<footnote n="5">5. Pour mettre la charge en mouvement au début, il faut exercer une force légèrement plus grande juste pour compenser la force électrique. De même pour arrêter la charge à sa position finale. On montre que le travail supplémentaire au début est compensé par le travail récupéré à la fin.</footnote>
Ceci a déjà été vu en mécanique : l'énergie potentielle dans le champ de gravitation terrestre est égale à l'opposé du travail de la force de pesanteur, c'est-à-dire au travail qu'exercerait un opérateur extérieur pour déplacer la masse de sa position initiale à l'infini (où l'énergie potentielle est prise égale à 0) à sa position finale :

$$W_{op}(+\infty \rightarrow f) = \Delta E_p = E_p(f) - E_p(+\infty) = E_p(f) \quad (3.22)$$

## 3.3 Le potentiel électrique

### 3.3.1 Le potentiel électrique d'une charge ponctuelle

De la même façon que l'on avait introduit (voir section 2.1) le champ électrique comme une force électrique par unité de charge : $\vec{E} = \vec{F}_E/q_0$, on introduit un potentiel électrique, noté $V$, comme une énergie potentielle électrique par unité de charge :

$$V = \frac{E_p}{q_0} \qquad (3.23)$$

Ce qui permet d'en déduire le potentiel électrique d'une charge ponctuelle $q$ :

$$V(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} + \text{cte} \qquad (3.24)$$

L'énergie potentielle électrique, et donc le potentiel électrique, sont définies à une constante aditive près.

L'unité du potentiel électrique est le volt (V), en hommage à Alessandro Volta (1745-1827), l'investeur de la première pile électrique :

$$1 \, \text{V} = 1 \, \text{J} \cdot \text{C}^{-1} = \frac{1 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2}}{1 \, \text{s} \cdot \text{A}} = 1 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-3} \cdot \text{A}^{-1} \qquad (3.25)$$

En prenant l'origine des potentiels nulle à l'infini ($V(r \rightarrow +\infty) = 0$), le potentiel $V$ créé par une charge ponctuelle $q$ placée en $O$ est, en un point $M$ quelconque à une distance $OM = r$ :

$$V(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r} \qquad (3.26)$$

Le potentiel électrique est un champ scalaire. La figure 3.2 illustre le potentiel pour une charge ponctuelle, dans les deux cas, positif et négatif.

→ Si $q > 0$, le potentiel $V$ est positif et il décroit quand on s'éloigne de la charge.

→ Si $q < 0$, le potentiel $V$ est négatif et croit quand on s'éloigne de la charge.

Dans les deux cas, les lignes de champ électrique sont dans le sens des potentiels décroissants.

### 3.3.2 Cas d'un ensemble de charges ponctuelles

Le principe de superposition permet de déterminer le potentiel électrique en un point $r$ quelconque de l'espace d'un système de $N$ charges ponctuelles, situées à des positions $r_i$, $i \in 1, 2, \dots, N$ :

$$V(r) = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_i}{r_i} \quad \text{avec :} \quad V(r \rightarrow +\infty) = 0 \qquad (3.27)$$
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 3.2 – Surfaces équipotentielles sphériques vues en coupe et graphe de V(r) pour des charges ponctuelles positive (à gauche) et négative (à droite). Le champ électrique est représenté par des lignes radiales orientées.</figcaption></figure>

La figure 3.3 illustre le potentiel superposé pour deux charges, soit de même signe, soit de signes opposés. Dans le cas de deux charges de signes opposés, cela s'appelle un dipôle électrique. Le dipôle est étudié dans un exercice (facultatif) de TD. Les équations permettant de tracer les lignes de champ et les surfaces équipotentielles sont obtenues à ce moment-là.

### 3.3.3 Distributions continues de charges

Le potentiel électrique d'une distribution continue de charges en un point M de l'espace est la somme (intégrale) du potentiel élémentaire créé par un élément infinitésimal de charge dq au point P :

$$V(M) = \int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{dq}{PM} \qquad (3.28)$$

L'intégrale peut être simple pour une distribution linéique de charge, double pour une distribution surfacique de charge ou triple pour une distribution volumique de charge.

→ Dans le cas d'une distribution linéique (sur une courbe à une dimension) de charge, avec une densité linéique de charge $\lambda$, la charge élémentaire s'écrit : $dq = \lambda \cdot d\ell$ et le potentiel électrique en M est donné par :

$$V(M) = \int_{\text{courbe}} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{\lambda(P) \cdot d\ell}{PM} \qquad (3.29)$$

→ Dans le cas d'une distribution surfacique (sur une surface à deux dimensions) de charge, avec une densité surfacique de charge $\sigma$, la charge élémentaire s'écrit : $dq = \sigma \cdot ds$ et le potentiel électrique en M est donné par :

$$V(M) = \iint_{\text{surface}} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{\sigma(P) \cdot ds}{PM} \qquad (3.30)$$
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>(a) Vue en coupe (dans le plan qui contient les deux charges) des équipo-
tentielles (courbes en pointillés) et des lignes de champ (courbes conti-
nues) pour deux charges de même grandeur et de signes opposés.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>(b) Les courbes en pointillés sont les potentiels individuels produits par deux charges de même grandeur et de signes opposés. Les courbes continues correspondent au potentiel total.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>(c) Vue en coupe (dans le plan qui contient les deux charges) des équipo-
tentielles (courbes en pointillés) et des lignes de champ (courbes conti-
nues) pour deux charges égales positives.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>(d) Les courbes en pointillés sont les potentiels individuels produits par deux charges égales positives. Les courbes continues correspondent au potentiel total.</figcaption></figure>

FIGURE 3.3 – Potentiel généré par un système de deux charges.

→ Dans le cas d'une distribution volumique (sur un volume à trois dimensions) de charge, avec une densité volumique de charge ρ, la charge élémentaire s'écrit : dq = ρ ⋅ dv et le potentiel électrique en M est donné par :

$$
V(M) = \iiint_{\text{volume}} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{\rho(P) \cdot dv}{PM} \quad (3.31)
$$

Pour ces expressions, on a pris l'origine des potentiels à l'infini. Attention, cela n'est pas possible
pour une distribution d'extension *infinie* de charge, comme un fil ou un cylindre (voir exercices de
TD). Dans ce cas, il faudra choisir une autre origine pour le potentiel, que l'infini.
## 3.4 Potentiel et champ électrique

### 3.4.1 Relation locale entre le champ et le potentiel

On a vu que (2.1) :

$$ \vec{E} = \frac{\vec{F}_E}{q_0} \qquad (3.32) $$

et que (3.15) :

$$ \vec{F}_E = -\overrightarrow{\text{grad } E_p} \qquad (3.33) $$

soit :

$$ \vec{E} = \frac{-\overrightarrow{\text{grad } E_p}}{q_0} \qquad (3.34) $$

ce qui donne, avec (3.23) : $E_p = q_0 \cdot V$ :

$$ \vec{E} = \frac{-\overrightarrow{\text{grad}}(q_0 \cdot V)}{q_0} \qquad (3.35) $$

soit, simplement :

$$ \vec{E} = -\overrightarrow{\text{grad } V} \qquad (3.36) $$

On en déduit :

→ Le champ électrique est toujours dirigé vers les potentiels décroissants (ceci à cause du signe moins, à ne pas oublier!).

→ Le champ vectoriel $\vec{E}$ dérive du potentiel scalaire $V$. C'est un champ de gradient.

→ La connaissance du potentiel $V$ permet d'accéder au champ $\vec{E}$, et inversement.

→ La relation précédente (3.36) est une relation locale qui est valable en tout point de l'espace.

### 3.4.2 Lignes de champ et surfaces équipotentielles

Par définition de la ligne de champ (voir section 2.4), le vecteur $\vec{E}$ est colinéaire au vecteur déplacement élémentaire $\overrightarrow{d\ell} : \vec{E} \propto \overrightarrow{d\ell}$ ou encore $\vec{E} \wedge \overrightarrow{d\ell} = \vec{0}$.

Exercice : montrer que cette relation se traduit par :

$$ \frac{dx}{E_x} = \frac{dy}{E_y} = \frac{dz}{E_z} $$

en coordonnées cartésiennes.

Les surfaces équipotentielles sont définies par : $V$ = cte, soit $dV = 0$, ou encore : $\vec{E} \cdot \overrightarrow{d\ell} = 0$. Ce qui montre que **le champ $\vec{E}$ est orthogonal aux surfaces équipotentielles $\overrightarrow{d\ell}$**. Les figures 3.4 représentent différentes géométries de champs électriques avec les surfaces équipotentielles correspondantes.

Dans le cas du potentiel créé par une charge ponctuelle (3.26) :

$$ V(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r}, \qquad (3.37) $$
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIGURE 3.4 – Exemples de surfaces équipotentielles vues en coupe (en pointillées) selon différentes géometries de champs (lignes de champs en traits continus). Elles sont toujours perpendiculaires aux lignes de champs.</figcaption></figure>

l'équation $V = cte$ se traduit par : $r = cte$, ce qui est l'équation d'une sphère en coordonnées sphériques.

Les figures 3.5 montrent les lignes de champ et les surfaces équipotentielles émises par une charge ponctuelle positive.

Attention! Une figure avec des cercles et des droites radiales (comme la figure 3.5b) est une représentation partielle puisque c'est une coupe par un plan. Il faut donc le préciser.

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIGURE 3.5 – Illustration des lignes de champ et des surfaces équipotentielles émises par une charge ponctuelle positive, dans toutes les directions de l'espace.</figcaption></figure>
### 3.4.3 Continuité des champs et potentiels

Le potentiel électrique, étant proportionnel à l'énergie potentielle, ne peut jamais être discontinu. En effet, si c'était le cas, si l'énergie potentielle présentait une discontinuité, alors son gradient (ou sa dérivée) serait infinie (tangente verticale!). On aurait donc une force infinie, ce qui n'est pas acceptable physiquement. Donc **le potentiel est nécessairement continu**.

En revanche le potentiel, tout en étant continu, peut présenter des points anguleux. Auquel cas **le champ électrique sera discontinu**. Cela arrive à la traversée des surfaces chargées, uniquement. Il est continu à la traversée des interfaces de volumes chargés.

### 3.4.4 Différence de potentiel

À partir de la définition du gradient (3.1), on en déduit que la différentielle $dV$ du potentiel s'écrit :

$$dV = \overrightarrow{\text{grad}} V \cdot d\vec{l} \qquad (3.38)$$

soit :

$$dV = - \vec{E} \cdot d\vec{l} \qquad (3.39)$$

et, en intégrant entre deux points A et B, on obtient la circulation 6 du vecteur $\vec{E}$ :

$$V(B) - V(A) = - \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{l} \qquad (3.41)$$

Il s'agit de la différence de potentiel entre A et B.

### 3.4.5 Potentiel et altitude

Supposons que l'on lâche une charge positive $q > 0$ dans un champ électrique uniforme (qui règne entre deux plaques chargées), sans vitesse initiale (figure 3.6a). La charge subit la force $\vec{F}_E = q\vec{E}$. La charge accélère en suivant les lignes du champ électrique, dans le même sens (mouvement rectiligne uniformément accéléré) : elle gagne de l'énergie cinétique tout en perdant simultanément de l'énergie potentielle. Son « potentiel » électrique diminue donc. On peut ainsi dire que la charge « tombe » vers le potentiel le plus faible.

De la même façon, supposons que l'on lâche une masse $m$ dans le champ gravitationnel $\vec{g}$ uniforme (figure 3.6b) qui règne à proximité de la surface de la Terre (champ de pesanteur). La masse subit la force : $\vec{F}_g = m \cdot \vec{g}$. Elle va accélérer en suivant les lignes du champ, dans le même sens que lui. On a également un mouvement rectiligne uniformément accéléré : la masse gagne de l'énergie cinétique au détriment de son énergie potentielle. Ce faisant, elle perd de l'altitude et se rapproche du sol : elle « tombe » vers l'altitude la plus faible.

On constate une analogie entre le potentiel électrique pour le champ électrique et l'altitude pour le champ de pesanteur. Altitude et potentiel sont définis à une constante près, c'est-à-dire par rapport à une position de référence : par exemple, le niveau du sol pour l'altitude et la plaque chargée négativement pour le potentiel. Cela pourrait être une autre référence.

$$\mathcal{C} = \int_{\gamma} \vec{E} \cdot d\vec{l} \qquad (3.40)$$

Sa valeur dépend généralement du chemin suivi.

<footnote n="6">6. La circulation $\mathcal{C}$ d'un champ de vecteurs $\vec{E}$ le long d'une courbe $\gamma$ est l'intégrale curviligne (c'est-à-dire calculée le long de la courbe $\gamma$) :</footnote>
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>FIGURE 3.6 – Illustration de l’analogie entre potentiel et altitude.</figcaption></figure>

Cette analogie fonctionne seulement pour les charges positives. Il faudrait qu'il existe des masses négatives (qui tomberaient vers le haut...) pour qu'elle fonctionne de manière pleinement symétrique. De fait, une charge négative dans un champ électrique uniforme va « tomber » vers les potentiels les plus élevés.

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>FIGURE 3.7 – Différence de potentiel entre deux points A et B dans un champ électrique uniforme.</figcaption></figure>

### 3.4.6 Potentiel dans un champ uniforme

Supposons que nous ayons un champ électrique uniforme :

$$ \vec{E} = E \cdot \vec{e}_x $$

avec $E = \text{cte}$.

Déterminons la différence de potentiel $\Delta V = V(B) - V(A)$ entre deux points A et B éloignés d'une distance $s$ dans ce champ uniforme (figure 3.7a). La relation (3.41) donne :

$$ \Delta V = V(B) - V(A) = - \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \vec{E} \cdot \vec{s} $$

or : $\vec{s} = \vec{d} + \vec{d}'$ (figure 3.7b), donc :

$$ \Delta V = - \vec{E} \cdot d - \vec{E} \cdot d' = - \vec{E} \cdot \vec{d} $$

car $\vec{E} \perp \vec{d}'$. Relation que l'on peut encore écrire :
$$ \Delta V = V(B) - V(A) = \mp E \cdot d \qquad (3.42) $$

où le signe est – si $V(B) < V(A)$ (si on se déplace dans le sens du champ), et + dans le cas contraire.
# Chapitre 4

# Le théorème de Gauss

Pour déterminer le champ électrique produit par une distribution de charge, on utilise en principe une des expressions obtenues à la section 2.6. Ces expressions permettent tout calcul de champ, soit analytiquement dans certains cas simples comme ceux étudiés en TD, soit numériquement à l'aide d'un ordinateur. Néanmoins cela peut parfois être fastidieux « à la main ».

Nous allons voir dans ce chapitre que dans certains cas où la distribution de charge est symétrique, un théorème, si on l'applique correctement, permet de déterminer le champ $\vec{E}$ rapidement et efficacement.

## 4.1 Le flux électrique

### 4.1.1 Analogie hydraulique

Pour introduire la notion de flux d'un champ vectoriel, nous nous intéressons à un système physique plus facile à visualiser que le champ électrique : l'écoulement d'un liquide. Supposons un écoulement dans un canal, permanent, homogène. Cet écoulement peut être représenté par un champ vectoriel, celui de la vitesse $\vec{V}$ du fluide à un endroit donné dans l'écoulement. On suppose cette vitesse constante dans le temps et dans l'espace.

Sur la figure 4.1 les flèches grises parallèles représentent le champ de vitesse à différents points du fluide.

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE 4.1 – Écoulement d'un fluide et flux d'un champ de vecteurs.</figcaption></figure>

Plongeons un cadre fin, rectangulaire, de surface $a$, dans le flot. Comme sur la figure 4.1, le cadre peut-être perpendiculaire à l'écoulement, parallèle à l'écoulement, ou bien faisant un angle quelconque avec lui.

Le débit du fluide est donné par : $D = S_{\perp} \cdot V$, où $V$ est la vitesse du fluide et $S_{\perp}$ est la surface du cadre *vue* par le fluide : dans le premier cas de la figure 4.1, on a : $S_{\perp} = a$, car le fluide « voit » tout le cadre, il le traverse en entier. Dans le second cas, en revanche, on a : $S_{\perp} = 0$, le fluide ne traverse pas le cadre. Dans le dernier cas, le cadre est incliné de 30° par rapport à l'écoulement. Dans ce cas, la « surface » du cadre *vue* par le fluide est $S_{\perp} = a \cdot \cos 60^\circ$. 60° est l'angle entre le vecteur vitesse $\vec{V}$ et le vecteur « surface » $\vec{a}$ du cadre, un vecteur perpendiculaire à cette surface, dont la norme vaut l'aire du cadre.
Le flux du vecteur vitesse à travers la surface $\vec{a}$ est ainsi donné par : $\Phi_V = \vec{V} \cdot \vec{a}$. C'est la même chose que le débit dans le cadre hydraulique.

Il suffit d'imaginer que le champ de vecteur vitesse du fluide est le champ électrique, avec un cadre imaginaire – ou plus généralement une surface quelconque – que l'on plonge mentalement dans le champ pour se représenter le flux d'un vecteur.

### 4.1.2 Flux d'un vecteur à travers une surface quelconque

Considérons une surface $\Sigma$ de contour $\mathcal{C}$ (figure 4.2).

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE 4.2 – Surface orientée, contour et flux élémentaire. À droite est illustrée la règle de la main droite qui permet d'orienter le vecteur surface à partir de l'orientation du contour (ou vice-versa).</figcaption></figure>

Soit un petit élément de surface $dS$ (en gris foncé) sur la surface $\Sigma$. Par définition, le vecteur surface $\vec{dS}$ est perpendiculaire à la surface $dS$, sa norme vaut l'aire de $dS$. On oriente le contour $\mathcal{C}$ (et donc le contour de l'élément de surface $dS$, dans le même sens). Alors le sens du vecteur surface $\vec{dS}$ est fixé (arbitrairement mais de manière standard, pour éviter de trop nombreux signes –) par la règle de la main droite illustrée à droite de la figure 4.2 : les doigts (de la main droite, même pour les gauchers!) s'enroulent dans le même sens que le contour $\mathcal{C}$, le pouce donne la direction du vecteur surface.

Le flux élémentaire à travers l'élément de surface $dS$ d'un vecteur $\vec{A}$ est, par définition :

$$d\Phi = \vec{A} \cdot \vec{dS} \qquad (4.1)$$

Le flux total à travers la surface $\Sigma$ est donc :

$$\Phi = \iint_{\Sigma} \vec{A} \cdot \vec{dS} \qquad (4.2)$$

### 4.1.3 Cas d'une surface fermée

Une surface fermée est une surface sans contour, elle est forcément non plane, c'est-à-dire en trois dimensions. La peau d'une pomme de terre est une surface fermée, une bulle de savon également. Parmi les surfaces usuelles fermées, on trouve la sphère, le cube, le cylindre.
Comme une surface fermée ne s'appuie sur aucun contour, il faut trouver une autre convention pour l'orienter, à savoir vers l'extérieur : le vecteur surface élémentaire, perpendiculaire à un petit élément de surface, est orienté vers l'extérieur de la surface fermée (figure 4.3).

Il s'ensuit que comme $d\Phi = \vec{E} \cdot d\vec{S} = E \cdot dS \cdot \cos\theta$ (avec $\theta$ l'angle entre $\vec{E}$ et $d\vec{S}$, le flux entrant dans une surface fermée est toujours négatif (car $\theta > 90^\circ$), tandis que le flux sortant est toujours positif (car $\theta < 90^\circ$).

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIGURE 4.3 – Le flux entrant (lignes de champ en rouge, orientées) dans une surface fermée (délimitée en vert) est négatif, tandis que le flux sortant est positif.</figcaption></figure>

Le flux total à travers une surface fermée est :

$$ \Phi = \oint \oint_{\Sigma} \vec{A} \cdot d\vec{S} \qquad (4.3) $$

Il s'agit du flux sortant : $\Phi > 0$ si le flux sortant est plus grand que le flux entrant, $\Phi < 0$ si le flux sortant est plus petit que le flux entrant.

Le symbole « ∮ » signifie que l'intégrale porte sur une surface fermée.

## 4.2 Le théorème de Gauss

Johann Carl Friedrich Gauß (noté Gauss en français) (1777-1855) est un mathématicien, astrophysicien allemand. On lui doit plusieurs contributions majeures en mathématiques (la loi normale ou distribution de Gauss, la méthode des moindres carrés), en physique : en optique (conditions de Gauss, amélioration de la qualité des lentilles), en électromagnétisme (il introduit la notion de potentiel, il étudie le magnétisme terrestre, théorème de Gauss), etc.
### 4.2.1 Démonstration dans le cas particulier d'une charge ponctuelle

Soit une charge $q$ fixe et placée au point $O$. On considère une surface sphérique (donc fermée) $\Sigma$, centrée sur la charge en $O$, de rayon $r$.

En un point $M$ de cette sphère, tel que $\overrightarrow{OM} = r \cdot \vec{e}_r$, le champ électromagnétique vaut :

$$ \overrightarrow{E}(r) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{\vec{e}_r}{r^2} = E(r) \cdot \vec{e}_r \qquad (4.4) $$

Le flux élémentaire du champ $\overrightarrow{E}$ à travers un élément de surface $dS$ (de vecteur surface : $\overrightarrow{dS} = dS \cdot \vec{e}_r$) situé sur la sphère $\Sigma$ est :

$$ d\Phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{dS} = E(r) \cdot \vec{e}_r \cdot dS \cdot \overrightarrow{e}_r = E(r) \cdot dS \qquad (4.5) $$

Le flux total s'écrit alors :

$$ \Phi = \iint_{\Sigma} d\Phi = \iint_{\Sigma} E(r) \cdot dS = E(r) \iint_{\Sigma} dS \qquad (4.6) $$

On peut sortir le module $E(r)$ de l'intégrale car il a la même valeur sur toute la surface de la sphère. Et comme la surface totale de la sphère $\Sigma$ vaut $= 4\pi r^2$, on obtient :

$$ \Phi = 4\pi r^2 \cdot E(r) \qquad (4.7) $$

soit :

$$ \Phi = 4\pi r^2 \cdot \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{1}{r^2} = \frac{q}{\epsilon_0} \qquad (4.8) $$

On constate que le flux du champ électrique ne dépend pas de la distance, seulement de la charge.

### 4.2.2 Énoncé du théorème de Gauss

Dans le vide, le flux total du champ électrique à travers une surface fermée quelconque est égal à la charge totale intérieure au volume délimité par la surface divisé par $\epsilon_0$.

Mathématiquement, cela se traduit par :

$$ \Phi = \iint_{\Sigma} \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{dS} = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0} \qquad (4.9) $$

où :

→ $\Phi$ est le flux du champ $\overrightarrow{E}$ à travers $\Sigma$;

→ $\Sigma$ est la surface fermée (immatérielle) considérée;

→ $Q_{\text{int}}$ est la charge totale contenue dans le volume $V$ intérieur délimité par $\Sigma$ :

$$ Q_{\text{int}} = \iiint_{V \subset \Sigma} \rho(\vec{r}) \cdot d\vec{v} \qquad (4.10) $$

pour une distribution volumique de charge.

Attention : la distribution de charge $Q_E$ à l'origine du champ $\overrightarrow{E}$ n'est pas la charge intérieure $Q_{\text{int}}$. $Q_{\text{int}}$ est une partie seulement de $Q_E$. On a :

$$ Q_E = Q_{\text{int}} + Q_{\text{ext}} \qquad (4.11) $$

où $Q_{\text{ext}}$ est la charge extérieure à la surface $\Sigma$. Donc, dans le cas général, on a :

$$ Q_{\text{int}} \neq Q_E \qquad (4.12) $$

Selon la surface $\Sigma$ choisie, $Q_{\text{int}}$ peut éventuellement être nulle, alors que $Q_E \neq 0$.
### 4.2.3 Démonstration dans le cas général

#### Notion d'angle solide

L'angle solide est l'extension dans l'espace à trois dimensions de la notion d'angle dans le plan. Un angle plan $\theta$ (figure 4.4a) est le rapport entre la longueur $\overline{AB}$ d'un arc de cercle séparé par deux demi-droites et le rayon $R$ du cercle :

$$ \theta = \frac{\overline{AB}}{R} = \frac{\overline{A'B'}}{R'} \qquad (4.13) $$

Comme il s'agit du rapport de deux longueurs, la mesure d'un angle est sans dimension (son unité est le radian (rad)).

De façon analogue, l'angle solide $\Omega$ (figure 4.4b) est défini comme le rapport invariant de l'aire $S$ de la calotte sphérique découpée sur une sphère par la surface de la base – plane – du cône $OAB$ sur le rayon $R$ de la sphère élevé au carré :

$$ \Omega = \frac{S}{R^2} = \frac{S'}{R'^2} \qquad (4.14) $$

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIGURE 4.4 – Angles plan et solide.</figcaption></figure>

Le plus souvent, la surface définissant l'angle solide n'est pas sphérique, aussi définit-on l'angle solide élémentaire en fonction de la surface plane interceptée $\overrightarrow{dS}$ (figure 4.5). L'angle solide élémentaire s'écrit :

$$ d\omega = \frac{d\Sigma}{r^2} = \frac{dS \cdot \cos\theta}{r^2} = \frac{\vec{e}_r \cdot \vec{dS}}{r^2} \qquad (4.15) $$

où $\vec{e}_r$ est le vecteur unitaire radial des coordonnées sphériques.

En coordonnées sphériques, l'angle solide élémentaire s'écrit simplement :

$$ \Omega = \iint \frac{dS}{r^2} = \iint \frac{r^2 \sin\theta d\theta d\phi}{r^2} = \iint \sin\theta d\theta d\phi \qquad (4.16) $$

En intégrant sur toute la sphère, on obtient l'angle solide de tout l'espace :

$$ \Omega_{\text{espace}} = \iint \frac{dS}{r^2} = \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} \sin\theta d\theta = 4\pi \qquad (4.17) $$

L'angle solide est sans dimension, mais comme l'angle plan, il possède une unité, le stéradian (sr).
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE 4.5 – L’angle solide élémentaire.</figcaption></figure>

## Flux élémentaire du champ électrique d'une charge ponctuelle

Considérons une charge ponctuelle $q$ fixe, située au point $O$. Soit une surface élémentaire $dS$ autour d'un point $M$ de l'espace. Cette surface est orientée. On a $\overrightarrow{OM} = r \cdot \vec{e}_r$. Le flux du champ $\vec{E}$ généré par la charge $q$ à travers $dS$ est :

$$d\Phi = \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} \vec{e}_r \cdot d\vec{S} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{\vec{e}_r \cdot d\vec{S}}{r^2} \quad (4.18)$$

Ce qui s'écrit, d'après (4.15) :

$$d\Phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot d\omega \quad (4.19)$$

où $d\omega$ est l'angle solide élémentaire sous lequel la charge $q$ en $O$ voit l'élément de surface $dS$.

On constate que :

* le flux de $\vec{E}$ ne dépend que de l'angle solide sous lequel on voit la surface $dS$;

* le flux de $\vec{E}$ est indépendant de la distance entre la charge $q$ et la surface $dS$ car le champ varie en $1/r^2$, mais la surface varie en $r^2$.

## Une charge ponctuelle à l'intérieur d'une surface fermée

On considère maintenant une surface $\Sigma$ fermée quelconque mais autour de la charge $q$ (figure 4.6).

Un cône élémentaire quelconque issu de la charge $q$, d'angle solide élémentaire $d\Omega$, coupe la surface en un nombre (forcément) impair de fois : la figure 4.6 illustre cela avec deux exemples de cônes. En chaque point de la surface $\Sigma$ le vecteur surface élémentaire $d\vec{S}_i$ est orienté (par définition) vers l'extérieur de la surface.

Lorsque l'angle solide élémentaire intercepte la surface fermée une seule fois ($d\Omega_1$ sur la figure), le flux élémentaire du champ $\vec{E}$ s'écrit :

$$d\Phi_1 = \vec{E}(r_1) \cdot d\vec{S}_1 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \left( \frac{\vec{e}_r \cdot d\vec{S}_1}{r_1^2} \right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot d\Omega_1 \quad (4.20)$$
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE 4.6 - Cas où la charge $q$ est à l'intérieur de la surface fermée : n'importe quel cône élémentaire issu de $q$ coupe la surface un nombre impair de fois.</figcaption></figure>

Lorsque l'angle solide élémentaire intercepte la surface fermée trois fois ($d\Omega_2$ sur la figure), le flux élémentaire du champ $\vec{E}$ s'écrit :

$$d\Phi_2 = \vec{E}(r_2) \cdot d\vec{S}_2 + \vec{E}(r_3) \cdot d\vec{S}_3 + \vec{E}(r_4) \cdot d\vec{S}_4 \quad (4.21)$$

$$= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \left( \frac{\vec{e}_r \cdot d\vec{S}_2}{r_2^2} + \frac{\vec{e}_r \cdot d\vec{S}_3}{r_3^2} + \frac{\vec{e}_r \cdot d\vec{S}_4}{r_4^2} \right) \quad (4.22)$$

$$= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot (d\Omega_2 - d\Omega_2 + d\Omega_2) \quad (4.23)$$

$$= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot d\Omega_2 \quad (4.24)$$

En effet, car le produit scalaire : $\vec{e}_r \cdot d\vec{S}_3 < 0$, puisque l'angle entre les deux vecteurs est supérieur à 90° (le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur de la surface).

Le flux total de $\vec{E}$ à travers $\Sigma$ est la somme des flux élémentaires :

$$\Phi = \sum \lim_{d\Phi_i \to 0} d\Phi_i = \iint_{\text{espace}} d\Phi \quad (4.25)$$

soit :

$$\Phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \iint d\Omega = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot 4\pi = \frac{q}{\varepsilon_0} \quad (4.26)$$

Cela revient à calculer l'angle solide de tout l'espace, c'est-à-dire l'angle solide sous lequel la charge $q$ voit la surface $\Sigma$ qui l'entoure.

### Une charge ponctuelle à l'extérieur d'une surface fermée

Dans le cas où la charge est à l'extérieur de la surface fermée $\Sigma$ (figure 4.7), un cône élémentaire quelconque issu de la charge $q$, d'angle solide $d\Omega$, coupe la surface en un nombre *pair* de fois.

Alors, le flux élémentaire s'écrit :

$$d\Phi_1 = \vec{E}(r_1) \cdot d\vec{S}_1 + \vec{E}(r_2) \cdot d\vec{S}_2 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \left( \frac{\vec{e}_r \cdot d\vec{S}_1}{r_1^2} + \frac{\vec{e}_r \cdot d\vec{S}_2}{r_2^2} \right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot (-d\Omega_1 + d\Omega_1) = 0 \quad (4.27)$$

Le calcul sur le second cône de la figure donne le même résultat.

Ainsi le flux total à travers la surface fermée est nul lorsque la charge se trouve à l'extérieur.
<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIGURE 4.7 – Cas où la charge $q$ est à l'extérieur de la surface fermée : n'importe quel cône élémentaire issu de $q$ coupe la surface un nombre pair de fois.</figcaption></figure>

## Généralisation à une distribution de charge

Dans les deux cas, charge à l'intérieur de la surface fermée et charge à l'extérieur, nous pouvons généraliser à plusieurs charges. D'après le principe de superposition, il suffit de remplacer « $q$ » par $\sum_{i}^{N} q_{i}$ pour un ensemble de $N$ charges ponctuelles. On peut enfin généraliser aux cas des distributions continues de charges, en sommant sous la forme d'une intégrale les contributions élémentaires $dq : Q_E = \int dq$.

La partie de la distribution de charge $Q_E$ qui se trouve à l'intérieur de la surface fermée contribue au flux du champ électrique comme $Q_{int}/\varepsilon_0$. Tandis que la partie de la distribution de charge qui se trouve à l'extérieur de la surface fermée ne contribue pas au flux du champ électrique. La figure 4.8 illustre cela : seule la partie bleutée de la distribution de charge se trouve à l'intérieur de la surface fermée. Elle et elle seule contribue au $Q_{int}$ du théorème de Gauss.

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIGURE 4.8 – Illustration de la charge intérieure (en bleu) à la surface fermée.</figcaption></figure>

Par ailleurs, la figure illustre également le fait que la surface fermée dite de Gauss est une entité imaginaire (non matérielle), tandis que la distribution de charge est une entité matérielle. La surface de Gauss n'est pas la surface de la distribution de charge (en général).
### 4.3 La symétrie et l'invariance

Le concept de symétrie est très général. On le trouve dans beaucoup de domaines de la physique, mais aussi en mathématiques, en biologie, en architecture, etc.

#### 4.3.1 Symétries...

D'un point de vue géométrique, en trois dimensions, une symétrie est une transformation par réflexion (par rapport à un plan ou par rapport à un axe) ou bien par une symétrie centrale par rapport à un point (figure 4.9).

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>FIGURE 4.9 – Principales transformations géométriques induisant des symétries.</figcaption></figure>

Par exemple, en trois dimensions, un cube est symétrique par rapport à un huit plans passant par son centre.

Dans le cas des distributions de charge, la symétrie est considérée en trois dimensions, elle est uniquement par réflexion par rapport à un plan (figure 4.9c).

#### 4.3.2 Invariances...

Une figure géométrique présente une invariance quand on peut lui appliquer une transformation (translation selon un axe ou rotation par rapport à un axe ou un point) qui la laisserait inchangée.

Par exemple un cube est invariant par des rotations d'angles 90° par rapport à trois axes passant par son centre.

Les invariances et les symétries sont souvent confondues, les invariances étant considérées comme des symétries particulières. Dans ce cours nous ferons une claire distinction entre les deux concepts qui n'aboutissent pas aux mêmes conclusions physiques (figure 4.10).

#### 4.3.3 Quel système de coordonnées ?

L'étude succincte des symétries et invariances permet de choisir un système de coordonnées pour étudier le problème. Quelques exemples ci-dessous.

→ Une sphère avec ses invariances par rotation (mais aucune par translation), appelle naturellement le système des *coordonnées sphériques*.

→ Un fil rectiligne tout comme un cylindre de longueur infinie a une invariance par translation et une par rotation, cela fait appel au système de *coordonnées cylindriques*.

→ Un plan infini ou une plaque a des invariances par translation dans deux directions : le système de *coordonnées cartésiennes* est adapté.
<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>(a) Symétrie du papillon par rapport à un plan dans l'axe de son corps.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>(b) La fleur est invariante par rotation de $2\pi/5$ autour de son centre.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>(c) La frise architecturale est invariante par translation de la taille d'un motif.</figcaption></figure>

FIGURE 4.10 – Symétries et invariances.

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

→ Dans le cas d'un cylindre de longueur finie, en général, les coordonnées cylindriques sont les plus adaptées.

La liste n'est pas exhaustive, il y a de nombreuses autres géométries. Un système de coordonnées n'est qu'un outil de calcul : il est possible de tout faire dans un système de coordonnées donné (par exemple les coordonnées cartésiennes), sauf que les calculs pourront être beaucoup plus fastidieux que si le système correspondant le mieux aux symétries et invariances de la géométrie du problème est utilisé. Il n'y a pas de recette miracle pour choisir le « bon » système, l'entraînement permet de l'intuiter ».

### 4.3.4 Le principe de Curie

Pierre Curie (physicien français connu pour ses travaux sur la piézoélectricité, le magnétisme, la radioactivité, 1859-1906) a énoncé un principe de symétrie après avoir observé certaines propriétés des champs électromagnétiques.

> Lorsque certaines causes (*dans notre cas les distributions de charge*) produisent certains effets (*dans notre cas, le champ électrique*), les éléments de symétrie des causes (*ie des distributions de charge*) doivent se retrouver dans les effets produits (*ie dans le champ électrique*).

Ce principe est au cœur de ce que nous allons voir en électromagnétisme, tant pour le champ électrique que plus tard pour le champ magnétique.

L'étude des symétries et des invariances de la distribution de charge nous donne de précieuses informations pour déterminer le champ électrique qu'elle crée.

### 4.3.5 Plans de symétrie et d'antisymétrie de la distribution de charges

Une boule (sphère pleine), chargée en volume de manière homogène, avec une densité volumique de charge constante, présente un plan de symétrie qui est le plan qui passe par son centre : ce plan partage la boule en deux demi-boules strictement identiques de part et d'autre du plan (figure 4.11).

En fait, tous les plans passant par le centre de la boule sont des plans de symétrie. Il en existe donc une infinité.

La boule peut ne pas être chargée de manière homogène : par exemple avec une densité volumique constante positive +ρ *au-dessus* du plan *Oxy* pour une boule de centre *O*, et avec une densité volumique constante négative −ρ *en-dessous* du plan *Oxy*. Dans ce cas, le plan *Oxy* est un plan de symétrie pour la géométrie, mais pas pour la distribution de charge : *en-dessous*, on a des charges −,
<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>FIGURE 4.11 – Un des plans de symétrie de la sphère parmi une infinité.</figcaption></figure>

au-dessus, on a des charges +. Dans ce cas on dit qu'on a un plan d'antisymétrie : les charges changent de signe de part et d'autre du plan d'antisymétrie.

La figure 4.12 montre deux boules : l'une (à gauche) chargée positivement sur la demi-boule supérieure et négativement sur la demi-boule inférieure, l'autre (à droite), chargée uniformément. Dans le premier cas, la distribution de charge présente un plan d'antisymétrie (le plan Oxy), et un plan de symétrie (le plan Oxz). Dans le second cas, il y a une infinité de plans de symétrie.

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>FIGURE 4.12 – À gauche, une boule chargée en volume avec +ρ dans la demi-boule supérieure et avec −ρ dans la demi-boule inférieure, en coupe dans le plan Oyz. À droite une boule chargée uniformément avec +ρ. Les plans de symétrie et d'antisymétrie sont représentés vus en coupe.</figcaption></figure>

**Remarques importantes :**

→ Un plan (de symétrie ou d'antisymétrie) se décrit précisément soit avec des mots (« le plan qui passe par le point O et les axes x et y »; « l'infinité de plans passant par l'axe Oz », etc.) ou avec le langage mathématique : « le plan Oxy » ou bien avec un point et deux vecteurs unitaires : ($O, \vec{e}_x, \vec{e}_y$) ou ($O, \vec{e}_r, \vec{e}_\theta$), etc. Tout autre dénomination « personnelle » n'est pas acceptable...

→ Attention à la répartition des charges dans la distribution : si elle uniforme, les symétries sont les symétries géométriques. Si ce n'est pas le cas, comme sur la sphère de gauche sur la figure 4.12, il faut en tenir compte!

### 4.3.6 Invariances de la distribution de charges

On dit que la distribution de charge est invariante selon une transformation donnée (translation ou rotation) si elle reste inchangée par cette transformation.

Par exemple, une sphère uniformément chargée est invariante (elle reste identique à elle-même) si on la fait tourner sur elle-même selon les angles $\theta$ ou $\Phi$ des coordonnées sphériques. On dit qu'elle est invariante par rotation d'angles $\theta$ et $\Phi$. Cela signifie que le champ électrique qu'elle va générer va présenter les mêmes invariances d'après le principe de Curie. Et donc, qu'une variation des angles $\theta$
et $\Phi$ du champ ne doit pas amener à une modification de ce champ. Cela signifie que le champ ne doit pas dépendre de ces variables.

Mathématiquement, cela se traduit de la manière suivante : le champ électrique en un point M de l'espace, en coordonnées sphériques, s'écrit, de manière générale :

$$ \overrightarrow{E(M)} = E_r(M) \cdot \vec{e}_r + E_\theta(M) \cdot \vec{e}_\theta + E_\Phi(M) \cdot \vec{e}_\Phi \quad (4.28) $$

$$ \vec{E}(r, \theta, \Phi) = E_r(r, \theta, \Phi) \cdot \vec{e}_r + E_\theta(r, \theta, \Phi) \cdot \vec{e}_\theta + E_\Phi(r, \theta, \Phi) \cdot \vec{e}_\Phi \quad (4.29) $$

Le fait que $\vec{E}(r, \theta, \Phi)$ soit indépendant de $\theta$ et de $\Phi$ signifie qu'il ne doit pas dépendre de ces variables :

$$ \vec{E}(r, \theta, \Phi) = \vec{E}(r) = E_r(r) \cdot \vec{e}_r + E_\theta(r) \cdot \vec{e}_\theta + E_\Phi(r) \cdot \vec{e}_\Phi \quad (4.30) $$

Sans connaître l'expression de $\vec{E}$, nous avons déjà une hypothèse forte sur celle-ci, qui va nous aider à la déterminer.

De la même façon, un fil cylindrique de longueur infinie uniformément chargé présente une invariance par rotation autour de son axe (selon l'angle $\Phi$ des coordonnées cylindriques) ainsi qu'une invariance par translation selon son axe (la coordonnée $z$ des coordonnées cylindriques). Le champ électrique créé par ce cylindre va présenter les mêmes invariances : une variation de $z$ ou une variation de $\Phi$ ne doit pas modifier $\vec{E}$. Donc $\vec{E}$ ne dépend pas de ces variables.

Mathématiquement, l'expression générale du champ électrique en coordonnées cylindrique est :

$$ \vec{E}(r, \Phi, z) = E_r(r, \Phi, z) \cdot \vec{e}_r + E_\Phi(r, \Phi, z) \cdot \vec{e}_\Phi + E_z(r, \Phi, z) \cdot \vec{e}_z \quad (4.31) $$

Comme il doit être indépendant de $z$ et $\Phi$, on peut le réécrire :

$$ \vec{E}(r, \Phi, z) = \vec{E}(r) = E_r(r) \cdot \vec{e}_r + E_\Phi(r) \cdot \vec{e}_\Phi + E_z(r) \cdot \vec{e}_z \quad (4.32) $$

Ce qui, à nouveau, simplifie l'expression à calculer du champ.

### Plan de symétrie et plan d'antisymétrie pour un vecteur

Un vecteur voit sa composante parallèle à un plan de symétrie inchangée, tandis que sa composante orthogonale au plan est changée en son opposée (voir la figure 4.13a).

Inversement, un vecteur voit sa composante parallèle à un plan d'antisymétrie changée en son opposée, tandis que la composante orthogonale reste inchangée (voir la figure 4.13b). Le vecteur antisymétrique est l'opposé du vecteur symétrique.

### 4.3.7 Propriétés de symétrie du champ électrique

Considérons deux charges ponctuelles $q$ identiques, placées l'une au point C, l'autre au point $C_S$. Le plan (P) est le plan de symétrie entre ces deux charges.

On s'intéresse au champ électrique total créé par ces deux charges en un point M de l'espace et en un point $M_S$, symétrique de M par rapport au plan (P). La figure 4.14 montre cette configuration ainsi que la construction géométrique du champ total en M et en $M_S$. On constate que le champ total en $M$, $\overrightarrow{E_M(M)}$ est symétrique du champ total en $M_S$, $\overrightarrow{E_{M_S(M_S)}}$.

Montrons cela par le calcul.

Le champ créé en M par la charge $q$ en C est :

$$ \overrightarrow{E_M(C)} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{\overrightarrow{CM}}{CM^3} \quad (4.33) $$

Le champ créé en M par la charge $q$ en $C_S$ est :

$$ \overrightarrow{E_M(C_S)} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{\overrightarrow{C_S M}}{C_S M^3} \quad (4.34) $$
<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>FIGURE 4.13 – Symétrie et antisymétrie d'un vecteur.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIGURE 4.14 – Symétrie du champ électrique créé par une distribution symétrique de charge par rapport au plan (P) vu ici sur la tranche.</figcaption></figure>

Donc le champ total au point M s'écrit :

$$ \overrightarrow{E_{M}(\vec{M})} = \overrightarrow{E_{M}(\vec{C})} + \overrightarrow{E_{M}(\vec{C}_{S})} = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}} \cdot \left( \frac{\overrightarrow{CM}}{CM^{3}} + \frac{\overrightarrow{C_{S}M}}{C_{S}M^{3}} \right) \quad (4.35) $$

Réécrivons cela en fonction des composantes parallèles au plan (P) et perpendiculaire au plan (P) des vecteurs :

$$ \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CM}_{\parallel} + \overrightarrow{CM}_{\perp} \quad (4.36) $$

$$ \overrightarrow{C_{S}M} = \overrightarrow{C_{S}M}_{\parallel} + \overrightarrow{C_{S}M}_{\perp} \quad (4.37) $$
Ce qui donne :

$$ \overrightarrow{E_M(M)} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \left[ \frac{\overrightarrow{CM}_\parallel + \overrightarrow{CM}_\perp}{CM^3} + \frac{\overrightarrow{CSM}_\parallel + \overrightarrow{CSM}_\perp}{CSM^3} \right] \quad (4.38) $$

$$ = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \left[ \left( \frac{\overrightarrow{CM}_\parallel}{CM^3} + \frac{\overrightarrow{CSM}_\parallel}{CSM^3} \right) + \left( \frac{\overrightarrow{CM}_\perp}{CM^3} + \frac{\overrightarrow{CSM}_\perp}{CSM^3} \right) \right] \quad (4.39) $$

$$ = \overrightarrow{E_M(M)}_\parallel + \overrightarrow{E_M(M)}_\perp \quad (4.40) $$

De même, au point $M_S$, le champ total s'écrit (en remplaçant $M$ par $M_S$ dans l'expression précédente) :

$$ \overrightarrow{E_{M_S}(M_S)} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \left[ \left( \frac{\overrightarrow{CM}_\parallel}{CM_S^3} + \frac{\overrightarrow{CSM}_\parallel}{CSM_S^3} \right) + \left( \frac{\overrightarrow{CM}_\perp}{CM_S^3} + \frac{\overrightarrow{CSM}_\perp}{CSM_S^3} \right) \right] \quad (4.41) $$

$$ = \overrightarrow{E_{M_S}(M_S)}_\parallel + \overrightarrow{E_{M_S}(M_S)}_\perp \quad (4.42) $$

Or, comme $C$ et $C_S$ sont symétriques l'un de l'autre par rapport au plan (P), ainsi que $M$ et $M_S$, on a les relations :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{CM} = C_S M_S \\ \overrightarrow{CM}_\parallel = \overrightarrow{CM}_{S\parallel} \\ \overrightarrow{CM}_\perp = -\overrightarrow{CM}_{S\perp} \end{array} \right. \quad \text{et} \quad \left\{ \begin{array}{l} C_S M = CM_S \\ \overrightarrow{CM}_\parallel = \overrightarrow{CM}_{S\parallel} \\ \overrightarrow{CM}_\perp = -\overrightarrow{CM}_{S\perp} \end{array} \right. \quad (4.43) $$

Donc, en remplaçant $CM_S$ par $C_S M$ et $C_S M_S$ par $CM$ (avec les signes aux bons endroits) dans (4.41), cela donne :

$$ \overrightarrow{E_{M_S}(M_S)} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \left[ \left( \frac{\overrightarrow{CM}_\parallel}{CM_S^3} + \frac{\overrightarrow{CM}_\perp}{CM^3} \right) + \left( -\frac{\overrightarrow{CM}_\perp}{CM_S^3} - \frac{\overrightarrow{CM}_\parallel}{CM^3} \right) \right] \quad (4.44) $$

On obtient ainsi (d'après (4.40)) :

$$ \overrightarrow{E_{M_S}(M_S)} = \overrightarrow{E_M(M)}_\parallel - \overrightarrow{E_M(M)}_\perp \quad (4.45) $$

Le plan (P), plan de symétrie de la distribution de charge (par définition), est également un plan de symétrie pour le champ électrique créé par la distribution de charge.

On peut généraliser ce résultat pour une distribution de charge quelconque :

Tout plan de symétrie de la distribution de charge est un plan de symétrie pour le champ électrique $\overrightarrow{E}$.

Si le point $M$ appartient au plan (P), alors $M_S$ aussi : $M \equiv M_S \equiv H$. Dans ce cas, les deux expressions (4.40) et (4.45) doivent être égales, ce qui impose :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{E_H(H)}_\parallel = \overrightarrow{E_H(H)}_\parallel \\ \overrightarrow{E_H(H)}_\perp = -\overrightarrow{E_H(H)}_\perp \end{array} \right. \quad (4.46) $$

La première équation est toujours vérifiée, la seconde impose que : $\overrightarrow{E_H(H)}_\perp = \overrightarrow{0}$. Ce que l'on peut vérifier graphiquement sur la figure 4.14. Le champ électrique appartient donc au plan de symétrie de la distribution de charge.

On en déduit, que, de manière générale pour une distribution de charge quelconque :

Le champ électrique en un point $M$ appartenant au plan de symétrie de la distribution de charge est contenu dans ce plan.
<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>FIGURE 4.15 – Antisymétrie du champ électrique créé par une distribution antisymétrique de charge par rapport au plan (P) vu ici sur la tranche. Le vecteur en pointillés bleus représente le vecteur $-\vec{E}_{M_S}(\vec{M}_S)$, symétrique de $\vec{E}_M(\vec{M})$.</figcaption></figure>

Regardons maintenant le cas où le plan (P) est un plan d'antisymétrie de la distribution de charge. Dans ce cas, au point C, on a toujours la charge ponctuelle $q$, tandis qu'au point symétrique, nous avons la charge opposée $-q$ (figure 4.15).

Dans ce cas, le champ électrique total créé par ces deux charges $q$ et $-q$ en un point $M_S$ de l'espace, $\overrightarrow{E_M(M)}$, est antisymétrique de celui créé au point $M, \overrightarrow{E_{M_S}(M_S)}$. La figure 4.15 montre ces différents vecteurs. Le fait que $\overrightarrow{E_{M_S}(M_S)}$ est antisymétrique de $\overrightarrow{E_M(M)}$ signifie que $-\overrightarrow{E_{M_S}(M_S)}$ est symétrique de $\overrightarrow{E_M(M)}$.

Exercice : montrer par le calcul, à partir de celui dans le cas des charges symétriques, que la distribution de charge antisymétrique amène à un champ électrique antisymétrique.

Tout plan d'antisymétrie de la distribution de charge est un plan d'antisymétrie pour le champ électrique $\vec{E}$.

De même, on montre (comme précédemment) que quand le point $M$ est en $H$ sur le plan d'antisymétrie (P), on a : $\vec{E}_H(H)_\parallel = \vec{0}$.

On en déduit, que, de manière générale pour une distribution de charge quelconque :

Le champ électrique en un point $M$ appartenant au plan d'antisymétrie de la distribution de charge est *orthogonal* à ce plan.
### 4.3.8 Utilisation des symétries

En pratique, pour déterminer le champ électrique généré par une distribution de charge, nous commencerons par chercher les plans de symétries et d'antisymétrie de la distribution de charge. Comme le champ $\vec{E}$ appartient aux premiers et est perpendiculaire aux seconds, cela permet d'obtenir la direction du champ $\vec{E}$ dans l'espace (en fonction des vecteurs unitaires du système de coordonnées).

Par exemple, dans le cas d'une boule chargée uniformément en volume, en un point M quelconque de l'espace, on a une infinité de plans de symétrie de la distribution de charge, qui sont tous les plans contenant à la fois le point M et le point O, centre de la sphère. Comme le champ électrique en M généré par la sphère est contenu dans tous ces plans de symétrie, il se trouve à leur intersection, c'est-à-dire selon la direction OM, selon le vecteur unitaire $\vec{e}_r$ des coordonnées sphériques.

Mathématiquement, cela se traduit par :

$$ \vec{E}(r, \theta, \Phi) = E_r(r, \theta, \Phi) \cdot \vec{e}_r + E_{\theta}(r, \theta, \Phi) \cdot \vec{e}_{\theta} + E_{\Phi}(r, \theta, \Phi) \cdot \vec{e}_{\Phi} \quad (4.47) $$

dans le cas général, qui devient :

$$ \vec{E}(r, \theta, \Phi) = E_r(r, \theta, \Phi) \cdot \vec{e}_r \quad (4.48) $$

suite à l'étude des symétries. Ce qui réduit drastiquement la complexité analytique du champ à calculer.

## 4.4 L'utilisation du théorème de Gauss

### 4.4.1 La méthode

Le théorème de Gauss permet de déterminer le champ électrique généré par certaines distributions de charges qui ont la propriété d'être « fortement » symétriques. Pour l'appliquer correctement, voici une méthode.

On cherche à déterminer le champ électrique en un point M quelconque de l'espace avec le théorème de Gauss.

1. Il faut d'abord prédire la direction de $\vec{E}$ ainsi que les variables dont il dépend. Pour cela :

(a) Choisir le système de coordonnées le plus adapté à la géométrie du problème.

(b) Déterminer les invariances (translation(s), rotation(s) selon l'une ou l'autre des coordonnées) de la distribution de charges, ce qui indique les variables dont ne dépend pas le champ.

(c) Rechercher les plans de symétrie et d'antisymétrie de la distribution de charge passant par un point M quelconque de l'espace, ce qui donne la direction de $\vec{E}$ au point M.

2. La forme (variables, direction) de $\vec{E}$ permet de définir une géométrie pour la surface fermée de Gauss dont il faut préciser toutes les caractéritisques (rayon, centre, hauteur, etc.).

→ C'est une surface (fermée) immatérielle sur laquelle va se trouver le point M où sera calculé le champ $\vec{E}$.

→ Elle peut être en plusieurs morceaux (comme un cylindre fermé) ou d'un seul tenant (comme une sphère).

→ Elle est choisie de telle sorte que le champ $\vec{E}$ soit :

▶ colinéaire au vecteur surface,

▶ ou bien orthogonal à ce vecteur.
3. Calculer **le flux** du vecteur $\vec{E}(M)$ à travers la surface de Gauss. Faire bien attention de décomposer (le cas échéant) la surface fermée en ses différentes parties (par exemple le disque du haut, celui du bas, la surface latérale, pour un cylindre). Il doit être facile à calculer. En général le module $E$ du champ peut être sorti de l'intégrale du flux.

4. Déterminer la **partie de la distribution de charge qui se trouve à l'intérieur de la surface (virtuelle) de Gauss** ($Q_{\text{int}}$).

→ Il faut souvent séparer l'espace en différentes régions et adapter la surface de Gauss en conséquence (par exemple l'intérieur de la sphère et l'extérieur de la sphère) : la partie de la distribution de charge qui se trouve à l'intérieur de la surface doit être déterminée pour chaque région.

→ Faire un **schéma** pour chaque cas.

5. Appliquer le **théorème de Gauss** pour chacune des régions de l'espace définies afin d'en déduire le champ électrique dans tout l'espace.

Typiquement, les surfaces de Gauss seront soit une sphère centrée sur une distribution de charges sphérique, soit un cylindre de hauteur finie d'axe l'axe d'un fil (infiniment mince ou pas) chargé de longueur infinie.

### 4.4.2 Exemple de la boule uniformément chargée

#### Champ électrique

On veut déterminer le champ électrique créé dans tout l'espace par une boule de rayon $R$ chargée uniformément en volume avec une densité volumique de charge constante $\rho$.

1. Le système de coordonnées le plus adapté pour ce problème est évidemment celui des coordonnées sphériques, puisque l'on étudie une sphère (même si elle est « pleine »!). En un point $M$ quelconque de l'espace, on a, pour le moment :

$$ \overrightarrow{E(M)} = E_r(M) \cdot \overrightarrow{e}_r + E_\theta(M) \cdot \overrightarrow{e}_\theta + E_\Phi(M) \cdot \overrightarrow{e}_\Phi \quad (4.49) $$

$$ \overrightarrow{E}(r, \theta, \Phi) = E_r(r, \theta, \Phi) \cdot \overrightarrow{e}_r + E_\theta(r, \theta, \Phi) \cdot \overrightarrow{e}_\theta + E_\Phi(r, \theta, \Phi) \cdot \overrightarrow{e}_\Phi \quad (4.50) $$

Nous avons déjà vu (section 4.3.6) que les invariances de la distribution de charge permettaient d'écrire :

$$ \overrightarrow{E}(r, \theta, \Phi) = \overrightarrow{E}(r) = E_r(r) \cdot \overrightarrow{e}_r + E_\theta(r) \cdot \overrightarrow{e}_\theta + E_\Phi(r) \cdot \overrightarrow{e}_\Phi \quad (4.51) $$

Nous avons également déjà étudié les symétries à la section 4.3.8, ce qui donnait :

$$ \overrightarrow{E}(r, \theta, \Phi) = E_r(r, \theta, \Phi) \cdot \overrightarrow{e}_r \quad (4.52) $$

En combinant ces deux résultats (4.51) et (4.52), cela donne :

$$ \overrightarrow{E}(r) = E_r(r) \cdot \overrightarrow{e}_r \quad (4.53) $$

Cette expression est déjà nettement plus simple que la première (4.50). Le champ $\vec{E}$ est donc radial.

2. En choisissant comme surface de Gauss une sphère de rayon (variable) $r$, le champ $\vec{E}$ est collinéaire au vecteur surface élémentaire $\overrightarrow{dS} = dS \cdot \overrightarrow{e}_r$ de la sphère. Par ailleurs, en coordonnées sphériques l'élément d'intégration surfacique : $dS = r^2 \sin\theta d\theta d\Phi$, ne varie pas selon la coordonnée $r$ (pas de $dr$) dont dépend $\vec{E}$.
3. On peut calculer le flux $\Phi$ de $\vec{E}$ à travers la surface de Gauss choisie :

$$ \begin{aligned} \Phi &= \iint_{\text{sphère}} E_r(r) \cdot \vec{e}_r \cdot dS \cdot \vec{e}_r = \iint_{\text{sphère}} E_r(r) \cdot dS = \int_{\Phi=0}^{2\pi} \int_{\theta=0}^{\pi} E_r(r) \cdot r^2 \sin\theta d\theta d\Phi \\ &= r^2 E_r(r) \int_0^{2\pi} d\Phi \int_0^{\pi} \sin\theta d\theta = 2\pi r^2 E_r(r) [-\cos\theta]_0^{\pi} = 4\pi r^2 E_r(r) \end{aligned} \quad (4.54) $$

Il est également possible d'aller plus rapidement en disant que l'élément d'intégration $dS$ ne porte pas sur $r$, donc $E_r(r)$ peut sortir de l'intégrale, auquel cas il reste à intégrer $dS$ sur toute la sphère ce qui fait $4\pi r^2$.

4. Pour déterminer la partie de la distribution de charge qui se trouve à l'intérieur de la surface de Gauss, il faut distinguer deux régions (voir la figure 4.16) :

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>FIGURE 4.16 – Illustration de la surface de Gauss pour la boule chargée. La partie de la distribution de charges se trouvant à l'intérieur de la surface de Gauss ($Q_{\text{int}}$) est indiquée en jaune dans les deux cas. $Q_{\text{ext}}$ indique la charge à l'extérieur de la surface de Gauss (en violet).</figcaption></figure>

→ À l'intérieur de la sphère, c'est-à-dire pour une surface de Gauss dont le rayon $r$ est tel que $r < R$, la charge contenue à l'intérieur de cette surface est, d'après la relation (1.13) :

$$ Q_{\text{int}}^{r<R} = \iiint_{0<r<R} \rho \cdot dv = \rho \iiint_{0<r<R} dv = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho \quad (4.55) $$

Car ici $\rho = \text{cte}$.

Attention, on intégre seulement sur le volume de rayon $r$, pas sur la boule complète de rayon $R$!

→ À l'extérieur de la sphère, c'est-à-dire pour une surface de Gauss dont le rayon $r$ est tel que $r > R$, la charge contenue à l'intérieur de cette surface est :

$$ Q_{\text{int}}^{r>R} = \iiint_{0<r<R} \rho \cdot dv = \rho \iiint_{0<r<R} dv = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho \quad (4.56) $$

Cette fois, on intégre seulement jusqu'à $R$, car pour $r > R$, il n'y a pas de charge.

5. On applique le théorème de Gauss dans chacune des régions :

→ À l'intérieur de la sphère ($r < R$) :

$$ 4\pi r^2 E_r(r) = \frac{1}{\varepsilon_0} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \rho \quad (4.57) $$

ce qui permet d'en déduire $E_r(r)$ :

$$ E_r(r) = \frac{r\rho}{3\varepsilon_0} \quad (4.58) $$
→ À l'extérieur de la sphère (r>R) :

$$
4\pi r^2 E_r(r) = \frac{1}{\varepsilon_0} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \quad (4.59)
$$

soit :

$$
E_r(r) = \frac{R^3 \rho}{3\varepsilon_0 r^2} \qquad (4.60)
$$

Nous avons donc bien obtenu l'expression du champ électrique dans tout l'espace :

$$
\vec{E}(r) = \frac{r\rho}{3\varepsilon_0} \cdot \vec{e}_r \quad \text{pour : } r < R \qquad (4.61)
$$

$$
\vec{E}(r) = \frac{R^3 \rho}{3\varepsilon_0 r^2} \cdot \vec{e}_r \quad \text{pour : } r > R \qquad (4.62)
$$

Pour r = R, les deux expressions donnent :

$$
\vec{E}(R) = \frac{R\rho}{3\varepsilon_0} \cdot \vec{e}_r, \qquad (4.63)
$$

ce qui montre que le champ est continu à la traversée de la surface de la boule chargée. Il croit linéai-
rement à l'intérieur, jusqu'à E_r(R), avant de décroître en 1/r² à l'extérieur (figure 4.17).

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>FIGURE 4.17 – Représentation graphique (allure) du module du champ électrique en fonction de r.</figcaption></figure>

Remarque : la charge totale Q de la boule est :

$$
Q = \iiint_{\text{boule}} \rho dv = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \quad (4.64)
$$

Le champ électrique pour r > R s'écrit en fonction de q :

$$
\vec{E}(r) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \cdot \vec{e}_r \qquad (4.65)
$$

qui ressemble au champ électrique généré par une charge ponctuelle. Vue de l'extérieur, la boule
chargée se comporte comme une charge ponctuelle de charge Q.

Potentiel électrique

À partir de la relation (3.36), nous pouvons déterminer le potentiel électrique V généré par la
boule dans tout l'espace. Comme le champ $\vec{E}$ ne dépend que de $r$, le gradient en coordonnées sphé-
riques (voir la relation (B.17)) se simplifie selon :

$$
\overrightarrow{\text{grad } V} = \frac{dV}{dr} \cdot \vec{e}_r \qquad (4.66)
$$

d'où :
→ Pour $r < R$ :

$$ \frac{dV}{dr} \cdot \vec{e}_r = - \frac{r \rho}{3 \varepsilon_0} \cdot \vec{e}_r \qquad (4.67) $$

soit :

$$ V(r) = - \frac{\rho}{3\varepsilon_0} \cdot \frac{r^2}{2} + K_1 \qquad (4.68) $$

où $K_1$ est une constante d'intégration.

→ Pour $r > R$ :

$$ \frac{dV}{dr} \cdot \vec{e}_r = - \frac{R^3 \rho}{3 \varepsilon_0 r^2} \cdot \vec{e}_r \qquad (4.69) $$

soit :

$$ V(r) = - \frac{R^3 \rho}{3 \varepsilon_0} \cdot \frac{-1}{r} + K_2 \qquad (4.70) $$

où $K_2$ est une constante d'intégration.

Si on suppose que l'origine des potentiels est à l'infini, on a : $\lim_{r \to +\infty} V(r) = 0$, donc $K_2 = 0$.

La deuxième constante d'intégration se détermine grâce à la continuité du potentiel (section 3.4.3) à l'interface entre la boule et l'extérieur, c'est-à-dire pour $r = R$ :

$$ - \frac{\rho}{3\varepsilon_0} \cdot \frac{R^2}{2} + K_1 = \frac{R^2 \rho}{3\varepsilon_0} \qquad (4.71) $$

soit :

$$ K_1 = \frac{R^2 \rho}{3\varepsilon_0} + \frac{\rho}{3\varepsilon_0} \cdot \frac{R^2}{2} = \frac{R^2 \rho}{2\varepsilon_0} \qquad (4.72) $$

d'où, finalement :

$$ V(r) = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0} \cdot \left[ 1 - \frac{1}{3} \left( \frac{r}{R} \right)^2 \right] \quad \text{pour : } r < R \qquad (4.73) $$

$$ V(r) = \frac{R^3 \rho}{3\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r} \quad \text{pour : } r > R \qquad (4.74) $$

L'allure de la courbe $V(r)$ est donnée sur la figure 4.18.

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>FIGURE 4.18 – Allure de la représentation graphique du potentiel électrique en fonction de r.</figcaption></figure>
### 4.4.3 Application à des géométries réelles

Outre la boule vue ci-dessus, le théorème de Gauss peut s'appliquer à d'autres géométries qui seront vues en TD : sphère chargée en surface, fil de longueur infinie, infiniment mince, cylindre de longueur infinie, plan épais ou infiniment mince d'étendue infinie...

Nous avons fait le calcul ici pour une distribution de charge homogène avec $ρ = cte$, nous verrons en TD quelques cas avec des densités de charges non homogènes. Dans ce cas, la règle d'or est de calculer la partie de la charge qui se trouve à l'intérieur de la surface de Gauss avec les relations intégrales vues à la section 1.1.7.

Mais alors le théorème de Gauss n'est utile que dans quelques cas idéaux, loin de la réalité (géométries d'extensions infinies)?

De fait, le théorème de Gauss ne peut pas s'appliquer pour déterminer le champ électrique d'un fil de longueur finie, par exemple. Ou d'un disque. Ces configurations ne sont pas suffisamment symétriques pour que ce théorème soit d'une quelconque utilité (pour calculer le champ) ; il reste utile pour calculer le flux du champ électrique. Pour déterminer le champ électrique dans ces cas peu symétriques, on utilise la relation (2.8) et les relations vues à la section 2.6.

Néanmoins, dans quelques situations courantes proches de la réalité, le théorème de Gauss peut être appliqué. Par exemple pour une plaque chargée (armature d'un condensateur, comme nous le verrons), le champ à proximité de la surface de la plaque (c'est-à-dire « loin » de ses bords) est celui d'une plaque infinie donc calculable avec le théorème de Gauss. Même chose pour un cylindre si on se place loin des extrémités. Cela reste une approximation, mais tout à fait correcte. On dit dans ces cas que l'on néglige les « effets de bord ».

## 4.5 Les relations locales de l'électrostatique

### 4.5.1 Notion de divergence

La divergence est un opérateur vectoriel (qui s'applique à un champ vectoriel) et dont le résultat est un *scalaire* positif ou négatif. Cette grandeur mesure l'étalement ou le resserrement des lignes de champ ainsi que l'accroissement ou la diminution de la grandeur vectorielle. La divergence d'un champ uniforme est nulle.

Mathématiquement, la définition de la divergence est basée sur la notion de flux, selon :

Soit un volume infinitésimal $dV$ autour d'un point $M$ où règne le champ vectoriel $\vec{A}$, et soit la surface infinitésimale $dS$ qui délimite le petit volume $dV$, que l'on oriente vers l'extérieur. Soit $d\Phi$ le flux du champ $\vec{A}$ à travers $dS$. La divergence de $\vec{A}$ en $M$ est donnée par :

$$ \operatorname{div} \vec{A} = \lim_{dV \to 0} \frac{d\Phi}{dV} \qquad (4.75) $$

La divergence mesure la quantité de flux qui sort (au sens large) localement de $dV$ autour de $M$.

Exercice : vérifier l'homogénéité de cette expression.

Les expressions de la divergence dans les différents systèmes de coordonnées sont données dans l'annexe B. L'expression en coordonnées cartésiennes est à savoir par cœur :
$$ \mathrm{div} \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \qquad (4.76) $$

### 4.5.2 La forme locale du théorème de Gauss

Nous avons montré le théorème de Gauss qui est une relation intégrale (4.9) :

$$ \Phi = \iint_{\Sigma} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \iint_{V \subset \Sigma} \rho(\vec{r}) \cdot d\nu \qquad (4.77) $$

or le théorème de Green-Ostrogradsky (voir annexe B) permet de réécrire le flux de $\vec{E}$ :

$$ \iint_{\Sigma} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \iiint_V \mathrm{div} \vec{E} \cdot d\nu \qquad (4.78) $$

où l'intégrale triple porte sur le volume $V$ entouré par la surface fermée $\Sigma$; $\mathrm{div} \vec{E}$ est l'opérateur vectoriel divergence.

Ce qui permet d'écrire :

$$ \iiint_V \mathrm{div} \vec{E} \cdot d\nu = \frac{1}{\varepsilon_0} \iint_{V \subset \Sigma} \rho(\vec{r}) \cdot d\nu \qquad (4.79) $$

Cette relation est valable quel que soit le volume $d\nu$, ce qui donne, finalement :

$$ \mathrm{div} \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \qquad (4.80) $$

Il s'agit de l'une des quatre équations de Maxwell (que nous verrons plus tard), l'équation de Maxwell-Gauss, qui est la forme « locale » du théorème de Gauss.

« Local » par opposition à « intégral », signifie que l'équation de Maxwell-Gauss est valable (et s'applique) sur un petit volume autour d'un point de l'espace. Contrairement au théorème de Gauss qui s'applique sur une grande surface (la surface de Gauss).

Il est tout à fait possible de l'utiliser pour déterminer le champ électrique $\vec{E}$ généré par une distribution de charge de densité $\rho$. Il faut cependant faire attention à bien la comprendre : dans le cas de la boule chargée, si on se place à l'intérieur, on aura :

$$ \mathrm{div} \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = \mathrm{cte} \qquad (4.81) $$

par contre à l'extérieur, comme il n'y a pas de charge, $\rho = 0$ et on a :

$$ \mathrm{div} \vec{E} = 0 \qquad (4.82) $$

### 4.5.3 L'équation de Poisson

La relation entre le champ et le potentiel (3.36) est :

$$ \vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}} V(M) \qquad (4.83) $$

Prenons la divergence de cette relation :

$$ \mathrm{div} \vec{E}(M) = -\mathrm{div} \left( \overrightarrow{\mathrm{grad}} V(M) \right) \qquad (4.84) $$

Or la divergence appliquée à un gradient donne un nouvel opérateur vectoriel, le laplacien :

$$ \mathrm{div} \mathrm{grad} V = \Delta V \qquad (4.85) $$
Il s'applique à un scalaire et donne un scalaire (voir annexe B).

En coordonnées cartésiennes il s'écrit :

$$ \Delta V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} \qquad (4.86) $$

On obtient donc :

$$ \mathrm{div} \vec{E}(M) = -\mathrm{div} \left( \mathrm{grad} \, V(M) \right) = -\Delta V(M) \qquad (4.87) $$

soit, d'après (4.80), on obtient l'équation de Poisson :

$$ \Delta V(M) + \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 0 \qquad (4.88) $$

En l'absence de charge électrique, $\rho = 0$ et l'équation résultante se nomme équation de Laplace :

$$ \Delta V(M) = 0 \qquad (4.89) $$

Ces deux équations, qui sont deux facettes d'une même équation, sont, comme l'équation de Maxwell-Gauss, des équations locales, valables au voisinage du point M. Elles permettent de déterminer le potentiel électrique en ce point.
# Chapitre 5

## L'énergie électrostatique

### 5.1 Distribution discrète de charges

Dans le chapitre 3, nous avons vu (voir l'équation 3.23) qu'une charge $q$ ponctuelle, placée en un point $M$ où existe un potentiel électrique $V(M)$, a une énergie potentielle électrostatique :

Considérons un ensemble de $N$ charges ponctuelles $q_i$ placées en des points $M_i$ : chacune d'entre elles va créer un champ électrostatique et ainsi mettre en jeu une énergie potentielle d'interaction électrostatique. Quelle sera alors l'énergie potentielle électrostatique de cet ensemble de charges?

Nous allons déterminer cette énergie potentielle à partir du travail que doit fournir un opérateur pour constituer la distribution de charge, en partant d'un état initial où les charges sont infiniment loin les unes des autres, et en les amenant une à une à leurs positions finales.

On prend l'origine des potentiels nulle à l'infini : $V(r \to +\infty) \to 0$.

Soit la charge ponctuelle $q_1$ placée en $M_1$. On amène alors une charge $q_2$ de l'infini jusqu'en $M_2$. Le potentiel dû à la charge $q_1$ en $M_2$ est noté :

$$V_1(M_2) = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}} \qquad (5.1)$$

où $r_{12}$ est la distance entre $M_1$ et $M_2$ : $r_{12} = M_1 M_2$.

Pour amener $q_2$ au point $M_2$, l'opérateur fournit donc un travail $W_2$ :

$$W_2 = q_2 \cdot V_1(M_2) = q_1 \cdot V_2(M_1) = W_1 \qquad (5.2)$$

Ce travail est identique à celui qu'il aurait fallu fournir pour amener $q_1$ de l'infini au point $M_1$ en présence de $q_2$ déjà située en $M_2$. Cela signifie que ce système constitué de deux charges possède une énergie électrostatique :

$$E_{p(1,2)} = W_1 = W_2 = \frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}} \qquad (5.3)$$

où $r_{12} = M_1 M_2$. On peut réécrire ce terme de manière symétrique :

$$E_{p(1,2)} = \frac{1}{2}(W_1 + W_2) = \frac{1}{2}[q_1 \cdot V_2(M_1) + q_2 \cdot V_1(M_2)] \qquad (5.4)$$

Si maintenant on amène une troisième charge $q_3$ de l'infini jusqu'au point $M_3$ (avec $q_1$ et $q_2$ fixes aux points $M_1$ et $M_2$), il faut fournir un travail supplémentaire :

$$W_3 = q_3 \cdot V_{1+2}(M_3) = q_3 \cdot [V_1(M_3) + V_2(M_3)] = \frac{q_3}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r_{13}} + \frac{q_2}{r_{23}} \right) \qquad (5.5)$$

où : $r_{13} = M_1 M_3$ et $r_{23} = M_2 M_3$.

L'énergie potentielle totale du système de ces trois charges est :
$$E_{p(1,2,3)} = E_{p(1,2)} + W_3 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} \right) \quad (5.6)$$

Pour un système de N charges discrètes $q_1, q_2, ..., q_i, ..., q_N$, placées aux points $M_1, M_2, ..., M_i, ..., M_N$, l'énergie électrostatique du système s'écrit :

$$E_{p_{\text{discret}}} = \sum_{\text{couples }(i,j)} q_i V_j = \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1, j>i}^{N} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_i q_j}{r_{ij}} = E_{p_{ES}} \quad (5.7)$$

Cette double somme peut être écrite de manière symétrique, avec le facteur 1/2 qui apparaît pour éviter le double comptage de chaque couple $(i, j)$ qui apparaît deux fois :

$$E_{p_{ES}} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1, j \neq i}^{N} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_i q_j}{r_{ij}} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} q_i V_i(M_i) \quad (5.8)$$

avec $r_{ij} = M_i M_j$ et $V_i$ est le potentiel créé par les charges autres que $q_i$ au point $M_i$ où se trouve la charge $q_i$.

## 5.2 Distribution continue de charges

On généralise l'expression précédente pour une distribution continue de charge autour du point P de la distribution de charge $\mathcal{D}$ :

$$E_{p_{\text{continue}}} = \frac{1}{2} \int_{\mathcal{D}} dq(P) \cdot V(P) \quad (5.9)$$

où $dq(P)$ est la charge élémentaire au voisinage du point P et $V(P)$ est le potentiel en ce point.

On a donc pour une distribution volumique de charge, avec $dq = \rho(P)d\tau$, $d\tau$ étant l'élément de volume :

$$E_{p_{ES}} = \frac{1}{2} \iiint_{\mathcal{D}} \rho(P) \cdot V(P) d\tau \quad (5.10)$$

et pour une distribution surfacique de charge, avec $dq = \sigma(P)ds$ :

$$E_{p_{ES}} = \frac{1}{2} \iint_{\mathcal{D}} \sigma(P) \cdot V(P) ds \quad (5.11)$$

Ces intégrales portent sur la partie de l'espace où la densité de charge est non nulle.

Notons que $V(P)$ est le potentiel créé au point P par toute la distribution de charge. On pourrait penser qu'il faut exclure la contribution propre de $dq(P)$ au potentiel au point P. On peut faire tendre cette contribution vers 0 avec l'élément de volume ou de surface : il n'y a donc pas besoin de prendre cette précaution.

## 5.3 Densité volumique d'énergie électrostatique due au champ électrique

D'après l'équation de Maxwell-Gauss (4.80) :

$$\operatorname{div} \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \quad (5.12)$$

on peut remplacer $\rho = \varepsilon_0 \cdot \operatorname{div} \vec{E}$ dans l'équation (5.10), ce qui donne :
$$E_{pES} = \iiint \frac{1}{2} \epsilon_0 (\mathrm{div} \, \vec{E}) V(P) d\tau \qquad (5.13)$$

D'après la relation d'analyse vectorielle (B.7), on a :

$$\mathrm{div}(V \cdot \vec{E}) = V \cdot \mathrm{div} \vec{E} + \mathrm{grad} \cdot V \cdot \vec{E} \qquad (5.14)$$

soit, avec (3.36) :

$$\mathrm{div}(V \cdot \vec{E}) = V \cdot \mathrm{div} \vec{E} - (\vec{E})^2 \qquad (5.15)$$

soit :

$$V \cdot \mathrm{div} \vec{E} = \mathrm{div}(V \cdot \vec{E}) + (\vec{E})^2 \qquad (5.16)$$

Que l'on injecte dans (5.13) :

$$E_{pES} = \iiint \frac{1}{2} \epsilon_0 (\mathrm{div}(V \cdot \vec{E}) + E^2) d\tau \qquad (5.17)$$

Le premier terme de cette équation se réécrit à l'aide du théorème de Green-Ostrogradsky :

$$\iiint_{\text{espace}} \mathrm{div}(V \cdot \vec{E}) d\tau = \iint_{S} V \vec{E} \cdot d\vec{S} \qquad (5.18)$$

où S est une surface qui enferme tout l'espace. Cela peut être une sphère infinie de rayon $R \to +\infty$. Sachant que le potentiel $V$ varie en $1/r$, le champ $E$ en $1/r^2$ et la surface $S$ en $r^2$, ce premier terme de l'intégrale (en $V \times E \times S$) varie en $1/r$ et va donc tendre vers 0 lorsque $r \to +\infty$.

En effet, le volume dans cette intégrale peut être aussi grand que l'on veut, en particulier beaucoup plus grand que le volume réel occupé par les charges. Ainsi, vu de la surface $S$, le système des charges peut être assimilé à des charges ponctuelles. Donc :

$$\iint_S V \vec{E} \cdot d\vec{S} \sim \left[ \frac{1}{r} \right]^{r \to +\infty} \to 0 \qquad (5.19)$$

Il ne reste donc que le deuxième terme dans l'équation (5.17) qui s'écrit donc :

$$E_{pES} = \iiint_{\text{espace}} \frac{\epsilon_0}{2} E^2 d\tau \qquad (5.20)$$

Cette intégrale porte sur toute la partie de l'espace où le champ électrique (dû à toute la distribution de charge) est non nul, et pas seulement là où est localisée la charge.

La densité volumique d'énergie électrique, c'est-à-dire la quantité d'énergie électrique par unité de volume, s'écrit :

$$\frac{dE_{pES}}{d\tau} = \frac{\epsilon_0}{2} E^2 \qquad (5.21)$$

Elle s'exprime en $J \cdot m^{-3}$.

Un volume où règne un champ électrique $\vec{E}$ possède donc une énergie potentielle électrique proportionnelle au carré du module du champ.
# Chapitre 6

## Conducteurs

Dans ce cours, nous négligeons l'effet du champ électrique sur le matériau. Nous avons parlé d'objets chargés, en volume ou en surface, sans préciser la nature de ces objets. S'ils sont chargés en volume, ils sont forcément *isolants*, s'ils sont chargés en surface, ils peuvent être *isolants* ou conducteurs. Le cas des matériaux isolants est un peu délicat à traiter, il fait l'objet d'un autre cours, en L3, sur l'électromagnétisme des milieux matériels. Il y a des histoires de polarisation du matériau qui entrent en ligne de compte. On suppose donc que les matériaux « isolants » de ce cours sont constitués de... vide! Mais pour autant les charges étudiées ne sont pas « libres » de se mouvoir, le vide est considéré comme un *isolant parfait*, c'est-à-dire de conductivité nulle.

Nous allons cependant faire une exception dans ce chapitre en traitant du comportement des matériaux conducteurs (de l'électricité) en électrostatique.

### 6.1 Conducteur en équilibre électrostatique

#### 6.1.1 Conducteur parfait

Un conducteur est un matériau dans lequel les charges sont libres de se déplacer si une force électrostatique est appliquée, par exemple sous l'action d'un champ électrique extérieur. Dans ce cas, les charges vont se déplacer pour atteindre une position d'équilibre. Le temps de relaxation, c'est-à-dire la durée moyenne mise par les charges pour attendre leur position d'équilibre à partir de l'instant où le champ extérieur est appliqué, renseigne sur la mobilité de ces charges dans le matériau et donc sur la nature de celui-ci. Par exemple, ce temps est d'environ $10^{-12}$ s pour le cuivre, de 2 s pour le verre ou de $10^{10}$ s pour le polystyrène. Le cas du cuivre, un métal, montre qu'un métal soumis à une force électrostatique atteint très rapidement son état d'équilibre.

Dans la suite de ce cours nous assimilerons les conducteurs à des *conducteurs parfaits*, dont le temps de relaxation est nul. Cela leur confère une conductivité infinie (ou une résistivité nulle). Le conducteur parfait est un modèle qui permet de simplifier les calculs, tout en permettant de comprendre comment interagissent les champs électriques et les conducteurs réels. Dans la réalité, les supraconducteurs s'approchent des conducteurs parfaits (leur résistivité est nulle), mais ils n'existent que dans une certaine gamme de température qui dépend du matériau.

#### 6.1.2 Action d'un champ électrique extérieur sur un conducteur

Dans les métaux, les charges susceptibles de se mouvoir sous l'action d'un champ électrique extérieur sont les électrons. Chaque atome fournit environ un électron (dit de conduction). La figure 6.1 montre les étapes de relaxation (ou de mise à l'équilibre) d'un conducteur auquel on applique un champ électrique extérieur. Dans les métaux ces étapes sont très rapides. On considère qu'elles sont instantanées dans un conducteur parfait.

On met en exergue quelques propriétés :

→ Un conducteur est en équilibre électrostatique s'il n'y a pas de déplacement des charges mobiles. Pour que le conducteur soit à l'équilibre, donc qu'aucune charge ne s'y déplace, il faut
<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>FIGURE 6.1 – Relaxation d'un conducteur sous l'effet d'un champ électrique extérieur.</figcaption></figure>

que le champ électrique dans le conducteur soit nul, sinon les charges y seraient soumises à une force : $\vec{F}_E = q \cdot \vec{E}$.

→ Puisque $\vec{E} = -\vec{grad} V$, si le champ est nul, alors le potentiel $V$ à l'intérieur du conducteur est uniforme : **tout le volume du conducteur est au même potentiel, c'est un volume équivalent.** Comme le potentiel est continu à la traversées des surfaces chargées, **la surface du conducteur est une surface équivalentie** qui est au même potentiel que l'intérieur du conducteur.

→ Comme le champ électrique est nul à l'intérieur d'un conducteur, l'équation de Maxwell-Gauss donne :

$$ \text{div} \vec{E} = 0 = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad \text{donc :} \quad \rho = 0 \qquad (6.1) $$

La densité volumique de charge à l'intérieur d'un conducteur est nulle. **La distribution des charges est forcément en surface du conducteur.**

→ Le champ électrique est en tout point perpendiculaire aux surfaces équivalentes. Comme toute la surface du conducteur est une surface équivalentie, **le champ électrique est perpendiculaire à la surface du conducteur à son voisinage.**

### 6.1.3 Champ électrique au voisinage de la surface d'un conducteur

Cherchons à exprimer le champ électrique au voisinage de la surface d'un conducteur quelconque. Comme les charges sont en surface, soit $\sigma$ la densité surfacique de charge. On suppose que : $\sigma = \text{cte}$.

Afin d'appliquer le théorème de Gauss, on définit une surface de Gauss fermée : un cylindre de taille suffisamment petite, de section $S$, de hauteur $h$, au voisinage de la surface du conducteur, pour considérer que celle-ci est plane et d'extension infinie (figure 6.2). Ses faces extérieure ($S_{ext}$) et intérieure ($S_{int}$) sont parallèles à la surface du conducteur; sa surface latérale ($S_{lat}$) est orthogonale à la surface du conducteur.

Le flux $\Phi$ de $\vec{E}$ est :

$$ \Phi = \iint_{\text{cylindre}} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \iint_{S_{\text{int}}} \vec{E} \cdot d\vec{S} + \iint_{S_{\text{ext}}} \vec{E} \cdot d\vec{S} + \iint_{S_{\text{lat}}} \vec{E} \cdot d\vec{S} \qquad (6.2) $$

Comme le champ $\vec{E}$ est normal à la surface du conducteur, on a :

$$ \iint_{S_{\text{lat}}} \vec{E} \cdot d\vec{S} = 0, \qquad (6.3) $$

car $\vec{E} \perp d\vec{S}$ sur la surface latérale du cylindre de Gauss.
<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>FIGURE 6.2 – Illustration de la surface de Gauss à cheval sur la surface d'un conducteur.</figcaption></figure>

Comme le champ est nul à l'intérieur du conducteur, on a :

$$ \iint_{S_{\text{int}}} \vec{E} \cdot d\vec{S} = 0, \qquad (6.4) $$

car $\vec{E} = \vec{0}$ à l'intérieur.

Donc :

$$ \Phi = \iint_{S_{\text{cylindre}}} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \iint_{S_{\text{ext}}} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \iint_{S_{\text{ext}}} E_{\text{ext}} \cdot dS = E_{\text{ext}} \cdot S \qquad (6.5) $$

La partie de la distribution de charge qui est intérieure au cylindre de Gauss est la surface en orangé sur la figure 6.2 : le bout de la surface du conducteur *dans* le cylindre de Gauss. Ainsi, nous avons :

$$ Q_{\text{int}} = \sigma \cdot S \qquad (6.6) $$

Le théorème de Gauss permet finalement d'écrire :

$$ E_{\text{ext}} \cdot S = \frac{\sigma \cdot S}{\varepsilon_0} \qquad (6.7) $$

Il s'agit du **théorème de Coulomb** :

Au voisinage de la surface (extérieure) d'un conducteur portant localement une densité surfacique de charge constante $\sigma$, le champ électrique $\vec{E}$ est dirigé selon la normale (de vecteur unitaire $\vec{n}$) à la surface et vaut :

$$ \vec{E}_{\text{ext}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \cdot \vec{n} \qquad (6.8) $$

### 6.1.4 Cavité vide de charges dans un conducteur

Si on a une cavité vide de charge au sein d'un conducteur, alors le champ électrique est nul dans la cavité.

En effet, dans le conducteur, le potentiel est constant : $V = V_0$ = cte. Comme le potentiel est continu à la surface de la cavité, on a toujours : $V_{\text{surface cavité}} = V_0$. Or, à l'intérieur de la cavité, $\rho = 0$ car il n'y a pas de charge. Donc on a : $\Delta V = 0$ (équation de Laplace)

La solution $V = V_0$ est solution de l'équation de Laplace.
Or, cette équation (comme l'équation de Poisson) présente une propriété mathématique remarquable : pour un ensemble de conditions aux limites fixées, ces équations ont une solution et cette solution est unique. En d'autres termes, il n'existe qu'un seul potentiel $V(\vec{r})$ vérifiant l'équation locale et prenant en certains points de l'espace des valeurs fixées au préalable. Ce théorème d'existence et d'unicité est très utile puisqu'il nous assure que toute solution, quelle que soit la manière dont on l'a trouvée, est la bonne si elle satisfait aux conditions aux limites et à l'équation locale du potentiel. La démonstration générale de ce théorème est longue, difficile et n'apporte rien de plus sur le plan de la physique.

On en déduit que la solution $V = V_0$ de l'équation de Laplace dans la cavité est unique.

Dans ce cas, la relation (3.36) impose que $\vec{E} = \vec{0}$ dans la cavité.

Ceci est vrai quel que soit la valeur du champ extérieur au conducteur.

## 6.2 Quelques conséquences pratiques

### 6.2.1 Effet de pointe

Pour mettre en évidence l'effet de pointe (ou pouvoir des pointes), considérons deux sphères conductrices $S_1$ et $S_2$, de rayons respectifs $R_1$ et $R_2$, reliées par un fin fil conducteur très long (figure 6.4). On peut considérer que chaque sphère est isolée mais qu'à l'équilibre les deux sphères sont au même potentiel $V$. On suppose que la densité surfacique de charge est uniforme sur chaque sphère et vaut $\sigma_1$ pour $S_1$ et $\sigma_2$ pour $S_2$.

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>FIGURE 6.3 – Schéma du dispositif de deux sphères chargées de rayons différents reliées par un fil mince conducteur permettant de modéliser l'effet de pointe.</figcaption></figure>

Le potentiel $V_1$ de la sphère $S_1$ est uniforme dans tout le volume de la sphère, et peut être déterminé au centre $O_1$ de la sphère. Le point $O_1$ est à égale distance de toutes les charges de la sphère $S_1$, puisque celle-ci sont sur la surface, ainsi :

$$V_1(O_1) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \iint_{S_1} \frac{dq}{R_1} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \iint_{S_1} \frac{\sigma_1 \cdot dS}{R_1} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{\sigma_1 \cdot 4\pi R_1^2}{R_1} = \frac{\sigma_1 \cdot R_1}{\varepsilon_0} \quad (6.9)$$

De la même façon, on a :

$$V_2(O_2) = \frac{\sigma_2 \cdot R_2}{\varepsilon_0} \quad (6.10)$$

Puisque $V_1(O_1) = V = V_2(O_2)$ à l'équilibre, on a :

$$\sigma_1 \cdot R_1 = \sigma_2 \cdot R_2 \quad (6.11)$$

soit :

$$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{R_2}{R_1} \quad (6.12)$$

On en déduit donc que $\sigma \propto 1/R$ : la densité surfacique de charge sur chaque sphère est inversement proportionnelle au rayon. Donc la densité surfacique de charge est plus grande dans les régions qui ont le plus petit rayon de courbure<fnref n="1" />.

<footnote n="1">1. À condition que la surface soit convexe, c'est-à-dire bombée vers l'extérieur.</footnote>
D'après le théorème de Coulomb (section 6.8), au voisinage de la surface d'un conducteur, le champ est proportionnel à la densité surfacique de charge locale. Donc le champ électrique est maximal au niveau des surfaces de petits rayons de courbure, c'est-à-dire au niveau des points anguleux (figure 6.4).

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>FIGURE 6.4 – Effet de pointe pour le champ électrique.</figcaption></figure>

Cette propriété est importante pour comprendre le phénomène de la foudre (voir l'annexe D). Le dispositif *paratonnerre* utilise cette propriété du champ électrique pour protéger les infrastructures et les personnes de la foudre.

### 6.2.2 Cage de Faraday

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

(a) Principe de la cage de Faraday : un conducteur sphérique non chargé plongé dans un champ électrique uniforme joue un rôle d'écran protégeant du champ extérieur les points qui se trouvent à l'intérieur.

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

(b) La cage de Faraday dans l'expérience d'électrostatique du Palais de la Découverte. Source : https://www.leparisien.fr/culture-loisirs/sortir-region-parisienne/nuit-des-musees-2017-le-palais-de-la-decouverte-celebre-ses-80-ans-19-05-2017-6962499.php.

<caption>FIGURE 6.5 – La cage de Faraday.</caption>

La figure 6.5a représente un conducteur sphérique non chargé plongé dans un champ électrique uniforme. Loin de la sphère la configuration du champ n'est pas affectée par la présence du conducteur : les lignes de champ sont des droites parallèles et les surfaces équipotentielles sont des plans perpendiculaires aux lignes de champ. À la surface de la sphère, l'équipotentielle est une sphère et les lignes de champ sont radiales (d'après le théorème de Coulomb). Les charges à la surface de la sphère se répartissent de telle sorte que ces conditions soient vérifiées. Que la sphère soit pleine ou creuse,
le champ électrique est nul à l'intérieur. S'il s'agit d'une cavité, elle se trouve « protégée » du champ extérieur. C'est le principe de la *cage de Faraday* qui permet de protéger, par exemple du matériel électronique sensible. Les boitiers d'ordinateur, métalliques, permettent de protéger l'électronique des champs électriques qui existent dans l'environnement extérieur. De manière générale, on peut ainsi protéger des équipements ou des câbles des influences externes en les enveloppant dans une boîte conductrice (bouclier ou écran). Les avions sont des cages de Faraday qui permettent de protéger les personnes et les équipements contre les foudroiements. Les carrosseries des automobiles sont des cages de Faraday imparfaites car désormais réalisées en matériaux composites non conducteurs.

La figure 6.5b montre une cage de Faraday en matériau conducteur grillagée dans laquelle des personnes sont protégées des « éclairs ».

Attention : le phénomène de « bouclier » n'empêche pas la pénétration du champ dans la cavité, au contraire, le champ pénètre dans le conducteur et la cavité, mais le champ produit redistribue les charges à la surface du conducteur en quelques nanosecondes. Le champ résultant devient nul.

Si on place une charge +Q à l'intérieur de la cavité, elle produira un champ à l'intérieur de celle-ci. Ce champ agira sur les électrons libre du conducteur et entraînera une séparation des charges quasiment instantanément annulant le champ à l'intérieur de la cavité. À l'équilibre, la charge induite sur la surface interne du conducteur creux est forcément de même grandeur et de signe opposé à la charge +Q à l'intérieur de la cavité : en effet le nombre de lignes de champ qui débutent ou aboulissent à une charge est proportionnel à la grandeur de cette charge. Comme toutes les lignes de champ qui débutent sur la charge +Q doivent se terminer à la surface interne du conducteur, celle-ci doit forcément porter une charge -Q.

Exercice : faire un dessin représentant cette configuration.

### 6.2.3 Entretien des lignes à haute tension

Pour faire l'entretien des lignes à haute tension il n'est généralement pas possible de couper le courant et ainsi priver une partie de la population d'électricité. Les techniciens qui font ce travail doivent donc pouvoir toucher les câbles sous (très haute) tension.

Le corps humain est (faiblement) conducteur de l'électricité, il faut donc conserver toutes les parties du corps au même potentiel. Sinon, des charges circuleraient (des courants électriques) dans le corps et interféreraient avec le fonctionnement des organes (voir annexe C). Or, la différence entre le potentiel du sol et celui d'un câble de transport d'électricité est très élevée (quelques dizaines à quelques centaines de kilovolts).

La solution consiste à habiller le travailleur avec des habits conducteurs, à l'isoler du sol (supports en fibre de verre), et à mettre son corps au même potentiel que le câble. Une fois le corps et le câble au même potentiel, le travailleur peut toucher le câble et travailler avec. C'est alors le sol qu'il doit éviter de toucher.

## 6.3 Capacité d'un conducteur chargé

Un conducteur chargé a sa charge répartie en surface, donc le potentiel V en tout point M à l'intérieur de ce conducteur s'écrit :

$$V(M) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \iint_S \frac{\sigma(P)}{PM} \cdot ds \qquad (6.13)$$

où S est la surface totale du conducteur, P est un point quelconque de cette surface et σ est la densité surfacique de charges. La charge Q totale est donnée par :

$$Q = \iint_S \sigma(P) ds \qquad (6.14)$$
Si on multiplie $\sigma$ par un coefficient quelconque $\alpha$, on obtient un nouveau potentiel $V'$ tel que $V' = \alpha \cdot V$ et une nouvelle charge totale $Q'$ telle que : $Q' = \alpha \cdot Q$. On obtient un nouvel état d'équilibre électrostatique. On constate que :

$$ \frac{Q'}{V'} = \frac{Q}{V} \qquad (6.15) $$

quel que soit $\alpha$.

Ainsi, tout état d'équilibre électrostatique d'un conducteur chargé isolé électriquement (caractérisé par son potentiel $V$ et sa charge totale $Q$ est tel que :

$$ \frac{Q}{V} = \text{cte} \qquad (6.16) $$

On appelle capacité d'un conducteur isolé le rapport constant :

$$ C = \frac{Q}{V} \qquad (6.17) $$

où $Q$ est la charge totale portée par le conducteur mis au potentiel $V$. La capacité s'exprime en farad (F). Elle est toujours positive.

Le farad est une unité de valeur importante : on utilise plus souvent le $\mu F$ ou même le $pF$.

Un farad est la capacité d'un conducteur électrique isolé pour laquelle une addition de $6,241 \cdot 10^{18}$ électrons provoque une augmentation de son potentiel de 1 volt. Cette charge électrique (l'inverse de la charge élémentaire : $1/e$) représente en fait une charge de 1 C.

### 6.3.1 Capacité d'une sphère

Le potentiel à la surface (et à l'intérieur) d'une sphère de rayon $R$, de centre $O$, uniformément chargée en surface et portant une charge totale $Q$ est donné par :

$$ V = V(O) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} \qquad (6.18) $$

Exercice : démontrer cette expression.

On en déduit donc que la capacité d'une sphère conductrice chargée (en surface) est :

$$ C_{\text{sphère}} = 4\pi\varepsilon_0 R \qquad (6.19) $$

### 6.3.2 Capacité de la Terre

Par exemple, en considérant la Terre comme conductrice<fnref n="2" />, avec un rayon de 6380 km, on obtient une capacité de :

$$ C_{\text{Terre}} = \frac{6380 \cdot 10^3}{9 \cdot 10^9} = 709 \, \mu\text{F} \qquad (6.20) $$

<footnote n="2">2. La croûte terrestre a une conductivité de l'ordre de $10^{-2} \text{ S} \cdot \text{m}^{-1}$, le manteau de l'ordre de 0,1 à quelques siècles par mètre (source : https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0031920121000601), ce qui en fait un conducteur très moyen...</footnote>
## 6.4 Énergie électrostatique d'un conducteur chargé

D'après la relation 5.11, l'énergie électrostatique pour une distribution surfacique de charges $\sigma$ s'écrit :

$$E_{pES} = \frac{1}{2} \iint \sigma(P) \cdot V(P) ds \qquad (6.21)$$

or, comme le potentiel $V$ est constant en tout point du conducteur, cela donne :

$$E_{pES} = \frac{1}{2} V \iint \sigma(P) ds = \frac{1}{2} QV \qquad (6.22)$$

Que l'on peut réécrire avec (6.17) :

$$E_{pES} = \frac{1}{2} QV = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} \qquad (6.23)$$

## 6.5 Influence électrostatique

### 6.5.1 Expérience

Soit une sphère métallique $S$ électriquement isolée. $S$ étant initialement neutre, on en approche un petit objet $A$ chargé positivement (figure 6.6).

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>FIGURE 6.6 – Sphère neutre isolée influencée par une charge (solution exacte calculée par ordinateur). En pointillés, la ligne neutre séparant les régions positives et négatives. Tiré de *Électromagnétisme, volume 1* par H. Gié et J.-P. Sarment (1985).</figcaption></figure>

Dans un premier temps (régime transitoire), le champ créé par $A$ déplace les charges libres contenues dans la sphère et engendre des courants dans le volume et à la surface de $S$. Qualitativement, il est évident que les électrons (négatifs) sont attirés par $A$ (positif) : un excédent de charges positives tend à apparaître sur $S$ du côté opposé à $A$. Les courants transitoires s'amortissent en raison de l'énergie dissipée par effet Joule et l'on tend vers un état d'équilibre électrostatique.

Dans cet état, la répartition superficielle de charges $\sigma$ obtenue est telle que le champ qu'elle crée compense le champ créé par $A$ de façon à réaliser $\vec{E} = \vec{0}$ dans tout le volume de $S$. On peut montrer que la distribution $\sigma$ réalisant cette condition pour une position donnée des conducteurs $A$ et $S$ est unique.

On peut également comprendre physiquement pourquoi $\vec{E}$ doit être, à l'équilibre, normal à la surface de $S$: tant que $\vec{E}$ possède une composante tangentielle, celle-ci fait « glisser » les charges libres