# Finslerio struktūros atraminių viršvektorių erdvės sietys

Juozas ŠINKŪNAS (VPU)

el. paštas: sinkunas@vpu.lt

Bendroji atraminių elementų erdvių siečių teorija išnagrinėta prof. V. Blizniko darbuose [1]. Vienok, tiriant atskiras atraminių elementų erdvių klases su specialiais atraminiais objektais, gaunamos sietys su specifinėmis savybėmis, būdingomis tik tiriamų atraminių elementų erdvių klasėms.

Šiame straipsnelyje tiriamo atraminių elementų erdvė, kurios atraminis elementas yra p-tos eilės kovariantinis viršvektorius (kai $p = 1$, gaunama hiperplokštuminių elementų erdvė) [3]. Ištirtos šios erdvės koliečiamosios erdvės dvi normalizacijos, kurių pagalba indukuojamos atitinkamai viršvektorinė ir tenzorinė sietys. p-tos eilės atraminių viršvektorių erdvė su joje apibrėžtu skaliarinės funkcijos lauku vadinama Finslerio struktūros atraminių p-tos eilės viršvektorių erdve. Surasta šios erdvės vidinė tiesinė sietis.

## 1. p-tos eilės atraminių viršvektorių erdvė

Diferencijuojamos daugdaros $V_n$ p-tos eilės viršvektorių lauko diferencialinių lygčių sistema yra [2]:

$$dV_{i_1...i_n} - \sum_{s=1}^{a} \frac{a!}{s!(a-s)!} \omega_{(i_1...i_s}^k V_{i_{s+1}...i_n)} = V_{i_1...i_n} \omega^k, \quad (1) \\ (i, j, k = 1, 2, ..., n; \ a, b, c = 1, 2, ..., p),$$

kur formos $\omega^k, \omega_{i_1...i_n}^k$ – daugdaros $V_n$ transformacijų pratętos pseudogrupės formos ir turi šitokią struktūrą:

$$D\omega^i = \omega^k \wedge \omega_k^i, \quad (2) \\ D\omega^j_{i_1...i_n} = \sum_{s=1}^{a} \frac{a!}{s!(a-s)!} \omega^k_{(i_1...i_s} \wedge \omega^j_{i_{s+1}...i_n)} + \omega^k \wedge \omega^j_{i_1...i_n}.$$

Apibrėžę diferencialines formas

$$\omega_{j_1...j_n}^{i_1...i_b} = \begin{cases} \frac{a!}{(b-1)!(a-b+1)!} \delta_{j_1}^{(i_1} \cdots \delta_{j_b-1}^{i_{b-1}} \omega_{j_b...j_n}^{i_b)} & \text{jei } b \le a, \\ 0 & \text{jei } b > a, \end{cases} \quad (3)$$
(1) lygčių sistemą galima užrašyti šitaip:

$$dV_I - V_K \omega_I^K = V_{I,k} \omega^k; \qquad (1')$$

čia indeksai I, J, K vadinami viršindeksais, įgyja seriją simetriškų indeksų (i₁), (i₁i₂), ..., (i₁...iₚ), o (3) lygybėmis apibrėžtos formos yra tokios struktūros:

$$d\omega_I^K = \omega_I^L \wedge \omega_I^K + \omega^k \wedge \omega_{Ik}^K. \qquad (4)$$

Diferencialinių lygčių sistema

$$\begin{align}
\omega^i &= 0, \tag{5} \\
\Theta_I &= dV_I - \omega_I^K V_K = 0, \nonumber
\end{align}$$

yra pilnai integruojama ir jos pirmieji integralai yra p-tos eilės atraminių viršvektorių erdvės $V_{n,N}^{(p)}$ lokaliosios koordinatės ($N = n + \frac{n(n+1)}{2!} + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!} + ... + \frac{n(n+1)...(n+p-1)}{p!}$).

Diferencijuodami išoriniu būdu (5) lygtis, randame formų $\Theta_I$ struktūrą:

$$D\Theta_I = \omega_I^K \wedge \Theta_K + \varphi_{I,k} \omega^k, \qquad (6)$$

kur $\varphi_{I,k} = V_K \omega_I^K$.

Su kiekvienu erdvės $V_{n,N}^{(p)}$ tašku $(x, v)$ asocijuojasi dvi erdvės: liestinė vektorinė erdvė $T_{n+N}^{(p)}(x, v)$ ir koliestinė vektorinė erdvė $T_{n+N}^{*(p)}(x, v)$. Jeigu $(\vec{e}_i, \vec{\epsilon}'_i)$ – liestinės erdvės $T_{n+N}^{(p)}(x, v)$ reperis, o $(\vec{e}'_i, \vec{\epsilon}'_i)$ – koliestinės erdvės $T_{n+N}^{*(p)}(x, v)$ koreperis, tai jų infinitetzionalių transformacijų lygtys yra:

$$\begin{align}
d\vec{e}_i &= \eta_i^k \vec{e}_k + \psi_{I,i} \vec{\epsilon}'_i, \tag{7} \\
d\vec{\epsilon}'_i &= -\eta_K^I \vec{\epsilon}'_K, \nonumber
\end{align}$$

ir

$$\begin{align}
d\vec{e}_i &= -\eta_k^i \vec{e}_k, \tag{8} \\
d\vec{\epsilon}'_i &= \eta_I^K \vec{\epsilon}'_K + \psi_{I,k} \vec{e}_k, \nonumber
\end{align}$$

kur

$$\psi_{I,k} = \varphi_{I,k} \Big|_{\omega^i=\Theta_I=0}, \qquad \eta_I^K = \omega_I^K = \omega_I^K \Big|_{\omega^i=\Theta_I=0}.$$

Iš (6) ir (7) formulių matyti, kad erdvė $T_{n+N}^{(p)}(x, v)$ turi invariantinių poerdvį $T_N(x, v)$, apibrėžtą vektoriais $\{\vec{\epsilon}'\}$, o koliečiamoji erdvė – invariantinių poerdvį $T_n^*(x, v)$, apibrėžtą vektoriais $\{\vec{e}\}$.
## 2. Erdvės $V_{n,N}^{(p)}$ tiesinės sietys

1. Natūralioji erdvės $T_{n+N}^{*(p)}(x, v)$ normalizacija. Nagrinėsime erdvės $T_{n+N}^{*(p)}(x, v)$ tokią normalizaciją, kad poerdvis $T_N^{*(p)}(x, v)$ būtų invariantinis. Tokią normalizaciją apibrėšime formomis

$$ \tilde{\Theta}_I = \Theta_I - \Gamma_{I,k} \omega^k, \quad (9) $$

kur objektas $\Gamma_{I,k}$, vadinamas tiesinės sieties objektu, turi tokią struktūrą:

$$ d\Gamma_{I,k} - \Gamma_{K,k} \omega_I^K - \Gamma_{I,l} \omega_k^l - \varphi_{I,k} \cong \nabla \Gamma_{I,k} - \varphi_{I,k} = \Gamma_{I,kl} \omega^l + \Gamma_{I,k}^{\prime L} \Theta_L, \quad (10) $$

$$ \nabla \Gamma_{I,kl} - \Gamma_{K,k} \omega_{Il}^{K} - \Gamma_{I,p} \omega_{kl}^{p} - \Gamma_{I,k}^{\prime L} \varphi_{L,l} - \varphi_{I,kl} = 0 (\operatorname{mod} \omega^{i}, \Theta_{I}), \quad (11) $$

$$ \nabla \Gamma_{I,k}^{\prime L} - \omega_{I,k}^{L} = 0 (\operatorname{mod} \omega^{i}, \Theta_{I}). \quad (12) $$

Diferencijuodami (9) lygybes, gauname:

$$ d\tilde{\Theta}_I = \tilde{\omega}_I^K \wedge \tilde{\Theta}_K + R_{I,kl} \omega^k \wedge \omega^l + R_{I,k}^{\bar{L}} \tilde{\Theta}_{\bar{L}} \wedge \omega^k, \quad (13) $$

kur

$$ R_{I,kl} = 2(\Gamma_{I,[kl]} - \Gamma_{I,[k|L|,l]}^{\prime L}), \quad (14) $$

$$ \tilde{\omega}_I^K = \omega_I^K + \Gamma_{I,p}^{\prime K} \omega^p, \quad (15) $$

o indeksai $\bar{I}, \bar{J}, \bar{K}$ įgija simetrinių indeksų seriją $(i_1 \dots i_{a+1})$, $(i_1 \dots i_{a+1}, i_{a+2})$, \dots, $(i_1 i_2 \dots i_p)$.

Formos $\tilde{\omega}_I^K$ vadinamos nupjautos viršvektorinės sieties formomis. Diferencijuodami (15) lygybes, gausime 3 viršvektorinės sieties kreivumo objektus. Objektai $R_{I,kl}$ ir $\Gamma_{I,p}^{\prime K}$ vadinami papildomo kreivumo objektais.

Taigi įrodėme teoremą:

**Teorema.** Erdvės $V_{n,N}^{(p)}$ tiesinės sieties objekto pirmuoju tęsiniu aprėmiama šios erdvės viršvektorinė sietis.

2. Specialioji erdvės $V_{j_1...j_a}^{(p)}$ normalizacija. Nagrinėsime tokią erdvės $T_{n+N}^{*(p)}(x, v)$ normalizaciją, kad poerdviai, apibrėžti vektoriais $\tilde{\epsilon}_{i_1}, \tilde{\epsilon}_{i_1 i_2}, \dots, \tilde{\epsilon}_{i_1 i_2 \dots i_p}$ būtų invariantiniai. Tokią normalizaciją apibrėšime formomis

$$ \tilde{\Theta}_I = \Theta_I - \Gamma_I^{K_1} \Theta_{K_1} - \Gamma_{I,k} \omega^k, \quad (16) $$

kur $\Gamma_{j_1...j_a}^{i_1...i_b} = 0$, jei $b \ge a$, o $I_s$, $K_s$ įgyja simetrinių indeksų seriją $(i_1)$, $(i_1 i_2)$, \dots, $(i_1 i_2 \dots i_{p-s})$. Dydžiai $\Gamma_I^{K_1}$ ir $(\Gamma_I^{K_1}, \Gamma_{I,k})$ sudaro diferencialinį-geometrinį objektą šitokios struktūros:

$$ \nabla \Gamma_I^{L_1} - \omega_I^{L_1} = \Gamma_{I,k}^{L_1} \omega^k + \Gamma_I^{L_1 K} \Theta_k, \quad (17) $$

$$ d\Gamma_{I,k} - \Gamma_{K,k} \nu_I^K - \Gamma_{I,l} \omega_k^l - \Gamma_I^{K_1} \varphi_{K_1,k} - \varphi_{I,k} = \Gamma_{I,kl} \omega^l + \Gamma_{I,k}^{\prime L} \Theta_L, \quad (18) $$
kur

$$ v_{j_1 \dots j_a}^{i_1 \dots i_b} = \begin{cases} \omega_{j_1 \dots j_a}^{i_1 \dots i_b}, & \text{jei } b = a, \\ 0, & \text{jei } b \neq a. \end{cases} $$

(16) lygybes galima užrašyti šitaip:

$$ \tilde{\Theta}_I = \Theta_I - \tilde{\Gamma}_I^{K_1} \tilde{\Theta}_{K_1} - \tilde{\Gamma}_{I,k} \omega^k, \quad (19) $$

kur

$$ \tilde{\Gamma}_I^{K_1} = \Gamma_I^{K_1} + \Gamma_I^{L_1} \tilde{\Gamma}_{L_1}^{K_1}, \qquad \tilde{\Gamma}_{I,k}^{*} = \Gamma_{I,k} + \Gamma_I^{K_1} \tilde{\Gamma}_{K_1,k}^{*}. $$

Diferencijuodami (19) lygybes, gauname:

$$ D\tilde{\Theta}_I = \tilde{v}_I^K \wedge \tilde{\Theta}_K + \frac{1}{2} R_{I,k_j} \omega^k \wedge \omega^j + R_I^{K_1,L} \tilde{\Theta}_{K_1} \wedge \tilde{\Theta}_L + R_{I,k}^{L'} \omega^k \wedge \tilde{\Theta}_L, \quad (20) $$

kur

$$ \tilde{v}_{j_1 j_2 \dots j_a}^{i_1 i_2 \dots i_a} = v_{j_1 j_2 \dots j_a}^{i_1 i_2 \dots i_a} + a \delta_{(j_1}^{(i_1} \dots \delta_{j_a-1}^{i_a-1} R_{j_a),k}^{i_a)} \omega^k. \quad (21) $$

o $R_{I,k_j}$, $R_I^{K_1,L}$, $R_{I,k}^{L'}$ - papildomo kreivumo objektai (jų struktūra gana sudėtinga, todėl čia nepateiksime).

Formas $\tilde{v}_{j_1 \dots j_a}^{i_1 \dots i_a}$ vadinsime nupjautos tenzorinės sieties formomis. Diferencijuodami (21) lygybes gausime nupjautinės tenzorinės sieties tris kreivumo objektus. Taigi įrodème teorema:

**Teorema.** Erdvės $V_{n,N}^{(p)}$ specialiosios tiesinės sieties objekto pirmuoju tęsiniu aprėpiama šios erdvės nupjauta tenzorinė sietis.

### 3. Finslerio struktūros atraminių viršvektorių erdvės sietys

Atraminių p-tos eilės viršvektorių erdvė, kurioje apibrėžtas skaliarinės funkcijos laukas $F(x, v)$:

$$ dF = F_i \omega^i + F^I \Theta_I \quad (22) $$

vadinsime Finslerio struktūros atraminių viršvektorių erdve. Ją žymėsime $F_{n,N}^{(p)}$.
Dalinai pratęse (22) lygtis, gauname:

$$ \nabla F^I = F_i^I \omega^i + F^{I,K} \Theta_K, \quad (23) $$

$$ \nabla F_{i,i}^I + F^P \omega_{P,i}^I + F^{I,K} \varphi_{K,i} = 0 (\operatorname{mod} \omega^i, \Theta_I), \quad (24) $$

$$ \nabla F^{I,K} = 0 (\operatorname{mod} \omega^i, \Theta_I). \quad (25) $$
Nagrinėsime atvejį, kai det ||$F^{I,K}$|| ≠ 0. Vadinasi, egzistuoja objektas $F_{K,L}$, kad $F_{K,L}F^{I,K} = δ_L^I$.

Iš (24) ir (25) lygčių išplaukia, kad objekto

$$ \Pi_{J,i} = F_{,i}^{L} F_{L,i} \qquad (26) $$

komponentės tenkina diferencialinę lygčių sistemą

$$ \nabla \Pi_{I,i} + F_{K,I} F^P \omega_{P,i}^K + \varphi_{I,i} = 0 (\operatorname{mod} \omega^i, \Theta_I). \qquad (27) $$

Kad iš skaliarinės funkcijos ir jos dalinių tęsinių galėtume sukonstruoti atraminių viršvektorių tiesinę sieti, reikalausime, kad daugdaroje $V_n$ būtų apibrėžta p-tos eilės afinioji sietis: $\Gamma_{I,k}^i(x)$. Iš šios sieties sukonstruojame viršvektorinės sieties objektą:

$$ \Gamma_{i_1 \dots i_a k}^{j_1 \dots j_b} = \begin{cases} a! & \text{jei } b \le a, \\ \frac{(b-1)!(a-b+1)!}{0} & \text{jei } b > a. \end{cases} \delta_{i_1}^{(j_1)} \dots \delta_{i_{b-1}}^{j_b-1} \Gamma_{i_{b+1} \dots i_a k}^{j_G} $$

Nesunku įsitikinti, kad objektas

$$ \Gamma_{I,i} = -(\Pi_{I,i} - F_{K,I} F^P \Gamma_{P,i}^K) \qquad (28) $$

tenkina diferencialinių lygčių sistemą

$$ \nabla \Gamma_{I,i} - \varphi_{I,i} = 0 (\operatorname{mod} \omega^i, \Theta_I). \qquad (29) $$

$\Gamma_{I,i}$ – tiesinės sieties objektas.

Taigi teisinga teorema:

**Teorema.** Jeigu erdvės $\mathcal{F}_{n,N}^{(p)}$ bazėje $V_n$ apibrėžta p-tos eilės afinioji sietis, tai erdvės $\mathcal{F}_{n,N}^{(p)}$ tiesinė sietis aprėpiama objektu ($F^P, F_i^K, F_{I,K}, \Gamma_{I,i}^K$) (27 ir 28 formulės).

## Literatūra

[1] В.И. Близникас, О геометрии некоторых классов оснащенных расслоенных пространств, Диссертация на соискание учной степени доктора физико-математических наук, Виллнус, 339 (1970).

[2] В.И. Близникас, Дифференциальные уравнения некоторых дифференциально-геометрических объектов, Liet. Mat. Rink., 4(6), 497-501 (1966).

[3] Ю.И. Шинкунас, О связностях пространства опорных сверхвекторов p-го порядка, Из-во Кацанского ун-та, Труды геометрического семинара, 132-144 (1975).
# Les connexions de l'espace des sur vectorių d'appuis de structure fins- lérienne

J. Šinkūnas

L'espace de sur vectorių d'appuis [3] avec le champ de fonction métrique F s'appelle l'espace de
sur vectorių d'appuis de structure finslérienne $\mathcal{F}_{n,N}^{(p)}$. De la fonction F, ses prolongements partiels et de la
connexion affine d'ordre supérieur on a reçu l'object de la connexion linéaire de l'espace $\mathcal{F}_{n,N}^{(p)}$.