un $G_0$). Reste la deuxième propriété: Une droite $x=a$ rencontre $P$ seulement dans le cas où $a \in E_1$. Si $a \in E_2$ cette droite rencontre $M_n$, donc elle contient pour toute valeur de $n$ un point $(a, y_n)$ tel que $2 - \frac{1}{n} \le y_n \le 2 - \frac{1}{2n}$. Donc le $y$-maximum de $P$ sur cette droite aurait l'ordonnée $\ge 2$, ce qui est impossible, car $P$ est situé d'après (4) dans la bande $0 < y < 2$. On voit ainsi que la droite $x=a$ ne rencontre pas $H$ si $a \in E_2$ ou si $a$ est en dehors de $E_1$.

Supposons maintenant que $a \in E_1 - E_2$. La droite $x=a$ ne rencontre alors aucun $M_n$ c. à d. tout point $(a, y)$ contenu dans $P$ est situé dans $K_1$. Soit $y(a)$ la borne supérieure des ordonnées des points $(a, y) \in K_1$. Supposons, que le point $(a, y(a))$ n'appartient pas à l'ensemble $P$. Il existe alors une suite $\{y_k\}_{k=1,2\dots}^-$ telle que :

$$ (5) \qquad y_k < y_{k+1}; \quad \lim_{k \to \infty} y_k = y(a); \quad (a, y_k) \in K_1. $$

Ces relations entraînent en vertu de la définition de $K_1$:

$$ (6) \qquad 0 < y_k \le 1; \quad 0 < y(a) \le 1; \quad a = f(y_k). $$

Donc, $f(y)$ étant continue du côté gauche pour $0 < y \le 1$:

$$ (7) \qquad f(y(a)) = \lim_{k \to \infty} f(y_k) = a $$

$$ (8) \qquad (a, y(a)) = (f(y(a)), y(a)) \in K_1 \subset P, $$

contrairement à la supposition. Donc $(a, y(a)) \in P$. Mais, d'après la définition de $y(a)$, c'est un $y$-maximum de $P$, donc un point de $H$. C à d.: Si $a \in E_1 - E_2$, alors la droite $x=a$ rencontre $H$.

Les considérations précédentes montrent que $E_1 - E_2 = E$ est la projection de $H$ sur l'axe des abscisses, c. q. f. d.

Une propriété des continus de M. Knaster.

Par

Paul Urysohn†.

M. Brouwer à introduit dans la science mathématique les continus indécomposables.

M. Knaster a donné ensuite un exemple d'un continu indécomposable dont tout sous-continu est lui aussi indécomposable. Nous appellerons continu de M. Knaster tout continu jouissant de cette propriété.

On pourrait introduire dans le même ordre d'idées la notion d'un semicontinu <fnref n="1" />) indécomposable: nous entendons par là un semicontinu $S$ qui ne peut être représenté comme somme de deux semicontinus $S_1$ et $S_2$ dont aucun ne coïncide avec $S$ tout entier.

Le but de cette note est de démontrer la propriété suivante des continus de M. Knaster:

Tout semicontinu agrégé à un continu de M. Knaster est indécomposable.

Soit $S$ un sémicontinu quelconque agregé à un continu $K$ de M. Knaster. Supposons qu'on ait

$$ (1) \qquad S = S_1 + S_2, \quad S_1 \neq S \neq S_2, $$

où $S_1$ et $S_2$ sont des semicontinus. Il résulte de (1). qu'on peut trouver deux points $a$ et $b$ tels que

$$ (2) \qquad a \subset S_1 - S_2, \quad b \subset S_2 - S_1. $$

$$ x + y \subset C_{xy} \subset S. $$

<footnote n="1">¹) Nous entendons dans cette note par un sémicontinu un ensemble $S$ non fermé et tel qu'il existe pour tout couple de points $x, y$ de $S$ un continu $C_{xy}$ vérifiant l'inclusion:</footnote>
Soit $C_1 \subset S$ un sous-continu de $S$ contenant les deux points $a$ et $b$. S n'est pas fermé, l'ensemble $S - C_1$ est donc non vide; soit $d$ un point de cet ensemble. Le point $d$ appartient à l'un au moins des semicontinus $S_1, S_2$; supposons, p. ex., que $d \subset S_1$.

Considérons maintenant un sous-continu $C_2$ de $S_1$ joignant les deux points $a$ et $d$:

$$ (a+d) \subset C_2 \subset S_1, $$

et posons

$$ C = C_1 + C_2. $$

$C$ est un continu (puisque $C_1 \cdot C_2 \supset a \neq 0$).

Aucun des deux continus $C_1$ et $C_2$ ne coïncide avec $C$ (puisque $b \subset (S_2 - S_1) \cdot C_1 \subset (S_2 - C_2) \cdot C_2$ et $d \subset C_2 \cdot (S - C_1)$).

Il en résulte que $C$ est décomposable, contrairement à notre supposition. Notre proposition se trouve démontrée.

## Sur un problème conduisant à un ensemble non mesurable.

Par

W. Sierpiński (Varsovie).

Considérons toutes les fonctions d'une variable réelle $x$ qui ne sont pas constamment nulles. Divisons ces fonctions en paires, en rangeant dans une même paire deux fonctions qui ne diffèrent que par leur signe: soit $P$ l'ensemble de toutes ces paires.

Le but de cette Note est de démontrer que si l'on savait nommer un ensemble $N$ contenant une et une seule fonction de chaque paire uppartenant à $P$, on saurait aussi nommer un ensemble non mesurable au sens de M. Lebesgue.

Supposons que nous savons nommer un ensemble $N$ contenant une et une seule fonction de chaque paire appartenant à $P$.

Soit $a$ un nombre irrationnel donné. Quels que soient les nombres rationnels $r$ et $r'$, il ne peut être jamais $r+a=r'-a$ (puisqu'il en résulterait que $a$ est rationnel, contrairement à l'hypothèse). Par conséquent on peut définir une fonction $f_a(x)$ d'une variable réelle $x$ par les deux conditions suivantes:

1) quel que soit le nombre rationnel $r$, on a $f_a(r+a)=1$ et $f_a(r-a)=-1$,

2) si $x$ est un nombre réel qui n'est pas de la forme $r \pm a$, où $r$ est un nombre rationnel, on a $f_a(x)=0$.

Désignons maintenant par $\mathbb{E}$ l'ensemble de tous les nombres irrationnels $a$, tels que la fonction $f_a(x)$ appartient à l'ensemble $N$. Je dis que l'ensemble $\mathbb{E}$ est non mesurable ($L$).

A ce but nous prouverons d'abord la propriété suivante de l'ensemble $\mathbb{E}$. Quels que soient le nombre rationnel $\rho$ et le nombre irrationnel $\xi$, de deux nombres $\rho+\xi$ et $\rho-\xi$ l'un appartient toujours à $\mathbb{E}$ et l'autre à $\mathbb{CE}$.