# Sur un probleme de temps final optimal

Jose Luis Menaldi, Edmundo Rofman

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Jose Luis Menaldi, Edmundo Rofman. Sur un probleme de temps final optimal. [Research Report] IRIA-RR-091, IRIA. 1974, pp.22. hal-04715964

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Sur un problème
de temps final optimal

J.L.Menaldi,E,Rofman

Rapport de Recherche n° 91

Novembre 1974
SUR UN PROBLEME DE TEMPS FINAL OPTIMAL

J.L. MENALDI, E. ROFMAN

RESUME

Nous étudions des problèmes de temps d'arrêt final pour
des ensembles bornés et non bornés en utilisant des formulations variation-
nelles à frontière libre.

Nous prouvons l'existence et l'unicité en introduisant des
espaces de Sobolev appropriés.

Enfin, nous présentons une approche numérique convergente
pour la résolution de ces problèmes. Elle consiste en une combinaison de
la méthode des perturbations avec une technique d'approximation interne.

---
SOBRE PROBLEMAS DE TIEMPO FINAL OPTIMO

J.L. Menaldi E. Rofman

(présenté par J.L..LIONS.)

ABSTRACT

We study final stopping time problems for bounded and unbounded sets using free boundary variational formulations.

Existence and uniqueness of solutions are shown after introducing suitable weight Sobolev spaces.

Finally we present a convergent numerical approach to solve those problems. It consists in a combination of the perturbation method with an internal approximation technique.-
J.L. Menaldi ♦ E. Rofman

(présenté par J.L..LIONS.)

## §1. INTRODUCCION

Nos proponemos estudiar el siguiente problema:

Sea el sistema dinámico regido por la ecuación de estado

$$ (1) \quad \begin{cases} \dot{y}_{xt}(s) = f(s,y_{xt}(s)) & 0 \le t \le s \le T < +\infty \\ y_{xt}(t) = x & x \in \mathbb{R}^n \end{cases} $$

Con el criterio de costo:

$$ (2) \quad J_{xt}(\tau) = g(\tau, y_{xt}(\tau)) + \int_{t}^{\tau} 1(s, y_{xt}(s))ds \quad 0 \le \tau \le T, x \in \mathbb{R}^n, $$

se desea determinar la función

$$ (3) \quad \rho(t,x) = \min\{J_{xt}(\tau) / t \le \tau \le T\} \quad \nabla (t,x) \in [0,T] \times \mathbb{R}^n $$

y el menor tiempo $\tau_{xt} \in [t,T]$ para el cual valga

$$ (4) \quad \rho(t,x) = J_{xt}(\tau_{xt}) \quad \nabla (t,x) \in [0,T] \times \mathbb{R}^n. $$

(1) - (4) será denominado Pb I. Para resolverlo plantearemos una formulación equivalente en términos de Problemas de Frontera Libre donde aplicaremos técnicas de a proximación numérica como se verá en el §4. Realizaremos dos enfoques diferentes:

El primero será directamente sobre el problema dado [§2] que conducirá, en general, al uso de espacios de Sobolev con ciertos pesos.

En cambio, en el segundo [§3], introduciremos un nuevo problema análogo al ya presentado, que consiste en limitar el dominio de variación del estado inicial $x$ a un recinto acotado $\Omega$ que contenga a la región en la cual nos interese conocer la función $\rho$ definida en (3). De esta manera muchas hipótesis globales requeridas en el §2 se podrán transformar en locales.

En el §4 se presenta, mediante la combinación del método de perturbación y la técnica de aproximación interna, un método para la resolución numérica de los problemas introducidos en §2 y §3.

## §2. ENFOQUE DIRECTO

En todo este párrafo supondremos $f$ continua y tal que esté garantizada la existencia y unicidad de solución en (1). También $1$ y $g$ son tales que permitan definir en (2) $J_{xt}(\tau)$ resultando continua en $\tau$ para cada par $(t,x)$ fijo. Así bajo estas condiciones tenemos asegurada la existencia de solución del Pb I.

Primeramente pondremos en evidencia cierta regularidad de la función $\rho$ definida en (3). A tal efecto enunciaremos el siguiente resultado:
TEOREMA 1

Con las hipótesis (*)

i) $\frac{\partial f}{\partial y}(s,y) \in L^2(0,T; \mathbb{L}^\infty(\mathbb{R}^n))$,

ii) $1(s,y), \frac{\partial g}{\partial s}(s,y) \in L^2(0,T; \mathbb{L}^\infty(B)) \not\forall B \text{ compacto de } \mathbb{R}^n \text{ y existen } c_1(s) \in L^2(0,T)$
$\gamma \in \mathbb{R} \text{ tales que } \forall (s,y) \in ]0,T[ \times \mathbb{R}^n$. (p.p) vale:

$$
|1(s,y)| \le c_1(s)(1 + |y|)^{\gamma+1} \quad ; \quad \left| \frac{\partial g}{\partial s} (s,y) \right| \le c_1(s)(1 + |y|)^{\gamma+1} ,
$$

iii) $\frac{\partial 1}{\partial y}(s,y) \in L^1(0,T; \mathbb{L}^\infty(B))$, $\frac{\partial g}{\partial y}(s,y) \in L^\infty(0,T; \mathbb{L}^\infty(B)) \not\forall B \text{ compacto de } \mathbb{R}^n$
y existen $c_2(s) \in L^1(0,T)$, $c_3 \in \mathbb{R}^+ \not\forall (s,y) \in ]0,T[ \times \mathbb{R}^n$ (p.p) vale

$$
|\frac{\partial 1}{\partial y}(s,y)| \le c_2(s)(1 + |y|)^{\gamma} ; \quad |\frac{\partial g}{\partial y}(s,y)| \le c_3(1 + |y|)^{\gamma} ,
$$

se tiene:

$$
\rho(t,x) \text{ continua en } (t,x) \in [0,T] \times \mathbb{R}^n \text{ con} \\
\frac{\partial \rho}{\partial t}(t,x) \in L^2(0,T; \mathbb{L}^\infty(B)) \ ; \ \frac{\partial \rho}{\partial x}(t,x) \in L^\infty(0,T; \mathbb{L}^\infty(B)) \not\forall B \text{ compacto de } \mathbb{R}^n.
$$

Además, las siguientes mayoraciones, $\forall (t,x) \in ]0,T[ \times \mathbb{R}^n$ (p.p) :

$$
|\rho(t,x)| \le c_o(1 + |x|)^{\gamma+1} ; \quad \left| \frac{\partial \rho}{\partial t}(t,x) \right| \le c(t)(1 + |x|)^{\gamma+1}
$$

$$
\left| \frac{\partial \rho}{\partial x} (t,x) \right| \le c'_o (1 + |x|)^{\gamma} \quad \text{con } c(t) \in L^2(0,T) , c_o, c'_o \in \mathbb{R}^+ .
$$

Para la prueba del teorema necesitamos los lemas:

LEMA 1: (GRONWALL - BELLMAN)

Sean $m(s) \in L^1(0,T)$; $m(s) \ge 0$ (p.p) en $]0,T[$; $a = cte \ge 0$ y $\Phi$ una
función continua en $[0,T]$ tales que

$$
\Phi(\tau) \le a + \left| \int_t^\tau m(s) \Phi(s) ds \right| \quad \forall \tau \in [0, T], \text{ t fijo en } [0, T];
$$

entonces se tiene la acotación:

$$
\Phi(\tau) \le a \exp \left( \left| \int_t^\tau m(s) ds \right| \right) \quad \forall \tau \in [0, T].
$$

DEM.: Consideremos la función $\Psi(\tau) = a + \left| \int_t^\tau m(s) \Phi(s) ds \right| \quad \forall \tau \in [0, T]$, t fijo.

<footnote>(*) Todas las derivadas son en el sentido de las distribuciones. Obsérvese que, prescindiendo de las acotaciones, la hipótesis i) sobre f es más débil que la Lipschitzianidad en la variable y e Rⁿ; también la condición iii) sobre l y g se verifica en el caso de ser ambas localmente Lipschitzianas en la variable y e Rⁿ; además la hipótesis ii) es claramente inferior a suponer l(s,y) y ∂g/∂s (s,y) acotadas en ]0,T[ pero localmente acotadas en Rⁿ.</footnote>
que resulta $\Phi(\tau) \le \Psi(\tau)$, $\nexists \tau \in [0,T]$ y tiene por derivada a

$$ \frac{d\Psi}{d\tau}(\tau) = \begin{cases} \frac{d}{d\tau} \left( a + \int_{t}^{\tau} m(s)\Phi(s)ds \right) = m(\tau)\Phi(\tau) & \text{si } \tau \in ]t, T[ \\ \frac{d}{d\tau} \left( a + \int_{\tau}^{t} m(s)\Phi(s)ds \right) = -m(\tau)\Phi(\tau) & \text{si } \tau \in ]0, t[ \end{cases} \quad (\text{p.p.}) $$

Ahora, si $\tau \in ]t, T[$ se tendrá $\frac{d\Psi}{d\tau}(\tau) = m(\tau)\Phi(\tau) \le m(\tau)\Psi(\tau)$ (p.p) y, de aquí:

$$ \frac{d}{d\tau} \left( \Psi(\tau) \exp\left(-\int_{t}^{\tau} m(s)ds\right) \right) = \left( \frac{d\Psi}{d\tau}(\tau) - m(\tau)\Psi(\tau) \right) \exp\left(-\int_{t}^{\tau} m(s)ds\right) \le 0 \quad (\text{p.p.}); $$
como la función $\tau \to \Psi(\tau) \exp\left(-\int_{t}^{\tau} m(s)ds\right)$ es absolutamente continua, es decreciente en $\tau \in [t, T]$ por lo que:
$$ \Psi(\tau) \exp\left(-\int_{t}^{\tau} m(s)ds\right) \le \Psi(t) = a \quad \nexists \tau \in [t, T]. $$

Análogamente si $\tau \in ]0, t[$, resultará $\frac{d\Psi}{d\tau}(\tau) = -m(\tau)\Phi(\tau) \ge -m(\tau)\Psi(\tau)$ (p.p) y, en consecuencia:

$$ \frac{d}{d\tau} \left( \Psi(\tau) \exp\left(-\int_{\tau}^{t} m(s)ds\right) \right) = \left( \frac{d\Psi}{d\tau}(\tau) + m(\tau)\Psi(\tau) \right) \exp\left(-\int_{\tau}^{t} m(s)ds\right) \ge 0 \quad (\text{p.p.}), $$
de donde
$$ \Psi(\tau) \exp\left(-\int_{\tau}^{t} m(s)ds\right) \le \Psi(t) = a \quad \nexists \tau \in [0, t]. $$

Así obtenemos:

$$ \Phi(\tau) \le \Psi(\tau) \le a \exp\left(\left|\int_{\tau}^{t} m(s)ds\right|\right) \quad \nexists t, \tau \in [0, T]. \blacksquare $$

### LEMA 2:

Si $\varphi(a) \in L^\infty(A)$; $\Psi(b) \in L^\infty(B)$, $b(a)$ y $a(b)$ funciones de $A \to B$ y $B \to A$ respectivamente, entonces:

$$ \sup_{a \in A} (\Psi(b(a)) - \varphi(a)) \le \inf_{a \in A} \varphi(a) - \inf_{b \in B} \Psi(b) \le \sup_{b \in B} (\varphi(a(b)) - \Psi(b)). $$

$$ \text{DEM.:} \quad \inf_{a \in A} \varphi(a) - \inf_{b \in B} \Psi(b) = \sup_{b \in B} \left[ \left( \inf_{a \in A} \varphi(a) - \Psi(b) \right) \right] \le \sup_{b \in B} (\varphi(a(b)) - \Psi(b)). $$

$$ \text{pues, } \left( \inf_{a \in A} \varphi(a) - \Psi(b) \le \varphi(a(b)) - \Psi(b) \right) \quad \nexists b \in B; $$

de aquí, por simetría, se completa la prueba. ■

### PRUEBA DEL TEOREMA 1

Se divide en tres etapas:

1º) Existen $m(s) \in L^2(0,T)$, $m_o$, $M \in \mathbb{R}^+$ tales que:

$$ (5) \quad \frac{1}{m_o} (1 + |x|) \le (1 + |y_{xt}(\tau)|) \le m_o (1 + |x|) \quad \nexists t, \tau \in [0, T], x \in \mathbb{R}^n, $$

$$ (6) \quad |y_{xt}(\tau) - y_{xt}(\tau')| \le (1 + |x|) \left| \int_{\tau'}^{\tau} m(s) ds \right| \nexists t, \tau, \tau' \in [0, T], x \in \mathbb{R}^n, $$

$$ (7) \quad |y_{xt}(\tau) - y_{xt}(\tau')| \le (1 + |x|) \left| \int_{\tau'}^{\tau} m(s) ds \right| \nexists t, \tau', \tau \in [0, T], x \in \mathbb{R}^n, $$
(8) $|y_{xt}(\tau) - y_{x't}(\tau)| \leq M|x - x'| \quad \forall t, \tau \in [0,T], x, x' \in \mathbb{R}^n$.

DEM.:

de $y_{xt}(\tau) = x + \int_t^\tau f(s, y_{xt}(s))ds$, $|f(s,y)| \le a_1(1 + \|\frac{\partial f}{\partial y}(s,.)\|_{L^\infty} |y|)$

con $a_1 = \text{cte} > 0$, obtenemos: $|y_{xt}(\tau)| \le (|x| + a_1 T) + \left| \int_t^\tau \left\| \frac{\partial f}{\partial y}(s,.) \right\|_{L^\infty} |y_{xt}(s)| ds \right|$

de aquí, por el Lema 1, resulta

$|y_{xt}(\tau)| \le (|x| + a_1 T) \exp \left( \left| \int_t^\tau \left\| \frac{\partial f}{\partial y}(s,.) \right\|_{L^\infty} ds \right| \le (|x| + a_1 T) \exp \left( \int_0^T \left\| \frac{\partial f}{\partial y}(s,.) \right\|_{L^\infty} ds \right) \right)$

existiendo así $m_o \in \mathbb{R}^+$ tal que

$$(1 + |y_{xt}(\tau)|) \le m_o (1 + |x|) \quad \forall t, \tau \in [0, T], x \in \mathbb{R}^n;$$

además, como $y_{xt}(s) = y_{x't}(\tau, s)$, $\forall t, \tau, s$ vale:

$$(1 + |y_{xt}(s)|) \le m_o (1 + |y_{xt}(\tau)|) \quad \forall t, \tau, s \in [0, T], x \in \mathbb{R}^n$$

y para $s = t$ logramos (5).

Por otra parte: si en

$$|y_{xt}(\tau) - y_{x't}(\tau')| \le |\int_{\tau'}^{\tau} |f(s, y_{xt}(s))| ds| \le a_1 |\tau - \tau'| + a_1 |\int_{\tau'}^{\tau} \left\| \frac{\partial f}{\partial y}(s,.) \right\|_{L^{\infty}} |y_{xt}(s)| ds|$$

usamos (5) y recordamos que $\|\frac{\partial f}{\partial y}(s,.)\|_{L^\infty} \in L^2(0,T)$, obtenemos (6).

Además, como:

$y_{xt}(\tau) - y_{x't}(\tau) = \int_{\tau'}^{\tau} f(s, y_{xt}(s))ds + \int_{\tau}^{\tau} \left[ f(s, y_{xt}(s)) - f(s, y_{x't}(s)) \right]ds \text{ se tiene} \\ |y_{xt}(\tau) - y_{x't}(\tau)| \le |\int_{\tau'}^{\tau} |f(s, y_{x't}(s))|ds| + \left| \int_{\tau}^{\tau} \left\| \frac{\partial f}{\partial y}(s,.) \right\|_{L^{\infty}} |y_{x't}(s) - y_{x't}(s)|ds|$

de aquí, por el Lema 1:

$$|y_{xt}(\tau) - y_{x't}(\tau)| \le a_2 |\int_{\tau'}^{\tau} |f(s, y_{x't}(s))| ds|$$

y de manera similar a lo hecho para (6) logramos (7).

Para obtener (8) basta notar que:

$$y_{xt}(\tau) - y_{x't}(\tau) = x - x' + \int_{\tau}^{\tau} \left[ f(s, y_{xt}(s)) - f(s, y_{x't}(s)) \right] ds \quad ; \text{entonces}$$

$$|y_{xt}(\tau) - y_{x't}(\tau)| \le |x - x'| + \left| \int_{\tau}^{\tau} \left\| \frac{\partial f}{\partial y}(s,.) \right\|_{L^{\infty}} |y_{xt}(s) - y_{x't}(s)| ds \right|$$

y por el Lema 1 vale:

$$|y_{xt}(\tau) - y_{x't}(\tau)| \le |x - x'| \exp \left( \int_{0}^{T} \left\| \frac{\partial f}{\partial y}(s,.) \right\|_{L^{\infty}} ds \right) \quad .$$
2º) Existen $m_1(s) \in L^2(0,T)$ y $M_0 \in \mathbb{R}^+$ tales que:

$$
(9) \quad |J_{xt}(\tau) - J_{xt}(\tau')| \le (1 + |x|)^{\gamma+1} \left| \int_{\tau'}^{\tau} m_1(s)ds \right| \quad \forall t, \tau, \tau' \in [0,T], x \in \mathbb{R}^n
$$

$$
(10) \quad |J_{xt}(\tau) - J_{xt}(\tau')| \le (1 + |x|)^{\gamma+1} \left| \int_{t'}^{t} m_1(s)ds \right| \quad \forall t, t', \tau \in [0,T], x \in \mathbb{R}^n
$$

$$
(11) \quad |J_{xt}(\tau) - J_{x,t}(\tau)| \le M_0 (1 + |x|)^\gamma |x - x'| \quad \forall t, \tau \in [0,T], x, x' \in \mathbb{R}^n \text{ con} \\
|x| \ge |x'| \quad \text{si} \quad \gamma \ge 0 \quad \text{o bien} \quad |x| \le |x'| \quad \text{si} \quad \gamma < 0.
$$

DEM.: Observemos que de las hipótesis y de (5) resulta:

$$
a) \left|1(s, y_{xt}(s))\right| \le c_1(s)(1 + |y_{xt}(s)|)^{\gamma+1} \le c_1^*(s)(1 + |x|)^{\gamma+1},
$$

$$
b) \left| \frac{\partial g}{\partial s} (s, y_{xt}(s)) \right| \le c_1(s)(1 + |y_{xt}(s)|)^{\gamma+1} \le c_1^*(s)(1 + |x|)^{\gamma+1},
$$

$$
c) \left| \frac{\partial 1}{\partial y} (s, y_{xt}(s)) \right| \le c_2(s)(1 + |y_{xt}(s)|)^{\gamma} \le c_2^*(s)(1 + |x|)^{\gamma},
$$

$$
d) \left| \frac{\partial g}{\partial y} (s, y_{xt}(s)) \right| \le c_3 (1 + |y_{xt}(s)|)^{\gamma} \le c_3^* (1 + |x|)^{\gamma},
$$

$$
\text{donde } c_1^*(s) = m_0^{\gamma+1} |c_1(s)|, \quad c_2^*(s) = m_0^{\gamma} |c_2(s)|, \quad c_3^* = m_0^{\gamma} |c_3|.
$$

Entonces, de $J_{xt}(\tau) - J_{xt}(\tau') = g(\tau, y_{xt}(\tau)) - g(\tau', y_{xt}(\tau')) + \int_{\tau'}^{\tau} 1(s, y_{xt}(s))ds$ sigue:

$$
|J_{xt}(\tau) - J_{xt}(\tau')| \le |g(\tau, y_{xt}(\tau)) - g(\tau', y_{xt}(\tau'))| + |g(\tau', y_{xt}(\tau))| - \\ - g(\tau', y_{xt}(\tau'))| + \int_{\tau'}^{\tau} 1(s, y_{xt}(s))|ds;
$$

así, usando a), b), d) y (6) tenemos:

$$
|J_{xt}(\tau) - J_{xt}(\tau')| \le (1 + |x|)^{\gamma+1} \left| \int_{\tau'}^{\tau} c_1^*(s)ds + c_3(1 + |x|)^{\gamma+1} \left| \int_{\tau'}^{\tau} m(s)ds + \right. \right. \\
\left. \left. + (1 + |x|)^{\gamma+1} \left| \int_{\tau'}^{\tau} c_1^*(s)ds \right| \right) \right. \\
\left. \text{de donde sigue (9).} \right.
$$

de donde sigue (9).

También

$$
J_{xt}(\tau) - J_{xt}(\tau') = g(\tau, y_{xt}(\tau)) - g(\tau, y_{xt}(\tau')) + \int_{\tau}^{\tau} \left[ 1(s, y_{xt}(s)) - 1(s, y_{xt}(s')) \right] ds - \int_{\tau'}^{\tau} 1(s, y_{xt}(s)) ds ;
$$

entonces, tomando módulos y aplicando a), c), d) y (7) vale:

$$
\begin{align*}
|J_{xt}(\tau) - J_{xt}(\tau')| \le c_3^*(1 + |x|)^{\gamma+1} & \left| \int_{t'}^{t} m(s)ds \right| + \\
& \left( \int_{0}^{T} c_2^*(s)ds \right) (1 + |x|)^{\gamma+1} \left| \int_{t'}^{t} m(s)ds \right| + (1 + |x|)^{\gamma+1} \left| \int_{t'}^{t} c_1^*(s)ds \right|
\end{align*}
$$

o sea, la (10).

Para completar,
$J_{xt}(\tau) - J_{x't}(\tau) = g(\tau, y_{xt}(\tau)) - g(\tau, y_{x't}(\tau)) + \int_t^\tau [1(s, y_{xt}(s)) - 1(s, y_{x't}(s))] ds$ y empleando c), d) y (8) logramos:

$|J_{xt}(\tau) - J_{x't}(\tau)| \le c_3^* M(1 + |x|)^\gamma |x - x'| + \left( \int_0^T c_2^*(s)ds \right) M(1 + |x|)^\gamma |x - x'|$
para $|x| \ge |x'|$ si $\gamma \ge 0$ y $|x| \le |x'|$ si $\gamma < 0$
que es la (11).

3º) Existen $c(s) \in L^2(0,T)$ y $c_0' \in \mathbb{R}^+$ tales que

$$
(12) \quad |\rho(t,x) - \rho(t',x)| \le (1 + |x|)^{\gamma+1} \int_{t'}^t c(s)ds \quad \forall t, t' \in [0,T], x \in \mathbb{R}^n
$$

$$
(13) \quad |\rho(t,x) - \rho(t,x')| \le c_0'(1 + |x|)^\gamma |x - x'| \quad \forall t \in [0,T], x,x' \in \mathbb{R}^n
$$

$$
\text{con } |x| \ge |x'| \quad \text{si} \quad \gamma \ge 0 \quad \text{y} \quad |x| \le |x'| \quad \text{si} \quad \gamma < 0 .
$$

DEM.: Por el lema 2 tenemos, si $t' \le t$ :

$$
\rho(t,x) - \rho(t',x) \le \sup_{t' \le \tau \le T} \left[ J_{xt}(s(\tau)) - J_{xt'}(\tau) \right] ;
$$

$$
\text{eligiendo } s(\tau) = \begin{cases} \tau + (t-t') & \text{si } t' \le \tau \le t \\ \tau & \text{si } t < \tau \le T \end{cases} \quad \text{será } t \le s(\tau) \le T \text{ si } t' \le \tau \le T
$$

y de (9), (10) sigue:

$$
[J_{xt}(s(\tau)) - J_{x't}(\tau)] \le (1 + |x|)^{\gamma+1} \left[ \int_{t'}^{t} m_1(s)ds + \int_{\tau}^{s(\tau)} m_1(s)ds \right] ;
$$

de aquí, como $\int_{\tau}^{s(\tau)} m_1(s)ds \le \int_{t'}^{2t-t'} m_1(s)ds$ , obtenemos:

$$
[\rho(t,x) - \rho(t',x)] \le (1 + |x|)^{\gamma+1} \left[ 2 \int_{t'}^{t} m_1(s)ds + \int_{t}^{2t-t'} m_1(s)ds \right] .
$$

Análogamente, aplicando el lema 2:

$$
\rho(t,x) - \rho(t',x) \ge - \sup_{t \le s \le T} \left[ J_{xt'}(\tau(s)) - J_{xt}(s) \right]
$$

y para $\tau(s) = s$ será $t' \le \tau(s) \le T$ si $t \le s \le T$ ;

usando nuevamente (10):

$$
[J_{xt'}(\tau(s)) - J_{xt}(s)] \le (1 + |x|)^{\gamma+1} \int_{t'}^{t} m_1(s)ds \quad \text{y, en consecuencia,}
$$

$$
\rho(t,x) - \rho(t',x) \ge -(1 + |x|)^{\gamma+1} \int_{t'}^{t} m_1(s)ds .
$$

Sigue así:

$$
|\rho(t,x) - \rho(t',x)| \le (1 + |x|)^{\gamma+1} \left| \int_{t'}^{t} 2m_1(s)ds + \int_{t}^{2t-t'} m_1(s)ds \right|, \quad \text{o sea}
$$

$$
\frac{\partial \rho}{\partial t} (. , x) \in L^2(0,T) \quad y \quad \left| \frac{\partial \rho}{\partial t}(t,x) \right| \le (1 + |x|)^{\gamma+1} (2m_1(t) + m_1(t')) ;
$$

entonces, para $c(s) = 3m_1(s)$ , vale (12).

También por el lema 2:

$$
\rho(t,x) - \rho(t,x') \le \sup_{t \le \tau \le T} \left[ J_{xt}(\tau) - J_{x't}(\tau) \right]
$$

y de (11):
$$[J_{xt}(\tau) - J_{x't}(\tau)] \leq M_0(1 + |x|)^{\gamma} |x - x'| \quad \forall t, \tau \in [0,T], x, x' \in \mathbb{R}^n$$

con $|x| \ge |x'|$ si $\gamma \ge 0$ y $|x| \le |x'|$ si $\gamma < 0$. Entonces

$$[\rho(t,x) - \rho(t,x')] \le M_0(1 + |x|)^{\gamma} |x - x'| \quad \forall t \in [0,T], x, x' \in \mathbb{R}^n$$

con $|x| \ge |x'|$ si $\gamma \ge 0$ y $|x| \le |x'|$ si $\gamma < 0$.

Análogamente del lemma 2:

$$\rho(t,x) - \rho(t,x') \ge - \sup_{t \le s \le T} [J_{x't}(s) - J_{xt}(s)]$$

nuevamente de (11) vale:

$$[J_{x't}(s) - J_{xt}(s)] \le M_0(1 + |x|)^{\gamma} |x - x'| \quad \forall t, s \in [0,T], x, x' \in \mathbb{R}^n$$

con $|x| \ge |x'|$ si $\gamma \ge 0$ y $|x| \le |x'|$ si $\gamma < 0$;

así obtenemos:

$$[\rho(t,x) - \rho(t,x')] \ge - M_0(1 + |x|)^{\gamma} |x - x'| \quad \forall t \in [0,T], x, x' \in \mathbb{R}^n$$

con $|x| \ge |x'|$ si $\gamma \ge 0$ y $|x| \le |x'|$ si $\gamma < 0$.

o sea vale (13) con $c'_o = M_0$.

A partir de las acotaciones (12) y (13) resulta completada la prueba del teorema 1.

NOTA: Las hipótesis iii), ii) sobre $g(s,y)$ implican la existencia de una constanța positiva $c'_3$ tal que:

$$|g(s,y)| \le c'_3 (1 + |y|)^{\gamma+1} \quad \forall (s,y) \in [0,T] \times \mathbb{R}^n.$$

El teorema 1 va a permitir, como se verá a continuación, encontrar una serie de condiciones necesarias que deberá cumplir la función $\rho$ definida en (3). También las acotaciones que se logran, servirán para poder usar espacios de Sobolev en la futura presentación variacional.

Además obsérvese que si conociéramos la función $\rho$, para determinar el tiempo óptimo expresado en (4) bastaría dividir el espacio en dos zonas: una donde $\rho = g$ y otra donde $\rho < g$ y dejar evolucionar el sistema; así el primer instante en el cual el estado del sistema cambie de zona será el buscado.

TEOREMA 2

Con las hipótesis del teorema 1, son condiciones necesarias para la función $\rho$ definida en (3) las siguientes:

$$(14) \quad \rho(t,x) \le g(t,x) \quad \forall (t,x) \in [0,T] \times \mathbb{R}^n;$$

$$(15) \quad \frac{\partial \rho}{\partial t}(t,x) + \frac{\partial \rho}{\partial x}(t,x) \cdot f(t,x) + 1(t,x) \ge 0, \quad \forall (t,x) \in ]0,T[ \times \mathbb{R}^n \text{ (p.p.)};$$

$$(16) \quad \text{Salvo conjunto de medida nula en } ]0,T[ \times \mathbb{R}^n, \text{ toda vez que en (14) valga el menor estricto, en (15) vale el igual;}$$

$$(17) \quad \rho(T,x) = g(T,x) \quad \forall x \in \mathbb{R}^n.$$
DEM.: La demostración de (14) y (17) es consecuencia inmediata de la definición (3) de la función $\rho$.

Mostremos (15): de

$$ 
\begin{align*} 
J_{xt}(\tau) &= \int_{t}^{t+h} 1(s, y_{xt}(s))ds + \int_{t+h}^{\tau} 1(s, y_{xt}(s))ds + g(\tau, y_{xt}(\tau)) = \\ 
&= \int_{t}^{t+h} 1(s, y_{xt}(s))ds + J_{y_{xt}(t+h)}, \quad t+h(\tau) \text{ si } t < t+h \le \tau \le T, 
\end{align*} 
$$

sigue

$$ \rho(t,x) \le J_{xt}(\tau) = J_{y_{xt}(t+h)}, \quad t+h(\tau) + \int_{t}^{t+h} 1(s, y_{xt}(s))ds. $$

Considerando los ínfimos en $\tau \in [t+h, T]$ resulta:

$$ \rho(t,x) \le \rho(t+h, y_{xt}(t+h)) + \int_{t}^{t+h} 1(s, y_{xt}(s))ds $$

y, reordenando,

$$ 0 \le \frac{1}{h} [\rho(t+h, y_{xt}(t+h)) - \rho(t,x)] + \frac{1}{h} \int_{t}^{t+h} 1(s, y_{xt}(s))ds \quad \text{si } 0 < h \le t+h \le T; $$

de aquí, para $h \downarrow 0$, se logra (15).

Para la validez de (16), observemos que si $\rho(t,x) < g(t,x)$ existe $\tau_{xt} > t$ tal que $\rho(t,x) = J_{xt}(\tau_{xt})$.

Por otra parte, tomando ínfimos en $\tau \in [t+h, T]$ tenemos:

$$ \inf_{t+h \le \tau \le T} J_{xt}(\tau) = \rho(t+h, y_{xt}(t+h)) + \int_{t}^{t+h} 1(s, y_{xt}(s)) \quad \text{si } t < t+h \le T $$

y para $t < t+h \le \tau_{xt}$ vale:

$$ \rho(t,x) = \inf_{t \le \tau \le T} J_{xt}(\tau) = J_{xt}(\tau_{xt}) = \inf_{t+h \le \tau \le T} J_{xt}(\tau) $$

de donde sigue (16).

Sea $b(t)$ una función continua en $t \in [0, T]$ tal que $\frac{db}{dt}(t) \in L^2(0, T)$; definimos:

$$ u(t,x) = [\exp(-b(t))][\rho(T-t,x) - g(T-t,x)], \quad f^*(t,x) = -f(T-t,x) $$

$$ 1^*(t,x) = [\exp(-b(t))][\frac{\partial g}{\partial s}(T-t,x) + \frac{\partial g}{\partial y}(T-t,x) \cdot f(T-t,x) + 1(T-t,x)] $$

Entonces las condiciones necesarias (14)-(15)-(16)-(17) se pueden reformular como:

(18) $u(t,x) \le 0$, $\nabla u(t,x) \in [0, T] \times \mathbb{R}^n$;

(19) $-\frac{\partial u}{\partial t}(t,x) - \frac{\partial u}{\partial x}(t,x) \cdot f^*(t,x) - \frac{db}{dt}(t) \cdot u(t,x) + 1^*(t,x) \ge 0$, $\nabla u(t,x) \in ]0, T[ \times \mathbb{R}^n$ (p.p);

(20) $u(t,x) [-\frac{\partial u}{\partial t}(t,x) - \frac{\partial u}{\partial x}(t,x) \cdot f^*(t,x) - \frac{db}{dt}(t) \cdot u(t,x) + 1^*(t,x)] = 0$,

(21) $u(0,x) = 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n$. $\nabla u(t,x) \in ]0, T[ \times \mathbb{R}^n$ (p.p);

FORMULACION VARIACIONAL

Sean los pesos $w_i(x) = (1 + |x|^2)^{-\frac{s_i}{2}}$, $i = 1, 2$ con $s_1 - \frac{n}{2} > \gamma + 1$, $s_2 + 1 \le s_1$
donde $\gamma$ es el mismo que figura en las hipótesis del teorema 1;

los espacios:

$$ H = \{v / v.w_1 \in L^2(\mathbb{R}^n) \} ; \quad V = \{v \in H / \frac{\partial v}{\partial x_i} w_2 \in L^2(\mathbb{R}^n), i = 1, 2, \dots, n \} ; $$

el operador

$$ A(t): V \to H, \quad (A(t)v)_H = \frac{db}{dt}(t) \cdot v(x) + \sum_{i=1}^{n} f_i^*(t,x) \frac{\partial v}{\partial x_i}(x) ; $$

el funcional

$$ \varphi(t): H \to \mathbb{R}, \quad (\varphi(t), v)_H = \int_{\mathbb{R}^n} 1^*(t,x)v(x)w_1^2(x)dx, $$

y el cono

$$ K_o = \{v \in H / v(x) \le 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}^n \quad (\text{p.p.}) \} . $$

(Nótese que $A(t)$ y $\varphi(t)$ están definidos para casi todo $t \in [0,T]$).

Consideremos el siguiente:

$$ \text{Pb II} \quad \left\{ \begin{array}{l} \text{Determinar } u(\cdot) \in H^1(0,T;H) \cap L^2(0,T;V) \ ; \ u(0)=0, u(t) \in K_o \ \forall t \in [0,T] \\ \text{tal que, salvo un conjunto de medida nula en } ]0,T[ \ , \text{ verifique:} \\[1em] \left( \frac{du}{dt}(t), v - u(t) \right)_H + \left( A(t)u(t), v - u(t) \right)_H \ge (\varphi(t), v - u(t))_H \ \forall v \in K_o \ . \end{array} \right. $$

Previo a relacionar el problema I y el II hagamos la observación:

Dado $k \in \mathbb{R}^+$ se puede elegir $b(t)$ en $H^1(0,T)$ tal que:

$$ (22) \quad \frac{db}{dt}(t) - k \left\| \frac{\partial f^*}{\partial y}(t, \cdot) \right\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n)} \ge \alpha > 0 \quad \forall t \in ]0,T[ \quad . \quad (\text{p.p.}) $$

$$ \text{Lo afirmado es consecuencia de que } \frac{\partial f}{\partial y}(s,y) \in L^2(0,T; L^\infty(\mathbb{R}^n)) . $$

TEOREMA 3

Con las hipótesis del teorema 1, se puede elegir una constante $k > 0$ tal que la correspondiente $b(t)$ que cumpla (22) proporciona un problema II equivalente al problema original 1.

DEM.: La idea es mostrar que Pb I implica Pb II, ver que Pb II tiene unicidad y usar la existencia de solución del problema I para completar la prueba.

1°) Pb I $\Rightarrow$ Pb II

Si $\rho$ es solución de Pb I, entonces la correspondiente $u(t,x)$ que verifica (18)-(19)-(20)-(21) es tal que llamando $u(t) = u(t, \cdot)$ resulta $u(\cdot) \in H^1(0,T; H) \cap L^2(0,T; V)$, $u(0) = 0$, $u(t) \in K_o \ \forall t \in [0,T]$; también multiplicando (20) por $w_1^2(x)$ e integrando en $x \in \mathbb{R}^n$ obtenemos $\left(\frac{du}{dt}(t), u(t)\right)_H + \left(A(t)u(t), u(t)\right)_H = \left(\varphi(t), u(t)\right)_H \ \forall t \in ]0,T[ \ (\text{p.p.})$.

Ahora si $v \in K$, multiplicando (19) por $vw_1^2$ e integrando llegamos a que:

$$ \left(\frac{du}{dt}(t), v\right)_H + \left(A(t)u(t), v\right)_H \ge \left(\varphi(t), v\right)_H \quad \forall t \in ]0,T[ \ (\text{p.p.}) \ . $$

Luego salvo conjunto de medida nula en $]0,T[$ vale:
($\frac{du}{dt}(t), v - u(t))_H + (A(t)u(t), v - u(t))_H \ge (\varphi(t), v - u(t))_H \quad \forall v \in K_o$ .

2°) Pb II tiene unididad para $k > 0$ adecuado.

Notemos que como $|f^*(t,x)| \le k_1 ||\frac{\partial f^*}{\partial y}(t,.)||_{L^\infty} (1+|x|)$, $k_1 \in \mathbb{R}^+$,
así $\left|\frac{\partial w_1}{\partial x}(x) \cdot f^*(t,x)\right| \le k_1' ||\frac{\partial f^*}{\partial y}(t,.)||_{L^\infty} (1+|x|)|x|(1+|x|^2)^{-\frac{s_1}{2}} - 1$,
o sea $\left|\frac{\partial w_1}{\partial x}(x) \cdot f^*(t,x)\right| \le k_1'' ||\frac{\partial f^*}{\partial y}(t,.)||_{L^\infty} w_1(x)$.

Por la fórmula de Green vale: $\nabla v, \tilde{v} \in V$

$$ 
\begin{align*}
\int_{\mathbb{R}^n} \frac{\partial v}{\partial x}(x) \cdot f^*(t,x) \cdot \tilde{v}(x) w_1^2(x) dx &= - \int_{\mathbb{R}^n} v(x) (\operatorname{div}_x f^*(t,x)) \tilde{v}(x) w_1^2(x) dx \\
&\quad - \int_{\mathbb{R}^n} \tilde{v}(x) \cdot \frac{\partial \tilde{v}}{\partial x}(x) \cdot f^*(t,x) w_1^2(x) dx - 2 \int_{\mathbb{R}^n} v(x) \cdot \tilde{v}(x) \cdot \frac{\partial w_1}{\partial x}(x) \cdot f^*(t,x) w_1(x) dx \, ;
\end{align*}
$$

De aquí:

$$ (A(t)\tilde{v}, \tilde{v})_H = \frac{db}{dt}(t) |\tilde{v}|_H^2 - \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^n} |\tilde{v}(x)|^2 (\operatorname{div}_x f^*(t,x)) w_1^2(x) dx \\ - \int_{\mathbb{R}^n} |\tilde{v}(x)|^2 \frac{\partial w_1}{\partial x}(x) \cdot f^*(t,x) w_1(x) dx $$

y si $k \ge k_1'' + \frac{n}{2}$, el $b(t)$ correspondiente que cumple (22) verifica:

$$ (A(t)\tilde{v}, \tilde{v})_H \ge \left( \frac{db}{dt}(t) - k \left\| \frac{\partial f^*}{\partial y}(t,.) \right\|_{L^\infty} \right) |\tilde{v}|_H^2 \ge \alpha |\tilde{v}|_H^2 \quad \forall \tilde{v} \in V. $$

Sean $u_1(\cdot), u_2(\cdot)$ dos soluciones del Pb II; entonces, salvo conjunto de me-
dida nula, tenemos:

$$ 
\begin{align*}
& \left(\frac{du_1}{dt}(t), v_1 - u_1(t)\right)_H + \left(A(t)u_1(t), v_1 - u_1(t)\right)_H \ge (\varphi(t), v_1 - u_1(t))_H \quad \forall v_1 \in K_o \\
& \left(\frac{du_2}{dt}(t), v_2 - u_2(t)\right)_H + \left(A(t)u_2(t), v_2 - u_2(t)\right)_H \ge (\varphi(t), v_2 - u_2(t))_H \quad \forall v_2 \in K_o \, ;
\end{align*}
$$

eligiendo $v_1 = u_2(t)$, $v_2 = u_1(t)$, $v_1, v_2 \in K_o$ y restando obtenemos:

$$ - \left( \frac{d\tilde{v}}{dt}(t), \tilde{v}(t) \right)_H - \left( A(t)\tilde{v}(t), \tilde{v}(t) \right)_H \ge 0 \quad \forall t \in ]0,T[ \quad (\text{p.p}) $$

donde $\tilde{v}(t) = u_1(t) - u_2(t) = v_2 - v_1$ , por lo que es:

$$ \left(\frac{d\tilde{v}}{dt}(t), \tilde{v}(t)\right)_H + \alpha \left(\tilde{v}(t), \tilde{v}(t)\right)_H \le 0 \quad \forall t \in ]0,T[ \quad (\text{p.p}) $$

Integrando entre 0 y T resulta:

$$ \int_{0}^{T} \left( \frac{d\tilde{v}}{dt}(t), \tilde{v}(t) \right)_{H} dt + \alpha \int_{0}^{T} \left( \tilde{v}(t), \tilde{v}(t) \right)_{H} dt \le 0 $$

$$ \text{y como } \left(\frac{d\tilde{v}}{dt}(t), \tilde{v}(t)\right)_H = \frac{1}{2} \frac{d}{dt} \left(\tilde{v}(t), \tilde{v}(t)\right)_H, \quad \tilde{v}(0) = 0 \quad \text{llegamos a:} $$

$$ \frac{1}{2} |\tilde{v}(T)|_H^2 + \alpha \int_0^T |\tilde{v}(t)|_H^2 dt \le 0 \quad ; $$

de aquí $\tilde{v}(\cdot) = 0$ , o sea, $u_1 = u_2$ .
NOTA: Se pudo haber usado pesos $w_1, w_2$ para la definición de los espacios V y H (los dados en Pb II serán casos particulares) con las siguientes propiedades:

$$ \text{i)} \quad \int_{\mathbb{R}^n} (1 + |x|^2)^{\gamma+1} w_1^2(x) dx < \infty, \quad w_i(x) > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}^n, \quad i = 1,2 $$

$$ \text{ii)} \quad (1 + |x|)w_1(x) \le k_1 w_2(x) \quad \forall x \in \mathbb{R}^n, \quad k_1 = \text{cte} $$

$$ \text{iii)} \quad (1 + |x|) \left| \frac{\partial w_1}{\partial x} (x) \right| \le k_2 w_1(x) \quad \forall x \in \mathbb{R}^n, \quad k_2 = \text{cte} $$

Se tendrían así las siguientes acotaciones:

$$ |A(t)u|_{H} \le \|A(t)\| \|v\|_{V} \quad \forall u \in V, \text{ y con } \|A(t)\| \in L^{2}(0,T) $$

$$ |(A(t)u,v)|_{H} \le \|A(t)\| \|u\|_{V} |v|_{H} \quad \forall u \in V, v \in H \quad \text{.} $$

A los efectos de una futura aproximación numérica, es conveniente no hacer distinción entre las variables de estado y de tiempo, de modo que haremos otra presentación variacional.

Sean los espacios de Sobolev con peso

$$ L = \{v(t,x) / v(t,x)w_1(x) \in L^2(D)\} \quad \text{con} \quad D = ]0,T[ \times \mathbb{R}^n $$

$$ W = \{v(t,x) \in L / \frac{\partial v}{\partial t}(t,x)w_1(x), \frac{\partial v}{\partial x_i}(t,x)w_2(x) \in L^2(D) \quad i = 1,2,\dots,n \} $$

$$ (\text{nótese que } L = L^2(0,T; H) \text{ , } W = L^2(0,T; V) \cap H^1(0,T; H) ) \text{ ;} $$

el funcional

$$ \Phi: L \to \mathbb{R}, \quad \langle \Phi, v \rangle = \int_{0}^{T} dt \int_{\mathbb{R}^n} l*(t,x)v(t,x)w_1^2(x)dx \text{ ;} $$

la forma bilineal

$$ a(u,v) = \int_{0}^{T} \left[ \left( \frac{du}{dt}(t), v(t) \right)_{H} + (A(t)u(t), v(t))_{H} \right] dt $$

(obsérvese que para que $a(.,.)$ tenga sentido en $W \times W$ es necesario que $b(t)$ da da en (22) sea tal que $\frac{db}{dt}(t) \in L^\infty(0,T)$ ; para lo cual es suficiente que $\frac{\partial f}{\partial y}(s,y) \in \mathbb{L}^\infty(D)$ . En estas condiciones se tiene

$$ |\langle \Phi, v \rangle| \le \|\Phi\| |v|_L ; \quad |a(u,v)| \le M \|u\|_W |v|_L \quad \forall u \in W, v \in L $$

y el cono

$$ K = \text{clausura en norma } W \text{ de } \left\{ \psi(t,x) \in \mathcal{D}(\bar{D}) / \psi(t,x) \le 0 \text{ en } \bar{D} ; \psi(0,x) = 0 \text{ en } \mathbb{R}^n \right\} $$

Planteamos ahora el

$$ \text{Pb III: Determinar } u \in K \text{ tal que } a(u,v-u) \ge \langle \Phi, v-u \rangle \quad \forall v \in K \text{ .} $$

TEOREMA 4

Con las hipótesis del teorema 1 y la condición: $\frac{\partial f}{\partial y}(s,y) \in \mathbb{L}^\infty(D)$, se puede lograr una constante $k > 0$ tal que la correspondiente $b(t)$ que cumple (22) sea tal que los problemas I,II y III sean equivalentes.
DEM.: La idea es la misma que en el teorema 3; veremos que el Pb II implica Pb III y que la misma k que proporciona unicidad en el Pb II también da unicidad en Pb III.

Si u es solución de Pb II, entonces u e K, e integrando en ]0,T[ la condición del Pb II se llega a que u es también solución de Pb III.

La unicidad del Pb III es inmediata a partir del hecho que para la constante $k > 0$ que da unicidad en Pb II vale:

$$a(\tilde{v}, \tilde{v}) \geq \alpha |v|_L^2 \quad \forall v \in W \quad |\cdot|$$

## §3. ANALISIS A TRAVES DE UN PROBLEMA ACOTADO

En este párrafo supondremos que sólo nos interesa conocer $\rho$ dada en (3) en una región acotada de $[0,T] \times \mathbb{R}^n$; entonces es posible sumergir el problema I en uno del tipo acotado que a continuación enunciaremos:

Sea el sistema dinámico regido por la ecuación de estado:

$$ (23) \quad \begin{cases} \dot{y}_{xt}(s) = f(s, y_{xt}(s)) \\ y_{xt}(t) = x \end{cases} \qquad \begin{array}{l} 0 \le t \le s \le T < +\infty \\ x \in \bar{\Omega} \subset \mathbb{R}^n \end{array} $$

Con el costo:

$$ (24) \quad J_{xt}(\tau) = g(\tau, y_{xt}(\tau)) + \int_t^\tau 1(s, y_{xt}(s))ds \quad 0 \le t \le \tau \le T, x \in \bar{\Omega} $$

se desea determinar la función

$$ (25) \quad \rho(t,x) = \min \{ J_{xt}(\tau) / t \le \tau \le T \} \quad , \quad \forall (t,x) \in [0,T] \times \bar{\Omega} $$

y el menor tiempo $\tau_{xt} \in [t,T]$ para el cual se tiene:

$$ (26) \quad \rho(t,x) = J_{xt}(\tau_{xt}) \quad \forall (t,x) \in [0,T] \times \bar{\Omega} $$

(23)-(26) constituirá el Pb IV.

En lo que sigue admitiremos que $\bar{\Omega}$ es un abierto acotado con frontera regular, $f$ continua en $[0,T] \times \bar{\Omega}$ y tal que garantice la existencia y unicidad de solución en (23); también que $1$ y $g$ sean tales que permitan definir por (24) a $J_{xt}(\tau)$ resultando continua en $\tau$ para $(t,x)$ fijados. Además como queremos que el tiempo óptimo expresado en (26) tenga un correspondiente estado $y_{xt}(\tau_{xt})$ dentro del dominio $\bar{\Omega}$ impondremos la condición de frontera:

(27) $\eta(y) \cdot f(s,y) \le 0 \quad \forall (s,y) \in [0,T] \times \partial\bar{\Omega}$, siendo $\eta$ la normal exterior a $\partial\bar{\Omega}$, quedando así asegurada la permanencia de la evolución del sistema en el conjunto permitido de estados $\bar{\Omega}$.

Con todas estas hipótesis tenemos existencia de solución del Pb IV.

Como en el párrafo 2, comenzaremos por poner en evidencia ciertas condiciones de regularidad de la función $\rho$ solución del Pb IV. A tal efecto enunciamos:
TEOREMA 5

Bajo las hipótesis (*)

$$
\text{i)} \quad \frac{\partial f}{\partial y} (s,y) \in L^1(0,T; \mathbb{L}^\infty(\Omega))
$$

$$
\text{ii)} \quad 1(s,y), \frac{\partial g}{\partial s}(s,y) \in L^2(0,T; L^\infty(\Omega))
$$

$$
\text{iii)} \quad \frac{\partial g}{\partial y}(s,y) \in L^{\infty}(0,T; \mathbb{L}^{\infty}(\Omega)), \quad \frac{\partial l}{\partial y}(s,y) \in L^{1}(0,T; \mathbb{L}^{\infty}(\Omega))
$$

resulta:

$$
\rho(t,x) \text{ continua en } (t,x) \in [0,T] \times \bar{\Omega}, \quad \text{con } \frac{\partial \rho}{\partial t}(t,x) \in L^2(0,T; L^\infty(\Omega)); \\
\frac{\partial \rho}{\partial x}(t,x) \in L^\infty(0,T; \mathbb{L}^\infty(\Omega)).
$$

DEM.: Como en el teorema 1, se divide en tres etapas:

1°) Existen constantes C y M ∈ ℝ+ tales que:

$$
(28) \quad |y_{xt}(\tau) - y_{xt}(\tau')| \le C|\tau - \tau'| \quad \forall t, \tau, \tau' \in [0,T], x \in \bar{\Omega}
$$

$$
(29) \quad |y_{xt}(\tau) - y_{x,t}(\tau')| \le M|x - x'| \quad \forall t, \tau \in [0, T], x, x' \in \bar{\Omega}
$$

$$
(30) \quad |y_{xt}(\tau) - y_{xt'}(\tau)| \le CM|t - t'| \quad \forall t, t', \tau \in [0, T], x \in \bar{\Omega}.
$$

En efecto: poniendo $C = \|f\|_{\mathbb{L}^{\infty}([0,T[} \times \Omega)< + \infty$ (pues $f(s,y)$ es continua en $(s,y) \in [0,T] \times \bar{\Omega}$) y teniendo en cuenta que de (23) sigue $y_{xt}(\tau) - y_{xt}(\tau') = \int_{\tau'}^{\tau} f(s,y_{xt}(s))ds$ y de (27) resulta $y_{xt}(\tau) \in \bar{\Omega}$, logramos:
$$
|y_{xt}(\tau) - y_{xt}(\tau')| \le \left| \int_{\tau'}^{\tau} f(s,y_{xt}(s))ds \right| \le C|\tau - \tau'|, \text{o sea (28).}
$$

También, como $\frac{\partial f}{\partial y}(s,y) \in L^1(0,T; \mathbb{L}^\infty(\Omega))$, existe $m(s) \in L^1(0,T)$, $m(s) \ge 0$ tal que $|f(s,y) - f(s,y')| \le m(s) |y - y'| \quad \forall s \in ]0,T[(p.p), \forall g,g' \in \bar{\Omega}$ ; entonces ya que:

$$
y_{xt}(\tau) - y_{x,t}(\tau) = (x - x') + \int_{t}^{\tau} \left[ f(s, y_{xt}(s)) \right] ds
$$

vale:

$$
|y_{xt}(\tau) - y_{x,t}(\tau)| \le |x - x'| + \left| \int_{t}^{\tau} m(s) |y_{xt}(s) - y_{x,t}(s)| ds \right|
$$

<footnote>(*) Observar que las hipótesis i) y iii) sobre f, l y g son más débiles que la hipótesis $f(s,y), l(s,y), g(s,y)$ localmente Lipschitzianas en la variable $y \in \mathbb{R}^n$ (o Lipschitzianas en $y \in \bar{\Omega}$). También la hipótesis ii) sobre 1 y g es inferior a pedir que $l(s,y), \frac{\partial g}{\partial s}(s,g)$ sean localmente acotadas en $y \in \mathbb{R}^n$ acotadas en $s \in ]0,T[$ (o acotadas en $]0,T[ \times \Omega)$.</footnote>
y por el lemma 1:

$$
|y_{xt}(\tau) - y_{x',t}(\tau)| \leq \left[ \exp\left(\int_{t}^{\tau} m(s)ds\right) \right] |x - x'| ;
$$

así vale (29) para M = exp( ∫_0^T m(s)ds ) .

Por otra parte:

$$
y_{xt}(\tau) - y_{xt'}(\tau) = \left( - \int_{t'}^{t} f(s, y_{xt'}(s)) ds \right) + \int_{t}^{\tau} \left[ f(s, y_{xt}(s)) - f(s, y_{xt'}(s)) \right] ds
$$

y, en consecuencia

$$
|y_{xt}(\tau) - y_{xt'}(\tau)| \leq C|t - t'| + \left| \int_{t}^{\tau} m(s)|y_{xt}(s) - y_{xt'}(s)|ds \right| ;
$$

usando el lema 1 obtenemos:

$$
|y_{xt}(\tau) - y_{xt'}(\tau)| \leq C|t - t'| \left[ \exp\left(\int_{t}^{\tau} m(s) ds\right) \right]
$$

de donde sigue (30).

2°) Existen m₁(s) e L²(0,T) y M₀ e R⁺ tales que:

$$
(31) \quad |J_{xt}(\tau) - J_{xt}(\tau')| \leq \left| \int_{\tau'}^{\tau} m_1(s) ds \right| \quad \forall \tau, \tau' \in [t, T], x \in \bar{\Omega}
$$

$$
(32) \quad |J_{xt}(\tau) - J_{xt}(\tau')| \le \left| \int_{t'}^{t} m_1(s) ds \right| \quad \forall \tau \in [t,T] \cap [t',T], \forall x \in \bar{\Omega}
$$

$$
(33) \quad |J_{xt}(\tau) - J_{x',t}(\tau)| \le M_0 |x - x'| \quad \forall \tau \in [t,T], \forall x, x' \in \bar{\Omega}
$$

En efecto:

$$
|J_{xt}(\tau) - J_{xt}(\tau')| \leq |g(\tau, y_{xt}(\tau)) - g(\tau', y_{xt}(\tau'))| + \int_{\tau'}^{\tau} |1(s, y_{xt}(s))| ds
$$

entonces poniendo

$$
C_1(s) = \left\| \frac{\partial g}{\partial s}(s, \cdot) \right\|_{L^\infty(\Omega)} + C \left\| \frac{\partial g}{\partial y}(s, \cdot) \right\|_{L^\infty(0,T; \mathbb{L}^\infty(\Omega))} + \left\| 1(s, \cdot) \right\|_{L^\infty(\Omega)}
$$

aplicando (28) tenemos:

$$
|J_{xt}(\tau) - J_{xt}(\tau')| \leq \left| \int_{\tau'}^{\tau} C_1(s) ds \right| \quad \forall \tau, \tau' \in [t, T], \forall x \in \bar{\Omega}.
$$

También:

$$
|J_{xt}(\tau) - J_{xt'}(\tau)| \le |g(\tau, y_{xt}(\tau)) - g(\tau, y_{xt'}(\tau))| + \int_{t}^{\tau} |1(s, y_{xt}(s)) - 1(s, y_{xt'}(s))| ds \\
+ \left| \int_{t'}^{t} |1(s, y_{xt'}(s))| ds \right| ;
$$

$$
entonces si C_2(s) = CM \left[ \left\| \frac{\partial g}{\partial y} \right\|_{L^{\infty}(0,T; \mathbb{L}^{\infty}(\Omega))} + \left\| \frac{\partial l}{\partial y} \right\|_{L^1(0,T; \mathbb{L}^{\infty}(\Omega))} \right] + \left\| 1(s, \cdot) \right\|_{L^{\infty}(\Omega)}
$$

usando (30) tenemos:

$$
|J_{xt}(\tau) - J_{xt'}(\tau)| \leq \left| \int_{t'}^{t} C_2(s) ds \right| \quad \forall \tau \in [t,T] \cap [t',T], \ x \in \bar{\Omega} ;
$$

así para m₁(s) = C₁(s) + C₂(s) e L²(0,T) vale (31) y (32).

Por otra parte:

$$
|J_{xt}(\tau) - J_{x',t}(\tau)| \le |g(\tau, y_{xt}(\tau)) - g(\tau, y_{x',t}(\tau))| + \int_{t}^{\tau} |1(s, y_{xt}(s)) - 1(s, y_{x',t}(s))| ds;
$$
entonces si $M_o = M\left[ \left\| \frac{\partial g}{\partial y} \right\|_{L^\infty(0,T; \mathcal{L}^\infty(\Omega))} + \left\| \frac{\partial l}{\partial y} \right\|_{L^1(0,T; \mathcal{L}^\infty(\Omega))} \right]$ a partir de (29) logramos (33).

3°) Existen $C_o(s) \in L^2(0,T)$ y $M_o \in \mathbb{R}^+$ tales que:

$$ (34) \quad |\rho(t,x) - \rho(t',x)| \le \left| \int_{t'}^t C_o(s)ds \right| \quad \forall t,t' \in [0,T] \quad x \in \bar{\Omega} $$

$$ (35) \quad |\rho(t,x) - \rho(t,x')| \le M_o |x - x'| \quad \forall t \in [0,T] \quad x \in \bar{\Omega} $$

En efecto:

Usando el lema 2 y las acotaciones (31), (32) y (33) combinadas de forma análoga a la realizada en el teorema 1 resulta la validez de (34) y (35).

Obsérvese que en el caso particular en que:

$$ l(s,y) , \frac{\partial g}{\partial s}(s,y) \in L^\infty(0,T; L^\infty(\Omega)) $$

obtenemos además: $C_o(s) \in L^\infty(0,T)$, o sea:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t}(t,x) \in L^\infty(0,T; L^\infty(\Omega)) . $$

Como en el párrafo 2, podemos ahora enunciar las siguientes condiciones después de la transformación:

TEOREMA 6.

Sean:
$$ u(t,x) = [\exp(-b(t))] [\rho(T-t,x) - g(T-t,x)] $$
$$ f*(t,x) = -f(T-t,x) $$
$$ l*(t,x) = [\exp(-b(t))] \left[ \frac{\partial g}{\partial s}(T-t,x) + \frac{\partial g}{\partial y}(T-t,x) \cdot f(T-t,x) + l(T-t,x) \right] $$

con $b(t)$ una función absolutamente continua en $[0,T]$.

Con las hipótesis del teorema 5, las siguientes condiciones son necesarias para la función $u$ solución:

$$ (36) \quad u(t,x) \le 0 \quad \forall (t,x) \in [0,T] \times \bar{\Omega} $$

$$ (37) \quad -\frac{\partial u}{\partial t}(t,x) - \frac{\partial u}{\partial x}(t,x) \cdot f*(t,x) - \frac{db}{dt}(t) \cdot u(t,x) + l*(t,x) \ge 0 \quad \forall (t,x) \in ]0,T[ \times \bar{\Omega} \quad (p.p) $$

$$ (38) \quad u(t,x) \left[ -\frac{\partial u}{\partial t}(t,x) - \frac{\partial u}{\partial x}(t,x) \cdot f*(t,x) - \frac{db}{dt}(t)u(t,x) + l*(t,x) \right] = 0 $$
$$ \forall (t,x) \in ]0,T[ \times \Omega \quad (p.p) $$

$$ (39) \quad u(0,x) = 0 \quad \forall x \in \bar{\Omega} . $$

La demostración es similar a la del teorema 2.

(Nótese que si $\frac{db}{dt}(t) \in L^2(0,T)$, entonces:

$$ \frac{\partial u}{\partial t}(t,x) \in L^2(0,T; L^\infty(\Omega)) \ ; \ \frac{\partial u}{\partial x}(t,x) \in L^\infty(0,T; L^\infty(\Omega)) \ . $$

FORMULACION VARIACIONAL

Sean los espacios de Sobolev $V = H^1(\Omega)$, $H = L^2(\Omega)$
el operador

$$
A(t) : V \rightarrow H \quad , \quad (A(t)v)_{(x)} = \frac{db}{dt}(t)v(x) + \sum_{i=1}^{n} f_i^*(t,x) \frac{\partial v}{\partial x_i}(x)
$$

el funcional

$$
\varphi(t) : H \to \mathbb{R} \quad , \quad (\varphi(t), v)_H = \int_{\Omega} 1^*(t,x) v(x) dx
$$

y el cono

$$
K_o = \{ v \in H / v(x) \le 0 \quad \forall x \in \Omega \text{ (p.p.)} \} .
$$

$$
\text{Pb V} \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\text{Determinar } u(\cdot) \in H^1(0,T; H) \cap L^2(0,T; V), u(0) = 0, u(t) \in K_o, \forall t \in [0,T] \\
\text{tal que, salvo un conjunto de medida nula en } ]0,T[, \text{ se verifique:} \\
\quad \left(\frac{du}{dt}(t), v - u(t)\right)_H + \left(A(t)u(t), v - u(t)\right)_H \ge \left(\varphi(t), v - u(t)\right)_H, \forall v \in K_o .
\end{array}
\right.
$$

Entonces podemos enunciar:

TEOREMA 7

Con las hipótesis del teorema 5 y la condición (*) :

$$
(40) \text{ existe } b(t) \in H^1(0,T) \text{ tal que } \frac{db}{dt}(t) - \frac{1}{2} (\operatorname{div}_x f^*(t,x)) \geq \alpha > 0 \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \forall t \in ]0,T[, \ x \in \Omega \ (\text{p.p.}) ,
$$

el problema IV y el V (correspondiente a la función de (40)) son equivalentes.

DEM.:

La idea es como en el teorema 3; primero probar que el problema IV implica *Pb V*
y luego que *Pb V* tiene unicidad.

$$
\therefore \mathrm{Pb IV} \implies \mathrm{Pb V} \ .
$$

Es similar a la hecho en el teorema 3.

... Pb V tiene unicidad:

Por la fórmula de Green vale:

$$
\int_{\Omega} \tilde{v}(x) \frac{\partial v}{\partial x}(x) \cdot f^*(t,x) dx = - \int_{\Omega} \frac{\partial \tilde{v}}{\partial x}(x) \cdot f^*(t,x) v(t) dx - \\
- \int_{\Omega} \tilde{v}(x) (\operatorname{div}_x f^*(t,x)) v(x) dx + \int_{\partial \Omega} (\eta(x) \cdot f^*(t,x)) \tilde{v}(x) v(x) ds_x, \quad \forall v, \tilde{v} \in V.
$$

Entonces:

$$
(A(t)\tilde{v}, \tilde{v})_H = \frac{db}{dt}(t) \int_{\Omega} |\tilde{v}(x)|^2 dx - \frac{1}{2} \int_{\Omega} (\operatorname{div}_x f^*(t,x)) |\tilde{v}(x)|^2 dx + \\
+ \frac{1}{2} \int_{\Omega} |\tilde{v}(x)|^2 (\eta(x) \cdot f^*(t,x)) ds_x
$$

y, teniendo en cuenta (27) y (40),

$$
(A(t)\tilde{v}, \tilde{v})_H \ge \alpha(\tilde{v}, \tilde{v})_H \quad \forall \tilde{v} \in V, \ \forall t \in ]0,T[ \ (\text{p.p.}) \ .
$$

(*) Obsérvese para asegurar que (40) sea verificada es suficiente pedir:

$$
(\operatorname{div}_y f(s,y)) \in L^2(0,T; L^\infty(\Omega))
$$

o bién que

$$
\frac{\partial f}{\partial y}(s,y) \in L^2(0,T; \mathbb{L}^\infty(\Omega))
$$
De aquí, continuando con la técnica del teorema 3, se completa la prueba de la uniciadad. |

También como en el párrafo 2 haremos otra presentación variacional sin distinguir entre variables de estado y tiempo.

Sean los espacios de Sobolev

$$
W = H^1(D) \quad , \quad L = L^2(D) \quad \text{con} \quad D = ]0,T[ \times \mathbb{R}^n \quad ;
$$

el funcional

$$
\Phi : L \to \mathbb{R} , \quad \langle \Phi, v \rangle = \int_{0}^{T} dt \int_{\Omega} 1*(t,x)v(t,x)dx \quad ;
$$

la forma bilineal

$$
a(u,v) = \int_{0}^{T} \left[ \left( \frac{du}{dt}(t), v(t) \right)_{H} + (A(t)u(t), v(t))_{H} \right] dt
$$

(suponiendo $\frac{db}{dt}(t) \in L^\infty(0,T)$ se tiene:

| <Φ, v> | ≤ ||Φ|| |v|_L ; |a(u,v)| ≤ M ||u||_W |v|_L ∀ u ∈ W, v ∈ L) ;
y el cono

K = clausura en norma W de { ψ ∈ D( D̄) / ψ(t,x) ≤ 0 en D̄ ; ψ(0,x) = 0 en Ω } .

Consideremos el siguiente

Pb VI { Determinar u ∈ K tal que a(u,v-u) ≥ <Φ,v-u> ∀ v ∈ K .

TEOREMA 8

Con las hipótesis del teorema 5 y la condición (*)

(41) Existe C ∈ R⁺ tal que C - 1/2 (divₓ f*(t,x)) ≥ α > 0 ∀ t ∈ ]0,T[, x ∈ Ω (p.p) .

Existe b(t) tal que los problemas IV, V y VI correspondientes son equivalentes.

DEM.:

Análoga al teorema 7, pues para b(t) = C.t se logra:

$$
a(\tilde{v}, \tilde{v}) \geq \alpha(\tilde{v}, \tilde{v})_L \quad \forall \tilde{v} \in W . \quad |
$$

§4. APROXIMACION NUMERICA

Haremos aproximaciones de los problemas III y VI.

Recordemos que en ambos casos tenemos:

$$
(42) \quad a(\tilde{v}, \tilde{v}) \ge \alpha |\tilde{v}|_L^2 \ge 0 \qquad \forall \tilde{v} \in W
$$

$$
(43) \quad |a(\tilde{u}, \tilde{v})| \le M ||\tilde{u}||_W |\tilde{v}|_L \quad \forall \tilde{u} \in W, \tilde{v} \in L
$$

$$
(44) \quad |\langle \Phi, \tilde{v} \rangle| \le ||\Phi||_L |\tilde{v}|_L \quad \forall \tilde{v} \in L
$$

(*) Obsérvese que para asegurar la validez de (41) es suficiente pedir que:

$$
\text{o que } (\operatorname{div}_y f(s,y)) \in L^\infty(0,T; L^\infty(\Omega)) = L^\infty(D)
$$

$$
\frac{\partial f}{\partial y}(s,y) \in L^{\infty}(0,T; L^{\infty}(\Omega))
$$
Consideremos una aproximación interna de W, {$w_h, p_h, r_h$} con $W \underset{p_h}{\overset{r_h}{\rightleftarrows}} w_h$

estable, $p_h = \text{inyección}$, $\|r_h\| \le C_1 \nu h$ llamemos $K_h = r_h(K) \subset K$ (siendo $U \subset K$ deno en $K$) y consideremos el siguiente problema aproximado:

$$
\text{Pb}_{\epsilon,h} \left\{
\begin{array}{ll}
\text{Determinar } u_{\epsilon,h} \in K_h & \text{tal que verifique} \\
\text{a}(u_{\epsilon,h}, v_h - u_{\epsilon,h}) + \epsilon((u_{\epsilon,h}, v_h - u_{\epsilon,h}))_W \ge \langle \Phi, v_h - u_{\epsilon,h} \rangle & \quad \nu v_h \in K_h,
\end{array}
\right.
$$

que tiene existencia y unicidad de solución pues es una inecuación variacional con forma bilineal continua y coerciva.

TEOREMA 9

Con las hipótesis del teorema 4 (o teorema 8) se tiene:

$u_{\epsilon,h} \rightarrow u \text{ en } W \text{ fuertemente si } \epsilon \searrow 0, h \searrow 0 \text{ con } \frac{1}{\epsilon} \left| \int u - r_h u \right|_L \rightarrow 0$.

DEM.:

La haremos en tres etapas:

(9.1) $\|u_{\epsilon,h}\|_W \le C(C_o, C_1, \|u\|_W) \nu \epsilon, h$ donde $\frac{1}{\epsilon} \left| \int u - r_h u \right|_L \le C_o \nu \epsilon, h$.

En efecto:

Como $u$ es solución del problema exacto, elegimos $v = u_{\epsilon,h}$ y en el problema aproximado $v_h = r_h u$ obtenemos:

$$
a(u, u_{\epsilon,h} - u) \geq \langle \Phi, u_{\epsilon,h} - u \rangle
$$

$$
a(u_{\epsilon,h}, r_h u - u_{\epsilon,h}) + \epsilon((u_{\epsilon,h}, r_h u - u_{\epsilon,h}))_W \geq \langle \Phi, r_h u - u_{\epsilon,h} \rangle
$$

y como

$$
a(u, u_{\epsilon,h} - u) + a(u_{\epsilon,h}, r_h - u_{\epsilon,h}) = -a(u_{\epsilon,h} - u, u_{\epsilon,h} - u) + a(u_{\epsilon,h}, r_h u - u)
$$

sumando y usando (42) tenemos:

$$
a(u_{\epsilon,h}, r_h u - u) + \epsilon \left( (u_{\epsilon,h}, r_h u - u_{\epsilon,h}) \right)_W \geq \langle \Phi, r_h u - u \rangle .
$$

Así:

$$
\|u_{\epsilon,h}\|_W^2 = \left( (u_{\epsilon,h}, r_h u) \right)_W - \left( (u_{\epsilon,h}, r_h u - u_{\epsilon,h}) \right)_W \le \left( (u_{\epsilon,h}, r_h u) \right)_W + a \left( u_{\epsilon,h}, \frac{r_h u - u}{\epsilon} \right) -
$$

$$
- \left\langle \Phi, \frac{r_h u - u}{\epsilon} \right\rangle .
$$

Luego de (43) y (44) logramos:

$$
\|u_{\epsilon,h}\|_W^2 \le C_1 \|u\|_W \|u_{\epsilon,h}\|_W + C_o (M \|u_{\epsilon,h}\|_W + \|\Phi\|)
$$

de donde sigue 9.1).

(9.2) $u_{\epsilon,h} \to u$ débilmente en $W$.

Como los acotados son débilmente compactos, $\exists u_o \in W$ tal que $u_{\epsilon'}, h' \to u_o$ de
(42) resulta $a(\cdot, \cdot)$ convexa \dots es semi-continua inferiormente para la topología débil de $W$, así vale:

$$
a(u_o, v_h - u_o) \ge \varliminf_{\epsilon', h' \to o} a(u_{\epsilon'}, h', v_h - u_{\epsilon'}, h') \quad \nu v_h \in K_h \text{ fijo}
$$
y como $\epsilon'((u_{\epsilon}', h', v_h - u_{\epsilon}', h'))_W \to 0$ si $\epsilon', h' \downarrow 0$

tenemos:

$a(u_o, v_h - u_o) \geq \langle \Phi, v_h - u_o \rangle \quad \forall v_h \in K_h ;$

luego, por la densidad de $U \cap K_h$ en $K$ y la unicidad del problema exacto sigue $u_o = u$ y de aquí, lo que se deseaba demostrar.

(9.3) $u_{\epsilon,h} \to u$ fuertemente en $W$.

$$
a) \quad \|u_{\epsilon,h} - u\|_W^2 = \left( \left(u_{\epsilon,h}, u_{\epsilon,h} - u\right) \right)_W - \left( \left(u, u_{\epsilon,h} - u\right) \right)_W .
$$

Como

$$
((u_{\epsilon,h}, u_{\epsilon,h} - u))_W = ((u_{\epsilon,h}, r_h u - u))_W + ((u_{\epsilon,h}, u_{\epsilon,h} - r_h u))_W
$$

con

$$
b) \quad \left| \left( (u_{\epsilon,h}, r_h u - u) \right)_W \right| \le \|u_{\epsilon,h}\|_W \|r_h u - u\|_W \to 0 \quad \text{si} \quad h \downarrow 0 \\
\epsilon \left( (u_{\epsilon,h}, u_{\epsilon,h} - r_h u) \right)_W \le a \left( u_{\epsilon,h}, r_h u - u_{\epsilon,h} \right) + \langle \Phi, u_{\epsilon,h} - r_h u \rangle \le
$$

$$
\le a(u_{\epsilon,h},r_h u-u) + \langle \Phi, u-r_h u \rangle
$$

pues:

$$
a(u_{\epsilon,h}, u_{\epsilon,h} - u) \geq a(u, u_{\epsilon,h} - u) \geq \langle \Phi, u, h - u \rangle ;
$$

así de (43) y (44) tenemos:

$$
c) \quad \left( (u_{\epsilon,h}, u_{\epsilon,h} - r_h u) \right)_W \le (M \|u_{\epsilon,h}\|_W + \|\Phi\|) \frac{1}{\epsilon} \left| r_h u - u \right|_L^1 \to 0 \quad \text{si } \epsilon, h \downarrow 0.
$$

Obtenemos de b) y c) , entonces

$$
\overline{\lim}_{\epsilon,h \to 0} ((u_{\epsilon,h}, u_{\epsilon,h} - u))_W \le 0 ;
$$

de aquí usando (9.2) en a) logramos (9.3).

Veamos que en el caso acotado visto en el párrafo 3, es posible siempre ele-
gir {$\epsilon_n, h_n$} de modo que $\frac{1}{\epsilon_n} \left| r_h u - u \right|_L \to 0 (n \to \infty)$ .

En efecto:

como $W \subset L$ con inyección compacta pues $\Omega$ es acotado, entonces $W \xrightarrow{I} L$,
$W \xrightarrow{r_h} W_h \xrightarrow{P_h} I$ , (I = inyección) resulta:

$r_h \to I$ en norma de operador de $W$ en $L$, o sea:

$$
\| r_h - I \|_{W \to L} \to 0 \quad \text{si} \quad h \downarrow 0
$$

lo cual permite elegir: $\epsilon(h) = (\|r_h - I\|_{W \to L})^\beta$, $0 < \beta < 1$

ya que $|r_h u - u|_L \le \|r_h - I\|_{W \to L} \|u\|_W$ .

Un caso particular es usando "elementos finitos", para los cuales se tiene:

$|r_h u - u|_L \le C h \|u\|_W$ si $\Omega$ es poliedro ó

$|r_h u - u|_L \le C h \|u\|_W$ si $\Omega$ no es poliedro pero $\partial\Omega$ de clase $C^2$

lo cual permite elegir:
$$ \varepsilon(h) = h^{\beta} , \quad 0 < \beta < 1 . $$

En el caso no acotado presentado en el párrafo 2, se puede aplicar el "Método de Galerkin", con una condición anexa:

si $\{e_i\}_{i=1}^\infty$ es un sistema libre total en W, sean $W_n$ el subespacio $\{e_1, \dots, e_n\}$ y $r_n: W \to W_n$ la proyección ortogonal; debe verificarse:

$$ |r_n u - u|_L \le \varepsilon_n^\beta \|u\|_W \quad \forall n , \quad \beta > 1 , \quad \varepsilon_n \downarrow 0 . $$

Así en el caso particular en que $\{e_i\}_{i=1}^\infty$ sea ortonormal en W y ortogonal en L es suficiente pedir:

$$ \lim_{i \to \infty} |e_i|_H = 0 . $$

**NOTA:** Obsérvese que en la construcción del problema aproximado en lugar de usar el producto interno $((\cdot, \cdot))_W$ para la perturbación de $a(\cdot, \cdot)$ se pudo haber empleado cualquier forma bilineal continua y coerciva en el espacio W. ■

**NOTA FINAL.**

Los autores desean señalar la participación que le cupo a la Lic. Graciela G. Garguichevich en la etapa inicial de este trabajo. Además destacan, como principal bibliografía de apoyo para la preparación del mismo, a la siguiente:

BENSOUSSAN, Alain. "Teoría Moderna del Control Optimo". Serie Cuadernos, N°7. Instituto de Matemática "Beppo Levi", Universidad Nacional de Rosario. (Próximo a aparecer)

LIONS, J.L.. "Contrôle Optimale de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles". Dunod, París, 1968.

STAMPACCHIA, Guido. "Variational Inequalities", Venice Summer School, Italy, June 17-30, 1968. Serie III - N°25. Pubblicazioni IAC. Roma 1969.