02N47 RR 129

RIA
laboria

laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

# Contrôle
de systèmes distribués
par feedback à priori

A. Bermudez

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
78150 - Le Chesnay
Tél. 954.90.20

Rapport de Recherche n° 129

Juin 1975
# CONTROLE DE SYSTEMES DISTRIBUTUÉS
PAR FEEDBACK A PRIORI

## A. Bermudez

L'objet de ce travail est l'étude de lois de contrôle en boucle fermée de systèmes distribués (cas déterministe). Il s'agit donc d'étudier des classes de feedback données "a priori" en cherchant, dans une classe donnée, le meilleur feedback possible. On obtient donc un contrôle qui, bien que non optimal, peut être intéressant par ses facilités de mise en oeuvre, sa robustesse, etc... En particulier des contrôles classiques en Automatique tels que : proportionnel, tout-ou-rien, etc..., rentrent dans le cadre de cette approche. Enfin une comparaison numérique des différents contrôles utilisés a été faite sur un système parabolique non linéaire.

This paper is devoted to the study of closed-loop control of distributed parameter systems (deterministic case). Precisely the problem is to find in a given class of feedback laws, the best control. Therefore the obtained control is not optimal but it may be of interest from the point of view of implementation, robustness etc... In this framework some classical control like proportional, zero-one feedback laws have been studied. Finally a numerical comparison of various methods has been done on a non linear parabolic system.
# INTRODUCTION

Bien que dans le cas déterministe il y ait equivalence entre contrôle en boucle ouverte et contrôle en boucle fermée l'obtention de contrôles sous forme de lois de feedback est plus intéressante pour les applications pratiques. L'avantage d'un tel type de contrôle est double. D'une part il est en général plus facile à mettre en oeuvre pratiquement, d'autre part il peut être plus robuste en présence de perturbations.

Ce travail a pour objet d'étudier de façon relativement systématique des lois de contrôles en boucle fermée appliquées à un système parabolique non linéaire. Un certain nombre de classes de contrôle ont été examinées, telles que contrôle proportionnel, tout-ou-rien etc..

Le problème de contrôle qui a servi de base à cette étude est exposé aux paragraphes I II et III.

Le paragraphe IV est consacré à l'étude d'une loi de commande du type "tout-ou-rien". Des lois de feedback plus générales sont étudiées au paragraphe V.

Les résultats numériques sont donnés au paragraphe VI.
# I - LE PROBLEME PHYSIQUE

## 1.1 - Position du problème

Le problème physique qui va servir de base à ce travail est celui du chauffage optimal d'un corps. De nombreux modèles mathématiques d'un tel processus peuvent être pris en considération (cf. CAMBON-LE LETTY [1] BUTKOVSKII [1], YVON [1]) mais nous allons ici nous restreindre à un cas simple. En effet il est classique de considérer que le contrôle du chauffage d'un corps (dans un four par exemple) se réduit au contrôle de la température de la source de chaleur, cette température pouvant être fixée dans la pratique au moyen de systèmes asservis que nous ne détaillerons pas ici.

L'observation sera toujours la température de la pièce à chauffer.
Nous avons étudié le problème de contrôle avec deux critères :

i) à chaque instant t amener la température de surface du corps à une valeur donnée.

ii) atteindre à l'instant T, fin du chauffage, une température donnée (constante en pratique).

## 1.2 - Le modèle mathématique

La température y du corps que l'on doit chauffer est donnée par la
solution des équations suivantes :

$$ (1.1) \qquad \rho(y) c(y) \frac{\partial y}{\partial t} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} (k(y) \frac{\partial y}{\partial x_i}) = 0 $$

$$ (1.2) \qquad y(x,0) = y_0 $$
avec les notations

y température au point (x,t)

ρ poids spécifique

C chaleur spécifique

k conductivité calorifique

Les conditions aux limites étant

$$ (1.3) \qquad k(y) \frac{\partial y}{\partial n} + \sigma F (y^4 - z^4) + \mu (y-z) = 0 $$

où on a utilisé les notations :

σ constante de Boltzmann

F coefficient de forme pour le rayonnement

entre le métal et l'extérieur

μ coefficient d'action pour la convection

z température du four

### Hypothèse simplificatrice

Nous supposons que ρ, C et k ne dépendent pas de y et nous allons considérer seulement le chauffage par rayonnement.

Les équations du modèle sont alors :

$$ (1.4) \qquad \rho \cdot C \frac{\partial y}{\partial t} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} (a_i(x) \frac{\partial y}{\partial x_i}) = 0 $$

$$ k(x) \frac{\partial y}{\partial n} + \alpha y^4 = g $$

$$ y(x,0) = y_0(x) $$

où

$$ \alpha = \sigma F $$

et

$$ g = \alpha B^4 $$
## II - ÉTUDE DES EQUATIONS DU MODELE MATHEMATIQUE

### 2.1 - L'équation de Fourier non-linéaire

#### 2.1.1. La formulation du problème

Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^n$, de frontière $\Gamma$ qu'on suppose suffisamment régulière, $T > 0$ fixé.

Posons :

$$ \Sigma := \Gamma \times ]0,T[ \qquad Q = \Omega \times ]0,T[ $$

Le problème est de résoudre le système d'équations suivant :

$$ (2.1) \qquad \frac{\partial y}{\partial t} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \left( a_i(x) \frac{\partial y}{\partial x_i} \right) = 0 \qquad \text{dans } Q $$

$$ (2.2) \qquad \frac{\partial y}{\partial n} + \alpha y^4 = g \qquad \text{dans } \Sigma $$

$$ (2.3) \qquad y(0) = y_0 \qquad \text{dans } \Omega $$

avec $y_0$ et $g$ données sur $\Omega$ et $\Sigma$, et

$$ (2.4) \qquad a_i(x) \ge 0 \quad i=1,\dots,n. $$

L'impossibilité d'obtenir directement des estimations pour $y|_{\Sigma}$ dans $L^5(\Sigma)$ nous amène à changer le problème (2.1)(2.2) (2.3) par le suivant :

**Problème 2.1**

Trouver $y(x,t)$ dans $Q$ solution de :

$$ (2.5) \qquad \frac{\partial y}{\partial t} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \left( a_i(x) \frac{\partial y}{\partial x_i} \right) = f \qquad \text{dans } Q $$
$$
(2.6) \qquad \frac{\partial y}{\partial v_A} + \alpha |y|^{p-2} y = g \quad \text{dans } \Sigma
$$

$$
(2.7) \qquad y(x,0) = y_0 \qquad \text{dans } \Omega
$$

$$
\alpha \geq 0 \text{ et } p \text{ entier, } p \geq 2
$$

■

Remarque 2.1

Si p=5 et f=0 alors toute solution du problème 2.1 positive
sur Σ est une solution des équations (2.1)(2.2)(2.3). ■

2.1.2. Formulation variationnelle du problème 2.1

Posons

$$
(2.8) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
H = L^2(\Omega) \\
V = \{\varphi \in H^1(\Omega) \mid \gamma_o \varphi \in L^p(\Gamma) \}
\end{array}
\right.
$$

où $\gamma_o \varphi$ représente la trace de $\varphi$ sur $\Gamma$.

On notera par :

$$
\| \|, ((,)) \text{ la norme et le produit scalaire dans } H^1(\Omega)
$$

(2.9) $\quad \| \cdot, (\cdot, \cdot) \|_H$ la norme et le produit scalaire dans H

$$
\| \|_{*, ((,))}_* \text{ la norme et le produit scalaire dans } (H^1(\Omega))^*
$$

Lemme 2.1

V est un espace de Banach pour la norme

$$
(2.10) \qquad \|\varphi\|_V = \|\varphi\| + \|\gamma_0 \varphi\|_{L^p(\Gamma)}
$$

■
Si l'on identifie H à son dual alors

$$
(2.11) \qquad V \subset H \subset V'
$$

chaque espace étant dense dans le suivant. Comme d'habitude on notera
la dualité entre V et V' par (,).

Remarque 2.2

Si la frontière Γ est une variété de dimension n-1 et indéfiniment
différentiable, Ω étant d'un seul côté de Γ localement, alors le théorème
de traces (LIONS-MAGENES [1]) s'applique et φ ∈ H¹(Ω) implique
γ₀φ ∈ H¹²(Γ).

Par ailleurs le théorème de Sobolev donne :

$$
H^2(\Gamma) \subset L^p(\Gamma)
$$

(2.12) Si

$$
\frac{1}{p} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2(n-1)} \quad \text{pour } n \ge 3
$$

pour tout p fini si n=2 dans ce cas on peut prendre V=H¹(Ω) ■

Considèrons maintenant l'opérateur linéaire et la forme bilinéaire
définis par

$$
(2.13) \quad (A\varphi, \psi)_{V',V} = a(\varphi, \psi) = \int_{\Omega} \sum_{i=1}^{n} a_i(x) \frac{\partial \varphi}{\partial x_i} \frac{\partial \psi}{\partial x_i} , \quad \varphi, \psi \in V.
$$

On vérifie sans peine que $A \in \mathcal{L}(V, V')$, en plus, si

$$
(2.14) \qquad a_i(x) \ge \gamma > 0, a_i(x) \in L^\infty(\Omega) \quad i=1,\dots,n
$$

alors il existe une constante $\beta > 0$ telle que

$$
(2.15) \qquad |\varphi|^2 + a(\varphi, \varphi) \ge \beta |\varphi|^2
$$
Ensuite nous définissons un opérateur non-linéaire de V dans V' par
l'expression

$$
(2.16) \qquad (B(\varphi), \psi) = \alpha \int_{\Gamma} |\varphi|^{p-2} \varphi \psi \, d\Gamma \quad \varphi, \psi \in V
$$

Nous pouvons maintenant donner la formulation variationnelle du
problème 2.1.

Problème 2.2

Trouver y tel que :

$$
(2.17) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
y \in L^2(0,T,H^1(\Omega)) \\
\gamma_o y \in L^p(\Sigma)
\end{array}
\right.
$$

$$
(2.18) \qquad y' \in L^{p'}(0, T, V')
$$

$$
(2.19) \quad (y', \varphi) + a(y, \varphi) + (B(y), \varphi) = (f, \varphi) + \int_{\Gamma} g\varphi d\Gamma \quad \forall \varphi \in V
$$

$$
(2.20) \qquad y(0) = y_o
$$

pour

$$
(2.21) \qquad \left\{
\begin{array}{ll}
f & \text{donnée dans } L^2(0,T,L^2(\Omega)) \\
g & \text{donnée dans } L^{p'}(0,T,L^{p'}(\Gamma))
\end{array}
\right.
$$

où

$$
\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1
$$

■

Remarque 2.3

On déduit de (2.17) et (2.18) que

$y \in C([0,T], V')$

donc $y(0)$ a un sens dans $V'$.

■
## 2.2 - Existence et unicité de la solution pour le problème 2.2

### Théorème 2.1

Le problème 2.2 a une solution unique vérifiant :

$$ (2.22) \qquad \begin{cases} y \in L^2(0,T,H^1(\Omega)) \cap L^\infty(0,T,H) \\ \gamma_0 y \in L^p(\Gamma) \end{cases} $$

Démonstration cf. LIONS [ 1 ].

### Remarque 2.4

Si nous prenons dans (2.19) $\varphi \in \mathcal{B}(\Omega)$ on a

$$ (y', \varphi) - \left\langle \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} (a_i(x) \frac{\partial y}{\partial x_i}), \varphi \right\rangle = \left\langle f, \varphi \right\rangle \quad (*) $$

par conséquent on a, dans $\mathcal{B}'(\Omega)$,

$$ \frac{\partial y}{\partial t} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} (a_i(x) \frac{\partial y}{\partial x_i}) = f. $$

Par ailleurs, la densité de $\mathcal{B}(\Omega)$ dans $H_0^1(\Omega)$ et le fait que :

$$ \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} (a_i(x) \frac{\partial y}{\partial x_i}) \in H^{-1}(\Omega) $$

montrent que

$$ y' \in L^2(0,T,H^{-1}(\Omega)) $$

et donc

$$ (2.23) \qquad y \in C([0,T], H^{-1}(\Omega)) $$

<footnote>(*) <,> désigne la dualité $\mathcal{B}'(\Omega)$, $\mathcal{B}(\Omega)$.</footnote>
## 2.3 - Positivité des solutions

### Théorème 2.3

Sous les hypothèses du théorème 2.2 et

$$ (2.24) \qquad y_o \ge 0 \quad g \ge 0 \quad f \ge 0 $$

Alors

$$ (2.25) \qquad y \ge 0 \quad \text{dans } Q $$

### Démonstration

Prenons dans (2.19) $\varphi = y^+-y^-$ (*) il vient :

$$ (2.26) \qquad \begin{aligned} & (y'(t), y^+(t)-y(t)) + a(y(t), y^+(t)-y(t)) + (\beta(y(t)), y^+(t)-y(t)) \\ & = (f, y^+(t)-y(t)) + \int_{\Gamma} g(y^+(t)-y(t)) \end{aligned} $$

Mais

$$ \begin{cases} a(\varphi, \varphi^-) = -a(\varphi^-, \varphi^-) \\ (y'(t), y^-(t)) = -((y^-(t)', y^-(t))) \end{cases} $$

et

$$ \int_{\Gamma} |y(t)|^{p-2} y(t) y^-(t) d\Gamma \le 0 $$

donc on tire de (2.26) que,

$$ ((y^-(t))', y^-(t)) + a(y^-(t), y^-(t)) + (f, y^-(t)) + \int_{\Gamma} gy^-(t) d\Gamma \le 0. $$

De là, on obtient facilement, en utilisant le fait que $y^-(0) = y_o^-=0$,

$$ (2.27) \qquad y^-(t)=0 \quad \text{dans } Q. $$

<footnote>(*) $V^+ = \sup(Q, 0)$ $V^- = -\inf(Q, V)$.</footnote>
Finallement de (2.26)(2.27) on tire

$$ (B(y(t)), \bar{y}(t)) = \int_{\Gamma} gy^{-}(t)d\Gamma $$

puis

$$ \bar{y}(t) = 0 \quad \text{dans } \Gamma \quad \text{p.p.t.} $$

d'où le résultat.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

## 2.4 - Estimations dans $L^\infty$.

### Théorème 2.4

On se place dans les hypothèses du théorème 2.2 et on suppose de plus que

$$ (2.28) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} f \in L^\infty(Q) & f \ge 0 \\ g \in L^\infty(\Sigma) & g \ge 0 \\ y_o \in L^\infty(\Omega) & y_o \ge 0 \end{array} \right. $$

Alors on a :

$$ (2.29) \qquad y \in L^\infty(Q), y \in L^\infty(\Sigma) $$

### Démonstration

Soient :

$$ (2.30) \qquad \left\{ \begin{array}{l} P = \|f\|_{L^\infty(Q)} \\ R = \|g\|_{L^\infty(\Sigma)} \\ S = \|y_o\|_{L^\infty(\Omega)} \end{array} \right. $$
Nous choisissons maintenant $\lambda$ et $\mu$ tels que

$$ (2.31) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \mu \lambda e^{\lambda t} > p \\ \alpha \mu^{p-1} e^{\lambda t (p-1)} > R \\ \mu > S \end{array} \right. $$

Alors si l'on définit :

$$ (2.32) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \tilde{y}(x,t) = \mu e^{\lambda t} \\ \tilde{f}(x,t) = \lambda \mu e^{\lambda t} \\ \tilde{g}(x,t) = \alpha \mu^{p-1} e^{\lambda t (p-1)} \\ \tilde{y}_o(x) = \mu \end{array} \right. $$

on vérifie que $\tilde{y}$ est la solution de l'équation

$$ (2.33) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \left(\frac{\partial \tilde{y}}{\partial t}, \varphi\right) + a(\tilde{y}, \varphi) + (B(\tilde{y}), \varphi) = (\tilde{f}, \varphi) + \int_{\Gamma} \tilde{g} \varphi d\Gamma \\ \tilde{y}(0) = \tilde{y}_o \end{array} \right. $$

Prenons $\varphi = (y-\tilde{y})^+$ dans (2.19) et (2.33). En soustrayant on obtient :

$$ (2.34) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \left(\frac{\partial (y-\tilde{y})}{\partial t}, (y-y)^+\right) + a(y-\tilde{y}, (y-\tilde{y})^+) + (B(y)-B(\tilde{y}), (y-\tilde{y})^+) = \\ \qquad = (f-\tilde{f}, (y-\tilde{y})^+) + \int_{\Gamma} (g-\tilde{g})(y-\tilde{y})^+ d\Gamma . \end{array} \right. $$

D'ici, ccompte tenue du fait que :

$$ (B(y)-B(\tilde{y}), (y-\tilde{y})^+) \geq 0 $$

et utilisant (2.15) et (2.28) on déduit
$$ \frac{d}{dt} |(y-\tilde{y})|^2 \le |(y-\tilde{y})|^2 $$

et ceci joint à

$$ (y(0)-\tilde{y}(0))^+ = 0 $$

montre facilement que

$$ (2.35) \qquad (y(t)-\tilde{y}(t))^+ = 0 \quad \text{dans } H^1(\Omega) $$

La positivité de y, tiré du théorème 2.3 permet d'obtenir

$$ (2.36) \qquad y \in L^\infty(\Omega) $$

Reprenons l'égalité (2.34), alors grâce à (2.35) on a

$$ (B(y)-B(\tilde{y}),(y-\tilde{y})^+) = \int_{\Gamma} (g-\tilde{g})(y-\tilde{y})^+ d\Gamma $$

la monotonie de B permet de décuire :

$$ (y-\tilde{y})^+(t) = 0 \quad \text{p.p. sur } \Sigma $$

cela joint à la positivité de y sur $\Sigma$ montre que

$$ y \in L^\infty(\Sigma) \qquad \blacksquare $$

### III - LE PROBLEME DE CONTROLE OPTIMAL

#### 3.1 - Formulation du problème

##### 3.1.1. Observation frontière

Soient

$$ (3.1) \qquad u = L^2(\Sigma) $$

$$ (3.2) \qquad u_{\text{ad}} \text{ un ensemble convexe et fermé de } u. $$

Pour $z_d$ donné dans $L^2(\Sigma)$ on considère la fonctionnelle
$$
(3.3) \qquad J(v) = \|y(v) - z_d\|^2_{L^2(\Sigma)} + v \|v\|^2_{L^2(\Sigma)}
$$

où y(v) est la solution du problème 2.2 correspondant à g=v et v est
une constante non-négative.

Le problème de contrôle optimal consiste à trouver u ∈ u_ad tel que

$$
(3.4) \qquad \int_{\Omega} f(u) \cdot \nu \cdot \frac{\partial u}{\partial n} = 0
$$

3.1.2. **Observation finale**

Prenons u et u<sub>ad</sub> comme dans 3.1.1. On sait (cf. remarque 2.4) que

$$
y(T,v) \text{ a un sens dans } H^{-1}(\Omega)
$$

Pour z<sub>d</sub> donné dans H<sup>-1</sup>(Ω) on définit

$$
(3.5) \qquad J(v) = \|y(T,v) - z_d\|_{H^{-1}(\Omega)}^2 + v\|v\|_{L^2(\Sigma)}^2
$$

Maintenant on peut poser le problème de contrôle optimal c'est-à-dire :

Trouver u ∈ u<sub>ad</sub> tel que

$$
(3.6) \qquad J(u) = \inf_{v \in u_{ad}} J(v)
$$

3.2 - Résultats d'existence

On fera dans la suite une des deux hypothèses suivantes :

i) $u_{ad}$ est borné dans $L^2(\Sigma)$

(3.7)

ii) $v > 0$
### 3.2.1. Observation frontière

#### Théorème 3.1

Sous les hypothèses (3.1)(3.2) et (3.7) il existe au moins un contrôle optimal solution du problème (3.4).

Démonstration cf. LIONS [ ]

### 3.2.2. Observation finale

#### Théorème 3.2

Sous les hypothèses (3.1) (3.2) et (3.7) il existe au moins un contrôle optimal solution du problème (3.6).

La démonstration du même type que celle du théorème 3.1.

## IV - LE PROBLEME DE FEEDBACK A PRIORI

### 4.1 - Exemple

#### 4.1.1. Remarques générales

Nous allons aborder maintenant la recherche de contrôles sous la forme "feedback a priori", et pour cela, utiliser une méthode due à LIONS [4] qui utilise les inéquations variationnelles.

Supposons que dans le problème de contrôle défini par (3.4) on prend :

$$ (4.1) \qquad u_{ad} = \{u \in L^{\infty}(\Sigma) \mid 0 \le u \le M \quad \text{p.p. dans } \Sigma\} $$

Nous faisons le raisonnement suivant :

On veut trouver une fonction y telle que $y|_{\Sigma}$ soit le plus proche possible de $z_d$ donnée dans $L^2(\Sigma)$. Alors si $y(x,t) < z_d(x,t)$ nous prenons

$$ \frac{\partial y}{\partial v} (x,t) + \alpha |y(x,t)|^{p-2} y(x,t) = M $$
par contre si $y(x,t) > z_d(x,t)$,

$$ \frac{\partial y}{\partial v_A}(x,t) + \alpha |y(x,t)|^{p-2} y(x,t) = 0 . $$

Supposons qu'il existe une solution dans un sens à préciser du problème

$$ \begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}} \text{(4.2)} & \frac{\partial y}{\partial t} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \left( a_i(x) \frac{\partial y}{\partial x_i} \right) = f \quad \text{dans } Q \\ & 0 \le \frac{\partial y}{\partial v_A} + \alpha |y|^{p-2} \quad y \le M \\[1.5ex] \text{(4.3)} & \left. \begin{array}{l} y(x,t) < z_d(x,t) \implies \frac{\partial y}{\partial v_A} + \alpha |y|^{p-2} \quad y = M \\ \\ y(x,t) > z_d(x,t) \implies \frac{\partial y}{\partial v_A} + \alpha |y|^{p-2} \quad y = 0 \end{array} \right\} \text{ sur } \Sigma \end{array} $$

$$ \text{(4.4)} \qquad y(0) = y_0 \quad \text{dans } \Omega $$

Alors en posant

$$ \text{(4.5)} \qquad w = \frac{\partial y}{\partial v_A} + \alpha |y|^{p-2} y $$

On aura

$$ w \in \mathcal{U}_{ad} $$

et donc

$$ J(w) \ge \inf_{v \in \mathcal{U}_{ad}} J(v) $$

par conséquent w est en général un contrôle sous-optimal. Le point important est le :

### Problème 4.1

Trouver une "majoration de l'erreur", c'est-à-dire une estimation de $J(w)-J(u)$ avec w donné par (4.5) et u un contrôle optimal.
### 4.1.2. Formulation variationnelle

Nous allons maintenant formuler le problème (4.2)(4.3)(4.4) de façon plus précise, puis donner un résultat partiel pour le problème 4.1

Soit $z_d \in L^2(\Sigma)$ fixée. Pour $\varphi \in V$ on définit p.p. dans $[0,T]$

$$ (4.6) \qquad j_t(\varphi) = \int_{\Gamma} M(\varphi - z_d(t))^{-} d\Gamma $$

On vérifie très facilement que $j_t$ est une fonction convexe et continue de $V$ dans $\mathbb{R}$. Posons maintenant le :

#### Problème 4.2

Etant données

$$ (4.7) \qquad \begin{cases} f \in L^2(0,T,H) \\ y_o \in V \\ z_d \in L^2(\Sigma) \end{cases} $$

Trouver y solution de :

$$ (4.8) \qquad \left( \frac{\partial y}{\partial t}, \varphi - y \right) + a(y, \varphi - y) + (B(y), \varphi - y) + j_t(\varphi) - j_t(y) \geq (f, \varphi - y) \quad \forall \varphi \in V $$

$$ (4.9) \qquad y(0) = y_o $$

#### Remarquè 4.1

On peut voir facilement que toute solution du problème (4.2) vérifie formellement (4.2)(4.3)(4.4).

#### Remarque 4.2

Nous donnons des résultats d'existence et unicité pour le problème 4.2 dans des chapitres suivants.

### 4.1.3. Un résultat pour le problème 4.1

Nous donnons maintenant une estimation pour la différence $J(w)-J(v)$ dans le cas où les contraintes sur le contrôle"n'agissent pas".
**Théorème 4.1**

Soit $y(u)$ l'état correspondent à un contrôle optimal u solution du problème (3.4)

Supposons que

$$
(4.10) \qquad y(u)|_{\Sigma} = z_d
$$

alors $y(u)$ est la solution du problème (4.2) et si nous posons :

$$
(4.11) \qquad w = \frac{\partial y}{\partial v} \Big|_A + \alpha |y|^{p-2} y
$$

on a

$$
(4.12) \qquad J(w) - J(u) = 0
$$

Démonstration

La formulation variationnelle de l'équation d'état du problème de
contrôle est :

$$
(4.13) \qquad \left( \frac{\partial y}{\partial t} , \varphi \right) + a(y, \varphi) + (B(y), \varphi) = (f, \varphi) + \int_{\Gamma} u \varphi d\Gamma
$$

Prenons dans (4.13) $\varphi = \tilde{\varphi} - y$, $\tilde{\varphi} \in V$ quelconque il vient :

$$
(4.14) \quad \left( \frac{\partial y}{\partial t} , \tilde{\varphi} - y \right) + a(y, \tilde{\varphi} - y) + (B(y), \tilde{\varphi} - y) = (f, \tilde{\varphi} - y) + \int_{\Gamma} u(\tilde{\varphi} - y) d\Gamma .
$$

On obtiendra donc (4.8) si l'on démontre :

$$
(4.15) \qquad j_t(\tilde{\varphi}) - j_t(y(u)) \ge - \int_{\Gamma} u(\tilde{\varphi}-y) d\Gamma \quad \forall \tilde{\varphi} \in V
$$

Mais on déduit de (4.10)

$$
(4.16) \qquad j_t(y(u)) = 0
$$

Par ailleurs :
$$
\begin{align}
& \int_{\Gamma} M(\tilde{\varphi} - z_d(t))^{-} d\Gamma + \int_{\Gamma} u(\tilde{\varphi} - z_d(t)) d\Gamma = \nonumber \\
& \qquad = \int_{\Gamma} (M-u)(\tilde{\varphi}-z_d(t))^{-} + \int_{\Gamma} u(\tilde{\varphi}-z_d(t))^{+} d\Gamma \geq 0 \tag{4.17}
\end{align}
$$

compte tenue du fait que $u \in u_{ad}$. On a donc (4.15) d'où le théorème. ■

**Corollaire 4.1**

Sous les hypothèses du théorème 4.1 la solution du problème de
contrôle optimal défini dans 3.1.1. est unique.

Remarque 4.4

Le résultat du théorème 4.1 reste valable dans le cas de contrôle distribué et observation distribuée.

Remarque 4.5

Dans les cas où les "contraintes agissent" (J(u)>0), on obtiendra,
pour des exemples, des estimations numériques pour la différence

$$
J(w) - J(u)
$$

Cependant, dans ce cas, on peut aussi, obtenir le contrôle optimal
avec un feedback "tout ou rien". Ce résultat est très général :

On peut réscudre un problème de contrôle classique (boucle ouverte)
avec un feedback a priori de type "tout ou rien" (boucle fermée).

Prenons par exemple le problème de contrôle avec observation finale,
défini dans 3.1.2., c'est-à-dire, trouver u ∈ u_ad tel que :

$$
J(u) = \inf_{v \in u_{ad}} J(v)
$$

où

$$
J(v) = \int_{\Omega} (y(v,T) - z_d(x))^2 dx
$$
Soit u un contrôle optimal et $y(u)$ l'état correspondent. Définissons

$$ \tilde{z}_d = y(u)|_{\Sigma} $$

Alors le théorème 4.1 établit que $y(u)$ est la solution (unique) de l'inéquation variationnelle :

$$ (4.18) \qquad \begin{cases} \left(\frac{\partial y}{\partial t}, \varphi-y\right) + a(y, \varphi-y) + (B(y), \varphi-y) + \tilde{\mathfrak{j}}_t(\varphi) - \tilde{\mathfrak{j}}_t(y) \ge (f, \varphi-y) \quad \forall \varphi \in V \\ y(0) = y_0 \end{cases} $$

où

$$ (4.19) \qquad \tilde{\mathfrak{j}}_t(\varphi) = \int_{\Gamma} M(\varphi - \tilde{z}_d(t))^{-} d\Gamma $$

c'est-à-dire, $y(u)$ est l'état du système lorsqu'on change le contrôle par un feedback "tout ou rien" avec "consigne" $\tilde{z}_d$.

Nous remarquons que ces raisonnements sont valables encre si les "contraintes agissent" ($\mathcal{I}(u) > 0$).

On obtiendrait les mêmes résultats si le contrôle était distribué. Bien entendu, dans ce cas, il faudrait prendre une consigne distribuée. Pour une étude complète de cette question cf. BERMUDEZ-SORINE-YVON [ 1 ].

## 4.2 - Le problème général

### 4.2.1. Formulation variationnelle

Soit $\dot{\phi} \in L^\infty(\mathbb{R})$ monotone croissante (*)

Définissons

$$ (4.20) \qquad \psi(\lambda) = \int_{0}^{\lambda} \phi(\mu) d\mu $$

Alors $\phi$ est continue et convexe et en plus vérifie :

<footnote>(*) Donc continue, sauf peut-être, sur un ensemble dénombrable.</footnote>
$$
(4.21) \qquad |\psi(\lambda)| \le \|\Phi\|_{L^\infty(\mathbb{R})} |\lambda|
$$

Soit z_d \in L^2(\Sigma). Pour chaque z \in V posons

$$
(4.22) \qquad \Psi_t(z) = \int_{\Gamma} \phi(z-z_d(t))d\Gamma \quad \text{p.p. } t \in ]0,T[
$$

On vérifie facilement que $\Psi_t$ est une fonctionnelle convexe et
continue de V dans R. Posons maintenant le :

Problème 4.3

Etant données

$$
(4.23) \qquad
\begin{gathered}
f \in L^2(0,T,H) \\
y_o \in V
\end{gathered}
$$

Trouver y solution de

$$
(4.24) \quad \left( \frac{\partial y}{\partial t} - z - y \right) + a(y, z-y) + (B(y), z-y) + \Psi_t(z) - \Psi_t(y) \ge (f, z-y) \quad \forall z \in V
$$

$$
(4.25) \qquad y(0) = y_o
$$

■

Nous allons maintenant interpréter le problème 4.3.

Thécrème 4.2

Si la fonction $\Phi$ est continue, le problème 4.3 équivaut à trouver
y telle que

$$
(4.26) \quad \begin{cases}
\frac{\partial y}{\partial t} + a(y,z) + (B(y),z) + \int_{\Gamma} \Phi(y-z_d)zd\Gamma = (f,z) & \forall z \in V \\
y(0) = y_o
\end{cases}
$$

Démonstration

Vérification immédiate.

■
En ce qui concerne l'interprétation de (4.26) on voit facilement
que ce problème équivaut formellement à

$$
(4.27) \qquad \frac{\partial y}{\partial t} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \left( a_i(x) \frac{\partial y}{\partial x_i} \right) = f \quad \text{dans } Q
$$

$$
(4.28) \qquad \frac{\partial y}{\partial v_A} + \alpha |y|^{p-2} y + \Phi (y-z_d) = 0 \quad \text{dans } \Sigma
$$

$$
(4.29) \qquad y(0) = y_0 \qquad \text{dans } \Omega
$$

Remarque 4.6

Si $\Phi$ n'est pas continue, le problème 4.3 s'interprète
(cf. DUVAUT - LIONS [ 1 ], BREZIS [ 2 ] ) :

$$
(4.30) \quad \frac{\partial y}{\partial t} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \left( a_i(x) \frac{\partial y}{\partial x_i} \right) = f \quad \text{dans } Q
$$

$$
(4.31) \quad - \frac{\partial y}{\partial v_A} - \alpha |y|^{p-2} y \in \partial \Psi(y-z_d) \quad \text{dans } \Sigma
$$

$$
(4.32) \qquad y(0) = y_0 \quad \text{dans } \Omega \qquad \blacksquare
$$

4.2.2. Existence des solutions

Nous allons obtenir un théorème d'existence utilisant la régulari-
sation (cf. DUVAUT-LIONS [1], YVON [1]), c'est pourquoi nous faisons
l'hypothèse suivante :

(4.33) Il existe une suite de fonctions continues, monotones croissantes $\Phi_j$, qui convergent vers $\Phi$ dans $L^\infty(\mathbb{R})$ pour la topologie faible*.

Théorème 4.3

Soit $\Phi \in L^{\infty}(\mathbb{R})$ monotone croissante, satisfaisant (4.33)
Prenons
$$
(4.34) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
f \in L^2(0,T,H) \\
y_o \in V \\
z_d \in L^2(\bar{\Sigma}), z'_d \in L^2(\Sigma)
\end{array}
\right.
$$

Alors _il existe y, solution du problème 4.3 vérifiant :

$$
(4.35) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
y \in L^2(0,T,H^1(\Omega)) \cap L^\infty(0,T,H) \\
\gamma_o y \in L^p(\Sigma) \\
y' \in L^2(0,T,H)
\end{array}
\right.
$$

Remarque 4.7

De (4.35) on déduit

$$
(4.36) \qquad y \in C([0,T],H)
$$

donc, y(0) a un sens dans H.

Démonstration du Théorème 4.3

Définissons :

$$
(4.37) \qquad \psi_j(\lambda) = \int_0^\lambda \Phi_j(\mu) \dd\mu
$$

et ensuite pour chaque z ∈ V

$$
(4.38) \qquad \Psi_{tj}(z) = \int_{\Gamma} \psi_j(z-z_d(t))d\Gamma \quad \text{p.p. dans } ]0,T[
$$

Alors $\Psi_{tj}$ est une fonction différentiable et convexe de V dans $\mathbb{R}$,
sa dérivée donnée par :

$$
(4.39) \qquad (\Psi'_{tj}(z), \varphi) = \int_{\Gamma} \Phi_j(z-z_d(t)) \varphi d\Gamma, \quad \forall \varphi \in V
$$
Le lemme qui suit établit quelques propriétés des $\Psi_{tj}$.

**Lemme 4.1**

Avec l'hypothèse (4.33) on a :

i) $\forall z \in L^2(0,T,V)$

$$
(4.40) \quad \int_0^T \Psi_{tj}(z(t))dt \to \int_0^T \Psi_t(z(t))dt \quad \text{si } j \to \infty
$$

ii) Si $z_j \to z$ dans $L^2(0,T,H^1(\Omega))$ faible

et $z'_j \to z'_j$ dans $L^2(0,T,H)$ faible

alors

$$
(4.41) \quad \lim_{j \to \infty} \int_0^T \Psi_{tj}(z_j(t))dt = \int_0^T \Psi_t(z(t))dt \quad \blacksquare
$$

Reprenons la démonstration du théorème 4.3.

Soit $w_1...w_m$ une base de V. On cherche $y_{jm}(t)$ solution approchée du problème, de la forme :

$$
(4.42) \qquad y_{jm} = \sum_{i=1}^{m} g_{ji} w_i
$$

les $g_{ji}$ étant à déterminer par les conditions :

$$
(4.43) \quad (y_{jm}^{\prime}(t), w_k) + a(y_{jm}(t), w_k) + (B(y_{jm}(t)), w_k) + \int_{\Gamma} \Phi_j (y_{jm}(t) - z_d(t)) w_k d\Gamma = (f, w_k) \\
\qquad \qquad \qquad \qquad 1 \le k \le m
$$

$$
(4.44) \quad y_{jm}(0) = y_{om} \quad \text{avec } y_{om} \in V_m, \quad y_{om} \to y_o \quad \text{lorsque } m \to \infty.
$$

Alors on a l'existence d'une solution de (4.43), (4.44) dans un intervalle $[0, t_m]$. Les estimations qui suivent montrent $t_m=T$.
Estimations a priori I

Multipliant (4.43) par $g_{jk}'$, $1 \le k \le m$ et sommant en $k$ il vient :

$$
(4.45) \quad (y_{jm}', y_{jm}) + a(y_{jm}', y_{jm}) + \alpha \int_{\Gamma} |y_{jm}|^{p} d\Gamma + \int_{\Gamma} \Phi_j (y_{jm}-z_d) y_{jm}^{p} d\Gamma = (f, y_{jm})
$$

d'ici, compte tenue que $\Phi_j$ est borné dans $\mathbb{R}$ indépendamment de $j$, on
obtient de façon classique :

$$
(4.46) \qquad y_{jm} \quad \begin{array}{l} \text{appartient à un borné de } L^\infty(0,T,H) \\ \text{(indépendant de } j \text{ et } m) \end{array}
$$

et puis

$$
(4.47) \qquad \left\{
\begin{array}{ll}
y_{jm} & \text{appartient à un borné de } L^2(0,T,H^1(\Omega)) \\
\gamma_o y_{jm} & \text{appartient à un borné de } L^p(\Sigma) \\
|y_{jm}|^{p-2} y_{jm} & \text{appartient à un borné de } L^{p'}(\Sigma) \\
\Phi_j (y_{jm} - z_d) & \text{appartient à un borné de } L^2(\Sigma)
\end{array}
\right.
$$

Estimations a priori II

Multipliant (4.43) par $g_{jk}'(t)$ et sommant en $k$ il vient :

$$
(4.48) \quad (y'_{jm}, y'_{jm}) + a(y_{jm}', y_{jm}') + \alpha \int_{\Gamma} |y_{jm}|^{p-2} y_{jm}' y_{jm}^{p} d\Gamma + \int_{1}^{p} \Phi_j (y_{jm} - z_d) y_{jm}' d\Gamma = (f, y_{jm}')
$$

et donc

$$
(4.49) \quad |y_m'|^2 + \frac{d}{dt} \left[ \frac{1}{2} a(y_{jm}', y_{jm}') + \frac{\alpha}{p} \int_{\Gamma} |y_{jm}|^{p} d\Gamma + \Psi_{Tj}(y_{jm}) \right] = (f, y_{jm}') + \int_{\Gamma} \Phi_j (y_{jm} - z_d) z_d' d\Gamma
$$

intégrant de 0 à T il vient

$$
(4.50) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \int_0^T |y_{jm}'|^2 dt + \frac{1}{2} a(y_{jm}(T), y_{jm}(T)) + \frac{\alpha}{p} \|y_{jm}(T)\|_{L^p(\Gamma)}^p \le \int_0^T |f| \cdot |y_m'| dt + \\
& + k \int_0^T \|z_d'\|_{L^2(\Gamma)}^2 dt + |a(y_{om}, y_{om})| + \frac{\alpha}{p} \|y_{om}'\|_{L^p(\Gamma)}^p + |\Psi_{oj}(y_{om})| + |\Psi_{Tj}(y_{jm}(T))|.
\end{aligned}
\right.
$$
Mais,

$$
(4.51) \quad \left| \Psi_{T_j}(y_{j_m}(T)) \right| \le k_1 + k_2 \left\| y_{j_m}(T) \right\|_{L^2(\Gamma)}^2
$$

et utilisant le résultat

$$
\forall \delta > 0 \quad \exists \mathcal{C}(\delta) > 0 \quad \text{tel que :}
$$

$$
\|w\|_{L^2(\Gamma)} \le \delta |Vw|^2 + c(\delta) |w|^2 \quad \forall w \in H^1(\Omega)
$$

on obtient très facilement :

$$
(4.52) \quad y'_{jm} \text{ appartient à un borné de } L^2(0,T,H).
$$

Passage à la limite en m

Les estimations (4.47) (4.52) on déduit qu'il est possible d'extraire
une sous-suite $y_{j\mu}$ telle que

$$
\begin{align*}
y_{j\mu} \rightarrow y_j \quad \text{dans } L^2(0,T,H^1(\Omega)) \text{ faible et} \\
\phantom{y_{j\mu} \rightarrow} \text{dans } L^\infty(0,T,H) \text{ faible*}
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
(4.53) \quad \gamma_o y_{j\mu} &\rightarrow \gamma_o y_j \quad \text{dans } L^p(\Sigma) \text{ faible} \\
\alpha |y_{j\mu}|^{p-2} y_{j\mu} &\rightarrow \chi_j \quad \text{dans } L^{p'}(\Sigma) \text{ faible} \\
\Phi_j (y_{j\mu} - z_d) &\rightarrow \theta_j \quad \text{dans } L^2(\Sigma) \text{ faible} \\
y'_{j\mu} &\rightarrow y'_j \quad \text{dans } L^2(0,T,H) \text{ faible}
\end{align*}
$$

De (4.53) on déduit :

$$
(4.54) \quad y_{j\mu} \to y_j(0) \quad \text{dans } H \quad \text{faible}
$$

et donc, compte tenu de (4.44)
$$
(4.55) \qquad y_j(0) = y_o \quad \text{dans } H
$$

Prenons (4.43) pour $m=\mu$ et passons à la limite avec $k$ fixé ($k < \mu$), on
obtient, utilisant les propriétés des $w_i$

$$
(4.56) \quad (y_j', z) + a(y_j, z) + \int_{\Gamma} \chi_j z d\Gamma + \int_{\Gamma} \theta_j z d\Gamma = (f, z) \quad \forall z \in V
$$

Utilisant la méthode de monotonie, (cf. LIONS [1], DUVAUT-LIONS [1]), on
démontre

$$
(4.57) \qquad \chi_j + \theta_j = \alpha |y_j|^{p-2} y_j + \Phi_j (y_j - z_d)
$$

et par conséquent

$$
(4.58) \quad (y_j', z - y_j) + a(y_j, z - y_j) + \alpha \int_{\Gamma} |y_j|^{p-2} y_j (z - y_j) d\Gamma + \Psi_{t_j}(z) - \Psi_{t_j}(y_j) \ge (f, z - y_j) \quad \forall z \in V
$$

Passage à la limite en j

En utilisant d'abord (4.47) on déduit qu'il existe une sous-suite
nommée $y_j$ tel que :

$$
y_j \to y \text{ dans } L^2(0,T,H^1(\Omega)) \text{ faible}
$$

et dans $L^\infty(0,T,H)$faible*

$$
(4.59) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\gamma_o y_j \to \gamma_o y \quad \text{dans } L^p(\Sigma) \text{ faible} \\
y_j' \to y' \quad \text{dans } L^2(0,T,H) \text{ faible} \\
\alpha |y_j|^{p-2} y_j \to \chi \quad \text{dans } L^{p'}(\Sigma) \text{ faible}
\end{array}
\right.
$$

Utilisant ensuite un raisonnement de compacité (voir théorème 2.1)
on démontre

$$
(4.60) \qquad \chi = \alpha |y|^{p-2} y
$$
Prenons maintenant dans (4.58) $z=z(t)$ où $z(t) \in L^2(0,T,V)$. Il vient,
après intégration de 0 à T

$$
(4.61) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \int_0^T [(y_j', z) + a(y_j, z) + (B(y_j), z) + \Psi_{tj}(z) - (f, z - y_j)] dt \ge \int_0^T [(y_j', y_j) + \\
\quad + a(y_j, y_j) + \alpha \int_\Gamma |y_j|^p d\Gamma + \Psi_{tj}(y_j)] dt.
\end{array}
\right.
$$

On utilise le lemme 4.1 pour passer à la limite dans (4.61), et on
obtient :

$$
(4.62) \quad \int_0^T [(y', z-y) + a(y, z-y) + (B(y), z-y) + \Psi_t(z) - \Psi_t(y)] dt \ge \int_0^T (f, z-y) dt \\
\qquad \forall z \in L^2(0,T,V).
$$

Puis en différenciant (4.62) (cf. DUVAUT-LIONS [1]) on déduit le résultat.
l'Unicité se démontre comme dans DUVAUT-LIONS par un argument de monotonie.

Remarque 4.8

De l'unicité on déduit qu'il est inutile d'extraire une sous-suite
de la suite $y_j$ car elle-même converge vers $y$.

Corollaire 4.1

On a, sous les hypothèses du théorème 4.2

$$
(4.63) \qquad y_j \to y \text{ dans } L^2(0,T,H^1(\Omega)) \text{ fort}
$$

Démonstration
---

Des inéquations vérifiées par $y_j$ et $y$ on déduit facilement :

$$
(4.64) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{d(y_j - y)}{dt}, y - y_j) + a(y_j - y, y - y_j) + (B(y_j) - B(y), y - y_j) + \Psi_{tj}(y) - \Psi_{tj}(y_j) - \Psi_t(y_j) - \\
\qquad - \Psi_t(y) \ge 0
\end{array}
\right.
$$

d'où, intégrant de 0 à T on obtient
$$
(4.65) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \frac{1}{2} |y(T) - y_j(T)|^2 + \beta \int_0^T ||y - y_j||^2 dt \le \int_0^T |y - y_j|^2 dt + \int_0^T [\Psi_{tj}(y) - \Psi_{tj}(y_j) + \Psi_t(y_j)] \\
& \qquad - \Psi_t(y)] dt.
\end{aligned}
\right.
$$

D'ici, utilisant (4.59) et le lemme 4.1, on déduit facilement

$$
(4.66) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
y_j \to y \text{ dans } L^2(0,T,V) \text{ fort} \\
y_j(T) \to y(T) \text{ dans } H \text{ fort.} \quad \blacksquare
\end{array}
\right.
$$
Reprénons le cadre du § 4.1. Soit $\Phi$ la classe de $L^\infty(\mathbb{R})$ des fonctions
égales p.p. a

$$
\Phi(\lambda) = \begin{cases} -M & \text{si } \lambda < 0 \\ 0 & \text{si } \lambda > 0 \end{cases}
$$

Soit $\Phi_j$ une suite régularisante (cf. 4.33).

Alors on a le suivant :

Corollaire 4.2

On a

$$
(4.67) \qquad - \Phi_j(y_j - z_d) \to u \text{ dans } L^2(\Sigma) \text{ faible si } j \to \infty
$$

Démonstration

D'abord $y_j$ vérifie

$$
(4.68) \quad \left( \frac{\partial y_j}{\partial t} , \varphi \right) + a(y_j, \varphi) + (B(y_j), \varphi) + \int_{\Gamma} \Phi_j (y_j - z_d) \varphi d\Gamma = (f, \varphi) \quad \forall \varphi \in V
$$

$$
(4.69) \qquad y_j(0) = y_o
$$

D'autre part on a

$$
(4.70) \quad \left( \frac{\partial y(u)}{\partial t} , \varphi \right) + a(y(u) , \varphi) + (B(y(u))) , \varphi = (f , \varphi) + \int_{\Gamma} u \varphi \, d\Gamma
$$

$$
(4.71) \qquad y(u)(0) = y_o \qquad \forall \varphi \in V
$$

En retranchant (4.68) et (4.70) on obtient

$$
\left( \frac{d(y_j - y(u))}{dt} , \varphi \right) + a(y_j - y(u), \varphi) + (B(y_j) - B(y(u))), \varphi = \int_{\Gamma} (-\Phi_j(y_j - z_d) - u) \varphi d\Gamma \quad \forall \varphi \in V
$$

d'ici, compte tenu du théorème 4.1 et de (4.59) on a
$$ \int_{\Gamma} (-\Phi_j(y_j - z_d) - u) \varphi d\Gamma = 0 \quad \forall \varphi \in V $$

d'où le résultat.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

### 4.2.3. Estimation $L^\infty$

#### Théorème 4.5

Prenons les hypothèses du théorème 4.4 et en plus

$$ (4.86) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} \Phi & \text{continue} \\ f & \in L^\infty(Q) \\ y_o & \in L^\infty(\Omega) \end{array} \right. $$

On a alors :

$$ (4.87) \qquad y \in L^\infty(Q) \qquad y \in L^\infty(\Sigma) $$

#### Démonstration

Analogue à celle du théorème 2.4.

# V - LE PROBLEME DU FEEDBACK OPTIMAL

## 5.1 - Exposé du problème

Dans le chapitre IV nous avons étudié le problème de l'existence de solution d'un système avec un feedback a priori donné.

Maintenant nous supposons que l'on a un ensemble de fonctions de feedback pour contrôler le système, et que l'on veut déterminer celle qui réalise le minimum de la fonction coût donnée.

Plus précisément soit $\mathcal{A}$ un ensemble de fonctions de $L^\infty(\mathbb{R})$ pour lesquelles le problème 4.3 a une solution et notons $y(\Phi)$ la solution de ce problème pour $\Phi \in \mathcal{A}$.
Soit

$$
(5.1) \qquad J(\Phi) = \int_{\Sigma} (y(\Phi) - z_d)^2 d\Sigma
$$

la fonction coût, pour z_d \in L^2(\Sigma). On pose alors le :

Problème 5.1

Trouver $\Phi \in \mathcal{A}$ telle que :

$$
(5.2) \qquad J(\Phi) = \inf_{\Phi \in \mathcal{A}} J(\phi)
$$

De la même façon, si l'on considère comme fonction coût

$$
(5.2) \qquad \mathcal{J}(\Phi) = \int_{\Omega} (y(\Phi)(T) - z_d)^2 dx \quad z_d \in L^2(\Omega)
$$

On peut poser le

Problème 5.2

Trouver $\Phi \in \mathcal{A}$ telle que :

$$
(5.3) \qquad \mathcal{J}(\Phi) = \inf_{\Phi \in \mathcal{A}} \mathcal{J}(\phi)
$$

Exemple 5.1

Soient $a,b \in \mathbb{R}$ $a \leq b$

$$
(5.5) \qquad \mathcal{A} = \{ \Phi_{rs} | r \in [a,b], s \in [0,M] \}
$$

où

$$
\begin{array}{llll}
\text{r} > 0 & \Phi_{rs}(\lambda) = & \left\{ \begin{array}{ll} -s & \text{si } \lambda \le 0 \\ \frac{s\lambda}{r} - s & \text{si } 0 \le \lambda \le r \\ 0 & \text{si } r \le \lambda \end{array} \right. & \\
\text{r} = 0 & \Phi_{os}(\lambda) = & \left\{ \begin{array}{ll} -s & \text{si } \lambda < 0 \\ 0 & \text{si } \lambda > 0 \end{array} \right. &
\end{array}
$$
$$
r < 0 \quad \Phi_{rs}(\lambda) = \begin{cases} -s & \text{si } \lambda \le r \\ -s \frac{\lambda}{r} & \text{si } r \le \lambda \le 0 \\ 0 & \text{si } 0 \le \lambda \end{cases}
$$

5.2 - Existence de solution du problème 5.1

On prend les hypothèses du théorème 4.3. Soit $\mathcal{A}$ un ensemble de
fonctions de $L^\infty(\mathbb{R})$ monotones croissantes, qui vérifient :

i) $\mathcal{A}$ est borné et faiblement* fermé dans $L^\infty(\mathbb{R})$

$$
\text{(5.6)} \qquad \begin{array}{l} \text{i) } \mathcal{A} \text{ est borné et faiblement* fermé dans } L^\infty(\mathbb{R}) \\[1em] \text{ii) } \forall \Phi \in \mathcal{A} \text{ il existe une suite } \Phi_j \in L^\infty(\mathbb{R}) \text{ de fonctions monotones croissantes continues telle que :} \\[1em] \qquad \Phi_j \to \Phi \text{ dans } L^\infty(\mathbb{R}) \text{ faible*} \\[1em] \qquad \|\Phi_j\|_{L^\infty(\mathbb{R})} \le k \text{ (indépendant de } j \text{ et } \Phi\text{).} \end{array}
$$

On a alors le :

Théorème 5.1

Le problème 5.1 admet au moins une solution, c'est-à-dire,

$$
\exists \Phi \in \mathcal{A} | J(\Phi) = \inf_{\Phi \in \mathcal{A}} J(\Phi)
$$

Démonstration
---

Soit $\Phi_n$ une suite minimisante. Posons

$y_n = y(\Phi_n)$

et $\Psi_{tn}$ la fonctionnelle définie à partir de $\Phi_n$. Alors on a

$$
(5.7) \quad (y'_n, z - y_n) + a(y_n, z - y_n) + (B(y_n), z - y_n) + \Psi_{tn}(z) - \Psi_{tn}(y_n) \ge (f, z - y_n) \quad \forall z \in V
$$
d'ici on déduit facilement :

$$
(5.8) \quad \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |y_n - z|^2 + a(y_n - z, y_n - z) + \alpha \int_{\Gamma} |y_n|^p d\Gamma \le (f, z - y_n) - a(z, y_n - z) + \alpha \int_{\Gamma} |y_n|^{p-2} y_n z d\Gamma \\
\qquad + \Psi_{tn}(y_n) - \Psi_{tn}(z).
$$

Mais, compte tenue de que $\Phi_n$ est bornée on a :

$$
|\Psi_{\mathrm{tn}}(z)| \leq k_1 ||z|| + k_2
$$

utilisant cela, on obtient de (5.8) :

$y_n$ appartient à un borné de $L^\infty(0,T,H)$ et de $L^2(0,T,H^1(\Omega))$

$$
(5.9) \qquad \gamma_0 y_n \quad \text{appartient à un borné de } L^p(\Sigma)
$$

$|y_n|^{p-2} y_n$ appartient à un borné de $L^p(\Sigma)$

Donc, utilisant (5.6) ii) on déduit facilement (cf. (4.49)(4.50)) :

$$
(5.9) \qquad y'_{n} \text{ appartient à un borné de } L^{2}(0,T,H).
$$

Par conséquent il existe une sous-suite $y_\mu$ telle que :

$$
(5.10) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
y_\mu \to y \quad \text{dans } L^\infty(0,T,H) \text{ faible* et dans } L^2(0,T,H^1(\Omega))\text{ faible} \\
\\
\gamma_0 y_\mu \to \gamma_0 y \quad \text{dans } L^p(\Sigma) \text{ faible} \\
\\
|y_\mu|^{p-2} y_\mu \to \chi \quad \text{dans } L^{p'}(\Sigma) \text{ faible} \\
\\
y'_\mu \to y' \quad \text{dans } L^2(0,T,H) \text{ faible} \\
\\
\Phi_\mu \to \Phi \quad \text{dans } L^\infty(\mathbb{R}) \text{ faible*}
\end{array}
\right.
$$

Par ailleurs on a :

$$
(5.11) \quad \begin{cases} \int_0^T \Psi_{t\mu}(z)dt \to \int_0^T \Psi_t(z)dt \\ \\ \int_0^T \Psi_{t\mu}(y_\mu)dt \to \int_0^T \Psi_t(y)dt \end{cases}
$$
et utilisant la méthode de compacité :

$$ \chi = |y|^{p-2}y $$

On peut maintenant passer à la limite comme dans le théorème 4.3, et on a :

$$ (5.12) \quad (y',z-y)+a(y,z-y)+(B(y),z-y)+\Psi_t(z)-\Psi_t(y) \ge (f,z-y) \quad \forall z \in V $$

d'où

$$ (5.13) \qquad y = y(\phi) $$

D'autre part, des estimations (5.8) on tire :

$$ \gamma_0 y_{\mu} \rightarrow \gamma_0 y \quad \text{dans } L^2(\Sigma) \text{ faible} $$

donc :

$$ (5.14) \qquad J(\phi) \le \int_{\Sigma} (y-z_d)^2 d\Sigma \le \int_{\Sigma} (y_n-z_d)^2 d\Sigma = J(\phi_n) $$

cela et (5.6) i) montrent que $\phi$ est solution du problème 5.1.

### Remarque

On peut démontrer un théorème analogue au 5.1 pour le problème 5.2.

## 5.3 - La régularisation

En général les fonctions $\phi \in A$ ne sont pas continues ce qui entraîne la non différentiabilité des $\Psi_t$ et donc de $J(\phi)$. C'est pourquoi nous allons régulariser les problèmes 5.1 et 5.2.

Nous faisons dans la suite les

### Hypothèses 5.1

Soit $A$ un ensemble de fonctions de $L^\infty(\mathbb{R})$, monotones croissantes tel que :

$$ (5.15) \quad \left\{ \begin{array}{ll} \text{i) } & A \text{ est borné et faiblement* fermé dans } L^\infty(\mathbb{R}) \\ \text{ii) } & \text{Il existe des sous-ensembles } \mathcal{A}_j, \text{ faible* fermés dans } L^\infty(\mathbb{R}) \text{ dont les éléments sont fonctions monotones croissantes de classe } C^1 \text{ telles que :} \end{array} \right. $$
$$
\text{(5.16)} \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\text{a)} & \forall \Phi \in \mathcal{A} \ \exists \Phi_j \in \mathcal{A}_j \ \text{tel que :} \\
& \qquad \Phi_j \to \Phi \ \text{dans } L^\infty(\mathbb{R}) \ \text{faible*} \\[1em]
\text{b)} & \text{si } \Phi_j \in \mathcal{A}_j, \ \Phi^* \in L^\infty(\mathbb{R}) \\
& \text{et } \Phi_j \to \Phi^* \ \text{dans } L^\infty(\mathbb{R}) \ \text{faible*} \\
& \text{alors } \Phi^* \in \mathcal{A} \\[1em]
\text{c)} & \exists k > 0 \ \text{tel que} \\
& \qquad \forall j, \ \forall \Phi_j \in \mathcal{A}_j \ \text{on a} \\
& \qquad \quad \|\Phi_j\|_{L^\infty(\mathbb{R})} \le k.
\end{array}
\right.
$$

Remarque 5.2

Les hypothèses 5.1 sont vérifiées si, par exemple on a :

$$
(5.17) \quad \begin{gathered}
\forall \Phi \in \mathcal{A} \text{ il existe une suite } \Phi_j \text{ (j-régularisé)} \\
\text{tel que}
\end{gathered}
$$

$$
(5.18) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\Phi_j \in C^1(\mathbb{R}) \\
\Phi_j \text{ monotone croissante, bornée}
\end{array}
\right.
$$

$$
(5.19) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\text{Pour chaque } j \text{ l'ensemble } \mathcal{A}_j = \{\Phi_j\} \subset \mathcal{A} \text{ des j-régularisés des} \\
\text{éléments de } \mathcal{A}, \text{ est borné et faible* fermé dans } L^\infty(\mathbb{R})
\end{array}
\right.
$$

$$
(5.20) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\Phi_j \to \Phi \text{ dans } L^\infty(\mathbb{R})\text{-faible* "uniformément" dans } \mathcal{A} \text{ dans ce sens :} \\
\forall g \in L^1(\mathbb{R}) \ \forall \varepsilon > 0 \ \exists N(\varepsilon,g) \ |j > N \Rightarrow \left|\int_{\mathbb{R}} (\Phi_j - \Phi)g\right| < \varepsilon \\
\qquad N \text{ indépendant de } \Phi \text{ dans } \mathcal{A}
\end{array}
\right.
$$

$$
(5.21) \quad \forall \Phi_j \in \mathcal{A}_j \Rightarrow \|\Phi_j\|_{L^\infty(\mathbb{R})} \le k \quad (\text{indép. de } j)
$$
**Exemple 5.2**

Prenons l'ensemble $\mathcal{A}$ de l'exemple 5.1. On vérifie facilement que les hypothèses (5.17)...(5.21) sont valables pour les ensembles

$$
\mathcal{A}_j = \{ \Phi_{rs}^j | r \in [a,b], s \in [0,M] \}
$$

où

$$
\[
\Phi_{rs}^{j}(\lambda) = \left\{
\begin{array}{lll}
-s & \text{si} & \lambda \le -\frac{1}{j} \\[2ex]
\frac{s_j}{4r}(\lambda+\frac{1}{j})^2 - s & \text{si} & -\frac{1}{j} \le \lambda \le \frac{1}{j} \\[2ex]
\frac{s}{r}(\lambda-r) & \text{si} & \frac{1}{j} \le \lambda \le r - \frac{1}{j} \\[2ex]
-\frac{s_j}{4r}(\lambda-r-\frac{1}{j})^2 & \text{si} & r - \frac{1}{j} \le \lambda \le r+\frac{1}{j} \\[2ex]
0 & \text{si} & r + \frac{1}{j} \le \lambda
\end{array}
\right.
\]
$$

$$
\Phi_{os}^{j}(\lambda) = \left\{
\begin{array}{lll}
-s & \text{si} & \lambda \le -\frac{1}{j} \\[2ex]
\frac{s_j^2}{2}(\lambda + \frac{1}{j})^2 - s & \text{si} & -\frac{1}{j} \le \lambda \le 0 \\[2ex]
-\frac{s_j^2}{2}(\lambda - \frac{1}{j})^2 & \text{si} & 0 \le \lambda \le \frac{1}{j} \\[2ex]
0 & \text{si} & \frac{1}{j} \le \lambda
\end{array}
\right.
$$

$$
\Phi_{rs}^{j}(\lambda) = \left\{
\begin{array}{lll}
-s & \text{si} & \lambda \le r - \frac{1}{j} \\[2ex]
\frac{s_j}{4r}(\lambda - r + \frac{1}{j})^2 - s & \text{si} & r - \frac{1}{j} \le \lambda \le r + \frac{1}{j} \\[2ex]
\frac{s}{r}(\lambda - r) & \text{si} & r + \frac{1}{j} \le \lambda \le -\frac{1}{j} \\[2ex]
\frac{s_j}{4r}(\lambda - \frac{1}{j})^2 & \text{si} & -\frac{1}{j} \le \lambda \le \frac{1}{j} \\[2ex]
0 & \text{si} & r + \frac{1}{j} \le \lambda
\end{array}
\right.
$$
On pose maintenant le

**Problème 5.1.j**

Trouver $\Phi_j \in \mathcal{A}_j$ telle que

$$
(5.22) \qquad J(\Phi_j) = \inf_{\Phi_j \in \mathcal{A}_j} J(\Phi_j)
$$

Remarque 5.3

On peut définir de façon analogue un problème régularisé du problème
5.2, qu'on va appeler problème 5.2.j.

Nous remarquons que, compte tenue du résultat du théorème 5.1, les
problèmes 5.1.j et 5.2.j admettent au moins une solution.

Soit Φ<sub>j</sub>, pour chaque j, une solution du problème 5.1.j.

Théorème 5.2

Sous les hypothèses 5.1 on peut extraire de la suite Φ<sub>j</sub> , une sous-
suite qui converge vers une solution du problème 5.1 dans L<sup>∞</sup>(R)-faible*.

Démonstration

D'abord des hypothèses 5.1 ii) c) on déduit l'existence d'une sous-
suite $\Phi_j$, telle que

$$
(5.23) \qquad \Phi_j \to \Phi^* \text{ dans } L^\infty(\mathbb{R})\text{-faible*}
$$

Par ailleurs ii) b) permet d'affirmer :

$$
(5.24) \qquad \Phi^* \in \mathcal{A}
$$

Nous allons démontrer que

$$
(5.25) \qquad J(\Phi^*) = \inf_{\Phi \in \mathcal{A}} J(\Phi)
$$

En effet, si (5.25) n'était pas valable, il devrait exister $\tilde{\Phi} \in \mathcal{A}$ tel que

$$
(5.26) \qquad J(\tilde{\Phi}) < J(\Phi^*)
$$

et par conséquent, utilisant ii) a), une suite $\tilde{\Phi}_j$ vérifiant
$$
(5.27) \qquad \tilde{\Phi}_j \to \tilde{\Phi} \quad \text{dans } L^\infty(\mathbb{R}) \text{ -faible}^*, \quad \tilde{\Phi}_j \in \mathcal{A}_j
$$

D'autre part (cf. démonstration th. 5.1), J est faiblement-* continue
dans L∞(R) et (5.26), (5.27) impliqueraient l'existence d'un indice j* tel
que

$$
J(\tilde{\Phi}_{j*}) < J(\Phi_{j*})
$$

ce qui contredit le fait que $\Phi_{j*}'$ est solution du problème 5.1.$j_*'$

VI - RESOLUTION NUMERIQUE DU PROBLEME DE FEEDBACK OPTIMAL

6.1 - Résolution du problème de contrôle

Le système d'optimalité du problème 2.2 est donné par

$$
(6.1) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial y(u)}{\partial t} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ a_i(x) \frac{\partial y(u)}{\partial x_i} \right] = 0 \\[1em]
\displaystyle \frac{\partial y(u)}{\partial u} + \alpha |y(u)|^{p-2} y(u) = u \quad \text{sur } \Sigma \\[1em]
\displaystyle y(u) \Big|_{t=0} = y_0
\end{array}
\right.
$$

$$
(6.2) \quad \left\{
\begin{array}{l}
-\frac{\partial \eta(u)}{\partial t} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ a_i(x) \frac{\partial \eta(u)}{\partial x_i} \right] = 0 \\[1em]
\frac{\partial \eta(u)}{\partial n} + \alpha(p-1) |y(u)|^{p-2} \eta(u) = y(u) - z_d \\[1em]
\eta(T) = 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(6.3) \qquad \int_{\Sigma} \eta(u)(v-u) d\Sigma + v \int_{\Sigma} u(v-u) d\Sigma \ge 0 \quad \forall v \in u_{ad}.
$$

Nous avons utilisé la méthode du gradient projeté pour résoudre le problème
de contrôle. Le pas étant choisi par une méthode sous-optimale très simple.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
### 6.2. - Calcul du gradient de la fonction coût

On fait les hypothèses du théorème 4.4. Soit $y=y(\Phi)$ la solution du problème 4.3 qui correspond à $\Phi \in L^\infty(\mathbb{R})$, monotone croissante de classe $C^1$. Introduisons le problème linéarisé qui consiste à trouver $\mathcal{F}$ telle que

$$ (6.4) \qquad \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial t} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} (a_i(x) \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial x_i}) = 0 $$

$$ (6.5) \qquad \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial v} + \alpha(p-1) |y|^{p-2} \mathcal{F} + \Phi'(y) \mathcal{F} = - \hat{\Phi}(y) $$

$$ (6.6) \qquad \mathcal{F}(0) = 0 $$

où

$$ (6.7) \qquad \hat{\Phi} \text{ est bornée et continue} $$

Dans la formulation variationnelle, ce problème est le suivant :

#### Problème 7.1

Etant donné $\hat{\Phi}$, trouver $\mathcal{F}$ vérifiant :

$$ (6.8) \qquad \left(\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial t}, z\right) + a(\mathcal{F}, z) + \alpha(p-1) \int_{\Gamma} (|y|^{p-2} \Phi'(y)) \mathcal{F} zd\Gamma = - \int_{\Gamma} \hat{\Phi}(y) z \, d\Gamma \quad \forall z \in V $$

$$ (6.9) \qquad \mathcal{F}(0) = 0 $$

On a alors le

#### Théorème 6.1

Pour $\hat{\Phi}$ donné, vérifiant (6.7) le problème 7.1 admet une solution unique $\mathcal{F}$ telle que :

$$ (6.10) \qquad \mathcal{F} \in L^2(0,T,H^1(\Omega)) \cap L^\infty(0,T,H) $$

#### Démonstration

Remarquons que, grâce au théorème 4.5 l'équation (6.8) a un sens car $\gamma_0 y \in L^\infty(\Sigma)$.
L'équation (6.8) étant parabolique linéaire, on démontre le théorème
de façon classique, compte tenue du fait que, par la monotonie croissante
de $\Phi$ et (2.15), on a :

$$
c|\varphi|^2 + a(\varphi,\varphi) + \alpha(p-1) \int_{\Gamma} (|y|^{p-2} + \Phi'(y))^2 \varphi^2 d\Gamma \geq \beta ||\varphi||^2 \quad \forall \varphi \in V \quad \blacksquare
$$

Théorème 6.2

On a :

$$
\begin{array}{ll}
\text{.11)} & y(\hat{\Phi}) = \frac{d}{d\theta} y(\Phi + \theta \hat{\Phi}) \bigg|_{\theta=0} \\[1.5ex]
\text{cela pour } \hat{\Phi} \quad \text{telle que} & \\
& \exists \theta_n \to 0 | \Phi + \theta_n \hat{\Phi} \\[1.5ex]
\text{vérifie les hypothèses du théorème 4.3.} &
\end{array}
$$

vérifie les hypothèses du théorème 4.3.

Démonstration
---

Posons

$$
\text{.12)} \quad \left\{
\begin{array}{l}
y_{\theta_n} = y(\Phi + \theta_n \hat{\Phi}) \\[1em]
w_{\theta_n} = \displaystyle\frac{y_{\theta_n} - y}{\theta_n}
\end{array}
\right.
$$

Alors on a :

$$
\text{.13)} \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{\qquad}l@{}}
\displaystyle\frac{\partial w_{\theta_n}}{\partial t} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \left(a_i(x) \frac{\partial w_{\theta_n}}{\partial x_i}\right) &= 0 \\[2ex]
\displaystyle\frac{\partial w_{\theta_n}}{\partial v_A} + \alpha \frac{|y_{\theta_n}|^{p-2} y_{\theta_n} - |y|^{p-2} y}{\theta_n} + \hat{\Phi}(y_{\theta_n}) + \frac{\Phi(y_{\theta_n}) - \Phi(y)}{\theta_n} &= 0 \\[2ex]
w_{\theta_n}(0) &= 0.
\end{array}
\right.
$$
En utilisant la formulation variationnelle de (6.13) on obtient des estimations qui permettent de passer à la limite dans n.

On démontre ensuite que cette limite est $\hat{y}(\hat{\phi})$ d'où le résultat.

### 7.1.2 - L'état adjoint

On définit l'état adjoint pour le problème 5.1 comme la solution unique du problème :

$$ (6.14) \qquad - \frac{\partial \eta}{\partial t} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} (a_i(x) \frac{\partial \eta}{\partial x_i}) = 0 $$

$$ (6.15) \qquad \frac{\partial \eta}{\partial v_A} + \alpha(p-1) |y|^{p-2} \eta + \Phi'(y) \eta = -(y-z_d) $$

$$ (6.16) \qquad \eta(T) = 0. $$

#### Remarque 6.1

On pourrait définir de façon analogue un état adjoint pour le problème 5.2. ■

#### Théorème 6.3

Soient $\Phi$ croissante, bornée et de classe $C^1$ et $\hat{\Phi}$ bornée, continue.

Alors on a :

$$ (6.17) \qquad J'(\Phi)\hat{\Phi} = \int_{\Sigma} (\Phi) |\hat{\Phi}(y(\Phi))| d\Sigma $$

## VII - RESULTATS NUMERIQUES

### 7.1 - Discrétisation de l'équation d'état dans le problème 2.2

#### 7.1.1. Discrétisation en espace

Nous avons pris $\Omega = ]0,1[$, $p=5$, et considéré un réseau avec $N_x$ points à l'intérieur de $\Omega$.
Soit

$$
(7.1) \qquad h = 1/N_x
$$

le pas de discrétisation. Les points sont :

$$
(7.2) \qquad x_i = (i-1,5)h \qquad 1 \le i \le N_x + 2
$$

On a choisi $a_i(x)=1, i=1, \dots, N$. La discrétisation enespace est la suivante

$$
(7.3) \qquad \left\{
\begin{aligned}
& \frac{\partial y_i}{\partial t} - \frac{1}{h^2} (y_{i-1} - 2y_i + y_{i+1}) = f_i \\[1em]
& \frac{y_{i-1} - y_i}{h} + \alpha \left(\frac{y_i + y_{i-1}}{2}\right)^4 = g(0) \\[1em]
& \frac{y_{i+1}^2 - y_{i-1}^2}{h} + \alpha \left(\frac{y_{i+1}^2 + y_{i-1}^2}{2}\right)^4 = g(1)
\end{aligned}
\right.
$$

7.1.2. Schéma implicite

Nous avons pris comme intervalle de temps ]0,1[ , dont T=1. Les
points de discrétisation en temps étant

$$
nk, \quad 0 \le n \le N_t
$$

où k est

$k = 1/N_t$

On a utilisé un schéma Crank-Nickolson

$$
(7.4) \qquad \frac{y^{n+1} - y^n}{k} - \frac{\partial}{\partial x^2} \left( \frac{y^n + y^{n+1}}{2} \right) = f^{n+\frac{1}{2}} \quad \text{dans } \Omega
$$

$$
(7.5) \qquad \frac{\partial \left( \frac{y^n + y}{2} \right)}{\partial v} + \alpha \left( \frac{y^n + y}{2} \right)^4 = g^{n+\frac{1}{2}} \quad \text{dans } \Gamma
$$

Si l'on discrétise (7.4)(7.5) en espace, on obtient une équation non-
linéaire de la forme
$$
(7.6) \qquad F_i(y_1^{n+1}, \dots, y_{N_x+2}^{n+1}) = 0 \qquad 1 \le i \le N_x+2
$$

Pour résoudre le système (7.6) nous avons utilisé la méthode de
relaxation par blocs :

a) On se donne une valeur initiale de $y^{n+1}$, soit

$$
y_{i,0}^{n+1} \qquad 1 \le i \le N_x+2
$$

b) Pour i égal 1 et N<sub>x</sub>+2, on détermine y<sub>i,m+1</sub><sup>n+1</sup> de la forme :

$$
(7.7) \qquad \tilde{y}_{i,m+1}^{n+1} = y_{i,m}^{n+1} - \frac{F_i(y_1^{n+1}, \dots, y_{N_x+2,m}^{n+1})}{F_i(y_1^{n+1}, \dots, y_{N_x+2,\dot{m}}^{n+1})} \quad \text{where } i=1, \dots, N_x+2
$$

Puis on définit :

$$
\begin{gather*}
y_{i,m+1}^{n+1} = \omega \tilde{y}_{i,m+1}^{n+1} + (1-\omega)y_{i,m}^{n+1} \quad \text{where } i=1, \dots, N_x+2 \\
\omega \in [0,2]
\end{gather*}
$$

c) On calcule ensuite

$$
y_{2,m+1}^{n+1}, \dots, y_{N_x+1,m+1}^{n+1}
$$

comme solution du système linéaire :

$$
(7.9) \qquad F_i (y_{1,m+1}^{n+1}, y_{2,m+1}^{n+1}, \dots, y_{N_x+1,m+1}^{n+1}, y_{N_x+2,m+1}^{n+1}) = 0 \quad \text{where } i=2, \dots, N_x+1
$$

alors $(y_{i}^{n+1})$ est la limite de $(y_{i,m}^{n+1})$.

7.2 - Résolution numérique de l'inéquation variationnelle

Nous avons régularisé l'inéquation de façon à obtenir sa solution comme limite de celles d'équations variationnelles (cf. Théorème 3.5).
### 7.2.1. Discrétisation en espace (cf. 7.1.1.)

### 7.2.2. Discrétisation en temps

Nous avons pris un schéma Crank-Nicholson

$$ (7.10) \qquad \frac{y^{n+1} - y^n}{k} - \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y^n + y^{n+1}}{2} \right) = f^{n+\frac{1}{2}} \quad \text{dans } \Omega $$

$$ (7.11) \qquad \frac{\partial \left( \frac{y^n + y^n}{2} \right)}{\partial v} + \alpha \left( \frac{y^n + y^n}{2} \right)^4 + \phi \left( \frac{y^n + y^n}{2} - z^{n+\frac{1}{2}} \right) = 0 \quad \text{dans } \Gamma $$

$$ (7.12) \qquad y^0 = y_0 $$

Après la discrétisation en espace on est amené à résoudre un système non-linéaire de la forme

$$ G_i(y_1^{n+1} \cdots y_{N+2}^{n+1}) = 0 \quad 1 \le i \le N+2 $$

Nous avons utilisé la méthode de relaxation par blocs associée à la "regula falsi"

a) On se donne une valeur initiale

$$ y_{i,0}^{n+1} \quad 1 \le i \le N+2 $$

b) Etant connu $y_{i,m}^{n+1}$, $1 \le i \le N+2$ on détermine $y_{i,m+1}^{n+1}$ de la forme suivante :

D'abord $y_{1,m+1}^{n+1}$ et $y_{N+2,m+1}^{n+1}$ sont solution du système non-linéaire

$$ (7.13) \qquad \left\{ \begin{array}{l} G_1(y_1^{n+1}, y_2^{n+1}, \ldots, y_{N+1}^{n+1}, m, y_{N+2,m}^{n+1}) = 0 \\ G_2(y_1^{n+1}, y_2^{n+1}, \ldots, y_{N+1}^{n+1}, m, y_{N+2,m+1}^{n+1}) = 0 \end{array} \right. $$

dont la solution a été obtenue utilisant la méthode de la "regula falsi".
Ensuite

$$y_{i,m+1}^{n+1}, \quad 2 \le i \le N_x+1$$

est la solution du système linéaire :

$$(7.14) \qquad G_i(y_{1,m+1}^{n+1}, y_{2,m+1}^{n+1}, \dots, y_{N_x+1,m+1}^{n+1}, y_{N_x+2,m+1}^{n+1}) = 0$$

c) $(y_i^{n+1})$ est alors la limite de $(y_{i,m}^{n+1})$

## 7.3 - Les exemples traités numériquement

On a ici les résultats numériques obtenus sur des exemples, avec les algorithmes décrits.

Dans tous les cas on a pris comme pas de discrétisation (cf. 7.1 et 7.2) :

$$h = 1/10$$

$$k = 1/10$$

On a considéré deux cas :

### A) OBSERVATION FRONTIERE

#### Données

$$f(t,x) = 2t(2x^2-x+1)+4t^2 \quad (t,x) \in Q$$

$$y_0(x) = 0 \quad x \in \Omega$$

$$z_d(t,x) = \begin{cases} t^2 & \text{si } x = 0 \\ 2t^2 & \text{si } x = 1 \end{cases} \quad (t,x) \in \Sigma$$

Les problèmes résolus étant :

1) contrôle optimal

2) Contrôle avec "feedback tout ou rien".
Pour chaque cas on a étudié deux possibilités :

i) Les "contraintes n'agissent pas" dans le problème de contrôle optimal.

Alors on sait (cf. théorème 4.1) que les solutions des problèmes 1) et 2) coïncident.

ii) "Les contraintes agissent". Dans ce cas le contrôle feedback est sub-optimal.

Pour i) nous avons étudié l'influence de perturbations de la fonction $f$. Celles-ci ont été choisies de la forme :

$$h(t,x) = \delta \sin 2Mt \quad (t,x) \in Q$$

Comme prévu, le contrôle de type feedback a été plus efficace dans ce cas. (cf. Figure 2).

Les résultats obtenus sont illustrés par les figures suivantes :

1 - **Observation frontière. Feedback "tout ou rien"**

$$M = 19 \text{ (les contraintes n'agissent pas)} \quad \varepsilon = 10^{-4}.$$

Figure 1.1 Etat obtenu

Figure 1.2 $\Phi_{\varepsilon}(y_{\varepsilon}-z_{d})$

2 - **Observation frontière** $M = 19$. $\varepsilon = 10^{-4}$. **Perturbation de $f$ :**

$$h(t,x)=0,1, \text{ Sin } 2Mt.$$

Figure 2.1 Contrôle optimal : état désiré et obtenu

Figure 2.2 Feedback tout ou rien : $\Phi_{\varepsilon}(y_{\varepsilon}-z_{d})$

3 - **Observation frontière** $M=1$ (les contraintes agissent)

Figure 3.1 Contrôle initial et contrôle obtenu,

Figure 3.2 Variation du coût au cours des itérations,

Figure 3.3 Contrôle optimal et contrôle feedback,

Figure 3.4 Etat désiré et état obtenu avec le contrôle feedback.
B - OBSERVATION FINALE

Données

$$
f(t,x) = -2(1-t)(x^2-x+1)+1-2(1-t)^2 \quad (t,x) \in Q
$$

$$
y_0(x) = x^2 - x + 1 \qquad x \in Q
$$

$$
z_d(x) = 1 \qquad x \in \Omega
$$

Les problèmes qui pour ce cas ont été résolus numériquement sont :

1) Contrôle optimal,

2) Feedback optimal (cf. Chapitre V). Comme famille de "fonctions de feed-back admissibles" on a choisi la définie dans l'exemple 5.1.

La consigne choisie a été l'état final désiré, c'est-à-dire,

$$
\tilde{z}_d(t,x) = 1 \quad (t,x) \in \Sigma.
$$

Les résultats numériques montrent que le contrôle obtenu avec le
"feedback optimal" est suboptimal. Cependant, on sait (cf. 4.1.3.) qu'on
peut obtenir un contrôle optimal, avec un feedback tout ou rien, en prenant
une consigne convenable. Dans ce cas $\tilde{z}_d(t,x)=y(u)(t,x)$, $(t,x) \in \Sigma$.

Les figures résument les résultats obtenus.

4 - Observation finale

Consigne $\tilde{z}_d(t,x) = 1$.

Feedback optimal obtenu : s = 0,71 r = 0

Valeur du coût : 0,4. 10⁻³

Figure 4.1 Variation du coût avec s (r=0)

Figure 4.2 Variation du coût avec r (s=0,65)

Figure 4.3 Variation du coût avec r (s=1)

Figure 4.4 Etat désiré. Etat obtenu avec le feedback optimal.
Remarque 7.1

Tous ces résultats ont été obtenus avec un ordinateur digital. Pour
des résultats sur calculateur analogique et hybride cf. M. SORINE [1].
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 1.1 Feedback : état obtenu (x=1) ε=10⁻⁴</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. 1.2 Contrôle feedback : (Valeur du coût obtenu : 0.4.10⁻⁷)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fig. 2.1 : Système perturbé. Contrôle optimal : états désiré et obtenu</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Fig. 2.2 : Système perturbé. Contrôle feedback (Cout obtenu : 0.483·10⁻⁶)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Fig. 3.1 Contrôle optimal (avec contraintes. M=1)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Fig. 3.2 Variation du coût au cours des itérations</figcaption></figure>
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Fig. 3.3 Avec contraintes (M=1) (x=1)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Fig. 3.4 Avec contraintes (M=1) (x=1) Contrôle feedback</figcaption></figure>
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Fig. 4.1</figcaption></figure>

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Fig. 4.2</figcaption></figure>
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Fig. 4.3</figcaption></figure>

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Fig. 4.4</figcaption></figure>
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Fig. 4.5</figcaption></figure>
BIBLIOGRAPHIE

A. BERMUDEZ - M. SORINE -

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[4] Various topics in the theory of optimal control of distributed systems, Cours à la Société Math. du Canada (1973).

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