sont équivalents et l'entrelacement est donné par les opérateurs $\mathbf{D}_\lambda$ et $\mathbf{D}_\theta(\lambda)$ (définition 5.2.1). En d'autres termes, le diagramme suivant

$$ \begin{tikzcd} \mathcal{A}(X_P, \sigma) \arrow[r, "\rho_1"] & \mathcal{A}(X_Q, \theta(\omega \otimes \sigma)) \arrow[d, "\mathbf{D}_\lambda"] \\ \mathcal{A}(X_P, \sigma \star \lambda) \arrow[r, "\rho_2"] & \mathcal{A}(X_Q, \theta(\omega \otimes \sigma \star \lambda)) \arrow[d, "\mathbf{D}_{\theta(\lambda)}"'] \end{tikzcd} $$

est commutatif, c'est-à-dire que l'on a

$$ (7.4) \qquad \mathbf{D}_{\theta(\lambda)} \circ \rho_{P,\sigma,\lambda+\mu}(\delta, y, \omega) = \rho_{P,\sigma\star\lambda,\mu}(\delta, y, \omega) \circ \mathbf{D}_{\lambda}. $$

**Démonstration.** C'est une conséquence immédiate des équations (7.1) et (7.3). ■

Par intégration contre une fonction $f \in C_c^\infty(\tilde{G}(\mathbb{A}))$, on définit l'opérateur

$$ \rho_{P,\sigma,\mu}(\delta, f, \omega) $$

et on pose

$$ \tilde{\rho}_{P,\sigma,\mu}(y, \omega) = \rho_{P,\sigma,\mu}(\delta_0, y, \omega), \quad \tilde{\rho}_{P,\sigma,\mu}(f, \omega) = \rho_{P,\sigma,\mu}(\delta_0, f, \omega). $$

Soit $\varphi : X_G \to \mathbb{C}$ une fonction continue et à support compact. Pour $P \in \mathcal{P}$, $\Psi \in \mathcal{A}_{\text{disc}}(X_P)$ et $\mu \in \mu_P$, on pose

$$ \hat{\varphi}(\Psi, \mu) = \int_{X_G} \varphi(x) \overline{E(x, \Psi, \mu)} dx. $$

Pour deux fonctions $\phi, \varphi : X_G \to \mathbb{C}$ continues et à support compact, on pose

$$ \langle \phi, \varphi \rangle_{X_G} = \int_{X_G} \phi(x) \overline{\varphi(x)} dx. $$

Pour $M \in \mathcal{L}$, notons

* $\Pi_{\text{disc}}(M)$ l'ensemble des classes d'isomorphisme de représentations automorphes irréductibles de $M(\mathbb{A})$ discrètes modulo le centre;

* $\Pi_{\text{disc}}(M)$ le quotient de $\Pi_{\text{disc}}(M)$ par la relation d'équivalence donnée par la torsion par les caractères unitaires de $A_M$;

* $\Psi_P(\sigma)$ une base orthonormale de l'espace vectoriel pré-hilbertien $\mathcal{A}(X_P, \sigma)$.

D'après [32, chapitre VI] avec les conventions 1.3.1 pour la normalisation des measures ($\text{vol}(\mu_M) = 1$) et les notations de la définition 7.2.1, on a le théorème suivant.
**Théorème 7.2.4.** Le produit scalaire $\langle\phi, \varphi\rangle_{X_G}$ admet la décomposition spectrale

$$ \langle\phi, \varphi\rangle_{X_G} = \sum_{M \in \mathcal{L}/\mathbf{W}} \frac{1}{w^G(M)} \sum_{\sigma \in \Pi_{\text{disc}}(M)} \hat{c}_M(\sigma) \int_{\mu_M} \sum_{\Psi \in \Psi_P(\sigma)} \hat{\phi}(\Psi, \mu) \overline{\hat{\phi}(\overline{\Psi}, \mu)} \, d\mu, $$

où l'on a identifié $\mathcal{L}/\mathbf{W}$ à un ensemble de représentants dans $\mathcal{L}$, et où, pour chaque classe $\sigma \in \Pi_{\text{disc}}(M)$, on a choisi un représentant $\sigma \in \Pi_{\text{disc}}(M)$ dans la classe $\sigma$.<fnref n="2" />

## 7.3 Décomposition spectrale d'un noyau

La proposition 7.2.2 de [25] est vraie ici, mutatis mutandis<fnref n="3" />. Plus précisément, soient $P \in \mathcal{P}_{\text{st}}$ et $\theta$ un $F$-automorphisme de $G$. Soit $H(x, y)$ un noyau intégral sur $X_{\theta(P)} \times X_P$, de la forme $H = K_1 K_2^*$:

$$ H(x, y) = \int_{X_P} K_1(x, z) K_2^*(z, y) \, dz, $$

où $K_1$ (resp. $K_2$) est un noyau $\mathcal{A}$-admissible sur $X_{\theta(P)} \times X_P$ (resp. $X_P \times X_P$). On suppose que pour $S \in \mathcal{P}_{\text{st}}^P$, $\sigma \in \Pi_{\text{disc}}(M_S)$ et $\mu \in \mu_S$, on a des opérateurs de rang fini et, plus précisément, qui s'annulent en dehors d'un ensemble fini de vecteurs de $\Psi_S(\sigma)$ :

$$ A_{1,\sigma,\mu} \in \operatorname{Hom}(\mathcal{A}(X_S, \sigma), \mathcal{A}(X_{\theta(S)}, \theta(\sigma))) $$

et

$$ A_{2,\sigma,\mu} \in \operatorname{Hom}(\mathcal{A}(X_S, \sigma), \mathcal{A}(X_S, \sigma)). $$

vérifiant

$$ \int_{X_P} K_1(x, y) E^P(y, \Psi, \mu) \, dy = E^{\theta(P)}(x, A_{1,\sigma,\mu} \Psi, \theta(\mu)) $$

et

$$ \int_{X_P} K_2(x, y) E^P(y, \Psi, \mu) \, dy = E^P(x, A_{2,\sigma,\mu} \Psi, \mu). $$

Posons

$$ B_{\sigma,\mu} = A_{1,\sigma,\mu} A_{2,\sigma,\mu}^* \in \operatorname{Hom}(\mathcal{A}(X_S, \sigma), \mathcal{A}(X_{\theta(S)}, \theta(\sigma))) $$

<footnote n="2">²On observera que pour chaque facteur de Levi $M \in \mathcal{L}/\mathbf{W}$, on a choisi un sous-groupe parabolique $P$ de composante de Levi $M$. Le choix de ces sous-groupes paraboliques $P$ est indifférent. Il en est de même pour les formules des propositions 7.3.1 et 7.3.2 ci-dessous.</footnote>

<footnote n="3">³On observera que, dans [25], la définition des espaces $X_P$ diffère de la nôtre par un quotient par $\mathfrak{B}_P$ ; il en résulte que, pour que la formule [25, proposition 7.2.2 (1)] soit correcte, il faut la modifier comme indiqué en **Err** (viii) dans l'annexe.</footnote>
et

$$
H_{\sigma}(x, y; \mu) = \sum_{\Psi \in \Psi_S(\sigma)} E^{\theta(P)}(x, B_{\sigma, \mu}\Psi, \theta(\mu)) \overline{E^P(y, \Psi, \mu)}.
$$

**Proposition 7.3.1.** *Le noyau H(x, y) admet la décomposition spectrale*

$$
(7.5) \quad H(x, y) = \sum_{M \in \mathcal{L}/\mathbf{W}} \frac{1}{w^G(M)} \sum_{\sigma \in \Pi_{\text{disc}}(M)} \hat{c}_M(\sigma) \int_{\mu_M} H_{\sigma}(x, y; \mu) \, d\mu.
$$

De plus, la somme sur Ψ dans l'expression H_σ(x, y; μ) est finie, et en posant

$$
h(x, y) = \sum_{M \in \mathcal{L}/\mathbf{W}} \frac{1}{w^G(M)} \sum_{\sigma \in \Pi_{\text{disc}}(M)} \hat{c}_M(\sigma) \int_{\mu_M} |H_\sigma(x, y; \mu)| d\mu,
$$

on a la majoration (inégalité de Schwartz)

$$
(7.6) \quad |H(x, y)| \le h(x, y) \le K_1 K_1^*(x, x)^{1/2} K_2 K_2^*(y, y)^{1/2}.
$$

Démonstration. Comme dans la preuve de [25, proposition 7.2.2], cela résulte
des généralités sur la décomposition spectrale des noyaux produits [25, proposi-
tion 7.1.1 (1)] et de la forme explicite de la décomposition spectrale automorphe
(théorème 7.2.4).

Pour $\delta \in \tilde{G}(F)$, posons $\theta = \text{Int}_{\delta}$ et $Q = \theta(P)$. On considère l'opérateur

$$
\rho(\delta, f, \omega) : L^2(X_P) \to L^2(X_Q),
$$

défini par

$$
\rho(\delta, f, \omega)\phi(x) = \int_{\tilde{G}(\mathbb{A})} f(y)(\omega\phi)(\delta^{-1}xy) \, dy.
$$

Il est donné par le noyau intégral

$$
K_{Q,\delta}(x, y) = \int_{U_Q(F) \setminus U_Q(\mathbb{A})} \omega(x) \sum_{\eta \in Q(F)} f(x^{-1}u^{-1}\eta^{-1}\delta y) \, du.
$$

Soit $S \in \mathbb{P}_{\text{st}}^P$, et soit $\sigma$ une représentation automorphe de $M_S(\mathbb{A})$. Pour $\mu \in \alpha_{P,\mathbb{C}}^*$ et $f \in C_c^\infty(\tilde{G}(\mathbb{A}))$, on a défini en section 7.2 un opérateur

$$
\rho_{S,\sigma,\mu}(\delta, f, \omega) : \mathcal{A}(X_S, \sigma) \to \mathcal{A}(X_{\theta(S)}, \theta(\omega \otimes \sigma)).
$$

Pour $\Psi \in \mathcal{A}(X_S, \sigma)$ et $x \in X_Q$, on a

$$
\rho(\delta, f, \omega) E^P(x, \Psi, \mu) = E^Q(x, \rho_{S,\sigma,\mu}(\delta, f, \omega)\Psi, \theta(\mu)),
$$
d'où

$$
\int_{X_P} K_{Q,\delta}(x, y) E^P(y, \Psi, \mu) dy = E^Q(x, \rho_{S,\sigma,\mu}(\delta, f, \omega)\Psi, \theta(\mu)).
$$

Rappelons que l’on a fixé une base orthonormale $\Psi_S(\sigma)$ de l’espace pré-hilbertien $\mathcal{A}(X_S, \sigma)$. Pour $\mu \in \mu_S$, on pose

$$
K_{Q,P,\sigma}(x, y; \mu) = \sum_{\Psi \in \Psi_S(\sigma)} E^Q(x, \rho_{S,\sigma,\mu}(\delta, f, \omega)\Psi, \theta(\mu)) \overline{E^P(y, \Psi, \mu)}.
$$

On a les variantes de la proposition 7.3.1 de [25] et de son corollaire 7.3.2 :

**Proposition 7.3.2.** *La fonction $f \in C_c^\infty(\tilde{G}(\mathbb{A}))$ étant fixée, alors*

(i) le noyau $K_{Q,\delta}(x, y)$ admet la décomposition spectrale suivante :

$$
K_{Q,\delta}(x,y) = \sum_{M \in \mathcal{L}^P / \mathbf{W}^P} \frac{1}{w^P(M)} \sum_{\sigma \in \Pi_{\text{disc}}(M)} \hat{c}_M(\sigma) \int_{\mu_M} K_{Q,P,\sigma}(x,y;\mu) \, d\mu;
$$

(ii) la restriction à $\mathcal{G} \times G(\mathbb{A})$ de la fonction

$$
(x, y) \mapsto \sum_{M \in \mathcal{L}^P / \mathbf{W}^P} \frac{1}{w^P(M)} \sum_{\sigma \in \Pi_{\text{disc}}(M)} \hat{c}_M(\sigma) \int_{\mu_M} |\Lambda_1^{T,Q} K_{Q,P,\sigma}(x, y; \mu)| d\mu
$$

est bornée et à support compact en x, et à croissance lente en y.

Démonstration. Le point (i) est une conséquence de la proposition 7.3.1 et de
la section 6.2 : on choisit un sous-groupe ouvert compact $\mathbf{K}'$ de $G(\mathbb{A})$ tel que
$e_{\mathbf{K}'} * f * e_{\mathbf{K}'} = f$ et $\omega|_{\mathbf{K}'} = 1$ ; pour $S \in \mathcal{P}_{\text{st}}^P$, $\sigma \in \Pi_{\text{disc}}(M_S)$ et $\mu \in \mu_S$, on considère les opérateurs

$$
A_{1,\sigma,\mu} = \rho_{S,\sigma,\mu}(\delta, f, \omega) \quad \text{et} \quad A_{2,\sigma,\mu} = \rho_{S,\sigma,\mu}(e_{\mathbf{K}'})
$$

puis on pose $B_{\sigma,\mu} = A_{1,\sigma,\mu} A_{2,\sigma,\mu}^*$.

On en déduit que le noyau tronqué $\Lambda_1^{T,Q} K_{Q,\delta}(x,y)$ est égal à

$$
\sum_{M \in \mathcal{L}^P / \mathbf{W}} \frac{1}{w^P(M)} \sum_{\sigma \in \Pi_{\text{disc}}(M)} \hat{c}_M(\sigma) \int_{\mu_M} \Lambda_1^{T,Q} K_{Q,P,\sigma}(x, y; \mu) \, d\mu.
$$

On observe que, grâce à la factorisation de la section 6.2, on a

$$
\Lambda_1^{T,Q} K_{Q,P,\sigma}(x, y; \mu) = \int_{X_G} \Lambda_1^{T,Q} K_{Q,P,\sigma}(x, z; \mu) K_{P,P,\sigma}^*(e_{\mathbf{K}'}; z, y; \mu) \, dz
$$

avec

$$
K_{P,P,\sigma}^*(e_{\mathbf{K}'}; z, y; \mu) = \sum_{\Psi \in \Psi_S(\sigma)} E^P(z, \Psi, \mu) \overline{E^P(y, \rho_{S,\sigma,\mu}(e_{\mathbf{K}'}))} \Psi, \mu).
$$
On en déduit le point (ii), comme dans la preuve de [25, proposition 7.3.1 (ii)], grâce
à l'inégalité de Schwarz (7.6), au lemme 6.3.1 (i), et à l'inégalité du lemme 6.1.1.

**Corollaire 7.3.3.** *La restriction à $\mathcal{S} \times G(\mathcal{A})$ de la fonction*

$$
(x, y) \mapsto |\Lambda_1^{T,Q} K_{Q,s}(x, y)|
$$

est bornée et à support compact en x, et à croissance lente en y.
# Partie III

## La formule des traces grossière
<figure><img src="image_15.png" /></figure>
# Chapitre 8

## Formule des traces : état zéro

### 8.1 Le cas compact

Dans cette section nous établissons la formule des traces tordue dans le cas où $G_{\text{der}}$ est anisotrope, c'est-à-dire où

$$ \bar{X}_G = A_G(\mathbb{A})G(F)\backslash G(\mathbb{A}) $$

est compact. On pose

$$ Y_G \stackrel{\text{déf}}{=} A_{\tilde{G}}(\mathbb{A})G(F)\backslash G(\mathbb{A}). $$

Rappelons que l'on a fixé un caractère unitaire $\omega$ de $G(\mathbb{A})$ qui soit trivial sur le groupe $A_{\tilde{G}}(\mathbb{A})G(F)$. Pour $f \in C_c^{\infty}(\tilde{G}(\mathbb{A}))$ on considère l'intégrale

$$ J(f, \omega) \stackrel{\text{déf}}{=} \int_{Y_G} K(f, \omega; x, x) \, dx, $$

avec

$$ K(f, \omega; x, y) = \sum_{\delta \in \tilde{G}(F)} f(x^{-1}\delta y)\omega(y). $$

Il est facile de montrer que l'intégrale sur $Y_G$ est absolument convergente. Indiquons rapidement comment on en déduit la formule des traces. Pour plus de détails on renvoie aux chapitres suivants, où les résultats de ce paragraphe seront établis dans un cadre plus général.

On peut développer l'intégrale suivant les classes de conjugaison. On note $\tilde{\Gamma}$ un système de représentants des classes de $G(F)$-conjugaison dans $\tilde{G}(F)$ et $G^{\delta}(F)$ le groupe des points $F$-rationnels du centralisateur $G^{\delta}$ de $\delta$ dans $G$. Pour $\delta \in \tilde{G}(F)$, on choisit une mesure de Haar sur $G^{\delta}(\mathbb{A})$ et on pose

$$ a^G(\delta) = \text{vol}(A_{\tilde{G}}(\mathbb{A})G^{\delta}(F)\backslash G^{\delta}(\mathbb{A})). $$

Si $G^{\delta}(\mathbb{A}) \subset \ker(\omega)$ on pose

$$ \mathcal{O}_{\delta}(f, \omega) = 0 $$

et, si $G^{\delta}(\mathbb{A}) \subset \ker(\omega)$, on pose

$$ \mathcal{O}_{\delta}(f, \omega) = \int_{G^{\delta}(\mathbb{A})\backslash G(\mathbb{A})} \omega(g) f(g^{-1}\delta g) \, dg, $$

où $dg$ est la mesure quotient.
**Proposition 8.1.1.** Si $G_{\text{der}}$ est anisotrope, on a le développement géométrique

$$J(f, \omega) = \sum_{\delta \in \tilde{\Gamma}} a^G(\delta) \mathcal{O}_\delta(f, \omega).$$

Seul un nombre fini de $\delta$ (dépendant du support de $f$) donne une contribution non nulle à la somme.

Nous allons maintenant considérer le développement spectral. En général, $J(f, \omega)$ n’est pas une trace car, sauf si $A_G$ est trivial, l’opérateur $\tilde{\rho}(f, \omega)$ opérant dans $L^2(X_G)$ n’est pas un opérateur à trace.

Rappelons qu’on a noté $\Xi(G)$ le groupe des caractères unitaires automorphes de $A_G(\mathbb{A})$. On note

$$\Xi(G, \tilde{G}) \subset \Xi(G)$$

le sous-groupe des caractères triviaux sur $A_{\tilde{G}}(\mathbb{A})$. Les groupes $\Xi(G)$ et $\Xi(G, \tilde{G})$ sont munis de mesures de Haar en suivant les conventions 1.3.1 : elles donnent le volume 1 à $\hat{B}_G$ et $\hat{B}_G^{\tilde{G}}$ respectivement<fnref n="1" />. Soit

$$\Xi(G, \theta, \omega) \subset \Xi(G)$$

le sous-ensemble formé des caractères $\xi$ tels que, en notant $\omega_{A_G}$ la restriction de $\omega$ à $A_G(\mathbb{A})$, on ait

$$\xi \circ \theta = \omega_{A_G} \otimes \xi.$$

Si $\Xi(G, \theta, \omega)$ est non vide, c’est un espace tordu sous le groupe $\Xi(G)^\theta$ des points fixes sous $\theta$ dans $\Xi(G)$. On observe que $\hat{B}_G^\theta$ est un sous-groupe ouvert de $\Xi(G)^\theta$. On munit $\Xi(G)^\theta$ de la mesure de Haar telle que $\text{vol}(\hat{B}_G^\theta) = 1$ ce qui fournit une mesure $\Xi(G)^\theta$-invariante sur $\Xi(G, \theta, \omega)$.

Considérons un caractère $\xi \in \Xi(G)$ et posons pour $x$ et $y$ dans $G(\mathbb{A})$,

$$K_{\xi}(f, \omega; x, y) = \sum_{\delta \in A_G(F) \setminus \tilde{G}(F)} \int_{A_G(\mathbb{A})} \overline{\xi(z)} f(z^{-1} x^{-1} \delta y) \omega(y) dz,$$

soit encore

$$K_{\xi}(f, \omega; x, y) = \int_{A_G(F) \setminus A_G(\mathbb{A})} \overline{\xi(z)} K(f, \omega; zx, y) dz.$$

Par inversion de Fourier, on voit que

$$K(f, \omega; x, y) = \int_{\xi \in \Xi(G)} K_{\xi}(f, \omega; x, y) d\xi,$$

<footnote n="1">¹Rappelons que $\hat{B}_G^{\tilde{G}}$ est le dual de Pontryagin du réseau $B_G^{\tilde{G}} = B_{\tilde{G}} \setminus B_G$ de $a_{\tilde{G}}$.</footnote>
et on observe que

$$
(8.1) \qquad K_{\xi}(f, \omega; zx, zy) = \zeta_{\xi}(z) K_{\xi}(f, \omega; x, y),
$$

où

$$
\zeta_{\xi} = (\xi \circ \theta)^{-1} \cdot (\omega_{AG} \otimes \xi) = \omega_{AG} \otimes \xi^{1-\theta}
$$

est un élément du groupe Ξ(G, ˜G). On observe aussi que, par définition,

$$
\zeta_{\xi} = 1 \text{ équivaut à } \xi \in \Xi(G, \theta, \omega).
$$

Pour $\xi \in \Xi(G)$, on note $L^2(X_G)_\xi$ l'espace de Hilbert des fonctions sur $X_G$
qui se transforment suivant $\xi$ sur $A_G(\mathbb{A})$. Lorsque $\xi \in \Xi(G, \theta, \omega)$, c'est-à-dire
si $\zeta_\xi = 1$, l'opérateur $\tilde{\rho}(f, \omega)$ induit un endomorphisme de $L^2(X_G)_\xi$. D'après le
théorème 7.1.1, c'est un opérateur de rang fini. On pose

$$
J(f, \omega, \xi) \stackrel{\text{d\'{e}f}}{=} \int_{X_G} K_{\xi}(f, \omega; x, x) \, dx
$$

et on a

$$
(8.2) \qquad J(f, \omega, \xi) = \operatorname{trace}(\tilde{\rho}(f, \omega) | L^2(X_G)_\xi).
$$

On note

$$
\Pi_{\text{disc}}(\tilde{G}, \omega)
$$

l'ensemble des classes d'isomorphisme de représentations automorphes irréductibles
de $G(\mathbb{A})$ discrètes modulo le centre, qui admettent un prolongement à $(\tilde{G}(\mathbb{A}), \omega)$.
Pour $\xi \in \Xi(G, \theta, \omega)$, on note $\Pi_{\text{disc}}(\tilde{G}, \omega)_{\xi}$ le sous-ensemble de $\Pi_{\text{disc}}(\tilde{G}, \omega)$, formé
des représentations dont le caractère central restreint à $A_G(\mathbb{A})$ est égal à $\xi$. Enfin pour
$\pi \in \Pi_{\text{disc}}(\Pi, \omega)_{\xi}$, on note

$$
\mathcal{A}(X_G, \pi)
$$

la composante isotypique de $\pi$ dans

$$
\mathcal{A}(X_G)_\xi \subset L^2(X_G)_\xi.
$$

**Lemme 8.1.2.** Pour $\xi \in \Xi(G, \theta, \omega)$, on a

$$
J(f, \omega, \xi) = \sum_{\pi \in \Pi_{\text{disc}}(\tilde{G}, \omega)_{\xi}} \operatorname{trace}(\tilde{\rho}(f, \omega) | \mathcal{A}(X_G, \pi)).
$$

Démonstration. On observe que les représentations $\pi$ qui n'admettent pas de prolongement à $(\tilde{G}(\mathbb{A}), \omega)$ contribuent par zéro à la trace de l'opérateur $\tilde{\rho}(f, \omega)$. $\blacksquare$
On choisit, pour chaque $\pi \in \Pi_{\text{disc}}(\tilde{G}, \omega)$, un prolongement $\tilde{\pi}$ à $(\tilde{G}(\mathbb{A}), \omega)$ de $\pi$ (plus correctement, d'un représentant $(\pi, V_\pi)$ de la classe $\pi$) et on note $m(\pi, \tilde{\pi})$ la multiplicité tordue de $(\pi, \tilde{\pi})$ dans $L^2(X_G)_{\xi_\pi}$, définie dans [25, section 2.4], où $\xi_\pi$ est la restriction à $A_G(\mathbb{A})$ du caractère central de $\pi$. Le nombre

$$m(\pi, \tilde{\pi})\operatorname{trace}(\tilde{\pi}(f, \omega)|_{V_\pi})$$

ne dépend pas du choix de $\tilde{\pi}$. Ceci fournit une nouvelle expression :

$$J(f, \omega, \xi) = \sum_{\pi \in \Pi_{\text{disc}}(\tilde{G}, \omega)_{\xi}} m(\pi, \tilde{\pi}) \operatorname{trace}(\tilde{\pi}(f, \omega)|_{V_{\pi}}).$$

**Lemme 8.1.3.** On suppose que l'ensemble $\Xi(G, \theta, \omega)$ est non vide. Si $\{\psi\}$ est une famille de fonctions sur $\Xi(G, \tilde{G})$ qui tend, au sens des distributions, vers la masse de Dirac à l'origine, alors pour tout fonction $\kappa$ lisse sur $\Xi(G)$, on a

$$\lim_{\psi} \int_{\xi \in \Xi(G)} \psi(\omega_{AG} \otimes \xi^{1-\theta}) \kappa(\xi) d\xi = \int_{\xi \in \Xi(G, \theta, \omega)} \kappa(\xi) d\xi.$$

*Démonstration.* Par hypothèse, il existe $\xi_0 \in \Xi(G, \theta, \omega)$. En écrivant $\xi$ sous la forme $\xi = \xi_0\xi_1\xi_2$ avec $\xi_2 \in \Xi(G)^\theta$, on a

$$\omega_{AG} \otimes \xi^{1-\theta} = \xi_1^{1-\theta}.$$

On observe alors qu'en posant $\Xi(G)_1 = \Xi(G)/\Xi(G)^\theta$, on a

$$\int_{\xi \in \Xi(G)} \psi(\omega_{AG} \otimes \xi^{1-\theta}) k(\xi) d\xi = \int_{\xi_1 \in \Xi(G)_1} \psi(\xi_1^{1-\theta}) \left( \int_{\xi_2 \in \Xi(G)^\theta} k(\xi_0 \xi_1 \xi_2) d\xi_2 \right) d\xi_1.$$

On peut supposer que $\psi$ est à support dans le tore compact

$$\hat{\mathbb{B}}_{G}^{\tilde{G}} = (1 - \theta)\hat{\mathbb{B}}_{G} (\subset \Xi(G, \tilde{G})).$$

Puisque les mesures sont compatibles avec la suite exacte courte

$$0 \to \hat{\mathbb{B}}_G^\theta \to \hat{\mathbb{B}}_G \xrightarrow{1-\theta} \hat{\mathbb{B}}_G^{\tilde{G}} \to 0,$$

le lemme en résulte.

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

**Proposition 8.1.4.** Si $G_{\text{der}}$ est anisotrope, on a l'identité :

$$J(f, \omega) = \int_{\xi \in \Xi(G, \theta, \omega)} \operatorname{trace}(\tilde{\rho}(f, \omega) | L^2(X_G)_{\xi}) d\xi,$$

soit encore

$$J(f, \omega) = \int_{\xi \in \Xi(G, \theta, \omega)} \sum_{\pi \in \Pi_{\text{disc}}(\tilde{G}, \omega)_{\xi}} \operatorname{trace}(\tilde{\rho}(f, \omega) | \mathcal{A}(X_G, \pi)).$$
Démonstration. Par définition,

$$
J(f, \omega) = \int_{Y_G} \left( \int_{\xi \in \Xi(G)} K_{\xi}(f, \omega; x, x) \mathrm{d}\xi \right) \mathrm{d}x,
$$

soit encore

$$
J(f, \omega) = \int_{\dot{x} \in \bar{X}_G} \int_{z \in A_G(F) A_{\tilde{G}}(\mathbb{A}) \setminus A_G(\mathbb{A})} \left( \int_{\xi \in \Xi(G)} K_{\xi}(f, \omega; zx, zx) \mathrm{d}\xi \right) dz \, d\dot{x}.
$$

Considérons une famille {$\phi$} de fonctions à support compact sur le groupe abélien localement compact

$A_G(F)A_{\tilde{G}}(\mathbb{A})\setminus A_G(\mathbb{A})$

et tendant vers la fonction 1, de sorte que la famille {$\hat{\phi}$} de leurs transformées de Fourier tende vers la masse de Dirac sur $\Xi(G, \tilde{G})$ à l'origine. Alors $J(f, \omega)$ est égal à

$$
\lim_{\phi \to 1} \int_{\bar{X}_G} \int_{A_G(F)A_{\tilde{G}}(\mathbb{A}) \setminus A_G(\mathbb{A})} \left( \int_{\xi \in \Xi(G)} K_{\xi}(f, \omega; zx, zx) \, d\xi \right) \phi(z^{-1}) \, dz \, d\dot{x},
$$

soit encore, en utilisant l'équation (8.1), à

$$
\lim_{\phi \to 1} \int_{\bar{X}_G} \int_{A_G(F)A_{\tilde{G}}(\mathbb{A}) \setminus A_G(\mathbb{A})} \left( \int_{\xi \in \Xi(G)} \phi(z^{-1}) \zeta_{\xi}(z) K_{\xi}(f, \omega; x, x) \, d\xi \right) \, dz \, d\dot{x}.
$$

Comme $\phi$ est à support compact, on peut intervertir les intégrations en $z$ et $\xi$, et on a

$$
J(f, \omega) = \lim_{\phi \to 1} \int_{\bar{X}_G} \left( \int_{\xi \in \Xi(G)} \hat{\phi}(\zeta_{\xi}) K_{\xi}(f, \omega; x, x) \, d\xi \right) \, d\dot{x}.
$$

Compte tenu du lemme 8.1.3, cette limite s'écrit

$$
\int_{\bar{X}_G} \left( \int_{\xi \in \Xi(G, \theta, \omega)} K_{\xi}(f, \omega; x, x) \, d\xi \right) \, d\dot{x}.
$$

Comme $\bar{X}_G$ est compact, on peut encore intervertir, et on obtient

$$
J(f, \omega) = \int_{\xi \in \Xi(G, \theta, \omega)} J(f, \omega, \xi) \, d\xi.
$$

On conclut en invoquant l'équation (8.2).

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

On pose

$$
\mu_{\tilde{G}} \stackrel{\text{déf}}{=} \hat{A}_{\tilde{G}}
$$

et on note $\Pi_{\text{disc}}(\tilde{G}, \omega)$ le quotient de $\Pi_{\text{disc}}(\tilde{G}, \omega)$ par la relation d'équivalence don-
née par la torsion par les éléments de $\mu_{\tilde{G}}$. Pour $\pi \in \Pi_{\text{disc}}(\tilde{G}, \omega)$, on pose

$$
\hat{c}_{\tilde{G}}(\pi) = \frac{|\hat{c}_{\tilde{G}}|}{|\text{Stab}_{\tilde{G}}(\pi)|},
$$

où $\text{Stab}_{\tilde{G}}(\pi) \subset \hat{c}_{\tilde{G}}$ est le stabilisateur de $\pi$ dans $\mu_{\tilde{G}}$.
**Lemme 8.1.5.** *Le morphisme*

$$ \widehat{\mathcal{B}}_G^\theta \to \widehat{\mathcal{B}}_{\tilde{G}} = \widehat{\mathcal{B}}_G^\theta, $$

induit par $\xi \mapsto \xi|_{\widehat{\mathcal{B}}_{\tilde{G}}}$, est surjectif et son noyau est fini, de cardinal

$$ j(\tilde{G}) = |\det(1 - \theta|\alpha_{\tilde{G}}^\theta)|. $$

*Démonstration.* Le groupe $\widehat{\mathcal{B}}_G^\theta$ est le dual de Pontryagin du groupe $(1 - \theta)\mathcal{B}_G \setminus \mathcal{B}_G$. Le morphisme composé

$$ \mathcal{B}_{\tilde{G}} = \mathcal{B}_G^\theta \to \mathcal{B}_G \to (1 - \theta)\mathcal{B}_G \setminus \mathcal{B}_G $$

est injectif et son conoyau est égal à

$$ ((1 - \theta)\mathcal{B}_G + \mathcal{B}_{\tilde{G}})\setminus\mathcal{B}_G = (1 - \theta)\mathcal{B}_G \setminus \mathcal{B}_G^{\tilde{G}}. $$

Or, l'indice $[\mathcal{B}_G^{\tilde{G}} : (1 - \theta)\mathcal{B}_G]$ est égal à $|\det(1 - \theta|\alpha_{\tilde{G}}^\theta)|$. D'où le lemme, par dualité de Pontryagin. ■

Avec les conventions 1.3.1 pour la normalisation des mesures (vol($\mu_{\tilde{G}}$) = 1), la proposition 8.1.4 s'écrit aussi :

**Proposition 8.1.6.** *Si $G_{\text{der}}$ est anisotrope on a l'identité*

$$ J(f, \omega) = j(\tilde{G})^{-1} \sum_{\pi \in \Pi_{\text{disc}}(\tilde{G}, \omega)} \widehat{c}_{\tilde{G}}(\pi) \int_{\mu_{\tilde{G}}} \text{trace}(\tilde{\rho}(f, \omega) | \mathcal{A}(X_G, \pi_{\lambda})) d\lambda, $$

où, pour chaque classe $\pi$, on a choisi un représentant $\pi$ dans $\Pi_{\text{disc}}(\tilde{G}, \omega)$. Seul un nombre fini de $\pi$ (dépendant de $f$) donne une contribution non triviale à la somme.

*Démonstration.* On peut écrire

$$ \int_{\Xi(G, \theta, \omega)}^{\oplus} L^2(X_G)_{\xi} d\xi = \bigoplus_{\xi \in \Xi(G, \theta, \omega)^1} \int_{\widehat{\mathcal{B}}_G^{\theta}}^{\oplus} L^2(X_G)_{\xi \star \mu} d\mu, $$

où $\Xi(G, \theta, \omega)^1 \subset \Xi(G)^1$ est l'ensemble des restrictions à $A_G(\mathbb{A})^1$ des éléments de $\Xi(G, \theta, \omega)$. On a donc

$$ J(f, \omega) = \sum_{\xi \in \Xi(G, \theta, \omega)^1} \int_{\widehat{\mathcal{B}}_G^\theta} \text{trace}(\tilde{\rho}(f, \omega) | L^2(X_G)_{\xi \star \mu}) d\mu $$

et

$$ \text{trace}(\tilde{\rho}(f, \omega) | L^2(X_G)_{\xi \star \mu}) = \sum_{\pi \in \Pi_{\text{disc}}(\tilde{G}, \omega)_{\xi \star \mu}} \text{trace}(\tilde{\rho}(f, \omega) | \mathcal{A}(X_G, \pi)). $$
En remarquant que, pour tout $v \in \hat{\mathbb{C}}\tilde{G}$,

$$ \pi \in \Pi_{\text{disc}}(\tilde{G}, \omega)_{\xi \star \mu} \quad \text{équivaut à} \quad \pi \star v \in \Pi_{\text{disc}}(\tilde{G}, \omega)_{\xi \star \mu}, $$

puis en passant aux classes d'équivalence modulo torsion par les éléments de $\mu_{\tilde{G}}$, on obtient l'expression de l'énoncé, grâce au lemme 8.1.5. ■

**Corollaire 8.1.7.** Si $G_{\text{der}}$ est anisotrope, la formule des traces tordue est l'identité

$$ \sum_{\delta \in \tilde{\Gamma}} a^G(\delta) \mathcal{O}_\delta(f, \omega) = j(\tilde{G})^{-1} \sum_{\pi \in \Pi_{\text{disc}}(\tilde{G}, \omega)} \hat{c}_{\tilde{G}}(\pi) \int_{\mu_{\tilde{G}}} \text{trace}(\tilde{\rho}(f, \omega) | \mathcal{A}(X_G, \pi_\lambda)) \, d\lambda. $$

Ce sont les identités des propositions 8.1.1, 8.1.4 et 8.1.6 que nous devons généraliser lorsque $G_{\text{der}}$ n'est plus nécessairement anisotrope. Il conviendra d'intégrer sur $Y_G$ des avatars tronqués du noyau. La première étape est fournie par le paragraphe suivant.

## 8.2 L'identité fondamentale

Soit $f \in C_c^\infty(\tilde{G}(\mathbb{A}))$. Pour $\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}$, on pose

$$ K_{\tilde{P}}(x, y) = \int_{U_P(F) \setminus U_P(\mathbb{A})} \sum_{\delta \in \tilde{P}(F)} \omega(y) f(x^{-1} \delta uy) \, du. $$

C'est le noyau de la représentation naturelle de $(\tilde{G}(\mathbb{A}), \omega)$ dans $L^2(X_P)$. Pour $Q \in \tilde{\mathcal{P}}$ tel que $Q \subset P$, on note $\Lambda_1^{T,Q} K_{\tilde{P}}(x, y)$ l'opérateur de troncature $\Lambda^{T,Q}$ appliqué à la fonction $x \mapsto K_{\tilde{P}}(x, y)$, pour y fixé. Le lemme 8.2.1 de [25] est vrai ici.

On pose

$$ k_{\tilde{g}_{\text{éom}}(x)}^{T} = \sum_{\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}} (-1)^{a_{\tilde{P}} - a_{\tilde{G}}} \sum_{\xi \in P(F) \setminus G(F)} k_{\tilde{P}, \text{géom}}^{T}(\xi x) $$

avec

$$ k_{\tilde{P}, \text{géom}}^{T}(x) = \hat{\tau}_{P}(\mathbf{H}_{0}(x) - T) K_{\tilde{P}}(x, x) $$

et

$$ k_{\text{spec}}^{T}(x) = \sum_{\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}} (-1)^{a_{\tilde{P}} - a_{\tilde{G}}} \sum_{\xi \in P(F) \setminus G(F)} k_{\tilde{P}, \text{spec}}^{T}(\xi x) $$

avec

$$ k_{\tilde{P}, \text{spec}}^{T}(x) = \sum_{\substack{Q, R \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}} \\ Q \subset P \subset R}} \sum_{\xi \in Q(F) \setminus P(F)} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(\mathbf{H}_{0}(\xi x) - T) \Lambda_{1}^{T, Q} K_{\tilde{P}}(\xi x, \xi x). $$
On a donc

$$k_{\text{spec}}^{T}(x) = \sum_{\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}} (-1)^{a_{\tilde{P}} - a_{\tilde{\mathcal{G}}}} \sum_{\substack{Q, R \in \mathcal{P}_{\text{st}} \\ Q \subset P \subset R}} \sum_{\xi \in Q(F) \setminus G(F)} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(\mathbf{H}_{0}(\xi x) - T) \Lambda_{1}^{T, Q} K_{\tilde{P}}(\xi x, \xi x).$$

Tous ces termes ne dépendent que de la projection de $T$ dans

$$a_0^{\tilde{G}} = a_0^G \oplus a_G^{\tilde{G}}$$

et on a les identités

$$k_{\tilde{P}, \text{géom}}^{T} = k_{\tilde{P}, \text{spec}}^{T}, \quad \text{pour tout} \quad \tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}.$$

On en déduit l'identité fondamentale suivante.

**Proposition 8.2.1.** On a l'identité $k_{\text{géom}}^T = k_{\text{spec}}^T$.

Ce résultat, qui est une conséquence immédiate de la combinatoire des cônes, est le point de départ pour la formule des traces dans le cas non compact.

Chacune des expressions $k_{\text{géom}}^T$ et $k_{\text{spec}}^T$ possède un développement : la première suivant les classes d'équivalence de paires primitives et la seconde suivant la décomposition spectrale. Pour obtenir la formule des traces on intègre sur $Y_G$ les fonctions $k_{\text{géom}}^T$ et $k_{\text{spec}}^T$. On montrera que la convergence des intégrales (pour $T$ suffisamment régulier) est compatible avec les développements de chacune de ces expressions. Ainsi, l'égalité de

$$\mathcal{I}_{\text{géom}}^{T}(f, \omega) \stackrel{\text{déf}}{=} \int_{Y_G} k_{\text{géom}}^{T}(x) \, dx \quad \text{et de} \quad \mathcal{I}_{\text{spec}}^{T}(f, \omega) \stackrel{\text{déf}}{=} \int_{Y_G} k_{\text{spec}}^{T}(x) \, dx$$

fournira la formule des traces, c'est-à-dire l'égalité du développement géométrique et du développement spectral. Précisons que l'égalité

$$\mathcal{I}_{\text{géom}}^{T}(f, \omega) = \mathcal{I}_{\text{spec}}^{T}(f, \omega)$$

est une égalité de fonctions dans PolExp : les intégrales convergent et sont égales pour $T \in \alpha_0$ suffisamment régulier et elles définissent un même élément de PolExp (d'après le lemme 1.7.2).
# Chapitre 9

# Développement géométrique

## 9.1 Convergence : côté géométrique

Rappelons qu'on a introduit en section 3.3 l'ensemble $\mathcal{D}$ des classes d'équivalence de paires primitives dans $\tilde{G}(F)$ et que pour chaque $o \in \mathcal{D}$ on a défini un ensemble $\mathcal{O}_o$ de classes de conjugaison de $\tilde{G}(F)$. Compte tenu du lemme 3.3.2 on peut décomposer $k_{\text{géom}}^T(x)$ en

$$k_{\text{géom}}^T(x) = \sum_{o \in \mathcal{D}} k_o^T(x)$$

où $k_o^T$ ne comporte que la contribution des éléments $\delta \in \mathcal{O}_o$ :

$$k_o^T(x) = \sum_{\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}} (-1)^{a_{\tilde{P}} - a_{\tilde{\mathcal{G}}}} \sum_{\xi \in P(F) \setminus G(F)} k_{\tilde{P},o}^T(\xi x)$$

avec

$$k_{\tilde{P},o}^T(x) = \hat{\tau}_P(\mathbf{H}_0(x) - T) K_{\tilde{P},o}(x, x),$$

où

$$K_{\tilde{P},o}(x, x) = \int_{U_P(F) \setminus U_P(\mathbb{A})} \sum_{\delta \in \mathcal{O}_o \cap \tilde{P}(F)} \omega(x) f(x^{-1} \delta u x) \, du.$$

On rappelle que d'après le lemme 3.3.2 (ii), on a la décomposition

$$\mathcal{O}_o \cap \tilde{P}(F) = (\mathcal{O}_o \cap \tilde{M}_P(F)) U_P(F),$$

ce qui donne un sens à l'expression ci-dessus.

On considère $Q, R \in \mathcal{P}_{\text{st}}$. Rappelons que d'après [25, lemme 2.11.1] il existe un $\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}$ tel que $Q \subset P \subset R$ si et seulement si on a $Q^+ \subset R^-$. On a défini en section 3.4 un ensemble $\mathcal{G}_{P_0}^Q(T_1, T)$ dépendant d'un compact $C_Q \subset G(\mathbb{A})$, et on a noté $F_{P_0}^Q(\cdot, T)$ la fonction caractéristique de l'ensemble

$$Q(F)\mathcal{G}_{P_0}^Q(T_1, T).$$

Comme en [25, proposition 3.6.3], on suppose que $C_Q$ est assez gros, et que $T$ et $-T_1$ sont assez réguliers.

On pose<fnref n="1" />

$$Y_Q = A_{\tilde{\mathcal{G}}}(\mathbb{A}) Q(F) \setminus G(\mathbb{A}).$$

<footnote n="1">¹Le lecteur prendra garde que dans [25] on passe au quotient par $\mathfrak{B}_G$, qui, dans le cas des corps de nombres, est identifié à un sous-groupe du centre, car $f$ a été intégrée sur le centre.</footnote>
Le point clef pour la convergence du côté géométrique (théorème 9.1.2 ci-dessous) est le résultat suivant [25, proposition 9.1.1] :

**Proposition 9.1.1.** *Supposons T assez régulier, c'est-à-dire $\mathbf{d}_0(T) \ge c$ où c est une constante dépendant du support de f. L'intégrale*

$$ \int_{Y_Q} F_{P_0}^Q(x, T) \tilde{\sigma}_Q^R(\mathbf{H}_0(x) - T) \left| \sum_{\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}, \tilde{Q}^+ \subset \tilde{P} \subset \tilde{R}^-} (-1)^{a_{\tilde{P}} - a_{\tilde{Q}}} K_{\tilde{P}, o}(x, x) \right| dx $$

est convergente.

*Démonstration.* Notons $\Omega_f$ le support de $f$. C'est un compact de $\tilde{G}(\mathbb{A})$, et pour $x \in G(\mathbb{A})$ tel que $K_{\tilde{P},o}(x, x) \ne 0$, on a $x^{-1}\delta u x \in \Omega_f$ pour des éléments $\delta \in \mathcal{O}_o \cap \tilde{P}(F)$ et $u \in U_P(\mathbb{A})$. Puisque $\mathbf{H}_G(x^{-1}\delta u x) = 0$ et $\Omega_f \cap G(\mathbb{A})^1$ est compact, on peut appliquer [25, corollaire 3.6.7] : si $T$ est assez régulier, précisément si $\mathbf{d}_0(T) \ge c$ où $c$ est une constante dépendant de $\Omega_f$, les $\delta \in \mathcal{O}_o \cap \tilde{P}(F)$ qui donnent une contribution non nulle à l'expression de l'énoncé appartiennent à $\mathcal{O}_o \cap \tilde{Q}^+(F)$. En utilisant la décomposition (point (ii) du lemme 3.3.2)

$$ \mathcal{O}_o \cap \tilde{Q}^+(F) = (\mathcal{O}_o \cap \tilde{M}_{Q^+}(F))U_{Q^+}(F), $$

on peut donc comme dans la preuve de [25, proposition 9.1.1] remplacer $K_{\tilde{P},o}(x, x)$ par une expression $\Phi_{\tilde{P},o}(x)$ qui s'écrit $\Phi_{\tilde{P},o} = \sum_{\eta \in \mathcal{O}_o \cap \tilde{M}_{Q^+}} \Phi_{\tilde{P},\eta,o}(x)$ avec

$$ \Phi_{\tilde{P}, \eta, o}(x) = \int_{U_P(F) \setminus U_P(\mathbb{A})} \sum_{v \in U_{Q^+}(F)} f(x^{-1} \eta v u x) \, dv. $$

Posons

$$ \Xi_Q^R(x) = \tilde{\sigma}_Q^R(\mathbf{H}_0(x) - T) \left| \sum_{\eta \in \mathcal{O}_o \cap \tilde{M}_{Q^+}} \left| \sum_{\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}, Q \subset P \subset R} (-1)^{a_{\tilde{P}} - a_{\tilde{Q}}} \Phi_{\tilde{P}, \eta, o}(x) \right| \right|. $$

Il s'agit de montrer que l'intégrale

$$ \int_{Y_Q} F_{P_0}^Q(x, T) \Xi_Q^R(x) \, dx $$

est convergente. Posons

$$ Z_Q = A_{\tilde{G}}(\mathbb{A}) A_Q(F) \setminus A_Q(\mathbb{A}) \subset Y_Q. $$

On commence par estimer, pour $v \in U_Q(\mathbb{A})$ et $x \in G(\mathbb{A})$, l'intégrale

$$ \Theta_Q^R(v, x) = \int_{Z_Q} \Xi_Q^R(vax) \delta_Q(a)^{-1} da, $$
de façon uniforme lorsque $x$ reste dans un compact fixé. Notons que la somme sur $\eta$ dans l'expression $\Xi_Q^R(vax)$ porte sur un ensemble fini, dépendant $a$ priori de $x$ et $a$. Comme dans la preuve de [25, proposition 9.1.1], on montre que pour $x$ dans un compact fixé, l'ensemble des $a \in \mathbb{Z}_Q$ donnant une contribution non triviale à l'expression $\Theta_Q^R(v, x)$ est contenu dans un compact ; par conséquent la somme sur $\eta$ dans l'expression $\Xi_Q^R(vax)$ porte sur un ensemble fini (indépendant de $a$ et $x$ dans un compact fixé). Il reste à estimer la somme sur $a$ dans l'expression $\Theta_Q^R(v, x)$. Notons $\mathbb{Z}_Q^{R-}$ l'image de

$$A_Q(\mathbb{A}) \cap A_{R-}(\mathbb{A})^1 = \{a \in A_Q(\mathbb{A}) : \mathbf{H}_{R-}(a) = 0\}$$

dans $\mathbb{Z}_Q$. Le morphisme

$$1 - \theta_0 : \mathbb{Z}_Q \to \mathbb{Z}_0 = \mathbb{Z}_{P_0}, \quad a \mapsto a\theta_0(a^{-1})$$

a pour noyau le sous-groupe $\widetilde{\mathbb{Z}}_Q^{R-}$ de $\mathbb{Z}_Q^{R-}$ formé des éléments $\theta_0$-invariants. D'après la preuve [25, proposition 9.1.1], il suffit de considérer les $a \in \widetilde{\mathbb{Z}}_Q^{R-}$.

Soit l'algèbre de Lie de $U_{Q+}$. On n'a pas ici d'application exponentielle mais on peut fixer un $F$-isomorphisme de variétés algébriques $j : \mathfrak{u} \to U_{Q+}$ compatible avec l'action de $A_{Q+}$, i.e. tel que

$$j \circ \mathrm{Ad}_a = \mathrm{Int}_a \circ j$$

pour tout $a \in A_{Q+}$. On obtient $j$ par restriction à partir d'un $F$-isomorphisme de variétés algébriques $j_0 : \mathfrak{u}_0 \to U_0$ compatible avec l'action de $A_0 = A_{P_0}$, où $\mathfrak{u}_0$ est l'algèbre de Lie de $U_0 = U_{P_0}$. Pour toute racine $\alpha$ de $A_0$ dans $U_0$, on pose $\alpha = \{\alpha, 2\alpha\}$ si $2\alpha$ est une racine et $(\alpha) = \{\alpha\}$ sinon. On note $U_{(\alpha)}$ le $F$-sous-groupe de $U_0$ correspondant à $(\alpha)$ et $\mathfrak{u}_{(\alpha)}$ son algèbre de Lie. Soient $\alpha_1, \dots, \alpha_r$ les racines primitives (c'est-à-dire non divisibles) de $A_0$ dans $U_0$, ordonnées arbitrairement. On a la décomposition en produit direct $U_0 = U_{(\alpha_1)} \cdots U_{(\alpha_r)}$, resp. en somme directe $\mathfrak{u}_0 = \mathfrak{u}_{(\alpha_1)} \oplus \cdots \oplus \mathfrak{u}_{(\alpha_r)}$, et il suffit de prouver que pour $i = 1, \dots, r$, il existe un $F$-isomorphisme de variétés algébriques $\xi_i : \mathfrak{u}_{(\alpha_i)} \to U_{(\alpha_i)}$ compatible avec l'action de $A_0$. Alors pour $X \in \mathfrak{u}_0$, on écrit $X = \sum_{i=1}^r X_i$ avec $X_i \in \mathfrak{u}_{(\alpha_i)}$ et on pose $j_0(X) = \xi_1(X_1) \cdots \xi_r(X_r)$. Fixons un indice $i$ et prouvons l'existence de $\xi_i$. Supposons tout d'abord $(\alpha_i) = \{\alpha_i\}$. D'après [15, Lemma 21.17, Theorem 21.20], $U_{(\alpha_i)}$ est $F$-isomorphe, en tant que variété algébrique, à un espace affine $V_i$, la conjugaison par $a \in A_0$ sur $U_{(\alpha_i)}$ correspondant à la translation par $\alpha_i(a)$ sur $V_i$. Si maintenant $(\alpha_i) = \{\alpha_i, 2\alpha_i\}$, d'après [15, Lemma 21.19] et la preuve de [15, Theorem 21.20], il existe un $F$-isomorphisme de variétés algébriques

$$(U_{(\alpha_i)}/U_{(2\alpha_i)}) \times U_{(2\alpha_i)} \to U_{(\alpha_i)}$$

compatible avec l'action de $A_0$ et l'argument précédent s'applique à chacun des deux groupes unipotents $U_{(\alpha_i)}/U_{(2\alpha_i)}$ et $U_{(2\alpha_i)}$. Cela prouve l'existence de $\xi_i$ en général,
et donc celle de $j_0$. La restriction de $j_0$ à $\mathfrak{u}$ donne le $F$-isomorphisme $j : \mathfrak{u} \to U_{Q+}$ cherché; il est compatible avec l'action de $A_0$. Observons que $j$ induit une bijection $\mathfrak{u}(\mathbb{A}) \to U_{Q+}(\mathbb{A})$ qui se restreint en une bijection $\mathfrak{u}(F) \to U_{Q+}(F)$.

Soit $\mathfrak{u}^*$ le dual de $\mathfrak{u}$. Fixons un caractère non trivial $\psi$ de $F\backslash\mathbb{A}$, et notons $\mathfrak{u}^\vee$ l'orthogonal de $\mathfrak{u}(F)$ dans $\mathfrak{u}^*(\mathbb{A})$ pour ce caractère. Pour $\Lambda \in \mathfrak{u}^*(\mathbb{A})$ et $u \in U_P(\mathbb{A})$, posons

$$g(x, \Lambda, \delta, u) = \int_{\mathfrak{u}(\mathbb{A})} \psi(\langle \Lambda, X \rangle) f(x^{-1}\delta j(X)ux) dX.$$

Comme dans la preuve de [25, proposition 9.1.1], la formule de Poisson permet d'écrire

$$\Xi_Q^R(x) = \tilde{\sigma}_Q^R(\mathbf{H}_0(x) - T) \left| \sum_{\Lambda \in \mathfrak{u}^\vee(Q, R)} g(x, \Lambda, \eta, 1) \right|,$$

où $\mathfrak{u}^\vee(Q, R)$ est un sous-ensemble de $\mathfrak{u}^\vee$ défini en loc. cit. Observons qu'ici $g$ est à support compact en $\Lambda$ comme transformée de Fourier d'une fonction lisse à support compact. La suite de la démonstration est identique à celle de loc. cit. : via l'étude de l'action coadjointe de $\tilde{Z}_Q^{R^-}$ sur $\mathfrak{u}^\vee$, on obtient que la somme définissant $\Theta_Q^R(v, x)$ est absolument convergente, uniformément lorsque $x$ reste dans un compact. On conclut comme à la fin de la preuve de loc. cit. ■

Rappelons que si le compact $C_Q$ est assez gros, et si $T$ et $-T_1$ sont assez réguliers, on a la partition [25, proposition 3.6.3]

$$\sum_{Q \in \mathcal{P}_{\text{st}}, Q \subset P} \sum_{\xi \in Q(F) \setminus P(F)} F_{P_0}^Q(\xi x, T) \tau_Q^P(\mathbf{H}_0(\xi x) - T) = 1.$$

On en déduit un analogue de [25, théorème 9.1.2] :

**Théorème 9.1.2.** Si $T$ est assez régulier, précisément si $d_0(T) \ge c$ où $c$ est une constante ne dépendant que du support de $f$, l'expression

$$\sum_{\mathfrak{o} \in \mathcal{D}} \int_{Y_G} |k_{\mathfrak{o}}^T(x)| dx$$

est convergente. De plus, seul un ensemble fini de classes $\mathfrak{o}$ (dépendant du support de $f$) donne une contribution non triviale à la somme.

L'intégrale étant absolument convergente, il est loisible de poser

$$\mathcal{F}_{\mathfrak{o}}^{T} \stackrel{\text{déf}}{=} \int_{Y_G} k_{\mathfrak{o}}^{T}(x) dx \quad \text{et} \quad \mathcal{F}_{\text{géom}}^{T} \stackrel{\text{déf}}{=} \int_{Y_G} k_{\text{géom}}^{T}(x) dx.$$

On obtient alors le développement géométrique de la formule des traces :

**Corollaire 9.1.3.** On a

$$\mathcal{F}_{\text{géom}}^{T} = \sum_{\mathfrak{o} \in \mathcal{D}} \mathcal{F}_{\mathfrak{o}}^{T}.$$
Il ne s'agit ici que de la forme dite « grossière » du développement géométrique. Nous allons donner une forme plus explicite pour certains termes. La théorie des intégrales orbitales pour les corps de fonctions est encore à écrire. Elle sera bien sûr nécessaire pour un développement géométrique « fin » au sens de Langlands. Il est toutefois possible de traiter les termes primitifs (cf. section 9.2) et les termes quasi semi-simples comme pour les corps de nombres (cf. section 9.4). Pour les autres termes, on tombe sur des difficultés que nous n'essaierons pas de résoudre ici (cf. section 9.3). Il est raisonnable d'espérer que pour $p \gg 1$ ces difficultés disparaissent (cf. section 9.5).

## 9.2 Contribution des classes primitives

Notons $\mathcal{D}_{\text{prim}} \subset \mathcal{D}$ l'ensemble des classes de $G(F)$-conjugaison d'éléments primitifs dans $\tilde{G}(F)$. Pour $\mathfrak{o} \in \mathcal{D}_{\text{prim}}$, l'expression

$$k_{\mathfrak{o}}^{T}(x) = \sum_{\delta \in \mathcal{O}_{\mathfrak{o}}} \omega(x) f(x^{-1} \delta x)$$

ne dépend pas de $T$. On la note aussi $k_{\mathfrak{o}}(x)$. Avec les notations de la section 8.2, on a donc

$$k_{\text{prim}}(f, \omega; x) = \sum_{\mathfrak{o} \in \mathcal{D}_{\text{prim}}} k_{\mathfrak{o}}(x)$$

et l'intégrale

$$(9.1) \qquad J_{\text{prim}}^{\tilde{G}}(f, \omega) = \int_{Y_G} k_{\text{prim}}(f, \omega; x) \, dx$$

est absolument convergente. Elle définit une distribution sur $\tilde{G}(\mathbb{A})$, donnée par

$$(9.2) \qquad J_{\text{prim}}^{\tilde{G}}(f, \omega) = \sum_{\delta \in \tilde{\Gamma}_{\text{prim}}} \int_{A_{\tilde{G}}(\mathbb{A})G^{\delta}(F)\backslash G(\mathbb{A})} \omega(g) f(g^{-1}\delta g) \, dg$$

où $\tilde{\Gamma}_{\text{prim}}$ est un système de représentants des classes de $G(F)$-conjugaison dans $\tilde{G}(F)_{\text{prim}}$. Ici $G^{\delta}(F)$ est le groupe des points $F$-rationnels du centralisateur<fnref n="2" /> $G^{\delta}$ de $\delta$ dans $G$, et $dg$ est le quotient de la mesure de Haar sur $A_{\tilde{G}}(\mathbb{A})\backslash G(\mathbb{A})$ par la mesure de comptage sur $A_{\tilde{G}}(F)\backslash G^{\delta}(F)$. Seul un nombre fini de $\delta$ (dépendant du support de $f$) donne une contribution non triviale à la somme.

<footnote n="2">²Vu comme $F$-schéma en groupes, $G^{\delta}$ n'est a priori ni lisse, ni connexe.</footnote>
**Corollaire 9.2.1.** Pour $\delta \in \tilde{G}(F)_{\text{prim}}$, l'intégrale orbitale

$$ \int_{A_{\tilde{G}}(\mathbb{A})G^{\delta}(F)\backslash G(\mathbb{A})} \omega(g)f(g^{-1}\delta g)dg $$

est absolument convergente.

**Corollaire 9.2.2.** Pour $\delta \in \tilde{G}(F)_{\text{prim}}$, le groupe (localement compact) $G^{\delta}(\mathbb{A})$ est unimodulaire et le quotient

$$ A_{\tilde{G}}(\mathbb{A})G^{\delta}(F)\backslash G^{\delta}(\mathbb{A}) $$

est de volume fini.

**Démonstration.** Considérons le cas $\omega = 1$ et $f$ positive. L'intégrale orbitale

$$ \int_{A_{\tilde{G}}(\mathbb{A})G^{\delta}(F)\backslash G(\mathbb{A})} f(x^{-1}\delta x)dx $$

étant convergente, il en résulte que pour toute fonction lisse $\varphi$ et à support compact sur

$$ Y = G^{\delta}(\mathbb{A})\backslash G(\mathbb{A}), $$

l'intégrale

$$ \int_{A_{\tilde{G}}(\mathbb{A})G^{\delta}(F)\backslash G(\mathbb{A})} \varphi(x)f(x^{-1}\delta x)dx $$

est convergente et définit une fonctionnelle $G(\mathbb{A})$-invariante à droite sur l'espace vectoriel engendré par les fonctions $\psi$ sur $Y$ de la forme $\psi(\dot{x}) = \varphi(\dot{x})f(x^{-1}\delta x)$. Mais, en variant $f$ et $\varphi$, on obtient ainsi toutes les fonctions lisses et à support compact sur $Y$. Il existe donc une mesure $G(\mathbb{A})$-invariante à droite sur $Y$, ce qui implique que le groupe $G^{\delta}(\mathbb{A})$ est unimodulaire, puisque $G(\mathbb{A})$ l'est. La convergence de l'intégrale orbitale implique que le volume de $A_{\tilde{G}}(\mathbb{A})G^{\delta}(F)\backslash G^{\delta}(\mathbb{A})$ est fini. ■

Pour $\delta \in \tilde{G}(\mathbb{A})_{\text{prim}}$, on choisit une mesure de Haar sur $G^{\delta}(\mathbb{A})$ et on pose

$$ a^{G}(\delta) = \text{vol}(A_{\tilde{G}}(\mathbb{A})G^{\delta}(F)\backslash G^{\delta}(\mathbb{A})), $$

où le volume est calculé en prenant la mesure quotient de la mesure de Haar sur $A_{\tilde{G}}(\mathbb{A})\backslash G^{\delta}(\mathbb{A})$ par la mesure de comptage sur $A_{\tilde{G}}(F)\backslash G^{\delta}(F)$. Si $G^{\delta}(\mathbb{A}) \not\subset \ker(\omega)$, on pose

$$ \mathcal{O}_{\delta}(f, \omega) = 0, $$

et si $G^{\delta}(\mathbb{A}) \subset \ker(\omega)$, on pose

$$ \mathcal{O}_{\delta}(f, \omega) = \int_{G^{\delta}(\mathbb{A})\backslash G(\mathbb{A})} \omega(g)f(g^{-1}\delta g)d\dot{g}, $$
où $d\bar{g}$ est la mesure quotient de la mesure de Haar sur $G(\mathbb{A})$ par la mesure de Haar sur $G^\delta(\mathbb{A})$.

On fixe un système de représentants $\tilde{\Gamma} \subset \tilde{G}(F)$ des classes de $G(F)$-conjugaison dans $\tilde{G}(F)$, et on note $\tilde{\Gamma}_{\text{prim}} \subset \tilde{\Gamma}$ le sous-ensemble formé des éléments primitifs.

**Proposition 9.2.3.** *L'intégrale (9.1) est absolument convergente et définit une distribution invariante sur $\tilde{G}(\mathbb{A})$. On a*

$$ (9.3) \qquad J_{\text{prim}}^{\tilde{G}}(f, \omega) = \sum_{\delta \in \tilde{\Gamma}_{\text{prim}}} a^G(\delta) \mathcal{O}_{\delta}(f, \omega), $$

où la somme porte sur un ensemble fini (dépendant du support de $f$).

*Démonstration.* Un calcul élémentaire fournit l'égalité (9.3). La finitude résulte du lemme 3.4.2. ■

## 9.3 Sur la descente centrale

Dans [25, section 9.2], en vue de l'utilisation de la descente centrale de Harish Chandra, qui est une technique essentielle dans les travaux d'Arthur sur le développement géométrique fin, l'expression $k_0^T(x)$ est remplacée par une expression $j_0^T(x)$, de même intégrale sur $Y_G$.<fnref n="3" /> En caractéristique positive, le lemme 9.2.1 de [25], qui permet de faire ce remplacement, n'est plus vrai, même dans le cas non tordu. En effet considérons une paire primitive $(M, \delta)$ dans $G$ et $P = MU$. Notons $U^\delta$ le centralisateur de $\delta$ dans $U$.<fnref n="4" /> On considère le $F$-morphisme $\pi_\delta$ de variétés algébriques

$$ \pi_{\delta} : U_{P} \times U_{P}^{\delta} \rightarrow U_{P} \quad \text{défini par} \quad (u, v) \mapsto u^{-1} v \text{Int}_{\delta}(u). $$

En général l'inclusion $\pi_\delta(U_P \times U^\delta) \subset U_P$ est stricte et donc le lemme 9.2.2 de [25] est en défaut, comme le montre l'exemple ci-dessous.

<footnote n="3">³Rappelons qu'ici $Y_G$ joue le rôle de l'espace $X_G = \mathfrak{A}_G G(F) \backslash G(\mathbb{A})$ de [25]. Observons aussi que la définition de l'expression $j_{P,o}^T(x)$ donnée dans [25, section 9.2] est incorrecte et doit être remplacée par celle donnée par Err (xi) dans l'annexe.</footnote>

<footnote n="4">⁴Notons $(1 - \delta)U$ l'image du $F$-endomorphisme $u \mapsto u \cdot \text{Int}_\delta(u)^{-1}$. Ce morphisme se factorise en un $F$-morphisme bijectif de variétés algébriques $U^\delta \backslash U \to (1 - \delta)U$, qui n'est en général pas un isomorphisme. Au $F$-schéma en groupes (affine) $U^\delta$, correspond un sous-groupe algébrique $F$-fermé (au sens de Borel [15]) de $G$, noté de la même manière. Le $F$-morphisme en question est un isomorphisme si et seulement s'il est séparable, auquel cas le $F$-schéma en groupes $U^\delta$ est géométriquement réduit (donc lisse) et correspond à un groupe algébrique défini sur $F$.</footnote>
Supposons $F$ de caractéristique $p > 0$. Soit $\gamma$ un élément de $GL_p(F)$ qui en-
gendre une extension radicielle non triviale $E = F[\gamma]$ de $F$. Cette extension est de
degré $p$ et $\gamma$ est primitif dans $GL_p(F)$. Plongeons $M = GL_p \times GL_p$ diagonalement
dans $GL_{2p}$ et notons $\delta$ l'élément $(\gamma, \gamma)$ de $M(F)$. Alors $(M, \delta)$ est une paire primitive
dans $G = GL_{2p}$ et si $P$ le sous-groupe parabolique standard de $G$ de composante de
Levi $M$, on a $U^\delta(F) \simeq E$. On identifie $U(F)$ à $M_p(F)$ et $U^\delta(F)$ à $E \subset M_p(F)$. On
voit que dans ce cas l'application $\pi_\delta$ est donnée par

$$
(x, y) \mapsto n(x) + y \quad \text{où} \quad n(x) \stackrel{\text{déf}}{=} (\text{Ad}(\gamma) - 1)x.
$$

On peut choisir $\gamma$ tel que $\gamma^p$ soit scalaire et donc $(\mathrm{Ad}(\gamma) - 1)^p = 0$. Il en résulte que $\pi_\delta$ ne peut pas être surjective. Par exemple si $p=2$, on a $\gamma n(x)\gamma^{-1} = n(x)$ et donc $n(x) \in E$ pour tout $x \in M_2(F)$, ce qui implique $n(x) + y \in E$ pour tout couple $(x, y) \in M_2(F) \times E$.

Cet exemple montre que pour les paires primitives (M̃, δ) dans G̃ avec M̃ ≠ G̃
et δ inséparable, la descente centrale ne fonctionne plus sans modification. C'est l'une
des principales difficultés à résoudre du côté géométrique.

9.4 Contribution des classes quasi semi-simples

Un élément $\delta$ de $\tilde{G}$ est dit quasi semi-simple si l'automorphisme $\tau = \text{Int}_{\delta}$ de $G$ est quasi semi-simple, c'est-à-dire s'il stabilise une paire de Borel $(B, T)$ de $G$. Pour l'étude des automorphismes quasi semi-simples sur un corps quelconque, on renvoie à [31, chapitres 2 et 3]. Un automorphisme $\tau$ de $G$ est quasi semi-simple si et seulement l'automorphisme $\tau_{\text{der}}$ de $G_{\text{der}}$ est quasi semi-simple. La composante neutre $G_{\tau} = (G^{\tau})^{0}$ du centralisateur d'un automorphisme quasi semi-simple $\tau$ de $G$ est un groupe algébrique linéaire réductif (connexe)<fnref n="5" />. On prendra garde à ce que si $F$ est de caractéristique $p > 0$, un automorphisme non trivial de $G$ peut être quasi semi-simple et unipotent; toutefois, un tel automorphisme est forcément quasi-central<fnref n="6" />.

<footnote n="5">⁵Le théorème 4.6.3 de [31] affirme que ce groupe est défini sur $F$, ce qui n'est pas toujours vrai (la preuve de *loc. cit.* utilise le lemme 4.5.2 de [31] qui est faux en général). Pour un énoncé correct, on renvoie aux travaux récents de Adler-Lansky-Spice sur la question (https://www.arxiv.org/pdf/2503.00183). Nous nous limiterons ici aux éléments quasi-simples vérifiant la conclusion de [31, théorème 4.6.3].</footnote>

<footnote n="6">⁶En caractéristique $p > 0$, un automorphisme $\tau$ de $G$ est dit unipotent s'il existe un entier $k \ge 1$ tel que $\tau^{p^k} = \text{Id}$. Par exemple pour $p = 2$, l'automorphisme $\tau : t \mapsto t^{-1}$ du tore $\mathbb{G}_m$ est quasi semi-simple et unipotent. De plus le morphisme $1 - \tau : t \mapsto t^2$ de $\mathbb{G}_m$ n'est pas séparable. Un automorphisme quasi semi-simple $\tau$ de $G$ est dit quasi-central si $\dim(G_{\tau'}) \le \dim(G_{\tau})$ pour tout automorphisme quasi semi-simple $\tau'$ de $G$ de la forme $\tau' = \text{Int}_g \circ \tau$ avec $g \in G$.</footnote>
Pour $\delta \in \tilde{G}$ et $\tau = \text{Int}_\delta$, notons $(1 - \tau)G$ l'image du morphisme de $G$ dans $G$ :

$$1 - \tau : g \mapsto g\tau(g)^{-1}.$$

On dit que $\delta$ est séparable si le morphisme $1 - \tau$ est séparable, c'est-à-dire s'il induit un isomorphisme de variétés algébriques

$$G^{\delta} \backslash G \to (1 - \tau)G.$$

Si $\delta \in \tilde{G}(F)$ est séparable, le $F$-schéma en groupes $G^\delta$ est lisse et correspond à un sous-groupe algébrique fermé de $G$ défini sur $F$.

Soit $\delta \in \tilde{G}(F)$ un élément quasi semi-simple. En général, $\delta$ n'est pas séparable, mais on sait que la composante neutre $G_\delta = (G^\delta)^0$ de son centralisateur est un groupe algébrique réductif (connexe). On suppose de plus qu'il est défini sur $F$. On peut alors, comme sur un corps de nombres, définir son centralisateur stable $I_\delta$ (cf. [25, section 2.6]<fnref n="7" />) :

$$G_{\delta} \stackrel{\text{déf}}{=} G^{\delta, 0} \subset I_{\delta} \subset G^{\delta}.$$

Considérons le tore déployé maximal $A_\delta$ dans le centre de $I_\delta$, ou, ce qui revient au même, de $G_\delta$, et notons $M_\delta$ le centralisateur de $A_\delta$ dans $G$. C'est un facteur de Levi de $G$, et $\delta$ est elliptique (mais pas nécessairement régulier) dans $\tilde{M}_\delta = \delta M_\delta$, en d'autres termes<fnref n="8" /> :

$$A_{\delta} = A_{\tilde{M}_{\delta}}.$$

Notons $\tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}(\delta)$ le sous-ensemble de $\tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}$ formé des $\tilde{P}$ tel que $\tilde{M}_P$ contienne un conjugué de $\tilde{M}_\delta$ dans $G(F)$. Soit $\mathfrak{o} = [\tilde{M}, \delta]$ une paire primitive dans $\tilde{G}$ et soit $c$ la classe de $G(F)$-conjugaison de $\delta$ dans $\tilde{G}(F)$. La contribution de $c$ à $k_{\mathfrak{o}}^T(x)$ est donnée par

$$k_c^T(x) = \sum_{\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}(\delta)} (-1)^{a_{\tilde{P}} - a_{\tilde{\mathfrak{o}}}} \sum_{\xi \in P(F) \backslash G(F)} k_{\tilde{P},c}^T(\xi x)$$

avec

$$k_{\tilde{P},c}^{T}(x) = \hat{\tau}_{P}(\mathbf{H}_{0}(x) - T)K_{\tilde{P},c}(x, x),$$

<footnote n="7">⁷Le centre « schématique » $Z_G$ n'est en général pas réduit. On considère le centre « réduit » $\mathfrak{G}$ de $G$, c'est-à-dire le centre, au sens de Borel [15]. C'est un groupe algébrique diagonalisable, a priori seulement $F$-fermé, mais qui est en fait défini sur $F$: d'après [15, Theorem 18.2] il existe un tore maximal $T$ de $G$ défini sur $F$; un tel tore se déploie sur une extension algébrique séparable $E$ de $F$, par suite le sous-groupe fermé $\mathfrak{G}_E \subset T$ est défini sur $E$, donc sur $F$, puisqu'il est $F$-fermé. Le centre « réduit » $\mathfrak{G}_\mathfrak{o} = \mathfrak{G}_\mathfrak{o}^\theta$ de $\mathfrak{G}_\mathfrak{o}$ est, lui aussi, un groupe algébrique diagonalisable, défini sur $F$. On prend pour $I_\delta$ le sous-groupe algébrique fermé de $G$, engendré par $G_\delta$ et $\mathfrak{G}_\mathfrak{o}$.</footnote>

<footnote n="8">⁸Observons qu’un élément quasi semi-simple $\delta$ est primitif si et seulement s’il est elliptique régulier, c’est-à-dire que $G_\delta$ est un tore et le sous-tore déployé maximal de $G_\delta$ est égal à $A_{\tilde{G}}$.</footnote>
où

$$
K_{\tilde{P},c}(x, x) = \int_{U_P(\mathbb{A})} \sum_{\delta \in c \cap \tilde{M}_P(F)} \omega(x) f(x^{-1} \delta u x) \, du.
$$

Quitte à remplacer $\delta$ par un conjugué dans $G(F)$, on peut supposer que $\tilde{M}_{\delta}$ est un facteur de Levi standard. Pour $\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}$, on définit l'ensemble

$$
\mathbf{W}(a\tilde{M}_{\delta}, \tilde{P}),
$$

comme en [25, section 9.3] et on pose

$$
j_{\tilde{P},c}(x) = \iota(\delta)^{-1} \sum_{s \in \mathbf{W}(a_{\tilde{M}_{\delta}}, \tilde{P})} \sum_{\eta \in I_{s}(\delta)(F) \setminus P(F)} \omega(x) f(x^{-1} \eta^{-1} s(\delta) \eta x),
$$

où

$$
s(\delta) = w_s \delta w_s^{-1} \quad \text{et} \quad \iota(\delta) = |I_{\delta}(F) \setminus G^{\delta}(F)|.
$$

Enfin on pose

$$
j_c^T(x) = \sum_{\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}} (-1)^{a_{\tilde{P}} - a_{\tilde{G}}} \sum_{\xi \in P(F) \setminus G(F)} \hat{\tau}_P(\mathbf{H}_0(\xi x) - T) j_{\tilde{P},c}(\xi x).
$$

Observons que la somme sur $\tilde{P}$ porte en fait sur le sous-ensemble $\tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}(\delta)$.

**Lemme 9.4.1. On a l'égalité des intégrales**

$$
\int_{Y_G} k_c^T(x) \mathrm{d}x = \int_{Y_G} j_c^T(x) \mathrm{d}x.
$$

Démonstration. Pour $\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}(\delta)$ tel que l'orbite $c$ rencontre $\tilde{P}(F)$, pour $\tilde{M}_1 \subset \tilde{M}_P$
un conjugué de $\tilde{M}_\delta$, et pour $s \in \mathbf{W}(a_{\tilde{M}_\delta}, a_{\tilde{M}_1})$, d'après [31, proposition 3.7.6] le
morphime

$$
U_P \to U_P, \quad u \mapsto u^{-1} \mathrm{Int}_{S(\delta)}(u)
$$

est séparable. Puisque le centralisateur $U_P^{s(\delta)} = U_P \cap G^{s(\delta)}$ est trivial, ce morphisme
est un isomorphisme qui induit une application bijective $U_P(\mathbb{A}) \to U_P(\mathbb{A})$. On en
déduit l'égalité

$$
K_{\tilde{P},c}(x, x) = \int_{U_P(F) \setminus U_P(\mathbb{A})} j_{\tilde{P},c}(ux) \, du
$$

et le lemme en résulte.

Posons

$$
A_{I_{\delta}} \stackrel{\text{déf}}{=} \mathbf{H}_{\tilde{M}_{\delta}}(I_{\delta}(\mathbb{A})) \subset A_{\tilde{M}_{\delta}} \quad \text{et} \quad \mathbb{C}_{I_{\delta}}^{\tilde{G}} \stackrel{\text{déf}}{=} \mathbb{B}_{\tilde{G}} \setminus A_{I_{\delta}} \subset \mathbb{C}_{\tilde{M}_{\delta}}^{\tilde{G}}.
$$
Si le caractère $\omega$ de $G(\mathbb{A})$ est trivial sur $I_\delta(\mathbb{A})^1 = \ker(I_\delta(\mathbb{A}) \to \mathcal{A}_{I_\delta})$, il définit, par restriction à $I_\delta(\mathbb{A})$, un caractère de $\mathbb{C}_{I_\delta}^{\tilde{G}}$ de la forme $H \mapsto e^{\langle \mu_\delta, H \rangle}$ pour un élément

$$ \mu_\delta \in \ker(\mu_{I_\delta} \to \mu_{\tilde{G}}) \subset \mu_{I_\delta} \stackrel{\text{déf}}{=} \hat{\mathcal{A}}_{I_\delta}. $$

On a introduit en section 3.2 la famille orthogonale $\mathfrak{Y}(x, T)$ et on pose

$$ \mathbf{v}_{\tilde{M}_{\delta}}^{T}(\omega, x) = \omega(x) \sum_{H \in \mathcal{C}_{I_{\delta}}^{\tilde{G}}} \Gamma_{\tilde{M}_{\delta}}^{\tilde{G}}(H, \mathfrak{Y}(x, T))e^{\langle \mu_{\delta}, H \rangle}. $$

**Lemme 9.4.2.** La fonction $T \mapsto \mathbf{v}_{\tilde{M}_{\delta}}^{T}(\omega, x)$ est dans PolExp.

*Démonstration.* On a la suite exacte courte

$$ 0 \to \mathbb{B}_{\tilde{M}_{\delta}}^{\tilde{G}} \to \mathbb{C}_{I_{\delta}}^{\tilde{G}} \to \mathbb{C}_{I_{\delta}} \stackrel{\text{déf}}{=} \mathbb{B}_{\tilde{M}_{\delta}} \setminus \mathcal{A}_{I_{\delta}} \to 0. $$

On note $\mathbb{B}_{\tilde{M}_{\delta}}^{\tilde{G}}(Z) \subset \mathbb{C}_{I_{\delta}}^{\tilde{G}}$ la fibre au-dessus de $Z \in \mathbb{C}_{I_{\delta}}$ et on pose

$$ \eta_{\tilde{M}_{\delta}, F}^{\tilde{G}, \mathfrak{Y}(x,T)}(Z; \mu_{\delta}) = \sum_{H \in \mathbb{B}_{\tilde{M}_{\delta}}^{\tilde{G}}(Z)} \Gamma_{\tilde{M}_{\delta}}^{\tilde{G}}(H, \mathfrak{Y}(x, T))e^{\langle \mu_{\delta}, H \rangle}. $$

On a donc

$$ \mathbf{v}_{\tilde{M}_{\delta}}^{T}(\omega, x) = \omega(x) \sum_{Z \in \mathcal{C}_{I_{\delta}}} \eta_{\tilde{M}_{\delta}, F}^{\tilde{G}, \mathfrak{Y}(x,T)}(Z; \mu_{\delta}). $$

L'assertion résulte alors de la proposition 2.1.3.

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Observons que pour $M \in \mathcal{L}$, $Q \in \mathcal{F}(M)$ et $m \in M(\mathbb{A})$ on a

$$ Y_{mx,T,Q} = Y_{x,T,Q} - \mathbf{H}_{Q}(m) $$

et donc

$$ \Gamma_{\tilde{M}_{\delta}}^{\tilde{G}}(H, \mathfrak{Y}(mx, T)) = \Gamma_{\tilde{M}_{\delta}}^{\tilde{G}}(H + \mathbf{H}_{M_{\delta}}(m), \mathfrak{Y}(x, T)) $$

pour $m \in M_\delta(\mathbb{A})$. On en déduit que la fonction $x \mapsto \mathbf{v}_{\tilde{M}_{\delta}}^{T}(\omega, x)$ est invariante par translation à gauche par $h \in I_\delta(\mathbb{A})$.

**Proposition 9.4.3.** Si $I_\delta(\mathbb{A})^1 \subset \ker(\omega)$, on a l'identité

$$ \int_{\mathbf{Y}_G} j_c^T(x) dx = \iota(\delta)^{-1} \mathrm{vol} \left( I_\delta(F) \setminus I_\delta(\mathbb{A})^1 \right) \int_{I_\delta(\mathbb{A}) \setminus G(\mathbb{A})} \mathbf{v}_{\tilde{M}_\delta}^T(\omega, x) f(x^{-1} \delta x) d\dot{x}. $$

L'intégrale sur $\mathbf{Y}_G$ est nulle sinon.
*Démonstration.* Posons

$$e_{\tilde{M}_{\delta}}(x, T) = \sum_{s \in \mathbf{W}(a_{\tilde{M}_{\delta}})} \sum_{\tilde{Q} \in \mathcal{F}_s(\tilde{M}_{\delta})} (-1)^{a_{\tilde{Q}} - a_{\tilde{\Gamma}}} \hat{\tau}_{\tilde{Q}}(s^{-1}(\mathbf{H}_0(w_s x) - T)).$$

Comme dans la preuve de [25, proposition 9.3.1] on a

$$\int_{Y_G} j_c^T(x) \, dx = \iota(\delta)^{-1} \int_{A_{\tilde{G}}(\mathbb{A}) I_\delta(F) \setminus G(\mathbb{A})} \omega(x) e_{\tilde{M}_\delta}(x, T) f(x^{-1} \delta x) \, dx.$$

Pour que l’intégrale sur $Y_G$ soit non nulle, il faut que $I_\delta(\mathbb{A})^1$ soit inclus dans $\ker(\omega)$.
Si tel est le cas, on observe que pour $h \in M_\delta(\mathbb{A})$ on a

$$e_{\tilde{M}_{\delta}}(hx, T) = \Gamma_{\tilde{M}_{\delta}}^{\tilde{G}}(\mathbf{H}_{M_{\delta}}(h), \mathfrak{Y}(x, T))$$

et donc que

$$\int_{A_{\tilde{G}}(\mathbb{A}) I_{\delta}(F) \setminus I_{\delta}(\mathbb{A})} \omega(hx) e_{\tilde{M}_{\delta}}(hx, T) dh = \mathrm{vol}(I_{\delta}(F) \setminus I_{\delta}(\mathbb{A})^1) \mathbf{v}_{\tilde{M}_{\delta}}^{T}(\omega, x). \quad \blacksquare$$

## 9.5 Sur le développement géométrique fin

Le développement géométrique fin consiste en l'expression des termes du développement géométrique du corollaire 9.1.3 au moyen d'intégrales orbitales pondérées. Les propositions 9.2.3 et 9.4.3 fournissent une telle expression pour les termes primitifs ou quasi semi-simples.

Les autres termes font intervenir des contributions unipotentes et, comme on a vu en section 9.3, la descente centrale ne peut plus être utilisée en général sans modification. On ne peut donc pas espérer pouvoir reprendre sans efforts les travaux d'Arthur, à moins d'imposer à $p$ d'être « suffisamment grand » par rapport au rang de $G$ de sorte que<fnref n="9" /> :

* pour toute paire primitive $(\tilde{M}, \delta)$, l'élément $\delta$ est quasi semi-simple;

* pour tout $\delta \in \tilde{G}(F)$, l'automorphisme $\mathrm{Int}_\delta$ de $G$ est séparable;

* pour tout $\delta \in \tilde{G}(F)$ on a une décomposition de Jordan

$$\delta = \delta_s \delta_u = \delta_u \delta_s,$$

en partie quasi semi-simple $\delta_s$ et partie unipotente $\delta_u$ définie sur $F$;

<footnote n="9">⁹Les hypothèses sont probablement redondantes : il s'agit d'une liste de propriétés toujours vraies pour un corps de nombres mais, en général, fausses pour un corps de fonctions.</footnote>
• pour tout $\delta \in \tilde{G}(F)$ quasi semi-simple et tout ensemble fini $S$ de places de $F$, il n'y a qu'un nombre fini de classes de $G_\delta(F_S)$-conjugaison unipotentes.

Observons que si, comme le fait Arthur, on se limite au cas où un (et donc tout) $\delta \in \tilde{G}(F)$ induit un automorphisme extérieur d'ordre fini de $G$, on peut alors demander que le centre schématique $Z_G$ soit réduit et que $\tilde{G}$ induise un automorphisme de $Z_G$ d'ordre fini premier à $p$.

Une hypothèse plus forte que les précédentes, mais aussi plus facile à vérifier, est la suivante. On considère $(GL_n, GL_n)$ comme un espace tordu c'est-à-dire que $GL_n$ agit sur lui même par conjugaison. On demande qu'il existe un entier $n < p$ et un $F$-morphisme d'espaces tordus algébriques

$$ \iota : (\tilde{G}, G) \to (GL_n, GL_n) $$

d'image fermée et qui soit un isomorphisme sur son image. Sous ces hypothèses, il doit être possible de reprendre, sans grands changements, les travaux d'Arthur sur le développement géométrique fin : on commence par traiter les contributions unipotentes, c'est-à-dire les paires primitives $(\tilde{M}, \delta)$ avec $\delta$ quasi semi-simple et unipotent; puis on traite le cas général par descente centrale. Toutefois, cela reste à faire.
<figure><img src="image_19.png" /></figure>
# Chapitre 10

## Première forme du développement spectral

### 10.1 Convergence : côté spectral

On commence par réécrire l'expression pour $k_{\text{spec}}^T(x)$ définie en section 8.2. Pour $Q, R \in \mathcal{P}_{\text{st}}$, on pose

$$k_{\text{spec}}^{T}(Q, R, x) = \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(\mathbf{H}_{0}(x) - T) \sum_{\tilde{Q}^{+} \subset \tilde{P} \subset \tilde{R}^{-}} (-1)^{a_{\tilde{P}} - a_{\tilde{G}}} \Lambda_{1}^{T, Q} K_{\tilde{P}}(x, x).$$

On a donc

$$k_{\text{spec}}^{T}(x) = \sum_{Q, R \in \mathcal{P}_{\text{st}}} \sum_{\xi \in Q(F) \setminus G(F)} k_{\text{spec}}^{T}(Q, R, \xi x).$$

On pose

$$\tilde{\epsilon}(Q, R) = \begin{cases} (-1)^{a_{\tilde{R}} - a_{\tilde{G}}} & \text{si } Q^{+} \subset R^{-}, \\ 0 & \text{sinon,} \end{cases}$$

et on note $\tilde{G}(Q, R)$ l'ensemble des $\delta \in \tilde{G}(F)$ tels que $\delta \in \tilde{P}(F)$ pour un seul $\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}$ tel que $\tilde{Q}^{+} \subset \tilde{P} \subset \tilde{R}^{-}$ (autrement dit l'ensemble des $\delta \in \tilde{R}^{-}(F)$, tels que $\delta \notin \tilde{P}(F)$ pour tout $\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}$, tel que $\tilde{Q}^{+} \subset \tilde{P} \subsetneq \tilde{R}^{-}$). On pose

$$K_{Q,R}(x, y) = \int_{U_Q(F) \setminus U_Q(\mathbb{A})} \sum_{\delta \in \tilde{G}(Q,R)} \omega(y) f(x^{-1} u_Q^{-1} \delta y) du_Q.$$

D'après [25, lemme 10.1.1], on a

$$(10.1) \qquad k_{\text{spec}}^{T}(x) = \sum_{Q, R \in \mathcal{P}_{\text{st}}} \tilde{\epsilon}(Q, R) \sum_{\xi \in Q(F) \setminus G(F)} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(\mathbf{H}_{0}(\xi x) - T) \Lambda_{1}^{T, Q} K_{Q,R}(x, \xi x).$$

Pour $\delta \in \tilde{G}(F)$, on a défini $K_{Q,\delta}(x, y)$ dans la proposition 7.3.2, et on pose

$$Q_{\delta} = Q \cap \text{Int}_{\delta}^{-1}(Q) \in \mathcal{P}_{\text{st}}^{Q}.$$

On a donc

$$(10.2) \qquad K_{Q,R}(x, x) = \sum_{\delta \in \tilde{W}(Q,R)} \sum_{\xi \in Q_{\delta}(F) \setminus Q(F)} K_{Q,\delta}(x, \xi x),$$
où $\tilde{\mathbf{W}}(Q, R)$ est un ensemble de représentants de $\tilde{G}(Q, R)$ modulo $Q(F)$ à droite et à gauche, i.e. des doubles classes $Q(F)\backslash\tilde{G}(Q, R)/Q(F)$. Rappelons que l'on a posé

$$Y_{Q,\delta} = A_{\tilde{G}}(\mathbb{A}) Q_{\delta}(F) \backslash G(\mathbb{A}).$$

Rappelons aussi que l'on a fixé en section 3.4 un sous-ensemble fini $\mathfrak{C}_Q$ de $M_0(\mathbb{A})$ tel que $M_Q(\mathbb{A}) = \mathfrak{B}_Q \mathfrak{C}_Q M_Q(\mathbb{A})^1$ où $\mathfrak{B}_Q \subset A_Q(\mathbb{A})$ est l'image d'une section du morphisme $A_Q(\mathbb{A}) \to \mathfrak{B}_Q$. On pose

$$M_Q(\mathbb{A})^* \stackrel{\text{déf}}{=} \mathfrak{C}_Q M_Q(\mathbb{A})^1 = M_Q(\mathbb{A})^1 \mathfrak{C}_Q.$$

On a donc $M_Q(\mathbb{A}) = \mathfrak{B}_Q M_Q(\mathbb{A})^*$. On suppose de plus, ce qui est loisible, que $\mathfrak{B}_Q$ est de la forme

$$\mathfrak{B}_Q = \mathfrak{B}_{\tilde{G}} \mathfrak{B}_{\tilde{G}}^{\tilde{G}},$$

où $\mathfrak{B}_{\tilde{G}}$ est l'image d'une section du morphisme composé

$$A_Q(\mathbb{A}) \to A_{\tilde{G}}(\mathbb{A}) \backslash A_Q(\mathbb{A}) \to \mathfrak{B}_{\tilde{G}} = \mathfrak{B}_{\tilde{G}} \backslash \mathfrak{B}_Q$$

et $\mathfrak{B}_{\tilde{G}}$ est l'image d'une section du morphisme $A_{\tilde{G}}(\mathbb{A}) \to \mathfrak{B}_{\tilde{G}}$. Les lemmes 10.1.2 à 10.1.4 de [25] sont vrais ici, et on a la variante de [25, lemme 10.1.5] :

**Lemme 10.1.1.** Soient $\delta \in Q(F)\backslash\tilde{G}(Q, R)$, $u \in U_Q(\mathbb{A})$, $a \in \mathfrak{B}_{\tilde{G}}$, $k_1, k_2 \in \mathbf{K}$ et $m_1, m_2 \in M_Q(\mathbb{A})^*$. Supposons que, pour un $\xi \in Q(F)$, on ait

$$K_{Q,\delta}(am_1k_1, \xi uam_2k_2) \neq 0 \quad \text{et} \quad \tilde{\sigma}_{\tilde{Q}}^{R}(\mathbf{H}_0(a)) = 1.$$

Alors on a

$$\|\mathbf{H}_0(a)\| \leq c(1 + \|\mathbf{H}_0(m_2)\|)$$

pour une constante $c > 0$ ne dépendant que du support de $f$.

**Démonstration.** On reprend, en la modifiant, celle de [25, lemme 10.1.5]. On com- mence par modifier $\delta$ et $\xi$, comme au début de la preuve de loc. cit. : on suppose que $\delta = w_{s_0}\delta_0$, où $w_{s_0} \in M_{R^{-}}(F)$ représente un élément $s_0$ du groupe de Weyl $\mathbf{W}^{M_{R^{-}}}$ de $M_{R^{-}}$ tel que $s_0^{-1}\alpha > 0$ pour toute racine $\alpha \in \Delta_{0}^{Q}$, et $\xi \in U_0(F)$. Pour $i = 1, 2$, on écrit $m_i = m'_i x_i$ avec $m'_i \in M_Q(\mathbb{A})^1$ et $x_i \in \mathfrak{C}_Q$. Rappelons que

$$K_{Q,\delta}(x, y) = \int_{U_Q(\mathbb{A})} \omega(x) \sum_{\mu \in M_Q(F)} f(x^{-1}u_Q^{-1}\mu\delta y) du_Q.$$

On a supposé

$$K_{Q,\delta}(am_1k_1, \xi uam_2k_2) \neq 0,$$
ce qui n'est possible que s'il existe un $u_Q \in U_Q(\mathbb{A})$ et un $\mu \in M_Q(F)$ tels que

$$k_1^{-1}x_1^{-1}m_1'^{-1}a^{-1}u_Q^{-1}\mu\delta\xi uam_2'x_2k_2$$

appartient au support de $f$. On en déduit qu'il existe un compact $\Omega$ de $G(\mathbb{A})$, ne dépendant que du support de $f$, tel que

$$m_1'^{-1}a^{-1}u_Q^{-1}\mu\delta\xi uam_2' \in \Omega.$$

On décompose $H = \mathbf{H}_0(a)$ suivant la décomposition

$$a_{\tilde{Q}}^{\tilde{G}} = a_{\tilde{Q}}^{R^{-}} \oplus b_{R^{-}}^{G} \oplus a_{\tilde{R}^{-}}^{\tilde{G}} \oplus a_{\tilde{G}}^{\tilde{G}},$$

où $b_{R^{-}}^{G}$ est l'orthogonal de $a_{\tilde{R}}^{\tilde{G}}$ dans $a_{R^{-}}^{G}$. On rappelle que $\theta - 1 : a_{\tilde{G}}^{\tilde{G}} \to a_{\tilde{G}}^{\tilde{G}}$ est un automorphisme. Comme dans la preuve de *loc. cit.*, il suffit de considérer les $a \in \mathfrak{B}_Q$ tels que $H \in a_{\tilde{Q}}^{R^{-}}$ et la suite de la démonstration est identique. ■

**Proposition 10.1.2.** *Supposons T assez régulier, c'est-à-dire $d_0(T) \ge c$, où c est une constante dépendant du support de $f$. Alors pour tous $Q, R \in \mathbb{P}_{\text{st}}$ tels que $Q \subset R$ et tout $\delta \in \tilde{G}(Q, R)$, l'intégrale*

$$\int_{Y_{Q,\delta}} \tilde{\sigma}_{\tilde{Q}}^{R}(\mathbf{H}_{0}(x) - T) |\Lambda_{1}^{T,Q} K_{Q,\delta}(x, x)| dx$$

est convergente.

*Démonstration.* C'est l'analogue de [25, proposition 10.1.6]. Rappelons que

$$G(\mathbb{A}) = U_Q(\mathbb{A})M_Q(\mathbb{A})K.$$

Puisque $U_Q(F)\backslash U_Q(\mathbb{A})$ est compact, il existe un compact $\Omega \subset U_Q(\mathbb{A})$ tel que $U_Q(\mathbb{A}) = U_Q(F)\Omega$. On a donc

$$G(\mathbb{A}) = Q(F)\Omega\mathfrak{C}^{M_Q}K,$$

où

$$\mathfrak{C}^{M_Q} = \mathfrak{B}_Q\mathfrak{C}^{M_Q,*} = (\mathfrak{B}_{\tilde{G}}\mathfrak{B}_{\tilde{Q}}^{\tilde{G}})(\mathfrak{C}_Q\mathfrak{C}^{M_Q,1})$$

est un domaine de Siegel pour le quotient $M_Q(F)\backslash M_Q(\mathbb{A})$. On pose $\mathfrak{C}_Q^* = \mathfrak{C}^{M_Q,*}$. Alors $\Omega\mathfrak{B}_{\tilde{Q}}^{\tilde{G}}\mathfrak{C}_Q^*K$ est un domaine de Siegel pour le quotient $\mathfrak{B}_{\tilde{G}}Q(F)\backslash G(\mathbb{A})$. On est donc ramené à estimer, pour $\delta \in \tilde{G}(Q, R)$, l'expression

$$(10.3) \quad \sum_{a \in \mathfrak{B}_{\tilde{Q}}} \int_{\Omega \times \mathfrak{C}_{\tilde{Q}}^* \times K} \delta_Q(am)^{-1} \tilde{\sigma}_{\tilde{Q}}^R(\mathbf{H}_0(am) - T) \Xi_{Q,\delta}(uamk) du \, dm \, dk$$
avec

$$
\Xi_{Q,\delta}(x) = \sum_{\xi \in Q_{\delta}(F) \setminus Q(F)} |\Lambda_{1}^{T,Q} K_{Q,\delta}(\xi x, \xi x)|.
$$

D'après [25, lemme 10.1.2], on a

$$
\Xi_{Q,\delta}(uamk) = \sum_{\xi \in Q_{\delta}(F) \setminus Q(F)} |\Lambda_{1}^{T,Q} K_{Q,\delta}(amk, \xi uamk)|.
$$

On déduit (d'après la définition de $K_{Q,\delta}$) que l'expression (10.3) est égale à

$$
\sum_{a \in \mathfrak{B}_Q^G} \int_{\Omega \times \mathfrak{G}_Q^* \times \mathbf{K}} \delta_Q(am)^{-1} \tilde{\sigma}_Q^R(\mathbf{H}_0(am) - T) \\
\times \sum_{\xi \in Q_\delta(F) \setminus Q(F)} |\Lambda_1^{T,Q} K_{Q,\delta}(mk, \xi a^{1-\delta} (a^{-1}ua)mk)| \, du \, dm \, dk,
$$

avec $a^{1-\delta} = a \mathrm{Int}_\delta^{-1}(a^{-1})$. Notons que $\tilde{\sigma}_Q^R(\mathbf{H}_0(am) - T)$ ne dépend que de la projection $\mathbf{H}_0(a) + \mathbf{H}_Q(m) + T_Q$ de $\mathbf{H}_0(am) - T$ dans $\alpha_Q$. Puisque $\mathbf{H}_Q(M_Q(\mathbb{A})^1) = 1$ et $\mathfrak{G}_Q$ est fini, $\mathbf{H}_Q(m)$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs. On en déduit qu'il existe une constante $c_1 > 0$ (ne dépendant que de $\mathfrak{G}_Q$) telle que si $\mathbf{d}_0(T) \ge c_1$, alors la condition $\tilde{\sigma}_Q^R(\mathbf{H}_0(am) - T) = 1$ pour un $m \in \mathfrak{G}_Q^*$ entraîne que $\tilde{\sigma}_Q^R(\mathbf{H}_0(a)) = 1$. D'après le lemme 6.3.1 (i), l'opérateur de troncature fournit un noyau

$$
(10.4) \qquad (m_1, m_2) \mapsto \Lambda_1^{T,Q} K_{Q,\delta}(m_1 k, \xi a^{1-\delta} (a^{-1} u a) m_2 k)
$$

sur $M_Q(\mathbb{A}) \times M_Q(\mathbb{A})$, dont la restriction à $\mathfrak{G}_Q^* \times \mathfrak{G}_Q^*$ est lisse et à support com-
pact, donc bornée. Choisissons un sous-groupe ouvert distingué $\mathbf{K}'$ de $\mathbf{K}$ tel que
la fonction $f \in C_c^\infty(\tilde{\mathfrak{G}}(\mathbb{A}))$ définissant $K_{Q,\delta}$ soit $\mathbf{K}'$-bi-invariante. Notons $\mathbf{K}'_Q$ le
groupe $\mathbf{K}' \cap M_Q(\mathbb{A})$. Pour tous $a, u, k$ et $\xi$, la fonction

$$
(m_1, m_2) \mapsto K_{Q,\delta}(m_1 k, \xi a^{1-\delta} (a^{-1} u a) m_2 k),
$$

sur $M_Q(F)\setminus M_Q(\mathbb{A}) \times M_Q(F)\setminus M_Q(\mathbb{A})$, est $(\mathbf{K}'_Q \times \mathbf{K}'_Q)$-invariante à droite.
D'après le lemme 6.3.1 (ii), il existe un compact $\Omega_2$ de $\mathfrak{G}_Q^* \times \mathfrak{G}_Q^*$ tel que pour tous $a$,
$u$, $k$ et $\xi$, le support de la restriction à $\mathfrak{G}_Q^* \times \mathfrak{G}_Q^*$ du noyau tronqué (10.4) soit contenu
dans $\Omega_2$. Par restriction à la diagonale, on obtient une fonction en $m = m_1 = m_2$
bornée sur $\mathfrak{G}_Q^*$, et à support dans un compact $C$ de $\mathfrak{G}_Q^*$ indépendant de $a$, $u$, $k$
et $\xi$. D'après le lemme 10.1.1 (en supposant $\mathbf{d}_0(T) \ge c_1$), si $\Xi_{Q,\delta}(uamk) \ne 0$, alors
$\|\mathbf{H}_0(a)^{\tilde{G}}\| \le c_2(1 + \|\mathbf{H}_0(m)\|)$ pour une constante $c_2 > 0$. Par conséquent la somme
sur $a \in \mathfrak{B}_Q^{\tilde{G}}$ dans (10.3) est finie. D'après [25, lemme 10.1.4], la somme sur $\xi$ dans

$$
\sum_{\xi \in Q_{\delta}(F) \setminus Q(F)} |\Lambda_{1}^{T,Q} K_{Q,\delta}(mk, \xi a^{1-\delta} (a^{-1}ua)mk)|,
$$
porte sur un ensemble fini, que l'on peut choisir indépendant de $a, u, m$ et $k$ (puisque $x = mk$ et $y = a^{1-\delta}(a^{-1}ua)mk$ varient dans des compacts, cf. la preuve de loc. cit.).
Cela achève la démonstration.
■

On en déduit l'analogue de [25, proposition 10.1.7] :

**Corollaire 10.1.3.** *Si $d_0(T) > c$ où $c$ est une constante dépendant du support de $f$, l'intégrale*

$$ \int_{X_G} |k_{\text{spec}}^T(x)| \, dx $$

est convergente.

Ce corollaire est aussi impliqué par l'identité fondamentale de la proposition 8.2.1 et le théorème 9.1.2.

## 10.2 Annulations supplémentaires

Nous allons maintenant donner une expression un peu différente pour

$$ \mathcal{I}_{\text{spec}}^{T} = \int_{Y_G} k_{\text{spec}}^{T}(x) \, dx. $$

De fait, comme dans [25, corollaire 10.2.3], on a des annulations supplémentaires qui sont une première étape essentielle pour le développement spectral fin :

**Proposition 10.2.1.** *Si $T$ est assez régulier (comme dans le lemme 10.2.1 de [25]), on a*

$$ (10.5) \quad \mathcal{I}_{\text{spec}}^{T} = \sum_{\substack{Q, R \in \mathcal{P}_{\text{st}} \\ Q \subset R}} \tilde{\eta}(Q, R) \int_{Y_{Q \delta_0}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(\mathbf{H}_{0}(x) - T) \Lambda_{1}^{T, Q} K_{Q, \delta_0}(x, x) dx $$

avec

$$ \tilde{\eta}(Q, R) = \begin{cases} \tilde{\epsilon}(Q, R) & \text{si } Q^{+} = R^{-}, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases} $$

*Démonstration.* Soient $Q, R \in \mathcal{P}_{\text{st}}$ tels qu'il existe un $\tilde{P} \in \tilde{P}_{\text{st}}$ avec $Q \subset P \subset R$. On suppose que les éléments de $\tilde{W}(Q, R)$ sont de la forme $\delta = w_s$ où $w_s \in \tilde{M}_{R^{-}}(F)$ est un représentant de $s = s_0 \times \theta_0$ avec $s_0 \in \mathbf{W}^{M_{R^{-}}}$ de longueur minimale dans sa double classe $\mathbf{W}^{M_Q} \setminus \mathbf{W}^{M_{R^{-}}} / \mathbf{W}^{M_Q}$. On a donc $s\alpha > 0$ et $s^{-1}\alpha > 0$ pour toute racine $\alpha \in \Delta_0^Q$, et $M_s = Q_\delta \cap M_Q$ est un sous-groupe parabolique standard de $M_Q$ (cf. [25, section 10.2]). On note $S$ l'élément de $\mathcal{P}_{\text{st}}$ tel que $S \cap M_Q = M_S$, et on pose $U_S^Q = U_S \cap M_Q$. Le lemme 10.2.1 et la proposition 10.2.2 de [25] sont vrais ici. Cela implique que si $T$ est assez régulier (comme dans [25, lemme 10.2.1]),
alors pour $Q, R \in \mathbb{P}_{\text{st}}$ tels que $Q \subset R$, seul l'élément $\delta \in \tilde{\mathbf{W}}(Q, R)$ appartenant à la double classe $Q(F)\delta_0 Q(F)$ donne une contribution non triviale à l'intégrale de $k_{\text{spec}}^T$ exprimé au moyen des équations (10.1) et (10.2). ■

Dans le cas non tordu la formule est beaucoup plus simple, puisque la condition $1 \in \mathbf{W}(Q, R)$ implique $Q = R$, et que $\sigma_Q^Q = 0$ sauf si $Q = G$ [25, lemme 2.11.4]. On a donc, dans le cas non tordu, et pour $T$ assez régulier

$$ \mathcal{J}_{\text{spec}}^{T} = \int_{\bar{X}_{G}} \Lambda_{1}^{T,G} K_{G}(x, x) \, dx. $$
# Chapitre 11

## Formule des traces : propriétés formelles

### 11.1 Le polynôme asymptotique

Rappelons que l'on a la décomposition

$$k_{\text{géom}}^{T}(x) = \sum_{\mathfrak{o} \in \mathcal{D}} k_{\mathfrak{o}}^{T}(x)$$

et l'identité fondamentale de la proposition 8.2.1

$$k_{\text{géom}}^{T}(x) = k_{\text{spec}}^{T}(x).$$

Pour $\bullet = \text{spec}, \text{géom}$ ou $\mathfrak{o}$, on écrira parfois

$$k_{\bullet}^{\tilde{G},T}(f, \omega; x) \quad \text{en place de} \quad k_{\bullet}^{T}(x),$$

s'il est nécessaire de préciser les données. On a vu dans le théorème 9.1.2 et dans le corollaire 10.1.3 que l'intégrale

$$\int_{Y_G} k_{\bullet}^{T}(x) dx$$

est absolument convergente. En particulier on a la décomposition

$$\int_{Y_G} k_{\bullet}^{T}(x) dx = \sum_{Z \in \mathfrak{c}_{\tilde{G}}} \int_{Y_G(Z)} k_{\bullet}^{T}(x) dx,$$

où $Y_G(Z)$ est l'image dans $Y_G$ de l'ensemble $\{g \in G(\mathbb{A}) | \mathbf{H}_{\tilde{G}}(g) = Z'\}$ pour un relèvement (quelconque) $Z'$ de $Z$ dans $A_{\tilde{G}}$. La fonction $f \in C_c^{\infty}(\tilde{G}(\mathbb{A}))$ étant fixée, on considère, pour chaque $\tilde{Q} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}$, la fonction $f_{\tilde{Q}} \in C_c^{\infty}(\tilde{M}_Q(\mathbb{A}))$, définie par

$$f_{\tilde{Q}}(m) = \int_{U_Q(\mathbb{A}) \times \mathbf{K}} f(k^{-1}muk) du dk.$$

On a la suite exacte courte

$$0 \to \mathcal{B}_{\tilde{Q}}^{\tilde{G}} \to \mathcal{C}_{\tilde{Q}}^{\tilde{G}} \to \mathcal{C}_{\tilde{Q}} \to 0$$

et pour $Z \in \mathfrak{c}_{\tilde{Q}}$ et $T$, $X \in \mathfrak{a}_0$, on a posé (cf. proposition 2.1.3)

$$\eta_{\tilde{Q},F}^{\tilde{G},T}(Z; X) = \sum_{H \in \mathcal{B}_{\tilde{Q}}(Z)} \Gamma_{\tilde{Q}}^{\tilde{G}}(H - X, T),$$
où $\mathfrak{B}_{\tilde{Q}}^{\tilde{G}}(Z)$ est la fibre au-dessus de $Z \in \mathfrak{C}_{\tilde{Q}}$. On a la variante de [25, théorème 11.1.1] :

**Théorème 11.1.1.** Pour $\bullet = \text{spec}, \text{géom}$ ou $\circ$, Il existe une fonction

$$T \mapsto \mathfrak{F}_{\bullet}^{T} = \mathfrak{F}_{\bullet}^{\tilde{G}, T}(f, \omega)$$

dans $\text{PolExp}$ telle que si $\mathbf{d}_0(T) \ge c(f)$ pour une constante $c(f)$, ne dépendant que du support de $f$, on ait

$$\mathfrak{F}_{\bullet}^{T} = \int_{Y_G} k_{\bullet}^{T}(x) \mathrm{d}x.$$

**Démonstration.** On reprend celle de [25, théorème 11.1.1]. D'après [25, lemme 8.2.1], pour $\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}$ on a

$$k_{\tilde{P}, \text{spec}}^{T}(x) = \hat{\tau}_{\tilde{P}}(\mathbf{H}_{0}(x) - T) K_{\tilde{P}}(x, x) = k_{\tilde{P}, \text{géom}}^{T}(x).$$

On a donc

$$k_{\bullet}^{T}(x) = \sum_{\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}} (-1)^{a_{\tilde{P}} - a_{\tilde{Q}}} \sum_{\xi \in P(F) \setminus G(F)} \hat{\tau}_{\tilde{P}}(\mathbf{H}_{0}(\xi x) - T) K_{\tilde{P}, \bullet}(\xi x, \xi x),$$

où

$$K_{\tilde{P}, \text{spec}} = K_{\tilde{P}} = K_{\tilde{P}, \text{géom}}$$

est introduit en section 8.2 et $K_{\tilde{P}, \circ}$ a été défini en section 9.1. Comme dans la démonstration de [25, théorème 11.1.1], pour $T$ et $X \in \alpha_{0, \mathcal{Q}}$ assez réguliers, on obtient

$$\int_{Y_G} k_{\bullet}^{T+X}(x) \mathrm{d}x = \sum_{\tilde{Q} \in \tilde{P}_{\text{st}}} \int_{Y_Q} \Gamma_{\tilde{Q}}^{\tilde{G}}(\mathbf{H}_0(x) - X, T) k_{\tilde{Q}, \bullet}^{X}(x) \mathrm{d}x$$

avec

$$k_{\tilde{Q}, \bullet}^{X}(x) = \sum_{\{\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}} | \tilde{P} \subset \tilde{Q}\}} \sum_{\xi \in P(F) \setminus Q(F)} (-1)^{a_{\tilde{P}} - a_{\tilde{Q}}} \hat{\tau}_{\tilde{P}}^{\tilde{Q}}(\mathbf{H}_0(\xi x) - X) K_{\tilde{P}, \bullet}(\xi x, \xi x).$$

Fixons un $\tilde{Q} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}$. Puisque $\text{vol}(A_{\tilde{G}}(F)\backslash A_{\tilde{G}}(\mathbb{A})^1) = 1$, on peut remplacer l'intégrale sur $Y_Q$ par une intégrale sur

$$Y'_{Q} = \mathfrak{B}_{\tilde{G}} Q(F) \backslash G(\mathbb{A}),$$

où $\mathfrak{B}_{\tilde{G}}$ est l'image d'une section du morphisme $A_{\tilde{G}}(\mathbb{A}) \to \mathfrak{B}_{\tilde{G}}$. Notons $\mathfrak{B}_{\tilde{Q}}^{\tilde{G}}$ l'image d'une section du morphisme composé

$$A_{\tilde{Q}}(\mathbb{A}) \to A_{\tilde{G}}(\mathbb{A}) \backslash A_{\tilde{Q}}(\mathbb{A}) \to \mathfrak{B}_{\tilde{Q}}^{\tilde{G}} = \mathfrak{B}_{\tilde{G}} \backslash \mathfrak{B}_{\tilde{Q}}$$
et posons

$$ \mathfrak{B}_{\tilde{Q}} = \mathfrak{B}_{\tilde{G}} \mathfrak{B}_{\tilde{Q}}^{\tilde{G}}, \quad \mathbf{Y}_{\tilde{Q}}'' = \mathfrak{B}_{\tilde{Q}} \mathcal{Q}(F) \setminus G(\mathbb{A}). $$

Pour $Z \in \mathfrak{C}_{\tilde{Q}}$, notons $\mathbf{Y}_{\tilde{Q}}''(Z)$ l'image de l'ensemble $\{g \in G(\mathbb{A}) | \mathbf{H}_{\tilde{Q}}(g) = Z'\}$ dans $\mathbf{Y}_{\tilde{Q}}''$, où $Z'$ est un relèvement de $Z$ dans $\mathcal{A}_{\tilde{Q}}$. On obtient que

$$ \int_{Y_Q} \Gamma_{\tilde{Q}}^{\tilde{G}}(\mathbf{H}_0(x) - X, T) k_{\tilde{Q}, \bullet}^{X}(x) dx = \sum_{Z \in \mathfrak{C}_{\tilde{Q}}} \eta_{\tilde{Q}, F}^{\tilde{G}, T}(Z; X) \int_{Y_{\tilde{Q}}''(Z)} k_{\tilde{Q}, \bullet}^{X}(x) dx $$

avec

$$ \int_{Y_{\tilde{Q}}''(Z)} k_{\tilde{Q}, \bullet}^{X}(x) dx = \int_{[\mathfrak{B}_{\tilde{Q}} M_Q(F) \setminus M_Q(\mathbb{A})](Z)} k_{\bullet}^{\tilde{M}_Q, X}(f_{\tilde{Q}}, \omega; m) dm. $$

Pour $\bullet = \circ$, le terme $k_{\bullet}^{\tilde{M}_Q, X}(f_{\tilde{Q}}, \omega; m)$ est défini en remplaçant dans la définition de $k_{\circ}^{\tilde{G}, X}$ l'ensemble $G(F)$-invariant $\mathcal{O}_{\circ}$ par l'ensemble $M_Q(F)$-invariant $\mathcal{O}_{\circ} \cap \tilde{M}_Q(F)$. Ce dernier correspond à une union finie (éventuellement vide) de classes de paires primitives dans $\tilde{M}_Q$. La finitude résulte du lemme 3.4.1. Comme plus haut, on peut remplacer l'intégrale sur $[\mathfrak{B}_{\tilde{Q}} M_Q(F) \setminus M_Q(\mathbb{A})](Z)$ par une intégrale sur $Y_{M_Q}(Z)$. En posant

$$ \mathcal{J}_{\bullet}^{\tilde{G}, X}(f, \omega) = \int_{Y_G} k_{\bullet}^{X}(f, \omega; x) dx, $$

on a donc

$$ \mathcal{J}_{\bullet}^{\tilde{G}, T+X}(f, \omega) = \sum_{\tilde{Q} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}} \sum_{Z \in \mathfrak{C}_{\tilde{Q}}} \eta_{\tilde{Q}, F}^{\tilde{G}, T}(Z; X) \mathcal{J}_{\bullet}^{\tilde{M}_Q, X}(Z; f_{\tilde{Q}}, \omega) $$

avec

$$ \mathcal{J}_{\bullet}^{\tilde{M}_Q, X}(Z; f_{\tilde{Q}}, \omega) = \int_{Y_{M_Q}(Z)} k_{\bullet}^{\tilde{M}_Q, X}(f_{\tilde{Q}}, \omega; m) dm. $$

D'où le résultat puisque d'après la proposition 2.1.3 les fonctions $T \mapsto \eta_{\tilde{Q}, F}^{\tilde{G}, T}(Z; X)$ appartiennent à PolExp. ■

## 11.2 Action de la conjugaison

Pour $y \in G(\mathbb{A})$, on note $f^y$ la fonction $f \circ \text{Int}_y$. Soient $y \in G(\mathbb{A})$ et $T \in \mathfrak{a}_{0, \mathbb{Q}}$. Pour $\tilde{Q} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}$ et $Z \in \mathfrak{C}_{\tilde{Q}}$, considérons la fonction dans $C_{\mathbb{C}}^{\infty}(\tilde{M}_Q(\mathbb{A}))$ définie par

$$ m \mapsto f_{\tilde{Q}, y}^{T}(Z; m) = \int_{U_{\mathcal{Q}}(\mathbb{A}) \times \mathbf{K}} f(k^{-1}muk) \eta_{\tilde{Q}, F}^{\tilde{G}, -\mathbf{H}_{0}(ky)}(Z; T) du dk $$
avec

$$
\eta_{\tilde{Q},F}^{\tilde{G},X}(Z;T) = \sum_{H \in \mathcal{B}_{\tilde{Q}}^{\tilde{G}}(Z)} \Gamma_{\tilde{Q}}(H-T, X).
$$

**Proposition 11.2.1.** *Soient $y \in G(\mathbb{A})$ et $T \in \mathcal{a}_{0,\mathbb{Q}}$. Pour $\bullet = \text{spec}, \text{géom ou v et}$
*pour $T$ assez régulier, on a*

$$
\mathcal{J}_{\bullet}^{\tilde{G},T}(f^{y}, \omega) = \sum_{\tilde{Q} \in \mathcal{P}_{\text{st}}} \sum_{Z \in \mathcal{C}_{\tilde{Q}}} \mathcal{J}_{\bullet}^{\tilde{M}_{Q},T}(f_{\tilde{Q},y}^{T}(Z), \omega).
$$

Démonstration. On reprend les notations de la preuve du théorème 11.1.1. Commen-
çons par remplacer f par f^y et x par xy dans l’expression pour k_{\bullet}^{T}(x). On obtient

$$
k_{\bullet}^{T}(f^{y}, \omega; xy) = \sum_{\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}} (-1)^{a_{\tilde{P}} - a_{\tilde{\mathcal{G}}}} \sum_{\xi \in P(F) \setminus G(F)} \hat{\tau}_{\tilde{P}}(\mathbf{H}_{0}(\xi x y) - T) K_{\tilde{P}, \bullet}(\xi x, \xi x),
$$

où $K_{\tilde{P},\bullet}(x', x') = K_{\tilde{P},\bullet}(f, \omega; x', x')$. Si $x' = u_0 m_0 k$ est une décomposition d'Iwasawa de $x' \in G(\mathbb{A})$, avec $u_0 \in U_0(\mathbb{A})$, $m_0 \in M_0(\mathbb{A})$ et $k = k_{x'} \in \mathbf{K}$, alors on a

$$
\mathbf{H}_0(x'y) = \mathbf{H}_0(m_0) + \mathbf{H}_0(ky) = \mathbf{H}_0(x') + \mathbf{H}_0(ky).
$$

D'après [25, proposition 2.9.4 (2)], on en déduit que

$$
k_{\bullet}^{T}(f^{y}, \omega; xy) = \sum_{\tilde{Q} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}} \sum_{\eta \in \mathcal{Q}(F) \setminus G(F)} \Gamma_{\tilde{Q}}(\mathbf{H}_{0}(\eta x) - T, -\mathbf{H}_{0}(k_{\eta x} y)) k_{\tilde{Q}, \bullet}^{T}(\eta x),
$$

où $k_{\tilde{Q},\bullet}^T(x') = k_{\tilde{Q},\bullet}^T(f, \omega; x')$, puis, grâce au changement de variable $x \mapsto xy$, que
pour $T \in \mathcal{a}_{0,\mathbb{Q}}$ assez régulier, on a

$$
(11.1) \quad \int_{\mathbf{Y}_G} k_{\bullet}^T(f^y, \omega, x) = \sum_{\tilde{Q} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}} \int_{\mathbf{Y}_Q} \Gamma_{\tilde{Q}}(\mathbf{H}_0(x) - T, -\mathbf{H}_0(k_\chi y)) k_{\tilde{Q}, \bullet}^T(x) \, dx.
$$

On obtient ensuite (comme dans la preuve du théorème 11.1.1) que, toujours pour
$T \in \mathcal{a}_{0,\mathbb{Q}}$ assez régulier, le terme à gauche de l'égalité dans (11.1) vaut

$$
(11.2) \quad \sum_{\tilde{Q} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}} \sum_{Z \in \mathcal{C}_{\tilde{Q}}} \int_{\mathbf{Y}''_{\tilde{Q}}(Z)} \eta_{\tilde{Q}, -\mathbf{H}_0(k_x y)} (Z; T) k_{\tilde{Q}, \bullet}^T (x) \, dx.
$$

Compte tenu de la définition de $f_{\tilde{Q},y}$ et de la décomposition d'Iwasawa pour $G(\mathbb{A})$,
on obtient que l'intégrale sur $Y''_{\tilde{Q}}(Z)$ dans (11.2) est égale à

$$
\int_{\mathbf{Y}_{M_Q}(Z)} k_{\bullet}^{\tilde{M}_Q, T} (f_{\tilde{Q},y}^T(Z), \omega; m) \mathrm{d}m.
$$

D'où la proposition.

<figure><img src="image_20.png" /></figure>
## 11.3 La formule des traces : première forme

D'après le théorème 11.1.1, pour tout réseau $\mathbb{R}$ de $\alpha_{0,\mathbb{Q}}$, la restriction à $\mathbb{R}$ de la fonction $T \mapsto \mathcal{J}_{\bullet}^{\tilde{G},T}(f, \omega)$ est de la forme

$$ \mathcal{J}_{\mathbb{R}, \bullet}^{\tilde{G}, T}(f, \omega) = \sum_{\nu \in \mathbb{R}} p_{\mathbb{R}, \nu}(\bullet, f, \omega; T) e^{\langle T, \nu \rangle}, $$

où les $p_{\mathbb{R},\nu}(\bullet, f, \omega; T)$ sont des polynômes en $T$. D'après les propositions 1.7.4 et 2.1.3 les polynômes $p_{\mathbb{R}_k,0}(\bullet, f, \omega; T)$ ont une limite lorsque $k \to \infty$ et on pose

$$ J_{\bullet}^{\tilde{G}}(f, \omega) \stackrel{\text{déf}}{=} \lim_{k \to +\infty} p_{\mathbb{R}_k, 0}(\bullet, f, \omega; T_0). $$

**Théorème 11.3.1.** On a l'identité :

$$ \sum_{\nu \in \mathcal{D}} J_{0}^{\tilde{G}}(f, \omega) = J_{\text{spec}}^{\tilde{G}}(f, \omega). $$

Pour $M_0$ et $K$ fixés, elle est indépendante du choix de $P_0$.

*Démonstration.* Par intégration de l'identité fondamentale de la proposition 8.2.1, ce qui a un sens compte tenu du théorème 9.1.2 et de la proposition 10.2.1, on obtient l'identité

$$ \sum_{\nu \in \mathcal{D}} \mathcal{J}_{\mathbb{R}, \nu}^{\tilde{G}, T}(f, \omega) = \mathcal{J}_{\mathbb{R}, \text{spec}}^{\tilde{G}, T}(f, \omega). $$

L'indépendance du choix de $P_0$, lorsque l'on prend $T = T_0$, se prouve comme dans [25, proposition 11.3.1]. Le théorème en résulte par passage à la limite. ■

C'est l'analogue du théorème 11.3.2 de [25]. Le reste de l'ouvrage est consacré au calcul de la limite $J_{\text{spec}}^{\tilde{G}}(f, \omega)$. L'étude des limites $J_{0}^{\tilde{G}}(f, \omega)$ des termes géométriques fera l'objet d'un article ultérieur.
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# Partie IV

## Forme explicite des termes spectraux
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# Chapitre 12

## Estimées uniformes des développements spectraux

### 12.1 La formule de départ

Soit $Q \in \mathcal{P}_{\text{st}}$. On pose

$$Q' = \theta_0^{-1}(Q), \quad Q_0 = Q \cap Q'$$

Rappelons que l'on a posé

$$Y_{Q_0} = A_{\tilde{G}}(\mathbb{A}) Q_0(F) \setminus G(\mathbb{A}).$$

Pour $S \in \mathcal{P}_{\text{st}}^{Q'}$, on note $n^{Q'}(S)$ le nombre de chambres dans $\alpha_S^{Q'}$. Pour $S \in \mathcal{P}_{\text{st}}^{Q'}$, $\sigma \in \Pi_{\text{disc}}(M_S)$ et $\mu \in \alpha_{Q', \mathbb{C}}^*$, on a défini en section 7.2 un opérateur

$$\tilde{\rho}_{S, \sigma, \mu}(f, \omega) = \rho_{S, \sigma, \mu}(\delta_0, f, \omega) : \mathcal{A}(X_S, \sigma) \to \mathcal{A}(X_{\theta_0(S)}, \theta_0(\sigma)),$$

et on a fixé une base orthonormale $\Psi_S(\sigma)$ de l'espace pré-hilbertien $\mathcal{A}(X_S, \sigma)$. Pour $\Psi \in \Psi_S(\sigma)$, posons

$$\mathcal{F}_{Q,Q';\Psi}^{T}(x, y) = \int_{\mu_S} \Lambda^{T,Q} E^{Q}(x, \tilde{\rho}_{S,\sigma,\mu}(f, \omega) \Psi, \theta_0 \mu) \overline{E^{Q'}(y, \Psi, \mu)} d\mu$$

et

$$\mathcal{F}_{Q,Q';\Psi}^{T}(y) = \mathcal{F}_{Q,Q';\Psi}(y,y).$$

La convergence de l'intégrale est claire puisque $\mu_S$ est compact. Observons que, par définition, on a

$$\sum_{\Psi \in \Psi_S(\sigma)} \mathcal{F}_{Q,Q';\Psi}^{T}(x,y) = \int_{\mu_S} \Lambda_1^{T,Q} K_{Q,Q',\sigma}(x,y;\mu) d\mu.$$

On a la variante suivante de [25, proposition 12.1.1] :

**Proposition 12.1.1.** Pour $T \in \alpha_0$ tel que $d_0(T) \ge c(f)$, on a

$$\mathcal{F}^{\tilde{G},T} = \sum_{\substack{Q,R \in \mathcal{P}_{\text{st}} \\ Q \subset R}} \tilde{\eta}(Q,R) \int_{Y_{Q_0}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(\mathbf{H}_{Q}(y) - T) \\ \times \left( \sum_{S \in \mathcal{P}_{\text{st}}^{Q'}} \frac{1}{n^{Q'}(S)} \sum_{\sigma \in \Pi_{\text{disc}}(M_S)} \hat{c}_{M_S}(\sigma) \sum_{\Psi \in \Psi_S(\sigma)} \mathcal{F}_{Q,Q';\Psi}^{T}(y) \right) dy.$$
**Démonstration.** Elle est identique à celle de loc. cit., compte-tenu de la formule de la proposition 10.2.1 et de l'expression pour le noyau $K_{Q,\delta_0,\chi}$, donnée par la proposition 7.3.2. ■

D'après la proposition 7.3.2, l'ensemble des $(\sigma, \Psi)$, tels que $\tilde{\rho}_{S,\sigma,\mu}(f, \omega)\Psi \neq 0$, est fini. Donc, seul un nombre fini de termes non nuls apparaissent dans l'expression de $\mathcal{F}^{\tilde{G},T}$. L'expression $\mathcal{F}^{\tilde{G},T}$ est une combinaison linéaire finie d'intégrales itérées (en y et en $\mu$)

$$ (12.1) \qquad \int_{Y_{Q_0}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(\mathbf{H}_{Q}(y) - T) \mathcal{F}_{Q,Q';\Phi}^{T}(y) dy. $$

A priori, la proposition n'affirme que la convergence des intégrales dans l'ordre indiqué, et pas la convergence absolue de l'intégrale multiple.

Pour $\Psi \in \mathcal{A}(X_S, \sigma)$ et $\Phi \in \mathcal{A}(X_{\theta_0(S)}, \theta_0(\sigma))$, on considérera aussi les expressions suivantes :

$$ \mathcal{F}_{Q,Q';\Phi,\Psi}^{T}(x, y) = \int_{\mu_S} \Lambda^{T,Q} E^{Q}(x, \Phi, \theta_0 \mu) \overline{E^{Q'}(y, \Psi, \mu)} d\mu $$
et

$$ \mathcal{F}_{Q,Q';\Phi,\Psi}^{T}(y) = \mathcal{F}_{Q,Q';\Phi,\Psi}^{T}(y, y). $$

À nouveau, la convergence de l'intégrale est claire, puisque $\mu_S$ est compact.

**Remarque 12.1.2.** On observe que pour $\Psi \in \mathcal{A}(X_S, \sigma)$, on peut écrire

$$ \tilde{\rho}_{S,\sigma,\mu}(f, \omega)\Psi = \sum_{\Phi \in \mathcal{A}(X_{\theta_0(S)}, \theta_0(\sigma))} \vartheta_{\Phi,\Psi}(\mu)\Phi, $$

où la somme porte sur un ensemble fini et où les $\vartheta_{\Phi,\Psi}$ sont des fonctions lisses sur le groupe compact $\mu_S$. On voit donc que l'expression $\mathcal{F}_{Q,Q';\Phi,\Psi}^{T}(y)$, introduite plus haut, est une combinaison linéaire finie d'expressions du type

$$ \mathcal{F}_{Q,Q';\Phi,\Psi;\vartheta}^{T}(y) \stackrel{\text{déf}}{=} \int_{\mu_S} \Lambda^{T,Q} E^{Q}(y, \Phi, \theta_0 \mu) \overline{E^{Q'}(y, \Psi, \mu)} \vartheta(\mu) d\mu, $$

où $\Phi \in \mathcal{A}(X_{\theta_0(S)}, \theta_0(\sigma))$ ne dépend pas de $\mu$ et où $\vartheta$ est une fonction lisse sur $\mu_S$. Pour l'étude de la convergence des intégrales itérées (12.1), il suffira de considérer celle des

$$ (12.2) \qquad \int_{Y_{Q_0}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(\mathbf{H}_{Q}(y) - T) \mathcal{F}_{Q,Q';\Phi,\Psi;\vartheta}^{T}(y) dy. $$

Pour prouver la convergence de (12.2), on peut remplacer la fonction $\vartheta$ par le sup de sa valeur absolue et, à un scalaire près, on peut supposer que ce sup vaut 1. On est
donc ramené à prouver la convergence des intégrales itérées

$$ (12.3) \qquad \int_{Y_{Q_0}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(\mathbf{H}_{Q}(y) - T) \mathcal{J}_{Q,Q';\Phi,\Psi}^{T}(y) \, dy. $$

En revanche pour effectuer le calcul exact de (12.1), il faut effectuer le calcul exact de (12.2) pour n'importe quel $\vartheta$.

## 12.2 Estimations

Pour $H \in \mathcal{A}_{Q_0}$, soit $M_{Q_0}(\mathcal{A}; H)$ l'ensemble des $m \in M_{Q_0}(\mathcal{A})$ tels que

$$ \mathbf{H}_{Q_0}(m) = H. $$

On note $Y_{Q_0}(H)$ l'image de $U_{Q_0}(\mathcal{A}) \times M_{Q_0}(\mathcal{A}; H) \times \mathbf{K}$ dans $Y_{Q_0}$. On pose

$$ \mathcal{C}_{Q_0}^{\tilde{G}} \stackrel{\text{déf}}{=} \mathcal{B}_{\tilde{G}} \setminus \mathcal{A}_{Q_0}. $$

Observons que $\mathbf{H}_{Q_0}$ envoie $\mathbf{Z}_{Q_0} = A_{\tilde{G}}(\mathcal{A})A_{Q_0}(F)\setminus A_{Q_0}(\mathcal{A})$ sur un sous-groupe d'indice fini de $\mathcal{C}_{Q_0}^{\tilde{G}}$. L'intégrale itérée (12.1) est égale à

$$ \sum_{H \in \mathcal{C}_{Q_0}^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(H_Q - T) \int_{Y_{Q_0}(H)} \mathcal{J}_{Q,Q';\Psi}^{T}(y) \, dy. $$

Les estimations [25, lemme 12.2.1] et [25, proposition 12.2.3] sont valables ici, mutatis mutandis. On rappelle que $\mathcal{G}^*$ est un domaine de Siegel pour le quotient $\mathfrak{B}_G G(F)\setminus G(\mathcal{A})$, où $\mathfrak{B}_G$ est l'image d'une section du morphisme $A_G(\mathcal{A}) \to \mathfrak{B}_G$.

**Lemme 12.2.1.** Soit $h \in C_c^\infty(G(\mathcal{A}))$. Il existe $c > 0$ tel que pour tout $x, y \in \mathcal{G}^*$, on ait

$$ \sum_{\delta \in \mathfrak{B}_G G(F)} |h(x^{-1} \delta y)| < c \delta_{P_0}(x)^{1/2} \delta_{P_0}(y)^{1/2}. $$

*Démonstration.* Elle est identique à celle de [25, lemme 12.2.1]. Pour passer du groupe $U_R$ à son algèbre de Lie $u_R$, on utilise, comme dans la preuve de la pro-
position de la section 9.1, l'existence d'un $F$-isomorphisme de variétés algébriques $u_R \to U_R$ compatible avec l'action de $A_R$.

On fixe $S \in \mathcal{P}_{st}^{Q'}$, une représentation automorphe $\sigma \in \Pi_{\text{disc}}(M_S)$, et des vecteurs $\Psi \in \mathcal{A}(X_S, \sigma)$ et $\Phi \in \mathcal{A}(X_{\theta_0(S)}, \theta_0(\sigma))$. On pose

$$ L = M_Q, \quad L' = M_{Q'}, \quad L_0 = M_{Q_0}. $$
On fixe un domaine de Siegel $\mathfrak{G}^{L,*}$ pour le quotient $\mathfrak{B}_Q L(F)\backslash L(\mathbb{A})$. On suppose que $\mathfrak{B}_Q \subset A_Q(\mathbb{A})$ est de la forme

$$ \mathfrak{B}_Q = \mathfrak{B}_G \mathfrak{B}_Q^G, $$

où $\mathfrak{B}_Q^G \subset A_Q(\mathbb{A})$ est l'image d'une section du morphisme composé

$$ A_Q(\mathbb{A}) \to A_G(\mathbb{A})\backslash A_Q(\mathbb{A}) \to \mathfrak{B}_Q^G. $$

On fixe aussi un compact $\Omega_Q \subset U_Q(\mathbb{A})$ tel que $U_Q(\mathbb{A}) = U_Q(F)\Omega$ et l'on pose

$$ \mathfrak{G}_Q^G = \Omega_Q \mathfrak{B}_Q^G \mathfrak{G}^{L,*} \mathbf{K}. $$

C'est un domaine de Siegel pour le quotient $\mathfrak{B}_G Q(F)\backslash G(\mathbb{A})$. On fixe, de la même manière, un domaine de Siegel $\mathfrak{G}_{Q'}^G = \Omega_{Q'} \mathfrak{B}_{Q'}^G \mathfrak{G}^{L',*} \mathbf{K}$ pour $\mathfrak{B}_G Q'(F)\backslash G(\mathbb{A})$.

**Proposition 12.2.2.** *Il existe $c > 0$ tel que pour tout $(x, y) \in \mathfrak{G}_Q^G \times \mathfrak{G}_{Q'}^G$, on ait*

$$ \int_{\mu_S} |E^Q(x, \Phi, \theta_0 \mu) \overline{E^{Q'}(y, \Psi, \mu)}| d\mu < c \delta_{P_0}(x)^{1/2} \delta_{P_0}(y)^{1/2}. $$

*Démonstration.* Comme dans [25, proposition 12.2.3] on se ramène à prouver qu'il existe $c > 0$ tel que, pour tout $y \in \mathfrak{G}^*$, on ait

$$ \int_{\mu_S} |E^G(y, \Psi, \mu)|^2 d\mu < c \delta_{P_0}(y). $$

On choisit un sous-groupe ouvert compact $\mathbf{K}'$ de $G(\mathbb{A})$ tel que la fonction $\Psi$ soit invariante à droite par $\mathbf{K}'$, et on considère le noyau

$$ K_G(e_{\mathbf{K}'}; y, y) = \sum_{\delta \in \mathfrak{B}_G G(F)} e_{\mathbf{K}'}(y^{-1} \delta y). $$

Son expression spectrale est une somme de termes tous positifs ou nuls, et l'un d'eux est l'intégrale ci-dessus. On conclut, grâce au lemme 12.2.1. ■

**Corollaire 12.2.3.** *Pour tout $(x, y) \in G(\mathbb{A}) \times G(\mathbb{A})$, l'intégrale définissant*

$$ \mathfrak{F}_{Q,Q';\Phi,\Psi}^T(x,y) $$

est absolument convergente. De plus, il existe $c, D > 0$ et un sous-ensemble compact $C_Q$ de $\mathfrak{G}^{L,*}$ tels que, pour tout $x \in \mathfrak{B}_Q^G \mathfrak{G}^{L,*} \mathbf{K}$ et tout $y \in G(\mathbb{A})$, en écrivant $x = \text{ask}$ avec $a \in \mathfrak{B}_Q^G$, $s \in \mathfrak{G}^{L,*}$ et $k \in \mathbf{K}$, on ait

$$ |\mathfrak{F}_{Q,Q';\Phi,\Psi}^T(x,y)| \leq c |a|^D |y|^D, $$

$$ \text{si } s \in C_Q, \text{ et } \mathfrak{F}_{Q,Q';\Phi,\Psi}^T(x,y) = 0 \text{ sinon.} $$
**Démonstration.** Soit $\mathbf{K}'$ un sous-groupe ouvert compact distingué de $\mathbf{K}$ tel que la fonction $\phi$ soit invariante à droite par $\mathbf{K}'$. D'après la proposition 4.2.1, il existe un sous-ensemble compact $C_Q$ de $\mathfrak{G}^{L,*}$ tel que pour tout $(a, k) \in \mathfrak{B}_Q^G \times \mathbf{K}$ et tout $\mu \in \mu_S$, le support de la fonction sur $\mathfrak{G}^{L,*}$

$$h \mapsto \Lambda^{T,Q} E^Q(ask, \Phi, \theta_0(\mu))$$

soit contenu dans $C_Q$. D'autre part pour $y \in G(\mathbb{A})$, il existe un $g \in \mathfrak{B}_Q^G Q'(F)$ tel que $gy \in \mathfrak{G}^{G}_{Q'}$. On procède comme dans la preuve de [25, proposition 12.2.4], en remarquant que puisque la fonction $\delta_{P_0}$ est à croissance lente, $\delta_{P_0}(x)^{1/2}\delta_{P_0}(gy)^{1/2}$ est essentiellement majoré par $|a|^D|y|^D$. ■

A priori nous ne pouvons rien dire ici sur le centre, c'est pourquoi nous nous sommes limités aux

$$x \in \mathfrak{B}_Q^G \mathfrak{G}^{L,*} \mathbf{K}.$$

Pour $y = x$, on en déduira en section 12.3 des estimations pour $x \in \mathfrak{B}_Q^{\tilde{G}} \mathfrak{G}^{L,*} \mathbf{K}$.

## 12.3 Convergence d'une intégrale itérée

On suppose ici que $T$ est un élément régulier de $\alpha_0^G$ tel que<fnref n="1" /> $\theta_0(T) = T$. On suppose de plus que pour tout $\alpha \in \Delta_0$, on a

$$0 < \alpha(T) \le \kappa \mathbf{d}_0(T)$$

pour une constante $\kappa > 0$ assez grande. Dans un tel cône, les fonctions $\mathbf{d}_0(T)$, $\|T\|$ et $\alpha(T)$ sont équivalentes, pour tout $\alpha \in \Delta_0$.

Fixons des vecteurs $\Psi$ et $\Phi$, comme ci-dessus. Pour alléger l'écriture, posons

$$\mathcal{J}(x, y) = \mathcal{J}_{Q, Q'; \Phi, \Psi}(x, y) \quad \text{et} \quad \mathcal{J}(y) = \mathcal{J}(y, y).$$

On veut prouver la convergence de l'intégrale

$$(12.4) \qquad \int_{Y_{Q_0}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(\mathbf{H}_{Q}(y) - T) |\mathcal{J}(y)| dy,$$

<footnote n="1">¹Cette condition peut sembler inadéquate, dès lors qu'on aura in fine à évaluer un élément de PolExp en $T_0 \in \mathcal{A}_0^G$ qui n'est a priori pas $\theta_0$-invariant. Mais comme l'élément de PolExp à évaluer ne dépend que de l'image de $T \in \alpha_{0,\mathbb{Q}}^G$ dans le sous-espace $a_{\tilde{M}_0, \mathbb{Q}}^{\tilde{G}} = (\alpha_{0,\mathbb{Q}}^G)^{\theta_0}$ de $\alpha_{0,\mathbb{Q}}^G$ formé des éléments $\theta_0$-invariants, cette condition n'est pas vraiment gênante.</footnote>
ou, ce qui est équivalent, de l'expression

$$
(12.5) \quad \sum_{H \in c_{Q_0}^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_Q^R (H_Q - T) \int_{Y_{Q_0}(H)} |\mathfrak{F}(y)| \, dy.
$$

L'intégration sur $\mathbf{Y}_{Q_0}(H)$ se décompose en une intégration sur le produit

$$
U_{Q_0}(F) \setminus U_{Q_0}(\mathbb{A}) \times \mathbf{X}_{L_0}^{\tilde{G}}(H) \times \mathbf{K},
$$

où $X_{L_0}^{\tilde{G}}(H)$ est l'image de $L_0(\mathbb{A}; H')$ dans $A_{\tilde{G}}(\mathbb{A})L_0(F)\backslash L_0(\mathbb{A})$ pour un relève-
ment $H' \in A_{Q_0}$ de $H \in C_{Q_0}^{\tilde{G}}$. Par ailleurs, la fonction que l'on intègre est invariante à
gauche par le groupe $U_Q(\mathbb{A}) \cap U_{Q'}(\mathbb{A})$. Posons $U_{Q_0}^L = U_Q \cap L$ et $U_{Q_0}^{L'} = U_{Q_0} \cap L'$.
L'application naturelle

$$
U_{Q_0} \to U_{Q_0}^L \times U_{Q_0}^{L'}
$$

induit un isomorphime

$$
U_{Q_0}(F)(U_Q(\mathbb{A}) \cap U_{Q'}(\mathbb{A}))\backslash U_{Q_0}(\mathbb{A}) \to U_{Q_0}^L(F)\backslash U_{Q_0}^L(\mathbb{A}) \times U_{Q_0}^{L'}(F)\backslash U_{Q_0}^{L'}(\mathbb{A}).
$$

On peut donc remplacer dans (12.5) la variable y par $uu'xk$ avec

$$
u \in U_{Q_0}^L(F) \setminus U_{Q_0}^L(\mathbb{A}), \quad u' \in U_{Q_0}^{L'}(F) \setminus U_{Q_0}^{L'}(\mathbb{A}), \quad x \in X_{L_0}^{\tilde{G}}(H) \quad \text{et} \quad k \in \mathbf{K}.
$$

La mesure dy se transforme alors en

$$
\delta_{Q_0}(x)^{-1} du \, du' \, dx \, dk
$$

et on a $\mathbf{H}_{Q_0}(x) = \mathbf{H}_{Q_0}(y) = H$. On obtient

$$
(12.6) \qquad \mathcal{J}(uu'xk) = \mathcal{J}(uxk, u'xk).
$$

On a la variante suivante du lemme 12.3.1 de [25] :

**Lemme 12.3.1.** Il existe un sous-ensemble fini $\omega \subset \alpha_{\tilde{Q}}^{\tilde{G}}$ indépendant de $T$ tel que
si $\mathcal{J}(uu'xk)$ est non nul, alors $q_Q(H) = ((1-\theta_0)H)^{\tilde{G}}_{\tilde{Q}}$ appartient à $\omega$.

Démonstration. Via le choix d'une section de la surjection $A_M \to A_{Q'}$, on dispose d'un isomorphisme $\mu_M = \mu_{Q'} \times \mu_S^{Q'}$ et l'intégration sur $\mu_S$ se décompose en une intégrale double :

$$
\mathcal{J}(uu'xk) = \int_{\mu_S^{Q'}} \int_{\mu_{Q'}} \Lambda^{T,Q} E^Q(uxk, \Phi, \theta_0(\mu_{Q'} + \mu^{Q'})) \\
\times \overline{E^{Q'}(u'xk, \Psi, \mu_{Q'} + \mu^{Q'})} d\mu_{Q'} d\mu^{Q'}.
$$
Soit $\mathfrak{B}_{Q_0} \subset A_{Q_0}(\mathbb{A})$ un sous-groupe de la forme

$$ \mathfrak{B}_{Q_0} = \mathfrak{B}_{Q_0}^Q \mathfrak{B}_Q (= \mathfrak{B}_{Q_0}^Q \mathfrak{B}_Q^G \mathfrak{B}_G), $$

où $\mathfrak{B}_{Q_0}^Q \subset A_{Q_0}(\mathbb{A})$ est l'image d'une section du morphisme composé

$$ A_{Q_0}(\mathbb{A}) \to A_Q(\mathbb{A}) \setminus A_{Q_0}(\mathbb{A}) \to \mathfrak{B}_{Q_0}^Q. $$

Notons $\mathfrak{G}^{L_0,*} = \mathfrak{G}_{L_0} \mathfrak{G}^{L_0,1}$ un domaine de Siegel pour le quotient $\mathfrak{B}_{Q_0} L_0(F) \setminus L_0(\mathbb{A})$ (cf. section 3.4).

Fixons de la même manière un sous-groupe $\mathfrak{B}'_{Q_0} = \mathfrak{B}_{Q_0}^{Q'} \mathfrak{B}_{Q'} \subset A_{Q_0}(\mathbb{A})$. On ne peut pas en général s'arranger pour que $\mathfrak{B}_{Q_0} = \mathfrak{B}'_{Q_0}$, mais puisque $\mathfrak{B}_{Q_0} \cap \mathfrak{B}'_{Q_0}$ est d'indice fini dans $\mathfrak{B}_{Q_0}$, quitte à grossir $\mathfrak{G}_{L_0}$, on peut toujours supposer que

$$ L_0(\mathbb{A}) = (\mathfrak{B}_{Q_0} \cap \mathfrak{B}'_{Q_0}) L_0(F) \mathfrak{G}^{L_0,*}. $$

On suppose aussi que $\mathfrak{B}_G$ est de la forme $\mathfrak{B}_G = \mathfrak{B}_G^{\tilde{G}} \mathfrak{B}_{\tilde{G}}$, où $\mathfrak{B}_G^{\tilde{G}} \subset A_G(\mathbb{A})$ est l'image d'une section du morphisme composé

$$ A_G(\mathbb{A}) \to A_{\tilde{G}}(\mathbb{A}) \setminus A_G(\mathbb{A}) \to \mathfrak{B}_G^{\tilde{G}} = \mathfrak{B}_{\tilde{G}} \setminus \mathfrak{B}_G $$

et l'on pose

$$ \mathfrak{B}_{Q_0}^{\tilde{G}} = \mathfrak{B}_{Q_0}^{\tilde{G}} \mathfrak{B}_{Q_0}^{\tilde{G}} = \mathfrak{B}_{Q_0}^{Q} \mathfrak{B}_{Q}^{G} \mathfrak{B}_{Q}^{\tilde{G}} \quad \text{et} \quad \mathfrak{B}_{Q_0}^{\tilde{G}} = \mathfrak{B}_{Q_0}^{Q'} \mathfrak{B}_{Q'}^{\tilde{G}} = \mathfrak{B}_{Q_0}^{Q'} \mathfrak{B}_{Q'}^{G} \mathfrak{B}_{Q}^{\tilde{G}}. $$

Choisissons un relèvement de $x \in X_{L_0}^{\tilde{G}}(H)$ dans $L_0(\mathbb{A}; H')$ et écrivons $x = zas$ avec $z \in \mathfrak{B}_{\tilde{G}} L_0(F)$, $a \in (\mathfrak{B}_{Q_0}^{\tilde{G}} \cap \mathfrak{B}_{Q_0}^{\tilde{G}'})$ et $s \in \mathfrak{G}^{L_0,*}$. On décompose $a$ sous la forme

$$ a = a_Q a^Q = a_{Q'} a^{Q'} $$

avec $a_Q \in \mathfrak{B}_Q^{\tilde{G}}$, $a^Q \in \mathfrak{B}_{Q_0}^Q$, $a_{Q'} \in \mathfrak{B}_{Q_0}^{\tilde{G}}$, et $a^{Q'} \in \mathfrak{B}_{Q_0}^{Q'}$. Posons $H_0 = \mathbf{H}_{Q_0}(a)$. Comme dans la démonstration de [25, lemme 12.3.1], on obtient que

$$ \mathfrak{J}(uu'xk) = \delta_Q^{1/2}(a_Q) \delta_{Q'}^{1/2}(a_{Q'}) \int_{\mu_{Q'}} e^{\langle \theta_0(\mu_{Q'}), (H_0)_Q \rangle - \langle \mu_{Q'}, (H_0)_{Q'} \rangle} d\mu_{Q'} \\ \times \int_{\mu_{Q_S}^Q} \Lambda^{T,Q} E^Q (ua^Q sk, \Phi, \theta_0(\mu_{Q'})) \overline{E^{Q'}(u'a^{Q'}sk, \Psi, \mu_{Q'})} d\mu_{Q'}. $$

Or

$$ \int_{\mu_{Q'}} e^{\langle \theta_0(\mu_{Q'}), (H_0)_Q \rangle - \langle \mu_{Q'}, (H_0)_{Q'} \rangle} d\mu_{Q'} = \int_{\mu_{Q'}} e^{\langle \mu_{Q'}, \theta_0^{-1}((H_0)_Q) - \langle (H_0)_{Q'} \rangle} d\mu_{Q'} $$
et cette intégrale n'est non nulle que si $\theta_0^{-1}((H_0)_Q) - (H_0)_{Q'} = 0$. Pour que $\mathfrak{F}(uu'xk)$ soit non nul, il faut donc que

$$ (\mathbf{H}_Q(x) - \theta_0(\mathbf{H}_{Q'}(x)))^{\tilde{G}} = (H - \theta_0(H))^{\tilde{G}}_{Q} = (\mathbf{H}_Q(s) - \theta_0(\mathbf{H}_{Q'}(s)))^{\tilde{G}}. $$

Maintenant, on observe que l'ensemble

$$ \omega = \{ (\mathbf{H}_Q(s) - \theta_0(\mathbf{H}_{Q'}(s)))^{\tilde{G}} | s \in \mathfrak{G}^{L_0,*} \} \subset \alpha_Q^{\tilde{G}} $$

est fini et le lemme en résulte.

**Proposition 12.3.2.** Pour $T \in (\alpha_0^G)^{\theta_0}$, l'expression

$$ \sum_{H \in \mathcal{C}_{Q_0}^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(H_{Q} - T) \int_{\mathcal{Y}_{Q_0}(H)} |\mathfrak{F}_{Q, Q'; \Phi, \Psi}(y)| dy $$

est convergente et la somme sur $H$ est finie.

*Démonstration.* Il s'agit de prouver que pour $H \in \mathcal{C}_{Q_0}^{\tilde{G}}$, la fonction

$$ (u, u', x, k) \mapsto \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(H - T) \delta_{Q_0}(x)^{-1} \mathfrak{F}(uu'xk) $$

est absolument intégrable sur

$$ U_{Q_0}^{L}(F) \setminus U_{Q_0}^{L}(\mathbb{A}) \times U_{Q_0}^{L'}(F) \setminus U_{Q_0}^{L'}(\mathbb{A}) \times X_{L_0}^{\tilde{G}}(H) \times \mathbf{K} $$

et qu'elle est nulle, sauf pour un nombre fini de $H$. On procède comme dans la preuve de [25, proposition 12.3.2]. On commence par découper le domaine de sommation en $H$, grâce à la partition de [25, lemme 1.7.5] appliquée au couple $(P, R) = (Q_0, Q)$ : on peut fixer un $P' \in \mathcal{P}_{st}$ tel que $Q_0 \subset P' \subset Q$ et imposer que

$$ \phi_{Q_0}^{P'}(H-T) \tau_{P'}^{Q}(H-T) = 1. $$

On s'intéresse donc aux $H \in \alpha_{Q_0}$ tels que

$$ (12.7) \qquad \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(H-T) \phi_{Q_0}^{P'}(H-T) \tau_{P'}^{Q}(H-T) = 1, \quad q_{Q}(H) \in \omega. $$

D'après [25, lemme 2.13.3] (l'exposant $G$ est ici remplacé par un exposant $\tilde{G}$, voir section 2.2), pour $H$ vérifiant (12.7), on a

$$ (12.8) \qquad \|H^{\tilde{G}} - T_{Q_0}\| \ll 1 + \|(H-T)_{P'}^Q\| $$

d'où

$$ (12.9) \qquad \|H^{\tilde{G}}\| \ll 1 + \|H_{P'}^Q\|. $$
Les constantes implicites dans (12.8) et (12.9) dépendent de $T$. Au lieu d'intégrer sur $x \in X_{L_0}^{\tilde{G}}(H)$, on peut choisir un relèvement $H' \in \mathcal{A}_{Q_0}$ de $H \in \mathbb{C}_{Q_0}^{\tilde{G}}$ et intégrer sur $x \in ((\mathfrak{B}_{Q_0} \cap \mathfrak{B}'_{Q_0})\mathfrak{G}^{L_0,*}) \cap L_0(\mathbb{A}; H')$. De même, on peut faire varier $(u, u')$ dans un compact $\Omega_{Q_0}^L \times \Omega_{Q_0}^{L'}$ de $U_{Q_0}^L(\mathbb{A}) \times U_{Q_0}^{L'}(\mathbb{A})$. On écrit<fnref n="2" /> $x = zas$ avec

$$z \in \mathfrak{B}_{\tilde{G}} L_0(F), \quad a \in (\mathfrak{B}_{Q_0}^{\tilde{G}} \cap \mathfrak{B}_{Q_0}^{\tilde{G}}) \quad \text{et} \quad s \in \mathfrak{G}^{L_0,*},$$

et on décompose $a$ en $a = a_Q a^Q = a_{Q'} a^{Q'}$ comme dans la preuve du lemme 12.3.1. Pour $u \in \Omega_{Q_0}^L$, $u' \in \Omega_{Q_0}^{L'}$ et $k \in \mathbf{K}$, en supposant que $a_Q^{-1}\theta_0(a_{Q'})$ appartient à $A_{\tilde{G}}(\mathbb{A})A_Q(\mathbb{A})^1$ – sinon $\mathfrak{F}(uu'xk) = 0$ (cf. la preuve de loc. cit.) –, on a

$$\mathfrak{F}(uu'xk) = \mathfrak{s}_Q(a_Q)\mathfrak{F}(ua^Q sk, u'a^{Q'} sk).$$

Quitte à grossier $\mathfrak{G}_Q$, on peut supposer que $L_0(\mathbb{A})^* = \mathfrak{G}_{Q_0} L_0(\mathbb{A})^1$ est contenu dans $L_Q(\mathbb{A})^* = \mathfrak{G}_Q L_Q(\mathbb{A})^1$. Alors pour chaque $u \in \Omega_{Q_0}^L$, on peut choisir un $\gamma \in L(F)$ tel que

$$y_1 = \gamma u a^Q s \in \mathfrak{G}^{L,*} = \mathfrak{G}_Q \mathfrak{G}^{L,1}.$$

D'après le corollaire 12.2.3, il existe $c$, $D > 0$ et un compact $C_L$ dans $\mathfrak{G}^{L,*}$ tel que pour tout $k \in \mathbf{K}$, tout $u \in \Omega_{Q_0}^L$ et tout $u' \in \Omega_{Q_0}^{L'}$, on ait $\mathfrak{F}(y_1 k, u'a^{Q'} sk) = 0$ si $y_1 \notin C_L$ et

$$|\mathfrak{F}(y_1 k, u'a^{Q'} sk)| \le c |u'a^{Q'} s|^D \quad \text{sinon.}$$

Comme dans la preuve de [25, proposition 12.3.2], on obtient

$$(12.10) \qquad \|H_{P'}^Q\| + \|\mathbf{H}_0(s)\| \ll 1 + \|\mathbf{H}_0(y_1)\|.$$

Pour $y_1 \in C_L$, d'après (12.9) et (12.10), $\|H^{\tilde{G}}\|$ et $\|\mathbf{H}_0(s)\|$ sont bornés. On en déduit que $H$ varie dans un sous-ensemble fini de $\mathbb{C}_{Q_0}^{\tilde{G}}$. D'autre part $s$ appartient à $\mathfrak{G}^{L_0,*}$ et $\|\mathbf{H}_0(s)\|$ est borné, par conséquent $|s|$ est borné. On obtient que

$$\mathfrak{s}_{Q_0}(x)^{-1} |\mathfrak{F}(u'uxk)| \ll 1.$$

D'où la proposition, puisque l'ensemble

$$\Omega_{Q_0}^L \times \Omega_{Q_0}^{L'} \times ((\mathfrak{B}_{Q_0} \cap \mathfrak{B}'_{Q_0})\mathfrak{G}^{L_0,*} \cap L_0(\mathbb{A}; H)) \times \mathbf{K}$$

est de volume fini.

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

<footnote n="2">²Notons que notre $s$ joue le rôle du $x$ de la démonstration de [25, proposition 12.3.2].</footnote>
## 12.4 Transformation de l'opérateur de troncature

Pour calculer l'expression

$$ (12.11) \qquad \sum_{H \in c_{Q_0}^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(H_Q - T) \int_{Y_{Q_0}(H)} \mathcal{J}_{Q, Q'; \Phi, \Psi; \vartheta}^{T}(y) \, dy, $$

où $\vartheta$ est une fonction lisse sur $\mu_S$, on décompose l'intégrale sur $Y_{Q_0}(H)$ comme en section 12.3. On peut permuter l'intégrale sur le groupe compact

$$ U_{Q_0^L}(F) \setminus U_{Q_0^L}(\mathbb{A}) \times U_{Q_0^{L'}}(F) \setminus U_{Q_0^{L'}}(\mathbb{A}) $$

avec celle sur le groupe (lui aussi compact) $\mu_S$. Pour $(x, k) \in X_{L_0}^{\tilde{G}}(H) \times \mathbf{K}$, la composée de ces deux intégrales est égale à

$$ (12.12) \qquad \int_{\mu_S} (\Lambda^{T,Q} E^Q)_{Q_0}(xk, \Phi, \theta_0(\mu)) \overline{E_{Q_0}^{Q'}(xk, \Psi, \mu)\vartheta(\mu)} d\mu, $$

où l'indice $Q_0$ signifie que l'on prend le terme constant le long de $Q_0$. D'après [25, lemme 4.1.1], cette expression (12.12) n'est non nulle que si

$$ \phi_{Q_0}^Q(H-T) = 1. $$

Cela entraîne que dans le découpage suivant les $P' \in \mathcal{P}_{st}$ tel que $Q_0 \subset P' \subset Q$ dans la preuve de la proposition 12.3.2, seul le domaine correspondant à $P' = Q$ donne une contribution non nulle. D'après (12.8), il existe $c > 0$ tel que pour les $H$ vérifiant

$$ \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(H-T)\phi_{Q_0}^{Q}(H-T) = 1, \quad q_{Q}(H) \in \omega $$

on ait

$$ (12.13) \qquad \|H^{\tilde{G}} - T_{Q_0}\| \le c. $$

Le point est qu'ici la constante $c$ est indépendante de $T$ (d'après [25, lemme 2.13.3] et le lemme 12.3.1). En particulier, puisque $T_{Q_0} \in \alpha_{Q_0}^G$, on a

$$ H^{\tilde{G}} - T_{Q_0} = H_G^{\tilde{G}} + (H^G - T_{Q_0}) $$

et $\|H_G^{\tilde{G}}\|$ est borné par une constante indépendante de $T$. Fixons un réel $\eta$ tel que $0 < \eta < 1$. Si $T$ est assez régulier, la condition (12.13) entraîne

$$ (12.14) \qquad \|H^Q - T_{Q_0}^Q\| \le \|\eta T\|. $$
Pour $T \in \alpha_0$, on note<fnref n="3" /> $\kappa^T$ la fonction caractéristique du sous-ensemble des $X \in \alpha_0$ tels que $\|X\| \le \|T\|$. D'après [25, lemme 4.2.2] il existe $c' > 0$, tel que si

$$d_0(T) \ge c'(c + 1),$$

l'expression (12.12) multipliée par $\tilde{\sigma}_Q^R(H-T)$ vaut<fnref n="4" />

$$\kappa^{\eta T}(H^Q - T_{Q_0}^Q) \tilde{\sigma}_Q^R(H-T) \phi_{Q_0}^Q(H-T) \\ \times \int_{\mu_S} \Lambda^{T[\![H^Q]\!]}._{Q_0} E_{Q_0}^Q(xk, \Phi, \theta_0(\mu)) \overline{E_{Q_0}^{Q'}(xk, \Psi, \mu)} \vartheta(\mu) d\mu$$

si $\|H^{\tilde{G}} - T_{Q_0}\| \le c$, et elle est nulle sinon. Ce dernier point résulte de l'analogue de la preuve de (12.8) pour l'expression ci-dessus. Notons que pour $H$ vérifiant $\phi_{Q_0}^G(H-T) = 1$, l'élément

$$T[\![H^Q]\!] = T[\![H^Q]\!]^{Q_0} \in \alpha_{P_0}^{Q_0}$$

est « plus régulier » que $T^{Q_0}$ : en effet, d'après [25, lemme 4.2.1], on a

$$d_{P_0 \cap L_0}^{L_0}(T[\![H^Q]\!]') \ge d_{P_0 \cap L_0}^{L_0}(T^{Q_0}) \ge d_0(T).$$

On a donc prouvé la proposition suivante.

**Proposition 12.4.1.** *Il existe $c$, $c' > 0$ tel que pour tout $T \in (\alpha_0^G)^{\theta_0}$ vérifiant $d_0(T) \ge c'(c+1)$, l'expression (12.11) soit égale à*

$$\sum_{H \in c_{Q_0}^{\tilde{G}}} \kappa^{\eta T} (H^Q - T_{Q_0}^Q) \tilde{\sigma}_Q^R (H-T) \phi_{Q_0}^Q (H-T) e^{-(2\rho_{Q_0}, H)} \\ \times \int_{X_{L_0}^{\tilde{G}}(H) \times \mathbf{K}} \int_{\mu_S} \Lambda^{T[\![H^Q]\!]'}_{Q_0} E_{Q_0}^Q(xk, \Phi, \theta_0(\mu)) \overline{E_{Q_0}^{Q'}(xk, \Psi, \mu)} \vartheta(\mu) d\mu dx dk.$$

La somme sur $c_{Q_0}^{\tilde{G}}$ ne fait intervenir que des $H$ tels que $\|H^{\tilde{G}} - T_{Q_0}\| \le c$.

On a aussi l'analogue de [25, proposition 12.5.1] :

<footnote n="3">³Observons que la fonction $\kappa^T$ utilisée ici n’est pas tout-à-fait la même que celle de [25], puisque nous ne passons pas au quotient par le centre.</footnote>

<footnote n="4">⁴Il faut supprimer le signe $(-1)^{a_Q - a_G}$ dans la formule du lemme 4.2.2 de [25]. Voir **Err** (iii) de l’annexe.</footnote>
**Proposition 12.4.2.** Pour $H \in C_{Q_0}^{\tilde{G}}$, on considère l'expression

$$
(12.15) \qquad \int_{X_{L_0}^{\tilde{G}}(H) \times K} \int_{\mu_S} |\Lambda^T[\mathbb{H}^Q]|,Q_0 E_{Q_0}^Q(xk, \Phi, \theta_0(\mu)) \overline{E_{Q_0}^{Q'}(xk, \Psi, \mu)\vartheta(\mu)} |d\mu dx dk.
$$

On suppose que $T$ est dans le cône introduit en section 12.3 et que $\mathbf{d}_0(T)$ est assez grand. On a les assertions suivantes :

(i) Si $\phi_{Q_0}^Q(H - T) = 1$, l'expression (12.15) est convergente.

(ii) Il existe $\eta_0$ avec $0 < \eta_0 < 1$ tel que si $0 < \eta < \eta_0$, alors il existe $c > 0$ tel que, pour tout $T \in (a_0^G)^{\theta_0}$ et tout $H \in C_{Q_0}^{\tilde{G}}$ vérifiant

$$
\tilde{\sigma}_{\mathcal{Q}}^{R}(H-T)\phi_{\mathcal{Q}_{0}}^{Q}(H-T)\kappa^{\eta T}(H^{Q}-T_{\mathcal{Q}_{0}}^{Q})=1,
$$

l'expression (12.15) soit majorée par $c e^{(2\rho Q_0, H)} \mathbf{d}_0(T)^{\dim(a_0^{Q_0})}$.

Démonstration. On reprend celle de loc. cit. On veut majorer l’intégrale intérieure dans (12.15). Pour cela on peut supposer $\vartheta \equiv 1$ (cf. la remarque 12.1.2). Comme dans la preuve de [25, proposition 12.2.3], on se ramène grâce à l’inégalité de Schwartz à majorer deux types d’intégrales :

$$
(12.16) \quad \int_{\mu_S} \Lambda^T[\mathbb{H}^Q], Q_0 E_{Q_0}^Q(xk, \Phi, \theta_0(\mu)) \overline{\Lambda^T[\mathbb{H}^Q], Q_0 E_{Q_0}^Q(xk, \Phi, \theta_0(\mu))} d\mu
$$

et

$$
(12.17) \quad \int_{\mu_S} E_{Q_0}^{Q'}(xk, \Psi, \mu) \overline{E_{Q_0}^{Q'}(xk, \Psi, \mu)} d\mu.
$$

Commençons par majorer l’intégrale (12.17). Rappelons que l’on a fixé en section 12.2 un domaine de Siegel $\mathfrak{C}_{Q'}^G = \Omega_{Q'} \mathfrak{B}_{Q'}^G \mathfrak{C}_{*,*}^L$ K pour le quotient $\mathfrak{B}_G Q'(F) \backslash G(\mathbb{A})$. Soit $h^{Q'}$ la fonction sur $Q'(F) \backslash G(\mathbb{A})/K$ définie par

$$
h^{Q'}(y) = \sum_{\delta \in Q'(F)} \delta_{P_0}(\delta y)^{1/2} \mathbf{1}_{\mathfrak{C}_{Q'}^G}(\delta y).
$$

On a

$$
h^{Q'}(y) \ll \delta_{P_0}(y)^{1/2} \ll h^{Q'}(y) \quad \text{pour } y \in \mathfrak{C}_{Q'}^G.
$$

D'après la proposition 12.2.2, pour $b \in \mathfrak{B}_G$ et $y, y' \in Q'(F) \mathfrak{C}_{Q'}^G$, l'intégrale

$$
(12.18) \quad \int_{\mu_S} E^{Q'}(by, \Psi, \mu) \overline{E^{Q'}(by', \Psi, \mu)} d\mu = \int_{\mu_S} E^{Q'}(y, \Psi, \mu) \overline{E^{Q'}(y', \Psi, \mu)} d\mu
$$

est essentiellement majorée par $h^{Q'}(y)h^{Q'}(y')$. Ensuite on prend le terme constant en chacune des variables $y, y'$. Cette opération, qui consiste à intégrer sur un compact, commute à l'intégrale sur $\mu_S$. Puis on prend $y = y' = a^G sk$ avec $k \in K$,
$s \in \mathfrak{S}^{L_0,*}$, $x = as \in L_0(\mathfrak{A}; H')$ pour un relèvement $H' \in A_{Q_0}$ de $H \in C_{Q_0}^{\tilde{G}}$ et $a = a_G a^G \in \mathfrak{B}_G \mathfrak{B}_{Q_0}^G$ (on peut même supposer $a^G \in \mathfrak{B}_{Q_0}^G \cap \mathfrak{B}_{Q_0}^{\tilde{G}}$ comme dans la démonstration de la proposition 12.3.2). L'intégrale (12.17) est donc essentiellement majorée par

$$h_{Q_0}^{Q'}(y)^2 = h_{Q_0}^{Q'}(a^G s)^2.$$

Comme la fonction $h^{Q'}$ est à croissance lente, son terme constant $h_{Q_0}^{Q'}$ l'est aussi. L'intégrale (12.17) est donc essentiellement majorée par $|a^G s|^D$ pour $D > 0$ assez grand. L'intégrale (12.16) se déduit, elle aussi, de (12.18) en prenant les termes constants le long de $Q_0$, puis en appliquant l'opérateur $\Lambda^T[[H^Q]]_{Q_0}$, et enfin en posant $y = y' = a^G sk$. Quand on prend les termes constants, on obtient une expression essentiellement majorée par

$$h_{Q_0}^{Q}(y)h_{Q_0}^{Q'}(y').$$

Rappelons que l'hypothèse $\phi_{Q_0}^Q(H-T) = 1$ assure que l'élément $T[[H^Q]] \in \alpha_{P_0}^{Q_0}$ est régulier. D'après la proposition 4.2.1, il existe un sous-ensemble compact $\Omega$ de $\mathfrak{S}^{L_0,*}$ tel que si $\Lambda^T[[H^Q]]_{Q_0}h_{Q_0}^Q(a^G sk) \neq 0$, alors $s \in \Omega$. Comme

$$\mathbf{H}_{Q_0}(x)^G = \mathbf{H}_{Q_0}(a^G) + \mathbf{H}_{Q_0}(s)^G = H^G$$

et que $H$ est fixé, $a^G$ reste dans un ensemble fini de $\mathfrak{B}_{Q_0}^G$. D'où le point (i). Prouvons (ii). On suppose que l'hypothèse

$$(12.19) \qquad \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(H-T)\phi_{Q_{0}}^{Q}(H-T)\kappa^{\eta T}(H^{Q}-T_{Q_{0}}^{Q})=1$$

est vérifiée<fnref n="5" />. On peut prendre $x$ dans un domaine de Siegel $\mathfrak{S}^{L_0} = \mathfrak{B}_{L_0} \mathfrak{S}^{L_0,*}$. On écrit $x = as$ avec $a \in \mathfrak{B}_{Q_0}$ et $s \in \mathfrak{S}^{L_0,*}$. Si $\eta$ est assez petit, l'hypothèse (12.19) implique, comme dans la preuve de [25, proposition 12.5.1] (majoration (4), page 170), qu'il existe une constante $D > 0$, telle que

$$h_{Q_0}^Q(a^G s) \ll \delta_{Q_0}(a)^{\frac{1}{2}} |s|^D.$$

Mais cette majoration est inutile ici, on peut directement passer à la page 172. Notons **C** l'opérateur qui multiplie une fonction sur $Y_{Q_0}$ par la fonction

$$x \mapsto F_{P_0}^{Q_0}(x, T[[H^Q]])$$

<footnote n="5">⁵Si $\eta$ est assez petit, l'hypothèse (12.19) implique $\tau_{Q_0}^P(H) = 1$, où $\tilde{P}$ est l'unique élément de $\tilde{\mathcal{P}}_{st}$ vérifiant la double inclusion $Q' \subset P \subset R$ (cf. [25, page 171]). En particulier, cela entraîne $\tau_{Q_0}^{Q'}(H) = 1$ et $\tau_{Q_0}^Q(H) = 1$.</footnote>
et décomposons l'opérateur $\Lambda = \Lambda^T[[H^Q]], Q_0$ en

$$ (\Lambda - C) + C. $$

Rappelons que $T[[H^Q]]$ est « plus régulier » que $T$. D'après la proposition 4.2.2, si $T$ est assez régulier, on peut remplacer l'opérateur $\Lambda^T[[H^Q]], Q_0$ par $C$ dans l'intégrale intérieure de l'expression (12.15). Il nous faut donc majorer l'intégrale

$$ I_C(xk) = \int_{\mu_S} F_{P_0}^{Q_0}(ask, T[[H^Q]]) E_{Q_0}^{Q}(xk, \Phi, \theta_0(\mu)) \overline{E_{Q_0}^{Q}(xk, \Phi, \theta_0(\mu))} d\mu $$

sous les hypothèses (12.19) et

$$ (12.20) \qquad F_{P_0}^{Q_0}(xk, T[[H^Q]]) = F_{P_0}^{Q_0}(s, T[[H^Q]]) = 1. $$

Cela conduit à majorer (12.17) et l'analogue de (12.17) où $Q$ remplace $Q'$. Sous (12.19) et (12.20), on obtient comme dans la preuve de [25, proposition 12.5.1] que $h^{Q'}(a^G s)$ est essentiellement majoré par $\delta_{P_0}(x)^{1/2}$. Donc (12.17) est essentiellement majoré par $\delta_{P_0}(x)$. Il en est de même de l'analogue de (12.17) relatif à $Q$, et donc aussi de $I_C(xk)$. On obtient que l'expression (12.15) est essentiellement majorée par

$$ \int_{X_{L_0}(H)} F_{P_0}^{Q_0}(x, T[[H^Q]]) \delta_{P_0}(x) dx, $$

ou, ce qui revient au même, par

$$ e^{(2\rho_{Q_0}, H)} \int_{\mathfrak{G}^{L_0,*}} F_{P_0}^{Q_0}(s, T[[H^Q]]) \delta_{P_0}(s) ds. $$

Rappelons que

$$ \mathfrak{G}^{L_0,*} = \mathfrak{G}_{L_0} \mathfrak{G}^{L_0,1} = \mathfrak{G}_{L_0} \Omega_{L_0} \mathfrak{B}_0^{L_0}(t) \mathfrak{F}_{L_0} \mathbf{K}_{L_0} $$

avec $\mathfrak{B}_0^{L_0}(t) = \mathfrak{B}_0(t) \cap L_0(A)^1$. On décompose $s$ en $s = vbk$ avec $v \in \mathfrak{G}_{L_0} \Omega_{L_0}$, $b \in \mathfrak{B}_0^{L_0}(t)$ et $k \in \mathfrak{F}_{L_0} \mathbf{K}_{L_0}$. La décomposition des mesures introduit un facteur $\delta_{P_0 \cap L_0}^{L_0}(b)^{-1} = \delta_{P_0}(b)^{-1}$, et l'intégrale sur $\mathfrak{G}^{L_0,*}$ est essentiellement majorée par le cardinal de l'ensemble

$$ \{b \in \mathfrak{B}_0^{L_0}(t) : F_{P_0}^{Q_0}(b, T[[H^Q]]) = 1\}. $$

En écrivant $Y = \mathbf{H}_0(b) \in \alpha_0^{L_0}$, on conclut, comme à la fin de la démonstration de [25, proposition 12.5.1]. ■
## 12.5 Retour à la formule de départ

On suppose désormais que $0 < \eta < \eta_0$, où $\eta_0$ vérifie les conditions de la proposition 12.4.2.

L'expression pour $\mathcal{J}^{\tilde{G},T}$ de la proposition de 12.1.1 est une combinaison linéaire finie d'intégrales itérées (12.1) (ou, ce qui revient au même, d'expressions (12.2)) dont la convergence est assurée par la proposition 12.3.2.

**Proposition 12.5.1.** *Il existe une constante absolue $c' > 0$ et une constante $c(f) > 0$ telles que, si $d_0(T) \ge c'(c(f) + 1)$, on a*

$$ \mathcal{J}^{\tilde{G},T} = \sum_{\substack{Q,R \in \mathbb{P}_{\text{st}} \\ Q \subset R}} \tilde{\eta}(Q, R) \sum_{S \in \mathbb{P}_{\text{st}}^{Q'}} \frac{1}{n^{Q'}(S)} \sum_{\sigma \in \Pi_{\text{disc}}(M_S)} \hat{c}_{M_S}(\sigma) \times \sum_{\Psi \in \Psi_S(\sigma)} \sum_{H \in c_{\tilde{Q}_0}^{\tilde{G}}} A^T(H; \Psi) $$

avec

$$ A^T(H; \Psi) = \kappa^{\eta T} (H^Q - T_{Q_0}^Q) \tilde{\sigma}_Q^R (H-T) \phi_{Q_0}^Q (H-T) \\ \times e^{-(2\rho_{Q_0}, H)} \int_{X_{L_0}^{\tilde{G}}(H) \times \mathbf{K}} \int_{\mu_S} \Lambda^T[\mathbb{H}^Q],_{Q_0} E_{Q_0}^Q(xk, \tilde{\rho}_{S,\sigma,\mu}(f, \omega)\Psi, \theta_0(\mu)) \\ \times \overline{E_{Q_0}^{Q'}(xk, \Psi, \mu) d\mu dx dk.} $$

*Démonstration.* Ceci résulte de la proposition 12.4.1 et de la remarque 12.1.2. ■

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

**Définition 12.5.2.** Pour $\Psi \in \mathcal{A}(X_S, \sigma)$ et $\Phi \in \mathcal{A}(X_{\theta_0(S)}, \theta_0(\sigma))$, et pour $\vartheta$ une fonction lisse sur $\mu_S$, on pose

$$ A^T(H; \Phi, \Psi; \vartheta) = \kappa^{\eta T} (H^Q - T_{Q_0}^Q) \tilde{\sigma}_Q^R (H-T) \phi_{Q_0}^Q (H-T) \\ \times e^{-(2\rho_{Q_0}, H)} \int_{X_{L_0}^{\tilde{G}}(H) \times \mathbf{K}} \int_{\mu_S} \Lambda^T[\mathbb{H}^Q],_{Q_0} E_{Q_0}^Q(xk, \Phi, \theta_0(\mu)) \\ \times \overline{E_{Q_0}^{Q'}(xk, \Psi, \mu) \vartheta(\mu) d\mu dx dk.} $$

On écrira simplement $A^T(H)$ pour $A^T(H; \Phi, \Psi; \vartheta)$ lorsque les fonctions $\Phi, \Psi$ et $\varphi$ sont fixées, et on pose

$$ A^T = \sum_{H \in c_{\tilde{Q}_0}^{\tilde{G}}} A^T(H). $$
<figure><img src="image_25.png" /></figure>
# Chapitre 13

## Simplification du produit scalaire

### 13.1 Une majoration uniforme

Pour $P \in \mathcal{P}$, choisissons une section du morphisme $A_P(\mathcal{A}) \to \mathcal{B}_P$ et notons $\mathfrak{B}_P$ son image. Cela permet de relever $\Xi(P)^1$ dans $\Xi(P)$, d'où une identification

$$ \Xi(P) = \Xi(P)^1 \times \hat{\mathcal{B}}_P. $$

Le groupe des caractères automorphes, mais non nécessairement unitaires, de $A_P(\mathcal{A})$ s'identifie à $\Xi(P) \times \alpha_P^*$. Un tel caractère $\xi$ peut donc s'écrire

$$ \xi = \xi_u|_{\xi} = (\zeta \star \mu) \star \nu = \zeta \star (\mu + \nu) $$

avec $\zeta = \xi|_{A_P(\mathcal{A})}^1$, $\mu \in \hat{\mathcal{B}}_P$ et $\nu \in \alpha_P^*$. On le notera $\xi = (\zeta, \mu, \nu)$.

Soit $\phi$ une forme automorphe sur $X_G$ (discrète ou non). Pour $P \in \mathcal{P}_{\text{st}}$, on note $\phi_{P, \text{cusp}}$ le terme constant cuspidal de $\phi$ le long de $P$, défini en [32, sous-sections I.3.4, I.3.5]. C'est une forme automorphe cuspidale sur $X_P$, qui s'écrit sous la forme

$$ (13.1) \qquad \phi_{P, \text{cusp}} = \sum_{(q, \xi)} q(\mathbf{H}_P(x)) \phi_{q, \xi}(x), $$

où $(q, \xi)$ parcourt un sous-ensemble fini de $\mathbb{C}[\alpha_P] \times \Xi(P) \times \alpha_P^*$ et $\phi_{q, \xi}$ est une forme automorphe cuspidale sur $X_P$, se transformant suivant $\xi$. En écrivant $\xi = (\zeta, \mu, \nu)$, comme ci-dessus, on voit que la fonction

$$ x \mapsto e^{-(\mu+\nu, \mathbf{H}_P(x))} \phi_{q, \xi}(x) $$

appartient à $\mathcal{A}_{\text{disc}}(X_P)_\xi$. Notons $\mathcal{A}_{\text{cusp}}(X_P)_{\Xi(P)^1}$ le sous-espace de $\mathcal{A}_{\text{cusp}}(X_P)$, engendré par les espaces $\mathcal{A}_{\text{cusp}}(X_P)_\xi$ pour $\xi \in \Xi(P)^1$, identifié au sous-groupe de $\Xi(P)$ des caractères triviaux sur $\mathfrak{B}_P$. Il se décompose en

$$ \mathcal{A}_{\text{cusp}}(X_P)_{\Xi(P)^1} = \bigoplus_{\xi \in \Xi(P)^1} \mathcal{A}_{\text{cusp}}(X_P)_\xi. $$

Pour tout $P \in \mathcal{P}_{\text{st}}$, fixons un sous-ensemble compact $\Gamma_P \subset \alpha_P^* / \mathcal{A}_P^\vee$, deux entiers naturels $n_P$ et $d_P$, et un sous-espace de dimension finie $V_P$ de $\mathcal{A}_{\text{cusp}}(X_P)_{\Xi(P)^1}$. On note

$$ A((V_P, d_P, \Gamma_P, n_P)_{P \in \mathcal{P}_{\text{st}}}) $$
l'ensemble des formes automorphes $\phi$ sur $X_G$ telles que, pour tout $P \in \mathcal{P}_{\text{st}}$, le terme constant cuspidal $\phi_{P, \text{cusp}}$ puisse s'écrire

$$ (13.2) \qquad \phi_{P, \text{cusp}}(x) = \sum_{i=1}^{n_P} e^{(\lambda_{P,i} + \rho_P, \mathbf{H}_P(x))} \sum_{j=1}^{n_{P,i}} q_{P,i,j}(\mathbf{H}_P(x)) \phi_{P,i,j}(x), $$

où les $n_{P,i}$ sont des entiers positifs ou nuls quelconques, $n_P \le \mathbf{n}_P$, $\lambda_{P,i} \in \Gamma_P$, $q_{P,i,j} \in \mathbb{C}[\alpha_P]$ avec $\deg(q_{P,i,j}) \le d_P$, et $\phi_{P,i,j} \in V_P$. Notons que cet ensemble n'est pas un espace vectoriel (à cause de la condition $n_P \le \mathbf{n}_P$). Dans l'expression (13.2), on peut supposer que les $\lambda_{P,i}$ sont deux-à-deux distincts. On définit comme en [25, section 13.1] une norme

$$ \|\phi\|_{\text{cusp}} = \sum_{P \in \mathcal{P}_{\text{st}}} \|\phi_{P, \text{cusp}}\|_{\text{cusp}}. $$

D'après [25, lemme 13.1.1], on a le résultat suivant.

**Lemme 13.1.1.** Pour tout $\lambda \in \alpha_0^*$, il existe une constante $c > 0$ telle que pour tout $\phi \in A((V_P, d_P, \Gamma_P, \mathbf{n}_P)_{P \in \mathcal{P}_{\text{st}}})$ et tout $x \in \mathfrak{G} = \mathfrak{B}_G \mathfrak{G}^*$, on ait la majoration

$$ |\phi(x)| \le c \|\phi\|_{\text{cusp}} \sum_{P \in \mathcal{P}_{\text{st}}} \sum_{i=1}^{n_P} e^{(\lambda^P + \Re(\lambda_{P,i}) + \rho_P, \mathbf{H}_0(x))} (1 + \mathbf{H}_P(x))^{d_P}, $$

où $\lambda^P$ est la projection de $\lambda$ sur $\alpha_0^{P,*}$ et les $\lambda_{P,i}$ sont ceux de l'égalité (13.2).

## 13.2 Majoration des termes constants

On fixe deux sous-groupe paraboliques standards $Q, R \in \mathcal{P}_{\text{st}}$ tels que $Q \subset R$ et $\tilde{\eta}(Q, R) = 1$. On pose $Q' = \theta_0^{-1}(Q)$ et $Q_0 = Q \cap Q'$. On fixe aussi $S \in \mathcal{P}_{\text{st}}^{Q'}$ et $\eta \in \Pi_{\text{disc}}(M_S)$. La représentation $\sigma$ intervient dans le spectre discret de $M_S(F) \backslash M_S(\mathfrak{A})^1$. Considérons :

* un sous-groupe parabolique standard $S_{\text{cusp}}$ tel que $S_{\text{cusp}} \subset S$;

* une représentation automorphe cuspidale $\sigma_{\text{cusp}}$ de $M_{S_{\text{cusp}}}(\mathfrak{A})$ qui est une sous-représentation irréductible de $L^2(\mathfrak{B}_{S_{\text{cusp}}} \backslash X_{M_{S_{\text{cusp}}}})$ – c'est-à-dire que $\sigma_{\text{cusp}}$ se réalise dans $\mathcal{A}_{\text{cusp}}(X_{M_{S_{\text{cusp}}}})_\xi$ pour un caractère $\xi \in \Xi(S_{\text{cusp}})^1$;

* un opérateur différentiel $D$ à coefficients polynomiaux sur $\alpha_{S_{\text{cusp}}, \mathbb{C}}^{S,*}$;

* un point $\nu_0 \in \alpha_{S_{\text{cusp}}}^{S,*}$.

Rappelons que $\Psi_{S_{\text{cusp}} \cap M_S}(\sigma_{\text{cusp}})$ est une base orthonormale de l'espace vectoriel pré-hilbertien $\mathcal{A}(X_{S_{\text{cusp}} \cap M_S}, \sigma_{\text{cusp}})$. Pour $\Phi_{\text{cusp}} \in \Psi_{S_{\text{cusp}} \cap M_S}(\sigma_{\text{cusp}})$ et $\nu \in \alpha_{S_{\text{cusp}}, \mathbb{C}}^{S,*}$,
formons la série d'Eisenstein

$$E^{MS}(y, \Phi_{\text{cusp}}, v) = \sum_{y \in (S_{\text{cusp}} \cap M_S)(F) \setminus M_S(F)} \Phi_{\text{cusp}}(yy, v), \quad y \in M_S(\mathbb{A}).$$

On applique l'opérateur $D$ sous l'hypothèse que la fonction $v \mapsto DE^{MS}(y, \Phi_{\text{cusp}}, v)$ est holomorphe en $v = v_0$ et on note

$$D_{v=v_0} E^{MS}(y, \Phi_{\text{cusp}}, v),$$

sa valeur en $v = v_0$.

Comme dans [25] on voit qu’en choisissant convenablement la base $\Psi_S(\sigma)$ de $\mathcal{A}(X_S, \sigma)$, on peut supposer que pour tout élément $\Psi \in \Psi_S(\sigma)$, il existe des données $S_{\text{cusp}}, \sigma_{\text{cusp}}, D, v_0$ et $\Psi_{\text{cusp}} \in \Psi_{S_{\text{cusp}}}(\sigma_{\text{cusp}})$ telles que

$$E^{Q'}(y, \Psi, \mu) = D_{v=v_0} E^{Q'}(y, \Psi_{\text{cusp}}, v + \mu)$$

pour tout $\mu \in \alpha_{S,\mathbb{C}}^* / A_S^\vee$. Prendre un terme constant et prendre un résidu sont deux opérations qui commutent. Grâce à [25, théorème 5.2.2 (4)], on obtient (13.3)

$$E_{Q_0}^{Q'}(y, \Psi, \mu) = D_{v=v_0} \left( \sum_{s \in \mathbf{W}^{Q'}(\alpha_{S_{\text{cusp}}}, Q_0)} E^{Q_0}(y, \mathbf{M}(s, v + \mu)\Psi_{\text{cusp}}, s(v + \mu)) \right).$$

Le terme constant $E_{S'_{\text{cusp}}}^{Q'}(y, \Psi, \mu)$ de la forme automorphe $E_{Q_0}^{Q'}(y, \Psi, \mu)$, relatif à un sous-groupe parabolique $S'_{\text{cusp}} \in \mathcal{P}_{\text{st}}^{Q_0}$ associé à $S_{\text{cusp}}$ dans $Q'$, est égal à :

$$D_{v=v_0} \left( \sum_{s \in \mathbf{W}^{Q'}(\alpha_{S_{\text{cusp}}}, Q_0)} \sum_{s' \in \mathbf{W}^{Q_0}(\alpha_s(S_{\text{cusp}}), \alpha_{S'_{\text{cusp}}})} \mathbf{M}(s's, v + \mu) \Psi_{\text{cusp}}(y, s's(\mu + v)) \right).$$

Les exposants cuspidaux de $E_{S'_{\text{cusp}}}^{Q'}(y, \Psi, \mu)$ sont les

$$s's(v_0 + \mu) \in \alpha_{S'_{\text{cusp}}, \mathbb{C}}^* / A_{S'_{\text{cusp}}}^{\vee}.$$

Pour $w \in \mathbf{W}^{Q'}(\alpha_{S_{\text{cusp}}}, \alpha_{S'_{\text{cusp}}})$, notons $Q'_w$ le plus petit sous-groupe parabolique standard de $Q'$ tel que $\alpha_{Q'_w} \subset w(\alpha_S)$. D’après [25, section 13.2 (5), page 184] et [32, corollaire V.3.16 et proposition VI.1.6 (c)], on sait que, pour $\mu \in \mu_S$, les parties réelles des exposants cuspidaux de $E_{S'_{\text{cusp}}}^{Q'}(y, \Psi, \mu)$ sont de la forme $wv_0$, pour des $w \in \mathbf{W}^{Q'}(\alpha_{S_{\text{cusp}}}, \alpha_{S'_{\text{cusp}}})$ tels que

$$\hat{\tau}_{S'_{\text{cusp}}}^{Q'_w}(-wv_0) = 1. \qquad (13.4)$$
Ainsi dans l'expression $E_{S'_{cusp}}^{Q'}(y, \Psi, \mu)$ pour $\mu \in \mu_S$, les termes indexés par les couples $(s, s')$ tels que l'élément $w = ss'$ ne vérifie pas (13.4) sont nuls. On décompose $E_{Q_0}^{Q'}(y, \Psi, \mu)$ en

$$E_{Q_0}^{Q'}(y, \Psi, \mu) = E_{Q_0, \text{unit}}^{Q'}(y, \Psi, \mu) + E_{Q_0, +}^{Q'}(y, \Psi, \mu),$$

où le terme $E_{Q_0, \text{unit}}^{Q'}$ est la sous-somme de (13.3) indexée par les $s$ tels que $s(\alpha_0^S) \subset \alpha_0^{Q_0}$ et le terme $E_{Q_0, +}^{Q'}$ est la sous-somme restante. On obtient, comme en [25, section 13.2 (7)], que pour $\mu \in \mu_S$, on a

$$E_{Q_0, \text{unit}}^{Q'}(y, \Psi, \mu) = \sum_{s \in \mathbf{W}^{Q'}(\alpha_S, Q_0)} E^{Q_0}(y, \mathbf{M}(s, \mu)\Psi, \mu).$$

Rappelons que $\mathbf{W}^{Q'}(\alpha_S, Q_0)$ est l'ensemble des restrictions à $\alpha_S$ des $s \in \mathbf{W}^{Q'}$ tels que $s(\alpha_S) \supset \alpha_{Q_0}$ et que $s$ est de longueur minimale dans sa classe $\mathbf{W}^{Q_0}s$ (ce qui signifie que $s(S) \cap L_0$ est standard dans $L_0 = M_{Q_0}$). D'après [25, section 13.2 (6)], la fonction $E_{Q_0, \text{unit}}^{Q'}(y, \Psi, \mu)$ est lisse pour $\mu \in \mu_S$, il en est donc de même pour la fonction

$$E_{Q_0, +}^{Q'}(y, \Psi, \mu) = E_{Q_0}^{Q'}(y, \Psi, \mu) - E_{Q_0, \text{unit}}^{Q'}(y, \Psi, \mu).$$

**Proposition 13.2.1.** Soient $Z \in \mathcal{A}_G$ et $T_1 \in \alpha_0^{Q_0}$.

(i) Il existe un entier $N \in \mathbb{N}$ et un réel $c > 0$ tels que

$$|E_{Q_0}^{Q'}(xk, \Psi, \mu)| \leq c \delta_{P_0}(a)^{\frac{1}{2}} (1 + \|H\|)^N |s|^N$$

pour tout $H \in \mathcal{A}_{Q_0}^G(Z)$ tel que $\tau_{Q_0}^{Q'}(H) = 1$, tout $(a, s) \in \mathfrak{B}_{L_0} \times \mathfrak{G}^{L_0,*}$ tel que $x = as \in L_0(\mathbb{A}; H)$, tout $k \in \mathbf{K}$ et tout $\mu \in \mu_S$.

(ii) Il existe un entier $N \in \mathbb{N}$ et un réel $c > 0$ tels que

$$|E_{Q_0}^{Q'}(xk, \Psi, \mu)| \leq c \delta_{P_0}(x)^{\frac{1}{2}} (1 + \|X_{Q_0}\|)^N (1 + \|\mathbf{H}_0(s)\|)^N$$

pour tout $X \in \mathcal{A}_{P_0}^G(Z)$ tel que $\tau_{P_0}^{Q'}(X + T_1) = 1$, tout $(a, s) \in \mathfrak{B}_{L_0} \times \mathfrak{G}^{L_0,*}$ tel que $\mathbf{H}_0(x) = X$ avec $x = as$, tout $k \in \mathbf{K}$ et tout $\mu \in \mu_S$.

(iii) Il existe un entier $N \in \mathbb{N}$ et un réel $c > 0$ tels que

$$|E_{Q_0, \text{unit}}^{Q'}(xk, \Psi, \mu)| \leq c \delta_{P_0}(x)^{\frac{1}{2}} (1 + \|H\|)^N (1 + \|\mathbf{H}_0(s)\|)^N$$

pour tout $H \in \mathcal{A}_{Q_0}^G(Z)$, tout $(a, s) \in \mathfrak{B}_{L_0} \times \mathfrak{G}^{L_0,*}$ tel $x = as \in L_0(\mathbb{A}; H)$, tout $k \in \mathbf{K}$ et tout $\mu \in \mu_S$.
(iv) Il existe un réel $R > 0$, un entier $N > 0$ et un réel $c > 0$ tels que

$$|E_{Q_0,+}^{Q'}(xk, \Psi, \mu)| \le c \delta_{P_0}(x)^{\frac{1}{2}} (1 + \|X_{Q_0}\|)^N \times (1 + \|\mathbf{H}_0(s)\|)^N \sup_{\alpha \in \Delta_{Q_0}^{Q'} \setminus \Delta_{Q_0}^{Q_0}} e^{-R\langle\alpha, \mathbf{H}_0(x)\rangle}$$

pour tout $X \in A_{P_0}^G(Z)$ tel que $\tau_{P_0}^{Q'}(X + T_1) = 1$, tout $(a, s) \in \mathfrak{B}_{L_0} \times \mathfrak{G}^{L_0,*}$ tel que $\mathbf{H}_0(x) = X$ avec $x = as$, tout $k \in \mathbf{K}$ et tout $\mu \in \mu_S$.

*Démonstration.* On suit, pas à pas, celle de la proposition 13.2.1 de [25].

■

## 13.3 Simplication du terme constant

On a introduit dans la définition 12.5.2 des expressions $A^T(H)$ et $A^T$. On note

$$A_{\text{unit}}^{T} = \sum_{H \in \mathbb{C}_{Q_0}^{\mathcal{G}}} A_{\text{unit}}^{T}(H)$$

les expressions obtenues en remplaçant les fonctions $E_{Q_0}^{Q'}$ par $E_{Q_0, \text{unit}}^{Q'}$ et $E_{Q_0}^{Q'}$ par $E_{Q_0, \text{unit}}^{Q'}$ dans la définition de $A^T(H)$. Alors [25, lemme 13.3.1] est vrai ici :

**Proposition 13.3.1.** L'intégrale définissant $A_{\text{unit}}^T(H)$ et la somme définissant $A_{\text{unit}}^T$ sont absolument convergentes, et pour tout réel $r$, il existe $c > 0$ tel que

$$|A^T - A_{\text{unit}}^T| \le c \mathbf{d}_0(T)^{-r}.$$

*Démonstration.* Elle est identique à celle de loc. cit., à la simplification suivante près : la décomposition de l'opérateur $\mathbf{\Lambda} = \mathbf{\Lambda}^T[\mathbf{H}^Q]_{Q_0}$ en $(\mathbf{\Lambda} - \mathbf{C}) + \mathbf{C}$ conduit à la décomposition des expressions $A^T(H)$ et $A_{\text{unit}}^T(H)$ en

$$A^T(H) = A_{\mathbf{\Lambda}-\mathbf{C}}^T(H) + A_{\mathbf{C}}^T(H) \quad \text{et} \quad A_{\text{unit}}^T(H) = A_{\mathbf{\Lambda}-\mathbf{C}, \text{unit}}^T(H) + A_{\mathbf{C}, \text{unit}}^T(H).$$

Comme dans la preuve de la proposition 12.4.2, si $T$ est assez régulier, on a

$$A^T(H) = A_{\mathbf{C}}^T(H) \quad \text{et} \quad A_{\text{unit}}^T(H) = A_{\mathbf{C}, \text{unit}}^T(H).$$

Seules les expressions $A_{\mathbf{C}}^T(H)$ et $A_{\mathbf{C}, \text{unit}}^T(H)$ sont à comparer. Les assertions sont alors conséquence de la proposition 13.2.1. ■
## 13.4 Simplification du produit scalaire

On a défini en 4.1.5 un élément $T[[H^Q]]$ dans $\alpha_{P_0}^{Q_0}$. Pour $S \in \mathbb{P}_{\text{st}}^{Q'}$ et $H \in \mathcal{A}_{Q_0}$, considérons l'opérateur (introduit en section 5.3, mais avec ici $Q_0$ en place de $G$, et $T[[H^Q]]$ au lieu de $T$)

$$ \Omega_{S|\theta_0(S)}^{T,Q_0}(H; \lambda, \mu) = \sum_{S' \in \mathbb{P}_{\text{st}}^{Q_0}} \sum_{\substack{s \in \mathbf{W}^Q (\alpha_{\theta_0(S)}, \alpha_{S'}) \\ t \in \mathbf{W}^{Q'} (\alpha_S, \alpha_{S'})}} \varepsilon_{S'}^{Q_0, T[[H^Q]]_{S'}} (H; s\lambda - t\mu) \mathbf{M}(t, \mu)^{-1} \mathbf{M}(s, \lambda). $$

On a fixé des fonctions

$$ \Psi \in \mathcal{A}(X_S, \sigma) \quad \text{et} \quad \Phi \in \mathcal{A}(X_{\theta_0(S)}, \theta_0(\omega \otimes \sigma)), $$

et une fonction lisse $\vartheta$ sur $\mu_S$. Rappelons que l'on a introduit dans la définition 5.2.1 un opérateur de décalage $\mathbf{D}_v$. Pour $\mu, v \in \mu_S$ et $\lambda \in \mu_{\theta_0(S)}$, on pose

$$ \boldsymbol{\omega}^{T,Q_0}(H; \lambda, \mu; v) \stackrel{\text{déf}}{=} \langle \mathbf{D}_v \boldsymbol{\Omega}_{S,\theta_0(S)}^{T,Q_0}(H; \lambda, \mu) \Phi, \Psi \rangle_S, $$

c'est-à-dire

$$ \boldsymbol{\omega}^{T,Q_0}(H; \lambda, \mu; v) = \sum_{S' \in \mathbb{P}_{\text{st}}^{Q_0}} \sum_{\substack{s \in \mathbf{W}^Q (\alpha_{\theta_0(S)}, \alpha_{S'}) \\ t \in \mathbf{W}^{Q'} (\alpha_S, \alpha_{S'})}} \varepsilon_{S'}^{Q_0, T[[H^Q]]_{S'}} (H; s\lambda - t\mu) \\ \times \langle \mathbf{D}_v \mathbf{M}(t, \mu)^{-1} \mathbf{M}(s, \lambda) \Phi, \Psi \rangle_{S'}. $$

Avec les notations de la proposition 5.4.5, pour tout $\tilde{u} \in \mathbf{W}^{\tilde{G}}(\alpha_S, \alpha_S)$, on a

$$ \mathcal{E}(\theta_0(\omega_{AS}\xi), \xi) = \{v \in \mu_S \mid \tilde{u}(\omega_{AS}\xi) \star v|_{\mathcal{B}_M} = \xi\}. $$

Comme seule la restriction de $v$ à $\mathcal{B}_M$ intervient, s'il est non vide, cet ensemble est un espace homogène sous $\hat{\mathcal{C}}_M$.

**Définition 13.4.1.** Lorsque $\xi = \xi_\sigma$, on pose

$$ \mathcal{E}(\sigma) \stackrel{\text{déf}}{=} \{v \in \mu_S \mid \xi \tilde{u}(\omega \otimes \sigma) \star v|_{\mathcal{B}_M} = \xi_\sigma\} = \mathcal{E}(\theta_0(\omega_{AS}\xi_\sigma), \xi_\sigma). $$

**Lemme 13.4.2.** Pour que l'expression $\boldsymbol{\omega}^{T,Q_0}(H; \lambda, \mu; v)$ soit non nulle, il est nécessaire que $v$ appartienne à $\mathcal{E}(\sigma)$.

**Démonstration.** On a

$$ \mathbf{D}_v \mathbf{M}(t, \mu)^{-1} \mathbf{M}(s, \lambda) \Phi \in \mathcal{A}(X_S, \tilde{u}(\omega \otimes \sigma) \star v) \quad \text{et} \quad \Psi \in \mathcal{A}(X_S, \sigma). $$

Pour que l'expression $\boldsymbol{\omega}^{T,Q_0}(H; \lambda, \mu; v)$ soit non nulle, il est nécessaire que l'on ait

$$ \xi \tilde{u}(\omega \otimes \sigma) \star v|_{\mathcal{B}_M} = \xi_\sigma. \quad \blacksquare $$
**Définition 13.4.3.** On pose

$$[\omega]^{T,Q_0}(H; \lambda, \mu) = |\mathbb{C}_S|^{-1} \sum_{\nu \in \mathcal{E}(\sigma)} \omega^{T,Q_0}(H; \lambda, \mu + \nu; \nu)$$

avec $[\omega]^{T,Q_0}(H; \lambda, \mu) = 0$, si $\mathcal{E}(\sigma) = \emptyset$.

Avec les notations de la proposition 5.4.5 on a

$$[\omega]^{T,Q_0}(H; \lambda, \mu) = \langle [\Omega]_{S|\theta_0(S)}^{T,Q_0}(H, \xi, \xi'; \lambda, \mu)\Phi, \Psi \rangle_S,$$

mais avec $Q_0$ en place de $G$ et $T[[H^Q]]$ au lieu de $T$. D'après la section 5.4, cette expression est holomorphe en $\lambda$ et $\mu$. Pour $\lambda = \theta_0(\mu)$, on écrit

$$[\omega]^{T,Q_0}(H; \mu) = [\omega]^{T,Q_0}(H; \theta_0(\mu), \mu).$$

Observons que $[\omega]^{T,Q_0}(H; \mu)$ ne dépend que de l'image de $H$ dans $\mathbb{C}_{Q_0}^{\tilde{G}} = \mathbb{B}_{\tilde{G}} \setminus A_{Q_0}$.
On pose

$$A_{\text{pure}}^{T}(H) = \kappa^{\eta T} (H^{Q} - T_{Q_0}^{Q}) \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(H-T) \phi_{Q_0}^{Q}(H-T) \int_{\mu_S} [\omega]^{T,Q_0}(H; \mu) \vartheta(\mu) \, d\mu$$

et

$$A_{\text{pure}}^{T} = \sum_{H \in c_{Q_0}^{\tilde{G}}} A_{\text{pure}}^{T}(H).$$

**Proposition 13.4.4.** La série définissant $A_{\text{pure}}^T$ est convergente, et pour tout réel $r$, on a une majoration

$$|A_{\text{unit}}^{T} - A_{\text{pure}}^{T}| \ll e^{-rd_{0}(T)}.$$

*Démonstration.* La preuve suit, pas à pas, les arguments de [25, proposition 13.4.1]. Tout d'abord, on utilise [25, lemme 2.13.1] pour prouver la convergence de la série définissant $A_{\text{pure}}^T$. Puis, grâce au calcul approché du produit scalaire des séries d'Eisenstein tronquées donné par le théorème 5.4.4 (ii) et compte tenu de la proposition 5.4.5 pour le décalage en $\nu$, on montre qu'il existe un réel $c > 0$ pour lequel on a la majoration souhaitée. ■

**Corollaire 13.4.5.** Pour tout réel $r$, on a une majoration

$$|A^T - A_{\text{pure}}^T| \ll d_0(T)^{-r}.$$

*Démonstration.* On invoque de plus la proposition 13.3.1. ■
## 13.5 Décomposition plus fine

On va décomposer la somme sur $H \in \mathbb{C}_{Q_0}^{\tilde{G}}$ dans $A_{\text{pure}}^T$ en une somme sur $\mathbb{C}_Q^{\tilde{G}}$ précédée d'une somme sur $A_{Q_0}^Q$, grâce à la suite exacte courte

$$0 \to A_{Q_0}^Q \to \mathbb{C}_{Q_0}^{\tilde{G}} \to \mathbb{C}_Q^{\tilde{G}} \to 0.$$

Considérons $H \in \mathbb{C}_{Q_0}^{\tilde{G}}$, $Z \in \mathbb{C}_Q^{\tilde{G}}$ et $Y \in \mathbb{A}_{Q_0}^Q$ tels que

$$Z = H_Q \quad \text{et} \quad Y = T_{Q_0}^Q - H^Q, \quad \text{et donc} \quad H = Z + T_{Q_0}^Q - Y.$$

Puisque $\kappa^{\eta T}(-Y) = \kappa^{\eta T}(Y)$, on a

$$\kappa^{\eta T}(H^Q - T_{Q_0}^Q) \tilde{\sigma}_Q^R (H-T) \phi_{Q_0}^Q (H-T) = \kappa^{\eta T}(Y) \tilde{\sigma}_Q^R (Z - T_Q) \phi_{Q_0}^Q (-Y)$$

et

$$T[[H^Q]] = T[[T_{Q_0}^Q - Y]].$$

Lorsque $\phi_{Q_0}^Q(-Y) = 1$ on a $Y = X_{Q_0}$, où $X$ est de la forme

$$X = \sum_{\alpha \in \Delta_0^Q \setminus \Delta_{Q_0}^Q} x_{\alpha} \tilde{\alpha} \quad \text{avec} \quad x_{\alpha} \ge 0 \quad \text{pour} \quad \alpha \in \Delta_0^Q \setminus \Delta_{Q_0}^Q.$$

En d'autres termes, $X$ appartient au cône fermé $\mathscr{C}(Q, Q_0)$ de $\mathbb{A}_{Q_0}^Q$ engendré par les éléments $\tilde{\alpha}$ pour $\alpha \in \Delta_0^Q \setminus \Delta_{Q_0}^Q$. D'après [25, lemme 4.2.1], on a

$$T[[H^Q]] = T[[T_{Q_0}^Q - Y]] = T^{Q_0} - \sum_{\alpha \in \Delta_0^Q \setminus \Delta_{Q_0}^Q} x_{\alpha} \tilde{\alpha}^{Q_0} = (T - X)^{Q_0}.$$

Donc

$$H = H_Z^{T-X}, \quad \text{où l'on a posé} \quad H_Z^U \stackrel{\text{déf}}{=} Z + U_{Q_0}^Q.$$

L'application qui à $Y$ associe $X \in \mathscr{C}(Q, Q_0)$ est injective et on note

$$\mathscr{C}_F(Q, Q_0; T) \subset \mathscr{C}(Q, Q_0)$$

son image. On a ainsi transformé la somme sur $H \in \mathbb{C}_{Q_0}^{\tilde{G}}$ en une somme sur

$$(Z, X) \in \mathbb{C}_Q^{\tilde{G}} \times \mathscr{C}_F(Q, Q_0; T),$$

la fonction

$$\kappa^{\eta T}(H^Q - T_{Q_0}^Q) \tilde{\sigma}_Q^R (H-T) \phi_{Q_0}^Q (H-T) \quad \text{devenant} \quad \kappa^{\eta T}(X_{Q_0}) \tilde{\sigma}_Q^R (Z-T).$$
Pour $Z \in \mathcal{A}_Q$ et $X \in \mathcal{C}_F(Q, Q_0; T)$, on pose

$$ \omega^{T, Q_0}(Z, X; \lambda, \mu; \nu) \stackrel{\text{déf}}{=} \sum_{S' \in \mathcal{P}_{\text{st}}^{Q_0}} \sum_{s \in \mathbf{W}^Q(\lambda_{\theta_0(S)}, \alpha_{S'})} \sum_{t \in \mathbf{W}^{Q'}(\alpha_S, \alpha_{S'})} \varepsilon_{S'}^{Q_0, (T-X)S'} \\ \times (H_Z^{T-X}; s\lambda - t\mu) (\mathbf{M}(s, \lambda)\Phi, \mathbf{M}(t, \mu)\mathbf{D}_{-\nu}\Psi)_{S'}. $$

On a donc

$$ \omega^{T[[H^Q], Q_0]}(H_Z^{T-X}; \lambda, \mu; \nu) = \omega^{T, Q_0}(Z, X; \lambda, \mu; \nu). $$

En remplaçant la variable $t$ par $t'$ avec $t \in \mathbf{W}^{Q'}(\alpha_S, Q_0)$ et $t' \in \mathbf{W}^{Q_0}(t(\alpha_S), \alpha_{S'})$, et la variable $s$ par $t'^{-1}s \in \mathbf{W}^Q(\theta_0(\alpha_S), t(\alpha_S))$ cette expression peut s'écrire :

$$ \sum_{t \in \mathbf{W}^{Q'}(\alpha_S, Q_0)} \sum_{s \in \mathbf{W}^Q(\theta_0(\alpha_S), t(\alpha_S))} \sum_{S' \in \mathcal{P}_{\text{st}}^{Q_0}} \sum_{t' \in \mathbf{W}^{Q_0}(t(\alpha_S), \alpha_{S'})} \varepsilon_{S'}^{Q_0, (T-X)S'} \\ \times (H_Z^{T-X}; t'(s\lambda - t\mu)) (\mathbf{M}(t's, \lambda)\Phi, \mathbf{M}(t't, \mu)\mathbf{D}_{-\nu}\Psi)_{S'}. $$

Le sous-groupe parabolique $t(S)$ n'est en général pas standard mais il existe un unique sous-groupe parabolique standard $tS \subset Q_0$ tel que $M_{t(S)} = M_{tS}$. On pose $tM = M_{tS}$. Pour $S' \in \mathcal{P}_{\text{st}}^{Q_0}$ et $t' \in \mathbf{W}^{Q_0}(t(\alpha_S), \alpha_{S'})$, le sous-groupe parabolique $t'^{-1}(S')$ appartient à l'ensemble $\mathcal{P}^{Q_0}(tM)$ des $S'' \in \mathcal{P}^{Q_0}$ tels que $M_{S''} = tM$. On peut remplacer ci-dessus $S'$ par $S'' = t'^{-1}(S')$. Alors la double somme en $S'$ et $t'$ se transforme en une somme sur $S'' \in \mathcal{P}^{Q_0}(tM)$. Pour

$$ H' = t'^{-1}(H) $$

on a

$$ \varepsilon_{S'}^{Q_0, (T-X)S'}(H; t'(s\lambda - t\mu)) = \varepsilon_{S''}^{Q_0, [T-X]S''}(H'; s\lambda - t\mu), $$

et

$$ \langle \mathbf{M}(t's, \lambda)\Phi, \mathbf{M}(t't, \mu)\mathbf{D}_{-\nu}\Psi \rangle_{S'} $$

égale

$$ \langle \mathbf{M}(t', s\lambda)\mathbf{M}(s, \lambda)\Phi, \mathbf{M}(t', t\mu)\mathbf{M}(t, \mu)\mathbf{D}_{-\nu}\Psi \rangle_{S''}. $$

Notons que

$$ [T-X]_{S''} = t'^{-1}((T-X)_{S'}) \quad \text{et donc} \quad [T-X]_{S''}^{Q_0} = t'^{-1}((T-X)_{S'}^{Q_0}). $$

D'après [25, lemme 5.4.3 (3)], on a

$$ \mathbf{M}(t', t\mu)^{-1}\mathbf{M}(t', s\lambda) = e^{(s\lambda - t\mu, Y_{S''})} \mathbf{M}_{S'|S''}(t\mu)^{-1}\mathbf{M}_{S'|S''}(s\lambda) $$

avec $Y_{S''} = (T_0 - t'^{-1}(T_0))_{S''}$. En définitive, on obtient

$$ \omega^{T, Q_0}(Z, X; \lambda, \mu; \nu) = \sum_{t \in \mathbf{W}^{Q'}(\alpha_S, Q_0)} \sum_{s \in \mathbf{W}^Q(\theta_0(\alpha_S), t(\alpha_S))} \omega_{s,t}^{T, Q_0}(Z, X; \lambda, \mu; \nu) $$
avec

$$
\begin{align*}
\boldsymbol{\omega}_{s,t}^{T,Q_0}(Z, X; \lambda, \mu; \nu) &= \sum_{S'' \in \mathcal{P}Q_0(tM)} \varepsilon_{S''}^{Q_0, [T-X]_{S''}} (H_Z^{T-X}; s\lambda - t\mu) e^{(s\lambda - t\mu, Y_{S''})} \\
&\quad \times \langle \mathbf{M}_{S''|_t S}(s\lambda)\mathbf{M}(s, \lambda)\Phi, \mathbf{M}_{S''|_t S}(t\mu)\mathbf{M}(t, \mu)\mathbf{D}_{-\nu}\Psi \rangle_{S''}.
\end{align*}
$$

On doit intégrer en $\mu$ la fonction

$$
\boldsymbol{\omega}^{T,Q_0}(Z, X; \mu; \nu) \stackrel{\text{déf}}{=} \boldsymbol{\omega}^{T,Q_0}(Z, X; \theta_0(\mu), \mu + \nu; \nu),
$$

puis sommer en Z et X. Chaque expression $\omega_{s,t}^{T,Q_0}(Z, X; \lambda, \mu; \nu)$ est encore une
fonction lisse de $\lambda$ et $\mu$, et l'on pose

$$
\omega_{s,t}^{T,Q_0}(Z, X; \mu; \nu) \stackrel{\text{déf}}{=} \omega_{s,t}^{T,Q_0}(Z, X; \theta_0(\mu), \mu + \nu; \nu).
$$

L'expression $\omega_{s,t}^{T,Q_0}(Z, X; \lambda, \mu; \nu)$ ne dépend que de l'image de Z dans $\mathbb{C}^{\tilde{G}} = \mathbb{B}_{\tilde{G}} \setminus A_Q$.

Ces manipulations permettent d'écrire, au moins formellement, $A_{\text{pure}}^T$ comme une
somme indexée par des éléments $s$ et $t$ dans des ensembles de Weyl :

$$
A_{\text{pure}}^{T} = \sum_{t \in \mathbf{W}^{Q'}(a_S, Q_0)} \sum_{s \in \mathbf{W}^{Q}(\theta_0(a_S), t(a_S))} A_{s,t}^{T} \quad \text{où} \quad A_{s,t}^{T} = |\mathfrak{C}_S|^{-1} \sum_{\nu \in \mathcal{E}(\sigma)} A_{s,t,\nu}^{T}
$$

avec

$$
A_{s,t,\nu}^{T} = \sum_{Z \in \mathbb{C}_{Q}^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(Z-T) \left( \sum_{X \in \mathcal{C}_{F}(Q,Q_{0};T)} \kappa^{\eta T}(X_{Q_{0}}) \int_{\mu_{S}} \omega_{s,t}^{T,Q_{0}}(Z,X;\mu;\nu) \vartheta(\mu) \, d\mu \right).
$$

On peut montrer, en reprenant des arguments de [25, proposition 13.4.1], déjà
utilisés pour la preuve de la proposition 13.4.4, que l’expression converge (dans
l’ordre indiqué). Une autre preuve de la convergence de la série en Z résultera du
lemme 13.6.3 (A).

Nous aurons besoin d'une variante de l'expression $\omega_{s,t}^{T,Q_0}(Z, X; \lambda, \mu; \nu)$, où la sommation porte sur $\mathcal{P}^Q(tM)$, sans variable $X$, et où le sous-groupe parabolique $Q_0$ est remplacé par $\mathcal{Q}$. On pose pour $Z \in \mathcal{A}_\mathcal{Q}$ :

$$
\begin{align*}
\boldsymbol{\omega}_{s,t}^{T,Q}(Z; \lambda, \mu; \nu) ={}& \sum_{S'' \in \mathcal{P}^Q(tM)} \varepsilon_{S''}^{Q,[T]_{S''}}(Z; s\lambda - t\mu) e^{(s\lambda - t\mu, Y_{S''})} \\
& \times \langle \mathbf{M}_{S''|_t S}(s\lambda)\mathbf{M}(s, \lambda)\Phi, \mathbf{M}_{S''|_t S}(t\mu)\mathbf{M}(t, \mu)\mathbf{D}_{-\nu}\Psi \rangle_{S''}.
\end{align*}
$$

C'est une fonction lisse de $\lambda$ et $\mu$. On pose

$$
\omega_{s,t}^{T,Q}(Z; \mu; \nu) = \omega_{s,t}^{T,Q}(Z; \theta_0(\mu), \mu + \nu; \nu)
$$
et

$$[\omega]_{s,t}^{T,Q}(Z; \mu) = |\mathbb{C}_S|^{-1} \sum_{\nu \in \mathcal{E}(\sigma)} \omega_{s,t}^{T,Q}(Z; \mu; \nu).$$

Les expressions $\omega_{s,t}^{T,Q}(Z; \mu; \nu)$ ne dépendent que de l'image de $Z$ dans $\mathbb{C}_Q^{\tilde{G}} = \mathbb{B}_{\tilde{G}} \setminus A_Q$.

**Proposition 13.5.1.** On pose :

$$A_{s,t}^{T} = \sum_{Z \in \mathbb{C}_{Q}^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(Z-T) \int_{\mu_{S}} [\omega]_{s,t}^{T,Q}(Z; \mu) \vartheta(\mu) d\mu.$$

(i) L'expression $A_{s,t}^T$ est convergente dans l'ordre indiqué.

(ii) Pour tout réel $r$, on a une majoration $|A_{s,t}^T - A_{s,t}^T| \ll d_0(T)^{-r}$.

Cette proposition est l'analogue de [25, proposition 13.5.1], l'un des résultats les plus fins du livre. Sa démonstration occupera les deux sections suivantes.

## 13.6 Première étape

Considérons l'application

$$s\theta_0 - t : \mu_S \to \mu_{tS}.$$

On note $\chi_S$ son noyau et $\eta_{tS}$ son image, et l'on pose

$$\eta_S = \chi_S \setminus \mu_S, \quad \chi_{tS} = \eta_{tS} \setminus \mu_{tS}.$$

L'application ci-dessus se restreint en un isomorphisme $\iota : \eta_S \to \eta_{tS}$. La suite exacte courte de groupes abéliens compacts

$$0 \to \eta_{tS} \to \mu_{tS} \to \chi_{tS} \to 0$$

donne, par dualité de Pontryagin, une suite exacte courte de $\mathbb{Z}$-modules libres de type fini

$$0 \to \hat{\chi}_{tS} \to A_{tS} \to \hat{\eta}_{tS} \to 0.$$

En relevant dans $A_{tS}$ une $\mathbb{Z}$-base de $\hat{\eta}_{tS}$, on définit un morphisme section du morphisme $A_{tS} \to \hat{\eta}_{tS}$, ce qui fournit un isomorphisme entre $A_{tS}$ et le produit $\hat{\chi}_{tS} \times \hat{\eta}_{tS}$. Duagement, cela permet d'identifier $\mu_{tS}$ au produit $\chi_{tS} \times \eta_{tS}$ et donc d'écrire $\Lambda \in \mu_{tS}$ sous la forme

$$\Lambda = \Lambda_{\chi} + \Lambda_{\eta} \in \chi_{tS} \times \eta_{tS}$$
via cette identification (non canonique), et on identifie de même $\mu_S$ au produit $\chi_S \times \eta_S$. On définit un élément de $\mu_S$ en posant, pour $(\chi, \Lambda) \in \chi_S \times \mu_{tS}$,

$$ \mu(\chi, \Lambda) = \chi + \iota^{-1}(\Lambda_{\eta}). $$

L'application

$$ \chi_S \times \mu_{tS} \to \mu_S \times \chi_{tS}, \quad (\chi, \Lambda) \mapsto (\mu(\chi, \Lambda), \Lambda_{\chi}) $$

est bijective et on a la relation

$$ (13.5) \qquad \theta_0 \mu(\chi, \Lambda) = s^{-1}(t\mu(\chi, \Lambda) + \Lambda_{\eta}). $$

Posons

$$ \lambda(\chi, \Lambda) = s^{-1}(t\mu(\chi, \Lambda) + \Lambda). $$

Fixons $\nu \in \mu_S$. Rappelons que $tM = M_{tS}$ et $L = M_Q$. Pour $\chi \in \chi_S$, $\Lambda \in \mu_{tS}$ et $S'' \in \mathcal{P}^Q(tM)$, posons

$$ \mathbf{c}(\chi; \Lambda, S''; \nu) = \vartheta(\mu(\chi, \Lambda))\{\mathbf{M}_{S''|tS}(s\lambda(\chi, \Lambda))\mathbf{M}(s, \lambda(\chi, \Lambda))\Phi, \\ \mathbf{M}_{S''|tS}(t\mu(\chi, \Lambda) + \nu)\mathbf{M}(t, \mu(\chi, \Lambda) + \nu)\mathbf{D}_{-\nu}\Psi\}_{S''}. $$

Les expressions $\mathbf{c}(\chi; \Lambda, S''; \nu)$, considérées comme des fonctions de $\Lambda$ dépendant des paramètres $\chi$ et $\nu$, définissent une $(Q, tM)$-famille périodique $\mathbf{c}(\chi; \nu)$. On définit aussi une $(Q, tM)$-famille périodique $\mathbf{d}(\chi; \nu) = \mathbf{c}(\mathcal{Y}, \chi; \nu)$ par

$$ \mathbf{d}(\chi; \Lambda, S''; \nu) = e^{(\Lambda, Y_{S''})} \mathbf{c}(\chi; \Lambda, S''; \nu). $$

En se limitant aux $S'' \in \mathcal{P}^{Q_0}(tM)$, on obtient des $(Q_0, tM)$-familles périodiques. Pour $Z \in \mathcal{A}_Q$, resp. $H \in \mathcal{A}_{Q_0}$, et $X' \in \mathcal{a}_{0,Q}$, on leur associe les fonctions

$$ \mathbf{d}_{tM,F}^{Q,X'}(Z, \chi; \Lambda; \nu) = \sum_{S'' \in \mathcal{P}^Q(tM)} \varepsilon_{S''}^{Q,[X']_{S''}}(Z; \Lambda) \mathbf{d}(\chi; \Lambda, S''; \nu) $$

et

$$ \mathbf{d}_{tM,F}^{Q_0,X'}(H, \chi; \Lambda; \nu) = \sum_{S'' \in \mathcal{P}^{Q_0}(tM)} \varepsilon_{S''}^{Q_0,[X']_{S''}}(H; \Lambda) \mathbf{d}(\chi; \Lambda, S''; \nu). $$

Ces fonctions sont lisses en $\chi$ et $\Lambda$.

**Lemme 13.6.1.** Soient $Z \in \mathcal{C}_Q^G$, $\chi \in \chi_S$, $\Lambda \in \eta_{tS}$ et $X \in \mathcal{C}_F^+(Q, Q_0; T)$. On a les égalités suivantes :

$$ (i) \quad \omega_{s,t}^{T,Q_0}(Z, X; \mu(\chi, \Lambda); \nu) \vartheta(\mu(\chi, \Lambda)) = \mathbf{d}_{tM,F}^{Q_0, T-X}(H_Z^{T-X}, \chi; \Lambda; \nu) $$

$$ (ii) \quad \omega_{s,t}^{T,Q}(Z; \mu(\chi, \Lambda); \nu) \vartheta(\mu(\chi, \Lambda)) = \mathbf{d}_{tM,F}^{Q,T}(Z, \chi; \Lambda; \nu). $$
Démonstration. Rappelons que, par définition,

$$
\begin{align*}
\omega_{s,t}^{T,Q_0}(Z, X; \lambda, \mu; \nu) &= \sum_{S'' \in \mathcal{P}^{Q_0}(t, M)} \varepsilon_{S''}^{Q_0, [T-X]_{S''}} (H_Z^{T-X}; s\lambda - t\mu) e^{\langle Y_{S''}, s\lambda - t\mu \rangle} \\
&\qquad \times [\mathbf{M}_{S''|_t S}(s\lambda)\mathbf{M}(s, \lambda)\Phi, \mathbf{M}_{S''|_t S}(t\mu)\mathbf{M}(t, \mu)\mathbf{D}_{-\nu}\Psi]_{S''}.
\end{align*}
$$

Pour $Z \in \mathcal{A}_{Q_0}$ et $\Lambda \in \mu_S$ en position générale, on a

$$
\mathbf{d}_{t,M,F}^{Q,T-X}(H_Z^{T-X}, \chi; \Lambda; \nu) = \omega_{s,t}^{T,Q_0}(Z, X; \lambda(\chi, \Lambda), \mu(\chi, \Lambda) + \nu; \nu).
$$

Mais, d'après la relation (13.5) on a

$$
\lambda(\chi, \Lambda) = \theta_0 \mu(\chi, \Lambda) + s^{-1}(\Lambda \chi).
$$

On obtient (i) pour $\Lambda_\chi = 0$. La preuve de (ii) est similaire.

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

On munit $\chi_S$ et $\eta_{tS}$ des mesures de Haar telles que vol($\chi_S$) = 1 = vol($\eta_{tS}$). En posant, comme ci-dessus, $H_Z^{T-X} = Z + (T-X)_{Q_0}^Q$, l'expression $A_{s,t,v}^T$ se réécrit

$$
A_{s,t,v}^{T} = \sum_{Z \in \mathcal{C}_{Q}^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(Z-T) \sum_{X \in \mathcal{C}_{F}(Q, Q_{0}; T)} \kappa^{\eta^{T}}(X_{Q_{0}}) \\
\times \int_{\chi_{S}} \left( \int_{\eta_{t}S} \mathbf{d}_{tM,F}^{Q_{0},T-X}(H_{Z}^{T-X}, \chi; \Lambda; v) d\Lambda \right) d\chi.
$$

Pour $Z \in \mathcal{A}_Q$, $S'' \in \mathcal{P}^Q(tS)$, $V \in \mathcal{A}_{tS}$ et $X' \in \mathcal{A}_{0,\mathcal{Q}}$, on pose

$$
\hat{d}(\chi; V, S''; v) = \int_{\mu_{tS}} d(\chi; \Lambda, S''; v) e^{-\langle \Lambda, V \rangle} d\Lambda
$$

et

$$
\hat{d}_{t,M,F}^{Q,X'}(Z, \chi; V; v) = \int_{\mu_{tS}} d_{t,M,F}^{Q,X'}(Z, \chi; \Lambda; v) e^{-\langle \Lambda, V \rangle} d\Lambda.
$$

Pour $H \in \mathcal{A}_{Q_0}$, on définit de manière analogue $\hat{d}_{t,M,F}^{Q_0,X'}(H, \chi; V; v)$. Ces fonctions sont à décroissance rapide en $V$. Notons

$$
\mathcal{D}_{tS} \stackrel{\text{déf}}{=} \eta_{tS}^{\vee} \subset \mathcal{A}_{tS}
$$

l'annulateur de $\eta_{tS} (\subset \mu_{tS})$ dans $A_{tS}$.

**Lemme 13.6.2. On a**

$$
A_{s,t,v}^{T} = \sum_{Z \in \mathcal{C}_{Q}^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(Z-T) \sum_{X \in \mathcal{C}_{F}(Q, Q_{0}; T)} \kappa^{\eta^{T}}(X_{Q_{0}}) \int_{\chi_{S}} \sum_{V \in \mathcal{D}_{tS}} \hat{d}_{tM,F}^{Q_{0},T-X}(H_{Z}^{T-X}, \chi; V; v) d\chi.
$$
Démonstration. Il suffit d'observer que par inversion de Fourier on a

$$
\int_{\eta_{t,S}} \mathbf{d}_{t,M,F}^{Q_0, T-X}(H_Z^{T-X}, \chi; \Lambda; \nu) \mathrm{d}\Lambda = \sum_{V \in \mathcal{D}_{t,S}} \hat{\mathbf{d}}_{t,M,F}^{Q_0, T-X}(H_Z^{T-X}, \chi; V; \nu). \quad \blacksquare
$$

Il résultera du lemme 13.6.3 (qui est l’analogue de [25, lemme 13.6.3]) que cette
expression est absolument convergente.

**Lemme 13.6.3.** Fixons un réel $\rho > 0$, et considérons les cinq expressions :

$$
(A) \quad \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \sum_{X \in \mathcal{C}_F(Q, Q_0; T)} \int_{\mathcal{X}_S} \sum_{V \in \mathcal{D}_{t,S}} |\hat{\mathbf{d}}_{t,M,F}^{Q_0, T-X}(H_Z^{T-X}, \chi; V; \nu)| d\chi;
$$

$$
(B) \quad \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \sum_{X \in \mathcal{C}_F(Q, Q_0; T)} (1 - \kappa^{\eta T}(X_{Q_0})) \int_{\mathcal{X}_S} \sum_{V \in \mathcal{D}_{t,S}} |\hat{\mathbf{d}}_{t,M,F}^{Q_0, T-X}(H_Z^{T-X}, \chi; V; \nu)| d\chi;
$$

$$
(C) \quad \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \sum_{X \in \mathcal{C}_F(Q, Q_0; T)} \int_{\mathcal{X}_S} \sum_{V \in \mathcal{D}_{t,S}} (1 - \kappa^{\rho T}(V)) |\hat{\mathbf{d}}_{t,M,F}^{Q_0, T-X}(H_Z^{T-X}, \chi; V; \nu)| d\chi;
$$

$$
(D) \quad \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \int_{\mathcal{X}_S} \sum_{V \in \mathcal{D}_{t,S}} |\hat{\mathbf{d}}_{t,M,F}^{Q,T}(Z, \chi; V; \nu)| d\chi;
$$

$$
(E) \quad \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \int_{\mathcal{X}_S} \sum_{V \in \mathcal{D}_{t,S}} (1 - \kappa^{\rho T}(V)) |\hat{\mathbf{d}}_{t,M,F}^{Q,T}(Z, \chi; V; \nu)| d\chi.
$$

Alors on a :

(i) Les cinq expressions sont convergentes.

(ii) Pour tout réel r, l'expression (B) est essentiellement majorée par $\mathbf{d}_0(T)^{-r}$.

(iii) Il existe une constante absolue $\rho_0 > 0$ telle que si $\rho > \rho_0$, alors pour tout réel r, les expressions (C) et (E) sont essentiellement majorées par $\mathbf{d}_0(T)^{-r}$.

Admettons provisoirement ce lemme prouvé au paragraphe suivant. D'après le
lemme 1.5.1, pour chaque $\chi \in \chi_S$ (le paramètre $\nu$ étant fixé), il existe une fonction à
décroissance rapide

$$
\varphi = \varphi(\chi; \nu) : \mathcal{U} \mapsto \varphi(\mathcal{U}) = \varphi(\chi; \mathcal{U}; \nu)
$$

sur $\mathcal{H}_{Q,tM}$ telle que $c(\chi; \nu) = c_\varphi$. Rappelons que $c(\chi; \nu)$ est la $(Q, tM)$-famille
périodique définie par

$$
\begin{align*}
c(\chi; \Lambda, S''; \nu) &= \vartheta(\chi, \Lambda) \langle \mathbf{M}_{S''|t,S} (s\lambda(\chi, \Lambda)) \mathbf{M}(s, \lambda(\chi, \Lambda)) \Phi, \\
&\qquad \mathbf{M}_{S''|t,S} (t\mu(\chi, \Lambda) + \nu) \mathbf{M}(t, \mu(\chi, \Lambda) + \nu) \mathbf{D}_{-\nu} \Psi \rangle_{S''}
\end{align*}
$$
et que l'on a posé

$$ \mathbf{d}(\chi; \nu) = c(\mathfrak{Y}, \chi; \nu). $$

Pour $H \in \mathcal{A}_{Q_0}$ et $X' \in a_{0,Q}$, on a donc

$$ \mathbf{d}_{t,M,F}^{Q_0,X'}(H, \chi; \Lambda; \nu) = \sum_{u \in \mathcal{H}_{Q_0,t,M}} \varphi(u - \mathfrak{Y}) \gamma_{t,M,F}^{Q_0,X'}(H, u; \Lambda) $$

avec

$$ \gamma_{t,M,F}^{Q_0,X'}(H, u; \Lambda) = \sum_{H' \in \mathcal{A}_{t,M}^{Q_0}(H+U_{Q_0})} \Gamma_{t,M}^{Q_0}(H', u(X')) e^{\langle \Lambda, H' \rangle}. $$

Pour $Z \in \mathcal{A}_Q$ et $X \in \mathcal{C}_F^+(Q, Q_0; T)$, on obtient

$$ \mathbf{d}_{t,M,F}^{Q_0,T-X}(H_Z^{T-X}, \chi; \Lambda; \nu) = \sum_{u \in \mathcal{H}_{Q_0,t,M}} \varphi(u - \mathfrak{Y}) \gamma_{t,M,F}^{Q_0,T-X}(H_Z^{T-X}, u; \Lambda). $$

On a aussi

$$ \mathbf{d}_{t,M,F}^{Q,T}(Z, \chi; \Lambda; \nu) = \sum_{u \in \mathcal{H}_{Q,t,M}} \varphi(u - \mathfrak{Y}) \gamma_{t,M,F}^{Q,T}(Z, u; \Lambda). $$

On introduit, comme ci-dessus, des transformées de Fourier inverses

$$ V \mapsto \hat{\gamma}_{t,M,F}^{Q_0,X'}(H, u; V) \quad \text{et} \quad V \mapsto \hat{\gamma}_{t,M,F}^{Q_0,X'}(Z, u; V), $$

le paramètre $V$ variant dans $\mathcal{A}_{t,M}$. Par inversion de Fourier, on a

$$ \hat{\gamma}_{t,M,F}^{Q,X'}(Z, u; V) = \begin{cases} \Gamma_{t,M}^{Q}(V, u(X')) & \text{si } Z + U_Q = V_Q, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases} $$

On en déduit que

$$ \hat{\mathbf{d}}_{t,M,F}^{Q_0,T-X}(H_Z^{T-X}, \chi; V; \nu) = \sum_{\substack{u \in \mathcal{H}_{Q_0,t,M} \\ H_Z^{T-X} + U_{Q_0} = V_{Q_0}}} \varphi(\chi; u - \mathfrak{Y}; \nu) \Gamma_{t,M}^{Q_0}(V, u(T-X)) $$

et

$$ \hat{\mathbf{d}}_{t,M,F}^{Q,T}(Z, \chi; V; \nu) = \sum_{\substack{u \in \mathcal{H}_{Q,t,M} \\ Z+U_Q=V_Q}} \varphi(\chi; u - \mathfrak{Y}; \nu) \Gamma_{t,M}^{Q}(V, u(T)). $$

Fixons un réel $\rho > \rho_0$ comme dans le point (iii) et posons

$$ E_1^T = \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \int_{\mathcal{X}_S} \sum_{V \in \mathcal{D}_{t,S}} \kappa^{\rho T}(V) \sum_{X \in \mathcal{C}_F(Q, Q_0; T)} \hat{\mathbf{d}}_{t,M,F}^{Q_0,T-X}(H_Z^{T-X}, \chi; V; \nu) d\chi. $$
D'après le lemme 13.6.2 et les assertions du lemme 13.6.3 concernant les expressions (A), (B) et (C), l'expression $E_1^T$ est absolument convergente, et pour tout réel $r$, on a une majoration

$$|A_{s,t,v}^T - E_1^T| \ll d_0(T)^{-r}.$$

Notons $\mathcal{R}_{tS}^+$ l'ensemble des racines de $A_{tM}$ qui sont positives pour le sous-groupe parabolique standard $tS$. Pour tout $S'' \in \mathcal{P}^{Q_0}(tM)$, notons $a(S'')$ le nombre d'élément de $(-\Delta_{S''}) \cap \mathcal{R}_{tS}^+$ – ou encore de $(-\Delta_{S''}^{Q_0}) \cap \mathcal{R}_{tS}^+$ – et

$$\mathcal{C}^{Q_0}(S'') \subset \alpha_{tM}^{Q_0}$$

le cône formé des

$$\left( \sum_{\alpha \in \Delta_{S''}^{Q_0} \cap \mathcal{R}_{tS}^{+}} x_{\alpha \check{\alpha}} \right) + \left( \sum_{\alpha \in (-\Delta_{S''}^{Q_0}) \cap \mathcal{R}_{tS}^{+}} y_{\alpha \check{\alpha}} \right),$$

pour des $x_\alpha \ge 0$ et des $y_\alpha > 0$. Pour $Y \in \alpha_{tM}^{Q_0} + \mathcal{A}_{Q_0}$, on pose

$$\mathcal{C}_F^{Q_0}(Y; S'') = (Y + \mathcal{C}^{Q_0}(S'')) \cap A_{tM} \subset \mathcal{A}_{tM}^{Q_0}(Y_{Q_0}).$$

Notons que pour $H \in \mathcal{A}_{tM}$, on a

$$\mathcal{C}_F^{Q_0}(H + Y; S'') = H + \mathcal{C}_F^{Q_0}(Y; S'').$$

En remplaçant les exposants $Q_0$ par $Q$, on définit de la même manière

$$\mathcal{C}^Q(S'') \subset \alpha_{tM}^Q \quad \text{et} \quad \mathcal{C}_F^Q(Y; S'') \subset A_{tM}.$$

**Lemme 13.6.4.** Pour $Z \in \mathcal{A}_Q$, $\chi \in \chi_S$, $V \in \alpha_{tM}$ et $X \in \mathcal{C}_F(Q, Q_0; T)$, on a

$$\hat{d}_{tM,F}^{Q_0,T-X}(H_Z^{T-X}, \chi; V; v) = \sum_{S'' \in \mathcal{P}^{Q_0}(tM)} (-1)^{a(S'')} \sum_{V_1 \in \mathcal{C}_F^{Q_0}(-H_{Z,S''}^{T-X}; S'')} \hat{d}(\chi; V + V_1, S''; v)$$

avec

$$H_{Z,S''}^{T-X} \stackrel{\text{déf}}{=} Z + [T - X]_{S''}^{Q}.$$

*Démonstration.* On rappelle que $H_Z^{T-X} = Z + (T - X)_{Q_0}^Q \in \mathcal{A}_{Q_0}$. On a

$$\hat{d}_{tM,F}^{Q_0,T-X}(H_Z^{T-X}, \chi; V; v) = \sum_{u \in \mathcal{H}_{Q_0,tM}} \varphi(\chi; u - \mathfrak{Y}; v) \hat{\gamma}_{tM,F}^{Q_0,T-X}(H_Z^{T-X}, u; V)$$

avec

$$\hat{\gamma}_{tM,F}^{Q_0,T-X}(H_Z^{T-X}, u; V) = \begin{cases} \Gamma_{tM}^{Q_0}(V, u(T-X)) & \text{si } H_Z^{T-X} + U_{Q_0} = V_{Q_0}, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}$$
Le lemme 1.6.1 nous dit que

$$
\Gamma_{tM}^{Q_0}(V, \mathfrak{u}(T-X)) = \sum_{S'' \in \mathcal{P}^{Q_0}(tM)} (-1)^{a(S'')} \mathbf{1}_{\mathcal{C}^{Q_0}(S'')}(([T-X]_{S''} + U_{S''} - V)^{Q_0}),
$$

où $\mathbf{1}_{\mathcal{C}^{Q_0}(S'')}$ est la fonction caractéristique du cône $\mathcal{C}^{Q_0}(S'')$. On obtient

$$
\hat{\gamma}_{tM,F}^{Q_0, T-X}(H_Z^{T-X}, \mathfrak{u}; V) = \sum_{S'' \in \mathcal{P}^{Q_0}(tM)} (-1)^{a(S'')} \\
\times \begin{cases} \mathbf{1}_{\mathcal{C}^{Q_0}(S'')}(([T-X]_{S''} + U_{S''})^{Q_0} - V) & \text{si } H_Z^{T-X} + U_{Q_0} = V_{Q_0}, \\ 0 & \text{sinon,} \end{cases}
$$

soit encore

$$
\hat{\gamma}_{tM,F}^{Q_0,T-X}(H_Z^{T-X}, \mathfrak{u}; V) = \sum_{S'' \in \mathcal{P}^{Q_0}(tM)} (-1)^{a(S'')} \mathbf{1}_{\mathcal{C}^{Q_0}(S'')}(Y)
$$

avec

$$
Y = Z + (T - X)^{Q_0}_{Q_0} + [T - X]^{Q_0}_{S''} + U_{S''} - V = H^{T-X}_{Z,S''} + U_{S''} - V.
$$

La condition $Y \in \mathcal{C}^{Q_0}(S'')$ équivaut à

$$
U_{S''} \in V + \mathcal{C}_F^{Q_0} (-H_{Z,S''}^{T-X}; S'')
$$

et implique que $U_{Q_0} = V_{Q_0} - H$. D'autre part on a, par définition,

$$
\mathbf{d}(\chi; \Lambda, S''; \nu) = \sum_{\mathfrak{u} \in \mathcal{H}_{Q_0, t} M} \varphi(\chi; \mathfrak{u} - \mathfrak{Y}; \nu) e^{(\Lambda, U_{S''})},
$$

et donc, par inversion de Fourier,

$$
\hat{\mathbf{d}}(\chi; V, S''; \nu) = \sum_{\substack{\mathfrak{u} \in \mathcal{H}_{Q_0, t} M \\ U_{S''} = V}} \varphi(\chi; \mathfrak{u} - \mathfrak{Y}; \nu).
$$

Par conséquent, on a

$$
\sum_{\mathfrak{u} \in \mathcal{H}_{Q_0, t} M} \varphi(\chi; \mathfrak{u} - \mathfrak{Y}; \nu) \mathbf{1}_{V + \mathcal{C}_F^{Q_0}(-H_{Z,S''}^{T-X}; S'')} (U_{S''}) = \sum_{V_1 \in \mathcal{C}_F^{Q_0}(-H_{Z,S''}^{T-X}; S'')} \hat{\mathbf{d}}(\chi; V + V_1; \nu),
$$

ce qui prouve le lemme.

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

D'après le lemme 13.6.4, la somme sur $X$ dans l'expression $E_1^T$ devient

$$
(13.6) \quad \sum_{S'' \in \mathcal{P}^{Q_0}(tM)} (-1)^{a(S'')} \sum_{X \in \mathcal{C}_F(Q_0, Q; T)} \left( \sum_{V_1 \in \mathcal{C}_F^{Q_0}(-H_{Z,S''}^{T-X}; S'')} \hat{\mathbf{d}}(\chi; V + V_1, S''; \nu) \right).
$$

L'expression (13.6) est bien absolument convergente.
**Lemme 13.6.5.** Pour $Z \in \mathcal{A}_Q$, $\chi \in \chi_S$ et $V \in \mathcal{D}_{t,S}$

$$
\hat{d}_{t,M,F}^{Q,T}(Z, \chi; V; \nu) \sum_{S'' \in \mathcal{P}Q(t,M)} (-1)^{a(S'')} \sum_{V_2 \in \mathcal{E}_F^Q(-H_{Z,S''}^T; S'')} \hat{d}(\chi; V + V_2, S''; \nu)
$$

avec $H_{Z,S''}^T \stackrel{\text{déf}}{=} Z + [T]_{S''}^Q$.

Démonstration. Elle est identique à celle du lemme 13.6.4.

■

Pour $S'' \in \mathcal{P}Q_0(tM)$, il résulte des définitions que l'application

$$
\mathcal{C}(Q, Q_0) \times \mathcal{C}^{Q_0}(S'') \to \alpha_{tM}^{Q_0} \quad \text{définie par} \quad (X, V_1) \mapsto [X]_{S''}^{Q_0} + V_1
$$

est injective et a pour image le cône $\mathcal{C}^Q(S'')$. Pour $X \in \mathcal{C}_F(Q, Q_0; T)$, tout élément $V_1 \in \mathcal{C}_F^{Q_0}(-H_{Z,S''}^{T-X}; S'')$ s'écrit

$$
V_1 = -H_{Z,S''}^{T-X} + V_1^* = -H_{Z,S''}^{T} + V_2^*
$$

avec $V_1^* \in \mathcal{C}^{Q_0}(S'')$ et $V_2^* = [X]_{S''}^Q + V_1^* \in \mathcal{C}^Q(S'')$. Par définition, $V_1$ appartient
à $\mathcal{C}_F^Q(-H_{Z,S''}^T; S'')$. Réciproquement, tout élément $V_2 \in \mathcal{C}_F^Q(-H_{Z,S''}^T; S'')$ s'écrit

$$
V_2 = -H_{Z,S''}^T + [X]_{S''}^Q + V_1^* = -H_{Z,S''}^{T-X} + V_1^*
$$

avec $X \in \mathcal{C}(Q, Q_0)$ et $V_1^* \in \mathcal{C}^{Q_0}(S'')$. Donc $V_2$ appartient à $\mathcal{C}_F^{Q_0}(-H_{Z,S''}^{T-X}; S'')$, et comme

$$
(V_2)_{Q_0} = -Z - (T - X)_{Q_0}^{Q} = -H_{Z}^{T-X},
$$

par définition, $X$ appartient à $\mathcal{C}_F(Q, Q_0; T)$. L'expression (13.6) se réécrit donc

$$
\sum_{S'' \in \mathcal{P}Q_0(tM)} (-1)^{a(S'')} \sum_{V_2 \in \mathcal{E}_F^Q(-H_{Z,S''}^T; S'')} \hat{d}(\chi; V + V_2, S''; \nu),
$$

soit encore, d'après le lemme 13.6.5,

$$
\hat{d}_{t,M,F}^{Q,T}(Z, \chi; V; \nu) - \sum_{S'' \in \mathcal{P}Q(tM) \setminus \mathcal{P}Q_0(tM)} (-1)^{a(S'')} \sum_{V_2 \in \mathcal{E}_F^Q(-H_{Z,S''}^T; S'')} \hat{d}(\chi; V + V_2, S''; \nu).
$$

On en déduit l'égalité

$$
(13.7) \qquad E_1^T = E_2^T - E_3^T,
$$

où

$$
E_2^T = \sum_{Z \in \mathcal{E}_Q^G} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \int_{\chi_S} \sum_{V \in \mathcal{D}_{t,S}} \kappa^{\rho T}(V) \hat{d}_{t,M,F}^{Q,T}(Z, \chi; V; \nu) d\chi
$$
et

$$
E_3^T = \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \int_{\mathcal{X}_S} \sum_{V \in \mathcal{D}_{tS}} \kappa^{\rho T}(V) \\
\times \sum_{S'' \in \mathcal{P}^Q(tM) \setminus \mathcal{P}^{Q_0}(tM)} (-1)^{a(S'')} \sum_{V_2 \in \mathcal{C}_F^Q(-H_{Z,S''}^T; S'')} \hat{d}(\chi; V+V_2, S''; \nu).
$$

La décomposition (13.7) est justifiée, car l’expression $E_2^T$ est absolument convergente d’après le lemme 13.6.3 (D), et donc $E_3^T$ est convergente, au moins dans l’ordre indiqué.

**Lemme 13.6.6.** *Pour $S'' \in \mathcal{P}^Q(tM) \setminus \mathcal{P}^{Q_0}(tM)$, posons*

$$
E_{S''}^{T} = \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \int_{\mathcal{X}_S} \sum_{V \in \mathcal{D}_{tS}} \kappa^{\rho T}(V) \sum_{V_2 \in \mathcal{C}_F^Q(-H_{Z,S''}^T; S'')} |\hat{d}(\chi; V+V_2, S''; \nu)| d\chi.
$$

Pour tout réel $r$, on a une majoration de la forme $E_{S''}^T \ll d_0(T)^{-r}$.

Admettons ce lemme (qui sera lui aussi prouvé dans le paragraphe suivant), et
posons

$$
E_4^T = \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \int_{\mathcal{X}_S} \sum_{V \in \mathcal{D}_{tS}} \hat{d}_{tM,F}^{Q,T}(Z, \chi; V; \nu) d\chi.
$$

L'expression $E_4^T$ est absolument convergente et, d'après l'assertion (iii) du
lemme 13.6.3, concernant l'expression (E), pour tout réel $r$, on a

$$
|E_2^T - E_4^T| \ll d_0(T)^{-r}.
$$

Par inversion de Fourier de la somme sur $V$ dans $E_4^T$, on a

$$
E_4^T = \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \int_{\mathcal{X}_S} \left( \int_{\mathcal{H}_{tS}} \mathbf{d}_{tM,F}^{Q,T}(Z, \chi; \Lambda; \nu) d\Lambda \right) d\chi
$$

avec (d’après le lemme 13.6.1 (ii))

$$
\mathbf{d}_{tM,F}^{Q,T}(Z, \chi; \Lambda; \nu) = \omega_{s,t}^{T,Q}(Z; \mu(\chi, \Lambda); \nu) \vartheta(\mu(\chi, \Lambda)).
$$

L'expression $E_4^T$ est convergente dans l'ordre indiqué. On peut regrouper les intégrales en $\chi$ et $\Lambda$ grâce au changement de variables $(\chi, \Lambda) \mapsto \mu(\chi, \Lambda)$. On obtient

$$
E_4^T = A_{s,t,v}^T \stackrel{\text{déf}}{=} \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \int_{\mu_S} \omega_{s,t}^{T,Q}(Z; \mu; v) \vartheta(\mu) d\mu.
$$
On a prouvé que pour tout réel $r$, on a

$$|A_{s,t,v}^T - A_{s,t,v}^T| \ll d_0(T)^{-r},$$

ce qui achève la preuve de la proposition 13.5.1, modulo les majorations des lemmes 13.6.3 et 13.6.6, qui seront établies dans la section suivante.

## 13.7 Fin de la preuve

Avant d'attaquer la démonstration proprement dite des lemmes 13.6.3 et 13.6.6, on établit une variante du lemme 1.6.12. Soit $Z \in \mathcal{A}_Q$. Pour $P' \in \mathcal{F}^Q(M)$, $U \in \mathcal{A}_{P'}$ et $X \in \mathcal{A}_{P'}$, considérons l'expression

$$\gamma_{P',F}^{Q,U}(Z; X, \Lambda) \stackrel{\text{déf}}{=} \sum_{H \in \mathcal{A}_{P'}^Q(Z)} \Gamma_{P'}^Q(H - X, U) e^{\langle \Lambda, H \rangle}.$$

Puisque la somme sur $H$ est finie, c'est une fonction entière en $\Lambda$. Pour $V \in \mathcal{A}_{P'}$, sa transformée de Fourier inverse

$$\hat{\gamma}_{P',F}^{Q,U}(Z; X, V) = \int_{\mathcal{H}_{P'}} \gamma_{P',F}^{Q,U}(Z; X, \Lambda) e^{-\langle \Lambda, V \rangle} d\Lambda$$

est donnée par

$$\hat{\gamma}_{P',F}^{Q,U}(Z; X, V) = \begin{cases} \Gamma_{P'}^Q(V - X, U) & \text{si } Z = V_Q, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}$$

Soit $e$ une $(Q, \ell M)$-famille périodique donnée par une fonction à décroissance rapide $m$ sur $\mathcal{H}_{Q, \ell M}$. La fonction

$$e_{P',F}^Q(Z; X, \Lambda) = \sum_{U \in \mathcal{H}_{Q, \ell M}} m(U) \hat{\gamma}_{P',F}^{Q,U_P'}(Z + U_Q; X, \Lambda)$$

est lisse en $\Lambda$. Pour $V \in \mathcal{A}_{P'}$, on définit comme ci-dessus les transformées de Fourier inverses $\hat{e}_{P',F}^Q(Z; X, V)$ et $\hat{e}(V, P')$. Ce sont des fonctions à décroissance rapide en $V \in \mathcal{A}_{P'}$.

**Lemme 13.7.1.** Pour $V \in \mathcal{A}_{P'}$, on a

$$\hat{e}_{P',F}^Q(Z; X, V) = \sum_{U \in \mathcal{A}_{P'}^Q(V_Q-Z)} \hat{e}(U, P') \Gamma_{P'}^Q(V - X, U).$$

De plus pour tout réel $r$, il existe une constante $c > 0$ telle que

$$|\hat{e}_{P',F}^Q(Z; X, V)| \le c(1 + \|V - Z - X^Q\|)^{-r}.$$
Démonstration. On a

$$
\hat{e}_{P',F}^{Q}(Z; X, V) = \sum_{\substack{\mathfrak{U} \in \mathcal{H}_{Q,tM} \\ Z+U_Q=V_Q}} m(\mathfrak{U}) \Gamma_{P'}^{Q}(V-X, U_{P'})
$$

avec, pour $U \in \mathcal{A}_{P'}$,

$$
\sum_{\substack{\mathfrak{U} \in \mathcal{H}_{Q,tM} \\ U_{P'} = U}} m(\mathfrak{U}) = \int_{\mathbf{\mu}_{P'}} \mathbf{e}(\Lambda, P') e^{-\langle \Lambda, U \rangle} d\Lambda = \hat{\mathbf{e}}(U, P').
$$

D'où la première assertion du lemme. Quant à la majoration, pour $V$, $U \in \mathcal{A}_{P'}$ tels que $\Gamma_{P'}^Q(V-X, U)$, on a $\|(V-X)^Q\| \ll \|U^Q\|$. Si de plus $Z + U_Q = V_Q$, alors puisque $V-Z-X^Q = U_Q + (V-X)^Q$, on a

$$
\|V - Z - X^Q\| \ll \|U_Q\| + \|(V - X)^Q\| \ll \|U\|.
$$

On obtient que pour tout réel $r > 1$, l'expression

$$
|\hat{e}_{P',F}^{Q}(Z; X, V)|(1 + \|V - Z - X^{Q}\|)^{r}
$$

est essentiellement majorée par

$$
\sum_{U \in \mathcal{A}_{P'}^{Q}(V_Q - Z)} \hat{e}(U, P') |(1 + \|U\|)^r .
$$

Cette somme converge car $\hat{e}(U, P')$ est à décroissance rapide en $U$.

■

Démonstration du lemme 13.6.3. On reprend en l'adaptant celle de [25, lemme 13.6.3].
Commençons par l'expression (D). D'après le lemme 1.6.12, pour $V \in \mathcal{A}_{tM}$, on a

$$
\hat{d}_{tM,F}^{Q,T}(Z, \chi; V; \nu) = \sum_{\substack{\mathfrak{U} \in \mathcal{H}_{Q,tM} \\ Z+U_Q=V_Q}} \varphi(\chi; \mathfrak{U} - \mathfrak{Y}; \nu) \Gamma_{tM}^{Q}(V, \mathfrak{U}(T))
$$

avec (d’après [25, lemme 1.8.6])

$$
\Gamma_{tM}^{Q}(V, \mathfrak{U}(T)) = \sum_{P' \in \mathcal{F}^{Q}(tM)} \Gamma_{tM}^{P'}(V, \mathfrak{T}) \Gamma_{P'}^{Q}(V_{P'} - [T]_{P'}, U_{P'}).
$$

On obtient

$$
\hat{d}_{tM,F}^{Q,T}(Z, \chi; V; \nu) = \sum_{P' \in \mathcal{F}^Q(tM)} \Gamma_{tM}^{P'}(V, \mathfrak{T}) \hat{d}_{P',F}^Q(Z, \chi; [T]_{P'}, V_{P'}; \nu)
$$
avec, pour $X \in \alpha_{P'}$ et $V' \in \mathcal{A}_{P'}$,

$$ \hat{d}_{P',F}^{Q}(Z, \chi; X, V'; \nu) \stackrel{\text{déf}}{=} \sum_{\substack{U \in \mathcal{H}_{Q, t, M} \\ U_Q = V'_Q - Z}} \varphi(\chi; U - \mathfrak{Y}; \nu) \Gamma_{P'}^{Q}(V' - X, U_{P'}), $$

soit encore (d'après le lemme 13.7.1),

$$ \hat{d}_{P',F}^{Q}(Z, \chi; X, V'; \nu) = \sum_{U \in \mathcal{A}_{P'}^{Q}(V'_{Q}-Z)} \hat{d}(\chi; U, P'; \nu) \Gamma_{P'}^{Q}(V' - X, U). $$

L'expression (D) est donc majorée par

$$ \sum_{P' \in \mathcal{F}^Q(tM)} I_{(D)}^T(P') $$

avec<fnref n="1" />

$$ I_{(D)}^{T}(P') = \sum_{Z \in \mathcal{C}_{Q}^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(Z-T) \int_{\mathcal{X}S} \sum_{V \in \mathcal{D}_{tS}} \Gamma_{tM}^{P'}(V^{P'}, \mathfrak{F}) |\hat{d}_{P',F}^{Q}(Z, \chi; [T]_{P'}, V_{P'}; \nu)| d\chi. $$

Fixons un $P' \in \mathcal{F}^Q(tM)$. L'élément $T$ étant fixé, d'après [25, corollaire 1.8.5], il existe une constante $c > 0$ telle que pour tout $V \in \alpha_{tS}$ tel que $\Gamma_{tM}^{P'}(V^{P'}, \mathfrak{F}) \neq 0$, on ait $\|V^{P'}\| \leq c$. Pour $X \in \alpha_{P'}$, la fonction $\hat{d}_{P',F}^{Q}(Z, \chi; X, V'; \nu)$ est à décroissance rapide en $V' \in \mathcal{A}_{P'}$, uniformément en $\chi$, par conséquent l'expression

$$ \int_{\mathcal{X}S} \sum_{V \in \mathcal{D}_{tS}} \Gamma_{tM}^{P'}(V^{P'}, \mathfrak{F}) |\hat{d}_{P',F}^{Q}(Z, \chi; [T]_{P'}, V_{P'}; \nu)| d\chi $$

est convergente et, en posant

$$ \phi(Z, X, V') \stackrel{\text{déf}}{=} \int_{\mathcal{X}S} |\hat{d}_{P',F}^{Q}(Z, \chi; X, V'; \nu)| d\chi, $$

on a

$$ I_{(D)}^{T}(P') = \sum_{Z \in \mathcal{C}_{Q}^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(Z-T) \sum_{V \in \mathcal{D}_{tS}} \Gamma_{tM}^{P'}(V^{P'}, \mathfrak{F}) \phi(Z, [T]_{P'}, V_{P'}). $$

Le groupe $\mathcal{D}_{tS}$ est par définition l'annulateur de

$$ \eta_{tS} = (s\theta_0 - t)\mu_S \subset \mu_{tS} $$

<footnote n="1">¹Rappelons que puisque l'élément $T$ est régulier, la famille orthogonale $\mathfrak{F}$ est régulière, et d'après [25, proposition 1.8.7], la fonction $H \mapsto \Gamma_{tM}^{P'}(H, \mathfrak{F})$ est la fonction caractéristique d'un ensemble qui se projette sur un compact convexe de $\alpha_{tM}^{P'}$.</footnote>
dans $\mathcal{A}_{tS}$. On a donc

$$ \mathcal{D}_{tS} = \ker (\theta_0^{-1}s^{-1}(1-w\theta_0) : \mathcal{A}_{tS} \to \mathcal{A}_S) \quad \text{avec} \quad w = s\theta_0(t)^{-1}, $$

soit encore,

$$ \mathcal{D}_{tS} = \ker (1 - w\theta_0 : \mathcal{A}_{tS} \to \mathcal{A}_{tS}). $$

Posons

$$ \delta_{tS} = \ker (1 - w\theta_0 : \alpha_{tS} \to \alpha_{\theta_0(tS)}) \quad \text{et} \quad \delta_{P'} = \delta_{tS} \cap \alpha_{P'}. $$

Soit $e_{P'}$ l'orthogonal de $\delta_{P'}$ dans $\alpha_{P'}$. On note $V' \mapsto V'_d$, resp. $V' \mapsto V'_e$, la projection orthogonale de $\alpha_{P'} = \delta_{P'} \oplus e_{P'}$ sur $\delta_{P'}$, resp. $e_{P'}$. Posons

$$ \delta_{tS}^{(P')} = \delta_{tS} \cap (\alpha_{tS}^{P'} \oplus e_{P'}). $$

On a la décomposition

$$ (13.8) \qquad \delta_{tS} = \delta_{P'} \oplus \delta_{tS}^{(P')} $$

et la projection $\alpha_{tS} \to \alpha_{tS}^{P'}$, $V \mapsto VP'$ est injective sur $\delta_{tS}^{(P')}$. Posons

$$ \mathcal{D}_{P'} \stackrel{\text{déf}}{=} \mathcal{D}_{tS} \cap \alpha_{P'} = \mathcal{A}_{tS} \cap \delta_{P'}, $$

et notons $\mathcal{D}_{tS}^{\flat}$ et $\mathcal{D}_{tS}^{(P')}$ les projections orthogonales de $\mathcal{D}_{tS}$ sur $\delta_{tS}$ et $\delta_{tS}^{(P')}$ pour la décomposition (13.8). On a l'inclusion $\mathcal{D}_{P'} \subset \mathcal{D}_{tS}^{\flat}$ (avec égalité si $P' = tS$), et la suite exacte courte

$$ (13.9) \qquad 0 \to \mathcal{D}_{P'} \to \mathcal{D}_{tS} \to \mathcal{D}_{tS}^{(P')} \to 0. $$

On décompose la somme $\sum_{V \in \mathcal{D}_{tS}}$ en une double somme

$$ \sum_{V_1 \in \mathcal{D}_{tS}^{(P')}} \sum_{V \in \mathcal{D}_{P'}(V_1)}, $$

où $\mathcal{D}_{P'}(V_1) \subset \mathcal{D}_{tS}$ est la fibre au-dessus de $V_1$ pour la suite exacte courte (13.9). L'expression $I_{(D)}^T(P')$ se réécrit

$$ I_{(D)}^T(P') = \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q^G} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \sum_{V_1 \in \mathcal{D}_{tS}^{(P')}} \Gamma_{tM}^{P'}(V_1^{P'}, \mathfrak{F}) \phi_e(Z, [T]_{P'}, V_1) $$

avec

$$ \phi_e(Z, X, V_1) \stackrel{\text{déf}}{=} \sum_{V \in \mathcal{D}_{P'}(V_1)} \phi(Z, X, V_{P'}). $$
On a

$$
\phi_e(Z, X, V_1) \ll \phi_e^b(Z, X) \stackrel{\text{déf}}{=} \sum_{V' \in \mathcal{D}_{P'}^b} \phi(Z, X, V').
$$

Observons que

$$
\phi(Z, X, V') = \phi(0, X - Z', V' - Z'),
$$

où $Z'$ est un relèvement de $Z$ dans $\mathcal{A}_{P'}$. On en déduit que les fonctions $\phi_e(Z, X, V_1)$ et $\phi_e^b(Z, X)$ ne dépendent que $Z_e$ et qu'elles sont à décroissance rapide en $Z_e$. D'autre part, puisque la projection $V \mapsto V^{P'}$ est injective sur $\mathcal{D}_{tS}^{(P')}$, la somme

$$
\sum_{V_1 \in \mathcal{D}_{tS}^{(P')}} \Gamma_{tM}^{P'} (V_1^{P'}, \mathfrak{T})
$$

est finie. D'où la majoration

$$
I_{(D)}^{T}(P') \ll \sum_{Z \in \mathcal{C}_{Q}^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(Z-T) \phi_{e}^{b}(Z, [T]_{P'}).
$$

D'après [25, section 13.6 (10), page 202], on a l'inclusion

$$
(13.10) \qquad \mathfrak{d}_{tS} \subset \ker(q_Q),
$$

où $q_Q : \alpha_0 \to \alpha_Q^{\tilde{G}}$ est l'application définie en section 2.3. Rappelons que cette ap-
plication est légèrement différente de celle de [25, section 2.13] (au lieu de projeter
sur $\alpha_Q^G$, on projette ici sur $\alpha_Q^{\tilde{G}}$). L'inclusion (13.10) entraîne l'analogue de la majoration
[25, section 13.6 (10), page 202] :

$$
(13.11) \qquad \|(Z - T_Q)^{\tilde{G}}\| \ll \|(Z - T_Q)_e\| \quad \text{pour tout } Z \in \alpha_Q \text{ tel que } \tilde{\sigma}_Q^R(Z - T) = 1.
$$

On en déduit que $\|Z^{\tilde{G}}\| \ll 1 + \|Z_e\|$ pour tout $Z \in \mathcal{A}_Q$ tel que $\tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) = 1$. Cela entraîne la convergence de $I_{(D)}^T(P')$ et achève la preuve de la convergence de (D).

Considérons maintenant l'expression (E). On voit comme ci-dessus qu'elle est majorée par

$$
\sum_{P' \in \mathcal{F}^Q} I_{(E)}^T(P')
$$

avec

$$
I_{(E)}^{T}(P') = \sum_{Z \in \mathcal{C}_{Q}^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(Z-T) \sum_{V \in \mathcal{D}_{tS}} (1 - \kappa^{\rho T}(V)) \Gamma_{tM}^{P'}(V^{P'}, \mathfrak{T}) \phi(Z, [T]_{P'}, V_{P'}),
$$
soit encore,

$$
I_{(E)}^{T}(P') = \sum_{Z \in \mathcal{C}_{Q}^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(Z-T) \sum_{V_{1} \in \mathcal{D}_{I}^{(P')}} \Gamma_{I M}^{P'}(V_{1}^{P'}, \mathfrak{T}) \\
\times \sum_{V \in \mathcal{D}_{P'}(V_{1})} (1 - \kappa^{\rho T}(V)) \phi(Z, [T]_{P'}, V_{P'}).
$$

Fixons $\rho' > 0$, pour l'instant arbitraire. Pour alléger l'écriture, posons

$$
Z_T \stackrel{\text{déf}}{=} Z - T_Q \in \alpha_Q.
$$

Observons que

$$
\tilde{\sigma}_Q^R(Z - T) = \tilde{\sigma}_Q^R(Z_T) = \tilde{\sigma}_Q^R(Z_T^{\tilde{G}}).
$$

On majore $I_{(E)}^T(P')$ par

$$
I_{(E), \ge}^{T}(P') + I_{(E), <}^{T}(P'),
$$

où $I_{(E),\ge}^T(P')$, resp. $I_{(E),<}^T(P')$, est l'expression obtenue en remplaçant la fonction $\tilde{\sigma}_Q^R(Z-T)$ par $\tilde{\sigma}_Q^R(Z_T)(1-\kappa^{\rho'T}(Z_T))$, resp. $\tilde{\sigma}_Q^R(Z_T)\kappa^{\rho'T}(Z_T)$, dans $I_{(E)}^T(P')$. On commence par majorer $I_{(E),\ge}^T(P')$. On peut choisir $\rho'' > 0$ tel que $(1-\kappa^{\rho'T}(Z_T)) = 1$ (c'est-à-dire $\|Z_T\| > \rho'\|T\|$) implique $\|Z_T^{\tilde{G}}\| > \rho''\|T\|$. Alors on a

$$
I_{(E), \ge}^{T}(P') \ll \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_Q^R(Z_T^{\tilde{G}})(1 - \kappa^{\rho''T}(Z_T^{\tilde{G}})) \sum_{V_1 \in \mathcal{D}_{I}^{(P')}} \Gamma_{I M}^{P'}(V_1^{P'}, \mathfrak{T}) \phi_e(Z, [T]_{P'}, V_1).
$$

Pour tout $V \in \mathcal{D}_{P'}(V_1)$ la projection orthogonale $V_{P',e}$ de $V_{P'}$ sur $e_{P'}$ ne dépend que
de $V_1$, et on la note $V_{1,e}$. D'après le lemme 13.7.1, pour tout réel $r$ on a une majoration

$$
(13.12) \quad \phi_e(Z, X, V_1) \ll (1 + \|V_{1,e} - Z_{T,e} - X_e\|)^{-r},
$$

où la constante implicite est absolue, c'est-à-dire ne dépend d'aucune variable. La
constante implicite dans la majoration (13.11) est elle aussi absolue. Comme dans la
preuve de [25, lemme 13.6.3]<fnref n="2" /> on montre que l'on peut choisir $\rho''$ tel que la condition

$$
\tilde{\sigma}_Q^R(Z_T^{\tilde{G}})(1 - \kappa^{\rho''T}(Z_T^{\tilde{G}}))\Gamma_{tM}^{P'}(V^{P'}, \mathfrak{T}) = 1
$$

entraîne une majoration

$$
\| Z_T^{\tilde{G}} \| \ll \| V_{1,e} - Z_{T,e} - [T]_{P',e} \|.
$$

<footnote n="2"><sup>2</sup>Voir toutefois les errata Err (xix) et Err (xx) de l'annexe.</footnote>
Pour tout réel $r$ on a donc une majoration

$$I_{(E), \ge}^{T}(P') \ll \sum_{Z \in e_{Q}^{\tilde{G}}} (1 - \kappa^{\rho''T}(Z_{T}^{\tilde{G}}))(1 + \|Z_{T}^{\tilde{G}}\|)^{-r} \sum_{V_{1} \in \mathcal{D}_{tS}^{(P')}} \Gamma_{tM}^{P'}(V_{1}^{P'}, \mathfrak{F}).$$

La somme en $V_1$ est essentiellement majorée par $\|T\|^D$ pour un certain entier $D$, et la somme en $Z$ est essentiellement majorée par $\|T\|^{-r}$. D'où la majoration

$$I_{(E), \ge}^{T}(P') \ll d_{0}(T)^{-r}.$$

Traitons maintenant $I_{(E),>}^{T}(P')$. Grâce à la suite exacte courte

$$(13.13) \qquad 0 \to \mathcal{D}_{tS}^{P'} \stackrel{\text{déf}}{=} \mathcal{D}_{tS} \cap \mathfrak{d}_{tS}^{(P')} \to \mathcal{D}_{tS} \to \mathcal{D}_{tS}^{\mathfrak{b}} \to 0,$$

on peut décomposer la somme $\sum_{V \in \mathcal{D}_{tS}}$ en une double somme

$$\sum_{V' \in \mathcal{D}_{tS}^{\mathfrak{b}}} \sum_{V \in \mathcal{D}_{tS}^{P'}(V')} ,$$

où $\mathcal{D}_{tS}^{P'}(V')$ est la fibre au-dessus de $V'$ dans $\mathcal{D}_{tS}$ pour la suite exacte courte (13.13). On a donc

$$I_{(E),<}^{T}(P') = \sum_{Z \in e_{Q}^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(Z-T) \kappa^{\rho'T}(Z_{T}) \sum_{V' \in \mathcal{D}_{P'}^{\mathfrak{b}}} \phi(Z, [T]_{P'}, V') \\ \times \sum_{V \in \mathcal{D}_{tS}^{P'}(V')} (1 - \kappa^{\rho T}(V)) \Gamma_{tM}^{P'}(V^{P'}, \mathfrak{F}).$$

Comme dans la preuve de [25, lemme 13.6.3], il existe une constante $c_1 > 0$ telle que pour tout $V \in \mathcal{D}_{tS}$ tel que $\Gamma_{tM}^{P'}(V^{P'}, \mathfrak{F}) = 1$, on ait la majoration $\|V_1\| \le c_1\|T\|$, où $V_1 = V - V_d$ est l'image de $V$ dans $\mathcal{D}_{tS}^{(P')}$. Si $\rho > c_1$, en ajoutant la condition $(1 - \kappa^{\rho T}(V)) = 1$ c'est-à-dire $\rho\|T\| < \|V\|$, on obtient $\|V_d\| > (\rho - c_1)\|T\|$ c'est-à-dire $(1 - \kappa^{(\rho-c_1)T}(V_d)) = 1$. En particulier $V_d \neq 0$ et l'espace $\mathfrak{d}_{P'}$ n'est pas nul. Il existe $c_2 > 0$ tel que la condition $\kappa^{\rho'T}(Z_T) = 1$ c'est-à-dire $\|Z_T\| \le \rho'\|T\|$ entraîne $\|Z_{T,d} + [T]_{P',d}\| \le c_2\|T\|$. En prenant $\rho > c_1 + c_2$, on obtient que la condition

$$\kappa^{\rho'T}(Z_T)(1 - \kappa^{\rho T}(V))\Gamma_{tM}^{P'}(V^{P'}, \mathfrak{F}) = 1$$

entraîne l'inégalité

$$\|V_d - Z_{T,d} - [T]_{P',d}\| \ge (\rho - (c_1 + c_2))\|T\| > \left(1 - \frac{c_2}{\rho - c_1}\right)\|V_d\|.$$
Grâce au lemme 13.7.1, on en déduit que pour tout réel $r$ l’expression $I_{(E),<}^T(P')$ est essentiellement majorée par

$$ \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q^{\tilde{G}}} \kappa^{\rho'T} (Z_T^{\tilde{G}}) \sum_{V' \in \mathcal{D}_{tS}^b} (1 + \|V'\|)^{-r} (1 - \kappa^{(\rho-c_1)T}(V')) \sum_{V_1 \in \mathcal{D}_{tS}^{(P')}} \Gamma_{tM}^{P'}(V_1^{P'}, \mathfrak{T}). $$

Les sommes en $Z$ et en $V_1$ sont essentiellement majorées par $\|T\|^D$ pour un entier $D$ convenable, et pour tout réel $r$ la somme sur $V'$ est essentiellement majorée par $\|T\|^{-r}$. D'où une majoration

$$ I_{(E),<}^T(P') \ll d_0(T)^{-r}, $$

qui, jointe à la majoration $I_{(E),\ge}^T(P') \ll d_0(T)^{-r}$, assure la convergence de l'expression (E) et l'assertion de (iii), la concernant.

Considérons maintenant l’expression (A). Comme pour (D), on obtient qu’elle est essentiellement majorée par

$$ \sum_{P' \in \mathcal{F}Q_0(tM)} I_{(A)}^T(P') $$

avec

$$ I_{(A)}^T(P') = \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \sum_{X \in \mathcal{C}_F(Q, Q_0; T)} \times \sum_{V \in \mathcal{D}_{tS}} |\Gamma_{tM}^{P'}(V^{P'}, \mathfrak{T} - \mathcal{X})| \psi(H_Z^{T-X}, [T-X]_{P'}, V_{P'}) $$

et

$$ \psi(H, Y, V') \stackrel{\text{déf}}{=} \int_{\chi_S} |\hat{d}_{P',F}^{Q_0}(H, \chi; Y, V'; \nu)| d\chi. $$

Ici $\mathfrak{T} - \mathcal{X}$ est la famille orthogonale $([T - X]_{P'})$. Elle est rationnelle si $T \in \alpha_{0,\mathbb{Q}}$. Fixons un $P' \in \mathcal{F}Q_0(tM)$. Rappelons que $e_{P'}$ est l'orthogonal de $\delta_{P'} = \delta_{tS} \cap \alpha_{P'}$ dans $\alpha_{P'}$, et qu'on a noté $V' \mapsto V'_e$ la projection orthogonale de $\alpha_{P'} = \delta_{P'} \oplus e_{P'}$ sur $e_{P'}$. Comme pour (D), l'expression $I_{(A)}^T(P')$ se réécrit

$$ I_{(A)}^T(P') = \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \sum_{X \in \mathcal{C}_F(Q, Q_0; T)} \times \sum_{V_1 \in \mathcal{D}_{tS}^{(P')}} |\Gamma_{tM}^{P'}(V_1^{P'}, \mathfrak{T} - \mathcal{X})| \psi_e(H_Z^{T-X}, [T-X]_{P'}, V_1) $$

avec

$$ \psi_e(H, Y, V_1) \stackrel{\text{déf}}{=} \sum_{V \in \mathcal{D}_{P'}(V_1)} \psi(H, Y, V_{P'}). $$
D'après le lemme 13.7.1, pour tout réel $r$ on a une majoration

$$ \psi_e(H, Y, V_1) \ll (1 + \|V_{1,e} - (H + Y^{Q_0})_e\|)^{-r}. $$

Pour $H = H_Z^{T-X} = Z + (T - X)_{Q_0}^Q$ et $Y = [T - X]_{P'}$, on a

$$ H + Y^{Q_0} = Z + [T - X]_{P'}^Q = Z_{T-X} + [T - X]_{P'} $$

avec $Z_{T-X} = Z - (T - X)_Q$. Comme $X$ appartient à $C_F(Q, Q_0; T) \subset \alpha_0^Q$, on a $Z_{T-X} = Z_T$. Notons $\delta_{Q_0}^b \subset \alpha_{Q_0}$ l'image de $\delta_{T,S}$ par la projection $V \mapsto V_{Q_0}$, et soit $\mathfrak{h}$ l'orthogonal de $\delta_{Q_0}^b$ dans $\alpha_{Q_0}$. Puisque

$$ \delta_{Q_0} = \delta_{P'} \cap \alpha_{Q_0} \subset \delta_{Q_0}^b, $$

on a l'inclusion $\mathfrak{h} \subset e_{P'}$. Notons $\mathfrak{h}^{\perp}$ l'orthogonal de $\mathfrak{h}$ dans $e_{P'}$, et $V \mapsto V_h = V_{P',h}$ la projection orthogonale de

$$ \alpha_0 = \alpha_0^{P'} \oplus \delta_{P'} \oplus \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^{\perp} $$

sur $\mathfrak{h}$. Pour $V \in \delta_{T,S}$, on a $V_h = 0$. D'autre part puisque la projection $V \mapsto V_h$ se factorise à travers $V \mapsto V_{Q_0}$, on a $[T - X]_{P',h} = (T - X)_h = T_h - X_h$. Pour tout réel $r$, on obtient une majoration

$$ \psi_e(H_Z^{T-X}, [T - X]_{P'}, V_1) \ll (1 + \|Z_{T,h} + T_h - X_h\|)^{-r}. $$

Or d'après [25, section 13.6 (13), page 204], pour tout $Z \in C_Q^{\tilde{G}}$ tel que $\tilde{\sigma}_Q^R(Z_T) = 1$ et tout $X \in C(Q, Q_0)$, on a une majoration

$$ (13.14) \qquad \|Z_T^{\tilde{G}}\| + \|X\| \ll \|Z_{T,h} + T_h - X_h\|. $$

Comme $\|Z^{\tilde{G}}\| \ll 1 + \|Z_T^{\tilde{G}}\|$ (la constante implicite dépendant de $T$), pour tout réel $r$ on obtient une majoration

$$ I_{(A)}^{T}(P') \ll \sum_{Z \in C_Q^{\tilde{G}}} \sum_{X \in C_F(Q, Q_0; T)} (1 + \|Z^{\tilde{G}}\| + \|X\|)^{-r} \sum_{V_1 \in \mathcal{D}_{T,S}^{(P')}} |\Gamma_{T,M}^{P'}(V_1^{P'}, \mathfrak{z} - \mathfrak{x})|. $$

Puisque l'application $V_1 \mapsto V_1^{P'}$ est injective, la somme en $V_1$ est essentiellement majorée par

$$ \|T\|^D + (1 + \|X\\|)^D $$

pour un entier $D$ convenable. On en déduit que pour tout réel $r$, on a une majoration

$$ (13.15) \qquad I_{(A)}^{T}(P') \ll \sum_{Z \in C_Q^{\tilde{G}}} \sum_{X \in C_F(Q, Q_0; T)} \|T\|^D (1 + \|Z^{\tilde{G}}\|)^{-r} (1 + \|X\|)^{-r}. $$
Cela prouve la convergence de l'expression (A).

Quant aux deux expressions restantes ((B) et (C)), leur convergence se déduit des raisonnements précédents comme dans la preuve du lemme 13.6.3 de [25]. Idem, pour la majoration du point (ii) de l'énoncé. Cela achève la preuve du lemme 13.6.3. ■

**Démonstration du lemme 13.6.6.** Le sous-groupe parabolique

$$S'' \in \mathcal{P}^Q(tM) \setminus \mathcal{P}^{Q_0}(tM)$$

étant fixé, on considère la transformée de Fourier inverse

$$V \mapsto \hat{d}(\chi; V, S''; \nu).$$

C'est une fonction à décroissance rapide en $V \in A_{tM}$, uniformément en $\chi$. Par conséquent la fonction

$$V \mapsto \xi(V) = \int_{\chi_S} |\hat{d}(\chi; V, S''; \nu)| d\chi$$

sur $A_{tM}$ est encore à décroissance rapide, et on a une majoration

$$(13.16) \quad E_{S''}^T \ll \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \sum_{V \in \mathcal{D}_t S} \kappa^{\rho T}(V) \sum_{V_2 \in \mathcal{C}_F^Q(-H_{Z,S''}^T; S'')} \xi(V+V_2).$$

Rappelons que pour $Y \in \alpha_{tM}^Q + A_Q$, on a posé

$$\mathcal{C}_F^Q(Y; S'') = (Y + \mathcal{C}^Q(S'')) \cap A_{tM} \subset A_{tM}^Q(Y_Q).$$

On note $\mathcal{C}^Q(S'')_{Q_0}$ et $\mathcal{C}_F^Q(Y; S'')_{Q_0}$ les images (projections orthogonales) de $\mathcal{C}^Q(S'')$ et $\mathcal{C}_F^Q(Y; S'')$ dans $\alpha_{Q_0}$. Par définition $\mathcal{C}^Q(S'')_{Q_0}$ est un sous-ensemble de $\alpha_{Q_0}^Q$, $Y_{Q_0}$ appartient à $\alpha_{Q_0}^Q + A_Q$, et on a les inclusions

$$\mathcal{C}_F^Q(Y; S'')_{Q_0} \subset (Y_{Q_0} + \mathcal{C}^Q(S'')_{Q_0}) \cap A_{Q_0} \subset A_{Q_0}^Q(Y_Q).$$

Pour $X \in \mathcal{C}_F^Q(Y; S'')_{Q_0}$, on note $\mathcal{C}_F^Q(Y; S'')_{\tilde{X}}^{Q_0} \subset \mathcal{C}_F^Q(Y; S'')$ la fibre au-dessus de $X$. Cette fibre est contenue dans $A_{tM}^{Q_0}(X)$. On peut donc décomposer la somme $\sum_{V_2 \in \mathcal{C}_F^Q(-H_{Z,S''}^T; S'')}$ en une double somme

$$\sum_{X \in \mathcal{C}_F^Q(-H_{Z,S''}^T; S'')_{Q_0}} \sum_{V_2 \in \mathcal{C}_F^Q(-H_{Z,S''}^T; S'')_{\tilde{X}}^{Q_0}},$$

puis majorer brutalement la seconde somme par $\sum_{V_2 \in A_{tM}^{Q_0}(X)}$. On obtient

$$(13.17) \quad E_{S''}^T \ll \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \sum_{V \in \mathcal{D}_t S} \kappa^{\rho T}(V) \sum_{X \in \mathcal{C}_F^Q(-H_{Z,S''}^T; S'')_{Q_0}} \bar{\xi}(V_{Q_0} + X),$$
avec, pour $\bar{V} \in \mathcal{A}_{Q_0}$,

$$ \bar{\xi}(\bar{V}) = \sum_{V_2 \in \mathcal{A}_{\bar{M}}^{Q_0}(\bar{V})} \xi(V). $$

La fonction $\bar{\xi}$ est à décroissance rapide en $\bar{V} \in \mathcal{A}_{Q_0}$.

Notons $\mathfrak{k}$ le noyau de l'application $q_Q : \alpha_0 \to \alpha_Q^{\tilde{G}}$ définie en section 2.3, et $\mathfrak{k}_t$ sa projection sur $\alpha_t S$ ou ce qui revient au même (puisque $\alpha_0^{t'S} \subset \alpha_0^{Q_0} \subset \mathfrak{k}$) son intersection avec cet espace. On note $\mathfrak{f}$ l'orthogonal de $\mathfrak{k}_t$ dans $\alpha_t S$. Puisque $\mathfrak{f} = \mathfrak{k}_t \oplus \alpha_0^{t'S}$, c'est aussi l'orthogonal de $\mathfrak{f}$ dans $\alpha_0$. C'est donc un sous-espace de $\alpha_{Q_0}$. Pour $V \in \alpha_t S = \mathfrak{k}_t \oplus \mathfrak{f}$, on note $V_f = V_{Q_0, f}$ la projection orthogonale de $V$ sur $\mathfrak{f}$. D'après l'inclusion (13.10), on a $\mathfrak{d}_{t,S} \subset \mathfrak{k}_t$, par conséquent $V_f = 0$ pour tout $V \in \mathfrak{d}_{t,S}$. D'après (13.17), pour tout réel $r$, on obtient une majoration

$$ (13.18) \quad E_{S''}^T \ll \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_Q^R(Z_T) \sum_{V \in \mathcal{D}_t S} \kappa^{\rho T}(V) \sum_{X \in \mathcal{C}_F^Q(-H_{Z,S''}^T; S'')} (1 + \|X_f\|)^{-r}. $$

La somme sur $V$ est essentiellement majorée par $\|T\|^D$ pour un $D$ convenable. L'élément $H_{Z,S''}^T$ est par définition égal à $Z + [T]_{S''}^{Q} = Z_T + [T]_{S''}$. Tout élément $X \in \mathcal{C}_F^Q(-H_{Z,S''}^T; S'')_{Q_0}$ s'écrit $X = -H_{Z,S''}^T + X'$ avec $X' \in \mathcal{C}_F^Q(S'')_{Q_0}$, et l'on a

$$ X_f = -Z_{T,f} - T_f + X'_f. $$

D'après [25, section 13.7 (4), page 208], pour $Z \in \mathcal{A}_Q$ tel que $\tilde{\sigma}_Q^R(Z_T) = 1$ et $X' \in \mathcal{C}_F^Q(S'')_{Q_0}$, on a une majoration absolue

$$ \|T\| + \|Z_T^{\tilde{G}}\| + \|X'\| \ll 1 + \|-Z_{T,f} - T_f + X'_f\|. $$

On en déduit que pour $Z \in \mathcal{A}_Q$ tel que $\tilde{\sigma}_Q^R(Z_T) = 1$ et $X \in \mathcal{C}_F^Q(-H_{Z,S''}^T; S'')_{Q_0}$, on a une majoration absolue

$$ \|T\| + \|Z^{\tilde{G}}\| + \|X\| \ll 1 + \|X_f\|. $$

D'après (13.18), pour tout réel $r$, on obtient une majoration

$$ (13.19) \quad E_{S''}^T \ll \|T\|^{D-r} \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q^{\tilde{G}}} (1 + \|Z^{\tilde{G}}\|)^{-r} \sum_{X \in \mathcal{C}_F^Q(-H_{Z,S''}^T; S'')_{Q_0}} (1 + \|X\|)^{-r}. $$

Ceci est essentiellement majoré par $\mathbf{d}_0(T)^{-r}$, ce qui démontre le lemme.

<figure><img src="image_28.png" /></figure>
## 13.8 Élargissement des sommations

D'après [25, lemme 13.8.1], on a l'inclusion

$$ (13.20) \qquad \mathbf{W}^{Q'}(\alpha_S, Q_0) \subset \mathbf{W}^G(\alpha_S, Q). $$

On relâche les hypothèses sur $Q$ et $R$: on suppose seulement $P_0 \subset Q \subset R$ et on abandonne l'hypothèse $\tilde{\eta}(Q, R) \neq 0$. Pour $t \in W^G(\alpha_S, Q)$, on pose

$$ \tilde{\eta}(Q, R; t) = \sum_{\tilde{P}} (-1)^{a_{\tilde{P}} - a_{\tilde{G}}}, $$

où la somme porte sur l'ensemble des $\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}$ tels que $Q \subset P \subset R$ et $t \in W^P$. Cet ensemble peut être vide. S'il est non vide, alors il existe deux espaces paraboliques standards $\tilde{P}_1 \subset \tilde{P}_2$ tel que ce soit l'ensemble des $\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}$ vérifiant $\tilde{P}_1 \subset \tilde{P} \subset \tilde{P}_2$ (on a alors $P_2 = R^-$). On en déduit que $\tilde{\eta}(Q, R; t) \neq 0$ si et seulement s'il existe un unique $\tilde{P} \in \tilde{\mathcal{P}}_{\text{st}}$ tel que $Q \subset P \subset R$ et $t \in W^P$, auquel cas on a

$$ \tilde{\eta}(Q, R; t) = (-1)^{a_{\tilde{P}} - a_{\tilde{G}}}. $$

Rappelons que pour $P' \in \mathcal{F}^Q(tM)$ et $w = s\theta_0(t)^{-1}$ on a posé :

$$ \delta_{tS} = \ker (1 - w\theta_0 : \alpha_{tS} \to \alpha_{\theta_0(tS)}). $$

Rappelons aussi que pour $V \in \alpha_{P'} = \delta_{P'} \oplus e_{P'}$, on a noté $V_e$ la projection orthogonale de $V$ sur $e_{P'}$.

**Lemme 13.8.1.** On suppose $\tilde{\eta}(Q, R; t) \neq 0$. Soient $Z \in \mathcal{A}_Q$ et $V \in \mathcal{D}_{tS}$ tels que

$$ \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(Z - T) \Gamma_{tM}^{P'}(V^{P'}, \mathfrak{F}) = 1. $$

Alors,

$$ (i) \quad \|(Z - T_Q)^{\tilde{G}}\| \ll 1 + \|V_{P',e} - (Z - T_Q)_e - [T]_{P',e}\|; $$

$$ (ii) \quad \text{et, si } t \notin \mathbf{W}^{Q'}(\alpha_S, Q_0), $$

$$ \|T\| + \|(Z - T_Q)^{\tilde{G}}\| \ll 1 + \|V_{P',e} - (Z - T_Q)_e - [T]_{P',e}\|. $$

*Démonstration.* Ce sont les analogues des assertions (3)(i) et (3)(ii) en bas de la page 211 de [25], dont la preuve occupe les pages 212 à 215 de loc. cit. ■

**Proposition 13.8.2.** Soient $t \in W^G(\alpha_S, Q)$ et $s \in W^Q(\theta_0(\alpha_S), t(\alpha_S))$. On pose

$$ A_{s,t}^{T} = \sum_{Z \in e_{Q}^{\tilde{G}}} \tilde{\sigma}_{Q}^{R}(Z-T) \int_{\mu_{S}} [\omega]_{s,t}^{T,Q}(Z; \mu) \vartheta(\mu) d\mu. $$

On suppose $\tilde{\eta}(Q, R; t) \neq 0$.
(i) L'expression $A_{s,t}^T$ est convergente dans l'ordre indiqué.

(ii) Supposons $t \notin \mathbf{W}^{Q'}(\alpha_S, Q_0)$. Alors pour tout réel $r$, on a une majoration

$$|A_{s,t}^T| \ll d_0(T)^{-r}.$$

Démonstration. Puisque $A_{s,t} = |\mathfrak{c}_S|^{-1} \sum_{\nu \in \mathcal{E}(\sigma)} A_{s,t,\nu}$ avec

$$A_{s,t,\nu}^T = \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q^{\tilde{\sigma}_Q}} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \int_{\mu_S} \omega_{s,t}^{T,Q}(Z; \mu; \nu) \vartheta(\mu) d\mu,$$

il suffit de prouver les résultats pour $A_{s,t,\nu}^T$ avec $\nu \in \mathcal{E}(\sigma)$ fixé. Le lemme 13.6.1 (ii) s'applique ici encore et on en déduit l'analogue du lemme 13.6.2 :

$$A_{s,t,\nu}^T = \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q^{\tilde{\sigma}_Q}} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \left( \int_{\chi_S} \sum_{V \in \mathcal{D}_{tS}} \hat{d}_{tM,F}^{Q,T}(Z, \chi; V; \nu) d\chi \right).$$

L'expression est convergente dans l'ordre indiqué. Il s'agit de prouver qu'elle est absolument convergente puis de la majorer lorsque $t \notin \mathbf{W}^{Q'}(\alpha_S, Q_0)$. On observe que dans la preuve de la convergence de l'expression (D) du lemme 13.6.3, ce n'est qu'à partir de la relation (13.10) que l'hypothèse $t \in \mathbf{W}^{Q'}$ est utilisée. On a donc ici aussi la majoration

$$A_{s,t,\nu}^T \ll \sum_{P' \in \mathcal{F}^Q(tS)} I_{(D)}^T(P')$$

avec

$$I_{(D)}^T(P') = \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q^{\tilde{\sigma}_Q}} \tilde{\sigma}_Q^R(Z-T) \sum_{V_1 \in \mathcal{D}_{tS}^{(P')}} \Gamma_{tM}^{P'}(V_1^{P'}, \mathfrak{F}) \phi_e(Z, [T]_{P'}, V_1).$$

D'après (13.12) et le lemme 13.8.1, pour tout réel $r$, en posant $C_r = 1$ sans hypothèse sur $t$ et $C_r = \|T\|^{-r}$ sous l'hypothèse de (ii), on a une majoration

$$I_{(D)}^T(P') \ll C_r \sum_{Z \in \mathcal{C}_Q^{\tilde{\sigma}_Q}} (1 + \|(Z - T_Q)^{\tilde{\mathcal{G}}}\|)^{-r} \sum_{V_1 \in \mathcal{D}_{tS}^{(P')}} \Gamma_{tM}^{P'}(V_1^{P'}, \mathfrak{F}),$$

où la constante implicite est absolue. La somme en $V_1$ est essentiellement majorée par $\|T\|^D$ pour un certain entier $D$. La somme en $Z$ est convergente, ce qui démontre le point (i). Sous l'hypothèse de (ii) on obtient $I_{(D)}^T(P') \ll \|T\|^{-r}$ pour tout réel $r$, ce qui démontre (ii). ■

On pose

$$A^T = \sum_{t \in \mathbf{W}^G(\alpha_S, Q)} \tilde{\eta}(Q, R; t) \sum_{s \in \mathbf{W}^Q(\theta_0(\alpha_S), t(\alpha_S))} A_{s,t}^T.$$
**Corollaire 13.8.3.** Pour tout réel $r$, on a les majorations suivantes :

(i) Si $\tilde{\eta}(Q, R) \neq 0$ alors $|\tilde{\eta}(Q, R)A^T - A^T| \ll d_0(T)^{-r}$.

(ii) Si $\tilde{\eta}(Q, R) = 0$ alors $|A^T| \ll d_0(T)^{-r}$.

**Définition 13.8.4.** On considère $Q, S \in \mathbb{P}_{\text{st}}$ tels que $S \subset Q' = \theta_0^{-1}(Q)$. Soient $t \in \mathbf{W}^G(\alpha_S, Q)$, $s \in \mathbf{W}^Q(\theta_0(\alpha_S), t(\alpha_S))$, $Z \in \mathcal{A}_Q$, $\mu \in \mu_S$ et $\lambda \in \mu_{\theta_0(\alpha_S)}$. Pour $\sigma \in \Pi_{\text{disc}}(M_S)$, on définit l'opérateur

$$ \Omega_{s,t}^{T,Q}(Z; S, \sigma; \lambda, \mu) = \sum_{S'' \in \mathcal{P}^Q(tM)} \epsilon_{S''}^{Q,[T]_{S''}}(Z; s\lambda - t\mu) e^{(s\lambda - t\mu, Y_{S''})} \\ \times \mathbf{M}(t, \mu)^{-1} \mathbf{M}_{S''|_t S} (t\mu)^{-1} \mathbf{M}_{S''|_t S} (s\lambda) \mathbf{M}(s, \lambda). $$

C'est une fonction lisse de $\lambda$ et $\mu$. On a introduit dans la définition 13.4.1 l'ensemble $\mathcal{E}(\sigma)$ qui, s'il est non vide, est un espace principal homogène sous $\hat{\mathbb{C}}_M$. Pour $\mu \in \mu_S$, on pose :

$$ [\Omega]_{s,t}^{T,Q}(Z; S, \sigma; \mu) = |\hat{\mathbb{C}}_S|^{-1} \sum_{\nu \in \mathcal{E}(\sigma)} \mathbf{D}_{\nu} \Omega_{s,t}^{T,Q}(Z; S, \sigma; \theta_0(\mu), \mu + \nu). $$

La fonction $\mu \mapsto [\Omega]_{s,t}^{T,Q}$ est lisse. On rappelle que l'on a défini dans la proposition 12.1.1 une expression $\mathfrak{F}^{\tilde{G},T} = \mathfrak{F}^{\tilde{G},T}(f, \omega)$. Nous allons en introduire une variante. Pour alléger un peu les notations nous aurons recours au lemme suivant :

**Lemme 13.8.5.** Considérons deux espaces pré-hilbertiens $\mathcal{E} \subset \mathcal{F}$ où $\mathcal{E}$ est un facteur direct et un opérateur $A : \mathcal{E} \to \mathcal{F}$ de rang fini. On suppose que $\mathcal{E}$ est muni d'une base (au sens algébrique) orthonormale $\Psi$. L'expression

$$ \mathfrak{S}\mathfrak{p}(A) = \sum_{\Psi \in \Psi} \langle A\Psi, \Psi \rangle_{\mathcal{F}}, $$

donnée par une série convergente, est indépendante du choix de la base. Si, de plus, $A$ stabilise $\mathcal{E}$, c'est-à-dire si $A$ est un endomorphisme de $\mathcal{E}$, alors

$$ \mathfrak{S}\mathfrak{p}(A) = \text{trace}(A). $$

**Démonstration.** Puisque $\mathcal{E}$ est un facteur direct, tout $\Phi \in \mathcal{F}$ peut s'écrire $\Phi = \Phi_1 + \Phi_2$ avec $\Phi_1 \in \mathcal{E}$ et $\Phi_2$ est orthogonal à $\mathcal{E}$. La série

$$ \sum_{\Psi \in \Psi} \langle \Phi, \Psi \rangle_{\mathcal{F}} = \sum_{\Psi \in \Psi} \langle \Phi_1, \Psi \rangle_{\mathcal{E}} $$

se réduit à une somme finie et il en est de même de la série définissant $\mathfrak{S}\mathfrak{p}(A)$ puisque $A$ est de rang fini. L'indépendance du choix de la base se ramène au cas de la dimension finie. ■