MEMOIRS OF THE EUROPEAN MATHEMATICAL SOCIETY

Jean-Pierre Labesse
Bertrand Lemaire

# La formule des traces tordue pour un corps global de caractéristique $p > 0$

MEMS Vol. 20 / 2025

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PRESS
Memoirs of the European Mathematical Society

Edited by

Anton Alekseev (Université de Genève)

Hélène Esnault (Freie Universität Berlin)

Gerard van der Geer (Universiteit van Amsterdam)

Ari Laptev (Imperial College London)

Laure Saint-Raymond (Institut des Hautes Études Scientifiques)

Susanna Terracini (Università degli Studi di Torino)

The *Memoirs of the European Mathematical Society* publish outstanding research contributions in individual volumes, in all areas of mathematics and with a particular focus on works that are longer and more comprehensive than usual research articles.

The collection's editorial board consists of the editors-in-chief of the *Journal of the European Mathematical Society* and the *EMS Surveys in Mathematical Sciences*, along with editors of book series of the publishing house of the EMS as well as other distinguished mathematicians.

All submitted works go through a highly selective peer-review process.

Previously published in this series:

J.-M. Delort, N. Masmoudi, *Long-Time Dispersive Estimates for Perturbations of a Kink Solution of One-Dimensional Cubic Wave Equations*

G. Cotti, *Cyclic Stratum of Frobenius Manifolds, Borel-Laplace (a, β)-Multitransforms, and Integral Representations of Solutions of Quantum Differential Equations*

A. Kostenko, N. Nicolussi, *Laplacians on Infinite Graphs*

A. Carey, F. Gesztesy, G. Levitina, R. Nichols, F. Sukochev, D. Zanin, *The Limiting Absorption Principle for Massless Dirac Operators, Properties of Spectral Shift Functions, and an Application to the Witten Index of Non-Fredholm Operators*

J. Kigami, *Conductive Homogeneity of Compact Metric Spaces and Construction of p-Energy*

A. Buium, L. E. Miller, *Purely Arithmetic PDEs Over a p-Adic Field: δ-Characters and δ-Modular Forms*

M. Duerinckx, A. Gloria, *On Einstein's Effective Viscosity Formula*

R. Willett, G. Yu, *The Universal Coefficient Theorem for C*-Algebras with Finite Complexity*

B. Janssens, K.-H. Neeb, *Positive Energy Representations of Gauge Groups I. Localization*

S. Dipierro, G. Giacomin, E. Valdinoci, *The Lévy Flight Foraging Hypothesis in Bounded Regions*

A. Naor, *Extension, Separation and Isomorphic Reverse Isoperimetry*

N. Lerner, *Integrating the Wigner Distribution on Subsets of the Phase Space, a Survey*

B. Adcock, S. Brugiapaglia, N. Dexter, S. Moraga, *On Efficient Algorithms for Computing Near-Best Polynomial Approximations to High-Dimensional, Hilbert-Valued Functions from Limited Samples*

J. J. Carmona, K. Fedorovskiy, *Carathéodory Sets in the Plane*

D. Abramovich, Q. Chen, M. Gross, B. Siebert, *Punctured Logarithmic Maps*

T. Oh, M. Okamoto, L. Tolomeo, *Stochastic Quantization of the $\Phi_3$-Model*

H. Sasahira, M. Stoffregen, *Seiberg-Witten Floer Spectra for $b_1 > 0$*

J. Kaad, D. Kyed, *The Quantum Metric Structure of Quantum SU(2)*

B. Zavyalov, *Almost Coherent Modules and Almost Coherent Sheaves*
Jean-Pierre Labesse

Bertrand Lemaire

La formule des traces tordue
pour un corps global de
caractéristique $p > 0$

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EM
S
PRESS
Authors

Jean-Pierre Labesse
Institut de Mathématique de Marseille
CNRS I2M (UMR 7373)
Aix-Marseille Université
Campus de Luminy
Case postale 907
13288 Marseille, France

Email: jean-pierre.labesse@univ-amu.fr

Bertrand Lemaire
Institut de Mathématique de Marseille
CNRS I2M (UMR 7373)
Aix-Marseille Université
Campus de Luminy
Case postale 907
13288 Marseille, France

Email: bertrand.lemaire@univ-amu.fr

Each volume of the *Memoirs of the European Mathematical Society* is available individually or as part of an annual subscription. It may be ordered from your bookseller, subscription agency, or directly from the publisher via subscriptions@ems.press.

ISSN 2747-9080, eISSN 2747-9099

ISBN 978-3-98547-090-7, eISBN 978-3-98547-590-2, DOI 10.4171/MEMS/20

© The content of this volume is licensed under the CC BY 4.0 license, with the exception of the logo and branding of the European Mathematical Society and EMS Press, and where otherwise noted.

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© 2025 European Mathematical Society

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Printed in Germany

© Printed on acid free paper
# Résumé

Dans ce travail nous adaptons au cas d'un corps global $F$ de caractéristique positive, c'est-à-dire un corps de fonctions sur un corps fini $\mathbb{F}_q$, les résultats prouvés pour un corps de nombres dans le livre de Labesse-Waldspurger *La formule des traces tordue d'après le Friday Morning Seminar*. En d'autres termes, nous établissons la formule des traces pour un $G$-espace tordu $\tilde{G}$ où $G$ est un groupe réductif connexe défini sur $F$. C'est une première étape vers la forme stabilisée de la formule des traces tordue, nécessaire pour la plupart des applications, qui, elle, est l'objet de travaux en cours.

**Keywords.** corps de fonctions, adèles, formule des traces, séries d'Eisenstein, opérateur de troncature, opérateur d'entrelacement

*Mathematics Subject Classification (2020).* Primary 11F72; Secondary 20G35, 22E55

*Remerciements.* Nous remercions J.-L. Waldspurger pour d'utiles critiques et re-
marques sur une version préliminaire de ce texte. Nous remercions aussi le rapporteur
pour sa lecture soigneuse du manuscrit.
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# Table des matières

<table><tr><td>Introduction</td><td>1</td></tr><tr><td>Un peu d'histoire</td><td>1</td></tr><tr><td>Le cas des corps globaux de caractéristique p > 0</td><td>3</td></tr><tr><td>Structure du texte</td><td>5</td></tr></table>

## Partie I Géométrie et combinatoire 9

<table><tr><td>1 Racines, convexes et (G, M)-familles</td><td>11</td></tr><tr><td>1.1 Le corps F</td><td>11</td></tr><tr><td>1.2 Espaces vectoriels et réseaux</td><td>12</td></tr><tr><td>1.3 Dualité et mesures</td><td>13</td></tr><tr><td>1.4 Sous-groupes paraboliques</td><td>15</td></tr><tr><td>1.5 Familles orthogonales et (G, M)-familles</td><td>18</td></tr><tr><td>1.6 Fonctions caractéristiques de cônes et de convexes</td><td>21</td></tr><tr><td>1.7 L'ensemble PolExp</td><td>33</td></tr></table>

<table><tr><td>2 Espaces tordus</td><td>39</td></tr><tr><td>2.1 Hypothèses</td><td>39</td></tr><tr><td>2.2 Les fonctions σ et σ̃</td><td>44</td></tr><tr><td>2.3 La fonction q</td><td>45</td></tr></table>

<table><tr><td>3 Théorie de la réduction</td><td>47</td></tr><tr><td>3.1 Décomposition d'Iwasawa</td><td>47</td></tr><tr><td>3.2 Point central</td><td>48</td></tr><tr><td>3.3 Éléments primitifs</td><td>49</td></tr><tr><td>3.4 Ensembles de Siegel, partitions et lemme de finitude</td><td>51</td></tr></table>

## Partie II Théorie spectrale, troncatures et noyaux 55

<table><tr><td>4 L'opérateur de troncature</td><td>57</td></tr><tr><td>4.1 Terme constant</td><td>57</td></tr><tr><td>4.2 Troncature et support</td><td>60</td></tr></table>
<table><tr><td>5</td><td>Formes automorphes et produits scalaires</td><td>63</td></tr><tr><td>5.1</td><td>Formes automorphes</td><td>63</td></tr><tr><td>5.2</td><td>Opérateurs d'entrelacement et séries d'Eisenstein</td><td>65</td></tr><tr><td>5.3</td><td>La (G, M)-famille spectrale</td><td>67</td></tr><tr><td>5.4</td><td>Séries d'Eisenstein et troncature</td><td>69</td></tr></table>

<table><tr><td>6</td><td>Le noyau intégral</td><td>75</td></tr><tr><td>6.1</td><td>Opérateurs et noyaux</td><td>75</td></tr><tr><td>6.2</td><td>Factorisation du noyau</td><td>76</td></tr><tr><td>6.3</td><td>Propriétés du noyau tronqué</td><td>76</td></tr></table>

<table><tr><td>7</td><td>Décomposition spectrale</td><td>79</td></tr><tr><td>7.1</td><td>Un résultat de finitude</td><td>79</td></tr><tr><td>7.2</td><td>Données discrètes et décomposition spectrale</td><td>80</td></tr><tr><td>7.3</td><td>Décomposition spectrale d'un noyau</td><td>83</td></tr></table>

## Partie III La formule des traces grossière 87

<table><tr><td>8</td><td>Formule des traces : état zéro</td><td>89</td></tr><tr><td>8.1</td><td>Le cas compact</td><td>89</td></tr><tr><td>8.2</td><td>L'identité fondamentale</td><td>95</td></tr></table>

<table><tr><td>9</td><td>Développement géométrique</td><td>97</td></tr><tr><td>9.1</td><td>Convergence : côté géométrique</td><td>97</td></tr><tr><td>9.2</td><td>Contribution des classes primitives</td><td>101</td></tr><tr><td>9.3</td><td>Sur la descente centrale</td><td>103</td></tr><tr><td>9.4</td><td>Contribution des classes quasi semi-simples</td><td>104</td></tr><tr><td>9.5</td><td>Sur le développement géométrique fin</td><td>108</td></tr></table>

<table><tr><td>10</td><td>Première forme du développement spectral</td><td>111</td></tr><tr><td>10.1</td><td>Convergence : côté spectral</td><td>111</td></tr><tr><td>10.2</td><td>Annulations supplémentaires</td><td>115</td></tr></table>

<table><tr><td>11</td><td>Formule des traces : propriétés formelles</td><td>117</td></tr><tr><td>11.1</td><td>Le polynôme asymptotique</td><td>117</td></tr><tr><td>11.2</td><td>Action de la conjugaison</td><td>119</td></tr><tr><td>11.3</td><td>La formule des traces : première forme</td><td>121</td></tr></table>
Partie IV Forme explicite des termes spectraux 123

12 Estimées uniformes des développements spectraux 125

12.1 La formule de départ 125

12.2 Estimations 127

12.3 Convergence d'une intégrale itérée 129

12.4 Transformation de l'opérateur de troncature 134

12.5 Retour à la formule de départ 139

13 Simplification du produit scalaire 141

13.1 Une majoration uniforme 141

13.2 Majoration des termes constants 142

13.3 Simplication du terme constant 145

13.4 Simplification du produit scalaire 146

13.5 Décomposition plus fine 148

13.6 Première étape 151

13.7 Fin de la preuve 160

13.8 Élargissement des sommations 171

14 Formules explicites 175

14.1 Combinatoire finale : étape 1 175

14.2 Combinatoire finale : étape 2 182

14.3 Le polynôme limite au point central 186

14.4 Développement spectral fin 189

14.5 Partie discrète modulo le centre 194

Erratum pour [25] 197

Index des notations 205

Références 207
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# Introduction

## Un peu d'histoire

### Décomposition spectrale et formule des traces

La formule des traces, pour l'action à droite de l'algèbre des fonctions sphériques sur l'espace localement symétrique $\Gamma\backslash\mathfrak{h}$ quotient du demi-plan de Poincaré $\mathfrak{h}$ par le groupe modulaire $\Gamma = SL(2, \mathbb{Z})$, est devenue depuis l'exposé de Selberg [38] à Bombay en 1956 un des outils fondamentaux de la théorie des formes modulaires.

L'établissement de la formule des traces suppose connu la description de la décomposition spectrale de l'espace de Hilbert $L^2(\Gamma\backslash\mathfrak{h})$ au moyen du prolongement méromorphe des Séries d'Eisenstein. Dès 1964, le cas général de la décomposition spectrale de $L^2(\Gamma\backslash G(\mathbb{R}))$, où $\Gamma$ est un sous-groupe arithmétique de $G(\mathbb{Q})$ avec $G$ réductif connexe défini sur $\mathbb{Q}$, était obtenu par Langlands (ce travail ne fut publié que 12 ans plus tard [28]).

L'étude des opérateurs de Hecke amène à travailler avec des limites projectives de revêtements définis par des sous-groupes de congruence, ce qui revient essentiellement à considérer le quotient $G(\mathbb{Q})\backslash G(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$, où $\mathbb{A}_{\mathbb{Q}}$ est l'anneau des adèles de $\mathbb{Q}$. Le cas des groupes arithmétiques qui ne sont pas de congruence relève plus de la géométrie différentielle que de l'arithmétique. Tout ce qui suit est dans le cadre adèlique.

La théorie générale des Séries d'Eisenstein ouvrait la voie à la généralisation de la formule des traces à tous les groupes réductifs mais aussi à la découverte, par Langlands, des fonctions $L$ attachées aux représentations automorphes et à ses conjectures sur la fonctorialité.

### La formule des traces d'Arthur-Selberg

Soit $G$ un groupe réductif connexe défini sur un corps de nombres $F$. On note $\mathbb{A}_F$ l'anneau des adèles de $F$. La formule des traces – dite d’Arthur-Selberg – pour le quotient $G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F)$ est une identité entre deux expressions pour une « trace renormalisée » de l’opérateur de convolution défini par une fonction $f \in C_c^\infty(G(\mathbb{A}_F))$ dans $L^2(G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F))$. La « trace » doit être « renormalisée » car l’opérateur de convolution n’est à trace que dans le spectre discret et une correction, via des troncatures, est nécessaire pour tenir compte du spectre continu. On aura d’une part un développement géométrique indexé par les classes de conjugaison dans $G(F)$ et d’autre part un développement spectral :

$$J_{\text{géom}}(f) = J_{\text{spec}}(f).$$
L'établissement de la formule des traces peut être divisé en quatre étapes principales : Arthur obtient successivement

(1) la forme grossière (« coarse form ») [1, 13];

(2) la forme fine (« fine form ») [2–5];

(3) la forme invariante (« invariant form ») [6, 7];

(4) la forme stabilisée (« stable form ») [9–11].

Chacune des étapes fournit des développements géométriques et spectraux de plus en plus précis. C'est bien sûr le développement ultime, la formule des traces stabilisée, qui permet le plus d'applications.

## La variante tordue

La variante tordue de la formule des traces est apparue dans le travail de Saito et Shintani, immédiatement généralisé par Langlands, pour étudier le changement de base cyclique pour GL(2) [29]. On sait le rôle joué par ce travail dans la preuve du théorème de Fermat. Le cadre général de la *formule des traces tordue* est le suivant : on considère un *G*-espace tordu $\widetilde{G}$ défini sur $F$ et de plus on tord les représentations par un caractère unitaire $\omega$ de $G(\mathbb{A}_F)$ trivial sur $G(F)$. Dans la majorité des applications $\widetilde{G} = G \times \theta$ où $\theta$ est un automorphisme d'ordre fini de $G$ et $\omega$ est trivial; par exemple pour le changement de base cyclique $\widetilde{G}(F) = GL(n, E) \times \theta$ où $\theta$ est un générateur du groupe de Galois d'une extension finie cyclique $E/F$. Toutefois le cas de la torsion des représentations par un caractère $\omega$ non trivial mais sans torsion sur le groupe ($\theta$ trivial) intervient aussi naturellement.

La formule des traces tordue pour les corps de nombres a fait l'objet du *Friday Morning Seminar* de Princeton en 1983–1984. On y donnait le développement spectral fin mais seulement le développement géométrique grossier. Les notes de ce séminaire ont été reprises et complétées dans [25]. La forme fine du développement géométrique a été obtenue plus tard par Arthur en combinant les résultats du *Friday Morning Seminar* avec des résultats d'analyse harmonique locale.

## Lemme fondamental et stabilisation

La formule des traces, sous sa forme invariante, est une égalité entre deux sommes de distributions invariantes par conjugaison sous $G(F_S)$ où $S$ est une ensemble fini de places fixé, mais arbitrairement grand. Or, pour établir certains cas de fonctionnalité on est amené à comparer des distributions qui ne sont invariantes que sous une forme plus grossière de la conjugaison appelée *conjugaison stable*. La stabilisation consiste en la réécriture, au moyen de *transferts endoscopiques*, de chaque terme de la formule des traces invariante comme une somme de distributions stablement invariantes sur des groupes auxiliaires appelés *groupes endoscopiques*. On
en déduit des transferts de représentations automorphes entre groupes différents. Les premiers exemples sont le transfert de Jacquet-Langlands [22, Chapter 16], la formule des traces stable pour SL(2) [23, 24] et le changement de base cyclique pour GL(2) [29]. La stabilisation suppose en particulier connu le *lemme fondamental* aux places en dehors de $S$. À la suite des travaux de nombreux auteurs, parmi lesquels il faut citer (par ordre alphabétique) Arthur, Kottwitz, Langlands, Laumon, Ngô Báu Châu, Shelstad et Waldspurger, la stabilisation de la formule des traces tordue pour les corps de nombres a été achevée par Mœglin et Waldspurger [33]. Pour une bibliographie complète sur ce sujet nous renvoyons aux deux tomes de cet ouvrage.

C'est au moyen de la *formule des traces tordue stabilisée* qu'Arthur a pu décrire dans [12] les représentations automorphes discrètes des groupes classiques par com-paraison avec celles du groupe linéaire, *lorsque F est un corps de nombres*. De fait, les groupes classiques quasi-déployés se réalisent comme des *groupes endoscopiques* de l'espace tordu $\tilde{G} = GL(n) \times \theta$ où $\theta$ est l'automorphisme $g \mapsto {}^t g^{-1}$.

# Le cas des corps globaux de caractéristique $p > 0$

## État des lieux

On s'attend à ce qu'un analogue de tout ce qui précède existe aussi lorsque $F$ est un corps global de caractéristique $p > 0$, c'est-à-dire un corps de fonctions sur un corps fini. On espère en déduire des résultats similaires à ceux obtenus pour les représentations automorphes sur les corps de nombres.

Dans toute la suite de ce mémoire nous dirons « corps de fonctions » pour « corps de fonctions sur un corps fini ». Examinons l'état de la littérature sur ce sujet.

La décomposition spectrale pour un groupe réductif connexe général a été étendue au cas des corps de fonctions par Morris [35, 36], en prolongement de travaux de Harder [19–21]. Le livre de Mœglin-Waldspurger [32] en redonne une preuve pour tout corps global.

La formule des traces (sous sa forme fine) pour le groupe GL(2) – et ses formes intérieures – est énoncée dans Jacquet-Langlands [22, Chapter 16] pour les corps globaux en toute caractéristique ; toutefois la démonstration en est seulement esquissée. Pour le groupe GL(n) (ou une forme intérieure), on dispose de plusieurs versions en caractéristique $p > 0$: Drinfeld pour $n = 2$ [17, 18], Laumon [30], Lafforgue [26, 27]. En adaptant la méthode de Lafforgue, Ngô Dac Tuân a obtenu, dans [37], le développement spectral fin de la formule des traces non tordue pour les groupes réductifs connexes déployés.

On ne dispose donc, dans la littérature, que de quelques cas particuliers du développement spectral fin en caractéristique $p > 0$. Et pour le développement géométrique, en dehors de GL(n), il n'y a que très peu de résultats.
Objet du présent mémoire et perspectives

Notre projet est d'établir une formule des traces tordue stabilisée pour les corps glo-
baux sans restriction sur la caractéristique. Ce mémoire est une première étape où
nous suivons pas à pas la preuve donnée dans [25], en l'adaptant au cas d'un corps
global de caractéristique p > 0. Nous obtenons le développement spectral fin mais,
comme dans [25], nous n'obtenons que le développement grossier du côté géomé-
trique.

Pour le développement spectral fin, la caractéristique *p* ne semble jouer pratiquement aucun rôle et les formules que nous obtenons pour les corps de fonctions sont essentiellement identiques à celles pour les corps de nombres.

Il n'en est pas de même du côté géométrique. Si *p* est grand par rapport au rang de *G*, rien de vraiment nouveau n'apparaît, mais le traitement des petites caractéristiques nécessite des idées nouvelles.

Pour le développement géométrique grossier donné ici, la principale différence avec le cas des corps de nombres est que l'on doit remplacer la notion d'élément semi-simple elliptique régulier par celle, plus générale, d'élément primitif. Cette notion englobe, par exemple, des éléments qui deviennent unipotents sur une extension inséparable, mais ne sont contenus dans le radical unipotent d'aucun sous-groupe parabolique propre défini sur F. De tels éléments, qui n'apparaissent que pour des caractéristiques assez petites, ne génèrent toutefois pas de difficulté sérieuse à ce stade.

Des phénomènes nouveaux compliquent, par contre, considérablement la preuve et la structure même du développement géométrique fin si *p* est petit. Par exemple, pour *G* = SL(2), *p* = 2 et *v* une place de *F*, le nombre de *G*(*F*<sub>*v*</sub>)-orbites unipotentes est infini. La forme fine de la contribution unipotente aura donc une expression de nature fort différente de celle donnée par Arthur pour les corps de nombres. L'inséparabilité perturbe aussi violemment la descente centrale à la Harish-Chandra. On espère qu'il sera possible d'en établir une variante permettant de ramener le développement géométrique fin à celui de la contribution unipotente.

L'extension au cas des corps de fonctions des résultats d'Arthur [4,5], nécessaires pour le développement géométrique fin, est l'objet d'un travail en cours du second auteur.

Il restera encore à stabiliser la formule des traces mais nous sommes loin
d'avoir une vue claire du travail à faire. Dans la littérature, seuls le transfert de
Jacquet-Langlands [22] et la stabilisation pour SL(2) [23] ont été traités en toute
caractéristique.
# Structure du texte

## Différences techniques

Nos références principales seront [25] et [34] et on supposera que le lecteur a ces deux textes sous la main. L'organisation de cet article suit celle de [25] et on se contentera souvent de citer sans démonstration les résultats de cet ouvrage, pour peu qu'ils passent sans autre forme de procès à la caractéristique positive.

Toutefois, lorsqu'on essaie de remplacer dans [25] le corps de nombres par un corps de fonctions, on rencontre immédiatement une différence technique, analogue à celle qui existe entre les cas archimédiens et non-archimédiens dans les travaux d'Arthur [8] et de Waldspurger [34] sur la formule des traces locale. En effet, pour un corps global $F$ quelconque, on dispose pour chaque sous-groupe parabolique $P$ de $G$ défini sur $F$, d'un espace vectoriel réel $\alpha_P$ et d'un homomorphisme

$$ \mathbf{H}_P : P(\mathbb{A}_F) \to \alpha_P. $$

On note $\mathcal{A}_P$ son image et $\mathcal{B}_P$ l'image de $\mathcal{A}_P(\mathbb{A}_F)$, où $\mathcal{A}_P$ est le tore déployé maximal dans le centre de $P/U_P$. On a les inclusions

$$ \mathcal{B}_P \subset \mathcal{A}_P \subset \alpha_P. $$

Pour les corps de nombres, ces trois groupes sont égaux et on dispose d'un relèvement canonique $\mathfrak{A}_P$ de $\mathcal{A}_P$ dans $\mathcal{A}_P(\mathbb{A}_F)$. Il est usuel de se limiter à traiter l'espace des formes automorphes pour $P$ qui sont invariantes par $\mathfrak{A}_P$; cela ne restreint pas la généralité puisque l'on peut par torsion par un caractère automorphe de $P(\mathbb{A}_F)$ passer à un caractère quelconque sur $\mathfrak{A}_P$. Mais, pour les corps de fonctions, les morphismes $\mathbf{H}_P$ ne sont plus surjectifs : $\mathcal{A}_P$ est un réseau de $\alpha_P$ et en général $\mathcal{A}_P \neq \mathcal{B}_P$ de sorte qu'un relèvement central de $\mathcal{A}_P$ n'existe pas. Ceci complique donc certains arguments et a des conséquences sur la présentation des résultats. On prendra garde en particulier à ce que les espaces $X_G$ et $Y_Q$, qui interviennent ici, jouent un rôle analogue, mais ne sont pas identiques aux espaces $X_G$ et $Y_Q$ de [25].

L'autre différence technique – venant de ce que des réseaux ont remplacé les espaces vectoriels pour la combinatoire – est que les polynômes en la variable de troncature $T$, qui jouent un rôle essentiel dans l'établissement de la formule des traces pour les corps de nombres, sont ici remplacés par des fonctions de type « polynômes-exponentielles ». Des passages à la limite sont nécessaires pour les éliminer et pour obtenir, par exemple, le développement spectral fin. Ceci complique encore les preuves. Par contre la compacité du dual de Pontryagin des réseaux simplifie le contrôle des convergences d'intégrales.

Comme dans [25], le texte est divisé en quatre parties. Un appendice corrige des bévues de [25].
## Partie I. Géométrie et combinatoire

Dans le chapitre 1, après le rappel des notations usuelles, on adapte à notre cadre le calcul des transformées de Laplace (ou anti-Laplace) des fonctions caractéristiques de polytopes [25, section 1.9], ainsi que les résultats de [25, section 1.10] sur les $(G, M)$-familles. Les intégrales sur les polytopes qui apparaissent dans [25] doivent ici être remplacées par des sommes sur l'intersection de ces polytopes avec des réseaux. La combinatoire des polytopes est certes identique, mais la manipulation des intersections est plus délicate; on doit en particulier tenir compte des groupes finis $\mathfrak{C}_P = \mathcal{B}_P \setminus \mathcal{A}_P$. Leur traitement requiert l'utilisation de divers outils techniques empruntés à Arthur [8] et à Waldspurger [34]. Pour les corps de nombres, les $(G, M)$-familles fournissent des polynômes en la variable de troncature $T$, qui permettent de contrôler le comportement asymptotique des divers termes de la formule des traces. Ici les $(G, M)$-familles fournissent, pour les $T$ « rationnels », des expressions du type $\text{PolExp}$ c'est-à-dire des combinaisons linéaires de polynômes et d'exponentielles. Par un passage à la limite on définit un polynôme qui est l'analogue du polynôme asymptotique pour les corps de nombres. Dans le chapitre 2, on généralise au cas tordu les relations et propriétés du chapitre 1. L'analogue de l'étude dans le cas tordu de la notion d'élément semi-simple [25, section 2.6] est renvoyée ici au chapitre suivant. Le chapitre 3 contient des rappels sur la théorie de la réduction. Sur un corps global de caractéristique $p > 0$, cette théorie est essentiellement due à Harder [20]. En reprenant les idées de Harder sur la descente galoisienne, Springer [39] a donné un traitement uniforme (valable pour tout corps global) des principaux résultats de cette théorie. Là où c'est nécessaire, on remplace donc par [39] la référence au livre de Borel [14] dans [25, chapitre 3]. Par ailleurs, on définit un ersatz de la décomposition de Jordan (inutilisable ici, car, en général, elle n'est pas rationnelle) : on remplace la notion d'élément quasi semi-simple régulier elliptique par celle d'élément *primitif* (qui d'ailleurs apparaît dans [25, section 3.7]). Toute paire $(\tilde{M}, \delta)$ formée d'un facteur de Levi $\tilde{M}$ de $\tilde{G}$ défini sur $F$ et d'un élément primitif $\delta$ de $\tilde{M}(F)$, définit un sous-ensemble $\mathcal{O}_0$ de $\tilde{G}(F)$ stable par $G(F)$-conjugaison. Ces ensembles $\mathcal{O}_0$ jouent le rôle des classes de ss-conjugaison de [25].

## Partie II. Théorie spectrale, troncatures et noyaux

Le chapitre 4 concerne l'opérateur de troncature $\Lambda^T$. Ses propriétés sont essentiellement les mêmes que dans le cas des corps de nombres, exceptées les propriétés de décroissance qui sont ici beaucoup plus fortes. On pose

$$X_G = G(F) \setminus G(\mathbb{A}_F) \quad \text{et} \quad \bar{X}_G = A_G(\mathbb{A}_F)G(F) \setminus G(\mathbb{A}_F).$$

Pour un corps de fonctions, l'opérateur de troncature $\Lambda^T$, appliqué à une fonction lisse et $K$-finie $\varphi$ sur $X_G$, fournit une fonction $\Lambda^T \varphi$ sur $X_G$ à support d'image
compacte dans $\overline{X}_G$. De plus, la décomposition

$$ \Lambda^T = \mathbf{C}^T + (\Lambda^T - \mathbf{C}^T), $$

où $\mathbf{C}^T$ est la multiplication par la fonction caractéristique d'un domaine de Siegel tronqué, se simplifie ici car, si $T$ est assez régulier, on a $(\Lambda^T - \mathbf{C}^T)\varphi = 0$. Le chapitre 5 introduit les opérateurs d'entrelacement et les séries d'Eisenstein dont les propriétés, en particulier leur prolongement méromorphe, ont été établies par Morris [35,36] et reprises dans [32, chapitres II, IV]. La preuve de la formule pour le produit scalaire de deux séries d'Eisenstein tronquées reprend celle de [25, théorème 5.4.3]. Dans le cas où les fonctions induisantes sont cuspidales, on obtient une formule exacte essentiellement due à Langlands. Dans le cas où les fonctions ne sont pas cuspidales, on dispose d'une formule asymptotique qui se déduit du cas cuspidal. Cette formule asymptotique fournit une majoration uniforme lorsque les paramètres $\lambda$ et $\mu$ sont imaginaires purs. En effet, ici, les espaces de paramètres sont compacts, ce qui n'était pas le cas pour les corps de nombres. Dans le chapitre 6 est introduit le noyau intégral. Le théorème de factorisation de Dixmier-Malliavin, et la propriété de $\mathcal{A}$-admissibilité, sont triviallement vrais ici. On énonce la principale propriété du noyau tronqué (l'opérateur de troncature agissant sur la première variable) : sa restriction à $\mathcal{G}^* \times \mathcal{G}^*$ est bornée et à support compact, où $\mathcal{G}^*$ est un domaine de Siegel pour le quotient $\overline{X}_G$. Dans le chapitre 7 on rappelle la décomposition spectrale de $L^2(X_G)$ due à Langlands pour les corps de nombres [28] et à Morris pour les corps de fonctions [35, 36], puis rédigée pour tout corps global par Mœglin et Waldspurger [32]. On remarquera que si $A_G$, le tore déployé maximal dans le centre de $G$, n'est pas trivial, il n'y a pas de spectre discret dans $L^2(X_G)$ et, pour parer ce fait, il est usuel de donner la décomposition spectrale en ayant fixé un caractère unitaire d'un sous-groupe co-compact de $A_G(F)\backslash A_G(\mathbb{A}_F)$. Pour les corps de nombres on se limite aux fonctions sur $X_G$ qui sont invariantes par le relèvement $\mathfrak{A}_G$ de $A_G$ dans $A_G(\mathbb{A}_F)$. Comme déjà observé ci-dessus, pour les corps de fonctions, un tel relèvement n'existe pas, en général. En l'absence d'un choix naturel, nous ne ferons aucune hypothèse sur le comportement des fonctions sur $A_G(\mathbb{A}_F)$ et la décomposition spectrale comprendra, comme première étape, la décomposition suivant les caractères unitaires de $A_G(F)\backslash A_G(\mathbb{A}_F)$.

## Partie III. La formule des traces grossière

Dans le chapitre 8 on donne, à titre d'exemple, la formule des traces dans le cas compact. Comme nous ne faisons aucune hypothèse sur l'action du centre de $G$, l'intégrale du noyau sur la diagonale porte ici sur

$$ Y_G = A_{\tilde{\mathcal{G}}}(\mathbb{A}_F)G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F), $$

au lieu de $\mathfrak{A}_G G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F)$ dans [25]. Puis on énonce l'identité fondamentale entre les deux troncatures, pour le noyau, qu'il convient de considérer pour traiter le cas gé-
néral. Le chapitre 9 décrit le développement géométrique dit « grossier ». Le résultat principal est la convergence de l'expression

$$ \sum_{\mathbf{o}} \int_{Y_G} |k_{\mathbf{o}}^T(x)| dx, $$

où o parcourt les classes d'équivalence de paires primitives dans $\tilde{G}(F)$. Il implique en particulier que les intégrales orbitales des éléments primitifs sont absolument convergentes. Comme en [25, section 9.3], on ne donnera des formules explicites que pour les orbites primitives et pour les orbites quasi semi-simples. Le développement géométrique fin qui explicite les contributions unipotentes n'est pas abordé ici. Le chapitre 10 établit la convergence d'une première forme du développement spectral. Il s'agit de montrer la convergence de chaque terme d'une somme indexée par des sous-groupes paraboliques. Les résultats principaux sont les propositions 10.1.2 et 10.2.1, analogues de [25, proposition 10.1.6, corollaire 10.2.3]. Dans le chapitre 11, pour chaque terme des développements géométriques et spectraux, un élément de l'ensemble PolExp est défini, ainsi que le polynôme limite. On obtient la première forme, dite « grossière », de la formule des traces.

## Partie IV. Forme fine des termes spectraux

Il reste à exploiter la décomposition spectrale pour obtenir le développement spectral fin. Les preuves des énoncés suivent pas à pas celles des chapitres 12 et 13 de [25] à deux différences (simplificatrices) près : d'une part, il est inutile d'introduire une fonction B car ici les paramètres spectraux évoluent dans un espace compact; d'autre part (comme dit plus haut), la décomposition de l'opérateur de troncature en $\Lambda^T = C^T + (\Lambda^T - C^T)$ devient ici, pour T assez régulier (dépendant de la fonction test $\varphi$), $\Lambda^T \varphi = C^T \varphi$. Le chapitre 14 contient la combinatoire finale donnant lieu aux formules explicites. La preuve de la proposition 14.2.3 est plus technique que celle de son analogue [25, proposition 14.1.8] et fournit une formule moins simple, à cause d'une inversion de Fourier relative à un accouplement qui n'est pas parfait. C'est un problème déjà présent dans le cas local. On s'inspire du traitement de cela dans [34] pour obtenir les formules finales.

## Appendice

On trouvera en appendice un erratum corrigeant les lapsus et erreurs que nous avons pu repérer dans [25].
Partie I

# Géométrie et combinatoire
<figure><img src="image_5.png" /></figure>
# Chapitre 1

## Racines, convexes et (G, M)-familles

### 1.1 Le corps F

Dans tout cet article, $F$ est un corps global et, sauf mention expresse du contraire lorsque nous faisons le parallèle avec le cas des corps de nombres, il est de caractéristique $p > 0$.

Soit $\mathbb{F}_q$ « le » corps fini à $q$ éléments, pour une puissance $q$ du nombre premier $p$. Soit $\mathcal{V}$ une courbe projective lisse et géométriquement connexe sur $\mathbb{F}_q$, de corps de fonctions $F$. L'ensemble $|\mathcal{V}|$ des points fermés de $\mathcal{V}$ est en bijection avec l'ensemble des places de $F$. Pour $v \in |\mathcal{V}|$, on note $F_v$ le corps complété de $F$ en $v$, $\mathfrak{o}_v$ l'anneau des entiers de $F_v$, $\mathfrak{p}_v$ l'idéal maximal de $\mathfrak{o}_v$, et $\kappa_v$ le corps résiduel $\mathfrak{o}_v/\mathfrak{p}_v$. Ce dernier est une extension finie de $\mathbb{F}_q$, de degré $\deg(v)$ appelé « degré de $v$ », et de cardinal $q_v = q^{\deg(v)}$. Pour $v \in |\mathcal{V}|$, on note encore $v$ la valuation sur $F_v$ normalisée par $v(F_v^\times) = \mathbb{Z}$, c'est-à-dire par $v(\bar{\omega}_v) = 1$ pour une uniformisée $\bar{\omega}_v$ de $F_v$, et on note $|\cdot|_v$ la valeur absolue sur $F_v$ définie par

$$|x|_v = q_v^{-v(x)}, \quad x \in F_v.$$

Soit $\mathbb{A}$ l'anneau des adèles<fnref n="1" /> et $\mathbb{A}^\times$ le groupe des idèles de $F$. On dispose de l'application degré

$$\deg : \mathbb{A}^\times \to \mathbb{Z},$$

définie par

$$\deg(a) = \sum_{v \in |\mathcal{V}|} -v(a_v) \deg(v) \quad \text{pour} \quad a = (a_v)_{v \in |\mathcal{V}|} \in \mathbb{A}^\times,$$

et on pose $|a| = \prod_v |a_v|_v = q^{\deg(a)}$. Le groupe $F^\times$ est un sous-groupe discret de $\mathbb{A}^\times$, contenu dans

$$\mathbb{A}^1 = \{a \in \mathbb{A}^\times : \deg(a) = 0\},$$

et le quotient $F^\times\backslash\mathbb{A}^1$ est un compact.

<footnote n="1">¹Le corps $F$ étant fixé dans toute la suite nous allègeons la notation en notant simplement $\mathbb{A}$ l'anneau $\mathbb{A}_F$.</footnote>
## 1.2 Espaces vectoriels et réseaux

Soit $P$ un groupe algébrique linéaire connexe défini sur $F$. On note $X_F(P)$ le groupe des caractères algébriques de $P$ définis sur $F$. Si $R$ est un anneau, on pose

$$ \alpha_{P,R} \stackrel{\text{déf}}{=} \operatorname{Hom}(X_F(P), R). $$

Le $\mathbb{Z}$-module libre de type fini $\alpha_{P,\mathbb{Z}}$ est un réseau de l'espace vectoriel réel

$$ \alpha_P \stackrel{\text{déf}}{=} \alpha_{P,\mathbb{R}}. $$

Pour $x \in P(\mathbb{A})$, on note $\mathbf{H}_P(x)$ l'élément de $\alpha_P$ tel que

$$ \langle \chi, \mathbf{H}_P(x) \rangle = \deg \chi(x) \quad \text{pour tout} \quad \chi \in X_F(P). $$

L'application $x \mapsto \mathbf{H}_P(x)$ est un homomorphisme

$$ \mathbf{H}_P : P(\mathbb{A}) \to \alpha_P, $$

dont l'image – notée $\alpha_{P,F}$ dans [8] et dans [34] – sera ici notée $\mathcal{A}_P$ :

$$ \mathcal{A}_P \stackrel{\text{déf}}{=} \mathbf{H}_P(P(\mathbb{A})). $$

Pour un corps de fonctions, $\mathcal{A}_P$ est un sous-groupe d'indice fini de $\alpha_{P,\mathbb{Z}}$ et donc un réseau de $\alpha_P$ (alors que $\mathcal{A}_P = \alpha_P$ pour un corps de nombres). Une inclusion de $F$-groupes algébriques linéaires connexes $P \subset Q$ induit des homomorphismes

$$ \alpha_{P,\bullet} \to \alpha_{Q,\bullet}. $$

On pose

$$ \alpha_P^Q \stackrel{\text{déf}}{=} \ker[\alpha_P \to \alpha_Q] \quad \text{et} \quad \mathcal{A}_P^Q \stackrel{\text{déf}}{=} \ker[\mathcal{A}_P \to \mathcal{A}_Q] = \mathcal{A}_P \cap \alpha_P^Q. $$

Pour $H \in \mathcal{A}_P$ on notera $P(\mathbb{A}; H)$ l'image réciproque de $H$. Le noyau de $\mathbf{H}_P$, usuellement noté $P(\mathbb{A})^1$, n'est autre que $P(\mathbb{A}; 0)$. Le groupe $P(\mathbb{A})^1 = P(\mathbb{A}; 0)$ opère par translations sur $P(\mathbb{A}; H)$ ainsi que le groupe $P(F)$ des points $F$-rationnels de $P$ qui est un sous-groupe de $P(\mathbb{A})^1$, et donc $P(\mathbb{A})^1$ opère à droite sur le quotient $P(F)\backslash P(\mathbb{A}; H)$.

Supposons que le radical unipotent $U_P$ de $P$ soit défini sur $F$ et qu'il existe une section $\iota : \overline{P} = P/U_P \to P$, elle aussi définie sur $F$ (c'est toujours le cas si $P$ est un $F$-sous-groupe parabolique d'un groupe algébrique réductif connexe défini sur $F$). On note $Z_P$ le centre « schématique » de $\overline{P}$, et $\mathcal{A}_P \subset Z_P$ le tore $F$-déployé maximal de $Z_P$. On identifie $\mathcal{A}_P$ à $\iota(\mathcal{A}_P)$. L'homomorphisme naturel

$$ \mathcal{A}_{\mathcal{A}_P} \to \mathcal{A}_P $$
est bien défini (il ne dépend pas de la section $\iota$). Il est injectif mais non surjectif en général ; son image sera notée

$$ \mathcal{B}_P \stackrel{\text{déf}}{=} \mathbf{H}_P(A_P(\mathbb{A})). $$

C'est un sous-groupe d'indice fini de $A_P$ ; on pose

$$ \mathbb{C}_P \stackrel{\text{déf}}{=} \mathcal{B}_P \setminus A_P \simeq A_P(\mathbb{A}) P(\mathbb{A})^1 \setminus P(\mathbb{A}). $$

Pour $P \subset Q$ deux $F$-sous-groupes paraboliques d'un groupe algébrique réductif connexe défini sur $F$, l'inclusion $A_P \subset A_Q$ (définie via le choix de sections $\overline{P} \to P$ et $\overline{Q} \to Q$ définies sur $F$) induit une section $\alpha_Q \to \alpha_P$ de l'homomorphisme surjectif $\alpha_P \to \alpha_Q$ et donc une décomposition

$$ \alpha_P = \alpha_Q \oplus \alpha_P^Q. $$

Pour $X = X_P \in \alpha_P$, cette décomposition s'écrit $X = X_Q + X^Q$.

## 1.3 Dualité et mesures

On appelle caractère d'un groupe topologique, un homomorphisme continu dans $\mathbb{C}^*$, et caractère unitaire, un caractère à valeurs dans le groupe $\mathbb{U}$ des nombres complexes de module 1. Le dual de Pontryagin d'un groupe abélien localement compact est le groupe topologique de ses caractères unitaires.

Si $\alpha$ est un espace vectoriel réel de dimension finie, on notera $\alpha^*$ l'espace vectoriel réel dual, $\langle \Lambda, X \rangle$ le produit scalaire de $X \in \alpha$ et $\Lambda \in \alpha^*$, et $\hat{\alpha}$ le dual de Pontryagin de $\alpha$ que l'on peut identifier, au moyen de l'exponentielle, au sous-espace $i\alpha^*$ des vecteurs imaginaires purs dans $\alpha^* \otimes \mathbb{C}$. Si $\mathcal{R}$ est un réseau de $\alpha$, on notera $\mathcal{R}^\vee$ l'ensemble des $\Lambda \in i\alpha^*$ tels que $\langle \Lambda, X \rangle \in 2i\pi Z$ pour tout $X \in \mathcal{R}$. C'est l'orthogonal de $\mathcal{R}$ du point de vue de la dualité de Pontryagin : le groupe compact $\hat{\alpha}/\mathcal{R}^\vee$ s'identifie au dual de Pontryagin de $\mathcal{R}$ :

$$ \hat{\mathcal{R}} \simeq \hat{\alpha}/\mathcal{R}^\vee. $$

Pour une fonction à décroissance rapide $f$ sur $\mathcal{R}$, on note $\hat{f}$ la fonction lisse sur $\hat{\mathcal{R}}$ définie par

$$ \hat{f}(\Lambda) = \sum_{X \in \mathcal{R}} f(X)e^{(\Lambda, X)}, \quad \Lambda \in \hat{\mathcal{R}}. $$

Si $\hat{\mathcal{R}}$ est muni de la mesure duale de la mesure de comptage sur $\mathcal{R}$, c'est-à-dire telle que $\text{vol}(\hat{\mathcal{R}}) = 1$, on a la formule d'inversion

$$ f(X) = \int_{\hat{\mathcal{R}}} \hat{f}(\Lambda) e^{-(\Lambda, X)} d\Lambda, \quad X \in \mathcal{R}. $$
Pour alléger légèrement les notations, pour P comme en section 1.2, on se permettra d'écrire $\hat{\alpha}_P$, $\hat{\mathcal{A}}_P$, etc., en place de $\hat{\alpha}_P$, $\hat{\mathcal{A}}_P$, etc. On pose

$$ \mu_P \stackrel{\text{déf}}{=} \hat{\mathcal{A}}_P. $$

Notons $\Xi(P)$, resp. $\Xi(P)^1$, l'ensemble des caractères unitaires de $A_P(\mathbb{A})$, resp. $A_P(\mathbb{A})^1$, qui sont triviaux sur $A_P(F)$. Ce sont deux groupes abéliens localement compacts, et $\Xi(P)^1$ est un quotient discret de $\Xi(P)$. On notera $\Xi(P)^+ \text{ l'ensemble des caractères, non nécessairement unitaires. Le groupe } \Xi(P) \text{ s'insère dans la suite exacte courte}$

$$ 0 \to \hat{\mathcal{B}}_P \to \Xi(P) \to \Xi(P)^1 \to 0. $$

**Convention 1.3.1.** Pour les mesures de Haar sur les groupes abéliens localement compacts, on adoptera les normalisations suivantes. On impose la compatibilité aux suites exactes courtes et à la dualité de Pontryagin. Les réseaux de $\alpha_P$ sont munis de la mesure de comptage. Cela implique que le groupe fini $\mathfrak{c}_P$ est, lui aussi, muni de la mesure de comptage, et que l'on a<fnref n="2" />

$$ \mathrm{vol}(\mu_P) = \mathrm{vol}(\hat{\mathcal{B}}_P) = \mathrm{vol}(\hat{\mathfrak{c}}_P) = 1. $$

On impose aussi que la mesure de Haar sur $A_P(F)\backslash A_P(\mathbb{A})$ vérifie

$$ \mathrm{vol}(A_P(F)\backslash A_P(\mathbb{A})^1) = 1. $$

Ceci implique en particulier que le groupe discret $\Xi(P)^1$, dual du groupe compact $A_P(F)\backslash A_P(\mathbb{A})^1$, est muni de la mesure de comptage.

Tout caractère $\chi$ de $P(\mathbb{A})$ s'écrit de manière unique

$$ \chi = \chi_u|\chi| $$

avec $|\chi|(g) = |\chi(g)|$ et $\chi_u$ unitaire. Le caractère $|\chi|$ est trivial sur $P(\mathbb{A})^1$. On note $\chi^1 = \chi_u^1$ la restriction de $\chi$ à $P(\mathbb{A})^1$. Tout élément $v \in \alpha_{P,\mathbb{C}}^*$ définit un caractère de $P(\mathbb{A})$, trivial sur $P(\mathbb{A})^1$ :

$$ p \mapsto e^{\langle v, \mathbf{H}_P(p) \rangle}, \quad p \in P(\mathbb{A}). $$

Ce caractère ne dépend que de l'image de $v$ dans $\alpha_{P,\mathbb{C}}^*/\mathcal{A}_P^\vee$ et sa restriction à $A_P(\mathbb{A})$ ne dépend que de l'image de $v$ dans $\alpha_{P,\mathbb{C}}^*/\mathcal{B}_P^\vee$. La suite exacte courte

$$ 0 \to \hat{\mathfrak{c}}_P \to \alpha_{P,\mathbb{C}}^* / \mathcal{A}_P^\vee \to \alpha_{P,\mathbb{C}}^* / \mathcal{B}_P^\vee \to 0 $$

<footnote n="2">²On observera que cette convention n'est pas celle utilisée dans [8].</footnote>
correspond à la restriction des caractères de $P(\mathbb{A})$ à $A_P(\mathbb{A})$. Si $\pi$ est une représentation de $P(\mathbb{A})$, pour $\nu \in \alpha_{P,\mathbb{C}}^* / \mathcal{A}_P^\vee$ on note $\pi_\nu$ la représentation de $P(\mathbb{A})$ définie par

$$ \pi_{\nu}(p) = \pi(p)e^{\langle \nu, \mathbf{H}_{P}(p) \rangle}, \quad p \in P(\mathbb{A}). $$

On la notera aussi parfois $\pi \star \nu$. De même, si $\xi$ est un caractère de $A_P(\mathbb{A})$, pour $\nu \in \alpha_{P,\mathbb{C}}^* / \mathcal{B}_P^\vee$, on note $\xi_\nu = \xi \star \nu$ le caractère $a \mapsto \xi(a)e^{\langle \nu, \mathbf{H}_P(a) \rangle}$ de $A_P(\mathbb{A})$.

## 1.4 Sous-groupes paraboliques

Soit $G$ un groupe algébrique réductif connexe défini sur $F$. Tous les sous-groupes paraboliques de $G$ considérés dans la suite, ainsi que leurs composantes de Levi, sont supposés définis sur $F$. On fixe un sous-groupe parabolique minimal $P_0$ de $G$ et une composante de Levi $M_0$ de $P_0$. On note $A_0$ le tore $F$-déployé maximal du centre $Z_{M_0}$ de $M_0$. Ainsi $M_0$ est le centralisateur de $A_0$ dans $G$. Un sous-groupe parabolique de $G$ est dit « standard », resp. « semi-standard », s'il contient $P_0$, resp. $M_0$. Un facteur de Levi de $G$, c'est-à-dire une composante de Levi d'un sous-groupe parabolique de $G$, est dit « semi-standard » s'il contient $M_0$, et il est dit « standard » si c'est la composante de Levi semi-standard d'un sous-groupe parabolique standard. Dans la suite, tous les sous-groupe paraboliques et tous les sous-groupes de Levi seront semi-standards – nous omettrons parfois de le préciser.

On note $\mathcal{P} = \mathcal{P}^G$, resp. $\mathcal{L} = \mathcal{L}^G$, l'ensemble des sous-groupes paraboliques, resp. facteurs de Levi, de $G$, (semi-standards), et $\mathcal{P}_{\text{st}} = \mathcal{P}_{\text{st}}^G$ le sous-ensemble de $\mathcal{P}$ formé des éléments standards. Pour $P \in \mathcal{P}$, on note $M_P$ ou simplement $M$ la composante de Levi (semi-standard) de $P$, et $U_P$ ou simplement $U$, le radical unipotent de $P$; on a les identifications

$$ A_P = A_M, \quad \alpha_P = \alpha_M \quad \text{et} \quad A_P = A_M. $$

On pose

$$ a_P = \dim(\alpha_P). $$

Pour $P, Q \in \mathcal{P}$ tels que $P \subset Q$, on a noté $\alpha_P^Q$ le noyau de l'homomorphisme naturel $\alpha_P \to \alpha_Q$. On pose

$$ a_P^Q = \dim(\alpha_P^Q) = a_P - a_Q. $$

Pour $M \in \mathcal{L}$ on note $\mathcal{P}(M)$, resp. $\mathcal{F}(M)$, le sous-ensemble des $Q \in \mathcal{P}$ avec comme composante de Levi $M_Q = M$, resp. $M_Q \supset M$. Pour $Q \in \mathcal{F}(M)$, on pose

$$ \mathcal{P}^Q(M) = \{P \in \mathcal{P}(M) : P \subset Q\}, \quad \mathcal{F}^Q(M) = \{P \in \mathcal{F}(M) : P \subset Q\}. $$

On se permettra de remplacer l'indice $P$ par un indice $M$ dans les objets qui ne dépendent pas du choix de $P \in \mathcal{P}(M)$. Par exemple, pour $Q \in \mathcal{F}(M)$ et $P \in \mathcal{P}^Q(M)$,
on écrira parfois $\alpha_M^Q$ au lieu de $\alpha_P^Q$, et $X_M^Q$ au lieu de $X_P^Q$ pour $X \in \alpha_{P_0}$. On rem-
placera souvent l'indice « $P_0$ » par un indice « 0 » : ainsi on écrira $A_0$ pour $A_{P_0}$,
$\alpha_0$ pour $\alpha_{P_0}$, $\alpha_0 = \alpha_Q \oplus \alpha_0^Q$, etc.

On fixe une forme quadratique définie positive (·, ·) sur α₀, invariante par le
groupe de Weyl **W** = N<sup>G</sup>(A₀)/M₀, où N<sup>G</sup>(A₀) est le normalisateur de A₀ dans G.
Pour tout X ∈ α₀, on note ||X|| = (X, X)¹/² la norme de X. Pour M ∈ ℒ, la
forme (·, ·) induit, par restriction, une forme quadratique définie positive sur α<sub>M</sub>,
invariante par le groupe de Weyl **W**<sup>M</sup> = N<sup>M</sup>(A₀)/M₀. Pour Q ∈ ℟(M), α<sub>M</sub><sup>Q</sup> n'est
autre que l'orthogonal de α<sub>Q</sub> dans α<sub>M</sub>, pour cette forme.

Pour $P \in \mathcal{P}_{\text{st}}$, on dispose des racines de $A_0$ dans $M_P$ et des coracines, qui sont
de éléments de $\alpha_0^P$. Pour toute racine $\alpha$ et toute coracine $\beta$ on a

$$
\langle \alpha, \beta \rangle = N_{\alpha, \beta} \in \mathbb{Z}.
$$

Les coracines appartiennent donc à $\alpha_{0,Q}^P$. Soit $\Delta_0^P$ l'ensemble des racines simples de $A_0$ dans $M_P$ pour l'ordre défini par $P_0 \cap M_P$ ; on note $\check{\Delta}_0^P$ la base de $\alpha_0^P$ formée par les coracines simples, et $\hat{\Delta}_0^P$ la base des poids pour $M_P$, c'est-à-dire la base de $(\alpha_0^P)^*$ duale de $\check{\Delta}_0^P$. Lorsque $P = G$, on écrira souvent $\Delta_0$ pour $\Delta_0^G$. On observe que $\Delta_0^P \subset \Delta_0$ et que $\hat{\Delta}_0^P$ est l'ensemble des restrictions non nulles des éléments de $\check{\Delta}_0$ au sous-espace $\alpha_0^P$ de $\alpha_0^G$.

Plus généralement, pour P, Q ∈ ℙ<sub>st</sub> tels que P ⊂ Q, on note Δ<sub>P</sub><sup>Q</sup> l'ensemble
des restrictions non nulles des éléments de Δ<sub>0</sub><sup>Q</sup> au sous-espace α<sub>P</sub><sup>Q</sup> de α<sub>0</sub><sup>Q</sup>. On note
Δ<sub>P</sub><sup>Q</sup> l'ensemble des projections non nulles des éléments de Δ<sub>0</sub><sup>Q</sup> sur l'espace α<sub>P</sub><sup>Q</sup> par
rapport à la décomposition α<sub>0</sub><sup>Q</sup> = α<sub>0</sub><sup>P</sup> ⊕ α<sub>P</sub><sup>Q</sup>. On note Δ<sub>P</sub><sup>Q</sup> la base de (α<sub>P</sub><sup>Q</sup>)* duale
de Δ<sub>P</sub><sup>Q</sup> : c'est le sous-ensemble des éléments de Δ<sub>0</sub><sup>Q</sup> nuls sur α<sub>0</sub><sup>P</sup>. On considère les
éléments de Δ<sub>P</sub><sup>Q</sup> et Δ<sub>P</sub><sup>Q</sup> comme des formes linéaires sur α<sub>0</sub>, grâce à la décomposition

$$
\alpha_0 = \alpha_0^P \oplus \alpha_P^Q \oplus \alpha_Q.
$$

Rappelons que deux réseaux $\mathcal{R}_1$ et $\mathcal{R}_2$ d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie sont dits *commensurables* si leur intersection $\mathcal{R}_1 \cap \mathcal{R}_2$ est d'indice fini dans chacun d'eux. En particulier on a le lemme suivant.

**Lemme 1.4.1.** *Les réseaux* $\mathbb{Z}(\check{\Delta}_P^Q)$ *sont commensurables aux* $A_P^Q$.

Ces définitions s'étendent à toute paire de sous-groupes paraboliques (P, Q) de G
tels que P ⊂ Q : on choisit un élément g ∈ G(F) tel que g⁻¹Pg ⊃ P₀ et, par transport
de structures via le F-automorphisme Intₜ de G, on définit les analogues des objets
ci-dessus ; cela ne dépend pas du choix de g.

On note $\alpha_0^+$ l'ensemble des $X \in \alpha_0$ tels que $\langle \alpha, X \rangle > 0$ pour tout $\alpha \in \Delta_0$. Un élément de $\alpha_0$ est dit **régulier** s'il appartient à $\alpha_0^+$. Pour $X \in \alpha_0$, on pose

$$
d_0(X) = \inf_{\alpha \in \Delta_0} \langle \alpha, X \rangle.
$$
Ainsi $X$ est régulier si et seulement si $d_0(X) > 0$.

Soit $M$ un facteur de Levi de $G$. Pour $P \in \mathcal{P}(M)$, les homomorphismes de $\mathbb{R}$-espaces vectoriels $\alpha_M \to \alpha_P$ et de $\mathbb{Z}$-modules $A_M \to A_P$ sont des isomorphismes. Pour $P, Q \in \mathcal{P}$ tels que $P \subset Q$, on a noté $A_P^Q$ le réseau $\ker[A_P \to A_Q] = A_P \cap \alpha_P^Q$ de $\alpha_P^Q$.

**Lemme 1.4.2. On a une suite exacte courte de réseaux :**

$$0 \to A_P^Q \to A_P \to A_Q \to 0.$$

*Démonstration.* Il convient d'établir la surjectivité de la flèche $A_P \to A_Q$. Pour cela on invoque la décomposition d'Iwasawa (rappelée en section 3.1) : tout $q \in Q(\mathbb{A})$ peut s'écrire $q = pk$ avec $k \in K$, où $K$ est un bon sous-groupe compact maximal dans $G(\mathbb{A})$ et $p \in P(\mathbb{A})$, donc $\mathbf{H}_Q(q) = \mathbf{H}_Q(p) = \mathbf{H}_P(p)$. ■

On pose dualement

$$\mu_P^Q \stackrel{\text{déf}}{=} \mu_P / \mu_Q = \hat{A}_P^Q.$$

Notons qu'en général il n'y a pas de section canonique relevant $A_Q$ dans $A_P$. En revanche, on a toujours l'inclusion

$$\mathcal{B}_Q = \mathbf{H}_Q(A_Q(F)) = \mathbf{H}_P(A_Q(F)) \subset \mathcal{B}_P.$$

Puisque $A_Q$ est un sous-tore de $A_P$, on a l'égalité :

$$\mathcal{B}_Q = \mathcal{B}_P \cap \alpha_Q.$$

En résumé, les inclusions

$$A_Q(\mathbb{A}) \subset A_P(\mathbb{A}) \subset M_P(\mathbb{A}) \subset M_Q(\mathbb{A})$$

donnent le diagramme commutatif suivant :

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

où la flèche horizontale du haut est surjective alors que les trois autres sont injectives. On pose

$$\mathcal{B}_P^Q \stackrel{\text{déf}}{=} \mathcal{B}_Q \setminus \mathcal{B}_P \quad \text{et} \quad \mathcal{C}_P^Q \stackrel{\text{déf}}{=} \mathcal{B}_Q \setminus \mathcal{A}_P.$$

On observe que $\mathcal{B}_P^Q$ est un réseau de $\alpha_P^Q$ et que $\mathcal{C}_P^Q$ est un $\mathbb{Z}$-module de type fini qui s'insère dans la suite exacte courte

$$0 \to \mathcal{B}_P^Q \to \mathcal{C}_P^Q \to \mathcal{C}_P \to 0.$$
## 1.5 Familles orthogonales et (G, M)-familles

Fixons un facteur de Levi $M \in \mathcal{L}$ et considérons une famille

$$ \mathcal{X} = (X_P)_{P \in \mathcal{F}(M)} $$

d'éléments $X_P \in \alpha_P$. Une telle famille est dite M-orthogonale (ou simplement orthogonale) si pour tous $P$ et $Q$ dans $\mathcal{F}(M)$ tels que $P \subset Q$, la projection $(X_P)_Q$ de $X_P$ dans $\alpha_Q$ est égale à $X_Q$. Pour $M' \in \mathcal{L}$ tel que $M \subset M'$, une famille M-orthogonale détermine par restriction une famille $M'$-orthogonale. Il suffit, pour définir une famille M-orthogonale, de se donner des $X_P \in \alpha_M$ pour chaque $P \in \mathcal{P}(M)$ vérifiant la propriété suivante : si $P$ et $P' \in \mathcal{P}(M)$ sont adjacents et si $\alpha$ est l'unique racine de $A_M$ positive pour $P$ et négative pour $P'$, alors $X_P - X_{P'}$ est un multiple de $\alpha$. La famille est dite régulière si les $X_P - X_{P'}$ sont des multiples positifs de $\alpha$. On dit que la famille est entière, resp. rationnelle, si $X_P \in A_M$, resp. $X_P \in \alpha_{M,\mathbb{Q}}$, pour tout $P \in \mathcal{P}(M)$. Dans ce cas $X_Q \in A_Q$, resp. $X_Q \in \alpha_{Q,\mathbb{Q}}$, pour tout $Q \in \mathcal{F}(M)$.

On notera $\mathfrak{S}_{G,M}$ ou simplement $\mathfrak{S}_M$ si aucune confusion n'en résulte, le $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie formé des familles M-orthogonales, et

$$ \mathcal{H}_M = \mathcal{H}_{G,M} \subset \mathfrak{S}_M $$

le réseau formé des familles qui sont entières. On note

$$ \hat{\mathfrak{S}}_M = i \mathfrak{S}_M^* $$

le dual de Pontryagin de $\mathfrak{S}_M$. Le groupe compact

$$ \hat{\mathcal{H}}_M = \hat{\mathfrak{S}}_M / \mathcal{H}_M^\vee $$

s'identifie au dual de Pontryagin de $\mathcal{H}_M$. Pour chaque $P \in \mathcal{F}(M)$, on dispose d'une application

$$ \pi_P : \mathfrak{S}_M \to \alpha_P, \quad \mathcal{X} \mapsto X_P $$

qui est surjective et on note

$$ \iota_P : \hat{\alpha}_P \to \hat{\mathfrak{S}}_M $$

l'application injective transposée de $\pi_P$.

Une manière très simple de construire une famille $M_0$-orthogonale est de fixer un élément $T \in \alpha_0$. Pour $P \in \mathcal{P}(M_0)$, si $w$ est l'unique élément de $\mathbf{W}$ tel que $w(P_0) = P$, on pose $[T]_P = wT$. On a donc $[T]_{P_0} = T$ et l'ensemble

$$ \mathfrak{T} = ([T]_P)_{P \in \mathcal{P}(M_0)} $$

définit une famille $M_0$-orthogonale. Pour $Q \in \mathcal{F}(M_0)$, on a $[T]_Q = ([T]_P)_Q$ pour un (i.e. pour tout) $P \in \mathcal{P}^Q(M_0)$. Cette famille est régulière, resp. rationnelle, si et
seulement si $T \in \alpha_0^+$, resp. $T \in \alpha_{0,\mathbb{Q}}$. Soit $\mathcal{X} = (X_P)$ une famille M-orthogonale, et soit $T$ un élément de $\alpha_0$. On définit une autre famille M-orthogonale en posant :

$$ \mathcal{X}(T) = \mathcal{X} + \mathfrak{T}, \quad \text{c'est-à-dire} \quad \mathcal{X}(T)_P = X_P + [T]_P. $$

Une (G, M)-famille est la donnée d'une famille de fonctions

$$ c = (\Lambda \mapsto c(\Lambda, P) \mid P \in \mathcal{F}(M)) $$

à valeurs dans $\mathbb{C}$, ou plus généralement à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finies E, vérifiant les conditions :

* pour tout $P \in \mathcal{F}(M)$, la fonction $\Lambda \mapsto c(\Lambda, P)$ est lisse sur $\hat{a}_P$;

* pour tous $P, Q \in \mathcal{F}(M)$ tels que $P \subset Q$ (i.e. $P \in \mathcal{F}^Q(M)$), on a

$$ c(\cdot, P)|_{\hat{a}_Q} = c(\cdot, Q). $$

Pour chaque $P \in \mathcal{F}(M)$, on prolonge $c(\cdot, P)$ en une fonction sur $\hat{a}_0$ constante sur les fibres de la projection $\hat{a}_0 \to \hat{a}_P$. Comme pour les familles M-orthogonales, il suffit pour définir une (G, M)-famille de se donner des fonctions lisses

$$ c(\cdot, P) : \hat{a}_M \to E \quad \text{pour} \quad P \in \mathcal{P}(M) $$

qui vérifient la propriété suivante : pour $P, P' \in \mathcal{P}(M)$ deux éléments adjacents correspondant à des chambres séparées par le mur $a_R$, où $R$ est l'élément de $\mathcal{F}(M)$ engendré par $P$ et $P'$, on a l'égalité

$$ c(\cdot, P)|_{\hat{a}_R} = c(\cdot, P')|_{\hat{a}_R}. $$

Les fonctions $c(\cdot, Q)$ pour $Q \in \mathcal{F}(M) \setminus \mathcal{P}(M)$ s'en déduisent par restriction.

Une (G, M)-famille $c = (c(\cdot, P))$ est dite **périodique** si pour tout $P \in \mathcal{F}(M)$, la fonction $\Lambda \mapsto c(\Lambda, P)$ est invariante par translation par $A_P^\vee$, i.e. se factorise par $\mu_P \stackrel{\text{déf}}{=} \hat{A}_P$. Pour qu'une (G, M)-famille $c = (c(\cdot, P))$ soit périodique, il suffit que pour tout $P \in \mathcal{P}(M)$, la fonction $\Lambda \mapsto c(\Lambda, P)$ soit $A_M^\vee$-périodique. On notera $\mathcal{D}(G, M)$ le $\mathbb{C}$-espace vectoriel formé des (G, M)-familles périodiques.

Soit $m$ une mesure de Radon à décroissance rapide sur $\mathcal{H}_M$ et à valeurs dans $E$. On lui associe une (G, M)-famille en posant, pour $\Lambda \in \hat{a}_P$ :

$$ c(\Lambda, P) = \int_{\mathcal{H}_M} e^{(\Lambda, X_P)} \mathrm{d}m(\mathcal{X}), $$

où $X_P = \pi_P(\mathcal{X})$. La (G, M)-famille $c$ est périodique si et seulement si la mesure $m$ est le produit d'une fonction à décroissance rapide sur le réseau $\mathcal{H}_M$ par la mesure de
comptage. Par abus de notation nous noterons encore $m$ cette fonction. Sa transformée de Fourier

$$ \hat{m}(\mathcal{L}) = \sum_{\mathfrak{u} \in \mathcal{H}_M} e^{\langle \mathcal{L}, \mathfrak{u} \rangle} m(\mathfrak{u}) \quad \text{pour} \quad \mathcal{L} \in \hat{\mathcal{H}}_M $$

se factorise par $\hat{\mathcal{H}}_M$, c'est-à-dire est invariante par $\mathcal{H}_M^\vee$. On notera $c_m$ la $(G, M)$-famille périodique définie par

$$ c_m(\Lambda, P) = \sum_{\mathfrak{u} \in \mathcal{H}_M} e^{\langle \Lambda, U_P \rangle} m(\mathfrak{u}) = (\hat{m} \circ \iota_P)(\Lambda). $$

On munit l'espace vectoriel de dimension finie $\hat{\mathcal{H}}_M$ d'une structure euclidienne et on note $\|\mathcal{X}\|$ la norme du vecteur $\mathcal{X} \in \hat{\mathcal{H}}_M$. L'espace $\mathcal{S}(\mathcal{H}_M)$ des fonctions $m$ à décroissance rapide sur $\mathcal{H}_M$ est muni d'une structure d'espace de Fréchet au moyen des normes $n_d$ pour $d \in \mathbb{N}$ :

$$ n_d(m) = \sup_{\mathfrak{u} \in \mathcal{H}_M} (1 + \|\mathfrak{u}\|)^d |m(\mathfrak{u})|. $$

Tout opérateur différentiel à coefficients constants $D$ sur $\hat{a}_M$ permet de définir une semi-norme $N_D$ sur l'espace $\mathcal{D}(G, M)$ en posant

$$ N_D(c) = \sum_{P \in \mathcal{P}(M)} \sup_{\Lambda \in \mu_M} |Dc(\Lambda, P)|, $$

munissant ainsi $\mathcal{D}(G, M)$ d'une structure d'espace de Fréchet. L'application linéaire

$$ S : \mathcal{S}(\mathcal{H}_M) \to \mathcal{D}(G, M), $$

définie par $m \mapsto c_m$, est continue.

**Lemme 1.5.1.** Toutes les (G, M)-familles périodiques sont obtenues de cette manière. En d'autres termes, l'application $S$ est surjective.

*Démonstration.* C'est une variante de [25, proposition 1.10.1]. La preuve en est identique, à ceci près que la fonction $\chi$ sur $\mathbb{R}$ servant à construire la globalisation sur $\hat{\mathcal{H}}_M$ de la (G, M)-famille $c$ donnée, qui ici est périodique, doit être prise périodique au lieu de lui imposer d'être à support compact. Plus précisément, on fixe une base $\mathcal{B}_G$ de $\hat{a}_G = i\alpha_G^*$, et pour chaque $P \in \mathcal{F}(M)$, on pose

$$ \mathcal{B}_P = \iota_P(\mathcal{B}_G \cup i\hat{\Delta}_P) \subset \hat{\mathcal{H}}_M. $$

On note $\mathcal{B}$ la base de $\hat{\mathcal{H}}_M$ formée par l'union de ces ensembles $\mathcal{B}_P$. C'est l'union de $\mathcal{B}_G$ et des $e_Q = \iota_Q(i\omega_Q)$, où $Q$ parcourt l'ensemble $\mathcal{F}_{\max}(M)$ des sous-groupes
paraboliques maximaux propres de $G$ contenant $M$ et $\omega_Q$ est l'unique élément de $\hat{\Delta}_Q$. Pour chaque $P \in \mathcal{F}(M)$, on a une partition de $\mathcal{B}$ en

$$ \mathcal{B} = \mathcal{B}_P \cup \mathcal{B}^P \quad \text{avec} \quad \mathcal{B}^P = \{e_Q \mid Q \in \mathcal{F}_{\max}(M), Q \not\subset P\} $$

qui induit une décomposition de $\hat{\mathcal{H}}_M$ en somme directe. Pour $\lambda \in \hat{\mathcal{H}}_M$, on note
$\lambda = \lambda_P + \lambda^P$ la décomposition associée et l'on pose

$$ \chi_P(\lambda^P) = \prod_{Q \not\subset P} \chi(x_Q(\lambda)) \quad \text{si} \quad \lambda^P = \sum_{Q \not\subset P} x_Q(\lambda)e_Q. $$

On définit la fonction

$$ f(\lambda) = \sum_{P \in \mathcal{F}(M)} (-1)^{a_Q - a_M} c(\lambda_P, P) \chi_P(\lambda^P), $$

où l'on a identifié $\lambda_P \in \iota_P(\hat{\alpha}_P)$ à un élément de $\hat{\alpha}_P$. Notons $\mathfrak{Z}$ le réseau de $\mathbb{R}$ engendré par les $x_Q(\lambda)$ pour $\lambda \in \mathcal{H}_M^\vee$ et $Q \in \mathcal{F}_{\max}(M)$. Il suffit de prendre pour $\chi$ une fonction lisse et $\mathfrak{Z}$-invariante sur $\mathbb{R}$, telle que $\chi(0) = 1$. N'importe quel caractère de $\mathfrak{Z} \setminus \mathbb{R}$ convient – par exemple $\chi = 1$. ■

Ce résultat permet de définir d'autres normes sur l'espace $\mathcal{D}(G, M)$ :

**Définition 1.5.2.** Pour $d \in \mathbb{N}$ on pose

$$ N_d(c) = \inf\{n_d(m) \mid c_m = c\}. $$

## 1.6 Fonctions caractéristiques de cônes et de convexes

Pour $P, Q \in \mathcal{P}$ tels que $P \subset Q$, on note<fnref n="3" /> $\hat{\tau}_P^Q$, resp. $\hat{\tau}_P^Q$, la fonction caractéristique du cône ouvert dans $\alpha_0$ défini par $\Delta_P^Q$, resp. $\hat{\Delta}_P^Q$ :

$$ \hat{\tau}_P^Q(X) = 1 \Leftrightarrow \langle \alpha, X \rangle > 0, \forall \alpha \in \Delta_P^Q, $$

$$ \hat{\tau}_P^Q(X) = 1 \Leftrightarrow \langle \omega, X \rangle > 0, \forall \omega \in \hat{\Delta}_P^Q. $$

Pour $Q = G$, on écrira souvent $\tau_P = \tau_P^G$, $\hat{\tau}_P = \hat{\tau}_P^G$. La propriété essentielle pour la combinatoire est que les matrices, indexées par les couples de sous-groupes paraboliques standards, $\tau = (\tau_{P,Q})$ et $\hat{\tau} = (\hat{\tau}_{P,Q})$ définies par

$$ \tau_{P,Q} = \begin{cases} (-1)^{a_P} \tau_P^Q & \text{si } P \subset Q \\ 0 & \text{sinon,} \end{cases} \quad \text{et} \quad \hat{\tau}_{P,Q} = \begin{cases} (-1)^{a_P} \hat{\tau}_P^Q & \text{si } P \subset Q \\ 0 & \text{sinon,} \end{cases} $$

<footnote n="3">³Comme dans [25], toutes les fonctions indexées par $P$ sont des fonctions sur $\alpha_0$ qui se factorisent à travers $\alpha_0^P \setminus \alpha_0$ ($\simeq \alpha_P$). Dans [34], elles sont considérées comme des fonctions sur $\alpha_P$.</footnote>
sont inverses l'une de l'autre : $\hat{\tau}\hat{\tau} = \hat{\tau}\hat{\tau} = 1$ (cf. [25, proposition 1.7.2]).

Soit $M \in \mathcal{L}$. Fixons un élément $Q \in \mathcal{P}(M)$. Cet élément définit un ordre sur l'ensemble des racines de $A_M$ dans $G$. On écrit $\alpha >_Q 0$, resp. $\alpha <_Q 0$, pour signifier qu'une racine $\alpha$ est positive, resp. négative, pour cet ordre. Pour $P \in \mathcal{P}(M)$, notons $\phi_{P,Q}^G$ la fonction caractéristique des $X \in \alpha_P^G$ suivante :

$$ \phi_{P,Q}^{G}(X) = 1 \iff \begin{cases} \langle \omega_{\alpha}, X \rangle \le 0 & \text{pour } \alpha \in \Delta_{P}, \text{ tel que } \alpha >_{Q} 0, \\ \langle \omega_{\alpha}, X \rangle > 0 & \text{pour } \alpha \in \Delta_{P}, \text{ tel que } \alpha <_{Q} 0, \end{cases} $$

où $\{\omega_\alpha : \alpha \in \Delta_P\} = \hat{\Delta}_P$ est la base de $(\alpha_P^G)^*$ duale de $\{\check{\alpha} : \alpha \in \Delta_P\} = \check{\hat{\Delta}}_P$. On note $a(P, Q)$ le nombre des $\alpha \in \Delta_P$ tels que $\alpha <_Q 0$. Par définition, $\phi_{P,Q}^G$ se factorise par $\alpha_P^G$. Observons que $\phi_{P,Q}^G$ est noté $\phi_{M,s}$ dans [25] lorsque $P = s(Q)$ pour un élément $s$ dans le groupe de Weyl. Plus généralement pour $R \in \mathcal{F}(M)$ et $P, Q \in \mathcal{P}^R(M)$, on définit la fonction $\phi_{Q,P}^R$ comme ci-dessus, en remplaçant $G$ par $L = M_R$, $P$ par $P \cap L$, et $Q$ par $Q \cap L$. Nous aurons aussi besoin de $\phi_P^Q$, la fonction caractéristique du cône fermé dans $\alpha_0$, défini par $-\hat{\Delta}_P^Q$ :

$$ \phi_P^Q(X) = 1 \iff \langle \omega, X \rangle \le 0, \forall \omega \in \hat{\Delta}_P^Q. $$

On observera que $\phi_P^Q = \phi_{P,Q}^P$.

Nous allons citer des résultats empruntés à la section 1.8 de [25]. Leurs preuves reposent sur le lemme 1.8.1 de [25, page 22], dont la démonstration est incorrecte. Cette erreur a été observée par P.-H. Chaudouard. Une preuve alternative en est donnée dans l'annexe (cf. Err (i), lemme A.3).

Pour $P$ et $R$ dans $\mathcal{P}$ tels que $P \subset R$, on définit la fonction $\Gamma_P^R$ sur $\alpha_0 \times \alpha_0$ par

$$ \Gamma_P^R(H, X) = \sum_{\{Q | P \subset Q \subset R\}} (-1)^{a_Q - a_R} \tau_P^Q(H) \hat{\tau}_Q^R(H - X). $$

D'après [25, lemme 1.8.3] la projection dans $\alpha_P^R$ du support de la fonction $H \mapsto \Gamma_P^R(H, X)$ est une union d'ensembles $C(P, Q, R, X)$ et est donc compacte. Précisément, il existe une constante $c > 0$ telle que, si $\Gamma_P^R(H, X) \neq 0$, on a

$$ \|H_P^R\| \le c \|X_P^R\|, $$

où $X \mapsto X_P^R$ est la projection sur l'orthogonal de $\alpha_0^P \oplus \alpha_R$. De plus, si $P$ est standard et $X$ est régulier, on a

$$ \Gamma_P^R(H, X) = \tau_P^R(H) \phi_P^R(H - X). $$

Soit $M \in \mathcal{L}$. Pour une famille $M$-orthogonale $\mathcal{X} = (X_P)$ et pour $R \in \mathcal{F}(M)$, on note $\Gamma_M^R(\cdot, \mathcal{X})$ la fonction sur $\alpha_0$ définie par

$$ \Gamma_M^R(H, \mathcal{X}) = \sum_{P \in \mathcal{F}^R(M)} (-1)^{a_P - a_R} \hat{\tau}_P^R(H - X_P). $$
D'après [25, proposition 1.6.5], si la famille $\mathcal{X}$ est régulière, alors $\Gamma_M^R(\cdot, \mathcal{X})$ est la fonction caractéristique de l'ensemble des $H \in \alpha_0$, dont la projection $H_M^R$ dans $\alpha_M^R$ appartient à l'enveloppe convexe des points $X_P^R$ pour $P \in \mathcal{P}^R(M)$. En général, la projection du support de la fonction $\Gamma_M^R(\cdot, \mathcal{X})$ dans $\alpha_M^R$ est compacte [25, corol- laire 1.8.5]. Précisément, il existe une constante $c > 0$ (indépendante de la famille $\mathcal{X}$), telle que pour tout $H \in \alpha_0$ tel que $\Gamma_M^R(H, \mathcal{X}) \neq 0$, on ait

$$ \|H_M^R\| \le c \sup_{P \in \mathcal{P}^R(M)} \|X_P^R\|. $$

On se limite maintenant au cas $R = G$.

**Lemme 1.6.1.** Soit $Q \in \mathcal{P}(M)$. On a

$$ \Gamma_M^G(H, \mathcal{X}) = \sum_{P \in \mathcal{P}(M)} (-1)^{a(P,Q)} \phi_{P,Q}^G(H - X_P). $$

*Démonstration.* Ceci résulte de [25, proposition 1.8.7 (2)]. ■

Pour les (nombreuses) autres égalités reliant les fonctions $\tau_P^Q$, $\hat{\tau}_P^Q$, $\phi_{P,Q}^G$, $\Gamma_P^Q$ et $\Gamma_M^Q$, on renvoie à [25, sections 1.7, 1.8] et à [34, section 1.3].

Pour $P, Q \in \mathcal{P}$ tels que $P \subset Q$, les fonctions méromorphes $\epsilon_P^Q$ sur $\alpha_{0,C}^*$ sont définies dans [25, section 1.9]. On rappelle leur définition :

**Définition 1.6.2.** On munit l'espace vectoriel $\alpha_P^Q$ d'une mesure de Haar. Pour $\Lambda \in \alpha_{0,C}^*$ en dehors des murs, on pose

$$ \epsilon_P^Q(\Lambda) = \text{vol}(\alpha_P^Q / \mathbb{Z}(\check{\Delta}_P^Q)) \prod_{\alpha \in \Delta_P^Q} (\Lambda, \check{\alpha})^{-1}, $$

où $\mathbb{Z}(\check{\Delta}_P^Q)$ désigne le réseau de $\alpha_P^Q$ engendré par $\check{\Delta}_P^Q$, et $\alpha_P^Q / \mathbb{Z}(\check{\Delta}_P^Q)$ est muni de la mesure quotient de la mesure sur $\alpha_P^Q$ par la mesure de comptage sur $\mathbb{Z}(\check{\Delta}_P^Q)$.

On observera que, si $\langle \Re(\Lambda), \alpha \rangle > 0$ pour tout $\alpha \in \Delta_P^Q$, on a

$$ \epsilon_P^Q(\Lambda) = \int_{\alpha_P^Q} \phi_P^Q(H) e^{(\Lambda, H)} dH. $$

Pour $X_P \in \alpha_P$ on pose aussi

$$ \epsilon_P^{Q, X_P}(\Lambda) = \int_{\alpha_P^Q} \phi_P^Q(H - X_P) e^{(\Lambda, H)} dH = e^{(\Lambda, X_P^Q)} \epsilon_P^Q(\Lambda). $$

En sommant sur des réseaux au lieu d'espaces vectoriels on définit, comme en [34, section 1.5], des variantes $\epsilon_P^{Q, X_P}(Z; \Lambda)$ des fonctions $\epsilon_P^{Q, X_P}$. Pour $Z \in \mathcal{A}_Q$, on pose

$$ \mathcal{A}_P^Q(Z) \stackrel{\text{déf}}{=} \{H \in \mathcal{A}_P : H_Q = Z\}. $$
Si $Z' \in \mathcal{A}_P$ est tel que $Z'_Q = Z$, on a alors

$$ \mathcal{A}_P^Q(Z) = Z' + \mathcal{A}_P^Q. $$

Pour $\Lambda \in \alpha_{0,\mathcal{C}}^*, Z \in \mathcal{A}_Q$ et $X_P \in \alpha_P$, on pose

$$ \varepsilon_{P}^{Q,X_P}(Z; \Lambda) = \sum_{H \in \mathcal{A}_P^Q(Z)} \phi_P^Q(H - X_P) e^{\langle \Lambda, H \rangle}. $$

**Lemme 1.6.3.** La série définissant $\varepsilon_{P}^{Q,X_P}(Z; \Lambda)$ est absolument convergente si $\langle \Re\Lambda, \check{\alpha} \rangle > 0$ pour tout $\alpha \in \Delta_P^Q$. Dans ce domaine, la série ne dépend que de la projection de $\Lambda$ dans $\alpha_{P,\mathcal{C}}^* / \mathcal{A}_P^\vee$. Pour $X_P \in \alpha_{P,\mathcal{Q}}$, la fonction

$$ \Lambda \mapsto \varepsilon_{P}^{Q,X_P}(Z; \Lambda) $$

se prolonge méromorphiquement à tout $\Lambda \in \alpha_{0,\mathcal{C}}^*$.

*Démonstration.* Montrons le prolongement méromorphe, pour $X_P \in \alpha_{P,\mathcal{Q}}$. La preuve ci-après est classique (cf. [8] et [34]). Pour tout entier $k \ge 1$ on pose

$$ \mathcal{D}_k = k^{-1}\mathcal{D}, \quad \text{où} \quad \mathcal{D} = \mathbb{Z}(\check{\Delta}_P^Q) \subset \alpha_P^Q. $$

Choisissons $k$ tel que $\mathcal{D}_k$ contienne $\mathcal{A}_P^Q$ et $(X_P - Z')^Q$. Le réseau dual $\mathcal{D}_k^\vee$, formé des $\Lambda \in \alpha_{P}^{Q,*} \otimes \mathbb{C}$ tels que $\langle \Lambda, Y \rangle = 2i\pi Z$ pour tout $Y \in \mathcal{D}_k$, vérifie l'inclusion

$$ \mathcal{D}_k^\vee \subset \mathcal{A}_P^{Q,\vee}. $$

Considérons les fonctions méromorphes<fnref n="4" />

$$ \varepsilon_{P,k}^{Q}(\Lambda) = \prod_{\alpha \in \Delta_P^Q} (1 - e^{-k^{-1}\langle \Lambda, \check{\alpha} \rangle})^{-1}. $$

L'ensemble des $H \in \mathcal{D}_k$ tels que $\phi_P^Q(H) = 1$ est celui formé des

$$ \sum_{\alpha \in \Delta_P^Q} n_{\alpha} k^{-1} \check{\alpha} $$

pour des entiers $n_\alpha \le 0$. Pour $\Lambda \in \alpha_{0,\mathcal{C}}^*$ tel que $\langle \Re\Lambda, \check{\alpha} \rangle > 0$ pour tout $\alpha \in \Delta_P^Q$, on a donc :

$$ \varepsilon_{P,k}^{Q}(\Lambda) = \sum_{H \in \mathcal{D}_k} \phi_P^Q(H) e^{\langle \Lambda, H \rangle}. $$

<footnote n="4">⁴Dans [8], cette fonction est notée $(\theta_{P,k-1}^Q)^{-1}$.</footnote>
Par inversion de Fourier sur le groupe abélien fini $A_P^Q \setminus \mathcal{D}_k$, on obtient

$$
\begin{align*}
\varepsilon_P^{Q,X_P}(Z; \Lambda) &= \frac{e^{\langle \Lambda, Z' \rangle}}{[\mathcal{D}_k : A_P^Q]} \sum_{\nu \in A_P^{Q, \vee} / \mathcal{D}_k^{\vee}} \sum_{H \in \mathcal{D}_k} \phi_P^Q(H + Z' - X_P) e^{\langle \Lambda + \nu, H \rangle} \\
&= \frac{e^{\langle \Lambda, Z' \rangle}}{[\mathcal{D}_k : A_P^Q]} \sum_{\nu \in A_P^{Q, \vee} / \mathcal{D}_k^{\vee}} \sum_{H \in \mathcal{D}_k} \phi_P^Q(H) e^{\langle \Lambda + \nu, H + (X_P - Z')^Q \rangle}
\end{align*}
$$

et donc

$$
\varepsilon_P^{Q,X_P}(Z; \Lambda) = \frac{e^{\langle \Lambda, Z' \rangle}}{[\mathcal{D}_k : A_P^Q]} \sum_{\nu \in A_P^{Q, \vee} / \mathcal{D}_k^{\vee}} e^{\langle \Lambda + \nu, (X_P - Z')^Q \rangle} \varepsilon_{P,k}^{Q}(\Lambda + \nu).
$$

Le lemme en résulte.

**Lemme 1.6.4.** Le lemme 1.6.3 reste vrai pour tout $X_P \in \alpha_P$.

Démonstration. Notons $Z$ le réseau de $\mathbb{R}$ engendré par les $\langle \bar{\omega}, H \rangle$ pour $\bar{\omega} \in \hat{\Delta}_P^Q$
et $H \in \mathcal{A}_P$. Pour $\bar{\omega} \in \hat{\Delta}_P^Q$, $X_P \in \alpha_P$ et $H \in \mathcal{A}_P$, posons $x_{\bar{\omega}} = \langle \bar{\omega}, X_P \rangle \in \mathbb{R}$ et
$h_{\bar{\omega}} = \langle \bar{\omega}, H \rangle \in Z$. Notons $\hat{\Delta}_1$ l'ensemble des $\bar{\omega} \in \hat{\Delta}_P^Q$ avec $x_{\alpha} \in Z$. Il existe un
$Y_P \in \alpha_{P,Q}$ tel que les coordonnées $y_{\bar{\omega}} = \langle \bar{\omega}, Y_P \rangle$ vérifient :

• $y_{\bar{\omega}} = x_{\bar{\omega}}$ pour tout $\bar{\omega} \in \hat{\Delta}_1$;

• $(y_{\bar{\omega}} - h_{\bar{\omega}})(x_{\bar{\omega}} - h_{\bar{\omega}}) > 0$ pour tout $\bar{\omega} \in \hat{\Delta}_P^Q \setminus \hat{\Delta}_1$ et tout $H \in \mathcal{A}_P$.

Pour un tel $Y_P$ on a

$$
\phi_P^Q (H - Y_P) = \phi_P^Q (H - X_P)
$$

et donc

$$
\varepsilon_P^{Q, Y_P}(Z; \Lambda) = \varepsilon_P^{Q, X_P}(Z; \Lambda).
$$

Pour $P, Q \in \mathcal{P}(M)$, $Z \in \mathcal{A}_Q$ et $X_P \in \alpha_P$, on pose

$$
\varepsilon_{P,Q}^{G,X_P}(Z;\Lambda) = \sum_{H \in \mathcal{A}_P^G(Z)} \phi_{P,Q}^G(H-X_P) e^{\langle H, \Lambda \rangle},
$$

la série étant absolument convergente si $\langle \mathfrak{R}\Lambda, \check{\alpha} \rangle > 0$ pour tout $\alpha \in \Delta_Q$. Elle ne dépend que de la projection de $\Lambda$ dans $\alpha_{P,\mathcal{C}}^* / \mathcal{A}_P^{\vee}$.

**Lemme 1.6.5.** Pour $X_P \in \alpha_P$, la fonction $\Lambda \mapsto \varepsilon_{P,Q}^{G,X_P}(Z; \Lambda)$ ne dépend que de l'image de $\Lambda$ dans $\alpha_{P,\mathcal{C}}^* / \mathcal{A}_P^{\vee}$. Elle se prolonge méromorphiquement à tout $\Lambda \in \alpha_{0,\mathcal{C}}^*$, et on a l'égalité

$$
\varepsilon_{P,Q}^{G,X_P}(Z;\Lambda) = (-1)^{a(P,Q)} \varepsilon_{P}^{G,X_P}(Z;\Lambda).
$$
Démonstration. Compte tenu du lemme 1.6.4, c'est l'assertion (2) de [34, section 1.5].

Soit $\mathcal{X} = (X_P)_{P \in \mathcal{F}(M)}$ une famille M-orthogonale. On pose$^5$

$$ \gamma_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda) = \sum_{H \in \mathcal{A}_M^Q(Z)} \Gamma_M^Q(H, \mathcal{X})e^{\langle \Lambda, H \rangle}. $$

**Lemme 1.6.6.** La série

$$ \sum_{H \in \mathcal{A}_M^Q(Z)} \Gamma_M^Q(H, \mathcal{X})e^{\langle \Lambda, H \rangle} $$

est une somme finie. La fonction $\Lambda \mapsto \gamma_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda)$ est une fonction entière de $\Lambda \in \alpha_{0,\mathcal{C}}^*$, qui ne dépend que de l'image de $\Lambda$ dans $\alpha_{M,\mathcal{C}}^* / \mathcal{A}_M^\vee$. Pour $\Lambda$ en dehors des murs, on a l'identité suivante :

$$ \gamma_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda) = \sum_{P \in \mathcal{P}^Q(M)} \varepsilon_P^{Q,X_P}(Z; \Lambda). $$

Démonstration. La compacité de la projection sur $\alpha_M^Q$ du support de la fonction

$$ H \mapsto \Gamma_M^Q(H, \mathcal{X}) $$

([25, corollaire 1.8.5]) implique que la série définissant $\gamma_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}$ est une somme finie. Elle définit donc une fonction entière. Pour la seconde assertion on invoque l'expression de $\Gamma_M$ dans le lemme 1.6.1$^6$, au moyen des $\phi_{P,Q}$ et du lemme 1.6.5. ■

Pour $P \in \mathcal{P}^Q(M)$ et $\lambda \in \alpha_{P,\mathcal{C}}^*$, notons $d(\lambda)$ le cardinal de l'ensemble des $\alpha \in \Delta_P^Q$, tels que $\langle \lambda, \check{\alpha} \rangle \in 2ik\pi\mathbb{Z}$.

<footnote>$^5$L'indice F et la lettre Z indiquent que l'on somme sur le translaté $\mathcal{A}_M^Q(Z) = Z' + \mathcal{A}_M^Q$ du réseau $\mathcal{A}_M^Q$ de $\alpha_M^Q$ ; à ne pas confondre avec l'intégrale $\int_{\alpha_M^Q} \Gamma_M^Q(H, \mathcal{X})e^{\langle \Lambda, H \rangle} dH$ (cf. [25, lemme 1.9.3]) qui apparaîtra dans la preuve de la proposition 1.7.4. Idem pour l'expression $\varepsilon_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda)$, voir plus loin.</footnote>

<footnote>$^6$On observera que l'identité du lemme 1.6.1, qui résulte de [25, proposition 1.8.7], remplace (avantageusement) la décomposition [25, lemme 1.9.3 (3)], dont ni la formulation, ni la preuve, ne s'étendent au cas des corps de fonctions – en effet, les murs peuvent contenir des points du réseau qui donnent alors une contribution non nulle.</footnote>
**Lemme 1.6.7.** On suppose que la famille M-orthogonale $\mathcal{X}$ est rationnelle. Choisissons un entier $k$ tel que, pour tout $P \in \mathcal{P}^Q(M)$, le réseau $\mathcal{D}_k$ dans $\alpha_M^Q$ contienne $A_M^Q$ et $(X_P - Z')^Q$. La valeur en $\Lambda$ de la fonction $\gamma_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda)$ peut s'écrire

$$ \gamma_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda) = \sum_{P \in \mathcal{P}^Q(M)} \sum_{\nu} p_{P,\Lambda+\nu}(X_P^Q) e^{(\Lambda+\nu, X_P^Q)}, $$

où les $\nu$ varient dans $A_M^{Q,\vee}/\mathcal{D}_k^\vee$ et les $p_{P,\Lambda}$ sont des polynômes en $X_P^Q$, de degré $d(\lambda)$.

**Démonstration.** Pour $\Lambda$ en dehors des murs, on a

$$ \gamma_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda) = \sum_{P \in \mathcal{P}^Q(M)} \varepsilon_P^{Q,X_P}(Z; \Lambda). $$

On a vu dans la preuve du lemme 1.6.3 que

$$ \varepsilon_P^{Q,X_P}(Z; \Lambda) = \frac{e^{\langle \Lambda, Z' \rangle}}{[\mathcal{D}_k : A_M^Q]} \sum_{\nu \in A_M^{Q,\vee} / \mathcal{D}_k^\vee} e^{\langle \Lambda + \nu, (X_P - Z')^Q \rangle} \varepsilon_{P,k}^Q(\Lambda + \nu). $$

Fixons $\lambda = \Lambda + \nu$. Pour $t \in \mathbb{R}$ et $\xi$ en position générale, on dispose du développement de Laurent au voisinage de $t=0$ des fonctions $\varepsilon_{P,k}^Q(t\xi + \lambda)$. On rappelle que

$$ \varepsilon_{P,k}^{Q}(\lambda) = \prod_{\alpha \in \Delta_{P}^{Q}} (1 - e^{-k^{-1}(\lambda, \check{\alpha})})^{-1} $$

et donc

$$ e^{\langle t\xi + \lambda, (X_P - Z')^Q \rangle} \varepsilon_{P,k}^Q(t\xi + \lambda) = t^{-d(\lambda)} e^{\langle t\xi, X_P^Q \rangle} f_P(t, \xi, \lambda) e^{\langle \lambda, X_P^Q \rangle}, $$

où $d(\lambda)$ est le nombre de racines $\alpha \in \Delta_P^Q$ telles que $e^{k^{-1}\langle \lambda, \check{\alpha} \rangle} = 1$, c'est-à-dire $\langle \lambda, \check{\alpha} \rangle = 2ik\pi\mathbb{Z}$ et où, pour $\lambda$ et $\xi$ fixés, $f_P(t, \xi, \lambda)$ est une fonction de $t$, lisse au voisinage de $t=0$, indépendante de $X_P$, et vérifiant $f_P(0, \xi, \lambda) \neq 0$. La dérivée par rapport à $t$, d'ordre $d(\lambda)$ de

$$ e^{\langle t\xi, X_P^Q \rangle} f_P(t, \xi, \lambda), $$

est un polynôme en $X_P^Q$ de degré $d(\lambda)$. Le terme de degré zéro dans le développement de Laurent au voisinage de $t=0$ de la fonction

$$ \frac{e^{\langle t\xi + \lambda, Z' \rangle}}{[\mathcal{D}_k : A_M^Q]} e^{\langle t\xi + \lambda, (X_P - Z')^Q \rangle} \varepsilon_{P,k}^Q(t\xi + \lambda) $$

est donc de la forme $p_{P,\lambda}(X_P^Q)e^{\langle \lambda, X_P^Q \rangle}$. Comme d'après le lemme 1.6.6 la fonction

$$ t \mapsto \gamma_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda + t\xi) $$
est lisse, les parties polaires se compensent<fnref n="7" />.

Soit $\mathbf{c} = (\mathbf{c}(\cdot, P))$ une $(G, M)$-famille. Pour $Q \in \mathcal{F}(M)$, $Z \in \mathcal{A}_Q$, et une famille $M$-orthogonale $\mathcal{X} = (X_P)$, on note $\mathbf{c}_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \cdot)$ la fonction définie pour $\Lambda \in \hat{\mathcal{A}}_0$ en dehors des murs par<fnref n="8" />

$$ \mathbf{c}_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda) = \sum_{P \in \mathcal{P}^Q(M)} \varepsilon_P^{Q,X_P}(Z; \Lambda) \mathbf{c}(\Lambda, P). $$

**Proposition 1.6.8.** Soient $Q \subset R$ deux sous-groupes paraboliques dans $\mathcal{F}(M)$. Considérons une $(R, M)$-famille périodique $\mathbf{c}$ associée à une fonction $m$ à décroissance rapide sur $\mathcal{H}_{R,M}$, et une famille $M$-orthogonale $\mathcal{X}$. Alors

$$ \mathbf{c}_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda) = \sum_{\mathfrak{u} \in \mathcal{H}_{R,M}} m(\mathfrak{u}) \gamma_{M,F}^{Q,\mathcal{X}+\mathfrak{u}}(Z + U_Q; \Lambda), $$

et la fonction

$$ \Lambda \mapsto \mathbf{c}_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda) $$

est une fonction lisse sur $\mu_M$.

**Démonstration.** On exprime la $(R, M)$-famille $\mathbf{c}$ au moyen de la fonction $m$ : pour $P \in \mathcal{P}(M)$ et $\Lambda \in \mu_M$, on a

$$ \mathbf{c}(\Lambda, P) = \sum_{\mathfrak{u} \in \mathcal{H}_{R,M}} e^{\langle \Lambda, U_P \rangle} m(\mathfrak{u}), $$

et donc

$$ \mathbf{c}_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda) = \sum_{P \in \mathcal{P}^Q(M)} \sum_{\mathfrak{u} \in \mathcal{H}_{R,M}} m(\mathfrak{u}) e^{\langle \Lambda, U_P \rangle} \varepsilon_P^{Q,X_P}(Z; \Lambda). $$

Fixons un $P' \in \mathcal{P}(M)$. Pour $\Lambda$ dans le cône positif associé à $P'$ on a

$$ \varepsilon_P^{Q,X_P}(Z; \Lambda) = (-1)^{a(P,P')} \sum_{H \in \Lambda_M^Q(Z)} \phi_{P,P'}^{Q}(H - X_P) e^{\langle \Lambda, H \rangle}. $$

Donc $\mathbf{c}_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda)$ est égal à

$$ \sum_{\mathfrak{u} \in \mathcal{H}_{R,M}} m(\mathfrak{u}) \sum_{P \in \mathcal{P}^Q(M)} (-1)^{a(P,P')} \sum_{H \in \Lambda_M^Q(Z)} \phi_{P,P'}^{Q}(H - X_P) e^{\langle \Lambda, H+U_P \rangle}, $$

<footnote n="7">⁷On remarquera que, contrairement au cas des corps de nombres, les polynômes obtenus ne sont en général pas homogènes.</footnote>

<footnote n="8">⁸Notons que cette fonction ne dépend que de la $(Q, M)$-famille $(\mathbf{c}(\cdot, P))_{P \in \mathcal{F}^Q(M)}$ et de la famille $(Q, M)$-orthogonale $(X_P)_{P \in \mathcal{F}^Q(M)}$, déduites de $\mathbf{c}$ et de $\mathcal{X}$ par restriction.</footnote>
qui est encore égal à

$$ \sum_{\mathfrak{U} \in \mathcal{H}_{R,M}} m(\mathfrak{U}) \sum_{P \in \mathcal{P}^Q(M)} (-1)^{a(P,P')} \sum_{H \in \mathcal{A}_M^Q(Z+U_Q)} \phi_{P,P'}^Q (H - (X_P + U_P)) e^{\langle \Lambda, H \rangle}. $$

Donc, vu le lemme 1.6.1,

$$ c_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda) = \sum_{\mathfrak{U} \in \mathcal{H}_{R,M}} m(\mathfrak{U}) \sum_{H \in \mathcal{A}_M^Q(Z+U_Q)} \Gamma_M^Q(H, \mathcal{X} + \mathfrak{U}) e^{\langle \Lambda, H \rangle} $$

et on obtient la formule de l'énoncé grâce au lemme 1.6.6. On observe maintenant que pour $\Lambda \in \mu_M$, la fonction sur $\mathcal{H}_{R,M}$

$$ \mathfrak{U} \mapsto \gamma_{M,F}^{\mathcal{X}+\mathfrak{U}}(Z+U_Q; \Lambda) = \sum_{H \in \mathcal{A}_M^Q(Z+U_Q)} \Gamma_M^Q(H, \mathcal{X}+\mathfrak{U}) e^{\langle \Lambda, H \rangle} $$

est majorée par

$$ \mathfrak{U} \mapsto \sum_{H \in \mathcal{A}_M^Q(Z+U_Q)} |\Gamma_M^Q(H, \mathcal{X} + \mathfrak{U})|. $$

La fonction

$$ H \mapsto |\Gamma_M^Q(H, \mathcal{X} + \mathfrak{U})| \quad \text{pour} \quad H \in \mathcal{A}_M $$

ne prend qu'un nombre fini de valeurs entières, bornées indépendamment de $\mathfrak{U}$. Elle est à support compact inclus dans une boule de rayon majoré par un polynôme en $\mathfrak{U}$. Sa somme sur $H$ est donc bornée par un polynôme en $\mathfrak{U}$. Par ailleurs, $m$ est à décroissance rapide, ce qui prouve la convergence absolue, uniforme en $\Lambda$, de la série en $\mathfrak{U}$. L'expression $c_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda)$ est donc une fonction continue en $\Lambda$. Plus généralement, les dérivées en $\Lambda$ correspondent à des séries analogues, où l'opérateur différentiel sur $c$ se traduit en transformée de Fourier par la multiplication par un polynôme en $\mathfrak{U}$. On a encore la convergence uniforme des séries, vu la décroissance rapide de $m$, d'où la lissité de la fonction $\Lambda \mapsto c_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda)$. ■

**Lemme 1.6.9.** On reprend les hypothèses du lemme 1.6.7. La valeur en $\Lambda$ de la fonction $c_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda)$ peut s'écrire

$$ c_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda) = \sum_{P \in \mathcal{P}^Q(M)} \sum_{\nu} q_{P,\Lambda+\nu}(X_P^Q) e^{\langle \Lambda+\nu, X_P^Q \rangle}, $$

où les $\nu$ varient dans $\mathcal{A}_M^{Q,\nu}/\mathcal{D}_k^\nu$, et les $q_{P,\Lambda+\nu}$ sont des polynômes en $X_P^Q$ de degré inférieur ou égal à $d(\Lambda + \nu)$.

**Démonstration.** La preuve est analogue à celle du lemme 1.6.7 : les fonctions $f_P(t, \xi, \lambda)$ doivent être remplacées par les

$$ g_P(t, \xi, \Lambda + \nu) = f_P(t, \xi, \Lambda + \nu) c(\Lambda + t\xi, P). $$
Il convient ensuite d'observer que là aussi les singularités des $\epsilon_P^{Q,X_P}(Z; \Lambda)$ se compensent puisque la fonction

$$t \mapsto c_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda + t\xi)$$

est lisse d'après la proposition 1.6.8. Mais les degrés des polynômes peuvent s'abaisser là où les $c(\Lambda, P)$ ont des zéros. ■

Pour une $(G, M)$-famille $c$ (périodique ou non) et une famille $M$-orthogonale quelconque $\mathcal{X}$, on pose pour $\Lambda \in \hat{\alpha}_0$ en dehors des murs$^9$,

$$c_M^{Q,\mathcal{X}}(\Lambda) = \sum_{P \in \mathcal{P}^Q(M)} \epsilon_P^{Q,X_P}(\Lambda)c(\Lambda, P).$$

Cela définit une fonction lisse sur $\hat{\alpha}_0$ (les singularités des fonctions $\epsilon$ sur les murs sont compensées par des annulations dues aux propriétés des $(G, M)$-familles). Si $\mathcal{X}$ est la famille triviale, on écrit simplement

$$c_M^G(\Lambda) = c_M^{G,\mathcal{X}=0}(\Lambda).$$

Pour $\mathfrak{U} \in \mathfrak{S}_M$, on note $c(\mathfrak{U})$ la $(G, M)$-famille définie par

$$c(\mathfrak{U}; \Lambda, P) = e^{\langle \Lambda, U_P \rangle} c(\Lambda, P).$$

Pour $\Lambda \in \hat{\alpha}_0$ en dehors des murs, on pose

$$c_M^Q(\mathfrak{U}; \Lambda) = \sum_{P \in \mathcal{P}^Q(M)} \epsilon_P^Q(\Lambda)c(\mathfrak{U}; \Lambda, P).$$

On a$^{10}$

$$c_M^Q(\mathfrak{U}; \Lambda) = e^{\langle \Lambda, U_Q \rangle} c_M^Q(\mathfrak{U}^Q; \Lambda),$$

où $\mathfrak{U}^Q$ est la famille $M$-orthogonale ($U_P^Q$) dans $M_Q$. Plus généralement, pour $\mathcal{X}$ et $\mathfrak{U}$ deux familles $M$-orthogonales quelconques, on pose

$$c_M^{Q,\mathcal{X}}(\mathfrak{U}; \Lambda) \stackrel{\text{déf}}{=} \sum_{P \in \mathcal{P}^Q(M)} \epsilon_P^{Q,X_P}(\Lambda)c(\mathfrak{U}; \Lambda, P).$$

Observons que

$$c_M^{Q,\mathcal{X}}(\mathfrak{U}; \Lambda) = c_M^Q(\mathcal{X}^Q + \mathfrak{U}; \Lambda).$$

<footnote>$^9$Rappelons que la fonction $\epsilon_P^{Q,X_P}(\Lambda)$ dépend du choix d'une mesure de Haar sur $\alpha_P^Q = \alpha_M^Q$. On prend, bien sûr, la même mesure pour tous les $P \in \mathcal{P}^Q(M)$.</footnote>

<footnote>$^{10}$Notons que dans [34], c'est la $(G, M)$-famille $c(\mathfrak{U}^G)$ qui est notée « $c(\mathfrak{U})$ ».</footnote>
Si $\mathbf{c}$ est une $(G, M)$-famille périodique et $\mathfrak{U}$ une famille $M$-orthogonale rationnelle, la $(G, M)$-famille $\mathbf{c}(\mathfrak{U})$ est périodique si et seulement si la famille $\mathfrak{U}$ est entière. Auquel cas, si $\mathbf{c} = \mathbf{c}_m$ pour une fonction $m$ à décroissance rapide sur $\mathcal{H}_M$, alors $\mathbf{c}(\mathfrak{U}) = \mathbf{c}_{m'}$, où

$$m'(\mathfrak{W}) = m(\mathfrak{W} - \mathfrak{U}).$$

Pour $\mathfrak{U}$ entière<fnref n="11" /> et $\mathfrak{X}$ quelconque on pose

$$\mathbf{c}_{M,F}^{Q,\mathfrak{X}}(Z, \mathfrak{U}; \Lambda) = \sum_{P \in \mathcal{P}^Q(M)} \varepsilon_P^{Q,X_P}(Z; \Lambda) \mathbf{c}(\mathfrak{U}; \Lambda, P).$$

On a

$$\mathbf{c}_{M,F}^{Q,\mathfrak{X}}(Z, \mathfrak{U}; \Lambda) = \mathbf{c}_{M,F}^{Q,\mathfrak{X}+\mathfrak{U}}(Z + U_Q; \Lambda).$$

On pose aussi

$$\gamma_{M,F}^{Q,\mathfrak{X}}(Z, \mathfrak{U}; \Lambda) \stackrel{\text{déf}}{=} \gamma_{M,F}^{Q,\mathfrak{X}+\mathfrak{U}}(Z + U_Q; \Lambda) = \sum_{P \in \mathcal{P}^Q(M)} \varepsilon_P^{Q,X_P}(Z; \Lambda) e^{(\Lambda, U_P)}.$$

Si $\mathfrak{X} = \mathfrak{T}$ pour un $T \in \alpha_0$, on remplacera l'exposant $\mathfrak{T}$ par un simple $T$ dans les expressions ci-dessus. Avec cette convention on a le

**Corollaire 1.6.10.** Soit $\mathbf{c} = \mathbf{c}_m$ une $(G, M)$-famille périodique donnée par une fonction $m$ à décroissance rapide sur $\mathcal{H}_M$. Pour $T \in \alpha_0$ on a

$$\mathbf{c}_{M,F}^{Q,T}(Z; \Lambda) = \sum_{\mathfrak{U} \in \mathcal{H}_M} m(\mathfrak{U}) \gamma_{M,F}^{Q,T}(Z, \mathfrak{U}; \Lambda).$$

**Démonstration.** C'est un corollaire de la proposition 1.6.8. ■

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Soit $\mathfrak{S}_{Q,M}$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel formé des familles $M$-orthogonales dans $M_Q$, c'est-à-dire qu'on remplace les conditions sur $P \in \mathcal{P}(M)$ par des conditions sur $P \in \mathcal{P}^Q(M)$. Soit $\mathcal{H}_{Q,M} \subset \mathfrak{S}_{Q,M}$ le réseau formé des familles qui sont entières. L'application naturelle (qui n'est *a priori* pas surjective)

$$\mathfrak{S}_M = \mathfrak{S}_{G,M} \rightarrow \mathfrak{S}_{Q,M}$$

envoie $\mathcal{H}_M = \mathcal{H}_{G,M}$ dans $\mathcal{H}_{Q,M}$. Elle donne, par dualité, une application

$$\hat{\mathfrak{S}}_{Q,M} \rightarrow \hat{\mathfrak{S}}_M,$$

qui se factorise en une application

$$\hat{\mathcal{H}}_{Q,M} \rightarrow \hat{\mathcal{H}}_M.$$

<footnote n="11">¹¹On observera que la famille $\mathfrak{U}^Q$ est *a priori* seulement rationnelle.</footnote>
Toute fonction lisse $h$ sur $\hat{\mathfrak{S}}_M = i\mathfrak{S}_M^*$ définit donc par composition une fonction lisse $h_Q$ sur $\hat{\mathfrak{S}}_{Q,M} = i\mathfrak{S}_{Q,M}^*$, et si $h$ est périodique, alors $h_Q$ l'est aussi. Dans ce cas, $h = \hat{m}$ pour une (unique) fonction à décroissance rapide $m$ sur le réseau $\mathcal{H}_M$, et on note $m_Q$ la fonction à décroissance rapide sur le réseau $\mathcal{H}_{Q,M}$ définie par $\hat{m}_Q = h_Q$. Cette fonction vaut 0 en dehors de l'image de l'application $\mathcal{H}_{G,M} \to \mathcal{H}_{Q,M}$, et pour $\mathfrak{U}$ dans cette image on a

$$m_Q(\mathfrak{U}) = \sum_{\mathfrak{V} \in \mathcal{H}_{Q,M}^G} m(\mathfrak{V}),$$

où $\mathcal{H}_{Q,M}^G(\mathfrak{U}) \subset \mathcal{H}_{G,M}$ est la fibre au-dessus de $\mathfrak{U}$.

**Corollaire 1.6.11.** Soit $c = c_m$ une $(G, M)$-famille périodique donnée par une fonction $m$ à décroissance rapide sur $\mathcal{H}_{G,M}$. Pour $T \in \mathcal{A}_0$ on a

$$c_{M,F}^{Q,T}(Z; \Lambda) = \sum_{\mathfrak{U} \in \mathcal{H}_{Q,M}} m_Q(\mathfrak{U}) \gamma_{M,F}^{Q,T}(Z, \mathfrak{U}; \Lambda)$$

où

$$\gamma_{M,F}^{Q,T}(Z, \mathfrak{U}; \Lambda) = \gamma_{M,F}^{Q, \mathfrak{U}(T)}(Z + U_Q; \Lambda).$$

**Démonstration.** C'est encore un corollaire de la proposition 1.6.8. ■

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Par inversion de Fourier, ceci se reformule comme suit :

**Lemme 1.6.12.** Soit $\mathcal{X}$ une famille $(Q, M)$-orthogonale, et soit $c$ une $(Q, M)$-famille périodique donnée par une fonction à décroissance rapide $m$ sur $\mathcal{H}_{Q,M}$. Pour $Z \in \mathcal{A}_Q$ et $V \in \mathcal{A}_M$ on pose

$$\hat{c}_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; V) = \int_{\mu_M} c_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; \Lambda) e^{-(\Lambda,V)} d\Lambda.$$

On a alors

$$\hat{c}_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; V) = \sum_{\substack{\mathfrak{U} \in \mathcal{H}_{Q,M} \\ Z+U_Q=V_Q}} m(\mathfrak{U}) \Gamma_M^Q(V, \mathcal{X} + \mathfrak{U}).$$

**Démonstration.** On sait d'après la proposition 1.6.8 que

$$c_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; V) = \sum_{\mathfrak{U} \in \mathcal{H}_{Q,M}} m(\mathfrak{U}) \gamma_{M,F}^{Q,\mathcal{X}+\mathfrak{U}}(Z + U_Q; V),$$

donc

$$\hat{c}_{M,F}^{Q,\mathcal{X}}(Z; V) = \sum_{\mathfrak{U} \in \mathcal{H}_{Q,M}} m(\mathfrak{U}) \hat{\gamma}_{M,F}^{Q,\mathcal{X}+\mathfrak{U}}(Z + U_Q; V),$$
et on observe que

$$ \hat{\gamma}_{M,F}^{Q,x+u}(Z+U_Q; V) = \begin{cases} \Gamma_M^Q(V, x+u) & \text{si } Z+U_Q = V_Q, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases} \quad \blacksquare $$

## 1.7 L'ensemble PolExp

Nous avons besoin de deux lemmes élémentaires. Faute de référence nous en donnons une preuve.

**Lemme 1.7.1.** On considère, pour $k = 1, \dots, m$, des nombres complexes $a_k$ et des nombres complexes $b_k$ deux à deux distincts, de module 1. On suppose que

$$ (1.1) \qquad \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{m} a_k b_k^n = 0. $$

Alors les $a_k$ sont tous nuls.

*Démonstration.* On le démontre par récurrence sur $m$. Si $m = 1$, c'est évident. Supposons-le vrai pour $m-1$. En posant $d_k = b_k/b_m$ et $c_k = a_k(1-d_k)$, la condition (1.1) implique

$$ \lim_{n \to +\infty} \left( \sum_{k=1}^{m-1} a_k d_k^n - \sum_{k=1}^{m-1} a_k d_k^{n+1} \right) = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{m-1} c_k d_k^n = 0. $$

Les $b_k$ sont tous différents donc les $d_k$ sont tous différents. L'hypothèse de récurrence impose $c_k = 0$ pour $1 \le k \le m-1$. Comme $1-d_k \ne 0$, les $a_k$ sont nuls pour $1 \le k \le m-1$; ceci implique $a_m = 0$. ■

Soit $\alpha$ un espace vectoriel réel de dimension finie, et soit $\mathcal{R}$ un réseau de $\alpha$. On considère pour $T \in \mathcal{R}$ une combinaison linéaire de produits de polynômes et d'exponentielles

$$ \phi(T) = \sum_{v \in E} p_v(T) e^{\langle v, T \rangle}, $$

où $E$ est un sous-ensemble fini de $\hat{\mathcal{R}} = \hat{\mathcal{A}}/\mathcal{R}^\vee$ et les $p_v$ sont des polynômes sur $\alpha$.

**Lemme 1.7.2.** Soit $C$ un cône ouvert non vide de $\alpha$, et soit $T_* \in \mathcal{R}$. On suppose que $\phi(T)$ tend vers 0 lorsque $\|T\|$ tend vers l'infini pour $T$ dans $T_* + (C \cap \mathcal{R})$. Alors $p_v = 0$ pour tout $v$.

*Démonstration.* La preuve se fait par récurrence sur la dimension de $\alpha$. Le cas de la dimension zéro est fourni par le lemme 1.7.1. Le réseau $\mathcal{R}$ peut être décomposé en
une somme directe $\mathbb{R} = \mathbb{Z}v \oplus \mathbb{R}_1$ avec $v \in C \cap \mathbb{R}$ primitif (c'est-à-dire que $v = nv_1$ avec $v_1 \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{Z}$ implique $n = \pm 1$). Considérons $T = nv + T_1 \in \mathbb{R}$ avec $n \in \mathbb{N}$ et $T_1 \in \mathbb{R}_1$. On peut écrire $\phi(nv + T_1)$ sous la forme

$$ \phi(nv + T_1) = \sum_{\mu \in E(v)} q_{\mu}(n, T_1) b_{\mu}^{n}, $$

où les $b_{\mu} = e^{\langle \mu, v \rangle}$ sont des nombres complexes de module 1, deux à deux distincts et $E(v)$ est le quotient de $E$ défini par la restriction à $\mathbb{Z}v$. Les fonctions $q_{\mu}$ sont de la forme

$$ q_{\mu}(n, T_1) = \sum_{s=0}^{d_{\mu}} \sum_{\tau \in E_{\mu}} r_{s, \tau}(T_1) e^{\langle \tau, T_1 \rangle} n^s, $$

où les $s$ sont entiers, les $r_{s,\tau}$ sont des polynômes sur $\alpha_1$, l'espace vectoriel engendré par $\mathbb{R}_1$, et $E_{\mu}$ est un sous-ensemble fini de $\hat{\mathbb{R}}_1 = \hat{\alpha}_1/\mathbb{R}_1^{\vee}$. Soit $d$ le degré maximal des polynômes $q_{\mu}$ en $n$, et soit $a_{\mu}(T_1)$ le coefficient de $n^d$ dans $q_{\mu}$ :

$$ a_{\mu}(T_1) \stackrel{\text{déf}}{=} \sum_{\tau \in E_{\mu}} r_{d, \tau}(T_1) e^{\langle \tau, T_1 \rangle}, $$

où, par convention, $r_{d,\tau}(T_1) = 0$, si $d > d_{\mu}$. On a

$$ (1.2) \qquad \lim_{n \to +\infty} \left( n^{-d} \phi(nv + T_1) - \sum_{\mu} a_{\mu}(T_1) b_{\mu}^{n} \right) = 0. $$

On observe que pour $T_1$ fixé et $n$ assez grand on a

$$ nv + T_1 \in T_* + (C \cap \mathbb{R}). $$

Par hypothèse

$$ (1.3) \qquad \lim_{n \to +\infty} \phi(nv + T_1) = 0. $$

On déduit de (1.2) et (1.3) que

$$ \lim_{n \to +\infty} \sum_{\mu} a_{\mu}(T_1) b_{\mu}^{n} = 0. $$

D'après le lemme 1.7.1, les $a_{\mu}(T_1)$ sont tous nul. Par récurrence descendante sur le degré, on obtient que, pour tout entier $s$ et tout $T_1 \in \mathbb{R}_1$,

$$ \sum_{\tau \in E_{\mu}} r_{s, \tau}(T_1) e^{\langle \tau, T_1 \rangle} = 0. $$

Par hypothèse de récurrence sur la dimension de $\alpha$, cela implique que les $r_{s,\tau}$ sont nuls. On en déduit que les $p_{\nu}$ le sont également. ■
Nous introduisons maintenant, comme dans [34, section 1.7], l'ensemble PolExp :

**Définition 1.7.3.** On note PolExp l'espace vectoriel des fonctions $\phi : \alpha_{0,\mathbb{Q}} \to \mathbb{C}$ telles que, pour tout réseau $\mathcal{R}$ de $\alpha_{0,\mathbb{Q}}$, il existe une famille indexée par les $\nu \in \hat{\mathcal{R}}$ de polynômes sur $\alpha_0$

$$T \mapsto p_{\mathcal{R},\nu}(\phi, T),$$

avec les propriétés suivantes :

* les $\nu \in \hat{\mathcal{R}}$ tels que $p_{\mathcal{R},\nu} \neq 0$, sont en nombre fini;

* pour $T \in \mathcal{R}$, on a l'égalité $\phi(T) = \sum_{\nu \in \hat{\mathcal{R}}} p_{\mathcal{R},\nu}(\phi, T) e^{\langle \nu, T \rangle}$.

D'après le lemme 1.7.2, les $p_{\mathcal{R},\nu}$ sont uniquement déterminés par une approximation de $\phi_{\mathcal{R}} = \phi|_{\mathcal{R}}$ sur l'intersection de $\mathcal{R}$ et d'un cône ouvert non vide de $\alpha_0$. Observons que si $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}'$ sont deux réseaux de $\alpha_{0,\mathbb{Q}}$ tels que $\mathcal{R} \subset \mathcal{R}'$, pour $\nu \in \hat{\mathcal{R}}$ on a

$$p_{\mathcal{R},\nu}(\phi, T) = \sum_{\nu' \in \mathcal{R}^{\vee} / \mathcal{R}'^{\vee}} p_{\mathcal{R}',\nu+\nu'}(\phi, T).$$

La famille $(p_{\mathcal{R},\nu})_{\nu \in \hat{\mathcal{R}}}$ se déduit donc de la famille $(p_{\mathcal{R}',\nu'})_{\nu' \in \hat{\mathcal{R}}'}$.

**Proposition 1.7.4.** Soient $c$ une $(Q, M)$-famille périodique à valeurs scalaires, $\mathcal{X}$ une famille $M$-orthogonale rationnelle, $Z \in \mathcal{A}_Q$ et $\Lambda \in \hat{\alpha}_M$. On note $\mu$ l'image de $\Lambda^Q$ dans $\mu_M^Q = \mu_M / \mu_Q$. Soit $\mathcal{R}$ un réseau de $\alpha_{0,\mathbb{Q}}$, et pour $k \in \mathbb{N}^*$ soit $\mathcal{R}_k = k^{-1}\mathcal{R}$. Alors,

(i) la fonction $T \mapsto \phi(T) = c_{M,F}^{Q,\mathcal{X}(T)}(Z; \Lambda)$ appartient à PolExp;

(ii) si $\mu \neq 0$, il existe un entier $k_0 \geq 1$, ne dépendant que de $\mathcal{R}$, tel que $p_{\mathcal{R}_k,0}(\phi, T) = 0$ pour tout entier $k \geq k_0$;

(iii) si $\mu = 0$, i.e. $\Lambda \in \Lambda_Q + \Lambda_M^\vee$, alors

$$\lim_{k \to +\infty} p_{\mathcal{R}_k,0}(\phi, T) = \text{vol}(\Lambda_M^Q \setminus \alpha_M^Q)^{-1} e^{\langle \Lambda_Q, Z \rangle} c_M^Q(\mathcal{X}(T)^Q; \Lambda_Q)$$

et, en particulier, cette limite est indépendante de $\mathcal{R}$. Plus précisément, il existe un réel $b > 0$ ne dépendant que de $\mathcal{R}$, $\mathcal{X}$ et $T$, tel que pour tout entier $k \geq 1$, on ait la majoration

$$|p_{\mathcal{R}_k,0}(\phi, T) - \text{vol}(\Lambda_M^Q \setminus \alpha_M^Q)^{-1} e^{\langle \Lambda_Q, Z \rangle} c_M^Q(\mathcal{X}(T)^Q; \Lambda_Q)| \leq b N_d(c) k^{-1},$$

où $d$ est la dimension de $\alpha_M^Q$ et $N_d$ est la norme pour les $(G, M)$-familles périodiques introduite dans la définition 1.5.2.

**Démonstration.** L'assertion (i) est une conséquence immédiate du lemme 1.6.9. Relevons $Z$ en un élément $Z'$ de $\mathcal{A}_M$ et choisissons un entier $k'$ tel que, pour tout $P \in \mathcal{P}^Q(M)$, le réseau $\mathcal{D}_{k'}$ de $\alpha_M^Q$ contienne $\mathcal{A}_M^Q$ et $(X_P - Z')^Q$. Pour $P \in \mathcal{P}^Q(M)$,
notons $[\mathbb{R}]_P^Q$ le réseau de $\alpha_M^Q$ image de $\mathbb{R}$ par l'application $T \mapsto [T]_P^Q = ([T]_P)^Q$.
On suppose $k$ assez grand de sorte que pour tout $P \in \mathcal{P}^Q(M)$ on ait

$$[\mathbb{R}_k]_P^{Q, \vee} \subset \mathcal{D}_{k'}^{\vee} \subset \mathcal{A}_M^{Q, \vee}.$$

Avec les notations du lemme 1.6.9 on sait que

$$p_{\mathbb{R}_k, 0}(\phi; T) = \sum_{P \in \mathcal{P}^Q(M)} \sum_{\nu \in E_P} q_{P, \Lambda+\nu}([T]_P^Q),$$

où

$$E_P = \{\nu \in \mathcal{A}_M^{Q, \vee} / [\mathbb{R}_k]_P^{Q, \vee} \mid \Lambda^Q + \nu = 0\}.$$

On voit que $E_P$ possède un unique élément si $\Lambda^Q \in \mathcal{A}_M^{Q, \vee}$ c'est-à-dire si $\mu = 0$ et est vide sinon; (ii) en résulte. Lorsque $\mu = 0$ on va esquisser une démonstration de (iii), différente de celle de [34, section 1.7, lemme (ii)]. Pour alléger les notations on commence par traiter le cas $\Lambda^Q = 0$. D'après la proposition 1.6.8 on a

$$\phi(T) = \sum_{\mathfrak{u} \in \mathcal{H}_M} m(\mathfrak{u}) \gamma_{M,F}^{Q, \mathfrak{x}(T)}(Z, \mathfrak{u}; \Lambda)$$

avec $m$ à décroissance rapide sur le réseau $\mathcal{H}_M$ et

$$\gamma_{M,F}^{Q, \mathfrak{x}(T)}(Z, \mathfrak{u}; \Lambda) = \gamma_{M,F}^{Q, (\mathfrak{x}+\mathfrak{u})(T)}(Z + U_Q; \Lambda).$$

Fixons $\mathfrak{u} \in \mathcal{H}_M$ et posons $\mathfrak{v} = \mathfrak{x} + \mathfrak{u}$. On rappelle que

$$\gamma_{M,F}^{Q, \mathfrak{v}(T)}(Z + U_Q; \Lambda) = \sum_{H \in \mathcal{A}_M^Q(Z+U_Q)} \Gamma_M^Q(H, \mathfrak{v}(T)) e^{(\Lambda, H)}.$$

Relevons $U_Q$ en un élément $U'_Q$ de $\mathcal{A}_M$, et posons $Z'' = Z' + U'_Q$. On obtient

$$\gamma_{M,F}^{Q, \mathfrak{v}(T)}(Z + U_Q; \Lambda) = e^{(\Lambda, Z'')} \sum_{H \in \mathcal{A}_M^Q} \Gamma_M^Q(Z'' + H, \mathfrak{v}(T)) e^{(\Lambda, H)}.$$

Notons $\mathbb{R}_M^Q$ l'image de $\mathbb{R}$ par l'application $H \mapsto H_M^Q$. On suppose $\mathbb{R}$ assez fin de sorte que $\mathbb{R}_M^Q$ contienne $\mathcal{A}_M^Q$ ainsi que l'image $(Z'')^Q$ de $Z''$ dans $\alpha_M^Q$. Par inversion de Fourier sur le groupe fini $\mathcal{A}_M^Q \setminus \mathbb{R}_M^Q$, on a

$$\gamma_{M,F}^{Q, \mathfrak{v}(T)}(Z + U_Q; \Lambda) = \frac{e^{(\Lambda, Z'')}}{[\mathbb{R}_M^Q : \mathcal{A}_M^Q]} \sum_{\nu \in \mathcal{A}_M^{Q, \vee} / \mathbb{R}_M^{Q, \vee}} \sum_{H \in \mathbb{R}_M^Q} \Gamma_M^Q(Z'' + H, \mathfrak{v}(T)) e^{(\Lambda + \nu, H)}.$$

Le polynôme en $T$ attaché à $\Lambda = \nu = 0$, que nous noterons $p_{\mathbb{R},0}(\mathfrak{v}, T)$, vaut

$$p_{\mathbb{R},0}(\mathfrak{v}, T) = \frac{1}{[\mathbb{R}_M^Q : \mathcal{A}_M^Q]} \sum_{H \in \mathbb{R}_M^Q} \Gamma_M^Q(Z'' + H, \mathfrak{v}(T)).$$
La restriction à $\alpha_M^Q$ de la fonction

$$H \mapsto \Gamma_M^Q(Z'' + H, \mathfrak{W}(T))$$

est, d'après [25, lemmes 1.8.4 (2) et 1.8.3], combinaison linéaire à coefficients dans $\{-1, +1\}$ d'une famille finie de fonctions caractéristiques de polytopes du type $C(P, Q, R, X)$ qui sont convexes, et bornés (mais en général non fermés); en particulier elle est à support compact de rayon borné par un polynôme en $\mathfrak{W}(T)$. Lorsque l'on remplace $\mathbb{R}$ par $\mathbb{R}_k = k^{-1}\mathbb{R}$ et que l'on fait tendre $k$ vers l'infini, $p_{\mathbb{R}_k,0}(\mathfrak{W}, T)$ a pour limite une intégrale au sens de Riemann :

$$\lim_{k \to \infty} p_{\mathbb{R}_k, 0}(\mathfrak{W}, T) = \text{vol}(A_M^Q \setminus \alpha_M^Q)^{-1} \int_{H \in \alpha_M^Q} \Gamma_M^Q(H, \mathfrak{W}(T)) \, dH,$$

soit encore

$$\lim_{k \to \infty} p_{\mathbb{R}_k, 0}(\mathfrak{W}, T) = \text{vol}(A_M^Q \setminus \alpha_M^Q)^{-1} \gamma_M^Q(\mathfrak{W}(T); 0).$$

Le terme d'erreur est majoré par le volume des hypercubes (les mailles du réseau $k^{-1}\mathbb{R}_M^Q$) rencontrant la frontière des polytopes; ces hypercubes sont inclus dans un voisinage tubulaire de la frontière des polytopes, de rayon $a/k$ où $a$ est une constante ne dépendant que de la taille des mailles de $\mathbb{R}$. Le voisinage tubulaire a un volume borné par le produit de $a/k$ et de $r(\mathbb{R}, \mathfrak{W}(T))$ qui est la somme des mesures des frontières des polytopes. Donc

$$|p_{\mathbb{R}_k,0}(\mathfrak{W}, T) - \text{vol}(A_M^Q \setminus \alpha_M^Q)^{-1} \gamma_M^Q(\mathfrak{W}(T); 0)| \le \frac{a}{k} r(\mathbb{R}, \mathfrak{W}(T)).$$

On passe de $\gamma_{M,F}^{Q,\mathfrak{X}}$ à $c_{M,F}^{Q,\mathfrak{X}}$ en sommant sur $\mathfrak{U}$ cette inégalité contre $m(\mathfrak{U})$, d'où :

$$|p_{\mathbb{R}_k,0}(\phi, T) - \text{vol}(A_M^Q \setminus \alpha_M^Q)^{-1} c_M^Q(\mathfrak{X}(T))^Q; 0| \le \frac{a}{k} \sum_{\mathfrak{U} \in \mathcal{H}_M} r(\mathbb{R}, \mathfrak{U} + \mathfrak{X}(T)) |m(\mathfrak{U})|.$$

Comme $r(\mathbb{R}, \mathfrak{W}(T))$ est majoré par un polynôme en $\mathfrak{W}(T)$ on voit (avec les notations de la définition 1.5.2) qu'il existe un entier $d$ et une fonction $b(\mathbb{R}, \mathfrak{X}(T))$ telle que

$$\sum_{\mathfrak{U} \in \mathcal{H}_M} r(\mathbb{R}, \mathfrak{U} + \mathfrak{X}(T)) |m(\mathfrak{U})| \le b(\mathbb{R}, \mathfrak{X}(T)) n_d(m).$$

En prenant l'infimum sur les $m$, on obtient l'assertion souhaitée lorsque $\Lambda_Q = 0$. Maintenant on observe que

$$c_{M,F}^{Q,\mathfrak{X}(T)}(Z; \Lambda_Q) = e^{(\Lambda_Q, Z)} d_{M,F}^{Q,\mathfrak{X}(T)}(Z; 0),$$

où $d$ est la $(Q, M)$-famille périodique déduite de $c$ par translation par $\Lambda_Q$. Le cas général en résulte. ■
L'expression

$$
\mathrm{vol}(A_M^Q \setminus \alpha_M^Q)^{-1} e^{\langle \Lambda_Q, Z \rangle} c_M^{Q,T_1}(\chi^Q; \Lambda)
$$

est indépendante du choix de la mesure de Haar sur α_M^Q. Dans les applications que
nous avons en vue, la normalisation naturelle semble être la suivante : pour chaque
M ∈ ℒ, on munit α_M de la mesure de Haar, telle que

$$
\mathrm{vol}(\mathcal{B}_M \setminus \alpha_M) = 1
$$

et pour $Q \in \mathcal{F}(M)$, on munit $\alpha_M^Q$ de la mesure de Haar compatible avec les mesures
sur $\alpha_M$ et sur $\alpha_Q = \alpha_{M_Q}$ et avec la décomposition $\alpha_M = \alpha_Q \oplus \alpha_M^Q$. Alors on a

$$
\mathrm{vol}(\mathcal{B}_M^Q \setminus \alpha_M^Q) = 1, \quad \text{et} \quad \mathrm{vol}(A_M^Q \setminus \alpha_M^Q) = |c_M|^{-1} |c_Q|.
$$
# Chapitre 2

## Espaces tordus

Tous les résultats de [25, chapitre 2] sont vrais ici, à l'exception de 2.6 et 2.10.

Dans le chapitre précédent, on a décrit la version « corps de fonctions » des résultats de [25, chapitre 1] sur les transformées de Laplace des fonctions caractéristiques de cônes et sur les $(G, M)$-familles. L'adaptation au cas tordu étant immédiate, nous serons très succincts.

### 2.1 Hypothèses

Soit $(\tilde{G}, G)$ un $G$-espace tordu. On rappelle que $\tilde{G}$ est une variété algébrique affine, munie d'une action algébrique de $G$ à gauche, qui en fait un $G$-espace principal homogène, et d'une application

$$ \tilde{G} \to \operatorname{Aut}(G), \delta \mapsto \operatorname{Int}_{\delta}, \quad \text{telle que} \quad \operatorname{Int}_{g\delta} = \operatorname{Int}_{g} \circ \operatorname{Int}_{\delta} $$

pour tout $g \in G$ et tout $\delta \in \tilde{G}$. On en déduit une action à droite de $G$ sur $\tilde{G}$, donnée par

$$ \delta g = \operatorname{Int}_{\delta}(g)\delta. $$

On suppose que $\tilde{G}$ est défini sur $F$, c'est-à-dire que les actions à gauche et à droite de $G$ sur $\tilde{G}$ sont définies sur $F$, et que $\tilde{G}(F)$ est non vide. L'ensemble $\tilde{G}(A)$ des points adéliques de $\tilde{G}$ est un espace tordu sous $G(A)$, et on a

$$ \tilde{G}(A) = G(A)\tilde{G}(F) = \tilde{G}(F)G(A). $$

On notera souvent $\theta$ l'automorphisme de $G$ défini par $\operatorname{Int}_{\delta}$ pour un $\delta \in \tilde{G}(F)$. On observe que l'automorphisme induit par $\theta$ sur $\alpha_G$ ne dépend que de $\tilde{G}$. On pose

$$ \alpha_{\tilde{G}} = \alpha_G^{\theta}, \quad \text{et} \quad \alpha_{\tilde{G}} = \dim \alpha_{\tilde{G}}. $$

On suppose, comme en [25, section 2.5]<fnref n="1" />, que l'application naturelle

$$ \alpha_G^{\theta} \to \alpha_G/(1-\theta)\alpha_G $$

<footnote n="1">¹Dans [34], l'hypothèse est un peu plus forte que celle de [25, section 2.5] : le $F$-automorphisme $\theta$ de $Z_G$ est supposé d'ordre fini, ce qui assure l'existence d'un $F$-groupe algébrique affine $G^+$ de composante neutre $G$, tel que $\tilde{G}$ soit une composante connexe de $G^+$.</footnote>
est un isomorphisme. Dans ce cas on a une décomposition en somme directe

$$a_G = a_{\tilde{G}} \oplus a_{\tilde{G}}^{\tilde{G}}, \quad \text{en posant} \quad a_{\tilde{G}} = (1 - \theta)a_G.$$

On observe que

$$\det(\theta - 1|a_{\tilde{G}}^{\tilde{G}}) \neq 0.$$

Notons $X$ le $\mathbb{Z}$-module libre des caractères du tore $A_G$. Soit $X_\theta$ le groupe des co-invariants sous $\theta$ dans $X$, et $\tilde{X}$ le $\mathbb{Z}$-module libre quotient de $X_\theta$ par son sous-groupe de torsion. On notera $A_{\tilde{G}}$ le tore déployé dont le groupe des caractères est $\tilde{X}$. C'est aussi le tore déployé dont le groupe des co-caractères est le sous-groupe $Y^\theta$ des invariants sous $\theta$ du groupe $Y$ des co-caractères de $A_G$. Le morphisme $X \to \tilde{X}$ induit un homomorphisme $A_{\tilde{G}} \to A_G$ qui identifie $A_{\tilde{G}}$ à la composante neutre du sous-groupe $A_G^\theta$ de $A_G$, formé des points fixes sous $\theta$. En particulier, $A_{\tilde{G}}(\mathbb{A})$ est un sous-groupe d'indice fini de $A_G(\mathbb{A})^\theta = A_G^\theta(\mathbb{A})$. Soit

$$\mathbf{H}_{\tilde{G}} : G(\mathbb{A}) \to a_{\tilde{G}}$$

l'application composée de $\mathbf{H}_G : G(\mathbb{A}) \to a_G$ et de la projection sur $a_{\tilde{G}}$. On note $A_{\tilde{G}}$ l'image de $\mathbf{H}_{\tilde{G}}$, c'est-à-dire l'image de $A_G$ par la projection orthogonale par rapport à $a_{\tilde{G}}$. C'est un réseau de $a_{\tilde{G}}$. Comme dans le cas non tordu, on a un morphisme naturel injectif $A_{A_{\tilde{G}}} \to A_{\tilde{G}}$. On note $\mathcal{B}_{\tilde{G}} (= \mathbf{H}_{\tilde{G}}(A_{\tilde{G}}(\mathbb{A})))$ son image, qui est un sous-groupe d'indice fini de $A_{\tilde{G}}$, et on pose

$$\mathcal{C}_{\tilde{G}} \stackrel{\text{déf}}{=} \mathcal{B}_{\tilde{G}} \setminus A_{\tilde{G}}.$$

Notons que d'après ce qui précède, $\mathcal{B}_{\tilde{G}}$ coïncide avec le sous-groupe $\mathcal{B}_G^\theta$ de $\mathcal{B}_G$, formé des points fixes sous $\theta$: on a

$$\mathcal{B}_{\tilde{G}} = \mathcal{B}_G^\theta = \mathcal{B}_G \cap a_{\tilde{G}}.$$

On pose

$$\mathcal{B}_G^{\tilde{G}} = \mathcal{B}_{\tilde{G}} \setminus \mathcal{B}_G \quad \text{et} \quad \mathcal{C}_G^{\tilde{G}} = \mathcal{B}_{\tilde{G}} \setminus A_G.$$

On observe que $\mathcal{B}_G^{\tilde{G}}$ est un réseau de $a_{\tilde{G}}^{\tilde{G}}$, et que $\mathcal{C}_G^{\tilde{G}}$ est un $\mathbb{Z}$-module de type fini qui s'insère dans la suite exacte courte

$$0 \to \mathcal{B}_G^{\tilde{G}} \to \mathcal{C}_G^{\tilde{G}} \to \mathcal{C}_G \to 0.$$

On suppose, ce qui est loisible, que la paire parabolique définie sur $F$ minimale $(P_0, A_0)$ de $G$ a été choisie de telle sorte qu'elle soit stable par $\text{Int}_{\delta_0}$ pour un élément $\delta_0 \in \tilde{G}(F)$, déterminé de manière unique modulo $M_0(F)$. On fixe un tel $\delta_0$, et on pose $\theta_0 = \text{Int}_{\delta_0}$, $\tilde{P}_0 = \delta_0 P_0$ et $\tilde{M}_0 = \delta_0 M_0$. Alors le $F$-automorphisme $\theta_0$ de $G$ induit par fonctorialité un automorphisme de $a_0$, que l'on note encore $\theta_0$. Puisque
le $F$-automorphisme $\theta_0$ préserve $A_0$ et $P_0$, il induit une permutation de l'ensemble fini $\Delta_0$ et donc un automorphisme d'ordre fini de $\alpha_0^G$.

On renvoie à [25, sections 2.7, 2.8] pour la définition des sous-ensembles (ou sous-espaces) paraboliques et sous-ensembles de Levi et l'adaptation des autres no- tions. En particulier, un sous-groupe parabolique standard $P$ dont le normalisateur dans $\tilde{G}$ est non vide est $\theta_0$ stable et l'ensemble $\tilde{P} = P\delta_0$ est un sous-espace parabo- lique standard.

L'extension au cas tordu de la notion de famille orthogonale, de $(G, M)$-famille et de la combinatoire des fonctions $\tau, \hat{\tau}, \phi$ et $\Gamma$, est immédiate (cf. [25, section 2.9]). On dispose de plus ici de la notion de famille $\tilde{M}$-orthogonale entière et de $(\tilde{G}, \tilde{M})$-famille périodique. Toute famille $M$-orthogonale $\mathcal{X} = (X_P)$ définit par projection une famille $\tilde{M}$-orthogonale $(X_{\tilde{P}})$, et si $\mathcal{X}$ est entière alors $(X_{\tilde{P}})$ l'est aussi. En particulier, tout élément $T \in \alpha_0$ définit une famille $\tilde{M}$-orthogonale $([T]_{\tilde{P}})$. Toutes les relations de [25, section 1.7, 1.8] et de [34, section 1.3] sont valables pour ces nouvelles fonctions. Par exemple, si $\mathcal{X} = (X_{\tilde{P}})$ est une famille $\tilde{M}$-orthogonale, pour $\Lambda \in \alpha_{0,\mathcal{C}}^*$, on pose

$$ \gamma_{\tilde{M},F}^{\tilde{\mathcal{Q}},\mathcal{X}}(Z; \Lambda) = \sum_{H \in \Lambda} \Gamma_{\tilde{M}}^{\tilde{\mathcal{Q}}}(H, \mathcal{X}) e^{(\Lambda, H)}. $$

Comme dans le cas non tordu, $\Lambda \mapsto \gamma_{\tilde{M},F}^{\tilde{\mathcal{Q}},\mathcal{X}}(Z; \Lambda)$ est une fonction entière de $\Lambda \in \alpha_{0,\mathcal{C}}^*$, et on a la décomposition pour $\Lambda$ en dehors des murs

$$ \gamma_{\tilde{M},F}^{\tilde{\mathcal{Q}},\mathcal{X}}(Z; \Lambda) = \sum_{\tilde{P} \in \mathcal{P}\tilde{\mathcal{Q}}(\tilde{M})} \varepsilon_{\tilde{P}}^{\tilde{\mathcal{Q}},\mathcal{X}}(Z; \Lambda). $$

Pour une $(\tilde{G}, \tilde{M})$-famille $c = (c(\cdot, \tilde{P}))$, comme en section 1.6 et modulo le choix d'une mesure de Haar sur l'espace $\alpha_{\tilde{M}}^{\tilde{\mathcal{Q}}}$, on définit pour $\Lambda \in \hat{\alpha}_0$ en dehors des murs,

$$ c_{\tilde{M}}^{\tilde{\mathcal{Q}}}(\Lambda) = \sum_{\tilde{P} \in \mathcal{P}\tilde{\mathcal{Q}}(\tilde{M})} \varepsilon_{\tilde{P}}^{\tilde{\mathcal{Q}},\mathcal{X}}(\Lambda)c(\Lambda, \tilde{P}). $$

De même, si $Z \in \mathcal{A}_{\tilde{\mathcal{Q}}}$ et $\mathcal{X} = (X_{\tilde{P}})$ est une famille $\tilde{M}$-orthogonale, on pose

$$ c_{\tilde{M},F}^{\tilde{\mathcal{Q}},\mathcal{X}}(Z; \Lambda) = \sum_{\tilde{P} \in \mathcal{P}\tilde{\mathcal{Q}}(\tilde{M})} \varepsilon_{\tilde{P}}^{\tilde{\mathcal{Q}},\mathcal{X}}(Z; \Lambda)c(\Lambda, \tilde{P}). $$

Ces fonctions vérifient les mêmes propriétés que dans le cas non tordu. En particulier, toute $(\tilde{G}, \tilde{M})$-famille périodique $c$ s'écrit $c = c_m$, pour une fonction à décroissance rapide $m$ sur le réseau $\mathcal{H}_{\tilde{M}}$ des familles $\tilde{M}$-orthogonales qui sont entières. On a une formule d'inversion de Fourier analogue de celle de la proposition 1.6.8 dans le cas
tordu, et la fonction $\Lambda \mapsto c_{\tilde{M},F}^{\tilde{Q},\mathcal{X}}(Z; \Lambda)$ sur $\hat{a}_0$ est lisse et invariante par $A_{\tilde{M}}^{\vee}$. On a aussi une variante de cette formule d'inversion de Fourier, lorsque $c$ se prolonge en une $(G, M)$-famille périodique :

**Lemme 2.1.1.** Soient $\tilde{M} \in \tilde{\mathcal{L}}$, $\tilde{Q} \in \mathcal{F}(\tilde{M})$ et $Z \in A_{\tilde{Q}}$. Soit $\mathcal{X}$ une famille $\tilde{M}$-orthogonale, et soit $c = (c(\cdot, \tilde{P}))$ une $(\tilde{G}, \tilde{M})$-famille périodique. Supposons que $c$ se prolonge en une $(G, M)$-famille périodique $(c(\cdot, P))$, et soit $m$ une fonction à décroissance rapide sur $\mathcal{H}_M$ telle que $c = c_m$. Alors

$$c_{\tilde{M},F}^{\tilde{Q},\mathcal{X}}(Z; \Lambda) = \sum_{U \in \mathcal{H}_M} m(U) \gamma_{\tilde{M},F}^{\tilde{Q},\mathcal{X}}(Z, U; \Lambda)$$

avec

$$\gamma_{\tilde{M},F}^{\tilde{Q},\mathcal{X}}(Z, U; \Lambda) = \gamma_{\tilde{M},F}^{\tilde{Q},U'+\mathcal{X}}(Z + U_{\tilde{Q}}; \Lambda),$$

où $W'$ est la famille $\tilde{M}$-orthogonale entière déduite de $U$ par projection.

**Démonstration.** Notons $m'$ la fonction à décroissance rapide sur $\mathcal{H}_{\tilde{M}}$ définie par

$$m'(U') = \sum_{U \in \mathcal{H}_M(U')} m(U),$$

où $\mathcal{H}_M(U') \subset \mathcal{H}_M$ est la fibre au-dessus de $U'$. Il suffit de voir que la $(\tilde{G}, \tilde{M})$-famille $c$ est associée à $m'$ : on a $c = c_{m'}$. ■

La preuve de la proposition 1.7.4 s'étend au cas tordu et fournit le lemme suivant.

**Lemme 2.1.2.** Soient $\tilde{M} \in \tilde{\mathcal{L}}$, $\tilde{Q} \in \mathcal{F}(\tilde{M})$ et $Z \in A_{\tilde{Q}}$. Soit $\mathcal{X}$ une famille $\tilde{M}$-orthogonale rationnelle, et soit $c = (c(\cdot, \tilde{P}))$ une $(\tilde{G}, \tilde{M})$-famille périodique. Pour $\Lambda \in \hat{a}_0$, la fonction $T \mapsto c_{\tilde{M},F}^{\tilde{Q},\mathcal{X}(T)}(Z; \Lambda)$ appartient à $\text{PolExp}$. On a aussi l'analogue tordu des points (ii) et (iii) de la proposition 1.7.4.

Nous aurons besoin d'une variante de ce qui précède. Le $\mathbb{Z}$-module de type fini

$$\mathbb{C}_{\tilde{M}}^{\tilde{Q}} \stackrel{\text{déf}}{=} \mathbb{B}_{\tilde{Q}} \setminus A_{\tilde{M}}$$

s'insère dans la suite exacte courte

$$0 \to \mathbb{B}_{\tilde{Q}} \setminus \mathbb{B}_{\tilde{M}} \to \mathbb{C}_{\tilde{M}}^{\tilde{Q}} \to \mathbb{C}_{\tilde{M}} \to 0.$$

On note $\mathbb{B}_{\tilde{M}}^{\tilde{Q}}(Z) \subset \mathbb{C}_{\tilde{M}}^{\tilde{Q}}$ la fibre au-dessus de $Z \in \mathbb{C}_{\tilde{M}}$. C'est un espace principal homogène sous $\mathbb{B}_{\tilde{M}}^{\tilde{Q}} = \mathbb{B}_{\tilde{Q}} \setminus \mathbb{B}_{\tilde{M}}$. Pour $\Lambda \in (\alpha_{0,\mathbb{C}}^G)^* \oplus \mathbb{B}_{\tilde{Q}}^{\vee}$, $\tilde{P} \in \mathcal{P}^{\tilde{Q}}(\tilde{M})$, $T \in \alpha_0$ et $X \in \alpha_0$, on pose

$$\eta_{\tilde{P},F}^{\tilde{Q},T}(Z; X, \Lambda) = \sum_{H \in \mathbb{B}_{\tilde{M}}^{\tilde{Q}}(Z)} \Gamma_{\tilde{P}}^{\tilde{Q}}(H - X, T) e^{(\Lambda, H)}.$$
L'expression

$$
(2.1) \qquad \eta_{\tilde{P},F}^{\tilde{Q},T}(Z; X) = \eta_{\tilde{P},F}^{\tilde{Q},T}(Z; X, 0)
$$

ne dépend que de l'image de $T$ dans $\mathcal{B}_{\tilde{P}}^{\tilde{Q},\lambda} \alpha_{\tilde{P}}^{\tilde{Q}}$. La proposition suivante est une variante
du lemme 1.6.7 et de la proposition 1.7.4.

**Proposition 2.1.3.** *Pour* $X \in \alpha_{0,\mathbb{Q}}$, *la fonction*

$$
T \mapsto \phi(T) = \eta_{\tilde{P},F}^{\tilde{Q},T}(Z; X)
$$

est un élément de PolExp : pour tout réseau $\mathcal{R}$ de $\alpha_{0,\mathbb{Q}}$, sa restriction à $\mathcal{R}$ s'écrit

$$
\phi_{\mathcal{R}}(T) = \sum_{v \in E} p_{\mathcal{R},v}(T) e^{(v,T)},
$$

où E est un sous-ensemble fini de $\hat{\mathcal{R}}$ et les $p_{\mathcal{R},v}$ sont des polynômes de degré majoré
par $a_{\tilde{P}} - a_{\tilde{Q}}$. Les polynômes $p_{\mathcal{R},0}$ ont pour limite, lorsque $k \to \infty$, un polynôme
qui est indépendant du réseau $\mathcal{R}$.

Démonstration. Puisque

$$
\eta_{\tilde{P},F}^{\tilde{Q},T}(Z; X) = e^{(\Lambda, Z')} \eta_{\tilde{P},F}^{\tilde{Q},T}(0; X - Z'),
$$

on peut supposer $Z = 0$, et il suffit de traiter le cas $\tilde{Q} = \tilde{G}$. Posons

$$
\eta_{\tilde{P},F}^{\tilde{G},T}(X, \Lambda) = \eta_{\tilde{P},F}^{\tilde{G},T}(0; X, \Lambda).
$$

On rappelle que

$$
(2.2) \quad \Gamma_{\tilde{P}}^{\tilde{G}}(H, T) = \sum_{\{\tilde{R} | \tilde{P} \subset \tilde{R}\}} (-1)^{a_{\tilde{R}} - a_{\tilde{G}}} \tau_{\tilde{P}}^{\tilde{R}}(H) \hat{\tau}_{\tilde{R}}^{\tilde{G}}(H-T),
$$

et que la projection dans $\alpha_{\tilde{P}}^{\tilde{G}}$ du support de la fonction $H \mapsto \Gamma_{\tilde{P}}^{\tilde{G}}(H,T)$ est compacte.
Pour $\Lambda \in \alpha_{0,\mathbb{C}}^{\tilde{G}}$, sa transformée anti-Laplace

$$
\eta_{\tilde{P},F}^{\tilde{G},T}(X, \Lambda) = \sum_{H \in \mathcal{B}_{\tilde{P}}^{\tilde{G}}} \Gamma_{\tilde{P}}^{\tilde{G}}(H - X, T) e^{(\Lambda, H)}
$$

est donc une fonction holomorphe de $\Lambda$. Comme dans le lemme 1.6.3, on considère
un réseau $\mathcal{D}_k$ de $\alpha_{\tilde{P}}^{\tilde{G}}$ assez fin pour que $\mathcal{B}_{\tilde{P}}^{\tilde{G}}$ et les images de $X$ et $T$ dans $\alpha_{\tilde{P}}^{\tilde{G}}$ soient
contenus dans ce réseau. On a

$$
\eta_{\tilde{P},F}^{\tilde{G},T}(X, \Lambda) = c^{-1} \sum_{v \in \mathbb{R}} \sum_{H \in \mathcal{D}_k} \Gamma_{\tilde{P}}^{\tilde{G}}(H - X, T) e^{(\Lambda + v, H)},
$$
où $\nu$ parcourt le dual $\mathfrak{R} = \mathbb{B}_{\tilde{P}}^{\tilde{G}, \nu} / \mathcal{D}_k^{\nu}$ de $\mathbb{B}_{\tilde{P}}^{\tilde{G}} \setminus \mathcal{D}_k$ et $c$ est l'indice de $\mathbb{B}_{\tilde{P}}^{\tilde{G}}$ dans $\mathcal{D}_k$. La somme en $H$ peut se calculer au moyen de l'expression (2.2) lorsque $\mathfrak{R}(-\Lambda)$ est régulier :

$$ \eta_{\tilde{P},F}^{\tilde{G},T}(X, \Lambda) = \sum_{\{\tilde{R} | \tilde{P} \subset \tilde{R}\}} \eta_{\tilde{P},\tilde{R}}^{T}(X, \Lambda), $$

avec

$$ \eta_{\tilde{P}, \tilde{R}}^{T}(X, \Lambda) = c^{-1}(-1)^{a_{\tilde{R}} - a_{\tilde{G}}} \sum_{\nu \in \mathfrak{R}} \sum_{H \in \mathcal{D}_k} \tau_{\tilde{P}}^{\tilde{R}}(H-X) \hat{\tau}_{\tilde{R}}(H-T-X) e^{\langle \Lambda + \nu, H \rangle}, $$

qui est une fonction méromorphe en $\Lambda$ ayant un pôle d'ordre $a_{\tilde{P}}^{\tilde{G}} = a_{\tilde{P}} - a_{\tilde{G}}$ en $\Lambda = 0$. On conclut comme dans le lemme 1.6.7 en considérant les développements de Laurent des $\eta_{\tilde{P},\tilde{R}}^{T}(X, \Lambda)$. Pour la dernière assertion, on procède comme dans la preuve de la proposition 1.7.4. ■

## 2.2 Les fonctions $\sigma$ et $\tilde{\sigma}$

D'après [25, lemme 2.11.1], pour $Q \in \mathcal{P}_{\text{st}}$, il existe un plus petit $\tilde{Q}^{+} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}$ et un plus grand $\tilde{Q}^{-} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}$ tels que

$$ \tilde{Q}^{-} \subset Q \subset \tilde{Q}^{+}. $$

De plus ([25, lemme 2.11.2]), pour $Q, R \in \mathcal{P}_{\text{st}}$ tels que $Q^{+} \subset R^{-}$, on a $(\alpha_{Q}^{R})^{\theta_{0}} = \alpha_{\tilde{Q}^{+}}^{\tilde{R}}$.

Pour $Q, R \in \mathcal{P}$, tels que $Q \subset R$, on note $\sigma_{Q}^{R}$ la fonction caractéristique de l'ensemble des $H \in \alpha_{0}$ tels que

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \langle \alpha, H \rangle > 0 & \text{pour } \alpha \in \Delta_{Q}^{R}, \\ \langle \alpha, H \rangle \le 0 & \text{pour } \alpha \in \Delta_{Q}^{\complement} \setminus \Delta_{Q}^{R}, \\ \langle \omega, H \rangle > 0 & \text{pour tout } \omega \in \hat{\Delta}_{R}. \end{array} \right. $$

Si de plus $Q \in \mathcal{P}_{\text{st}}$ et $Q^{+} \subset R^{-}$, il existe un $\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}$ tel que $Q \subset P \subset R$, alors on définit la variante tordue $\tilde{\sigma}_{Q}^{R}$ de la fonction $\sigma_{Q}^{R}$ en remplaçant la troisième condition par

$$ \langle \tilde{\omega}, H \rangle > 0 \quad \text{pour tout} \quad \tilde{\omega} \in \hat{\Delta}_{\tilde{P}}. $$

D'après [25, lemme 2.11.3], la fonction $\tilde{\sigma}_{Q}^{R}$ est indépendante du choix du $\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}$ avec $Q \subset P \subset R$ utilisé pour la définir, ce qui justifie la notation.
## 2.3 La fonction $q$

Pour $Q \in \mathcal{P}_{\text{st}}$, considérons l'application linéaire<fnref n="2" />

$$q = q_Q : \alpha_0 \to \alpha_Q^{\tilde{G}}$$

définie par

$$q(X) = ((1 - \theta_0)X^{\tilde{G}})_Q = ((1 - \theta_0)X)^{\tilde{G}}_Q.$$

Elle se factorise à travers la projection orthogonale $\alpha_0 \to \alpha_{Q_0}^{\tilde{G}}$, avec

$$Q_0 = Q \cap \theta_0^{-1}(Q) \in \mathcal{P}_{\text{st}}.$$

Tous les résultats de [25, sections 2.12 et 2.13] sont vrais ici, mutatis mutandis.

<footnote n="2">²Notons que notre définition de $q_Q$ diffère de celle de [25, section 2.13] puisqu'on projette sur $\alpha_Q^{\tilde{G}}$ et non pas sur $\alpha_Q^G$. Cela ne change pas grand chose à l'affaire puisque, par hypothèse, l'application $1 - \theta$ est un automorphisme de $\alpha_Q^{\tilde{G}}$.</footnote>
<figure><img src="image_9.png" /></figure>
# Chapitre 3

# Théorie de la réduction

## 3.1 Décomposition d'Iwasawa

Pour $v \in |V|$, on fixe une paire parabolique définie sur $F_v$ minimale ($P_{v,0}, A_{v,0}$) de $G_v = G \times_F F_v$, et on note $M_{v,0}$ le centralisateur de $A_{v,0}$ dans $G_v$. On suppose que

$$P_{v,0} \subset P_{0,v} = P_0 \times_F F_v, \quad A_{v,0} \supset A_{0,v} = A_0 \times_F F_v.$$

Un sous-groupe compact de $G(F_v)$ est dit « $M_{v,0}$-admissible » s'il est spécial – donc maximal – et correspond à un sommet de l'immeuble de $G(F_v)$ qui appartient à l'appartement associé à $A_{v,0}$. Rappelons qu'un sous-groupe compact maximal $M_{v,0}$-admissible $K_v$ de $G(F_v)$ vérifie les propriétés suivantes (cf. [25, lemme 3.1.1]):

* $G(F_v) = P_{v,0}(F_v)K_v$ (décomposition d'Iwasawa);

* tout élément de $N_G(M_{v,0})(F_v)/M_{v,0}(F_v)$ a un représentant dans $K_v$;

* pour tout sous-groupe parabolique $P$ de $G$ contenant $M_{v,0}$ et défini sur $F_v$, notant $M$ la composante de Levi de $P$ contenant $M_{v,0}$ (elle est définie sur $F_v$), on a la décomposition $K_v \cap P(F_v) = (K_v \cap M(F_v))(K_v \cap U_P(F_v))$ et $K_v \cap M(F_v)$ est un sous-groupe compact $M_{v,0}$-admissible de $M(F_v)$.

Nous dirons que $K$ est un sous-groupe compact maximal « $M_{0}$-admissible » de $G(\mathbb{A})$ s'il est de la forme

$$K = \prod_{v \in |V|} K_v,$$

où les $K_v$ vérifient les propriétés suivantes :

* pour tout $v \in |V|$, $K_v$ est un sous-groupe compact $M_{v,0}$-admissible de $G(F_v)$;

* pour tout $F$-plongement $G \hookrightarrow GL_n$, on a $K_v = GL_n(v_v) \cap G(F_v)$ pour presque tout $v \in |V|$.

Fixons un sous-groupe compact maximal $M_0$-admissible $K = \prod_{v \in |V|} K_v$ de $G(\mathbb{A})$. Alors on a la décomposition d'Iwasawa

$$G(\mathbb{A}) = P_0(\mathbb{A})K,$$

et tout élément de $N_{G(\mathbb{A})}(M_0)/M_0(\mathbb{A})$ a un représentant dans $K$. Plus généralement, pour tout $P \in \mathcal{P}$, on a $G(\mathbb{A}) = P(\mathbb{A})K$.

Pour $P \in \mathcal{P}$, grâce à la décomposition d'Iwasawa, on étend les morphismes $H_P$ en des fonctions sur $G(\mathbb{A})$ tout entier que, par abus de notation, on note encore $H_P$ :
pour $g \in G(\mathbb{A})$, on écrit $g = pk$ avec $p \in P(\mathbb{A})$ et $k \in \mathbf{K}$, et on pose

$$ \mathbf{H}_P(g) = \mathbf{H}_P(p). $$

Pour $\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}$, on note $\tilde{\mathbf{H}}_P : \tilde{\mathcal{G}}(\mathbb{A}) \to \alpha_P$ la fonction définie par

$$ \tilde{\mathbf{H}}_P(\delta_0 g) = \mathbf{H}_P(g). $$

Suivant la convention habituelle, on pose $\mathbf{H}_0 = \mathbf{H}_{P_0}$ et $\tilde{\mathbf{H}}_0 = \tilde{\mathbf{H}}_{P_0}$.

La construction de hauteurs dans [25, section 3.2], qui reprend essentiellement celle de [32, sous-section I.2.2], est valable pour un corps global de caractéristique quelconque. Pour la notion de *hauteur* sur un *F*-espace vectoriel de dimension finie, on renvoie à loc. cit. On suppose donné un *F*-plongement

$$ \rho : G \to \mathrm{GL}(V) $$

pour un *F*-espace vectoriel de dimension finie $V$. On choisit une *hauteur* $\|\cdot\|$ sur le *F*-espace vectoriel $\mathrm{End}(V) \times \mathrm{End}(V)$, et pour $x \in G(\mathbb{A})$, on pose

$$ |x| = \|(\rho(x), {}^t\rho(x^{-1}))\|. $$

## 3.2 Point central

D'après [25, lemme 3.3.3], il existe un point $T_0 \in \alpha_0^G$ tel que pour tout élément $s \in \mathbf{W}$, et pour tout représentant $w_s$ de $s$ dans $G(F)$, on ait

$$ \mathbf{H}_0(w_s) = T_0 - sT_0, \quad \mathbf{H}_0(w_s^{-1}) = T_0 - s^{-1}T_0. $$

Cet point est donné par

$$ T_0 = \sum_{\alpha \in \Delta_0} t_{\alpha}(1) \check{\omega}_{\alpha}, $$

où $\check{\omega}_{\alpha} \in \alpha_0^G$ est l'élément correspondant à $\alpha \in \Delta_0$ dans la base duale et $t_{\alpha}(1) \in \mathbb{R}$ est défini par

$$ \mathbf{H}_0(w_{\alpha}) = t_{\alpha}(1)\check{\alpha}, $$

où $w_{\alpha}$ est un représentant dans $G(F)$ de la symétrie $s_{\alpha}$. Puisque les $\check{\omega}_{\alpha}$ sont dans $\alpha_0, \mathbb{Q}$, il existe un entier $k \ge 1$ tel que $T_0 \in k^{-1}\mathcal{A}_0$. Pour $x \in G(\mathbb{A})$, $T \in \alpha_0$ et $s \in \mathbf{W}$, on pose<fnref n="1" />

$$ Y_{x,T,s} = s^{-1}(T - \mathbf{H}_0(w_s x)). $$

<footnote n="1">¹Dans [25, sections 3.3 et 5.3], les éléments $Y_{x,T,s}$, $Y_{T,s}$, $Y_s$ sont notés respectivement $Y_s(x, T)$, $Y_s(T)$, $Y_s$.</footnote>
Si $x = 1$, on écrit simplement

$$Y_{T,s} \stackrel{\text{déf}}{=} Y_{1,T,s} = s^{-1}T + (T_0 - s^{-1}T_0),$$

et si $T = 0$, on pose $Y_s = Y_{0,s}$. Pour $P \in \mathcal{P}(M_0)$, et $s \in \mathbf{W}$ tel que $s(P) = P_0$, on pose $Y_{T,P} = Y_{T,s}$. Ceci définit comme en [25, section 3.3] une famille orthogonale

$$\mathcal{Y}(T) \stackrel{\text{déf}}{=} (Y_{T,P})_{P \in \mathcal{P}}, \quad \text{avec} \quad Y_{T,P} = [T]_P + (T_0 - [T_0]_P).$$

On note $\mathcal{Y} = (Y_P)$ la famille $M_0$-orthogonale définie par

$$Y_P \stackrel{\text{déf}}{=} Y_{0,P} = T_0 - [T_0]_P = T_0 - s^{-1}T_0 = Y_s.$$

Puisque $Y_{s(P_0)} = \mathbf{H}_0(w_s^{-1}) \in \mathcal{A}_0$, la famille $\mathcal{Y}$ est entière et on a $\mathcal{Y}(T) = \mathcal{Y} + \mathfrak{T}$.

Plus généralement, pour $x \in G(\mathbb{A})$ et $T \in \mathcal{a}_0$, on définit comme en [25, lemme 3.3.2 (iii)] une famille $M_0$-orthogonale $(Y_{x,T,P})$: pour $P \in \mathcal{P}(M_0)$, et $s \in \mathbf{W}$ tel que $s(P) = P_0$, on pose $Y_{x,T,P} = Y_{x,T,s}$. On a donc $Y_{T,P} = Y_{1,T,P}$. La famille $(Y_{x,T,P})$ est rationnelle si $T \in \mathcal{a}_0 \mathbb{Q}$. De plus (loc. cit.), il existe une constante $c$ telle que si $d_0(T) > c$, alors cette famille est régulière.

## 3.3 Éléments primitifs

En caractéristique positive, la décomposition de Jordan n'est en général pas définie sur le corps de base; il convient donc ici de remplacer la notion d'élément quasi semi-simple régulier elliptique par celle d'élément primitif [25, section 3.7, page 76] : un élément de $\tilde{G}(F)$ est dit *primitif* (dans $\tilde{G}$) s'il n'appartient à aucun sous-espace parabolique propre de $\tilde{G}$ défini sur $F$, autrement dit, si son orbite sous $G(F)$ ne rencontre aucun $\tilde{P}(F)$ pour $\tilde{P} \neq \tilde{G}$. On note $\tilde{G}(F)_{\text{prim}}$ l'ensemble des éléments primitis de $\tilde{G}(F)$. Pour $\tilde{M} \in \tilde{\mathcal{L}}$, on dispose plus généralement de la notion d'élément primitif de $\tilde{M}(F)$ et de l'ensemble $\tilde{M}(F)_{\text{prim}}$.

On appelle *paire primitive* (dans $\tilde{G}$) une paire $(\tilde{M}, \delta)$ où $\tilde{M} \in \tilde{\mathcal{L}}$ et $\delta$ est un élément primitif de $\tilde{M}(F)$. Deux paires primitives $(\tilde{M}, \delta)$ et $(\tilde{M}', \delta')$ sont dites équivalentes si elles sont conjuguées i.e. s'il existe un élément $x \in G(F)$ tel que $\tilde{M}' = \text{Int}_x(\tilde{M})$ et $\delta' = \text{Int}_x(\delta)$. On note $[\tilde{M}, \delta]$ la classe d'équivalence de $(\tilde{M}, \delta)$ et $\mathfrak{O}$ l'ensemble de ces classes.

Pour un élément $\gamma \in \tilde{G}(F)$, on note $\mathcal{O}(\gamma)$ sa classe de $G(F)$-conjugaison. Considérons un espace parabolique $\tilde{P} = \tilde{M}U \in \tilde{\mathcal{P}}$ tel que $\mathcal{O}(\gamma) \cap \tilde{P}(F) \neq \emptyset$ avec $\tilde{P}$ minimal pour cette propriété. On choisit $g \in G(F)$ tel que $g^{-1}\gamma g \in \tilde{P}(F)$. On peut écrire $g^{-1}\gamma g = \delta u$ avec $\delta \in \tilde{M}(F)$ et $u \in U(F)$. La condition de minimalité assure que $\delta$ est primitif dans $\tilde{M}(F)$.
**Lemme 3.3.1.** La correspondance $\gamma \mapsto (\tilde{M}, \delta)$ induit une application surjective

$$ \zeta : \tilde{G}(F) \to \mathcal{D}. $$

*Démonstration.* Il convient de montrer que deux paires primitives associées à un même $\gamma$ sont équivalentes. Soient donc $\tilde{P} = \tilde{M}U$ et $\tilde{P}' = \tilde{M}'U'$ deux éléments de $\tilde{\mathcal{P}}$ tels que

$$ \gamma = \delta u = \delta' u' $$

pour $\delta \in \tilde{M}(F)$, $u \in U(F)$, $\delta' \in \tilde{M}'(F)$ et $u' \in U'(F)$; de plus $\tilde{P}$ et $\tilde{P}'$ sont minimaux pour ces conditions. L'ensemble

$$ \tilde{H} = \tilde{P} \cap \tilde{P}' = (P \cap P')\gamma = \gamma(P \cap P') $$

est un espace tordu de groupe sous-jacent $H = P \cap P'$. Soit $L$ une composante de Levi de $H$ définie sur $F$ (cf. [16, proposition 4.7]). Puisque $\text{Int}_\gamma(L)$ en est une autre, d'après loc. cit. il existe un unique élément $u_H \in U_H(F)$ tel que $\text{Int}_\gamma(L) = \text{Int}_{u_H}(L)$, où $U_H$ est le radical unipotent de $H$. Ainsi

$$ \tilde{L} = \eta L = L\eta, \quad \text{avec} \quad \eta = u_H^{-1}\gamma \in \tilde{H}(F), $$

est une composante de Levi de $\tilde{H}$ définie sur $F$: on a l'égalité $\tilde{H} = \tilde{L} \times_{U_H} U_H$. Comme $\tilde{H}$ normalise $U$ (resp. $U'$), d'après [16, proposition 4.4 (b)] $Q = \tilde{H}U$ (resp. $\tilde{Q} = \tilde{H}U'$) est un sous-espace parabolique de $\tilde{G}$ défini sur $F$ et contenu dans $\tilde{P}$ (resp. $\tilde{P}'$). Par construction, $\gamma \in \tilde{Q}(F)$ (resp. $\gamma \in \tilde{Q}'(F)$). Par minimalité, on a donc $\tilde{Q} = \tilde{P}$ et $\tilde{Q}' = \tilde{P}'$. D'après loc. cit., cela entraîne que $\tilde{L}$ est une composante de Levi de $\tilde{P}$ (resp. $\tilde{P}'$) et $U_H \subset U$ (resp. $U_H \subset U'$). On en déduit qu'il existe un unique $v \in U(F)$ (resp. $v' \in U'(F)$) tel que $\tilde{L} = \text{Int}_v(\tilde{M})$ (resp. $\tilde{L} \subset \text{Int}_{v'}(\tilde{M})$). On a donc

$$ \tilde{M}' = \text{Int}_\gamma(\tilde{M}), \quad \text{avec} \quad y = v'^{-1}v. $$

Il reste à montrer que $\delta$ et $\delta'$ sont conjugués par ce $y$. Écrivons $\gamma = \delta''u''$ avec $\delta'' \in \tilde{L}(F)$ et $u'' \in U_H(F)$. On a donc

$$ \gamma = v^{-1}\delta''vu_1, \quad \text{avec} \quad u_1 = v^{-1}\text{Int}_{\delta''^{-1}}(v)u''. $$

Or $v^{-1}\delta''v$ appartient à $\tilde{M}$ et $u_1$ appartient à $U(F)$. Puisque $\gamma = \delta u$, cela entraîne $v^{-1}\delta''v = \delta$ et $u_1 = u$. On obtient, de la même manière, l'égalité $v'^{-1}\delta''v' = \delta'$. On a donc bien $\delta' = \text{Int}_\gamma(\delta)$. ■

**Lemme 3.3.2.** On a les assertions suivantes :

(i) L'application $\zeta$ fournit une partition de l'ensemble des classes de $G(F)$-conjugaison dans $\tilde{G}(F)$, et pour $\mathcal{O} = [\tilde{M}, \delta] \in \mathcal{D}$, l'ensemble

$$ \mathcal{O}_{\mathcal{O}} = \bigcup_{\tilde{Q} \in \mathcal{P}(\tilde{M})} \{g^{-1}\delta ug \mid g \in G(F), u \in U_Q(F)\} $$
est la fibre de $\zeta$ au desus de $\mathfrak{o}$.

(ii) Pour $\tilde{\mathcal{Q}} \in \tilde{\mathcal{P}}$, on a la décomposition

$$ \mathcal{O}_{\mathfrak{o}} \cap \tilde{\mathcal{Q}}(F) = (\mathcal{O}_{\mathfrak{o}} \cap \tilde{M}_{\mathcal{Q}}(F))U_{\mathcal{Q}}(F). $$

**Démonstration.** Le point (i) est clair. Prouvons (ii). Soit $(\tilde{M}, \delta)$ une paire primitive dans la classe $\mathfrak{o}$. On distingue deux cas : ou bien il n'existe aucun élément $x \in G(F)$ tel que $\tilde{M} \subset \text{Int}_x(\tilde{M}_{\mathcal{Q}})$, auquel cas les ensembles à gauche et à droite de l'égalité du point (ii) sont vides. Ou bien il existe un tel $x$ et, quitte à remplacer $\tilde{\mathcal{Q}}$ par $\text{Int}_x(\tilde{\mathcal{Q}})$, on peut supposer que $\tilde{M} \subset \tilde{M}_{\mathcal{Q}}$. Un $\gamma \in \mathcal{O}_{\mathfrak{o}} \cap \tilde{\mathcal{Q}}(F)$ peut s'écrire $\gamma = \gamma_1 u$ avec $\gamma_1 \in \tilde{M}_{\mathcal{Q}}(F)$ et $u \in U_{\mathcal{Q}}(F)$. Soient $\tilde{P}_1$ un $F$-sous-espace parabolique de $\tilde{M}_{\mathcal{Q}}$ minimal pour la condition $\gamma_1 \in \tilde{P}_1(F)$ et $\tilde{M}_1$ une composante de Levi de $\tilde{P}_1$ (définie sur $F$). On a $\gamma_1 = \delta_1 u_1$ avec $\delta_1 \in \tilde{M}_1(F)$ et $u_1 \in U_{P_1}(F)$. La paire $(\tilde{M}_1, \delta_1)$ est conjuguée à $(\tilde{M}, \delta)$ et $\gamma_1$ appartient donc à $\mathcal{O}_{\mathfrak{o}} \cap \tilde{M}_{\mathcal{Q}}(F)$. D'où l'inclusion $\subset$. L'inclusion en sens inverse s'obtient de manière similaire. ■

## 3.4 Ensembles de Siegel, partitions et lemme de finitude

Rappelons qu'on a noté $G(\mathbb{A})^1$ le noyau de $H_G$, et $P_0(\mathbb{A})^1 = M_0(\mathbb{A})^1 U_0(\mathbb{A})$, celui de $H_0 = H_{P_0}$. Pour $t \in \mathbb{R}$, on note $A_0^G(t)$ l'ensemble des $a \in A_0(\mathbb{A}) \cap G(\mathbb{A})^1$ tels que

$$ \langle \alpha, H_0(a) \rangle > t \quad \text{pour toute racine } \alpha \in \Delta_0. $$

On peut choisir un ensemble fini $\mathfrak{F}$ dans $M_0(\mathbb{A}) \cap G(\mathbb{A})^1$, de sorte que

$$ (A_0(\mathbb{A}) \cap G(\mathbb{A})^1) M_0(\mathbb{A})^1 \mathfrak{F} = M_0(\mathbb{A}) \cap G(\mathbb{A})^1. $$

D'après [39], on sait que :

(1) le quotient $G(F)\backslash G(\mathbb{A})^1$ est compact si et seulement si $G_{\text{der}}$ est anisotrope;

(2) il existe un $t \in \mathbb{R}$ tel que

$$ G(\mathbb{A})^1 = G(F) P_0(\mathbb{A})^1 A_0^G(t) \mathfrak{F} K. $$

Puisque $M_{0,\text{der}}$ est anisotrope, l'assertion (1) montre qu'il existe un sous-ensemble compact $\Omega_0$ de $M_{0,\text{der}}(\mathbb{A})$, tel que $M_{0,\text{der}}(\mathbb{A}) = M_0(F)\Omega_0$. D'après [39, Proposition 1.7], l'ensemble $U_0(F)\backslash U_0(\mathbb{A})$ est compact, il existe donc un sous-ensemble compact $\Omega_1$ de $U_0(\mathbb{A})$, tel que $U_0(F)\Omega_1 = U_0(\mathbb{A})$. Il résulte de l'assertion (2) qu'il existe un $t \in \mathbb{R}$ tel que, en posant $\Omega = \Omega_1\Omega_0 \subset P_0(\mathbb{A})$, on ait

$$ (3.1) \qquad G(\mathbb{A})^1 = G(F) \Omega A_0^G(t) \mathfrak{F} K. $$
Maintenant considérons une section du morphisme composé

$$A_0(\mathbb{A}) \to A_G(\mathbb{A}) \setminus A_0(\mathbb{A}) \to \mathcal{B}_0^G = \mathcal{B}_G \setminus \mathcal{B}_0 (= A_{A_G} \setminus A_{A_0})$$

et notons $\mathfrak{B}_0^G$ son image. Une telle section s'obtient en choisissant (arbitrairement) des représentants dans l'image réciproque d'une $\mathbb{Z}$-base de $\mathfrak{B}_0^G$ et en prenant le sous-groupe engendré$^2$. On pose

$$\mathfrak{B}_0^G(t) = \mathfrak{B}_0^G \cap A_0^G(t).$$

Pour $t \in \mathbb{R}$ et $\Omega$ un sous-ensemble compact de $P_0(\mathbb{A})^1$, on pose

$$\mathfrak{G}_{t, \mathfrak{F}, \Omega} = \Omega \mathfrak{B}_0^G(t) \mathfrak{F} \mathbf{K}.$$

D'après (3.1), on voit que pour $t$ assez petit et $\Omega$ assez gros, on a

$$(3.2) \qquad G(\mathbb{A})^1 = G(F)\mathfrak{G}_{t, \mathfrak{F}, \Omega}.$$

On notera simplement $\mathfrak{G}^1$ un tel domaine $\mathfrak{G}_{t, \mathfrak{F}, \Omega}$, pour le quotient $G(F)\backslash G(\mathbb{A})^1$.

La propriété de finitude usuelle pour un corps de nombres, à savoir que si $\mathfrak{G}^1$ est un domaine de Siegel pour le quotient $G(F)\backslash G(\mathbb{A})^1$, alors l'ensemble des $\gamma \in G(F)$ tels que $\gamma \mathfrak{G}^1 \cap \mathfrak{G}^1 \neq \emptyset$ est fini, n'est plus vraie ici. En effet, pour tout corps global, tout élément unipotent $u \in U_0(\mathbb{A})$ et tout voisinage ouvert relativement compact de l'identité $\mathcal{V}$ dans $U_0(\mathbb{A})$, on a $a^{-1}ua \in \mathcal{V}$ pour $a \in A_0(\mathbb{A})$ avec $\mathbf{H}_0(a)$ assez loin dans la chambre de Weyl positive (i. e. pour $\mathbf{d}_0(\mathbf{H}_0(a))$ assez grand). Maintenant, pour un corps de fonctions, le sous-groupe compact maximal $\mathbf{K}$ est ouvert et nous avons donc $\gamma \mathfrak{G}^1 \cap \mathfrak{G}^1 \neq \emptyset$ pour tout $\gamma \in U_0(F)$; il en résulte que la propriété de finitude est en défaut.

Pour $P \in \mathcal{P}_{\text{st}}$, notons $P(F)_{\text{st-prim}}$ l'ensemble des $\gamma \in P(F)$ tels que $\gamma \notin Q(F)$, pour tout $Q \in \mathcal{P}_{\text{st}}$ tel que $Q \subsetneq P$. Tout élément primitif de $G(F)$ est contenu dans $G(F)_{\text{st-prim}}$, mais la réciproque est fausse en général.

Pour $\alpha \in \Delta_0$, notons $P_\alpha$ l'unique élément de $\mathcal{P}_{\text{st}}$ tel que $\Delta_0 \setminus \{\alpha\}$ soit une base du système de racines de $M_{P_\alpha}$. Un élément $\gamma \in G(F)$ est dans $G(F)_{\text{st-prim}}$ si et seulement s'il n'appartient à aucun $P_\alpha(F)$ pour $\alpha \in \Delta_0$. Soient $\gamma \in G(F)$ et $g, g' \in \mathfrak{G}^1$, tels que $g = \gamma g'$. Écrivons $g = yax$ et $g' = y'a'x'$ avec $y, y' \in \Omega$, $a, a' \in \mathfrak{B}_0^G(t)$ et $x, x' \in \mathfrak{F} \mathbf{K}$. D'après [39, Proposition 2.6], pour chaque $\alpha \in \Delta_0$, il existe une constante $c_\alpha > t$ telle que si $\log|\alpha(a)| \ge c_\alpha$ ou $\log|\alpha(a')| \ge c_\alpha$, alors $\gamma \in P_\alpha(F)$. On en déduit que l'ensemble des $\gamma \in G(F)_{\text{st-prim}}$, tels que $\gamma \mathfrak{G}^1 \cap \mathfrak{G}^1 \neq \emptyset$, est fini. Le lemme ci-dessous est une simple généralisation de ce résultat. Nous l'énonçons pour un travail ultérieur (il ne sera pas utilisé ici).

<footnote>$^2$A priori, $\mathfrak{B}_0^G$ n'est pas invariant sous l'action de $\mathbf{W}$.</footnote>
**Lemme 3.4.1.** Soit $P = MU \in \mathbb{P}_{\text{st}}$. Pour $\gamma \in P(F)$, on note $\gamma_M$ la projection de $\gamma$ sur $M(F) = U(F)\setminus P(F)$. Alors l'ensemble des projections $\gamma_M$ des éléments $\gamma \in P(F)_{\text{st-prim}}$, tels que $\gamma \mathfrak{G}^1 \cap \mathfrak{G}^1 \neq \emptyset$, est fini.

*Démonstration.* Soient $\gamma \in P(F)$ et $g, g' \in \mathfrak{G}^1$ tel que $g = \gamma g'$. Comme plus haut, on écrit $g = yax, g' = y'a'x'$. Alors $l = xx'^{-1} \in P(\mathbb{A})$. Pour $p \in P(\mathbb{A})$, écrivons $p = p_U p_M$ avec $p_U \in U(\mathbb{A})$ et $p_M \in M(\mathbb{A})$. L'équation $g = \gamma g'$ se réécrit

$$y_U \mathrm{Int}_{\gamma_M a}(l_U) y_M a l_M = \gamma_U \mathrm{Int}_{\gamma_M}(y_U') \gamma_M y_M' a',$$

soit encore

$$y_U \mathrm{Int}_{y_M a}(l_U) = \gamma_U \mathrm{Int}_{\gamma_M}(y_U') \quad \text{et} \quad y_M a l_M = \gamma_M y_M' a.$$

Puisque $l_M$ appartient au compact $(P(\mathbb{A}) \cap \mathfrak{F}\mathbf{K}\mathfrak{F}^{-1})_M$ de $M(\mathbb{A})$ et $\gamma_M$ appartient à $M(F)_{\text{st-prim}}$, l'équation $y_M a l_M = \gamma_M y_M' a'$ assure que les projections $\gamma_M$ sont dans un ensemble fini. ■

Fixons comme ci-dessus une section du morphisme $A_G(\mathbb{A}) \to \mathfrak{B}_G$ et notons $\mathfrak{B}_G$ son image. Puisque le groupe $\mathfrak{B}_G G(\mathbb{A})^1 \setminus G(\mathbb{A}) = \mathfrak{B}_G(M_0(\mathbb{A}) \cap G(\mathbb{A})^1) \setminus M_0(\mathbb{A})$ est fini, on peut également fixer un sous-ensemble fini $\mathfrak{C}_G \subset M_0(\mathbb{A})$, tel que

$$G(\mathbb{A}) = \mathfrak{B}_G G(\mathbb{A})^1 \mathfrak{C}_G = \mathfrak{B}_G \mathfrak{C}_G G(\mathbb{A})^1.$$

Posons

$$\mathfrak{C}^* = \mathfrak{C}_G \mathfrak{C}^1 \quad \text{et} \quad \mathfrak{C} = \mathfrak{B}_G \mathfrak{C}^* = \mathfrak{B}_G \mathfrak{C}_G \mathfrak{C}^1.$$

Ainsi $\mathfrak{C}^*$ est un domaine de Siegel pour le quotient $\mathfrak{B}_G G(F) \setminus G(\mathbb{A})$, et $\mathfrak{C}$ est un domaine de Siegel pour le quotient $G(F) \setminus G(\mathbb{A})$. Les résultats vrais pour $\mathfrak{C}^1$ s'étendent, sans difficulté, à $\mathfrak{C}^*$.

Pour $L \in \mathcal{L}$, on peut définir de la même manière des domaines de Siegel $\mathfrak{C}^{L,1}$, $\mathfrak{C}^{L,*} = \mathfrak{C}_L \mathfrak{C}^{L,1}$ et $\mathfrak{C}^L = \mathfrak{B}_L \mathfrak{C}^{L,*}$. On peut, bien sûr, imposer, même si ce n'est pas vraiment nécessaire, que ces domaines soient compatibles avec la conjugaison : si $L, L' \in \mathcal{L}$ sont tels que $A_{L'} = \mathrm{Int}_g(A_L)$ pour un $g \in G(F)$, on demande que $\mathfrak{C}^{L',1} = \mathrm{Int}_g(\mathfrak{C}^{L,1})$, $\mathfrak{C}_{L'} = \mathrm{Int}_g(\mathfrak{C}_L)$, et $\mathfrak{B}_{L'} = \mathrm{Int}_g(\mathfrak{B}_L)$.

Fixons un élément $T_1 \in \mathfrak{a}_0$. Fixons aussi une section du morphisme $A_0(\mathbb{A}) \to \mathfrak{B}_0$, et notons $\mathfrak{B}_0$ son image (on peut prendre $\mathfrak{B}_0 = \mathfrak{B}_G \times \mathfrak{B}_0^G$). Pour $Q \in \mathbb{P}_{\text{st}}$ et $T \in \mathfrak{a}_0$, on note

$$\mathfrak{C}_{P_0}^Q(T_1, T)$$

l'ensemble des $x = uac \in G(\mathbb{A})$, avec $u \in U_Q(\mathbb{A})$, $a \in \mathfrak{B}_0$, et $c \in C_Q$, où $C_Q$ est un sous-ensemble compact de $G(\mathbb{A})$, tels que

$$\left\{ \begin{array}{ll} \langle \alpha, \mathbf{H}_0(x) - T_1 \rangle > 0 & \text{pour tout } \alpha \in \Delta_0^Q, \\ \langle \bar{\omega}, \mathbf{H}_0(x) - T \rangle \le 0 & \text{pour tout } \bar{\omega} \in \hat{\Delta}_0^Q. \end{array} \right.$$
D'après [25, lemme 1.8.3], si $T - T_1$ est régulier (ce que l'on suppose), la condition ci-dessus est équivalente à $\Gamma_{P_0}^Q(\mathbf{H}_0(x) - T_1, T - T_1) = 1$. On note

$$F_{P_0}^Q(\cdot, T)$$

la fonction caractéristique de l'ensemble $Q(F)\mathfrak{S}_{P_0}^Q(T_1, T)$. Elle dépend du compact $C_Q$ et aussi de l'élément $T_1 \in \alpha_0$. En pratique, on prendra $C_Q$ assez gros, et $-T_1$ et $T$ assez réguliers. En particulier, on supposera toujours que $F_{P_0}^Q(\cdot, T)$ est invariante à gauche par $\mathfrak{B}_Q Q(F)$, où $\mathfrak{B}_Q$ est l'image d'une section du morphisme $A_Q(\mathfrak{A}) \to \mathfrak{B}_Q$. Observons que puisque $A_Q(F)\mathfrak{B}_Q \setminus A_Q(\mathfrak{A}) = A_Q(F)\setminus A_Q(\mathfrak{A})^1$ est compact, quitte à grossir le compact $C_Q$, on peut même la supposer invariante à gauche par $A_Q(\mathfrak{A})$. On la supposera aussi invariante à droite par $\mathbf{K}$.

Tous les résultats de [25, section 3.6] sont vrais ici, en particulier [25, proposition 3.6.3] qui est l'analogue pour $M_P(F)U_P(\mathfrak{A})\setminus G(\mathfrak{A})$ de la partition [25, lemme 1.7.5] de $\alpha_0$.

Les lemmes 3.7.1, 3.7.2 et 3.7.3 de [25] sont vrais ici. Quant au lemme 3.7.4 de [25], il suffit d'en modifier l'énoncé de la manière suivante :

**Lemme 3.4.2.** Soit $\Omega$ un compact de $\tilde{G}(\mathfrak{A})$, et soit $\tilde{P} \in \tilde{\mathfrak{P}}$. L'ensemble des éléments $\delta \in \tilde{M}_P(F)$, tels que $\delta$ soit $M_P(F)$-conjugué à un élément $\delta_1 \in \tilde{M}_{P_1}(F)_{\text{prim}}$ pour un $\tilde{P}_1 \in \tilde{\mathfrak{P}}$ tel que $\tilde{P}_1 \subset \tilde{P}$ (i.e. $P_1 \subset P$), et $x^{-1}\delta u \in \Omega$ pour des éléments $x \in G(\mathfrak{A})$ et $u \in U_P(\mathfrak{A})$, appartient à un ensemble fini de classes de $M_P(F)$-conjugaison.
# Partie II

## Théorie spectrale, troncatures et noyaux
<figure><img src="image_10.png" /></figure>
# Chapitre 4

## L'opérateur de troncature

### 4.1 Terme constant

Une fonction $\varphi : G(\mathbb{A}) \to \mathbb{C}$ est dite à croissance lente s'il existe des réels $c, r > 0$ tels que pour tout $g \in G(\mathbb{A})$, on ait

$$|\varphi(g)| \leq c|g|^r.$$

On écrit aussi $\ll |\varphi(g)| \ll |g|^r$ pour tout $g \in G(\mathbb{A})$».

Soit $P \in \mathbb{P}$, et soit $\varphi$ une fonction sur $U_P(F)\backslash G(\mathbb{A})$, mesurable et localement $L^1$. On définit le terme constant $\varphi_P = \Pi_P \varphi$ de $\varphi$ le long de $P$ par

$$\varphi_P(x) = \int_{U_P(F)\backslash U_P(\mathbb{A})} \varphi(ux) du, \quad x \in G(\mathbb{A}),$$

où $du$ est la mesure de Tamagawa sur $U_P(\mathbb{A})$ – i.e. celle qui donne le volume 1 au quotient $U_P(F)\backslash U_P(\mathbb{A})$. Alors $\varphi_P$ est une fonction sur $U_P(\mathbb{A})\backslash G(\mathbb{A})$ mesurable et localement $L^1$. De plus, si $\varphi$ est à croissance lente, resp. lisse, alors $\varphi_P$ est à croissance lente, resp. lisse.

Pour $P \in \mathbb{P}_{\text{st}}$, on note $\mathcal{R}_0^{P,+}$ l'ensemble des racines de $T_0$ dans $M_P$ qui sont positives par rapport à $\Delta_0^P$. Rappelons que l'on a fixé en section 3.4 un domaine de Siegel $\mathcal{G} = \mathfrak{B}_G \mathcal{G}^*$ pour le quotient $G(F)\backslash G(\mathbb{A})$. Fixons aussi un sous-groupe ouvert compact $\mathbf{K}'$ de $G(\mathbb{A})^1$.

Le lemme suivant [32, lemme I.2.7] est le résultat technique clef pour l'étude du terme constant dans le cas des corps de fonctions.

**Lemme 4.1.1.** Soit $P \in \mathbb{P}_{\text{st}}$. Il existe une constante $c_P > 0$ telle que si $g \in \mathcal{G}$ vérifie $\langle \mathbf{H}_0(g), \alpha \rangle > c_P$ pour tout $\alpha \in \mathcal{R}_0^{G,+} \backslash \mathcal{R}_0^{P,+}$, alors, pour toute fonction $\varphi$ sur $G(F)\backslash G(\mathbb{A})$ invariante à droite par $\mathbf{K}'$, on a $\varphi_P(g) = \varphi(g)$.

Ce lemme se généralise aux fonctions $\varphi$ sur $U_P'(\mathbb{A})M_P'(F)\backslash G(\mathbb{A})$, pour $P' \in \mathbb{P}_{\text{st}}$ tel que $P \subset P'$ : en remplaçant $\mathcal{R}_0^{G,+}$ par $\mathcal{R}_0^{P',+}$ dans la condition sur $g$, on obtient, de même, $\varphi_P(g) = \varphi(g)$. On a aussi la variante suivante [32, corollaire I.2.8] :

**Lemme 4.1.2.** Il existe une constante $c' > 0$ telle que pour tout $T' \in \mathcal{A}_0$ tel que $\mathbf{d}_0(T') > c'$, la propriété suivante soit vérifiée : pour tout $P \in \mathbb{P}_{\text{st}}$, tout $g \in \mathcal{G}$ tel que

$$\begin{cases} \langle \alpha, \mathbf{H}_0(g) - T' \rangle > 0 & \text{pour tout } \alpha \in \Delta_P, \\ \langle \omega, \mathbf{H}_0(g) - T' \rangle \le 0 & \text{pour tout } \omega \in \hat{\Delta}_0^P, \end{cases}$$

et toute fonction $\varphi$ sur $G(F)\backslash G(\mathbb{A})$ invariante à droite par $\mathbf{K}'$, on a $\varphi_P(g) = \varphi(g)$.
Pour $Q, R \in \mathcal{P}$ tels que $Q \subset R$, et $\psi$ une fonction sur $U_Q(F)\G(\mathcal{A})$ mesurable et localement $L^1$, on pose<fnref n="1" />

$$ \Pi_{Q,R}\psi = \sum_{\{P \in \mathcal{P} | Q \subset P \subset R\}} (-1)^{a_P - a_R} \psi_P. $$

C'est encore une fonction sur $U_Q(F)\G(\mathcal{A})$, mesurable et localement $L^1$.

**Lemme 4.1.3.** Il existe une constante $c'' > 0$ telle que pour tous les couples de sous-groupes paraboliques $Q, R \in \mathcal{P}_{\text{st}}$ avec $Q \subsetneq R$, tout $g \in \mathfrak{G}$ vérifiant

$$ \langle \alpha, \mathbf{H}_0(g) \rangle > c'', \quad \text{pour tout} \quad \alpha \in \Delta_Q^R, $$

et toute fonction $\varphi$ sur $G(F)\G(\mathcal{A})$, invariante à droite par $K'$, on ait

$$ \Pi_{Q,R}\varphi(g) = 0. $$

*Démonstration.* Il suffit d'adapter la démonstration de [32, corollaire I.2.9]. Par définition de $\mathfrak{G}$, il existe une constante $c_1 < 0$, telle que $\langle \mathbf{H}_0(g), \delta \rangle > c_1$ pour tout $g \in \mathfrak{G}$ et tout $\delta \in \mathbb{R}_0^{G,+}$. Fixons aussi une constante $c_2 > 0$, telle que pour tous $P, P' \in \mathcal{P}_{\text{st}}$ tels que $P \subset P'$, on ait la version généralisée du lemme 4.1.1 : pour tout $g \in \mathfrak{G}$ tel que $\langle \mathbf{H}_0(g), \alpha \rangle > c_2$, pour tout $\alpha \in \mathbb{R}_0^{P',+} \setminus \mathbb{R}_0^{P,+}$, et pour toute fonction $\psi$ sur $U_{P'}(\mathcal{A})M_{P'}(F)\G(\mathcal{A})$, invariante à droite par $K'$, on a $\psi_{P'}(g) = \varphi(g)$. Posons $c'' = c_2 - c_1$.

Soient $Q, R \in \mathcal{P}_{\text{st}}$ tels que $Q \subsetneq R$, et soit $g \in \mathfrak{G}$. Posons

$$ \Delta_Q^R(g) = \{\alpha \in \Delta_Q^R : \langle \alpha, \mathbf{H}_0(g) \rangle \le c''\}. $$

L'ensemble des $P \in \mathcal{P}$ tels que $Q \subset P \subset R$ est en bijection avec l'ensemble des couples $(\Theta, \Theta')$ avec $\Theta \subset \Delta_Q^R(g)$ et $\Theta' \subset \Delta_Q^R \setminus \Delta_Q^R(g)$. Pour un tel couple $(\Theta, \Theta')$, on note $P(\Theta, \Theta')$ l'élément de $\mathcal{P}_{\text{st}}$ tel que $Q \subset P(\Theta, \Theta') \subset R$, défini par

$$ \Delta_Q^{P(\Theta, \Theta')} = \Theta \cup \Theta'. $$

Puisque

$$ a_{P(\Theta, \Theta')} - a_R = a_Q - a_R - (|\Theta| + |\Theta'|), $$

on a

$$ \Pi_{Q,R}\varphi(g) = (-1)^{a_Q - a_R} \sum_{(\Theta, \Theta')} (-1)^{|\Theta| + |\Theta'|} \varphi_{P(\Theta, \Theta')}(g), $$

<footnote n="1">¹Dans [25, section 4.3], cette fonction est notée $\Theta\psi$.</footnote>
où $(\Theta, \Theta')$ parcourt les couples comme ci-dessus. Fixé un tel couple, toute racine $\alpha \in \mathbb{R}^{P(\Theta, \Theta')}, \cup \mathbb{R}^{P(\Theta, \emptyset)}, \cup$ s'écrit $\alpha = \beta + \delta$ avec $\beta \in \Theta'$ et $\delta \in \mathbb{R}^{P(\Theta, \Theta')}, \cup \{0\}$, et l'on a

$$ \langle \alpha, \mathbf{H}_0(g) \rangle = \langle \beta, \mathbf{H}_0(g) \rangle + \langle \delta, \mathbf{H}_0(g) \rangle > c'' + \inf\{c_1, 0\} \geq c_2. $$

Par conséquent, $\varphi_{P(\Theta, \Theta')}(g) = \varphi_{(\Theta, \emptyset)}(g)$. On a donc

$$ \Pi_{Q,R}\varphi(g) = (-1)^{a_Q - a_R} \left( \sum_{\Theta' \subset \Delta_Q^R \setminus \Delta_Q^R(g)} (-1)^{|\Theta'|} \right) \sum_{\Theta \subset \Delta_Q^R(g)} (-1)^{|\Theta|} \varphi_{P(\Theta, \emptyset)}(g). $$

Or, la somme sur $\Theta'$ est nulle si $\Delta_Q^G(g) \neq \Delta_Q^R$, ce qui prouve le lemme. ■

Pour $Q = P_0$ et $R = G$, puisque l'ensemble des $g \in \mathfrak{G}^*$, tels que $\langle \mathbf{H}_0(g), \alpha \rangle \le c''$, est compact, on a, en particulier [32, corollaire I.2.9] :

**Lemme 4.1.4.** Il existe un sous-ensemble compact $C = C_{K'}$ de $\mathfrak{G}^*$ tel que, pour toute fonction $\varphi$ sur $G(F)\backslash G(\mathbb{A})$ invariante à droite par $K'$, le support de

$$ \Pi_{P_0, G, \varphi}|_{\mathfrak{G}^*} $$

soit contenu dans $C$.

Soit $Q \in \mathcal{P}_{\text{st}}$. Pour $T \in \mathcal{a}_0$, on définit un opérateur de troncature $\Lambda^{T,Q}$ pour une fonction $\varphi \in L_{\text{loc}}^1(Q(F)\backslash G(\mathbb{A}))$ par

$$ \Lambda^{T,Q}\varphi(x) = \sum_{P \in \mathcal{P}_{\text{st}}, P \subset Q} (-1)^{a_P - a_Q} \sum_{\xi \in P(F) \backslash Q(F)} \hat{\tau}_P^Q(\mathbf{H}_0(\xi x) - T)\varphi_P(\xi x). $$

D'après [25, lemme 3.7.1], la somme sur $\xi$ est finie. Notons que l'opérateur $\Lambda^{T,Q}$ ne dépend que de la projection $T^Q$ de $T$ sur $\mathcal{a}_0^Q$. On pose

$$ \Lambda^T = \Lambda^{T,G}. $$

Les résultats de [25, section 4.1] sur les propriétés de $\Lambda^T$ sont vrais ici. En particulier, pour $T$ assez régulier (i.e. tel que $d_0(T) \ge c$ pour une constante $c$ dépendant de $G$), l'opérateur $\Lambda^T$ est un idempotent [25, corollaire 4.1.3] : on a $\Lambda^T \circ \Lambda^T \varphi = \Lambda^T \varphi$.

**Définition 4.1.5.** Pour $X \in \mathcal{a}_0^G$ et $T \in \mathcal{a}_0^G$, on définit<fnref n="2" />

$$ T[[X]] = T[[X]]^Q \in \mathcal{a}_0^Q $$

<footnote n="2">²On a utilisé les doubles crochets pour éviter les confusions avec la famille $M_0$-orthogonale $([T]_P)$ définie par un élément $T \in \mathcal{a}_0$.</footnote>
en posant

$$T - X = \sum_{\alpha \in \Delta_0} x_{\alpha} \check{\alpha} \quad \text{et} \quad T[[X]] = \sum_{\alpha \in \Delta_0^Q} x_{\alpha} \check{\alpha}.$$

Le raffinement [25, lemme 4.2.2] des propriétés de $\Lambda^{T,Q}$ est encore vrai ici.

## 4.2 Troncature et support

Cette section adapte au cas des corps de fonctions les résultats de [25, section 4.3]. On fixe un $T \in \alpha_0$, assez régulier. La proposition suivante joue ici le rôle de [25, proposition 4.3.2]. Elle est très simple à prouver et fournit cependant des décroissances beaucoup plus radicales.

**Proposition 4.2.1.** Soit $K'$ un sous-groupe ouvert compact de $G(\mathbb{A})$. Il existe un sous-ensemble fermé $\Omega = \Omega_{T,K'}$ de $G(F)\G(\mathbb{A})$ d'image compacte dans

$$\mathfrak{B}_G G(F)\G(\mathbb{A}),$$

tel que, pour toute fonction $\varphi$ sur $G(F)\G(\mathbb{A})$ invariante à droite par $K'$, le support de la fonction tronquée $\Lambda^T \varphi$ soit contenu dans $\Omega$.

**Démonstration.** On reprend la démonstration de l'assertion (2) du lemme 1.2.16 de [32]. Fixons un élément $T' \in \alpha_0$ assez régulier : on demande que la conclusion du lemme 4.1.2 soit vérifiée pour $K'$. Pour $P \in \mathcal{P}_{\text{st}}$, notons $G(\mathbb{A})_{P,T'}$ l'ensemble des $x \in G(\mathbb{A})$ vérifiant

$$\begin{cases} \langle \alpha, \mathbf{H}_0(x) - T' \rangle > 0 & \text{pour tout } \alpha \in \Delta_P, \\ \langle \varpi, \mathbf{H}_0(x) - T' \rangle \le 0 & \text{pour tout } \varpi \in \hat{\Delta}_0^P, \end{cases}$$

et posons

$$\mathcal{G}_{P,T'}^* = \mathcal{G}^* \cap G(\mathbb{A})_{P,T'}.$$

D'après [25, lemme 4.1.1], pour $P \in \mathcal{P}_{\text{st}}$ et $x \in G(\mathbb{A})$, si $(\Lambda^T \varphi)_P(x) \neq 0$, alors

$$\langle \varpi, \mathbf{H}_0(x) - T \rangle \le 0, \quad \text{pour tout} \quad \varpi \in \hat{\Delta}_P.$$

Grâce à [25, lemme 1.2.8], on en déduit que le support de $(\Lambda^T \varphi)_P|_{\mathcal{G}_{P,T'}^*}$ est contenu dans un compact de $\mathcal{G}^*$ indépendant de $\varphi$. En appliquant le lemme 4.1.2 à la fonction $\Lambda^T \varphi$, on obtient que le support de $\Lambda^T \varphi|_{\mathcal{G}_{P,T'}^*}$ est contenu dans un compact de $\mathcal{G}^*$ indépendant de $\varphi$. Puisque ([25, lemme 1.7.5])

$$\sum_{P \in \mathcal{P}_{\text{st}}} \phi_{P_0}^P \tau_P^G = 1,$$

on a $G(\mathbb{A}) = \bigcup_{P \in \mathcal{P}_{\text{st}}} G(\mathbb{A})_{P,T'}$. D'où la proposition.

■
Pour démontrer la proposition 4.2.1, on a utilisé la partition [25, lemme 1.7.5] de $a_0$. On observe aussi que, d'après [25, lemme 3.6.4], on a

$$ (4.1) \qquad \Lambda^T \varphi(x) = \sum_{\substack{Q,R \in \mathbb{P}_{\text{st}} \\ Q \subset R}} A_{Q,R}^T \varphi(x), $$

avec

$$ (4.2) \qquad A_{Q,R}^T \varphi(x) = \sum_{\xi \in Q(F) \setminus G(F)} F_{P_0}^Q(\xi x, T) \sigma_Q^R(\mathbf{H}_0(\xi x) - T) \Pi_{Q,R} \varphi(\xi x). $$

Si $Q = R$, alors $\sigma_Q^R = 0$, sauf si $Q = R = G$, auquel cas

$$ A_{G,G}^T \varphi(x) = F_{P_0}^G(x, T) \varphi(x). $$

On note $\mathbf{C}^T$ l'opérateur $A_{G,G}^T$. Puisque la fonction $F_{P_0}^G(\cdot, T)$ est invariante à gauche par $\mathfrak{B}_G G(F)$ et que son support est d'image compacte dans $\mathfrak{B}_G G(F) \setminus G(\mathbb{A})$, il existe un sous-ensemble fermé $\Omega^* = \Omega_{T,K'}^*$ de $G(F) \setminus G(\mathbb{A})$, d'image compacte dans $\mathfrak{B}_G G(F) \setminus G(\mathbb{A})$, tel que, pour toute fonction $\varphi$ sur $G(F) \setminus G(\mathbb{A})$ invariante à droite par $\mathbf{K}'$, le support de $(\Lambda^T - \mathbf{C}^T)\varphi$ soit contenu dans $\Omega^*$. On a aussi la variante de [25, proposition 4.3.3] :

**Proposition 4.2.2.** Soit $\mathbf{K}'$ un sous-groupe ouvert compact de $G(\mathbb{A})$. Il existe une constante $c = c_{\mathbf{K}'}$ (qui ne dépend pas de $T$) telle que, si $\mathbf{d}_0(T) \ge c$, alors pour toute fonction $\varphi$ sur $G(F) \setminus G(\mathbb{A})$ invariante à droite par $\mathbf{K}'$, on a

$$ (\Lambda^T - \mathbf{C}^T)\varphi = 0. $$

*Démonstration.* Pour étudier $(\Lambda^T - \mathbf{C}^T)\varphi(x)$, on traite séparément chaque terme $A_{Q,R}^T \varphi(x)$, avec $Q \ne R$ dans (4.1). On peut prendre $x$ dans $\mathfrak{S}$. Pour $\xi \in Q(F) \setminus G(F)$, il s'agit de contrôler $\Pi_{Q,R} \varphi(\xi x)$, sous la condition

$$ F_{P_0}^Q(\xi x, T) \sigma_Q^R(\mathbf{H}_0(\xi x) - T) = 1. $$

D'après [25, lemme 3.6.1], pour $x$ fixé, il y a au plus un $\xi$ modulo $Q(F)$ tel que l'expression ci-dessus soit non nulle. Puisqu'on est libre de multiplier $\xi x$ par un élément de $Q(F)$, on peut supposer que $\xi x = uay \in \mathfrak{S}_{P_0}^Q(T_1, T)$ avec $u \in U_Q(\mathbb{A})$, $a \in \mathfrak{B}_0$ et $y \in C_Q$ (cf. section 3.4). On peut même supposer que $u \in \Omega_Q$ pour un compact $\Omega_Q \subset U_Q(\mathbb{A})$, tel que $U_Q(F)\Omega_Q = U_Q(\mathbb{A})$. Rappelons que $C_Q$ est un compact fixé (assez gros, mais indépendant de $T$) de $G(\mathbb{A})$, et que $H = \mathbf{H}_0(\xi x)$ vérifie

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \langle \alpha, H - T_1 \rangle > 0 & \forall \alpha \in \Delta_0^Q, \\ \langle \omega, H - T \rangle \le 0 & \forall \omega \in \hat{\Delta}_0^Q. \end{array} \right. $$
Puisque $\sigma_Q^R(H-T) = 1$, on a $\langle\alpha, H\rangle > \langle\alpha, T\rangle$ pour tout $\alpha \in \Delta_Q^R$. Comme l'élément $T - T_1$ est régulier, il existe $c_1 \in \mathbb{R}$ (indépendant de $T$) tel que $\langle\alpha, H\rangle > c_1$ pour tout $\alpha \in \mathbb{R}^{R,+}$. D'après le lemme 4.1.3, il existe $c'' > 0$ tel que, pour $g \in \mathfrak{G}$ tel que $\langle H_0(g), \alpha \rangle > c''$, pour tout $\alpha \in \Delta_Q^R$, on ait $\Pi_{Q,R}\varphi(g) = 0$, pour toute fonction $\varphi$ sur $G(F)\G(A)^1$, invariante à droite par $K'$. Ici l'élément $\xi x = uay$ n'appartient pas à $\mathfrak{G}$, mais $H = H_0(a) + H_0(y)$, et $y$ reste dans un compact fixé, par conséquent il existe $c'_1 \in \mathbb{R}$ (indépendant de $T$) tel que $\log|\alpha(a)| > c'_1$ pour tout $\alpha \in \mathbb{R}^{R,+}$. Puisque $u$ reste dans un compact fixé de $U_Q(A)$, pour tout $P' \in \mathcal{P}_{\text{st}}^R$, la version généralisée du lemme 4.1.1 s'applique encore à $\xi x$ (cf. la preuve du lemme I.2.7 de [32]), et quitte à modifier la constante $c''$, la conclusion du lemme 4.1.3 s'applique encore à $\xi x$. D'où la proposition. ■

La différence par rapport au cas des corps de nombres est ici spectaculaire : sur un corps de nombres $F$, pour toute fonction lisse à croissance uniformément lente $\varphi$ sur $\mathfrak{B}_G G(F)\G(A)$, la fonction $\Lambda^T \varphi$ est seulement à décroissance rapide. Par ailleurs la décomposition

$$ \Lambda^T = \mathbf{C}^T + (\Lambda^T - \mathbf{C}^T), $$

qui joue un rôle crucial dans les estimées de [25, chapitres 12 et 13], est bien plus simple à contrôler, car ici, pour toute fonction $K'$-invariante à droite sur $G(F)\G(A)$, non seulement $\Lambda^T \varphi$ est à support d'image compacte dans $\mathfrak{B}_G G(F)\G(A)$, mais si $T$ est assez régulier, la troncature est encore plus brutale : on a $\Lambda^T \varphi = \mathbf{C}^T \varphi$. Cela simplifiera, plus loin, la preuve des estimées à établir.
# Chapitre 5

## Formes automorphes et produits scalaires

### 5.1 Formes automorphes

On fixe une mesure de Haar dg sur $G(\mathbb{A})$. On note $dk$ la mesure de Haar sur $K$, telle que $\text{vol}(K) = 1$. Pour $P \in \mathcal{P}$, on note $du_P$, ou simplement $du$, la mesure de Tamagawa sur $U_P(\mathbb{A})$. Par quotient par la mesure de comptage sur $U_P(F)$, on obtient une mesure sur $U_P(F)\backslash U_P(\mathbb{A})$ qui vérifie

$$ \text{vol}(U_P(F)\backslash U_P(\mathbb{A})) = 1. $$

Posons $M = M_P$. La mesure de Haar $dm$ sur $M(\mathbb{A})$ est choisie de sorte que l'on ait la formule d'intégration

$$ \int_{G(\mathbb{A})} f(g) dg = \int_{U_P(\mathbb{A}) \times M(\mathbb{A}) \times K} f(umk)e^{-(2\rho_P, H_P(m))} du dm dk, $$

où $\rho_P$ désigne la demi-somme des racines positives de $A_P$. La fonction

$$ m \mapsto \delta_P(m) = e^{\langle 2\rho_P, H_P(m) \rangle} $$

est le module de $P(\mathbb{A})$ :

$$ d(mum^{-1}) = \delta_P(m) du. $$

On pose<fnref n="1" />

$$ X_P = P(F)U_P(\mathbb{A})\backslash G(\mathbb{A}) \quad \text{et} \quad \bar{X}_P = A_P(\mathbb{A})P(F)U_P(\mathbb{A})\backslash G(\mathbb{A}). $$

En particulier

$$ X_G = G(F)\backslash G(\mathbb{A}) \quad \text{et} \quad \bar{X}_G = A_G(\mathbb{A})G(F)\backslash G(\mathbb{A}). $$

Les groupes $G(\mathbb{A})$ et $P(F)U_P(\mathbb{A})$ sont unimodulaires; on dispose donc d'une mesure quotient invariante à droite sur $X_P$. Pour $\phi$ localement intégrable et à support compact sur $X_P$, on a la formule d'intégration :

$$ (5.1) \qquad \int_{X_P} \phi(x) dx = \int_{X_{M} \times K} \delta_P(m)^{-1} \phi(mk) dm dk, $$

<footnote n="1">¹On prendra garde à ce que l'espace noté ici $X_G$ ne coïncide pas avec l'espace ainsi noté dans [25], car dans cette référence il y a, en plus, un quotient par $\mathfrak{B}_G$. Son usage correspond plutôt à celui de notre $\bar{X}_G$, sans toutefois lui être égal.</footnote>
où $dx$ est la mesure quotient. Par contre, si $P \neq G$, il n'y a pas de mesure $G(\mathbb{A})$-invariante à droite sur $\overline{X}_P$. Toutefois, il existe une fonctionnelle invariante à droite $r_{\overline{X}_P}$ sur l'espace des sections du fibré en droites sur $\overline{X}_P$, défini par $\delta_P$. Ces sections sont représentables par les fonctions sur $X_P$, vérifiant

$$ \phi(px) = \delta_P(p)\phi(x) \quad \text{pour } p \in A_P(\mathbb{A})P(F)U_P(\mathbb{A}). $$

La fonctionnelle est définie par :

$$ r_{\overline{X}_P}(\phi) = \int_{\overline{X}_M \times \mathbf{K}} \delta_P(m)^{-1} \phi(mk) \, dm \, dk, $$

où $d\dot{m}$ est la mesure quotient.

Rappelons que l'on a noté $\Xi(P)$ le groupe des caractères unitaires de $A_P(\mathbb{A})$ qui sont triviaux sur $A_P(F)$. Soit $\xi \in \Xi(P)$. On dit qu'une fonction $\varphi$ sur $X_P$ « se transforme à gauche suivant $\xi$ », si pour tout $x \in G(\mathbb{A})$ on a

$$ \varphi(ax) = \xi(a)\varphi(x) \quad \text{pour } a \in A_P(\mathbb{A}). $$

On note $L^2(X_M)_\xi$ l'espace de Hilbert formé des fonctions $\varphi$ sur $X_M$ qui se transforment à gauche suivant $\xi$ et sont de carré intégrable sur $\overline{X}_M$. Le groupe $M(\mathbb{A})$ agit sur $L^2(X_M)_\xi$ par translations à droite. Considérons deux fonctions $\varphi$ et $\psi$ localement intégrables sur $X_P$ qui se transforment à gauche suivant le même caractère $\xi \in \Xi(P)$. On pose (si l'intégrale converge)

$$ (5.2) \qquad \langle \varphi, \psi \rangle_P = \int_{\overline{X}_M \times \mathbf{K}} \varphi(mk) \overline{\psi(mk)} \, d\dot{m} \, dk. $$

Ce produit scalaire définit l'espace de Hilbert $L^2(X_P)_\xi$, siège de la représentation unitaire « induite parabolique »

$$ \mathrm{Ind}_{P(\mathbb{A})}^{G(\mathbb{A})} L^2(X_M)_\xi, $$

définie par

$$ (\rho(y)\varphi)(x) = \delta_P^{-1/2}(x)\delta_P^{1/2}(xy)\varphi(xy). $$

Pour la notion générale de forme automorphe, nous renvoyons le lecteur à [32, sous-section I.2.17]. Soit $M \in \mathcal{L}$. Un caractère de $A_M(\mathbb{A})$ est automorphe, s'il est trivial sur $A_M(F)$. Ainsi $\Xi(M)$ est le groupe des caractères unitaires automorphes de $A_M(\mathbb{A})$. Pour $P \in \mathcal{P}(M)$, une forme automorphe $\varphi$ sur $X_P$ est une fonction $\mathbf{K}$-finie à droite telle que la fonction $m \mapsto \varphi(mx)$ sur $X_M$ est automorphe. Elle est dite cuspidale, si pour tout $Q \in \mathcal{P}$ tel que $Q \subsetneq P$, le terme constant $\varphi_Q$ est nul – ou, ce qui revient au même, si pour tout $x$, la fonction $m \mapsto \varphi(mx)$ sur $X_M$ est cuspidale. Notons $\mathcal{A}_{\text{cusp}}(X_P)$ l'espace des formes automorphes cuspidales sur $X_P$. Pour $\xi \in \Xi(P)$, notons

$$ \mathcal{A}_{\text{cusp}}(X_P)_\xi \subset \mathcal{A}_{\text{cusp}}(X_P), $$
le sous-espace formé des fonctions qui se transforment à gauche suivant $\xi$.

**Définition 5.1.1.** Soit $P \in \mathcal{P}(M)$. On appelle représentation automorphe discrète modulo le centre – ou simplement discrète – de $M(\mathbb{A})$, une sous-représentation irréductible de $M(\mathbb{A})$ dans l'espace $L^2(X_M)_\xi$ pour un $\xi \in \Xi(M)$. On note $L_{\text{disc}}^2(X_M)_\xi$ le sous-espace fermé de $L^2(X_M)_\xi$ engendré par ces représentations.

On appelle forme automorphe discrète pour P une fonction K-finie sur $X_P$ telle que, pour tout $x$, la fonction $m \mapsto \varphi(mx)$ sur $M(\mathbb{A})$ soit un vecteur d'une représentation automorphe discrète modulo le centre de $M$.

Une représentation automorphe irréductible de $M(\mathbb{A})$ est discrète modulo le centre si et seulement si sa restriction à $M(\mathbb{A})^1$ est une somme finie de représentations irréductibles dans

$$L^2(M(F)\backslash M(\mathbb{A})^1).$$

Pour $\xi \in \Xi(P)$, on note $\mathcal{A}_{\text{disc}}(X_P)_\xi$ l'espace engendré par les formes automorphes discrètes qui se transforment à gauche suivant $\xi$ sur $X_P$. Le produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle_P$ munit $\mathcal{A}_{\text{disc}}(X_P)_\xi$ d'une structure d'espace pré-hilbertien. On sait (grâce à la proposition 4.2.1 pour les corps de fonctions) que

$$\mathcal{A}_{\text{cusp}}(X_P)_\xi \subset \mathcal{A}_{\text{disc}}(X_P)_\xi.$$

Ainsi, $\mathcal{A}_{\text{cusp}}(X_P)_\xi$ est lui aussi muni d'une structure d'espace pré-hilbertien.

## 5.2 Opérateurs d'entrelacement et séries d'Eisenstein

Soient $P, Q \in \mathcal{P}$ deux sous-groupes parabolique associés, i.e. tels que $M_P$ et $M_Q$ soient conjugués dans $G(F)$. Considérons une fonction $\Phi$ lisse sur $X_P$ se transformant à gauche suivant un caractère unitaire automorphe $\xi$ de $A_M(\mathbb{A})$. Pour $\lambda \in \alpha_{P,\mathbb{C}}^*$ et $x \in G(\mathbb{A})$, posons

$$\Phi(x, \lambda) = e^{(\lambda + \rho_P \cdot H_P(x))} \Phi(x).$$

La fonction $x \mapsto \Phi(x, \lambda)$ ne dépend que de l'image de $\lambda$ dans $\alpha_{P,\mathbb{C}}^* / \mathcal{A}_P^\vee$. Pour $s \in W(\alpha_P, \alpha_Q)$ et pour $\lambda \in \alpha_{P,\mathbb{C}}^*$ « assez régulier »$^2$ dans la chambre associée à P dans $\alpha_{P,\mathbb{C}}^*$, on a une expression définie par une intégrale convergente :

$$(M_{Q|P}(s, \lambda)\Phi)(x, s\lambda) = \int_{U_{s,P,Q}(\mathbb{A})} \Phi(w_s^{-1}nx, \lambda)dn,$$

<footnote>$^2$En notant $\mathbb{R}_P$ l'ensemble des racines de $A_P$ dans P, on demande ici l'inégalité stricte $\langle \check{\alpha}, \mathfrak{R}\lambda - \rho_P \rangle > 0$, pour toute racine $\alpha \in \mathbb{R}_P$ telle que $s\alpha \in -\mathbb{R}_Q$.</footnote>
où l'on a posé

$$U_{s,P,Q} = (U_Q \cap w_s U_P w_s^{-1}) \setminus U_Q.$$

On obtient ainsi un opérateur

$$\mathbf{M}_{Q|P}(s, \lambda) : \mathcal{A}_{\text{disc}}(X_P)_{\xi} \to \mathcal{A}_{\text{disc}}(X_Q)_{s\xi}.$$

Pour $P$ et $Q$ standards et $P$ fixé, $Q$ est déterminé par $s$, et l'on pose

$$\mathbf{M}(s, \lambda) = \mathbf{M}_{Q|P}(s, \lambda).$$

Pour $s = 1$, on écrira

$$\mathbf{M}_{Q|P}(\lambda) = \mathbf{M}_{Q|P}(1, \lambda).$$

Dans le cas particulier où $Q = s(P)$, on a (cf. [25, lemme 5.2.1]):

$$\mathbf{M}_{s(P)|P}(s, \lambda) = e^{(\lambda + \rho_P, Y_s)} s, \quad \text{où} \quad Y_s = \mathbf{H}_0(w_s^{-1}) = T_0 - s^{-1}T_0$$

et

$$s : \mathcal{A}_{\text{disc}}(X_P)_{\xi} \to \mathcal{A}_{\text{disc}}(X_Q)_{s\xi} \text{ est défini par } s\Phi(x) = \Phi(w_s^{-1}x).$$

**Définition 5.2.1.** Pour $\mu \in \mu_P$, on pose

$$\varphi_{\mu}(x) = e^{\langle \mu, \mathbf{H}_{P}(x) \rangle} \varphi(x),$$

et on note $\mathbf{D}_{\mu}$ l'opérateur $\varphi \mapsto \varphi_{\mu}$, i.e. $\mathbf{D}_{\mu}\varphi = \varphi_{\mu}$.

**Lemme 5.2.2.** Pour $P, Q \in \mathcal{P}$ associés, $s \in \mathbf{W}(\alpha_P, \alpha_Q)$, $\mu \in \mu_P$ et $\lambda \in \alpha_{P,\mathcal{C}}^*$ assez régulier, l'opérateur $\mathbf{D}_{\mu}$ vérifie l'équation fonctionnelle :

$$\mathbf{M}_{Q|P}(s, \lambda)\mathbf{D}_{\mu} = \mathbf{D}_{s\mu}\mathbf{M}_{Q|P}(s, \lambda + \mu).$$

*Démonstration.* Il suffit d'observer que $(\mathbf{D}_{\mu}\Phi)(x, \lambda) = \Phi(x, \lambda + \mu)$.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Soient $P, Q \in \mathcal{P}$ tels que $P \subset Q$. Pour $\Phi \in \mathcal{A}_{\text{disc}}(X_P)_{\xi}$ et $\lambda \in \alpha_{P,\mathcal{C}}^*$ assez régulier, on définit une série d'Eisenstein sur $X_Q$, par la formule :

$$E^Q(x, \Phi, \lambda) = \sum_{\gamma \in P(F) \setminus Q(F)} \Phi(\gamma x, \lambda).$$

Pour $Q = G$, on pose $E(\cdot, \Phi, \lambda) = E^G(\cdot, \Phi, \lambda)$. Le théorème 5.2.2 de [25] est vrai ici (mutatis mutandis)<fnref n="3" /> : pour $\Phi \in \mathcal{A}_{\text{disc}}(X_P)_{\xi}$ et $x \in X_Q$, les fonctions

$$\lambda \mapsto (\mathbf{M}_{Q|P}(s, \lambda)\Phi)(x) \quad \text{et} \quad \lambda \mapsto E(x, \Phi, \lambda)$$

admettent un prolongement méromorphe définissant des fonctions rationnelles sur le cylindre $\alpha_{P,\mathcal{C}}^* / \mathcal{A}_P^{\vee} = \text{Hom}(\mathcal{A}_P, \mathbb{C}^*)$.

<footnote n="3">³Les propriétés de rationalité dans le cas cuspidal sont établies dans [32, section IV.4]. Le cas général est traité dans [32, appendice II].</footnote>
## 5.3 La $(G, M)$-famille spectrale

Soient $M \in \mathcal{L}$, $P \in \mathcal{P}(M)$ et $\lambda \in \alpha_{P, \mathcal{C}}^*$. On définit une $(G, M)$-famille périodique à valeurs opérateurs [25, corollaire 5.3.2] : pour $Q \in \mathcal{P}(M)$ et $\Lambda \in \hat{\mathbb{A}}_M$, on pose

$$ \mathcal{M}(P, \lambda; \Lambda, Q) = \mathbf{M}_{Q|P}(\lambda)^{-1} \mathbf{M}_{Q|P}(\lambda + \Lambda). $$

Soit $T \in \alpha_0$. Rappelons que l'on a défini en section 3.2 une famille $M_0$-orthogonale, qui est rationnelle si $T \in \alpha_{0, \mathcal{Q}}$ :

$$ \mathcal{Y}(T) = (Y_{T,P}), $$

où, pour $P \in \mathcal{P}(M_0)$, on a posé

$$ Y_{T,P} = [T]_P + Y_P, \quad \text{et} \quad Y_P = T_0 - [T_0]_P. $$

Suivant la convention habituelle, pour $Q \in \mathcal{P}$ et $P \in \mathcal{P}(M_0)$ tels que $P \subset Q$, on pose $Y_{T,Q} = (Y_{T,P})_Q$ et $Y_Q = (Y_P)_Q$. Rappelons que pour $P \in \mathcal{P}(M_0)$, l'élément $Y_P$ appartient à $\mathcal{A}_0$. En particulier, la famille $M_0$-orthogonale $(Y_P)$ est entière. On peut donc définir une autre $(G, M)$-famille périodique à valeurs opérateurs : pour $Q \in \mathcal{P}(M)$ et $\Lambda \in \hat{\mathbb{A}}_M$, on pose

$$ \mathcal{M}(\mathcal{Y}; P, \lambda; \Lambda, Q) = e^{(\Lambda, Y_Q)} \mathcal{M}(P, \lambda; \Lambda, Q). $$

Le lemme suivant résulte de la proposition 1.6.8 :

**Lemme 5.3.1.** Fixons un élément $Z \in \mathcal{A}_G$. Les fonctions méromorphes de $\lambda$ et $\Lambda$ à valeurs opérateurs<fnref n="4" />

$$ \mathcal{M}_{M,F}^{G,T}(Z, \mathcal{Y}; P, \lambda; \Lambda) = \sum_{Q \in \mathcal{P}(M)} \varepsilon_Q^{G,[T]_Q}(Z; \Lambda) \mathcal{M}(\mathcal{Y}; P, \lambda; \Lambda, Q) $$

sont lisses pour les valeurs imaginaires pures de $\lambda$ et $\Lambda$.

Observons que l'expression $\mathcal{M}_{M,F}^{G,T}(Z, \mathcal{Y}; P, \lambda; \Lambda)$ est égale à

$$ \mathcal{M}_{M,F}^{G,T}(Z; P, \lambda; \Lambda) = \sum_{Q \in \mathcal{P}(M)} \varepsilon_Q^{G,[T]_Q}(Z; \Lambda) \mathcal{M}(P, \lambda; \Lambda, Q) $$

si $\mathcal{Y} = 0$, et donc, par exemple, si $G$ est déployé.

<footnote n="4">⁴La notion de méromorphie invoquée pour un opérateur, disons $A(\lambda)$, est entendue au sens faible, il s'agit de la méromorphie pour les fonctions $\lambda \mapsto A(\lambda)\Phi$, pour $\Phi$ dans un espace de Banach.</footnote>
Soit $Z \in \mathcal{A}_G$. Pour $Q, R \in \mathcal{P}_{\text{st}}$, on introduit la fonction méromorphe de $\lambda \in \alpha_{Q,C}^*$ et $\mu \in \alpha_{R,C}^*$, à valeurs opérateurs,

$$ \Omega_{R|Q}^{T}(Z; \lambda, \mu) = \sum_{S,s,t} \varepsilon_{S}^{G,T_{S}}(Z; s\lambda - t\mu)\mathbf{M}(t, \mu)^{-1}\mathbf{M}(s, \lambda), $$

où $S$ parcourt les éléments de $\mathcal{P}_{\text{st}}$ qui sont associés à $Q$, $s$ parcourt les éléments de $\mathbf{W}(\alpha_Q, \alpha_S)$, et $t$ parcourt les éléments de $\mathbf{W}(\alpha_R, \alpha_S)$. Notons que $\Omega_{R|Q}^T(Z; \lambda, \mu)$ ne dépend que des images de $\lambda$ dans $\alpha_{Q,C}^*/A_Q^\vee$ et de $\mu$ dans $\alpha_{R,C}^*/A_R^\vee$, et que l'on a $\Omega_{R|Q}^T(Z; \lambda, \mu) = 0$ si $R$ et $Q$ ne sont pas associés.

Le lemme 5.3.4 de [25] est vrai ici. Il entraîne la variante suivante de [25, lemme 5.3.5]<fnref n="5" /> : en posant $M = M_R$, le changement de variables $s \mapsto u = t^{-1}s$, $S \mapsto S' = t^{-1}S$ et $s\lambda - t\mu \mapsto \Lambda_u = u\lambda - \mu$, donne

$$ \begin{align*} \Omega_{R|Q}^T(Z; \lambda, \mu) & = \sum_{u \in \mathbf{W}(\alpha_Q, \alpha_R)} \sum_{S' \in \mathcal{P}(M)} e^{\langle \Lambda_u, Y_{S'} \rangle} \varepsilon_{S'}^{G,[T]_{S'}}(Z; \Lambda_u) \mathcal{M}(R, \mu; \Lambda_u, S') \mathbf{M}_{R|Q}(u, \lambda) \\ & = \sum_{u \in \mathbf{W}(\alpha_Q, \alpha_R)} \mathcal{M}_{M,F}^{G,T}(Z, \mathfrak{Y}; R, \mu; \Lambda_u) \mathbf{M}_{R|Q}(u, \lambda). \end{align*} $$

Puisque, pour $\lambda \in \hat{\alpha}_Q$, l'opérateur $\mathbf{M}_{R|Q}(u, \lambda)$ est une isométrie [25, théorème 5.2.2 (2)], on en déduit que la fonction à valeurs opérateurs

$$ (\lambda, \mu) \mapsto \Omega_{R|Q}^T(Z; \lambda, \mu) $$

est lisse pour les valeurs imaginaires pures de $\lambda$ et $\mu$. L'opérateur

$$ \Omega_{R|Q}^{T}(Z; \lambda, \mu) $$

entrelace les représentation de $G(\mathbb{A})$ dans $\mathcal{A}_{\text{disc}}(X_Q)_{\xi}$ et $\mathcal{A}_{\text{disc}}(X_R)_{\xi'}$, où $\xi$ et $\xi'$ sont des caractères unitaires automorphes de $A_Q(\mathbb{A})$ et $A_R(\mathbb{A})$ respectivement, tels que pour un (i.e. pour tout) $u \in \mathbf{W}(\alpha_Q, \alpha_R)$, on ait $\xi' = u\xi$.

**Définition 5.3.2.** On pose

$$ [\Omega]_{R|Q}^{T}(Z; \lambda, \mu) = |\hat{\mathbb{C}}_{R}|^{-1} \sum_{\nu \in \hat{\mathbb{C}}_{R}} \mathbf{D}_{\nu} \Omega_{R|Q}^{T}(Z; \lambda, \mu + \nu). $$

La fonction à valeurs opérateurs $(\lambda, \mu) \mapsto [\Omega]_{R|Q}^T(Z; \lambda, \mu)$ est lisse pour les valeurs imaginaires pures de $\lambda$ et $\mu$.

<footnote n="5">⁵Dans l'énoncé de loc. cit., $M$ est la composante de Levi standard de $Q$.</footnote>
## 5.4 Séries d'Eisenstein et troncature

Soit $M \in \mathcal{L}$. Pour $Z \in \mathcal{A}_G$ et $H \in \mathcal{A}_M$, on pose

$$X_G(Z) = G(F)\G(\mathbb{A}; Z), \quad X_M(H) = M(F)\M(\mathbb{A}; H)$$

et

$$\bar{X}_M = A_M(\mathbb{A})M(F)\M(\mathbb{A}).$$

Pour $P \in \mathcal{P}(M)$, soient $\Phi$ et $\Psi$ deux fonctions sur $X_P$ qui se transforment à gauche suivant le même caractère unitaire automorphe de $A_M(\mathbb{A})$. On a défini un produit scalaire

$$\langle \Phi, \Psi \rangle_P = \int_{\bar{X}_M \times \mathbf{K}} \Phi(mk) \bar{\Psi}(mk) \mathrm{d}m \mathrm{d}k.$$

**Lemme 5.4.1.** Pour $H \in \mathcal{A}_M$, on pose

$$\langle \Phi, \Psi \rangle_{P,H} = \int_{X_M(H) \times \mathbf{K}} \Phi(mk) \overline{\Psi(mk)} \mathrm{d}m \mathrm{d}k.$$

On a alors

$$\langle \Phi, \Psi \rangle_{P,H} = |\mathfrak{c}_M|^{-1} \sum_{\nu \in \mathfrak{c}_M} e^{-\langle \nu, H \rangle} \langle \mathbf{D}_\nu \Phi, \Psi \rangle_P.$$

*Démonstration.* On observe que puisque

$$\Phi(amk)\overline{\Psi(amk)} = \Phi(mk)\overline{\Psi(mk)}$$

pour tout $a \in A_M(\mathbb{A})$, le produit scalaire $\langle \Phi, \Psi \rangle_{P,H}$ ne dépend que de l'image de $H$ dans $\mathfrak{c}_M$. On conclut par transformée de Fourier sur le groupe fini $\mathfrak{c}_M$. ■

Soit $\varphi \in L_{\text{loc}}^1(P(F)\G(\mathbb{A}; Z))$. On pose, si la série converge,

$$E(x, \varphi) = \sum_{\gamma \in P(F) \setminus G(F)} \varphi(\gamma x).$$

Soit $\psi \in L_{\text{loc}}^1(\bar{X}_M \times \mathbf{K})$, c'est-à-dire que $\psi$ est une fonction localement intégrable sur $X_M \times \mathbf{K}$ qui est invariante à gauche sous $A_M(\mathbb{A})$. On pose, si l'intégrale a un sens, pour $\nu \in \mathfrak{c}_M$,

$$\hat{\psi}(\nu) = \int_{\bar{X}_M \times \mathbf{K}} e^{\langle \nu, \mathbf{H}_M(m) \rangle} \psi(m, k) \mathrm{d}m \mathrm{d}k.$$

Nous aurons besoin du calcul formel suivant.
**Lemme 5.4.2.** Notons $A_M(Z)$ l'image réciproque dans $A_M$ de $Z \in A_G$. Soit $\varphi$
comme ci-dessus et supposons que

$$
\varphi_P(x) = \int_{U_P(F) \setminus U_P(\mathbb{A})} \varphi(ux) \, du
$$

soit de la forme

$$
(5.3) \qquad \varphi_P(mk) = \delta_P(m) e^{\langle \xi, \mathbf{H}_P(m) \rangle} \psi(m, k)
$$

pour $m \in M(\mathbb{A})$, $k \in \mathbf{K}$, $\xi \in \mu_M$ et $\psi \in L_{\text{loc}}^1(\bar{X}_M \times \mathbf{K})$. On a l'égalité suivante :

$$
\int_{\mathbf{X}_G(Z)} E(x, \varphi) \, dx = |\mathfrak{c}_M|^{-1} \sum_{\nu \in \mathfrak{c}_M} \sum_{H \in \mathcal{A}_M(Z)} e^{\langle \xi - \nu, H \rangle} \hat{\psi}(\nu).
$$

Démonstration. Tout d'abord, il est classique d'observer que

$$
\int_{X_G(Z)} E(x, \varphi) \, dx = \int_{P(F) \setminus G(A;Z)} \varphi(x) \, dx = \int_{P(F)U_P(\mathbb{A}) \setminus G(A;Z)} \varphi_P(x) \, dx.
$$

La formule d'intégration (5.1) montre alors que

$$
\int_{X_G(Z)} E(x, \varphi) \, dx = \sum_{H \in \mathcal{A}_M(Z)} \int_{X_M(H) \times \mathbf{K}} \delta_P(m)^{-1} \varphi_P(mk) \, dm \, dk,
$$

soit encore, compte tenu de l'hypothèse (5.3),

$$
\int_{\mathbf{X}_G(Z)} E(x, \varphi) \, dx = \sum_{H \in \mathcal{A}_M(Z)} e^{\langle \xi, H \rangle} \int_{\mathbf{X}_M(H) \times \mathbf{K}} \psi(mk) \, dm \, dk,
$$

et il suffit pour conclure d'observer que

$$
\int_{\mathbf{X}_M(H) \times \mathbf{K}} \psi(mk) \, dm \, dk = |\hat{\mathfrak{c}}_M|^{-1} \sum_{\nu \in \hat{\mathfrak{c}}_M} e^{\langle -\nu, H \rangle} \hat{\psi}(\nu).
$$

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Nous pouvons maintenant établir l'analogue, dans notre cadre, de [25, théo-
rème 5.4.3]. Soient $\Phi$ et $\Psi$ des formes automorphes associées à des sous-groupes
paraboliques standards, vérifiant les conditions suivantes :

**Hypothèses 5.4.3.** On suppose que :

(i) $\Phi \in \mathcal{A}_{\text{disc}}(X_Q)_\xi$ et $\Psi \in \mathcal{A}_{\text{disc}}(X_R)_\xi'$ pour des sous-groupes paraboliques associés $Q, R \in \mathcal{P}_{\text{st}}$, où $\xi, \xi'$, resp. $\xi, \xi'$, est un caractère unitaire automorphe de $A_Q(\mathbb{A})$, resp. de $A_R(\mathbb{A})$;

(ii) $\lambda \in \mathfrak{a}_{Q, \mathbb{C}}^* / \mathfrak{A}_{Q}^{\vee}$ et $\mu \in \mathfrak{a}_{R, \mathbb{C}}^* / \mathfrak{A}_{R}^{\vee}$;

(iii) $\xi' = w\xi$ pour un (i.e. pour tout) $w \in \mathbf{W}(\mathfrak{a}_Q, \mathfrak{a}_R)$.
**Théorème 5.4.4.** Soit $Z \in A_G$. Sous les hypothèses 5.4.3, on a les assertions suivantes :

(i) On suppose que $\Phi$ et $\Psi$ sont cuspidales. On a l'égalité entre fonctions méromorphes de $\lambda$ et $\mu$ :

$$ \int_{X_G(Z)} \Lambda^T E(x, \Phi, \lambda) \overline{E(x, \Psi, -\bar{\mu})} dx = \langle [\Omega]_{R|Q}^T (Z; \lambda, \mu) \Phi, \Psi \rangle_R. $$

(ii) On suppose que $\Phi$ et $\Psi$ sont discrètes mais non nécessairement cuspidales. Il existe une constante $c > 0$ telle que, pour tout $\lambda \in \mu_Q$ et tout $\mu \in \mu_R$, on ait :

$$ \left| \int_{X_G(Z)} \Lambda^T E(x, \Phi, \lambda) \overline{E(x, \Psi, -\bar{\mu})} dx - \langle [\Omega]_{R|Q}^T (Z; \lambda, \mu) \Phi, \Psi \rangle_R \right| \ll e^{-cd_0(T)}. $$

*Démonstration.* Prouvons (i). Pour $\lambda \in \alpha_{Q,\mathbb{C}}^*$ dans le domaine de convergence de la série d'Eisenstein $E(x, \Phi, \lambda)$, et puisque $\Phi$ est cuspidale, on a ([25, proposition 5.4.1])

$$ \Lambda^T E(x, \Phi, \lambda) = \sum_{S,s,\gamma} (-1)^{a(s)} \phi_{M,s}(s^{-1}(\mathbf{H}_0(\gamma x) - T))(\mathbf{M}(s, \lambda)(\gamma x, s\lambda)), $$

où la somme porte sur les $S \in \mathcal{P}_{\text{st}}$ associés à $Q$, $s \in \mathbf{W}(\alpha_Q, \alpha_S)$, $\gamma \in S(F) \setminus G(F)$, et $M = M_Q$. On déduit du lemme 5.4.2 que pour $\lambda$ dans le domaine de convergence de $E(x, \Phi, \lambda)$, et $-\bar{\mu}$ dans celui de $E(x, \Psi, -\bar{\mu})$, l'intégrale de (i) est égale à

$$ (5.4) \qquad \sum_{S,s} \int_{X_S(Z)} (-1)^{a(s)} \phi_{M,s}(s^{-1}(\mathbf{H}_0(x) - T)) \mathbf{A}(x,s) dx $$

avec

$$ X_S(Z) = S(F)U_S(\mathbb{A})\G(\mathbb{A}; Z) $$

$(X_S(Z)$ est l'image de $(\coprod_{H \in \mathcal{A}_M(Z)} X_M(H)) \times K$ dans $X_S)$, et
$$ \mathbf{A}(x,s) = (\mathbf{M}(s,\lambda)\Phi)(x,s\lambda)\Pi_S \overline{E(x,\Psi,-\bar{\mu})}, $$

où $\Pi_S E$ est le terme constant de $E$ le long de $S$. Notons que $\phi_{M,s}(s^{-1}(\mathbf{H}_0(x) - T))$ ne dépend que de l'image $(\mathbf{H}_S(x)^G - T_S^G)$ de $(\mathbf{H}_0(x) - T)$ dans $\alpha_S^G$. D'après [25, théorème 5.2.2 (5)], on a

$$ \mathbf{A}(x,s) = \sum_{t \in \mathbf{W}^G(\alpha_R, \alpha_S)} e^{(s\lambda - t\mu + 2\rho_S \cdot \mathbf{H}_S(x))} (\mathbf{M}(s, \lambda)\Phi)(x) \overline{(\mathbf{M}(t, -\bar{\mu})\Psi)(x)}. $$
La fonction $\mathbf{M}(s, \lambda)\Phi$ appartient à $\mathcal{A}_{\text{cusp}}(X_S)_{s\xi}$ et la fonction $\mathbf{M}(t, -\bar{\mu})\Psi$ appartient à $\mathcal{A}_{\text{cusp}}(X_S)_{t\xi'}$. Il résulte des lemmes 5.4.1 et 5.4.2 que l'expression (5.4) est égale à la somme sur $S, s$ et $t$ de

$$|\mathfrak{e}_S|^{-1} \sum_{\nu \in \mathfrak{e}_S} \sum_{H \in \mathcal{A}_S(Z)} (-1)^{a(s)} \phi_{M,s}(H-T_S) e^{\langle s\lambda - t\mu - \nu, H \rangle} \langle \mathbf{D}_\nu \mathbf{M}(s, \lambda)\Phi, \mathbf{M}(t, -\bar{\mu})\Psi \rangle_S.$$

Fixons un triplet $(S, s, t)$ comme ci-dessus. En tenant compte du lemme 1.6.5 on a pour $\lambda$ assez régulier et $\mu$ fixé,

$$\sum_{H \in \mathcal{A}_S(Z)} (-1)^{a(s)} \phi_{M,s}(H-T_S) e^{\langle s\lambda - t\mu - \nu, H \rangle} = \varepsilon_S^{G,T_S}(Z; s\lambda - t\mu - \nu).$$

On obtient que l'expression (5.4) est égale à la somme sur $S, s$ et $t$, de

$$(5.5) \quad |\mathfrak{e}_S|^{-1} \sum_{\nu \in \mathfrak{e}_S} \varepsilon_S^{G,T_S}(Z; s\lambda - t\mu - \nu) \langle \mathbf{D}_\nu \mathbf{M}(s, \lambda)\Phi, \mathbf{M}(t, -\bar{\mu})\Psi \rangle_S,$$

soit encore

$$(5.6) \quad |\mathfrak{e}_R|^{-1} \sum_{\nu \in \mathfrak{e}_R} \varepsilon_S^{G,T_S}(Z; s\lambda - t(\mu + \nu)) \langle \mathbf{D}_{t\nu}\mathbf{M}(s, \lambda)\Phi, \mathbf{M}(t, -\bar{\mu})\Psi \rangle_S,$$

et, grâce à l'équation fonctionnelle du lemme 5.2.2, on obtient que (5.6) est égal à

$$(5.7) \quad |\mathfrak{e}_R|^{-1} \sum_{\nu \in \mathfrak{e}_R} \varepsilon_S^{G,T_S}(Z; s\lambda - t(\mu + \nu)) \langle \mathbf{D}_\nu \mathbf{M}(t, -(\mu + \nu))^{-1} \mathbf{M}(s, \lambda)\Phi, \Psi \rangle_R.$$

On voit apparaître la $(G, M)$-famille spectrale à valeurs opérateurs pour $M = M_R$ et l'intégrale de (i) est donc égale à

$$|\mathfrak{e}_R|^{-1} \sum_{\nu \in \mathfrak{e}_R} \langle \mathbf{D}_\nu \mathbf{\Omega}_R^T \mathcal{Q}(Z; \lambda, \mu + \nu) \Phi, \Psi \rangle_R.$$

L'assertion (i) en résulte. Le cas général (ii), dans le cas des corps de nombres, est dû à Arthur [3]. La preuve consiste à se ramener au cas cuspidal, c'est-à-dire à la formule de Langlands [25, théorème 5.4.2 (i)]. Dans le cas des corps de fonctions, on prouve, de la même manière, (ii) à partir de (i). Notons qu'ici les groupes $\mu_Q$ et $\mu_R$ sont compacts, d'où la borne uniforme en $\lambda$ et $\mu$. ■

Sous les hypothèses 5.4.3 (i) et 5.4.3 (ii), pour que l'intégrale

$$\int_{X_G(Z)} \Lambda^T E(x, \Phi, \lambda) \overline{E(x, \Psi, -\bar{\mu})} dx$$
soit non nulle, il faut que $w\xi$ et $\xi'$ coïncident sur $A_R(F)\setminus A_R(\mathbb{A})^1$ pour un (et donc pour tout) $w \in \mathbf{W}(\alpha_Q, \alpha_R)$. Cette condition équivaut à l'existence d'un $\tau \in \mu_R$, tel que

$$ (w\xi) \star \tau = \xi'. $$

Son image dans $\hat{\mathcal{B}}_R$ est uniquement déterminée.

**Proposition 5.4.5.** Notons $\mathcal{E}(\xi, \xi')$ l'ensemble des $\tau \in \mu_R$ vérifiant l'équation

$$ (w\xi) \star \tau = \xi'. $$

pour un $w \in \mathbf{W}(\alpha_Q, \alpha_R)$. S'il est non vide, c'est un espace principal homogène sous $\hat{\mathbb{C}}_R$, indépendant du choix de $w$. Sous les hypothèses 5.4.3 (i) et 5.4.3 (ii), le théorème 5.4.4 reste vrai sans l'hypothèse 5.4.3 (iii), à condition de remplacer $[\hat{\mathbf{\Omega}}]_{R|Q}^T(Z; \lambda, \mu)$ par l'opérateur

$$ [\hat{\mathbf{\Omega}}]_{R|Q}^T(Z, \xi, \xi'; \lambda, \mu) \stackrel{\text{déf}}{=} |\hat{\mathbb{C}}_R|^{-1} \sum_{\nu \in \mathcal{E}(\xi, \xi')} \mathbf{D}_\nu \hat{\mathbf{\Omega}}_{R|Q}^T(Z; \lambda, \mu + \nu). $$

Par convention, $[\hat{\mathbf{\Omega}}]_{R|Q}^T(Z, \xi, \xi'; \lambda, \mu) = 0$ si $\mathcal{E}(\xi, \xi')$ est vide. Si $(\lambda - \mu - \nu) \in \hat{\mathbb{C}}_G$ pour $\nu \in \mathcal{E}(\xi, \xi')$, chacun des membres de l'égalité ne dépend que de l'image de $Z$ dans $\mathbb{C}_G$.

**Démonstration.** Il suffit d'observer que $E(x, \mathbf{D}_\nu \Psi, \mu) = E(x, \Psi, \mu + \nu)$. ■
<figure><img src="image_13.png" /></figure>
# Chapitre 6

## Le noyau intégral

### 6.1 Opérateurs et noyaux

Notons $C_c^\infty(\tilde{G}(\mathbb{A}))$ l'espace des fonctions lisses et à support compact sur $\tilde{G}(\mathbb{A})$. On notera $dy$ la mesure $G(\mathbb{A})$-invariante à droite et à gauche sur $\tilde{G}(\mathbb{A})$ déduite de la mesure de Haar $dx$ sur $G(\mathbb{A})$ en posant :

$$ \int_{\tilde{G}(\mathbb{A})} f(y) dy = \int_{G(\mathbb{A})} f(\delta x) dx \quad \text{avec} \quad \delta \in \tilde{G}(F). $$

La mesure ainsi définie est indépendante du choix de $\delta$. L'espace tordu localement compact $\tilde{G}(\mathbb{A})$ est unimodulaire, au sens de [25, section 2.1]. Il agit sur $X_G$ de la manière suivante : pour $x \in X_G$ et $y \in \tilde{G}(\mathbb{A})$, on choisit un représentant $\dot{x}$ de $x$ dans $G(\mathbb{A})$ et un élément $\delta$ dans $\tilde{G}(F)$. Alors $\dot{x}' = \delta^{-1}\dot{x}y$ est un élément de $G(\mathbb{A})$, dont l'image $x'$ dans $X_G$ ne dépend pas des choix de $\dot{x}$ et de $\delta$. On pose $x * y = x'$.

On fixe, dans toute la suite, un caractère unitaire $\omega$ de $G(\mathbb{A})$ trivial sur le groupe $A_{\tilde{G}(\mathbb{A})}G(F)$. La représentation régulière droite $\rho$ de $G(\mathbb{A})$ dans $L^2(X_G)$ se prolonge naturellement en une représentation unitaire $\tilde{\rho}$ de $(\tilde{G}(\mathbb{A}), \omega)$, au sens de [25, section 2.3] : pour $\varphi \in L^2(X_G)$, et $x$ et $y$ comme ci-dessus, on pose

$$ \tilde{\rho}(y, \omega)\varphi(x) = (\omega\varphi)(x * y) = \omega(\delta^{-1}\dot{x}y)\varphi(\delta^{-1}\dot{x}y). $$

Par intégration contre une fonction $f \in C_c^\infty(\tilde{G}(\mathbb{A}))$, on définit l'opérateur

$$ \tilde{\rho}(f, \omega) = \int_{\tilde{G}(\mathbb{A})} f(y) \tilde{\rho}(y, \omega) dy. $$

Il est représenté par le noyau intégral sur $X_G \times X_G$

$$ K_{\tilde{G}}(f, \omega; x, y) = \sum_{\delta \in \tilde{G}(F)} \omega(y) f(x^{-1} \delta y), $$

c'est-à-dire que nous avons

$$ (\tilde{\rho}(f, \omega)\varphi)(x) = \int_{X_G} K_{\tilde{G}}(f, \omega; x, y)\varphi(y) dy. $$

Le noyau $K_{\tilde{G}}(f, \omega; x, y)$ sera noté $K(f, \omega; x, y)$ si aucune confusion n'est à craindre. D'après [25, lemme 6.2.1] on a le

**Lemme 6.1.1.** Il existe des constantes $c(f)$ et $N$ telles que, pour tout $x$ et tout $y$ dans $G(\mathbb{A})$, on ait

$$ |K(f, \omega; x, y)| \leq c(f) |x|^N |y|^N. $$
## 6.2 Factorisation du noyau

Pour $f \in C_c^\infty(\tilde{G}(\mathbb{A}))$ et $h \in C_c^\infty(G(\mathbb{A}))$, on note $f \star h \in C_c^\infty(\tilde{G}(\mathbb{A}))$ la fonction définie par

$$ (f \star h)(x) = \int_{G(\mathbb{A})} f(xy^{-1})h(y)dy. $$

Le noyau intégral de l'opérateur $\tilde{\rho}(f \star h, \omega)$ sur $X_G$ est donné par

$$ K(f \star h, \omega; x, y) = \int_{X_G} K(f, \omega; x, z)K_G(\omega h; z, y)dz. $$

Toute fonction $f \in C_c^\infty(\tilde{G}(\mathbb{A}))$ est $K'$-bi-invariante, c'est-à-dire invariante à droite et à gauche, par $K'$, un sous-groupe ouvert compact de $G(\mathbb{A})$, que l'on peut choisir distingué dans $K$. Si on suppose que le caractère $\omega$ est trivial sur $K'$, la fonction

$$ X_G \times X_G \to \mathbb{C}, (x, y) \mapsto K(f, \omega; x, y) $$

est $(K' \times K')$-invariante (pour l'action à droite) et le noyau $K(f, \omega; x, y)$ est $\mathfrak{A}$-admissible au sens de [25, section 6.3]. Le théorème de factorisation de Dixmier-Malliavin [25, théorème 6.3.1] est trivialement vrai ici : notons $e_{K'}$ la fonction caractéristique de $K'$ divisée par $\text{vol}(K')$. C'est un idempotent de $C_c^\infty(G(\mathbb{A}))$ et l'on a

$$ f = f \star e_{K'} = e_{K'} \star f = e_{K'} \star f \star e_{K'}. $$

Puisque $\omega|_{K'} = 1$, le noyau $K(f, \omega; x, y)$ s'écrit

$$ K(f, \omega; x, y) = \int_{X_G} K(f, \omega; x, z)K_G(e_{K'}; z, y)dz. $$

## 6.3 Propriétés du noyau tronqué

On a défini en section 3.4 un domaine de Siegel $\mathfrak{G}^* = \mathfrak{C}_G\mathfrak{G}^1$ pour le quotient

$$ \mathfrak{B}_G G(F) \backslash G(\mathbb{A}), $$

et on pose $G(\mathbb{A})^* = \mathfrak{C}_G G(\mathbb{A})^1$. On note $\Lambda_1^T$ l'opérateur de troncature agissant sur la première variable d'un noyau $K(f, \omega; x, y)$. On a, dans [32], la variante IV.2.5(b) des lemmes 6.4.1 et 6.4.2 de [25] :

**Lemme 6.3.1.** (i) Il existe un sous-ensemble compact $\Omega_1$ de $\mathfrak{G}^*$ tel que pour tout $y \in G(\mathbb{A})^*$, la fonction

$$ \mathfrak{G}^* \to \mathbb{C}, \quad x \mapsto \Lambda_1^T K(f, \omega; x, y) $$
soit à support dans $\Omega_1$. De plus, la fonction

$$ \mathcal{G}^* \times \mathcal{G}^* \to \mathbb{C}, \quad (x, y) \mapsto \Lambda_1^T K(f, \omega; x, y) $$

est à support compact, donc bornée.

(ii) Soit $\mathbf{K}'$ un sous-groupe ouvert compact de $G(\mathbb{A})$. Il existe un sous-ensemble compact $\Omega_2$ de $\mathcal{G}^* \times \mathcal{G}^*$ tel que pour toute fonction $\mathbf{K}'$-bi-invariante $f$ dans $C_c^\infty(\tilde{G}(\mathbb{A}))$, le support de la restriction à $\mathcal{G}^* \times \mathcal{G}^*$ du noyau tronqué $(x, y) \mapsto \Lambda_1^T K(f, \omega; x, y)$ soit contenu dans $\Omega_2$.

*Démonstration.* La fonction $(x, y) \mapsto K(f, \omega; x, y)$ sur $X_G \times X_G$ est $(\mathbf{K}' \times \mathbf{K}')$-invariante pour un sous-groupe ouvert compact $\mathbf{K}'$ de $G(\mathbb{A})$. On peut donc appliquer la proposition 4.2.1 : il existe un sous-ensemble compact $\Omega_1$ de $\mathcal{G}^*$ tel que pour tout $y \in G(\mathbb{A})^*$, le support de la fonction $x \mapsto \Lambda_1^T K(f, \omega; x, y)$ soit contenu dans $\Omega_1$. On procède ensuite comme dans la preuve de [32, assertion IV.2.5 (b)]. La dernière assertion résulte de la proposition 4.2.1 et de la preuve de [32, assertion IV.2.5 (b)]. ■
<figure><img src="image_14.png" /></figure>
# Chapitre 7

## Décomposition spectrale

Les sorites de [25, section 7.1] sont valables ici. La décomposition spectrale de $L^2(X_G)$ a été obtenue par Langlands pour les corps de nombres [28] et par Morris pour les corps de fonctions [35, 36], puis rédigée pour tout corps global par Mœglin et Waldspurger [32].

### 7.1 Un résultat de finitude

Soit $P \in \mathcal{P}$. On observe qu'une fonction $K$-finie sur $X_P$ est forcément $K'$-invariante à droite pour un sous-groupe ouvert $K'$ de $K$. Pour $\xi \in \Xi(P)$, on note $\mathcal{A}_{\text{disc},K'}(X_P)_{\xi}$ le sous-espace de $\mathcal{A}_{\text{disc}}(X_P)_{\xi}$, formé des fonctions qui sont $K'$-invariantes. On définit de la même manière les espaces $\mathcal{A}_{\text{cusp},K'}(X_P)_{\xi}$. Sur un corps de fonctions on a le résultat de finitude suivant :

**Théorème 7.1.1.** La représentation de $G(\mathbb{A})$ dans $\mathcal{A}_{\text{disc}}(X_P)_{\xi}$ est admissible : pour tout sous-groupe ouvert compact $K'$ de $G(\mathbb{A})$, l'espace $\mathcal{A}_{\text{disc},K'}(X_P)_{\xi}$ est de dimension finie.

*Démonstration.* D'après le lemme 4.1.2, il existe un sous-ensemble compact $\Omega$ de $X_P$ tel que toute forme automorphe cuspidale $K'$-invariante sur $X_P$ soit à support contenu dans $\Omega$. On en déduit que l'espace $\mathcal{A}_{\text{cusp},K'}(X_P)_{\xi}$ est de dimension finie. En d'autres termes, la représentation de $G(\mathbb{A})$ dans $\mathcal{A}_{\text{cusp}}(X_P)_{\xi}$ est admissible. D'après la décomposition spectrale de Langlands, les formes automorphes discrètes

$$ \Phi \in \mathcal{A}_{\text{disc},K'}(X_P)_{\xi} $$

s'obtiennent comme résidus de séries d'Eisenstein $E^P(x, \Phi', \lambda)$ construites à partir de formes automorphes cuspidales $\Phi' \in \mathcal{A}_{\text{cusp},K'}(X_Q)_{\xi'}$ pour un $Q \in \mathcal{P}$ tel que $Q \subset P$, $\xi' \in \Xi(Q)$ et $\lambda \in \mu_Q^+ \stackrel{\text{déf}}{=} \alpha_{Q,\mathbb{C}}^* / A_Q^\vee$; avec la condition que l'élément $\xi' \star \lambda$ de $\Xi(Q)^+$ défini par $(\xi' \star \lambda)(a) = \xi'(a)e^{(\lambda, \mathbf{H}_Q(a))}$ pour tout $a \in A_Q(\mathbb{A})$, prolonge $\xi$. Observons que $\xi' \star \lambda$ ne dépend que de la projection de $\lambda$ sur $\alpha_{Q,\mathbb{C}}^* / B_Q^\vee = \ker[\Xi(Q)^+ \to \Xi(Q)^1]$. Pour $\mu \in \mu_Q (= \hat{A}_Q)$, la fonction $\mathbf{D}_\mu \Phi'$ appartient à $\mathcal{A}_{\text{cusp},K'}(X_Q)_{\xi' \star \mu}$ et

$$ E^P(x, \mathbf{D}_\mu \Phi', \lambda - \mu) = E^P(x, \Phi', \lambda) \quad \text{pour tout} \quad \lambda \in \mu_Q^+. $$

Soit $\Xi(Q) \times_{\hat{B}_Q} \mu_Q^+$ le quotient de $\Xi(Q) \times \mu_Q^+$ par la relation d'équivalence définie comme suit : deux couples $(\xi'_1, \lambda_1)$ et $(\xi'_2, \lambda_2)$ sont équivalents si et seulement s'il
existe un $\mu \in \mu_Q$ tel que $(\xi'_2, \lambda_2) = (\xi'_1 \star \mu, \lambda_1 - \mu)$; auquel cas $\xi'_2 \star \lambda_2 = \xi'_1 \star \lambda_1$.
Puisque $\hat{\mathbb{C}}_Q = \ker[\mu_Q^+ \to \alpha_{Q, \mathbb{C}}^* / \mathbb{B}_Q^\vee]$ est fini, l'application (surjective)

$$ \Xi(Q) \times_{\mathbb{B}Q} \mu_Q^+ \to \Xi(Q)^+, (\xi', \lambda) \mapsto \xi' \star \lambda $$

est à fibres fines. Comme l'espace $\mathcal{A}_{\text{cusp}, K'}(X_Q)_{\xi'}$ est de dimension finie, il suffit de voir que les éléments de $\Xi(Q)^+$ de la forme $\xi' \star \lambda$ avec $(\xi', \lambda) \in \Xi(Q) \times \mu_Q^+$, tels qu'il existe une forme $\Phi' \in \mathcal{A}_{\text{cusp}, K'}(X_Q)_{\xi'}$ pouvant donner naissance par résidu de la série d'Eisenstein $E^P(x, \Phi', \cdot)$ en $\lambda$ à une forme dans $\mathcal{A}_{\text{disc}, K'}(X_P)_{\xi'}$, appartiennent à un ensemble fini. La projection $(\xi' \star \lambda)^1 = \xi' \star \lambda|_{A_Q(\mathbb{A})}^1$ de $\xi' \star \lambda$ sur $\Xi(Q)^1$ coïncide avec la projection de $\xi'$, qui est un caractère du groupe fini $A_Q(F)(K' \cap A_Q(\mathbb{A})^1) \setminus A_Q(\mathbb{A})^1$. Par conséquent, les classes $\xi' + \mathbb{B}_Q$ varient dans un sous-ensemble fini de $\Xi(Q)/\mathbb{B}_Q$. On peut donc fixer $\xi'$ et se contenter de faire varier $\lambda$. Écrivons $\lambda = \lambda_u + \lambda^+$ avec $\lambda_u \in \mu_Q$ et $\lambda^+ \in \alpha_Q^*$. La projection $(\lambda^+)_P$ de $\lambda$ sur $\alpha_P^*$ est nulle (car $\xi' \star \lambda|_{A_P(\mathbb{A})} = \xi$) et la projection $(\lambda^+)_Q^P$ de $\lambda$ sur $\alpha_Q^{P,*}$ varie dans un compact de $\alpha_Q^{P,*}$. La compacité de $\mu_Q$ assure que $\lambda$ varie dans un compact du cylinde $\mu_Q^+$. L'intersection d'un ensemble compact et d'un ensemble discret (les pôles d'une série d'Eisenstein) est finie, ce qui achève la démonstration du théorème. ■

Ce théorème rend inutile le découpage suivant les données cuspidales utilisé par Arthur (et repris dans [25]) dans le développement spectral de la formule des traces, puisqu'il règle immédiatement les éventuelles questions de convergence.

## 7.2 Données discrètes et décomposition spectrale

Pour $M \in \mathcal{L}$, notons $\mathbf{W}^G(M)$ le quotient de l'ensemble des éléments $w \in \mathbf{W}^G$ tels que $w(M) = M$ par $\mathbf{W}^M$. C'est un groupe et on note $w^G(M)$ son ordre. Rappeons que pour $\sigma$ une représentation de $M(\mathbb{A})$ et $\lambda \in \mu_M$, on a noté $\sigma_\lambda = \sigma \star \lambda$ la représentation définie par les opérateurs

$$ \sigma \star \lambda : x \mapsto e^{(\lambda, \mathbf{H}_M(x))} \sigma(x). $$

**Définition 7.2.1.** On appelle donnée discrète pour $G$ un couple $(M, \sigma)$, où $\sigma$ est une représentation automorphe irréductible de $M(\mathbb{A})$ discrète modulo le centre, c'est-à-dire apparaissant comme composant de $L^2_{\text{disc}}(X_M)_\xi$ – l'espace de Hilbert engendré par les sous-représentations irréductibles de $L^2(X_M)_\xi$ – pour un caractère unitaire automorphe $\xi$ de $A_M(\mathbb{A})$. Deux données discrètes $(M, \sigma)$ et $(M', \sigma')$ de $G$ sont dites équivalentes s'il existe un couple $(w, \lambda) \in \mathbf{W}^G \times \mu_M$ tel que

$$ wMw^{-1} = M' \quad \text{et} \quad w(\sigma \star \lambda) \simeq \sigma'. $$
Nous noterons $\text{Stab}_M(\sigma)$ le sous-groupe de $\hat{\text{Stab}}_M$ formé des $\lambda$ tels que $\sigma \star \lambda \simeq \sigma$, et $\hat{\text{Stab}}_M(\sigma)$ son indice :

$$ \hat{\text{Stab}}_M(\sigma) = \frac{|\hat{\text{Stab}}_M|}{|\text{Stab}_M(\sigma)|}. $$

Soit $(M, \sigma)$ une donnée discrète pour $G$ et soit $P \in \mathcal{P}(M)$. Soit $\xi$ la restriction à $A_M(\mathbb{A})$ du caractère central de $\sigma$. On notera

$$ \mathcal{A}(X_P, \sigma) \subset \mathcal{A}_{\text{disc}}(X_P)_\xi $$

le sous-espace des formes automorphes $\varphi$ sur $X_P$ telles que, pour tout $x \in G(\mathbb{A})$, la fonction $m \mapsto \varphi(mx)$ sur $X_M$ soit un vecteur de la composante isotypique de $\sigma$ dans $L_{\text{disc}}^2(X_M)_\xi$. C'est l'espace des fonctions $K$-finies à droite dans l'espace de la représentation induite parabolique de $P(\mathbb{A})$ à $G(\mathbb{A})$ de la composante isotypique de $\sigma$ dans $L_{\text{disc}}^2(X_M)_\xi$.

Considérons $x \in X_P$, $y \in \tilde{G}(\mathbb{A})$, $\theta = \text{Int}_\delta$ avec $\delta \in \tilde{G}(F)$ et $\mu \in \alpha_{M,\mathbb{C}}^*$. Rappe- lons que l'on a posé

$$ (7.1) \qquad \varphi(x, \mu) = e^{\langle \mu + \rho_P, \mathbf{H}_P(x) \rangle} \varphi(x). $$

**Définition 7.2.2.** Pour une représentation automorphe irréductible $\sigma$ de $M_P(\mathbb{A})$ dis- crète modulo le centre, on définit pour $Q = \theta(P)$ un opérateur unitaire<fnref n="1" />

$$ (7.2) \qquad \rho_{P,\sigma,\mu}(\delta, y, \omega) : \mathcal{A}(X_P, \sigma) \to \mathcal{A}(X_Q, \theta(\omega \otimes \sigma)), $$

en posant

$$ (7.3) \qquad (\rho_{P,\sigma,\mu}(\delta, y, \omega)\varphi)(x, \theta(\mu)) = (\omega\varphi)(\delta^{-1}xy, \mu). $$

Cet opérateur réalise un avatar tordu par $\delta$ et $\omega$ de la représentation induite para- bolique

$$ \text{Ind}_{P(\mathbb{A})}^{G(\mathbb{A})}(\sigma \star \mu). $$

Différentes réalisations peuvent apparaître et doivent être comparées :

**Lemme 7.2.3.** Pour $\mu$ et $\lambda \in \mu_M$, les avatars tordus

$$ \rho_1 = \rho_{P,\sigma,\lambda+\mu}(\delta, y, \omega) \quad \text{et} \quad \rho_2 = \rho_{P,\sigma\star\lambda,\mu}(\delta, y, \omega) $$

<footnote n="1">¹On prendra garde à ce que, contrairement au cas des corps de nombres, on ne dispose pas d'un représentant canonique dans l'orbite de $\sigma$ sous les décalages par les $\mu \in \mu_M$.</footnote>