# Calcul de la capacité portante d'une fondation en plasticité non associée par l'approche du bipotentiel

Madani Hamlaoui, Abdelbacet Oueslati, Géry de Saxcé

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Madani Hamlaoui, Abdelbacet Oueslati, Géry de Saxcé. Calcul de la capacité portante d'une fondation en plasticité non associée par l'approche du bipotentiel. 12e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2015, Giens, France. hal-01515071

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# Calcul de la capacité portante d'une fondation en plasticité non associée par l'approche du bipotentiel

M. Hamlaoui<fnref n="1" />, A. Oueslati<fnref n="2" />, G. de Saxcé<fnref n="2" />

**Résumé** — En plasticité associée, c'est-à-dire avec la loi de normalité, la solution analytique de Prandtl-Hill donne la charge limite exacte d'un poinçon sur un massif semi-infini de fondation avec le critère de Mohr-Coulomb. Sur la base de simulations numériques et d'une extension de l'analyse limite aux matériaux à lois non associées par l'approche du bipotentiel, on propose une solution analytique approchée par une méthode variationnelle et on la compare à la formule de Drescher et Detournay et aux résultats numériques.

**Mots clés** — plasticité non associée, analyse limite, mécanique des sols.

## 1 Enjeux

Pour évaluer rapidement et simplement la capacité portante d'une fondation ou la stabilité d'un talus, beaucoup de solutions analytiques ont été développées dans la littérature grâce aux outils classiques de l'analyse limite, basés sur la loi de normalité ([1], [4], [9]). Or, il est reconnu depuis longtemps par les expérimentateurs que cette loi est générallement violée par les géomatériaux et on sait que la capacité portante d'une fondation est d'autant plus réduite que le caractère non associé de la loi d'écoulement plastique augmente. Quoique de nombreux logiciels de calcul des structures en mécanique des sols permettent aujourd'hui d'évaluer numériquement cette charge en plasticité non-associée, peu de solutions analytiques existent. On se propose dans ce travail de combler se manque en utilisant une approche variationnelle et en étendant les outils classiques de l'analyse limite.

## 2 Bipotentiel

Nous considérons le modèle de Mohr-Coulomb non-associé caractérisé par trois constantes : une cohésion $c$, un angle de frottement $\varphi$ et un angle de dilatance $\psi$ compris entre 0 et $\varphi$. Le cas associé correspond à $\varphi = \psi$. Soient les contraintes normale $\sigma$ et tangentielle $\tau$ agissant à travers un élément de surface, le cône $K_\sigma$ des couples $\sigma = (\sigma, \tau)$ plastiquement admissibles (PA), c'est-à-dire satisfaisant le critère de plasticité :

$$|\tau| + \sigma \tan \varphi \le c$$

Soient les vitesses de déformation plastique normale $\dot{\epsilon}$ et tangentielle $\dot{\gamma}$ correspondantes, le cône $K_\epsilon$ des couples $\dot{\epsilon} = (\dot{\epsilon}, \dot{\gamma})$ plastiquement admissibles, c'est-à-dire tels que :

$$|\dot{\gamma}| \tan \psi \le \dot{\epsilon}$$

Au sommet $(H,0) = (c/\tan \varphi, 0)$ du cône $K_\sigma$, la vitesse de déformation correspondante appartient au cône $K_\epsilon$. Aux autres points de la surface de plasticité, la vitesse appartient au côtés du cône $K_\epsilon$ c'est-à-dire que $\dot{\gamma} \tan \psi = \pm \dot{\epsilon}$, le signe étant celui de $\tau$. Pour le cas associé ($\varphi = \psi$), on retrouve donc la loi de normalité.

Pour le cas non-associé, on peut montrer que cette loi de comportement peut être représentée par un *bipotentiel*, c'est-à-dire une fonction $b$ des contraintes et des vitesses de déformation, à valeur réelle, éventuellement infinie, semi-continue inferieurement et *convexe* par rapport à chacune de ces variables et satisfaisant l'inégalité fondamentale :

$$b(\dot{\epsilon}, \sigma) \ge \dot{\epsilon} : \sigma = \dot{\epsilon}\sigma + \dot{\gamma}\tau \quad (1)$$

<footnote n="1">¹ LML, Université de Lille 1 et Université de Chlef - Hassiba Benbouali (Algérie), madani.hamlaoui@ed.univ-lille1.fr</footnote>

<footnote n="2">² LML, Université de Lille 1, {abdelbacet.oueslati,gery.desaxce}@univ-lille1.fr</footnote>
où le second membre est la puissance dissipée. Les couples de vitesses de déformation et de contraintes satisfaisant l'égalité dans cette dernière relation sont ceux vérifiant la loi de comportement. Cette approche défini la classe des matériaux standard implicites, une classe plus large que celle des matériaux standards généralisés [7] pour lesquels le bipotentiel est séparé, somme d'un potentiel convexe et de sa fonction conjuguée :

$$b(\dot{\epsilon}, \sigma) = \phi(\dot{\epsilon}) + \phi^*(\sigma)$$

Dans ce cas, l'inégalité fondamentale (1) se réduit à celle de Fenchel [6].

On montre que le modèle de Mohr-Coulomb considéré est représenté par le bipotentiel non séparé égal à :

$$b((\dot{\epsilon}, \dot{\gamma}),(\sigma, \tau)) = H\dot{\epsilon} + (\tan \psi - \tan \varphi)(\sigma - H) |\dot{\gamma}| \quad (2)$$

si $(\dot{\epsilon}, \dot{\gamma}) \in K_{\epsilon}$ et $(\sigma, \tau) \in K_{\sigma}$, sinon égal à $+\infty$. Au passage, on remarquera que, dans le cas associé, l'expression (2) du bipotentiel se réduit à $c|\dot{\gamma}|$ qui est celle bien connue de la dissipation d'un matériau frottant obéissant à la loi de normalité.

### 3 Extension de l'analyse limite et méthode variationnelle

Un champ de vitesse $v$ est cinématiquement admissible (CA) s'il satisfait les conditions d'appui sur $S_v$ et si on peut lui associer un champ de vitesse de déformation $\dot{\epsilon} = d(v)$ dans la structure $V$, et licite s'il est en outre PA. Un champ de contrainte $\sigma$ est statiquement admissible (SA) s'il satisfait les conditions d'équilibre interne dans $V$ et, sur la partie restante $S_t$ du bord de $V$, la condition $t(\sigma) = \sigma \cdot n = \alpha \bar{t}^0$ où $\alpha$ est le facteur de charge multipliant les charges de référence. S'il est également PA, il est dit licite. On recherche le facteur limite $\alpha_L$ pour lesquel il existe des champs $v$ et $\sigma$ licites tels que $d(v)$ et $\sigma$ satisfont partout la loi de normalité et que la dissipation totale est non nulle. Introduisant les puissance interne et externe :

$$P_{\text{int}}(v, \sigma) = \int_V b(d(v), \sigma) dV, \quad P_{\text{ext}}^0(v) = \int_{S_t} v \cdot \bar{t}^0 dS$$

le facteur cinématique associé à un champ de vitesse d'essai $v'$, licite et satisfaisant $P_{\text{ext}}^0(v') > 0$, est défini par :

$$\alpha_k = \frac{P_{\text{int}}(v', \sigma)}{P_{\text{ext}}^0(v')} \quad (3)$$

Il dépend du champ de contrainte exact à la ruine $\sigma$ et fourni une borne supérieure de la charge limite de ruine :

$$\alpha_L \le \alpha_k$$

Ce résultat constitue le théorème cinématique étendu aux matériaux standards implicites. Une démonstration peut être trouvée dans ([2], [3]) ainsi que le théorème statique étendu. Il en découle un problème variationnel qui consiste à choisir des champs de vitesse d'essai et à minimiser la valeur de $\alpha_k$.

### 4 Capacité portante d'une fondation

Dans des conditions de déformations planes, un massif semi-infini de fondation dont le poids propre est négligé est soumis au déplacement vertical d'une semelle rigide frottante. Avec le modèle de Drucker-Prager non-associé, des calcul numériques par la méthode des éléments finis [8] ont montré que le mécanisme de ruine (Figure 1) est similaire à celui de Prandtl pour le cas associé (Figure 2) dans le sens où, sous la semelle, il n'y a qu'un seul bloc rigide triangulaire animé d'une vitesse verticale descendante, au contraire de celui de Hill qui en comporte deux.

Le point essentiel est que l'inclinaison du côté du triangle par rapport à l'horizontale est indépendant de l'angle de dilatance $\psi$ et peut dont être pris égal à $\pi/4 + \varphi/2$ (comparez les Figures 1 et 2).

Sur cette base, nous construisons un mécanisme symétrique inspiré de celui de Prandtl et composé de trois zones (Figure 3) : un bloc rigide triangulaire isocèle OAO' animé d'une vitesse verticale descendante et incliné d'un angle $\pi/4 + \varphi/2$, un éventail intermédiaire OAB de type log-spirale avec de la dissipation répartie et un bloc rigide triangulaire isocèle OBC animé d'une vitesse verticale ascendante et incliné d'un angle $\pi/4 - \psi/2$ dépendant de l'angle de dilatance.
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Mécanisme de ruine pour le modèle de Drucker-Prager non associé (φ = 35°, ψ = 25°)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Mécanisme de ruine pour le modèle de Drucker-Prager associé (φ = ψ = 35°)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Mécanisme proposé pour le cas non associé</figcaption></figure>

Par l'approche statique de l'analyse limite et la méthode classique des caractéristiques ([1], [4]), on construit un champ de contraintes SA et PA qui donne une estimation de la capacité portante égale à :

$$P_s = H \left[ e^{(\pi+\psi-\varphi)} \tan \varphi \tan^2 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2} \right) - 1 \right]$$

Il est à noter que cette approximation est a priori une borne inférieure de la charge limite exacte du cas associé correspondant mais pas forcement de celle du cas non associé. Dans le cas associé, soit en faisant φ = ψ, on retrouve la solution exacte. Quoique simple et ne garantissant pas les bornes, cette solution statique est néanmoins raisonnable et prise comme champ de contrainte d'essai dans l'approche variationnelle cinématique suivante.

On applique ensuite l'approche variationnelle en choisissant un champ de vitesse d'essai basé sur le mécanisme de la figure 3 et en calculant la valeur du facteur cinématique (3). Dans celle-ci, le champ de contrainte exact est inconnu. On le remplace donc par le champ d'essai obtenu précédemment. L'expression obtenue pour Pk n'est pas donnée ici faute de place.

# 5 Discussion des résultats et perspectives

Les valeurs de la capacité portantes sont données de manière adimensionnelle par référence à la solution exacte de Prandtl du cas associé. A la Figure 4, on a comparé les estimations statique Ps et cinématique Pk aux résultats numériques que nous avons réalisés avec le modèle de Drucker-Prager et à la solution analytique obtenue de manière empirique par Drescher-Detournay [5]. Pour le cas associé, les résultats numériques surestiment la solution de Prandtl mais cette différence est attribuable au
changement de modèle (Mohr-Coulomb et Drucker-Prager). On remarque également que $P_s$ est toujours inférieur à $P_k$. L'accord avec les solutions numériques et de Drescher-Detournay est encourageant.

Notons toutefois que cette dernière est obtenue en remplaçant dans la solution de Prandtl $c$ et $\varphi$ par des expressions $c^*$ et $\varphi^*$ dépendant de $c$, $\varphi$ et de l'angle de dilatance $\psi$. Elle n'est donc pas améliorable. Au contraire, nous espérons affiner nos estimations analytiques en faisant dépendre nos champs d'essai de paramètres inconnus, par exemple les angles d'inclinaisons du bloc rigide à droite, et en minimisant la valeur de $P_k$ par rapport à ces paramètres. C'est un des avantages de l'approche variationnelle adoptée.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Capacité portante adimensionnelle pour $\varphi = 30^\circ, \psi \in \{0, 15, 25, 30^\circ\}$.</figcaption></figure>

Références

[1] P. de Buhan. *Plasticité et calcul à la rupture*, Presses de l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, 2007.

[2] G. de Saxcé, L. Bousshine. *Limit Analysis Theorems for the Implicit Standard Materials : Application to the Unilateral Contact with Dry Friction and the Non Associated Flow Rules in Soils and Rocks*, International Journal of Mechanical Science, 40(4),387-398, 1998.

[3] G. de Saxcé, L. Bousshine. Chapter : Implicit standard materials. In D. Weichert G. Maier eds. *Inelastic behaviour of structures under variable repeated loads*, CISM Courses and Lectures 432, Springer (Wien), 2002.

[4] W. F. Chen. *Limit Analysis and Soil Plasticity*, Elsevier (New York), 1975.

[5] A. Drescher, E. Detournay. *Limit load in translational mechanisms for associative and nonassociative materials*, Géotechnique, 43(4), 443-456, 1993.

[6] W. Fenchel. *On conjugate convex functions*, Canadian Journal of Mathematics, 1, 73-77, 1949.

[7] B. Halphen, Nguyen Quoc Son. *Sur les matériaux standards généralisés*, Journal de Mécanique, 14 (1), 39-63, 1975.

[8] M. Hamlaoui, A. Oueslati, G. de Saxcé. *Finite element analysis of the plastic limit load and the collapse mechanism of strip foundations with non-associated Drucker-Prager model*, à paraître dans European Journal of Environmental and Civil Engineering, 2015.

[9] M. A. Save, C. E. Massonnet, G. de Saxcé. *Plastic limit analysis of plates, shells and disks*, Elsevier (New York), 1997.