# Filtrage de processus a representation markovienne
poissonnienne

Samer Attasi

► To cite this version:

Samer Attasi. Filtrage de processus a representation markovienne poissonnienne. [Rapport de recherche] IRIA-RR-018, IRIA. 1973, pp.172. hal-04715918

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Inv: 01979

RR 18

RIA
laboria

laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

Filtrage de processus
à représentation
"Markovienne
Poissonnienne"

Samer Attasi

172+VII

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
78150 - Le Chesnay
Tél. 954.90.20

Rapport de Recherche n°18

mai 1973
<figure><img src="image_2.png" /></figure>
FILTRAGE DE PROCESSUS A REPRÉSENTATION
«MARKOVIENNE POISSONNIENNE»

S. Attasi

(présenté par P. Faurre)

Ce travail présente l'établissement et la mise en oeuvre d'algorithmes de filtrage récursif pour des processus stochastiques représentables par la sortie bruitée d'un système linéaire excité par un processus de poisson généralisé.

Divers algorithmes sont proposés qui réalisent des approximations du filtre optimal, lequel ne peut être représenté par un nombre fini d'équations.

Ces algorithmes sont testés et comparés entre eux, le critère statistique étant la "blancheur" de l'innovation caractérisée par sa fonction d'autocorrélation. Tous les algorithmes testés paraissent satisfaisants au sens de ce critère ; cependant, un algorithme linéaire de structure semblable à celle du filtre de Kalman semble, en outre, présenter des qualités de stabilité et de facilité de mise en oeuvre.

This work presents the derivation and implementation of algorithms of recursive filtering for stochastic processes that may be represented as the noisy output of a linear system with generalized poisson input.
Various algorithms are proposed which realize approximations to the optimal filter which cannot be represented by a finite number of equations.

These algorithms are tested and compared with one another, the criterion, being the "whiteness" of the innovation process tested by its autocorrelation function. All algorithms seem to be satisfactory, when this only criterion is concerned. However one of them, a linear filter, whose structure is the same as that of Kalman filter has some advantages of stability and relative simplicity.
TABLE DES NOTATIONS

X, Y, v, w : processus stochastiques vectoriels.

M, D, B, F, H : Matrices

X^T, M^T : Transposés du vecteur ou de la matrice

X/Y : variable X "conditionnée" par Y

E[X] : Espérance mathématique de la variable X

Pr[E] : Probabilité de l'évènement E

[5] : Référence n° 5

(2, 23) : Équation 23 du paragraphe II.

FIG III, 1 : Figure 1 du chapitre III

FIG 3,1 : Figure 1 de l'annexe 3

D'autres notations sont définies dans le texte avant leur utilisation.
TABLE DES MATIERES

<table><thead><tr><th></th><th></th><th>PAGE</th></tr></thead><tbody><tr><td>I.</td><td>INTRODUCTION</td><td>1</td></tr><tr><td>I. 1.</td><td>Filtrage des processus à représentation Markovienne</td><td>1</td></tr><tr><td>I. 1. 1.</td><td>Signaux à représentation Markovienne : filtre récursif</td><td>1</td></tr><tr><td>I. 1. 2.</td><td>Critère d'optimalité</td><td>4</td></tr><tr><td>I. 1. 3.</td><td>Filtrage non linéaire</td><td>4</td></tr><tr><td>I. 2.</td><td>Présentation du travail</td><td>6</td></tr><tr><td>I. 2. 1.</td><td>Choix du modèle</td><td>6</td></tr><tr><td>I. 2. 2.</td><td>Résumé du travail</td><td>8</td></tr><tr><td>II.</td><td>FILTRAGE DE PROCESSUS "MARKOVIENS-POISSONNIENS" - ETUDE THEORIQUE</td><td>10</td></tr><tr><td>II. 1.</td><td>Enoncé du problème</td><td>10</td></tr><tr><td>II. 2.</td><td>Définition du modèle étudié</td><td>11</td></tr><tr><td>II. 3.</td><td>Recherche de la densité de probabilité conditionnelle</td><td>12</td></tr><tr><td>II. 3. 1.</td><td>Etablissement de l'équation d'évolution de la densité de probabilité à priori</td><td>12</td></tr><tr><td>II. 3. 2.</td><td>Equation d'évolution de la densité de probabilité conditionnelle</td><td>15</td></tr><tr><td>II. 4.</td><td>Recherche de l'équation d'évolution de l'espérance conditionnelle</td><td>18</td></tr><tr><td>II. 4. 1.</td><td>Résultats préliminaires</td><td>18</td></tr><tr><td>II. 4. 2.</td><td>Application et résultat</td><td>18</td></tr><tr><td>II. 5.</td><td>Recherche de l'équation d'évolution de la covariance de l'erreur</td><td>22</td></tr><tr><td>II. 5. 1.</td><td>Détermination de dXX<sup>T</sup></td><td>22</td></tr><tr><td>II. 5. 2.</td><td>Détermination de dXX<sup>2</sup></td><td>24</td></tr><tr><td>II. 5. 3.</td><td>Equation d'évolution de Σ</td><td>28</td></tr></tbody></table>
II. 6. Approximations proposées.................. 29

II. 6. 1. Résultats préliminaires.................. 29

II. 6. 2. Approximation par le filtre de Kalman.... 32

II. 6. 3. Deuxième approximation.................. 32

II. 6. 4. Stabilité des algorithmes de filtrage.... 36

II. 7. Conclusion - Récapitulation des résultats 39

II. 7. 1. 1ère approximation(\hat{X}_i - \hat{X}_i)(\hat{X}_j - \hat{X}_j)(\hat{X}_k - \hat{X}_k)=0 39

II. 7. 2. 2ème approximation
\hat{X}_i\hat{X}_j\hat{X}_k = E[X_iX_jX_k] = m_{ijk}.................. 39

III. FILTRAGE DES SYSTEMES LINEAIRES - ENTREE POISSONNIENNE
ETUDE EXPERIMENTALE.................................. 41

III. 1. Génération de signaux "poissonniens"..... 41

III. 1. 1. Génération des instants poissonniens..... 41

III. 1. 2. Génération du bruit poissonnien......... 43

III. 1. 3. Schéma pratique simplifié.................. 44

III. 1. 4. Réalisation.................................. 45

III. 2. Test du générateur d'instants poissonniens.................. 47

III. 2. 1. Principe.................................. 47

III. 2. 2. Méthode.................................. 47

III. 2. 3. Schéma général du déroulement du programme de test.................. 49

III. 2. 4. Programme mis en oeuvre.................. 50

III. 2. 5. Description détaillée.................. 50

III. 2. 6. Résultats expérimentaux.................. 53

III. 2. 7. Conclusion.................................. 55

III. 3. Critères utilisés pour le filtrage analogique et numérique.................. 56

III. 3. 1. Fonction d'autocorrélation de l'innovation 56

III. 3. 2. Enregistrements simultanés des signaux et de leurs estimées.................. 57

III. 4. Filtrage analogique.................. 58

III. 4. 1. Introduction.................................. 58
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>III. 4. 2.</td>
      <td>Schémas de câblage</td>
      <td>60</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III. 4. 3.</td>
      <td>Problème du choix du paramètre R</td>
      <td>62</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III. 4. 4.</td>
      <td>Mise en oeuvre et cirtères de comparaison</td>
      <td>63</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III. 4. 5.</td>
      <td>Résultats</td>
      <td>65</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III. 4. 6.</td>
      <td>Conclusion</td>
      <td>67</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III. 5.</td>
      <td>Filtrage numérique</td>
      <td>69</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III. 5. 1.</td>
      <td>Introduction</td>
      <td>69</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III. 5. 2.</td>
      <td>Problèmes posés par le filtrage numérique en temps réel</td>
      <td>70</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III. 5. 3.</td>
      <td>Organisation de la manipulation de filtrage numérique</td>
      <td>72</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III. 5. 4.</td>
      <td>Détermination des matrices et des paramètres du système</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III. 5. 5.</td>
      <td>Méthodes d'intégration utilisées</td>
      <td>74</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III. 5. 6.</td>
      <td>Mise en oeuvre numérique du filtrage</td>
      <td>75</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III. 5. 7.</td>
      <td>Résultats</td>
      <td>92</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III. 5. 8.</td>
      <td>Conclusion</td>
      <td>95</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.</td>
      <td>CONCLUSION GENERALE</td>
      <td>96</td>
    </tr>
    <tr>
      <td></td>
      <td>REFERENCES</td>
      <td>98</td>
    </tr>
    <tr>
      <td></td>
      <td>ANNEXE 1</td>
      <td>103</td>
    </tr>
    <tr>
      <td></td>
      <td>Observations discrètes</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td></td>
      <td>ANNEXE 2</td>
      <td>107</td>
    </tr>
    <tr>
      <td></td>
      <td>Définition de certains processus stochastiques</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td></td>
      <td>ANNEXE 3</td>
      <td>110</td>
    </tr>
    <tr>
      <td></td>
      <td>Résultats du programme de test des instants poissonniens.</td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <td></td>
      <td>ANNEXE 4</td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td></td>
      <td>Quelques réalisations de processus markoviens poissonniens.</td>
      <td></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
ANNEXE 5.................................................. 125
Résultats du filtrage analogique. Comparaison des
3 algorithmes de filtrage.

ANNEXE 6.................................................. 139
Résultats du filtrage numérique. Comparaison de
l'algorithme non linéaire (X, XX') et de l'algorithme
linéaire.

ANNEXE 7.................................................. 159
Listing des divers programmes rédigés
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
# I. INTRODUCTION

## I. 1. Filtrage des processus à représentation Markovienne.

L'étude que nous présentons se place dans le contexte du filtrage en temps réel des processus stochastiques.

Dans un tel problème, il s'agit en général d'établir des algorithmes qui, compte tenu de l'observation bruitée d'un signal éventuellement multivariable, élaborent la meilleure estimée de ce signal au sens d'un certain critère.

### I. 1. 1. Signaux à représentation Markovienne : filtre récursif.

Une classe très importante de signaux est celle qui possède le caractère Markovien, à savoir que l'on peut définir un ensemble de paramètres ($X_1(t), \dots, X_n(t)$) qui déterminent à tout instant le signal et qui "résument" le passé (les valeurs futures ($X_1(\tau), \dots, X_n(\tau)$) pour $\tau \ge t$ ne dépendront que de ($X_1(t), \dots, X_n(t)$)).

Le processus $X(t) = (X_1(t), \dots, X_n(t))$ ainsi défini est dit Markovien, l'observation est dite à représentation Markovienne.

Dans ce cas, l'algorithme de filtrage statistique peut être récursif, puisque l'estimation de $X(t)$ peut se faire au fur et à mesure des observations sans tenir compte des valeurs passées.

L'intérêt des processus Markoviens apparaît ainsi pleinement.
D'autre part, moyennant des hypothèses de régularité d'origine purement mathématique (separabilité, continuité en moyenne quadratique) les processus Markoviens peuvent être considérés comme des intégrales stochastiques [3] [4].

Physiquement parlant, une intégrale stochastique peut être interprétée comme l'état d'un système dynamique, linéaire ou non, excité par la "dérivée" d'un processus à incréments indépendants.

D'autre part, un théorème de décomposition [3] [5], montre qu'un processus à incréments indépendants peut se décomposer d'une manière unique en somme d'un processus de Wiener, et d'un processus de Poisson généralisé, indépendants entre eux.

Intuitivement, la "dérivée" du processus de Wiener est le "bruit blanc gaussien", la "dérivée" du processus de Poisson généralisé est une suite d'impulsions que nous appelons "bruit blanc poissonnien" et que nous préciserons plus tard.

On voit ainsi que dans un cas très général un processus Markovien "régulier" est l'état d'un système dynamique excité par la somme d'un "bruit blanc gaussien" et d'un "bruit blanc poissonnien".

On trouvera en annexe 2, à titre indicatif, les définitions des divers types de processus cités ci-dessus.

<footnote>* La dérivée en question est prise au sens des distributions.</footnote>
On peut donc caractériser un processus "régulier" à représentation Markovienne par les équations matricielles suivantes :

Equation stochastique d'état :

$$dX = f(X,t)dt + G(X,t) (dv_G + dv_F)$$

dv_G différentielle du processus de Wiener

dv_F différentielle du processus de Poisson généralisé

Equation stochastique de mesure :

$$dY = h(X,t)dt + l(X,t) (dw_G + dw_F)$$

dw_G différentielle du processus de Wiener

dw_F différentielle du processus de Poisson généralisé

Vers 1960, KALMAN a résolu le problème du filtrage dans un cas très précis. Les équations stochastiques correspondant à son modèle étaient :

$$dX = FX dt + dv_G$$

$$dY = HY dt + dw_F$$

F et H étant des matrices de dimensions appropriées.

Le critère d'optimalité était la minimisation de la covariance de l'erreur. Ainsi, le modèle était un modèle linéaire avec des bruits blancs gaussiens. L'établissement de son algorithme récursif faisait appel aux propriétés intrinsèques des variables gaussiennes, et ce peut constituer une méthode d'approche générale au problème du filtrage des processus à représentation Markovienne.
I. 1. 2. Critère d'optimalité.

Pour les signaux à représentation Markovienne le critère généralement pris est celui de la minimisation de la covariance de l'erreur entre l'état X(t) et son estimée ŶX(t).

En effet, il correspond bien à des exigences pratiques d'une part, puisque la covariance de l'erreur correspond à "une puissance d'erreur", et d'autre part, la meilleure estimée dans ce cas est l'espérance de X(t) conditionnellement aux mesures jusqu'à l'instant t, et qui se prête fort bien à des traitements algébriques et analytiques. C'est donc de ce critère qu'il s'agira par la suite chaque fois que nous parlerons du filtrage.

I. 1. 3. Filtrage non linéaire.

Le problème général tel qu'il a été posé ci-dessus a fait l'objet de maintes recherches qui constituent le domaine de ce qu'on appelle, le filtrage non linéaire.

Sur le plan de la théorie, la littérature est très riche. On peut citer SKOKOKHOD [6], KUSHNER [7], BUCY [8], DUNCAN [9]; SIRJAEV [1].

Mais ces recherches sont très loin des applications pratiques, et ne s'intéressent presque toujours qu'aux aspects mathématiques de la question; conditions minimales pour assurer certaines propriétés, existence et unicité des solutions, etc...

Plus proche de la pratique, on trouve FISHER et STEAR [10] [11], qui parfois au sacrifice d'une certaine rigueur mathématique [10], établissent des résultats sur des modèles plus concrets, sans toutefois proposer ou mettre en oeuvre un algorithme directement utilisable.

Notons qu'à notre connaissance très peu d'applications pratiques ont été publiées. Par applications pratiques nous entendons l'établissement et la mise en oeuvre d'algorithmes de
filtrage sur des modèles concrets.

Il existe certes quelques exemples dans [19], mais aucun d'entre eux ne traite de systèmes linéaires ou non, excités par des "bruits blancs poissonniens".
# I. 2. Présentation du travail.

Dans l'esprit de ce qui a été dit plus haut, il paraît donc intéressant de rechercher des algorithmes de filtrage pour des systèmes dynamiques excités par des "bruits blancs poissonniens".

Par ailleurs de tels systèmes se rencontrent souvent dans la pratique (bombardement de particules, satellite soumis à des météorites, rafales de vent).

Notre but est donc d'établir et de mettre en oeuvre des algorithmes récursifs de filtrage pour des processus Markoviens issus de systèmes excités par des "bruits blancs poissonniens".

## I. 2. 1. Choix du modèle.

### I. 2. 1. 1. Modèle à mesures continues.

Nous avons implicitement choisi dans notre discussion précédente un modèle à mesures continues, bien que ceci soit moins réaliste vis à vis du filtrage numérique qu'un modèle à mesures discrètes.

Les raisons de ce choix sont d'ordre mathématique.

En effet, dans le cas de mesures discrètes, la formation exacte du saut de l'estimée à l'instant d'une mesure est facile à trouver. Cependant, les équations de saut auxquelles on aboutit, et qui contiennent implicitement tous les moments d'ordre supérieur de la densité de probabilité conditionnelle, ne se prêtent pas à des approximations justifiables comme c'est le cas pour les mesures continues.

Nous présentons cependant en annexe 1, le calcul du saut de l'estimée dans le cas de mesures discrètes.
### I. 2. 1. 2. Modèle linéaire.

L'étude théorique et l'étude pratique que nous présentons dans le paragraphe suivant ont été faites sur un modèle linéaire.

La simplification expérimentale qui en résulte est évidente ne serait ce que pour la simulation du modèle. En outre, on peut envisager une infinité de types de non linéarités, conduisant à des structures de filtre, et à des propriétés différentes.

Aussi ce n'est qu'en présence d'un exemple concret de système non linéaire que l'on peut envisager d'établir un algorithme de filtrage.

Du point de vue théorique on peut étendre assez facilement les calculs de l'étude théorique aux systèmes non linéaires; mais l'on est obligé de s'arrêter aux approximations qui dépendront, comme nous l'avons indiqué, de chaque cas particulier.

### I. 2. 1. 3. Bruit de mesure.

Dans toute la littérature, le bruit de mesure est simplement un bruit gaussien.

L'introduction d'un bruit poissonnier de mesure engendre des difficultés analytiques considérables [10] qui à notre connaissance ne sont pas résolues.
I. 2. 2. Résumé du travail.

Notre travail comprend une étude théorique et une étude expérimentale.

I. 2. 2. 1. Etude théorique.

Celle-ci comprend plusieurs étapes :

Après la définition précise des statistiques du problème, on détermine l'équation d'évolution de la densité de probabilité conditionnelle.

La méthode que nous avons suivie est la détermination de l'évolution de la densité de probabilité à priori, puis en nous basant sur un résultat montré par SIRJAEV [1], nous aboutissons à une équation d'évolution de la densité de probabilité conditionnelle.

L'équation trouvée recoupe l'équation établie par Fisher et Stear [10] dont la démonstration n'est pas rigou-
-reuse sur des points particulièrement délicats.

L'étape suivante est la recherche de l'équation d'évo-
lution des divers moments de la densité de probabilité
conditionnelle, en particulier l'espérance conditionnelle,
et les moments du second ordre.

Ceci est réalisé par des intégrations de l'équation
d'évolution de la densité de probabilité conditionnelle et
par du calcul différentiel stochastique d'lTC [13].

Cependant, les équations obtenues contiennent impli-
citement tous les moments d'ordre supérieur de la densité
de probabilité conditionnelle.
La troisième étape est la proposition de diverses approximations du filtre optimal, qui permettent une mise en oeuvre pratique.

On aboutit alors à trois algorithmes de filtres sous optimaux : un algorithme linéaire semblable à l'algorithme de KALMAN, et deux algorithmes non linéaires.

### I. 2. 2. 2. Etude expérimentale.

C'est une mise en oeuvre pratique comprenant :

- La génération du processus à représentation Markovienne excité par un bruit blanc poissonnien ; la principale difficulté est de générer le bruit blanc poissonnien, et en particulier les instants poissonniens.

Une maquette alimentée par un générateur de bruit binaire a été conçue de manière à délivrer des impulsions à des instants poissonniens.

Un programme numérique a été rédigé, et a permis de vérifier qu'il en est très sensiblement ainsi.

- La mise en oeuvre des divers algorithmes d'approximation du filtre optimal ; le système dynamique étant cablé sur le calculateur analogique EAI 380, 2 types de filtrage ont été réalisés :

Filtrage analogique : le filtre correspondant à chacun des algorithmes a été cablé sur le calculateur analogique.

Filtrage numérique : 2 filtres (l'algorithme linéaire et un algorithme non linéaire) ont été programmés numériquement en langage ASMAT du T 2000.

En annexe, on trouve les résultats expérimentaux et certains développements théoriques, notamment une expression de l'espérance conditionnelle dans le cas de mesures discrètes.
ÉTUDE THEORIQUE.

II. 1. Enoncé du problème.

Le problème consiste à estimer un état Markovien, auquel
a accès par une mesure linéaire bruitée par un processus de Wiener
indépendant de l'état.

L'état est celui d'un système linéaire excité par un
processus à accroissements indépendants, du type processus de
Poisson généralisé.

Soit $X(t)$ l'état, $Y_{\text{ot}}$ l'ensemble des mesures jusqu'à l'instant $t$, la meilleure estimée au sens des moindres carrés, est l'espérance conditionnelle :

$$
\hat{X}(t) = E[X(t) / Y_{ot}]
$$

dont nous cherchons l'équation d'évolution.

Remarque :

Dans la suite, tous les paramètres définis dépendront
implicitement du temps.

Pour toute fonction $f (X,t)$ le symbole $\hat{f}(t)$ désignera
l'espérance conditionnelle de $f(X,t)$ à l'instant $t$, à
savoir $\hat{f}(t) = E[f(X,t) | Y_{ot}]$
## II. 2. Définition du modèle étudié.

Soit un système linéaire caractérisé par les équations
(2,1) :

$$ (2,1) \quad \begin{cases} dX = FX dt + dv \\ dY = HX dt + dw \end{cases} $$

X vecteur (nx1) : état du système

Y vecteur (mx1) : mesure bruitée

F (nxm), H (mxn) : matrices dépendant du temps

W : processus de Wiener : $E[w] = 0$ 	 $E[ww^T] = R (m×m)t$

v : processus "purement discontinu" à accroissements indépendants, ou "processus de Poisson généralisé".

Ainsi "dv" est une suite d'impulsions de poids $A_k(n×1)$, arrivant à des instants Poissonniens de densité $\lambda$.

Les poids $A_k$ sont indépendants entre eux, et de même loi qu'une variable $A(n×1)$ centrée de densité de probabilité $v(A)$.

De plus, on pose $E[AA^T]=C$

"dv" ainsi défini sera appelé "bruit blanc Poissonnien". 	 $dt$

dv et dw sont indépendants entre eux.
## II. 3. Recherche de la densité de probabilité conditionnelle.

### II. 3. 1. Etablissement de l'équation d'évolution de la densité de probabilité à priori.

#### II. 3. 1. 1. Densité de probabilité de dv.

D'après sa définition, $dv$ peut s'écrire :

$$dv = \sum_{t}^{t+dt} A_{k}(t_{k})$$

Définissons par :

$\varphi_{dv}(u)$ : fonction caractéristique de $dv$

$\varphi_A(u)$ : fonction caractéristique de $A$

l'évènement $E_n = \{n \text{ instants Poissonniens dans } (t, t+dt)\}$

$p_{dv}(\mu)$ : densité de probabilité de $dv$.

$P(E_n)$ : Probabilité de l'évènement $E_n$.

Nous pouvons écrire :

$$(2, 2) \quad p_{dv}(\mu) = \sum_{n=0}^{\infty} p_{dv}(\mu / E_n) P(E_n)$$

Soit, en prenant les transformées de Fourier des deux membres :

$$(2, 3) \quad \varphi_{dv}(u) = \sum_{n=0}^{\infty} \varphi_{dv}(u / E_n) P(E_n)$$

Or :

$$(2, 4) \quad \varphi_{dv}(u / E_n) = (\varphi_A(u))^n$$

En effet, $dv$ est alors la somme de $n$ variables $A_k$ indépendantes et de même loi.

D'autre part :

$$(2, 5) \quad P(E_n) = \frac{(\lambda dt)^n}{n!} e^{-\lambda dt}$$
En utilisant les relations(2, 4) et (2, 5) dans (2, 3), il vient :

$$ \varphi_{dv}(u) = \sum_{n=0}^{\infty} (\varphi_A(u))^n \frac{(\lambda dt)^n}{n!} e^{-\lambda dt} $$

Soit :

$$ \varphi_{dv}(u) = e^{\lambda} dt(\varphi_{A}(u) - 1) $$

$$ \varphi_{dv}(u) = 1 + \lambda dt(\varphi_{A}(u) - 1) + O(dt^{2}). $$

En reprenant la transformée de Fourier inverse, on obtient :

$$ (2, 6) \quad p_{dv}(\mu) = (1 - \lambda dt) \delta(\mu) + \lambda dt v(\mu) $$

Cette relation est vraie à O(dt²) près.

δ désigne l'impulsion de Dirac.

## II. 3. 1. 2. Equation d'évolution de la densité de probabilité de l'état à priori.

Soit $p_X(t)$ la densité de probabilité de $X$ à priori à l'ins-
-tant $t$;

et posons :

$$ dp(\mu, t) = p_X(t + dt)(\mu) - p_X(t)(\mu) $$

On a :

$$ (2, 7) \quad p_X(t + dt)(\mu, t) = \int_{-\infty}^{\infty} p_X(t + dt)(\mu/X(t)=\mu^*) p_X(t)(\mu^*) dt $$

Ou en vertu de l'équation (2, 1) :

$$ (2,8) \quad p_X(t + dt)(\mu/x(t) = \mu^*) = p_{dv}[\mu - \mu^* - F\mu^*dt] $$

Utilisons à présent l'équation (2, 6) que nous avons éta-
blie pour déterminer $p_{dv}(\mu-\mu^*-F\mu^*dt)$ ; il vient :

$$ (2, 9) \quad p_{dv}(\mu - \mu^* - F\mu^* dt) = (1 - \lambda dt) \delta(\mu - \mu^* - F\mu^* dt) + \lambda dt v(\mu - \mu^* - F\mu^* dt) + O(dt^2) $$
En utilisant un développement limité, on a :

$$ \alpha) \quad (1-\lambda dt) \delta(\mu-\mu^*-F\mu*dt) = (1-\lambda dt)[\delta(\mu-\mu^*) - \sum_j [F\mu^*]_j \frac{\partial \delta(\mu-\mu^*)}{\partial \mu_j} dt + O(dt^2)] $$

Soit :

$$ (1-\lambda dt) \delta(\mu-\mu^*-F\mu*dt) = \delta(\mu-\mu^*) - \lambda dt \delta(\mu-\mu^*) - dt \sum_j [F\mu^*]_j \frac{\partial \delta(\mu-\mu^*)}{\partial \mu_j} + O(dt^2) $$

$$ \beta) \quad \lambda dt v(\mu-\mu^*-F\mu*dt) = \lambda dt v(\mu-\mu^*) + O(dt^2) $$

En utilisant les résultats $\alpha$) et $\beta$) dans l'équation (2, 9) on a :

$$ p_{dv}(\mu-\mu^*-F\mu*dt) = \delta(\mu-\mu^*) - \lambda dt \delta(\mu-\mu^*) + \lambda dt v(\mu-\mu^*) - dt \sum_j [F\mu^*]_j \frac{\partial \delta(\mu-\mu^*)}{\partial \mu_j} + O(dt^2) $$

Reportons cette dernière relation dans (2, 7) en utilisant (2, 8) : il vient :

$$ p_x(t+dt)^{(\mu)} = p_x(t)^{(\mu)} - dt \sum_j \frac{\partial [(F\mu)^{(\mu)}]_j p_x(t)^{(\mu)}]}{\partial \mu_j} \\ + \lambda dt \left[ \int_{\mathbb{R}^n} v(\mu-\mu^*) p_x(t)^{(\mu^*)} d\mu^* - p_x(t)^{(\mu)} \right] $$

Cette relation étant vraie à $O(dt^2)$ près.

On en déduit en posant :

$$ p(\mu,t) = p_x(t)^{(\mu)} $$

$$ (2, 10) \quad dp(\mu,t) = -dt \sum_j \frac{\partial ((F\mu)^{(\mu)}_j p(\mu,t))}{\partial \mu_j} \\ + \lambda dt \left[ \int_{\mathbb{R}^n} v(\mu-\mu^*) p(\mu^*,t) d\mu^* - p(\mu,t) \right] $$

Nous avons ainsi établi l'équation d'évolution de la densité de probabilité à priori.
## II. 3. 2. Equation d'évolution de la densité de probabilité conditionnelle.

### II. 3. 2. 1. SIRJAN [1], montre le résultat suivant.

................

Soit un processus X Markovien, prenant des valeurs dis- -crètes $(\alpha, \beta, ...)$, avec :

$$p_{\beta}(\tau) \triangleq \mathrm{Fr}[X(\tau)=\beta]$$

$$p_{\beta\alpha}(\tau,t) \triangleq \mathrm{Fr}[X(\tau)=\beta | X(t)=\alpha]$$

Avec la condition :

$$\frac{p_{\beta\alpha}(t+\Delta t, t)-\delta(\beta, \alpha)}{\Delta t} \rightarrow \lambda\alpha\beta(t) \quad \text{lorsque} \quad \Delta t \downarrow 0$$

et $\lambda\alpha\beta$ borné.

Soit L l'opérateur de Kolmogorov de X :

$$dp_{\beta}(\tau) = L p_{\beta}(\tau)$$

Soit la mesure $dY = h(Y,X,t)dt + B(t)dw$ w mouvement Brownien indépendant de l'état.

h, B fonctions vérifiant des conditions de régularité vérifiées à fortiori par le modèle linéaire que nous considérons.

$$\text{Alors, si } q_{\beta}(\tau) \triangleq \mathrm{Fr}[X(\tau)=\beta | \text{mesure } (0,\tau)]$$

$q_{\beta}(\tau)$ vérifie l'équation d'évolution :

$$dq_{\beta}(\tau)=Lq_{\beta}(\tau)+q_{\beta}(\tau)(h(Y,X,\tau)-\hat{h}(\tau))(BB^{T})^{-1}(dY-\hat{h}(\tau)d\tau)$$

où le symbole $\hat{h}(\tau)$ représente l'espérance conditionnelle de $h(X(t),t)$ à l'instant $\tau$.
II. 3. 2. 2. Application du résultat précédent.

Les conditions formulées relatives à la mesure, sont
toutes trivalement vérifiées par notre modèle linéaire.

Le caractère Markovien, de l'état X de notre modèle
découle immédiatement de l'équation (2, 1) de départ, puisque
X apparaît comme l'état d'un système linéaire excité par un bruit
blanc.

La condition :

$$
\frac{p_{\beta\alpha}(t+\Delta t, t)-\delta(\beta, \alpha)}{\Delta t} \rightarrow \lambda_{\alpha\beta}(t) \text{ lorsque } \Delta t \downarrow 0
$$

$\delta(\beta, \alpha)$ symbole de Kronecker

$\lambda_{\alpha\beta}(t)$ borné

n'est qu'une condition de continuité et de dérivabilité
de la probabilité, que nous avons d'ailleurs implicitement admise
dans nos calculs jusqu'à présent.

Il reste la condition d'avoir un état X discret. Nous
admettons que le résultat démontré par SIRJAEV dans le cas d'un
état discret, sur les probabilités, reste valide à la limite,
c'est à dire sur les densités de probabilité dans le cas d'un
état continu.

Nous ne présenterons pas de justification théorique de
cette hypothèse, mais lors d'un récent séminaire à l'I. R. I. A.
(printemps 1971) SIRJAEV a présenté une extension de sa démons-
-tration au cas d'un état continu [2] ; ce type de démonstration
relève du domaine de la topologie et de la théorie de la mesure :
il dépasse largement le cadre et l'esprit de cette étude.

Remarquons que d'un point de vue expérimental le passage
à la limite ne représente pas un problème puisque de toutes façons
lors d'un filtrage numérique, toutes les données sont discrétisées.
Nous écrirons donc, compte tenu de l'équation (2, 10) que
nous avons démontrée :

$$
\begin{align*}
dq(\mu,t) &= -dt \sum_j \frac{\partial([F\mu]_j q(\mu,t))}{\partial \mu_j} \\
(2, 11) \qquad &+ \lambda dt \left[ \int_R^n v(\mu-\mu^*) q(\mu^*,t) d\mu^* - q(\mu,t) \right] \\
&+ (\mu - \hat{X})^T H^T R^{-1} (dY - H\hat{X} dt) q(\mu,t)
\end{align*}
$$

où $q(\mu,t)$ est la densité de probabilité conditionnelle à
l'instant $t$.
## II. 4. Recherche de l'équation d'évolution de l'espérance conditi-onnelle.

### II. 4. 1. Résultats préliminaires.

#### II. 4. 1. 1. Soit une fonction vectorielle $\Phi(\mu)$

On a par définition :

$$ \hat{\phi}(t) \triangleq \int_{\mathbb{R}^n} \Phi(\mu) q(\mu, t) d\mu $$

Posons :

$$ d\hat{\phi}(t) \triangleq \hat{\phi}(t+dt) - \hat{\phi}(t) $$

$$ d\hat{\phi}(t) = \int_{\mathbb{R}^n} \Phi(\mu) q(\mu, t+dt) d\mu - \int_{\mathbb{R}^n} \Phi(\mu) q(\mu, t) d\mu $$

Si $\Phi(X)$ est continue, on a :

$$ (2, 12) \quad d\hat{\phi}(t) = \int_{\mathbb{R}^n} \Phi(\mu) dq(\mu, t) $$

#### II. 4. 1. 2. Si $\tilde{\mathcal{F}}$ est un opérateur différentiel, et soit $\mathcal{F}$ l'ad-joint de $\mathcal{L}$.

Alors si $\Phi(\mu)$ est suffisamment régulière (continuement dif-férentiable jusqu'à l'ordre de $\mathcal{L}$), et si le produit $\Phi(\mu)q(\mu, t)$ s'annule lorsque $\mu_i \to \pm \infty$

Alors on obtient par intégration par parties :

$$ (2, 13) \quad \int_{\mathbb{R}^n} \Phi(\mu) \tilde{\mathcal{L}} q(\mu, t) d\mu = \mathcal{L} \hat{\Phi}(t) $$

### II. 4. 2. Application et résultat.

Avec les notations ci-dessus posons :

$$ \begin{cases} \Phi(\mu) = \mu \\ \tilde{\mathcal{L}}(q(\mu, t)) = -\sum_j \frac{\partial([\mathcal{F}\mu]_j q(\mu, t))}{\partial \mu_j} \end{cases} $$
L'équation (2, 11) donne alors :

$$ (2, 14) \quad d\hat{X}(t) = \int_R^n \mu(\mu^T - \hat{X}^T) H_R^{-1} (dY - H\hat{X}dt) q(\mu, t) d\mu + \hat{\ell}_X dt + \lambda dt \quad D $$

Avec $D = \text{vecteur (n} \times \text{1) de composantes } D_i$

$$ D_i = \int_R^n \mu_i \left[ \int_R^n d\mu^* v(\mu - \mu^*) q(\mu^*, t) - q(\mu, t) d\mu \right] $$

II. 4. 2. 1. Calcul de $\hat{\ell}_X(t)$.

Par définition :

$$ \hat{\ell}_X(t) = \int_R^n \sum_{j=1}^n [F\mu]_j \frac{\partial \mu}{\partial \mu_j} q(\mu, t) d\mu $$

$$ \hat{\ell}_X(t) = \int_R^n \sum_{j=1}^n [F\mu]_j e_j q(\mu, t) d\mu $$

où $e_j$ est le $j^{\text{ème}}$ vecteur de base :
$$ e_j^T = [o \dots o_1 o \dots o] $$

On obtient ainsi :

$$ (2, 15) \quad \hat{\ell}_X = F\hat{X} $$

II. 4. 2. 2. Calcul de $D_i$.

$$ D_i = \int_R^n \mu_i \int_R^n d\mu^* v(\mu - \mu^*) q(\mu^*, t) d\mu - \hat{X}_i $$

En transformant le produit de convolution, il vient :

$$ D_i = \int_R^n \mu_i d\mu \int_R^n v(\mu^*) q(\mu - \mu^*, t) d\mu^* - \hat{X}_i $$
En inversant les ordres d'intégration, on a :

$$D_i = \int_R v(\mu^*) d\mu^* \int_R \mu_i q(\mu - \mu^*, t) d\mu \cdot \hat{-X}_i$$

En écrivant $\mu_i = (\mu_i^T \mu_i^*) + \mu_i^*$, il vient :

$$(2, 16) \quad D_i = \int_R v(\mu^*) d\mu^* \hat{X}_i + \int_R v(\mu^*) \mu_i^* d\mu \cdot \hat{-X}_i$$

Or :

$$(2, 17) \quad \int_R v(\mu^*) d\mu^* = 1$$

Et :

$$(2, 18) \quad \int_R v(\mu^*) \mu_i^* d\mu^* = 0 \quad \text{car } E[A] = 0$$

En combinant (2, 16), (2, 17) et (2, 18), on a :

$$(2, 19) \quad D_i = 0 \quad \forall i \in (1,n)$$

$$II. 4. 2. 3. \text{ Calcul de } I = \int_R \mu(\mu^T \hat{-X}^T) H^{-1} R^{-1} (dY - H\hat{X} dt) q(\mu, t) d\mu$$

On a tout de suite :

$$(2, 20) \quad I = (XX^T - \hat{X}\hat{X}^T) H^{-1} R^{-1} (dY - H\hat{X} dt)$$

II. 4. 2. 4. Résultat.

En transportant les résultats (2, 15), (2, 19) et (2, 20) dans (2, 14), on a :

$$(2, 21) \quad d\hat{X} = F\hat{X} dt + (XX^T - \hat{X}\hat{X}^T) H^{-1} R^{-1} (dY - H\hat{X} dt)$$

Or on reconnaît dans $XX^T - \hat{X}\hat{X}^T$ la covariance de l'erreur
classiquement notée Σ ; on a donc :

$$
(2, 22) \quad d\hat{X} = \hat{F}X dt + \Sigma H^T R^{-1} (dY - H\hat{X} dt)
$$

Cette équation est formellement la première équation d'un
filtre de Kalman. Recherchons l'équation que vérifie la covariance
de l'erreur notée Σ.
## II. 5. Recherche de l'équation d'évolution de la covariance de l'erreur.

Par définition :

$$ \Sigma = \hat{X}_{X}^{T} - \hat{X}_{X} $$

$$ d\Sigma = d\hat{X}_{X}^{T} - d\hat{X}_{X} $$

### II. 5. 1. Détermination de $\hat{X}_{X}^{T}$

En posant $\Phi(\mu) = \mu\mu^T$, l'équation (2, 11) donne :

$$ (2, 23) \quad d\hat{X}_{X}^{T} = \int_{R} (\mu\mu^{T})(\mu^{T}-\hat{X}^{T})H^{T}R^{-1}(dY-H\hat{X} \, dt)q(\mu,t)d\mu + \hat{\ell}_{X}^{T} + \lambda dtM $$

avec $M = \text{Matrice (nxn)}$

$$ M_{ij} = \lambda dt \int_{R} \mu_{i} \mu_{j} \left[ \int_{R} d\mu^* v(\mu-\mu^*) q(\mu^*,t) - q(\mu,t) \right] d\mu $$

### II. 5. 1. 1. Détermination de $\hat{\ell}_{X}^{T}$

Remarquons que : $\sum_{k=1}^{n} [F\mu]_{k} \frac{\partial \mu_{i} \mu_{j}}{\partial \mu_{k}} = [F\mu]_{i} \mu_{j} + [F\mu]_{j} \mu_{i}$

Or $[F\mu]_j = [F\mu]_j^T = [\mu^T F^T]_j$ car $[F\mu]$ est un vecteur

Donc $\sum_{k=1}^{n} [F\mu]_k \frac{\partial \mu_i \mu_j}{\partial \mu_k} = \mu_i (\mu^T F^T)_j + [F\mu]_i \mu_j$

Matriciellement :

$$ (2, 24) \quad \sum_{k=1}^{n} [F\mu]_k \frac{\partial \mu_i \mu_j^T}{\partial \mu_k} = (\mu\mu^T) F^T + F(\mu\mu^T) $$

Or par définition :

$$ \hat{\ell}_{X}^{T} = \int_{R} \sum_{k=1}^{n} (F\mu)_{k} \frac{\partial \mu_{i} \mu_{j}^{T}}{\partial \mu_{k}} q(\mu, t) d\mu $$
Combinée avec (2, 24), l'équation précédente donne :

$$ (2, 25) \quad \hat{\mathcal{L}}_{XX}^T = \hat{\mathcal{L}}_{XX}^T \hat{F}^T + \hat{F} \hat{\mathcal{L}}_{XX}^T $$

II. 5. 1. 2. Détermination de $M_{ij}$.

$$ M_{ij} = \int_R^n \mu_i \mu_j d\mu = \int_R^n d\mu^* \int_R^n v(\mu-\mu^*) q(\mu^*, t) \hat{-X}_i \hat{X}_j $$

En transformant le produit de convolution et en inversant l'ordre d'intégration, il vient :

$$ M_{ij} = \int_R^n v(\mu^*) d\mu^* \int_R^n \mu_i \mu_j q(\mu-\mu^*, t) d\mu = \hat{-X}_i \hat{X}_j $$

En écrivant :

$$ \mu_i \mu_j = (\mu_i - \mu_i^*)(\mu_j - \mu_j^*) + \mu_i^*(\mu_j - \mu_j^*) + \mu_j^*(\mu_i - \mu_i^*) + \mu_i^* \mu_j^* $$

On a :

$$ M_{ij} = \int_R^n v(\mu^*) d\mu^* \hat{X}_i \hat{X}_j + \int_R^n v(\mu^*) d\mu^* \mu_i^* \hat{X}_j + \int_R^n v(\mu^*) d\mu^* \mu_j^* \hat{X}_i + \\ \qquad + \int_R^n v(\mu^*) d\mu^* \mu_i^* \mu_j^* - \hat{X}_i \hat{X}_j $$

Or :

$$ \int_R^n v(\mu^*) d\mu^* = 1 $$

$$ \int_R^n v(\mu^*) \mu_i^* d\mu^* = 0 \quad \text{car } E[A] = 0 $$

$$ \int_R^n v(\mu^*) \mu_i^* \mu_j^* d\mu^* = C_{ij} \quad \text{car on a posé } E[AA^T] = C $$
Il reste donc :

$$ (2, 26) \qquad M_{ij} = C_{ij} $$

$$ \text{Soit } M = C = E[AA^T] $$

II. 5. 1. 3. Détermination de I, définie par :

$$ I = \int_{\mathbb{R}^n} d\mu(\mu\mu^T)(\mu^T - \hat{x}^T)H^T R^{-1}(dY - H\hat{x}dt)q(\mu, t) $$

On a directement :

$$ (2, 27) \quad I = \left[ (\widehat{XX}^T) \widehat{X}^T - (\widehat{XX}^T) \hat{x}^T \right] H^T R^{-1} (dY - H\hat{x} dt) $$

En transportant (2, 25), (2, 26), (2, 27) dans (2, 24) on obtient :

$$ (2, 28) \qquad d\widehat{XX}^T = [(\widehat{XX}^T)\widehat{X}^T - (\widehat{XX}^T)\hat{x}^T]H^T R^{-1}(dY - H\hat{x} dt) + C\lambda dt \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +(F\widehat{\overline{XX}^T} + \widehat{\overline{XX}^T}F^T)_{ij}dt $$

Soit plus clairement en notations scalaires :

$$ (2, 29) \qquad d\widehat{X}_i \widehat{X}_j = (\widehat{X}_i \widehat{X}_j X^T - \widehat{X}_i \widehat{X}_j \hat{x}^T) H^T R^{-1} (dY - H\hat{x} dt) + C_{ij}\lambda dt \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +(F \widehat{\overline{X}^T} + \widehat{\overline{X}^T} F^T)_{ij} dt $$

II. 5. 2. Détermination de $d\widehat{XX}^T$.

II. 5. 2. 1. Préliminaires.

Reprenons l'équation (2, 21)

$$ d\hat{x} = F\hat{x} dt + (\hat{x}^T - \hat{x}\hat{x}^T)H^T R^{-1} (dY - H\hat{x}dt) $$
L'innovation $(dY-H\hat{X} dt)$ est isonome au bruit de mesu-
-re [12] ; posons alors : $(dY-H\hat{X} dt) = dw_1$

où dwᵢ est une différentielle de Wiener.

L'équation (2, 21) s'écrit alors :

$$
d\hat{X} = F\hat{X} dt + (XX^T - \hat{X}\hat{X}^T)H^T R^{-1} dw_1
$$

$\hat{X}$ apparaît ainsi comme une intégrale stochastique sur la
mesure $w_1$.

Le fait que $\overline{XX^T}$ apparaisse dans l'expression de $d\hat{X}$ n'est
pas gênant puisque l'on sait que $\hat{X}$ et $\overline{\hat{X}X^T}$ sont mesurables sur
les mêmes boréliens, à savoir ceux engendrés par la mesure
$y(\tau)$, $\tau \in (0,t)$.

Pour déterminer $d\overline{\hat{X}X^T}$ nous pourrons donc utiliser le cal-
-cul différentiel d'ITO [13], et en particulier le résultat sui-
-vant :

-Soit $X(t)$ vérifiant :

$$
-dx(t) = a(X,t)dt + D(X,t)dw_2
$$

$$
-dw_2 \text{ différentielle brownienne : } E[dw_2 dw_2^T] = I_m dt
$$

$$
-a(X,t), D(X,t) \text{ vérifiant des conditions de régularité.}
$$

-Soit $y = \varphi(\bar{X})$ où $\varphi$ est une fonction scalaire 2 fois continûment différentiable :

Alors la différentielle de y s'écrit :

$$
(2, 30) \quad dy = \sum_{i=i}^{n} a_i(X,t) \frac{\partial \varphi}{\partial \bar{x}_i} dt + \sum_{\substack{i=1,n \\ j=1,m}} \frac{\partial \varphi}{\partial \bar{x}_j} D_{i,j} dw_2 \\
+ \frac{1}{2} \sum_{\substack{i=1,n \\ j=1,m}} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \bar{x}_i \partial \bar{x}_j} (DD^T)_{i,j} dt
$$
II. 5. 2. 2. Calcul.

Appliquons l'équation (2, 30) à :

$$
\hat{dX} = \hat{F}X dt + (\hat{X}X^T - \hat{X}\hat{X}^T)H^T R^{-1} L dw_2
$$

Avec $LL^T = R$

$$
\text{En posant } \varphi(\hat{X}) = \hat{X}_i \hat{X}_j
$$

Ainsi il suffit d'identifier

$$
a(\hat{X}, t) = \hat{F}X
$$

$$
D(\hat{X}, t) = (\hat{X}X^T - \hat{X}\hat{X}^T)H^T R^{-1} L
$$

On a alors :

$$
(2, 31) \quad \begin{aligned}
\hat{d}X_i \hat{X}_j = dt \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial X_i \hat{X}_j}{\partial X_k} [\hat{F}X]_k + \sum_{\substack{k=1,n \\ l=1,m}} \frac{\partial \hat{X}_i \hat{X}_j}{\partial X_k} D_{kl} dw_{2,l} \\
\qquad + \frac{dt}{2} \sum_{\substack{k=1,n \\ l=1,m}} \frac{\partial X_i \hat{X}_j}{\partial X_k \partial X_2} (DD^T)_{kl}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\hat{d}X_i \hat{X}_j = dt \hat{X}_i [\hat{F}X]_j + \hat{X}_j [\hat{F}X]_i dt + \sum_{l=1,m} \hat{X}_j D_{il} dw_{2,l} \\
\qquad + \sum \hat{X}_i D_{jl} dw_{2,l} + \frac{dt}{2} [(DD^T)_{ij} + (DD^T)_{ji}]
\end{aligned}
$$

$$
(2, 32) \quad \alpha) \quad \hat{X}_i [\hat{F}\hat{X}]_j + \hat{X}_j [\hat{F}\hat{X}]_i = [\hat{X}\hat{X}^T \hat{F}^T]_{ij} + [\hat{F}\hat{X}\hat{X}^T]_{ij} \quad \text{(démonstration semblable à celle de (2, 24))}.
$$
$$
\beta) \quad \frac{1}{2} [(DD^T)_{ij} + (DD^T)_{ji}] = (DD^T)_{ij} \quad \text{car } DD^T \text{ est symétrique} \\
= (\hat{X_i} X^T - \hat{X_i} \hat{X}^T) H^T R^{-1} L L^T R^{-1} H (\hat{X_j} X^T - \hat{X_j} \hat{X}^T)^T
$$

Et comme $LL^T = R$

On a :

$$
(2, 33) \quad (DD^T)_{ij} = (X_i \hat{X}^T - \hat{X}_i X^T) H^T R^{-1} H (X_j \hat{X}^T - \hat{X}_j X^T)
$$

$$
\gamma) \sum_{l=1,m} \hat{X}_j D_{il} dw_{2,l} + \hat{X}_i D_{jl} dw_{2,l} = \sum_{l=1,m} \hat{X}_j D_{il}' (dY - HXdt)_l
$$

$$
(2, 34) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \hat{X}_i D'_{jl} (dY - HXdt)_l
$$

Où l'on a posé $D = D'L$ ; soit $D' = (\hat{X}X - \hat{X}X^T)H^{-1}$

$$
En effet la relation (2, 34) découle de : dY-HX dt = dw_1=L dw_2.
$$

En reportant l'expression de D' dans (2, 34) on obtient :

$$
(2, 35) \quad \sum_{l=1,m} X_j D_{il} dw_{2,l} + \hat{X}_i D_{jl} dw_{2,l} = \\
\qquad (\hat{X}_i X_j \hat{X}^T + \hat{X}_j X_i \hat{X}^T - 2 \hat{X}_i \hat{X}_j X^T) H^T R^{-1} (dY - HX dt)
$$

Substituons à présent les relations (2,32), (2, 33) et
(2, 35) dans (2, 31),

nous obtenons :

$$
\begin{equation}
\begin{split}
d\hat{X}_i \hat{X}_j = dt \left[ \right. & [F\hat{X}X^T]_{ij} + [XX^T F^T]_{ij} + (\hat{X}_i \hat{X}^T - \hat{X}_i \hat{X}^T) H^T R^{-1} H (\hat{X}_j \hat{X}^T - \hat{X}_j \hat{X}^T) \\
& \left. \qquad + (\hat{X}_i \hat{X}_j \hat{X}^T + \hat{X}_j \hat{X}_i \hat{X}^T - 2\hat{X}_i \hat{X}_j \hat{X}^T) H^T R^{-1} (dY - H\hat{X} dt) \right]
\end{split}
\tag{2, 36}
\end{equation}
$$
II. 5. 3. Equation d'évolution de Σ :

$$ \text{On a } d\Sigma = d\hat{X}X^{-1} - d\hat{X}X^{-T} $$

Donc en utilisant des relations (2, 29) et (2, 30), on obtient l'équation :

$$ \begin{gathered} d\Sigma_{ij} = dt(\lambda C + F\Sigma + \Sigma F^T - \Sigma H^T R^{-1} H\Sigma)_{ij} \\ (2, 37) \qquad + (\hat{X}_i X_j X^T - X_i X_j \hat{X}^T - \hat{X}_i \hat{X}_j X^T - X_j \hat{X}^T) H^T R^{-1} (dY - H\hat{X} dt) \end{gathered} $$

Remarquons que $d\Sigma_{ij}$ peut s'écrire sous la forme suivante :

$$ \begin{gathered} d\Sigma_{ij} = dt(\lambda C + F\Sigma + \Sigma F^T - \Sigma H^T R^{-1} H\Sigma)_{ij} \\ (2, 38) \qquad + (\hat{X}_i - \hat{X}_j)(X_j - \hat{X}_j)(X^T - \hat{X}^T)H^T R^{-1} (dY - H\hat{X} dt) \end{gathered} $$

Cette forme fait apparaître le fait que si l'on peut considérer que les moments centrés d'ordre 3 de la densité de probabilité conditionnelle sont nuls, alors on est réduit à un filtrage linéaire.
## II. 6. Approximations proposées.

### II. 6. 1. Résultats préliminaires.

#### II. 6. 1. 1.

Nous allons démontrer un lemme qui va nous permettre d'introduire une première approximation du filtre optimal ; celui-ci du filtre linéaire.

La deuxième approximation que nous proposons est par conséquent indépendante de l'hypothèse formulée dans le lemme du paragraphe suivant (II. 6. 1. 2.).

Cette hypothèse consiste à considérer que le poids des impulsions d'excitation du système dynamique a une distribution de probabilité paire. Remarquons que les variables à densité paire comprennent déjà les variables gaussiennes, les variables de pile ou face, etc... On modélise ainsi déjà 2 grandes classes de systèmes : les systèmes à impulsions binaires ou "multiétagés" symétriques et ceux à impulsions gaussiennes, par exemple formées de l'agrégation de petits effets (bruit de grenaille...)

D'ailleurs, d'un point de vue expérimental, les seules impulsions qui peuvent être aisément simulées sont les impulsions binaires et les impulsions gaussiennes.

#### II. 6. 1. 2. Lemme :

Si la densité de probabilité des poids des impulsions d'entrée du modèle est paire et si la densité de probabilité initiale est paire, alors celle-ci reste paire au cours de l'évolution à priori du système :

Autrement dit : si $v(\mu)$ est paire et $p(\mu,o)$ est paire

Alors $E[X_i X_j \dots X_l] = 0$ si le nombre $N$ d'indices est impair
$N$ indices

De plus, si $\Sigma$ est la variance de l'état, on a :

$$d\Sigma = (F\Sigma + \Sigma F^T + \lambda C)dt$$
Démonstration :

a) En reprenant l'équation (2, 10):

$$
dp(\mu,t) = \sum_j \frac{\partial([F\mu]_j p(\mu,t))}{\partial \mu_j} \\
+\lambda dt \left[ \int_R d\mu^* v(\mu-\mu^*) p(\mu^*,t) - p(\mu,t) \right]
$$

Avec les mêmes notations et le même genre de calcul que
lors de l'établissement des moments conditionnels, on obtient :

$$
(2, 39) \quad \begin{aligned}[t]
dE[X_i X_j \dots X_l] ={}& E([FX])_i \underbrace{X_j \dots X_l}_{\text{N indices}} \text{sym} \\
& + \lambda dt \int_R^n v(\mu^*) d\mu^* \int_R^n \underbrace{(\mu_i \mu_j \dots \mu_l)}_{\text{N indices}} q(\mu-\mu^*) d\mu \\
& - \lambda dt E[X_i X_j \dots X_l]
\end{aligned}
$$

où la notation :

$([FX]_i X_j \cdots X_l)_{\text{sym}}$ signifie qu'on somme les termes du
$\underbrace{X_j \cdots X_l}_{\text{N indices}}$

type ( [FX]k Xn ... Xm ) de manière à ce que le résultat soit
symétrique par rapport aux indices.

A présent, développons $(\mu_i \mu_j \cdots \mu_l)$ sous la forme :
$$ \underbrace{\mu_i \mu_j \cdots \mu_l}_{\text{N indices}} $$
$$
\underbrace{(\mu_i \mu_j \dots \mu_l)}_{\text{N indices}} = \underbrace{(\mu_i - \mu_i^*)(\mu_j - \mu_j^*) \dots (\mu_l - \mu_l^*)}_{\text{N indices}} \\
+ \underbrace{(\mu_i^*(\mu_j - \mu_j^*) \dots (\mu_l - \mu_l^*))}_{\text{N-1 indices}} \text{sym} \\
+ \underbrace{[\mu_i^* \mu_j^*(\mu_k - \mu_k^*) \dots (\mu_l - \mu_l^*)]}_{\text{N-2 indices}} \text{sym} \\
+ \underbrace{[\mu_i^* \mu_j^* \mu_k^*(\mu_p - \mu_p^*) \dots (\mu_l - \mu_l^*)]}_{\text{N-3 indices}} \text{sym} \\
+ \dots \\
+ \mu_i^* \mu_j^* \mu_k^* \dots \mu_l^*
$$

En reportant cette expression de $(\mu_i \mu_j \cdots \mu_l)$ dans l'in-
$\underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}_{\text{N indices}}$
-tégrale de l'équation (2, 39) et en raisonnant par récurrence
sur le nombre N d'indices (N=1,3,5,...), compte tenu des hypothè-
-ses qui s'expriment par :

$$
\int_R \underbrace{\mu_i^* \mu_j^* \cdots \mu_p^*}_{\text{nombre impair}} v(\mu^*) d\mu^* = 0
$$

On obtient :

$$
(2, 40) \quad \underbrace{dE[X_i X_j \dots X_l]}_{\substack{\text{N impair} \\ \text{d'indices}}} = \underbrace{E[\underbrace{[FX_i X_j \dots X_l]}_{\text{N indices}}]}_{\text{sym}}
$$

Or l'hypothèse de la condition initiale :

$$
p(\mu,0) \text{ paire} \iff E[X_i^0 X_j^0 \dots X_l^0] = 0 \\
\underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}_{\text{N impair d'in-} \\
\text{-dices}
$$
L'équation (2, 40) donne : $E[X_i X_j \dots X_l] = 0 \quad \underbrace{\qquad}_{N \text{ impair d'}} \quad \text{indices}$

Ainsi, l'évolution de la densité de probabilité à priori
reste paire.

II. 6. 1. 3. L'équation dΣ = (FΣ+ΣF<sup>T</sup>+λC)dt résulte des calculs faits au paragraphe 5 en retirant l'innovation.

II. 6. 2. Approximation par le filtre de Kalman.

Compte tenu de la relation (2, 38), une telle approxi-
mation, signifie qu'on néglige le moment centré du troisième
ordre de la densité de probabilité conditionnelle. On aboutit
alors à un filtre semblable au filtre de Kalman par sa struc-
ture, où la covariance du bruit Gaussien est remplacée par
le terme λC.

Nous avons vu par le lemme précédent que les moments
d'ordre impair à priori étaient nuls, moyennant certaines
hypothèses.

Le conditionnement par une mesure bruitée par un bruit
Gaussien revient à chaque instant à pondérer la densité de pro-
-babilité de l'état par une Gaussienne centrée sur la nouvelle
valeur de la mesure. Les axes de symétries sont alors décalés
de (dY-HX dt).

Notre approximation consiste donc à considérer que ce
décalage n'altère pas sensiblement le caractère paire de la
densité de probabilité.

II. 6. 3. Deuxième approximation.

II. 6. 3. 1. Introduction.

L'approximation que nous allons proposer, conduit à
deux algorithmes de filtre sous optimal suivant que l'on con-
-sidère le couple (X̂, Σ) ou le couple (X̂, XX̂ᵀ). Dans leur plage
de validité, ces deux approximations sont équivalentes, car alors,
l'innovation est approximativement un bruit blanc et on peut
passer d'un algorithme à l'autre grâce au calcul différentiel
d'Ito.

II. 6. 3. 2. Approximation.

Le terme $\hat{X}_i \hat{X}_j \hat{X}_k$ qui apparaît dans les équations (2, 37) et (2, 39) représentant l'évolution de $\hat{XX}^T$ et de $\Sigma$, est impossi-ble à calculer exactement car il renferme implicitement tous les moments d'ordre supérieur de la densité de probabilité condition-nelle. Son approximation est donc nécessaire.

Nous savons que :

$$
\widehat{E[X_i X_j X_k]} = \widehat{E[X_i X_j X_k]}
$$

Ainsi la valeur moyenne du terme qu'on ne sait pas cal-
culer s'identifie à la valeur moyenne à priori de XᵢXⱼXₖ, terme
qu'on sait calculer.

D'autre part le théorème de la projection orthogonale
dans L², nous permet d'affirmer :

$$
\widehat{\mathrm{VAR}(X_i X_j X_k)} \le \widehat{\mathrm{VAR}(X_i X_j X_k)}
$$

Ainsi la variance de $\hat{X}_i \hat{X}_j \hat{X}_k$ est majorée par une quantité
prédéterminée.

En fait, toute distance définie sur les fonctions mesura-
bles sur (Ω,A,F)-espace X- et sur leurs projections sur l'espace
des fonctions mesurables sur les boréliens engendrés par la mesu-
-re -espace X- ; sera plus courte dans le deuxième espace.

De ce qui précède, nous approximerons $\hat{X}_i \hat{X}_j \hat{X}_k$ par sa
moyenne :

$$
\widehat{X_i X_j X_k} \approx \widehat{E[\hat{X_i X_j X_k}]} = \widehat{E[X_i X_j X_k]} = m_{ijk}
$$
Nous présenterons maintenant 2 algorithmes différents auxquels aboutit l'approximation ci-dessus.

II. 6. 3. 3. Premier algorithme : évolution du couple $(\hat{X}, \Sigma)$.

Reprenons les équations (2, 22) et (2, 37) et étudions la matrice B d'éléments $B_{ij}$ :

$$B_{ij} = (\hat{X}_i \hat{X}_j \hat{X}^T - \hat{X}_i \hat{X}_j \hat{X}^T - \hat{X}_i \hat{X}_j \hat{X}^T - \hat{X}_j \hat{X}_i \hat{X}^T + 2 \hat{X}_i \hat{X}_j \hat{X}^T) H^T R^{-1} (dY - H\hat{X}) dt$$

Remarquons que :

$$\hat{X}_i \hat{X}_j \hat{X}_k - \hat{X}_i \hat{X}_j \hat{X}_k = \Sigma_{ij} \hat{X}_k$$

$$\hat{X}_i \hat{X}_j \hat{X}_k - \hat{X}_i \hat{X}_j \hat{X}_k = \hat{X}_i \Sigma_{jk}$$

Et compte tenu de l'approximation $\hat{X}_i \hat{X}_j \hat{X}_k = m_{ijk}$, on obtient :

$$B_{ij} = \sum_{k,r} (m_{ijk} - \hat{X}_i \Sigma_{jk} - \hat{X}_j \Sigma_{ik} - \Sigma_{ij} \hat{X}_k - \hat{X}_i \hat{X}_j \hat{X}_k) (H^T R^{-1})_{kr} (dY_r - (H\hat{X})_r dt)$$

D'où :

$$B = M- \begin{cases} \hat{X}(\Sigma H^T R^{-1} (dY - H\hat{X}dt))^T + [\hat{X}(\Sigma H^T R^{-1} (dY - H\hat{X}dt))^T]^T \\ + (\Sigma + \hat{X}\hat{X}^T)(\hat{X}^T H^T R^{-1} (dY - H\hat{X}dt))^T \end{cases}$$

$$\text{Avec } M_{ij} = \sum_{k,r} m_{ijk} (H^T R^{-1})_{kr} (dY_r - (H\hat{X})_r dt)_r$$

On obtient ainsi les équations du filtre :
$$
(2.42) \quad \begin{cases} d\hat{X} = \hat{F}\hat{X} \, dt + \Sigma \hat{H}^T \hat{R}^{-1} (dY - \hat{H}\hat{X} \, dt) \\ d\Sigma = (\hat{F}\Sigma + \Sigma \hat{F}^T + \lambda C - \Sigma \hat{H}^T \hat{R}^{-1} \hat{H}\Sigma) \, dt + B \end{cases}
$$

où la matrice B est donnée par l'équation (2.41)

$$
\hat{X}(0) = E[X] = 0
$$

$$
\Sigma(0) = E[XX^T] = \Sigma_0
$$

m<sub>ijk</sub> se déduit des calculs ébauchés lors de la démonstration
du lemme :

Dans le cas le plus général m_{ijk} vérifie l'équation différentielle :

$$
(2.43) \quad \left\{
\begin{aligned}
dE[X_i X_j X_k] &= E\left[\left[FX\right]_i X_j X_k\right]_{sym} + \lambda T_{ijk} \\
T_{ijk} &= \int_R \nu(\mu^*) \mu_i^* \mu_j^* \mu_k^* d\mu^*
\end{aligned}
\right.
$$

Dans les conditions du lemme : État initial pair, et
"poids" des impulsions de densité paire, alors m<sub>ijk</sub> = 0 et M = 0

REMARQUE :

L'introduction de B dans l'expression de dΣ n'introduit pas
beaucoup de calculs supplémentaires puisque le terme dans
B, ΣH<sup>T</sup>R<sup>-1</sup> (dY-HXdt) figure aussi dans dX. D'autre part le terme
(Σ+X̂X̂T) = X̂X̂T pourrait être approximé par sa moyenne Σ = E[X̂X̂T] ;
ce qui entraînerait une simplification numérique importante.

II. 6. 3. 4. Second algorithme : Evolution du couple (X̂, XX̂T) :

En reprenant les équations (2.21) et (2.29), et compte
tenu de l'approximation faite : X̂ᵢ X̂ⱼ X̂ₖ = mᵢₖ, on obtient :

$$
(2.44) \quad \begin{cases} d\hat{X} = \hat{F}\hat{X} \, dt + (\hat{X}X - \hat{X}\hat{X}^T)^T \hat{H}^T \hat{R}^{-1} (dY - \hat{H}\hat{X}dt) \\ d\hat{X}^T = (\hat{F}\hat{X}^T + \hat{X}^T \hat{F}^T + \lambda C)dt + M - (\hat{X}^T)\hat{X}^T \hat{H}^T \hat{R}^{-1} (dY - \hat{H}\hat{X}dt) \end{cases}
$$
Avec :

$$M = \sum_{k,r} m_{ijk} (H^T R^{-1})_{kr} (dY - H\hat{X}dt)_r$$

$m_{ijk}$ est nul ou vérifie l'équation d'évolution (2.43)

Enfin :

$$\hat{X}(0) = E[X] = 0$$

$$\hat{X}^T X(0) = E[X X^T] = \Sigma_0$$

## II. 6.4. Stabilité des algorithmes de filtrage

Le filtre optimal doit élaborer $\hat{X}(t)$ de manière à minimiser un critère d'optimalité, en l'occurence $E[(X-\hat{X})^T(X-\hat{X})]$ ; le minimum n'est pas nul, il représente la covariance de l'erreur. Par exemple, dans le filtrage optimal des processus gaussiens Markoviens, la valeur limite de ce minimum, lorsque t croît, est la trace de la solution d'une équation de RICCATI matricielle. L'écart entre $X(t)$ et son estimée $\hat{X}(t)$ est donc une variable aléatoire dont la covariance est non nulle.

Par contre le problème de la stabilité est posé aussi bien pour le filtre optimal (que l'on connaît implicitement) que pour les filtres sous-optimaux d'approximation. De plus, il convient de distinguer entre la stabilité intrinsèque du filtre, et la stabilité lors d'un filtrage numérique. Dans le dernier cas, la stabilité dépend largement du pas et de la méthode d'intégration choisis pour intégrer numériquement les équations du filtre.

On peut montrer que le filtre linéaire de Kalman est intrinsèquement stable. Une méthode consiste à transformer grâce à l'analogie de la forme des équations [23], le problème du filtrage linéaire en un problème de contrôle optimal d'un système linéaire avec critère quadratique, dont on montre que la solution est stable. Quant à la stabilité numérique du filtre linéaire, elle dépend comme nous l'avons dit du pas et de la méthode
d'intégration, sachant de plus que les méthodes d'intégration que
l'on peut implanter sur un calculateur de puissance moyenne
(Runge Kutta) ne sont pas toujours stables numériquement.
Par exemple l'équation de RICCATI matricielle :

$$
\hat{\Sigma} = F\Sigma + \Sigma F^T + Q - \Sigma H^T R^{-1} H\Sigma
$$

intégrée numériquement, ne fournit pas toujours lorsque le
temps croît, la valeur limite Σ∞ solution de l'équation algébrique

$$
o = F\Sigma + \Sigma F^T + Q - \Sigma H^T R^{-1} H\Sigma
$$

Si le pas d'intégration n'est pas assez faible, la solution
numérique de l'équation différentielle de RICCATI ci-dessus peut
osciller et même diverger [20]

Quant à la stabilité des filtres non-linéaires (optimal
et sous-optimaux), elle représente un problème extrêmement
complexe qui est loin d'être résolu, en raison du nombre de
paramètres et d'équations qui rentrent en jeu [22]. Par exemple
le filtre optimal est constitué d'une infinité de systèmes
non-linéaires interdépendants. En effet il est donné impici-
tement par les équations :

$$
\begin{align*}
\dot{\hat{X}} &= f_1(\hat{X}, \Sigma, y) \\
\dot{\Sigma} &= f_2(\hat{X}, \Sigma, \hat{X}_i X_j \hat{X}_k, y) \quad \text{i, j, k \in [1, n]} \\
\hat{X}_i X_j \hat{X}_k &= f_3(\hat{X}, \Sigma, \hat{X}_i X_j X_k, \hat{X}_i X_j X_k X_l, y) \quad \text{i, j, k, l \in [1, n]}
\end{align*}
$$

etc...

où $f_1, f_2, f_3$... sont des fonctions non-linéaires de leurs
arguments et n désigne l'ordre du système.

Les filtres non-linéaires sous-optimaux que nous avons
définis, sont eux-mêmes constitués chacun de $\frac{n(n+1)}{2} + n$ équations
non-linéaires interdépendantes.

Disons pour conclure que la stabilité des filtres non
linéaires et à fortiori leur stabilité numérique est un problème théoriquement très ardu qui a été très peu abordé jusqu'à présent dans les ouvrages sur l'Automatique [22] ; et que l'on se contente généralement de vérifier expérimentalement leurs performances.
## II. 7. Conclusion - Récapitulation des résultats

A partir de la définition du modèle étudié, nous avons déterminé les équations exactes d'évolution de $\hat{X}, \hat{X}^T, \hat{X}\hat{X}^T, \Sigma$

Deux approximations ont été proposées, menant à 3 algorithmes différents.

### II. 7.1. 1ère approximation : $(X_i - \hat{X}_i) (X_j - \hat{X}_j) (X_k - \hat{X}_k) = 0$

Algorithme du filtre de Kalman :

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
d\hat{X} &= F\hat{X} dt + \Sigma H^T R^{-1} (dY - H\hat{X}dt) \\
d\Sigma &= (F\Sigma + \Sigma F^T + \lambda C - \Sigma H^T R^{-1} H\Sigma)dt \\
\hat{X}(0) &= 0 \\
\Sigma(0) &= E(X\Sigma X^T)
\end{aligned}
\right. 
$$

Rappelons que cette première approximation se justifie lorsque le poids des impulsions d'excitation du modèle a une distribution de probabilité paire.

### II. 7.2. 2ème approximation : $\hat{X}_i X_j \hat{X}_k = E[X_i X_j X_k] = m_{ijk}$

### II. 7.2. 1. Premier algorithme : Evolution du couple $(\hat{X}, \Sigma)$

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
\hat{X}(0) &= E[X] = 0 \\
\Sigma(0) &= \Sigma_0 = E[X\Sigma X^T] \\
d\hat{X} &= F\hat{X} dt + \Sigma H^T R^{-1} (dY - H\hat{X} dt) \\
d\Sigma &= (F\Sigma + \Sigma F^T + \lambda C - \Sigma H^T R^{-1} H\Sigma)dt + B
\end{aligned}
\right. 
$$
Avec

$$
B = M - \left\{ \hat{X} (\Sigma H^T R^{-1} (dY - H\hat{X}dt))^T + [\hat{X} (\Sigma H^T R^{-1} (dY - H\hat{X}dt))^T]^T \right\} \\
+ (\Sigma + \hat{X}\hat{X}^T) [\hat{X}^T H^T R^{-1} (dY - H\hat{X}dt)]
$$

ou

$$
\Sigma_o = E(XX^T)
$$

ou

$$
(2.45) \qquad
\begin{aligned}
M &= \sum_{kr} m_{ijk} (H^T R^{-1})_{kr} (dY - H\hat{X}dt)_r \\
m_{ijk} &= E[X_i X_j X_k]
\end{aligned}
$$

II. 7. 2. 2. Second algorithme : Evolution du couple (X̂, XX̂T)

$$
\begin{equation}
\begin{cases}
\hat{X}(0) = E[X] = 0 \\
\hat{XX}^T(0) = E[XX^T] = 0
\end{cases}
\begin{cases}
d\hat{X} = F\hat{X} dt + (\hat{X}X^T - \hat{X}X\hat{X}^T)H^T R^{-1} (dY - H\hat{X}dt) \\
d\hat{X}^T = (F\hat{X}^T + \hat{X}X^T F + \lambda C)dt + M - (\hat{X}X^T) \hat{X}^T H^T R^{-1} (dY - H\hat{X}dt)
\end{cases}
\end{equation}
$$

M étant donné par la relation (2.45)

REMARQUE :

Dans un nombre très important de cas, on pourra prendre
$m_{ijk} = 0$ et $M \approx 0$ puisque la condition d'état initial paire, et
de poids paire des impulsions s'applique comme nous l'avons mentionné
plus haut, à un nombre important de cas (impulsions binaires,
impulsions gaussiennes etc...)
ENTREE POISSONNIENNE

ETUDE EXPERIMENTALE

III. 1. Génération de signaux "poissonniens"

III. 1.1. Génération des instants poissonniens

III. 1. 1. 1. Introduction

Soit le signal binaire défini comme suit :

Après chaque impulsion d'une horloge de fréquence f,
le signal prend les valeurs 1 ou 0 avec les probabilités p, 1-p.
Considérons l'évènement : le signal binaire vaut 1 après une
impulsion d'horloge.

Si nous prenons des intervalles de temps, de longueur l
commençant après une impulsion, nous pouvons écrire :

$$
(3.1) \qquad l = n \times \frac{1}{f} + r \qquad \text{avec } r < \frac{1}{f}
$$

Alors Pr [K événements dans l] vérifie une loi binô-
miale, en effet, nous sommes en présence de n épreuves de pile
ou face, et nous recherchons la probabilité d'avoir K fois pile.

Donc

$$
\mathrm{Pr} \left[ K_{\text {even }} \text { dans } 1 \right] = \frac{n !}{n-K ! K !} p^{K} \left(1-p\right)^{n-K}
$$
Ou compte tenu de (3.1) :

$$
(3.2) \quad \mathrm{Pr}[K_{\text{even}} \text{ dans } 1] = \frac{(1-r)f!}{K!(1-r)f^K} p^K (1-p)^{n-K}
$$

Si, à présent, la fréquence augmente, r tend vers 0,
et si l'on garde le produit fp = λ, on sait que la loi précé-
dente tend vers la loi de Poisson de paramètre λ1 :

$$
\lim \mathrm{Pr} \left[ K_{\text{even}} \text{ dans } 1 \right] = e^{-\lambda 1} \frac{(\lambda 1)^K}{K!}
$$
$$
f \xrightarrow{\lambda}
$$
$$
\dot{p} \xrightarrow{\lambda}
$$
$$
fp = \lambda
$$

Ainsi, pour une fréquence d'horloge suffisamment élevée,
et une valeur de p assez faible, nous pourrons considérer que
les instants où, après une impulsion d'horloge, le signal vaut 1,
ont une distribution poissonnienne.

III. 1. 1. 2. Réalisation pratique

α) Nous disposons d'un générateur binaire avec p = 1/2. Si nous mémorisons n réalisations de ce signal binaire, aux instants d'horloge, et que nous considérons le ET logique de ces n réalisations nous aurons un signal binaire avec p = 1/2ⁿ

Notons qu'il ne faudra prendre en compte le signal résul-
tant que tous les N périodes d'horloge (N)n) afin que les n valeurs
mémorisées soient indépendantes des précédentes. On échantillonnera
donc à une fréquence f/N la sortie du ET LOGIQUE.

En prenant n = 8, et N>8 (par exemple N = 9), nous obtenons
p = 1/2ⁿ ( 0,004 ; cela donne, comme nous le verrons, une bonne
approximation des instants poissonniens.
β) Longueur des impulsions. Il faut admettre que les impulsions aient une longueur suffisante afin que l'énergie transportée soit suffisante ; en effet, leur amplitude est limitée technologiquement (3,16 V efficace pour des amplitudes gaussiennes). D'autre part, il faut que cette énergie dépende le moins possible de la densité des impulsions, afin d'avoir une grande échelle de variation de cette densité.

Ainsi, la longueur des impulsions sera prise égale à un multiple de la période fondamentale d'horloge.

En conclusion, la longueur des impulsions sera prise égale à 9 fois la longueur fondamentale et ceci pour des raisons de simplicité de réalisation technique.

### III. 1.2. Génération du bruit poissonnien

Les impulsions obtenues ci-dessus serviront à actionner un relais électronique qui permettra d'échantillonner n'importe quel bruit aléatoire (binaire, Gaussien...) aux instants poissonniens.

**REMARQUE :**

Le relais électronique devra être suivi d'un bloqueur afin de garder constante la hauteur de l'impulsion.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig; III, 1</figcaption></figure>
### III. 1.4. Réalisation

#### III.1.4.1:

La maquette réalisée a été incorporée au calculateur hybride EAI 380

Elle a pour entrées:

1. l'horloge générant le signal binaire avec $p = 1/2$

2. le signal binaire avec $p = 1/2$

3. le signal de modulation des impulsions

Elle a pour sorties :

1. bruit "poissonnien" en tension

2. bruit poissonnien "en courant" (impédance de sortie = 1 KΩ)

#### III. 1.4.2.

Le bloqueur figuré sur le schéma général simplifié n'a pas été réalisé dans la maquette. Or si la bande passante du bruit de modulation est élevée, ce qui est le cas si on veut obtenir des amplitudes d'impulsion indépendantes, il faut prévoir un *bloquage de la hauteur de l'impulsion* qui peut être réalisé sur l'EAI de la manière suivante : l'alimentation de modulation de la maquette est faite par un niveau constant + 5V (1 logique), la sortie de la maquette est alors constituée d'impulsions poissonniennes de hauteur 5 V. On réalise alors le schéma suivant :
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. III, 2</figcaption></figure>

L'amplificateur sommateur (1) permet d'obtenir à l'entrée du track and store des niveaux logiques correspondants au fonctionnement voulu.

Ainsi, en l'absence d'impulsion poissonnienne, la sortie de la maquette vaut 0, l'interrupteur est ouvert, et la sortie $s(t)$ vaut 0. Le track and store ayant à son entrée + 5V (niveau 1) suit le signal de modulation.

Pendant la durée de l'impulsion, le track and store a 0 volt à son entrée (niveau 0) ; il garde donc la valeur qu'avait le signal de modulation avant l'impulsion, tandis que l'interrupteur est alors passant, car son excitation est au niveau 1.

Remarque : Pour des détails techniques plus complets sur la constitution de la maquette, se référer à la notice de M.J.KRYZE [15].
### III. 2. Test du générateur d'instants poissonniens

#### III. 2.1. Principe

Pour une suite stationnaire d'instants poissonniens, la probabilité d'avoir K instants dans un intervalle de longueur l est :
$$ (3-4) \qquad P(K,l) = \frac{(\lambda l)^K}{K!} \quad \text{e}^{-\lambda l} $$

avec $\lambda$= densité du processus poissonnien.

Donc
$$ P(0,1) = \text{è}^{-\lambda l} = \text{probabilité d'avoir 0 point dans l} $$

Nous nous proposons d'obtenir un tracé automatique de la courbe réelle P (0,1) du générateur.

#### III. 2.2. Méthode

Par une horloge interne à l'ordinateur, ce dernier mesure les intervalles de temps entre chaque début d'observation et le premier instant poissonnien. L'instant poissonnien donne lieu à un programme de traitement d'interruption, qui "lit" l'horloge et la remet à zéro après avoir incrémenté une mémoire d'un tableau FDT qui correspond au temps "lu" sur l'horloge. Après ce travail, un nouveau cycle d'observation recommence jusqu'au prochain instant poissonnien etc...

Lorsque N cycles ont été décrits, et pour N élevé,
chaque mémoire i du tableau FDT contient le nombre de fois où une impulsion est tombée dans un intervalle donné ($t_i, t_i + dt$) ; $dt$ désigne la période de l'horloge interne.

La courbe P (0,1) sera, à une échelle près, celle obtenue en prenant pour chaque intervalle ($t_i, t_i + dt$) la somme des impulsions qui sont arrivées après. Ainsi on modifiera le tableau FDT en remplaçant son ième élément par la somme de tous les éléments suivants ($i + 1, i + 2, ...$). Il suffira alors de commander un traçeur de courbe avec un programme de traçage approprié.

## REMARQUES

1. Il existe deux sources d'erreur de mesure :

- erreur due à la discrétisation du temps : la période de l'horloge interne est de 100 µs

- erreur due au temps de prise en compte de l'interruption prioritaire qui est de 125 µs.

Cette 2ème erreur est inhérente à l'ordinateur et irrémé-diable. Il faut donc que l'intervalle de temps moyen $\frac{1}{\lambda}$ entre 2 impulsions soit grand devant 125 µs

$$ \text{soit } \lambda \ll 8000 $$

2. L'horloge interne est constituée par le cadenceur (voie 1) qui à chaque période incrémente la voie de comptage (voie 1) ; le temps est lu donc dans la mémoire de comptage.

3. Si l'opérateur oublie de brancher le générateur d'instants poissonniens sur l'horloge externe des entrées analogues, un message est imprimé.
### III. 2.3. schéma général du déroulement du programme de test

Ce schéma reprend la description générale donnée au paragraphe

III.2.2. Une description détaillée en est donnée au paragraphe

III.2.5.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>
### III. 2.4. Programmes mis en oeuvre

pour le test des instants poissonniens.

Les programmes sont écrits en langage ASMAT du T 2000

1. Le programme **principal** qui commande le schéma général décrit en III 2.3. Son listing est en annexe 7. De plus le paragraphe III.2.5 décrit son fonctionnement détaillé par organigramme. La partie initialisation est décrite par texte car elle se prête mal à un organigramme.

2. Deux sous-programmes utilitaires ont été utilisés [15] :

* Sous-programme de tracé analogique sur traceur XY. Il permet de tracer la courbe représentant un tableau de nombres situé en mémoire centrale.

* Sous-programme de sortie de messages : il permet d'imprimer sur télétype des messages contenus sous forme codée en mémoire centrale.

## III. 2.5. Description détaillée

### III. 2.5. 1. Initialisation

- Remise à zéro du tableau FDT défini en III 2.2. (2047 éléments + 1 élément contenant le nombre de fois où l'échelle de temps est dépassée)

- masquage du débordement

- définition des adresses de comptage et de débordement de comptage.

- initialisation de l'incrément à ajouter, à chaque instant poissonnier, à la mémoire FDT + i. Par la suite, lorsqu'une mémoire FDT + i débordera (ce qui peut arriver si le temps d'observation est long), on sera obligé par exemple de décaler d'un bit à droite (division par 2) toutes les mémoires du tableau FDT afin de pouvoir continuer l'observation. Comme le premier bit significatif des mémoires du tableau FDT a été décalé à droite d'une unité, l'incrément à ajouter lors des instants poissonniens suivants devra aussi subir le même décalage. La valeur de cet incrément se trouve dans la
mémoire INCA. A l'initialisation INCA contient un bit 1 à la
12ème position (1 en partie valeur).

- chargement de l'adresse de traitement des interruptions en
0014 du bloc O.

- Initialisation du cadenceur (horloge interne reliée à la voie de comptage n° 1 par Hardware).

- Initialisation des voies analogiques.

A la fin de l'initialisation on arrive dans une boucle
d'attente (attente de l'interruption due à l'instant poissonnien) ;
on y reviendra après chaque traitement d'interruption.

On réalise la boucle d'attente très facilement à l'aide
d'une étiquette PRO, par les 2 instructions suivantes :

CA      PRO
ZRV     **-1

Ainsi si PRO = 0, on reste dans la boucle d'attente
si PRO = 1 on sort de la boucle.

A l'initialisation PRO est mis à zéro.

III. 2. 5. 2. Traitement de l'interruption due à l'instant poissonnien

Après les sauvegardes et les tests d'usage lors d'un
traitement d'interruption on incrémente la mémoire FDT + i
correspondant au temps écoulé depuis l'instant poissonnien pré-
cédent.

L'indice i est égal au contenu de la mémoire de comptage
(7776 du bloc O) et est transféré dans la mémoire DUREE.
On obtient alors l'organigramme suivant :

<figure><img src="image_7.png" /></figure>
### III. 2. 5. 3. Fin du programme

PRO a été mis à 1, et toutes les interruptions arrêtées on sort ainsi de la boucle d'attente vers la fin du programme.

- modification du tableau FDT tel qu'il a été exposé dans III 2.2.

- branchement vers le tracé de la courbe P(0,1) du générateur

- retour du tracé de courbe et arrêt en 3000 du bloc 2

## III. 2.6. Résultats expérimentaux

### III. 2. 6. 1. Conditions expérimentales et tests à faire

Les statistiques ont été faites sur $2^{13}$ impulsions afin de ne pas trop allonger le temps d'observation. La période de l'horloge interne (cadenceur) était de 100 µs. Le programme de test, tel qu'il a été conçu et exposé ci-dessus doit donc nous fournir une estimation de la courbe P (0,1) du générateur d'impulsions pour des intervalles de temps 1 allant de 0 à 204,8 ms (2048 intervalles de 100 µs). Rappelons que :

$P (0,1) = \text{Pr} \left[ \text{o impulsions dans l'intervalle de longueur 1} \right]$

Pour des instants poissonniens de densité $\lambda$, cette courbe doit être une exponentielle :

$$P (0,1) = e^{-\lambda 1}$$

La constante de temps de cette exponentielle est $\frac{1}{\lambda}$, el. doit donc être inversement proportionnelle à la densité moyenne des impulsions délivrées par le générateur. Comme par construction de la maquette (paragraphe III 1.) cette densité moyenne est proportionnelle à la fréquence de l'horloge du générateur de bruit binaire, on peut faire varier cette dernière et vérifier si la constante de temps de l'exponentielle obtenue lui est bien proportionnelle.
En 3ème lieu, on peut vérifier la stationarité du processus en ce sens que la densité moyenne des impulsions délivrées par le générateur est bien constante.

### III. 2. 6. 2. Résultats

L'expérimentation a été conduite sur la base des 3 critères cités ci-dessus.

- Comparaison des courbes P (0,1) du générateur à l'exponentielle $e^{-\lambda_1 t}$ (courbes 3-1 et 3-2 de l'annexe 3) : les courbes P (0,1) dessinées par le traceur de courbes sont en trait continu. Les croix désignent les points de l'exponentielle $e^{-\lambda_1 t}$. On voit que les croix sont pratiquement confondues avec les courbes correspondantes. La courbe P (0,1) du générateur est donc sensiblement une exponentielle $e^{-\lambda_1 t}$.

- Comparaison des constantes de temps des exponentielles : (courbes 3.3 de l'annexe 3). Les différentes courbes obtenues pour des densités d'impulsions différentes sont comparées sur le même graphique. On vérifie bien que les constantes de temps des exponentielles qui les approximent sont dans le rapport inverse de la densité moyenne des impulsions.

- Stationnarité (courbes 3-4 de l'annexe 3). Le programme est exécuté plusieurs fois en gardant constante la densité moyenne des impulsions. On vérifie que les courbes obtenues sont pratiquement superposées.

### III. 2. 6. 3. Limites expérimentales

Remarquons qu'il y a quelques sources de légers écarts qui sont les suivantes :

- l'approximation de la loi de Poisson par la loi binomiale ($p=1/2^8$)
Notons que cette source d'erreur peut être rendue aussi faible que l'on veut en augmentant le nombre de basculs dans le registre à décalage (paragraphe III 1.3).

- Retard constant de 125 µs de la prise en compte d'une interruption par l'ordinateur.

- les sorties analogues se font sur 9 bits seulement, d'où le tracé discontinu lorsque l'ordonnée est faible ($\frac{1}{100}$ de l'échelle).

- Statistiques sur un nombre limité d'échantillons ($2^{13}$ échantillons).

- Discrétisation du temps (100 µs de période de l'horloge interne de l'ordinateur).

### III. 2.7. Conclusion

Les résultats expérimentaux précédents montrent que le générateur dont le principe a été donné au paragraphe III 1. réalise une très bonne approximation du modèle désiré, à savoir qu'il délivre à des instants poissonniens des impulsions dont on peut moduler l'amplitude par une tension aléatoire et qui constitueront le "bruit blanc poissonnien".
III. 3.1. Fonction d'autocorrélation de l'innovation

Pour le filtre optimal, l'innovation qui représente, par définition, l'écart à chaque instant entre la valeur observée et la valeur estimée du signal, doit être un bruit blanc de même caractéristiques que le bruit de mesure [12]. On peut interpréter ce résultat intuitivement en disant que le filtre doit retirer toute la corrélation existant dans le signal observé, cette corrélation représentant en quelque sorte l'information existant dans l'observation. De plus l'innovation est une grandeur à laquelle on a toujours accès même si le vecteur d'état du modèle est inaccessible.

Pour ces raisons, le critère statistique généralement utilisé [16] pour juger de la valeur d'un filtrage consiste à vérifier si l'innovation est un bruit blanc. Pour cette vérification, il nous a semblé naturel d'étudier la fonction d'auto-corrélation de l'innovation [16],[17] que nous notons $\varphi(\tau)$.En effet le rapport $\frac{\varphi(\tau)}{\varphi(0)}$ pour $\tau > 0$ est une mesure relative de la corrélation ou de l'information qui reste à retirer dans l'observation ; c'est ce rapport qui est représenté dans les courbes des annexes 5 et 6. L'avantage de ce critère est double. D'une part, il s'applique, comme nous l'avons dit, aux observations sans que les variables d'état soient accessibles. D'autre part, et là réside le principal intérêt à notre sens, il représente un critère absolu (on peut juger de la valeur d'un filtre sous optimal sans connaître explicitement le filtre optimal) et relatif (on peut comparer plusieurs filtres sous optimaux).
### III. 3.2. Enregistrements simultanés des signaux et de leurs estimées

Tout critère statistique peut cacher certaines anomalies des trajectoires, dues à la forme des équations du filtre ou à toute autre raison, surtout quand il s'agit de tester des filtres non-linéaires sous optimaux. Pour ceci, à titre indicatif, et sans baser notre jugement sur ce dernier critère, nous avons enregistré les trajectoires des variables d'état et de leurs estimées. Il n'était pas possible cependant d'enregistrer l'observation en raison de la bande passante de l'appareil d'enregistrement. Cependant la valeur efficace du bruit de mesure a été indiquée sur ces enregistrements, elle représente grossièrement le double de la valeur efficace du signal utile.
### III. 4. Filtrage analogique

#### III. 4.1. Introduction

Nous allons effectuer la mise en oeuvre et la comparaison des 3 algorithmes de filtrage auxquels nous avons abouti à la fin de l'étude théorique (paragraphe II.7).

##### III. 4. 1. 1. Poids des impulsions

Les seuls types de bruit aléatoire que nous utilisons pour moduler l'amplitude des impulsions poissonniennes sont le bruit binaire et le bruit gaussien. Or, dans les 2 cas, la distribution de probabilité du poids des impulsions est paire. Ceci justifie d'une part l'utilisation de l'algorithme linéaire, et d'autre part simplifie quelque peu les algorithmes non linéaires d'approximation puisque l'on a alors $m_{ijk} = E[X_i X_j X_k] = 0$. Il en sera de même lors du filtrage numérique.

##### III. 4. 1. 2. Système filtré et équations du filtre

Le système sera scalaire (vecteur d'état et mesure scalaires). Son schéma analogique est le suivant :

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIG. III, 3</figcaption></figure>

On pourra faire varier les autres paramètres du système.

Avec les mêmes notations que précédemment, les équations des filtres s'écrivent alors :
a - Filtre de Kalman

$$
(3,5) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\dot{\hat{X}} = -\hat{X} - \frac{\Sigma}{R} (y + \hat{X}) \\
\dot{\Sigma} = -2\Sigma + \lambda C - \frac{\Sigma^2}{R} \\
\hat{X}(0) = 0 \\
\Sigma(0) = E(X^2)
\end{array}
\right.
$$

D'autre part, comme la valeur limite $\Sigma_\infty$ est atteinte
dès le début du filtrage, nous prendrons la version simplifiée :

$$
(3,6) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\dot{\hat{X}} = -\hat{X} - \frac{\Sigma_{\infty}}{R} (y + \hat{X}) \\
\hat{X}(0) = 0
\end{array}
\right.
$$

b - 2ème approximation : couple $(\hat{X}, \Sigma)$

$$
(3,7) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\dot{\hat{X}} = -\hat{X} - \frac{\Sigma}{R} (y + \hat{X}) \\
\Sigma = -2\Sigma + \lambda C - \frac{\Sigma^2}{R} + (3\Sigma + \hat{X}^2) \frac{\hat{X}}{R} (y + \hat{X}) \\
\hat{X}(0) = 0 \\
\Sigma(0) = E(X^2)
\end{array}
\right.
$$

c - 2ème approximation : couple $(\hat{X}, \hat{\Lambda}^2)$

$$
(3,8) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\dot{\hat{X}} = -\hat{X} - (\hat{X}^2 - \hat{X}^2) \frac{1}{R} (y + \hat{X}) \\
\dot{\hat{X}}^2 = -2 \hat{X}^2 + \lambda C + \hat{X}^2 \hat{X} \frac{1}{R} (y + \hat{X}) \\
\hat{X}(0) = 0 \\
\hat{X}^2(0) = E(X^2)
\end{array}
\right.
$$
### III. 4. 2. Schémas de cablage

#### III. 4. 2. 1. Filtre de Kalman

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Fig III,4</figcaption></figure>

$$ \text{Avec } K_1 \ K_2 = \frac{\Sigma_{\infty}}{R} $$

#### III. 4. 2. 2. Filtre non linéaire : 1er algorithme, couple $(\hat{x}, \hat{\Sigma})$

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Fig III,5</figcaption></figure>

$$ \text{Avec } k1 \ k2 = 1/R $$
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Fig III, 6</figcaption></figure>
### III. 4. 3. Problème du choix du paramètre R

Le bruit de mesure que nous utilisons est un bruit pseudo
blanc, à bande limitée $f_c$.

Il est représenté par une tension de covariance $R_d$ ;
et dont le spectre de fréquence est approximativement un rectangle.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Fig III 7</figcaption></figure>

L'aire de ce rectangle est égale à la covariance $R_d$ que
l'on peut mesurer numériquement ou qui est affichée sur le générateur.

Il apparaît ainsi clairement que la covariance $R_s$ (.)
(δ impulsion de Dirac) du bruit à bande infinie équivalent à ce
pseudo bruit, est inversement proportionnelle à sa bande passante
$f_c$, lorsque sa covariance $R_d$ reste constante.

Cependant, compte-tenu du fait que le spectre du bruit
pseudo blanc n'est pas tout-à-fait un rectangle, le calcul théorique
de la relation exacte $R = f (R_d, \omega_c)$ est un problème en soi. C'est
un problème d'autant plus délicat que l'on passe d'un modèle pratique
à puissance finie, à un modèle théorique à puissance infinie.
Cela représente à notre sens une faiblesse des modèles mathématiques
utilisés pour le filtrage. Ainsi, on ne peut malheureusement pour-
suivre aussi rigoureusement la mise en oeuvre d'un algorithme de
filtrage, que l'établissement de cet algorithme. Pour ces raisons,
nous déterminerons expérimentalement la valeur de R, en ajustant
le gain du filtre linéaire à la valeur qui donne le meilleur fil-
trage, au sens des critères utilisés. Notons que cette méthode
s'étend au cas des systèmes à état vectoriel, et à observation
scalaire, puisqu'alors le bruit de mesure est scalaire.

Pour le cas le plus général d'un système multivariable,
on peut étendre la méthode en utilisant une première approximation
qui consiste à considérer que la relation R = f(R<sub>d</sub>, ω<sub>c</sub>) est du
type R = R<sub>d</sub> g(ω<sub>c</sub>) · R<sub>d</sub> étant connu, la détermination expérimentale
de R ne dépend plus que du seul paramètre g(ω<sub>c</sub>). Cette approxima-
tion est valable lorsque les divers bruits de mesure ont un spectre
rectangle avec des fréquences de coupure voisines. Dans la pratique,
cette condition peut être plus ou moins valable suivant les exemples.
Notons cependant que dans le cas des systèmes multivariables, le
recours au filtrage numérique s'impose, en raison de la souplesse
de ce dernier.

Dans le cadre de l'exemple **scalaire** que nous prenons, la
détermination expérimentale de R ne pose aucun problème.

### III. 4. 4. Mise en oeuvre et critères de comparaison

On câble simultanément sur le calculateur EAI 380, le
filtre linéaire et l'un des 2 filtres non linéaires. Les impulsions
d'excitation ont un poids binaire aléatoire issu d'un générateur de
signaux carrés haute fréquence de fréquence F. Alors si $\lambda \ll F$,
les poids des impulsions successives seront décorrélés entre eux.

La comparaison des résultats se base sur 2 critères :

- critère statistique : la fonction d'autocorrélation de l'innovation doit être celle d'un bruit blanc. L'estimation de cette fonction est faite en temps réel grâce à un programme numérique approprié [ 15 ].

La méthode d'estimation est celle indiquée plus loin au paragraphe
[III,6,5,2] : il a été vérifié expérimentalement que l'examen de
8000 échantillons fixait l'ordre de grandeur des valeurs de la
fonction d'autocorrélation de telle sorte que la distorsion de la
courbe représentative de cette fonction, sur un graphique, soit
peu significative.
- critère qualitatif : A titre indicatif, afin de faire apparaître les propriétés des trajectoires, nous avons enregistré simultanément sur un enregistreur multipiste les signaux suivants :

• Signal x(t) non bruité

• Estimation $\hat{x}(t)$ d'après l'un des 2 algorithmes non linéaires

• Estimation $\hat{x}(t)$ d'après l'algorithme linéaire.

Notons que la détermination des paramètres $R$ et $\lambda C$ s'est faite expérimentalement.

- Les valeurs de $R$ déterminées expérimentalement en faisant varier la bande passante du bruit de mesure confirment la discussion du paragraphe III. 3.3. Ainsi on peut écrire en première approximation : $R = h \frac{Rd}{\omega_c}$ où $h$ est une constante de proportionnalité de l'ordre de 10. Nous ne pouvons donner de résultat plus précis car la pulsation de coupure elle-même n'est pas définie avec précision.

- Pour $\lambda C$, on peut calculer les valeurs théoriques :
  $\lambda$ est la densité moyenne des impulsions d'entrée
  $C$ est la covariance du "poids" de ces impulsions, et est donné par
  $$C = c(\Delta t)^2 G^2$$

Avec $c$ covariance de l'amplitude du signal de modulation des impulsions

$\Delta t$ largeur (durée) des impulsions

$G$ gain à l'entrée du système linéaire.

Les valeurs expérimentales suivent grossièrement les valeurs théoriques données ci-dessus. Les raisons des écarts viennent d'une part de la difficulté de l'estimation exacte de la durée $\Delta T$ de l'impulsion, d'autant plus que ce terme intervient par son carré dans l'expression de $C$. D'autre part nous avons là aussi un écart entre le modèle théorique à impulsions de Dirac, et le modèle pratique où les impulsions ont une amplitude finie et une durée non nulle.
### III. 4. 5. Résultats

Les résultats se trouvent en annexe 5. Pour différentes valeurs de la densité moyenne $\lambda$ des impulsions, l'algorithme linéaire a été comparé tout à tour à chacun des 2 algorithmes non linéaires, au sens des critères discutés au paragraphe III.3. Nous en tirons les interprétations suivantes :

#### III. 4. 5. 1. Fonction d'autocorrélation de l'innovation

Il apparaît de l'examen des courbes (Fig. (5,1) (5,3) (5,5) ... (5,11) représentatives de la fonction d'autocorrélation de l'innovation que le rapport $\frac{\varphi(\tau)}{\varphi(0)} (\tau > 0)$ défini au paragraphe III.3, est très faible, de l'ordre du centième pour les 3 algorithmes de filtrage : il représente en valeur relative la corrélation qui reste à retirer de l'observation pour obtenir le filtrage optimal. Aux erreurs d'estimation de la fonction d'auto-corrélation près, les courbes relatives au filtre linéaire et aux filtres non linéaires sont pratiquement confondues, et le rapport $\frac{\varphi(\tau)}{\varphi(0)}$ reste pratiquement nul. Cela nous paraît être une excellente performance. Les 3 filtres proposés pour le filtrage analogique du système simple considéré sont donc statistiquement équivalents et très proches du filtre optimal.

#### III.4. 5. 2. Enregistrement des variables d'état et de leurs estimées

Ces enregistrements (Fig (5,2) (5,4)...(5,12)) montrent que les filtres non linéaires engendrent une "saturation" de l'estimée lorsque la valeur absolue de la variable d'état correspondante dépasse une certaine plage, et devient comparable à la valeur efficace du bruit de mesure. Ceci est particulièrement vrai pour l'algorithme d'évolution du couple $(\hat{X}, \hat{X}^2)$. Nous donnons à ce phénomène 2 raisons complémentaires :
L'écrit entre le modèle théorique et le modèle réel on ce qui concerne le bruit de mesure : dans la théorie le bruit de mesure a une bande infinie, une puissance infinie. Ses réalisations ont une amplitude infinie et sont de moyenne nulle. Ainsi, si l'on considère l'innovation

$$I = y - H\hat{X} = - (X - \hat{X}) + b(t)$$

celle-ci aurait, pour le filtre optimal, les mêmes caractéristiques : puissance infinie, et moyenne nulle.

Or, dans notre modèle, $b(t)$ a toujours une amplitude finie ; ainsi, lorsque $x(t)$ garde une amplitude comparable à $b(t)$, l'ensemble de l'innovation n'est plus centrée, et aura une moyenne dont le signe est opposé au signe de $\hat{X}$ et $X$.

La forme des équations en jeu

### α - Cas du couple $(\hat{x}, \hat{x}^2)$

$$3-9 \qquad \hat{x}^2 = 2 \hat{x}^2 + \lambda C + \hat{x}^2 \frac{\hat{x}}{R} (y + \hat{x})$$

D'après ce qui précède, lorsque $X$ garde une amplitude élevée $(y+X)$ a en moyenne un signe opposé à $X$ et $X$ ; et l'on s'aperçoit que l'effet de l'innovation est alors de diminuer $\hat{x}$ en moyenne, donc de diminuer le gain du filtre. Ainsi $\hat{x}$ ne pourra plus suivre l'évolution de $X$ jusqu'à ce que l'amplitude de celui-ci redescende dans la plage normale de variation.

### β - Cas du couple $(\hat{x}, \Sigma)$

Avec un raisonnement analogue sur les équations d'évolution du couple $(\hat{x}, \Sigma)$ on s'aperçoit que l'effet de ce phénomène est de limiter $\hat{x}$ lorsque $X$ est positif, et par contre $\hat{x}$ suit $X$ lorsque celui-ci est négatif.
Notons cependant que les effets sont moins importants que pour le couple $(\hat{X}, \hat{X}^2)$. Ceci est probablement dû au terme quadratique en $\Sigma^2$, qui lisse les variations de $\Sigma$.

Ce phénomène montre l'incomplète adaptation des modèles pratiques aux modèles théoriques qui permettent mathématiquement d'aboutir aux algorithmes de filtrage.

### III. 4. 6. Conclusion

Nous concluons de ces expériences que les 3 filtres proposés réalisent au sens du critère des moindres carrés, une bonne approximation du filtre optimal correspondant au système très simple étudié. En effet, comme nous l'avons remarqué au paragraphe (III.4.5.1 la fonction d'autocorrélation de l'innovation, qui est le principal critère statistique, est sensiblement celle d'un bruit blanc. Le phénomène de saturation observé sur les enregistrements des estimées données par les filtres non linéaires (cf. Annexe 5) ne semble pas altérer d'une manière sensible les propriétés statistiques de ces filtres.

Cependant, l'on peut faire des remarques qui limitent la portée de ces résultats, et qui nous conduisent à mettre en oeuvre le filtrage numérique : à savoir :

o le système filtré était un système scalaire. Dans ce cas tout "passe bas" c'est-à-dire tout système physique peut constituer un filtre. Ainsi le filtre linéaire surtout, agissait plutôt par ses propriétés de filtre passe bas que par la structure de l'algorithme sous-jacent. Ainsi un système à bande passante différente du système initial, mais faible devant la bande passante du bruit de mesure, aurait tout aussi bien servi de filtre avec des performances correctes. Notons toutefois que les filtres non linéaires, dont la structure est plus élaborée, révèlent mieux la structure de l'algorithme sous jacent : par exemple la saturation de l'estimée
dont il a été question au paragraphe précédent.

* Le bruit blanc équivalent au bruit de mesure a forcément une covariance très faible.

En effet, le bruit pseudo blanc de puissance maximale a 3,16 volts efficaces. A l'échelle de 10 V = 1 du calculateur analogique, cela donne une covariance discrète $R_d = 0,1$.

Or la covariance du bruit blanc équivalent s'écrit :

$$R = \frac{k_1 R_d}{\omega_c} \qquad \omega_c \text{ pulsation de coupure du bruit pseudo blanc.}$$

$$ \text{Si } \omega_c = 1000 \text{ (150 Hz de bande passante), } k_1 \approx 10 \\ \text{on trouve } R = 10^{-3} $$

Cette discussion nous montre l'intérêt de faire un filtrage numérique qui permettra de mieux comparer les algorithmes :

- avec des systèmes vectoriels

- le bruit blanc équivalent sera plus élevé car la notion de bande passante du bruit n'intervient alors plus.
### III. 5. Filtrage numérique

#### III. 5. 1. Introduction

Dans le paragraphe VII. de la première section, nous avions abouti, moyennant 2 approximations à un algorithme linéaire, et à 2 algorithmes non linéaires de filtres sous-optimaux. Les 2 algorithmes non linéaires découlaient de la même approximation, à savoir

$$ \widehat{x_i x_j x_k} \hat{=} E(x_i x_j x_k) = m_{ijk} $$

De plus, on peut remarquer que lorsque cette dernière approximation est valable, c'est-à-dire que les filtres sous-optimaux correspondants sont proches du filtre optimal, l'innovation est alors presque un bruit blanc, et les 2 algorithmes non linéaires sont alors statistiquement équivalents puisque l'on peut passer de l'un à l'autre en appliquant le calcul différentiel d'Ito.

Pour cette raison, il nous suffit de tester numériquement l'algorithme qui offre une mise en oeuvre plus facile. A cet effet, nous choisissons l'algorithme représentant l'évolution du couple $(\hat{x}, \hat{xx}^T)$, et nous le comparons à l'algorithme linéaire.

Les 2 algorithmes que nous comparons sont donc :

##### III. 5. 1. 1. Algorithme non linéaire

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\hat{x} = F\hat{x} + (\hat{xx}^T - \hat{xx}^T)^{-1} (y - H\hat{x}) \\
\hat{xx}^T = F\hat{xx}^T + \hat{xx}^T F^{-1} + \lambda C - (\hat{xx}^T)(\hat{x}^T H^T R^{-1} (y - H\hat{x})) \\
\hat{x}(0) = 0 \\
\hat{xx}^T(0) = E[\hat{xx}^T]
\end{array}
\right.
\qquad 3.10.
$$
Remarquons que l'on a fait $m_{ijk}= 0$ car en effet le poids des impulsions aura une densité de probabilité paire. (cf 3.4.1.1.)

### III. 5. 1. 2. Algorithme linéaire

$$ egin{cases} 
\dot{\hat{X}} = F\hat{X} + \Sigma H^T R^{-1} (y - H\hat{X}) \\ 
\Sigma = F\Sigma + \Sigma F^T + \lambda C - \Sigma H^T R^{-1} H\Sigma \\ 
\hat{X}(0) = 0 \\ 
\Sigma(0) = E[XX^T] 
\end{cases} 
\quad (3.11) $$

### III. 5. 2. Problèmes posés par le filtrage numérique en temps réel

#### III. 5. 2. 1. Discrétisation des mesures

La théorie développée dans la 1ère section, concerne des mesures continues. Or l'intégration numérique des équations du filtrage implique la discrétisation du temps, et donc la prise en compte seulement d'un nombre fini de mesures. La perte d'information sera ainsi d'autant plus importante que les échantillons sont plus espacés dans le temps.

#### III. 5. 2. 2. Intégration numérique

Les seules méthodes d'intégration numérique utilisables en temps réel sur un calculateur de puissance moyenne (T 2000 par exemple) sont celles du type Runge et Kutta en raison de leur relative simplicité, et du fait qu'elles s'amorcent d'elles-mêmes. Leur principal inconvénient est le manque de stabilité, surtout lorsque le pas d'intégration n'est pas suffisamment faible. Ainsi la principale limitation du filtrage numérique sera imposée par la vitesse de calcul de l'ordinateur utilisé. Celle-ci fixera la précision du filtrage (pas d'échantillonnage) et elle influera sur la stabilité.
### III. 5. 2. 3. Stabilité du filtre

Nous venons de dire que l'intégration numérique et la discrétisation qu'elle implique posent le problème de la stabilité. Lorsque le filtre défini par les équations (3,10) ou (3,11) ne sera pas stable numériquement, on pourra le stabiliser, en diminuant l'effet de l'innovation. Ceci est possible en modifiant dans les équations du filtre la valeur de la matrice R covariance "apparente" du bruit de mesure.

Remarquons que cette procédure se justifie qualitativement par le fait que la discrétisation des mesures altère l'information au même titre qu'un bruit de mesure. Ainsi, augmenter la matrice R revient à remplacer le bruit de mesure de covariance R par un bruit de covariance $R + R_1(R_1 > 0)$ où $R_1$ serait la covariance du bruit dû à la perte d'information.

### III. 5. 2. 4. Probème du choix du paramètre R : covariance "apparente" du bruit de mesure

Lors du filtrage analogique nous avions déjà soulevé le problème du choix du paramètre R. Nous avions montré que sa valeur était inversement proportionnelle au bruit de mesure.

Dans le filtrage numérique, c'est le pas d'intégration et la méthode d'intégration qui interviennent.

FAURRE[6] donne la relation qui lie R à $R_d$ et au pas d'intégration pour une méthode à un pas. Cette relation se complique beaucoup pour une méthode à plusieurs pas (Runge Kutta du 4ème ordre par exemple) et sa détermination exacte constitue à nos yeux un problème intéressant et important à résoudre. Nous le résoudrons expérimentalement en choisissant la valeur du paramètre R qui donne le meilleur filtrage.
**Remarque** - Pour les processus Markoviens gaussiens, dont il existe des méthodes d'identification stochastique, ce problème peut être résolu grâce à une identification stochastique précédant le filtrage.

### III. 5.2. 5. Conclusion

La qualité du filtrage numérique en temps réel dépend en grande partie de la vitesse de calcul de l'ordinateur, qui impose le pas d'intégration, et influe sur la stabilité du filtre.

Par ailleurs, il ressort de la discussion ci-dessus que le choix de la valeur de R est un problème d'analyse numérique qui reste à résoudre.

### III. 5. 3. Organisation de la manipulation de filtrage numérique

#### III. 5. 3. 1. Obtention du signal markovien poissonnien

La suite d'impulsions poissonniennes d'amplitude aléatoire, dont l'obtention a été indiquée au paragraphe III. 1, attaque un système dynamique linéaire câblé sur le calculateur analogique EAI 380. La sortie du système linéaire est additionnée à un bruit blanc issu d'un générateur de bruit gaussien.

En ce qui concerne l'amplitude aléatoire des impulsions, ne disposant pas d'un nombre suffisant de générateurs de bruit, la modulation des impulsions est faite par un générateur de signaux déterministes de haute fréquence (carré, sinusoidal etc...). Lorsque la fréquence de ces signaux est très supérieure à la fréquence moyenne des impulsions poissonniennes, on peut alors dire que les amplitudes sont indépendantes entre elles.

**Remarque** - Cette même méthode a été utilisée lors du filtrage analogique.
### III. 5. 3. 2. - Filtrage numérique

Le signal ci-dessus est échantillonné à une cadence fixe (cadence maximale compatible avec le temps de calcul associé à un pas d'intégration) par le calculateur T2000.

L'échantillonnage est obtenu par un générateur d'impulsions constituant une horloge externe à l'ordinateur.

Des programmes appropriés, disposant des paramètres du système, et des nouvelles mesures, permettent après chaque pas d'intégration :

1. D'élaborer la meilleure estimée

2. De la présenter aux sorties analogues pour un enregistrement éventuel.

3. La poursuite du calcul de quelques points de la fonction d'auto-corrélation de l'innovation qui, après un nombre fixé de pas, sont imprimés sur télétype.

### III. 5. 4. Détermination des matrices et des paramètres du système

Rappelons les équations du système

$$ egin{cases} 
dX = F X dt + dv \\ 
y = HX + w 
\end{cases} 
\quad 
\begin{cases} 
E[XX^T] = \Sigma_0 \\ 
E[X] = 0 
\end{cases} $$

- **l'entrée** du système sera toujours **scalaire** ; par conséquent on peut écrire $dv = G dv_1$, $G$ matrice (nx1) déterminée par le câblage. $dv_1$ entrée scalaire.

La matrice C qui apparaît dans le filtrage, covariance du poids des impulsions, se calcule comme suit :

Soit DT la largeur d'impulsion

c covariance du signal déterministe de modulation :

$$ \text{Alors } C = c(DT)^2 G G^T $$
- Les matrices F et H sont déterminées par le cablage du système

- la matrice R intervenant dans les équations du filtre n'est pas E[ww^T]. En effet, comme nous l'avons dit plus haut, il faut tenir compte de la période d'échantillonnage et éventuellement d'un bruit supplémentaire dû à l'échantillonnage.

$$
\text{Soit } R = f \left[ (E(ww^T) + R_1) T_{\text{ech}} \right] \qquad 3.12
$$

Tech = période d'échantillonnage

- Matrice Σ₀

Nous avons montré dans la première section que Σ vérifie
l'équation

$$
\Sigma = F\Sigma + \Sigma F^T + \lambda C
$$

Lorsque le régime permanent est établi, on a :

$$
F\Sigma + \Sigma F^{\mathrm{T}} + \lambda C = 0
$$

Cette équation fournit Σ₀ pour le filtre.

Une deuxième méthode pour déterminer Σ₀, applicable lorsque les variables d'état sont accessibles, est d'estimer directement en temps réel grâce à un programme de calcul de covariances, la matrice Σ₀ du système. Bien entendu le résultat doit vérifier l'équation ci-dessus. C'est ce que nous avons effectivement vérifié.

III. 5. 5. Méthodes d'intégration utilisées

Ce sont essentiellement les méthodes de Runge et Kutta.

- Méthode de Runge et Kutta du 4ème ordre

Soit le système différentiel

$$
\dot{X} = f(X,t)
$$
$$
\text{Et si l'on pose : } \left\{
\begin{array}{l}
K_1 = \frac{h}{2} f (X_n, t) \\
K_2 = \frac{h}{2} f (X_n + K_1, t + h/2) \\
K_3 = h f (X_n + K_2, t + h/2) \\
K_4 = \frac{h}{2} f (X_n + K_3, t + h)
\end{array}
\right.
$$

$$
\text{Alors } (3,13) \qquad X_{n+h} = X_n + \frac{1}{3} (K_1 + 2K_2 + K_3 + K_4)
$$

Remarquons que dans le cas des équations du filtrage, le calcul de $X_{n+h}$ nécessite la connaissance de $X_n$, $Y_n$, $Y_{n+h/2}$, ainsi la fréquence d'échantillonnage devra être le double de la fréquence d'intégration.

- Méthode de Runge et Kutta du premier ordre ou méthode des rectangles.

Avec le système différentiel précédent, on pose :

$$
(3,14) \qquad X_{n+h} = X_n + h f(X_n, t)
$$

Ainsi, cette méthode est beaucoup plus rapide, et permet
d'échantillonner le signal à une cadence très rapide. Malheureusement
elle est peu précise, et manque de stabilité numérique.

III. 5. 6. Mise en oeuvre numérique du filtrage

III. 5. 6. 1. Enoncé et rôle des programmes mis en oeuvre sur calculateur T 2000 pour le filtrage numérique

Les programmes sont rédigés en langage assembleur ASMAT du
T 2000. Les listings correspondants se trouvent en annexe 8.

- Programme d'entrée des matrices, avec mise en page (SEC ACOMEN)

- Programme du filtre proprement-dit qui comprend : (SEC FILTRE)
* L'initialisation

* Une boucle d'attente des interruptions

* Le traitement d'interruption qui dépend de la méthode d'intégration

* Le calcul d'un pas d'intégration qui dépend du système d'équations choisi (3,10) ou (3,11) et de la méthode d'intégration.

- Programme utilitaire de calcul (SEC UTILIT) qui se compose d'une suite de sous programmes de calcul matriciel qui sont appelés par les différents autres programmes.

- Programme de test du filtre (SEC TNSFIL) qui poursuit après chaque pas d'intégration l'estimation de l'autocorrélation de l'innovation. Lorsqu'un nombre fixé d'échantillons est passé, il fait imprimer sur télétype la valeur du pas d'intégration h, et les 10 premières valeurs de la fonction d'autocorrélation de l'innovation : $E [b(t)b(t-kh)]$ avec $k = 0,1...9$.

Autres programmes utilisés et existant déjà en bibliothèque :

- Entrée de tableaux de nombres en écriture flottante

- Sortie " " " " "

- Sortie de messages

- Programme de calcul sur nombres en flottant : en effet, il n'existe pas de calcul "flottant" cablé sur la T 2000.

**Remarque 1)** Dans la rédaction des programmes l'accent a surtout été mis sur l'économie de temps de calcul. Ainsi le programme utilitaire SEC UTILIT comprend plusieurs sous-programmes différents optimisés du point de vue temps.

2) Afin de faciliter la programmation, tous les sous-programmes ont été conçus pour une implantation dans un même bloc mémoire.
### III. 5. 6. 2. Description des principaux programmes mis en oeuvre.

Nous décrirons soit par organigramme, soit par texte, les différentes parties.

#### III. 5. 6. 2. 1. SEC ACOMEN

Lors de l'initialisation, on se branche à la 1ère instruction exécutable de SEC ACOMEN.

Ce sous-programme permet l'entrée des matrices du système à partir du lecteur télétype, avec impression de commentaires suivant le format des résultats en annexe 6.

Le programme est ensuite branché vers SEC TESFIL pour y initialiser le calcul de l'autocorrélation de l'innovation.

#### III. 5. 6. 2. 2. SEC FILTRE

Après l'entrée des matrices, et l'initialisation du calcul des autocorrélations, le programme est branché sur SEC FILTRE qui comprend :

#### α - Une partie d'initialisation

* Initialisation de certaines mémoires de travail dans les programmes utilitaires de calcul et dans SEC FILTRE lui-même.

* Sauvegarde de l'adresse 0014 du bloc O

* Sauvegarde du contenu du registre d'état et masquage du déborde-ment

* Initialisation des voies analogiques après définition de l'adresse de traitement d'interruption.
On arrive après toutes les initialisations ci-dessus vers une boucle d'attente. On y reviendra après la fin de chaque pas de calcul.

β - <u>une boucle d'attente</u>

γ - <u>le programme de traitement d'interruption</u> dont nous présentons l'organigramme ci-dessous dans le cas de l'intégration numérique par la méthode de Runge et Kutta du 4ème ordre.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>ORGANIGRAMME DU TRAITEMENT D'INTERRUPTION</figcaption></figure>
Dans le cas de la méthode de Runge et Kutta du 1er ordre, l'organigramme est beaucoup plus simple, et se déduit du premier par suppression des parties liées à la mesure $y_{n+h/2}$.

Il comprend alors simplement le rangement du seul registre tampon (étant donné qu'on ne peut être alors interrompu que dans la boucle d'attente), la lecture analogique après vérification du bit 6 de ROC, la conversion binaire flottant du résultat de la lecture, et enfin le branchement avec fin de priorité vers le calcul du pas d'intégration.

**δ - Le calcul d'un pas d'intégration** : cette partie dépend évidemment de l'algorithme choisi. Nous présentons l'organigramme, pour la méthode de Runge Kutta du 4ème ordre, correspondant à chacun des algorithmes à comparer.

Les paramètres d'appel des sous-programmes de calcul n'ont pas été figurés afin de ne pas surcharger l'organigramme.

**δ - 1 Organigramme de l'algorithme non linéaire.**

<figure><img src="image_14.png" /></figure>
<figure><img src="image_15.png" /></figure>
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>δ - 2 Organigramme de l'algorithme linéaire</figcaption></figure>

<figure><img src="image_17.png" /></figure>
<figure><img src="image_18.png" /></figure>
<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Remarques :

1. Pour la méthode de Runge Kutta du premier ordre l'organisation des calculs est la même que pour les 2 algorithmes ci-dessus. Cependant, on décrit une seule fois la boucle de calcul des $K_i$ en supprimant les tests relatifs à la mémoire NUMERO. On doit alors poser $ACOEFF = HCOEFF = h$ et $CCOEFF = 1$.

2. Les listings joints en annexe contiennent des commentaires qui peuvent faciliter leur compréhension. Enfin les différents sous-programmes de calcul matriciel seront présentés plus loin, ainsi que les paramètres à transmettre relatifs à chacun.

III. 5. 6. 2. 3. SEC TESFIL

Après le calcul du pas d'intégration, où la valeur de l'innovation à l'instant n, se trouve dans les mémoires RESUL1 et RESUL1+1, le contrôle est donné à ce programme.

Nous en présentons ci-dessous l'organigramme simplifié en excluant la partie d'initialisation qui est exécutée une seule fois, au début du filtrage (Remise à zéro de tableaux et de mémoires).
La méthode d'estimation des autocorrélations est la suivante :

Au fur et à mesure de l'arrivée des échantillons, on effectue des moyennes partielles du type :

$$a_{K,p} = \frac{1}{N} \sum_{i=pN}^{(p+1)N} X_i X_{i-K} \quad ; \quad K = 0,1,\dots,9$$

Puis on effectue une moyenne entre les moyennes partielles $a_{K,p}$ :

$$A_K = \frac{1}{q} \sum_{i=1}^{q} a_{K,i}$$

Ces dernières moyennes seront pour nous l'estimée des autocorrélations.

Nous prendrons $N = 128$ et $q = 36$

Cette méthode a déjà été utilisé avec un programme calculant en temps réel l'autocorrélation de signaux extérieurs à l'ordinateur.

Les résultats étaient satisfaisants [15].

On obtient ainsi l'organigramme suivant :

<figure><img src="image_20.png" /></figure>
<figure><img src="image_21.png" /></figure>
### III.5.6.2.4. SEC UTILITÉ

C'est une section comprenant plusieurs sous-programmes de calcul.

- Produit $XX^T$ : 1ère instruction exécutable AMATRI.

Paramètres à transmettre :
- ADRX : Adresse du vecteur X
- ADRP : Adresse du résultat symétrique

- Produit scalaire $X^T Y$ : 1ère adresse exécutable : PROSCA.

Paramètres à transmettre :
- ADRA : Adresse du vecteur X
- ADRB : Adresse du vecteur Y.
Le résultat se trouve en flottant en RESUL, RESUL+1.

- Sommation de tableau avec options : 1ère adresse exécutable : SOMTA1.

Ce sous-programme fait le calcul de $R = (CCOEFF) \times A \pm B$

Paramètres à transmettre :
- INDIC2 : Si $INDIC2 \neq 0$ Alors $R = A \pm B$
  Si $INDIC2 = 0$ Alors $R = (CCOEFF) \times A \pm B$

- CCOEFF
- SIGN : Si $SIGN \neq 0$ l'opération est une addition
  Si $SIGN = 0$ l'opération est une soustraction.

- ADRO : Adresse du premier tableau
- ADRO1 : Adresse du second tableau
- ADRO2 : Adresse du résultat
- AN : Nombre d'éléments

- Produit Matrice Vecteur : 1ère instruction exécutable : MATVEC

Ce sous-programme effectue : $P = (ACOEFF) \times MATRICE \times VECTEUR$

Paramètres à transmettre :
- ADRMM : Adresse de la matrice
- ACOEFF
- ADRVEC : Adresse du vecteur opérande
- ADRPP : Adresse du vecteur résultat.
- Produit Tableau scalaire avec option : 1ère instruction exécutable : MATSCA.

Ce sous-programme effectue : R = (ACOEFF) × TABLEAU × scalaire.

Paramètres à transmettre :

- INDIC : si INDIC = 0 Alors R = TABLEAU × scalaire
  si INDIC ≠ 0 Alors R = (ACOEFF × TABLEAU × scalaire)

- ACOEFF

- ADRMU : Adresse du tableau

- ADRSCA : Adresse du scalaire

- ADRESU : Adresse du résultat

- AN3 : - nombre d'éléments du tableau

- Produit matrice symétrique vecteur : 1ère instruction exécutable : PMAVI.

Paramètres à transmettre :

- ADRM : Adresse Matrice symétrique

- ADRV : Adresse vecteur opérande

- ADRU : Adresse vecteur résultat.

- Sous-programme spécial1 : 1ère instruction exécutable : SPPS.

Ce sous-programme effectue : P = ACOEFF × (FS + SF<sup>T</sup> + Q)
P, Q, S matrices symétriques.

Paramètres à transmettre :

- ACOEFF

- ADREP : Adresse du résultat

- ADRES : Adresse de la matrice S

- ADREF : Adresse de la matrice F

- ADREQ : Adresse de la matrice Q.

- Sous-programme spécial 2 : 1ère instruction exécutable HPMS.

Ce sous-programme effectue : R = HCOEFF × (AF<sup>T</sup> + FA + C - ABA)
A, C, B matrices symétriques.

Paramètres à transmettre :

- HCOEFF

- HMATA : Adresse de la matrice A.
- HMATB : Adresse de la matrice B

- HMATF : Adresse de la matrice F

- HMATQ : Adresse de la matrice C

- HMATR : Adresse de la matrice R.

Remarque : Tous les vecteurs et matrices mentionnés ci-dessus sont
de dimension n, n étant l'ordre du système.
III. 5.6.3. Schéma du déroulement des programmes

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

Branchement de l'horloge externe

<figure><img src="image_23.png" /></figure>
### III. 5. 6. 4. Performances

#### III. 5. 6. 4. 1. Encombrement mémoire

Tableaux : L'ensemble de tous les tableaux utilisés
occupe au total :

$$6(N(N+1)) + 16N + 2N^2 = 8N^2 + 22N$$
mots mémoire, où N désigne l'ordre du système.

Ainsi pour N = 2 la place réservée aux tableaux est
de 76 décimal

N = 10 la place réservée aux tableaux est
de 1020 décimal

L'ensemble de tous les programmes utilisés y compris les
programmes d'entrée sortie, et à l'exclusion du programme de
calcul flottant, occupent environ 1300 mots mémoire en décimal.

Ainsi le problème de la place en mémoire ne se pose pas,
puisque tous les programmes avec les tableaux, tiennent même pour
des systèmes d'ordre très élevés dans moins de 4K de mémoire cen-
trale.

#### III. 5. 6. 4. 2. Temps de calcul

Rappelons que les calculs sur nombre en virgule flottante
sont très longs car nous ne disposons pas de "calcul flottant
cablé". Par exemple une addition de 2 nombres dure près de 150µs.
Ceci limitera fortement la fréquence d'échantillonnage, et par
conséquent la précision et la stabilité du filtrage.

Dans le cas de la méthode de Runge Kutta du 4ème ordre,
le temps de calcul d'un pas d'intégration est de 100ms pour un
système d'ordre 2 ; De plus l'estimation des autocorrélations peut
durer jusqu'à 25 ms.

Ainsi la fréquence limite d'intégration sera de 7 à 8 Hz,
soit une fréquence d'échantillonnage du double, pour un système
d'ordre 2.

Notons que le temps de calcul, varie comme le carré de l'ordre du système.

### REMARQUES ;

1- Dans le cas de la méthode de Runge et Kutta du 1er ordre, l'encombrement mémoire est légèrement inférieur, et le temps de calcul divisé par 4.

2- Le pas d'intégration doit être chargé après assemblage dans les mémoires PASINT, PASINT+1 en virgule flottante.

3- Les performances citées ci-dessus concernent le filtre non linéaire. Si l'on inclut dans le filtre linéaire, le calcul de Σ(t), les performances sont alors équivalentes.
### III. 5.7. Résultats

Plusieurs systèmes du premier et du second ordre ont été testés avec chacun des algorithmes qui ont été programmés.

Nous présentons en annexe 6, la comparaison des résultats des 2 filtres, sur un système du 2ème ordre et un système du 1er ordre. La comparaison se base sur les critères exposés au paragraphe III.3. Les résultats obtenus confirment et précisent ceux obtenus lors du filtrage analogique :

#### III. 5. 7. 1. Fonction d'autocorrélation de l'innovation

L'examen des courbes (Fig (6-1), (6-4),...(6-16)) représentant le rapport $\frac{\varphi(\tau)}{\varphi(0)}$, défini et interprété aux paragraphes (III.5) et (III.4.5.), montre que pour toutes les valeurs de la densité moyenne $\lambda$, pour les 2 systèmes testés, et pour les 2 filtres, ce rapport reste voisin de quelques centièmes ; notons que cela représente l'ordre de grandeur de l'erreur d'estimation de ce rapport (pour un bruit blanc, l'erreur d'estimation de ce rapport en utilisant la méthode exposée dans [17] et que nous avons reprise vaut $\frac{2}{\sqrt{N}}$ si l'estimation est faite à partir de $N$ échantillons).

D'autre part, lorsque la densité $\lambda$ est très grande devant les constantes de temps du système ($\lambda=80$), on sait que le filtre linéaire est pratiquement le filtre optimal, puisque le signal tend alors vers un signal gaussien. Or l'on peut vérifier que les courbes représentant le rapport $\frac{\varphi(\tau)}{\varphi(0)}$ ne subissent pas de dégration significative lorsque diminue la densité des impulsions, et que toutes les courbes obtenues pour les 2 filtres sont sensiblement équivalentes, au sens du critère d'optimalité (Innovation = bruit blanc).

Nous concluons des résultats et remarques précédentes que les deux filtres proposés réalisent au sens du critère des moindres carrés, une bonne approximation pratique du filtre optimal.
Bien qu'ayant des performances très comparables du point de vue statistique, au sens du "blanchissement" de l'innovation, les 2 filtres ont des sorties dont les allures sont différents et dépendent de chaque système testé. Ainsi chaque filtre minimise à sa façon, compte tenu de sa structure, la covariance de l'erreur. Il nous semble normal, qu'avec des performances statistiques comparables à celle du filtre non linéaire, le filtre linéaire ait une sortie qui "ressemble" plus au signal, ne serait-ce qu'en raison de la linéarité, propriété commune au filtre linéaire, et au système initial. Cela paraît d'ailleurs vrai expérimentalement, mais ne préjuge cependant pas de la valeur du filtrage, dont le critère est un critère statistique au sens des moindres carrés. Bien entendu on peut à posteriori, ajouter un critère qualitatif tenant compte de la forme de l'estimée, mais cela relève du domaine expérimental.

Prenons par exemple, le système du premier ordre (Annexe 6-2) et examinons l'enregistrement de l'estimée donnée par le filtre non linéaire (par exemple Fig 6-11). Le filtre non linéaire agit presque en système tout ou rien ; cela donne bien entendu une allure de l'estimée différente de celle du signal non bruité, et pourtant l'innovation est presque un bruit blanc. Ce caractère "tout ou rien" disparaît pour le système du second ordre (Annexe 6-1) sans que les propriétés statistiques de l'innovation ne subissent de modification significative.

Notons enfin, qu'on retrouve pour le filtre non linéaire le phénomène de saturation de l'estimée rencontré, et dont il a été présenté une explication, lors du filtrage analogique. Cette saturation aurait été moins importante si l'on avait utilisé l'algorithme du couple $(\hat{X}, \Sigma)$ cependant compte tenu des moyens de calcul (calcul flottant software) dont nous disposons ; la longueur des calculs correspondants à l'évolution du couple $(\hat{X}, \Sigma)$ nous a dissuadé.
### III. 5. 7. 3. Stabilité

Le filtre non linéaire surtout nous a posé des problèmes de stabilité (voir paragraphe II.6.4).

Or le filtre peut être considéré comme un système dynamique excité par l'innovation. Afin de le rendre stable, on peut diminuer le gain, en divisant par exemple le facteur $H^T R^{-1}$ par une constante $K \ge 1$. Pour rétablir approximativement la valeur réelle de l'estimée, on pourra alors multiplier la sortie du filtre, c'est-à-dire l'estimée, par un facteur voisin de K.

Bien entendu cette démarche serait rigoureuse si le filtre était un système linéaire. Il n'en est pas moins vrai que nous avons vérifié expérimentalement (les résultats le prouvent) qu'une telle démarche était justifiable.

#### REMARQUE :

La méthode de Runge Kutta du 1er ordre, ou méthode des rectangles a été abandonnée car trop imprécise et numériquement instable.
### III. 5. 8. Conclusion

Les résultats du filtrage numérique confirment le fait que les algorithmes d'approximation proposés, réalisent une bonne approximation du filtre optimal, et ceci dans une large plage de variation de la densité moyenne des impulsions poissonniennes qui attaquent le modèle.

La comparaison des résultats du filtre linéaire et du filtre non linéaire (couple $(\hat{X}, \hat{X}^T)$) ne permet pas de se prononcer d'une manière globale en faveur de l'un ou l'autre, en raison de la dispersion des résultats. Il semble cependant que pour les valeurs élevées de $\lambda$ ($\lambda = 20, \lambda = 80$), le filtre linéaire soit légèrement meilleur (Fig (6.4), (6.7)) ; cela serait normal puisque le signal tend alors à devenir gaussien markovien ; d'autant plus que ce filtre présente des avantages de simplicité de mise en oeuvre, et de stabilité.

Il y a lieu cependant d'insister sur le fait qu'il s'agit d'une comparaison des réalisations pratiques des filtres proposés ; ces réalisations pratiques s'écartent des modèles théoriques principalement pour 2 raisons.

- Les mesures sont des mesures discrètes contrairement aux modèles théoriques à mesures continues.

- La détermination du paramètre R, covariance du bruit blanc équivalent au bruit de mesure, paramètre qui dépend de la période d'échantillonnage et de la méthode d'intégration, ne peut être qu'approchée.

Ces écarts peuvent influer de manière différente sur chacun des filtres, en raison de leurs structures différentes. C'est pourquoi nous pensons qu'un choix est à faire expérimentalement, dans chaque cas particulier, pour décider du meilleur filtre.
Placée dans le contexte du filtrage non linéaire, l'étude théorique a permis de résoudre le problème de l'établissement d'algorithmes récursifs de filtrage pour les signaux issus de systèmes linéaires excités par des "bruits blancs poissonniens". Ainsi, un algorithme linéaire et 2 algorithmes non linéaires réalisent des approximations du filtre optimal, lequel ne peut pas être représenté par un nombre fini d'équations.

Notons que l'algorithme linéaire est semblable à l'algorithme du filtre de KALMAN, dans lequel la covariance du bruit blanc gaussien d'excitation est remplacée par un terme faisant intervenir les caractéristiques du "bruit blanc poissonnien".

Du fait qu'elles sont inspirées du filtrage non linéaire, les méthodes de l'étude théorique sont facilement transposables aux systèmes non linéaires, et l'on peut ainsi, dans le même esprit, établir des algorithmes de filtrage correspondant à des cas particuliers de systèmes non linéaires.

La mise en oeuvre expérimentale nous a permis dans un premier temps de simuler le "bruit blanc poissonnien" et de tester ses propriétés statistiques. Les résultats correspondants sont très satisfaisant.

Ensuite, diverses réalisations pratiques, analogiques et numériques, des algorithmes de filtrage établis lors de l'étude théorique, ont été testées et comparées entre elles.
Il en ressort qu'elles approximent toutes d'une façon satisfaisante le filtre optimal.
L'expérimentation a en outre posé de nombreux problèmes annexes au filtrage, mais d'une importance pratique considérable. Ainsi le passage des modèles mathématiques aux modèles expérimentaux pose le problème de l'identification stochastique. Le problème peut être posé du point de vue de l'analyse numérique, lorsque connaissant le système dont est issue l'observation on doit déterminer certains paramètres [20], [21], (tels que la covariance du bruit blanc équivalent au bruit de mesure) lors de l'intégration numérique des équations différentielles stochastiques représentatives du filtre. D'une manière plus générale, il peut être étudié du point de vue statistique et constituer ainsi un domaine parallèle au problème de l'identification stochastique des processus gaussiens markoviens, domaine en pleine extension [18].

La stabilité des filtres représente aussi un problème expérimental et une question d'actualité [20], [22]. Signalons enfin la stabilité numérique des algorithmes de filtrage, sujet peu abordé jusqu'à présent, surtout en filtrage non linéaire, et où l'on doit tenir compte à la fois de la forme des équations, et de la méthode d'intégration choisie.

Les problèmes évoqués ci-dessus, dont des solutions partielles ont été proposées dans le cas particulier du filtrage linéaire [20], limitent actuellement l'efficacité pratique des algorithmes de filtrage basés sur les représentations markoviennes des signaux. Ils devraient à notre sens faire l'objet d'études plus approfondies et plus systématiques, surtout dans le domaine non linéaire où l'écart est considérable entre l'avancement de la théorie, et celui de l'expérience.
REFERENCES

1) SIRJAEV
"Interpolation and filtering of a JUMP like component of a Markov Process":
MATH-USSR Izvestija Vol.3 (1969) N°4

2) SIRJAEV
Séminaire à l'IRIA - (Avril 1971)
sujets traités :
"Stochastic differential equations"
"Applications to filtering and sequential estimation"
Non publié. Contact, professeur SIRJAEV
Académie des Sciences
42, rue Vavilov MOSCOU

3) DOOB
"Stochastic processes" (1953) Editeur Wiley

4) MC KEAN Jm
"Stochastic processes" (AC Press, 1969)

5) GIKHMAN SKOROKHOD
"Introduction to the theory of random processes". Sanuders Mathematics books (1969)

6) SKOROKHOD
"Studies in the theory of random processes" (Add. Wesley 1965)
7) KUSHNER "On the differential equations satisfied by probability densities of Markov Processes" (SIAM. J. CONTROL, 1962)

8) BUCY "Non linear filtering" (correspondance IEEE Tr A.C. 1965)

9) DUNCAN "Probability densities for diffusion processes and its applications to non linear filtering and detection theory" (technical report - Stanford University May 1967)

10) FISHER STEAR "Optimal non linear filtering for independent increment processes": IEEE Information theory (Oct. 1967)

11) FISHER STEAR "Near Optimal non linear filtering using quasi moment functions". INT. J. CONTROL, (1970,) VOL 12, N° 4, 685-697.

12) FROST "Non linear estimation in continuous time systems". Technical report of Stanford University (May 1968)

13) ITO "Lectures on stochastic processes" Tata institute of fundamental research BOMBAY
14) FAURRE "Navigation inertielle optimal et filtrage statistique" DUNOD (1971)

15) BIBLIOTHEQUE T 2000
IRIA, ROCQUENCOURT 78
Département automatique
appliquée

16) RAMAN K MEHRA "On the identification of variances and Adaptive Kalman Filtering" (IEE Automatic control Vol. AC-15, N°2 APRIL 1970)

17) JENKINS and WATTS "Spectral Analysis and its applications" San Francisco Holden Day (Publ 1968)

18) FAURRE "Identification par minimisation d'une représentation markovienne de processus aléatoire" PH.D dissertation Stanford University(1967)

19) SYMPOSIUM ON NON LINEAR ESTIMATION
THEORY and its applications
San Diego, California
September 21-23, 1970
Western periodicals CO.

20) NAHI "Decision directed adaptive recursive estimators, Divergence prevention" IEEE TRANS Automatic control (Feb 1972)
21) WEISS
"A survey of discrete Kalman-Bucy filtering with unknown noise covariances" AIAA Guidance and Control conf. Santa Barbara Calif (1970)

22) IUTAM
"Symposium on stability of stochastic dynamical Systems" (Juillet 1972) chez SPRINGER VERLAG
Lecture notes in Mathematics

23) BRYSON and HO
"Applied optimal control" Blaisdell publishing company (1969)
V ANNEXES

<figure><img src="image_24.png" /></figure>
# ANNEXE 1

## OBSERVATIONS DISCRETES

### Equations de saut de l'estimée
## V-1-1 Modèle et notations

Il est représenté par les équations :

$$dX = FX dt + dv$$

$$y_k = H X_k + w_k$$

Nous reprenons les notations et les hypothèses de la première section.

De plus notons :

$P_{X_{t_k}} (\mu / Y_{t_k}, Y_{0, t_{k-1}}) = \text{la densité de probabilité conditionnelle}$

après l'observation à l'instant $t_k$.

$P_{X_{t_k}} (\mu / Y_{0, t_{k-1}}) = \text{la densité de probabilité conditionnelle}$

avant l'observation à l'instant $t_k$.

$X_{t_k}^+ = \text{L'estimée après l'observation } t_k$.

$X_{t_k}^- = \text{L'estimée avant l'observation } t_k$.

$Y_{t_k} = \text{La variable aléatoire Y à l'instant } t_k$.

$y_{t_k} = \text{La valeur mesurée de } Y_{t_k}$.

## V-1-2 Saut de l'estimée à l'instant d'une observation.

Déterminons :

$P_{X_{t_k}} (\mu / Y_{t_k}, Y_{0, t_{k-1}}) \text{ en fonction de } P_{X_{t_k}} (\mu / Y_{0, t_{k-1}}) \cdot$

En utilisant la relation de Bayes, on peut écrire :

$$ (5-1) \quad P_{X_{t_k}} (\mu / Y_{t_k}, Y_{0, t_{k-1}}) = \frac{P_{Y_{t_k}} (Y_{t_k} / X_{t_k} = \mu, Y_{0, t_{k-1}}) P_{X_{t_k}} (\mu / Y_{0, t_{k-1}})}{P_{Y_{t_k}} (Y_{t_k} / Y_{0, t_{k-1}})} $$
Or

$$
(5-2) \quad P_{Y_{t_k}} (y_{t_k} / Y_{0,t_{k-1}}) = \int_{\mathbb{R}^n} P_{Y_{t_k}} (y_{t_k} / \hat{X}_{t_k} = \mu^*, Y_0, t_{k-1}) P_{X_{t_k}} (\mu^*/Y_0, t_{k-1}) d\mu^*
$$

D'autre part :

$$
(5-3) \quad P_{Y_{t_k}} (y_{t_k} / X_{t_k} = \mu, Y_0, t_{k-1}) = P_{W_{t_k}} (y_{t_k} - H\mu / Y_0, t_{k-1}) \\
\text{(en vertu de la relation : } w_{t_k} = y_{t_k} - H \hat{X}_{t_k} \text{)}
$$

Compte tenu du caractère "blanc gaussien" de $w_{t_k}$ et de l'indépen-
dance de $w_{t_k}$ et du bruit d'excitation, on a :

$$
P_{w_k} (y_{t_k} - H\mu / Y_0, t_{k-1}) = P_{w_k} (y_{t_k} - H\mu)
$$

Soit

$$
(5-4) \quad P_{W_{t_k}} (y_{t_k} - H\mu) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{m}{2}} \sqrt{|R|}} \exp -\frac{1}{2} (y_{t_k} - H\mu)^T R^{-1} (y_{t_k} - H\mu)
$$

$$
\text{Avec} \quad R = E[w_{t_k} w_{t_k}^T]
$$

$$
|R| = \text{Déterminant de la matrice } R
$$

En reportant les relations (5-2), (5-3); (5-4) dans (5-1), il vient :

$$
(5-5) \quad P_{X_{t_k}} (\mu / Y_{0,t_k}, Y_{0,t_{k-1}}) = \frac{\exp \left( -\frac{1}{2} (y_{t_k} - H\mu)^T R^{-1} (y_{t_k} - H\mu) P_{X_{t_k}} (\mu / Y_{0,t_{k-1}}) \right)}{\int_{\mathbb{R}^n} \exp \left( -\frac{1}{2} (y_{t_k} - H\mu^*)^T R^{-1} (y_{t_k} - H\mu^*) \right) P_{X_{t_k}} (\mu^* / Y_{0,t_{k-1}}) d\mu^*}
$$

On obtient par exemple l'espérance conditionnelle :

$$
\hat{x}_{t_k}^{+} = \int_{\mathbb{R}^n} \mu P_{x_{t_k}} (\mu / Y_{0,t_k}, Y_{0,t_{k-1}}) d\mu
$$
Soit

$$ (5-6) \qquad \hat{x}_{t_k} = \frac{\int_{R} \exp(-\frac{1}{2} (y_{t_k} - H\mu)^T R^{-1} (y_{t_k} - H\mu) P_{x_{t_k}} (\mu/Y_{0,t_{k-1}}) d\mu}{\int_{R} \exp(-\frac{1}{2} (y_{t_k} - H\mu^*)^T R^{-1} (y_{t_k} - H\mu^*) P_{x_{t_k}} (\mu^*/Y_{0,t_{k-1}}) d\mu^*} $$

Nous pouvons ainsi avoir une expression des statistiques conditionnelles après l'observation $t_k$, en fonction des statistiques conditionnelles avant l'observation. Malheureusement, les équations ci-dessus contiennent implicitent tous les moments conditionnels ; et aucune approximation simple et justifiable n'en a été trouvée.

### 1 - 3 Interprétation de la formule (5-5).

La distribution de probabilité conditionnelle après une mesure, est le produit normé de la distribution de probabilité avant la mesure par une gaussienne de moyenne $y_{t_k}$, et de variance $R$.

Remarquons que ce résultat est valable sans faire d'hypothèse sur le système mises à part l'hypothèse du caractère Markovien du processus et celle de l'indépendance entre le bruit de mesure et le bruit d'excitation.

Ainsi pour une large classe de systèmes, auxquels on a accès par une mesure bruitée par un bruit gaussien, les équations de saut sont celles trouvées ci-dessus.
ANNEXE 2

DEFINITIONS DE CERTAINS PROCESSUS

STOCHASTIQUES.
# 1 - Processus Markovien

Un processus stochastique $X(t)$, $t \in [0,T]$, est dit Markovien, si pour toute suite $\{t_0, t_1, \dots, t_k, t\}$ incluse dans $[0,T]$, avec :

$$t_0 \le t_1 \le \dots \le t_k \le t,$$

Les lois conditionnelles :

$L(X(t)/X(t_0), X(t_1), \dots, X(t_k))$ et $L(X(t)/X(t_k))$ sont identiques.

# 2 - Processus à accroissements indépendants.

Un processus $X(t)$, $t \in [0,T]$ est dit à accroissements indépendants si : $V t_1, t_2, t_3, t_4$ inclus dans $[0,T]$, avec :

$$t_1 \le t_2 \le t_3 \le t_4$$

$X(t_4) - X(t_3)$ et $X(t_2) - X(t_1)$ sont des variables aléatoires indépendantes.

# 3 - Processus de Wiener.

Un processus stochastique $X(t)$, $t \in [0,T]$ est un processus de Wiener s'il vérifie les propriétés suivantes :

- $X(t)$, $t \in [0,T]$ est un processus gaussien centré

- $X(t)$ est à accroissements indépendants

- $E[X^2(t)] = R(t)$ ou $R(.)$ est une fonction monotone croissante.

Pour le processus de Wiener unitaire $R(t) = t$.

# 4 - Processus de Poisson généralisé

Un processus de Poisson $X(t)$ est un processus de saut aléatoire.
Il peut être défini par l'équation suivante :

$$X(t_2) - X(t_1) = \sum_{t_1 < t_k \le t_2} A(t_k)$$

$\{t_k\}$ est une suite d'instants poissonniens

$\{A(t_k)\}$ sont des variables aléatoires indépendantes et de même loi de probabilité.
# ANNEXE 3

## RESULTATS DU PROGRAMME DE TEST

### DES INSTANTS POISSONNIENS
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIG. 3-T</figcaption></figure>

Courbe P(O,t)

$\lambda = 20$

Soit $f = 5 k \quad f \quad p = \frac{1}{9^2}$

x points de l'exponentielle e^{-λt}
P(0, t)

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIG. 3-2</figcaption></figure>

Courbe P(O,t)

$\lambda = 40$

soit $\frac{1}{9} = 10 \text{ k ; } p = \frac{1}{2^8}$

* points de l'exponentielle e⁻¹ t

.200 ms
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIG. 3-3
Courbes P(O.t) du générateur "poissonnien"
avec 3 valeurs de la densité des impulsions
($\lambda_1$, 2 $\lambda$, 4 $\lambda$)  $\lambda_1$ = 10</figcaption></figure>

Comparez des constantes de temps
x points du générateur idéal.
FIG. 3-4

Courbes P(O,t)

λ = 40

Stationnarité du processus : 3 essais
ont été superposés.

points de l'exponentielle e⁻λt

<figure><img src="image_28.png" /></figure>
ANNEXE 4

QUELQUES REALISATIONS DE

PROCESSUS MORKOVIENS POISSONNIENS.
Nous présentons ci-après, à titre indicatif, les enregistrements de quelques réalisations de signaux à représentation Markovienne.

Le "bruit blanc poissonnien" dont l'obtention a été exposée dans le paragraphe (III,1) a été injecté à l'entrée de plusieurs systèmes linéaires. L'amplitude des impulsions était gaus.sienne ou binaire du type +1, -1.

Soit $\lambda$ la densité moyenne des impulsions
$\tau$ la plus faible constante de temps du système linéaire.

La comparaison des allures des sorties lorsque croît
le produit $\lambda\tau$ montre que très rapidement le caractère impulsionnel
de l'entrée n'apparaît plus à la sortie. Ainsi, vu de la sortie
d'un système linéaire un processus Markovien Poissonnien peut
souvent être difficilement distingué d'un processus Markovien
Gaussien d'autant plus que les propriétés du second ordre à priori
sont identiques (la covariance de l'état $\Sigma$ vérifie une équation
du même type, comme il a été montré dans l'étude théorique).

Les enregistrements qui suivent sont relatifs aux sys-
tèmes suivants

- système d'ordre 1 de fonction de transfert :

$$
H(p) = \frac{K}{1 + p}
$$

La constante de temps est égale à 1.

- système d'ordre 2 de fonction de transfert :

$$
H(p) = \frac{K}{p^2 + 0,8 p + 1}
$$

$$
\text{Les pôles sont : } \quad p_1 = -0,4 - j\sqrt{0,84} \\
\qquad p_2 = -0,4 + j\sqrt{0,84}
$$
- système d'ordre 3 sans zéros de fonction de transfert :

$$H(p) = \frac{K}{(p+9)(p^2+6p+36)}$$

Les pôles sont $p_1 = -9$

$$p_2 = -3 - j \sqrt{27}$$

$$p_3 = -3 + j \sqrt{27}$$

- système d'ordre 3 avec 2 zéros de fonction de transfert :

$$H(p) = \frac{K(1+p \cdot \frac{p}{80}^2)}{(p+9)(p^2+6p+36)}$$
FIG. 4-1

Allure de la courbe d'un événement de premier ongle

$$ \varepsilon(2) = \frac{\lambda}{E(2) + 1 + \tau} \qquad \tau = 1 $$

Amplitude classifiée des impulsions

$$ E(2) = 1 + \tau $$

$\lambda = 2$

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

$\lambda = 8$

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

$\lambda = 20$

<figure><img src="image_31.png" /></figure>
<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>FIG. 4-2 Allure de la sortie d'un système de second ordre</figcaption></figure>

Amplitude caussienne des impulsions

S(p)

E(p)

$$ \frac{\kappa}{p^2 + 0.8p + 1} $$

(τ ≈ 1)
<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>FIG. 4-3. Amplitude de la sortie d'un système de 3e ordre
Amplitude Gaussian des Impulsions</figcaption></figure>

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

<figure><img src="image_35.png" /></figure>
FIG.4-4

Allure de la sortie d'un système du 7e ordre avec impulsions :

$$ \mathcal{S}(\lambda) = \lambda (1 - \frac{\lambda}{\lambda + 1} + \frac{\lambda^2}{\lambda + 2} + \dots) $$

Amplitude Gaussienne des impulsions.

$$ \mathcal{P}(\lambda) = (\lambda - 9)(\lambda^2 + \lambda + 5) $$

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

$\lambda = 2$

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

$\lambda = 8$

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

$\lambda = 20$

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

$\lambda = 80$
FIG. 4-5

Comportement des courbes d'un système à deux états successifs la nature de l'état 1 est la même que la nature de l'état 2.

$$H(2) = \frac{K}{1+\frac{K}{2}}$$

Entrée Gausseuse

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

Entrée Poissonnière

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

Amplitude Gausseuse

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

Entrée Poissonnière

$$\lambda = 20$$

Amplitude Poissonnière
<caption>FIG. 4-6</caption>

Commençons à mesurer l'axe du record en tiree
s'avançant la hauteur de l'entree

$$H(p) = \frac{p}{1 + 0.85e^{-2}} \quad (t = 0.1)$$

Entrée Gaussienne

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

Entrée Poissonnière

$$\lambda = 20$$

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

Amplitude Gaussienne

Entrée Poissonnière

$$\lambda = 20$$

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

Amplitude binaire
<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>FIG. 4-7
Comparaison des sorties d'un système du 2e ordre
suivant la nature de l'entrée.</figcaption></figure>

Entrée Gaussienne

$$ \mathcal{H}(2) = \frac{1}{(2\pi)^4} \frac{\exp(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{4} z_i^2)}{\sum_{j=1}^{4} z_j^2} $$

$$ (\lambda_1 = 9, \lambda_2 = 1) $$

Entrée Poissonnienne

$\lambda = 20$

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

Amplitude

Gaussienne

Entrée Poissonnienne

$\lambda = 20$

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

Amplitude binomial
# Résultats du filtrage analogique

## Comparaison des 3 algorithmes

### de Filtrage
Comparaison de l'algorithme non linéaire (X, Σ)

et de l'algorithme linéaire

Filtre analogique
<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>FIG 5-1 Comparison des fonctions d'autocorrélation de l'innovation</figcaption></figure>
<figure><img src="image_50.png" /></figure>

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>FIG. 5-2</figcaption></figure>

Filtrage analogique : comparaison du filtre de Kalman et du filtre non linéaire représenté par le couple $(X, Σ)$

$$ \lambda = 2 $$

Bruit de mesure : 3,16 Volts, 150 Hz bande passante.
<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>FIG 5-3</figcaption></figure>
<figure><img src="image_54.png" /></figure>

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>FIG 5-4</figcaption></figure>

Filtrage analogique : comparaison du filtre de Kalman et du filtre non linéaire représenté par le couple (X, Σ)

λ = 20

Bruit de mesure : 3,16 Volts : 150 Hz de bande passante
<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>FIG 5-5
Comparison des fonctions d'autocorrelation de l'innovation</figcaption></figure>

filtre linéaire

filtre non linéaire (couple (X, Σ))

λ = 80

<figure><img src="image_58.png" /></figure>
<figure><img src="image_59.png" /></figure>

<figure><img src="image_60.png" /></figure>

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>FIG 5-6</figcaption></figure>

Filtrage analogique : Comparaison du filtre de Kalman et du filtre non linéaire représenté par le couple (X, Σ)

= 80

Bruit de mesure : 3,16 Veff : 150 Hz bande passante
Comparaison de l'algorithme non linéaire $\hat{x}, \hat{x}^2$
et de l'algorithme linéaire

Filtrage analogique
<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>FIG 5-7 Comparaison des fonctions d'autocorrélation de l'innovation</figcaption></figure>
<figure><img src="image_63.png" /></figure>

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>filtrage Analogique : Comparaison du filtre de Kalman et du filtre non linéaire
FIG 5-8 représenté par le couple (X, Ŷ²)</figcaption></figure>

A = 2

Bruit de mesure : 3,16 V eff , 150 Hz de bande passante
<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>FIG 5-9</figcaption></figure>

<figure><img src="image_67.png" /></figure>
Signal non bruité

2 Volts

<figure><img src="image_68.png" /></figure>

Sortie du filtre non linéaire

2 Volts

<figure><img src="image_69.png" /></figure>

Sortie du filtre de Kalman

2 Volts

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

Filtrage analogique : comparaison du filtre de Kalman et du filtre non linéaire
FIG 5-10 représenté par le couple (X, X²).

λ = 20

Bruit de mesure : 3,16 Veff , 150 Hz bande passante
<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>FIG 5-11 Comparaison des fonctions d'autocorrélation de l'innovation $\lambda = 80$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_72.png" /></figure>
Signal non bruité

<figure><img src="image_73.png" /></figure>

Sortie du Filtre non linéaire

<figure><img src="image_74.png" /></figure>

Sortie du Filtre de Kalman

<figure><img src="image_75.png" /></figure>

Filtrage analogique : comparaison du filtre de Kalman et du filtre non linéaire représenté par le couple (X, X²).

<caption>FIG 5-12</caption>

λ = 80

bruit de mesure : 3,16 Veff ; 150 Hz de bande passante
# RESULTATS DU FILTRAGE NUMERIQUE

## COMPARAISON DE L'ALGORITHME NON LINAIRE (X, XX̂)

## ET DE L'ALGORITHME LINEAIRE
Système du second ordre

<figure><img src="image_76.png" /></figure>

$$F = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -0,6 \end{pmatrix}$$

$$H = \begin{pmatrix} 1 & -0,25 \end{pmatrix}$$

$$G = \begin{pmatrix} 0 \\ 200 \end{pmatrix}$$

$$c = E[AA^T] = 0,25$$

$$Q = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0,06 \end{pmatrix}$$

$$R = f[h, E(bb^T)] \quad ; \quad h = \text{pas d'intégration}$$

$$E[XX^T] = \begin{pmatrix} 0,025 & 0 \\ 0 & 0,050 \end{pmatrix}$$
<figure><img src="image_77.png" /></figure>

<figure><img src="image_78.png" /></figure>
<figure><img src="image_79.png" /></figure>

<figure><img src="image_80.png" /></figure>

<figure><img src="image_81.png" /></figure>

<figure><img src="image_82.png" /></figure>
<figure><img src="image_83.png" /></figure>

<figure><img src="image_84.png" /></figure>

<figure><img src="image_85.png" /></figure>

<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>FIG. 6.3 Bruit de mesure : 3,16 Volts efficace</figcaption></figure>

λ = 2
<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>FIG. 6.5</figcaption></figure>

Bruit de mesure : 3,16 V eff

λ = 20
<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>FIG. 6.6 Bruit de mesure 3,16 Volts efficace</figcaption></figure>
<figure><img src="image_89.png" /></figure>
<figure><img src="image_90.png" /></figure>

<figure><img src="image_91.png" /></figure>

<figure><img src="image_92.png" /></figure>

<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>FIG 6.9</figcaption></figure>

Bruit de mesure : 3,16 Volts efficace
Système du 1er ordre

<figure><img src="image_94.png" /></figure>

$$F = -1$$

$$H = -1$$

$$c = 0,25$$

$$E(b^2) = 0,1$$

$R = f(h, E(bb^T))$ ; $h$ = pas d'intégration.
<figure><img src="image_95.png" /></figure>

SYSTÈME DU PREMIER ORDRE

<table><caption>FIG. 6.10</caption><thead><tr><th></th><th>Comparaison des fonctions d'autocorrélation de l'Innovation</th><th>λ = 2</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,1 sec</td><td>filtre linéaire</td><td></td></tr><tr><td>0,5 sec</td><td>filtre linéaire (X, XXT)</td><td></td></tr><tr><td>1 sec</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_96.png" /></figure>
<figure><img src="image_97.png" /></figure>

<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>FIG. 6.11 Bruit de mesure 3,16 Volts efficace</figcaption></figure>

$\chi = 2$
<figure><img src="image_99.png" /></figure>

<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>FIG. 6.12 Bruit de mesure 3, 16 Volts efficace;</figcaption></figure>

λ = 2

<figure><img src="image_101.png" /></figure>
SYSTÈME DU PREMIER ORDRE

<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>Fig. 6.13 Comparaison des fonctions d'autocorrélation de l'innovation</figcaption></figure>
<figure><img src="image_103.png" /></figure>

<figure><img src="image_104.png" /></figure>

<figure><img src="image_105.png" /></figure>

<figure><img src="image_106.png" /></figure>
<figure><img src="image_107.png" /></figure>

<figure><img src="image_108.png" /></figure>

<figure><img src="image_109.png" /></figure>

<figure><img src="image_110.png" /></figure>
<figure><img src="image_111.png" /></figure>

SYSTEME DU PREMIER ORDRE

<table><caption>Fig. 6.16 Comparaison des fonctions d'autocorrélation de l'innovation</caption><thead><tr><th></th><th>λ = 80</th></tr></thead><tbody><tr><td>0,1 sec</td><td></td></tr><tr><td>1 sec</td><td></td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_112.png" /></figure>

Estimée $X$ : filtre non linéaire

<caption>Fig. 6.17 Bruit de mesure : 3,16 Volts efficace</caption>

$X = 30$
# ANNEXE 7

## Listing des divers programmes rédigés

Pour le test du générateur Poissonnien : SEC POISSO

Pour le filtrage numérique

1 SEC FILTRE
   - Algorithme linéaire
   - Algorithme non linéaire (X̂, XXT)

2 SEC TESFIL

3 SEC ACOMEN

4 SEC UTILIT
SEC POISSO:
ITIA:RZ I ADCOMP:
RZ APABON:
CAU +1:
RA INCA:
RE REGE1:
CA REGE1:
UNV 2000:
RA REGE2:
CE REGE2:
RZ PRO:
CA INDIC2:
PA INDIC1:
CA ADDEFO:
RA I ALCOM1:
CXV -2048:
RZ X FDT -2048:
AXU +1:
IRV **-2:
CA I AD014:
RA SAVRUP:
CA ADPTRA:
RA I AD014:
CA MCC:
SA 2027:
IRV *4-1:
CA CEA:
SA 2026:
IRV **-1:
LE: CA PRO:
IRV **-1:
CA FDT+2047:
RA MOL02:
CA APABON:
RA FDT+2047:
CXV +2046:
CA X FDT:
RA MOL01:
CA MOL02:
AD X FDT+1:
RA X FDT:
NRV ADEBOR:
CA MOL01:
RA MOL02:
AXU -1:
IRV **-9:
CA MOL02:

AD FDT+1:
RA FDT:
NRV ADEBOR:
CA ADFTD:
RA I ATABLY:
CAU -2048:
RA I AMOPO1:
IR ATABRD:
CA SAVRUP:
RA I AD014:
HR ARRET:
ADFT: FDT BO #J
INDEX: ;
BISMUT: ;
MOL01: ;
MOL02: ;
APABON: ;
INCA: ;
REGE1: ;
IRV **-2:
CA I AD014:
RA SAVRUP:
CA ADPTRA:
RA I AD014:
CA MCC:
ADCOMP:7776 BO 0:
ADC01:7777 E0 0:
INDIC1: ;
INDIC2:0100 000:
ADDEFO:DEBORD BI * BO #J
MCC: 4577 760:
PRO: ;
ADPTRA:PTRAIT BI * BO #J
AD014: 0014 BO 0:
ARRET: 3000 BI 2 BO 2J
CEA: 4040 020:
SOVX: ;
PTRAIT:RA SOVA:
EDA: ;
RA SOVB:
RX SOVX:
CA I ADCOMP:
RA DUREE:
RT SOVT:
EA 1020:
ITV 0040J
IRV ASYST:
CA DUREE:

ITV 7760J
ZRV **+2J
IRV PAABON:
CA DUREE:
GNS +7J
RA: ;
RA X FDT:
CA X INCA:
AD X FDT:
NRV ADEBOR:
CA INDIC1:
AD MINUS:
ZRV FINI:
RA INDIC1:
RZ I ADCOMP:
CX SOVX:
CA SOVF:
ADB: ;
CAU 0040J
SA 2020J
EA 0026J
IRV **-1J
CA SOVA:
IR SOVT:
ADEBOR:RT
RX INDEX:
CXV -2048J
CA X FDT-2048J
DLS +1J
RA X FDT-2048J
AXU +1J
IRV **-4J
CA APABON:
DLS +1J
RA APABON:
CA INCA:
DLS +1J
RA INCA:
CX INDEX:
IR BISMUT:
BISMUT:
CA APABON:
AD INCA:
RA APABON:
RA DUREE:
RT SOVT:
IRV ADEBOR-10J
FINI: CA MACJ
SA 2027J

IRV **-1J
CAU 0040J
SA 2020J
EA 0026J
IRV **-1J
CAU 0100J
SA 2026J
IRV **-1J
CAU +1J
RA PRO:
CA SOVX:
CA SOVB:
ADBJ : CA SOVA:
SOVA: ; IR SOVT:
SOVB: ; DUREE:
SOVT: ; MINUS: -1 #J
DEBORD:CA MACJ
SA 2027J
IRV **-1J
CAU 3600J
SA 3027J
RT GTAMP2:
CAU MESS1:
UN AFLOCO:
IR APMESS:
IR **+1J
INITIA BI * FP BO #J
GTAMP2: ;
MAC: 3777 760J
MESS1: 0150 120J
"BR": "AN": "CH": "ER": "L": "ES": "I": "WP": "UL": "SI": "ON": "S": 0150 120J
4000:
ABLOCO:BO #J
A PMESS:JMESS BI JMSGE BO JMSGE:
ASYST: EA 2020;
ITV 1000;
ZRV SYST: 0026;
EA 0026;
IRV **-1;
CAV 0100;
SA 2026;
IRV **-1;
CAV **-1;
SA 6000;
IRV **-1;
CAV 2022;
IRV **-1;
CAV 1060;
SA 3022;
IRV **-1;
SYST: CAV 0040;
SA 2020;
CA SAVRUP: 2020;
RA I AD014;
IR SAVRUP: AD014;
FIC SCE TC:

SEC FILTRE: <version algorithme linéaire>
LETSC0:RZ CONTUR -L2L;
CXU -L2L;
RZ X XEST+L2L;

AXU +1;

IRV **-2;

RZ INDT:

RZ PRI:

CA PASINT:

RA ACOEFF:

RA HGOEFF:

CA UNTIER:

RA CCOEFF:

CA ADRAX:

RA ADRVEC:

CA ADRHRH:

RA HMATB:

CA ATRAVA:

RA HMATR:

CA ATRAVI:

RA ADRUV:

CA ATRAVS:

RA ADRU:

CA ADRAF:

RA HMATF:

RA APRMM:

CA ATRAV3:

RA ADRPP:

CA ADRAC:

RA HMATA:

RA ADRM:

CA ADRAQ:

RA HMATC:

RE RF(F1:

CA RF(E1:

UNU 2000:

RA RECE2:

CE RFCE2:

CA I AD014:

RA SAVRUP:

CA AATRA:

RA I AD014:

CA CEA:

SA 2026:

IRV **-1;

ABALG: CA **-1;

ZRV PRI

<SAUVECARDE INITIALISATION VOIX ANALOGIQUES>;

<BOUCLE D'ATTENTE>;

TRAITA:FX SOUV
RA SOVA:

BDA:

RA

RT

SOVT:

EA

1020:

ITV

0040:

ZRV

ATEST:

CAU

2020:

SA

EP

0026:

**-1;

IRV

**-1;

NE

EXPOS:

RA

**-7;

RZ

EXPOS:

IRV

**-5;

CAU

6000:

RA

MANTIS:

CA

MANTIS:

CA

INDT:

CA

MESURE+6:

RA

MESURE+7:

RA

MESURE+1:

CA

PMESU:

RA

PMESU+2:

RA

MESURE+4:

CA

PMESU+1:

RA

MESURE+3:

RA

MESURE+5:

CA

MANTIS:

RA

MESURE+6:

CA

EXPOS:

<TRAITEMENT INTERRUPTIONS>;
RZ INDIC2: RZ
IRV SOMTA1 <XN+KI DANS ATRAX>;
IC NUMERO: GFL
CA NUMERO: GFL
ADV -4: GFL
NRV DFFIT2:
IRV TF:IL <VERS TEST DU FILTRAGE>
XEST: TAB +L2LJ
COVEST: TAB +NNPLUIJ
TRAVI: TAB +L2L;
ATRHH:TAE +NNPLUIJ;
TRAV3: TAR +L2LJ
TRAV4: TAR +NNPLUIJ;
TRAV5: TAR +L2LJ
ATRAX: TAR +L2L;
ATRAC: TAR +NNPLUIJ;
ATRAXI: TAR +L2L+NNPLUIJ;
ATAXI: TAR +L2L+NNPLUIJ;
ACVAXI:ATRAXI FO #J
ACVAXI:CUVEST FO #J
UNVAL: +1;
ATRAH: TAR +M2M;
ATRAH: TAR +L2LJ;
ATRHH:TAB +L2LJ
ATRHO: TAR +NNPLUIJ;
MFSIMF:TAB +8J
INVCU: ;
DEUXV: +2;
NIRFHO: ;
MANTIO:200 FO 3J
FXPO: 6001 FO 3J
APF: ;
RESULI: ;
FGU: 6432 FI 3 FO 3J
AYEST: XEST FO #;
ATRAVI:TRAVI FO #J
ATRHH:ATRHH FO #J
ATPAV3:TRAV3 FO #J
ATPAV4:TRAV4 FO #J
ATPAV5:TRAV5 FO #J
ATPAX: ATPAX FO #J
ADHAC: ATRAC FO #J
CEL LETSGO:
ATRAF: ATPAF FO #J
ATRCH: ATRAH FO #J
ATRHH:ATRHH FO #J
ATRACI: ATRAQ FO #J
AMESUR:MFSUFE BO #J
AINNOV:INYOU FO #J
ARESUL:RESUL FO UTILIT:
CEL ADRHRH;
GEL PASINT;
GEL ACVEST;
GEL AFALG;

GFL ADRAF;
GEL ADRAH;
GFL ADRHHR;
GEL ADRAQI;
GFL RESULI;
FIC SCE TC;

SEC FILTHE:
CONTUR
- L2LJ
CXU
RZ X XEST+L2LJ
AXU +1;
IRV
**-2;
HZ
INTI;
FZ
PRI;
CA
PASINTJ
HA
ACOEFJ;
CA
UNTIFJ;
HA
CCOEFJ;
CA
ADRAXI
RA
ADPUECJ;
RA
ADFX;
CA
ATPAV2;
RA
ADREPJ;
RA
ADRM;
CA
ATRAVIJ;
RA
ADPU;
CA
ATPAV5;
RA
APRIJ;
CA
ADRACI;
RA
ADRES;
CA
ADRACI;
RA
ADPFO;
RE
RECFI;
CA
PECFI;
UNV
2000;
RA
PECEP;
CE
PECE2;
CA
I AD014J;
RA
SAVRUPJ;
CA
AATRAI;
RA I AD014J;
CA
CEAI;
SA
2026;
IRV
**-1;
APALE:
CA
PRI
ZRV
**-1;

<SAUVECARDE INITIALISATION VOIX ANALOGIQUES>;

<BOUCLE D'ATTENTE>;

<version algorithme non linéaire, couple (X, XX')>

<figure><img src="image_113.png" /></figure>
TPAITA:PX
RA
BDA;
RA
SOVT;
RT
SOVT;
EA
1020;
ITV
0040;
ZPV
ATEST;
CAU
0040;
SA
2020;
FA
0026;
IRV
**-1;
NE
EXPOS;
RA
MAVTIS;
ZRV
**-7;
PJV
4000;
ZPV
**-7;
CAU;
ST
EXPOS;
RA
EXPOS;
ITV
**-7;
HZ
EXPOS;
ITV
**-5;
CAU
6000;
RA
MAVTIS;
CAU
+1;
IRV
**-8;
CAU
CONTUR;
ZRV
INITI;
CA
INDT;
PJV
+1;
ZPV
MILIEU;
CAU
+1;
RA
INET;
CA
RESURF+6;
RA
RESURF;
CA
RESURF+7;
RA
RESURF+1;
CA
RESURF;
HA
RESURF+2;
RA
RESURF+4;
CA
RESURF+1;
TA
RESURF+3;
HA
MANTIS;
PA
RESURF+6;
CA
EXPOS;
RA
RESURF+7;
IP
**-1;
CALCUL EI * FP BO *;

MILIEU:CA MANTIS:
RA PMESU:
CA EXPOS:
RA PMESU+1:
RA INDT:
RZ
IRV
**-2;
INITI: CA MANTIS:
RA MESURF+6:
CA EXPOS:
RA MESURF+7:
CAU
+1;
RA CONTUR:
RA INDT:
RA INET:
CX
SOVT;
CA
SOVT;
ADR;
CA
SOVA;
IR
CONTUR:
INDT:
FRI:
PASINT:
UNTIEF:2525;
RECF1:
REC(F2):
SAVRUP:
AATFA: TRAITA BO *;
AL014: 0014 BO 0;
CAU:
4040 020;
SOVT:
SOVA:
SOVE:
SOVT:
MANTIS:
EXPOS:
PMESU:
ATEST:
ITV
0020:
FA
1000:
ZRV
SYST:
FA
0026;
IRV
**-1;
CAU
0100;
SA
2026;
IRV
**-1;
CAU
6000;
SA
2022;
CALCUL: CXV -NNPLUI-L2L <DEBUT PAS D'INTEGRATION>;
CALCUL: CXV -NNPLUI-L2L <DEBUT PAS D'INTEGRATION>;
CA X XEST+L2L+NNPLUI;
RA X ATRAX+L2L+NNPLUI;
RA X ATRAX+L2L+NNPLUI;
IRV
SA
3022;
IRV
**-1;
SA
2020;
CA
SAVRUP;
RA I ARO14;
SA
SA
1060;
SA
3022;
SYST:
CAU
0040;
SA
2020;
CA
SAVRUP;
RA I ARO14;
IRV
SA
2020;
IRV
**-1;
CAU
0040;
SA
2020;
CA
NUMFHO;
CA
NUMFHO;
DJU
DEUXU;
ZEV
AMOYEN;
CA
PASINT+1;
ADU
-1;
RA
ACOFF+1;
IRV
**-3;
AMOYEN:CA
PASINT+1;
RA
ACOFF+1;
CA
ATPAV2;
RA
AIRP;
IRV
AMOYEN: <XX' DANS TRAV2>;
CA
ADPAC;
RA
ADRO1;
CA
ATRAV2;
RA
ADRO1;
CA
ADRO2;
CAU
+NNFLUI;
RA
AN;
RZ
SIGN;
IPV
SOMTA1 <SIGMA DANS TRAV2>;
CA
AIRAH;
HA
ADPAC;
CA
ADPAC;
RA
ADRB;
IRV
PPOSCA
CA
NUMERO;
GNS
+1;
AD
AMESUR;
RA
APER;
CA I APER;
RA I MANTIO;
IC
APER;
YEST: TAE
COVEST: TAF
+L2L;
+NNPLUI;

TPAVI: TAE
+L2L;
+NNPLUI;

THAVI: TAF
+L2L;
+NNPLUI;

TEAVI: TAF
+L2L;
+NNPLUI;

TPAVS: TAF
+L2L;
+NNPLUI;

ATPAX: TAF
+L2L;
+NNPLUI;

ATPAC: TAF
+NNPLUI;

ATPAXI: ATPAXI BO *;

ACVEST: COVEST BO *;

UPVAI: +1;

ATPAC: TAF
+M2M;

ATRAH: TAF
+L2L;

ATRAH: TAF
+L2L;

ATAC: TAE
+NNPLUI;

NFSURE: TAF
+8;

INNOV: ;

TFXU: +2;

NMFPO: ;

NANTIO: 6200 BO 3;

FXP10: 6201 BO 3;

FPER: ;

TFXUL: 1;

FSQU: GARS RI 3 PO 3;

FVEST: YEST BO *;

TPAVI: TPAVI BO *;

ATPAX2: TPAV2 BO *;

ATPAX3: TPAV3 PO *;

ATPAX4: TPAV4 FO *;

ATPAX5: TPAV5 PO *;

ATPAX: ATPAX FO *;

ATPAC: ATPAC FO *;

CEL LETSGO;

APMOF: ATPAC BO *;

ATPAH: ATPAH EO *;

ATPAHP: ATPAHP BO *;

ATPAO: ATPAO BO *;

AMESURE: NFSURE FO *;

AINNOV: INNOV EQ *;

ARESUL: RESUL TO UTILIT;

CPL PASINT;
CPL ACVEST;

CFL APAFU;

CFL ATPAF;

CFL ATPAH;

CFL ADPAHR;

GFL ADPAF;

GFL RESUL;

FIC SCE TC;

SEC TEFIL;
INIFIL: CXU -40;
RZ X PASSI+40;
AXU +1;
IRV **-2;
RZ COMPT;
RZ ZAHL;
IRV LETSGO;
TEFIL: CXU +17;
CA X PASS;
RA X PASS+2;
AXU -1;
IRV **-3;
CA PASS;
RA PASS+2;
CA RESULI+1;
RA PASS+1;
IC COMPT;
CA ZAHL;
PRV **+5;
CA COMPT;
CA RESULI;
RA PASS;
CA RESULI+1;
RA PASS+1;
IC COMPT;
CA ZAHL;
PRV **+5;
CA COMPT;
ADU -10;
PRV **+2;
IRV AFALG;
CXU -20;
ACOV: CA X PASS+20;
RA I NANTIO;
CA X PASS+21;
RA I EXPIO;
IR FMULT;
PASS FO *;
IR FADD;
PASSI+20 X BO *;
CA I NANTIO;
PA X PASSI+20;
CA I EXPIO;
RA X PASSI+21;
AXU +2;
IRV ACOV;
CA COMPT;
GNS +4;
ZRV **+2;
IRV AFALG;
CXV +20;
CA X PASSI-2;

HA I MANTIO;
RZ X PASSI-2;
CA X PASSI-1;
ADV -7;
RA I EXPIO;
"S ";
"D";
"I N";
"T F";
"C P";
"A T";
"I O";
"N ";
"N ";
4000;
MESS1: 0150 120;
0150 120;
"C O";
"A V";
"P I";
"A N";
"C F";
"S ";
"D E";
"L ";
"I ";
"N N";
"O V";
"A T";
"I O";
"N ";
"N ";
0150 120;
0150 120;
PASS;
TAE +20;
PASSI: TAF +20;
PASSP: TAF +20;
ALPAS2: PASS2 BO *;
COMPT;
"A H";
"A H";
FADD: 6357 BI 3 BO 3;
FMULT: 6441 RI 3 BO 3;
MANTIO: 6200 BO 3;
EXPIO: 6201 BO 3;
EGL TEFIL;
GFL INIFIL;
FIC SCE TC;
MESS1: MESS1 PO *;
MESS7: MESS7 BO *;
SEC ACOMEN;
ALONY: CEV 2000 <ENTREE MATRICES DU SYSTEME>;
CA MESS2;
IRV MESS;
CA ATRAF;
PA MAT;
IRV ANFA;
CA MESS3;
IRV MESS;
CA ATRAH;
PA MAT;
IRV ANFA;
CA MESS4;
IRV MESS;
CA ADRARH;
RA MAT;
IRV ANFA;
CA MESS5;
IRV MESS;
CA APEA0;
RA MAT;
IRV ANFA;
CA MESS6;
IRV ANFA;
CA MESS6;
IRV MESS;
CA AQUEST;
PA MAT;
IRV ANFA;
IRV INIFL;
MESS2:MESS2 HO #;
MESS3:MSS3 HO #;
MESS4:MSS4 HO #;
MESS5:MSS5 BO #;
MESS6:MSS6 FO #;
MESS2: 0150 120;
0150 120;
"NA";
"TP";
"IC";
"E";
"F";
0150 120;
0150 120;
4000;
MSS3: 0150 120;
0150 120;
0150 120;
0150 120;
"MA";
"TR";
"IC";
"E";
"SI";
"CM";
"MA";
"O";
0150 120;
0150 120;
4000;
4000;
FIG SCE TC;
ADRP:
MANIO:6200 BO 3;
EXPI0: 6201 BO 3;
"MA";
"TR";
"IC";
"E";
"H";
"H";
0150 120;
0150 120;
4000;
MESS4: 0150 120;
0150 120;
0150 120;
"MA";
"TR";
"IC";
"F";
"H";
"R";
"R";
0150 120;
0150 120;
4000;
MESS5: 0150 120;
0150 120;
0150 120;
"NA";
"TP";
"IC";
"E";
"C";
0150 120;
0150 120;
4000;
MESS6: 0150 120;
0150 120;
0150 120;
"MA";
"TR";
"IC";
"E";
"SI";
"CM";
"MA";
"O";
0150 120;
0150 120;
4000;
4000;
FIG SCE TC;
ADRP:
AMATRI:RT TAMPOA;
CA ADRX;
UN INDEX;
RA XDRY;
CA ADRX;
RA ADRX;
ADV +1;
RA APDRX;
CXU;
ABCLE: CA I AADPX;
RA I MANTIO;
CA I APTPX;
RA I EXPI0;
IR FMULT;
XDRY I TO #;
CA I MANTIO;
RA I ADRP;
IC ADIP;
CA I EXPI0;
RA I ADRP;
IC ADRP;
AXU +2;
CA AADRX;
ST ADRX;
ST;
NRFU **+2J;
IRV AECLE;
IC AADRX;
IC AADRX;
IC APDRX;
IC APDRX;
CA AADRX;
ST ADRX;
ADV -L2LJ;
NRV ARCLE-1J;
IR TAMPOA;
TAMPOA:
ADRX:
AADPX:
APDRX:
XDPY:
"ADRESSE DE (N,1)";
"ADRESSE DU RESULTAT SYMETRIQUE";
```
IR      FMULT:      AADRES:
ACOFF   BO *;     INDIC:      <ADRESSE SCALAIRE>
CA I MANTIO:    ADSCA:       <ADRESSE TARLEAU>
FA I PROV2:     ADemu:        <-NOMBRE D'ELEMENTS>
CA I EXPIO:     AN3:         <ADRESSE RESULTAT>
RA I PROV2I:    XDEMU:       <ADRESSE SCALAIRE>
IC      KI:        CBL INDIC:    CBL AN3:      CBL ADRMU:
IC      KI:        CBL MATSCA:   CBL ADRSCA:
CA      KI:        CBL XDEMU:    CBL ADRMM:
ADV     -L2L:      CBL XDEMU:    CBL XDEMU:
NRV     MATVEC+10:  CBL XDEMU:    CBL XDEMU:
ELPE:       IR       MATVEC:
PROV1:      IR       <VALFUR PAS D'INTEGRATION>
PROV2:      IR       <ADRESSE SCALAIRE>
PROV2I:     IR       <ADRESSE RESULTAT>
ACOFF:      IR       <ADRESSE SCALAIRE>
KI:        <ADRESSE MATRICE>
PRNDA:      <ADRESSE VECTEUR>
APRMM:      <ADRESSE VECTEUR>
XTRMM:      <ADRESSE RESULTAT>
OURVEC:     <ADRESSE SCALAIRE>
AJFP:       <ADRESSE SCALAIRE>
XDEVEC:     <ADRESSE SCALAIRE>
MATSCA:PT   NILE       <TABLEAU*SCALAIRE>
CA      AADRESU:    TEVEN:       <MATRICE SYMETR*VECTEUR>
CA      AADRESU:    CA      JJ:       RT      TAPPA
RA      ADRMU:      ST      KK:       KK:      KK:
CA      ADRMU:      PPU     SUP1:     AD      ADRU:
UN      INDEX:       CA      KK:       RA      PP1:
ST      AN3:        ADV     +2:       RZ      I PP1:
RA      XDEMU:      MP      KK:       ADV     +1:
CX      AN3:        GNE     +9:       RA      PP2:
CA I XDEMU:     AD      JJ:       RZ      I PP2:
RA I MANTIO:   IRV      SOM1:     TEVEN:       <MATRICE SYMETR*VECTEUR>
AXU      +1:       CA      YDEMU:    SUP1:       <ADRESSE SCALAIRE>
CA I YDEMU:    ADV     +2:       CA      JJ:       RT      TAPPA
RA I EXPIO:    MP      JJ:       AD      ADRU:
IR      FMULT:     GNE     +9:       AD      KK:
ADRSCA I EO *;  SOM1:       AD      ADRMU:
CA      INDIC:     RA      MATU:
ZEV      **+3:     CA      JJ:       AD      ADRU:
IR      FMULT:     AD      VECT:
ACOFF BO *;    RA      VECT:
CA I MANTIO:   RA      VECT:
FA I AADRES:   IC      VECT:
IC      EXPIO:    CA      VECT:
RA I AADRES:   IC      EXPIO:
IC      AADRES:   RA      EXPIO:
AXU      +1:       IR      FMULT:
IFV      MATSCA+8:
NILE:       IR      MATV I BO *;
NILE:       IR      MATV I BO *;
ADRESU:     <ADRESSE TARLEAU RESULTAT>
```
SEC RICAT ! <DANS UTILIT>
---

ADRES:
AMRIO:
ADREP:
II:
;
XH:K:
XFKJ:
ACIJ:
APIJ:
TRAF:
;
ASKI:
;
ASHJ:
;
ADRSS:
RT
PONRON:
RA
I J:
ST:
PRV
XINF:
CA:
APV
MP:
CNF
AN
AD
APFFS:
IH
FONHON:
XINF:
CA
I J:
ADV
+P:
MP
IJ:
CNE
+9:
AD:
IFV
XINF-2:
I J:
;
I J:
;
FONFON:
;
TAMPON:
;
CFL
SPPS:
CPL
ADRES:
CPL
ADREP:
CPL
ADREQ:
GEL
ADREF:
FIC
SCE TC:

<ADRESSE DE S>:
<ADRESSE DE Q>:
<ADRESSE DE P>:

HPMS:
RT
TAMPON:
CAU
+ADIM:
RA
WNI:
RZ
INI:
RZ
INL:
CA
INI:
TRAVI:
CA
INL:
PA
TRAV2:
CA
HMATR:
RA
HAMAT:
IRV
RECHIN:
RA
ARIL:
CA
HMATC:
RA
HAMAT3:
IRV
RECHIN:
CA
I ADRE:
RA
I ARIL:
IC
ADRE:
IC
ARIL:
CA
I ADRE:
RA
I ARIL:
CA
ARIL:
ADU
-1J:
RA
ARIL:
RZ
INJ:
RZ
INK:
RZ
MEMO1:
RZ
MEMO1 +1B
CA
INK:
RA
TRAVI:
CA
INJ:
RA
TRAV2:
CA
HMATB:
RA
HAMAT:
IRV
RECHIN:
RA
AMULT:
CA
INI:
RA
TRAV2:
CA
HMATA:
RA
HAMAT:
IRV
RECHIN:
IRV
MULTI:
IR
FADD:
MEMO1 BO #:
CA
I MANTIO:
RA
MEMO1:
CA
I EXPIO:
RA
MEMO1 +1B
IC
INK3:
CA
INK3:
ST
HNJ
NRV
ETI1:

ADRES: PT PONRON:
RA
I J:

ST:
PRV
XINF:

CA:
APV
MP:
CNF
AN
AD
APFFS:
IH
FONHON:
XINF:
CA
I J:
ADV
+P:
MP
IJ:
CNE
+9:

CNE
+9:

AD
APFFS:
IH
FONHON:

IH
FONHON:

CA
I J:
ADV
+P:
MP
IJ:
CNE
+9:

CNE
+9:

AD
APFFS:
IH
FONHON:

I J:
IFV
XINF-2:

TAMPON:

(TL
ACOEFF:
CFL
SPPS:

CPL
ADRES:

CPL
ADREP:

CPL
ADREQ:

GEL
ADREF:
FIC
SCE TC:

CA
IN13
MP
HN1
CNE
+11J
AD
INJ
CNE
+1J
AD
HMATF:
RA
ADRE:
CA
I ADRE:
RA
I MANTIO:
IC
ADRE:
CA
I ADRE:
RA
I EXPIO:
IR
FSTI:
MEMO1 BO #:
CA
INJ:
RA
TRAVI:
CA
INL:
RA
TRAV2:
RA
RECHIN:
IR
FMPL:
ADRE I BO #:
CA I MANTIO:
RA
MEMO1:
CA I EXPIO:
RA
MEMO1 +1B:
CA
INI:
RA
TRAV2:
IRV
RECHIN:
CA
INL:
MP
HNJ
CNE
+11J
AD
INJ
CNE
+1J
AD
HMATF:
RA
AMULT:
IRV
MULTI:
IR
FADD:
MEMO1 BO #:
IR
FADD:
ARIL I BO #:
IC
INJ:
CA
INJ:
ST
HNJ
NRV
ETI5:
IR
FMPL:
IR
FMPL:
HCOEFF FO #:
CA I MANTIO:
RA I ARIL:
IC
ARIL:
CA
I EXPIO:
RA I ARIL:
CA
ARIL:

CAU
+ADIM:
RA
WNI:
RZ
INI:
RZ
INL:
CA
INI:
TRAVI:
CA
INL:
PA
TRAV2:
CA
HMATR:
RA
HAMAT:
IRV
RECHIN:
IR
FMPL:
ADRE I BO #:
CA I MANTIO:
RA
MEMO1:
CA I EXPIO:
RA
MEMO1 +1B:
CA
INI:
RA
TRAV2:
IRV
RECHIN:
CA
INL:
MP
HNJ
CNE
+11J
AD
INJ
CNE
+1J
AD
HMATF:
RA
AMULT:
IRV
MULTI:
IR
FADD:
MEMO1 BO #:
IR
FADD:
ARIL I BO #:
IC
INJ:
CA
INJ:
ST
HNJ
NRV
ETI1:

ETI3:

CA
TRAVI:
CA
INL:
PA
TRAV2:
CA
HMATR:
RA
HAMAT:
IRV
RECHIN:
IR
FMPL:
ADRE I BO #:
CA I MANTIO:
RA
MEMO1:
CA I EXPIO:
RA
MEMO1 +1B:
CA
INI:
RA
TRAV2:
IRV
RECHIN:
CA
INL:
MP
HNJ
CNE
+11J
AD
INJ
CNE
+1J
AD
HMATF:
RA
AMULT:
IRV
MULTI:
IR
FADD:
MEMO1 BO #:
IR
FADD:
ARIL I BO #:
IC
INJ:
CA
INJ:
ST
HNJ
NRV
ETI1:

CA
INL:
PA
TRAV2:
CA
HMATR:
RA
HAMAT:
IRV
RECHIN:
IR
FMPL:
ADRE I BO #:
CA I MANTIO:
RA
MEMO1:
CA I EXPIO:
RA
MEMO1 +1B:
CA
INI:
RA
TRAV2:
IRV
RECHIN:
CA
INL:
MP
HNJ
CNE
+11J
AD
INJ
CNE
+1J
AD
HMATF:
RA
AMULT:
IRV
MULTI:
IR
FADD:
MEMO1 BO #:
IR
FADD:
ARIL I BO #:
IC
INJ:
CA
INJ:
ST
HNJ
NRV
ETI5:

CA
TRAV2:
CA
HMATR:
RA
HAMAT:
IRV
RECHIN:
IR
FMPL:
ADRE I BO #:
CA I MANTIO:
RA
MEMO1:
CA I EXPIO:
RA
MEMO1 +1B:
CA
INI:
RA
TRAV2:
IRV
RECHIN:
CA
INL:
MP
HNJ
CNE
+11J
AD
INJ
CNE
+1J
AD
HMATF:
RA
AMULT:
IRV
MULTI:
IR
FADD:
MEMO1 BO #:
IR
FADD:
ARIL I BO #:
IC
INJ:
CA
INJ:
ST
HNJ
NRV
ETI5:

CA
INL:
PA
TRAV2:
CA
HMATR:
RA
HAMAT:
IRV
RECHIN:
IR
FMPL:
ADRE I BO #:
CA I MANTIO:
RA
MEMO1:
CA I EXPIO:
RA
MEMO1 +1B:
CA
INI:
RA
TRAV2:
IRV
RECHIN:
CA
INL:
MP
HNJ
CNE
+11J
AD
INJ
CNE
+1J
AD
HMATF:
RA
AMULT:
IRV
MULTI:
IR
FADD:
MEMO1 BO #:
IR
FADD:
ARIL I BO #:
IC
INJ:
CA
INJ:
ST
HNJ
NRV
ETI5:

CA
RECHIN:
IR
FSTI:
MEMO1 BO #:
CA
INJ:
RA
TRAVI:
CA
INL:
RA
TRAV2:
RA
RECHIN:
IR
FMPL:
ADRE I BO #:
CA I MANTIO:
RA
MEMO1:
CA I EXPIO:
RA
MEMO1 +1B:
CA
INI:
RA
TRAV2:
IRV
RECHIN:
CA
INL:
MP
HNJ
CNE
+11J
AD
INJ
CNE
+1J
AD
HMATF:
RA
AMULT:
IRV
MULTI:
IR
FADD:
MEMO1 BO #:
IR
FADD:
ARIL I BO #:
IC
INJ:
CA
INJ:
ST
HNJ
NRV
ETI5:

CA
HMATC:
RA
HAMAT3:
IRV
RECHIN:
IR
FMPL:
ADRE I BO #:
CA I MANTIO:
RA
MEMO1:
CA I EXPIO:
RA
MEMO1 +1B:
CA
INI:
RA
TRAV2:
IRV
RECHIN:
CA
INL:
MP
HNJ
CNE
+11J
AD
INJ
CNE
+1J
AD
HMATF:
RA
AMULT:
IRV
MULTI:
IR
FADD:
MEMO1 BO #:
IR
FADD:
ARIL I BO #:
IC
INJ:
CA
INJ:
ST
HNJ
NRV
ETI5:

CA
HMATC:
RA
HAMAT3:
IRV
RECHIN:
IR
FMPL:
ADRE I BO #:
CA I MANTIO:
RA
MEMO1:
CA I EXPIO:
RA
MEMO1 +1B:
CA
INI:
RA
TRAV2:
IRV
RECHIN:
CA
INL:
MP
HNJ
CNE
+11J
AD
INJ
CNE
+1J
AD
HMATF:
RA
AMULT:
IRV
MULTI:
IR
FADD:
MEMO1 BO #:
IR
FADD:
ARIL I BO #:
IC
INJ:
CA
INJ:
ST
HNJ
NRV
ETI5:

CA
RECHIN:
IR
FSTI:
MEMO1 BO #:
CA
INJ:
RA
TRAVI:
CA
INL:
RA
TRAV2:
RA
RECHIN:
IR
FMPL:
ADRE I BO #:
CA I MANTIO:
RA
MEMO1:
CA I EXPIO:
RA
MEMO1 +1B:
CA
INI:
RA
TRAV2:
IRV
RECHIN:
CA
INL:
MP
HNJ
CNE
+11J
AD
INJ
CNE
+1J
AD
HMATF:
RA
AMULT:
IRV
MULTI:
IR
FADD:
MEMO1 BO #:
IR
FADD:
ARIL I BO #:
IC
INJ:
CA
INJ:
ST
HNJ
NRV
ETI5:

CA
I ADRE:
RA
I ARIL:
IC
ADRE:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
I ARIL:
CA
ARIL:

RA
I ARIL:
IC
ADRE:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

IC
ADRE:
IC
ARIL:
IC
ARIL:
CA
I MANTIO:
CA
I EXPIO:
IC
ARIL:
CA
ARIL:

ETI5:

CA I MANTIO:
RA I ARIL:
IC
ARIL:
CA I EXPIO:
RA I ARIL:
CA I ARIL:

RA
MEMO1 +1B
IC
INK3:
CA
INK3:
ST
HNJ
NRV
ETI5:

IC
INK3:
CA
INK3:
ST
HNJ
NRV
ETI5:

ST
HNJ
NRV
ETI5:
ADV -1;

RA ARIL;

CA INJ;

ST HN;

NRV ETI2;

IC INI;

CA INI;

ST HN;

NRV ETI3;

IC INL;

CA INL;

ST HN;

ZRV ETI4;

CA INL;

RA INI;

IRV ETI3;

ETI4: IR TAMPON;

RECHIN:RT TAMPI;

CA TRAV1;

ST TRAV2;

CXU;

PRV PASTRA;

CXV +1;

CA TRAV1;

RA TRAV2 +1;

PASTRA:CA X TRAV1;

ADV +1;

MP X TRAV1;

CNE +11;

AD X TRAV2;

AD X TRAV2;

AD HAMAT;

RA ADRE;

IR TAMPI;

MULTI: RT TAMPI;

CA I ADRE;

RA I MANTIO;

IC ADRE;

CA I ADRE;

RA I EXPIO;

CA ADRE;

ADV -1;

RA ADRE;

IR FMPL;

AMULT I BO *;

IR TAMPI;

TAMPON;

ADRE;

AMULT;

ARIL;

EXPIO: 6201 B0 3J;

FADD: 6357 B1 3 B0 3J;

FMPL: 6441 B1 3 B0 3J;

FSTT: 6432 B1 3 B0 3J;

HAMAT;

HCOEFF;

1

HMAT;

HMATF: 1;

HMATC: 1;

HMATF: 1;

HMATC: 1;

HN: 1;

INI: 1;

INJ: 1;

INK: 1;

INL: 1;

MANTIO:6200 B0 3J;

MEM01: 1;

1

TAMP1: 1;

TRAV1: 1;

TRAV2: 1;

1

GEL HPMS;

GEL HN;

GEL HMATC;

GEL HMATB;

GEL HCOEFF;

GEL HMATC;

GEL HMATF;

GEL HMATR;

FIC SCE TC;