# Extension de l'application de la méthode Laplace-temps à l'interaction sol-fluide-structure non-linéaire : application aux études de barrages

Georges Devésa, Alex Nieto Ferro, Nicolas Greffet, Vincent Guyonvarh

► To cite this version:

Georges Devésa, Alex Nieto Ferro, Nicolas Greffet, Vincent Guyonvarh. Extension de l'application de la méthode Laplace-temps à l'interaction sol-fluide-structure non-linéaire : application aux études de barrages. 12e colloque en calcul des structures, May 2015, Giens, France. hal-01400450

HAL Id: hal-01400450

https://hal.science/hal-01400450v1

Submitted on 22 Nov 2016

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons CC BY 4.0 - Attribution - International License
# Extension de l'application de la méthode Laplace-temps à l'interaction sol-fluide-structure non-linéaire : application aux études de barrages.

G. Devésa¹, A. Nieto Ferro¹, N. Greffet¹, V. Guyonvarh¹

¹ EDF R&D, Département AMA, LaMSID, UMR EDF/CNRS/CEA 8193, {georges-cc.devesa,alex.nieto-ferro,nicolas.greffet,vincent.guyonvarh}@edf.fr

**Résumé** — On présente ici l'extension de la méthode hybride BEM-FEM de type Laplace-temps, déjà utilisée avec succès en interaction sol-structure (ISS), aux problèmes d'interaction sol-fluide-structure (ISFS). Elle permet notamment de mieux prendre en compte des non-linéarités dans la structure, avec une représentation détaillée des interactions sol-structure et fluide-structure (IFS), dans le cadre d'études sismiques numériques de type « best-estimate ». Les approches de représentation de l'ISFS, globale ou séparée entre ISS et IFS, sont comparées dans une application industrielle sur des barrages.

**Mots clés** — décomposition de domaines, fonction d'impédance, domaine de Laplace, interaction sismique sol-structure et sol-fluide-structure, non-linéarités, structure industrielle, parallélisation

## 1. Introduction

Lors de calculs sismiques, prendre en compte les interactions entre la structure, le sol et le fluide permet de considérer l'énergie produite et dissipée dans ces trois milieux. Dans les problèmes d'interaction sol-structure, il faut prendre en compte simultanément :

* des géométries complexes,

* des non-linéarités diverses globales ou locales pour le domaine de structure,

* une représentation non bornée associée à un comportement linéaire pour le sol.

Pour les résoudre, il faut utiliser une technique de décomposition de domaines ainsi qu'une résolution numérique adaptée à chaque sous-domaine. Pour le domaine de sol (non borné), on utilise une discrétisation de type éléments de frontières (BEM) avec le plus souvent une résolution fréquentielle. Pour les domaines complémentaires de structure, on utilise une description en éléments finis (FEM) nécessitant une résolution en temps en cas de non-linéarités globales. Dans le cas d'interaction sismique, on résout alors le problème global en temps sur le domaine de structure non-linéaire. On tient compte alors, sur l'interface sol-structure, des effets du sous-domaine linéaire de sol. Cela est réalisé au moyen d'une force sismique externe appliquée sur la frontière ainsi que par une impédance définie dans le domaine de Fourier ou de Laplace.

## 2. Mise en œuvre de la méthode Laplace-temps en ISS

La méthode Laplace-temps, qui met en jeu la fonction impédance dans le domaine temporel, revient à calculer les forces d'interaction par une intégrale de convolution avec le champ de déplacement inconnu [1]. Elle permet d'optimiser le comportement dynamique du sol par rapport aux méthodes de représentation simplifiée du sol par des caractéristiques constantes (ressorts à raideurs invariables). Elle est particulièrement bien adaptée au cas de non-linéarités en interaction sol-structure (ISS) résolues dans le domaine temporel [3].

Elle s'appuie sur une fonction impédance définie dans le domaine de Laplace [1].
L'implémentation de la méthode Laplace-temps, dans le cadre d'un travail de thèse [2], a déjà été réalisée dans une chaîne industrielle de code : *Code_Aster* (FEM) et *MISS3D* (BEM), dans le but de fournir aux utilisateurs un outil validé, robuste et performant.

Dans ce cadre, un cas d'application de type industriel pour le traitement de non-linéarités en interaction sismique sol-structure (ISS) a déjà été mis en œuvre de façon concluante [3]. Il a permis de simuler numériquement la réponse d'une maquette de bâtiment en béton armé (reprise du benchmark SMART) reposant sur un sol stratifié réaliste et soumise à un séisme. La comparaison en termes de réponses sismiques et d'endommagement du béton a été concluante. Les résultats ont été évalués en représentant un domaine de sol suffisamment étendu horizontalement allant jusqu'au rocher. De plus, avec la méthode de décomposition de domaines, on a pu dégager des marges significatives sur les performances par rapport à la résolution entièrement FEM.

### 3. Extension de la méthode Laplace-temps à l'interaction sol-fluide-structure (ISFS)

Il apparaît alors intéressant de voir dans quelle mesure la méthode Laplace-temps, testée avec succès pour de purs problèmes d'interaction sol-structure (ISS), pourrait être étendue au traitement de non linéarités dans la structure en interaction sol-fluide-structure (ISFS).

L'interaction sol-fluide-structure (ISFS) présente par rapport à l'ISS un domaine supplémentaire de fluide susceptible de générer alors deux interfaces supplémentaires : fluide-structure et fluide-sol. L'ISFS linéaire, tout comme l'ISS, peut aussi être traitée par une méthode de décomposition de domaines, ne nécessitant de mailler que les interfaces du fluide, et un couplage FEM-BEM [4]. On peut alors prendre en compte à la fois la compressibilité du fluide et les phénomènes d'absorption à l'interface sol-fluide.

La figure 1, ci-dessous, rappelle les domaines et les interfaces utilisés par la méthode FEM-BEM en ISFS ainsi que :

* les équations d'Helmoltz et de Navier utilisées respectivement pour prendre en compte l'évolution des ondes dans les milieux fluides (en compressible) et le comportement mécanique de la structure,

* les conditions aux limites appliquées aux diverses interfaces.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig. 1. Domaines et interfaces en ISFS avec la méthode FEM-BEM</figcaption></figure>
Toutefois en cas de non-linéarités dans la structure, cette méthode ne peut directement être appliquée en ISFS non linéaire. On peut dans un premier temps restreindre l'application de la méthode Laplace-temps à l'interaction sol-structure, puis représenter l'interaction fluide-structure (IFS) séparément de l'ISS au moyen d'une masse ajoutée de fluide sur cette interface. Cette masse ajoutée peut alors être définie sur base physique au moyen d'éléments discrets de masses affectés sur l'interface IFS (option définie comme MASSE_AJOU et pouvant être de type Westergaard, par exemple), ou bien sur base modale par projection sur des modes d'interface représentant l'IFS (option définie comme MATR_AJOU). Cependant, ces deux représentations ne permettent pas de prendre en compte la compressibilité du fluide.

Dans le but de pouvoir représenter la compressibilité du fluide en se passant du traitement séparé de l'ISS et de l'IFS, on a donc développé une extension de la méthode Laplace-temps au traitement de non-linéarités avec une seule interface globale en ISFS. Pour cela, à partir d'une méthode de décomposition de domaines, l'action globale des domaines sol et fluide sur la structure est représentée sous forme de forces sismiques et d'une impédance intégrée dans le domaine temporel sur l'interface totale de l'ISFS. On peut donc, cette fois-ci, outre les non-linéarités, prendre en compte la compressibilité du fluide et les phénomènes d'absorption que cela engendre à l'interface sol-fluide.

On utilise la notion de macro-élément dans le cadre des techniques de décomposition de domaines et de condensation des modèles. Lorsqu'on a plusieurs domaines linéaires séparés par des interfaces, le problème global peut être réduit en condensant chacun de ces domaines sur leurs propres interfaces (voir Fig. 2 ci-dessous). Ces domaines réduits sont les macro-éléments.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. 2. Réduction de modèle avec des macro-éléments pour les calculs d'ISFS</figcaption></figure>

Les macro-éléments sont composés exclusivement de matrices pleines, ce qui peut rendre la résolution du problème global plus complexe. Pour pallier cette difficulté, les macro-éléments sont souvent projetés sur une base des modes propres suffisamment représentative de la cinématique de l'interface où se trouve condensé le macro-élément. Grâce à cela, le vecteur des degrés de liberté inconnus associés à cette interface peut être remplacé par un vecteur d'inconnues modales.

Avec le traitement séparé des interfaces IFS et ISS, on a condensé les domaines linéaires de fluide $\Omega_1$ et de sol $\Omega_3$ séparément et respectivement sur les interfaces IFS et ISS avec le domaine de structure $\Omega_2$.

Pour la prise en compte globale de l'ISFS, on considère un seul domaine linéaire $\Omega_1$ comprenant le fluide et le sol. Cela implique par contre de reconsidérer le calcul de la base de représentation des modes d'interface par rapport à la modélisation séparée de l'ISS et l'IFS en utilisant une base de taille double satisfaisant les mouvements des 2 interfaces.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 3. Interactions ISS et IFS séparées avec masses ajoutée de fluide modale (a) ou physique (b)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. 4. Interaction ISFS globale pour la méthode Laplace-temps</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fig. 5. Accélérations transitoires dans les directions X, Y ainsi que les courbes de pseudo-accélération spectrale</figcaption></figure>
Les sollicitations sismiques proviennent d'accélérogrammes mesurés sur un barrage. Les figures 5 ci-dessus montrent les transitoires correspondants ainsi que leurs spectres. La direction amont-aval est donnée par l'axe Y. La direction X est la direction horizontale transversale.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Fig. 6. Localisation des points de mesures.</figcaption></figure>

On compare plus précisément les 3 méthodes à partir d'un résultat, la réponse en pseudo-accélération de SRO en crête au point central du sommet du barrage (rouge sur la figure 6 ci-dessus), pour chaque direction X ou Y, et en linéaire ou non-linéaire, sur les figures 7 et 8.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Fig. 7. Pseudo-accélération en crête dans la direction X : (a) en linéaire et (b) en non-linéaire, avec la méthode Laplace-temps et les 3 approches MATR_AJOU, MASSE_AJOU et ISFS globale</figcaption></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Fig. 8. Pseudo-accélération en crête dans la direction Y : (a) en linéaire et (b) en non-linéaire, avec la méthode Laplace-temps et les 3 approches : MATR_AJOU, MASSE_AJOU et ISFS globale</figcaption></figure>
On peut tirer les conclusions suivantes à partir des résultats des calculs non-linéaires selon les différentes approches utilisées :

* La prise en compte des non-linéarités des joints de plot amortit dans presque tous les cas la réponse de la structure notamment dans la direction amont-aval du barrage Y. Ces atténuations peuvent s'avérer très importantes, de l'ordre de 50%.

* L'utilisation des masses pénalisantes avec la déconvolution du chargement sismique nécessaire avec la méthode MATR_AJOU a tendance à amplifier les réponses par rapport aux autres méthodes. Elle induit également une certaine rigidification.

* La modélisation globale de l'ISFS donne des résultats assez proches de la modélisation de type MASSE_AJOU notamment dans la direction amont-aval du barrage Y (qui donne, et de loin les plus grandes amplitudes). Pour la direction normale aux joints, X, la modélisation globale de l'ISFS laisse apparaître une nouvelle fréquence de résonance prépondérante autour de 5 Hz qui n'induit pas d'atténuation due à la non-linéarité.

* Ce dernier phénomène doit être lié à la prise en compte de la compressibilité de l'eau en faisant apparaître des fréquences de résonance de la retenue d'eau multiples du quart du rapport de la célérité des ondes de compression dans l'eau (Cp = 1500 m/s) et de la hauteur moyenne d'eau de l'ordre de 83 m. La prise en compte d'alluvions en fond de retenue pourrait diminuer les niveaux de réponse.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Fig. 9. Pseudo-accélération en crête dans la direction Y pour des valeurs croissantes de célérité fluide</figcaption></figure>
Ce phénomène peut être illustré sur la figure 9 ci-dessus, à partir du tracé de la pseudo-accélération dans la direction amont-aval Y mesurée en crête du barrage (courbe rouge) pour des valeurs croissantes de célitété fluide tendant vers l'incompressibilité du fluide ; on a superposé le tracé vertical en trait pointillé bleu des fréquences propres d'une retenue d'eau avec une hauteur moyenne de 83m. On observe après les pics principaux observés avant 5 Hz une nouvelle résonance proportionnelle à la célitété qui tend à se dissiper à l'infini quand la célitété augmente : on se rapproche alors de la pseudo-accélération obtenue avec l'hypothèse d'incompressibilité.

**6. Conclusion et perspectives**

La méthode FEM-BEM Laplace-temps a pu être mise en œuvre de manière efficace et robuste sur un cas d'application industrielle complexe comportant à la fois de l'ISFS et des non-linéarités : un barrage-voûte en béton soumis à une sollicitation sismique. Les résultats obtenus, que ce soit en termes de précision et de temps CPU se sont révélés satisfaisants et laissent donc augurer de bonnes perspectives d'utilisations par l'ingénierie d'EDF.

Parmi les suites à ce travail, on peut citer l'amélioration de l'ergonomie, qui reste encore relativement complexe, l'application à d'autres exemples industriels, comme le benchmark KARISMA [7], traité dans le cadre de l'ANR PIA SINAPS®, et enfin, à plus long terme, le couplage avec les effets de site à plus grande échelle.

**Références**

[1] A. Nieto Ferro, D. Clouteau, N. Greffet, G. Devésa, On a hybrid Laplace-time domain approach to dynamic interaction problems, European Journal of Computational Mechanics, 21 (3-6), 2012.

[2] A. Nieto Ferro, Nonlinear Dynamic Soil-Structure Interaction in Earthquake Engineering ». Thèse de l'Ecole Centrale Paris (2013).

[3] N. Greffet, A. Nieto Ferro, G. Devésa, D. Clouteau, Interaction sol-structure non-linéaire : étude industrielle avec la méthode Laplace-temps, CSMA 2013.

[4] D. Clouteau, Couplage éléments-finis-équations intégrales : applications pratiques en génie parasismique, In M. Bonnet ed., Actes journées CSMA : Equations Intégrales en Mécanique, Palaiseau, Mai, 1999.

[5] P.R.Amestoy, I.S.Duff, J.Y. L'Excellent, Multifrontal parallel distributed symmetric and unsymmetric solvers. Comput. Methods in Appl. Mech. Eng. 184, 501-520 (2000).

[6] S. Balay, W. D. Gropp, L. C. McInnes and B. F. Smith, Efficient Management of Parallelism in Object Oriented Numerical Software Libraries. In Modern Software Tools in Scientific Computing, E. Arge, A. M. Bruaset and H. P. Langtangen, editors, Birkhauser Press, pp. 163-202, 1997.

[7] Review of Seismic Evaluation Methodologies for Nuclear Power Plants Based on a Benchmark Exercise, IAEA TECDOC 1722, ISBN: 978-92-0-114913-8, 2014.