# Détermination des fréquences propres d'une structure avec paramètres incertains

Étienne Arnoult, Abdelhamid Touache, Pascal Lardeur

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Étienne Arnoult, Abdelhamid Touache, Pascal Lardeur. Détermination des fréquences propres d'une structure avec paramètres incertains. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01812903

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Submitted on 11 Jun 2018

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# Détermination des fréquences propres d'une structure avec paramètres incertains

Etienne ARNOULT — Abdelhamid TOUACHE — Pascal LARDEUR

Université de Technologie de Compiègne

Laboratoire Roberval

BP 20 529

60 205 COMPIEGNE cedex

tel : (33) 3 44 23 45 49, fax : (33) 3 44 23 52 84

Etienne.Arnoult@utc.fr

RÉSUMÉ. Ce document présente une méthode de détermination rapide des fonctions densité de probabilité des fréquences propres d'une structure à partir de la connaissance des fonctions densité de probabilité des caractéristiques mécaniques de cette structure considérées comme incertaines. Dans sa forme actuelle, cette méthode est validée pour deux paramètres incertains, sans restriction sur le niveau d'incertitude, ni sur la taille des modèles éléments finis.

ABSTRACT. The purpose of this paper is to present a method to determine quickly the density of probability of the natural frequencies of a structure whose some mechanical parameters are uncertain. At this time, the method is already validated for two uncertain parameters without any restriction on the uncertainty level, nor on the number of degrees of freedom of the problem.

MOTS-CLÉS : éléments finis – incertitude – fréquence propre – dynamique des structures.

KEYWORDS: finite elements – uncertainty – natural frequency – structural dynamics.
# 1. Introduction

Les besoins industriels en termes de logiciels éléments finis ont évolué ces dernières années : au souci de la qualité des éléments finis utilisés, et des résultats auxquels ils conduisent, s'est ajoutée la nécessité de pouvoir prendre en compte le caractère incertain des données. Deux grands types de méthodes sont classiquement utilisées pour décrire ces dispersions : les approches de type possibiliste (déterminer l'intervalle d'appartenance d'une variable de sortie) (Dessombz et al., 2001, Donders et al., 2004), et les approches de type probabiliste (déterminer la fonction densité de probabilité d'une variable de sortie) (Kaminski, 2002).

# 2. Principe

La démarche proposée ici est probabiliste. Elle s'appuie sur un changement de variables opéré entre les fonctions densité de probabilité des entrées (dans nos exemples : modules d'Young) et les fonctions densité de probabilité des variables de sortie (dans nos exemples : les fréquences propres). Quelques résultats élémentaires sont rappelés dans les deux paragraphes suivants.

## 2.1. Cas d'une seule variable aléatoire

Soit X une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité est f. Soit U une autre variable aléatoire continue telle qu'il existe une relation de la forme X = Ψ(U). Alors la densité de probabilité g de U est obtenue par :

$$g(u) = f(x) \cdot \left| \frac{\partial \Psi}{\partial u} \right|$$

## 2.2. Cas de deux variables aléatoires

Soit X et Y deux variables aléatoires continues dont la densité de probabilité jointe est f. Soit U et V deux autres variables aléatoires continues telles qu'il existe deux relations de la forme X = Ψ₁(U,V) et Y = Ψ₂(U,V). Alors la densité de probabilité jointe g de U et V est obtenue par :

$$g(u, v) = f(x, y) \cdot |J| \quad \text{où } J \text{ est le jacobien de la transformation : } J = \det \begin{bmatrix} \frac{\partial \Psi_1}{\partial u} & \frac{\partial \Psi_1}{\partial v} \\ \frac{\partial \Psi_2}{\partial u} & \frac{\partial \Psi_2}{\partial v} \end{bmatrix}$$
### 3. Premier exemple (une variable) : poutre sur appui élastique

#### 3.1. Présentation du problème

Cet exemple plan est constitué d'une poutre de Bernoulli homogène, de section constante, simplement appuyée à ses deux extrémités. Les caractéristiques de la poutre sont $\rho$, $S$, $L$, $E$, $I$ (resp. : masse volumique, section, longueur, module d'Young et inertie de flexion). Un ressort de traction compression de rigidité $k$ est placé au milieu de la poutre (figure 1a).

Le module d'Young est considéré comme incertain et suit une loi normale définie par la valeur moyenne $E_{moy}$ et l'écart-type $\sigma_E$. On cherche la densité de probabilité associée à la première fréquence propre de la poutre (pour les autres fréquences, la démarche est strictement identique et ne requiert pas de calculs supplémentaires que ceux nécessaires à la résolution du problème aux valeurs propres).

La poutre est modélisée par des éléments finis de type poutre, possédant deux nœuds et deux degrés de liberté par nœud (déplacement transversal et rotation). Le nombre d'éléments finis du modèle est pris égal à 100 : ce maillage garantit la convergence pour la première fréquence. Tous les éléments finis possèdent le même module d'Young (même variable aléatoire).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1. a. Modèle éléments finis – cas d'une seule variable aléatoire –
b. Comparaison solution semi-analytique/approchée</figcaption></figure>

#### 3.2. Résultats

La première fréquence propre de la poutre est notée $f_1$. On cherche l'expression de la densité de probabilité $dp_{f1}$ de $f_1$ à partir de la donnée de la densité de probabilité $dp_E$ de $E$. La solution numérique est déterminée en utilisant une approximation de type différences finies pour évaluer la quantité $\partial\Psi / \partial f_1$ :

$$dp_{f1}(E) = dp_E(E) \cdot \frac{\partial\Psi}{\partial f_1}(E) \approx dp_E(E) \cdot \frac{\Delta E}{\Delta f_1}$$
La variable E est discrétisée sur l'intervalle $[E-3\sigma_E, E+3\sigma_E]$. Pour chacune des valeurs $E^{(i)}$, la valeur correspondante $f_i^{(i)}$ est calculée (résolution du problème aux valeurs propres). A partir des couples $(E^{(i)}, f_i^{(i)})$, il est alors possible de déterminer les valeurs de $dp_{f_i}$.

La figure 1b montre la solution semi-analytique (qui existe pour ce problème) et deux solutions calculées par changement de variable, la première avec une discrétisation grossière pour E (10 valeurs) et la seconde avec une discrétisation plus fine (30 valeurs) (pour ce calcul, c.o.v.(E) = 10 %).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2. a. $Fonction E= \Psi(f_1)$ – b. influence de $\sigma_E$</figcaption></figure>

Le changement de variables fourni dans tous les cas une très bonne approximation de la densité de probabilité de $f_1$. Ce résultat tient notamment à la forme quasi-linéaire de la fonction $\Psi$ pour ce problème (voir figure 2a). Par ailleurs, une discrétisation de E en 30 valeurs est suffisante pour obtenir la densité de probabilité de $f_1$ avec une bonne définition, même avec de grandes valeurs de $\sigma_E$ (voir figure 2b).

Le nombre de calculs nécessaires pour obtenir la densité de probabilité de $f_1$ est 30, là où une méthode de type Monte-Carlo requiert au moins 4000 calculs, pour une convergence à 1 % sur la valeur moyenne et l'écart type (Touache, 2003).

# 4. Second exemple (deux variables) : poutre sur appui élastique

## 4.1. Présentation du problème

Cet exemple plan est constitué de l'assemblage soudé de deux poutres de Bernoulli homogènes, de même section constante. L'assemblage est simplement appuyé à ses deux extrémités. Les caractéristiques identiques des deux tronçons de poutre sont $\rho$, $S$, $L/2$, $I$ (resp. : masse volumique, section, longueur et inertie de flexion). Chaque tronçon possède son propre module d'Young (figure 3a).
Les modules d'Young sont considérés comme incertains (variables indépendantes) et suivent des lois normales. On cherche la densité de probabilité associée à la première fréquence propre de la poutre assemblée.

La poutre est modélisée par des éléments finis décrits dans le paragraphe 3. Le nombre d'éléments du modèle est pris égal à 100 (50 éléments par tronçon).

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 3.**
a. Modèle éléments finis – cas de deux variables aléatoires –
b. Densité de probabilité jointe de $f_1$ et $E_2$</figcaption></figure>

## 4.2. Démarche initiale

On utilise le changement de variables présenté dans le paragraphe 2.2., avec $x = E_1$, $y = E_2$, $u = f_1$ et enfin $v = E_2$. Ce dernier choix permet d'obtenir :

$$J = \frac{\partial E_1}{\partial f_1}$$

On en déduit la définition de la densité de probabilité jointe $d_{j_{f_1,E_2}}$ de $f_1$ et $E_2$ en fonction de la densité de probabilité jointe $d_{j_{E_1,E_2}}$ de $E_1$ et $E_2$ :

$$d_{j_{f_1,E_2}}(E_1, E_2) = d_{j_{E_1,E_2}}(E_1, E_2) \frac{\partial \Psi_1}{\partial f_1}$$

Les variables $E_1$ et $E_2$ sont discrétisées en $n_1$ et $n_2$ valeurs ; la démarche numérique est alors la suivante : pour chaque valeur de $E_2^{(i)}$, on commence par déterminer la densité de probabilité jointe $d_{j_{f_1,E_2}}(E_1, E_2^{(i)})$ en utilisant la démarche du paragraphe 3, ce qui donne les $n_2$ courbes (ayant chacune $n_1$ points) de la figure 3b. La densité de probabilité $dp_{f_1}$ de $f_1$ est alors obtenue par somme :

$$dp_{f_1}(E_1, E_2) = \sum_{i} d_{j_{f_1,E_2}}(E_1, E_2^{(i)})$$

Ceci permet d'obtenir le résultat de la figure 4. Le nombre de résolutions de problèmes aux valeurs propres pour arriver à ce résultat est donc $n_1 \times n_2$.
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Figure 4.** *De la densité de probabilité jointe à la densité de probabilité de f₁*</figcaption></figure>

**4.3. Démarche modifiée**

Il a été observé que toutes les courbes obtenues à $E_2^{(i)}$ fixé lors de la démarche précédente sont homothétiques : chaque courbe définie pour $E_2^{(i+1)}$ peut se déduire de la courbe définie pour $E_2^{(i)}$ par une translation et une dilatation (deux paramètres à calculer). Il est ainsi possible de réduire le nombre de calculs à $n_1+2n_2$, rendant ainsi la méthode très compétitive par rapport à un tirage de Monte-Carlo. Les résultats obtenus en utlisant cette approche sont alors identiques à ceux de la figure 4.

**5. Conclusion**

La méthode proposée est validée pour un problème comportant deux variables incertaines, sans restriction sur le niveau d'incertitude de ces variables. Elle doit à présent être validée sur un problème possédant davantage de variables incertaines.

**6. Bibliographie**

Dessombz O., Thouverez F., Laîné JP., Jézéquel L., « Analysis of mechanical systems using interval computations applied to finite element methods », *Journal of Sound and Vibration*, vol. 239, n°5, 2001, p. 949-968.

Donders S., Vandepitte D., Van de Peer J., Desmet W., « The short transformation method to predict the FRF of dynamic structures subject to uncertainty », *ISMA2004*, Louvain, 20-22 septembre 2004, CDROM, p. 3043-3054.

Kaminski M., « Stochastic perturbation approach to engineering structure vibrations by the finite difference method », *Journal of Sound and Vibration*, vol. 251, n°4, 2002, p. 651-670.
Touache A., Prise en compte des incertitudes dans le calcul des fréquences propres des modèles éléments finis, Université de Technologie de Compiègne, 2003.