# Comptes Rendus
Physique

Luc Dettwiller

L'invariant de Bouguer et ses conséquences : commentaire historique

Volume 23, Special Issue S1 (2022), p. 415-452

Published online: 3 March 2023

Issue date: 27 October 2023

https://doi.org/10.5802/crphys.115

Part of Special Issue: Astronomie, atmosphères et réfraction

Guest editors: Pierre Léna (Professeur émérite, Observatoire de Paris et Université Paris Cité, membre de l'Académie des sciences) and Luc Dettwiller (Université Jean Monnet Saint-Etienne, CNRS, Institut d'Optique Graduate School, Laboratoire Hubert Curien UMR 5516, F-42023, SAINT-ETIENNE, France)

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# L'invariant de Bouguer et ses conséquences :
commentaire historique

*The Bouguer invariant and its consequences:
an historical commentary*

Luc Dettwiller® a

Courriel : dettwiller.luc@gmail.com

**Résumé.** Dans la seconde partie de son essai primé de 1729, Bouguer (1698-1758) introduit, pour un rayon lumineux dans un milieu à symétrie sphérique, son invariant ainsi qu'une forme de l'intégrale de réfraction, dont il dresse une table pour un modèle particulier d'atmosphère; puis il étudie l'influence de la courbure des rayons sur la dépression de l'horizon — à propos de laquelle il prédit l'effet *hillingar*. À titre de complément, on rappelle que la formule de Bradley pourra se déduire du modèle de Bouguer; on montre qu'elle aide à comprendre la forte convexité de la réfraction horizontale en fonction de la réfractivity.

**Abstract.** In the second part of his prize-winning essay of 1729, Bouguer (1698–1758) considers a light ray in a spherically symmetric medium and introduces the invariant named after him. He deduces an expression of the refraction integral, leading to a table which is computed for a particular atmospheric model. He then studies the influence of the ray's curvature on the horizon dip and predicts the *hillingar* effect. As a complement, we recall that the Bradley formula can be derived from the Bouguer model. This helps to understand the strong convexity of horizontal refraction versus refractivity.

Published online: 3 March 2023, Issue date: 27 October 2023

## 1. Introduction

Pierre Bouguer est né le 16 février 1698 au Croisic, port très florissant où son père Jan (ou bien Jean) avait été nommé premier maître d'hydrographie (enseignant « l'art de naviguer par règles et principes » [1, p. 372-375]) dans une nouvelle école, gratuite et publique, créée en 1691. Il se révèle vite comme un enfant surdoué, ouvert et curieux, faisant de brillantes études au collège des Jésuites à Vannes. Puis il revient dans sa ville natale à cause de la maladie de son père, et il y commence sa carrière à 16 ans en lui succédant le 27 juin 1714 comme professeur royal (i.e. « maître ») d'hydrographie ; celui-là, décédé le 17 mai 1714, était l'un des meilleurs hydrographes de son temps. Sa compétence de très jeune enseignant force l'admiration de ses élèves, tous plus âgés, et lui vaut une célébrité précoce, grâce à laquelle l'école du Croisic devient rapidement très cotée.

<footnote>a Université Jean Monnet Saint-Etienne, CNRS, Institut d'Optique Graduate School,
Laboratoire Hubert Curien UMR 5516, F-42023, SAINT-ETIENNE, France</footnote>
À partir de 1720, et pendant plus d'un siècle, l'Académie des sciences lançait des concours an-
nuels sur des questions de physique générale alternant avec des questions de navigation, en vue
de l'attribution d'un prix (d'au moins 2 000 £ au XVIIIe siècle); un exemple célèbre dans l'histoire
de l'optique est la question sur la diffraction, posée en 1817 pour le prix de 1819, remis à Fresnel
en récompense de son magnifique mémoire de 135 pages. Bouguer en a remporté trois sur la
navigation, tous consécutifs : en 1727 avec *De la mâture des vaisseaux* [2], en 1729 avec *De la mé-
thode d'observer exactement sur mer la hauteur des astres* [3], et en 1731 avec *De la méthode d'ob-
server en mer la déclinaison de la boussole* [4]. Au moins avec son essai primé de 1729, où il utilise
le calcul infinitésimal qui n'est pratiqué en France que depuis une dizaine d'années, Bouguer
surfe sur l'intérêt nouveau de l'Académie pour cette nouvelle théorie [5, p. 67], ainsi que pour une
physique plus mathématique [6, p. 560], comme le montre l'étude du contexte intellectuel [7].

En 1729 aussi, il fait œuvre de physicien en publiant un *Essai d'optique sur la gradation de
la lumière* [8], véritablement novateur, que Lambert [9] déclarera très beau (voir [10] dans ce
numéro spécial). Le 1er décembre 1730, il est nommé professeur à l'école d'hydrographie du
Havre. Début septembre 1731, l'Académie des Sciences le reçoit comme associé géomètre, sur
la place libérée par la promotion de Pierre Louis Moreau de Maupertuis, du grade d'associé à
celui de pensionnaire ; Bouguer saute donc le grade d'adjoint, ce qui est exceptionnel — le seul
cas connu avant lui étant celui de Dortous de Mairan. Alors il sera souvent absent du Havre,
se faisant remplacer pour venir à Paris ; par conséquent, il ne s'intégrera pas réellement dans
la société havraise. Suite au décès de l'astronome pensionnaire Jacques Lieutaud en 1733, il est
choisi par le roi pour lui succéder le 24 janvier 1735, car il était déjà connu pour un travail en
mécanique céleste [11] ; il doit s'établir à Paris, où il ne restera pas longtemps.

En effet, en remplacement de l'astronome (et assistant à l'Académie des sciences, futur
Secrétaire perpétuel) Jean-Paul Grandjean de Fouchy « qui se désista pour d'obscures raisons
de santé (en fait, il était amoureux et ne voulait pas quitter sa belle) » [12, p. 74], Bouguer part
pour 9 ans le 9 mars 1736 vers le Pérou avec l'expédition de Godin et La Condamine, dont le but
est de mesurer la longueur d'un arc de méridien auprès de l'équateur [13, 14], afin d'en déduire
le sens de l'aplatissement terrestre et sa valeur, grâce à la comparaison avec un arc de méridien
mesuré en Laponie par l'expédition de Maupertuis (1736-1737). Avec ses mesures de la pesanteur
en août 1737 au sommet du volcan Pichincha (à 2 434 toises = 4 744 m d'altitude), mais aussi à
Quito qui se trouve au pied de celui-ci (à 1 466 toises = 2 857 m d'altitude), et plus tard au niveau
de la mer [15, p. 329-364], il introduit la « correction à l'air libre » et la « correction de plateau » [16,
p. 362-365] ; en 1738 il est intrigué aussi par la faiblesse de la déviation du fil à plomb (quelques
secondes d'angle, considérées par lui comme peu fiables [17, p. 248]) qu'il mesure à proximité du
Chimborazo, par rapport à l'ordre de grandeur prévu par son modèle (14 fois plus) — il effectue
donc un travail de géophysicien et d'astronome, qui lui fait soupçonner la présence de zones
de densité anormalement faible sous la montagne, ce en quoi il est précurseur de la théorie de
l'isostasie et des racines crustales des chaînes de montagnes [15, p. 379-394].

De retour à Paris en 1744, il publie ses observations dans son livre sur *La Figure de la Terre*,
paru en 1749 [15] ; et de par son expérience de la géodésie, il prend position, mais de manière
ambiguë, dans la polémique de 1743-1757 sur la longueur d'un degré de méridien en France.
Dès 1745, il avait été sollicité par l'Académie des sciences et par les ministres de la Marine
successifs, Phélypeaux (comte de Maurepas) puis Rouillé (comte de Jouy), pour examiner un
certain nombre de mémoires et projets visant à résoudre le problème des « longitudes à la mer »,
déposés devant les autorités. Sur terre, la mesure des longitudes était efficacement réalisée au
XVIIe-XVIIIe siècle par l'utilisation de bonnes horloges et l'observation synchronisée des éclipses
des satellites galiléens de Jupiter : c'est ainsi qu'en 1671 Jean Picard, sur le site de l'ancien
observatoire de Tycho Brahe au Danemark, et Jean-Dominique Cassini à l'Observatoire de Paris,
ont pu observer simultanément cinq de ces éclipses, et en déduire la différence de longitude entre
ces deux lieux. Mais cette méthode s'est avérée inutilisable en mer, à cause des mouvements du bateau qui perturbaient les horloges à pendule et rendent quasiment impossible l'observation des satellites de Jupiter [18]. Maupertuis étant parti début 1745, sur l'invitation de Frédéric II de Prusse, pour présider l'Académie des sciences de Berlin, Bouguer avait été chargé de le remplacer au poste de « préposé au perfectionnement de la marine ». En 1746 paraît son œuvre magistrale, probablement écrite en grande partie dans les Andes, pendant les longues périodes d'inactivité forcée : le *Traité du navire*, où il introduit la notion mathématique de métacentre permettant de prédire la stabilité des vaisseaux [19]. En 1748 il invente l'héliomètre (ou lunette à double objectif) pour mesurer avec précision le diamètre apparent du Soleil, afin de voir « si la théorie de Newton est vérifiée pour cet astre, à savoir s'il est aplati aux pôles » ; il n'obtient pas de résultat positif, vu la petitesse cet effet : 0,0089" ± 0,0021" mesurés pour le 10 septembre 1996 par l'héliomètre de Jean Rösch au Pic du Midi, en parfait accord avec les 0,0087" ± 0,0028" mesurés par le satellite SOHO pour les 19-20 mars 1997. Mais très vite Bouguer découvre avec son héliomètre les liserés colorés du limbe solaire (rouge en bas, bleu en haut si l'image est redressée) et les explique correctement par le pouvoir dispersif de l'air [20, 21].

En 1749, le ministre Rouillé lui attribue la pension de 3 000 £ qui avait été spécialement créée par son prédécesseur pour le poste de Maupertuis, à l'automne 1739. Bouguer s'acquittera scrupuleusement de la tâche afférente jusqu'à son décès. Ses expertises sur les propositions de méthode de mesure des longitudes le conduiront à penser que l'utilisation d'horloges dans ce but est vouée à l'échec et ne mérite pas d'être encouragée, car on ne dispose pas d'horloges ayant un fonctionnement suffisamment régulier (quoique des horlogers — au moins les familles Le Roy et Berthoud — y travaillaient); ainsi, les avis émis par Bouguer auraient agi comme un obstacle au développement de l'horlogerie de marine en France dans les années 1750 [22]. En 1753, son *Nouveau traité de navigation contenant la théorie et la pratique du pilotage* [23] est fort bien accueilli — comme en 1757 son dernier gros ouvrage de marine, *De la manœuvre des vaisseaux* [24].

Il participe activement à la rédaction du *Journal des scavans* jusqu'en 1755. En août 1754, année de la mort de son seul frère, il suggère au tout nouveau ministre de la Marine, Machault d'Arnouville, d'ordonner de nouvelles mesures géodésiques en France, avec l'espoir évident de s'en voir confier la responsabilité — pour combattre une solitude devenue trop pesante (il ne s'est jamais marié) [19] ou compenser une gloire émoussée, et assombrie par de pénibles querelles [12, p. 280 et 409-410] avec La Condamine qui jetaient le discrédit sur l'ensemble de la communauté scientifique [25], depuis un retour d'expédition vieux de 10 ans [26] ? Son souhait est partiellement exaucé, car il fait partie d'une des deux commissions chargées par l'Académie des sciences de remesurer en 1756 la distance Paris-Amiens pour clore les controverses sur le degré de France.

À côté de tout cela, il continue à travailler sur la photométrie jusqu'à la fin de sa vie. Car il avait toujours le souci de perfectionner les instruments de mesure, d'éviter les perturbations et de développer des corrections, comme il l'avait déjà fait entre autres pour ses pendules gravimétriques à Quito et au sommet du Pichincha où, pour analyser leurs différences de période il tient compte, non seulement de la différence de température, mais aussi de celle de pression qui entraîne un changement de masse volumique de l'air et donc de poussée d'Archimède [15, p. 338-340] ; par la suite, Bessel a montré (en 1826) comment l'usage d'un pendule réversible de forme symétrique permet d'éliminer cette influence de l'air dans les calculs de gravimétrie [16, p. 320-321 et 342-347], ce qui rend inutile cette prise en compte de la pression. Il reste que Bouguer se trouve être l'un des principaux instigateurs d'une nouvelle approche des mesures qui accroît leur exactitude et leur qualité, permettant ainsi un net développement de la physique de son siècle.

Il a été juge pour 6 prix de l'Académie des sciences (notamment sur des questions de mécanique céleste), et accumule aussi les titres et les honneurs : membre de la *Royal Society* (1750),
de l'Académie royale de Bordeaux, membre honoraire de l'Académie de Marine (1752), sous-directeur de l'Académie royale des Sciences de Paris en 1747 et 1754, et directeur en 1748 puis 1755.

En photométrie, « il passa les deux dernières années de sa vie à se mettre en état de faire un nouvel Ouvrage sur la même matière, mais qui n'auroit plus besoin du titre d'Essai. Après avoir fait toutes les expériences & tous les calculs dont il avoit besoin, M. Bouguer s'occupoit à les rédiger, lorsqu'il fut attaqué d'une maladie qui le fit languir plusieurs mois : elle ne put l'obliger à interrompre son travail ; forcé même par une hydropisie déclarée, de garder le lit, il ne fut pas possible de l'empêcher de s'occuper de son Livre pendant plusieurs heures du jour : il eut enfin la satisfaction d'en voir les dernières pages mises au net, quelques jours avant que de mourir » le 15 août 1758 [27, p. iv-v].

Ses travaux en construction navale, en hydrographie, en mathématiques, en optique, en astronomie, en géodésie et en géophysique font de lui une figure emblématique de savant aux connaissances encyclopédiques, conforme à l'idéal du siècle des Lumières [28-30]. Le poète croisicais Paul Desforges-Maillard, son cadet d'un an et ami de toujours avec qui il entretint une abondante correspondance, écrira [31] :

## XXIII*

### SUR LA MORT DE BOUGUER*

BOUGUER est mort. Il étoit de mon âme,
Pendant qu'il a vécu, la plus chère moitié ;
Et la noire Atropos, qui vint couper sa trame,
N'a pu rompre les nœuds de ma tendre amitié.

Ses immenses talens, de mémoire immortelle,
N'égaloient point encor la bonté de son cœur :
Accompli, né sans fard, prévenant et fidèle ²,
Tous ceux qui l'ont connu connoissoient sa candeur.

Éclairés en tous lieux par son sçavoir sublime,
Le ciel, la terre et l'eau lui doivent des regrets,
Et jamais des humains la plus célèbre estime
Ne pourra payer ses bienfaits.

L'interminable querelle avec La Condamine (1701-1774), qui ne cessera vraiment qu'à la mort de ce dernier, avait laissé de Bouguer l'image d'un homme difficile ; Condorcet le réhabilitera dans son *Eloge de M. de La Condamine*, lu par lui à l'assemblée publique de l'Académie (qui se

<footnote>* Journal de Verdun de 1758, t. II, Décembre, p. 448.</footnote>

<footnote>[31, p. 78] Source : gallica.bnf.fr / BnF</footnote>
déroule deux fois par an), comme l'a été celui de Bouguer par Grandjean de Fouchy [1, p. 372-375].

Nous présentons ici son deuxième essai [3] primé : [P] Bouguer, *De la Méthode d'Observer Exactement sur Mer la Hauteur des Astres*, Claude Jombert, Paris, 1729. Il est disponible à http:// resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN528571516

Ce n'est pas son seul texte où il traite de réfraction astronomique : il en publiera d'autres pour l'Académie des Sciences de Paris [32, 33], et ses travaux seront aussi présentés par le Secrétaire perpétuel [34, 35] ; mais l'essentiel de ses idées novatrices se trouve déjà dans son essai primé de 1729, et nous présentons les quelques idées supplémentaires de ses autres articles dans le paragraphe 3 de notre « panorama historique [...] » [36] dans ce numéro spécial. Pour une bibliographie plus complète de Bouguer, on pourra se reporter à celle établie par Maheu [37], qui recense 47 titres sûrs.

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DE LA METHODE
D'OBSERVER
EXACTEMENT SUR MER
LA HAUTEUR DES ASTRES.

— Oculosque sub astra tenebat.

Virg, Mar. Ænei. Lib v.

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ORSQUE l'Academie Royale des Sciences propose aux Sçavans de toutes les Nations, de déterminer quelle est la meilleure Méthode d'observer les hauteurs sur Mer, par le Soleil par les Etoiles, soit par des instrumens déjà connus, soit par des instrumens de nouvelle invention, Elle montre dans cette rencontre, comme dans toutes les autres, l'extrême attention qu'elle a pour l'utilité publique, & pour la perfection des Arts. Elle ne pouvoit pas choisir en effet de matière plus importante, & qui interrefsât davantage les Marins. Car réduits en Mer à ne pouvoir trouver que la feule latitude, avec un peu de précision, les Pilotes ne

A
## 2. Résumé et commentaires

Ce mémoire [3] de 74 pages se compose de deux parties.

La première (p. 3–38) est formée de 4 chapitres (et non pas 6, comme cela est marqué par erreur en tête des pages 33 et 35) consacrés aux divers instruments de mesure de la hauteur angulaire apparente $\psi' = 90° - Z'$ d'un astre, à leurs avantages et leurs inconvénients respectifs, et leurs perfectionnements éventuels. Ils sont classés en deux catégories, selon qu'ils se servent de l'horizon marin comme référence (c'est le cas de l'arbalestrille, du bâton astronomique, etc. — mais le sextant moderne ne sera inventé que dans les années 1730), ou bien utilisent un fil à plomb (resp. une disposition imprimée par la pesanteur à l'instrument) comme le quadrant de Gunter (resp. l'astrolabe lourd et pendu par un anneau), etc. — ce qui semble *a priori* exclu à cause du balancement du navire, mais Bouguer remet en cause cet *a priori* en réétudiant au chap. III différents systèmes : « car est-il certain qu'on ne pourroit pas à l'aide d'une bonne suspension, garantir [ces derniers] des plus grandes agitations du vaisseau ? »

La seconde partie (p. 39–72) est consacrée aux corrections optiques qu'il est nécessaire d'apporter aux mesures. Bouguer montre très clairement la nécessité, en navigation astronomique, de tenir compte (pour un observateur S) de corrections dues d'une part à la réfraction astronomique $\chi_S$ (qui fait l'objet du chapitre I — p. 39–62 — de cette partie), d'autre part à la réfraction atmosphérique (ou « terrestre ») qui fait l'objet du chapitre II — et que Lambert [9] caractérisera en moyenne par le coefficient de réfraction $\kappa_S$, i.e. le quotient de la courbure des rayons horizontaux en S par la courbure méridienne de la Terre (voir le paragraphe 3 de [36], puis 7.1.1 de notre exposé des « propriétés remarquables de la réfraction astronomique [...] » [38], et 3 de [39], tous dans ce numéro spécial).

Indépendamment de Newton qui l'avait précédé en 1694 sur l'étude de $\chi_S$ dans un milieu à symétrie sphérique mais ne l'avait pas publiée (voir le sous-paragraphe 2.2 de [36]), Bouguer écrit, moins approximativement que Newton, l'expression de $\chi_S$ sous la forme d'une intégrale (dite « de réfraction ») pour un rayon lumineux (R) supposé plan et allant d'un astre à S; si on utilise la fonction tangente et l'indice de réfraction $n$ (ainsi que sa valeur $n_S$ en S) au lieu de rapports de côtés de triangles et de sinus comme Bouguer, on peut la mettre sous la forme actuelle

$$ \chi_S = \int_{1}^{n_S} \frac{\tan \alpha}{n} dn \quad (1) $$

où $\alpha$ est, en un point courant P de (R), l'angle entre un vecteur tangent à (R) et le vecteur $grad n$ — pour une démonstration moderne de (1), voir le paragraphe 2 de [38] (mais rappelons surtout que cette intégrale suppose que $\tan \alpha$ soit une fonction non-équivoque de $n$). Bouguer consacre tout son §. XLI, intitulé « LEMME », à démontrer ce que nous appelons actuellement son invariant : à savoir, après transposition (cf. Table 1) en termes actuels ici comme dans toute la suite,

$$ I_B := nr \sin \alpha = n_S r_S \sin Z' \quad (2) $$

pour (R) dans un milieu à symétrie sphérique de centre C — l'indice S mis à une grandeur indiquant que l'on considère sa valeur au niveau de S, le symbole := indiquant une définition ou une notation, et la variable r désignant la longueur du segment CP (Bouguer appelle ce dernier « l'appliquée » de P). La démonstration de Bouguer [3, p. 41–42] est rédigée encore en termes de géométrie sans aucune équation, et toujours indépendamment de Newton. Puis, après des explications (qui seront plus claires dans son mémoire de 1753 [33]) occupant essentiellement les pages 44–46, Bouguer en tire (p. 46) l'expression de l'élément différentiel de réfraction, sous
la forme

$$d\chi = \frac{I_B}{\sqrt{r^2 - (n^{-1})^2 I_B^2}} dn^{-1}. \quad (3)$$

Bouguer dit que « presque tous les personnes qui ont traité ce sujet » [3, p. 47] ont supposé que les valeurs de $1/n$ — et non pas $1/(n-1)$, car il parle ici « des sinus » — sont proportionnelles aux valeurs d'un volume massique (Bouguer parle de « dilatations »). Or il note qu'avec la forte baisse de masse volumique $\mu$ de l'air en fonction de l'altitude, cela donnerait $\chi_s$ bien plus grand que ce qui est observé, donc il écrit que ceci l'a « obligé de supposer que les réfractions étoient causées dans l'Atmosphere par une matiere différente de l'air, & que nous avons appellée réfractive » (p. 48) ; derrière cette supposition se trouve vraisemblablement l'idée que $1/n$ est proportionnel au volume massique de cette « matiere réfractive », qui ne forme pas un mélange homogène avec l'air dans l'atmosphère : en cela, il reprend une idée émise au tournant du XVIIIe siècle, afin d'expliquer des faits troublants pour l'époque, au moins selon Giacomo Filippo Maraldi [40] suivi par les Cassini ([41, p. 197], [42, p. 84]) — mais sans les citer. Alors Bouguer considère que, vraisemblablement, $1/n$ est une fonction (peut-être proportionnelle à une puissance) du volume massique de l'air, et il suppose plus quantitativement que $1/n$ est proportionnel à $r^q$ [3, p. 48]. Sans le savoir, Bouguer considérait donc pour cette « matiere réfractive » un modèle d'état d'équilibre polytropique d'un certain indice $j$ (voir le sous-paragraphe 2.2 de [36]), car on sait maintenant que dans ce modèle la masse volumique est inversement proportionnelle à $r^j$ (avec une pesanteur inversement proportionnelle à $r^2$) et la température absolue $T$ inversement proportionnelle à $r$ pour un gaz parfait. Autrement dit, Bouguer ignorait, ou occultait, ou interprétait mal les conclusions expérimentales de Hauksbee [43, p. 175] qui préfiguraient la loi empirique de Gladstone-Dale. Serait-ce un cas de wishful thinking, car Bouguer aurait eu très envie d'utiliser les belles propriétés qu'il a découvertes pour des rayons dans un milieu où $n$ est inversement proportionnel à $r^q$ ? À sa décharge, signalons que le résultat de l'expérience de Hauksbee mit longtemps à être admis, vu les doutes de l'époque liés notamment à son résultat contradictoire avec l'expérience (en fait défectueuse) de Homberg [44, p. 115] ; mais surtout, au XVIIIe siècle les appellations, différentes des nôtres, étaient encore bien ambiguës et entretenaient la confusion entre ce qu'on appelle maintenant l'indice $n$ et la réfractivité $\eta := n = 1$ : le mot « réfraction » était utilisé pour désigner tantôt, à l'instar de $\chi_s$, une déviation (quasi proportionnelle à $n-1$ dans les expériences de Hauksbee, qui écrivait « By these Experiments it plainly appear'd, That the Refraction of the Air was, as far as the Eye could distinguish it, exactly proportional to its Density » [43, p. 175]), tantôt le rapport des « sinus des angles d'incidence & de réfraction » [3, p. 47]. Bouguer aurait-il pris dans l'article de Hauksbee le mot « refraction » [43, p. 175] avec sa seconde acception, alors qu'il relevait ici de la première ? Puisqu'on ne parlait donc pas encore d'indice de réfraction à cette époque, mais de rapports de sinus, $n$ ne saurait alors être défini qu'à une constante multiplicative près, donc il est naturel que $n_s$ soit absent du modèle de Bouguer, et selon lui il ne serait pas illogique de considérer un profil d'indice tel que $\lim_{r\to\infty} n(r) = 0$ ; cependant Bouguer considère que l'atmosphère de son modèle a une étendue limitée, et que les rayons lumineux ne présentent pas de point anguleux à sa frontière haute, donc (en termes actuels) que l'indice $n$'y est pas discontinu.

Bouguer déduit de son invariant $I_B$ l'équivalence entre l'existence de rayons en spirale logarithmique et le fait que les valeurs des « dilatations » (donc de $n^{-1}$ selon Bouguer) sont proportionnelles à $r$ [3, p. 43 et 52] — notons qu'alors l'élément différentiel de l'intégrale de réfraction $d\chi = (\tan \alpha) dn/n$ est, en vertu de simples propriétés géométriques, égal (en valeur absolue) à l'angle au centre $d\theta$ correspondant. Bouguer a trouvé aussi (p. 49) une loi plus générale dans le cas où $n$ est inversement proportionnel à $r^q$. Notons qu'avec ce profil d'indice particulier on a $\kappa_s = q$ — en vertu de la relation (43) de [38] de ce numéro spécial. Et c'est en appliquant
« des méthodes géométriques » [3, p. 52] aux rayons dans un tel modèle d'atmosphère (de hauteur $H$ au-dessus de l'observateur) que Bouguer construit une table de $\chi_S(\psi')$, en ajustant (comme Newton) les deux seuls paramètres indépendants ajustables de son modèle, $q$ et $h_τ := H/r_S$, à deux valeurs de référence : $\chi_S(0°) \cong 33′$ d'après les observations, et $\chi_S(26°) \cong 2′$ d'après les tables de La Hire [3, p. 57]. Malheureusement la table obtenue par Bouguer (et qui correspond à $q \cong 0,1281 \cong 1/7,805$) donne des valeurs en moyenne 10 % trop élevées, sauf aux faibles hauteurs (nous reviendrons sur ce point aux sous-paragraphes 3.4 et 3.5 du présent article) ; pendant l'ex-pédition du Pérou, Bouguer annoncera le calcul d'autres tables, « en suivant en partie la méthode que j'ai expliquée dans la Piéce que je publiai en l'année 1729, sur la manière d'observer en Mer la hauteur des Astres. » [32] Après avoir cité la table de Tycho, il termine ce chapitre en comparant la sienne à celle de *La connaissance des Tems*, qui est calculée selon le modèle de Cassini [3, p. 61-62] ; il constate que la variation des réfractions près de l'horizon, qui était mal reproduite avec le modèle de Cassini, l'est mieux avec le sien (ce que le théorème de Biot explique très facilement — voir le sous-paragraphe 7.1 de [38]).

Le dernier chapitre est consacré à la dépression de l'horizon, à savoir l'angle $\delta$ égal à la hauteur de l'horizon astronomique (i.e. l'ensemble des directions horizontales pour $S$) par rapport à l'horizon réel (qui usuellement est plus bas) ; Bouguer commence par calculer $\delta$ (qu'il appelle « l'inclinaison de l'horison sensible ») en considérant que les rayons lumineux venant de l'horizon marin sont rectilignes (comme le faisaient ses prédécesseurs), et il produit ainsi une table de $\delta$ en fonction de l'élévation $E$ de l'observateur $S$ [3, p. 65], mais il montre qu'il y a un désaccord net avec une observation datant de la campagne géodésique des Cassini (au début du XVIIIe) depuis une élévation de 408,5 toises (2 451 pieds) : 50′ 20″ observées, contre 54′ 20″ attendues (p. 66). Alors il montre (et il semble être en cela le premier) comment tenir compte de la courbure des rayons lumineux pour analyser les observations des objets terrestres ; elle diminue $\delta$, d'où une nouvelle table de $\delta$ (p. 70), dont la différence avec l'ancienne n'est pas négligeable pour les marins (p. 71). Cette diminution de $\delta$ était déjà prévue par Jean-Dominique Cassini, à propos des observations faites depuis Perinaldo lors de son bref et unique retour dans son village natal en novembre 1694, mais il ne savait pas comment mettre en équations les rayons courbes pour calculer $\delta$ théoriquement (voir la fin du sous-paragraphe 2.1 de [36]). À la dernière page, Bouguer tombe dans le travers de la plupart de ses illustres contemporains (comme Jacques Cassini [42] — voir le paragraphe 1 de [36]) et de ses prédécesseurs (Newton et Flamsteed dans leur correspondance de 1694-1695, Huygens, Brahe, etc.), consistant à attribuer les « irrégularités » de réfraction à « la différente quantité de vapeurs qui se soutiennent dans la partie basse de l'Atmosphere » [3, p. 72], au lieu de les expliquer par un profil thermique non standard.

Pour d'autres détails, voir

A. T. Young. (Page consultée 12 janvier 2022), *Annotated bibliography of mirages, green flashes, atmospheric refraction, etc.*, [En ligne]. Adresse URL : https://aty.sdsu.edu/bibliog/bibliog.html

### 3. Présentation illustrée des idées fondamentales

La partie qui nous intéresse est la seconde, puisqu'elle seule traite de la réfraction — voir aussi [7] pour une présentation moins analytique. Dès son premier chapitre consacré à $\chi_S$, Bouguer laisse clairement entendre qu'il vise une étude meilleure que le traitement sommaire de $\chi_S$ par Newton (1642-1727) dans son *Opticks* (1704) [45, Prop. X de la part. III du second livre] : voir ci-dessous, dans les pages 39-40 de [3], le paragraphe qui, malgré sa déférence envers les « grands Géomètres » comme Newton récemment décédé, n'en est pas moins une pierre jetée dans son jardin.
## SECON. PARTIE. CHAP. I. 32

### SECONDE PARTIE.

*Des corrections qu'il faut faire à la hauteur aparente des Aftres, pour avoir la hauteur véritable.*

#### CHAPITRE PREMIER.

*De la réfraction Astronomique.*

##### §. XXXIX.

Pluſieurs grands Géometres ont cherché la nature de la Solaire, ou de cette ligne courbe que tracent dans l'air les raions qui nous viennent des Aftres: mais ils ont toujours négligé la sphéricité des différentes couches, dont on peut concevoir que l'Atmosphere eſt formée.cependant il eſt certain qu'on doit y faire une expreſſe attention; & qu'il ne ſuffit pas, comme on le pourroit croire d'abord, de chercher la nature de la Solaire pour des couches planes, & de courber ensuite cette ligne à proportion qu'on ſupſoſe que les couches ſe courbent elles-mêmes pour devenir Sphériques. Car un raion de lumière qui avance ici horifontalement, fait avec les couches ſupérieures des angles de 30° min. d'un degré, de deux degraz &c. & cette diversité d'angles d'incidence, qui vient principalement de la courbure des couches, doit aporter de la différence dans la refraction même. C'eſt auffi par cette raion qu'on ne peut pas apliquer à l'Atmosphere, le fa meux Théorême avancé par M. Neuvton dans fon Opti-

[3, p. 39] Source: Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen

40 DES CORRECTIONS DE LA HAUTEUR, &c. que,* qu'un raion de lumière qui paſſe à travers pluſieurs milieux de différentes densitez, & compris entre des ſurfaces paralelles, ſouffre précisement par le trajet de tous ces milieux, la même réfraction que s'il paſſoit immédiatement du premier au dernier. Cette propofition n'eſt yraie que lorsque les ſurfaces ſont planes, & il s'en faut extrêmement qu'on puiffe s'en ſervir pour déterminer les réfractions astronomiques, ni pour découvrir le pouvoir refringent qu'a l'air groſſier d'ici - bas, par raport à celui qu'a l'air ſubtil du haut de l'Atmosphere.

[3, p. 40] Source: Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen

Avec son modèle d'atmosphère stratifiée sur une Terre plate, Newton introduisait donc l'invariant de Snell-Descartes. Bien sûr, dans ses lettres de 1694 à Flamsteed (voir le sous-
paragraphe 2.2 de [36]), il avait fait mieux, et introduit l'invariant $I_B$ (2) ; mais Bouguer ne pouvait pas le savoir, puisque cette correspondance n'a été publiée qu'en 1835. Alors, après avoir posé le problème de l'étude du rayon (R) que Bouguer appelle la *Solaire*, celui-ci démontre son invariant $I_B$ dans un lemme [3, p. 41].

### 3.1. Invariant de Bouguer

*Correspondance des notations*

<table><caption>TABLE 1. Notations (le symbole := indique une définition)</caption><thead><tr><th>Notations de Bouguer [3]</th><th>Notations de Dettwiller [36, 38] dans ce numéro de C. R. Phys.</th><th>Indications [et unités usuelles]</th></tr></thead><tbody><tr><td>A<br>la Solaire<br>« la distance » y := CP de<br>« l'appliquée »</td><td>S<br>le rayon lumineux (R)<br>r</td><td>Point de l'observateur<br>Rayon allant d'un astre à S<br>Distance entre un point courant P — du rayon lumineux (R) — et le centre C de la Terre, pour un modèle d'atmosphère à symétrie sphérique [km]<br>CS (quasiment le rayon terrestre) [km]</td></tr><tr><td>a</td><td>r<sub>S</sub></td><td></td></tr><tr><td>dy := SP de la Fig. 11 de Bouguer</td><td>dr</td><td>Variation élémentaire de r pour un déplacement élémentaire de P sur (R) [m]</td></tr><tr><td>« l'ordonnée » z := FG du point courant G d'une<br>« courbe » qui est le graphe des « dilatations z de la matiere réfractive »</td><td>r<sub>S</sub>n<sup>-1</sup></td><td>Inverse de l'indice de réfraction, multiplié par r<sub>S</sub> [km]</td></tr><tr><td>c<br>« progrès horisontal »<br>élémentaire, du</td><td>I<sub>B</sub><br>r<sub>S</sub>dθ</td><td>Invariant de Bouguer [km]<br>Longueur de la projection sur Terre du déplacement élémentaire de P sur (R) [m]</td></tr><tr><td>c dz / √(y<sup>2</sup> - (c<sup>2</sup>/a<sup>2</sup>)z<sup>2</sup>)</td><td>r<sub>S</sub> dχ = (I<sub>B</sub> r<sub>S</sub> dn<sup>-1</sup>) / √(r<sup>2</sup> - (n<sup>-1</sup>)<sup>2</sup> I<sub>B</sub><sup>2</sup>)</td><td>Réfraction élémentaire — correspondant au déplacement élémentaire de P sur (R) — et multipliée par le rayon terrestre [m]</td></tr></tbody></table>

(suite sur la page suivante)
<table><caption>TABLE 1. (suite)</caption><thead><tr><th>Notations de Bouguer [3]</th><th>Notations de Dettwiller [36, 38] dans ce numéro de C. R. Phys.</th><th>Indications [et unités usuelles]</th></tr></thead><tbody><tr><td><i>m</i></td><td><i>q</i></td><td>Exposant du modèle de Bouguer</td></tr><tr><td>CN</td><td><i>r</i><sub>S</sub> + <i>H</i></td><td>Rayon de la frontière supérieure de l'atmosphère, dans le modèle de Bouguer [km]</td></tr><tr><td><i>h</i> = (<i>m</i> - 1)/<i>m</i></td><td>-2<i>w</i> = (<i>q</i> - 1)/<i>q</i></td><td>Coefficient utile</td></tr><tr><td>1 - <i>g</i> = <i>a</i><sup>1-m</sup>CN<sup>m-1</sup></td><td>[1 + (<i>H</i>/<i>r</i><sub>S</sub>)]<sup>m-1</sup> = <i>r</i><sub>S</sub><sup>1-m</sup>(<i>r</i><sub>S</sub> + <i>H</i>)<sup>m-1</sup></td><td>Autre coefficient utile</td></tr><tr><td><i>q</i></td><td>sin <i>ψ'</i></td><td>Sinus de la hauteur apparente</td></tr><tr><td><i>p</i></td><td>cos <i>ψ'</i> = sin <i>Z'</i></td><td>Sinus de la distance zénithale apparente</td></tr><tr><td><i>e</i></td><td><i>χ</i><sub>S</sub>(0) := <i>χ</i><sub>Sh</sub> (1<sup>e</sup> valeur de référence)</td><td>Donnée numérique utilisée pour la construction de la table de Bouguer [°, °, °]</td></tr><tr><td><i>f</i></td><td><i>χ</i><sub>S</sub> (26°) (2<sup>e</sup> valeur de référence)</td><td>Idem</td></tr></tbody></table>

§. X L.

Peut-être donc qu'on entreprend ici de donner la première solution légitime du problème de la Solaire. Pour entrer en matière, on suposera que KAO (Fig. 11.) eft une portion de la surface de la terre, dont le point C eft le centre : on concevra le semidiamètre CA prolongé indéfiniment vers D, & on imaginera une courbe BGI qui ait CD pour axe, & dont les ordonnées AB, FG, DI représentent les différentes dilatations de l'air à chaque hauteur au-dessus de la terre; ou plutôt ces ordonnées doivent marquer les diverses dilatations de la matière réfractive répandue dans l'air. Concevant après cela un raion de lumière NPA, qui à cause de la réfraction continuelle qu'il souffre en passant toujours dans un milieu plus denfe, décrit avant de parvenir à nous la courbe NPA, nous confidererons les trois parties confécutives & infiniment petites P<sub>p</sub>, p<sub>π</sub>, π<sub>ω</sub>; & les aiant prolongées indéfiniment vers le bas, afin d'avoir les trois tangentes PL, pl, πλ à la courbe NPA, nous abaifferons du centre C de la terre, les trois perpendiculaires CL, Cl, & Cλ sur ces tangentes. Enfin on tirera les lignes CP, Cπ; & aiant décrit du point C comme centre, les trois arcs PF, Spf,

<footnote>* Dans la propof. X de la troisième Partie du second Livre.</footnote>
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>[3, Fig. 11 en fin d'ouvrage] Source : Biblioteca Virtual del Patrimonio Bibliografico (https://bvpb.mcu.es/es/consulta/registro.do?id=576360). CC-BY 4.0</figcaption></figure>

Noter que la courbe (BGI) ci-dessus, de point courant G, est d'abord présentée comme le graphe de $\mu^{-1}$ (« dilatation de l'air ») en fonction de la « hauteur au-dessus de la terre » [3, p. 40] ; mais ensuite Bouguer se ravisera ouvertement (p. 48) : à une constante multiplicative près, (BGI) devient le graphe de la « dilatation de la matiere réfractive » (en fait, celui de $rSn^{-1}$ en termes actuels) que Bouguer appelle « l'ordonnée z » du point courant.

SECON. PARTIE. CHAP. I. 41

$\sin\phi$, on élevera perpendiculairement à l'axe CD de la courbe BGI, les trois ordonnées FG, $fG$, $\phi\gamma$.

## LEMME.

### §. XLI.

Cela suposé, il eft évident qu'à cause de l'infinie petiteſſe des épaisſeurs $Ff$, $f\phi$, on peut ſuposer que l'ordonnée GF exprime la dilatation de l'air ou de la matiere réfractive qui eſt comprisé dans toute la couche ſphérique, dont $FPf$ eſt une portion, & dont $Ff$ eſt l'épaisleur; & que l'ordonnée $gf$ repréſente pareillement la dilatation de la matiere refractive, comprisé dans toute la couche qui eſt imédiatement au-deſſous, & dont $f\phi$ ou $ps$ eſt la petite épaisleur. Ainsi le raion de lumière fera le petit trajet $Pp$ fans le courber : mais rendu en $p$, il s'y rom-
pra, parce qu'il rencontrera en cet endroit de l'air plus
condenfé; & par confequent, au lieu de continuer le long
de pL, il se détournera selon pl; & le détour fera tel,
qu'il y aura même raport de FG au sinus de l'angle d'inc-
cidence que de fg au sinus de l'angle de réfraction. C'est
ce qui doit arriver selon la loi ordinaire des réfractions:
mais si on considère que Cpl, est égal à l'angle d'inciden-
ce, & que Cpl est l'angle même de réfraction, on con-
clura que FG est à CL, comme fg est à Cl; puisque
dans les deux triangles CpL, Cpl qui ont même hypote-
neufe Cp, les côtes CL, & Cl sont en même raison que
les sinus des angles CpL, Cpl, &c. que par la nature de
la réfraction, FG doit être au sinus de l'angle CpL, com-
me fg au sinus de l'angle Cpl. On prouvera avec la même
facilité que fg est à Cl, comme φγ est à Cλ: car le
raion étant parvenu en π en faisant avec la verticale Cπ,
un angle d'incidence Cπl, il souffrira dans ce point un
second détour, ensuite duquel il avancera selon πλ &
fera avec la même verticale Cπ, l'angle de réfraction C
F

[3, p. 41] Source : Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen

## 42 DES CORRECTIONS DE LA HAUTEUR, &c.

πλ. Mais comme les deux triangles rectangles Cπl, Cπλ
ont encore une même hypoteneuse Cπ, il est clair que
Cl fera à Cλ, comme le sinus de l'angle Cπl fera au fi-
nus de l'angle Cπλ : & qu'ainfi les ordonnées gf & γφ qui
expriment le raport qui doit être entre les sinus des an-
gles d'incidence & de réfraction Cπl & Cπλ, exprime-
ront auſſi le raport qui doit se trouver entre Cl & Cλ;
& il y aura donc par confequent même raison de gf à Cl,
que de γφ à Cλ. Or il résulte de tout cela que GF est à
CL, comme λφ est à Cλ; puisque l'un & l'autre de ces
raports, est égal à celui de gf à Cl. Et comme on peut
appliquer le même raisonnement à toutes les autres Parties
de la Solaire ou de la courbe tracée par le raion de lumie-
re; il s'enfuit que les perpendiculaires tirées du centre de
la terre fur les tangentes de cette courbe, ſeront conti-
nuellement proportionnelles aux ordonnées correfpon-
dantes de la courbe IGB des dilatations : c'est-à-dire,
que ſi on tire du centre C de la terre des perpendiculai-
res CR, CM &c. fur les tangentes NR, AM &c. de la
Solaire, il y aura continuellement même raport de ID à
CR que de AB à CM, que de GF à CL, &c.

[3, p. 42] Source : Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen

Ce §. XLI, que nous avons reproduit intégralement, est tout entier occupé par la démonstration
de l'invariance de $I_B := nr \sin \alpha$. Muni de ce résultat, et après une digression intéressante (§. XLII)
mais inutile dans la pratique, Bouguer va écrire $\chi_S$ rigoureusement sous la forme d'une intégrale.
### 3.2. Intégrale de réfraction

#### §. XLIV.

Si on fait maintenant attention au Lemme demontré §. 41. que les ordonnées de la courbe des dilatations font continuellement proportionnelles aux perpendiculaires tirées du centre C sur les tangentes de la folaire, on pourra faire cette proportion $AB=a | CM=c \parallel GF=z | CL=\frac{cz}{a}$.$^{\text{Ainsi la queftion se réduit à faire enforte que la courbe ANP que déerit le raion de lumière, ait effectivement dans tous les points, } \frac{cz}{a} \text{ pour les perpendiculaires comme CL tirées du centre C, sur les tangentes PL. Pour cela je cherche la petite ligne ou le petit arc PS, par cette analogie; } CE=a | eE=du | Cp=y | PS=}^{$^{\text{Ici, le plus simple est } a=1 \text{ et } c=1 \parallel GF \text{ pour } CL=\frac{cz}{a}.}$}$

[3, p. 44] Source: Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen

SECON. PARTIE CHAP. I. 45

$\frac{y^2 du}{a}$ &c ajoutant le quaré de $pS$ avec celui de $SP=dy$, &
tirant la racine quarée de la fomme, il me vient $\frac{y^2 du \cdot du}{a^2} + \frac{dy^2}{a} = \frac{y^2 du \cdot du^2 + a^2 dy^2}{a}$ pour la valeur de $pP$. La refleemblance du petit triangle $pSP$ &c du grand CLP me fait ensuite d'être couvrir la valeur de la perpendiculaire CL par cette analogie, $pP = \frac{y^2 du \cdot du^2 + a^2 dy^2}{a} | pS = \frac{y^2 du}{a} \parallel CP = y | CL = \frac{y^2 du}{\sqrt{y^2 du^2 + a^2 dy^2}}$. Et comme cette perpendiculaire CL que nous trouvons ainfi égale à $\frac{y^2 du}{\sqrt{y^2 du^2 + a^2 dy^2}}$, le doit être auffi à $\frac{cz}{a}$, nous aurons l'équation $\frac{y^2 du}{\sqrt{y^2 du^2 + a^2 dy^2}} = \frac{cz}{a}$, dont nous tirons $a^2 y^4 du^2 = c^2 z^2 y^2 du^2 + a^2 c^2 z^4 dy^2$, & $a^2 y^4 du^2 - c^2 z^2 y^2 du^2 = a^2 c^2 z^2 dy^2$, & enfin la formule $du = \frac{acz dy}{y \sqrt{a^2 y^2 - c^2 z^2}}$, ou $du = \frac{cz dy}{y \sqrt{y^2 - c^2 z^2}}$. Or on voit auffez qu'on peut toujours conftruire aiflement la folaire par cette formule; pourvû qu'on fupofe connuë la quadrature des courbes. C'eft ce qu'il n'eft pas neceffaire d'expliquer. Nous pourrions auffi nous diſpenſer de dire que pour trouver la valeur de $u$ ou de l'arc AE par le calcul, il n'y a qu'à tirer l'expreſſion de $z$ en $y$, de l'équation qui marque la nature de la courbe BGI des dilatations, & qu'introduiſant cette expreſſion à la place de $z$, dans la formule $du = \frac{c^2 dy}{y \sqrt{y^2 - c^2 z^2}}$, le ſecond membre ne contiendra plus que $y$ de ſeule variable avec ſa différen tielle; ce qui nous permetra toujours d'en prendre l'intégrale, &c de trouver au moins par aproximation, la valeur de l'arc $u$ qui répond à chaque apliquée $y$.

F iij

[3, p. 45] Source: Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen
46 DES CORRECTIONS DE LA HAUTEUR, &c.

§. XLV.

On peut non-feulement construire de cette forte la ligne APN que tracent dans l'air les raions de lumière; mais on peut toujours aussi découvrir la quantité de la réfraction astronomique, ou la quantité dont ces raions se courbent depuis leur entrée dans l'Atmosphere jusqu'à nous. La courbure qu'ils souffrent en chaque point p, est mesurée par l'angle infiniment petit que font deux tangentes voifines PL, pl; & la courbure totale est égale à l'angle que font les tangentes aux deux extremitez de la courbe. Il fuit de là que si nous abaissions du centre C de la terre, des perpendiculaires CL, Cl sur les deux tangentes PL, pl; nous pourrons regarder le petit arc xX compris entre ces deux perpendiculaires, comme l'élément de la réfraction astronomique, puisqu'il mefurera l'angle LC1, qui est égal à celui que font les deux tangentes: & par la même raison l'arc entier KZ intercepté entre les deux lignes CMK & CR, qui font perpendiculaires aux tangentes AM & NR, aux deux extremitez de la courbe, pourra être pris pour la courbure que souffre le raison dans tout son trajet. Or si on se souvient que CL = $\frac{cz}{a}$, on aura $\frac{cdz}{a}$ pour la petite partie LH dont CL surpasse C1; & on pourra découvrir la valeur de ce petit arc Xx par cette analogie $PL = \sqrt{\overline{CP}^2 - \overline{CL}^2} = \sqrt{\overline{y}^2 - \frac{c^2}{a^2}\overline{z}^2}$ | LH = $\frac{cd\gamma}{a}$ || CX = a | Xx. Il vient de cette forte $\frac{cdz}{\sqrt{\overline{y}^2 - \frac{c^2}{a^2}\overline{z}^2}}$ pour l'expression de ce petit arc: expression qui est générale, & qui convient également à toutes les différentes hypothèses des dilatations de l'air.

[3, p. 46] Source: Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen

SECON. PARTIE. CHAP. I. 47

Mais on la réduira, comme on le fçait, à chaque hypothèse particulière, en substituant à la place de z la valeur exprimée en y; & il ne reftera plus ensuite qu'à en prendre l'intégrale, pour avoir la quantité $\int \frac{cdz}{\sqrt{\overline{y}^2 - \frac{c^2}{a^2}\overline{z}^2}}$ de la réfraction astronomique.

[3, p. 47] Source: Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen
En transposant dans nos notations (cf. Table 1), on voit que Bouguer a obtenu l'intégrale de réfraction (qui est la première intégrale de son mémoire) sous la forme

$$ \chi_S = \int_{n_S^{-1}}^{1} \frac{I_B}{\sqrt{r^2 - (n^{-1})^2 I_B^2}} dn^{-1} \quad (4) $$

(voir les relations (14) de [36]) ; Newton a obtenu une forme voisine dans ses lettres à Flamsteed mais moins rigoureuse, car il lui manque un facteur $n^{-1}$. Bouguer a aussi (p. 45) l'expression de l'angle au centre élémentaire associé à un élément de (R) :

$$ d\theta = I_B \frac{n^{-1}}{r\sqrt{r^2 - (n^{-1})^2 I_B^2}} dr; \quad (5) $$

on le vérifie facilement en notant que

$$ d\theta = \frac{r \sin \alpha}{r\sqrt{r^2 \cos^2 \alpha}} dr = (\tan \alpha) \frac{dr}{r}, \quad (6) $$

ce qui revient bien à la formule classique suivante pour les courbes en coordonnées polaires :

$$ \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{r} \frac{dr}{d\theta}. \quad (7) $$

### 3.3. Le modèle de Bouguer

Dans le résumé, nous avons annoncé les raisons pour lesquelles Bouguer adopte une loi de proportionnalité entre $1/n$ et $r^q$ ; voyons avec ses propres mots comment il justifie ce choix curieux (sans pour autant tenir fermement à l'existence de la « matière réfractive »), et regardons les élégantes conséquences qu'il en tire.

#### §. LXVI.

Il seroit aſſez facile ſelon cela, ſi on connoisſoit les di-verſes dilatations z de la matière réſraſtive à differen-tes hauteurs au-deſſus de la terre, de découvrir la nature de la courbe que décrivent les raions de lumière ; & le raport des réſtraſtions : car on n'auroit toujours qu'à ſe ſer-vir pour la première de ces déterminations de la formule

$$ u = \int \frac{czdy}{y\sqrt{y^2 - \frac{c^2}{a^2}z^2}} & \text{& pour la ſeconde de la formule} $$

$$ \int \frac{cdz}{\sqrt{y^2 - \frac{c^2}{a^2}z^2}}. \text{ Mais malheureuſement on ne connoit point} $$

les dilatations de la matière réſraſtive, dont on auroit beſoin. On a bien quelque connoiſſance des différentes dilatations de l'air ; mais il eſt certain que les réſtraſtions n'en ſuivent pas le raport. En effet l'ait pris à une gran-de hauteur au-deſſus de la terre, eſt mille fois & dix mille fois plus dilaté qu'ici bas ; & ainsi, ſi les ſinus des angles d'incidence & de réſtraſtion, ſuivoient le raport ſimple de ces dilatations, comme l'ont ſuposé preſque toutes les perſohnes qui ont traité ce ſujet, un raion de lumière qui seroit d'abord horiſontal, devroit ſe rom-pre ſi confidérablement dans l'Atmosphere, qu'il devien-droit preſque vertical, avant de parvenir juſqu'à nous.
48 DES CORRECTIONS DE LA HAUTEUR, &c.

C'est ce qui nous a obligé de supofer que les réfractions étoient caufées dans l'Atmosphere par une matiere différente de l'air, & que nous avons appellée *réfractive*. Mais si on ne veut point admettre l'existence de cette matiere, nous ne nous en mettons point en peine. Car les sinus des angles d'incidence & de réfraction, qui ne font point proportionnels aux dilatations de l'air, le font certainement à quelque puissance ou à quelque fonction de ces dilatations : or on n'a qu'à regarder la courbe BGI, comme exprimant les dilatations de l'air élevées à ces puissances ou à ces fonctions quelles quelles soient.

Déterminer la Solaire pour toutes les Hypothèses dans lesquelles les dilatations z font proportionnelles aux différences y au centre de la terre, élevées à une puissance quelconque m.

§. XLVII.

Mais enfin, puisque nous ne connoisons point la courbe BGI des dilatations, nous allons supofer que les données FG = z font égales à une puissance quelconque m des différences y au centre de la terre; c'est-à-dire, que nous supoferons z = y^m, ou plûtôt z = a^1-m y^m, afin d'observer la loi des Homogenes. De cette forte nous comprendrons dans notre calcul une infinité de différentes hypothèses de dilatations, puisque m peut représenter une infinité de différentes puissances. Cette supposition donne dz = ma^1-m y^m dy, & si on introduit cette valeur à la place de dz, & a^1-m y^m à la place de z,

dans les formules générales $\frac{c^2 dy}{y \sqrt{y^2 - \frac{c^2}{a^2}}} \approx$ & $\int \frac{cdz}{\sqrt{y^2 - \frac{c^2}{a^2}} z}$;

la première qui exprime l'élément du des abscisses AE ou
## SECON. PARTIE. CHAP. 1.
ou AO de la Solaire, se changera en . . . . . .
$$ \frac{ca^2 - mymdy}{yVy^2 - \frac{c^2a^2 - 2m}{a^2}y^2m} = \frac{ca^2 - mym - 2dy}{Vay^2 - \frac{c^2a^2 - 2m}{a^2}y^2m - 2} & \text{& on aura}
$$
done par confequent $u = \int \frac{ca^2 - mym - 2dy}{Vay^2 - \frac{c^2a^2 - 2m}{a^2}y^2m - 2}$, pour ces abscisses, ou pour les arcs AE, ou AO qui répondent à chaque apliquée CP ou CN = y. D'un autre côté, la seconde formule $\int \frac{cdz}{Vy^2 - \frac{c^2}{a^2}z^2}$, qui exprime la quantité de la réfraction astronomique, se changera par de pareilles substitutions, en $\int \frac{mca^2 - mym - 1dy}{Vay^2 - \frac{c^2a^2 - 2m}{a^2}y^2m - 2} = \int \frac{mca^2 - mym - 2dy}{Vay^2 - \frac{c^2a^2 - 2m}{a^2}y^2m - 2} & \text{& c'est donc là la quantité de la réfraction. Il nous reste maintenant à trouver les valeurs de ces deux intégrales} \int \frac{ca^2 - mym - 2dy}{Vay^2 - \frac{c^2a^2 - 2m}{a^2}y^2m - 2} = u, & \text{&} \int \frac{mca^2 - mym - 2dy}{Vay^2 - \frac{c^2a^2 - 2m}{a^2}y^2m - 2} & \text{& Mais c'est assez que nous en trouvions une, pour que nous aions les deux car on voit qu'elles font dans un raport constant que la pre-miere ou que le progrès horizontal OA du rayon de lu-miere à mefurer sur la circonférence de la terre, eft à la seconde intégrale ou à la réfraction astronomique, comme l'unité eft à m : & c'est ce qui eft très-remarquable.}
$$

[3, p. 49] Source : Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen

Transposée avec nos notations, la propriété obtenue à la fin du §. XLVII est

$$ d\chi = -q d\theta \quad (8) $$

« & c'est ce qui est très-remarquable ». On peut retrouver cela plus brièvement, en notant qu'à cause des relations (1) et (7) on a

$$ d\chi = \frac{\tan \alpha(n)}{n} dn = \frac{r(\theta)}{n(r(\theta))} \frac{dn}{dr}(r(\theta)) d\theta \quad (9) $$

qui redonne bien (8) quand $n$ est proportionnel à $r^{-q}$.
Regardons maintenant la technique d'intégration utilisée par Bouguer.

§. XLVIII.

On peut trouver très aisément ces deux intégrales, et
suposant la rectification des arcs de cercle. On n'a d'a-
bord qu'à titer du centre C de la terre (Figure 12.) une
G

[3, p. 49] Source : Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen

59 DES CORRECTIONS DE LA HAUTEUR, &c.
ligne CΔ parallele à AM, qui eſt tangente à l'extremité
A de la Solaire NPA; l'arc AΔ ſera du même nom-
bre de degrez, que l'angle CAM, qui eſt le complement
de la hauteur aparente de l'Aſtre; & le sinus droit AΣ
ſera égal à CM = c. Si on regarde enſuite quelque
appliquée CP (y) de la Solaire, comme connu; on n'a-
ra qu'à faire le sinus droit TV = ca't − my m − 1, & mul-
tiplier l'arc compris entre le point A & le point T par
1/m − 1 pour avoir l'arc AE, par l'extremité E duquel on
doit faire paſſer l'appliquée CP : & multipliant ce même
arc AT par m/(m − 1), il viendra la quantité de la réfraCTION
que ſouffre le raión de lumière dans le trajet PA. Pour
démontrer cela, je conçois la ligne tv parallele & infini-
ment proche de TV; & du point t je tire la petite ligne t6
parallèlement à CΔ. Il eſt clair que ca't − my m − 1 étant la va-
leur de TV, nous aurons $\sqrt{a^2 - c^2 a^2 - m^2 y^2 m^2 - 1} = \sqrt{CT^2 - TV^2}$
pour celle de CV, & ſi nous prenons la differentielle
de ca't − my m − 1, il nous viendra $\overline{m} - 1 \times ca't - my m - 2$
dy pour T6. Mais comme le grand triangle CVT eſt
femblable au petit T6t, nous pouvons faire cette pro-
portion $CV = \sqrt{a^2 - c^2 a^2 - m^2 y^2 m^2 - 1} \parallel CT = a \parallel T6 =$
$\overline{m} - 1 \times ca't - my m - 2 dy$ [ Tt, & nous trouverons de cette
forte que $Tt = \frac{\overline{m} - 1 \times ca't - my m - 2 dy}{\sqrt{a^2 - c^2 a^2 - m^2 y^2 m^2 - 1}}$. Or il ſuit de là
que l'arc entier AT, qui eſt la ſomme de tous les petits
arcs Tt, ſera la valeur de l'intégrale $\int \frac{\overline{m} - 1 \times ca't - my m - 2 dy}{\sqrt{a^2 - c^2 a^2 - m^2 y^2 m^2 - 1}}$;
car y étant ſuposée égale à a, comme cela arrive au point

[3, p. 50] Source : Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>[3, Fig. 12 en fin d'ouvrage] similaire à la Fig. 11 mais moins chargée.
Source : Biblioteca Virtual del Patrimonio Bibliografico
(https://bvpb.mcu.es/es/consulta/registro.do?id=576360). CC-BY 4.0</figcaption></figure>

## SECON. PARTIE. CHA. II.

A, le sinus TV = $ca^2 - my^2 - ny$ trouve égal à $AΣ = c$, & l'arc eft par conſequent nul; mais à meſure que y augmente, le sinus TV s'éloigne de $AΣ$, & l'arc AT croit d'une nouvelle partie Tt qui eſt, comme on le voit, continuellement égale à $\frac{m-1}{\sqrt{a^2 - \frac{c^2}{4} + \frac{my^2 - ny}{2m-2}}} \times ca^2 - my^2 - ny$. Mais enfin puifque l'arc AT eſt la valeur de l'intégrale ..., $\int \frac{m-1}{\sqrt{a^2 - \frac{c^2}{4} + \frac{my^2 - ny}{2m-2}}} \times ca^2 - my^2 - ny \, dy$, il eſt évident qu'il ne réſte plus qu'à le multiplier par $\frac{1}{m-1}$ pour avoir l'intégrale .... $\int \frac{ca^2 - my^2 - ny}{\sqrt{a^2 - \frac{c^2}{4} + \frac{my^2 - ny}{2m-2}}} \, dy = n$, qui eſt la valeur de l'abscisse AE, qui répond à chaque apliquée CP de la Solaire; & que ſi on multiplie ce même arc AT par $\frac{m}{m-1}$, on aura l'intégrale $\int \frac{mc^2 - ny^2 - ny}{\sqrt{a^2 - \frac{c^2}{4} + \frac{my^2 - ny}{2m-2}}} \, dy$ qui exprime la quantité de la réfraction. Rien n'empêchera de faire la même choice pour toutes les autres apliquées y. Mais il eſt évident que ſi DN eſt la ſurface ſupérieure de l'atmosphere, ou que ſi la matière réfraſtive ne change plus de deſtité au-delus de cette ſurface; il faudra pren-
dre CN, pour dernière apliquée, puisque le raïon de
lumière ne souffrira aucune réfraction au-delus du point
N. Ainsi si on fait le sinus droit ∠Z égal à $ca'^{-m}$
CN$^{m-1}$, ce sera l'arc A⊗ intercepté entre les sinus A ≈ &
⊗= qu'il faudra multiplier par $\frac{1}{m-1}$ pour avoir l'abscisse
correspondante AO; & qu'il faudra multiplier par
$\frac{m}{m-1}$ pour avoir la réfraction astronomique, ou la cour-
bure totale que reçoit le raïon de lumière, en traversant
toute l'épaisseur de l'Atmosphere, depuis N jusqu'en A-
Gij.

[3, p. 51] Source : Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen

§ 2 DES CORRECTIONS DE LA HAUTEUR, &c.

§. XLIX.

Il fuit de tout cela qu'il n'importe que l'expofant m
soit un nombre politif ou négatif, entier ou rompu, &
que pourvu qu'il ne soit pas irationel, on peut toujours
déterminer géometriquement la quantité de la réfraction,
& tracer géometriquement la Solaire. Car il fera toujours
poſſible de trouver la valeur $ca'^{-m}y^{m-1}$ des sinus TV &
⊗ pour les apliquées CP & CN: & l'arc AT ou A⊗
étant déterminé, ou pourra toujours découvrir la réfrac-
tion, auſſi-bien que l'arc AE ou AO qui fert d'abſcisse à
l'apliquée CP ou CN: puisque ces arcs font des multi-
ples ou des ſoûmultiples de l'arc AT ou A⊗, & que
nous avons des méthodes géometriques, pour diviser un
arc, ou pour le multiplier, ſelon quel raport nous vou-
lons, auſſi-tôt que ce raport eſt de nombre à nombre.
Il faut cependant qu'outre l'irationalité de l'expofant m,
nous exceptions encore un cas, dans lequel la Solaire ſe
trouve être une courbe méchanique. C'eſt lorsque les dif-
férentes dilatations de la matiere réfractive ſont en mê-
me raion que ſes distances au centre de la Terre. Dans
ce cas z eſt égale ou proportionnelle à y; m deſigne l'uni-
té, & la Solaire eſt une logarithmique ſpirale. C'eſt ce
qu'on reconnoît par la formule $w = \sqrt{\frac{ca^2 - my^2 - z^2}{v_a^2 - \frac{c^2}{m^2} - 2my - 2}}$
qui ſe réduit à w = $\frac{c}{v_a^2 - c^2} \sqrt{\frac{ady}{y}}$, laquelle apartient
à la logarithmique ſpirale. C'eſt auſſi ce qui eſt confor-
me à ce qu'on a vû cy-devant, (§. 42.) que pour que les
raions de lumière ſuivent cette ligne courbe, il faut que
les dilatations des différentes couches de l'Atmosphere,
ſoient proportionnelles à leurs distances au centre de la
terre.

[3, p. 52] Source : Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen
Ici Bouguer note que si $n$ est proportionnel à $r^{-1}$, alors les rayons sont des spirales logarithmiques ; il avait montré la réciproque au §. XLII [3, p. 43]. Il exclut donc $q = 1$ de son étude, et avec raison si $H$ est infini, car dans ce cas $\chi_s$ n'est plus défini ! Mais il se trompe dans la première phrase de cette page, car $\chi_s$ n'est pas défini non plus pour des astres de hauteur angulaire réelle trop faible quand $q > 1$ (voir le sous-paragraphe 3.6 du présent article) ; mais cette situation donne des phénomènes très intéressants (voir le sous-paragraphe 3.6), que Bouguer ne mentionnera qu'en 1753 dans son mémoire [33].

### 3.4. La table de Bouguer

Il est intéressant de voir maintenant comment Bouguer, à partir des deux valeurs de référence (indiquées dans le résumé — paragraphe 2) qu'il a choisies pour $\chi_s$, lui permettent de construire sa table.

#### SECON. PARTIE. CHAP. I.

§§

*De la construction de la Table des réfractions; & du choix d'une hypothèse des dilatations de l'air.*

##### §. L.

On n'infisfera pas davantage sur la nature de la So-
laire, & on se bornera à parler des réfractions. Il eft
évident que puisqu'elles font toujours proportionnelles à
l'arc AΘ intercepté entre le sinus A ≈ (c) du comple-
ment de la hauteur aparente, & le sinus @ ≈ (ca⁻¹y⁻¹ m⁻¹)
qui a un raport constant avec le sinus A ≈, & qui eft tou-
jours égal au produit de ce sinus par a⁻¹ y⁻¹ ou par
a⁻¹ m CN m⁻¹; il eft, dis- je, évident qu'il fera tou-
jours facile de les calculer (les réfractions), par le moïen
des tables des sinus; pourvû qu'on connoiffe l'expofant m,
& la plus grande apliquée CN. On pourra auſſi en venir
à bout par le moïen des ſéries: car ſi continuant de nom-
mer a le semi-diamètre CA de la Terre & C le ſinus
complement A ≈ de la hauteur aparente, nous défignons
par b le ſinus de cette même hauteur, & nous ſupofons
$$ \frac{1}{h} = \frac{m}{m-1} \quad \& \quad 1-g = a^1 m CN m^{-1}; $$
nous aurons c X
$$ \frac{1}{1-g} \text{ ou } c - cg \text{ pour le } \sinus AΘ \text{ & la } \text{férie infinie} $$
$$ \frac{acg}{h} - \frac{ac^3}{2b^3} g^2 + \frac{3ac^5 + ab^2 c^3}{6b^5} g^3, \text{ &c. pour la valeur de l'arc AΘ, comme on peut le voir ainſément; & il ne reſtera donc plus qu'à multiplier cette ſérie par } \frac{1}{h} = \frac{m}{m-1} \text{ pour} $$
$$ \text{avoir } \frac{ac}{bh} g = \frac{ac^3}{2b^3 h} g^2 + \frac{3ac^5 + ab^2 c^3}{6b^5 h} g^3, \text{ &c. pour la quantité de la réfraction. Mais il eſt clair que faute de connoitre les quantitez g & h, nous ne pouvons point faire uſage de cette ſérie. Nous ne connoifons point h,} $$
G iiij
54 **DES CORRECTIONS DE LA HAUTEUR, &c.**

parce que nous ignorons la valeur de $m$, ou que nous ne
$fçavons pas laquelle de toutes les hypothèses représentées
par l'équation $z = a^1 - m\gamma^m$ est la plus conforme à la na-
ture : & nous ne connoîffons pas non plus $g$, parce qu'ou-
tre que la valeur de $m$ nous est inconnuë, nous ne con-
noîffons point auflî la hauteur de l'Atmosphere, ou la
longueur de la plus grande apliquée CN.

§. L I.

Mais rien n'eſt plus facile que de découvrir ces deux
grandeurs h & g, auſi-tôt qu'on a ſeulement trouvé par
des obſervations exactes, la réfraſtion aſtronomique pour
deux differentes hauteurs aparentes. Car comparant l'ex-
pression générale $\frac{ac}{bh}g - \frac{ac^3}{2bh^2}g^2 + \frac{3ac^5 + ab^2c^3}{6bh^3}g^3, \&c.$
avec ces deux réfraſtions connuës par obſervation; on au-
ra deux differentes équations, & on ſçait qu'il n'en faut
pas davantage, pour pouvoir déterminer deux inconnuës.
C'eſt ce qu'on va tâcher d'exécuter ici; mais en em-
ploïant comme cela eſt absolument nécessaire la metho-
de des ſuites & celle de leur retour, parce que, comme
il s'agit d'arcs &c de ſinus, l'opération apartient à la géo-
metrie tranſcendante. Nous ſupoſons d'abord pour une
plus grande facilité que la réfraſtion horiſontale eſt une
des deux que nous connoiſons, & nous la déſignerons
par e: l'autre réfraſtion connue, nous la nommerons $f$,
& nous nommerons $q$. Le ſinus de la hauteur aparente &
$p$ le ſinus de complement. Si nous introduiſons enſuite $q$
& $p$ à la place de $b$ &c de $c$ dans l'expression générale
$\frac{ac}{bh}g - \frac{ac^3}{2bh^2}g^2 + \frac{3ac^5 + ab^2c^3}{6bh^3}g^3 - \&c.$ des réfraſtions, nous
aurons $\frac{ap}{qb}g - \frac{ap^3}{q^2bh}g^2 + \frac{3up^5 + ap^2q^3}{6q^3bh}g^3 - \&c.$ pour la ré-
fraſtion $f$ qui convient à la hauteur aparente, dont $q$ eſt

[3, p. 54] Source: Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen

Les « deux grandeurs h & g », mentionnées dans la première phrase du §. LI, sont reliées
à l'exposant et à la hauteur H d'atmosphère du modèle de Bouguer (voir notre Table 1) ;
cette phrase est amusante, car à la fin du siècle précédent, Cassini ne trouvait pas si facile
de déterminer la hauteur de son modèle d'atmosphère, beaucoup plus simple cependant, car
supposée homogène (modèle de Ptolémée) — et il trouvait un résultat deux fois trop petit :
quasiment 2 000 toises (voir le sous-paragraphe 2.1 de [36]).
## SECON: PARTIE CHAP. I.

55

le sinus & p le cosinus; & ainsi nous aurons $f = \frac{ap}{qh} g$

$\frac{ap3}{2q3h} g^2 + \frac{3ap5 + ap^2q3}{6q5h} g^3 - \text{&c.}$ Je change cette équation

en $h = \frac{ap}{qf} g - \frac{ap3}{2q3f} g^2 + \frac{3ap5 + ap^2q3}{6q5f} g^3 - \text{&c.}$ &c. & je trouve

par la methode qu'on apelle le retour desuites;

$g = \frac{qf}{ap} h + \frac{f^2}{2a^2} h^2 - \frac{f^3}{6a^3p} h^3 - \frac{f^4}{2a^4} h^4 + \text{&c.}$ Voilà

donc une valeur de $g$ qui nous est fournie par la seconde hauteur aparente & par la réfraction altronomique $f$ qui lui convient: mais la première hauteur & la première réfraction; c'est-à-dire, la réfraction horizontale $e$ peut nous fournir aussi une valeur de $g$, & il est évident que pour la trouver tout d'un coup, nous n'avons qu'à mettre $e$ à la place de $f$; & zero & a à la place de $q$ & de $p$, parce que lorsqu'un Aftre paroit dans l'horison, le sinus de la hauteur aparente est nul, & le sinus complement de cette hauteur est égal au sinus total $a$. Il vient

dra de cette forte $g = \frac{e^2}{2a^2} h^2 - \frac{e^4}{2a^4} h^4 + \text{&c.}$ & com-

binant cette seconde valeur de $g$ avec la première, on fe-

ra disparoître $g$, & on aura l'équation $\frac{qf}{ap} h + \frac{f^2}{2a^2} h^2 =$

$\frac{f^3 q}{6a^3p} h^3 - \frac{f^4}{2a^4} h^4 + \text{&c.} = \frac{e^2}{2a^2} h^2 - \frac{e^4}{2a^4} h^4 + \frac{e^6}{7a^6} h^6 =$

etc. qui ne contient plus que la seule inconnue $h$. Mais

cette dernière équation se réduit à $\frac{qf}{ap} = \frac{e^2 - f^2}{2a^2} h =$

$\frac{f^3 q}{6a^3p} h^3 - \frac{e^4 + f^4}{2a^4} h^4 - \frac{f^3 q}{12a^3p} h^3 + \text{&c.}$ & elle donne

par le retour desuites $h = \frac{2aqf}{p \times e^2 - f^2} - \frac{4af^3q^3}{3p^3 \times e^2 - f^2}$

[3, p. 55] Source: Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen

Bouguer utilise ici des séries : il semble avoir manqué la solution simple et rigoureuse, que l'on trouve très facilement un bon changement de variable comme celui de Biot [46] (voir le sous-paragraphe suivant), mais que l'on savait déjà traiter moins aisément dès 1772 [47]. Il élimine l'inconnue $g$ au profit de $h$, qu'il exprime par une série — en utilisant une méthode itérative ? Nous détaillerons à la fin de notre sous-paragraphe 3.5 une façon plus simple d'ajuster $m$ de Bouguer (notre $q$) et $h$ (cf. Table 1).

## 56. DES CORRECTIONS DE LA HAUTEUR, &c.

$$ \begin{aligned} & \frac{16 afq g5 + 6aq5f3p2}{2p5 \times e^2 - f^2} \times \frac{e^2 - f^2}{e^4 - f^4} \\ & \rightarrow 300aq5p2f7 \times \frac{e^2 - f^2}{e^4 - f^4} - \frac{400aq7f3}{335p7 \times e^2 - f^2} + 36aq5p2f9 \times \frac{e^2 - f^2}{e^4 - f^4} \\ & \text{&c. Ainsi on peut maintenant regarder } h, \text{ comme connu;} \text{ puisque la série précédente qui l'exprime, n'est formée que de grandeurs connues, &c. que d'ailleurs il est facile de voir que cette série est très-convergente. Enfin il ne reste plus qu'à introduire cette valeur de } h \text{ dans} \end{aligned} $$
l'équation $g = \frac{a^2}{2a^2} b^2 - \frac{a^4}{3a^4} b^4 + \frac{a^6}{72a^6} b^6$ &c. pour

avoir
$$ g = \frac{2q^2e^2f^2}{p^2 \times a^2 - f^2} - \frac{8q^4e^2f^6 - 2q^4e^4f^4}{3p^4 \times a^2 - f^2} + \frac{400q^6e^2f^3 + 160q^6e^4f^3 + 8q^6e^6f^6 + 120q^4p^2e^2f^4 \times a^2 - f^2 \times a^4 - f^4}{90p^6 \times a^2 - f^2} $$

&c. & il viendra donc à g = 1 - $\frac{2q^2e^2f^2}{p^2 \times a^2 - f^2}$ +

$$ \frac{2q^4e^2f^6 + 2q^4e^4f^4}{3p^4 \times a^2 - f^2} $$

$$ \frac{400q^6e^2f^3 - 160q^6e^4f^3 - 8q^6e^6f^6 - 120q^4p^2e^2f^4 \times a^2 - f^2 \times a^4 - f^4}{90p^6 \times a^2 - f^2} $$

+ &c.

## §. LII.

Connoissant ainsi les valeurs de $b$ & de $g$, rien n'empêche de trouver à présent la réfraction astronomique, pour quelle hauteur aparente on voudra. On n'a qu'à introduire les valeurs de $b$ & de $g$ dans la formule générale

$$ \frac{ac}{bb} g - \frac{ac^3}{2b^3b} g^2 + \text{&c. du §. 50. Ou si on veut découvrir la même chose par les tables des sinus, on multipliera le sinus } A \approx c \text{ du complement de la hauteur proposée par la valeur de } a^{-m}y^{m-1} \text{ ou de } a^{-m}CN^{m-1} $$

[3, p. 56] Source : Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen

## SECON. PARTIE. CHAP. 1. 57

$CN^{m-1}$ que fournit la dernière série du §. 51. en donnant la valeur de $1-g$; & on aura au produit le sinus $\theta = ca^{-m}CN^{-1}$. On cherchera ensuite dans les Tables à quel arc $\theta\Delta$ ce sinus répond; & retranchant cet arc de celui $A\Delta$ du complement de la hauteur aparente, il vendra l'arc $A\theta$, qu'il ne restera plus qu'à multiplier par

$\frac{1}{h} = \frac{m}{m-1}$, ou qu'à diviser par $h$, dont la série

$$ \frac{4af^2f}{p \times a^2 - f^2} - \frac{4af^3q^3}{3p^3 \times a^2 - f^2} $$

, &c. est l'expression; & il vendra au quotient la réfraction qu'on vouloit découvrir. On fera la même chose pour toutes les autres hauteur aparentes, & on trouvera donc de cette force toutes les réfractions, en supposant simplement qu'on en connoît deux par les observations; l'assavoir l'une ($e$), l'orfisque l'Astre paroit dans l'horizon; & l'autre ($f'$), l'orfisque l'Astre est élevé d'une hauteur aparente, dont $q$ est le sinus & $p$ le sinus de complement, pendant que $a$ défigne le sinus total.

## §. LIII.

Le Livre de la connoissance des Tems marque 32' 20" pour la réfraction horizontale; mais comme les observations donnent presque toujours cette réfraction un peu plus grande, on l'a supposée de 33' completes. On a pris ensuite la réfraction qui apartient au 26me degré de hauteur, & on l'a fixée à 2' 12", en se conformant aux Tables de M. de la Hire. Si après cela on prend 1000000 pour le sinus total, & qu'on cherche combien valent à
## SECON. PARTIE. CHA. I.

59

qui répond à 79.19'.45"; & ainsi l'arc Aθ sera de 40'.
15" ou de 2415"; & si on le multiplie par le nombre conf-

tant $\frac{1100}{12458} = \frac{1}{h} = \frac{m}{m-1}$ on trouvera 355" ou 5'.55"

pour la quantité de la réfraction qu'on vouloit découvrir.
C'est de cette forte que nous avons calculé la Table suivi-
vante.

### Nouvelle Table des réfractions Astronomiques.

<table><thead><tr><th>Haut-<br>teurs<br>apa-<br>rentes.</th><th>Réfrac-<br>tions.</th><th>Haut-<br>teurs<br>apa-<br>rentes.</th><th>Réfrac-<br>tions.</th><th>Haut-<br>teurs<br>apa-<br>rentes.</th><th>Réfrac-<br>tions.</th></tr><tr><th>Deg.</th><th>Min. Sec.</th><th>D.</th><th>Min. Sec.</th><th>D.</th><th>Min. Sec.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>33</td><td>31</td><td>1 47</td><td>61</td><td>35</td></tr><tr><td>1</td><td>25 20</td><td>32</td><td>1 43</td><td>62</td><td>34</td></tr><tr><td>2</td><td>19 47</td><td>33</td><td>1 39</td><td>63</td><td>32</td></tr><tr><td>3</td><td>15 50</td><td>34</td><td>1 35</td><td>64</td><td>30</td></tr><tr><td>4</td><td>13 1</td><td>35</td><td>1 32</td><td>65</td><td>29</td></tr><tr><td>5</td><td>10 58</td><td>36</td><td>1 29</td><td>66</td><td>28</td></tr><tr><td>6</td><td>9 25</td><td>37</td><td>1 26</td><td>67</td><td>27</td></tr><tr><td>7</td><td>8 5</td><td>38</td><td>1 23</td><td>68</td><td>26</td></tr><tr><td>8</td><td>7 18</td><td>39</td><td>1 20</td><td>69</td><td>25</td></tr><tr><td>9</td><td>6 3</td><td>40</td><td>1 17</td><td>70</td><td>24</td></tr><tr><td>10</td><td>5 55</td><td>41</td><td>1 15</td><td>71</td><td>22</td></tr><tr><td>11</td><td>5 24</td><td>42</td><td>1 12</td><td>72</td><td>21</td></tr><tr><td>12</td><td>4 55</td><td>43</td><td>1 9</td><td>73</td><td>20</td></tr><tr><td>13</td><td>4 35</td><td>44</td><td>1 6</td><td>74</td><td>19</td></tr><tr><td>14</td><td>4 15</td><td>45</td><td>1 4</td><td>75</td><td>17</td></tr><tr><td>15</td><td>3 58</td><td>46</td><td>1 2</td><td>76</td><td>16</td></tr><tr><td>16</td><td>3 43</td><td>47</td><td>1 0</td><td>77</td><td>15</td></tr><tr><td>17</td><td>3 29</td><td>48</td><td>1 8</td><td>78</td><td>13</td></tr><tr><td>18</td><td>3 17</td><td>49</td><td>1 6</td><td>79</td><td>12</td></tr><tr><td>19</td><td>3 6</td><td>50</td><td>1 4</td><td>80</td><td>11</td></tr><tr><td>20</td><td>2 56</td><td>51</td><td>1 2</td><td>81</td><td>10</td></tr><tr><td>21</td><td>2 47</td><td>52</td><td>1 0</td><td>82</td><td>9</td></tr><tr><td>22</td><td>2 39</td><td>53</td><td>1 8</td><td>83</td><td>8</td></tr><tr><td>23</td><td>2 32</td><td>54</td><td>1 6</td><td>84</td><td>7</td></tr><tr><td>24</td><td>2 25</td><td>55</td><td>1 4</td><td>85</td><td>6</td></tr><tr><td>25</td><td>2 18</td><td>56</td><td>1 3</td><td>86</td><td>4</td></tr><tr><td>26</td><td>2 12</td><td>57</td><td>1 2</td><td>87</td><td>3</td></tr><tr><td>27</td><td>2 6</td><td>58</td><td>1 0</td><td>88</td><td>2</td></tr><tr><td>28</td><td>2 1</td><td>59</td><td>1 8</td><td>89</td><td>1</td></tr><tr><td>29</td><td>1 56</td><td>60</td><td>1 7</td><td>90</td><td>0</td></tr><tr><td>30</td><td>1 52</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Hij

[3, p. 59] Source: Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen

Notons que cette table (qui correspond à $q \cong 0,1281 \cong 1/7,805$) indique les réfractions à la seconde d'angle près, comme on le faisait à partir de 1702. Malheureusement elle donne des valeurs en moyenne 10 % trop élevées, sauf aux faibles hauteur; corrélativement, la valeur de référence tirée de la table de La Hire (2' 12'') est 11 % plus forte que la valeur correspondante donnée par la table d'Ivory ($\chi_S(26^\circ) \cong 1' 59,22''$) [48].

## 60 DES CORRECTIONS DE LA HAUTEUR, &c.

### §. L V.

Il n'est pas nécessaire de s'arrêter ici à expliquer l'usa-
ge de cette Table. Tous les Pilotes un peu instruits dans
la théorie de leur art, s'çavent assez que les réfractions font
communes aux hauteurs mefurées par toutes fortes d'infrumens; & que puisque ces réfractions font paroître les Aftres un peu plus élevez qu'ils ne font en effet, on doit toujours retrancher la réfraction de la hauteur aparente, pour avoir la hauteur véritable. On n'infisite pas davantage fur cet article. Mais les Ledeurs feront fans doute bien-afïes de connoître la valeur de m, afin de ſçavoir le degré de l'équation z = a⁻¹⁻¹my¹ &c de connoître quelle eſt l'hypothèſe qui ſert de fondement à nôtre table.

Nous avons trouvé (§. 15.) que $\frac{1}{z}$ ou $\frac{m}{m-1} = \frac{3300}{21458}$;

mais cette fraction $\frac{1100}{21458}$ doit être regardée comme négative, parce qu'elle marque le raport de l'arc A© à la réfraction astronomique, & que l'arc A© eſt négatif, parce que les ſinus TV ou ∞Z diminuent ici à meſure que les apliquées AP, ou AN=y augmentent. Ainsi au lieu de

l'équation $\frac{m}{m-1} = \frac{3300}{21458}$, nous avons $\frac{m^2}{m(m-1)} = -\frac{3300}{21458}$;

d'où nous tirons $25758 m = 3300$ & $m = \frac{1100}{21458}$ & ſi nous mettons cette valeur à la place de m dans l'équation z = a⁻¹⁻¹y¹ de la courbe BGI des dilatations, il vien-

dra z = a$^{21458}$ × y$^{1100}$ ou z$^{25758} = a^{21458}$ y$^{3300}$; & c'eſt donc là l'équation qui représente nôtre hypothèſe particulière; hypothèſe qui eſt préferable à la multitude infinie d'autres renfermées dans l'équation z = a⁻¹⁻¹y¹. Il eſt vrai que quelque ſiſtême qu'on embrasse ſur cette matière, il arrive preſque toujours que les réfractions font proportionnelles à un arc A© intercepté entre deux ſinus A∓, ∞Z qui ont entr'eux un raport conſ-

[3, p. 60] Source: Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen

## SECON. PARTIE. CHAP. I. 61

tant. Mais il ſuffit que ce raport ſoit different, ou que les deux ſinus ſoient pris en quelqu'autre endroit du quart de cercle, pour que les réfractions ſuivent une autre progression, & que la Table ſoit différente; & enfin nôtre hypothèſe a toujours cet avantage ſingulier, d'être choisi entre une infinité d'autres. On pouvoit bien avoir fait quatre ou cinq différentes ſuppositions & examiné ensuite laquelle étoit la meilleure: mais ce n'eſt qu'en ſuivant une méthode ſemblable à celle qu'on vient d'expliquer qu'on pouvoit pouſser la discuſion inſiniment plus loin; & choiſir, non pas entre quatre ou cinq hypothèſes, mais entre une infinité.

[3, p. 61] Source: Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen

### 3.5. Prolongement : la formule dite « de Bradley »

Il est intéressant de rappeler ici qu'une formule synthétique — (19) de [36] — peut se déduire du modèle de Bouguer ainsi que du résultat de Simpson [49, p. 58–59]; Bouguer, dans son mémoire [3], ne l'avait pas remarqué — c'est Lagrange [47] qui l'a fait le premier, en 1772. En termes
actuels, considérons donc un modèle d'atmosphère tel que $n(r) = K/r^q$ (avec $q$ positif différent de 1) tant que $n$ décroît de $n_S$ à 1, puis

$$n(r) = 1 \text{ pour } r \ge r_S + H = r_S n_S^{1/q} \quad (10)$$

où $H$ est la hauteur de ce modèle d'atmosphère ; on a vu dans [36] que Bouguer a cherché, par la suite, des valeurs numériques de $q$. À condition de prendre garde aux artefacts dus au point anguleux du profil d'indice en $r_S + H$, l'analyse des propriétés de la réfraction avec ce modèle est instructive, car elle aide à comprendre des points délicats de la fin des paragraphes 8 et 9.2 de [38].

L'intégrale de réfraction est calculable dans ce cas (cf. le sous-paragraphe 4.2.3 de [50] dans ce numéro spécial), comme l'a vu Bouguer géométriquement [3, p. 51], puis Simpson en 1743 [49, p. 58–59] — en partant d'un profil de réfractivity affine et en procédant à « plusieurs réductions ou simplifications qui ne paraissent pas toujours bien légitimes », ainsi que le rappellent clairement avec des formules la note de Mathieu dans son édition posthume de Delambre en 1827 [51, p. 777–782], et une note de Bowditch dans sa traduction de la *Mécanique Céleste* de Laplace [52, note 3899 et p. 497–500]. Nous préférons utiliser pour cela le changement de variable de Biot — voir le paragraphe 6 de [38], relation (41) — qui donne plus rapidement une formule simple, car

$$\chi_S = \int_{Z_0}^{Z'} -\frac{d\ln r^{-q}}{d\ln r^{1-q}} d\alpha = \frac{q}{1-q}(Z' - Z_0) \quad \text{où } n_S r_S \sin Z' = (r_S n_S^{1/q}) \sin Z_0, \quad (11)$$

donc dans ce cas on trouve facilement la loi rigoureuse de Bouguer-Simpson :

$$\chi_S = \frac{q}{1-q} \left[ Z' - \arcsin \left( n_S^{\frac{1-q}{q}} \sin Z' \right) \right]. \quad (12)$$

On peut encore la présenter sous la forme

$$n_S^{\frac{1-q}{q}} \sin Z' = \sin \left( Z' - \frac{1-q}{q} \chi_S \right), \quad (13)$$

d'où

$$\left(1 - n_S^{\frac{1-q}{q}}\right) \sin Z' = \sin Z' - \sin\left(Z' - \frac{1-q}{q}\chi_S\right) = 2\sin\left(\frac{1-q}{2q}\chi_S\right)\cos\left(Z' - \frac{1-q}{2q}\chi_S\right) \quad (14)$$

$$\left(1 + n_S^{\frac{1-q}{q}}\right) \sin Z' = \sin Z' + \sin\left(Z' - \frac{1-q}{q}\chi_S\right) = 2\sin\left(Z' - \frac{1-q}{2q}\chi_S\right)\cos\left(\frac{1-q}{2q}\chi_S\right) \quad (15)$$

En éliminant $\sin Z'$ entre ces deux dernières équations (14)–(15) on obtient

$$\tan\left(\frac{1-q}{2q}\chi_S\right) = \left[\tan\left(Z' - \frac{1-q}{2q}\chi_S\right)\right] \left(1 - n_S^{\frac{1-q}{q}}\right) / \left(1 + n_S^{\frac{1-q}{q}}\right). \quad (16)$$

La petitesse de $\eta_S$ et de $\chi_S$ vis-à-vis de 1 permet d'écrire à l'ordre total 2, indépendamment de la distance zénithale,

$$\tan\left(\frac{1-q}{2q}\chi_S\right) \approx \frac{1-q}{2q}\chi_S \quad (17)$$

et donc finalement

$$\chi_S \approx \eta_S \left(1 - \frac{\eta_S}{2}\right) \tan(Z' - w\chi_S) \quad (18)$$

qui est la formule de Bradley avec

$$w = \frac{1-q}{2q} \quad (19)$$

au lieu de 3 — voir le paragraphe 4 de [36].

Pour Bouguer, son utilisation des deux valeurs de référence qu'il a choisies pour $\chi_S$ lui permet de déduire, après d'assez lourds calculs montrés au sous-paragraphe précédent, $((r_S + H)/r_S)^{q-1} \approx 0,997\,866\,8785$ et $q/(1-q) \approx 3\,300/22\,458$ [3, p. 57–60], dont il déduit (p. 60) $q = 3\,300/25\,758$ (soit $1/7,805$, alors que Bradley trouvera $1/7$); on en tire aussi $w \approx 3,40$ [51, p. 777–782] (Bradley disait 3) et $H \approx 15,62$ km. Bouguer n'a pas effectué cette dernière application numérique : il n'avait pas encore l'idée de chercher à déduire, à partir des observations de $\chi_S(Z')$,
des informations sur la structure de l'atmosphère (voir [53] dans ce numéro spécial) ; on a vu que, selon lui, *n* était proportionnel à la masse volumique de ce qu'il imaginait comme étant une « matière réfractive ». Il aurait pu se montrer intéressé par la détermination de la hauteur maximale de cette « matière réfractive » ; s'il ne l'a pas été, c'est peut-être parce qu'il avait conscience du fait que son modèle n'était pertinent que pour calculer $\chi_S(Z')$, et pas pour étudier l'atmosphère. Dans le paragraphe 2 du présent article, nous avons vu aussi pourquoi $n_S$ est absent des considérations de Bouguer [3] ; en posant anachroniquement $n(r_S + H) = 1$, à partir des valeurs numériques de la hauteur relative $h_τ := H/r_S$ et de $q$ nous déduisons $n_S \cong 1 + 3,138 \times 10^{-4}$, et Bouguer aurait pu trouver cette valeur numérique pour $[n(r_S + H)]^{-1}/[n(r_S)]^{-1}$ : par rapport à la valeur moderne connue $2,821 \times 10^{-4}$ pour $n_S - 1$ à 10 °C et 1 atm pour la raie d de l'hélium ($\lambda_0 \cong 588$ nm) dans l'air sec, c'est surestimé de 11 %, et cela coïncide avec le fait que la table de Bouguer donnait des valeurs trop grandes d'environ 10 %, sauf auprès de l'horizon — par construction.

Toute valeur de référence pas trop proche de l'horizon impose quasiment $qh_τ$. En outre, de l'égalité (10) on tire

$$1/q = \ln(1 + h_τ) / \ln(1 + \eta_S) \sim h_τ / \eta_S. \quad (20)$$

Par contre, pour $\psi' := 90° - Z' \ll 1$ rad, et en considérant que $\eta_S[1 - (\eta_S/2)] \cong \eta_S$, on a

$$\chi_S = \eta_S \tan(90° - \psi' - w \chi_S) = \eta_S \cot(\psi' + w \chi_S) \cong \eta_S / (\psi' + w \chi_S) \quad (21)$$

— où nous avons mis = au lieu de $\cong$ au début car nous n'y avons pas introduit de nouvelle approximation depuis celle indiquée juste après l'expression (20). Cela donne une équation du second degré en $\chi_S$ dont on ne retient que la racine positive

$$\chi_S = \frac{-\psi' + \sqrt{\psi'^2 + 4w\eta_S}}{2w}; \quad (22)$$

et avec les relations (19)–(20) il vient l'expression suivante de $\chi_S$ (tant que sa valeur est positive, ce qui exclut le cas où $h_τ - \eta_S$ et $\psi'$ sont tous deux négatifs — or $h_τ - \eta_S < 0$ équivaut quasiment à $q > 1$ à cause de la relation (20)) :

$$\chi_S(\psi') = \frac{\eta_S}{h_τ - \eta_S} [\sqrt{2(h_τ - \eta_S) + \psi'^2} - \psi'] = \frac{2\eta_S}{\sqrt{2(h_τ - \eta_S) + \psi'^2} + \psi'}; \quad (23)$$

donc si on prend aussi la valeur numérique de $\chi_{Sh}$ comme valeur de référence, cela impose une seconde relation entre les paramètres indépendants ajustables $q$ et $h_τ$, qui montre aussi qu'il faut $q < 1$ pour que l'image d'un astre puisse exister sur l'horizon astronomique :

$$\chi_{Sh} := \chi_S(0) = \eta_S \sqrt{\frac{2}{h_τ - \eta_S}} = q \sqrt{\frac{2h_τ}{1-q}} = \sqrt{\eta_S \frac{2q}{1-q}} = \sqrt{\frac{\eta_S}{w}}. \quad (24)$$

Comme nous l'avons vu au sous-paragraphe 9.2 de [38], cette expression aide bien à comprendre, à $h_τ$ fixé, la non-linéarité de $\chi_{Sh}$ (et sa forte convexité) par rapport à $\eta_S$, même si celui-ci est petit : car $h_τ$ est petit aussi, supérieur à $\eta_S$ mais du même ordre. Cependant, (24) donne $\chi_{Sh} \cong 30'$ pour la raie d dans les conditions normales de température et de pression en S, donc 5' en dessous de la valeur normale actuellement admise (voir le paragraphe 4 de [36]).

### 3.6. Cas limite où $H$ est infini

La quadrature avec $h(r, I_B)$ vue au sous-paragraphe 7.2.2 de [38] nous montre que, pour des morceaux de rayons, la fonction $\theta(r)$ est une primitive de $1/\sqrt{h(r, I_B)}$, i.e. de $I_B\{n^{-1}/[r\sqrt{r^2 - (n^{-1})^2 I_B^2}]\}$ ; ce résultat est présent dans ce mémoire [3, p. 44–47]. Donc l'angle au centre $\Delta\theta$ sous-tendant tout le rayon lumineux (R), qui relie l'observateur S à l'astre A situé à l'infini, vaut

$$\Delta\theta = \int_{\theta_S}^{\theta_A} d\theta = \int_{r_S}^{\infty} \frac{dr}{\sqrt{h(r, I_B)}}. \quad (25)$$
Si *H* est infini, la propriété « très-remarquable » trouvée par Bouguer montre que la réfraction en découle très simplement :

$$ \chi_S = q\Delta\theta = q \int_{r_S}^{\infty} \frac{dr}{r\sqrt{[(r_S/r)^{(q-1)} / \sin Z']^2 - 1}}. \quad (26) $$

Cette intégrale n'est pas définie ou diverge si et seulement si $q \ge 1$. En effet, si $q = 1$ l'intégrande est proportionnel à $1/r$, le rayon est une spirale logarithmique, de toute façon $\chi_S$ n'existe pas ; et, pour $q > 1$, $h(r, I_B)$ présente une annulation simple en $r = r_S/(\sin Z')^{1/(q-1)}$ qui est le rayon d'une sphère que le rayon lumineux peut éventuellement atteindre et tangenter (il le fait si et seulement si $\psi' := 90° - Z' > 0$), mais au-delà de laquelle il ne peut aller — ce comportement se voit encore plus directement sur le diagramme de Young-Kattawar [54] (voir [55] lié à [38]). Par contre, avec $q < 1$ (pour Bouguer, $q \approx 0,1281 \approx 1/7,805$) l'intégrale ci-dessus converge, et aussi ne dépend pas de $n_S$: la multiplication de la distribution de $n$ par une constante ne change pas $\chi_S$ ni $\Delta\theta$.

**Remarque.** Pour *H* fini et $q > 1$, alors si et seulement si $Z' > \arcsin[(r_S/(r_S+H))^{q-1}]$, un rayon lumineux arrivant en *S* ne peut pas provenir de l'extérieur de l'atmosphère (il ne traverse pas son sommet) : cela se voit avec la valeur de *r* donnant l'annulation simple de $h(r, I_B)$, et encore plus directement avec le diagramme de Young-Kattawar [55].

### 3.7. Influence de la réfraction terrestre sur la dépression de l'horizon

Dans le chap. II de la seconde partie de son mémoire, en supposant la surface de la mer parfaitement sphérique de rayon $r_0$, Bouguer s'intéresse à ce que l'on nomme actuellement la dépression $\delta$ de l'horizon (définie au paragraphe 2 du présent article) ; il commence par calculer $\delta$ (qu'il appelle « l'inclinaison de l'horison sensible ») par de simples relations dans le triangle rectangle BCD de sa Fig. 13 — voir ci-dessous.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>[3, Fig. 13 en fin d'ouvrage] Source : Biblioteca Virtual del Patrimonio Bibliografico (https://bvpb.mcu.es/es/consulta/registro.do?id=576360). CC-BY 4.0</figcaption></figure>
Puis il dresse le tableau suivant, avec lequel il nous réserve une surprise...

## SECON. PARTIE. CHAP. II.

65

<table><caption>Table des inclinaisons de l'Horison sensible.</caption><thead><tr><th colspan="2">Élévations<br>au - deffus<br>de la Mer.</th><th>Incli-<br>naif. de<br>l'horison<br>visuel.</th><th colspan="2">Élévations<br>au - deffus<br>de la Mer.</th><th>Incli-<br>naif. de<br>l'horison<br>visuel.</th><th colspan="2">Élévations<br>au - deffus<br>de la Mer.</th><th>Incli-<br>naif. de<br>l'horison<br>visuel.</th></tr><tr><th>PiedsPouc.</th><th>Min.</th><th></th><th>Pieds.</th><th>Min.</th><th></th><th>Pieds.</th><th>Min.</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>10</td><td>1</td><td>365</td><td>21</td><td></td><td>2395</td><td>42</td><td></td></tr><tr><td>3</td><td>4</td><td>2</td><td>401</td><td>22</td><td></td><td>1470</td><td>42</td><td></td></tr><tr><td>7</td><td>5</td><td>3</td><td>439</td><td>23</td><td></td><td>1534</td><td>43</td><td></td></tr><tr><td>13</td><td>3</td><td>4</td><td>478</td><td>24</td><td></td><td>1607</td><td>44</td><td></td></tr><tr><td>20</td><td>9</td><td>5</td><td>519</td><td>25</td><td></td><td>1681</td><td>45</td><td></td></tr><tr><td>29</td><td>11</td><td>6</td><td>561</td><td>26</td><td></td><td>1756</td><td>46</td><td></td></tr><tr><td>39</td><td>9</td><td>7</td><td>605</td><td>27</td><td></td><td>1833</td><td>47</td><td></td></tr><tr><td>53</td><td>2</td><td>8</td><td>651</td><td>28</td><td></td><td>1912</td><td>48</td><td></td></tr><tr><td>67</td><td>3</td><td>9</td><td>698</td><td>29</td><td></td><td>1993</td><td>49</td><td></td></tr><tr><td>83</td><td>0</td><td>10</td><td>747</td><td>30</td><td></td><td>2074</td><td>50</td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>5</td><td>11</td><td>798</td><td>31</td><td></td><td>2159</td><td>51</td><td></td></tr><tr><td>119</td><td>5</td><td>12</td><td>850</td><td>32</td><td></td><td>2244</td><td>52</td><td></td></tr><tr><td>140</td><td>3</td><td>13</td><td>904</td><td>33</td><td></td><td>2331</td><td>53</td><td></td></tr><tr><td>162</td><td>8</td><td>14</td><td>960</td><td>34</td><td></td><td>2420</td><td>54</td><td></td></tr><tr><td>186</td><td>8</td><td>15</td><td>1017</td><td>35</td><td></td><td>2531</td><td>55</td><td></td></tr><tr><td>212</td><td></td><td>16</td><td>1076</td><td>36</td><td></td><td>2603</td><td>56</td><td></td></tr><tr><td>240</td><td></td><td>17</td><td>1136</td><td>37</td><td></td><td>2697</td><td>57</td><td></td></tr><tr><td>269</td><td></td><td>18</td><td>1198</td><td>38</td><td></td><td>2792</td><td>58</td><td></td></tr><tr><td>299</td><td></td><td>19</td><td>1262</td><td>39</td><td></td><td>2889</td><td>59</td><td></td></tr><tr><td>331</td><td></td><td>20</td><td>1328</td><td>40</td><td></td><td>2988</td><td>60</td><td></td></tr></tbody></table>

## §. LX.

Comme les plus grands Vaisseaux ne sont pas fort élevez au-deffus de la surface de la Mer, il n'y aura que les premiers nombres de la Table précédente qui pourront servir. Les autres seroient seulement d'usage, si étant à terre sur quelque montagne proche de la Mer, on vouloit observer la hauteur des Aftres à la manière des Marins, en prenant pour horison l'extrémité aparente de la Mer. Mais dans ce cas la Table précédente ne seroit pas afflez exacte : car le raión visuel BD se courbe sensiblement.

I

[3, p. 65] Source : Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen

Noter que le pied français était (entre sa réforme par Colbert en 1668 et son abolition par la Révolution en 1799) le pied-de-roi, correspondant à 324,839 mm ; le pouce est son douzième.
66 DES CORRECTIONS DE LA HAUTEUR, &c.

blement par les réfractions, dans le long trajet qu'il a à faire depuis l'œil jusques vers le point D. Le raion vis-fuel doit se courber sensiblement, puisqu'il eft, comme nous l'avons déjà dit à la fin de la première Partie, une portion de la solaire ou de la ligne courbe que tracent les raions de lumière, en traversant l'Atmosphere : & il eft clair que cette courbure des raions, doit rendre les inclinaisons de l'horison un peu plus petites que celles qui font marquées ci-dessus. Si on étoit, par exemple, élevé au-dessus de la surface de la Mer de 2440 pieds ou de 2460, l'inclinaison de l'horison visfuel seroit selon la Table d'environ 54' 20": & cependant M. Caffini observa le 12 Mars 1701, au pied de la tour de la Massane, qui eft proche de Collioure, & qui eft élevé de 408 1/2 Toises ou de 2451 pieds que l'inclinaison de l'horison visfuel n'é-toit que de 50' 20". La différence étant affez confidérable, nous avons cru qu'il étoit à propos de nous servir de la Théorie établie dans le Chapitre précédent, pour tâcher de découvrir les inclinaisons de l'horison avec plus d'exac-titude. C'est même ce qui nous a engagé à ne traiter ce sujet qu'après avoir examiné les réfractions; fans cela nous euffions suivi un ordre contraire. Ce que nous avons dit des réfractions nous met en effet plus en état de con-noître exactement les inclinaisons de l'horison. Mais cela n'empêche pas que pour avoir la hauteur véritable d'un Aftre, on ne doive toujours, à parler dans la rigueur, corriger l'inclinaison de l'horison avant de corriger la réfraction : Car les réfractions qui font marquées dans la Table, ne font pas calculées pour des hauteurs mefurées au-dessus d'un horison incliné; mais pour des hauteurs mefurées au-dessus d'un horison parfaitement de niveau.

[3, p. 66] Source : Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen

Noter la fine remarque formée par la dernière phrase de cette page ! Elle sera reprise par la suite dans les procédures de point nautique — voir le sous-paragraphe 4.3 de [39] dans ce numéro spécial.
## 70 DES CORRECTIONS DE LA HAUTEUR, &c.

### Nouvelle Table des Inclinaisons de l'Horison visuel.

<table><thead><tr><th>Elevations<br>au - deffus<br>de la Mer.</th><th>Incli-<br>naif. de<br>l'horison<br>sensible.</th><th>Pieds.</th><th>Elevations<br>au - deffus<br>de la Mer.</th><th>Incli-<br>naif. de<br>l'horison<br>sensible.</th><th>Pieds.</th><th>Elevations<br>au - deffus<br>de la Mer.</th><th>Incli-<br>naif. de<br>l'horison<br>sensible.</th></tr><tr><th>PiedsPouc.</th><th>Min.</th><th>Pieds.</th><th>Min.</th><th>Pieds.</th><th>Min.</th><th>Pieds.</th><th>Min.</th></tr></thead><tbody><tr><td>11</td><td>1</td><td>420</td><td>21</td><td>1601</td><td>41</td><td></td><td></td></tr><tr><td>3</td><td>2</td><td>459</td><td>22</td><td>1680</td><td>42</td><td></td><td></td></tr><tr><td>8</td><td>3</td><td>504</td><td>23</td><td>1761</td><td>43</td><td></td><td></td></tr><tr><td>15</td><td>4</td><td>548</td><td>24</td><td>1844</td><td>44</td><td></td><td></td></tr><tr><td>23</td><td>5</td><td>595</td><td>25</td><td>1928</td><td>45</td><td></td><td></td></tr><tr><td>34</td><td>6</td><td>645</td><td>26</td><td>2015</td><td>46</td><td></td><td></td></tr><tr><td>46</td><td>7</td><td>694</td><td>27</td><td>2103</td><td>47</td><td></td><td></td></tr><tr><td>60</td><td>8</td><td>747</td><td>28</td><td>2194</td><td>48</td><td></td><td></td></tr><tr><td>77</td><td>9</td><td>801</td><td>29</td><td>2286</td><td>49</td><td></td><td></td></tr><tr><td>95</td><td>10</td><td>857</td><td>30</td><td>2381</td><td>50</td><td></td><td></td></tr><tr><td>115</td><td>11</td><td>915</td><td>31</td><td>2477</td><td>51</td><td></td><td></td></tr><tr><td>136</td><td>12</td><td>975</td><td>32</td><td>2575</td><td>52</td><td></td><td></td></tr><tr><td>160</td><td>13</td><td>1037</td><td>33</td><td>2674</td><td>53</td><td></td><td></td></tr><tr><td>186</td><td>14</td><td>1101</td><td>34</td><td>2777</td><td>54</td><td></td><td></td></tr><tr><td>214</td><td>15</td><td>1166</td><td>35</td><td>2881</td><td>55</td><td></td><td></td></tr><tr><td>243</td><td>16</td><td>1234</td><td>36</td><td>2986</td><td>56</td><td></td><td></td></tr><tr><td>275</td><td>17</td><td>1304</td><td>37</td><td>3094</td><td>57</td><td></td><td></td></tr><tr><td>308</td><td>18</td><td>1375</td><td>38</td><td>3203</td><td>58</td><td></td><td></td></tr><tr><td>343</td><td>19</td><td>1448</td><td>39</td><td>3324</td><td>59</td><td></td><td></td></tr><tr><td>381</td><td>20</td><td>1524</td><td>40</td><td>3428</td><td>60</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

### §. LXIII.

Il paroitra peut-être que c'est pousser la délicateffe trop loin, de vouloir obliger les Pilotes à ne se servir que de cette seconde Table au lieu de la première. Mais cependant il suffit que l'observateur soit élevé de trente pieds, pour que la différence soit déja de près d'une demie minute : & si on étoit obligé de monter dans la hune afin de découvrir la Mer par-deffus quelques ifles ou quelques rochers, l'erreur pourroit aller à près d'une minute. Or nous sommes perfuadez qu'on ne doit préf-

<footnote>[3, p. 70] Source : Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen</footnote>
SECON. PARTIE. CHAP. II. 7T
que rien négliger dans une ſemblable matiere: car quel-
que ſoin & quelque peine qu'on ſe donne, il arrive qu'on
ſe trompe encore ſouvent d'une quantité trop ſenſible.
D'ailleurs il étoit toujours néceſſaire d'entreprendre la
difſcuffion précédente, au moins pour ſçavoir, comme
on l'a déja dit, ce qu'on doit penſer de l'exactitude de
la Table ordinaire.

[3, p. 71] Source : Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen

Bouguer a recalculé $\delta$ en profitant de l'invariant, ce qui donne

$$I_B = n_0 r_0 = n_S r_S \cos \delta \quad \text{et} \quad \delta = \arccos \frac{n_0 r_0}{n_S r_S} \qquad (27)$$

pour un profil d'indice $n(r)$ quelconque et en posant $n_0 := n(r_0)$ ; mais pour un profil en $r^{-q}$ cela donne, en introduisant l'élévation $E$ de l'observateur $S$,

$$\ln(\cos \delta) = \ln \frac{n_0 r_0}{n_S r_S} = (1 - q) \ln \frac{r_0}{r_0 + E} \qquad (28)$$

qui coïncide exactement avec les relations obtenues par Bouguer sur sa p. 69 à condition d'y poser

$$L r := \ln(\sin 90^\circ) = 0, \qquad (29)$$

lui permettant ainsi de calculer sa table de la p. 70. Comme

$$\ln(\cos \delta) \approx -\delta^2/2 \quad \text{et} \quad \ln \frac{r_0}{r_0 + E} \approx -\frac{E}{r_0} \qquad (30)$$

on retrouve l'expression attendue

$$\delta = \sqrt{1-q}\sqrt{2E/r_0} = \sqrt{1-\kappa_S}\sqrt{2E/r_0}. \qquad (31)$$

En bas de sa page 71, il trouve l'expression de « la distance à l'horison ou à l'extremité apparente de la mer »

$$L = r_0 \delta / (1 - q) \qquad (32)$$

que nous démontrerons par une autre méthode — relation (12) de [39].

Dans le modèle de Bouguer, $\kappa_S = q$. C'est peut-être pour cette raison que Bouguer n'introduit pas spécifiquement le coefficient de réfraction $\kappa_S$, alors qu'il en avait l'entière possibilité; 29 ans plus tard Lambert introduira $1/\kappa_S$ auquel il ne donnera pas de nom [9] — voir le paragraphe 2 de [10] dans ce numéro spécial. Comme lui et à partir de la même mesure de $\delta$ par Jean-Dominique et Jacques Cassini depuis le pied de la Tour de la Massane le 12 mars 1701 [56, p. 141], Bouguer trouve $1-q \approx 22\,458/25\,758$ dont nous tirons $q \approx 0,1281 \approx 1/7,805$ alors que Lambert trouvera $\kappa_S \approx 1/7,06$. Ce coefficient $\kappa_S$ joue un rôle important dans la réduction de mesures utilisées en navigation astronomique. Pour d'autres applications numériques, voir le sous-paragraphe 4.2 de [39].

Bouguer comprend que $q$ supérieur à 1 produirait la suppression d'une bande de l'image usuelle du ciel au-dessus de l'horizon astronomique car l'observateur serait dans un chenal optique [39, 55] ; et comme dans ce cas on aurait $n_0 r_0 > n_S r_S$, l'observateur $S$ verrait une mer (ou un grand lac [57, p. 541]) concave (voir le paragraphe 3 de [39]), comme l'a vu von Schrötter qui observa en 1908 un cas frappant de dépression négative avec un horizon 27' au-dessus de l'horizon normal [58], ainsi que d'autres marins [59], [60, p. 385], [61, 62], [63, p. 291], [64] faisant état d'une surface d'eau qui semble concave (par effet *hillingar* [65, 66]): « Through an optical
illusion, dependent on the mirage of the ice horizon, it appeared to us as if we were proceeding
on the bottom of a shallow, saucer-shaped cavity. » [67, p. 272]

## Conflit d'intérêt

L'auteur n'a aucun conflit d'intérêt à déclarer.

## Remerciements

L'auteur exprime sa gratitude au Dr. Andrew Young pour la mise à disposition de sa fabuleuse bibliographie en ligne (citée à la fin du paragraphe 2). Il remercie aussi Lilie Pons (secrétaire éditoriale — Centre Mersenne) et Julien Desmarets (du service des publications de l'Académie des sciences) pour leur précieux travail technique sur les images de textes anciens.

## Références

[1] D. Fauque, « Du bon usage de l'éloge : Cas de celui de Pierre Bouguer », *Rev. hist. sci.* **54** (2001), p. 351-382.

[2] P. Bouguer, *De la Mâture des Vaisseaux*, Claude Jombert, Paris, 1727.

[3] P. Bouguer, *De la Méthode d'Observer Exactement sur Mer la Hauteur des Astres*, Claude Jombert, Paris, 1729.

[4] P. Bouguer, *De la Méthode d'observer en mer la déclinaison de la boussole*, Claude Jombert, Paris, 1731.

[5] J. L. Greenberg, « Mathematical physics in eighteenth-century France », *Isis* **77** (1986), p. 59-78.

[6] J. E. McClellan, « The Académie Royale des Sciences, 1699-1793: A statistical portrait », *Isis* **72** (1981), p. 541-567.

[7] A. Mayrargue, « De la méthode d'observer exactement sur mer la hauteur des astres », *Rev. hist. sci.* **63** (2010), p. 67-91.

[8] P. Bouguer, *Essai d'Optique sur la Gradation de la Lumière*, Claude Jombert, Paris, 1729.

[9] J. H. Lambert, *Les propriétés remarquables de la route de la lumière*, H. Scheurleer F. Z. & Compagnie? La Haye, 1758.

[10] L. Dettwiller, « Les développements de Lambert : commentaire historique », *C. R. Phys.* **23** (2022), n° S1, p. 453-465.

[11] P. Bouguer, *Entretiens sur la cause de l'inclinaison des orbites des planètes*, Charles-Antoine Jombert, Paris, 1734.

[12] É. Badinter, *Les Passions intellectuelles*, t. I, *Désirs de gloire* (1735-1751), Fayard, Paris, 1999.

[13] F. Trystram, *Le procès des étoiles*, Seghers, Paris, 1979.

[14] P. Murdin, *Full Meridian of Glory*, Springer, New York, 2009.

[15] P. Bouguer, *La Figure de la Terre, Déterminée par les Observations de Messieurs Bouguer, & de la Condamine, de l'Académie Royale des Sciences, envoyés par ordre du Roy au Pérou, pour observer aux environs de l'Equateur*, Charles-Antoine Jombert, Paris, 1749.

[16] G. Bruhat, *Cours de Physique générale — Mécanique*, Masson, Paris, 1955.

[17] I. Todhunter, *A History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure of the Earth, from the Time of Newton to that of Laplace*, vol. 1, Macmillan, Londres, 1873.

[18] J. Lequeux, *L'Observatoire de Paris — 350 ans de science*, Gallimard / Observatoire de Paris, Paris, 2012.

[19] J. Dhombres, « «Mettre la géométrie en crédit” : Découverte, signification et utilisation du métacentre inventé par Pierre Bouguer», in *Éprouver la science : Pierre Bouguer et le premier XVIIIe siècle, Actes du colloque Nantes-Le Croisic*, 6-7 juin 1998, S & TP IIe série, vol. 3, 1999, p. 305-363.

[20] « Sur la mesure du diamètre des plus grandes planètes », *Hist. Acad. R. Sci. année 1748* (1752), p. 87-94.

[21] P. Bouguer, « De la mesure du diamètre des plus grandes planètes : Description d'un nouvel Instrument qu'on peut nommer Héliomètre, propre à les déterminer ; & Observations sur le Soleil », *Mém. Acad. R. Sci. année 1748* (1752), p. 11-34.

[22] G. Boistel, « Pierre Bouguer, commissaire pour la marine et expert pour les longitudes : Un opposant au développement de l'horlogerie de marine au XVIIIe siècle », *Rev. hist. sci.* **63** (2010), p. 121-159.

[23] P. Bouguer, *Nouveau traité de navigation, contenant la théorie et la pratique du pilotage*, Guérin & Delatour, Paris, 1753.

[24] P. Bouguer. *De la manœuvre des vaisseaux*, Guérin & Delatour, Paris, 1757.

[25] G. Maheu, « La vie scientifique au milieu du XVIIIe siècle : introduction à la publication des lettres de Bouguer à Euler », *Rev. Hist. Sci. Appl.* **19** (1966), p. 206-224.

[26] J. Gapaillard, « Pierre Bouguer, Lacaille et la mesure du méridien », in *Éprouver la science : Pierre Bouguer et le premier XVIIIe siècle, Actes du colloque Nantes-Le Croisic*, 6-7 juin 1998, S & TP IIe série, vol. 3, 1999, p. 233-252.

[27] P. Bouguer, *Traité d'Optique sur la Gradation de la Lumière — Ouvrage posthume publié par M. l'Abbé de La Caille*, Guérin & Delatour, Paris, 1760.
[28] Pierre Bouguer. *Un savant breton au XVIIIᵉ siècle. Actes de la journée d'étude : La vie et l'œuvre de Pierre Bouguer*, Institut culturel de Bretagne, Vannes, 2002.

[29] D. Fauque, « Introduction : Pierre Bouguer, figure emblématique ou savant singulier? », *Rev. hist. sci.* **63** (2010), p. 5-21.

[30] R. Lamontagne, *La vie et l'œuvre de Pierre Bouguer*, PUF, Paris, 1961.

[31] A. de la Borderie, R. Kerviler (éds.), *Œuvres nouvelles de Des Forges Maillard*, Société des bibliophiles bretons, Nantes, 1888.

[32] P. Bouguer, « Sur les réfractions astronomiques dans la Zone Torride », *Mém. Acad. R. Sci. année 1739* (1741), p. 407-423.

[33] P. Bouguer, « Second mémoire sur les réfractions astronomiques, observées dans la Zone Torride ; avec diverses remarques sur la manière d'en construire les Tables », *Mém. Acad. R. Sci. année 1749* (1753), p. 75-112.

[34] « Sur les réfractions astronomiques », *Hist. Acad. R. Sci. année 1739* (1741), p. 45-48.

[35] « Sur les réfractions », *Hist. Acad. R. Sci. année 1749* (1753), p. 152-157.

[36] L. Dettwiller, « Panorama historique de l'étude de la réfraction astronomique : une histoire méconnue entre optique, mathématiques et géodésie », *C. R. Phys.* **23** (2022), n° S1, p. 13-62.

[37] G. Maheu, « Bibliographie de Pierre Bouguer (1698-1758) », *Rev. Hist. Sci. Appl.* **19** (1966), p. 193-205.

[38] L. Dettwiller, « Propriétés remarquables de la réfraction astronomique dans une atmosphère à symétrie sphérique », *C. R. Phys.* **23** (2022), n° S1, p. 63-102.

[39] L. Dettwiller, « La discussion par Kummer d'une quadrature sur la réfraction astronomique : commentaire historique », *C. R. Phys.* **23** (2022), n° S1, p. 503-525.

[40] J.-P. Maraldi, « Expériences du baromètre faites sur diverses montagnes de France », *Mém. Acad. R. Sci. année 1703* (1720), p. 229-237.

[41] J.-D. Cassini, « Des irregularitez de l'abbaissement apparent de l'horizon de la mer », *Mém. Acad. R. Sci. année 1707* (1730), p. 195-197.

[42] J. Cassini, « Sur les réfractions astronomiques », *Hist. Acad. R. Sci. année 1714* (1719), p. 79-87.

[43] F. Hauksbee, *Physico-Mechanical Experiments on Various Subjects*, R. Brugis, Londres, 1709.

[44] « Sur les réfractions », *Hist. Acad. R. Sci. année 1700* (1761), p. 112-116.

[45] I. Newton, *Opticks*, Royal Society, Londres, 1704.

[46] J.-B. Biot, « Sur les réfractions astronomiques », *Additions à la Connaissance des Tems* **1839** (1836), p. 3-114.

[47] J.-L. la Grange, « Sur les réfractions astronomiques », in *Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres (Berlin)*, *Année MDCCLXXII* [1872], 1774, p. 259-282.

[48] J. Ivory, « On the astronomical refractions », *Phil. Trans. R. Soc. Lond.* **113** (1823), p. 409-495.

[49] T. Simpson, *Mathematical Dissertations on a Variety of Physical and Analytical Subjects*, T. Woodward, Londres, 1743.

[50] F. Mignard, « Les tables de réfraction astronomique », *C. R. Phys.* **23** (2022), n° S1, p. 133-178.

[51] J.-B. Delambre, *Histoire de l'Astronomie au Dix-Huitième Siècle* (M. Mathieu, éd.), Bachelier, Paris, 1827.

[52] N. Bowditch, *Mécanique Céleste. By the Marquis de La Place, translated, with a commentary*, vol. VI, Little and Brown, Boston, 1839.

[53] A. T. Young, « Relations among atmospheric structure, refraction, and extinction », *C. R. Phys.* **23** (2022), n° S1, p. 179-212.

[54] A. T. Young, G. W. Kattawar, « Sunset science. II. A useful diagram », *Appl. Opt.* **37** (1998), p. 3785-3792.

[55] L. Dettwiller, « Properties of optical ducts, their chromatism and its effects on astronomical refraction », *preprint*, arXiv:2204.02605, 2022.

[56] J. Cassini, *Traité de la grandeur et de la figure de la Terre*, Pierre de Coup, Amsterdam, 1723.

[57] F.-A. Forel, *Le Léman — Monographie limnologique*, t. 2, F. Rouge, Lausanne, 1895.

[58] Frhr. von Schrötter, « Hebung der Kimm und Luftspiegelungen in der Nordsee », *Ann. Hydrogr. Berlin* **36** (1908), p. 490-497.

[59] W. Wales, « Journal of a voyage, made by order of the Royal Society, to Churchill River, on the North West Coast of Hudson's Bay; of thirteen months residence in that country; and of the voyage back to England; in the years 1768 and 1769 », *Phil. Trans. R. Soc. Lond.* **60** (1770), p. 100-136.

[60] D. Brandes, « Einige kritische Bemerkungen zu den in den Annalen befindlichen Aufsätzen über die irdische Strahlenbrechung, und Nachricht von der Vollendung seiner Refractions-Beobachtungen », *Gilb. Ann. Phys.* **23** (1806), p. 380-393.

[61] W. Scoresby, *Journal of a Voyage to the Northern Whale-Fishery*, Constable, Edimbourg, 1823.

[62] J. Parnell, « On a mirage in the English Channel », *Phil. Mag.* **37** (1869), p. 400-401.

[63] R. L. Ives, « Recurrent mirages at Puerto Peñasco, Sonora », *J. Franklin Inst.* **252** (1951), p. 285-295.

[64] D. A. Hunt, A. O. Proudfoot, B. G. Gouldthorpe, « Abnormal refraction, Australian waters », *Mar. Obs.* **30** (1960), p. 134.

[65] H. L. Sawatzky, W. H. Lehn, « The Arctic mirage and the early North Atlantic », *Science* **192** (1976), p. 1300-1305.

[66] L. Dettwiller, « Some theorems on "arctic mirages": *hillingar* effect and superior mirages », *J. Opt. Soc. Am. A* **36** (2019), p. 1997-2004.
<footnote>[67] G. F. Wright, W. Upham, *Greenland Icefields and Life in the North Atlantic*, D. Appleton, New York, 1896.</footnote>