# L'enseignement de la numération décimale de position au CE2 : étude des relations entre contraintes et libertés institutionnelles et pratiques des enseignants. Mémoire de Master.

Frédérick Tempier

► To cite this version:

Frédérick Tempier. L'enseignement de la numération décimale de position au CE2 : étude des relations entre contraintes et libertés institutionnelles et pratiques des enseignants. Mémoire de Master. IREM de Paris. IREM de Paris, 60, 2009, Cahier de DIDIREM, Christophe Hache, 2-86612-318-2. hal-02146992

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>
IREM
PARIS 7

N°60
décembre 2009

Ldarc
Laboratoire de didactique André Revuz
Mathématiques • Physique • Chimie

Cahiers de didirem

Mémoire de Master

L'enseignement de la numération décimale de
position au CE2 : étude des relations entre contraintes et
libertés institutionnelles et pratiques des enseignants.

F. Tempier

ISSN : 2102-4871

INSTITUT DE RECHERCHE SUR L'ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES
UNIVERSITÉ PARIS DIDEROT
Université Paris VII Denis DIDEROT
UFR de Mathématiques

Mémoire de Master de Didactique des Mathématiques
Parcours Recherche

par

Frédérick Tempier

<table><tr><td>L'enseignement de la numération décimale de position au CE2 : étude des relations entre contraintes et libertés institutionnelles et pratiques des enseignants.</td></tr></table>

par Marie-Jeanne Perrin-Glorian

Dirigé

Soutenu en juin 2009
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Remerciements

Je tiens à remercier Marie-Jeanne Perrin-Glorian pour son suivi et ses conseils qui m'ont éclairé sur l'utilisation des cadres théoriques de la didactique des mathématiques et m'ont permis de prendre conscience de la rigueur méthodologique liée au travail de recherche.

Je remercie également les trois enseignants qui m'ont ouvert les portes de leur classe cette année et sans qui ce travail n'aurait pu se faire.
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# Sommaire

<table><tr><td>Introduction</td><td>1</td></tr><tr><td>PARTIE A : Problématique et méthodologie</td><td>3</td></tr><tr><td>I. Position du problème en appui sur des travaux antérieurs</td><td>3</td></tr><tr><td>II. La problématique</td><td>10</td></tr><tr><td>III. Les cadres théoriques et la méthodologie</td><td>10</td></tr><tr><td>PARTIE B : Construction de l'OM de référence</td><td>17</td></tr><tr><td>I. Méthodologie</td><td>17</td></tr><tr><td>II. Comment peut-on définir le système de numération ?</td><td>17</td></tr><tr><td>II.1 Eclairage amené par des ouvrages de différentes époques</td><td>17</td></tr><tr><td>II.2 L'évolution de l'étude de la numération dans les manuels au cours du 20ème siècle</td><td>22</td></tr><tr><td>III. Les théories</td><td>28</td></tr><tr><td>III.1 La théorie classique</td><td>28</td></tr><tr><td>III.2 La théorie moderne</td><td>28</td></tr><tr><td>III.3 Illustration des différences entre ces théories sur une tâche</td><td>29</td></tr><tr><td>III.4 La théorie moderne adaptée</td><td>31</td></tr><tr><td>IV. Les types de tâches</td><td>32</td></tr><tr><td>V. Les techniques et technologies pour ces types de tâches</td><td>33</td></tr><tr><td>V.1 Les techniques et technologies relatifs à deux exemples de types de tâches</td><td>33</td></tr><tr><td>V.2 Les technologies</td><td>35</td></tr><tr><td>VI. Conclusion : schéma récapitulatif de l'OM de référence</td><td>37</td></tr><tr><td>VII. Les ostensifs de la numération</td><td>37</td></tr><tr><td>PARTIE C : Etude de l'OM à enseigner</td><td>43</td></tr><tr><td>I. Méthodologie</td><td>43</td></tr><tr><td>II. OM des Instructions Officielles de 2002</td><td>44</td></tr><tr><td>II.1 Les organisations mathématiques ponctuelles de l'étude de la numération dans le programme de 2002</td><td>44</td></tr><tr><td>II.2 L'organisation mathématique locale de l'étude de la numération dans le programme de 2002</td><td>49</td></tr><tr><td>II.3 Conclusions sur les IO 2002</td><td>50</td></tr><tr><td>II.4 Les évaluations nationales liées aux programmes 2002</td><td>51</td></tr><tr><td>III. OM de deux manuels de CE2 : « Cap Maths » et « J'apprends les maths »</td><td>52</td></tr><tr><td>III.1 Des éléments spécifiques de méthodologie</td><td>52</td></tr><tr><td>III.2 Les organisations mathématiques ponctuelles de « Cap Maths CE2 »</td><td>52</td></tr><tr><td>III.3 L'organisation mathématique locale de « Cap Maths CE2 »</td><td>58</td></tr><tr><td>III.4 Conclusion de l'étude de « Cap Maths CE2 »</td><td>59</td></tr><tr><td>III.5 Les organisations mathématiques ponctuelles de « J'apprends les maths CE2 »</td><td>60</td></tr><tr><td>III.6 L'organisation mathématique locale de « J'apprends les maths CE2 »</td><td>63</td></tr><tr><td>III.7 Conclusion de l'étude de « J'apprends les maths CE2 »</td><td>64</td></tr><tr><td>III.8 Conclusion de l'étude des manuels : comparaison des OM locales</td><td>64</td></tr><tr><td>IV. OM des Instructions Officielles 2007 et 2008</td><td>66</td></tr><tr><td>IV.1 Le programme 2007</td><td>66</td></tr><tr><td>IV.2 Le programme 2008</td><td>67</td></tr><tr><td>IV.3 Les évaluations nationales CM2 de 2009</td><td>68</td></tr><tr><td>IV.4 Conclusion sur les IO 2007 et 2008</td><td>68</td></tr><tr><td>V. Synthèse : les contraintes et libertés institutionnelles</td><td>69</td></tr><tr><td>PARTIE D : L'enseignement de la numération dans les classes : une étude de cas</td><td>72</td></tr></table>
<table><tbody><tr><td>I. Méthodologie</td><td>72</td></tr><tr><td>I.1 Le projet global, le projet local et la mise en œuvre</td><td>72</td></tr><tr><td>I.2 Le choix des classes et des enseignants</td><td>74</td></tr><tr><td>I.3 Recueil des données</td><td>74</td></tr><tr><td>II. Analyse du projet global des deux enseignants</td><td>75</td></tr><tr><td>II.1 Méthodologie</td><td>75</td></tr><tr><td>II.2 Le projet global du 1er enseignant (Marc)</td><td>77</td></tr><tr><td>II.3 Le projet global du 2ème enseignant (Sophie)</td><td>88</td></tr><tr><td>II.4 Conclusions sur les projets globaux des enseignants</td><td>99</td></tr><tr><td>III. Analyse de la mise en œuvre du projet dans la classe pour les deux enseignants</td><td>101</td></tr><tr><td>III.1 Méthodologie</td><td>101</td></tr><tr><td>III.2 La mise en œuvre du projet du premier enseignant (Marc)</td><td>102</td></tr><tr><td>III.3 La mise en œuvre du projet de la deuxième enseignante (Sophie)</td><td>118</td></tr><tr><td>III.4 Conclusions sur la mise en œuvre dans les classes des projets des enseignants</td><td>129</td></tr><tr><td>PARTIE E : Conclusion et perspectives</td><td>132</td></tr><tr><td>Bibliographie</td><td>136</td></tr><tr><td>1. Bibliographie générale</td><td>136</td></tr><tr><td>2. Manuels scolaires et textes officiels</td><td>138</td></tr><tr><td>ANNEXES</td><td>140</td></tr><tr><td>Annexes Partie B</td><td>140</td></tr><tr><td>Extrait du Traité de Reynaud 1821, paragraphe 2 intitulé « de la numération »</td><td>141</td></tr><tr><td>Annexes Partie C</td><td>143</td></tr><tr><td>Extraits du document d'application du programme 2002</td><td>143</td></tr><tr><td>Extraits de l'évaluation nationale CE2 de 2005</td><td>146</td></tr><tr><td>Extraits de l'évaluation nationale 6ème 2005</td><td>149</td></tr><tr><td>Extraits du programme de 2007</td><td>150</td></tr><tr><td>Extraits du Socle Commun 2007</td><td>151</td></tr><tr><td>Extraits du programme 2008</td><td>152</td></tr><tr><td>Extraits de l'évaluation nationale CM2 de 2009</td><td>153</td></tr><tr><td>Extraits du manuel « J'apprends les maths CE2 »</td><td>154</td></tr><tr><td>Extraits du manuel « Cap Maths CE2 »</td><td>161</td></tr><tr><td>Annexes Partie D</td><td>170</td></tr><tr><td>Cahiers d'élèves de la classe de Marc</td><td>170</td></tr><tr><td>Cahiers d'élèves de la classe de Sophie</td><td>185</td></tr></tbody></table>
# Introduction

Nous nous proposons d'étudier dans ce mémoire l'enseignement de notre système de numération décimale de position à travers une étude de cas.

La numération écrite joue un rôle central dans les mathématiques de l'école primaire. Elle permet de justifier des techniques de calcul : opérations posées ou multiplication par 10, 100, etc. Elle est un point d'appui pour le calcul réfléchi (les décompositions utilisant les puissances de 10 y jouent un rôle important) mais aussi pour les conversions entre unités de mesures pour les longueurs ou les masses. Enfin l'étude des nombres décimaux vient en prolongement des règles de la numération des entiers et elle va permettre de les généraliser.

Pourtant on peut souvent faire le constat dans les classes, auprès des enseignants, des difficultés suscitées par son apprentissage et parfois du désarroi de ces mêmes enseignants.

En outre, les recherches en didactique des mathématiques sont assez peu nombreuses sur ce sujet, en comparaison de ce que l'on peut trouver sur les nombres décimaux par exemple. On peut toutefois noter une étude très récente de Chambris (2008) concernant l'évolution de la numération dans les manuels au cours du 20ème siècle (et les liens entre numération et système métrique) sur laquelle nous nous appuierons.

L'objectif de notre travail est de mieux comprendre l'enseignement de la numération écrite des nombres à quatre chiffres à travers différents niveaux de la transposition didactique (Chevallard, 1991).

Dans les classes, à travers une étude de cas de deux enseignants lors de l'introduction des nombres à quatre chiffres nous essaierons de caractériser l'organisation mathématique enseignée de ces enseignants. Cela nous permettra de mieux comprendre le travail du professeur : hors classe à travers la préparation de son projet d'enseignement mais aussi en classe lors de la mise en œuvre de ce projet avec ses élèves. Pour prendre en compte la complexité de ce travail il faut étudier les liens entre ces deux aspects mais aussi regarder certaines dimensions particulières qui ont une influence sur la préparation et la mise en œuvre : les conceptions des enseignants sur l'enseignement et sur les mathématiques en général ainsi que la façon dont l'enseignant tient compte du travail des élèves. Pour cela nous nous appuierons sur le modèle de l'activité du professeur de Margolinas (2002) et sur l'analyse des classes ordinaires en théorie des situations didactiques (Perrin-Glorian et Hersant, 2003). Nous souhaitons ainsi reconstituer certaines logiques d'actions des enseignants par la reconstitution des différents niveaux de l'activité.

Un enseignant n'est pas totalement libre dans sa classe : il est sous l'influence de contraintes institutionnelles liées au contenu des programmes et manuels. Il est donc nécessaire de se placer à un autre niveau de la transposition didactique, celui de l'organisation mathématique à enseigner afin de faire un éclairage sur ces contraintes mais aussi de montrer des marges de manœuvre des enseignants, des espaces de libertés qu'ils pourront plus ou moins occuper ensuite dans leur pratique. Comme le précisent Bosch et Gascon (2005) il est intéressant de se donner un « point de vue épistémologique », fourni par une organisation mathématique de référence, afin d'analyser les contenus des programmes et manuels. Celle-ci permettra également d'éclairer les mathématiques qui sont à l'œuvre dans les classes.

Nous allons commencer par présenter la problématique ainsi que la méthodologie utilisée et revenir plus en détail sur les cadres théoriques en jeu et leur articulation.
# PARTIE A : Problématique et méthodologie

Remarque préliminaire : quand nous parlerons de « numération de position » il s'agira de notre système de désignation écrite des nombres entiers. C'est un système de numération positionnel et décimal.

Nous appellerons *nombre en chiffres* le signe utilisé dans cette désignation écrite (par exemple « 325 ») que nous distinguerons du *nombre en mots* (par exemple « trois cent vingt-cinq » à l'écrit ou à l'oral).

## I. Position du problème en appui sur des travaux antérieurs.

### Les deux aspects de la numération décimale de position

Dans l'écriture en chiffres d'un nombre, la position réfère à une unité : dans 3234, le 3 représente 3 milliers, etc. Cela donne une valeur différente à un même chiffre en fonction de sa position : le 3 du quatrième rang représente 3 milliers alors que le 3 du deuxième rang représente 3 dizaines. C'est ce qui fait que l'on parle de système de numération « positionnel ». Nous appellerons cet aspect de notre système *l'aspect positionnel de la numération*.

De plus, les différentes unités sont liées entre elles par des « relations » décimales : dix unités d'un certain ordre équivalent à une unité de l'ordre immédiatement supérieur de manière itérative : dix unités équivalent à une dizaine, dix dizaines à une centaine, etc. Il en découle alors des relations entre les unités des différents ordres (par exemple un millier équivaut à cent dizaines, etc.). C'est ce qui fait que notre système de numération est « décimal ». Nous appellerons cet aspect de notre système, *l'aspect décimal de la numération*.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 1: les deux aspects de la numération</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Ces deux aspects de la numération sont très naturalisés chez les adultes (ce qui pourrait d'ailleurs constituer une difficulté possible pour les enseigner) mais finalement quand on regarde l'écriture d'un nombre (en chiffres) on ne voit pas apparaître la notion de base de numération. Les différentes unités ainsi que les liens entre ces unités sont invisibles dans cette écriture. Il s'agit bien d'une convention d'écriture qu'il s'agit de comprendre. En particulier, pour les élèves il s'agira d'apprendre ce que cache cette écriture en chiffres. C'est la conjonction des deux aspects de la numération qui est au cœur de cet apprentissage.

### Quelques éclairages épistémologiques et sémiotiques

Serfati (2005) parlant de l'interprétation d'un nombre écrit 24579 comme « neuf unités à quoi s'ajouteront sept dizaines, etc., deux dizaines de milliers enfin. Si immédiate qu'elle nous paraisse aujourd'hui, cette interprétation aura cependant requis deux aspects distincts et liés, position et décimalité, dont la conjonction signifiante n'était nullement allée de soi des siècles durant ». Une spécificité de notre système de numération tient donc au fait que la
« concaténation » (Serfati) de chiffres cache le fait que ces chiffres n'ont pas tous la même valeur et surtout le lien (décimal) entre les valeurs de ces chiffres.

De ce point de vue il est important de regarder l'objet qui représente, et pas seulement celui qui est représenté, pour éviter l'illusion de transparence de la représentation. Pour Duval (1996) :

> « Toute représentation étant représentation de quelque chose de réel, d'imaginaire ou de théorique, on peut alors diriger son attention directement sur l'objet représenté comme si la représentation était transparente, ou on peut se centrer sur la représentation elle-même, c'est-à-dire sur la manière dont la représentation représente. En mathématiques, où les objets ne sont accessibles qu'à travers des représentations et où les traitements dépendent des possibilités données par les représentations elles-mêmes, le point de vue de dicto ou de representation ne peut pas être considéré comme secondaire, même si pour le mathématicien c'est le point de vue de re ou de objecto qui, en définitive, compte ».

C'est bien cette centration sur la représentation (ici l'écriture en chiffres) qui nous intéresse quand nous étudions le système de numération car il s'agit de comprendre les règles de fonctionnement de ce système sémiotique.

Concernant les systèmes de numération, Duval, dans un autre article (2005) affirme que

> « les systèmes décimaux, binaires, etc. de représentation des nombres sont les systèmes sémiotiques les plus simples, les plus purs et les plus puissants que l'on puisse trouver. Ainsi ils ont une règle organisatrice (un déplacement de position vers la gauche correspond à une opération d'élévation à la puissance) et leurs éléments sont définis par la base, laquelle comprend ce signe « 0 » qui ne peut désigner aucun objet. Les traitements numériques effectués dans ces systèmes, doivent respecter ces règles et contraintes organisatrices internes au système, car ce sont elles qui leur donnent non seulement une capacité de représentation illimitée mais également leur puissance opératoire pour toutes les opérations arithmétiques ».

L'apprentissage de la numération consiste donc bien en l'apprentissage de ces règles organisatrices, qui rendent ce système si « puissant », mais qui en retour est assez transparent concernant les propriétés qu'il met en jeu. On peut par exemple comparer avec les systèmes de numération additifs qui sont moins simples et moins puissants mais pour lesquels on voit les différentes unités à travers les différents symboles utilisés et les relations entre ces unités apparaissent à travers les groupements et échanges que l'on peut effectuer.

On pourrait alors se demander si, une fois que les enfants ont compris la relation entre unités et dizaines, ils peuvent les étendre aux relations entre les autres unités (construction itérative de notre système de numération).

## Du point de vue des élèves

Sinclair, Tièche-Christinat et Garin (1994) concluent de leur étude auprès d'enfants de 5 à 7 ans que même si cela est vrai dans le domaine arithmétique, pour lequel les enfants se construisent des propriétés sur des petits nombres qu'ils étendent ensuite progressivement aux nombres plus grands, en revanche, « en ce qui concerne la compréhension du système écrit », ils constatent « tout autre chose. Il n'est pas vrai que le jeune enfant (5-7 ans) construit des intuitions (ou même une compréhension) de la signification différente des chiffres dans les nombres écrits représentant des petits nombres (dizaines) pour ensuite étendre cette compréhension à des nombres progressivement plus grands. L'enfant dispose d'un répertoire varié de conduites face à ce matériel graphique particulier et les diverses procédures qu'il utilise dépendent du type de nombres présentés ».

Dans l'étude de Thompson et Bramald (2002) sur les difficultés des élèves relatives à l'étude du système de numération, les auteurs placent tout d'abord leurs résultats en parallèle avec
ceux obtenus par d'autres recherches antérieures et sont amenés, en approfondissant leur étude, à faire apparaître les deux aspects de la numération (position et décimalité).

Ils ont cherché à étudier des relations entre le concept de « place value » (que l'on pourrait traduire par la valeur des chiffres en fonction de leur position) et les compétences de calcul mental d'additions pour des enfants de 6 à 9 ans (l'équivalent du CP au CE2 en France).

Ils ont repris en particulier pour leur expérience un test déjà utilisé par différents chercheurs, qu'ils nomment « face value task ». Cela consiste à :

- faire lire un nombre à deux chiffres à l'élève,

- lui faire compter ce nombre d'objets à partir d'une collection,

- entourer le chiffre des unités devant l'élève et lui demander de montrer avec les objets de la collection ce que signifie cette partie du nombre,

- faire de même avec le chiffre des dizaines.

C'est principalement l'aspect positionnel de la numération qui est en jeu dans cette tâche car par exemple pour 43, il s'agit d'associer le « 4 » à « quarante » (ce qui peut se faire en passant par l'écriture 40 ou bien par le fait que 4 dizaines c'est quarante). Les auteurs mettent les résultats de leur étude en parallèle avec ceux obtenus par d'autres chercheurs concernant la réussite à cette tâche pour des élèves d'âges différents :

<table><caption>Tableau 1 : comparaison des résultats obtenus par quatre chercheurs à la tâche « face value »</caption><thead><tr><th>Classe (équivalent France)</th><th>% Ross<sup>1</sup> (USA)</th><th>% Kamii<sup>2</sup> (USA)</th><th>% Price<sup>3</sup> (AUS)</th><th>% Thompson & Bramald (ENG)</th></tr></thead><tbody><tr><td>CP</td><td></td><td>0</td><td></td><td>54</td></tr><tr><td>CE1</td><td>20</td><td></td><td>44</td><td>77</td></tr><tr><td>CE2</td><td>33</td><td>33</td><td></td><td>79</td></tr><tr><td>CM1</td><td>53</td><td>50</td><td></td><td></td></tr><tr><td>CM2</td><td>67</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Moyenne</td><td>43</td><td>*</td><td></td><td>70</td></tr></tbody></table>

Les trois premières études montrent une difficulté importante (mais décroissante avec l'âge) relativement à cette tâche. On peut par exemple s'étonner de voir que seulement la moitié des élèves interrogés par Ross réussissent à faire le lien entre le chiffre des dizaines et une quantité d'objets, sachant que par exemple en France à cet âge-là les enfants ont à étudier les nombre jusqu'au milliard (dans les programmes 2008). Un autre point surprenant de ce tableau est la différence des résultats obtenus par les chercheurs anglais avec les études précédentes. Ces chercheurs s'étonnent eux-mêmes de cet écart, sachant qu'ils ont utilisé quasiment les mêmes formulations et ont repris le même nombre d'objets que les études américaines. Ils justifient cet écart en particulier par l'influence du National Numeracy Strategy, un programme national créé en 1999 puis inclus en 2003 dans le « National Strategies » (l'équivalent de nos programmes officiels au Royaume-Uni) et visant à améliorer les compétences des élèves dans le domaine des nombres et du calcul. Celui-ci affirmait par exemple la nécessité de mettre en avant les stratégies utilisées par les enfants dans le calcul à travers des discussions entre élèves et enseignants ou encore l'utilisation des cartes Gattegno (ci-contre) dans les moments de calcul mental de début de séance. L'utilisation de

<footnote>* Il n'a pas été possible de calculer la moyenne car les données provenaient de différentes sources.</footnote>

<footnote n="1">¹ Ross, S. (1989). Parts, wholes and place value: a developmental view. *Arithmetic Teacher*, 36(6), 47-51.</footnote>

<footnote n="2">² Kamii, C. and Joseph, L. (1988). Teaching place value and double column addition. *Arithmetic Teacher*, 48-52.</footnote>

<footnote n="3">³ Price, P. (1998). Year 3 students' place-value misconceptions: another look at MAB, *Teaching mathematics in new times* (Vol. 2). Annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia, 452-459.</footnote>
ce matériel peut justement aider les élèves à déterminer la valeur d'un chiffre en fonction de sa position, comme il est demandé dans la tâche « face value » car le 5 est associé à 50 (et c'est justement ce qui est attendu dans cette tâche).

Cependant, malgré cette réussite apparente, les auteurs ont montré que cela ne prouvait pas pour autant une réelle compréhension de notre système de numération. En particulier ils ont utilisé la tâche suivante pour laquelle les élèves ont rencontré beaucoup de difficultés : il s'agit d'utiliser un tableau de numération et de placer 3 cubes dans la colonne des dizaines et 4 dans la colonne des unités, puis de demander le nombre représenté. Ensuite on enlève les 3 cubes de la colonne des dizaines et on montre les cubes

restants : « Ces cubes sont dans la colonne des unités et donc on dit qu'ils représentent 'quatre'. Je déplace les cubes dans la colonne suivante ... Peux-tu me dire de combien la valeur des cubes a changé ? » (question 8). Pour les enfants qui ne donnent aucune indication du fait que la valeur augmente de 10 fois (en passant de la colonne des unités à la colonne des dizaines), on pose la question : « Combien de fois plus grand est-il maintenant ? » (question 8b). C'est l'aspect décimal de la numération qui est en jeu dans cet item. En voici les pourcentages de réussite :

<table><caption>Tableau 2 : résultat aux deux items de Thompson et Bramald (2002)</caption><thead><tr><th>Classe (équivalent France)</th><th>% Item 8a</th><th>% Item 8b</th></tr></thead><tbody><tr><td>CP</td><td>2</td><td>13</td></tr><tr><td>CE1</td><td>6</td><td>30</td></tr><tr><td>CE2</td><td>21</td><td>44</td></tr><tr><td>Moyenne</td><td>10</td><td>28</td></tr></tbody></table>

Cela contraste avec les résultats obtenus à l'item précédent et montre, selon les auteurs, que les élèves n'ont pas conscience de la structure en colonne du système de numération écrite (« column structure of the notation system used for written numbers ») ce qu'ils appellent aussi la valeur de colonne (« column value »).

Les auteurs concluent alors que le concept de « place value » devrait être vu selon deux concepts séparés : valeur de quantité (« quantity value ») et valeur de colonne (« column value »).

Nous pouvons faire le parallèle entre ce concept de « place value » et celui de « valeur d'un chiffre en fonction de sa position » que l'on trouve actuellement dans les programmes en France. Cette dernière expression pourrait être interprétée comme faisant uniquement référence à l'aspect positionnel de la numération : dans 1234, le 2 représente 2 centaines ou 200. C'est ce qui correspond à ce que Thompson et Bramald (2002) nomment la valeur de quantité. Mais il faut aussi prendre en compte l'aspect décimal de l'écriture des nombres dans 1234, le 2 représente 2 centaines ou 200 mais aussi 20 dizaines car 1 centaine est composée de 10 dizaines (ou encore il représente dix fois plus que s'il était placé au rang immédiatement à sa droite). C'est ce qui correspond à ce que Thompson et Bramald (2002) nomment la valeur de colonne.

Cette étude révèle donc selon nous un point essentiel pour l'apprentissage de la numération : les élèves peuvent rencontrer des difficultés relativement à l'aspect décimal de la numération (relations entre unités) malgré une assez bonne compréhension de l'aspect positionnel (relation entre les unités et le rang dans l'écriture chiffrée). On peut également ajouter que la

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 2 : exemple de cartes Gattegno</figcaption></figure>
compréhension de l'aspect positionnel pourrait cacher une non-compréhension de l'aspect décimal si on ne propose que certaines tâches (comme la tâche « face value » par exemple).

Pour mieux comprendre pourquoi l'aspect décimal peut ne pas être en jeu quand on attend d'un élève qu'il dise que le 4 de 43 représente 40 (« face value task »), il suffit de remarquer que cela est aussi le cas quelle que soit la base de numération choisie (à condition dans le cas de « 43 » qu'elle soit strictement supérieure à 4). En effet pour toute base $b$ (ici $b$ entier naturel strictement supérieur à 4) on peut décomposer $\overline{43}$ (base $b$) en $\overline{40} + \overline{3}$ (base $b$). Cette décomposition est donc indépendante de la base choisie. Par contre cela n'est pas le cas si on utilise une décomposition faisant intervenir les unités en langue naturelle (unités, dizaines, centaines, etc.) car le mot dizaine réfère à un paquet de dix unités. Cependant certaines recherches tendent à montrer que ces noms d'unités réfèrent parfois uniquement aux noms des rangs du nombre en chiffres et non à une unité, chez les élèves comme chez certains enseignants, comme nous allons le voir.

## Du point de vue des enseignants

Dans une recherche québécoise de cinq années sur la numération de position au primaire au début des années 1980, Bednarz et Janvier (1984), ont mis en évidence certaines « difficultés suscitées par son apprentissage ». En fait, on pourrait davantage parler de difficultés suscitées par son enseignement car il s'agit pour les auteurs de donner quelques caractéristiques de l'enseignement de la numération dans les classes observées (sur un échantillon de 200 élèves) et de montrer ensuite les difficultés qu'elles peuvent engendrer chez les élèves à la suite de leurs expérimentations.

Elles ont mis en évidence, à partir de leurs observations, la caractéristique suivante : « toute représentation du nombre apparaît selon un alignement reprenant l'ordre de l'écriture conventionnelle du nombre ». Elles concluent alors qu' « imposer prématurément une présentation ordonnée conduit nécessairement l'enfant à une interprétation de l'écriture en termes de découpage, d'ordre, de position, et écarte toute signification véritable accordée à cette position en termes de groupements ».

Elles citent également d'autres caractéristiques qui font apparaître que les activités proposées par les enseignants ne permettent pas une compréhension véritable de la relation entre les différentes unités de la numération car cela se limite souvent à associer un matériel de numération (éventuellement représenté) au nombre en chiffres (ce qui relève de l'aspect positionnel de la numération).

Quand il y a un travail sur les relations entre les unités cela semble souvent se limiter aux unités consécutives (comme par exemple entre dizaines et centaines ou centaines et milliers). La difficulté d'articuler deux échanges successifs (passer par exemple des dizaines aux milliers) n'est pas l'objet d'un travail spécifique dans les classes.

De par nos expériences d'observation de maîtres débutants, nous reconnaissions dans ces constats, même s'il s'agit d'une époque et d'un pays différents, des caractéristiques qui nous semblent correspondre à ce qui se passe encore aujourd'hui dans l'enseignement de la numération en France.

Dans une recherche sur les connaissances des enseignants relatives aux mathématiques à enseigner à l'école, Ma (1999) compare les connaissances d'enseignants chinois et américains (USA). Elle ne travaille pas directement sur l'observation de leur enseignement en classe, mais à travers des entretiens avec les enseignants sur les techniques opératoires de la soustraction et de la multiplication pour ce qui nous intéresse ici. Elle montre que les connaissances de numération ne sont pas mobilisées par certains enseignants (la plupart dans ce cas-là sont des Américains) pour justifier ou expliquer ces opérations posées. Ils en restent à des descriptions « procédurales », se contentant de dire comment il faut faire, contrairement à d'autres qui ont une approche plus « conceptuelle ». Ces derniers justifient les différentes
étapes des algorithmes en mettant en relation les savoirs mathématiques en jeu. L'auteur explique alors que même si ces deux groupes d'enseignants utilisent dans leurs explications le terme « place value » (valeur des chiffres en fonction de leur position) ce n'est pas avec la même signification (nous traduisons) :

> « Ce que les enseignants classés du côté « procédural » voulaient dire par « place value » était seulement la première moitié de cette expression, « place » - la position des nombres [...]. Quand des enseignants [...] parlaient de la « colonne des dizaines » (« tens column ») ou de la « colonne des centaines » ils ne se concentraient pas sur la valeur des chiffres dans ces colonnes. Ils utilisaient les termes « dizaines » et « centaines » comme des étiquettes pour les colonnes ».

Ces enseignants ne prennent donc en compte que l'aspect positionnel de la numération, ce qui semble donc rejoindre les constats faits par Bednarz et Janvier (1984).

Tout cela nous amène à nous poser déjà un certain nombre de questions sur l'enseignement de la numération, en particulier, la façon dont les activités proposées par les enseignants peuvent permettre aux élèves d'être confrontés aux relations entre les différentes unités, sur la question de l'utilisation du matériel (de numération) dans les classes pour savoir comment elle s'articule avec ces savoirs, mais du point de vue des enseignants, sur les raisons possibles de la différence d'utilisation des savoirs relatifs à la numération pointée par Ma (1999). En particulier le fait qu'il s'agisse d'enseignants de deux pays différents nous amène à nous interroger sur les influences institutionnelles (des programmes, des manuels du pays, etc.) sur la façon dont les enseignants traitent l'étude la numération.

## « Un état des lieux sur l'enseignement de la numération au cycle 3 » en France

De son côté, Parouty (2005) dresse un « état des lieux sur l'enseignement de la numération décimale de position au cycle 3 » en France. Sur un échantillon important d'élèves de cycle 3 (421 élèves de CE2, CM1, CM2), elle observe les difficultés rencontrées sur certaines tâches de numération.

Concernant l'exercice suivant : « pour carreler une pièce, il faut 8564 carreaux. Les carreaux sont vendus par paquets de 100. Combien de paquets faut-il commander ? », elle constate un échec massif des élèves en CE2. Elle donne également un problème du même type aux élèves de CM1 (avec des nombres plus grands) où elle observe également un échec massif. Enfin le problème donné aux élèves de CM2 (il s'agit de nombres plus grands, avec des contenances et des groupements par 200) fait apparaître un échec moins important ce qui s'explique par le fait que les élèves utilisent alors l'algorithme de la division pour le résoudre.

La numération ne semble donc pas disponible au CE2 et au CM1 pour résoudre des problèmes de groupements par 100.

Elle montre également que pour les enseignants des élèves évalués cette situation est considérée comme difficile par plus de 85% d'entre eux. Elle ajoute :

> « Dubitative, j'ai posé la même question aux enseignants en formation, dans le cadre de mon protocole expérimental. A l'unanimité, tous les enseignants [...] ont répondu soit qu'il s'agissait d'une résolution de problème, soit, à l'écrasante majorité, qu'il s'agissait d'une situation d'apprentissage de la division et d'ajouter que c'était impossible de demander cela à des CE2 ».

Ceci semble pouvoir expliquer en grande partie les résultats obtenus par les élèves.

Cette étude nous amène à formuler d'autres types de questions, toujours du point de vue de l'enseignement de la numération, sur les types de situations proposées par les enseignants et sur la part de l'activité de résolution de problèmes par rapport aux activités plus techniques.
Concernant cette dernière question, Bednarz et Janvier (1984) concluent de leur étude :

> "Les résultats et les observations nous révèlent le peu de soutien qu'apporte l'enseignement courant de la numération. Axé sur l'écriture conventionnelle, cet enseignement met davantage l'accent sur le bagage symbolique et le vocabulaire technique que sur le sens que l'enfant doit accorder à l'écriture. En effet, celui-ci interprète l'écriture en termes de découpage, d'ordre, de position sans donner à la position une signification véritable en termes de groupements. On dicte à l'enfant beaucoup de règles ou de procédures qu'il apprend et applique, le plus souvent, mécaniquement. En conséquence, lorsque l'enfant rencontre l'une des difficultés soulignées précédemment, il est complètement démuni et n'a aucun recours (dessin, matériel, situation significative analogue ...) autre que l'écriture. Il n'essaie pas de donner un sens à ce à quoi il est confronté mais cherche plutôt à retrouver la règle oubliée ou la faille dans la procédure qu'il applique. Ceci nous révèle le peu de compréhension de la numération."

Parouty a cherché l'origine de ce phénomène dans les conceptions des enseignants concernant la numération et son enseignement. Cependant, il ne nous semble pas qu'une telle interprétation suffise à comprendre l'origine des caractéristiques de l'enseignement de la numération, mais que celles-ci doivent être analysées en prenant en compte les contraintes liées au contenu à enseigner proposé par les programmes et les manuels qui influencent de manière importante les pratiques des enseignants (comme nous l'avons relevé dans l'étude de Ma, concernant des enseignants de « cultures » différentes).

Il faut donc dépasser cette idée de « caractéristiques » de l'enseignement, pour essayer d'étudier les pratiques des enseignants en nous intéressant à la fois aux contenus mathématiques mais aussi aux déroulements en classe pour comprendre les choix effectués par les enseignants.

On retrouve dans ces recherches, également, la difficulté liée à la conjonction de l'aspect positionnel et décimal de la numération. Elle apparaît comme la principale difficulté dans l'apprentissage de notre système de numération (du point de vue des élèves) et elle pourrait avoir son origine dans l'enseignement de la numération. Bednarz et Janvier (1984) l'appellent la « signification véritable [de la position d'un chiffre] en termes de groupements ».

On peut alors se demander comment est prise en compte la conjonction des deux aspects (position et décimalité) dans les attentes institutionnelles ainsi que dans les pratiques des enseignants.

## Le choix des nombres à quatre chiffres pour cette étude

Ce choix est principalement guidé par l'étude de la conjonction des deux aspects de notre système de numération écrite (aspect décimal/aspect positionnel).

En effet, cela permet de voir en particulier comment sont traitées les relations entre les unités de la numération, qui sont plus riches qu'avec les nombres de deux ou trois chiffres (on a par exemple : 1m=10c, 1m=100d, 1m=1000u mais aussi toutes les relations entre les unités des nombres à trois chiffres). Cela met donc en jeu l'itération des groupements par 10 (pour les nombres à trois chiffres c'est assez pauvre puisque l'on a seulement 10u=1d et 10d=1c), mais aussi toutes les relations qui découlent de ces groupements par 10 : les relations entre milliers et dizaines, milliers et unités et entre centaines et unités (1m = 100d, 1m = 1000u et 1c = 100u). Mais comme les relations avec les unités sont données directement par l'écriture en chiffres (1m s'écrit 1000 donc c'est 1000u) ou la lecture (quand on lit « millier » ou « centaine » on entend le nombre d'unités : mille ou cent), la relation qui nous semble importante et difficile pour l'apprentissage est celle qui existe entre le millier et la dizaine : celle-ci n'est pas visible directement par l'écriture chiffrée ou la lecture du mot « millier ». Cette caractéristique essentielle ne se retrouve qu'à partir des nombres à quatre chiffres, et
elle devrait, selon nous, constituer un enjeu important dans l'apprentissage de la numération pour ces nombres.

On peut aussi ajouter que, concernant les activités de lecture, écriture et manipulation de nombres à plusieurs chiffres pour les enfants de 5 à 7 ans, Sinclair, Tièche-Christinat et Garin (1994) rappellent que « différents travaux [...] montrent clairement que ces activités, ne peuvent pas pour ce groupe d'âge, reposer sur une compréhension de la structure multiplicative et récursive de notre système de nombres, ni sur une compréhension de la valeur de position, principe qui sous-tend la numération écrite. »

Notre choix s'est donc porté sur l'observation de classes de CE2 (élèves de 8-9 ans).

Nous allons maintenant préciser la problématique du mémoire à partir des questions soulevées dans cette première partie.

## II. La problématique

Comment un enseignant prend-il en compte les deux aspects de la numération, position et décimalité ? Quels sont les choix qu'il effectue lors de l'introduction des nombres à quatre chiffres au niveau de la préparation de son projet (hors classe) mais aussi dans sa mise en œuvre avec les élèves (en classe) ?

Pour mieux comprendre ces choix, il faut les mettre en relation avec la façon dont les programmes et manuels prennent en compte l'étude de la numération. Quelles sont alors les contraintes institutionnelles qui risquent d'influencer les pratiques des enseignants ? Quelles sont les marges de manœuvre que ceux-ci peuvent investir ?

Nous allons donc faire une étude en plusieurs étapes : une étude des programmes et manuels suivie d'une étude de cas de deux enseignants. Nous précisons maintenant les cadres théoriques utilisés.

## III. Les cadres théoriques et la méthodologie

Pour étudier l'activité des enseignants (hors classe lorsqu'ils préparent une séance ou un ensemble des séances et en classe lorsqu'ils mettent en œuvre cette préparation), nous nous appuyons sur l'analyse de cette activité du point de vue de la théorie des situations didactiques.

### Le modèle de l'activité du professeur en TSD

Nous nous appuyons en particulier sur l'article de Margolinas (2002). Les différents niveaux de cette activité sont schématisés par le tableau ci-dessous, extrait de Coulange (2006) qui a toutefois l'inconvénient de ne pas montrer l'imbrication de ces différents niveaux :

**Niveau +3 : idéologique**

Réfléchir de façon générale à son enseignement des maths

**Niveau +2 : de projet global**

Concevoir les grandes lignes d'enseignement d'un thème mathématique

**Niveau +1 : de projet local**

Déterminer un scénario de leçon ou de situation

**Niveau 0 : didactique**

Action du professeur en classe – interactions publiques avec les élèves

**Niveau -1 : d'observation/dévolution**
<caption>Tableau 3 : les niveaux d'activité du professeur</caption>

Dans une première description approximative du modèle, Margolinas (2002) décrit ainsi les liens entre les différents niveaux :

> « Le professeur acteur en classe (P0) est toujours en tension entre : son projet d'enseignement (+1) et les réactions des élèves (-1). Mais même le professeur qui prépare une leçon (P+1) est en tension entre sa planification du thème mathématique à l'intérieur duquel s'insère la leçon (+2) et ce qu'il sait des conditions de la réalisation en classe (0). »

Elle précise cependant que cette

> « présentation de l'activité du professeur peut laisser penser qu'il s'agit d'un modèle temporel, c'est à dire que le professeur passe l'un après l'autre dans tous les niveaux considérés. En fait nous allons voir que ce modèle n'est pas temporel mais structurel.

> Par exemple, quand il agit dans la classe, une première interprétation pourrait conduire à comprendre l'activité du professeur comme une activité didactique (niveau 0). Mais le professeur en classe peut travailler à son projet de future leçon (niveau +1), ou bien (toujours au niveau +1) au projet de la même leçon mais dans une autre classe. [...] Il existe donc une complexité temporelle de l'activité du professeur. »

Pour étudier l'activité du professeur pour l'enseignement de la numération, nous allons donc chercher à caractériser :

- le projet global de l'enseignant (+2) qui correspond à ce que l'enseignant projette de faire étudier à ses élèves, la progression qu'il a choisie, les contenus à travailler, les savoirs qu'il souhaite institutionnaliser, etc.

- le projet local (+1) qui correspond à la préparation d'une séance ou d'une situation particulière et des choix effectués par l'enseignant dans l'organisation de cette séance (ou situation).

- L'action didactique (0) qui correspond à la mise en œuvre de ce projet avec ses élèves.

Pour enrichir ce modèle, Margolinas (2002) utilise la notion de milieu du professeur et le modèle de la structuration des milieux qui lui permet de

> « rendre compte du caractère réflexif du travail du professeur : Grâce à l'observation de l'activité des élèves (Niveau -1), le professeur peut prendre des décisions en classe (Niveau 0) qu'il n'avait pas anticipées, mais aussi transformer sa séquence (Niveau +1) voire sa conception du thème mathématique (Niveau +2) et même une de ses idées sur l'enseignement en général (Niveau +3). En changeant de conception sur l'enseignement des mathématiques (Niveau +3), le professeur peut transformer sa façon d'envisager l'enseignement d'un thème mathématique (Niveau +2), ce qui conduit à des projets de leçon différents (Niveau +1), et change aussi le type d'explication qu'il donne en classe (Niveau 0) et sa façon d'interpréter le travail des élèves (Niveau -1). »

Le professeur est alors perçu comme « un sujet dont les connaissances lui permettent d'interagir avec un milieu, qui en retour permet de transformer ses connaissances, c'est à dire d'apprendre ».

Tout comme Brousseau (1998) avait caractérisé « le milieu comme un ‘oignon’ dans une structure récursive dans laquelle la situation de niveau *n* devient le milieu de la situation de niveau *n+1* », Margolinas (2002) utilise ce modèle pour caractériser l'activité de l'enseignant en le prolongeant donc aux niveaux surdidactiques (niveaux strictement positifs du tableau précédent).
Une utilisation particulière de ce modèle

Pour définir notre méthodologie d'analyse de l'activité du professeur, se pose alors la
question de la description des différentes situations du professeur. Nous traiterons de manière
différente le niveau didactique et le niveau surdidactique.

En effet, pour les niveaux surdidactiques, nous utilisons le modèle de Margolinas (2002) en
conservant l'idée de situations emboîtées mais nous nous centrons sur l'analyse de la situation
didactique et nous regardons alors les niveaux surdidactiques à un grain plus large. Ainsi nous
considérons l'étude des pratiques des enseignants à travers les différents niveaux d'activité,
en prenant en compte la complexité de ces pratiques (complexité temporelle et emboîtement
de situations) mais de façon plus large pour essayer de déterminer des logiques d'action. En
cela nous nous inspirons de la double approche didactique et ergonomique de Robert et
Rogalski (2008), comme le fait Coulange (2006) qui précise que « ces logiques d'action qui
émergent à la fois par et dans l'activité du professeur suggèrent en quelque sorte une analyse
plus horizontale des niveaux didactiques et d'observation/dévolution : sans remontée obligée
dans les niveaux surdidactiques, tout en restant cohérente avec ces niveaux ».

Concernant le niveau didactique, nous utiliserons une description en termes de situation. La
situation didactique est définie en deux temps, par une analyse a priori suivie d'une analyse a
posteriori qui prend en compte le déroulement de cette situation avec les élèves. Elle prend en
compte le point de vue du professeur et des élèves.

Les concepts de « milieu » et « contrat didactique » pour l'analyse des classes ordinaires

Dans le cas de l'observation de classes « ordinaires », se pose le problème de l'utilisation du concept de situation adidactique. Comme le précisent Perrin-Glorian et Hersant (2003) « dans une situation de classe réelle il est parfois difficile de distinguer ce qui relève du milieu adidactique et ce qui relève du contrat didactique ».

Il ne s'agit pas alors de chercher des situations adidactiques dans ce qui est proposé par le
maître mais plutôt de reconstruire une situation théorique (au sens de la TSD) qui modélise le
déroulement en classe, puis de regarder comment le maître l'utilise ou non dans le
déroulement effectif de la situation.

Perrin-Glorian et Hersant (2003) mettent en évidence deux cas disjoints :

- « ou il existe un milieu [supposé indépendant du maître] avec lequel l'élève peut avoir un rapport direct, effectif ou évoqué, et qui peut lui amener des rétroactions, mêmes insuffisantes ; dans ce cas on peut reconstruire une situation qui a des potentialités adidactiques, même si le maître peut être amené à intervenir sur le milieu et à aménager le milieu au cours de l'action [...]

- ou cette possibilité n'existe pas ; l'enseignant est le seul garant des procédés utilisés par les élèves ; c'est lui seul qui réagit aux actions des élèves. »

Il est donc important dans l'analyse *a priori* d'identifier le savoir visé, le milieu, et le savoir ancien avec lequel les élèves vont pouvoir interpréter les rétroactions du milieu.

Dans l'analyse a posteriori, nous regardons si l'enseignant utilise ou non cet éventuel potentiel adidactique de la situation, comment il utilise le milieu ou le contrat didactique. Nous incluons cette analyse dans le modèle des niveaux de l'activité du professeur : nous regardons le poids des niveaux surdidactiques sur la mise en œuvre du projet ainsi que la façon dont le maître prend en compte son observation des élèves (niveau -1) et l'influence de cette observation sur son action didactique.

Concernant les niveaux caractéristiques du travail de préparation de l'enseignant (niveaux +1 et +2), nous utiliserons la TAD afin d'étudier les organisations mathématiques construites par
l'enseignant. Ce cadre théorique nous permettra également d'analyser les programmes et manuels.

## La théorie anthropologique du didactique (TAD)

« La TAD situe l'activité mathématique, et donc l'activité d'étude en mathématiques, dans l'ensemble des activités humaines et des institutions sociales » (Chevallard 1999).

Ces activités se décrivent avec la notion de praxéologie : type de tâche, technique (qui est une manière d'accomplir ce type de tâche), technologie (discours qui permet d'expliquer et de justifier la technique) et théorie (qui permettent à son tour de justifier ces technologies).

Ainsi, étudier l'enseignement de la numération d'un point de vue mathématique consiste à définir les praxéologies (ou organisations mathématiques) utilisées dans cet enseignement.

C'est ainsi que nous chercherons à caractériser le projet global (correspondant au niveau +2 de l'activité de l'enseignant) et le projet local (niveau +1) de l'enseignant en les reconstruisant à partir de nos observations de classes. Pour le niveau global, on pourra utiliser la notion d'organisation mathématique (OM) locale, c'est-à-dire organisée autour d'une technologie (ici les propriétés de l'écriture en chiffres). Pour le projet local, on peut l'associer plus ou moins à une organisation mathématique (OM) ponctuelle, c'est-à-dire une praxéologie organisée autour d'un type de tâche. Comme à ce niveau on cherche à caractériser la préparation d'une séance ou d'une situation, il peut s'agir parfois d'une partie d'une OM ponctuelle ou bien de plusieurs OM ponctuelles.

On peut alors résumer la description des niveaux de l'activité ainsi :

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 3 : méthodologie utilisée pour la description des niveaux de l'activité du professeur</figcaption></figure>

Comme le précise Margolinas (2002),

« le professeur est ainsi pris entre des considérations qui le tirent en quelque sorte vers les élèves et d'autres qui proviennent de sa condition de professeur de mathématiques, et comme tel fortement assujetti à l'institution scolaire et à l'institution mathématique. »

Afin de préciser cette influence de différentes institutions sur l'activité de l'enseignant, nous utiliserons encore le cadre théorique de la TAD.

## La TAD et les contraintes et libertés institutionnelles

Pour un objet de savoir O (ici la numération décimale de position), Chevallard (1992) précise les notions de rapport institutionnel, de contraintes et de libertés :

« Supposons donc que la personne X entre dans l'institution I, et soit O un objet institutionnel pour I. L'objet O va se mettre à « vivre » pour X sous la contrainte du rapport institutionnel $R_I(O)$. En d'autres termes, un rapport personnel $R(X,O)$ va se construire, ou va changer, sous la contrainte $R_I(O)$ – et plus largement, sous la contrainte du contrat institutionnel $C_I$. »
« Une personne X est assujettie à une foule d'institutions. Je poserai ici l'axiome qu'une personne n'est en fait rien d'autre que l'émergent d'un complexe d'assujettissements institutionnels. Ce qu'on nomme « liberté » de la personne apparaît alors comme l'effet obtenu en jouant un ou plusieurs assujettissements institutionnels contre d'autres.

A cet égard les institutions sont toujours « flouées » par leurs sujets. Là où elles s'attendent à trouver de purs sujets, qu'elles croient entièrement façonnées par elles, elles rencontrent des personnes, qui leur apparaissent toujours, peu ou prou, comme de mauvais sujets. »

A travers ces contraintes institutionnelles il apparaît donc des espaces de liberté que les enseignants vont plus ou moins pouvoir occuper. Un premier pas dans la mise en évidence de ces contraintes institutionnelles se fait par l'analyse de la transposition didactique de l'objet de savoir en jeu.

## La TAD et la transposition didactique

Le concept de transposition didactique (Chevallard, 1991) permet d'étudier les modifications que subit un objet de savoir « savant » quand il est d'abord désigné comme étant objet « à enseigner » puis quand il devient objet « enseigné ». Ces transformations se font à l'intérieur de différentes institutions, qui jouent toutes un rôle différent dans ce processus, qui est résumé dans la figure suivante (Bosch et Gascon, 2005) :

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 4: schéma de la transposition didactique</figcaption></figure>

« Dans ce schéma, I1, est l'institution productrice du savoir mathématique, I2 la noosphère, I3 l'institution scolaire et I4 la communauté d'étude protagoniste du processus didactique ».

Bosch et Gascon (2005) précisent alors

« Bien que certaines théories didactiques tendent à circonscrire leur unité d'analyse dans I4, la TAD postule qu'il n'est pas possible d'expliquer les caractéristiques du « savoir appris » (ni les phénomènes didactiques qui émergent de I4) sans prendre en considération toutes les étapes de la transposition ».

Nous définirons donc les contraintes et libertés institutionnelles à travers l'étude de l'OM à enseigner, c'est-à-dire des praxéologies présentes dans les manuels et programmes.

Mais pour étudier cette OM à enseigner il est important, comme le proposent Bosch et Gascon (2005), d'avoir un « point de vue épistémologique » qui permet de regarder les programmes et manuels à partir d'un promontoire d'observation. Celui-ci est donné par une « organisation mathématique de référence ».

<figure><img src="image_10.png" /></figure>
Selon Bosch et Gascon (2005) :

> « La description se fait généralement à partir des OM savantes légitimant le processus d'enseignement. L'OM de référence est celle que considère le chercheur pour son analyse. Elle ne coïncide pas nécessairement avec les OM savantes d'où elle provient (parce qu'elle les inclut dans l'analyse), mais elle se formule dans des termes très proches. L'OM de référence est celle que le chercheur met à l'épreuve de la contingence et qui subit pour cela de permanents remaniements. »

Enfin, concernant la description des objets mathématiques nous utiliserons également un point de vue issu de la TAD : la distinction ostensif, non ostensif.

## LA TAD et la dialectique ostensif / non ostensif

Bosch et Chevallard (1999) distinguent deux types d'objets utilisés dans l'activité mathématique :

- « les objets ostensifs – du latin ostendere, « montrer, présenter avec insistance »- pour nous référer à tout objet ayant une nature sensible, une certaine matérialité, et qui, de ce fait, acquiert pour le sujet humain une réalité perceptible.

- Les objets non ostensifs sont alors tous ces « objets », qui, comme les idées, les intuitions ou les concepts, existent institutionnellement – au sens où on leur attribue une existence- sans pourtant pouvoir être vus, dits, entendus, perçus ou montrés par eux-mêmes : ils ne peuvent qu'être évoqués ou invoqués par la manipulation adéquate de certains objets ostensifs associés ».

Cette question sera centrale dans notre travail puisque nous nous intéressons aux propriétés de l'ostensif « écriture en chiffres d'un nombre » et que les liens avec d'autres ostensifs vont être une caractéristique importante de l'étude de cette écriture. Nous inclurons donc dans nos différentes analyses, une étude des ostensifs qui seront utilisés.

## Schéma général de la méthodologie utilisée

Nous pouvons schématiser ainsi notre méthodologie :
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 6 : schéma général de la méthodologie</figcaption></figure>

## Conclusion et plan de l'étude

Pour étudier l'enseignement de la numération des nombres à quatre chiffres, nous allons donc commencer par construire une OM de référence dans la partie B, en nous appuyant sur la TAD. Ensuite nous l'utiliserons pour faire l'analyse des programmes et manuels (OM à enseigner) dans la partie C, en utilisant encore la TAD. Cela nous permettra de déterminer les contraintes et libertés institutionnelles. Enfin, dans la partie D, à travers une étude de cas de deux enseignants, nous ferons tout d'abord l'analyse des pratiques de deux enseignantes au niveau de leur projet d'enseignement avec la TAD. Pour cela nous essaierons de caractériser l'OM enseignée en la mettant en perspective avec l'OM de référence. Nous essaierons alors de déterminer l'influence des contraintes institutionnelles sur les choix des enseignants et éventuellement les marges de manœuvre qu'ils investissent. Ensuite nous analyserons la mise en œuvre d'une situation en classe, avec les élèves en nous appuyant sur la TSD. Dans toute cette partie nous utiliserons également la TSD pour essayer de recomposer les différents niveaux (-1 à +3) de l'activité de l'enseignant.

Nous terminerons par une conclusion générale et une proposition de perspectives de recherches.
# PARTIE B : Construction de l'OM de référence

Rappelons tout d'abord que cette OM est construite par le chercheur et qu'elle est un outil pour se donner « un point de vue épistémologique » sur l'OM à enseigner.

Nous considérons que pour la construction de notre OM de référence l'étude de Chambris fournit un point d'appui intéressant car elle montre une certaine stabilité au niveau des types de tâches des OM au cours du 20ème siècle, et fait apparaître différents modèles théoriques qui permettent de justifier les technologies qui sont en jeu dans cette période. Nous nous appuierons tout d'abord sur des ouvrages datant de différentes époques pour caractériser des approches différentes du système d'écriture des nombres.

Nous nous limiterons au cas des nombres ayant quatre chiffres ou moins, puisqu'il s'agit des nombres que nous étudierons ensuite dans les programmes et manuels ainsi que dans les classes.

## I. Méthodologie

Bosch et Gascon (2005) précisent les manières de décrire l'OM de référence :

> « La description se fait généralement à partir des OM savantes légitimant le processus d'enseignement. L'OM de référence est celle que considère le chercheur pour son analyse. Elle ne coïncide pas nécessairement avec les OM savantes d'où elle provient (parce qu'elle les inclut dans l'analyse), mais elle se formule dans des termes très proches. L'OM de référence est celle que le chercheur met à l'épreuve de la contingence et qui subit pour cela de permanents remaniements. »

Nous utiliserons tout d'abord deux sources pour cela :

- différentes façons de définir la numération depuis la fin du 18ème siècle (qui nous permettra de nous approcher du savoir « savant »),

- la thèse de C. Chambris (2008) sur l'évolution des OM dans les manuels au cours du 20ème siècle,

Cela nous permettra de répondre à la question suivante : comment peut-on définir le système de numération ? Nous présenterons alors différentes théories possibles pour l'étude de la numération à l'école et nous donnerons ensuite les types de tâches ainsi que les techniques et technologies liées à chacun de ces modèles théoriques. Enfin nous récapitulerons les différents ostensifs utilisés dans l'étude de la numération.

Comme le précisent Bosch et Gascon (2005), nos observations de classes et nos réflexions nous permettront de remanier cette OM de référence au fur et à mesure de l'avancée de notre travail.

## II. Comment peut-on définir le système de numération ?

### II.1 Eclairage amené par des ouvrages de différentes époques

Pour essayer de se faire une idée des manières de définir la numération à différentes époques, nous allons regarder différents ouvrages, datant de 1799 à 2005, s'adressant à des enseignants ou des étudiants.

Le premier est un livre de Condorcet : « Moyens d'apprendre à compter sûrement et avec facilité ». En 1794, suite à la révolution française, la Convention Nationale ouvrit un « concours pour les livres élémentaires de la première éducation ». Condorcet, qui sera mis hors-la-loi par Robespierre moins de deux mois après, entreprit de se mettre à l'écriture d'un manuel scolaire, comme il l'avait souhaité déjà depuis de longue date. Il n'eut pas le temps de
mener ce projet entièrement à son terme (il prévoyait de traiter de la géométrie, des proportions et des équations du premier degré) mais il fut sélectionné sur la liste des livres élémentaires autorisés, juste après sa publication en 1799. Il s'intitulera alors « Moyens d'apprendre à compter sûrement et avec facilité ». Gert Schubring, dans les commentaires de l'édition de 1988, précise toutefois que l'on ne sait rien jusqu'ici de son utilisation effective dans les classes (mais il fut réédité en 1854). Il cite cependant quelques commentaires effectués par le jury du concours à propos de cet ouvrage qui montrent tout l'intérêt qu'il pouvait susciter dans l'institution scolaire :

> « La première partie contient les éléments d'arithmétique en plusieurs leçons. Ces éléments sont très méthodiques, très clairs et très propres à être enseignés aux enfants ; mais ils ne comprennent que les quatre premières règles de l'arithmétique appliquées aux entiers et aux décimales : de sorte qu'à cet égard on peut les regarder comme incomplets. [...]

> La seconde partie renferme des informations sur chaque leçon, destinées aux instituteurs, pour leur faire remarquer les points essentiels sur lesquels ils doivent principalement insister dans l'enseignement. Cette seconde partie est en quelque sorte unique en son genre et donne à l'ouvrage un mérite particulier. »

Nous allons nous intéresser à la façon dont Condorcet définit le système de numération dans ces éléments d'arithmétique.

Il commence par construire la numération parlée : il définit le nom des premiers nombres : « un ajouté à un s'appèle Deux », etc. jusqu'à Dix. Par ajouts successifs de un il donne le principe de la numération orale : « un ajouté à dix, dix et un s'appèlent Dix-Un », etc. puis « un et nonante-neuf, nonante et dix par Cent, cent et cent ou deux fois cent par Deux Cent » et ainsi jusqu'à Neuf Cent, en expliquant qu'en « plaçant après le mot cent les noms de nombres inférieurs à cent, depuis un jusqu'à nonante-neuf, pour exprimer qu'ajoutés à cent, à deux cent, à neuf cent, ils forment le nombre qu'on veut indiquer, on pourra exprimer tous les nombres d'unités en unités, jusqu'à neuf cent nonante-neuf » (il y a des différences avec la convention adoptée actuellement). Puis il poursuit « un et neuf cent nonante-neuf, neuf cent et cent, s'expriment par le mot ... Mille », etc.

A partir de la définition des chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, il explique l'écriture en chiffres d'un nombre à deux chiffres : « on a supposé que le chiffre placé le premier, désignant des unités depuis 1 jusqu'à 9, celui qui seroit placé à la gauche du premier, exprimeroit autant de dixaines qu'il auroit exprimé d'unités, s'il avoit été seul ». Il fait alors le lien avec l'écriture en mots, par l'exemple : « 32 exprime donc, qu'un nombre est formé de deux unités et de trois dixaines ; de deux et de trente ; la formule en chiffres 32 exprime ... Trente-deux ». Il définit ensuite le « caractère 0 qui se prononce zéro » qui sert à écrire un nombre « composé seulement d'un certain nombre de dixaines ». La valeur du chiffre placé au troisième rang est alors définie par un procédé itératif : « convenons qu'un chiffre placé à la gauche de celui qui indique des dixaines, exprime autant de dixaines de dixaines, autant de centaines qu'il auroit exprimé de dixaines, s'il s'étoit trouvé moins avancé d'un rang vers la droite » tout comme le quatrième rang :

> « Si l'on suit la même démarche, et que l'on place un quatrième chiffre à la gauche de ceux qui indiquent des centaines, il indiquera autant de dixaines de centaines, ou autant de mille, qu'il auroit désigné de centaines, s'il avoit été moins avancé d'un rang ; autant de centaines de dixaines, ou de mille, qu'il auroit indiqué de dixaines, s'il avoit été moins avancé de deux ; enfin autant de mille, qu'il auroit désigné d'unités, s'il avoit été moins avancé de trois rangs : ainsi, 6452, indique six mille quatre centaines cinq dixaines et deux unités, exprime le nombre six mille quatre cent cinquante-deux ».

Il poursuit ensuite avec le passage de la numération orale à la numération écrite.
On voit donc une construction progressive de l'écriture chiffrée s'appuyant sur le fait qu'un chiffre situé à un rang immédiatement à gauche d'un rang donné indique des dizaines de l'unité représentée par ce rang. Le quatrième rang indique donc des dizaines de centaines. Il en découle toutes les relations avec les unités inférieures : le millier est donc équivalent à une dizaine de centaines mais aussi à une centaine de dizaines et enfin à un millier d'unités.
La numération en unités est ici l'ostensif privilégié pour exprimer ces relations entre les unités mais aussi pour faire le lien entre la numération parlée et la numération écrite.

Le deuxième ouvrage que nous avons étudié est « Apprentissages mathématiques à l'école élémentaire, cycle élémentaire » (1978) écrit par l'équipe ERMEL (Equipe de recherche mathématique à l'école élémentaire). C'est un ouvrage destiné aux enseignants dans lequel on trouve des activités à proposer aux élèves mais aussi quelques apports théoriques sur les notions mathématiques en jeu. On ne peut donc pas tout à fait faire le parallèle entre ces apports théoriques avec ce que nous avons vu dans l'ouvrage de Condorcet qui s'adressait, lui aussi, aux maîtres mais également directement aux élèves alors qu'ici il s'agit d'une partie destinée uniquement aux enseignants.

Dans le chapitre sur la numération, les auteurs précisent qu' « il ne s'agit pas d'entreprendre ici une étude détaillée des différents systèmes de numération [...] mais seulement de dégager les caractéristiques et de comprendre les mécanismes de notre numération écrite et de notre numération orale ».

Les auteurs commencent par définir les systèmes de numération en bases comme des constructions algorithmiques permettant de résoudre le problème de la désignation de chaque entier naturel sans ambiguïté. Ils indiquent ensuite l'intérêt de ces systèmes pour communiquer une information concernant le nombre d'éléments d'une collection, en précisant que « cette information n'a de sens que si, pour une collection donnée, donc pour un nombre donné, cette décomposition existe nécessairement et est unique ». Ils continuent en démontrant que pour tout entier naturel n, « il existe une décomposition canonique unique de ce naturel selon les puissances d'un nombre donné (a>1) ». Cette démonstration s'appuie sur l'existence et l'unicité du quotient et du reste de la division euclidienne (il s'agit de faire des divisions euclidiennes successives des quotients obtenus successivement par la base).

Les auteurs reviennent alors au dénombrement d'une collection : comment transmettre « l'information qui se présentait sous la forme : x unités, y objets de première espèce, z objets de deuxième espèce ... ce que nous avons traduit par l'écriture : x + (y × a) + (z × a²) + ... ».

Ils proposent une classification des différents systèmes de numération comme différentes solutions à ce problème : les numérations d'addition, les numérations hybrides et la numération de position. L'écriture d'un nombre y est définie ainsi :

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 7 : extrait de ERMEL CE (1978)</figcaption></figure>
Il s'agit donc ici de définir l'écriture des nombres par la juxtaposition des coefficients de la décomposition obtenue précédemment.

On peut donc noter dans cette approche une place importante de l'écriture algébrique (décomposition selon les puissances de la base) de laquelle va découler l'écriture chiffrée. Les unités sont représentées par les puissances successives de la base. Les relations entre ces unités n'apparaissent pas, elles sont la conséquence de règles de calcul sur les puissances ($10^3 = 100 \times 10^1$ car $10^3 = 10^2 \times 10^1$). Enfin on peut noter l'appui mathématique important sur la division euclidienne qui apparaît comme l'élément théorique venant justifier l'existence et l'unicité de l'écriture chiffrée.

On voit donc à travers ces deux premiers ouvrages deux approches différentes dans la définition de la numération décimale de position. Nous appellerons la première l'approche *classique* et la deuxième l'approche *moderne*. Pour étayer ce résultat nous allons maintenant nous appuyer sur des ouvrages destinés, eux, moins directement aux élèves de l'école.

L'ouvrage de Bézout et Reynaud (1821) intitulé « Traité d'arithmétique à l'usage de la marine et de l'artillerie », qui propose un cours d'arithmétique par Bézout suivi de notes par Reynaud. Dans la préface, Bézout indique que ce cours doit « rassembler les connaissances élémentaires nécessaires aux Gardes des Pavillons de la Marine pour être admis au rang d'officiers de vaisseaux ». Il s'agit donc là d'un public très différent. Il est précisé qu'il s'agit d'un ouvrage « adopté par l'université royale ».

Comme nous reprendrons plus en détail la construction théorique proposée par Bézout dans la partie suivante, nous allons ici étudier celle de Reynaud. On y trouve une construction proche de celle de Condorcet : l'auteur commence par définir la numération parlée en s'appuyant sur les unités de la numération. Par exemple « la collection de 10 unités forme un nouvel ordre d'unités, nommé dixaine ; et de même qu'on a compté depuis une unité jusqu'à neuf unités, on a compté aussi depuis une dixaine jusqu'à neuf dixaines ; mais pour abréger au lieu des mots composés, une dixaine, deux dixaines, [...] on dit dix, vingt [...] quatre-vingt-dix ». Il ajoute plus loin : « la collection de neuf dizaines et de neuf unités compose le nombre nonante-neuf ; celui-ci augmenté d'un, donne le nombre cent, composé de dix dixaines, et la réunion de dix dixaines se nomme centaine » (on peut noter qu'il utilise à la fois nonante et quatre-vingt-dix).

Après avoir défini les chiffres de 1 à 9 il indique comment passer de la numération parlée à la numération orale en utilisant les unités de la numération : « pour écrire le nombre neuf cent quarante-sept unités, on le décomposa en neuf centaines, quatre dixaines et sept unités ; ce qui conduisit à 9 centaines 4 dixaines 7 unités ». Il fait alors ainsi le lien avec l'écriture en chiffres :
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 8 : extrait de Bézout et Reynaud (1821)</figcaption></figure>

On trouvera en annexe, un plus grand extrait de ce chapitre de l'ouvrage de Reynaud intitulé « de la numération ».

Nous pouvons voir une proximité avec l'approche de Condorcet avec toutefois ici le passage par une numérotation des ordres des unités pour faire le lien entre les unités de la numération et le rang dans l'écriture en chiffres.

Enfin, pour la période contemporaine, nous avons choisi le livre de Perrin (2005), intitulé « mathématiques d'école, nombres, mesure et géométrie ». Lors de la parution du livre, l'auteur était à la fois professeur de mathématiques en IUFM (institut de formation des maîtres) et à l'université. Ce livre a pour but, selon son auteur,

« de former aux mathématiques de futurs professeurs des écoles, avec le projet d'en faire, selon le mot d'Yves Chevallard, des « mathématiciens d'école ». Notre ambition est de donner aux étudiants les bases d'une réflexion approfondie sur les thèmes des mathématiques enseignées à l'école primaire (essentiellement les nombres et la géométrie) qui leur permette d'aborder ces thèmes en mathématiciens. Cela signifie que ces étudiants devenus professeurs ne se contenteront pas de reproduire les contenus des manuels mais que, face aux situations même les plus élémentaires, ils seront en mesure de se poser leurs propres questions, d'en mesurer la pertinence et de tenter d'y apporter leur propre réponse ».

Il s'adresse donc à un public universitaire d'étudiants souhaitant devenir enseignants avec le souci de donner des bases de réflexion sur les mathématiques élémentaires.

Tout comme dans ERMEL CE (1978) l'écriture d'un nombre en base *b* y apparaît comme une conséquence du théorème d'existence et d'unicité de la division euclidienne :
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 9 : extrait de Perrin (2005)</figcaption></figure>

Suit ensuite la démonstration de ce théorème et une application pour le passage d'une base quelconque à la base 10 et réciproquement. Enfin, l'auteur termine par une présentation des différents types de systèmes de numération en précisant que pour la numération de position, « la signification d'un symbole dépend de sa position, ainsi 729 signifie 7 centaines, 2 dizaines et 9 unités, tandis que 297, écrit avec les mêmes chiffres, a un tout autre sens ». Il termine en expliquant la nécessité d'introduire le symbole (« 0 ») pour marquer l'absence d'unité d'un certain rang. On retrouve, comme dans ERMEL, une place importante pour l'écriture algébrique, la décomposition selon les puissances de la base, de laquelle découle l'écriture chiffrée, ainsi que l'invisibilité des relations entre les unités.

Finalement, à travers ces ouvrages, nous voyons apparaître deux visions très différentes de la définition de l'écriture des nombres.

Dans l'approche « classique », on définit les objets que sont les chiffres, les mots nombres. On construit au fur et à mesure l'écriture des nombres de plus en plus grands en présentant un procédé itératif de construction. On se sert des unités de la numération pour faire le lien entre écriture en chiffres et écriture en mots et pour définir les relations entre les unités (ainsi le mille apparaît comme la dizaine de centaines ou la centaine de dizaines ou encore le millier d'unités).

Dans l'approche « moderne », on définit l'écriture d'un nombre en base $b$ quelconque ($b$ entier supérieur ou égal à 2) à partir d'une écriture algébrique correspondant à la décomposition polynomiale selon les puissances de la base et on prouve l'existence et l'unicité de cette écriture. On ne voit donc pas une construction itérative mais une définition valable pour tous les nombres, quelle que soit leur taille. Les relations entre les unités ne sont pas données : elles sont à déduire de règles de calcul.

## II.2 L'évolution de l'étude de la numération dans les manuels au cours du 20ème siècle

Nous nous sommes appuyé ici sur le travail de Chambris (2008) qui a fait un état des lieux des organisations mathématiques sur la numération, dans les manuels scolaires du 20ème siècle (et du tout début du 21ème siècle) pour le CE (2ème et 3ème année de l'école primaire).

Elle met en évidence le fait que les organisations mathématiques ont évolué au cours de ce siècle en particulier aux moments de la réforme et de la contre réforme.
## La période classique

Ainsi des années 30 à la réforme (période de l'enseignement qu'elle nomme « période classique »), il existait un niveau théorique des OM qui s'appuyait sur une « théorie » très proche de celle que nous avons décrite dans le livre de Condorcet, qui proposait une construction du système de numération s'appuyant sur les unités de la numération.

Chambris s'appuie le traité de Bézout et Reynaud (1821). Nous y retrouvons une construction itérative de la suite des nombres qu'elle décrit ainsi :

> « On construit les dix premiers nombres en ajoutant l'unité à chaque nombre obtenu. Ensuite on définit l'unité du deuxième ordre : dix ou une dizaine. On compte par dizaines comme on a compté par unités, jusqu'à dix dizaines. Ensuite, on ajoute à chacune des dizaines, les neuf premiers nombres. On définit l'unité du troisième ordre, comme 99 auquel on ajoute 1 qui est aussi dix dizaines ou une centaine. Ensuite, on compte par centaines comme on a compté par unités, jusqu'à dix centaines. Entre deux centaines, on ajoute les 99 premiers nombres. On définit l'unité du quatrième ordre comme 999 auquel on ajoute 1 qui est aussi dix centaines ou un millier. Selon les manuels, on a deux possibilités : certains comptent par milliers comme on a compté par centaines, dizaines et unités, d'autres comptent par unités de mille comme on a compté par unités. Dans les deux cas, on intercale entre deux milliers, les 999 premiers nombres. Mais ceux qui ont compté seulement les unités de mille poursuivent en comptant par dizaines de milliers qui est l'unité du cinquième ordre et en intercalant entre deux dizaines de mille les 9999 premiers nombres, etc. »

Chambris insiste sur l'utilisation importante, dans les OM des manuels de l'époque, des unités de la numération (contrairement aux manuels récents).

Pour écrire par exemple un nombre comme 8564 on pouvait alors trouver des écritures comme : 8 milliers 5 centaines 6 dizaines 4 unités ou bien 85 centaines 64 unités ou encore 8 milliers 4 unités 56 dizaines, etc. Elle parle alors de « numération en unités » pour évoquer ce type d'écriture. Nous choisirons, de notre côté, d'appeler cette désignation *nombre en unités*, afin de bien montrer le parallèle avec le nombre en chiffres et le nombre en mots qui sont aussi d'autres façons de désigner les nombres.

On voit également à travers cette étude des manuels que d'autres façons de désigner les nombres sont utilisées.

## Les ostensifs

Nous allons les présenter en reprenant le problème présenté dans la partie A :

> « Pour carreler une pièce, il faut 8564 carreaux. Les carreaux sont vendus par paquets de 100. Combien de paquets faut-il commander ? »

Nous pouvons tout d'abord remarquer qu'en utilisant les unités de la numération on peut facilement décrire et justifier les manipulations effectuées : 8564 c'est 85 centaines et 64 unités, il faudra donc commander 86 paquets de 100. Cette manipulation est guidée par les valeurs des chiffres dans le nombre-chiffre : le 5 au troisième rang vaut 5 centaines, le 8 au quatrième rang vaut 8 milliers donc 80 centaines car 1 millier équivaut à 10 centaines, cela fait donc un total de 85 centaines, soit 85 paquets de 100 auquel il faut ajouter 1 paquet de 100 pour les unités restantes. Ce discours met en lumière les propriétés de la numération utilisées : la valeur des chiffres en fonction de leur position dans le nombre en chiffres et les relations entre les différentes unités.

Concernant les autres ostensifs ces manipulations peuvent être effectuées ainsi :

- 8564 c'est 8000+500+60+4, donc c'est 80 paquets de 100 et 5 paquets de 100 soit 85 paquets de 100. Cette désignation des nombres utilisant les écritures chiffrées des puissances de 10, appelées pour simplifier *ECPD* par Chambris, sera ici nommée *nombre en ECPD*. On peut déjà remarquer que contrairement au nombre en unités, cet
ostensif ne permet pas de décrire l'équivalence de 8 milliers et 80 centaines. Comme l'a déjà remarqué Chambris, la valence instrumentale de cet ostensif est moins grande que celle de l'ostensif nombre en unités.

- 8564 c'est aussi $8 \times 1000+5 \times 100+6 \times 10+4$. Mais $1000 = 10 \times 100$, donc $8 \times 1000 = 8 \times 10 \times 100 = 80 \times 100$. Comme $80 \times 100+5 \times 100=85 \times 100$ on a 85 paquets de 100. Cette désignation des nombres utilisant les écritures chiffrées des puissances de 10 généralisées, appelées pour simplifier ECPDG par Chambris, sera ici nommée nombre en ECPDG. Même s'il semble très proche du précédent, on peut déjà remarquer que contrairement à l'ostensif nombre en ECPD, celui-ci permet de décrire l'équivalence de 8 milliers et 80 centaines à travers l'écriture multiplicative $8 \times 1000 = 8 \times 10 \times 100 = 80 \times 100$ (la relation entre le millier et la centaine apparaît alors sous la forme $1000 = 10 \times 100$).

- 8564 c'est aussi 8 paquets de 1000, 5 paquets de 100, 6 paquets de 10 et 4 unités. Mais 1 paquet de 1000 c'est 10 paquets de 100, donc 8 paquets de 1000 c'est 80 paquets de 100. Si on ajoute les 5 paquets de 100 de 8564 on obtient 85 paquets de 100. Cette désignation des nombres utilisant les expressions « paquets de 10, 100, 1000 » sera nommée nombre en « paquets de ». L'équivalence entre les unités de la numération apparaît dans l'exemple par « 1 paquet de 1000 c'est 10 paquets de 100 ». Cet ostensif apparaît souvent associé au nombre en ECPD, qui justement, ne permet pas de décrire les équivalences entre unités.

On peut remarquer que l'utilisation de ce dernier ostensif (ainsi que celui de la numération en unités) utilise le registre des écritures chiffrées et celui de la langue naturelle alors que les deux précédents (les ECPD et ECPDG) utilisaient exclusivement le registre des écritures chiffrées des nombres.

Enfin pour nommer les nombres nous utilisons également l'ostensif nombre en mots. Dans l'exemple précédent il ne permet pas de faire les manipulations décrites ci-dessus. En effet dans « huit mille cinq cent soixante-quatre » on ne peut plus faire cette coupure dans le nom du nombre (« huit mille cinq cent » ne nous donne pas le nombre cherché). Sa valence instrumentale est très faible pour ce type de tâche. Il nécessite le recours à un autre ostensif. Par contre il est largement utilisé dans la vie courante (contrairement au nombre en unités ou au nombre en ECPDG par exemple) car il permet de communiquer sur les nombres.

Pour revenir à l'évolution des OM dans les manuels au cours du 20ème siècle, nous pouvons constater que la période « classique » et la période « moderne » peuvent se caractériser par l'utilisation privilégiée d'un type d'ostensif différent : les unités de la numération pour la période « classique » et les ECPD ou ECPDG pour la période « moderne ».

Nous allons maintenant préciser certaines raisons qui ont provoqué ce basculement des ostensifs utilisés ainsi que le lien avec le basculement qui a eu lieu également aux différents niveaux des organisations mathématiques (nous regarderons rapidement ici les types de tâches et théories).

## La réforme et la contre-réforme

Au moment de la réforme, malgré une modification des OM au niveau des types de tâches (avec l'introduction du changement de base), il n'y a pas eu de modification profonde aux niveaux technologique et théorique. Cette modification a quand même amené l'utilisation des ostensifs nombres en ECPD et en ECPDG que l'on trouvait assez peu dans les manuels de l'époque « classique » pour le premier et pas du tout pour le deuxième. Il semble donc que la modification théorique insufflée par le mouvement de la réforme (qui est, elle, proche de celle que nous avons décrite dans Perrin) ait amené à utiliser ces ostensifs (ECPD et ECPDG) qui
ont l'avantage de faciliter le travail de changement de base et qui sont aussi plus proches des ostensifs de la théorie (qui utilise, elle, les notations avec les puissances de la base).

Mais Chambris montre que c'est finalement au moment de la contre-réforme, avec l'avènement de ces nouveaux ostensifs (le nombre en ECPD et en ECPDG), que la théorie savante s'affirme clairement comme un modèle pour la théorie des OM de l'époque. Elle en donne un exemple dans le livre réalisé par l'équipe ERMEL, déjà cité (ERMEL, 1978) pour lequel elle a étudié la transposition de la théorie savante :

> « Sur le plan théorique, pour obtenir la notation positionnelle, on peut définir des règles de calcul sur les ECPD (avec des règles positionnelles de calcul). En fait cela revient à dire que la numération positionnelle est une numération hybride, puisque si on considère que les objets premiers sont 1, 2, ..., 9, 10, 100, 1000, c'est bien par du calcul d'addition et de multiplication qu'on obtient la notation positionnelle. »

Les règles positionnelles de calcul consistent à justifier par exemple que $3 \times 100 = 300$ par le fait que l'on ajoute deux zéros à droite du chiffre 3 ou encore que $300+20 = 320$ par une addition posée.

D'autre part, il nous semble personnellement qu'une des causes possibles de la moindre importance donnée, après la réforme, aux unités de la numération et en particulier à l'écriture des nombres en unités (par exemple 3 centaines 2 dizaines 1 unité) est l'importance donnée aux écritures algébriques à partir de cette période. En contrepartie, on a alors pu également observer une certaine suspicion (voire une interdiction) envers les écritures mêlant les registres de la langue naturelle et de l'algèbre, ce qui était alors considéré comme non mathématique. On se donne ainsi des interdits comme celui d'écrire par exemple, comme on pouvait le voir dans les anciens manuels, $321 = 3$ centaines $2$ dizaines $1$ unité ou encore $321 = 3$ centaines $+ 2$ dizaines $+ 1$ unité. Du coup les unités de la numération ne disparaissent pas après la réforme, mais c'est plutôt leur utilisation pour écrire un nombre en unités qui est rejetée.

On peut faire un parallèle ici avec la question des unités de mesure dans les calculs étudiée par exemple par Noirfalise (2007). Les unités de numération sont, en effet, des unités de mesure de quantités. Noirfalise cite l'encyclopédie Imago Mundi<fnref n="4" /> pour définir les notions de nombres concrets et de nombres abstraits :

> « Quand un nombre est énoncé sans que l'on indique la nature des unités qu'il représente, on le nomme nombre abstrait; dans le cas contraire, il s'appelle nombre concret; ainsi 7 est un nombre abstrait, et quand on dit 7 litres, le nombre est concret. Nous mentionnons ces dénominations parce qu'on risque de les rencontrer dans les anciens ouvrages d'arithmétique, mais nous devons avertir que la seconde tend à donner unie idée inexacte. Un nombre concret n'est pas un nombre, c'est une grandeur. Quand on dit 7 litres, le nombre est 7, le mot litre complète l'idée, mais ne la modifie pas »

L'auteur différencie alors les techniques concrètes des techniques abstraites suivant le type de nombre qu'elles utilisent. Pour le problème des carrelages, la technique utilisant la décomposition de 8564 en 85 centaines et 64 unités ou 85 paquets de 100 et 64 unités sont des techniques concrètes alors que celle utilisant la décomposition $8564 = 85 \times 100 + 64$ est une technique abstraite. On peut donc également voir les différences entre les manuels classiques et ceux d'après la réforme à travers cette distinction dans le type de nombre utilisé, les manuels d'après la réforme donnant plus d'importance aux nombres abstraits. Ils s'interdisent même d'utiliser les unités dans les calculs, donc des techniques concrètes. C'est l'utilisation des « paquets de » qui peut alors permettre de réintroduire ces nombres concrets.

<footnote n="4">⁴ On peut trouvé l'article en question à cette adresse : http://www.cosmovisions.com/nombre.htm</footnote>
Les différences que nous avons pointées à travers nos différents ouvrages « classiques » (Condorcet, Bézout et Reynaud) et « moderne » (Ermel et Perrin) se retrouvent ici dans les différences entre les modèles théoriques des OM des manuels au cours du 20ème siècle et entraînent avec elles une modification des techniques et technologies ainsi que des ostensifs utilisés.

Nous profitons de ce rapide état des lieux de l'évolution de la numération dans les manuels au 20ème siècle pour regarder la prise en compte des deux aspects de la numération dans les manuels anciens.

Une parenthèse sur la prise en compte des deux aspects de la numération (position et décimalité) dans les manuels anciens

Selon Chambris (2008) l'utilisation de certains ostensifs a des conséquences sur la prise en compte des relations entre les unités. En particulier l'absence de l'ostensif unités de la numération rend plus difficile la formulation de ces relations dans les manuels récents. Qu'en est-il dans les manuels anciens ?

L'extrait suivant du manuel de Boucheny (1930) pour le CE nous montre qu'il y a bien une prise en compte des relations entre unités. Lors de l'introduction du millier, les relations avec les centaines mais aussi les dizaines apparaissent dans la leçon :

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 10 : extrait de Boucheny, CE 1930, 29ème leçon : « Unités de mille »</figcaption></figure>

Cela est lié au fait que la théorie utilisée est proche de celle que l'on trouve dans le traité de Bézout et Reynaud (1821) ou encore de Condorcet, dans lequel, rappelons-le, le millier est mis en relation avec les centaines, dizaines et unités.

On peut aussi voir des traces de l'importance donnée à l'aspect décimal de la numération à travers les exercices proposés qui pour la plupart mettent en jeu ces relations :
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 11 : extrait de Boucheny, CE 1930, les exercices sur les unités de mille</figcaption></figure>

Dans ces exercices on trouve un type de tâches pour lesquelles il s'agit de convertir un nombre dans une unité donnée, comme par exemple : « convertir en dizaines 4 unités de mille » qui met en jeu la relation entre les milliers et les dizaines. On le trouve également sous la forme « combien y a-t-il de dizaines dans 100 unités ? » qui est plus proche de ce que l'on peut trouver dans les manuels actuels. Nous y reviendrons dans la partie C.

On peut noter également dans cet extrait de manuel que l'aspect positionnel pour les milliers se fait à travers une numérotation des rangs dans l'écriture en chiffres : « Dans l'écriture d'un nombre, les unités de mille s'écrivent au 4ème rang à partir de la droite ». On n'utilise pas ici le tableau de numération. Il apparaît cependant dans la leçon suivante intitulée « Entre deux unités de mille consécutives » lorsqu'est abordée la lecture des nombres à quatre chiffres :

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Figure 12 : extrait de Boucheny, CE 1930, 30ème leçon : « Entre deux unités de mille consécutives »</figcaption></figure>

Dans cette leçon (et les exercices qui suivent) c'est d'ailleurs uniquement l'aspect positionnel de la numération (et le lien avec le nombre en mots) qui est en jeu : il s'agit d'associer les unités aux rangs de l'écriture chiffrée. Par exemple on trouve des exercices comme « Dans le nombre 3475, que représente le 5 ? le 3 ? le 4 ? le 7 ? ».

Il semblerait donc, au moins dans ce manuel, que l'on voie apparaître distinctement les deux aspects de la numération : un travail sur l'aspect décimal suivi dans la leçon suivante par un travail sur l'aspect positionnel et la lecture/écriture des nombres. Nous verrons ce qu'il en est dans les manuels et programmes actuels dans la partie C. On notera toutefois que dans ce manuel, au niveau didactique, il s'agit d'un exposé du savoir suivi d'exercices d'application.

Nous allons maintenant essayer de formaliser les différents modèles théoriques qui sont apparus dans cette partie et qui vont constituer les différentes théories de l'OM de référence.
### III. Les théories

#### III.1 La théorie classique

Elle s'inspire de la théorie utilisée dans les manuels du début du 20ème siècle, dont on peut trouver des éléments de description dans les traités Condorcet (1799) ou de Bézout et Reynaud (1821). C'est pourquoi nous l'appellerons *théorie classique*.

On définit d'abord le nom des premiers nombres et leur écriture en chiffre : zéro (0), un (1), deux (2), trois (3), quatre (4), cinq (5), six (6), sept (7), huit (8), neuf (9). Bézout poursuit ainsi :

> « Pour exprimer tous les autres nombres avec ces caractères, on est convenu que de dix unités on en ferait une seule, à laquelle on donnerait le nom de dixaine, et que l'on compterait par dixaines comme on compte par unités, c'est-à-dire que l'on compterait deux dixaines, trois dixaines, etc., jusqu'à 9 : que pour représenter ces nouvelles unités, on employerait les mêmes chiffres que pour les unités simples, mais qu'on les distinguerait par la place qu'on leur ferait occuper, en les mettant à la gauche des unités simples. [...]

> Depuis 100 on peut compter jusqu'à neuf cent quatre-vingt-dix-neuf par une convention semblable. De dix dixaines on composera une seule unité qu'on nommera centaine, parce que dix fois dix font cent ; on comptera ces centaines depuis un jusqu'à neuf, et on les représentera par les mêmes chiffres, mais en plaçant ces chiffres à la gauche des dixaines. [...]

> En continuant ainsi de renfermer dix unités d'un certain ordre, dans une seule unité, et de placer ces nouvelles unités dans des rangs de plus en plus avancés sur la gauche, on parvient à exprimer d'une manière uniforme, et avec dix caractères seulement, tous les nombres entiers imaginables ».

#### III.2 La théorie moderne

Elle s'inspire largement de la théorie que l'on trouve dans l'approche moderne (par exemple dans l'ouvrage de Perrin, 2005), c'est pourquoi nous l'appellerons *théorie moderne*.

Nous la décrivons ici pour la base 10 mais elle pourrait être donnée pour une base b quelconque (b entier supérieur ou égal à 2).

Soient $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ les chiffres utilisés pour écrire les nombres. Le nombre correspondant à la base s'écrit donc $10$ (car pour toute base $b$ on a $b=1 \times b+0$).

On obtient l'écriture d'un nombre par les divisions euclidiennes successives par les puissances de 10 (existence et unicité de cette écriture, comme il a été décrit précédemment dans l'ouvrage de Perrin).

Soit $a$ un nombre entier quelconque. Il existe un unique entier $x_0$ tel que $a=10 \times q_0+x_0$ tel que $0 \le x_0 <10$ et $q_0<a$. Il existe ensuite un unique entier $x_1$ tel que $q_0 = bq_1 + x_1$ (et $0 \le x_1 <10$ et $q_1<q_0$). On a alors : $a = q_1 \times 10^2 + x_1 \times 10 + x_0$.

En poursuivant cet algorithme on obtient une unique suite finie $x_0, x_1, ..., x_n$ telle que : $a = x_n \times 10^n + x_{n-1} \times 10^{n-1} + ... + x_2 \times 10^2 + x_1 \times 10 + x_0$ (avec $x_n \neq 0$, et $0 \le x_i <10$ pour tous $0 \le i \le n$). L'écriture du nombre en base 10 est alors : $x_n x_{n-1} ... x_2 x_1 x_0$.

Cette théorie nécessite des outils mathématiques difficilement accessibles aux élèves de l'école primaire pour être décrite. On peut par exemple remarquer que l'on considère au début un entier $a$, sans le donner par son écriture en chiffres (puisqu'on va la construire) mais par une notation algébrique. Nous allons décrire ci-dessous comment elle permet de définir l'écriture du nombre d'éléments d'une collection (situation que l'on rencontre davantage à l'école !).

Elle utilise également les écritures avec les exposants ce qui lui confère des besoins trophiques élevés. On utilisera donc plutôt l'ostensif ECPDG pour écrire les décompositions
selon les puissances de 10. Par exemple pour écrire la décomposition du nombre 325 en base 10, on écrit $3 \times 100+2 \times 10+5$, et réciproquement quand on a cette écriture on en déduit directement l'écriture du nombre 325.

On remplace alors les règles de multiplication par 10 (pour $n,p$ entiers naturels, on a : $10^n \times 10^p = 10^{n+p}$) par des règles positionnelles de calcul : pour $n,p$ entiers naturels, $10...0$ ($n$ zéros) multiplié par $10...0$ ($p$ zéros) est égal à $10...0$ ($n+p$ zéros).

### III.3 Illustration des différences entre ces théories sur une tâche

Pour illustrer les différences entre ces théories, considérons le problème de la constitution de l'écriture du nombre d'objets d'une collection : dans les deux cas, pour écrire le nombre d'objets d'une collection on fait des opérations de groupements successifs.

Sur le dessin ci-dessous, on a groupé 10 objets (ou une dizaine d'objets) en les entourant par une ellipse, puis on a groupé les paquets de 10 obtenus (ou les dizaines) par 10 en les entourant par un rectangle.

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure 13 : collection à dénombrer</figcaption></figure>

#### a) Dans la théorie classique

On commence par grouper les objets par dizaines. Dès que l'on a 10 dizaines on les regroupe en une centaine (en utilisant la relation 10 dizaines c'est 1 centaine). On obtient donc tout d'abord 1 centaine et il reste un grand nombre d'unités non groupées :

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure 14: première étape du dénombrement par groupements successifs dans la théorie classique</figcaption></figure>

Nous réitérons la même opération : on obtient alors 10 autres dizaines ce qui nous fait un total de 2 centaines. Il ne reste alors que 4 unités isolées.

On a donc 2 centaines et 4 unités, ce qui s'écrit 204.

**Remarques :**
□ rang des unités : ordre 1 pour les unités (ce sont les premiers objets que l'on considère), ordre 2 pour les dizaines, etc.

□ chiffres : représentent le nombre d'unités de chaque sorte ;

□ zéro : il marque la position. Permet de signaler que le chiffre 2 est celui des centaines. Il n'a pas le même statut que les autres chiffres (on pourrait le remplacer par un point par exemple) ;

□ les nombres 10, 100, ... : ce sont des nombres comme les autres (ou presque, car en fait ils correspondent à une centaine, un millier, etc.) ;

□ ostensifs : nombre en unités, nombre en chiffres ;

□ registres en jeu : les objets représentés, la langue naturelle (unités, dizaines, centaines) et les écritures chiffrées ;

b) Dans la théorie moderne

On groupe d'abord toutes les unités par 10 pour obtenir les objets du premier ordre. On compte ensuite les objets restants (ceux qui ne sont pas groupés) : on en a ici 4.

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Figure 15 : première étape du dénombrement par groupements successifs dans la théorie moderne</figcaption></figure>

Ensuite nous groupons par 10 les objets du premier ordre pour obtenir les objets du deuxième ordre. On compte alors les objets du premier ordre restants (non groupés) : ici il n'y en a pas. Les objets du deuxième ordre ne peuvent pas se grouper par 10 car il n'y en a que 2. Finalement nous avons obtenu 4 unités, 0 objet du premier ordre et 2 objets du deuxième ordre.

L'écriture du nombre en chiffres est donc $204 \times 10^3 + 2 \times 10^2 + 10^1$.

Remarques :

□ rang des unités : ordre 1 pour les dizaines (car c'est le coefficient de la puissance de 10 associée), ordre 2 pour les centaines, etc.

□ chiffres : nombre d'objets de chaque ordre et coefficients des puissances de 10 dans la décomposition polynomiale selon les puissances de 10 ;

□ zéro : dans la théorie savante c'est un coefficient comme les autres dans la décomposition polynomiale du nombre ; ici il permet de signaler l'absence de groupement d'objets d'un certain ordre. Il a le même statut que les autres chiffres : il est associé à une quantité (nulle).

□ les nombres 10, 100, ... : ce sont les puissances de la base. Ils ont un rôle clé pour les décompositions (en ECPDG). Ils ont le même rôle que les puissances de 10 dans la décomposition polynomiale ;
* ostensifs : ECPDG due à la nécessité d'abaisser les besoins trophiques par rapport à la théorie savante. En particulier on ne peut pas utiliser l'écriture avec les puissances de 10. Donc on utilise à la place de ces puissances les écritures 10, 100, 1000, etc.

* registres en jeu : les objets représentés, les écritures chiffrées, les écritures algébriques.

### III.4 La théorie moderne adaptée

On peut remarquer que malgré une modification des ostensifs utilisés par rapport à la façon dont elle est décrite dans Perrin par exemple, cette théorie moderne a encore des besoins trophiques importants à cause de son utilisation de la multiplication. Rappelons qu'actuellement, l'étude du système de numération est abordée dès la première année de l'école primaire alors que la multiplication n'est abordée qu'en 2ème année. Il est donc nécessaire de construire une variante de cette théorie qui utilise les ECPD et l'addition.

Cette théorie relève du même modèle « savant » que la théorie moderne mais nous avons cherché à adapter les ostensifs utilisés. Nous l'appellerons donc théorie moderne adaptée.

Par exemple pour écrire la décomposition du nombre 325 en base 10, on écrit $300+20+5$, et réciproquement quand on a cette écriture on en déduit directement l'écriture du nombre 325.

On peut passer par la décomposition intermédiaire $100+100+100+10+10+1+1+1+1+1$. On peut également utiliser les expressions : 3 paquets de 100, 2 paquets de 10 et 5 unités.

On s'appuie ici sur la règle positionnelle déjà décrite pour la théorie moderne mais aussi sur des règles positionnelles d'addition : $300+20+5 = 325$, comme dans une addition posée en colonne sans retenue.

On peut remarquer que ce type de décomposition est en fait lié à la lecture du nombre : 325 s'écrit en mots trois cent vingt cinq ce qui est très proche de la façon de dire la décomposition $300+20+5$. En fait pour qu'il y ait tout à fait congruence (entre les mots et les nombres) il faudrait écrire $3 \times 100 + 20 + 5$.

Comment se fait alors la constitution de l'écriture du nombre d'objets de la collection précédente ?

Comme pour la théorie moderne mais au lieu de parler d'unités, d'objets du premier ordre, deuxième ordre, ..., nous parlerons d'unités, de paquets de 10, de paquets de 100, etc.

Nous faisons d'abord tous les paquets de 10 possibles. Ensuite nous groupons par 10 les paquets de 10 obtenus, ce qui nous fait des paquets de 100. On en obtient 2. Finalement, nous avons donc 4 unités, 0 paquet de 10 et 2 paquets de 100, soit $200+4$, ce qui s'écrit 204.

**Remarques :**

* rang des unités : pas de numérotation privilégiée ;

* chiffres : représentent le nombre de paquets de 10, de 100, etc. Mais ils peuvent aussi être vus comme coefficients des puissances de 10 dans la décomposition polynomiale selon les puissances de 10. Dans $200+80+4$ par exemple, ces coefficients apparaissent comme le premier chiffre de chaque terme de la décomposition ;

* zéro : Permet d'utiliser les règles positionnelles de calcul, donc permet de marquer la position ;

* les nombres 10, 100, ... : ils ont un rôle proche de celui des mots dizaines, centaines, ... dans la numération en unités, notamment quand on parle de paquets de 10, paquets de 100, etc.

* ostensifs : nécessité d'abaisser encore les besoins trophiques par rapport à la théorie 2. Du coup on utilise les expressions « paquets de 10 », « paquets de 100 » ... pour faire référence aux puissances de 10 ;
* registres en jeu : les objets représentés, les écritures chiffrées, les « paquets de 10, ... » (mélange langue naturelle et écritures chiffrées) et les écritures algébriques.

A travers cet exemple nous voyons donc que la théorie moderne adaptée même si elle a été construite à partir du même modèle théorique que la théorie moderne, est en fait intermédiaire entre cette théorie et la théorie classique. Cela est certainement lié au fait qu'elle utilise à la fois l'ostensif « paquets de 10 », « paquets de 100 » qui sont assez proches des unités de la numération de la théorie classique et les ECPD qui sont aussi utilisés dans la théorie moderne.

Ces différentes constructions théoriques vont donc nous permettre de former trois OM différentes que nous noterons OMR<sub>C</sub> (pour la théorie classique), OMR<sub>M</sub> (pour la théorie moderne) et OMR<sub>MA</sub> (pour la théorie moderne adaptée). L'OM de référence sera donc la réunion de ces 3 OM. Nous allons maintenant en décrire les types de tâches.

## IV. Les types de tâches

On peut considérer que les types de tâches suivants constituent l'ensemble des types de tâches de la numération :

### T<sub>1</sub> : dénombrer

Nous regroupons sous ce terme les activités de dénombrement de collections ou de constitution de collection de cardinal donné.

### T<sub>2</sub> : associer le nombre en chiffres au nombre en mots

Il peut s'agir de dire un nombre, de l'écrire en mots ou bien à partir d'un nombre dicté ou écrit en mots de l'écrire en chiffres.

### T<sub>3</sub> : comparer, ranger des nombres

On trouve ici les types de tâches relatifs à l'ordre : comparer deux nombres, ranger des nombres en ordre croissant ou décroissant, intercaler un nombre entre deux nombres donnés (non consécutifs), encadrer un nombre entre deux dizaines (ou centaines ...) consécutives, etc.

### T<sub>4</sub> : avancer/reculer dans la suite écrite ou orale des nombres

De 1 en 1, 10 en 10, 100 en 100, etc. (ou d'unités en unités, dizaines en dizaines, etc.).

### T<sub>5</sub> : décomposer, recomposer un nombre

Il s'agit ici d'effectuer des changements d'écriture des nombres : passer d'un nombre en unités (ou d'un nombre en ECPD, d'un nombre en ECPDG, etc.) à un nombre en chiffres et réciproquement.

### T<sub>6</sub> : « nombre de »

Ce type de tâche est un cas particulier des « conversions » entre unités de la numération qui est un type de tâche que l'on ne rencontre plus actuellement dans les manuels et programmes actuels. Il peut s'agir par exemple de convertir 856 dizaines en centaines. On le rencontre aujourd'hui plus particulièrement sous la forme « nombre de » comme quand on demande le nombre de paquets de 10 (ou de dizaines) dans 8564.

Il existe également un autre type de tâche qui est le « changement de base » mais nous ne le prendrons pas en compte dans notre OM de référence car il ne fait plus partie des programmes actuels.
Nous allons maintenant étudier comment se traitent ces types de tâches dans nos différents modèles théoriques.

# V. Les techniques et technologies pour ces types de tâches

Tous les types de tâches que nous venons de lister ne sont pas susceptibles de mettre en jeu à la fois l'aspect positionnel et l'aspect décimal de la numération. Par exemple lorsque nous effectuons des tâches de comparaison il n'est pas nécessaire d'avoir à utiliser les relations entre les différentes unités mais juste de regarder le nombre de chiffres et éventuellement la comparaison des chiffres de plus haut rang (ce qui met en jeu l'aspect positionnel uniquement).

Au contraire certains types de tâches, en fonction des variables utilisées pour la tâche, peuvent nécessiter la conjonction de ces deux aspects, comme par exemple dénombrer, décomposer/recomposer, convertir ou encore avancer/reculer.

Par conséquent, nous avons choisi, pour étudier les différences entre ces OMR au niveau des techniques et technologies, de considérer les deux exemples de types de tâches suivants : « recomposer » et « nombre de ».

## V.1 Les techniques et technologies relatifs à deux exemples de types de tâches

### a) « Recomposer »

La recomposition dépend des ostensifs utilisés, par exemple : 2 milliers 12 centaines et 1 unité ou $2 \times 1000 + 12 \times 100 + 1$ ou encore 2 paquets de 1000, 12 paquets de 100 et 1 unité.

Voici différentes techniques possibles (les technologies sont entre parenthèses) :

<table><caption>Tableau 4 : les techniques et technologies des trois OMR pour « recomposer »</caption><thead><tr><th>OMR classique</th><th>OMR moderne</th><th>OMR moderne adaptée</th></tr></thead><tbody><tr><td>2 milliers 12 centaines et 1 unité c'est donc 2 milliers 1 millier 2 centaines et 1 unité (aspect décimal : 10 centaines c'est 1 millier), soit 3 milliers 2 centaines et 1 unité. C'est donc un 3 au quatrième rang du nombre en chiffres, un 3 au troisième rang et un 1 au premier rang (aspect positionnel : le quatrième rang est le rang des milliers, etc.), soit 3201.</td><td>2x 1000 + 12x 100 + 1 = 2x 1000 + 1x 1000 + 2x 100 + 1 (aspect décimal : 10x 100 = 1000) c'est donc 3x 1000 + 2x 100 + 1, soit 3201 (aspect positionnel : on associe 1000 au 4ème rang dans l'écriture en chiffres, etc. ou bien on utilise une règle positionnelle de calcul 4x 1000 c'est 4 suivi de trois zéros, etc.).</td><td>1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 1 soit 2000 + 1000 + 200 + 1 (aspect décimal : 10 paquets de 100 c'est 1 paquet de 1000) donc c'est 3000 + 200 + 1, soit 3201 (aspect positionnel : on utilise une règle positionnelle de calcul, comme dans l'addition posée sans retenue).</td></tr></tbody></table>

Remarque : on peut noter dans cet exemple l'intérêt de la numération en unités qui permet à la fois d'évoquer une valeur décimale (par exemple « trois dizaines » évoque une certaine quantité d'objets) et une position dans l'écriture du nombre (par exemple « trois dizaines » évoque la position du chiffre 3 au rang des dizaines dans l'écriture du nombre).

Dans l'OMRM, les « unités d'ordre 1 » par exemple évoquent seulement une position dans l'écriture du nombre et dans l'OMRMA, les « paquets de 10 » font davantage référence à la valeur qu'à la position dans l'écriture du nombre.

Cette dualité des unités de la numération nous semble être un atout important dans la compréhension de la conjonction de l'aspect décimal et de l'aspect positionnel de la numération.

Par exemple, lorsque l'on dit que « 10 dizaines c'est 1 centaine » cela peut à la fois faire référence à des quantités d'objets que l'on groupe et que l'on échange (pour dénombrer une
collection par exemple) mais aussi que dans l'écriture du nombre le chiffre du rang des centaines a une valeur dix fois supérieure à celui du rang des dizaines.

b) « nombre de »

Par exemple, on cherche le nombre de paquets de 10 (ou de dizaines) dans 2031.
Voici différentes techniques possibles :

<table><caption>Tableau 5 : les techniques et technologies des trois OMR pour « nombre de »</caption><thead><tr><th>OMR classique</th><th>OMR moderne</th><th>OMR moderne adaptée</th></tr></thead><tbody><tr><td>Dans 2031 il y a 2 milliers et 3 dizaines donc 203 dizaines (car 1 millier c'est 100 dizaines, donc 2 milliers c'est 2 centaines de dizaines soit 200 dizaines, on termine avec un passage par les nombres en mots : deux cents dizaines et trois dizaines c'est deux cent trois dizaines soit 203 dizaines).</td><td>2031 = 203×10 + 1, donc 203 paquets de 10 (car 2031 = 2×1000 + 3×10 + 1 et 2×1000 + 3×10 = 2×100×10 + 3×10 = 200×10 + 3×10 = 203×10).</td><td>203 paquets de 10 (car 2000 = 1000 + 1000 soit 100 paquets 10 et 100 paquets de 10, d'où 200 paquets de 10, mais comme dans 2031 on a aussi 3 paquets de 10, cela fait 203 paquets de 10).</td></tr></tbody></table>

c) Conclusion

Ces exemples nous montrent finalement que les techniques sont assez proches au niveau des trois OMR : par exemple pour le deuxième cas, cela revient en fait à lire le nombre formé par les chiffres à gauche du deuxième rang (rang des dizaines) : 2031. Elles se distinguent parfois par l'utilisation d'ostensifs différents, comme nous avons pu le voir dans le premier cas. Les différences que nous avons soulevées se situent au niveau des justifications, c'est-à-dire des technologies.

Concernant l'OMRM, pour le deuxième cas, la suite d'opérations : $2 \times 1000 + 3 \times 10 = 2 \times 100 \times 10 + 3 \times 10 = 200 \times 10 + 3 \times 10 = 203 \times 10$ utilise des propriétés de la multiplication (associativité et distributivité par rapport à l'addition) et une règle de calcul positionnelle pour l'addition $200 + 3 = 203$ (on place le 3 au premier rang à la place du zéro). Pour le premier cas, nous avons vu que l'on pouvait aussi utiliser une règle positionnelle de calcul pour la multiplication : $4 \times 1000$ c'est 4 suivi de trois zéros, etc. ou associer directement 1000 au 4ème rang dans l'écriture en chiffres.

Dans l'OMRMA, pour le deuxième cas par exemple, l'utilisation des « paquets de 100 » dispense des propriétés de la multiplication mais utilise encore une règle de calcul positionnelle pour l'addition : $100+100=200$ et $200+3=203$.

Enfin dans l'OMRC, l'utilisation des unités de la numération dispense des propriétés de la multiplication, et le passage par les nombres en mots permet de ne pas utiliser de règle de calcul. Cela ne signifie pas que l'on ne fait pas de calcul, car en fait le calcul que l'on fait dans cette OMR est davantage un calcul sur les grandeurs qui prend appui sur le comptage des différentes unités (en lien avec les collections). On pourra aussi remarquer qu'il sera parfois nécessaire d'utiliser la proportionnalité. Par exemple dans le cas du « nombre de » nous avons utilisé ce raisonnement : « 1 millier c'est 100 dizaines, donc 2 milliers c'est 2 centaines de dizaines » qui met en jeu la proportionnalité (propriété de linéarité multiplicative). Le registre de la langue naturelle est très présent (contrairement à l'OMRM) et les savoirs utilisés sont moins nombreux mais cela se fait au prix d'une formulation parfois un peu lourde (« centaine de dizaines »).
Ces différences de technologies sont des conséquences de différences, que nous avons déjà évoquées, à la fois au niveau des théories et des ostensifs utilisés. Dans les théories moderne et moderne adaptée, l'écriture algébrique et l'utilisation des puissances de la base (1, 10, 100, 1000) conduit à utiliser des règles positionnelles de calcul (d'addition ou de multiplication), alors que celles-ci n'apparaissent pas dans la théorie classique qui privilégie le registre de la langue naturelle (et dans laquelle on s'autorise à mêler ce registre à celui de l'algèbre).

Nous allons donc maintenant présenter les éléments technologiques en jeu dans les trois OMR.

## V.2 Les technologies

Les technologies des trois OMR peuvent être facilement mises en parallèle car il s'agit dans tous les cas des relations entre :

- les unités et leur rang dans le nombre en chiffres (aspect positionnel de la numération) : $Q$;

- les différentes unités (aspect décimal) : $Q_2$;

- les mots-nombres et les unités (lien numération orale/écrite) : $Q_3$.

### a) Les technologies classiques

* $Q$. Relations entre les unités de la numération et le rang dans le nombre en chiffres.

Par exemple : « 2 centaines » est associé à un 2 au troisième rang (en partant de la droite);

* $Q_2$. Relations entre les unités de la numération.

Par exemple une centaine équivaut à dix dizaines (ou encore cent unités). Deux centaines c'est donc deux fois dix dizaines, soit deux dizaines de dizaines, donc 20 dizaines, etc.

* $Q_3$. Relations entre les mots-nombres et les unités de la numération.

Il existe de nombreuses irrégularités : pour une dizaine on ne dit pas *un dix mais dix*.

2 dizaines c'est *vingt* (et non pas deux-dix), 3 dizaines c'est *trente*, etc. 1 dizaine et une unité c'est *onze* (et non dix-un), une dizaine et 2 unités c'est *douze*, etc.

Pour une centaine on ne dit pas *un cent mais cent*. Par contre ensuite on a bien deux cents, trois cents, etc.

Pour un millier on ne dit pas *un mille mais mille*. Par contre ensuite on a bien deux mille, trois mille, etc.

### b) Les technologies moderne et moderne adaptée

Nous les présentons en parallèle dans le tableau suivant car elles sont bâties toutes les deux sur un même modèle théorique.

<table><thead><tr><th></th><th>Technologie moderne</th><th>Technologie moderne adaptée</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">Q</td><td>L'unité d'ordre n s'écrit avec un 1 suivi de n zéros (association entre ECPD et rang dans l'écriture du nombre).</td><td></td></tr><tr><td>Exemple : l'unité d'ordre 2 c'est 100 (car c'est 1 × 10<sup>2</sup>, et 1 × 10<sup>2</sup>+0 × 10+0 s'écrit 100).</td><td>Exemple : l'unité d'ordre 2 s'écrit par définition 100 (1 suivi de 2 zéros).</td></tr><tr><td colspan="2">Concernant p unités (0 &lt; p &lt; 10) d'ordre n :</td></tr><tr><td></td><td>p unités d'ordre n s'écrivent avec un p suivi de n zéros. Par exemple pour 3 unités d'ordre 2, on écrit 300 (car c'est 3 × 10<sup>2</sup>+0 × 10+0). Par conséquent, p multiplié par 10...0 (0 &lt; p &lt; 10) est égal à p0...0</td><td>p unités de 10...0 c'est 10...0+...+10...0 (p fois) soit p0...0. Cela revient à utiliser une règle de calcul pour l'addition des nombres de « même longueur » (comme dans une addition en colonnes).</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau 6 : comparaison des technologies moderne et moderne adaptée</caption><tr><td></td><td>(ce qui revient à juxtaposer le p et les zéros de 10... 0). Par exemple 5 multiplié par 1000 s'écrit 5000 ;</td><td>Par exemple 3 objets de 100 c'est 100+100+100 = 300 car 1+1+1=3 et on juxtapose les zéros à droite.</td></tr><tr><td>Q</td><td>Relations entre les unités : une unité d'ordre n+1 vaut 10 unités d'ordre n. Cela amène deux variantes qui utilisent deux types d'ostensifs différents et qui ne font pas intervenir les mêmes savoirs.<br/>10 unités d'ordre n valent 1 unité d'ordre n+1. En effet 10 objets de 10...0 (n zéros) valent 100...0 (n+1 zéros) car 10×10<sup>n</sup>=1×10<sup>n+1</sup> (règles sur les exposants). Plus généralement, 10...0 unités (avec p zéros) d'ordre n valent 1 unité d'ordre n+p.<br/>Sans utiliser les règles sur les exposants (besoins trophiques importants) on est réduit à justifier ces équivalences par une règle de multiplication avec les ECPDG : multiplier par 10 revient à ajouter un zéro à droite du nombre (par exemple 10×100 = 1000), multiplier par 100 revient à ajouter deux zéros, etc.</td><td>10 paquets de 10...0 (n zéros) c'est 100...0 (n+1 zéros) puisque au rang n+1 on a 1+1+...+1 = 10 et on remet les n zéros.<br/>Ainsi, 100 paquets de 10...0 (n zéros) c'est 1000... 0 (n+2 zéros), etc.<br/>De manière générale, 10...0 paquets (p zéros) de 10...0 (n zéros) c'est 10...0 (n+p zéros).</td></tr><tr><td>Q</td><td>Liens avec la numération orale.<br/>Relation entre mots-nombres et ordre des unités. Une unité d'ordre un est nommée dix, une unité d'ordre 2 est nommée cent, une unité d'ordre 3 est nommée mille. Par exemple 200 c'est 2 unités d'ordre 2, donc deux cents. De même 5009 c'est 5 unités d'ordre 3 et 9 unités d'ordre 0 donc cinq mille neuf.<br/>Mais il y a des irrégularités. Pour une unité d'ordre 1 on ne dit pas un dix mais dix. Pour une unité d'ordre 2 on ne dit pas un cent mais cent. Pour une unité d'ordre trois on ne dit pas un mille mais mille. 2 unités d'ordre 1 c'est vingt (et non pas deux-dix), 3 unités d'ordre 1 c'est trente, etc. 1 unité d'ordre 1 et une unité d'ordre 0 c'est onze (et non dix-un), une unité d'ordre 1 et 2 unités d'ordre 0 c'est douze, etc.</td><td>Relation entre mots-nombres et les « paquets » de 10, ... Un paquet de 10 est nommé dix, un paquet de 100 est nommé cent, un paquet de 1000 est nommé mille. Par exemple 200 c'est 2 paquets de 100, donc deux cent. De même 5009 c'est 5 paquets de 1000 et 9 unités donc cinq mille neuf.<br/>Mais il y a des irrégularités. Pour une unité d'ordre 1 on ne dit pas un dix mais dix. Pour une unité d'ordre 2 on ne dit pas un cent mais cent. Pour une unité d'ordre trois on ne dit pas un mille mais mille. 2 paquets de 10 c'est vingt (et non pas deux-dix), 3 paquets de 10 c'est trente, etc. 1 paquets de 10 et une unité c'est onze (et non dix-un), un paquet de 10 et 2 unités c'est douze, etc.</td></tr></table>

Remarque : pour la deuxième technologie de la théorie moderne adaptée, on peut faire la même remarque que Chambris quand elle compare les unités de la numération aux ECPD : il est impossible ici :

« de distinguer deux énoncés : dix dizaines et une centaine. En effet, dans 100 on peut aussi bien lire 10 dizaines que 1 centaine et que 100 unités : on ne peut pas distinguer les trois ».

Elle ajoute « Cette particularité est une propriété essentielle de la numération positionnelle mais elle ne permet pas en fait de formuler, sans calcul, de nombreuses technologies de la numération de position, toutes celles qui mettent en relation des ordres d'unités. Fondamentalement, on ne peut exprimer la relation entre unités de la numération dans le registre des écritures chiffrées si on ne dispose pas de la multiplication. Si on n'a pas non plus celui de la numération en unités, on ne peut donc pas la formuler. C'est peut-être ce qui explique son absence dans les manuels que nous avons consultés. En fait, elle pourrait être formulée avec un registre intermédiaire, avec des mots et des « paquets de 10, 100, 1000, etc. ». Il faudrait développer cet aspect pour approfondir notre étude. »

Etant donné qu'il s'agit d'un point essentiel de notre étude (regarder la prise en compte de l'aspect décimal de la numération), nous avons donc choisi de construire la théorie moderne adaptée avec les expressions paquets de 10, 100 ... pour justement pouvoir décrire les relations entre les unités. C'est aussi une pratique que l'on retrouve dans certains manuels
comme nous le montrerons dans un chapitre suivant (on trouve dans un des manuels étudiés la description des relations entre unités en utilisant l'expression « groupes de 10 », « groupes de 100 », etc.).

# VI. Conclusion : schéma récapitulatif de l'OM de référence

On peut résumer l'imbrication des trois OMR construites par le schéma suivant qui représente l'OM de référence par la réunion de ces trois OMR.

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure 16 : schéma récapitulatif de l'OM de référence</figcaption></figure>

On pourrait aussi imaginer d'autres OMR possibles (par exemple en mélangeant plusieurs ostensifs) mais il nous semble avoir montré dans cette OM de référence trois modèles théoriques prenant en compte différentes façons de transposer le savoir savant avec des savoirs accessibles au niveau de l'école primaire et qui permettent de traiter les différents types de tâches que nous avons listés. Il nous semble donc que l'on pourrait placer n'importe quelle OM dans l'un de ces modèles théoriques même s'il apparaîtrait quelques petites variantes des OMR construites.

# VII. Les ostensifs de la numération

Nous allons faire le point sur les différents ostensifs possibles pour l'étude de la numération dans les classes.

## a) L'étude de la numération vue comme « une manipulation d'écritures qui rend compte des pratiques matérielles auxquelles elle se substitue »

Rappelons tout d'abord que Mercier (1997), à la suite de Chevallard, conçoit l'activité mathématique comme une manipulation d'objets ostensifs, guidée par les non ostensifs qui leur sont associés. Il précise dans le cas de la numération que ces manipulations d'ostensifs sont guidées « par des pratiques matérielles auxquelles elles se substituent » :

> « Grâce au système de numération en base, toutes les pratiques par déplacements d'objets matériels (bûchettes, cailloux, boules, jetons, etc.) sont remplacées par un travail ostensif qui peut légitimement se substituer aux pratiques matérielles (bûchettes, cailloux, boules, jetons,
etc.) *parce qu'il en rend compte complètement. Cela nous amène à dire que l'activité mathématique humaine consiste en une manipulation d'écritures qui rend compte des pratiques matérielles auxquelles elle se substitue* ».

C'est dans cette perspective que nous allons étudier les différents ostensifs de la numération qui permettent de rendre compte de ces « pratiques matérielles » et de donner leur « sens » aux écritures et aux manipulations faites sur cette écriture.

Nous allons nous intéresser en particulier à ce que ces ostensifs donnent à voir, c'est-à-dire leur valence sémiotique, en commençant par le nombre en chiffres puis en listant tous les autres ostensifs que l'on trouve actuellement dans les manuels, programmes ou dans les classes.

### b) L'ostensif « nombre en chiffres »

Pour les types de tâches qui nécessitent de mettre en jeu l'aspect décimal de la numération, la valence instrumentale de l'écriture en chiffres est forte (on peut travailler facilement) mais la visibilité de la propriété en jeu est nulle : on ne voit pas les relations entre les unités.

Par exemple pour trouver le nombre de paquets de 10 dans 4894 il suffit de lire le nombre formé par les trois chiffres à gauche du deuxième rang, mais cela cache les relations entre unités. Si on utilise par exemple l'ostensif unités de la numération, on peut formuler l'équivalence entre 8 centaines et 80 dizaines et entre 4 milliers et 400 dizaines. Si on utilise un matériel de numération, on peut faire des groupements et échanges entre ces unités qui nous permettent de voir ces relations.

Pour les types de tâches qui nécessitent de mettre en jeu l'aspect positionnel, le problème est un peu différent car il s'agit ici de mettre en relation la position des chiffres dans l'écriture chiffrée avec les différentes unités. Ces unités n'étant pas visibles dans l'écriture chiffrée (valence sémiotique), cela va nécessiter l'utilisation d'un autre ostensif. C'est alors la façon dont se fait le lien entre cet ostensif et la position des chiffres dans le nombre en chiffres qui va nous intéresser.

Pour reprendre l'exemple précédent, pour trouver le nombre de paquets de 10 dans 4894, il faut commencer par associer les « paquets de 10 » à un rang dans l'écriture en chiffres. Cela peut se faire en référence à la position du 1 de « 10 » qui indique le rang cherché ou encore par l'intermédiaire d'un tableau de numération dans lequel on va écrire dans chaque colonne le nom des unités : « unités », « paquets de 10 », etc.

On ne voit donc les unités de la numération dans le nombre en chiffres qu'à travers le rang des chiffres (c'est d'ailleurs cela qui fait l'économie d'écriture et l'efficacité des systèmes de numération positionnels). Les relations entre ces unités, elles, sont complètement invisibles. Cela va donc nécessiter l'utilisation d'autres ostensifs pour faire les liens entre la position et les différentes unités (aspect positionnel) et les liens entre ces différentes unités (aspect décimal).

### c) Les autres ostensifs de l'étude de la numération

Nous indiquerons pour chacun des ostensifs, le (ou les) registre(s) qu'il mobilise (par exemple le nombre en chiffres n'utilise que le registre numérique) ce qui nous permettra de rappeler les types d'objets utilisés.

Nous essaierons d'expliciter comment ces ostensifs donnent à voir (valence sémiotique) les différentes unités du système de numération, puis le lien entre ces unités et la position des chiffres dans le nombre en chiffres (aspect positionnel) et les relations entre ces unités (aspect décimal) de la numération.
<table><thead><tr><th rowspan="2">Ostensif<br>(objets utilisés)</th><th rowspan="2">Registre</th><th colspan="3">Valence sémiotique</th></tr><tr><th>Les unités</th><th>Aspect positionnel<br>(lien entre les unités et<br>la position dans<br>l'écriture en chiffres)</th><th>Aspect décimal<br>(lien entre les unités)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Le compteur</td><td>Numérique</td><td>Données par la position</td><td>Ne montre rien de plus que le nombre en chiffres</td><td></td></tr><tr><td>Le nombre en mots</td><td>Langue naturelle</td><td>Certains mots-nombres (cent, mille)</td><td>Ne permet pas de voir la relation entre ces mots et la position correspondante (mais l'ordre des mots peut donner des indications)</td><td>Non visible</td></tr><tr><td>Le nombre en ECPD et « paquets de »</td><td>Numérique, et langue naturelle (avec utilisation du symbole algébrique +)</td><td>« Paquets de 10 », etc.</td><td>La place du 1 (ou le nombre de 0) donne le rang dans l'écriture : par exemple 10 correspond au deuxième rang, etc.</td><td>Les relations entre les unités sont vues comme des règles positionnelles de calcul : 10 paquets de 10 c'est 100 ou 10× 10 = 100, etc. (car on ajoute un zéro)</td></tr><tr><td>Le nombre en ECPDG</td><td>Numérique (avec utilisation des symboles algébriques + et ×)</td><td>Les ECPD : 1, 10, 100 et 1000</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Le tableau de numération</td><td>Numérique et tableau</td><td>Les colonnes et le nom des unités dans la marge du haut : unités, dizaines, etc. ou « paquets de 10 » ou « 10 », etc.</td><td>Les colonnes sont associées à une position (1<sup>ère</sup> colonne pour le 1<sup>er</sup> rang, etc.). Permet de lier le rang au nom des unités de la numération ou aux ECPD (10, 100, 1000)</td><td>Non visible</td></tr><tr><td>Le nombre en unités</td><td>Numérique et langue naturelle</td><td>« Unités », « dizaines », « centaines », « milliers ».</td><td>Non visible</td><td>Permet de formuler en langue naturelle les relations entre les unités (10 dizaines c'est 1 centaine, etc.)</td></tr><tr><td>Un matériel de numération du type abaque ou boulier où les unités sont données par la position</td><td>Objets (éventuellement représentés)</td><td>Les différentes tiges</td><td>Les tiges sont associées à une position (1<sup>ère</sup> tige pour le 1<sup>er</sup> rang, etc.)</td><td>Equivalence entre 10 objets d'un certain ordre avec 1 objet de l'ordre immédiatement supérieur : 10 boules d'une certaine tige s'échangent contre 1 boule de la tige de rang immédiatement supérieur.</td></tr><tr><td>Un matériel de numération où les unités sont marquées symboliquement : couleur, écriture en chiffres (par exemple « 10 ») ou nom de l'unité (par exemple « dizaine »)</td><td>Objets (éventuellement représentés) et le symbole : éventuellement numérique (écriture en chiffres de l'unité) ou langue naturelle (nom des unités)</td><td>Objets divers avec traces symboliques.</td><td>Lien entre le symbole et le rang correspondant</td><td>Groupement et échange de 10 objets d'un certain ordre avec 1 objet de l'ordre immédiatement supérieur (par exemple un échange de 10 étiquettes « 1 » contre 1 étiquette « 10 »)</td></tr><tr><td>Un matériel de numération où les unités restent visibles</td><td>Objets (éventuellement représentés)</td><td>Objets divers.</td><td>Lien entre l'objet et le rang correspondant</td><td>Groupement (et éventuellement échange) de 10 objets d'un certain</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau 7 : Liste des ostensifs utilisés dans l'étude de la numération avec leur valence sémiotique pour les aspects décimaux et positionnels de la numération</caption><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>ordre dans 1 objet de l'ordre immédiatement supérieur (par exemple un groupement de 10 billes dans 1 boite)</td></tr></table>

Le matériel de numération est le seul ostensif qui permette de voir physiquement les relations entre les unités à travers les groupements et échanges, mais leur variété entraîne des échanges de nature différente selon le type de matériel utilisé (nous allons préciser cela). Les unités de la numération permettent alors de formuler ces relations mais pour faire le lien avec la position on peut alors utiliser le tableau de numération qui semble être l'ostensif privilégié pour associer les unités à une position dans l'écriture en chiffres. La manipulation des ECPD donne à voir des règles positionnelles de calcul, qui ne s'appuient pas sur les groupements et échanges entre unités. Le compteur utilisé tout seul n'apporte rien de plus que le nombre en chiffres. Le nombre en mots non plus.

Précisons un peu le cas des matériels de numération car leur variété entraîne des différences de visibilité au niveau de l'aspect décimal. Nous reprenons ici le classement des divers types de matériel de numération de Bacquet et Gueritte-Hess (1997) :
Nous étudierons en particulier la question de savoir comment on peut voir la relation entre 1 millier et 100 dizaines avec chaque type de matériel.

- « Les « uns » qui demeurent » (cas 1 de la figure)

Les unités restent présentes après regroupement. La nouvelle unité est représentée par le lien matériel qui unit les unités d'ordre inférieur (un élastique, un sachet, etc.)

Dans ce cas l'aspect décimal se voit directement sur le matériel (on retrouve bien la signification première de la dizaine : un groupement de 10 objets).

Pour le millier, les unités inférieures peuvent être toujours visibles à condition d'avoir des sacs, boites, ... transparents.

Dans le cas d'un contenant opaque, il faut alors défaire successivement les différents paquets pour retrouver le nombre d'unités inférieures.

En défaisant le paquet représentant le millier, on obtient donc 100 dizaines (on peut les compter).

- « Les « uns » qui s'échangent mais restent visibles » (cas 2)

Ici les unités se regroupent et s'échangent contre une unité de l'ordre supérieur mais dans laquelle les 10 unités restent toujours visibles.

Le millier peut alors par exemple être représenté par un cube (si par exemple la centaine est une plaque de 10 barres et le millier un cube de 10 plaques), pour lequel on voit encore une trace de chaque unité mais on ne peut plus défaire directement le cube : il faut mettre en

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Figure 17 : Représentation de 10 unités et de la dizaine pour chaque type de matériel de numération</figcaption></figure>
parallèle 1 cube avec 10 plaques (centaines) puis pour chaque plaque les mettre en parallèle avec 10 barres (dizaines). On obtient alors 100 barres, soit 100 dizaines (on peut les compter).

- « Les « uns » qui disparaissent mais laissent une trace symbolique » (cas 3 et 4)

Les unités se regroupent et s'échangent contre une unité de l'ordre supérieur avec une trace symbolique de cette équivalence.

Dans ce cas l'aspect décimal ne se voit plus : on choisit une convention pour matérialiser l'unité d'ordre supérieur qui ne montre plus le lien avec l'unité de départ. C'est la règle d'échange que l'on se donne qui définit les relations entre les unités.

Pour le millier, on est obligé d'effectuer des échanges successifs contre 10 unités de l'ordre inférieur pour faire apparaître tout d'abord les 10 centaines (par la règle d'échange que l'on s'est donnée) puis dans chaque centaine les 10 dizaines. On obtient alors 100 dizaines (on peut les compter).

- « Les « uns » qui parlent suivant la position » (cas 5)

Il s'agit des matériels de type abaque ou boulier. Nous ne considérons que le matériel qui est uniquement en base 10 (pas de base intermédiaire comme la base 5).

Dans ce cas l'aspect décimal se voit par l'équivalence (qui est aussi une convention) entre 10 boules d'une certaine tige et 1 boule de la tige d'à côté ou du dessous.

Pour le millier, on peut donc faire l'opération en sens inverse : enlever une boule de millier et la remplacer par 10 boules de centaines mais on ne pourra alors pas échanger chacune de ces centaines en 10 dizaines. On ne peut pas obtenir 100 dizaines avec le matériel.

Pour l'aspect décimal de la numération, ces matériels ont donc une caractéristique commune qui est l'obtention d'une unité supérieure à une unité donnée par un groupement de 10 de ces unités puis échange avec la nouvelle unité. On a alors toujours la possibilité de revenir en arrière sur l'unité immédiatement inférieure par l'opération inverse.

Ils permettent donc tous de voir les relations entre deux unités successives. Cependant, tous ne donnent pas à voir les relations entre n'importe quelles unités : avec les matériels de type abaque on ne peut pas obtenir le nombre d'unités correspondant à deux niveaux inférieurs par exemple (comme le passage du millier à la dizaine).

Concernant l'aspect positionnel de la numération, dans le cas des matériels de type abaque, le lien avec la position dans le nombre en chiffres est visible : à la première tige (en partant du haut ou de la droite) correspond au premier rang, etc. Mais pour les autres matériels, cela nécessite l'utilisation d'un autre ostensif (comme le tableau de numération par exemple) pour associer les différentes unités aux rangs de l'écriture en chiffres.

Cette rapide étude nous montre des valences sémiotiques différentes des ostensifs vis-à-vis des deux aspects de la numération. Certains ostensifs sont privilégiés pour voir les relations entre les unités (comme les matériels de numération) mais ne permettent pas le lien avec la position des chiffres (il faut alors utiliser un autre ostensif) et à l'opposé d'autres ostensifs comme le tableau de numération permettent d'associer les unités à la position dans l'écriture en chiffres tout en laissant invisibles les relations entre les unités. L'ostensif « unités de la numération » (unités, dizaines, centaines, milliers) apparaît alors comme privilégié pour faire le lien entre ces deux types d'ostensifs. Ce rôle peut aussi revenir aux ECPD (1, 10, 100, 1000 ou paquets de 10, de 100, de 1000), mais les relations entre les unités peuvent alors apparaître comme des règles de calcul et rompent donc ainsi le lien avec les activités de groupements et d'échanges faites avec le matériel de numération.
# PARTIE C : Etude de l'OM à enseigner

## I. Méthodologie

Cette étude vise à déterminer les contraintes et libertés institutionnelles afin de mieux comprendre les choix des enseignants que nous analyserons dans la partie suivante. Nous allons nous appuyer sur les programmes officiels de 2002, 2007 et 2008, des évaluations nationales ainsi que sur deux manuels récents.

Nous commencerons par une étude du programme de 2002. Celui-ci est accompagné d'un « document d'application » donnant des commentaires et précisions sur les compétences citées dans le texte du programme. Ces éléments nous permettront de faire une analyse des organisations mathématiques ponctuelles de la numération (pour chacun des types de tâches) qui nous permettra ensuite de construire un schéma de l'organisation mathématique locale de ce programme.

Nous regarderons également les évaluations nationales de 2005 pour compléter cette analyse : c'est une période à laquelle les programmes 2002 sont appliqués à tous les niveaux du cycle 3. Nous utiliserons les évaluations de début de CE2 (qui concernent donc les compétences de cycle 2, mais dont le contenu nous semble pouvoir donner une indication sur les attentes institutionnelles pour la classe de CE2) ainsi que celles de début de 6ème (qui concerne donc les compétences attendues à la fin du cycle 3).

Nous étudierons ensuite les OM de deux manuels de CE2 dont les éditons consultées datent de 2003 et de 2007 (ce dernier date de mars 2007, soit avant la parution des programmes de 2007). Les manuels choisis sont « Cap Maths » CE2, éditions Hatier et « J'apprends les maths » CE2, éditions Retz. Ce sont des manuels largement utilisés dans les classes et dont les auteurs sont influencés par les travaux de didactique des mathématiques (ils sont tous les deux formateurs d'enseignants du premier degré et auteurs d'ouvrages sur l'enseignement des mathématiques à l'école). Tout comme pour les programmes de 2002 nous ferons une analyse en deux temps : les organisations mathématiques ponctuelles puis l'organisation mathématique locale.

Nous complèterons ensuite notre étude pour voir comment a évolué cette organisation dans les textes officiels suivants (2007 et 2008) pour lesquels il n'existe pas de commentaires officiels. En particulier nous étudierons l'évolution (en termes de rupture ou de continuité) des formulations utilisées dans la description des compétences attendues chez les élèves pour mettre en évidence l'évolution de l'organisation mathématique des programmes.

Enfin nous étudierons le traitement de la numération dans les évaluations nationales de 2009 : ces évaluations de CM2 ont eu lieu au mois de janvier et portent sur les compétences attendues au cycle 3 relativement au programme officiel de 2008 (ces programmes sont appliqués au CM2 dès la rentrée 2008).

Comme nous l'avons déjà précisé dans la partie B, tous les types de tâches ne sont pas susceptibles de mettre en jeu à la fois l'aspect positionnel et l'aspect décimal de la numération. Nous étudierons donc plus en détail les types de tâches décomposer/recomposer, « nombre de », avancer/reculer et dénombrer pour lesquels nous pourrons regarder comment les deux aspects de la numération y sont traités.

On trouvera en annexe tous les extraits des documents officiels utilisés pour notre analyse ainsi que certains extraits des deux manuels étudiés.
## II. OM des Instructions Officielles de 2002

Les types de tâche sont organisés en deux catégories : « Désignations orales et écrites des nombres entiers naturels » et « Ordre sur les nombres entiers naturels » à l'intérieur d'une grande catégorie du programme : « connaissance des nombres entiers naturels »

### II.1 Les organisations mathématiques ponctuelles de l'étude de la numération dans le programme de 2002 :

#### a) T : « nombre de »

Il apparaît sous l'intitulé suivant (qui est en fait l'élément technologique justifiant la technique utilisée) :

« Déterminer la valeur de chacun des chiffres composant l'écriture d'un nombre entier en fonction de sa position. »

Un exemple est donné : « Les formulations du type « Combien y a-t-il de paquets de 10 dans 8 926 ? » accompagnent celles comme « Quel est le nombre de dizaines dans 8926 ? ». » Cela correspond à la tâche « nombre de ».

* $\tau$: former le nombre contenant les chiffres à partir du rang de l'unité voulue.

Nous l'avons reconstruite à partir des éléments technologiques car cette technique n'est pas explicitée ni dans les textes des programmes, ni dans les commentaires qui les accompagnent. Il est précisé qu' « il convient d'éviter les activités formelles et l'utilisation trop systématique du tableau de numération ».

* $\theta$: relations entre unités et positions dans le nombre en chiffre (aspect positionnel) et relations entre les unités.

* Ostensifs : nombre en chiffres, nombre en unités, « paquets » de 10, 100 ... mais éviter « l'utilisation trop systématique du tableau de numération ».

On peut lire dans les commentaires que « les mots dizaines, centaines, milliers... sont employés comme synonymes et reformulés sous la forme de « paquets » de 10, de 100, de 1000... »

Il apparaît donc une certaine défiance vis-à-vis de l'ostensif « nombre en unités ». D'ailleurs, on peut lire cette fois dans les commentaires des programmes de cycle 2 : « L'utilisation du vocabulaire (dizaine, centaine) ne constitue pas un objectif prioritaire : les expressions « paquet de dix, paquet de cent » sont en effet plus explicites. »

Il y a une volonté affichée d'avoir un travail sur les éléments technologiques : « La valeur des chiffres doit être constamment envisagée en relation avec les activités de groupements et d'échanges qui la sous-tendent », mais :

- le type de tâche qui y est associé est flou : il faut lire les commentaires pour comprendre qu'il s'agit du type de tâches « nombre de » ;

- on ne voit pas apparaître clairement les relations entre les unités (aspect décimal) : on parle « d'activités d'échanges et de groupements ». Dans ces activités il semble que les ostensifs « paquets de » et les unités de la numération permettraient de formuler les relations entre les unités.

- les techniques utilisées ne devraient pas être formalisées, ce qui risque donc de les rendre invisibles tout en devant être justifiées ! Tout se passe comme si on voulait passer directement du niveau des types de tâches au niveau des technologies.

#### b) T : Décomposer/recomposer
On le trouve sous cette formulation :

« - Donner diverses décompositions d'un nombre en utilisant 10, 100, 1000, etc.

- Retrouver rapidement l'écriture chiffrée d'un nombre à partir d'une décomposition utilisant 10, 100, 1000, etc. »

C'est un type de tâche qui est sensible aux ostensifs des OM possibles : par exemple pour l'OMR « classique » on ne trouve que des décompositions/recompositions en unités de la numération. Ici on peut d'ores et déjà noter que l'ostensif privilégié est le nombre en ECPDG. Cela a des conséquences sur les technologies en jeu, comme nous allons le montrer.

Des exemples de décompositions et recompositions sont donnés dans les commentaires. Certains nécessitent une simple association unité/rang (aspect positionnel), comme c'est le cas pour les exemples suivants :

- décomposition : « 5324 = (5 × 1000) + (3 × 100) + (2 × 10) + 4 »

- recomposition : « (3 × 100) + (5 × 1 000) + (6 × 10) = 5 360 ».

Les autres exemples nécessitent l'utilisation des relations entre les unités (aspect décimal) :

- décomposition : « (53 × 100) + 24 »

- recomposition : « (3 × 100) + (12 × 10) + 8 + (5 × 1000) = 5 428 ».

La première ((53 × 100) + 24) pourrait être justifiée par les relations entre les unités d'ordre 2 et les unités d'ordre 3 (ou encore « paquets de 100 » et « paquets de 1000 »). Cependant l'utilisation des ECPDG ici rend difficile la formulation de ces relations car elle fait intervenir des propriétés de la multiplication. Cela explique peut-être le fait qu'on ne trouve justement pas de telles justifications dans les commentaires.

On peut seulement y lire : « de telles égalités sont produites en référence à la valeur des chiffres en fonction de leur position plutôt qu'à l'utilisation du tableau de numération. Elles peuvent également être contrôlées par un calcul ».

C'est-à-dire que dans 5324, le 5 étant au quatrième rang, il vaut 5 × 1000, etc. On peut ensuite vérifier par un « calcul » que (5 × 1000) + (3 × 100) + (2 × 10) + 4 = 5324. Il faudra alors utiliser une règle de juxtaposition de zéros pour la multiplication par 10, 100, 1000 et ensuite des règles positionnelles de calcul pour les additions.

Tout se passe donc comme s'il y avait deux types de technologies permettant de justifier les égalités produites : relations entre unités et positions dans le nombre en chiffre (aspect positionnel) mais aussi les règles positionnelles de calcul. Nous interprétons cela comme le fait que le calcul va permettre d'éviter de justifier les relations entre les unités (aspect décimal) ce qui nécessite le recours à des propriétés de la multiplication. Par exemple 53× 100 = 5300 n'est pas justifié par l'équivalence entre 10× 100 et 1000 mais par l'utilisation d'une règle de calcul : multiplier par 100 c'est ajouter deux zéros à droite du nombre.

Nous retrouvons peut-être ici une conséquence des besoins trophiques élevés de l'utilisation des ECPDG, que nous avions déjà relevés lors de la construction des OMR moderne et moderne adaptée.

Du coup, l'aspect décimal de la numération n'apparaît pas clairement comme un savoir essentiel de la numération. Pourtant il nous semble voir dans les programmes ou commentaires quelques références implicites à ce savoir. Par exemple dans les commentaires du document d'application de cycle 2, concernant l'addition posée, on peut lire : « la technique utilisée doit être justifiée (notamment le principe de la retenue) en référence aux connaissances sur la numération ». Dans les commentaires pour le cycle 3, c'est moins explicite : « pour chacune des autres opérations (soustraction, multiplication et division euclidienne), une technique doit être mise en place au cycle 3 en s'attachant en priorité à assurer la compréhension de son fonctionnement » : on ne précise plus le lien avec les connaissances de numération. Il nous semble donc qu'il y ait une volonté de justifier ces techniques opératoires en s'appuyant implicitement sur l'aspect décimal (notamment pour le
principe des retenues). Il apparaît plus explicitement dans les commentaires du document d'application de cycle 3 sur les nombres décimaux. En effet, pour la compétence « déterminer la valeur de chacun des chiffres composant une écriture à virgule en fonction de sa position », on peut lire : « la valeur d'un chiffre est dix fois plus petite que celle du chiffre écrit immédiatement à sa gauche et dix fois plus grande que celle du chiffre qui est écrit immédiatement à sa droite (ce qui est vrai aussi bien pour la partie entière que pour la partie décimale) ». On voit donc ici énoncée la conjonction de l'aspect positionnel et décimal de la numération pour les décimaux.

Ce petit détour par d'autres thèmes du programme nous a permis de montrer que l'aspect décimal de la numération, pour les auteurs du programme 2002, est implicite dans l'expression « valeur des chiffres en fonction de leur position ».

□ T : Utilisation du « nombre de » (ou plutôt ici du « chiffre des »), avec possibilité d'ajouts de nombres à un rang donné pour les recompositions (par exemple pour la recomposition $(3 \times 100) + (12 \times 10) + 8 + (5 \times 1000)$ en 5 428, il faut ajouter 3 centaines et 1 centaine).

Cette technique est invisible (ce qui semble être lié à l'utilisation des ECPDG)

□ θ: relations entre unités et positions dans le nombre en chiffres (aspect positionnel) et règles de calcul.

Concernant la règle positionnelle de calcul qui consiste à juxtaposer des zéros pour multiplier par 10...0, on peut remarquer que dans ces mêmes programmes, mais au niveau du cycle 2, on peut lire qu'elle est une conséquence des éléments technologiques de la numération de position. En effet les commentaires des programmes de cycle 2 précisent : « Enfin, pour la multiplication par dix, on met en évidence « la règle du 0 », en la justifiant (4 × 10, c'est 4 dizaines, donc 40) ».

Tout se passe comme si pour les petits nombres on allait justifier la multiplication par 10, 100 ... mais qu'une fois qu'on a établi cette règle on la généralise aux nombres plus grands et ce n'est alors plus une règle de la numération qui la justifie mais juste cette généralisation (puisque pour multiplier par 10 on ajoute un zéro, par 100 deux zéros, alors pour multiplier par 1000 on ajoute trois zéros ...)

□ Ostensifs : nombre en chiffres, nombre en ECPDG.

La décomposition/recomposition n'est associée qu'aux ostensifs nombre en chiffres et nombre en ECPDG. On ne retrouve plus l'ostensif nombre en unités.

Pour ce type de tâche on observe donc une proximité avec l'OMR moderne.

### c) T : dénombrer

On peut noter l'absence de ce type de tâche dans les programmes de cycle 3. Celui-ci apparaît pourtant dans les programmes de cycle 2 sous cette forme : « Dénombrer ou réaliser une quantité en utilisant le comptage de un en un ou en utilisant des procédés de groupements et d'échanges par dizaines et centaines. »

Cette disparition peut certainement avoir pour origine la taille des nombres étudiés : jusqu'à 1000 en cycle 2 et nombre de plus de quatre chiffres en cycle 3, pour lesquels le dénombrement est fastidieux ... Pourtant il est tout à fait possible de dénombrer des collections qui sont déjà organisées (ou au moins en partie).

Du coup, alors que ce type de tâche permet d'utiliser des « procédés de groupements et d'échanges » (qui sont justifiés par l'aspect décimal de la numération) on réserve uniquement cela au type de tâche « nombre de ».

On peut pourtant noter que dans l'introduction de la partie « connaissance des nombres entiers naturels » du document d'application on peut lire :
« Ces connaissances ne doivent pas fonctionner uniquement pour elles-mêmes. Elles doivent, le plus souvent, être envisagées en relation avec des activités de résolution de problèmes : dénombrement, mesurage, graduation ».

Le dénombrement apparaîtrait donc comme moyen de faire fonctionner les connaissances de numération mais le lien avec les compétences des programmes n'est pas explicité.

### d) T : avancer/reculer dans la suite écrite ou orale

On le retrouve sous ces formulations :

« - Produire des suites orales et écrites de 1 en 1, 10 en 10, 100 en 100, à partir de n'importe quel nombre » (dans la partie « Désignations orales et écrites des nombres entiers naturels »);

Suites écrites :

* T: avancer de 10 en 10 revient à ajouter 1 au rang des dizaines. Si on a déjà 9 dizaines on passe à 0 et on ajoute 1 au rang des centaines, etc.

On peut lire dans les commentaires qu'« il s'agit de mettre en évidence les régularités des suites de nombres écrits en chiffres (en liaison, par exemple, avec le fonctionnement d'un compteur) », ce qui peut faire penser que le compteur a un rôle d'élément technologique : c'est son fonctionnement qui peut permettre de justifier les techniques en jeu. Cette utilisation du compteur peut alors masquer les relations entre les unités (aspect décimal).

Mais il est aussi précisé que « la production de suites de nombres (écrits en chiffres) de 10 en 10, 100 en 100... doit être mise en relation avec les effets d'ajouts successifs de 10 (ou d'une dizaine), de 100 (ou d'une centaine)... ». On peut alors se demander quel type de relation est en jeu : les techniques d'ajouts successifs de 10, 100, ... justifient-elles les techniques de production de suite numérique (règles positionnelles de calcul justifieraient l'avancée de 10 en 10, ...) ou bien est-ce l'inverse (règles de fonctionnement du compteur justifierait les ajouts successifs de 10, ...) ? Là encore nous relevons un certain flou concernant les éléments technologiques en jeu.

On peut aussi se demander comment est justifié le passage d'un rang au suivant quand par exemple on avance de 10 en 10 à partir de 2990. Cela fait intervenir l'aspect décimal de la numération mais nous ne voyons toujours pas de référence explicite dans les commentaires pour ce type de tâche.

* Θ: régularité de la suite écrite et régularité et accidents de la suite orale : le compteur comme objet technologique ou bien relations entre unités et positions dans le nombre en chiffre (aspect positionnel) et les relations entre les unités ? ou encore des règles positionnelles de calcul ?

* Ο: ostensifs : nombre en chiffres.

### Un mot sur les suites orales :

Il n'y a pas d'explicitation de technique mais seulement une évocation d'éléments technologiques : « Il s'agit de mettre en évidence [...] les régularités et les accidents des suites de nombres dits oralement ».

### e) T : Lire/écrire un nombre

On le retrouve sous cette formulation :

« Associer la désignation orale et la désignation écrite (en chiffres), pour des nombres jusqu'à la classe des millions ».
□ T: s'appuie sur la lecture des nombres à trois chiffres et le découpage en « classes » du nombre : au-delà de la classe des unités lire le nombre à trois chiffres suivi du nom de la classe et réciproquement.

Deux exemples sont donnés :

– « 56 246 789 se lit 56 millions 246 mille 789 ;

– cent sept millions cinquante-trois mille cent trente-quatre s'écrit 107 053 134 ».

Le premier exemple correspond en fait à une décomposition utilisant des unités de la numération (que l'on pourrait qualifier ici de « nombre en classes »).

□ Θ: relations entre numération orale et écrite.

□ Ostensifs : nombre en chiffres et nombre en mots. Le nombre en unités (ou « en classes ») apparaît dans l'exemple donné comme un intermédiaire pour passer du nombre en chiffres au nombre en mots.

Les commentaires précisent : « l'intérêt du découpage en tranches de trois chiffres pour la lecture usuelle des nombres (fondée sur les classes : mille, millions, milliards...) est souligné ».

f) T : comparer, ranger, intercaler, encadrer

On les retrouve sous ces différentes formulations (dans la partie « Ordre sur les nombres entiers naturels ») :

– « Comparer deux entiers naturels, utiliser les signes < et > (lus «plus petit » et « plus grand »).

– Ranger des nombres en ordre croissant ou décroissant.

– Situer un nombre dans une série ordonnée de nombres.

– Écrire des encadrements d'entiers entre deux dizaines consécutives, deux centaines consécutives, deux milliers consécutifs... »

– Situer précisément ou approximativement des nombres sur une droite graduée de 10 en 10, de 100 en 100... ».

Commençons par deux remarques :

– nous nommons « intercaler » la compétence « Situer un nombre dans une série ordonnée de nombres » pour alléger la description mais nous avons conscience que l'intercalation n'est pas toujours possible pour les entiers (cas des entiers consécutifs) ;

– nous avons choisi de mettre toutes ces compétences dans un même type de tâche car, comme nous l'avons déjà précisé, ce n'est pas notre propos de détailler davantage ce type de tâche qui généralement ne met en jeu que l'aspect positionnel de la numération.

□ T: utilisation du nombre de chiffres dans le nombre en chiffres et s'il y a le même nombre de chiffres, comparaison des chiffres de plus haut rang successivement.

Cette technique n'est pas explicitée dans les commentaires. Il est seulement précisé qu'« au cours de l'apprentissage, les procédures de comparaison font l'objet d'une explicitation par les élèves ». Cela peut sembler être en décalage avec ce que l'on a pu voir pour les autres types de tâches, pour lesquelles le niveau technique n'apparaît pas explicitement (on passe souvent du niveau des types de tâche au niveau des technologies directement).

□ Θ: relations entre unités et positions dans le nombre en chiffre (aspect positionnel).

□ Ostensifs : nombre en chiffres.

Pour ce qui est de « Situer précisément ou approximativement des nombres sur une droite graduée de 10 en 10, de 100 en 100... », il est associé à ce type de tâche dans les programmes, mais il pourrait être également associé à « avancer/reculer ... » même si cela
demande une étape supplémentaire pour trouver les pas de la graduation (qui peut faire intervenir la proportionnalité ou bien par essais/erreurs).

## II.2 L'organisation mathématique locale de l'étude de la numération dans le programme de 2002

Nous reconstruisons l'OM locale à partir de l'étude précédente. On peut penser que dans ces programmes, les « compétences » citées ne sont pas données dans un ordre aléatoire, même si les auteurs précisent dans les commentaires généraux du document d'application que « l'ordre d'exposé des compétences, pour chaque domaine, ne correspond pas nécessairement à celui de leur apprentissage ». Nous faisons alors des hypothèses (flèches en pointillés sur le schéma ci-dessous) pour essayer de reconstituer les liens entre les différents types de tâches.

Par contre il est difficile de reconstruire les liens entre les deux sous thèmes de l'étude de la numération : « désignations orales et écrites des nombres entiers naturels » et « ordre sur les nombres entiers naturels ». Nous nous contentons donc de les placer en parallèle. Cependant pour le type de tâche « comparer, ranger, ... » le programme demande de faire expliciter les techniques utilisées par les élèves. Cela s'appuie donc sur la valeur des chiffres en fonction de leur position, en particulier l'aspect positionnel de la numération.

Les éléments technologiques apparaissent en gris sur le schéma. Nous avons utilisé une double flèche entre les types de tâche « nombre de » et « décomposer/ recomposer » et l'élément technologique « valeur des chiffres en fonction de leur position » pour rappeler qu'il s'agit de types de tâches technologiques. D'ailleurs dans les formulations du programme le type de tâche « nombre de » est nommé « valeur des chiffres en fonction de leur position ».

Nous faisons également apparaître les « régularités de la suite écrite et régularités et accidents de la suite orale » comme élément technologique justifiant le type de tâche « avancer/reculer » comme nous l'avons vu précédemment.

Nous résumons cette OM à travers le schéma ci-dessous.

<figure><img src="image_23.png" /></figure>
## II.3 Conclusions sur les IO 2002

On peut noter une faible place donnée à l'explicitation de techniques (que nous avons essayé ici de reconstituer) mais une centration sur l'aspect technologique (avec quelques implicites notés) dans les commentaires pour les trois premiers types de tâche, qui sont des types de tâches qui pourraient permettre de mettre en jeu l'aspect décimal de la numération. On verra que finalement celui-ci n'a pas pour autant la place que l'on pourrait croire.

On retrouve peut-être là une trace du « logocentrisme » dont parlent Bosch & Chevallard (1999). Tout se passe comme si on voulait accéder directement au « sens » des écritures chiffrées à travers les types de tâches proposés.

D'ailleurs les compétences suivantes citées dans le programme :

- « Déterminer la valeur de chacun des chiffres composant l'écriture d'un nombre entier en fonction de sa position ;

- Donner diverses décompositions d'un nombre en utilisant 10, 100, 1000, etc.

- Retrouver rapidement l'écriture chiffrée d'un nombre à partir d'une décomposition utilisant 10, 100, 1000, etc. »

(qui relèvent de « nombre de » et « décomposer/recomposer ») sont des types de tâches que nous pouvons qualifier de « technologiques » car leur technique de résolution utilise directement la technologie en jeu.

Concernant ces technologies, il y a une forte domination de l'aspect positionnel dans le bloc technologico-théorique. L'aspect décimal nous semblant, de son côté, principalement pris en charge par des règles de calcul (notamment la règle des zéros) alors même que ces règles de calcul, dans ces mêmes IO sont décrites comme des conséquences des règles de la numération.

Cependant nous avons montré que derrière l'expression « valeur des chiffres en fonction de leur position » les auteurs des programmes incluent les deux aspects de la numération, même si l'aspect décimal est implicite.

Son lien un peu flou avec les règles positionnelles de calcul est peut-être une conséquence de l'utilisation des ECPDG, qui ont des besoins trophiques élevés pour décrire les relations entre les unités. On peut parfois voir un recours aux unités de la numération ou aux « paquets de » dans les commentaires du programme quand ces relations sont en jeu mais on ne voit jamais clairement ces relations exprimées.

Une conséquence de ce phénomène est l'utilisation d'éléments technologiques qui relèvent de la valeur des chiffres (3×1000 c'est 3 au rang des milliers) mais aussi de règles positionnelles de calcul (3× 1000 c'est 3000 car on juxtapose les trois zéros).

Concernant les unités de la numération nous avons noté une certaine défiance à leur encontre dans les commentaires des programmes. Cela semble être lié au fait que cet ostensif est associé, selon les auteurs des programmes, à des « activités formelles » et à « l'utilisation trop systématique du tableau de numération », ce qui ne permettrait donc pas de comprendre le fonctionnement du système de numération.

On peut penser que le fait de remplacer les unités de la numération par les expressions « paquet de » peut amener à perdre l'aspect « unité de mesure » des unités de la numération (la dizaine sert à mesurer une certaine quantité d'unités) pour ne plus voir dans les unités de la numération que le nom d'un rang dans l'écriture chiffrée.

Finalement, malgré une utilisation des ostensifs unités de la numération et « paquets de », on peut conclure de cette étude une inscription du bloc technologico-théorique de cette OM à la fois dans l'OMR moderne et l'OMR moderne adaptée, avec une place très réduite (liée justement à l'utilisation des ECPDG et des règles de calcul avec les ECPD) donnée à la description des relations entre les unités.
## II.4 Les évaluations nationales liées aux programmes 2002

### a) Evaluation nationale de CE2, 2005

Rappelons tout d'abord que ces évaluations portent sur le programme de cycle 2 car elles ont lieu en début d'année de CE2. On retrouve toutefois dans le programme de cycle 2 quasiment les mêmes compétences que dans celui de cycle 3. Comme nous l'avons déjà relevé, il y a une compétence qui n'apparaît pas en cycle 3 : « Dénombrer ou réaliser une quantité en utilisant le comptage de un en un ou en utilisant des procédés de groupements et d'échanges par dizaines et centaines. »

Pour le cycle 2, les différences principales avec le programme de cycle 3 relèvent de la taille des nombres utilisés (nombres inférieurs à mille au cycle 2) et de l'absence de décompositions/recompositions au cycle 2.

Pourtant dans ces évaluations CE2, on ne retrouve que les types de tâche :

- « désigner par écrit des nombres entiers naturels (inférieurs à 1000)

- comparer des nombres entiers naturels ».

Les compétences suivantes des programmes de cycle 2 ne sont pas évaluées :

- « Dénombrer ou réaliser une quantité en utilisant le comptage de un en un ou en utilisant des procédés de groupements et d'échanges par dizaines et centaines.

- Comprendre et déterminer la valeur des chiffres en fonction de leur position dans l'écriture décimale d'un nombre.

- Produire des suites orales et écrites de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100 (en avant ou en arrière), à partir de n'importe quel nombre, en particulier citer le nombre qui suit ou qui précède un nombre donné ».

Ce sont des types de tâches qui, notamment au CE1 avec les nombres à trois chiffres, devraient permettre de travailler l'aspect décimal de la numération par les groupements et échanges entre les unités de la numération : 10 paquets de 10 valent 1 paquet de 100 ...

Au contraire ici les compétences évaluées au CE2 font uniquement intervenir l'aspect positionnel de la numération à travers l'écriture en chiffres et la comparaison.

### b) Evaluation nationale 6ème, 2005

Dans cette évaluation, qui porte cette fois sur les compétences de cycle 3, parmi les compétences des programmes 2002, une seule est évaluée : « désigner par écrit des nombres entiers naturels ».

On trouve un seul grand domaine « connaissance des nombres » qui regroupe la connaissance des nombres entiers naturels et des nombres décimaux, contrairement aux programmes où ils sont séparés.

Tous les autres items de ce domaine concernent les nombres décimaux (non entiers).

Le fait qu'il s'agisse d'une évaluation 6ème permet certainement d'expliquer en grande partie cela : on évalue plutôt des compétences travaillées en fin de cycle.

Or les types de tâches concernant les nombres entiers sont principalement travaillés en début de cycle 3, comme nous le montre le tableau de programmation extrait des documents d'application des programmes de cycle 3 (annexe). Au début du cycle 3 il s'agit d'un travail de « construction, structuration », alors qu'à la fin du cycle c'est principalement un travail de « consolidation, utilisation ».

De plus quand il y a des types de tâches communs avec ceux travaillés sur les nombres décimaux, les évaluations ne portent que sur les nombres décimaux.

C'est le cas par exemple de la comparaison de nombres.
On ne retrouve pas de trace de la compétence « valeur des chiffres en fonction de leur position ».

Il est à noter que dans les évaluations 6ème de septembre 2002 (qui portaient donc sur le programme de 1995) on trouvait cet exercice : « Complète : 25 dizaines = ....... unités ».

### c) Conclusions sur les évaluations CE2 et 6ème de 2005

Le niveau de classe CE2 semble payer le prix d'être le premier niveau du cycle. En effet on y voit encore un besoin de construire et de structurer le travail sur la numération dans le champ des entiers (comme on peut le lire dans les documents d'application des programmes de cycle 3), mais tout ce travail de construction ne fait pas l'objet de l'évaluation de 6ème qui porte plutôt sur des compétences de fin de cycle sur les nombres décimaux et se limite pour les entiers à la désignation par écrit.

Cependant on peut remarquer, que même dans les évaluations CE2 (qui portent sur la fin du cycle 2 où le travail de construction de la numération est déjà bien commencé), les types de tâches qui relèvent plutôt de la construction de la numération (« dénombrer », « nombre de ») ne sont pas évalués. Cela semble en contradiction avec l'importance accordée à « la valeur des chiffres en fonction de leur position » que l'on a pu constater à travers les commentaires du document d'application du programme.

On peut donc en déduire une importance institutionnelle accordée aux types de tâche lire/écrire et comparer et par voie de conséquence à l'aspect positionnel de la numération au niveau technologique.

## III. OM de deux manuels de CE2 : « Cap Maths » et « J'apprends les maths »

### III.1 Des éléments spécifiques de méthodologie

Dans l'étude de ces deux manuels nous faisons ce choix des exercices :

- ils appartiennent au thème « nombres et numération » du manuel,

- ils utilisent des nombres supérieurs à mille.

Pour les organisations mathématiques ponctuelles, nous présenterons les types de tâche selon l'ordre décroissant de leur nombre d'apparitions dans le manuel (entre parenthèses figurera le nombre d'exercices de la séance pour le type de tâche étudié). Cela nous permettra déjà de mettre en évidence les types de tâches les plus travaillés. Nous n'avons pas pris en compte les activités courtes effectuées en début de séance qui se font à l'oral et/ou sur ardoise (activités d'« échauffement »). Nous essaierons de reconstituer les techniques et technologies en jeu en nous appuyant notamment sur les livres du maître de ces manuels. Tout comme pour l'étude du programme de 2002, nous détaillerons davantage les types de tâches susceptibles de faire travailler conjointement l'aspect positionnel et l'aspect décimal de la numération.

Pour l'organisation mathématique locale, nous nous appuierons sur cette première étude que nous complèterons par une lecture chronologique des types de tâches des manuels afin de dégager les liens que les différentes OM ponctuelles entretiennent entre elles à travers un schéma récapitulatif.

### III.2 Les organisations mathématiques ponctuelles de « Cap Maths CE2 »

Les séances de ce manuel ayant pour objectif un travail sur la numération sont les suivantes : U7S1, U7S2, U7S3, U7S4, U9S2, U9S7, U10S5, U11S3, U11S4, U12S4, U12S7.

#### a) T : comparer, ranger des nombres
U7S3(1), U7S4(4), U9S4(7), U10S5(2), U11S3(1), U11S4(8)

□ $\mathcal{T}$: regarder le nombre de chiffres. S'ils ont même nombre de chiffres, on compare les chiffres de plus haut rang, etc.

□ Ostensif : nombre en chiffres

□ $\theta$: aspect positionnel : en particulier, plus un chiffre est situé sur la gauche dans le nombre en chiffres plus sa valeur est grande.

Ce type de tâche utilise en général uniquement l'ostensif nombre en chiffres mais on a trouvé des sous-types de tâche qui utilisent l'ostensif nombre en mots, comme par exemple « déterminer des nombres compris entre deux nombres donnés qui s'écrivent avec un certain nombre de mots (par exemple 3 mots) ».

Le manuel associe également à ce type de tâche les activités qui consistent à « situer des nombres sur une droite graduée ».

### b) T : lire/écrire un nombre

U7S1(3), U7S3(3), U9S2(1), U9S7(1), U10S4(3), U10S5(4), U12S7(1)

**Ecrire un nombre en chiffres en nombre en mots (ou lire un nombre en chiffres) :**

□ $\mathcal{T}$: écrire en mots (ou lire) le chiffre du rang des milliers suivi de « mille » puis écrire en mots (ou lire) le nombre de 3 chiffres de la classe des unités.

□ Ostensifs : nombre en chiffres, nombre en mots

□ $\theta$: aspect positionnel et relations entre numération écrite et numération orale (on s'appuie ici sur la connaissance de ces relations pour les nombres à trois chiffres).

**Ecrire un nombre en mots en nombre en chiffres :**

□ $\mathcal{T}$: écrire en chiffres le mot-nombre du rang des milliers (c'est-à-dire avant le mot « mille ») puis écrire en chiffres le nombre de 3 chiffres restant.

□ Ostensifs : nombre en chiffres, nombre en mots

□ $\theta$: aspect positionnel et relations entre numération écrite et numération orale (on s'appuie également ici sur la connaissance de ces relations pour les nombres à trois chiffres).

### c) T : avancer/reculer dans la suite écrite des nombres

U7S1(2), U7S3(2)

Plusieurs techniques apparaissent ici :

□ $\tau$: Reproduire les numérotations d'un livre de plus de mille pages.

□ Ostensif : nombre en chiffres

□ $\vartheta$: La suite numérique écrite comme objet social de référence

□ $\tau_2$: Utiliser un compteur

□ Ostensifs : nombre en chiffres

□ $\vartheta_2$: Le compteur comme objet technologique

□ $\tau_3$: Lire le nombre, puis lire son suivant et l'écrire en chiffres.
On peut lire dans le guide du maître (U7S3) : « la réponse peut également être obtenue en s’appuyant sur la suite orale des nombres : après deux mille quatre-vingt-dix-neuf, on s’attend à entendre deux mille cent ».

□ Ostensifs : nombre en chiffres, nombre en mots

□ $\mathcal{Q}$ : La suite numérique orale connue pour les petits nombres, relations entre numération écrite et numération orale

□ $\tau_4$ : ajouter/retrancher 1 avec la calculatrice

□ Ostensifs : nombre en chiffres, calculatrice

□ $\mathcal{Q}_4$ : calculatrice comme objet technologique

□ $\tau_5$ : Ajouter/retrancher 1 en faisant les groupements et échanges éventuellement

□ Ostensifs : nombre en chiffres, étiquettes 1, 10, 100 ...

□ $\mathcal{Q}$ : aspect décimal mais les relations entre les unités n’interviennent que pour les nombres à trois chiffres.

On peut lire dans le guide du maître (U7S3) : « 2 099 c'est 2 cartons « 1 000 », 9 cartons « 10 » et 9 cartons « 1 » ; avancer de 1 c'est ajouter un carton 1 ; on a alors 10 cartons « 1 » qui peuvent être remplacés par 1 carton « 10 » ; on a alors 10 cartons « 10 » qui peuvent être remplacés par 1 carton « 100 ». »

On a donc ici une apparition de l'aspect décimal de la numération avec les ECPD. On ne voit pas par contre sur quoi se fonde l'équivalence entre 10 cartons de 10 et 1 carton de 100 : par une règle positionnelle ? Par définition des relations entre les ECPD comme pour les unités de la numération par exemple (10 dizaines c'est une centaine) ?

Il est important de noter que même si les deux exercices en question utilisent les nombres à 4 chiffres, il n'y a pas de changement du chiffre des milliers dans les nombres choisis, donc l'élément technologique 10 paquets de 100 équivaut à 1000 ne pourra pas apparaître (ni 100 paquets de 10 ...).

d) $T$ : « nombre de »

U7S1(5), U12S4(1)

□ $\tau_4$ : décomposer le nombre avec une multiplication par 10 ou 100

□ Ostensif : nombre en chiffres

□ $\mathcal{Q}$ : règle positionnelle de calcul (règle de juxtaposition de zéros)

□ $\tau_5$ : Lire directement le nombre de dizaines ou de centaine dans l'écriture du nombre

□ Ostensif : nombre en chiffres

□ $\mathcal{Q}$ : aspect positionnel (et aspect décimal mais celui-ci n'apparaît pas explicitement)

La première séance sur les nombres à quatre chiffres est consacrée au nombre 1000. Il y a un travail sur les relations entre 10 et 100 et entre 100 et 1000. Voici un des exercices proposés (exercice 4, U7, S1) :

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

Maïa dessine des colonnes de dix carrés. Combien doit-elle dessiner de colonnes pour obtenir mille carrés ?

<figure><img src="image_25.png" /></figure>
Figure 19 : extrait du manuel Cap Maths CE2, unité 7, séance 1 (exercice 4)

Voici ce qu'on peut lire dans le guide du maître, concernant cet exercice : « après une mise en commun des procédures, garder une trace écrite collective des procédures les plus caractéristiques :

- $1000 = 10 \times 100$ (il faut dessiner 100 rangées de 10 unités) avec **éventuellement** utilisation de la règle des zéros,

- comptage de 10 en 10, puis de 100 en 100 ... »

Le « éventuellement » que nous avons souligné rend difficile l'interprétation de la technologie en jeu : est-ce que $1000 = 10 \times 100$ par définition du nombre 1000 ou bien est-ce que c'est « la règle des zéros » qui a le rôle de technologie ?

On retrouve également ce type de tâche dans la dernière séance du manuel consacrée à la numération. Il s'agit alors de rechercher le nombre de paquets de 10 ou de 100 dans 640 (U12S4). Les auteurs conseillent aux maîtres de mettre en évidence les procédures les plus efficaces : « utiliser la multiplication par 10 ou par 100 [...] ou utiliser le fait que dans 640 il y a 64 dizaines ou 6 centaines, reconnues comme plus rapides et efficaces que d'autres procédures par ajouts ou retraits successifs. Insister sur la validation par un calcul multiplicatif : [...] $640 = 64 \times 10$ ; $640 = (6 \times 100) + 40$. »

Concernant la recherche du nombre de paquets de 100 dans 2416 ils ajoutent : « 2416 = (24×100) + 16 ce qui amène à conclure qu'il y a 24 centaines dans 2416 (ce qui correspond également une procédure qui a pu être utilisée) ».

Il y a donc bien deux types de techniques : avec les ECPDG, et c'est alors la règle positionnelle de multiplication par 10, 100 ... qui a le statut d'élément technologique (c'est celle que les auteurs demandent d'utiliser pour la validation des réponses, qui semble donc la plus importante) mais aussi l'utilisation des unités de la numération qui serait justifiée par l'aspect positionnel et l'aspect décimal de la numération. Mais cette dernière technique n'est citée qu'entre parenthèses, et on ne voit pas comment elle est justifiée contrairement à la première (on ne dit pas par exemple que dans 2 milliers il y a 20 centaines). C'est une technique faible alors que la première est une technique forte dans ce manuel.

Cela a pour conséquence de ne pas faire apparaître les relations entre les unités (aspect décimal de la numération) pour justifier ces techniques. Celle utilisant les unités de la numération pourrait s'y prêter mais ce n'est pas le choix des auteurs. Pour celle qui utilise les ECPDG, comme nous l'avons déjà relevé, cela peut être lié aux connaissances sollicitées par l'utilisation de la multiplication (associativité de la multiplication, distributivité par rapport à l'addition). Ici il faudrait par exemple écrire $2 \times 1000 + 4 \times 100 = 2 \times 10 \times 100 + 4 \times 100 = 20 \times 100 + 4 \times 100 = 24 \times 100$).

### e) T : Décomposer, recomposer un nombre

U7S2(3), U10S5(2)

**Pour les recompositions** : par exemple 3 cartes de 1000 points et 4 cartes de 100 points

- $\tau$: $1000 + 1000 + 1000 = 3000$ et $100 + 100 + 100 + 100 = 400$ donc $3400$

- Ostensifs : ECPD

- $\mathcal{Q}$ : règle positionnelle de calcul (addition)

- $\tau$: $3 \times 1000 = 3000$ et $4 \times 100 = 400$ donc $3400$

- Ostensifs : ECPDG, nombre en chiffres (et éventuellement utilisation du tableau de numération)
☐ $\mathcal{E}$ : relations entre unités et positions dans le nombre en chiffres (aspect positionnel : 3 ×1000 c'est 3 au 4ème rang, etc.) ou règles positionnelles de calcul : juxtaposition de zéros puis addition.

☐ $\tau$ : 3 cartes de 1000 points et 4 cartes de 100 points c'est 3 milliers et 4 centaines donc 3400

☐ Ostensifs : ECPD, numération en unités, nombre en chiffres (et éventuellement utilisation du tableau de numération)

☐ $\mathcal{E}$ : relations entre unités et positions dans le nombre en chiffre (aspect positionnel) et association entre ECPD et unités de la numération (1000 associé à 1 millier)

La première technique apparaît comme pouvant être mise en œuvre par les élèves dans les problèmes proposés mais ce sont la deuxième et la troisième qui semblent visées. On peut en effet lire dans les commentaires du guide maître (U7S2) :

> « au début les calculs sont laissés à l'initiative des élèves. Certains peuvent poser des additions du type $10\,000 + 10\,000 + 10\,000 + ...$ (ce qui est assez fréquent), calculer des produits comme $4 \times 10\,000$ (en prolongeant la règle des 0) ou répondre directement 40 000. On laissera se développer ces différentes pratiques, et ce n'est qu'au cours de la séance qu'est introduit le tableau de numération qui permet de trouver rapidement l'écriture du total des points. Mais il ne serait pas opportun de systématiser son utilisation, ce qui risquerait de conduire les élèves à ne plus réfléchir à la valeur des chiffres dans l'écriture du nombre ».

Lors de la même séance dans la description de la synthèse (voir extrait ci-dessous), les auteurs donnent le tableau de numération. Celui-ci fait apparaître dans la marge du haut à la fois les ECPD et les unités de la numération, ce qui permet de prendre en charge l'association entre 1000 et 1 millier par exemple (donc entre ECPD et unités de la numération) qui est nécessaire pour la troisième technique.

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Figure 20 : extrait du manuel Cap Maths CE2, unité 7, séance 2 (synthèse)</figcaption></figure>

Cette fois, l'ostensif « numération en unités » apparaît comme un objet de savoir qui permet de nommer les rangs, mais les « décompositions » et « recompositions » sont associées aux ECPD et ECPDG.

On peut toutefois remarquer que dans le « dico-maths » (cahier de leçons de ce manuel) on peut voir différentes façons de décomposer un nombre (nombre en unités, nombre en ECPD et nombre en ECPDG) qui sont mises en relation :
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Figure 21 : extrait du « Dico maths » du manuel Cap Maths CE2</figcaption></figure>

Il apparaît donc ici nettement que la numération en unités peut être un intermédiaire pour l'association des rangs aux ECPD ou ECPDG. On peut noter que pour le nombre en unités le signe d'addition n'apparaît pas. Peut-on voir ici la contrainte de non mélange du registre de la langue naturelle et de celui des signes algébriques ?

On trouve même un exemple de différentes décompositions d'un nombre avec les unités de la numération (« 23056 c'est 2 dizaines de mille, 3 milliers, 5 dizaines et 6 unités, ou 23 milliers et 56 unités, ou 230 centaines, 5 dizaines et 6 unités ... »). Mais nous n'avons pas trouvé d'exercices qui pourraient faire écho à ces décompositions.

Nous pouvons également y voir une expression des relations entre les unités (aspect décimal) exprimées avec les unités de la numération :

<table><caption>Figure 22 : extrait du « Dico maths » du manuel Cap Maths CE2</caption><tr><td>Dizaine : groupement de 10 unités</td><td>1 dizaine = 10 unités</td></tr><tr><td>Centaine : groupement de 100 unités</td><td>1 centaine = 100 unités</td></tr><tr><td>Une centaine, c'est aussi un groupement de 10 dizaines.</td><td>1 centaine = 10 dizaines</td></tr><tr><td>Millier : groupement de 1 000 unités</td><td>1 millier = 1 000 unités</td></tr><tr><td>Un millier, c'est aussi un groupement de 100 dizaines.</td><td>1 millier = 100 dizaines</td></tr><tr><td>Un millier, c'est aussi un groupement de 10 centaines.</td><td>1 millier = 10 centaines</td></tr></table>

Mais nous n'avons pas trouvé non plus de référence à ces équivalences dans le manuel ou le guide du maître, ou d'activités qui pourraient y conduire. Plus généralement, nous n'avons pas vu de référence au « dico maths » dans les séances de numération.

**Pour les décompositions** : par exemple 3400 à décomposer en ECPDG

□ $\bar{7}$ : 3400 c'est 3000 + 400 donc 1000 + 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 + 100 donc $3 \times 1000 + 4 \times 100$

□ Ostensifs : ECPD, nombre en chiffres, ECPDG

□ $\mathfrak{Q}$ : règle positionnelle de calcul (addition)
On peut aussi s'aider de la lecture du nombre en mots pour le décomposer : 3 400 c'est trois mille quatre cent.

☐ $\tau$: 3400 c'est $3 \times 1\,000 + 4 \times 100$ (directement, en référence à la position des chiffres ou par des règles positionnelles de calcul)

☐ Ostensifs : ECPDG, nombre en chiffres

☐ $\vartheta$: relations entre unités et positions dans le nombre en chiffre (aspect positionnel)

☐ $\tau$: 3400 c'est 3 milliers et 4 centaines donc $3 \times 1\,000 + 4 \times 100$

☐ Ostensifs : ECPDG, nombre en chiffres et numération en unités (mais une formulation comme « 3 milliers et 4 centaines » n'apparaît pas clairement dans le manuel où les noms des unités sont plutôt donnés isolément)

☐ $\vartheta$: relations entre unités et positions dans le nombre en chiffre (aspect positionnel) et association des ECPD aux unités de la numération.

Ces techniques sont déduites des techniques de recomposition car ne sont pas explicitées dans le guide du maître où on peut seulement lire : « il faut interpréter la valeur de chaque chiffre en fonction du rang qu'il occupe. Là aussi, le tableau de numération peut être utile à condition de ne pas le systématiser ». Il semble donc là encore que ce soient la deuxième et la troisième technique qui soient visées, la première intervenant davantage comme technique « personnelle » des élèves.

f) T : dénombrer

Tout comme dans le programme 2002 (hormis le commentaire d'introduction du document d'application), ce type de tâche n'est pas présent.

### III.3 L'organisation mathématique locale de « Cap Maths CE2 »

On peut résumer l'OM locale par le schéma ci-dessous (en gras figurent les tâches principalement travaillées dans chaque « unité »).

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Figure 23 : Schéma de l'OM locale de Cap Maths CE2 sur la numération (nombres à quatre chiffres)</figcaption></figure>
### III.4 Conclusion de l'étude de « Cap Maths CE2 »

Globalement on a donc une OM qui est proche de l'OM étudiée dans le programme de 2002, avec une prépondérance des types de tâches que l'on rencontre dans les évaluations nationales : lire/écrire et comparer. On peut s'étonner que le poids (en termes de nombres d'exercices proposés) des types de tâches « nombre de » et « décomposer/recomposer » ne soit pas plus important car les commentaires des programmes (document d'application) insistaient justement sur ces deux types de tâches. Nous avions déjà relevé cela dans les évaluations nationales.

On peut voir dans l'OM locale que le type de tâche « nombre de » est travaillé au début uniquement pour le nombre 1000 (combien de paquets de 10, de 100 dans mille ?) ce qui permet d'amener des éléments de technologies pour le nombre 1000 (aspect décimal) mais ceux-ci ne sont plus utiles par la suite. En effet le travail est ensuite davantage centré sur la lecture/écriture et sur la comparaison, qui ne nécessite pas le recours à l'aspect décimal de la numération. On ne retrouve le type de tâche « nombre de » qu'en toute fin de séquence (cette fois pour des nombres quelconques) et, à ce moment-là, les élèves ayant travaillé la multiplication par 10 et 100 c'est cette technique qui semble mise en avant par les auteurs, comme on le voit dans cet extrait du guide du maître : « $2416 = (24 \times 100) + 16$ ce qui amène à conclure qu'il y a 24 centaines dans 2416 » même si les auteurs ajoutent ensuite entre parenthèses : « ce qui correspond également une procédure qui a pu être utilisée ».

La plupart du temps les techniques visées sont donc justifiées par un calcul multiplicatif (avec les ECPDG qui est l'ostensif privilégié pour les décompositions/recompositions) et il semble que les auteurs du manuel considèrent les techniques utilisant des additions avec les ECPD comme étant utilisées spontanément par les élèves (procédures personnelles) : les élèves étendent alors aux nombres à quatre chiffres les règles positionnelles de calcul connues pour les nombres à trois chiffres.

Après le travail initial sur le nombre 1000, l'aspect décimal apparaît subrepticement avec les ECPD mais reste cantonné aux relations sur les unités, dizaines et centaines. L'aspect décimal n'intervient par contre jamais quand les ECPDG sont utilisés. On retrouve donc le phénomène déjà observé dans l'étude des programmes de 2002.

Pourtant dans la partie introductive du manuel, concernant le chapitre sur les nombres et la numération, les auteurs précisent :

> « Cette étude se fait dans le prolongement de ce qui a été établi pour les nombres jusqu'à 1000. La difficulté supplémentaire tient au fait qu'une représentation des nombres par des groupements effectifs n'est plus possible et que ceux-ci doivent donc être évoqués de même que les équivalences entre par exemple 1 millier et 10 centaines ou 100 dizaines. Le recours aux décompositions utilisant les nombres 10, 100, 1000 ... devient plus fréquent, en relation avec la justification des procédures de multiplication d'un nombre par ces puissances de 10 ».

L'aspect décimal est clairement évoqué ici mais la taille des nombres ne permet plus, selon les auteurs, qu'une « évocation » des activités de groupements. On voit également que c'est une règle de calcul (multiplication par les puissances de 10) qui permet de justifier les décompositions.

C'est comme si nous avions affaire à une sorte de basculement : du fait de la taille des nombres, on ne justifie plus les relations entre les unités par les activités de groupement et d'échanges sous-jacentes : cela est désormais pris en charge par une généralisation des règles de multiplication par 10, 100, ... aux nombres à quatre chiffres. Pour reprendre l'exemple cité ci-dessus : « $2416 = (24 \times 100) + 16$ ce qui amène à conclure qu'il y a 24 centaines dans 2416 » : ce n'est pas la numération qui permet de justifier le calcul mais c'est le calcul qui permet de justifier le nombre de centaines dans 2416.

Il apparaît également dans cette étude que la numération en unités sert principalement à évoquer le nom des rangs dans le nombre en chiffres. Elle est utilisée dans les techniques
mais nous avons vu que cela nécessitait alors l'utilisation d'un élément technologique supplémentaire : l'association des unités de la numération aux ECPD (1000 c'est 1 millier). Nous avons pu voir cette association dans un tableau de numération proposé en synthèse ou encore dans un extrait du « dico maths ».

Il semble donc que l'on ait affaire à une OM qui utilise des ostensifs variés et qui emprunte des éléments technologiques issus des différentes OM de l'OM de référence (classique, moderne et moderne adaptée). On peut même voir dans le « dico maths » apparaître les relations entre les unités avec la numération en unités comme dans les manuels de l'époque classique (« un millier c'est un groupement de 1000 unités. 1 millier = 1000 unités. Un millier c'est aussi un groupement de 100 dizaines. 1 millier = 100 dizaines », etc.). On remarque toutefois une différence avec la théorie de l'OMR classique : ici le millier est défini à partir de l'ECPD « 1000 » alors que dans la théorie classique c'est le mot-nombre « mille » qui est l'objet premier, comme nous l'avons vu dans le traité de Condorcet par exemple.

Globalement il ressort de notre analyse que c'est l'OMR moderne qui semble servir de référence théorique principale. Mais concernant l'aspect positionnel de la numération, nous n'avons pu déterminer clairement s'il est justifié par l'association rang/unité (3× 1000 c'est alors un 3 au quatrième rang donc 3000 : c'est la position du 1 qui donne le rang du 3) ou par une règle positionnelle (3× 1000 c'est 3000 car on ajoute trois zéros à droite). Cette ambiguïté est liée à l'ostensif ECPD et à l'utilisation de la multiplication qui peut amener à interpréter des règles de numération comme des règles de calcul. Cela a déjà été relevé lors de la construction de l'OM moderne.

### III.5 Les organisations mathématiques ponctuelles de « J'apprends les maths CE2 »

Les séances de ce manuel ayant pour objectif un travail sur la numération sont les suivantes : S74, S77 et S78.

#### a) T : « nombre de »

S74(3), S77(2), S78(2)

Dans ce type de tâche il y a toujours la présence à la fois du nombre en chiffres et du nombre représenté avec le matériel de numération du manuel.

L'importance de ce type de tâche est affirmée par les auteurs :

> « de la même façon que l'oralisation de 130 ne dit pas c'est 13 groupes de 10, l'oralisation de 1350 par ex. ne précise pas que c'est 13 groupes de 100 (sauf à dire « treize cent cinquante »), ni qu'il contient 135 groupes de 10. Or, sans cela, il n'y a pas de bonne compréhension des nombres à quatre chiffres. C'est pourquoi, dès la découverte des nombres au-delà de 999, qui fait évènement pour les élèves, nous en faisons l'objectif principal de l'étude de ces nombres ».

On retrouve une limite de l'ostensif nombre en mots que le nombre en unités permet de combler. Ici le choix est fait d'utiliser principalement les termes « groupes de 100 » mais on voit également l'utilisation de « centaines ».

Nous considèrerons l'exemple de la recherche du nombre de « groupes de 100 » dans l'exercice suivant :
<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>Figure 24 : extrait de la séquence 77 (exercice 1) du manuel « J'apprends les maths CE2 »</figcaption></figure>

□ T: compter les paquets de 100 de un en un puis compter de dix en dix pour les paquets de 1000 ;

□ Ostensifs : nombre représenté avec matériel, nombre en mots ;

□ Q : relations entre les unités et la suite numérique orale de un en un, dix en dix (et de cent en cent pour les « groupes de 10 »).

□ T₂ : dénombrer (trouver le nombre en chiffres) puis lire le nombre formé par le chiffre des centaines et celui de milliers

□ Ostensifs : nombre en chiffres et nombre représenté avec le matériel ;

□ Q₂ : relations entre unités et positions dans le nombre en chiffres (aspect positionnel) et relations entre unités (par exemple 10 « groupes de 100 » c'est 1000, etc.).

Cette deuxième technique de « découpage » du nombre en chiffres est assumée par les auteurs : « sur l'écriture chiffrée, on voit les 10 groupes de 100 et même les 100 groupes de 10 » (extrait du livre du maître).

Dans le « j'ai appris » de la séquence 77, on peut lire :

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>Figure 25 : extrait du « j'ai appris » du manuel J'apprends les maths CE2</figcaption></figure>

La numération en unités est ici utilisée comme un équivalent de l'expression « groupe de ». Elle permet de décrire la technique utilisée. Cependant l'élément technologique en jeu (aspect décimal) apparaît avec le nombre en paquets : « 1000 c'est 10 groupes de 100 ... ».

On peut remarquer qu'un des exercices (S78) se traite dans le contexte des conversions entre unités de longueur, et que dans un des exercices proposés (S77) il suffit en fait de compter de un en un les paquets de 100 (sans effectuer d'échange). L'élément technologique « relations entre les unités de la numération » n'est plus alors en jeu.

### b) T : dénombrer

S74(1), S77(2), S78(2)

Concernant ce type de tâche, on peut faire les remarques suivantes :

- il n'y a que des dénombrements (pas de constitution d'une collection de cardinal donné)
- il s'agit principalement de collections représentant le matériel de numération du manuel (billes, boites, valises et malles). On trouve aussi des collections organisées en paquets de 100, 50 et unités (le nombre de paquets de 100 dépasse 9),

- un exercice est donné dans un contexte de mesure avec des unités de longueur (S78), mais étant dans une séquence intitulée « numération » il y a un lien très fort pour les auteurs avec la tâche « dénombrer » telle qu'elle est travaillée dans la séquence précédente.

□ $\tau$: comptage de mille en mille, cent en cent, etc.

□ Ostensifs : nombre en chiffres, nombre en mots

□ $\theta$: la suite numérique orale de un en un, dix en dix, cent en cent et relations entre numération orale et numération écrite.

□ $\tau$: associer les nombres d'unités, dizaines, centaines, milliers au rang dans l'écriture en chiffres, après groupements et échanges éventuels.

□ Ostensifs : nombre en chiffres, parfois matériel de numération (billes, boites, valises, malles) ou collections diverses (billets, trombones)

□ $\theta$: relations entre unités et positions dans le nombre en chiffre (aspect positionnel) et relations entre les unités (le nombre de groupes de 100 dépasse 9, donc l'équivalence « 10 groupes de 100 c'est 1 millier » est en jeu ici).

L'aspect décimal est donc en jeu également pour ce type de tâche car les groupements et échanges restent parfois encore à effectuer comme on le voit dans l'exemple ci-dessous.

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>Figure 26 : extrait de l'exercice 1, séquence 74 du manuel J'apprends les maths CE2</figcaption></figure>

Les groupements et échanges consistent en fait ici au collage d'une étiquette de « malle » sur les 10 « valises ».

### c) $T$: avancer/reculer dans la suite écrite des nombres

S74(2)

Il s'agit en fait, dans les exercices proposés, d'ajouter 1 à un nombre donné. On avance de 1 en 1 mais jamais de 10 en 10 ou 100 en 100.

Les élèves ont parfois la collection représentée avec le matériel de numération, nous considérons alors qu'il s'agit de recomposer le nombre.

□ $\tau$: ajouter 1 au rang des unités. Si on a 9 on passe à 0 et on ajoute 1 au rang suivant ...

□ Ostensifs : nombre en chiffres, compteur ;
□ $\Theta$: relations entre unités et positions dans le nombre en chiffres (aspect positionnel) et relations entre les unités (groupes de 10, 100, 1000).

Ce type de tâche permet également de faire des échanges et groupements (en collant des étiquettes de valise ou de malle), donc permet de faire apparaître les relations entre les unités.

d) T : comparer

S78(1)

Ce type de tâches est traité dans un contexte d'unités de longueurs uniquement (mais toujours dans la séquence intitulée « numération au-delà de 1000 »). Les nombres sont donnés dans différentes unités, donc il faut les convertir dans la même unité (recomposition) pour pouvoir appliquer l'algorithme de comparaison.

Le guide du maître n'évoque pas les techniques de comparaison, la technique qui est donnée ici est reconstruite.

□ $\tau$: convertir les nombres dans la même unité puis regarder le nombre de chiffres.
S'ils ont même nombre de chiffres, on compare les chiffres de plus haut rang, etc.

□ Ostensif : nombre en chiffres

□ $\Theta$: pour la comparaison : relations entre unités et positions dans le nombre en chiffre (aspect positionnel). Pour la conversion : relations entre unités métriques.

Même pour ce type de tâche on peut donc voir une utilisation des relations entre les unités métriques et une volonté de faire un lien entre le système métrique et le système de numération. Il est par exemple précisé dans cette séquence (S78) : « ce sera aussi l'occasion de relier les décompositions obtenues au langage plus général de la numération décimale : 2386 mm = 23 dm et 86 mm, parce que 2386 mm c'est 23 centaines de mm et 86 mm ; 2386 mm = 238 cm et 6 mm, parce que 2386 mm c'est 238 dizaines de mm et 6 mm. »

On notera au passage que c'est la numération en unités qui est utilisée pour faire ce lien et que dans ce manuel elle n'est pas uniquement utilisée pour nommer les rangs dans le nombre en chiffres mais aussi comme une unité de mesure (un groupe de 100) comme dans l'OMR classique.

### III.6 L'organisation mathématique locale de « J'apprends les maths CE2 »

On peut donc résumer l'organisation mathématique locale par le schéma ci-dessous qui montre l'aspect central donné aux relations entre unités dans ce manuel.

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>Figure 27 : Schéma de l'OM locale du manuel J'apprends les maths CE2</figcaption></figure>