# Remarque sur la stabilité asymptotique de la solution d'un système d'équations différentielles à paramètre retardé

par Z. MIKOŁAJSKA (Kraków)

Dans la présente note nous démontrons un théorème sur la stabilité asymptotique de la solution $x = 0$ d'une système d'équations différentielles à paramètre retardé

$$ (1) \qquad x'(t) = f(t, x(t), x(t-h)), $$

où $h > 0$, $x = (x_1, ..., x_n)$, $f = (f_1, ..., f_n)$.

## § 1. Admettons les hypothèses suivantes:

HYPOTHÈSE H₁. $f(t, x, y)$ est une fonction continue pour $t \ge 0$,

$$ f(t, 0, ..., 0) \equiv 0 \quad \text{pour} \quad t \ge 0, -\infty < x, y < +\infty. $$

Il existe une fonction continue $V(x)$ positive pour $x \neq 0$.

$$ (1.1) \qquad V(0) = 0, \quad V(x) > P > 0 \quad \text{pour} \quad \|x\| \ge R_0, $$

$V(x)$ est de classe $C^1$ pour $x \neq 0$.

Il existe deux fonctions continues $K(u), R(t, u)$ telles que

$$ (1.2) \qquad \sum_{i=1}^{n} V_{x_i} f_i = V_x(x) f(t, x, y) \le K(V(x)) + R(t, V(y)) \quad \text{pour } x \ne 0, t \ge 0, $$

$K(u)$ est de classe $C^1$, $R(t, u)$ est continue pour $t \ge 0$, $u \ge 0$ et de classe $C^1$ pour $u > 0, t \ge 0$,

$$ (1.3) \qquad K(0) = R(0, 0) = 0 \quad \text{pour } t \ge 0, $$

$$ (1.4) \qquad \lim_{u \to \infty} R(t, u) = \infty, $$

$$ (1.5) \qquad R_t(t, u) < 0, \quad R_u(t, u) > 0 \quad \text{pour} \quad t \ge 0, u > 0, $$

$$ (1.6) \qquad K(u) + R(t, u) < 0 \quad \text{pour} \quad t \ge 0, u > 0. $$
HYPOTHÈSE $H_2$. Pour chaque $u_0 > 0$ on a

$$
(1.7) \qquad \lim_{t \to \infty} R(t, u_0) = 0,
$$

$$
(1.8) \qquad K'(u) < 0 \quad \text{pour } u \ge 0.
$$

THÉORÈME T. Sous les hypothèses $H_1$ et $H_2$ la solution du système (1) est asymptotiquement stable.

Démonstration. Considérons une solution quelconque $x(t)$ du
système (1) telle que

$$
|x(t)| \le M \quad \text{pour} \quad -h \le t \le 0, x(0) \ne 0.
$$

Dans la note [1] nous démontré que sous les hypothèses $H_1$ la fonction
$v(t) = V(x(t))$ satisfait à l'inégalité

$$
(1.9) \qquad v(t) \le w(t),
$$

où $w(t)$ est la solution de l'équation

$$
(1.10) \qquad w'(t) = K(w(t)) + r - K(M),
$$

$$
w(0) = M, \quad r = \max(M, R(0, M + \eta_0) + K(M)), \quad \eta_0 > 0 \text{ (quelconque).}
$$

Posons par définition $\rho = r - K(M)$.

En vertu de (1.8) on a

$$
(1.11) \qquad K(w) + \rho < 0 \quad \text{pour} \quad w > k(-\rho),
$$

où $k(u)$ est la fonction inverse de $K(u)$.

En vertu de (1.8) on a

$$
(1.12) \qquad k(-\rho) = k(K(M) - r) > k(K(M)) = M
$$

et par suite, d'après (1.11) et (1.10),

$$
(1.13) \qquad w(t) < k(-\rho) \quad \text{pour} \quad t \ge 0;
$$

$\rho \to 0 \quad \text{pour} \quad M \to 0;$

par conséquent l'inégalité (1.13) entraîne la stabilité de $x - 0$ pour l'équation (1). Pour démontrer la stabilité asymptotique il suffit de prouver que $v(t) \to 0$ pour $t \to \infty$.

En vertu de (1.2), (1.9) et (1.13) on a

$$
(1.14) \quad v'(t) \le K[v(t)] + R(t, v(t-h)) \le K[v(t)] + R(t, k(-\rho))
$$

pour $t \ge 0$ telles que $v(t) \ne 0$.

Envisageons une solution $z(t)$ de l'équation

$$
(1.15) \qquad z'(t) = K(z) + R(t, k(-\rho)), \quad z(0) = M.
$$
On a, en vertu de (1.14) ($z(t)$ étant positive),

$$ (1.16) \qquad 0 \le v(t) < z(t) \quad \text{pour} \quad t \ge 0. $$

Il suffit donc de prouver que $z(t) \to 0$ pour $t \to \infty$. Considérons la courbe $C_\rho$ définie par l'équation

$$ (1.17) \qquad K(u) + R(t, k(-\rho)) = 0 \quad \text{sur } C_\rho $$

c'est-à-dire

$$ (C_\rho): u = k(-R(t, k(-\rho))) = g(t). $$

On a pour $u > g(t)$

$$ (1.18) \qquad K(u) + R(t, k(-\rho)) < 0 $$

et

$$ (1.19) \qquad K(u) + R(t, k(-\rho)) > 0 \quad \text{pour } u < g(t). $$

En vertu de (1.7) on a

$$ (1.20) \qquad \lim_{t \to \infty} g(t) = 0. $$

Considérons $g'(t)$. On a

$$ g'(t) = -k'(-R(t, k(-\rho)))R(t, k(-\rho)) $$

et par suite, en vertu de (1.8) et (1.5),

$$ (1.21) \qquad g'(t) < 0 \quad \text{pour} \quad t \ge 0. $$

Supposons qu'il existe un $t_0 \ge 0$ tel que

$$ (1.22) \qquad z(t_0) = g(t_0). $$

En vertu de (1.17), (1.15) et (1.21) on a

$$ z'(t_0) = 0 > g'(t_0), $$

d'où il vient

$$ z(t) > g(t) \quad \text{pour} \quad t > t_0, $$

$$ z(t) < g(t) \quad \text{pour} \quad t < t_0. $$

et par suite

$$ z'(t) < 0 \quad \text{pour} \quad t > t_0. $$

d'où il résulte que $z(t)$ est décroissante pour $t > t_0$. L'hypothèse que $z(t)$ ne tend pas vers zéro pour $t \to \infty$ implique ainsi qu'il existe une constante $\alpha > 0$ telle que

$$ z(t) > \alpha > 0 \quad \text{pour} \quad t \ge t_0. $$
En vertu de (1.20) il existe une constante $t_1 \ge t_0$

$$g(t) < a \quad \text{pour} \quad t \ge t_1.$$

On a donc

$$(1.24) \qquad K(a) + R(t_1, k(-\rho)) < 0.$$

$K(u)$ étant décroissante (cf. (1.8)), on a en vertu de (1.23) et (1.5)

$$z'(t) = K(z) + R(t, k(-\rho)) \le K(a) + R(t_1, k(-\rho)) = b \quad \text{pour} \quad t \ge t_1$$

et par suite

$$a < z(t) \le z(t_1) + b(t - t_1) \quad \text{pour} \quad t \ge t_1;$$

b étant négatif on obtient en passant à la limite $t \to \infty$, $0 < a \le -\infty$.

La contradiction obtenue démontre que $\lim_{t \to \infty} z(t) = 0$ et par suite, en vertu de (1.16), $v(t) \to 0$, d'où il vient $x(t) \to 0$ pour $t \to \infty$.

L'hypothèse que $0 < z(t) < g(t)$ pour $0 \le t < \infty$ donne aussi $z(t) \to 0$ pour $t \to \infty$.

Le même raisonnement peut être répété dans le cas où $x(0) = 0$ pour $t \ge \tau_0$, où $\tau_0 > 0$ est tel que $x(\tau_0) \ne 0$ et $v(t) \le M$ pour $0 \le t \le \tau_0$. La stabilité asymptotique est ainsi démontrée.

## § 2. EXEMPLE. On peut considérer le système

$$x'(t) = f(t, x(t)) + g(t, x(t), x(t-h)),$$

où les fonctions continues $f(t, x)$ et $g(t, x, y)$ satisfont aux hypothèses suivantes:

$$ \begin{array}{l} x f(t, x) \le -a ||x||^2, \quad a > 0, \\ ||g(t, x, y)|| \le R(t, ||y||), \\ f(t, 0) = g(t, 0, 0) = 0, \\ R_t(t, v) < 0, \quad R_v(t, v) > 0, \\ 0 < R(t, v) < av \quad \text{pour} \quad v > 0, t \ge 0, \\ \lim_{t \to \infty} R(t, v) = 0. \end{array} $$

Dans le cas envisagé on peut poser

$$V(x) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2} = ||x||;$$

on a ainsi

$$ \begin{align*} V_x(x)f(t, x) &= \frac{x f(t, x)}{||x||} \le -a ||x||, \\ V_x(x)g(t, x, y) &\le R(t, ||y||). \end{align*} $$
L'équation (1.10) prend la forme

$$w' = -aw + r + aM,$$

et l'équation (1.15) devient:

$$z' = -az + R(t, -\frac{\rho}{a}).$$

## Travaux cités

[1] Z. Mikolajska, *Sur la stabilité des solutions d'un système e d'équations différen tielles à paramètre retardé*, Ann. Polon. Math. ce volume p. 153-162.

Reçu par la Rédaction le 7. 6. 1966