# Judesiai erdvėje $Y_n$

## Algimantas Pranas URBONAS (VPU)

el. paštas: urbonas@vpu.lt

### 1. Įvadas

Atraminių elementų erdvė $Y_n$ apibrėžta darbe [1], kuriame taip pat išplėtota šios erdvės kreivumo teorija.

Priminsime pagrindines sąvokas.

Tegul $V_n$ yra $n$-matė diferencijuojama daugdara ir kiekviename jos taške $x(x^1, x^2, x^3, \dots, x^n)$ prijungsime objektą $y_k$. Šį objektą laikysime atraminiu objektu. Porą ($x^i$, $y_k$) vadinsime atraminiu elementu, o šių elementų erdvę žymėsime simboliu $Y_n$.

Šioje atraminių elementų daugdaroje nagrinėsime tokias koordinačių transformacijas:

$$ egin{cases} \bar{x}^i = f^i(x^k), (x^k = g^k(\bar{x}^i)) \\ \bar{y}_k = g_k^l y_l + f_l^s g_{sk}^l, \end{cases} \quad (1) $$

kur

$$ f_j^i = \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j}, \quad f_{jk}^i = \frac{\partial^2 \bar{x}^i}{\partial x^j \partial x^k}, \dots $$

$$ g_j^i = \frac{\partial x^i}{\partial \bar{x}^j}, \quad g_{jk}^i = \frac{\partial^2 x^i}{\partial \bar{x}^j \partial \bar{x}^k}, \dots \quad (i, j, k = 1, 2, 3, \dots, n). $$

Darbe [1] įrodyta, kad objektas $\Gamma_{ij}(x, l)$ ($\Gamma_{ij} = \Gamma_{ji}$) apibrėžia erdvėje $Y_n$ tiesinę sietį, jei jo komponentės (1) transformacijos atveju kinta pagal dėsnį

$$ \bar{\Gamma}_{ij} = g_i^k g_j^p \Gamma_{kl} - g_{ij}^p y_p - g_{ip}^r g_j^t f_{rt}^p - f_s^l g_{ijl}^s. \quad (2) $$

Šis objektas leidžia erdvėje $Y_n$ įvesti invariantinį tenzorinių laukų diferencijavimą. Pavyzdžiui, tenzorių lauko $T_{jk}^i(x, y)$ kovariantinė išvestinė apibrėžiama taip:

$$ \nabla_l T_{jk}^i = \partial_l T_{jk}^i - \partial^s T_{jk}^i \Gamma_{sl} - T_{jk}^s \partial^i \Gamma_{sl} + T_{pk}^i \partial^p \Gamma_{jl} + T_{jp}^i \partial^p \Gamma_{kl}, \quad (3) $$

kur $\partial_l = \frac{\partial}{\partial x^l}$, $\partial^s = \frac{\partial}{\partial y_s}$.

Erdvės $Y_n$ kreivumo tenzorius yra:

$$ R_{ijk} = 2 \left[ \partial_{[j} \Gamma_{i|k]} + \partial^p \Gamma_{i[j} \Gamma_{|p|k]} \right]. \quad (4) $$

Šiame darbe mes taip pat naudosimės tapatybėmis, gautomis [1].
## 2. Judesiai erdvėje $Y_n$

**APIBRĖŽIMAS.** Infinitetzimalią bazės $V_n$ transformaciją $\bar{x}^i = x^i + v^i(x)\delta t$ vadinsime judesiu erdvėje $Y_n$, jei ši transformacija nekeičia (lokaline prasme) tiesinės sieties objektos $\Gamma_{ij}$.

**Teorema.** Tam, kad vektorius $v^i(x)$ apibrėžtų judesį erdvėje $Y_n$, būtina ir pakankama, kad jo komponentės tenkintų diferencialinių lygčių sistemą:

$$ 
\begin{aligned}
v^s \partial_s \Gamma_{ij} + \partial_i v^s \Gamma_{sj} + \partial_j v^s \Gamma_{is} - \partial_{ij} v^s y_s - \partial_{ij} v^s \cdot \\
- \partial_k v^s \partial^k \Gamma_{ij} y_s - \partial^k \Gamma_{ij} \partial_k v^s = 0.
\end{aligned} 
\quad (5) 
$$

Teoremos įrodymui imame transformaciją $\bar{x}^i = x^i + v^i(x)\delta t$. Tada atitinkamai $\bar{y}_k$ ir $\bar{\Gamma}_{jk}(\bar{x}, \bar{y})$ išreiškiami (1) ir (2) formulėmis. (5) lygtis gausime reikalaudami, kad funkcijų $\bar{\Gamma}_{ij}(\bar{x}, \bar{y})$ skleidiniuose pagal $\delta t$ koeficientai prie pirmojo $\delta t$ laipsnio būtų lygūs nuliui. Praleisdami tarpinius skaičiavimus, teoremos įrodymą baigiame.

Toliau, pasinaudodami kovariantinio diferenvijavimo aparatu, ieškosime (5) lygčių integruojamumo sąlygų.

Pastebėsime, kad funkcijų $v^i(x)$ dalines išvestines galima išreikšti kovariantinėmis išvestinėmis. Pvz.,

$$ 
\begin{aligned}
\partial_j v^i &= \nabla_j v^i + \partial^i \Gamma_{pj} v^p, \\
\partial_{jk} v^i &= \nabla_j \nabla_k v^i - \partial_j \partial^i \Gamma_{sk} v^s + \partial^i \Gamma_{sk} \nabla_j v^s + \partial^i \Gamma_{sk} \partial^s \Gamma_{pj} v^p \\
&\quad + \partial^i \partial^p \Gamma_{sk} \Gamma_{pj} v^s + \partial^i \Gamma_{sj} \nabla_k v^s - \partial^s \Gamma_{jk} \nabla_s v^i.
\end{aligned}
$$

Toliau, pasinaudodami kovariantinio diferencijavimo aparatu ieškosime (5) lygčių integruojamumo sąlygų.

(5) lygtis galima užrašyti

$$ \mathcal{L}_v \Gamma_{ij} = 0, \quad (6) $$

kur $\mathcal{L}_v$ - Lie išvestinė $v^i(x)$ atžvilgiu.

Iš Lie išvestinių savybių ir $\Gamma_{ij}$ transformacijų dėsnio išplaukia, kad $\mathcal{L}_v \Gamma_{ij}$ yra tenzorius. Diferencijuodami šį tenzorių kovariantiškai pagal $x^k$ gausime:

$$ \nabla_k (\mathcal{L}_v \Gamma_{ij}) = \partial_k (\mathcal{L}_v \Gamma_{ij}) - \partial^s (\mathcal{L}_v \Gamma_{ij}) \cdot \Gamma_{sk} + (\mathcal{L}_v \Gamma_{sj}) \cdot \partial^s \Gamma_{ik} + (\mathcal{L}_v \Gamma_{is}) \partial^s \Gamma_{jk}. $$

Atlikę dešinės reiškinio pusės skaičiavimus ir alternuodami šią lygybę pagal $j$ ir $k$, gausime tapatybę:

$$ \nabla_k (\mathcal{L}_v \Gamma_{|i|j}) = \mathcal{L}_v R_{ijk}. \quad (7) $$
Analogiškai, kovariantiškai diferencijuodami $\mathcal{L}_v \Gamma_{ij}$ pagal $y_k$ ir pasinaudodami Ričči tapatybėmis [1] bei Lie išvestinės savybėmis išvesime pareinamybes:

$$ \partial^k (\mathcal{L}_v \Gamma_{ij}) = \mathcal{L}_v (\partial^k \Gamma_{ij}). \qquad (8) $$

Tuo būdu, vektoriniams laukams $v^i(x)$ tenkinantiems (6) lygtis, iš (7) ir (8) išplaukia:

$$ \mathcal{L}_v R_{ijk} = 0, \qquad (9) $$

$$ \mathcal{L}_v (\partial^k \Gamma_{ij}) = 0. \qquad (10) $$

**Teorema.** *Pirmoji (6) lygčių integruojamumo sąlygų serija yra (9) ir (10).*

Kitos serijos gaunamos pastarąsias lygtis diferencijuojant kovariantiškai po Lie išvestinės ženklu.

## Literatūra

[1] J. Pakalnytė, A.P. Urbonas, Kreivumo teorija atraminių elementų erdvėje $Y_n$, *Lietuvos matematikų draugijos mokslo darbai*, III, 193–201 (1999).

## Les mouvements dans l'espace $Y_n$

A.P. Urbonas

Dans cet article on trouve les équations des mouvements dans l'espace $Y_n$ conservants la connexion linéaire de cet espace. En même temps on a obtenu les premières séries des équations d'intégration.