# Sur les mesures différentielles de fonctions vectorielles et certains problèmes d'évolution

Jean Jacques Moreau

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Jean Jacques Moreau. Sur les mesures différentielles de fonctions vectorielles et certains problèmes d'évolution. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques, 1976, 282, pp.837-840. hal-01389846

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Submitted on 30 Oct 2016

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Sur les mesures différentielles de fonctions vectorielles et certains problèmes d'évolution. Note (*) de M. Jean Jacques Moreau, présentée par M. Jean Leray.

Soient X, Y, Z trois espaces de Banach, $\Phi: X \times Y \to Z$ bilinéaire continue, $I$, intervalle réel, $x: I \to X$ et $y: I \to Y$ à variation localement bornée; on calcule la mesure différentielle de $t \mapsto \Phi(x(t), y(t))$. Inégalités concernant le cas où $\Phi: X \times X \to R$ est symétrique et engendre une forme quadratique $\ge 0$. Application aux solutions continues à droite d'un processus de rafle.

1. Soit $I$ un intervalle réel, $X$ un espace de Banach réel, $f: I \to X$ une application à variation localement bornée, c'est-à-dire à variation bornée sur tout sous-intervalle compact de $I$; notation : $f \in \text{vlb}(I, X)$. De ce que $X$ est complet, il résulte immédiatement qu'en tout point $t$ intérieur à $I$, la fonction $f$ possède une limite à gauche et une limite à droite notées respectivement $f^{-}(t)$ et $f^{+}(t)$; conventionnellement, si $t$ appartient à $I$ et se trouve être le début (resp. la fin) de cet intervalle on écrira

$$f^{-}(t) = f(t)[\text{resp. } f^{+}(t) = f(t)].$$

Il est classique d'associer à $f$ une mesure sur $I$, à valeurs dans $X$, notée $df$; une propriété caractéristique de cette mesure est que, pour tout $[s, t] \subset I$, on a $\int_{[s,t]} df = f^{+}(t) - f^{-}(s)$. Nous dirons que $df$ est la mesure différentielle de $f$; c'est aussi la mesure différentielle des fonctions $f^{+}$ et $f^{-}$. Si l'intervalle $I$ est ouvert, $df$ est la dérivée au sens des distributions de la mesure vectorielle admettant $f$ pour densité relativement à la mesure de Lebesgue.

2. Nous nous appuyons dans ce qui suit sur la théorie des mesures vectorielles, selon la formalisation de Bourbaki. Soient $X, Y, Z$ trois espaces de Banach; on utilisera la même notation $| \cdot|$ pour représenter la norme d'un élément d'un quelconque de ces espaces et aussi la mesure réelle positive, valeur absolue d'une mesure vectorielle majorable à valeurs dans l'un d'eux. Soit $\Phi: X \times Y \to Z$ une forme bilinéaire continue; on note $||\Phi||$ le réel norme de $\Phi$. Soit $T$ un espace localement compact, supposé pour simplifier dénombrable à l'infini; soit $dm$ une mesure vectorielle sur $T$, à valeurs dans $Y$, majorable. On déduit élémentairement de (1) (chap. 6, § 2, prop. 11), que si $g \in \mathcal{L}_{\text{loc}}^{1}(|dm|, X)$, il existe une (unique) mesure sur $T$ à valeurs dans $Z$ que nous noterons $\Phi(g, dm)$, possédant les propriétés suivantes :

(i) pour tout $h \in \mathcal{L}^1(|dm|, \mathbb{R})$ et tout $a \in X$ on a

$$\int_{T} \Phi(ha, dm) = \Phi(a, \int_{T} h dm);$$

(ii) la mesure vectorielle $\Phi(g, dm)$ est majorable et sa valeur absolue est majorée par la mesure $||\Phi|| \cdot |g| \cdot |dm|$;

(iii) si $g \in \mathcal{L}_{\text{loc}}^{1}(|dm|, X)$ et $h \in \mathcal{L}_{\text{loc}}^{1}(|g| \cdot |dm|, \mathbb{R})$ les mesures vectorielles $h \Phi(g, dm)$ et $\Phi(hg, dm)$ sont égales;

(iv) si $h \in \mathcal{L}_{\text{loc}}^{1}(|dm|, \mathbb{R})$ et $g \in \mathcal{L}_{\text{loc}}^{1}(|h| \cdot |dm|, X)$ les mesures vectorielles $\Phi(hg, dm)$ et $\Phi(g, hdm)$ sont égales;
(v) s'il existe une mesure réelle positive $d\mu$ sur $\mathbb{T}$ et une fonction $y \in \mathcal{L}_{\text{loc}}^{1}(d\mu, \mathbb{Y})$ telles que $dm = y d\mu$, alors $|dm| = |y| d\mu$ et, pour tout $g \in \mathcal{L}_{\text{loc}}^{1}(|dm|, \mathbb{X})$ les mesures vectorielles $\Phi(g, dm)$ et $\Phi(g, y) d\mu$ sont égales.

3. Soit comme précédemment $\mathbb{R}$, soit $x \in \text{vlb}(\mathbb{I}, \mathbb{X})$ et soit $y \in \text{vlb}(\mathbb{I}, \mathbb{Y})$; alors la fonction $t \mapsto \Phi(x(t), y(t))$, notée simplement $\Phi(x, y)$, appartient à $\text{vlb}(\mathbb{I}, \mathbb{Z})$. Avec la notation posée plus haut pour les limites à droite ou à gauche d'un point (éventuellement extrémité de $\mathbb{I}$), nous établissons (2) :

**PROPOSITION 1.** — La mesure différentielle de $t \mapsto \Phi(x(t), y(t))$ vaut

$$ (1) \qquad d\Phi(x, y) = \Phi(dx, y^{-}) + \Phi(x^{+}, dy) = \Phi(dx, y^{+}) + \Phi(x^{-}, dy). $$

Ces égalités se vérifient immédiatement dans le cas particulier où les fonctions $x$ et $y$ sont en escalier sur tout sous-intervalle compact de $\mathbb{I}$; on en déduit le cas général en établissant, pour toute application réglée $u$, de $\mathbb{I}$ dans $\mathbb{X}$ par exemple, une propriété d'approximation de la mesure vectorielle $\Phi(u, dy)$ par des $\Phi(u, dy_e)$ où les $y_e: \mathbb{I} \to \mathbb{Y}$ sont en escalier sur tout sous-intervalle compact de $\mathbb{I}$.

4. Faisons dans ce qui précède $X = \mathbb{Y}$; on suppose que la forme bilinéaire $\Phi$ est symétrique, que $Z = \mathbb{R}$ et que la forme quadratique $\xi \mapsto \Phi(\xi, \xi)$ est $\ge 0$ sur $\mathbb{X}$; par des techniques semblables on obtient :

**PROPOSITION 2.** — Avec les hypothèses ci-dessus, pour toute $x \in \text{vlb}(\mathbb{I}, \mathbb{X})$, on a, au sens de l'ordre des mesures réelles, les inégalités

$$ (2) \qquad 2\Phi(x^{-}, dx) \le d\Phi(x, x) \le 2\Phi(x^{+}, dx). $$

5. On conçoit $\mathbb{I}$ comme un intervalle de temps; soit $\mathbb{H}$ un espace hilbertien réel; pour chaque $t \in \mathbb{I}$, soit $A(t, \cdot)$ une multiapplication de $\mathbb{H}$ dans $\mathbb{H}$, monotone au sens de Minty. De nombreux travaux ont été consacrés aux « équations » d'évolution de la forme

$$ (3) \qquad -\dot{u} \in A(t, u). $$

Une *solution forte* est une application $u: \mathbb{I} \to \mathbb{H}$, localement absolument continue, dont la dérivée forte $\dot{u}$ vérifie (3) Lebesgue-presque partout.

On étudie ici le cas spécial où, pour tout $t \in \mathbb{I}$ et tout $x \in \mathbb{H}$, l'ensemble $A(t, x)$ est une partie *conique* (éventuellement vide) de $\mathbb{H}$. On en déduit aisément (2) l'existence de $C(t)$, partie convexe fermée de $\mathbb{H}$ telle que, si on note $\psi(t, x) = 0$ si $x \in C(t)$ et $+\infty$ sinon], on a $A \subset \partial\psi$, sous-différentiel de $\psi$. En particulier $A = \partial\psi$ si $A$ est monotone maximale, ce que nous supposerons dans la suite; l'équation (3) est, dans ce cas, celle du *processus de rafle* (3). Une conséquence immédiate de la conicité des ensembles $A(t, x)$ est que, si $\mathbb{J}$ est un autre intervalle réel, $\theta: \mathbb{J} \to \mathbb{I}$ une application localement absolument continue croissante et $u$ une solution forte de (3), la fonction $v = u \circ \theta$, localement absolument continue de $\mathbb{J}$ dans $\mathbb{H}$, vérifie $-\dot{v} \in A(\theta(s), v(s))$ Lebesgue-presque partout dans $\mathbb{J}$. En d'autres termes, la condition (3) associe la chaîne des positions successives du point mobile $u$ dans $\mathbb{H}$ à la chaîne des configurations successives de l'ensemble mobile $\mathbb{C}$ d'une manière indépendante de l'horaire de cette succession.
Cette propriété d'invariance par changement de variable croissant incite à une reformulation du problème en déprivilégiant la mesure de Lebesgue. Nous disons que $u \in \text{vlb}(I, H)$ est solution de (3) au sens des mesures différentielles s'il existe (de façon évidemment non unique) $d\mu$, mesure réelle $\ge 0$ sur $I$ et $u' \in \mathcal{L}_{0c}^1(d\mu, H)$ telles que $du = u' d\mu$ et que $-u'(t) \in A(t, u(t))$ pour tout $t$ dans $I$ [il revient au même d'exiger que cette condition soit vérifiée seulement $d\mu$-presque partout et que $u(t) \in C(t)$ pour tout $t$]. L'éventualité d'une mesure $d\mu$ présentant des atomes fait que cette formulation englobe le cas de certains processus de rafle discontinus, abordés ailleurs par d'autres méthodes (⁴). Par la seconde des inégalités (2), on établit :

**PROPOSITION 3.** — Si $u_1$ et $u_2$, appartenant à vlb (I, H) et continues à droite, sont solutions de (3) au sens des mesures différentielles, la fonction numérique $t \mapsto |u_1(t)-u_2(t)|$ est décroissante. En particulier, si ces deux solutions satisfont une même condition initiale $u_1(t_0) = u_2(t_0) = u_0$, elles sont égales pour tout $t \ge t_0$.

*Remarque.* — La continuité à droite de $u \in \text{vlb}(I, H)$ équivaut à ce que, pour tout $t \ge t_0$, on a

$$u(t) = u(t_0) + \int_{[t_0, t]} du = u(t_0) + \int_{[t_0, t]} u'(\tau) d\mu(\tau).$$

On retrouve ainsi le point de vue adopté par C. Castaing (⁵) dans l'étude d'une version aléatoire du processus de rafle.

L'existence d'une solution continue à droite s'accordant à une donnée initiale $u_0 \in C(t_0)$ peut être établie (⁶) sous l'hypothèse que la multifonction $t \mapsto C(t)$ est à rétraction finie continue à droite (⁷). La propriété que voici peut être mise à profit dans la démonstration.

### 6. On tire immédiatement de (1) et (2) :

**PROPOSITION 4.** — Avec les mêmes hypothèses qu'au paragraphe 4, on suppose que $I$ est un intervalle compact $[t_0, t_1]$; on note V l'espace vectoriel constitué par les applications $x : I \to X$, à variation bornée, continues à droite et nulles au point $t_0$. Soit $p : I \to R$ une fonction $\ge 0$ décroissante continue à gauche. Alors l'application $x \mapsto \int_I p \Phi(x, dx)$ est une forme quadratique $\ge 0$ sur V; elle est définie positive, donc strictement convexe, si la forme quadratique $\xi \mapsto \Phi(\xi, \xi)$ est définie positive sur X et p strictement positive, strictement décroissante.

Le cas où $\Phi$ est le produit scalaire d'un espace hilbertien, où $x$ est absolument continue, avec $p = 1$, donne banalement $(1/2) |x(t_1))|^2$ comme valeur de la forme quadratique. La positivité a été dans ce cas invoquée par H. Brézis et I. Ekeland (⁸) ou, dans des problèmes plus généraux de mécanique des systèmes dissipatifs par B. Nayroles (⁹), pour caractériser les solutions fortes de certains problèmes d'évolution paraboliques, comme minimisant une certaine fonctionnelle convexe. La proposition ci-dessus permet d'adapter ce procédé à la situation du paragraphe 5. Par ailleurs la stricte convexité apportée par l'introduction d'une « fonction de poids » $p$ (par exemple une fonction exponentielle décroissante) est techniquement utile.
(1) N. BOURBAKI, *Intégration*, 6, Hermann, Paris, 1959.

(2) J. J. MOREAU, *Sur les mesures différentielles des fonctions vectorielles à variation localement bornée (Séminaire d'Analyse convexe, Montpellier, 5, 1975, exposé n° 17)*.

(3) J. J. MOREAU, *Comptes rendus*, 276, série A, 1973, p. 791.

(4) J. J. MOREAU, *Factorisation d'un processus de rafle discontinu* (Séminaire d'Analyse convexe, Montpellier, 4, 1975, exposé n° 15).

(5) C. CASTAING, *Comptes rendus*, 282, série A, 1976, p. 515.

(6) J. J. MOREAU, *Solutions du processus de rafle au sens des mesures différentielles* (Séminaire d'Analyse convexe, Montpellier, 6, 1976, exposé n° 1).

(7) J. J. MOREAU, *Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa*, serie IV, 1, 1974, p. 169-203.

(8) H. BREZIS et I. EKELAND, *Comptes rendus*, 282, série A, 1976 (à paraître).

(9) B. NAYROLES, *Comptes rendus*, 282, série A, 1976 (à paraître).

Institut de Mathématiques,
Université des Sciences et Techniques du Languedoc,
34060 Montpellier Cedex.