# Функция роста дипольного момента в процессе агрегации
сферических частиц

Roman M Balabin, Rustem Z Syunyaev

► To cite this version:

Roman M Balabin, Rustem Z Syunyaev. Функция роста дипольного момента в процессе агрегации сферических частиц. Моделирование неравновесных систем, Krasnoyarsk State Technical University; Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; Institute of Computational Modeling SB RAS, Oct 2005, Krasnoyarsk, Russia. ⟨hal-05212115⟩

HAL Id: hal-05212115

https://hal.science/hal-05212115v1

Submitted on 17 Aug 2025

HAL is a multi-disciplinary open access archive
for the deposit and dissemination of scientific re-
search documents, whether they are published or not.
The documents may come from teaching and research
institutions in France or abroad, or from public or pri-
vate research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est des-
tinée au dépôt et à la diffusion de documents scien-
tifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant
des établissements d'enseignement et de recherche
français ou étrangers, des laboratoires publics ou
privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution - ShareAlike 4.0 International License
Министерство общего и профессионального образования РФ

Сибирское отделение РАН

Красноярский государственный технический университет

Институт вычислительного моделирования СО РАН

Институт систем энергетики им. Л.А.Мелентьева СО РАН

Красноярский государственный университет

Сибирский государственный технологический университет

Институт физики СО РАН Институт биофизики СО РАН

При поддержке Российского фонда фундаментальных исследований

8-й Всероссийский семинар
“Моделирование неравновесных систем”
(MHC-2005)

Дата: 14 октября 2005 года
Место: ИВМ СО РАН, Академгородок

Город: Красноярск

# Функция роста дипольного момента в процессе агрегации сферических частиц

Авторы: Балабин Р.М.; Сюняев Р.З.

РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, Москва, BalabinRM@yandex.ru

В работе рассмотрена задача о присоединении одиночной сферической частицы к агрегату произвольного размера. Задача решена для случая роста сплошного кластера. Найдена зависимость дипольного момента кластера, получаемого за счет такого присоединения, от числа входящих в него частиц, температуры, дипольного момента единичной частицы и ее радиуса. Произведено моделирование полученной зависимости на основе DLA/RLA и баллистической теорий агрегации.

В настоящее время считается твердо установленным, что межмолекулярные силы имеют в основном электростатическую природу. Кроме того, известно, что дипольный момент является важным параметром, характеризующим физическое взаимодействие различных частиц. Для процессов агрегации частиц без дипольных моментов построены соответствующие теории, и получены уравнения, описывающие их кинетику.
Большое значение наличие дипольного момента приобретает при исследовании ассоциации, агрегации, седиментации и иных процессов, протекающих в неравновесных коллоидных системах. В этом случае дипольный вклад в общую энергию межчастичного взаимодействия весьма существенен, и пренебречь им не представляется возможным.

Многие известные модели физического взаимодействия одиночных частиц построены с учетом только диполь-дипольного фактора взаимодействия. Их результаты нашли широкое применение при описании не склонных к специфическим видам взаимодействия веществ.

Дипольный момент одиночных частиц известен для целого ряда веществ. Но для случая макромолекул и иных частиц, склонных к ассоциации, подобных данных оказывается недостаточно для расчета их поведения в смесях и растворах. Для полного описание систем, содержащих указанные вещества, необходимо знание дипольного момента, как одиночной частицы, так и агрегата из нескольких таких частиц. Причем, число частиц в агрегате может меняться в широких пределах: от двух (процесс димеризации) до многих миллионов и более (процесс образования новой фазы с выпадением наиболее крупных кластеров в осадок).

Из вышесказанного можно сделать вывод, что создание теории расчета дипольного момента кластера (или фрактала) имеет большое значение для успешного изучения межмолекулярного взаимодействия на всех уровнях организации материи.

В открытой печати авторами не обнаружено строгой физической теории и методологии расчета дипольного момента для системы агрегированных частиц с произвольным числом членов.

Для построения указанной теории авторами была рассмотрена задача о присоединении одиночной частицы к агрегату при наличии у обоих дипольного момента.

Ниже изложены основные моменты, принятые за аксиому, при расчете дипольного момента кластера из *N* одинаковых частиц радиусом *a*, обладающих дипольным моментом *ρ₀*:

* энергия диполь-дипольного взаимодействия намного меньше средней кинетической энергии частиц,

* взаимодействием диполей не в непосредственной близости друг от друга (до момента присоединения частицы) можно пренебречь,

* распределение диполей по направлениям вблизи границы агрегата соответствует распределению Гиббса.

Рассмотрим систему, состоящую из агрегата заданного размера и одиночной сферической частицы. Дипольный момент агрегата равен $\vec{p}_N$, его радиус $R_N$.

Рассмотрим момент времени предшествующий касанию и закреплению частицы на поверхности агрегата. В этот момент частица ориентируется по направлению поля диполя согласно каноническому распределению Гиббса:
$$w(\varphi) \sim e^{-\frac{U(\varphi)}{kT}} = e^{\frac{p_0 E_N \cos \varphi}{kT}}, \quad (1)$$

где $w(\varphi)$ – вероятность ориентации частицы под углом $\varphi$; $E_N$ – величина напряженности электрического поля, создаваемого дипольным моментом агрегата в центре присоединяемой частицы; $\varphi$ – угол между диполем одиночной частицы и вектором электрической напряженности.

Используя выражение для величины поля диполя на расстоянии $r$:

$$\vec{E}_N = \frac{1}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0} \left[ \frac{3(\vec{p}_N \cdot \vec{r})}{r^5} - \frac{\vec{p}_N}{r^3} \right] \quad (2)$$

можно получить выражение для вероятности ориентации каждой проекции вектора $\vec{p}_0$ (ось $z$ выбрана по направлению дипольного момента агрегата). Далее, перейдя в сферическую систему координат и проинтегрировав полученные выражения во всем интервале углов, получаем выражения для средних проекций.

Как и следовало ожидать из соображений симметрии, ненулевой оказывается только проекция на ось $z$. Среднее значение этой проекции равно

$$\langle p_{0z} \rangle = \frac{4}{15} p_0 A, \quad (3)$$

где:

$$A = \frac{1}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0} \cdot \frac{p_0 p_N}{kT \cdot r^3} \quad (4)$$

При переходе к бесконечно малым изменениям полученное выражение (3) позволяют записать дифференциальное уравнение

$$\frac{dp_N}{dN} = p_N \cdot \frac{4}{15} \cdot \frac{p_0^2}{4\pi\varepsilon_0 \cdot kT} \cdot \frac{1}{r^3}, \quad (5)$$

В приближении сплошного кластера:

$$r = a \left( \frac{3\sqrt{N}}{N} + 1 \right) \quad (6)$$

В общем виде решение уравнения (5) с учетом (6) громоздко, но его можно существенно упростить, сделав предположении о большом числе частиц, входящих в агрегат. Тогда единицей в скобках выражения (6) можно пренебречь и записать, что:

$$\frac{dp_N}{p_N} = \beta \frac{dN}{N},$$

В итоге (после учёта использованного приближения, явно неверного для начальной стадии роста) получено выражение для дипольного момента кластера из $N$ сферических частиц, выполняющееся при $N>10^4$:

$$p_N = p_0 \cdot e^{-4.7\beta} \cdot N^{\beta} \quad (7)$$

Для проверки полученных соотношений было проведено моделирование процесса агрегации сферических частиц одинакового радиуса с итерационным расчетом дипольного момента получаемого кластера.
Грант РФФИ № 05-01-10073-г — «Организация и проведение VIII Всероссийского семинара “Моделирование неравновесных систем”»

Руководитель: д.ф.-м.н., проф. В. В. Слабко (КГТУ)

Ответственный исполнитель от ИВМ СО РАН: д.ф.-м.н., проф. А. Н. Горбань.

Конференция проводилась с 14 по 16 октября 2005 года в Институте вычислительного моделирования СО РАН. Научная программа конференции включала следующие секции: методы и технологии математического моделирования неравновесных систем, разработка математического и программного обеспечения моделирования нелинейных, нестационарных и неоднородных по пространству процессов, развитие методов имитационного моделирования сложных систем (классическое имитационное моделирование, нейронные сети, моделирование с использованием активных сред и т.п.), приложения в физике, химии, технике, биологии, медицине, экономике и финансах.

На семинаре были представлены 105 докладов от 125 участников из различных регионов Российской Федерации и СНГ. Целью семинара было обсуждение и распространение современных достижений в области применения математических методов для моделирования неравновесных систем различной природы (неравновесных систем, изучаемых в различных областях науки: физике, химии, биологии, медицине, экономике и финансах). В ходе заключительной дискуссии принято решение провести следующий, 9-й семинар МНС-06 в октябре 2006 г.

Заявка на участие: 117437 Москва, ул. Ак. Волгина, 29-2-176. Балабин Роман Михайлович, студент, 4 курс. Сюняев Рустем Загидуллович, д.ф.-м.н., член-корр. РАЕН, проф. кафедры физики. Название: «Моделирование процесса агрегации сферических частиц, обладающих постоянным дипольным моментом». Желательная форма сообщения: 10-минутное.

Глубокоуважаемые Балабин Роман Михайлович и Сюняев Рустем Загидуллович! Оргкомитет 8-го Всероссийского семинара “Моделирование неравновесных систем” приглашает Вас принять участие в работе семинара. Семинар будет проходить в помещении ИВМ СО РАН, расположенном по адресу: г. Красноярск, Академгородок с 14 по 16 октября 2005 г. Открытие состоится 14 октября в 10 часов. Регистрация участников начнется с 10 утра 13 октября в помещении ИВМ СО РАН.

Версия 2009 г.

Впервые опубликовано как:

Балабин Р.М., Сюняев Р.З. Функция роста дипольного момента в процессе агрегации сферических частиц. = Моделирование процесса агрегации сферических частиц, обладающих постоянным дипольным моментом. = Function of the growth of the dipole moment in the process of aggregation of spherical particles. // Моделирование неравновесных систем-2005 : материалы Восьмого Всероссийского семинара, 14-16 октября 2005 года / М-во образования и науки РФ, Сибирское отд-ние РАН, Красноярский государственный технический университет, Институт вычислительного моделирования СО РАН [и др.]. – Красноярск : ИВМ СО РАН, 2005. – 245 с.
## Литература

1. Нестеров А.Н. Фазовые равновесия и обратимые переходы в нефтяных остатках: диссертация ... кандидата химических наук: 05.17.07. – Москва, 1987. – 180 с.

2. Межмолекулярные взаимодействия: от двухатомных молекул до биополимеров / под ред. Б. Пюльмана – М.: Мир, 1981. – 592 с.

3. Кройт Г.Р. Наука о коллоидах. – М.: Издательство иностранной литературы, 1955. – 416 с.

4. Русанов А.И., Куни Ф.М. О равновесии полидисперсных систем. // Доклады Академии наук (ДАН) СССР. – 1969, т.185, №2. – С. 386–389.

5. London F. Zur Theorie und Systematik der Molekularkräfte. // Zeitschrift für Physik. – Springer Berlin Heidelberg, 1930, т. 63. – С. 245–279.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. – Т. V. Статистическая физика. – М.: Наука, Физматлит, 1995. – 606 с.

7. Балабин Р.М. Создание экспресс-метода анализа показателей качества индустриального масла на основе многомерного анализа спектральных данных. // Достижения ученых ХХІ века: Тезисы докладов международной конференции, Тамбов, 2005. – С. 192–194.

8. Царев А.В., Балабин Р.М., Карпов С.А., Сюняев Р.3. Оптимизация эксплуатационных и экологических свойств спирто-бензиновых топлив под действием микроволновой обработки. // Альтернативная энергетика и экология.

9. Балабин Р.М. Возможности современных математических методов при обработке спектральных данных: бензиновые фракции. // Современные информационные технологии. – Пенза: Пензенская гос. технологическая акад., 2005. – № 1. – С. 139–144.

10. Балабин Р.М., Сафиева Р.3. Разработка методов оперативного контроля качества для нефтеперерабатывающей промышленности. // Актуальные проблемы науки и высшего образования. Научный сборник. Филиал МГУТУ в г Унеча – М: МГУТУ, 2005. – С. 130–134.

11. Лихацкий В.В., Балабин Р.М., Сюняев Р.3. Моделирование процессов агрегирования дипольных частиц асфальтенов. // Структура и динамика молекулярных систем, Яльчик.

12. Балабин Р.М., Сюняев Р.3. Построение кривой стеклования нефти по данным диэлектрической спектроскопии. // Структура и динамика молекулярных систем, Яльчик.

13. Балабин Р.М., Сюняев Р.3. Анализ влияния термодинамических параметров на проводимость и вязкость нефти. // Структура и динамика молекулярных систем, Яльчик.

14. Goual L., Firoozabadi A. Measuring asphaltenes and resins, and dipole moment in petroleum fluids. // AIChE Journal. – 2002. – Vol. 48, iss. 11. – P. 2646–2663.

15. Сафиева Р.3., Балабин Р.М. Метод экспресс определения показателей качества бензиновых фракций. // Актуальные проблемы науки в России. – Вып. 3, т. 1. – Кузнецк, 2005. – С. 72.

16. Cirkel P.A., van der Ploeg J.P.M., Koper G.J.M. Branching and percolation in lecithin wormlike micelles studied by dielectric spectroscopy. // Phys Rev E. – 1998. – Vol. 57, iss 6. – P. 6875.

17. Балабин Р.М., Сюняев Р.3. Оценка коэффициента динамической вязкости нефти в скважине по данным диэлектрической спектроскопии. // Актуальные проблемы науки в России. – Вып. 3, т. 1. – Кузнецк: ПГУ, 2005. – С. 12–16.

18. Syunyaev R.Z., Balabin R.M. Frequency Dependence of Oil Conductivity at High Pressure. // Journal of Dispersion Science and Technology.

19. Balabin R.M. Dispersed Structure of Ethanol-Gasoline Fuel According to Dynamic Light Scattering Method. // Journal of Dispersion Science and Technology.

20. Bordi F., Cametti C., Tan J.S., Boris D.C., Krause W.E., Plucktaveesak N., Colby R.H. Determination of Polyelectrolyte Charge and Interaction with Water Using Dielectric Spectroscopy. // Macromolecules. – 2002. – Vol. 35. – P. 7031–7038.

21. Ray J., Manning G.S. Effect of Counterion Valence and Polymer Charge Density on the Pair Potential of Two Polions. // Macromolecules. – 1997. – Vol. 30, iss. 19. – P. 5739–5744.

22. Semenov A.N., Nyrkova I.A., Khokhlov A.R. Polymers with Strongly Interacting Groups: Theory for Non-Spherical Multiplets. // Macromolecules. – 1995. – Vol. 28, iss. 22. – P. 7491–7500.

23. Stepanyan R., Subbotin A., Knaapila M., Ikkala O., ten Brinke G. Self-Organization of Hairy-Rod Polymers. // Macromolecules. – 2003. – Vol. 36 (10). – P. 3758–3763.