# Existence et unicité pour des problèmes de contact élastoplastique avec des transferts thermiques

Pavel Krejčí, Adrien Petrov

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Pavel Krejčí, Adrien Petrov. Existence et unicité pour des problèmes de contact élastoplastique avec des transferts thermiques. 12e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2015, Giens, France. hal-01517295

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Submitted on 3 May 2017

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# Existence et unicité pour des problèmes de contact élastoplastique avec des transferts thermiques

P. Krejčí<fnref n="1" />, A. Petrov<fnref n="2" />

**Résumé** — On considère un corps viscoélastoplastique en mouvement pouvant entrer en contact avec un obstacle élastoplastique couplé à des effets d'expansion thermique. Le problème est décrit en utilisant le formalisme des opérateurs d'hystérésis et les inconnues sont la température et le déplacement. Le système ainsi obtenu est composé de l'équation gouvernant mouvement couplée à l'équation de bilan d'énergie. Le résultat d'existence pour ce problème, consistant d'un point de vu de la thermodynamique, est établi en combinant des estimations a priori obtenues pour le problème discrétisé en espace alors que le résultat d'unicité découle des propriétés de Lipschitz continuité des non-linéarités.

**Mots clés** — Elastoplasticité, équation de la chaleur, opérateurs d'hystérésis.

Le présent travail vise à donner de nouveaux résultats d'existence et d'unicité pour un modèle de couplage thermomécanique pour un corps en mouvement pouvant entrer en contact avec un obstacle. Les problèmes de contact occupent un rôle prépondérant dans de nombreux domaines comme par exemple dans l'industrie automobile où les crash tests ou encore la conception des moteurs nécessitent une bonne compréhension de ces phénomènes physiques complexes. Par conséquent, de nombreux travaux aussi bien en ingénierie qu'en mathématiques traitent des problèmes de contact dynamiques et quasi-statiques. Cette contribution fait suite au travail [4] où les auteurs ont reformulés le problème de contact élastoplastique en utilisant les opérateurs d'hystérésis, un modèle monodimensionnel thermomécanique prenant en compte les échanges entre différents types d'énergie d'un corps viscoélastoplastique vibrant pouvant entrer en contact avec un obstacle elastoplastique est proposé.

On considère une barre viscoélastoplastique de longueur $L$ vibrant longitudinalement. Cette barre est libre de bouger tant que l'une des extrémités ne touche pas un obstacle élastoplastique alors qu'à l'autre extrémité, une force est appliquée (cf. FIGURE 1).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Déformation d'un obstacle elastoplastique par une barre viscoélastoplastique.</figcaption></figure>

Tout d'abord, le problème est réécrit en utilisant le formalisme des opérateurs d'hystérésis comme des

<footnote n="1">¹ Institut de Mathématiques, Académie des Sciences de la République Tchèque, krejci@math.cas.cz</footnote>

<footnote n="2">² INSA-Lyon et Institut Camille Jordan, apetrov@math.univ-lyon1.fr</footnote>
opérateurs qui sont solution d'inéquations variationnelles associées au problème. Les inconnues de ce
problème sont la température et le déplacement. Plus précisément, on note par $u(x,t)$ le displacement
au temps $t$ du point matériel de coordonnées $x \in (0,L)$ et par $\sigma$ la composante $\sigma_{11}$ du tenseur des
contraintes. Par conséquent, l'équation qui gouverne le mouvement est donnée par

$$
\rho u_{tt} - \sigma_x = 0, \tag{1}
$$

où $\langle \cdot \rangle_x \stackrel{\text{def}}{=} \frac{\partial \langle \cdot \rangle}{\partial x}$ et $\langle \cdot \rangle_t \stackrel{\text{def}}{=} \frac{\partial \langle \cdot \rangle}{\partial t}$, et $\rho > 0$ est la densité du matériau. Le tenseur des contraintes $\sigma$ satisfait l'équation constitutive suivante :

$$
\sigma \stackrel{\text{def}}{=} \mathcal{P}[\varepsilon] + \nu\varepsilon_t - \beta(\theta - \theta^{\text{ref}}) \quad \text{et} \quad \varepsilon \stackrel{\text{def}}{=} u_x, \tag{2}
$$

où $\varepsilon$ est la composante $\varepsilon_{11}$ du tenseur des déformations, $\theta(x,t) > 0$ est la température absolue, elle
est une inconnue du problème, $\nu > 0$ est le module de viscosité, $\beta \in \mathbb{R}$ est le coefficient de dilatation
thermique, et $\theta^{\text{ref}} > 0$ est la température de référence qui est une donnée du problème. On note par $\mathcal{P}$
un opérateur d'élastoplasticité satisfaisant l'identité suivante :

$$
\mathcal{P}[\varepsilon] = \lambda\varepsilon + \mathcal{P}_0[\varepsilon], \quad (3)
$$

où $\mathcal{P}_0[\varepsilon]$ est la composante de la contrainte plastique avec $r > 0$ et $K \stackrel{\text{def}}{=} [-r, r]$ qui sont respectivement
la limite d'élasticité et le domaine d'élasticité, satisfait

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
\mathcal{P}_0[\varepsilon](t) \in K & \text{pour tout } t \in [0, T], \\
\mathcal{P}_0[\varepsilon](0) = \operatorname{Proj}_K(\mathbb{E}\varepsilon(0)), & \\
(\mathbb{E}\varepsilon_t(t) - \mathcal{P}_{0,t}[\varepsilon](t))(\mathcal{P}_0[\varepsilon](t)-y) \ge 0 & \text{presque pour tout } y \in K.
\end{array}
\right.
\tag{4}
$$

Notons que $\text{Proj}_K$ est la projection sur $K$, $\mathbb{E} > 0$ et $\lambda > 0$ sont respectivement les modules d'élasticité et d'écrouissage cinématique.

Sous des hypothèses régularité appropriées sur les données, les résutlats d'existence et d'unicité d'une
solution, pour ce modèle consistant d'un point de vu de la thermodynamique, sont présentés. Plus pré-
cisément, une dicrétisation en espace est introduite et des estimations a priori sont obtenues conduisant
au résultat d'existence. Les estimations a priori découlent de l'estimation d'énergie et de techniques
spécifiques comme l'estimation de Dafermos [2] ainsi que des inégalités d'interpolation de Sobolev
(cf. [1, 3]). Quant au résultat d'unicité, il s'obtient en utilisant les propriétés de Lipschitz continuité des
non–linéarités (cf. [5]).

Références

[1] O. V. BESOV, V. P. IL'IN et S. M. NIKOL'SKII. *Integral Representations of Functions and Imbedding Theorems*. Scripta Series in Mathematics, Halsted Press (John Wiley & Sons), New York–Toronto, Ont.–London, 1978 (Vol. I), 1979 (Vol. II). Russian version Nauka, Moscow, 1975.

[2] C. M. DAFERMOS. Global smooth solutions to the initial-boundary value problem for the equations of one-dimensional thermoviscoelasticity. *SIAM J. Math. Anal.* **13**, 397–408, 1982.

[3] P. KREJČÍ et L. PANIZZI. Regularity and uniqueness in quasilinear parabolic systems. *Appl. Math.* **56**, 341–370, 2011.

[4] P. KREJČÍ et A. PETROV. Existence and uniqueness results for a class of dynamic elasto-plastic contact problems. *J. Math. Anal. Appl.*, **408**(1), 125–139, 2013.

[5] P. KREJČÍ et A. PETROV. Elasto-plastic contact problems with heat exchange. *Nonlinear Anal. Real World Appl.*, **22**, 551–567, 2015.