# Concevoir et construire une structure réversible grâce aux assemblages non-séquentiels

## Non-sequential assemblies: A method for designing reversible structures

Julien Glath<fnref n="1" />,<fnref n="2" />,* Vincent Barazzutti<fnref n="2" />, Antoine Bayard<fnref n="2" />, Gaspard Leveque<fnref n="2" />, Sosava Peka<fnref n="2" />, Lancelot Senlis<fnref n="2" />, Paul Thieffry<fnref n="2" />, Marc Mimram<fnref n="2" />, et Olivier Baverel<fnref n="1" />,<fnref n="3" />,<fnref n="4" />

**Résumé.** Face à la diminution des ressources et afin de réduire l'impact carbone du secteur de la construction, il est important d'envisager la fin de vie des bâtiments. Il faut considérer les constructions et leur structure comme des éléments pouvant être démontés ou désassemblés pour être recyclés ou réutilisés. Cette recherche s'intéresse aux assemblages non-séquentiels, permettant une réversibilité pour répondre à ces enjeux. Pour démontrer l'intérêt de ces assemblages, un prototype de Nexorade échelle 1 a été construit et illustre l'article. La première partie définit l'assemblage non-séquentiel et ses cinématiques possibles. La recherche du pavage et de la géométrie sont évoquées dans la seconde partie. L'article continue sur la génération de la nexorade et son analyse mécanique mettant en évidence l'intérêt d'incliner les poutres de la nexorade, pour réduire la flèche de 35%. La séquence d'assemblage est développée dans la partie 5. Enfin, la construction du pavillon est détaillée, permettant le passage d'un modèle numérique à la fabrication du prototype. Pour conclure cet article, les auteurs discutent des résultats obtenus sur les assemblages non-séquentiels et sur l'inclinaison des poutres. Des extensions possibles et futures recherches sont suggérées.

**Mots clés.** Non-séquentiel, Assemblage, Cinématique, Nexorade, Réversible, Fabrication Digitale.

<footnote n="1">¹Laboratoire Navier UMR 8205, École des Ponts Paristech, Université Gustave Eiffel, CNRS, 77420 Champs-sur-Marne, France</footnote>

<footnote n="2">²EAVT Paris-Est, 77420 Champs-sur-Marne, France</footnote>

<footnote n="3">³Laboratoire GSA, ENSA de Paris-Malaquais, 75006 Paris, France</footnote>

<footnote n="4">⁴ENSA Grenoble, 38000 Grenoble, France</footnote>

<footnote>* Corresponding author: julien.glath@enpc.fr</footnote>
**Abstract.** In the face of dwindling resources and to reduce the construction sector's carbon footprint, it is essential to envisage the building's end of life. It is necessary to consider buildings and their structure as elements that can be dismantled/disassembled for recycling/reuse. To address these issues, this work focuses on non-sequential assemblies that allow reversibility. A full-scale Nexorade prototype has been produced and illustrates the article. The first part defines non-sequential assemblies and the multiple possible kinematics. The second part focuses on the pavilion's geometry. The article continues with a mechanical analysis showing that tilting the beams by 30° reduces the deflection by 35%. The assembly sequence is developed in section 5. Then, the pavilion's construction is detailed, showing the transition from the digital to the physical model. To conclude, the authors discuss the results obtained on non-sequential connections and the inclination of the beams of a nexorade. Possible extensions and improvements for future research are suggested.

**Keywords.** Non-sequential, Assembly, Kinematic, Nexorade, Reversible, Digital Fabrication.

# 1 Introduction

De nos jours, face aux enjeux environnementaux, il est nécessaire de repenser l'impact de notre façon de concevoir et de construire dans le secteur du BTP. En 2017, le secteur de la construction a produit 224 millions de tonnes de déchets en France [1], représentant 70% de la production nationale. Il est important de considérer les bâtiments et leurs structures comme des éléments pouvant être démontés ou désassemblés pour être recyclés ou réemployés.

Cet article s'intéresse aux assemblages non-séquentiels pour répondre à ces enjeux. Ce type d'assemblage nécessite un mouvement simultané d'au moins trois pièces différentes pour être assemblé. Il est bloqué uniquement par sa cinématique, permettant une réversibilité contrairement à l'utilisation de colle et de clous. Pour démontrer l'intérêt de ces assemblages, un prototype de nexorade échelle 1 a été construit et illustre l'article. La première partie définit les règles des assemblages non-séquentiels et des cinématiques possibles. La seconde partie s'intéresse à la recherche de la géométrie. Un plug-in de Grasshopper est ensuite utilisé pour passer du pavage à la nexorade et un modèle mécanique est utilisé pour vérifier le comportement de la structure. La séquence d'assemblage est discutée dans la partie 5. La partie 6 évoque la construction du pavillon : le passage de la maquette numérique à un processus de fabrication utilisant, de façon raisonnée, les outils technologiques. Pour conclure, les auteurs discutent des résultats obtenus sur les assemblages non-séquentiels et sur l'inclinaison des barres de la nexorade.

# 2 Assemblage non-séquentiel

Un assemblage non-séquentiel peut être défini par sa valence et son degré de connectivité : nombre de pièces en contact avec une autre. La figure 1 montre un nœud de valence quatre et chaque pièce possède un degré de connectivité de deux. L'assemblage non-séquentiel est composé de plusieurs pièces $P_i$ connectées entre elles par des glissières unidirectionnelles. L'analyse des surfaces de contacts entre chaque $P_i$ permet d'obtenir un graphe de connexion,
figure 1(b). Sur la figure 1(c), on peut voir en vert les directions des glissières. La combinaison de ces glissières et du graphe de connexion donne un graphe orienté des connexions (OCG) visible sur la figure 1(d). Comme pour un graphe de connexion, chaque nœud correspond à une pièce et chaque ligne correspond à une liaison, ici une glissière, mais la liaison est orientée selon le vecteur de la glissière $\Delta \vec{v}_{ij}$ entre deux pièces.

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Fig. 1. Graph pour un assemblage ; (a) analyse des surfaces de contacts, (b) graph de connexion, (c) orientation des glissières, (d) graph orienté des connexions.</figcaption></figure>

Il existe deux façons d'obtenir un assemblage non-séquentiel : définir le vecteur de déplacement de chaque pièce pour trouver les glissières correspondantes ou définir les glissières pour déterminer les vecteurs de déplacements. Les deux méthodes sont développées plus précisément dans [2].

Pour la première méthode, il faut analyser les contacts entre chaque pièce, figure 1(a). Cette analyse donne un cône de déplacement $D_i$ où chaque vecteur $\vec{v}_i$ peut être utilisé sans collision avec les autres pièces. Maintenant que $\vec{v}_i$ peut être défini, figure 2(a), il est nécessaire d'effectuer la soustraction suivante pour obtenir les vecteurs des glissières $\Delta \vec{v}_{ij}$ (figure 2b) :

$$ \vec{v}_j - \vec{v}_i = \Delta \vec{v}_{ij} \qquad (1) $$

La seconde méthode consiste à définir les glissières entre chaque pièce, figure 2(c). En prolongeant les directions des glissières, il est possible d'obtenir une intersection entre chacune correspondant au graphe orienté de connexion. Sur la figure 2(d), on peut définir un point d'origine O, dans le plan, permettant de créer un vecteur $\vec{v}_i$ avec les intersections des directions de glissière. Le graphe orienté des connexions peut ainsi être interprété comme un graphe des vitesses, où chaque position des points correspond à la vitesse des éléments. La longueur entre le point O et un nœud de l'OCG donne la vitesse relative de la pièce $P_i$.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig. 2. Génération d'un assemblage non-séquentiel ; (a) choix du vecteur de déplacement, (b) obtention des glissières, (c) choix des orientations de glissières, (d) obtention des vecteurs de déplacement.</figcaption></figure>

A noter que pour les deux méthodes, il est possible de définir la longueur et l'épaisseur de la glissière en multipliant $\Delta \vec{v}_{ij}$ par un coefficient $\lambda$ pour la longueur et en réalisant un offset de $\Delta \vec{v}_{ij}$ pour l'épaisseur.
La seconde méthode donne au designer plus de liberté dans le choix de la cinématique d'assemblage. Lorsqu'on déplace O, la cinématique globale change mais la vitesse relative entre les pièces reste identique. De plus, grâce à la transformation de Combescure [3,4], aussi appelée transformation parallèle, il est possible de déformer l'OCG pour obtenir la cinématique voulue. Cette transformation préserve les angles et donne de nombreuses possibilités pour le graphe orienté des connexions : il est possible de le déformer de la figure 3(a) à la figure 3(b), le quadrangle est aplati pour que la géométrie soit plus petite.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Fig. 3.** Différentes cinématiques pour un assemblage non-séquentiel ; (a) iso-vitesse, (b) deux pièces restent jointes, (c) O superposé à un sommet, (d) même angle entre les vecteurs de déplacements.</figcaption></figure>

Un même assemblage peut avoir de multiples cinématiques, grâce à la position du point O et aux transformations parallèles. La figure 3 montre différentes cinématiques : une iso-vitesse (a), deux pièces qui restent jointes (b), une pièce qui reste immobile, O est superposé avec le sommet correspondant de l'OCG (c) et la dernière où les angles entre les vecteurs de déplacement sont égaux. D'autres règles peuvent être utilisées pour générer des assemblages non-séquentiels et sont développées dans [5].

## 3 Recherche géométrique

Le pavillon est une portion de sphère de 2,3m de diamètre et de 0,7m de haut. Pour simplifier la fabrication du nœud d'assemblage, les poutres du pavillon sont mises à distances entre elles grâce à un système nexorade, décrites et théorisées par O. Baverel [6]. Cette distance n'affecte pas la cinématique non-séquentielle et permet d'avoir des assemblages avec uniquement deux poutres qui se rencontrent. Pour les nexorades, il existe un lien entre le pavage et la géométrie finale de la structure : les bords des tuiles du pavage forment les nexors et les sommets forment les fenêtres d'engagement. Il est possible de générer deux types de nœuds nexorade à partir d'un pavage : un nœud en rotation (figure 4b) et un nœud en translation (figure 4c).
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Fig. 4.** Génération d'un fan à partir d'un extrait de pavage ; (a) nœud du pavage, (b) fan par rotation, (c) fan par translation.</figcaption></figure>

Le pavage retenu doit répondre à trois contraintes : pouvoir paver la sphère avec des cellules homogènes, permettre un montage non-séquentiel de la structure et pouvoir former une nexorade par translation.

La première contrainte est intrinsèquement liée à la topologie de la surface à paver. Généralement, le dôme possède une unique singularité en son sommet. Les cellules du pavage tendent à se déformer et s'étendre au fur et à mesure que l'on s'éloigne de la singularité (figure 5a). Pour une nexorade, il est recommandé d'avoir des cellules de dimensions similaires, par exemple en augmentant le nombre de singularités à partir de la Formule d'Euler pour les polyèdres. Les figures 5(b) à 5(d) montrent la décomposition d'une sphère en augmentant le nombre de singularités et leurs influences sur la taille des cellules.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Fig. 5.** Exemples de singularités, issu de [7] ; (a) pavage avec 1 singularité, (b) décomposition de la sphère avec 4 singularités, (c) décomposition avec 8 singularités, (d) décomposition avec 16 singularités.</figcaption></figure>

La deuxième contrainte est directement liée au processus constructif, permettant l'assemblage de la structure de manière non-séquentielle. Pour ce faire, il est nécessaire d'introduire une séquence de montage, qui devient une succession d'assemblages non-séquentiels. Il s'agit ainsi de ne pas assembler toutes les barres de la structure d'un coup, mais de s'assurer que chaque étape du montage soit bloquée uniquement par sa cinématique.

La dernière contrainte est liée à l'inclinaison des barres pour permettre un meilleur comportement structurel. Cette inclinaison est développée dans la Section 4.2 mais ne peut être utilisée uniquement sur des nexorades générées par translation.

Le pavage final possède une symétrie de rotation d'ordre 3 qui satisfait toutes les contraintes précédentes, figure 6(a). Il se développe en couronnes ce qui permet d'ajouter de nouveaux nœuds à chacune d'entre elles pour limiter l'agrandissement des cellules. Ce développement permet qu'aucune barre ne connecte deux nœuds de la même couronne, afin d'éviter les incompatibilités de cinématique. Chaque nœud possède au moins une barre qui joint la couronne suivante, ce qui permet de séquencer le montage des couronnes et assure la non-séquentialité de tous les nœuds.
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Fig. 6.** Maillage sélectionné et projections ; (a) pavage final composé des couronnes, (b) méthode de projection normale et géométrie obtenue, (c) méthode de projection radiale et géométrie obtenue.</figcaption></figure>

Le pavage final est plan, il est donc nécessaire de l'appliquer sur la portion de sphère. Deux modes de projection peuvent être utilisés. Une projection selon la normale du plan, figure 6(b). Cette méthode est satisfaisante lorsque l'on se trouve proche de la singularité mais la déformation des tuiles du pavage s'agrandit à mesure que l'on s'approche du bord de la surface. La seconde projection utilise la géométrie de la calotte sphérique. En utilisant le centre de la sphère, il est possible de faire une projection radiale des nexors, figure 6(c). Cette projection permet, pour notre géométrie, d'obtenir des tailles de cellules plus homogènes que la projection normale.

# 4 Structure nexorade

## 4.1 Génération de la nexorade

Dans la partie précédente nous avons abordé la question du pavage, ses caractéristiques et sa génération. Le pavage sert de base géométrique à la génération du motif nexorade. Lors de la conception du pavillon, deux approches ont été abordées. La première utilise un algorithme développé par Romain Mesnil [8], permettant à partir d'un *mesh*, ou maillage, de venir créer un motif nexorade par rotation ou translation de ses bords. La nexorade peut être "alternée" ou non. Ainsi il faut tout d'abord créer un maillage dont les bords correspondent au pavage choisi. Pour ce faire, nous avons développé le pavage sur l'emprise du dôme en plan pour extraire les sommets qui ont ensuite été projetés sur la surface. Avant de générer le maillage correspondant, il faut s'assurer que ces points, une fois reliés entre eux, forment des quadrangles plans sans quoi le maillage serait considéré comme invalide. Cette étape nécessite donc la génération d'un *marionette-mesh* [9]. A partir d'un nuage de points, cette méthode recrée des quadrangles plans de proche en proche. L'algorithme utilise les trois premiers points d'une face et modifie la hauteur du quatrième de telle sorte à ce que celui-ci se retrouve sur le plan formé par les trois premiers.
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Fig. 7. Principe de génération d'un marionette-mesh, issu de [9].</figcaption></figure>

Pour le dôme, cet algorithme a été utilisé en partant de la singularité et en générant les faces par couronnes. Le maillage correspondant au pavage et approximant la surface voulue est ainsi obtenu. Cependant, un écart existe entre la surface cible et la surface générée. Cet écart peut être limité en modifiant les caractéristiques du pavage. L'algorithme peut être utilisé pour le maillage choisi précédemment ; la nexorade filaire est ainsi directement générée par translation ou rotation dans l'espace, la longueur d'engagement reste facilement modifiable. Néanmoins, pour notre géométrie, l'algorithme ne nous permet pas une maîtrise parfaite de l'excentricité. Lorsque les poutres correspondantes sont générées, il reste peu de surfaces de contacts pour réaliser un assemblage entre elles.

Pour avoir un meilleur contrôle sur la géométrie finale, un algorithm a été conçu pour permettre de générer de façon paramétrique l'ensemble du pavillon, du pavage à un modèle théorique. Il utilise le pavage, dont nous pouvons contrôler les caractéristiques et génère ensuite un motif nexorade plan, par rotation ou par translation. La nexorade plane obtenue est projetée sur la surface du dôme et les poutres en sont créées.

Contrairement à l'algorithme précédent, celui-ci nécessite un pavage plan et non un maillage de quadrangle dans l'espace, issue d'un *marionette-mesh*. Cela a pour conséquence d'obtenir une géométrie plus proche de la surface souhaitée, avec moins d'excentricités, au détriment de quadrangles plans. L'utilisation de quadrangles plans permet de bénéficier d'éléments plans standards pour couvrir/contreventer une structure, facilitant la mise en œuvre par rapport à des surfaces gauches qui doivent être discrétisées.

Une retouche est néanmoins nécessaire aux extrémités des poutres pour venir modéliser leurs assemblages.

## 4.2 Comportement mécanique de la nexorade

Pour vérifier le comportement mécanique de la structure, une analyse élastique linéaire dans *Karamba3D* est réalisée. Une structure nexorade est caractérisée par l'excentricité de ses éléments : l'écart entre l'axe neutre des nexors au niveau de leur assemblage. Il est donc nécessaire de connecter les extrémités des barres pour créer le modèle [10]. Deux méthodes de modélisation peuvent être envisagées.

La première consiste à modifier la géométrie des nexors afin de supprimer l'excentricité et de les connecter entre eux, figure 8(a). Les barres deviennent alors coudées. En modifiant la géométrie des poutres, on éloigne la poutre de son axe neutre théorique ce qui crée des efforts parasites et perturbe l'analyse structurelle. La seconde méthode consiste à modéliser cette excentricité en utilisant des ressorts qui connectent les nexors entre eux, figure 8(b).
Ces ressorts sont considérés comme étant extrêmement rigides au regard de l'assemblage et des matériaux utilisés. Le vecteur définissant la rigidité du ressort en translation $C_t$ est de $10^{10}$ kNm/rad, pour $x, y$ et $z$ selon l'axe local du ressort ; le vecteur définissant la rigidité du ressort en rotation $C_r$ est de $10^4$ kNm/rad, pour $x$, et $10^{10}$ kNm/rad, pour $y$ et $z$. La deuxième méthode a été choisie et les ressorts sont générés de façon paramétrique.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Fig. 8. Modélisation des poutres, (a) création d'un coude, (b) ajouts de ressorts.</figcaption></figure>

Les nexorades non contreventées souffrent d'un mauvais comportement structurel et la portée de ces structures est très limitée : le poids surfacique augmente considérablement avec la portée et un franchissement de plus de 25m devient impossible [11]. Pour contrer ce problème, cette recherche étudie l'inclinaison des poutres autour de leur axe neutre. En plus du gain en raideur, cette inclinaison possède un intérêt architectural : il est possible d'avoir un nœud sans longueur d'engagement sur la partie externe du pavillon et un nœud avec une longueur d'engagement, en partie interne. Ainsi, avec des quadrangles plans, le nœud peut être facilement couvert en partie externe afin de créer une étanchéité.

Deux configurations sont étudiées avec Karamba3D avec les mêmes conditions d'appuis et les mêmes sections : une avec les poutres perpendiculaires à la normale de la sphère et une seconde avec une inclinaison de 30° par rapport à celle-ci. Les deux structures sont soumises à un chargement uniforme de 1kN/m² et les résultats figurent dans le tableau 1.

L'inclinaison des poutres permet un gain de 35% sur la flèche du pavillon. Les moments fléchissant sont également réduits de 24 à 34%. Un gain de 17% est effectué sur le cisaillement selon $y$, au détriment du cisaillement selon $z$ qui augmente de 140%. La valeur maximale reste pour $V_y$ pour 0° d'inclinaison. Il faut noter que les gains dépendent de la géométrie du prototype. Pour d'autres géométrie de nexorades, 0° d'inclinaison peut être plus favorable qu'une inclinaison de 30°.

<table><caption>**Tableau 1.** Comparaison du pavillon selon une inclinaison de poutre de 0° ou 30° sous un chargement uniforme de -1kN/m². Les gains et pertes sont calculés considérant le cas 0° comme 100%.</caption><thead><tr><th></th><th>Flèche<br>(cm)</th><th>M<sub>t</sub><br>(Nm)</th><th>M<sub>y</sub><br>(Nm)</th><th>M<sub>z</sub><br>(Nm)</th><th>V<sub>y</sub><br>(N)</th><th>V<sub>z</sub><br>(N)</th><th>N<br>(N)</th></tr></thead><tbody><tr><th>0°</th><td>0,030</td><td>3,34</td><td>22,5</td><td>12,0</td><td>574</td><td>139</td><td>791</td></tr><tr><th>30°</th><td>0,019</td><td>2,40</td><td>14,6</td><td>9,1</td><td>476</td><td>337</td><td>786</td></tr><tr><th>gains/pertes</th><td>-35%</td><td>-28%</td><td>-35%</td><td>-24%</td><td>-17%</td><td>+141%</td><td>-1%</td></tr></tbody></table>
# 5 Séquence de montage

Pour ce pavillon, chaque nœud de la nexorade doit être non-séquentiel. Les rives sont une exception à cette règle car elles ne possèdent qu'un nœud de valence 2 qui est, par définition, séquentiel. Il existe une multitude de séquences possibles, une est proposée en figure 9. La valence minimale d'un assemblage non-séquentiel étant de 3, certains nœuds peuvent être assemblés en partie de façon séquentielle, entouré en rouge sur la figure 9(e), pour être ensuite bloqués par un assemblage non-séquentiel, figure 9(f). Pour cette méthode, le blocage successif des nœuds est privilégié, ce qui implique la manipulation de plusieurs barres en même temps. Une autre méthode peut être d'ajouter uniquement deux barres par étape, réduisant ainsi le nombre de manipulateurs nécessaires, mais cette méthode est plus restrictive et ne fonctionne pas pour les rives.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>**Fig. 9.** Séquence de montage du pavillon.</figcaption></figure>

Cette séquence est composée de 17 étapes successives, la géométrie permettant une symétrie d'ordre 3, le nombre d'étapes peut être réduit à 7. La première étape est d'assembler le nœud central du dôme, correspondant à une valence 3 (a). Trois barres sont ensuite ajoutées pour fermer le nœud de valence 4 de la seconde couronne (b). Il est important de privilégier la fermeture des plus petites valences pour éviter de bloquer la cinématique. La troisième étape est alors d'assembler le nœud de valence 3 de la troisième couronne plutôt que celui de valence 5 (c). Il est ensuite possible d'assembler le nœud de valence 5 (d). Comme pour l'étape trois, le nœud de valence 3 de la quatrième couronne est préféré (e). Puis, un des nœuds de valence 5 de la dernière couronne est assemblé (f). Enfin, le dernier nœud est assemblé (g).

# 6 Construction du pavillon

Le passage d'un modèle numérique à un prototype physique nécessite de prendre en compte les tolérances d'usinage. Théoriquement, les assemblages non-séquentiels nécessitent que le tenon et la mortaise aient les mêmes dimensions pour que le nœud soit robuste. Lors de la
fabrication, le tenon doit être légèrement plus petit que la mortaise (figure 10a) pour permettre l'assemblage : il existe un jeu mécanique noté *t*. Si ce jeu mécanique est trop important, les pièces peuvent avoir une rotation et se désassembler, comme sur la figure 10b. Le jeu mécanique dépend de la nature du matériau mais également de la mise en œuvre. Si l'assemblage est réalisé avec deux robots 6 axes, le jeu peut être infirmé car la cinématique est réalisée très précisément. Pour ce prototype, l'usinage et l'assemblage étant réalisé avec peu d'outils technologiques, il est nécessaire d'introduire un jeu plus conséquent.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>**Fig. 10.** Jeu mécanique entre le tenon et la mortaise, (a) nœud fermé, (b) possible rotation des pièces dû au jeu mécanique.</figcaption></figure>

Le pavillon final est une nexorade en bois. Le bois utilisé est issu du réemploi, composé de planches, bastaings et madrier en Douglas non traité de classe 3 et durable en extérieur. Il possède donc des dimensions qui peuvent varier de plusieurs millimètres. Cela est dû notamment aux conditions de stockage extérieur, sujet aux intempéries, malgré son corroyage et son rabotage sur les quatre faces avant récupération. Pour réaliser les assemblages correspondant au modèle numérique, il est nécessaire d'usiner les poutres (figure 11) pour obtenir la bonne section ainsi que des faces régulières.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>**Fig. 11.** Illustration du processus d'usinage.</figcaption></figure>

Dans un premier temps, les planches sont coupées en deux, dans leur longueur, puis sont poncées pour obtenir des faces régulières. La section finale obtenue est de 7x2,5cm. Il faut ensuite découper l'extrémité des nexors en bois selon l'angle nécessaire pour l'assemblage. Pour plus de précision, des patrons sont utilisés pour le repérage des découpes et des
percements. Les patrons sont réalisés à partir du modèle 3D et coupés à la découpeuse laser.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>**Fig. 12.** Assemblages tenon-mortaise, (a) tenons intégrés, (b) tourillons.</figcaption></figure>

Comme évoqué dans la partie Section 2, il est nécessaire d'avoir des glissières unidirectionnelles entre chaque pièce du nœud. Celles-ci sont réalisées grâce à un assemblage tenon-mortaise, qui bloque tous les degrés de liberté sauf un : la translation selon l'axe x du tenon. Deux systèmes de tenon-mortaise ont été testés. Le premier est l'assemblage avec tenon intégré, figure 11(a), en usinant directement le tenon à l'extrémité du nexor. Pour des raisons d'usinage, le tenon fait la largeur de la poutre et un tiers de la hauteur de celle-ci. Avec les outils à notre disposition, il est possible d'utiliser une défonceuse pour faire la mortaise, mais le tenon doit être réalisé à la main, ce qui constitue une perte de temps et de précision. La seconde méthode est l'assemblage avec tourillons. Cette technique permet de ne créer que des mortaises sur les poutres, le tenon étant reconstitué par l'insertion d'un tourillon en bois dur dans l'une des mortaises. Deux tourillons sont nécessaires pour bloquer la rotation selon x. Pour créer les mortaises avec la bonne orientation, des guides découpés à la machine laser sont utilisés avec une perceuse à colonne, figure 12. Pour que les tenons aient une longueur d'insertion conséquente dans la poutre, les nœuds extérieurs de la nexorade possèdent une longueur d'engagement malgré leur inclinaison.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>**Fig. 13.** Guides utilisés avec une perceuse à colonne.</figcaption></figure>

Une fois que toutes les poutres sont prêtes, le pavillon peut être assemblé selon la séquence développée dans la Section 5. Pour permettre l'assemblage manuel de la structure et pour pallier aux défauts d'usinage, les tenons mesurent 8mm de diamètre alors que les mortaises ont un diamètre de 8,5mm. Une fois le pavillon assemblé, des pièces en bois sont ajoutés comme support aux extrémités des poutres. Les 15 supports sont traversés par un câble en acier permettant de créer un anneau de compression à la base de la structure. Une
fois cet anneau en place, la structure devient rigide, pouvant s'apparenter à une coque. La structure s'assemble et se désassemble en 20 minutes par trois personnes. Une fois démontée, l'encombrement des 51 poutres, des 15 supports ainsi que du câble en métal est minime, pouvant permettre le transport et la reconstruction de celle-ci à une autre place.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Fig. 14. Photos du pavillon final.</figcaption></figure>

## 7 Conclusions et perspectives

Dans cet article, la nexorade non-séquentielle a permis de mettre en évidence certains principes intéressants pour les futures constructions. Premièrement, les assemblages non-séquentielles peuvent permettre de concevoir des structures réversibles. La Section 2 évoque les différentes règles qui peuvent aider le designer à créer ces assemblages. Malgré une réalisation humaine et non robotique, le prototype montre que ces assemblages peuvent être facilement assemblés/désassemblés en conservant des propriétés mécaniques intéressantes. Dans un second temps, il peut être bénéfique d'incliner les poutres d'une nexorade pour optimiser les sections utilisées. Cette inclinaison permet également de couvrir plus facilement la structure.

Néanmoins, un théorème général reste à déterminer sur la séquence d'assemblages et le nombre d'opérations nécessaire pour une structure non-séquentielle. Ce sujet fera l'objet d'une prochaine publication. De plus, il est important de réaliser un assemblage non-séquentiel de façon robotisé, afin de vérifier les tolérances et jeux, liés à l'usinage et nécessaire à l'assemblage, ainsi que le comportement mécanique de cet assemblage. Enfin, d'autres recherches sont nécessaires pour quantifier les réels gains liés à l'inclinaison des nexors, en fonction de la géométrie.

Les auteurs remercient l'EAV&T Paris-Est et en particulier le master Matière à Penser. Merci aux différents enseignants du séminaire : Jean-Aimé Shu, Margaux Gillet et Camille Boutemy. Ce projet est soutenu par Future I-Site.

## Références

1. ADEME, *Déchets chiffre-clé - édition 2020* (2020)

2. J. Glath, T. Gobin, R. Mesnil, M. Mimram, O. Baverel, IASS Ann. Symp., *Design method for non-sequential assembly*, p.2367-2376 (2021)

3. R. Mesnil, C. Douthe, O. Baverel, B. Léger, Aut. in Cons., *Morphogenesis of surfaces with planar lines of curvature and application to architectural design*, **95**, p.129-141 (2018)
4. H. Pottmann, Y. Liu, J. Wallner, A. Bobenko, W. Wang, ACM SIGGRAPH, *Geometry of multi-layer freeform structures for architecture*, p.65-es (2007)

5. J. Glath, R. Mesnil, M. Mimram, O. Baverel, Aut. in Cons., *Theory and design for non-sequential assembly*, (under review)

6. O. Baverel, H. Nooshin, Y. Kuroiwa, G.A.R. Parke, IJSS, *Nexorades*, **15**(2), p.155-159 (2000)

7. J.-P. Petit, *Le Topologicon* (1992)

8. R. Mesnil, C. Douthe, T. Gobin, O. Baverel, Aut. in Cons., *Form finding of nexorades using the translations method*, **95**, p.142-154 (2018)

9. R. Mesnil, C. Douthe. O. Baverel, B. Léger, AAG, *Marionette Mesh: From descriptive geometry to fabrication-aware design*, p.62-81 (2016)

10. B. Sénéchal, C. Douthe, O. Baverel, IJSS, *Analytical investigations on elementary nexorades*, **26**(4), p.313-320 (2012)

11. R. Mesnil, C. Douthe, T. Gobin, O. Baverel, AAG, *Form finding and design of a timber shell-nexorade hybrid*, (2018)