Afin de voir l'influence de la hauteur de la source, nous avons effectué à nouveau la simulation en plaçant la source émettrice à $H = 1.5$ mètres du sol. L'écoulement est identique au cas présenté précédemment, et les particules considérées ont une vitesse de sédimentation de $v_s = 20 \text{ cm s}^{-1}$.

Sur la figure 5.2, nous avons comparé les flux de particules transportées par l'écoulement, ainsi que les flux déposés pour les deux hauteurs de la source. La diminution de la hauteur de la source a pour effet de diminuer la distance de dispersion. Lorsque le source est placée en $H = 1.5$ mètres, le pourcentage de particules aéroportées décroît très rapidement, et il ne reste environ que 20% de particules dans l'écoulement à 50 mètres de la source. En même temps, les dépôts ont lieu très rapidement, avec des valeurs importantes à proximité de la source lorsqu'elle est positionnée en $H = 1.5$ mètres.

Une source émettrice élevée contribue à augmenter la distance de dispersion des particules. Dans ce cas, le processus de diffusion du panache est peu influencé par les effets qui ont lieu à proximité du sol, et la turbulence contribue à maintenir les particules dans l'air pour les transporter sur de longues distances.

## Influence de la vitesse de frottement

Pour caractériser l'influence de la vitesse de frottement sur le transport turbulent des particules, nous avons à nouveau considéré la source de pollen, de vitesse de chute $v_s = 20 \text{ cm s}^{-1}$, placée à $H = 3$ mètres. Pour des conditions numériques identiques, nous avons modifié la vitesse de frottement. Les valeurs choisies sont égales à $u_* = 0.1 \text{ m s}^{-1}$, $u_* = 0.3 \text{ m s}^{-1}$ et $u_* = 0.7 \text{ m s}^{-1}$ pour une rugosité constante de $z_0 = 0.05 \text{ m}$.

La figure 5.3 représente l'évolution des flux de particules convectées, ainsi que des flux déposés en fonction de la distance à la source pour les trois valeurs de $u_*$. Nous pouvons voir que lorsque la vitesse de frottement augmente, la distance de dispersion s'accroît considérablement. Cela se traduit par des dépôts accrus à proximité de la source lorsque $u_*$ est d'autant plus faible.

Les résultats que nous obtenons là sont contraires aux études expérimentales, qui ont établi que les mécanismes de dépôts sont accentués à proximité du sol, lorsque la vitesse de frottement augmente. Cette différence provient du fait, que l'augmentation du cisaillement pour une même rugosité de surface entraîne un accroissement de la vitesse moyenne du vent, à hauteur de la source. Or, la dispersion atmosphérique résulte d'un transport par diffusion turbulente et par convection. La turbulence et le vent moyen vont accroître les dimensions du panache initial, le diluer et l'entraîner vers des couches
<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>Figure 5.4 : Variations de la concentration au sol en fonction de la distance à la source, pour différentes hauteur de rugosité $z_0$. Source placée en $H = 3$ m, $v_s = 20 \text{ cm s}^{-1}$ et $u_* = 0.3 \text{ m s}^{-1}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>Figure 5.5 : Flux convectifs intégrés et dépôts par mètre (en %). Influence de la rugosité. Les paramètres numériques sont $u_* = 0.3 \text{ m s}^{-1}$, $v_s = 20 \text{ cm s}^{-1}$ et la source est positionnée en $H = 3 \text{ m}$</figcaption></figure>
supérieures, ce qui contribue à diminuer la concentration près du sol, c'est-à-dire les dépôts. La turbulence reste alors l'agent du transport et joue le rôle inverse de celui évoqué ci-dessus, en augmentant la distance de dispersion.

## Influence de la rugosité de la surface

La dispersion des particules au-dessus d'une surface rugueuse est tout particulièrement affectée par les caractéristiques de la surface. Lorsque le sol a une rugosité importante, les particules présentes à proximité du sol impactent sur les éléments constituant cette rugosité. Par suite, les processus de dépôts d'origine turbulent sont accentués.

Pour illustrer l'influence de la rugosité sur la dispersion, nous avons considéré la source de pollen positionnée en $H = 3 m$. Trois hauteurs de rugosité de surface $z_0 = 0.005 m$, $z_0 = 0.05 m$ et $z_0 = 0.1 m$ ont été choisies et correspondent respectivement à la rugosité d'un sol nu, d'une prairie et d'un couvert de blé de $h = 1 m$ de hauteur (dans ce cas, nous avons utilisé la hauteur de déplacement définie par $d = 0.7 h$). La vitesse de frottement est identique pour l'ensemble des simulations, prise à $u_* = 0.3 m s^{-1}$.

Les résultats numériques donnés sur la figure 5.4 représentent la concentration au sol. Ces courbes montrent que l'augmentation de la rugosité de la surface entraîne une augmentation de la concentration maximale au sol. Cette concentration maximale tend également à se rapprocher de la source, lorsque la surface est plus rugueuse. Ces résultats, qui sont d'ailleurs bien établis, restent valables lorsque la source est placée dans la couche de surface où la dispersion des particules est très sensible aux caractéristiques de la surface. Pour des sources placées en hauteur dans la couche limite, ces effets de rugosité sur la dispersion sont alors très atténués [Belot 76].

Enfin, sur la figure 5.5, nous avons représenté les flux convectifs, ainsi que les dépôts par mètre. Les résultats confirment que plus la rugosité est élevée, plus le pourcentage de particules présentes dans l'air diminue rapidement et les dépôts s'accentuent en se rapprochant de la source.

## Conservation des flux

Le dernier volet de cette étude est consacré aux bilans de conservation des flux. Nous avons accordé une attention particulière à vérifier que notre modèle de dispersion est bien conservatif, et qu'aucune perte d'origine numérique n'a été introduite (ou du moins une erreur suffisamment petite pour que les résultats soient valides).
<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>Figure 5.6 : Bilan de conservation des flux. Flux aéroportés et dépôts cumulés rapportés au débit émis par la source</figcaption></figure>
La figure 5.6 regroupe les flux convectifs ainsi que les dépôts cumulés, calculés à toutes les positions du domaine de calcul pour les diverses classes de particules (spores, pollens et graines). En fait, ces courbes font référence aux premières simulations que nous avons présentées (influence de la vitesse de chute). Bien que l'ensemble des simulations aient fait l'objet de cette attention nécessaire, les résultats obtenus sur la figure 5.6 illustrent parfaitement la conservation des flux constatée pour l'ensemble des simulations. Les bilans de flux sont respectés à chaque position de la source, les grandeurs vérifiant la relation 5.5. Enfin, l'erreur globale, calculée à partir de l'équation (3.51) à la section 3.6 est inférieure à E = 0.02% pour toutes les simulations, ce qui est largement appréciable.

5.2.3 Discussion

Nous avons mené une étude numérique qui porte sur la dispersion à courte distance
de particules biotiques dans la couche de surface. Les simulations réalisées avaient pour
objectif de mettre en évidence les paramètres qui interviennent dans le transport atmo-
sphérique, tout en vérifiant la sensibilité du code de calcul vis-à-vis de ces paramètres.

Nos simulations montrent que la dispersion dans l'atmosphère dépend de la vitesse de sédimentation de la particule, de la hauteur de la source, de la turbulence, et enfin des caractéristiques de la surface. Lorsque la source est positionnée à basse altitude, la turbulence tend à accentuer les dépôts, alors que pour une source positionnée à haute altitude, elle contribue à maintenir les particules en suspension et à augmenter la distance de dispersion. Du reste, ces paramètres sont clairement identifiés par l'équation :

$$
x = \frac{\bar{u}H}{v_s} \tag{5.6}
$$

$x$ étant la distance parcourue par la particule depuis la source et $\bar{u}$ la vitesse moyenne de l'écoulement à la source. Bien que cette relation sous-estime fortement la distance de dispersion car elle ne tient pas compte du transport par le mouvement turbulent, elle reste pertinente. Nos résultats numériques sont donc conformes aux résultats classiques établis. Toutefois, nous émettrons quelques critiques à l'égard de nos simulations. Ces critiques vont à l'encontre des simulations consacrées à l'influence de la vitesse de frottement $u_*$ et de la rugosité de surface $z_0$ :

- L'équation (5.6) montre la forte corrélation entre la distance de dispersion et la vitesse de l'écoulement à la source. C'est précisément parce que ces paramètres sont corrélés, que notre étude est « biaisée ». En effet, pour une rugosité de surface
identique, augmenter la vitesse de frottement revient à augmenter le vent à la source. De la même façon, augmenter la rugosité de surface pour une vitesse de frottement donnée, revient à diminuer la vitesse à la source. Il est donc très difficile de mener une étude de sensibilité vis-à-vis de ces grandeurs, en gardant les autres paramètres égaux à eux-mêmes. Finalement, nos simulations mettent plus en évidence l'influence de la vitesse du vent à la source, qui est évidemment un paramètre important, que l'influence réelle de $u_*$ et de $z_0$. Il est possible de refaire ces simulations en fixant une vitesse à la source identique pour tous les cas étudiés et laisser $u_*$ évoluer naturellement avec les diverses rugosités imposées au sol. Dans ce cas, nous serions confrontés à une difficulté supplémentaire ;

- En effet, pour une surface naturellement rugueuse, les dépôts s'accentuent lorsque le cisaillement est suffisamment important, car les particules impactent sur les éléments rugueux. Cette description de l'évolution du champ de concentration, à proximité du sol pour une modélisation dans la couche de surface, passe par l'utilisation de la vitesse de dépôt. Modifier la rugosité de surface, et donc le cisaillement, implique de spécifier une vitesse de dépôt appropriée, différente à priori, selon la surface rugueuse considérée. Or, la vitesse de dépôt est une grandeur difficilement accessible car elle dépend notamment de la structure de la surface rugueuse et de la turbulence. Il n'existe pas à l'heure actuelle de relation complète et universelle qui la relie à l'ensemble de ces grandeurs. C'est pourquoi nous avons supposé une vitesse de dépôt égale à $v_d = 2v_s$ pour l'ensemble des simulations, ce qui est certainement faux pour des rugosités élevées et de forts cisaillements. De plus, elle ne permet pas d'étudier l'influence de $z_0$ et de $u_*$ sur les mécanismes de dépôts puisque $v_d$ est découplée de la dynamique.

Ces considérations soulèvent une fois de plus, la difficulté majeure, rencontrée par un très grand nombre de modèles de dispersion atmosphérique (Lagrangienne, Gaussienne, ou Eulérienne), qui réside dans la modélisation globale des échanges de masse et par conséquent, des dépôts au «sol apparent».

Pour analyser réellement l'influence de la structure de la surface et de la turbulence sur la dispersion atmosphérique, et parallèlement sur les processus de dépôts, nous avons réalisé des simulations à plus petite échelle, à savoir à l'échelle d'un couvert discontinu. La présentation de ces études numériques fait l'objet des parties suivantes. Nous verrons que ces études donnent moyen de pallier la difficulté de modéliser les dépôts au «sol apparent».
car elles permettent de proposer des paramétrages de la vitesse de dépôt en fonction de
la rugosité de la surface et des caractéristiques de l'écoulement turbulent.

5.3 Dispersion de pollen de maïs pour un dispositif dis-
continu

Pour étudier les interactions entre la structure d'un paysage agricole présentant des dis-
continuités végétation-bandes de sol nu, et la dispersion, l'AGPM a mené une expérience
de dispersion de pollen de maïs (Zea maïs) pour un dispositif expérimental discontinu.
Cette campagne visait, plus précisément, à analyser la pollution génétique, associée à une
parcelle émettrice sur une parcelle réceptrice [Klein 00].

Parce que ces préoccupations répondent aux nôtres, nous nous sommes appuyés sur
ces travaux expérimentaux pour réaliser notre simulation numérique. Précisons toutefois
que nous ne disposons pas de résultats expérimentaux quantitatifs qui nous permettent de
valider précisément nos résultats. Cette simulation vise à analyser les mécanismes de dif-
fusion atmosphérique (transport, dépôt) qui interviennent dans un dispositif complexe, tel
qu'il se présente entre des parcelles non homogènes, tout en s'attachant à vérifier que nos
résultats numériques restent conformes qualitativement aux observations expérimentales.

5.3.1 Présentation du dispositif expérimental discontinu

L'expérience réalisée par l'AGPM s'intéresse à la dispersion et la pollution génétique efficace, associée à un champ émetteur marqué, sur un champ récepteur dépourvu du gène marqueur, dans un dispositif discontinu. Ce dispositif est représenté sur la figure 5.7.

Une parcelle émettrice de 20 × 20 mètres constituée de maïs homozygote pour un marqueur dominant codant pour une coloration bleue, est située à 50 mètres d'une parcelle de maïs jaune homozygote pour l'absence de marqueur [Klein 00]. À l'issue de cette expérience, la proportion de grains bleus présents sur les épis du champ de maïs jaune a été dénombrée à proximité de la lisière et permet d'évaluer la contamination génétique efficace du maïs bleu. Une cartographie de cette pollution a été élaborée, ce qui nous a donné la possibilité de comparer qualitativement nos résultats numériques. La dispersion du pollen bleu a également été observée au niveau du sol nu et à des distances supérieures à 500 mètres de la source, mais nous ne disposons d'aucune information à ce sujet.
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>Figure 5.7 : Dispositif expérimental discontinu d'observation de la dispersion du pollen de maïs [Klein 00]</figcaption></figure>

### 5.3.2 Paramètres de simulation

#### Le domaine de calcul

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>Figure 5.8 : Définition du domaine de calcul pour la simulation tridimensionnelle, à hau-
teur du couvert -vue 1</figcaption></figure>

La simulation numérique est réalisée en 3 dimensions. Dans un premier temps, nous avons essayé de modéliser l'écoulement dans la totalité du domaine, tel qu'il est représenté
sur la figure 5.7. Cependant, nous avons été confrontés à un problème de taille mémoire requise pour le déroulement du calcul numérique (une taille mémoire supérieure à 10 Go). Nous avons donc réduit le domaine d'étude, en omettant le champ de maïs disposé de part et d'autre de la parcelle émettrice. Le domaine de calcul retenu est représenté sur la figure 5.8 à hauteur du couvert. Un plan de symétrie vertical passant par le centre du dispositif a été de plus considéré, pour accélérer les temps de calcul. Les dimensions physiques correspondantes à la totalité du domaine de calcul sont une longueur de 210 mètres, une largeur de 40 mètres et une hauteur de 100 mètres.

## Le maillage

La grille de calcul comporte 729000 noeuds avec une répartition de 270 mailles suivant $x$, 30 mailles suivant $y$ et 90 mailles suivant $z$. Ce maillage peut sembler démesuré en vue du domaine physique, qui reste relativement petit. Cependant, résoudre explicitement l'écoulement dans le couvert, restreint considérablement les possibilités de raffinement. En effet, le pas d'espace doit être pris petit, surtout suivant la direction verticale afin de préserver les caractéristiques du couvert. Il semble alors de manière évidente, que la résolution de l'écoulement dans le couvert et dans la couche de surface, nous confronte à des ordres de grandeurs très différents : d'une part, un pas d'espace de l'ordre de $h/10$, pour que l'écoulement dans la végétation reste réaliste. D'autre part, une altitude compatible avec l'application des conditions limites de couche de surface (de l'ordre de 100 mètres en stratification neutre et pour un couvert de faible hauteur).

## Les paramètres physiques

Comme nous l'avons mentionné, nous ne disposons d'aucune information relative aux conditions météorologiques et aux caractéristiques du couvert. Nous avons donc choisi arbitrairement les paramètres physiques nécessaires à la réalisation de cette simulation, en s'attachant toutefois à ce qu'ils soient réalistes :

- Pour l'écoulement turbulent : la vitesse de frottement du vent incident sur la parcelle émettrice est égalée à $u_* = 0.35 \, ms^{-1}$. Le sol nu est caractérisé par une rugosité $z_0 = 0.005 \, m$ et une hauteur de déplacement nulle. L'atmosphère est supposée en neutralité thermique;

- Pour le couvert : le couvert est composé de maïs de hauteur $h = 1.4 \, m$, de coefficient de traînée égal à $C_d = 0.2$ et de densité de surface foliaire frontale variable
suivant z. Ces paramètres sont issus de [Zeng 00]. De plus, nous avons admis que les deux parcelles (maïs bleu et maïs jaune) possèdent des caractéristiques physiques identiques;

- La source de pollen bleu: la dynamique de libération des particules n'étant pas l'objet de notre étude, nous avons fixé à hauteur du couvert, une condition de Dirichlet de telle sorte que la concentration soit constante et représente une source homogène. Cette source étant très artificielle, le champ de concentration obtenu est présenté sous forme adimensionné par rapport à la concentration imposée à la source;

- Pour les particules: la vitesse de sédimentation des particules de pollen de maïs est prise à $20 \, \text{cms}^{-1}$, ce qui demeure une valeur courante. Enfin, pour les dépôts des particules dans le couvert, nous avons considéré que les particules impactent et sédimentent sur la moitié de la densité de surface foliaire frontale. L'efficacité de sédimentation est égale à l'unité (efficacité optimale) et l'efficacité d'impact s'exprime suivant l'expression proposée par [Aylor 82].

### Les conditions aux limites

Le domaine étant défini, les conditions aux limites utilisées sont des conditions classiques :

- Sur la face en entrée du domaine de calcul, le vent et les variables turbulentes sont en équilibre avec la surface amont à la parcelle émettrice. Elles s'expriment comme des fonctions de la vitesse de frottement et de la rugosité du sol (loi logarithmique pour $\bar{u}$ et $\bar{v} = \bar{w} = 0)$;

- Sur la face de sortie et sur la face latérale extérieure, les conditions limites sont de type Neumann homogène pour l'ensemble des variables;

- Les conditions à la limite supérieure du domaine sont de type couche de surface et de loi de paroi à la limite inférieure. La vitesse de dépôt des particules est prise égale à deux fois la vitesse de sédimentation dans la bande de sol nu de faible rugosité, et une fois la vitesse de sédimentation au sol dans le couvert;

- Le plan de symétrie est défini par une condition de Dirichlet appliquée à la composante latérale du vent ($\bar{v} = 0$) et une condition de Neumann homogène pour les
autres variables.

## Le temp CPU

Jusqu'à présent, nous n'avons pas évoqué les temps de calcul nécessaires pour la conversion de la solution numérique. Pour l'ensemble des simulations présentées jusque là, les temps de calculs sont faibles et restent de ce fait, peu remarquables.

Pour la simulation que nous présentons, il est nécessaire de préciser que les temps CPU sont importants. Le calcul numérique a été effectué sur SGI Origin 3000 et a exigé environ 200 heures de temps CPU pour atteindre la solution stationnaire et convergée –la solution est atteinte lorsque la norme de la différence entre deux pas de temps pour chaque variable est inférieure à $10^{-6}$.

### 5.3.3 Résultats numériques : l'écoulement turbulent

Nous exposons ci-dessous les champs aérodynamiques obtenus afin de vérifier que les phénomènes physiques en situation hétérogène sont correctement pris en compte, à l'échelle du couvert discontinu.

Précisons que, pour la portion du domaine confinée entre les plans verticaux passant par $y = 0 \text{ m}$ et $y = -10 \text{ m}$ (figure 5.8), la configuration modélisée est une transition lisse-rugueux (transition sol nu-parcelle émettrice), rugueux-lisse (parcelle émettrice-bande de sol nu) et enfin lisse-rugueux (sol nu-parcelle de maïs jaune). Quant à la portion du domaine comprise entre $y = -10 \text{ m}$ et $y = -40 \text{ m}$, la transition est une transition lisse-rugueux (sol nu-parcelle de maïs jaune).

Pour permettre de visualiser l'écoulement à proximité des deux parcelles de maïs, l'ensemble des champs aérodynamiques sont représentés jusqu'à une altitude équivalente à 6 fois la hauteur du couvert. Nous avons également utilisé deux angles de vue différents : l'angle de vue « 1 » retranscrit l'écoulement au-dessus des deux parcelles et de la bande de sol nu, ce qui correspond à la figure 5.8 et l'angle de vue « 2 » permet de visualiser l'écoulement pour la transition sol nu-maïs jaune.

## Le vent moyen

Les surfaces d'iso-valeurs de la vitesse moyenne horizontale du vent sont représentées sur les figures 5.9 et 5.10, selon les angles de vues prédéfinis :

- Tout d'abord, nous pouvons observer sur les figures 5.9 et 5.10 que dans la sous-
<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>Figure 5.9 : *Surfaces iso-valeurs de la vitesse moyenne horizontale dans et au-dessus du couvert - vue1*</figcaption></figure>

<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>Figure 5.10 : *Surfaces iso-valeurs de la vitesse moyenne horizontale dans et au-dessus du couvert - vue2*</figcaption></figure>
couche rugueuse qui est de l'ordre de 2 fois la hauteur du couvert, l'écoulement turbulent est fortement influencé par le couvert;

- Lorsque le vent incident entre en contact avec la parcelle de maïs bleu, l'écoulement ne contourne pas, ou très peu, le couvert. La figure 5.11 montre que les lignes de courant ne sont pratiquement pas déviées latéralement, la vitesse latérale du vent moyen étant d'un ordre de grandeur inférieur à la vitesse perpendiculaire à la parcelle. Ce point conforte l'observation selon laquelle l'écoulement réagit différemment suivant que l'obstacle soit solide ou poreux. En effet, dans le cas d'un obstacle solide, le fluide est dévié de part et d'autre de l'obstacle. Ce phénomène de contournement s'accompagne d'un écoulement à contre gradient, dont la perte d'intensité permet la mise en place d'un système tourbillonnaire à l'amont, sur les cotés et à l'aval de l'obstacle;

- Lorsque le vent pénètre dans la parcelle de maïs bleu, il s'atténue brusquement en réponse de la force de traînée générée par le couvert végétal. Ce brusque ralentissement entraîne un flux turbulent de quantité de mouvement dirigé vers le haut du couvert (figure 5.12). Dans le couvert, le vent tend alors vers une description exponentielle, mais l'extension spatiale de la parcelle étant relativement faible, il n'est toujours pas développé en bout de couvert;

- Au contact de la bande de sol nu, le vent augmente à nouveau, du fait de l'absence de la force de traînée. C'est la transition rugueux-lisse : l'écoulement se réajuste lentement à cette surface, sans parvenir à un état d'équilibre. Ce retour à l'équilibre est interrompu lorsque l'écoulement rencontre la seconde parcelle, et les processus physiques qui ont lieu pour la transition sol nu-couvert décrits au-dessus sont retrouvés. Finalement, l'extension spatiale de la parcelle de maïs jaune étant suffisamment importante, l'écoulement s'équilibre avec cette surface;

- Sur la figure 5.10, nous avons réduit le nombre d'iso-valeurs pour observer l'écoulement, dans le cas de la transition sol nu-maïs jaune. Ce résultat confirme que dans cette zone, l'écoulement n'est pas influencé par la parcelle émettrice. Le fluide aborde de manière très similaire ces deux transitions.

Enfin, sur la figure 5.9, nous pouvons relever les perturbations de la vitesse moyenne horizontale, qui succèdent aux variations successives de la nature de la surface. Ces pertur-
<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>Figure 5.11 : Lignes de courant et composante latérale du vent moyen près du sol</figcaption></figure>

<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>Figure 5.12 : Lignes de courant et composante verticale du vent moyen à hauteur du cou-vert</figcaption></figure>
bations qui apparaissent à plus grande échelle, mettent en évidence le fait que l'écoulement n'a pas rencontré les mêmes transitions, suivant la largeur du domaine.

## Les variables turbulentes

Les figures 5.13 et 5.14 représentent les surfaces d'iso-valeur de l'énergie cinétique moyenne du mouvement turbulent et les figures 5.15 et 5.16 les surfaces d'iso-valeur du taux de dissipation avec les vues 1 et 2, pré définies au-dessus :

- Lors de la transition sol nu-parcelle émettrice, le ralentissement du vent et le flux turbulent de quantité de mouvement dirigé vers le haut qui se produisent au contact du couvert, sont accompagnés d'une création locale de turbulence. Cette turbulence est générée par cisaillement sur la surface la plus rugueuse. Par conséquent, l'énergie cinétique moyenne du mouvement turbulent ainsi que son taux de dissipation augmentent brusquement. Les figures 5.13 et 5.15 confirment que l'extension longitudinale de cette parcelle ne permet pas la mise en place de la turbulence de couvert;

- Une fois que l'écoulement atteint la discontinuité couvert-sol nu, un phénomène de dépassement des valeurs de l'énergie cinétique s'observe près du sol, dont les valeurs étaient faibles dans le couvert. Ce « overshoot » (valeur très forte en début de la discontinuité) est à l'origine, d'une part du cisaillement généré sur le sol nu et, d'autre part, d'une diffusion turbulente vers le bas de l'énergie cinétique intense qui était créée à hauteur du couvert. Au bout de la bande de sol nu, l'énergie cinétique moyenne du mouvement turbulent demeure supérieure à la valeur imposée à l'entrée du domaine de calcul. Ce résultat confirme donc que l'écoulement n'est toujours pas à l'équilibre avec la nouvelle surface;

- Par ailleurs, le cisaillement produit à hauteur de la parcelle émettrice n'est plus entretenu, et tend à diminuer le long de l'écoulement. La transition couvert-sol nu implique donc une variation d'échelle, qui est très visible sur la figure 5.15 puisque le taux de dissipation diminue brusquement à hauteur du couvert, pour augmenter près du sol. Par suite, l'énergie cinétique du mouvement turbulent diminue plus lentement à cette même hauteur, car elle est peu dissipée. En particulier, cette turbulence est convectée par l'écoulement («bulle» qui apparaît sur la figure 5.15) tout au long de la surface lisse, donc l'extension spatiale ne permet pas de dissiper.
<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>Figure 5.13 : *Surfaces iso-valeurs de l'énergie cinétique moyenne du mouvement turbulent dans et au-dessus du couvert -vue1*</figcaption></figure>

<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>Figure 5.14 : *Surfaces iso-valeurs de l'énergie cinétique moyenne du mouvement turbulent dans et au-dessus du couvert -vue2*</figcaption></figure>
<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>Figure 5.15 : *Surfaces iso-valeurs du taux de dissipation dans et au-dessus du couvert - vue1*</figcaption></figure>

<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>Figure 5.16 : *Surfaces iso-valeurs du taux de dissipation dans et au-dessus du couvert - vue2*</figcaption></figure>
L'écoulement au-dessus de la surface lisse est donc très influencé par la parcelle située à l'amont : il s'agit du phénomène d'advection de petite échelle ;

- Lorsque l'écoulement pénètre dans la seconde parcelle, les phénomènes physiques qui ont lieu pour la transition sol-nu couvert sont retrouvés : création d'une turbulence intense et augmentation de l'énergie cinétique et du taux de dissipation au-dessus du couvert. Cependant, cette seconde transition est caractérisée par une turbulence plus intense, les valeurs de l'énergie cinétique étant supérieures aux valeurs obtenues à la première transition (figure 5.14). Cette augmentation provient d'une part de la création locale de la turbulence au contact du couvert, et s'explique aussi par une diffusion turbulente vers le haut de l'énergie cinétique présente à l'amont, dans la zone de sillage. L'écoulement est donc imprégné des caractéristiques de la surface située à l'amont du couvert : le phénomène d'advection locale est retrouvé. Enfin, la seconde parcelle est suffisamment étendue pour que la turbulence de couvert s'établisse<fnref n="2" /> et qu'une sous-couche en équilibre prenne naissance au sein de la sous-couche rugueuse, l'énergie cinétique étant quasi constante dans la zone située à proximité du couvert ;

- Les figures 5.14 et 5.16 corroborent le fait que dans la zone placée latéralement à la parcelle émettrice, l'écoulement est très peu perturbé par la présence de la parcelle. Le vent incident aborde la parcelle émettrice et la parcelle de maïs jaune de façon similaire, les processus étant retrouvés avec la même intensité ;

À plus grande échelle, toutes les perturbations dues aux discontinuités apparaissent sur les variables turbulentes, avec une répartition latérale différente.

### Point sur les résultats numériques obtenus pour l'écoulement

Tous les résultats confirment que l'écoulement simulé réagit correctement aux discontinuités de surfaces, à petite échelle comme à grande échelle. Il est fort probable que le modèle de turbulence présente les défauts que nous avons identifiés lors des validations. Cependant, les principaux phénomènes physiques qui ont lieu pour cette configuration sont retrouvés :

- À la transition sol nu-maïs bleu, il s'observe un brusque flux de quantité de mouvement dirigé vers le haut et une turbulence intense créée à proximité du couvert ;

<footnote n="2">2. Suivant un processus décrit en chapitre 4.2.2</footnote>
- Dans la clairière constituée par la surface de faible rugosité, l'écoulement est imprégné des caractéristiques de la surface amont. À petite échelle, cela se traduit par l'apparition d'une zone de sillage dans laquelle la turbulence est intense près du sol;

- À la seconde transition sol nu-maïs jaune, la turbulence est localement créée, suivant le même processus, avec toutefois une intensité accrue compte tenu du phénomène d'advection locale, et de mémoire de la turbulence. À grande échelle, cela s'exprime par une répartition latérale différente des perturbations de l'écoulement;

- Enfin, l'extension spatiale de la parcelle permet à la turbulence de couvert de se développer et ainsi à l'écoulement de s'équilibrer. À plus grande échelle, le couvert est ressenti comme une surface rugueuse.

L'écoulement turbulent simulé présente donc tous les critères requis pour poursuivre notre étude. C'est l'objet de la section suivante, qui présente les résultats relatifs à la dispersion des particules de pollen de maïs pour ce dispositif hétérogène.

## 5.3.4 Résultats numériques : la dispersion des particules de pollen

Nous avons simulé la dispersion des particules de pollen pour ce dispositif discontinu. Précisons que tous les mécanismes de dépôt dans la parcelle émettrice sont pénalisés (valeurs nulles) pour permettre de représenter une émission nette en particules.

### Le champ de concentration

Sur la figure 5.17, nous avons représenté dans le domaine de calcul réduit, les surfaces d'iso-valeurs du champ de concentration de pollen, adimensionné par la concentration issue de la parcelle émettrice. Soulignons également que les valeurs inférieures à $1.10^{-4}$ sont omises :

- Tout d'abord, au-dessus de la source, le vent se charge en particules de pollen, ce qui entraîne une augmentation de la concentration dans l'air. Les particules sont donc transportées par le fluide par convection et par diffusion turbulente. Cette diffusion turbulente a lieu verticalement et latéralement. Elle reste toutefois relativement faible latéralement : les particules sont préférentiellement transportées suivant la direction principale du vent, perpendiculaire à la source;
<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>Figure 5.17 : *Surfaces iso-valeurs de la concentration -sans dimension- dans le domaine réduit -vue1*</figcaption></figure>

<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>Figure 5.18 : *Surfaces iso-valeurs de la concentration -sans dimension- -zoom à proximité des transitions*</figcaption></figure>
- Dès que le nuage chargé en particules atteint la bande de sol nu, il est dispersé vers le sol, rendant ainsi le dépôt possible. Ce dépôt très rapide à proximité de la source, est dû d'une part, à la vitesse de sédimentation élevée des particules de pollen qui sont des particules biotiques relativement lourdes. D'autre part, la projection des particules est également renforcée par le phénomène de diffusion turbulente vers le bas, constaté dans cette région de l'écoulement. Par conséquent, la concentration près du sol augmente rapidement à proximité de la source;

- Dans la bande de sol nu, le nuage de particules est diffusé verticalement et s'épuise tout au long de l'écoulement, à une cadence imposée par sa vitesse de chute. Les particules sédimentent donc sous l'action de la gravité, mais également par impact puisque la vitesse de dépôt est activée au sol, qui est considéré comme rugueux. Ceci entraîne une décroissance du pic du profil de concentration et son rapprochement à proximité du sol;

- Au contact de la parcelle de maïs jaune, la figure 5.18 met en évidence deux mécanismes importants. D'une part, elle illustre l'effet de l'augmentation de la rugosité de la surface sur la dispersion verticale des particules. Lorsque l'écoulement rencontre la parcelle de maïs jaune, le vent est brusquement ralenti et les lignes de courant sont déviées vers le haut. Les particules sont légèrement diffusées verticalement, ce qui correspond à une déviation du pic de concentration vers le haut. D'autre part, à l'aval du changement de rugosité, la concentration dans le couvert diminue brusquement. Cette diminution est la conséquence de l'inertie des particules présentes dans cette région de l'écoulement. En effet, du fait de l'inertie qu'elles possèdent, elles ne suivent pas dans leur ensemble cette tendance à diffuser verticalement, et impactent violemment sur les éléments du couvert. Ceci contribue alors à baisser la concentration très rapidement à l'aval de la transition, les particules se déposant à mesure que l'écoulement pénètre dans le couvert.

À partir du champ de concentration, nous avons explicité les flux de particules transportées par l'écoulement ainsi que les flux déposés par rapport à l'émission de la source.

## Les flux et les dépôts

Nous avons calculé à nouveau le flux convectif de masse, intégré sur le plan vertical du domaine et les flux de particules déposées au sol et dans la végétation. Le flux de
<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>Figure 5.19 : Volume de contrôle dans le domaine de calcul. Flux convectif, flux convectif intégré et dépôt au sol</figcaption></figure>

particules convectées dans la direction $x$, passant à travers une face d'un volume de contrôle (figure 5.19) est défini par :

$$J_x(x, y, z) = \bar{u}(x, y, z) \bar{C}(x, y, z)$$

Nous rappelons que le flux convectif dans la direction $x$, intégré et passant à travers chaque surface élémentaire $dS = \Delta y \Delta z$ d'un volume de contrôle (figure 5.19), est calculé en 3 dimensions par l'expression suivante :

$$J_{Ix}(x, y, z) = J_x(x, y, z) \Delta y \Delta z$$

$J_{Ix}$ est ensuite intégré suivant tout le plan vertical du domaine de calcul. En utilisant les notations déjà introduites, le débit solide passant à travers un plan vertical situé à la position $x$, de largeur $\Delta y$ est donné en 3 dimensions par :

$$\Phi_x(x, y) = \int_{z_p}^{z_H} [J_x(x, y, z) \Delta y] dz$$

Comme il a été fait précédemment, nous avons rapporté $\Phi_x$ au débit de la source. Notre source n'étant pas ponctuelle, nous avons recherché la valeur maximale du flux convectif
pour évaluer le débit émis, qui correspond à la position $x_d = 20$ mètres, puisque les dépôts ne sont pas actifs dans la parcelle émettrice :

$$ \Phi_{a\text{éro}}(x, y) = \frac{\Phi_x(x, y)}{\text{Max}[\Phi_x(x, y), 0]} \qquad (5.7) $$

Pour les dépôts des particules, nous avons calculé le flux de particules déposées sur la bande de sol nu, de faible rugosité $F_{ds}$ ainsi que le flux de particules déposées dans la totalité de la végétation $F_{dh}$ :

$$ \begin{aligned} F_{ds}(x, y) &= v_d \bar{C}(x, y, z_p) \\ F_{dh}(x, y) &= \int_{z_p}^{h} \langle \overline{S_p} \rangle (x, y, z) dz + v_s \langle \overline{C} \rangle (x, y, z_p) \\ F_d(x, y) &= F_{ds}(x, y) + F_{dh}(x, y) \end{aligned} $$

où $\langle \overline{S_p} \rangle$ [particule $m^{-3}s^{-1}$] représente le terme puits qui correspond aux dépôts des particules par unité de volume et de temps, à chaque tranche du couvert. $F_d$ est donc le dépôt par unité de surface et de temps qui s'effectue au sol sur la bande rugueuse, dans la végétation par les mécanismes de dépôts par impact et par sédimentation, mais également sur le sol placé sous le couvert puisque $v_d = v_s$. Comme il a été fait précédemment, nous avons adimensionné $F_d$ par :

$$ \Phi_{d\text{épôt}}(x, y) = \frac{F_d(x, y)}{\text{Max}[\Phi_{x,y}(x, y), 0]} \qquad (5.8) $$

$\Phi_{d\text{épôt}}$ [% m$^{-2}$] est le dépôt qui a lieu sur chaque surface $\Delta x \Delta y$ d'un volume de contrôle rapporté au débit de la source.

La figure 5.20 représente le flux de particules aéroportées. Dès que l'écoulement atteint la parcelle émettrice, il se charge en particules. Par suite, le flux augmente pour atteindre sa valeur maximale à la fin de la parcelle émettrice. La dispersion des particules semble suivre une loi normale centrée sur l'axe de la direction du vent. En effet, le flux de particules convectées est maximum dans l'axe de la direction du vent dominant et décroît à mesure que l'on s'éloigne de cet axe. Lorsque l'écoulement atteint la bande de sol nu, le flux diminue rapidement. Cette décroissance est révélatrice du dépôt qui a lieu sur la bande de sol nu.

Sur la figure 5.21, nous avons tracé les flux déposés par unité de surface à différentes distances de la parcelle émettrice. Cette courbe confirme que les dépôts se produisent rapidement à l'aval de la source et tendent à ralentir le long de la bande de sol nu :
<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>Figure 5.20 : Flux de particules aéroportées (intégré) par rapport au débit émis $\Phi_{aéro}(x, y)$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>Figure 5.21 : Dépôts au sol et dans le couvert par unité de surface par rapport au débit émis $\Phi_{dépôt}(x, y)$</figcaption></figure>
les particules ont d'une part sédimenté, donc il reste moins de particules présentes dans l'écoulement, d'autre part, les particules sont dispersées verticalement par l'écoulement, rendant ainsi le dépôt à proximité du sol moins accessible.

Il est particulièrement intéressant de relever sur ces figures, le comportement des flux de particules aéroportées et des dépôts à proximité de la parcelle de maïs jaune. À la lisière, le flux de particules transportées par l'écoulement diminue brusquement, avec une cassure nettement visible sur la figure 5.20. En même temps, les dépôts s'accentuent considérablement, pour atteindre un pic remarquable à la lisière. Les dépôts par impact et par sédimentation sont à l'origine de ce pic, qui rend compte de l'activité des éléments du couvert sur les particules. En aval de la parcelle de maïs jaune, les dépôts diminuent brusquement, du fait de la diminution de la concentration dans le couvert.

En effectuant une sommation des flux sur la toute la largeur du domaine de calcul, nous pouvons vérifier globalement la conservation de masse :

$$ \int_{0}^{L_y} \int_{z_p}^{z_H} J_x(x_d, y, z) \, dz \, dy = \int_{0}^{L_y} \int_{z_p}^{z_H} J_x(L_x, y, z) \, dz \, dy \\ + \int_{0}^{L_y} \int_{x_d}^{L_x} F_{dh}(x, y) \, dx \, dy + \int_{0}^{L_y} \int_{x_d}^{L_x} F_{ds}(x, y) \, dx \, dy $$

Cette équation vérifie que le flux de matière entrant à la position $x_d$ est égale au flux sortant du domaine de calcul et aux dépôts cumulés au sol et dans la végétation. La perte de masse ainsi calculée est inférieure à 0.06%.

### 5.3.5 Comparaison qualitative avec l'expérience

Nous venons de présenter nos résultats issus du modèle numérique. Il en ressort qu'à la transition sol nu-couvert de maïs jaune, les dépôts s'intensifient considérablement à la lisière du champ de maïs jaune.

La figure 5.22 retranscrit la cartographie de la proportion de grains de maïs bleu dans la parcelle de maïs jaune. Il a été constaté qu'une proportion importante de grains de maïs bleu était présente au bord de la parcelle de maïs jaune. La parcelle de maïs jaune étant dépourvue du gène marqueur codant pour une coloration bleu, ce résultat permet d'affirmer que ce sont les particules qui proviennent de la parcelle de maïs bleu, qui se déposent de manière privilégiée au bord du couvert. Afin de comparer qualitativement nos résultats avec ces observations, nous avons tracé à nouveau les dépôts sur la figure 5.23. Cette comparaison nous conforte dans l'idée que nos simulations reproduisent correcte-
<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>Figure 5.22 : Proportions de grains bleus par épi observées dans l'expérience [Klein 00]</figcaption></figure>

<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>Figure 5.23 : Pourcentage du flux de particules déposées par unité de surface (vue de dessus)</figcaption></figure>
ment l'effet de bord, et que les résultats obtenus ne sont pas dus à un artefact numérique.
Nos résultats numériques restent en bon accord avec les observations expérimentales.

5.3.6 Discussion

Nous avons simulé la dispersion atmosphérique de particules de pollen pour un dispo-
sitif de paysage discontinu, en 3 dimensions. Ce dispositif est composé d'un îlot qui émet
du pollen de maïs bleu, séparé par une bande de sol nu, d'une parcelle de maïs jaune. Les
résultats relatifs à la dispersion des particules de pollen montrent que :

- À l'aval de la transition sol nu-végétation, l'écoulement, déséquilibré, s'ajuste à la nouvelle caractéristique de la surface. Cette variation d'échelle entraîne un accroissement du cisaillement à hauteur du couvert. Cette turbulence va donc contribuer fortement aux transferts turbulents dans le couvert en augmentant les processus de dépôt par impact et par sédimentation. Il a été observé expérimentalement que les dépôts ont lieu de manière privilégiée sur la bordure de la parcelle réceptrice. Or, cette région est caractérisée par une turbulence particulièrement violente. Dans notre simulation, l'effet de bord est indéniable puisque les dépôts s'accentuent considérablement pour y atteindre un pic. Les particules s'y déposent donc par les mécanismes de dépôts par impact et par sédimentation;

- D'autre part, cette turbulence est également à l'origine d'un flux turbulent de masse
qui contribue à l'expansion du nuage. À la lisière du champ de maïs jaune, nous
avons pu relever que le nuage de particules est dévié vers le haut. Ceci résulte
d'un flux turbulent de masse dirigé vers le haut qui a lieu dans cette région de
l'écoulement. Ces résultats tendent à confirmer qu'une transition de rugosité de
surface lisse-rugueux a pour effet d'augmenter la diffusion verticale des particules.

Nos résultats numériques permettent de vérifier le bon comportement du code de
calcul, en configuration hétérogène, d'un point de vue qualitatif. Mais surtout, ils mettent
en évidence la forte corrélation entre les dépôts, l'expansion et la turbulence. Parce qu'une
analyse passe nécessairement par une étape de comparaison, nous avons extrapolé ce
dispositif discontinu à des configurations de paysages différents pour apporter des éléments
de compréhension supplémentaires sur la dispersion atmosphérique des particules et en
particulier, le rôle de la structure du paysage. Cependant, compte tenu des temps de calcul
considérables, et du caractère bi-dimensionnel de l'écoulement pour lequel cette simulation
tridimensionnelle n’apporte pas d’éléments pertinents supplémentaires, ces simulations seront traitées en 2 dimensions.

## 5.4 Dispersion pour des dispositifs discontinus différents

Le dispositif expérimental discontinu présenté précédemment a été modifié de telle sorte que diverses configurations sont modélisées à petite échelle. Ces simulations sont traitées de manière à analyser au mieux l’effet de la structure de la surface et la turbulence sur la dispersion.

### 5.4.1 Présentation des dispositifs simulés

<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>Figure 5.24 : Présentation des différentes configurations de paysage simulées. En sombre, la parcelle émettrice, en clair le couvert de maïs jaune. (a) parcelle-sol nu, (b) bande de sol nu de 50 mètres, (c) bande de sol nu de 25 mètres et (d) couvert continu</figcaption></figure>

Nous avons retenu quatre configurations de paysage. Les caractéristiques de chaque dispositif sont schématisées sur la figure 5.24. Pour l'ensemble des configurations simulées,
la parcelle émettrice de 20 mètres de longueur, est placée à 35 mètres de l'entrée du domaine de calcul. Le début de la parcelle émettrice est repérable par l'abscisse $x = 0 m$. À l'aval de la source, nous avons modifié les paramètres de la bande de sol nu, soit :

- Pour la première configuration, la parcelle émettrice est suivie d'une bande de sol nu dont la longueur s'étend jusqu'à la fin du domaine de calcul. La parcelle émettrice constitue un îlot de rugosité;

- La seconde configuration reprend la géométrie que nous avons simulée en 3 dimensions. Une bande de sol nu de 50 mètres sépare la parcelle émettrice de la parcelle de maïs jaune;

- Pour la troisième configuration, nous avons réduit de moitié la longueur de la bande de sol nu. Sa longueur est donc de 25 mètres;

- Pour la dernière configuration, la parcelle émettrice est en contact direct avec la seconde parcelle de maïs jaune: le couvert est donc continu.

Enfin, précisons que, contrairement aux simulations réalisées précédemment, les configurations de cette étude ont été choisies pour que l'émission de la source soit quasi-identique pour toutes les simulations. De plus, puisque l'écoulement et la dispersion des particules sont explicitement résolus dans le couvert, aucune spécification de la vitesse de dépôt n'est nécessaire pour la prise en compte des dépôts dans la surface rugueuse constituée par le couvert. Nous pouvons donc étudier réellement l'influence de la rugosité de la surface et du cisaillement sur les mécanismes de dépôt.

Pour la réalisation de ces simulations, nous avons repris les paramètres physiques et numériques (domaine de calcul, conditions limites) du cas tridimensionnel (section 5.3.2). En revanche, le maillage a été augmenté, puisque la mémoire requise pour ces simulations est bien inférieure à la simulation tridimensionnelle. La grille de calcul retenue, identique pour toutes les configurations, contient 420000 noeuds avec une répartition de 2100 mailles suivant $x$ et 200 mailles suivant $z$.

## 5.4.2 Résultats numériques : l'écoulement turbulent

Les résultats présentés ici font référence à l'écoulement turbulent pour les différentes configurations simulées. Sur la figure 5.25, nous avons représenté la vitesse moyenne horizontale et sur la figure 5.26, l'énergie cinétique moyenne du mouvement turbulent.
<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>Figure 5.25 : Vitesse moyenne horizontale dans et au-dessus du couvert pour les différentes configurations. (a) parcelle-sol nu, (b) bande de sol nu de 50 mètres, (c) bande de sol nu de 25 mètres et (d) couvert continu</figcaption></figure>
<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>Figure 5.26 : Énergie cinétique dans et au-dessus du couvert pour les différentes configurations. (a) parcelle-sol nu, (b) bande de sol nu de 50 mètres, (c) bande de sol nu de 25 mètres et (d) couvert continu</figcaption></figure>
De ces résultats, il apparaît que l’ensemble des processus qui ont lieu pour des situations de paysage hétérogènes sont retrouvés :

- Pour les configurations (a), (b) et (c), le vent à l'aval du couvert augmente progressivement au contact de la bande de sol nu. En même temps, l'énergie cinétique croît à proximité du sol en réponse du cisaillement généré à cette hauteur. Par ailleurs, nous pouvons voir les zones de perturbations dans les basses couches de l'atmosphère, induites par la présence du couvert qui sont convectées et diffusées verticalement à l'aval du saut de rugosité. Ces zones de perturbation qui résultent des changements successifs de rugosité du sol –lisse-rugueux (sol nu-couvert) et rugueux-lisse (couvert-sol nu)– se développent et se rejoignent pour former une poche ou bulle. La zone perturbée de la couche de surface est très visible pour l'énergie cinétique moyenne du mouvement turbulent, dans le cas de la configuration (a) puisque son extension horizontale et verticale n'est pas perturbée par un nouveau changement de rugosité (contrairement aux autres cas, où la présence du couvert de maïs jaune correspond à un nouveau saut de rugosité). Il est à signaler que dans le cadre de ce travail, nous n'avons pas rejoint les travaux de Claussens, qui a étudié les amplitudes horizontales et verticales des perturbations de la couche de surface en situations hétérogènes [Costes 96]. Ceci demeure une des perspectives de nos travaux, à savoir proposer des paramétrages des perturbations de la couche de surface qui apparaissent à grande échelle, en résolvant explicitement l'écoulement dans le couvert;

- Lorsque l'écoulement rencontre la seconde parcelle, c'est-à-dire pour les configurations (b) et (c), sa présence empêche l'écoulement de se développer, et l'écoulement est déséquilibré à nouveau. À cette transition, le vent s'atténue dans le couvert et s'ajuste rapidement à la nouvelle surface. L'énergie cinétique s'intensifie à hauteur du couvert, où une certaine quantité de turbulence est générée. L'extension spatiale de la parcelle de maïs jaune est suffisamment grande pour permettre à la turbulence de couvert de se mettre en place;

- Enfin, pour la transition lisse-rugueux –cas (d)– l'écoulement s'équilibre avec la surface rugueuse constituée par le couvert. Nous pouvons visualiser la présence d'une couche interne qui se développe au-dessus du couvert. L'énergie cinétique est maximum au-dessus du couvert, où la turbulence est produite de manière prépondérante.
### 5.4.3 Résultats numériques : la dispersion des particules

Nous avons simulé la dispersion des particules de pollen issues de la parcelle émettrice pour les diverses configurations. Cette section regroupe les résultats des champs de concentration obtenus. Dans un second temps, nous avons calculé les flux de particules transportées par l'écoulement dans le domaine ainsi que les flux déposés. Enfin, nous avons vérifié que les bilans de flux se conservent à chaque section du domaine, pour tous les cas étudiés.

#### Les champs de concentration

La figure 5.27 regroupe les iso-valeurs des champs de concentration obtenus numériquement. Nous avons utilisé une échelle d'iso valeurs et donc de couleur identique pour l'ensemble des configurations. De plus, comme il a été fait précédemment, les valeurs inférieures à $10^{-4}$ sont omises.

Juste au-dessus de la parcelle émettrice, les conditions de diffusion sont quasiment identiques pour toutes les configurations. L'écoulement n'est pas affecté par la configuration aval. En revanche, à l'aval de la source, la dispersion des particules est bien différente, puisque les positions des iso-valeurs du champ de concentration varient suivant le dispositif :

- Pour la configuration (a), la dispersion des particules a lieu uniquement sur la bande de sol nu. Le nuage de particules diffuse et le pic de concentration maximale se rapproche du sol. Par conséquent, le panache s'épuise à la cadence de la vitesse de dépôt imposée au sol, pour représenter le dépôt qui s'effectue sur cette surface rugueuse. Nous remarquons que ce dépôt contribue à situer le maximum de concentration à proximité du sol;

- Pour les configurations (b) et (c), le dépôt sur la surface constituée par la bande de sol nu est retrouvé. Les particules se déposent au fur et à mesure que l'écoulement balaie la bande de sol nu. À la transition sol nu-végétation, les particules sont d'une part diffusées vers le haut, d'autre part du fait de leur inertie, impactent à la lisière. Ceci contribue donc à diminuer la concentration dans le couvert puisque les particules se déposent sur la végétation. Ce dépôt est alors à l'origine d'un gradient de concentration qui s'établit à l'interface couvert-atmosphère, avec une valeur maximale qui n'est plus située à proximité du sol, mais à hauteur du couvert;
<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>Figure 5.27 : Iso-valeurs de la concentration pour les différentes configurations. (a) parcelle-sol nu, (b) bande de sol nu de 50 mètres, (c) bande de sol nu de 25 mètres et (d) couvert continu</figcaption></figure>
- Enfin, pour la configuration (d) de couvert continu, le gradient de concentration verticale s'établit immédiatement, les particules étant en contact direct avec la parcelle de maïs jaune. Les dépôts dans la végétation ont lieu très rapidement.

Nous pouvons également observer sur la figure 5.27, que la dispersion verticale des particules est légèrement plus importante, lorsque la surface est constituée par le couvert de maïs. En effet, à la dernière position du domaine d'étude, il apparaît que le panache, qui s'étend jusqu'à une altitude proche de 22 mètres, est moins diffusé verticalement pour la configuration (a) parcelle-sol nu, que pour les autres configurations. Nous avons donc tracé l'évolution longitudinale de la concentration à l'altitude $z = h$ et $z = 4h$, depuis la bande de sol nu sur la figure 5.28.

<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>Figure 5.28 : Profils horizontaux de la concentration en $z = h$ à gauche et en $z = 4h$ à droite</figcaption></figure>

Pour toutes les configurations, nous observons sur la figure 5.28, une décroissance de la concentration le long de l'écoulement, à hauteur du couvert ($z = h$). Cette décroissance est plus ou moins rapide suivant la configuration. Nous reviendrons plus en détail sur l'analyse des dépôts, avec les courbes de flux de particules aéroportées et déposées. Il est intéressant de relever l'allure des profils horizontaux de concentration pour $z = 4h$ (figure 5.28). À cette hauteur, la distribution de la concentration est sensible à la rugosité de la surface et aux transitions rencontrées par l'écoulement. Dans le cas (a) et (d), l'écoulement ne rencontre pas de transitions, la surface disposée en aval de la parcelle émettrice étant homogène. Les profils horizontaux de la concentration ont une allure comparable, avec néanmoins des valeurs supérieures à proximité de la source lorsque le sol est constitué par la végétation et inférieure au-delà (cas (d)). Ce résultat rejoint l'observation que
nous avons émise, à savoir, une augmentation de la rugosité de la surface a pour effet d'augmenter la dispersion verticale des particules et d'accroître la dimension du panache. C'est par ailleurs ce qui s'observe sans aucune ambiguïté pour les profils horizontaux de la concentration pour les cas (b) et (c), où l'écoulement subit les transitions sol nu-végétation. À l'aval des transitions, la concentration augmente du fait de l'augmentation de la rugosité, et par conséquent, du fait de l'augmentation de la vitesse de frottement et de l'intensité turbulente.

### Les flux et les dépôts

Une fois les champs de concentration obtenus, nous avons comparé les évolutions des flux de particules convectées par la vitesse moyenne horizontale sur la figure 5.29, ainsi que les flux de particules déposées sur la figure 5.30, rapportés à l'émission de la source. Ces flux sont calculés de façon identique aux simulations précédentes (se référer aux équations (5.2) et (5.3)).

Conformément aux profils horizontaux de la concentration tracés à hauteur du couvert, la proportion des particules présentes au sein de l'écoulement, donc les flux de particules aéroportées, décroît le long du domaine. Ceci résulte des dépôts des particules.

Dans le cas du couvert continu, cette décroissance se fait de manière plus rapide, puisque les particules se déposent activement dans la végétation. À l'extrême, lorsque la surface à l'aval de la source est composée du sol nu de plus faible rugosité, le pourcentage de particules aéroportées est plus élevé en sortie de domaine. Compte tenu du fait que la vitesse de l'écoulement à la source (dont nous avons évoqué l'importance) est quasi identique pour ces deux simulations, nous pouvons donc conclure que les dépôts s'accentuent lorsque la rugosité de surface augmente. Ces résultats rejoignent totalement les courbes des flux de particules déposés, dont nous pouvons voir d'une part, des dépôts accrus dans le cas du couvert continu, et d'autre part, un rapprochement vers la source du maximum de dépôt.

Dans le cas des transitions sol-nu couvert végétal, pour les configurations (b) et (c), la proportion de particules présentes au sein de l'écoulement est identique à l'amont des transitions. Le transport turbulent des particules n'est pas influencé par les transitions de surface situées à l'aval. Aux transitions, les flux aéroportés chutent brusquement. Parallèlement, cette diminution s'accompagne d'une augmentation des flux de particules déposés, dont nous retrouvons les pics importants à la lisière. Les particules se déposent donc par les mécanismes d'impact et de sédimentation dans le couvert, avec un dépôt accru à la
<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>Figure 5.29 : *Flux de particules aéroportées (intégré), par rapport à l'émission de la source (en %)*</figcaption></figure>

<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>Figure 5.30 : *Flux de particules déposées au sol et dans le couvert, par rapport à l'émission (en %/m)*</figcaption></figure>
lisière.

D'autre part, dans le cas où la lisière est positionnée en $x = 45$ mètres, c'est-à-dire pour la configuration (c), le flux de dépôt est plus important que pour la configuration (b) (lisière positionnée à $x = 70$ mètres). La transition étant plus rapprochée de la source, il en découle que la proportion de particules présentes au sein de l'écoulement est plus grande, par conséquent, les dépôts sont plus importants, puisque plus de particules peuvent s'y déposer.

### Conservation des flux

<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>Figure 5.31 : Bilan de conservation des flux. Flux de particules aéroportées (trait plein) et dépôts cumulés (pointillés), rapportés au débit émis par la source</figcaption></figure>

Le dernier résultat présenté dans cette partie est consacré à la vérification de la conservation des flux. Nous avons tracé sur la figure 5.31, les flux convectifs de particules (inté-
grés) rapportés à l'émission de la source, ainsi que les dépôts cumulés, qui correspondent au flux déposé, intégré sur toute la longueur du domaine de calcul depuis la source.

Nous rappelons que les bilans de flux sont conservés à chaque section, si la relation suivante est vérifiée :

$$ \int_{x_d}^{x} \Phi_{\text{dépôt}}(x) \, dx = 1 - \Phi_{\text{aéro}}(x) \qquad (5.9) $$

$x_d$ étant l'abscisse à laquelle les dépôts sont activés et correspond à la position $x_d = 20$ mètres. $\Phi_{\text{dépôt}}$ est le flux de particules déposées au sol et dans la végétation.

Ces courbes confirment que les bilans de flux sont, pour toutes les configurations, respectés. L'erreur globale a été évaluée, et a permis d'établir qu'une perte d'origine numérique inférieure à $E = 0.06\%$. À noter que pour la configuration de couvert continu, cette perte est bien inférieure, puisque les dépôts des particules dans le couvert sont modélisés par le biais d'un terme puits volumique.

Nous pouvons également constater que les dépôts cumulés augmentent au fur et à mesure que la configuration tend vers un couvert continu. Enfin, cette augmentation s'accompagne d'un rapprochement vers la source de l'intersection des deux courbes (qui correspond à 50 %). Les dépôts se rapprochent de la source lorsque la rugosité de la surface augmente ou que l'écoulement rencontre une transition de surface.

### 5.4.4 Résultats numériques : les vitesses de dépôt

Nous abordons la dernière partie de nos résultats, qui nous apparaît comme étant la plus intéressante, et paradoxalement la plus incertaine. En effet, nous avons calculé la vitesse de dépôt pour toutes les configurations simulées. La vitesse de dépôt est par définition, la vitesse à laquelle les particules se déposent. Nous avons établi, aussi bien à travers nos résultats obtenus jusqu'ici, qu'à travers la partie bibliographique, que les mécanismes de dépôt sont accentués, lorsque le vent et la vitesse de frottement augmentent. En effet, lorsque le vent est faible, le mécanisme de dépôt est principalement dû à la sédimentation. L'augmentation de la vitesse de frottement contribue à accroître les échanges turbulents et les dépôts à travers le mécanisme d'impact.

La vitesse de dépôt dépend donc de nombreux paramètres, puisque son origine est reliée à la turbulence, qui intensifie les échanges, à la structure de la surface rugueuse, sur laquelle les particules impactent, et enfin à la caractéristique de la particule, c'est-à-dire sa vitesse de sédimentation. Parce qu'elle dépend de tous ces paramètres, elle est difficilement accessible. La résolution explicite de l'écoulement à l'échelle d'un couvert
permet alors d'accéder à sa valeur, qui contient toutes ces informations.

Pour le calcul de $v_d$ en configurations hétérogènes, il est nécessaire de dissocier le couvert, de la bande de sol nu :

- Dans le couvert, la vitesse de dépôt dans la totalité de la végétation encore nommée vitesse intégrale de dépôt, est définie par [Belot 76] :

$$v_d(x) = \frac{1}{\langle \overline{C} \rangle (x, h)} \int_{z_p}^{h} \langle \overline{S_p} \rangle (x, z) dz + \frac{F_{dhs}(x)}{\langle \overline{C} \rangle (x, z_p)} \quad (5.10)$$

$\langle \overline{S_p} \rangle$ [particule $m^{-3}s^{-1}$] est le terme puits qui correspond aux dépôts des particules par unité de volume et de temps, dans le couvert. $F_{dhs}(x)$ correspond au flux de particules déposées au sol sous le couvert.

- Dans la bande de sol nu de faible rugosité, la vitesse de dépôt est directement reliée à la connaissance du flux de dépôt $F_{ds}$ et de la concentration près du sol :

$$v_d(x) = \frac{F_{ds}(x)}{\overline{C}(x, z_p)} \quad (5.11)$$

Sur la figure 5.32, nous avons tracé et comparé les vitesses de dépôts calculées par les expressions présentées ci-dessus :

- Pour le dispositif (a), la vitesse de dépôt calculée est constante. Elle correspond à la valeur imposée en condition limite puisque nous avons considéré que dans la bande de sol nu, $v_d$ valait deux fois la vitesse de sédimentation (avec $v_s = 20 \text{ cms}^{-1}$) comme l'a suggéré [McCartney 90]. Nous pouvons vérifier de plus, que les conditions aux limites sont très bien appliquées. À noter toutefois que cette valeur nous semble très surestimée pour un sol de faible rugosité ;

- Pour le dispositif (d), pour lequel l'écoulement ne rencontre pas de transition de surface, la vitesse de dépôt calculée croît rapidement depuis la source, pour atteindre une valeur constante. Cette vitesse de dépôt résulte des mécanismes de dépôts évoqués précédemment, c'est-à-dire le dépôt par impact et par sédimentation. Sa valeur «englobe» donc tous les paramètres qui entrent en compte dans ces processus. Nous constatons que sa valeur à l'équilibre, proche de $v_d = 68 \text{ cms}^{-1}$ est effectivement supérieure à la vitesse de sédimentation de la particule et à la vitesse de dépôt dans la bande de sol nu. De plus, elle reste très physique, car comparable aux ordres de grandeurs établis pour les particules de pollen de maïs sur des surfaces rugueuses (tableau 2.4) ;
<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>Figure 5.32 : Vitesse de dépôt pour les différentes configurations de dispositif</figcaption></figure>

- Pour les dispositifs (b) et (c), pour lesquels l'écoulement rencontre une transition sol nu-végétation, le comportement des vitesses de dépôt s'identifie fortement avec celui de la vitesse de frottement pour ces mêmes transitions. En effet, dans le cas d'un changement de rugosité lisse-rugueux, la vitesse de frottement augmente brusquement à la transition, décroît pour tendre vers une valeur asymptotique, ce qui dénote le retour à l'équilibre de l'écoulement avec la nouvelle surface. De manière très analogue, $v_d$ est constante à l'amont de la transition et égale à sa valeur spécifiée dans la bande de sol nu. Au saut de rugosité, elle augmente brusquement pour atteindre un pic remarquable. Ce pic est suivi d'un déficit puis augmente à nouveau pour tendre vers sa valeur asymptotique. En particulier, cette valeur asymptotique est identique à la valeur acquise dans le cas du couvert continu. Ceci est très cohérent et satisfaisant, puisque loin de la discontinuité, dès lors que l'écoulement s'équilibre avec le couvert, la turbulence de couvert se met en place. Par conséquent, cette turbulence intensifie les échanges turbulents, puisque caractérisée par un fort cisaillement au-dessus du couvert, et la vitesse de dépôt tend vers sa valeur d'équilibre.

Nous observons que l'évolution de $v_d$ pour ces deux configurations est très similaire, avec toutefois des différences de l'intensité du pic mais qui reste du même ordre de
grandeur, du déficit et la distance à laquelle $v_d$ retrouve sa valeur asymptotique. Dans le cas de la configuration (c), le pic est légèrement inférieur, le déficit moins marqué et enfin, la valeur asymptotique de $v_d$ est très rapidement atteinte.

Pour la configuration (c), à la transition, les dépôts dans le couvert sont en fait supérieurs à la configuration (b), contrairement à ce que laisse entrevoir la figure 5.32. Cependant, la concentration à hauteur du couvert étant également supérieure, le pic atteint par la vitesse de dépôt est par conséquent moins marqué, puisqu'elle varie comme l'inverse de $\langle \overline{C} \rangle (x, h)$. Bien que ce résultat soit un peu étonnant, nous pensons qu'il s'explique simplement parce que la vitesse de dépôt est la constante de proportionnalité qui relie la quantité de particules déposées à la concentration prise à hauteur du couvert. La concentration étant plus importante que pour le cas (b), la vitesse de dépôt est donc légèrement inférieure. En même temps, en poursuivant l'analogie avec la vitesse de frottement, nous entrevoyons que le pic de $v_d$ tend à être moins marqué à mesure que la bande de sol nu diminue, et que la surface tend à être homogène, de la même façon que la vitesse de frottement.

En ce qui concerne le déficit qui s'observe sur les deux courbes, nous pensons qu'il résulte du phénomène de « undershoot » des variables turbulentes. Juste à l'aval de la discontinuité, l'énergie cinétique et le vent moyen atteignent des valeurs inférieures à leur valeur d'équilibre de couvert, ce qui peut contribuer à affecter le mécanisme d'impact. Ce phénomène serait alors plus marqué du fait de l'extension plus grande de la bande de sol nu pour la configuration (b). Ceci peut également s'expliquer par la brusque diminution des particules disponibles pour les dépôts à l'aval de la transition, en raison des dépôts intenses qui ont lieu à la lisière.

Enfin, pour la configuration (c), le cisaillement convecté à plus grande échelle conserve une valeur très proche de celle acquise dans la parcelle placée à l'amont, car peu dissipée. Cette turbulence à grande échelle permet un retour plus rapide de la turbulence de couvert que pour le cas (b). Par conséquent, elle accélère la mise en place des structures turbulentes efficaces pour les transferts turbulents dans le couvert. La distance à laquelle la vitesse de dépôt atteint sa valeur asymptotique est donc inférieure à la configuration (b).

À notre connaissance, aucune courbe de l'évolution de la vitesse de dépôt pour une configuration de paysage discontinu n'est établie dans la littérature. Il nous est donc très difficile de juger de la validité des résultats obtenus pour $v_d$, en particulier à la lisière, où
elle atteint un pic très élevé. Néanmoins, le comportement de $v_d$ à la lisière retranscrit remarquablement les processus physiques qui ont lieu dans cette région caractérisée par une turbulence très violente. Loin de la discontinuité, tout porte à croire que la valeur de $v_d$ est très réaliste.

### 5.4.5 Discussion

Nous avons simulé la dispersion de particules de pollen de maïs pour différentes configurations de paysage, à petite échelle. L'objectif de cette étude était d'apporter des éléments de compréhension supplémentaire sur la dispersion des particules. Nous avons étudié quatre configurations de dispositifs : deux configurations de surfaces homogènes (sol nu et couvert végétal) et deux configurations de surface hétérogènes. Ces configurations permettent d'analyser l'influence de la structure du paysage et de la turbulence sur la dispersion atmosphérique pour deux raisons : d'une part, parce que l'écoulement à hauteur de la parcelle émettrice est quasi-identique pour tous les dispositifs, mais surtout parce que la résolution explicite de l'écoulement turbulent dans la sous-couche rugueuse, nous affranchit de l'application d'une vitesse de dépôt arbitraire. Les dépôts des particules sont pris en compte par le biais d'un terme puits, explicitement calculé et qui est couplé à l'écoulement et à la structure du couvert.

Les résultats relatifs aux champs aérodynamiques et aux champs de concentration montrent que dans le cas d'une rugosité élevée, ou lorsque l'écoulement rencontre une transition lisse-rugueux, la turbulence est intense à hauteur du couvert et à proximité de la lisière, et les transferts turbulents efficaces sont accrus. Cette accroissement de la turbulence favorise la dispersion verticale des particules, mais également les dépôts. En effet, les courbes de flux de particules aéroportées et de flux de particules déposées, montrent sans aucune ambiguïté que l'augmentation de la vitesse de frottement contribue à accentuer les dépôts d'origine turbulente.

La dernière partie de cette étude a été consacrée au calcul de la vitesse de dépôt pour l'ensemble des dispositifs. Bien que nous ne disposions pas de référence similaire, nous avons jugé intéressant de présenter ces résultats que nous avons tenté au mieux de commenter. De ces résultats, nous retiendrons surtout la forte analogie qui réside entre le comportement de la vitesse de frottement et de la vitesse de dépôt après une transition de surface sol nu-couvert. Or, de nombreux auteurs explicitent la vitesse de dépôt comme une fonction de la vitesse de frottement car [Chamberlain 67] a démontré la forte corrélation.
Tout porte alors à affirmer que nos résultats sont très cohérents.

## 5.5 Conclusion

Ce chapitre avait pour objectif d'analyser les interactions entre la structure d'un paysage, la turbulence et la dispersion atmosphérique des particules biotiques. Pour cela, nous avons réalisé plusieurs simulations numériques à différentes échelles.

Les premières simulations ont porté sur la dispersion de particules biotiques, dans la couche de surface. Les caractéristiques des surfaces étudiées ont été introduites par le biais des paramètres de rugosité dynamique et de la hauteur de déplacement. Des résultats obtenus, nous avons identifié les paramètres qui influencent le transport turbulent des particules biotiques. En particulier, nous avons montré le rôle important de la vitesse de sédimentation des particules. Les particules dont la vitesse de sédimentation est faible ont un potentiel de dispersion particulièrement élevé puisque leurs mouvements sont dominés par le mouvement turbulent de l'écoulement. Ce paramètre est incontestablement à prendre en compte dans l'équation d'advection-diffusion pour les particules biotiques. Nous avons également vu le rôle important de la position de la source qui détermine l'expansion et la dilution initiale du panache.

Pour étudier l'influence de la structure du paysage et de la turbulence sur la dispersion atmosphérique, nous avons réalisé des simulations à plus petites échelles, qui s'appuient sur la résolution explicite de l'écoulement turbulent dans la sous-couche rugueuse. Pour cette étude, nous avons procédé en deux étapes. La première étape a consisté à simuler l'expérience de dispersion de pollen de maïs pour un dispositif discontinu de l'AGPM. Les résultats obtenus, conformément aux observations expérimentales, montrent que le dépôt des particules par les mécanismes d'impact et de sédimentation a lieu de manière accrue à la lisière de la parcelle réceptrice, cette zone étant caractérisée par une pollution génétique importante.

Dans un second temps, nous avons extrapolé cette simulation numérique de référence à des configurations de dispositifs différents, réalistes et complexes. La comparaison de nos résultats numériques nous a permis de mettre en évidence que l'effet d'une augmentation de rugosité de surface ou d'une transition, est d'augmenter la dispersion verticale des particules, et parallèlement d'accroître les dépôts d'origine turbulente. Ces manifestations, qui sont finalement très proches étant la conséquence des mêmes phénomènes, résultent des forts transferts turbulents qui ont lieu aux transitions sol nu-maïs et au sommet du
couvert. Enfin, ces simulations nous ont permis de comparer la vitesse de dépôt calculée pour tous les dispositifs. L'évolution de la vitesse de dépôt s'identifie à celle de la vitesse de frottement. À la transition, la vitesse de dépôt atteint un pic qui résulte des dépôts importants qui se produisent à la lisière, et tend à atteindre une valeur «d'équilibre» loin de la transition.

En conclusion, cette première étude dans son ensemble est intéressante. À cela, il est nécessaire de faire deux remarques importantes.

Nous avons établi, que l'effet d'une augmentation de la rugosité est d'augmenter la dispersion verticale du panache, et d'accroître les dépôts. En même temps, et de manière cruciale, cette expansion entraîne les particules vers des couches supérieures, où les effets de surface sont faiblement ressentis. Par conséquent, la dispersion horizontale des particules est accrue. Notre modèle ne peut donner d'information sur les distances de dispersion qui en découle. C'est pourtant le devenir de cette fraction, même infime, de particules transportées par l'écoulement qui intéresse souvent.

Enfin, les dépôts dans la couche de surface sont pris en compte par le biais de la vitesse de dépôt, alors que son expression n'est pas explicitement établie, du fait de la complexité des paramètres mis en jeu. La résolution de l'écoulement dans le couvert nous permet d'accéder à la vitesse de dépôt. La modélisation à cette échelle apparaît comme étant très puissante et pertinente. En effet, le modèle de dispersion à cette échelle trouverait un intérêt capital de par les informations qu'il permet d'intégrer, liés en particulier à la vitesse de dépôt.
Conclusion Générale et Perspectives

L'étude pour la prédiction de la dispersion atmosphérique de particules biotiques est devenue une grande priorité pour deux raisons essentielles. La dispersion des agents phyto-pathogènes est intimement liée à l'expansion des maladies végétales, et sa compréhension constitue la clé de voûte de l'épidémiologique. De manière cruciale, l'adoption d'organismes génétiquement modifiés, dans nos pratiques agricoles, et leur dissémination dans l'environnement entraîne un risque non évalué sur notre écosystème, lié aux flux de gène entre des espèces apparentées. Pour répondre à un besoin certain, qu'il soit en terme de stratégie d'aménagement durable du territoire ou en terme de stratégie de prévention de la «contamination génétique», la modélisation numérique de la dispersion atmosphérique des particules biotiques peut se révéler un outil puissant.

Nous avons présenté l'état d'avancement de notre projet de développer un modèle de dispersion atmosphérique appliqué spécifiquement aux particules biotiques. L'accent a été mis sur l'élaboration d'un modèle numérique capable à terme, d'intégrer un système de cultures complexe pour contribuer à l'analyse de l'influence de sa structure sur la diffusion atmosphérique des particules. Notre motivation finale est d'apporter des éléments supplémentaires pouvant contribuer à une limitation de la pollution génétique associée au flux de gène.

L'approche adoptée a été de développer en parallèle, deux systèmes d'équations pour prendre en compte les processus physiques mis en jeu dans la dispersion des particules, à deux échelles différentes du problème : à grande échelle dite du paysage et à plus petite échelle, celle d'un couvert homogène, hétérogène ou discontinu.

Le travail a consisté à adapter le code de calcul de mécanique des fluides existant au problème spécifique de la couche limite atmosphérique. Le modèle dynamique utilise les équations de Reynolds simplifiées dans le cadre des hypothèses de Boussinesq et la turbulence est traitée à l'aide des modèles $k-l$ et $k-\epsilon$. La température, qui joue un
rôle important dans les échanges turbulents atmosphériques est décrite par l'équation de l'énergie. Pour prendre en compte les transferts turbulents entre la surface apparente et l'atmosphère, supposés s'effectuer dans la couche limite de surface, nous avons défini suivant la théorie de similitude de Monin et Obukhov des conditions aux limites implicites de type Fourier généralisées.

Les premières simulations, en 2 et en 3 dimensions, visaient à étudier les perturbations de l'écoulement liées à des transitions simples de rugosité dynamique. Les résultats obtenus sont très satisfaisants. Nous retiendrons surtout que le modèle permet de reproduire le phénomène d'advection de petite échelle, qui s'observe dans le cas de surface présentant une hétérogénéité. La loi de paroi dynamique couplée au modèle de turbulence permet une modélisation à grande échelle, et répond ainsi au premier objectif fixé.

Puisque la dispersion des particules biotiques est un processus d'échange entre l'atmosphère et la végétation, nous nous sommes intéressés à la description explicite de l'écoulement dans la sous-couche rugueuse. Cette étape a exigé, en plus d'une recherche bibliographique approfondie en raison de la spécificité de la turbulence de couvert, l'introduction d'un opérateur moyenne spatio-temporelle pour décrire les grandeurs turbulentes qui valient fortement dans l'espace, car les éléments du couvert jouent le rôle de sources/puits de matière, de quantité de mouvement, et impliquent une activité visqueuse à des échelles plus grandes que la micro-échelle de Kolmogorov. Un modèle dynamique de canopée basé sur un modèle turbulent de type $k-\epsilon$ a donc été développé et a enrichi le code de calcul.

Les premières simulations à petite échelle ont consisté à valider le modèle de canopée en situation homogène, loin d'une discontinuité. Plus qu'une validation, cette phase s'est révélée nécessaire, car l'équation d'évolution du taux de dissipation est empreinte d'un fort empirisme. En effet, la modélisation des nombreux termes qui gouvernent l'équation de bilan du taux de dissipation s'appuie sur la cascade énergétique de Kolmogorov qui, dans le cas d'un couvert, est accélérée. À l'issue d'une étude de sensibilité numérique, les constantes empiriques ont été calées et le modèle ainsi défini a fait preuve d'un bon comportement pour l'ensemble des variables turbulentes. Cependant, nous avons également montré la sensibilité du modèle vis-à-vis du choix des constantes empiriques, et le caractère non universel de ces constantes.

Dans l'étape suivante, nous nous sommes intéressés à simuler des écoulements pour des configurations hétérogènes plus complexes, faisant intervenir des transitions végétation-clairière-végétation. Nos résultats montrent que dans le cas de la transition végétation-sol
nu, le modèle reproduit fidèlement les phénomènes physiques qui apparaissent : phénomène de « overshoot» des variables turbulentes après la transition et advection de petite échelle du cisaillement intense et de l'énergie cinétique, qui sont générés à hauteur du couvert amont. La transition sol-nu végétation est plus délicate à simuler, car la turbulence est violente, particulièrement intermittente juste l'aval de la lisière. Du reste, c'est cette turbulence qui permet à l'écoulement turbulent de s'équilibrer avec le couvert puisque la turbulence de couvert est principalement transportée et non créée localement. Les résultats sont toutefois remarquables, le phénomène de «undershoot» des variables turbulentes étant retrouvé mais décalé spatialement –ce qui explique aussi des distances supérieures pour le retour à l'équilibre. Ces résultats sont conformes au choix du modèle de turbulence qui est connu pour sa difficulté à reproduire une turbulence très intermittente. Le bon comportement général du code de calcul permet de répondre au deuxième objectif que nous nous sommes fixés : simuler des hétérogénéités, comme elles peuvent apparaître dans un paysage agricole.

La dernière phase de ce travail a concerné l'élaboration du modèle de dispersion des particules. Nous avons choisi une approche monophasique eulérienne qui considère les particules dans l'écoulement comme un champ de concentration continu, dont l'évolution est décrite par l'équation turbulente de convection-diffusion. La vitesse de sédimentation a été rajoutée pour prendre en compte la forme et les caractéristiques aérodynamiques de la particule biotique. Sous cette forme, l'équation avec une condition de dépôt au sol, permet de modéliser la dispersion des particules dans la couche limite. En revanche, dans le couvert végétal, l'équation ne peut décrire le champ scalaire puisque les éléments du couvert jouent le rôle de sources/puits de matière. Nous avons donc explicité l'activité des éléments du couvert sur le champ particulaire (en omettant cependant la libération passive ou la remise en suspension des particules) à travers un terme puits volumique. Ce terme prend en compte explicitement les dépôts par sédimentation et par impact qui ont lieu sur les éléments du couvert.

Pour valider cette approche, nous avons réalisé une simulation qui porte sur la dispersion de *Lycopodium* dans un couvert d'orge présentant une certaine hétérogénéité verticale. Nos résultats numériques, proches des résultats expérimentaux, ont permis de mettre en évidence le rôle prépondérant du dépôt par impact dans la partie supérieure du couvert, où l'écoulement est le plus turbulent, et le rôle majeur de la sédimentation dans la partie basse du couvert.
Enfin, en dernière partie de ce mémoire, nous avons réalisé plusieurs simulations nu-
mériques qui visaient à analyser les processus qui interviennent dans la dispersion at-
mosphérique de particules, pour des cas concrets et complexes, comme ils se présentent
dans des paysages agricoles. En nous plaçant dans des conditions similaires au disposi-
tif expérimental discontinu de l'AGPM, nous avons pu montrer qu'une discontinuité sol
nu-maïs contribue à accentuer les dépôts qui sont importants à la lisière (effet de bord).
Au bord de la discontinuité, ces dépôts s'effectuent dans le couvert par les mécanismes
d'impact et de sédimentation. Compte tenu du fait que cette région est caractérisée par
une turbulence très intense, nos résultats mettent en évidence la forte corrélation entre
les dépôts et la turbulence. Enfin, une comparaison effectuée à partir de divers dispositifs
présentant ou non des transitions végétation-sol nu, nous a permis d'établir que l'effet
d'une augmentation de la rugosité et par conséquent de la vitesse de cisaillement, est
d'augmenter la diffusion atmosphérique des particules. Parallèlement, cette augmentation
s'accompagne d'une intensification des dépôts d'origine turbulents.

Contrairement à la simulation à grande échelle, la simulation à l'échelle du couvert permet d'analyser et de quantifier ces manifestations. En effet, nous avons calculé et comparé la vitesse intégrale de dépôt pour l'ensemble des dispositifs. Nous retiendrons que son évolution s'identifie fortement à celle de la vitesse de cisaillement pour des transitions lisse-rugueux. La vitesse de dépôt atteint un pic remarquable, qui du reste, correspond aux dépôts importants que nous avons identifiés à la transition. Après un déficit à l'aval, elle tend vers une valeur constante, qui dénote le retour à l'équilibre de l'écoulement avec la surface. Parce que la vitesse de dépôt calculée est couplée à l'écoulement turbulent, à travers l'efficacité d'impact, aux caractéristiques de la particule, à travers la vitesse de sédimentation et enfin au couvert, à travers la densité de surface foliaire, sa valeur tient compte de tous ces facteurs.

Le modèle numérique constitue les premiers éléments d'un modèle sub-méso de dis-
persion atmosphérique des particules biotiques. Mais il constitue également un modèle de
dispersion à petite échelle, puisque l'activité des éléments du couvert est prise en compte,
aussi bien pour le champ scalaire que pour l'écoulement turbulent. L'originalité de notre
travail se situe précisément dans l'échelle d'application du modèle. En effet, en fonction
des jeux de données utilisées, principalement les caractéristiques physiques du couvert et
la rugosité dynamique, le code numérique permet de simuler la dispersion des particules
à des échelles d'observations différentes sans aucune modification. Le code numérique est
ainsi capable de simuler la dispersion des particules à grande échelle (avec toutefois des
conditions aux limites supérieures spécifiques pour représenter la couche limite dans son ensemble) mais également à petite échelle, pour des dispositifs hétérogènes faisant intervenir des transitions végétation-sol nu. Cette dernière particularité du code de calcul a suscité un grand intérêt de la part des partenaires généticiens et pathologistes, car elle permet de répondre aux préoccupations actuelles.

La résolution à petite échelle peut vraisemblablement contribuer à l'analyse de l'influence de la structure d'un paysage agricole car elle permet d'intégrer tous les paramètres qui interviennent dans les processus de dépôt. De surcroît, elle peut également contribuer à expliciter et à proposer des paramétrages de la vitesse de dépôt pour des couverts et des conditions d'écoulements variés, ce qui est particulièrement attrayant puisque la modélisation à grande échelle, qui reste l'échelle intéressante en pratique, s'appuie sur cette grandeur. La résolution fine pour des configurations étendues (quelques centaines de mètres) est encore hors de portée à l'heure actuelle, car elle est très coûteuse en temps de calcul et exige des maillages denses. Cependant, ces limites évoluent régulièrement avec l'essor des capacités informatiques.

L'état d'avancement de nos travaux de recherche fait apparaître quelques sujets sur lesquels nous devons poursuivre nos efforts.

Il nous semble primordial de réaliser des validations numériques plus poussées, se basant sur des expériences in situ. Ceci est particulièrement vrai dans le cas de dispositifs complexes, faisant intervenir des transitions sol nu-végétation, telles que nous les avons simulées. À cet effet, deux campagnes auxquelles nous avons ponctuellement participé ont été réalisées en parallèle.

Une première campagne, dirigée par les équipes de l'INRA Bordeaux (Unité de Santé Végétal et Unité de Bioclimatologie), a porté sur l'étude de la progression d'une épidémie d'Oïdium au vignoble, en relation avec la dispersion des spores *Uncinula Necator*. Les premiers résultats expérimentaux et numériques sont représentés sur la figure 1. Bien que nos résultats numériques soient en bon accord avec les mesures effectuées, nous avons choisi de ne pas exposer en détail la simulation réalisée pour deux raisons : d'une part, la parcelle expérimentale n'était pourvue que de 3 mâts possédant chacun 2 ou 3 rotor-rods pour la capture de spores. Étant donné que le profil de concentration issu du premier mât a été utilisé pour imposer notre condition limite en concentration, les résultats expérimentaux ne constituent pas une base de donnée suffisante pour porter un réel jugement sur la capacité du code de calcul à simuler cette configuration fortement hétérogène. D'autre part, nous ne disposions pas de données météorologiques complètes pour valider nos champs
<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>Figure 1: *En haut : modélisation tridimensionnelle d'une parcelle de vigne. Les résultats : profils de concentration en spores Uncinula Necator à différentes positions de la source issus du modèle numérique et de l'expérience menée par les équipes de l'Unité de Santé Végétale et de l'Unité de Bioclimatologie*</figcaption></figure>
turbulents. Du reste, d'autres campagnes plus poussées sont prévues, car la dynamique
de progression des épidémies dans des cultures en rang, ainsi que le vent et la turbulence
sont complexes du fait de la particularité du couvert.

La seconde campagne, réalisée par l'équipe de l'INRA Grignon de l'Unité Environne-
ment et Grandes Cultures, a concerné l'étude des effets liés au microclimat sur la disper-
sion de particules de pollen de maïs issus d'une parcelle expérimentale isolée (configuration
en îlot de rugosité). Sur une période de 2 mois, des captures du pollen ont été effectuées
par rotor-rods ou par pots, dans le couvert et à différentes distances de la parcelle (jus-
qu'à 200 mètres). Outre ces appareils, des anémomètres-girouettes et des anémomètres
soniques ont été positionnés à l'amont, à l'aval et dans le couvert, permettant ainsi de
disposer de mesures précises du vent et de la turbulence. Enfin, la position spatiale et
angulaire des feuilles de maïs a été mesurée avec un digitaliseur magnétique 3D Polhemus
Fastrack, dont un traitement à l'aval permet une reconstruction en 3D de chaque plante
constituant la parcelle. Cette campagne dispose donc de données complètes et constitue
un très bon cas de validation.

Le second point qui nous apparaît important fait référence à la modélisation à grande échelle. Les lois de paroi et les conditions limites à la frontière supérieure du domaine introduites dans le code de calcul, dans le cas d'une stratification stable et instable de l'atmosphère, nécessitent des améliorations (méthodes non-itératives pour la détermination de la longueur de Monin et Obukhov) et des validations. De plus, nous avons fait l'hypothèse d'une atmosphère sèche, alors que l'humidité joue un rôle important dans l'atmosphère, et intervient dans un grand nombre de processus biologiques. Il serait donc souhaitable d'introduire une équation d'évolution pour l'humidité ainsi que les lois de parois associées. C'est d'ailleurs le travail entrepris récemment par un post-doctorant, avec une validation proposée se basant sur les expériences de Wangara et de Voves [Glockner 00].

En ce qui concerne la dispersion des particules, l'approche eulérienne monophasique
s'appuie sur le principe que les particules se comportent comme un scalaire passif, ce
qui est bien établi dans la couche de surface. Cependant, à proximité du sol (réduction
des échelles de la turbulence), l'inertie des particules ne peut plus être ignorée. Il serait
donc requis de prendre en compte l'inertie des particules à travers le terme de diffusion
turbulente, en exprimant le nombre de Prandtl-Schmidt en fonction du nombre de Stokes.
Cette correction permettrait, de plus, un meilleur conditionnement à la surface rugueuse,
pour la prise en compte du dépôt par impact inertiel, au sol apparent.
Nous avons évoqué à plusieurs reprises l'incapacité de la simulation numérique à esti-
mer les distances de dispersion, qui sont importantes sous certaines conditions météoro-
logiques. C'est pourtant cette proportion de particules transportées par l'écoulement qui
préoccupe le plus souvent. Toutefois, une donnée importante qui intervient dans la disper-
sion et que nous n'avons pas considérée, peut borner considérablement cette incertitude : la
viabilité et le pouvoir fécond de la particule biotique. Le flux de gène ou l'expansion d'une
maladie par la dissémination d'un pathogène n'est efficace que si la particule conserve son
pouvoir fécond ou si elle est viable. Or, la survie des particules est sévèrement limitée dans
l'atmosphère, par divers facteurs climatiques, tels que la température, l'humidité, le vent.
Il nous semble donc pertinent de coupler le modèle de dispersion à un modèle de viabilité,
ce qui va de surcroît, totalement dans le sens des développements futurs proposés.

Enfin, le dernier point abordé auquel nous tenons particulièrement, est consacré à des
perspectives d'amélioration du modèle dynamique et de la prise en compte de l'ensemble
des processus accompagnant la dispersion à l'échelle du couvert. Le modèle de canopée
nous a permis d'obtenir très rapidement des résultats et de cerner les possibilités offertes
par cette modélisation. Il nous semble alors important de développer dans la continuité,
des méthodes numériques plus adaptées aux phénomènes physiques. Du fait des faiblesses
inhérentes aux modèles statistiques à reproduire une turbulence violente et très inter-
mittente, typique aux transitions sol nu-végétation, il nous paraît difficile d'affiner cette
description par une modélisation statistique, même du second ordre.

Des études récentes ont montré que des calculs basés sur l'approche « Large Eddy
Simulation » permettent de s'affranchir de certaines limitations imposées par les modèles
statistiques. Cette approche semble particulièrement adaptée pour mettre en valeur la
turbulence de couvert, ainsi que le rôle des structures cohérentes dans l'expansion et le
mélange [Shen 97]. Cependant, les coûts de calcul de la LES sont encore trop importants,
et son utilisation entraînerait une réduction de l'échelle d'observation des processus (do-
maine d'étude limité à 3 fois la hauteur du couvert). Or, les modèles statistiques RANS
sont largement adaptés à la simulation des écoulements atmosphériques dans la sous
couche-inertielle. Afin de tirer profit des points forts respectifs, il serait particulièrement
intéressant de mettre en place des méthodes de couplage RANS/LES pour assurer la pré-
cision et la robustesse des calculs. Une description instationnaire de la turbulence dans le
couvert permettrait de surcroît de traiter la libération passive des particules, la remise en
suspension ou les dépôts par les mécanismes d'éjection et de balayage, liés à la présence
des structures cohérentes.
# Annexe A

## Les équations dans la couche limite atmosphérique

### A.1 Équations fondamentales en mécanique des fluides

#### A.1.1 L'équation de conservation de masse

$$ \frac{d\rho}{dt} + \rho\frac{\partial u_j}{\partial x_j} = 0 \qquad (A.1) $$

#### A.1.2 L'équation d'état d'un gaz parfait

$$ P = \rho RT \qquad (A.2) $$

#### A.1.3 L'équation de conservation de quantité de mouvement

$$ \rho \frac{\partial u_i}{\partial t} + \rho u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = \rho g_i - \frac{\partial P}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \mu \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \right] + \rho F_i \qquad (A.3) $$

#### A.1.4 L'équation de l'énergie

$$ \rho C_P \left[ \frac{\partial T}{\partial t} + u_j \frac{\partial T}{\partial x_j} \right] = \frac{dP}{dt} + \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \lambda \frac{\partial T}{\partial x_j} \right) + \phi \qquad (A.4) $$
### A.1.5 La force de Coriolis

Dans l'équation de conservation de quantité de mouvement (A.3), $F_i$ est la force de Coriolis, due à la rotation terrestre. C'est une force déviatrice perpendiculaire à la vitesse du vent, orientée vers la droite dans l'hémisphère nord. Elle s'exprime par :

$$F_{c_i} = -2 \epsilon_{ijk} \Omega_j u_k \qquad (A.5)$$

$\Omega_j$ est le vecteur rotation terrestre, qui est fonction de la latitude $\phi$ et de la vitesse angulaire de rotation de la terre $\omega$ :

$$\Omega_1 = 0$$

$$\Omega_2 = \omega \cos\phi$$

$$\Omega_3 = \omega \sin\phi$$

## A.2 Hypothèses de Boussinesq

### A.2.1 État de référence de l'atmosphère

Les variables thermodynamiques s'écartent peu d'un état hydrostatique et adiabatique. L'état de référence de l'atmosphère est un état d'équilibre hydrostatique pris au repos et ne dépendant que de la coordonnée verticale $z$. Cet état est l'état habituel de l'atmosphère qui est complètement déterminé par les équations (A.6), (A.7), (A.8) :

$$\frac{\partial P_r}{\partial z} = -\rho_r g \qquad (A.6)$$

$$\frac{\partial T_r}{\partial z} = -\frac{g}{C_P} \qquad (A.7)$$

$$P_r = \rho_r R T_r \qquad (A.8)$$

En intégrant ces expressions et en considérant $h_0$ près du sol, l'état de référence s'écrit :

$$P_r(z) = P_r(h_0) \left( 1 - \frac{g/C_P}{T_r(h_0)} (z - h_0) \right)^{C_P/R} \qquad (A.9)$$

$$T_r(z) = T_r(h_0) \left( 1 - \frac{g/C_P}{T_r(h_0)} (z - h_0) \right) \qquad (A.10)$$

$$\rho_r(z) = \rho_r(h_0) \left( 1 - \frac{g/C_P}{T_r(h_0)} (z - h_0) \right)^{C_P/R} \qquad (A.11)$$

$$P_r(h_0) = \rho_r(h_0) R T_r(h_0) \qquad (A.12)$$
## A.2.2 Énoncé des hypothèses de Boussinesq

Soit $f$ une variable qui symbolise $P$, $T$, $\rho$. Puisque les variables thermodynamiques s'écartent peu d'un état d'équilibre, elles admettent une décomposition (A.13) :

$$f = f_r + f_l \qquad (A.13)$$

$f_l$ représente l'écart de la variable de référence $f_r$ qui n'est fonction que de $z$. En revanche $f_l$ dépend de $x$, $y$, $z$. La variation de l'état de référence avec l'altitude est faible (limitée à 10 % dans les premiers kilomètres de la couche limite atmosphérique), et permet d'écrire l'approximation suivante [Coantic 76] :

$$\frac{|P_l|}{P_r} \ll 1 \qquad \frac{|T_l|}{T_r} \ll 1 \qquad \frac{|\rho_l|}{\rho_r} \ll 1 \qquad (A.14)$$

$$Ma \ll 1 \qquad (A.15)$$

### Conséquence sur l'équation de continuité

En faisant un développement limité au premier ordre de (A.1), les hypothèses de Boussinesq permettent d'écrire l'équation de continuité sous forme incompressible :

$$\frac{\partial u_j}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dt} = -\frac{d(ln\rho)}{dt} \approx -\frac{d}{dt} \left[ \ln \left( 1 + \frac{\rho_l}{\rho_r} \right) \right] \approx 0 \qquad (A.16)$$

La justification correcte de cette approximation est délicate, cependant admise car ces hypothèses ne semblent pas en contradiction avec la réalité [DeMoor 83] et sont assez bien vérifiées dans la couche limite atmosphérique.

### Conséquence sur l'équation d'état

En développant l'équation d'état (A.2) au premier ordre autour de $\rho_r$, $P_r$, $T_r$ :

$$\rho_r = \frac{P_r}{RT_r} \qquad (A.17)$$

$$\frac{d\rho}{\rho_r} = \frac{dP}{P_r} - \frac{dT}{T_r} \qquad (A.18)$$

$$\frac{(\rho - \rho_r)}{\rho_r} = \frac{(P - P_r)}{P_r} - \frac{(T - T_r)}{T_r} \qquad (A.19)$$

D'après (A.13), il vient :

$$\frac{\rho_l}{\rho_r} = \frac{P_l}{P_r} - \frac{T_l}{T_r} \qquad (A.20)$$
Or, les variations de pression d'origine dynamique (proportionnelles à $Ma^2$) sont négligeables devant les variations statiques de pression, l'équation d'état dans le cadre des hypothèses de Boussinesq s'écrit :

$$ \frac{\rho_l}{\rho_r} = -\frac{T_l}{T_r} \qquad (A.21) $$

### A.2.3 Simplification de Boussinesq

#### Conséquence sur l'équation de conservation de quantité de mouvement

En considérant les hypothèses décrites plus haut, le terme de flottabilité (A.22) de l'équation de conservation de quantité de mouvement (A.3) peut s'explicit er en décomposant les variables :

$$ g_i - \frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial x_i} \qquad (A.22) $$

$$ g_i - \frac{1}{(\rho_r + \rho_l)} \frac{\partial P_l}{\partial x_i} - \frac{1}{(\rho_r + \rho_l)} \frac{\partial P_r}{\partial x_i} \qquad (A.23) $$

Comme l'état de référence vérifie l'équation (A.6), il est équivalent d'écrire (A.23) :

$$ \frac{\rho_l}{\rho_r + \rho_l} g_i - \frac{1}{(\rho_r + \rho_l)} \frac{\partial P_l}{\partial x_i} \qquad (A.24) $$

En développant au premier ordre (A.24) suivant $\frac{\rho_l}{\rho_r}$ et en utilisant les hypothèses (A.14), (A.24) s'exprime alors :

$$ \frac{\rho_l}{\rho_r} g_i - \frac{1}{\rho_r} \frac{\partial P_l}{\partial x_i} \qquad (A.25) $$

$\rho_l g_i = (\rho - \rho_r) g_i$ est la force de flottabilité et correspond à l'action de la gravité sur les particules d'air placées sous l'influence de la variation de la masse volumique du milieu environnant.

#### Conséquence sur l'équation de l'énergie

Les hypothèses de Boussinesq ont également une répercussion sur l'équation de l'énergie. En considérant l'équation de la température, (A.4) préalablement décomposée par (A.13), il reste :

$$ \rho C_P \left[ \frac{\partial T_l}{\partial t} + u_j \frac{\partial T_l}{\partial x_j} + \frac{\partial T_r}{\partial t} + u_j \frac{\partial T_r}{\partial x_j} \right] = \frac{dP_l}{dt} + \frac{dP_r}{dt} + \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \lambda \frac{\partial T_l}{\partial x_j} \right) + \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \lambda \frac{\partial T_r}{\partial x_j} \right) \qquad (A.26) $$

En considérant d'une part, que l'écart de pression par rapport à l'état de référence est très faible, et d'autre part, que $T_r$ vérifie (A.7), l'équation de l'énergie se simplifie et devient :
$$ \rho_r C_P \left[ \frac{\partial T_l}{\partial t} + u_j \frac{\partial T_l}{\partial x_j} \right] = \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \lambda \frac{\partial T_l}{\partial x_j} \right) \quad (A.27) $$

## A.3 Mise en place des équations du mouvement turbulent

Les variables turbulentes se décomposent suivant l'opérateur moyenne de Reynolds :

$$ \begin{aligned} u_i &= \bar{u}_i + u'_i \\ P_l &= \bar{P}_l + P' \\ T_l &= \bar{T}_l + T' \end{aligned} \quad (A.28) $$

### Équation de continuité

Exprimons l'équation de continuité (1.1) :

$$ \frac{\partial (\bar{u}_j + u'_j)}{\partial x_j} = 0 \quad (A.29) $$

$$ \frac{\partial (\overline{u_j} + u'_j)}{\partial x_j} = \frac{\partial (\overline{u_j} + u'_j)}{\partial x_j} = \frac{\partial (\overline{u_j} + u'_j)}{\partial x_j} = 0 \quad (A.30) $$

D'après (1.11), la valeur moyenne de la fluctuation $u'_j$ est nulle, l'équation moyenne de conservation de masse s'écrit simplement :

$$ \frac{\partial \overline{u_j}}{\partial x_j} = 0 \quad (A.31) $$

### Équation de Reynolds

Procédons de façon équivalente pour l'équation de conservation de quantité de mouvement (1.3) :
$$
\rho_r \left[ \underbrace{\frac{\partial (\bar{u}_i + u_i')}{\partial t} + \underbrace{(\bar{u}_j + u_j') \frac{\partial (\bar{u}_i + u_i')}{\partial x_j}}_{a: \text{terme convectif}} \right] = - \underbrace{\overline{\rho_l g \delta_{i3}}}_{b: \text{force d'Archimède}} - \frac{\overline{\partial (\bar{P}_l + P')}}{\partial x_i} \\
+ \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \mu \left( \frac{\partial (\bar{u}_i + u_i')}{\partial x_j} + \frac{\partial (\bar{u}_j + u_j')}{\partial x_i} \right) \right] \\
- 2\rho_r \epsilon_{ijk} \Omega_j \overline{(\bar{u}_k + u_k')}
\qquad (A.32)
$$

Considérons le terme convectif $a$ (A.32), il se réecrit de la manière suivante :

$$
\begin{align}
\overline{(\bar{u}_j + u_j') \frac{\partial (\bar{u}_i + u_i')}{\partial x_j}} &= \frac{\overline{\partial (\bar{u}_i + u_i') (\bar{u}_j + u_j')}}{\partial x_j} - \underbrace{\overline{(\bar{u}_i + u_i') \frac{\partial (\bar{u}_j + u_j')}{\partial x_j}}}_{\substack{0 \\ \text{en}$\overline{\phantom{\partial(\bar{u}_i + u_i')}\$\overline{\phantom{\partial(\bar{u}_j + u_j)}}$}} \nonumber \\
&= \frac{\partial \overline{u_i u_j}}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u_i' u_j'}}{\partial x_j} \tag{A.33}
\end{align}
$$

Considérons maintenant le terme d'Archimède $b$ (A.32). Compte tenu du fait que l'équation d'état est donnée par (1.2), il résulte :

$$
-\overline{\rho_l g \delta_{i3}} = \overline{\rho_r \frac{T_l}{T_r} g \delta_{i3}} = \overline{\rho_r \frac{\overline{T_l} + T_l'}{T_r} g \delta_{i3}} = \overline{\rho_r \frac{T_l}{T_r} g \delta_{i3}} = \overline{\rho_r \beta \overline{T_l} \delta_{i3}} \quad (A.34)
$$

Finalement, l'équation moyenne de conservation de quantité de mouvement est :

$$
\rho_r \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial t} + \rho_r \bar{u}_j \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} = \rho_r \beta \overline{T_l} \delta_{i3} - \frac{\partial \overline{P_l}}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \mu \left( \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{u}_j}{\partial x_i} \right) - \rho_r \overline{u_i' u_j'} \right] - 2\rho_r \epsilon_{ijk} \Omega_j \overline{u_k} \quad (A.35)
$$

Équation de la température

Pour l'équation de la température, nous obtenons :

$$
\rho_r C_P \overline{\left[ \frac{\partial (\bar{T}_l + T')}{\partial t} + \underbrace{(\bar{u}_j + u_j') \frac{\partial (\bar{T}_l + T')}{\partial x_j}}_{c: \text{convection de la température}} \right]} = \overline{\frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \lambda \frac{\partial (\bar{T}_l + T')}{\partial x_j} \right]} \quad (A.36)
$$

Le traitement statistique du terme non-linéarité $c$ de l'équation de l'énergie conduit à
un terme de corrélation turbulente entre les fluctuations de la vitesse et la température.
$\rho C_P \bar{T}' u_j'$ est le flux de chaleur turbulent dans la direction $j$. L'équation finale est :
$$ \rho_r C_P \left[ \frac{\partial \overline{T_l}}{\partial t} + \overline{u_j} \frac{\partial \overline{T_l}}{\partial x_j} \right] = \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \lambda \frac{\partial \overline{T_l}}{\partial x_j} - \rho_r C_P \overline{T'} u'_j \right] \quad (A.37) $$

## A.4 Équations de l'énergie cinétique moyenne du mouvement turbulent et de sa dissipation

### Calcul de l'équation de transport de k

L'énergie cinétique moyenne du mouvement turbulent est définie par :

$$ k = \frac{1}{2} \overline{u_i' u_i'} $$

L'équation de k s'obtient en multipliant l'équation de transport du mouvement fluc- tuant $u'_i$ et par $u'_i$ et en appliquant l'opérateur moyenne définie par Reynolds. La fluctua- tion vérifie la condition d'incompressibilité :

$$ \frac{\partial u'_j}{\partial x_j} = 0 $$

Soit l'équation de transport de la fluctuation $u'_i$, obtenue en faisant la différence entre l'équation (A.32) et l'équation (A.35)) :

$$ \rho \underbrace{\frac{\partial u_i'}{\partial t}}_{1} + \rho \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} [\overline{u_i u_j'} + \overline{u_j u_i'} + u_i' u_j' - \overline{u_i' u_j'}]}_{2} = \underbrace{\rho \beta T' \delta_{i3}}_{3} - \underbrace{\frac{\partial P' \delta_{ij}}{\partial x_j}}_{4} + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \mu \left( \frac{\partial u_i'}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j'}{\partial x_i} \right) \right]}_{5} - \underbrace{2 \rho \epsilon_{ijk} \Omega_j u_k'}_{6} \quad (A.38) $$

-1- Si nous multiplions ce terme par $u'_i$, et nous moyennons, ce terme est la variation temporelle de k :

$$ \overline{\rho u_i' \frac{\partial u_i'}{\partial t}} = \rho \frac{\partial}{\partial t} \frac{1}{2} \overline{u_i' u_i'} $$

-2- En procédant de manière identique et en moyennant, nous pouvons écrire les rela-
tions suivantes :

$$ u'_i \frac{\partial \overline{u_i u'_j}}{\partial x_j} \Rightarrow \overline{u'_i u'_j} \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} \text{ car } \frac{\partial u'_j}{\partial x_j} = 0 \text{ Terme de production de } k $$

$$ u'_i \frac{\partial \overline{u_j u'_i}}{\partial x_j} \Rightarrow \overline{u_j} \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \frac{1}{2} \overline{u'_i u'_i} \right) \text{ car } \frac{\partial \overline{u_j}}{\partial x_j} = 0 \text{ Terme convectif de } k $$

$$ u'_i \frac{\partial u'_i u'_j}{\partial x_j} \Rightarrow \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \frac{1}{2} \overline{u'_i u'_i u'_j} \right) \qquad \text{Terme de diffusion turbulente de } k $$

$$ -u'_i \frac{\partial \overline{u'_i u'_j}}{\partial x_j} \Rightarrow -\overline{u'_i} \frac{\partial \overline{u'_i u'_j}}{\partial x_j} = 0 $$

-3- Nous faisons apparaître le terme de production d'origine thermique de k :

$$ \rho \beta T' \delta_{i3} u'_i \Rightarrow \rho \beta \overline{T' u'_i} \delta_{i3} $$

-4- Terme de diffusion de k sous l'action de la pression :

$$ u'_i \frac{\partial P' \delta_{ij}}{\partial x_j} \Rightarrow \frac{\partial \overline{u'_i P'}}{\partial x_i} \text{ car } P' \delta_{ij} \frac{\partial u'_i}{\partial x_j} = 0 $$

-5- Le terme de diffusion de k sous l'action des forces de viscosité et le taux de dissipation de k :

$$ u'_i \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \mu \left( \frac{\partial u'_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u'_j}{\partial x_i} \right) \right] = \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \mu u'_i \left( \frac{\partial u'_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u'_j}{\partial x_i} \right) \right]}_{5-a} - \underbrace{\mu \left( \frac{\partial u'_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u'_j}{\partial x_i} \right) \frac{\partial u'_i}{\partial x_j}}_{5-b} $$

En moyennant (5-a), nous faisons apparaître le terme de diffusion de k sous l'action des forces de viscosité :

$$ \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \mu u'_i \left( \frac{\partial u'_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u'_j}{\partial x_i} \right) \right] $$

Et en moyennant (5-b), nous faisons apparaître le taux de dissipation de k :

$$ -\mu \left( \frac{\partial u'_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u'_j}{\partial x_i} \right) \frac{\partial u'_i}{\partial x_j} = -\rho \frac{\nu}{2} \left( \frac{\partial u'_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u'_j}{\partial x_i} \right)^2 = -\rho \epsilon $$
-6- Ce terme est identiquement nul, puisque :

$$-u_i' 2\rho \epsilon_{ijk} \Omega_j u_k' \Rightarrow -2\rho \epsilon_{ijk} \Omega_j \overline{u_i' u_k'} = 0 \quad \text{car pour } i=k \quad \epsilon_{ijk} = 0$$

Il est maintenant possible d'écrire l'équation exacte de transport de l'énergie cinétique moyenne du mouvement turbulent :

$$\begin{align}
\rho \frac{\partial k}{\partial t} + \rho \bar{u}_j \frac{\partial k}{\partial x_j} = & - \rho \overline{u_i' u_j'} \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} + \rho \beta \overline{T' u_i'} \delta_{i3} \nonumber \\
& + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ - \overline{u_i' P'} \delta_{ij} + \mu u_i' \left( \frac{\partial u_i'}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j'}{\partial x_i} \right) - \rho \frac{1}{2} \overline{u_i' u_j'} \right] \nonumber \\
& - \rho \frac{\nu}{2} \left[ \frac{\partial u_i'}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j'}{\partial x_i} \right]^2 \tag{A.39}
\end{align}$$

Les termes diffusifs de $k$, sous l'action de la pression et de la turbulence sont regroupés en un seul terme de transport turbulent, en appliquant une modélisation phénoménologique. La prise en compte du transport par pression fluctuante se fait alors d'une manière artificielle, en introduisant un nombre de Prandtl-Schmidt [Ha-Minh 91]. Finalement, l'équation modélisée de $k$ est :

$$\rho \frac{\partial k}{\partial t} + \rho \bar{u}_j \frac{\partial k}{\partial x_j} = - \rho \overline{u_i' u_j'} \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} + \rho \beta \overline{T' u_i'} \delta_{i3} + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \left( \mu + \frac{\mu_t}{\sigma_k} \right) \frac{\partial k}{\partial x_j} \right] - \rho \epsilon \quad (A.40)$$

## Équation de transport de $\epsilon$

Le taux de dissipation $\epsilon$ est :

$$\epsilon = \frac{\nu}{2} \left( \frac{\partial u_i'}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j'}{\partial x_i} \right)^2 \quad (A.41)$$

Cependant, lorsque le nombre de Reynolds de la turbulence est élevé, $\epsilon$ s'identifie à la pseudo-dissipation $\epsilon$ définie par [Ha-Minh 91, Launder 74] :

$$\epsilon = \nu \left( \frac{\partial u_i' \partial u_j'}{\partial x_j \partial x_j} \right) \quad (A.42)$$

L'équation de transport de la pseudo-dissipation que nous nommerons la dissipation est obtenue en dérivant l'équation d'évolution de la vitesse fluctuante $u_i'$ par $x_j$ et en
désignant par $k$ l'indice muet [Foudhil 97]. En multipliant membre à membre par $\frac{\partial u_i}{\partial x_j}$ et en moyennant, cette équation est donnée par :

$$ 
\begin{align} 
\rho \frac{\partial \varepsilon}{\partial t} + \rho \bar{u}_j \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j} = & - 2\mu \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} \left[ \frac{\partial u'_j}{\partial x_k} \frac{\partial u'_i}{\partial x_k} + \frac{\partial u'_k}{\partial x_i} \frac{\partial u'_j}{\partial x_j} \right] \nonumber \\
& - 2\mu \frac{\partial u'_i}{\partial x_k} \frac{\partial u'_i}{\partial x_j} \frac{\partial u'_j}{\partial x_k} - \mu \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ u'_j \frac{\partial u'_i}{\partial x_k} \frac{\partial u'_j}{\partial x_k} \right] \nonumber \\
& - 2\nu \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ \frac{\partial P'}{\partial x_k} \frac{\partial u'_i}{\partial x_k} \right] - 2\rho \nu^2 \frac{\partial^2 u'_i}{\partial x_j \partial x_k} \frac{\partial^2 u'_i}{\partial x_j \partial x_k} \nonumber \\
& - 2\mu \frac{\partial^2 \bar{u}_i}{\partial x_j \partial x_k} \overline{u'_j \frac{\partial u'_i}{\partial x_k}} + \mu \frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial x_j \partial x_j} \tag{A.43}
\end{align} 
$$

## A.5 Écoulement dans un couvert végétal

### A.5.1 Équation de conservation de quantité de mouvement

Les variables turbulentes s'écrivent à l'aide de la moyenne spatio-temporelle, soit :

- Pour la vitesse :

$$ 
\begin{align} 
u_i &= \bar{u}_i + u'_i \nonumber \\ 
\bar{u}_i &= \langle \bar{u}_i \rangle + \bar{u}_i'' \tag{A.44} 
\end{align} 
$$

- Pour la pression :

$$ 
\begin{align} 
P &= \bar{P} + P' \nonumber \\ 
\bar{P} &= \langle \bar{P} \rangle + \bar{P}'' \tag{A.45} 
\end{align} 
$$

Nous rappelons que la moyenne spatiale a la propriété suivante :

$$ \langle \overline{u_i''} \rangle = 0 \tag{A.46} $$

L'obtention des équations de continuité et du mouvement dans le couvert végétal se fait à partir des équations de $\overline{u}_i$ (A.31) et (A.35). La force de Coriolis est négligée dans la sous-couche rugueuse, et la force d'Archimède n'est pas considérée puisque l'atmosphère est supposée en stratification neutre.
## Équation de continuité

Décomposons la variable $u_j$ suivant (A.44) :

$$ \frac{\partial \overline{u_j}}{\partial x_j} = \frac{\partial \langle \overline{u_j} \rangle}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u_j''}}{\partial x_j} = 0 $$

La condition d'adhérence à la surface des éléments végétaux implique que $u_j$ est nulle à l'interface, c'est-à-dire que $\overline{u_j''} = \overline{u_j} - \langle \overline{u_j} \rangle$ est constante. La moyenne spatio-temporelle et la différentiation commutent donc [Raupach 82]. L'équation de continuité devient, si nous appliquons la moyenne spatiale :

$$ \left\langle \frac{\partial \overline{u_j}}{\partial x_j} \right\rangle = \left\langle \frac{\partial \langle \overline{u_j} \rangle}{\partial x_j} \right\rangle + \left\langle \frac{\partial \overline{u_j''}}{\partial x_j} \right\rangle = \frac{\partial \langle \overline{u_j} \rangle}{\partial x_j} + \frac{\partial \langle \overline{u_j''} \rangle}{\partial x_j} = 0 $$

Compte tenu, d'une part que les opérateurs commutent, et d'autre part, de la relation (A.46), l'équation de continuité s'écrit donc :

$$ \frac{\partial \langle \overline{u_j} \rangle}{\partial x_j} = 0 \qquad (A.47) $$

La dérivée de $\overline{u_j''}$ vérifie :

$$ \left\langle \frac{\partial \overline{u_j''}}{\partial x_j} \right\rangle = \frac{\partial \langle \overline{u_j''} \rangle}{\partial x_j} = \frac{\partial \overline{u_j''}}{\partial x_j} = 0 \qquad (A.48) $$

## Équation du mouvement

Décomposons la variable $u_i$ suivant (A.44) et P suivant (A.45), dans l'équation de Reynolds :

$$ \rho \left( \underbrace{\frac{\partial \langle \overline{u_i} \rangle}{\partial t} + \frac{\partial \overline{u_i''}}{\partial t}}_{1} \right) + \underbrace{\rho (\langle \overline{u_j} \rangle + \overline{u_j''}) \frac{\partial (\langle \overline{u_i} \rangle + \overline{u_i''})}{\partial x_j}}_{2} = \underbrace{- \frac{\partial (\langle P \rangle + \overline{P''})}{\partial x_i}}_{3} - \underbrace{\frac{\partial \rho \langle \overline{u_i' u_j'} \rangle + \rho \overline{u_i' u_j''}}{\partial x_j}}_{4} + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \mu \left( \frac{\partial \langle \overline{u_i} \rangle}{\partial x_j} + \frac{\partial \langle \overline{u_j} \rangle}{\partial x_i} \right) \right]}_{5} + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \mu \left( \frac{\partial \overline{u_i''}}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u_j''}}{\partial x_i} \right) \right]}_{5} $$

-1- Le terme temporel devient après l'opérateur $\langle \rangle$ :

$$ \left\langle \frac{\partial \langle \overline{u_i} \rangle}{\partial t} \right\rangle + \left\langle \frac{\partial \overline{u_i''}}{\partial t} \right\rangle = \frac{\partial \langle \overline{u_i} \rangle}{\partial t} + \frac{1}{V} \iint_{S_I+S_0} \overline{u_i} \nu_i n_i dS $$
$S_I$ est la surface qui coïncide avec la surface des éléments végétaux, $S_0$ la surface extérieure ($S = S_I + S_0$) du volume $V$, $n_i$ est le vecteur normal des éléments végétaux et $v_i$ est la vitesse d'ondulation des éléments végétaux [Brunet 94] sous l'effet du vent. Là encore, il apparaît que l'opérateur ne commute pas avec les dérivées temporelles. Cependant, en considérant que le volume $V$ est fixe [Raupach 82] et que la vitesse $v_i$ des éléments est nulle, la variation temporelle de $\langle u_i \rangle$ est :

$$ \left\langle \frac{\partial \langle \overline{u_i} \rangle}{\partial t} \right\rangle = \frac{\partial \langle \overline{u_i} \rangle}{\partial t} $$

-2- En tenant compte de l'équation de continuité et en considérant que la dérivée de $u_j$ vérifie (A.48), nous faisons apparaître respectivement le terme convectif de $\langle u_i \rangle$ et les flux dispersifs :

$$ \left\langle \left( \langle \overline{u_j} \rangle + \overline{u_j}'' \right) \frac{\partial (\langle \overline{u_i} \rangle + \overline{u_i}'')}{\partial x_j} \right\rangle = \langle \overline{u_j} \rangle \frac{\partial \langle \overline{u_i} \rangle}{\partial x_j} + \frac{\partial \langle \overline{u_i}'' \overline{u_j}'' \rangle}{\partial x_j} $$

-3- Le terme de transport dû aux forces de pression et la traînée de forme exercée par les éléments du couvert végétal sur l'écoulement :

$$ \left\langle -\frac{\partial \left( \langle P \rangle + \overline{P}'' \right)}{\partial x_i} \right\rangle = -\frac{\partial \langle \overline{P} \rangle}{\partial x_i} - \left\langle \frac{\partial \overline{P}''}{\partial x_i} \right\rangle $$

-4- Les flux turbulents qui apparaissent compte tenu de (A.46) et (A.48) :

$$ \begin{aligned} \left\langle \frac{\partial \langle \overline{u_i' u_j'} \rangle + \overline{u_i' u_j''} \rangle}{\partial x_j} \right\rangle &= \frac{\partial \langle \overline{u_i' u_j'} \rangle}{\partial x_j} + \left\langle \frac{\partial \overline{u_i' u_j''} \rangle}{\partial x_j} \right\rangle \\ &= \frac{\partial \langle \overline{u_i' u_j'} \rangle}{\partial x_j} + \frac{\partial \langle \overline{u_i' u_j''} \rangle}{\partial x_j} \\ &= \frac{\partial \langle \overline{u_i' u_j'} \rangle}{\partial x_j} \end{aligned} $$

-5- Le tenseur des contraintes visqueuses et la traînée de frottement :

$$ \begin{aligned} & \left\langle \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \mu \left( \frac{\partial \langle \overline{u_i} \rangle}{\partial x_j} + \frac{\partial \langle \overline{u_j} \rangle}{\partial x_i} \right) \right] \right\rangle + \left\langle \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \mu \left( \frac{\partial \overline{u_i}''}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u_j}''}{\partial x_i} \right) \right] \right\rangle \\ &= \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \mu \left( \frac{\partial \langle \overline{u_i} \rangle}{\partial x_j} + \frac{\partial \langle \overline{u_j} \rangle}{\partial x_i} \right) \right] + \left\langle \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \mu \left( \frac{\partial \overline{u_i}''}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u_j}''}{\partial x_i} \right) \right] \right\rangle \end{aligned} $$
Finalement, en regroupant tous les termes, l'équation de conservation de quantité de mouvement dans le couvert végétal est donnée par :

$$
\rho \frac{\partial \langle \overline{u_i} \rangle}{\partial t} + \rho \langle \overline{u_j} \rangle \frac{\partial \langle \overline{u_i} \rangle}{\partial x_j} = - \frac{\partial \langle \overline{P} \rangle}{\partial x_i} - \frac{\partial}{\partial x_j} [ \rho \langle \overline{u'_i u'_j} \rangle + \rho \langle \overline{u_i'' u_j''} \rangle ] \\
+ \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \mu \left( \frac{\partial \langle \overline{u_i} \rangle}{\partial x_j} + \frac{\partial \langle \overline{u_j} \rangle}{\partial x_i} \right) \right] \\
- \left\langle \frac{\partial \overline{P''}}{\partial x_i} \right\rangle + \left\langle \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \mu \left( \frac{\partial \overline{u_i''}}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u_j''}}{\partial x_i} \right) \right] \right\rangle \quad (A.49)
$$

A.5.2 Équations de l'énergie cinétique moyenne du mouvement turbulent

L'énergie cinétique moyenne du mouvement turbulent est définie dans le cas des cou-
verts végétaux par :

$$
k = \frac{1}{2} \langle \overline{u_i' u_i} \rangle
$$

L'équation exacte de k est donnée par [Raupach 82]:

$$
\rho \frac{\partial k}{\partial t} + \rho \langle \overline{u_j} \rangle \frac{\partial k}{\partial x_j} = -\underbrace{\rho \langle \overline{u'_i u'_j} \rangle \frac{\partial \langle \overline{u_i} \rangle}{\partial x_j} - \rho \langle \overline{u'_i u'_j} \rangle \frac{\partial \langle \overline{u_i} \rangle}{\partial x_j}}_{\text{Production cinétique et Production de sillage}} \\
+ \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left[ -\langle \overline{u'_i P'} \rangle \delta_{ij} + \mu \left\langle \overline{u'_i} \left( \frac{\partial u'_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u'_j}{\partial x_i} \right) \right\rangle - \rho \frac{1}{2} \langle \overline{u'_i u'_i u'_j} \rangle - \frac{\rho}{2} \langle \overline{u'_i u'_i} \overline{u'_j} \rangle \right]}_{\text{Termes de diffusion sous l'action de la pression, de la viscosité, de la turbulence et de la dispersion}} \\
- \underbrace{\rho \left\langle \frac{\nu}{2} \left[ \frac{\partial u'_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u'_j}{\partial x_i} \right]^2 \right\rangle}_{\text{Taux de dissipation de k}} \tag{A.50}
$$
<figure><img src="image_103.png" /></figure>
# Annexe B

## Compléments sur les particules biotiques

### B.1 Estimation de la vitesse de sédimentation en régime de Stokes

Soit une particule sphérique animée d'une vitesse $v_{pi}$ dans un fluide de vitesse $u_i$. Le fluide va exercer une force de résistance qui va s'opposer au mouvement de la particule. Cette force de résistance, liée à l'existence d'une vitesse relative $v_r = u_i - v_{pi}$ est la force de traînée, dont l'expression donnée par Newton est :

$$F_D = C_D \frac{\pi}{8} \rho d_p^2 v_r^2 \quad (B.1)$$

Cette relation, valable pour des particules dont la vitesse est subsonique, s'exprime en fonction du coefficient de traînée de la particule $C_D$. $C_D$ dépend de la forme et de la taille de la particule, mais également du régime de l'écoulement (figure B.1) caractérisé par le nombre de Reynolds rapporté à la particule (nombre de Reynolds particulaire) défini par :

$$R_{ep} = \frac{v_r d_p}{\nu} \quad (B.2)$$

où $d_p$ est une échelle de longueur caractéristique de la particule et correspond dans le cas d'une particule sphérique à son diamètre.

$R_{ep}$ est donc une extension du nombre de Reynolds qui quantifie l'influence des forces d'inertie par rapport aux forces de viscosité. Lorsque le nombre de Reynolds particulaire est grand ($R_{ep} > 1000$ sur la figure B.1) la pression due à l'inertie du fluide constitue la
principale source de contrainte exercée sur la particule. Le coefficient de traînée est alors quasi-constant et suit la loi de Newton.

<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>Figure B.1 : Coefficient de traînée en fonction du nombre de Reynolds particulière pour des particules sphériques, d'après Hinds [Laslandes 98]</figcaption></figure>

En revanche, lorsque $R_{ep}$ est petit devant l'unité, en régime de Stokes, la traînée est uniquement proportionnelle à la résistance due à la viscosité. Stokes (1851) a établi son expression pour une sphère rigide, dans un écoulement visqueux animé d'une vitesse uniforme, sans effet de paroi :

$$F_D = 3\mu\pi d_p v_r \qquad (B.3)$$

De ces deux expressions de la force de traînée, il ressort qu'en régime de Stokes, le coefficient de traînée $C_D$ évolue suivant l'inverse du nombre de Reynolds particulière :

$$C_D = \frac{24}{R_{ep}} \quad \text{pour } R_{ep} < 1 \qquad (B.4)$$

Le régime de Stokes permet d'estimer la vitesse de sédimentation d'une particule. En effet, une particule lâchée avec une vitesse initiale nulle dans un fluide au repos atteint, après une période transitoire, une vitesse terminale qui est constante. À l'équilibre, la résultante des forces, qui s'exercent sur la particule, se réduit à (projetée suivant l'axe vertical) :

$$(m_p - m_f) g - F_D = 0 \qquad (B.5)$$

Le premier terme de gauche correspond au poids de la particule diminuée de la poussée d'Archimède ($m_f$ est la masse du fluide déplacée) et $F_D$ est la force de traînée définie
par Stokes. D'autres forces, telles que la force de Magnus liée à la rotation de la particule ou les forces de pression sont ici négligées. Si $\rho_p$ est la masse volumique de la particule sphérique, $\rho$ la masse volumique du fluide et $v_s$, la vitesse limite de chute atteinte par la particule (son accélération est alors nulle), l'équation (B.5) devient :

$$ (\rho_p - \rho) \frac{\pi}{6} d_p^3 g = 3\mu\pi d_p v_s \qquad (B.6) $$

En considérant que $\rho_p \gg \rho$, ce qui est valable pour la plupart des spores et des pollens dont la masse volumique est souvent proche de celle de l'eau [Gregory 78], la vitesse de sédimentation (ou encore vitesse limite de chute) d'une particule sphérique, dans un fluide au repos, est donnée par :

$$ v_s = \frac{\rho_p d_p^2 g}{18 \mu} \qquad (B.7) $$

## B.2 Notion de temps de relaxation de la particule

Lorsque les effets visqueux sont prépondérants devant les forces d'inertie du fluide, Stokes a établit l'expression de la force de traînée, donnée par l'équation (B.3). Cette équation peut s'expliciter de la sorte :

$$ F_D = \underbrace{3\mu\pi d_p v_r}_{B} \qquad (B.8) $$

B est nommée la mobilité mécanique de la particule, qui s'écrit en régime de Stokes :

$$ B = \frac{v_r}{F_D} = \frac{1}{3\mu\pi d_p} \quad \text{pour } R_{ep} < 1 \qquad (B.9) $$

La vitesse de chute d'une particule placée dans un régime de Stokes est donc proportionnelle à la force externe qui s'exerce sur la particule, la constante de proportionnalité définissant la mobilité mécanique B. Dans le cas où la force externe est la force de gravité, et que $\rho_p \gg \rho_f$, la vitesse limite de chute s'écrit :

$$ v_s = B F_g = B m_p g \quad \text{pour } R_{ep} < 1 \qquad (B.10) $$

Le produit $B m_p$ est appelé temps de relaxation ou temps de réponse de la particule, dont l'expression en régime de Stokes est donnée par :

$$ \tau_p = B m_p = \frac{\rho_p d_p^2}{18 \mu} = \frac{v_s}{g} \quad \text{pour } R_{ep} < 1 \qquad (B.11) $$
$\tau_p$ caractérise le temps que met une particule pour ajuster sa vitesse lorsqu'elle est soumise à une nouvelle condition d'écoulement : $\tau_p$ traduit dont les effets d'inertie de la particule, et ne dépend que de la masse et de la mobilité de la particule. Le temps de relaxation n'est donc pas sensible à la nature ou à l'amplitude de la force externe exercée sur la particule.

Hinds (1982) a dégagé la signification physique du temps de relaxation en considérant l'accélération d'une particule làchée avec une vitesse initiale nulle dans de l'air au repos (tableau B.1). Il a montré que l'expression de la vitesse instantanée de la particule, notée $v_p(t)$, est telle que :

$$v_p(t) = v_s \left[ 1 - \exp \left( -\frac{t}{\tau_p} \right) \right] \qquad (B.12)$$

avec comme conditions aux limites : $v_p(0) = 0$ pour $t = 0$ et $v_p(t) = v_s$ pour $t \gg \tau_p$.

De cette relation (B.12), il se dégage que la vitesse de la particule atteint 63 % de sa valeur d'équilibre lorsque $t = \tau_p$, et qu'elle est pratiquement égale à $v_s$ (95 %) pour $t = 3 \tau_p$. Dans le tableau B.1, nous pouvons également vérifier que les particules dont le diamètre est inférieur à 100 µm atteignent rapidement leur vitesse limite de chute.

<table><caption>Tableau B.1 : Temps mis (défini par $3 \tau_p$) par des particules sphériques de masse volumique $\rho_p = 1000 \text{ kg.m}^{-1}$ pour atteindre leur vitesse limite de chute dans des conditions standards (20° C, et à pression atmosphérique), d'après Hinds</caption><thead><tr><td>Diamètre $d_p$ [µm]</td><td>3 $\tau_p$ [ms]</td></tr></thead><tbody><tr><td>0.01</td><td>0.00002</td></tr><tr><td>0.1</td><td>0.00026</td></tr><tr><td>1.0</td><td>0.011</td></tr><tr><td>10</td><td>0.94</td></tr><tr><td>100</td><td>92</td></tr></tbody></table>

Le temps de relaxation est un concept important pour les écoulements chargés en particules solides. Il est un indicateur de la réponse des particules aux mouvements du fluide porteur. Lorsque l'échelle de temps des fluctuations de la vitesse du fluide porteur est inférieure à $\tau_p$, les particules ne sont pas affectées par ces fluctuations, car elles n'ont
pas le temps de s'y adapter. En revanche, lorsque les fluctuations de la vitesse du fluide porteur sont définies par des échelles de temps plus importantes que $\tau_p$, les particules solides suivent parfaitement le mouvement du fluide et se comportent comme un traceur (pas d'inertie).

## B.3 Glossaire

**Agent pathogène** : micro-organisme capable de déterminer une pathologie sur une plante-hôte. Les agents pathogènes sont des bactéries, des champignons, des mycoplasmes et des virus

**Alsomitra macrocarpa** : graine de cucurbitacée javanaise appellée la grande zannonie. Large comme la main avec des aillettes ultra mince, aux extrémités recourbées comme un boomerang, son noyau situé exactement au centre de gravité est d'une stabilité absolue (figure B.2a). Cette dissémination par graines ailées est courante, mais il n'existe pas d'autre exemple de vol plané naturel aussi parfait que celui de la graine de zannonie

**Ambrosia elatior L.** : nom commun : ambroisie à feuilles d'armoise. L'Ambroisie se développe particulièrement sur les terres mal entretenues, à l'abandon, en friches ou en jachères. Les pollens d'Ambroisie (de taille moyenne de 20 µm) provoquent en août et en septembre, chez certaines personnes, des manifestations allergiques

**Anémophile** : dont la pollinisation est assurée par le vent

**Anthère** : partie terminale de l'étamine où se forment les grains de pollen

**Ascospore** : spore issue de la reproduction sexuée des champignons

**Bactérie** : micro-organisme unicellulaire possédant un noyau à un seul chromosome. Les bactéries pathogènes ont la faculté de se multiplier activement en peu de temps et de produire des substances toxiques pour leur hôte. Elles déterminent chez la plante-hôte des flétrissements, des pourritures molles, des tumeurs ou des nécroses
**Biodiversité** : ce terme nouveau est celui retenu par les autorités pour désigner le caractère de diversité maximum des différents concepts commençant par « Bio » tels que biologie, biomasse, biotope...

**Biotechnologies** : techniques de génie génétique qui permettent de transférer dans le patrimoine génétique d'un organisme un ou plusieurs gènes apportant une caractéristique nouvelle. Les techniques de génie génétique peuvent être appliquées aussi bien sur des organismes animaux ou végétaux que sur des micro-organismes. Les gènes introduits peuvent provenir de n'importe quel organisme : virus, bactérie, levure, champignon, plante ou animal

**Champignon** : végétal dont l'appareil végétatif ou thalle est dépourvu de racine, de tige et de feuille. Ce sont des champignons microscopiques qui seront le plus souvent évoqués en tant qu'agents pathogènes des végétaux

**Conidie** : terme général désignant une spore issue de la multiplication végétative d'un champignon et produite au niveau d'une tache sporulante

**Conidiophore** : filament différencié d'un champignon, spécialisé dans la production des conidies

**Cucurbita** : nom commun : courge. Le transport du pollen de la courge, dont la taille est assez importante 200 µm, est assuré avant tout par les insectes butineurs

**Dissémination** : étape de libération et de transport de l'agent pathogène vers une autre plante-hôte ou un autre organe de la plante-hôte et abattissant à la propagation de la maladie

**Entomophile** : dont la pollinisation est assurée par les insectes

**Erysiphe graminis** : nom commun : Oïdium des Céréales. Champignon parasite qui attaque des cultures de blé. La dissémination se fait par les conidies
**Foyer** : point de départ d'une épidémie. Le foyer primaire peut être constitué par une ou plusieurs plantes attaquées lors de la contamination primaire à l'intérieur ou à l'extérieur de la parcelle qui sera touchée par l'épidémie

**Helminthosporium maydis** : non scientifique: Setosphaeria turcica. Champignon pathogène très fréquent chez le maïs, caractérisé alors par taches rouilles sur les feuilles

**Hôte** : individu (plante-hôte) ou population (population-hôte) susceptibles d'être contaminés par un agent pathogène

**Lycopodium** : nom commun: Lycopode. Les lycopodes sont des plantes d'assez petite taille qui s'apparentent aux fougères. Elles se distinguent notamment par le fait qu'elles se multiplient par des spores et non des graines, contrairement à la plupart des autres plantes. La spore Lycopodium est de loin la plus utilisée pour des campagnes de dispersion. Sa taille est identifiée à 32 µm

**Myosotis arvensis** : pollen de la Myosotis des champs. Plante grêle, aux poils non piquants

**OGM** : un organisme génétiquement modifié, ou OGM, est défini par la réglementation européenne comme «un organisme dont le matériel génétique a été modifié d'une manière qui ne s'effectue pas naturellement par multiplication et/ou par recombinaison naturelle» (article 2 de la directive 2001/18)

**Parasite** : agent pathogène qui est capable de vivre aux dépens de tissus vivants ou morts de la plante hôte

**Pollen** : on parle de pollen lors de la dissémination et de la reproduction des plantes à fleurs. Le pollen étant l'élément sexuel mâle transporté sur le stigmate et s'acheminant, grâce au tube que produit sa germination jusqu'à l'élément sexuel femelle inclus dans la fleur. La taille des grains de pollens varie de 2.5 µm à 200 µm

**Pollinisation** : transport du pollen sur le stigmate de la fleur femelle
Puccinia recondita : nom commun: rouille brune du blé. Parasite du blé dur dont la dissémination des urédospores par le vent peut avoir lieu sur de longues distances (20 km)

Puccinia striiformis : nom commun: rouille jaune du Blé. Parasite qui attaque le blé dur

Spore : organe de conservation ou de propagation des champignons. La spore est le plus petit élément pouvant assurer la perpétuation (conservation ou propagation) d'un champignon. Chez certains champignons, les spores sont contenues dans un sac (= sporange). Ce sporange joue souvent le rôle de conidie dans la dissémination de l'agent pathogène. On parle de spores lors de la dissémination et de la reproduction des algues, champignons, mousses et cryptogames vasculaires (prêles, fougères)

Transgénèse : intégration stable d'un gène étranger dans un génome hôte

Uncinula necator : nom commun: Oïdium de la vigne. Parasite de la vigne. L'agent principal de dissémination est le vent, les spores étant généralement dispersées individuellement sur de faibles distances. Cependant, elles peuvent être libérées en clusters lors de rafales de vents car elles se forment en chainette sur la plante hôte. La spore est une particule de forme ovoïdale de dimension de 30 µm de longueur et de 15 µm de largueur (figure B.2c)

Urédospore : spore chez les Rouilles

Virus : micro-organisme élémentaire constitué de matériel génétique protégé ou non par une coque protéique et obligé de vivre dans les cellules de son hôte dont il détourne le système enzymatique à son profit

Zea mays : nom commun: maïs. Pollen de forme sphérique de dimension comprise entre 90 µm et 100 µm (figure B.2b)
<figure><img src="image_105.png" /><figcaption>Figure B.2 : *Photographies de (a) graine, (b) pollen, (c) spore*</figcaption></figure>

Une grande partie de ces informations est issue d'internet, en particulier sur les sites suivants :

http://www.inra.fr/Internet/Produits/HYP3/pathogene/

http://perso.wanadoo.fr/pollens/

http://www.rnsa.asso.fr/

http://membres.tripod.fr/bionicien/bionicien.html

http://www.finances.gouv.fr/ogm/
<figure><img src="image_106.png" /></figure>
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  </tr>
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  </tr>
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  </tr>
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  </tr>
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<table>
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  </tr>
  <tr>
    <td>[Brunet 97]</td>
    <td>Y. BRUNET. Les relations forêt-atmosphère: le cas de la région landaise. Colloque ARBORA, p. 1-9. 1997.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>[Brutsaert 82]</td>
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  </tr>
  <tr>
    <td>[Byun 90]</td>
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  </tr>
  <tr>
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  </tr>
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  </tr>
  <tr>
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    <td>A. C. CHAMBERLAIN. The movement of particles in plant communities. Vegetation and the Atmosphere, vol. 1: Principles, p. 155-204, 1975.</td>
  </tr>
  <tr>
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Résumé :

Ce travail de thèse a pour objet le développement d'un modèle numérique de dispersion de particules biotiques, basé sur la résolution des équations de la couche limite atmosphérique. L'accent est porté sur l'élaboration d'un code capable de simuler des écoulements pour des configurations de paysages hétérogènes, car la dispersion des particules est fortement influencée par la structure même du paysage. Le modèle dynamique utilise les équations de Reynolds simplifiées dans le cadre des hypothèses de Boussinesq et la turbulence est traitée par une approche statistique (modèles $k-l$ et $k-\varepsilon$). Le système d'équations mis en place permet de modéliser les principaux processus physiques à deux échelles différentes : la modélisation à grande échelle s'appuie sur la théorie de similitude de Monin et Obukhov, qui permet d'élaborer des lois de paroi pour simuler les transferts turbulents entre la surface apparente et la basse atmosphère ; la modélisation à l'échelle du couvert amène à résoudre explicitement l'écoulement dans la sous-couche rugueuse, définie par une canopée végétale, jusqu'à la surface du sol. La dispersion des particules est traitée par une approche eulérienne, qui considère l'ensemble des particules dans l'écoulement comme un champ de concentration continu, dont l'évolution est décrite par une équation de convection-diffusion. Le code de calcul est d'abord validé à partir de données expérimentales acquises dans diverses configurations, en soufflerie comme in situ : transition de rugosité de surface, turbulence en couvert homogène, alternances couvert-clairière-couvert, diffusion de spores en couvert homogène, diffusion de pollen en paysage discontinu. Une série de simulations est ensuite menée pour analyser l'influence de la structure de divers paysages complexes sur la dispersion de particules.

Mots-clés : dispersion atmosphérique, turbulence, écoulement atmosphérique, simulation numérique, particule biotique, pollen, couvert végétal, paysage, discontinuité

Summary :

The aim of this thesis is to develop a numerical model for the dispersal of biological particles, based on the resolution of the atmospheric boundary layer equations. As the dispersal of biological particles is strongly influenced by the landscape structure, one important point is to elaborate a tool able to simulate flows over heterogeneous landscape configurations. The aerodynamic model uses simplified Reynolds equations with the Boussinesq assumption and turbulence is treated by a statistical approach ($k-l$ and $k-\varepsilon$ models). The set of equations used here allows the main physical processes to be represented at two different scales. Large-scale modelling is based on the Monin-Obukhov similarity theory, which provides wall boundary conditions to model turbulent transfer between the apparent surface and the lower atmosphere. Canopy-scale modelling amounts to solve the flow equations in the entire roughness sublayer down to the soil surface. The model for particle dispersal is based on an Eulerian approach, which considers the set of particles in the flow as a continuous concentration field whose evolution is described by a convection-diffusion equation. In a first step the numerical model is validated against data sets from several in situ and wind-tunnel experiments: smooth-to-rough surface change, turbulence in a homogeneous canopy, forest-clearing sequences, spore diffusion in a homogeneous canopy, pollen diffusion across a discontinuous landscape. A series of simulations are then carried out to analyse the influence of various landscape structures on particle dispersal.

Keywords : atmospheric dispersal, turbulence, atmospheric flow, numerical simulation, biological particles, pollen, plant canopy, landscape, discontinuity