# INTERPOLATION PAR DES FONCTIONS ENTIÈRES

GHIOCEL GROZA* et NICOLAE POP†

**Résumé.** Soit A une algèbre normée unifère commutative complète sur un corps commutatif à valeur absolue non triviale. L'article montre qu'il existe une fonction entière, ayant les coefficients en A qui donne une solution pour un problème d'interpolation infinie en A.

MSC 2000. 41A05, 41A30.

**Keywords.** Interpolation par des fonction entières, approximation par des autre speciales classes fonctions.

## 1. INTRODUCTION

Ce travail est consacré à l'interpolation par des fonctions entières dans une algèbre normée unifère commutative $A$ [2] sur un corps commutatif $K$ à valeur absolue non triviale $| |$ [1]. Rappelons qu'une valeur absolue non triviale sur $K$ est une application $| |$ de $K$ dans $[0, \infty)$ qui satisfait:

$$ \text{VA1.} \quad |\alpha| = 0 \Leftrightarrow \alpha = 0; $$

$$ \text{VA2.} \quad |\alpha\beta| = |\alpha||\beta|; $$

$$ \text{VA3.} \quad |\alpha + \beta| \le |\alpha| + |\beta|; $$

$$ \text{VA4.} \quad \exists \alpha \in K, \alpha \neq 0 \text{ tel que } |\alpha| \neq 1. $$

Si $x \in A$, la norme de $x$ se note $\|x\|$ et on sait que

$$ \text{N1.} \quad \|x\| \ge 0 \text{ et } \|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0; $$

$$ \text{N2.} \quad \|\alpha x\| = |\alpha| \cdot \|x\|; $$

$$ \text{N3.} \quad \|x + y\| \le \|x\| + \|y\|; $$

$$ \text{N4.} \quad \|xy\| \le \|x\| \cdot \|y\|, \quad \forall x, y \in A, \forall \alpha \in K. $$

Nous noterons $IA[[X]]$ l'ensemble des fonctions entières sur $A$. Donc $f = \sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n \in IA[[X]]$, $a_n \in A$, si la série convergues dans $A$ quel que soit $x \in A$.

Soit $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $A$ telle que

$$ \text{C1.} \quad x_n \text{ est inversible } \forall n \in \mathbb{N}; $$

<footnote>*Université Technique de Constructions, Département de Mathématiques et Informatiques, 124 Lacul Tei, sector 2, 031761 Bucharest, Roumanie, e-mail: grozag@hidro.utcb.ro.</footnote>

<footnote>†Nord Université, Département de Mathématique et Informatique, 76 Victoriei, 430122 Baia Mare, Roumanie, e-mail: nic_pop2000@yahoo.com.</footnote>
$$
\text{C2.} \quad \left\| x_n x_{n+1}^{-1} \right\| < 1, \quad \forall n \in \mathbb{N};
$$

$$
\text{C3.} \quad \lim_{n \to \infty} \|x_n^{-1}\| = 0.
$$

Si $A = K = \mathbb{C}$, $\|x\| = |x|$ et $\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite d'éléments de $A$, on sait
[4] qu'il existe $f \in I A[[X]]$ telle que

$$
(1) \qquad f(x_n) = y_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}.
$$

La démonstration utilise le produit de Weierstrass et le théorème classique
de Mittag-Leffler. Si $A = K$ et la valeur absolue sur $K$ este non-archimèdienne,
il existe [3] alors des corps $K$ et des fonctions qui n'admettent aucune décom-
position raisonnable en produit, donc le problème n'est plus accessible par
les méthodes multiplicatives. Le problème de la construction de $f$ este plus
difficile si $A$ n'est pas un corps ou norme n'est pas multiplicative.

2. INTERPOLATION SUR UNE ALGÈBRE NORMÉE

En utilisant des méthodes additives nous obtenons le résultat suivant.

THÉORÈME 1. Soit A une algèbre normée unifère commutative complète sur un corps commutatif K á valeur absolue non triviale. Si {x_n}n∈N est une suite d'éléments de A qui vérifie C1-C3, alors pour suite {y_n}n∈N d'éléments de A il existe f ∈ I A[[X]] qui vérifie (1).

Preuve. Nous voulons construire une suite de polynômes {$P_k$}$_{k \in \mathbb{N}}$,

$$
(2) \qquad P_k = a_{k0} + a_{k1}X^{n_1} + \dots + a_{kk}X^{n_k} \in A[X]
$$

qui vèrifient

$$
(3) \qquad 0 = n_0 < n_1 < \dots < n_k,
$$

$$
(4) \qquad P_k(x_i) = y_i,
$$

pour tout $k \in \mathbb{N}$ et pour tout $i \le k$. De plus, si $k \in \mathbb{N}^*$, $B_k = \|x_{k-1}^{-1}\|^{n_{k-1}}$,
$C_{ki} = n_i \|x_i^{-1}\|^{n_i} - \|a_{k-1i}\|$, alors on a

$$
(5) \qquad \|a_{k0} - a_{k-10}\| < B_k,
$$

$$
(6) \quad \|a_{ki} - a_{k-1i}\| < \min\{B_k, C_{ki}\}, \quad \forall i = 1, 2, \dots, k-1;
$$

$$
(7) \qquad \|a_{ki}\| < n_i \|x_i^{-1}\|^{n_i}, \quad \forall i = 1, 2, \dots, k.
$$

Soient $D_k$ le déterminant

$$
(8) \quad \det \begin{pmatrix}
1 & x_0^{n_1} & x_0^{n_2} & \cdots & x_0^{n_k} \\
1 & x_1^{n_1} & x_1^{n_2} & \cdots & x_1^{n_k} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
1 & x_k^{n_1} & x_k^{n_2} & \cdots & x_k^{n_k}
\end{pmatrix}
$$
et pour tout $i = 0, 1, \dots, k$, $D_k^{(i)}$ le déterminant obtenu à partir de $D_k$ en remplaçant les éléments de la colonne d'indice $i+1$ par les éléments $y_0, y_1, \dots, y_k$. Alors on a

$$ (9) \qquad D_k = E_k \cdot \prod_{j=1}^{k} x_j^{n_j}, $$

où

$$ (10) \quad E_k = \det \begin{pmatrix} 1 & (x_0 x_1^{-1})^{n_1} & (x_0 x_2^{-1})^{n_2} & \cdots & (x_0 x_k^{-1})^{n_k} \\ 1 & 1 & (x_1 x_2^{-1})^{n_2} & \cdots & (x_1 x_k^{-1})^{n_k} \\ 1 & (x_2 x_1^{-1})^{n_1} & 1 & \cdots & (x_2 x_k^{-1})^{n_k} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & (x_k x_1^{-1})^{n_1} & (x_k x_2^{-1})^{n_2} & \cdots & 1 \end{pmatrix}. $$

De plus, on voit que

$$ (11) \qquad D_k^{(i)} = E_k^{(i)} \cdot \prod_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{k} x_j^{n_j}, $$

où $E_k^{(i)}$ est le déterminant obtenu à partir de $E_k$ en remplaçant les éléments de la colonne d'indice $i+1$ par les éléments $y_0, y_1, \dots, y_k$.

Soit $P_0 = a_{00}$ où $a_{00} = y_0$. Nous allons construire la suite $P_k$ par récurrence sur l'entier $k$.

Soit $k=1$. La relation C2 nous donne

$$ (12) \qquad \lim_{n_1 \to \infty} E_1 = 1 $$

et

$$ (13) \qquad \lim_{n_1 \to \infty} E_1^{(0)} = a_{00}. $$

Rappelons [2] que le groupe $A^*$ des éléments inversibles de $A$ est une partie ouverte de $A$. Alors, puisque $D_1^{(1)}$ ne dépend pas de $n_1$ et d'après (12), (13), (9) et (11), il existe $n_1 \in \mathbb{N}^*$ telle que $E_1$ soit inversible et

$$ (14) \qquad \|D_1^{(0)} D_1^{-1} - a_{00}\| < B_1, $$

$$ (15) \qquad \|D_1^{(1)} D_1^{-1}\| < n_1 \|x_1^{-1}\|^{n_1}. $$

Nous choisissons un entier $n_1$ qui vérifie ces conditions. En résolvant, suivant le théoreme de Cramer, le système (4) pour $k=1$ on obtient

$$ (16) \qquad a_{1i} = D_1^{(i)} D_1^{-1}, \quad i = 0, 1. $$

Donc, d'après (14), (15) et (16), les relations (3), (4), (5) et (7) sont verifiées pour $k=1$.
Soient maintenant $P_k$ satisfaisant aux conditions (3)–(7) et $E_k$ inversible. Nous allons construire le polynôme

$$ (17) \quad P_{k+1} = a_{k+10} + a_{k+11}x^{n_1} + \dots + a_{k+1k}x^{n_k} + a_{k+1k+1}x^{n_{k+1}} \in A[X]. $$

Donc, nous cherchons le nombre $n_{k+1} \in \mathbb{N}^*$ et les éléments $a_{k+1i} \in A$, $i = 0, 1, \dots, k+1$, tels que les relations (3)–(7) soient verifiées en remplaçant $k$ par $k+1$ et $E_{k+1}$ soit inversible.

Les relations C2 et N4 nous donnent

$$ (18) \qquad \lim_{n_{k+1} \to \infty} E_{k+1} = E_k, $$

$$ (19) \qquad \lim_{n_{k+1} \to \infty} E_{k+1}^{(i)} = E_k^{(i)}, \quad i = 0, 1, \dots, k. $$

Alors, puisque $D_{k+1}^{(k+1)}$ ne depend pas de $n_{k+1}$, d'après (18), (19), (9) et (11) il existe $n_{k+1} \in \mathbb{N}^*$ telle que $E_{k+1}$ soit inversible et

$$ (20) \qquad \| D_{k+1}^{(0)} D_{k+1}^{-1} - D_k^{(0)} D_k^{-1} \| < B_{k+1}, $$

$$ (21) \qquad \| D_{k+1}^{(i)} D_{k+1}^{-1} - D_k^{(i)} D_k^{-1} \| < \min \{B_{k+1}, C_{k+1i}\}, \quad i = 1, 2, \dots, k, $$

$$ (22) \qquad \| D_{k+1}^{(k+1)} D_{k+1}^{-1} \| < n_{k+1} \| x_{k+1}^{-1} \|^{n_{k+1}}. $$

Nous choisissons un entier $n_{k+1}$ qui vérifie ces conditions. En résolvant, suivant théorème de Cramer, le système (4) on obtient

$$ (23) \qquad a_{k+1i} = D_{k+1}^{(i)} D_{k+1}^{-1}, \quad i = 0, 1, \dots, k+1. $$

Donc, les relations (3)–(6) sont verifiées et aussi la relation (7) pour $i = k+1$. De plus,

$$ \begin{aligned} \|a_{k+1i}\| &\le \|a_{k+1i} - a_{ki}\| + \|a_{ki}\| < C_{k+1i} + \|a_{ki}\| = \\ &= n_i \|x_i^{-1}\|^{n_i}, \quad \text{pour tout } i = 1, 2, \dots, k \end{aligned} $$

et la relation (7) est verifiée.

Nous noterons

$$ (24) \qquad b_k^{(i)} = a_{ki}, \quad \text{pour } i, k \in \mathbb{N} \text{ et } k \ge i. $$

Alors, d'après (5), (6), on a

$$ (25) \qquad \| b_{k+m}^{(i)} - b_k^{(i)} \| \le B_{k+1} + B_{k+2} + \dots + B_{k+m}, \quad \forall m \in \mathbb{N}. $$

Or A est complete et, lorsque C3 est satisfaite, la série $\sum_{j=0}^{\infty} B_j$ converge. Par conséquent, pour tout $i \in \mathbb{N}$, il existe $a_i \in A$ tel que

$$ (26) \qquad a_i = \lim_{k \to \infty} b_k^{(i)}. $$
Soit

$$f = \sum_{i=0}^{\infty} a_i X^i \in A[[X]]$$

et nous montrerons que $f \in IA[[X]]$.

En effet, d'après la relation (7), on a

$$(27) \qquad \|a_i\| \le n_i \|x_i^{-1}\|^{n_i}$$

et la condition C3 montre que $f$ est une fonction entière sur $A$.

Il reste à montrer que $f$ vérifie la relation (1).

On a

$$ 
\begin{align*}
S_k(x_n) &= a_0 + a_1 x_n^{n_1} + \dots + a_k x_n^{n_k} \\
&= P_k(x_n) + S_k(x_n) - P_k(x_n) \\
&= y_n + a_0 - a_{k0} + (a_1 - a_{k1}) x_n^{n_1} + \dots + (a_k - a_{kk}) x_n^{n_k},
\end{align*} $$

d'où

$$(28) \qquad \|S_k(x_n) - y_n\| \le \|a_0 - a_{k0}\| + \|a_1 - a_{k1}\| \cdot \|x_n\|^{n_1} + \dots + \\ \qquad \qquad + \|a_k - a_{kk}\| \cdot \|x_n\|^{n_k}.$$

Or, d'après (25), pour $m \to \infty$, nous avons

$$(29) \qquad \|a_i - a_{ki}\| \le \sum_{j=k}^{\infty} \|x_j^{-1}\|^{n_j},$$

donc les relations (28) et (29) impliquent

$$(30) \qquad \|S_k(x_n) - y_n\| \le \sum_{i=1}^{k} \|x_n\|^{n_i} \sum_{j=k}^{\infty} \|x_j^{-1}\|^{n_j}.$$

Notons $M_n = \max \{\|x_n\|, 1\}$. De la condition C3, pour $k$ assez grand et $j \ge k$, nous obtenons

$$(31) \qquad \|x_j^{-1}\| \le (2M_n)^{-1}.$$

Alors

$$\sum_{j=k}^{\infty} \|x_j^{-1}\|^{n_j} \le \sum_{j=k}^{\infty} (2M_n)^{-n_j} \le (2M_n)^{-n_k} (1 - 2^{-1} M_n^{-1})^{-1}$$

et d'après (30) on a pour $k$ assez grand

$$\|S_k(x_n) - y_n\| \le k M_n^{n_k} (2M_n)^{-n_k} (1 - 2^{-1} M_n^{-1})^{-1} = k (1 - 2^{-1} M_n^{-1})^{-1} 2^{-n_k}.$$
Donc $f(x_n) = \lim_{k \to \infty} S_k(x_n) = y_n$ et la théorème est démontrée. □

BIBLIOGRAPHIE

[1] AMICE, Y., *Les nombres p-adiques*, Presses Universitaires de France, 1975.

[2] BOURBAKI, N., *Topologie générale*, Livre III, Hermann, Paris, 1961.

[3] LAZARD, M., *Les zéros des fonctions analytiques d'une variable sur un corps valué complet*, Publ. Math. I.H.E.S., no. 14, 1962.

[4] RUDIN, W., *Real and Complex Analysis*, M. Graw-Hill, 1966.

Received by the editors: February 2, 2006.