### III.7 Conclusion de l'étude de « J'apprends les maths CE2 »

On peut tout d'abord conclure à une place centrale donnée à cet aspect décimal de la numération qui est un enjeu essentiel pour les auteurs. C'est ce qui semble orienter les auteurs dans leurs choix de type de tâches. On a donc ici une importance donnée aux types de tâches « nombre de » et « dénombrer » et au contraire une absence de lire/écrire (nous ne l'avons trouvé que dans des courts moments d'échauffement de début de séance où il s'agit d'écrire des nombres en chiffres sur l'ardoise) et une place insignifiante à comparer. Ce choix des types de tâche est en opposition avec ce que nous avons pu voir dans le programme.

Concernant les ostensifs, on trouve ici une utilisation privilégiée des ECPD et des nombres en paquets (avec les groupes de 10, 100, 1000), comme le montre le fait par exemple que la formulation de l'aspect décimal se fasse avec cet ostensif (« 1000 c'est 10 groupes de 1000 ... »).

On peut noter la présence de la numération en unités qui remplace parfois les « groupes de » (et qui n'est donc pas seulement utilisée pour nommer les rangs dans le nombre en chiffres) mais une absence totale des ECPDG ainsi qu'une absence des nombres en mots.

Il semble que l'on ait ici une OM proche de l'OMR moderne adaptée avec l'utilisation des « groupes de » à la place des « paquets de ». Les technologies semblent toujours s'appuyer sur les règles de numération (aspect positionnel et aspect décimal) sans apparaître comme des règles positionnelles de calcul (c'est ce qui la distingue de l'OMR moderne). Quand il est dit par exemple que « 1000 c'est 10 groupes de 100 » cela fait référence aux échanges et groupements avec le matériel de numération et non à une multiplication par 10 ou à un ajout de groupes de 100 par addition posée par exemple. Par contre pour l'aspect positionnel on ne voit pas clairement comment il est pris en charge : par l'addition posée comme dans l'OMR moderne adaptée ? Ou bien par utilisation des unités de la numération comme dans l'OMR classique ? Cela n'apparaît pas clairement.

Enfin, il semble que l'on considère, dans ce manuel, les techniques de comptage comme étant des techniques sur lesquelles les élèves peuvent s'appuyer tout en cherchant à montrer leurs limites. L'utilisation des règles de la numération devrait ainsi apparaître comme un moyen plus efficace pour dénombrer les collections.

### III.8 Conclusion de l'étude des manuels : comparaison des OM locales

L'OM locale de « J'apprends les maths » est centrée autour des relations entre les unités : tous les types de tâches travaillés doivent permettre d'utiliser ces relations. L'aspect positionnel apparaît moins clairement.

Dans « Cap Maths », on peut voir une progression qui est, elle, marquée par la succession de différents types de tâches avec une mise en place des éléments technologiques en début de progression (aspect décimal et positionnel). Cependant, l'aspect décimal, comme élément technologique, y apparaît moins nettement que dans l'autre manuel et n'est pas une priorité affichée par les auteurs. Du coup les types de tâches travaillés ne sont pas tout à fait les mêmes et surtout l'importance accordée à chacun des types de tâche est différente entre les deux manuels.

Nous avons synthétisé les différences et points communs des OM locales des deux manuels dans le tableau suivant.

<table><thead><tr><th></th><th>« Cap Maths » CE2</th><th>« J'apprends les maths » CE2</th></tr></thead><tbody><tr><th rowspan="2" scope="rowgroup">Types de tâches</th><td>Dans les deux manuels on trouve les types de tâches, « nombre de », « comparer » et « avancer/reculer dans la suite des nombres »</td><td>Absence de « décomposer/recomposer », lire/écrire un nombre ».</td></tr><tr><td>Absence de « dénombrer »</td><td>Absence de « décomposer/recomposer », lire/écrire un nombre ».<br/>Moindre importance à « comparer » (un seul exercice).</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau 8 : comparaison des organisations mathématiques locales de « Cap Maths CE2 » et « J'apprends les maths CE2 »</caption><tr><td></td><td>Présence importante des types de tâches « lire/écrire » et « comparer »</td><td>Présence importante des types de tâches « nombre de » (importance affirmée par les auteurs) et « dénombrer ».</td></tr><tr><td>Techniques</td><td>Les techniques visées sont relativement communs (« comparer » et « avancer/reculer »), l'utilisation de règles positionnelles de calcul et au niveau des techniques de base attendues et enfin des ostensifs utilisés.<br/>Pour le type de tâche « recomposer » par exemple : on a ici l'utilisation de l'addition posée ou de la « règle des zéros » qui apparaissent comme des techniques que peuvent utiliser les élèves (procédures de base).<br/>Technique visée : associer la valeur de l'unité à sa position ou utilisation de règles positionnelles de calcul.<br/>Ostensifs utilisés : ECPD, ECPDG, nombre en unités. Le tableau de numération est présenté mais il est précisé que son utilisation systématique est à éviter dans les techniques.<br/>Pour le type de tâche « nombre de » on peut noter que la technique de « découpage » de l'écriture chiffrée apparaît toujours à côté de la technique utilisant la multiplication par 10, 100 et qu'elle n'est pas justifiée par les relations entre les unités.</td><td>Pour le type de tâche « dénombrer », le comptage a une place importante du fait de la présence de collections représentées (matériel de numération), mais elle est décrite par les auteurs comme procédure de base.<br/>Technique visée : associer la valeur de l'unité (matérialisée par des billes, boites, ...) à sa position.<br/>Ostensifs utilisés : « groupes de 10 », numération en unités, matériel de numération représenté.<br/>Absence du tableau de numération.<br/>Pour le type de tâche « nombre de » cette technique de « découpage » de l'écriture chiffrée est assumée par les auteurs (elle apparaît dans le « j'ai appris ») tout en étant justifiée par les relations entre unités.</td></tr><tr><td>Technologies</td><td>Aspect positionnel : on observe des différences.<br/>C'est un élément technologique essentiel.<br/>Les ostensifs pour évoquer la position d'un nombre sont : « paquets de », la numération en unités.<br/>Dans le travail sur le nombre en mots le mot « mille » est associé à un rang dans l'écriture.<br/>Le tableau de numération est un ostensif qui permet de montrer les éléments technologiques (aspect positionnel et liens entre ECPD et unités de la numération).<br/>Aspect décimal : les relations entre les unités ne sont pas traitées de la même manière dans les deux manuels :<br/>Les relations entre les unités de la numération, en particulier avec le millier n'apparaissent pas (elles interviennent uniquement dans la technique d'ajout/retrait d'unités en faisant des échanges, mais sur les unités inférieures au millier).<br/>La règle des zéros (multiplication par 10, 100 ... ) apparaît comme élément technologique.<br/>Concernant ces échanges sur les unités inférieures au millier, cela se fait avec les ECPD (et les « paquets de »).</td><td>C'est un élément technologique qui n'est pas mis en avant.<br/>Les ostensifs pour évoquer la position d'un nombre sont « groupes de 100 », « centaine », ou « valises » par exemple (mais on peut remarquer qu'ils font davantage référence à la valeur qu'à la position).<br/>Il n'y a pas d'ostensif utilisé pour montrer le lien entre ces unités et la position dans le nombre en chiffres.<br/>Une place centrale est donnée aux relations entre les unités de la numération.<br/>Les relations « 1000 c'est 10 groupes de 100, c'est aussi 100 groupes de 10 » sont utilisées et données dans le « j'ai appris ».<br/>C'est donc l'ostensif « paquet de » qui permet d'évoquer cet élément technologique mais on peut noter également que le matériel de numération (représenté) est aussi un support privilégié. Les élèves ont par exemple à coller une étiquette d'une « malle » (groupe de 1000) pour recouvrir 10 « valises » (groupes de 100).</td></tr></table>

On peut donc voir des points communs et des différences dans les choix faits par les auteurs de ces manuels qui nous permettront de dégager par la suite des contraintes mais aussi des espaces de libertés pour les enseignants. Avant cela nous allons nous intéresser aux programmes 2007 et 2008.
# IV. OM des Instructions Officielles 2007 et 2008

## IV.1 Le programme 2007

On y retrouve le même découpage qu'en 2002 : « Désignations orales et écrites des nombres entiers naturels » et « Ordre sur les nombres entiers naturels » à l'intérieur de la même grande catégorie du programme (domaine) : « connaissance des nombres entiers naturels ».

Dans la phrase d'introduction du domaine, on retrouve mot pour mot une phrase du texte de 2002 : « Ils doivent comprendre les principes de la numération décimale, en particulier que la valeur des chiffres dépend de leur position dans l'écriture des nombres, en relation avec les activités de groupements et d'échanges qui la sous-tendent ». Cela est une référence explicite aux deux aspects de la numération et en particulier à l'aspect décimal à travers les « activités de groupements et d'échanges ».

On y retrouve également les mêmes types de tâches dont les formulations ont été elles aussi reprises mot pour mot sur celles de 2002.

Il n'y a pas de commentaires accompagnant ces instructions officielles, donc on ne voit pas aussi clairement apparaître l'organisation mathématique en jeu (au niveau des techniques et technologies), mais comme il n'y pas d'évolution des types de tâches (et que l'on retrouve en particulier encore cette expression « valeur des chiffres en fonction de leur position » ainsi que les décompositions avec les ECPDG), tout laisse à penser que les techniques et technologies sont, elles aussi, les mêmes que celles que nous avons présentées pour le programme 2002. D'ailleurs ces programmes servent à faire des ajustements pour mettre en cohérence et adapter les programmes au socle commun.

Il y a ainsi une distinction qui est faite dans ce programme entre les « capacités » et les « connaissances » que l'on peut rapprocher de la distinction bloc pratique/bloc théorique de la TAD. On peut alors noter que l'élément technologique « connaître la valeur de chacun des chiffres composant l'écriture d'un nombre entier en fonction de sa position » qui apparaissait en 2002 comme un type de tâche fait ici partie des « connaissances » du sous domaine « désignation orale et écrite des nombres entiers naturels ». Il prend ainsi une place plus appropriée comme élément technologique. Cependant on peut alors se demander ce que devient le type de tâche « nombre de » qui y était associé. Si on ne regarde que les capacités attendues, on peut l'interpréter comme une disparition de ce type de tâche. Cela n'est pas anodin car pour le programme 2002 il s'agissait du seul type de tâche pour lequel on pouvait rencontrer l'aspect décimal de la numération. Comment est alors travaillé cet élément technologique dans ce programme ? Il apparaît pourtant comme élément technologique essentiel (comme nous l'avons relevé à travers la référence aux activités de groupements et d'échanges) mais il n'a plus de type de tâche qui permettrait de le « nourrir ». On peut alors se demander comment les élèves peuvent rencontrer ces activités de « groupements et d'échanges ».

Pour les types de tâche concernant l'ordre sur les entiers, la « connaissance » citée est « connaître le sens des signes < et > » mais il n'est plus fait référence à la valeur des chiffres. On peut trouver une trace de l'ostensif nombre en ECPDG avec les décompositions/ recompositions : « donner diverses décompositions d'un nombre en utilisant 10, 100, 1000..., et retrouver l'écriture d'un nombre à partir d'une telle décomposition ».

Par contre on ne voit plus l'ostensif nombre en unités. On peut noter que dans le programme précédent il n'apparaissait en fait que dans les commentaires du document d'application. Avec la disparition de ce document, on assiste donc à la disparition, dans le texte du programme, de cet ostensif.

On peut donc conclure que ce programme s'inscrit dans la même lignée que le précédent, mais l'introduction de la distinction entre connaissances et capacités semble amener avec elle
la disparition du type de tâche « nombre de ». De plus, l'absence de document d'application rend invisible les ostensifs utilisés (hormis les ECPDG).

*Remarque* : le texte du Socle Commun de 2007 n’apporte rien de nouveau par rapport au texte du programme, nous ne l’avons donc pas utilisé.

## IV.2 Le programme 2008

C'est un texte qui, dans son ensemble, est nettement raccourci par rapport aux textes précédents. Voilà ce qu'en dit le ministre dans l'introduction :

> « J'ai voulu que ces outils essentiels à votre activité soient plus lisibles, plus courts et qu'ils constituent des références utiles dans votre pratique quotidienne. » (X.Darcos)

L'étude du système de numération se fait toujours dans le domaine intitulé « Les nombres entiers naturels » (qui remplace « connaissance des nombres entiers naturels »).

On n'a plus le découpage en deux sous domaines comme dans les textes précédents, ni la dissociation connaissances/capacités du programme 2007.

Les compétences attendues en fin de cycle sont :

- « principes de la numération décimale de position : valeur des chiffres en fonction de leur position dans l'écriture des nombres ;

- désignation orale et écriture en chiffres et en lettres ;

- comparaison et rangement de nombres, repérage sur une droite graduée, utilisation des signes > et < ; »

Ce sont des compétences que l'on avait déjà dans les IO précédentes, avec les mêmes formulations.

Cependant on ne retrouve plus de trace des décompositions et recompositions qui ont peut-être été intégrées à l'élément technologique « principe de la numération décimale de position ... ».

Du coup il n'apparaît plus que les ostensifs nombre en chiffres et nombre en mots. On assiste donc à la disparition du nombre en ECPDG dans les textes des programmes.

On peut se demander à quel type de tâche correspond désormais l'expression « valeur des chiffres en fonction de leur position ». Si on se réfère aux IO de 2002 cela pourrait faire référence au type de tâche « nombre de ». Mais cette expression pourrait également faire référence aux décompositions/ recompositions puisque après avoir été mises en parallèle dans le programme 2007 (l'une dans les « capacités » et l'autre dans les « connaissances »), elles semblent maintenant confondues.

Et peut-être aussi le type de tâche « Produire des suites orales et écrites de 1 en 1, 10 en 10, 100 en 100, à partir de n'importe quel nombre », dont on ne retrouve plus de trace et qui a été lui aussi une victime de la « coupe » faite à partir des programmes précédents.

Il est à noter que les techniques associées à ce type de tâche pouvaient permettre de mettre en jeu à la fois l'aspect positionnel et décimal de la numération. Il ne reste donc plus que les compétences sur la « valeur des chiffres en fonction de leur position » qui pourraient permettre de faire apparaître l'élément technologique « relations entre les unités » (aspect décimal). Mais le manque de visibilité des types de tâches associés à cette formulation (notamment si on ne prend pas en compte les documents d'application des programmes 2002) peut nous faire penser que cet élément technologique est minoré dans ces derniers programmes.

On peut par exemple lire dans le tableau de progression qui est proposé à la fin du programme, pour la classe de CE2 : « *Les nombres entiers jusqu'au million*

- Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu'au million.

- Comparer, ranger, encadrer ces nombres ».
Le « principe de la numération décimale de position : valeur des chiffres en fonction de leur position dans l'écriture des nombres » se transforme donc ici en « connaître [...] les nombres entiers jusqu'au million ». On peut même se demander si « connaître » ce n'est pas finalement « savoir écrire et nommer ». D'ailleurs cela est le cas au CP ou au CE1 où on peut lire : « connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers ». « Connaître » c'est donc bien ici savoir lire et écrire les nombres ...

Cependant la proximité des compétences attendues (on retrouve des formulations équivalentes par rapport aux textes précédents mais avec quelques « coupes » comme nous l'avons vu), peut nous faire penser que les techniques et technologies à l'œuvre (pour les types de tâches restants) restent toujours les mêmes.

Il faudra nous appuyer sur d'autres sources pour pouvoir peut-être affiner ce constat et en particulier voir les ostensifs utilisés, c'est pourquoi nous poursuivons avec l'étude des évaluations nationales associées à ce programme.

## IV.3 Les évaluations nationales CM2 de 2009

Concernant les nombres entiers, on trouve les types de tâches suivants : écrire un nombre entier en chiffres, comparer deux nombres entiers, placer un nombre entier sur une droite graduée.

Pour le dernier l'intérêt nous semble plutôt du côté du placement des nombres décimaux car pour les nombres entiers la taille des nombres est petite et, après avoir repéré le type de graduation, il suffit de compter (pour 19 on peut s'appuyer sur la décomposition $19 = 10 + 9$) :

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>Figure 28 : extrait de l'évaluation nationale CM2 de 2009</figcaption></figure>

Ce sont des types de tâches pour lesquels seul l'aspect positionnel de la numération est en jeu. Cela confirme ce que nous avons relevé à la lecture des programmes mais ne nous dit pas ce que les programmes entendent par « connaître [...] les nombres entiers » car il n'y a pas de type de tâche s'y rattachant ici.

On ne voit pas non plus d'autres ostensifs en jeu ici que le nombre en chiffres et le nombre en mots.

## IV.4 Conclusion sur les IO 2007 et 2008

Nous avons affaire à des programmes de moins en moins précis, notamment concernant les types de tâches. En effet l'utilisation de l'expression « valeur des chiffres en fonction de leur position » (qui réfère aux éléments technologiques de la numération) ne laisse pas apparaître les types de tâches qui s'y rattachent.

Certains types de tâches prennent une place importante dans les évaluations (lire/écrire et comparer), d'autres au contraire y sont complètement absents. Cela est dans la continuité des évaluations liées aux programmes de 2002.

Nous avons également remarqué un manque de clarté sur les ostensifs utilisés. Dans les derniers textes, on ne voit plus que le nombre en chiffres et le nombre en mots.

On assiste donc à un appauvrissement du point de vue des types de tâches mais aussi des ostensifs utilisés.

Enfin, l'invisibilité des types de tâches précédemment cités (en particulier « nombre de ») a pour conséquence une centration sur l'aspect positionnel de la numération.
On peut alors se demander l'interprétation qu'un nouvel enseignant ne connaissant pas le programme de 2002 pourrait faire de cette formulation ou encore de « Connaître [...] les nombres entiers jusqu'au million ». On peut penser que ce sont les interprétations des auteurs de manuels et le poids des programmes précédents sur ces auteurs qui pourraient influencer les choix de cet enseignant.

# V. Synthèse : les contraintes et libertés institutionnelles

Pour déterminer les contraintes institutionnelles, nous nous sommes appuyé sur les points communs entre les documents étudiés : IO, évaluations et manuels. Les libertés ont donc, elles, étaient reconstruites à travers les différences observées. En particulier nous avons noté de nombreuses différences entre les deux manuels étudiés qui sont à l'origine de la plupart des espaces de libertés pour les enseignants. Le flou laissé par les derniers programmes peut aussi être interprété comme un espace de liberté mais comme nous avons montré qu'il semble malgré tout s'inscrire dans la continuité du programme de 2002 (au niveau de l'organisation mathématique) nous avons pris ce dernier programme comme principale référence au niveau des instructions officielles.

## a) Les contraintes institutionnelles

On peut observer une centration sur certains types de tâches (lire/écrire et comparer) dans les IO récentes et les évaluations nationales. Ceci est quand même à nuancer avec ce que nous avons pu voir dans le manuel « J'apprends les maths » qui au contraire met l'accent sur d'autres types de tâches (recomposer, dénombrer). Nous trouvons également dans les deux manuels le type de tâche avancer/reculer dans la suite des nombres.

Ce phénomène a des conséquences au niveau technologique car ces deux types de tâches (lire/écrire et comparer) mettent en jeu uniquement l'aspect positionnel de la numération. Cet élément technologique est lui-même d'ailleurs très lié au type de tâche décomposer/recomposer qui nécessite le lien entre les unités et les rangs dans le nombre en chiffres, mais nous avons remarqué que ce type de tâche n'est plus visible dans le dernier programme.

Cette prédominance des types de tâche cités a du coup pour conséquence la minoration de l'aspect décimal : dans les programmes successifs, il n'apparaît pas explicitement comme un savoir essentiel ou bien n'a pas les types de tâches qui pourraient le faire vivre. Il apparaît par le travail sur le type de tâche « nombre de » qui est nommé dans les IO « valeur d'un chiffre en fonction de sa position » (en particulier en 2002). Mais il nous semble que cette expression recouvre les deux aspects de la numération sans faire apparaître suffisamment explicitement l'aspect décimal.

Nous avons pu noter que les ostensifs privilégiés pour évoquer le nom des unités (ou pour travailler avec ces unités) étaient les ECPD (1, 10, 100 et 1000) ou les « paquets de ». Pour les décompositions ce sont donc les ECPDG qui sont utilisées, cependant, ils ne sont plus visibles dans les derniers programmes. On ne trouve pas de décomposition utilisant les expressions « paquets de ». Cela est certainement lié au fait que l'on ne s'autorise pas (ou peu) à mêler la langue naturelle à des symboles algébriques (signes d'égalité et d'addition) ce qui nous semble être une contrainte non spécifique à la numération. On peut d'ailleurs penser, comme nous l'avons signalé dans la partie B, que c'est aussi une des raisons de la disparition des unités de la numération dans les décompositions. Dans les programmes, comme dans un des manuels (Cap Maths) on ne trouve alors que des techniques concrètes (c'est à dire utilisant des nombres concrets). Cela est lié à l'utilisation des unités en ECPD (1, 10, 100, 1000).

Les unités de la numération servent principalement à désigner les rangs dans l'écriture chiffrée (aspect positionnel) et semblent perdre leur signification d'unité de mesure (une
dizaine par exemple sert à mesurer en « paquets de 10 ») qui permet justement d'exprimer les relations entre les unités (avec l'idée de groupements et d'échanges qui les sous-tend). De plus l'expression « paquets de » nous semble faire référence plutôt à des quantités (groupées) donc permettre de faire référence à l'aspect décimal mais est-elle réellement utilisée pour dire le nom des rangs ? Comment se fait le lien entre ces « paquets de 10 et la position des chiffres dans le nombre en chiffres ?

La conjonction de l'aspect décimal et de l'aspect positionnel de la numération est donc prise en charge par les unités en ECPD, c'est-à-dire les nombres 1, 10, 100 et 1000.

Nous avons dit que l'aspect positionnel a une place centrale au niveau des technologies mais en même temps les programmes (en particulier ceux de 2002) font preuve d'une certaine suspicion vis-à-vis du tableau de numération (mais nous l'avons vu utilisé dans le manuel « Cap Maths »). Comment se fait alors le lien entre les unités et la position des chiffres ? Ce sont justement les unités en ECPD et « paquets de » qui le permettent. Nous l'avons observé de deux façons différentes. Par exemple pour 1000 ou 1 paquet de 1000, la position correspondante dans l'écriture en chiffres peut être donnée par la position du 1 de 1000. Dans ce cas, on peut même voir que parfois la numération en unités peut être un intermédiaire : 1000 ou un paquet de 1000 c'est 1 millier (car on lit « mille »), c'est-à-dire 1 au quatrième rang (avec la signification de « millier » comme nom d'un rang). C'est pour cette raison que dans « Cap Maths » le tableau de numération possède deux marges du haut : une avec les ECPD et l'autre avec les unités de la numération, ce qui permet de faire le lien entre les deux. Nous avons aussi vu que l'aspect positionnel peut être pris en charge par des règles positionnelles de calcul (règle de juxtapositions de zéros).

De plus, hormis dans un des manuels étudiés (« J'apprends les maths »), nous ne voyons pas de trace de dénombrement de collections. Il n'est jamais fait référence (même dans le manuel en question) à des activités de groupements et d'échanges d'objets d'une collection physique. Il n'est pas fait référence dans les programmes à l'utilisation de matériel de numération. On peut toutefois en voir dans les manuels : dans « Cap Maths » il s'agit de cartes avec les ECPD (1, 10, 100, 1000), donc d'un matériel où les unités sont marquées symboliquement. Il est utilisé ponctuellement (lors d'une séance). C'est un matériel manipulable : on a donc la possibilité de faire des groupements et échanges (on peut par exemple grouper 10 cartes 100 et les échanger contre 1 carte 1000). Dans « J'apprends les maths » il s'agit d'un matériel où les unités sont également marquées symboliquement mais peuvent toutefois être visibles, par exemple on voit une « valise » ouverte avec 10 « boites » (de 10 billes qui, elles, ne sont pas visibles) à l'intérieur ou encore une « malle » avec 10 « valises ». Dans ce dernier cas il s'agit d'un matériel représenté (les groupements sont donc déjà réalisés et les échanges se font éventuellement par collage d'une « valise » ou d'une « malle ». Le matériel est utilisé systématiquement dans les séances de numération.

On peut noter que le compteur est aussi un ostensif qui apparaît dans les textes du programme 2002 et dans le manuel « J'apprends les maths » où il est représenté. Il permet de travailler ce qu'on peut appeler l'aspect algorithmique de la suite écrite des nombres (« pour mettre en évidence les régularités des suites de nombres écrits en chiffres » comme il est précisé dans le programme 2002). Cela est associé au type de tâche avancer/reculer (dans la suite écrite).

Enfin, il nous semble avoir pu noter un certain logocentrisme des programmes 2002 qui nous fait penser que les techniques ne sont pas mises en avant (excepté pour avancer/reculer et comparer) au risque de provoquer des activités trop « formelles » chez les élèves. Dans les programmes suivants l'orientation est beaucoup moins claire du fait de l'absence de documents d'application.

b) Les espaces de libertés :
Dans les dernières IO, on ne voit plus apparaître d'ostensif (hormis le nombre en chiffres et le nombre en mots), ce qui peut laisser apparaître un espace de liberté quant à l'utilisation des ostensifs, même si le poids du passé nous semble important.

Il y a certains choix faits par les auteurs du manuel « J'apprends les maths » qui nous montrent que malgré l'influence importante des programmes et du manuel « Cap Maths », il existe d'autres choix possibles pour l'enseignement de la numération.

Pour les types de tâches, même s'il y a une domination de lire/écrire et comparer, on peut voir que dans ce manuel, ce n'est pas le cas. Il est donc possible de donner plus de place par exemple aux types de tâches « nombre de » (comme cela semblait être le cas dans les commentaires des programmes de 2002) ou même au dénombrement (qui n'apparaît pas comme type de tâche dans les programmes ni dans « Cap Maths »).

Concernant le niveau technologique, malgré le peu de place accordée à l'aspect décimal de la numération dans tous les programmes récents et dans « Cap Maths », on peut remarquer son importance dans « J'apprends les maths » qui en fait l'élément central de la progression.

Au niveau des ostensifs, même si la recommandation des programmes 2002 concernant l'utilisation du tableau de numération (« il convient d'éviter les activités formelles et l'utilisation trop systématique du tableau de numération ») risque de peser sur les choix des enseignants, on peut remarquer que celui-ci est présent dans le manuel « Cap Maths ». On peut également noter un espace de liberté possible concernant l'utilisation de matériels de numération car même s'ils ne sont pas évoqués dans les programmes, ils sont utilisés dans les manuels. Enfin, malgré une présence importante des ECPD et « paquets de » (ou « groupes de ») dans les documents étudiés, on peut noter que les ECPDG ne sont pas utilisées dans « J'apprends les maths » et n'apparaissent pas non plus dans les derniers programmes officiels. Nous avons même noté que dans ce manuel les unités de la numération ne servent pas qu'à désigner le nom des rangs dans le nombre en chiffres mais évoquent les unités de la numération comme des unités de mesure de quantités au même titre que l'expression « groupe de ».

Pour finir, précisons toutefois qu'il s'agit de contraintes et d'espaces de libertés possibles dans l'institution (qui pourrait d'ailleurs gagner en précision en étudiant davantage de manuels) mais que pour un enseignant donné il se peut qu'il n'ait pas accès par exemple à un des deux manuels étudiés ou encore qu'il en utilise d'autres (relevant même de programmes plus anciens). Cela signifie que son espace de liberté et les contraintes qui vont peser sur ses choix ne peuvent pas être exactement ceux qui sont présentés ici, même s'ils devraient toutefois en être assez proches.
# PARTIE D : L'enseignement de la numération dans les classes : une étude de cas.

Afin d'étudier l'enseignement de la numération dans les classes nous avons observé deux enseignants de CE2 sur trois séances, lors de l'introduction des nombres à quatre chiffres. Nous allons en faire une étude en deux temps en commençant par le projet global de chaque enseignant suivi de la mise en œuvre d'une situation en classe. Nous commencerons par présenter quelques éléments de méthodologie spécifiques à cette partie.

## I. Méthodologie

### I.1 Le projet global, le projet local et la mise en œuvre

Nous allons faire une analyse en deux parties. Nous commencerons par essayer de déterminer le projet global des enseignants puis nous étudierons sa mise en œuvre en classe à travers une situation choisie.

Le projet global de l'enseignant constitue ce que l'enseignant a prévu de faire étudier à ses élèves pour le thème de la numération des nombres à quatre chiffres.

Comme nous ne pouvons pas avoir accès directement à ce projet, nous allons le reconstruire à partir de l'organisation mathématique effectivement enseignée. Il est difficile d'avoir accès au travail de préparation de l'enseignant car il n'y a souvent pas de trace écrite de cette préparation et les entretiens éventuels avant la séance peuvent nous donner des informations mais ce n'est pas suffisant. Nous avons alors choisi de faire une reconstruction de ce travail à partir de nos observations de séances et également de cahiers d'élèves, pour les séances non observées. Cela nous permet de reconstituer les OM ponctuelles étudiées dans la classe (que nous mettons en parallèle avec le déroulement proposé par le maître pour les séances observées). Nous complétons cette analyse par des entretiens pour nous assurer que ce qui a été mis en œuvre dans la séance correspond bien à ce que l'enseignant avait projeté. Cela permet de reconstruire le niveau +1 de projet local de l'enseignant pour les séances observées. La succession des OM ponctuelles nous permet de recomposer l'OM locale de l'étude des nombres à quatre chiffres. Nous nous appuyons alors sur l'évaluation finale et encore sur nos entretiens (où nous cherchons cette fois des éléments plus globaux de la préparation) pour reconstruire le projet global (niveau +2) de l'enseignant. Les entretiens nous permettent également de commencer à recomposer des liens entre les différents niveaux de l'activité (influence du niveau idéologique sur le projet global, de sa connaissance des difficultés des élèves, ...).

Ce qui nous intéresse ici est en particulier d'étudier le poids du travail sur la conjonction de l'aspect positionnel et décimal de la numération dans le projet de l'enseignant. Plus généralement, cela nous permettra de mesurer l'influence des contraintes institutionnelles sur le projet des enseignants.

Nous nous proposons donc d'approcher ce projet global à travers divers types de données :
<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>Figure 29 : Méthodologie de l'analyse du projet global</figcaption></figure>

La mise en œuvre dans la classe d'une situation donnée concerne le niveau de l'action didactique, en classe, sur une situation donnée. Pour le choix de la situation, il s'agira de trouver un type de tâche qui est favorable pour travailler le lien entre aspect décimal et positionnel de la numération. Cela permettra de voir si dans les situations proposées il y a une possibilité a priori pour que ce lien apparaisse. Si cette possibilité existe, le maître va-t-il utiliser les possibilités du milieu ? Si cette possibilité n'existe pas a priori, le maître va-t-il quand même y faire appel ? Comment va-t-il traiter l'aspect positionnel sans prendre en compte l'aspect décimal ?

Nous nous appuierons sur notre observation en classe de la situation choisie pour laquelle nous avons des enregistrements et des prises de notes. Cela permettra de faire l'analyse de la situation du point de vue des élèves et des enseignants (nous pouvons éventuellement nous appuyer également sur une observation de séance de début d'année sur les nombres à trois chiffres) afin de définir le niveau 0 de l'activité de l'enseignant pour cette situation.

Nous utiliserons également nos entretiens afin d'essayer de recomposer les liens entre les différents niveaux de l'activité de l'enseignant, ce qui nous permettra de dégager certaines logiques d'action.

Nous utiliserons ici encore divers types de données :
<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>Figure 30 : méthodologie de l'analyse des mises en oeuvre</figcaption></figure>

## I.2 Le choix des classes et des enseignants

L'objectif est de fixer le maximum de variables comme le contexte de classe, l'expérience des enseignants ... afin de pouvoir interpréter au mieux les variations concernant les pratiques des enseignants. Malheureusement, nous n'avons pas réussi à fixer la variable des ressources utilisées et il existe une différence au niveau de l'expérience des deux enseignants observés.

* Le savoir : étude de la numération de position pour les nombres à quatre chiffres.

* Le contexte social, culturel des classes observées :

- en milieu rural à une vingtaine de kilomètres du chef lieu de département,

- des effectifs de classe assez proches,

- un double niveau identique : CE1/CE2 dans les deux classes. C'est un paramètre qu'il est important de fixer car il a une influence forte sur les pratiques des enseignants.

* Les enseignants (Sophie et Marc) :

- expérimentés (ce ne sont pas des débutants) mais Sophie n'a que 5 années d'expérience (et il s'agit de sa première année dans cette classe) contre 18 années pour Marc dont 11 ans dans cette classe ;

- utilisation de ressources différentes :

- Sophie utilise un guide du maître (ERMEL) pour les situations de recherche (introduction de nouvelles connaissances, réinvestissement, problèmes ouverts, ...) et propose des exercices d'application parfois issus d'un manuel (« Spirale CE2 »)

- Marc dit ne pas utiliser de manuel. Les fiches distribuées aux élèves sont manuscrites. Il a cependant déjà utilisé des manuels dans les années précédentes (« Cap Maths CE2 », « J'apprends les maths CE2 »).

## I.3 Recueil des données

Nous avons enregistré les séances observées à l'aide d'un dictaphone et nous avons pris des notes de ce qui se passait dans la classe. Concernant les OM ponctuelles, ce sont principalement nos notes qui nous ont servi à les reconstruire, les enregistrements venant compléter les descriptions plus précises des techniques et technologies qui apparaissent
publiquement dans les classes. Alors que pour l'analyse de l'action didactique (niveau 0) nous nous sommes appuyé sur des transcriptions de certains moments de la séance observée.

Nous avons observé trois séances pour chaque enseignant, ce qui ne constitue pas l'ensemble du travail sur la numération des nombres à quatre chiffres pour ces enseignants. Il y a donc eu des séances intermédiaires et/ou postérieures à celles que nous avons observées.

Pour ces séances que nous n'avons pas observées nous avons photocopié les cahiers des élèves (ces photocopies figurent en annexe) et nous avons aussi demandé lors des entretiens de nous préciser les exercices proposés lors des moments de travail sur ardoise qui ne laissent pas de trace des énoncés. Pour un des enseignants (Marc) la séquence a duré une majeure partie de l'année. Il n'a pas été possible d'avoir accès à tous ces moments collectifs oraux qui ne laissent pas de trace.

Nous avons également voulu, lorsque cela était possible, mener des entretiens de fin de séance avec les enseignants (enregistrés si possible) pendant lesquels nous leur demandions ce qu'ils pensaient de la séance par rapport à ce qu'ils avaient prévu.

Cependant ces entretiens ayant lieu « à chaud » (juste après la séance), donc pendant la récréation ou au moment du repas, il nous semble que nous n'avons pas eu le temps ni la disponibilité suffisante des enseignants pour qu'ils soient aussi riches que nous le souhaitions.

Nous n'avons pas utilisé de technique d'entretien particulière. L'objectif de ces entretiens étant simplement de chercher à compléter nos analyses avec le point de vue de l'enseignant.

Pour la deuxième enseignante, il nous a semblé y avoir une certaine réticence à faire des entretiens enregistrés en fin de séance. Nous avons alors choisi de les faire de façon plus informelle pendant le temps de récréation (sans enregistrer avec le dictaphone), et nous avons essayé d'en décrire le contenu par la suite.

Enfin pour les deux enseignants, nous avons fait un dernier entretien après l'évaluation finale de la séquence qui nous a permis de revenir sur le projet des enseignants et sur le regard qu'ils portaient sur les erreurs des élèves.

# II. Analyse du projet global des deux enseignants

## II.1 Méthodologie

### a) Tableaux d'observation des OM enseignées

Nous avons découpé les séances observées en épisodes qui correspondent à des moments différents de la mise en œuvre : présentation d'une situation, recherche des élèves, correction, ... Ce sont donc en particulier les changements de mode d'organisation qui indiquent un changement d'épisode, mais aussi les changements d'objet d'enseignement (quand on passe à un autre exercice mais que l'on reste en collectif, cela marque un changement d'épisode).

Nous utiliserons des tableaux de ce type :

<table><thead><tr><th>Épisode<br>Durée<br>Organisation</th><th>Type de tâche</th><th>Technique et éléments<br>technologiques</th><th>Ostensifs</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="4">Présentation succincte de la nouvelle activité à chaque changement d'activité, en italique.</td></tr><tr><td>Organisation, durée<br>Les nombres proposés au<br>cours de cet épisode (en<br>italique)</td><td>Les types de tâches en jeu.</td><td>Les techniques qui apparaissent<br>publiquement ainsi que<br>les éléments technologiques<br>(soulignés).<br>Des citations de l'enseignant ou<br>des élèves (en italique et entre<br>guillemets)</td><td>Les ostensifs utilisés</td></tr></tbody></table>
<caption>Tableau 9 : présentation des tableaux descriptifs des OM ponctuelles</caption>

Le déroulement y est mis en parallèle avec les types de tâches travaillés, les techniques et technologies rendues publiques ainsi que les ostensifs utilisés. Cela permet donc d'avoir de premières indications sur la mise en œuvre de ce projet à un niveau plus global (OM locale) : le temps passé sur chaque type de tâche, l'enchaînement des types de tâches, les moments où les techniques et/ou technologies apparaissent, etc.

On peut déjà noter que pour un type de tâche donné, il peut ne pas apparaître dans la classe de technique associée. On parlera alors de « technique invisible » dans une institution (Assude, Mercier, Sensevy, 2007) : « elles permettent de produire un résultat mais ne sont pas explicitées ». Il se peut aussi que pour une technique donnée on ne voie pas apparaître d'éléments technologiques. On parlera alors de « technique faible » : ce sont « celles qui permettent de produire un résultat et qui sont explicitées : la manière de faire peut être montrée à travers un discours de la technique ». Enfin si la technique est justifiée par un élément technologique, on parlera de « technique forte » : ce sont celles qui sont « non seulement explicitées mais aussi justifiées par une technologie ou théorie explicites ».

Au cours de notre expérimentation, il s'est posé le problème de la prise en compte du type de tâche « lire/écrire ». Celui-ci apparaît souvent dans les moments collectifs pour communiquer avec les nombres. S'il n'y a pas une prise en compte spécifique de ce type de tâche, nous considérons alors qu'il n'est pas travaillé. Si l'enseignant demande, par contre, explicitement à un élève de lire un nombre pendant une phase collective nous l'avons alors considéré comme travaillé.

b) Tableaux récapitulatifs du temps approximatif passé sur chaque type de tâche, technique, et technologie

Pour nous aider à analyser ces OM ponctuelles (après les avoir décrites dans les tableaux décrits ci-dessus) afin d'en dégager une OM locale, nous synthétiserons dans un tableau le temps total des phases dans lesquelles le type de tâche étudié est en jeu.

<table><caption>Tableau 10 : présentation des tableaux récapitulatifs du temps approximatif passé sur les types de tâche, techniques et technologies</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">Type de tâche</th><th colspan="3">Techniques</th><th colspan="2">Technologies</th></tr><tr><th>Collectif</th><th>Individuel/<br>en groupe</th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><th>Temps</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Cela ne signifie pas que le type de tâche est travaillé pendant tout ce temps mais nous permet d'avoir une approximation du temps passé sur chaque type de tâche (il s'agit en fait d'une majoration très grossière mais qui nous permet quand même de dire que tel type de tâche n'a pas été travaillé plus de tant de minutes ...). Pour les techniques et technologies, le temps indiqué correspondra au temps des phases collectives pendant lesquelles elles apparaissent publiquement.

c) Les entretiens

Les entretiens de fin de séance permettent de compléter et corriger éventuellement l'interprétation effectuée. Ils servent aussi à constituer l'OM locale en essayant de déterminer des choix globaux faits par les enseignants. Enfin, l'entretien final (suite à l'évaluation) peut permettre de mettre en évidence certains éléments dans la pratique du professeur correspondant aux différents niveaux dans le modèle des milieux du professeur de Margolinas. Ils seront complétés par l'analyse de l'action didactique dans la partie suivante
mais cela peut déjà permettre de mettre en évidence des liens entre ces différents niveaux. Par exemple de remarquer chez un enseignant l'importance d'une certaine conception de l'enseignement des mathématiques (niveau +3) ou bien des liens qu'il veut faire avec d'autres parties du programme (niveau +2), ou encore du poids de la prise en compte des procédures des élèves (niveau -1) dans l'avancement du projet, etc. Les niveaux de référence pour étudier ces liens étant ici les niveaux +1 et +2 (alors que dans la partie suivante ce sera autour du niveau 0).

Ce sont donc ces différents outils qui vont nous permettre de reconstruire le projet mis en œuvre par les enseignants tout en essayant d'avoir des informations sur d'éventuelles modifications par rapport à ce qu'ils avaient prévu.

## II.2 Le projet global du 1er enseignant (Marc)

Nous avons observé trois séances sur la numération. Il s'agit des trois premières séances. L'enseignant a ensuite poursuivi ce travail sur une très longue période de l'année (de novembre à juin). Pour les séances qui ont suivi nous avons eu accès aux fiches d'exercices distribuées par le maître. L'évaluation finale a donc été très tardive dans l'année (juin). Nous n'avons donc pas pu l'intégrer à notre étude mais le maître ayant fait une évaluation « intermédiaire » en avril, c'est celle-ci que nous utiliserons et nous demanderons à l'enseignant de nous préciser le contenu de l'évaluation finale prévue.

### a) Description des OM ponctuelles

Séance 1 (17/11/08) :

<table><thead><tr><th>Episodes Durée Organisation</th><th>Types de tâches</th><th>Techniques et éléments technologiques</th><th>Ostensifs utilisés</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="4">Nous avons choisi d'intégrer les activités de calcul mental dans l'OM de la séance car le maître a choisi d'y insérer des nombres à 4 chiffres. Par contre il s'agit bien pour le maître de types de tâches relevant du calcul donc nous ne prendrons pas en compte ces tâches dans l'OM locale (nous ne les numéroterons pas).</td></tr><tr><td colspan="4">Il s'agit ici de calculer mentalement des produits de nombres à un ou deux chiffres par 10 ou 100.</td></tr><tr><td>Recherche individuelle, 5'<br>Nombre à 4 chiffres :<br>100 × 43</td><td>T : multiplier par 10, 100</td><td></td><td>Nombre en chiffres</td></tr><tr><td>Correction collective, 5'</td><td>T : multiplier par 10, 100</td><td>T : écrire le nombre et<br>« ajouter le (ou les) zéros »</td><td>Nombre en chiffres,<br>nombre en mots (pour<br>communiquer le<br>résultat)</td></tr><tr><td colspan="4">Il s'agit maintenant de calculer mentalement des doubles de nombres à deux chiffres ou trois chiffres.</td></tr><tr><td>Recherche individuelle, 4'<br>Nombre à 4 chiffres : double<br>de 500 et double de 600</td><td>T : Calculer le double d'un<br>nombre de la forme n0 ou<br>n00 (n entier compris entre 1<br>et 9)</td><td></td><td>Nombre en chiffres</td></tr><tr><td>Correction collective, 2'</td><td>T : calculer le double d'un<br>nombre de la forme n0 ou<br>n00 (n entier compris entre 1<br>et 9)</td><td>T : écrire le double de n et<br>ajouter un ou deux zéros<br>« 6 et 6, 12 et je rajoute deux<br>zéros »</td><td>Nombre en chiffres,<br>nombre en mots (pour<br>communiquer le<br>résultat)</td></tr><tr><td colspan="4">L'activité suivante va consister à recomposer des nombres donnés en nombre en unités (par exemple 8c4d3u). Les élèves ont à disposition des étiquettes 1, 10, 100 qu'ils peuvent manipuler.</td></tr><tr><td>Distribution du matériel, 10'</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Recherche individuelle, 3'<br>Nombre à recomposer :<br>8c4d3u</td><td>T<sub>1</sub> : recomposer un nombre</td><td></td><td>Etiquettes 1/10/100,<br>nombre en chiffres et<br>nombre en unités</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau 11 : séance 1 Marc</caption><tr><td>Correction collective, 1'</td><td>T<sub>1</sub> : recomposer un nombre</td><td></td><td>Etiquettes 1/10/100, nombre en chiffres, nombre en mots et nombre en unités</td></tr><tr><td>Recherche individuelle, 4'<br>Nombre à recomposer : 32d</td><td>T<sub>1</sub> : recomposer un nombre</td><td></td><td>Etiquettes 1/10/100, nombre en chiffres et nombre en unités</td></tr><tr><td>Correction collective, 4'</td><td>T<sub>1</sub> : recomposer un nombre</td><td>T<sub>1,1</sub> : compter de 1000, en 1000, 100 en 100, 10 en 10 et 1 en 1 puis écrire le nombre (le maître fait dessiner au tableau les étiquettes et demande aux élèves de compter)<br>T<sub>1,2</sub> : pour les dizaines, écrire le nombre de dizaines et ajouter un zéro (« j'ai marqué 32 et j'ai ajouté un zéro »)</td><td>Etiquettes 1/10/100, nombre en chiffres, nombre en mots (pour communiquer le résultat) et nombre en unités</td></tr><tr><td>Recherche individuelle, 3'<br>Nombre à recomposer : 13c</td><td>T<sub>1</sub> : recomposer un nombre</td><td></td><td>Etiquettes 1/10/100, nombre en chiffres et nombre en unités</td></tr><tr><td>Correction collective, 3'</td><td>T<sub>1</sub> : recomposer un nombre</td><td>T<sub>1,1</sub> : compter de 1000, en 1000, 100 en 100, 10 en 10 et 1 en 1 puis écrire le nombre</td><td>Etiquettes 1/10/100, nombre en chiffres, nombre en mots (pour communiquer le résultat) et nombre en unités</td></tr><tr><td>Recherche individuelle, 4'<br>Nombre à recomposer : 12c8d1u</td><td>T<sub>1</sub> : recomposer un nombre</td><td></td><td>Etiquettes 1/10/100, nombre en chiffres et nombre en unités</td></tr><tr><td>Correction collective, 3'</td><td>T<sub>1</sub> : recomposer un nombre</td><td>T<sub>1,1</sub> : compter de 1000, en 1000, 100 en 100, 10 en 10 et 1 en 1 puis écrire le nombre</td><td>Etiquettes 1/10/100, nombre en chiffres, nombre en mots (pour communiquer le résultat) et nombre en unités</td></tr><tr><td>Recherche individuelle, 4'<br>Nombre à recomposer : 14c2u</td><td>T<sub>1</sub> : recomposer un nombre</td><td>« Dans les nombres qu'on est en train de chercher, on a millier, centaine, dizaine, unité » :<br>m c d u</td><td>Etiquettes 1/10/100, nombre en chiffres et nombre en unités</td></tr><tr><td>Correction collective, 3'</td><td>T<sub>1</sub> : recomposer un nombre</td><td>T<sub>1,1</sub></td><td>Etiquettes 1/10/100, nombre en chiffres, nombre en mots (pour communiquer le résultat) et nombre en unités</td></tr><tr><td>Recherche individuelle, 4'<br>Nombre à recomposer : 12c11d2u</td><td>T<sub>1</sub> : recomposer un nombre</td><td></td><td>Etiquettes 1/10/100, nombre en chiffres et nombre en unités</td></tr><tr><td>Correction collective, 15'</td><td>T<sub>1</sub> : recomposer un nombre</td><td>T<sub>1,1</sub><br>T<sub>1,2</sub> avec échanges : faire des échanges et associer le chiffre au rang correspondant dans l'écriture chiffrée.<br>10 dizaines c'est 1 centaine car 10×10=100</td><td>Etiquettes 1/10/100, nombre en chiffres, nombre en mots (pour communiquer le résultat) et nombre en unités</td></tr></table>
Séance 2 (18/11/08) :

<table><thead><tr><th>Episodes<br>Durée<br>Organisation</th><th>Types de tâches</th><th>Techniques et éléments<br>technologiques</th><th>Ostensifs utilisés</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="4">Le maître commence avec une activité de calcul mental faisant intervenir des nombres à quatre chiffres. Il s'agit de calculer des produits par 10, 100 ou 1000.</td></tr><tr><td>Recherche individuelle, 5'<br>Nombres à 4 chiffres :<br>403×10 et 4×1000</td><td>T : multiplier par 10, 100,<br>1000</td><td></td><td>Nombre en chiffres</td></tr><tr><td>Correction collective, 4'</td><td>T : multiplier par 10, 100,<br>1000</td><td>T : écrire le nombre et<br>« ajouter le (ou les) zéros »<br>Exemple : « on écrit 4 et on<br>rajoute les 3 zéros »</td><td>Nombre en chiffres,<br>nombre en mots (pour<br>communiquer le<br>résultat)</td></tr><tr><td colspan="4">Activité toujours sur ardoise, il s'agit de recomposer des nombres donnés en ECPDG et en unités.</td></tr><tr><td>Recherche individuelle, 3'<br>Nombre à 4 chiffres :<br>(4×1000) + (2×10) +<br>(3×100) + 8</td><td>T₁ : recomposer un nombre</td><td></td><td>Nombre en chiffres,<br>nombre en ECPDG,<br>numération en unités</td></tr><tr><td>Correction collective, 10'</td><td>T₁ : recomposer un nombre</td><td>T₄,₃ : lire le nombre en<br>remplaçant les ECPD par les<br>mots nombres associés puis<br>écrire le nombre<br>4×1000 c'est quatre mille, etc.<br>quatre mille trois cent vingt huit<br>c'est 4328<br>T₄,₁ (dessiner des paquets de<br>1000, 100 ... et compter)</td><td>Nombre en chiffres,<br>nombre en mots (pour<br>communiquer le<br>résultat), nombre en<br>ECPDG, nombre en<br>unités</td></tr><tr><td colspan="4">L'activité suivante est une reprise de l'activité de la séance 1 : recomposer des nombres donnés en nombre en unités (par exemple 3m2c4d2u). Les élèves ont à disposition des étiquettes 1, 10, 100 qu'ils peuvent manipuler.</td></tr><tr><td>Recherche individuelle, 4'<br>3m2c4d2u à recomposer</td><td>T₁ : recomposer un nombre</td><td></td><td>Nombre en chiffres et<br>nombre en unités</td></tr><tr><td>Correction collective, 4'</td><td>T₁ : recomposer un nombre</td><td>T₄,₁<br>T₄,₃</td><td>Nombre en chiffres,<br>nombre en mots (pour<br>communiquer le<br>résultat) et nombre en<br>unités</td></tr><tr><td>Recherche individuelle, 3'<br>4c11d à recomposer</td><td>T₁ : recomposer un nombre</td><td></td><td>Nombre en chiffres et<br>nombre en unités</td></tr><tr><td>Correction collective, 5'</td><td>T₁ : recomposer un nombre</td><td>T₄,₁<br>T₄,₄ : utilisation de la<br>technique de l'addition posée<br>en colonnes :<br>4<br>0110<br>mcd u<br>« On efface le 4 et le 1 et on<br>remplace par 5 ».</td><td>Nombre en chiffres,<br>nombre en mots (pour<br>communiquer le<br>résultat) et nombre en<br>unités</td></tr><tr><td>Recherche individuelle, 2'<br>14c à recomposer</td><td>T₁ : recomposer un nombre</td><td></td><td>Nombre en chiffres et<br>nombre en unités</td></tr><tr><td>Correction collective, 3'</td><td>T₁ : recomposer un nombre</td><td>T₄,₁<br>T₄,₂ :<br>« Tu mets le 1 dans les mille, tu<br>mets le 4 et tu rajoutes les deux<br>zéros ».</td><td>Nombre en chiffres,<br>nombre en mots (pour<br>communiquer le<br>résultat) et nombre en<br>unités</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>Recherche individuelle, 5'<br>8d13c2u à recomposer</td><td>T₁ : recomposer un nombre</td><td></td><td>Nombre en chiffres et<br>nombre en unités</td></tr><tr><td>Correction collective, 4'</td><td>T₁ : recomposer un nombre</td><td>τ₁,₁<br>τ₁,₂</td><td>Nombre en chiffres,<br>nombre en mots (pour<br>communiquer le<br>résultat) et nombre en<br>unités</td></tr></table>

Il s'agit ici de la même activité que la précédente mais sous forme de jeu entre deux élèves. Un élève donne une décomposition et son voisin doit recomposer le nombre.

<table><tr><td>Recherche par groupes de 2 élèves, 8'</td><td>T₁ : recomposer un nombre</td><td></td><td>Nombre en chiffres et nombre en unités</td></tr></table>

La dernière activité est un exercice sur fiche où les élèves ont à recomposer des nombres donnés en divers types de décompositions : une décomposition avec les étiquettes 1/10/100 dessinées, des nombres en unités, un nombre en ECPD, un en ECPDG et enfin un nombre en mots.

<table><caption>Tableau 12 : séance 2 Marc</caption><tr><td>Exercice sur fiche<br>Individuel, 5'</td><td>T₁ : recomposer un nombre</td><td></td><td>Nombre en chiffres,<br>nombre en unités,<br>nombre en ECPD et<br>ECPDG, étiquettes<br>1/10/100</td></tr><tr><td></td><td>T₂ : écrire un nombre</td><td></td><td></td></tr></table>

## Séance 3 (22/11/08) :

<table><thead><tr><th>Episodes<br>Durée<br>Organisation</th><th>Types de tâches</th><th>Techniques et éléments<br>technologiques</th><th>Ostensifs utilisés</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="4">Activité de calcul mental : il s'agit ici de calculer mentalement des produits de nombres à deux chiffres par 10 ou 100.</td></tr><tr><td>Calcul mental, recherche<br>individuelle, 2'30<br>Nombres à 4 chiffres :<br>100×82,100×41, 10×108</td><td>T : multiplier par 10, 100</td><td></td><td>Nombre en chiffres</td></tr><tr><td>Correction collective, 5'</td><td>T : multiplier par 10, 100<br>T₂ : lire un nombre (le maître<br>demande explicitement de<br>lire le nombre trouvé)</td><td>T : écrire le nombre et<br>« ajouter le (ou les) zéros »<br>Exemple (pour 27×10) : « on<br>écrit 27 et on rajoute le 0 de<br>10 »<br>τ₂,₁ : pour un nombre de la<br>forme « 1... » on dit « mille ... »<br>(le maître corrige un élève qui<br>dit « un mille ... »)</td><td>Nombre en chiffres,<br>nombre en mots</td></tr></tbody></table>

Le maître poursuit le moment de calcul mental avec ardoises : travail sur les compléments à la dizaine supérieure. Comme il n'y a pas de nombre à 4 chiffres ici, nous ne détaillons pas ce moment.

<table><tr><td>Individuel puis collectif, 7'</td><td></td><td></td><td></td></tr></table>

L'activité suivante consiste à écrire (en chiffres) un nombre lu par le maître sur le compteur puis donner le nombre suivant et le nombre précédent avec le compteur. Le maître donne successivement ces consignes à l'oral :

1. « Vous me fabriquez le nombre ...

2. Trouvez le nombre qui vient juste avant.

3. Trouvez le nombre qui vient juste après. »

<table><tr><td>Recherche individuelle, 2'30<br>« Quatre cent quatre-vingt-<br>dix-neuf ».</td><td>T₂ : écrire un nombre<br>T₃ : avancer/reculer dans la<br>suite écrite des nombres</td><td></td><td>Nombre en mots,<br>nombre en chiffres,<br>compteur</td></tr><tr><td>Correction collective, 4'</td><td>T₂ : écrire un nombre<br>T₃ : avancer/reculer dans la</td><td>τ₂,₁ : on fait tourner la roue<br>des unités en avançant de 1. Si<br>on arrive à 0 il faut aussi avancer</td><td>Nombre en mots,<br>nombre en chiffres,<br>compteur</td></tr></table>
<table><caption>Tableau 13 : séance 3 Marc</caption><tbody><tr><td></td><td>suite écrite des nombres</td><td>de 1 pour les dizaines, etc.<br>NB : le maître précise que pour avancer on peut regarder le sens de la flèche sur le compteur.</td><td></td></tr><tr><td>Recherche individuelle, 1'<br>« Mille deux cent vingt quatre »</td><td>T<sub>2</sub> : écrire un nombre<br>T<sub>3</sub> : avancer/reculer dans la suite écrite des nombres</td><td></td><td>Nombre en mots, nombre en chiffres, compteur</td></tr><tr><td>Correction collective, 3'</td><td>T<sub>3</sub> : avancer/reculer dans la suite écrite des nombres<br>T<sub>2</sub> : écrire un nombre<br>(le maître demande de lire le nombre trouvé)</td><td>T<sub>5,1</sub> : on fait tourner la roue des unités en avançant de 1. Si on arrive à 0 il faut aussi avancer de 1 pour les dizaines, etc.<br>NB : le maître précise que pour avancer on peut regarder le sens de la flèche sur le compteur.</td><td>Nombre en mots, nombre en chiffres, compteur, unités de la numération</td></tr><tr><td>Recherche individuelle, 1'<br>« Neuf cent quatre vingt dix neuf »</td><td>T<sub>2</sub> : écrire un nombre<br>T<sub>3</sub> : avancer/reculer dans la suite écrite des nombres</td><td></td><td>Nombre en mots, nombre en chiffres, compteur</td></tr><tr><td>Correction collective, 4'</td><td>T<sub>2</sub> : écrire un nombre<br>(le maître demande de lire le nombre trouvé)<br>T<sub>3</sub> : avancer/reculer dans la suite écrite des nombres</td><td></td><td>Nombre en mots, nombre en chiffres, compteur, unités de la numération</td></tr><tr><td>Recherche individuelle, 1'<br>« Mille quatre cent quatre vingt dix neuf »</td><td>T<sub>2</sub> : écrire un nombre<br>T<sub>3</sub> : avancer/reculer dans la suite écrite des nombres</td><td></td><td>Nombre en mots, nombre en chiffres, compteur</td></tr><tr><td>Correction collective, 4'</td><td>T<sub>3</sub> : avancer/reculer dans la suite écrite des nombres<br>T<sub>2</sub> : écrire un nombre<br>(le maître demande de lire le nombre trouvé)</td><td>T<sub>5,1</sub> (« le neuf devient un zéro mais il y a une incidence sur les dizaines ... »)</td><td>Nombre en mots, nombre en chiffres, compteur, unités de la numération</td></tr><tr><td>Recherche individuelle, 2'<br>« Mille neuf cent quatre vingt dix neuf »</td><td>T<sub>2</sub> : écrire un nombre<br>T<sub>3</sub> : avancer/reculer dans la suite écrite des nombres</td><td></td><td>Nombre en mots, nombre en chiffres, compteur</td></tr><tr><td>Correction collective, 8'</td><td>T<sub>2</sub> : écrire un nombre<br>(le maître demande de lire le nombre trouvé)<br>T<sub>3</sub> : avancer/reculer dans la suite écrite des nombres</td><td>T<sub>5,1</sub> (« le neuf devient un zéro et ça a une incidence sur tous les autres et le mille il change ... »)</td><td>Nombre en mots, nombre en chiffres, compteur, unités de la numération</td></tr><tr><td colspan="4">L'activité suivante est le même exercice (avec compteurs) mais sous forme de jeu entre deux élèves.</td></tr><tr><td>Présentation collective, 2'</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Jeu à deux élèves, 6'</td><td>T<sub>3</sub> : avancer/reculer dans la suite écrite des nombres</td><td></td><td>Nombre en chiffres, compteur</td></tr><tr><td colspan="4">La dernière activité est un exercice sur fiche où les élèves doivent trouver le nombre précédent et le nombre suivant d'une liste de nombres (à trois ou quatre chiffres).</td></tr><tr><td>Exercices sur fiche<br>Individuel, 10'</td><td>T<sub>3</sub> : avancer/reculer dans la suite écrite des nombres</td><td></td><td>Nombre en chiffres, compteur</td></tr></tbody></table>

Les séances suivantes :

□ Séance 4 (22/01/09) :

T<sub>4</sub> : encadrer un nombre (avec le nombre précédent et le nombre suivant, ce qui finalement est équivalent à avancer/reculer de 1 en 1).

Ostensifs : nombre en chiffres

□ Séance 5 (23/01/09) :
T₄ : encadrer un nombre (avec le nombre précédent et le nombre suivant).

Ostensifs : nombre en chiffres

□ Séance 6 (13/02/09) :

T₁ : recomposer

Ostensifs : nombre en chiffres, nombre en unités, nombre en ECPD et en ECPDG

T₂ : lire/écrire

Ostensifs : nombre en chiffres, nombre en mots

T₄ : encadrer un nombre (avec le nombre précédent et le nombre suivant).

Ostensifs : nombre en chiffres

T₄ : ranger du plus petit au plus grand.

Ostensifs : nombre en chiffres

T₁ : décomposer

Ostensifs : nombre en chiffres, nombre en ECPDG

□ Séance 7 (10/03/09) :

T₄ : encadrer un nombre (avec le nombre précédent et le nombre suivant)

Ostensifs : nombre en chiffres

T₃ : avancer/reculer dans la suite écrite (avancer de 100 en 100)

Ostensifs : nombre en chiffres

□ Séance 8 (27/03/09) :

T₄ : encadrer un nombre (entre deux dizaines consécutives)

Ostensifs : nombre en chiffres

T₃ : avancer/reculer dans la suite écrite

Ostensifs : nombre en chiffres

T₁ : recomposer

Ostensifs : nombre en chiffres, nombre en unités, nombre en ECPD et en ECPDG

□ **Evaluation intermédiaire (14/04/09) :**

T₄ : ranger des nombres dans l'ordre croissant (ex1, ex2)

Ostensifs : nombre en chiffres

T₂ : lire/écrire (ex3, ex4)

Ostensifs : nombre en chiffres, nombre en mots

T₁ : décomposer/recomposer (ex5, ex10)

Ostensifs : nombre en chiffres, nombre en unités, nombre en ECPD et en ECPDG

T₃ : avancer/reculer dans la suite écrite (ex6, ex7, ex8, ex9)

Ostensifs : nombre en chiffres

□ Séance 9 (14/05/09) :

T₄ : encadrer un nombre

Ostensifs : nombre en chiffres

T₃ : avancer/reculer dans la suite écrite

Ostensifs : nombre en chiffres

T₁ : recomposer

Ostensifs : nombre en chiffres, nombre en unités, nombre en ECPD et en ECPDG

□ Séance 10 (20/05/09) :

T₄ : encadrer un nombre

Ostensifs : nombre en chiffres

**Les traces écrites de « leçons » :**

Il n'y a pas de trace écrite de leçon dans le cahier des élèves, ni d'affiche dans la classe.

b) Analyse de l'OM enseignée
Les nombres à quatre chiffres sont introduits lors du moment de calcul mental, dans des tâches relevant du calcul (multiplication par 10, 100, calculs de doubles). Les techniques de calculs sur les nombres à trois chiffres sont alors naturellement étendues aux nombres à quatre chiffres. Il n'y a pas d'élément technologique qui apparaît à ce moment-là. Nous pouvons même ajouter que cette façon d'introduire les nombres à quatre chiffres ne crée pas de besoin au niveau technologique puisque la simple application des techniques de calcul connues fonctionne.

Nous pouvons dire qu'il s'agit ici d'une introduction officieuse des nombres à quatre chiffres. L'introduction officielle se fera avec les tâches de recomposition.

Nous allons maintenant étudier l'OM enseignée à partir des types de tâches travaillés. Nous indiquons les types de tâches par ordre décroissant du temps de travail dans la classe.

### T₁ : décomposer/recomposer

<table><caption>Tableau 14 : temps approximatif pour décomposer/recomposer, Marc</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">Type de tâche</th><th colspan="4">Techniques</th><th colspan="2">Technologies</th></tr><tr><th>Collectif</th><th>Individuel/<br>en groupe</th><th>τ₁,₁</th><th>τ₁,₂</th><th>τ₁,₃</th><th>τ₁,₄</th><th>Aspect<br>décimal</th><th>Aspect<br>position.</th></tr></thead><tbody><tr><th>Temps</th><td>55'</td><td>52'</td><td>44'</td><td>26'</td><td>10'</td><td>5'</td><td>15'</td><td>4'</td></tr></tbody></table>

C'est un type de tâche qui a une place importante dans cette OM. Elle occupe la majorité du temps des deux premières séances. La numération en unités est l'ostensif privilégié pour décomposer et recomposer (on trouve la trace des nombres en ECPD et ECPDG dans un item de la fiche d'exercices distribuée en fin de 2ème séance et dans l'évaluation intermédiaire). Cela s'apparente donc à une utilisation des unités de la numération comme des unités de mesure, ce qui se distingue de ce que nous avons pu voir dans les contraintes institutionnelles. Nous interrogerons l'enseignant sur ce choix lors de notre dernier entretien.

Différentes techniques apparaissent mais il y en a une que l'on retrouve principalement : le comptage de 1000 en 1000, 100 en 100 ... On peut voir aussi la technique utilisant la valeur des chiffres pour laquelle on a un élément de justification qui relève du calcul (10×10=100). Pour les autres, elles ne sont pas justifiées (elles utilisent l'addition posée ou le passage par la numération orale). On peut donc parler de techniques faibles.

On peut aussi voir que les unités de la numération et le tableau de numération (m, c, d, u écrits en dessous du nombre) sont utilisés pour faire le lien entre les unités de la numération et le rang dans le nombre en chiffres (aspect positionnel).

L'aspect décimal semble avoir une place importante, mais en fait c'est parce qu'il apparaît dans une mise en commun qui dure 15'. Nous analyserons plus en détail cette mise en commun dans l'analyse de la mise en œuvre.

### T₃ : avancer/reculer

<table><caption>Tableau 15 : temps approximatif pour avancer/reculer, Marc</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">Type de tâche</th><th colspan="2">Techniques</th><th colspan="2">Technologies</th></tr><tr><th>Collectif</th><th>Individuel/<br>en groupe</th><th>τ₁,₁</th><th>Aspect<br>décimal</th><th>Aspect<br>position.</th><th>Aspect<br>position.</th></tr></thead><tbody><tr><th>Temps</th><td>19'</td><td>22'30</td><td>15'</td><td>0'</td><td>0'</td><td>0'</td></tr></tbody></table>

Ce type de tâche fait l'objet de la troisième séance. Il est ensuite beaucoup travaillé dans les séances suivantes.
Une technique apparaît dans la classe mais elle n'est jamais justifiée en lien avec les relations entre les unités de la numération. Le compteur est systématiquement utilisé. Il a un rôle d'élément technologique : les manipulations effectuées sont justifiées par le fonctionnement du compteur.

### T₂ : Lire/écrire :

<table><caption>Tableau 16 : temps approximatif pour lire/écrire, Marc</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">Type de tâche</th><th rowspan="2">Technique</th><th rowspan="2">Technologies</th></tr><tr><th>Collectif</th><th>Individuel / en groupe</th></tr></thead><tbody><tr><th>Temps</th><td>28'</td><td>12'30</td><td>5'</td><td>0'</td></tr></tbody></table>

Dans les séances observées la lecture des nombres apparaît principalement pour communiquer avec les nombres. Il y a juste une bribe de technique qui apparaît (suite à une difficulté d'un élève) concernant le cas particulier de la lecture d'un nombre ayant le chiffre 1 au rang des milliers.

### T₄ : encadrer, ranger

Ce type de tâche est travaillé dans les séances non observées où il prend une place importante. Il n'y a pas de travail sur la comparaison de deux nombres mais directement des encadrements et rangements.

#### c) Les entretiens

L'entretien qui fait suite à la première séance montre une difficulté à dire les difficultés rencontrées par les élèves malgré une bonne connaissance des procédures utilisées par ceux-ci. Nous utiliserons les lettres E pour désigner l'enseignant et O pour l'observateur. Les +, ++ ou +++ traduisent des moments plus ou moins long de pause dans le discours.

E : [...] Bon c'est le dernier qui a posé problème effectivement. Le problème d'une dizaine. Alors qu'en comptant de 1 en 1, de 10 en 10 tu vois ils sont arrivés à trouver le nombre, donc euh + Alors c'est pas facile il y a encore du travail à faire.

O : oui

E : donc après ce que je pense c'est qu'il faudra utiliser les compteurs.

O : oui

E : +++ (réfléchit) Bon parce que là ils ont écrit douze, onze, deux, ils ont cru que c'était comme ça mais bon là y'avait un problème, y'avait une centaine de plus parce qu'on dépassait cent.

[...]

E : Et le passage aux centaines du genre 1290, là ils ont du mal. C'est là où les compteurs peuvent aider.

O : Ah oui d'accord.

E : (sort ses compteurs) Peut-être que vendredi on peut passer sur le travail sur compteur : se déplacer de 1 en 1. Je ne sais pas du genre 1290 on avance de 1 en 1 jusqu'à 1310 donc y aura le passage de la centaine ou le passage des mille du genre si on compte de 100 en 100 de 1500 à 2300 donc le changement de mille. Le cap des mille.

O : oui d'accord.

E : Quitter un peu ce travail là aussi. Ne pas toujours faire la même chose.

O : d'accord.
E : J'aurais peut-être dû m'arrêter là (montre l'avant dernier cas), les lâcher mais bon.

O : on a toujours envie de savoir ...

E : eh bien voilà je voulais les titiller un peu. C'est ce que j'ai dit, alors bon. Mais n'empêche qu'en passant au tableau ils y sont arrivés. Les deux y sont arrivés alors qu'ils étaient 3 ou 4 à avoir écrit 12112.

La difficulté pour Marc est bien dans le « passage » d'une centaine à une autre qui provoque un changement de millier (il nous semble que c'est une vision très liée au fonctionnement du compteur) mais les éléments technologiques sous jacents (relation entre les unités de la numération) n'apparaissent pas dans son discours. On peut remarquer aussi que le cas permettant l'utilisation de l'aspect décimal apparaît pour lui comme un exercice pour « titiller » les élèves.

Quand il évoque les compteurs ils apparaissent comme un moyen d'aider les élèves à gérer les « passages » aux centaines ou milliers dans la procédure de comptage mais cela ne permet pas de traiter le problème des échanges entre les unités. C'est alors le compteur qui va intervenir comme élément technologique, ce qui occulte encore l'aspect décimal de la numération, comme on peut le voir dans l'entretien qui suit la deuxième séance :

E : Peut-être prendre les compteurs. Et puis avancer. Par exemple on se fabrique 999. Trouver le nombre qui vient juste après. Donc ils se rendent compte qu'après le 9 il y a un 0 et il faut changer là (montre le rang des milliers). Même chose on se fabrique 1198, on avance de 1, on avance encore de 1, et tiens ! Qu'est-ce qui se passe ? »

Nous avons également l'impression lors de ces entretiens que lorsque Marc évoque son projet global il s'agit pour lui d'une succession d'activités mais l'on ne perçoit pas clairement l'intérêt de chacune, les liens entre ces activités (hormis le compteur pour aider à compter de 1 en 1, 10 en 10 etc.), l'intérêt de leur ordre d'apparition, ce qu'il y a à savoir, etc. Tout se passe comme si la progression se résumait finalement à une liste de types de tâches à travailler au cours de laquelle les enfants vont se construire les techniques attendues.

On peut le voir en particulier dans les arguments donnés par le maître pour changer d'activité. Il semble que le principal intérêt ne soit pas d'ordre mathématique mais plutôt pédagogique : « ne pas toujours faire la même chose », comme il le dit lors du premier entretien. On retrouve cela aussi lors du deuxième :

E : De toute façon pour que ça se mette en place il faut encore plusieurs séances à faire dessus ++ Y'a plusieurs séances. Et puis revoir de temps en temps.

O : alors la prochaine séance tu travailles ?

E : Alors la prochaine séance, ce que j'avais pensé c'était peut-être changer, hein, changer un petit peu, de forme d'approche des nombres. Peut-être prendre les compteurs.

Et lorsque nous évoquons sa progression l'enseignant donne une liste de tâches à réaliser (deuxième entretien) avec toutes les variantes possibles :

O : ta progression grosso modo, c'est tu vas faire ça (le travail sur compteur) et après ?

E : Après manipulation. Se déplacer de 1 en 1. Voir qu'il y a des passages. Des changements de dizaines, des changements de centaines, des changements des mille. Et après on fait de 2 en 2. Reculer aussi de 1 en 1. Reculer de 2 en 2, de 10 en 10, de 100 en 100, de 1000 en 1000.

O : oui. Après tu abordes la comparaison ?

E : la comparaison ? ++ (réfléchit) Aussi ce qu'on peut faire c'est aussi faire des encadrements. On a un nombre, on essaie de trouver le nombre avant le nombre après. Par exemple 699, le nombre avant, le nombre après, on peut le faire avec les mille, faire des rangements de nombres. Dans les encadrements on peut aussi chercher la dizaine
avant, la dizaine après. Donc là le compteur est intéressant au niveau utilisation.
Chercher aussi la centaine avant et la centaine après. Faire des encadrements comme ça.
O : d'accord.

E : Et puis des rangements avec les signes plus petit ou égal quand tu compares des nombres. Et toujours un nombre peut être représenté sous différentes écritures. Donc là y'a de quoi travailler toute l'année avec ça.

Le niveau du projet didactique global de Marc semble donc piloté par un ensemble de types de tâches à parcourir, mais il n'apparaît pas dans l'entretien de liens entre ces types de tâches et des savoirs qui pourraient les justifier.

Lors de l'entretien final, Marc nous a montré sa « programmation » : il s'agit en fait des compétences du programme de 2002 qui sont réécrites avec une croix pour chaque période de l'année afin de signaler qu'elles seront travaillées dans toutes les périodes. Cet outil ne donne guère d'information sur l'OM locale.

Cet entretien nous a permis également de confirmer l'importance du type de tâche avancer/reculer et donc de l'aspect algorithmique de la suite écrite :

E : Je pense qu'ils ont bien compris euh + les relations entre les nombres et comment ça se passe. Après 1999, on est dans la dernière série des mille et après on passe à une nouvelle série des mille. Donc ce passage là des nombres + le passage des centaines aussi. Donc voilà ça commence à être acquis.

Marc évoque aussi le programme en disant qu'avec les nouveaux programmes, il faut aller jusqu'au million, ce qui lui semble être trop précoce car d'habitude il se limitait aux nombres à quatre chiffres (sans s'empêcher d'aller au-delà). Cela semble donc être une contrainte qui a une influence sur son travail. Mais quand je lui demande s'il y a eu des changements dans sa progression, il évoque seulement une place plus importante donnée à la manipulation depuis quelques années (ce qui n'est pas lié au changement de programme) tout en indiquant que sa « trame » (sa programmation liée aux compétences de 2002) reste inchangée.

O : concernant ta progression as-tu effectué des changements, y a-t-il pour toi des passages importants ?

E : non dans ma progression même s'il y a des nombres plus grands je n'ai rien changé, ça fait des années que je pratique comme ça euh ++ Je pense manipuler un peu plus maintenant depuis deux trois ans que je ne le faisais au départ tu vois. Donc par les jetons de cent, de dix, de un et de mille. Je manipule beaucoup les nombres et d'ailleurs pour les découvertes des techniques opératoires je fonctionne beaucoup avec ça. Je pense à la soustraction notamment. Donc beaucoup de manipulation. Je pense que ça les aide beaucoup. Quand on dit vingt-cinq dizaines, ils se fabriquent avec les jetons de 10 le nombre et après ils trouvent que ça fait deux cent cinquante. Dans à force de le répéter vingt-cinq dizaines ils ont fini par faire l'acquisition que ça fait deux cent cinquante. Donc je pense manipuler un peu plus que je ne le faisais autrefois. Parce que sentais qu'il y avait des manques, donc avec l'expérience, tu te crées toujours ... + on fait jamais deux fois la même chose d'une année sur l'autre. Et on fait jamais la même chose en fonction du public d'une année sur l'autre. Le public n'est pas le même, les enfants ne sont pas les mêmes donc faut toujours essayer de trouver une petite astuce pour faire passer une notion. Ca fait dix ans ou onze ans que j'ai cette classe mais c'est jamais la même chose d'une année sur l'autre même si je suis ma trame.

Enfin, nous évoquons également dans cet entretien l'utilisation des nombres en unités puisque cette utilisation apparaît comme une marge de manœuvre investie par l'enseignant (cette utilisation est différente de ce que nous avons vu dans les programmes et manuels). En fait cela semble être lié à l'influence d'un collègue maître formateur qui a la classe de CM1/CM2 dans le même RPI (regroupement pédagogique intercommunal) ainsi qu'à l'utilisation d'un guide du maître (ERMEL). Il évoque aussi le lien avec le travail qui vient ensuite avec les
fractions et les décimaux, non à travers le contenu du programme mais à travers son
expérience personnelle avec ses enfants.

O : Y'a quelque chose qui est intéressant dans ce que tu fais, que je n'ai pas vu dans les autres classes. Dans les autres classes je vois beaucoup de décompositions comme ça (ECPD ou ECPDG) qui correspondent à ce qu'on a dans les programmes et on a finalement assez peu de décomposition qui utilisent dizaines, centaines, unités et est-ce que tu sais d'où ça vient cette façon de travailler ?

E : je pense ... ++ en discutant avec mon collègue Pierre qui est maître formateur qui disait que même ses étudiants avaient beaucoup de mal en manipulant les nombres comme ça. Mais aussi par le fait que j'ai deux grands garçons mais qui sont passés par l'école et le collège, bon eux n'avaient pas de problème mais je me suis rendu compte que quand ils travaillaient les fractions, les décimaux, notamment les dixièmes, centièmes, s'ils n'ont pas fait l'acquisition des dizaines, centaines, ils auront du mal à faire les acquisitions des dixièmes, centièmes, comprendre ce que ça veut dire, tu vois.

O : est-ce que tu vois des avantages à cette écriture par rapport à celle-là (nombre en ECPDG) ou celle-ci (nombre en ECPD) [...] car c'est finalement celle-ci (nombre en unités) que tu utilises le plus ?

E : oui alors qu'autrefois c'était l'inverse.

O : ah oui ?

E : oui j'utilisais plus celles-ci (nombre en ECPD et ECPDG) quand j'étais lié aux fichiers [...] Du coup je me suis un peu inspiré d'ERMEL, bon je ne suis pas la méthode, mais ... + pour créer ces fiches. Donc un petit peu d'ERMEL aussi. Ce qui m'a incité un petit peu à changer ma façon de faire et aussi en discutant avec Pierre, mon collègue.

d) Conclusion

Les entretiens avec l'enseignant nous montrent que l'OM locale est piloté par la rencontre avec différents types de tâches successifs. Les deux éléments technologiques qui ressortent de notre étude sont l'aspect positionnel de la numération (avec les m, c, d, u qui jouent le rôle de tableau de numération) et l'aspect algorithmique de la suite écrite (qui apparaît à travers le compteur).

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>Figure 31 : OM locale du projet global de Marc</figcaption></figure>

Concernant l'OM locale du projet global de cet enseignant, on peut noter lors de ces trois premières séances, une centration autour de deux types de tâches (décomposer/recomposer et avancer/reculer) et une utilisation du lire/écrire principalement pour communiquer.

Ces types de tâches sont susceptibles de faire apparaître l'aspect décimal de la numération mais celui-ci n'est pourtant pas utilisé (ou quasiment pas) et le maître favorise des techniques
pour lesquelles le recours à cet élément technologique n'est pas nécessaire : comptage et
utilisation « mécanique » du compteur.

Lors des séances suivantes, le travail est davantage centré sur l'aspect algorithmique de la
suite des nombres, avec le compteur qui fonctionne comme élément technologique. Les types
de tâches travaillés sont alors : avancer/reculer et encadrer/ranger.

La formulation des techniques a une place importante dans les phases collectives, mais on en
reste donc à des techniques faibles (non justifiées).

Cette pauvreté des éléments technologiques de cette OM rend difficile son positionnement
dans l'OM de référence.

Cela est confirmé par les entretiens qui montrent que du point de vue du niveau +2 dans le
modèle de l'activité du professeur, les savoirs semblent invisibles, celui-ci étant piloté
principalement par les types de tâches à réaliser au cours de ce projet. Il n'y a en fait que
l'aspect algorithmique de la suite écrite qui y apparaît.

Concernant les ostensifs, les unités de la numération servent ici à désigner le nom des rangs
dans le nombre en chiffres mais sont aussi utilisées, comme dans l'OMR classique, pour les
décompositions et recompositions dans des nombres en unités comme par exemple « 12c 11d
2u » (où les unités ont alors un statut d'unités de mesure), sans le signe d'addition. Cependant
nous pouvons remarquer qu'en l'absence de matériel de numération ou de collections, ces
unités ne font pas référence directement à des quantités.

Cette utilisation, qui apparaît comme une marge de manœuvre investie par l'enseignant, est
liée à une expérience personnelle de l'enseignant. C'est en effet un de ses collègues, qui est
maître formateur, qui l'utilise dans sa classe et avec les professeurs des écoles stagiaires. Il
précise également l'influence du guide ERMEL (édition consultée : 1995) dans ce choix (qui
est également utilisé par le maître formateur cité).

Cependant concernant cet ostensif on peut remarquer que l'on n'observe pas vraiment de
« travail » qui l'utilise. En effet les unités sont directement associées au rang dans le nombre
en chiffres. On ne voit pas par exemple de calcul avec ces unités. Cela est peut-être lié à la
contrainte de non-mélange du registre de la langue naturelle et du registre algébrique qui
semble limiter les utilisations possibles de la numération en unités.

Pour faire le lien entre les unités et le rang dans le nombre en chiffres, le maître écrit m, c, d,
u au-dessous du nombre ce qui revient à utiliser un tableau de numération.

Enfin le compteur est lui aussi utilisé. Son utilisation est associée au type de tâche
avancer/reculer, où il apparaît comme élément technologique.

Enfin les nombres en ECPD ou en ECPDG sont aussi utilisés pour les décompositions et
recompositions, notamment lors de l'évaluation (ce qui montre l'influence des contraintes
institutionnelles).

Finalement, dans ce projet global de l'enseignant on retrouve certaines contraintes repérées
dans l'étude des programmes et manuels de la partie C. Les types de tâches sont globalement
assez proches. On retrouve l'importance du type de tâche décomposer/recomposer pour
travailler l'aspect positionnel de la numération. On peut aussi voir l'absence de l'aspect
décimal comme une conséquence de ces contraintes.

Par contre l'enseignant a investi certaines marges de manœuvre en particulier concernant
l'utilisation de l'ostensif nombre en unités pour les décompositions et recompositions. On ne
voit pas non plus de trace du logocentrisme des programmes 2002 puisque, ici, les techniques
sont souvent formulées.

II.3 Le projet global du 2ème enseignant (Sophie)

Nous avons observé également trois séances sur la numération. Les deux premières séances
observées sont consécutives. Il y a ensuite eu une séance pour laquelle nous n'avons que les
exercices distribués aux élèves qui a eu lieu avant la troisième séance observée. L'évaluation finale s'est déroulée la semaine suivante. La séquence s'est déroulée sur un temps assez court (environ trois semaines pour les cinq séances).

a) Description des OM ponctuelles

Séance 1 (24/11/08) :

<table><thead><tr><th>Episodes Durée Organisation</th><th>Types de tâches</th><th>Techniques et éléments technologiques</th><th>Ostensifs utilisés</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="4">La première activité est le jeu du « bowling » : on a des quilles de 1, 10, 100 et 1000 représentées. On cherche combien de points marqués quand on renverse un certain nombre de quilles (entre 1 et 9 de chaque sorte). Voici les différents nombres à recomposer 4q de 1000, puis 1q de 1000, 5q de 100, 2q de 10, 3q de 1, puis 3q de 1000, 7q de 10, 6q de 1, puis 6q de 1000, 5q de 100, 1q de 10 et enfin 8q de 1000, 3q de 1.</td></tr><tr><td>Présentation de l'activité. Collectif, 5'</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Recherche individuelle, 15'</td><td>T<sub>1</sub> : recomposer un nombre</td><td></td><td>« Quilles de 1 », « quilles de 10 », etc. Nombre en chiffres.</td></tr><tr><td>Mise en commun. Collectif, 10'</td><td>T<sub>1</sub> : recomposer un nombre</td><td>T<sub>1</sub> : écriture en ECPDG et associer chaque ECPD au rang. Le quatrième rang (rang des 1000) s'appelle les « unités de mille » :<br>unités de mille c d u<br>1 5 2 3<br><br>T<sub>2</sub> : écriture en ECPD et calcul (éventuellement avec addition posée en colonnes) Addition posée en colonnes comme élément technologique :</td><td>- Nombre en chiffres, nombre en ECDP, en ECPDG pour les techniques, nombre en mots (lors de la mise en commun la maîtresse ou les élèves sont amenés à lire des nombres pour communiquer les résultats).<br>- unités de la numération pour la technologie.</td></tr><tr><td colspan="4">Pour l'activité suivante, il s'agit toujours du jeu du bowling mais les élèves doivent cette fois décomposer le nombre. Voici les nombres à décomposer : 5000, puis 6210, puis 3004 et enfin 1437.</td></tr><tr><td>Présentation de l'activité. Collectif, 3'</td><td>T<sub>2</sub> : lire un nombre (lors de la présentation de l'exercice, la maîtresse fait lire les nombres de l'énoncé aux élèves)</td><td>La technique est donnée uniquement pour la lecture des nombres de la forme 1... : « le 1 quand il est au début on lit mille »</td><td></td></tr><tr><td>Recherche Individuel, 15'</td><td>T<sub>1</sub> : décomposer un nombre</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Mise en commun Collectif, 8'</td><td>T<sub>1</sub> : décomposer un nombre</td><td>T<sub>1,1</sub> : associer chaque rang à l'ECPD correspondante.<br>Exemple : 6210 = (6 × 1000)+(2 × 100)+(1 × 10)<br>T<sub>1,1bis</sub> : associer chaque rang au type de quille correspondant.<br>Exemple : 6210 = 6 quilles de 1000, 2 quilles de 100, 1 quille de 10.</td><td>Nombre en chiffres, nombre en mots (pour communiquer les résultats), nombre en ECDP, en ECPDG et « quilles de 1, 10, 100, 1000 »</td></tr></tbody></table>

La troisième situation s'appuie toujours sur le jeu du bowling, mais il s'agit maintenant de lire des nombres donnés par
<table><caption>Tableau 17 : séance 1 Sophie</caption><tr><td colspan="4">une décomposition en quilles de 1, 10, 100, 1000. Voici les nombres à lire :9q de 1000, 2q de 100, puis 1q de 1000, 3q de 100, 1q de 10, puis 5q de 1000, 9q de 1, puis 2q de 1000, 8q de 100, 2q de 10, 1q de 1 et enfin 4q de 1000, 1q de 100, 3q de 10, 2q de 1.</td></tr><tr><td>Collectif, 6'</td><td>T<sub>2</sub> : lire un nombre<br/>Ici le nombre n'est pas écrit<br/>en chiffres mais on a<br/>seulement sa décomposition<br/>avec des quilles (par exemple<br/>9 quilles de 1000 et 2 quilles<br/>de 100 représentées).</td><td>T<sub>2,1</sub> : lire le nombre de quilles<br/>de 1000 suivi de « mille »<br/>(exception pour les nombres de<br/>la forme 1...) puis lire le nombre<br/>à trois chiffres.</td><td>« quilles de 1, 10, 100,<br/>1000 »<br/>représentées, nombre<br/>en mots.</td></tr><tr><td colspan="4">La dernière situation s'appuie, elle aussi, sur le jeu du bowling. Tout comme pour la première il s'agit de recomposer des<br/>nombres : 2q de 100, 3q de 10, 7q de 1000, puis 5q de 1000, 6q de 1, 8q de 10 et enfin 2q de 1, 3q de 1000, 5q de 100, 2q<br/>de 10. Les quilles sont cette fois dans le désordre.</td></tr><tr><td>Individuel, 5'</td><td>T<sub>1</sub> : recomposer un nombre</td><td></td><td>« quilles de 1, 10, 100,<br/>1000 »</td></tr><tr><td>Mise en commun<br/>Collectif, 5'</td><td>T<sub>1</sub> : recomposer un nombre</td><td>T<sub>4,1</sub> et T<sub>4,2</sub><br/>T<sub>2,1</sub></td><td>Nombre en chiffres,<br/>nombre en mots (pour<br/>communiquer les<br/>résultats) et « quilles<br/>de 1, 10, 100, 1000 »</td></tr></table>

## Séance 2 (28/11/08) :

<table><caption>Tableau 18 : séance 2 Sophie</caption><thead><tr><th>Episodes<br>Durée<br>Organisation</th><th>Types de tâches</th><th>Techniques et éléments<br>technologiques</th><th>Ostensifs utilisés</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="4">Première activité. Le maître dicte un nombre à chaque groupe qui doit l'écrire en chiffres, en mots et faire sa décomposition en ECPD. Les enfants échangent ensuite leurs étiquettes (avec nombre en chiffres ou ECDP) et doivent retrouver le nombre d'un autre groupe.<br>Nombres donnés : 7451, 6758, 2813, 4385, 9047, 6009, 8072, 5307.</td></tr><tr><td>Jeu par groupes de 2/3 élèves,<br>30'</td><td>T<sub>2</sub> : écrire un nombre<br>T<sub>2</sub> : lire un nombre<br>T<sub>1</sub> : décomposer un nombre<br>T<sub>1</sub> : recomposer un nombre</td><td></td><td>Nombre en chiffres,<br>nombre en mots,<br>nombre en ECDP ou<br>ECPDG</td></tr><tr><td>Discussions autour de deux<br>décompositions produites par<br>des groupes<br>Collectif, 5'<br>Un premier échange autour<br>de 800d3u puis 9m4d7u.</td><td>T<sub>1</sub> : recomposer un nombre</td><td>T<sub>4,3</sub> : convertir en unités et<br>additionner les unités<br>(800d = 8000u et<br>8000+3=8003)</td><td>Nombre en chiffres,<br>nombre en mots,<br>nombre en unités</td></tr><tr><td colspan="4">Deuxième activité. Les enfants ont des étiquettes de mots nombres (un, deux, ..., dix, onze, ..., vingt ; trente, ... cent et mille) qu'ils doivent utiliser pour former un nombre. A l'intérieur de chaque groupe, les élèves écrivent leur nombre puis les rangent (le gagnant est celui qui a le nombre « du milieu »).</td></tr><tr><td>Présentation du jeu<br>Collectif, 10'</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Jeu par groupes de 3 élèves,<br>32'</td><td>T<sub>2</sub> : écrire un nombre<br>T<sub>3</sub> : ranger des nombres</td><td></td><td>Nombre en chiffres,<br>nombre en mots</td></tr></tbody></table>

## Séance intermédiaire :

Il s'agit d'une séance non observée pour laquelle nous n'avons eu accès qu'aux exercices distribués (annexe).
Il y a d'abord eu un travail autour de quelques exercices avec une remédiation pour les élèves en difficulté. Pour les autres, la maîtresse a distribué ensuite une feuille d'exercices supplémentaires à faire en autonomie (annexe).

Voici les types de tâche en jeu.

□ Les premiers exercices :

T₂ : écrire un nombre en chiffres (ex 1)

Ostensif : nombre en chiffres et nombre en mots

T₂ : écrire un nombre en mots (ex 2)

Ostensif : nombre en chiffres et nombre en mots

T₁ : décomposer un nombre (ex 3)

Ostensif : nombre en chiffres, nombre en ECPD, nombre en ECPDG, nombre en unités

T₁ : recomposer un nombre (ex 4)

Ostensif : nombre en chiffres et nombre en unités

□ Les exercices supplémentaires :

T₃ : trouver un nombre compris entre deux nombres (ex 2)

Ostensif : nombre en chiffres

T₁ : recomposer un nombre (ex 3)

Ostensif : nombre en chiffres et nombre en ECPD

T₃ : comparer deux nombres dont un est écrit en nombre en ECPDG (ex 4)

Ostensif : nombre en chiffres et nombre en ECPDG

T₁ : décomposer un nombre (ex 5)

Ostensif : nombre en chiffres et nombre en ECPD

T₂ : écrire un nombre en chiffres (ex 6)

Ostensif : nombre en chiffres et nombre en mots

T₂ : écrire un nombre en mots (ex 7)

Ostensif : nombre en chiffres et nombre en mots

## Séance 3 (9/12/08) :

<table><thead><tr><th>Episodes Durée Organisation</th><th>Types de tâches</th><th>Techniques et éléments technologiques</th><th>Ostensifs utilisés</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="4">La première activité est le jeu des cartons des nombres. Il s'agit d'associer l'écriture en chiffres (formée avec des étiquettes d'ECPD) à l'écriture en mots (formée avec des étiquettes de mots nombres). C'est un jeu par groupes de 2/3 élèves : ce sont les élèves qui déterminent les nombres.</td></tr><tr><td>Présentation du jeu<br>Collectif, 1'30</td><td></td><td></td><td>Nombre en chiffres, nombre en mots, nombre en ECPD</td></tr><tr><td rowspan="2">Recherche par groupes de 2/3 élèves, 19'</td><td>T₂ : lire un nombre (écrit en ECPD ou en chiffres)</td><td></td><td>Nombre en chiffres, nombre en mots, nombre en ECPD</td></tr><tr><td>T₂ : écrire un nombre (en ECPD ou en chiffres)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Correction collective, 2'<br>La maîtresse demande s'il y a encore des problèmes avec l'écriture des chiffres, des lettres. Elle revient sur une erreur d'un élève.</td><td>T₁ : recomposer un nombre (pour vérifier le résultat d'un élève)</td><td>T₁,₂ : écriture en ECPD et calcul<br>Pour vérifier la maîtresse dessine les étiquettes les unes sous les autres comme pour une addition posée :<br>3000<br>300<br>4</td><td>Nombre en chiffres, nombre en mots, nombre en ECPD</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau 19 : séance 3 Sophie</caption><thead><tr><th colspan="4">5</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="4">La deuxième activité est le jeu « qui a le plus grand nombre ? » : des équipes ont chacune un nombre et doivent se poser des questions pour savoir qui a le plus grand nombre (avec interdiction de dire ce nombre dans la question).</td></tr><tr><td>Présentation du jeu :<br>Collectif, 7'</td><td></td><td></td><td>Nombre en chiffres,<br>nombre en mots,<br>nombre en unités</td></tr><tr><td>Recherche par groupes de 2/3 élèves, 19'</td><td>T<sub>3</sub> : comparer des nombres</td><td></td><td>Nombre en chiffres,<br>nombre en mots (pour communiquer)</td></tr><tr><td>Mise en commun et synthèse.<br>Collectif, 6'30<br>La maîtresse met en commun les procédures puis demande : « comment est-ce qu'on fait pour comparer deux nombres » ?</td><td>T<sub>3</sub> : comparer des nombres</td><td>T<sub>5,1</sub> : comparaison des nombres de chiffres et s'il y a le même nombre de chiffres, comparaison des chiffres de plus haut rang successivement</td><td>Nombre en chiffres,<br>nombre en mots, unités de la numération</td></tr><tr><td colspan="4">La dernière activité est une liste d'exercices sur fiche :<br>Ex 1 : trouver le nombre suivant et le nombre précédent de 1009, 1048, 2999, etc.<br>Ex 2, 3 : donner des nombres situés entre deux nombres donnés.<br>Ex 4 : comparer deux nombres<br>Ex 5 : ranger des nombres dans l'ordre croissant</td></tr><tr><td>Présentation de la fiche d'exercices.<br>Collectif, 7'</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Recherche individuelle, 16'</td><td>T<sub>4</sub> : avancer/reculer dans la suite écrite des nombres<br>Exercice 1<br>T<sub>3</sub> : intercaler un nombre (entre deux nombres donnés)<br>Exercices 2 et 3<br>T<sub>3</sub> : comparer des nombres<br>Exercice 4<br>T<sub>3</sub> : ranger des nombres<br>Exercice 5</td><td></td><td>Nombre en chiffres</td></tr></tbody></table>

### Séance suivante :

Il y a une dernière séance à laquelle nous n'avons pas eu accès où a été abordé le type de tâche suivant (d'après un entretien avec l'enseignante) :

T<sub>3</sub> : encadrer un nombre entre deux multiples consécutifs de 10, 100 ou 1000.

Ostensif : nombre en chiffres

### Evaluation :

T<sub>1</sub> : recomposer un nombre (ex 1)

Ostensif : nombre en chiffres et nombre en ECPD

T<sub>1</sub> : décomposer un nombre (ex 2)

Ostensif : nombre en chiffres et nombre en ECPD ou en ECPDG

T<sub>2</sub> : écrire un nombre en mots (ex 2)

Ostensif : nombre en chiffres et nombre en mots

T<sub>1</sub> : passer d'une décomposition à une autre (ex 3)

Ostensif : nombre en unités, nombre en ECPD en nombre en ECPDG

T<sub>3</sub> : comparer deux nombres (ex 4)

Ostensif : nombre en chiffres et nombre en ECPDG

T<sub>3</sub> : ranger des nombres (ex 5)

Ostensif : nombre en chiffres et nombre en ECPDG

T<sub>3</sub> : encadrer un nombre entre deux multiples consécutifs de 100 (ex 6)
Ostensif : nombre en chiffres

T₃ : Situer approximativement des nombres sur une droite graduée (ex 7)

Ostensif : nombre en chiffres, droite numérique

Les traces écrites de « leçons » :

Il n'y a pas de trace écrite de leçon dans le cahier des élèves, ni d'affiche dans la classe.

b) Analyse de l'OM enseignée

Nous indiquons les types de tâches par ordre décroissant du temps d'apparition dans la classe.

T₁ : Décomposer/recomposer :

<table><caption>Tableau 20 : temps approximatif pour décomposer/recomposer Sophie</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">Type de tâche</th><th colspan="3">Techniques</th><th rowspan="2">Technologies<br>Aspect positionnel</th></tr><tr><th>Collectif</th><th>Individuel/<br>en groupe</th><th>τ₁,₁</th><th>τ₁,₂</th><th>τ₁,₃</th></tr></thead><tbody><tr><th>Temps</th><td>30'</td><td>60'</td><td>23'</td><td>17'</td><td>5'</td><td>10'</td></tr></tbody></table>

Ce type de tâche est travaillé dans les trois séances observées et a aussi une place importante dans l'évaluation finale de la séquence. On peut noter une place importante du travail en collectif (le tiers du temps total). Ce choix de la maîtresse peut-être lié à des difficultés rencontrées par les élèves.

Il s'agit de décomposition/recomposition avec les ostensifs « paquets de », nombre en ECPD et en ECPDG (et unités de la numération dans la séance non observée ainsi que dans l'évaluation). Ce type de tâche est donc associé à une variété importante d'ostensifs.

Trois techniques apparaissent mais deux sont principalement formulées et sont justifiées.

Elles correspondent aux techniques et technologies (aspect décimal uniquement) de l'OMR moderne (mais le nom des rangs est donné avec la numération en unités et il est écrit m, c, d, u au-dessus du nombre comme dans un tableau de numération) et de l'OMR moderne adaptée (la règle positionnelle de calcul est donnée par l'addition posée avec des colonnes). On peut aussi remarquer que l'ECPD « 1000 » est l'objet premier à partir duquel on va définir l'unité de numération « unité de mille » mais sans prendre en considération les relations entre ces ECPD. L'aspect décimal n'apparaît donc dans aucune séance.

Remarquons enfin que du point de vue du contexte d'utilisation des nombres, on travaille ici avec des valeurs (quilles 1/10/100/1000). L'aspect « quantité » n'intervient pas.

T₂ : lire/écrire un nombre

<table><caption>Tableau 21 : temps approximatif pour lire/écrire Sophie</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">Type de tâche</th><th rowspan="2">Techniques</th><th rowspan="2">Technologies</th></tr><tr><th>Collectif</th><th>Individuel/<br>en groupe</th></tr></thead><tbody><tr><th>Temps</th><td>28'</td><td>1h02'</td><td>τ₂,₁</td><td></td></tr></tbody></table>

On remarque que contrairement au type de tâche précédent on a un travail en individuel qui a une part beaucoup plus importante que le travail en collectif, ce qui peut être lié à des difficultés moins importantes. La maîtresse laisse un topos plus important aux élèves.

Ce type de tâche apparaît non seulement pour communiquer sur les nombres (alors non comptabilisé dans le temps) mais aussi dans des activités spécifiques de passage de la
numération orale à la numération écrite. Une technique est alors formulée mais elle correspond au cas particulier où le nombre à lire est donné sous forme d'une décomposition en « paquets de » (avec des quilles). Elle n'est pas justifiée.

Les ostensifs « paquets de » et ECPD sont utilisés pour faire des liens entre les nombres en mots et les nombres en chiffres.

### T₃ : Comparer, ranger, intercaler

<table><caption>Tableau 22 : temps approximatif pour comparer Sophie</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">Type de tâche</th><th rowspan="2">Techniques</th><th rowspan="2">Technologies</th></tr><tr><th>Collectif</th><th>Individuel/<br>en groupe</th></tr></thead><tbody><tr><th>Temps</th><td>6'30</td><td>1h07'</td><td>5,1</td><td>0'</td></tr></tbody></table>

Là encore, ce type de tâche est beaucoup travaillé en individuel, mais par contre pour celui-ci très peu en collectif.

Une technique est formulée mais n'est pas justifiée (technique faible).

On utilise ici uniquement les ostensifs nombres en chiffres et nombres en mots.

### T₄ : Avancer/reculer

<table><caption>Tableau 23 : temps approximatif pour avancer/reculer Sophie</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">Type de tâche</th><th rowspan="2">Techniques</th><th rowspan="2">Technologies</th></tr><tr><th>Collectif</th><th>Individuel/<br>en groupe</th></tr></thead><tbody><tr><th>Temps</th><td>0'</td><td>16'</td><td>0'</td><td>0'</td></tr></tbody></table>

Cette fois il s'agit d'un type de tâche travaillé uniquement lors d'un exercice individuel mais qui a en fait était travaillé aussi en « jeu du furet » oral (comme elle nous le précisera lors d'un entretien).

L'ostensif utilisé est le nombre en chiffres. Même s'il est souvent associé à ce type de tâche, ici le compteur n'est pas utilisé.

#### c) Les entretiens

Lors du premier entretien (non enregistré), Sophie nous fait part de son étonnement face à la réussite des élèves. Elle se demande même si elle ne va pas modifier le contenu de la séance suivante prévue (lecture de nombres avec étiquettes et décompositions) pour aller plus vite.

Nous n'avons pas pu avoir d'entretien suite à la deuxième séance (suite à des problèmes familiaux de l'enseignante qui a été obligée de quitter l'école sitôt la séance terminée).

Lors de l'entretien qui a suivi la troisième séance, nous avons voulu revenir sur un exercice donné dans une séance observée, dans lequel les enfants avaient à recomposer entre autres : 24 dizaines, 5 centaines, 8 unités puis 6 dizaines, 15 centaines, 7 milliers. Ces exercices se distinguent des autres pour deux raisons :

- ils font travailler les recompositions avec les unités de la numération, ce qui n'est pas ce qui se faisait dans les séances précédentes (nombre en ECPD, en ECPDG ou paquets de) ;

- ils pourraient nécessiter d'utiliser les relations entre les unités de la numération (donc sont susceptibles de faire apparaître l'aspect décimal de la numération). En effet, pour le deuxième cas par exemple il faut échanger 10 centaines contre 1 millier.
Nous avons donc interrogé Sophie sur ce qu'elle pensait de cet exercice. Il en ressort que pour elle il s'agit d'un exercice pour aller plus loin. D'ailleurs tous les enfants n'ont pas eu le temps de le faire et pour ceux qui l'ont fait, elle est passée les corriger individuellement. Il n'y a pas eu de phase collective sur cet exercice. Elle ajoute qu'il sera peut-être retravaillé plus tard dans l'année, mais que pour le moment ce n'est pas le plus important.

Nous discutons également de l'exercice de fin de la troisième séance observée où il s'agit d'avancer et reculer dans la suite écrite. L'enseignante précise alors qu'elle a fait un travail à l'oral (« jeu du furet »).

Enfin, nous avons fait un dernier entretien suite à l'évaluation. Nous lui demandons tout d'abord d'interpréter les résultats des élèves. Sophie revient tout d'abord sur le premier exercice dont nous donnons ici deux exemples de production d'élèves qui ont commis des erreurs :

□ Océane :

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

□ Frances :

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>Figure 32 : extrait de l'évaluation finale de deux élèves</figcaption></figure>

Voici un extrait de la transcription (E : enseignante, O : observateur) :

E : [...] Le seul exercice on va dire qui n'a pas été tout à fait bien réussi c'est le premier en fait pour écrire le nombre correspondant aux écritures. Donc là on a les décompositions et après il fallait retrouver le nombre entier.

O : oui

E : c'est là où j'ai eu le plus d'erreur dans le sens où j'avais fait exprès de mettre des nombres dans lesquels on n'avait pas forcément le ++ euh ++ oh là là je perds mes mots ! + enfin les unités de mille, les centaines, les dizaines et les unités enfin dans l'ordre. On n'avait pas forcément l'ordre à chaque fois qui était imposé. J'avais inversé parfois, j'avais d'abord mis le nombre de centaines et le nombre de milliers ou alors j'avais pas mis de centaines ou voilà + Et là c'est là où ils se sont trompés en général, enfin y'en a une partie, on va dire la moitié, se sont trompés dans ces cas-là. Ils ne font pas attention, de suite ils écrivent le nombre par rapport à ce qui est écrit dans l'ordre en fait

On peut donc remarquer que dans les variables de l'exercice citées, elle n'évoque que l'ordre de présentation des unités de la numération mais ne parle pas du fait d'avoir un nombre à deux chiffres pour certaines unités ce qui met en jeu l'aspect décimal de la numération et qui est à l'origine des principales difficultés rencontrées par les élèves. Les erreurs des élèves sont ici ramenées à des fautes d'inattention.

On peut aussi noter une difficulté à parler des unités de la numération (« oh là là je perds mes mots »): il n'existe en effet pas de vocabulaire institutionnel (dans les programmes ou manuels) pour les évoquer.

Sophie poursuit :

E : [...] ça je l'avais mis c'était quand même assez difficile, hein, je le reconnais.
O : c'est-à-dire qu'au niveau de tes attentes ... T'attendais vraiment la bonne réponse ou c'était pour voir s'ils allaient plus loin ?

E : non là ceux que j'avais mis là c'était pour voir s'ils étaient capables d'aller plus loin.

O : d'accord.

E : Donc là par rapport à ces réponses là, non, non, c'était des attentes quand même ... Voilà ceux qui étaient capables vraiment qui avaient compris qui étaient capables de manipuler dans tous les sens c'est vraiment qu'ils faisaient attention. Alors y'en a aussi qui m'ont fait des étourderies, dans le sens, où elle, elle en était capable mais elle n'a pas fait attention.

O : oui ?

E : Y'a deux types d'élèves en fait. Ceux qui n'ont pas fait attention dans le sens où c'était plutôt des étourderies et y'en a d'autres comme Théo, lui il ne maîtrise pas encore tout à fait.

Ici on sent bien encore chez Sophie une difficulté à faire une analyse des difficultés des élèves. Elle fait alors un classement des types d'erreur : étourderie et « ne maîtrise pas ». L'aspect décimal n'intervenant toujours pas, nous décidons alors de faire un parallèle avec le travail qu'elle avait effectué sur les nombres à trois chiffres où justement il était en jeu à travers le type de tâche « nombre de » qui était travaillé dans une situation appelée « les craies » où il s'agit de faire des commandes de craies par unités, paquets de 10 ou de 100 (situation extraite de l'ouvrage ERMEL CE2, dont le directeur de collection est aussi le directeur de la collection du manuel Cap Maths que nous avons étudié dans la partie B) :

O : j'ai repris un petit peu tout ce que tu avais fait et dans ce que j'ai vu sur les nombres à quatre chiffres tu as moins fait ce travail finalement qui correspond aux nombres qui sont là, où y'a des échanges à faire entre les dizaines et les centaines ou entre les centaines et les milliers finalement.

E : Oui, oui. Oui, là j'ai moins travaillé les échanges, oui c'est vrai. Non là j'étais plus dans la décomposition pure on va dire et puis dans la comparaison. Donc après là c'est peut-être un point qu'on va davantage approfondir sur la période suivante. Utiliser plus les échanges. On a aussi la monnaie. Donc c'est vrai qu'on va peut-être utiliser la monnaie pour voir des échanges supplémentaires.

Sophie fait-elle ici le lien entre les échanges et les difficultés rencontrées par les élèves dans l'exercice ? Cela est difficile à dire car c'est nous qui avons fait ce parallèle.

Il nous semble que l'on peut voir ici l'influence du manuel utilisé par la maîtresse (ERMEL CE2) dans ces choix globaux. En effet dans ce manuel (qui est en fait plutôt un guide destiné à l'enseignant), la première situation de l'année sur la numération est le problème des craies (cité ci-dessus). Les auteurs choisissent de travailler sur des problèmes du type « nombre de » qui sont donc susceptibles de faire faire des échanges et groupements. Ils utilisent alors des nombres à quatre chiffres dès cette première situation et l'aspect décimal peut donc y avoir sa place (même si on n'en trouve pas de trace dans la description de la situation). Mais Sophie, même si elle a utilisé cette situation, a choisi de ne pas introduire dès le début d'année les nombres à quatre chiffres mais de commencer par faire des révisions sur les nombres à trois chiffres (c'est une pratique courante). Cependant on peut voir qu'au moment de revenir sur les nombres à quatre chiffres en deuxième période de l'année, elle utilise la situation proposée par le manuel à ce moment-là, sans prendre en compte le fait que dans la progression du manuel, le type de tâche « nombre de » et donc éventuellement l'aspect décimal pour les nombres à quatre chiffres avaient déjà été travaillés.

Sophie hésite d'ailleurs un peu quant à ce travail pour la suite (c'est nous qui soulignons) :
« Donc après là c'est **peut-être** un point qu'on va davantage approfondir sur la période
suivante. Utiliser plus les échanges. On a aussi la monnaie. Donc c’est vrai qu’on va peut-être
utiliser la monnaie pour voir des échanges supplémentaires ». Ces hésitations peuvent faire
penser qu’elle n’est pas maîtresse de sa propre progression sur la numération. Elle semble en
fait ici faire référence au travail proposé par ERMEL sur la monnaie qui a lieu à la dernière
période de l’année. A la lecture des activités proposées par ce manuel, on peut voir qu’il y a
bon un travail proposé sur les équivalences en lien avec la numération. Il s’agit de
comprendre les équivalences entre 1 euro et 100 centimes et ensuite entre les différentes
pièces de 10 centimes, 20 centimes, etc. Cependant aucun nombre à quatre chiffres n’apparaît
dans les activités proposées. Il n’y a donc aucune chance pour que cela permette de faire
apparaître les relations entre les unités pour ces nombres.

Tout se passe donc comme si le projet global de Sophie était piloté par le manuel et qu'une
modification de ce projet créait des trous dans l'organisation mathématique prévue par les
auteurs que l'enseignante n'était pas à même de combler, par manque de vigilance
épistémologique.

Ce phénomène a déjà fait l'objet d'interrogations de la part de Margolinas et Wozniak (à paraître) :

« Si l'œuvre se construit à partir d'un document générateur en incorporant des matériaux pédagogiques et didactiques hétérogènes, cette construction est-elle cohérente du point de vue de son organisation mathématique ? Le document générateur a des caractéristiques propres du point de vue de l'organisation mathématique, notamment au travers de la « progression » qu'il propose, le travail de développement dont il est la source prend-il en compte la façon dont se structurent les savoirs enseignés entre eux et dans leur ensemble ? Pour le dire autrement, le professeur exerce-t-il un contrôle épistémologique des savoirs enseignés ? Si les professeurs dressent les grandes lignes de la progression suivie en nommant les thèmes d'étude « je fais ma division au début du 2ᵉ trimestre », en revanche, d'une année sur l'autre, ce ne sont pas nécessairement les mêmes exercices qui sont repris pour travailler un sujet d'étude donné. L'œuvre, cristallisée autour d'un document générateur, si elle présente une certaine stabilité, notamment en matière d'organisation mathématique globale – comme la programmation des thèmes d'études, par exemple – présente aussi une certaine souplesse en matière d'organisations mathématiques ponctuelles, dans le choix, mouvant, des exercices proposés aux élèves, par exemple. Mais la cohérence, dont on peut supposer qu'elle existait au départ, peut être perdue dans le cours du travail de l'œuvre. Par exemple, quand les programmes changent le professeur peut gommer ou intégrer des objets mathématiques sans vérifier la cohérence de l'organisation mathématique. »

Il nous semble donc que cela pourrait être aussi une interprétation de l'absence de travail sur l'aspect décimal sur les nombres à quatre chiffres : le type de tâche « nombre de » qui est propice à son utilisation n'est pas repris, alors qu'il avait pourtant était travaillé sur les nombres à trois chiffres. Cela est peut-être lié à un manque de vigilance « épistémologique ».

d) Conclusion

On peut résumer l'OM locale par le schéma ci-dessous.
<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>Figure 33 : OM locale du projet global de Sophie</figcaption></figure>

Nous avons remarqué un déséquilibre important entre les temps de traitement en collectif des différents types de tâche qui montre la place importante accordée aux décompositions/recompositions et lectures/écritures de nombres. Le temps de recherche individuel sur comparer / ranger / intercaler ainsi que le nombre d'exercices de l'évaluation montre que ce type de tâche a aussi une place importante dans cette OM. Par contre avancer/ reculer est traité de manière tout à fait anecdotique.

On peut noter une grande variété des ostensifs utilisés : nombre en ECPD, en ECPDG, unités de la numération, « paquets de », nombre en mots et nombre en chiffres. Toutefois les décompositions et recompositions sont principalement associées aux nombres en ECPD et en ECPDG (par exemple 1000+500+20+3 ou $1 \times 1000+5 \times 100+2 \times 10+3$)

Les unités de la numération apparaissent un peu dans les recompositions mais sont surtout utilisées pour évoquer le nom des rangs dans le nombre en chiffres. C'est pourquoi on les retrouve par exemple pour formuler la technique de comparaison de nombres.

On a pu voir des éléments technologiques qui relèvent des règles positionnelles de calcul (addition avec les ECPD) ou de l'association d'un rang à l'unité correspondante (avec les ECPDG). Cela témoigne de l'utilisation de deux modèles théoriques dans la classe relevant de l'OMR moderne et de l'OMR moderne adaptée.

C'est uniquement l'aspect positionnel qui est en jeu au cours de la séquence. Le nom du quatrième rang apparaît en particulier avec une disposition qui s'apparente à un tableau de numération (« unités de mille », c, d, u écrits au-dessus de chacun des chiffres).

Lors des entretiens nous pouvons voir que l'enseignante considère les exercices qui font intervenir les relations entre les unités de la numération comme des exercices qui ne sont pas importants, qui permettent juste d'aller plus loin. D'ailleurs ils ne sont pas traités par tous les élèves et leur traitement relève uniquement du mode individuel. Cependant on les retrouve lors de l'évaluation. La maîtresse évoque uniquement la difficulté liée à l'ordre de présentation des unités de la numération. Lorsque nous lui parlons des échanges nécessaires, elle précise que cela sera peut-être travaillé plus tard. Il nous a alors semblé que le manuel utilisé avait une influence importante sur les choix de l'enseignante au niveau du projet global et qu'une modification du projet prévu par les auteurs pouvait rendre difficile pour l'enseignante le respect des choix mathématiques des auteurs. Cela montre aussi le poids important des manuels dans les contraintes qui pèsent sur le niveau de construction du projet global.

Concernant les contraintes institutionnelles relevées dans la partie C, on peut noter l'influence sur les types de tâches travaillés (principalement décomposer/recomposer, lire/écrire et comparer) et sur l'absence du type de tâche dénombrer. On retrouve aussi l'absence de l'aspect décimal de la numération, l'utilisation des ostensifs institutionnellement privilégiés (nombres en ECPD et en ECPDG) et une place de la numération en unités réduite principalement au nom des rangs dans le nombre en chiffres. Le tableau de numération est uniquement utilisé lors de l'institutionnalisation pour associer le nom de l'unité au rang dans le nombre en chiffres. Il y a un matériel de numération (les quilles) utilisé ponctuellement
mais seulement pour l'aspect positionnel car le nombre d'unités de chaque ordre est limité à 9 (nous y reviendrons dans l'analyse de la mise en œuvre).

On note toutefois une marge de manœuvre qui est investie par l'enseignante concernant l'utilisation dans une tâche de décomposition/recomposition (dans un exercice et dans l'évaluation).

## II.4. Conclusions sur les projets globaux des enseignants

<table><caption>a) Tableau récapitulatif de l'influence des contraintes et libertés institutionnelles sur le projet global des enseignants</caption><thead><tr><th>Contraintes institutionnelles</th><th>Marc</th><th>Sophie</th></tr></thead><tbody><tr><td><strong>Types de tâches :</strong><br>Centration sur lire/écrire et comparer.<br>Les décompositions/ recompositions se font avec les ECPD et ECPDG</td><td>Place importante aux types de tâches décomposer/recomposer et lire/écrire.<br>Absence de « dénombrer », et de « nombre de »<br>Pour décomposer / recomposer : avec le nombre en unités<br>Pour décomposer / recomposer : avec les ECPD et ECPDG mais aussi parfois avec le nombre en unités<br>Du coup dans les deux classes, il apparaît une marge de manœuvre vis à vis des unités de la numération : elles sont utilisées comme des unités de mesure.</td><td>Pour décomposer / recomposer : principalement pour communiquer<br>Pour avancer / reculer : utilisation du compteur<br>Pour comparer : une place importante mais seulement des encadrements et rangements.</td></tr><tr><td><strong>Techniques :</strong> ne sont pas mises en avant dans le programme 2002 (excepté pour certaines tâches : comparer et avancer/ reculer).<br>« il s'agit de mettre en évidence les régularités des suites de nombres écrits en chiffres (en liaison, par exemple, avec le fonctionnement d'un compteur) » IO 2002<br>« les procédures de comparaison font l'objet d'une explicitation par les élèves » IO 2002<br>Des techniques abstraites (lié à l'utilisation des nombres en ECPD et en ECPDG et à la non-utilisationn de la langue naturelle avec les signes algébriques d'addition).</td><td>Même si elles ne sont pas toujours justifiées les techniques apparaissent dans les classes (techniques faibles)<br>Pour décomposer / recomposer : place importante du comptage.<br>On trouve aussi l'association rang/unité (avec la numération en unités).<br>Pour lire/écrire : techniques invisibles<br>Pour avancer / reculer : en lien avec le compteur (technique faible)<br>Pour comparer : pas de technique de comparaison car la comparaison n'est pas travaillée.</td><td>Pour décomposer / recomposer : deux techniques : association rang/unité (avec ECPDG) et règles positionnelles de calcul (avec ECPD).<br>Pour lire/écrire : une technique faible<br>Pour avancer / reculer : technique invisible.<br>Pour comparer : technique faible (explicitée mais non justifiée).<br>L'absence du type de tâche « dénombrer » dans les projets globaux semble avoir pour conséquence une absence de lien entre les ECPD ou les unités de la numération avec des collections d'objets : on est principalement sur la valeur ou sur des nombres abstraits, ce qui correspond donc à des techniques abstraites. Cependant nous avons noté chez les deux enseignants des utilisations ponctuelles des unités de la numération comme unités de mesure en particulier lors des décompositions/ recompositions.</td></tr><tr><td><strong>Technologies :</strong> majoration de l'aspect positionnel de la numération et minoration de l'aspect décimal.</td><td>Dans l'ensemble on note une faible place des technologies dans les phases collectives.<br>L'aspect décimal n'apparaît pas (ou quasiment) dans la classe. Il apparaît comme quelque chose de facultatif, pour aller plus loin (notamment lors d'un entretien avec Sophie).<br>L'aspect positionnel apparaît à travers le nom des rangs dans l'écriture en chiffres,</td><td></td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau 24 : influence des contraintes et libertés institutionnelles sur le projet global des enseignants</caption><tr><td>avec les unités de la numération (le millier ou l'unité de mille est le chiffre du quatrième rang).</td><td>Utilisation de règles positionnelles de calcul (nombre en ECPD et ECPDG). Le tableau de numération est uniquement utilisé lors de l'institutionnalisation. Le compteur n'est pas utilisé.</td></tr><tr><td>Utilisation d'un équivalent de tableau de numération (m, c, d, u) pour faire le lien entre les unités de la numération et la position. Le compteur est un objet technologique pour l'aspect algorithmique de la suite écrite.</td><td></td></tr></table>

b) Discussion de ces résultats : quelles contraintes semblent avoir un poids important sur les projets globaux ? Quelles sont les marges de manœuvre investies par les enseignants ?

Globalement, si on met en parallèle les schémas des OM locales des deux enseignants, la proximité de leur projet global est frappante. On peut faire un rapprochement avec les OM locales du programme de 2002 ou du manuel « Cap Maths CE2 » avec cependant une place plus importante accordée aux décompositions/recompositions.

La principale contrainte qui semble avoir du poids à la fois sur les deux enseignants est l'absence de l'aspect décimal de la numération. Cela est confirmé par les entretiens lors desquels les savoirs en jeu relatifs à l'aspect décimal de la numération n'apparaissent pas dans le projet global tel qu'il est décrit par les enseignants.

De manière plus générale on peut noter :

- une faible place des technologies dans ces deux projets ;

- dans le cas de l'utilisation d'un manuel par l'enseignant, on observe un poids important, parmi les contraintes, des choix globaux faits par les auteurs du manuel.

Au niveau des techniques, même si elles ne sont pas mises en avant dans les programmes, elles apparaissent dans les classes mais de manière différente.

Au niveau des types de tâches, il semble que la centration institutionnelle (de plus en plus marquée avec le temps) sur les types de tâches lire/écrire et comparer ainsi que la moindre importance donnée aux décompositions/recompositions n'aient pas (encore du moins) une forte influence sur les choix des enseignants qui privilégient toujours les décompositions/recompositions qui leur permettent d'amener l'aspect positionnel de la numération. On les retrouve d'ailleurs au début des séquences des deux enseignants.

Concernant le type de tâche « nombre de », rappelons que celui-ci semblait avoir une place importante dans les programmes 2002 malgré une formulation un peu floue (il fallait lire les commentaires des programmes pour voir qu'il était fait référence à ce type de tâche à travers la formulation « valeur des chiffres en fonction de leur position ») mais qu'il avait disparu dans les programmes de 2007 en tant que type de tâche. Il n'apparaît ici dans aucun des deux projets des enseignants. C'est pourtant un type de tâche privilégié pour le travail sur l'aspect décimal de la numération.

Le lire/écrire apparaît, quant à lui, beaucoup dans les classes pour communiquer à l'oral avec les nombres. Cependant les activités spécifiques sur ce type de tâche ne sont pas si nombreuses (en particulier pour Marc).

On peut aussi remarquer que l'absence du type de tâche dénombrer (ainsi que peut-être l'influence de la taille des nombres) semble entraîner les enseignants à ne pas utiliser les nombres comme représentant des quantités de collections d'objets mais plutôt faisant référence à des valeurs ou bien des nombres abstraits.

Pour les deux enseignants la numération en unités sert à nommer les rangs dans l'écriture chiffrée conformément aux contraintes institutionnelles. Mais on a pu également la voir utilisée pour les décompositions/recompositions (chez les deux enseignants, ce qui semble
être lié à l'utilisation du guide ERMEL) ce qui lui confère un statut d'unité de mesure également. Elle est d'ailleurs aussi utilisée pour faire des conversions, comme ici par exemple « 800d=8000u donc 800d3u c'est 8000+3=8003 » (classe de Sophie). On voit dans cet exemple le détour qui est fait pour ne pas mélanger les unités de la numération et le signe d'addition : les unités de la numération ne sont pas utilisées pour faire du calcul conformément à la contrainte de non mélange de la langue naturelle et des signes algébriques. Nous pouvons ajouter que la numération est utilisée notamment pour écrire des nombres à deux chiffres dans les décompositions/recompositions (par exemple « 25 dizaines 6 centaines 4 milliers » dans l'évaluation finale de Sophie), ce que nous n'avons pas vu avec les ostensifs nombre en ECPD ou en ECPDG.

Pour les autres contraintes, elles ne jouent pas de la même manière sur les deux enseignants. On peut remarquer que ces deux enseignants se démarquent des contraintes institutionnelles au niveau du type de tâche « nombre de » qui apparaissait dans les deux manuels et le programme 2002 (pour les suivants cela était moins explicite). Cela pourrait être lié à la formulation utilisée par le programme 2002 (« valeur des chiffres en fonction de leur position ») pour laquelle le lien avec ce type de tâche n'apparaît clairement que par la lecture du document d'application. Cela ne semble pas lié à l'influence des programmes récents (pour lesquels on n'a plus de trace explicite de ce type de tâche), d'après nos entretiens.

Nous allons maintenant faire un « zoom » sur certaines situations proposées par les enseignants susceptibles de faire apparaître le lien entre l'aspect décimal et positionnel de la numération pour étudier plus finement l'avancée du savoir dans la classe et l'action didactique du professeur.

# III. Analyse de la mise en œuvre du projet dans la classe pour les deux enseignants

## III.1 Méthodologie

### a) Choix des situations

Le choix des situations sur lesquelles nous allons faire notre « zoom » a été guidé par le type de tâche travaillé dans les différentes situations afin que :

- celui-ci permette, selon le choix des variables, de mettre en jeu l'aspect décimal et l'aspect positionnel de la numération, ce qui nous permettra d'avoir une possibilité d'observer comment se fait ce lien dans la classe ;

- les situations observées soient mises en parallèle, ce qui nous a donc amené à choisir des types de tâches communs aux deux classes.

Notre choix s'est ainsi porté sur les situations mettant en jeu les décompositions et recompositions qui constituent les premières situations mises en place par les deux enseignants, pour introduire les nombres à quatre chiffres. Nous allons donc analyser l'introduction des nombres à quatre chiffres par ces enseignants à travers l'étude de ces situations.

### b) Analyse en termes de situations

L'analyse a priori se fait sur une situation reconstruite à partir du déroulement. Nous commencerons donc par décrire le déroulement, en particulier, tout ce qui concerne la donnée de la consigne ainsi que le texte fourni aux élèves, ce qui nous permettra de définir la situation.
Nous commençons par définir l'enjeu de la situation en nous appuyant sur le choix des variables et sur ce que dit éventuellement l'enseignant.

Ensuite nous définissons le milieu de la situation. Là encore nous prenons en compte le déroulement car toutes les informations fournies par l'enseignant (oralement ou par écrit au tableau par exemple) font partie du milieu. Nous nous limitons au moment qui précède la mise au travail des élèves. Pour la classe de Sophie pendant la phase de recherche, les enfants sont en autonomie totale du fait de sa gestion du double niveau. Marc, qui reste davantage présent avec le groupe des CE2, organise des petites phases de recherches successives.

Nous indiquons les connaissances supposées disponibles des élèves (nous nous appuierons sur nos observations précédentes des classes sur les nombres à trois chiffres).

Nous pouvons alors commencer à envisager les actions possibles des élèves et les rétroactions que peut ou ne peut pas apporter le milieu et les interventions qu'on peut penser nécessaires de la part de l'enseignant.

Nous donnerons ensuite des éléments du déroulement pour décrire ce qui s'est passé dans la classe. Nous ferons une analyse a posteriori de ce déroulement pour voir les choix effectués par l'enseignant parmi les possibles pointés lors de l'analyse a priori.

Nous analyserons tout d'abord la phase d'action, à partir du déroulement de la phase de recherche des élèves, des régulations effectuées par l'enseignant. Nous décrirons si nécessaire les techniques utilisées par les élèves en nous appuyant sur nos notes d'observation et sur les interventions des élèves lors de la phase de mise en commun.

Nous analyserons également les phases de mise en commun (formulation et éventuellement validation) pour voir comment y apparaissent les techniques dans la classe : restent-elles invisibles, sont-elles formulées ? Justifiées ? Comment apparaissent alors les technologies ? Y a-t-il des institutionnalisations ? S'appuient-elles sur le milieu de la situation ?

Dans ces analyses nous porterons une attention particulière aux ostensifs utilisés.

## III.2 La mise en œuvre du projet du premier enseignant (Marc)

### a) Inscription de la séance dans le projet global

Cette séance est la première parmi les séances proposées sur les nombres à quatre chiffres. Les élèves ont déjà travaillé pendant la première période de l'année sur les nombres à trois chiffres.

La situation proposée lors de cette séance a d'ailleurs déjà été donnée avec des nombres à trois chiffres en début d'année (nous l'avions observée). Elle avait posé des difficultés aux élèves, en particulier pour un cas qui mettait en jeu l'aspect décimal de la numération.

Avant d'analyser la situation, nous allons tout d'abord revenir sur le moment de calcul mental qui a précédé pour voir comment le maître y introduit les nombres à quatre chiffres.

### b) Le moment de calcul mental

Rappelons tout d'abord, comme nous l'avons vu dans l'analyse du projet global, que l'enseignant a choisi d'introduire des nombres à quatre chiffres dans l'activité de calcul mental de début de séance.

#### Déroulement :

##### Episode 1 : collectif (1 minute)

Cette séance commence comme d'habitude par un exercice de calcul mental sur ardoise. La consigne est donnée par le maître : « je vous mets une liste de nombres vous allez me chercher le résultat d'accord ? ».
Le maître écrit alors au tableau les calculs à effectuer. « Allez-y les CE2 ! »

Les calculs : 10× 23, 42× 10, 100× 8, 100× 43, 38× 10, 102× 2, 25+19, 19+6, 39+3, 34+19.

## Episode 2 : individuel (4 minutes)

Les enfants cherchent individuellement et écrivent le résultat sur leur ardoise.

Pendant ce temps le maître corrige un exercice de calcul mental avec les CE1.

## Episode 3 : collectif (5 minutes)

« Les CE2 on corrige ! ». Le maître interroge des élèves pour chaque calcul : il demande le nombre obtenu ainsi que la technique utilisée :

* P : Lucie, dix fois vingt-trois ?

* Lucie : deux cent trente

* P : comment tu trouves ton résultat ?

* Lucie : j'écris vingt trois et je rajoute le zéro du dix.

* P : voilà.

De même pour les autres calculs. Pour le deuxième cas (42× 10), le maître ne demande pas de technique, pour le troisième (100× 8) il énonce lui-même la technique (« j'écris huit et je rajoute les deux zéros de cent »).

Pour le quatrième cas, l'élève interrogée ne sait pas lire le nombre (et elle a commis une erreur) :

* P : cent fois quarante trois, Calista.

* Calista : euh + quatre cent quarante ...

* P : alors dis-moi le nombre. Alors qu'est-ce que j'écris ?

* Calista : quatre

* P : quatre. Après ?

* Calista : quatre

* P : j'écris un quatre encore ?

* Calista : zéro

* P : zéro

* Calista : et zéro

* P : vous êtes d'accord ?

* Les e : non

* P : Lucie.

* Lucie : c'est un trois à la place du quatre.

* P : alors comment on peut lire ce nombre alors. Parce qu'on n'a pas encore vraiment travaillé sur ces nombres là. Tu sais le lire Calista ?

* Calista : non.

* P : non ? Valentin.

* Valentin : quatre mille trois cents.

* P : voilà, ça se lit quatre mille trois cents, d'accord ? Tu écris quarante trois et tu rajoutes les deux zéros de cent, d'accord ?

Le maître introduit donc la lecture d'un nombre en faisant lire un élève sans s'attarder pour le moment. On peut penser que son objectif ici est de travailler l'algorithme de la multiplication par 10 et 100. Le maître passe ensuite corriger un exercice de calcul mental avec les CE1.

## Episode 4 : collectif (1 minute)

Deuxième exercice de calcul mental sur ardoise.

« Allez ! Les doubles ! Vous êtes prêts les CE2 ? Le double de six cents. »
Le maître écrit tous les nombres au tableau (les seuls nombres à quatre chiffres sont les doubles de 500 et de 600).

## Episode 5 : individuel (4 minutes)

Les enfants cherchent individuellement et écrivent le résultat sur leur ardoise.

Pendant la recherche, le maître précise : « Pour les grands nombres si vous avez fini avant les autres essayez de les lire dans votre tête pour qu'on puisse les lire après ensemble ».

Il ajoute donc une tâche de lecture de nombres à effectuer mentalement.

Le maître va ensuite corriger un exercice de calcul mental avec les CE1.

## Episode 6 : collectif (2 minutes)

Correction collective de l'exercice. Le maître demande aux élèves leurs résultats. Pour les nombres à quatre chiffres il demande de donner le résultat chiffre par chiffre puis de lire le nombre obtenu.

Pour le premier (double de 600) :

P : Le double de six cents, Florian + alors comment tu fais ? Dis-moi les nombres + dis-moi les chiffres.

Florian : un un, un deux, et deux zéros.

P : voilà six et six douze et je rajoute deux zéros. Comment on le lit ce nombre ? Tu sais Théo ?

Théo : mille deux cents

P : mille deux cents. Bien.

Pour le troisième (double de 500) :

P : le double de 500, Héloïse

Héloïse : un, zéro, zéro, zéro.

P : et comment tu le lis ce nombre ?

H : mille

P : voilà. Mille. Vous voyez que je fais un petit espace quand j'écris ce grand nombre, c'est fait exprès (il écrit au tableau « 1 000 »).

## Commentaires

Il s'agit donc, au cours de ce moment de calcul mental, de faire appliquer aux élèves les techniques connues de multiplication par 10 ou 100 qui se prolongent ici naturellement au cas des nombres à quatre chiffres, en laissant invisibles les savoirs en jeu (il n'y a pas de lien entre 10 et 100 et les dizaines ou centaines). Comme le précise l'enseignant, il suffit de faire comme cela : « tu écris quarante-trois puis tu rajoutes les deux zéros de cent » (pour le premier exercice de calcul mental) ou bien « six et six, douze, et je rajoute deux zéros » (pour le deuxième exercice : double de 600).

Ces exercices amènent toutefois les élèves à lire des nombres à quatre chiffres, mais il n'y a pas de technique qui apparaît pour cette lecture.

Finalement ces deux premiers exercices auraient pu permettre un rappel des éléments technologiques de la numération des nombres à trois chiffres ou une première rencontre avec des éléments technologiques de la numération des nombres à quatre chiffres. Mais les techniques utilisées ici restent faibles, comme elles le sont certainement souvent dans ces courts moments de calcul mental de début d'heure.

### c) Présentation de la situation
Les élèves vont devoir recomposer des nombres donnés en unités, avec les lettres c, d, u qui symbolisent les centaines, dizaines et unités. Voici la liste de nombres à recomposer :

<table><tr><td>8c</td><td>4d</td><td>3u</td></tr><tr><td>32d</td></tr><tr><td>13c</td></tr><tr><td>12c</td><td>8d</td><td>1u</td></tr><tr><td>14c</td><td>2u</td></tr><tr><td>12c</td><td>11d</td><td>2u</td></tr></table>

Le maître choisit de donner les nombres un à un : pour chaque nombre il laisse chercher individuellement les élèves, puis organise un moment collectif de correction.

Les élèves ont à leur disposition des étiquettes 1, 10, 100, qu'ils peuvent déplacer sur leur table. Ils en ont une quantité suffisante pour traiter tous les cas (ils ont par exemple 32 étiquettes 10).

Voilà comment s'est déroulée la présentation de la situation :

## Episode 7 : collectif (10 minutes)

Le maître distribue les enveloppes contenant les étiquettes 1, 10 et 100 aux élèves.

Un problème pratique retarde la mise en route de la situation : il n'y a que trois étiquettes 10 dans chaque enveloppe au lieu de plus de 30 prévues. L'EVS (personnel de la mairie qui assiste le directeur dans ses tâches administratives) présente dans la classe s'affaire alors à découper des étiquettes. Pendant ce temps les élèves étalent les étiquettes sur la table en faisant un paquet pour chaque type d'étiquettes. Le maître, lui, est avec les CE1 (passation de consignes).

Le maître revient au bout de 3 minutes :

« Vous me préparez sur la table le nombre suivant + et vous me l'écrivez sur l'ardoise. Huit centaines, quatre dizaines et trois unités. Et ensuite sur votre ardoise vous écrivez le nombre que vous aurez trouvé » (le maître écrit au tableau : 8c 4d 3u → c d u).

### d) Analyse a priori de la situation :

#### L'enjeu d'enseignement :

Les principales variables de la tâche utilisées ici, sont la présence d'unités ou non à chaque rang et le nombre de chiffres pour chaque unité.

La première permet de travailler en particulier sur l'association entre les unités et le rang dans l'écriture chiffrée et ainsi d'utiliser le 0 comme marqueur de position. C'est alors l'aspect positionnel de la numération qui est en jeu (par exemple pour 13c il faut associer le 3 au chiffre des centaines, donc au troisième rang).

La deuxième variable permet de mettre en jeu les relations entre les unités (aspect décimal). Par exemple 13c c'est 1m3c car 10 centaines c'est 1 millier. Cependant dans ce cas les élèves peuvent se limiter à placer le 3 au rang des centaines et le 1 vient alors se situer naturellement au rang des milliers sans que les relations entre centaines et milliers apparaissent. C'est pourquoi nous considérons que c'est seulement quand l'unité pour laquelle on a un nombre à deux chiffres est suivie de son unité immédiatement supérieure avec un ou deux chiffres que la relation entre les unités est réellement nécessaire. C'est le cas uniquement pour le dernier cas de l'exercice 12c11d2u qui nécessite l'échange de 10 dizaines contre 1 centaine. Cependant il ne s'agit pas dans ce cas de relation avec les milliers, ce qui nous fait dire que pour les milliers ce qui est en jeu c'est principalement l'aspect positionnel de la numération. Nous pouvons aussi noter que ce savoir (aspect décimal) n'est pas nouveau pour les nombres
à trois chiffres car il a déjà fait l'objet d'un travail en début d'année. En effet dans la séance observée sur les nombres à trois chiffres les élèves avaient eu à traiter le cas 4c12d5u en fin de séance. Cela avait posé des difficultés devant lesquelles l'enseignant avait incité les élèves à utiliser une procédure de comptage. Nous n'avions alors pas vu apparaître l'aspect décimal. L'enjeu d'enseignement de cette situation pourrait alors être d'étendre la technique de recomposition au cas de nombres ayant un nombre de centaines à deux chiffres. Il s'agit donc d'une juxtaposition de chiffres pour tous les cas sauf le dernier qui nécessite un échange entre dizaines et centaines.

L'enseignant a fait une fiche de préparation sur laquelle il a indiqué les objectifs d'apprentissage suivants :

- « retrouver des nombres désignés sous différentes écritures

- passage des unités simples au mille »

Le premier objectif fait apparaître le type de tâche en jeu. Pour le second on peut penser qu'il fait référence au rang des milliers (vu ici comme la classe des mille), qui est bien le savoir nouveau en jeu, ou alors il s'agit de la lecture des nombres à quatre chiffres, ce qui justifierait l'utilisation du nom des classes.

## Le milieu

Le milieu contient les nombres à recomposer, en particulier les écritures avec c, d, u et leur lecture par le maître en « centaines », « dizaines » et « unités ».

Sous le nombre à trouver le maître écrit également au tableau c, d, u avec un tiret au-dessus de chacune de ces lettres.

Le milieu comporte également les étiquettes 1, 10 et 100 avec lesquelles les élèves doivent donner une écriture du nombre. Ils doivent ensuite écrire ce nombre sur leur ardoise.

Les connaissances des élèves supposées disponibles sont les connaissances relatives à l'aspect positionnel de la numération pour les nombres à trois chiffres. Comme nous l'avons précisé, d'après nos observations précédentes il nous semble que l'aspect décimal de la numération n'a pas été travaillé (quand il était en jeu le comptage a permis de l'éviter).

## Les rétroactions possibles du milieu, les interventions prévisibles de l'enseignant

Les deux premiers cas permettent aux élèves d'utiliser leurs connaissances sur les nombres à trois chiffres. Ils vont donc permettre au maître de faire la dévolution de la situation aux élèves. Va-t-il alors en profiter pour rappeler les techniques utilisées sur les nombres à trois chiffres ? Va-t-il également rappeler les règles d'échange entre les unités de la numération ?

Pour les trois cas suivants : 13c, 12c 8d 1u et 14c 1u, les élèves vont pouvoir associer les chiffres aux rangs correspondants. Le fait d'avoir un nombre de centaines à deux chiffres peut ne pas les pousser à utiliser les relations entre centaines et milliers (comme nous l'avons déjà précisé) mais seulement juxtaposer les deux chiffres de façon à ce que le deuxième soit situé au rang des centaines. Des erreurs possibles pourraient venir d'une non prise en compte de la position des centaines dans le nombre à trouver (par exemple écrire 13 ou 130 pour 13c). Une rétroaction possible pourrait venir alors de la lecture du nombre obtenu. Ou encore de la lecture du nombre de centaines de ce nombre (par exemple pour 13 il n'y a pas de centaine, alors qu'on avait 13 centaines au départ). Ce sont aussi des moyens que le maître a à sa disposition pour provoquer une rétroaction du milieu.

Cependant, le fait que le maître écrive au tableau c, d, u en dessous du nombre à trouver, avec des tirets correspondant à chacun des chiffres à écrire, a pour conséquence de laisser à la charge du milieu la prise en compte de l'association entre l'unité et le rang dans l'écriture. Finalement tant qu'il y a la présence de cet ostensif (que l'on peut considérer comme un tableau de numération), il s'agit pour les élèves uniquement d'associer c à c, d à d et u à u.
Finalement, les élèves n'ont pas besoin de faire le nombre avec les étiquettes, ce qui peut alors apparaître comme une tâche inutile. Si les élèves font d'abord le nombre avec les étiquettes (comme demandé par le maître), ils peuvent alors :

- utiliser le comptage de 1 en 1, 10 en 10 et 100 en 100

- effectuer l'échange 10 étiquettes de 100 contre 1 étiquette de 1000 (mais le milieu ne contient pas ce type d'étiquette, ce qui laisse présager que le maître ne va pas faire intervenir des équivalences). Les étiquettes pourraient pourtant servir à matérialiser l'équivalence entre 10 centaines et 1 unité de mille.

Par contre pour le dernier cas (12c11d2u), si les élèves utilisent la juxtaposition des chiffres, ils risquent d'obtenir les nombres :

- 12112 s'ils placent les chiffres les uns à la suite des autres,

- ou encore 1213 s'ils commencent par placer le 2 de 12 au rang des centaines ...

Les étiquettes sont alors un élément du milieu sur lequel le maître peut s'appuyer dans la phase de recherche ou de mise en commun pour invalider ces réponses :

- soit en faisant étaler les étiquettes pour chaque unité puis effectuer les échanges entre les différentes unités, mais cela demanderait aux élèves de connaître notamment l'équivalence entre 10 centaines et 1 unité de mille, ce qui peut nécessiter une intervention de l'enseignant. C'est en effet une convention que les élèves ne peuvent inventer : ils peuvent seulement supposer que ça fonctionne comme pour les unités déjà connues. Une autre intervention prévisible de l'enseignant, dans ce cas, est liée à l'absence d'étiquette 1000 : comment le maître va-t-il faire apparaître cette nouvelle unité ?

- soit en faisant compter de 100 en 100 puis de 10 en 10 et enfin de 1 en 1, mais se pose alors le problème du passage de « neuf cents » à « mille » puis le comptage au-delà de mille, qui n'a jamais été travaillé dans la classe. Cela pourrait nécessiter encore une intervention de l'enseignant.

Il semble donc que dans les deux cas une intervention du maître pour montrer un savoir nouveau en s'appuyant sur ce milieu est nécessaire pour valider les réponses des élèves. Il s'agit de deux savoirs différents. Quel choix le maître va-t-il alors effectuer?

## Les techniques possibles :

Prenons l'exemple du dernier cas : 12c 11d 2u

### Techniques utilisant les étiquettes :

τ : comptage : associer c à 100, d à 10 et u à 1 et chercher le nombre d'étiquettes de chaque sorte : 12 étiquettes 100, 11 étiquettes 10 et 2 étiquettes 1. Compter de 100 en 100 puis de 10 en 10 puis de 1 en 1 : cent, deux cents, ..., mille cent, mille deux cents, mille deux cent dix, ..., mille trois cent douze.

τ₂ : calcul : associer c à 100, d à 10 et u à 1 et chercher le nombre d'étiquettes de chaque sorte : 12 étiquettes 100, 11 étiquettes 10 et 2 étiquettes 1. Trouver le nombre correspondant à chaque unité : 1200 (car 12×100), 110 (car 11×10) et 2 et additionner ces trois nombres : 1200 + 110 + 2 = 1312 (calcul mental ou addition posée).

τ₃ : groupements et échanges : associer c à 100, d à 10 et u à 1 et quand on a 10 étiquettes d'un certain ordre on les échange contre 1 étiquette de l'ordre immédiatement supérieur (si c'est possible) : 12 étiquettes 100, c'est 1 étiquette de 1000 (mais on n'en a pas !). Donc on considère que notre paquet de 10 étiquettes 100 c'est comme 1 étiquette 1000) et 2 étiquettes de 100, 11 étiquettes 10 c'est 1 étiquette de 100 et 1 étiquette de 10. Finalement on a donc 1
étiquette 1000 (du moins l'équivalent en étiquettes 100), 3 étiquettes 100, 1 étiquette de 10 et 2 étiquettes 1, soit 1312 (on associe l'étiquette au rang).

### Techniques n'utilisant pas les étiquettes :

τ₄ : règle positionnelle de calcul : écrire 11d2u dans les tirets : on obtient 112 puis ajouter 12c comme pour une addition en colonnes. On obtient 1312 (car 1+2 = 3 au rang des centaines).

τ₅ : faire tous les échanges nécessaires pour avoir un chiffre pour chaque unité : ici 12c = 1m 2c, 11d = 1c 1d, donc 12c 11d 2u = 1m 3c 1d 2u, soit 1312 (on associe l'unité de la numération à son rang dans l'écriture chiffrée).

**Remarque :** cette première étape consistant à faire tous les échanges nécessaires pour avoir un chiffre pour chaque unité, n'est nécessaire que pour le dernier cas. Dans les autres cas, les élèves peuvent écrire les chiffres les uns à côté des autres (par exemple : 12c 8d 1u = 1281).

Finalement on peut donc dire qu'il y aurait donc dans cette situation une possibilité de faire utiliser aux élèves les relations entre les unités (aspect décimal) : 2 chiffres pour le nombre de centaines, la présence des étiquettes. Mais l'absence d'étiquette 1000 dans le milieu nous questionne quant à la façon dont le maître va faire apparaître ces relations.

## e) Description du déroulement

### Episode 8 : individuel (2 minutes)

Les élèves travaillent individuellement.

Le maître circule pour valider individuellement les réponses des élèves : « Vous levez la main et je passe... Quand j'ai vérifié vous pouvez effacer ».

### Episode 9 : collectif (1 minute)

Correction collective. Le maître interroge une élève qui donne la bonne réponse. Le maître prend en charge la validation.

### Episode 10 : collectif (moins de 1 minute)

Le maître indique le nouveau nombre à décomposer : « maintenant vous me fabriquez sur votre table 32 dizaines + et après lorsque vous avez fait 32 dizaines sur la table, il faut écrire le nombre que vous avez trouvé sur l'ardoise ».

$$ \overline{c} \ \overline{d} \ \overline{u} \qquad \text{Le maître écrit au tableau : } 32d \rightarrow$$

### Episode 11 : individuel (4 minutes)

Les élèves travaillent individuellement. Le maître circule pour valider individuellement les réponses des élèves. Il invite les élèves qui se trompent à faire les 32 dizaines avec les étiquettes.

### Episode 12 : collectif (4 minutes)

Correction collective. Le maître interroge une élève qui donne la bonne réponse. Il lui demande ensuite de venir au tableau expliquer comment elle a fait : « là j'ai marqué trente-deux et j'ai rajouté un zéro, et y'a pas d'unité ». Le maître lui demande ensuite si elle a manipulé les étiquettes pour trouver ce résultat. Comme l'élève répond que c'est le cas le maître décide de présenter cette méthode : il dessine au tableau les trente-deux étiquettes de
dix puis compte de dix en dix jusqu'à cent et laisse un élève terminer le comptage de dix en dix jusqu'à trois cent vingt.

### Episode 13 : collectif (moins de 1 minute)

Le maître donne le 3ème nombre à décomposer : « Alors maintenant je vous demande treize centaines. Et je ne mets rien du tout. Trouvez-moi le nombre qui se cache derrière treize centaines. Je vous invite à manipuler ».

Il écrit alors au tableau $13c \rightarrow$ (il n'écrit plus le c/d/u)

### Episode 14 : individuel (2 minutes)

Les élèves travaillent individuellement. Dès le début de la recherche face à l'erreur d'un élève, le maître précise « je veux que tout le monde manipule. Manipulez, tu verras peut-être que tu as fait une erreur ». Le maître circule pour valider individuellement les réponses. Il ajoute pour un élève qui a trouvé très rapidement : « Florian, vérifie quand même en manipulant ».

### Episode 15 : collectif (3 minutes)

Correction collective. Le maître fait passer une élève au tableau et lui demande de dessiner ce qu'elle a « manipulé ».

L'élève dessine les étiquettes comme ceci :

100 100 100
100 100 100
100 100 100
100 100
100 100

Il lui demande ensuite de compter. L'élève commence à compter « cent » puis s'arrête. Le maître fait intervenir un élève pour poursuivre : « deux cents ». L'élève au tableau continue mais s'arrête à neuf cents. Le maître continue : « mille ». Mais l'élève bloque encore. Le maître demande « combien ça fait ? Mille et on ajoute cent ». Un élève répond « mille cent ». L'élève continue alors jusqu'à « mille trois cents ». Le maître lui demande si elle saurait l'écrire « en chiffres », ce qu'elle fait correctement au tableau : « 1300 ».

Comme l'élève avait écrit sur son ardoise « 130 », le maître lui dit qu'il fallait un zéro de plus.

Il réécrit « 1 300 » en précisant qu'il laisse « un espace pour faciliter la lecture ».

### Episode 16 : collectif (moins de 1 minute)

Le maître donne le 4ème nombre à décomposer : « vous me représentez sur votre table douze centaines, huit dizaines et une unité ».

Il écrit au tableau $12c 8d 1u \rightarrow$

Vous manipulez sur votre table et après vous trouvez le nombre qui se cache derrière cette écriture.

### Episode 17 : individuel (4 minutes)

Les élèves travaillent individuellement. Des élèves écrivent directement le nombre. D'autres commencent par travailler avec les étiquettes.

### Episode 18 : collectif (3 minutes)

Correction collective. Le maître fait passer une élève au tableau et lui demande de dessiner « ce qu'elle a manipulé sur sa table ».

L'élève écrit :
<table><tr><td>100</td><td>10</td><td>1</td></tr><tr><td>100</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>10</td><td></td></tr></table>

Le maître lui demande alors de compter. Elle compte « cent », « deux cents », ... jusqu'à « mille deux cents » (au moment du passage à « mille », l'enseignant répète bien fort : « neuf cents, mille »).

Elle écrit ce nombre au tableau : « 1200 » à la demande du maître.

Puis l'enseignant lui demande de compter les dizaines : elle efface alors le 0 (au rang des dizaines) de 1200 pour écrire « 1280 », puis fait de même pour les unités : « 1281 ».

Enfin le maître lui demande de lire ce nombre, ce qu'elle fait correctement.

### Episode 19 : collectif (moins de 1 minute)

Le maître donne le 5ème nombre à décomposer : « alors vous allez essayer celui-ci. Quatorze centaines et deux unités. Trouvez le nombre qui se cache derrière ».

Il écrit au tableau $14c \ 2u \rightarrow$

### Episode 20 : individuel (3 minutes)

Les élèves travaillent individuellement. Des élèves travaillent avec les étiquettes, d'autres non.

Face à un élève qui a fait une erreur le maître l' invite « à manipuler ».

Le maître circule pour valider individuellement les réponses.

Au bout de 2 minutes, le maître précise : « en fait dans les nombres qu'on est en train de chercher là, on a mille, centaine, dizaine, unité ».

Il écrit au tableau $\overline{14c} \ 2u \rightarrow$

### Episode 21 : collectif (3 minutes)

Correction collective. Le maître fait passer une élève au tableau « tu nous montres ce que tu as fait sur la table ».

L'élève dessine au tableau :

<table><tr><td>100</td><td>100</td><td>100</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>100</td><td>100</td><td>100</td><td></td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>100</td><td>100</td><td></td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>100</td><td>100</td><td></td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>100</td><td>100</td><td></td><td></td></tr></table>

Le maître lui demande alors de compter. L'élève compte jusqu'à mille puis s'arrête. Le maître demande aux autres élèves : un élève dit « mille cent », ce qui permet à l'élève au tableau de poursuivre jusqu'à « mille quatre cents ».

Le maître lui demande alors de l'écrire dans les cases $m/c/d/u$ (« après on rajoutera les deux unités »). Elle efface ensuite le 0 pour écrire les 2 unités.

Enfin le maître lui demande de lire le nombre.
## Episode 22 : collectif (moins de 1 minute)

Le maître donne le dernier nombre à décomposer : « allez, un dernier pour vous titiller un petit peu l'esprit. Douze centaines, onze dizaines et deux unités. Trouver le nombre qui se cache derrière cette écriture ». Il écrit au tableau : 12c 11d 2u →

## Episode 23 : individuel (4 minutes)

Les élèves travaillent individuellement. Des élèves travaillent avec les étiquettes, d'autres non.

Il invite un élève à manipuler « ça prend du temps mais il faut être courageux ! »

Puis devant les difficultés d'élèves il ajoute : « dessine sur l'ardoise tes billets de cent, tes billets de dix et de un et compte ».

Les élèves n'ont pas trouvé la bonne réponse. Ils trouvent ces nombres : 1212, 1213, 12112 ou encore 2512.

## Episode 24 : collectif (15 minutes)

Correction collective. Le maître fait passer une élève au tableau : dessine ce que tu as manipulé ou dessiné sur ton ardoise.

Elle dessine :

<table><tr><td>100</td><td>100</td><td>10</td><td>10</td><td>1</td></tr><tr><td>100</td><td>100</td><td>10</td><td></td><td>1</td></tr><tr><td>100</td><td>100</td><td>10</td><td></td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>100</td><td>10</td><td></td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>100</td><td>10</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>10</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>10</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>10</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>10</td><td></td><td></td></tr></table>

Le maître sépare alors les colonnes d'unités différentes par des traits verticaux puis écrit au-dessus de chaque colonne : c d u.

Il demande alors à l'élève de compter, ce qu'elle fait malgré des hésitations arrivée à « mille ».

Le maître lui demande alors d'écrire ce nombre. Elle écrit « 1200 »

L'élève compte ensuite les dizaines jusqu'à « mille deux cent quatre-vingt-dix » où elle s'arrête. Le maître la fait aider par un autre élève qui poursuit ensuite : « mille trois cent dix ».

L'élève au tableau écrit alors : « 1312 » en effaçant les chiffres écrits précédemment.

Enfin le maître lui demande de le lire, et lui fait remarquer que ce n'est pas ce qu'elle avait trouvé comme nombre sur son ardoise : « entre ta façon de faire à ta table et ta façon de faire au tableau, t'as pas trouvé pareil ».

Il fait passer un autre élève au tableau : « Arthur, comment t'as fait toi ? »

L'élève dit qu'il a fait pareil, mais le maître lui demande quand même de montrer. L'élève dessine alors au tableau les étiquettes quasiment de la même manière que l'élève précédente.

Il compte alors de cent en cent (blocage arrivé à mille) puis écrit à la demande du maître le nombre obtenu : « 1200 »

Il compte alors de dix en dix à partir de « mille deux cents », jusqu'à mille trois cent dix. Puis il écrit « 1312 ».

Le maître fait alors remarquer à l'élève que ce qu'il a trouvé au tableau est différent du résultat écrit sur son ardoise (où il avait écrit « 12112 »).
Le maître demande alors aux autres élèves de dire qui l'a fait comme lui (en montrant l'ardoise où est écrit « 12112 ») en ajoutant que c'est peut-être juste.

P : « T'as manipulé au tableau, très bien, moi ce qui m'intéresse c'est de comprendre comment vous avez trouvé ça sur l'ardoise ».

Il fait alors revenir au tableau l'élève qui était venu juste avant. Elle écrit « 12112 ».

En fait trois élèves avaient trouvé ce nombre.

« D'après vous qui c'est qui a raison ? »

« Regardez ici là si on compte, cent, deux cents, trois cents, quatre cents, cinq cents, six cents, sept cent, huit cent, neuf cent, mille, mille cent, mille deux cents, là on a mille deux cents ». Il montre la première colonne :

<table><thead><tr><th colspan="2">c</th><th colspan="2">d</th><th colspan="2">u</th></tr></thead><tbody><tr><td>100</td><td>100</td><td>10</td><td>10</td><td>1</td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>100</td><td>10</td><td></td><td>1</td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>100</td><td>10</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>100</td><td>10</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>100</td><td>10</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>100</td><td>100</td><td>10</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>10</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>10</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>10</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>10</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Il écrit alors « 1200 » sous la colonne « c » et poursuit : « dix, vingt, trente, quarante, cinquante, soixante, soixante-dix, quatre-vingts, quatre-vingt-dix, cent, cent dix. Cent dix. Et on a deux unités »

Il écrit « 110 » sous la colonne « d » et 2 sous la colonne « u ».

P : « Alors qu'est-ce qu'on est obligé de faire ici ? On dépasse cent (il montre la colonne des dizaines).

Qu'est-ce qu'on est obligé de faire ?

Un é : une retenue.

P : Bah, oui, qu'est-ce qu'il faudrait faire ? Il faudrait ?

Un é : déplacer

P : oui il faudrait déplacer quoi ? Lucie.

Lucie : une centaine dans la dizaine

P : une centaine dans la dizaine ?

Lucie : non une dizaine dans la centaine

P : viens me montrer Lucie. Parce que là j'ai mille deux cents, là j'ai cent dix et là j'ai deux. C'est pas facile ça. Alors c'est vrai qu'en comptant de dix en dix comme a fait Maud on y arrive mais là ? Comment tu ferais là ?

Lucie : inaudible

P : On peut la rajouter cette dizaine ici ? (il montre la colonne des centaines) ++ Non regarde il faudrait enlever un paquet de dix. Ça fait combien un paquet de dix ? Ca ça fait combien ? Si j'enlève dix, vingt, trente, quarante, cinquante, soixante, soixante-dix, quatre-vingts, quatre-vingt-dix, cent. Si j'enlève ce paquet et que je le mets de ce côté ? (il montre la colonne des centaines)

Des é : dix

P : oui il reste dix. Mais là combien j'en ai enlevé ?

Un é : bah dix.

P : J'ai enlevé dix paquets de dix, ça fait combien dix fois dix ?

Un é : cent.
P : cent, et je peux le transférer dans les centaines, ça fait une centaine de plus. Mais sinon on peut compter de dix en dix comme a fait Arthur ... et Maud.

## f) Analyse a posteriori

Le maître choisit de faire une correction collective entre chacun des cas, ce qui fait que le milieu s'agrandit au fur et à mesure de l'avancée de la séance. Le maître prend en charge la validation des réponses (quand c'est juste) en passant voir individuellement les élèves. Les corrections servent alors plutôt à montrer les procédures utilisées par les élèves.

### 1er cas : épisodes 7 à 9 (8c 4d 3u)

Même si le maître demande aux élèves de « préparer sur leur table le nombre » avec les étiquettes, puis de l'écrire sur l'ardoise, l'association 8c 4d 3u →

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

est si évidente que les élèves semblent placer leurs étiquettes sur la table principalement pour répondre aux attentes du maître.

Les étiquettes ne servent pas non plus lors de la validation (qui est prise en charge par le maître).

### 2ème cas : épisodes 10 à 12 (32d)

Pendant la phase de recherche face aux difficultés de certains élèves, cette fois le maître invite les élèves à utiliser les étiquettes. Mais le comptage de dix en dix est ici long et les élèves cherchent pour leur premier essai à utiliser la procédure précédente et c'est seulement suite à une erreur et aux sollicitations du maître qu'ils se mettent à utiliser les étiquettes.

Le maître utilise également la lecture par l'élève du nombre de dizaines dans le nombre obtenu pour invalider des résultats (et les incite alors à utiliser les étiquettes) : il demande à une élève combien elle a de dizaines dans 32, et suite à l'élève qui lui répond « trois » il ajoute que lui il avait 32 dizaines.

Nous allons maintenant revenir plus en détail sur les échanges qui ont eu lieu lors de cette correction afin de mettre en évidence les techniques et technologies en jeu dans ce moment (qui seront dans le milieu pour les cas suivants) :

* Lucie : là j'ai marqué trente-deux et j'ai rajouté un zéro, et y'a pas d'unité.

* P : Et y'a pas d'unité. Qui c'est qu'a manipulé ? T'as manipulé pour le trouver ou t'as écrit comme ça ?

* Lucie : j'ai manipulé

* P : t'as manipulé combien de billets ? C'est des billets de cent, de dix, de un ?

* Lucie : de dix.

* P : combien t'en as pris en main ?

* Lucie : trente deux

* P : trente deux. Alors je vais les écrire au tableau. Ca va nous prendre un petit peu de temps mais je les écris au tableau parce que je vois que Valentin il les avait sur la table. Y'en a qui n'ont pas manipulé, Antonin il a écrit directement le nombre.

* Des é : moi aussi !

* P : Bien alors je vais les écrire. Pour que ce soit plus facile à compter je vais faire des paquets de combien ?

* Les é : dix.

* Le maître dessine les billets au tableau et fait une remarque pour recadrer le travail des CE1.

* P : combien de paquets de dix il faut que je fasse ?
Des é : trente-deux

P : trente-deux paquets de dix ?

Il continue de dessiner les paquets de dix, par colonnes comme ceci :

<table><tr><td>10</td><td>10</td><td>10</td><td>10</td></tr><tr><td>10</td><td>10</td><td>10</td><td>10</td></tr><tr><td>10</td><td>10</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>10</td><td>10</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>10</td><td>10</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>10</td><td>10</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>10</td><td>10</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>10</td><td>10</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>10</td><td>10</td><td>10</td><td></td></tr><tr><td>10</td><td>10</td><td>10</td><td></td></tr></table>

P : je n'ai fait que trois paquets de dix, hein ?

Un é : non t'as pas fait trois paquets de dix.

P : un paquet de dix, un paquet de dix (montre les colonnes), trois paquets de dix, et non pas trente-deux paquets de dix sinon ça ferait trop. Alors on va compter.

P : dix, vingt, trente, quarante, cinquante, soixante, soixante-dix, quatre-vingts, quatre-vingt-dix, cent. Arthur tu comptes après.

Arthur : cent dix, cent vingt, cent trente, cent quarante, cent cinquante, cent soixante, cent soixante-dix, cent quatre-vingts, cent quatre-vingt-dix, deux cents.

P : Alors deux cents, Arthur.

Arthur : deux cent dix, deux cent vingt, deux cent trente, deux cent quarante, deux cent cinquante, deux cent soixante, deux cent soixante-dix, deux cent quatre-vingt, deux cent quatre-vingt-dix, trois cents, trois cent dix, trois cent vingt.

P : trois cent vingt. Alors donc on arrive à trois cent vingt, donc si on manipule. Donc trente deux dizaines et aucune unité donc on met un zéro. On continue.

On voit tout d'abord que la possibilité d'utiliser les étiquettes pour faire des échanges entre dizaines et centaines n'est pas utilisée. Le maître fait pourtant des paquets de 10 étiquettes de 10 mais c'est « pour que ce soit plus facile à compter ». La technique choisie est donc celle qui consiste à compter de 10 en 10.

Tout se passe ici comme si le maître voulait se servir de cette technique de comptage pour justifier le fait d'ajouter le zéro à droite de 32, alors qu'il s'agit en fait d'une deuxième technique (c'est peut-être l'intervention de l'élève qui dit qu'elle a ajouté un zéro puis ajoute qu'elle a manipulé qui l'amène à faire cela). Du coup il n'y a pas d'élément technologique qui apparaît justifiant le fait d'ajouter un zéro : la deuxième technique ne permet pas de justifier la première mais plutôt de vérifier le résultat : on peut parler de « vérification » plutôt que de « validation ».

Pour les cas suivants, il faut donc considérer que les élèves auront les corrections de ces deux premiers cas dans leur milieu, ce qui risque de les amener à utiliser des règles de calcul (comme ici ajouter un zéro) qui sont rapides ou bien les étiquettes plutôt par effet de contrat. Quand le maître parle de manipuler, on peut désormais penser qu'il s'agit de la procédure de comptage.

### 3ème cas : épisodes 13 à 15 (13c)

C'est à partir de ce cas que l'enjeu d'enseignement est présent : l'introduction des nombres à 4 chiffres avec des nombres de centaines à deux chiffres.
Lors de la présentation de la situation, le maître n'écrit plus c, d, u (et les tirets) sous le nombre à obtenir, ce qui laisse donc à la charge de l'élève l'association du chiffre des centaines au 3ème rang dans le nombre en chiffres.

Il « invite » tout d'abord les élèves à manipuler, puis leur demande à tous de le faire (devant une erreur d'un élève), ce qui constitue une demande d'utiliser le comptage (en tenant compte de ce qui s'est passé dans les épisodes précédents. En faisant ceci il modifie l'enjeu : il s'agit maintenant de compter de 100 en 100. Certains élèves continuent cependant d'écrire directement le résultat sans utiliser les étiquettes. Cette technique de comptage n'apparaît plus seulement comme un moyen de vérifier le résultat mais aussi de le trouver.

Lors de la correction d'ailleurs, le maître demande immédiatement de dessiner les étiquettes puis de compter. Il ne laisse plus de place pour d'autres procédures. Mais l'élève interrogée bloque sur le comptage à partir de « mille ». C'est le maître qui intervient alors pour prendre en charge la suite du comptage pour « mille » et « mille cent » puis l'élève continue jusqu'à « mille trois cents » (il suffit en fait de compter de cent en cent en intercalant le mot « mille »). L'écriture du nombre en chiffres (à partir du nombre dit oralement) est prise en charge par l'élève sans difficulté apparente. On peut remarquer que l'élève interrogée avait écrit 130 sur son ardoise : on peut penser qu'elle avait mis le 1 de 13c à la place des centaines (3ème rang) puis écrit le 3 à côté et le 0 pour marquer la position. La gestion de cette erreur par le maître consiste à lui faire utiliser le comptage puis lui dire « qu'il fallait ajouter un zéro de plus ». Cela peut permettre à l'élève de constater que son résultat est erroné (mais en utilisant une procédure qui demande l'intervention du maître pour l'aider à compter) mais ne peut pas lui donner les moyens de comprendre l'origine de son erreur.

### 4ème et 5ème cas : épisodes 16 à 21 (12c8d1u et 14c2u)

Tout se passe comme pour le cas précédent : les élèves doivent représenter le nombre avec les étiquettes puis trouver l'écriture en chiffres.

Lors de la recherche du 5ème cas (14c2u) le maître institutionnalise le nom du 4ème rang : « en fait dans les nombres qu'on est en train de chercher là on a mille, centaine, dizaine, unité », qu'il écrit sous la forme m, c, d, u au tableau sous 4 tirets représentant les chiffres à placer :

$$14c\ 2u \rightarrow \underline{\hspace{2cm}} \\ m \ c \ d \ u$$

Il semble que cette intervention du maître fasse suite à des erreurs (juxtaposition du 14 et du 2 en 142). Cette modification du milieu devrait amener les élèves à chercher à associer les unités à la position dans l'écriture en chiffres et non à utiliser le comptage (ce qui vient contredire ses demandes précédentes).

### 6ème cas : épisodes 22 à 24 (12c11d2u)

Comme nous l'avons vu dans l'analyse a priori ce cas présente la particularité d'avoir un nombre de dizaines et de centaines à 2 chiffres (ce qui explique que le maître dit vouloir « titiller un peu l'esprit » de ses élèves). Cependant les corrections précédentes risquent d'amener les élèves à tenter une juxtaposition directement ou à utiliser les étiquettes pour faire du comptage.

C'est en effet ce qu'on observe dans la classe : les premiers trouvent 1212, 1213 ou encore 12112 (on peut voir ici qu'il s'agit de manipulations de chiffres qui ne sont pas guidées par les relations entre les unités) et une élève qui a essayé de compter trouve 2512. Aucun élève n'a trouvé la bonne réponse.

Le début de la correction se déroule comme pour les cas précédents : le maître fait compter avec les étiquettes de 100 en 100, 10 en 10 et 1 en 1 (avec plus ou moins de difficultés) et fait écrire en chiffres le nombre trouvé. Il fait ensuite remarquer que ce n'est pas la même chose que ce que l'élève a trouvé sur son ardoise, sans revenir sur sa procédure.
Le deuxième élève interrogé dit qu'il a fait pareil, ce qui est peu probable car il a trouvé 12112, ce qui correspond à une juxtaposition des chiffres. Le maître lui demande quand même de montrer lui aussi comment il a fait certainement pour que l'élève prenne conscience de son erreur.

Le maître laisse alors planer le doute quant à la validité de chacune de ces réponses (il montre l'ardoise où est écrit 12112 en disant que c'est peut-être juste) et ajoute : « moi ce qui m'intéresse c'est de comprendre comment vous avez trouvé ça sur l'ardoise ». Cela marque un changement d'enjeu dans la mise en commun : il s'agit maintenant d'expliquer la technique utilisée par certains élèves (qui ne fonctionne pas). C'est alors le maître qui prend la responsabilité de la validation : il trace des colonnes pour séparer les étiquettes 100, 10 et 1 en écrivant c, d, u au-dessus (comme dans un tableau de numération) tout en effectuant un comptage de 100 en 100, il obtient 1200, de 10 en 10, il obtient 110 puis de 1 en 1, il obtient 2. Soit 1200, 110 et 2.

Concernant le 110 il demande aux élèves ce qu'on est « obligé de faire ici » car « on dépasse 100 ».

Qu'est-ce qui fait que l'on est « obligé » ? Implicitement c'est le fait que dans une colonne on ne puisse avoir plus de 9 unités, mais cela n'apparaît pas dans le milieu car avec les étiquettes on peut en placer autant que l'on veut.

Du coup les élèves pensent qu'il faut déplacer des objets entre les colonnes : « une dizaine dans la centaine ». On voit là encore que la manipulation proposée par l'enseignant n'est guidée par aucune propriété mathématique car les connaissances des relations entre dizaines et centaines ne semblent pas être dans le milieu des élèves.

C'est donc le maître qui est encore obligé de prendre la responsabilité de l'explication de cette relation tout d'abord par un recours au comptage « dix, vingt, ... cent » qui lui permet d'obtenir l'équivalence entre 10 étiquettes 10 et 1 étiquette 100 pour justifier le passage dans la colonne des centaines.

Face aux difficultés des élèves à formuler cette équivalence, il reformule « dix paquets de dix » en « dix fois dix », ce qui semble alors s'appuyer sur une règle positionnelle de calcul (10×10 = 100 car on ajoute un zéro). Il termine en disant qu'on peut les « transférer dans les centaines, ça fait une centaine de plus ». Il a donc ainsi utilisé la technique consistant à utiliser les étiquettes en effectuant les échanges entre les unités. Ce qui lui fournit une deuxième méthode pour vérifier le résultat mais on ne voit pas le lien avec la procédure utilisée par les élèves : comment se traduisent ces manipulations d'étiquettes en manipulations de chiffres ? Cela permettrait de donner des règles de manipulation des chiffres s'appuyant sur des propriétés mathématiques.

### g) L'entretien post-séance : des compléments sur l'activité du professeur.

Voyons tout d'abord le bilan que fait l'enseignant de sa séance :

* O : Qu'est-ce que t'en penses de ce qui s'est passé par rapport à ce que tu avais préparé ?

* E : Ce qui s'est passé c'est par rapport à ... (inaudible). Donc là ils y sont arrivés parce que c'étaient des révisions (il montre les cas 1 et 2). Déjà trente-deux dizaines certains se sont ... (inaudible), d'autres avaient un petit peu oublié. Certains ont mis trente-deux donc en manipulant après certains ont vu qu'ils s'étaient trompés. Donc pour treize centaines donc ça s'est relativement bien passé. Le problème c'est de compter au-delà de mille. Ils sont pas encore habitués. Donc après là ça c'était à peu près bien réussi. Bon c'est le dernier qui a posé problème effectivement. Le problème d'une dizaine. Alors qu'en comptant de 1 en 1, de 10 en 10 tu vois ils sont arrivés à trouver le nombre, donc euh + Alors c'est pas facile il y a encore du travail à faire.
O : oui

E : donc après ce que je pense c'est qu'il faudra utiliser les compteurs.

O : oui

E : + + + (réfléchit) Bon parce que là ils ont écrit douze, onze, deux, ils ont cru que c'était comme ça mais bon là y'avait un problème, y'avait une centaine de plus parce qu'on dépassait cent.

Cela nous permet de confirmer que la technique de comptage sert bien à vérifier le résultat.
Le maître a identifié les erreurs des élèves (niveau - 1) : le comptage au-delà de mille (pour la
technique de comptage) et la juxtaposition des chiffres (pour la technique utilisant
directement les écritures en chiffres). Pour le passage aux milliers dans le comptage, il justifie
cela par un manque d'entraînement (il nous dit ensuite qu'il va utiliser les compteurs pour
justement travailler cet aspect), mais pour la juxtaposition des chiffres il se contente tout
d'abord d'un « alors c'est pas facile il y a encore du travail à faire », puis précise « là y'avait
un problème, y'avait une centaine de plus parce qu'on dépassait cent ». Il y a des moments de
silence lors de l'entretien quand on évoque ce point, qui montre la réflexion de l'enseignant. Il
a donc, à peu près, identifié le problème (les relations entre dizaines et centaines ne sont pas
données explicitement) mais ne semble pas avoir de moyen de le traiter. Il semble assez
démuni devant cette erreur.

On peut dire que son observation du travail des élèves est bien un milieu antagoniste pour l'action didactique du maître mais il ne provoque pas de rétroaction : il n'a pas d'incidence sur le projet de l'enseignant. Cela est peut-être lié au fait que son identification des erreurs (niveau - 1) ne vient pas en écho à son projet d'enseignement (niveaux +1 et +2).

Du coup, il se met ensuite à douter de l'intérêt de cet exercice :
E : J'aurais peut-être dû m'arrêter là (montre l'avant dernier cas), les lâcher mais bon.

O : on a toujours envie de savoir ...

E : eh bien voilà je voulais les titiller un peu. C'est ce que j'ai dit, alors bon. Mais n'empêche qu'en passant au tableau ils y sont arrivés. Les deux y sont arrivés alors qu'ils étaient 3 ou 4 à avoir écrit 12112.

Il s'agit donc d'un exercice pour aller plus loin selon lui et l'enjeu semble alors, de voir si les élèves en sont capables mais l'on n'insistera pas davantage. Ce n'est pas un enjeu au niveau du savoir mais au niveau de la réussite seulement (« Les deux y sont arrivés »).

On a finalement l'impression d'une absence du niveau technologique (dans la classe et dans l'entretien) et une prédominance du travail sur les techniques qui peut nous donner des indices sur la conception de l'enseignant vis-à-vis des mathématiques (niveau +3) : faire des mathématiques c'est appliquer des techniques.

La suite de l'entretien montre également une certaine conception de l'enseignement des mathématiques :

E : c'est comme les résolutions de problèmes avec les CE1, c'est un peu fastidieux (il parle des corrections au tableau) mais on essaie de voir différentes solutions, ce que les uns ou les autres ont trouvé. Donc on essaie de voir. Surtout lorsque tu veux leur faire découvrir une opération du genre multiplication, soustraction un moment donné dans l'année y'en a toujours un qui a l'idée de la multiplication. Tu vois l'autre jour on a pris le temps mais y'en a une qui a trouvé, une CE1. Le but c'est de les amener vers une solution experte. Elle a eu l'idée, elle. On essaie de voir à chaque fois la façon de procéder des uns ou des autres, ça prend un peu de temps mais bon voilà.

Il semble donc que ce soient les élèves qui doivent construire tous seuls des solutions « expertes ». Il n'évoque pas les conditions pour amener les élèves à utiliser ces solutions. C'est comme s'il fallait attendre que cette solution arrive un jour (« y'en a toujours un qui a l'idée »). Cela est peut-être lié à une certaine dérive d'une lecture superficielle du programme
de 2002 (qui est une référence forte pour cet enseignant), qui semble être ici interprété comme « il faut que l'élève construise lui-même ses connaissances ». Mais d'après la conception de l'enseignement des mathématiques que nous avons relevée, finalement cela revient à dire qu' « il faut que l'élève construise lui-même ses techniques ».

Dans le cas où la technique construite par l'élève ne fonctionnerait pas, comme dans la séance analysée, le maître interviendrait alors pour lui en donner une autre qui marche à tous les coups, même si elle ne permet pas de comprendre son erreur.

### h) Conclusion :

On avait donc ici un milieu qui, a priori, permettait de faire apparaître le lien entre les centaines et milliers (avec quand même l'absence des étiquettes 1000) mais ces relations sont comme transparentes dans la classe car les élèves utilisent des juxtapositions de chiffres qui fonctionnent pour le rang du millier (quand on a un nombre de centaines à deux chiffres, le chiffre de gauche donne directement le chiffre des milliers) et le maître pour éviter qu'ils se trompent met en avant la procédure de comptage qui ne permet pas de contrôler ces manipulations faites sur les chiffres. Ce sont deux techniques différentes, qui utilisent des savoirs différents. Du coup les manipulations effectuées par les élèves sur l'écriture en chiffres ne sont pas justifiées par des propriétés mathématiques, ce qui explique notamment que pour le dernier essai la plupart des enfants effectuent une juxtaposition incorrecte des chiffres. Finalement, la relation entre les unités successives n'est ni formulée, ni utilisée.

Le maître voit les erreurs des élèves, mais est assez démuni devant leur traitement possible. Il ne semble pas avoir conscience que dans les recompositions demandées ce sont les relations entre les unités qui sont en jeu. Cela est peut-être une conséquence du fait qu'il n'a pas prévu dans son projet (niveaux +1 et +2) de traiter ces relations entre les unités, ce qui l'empêche peut-être de les voir. Ce serait alors une conséquence des contraintes institutionnelles relevées dans la partie C. Il semble également qu'une autre cause de ce phénomène peut être liée au fait que Marc semble avoir une conception des mathématiques (niveau +3) qui est centrée sur l'application de techniques. Les savoirs y ont peu de place. Il semble même qu'il attende de ses élèves qu'ils construisent la procédure « experte » par eux-mêmes, sans que l'on en voie les conditions dans ses propos lors de l'entretien.

Dans tous les cas, au niveau d'observation (-1) cela a pour conséquence de jeter comme un voile devant les yeux de l'enseignant, l'empêchant de comprendre les erreurs de ses élèves.

Même si le maître évoque le « passage » de dizaines dans les centaines lors d'un court moment au tableau, l'aspect décimal de la numération n'est pas un enjeu de savoir pour le maître. Nous pouvons en conclure que ce savoir n'est pas disponible chez le maître : il n'est pas reconnu comme un savoir fondamental de la numération.

## III.3 La mise en œuvre du projet de la deuxième enseignante (Sophie)

La situation que nous analysons ci-dessous est extraite de la première séance. Elle va nous permettre d'analyser les choix de l'enseignante lors de l'introduction des nombres à quatre chiffres sur les décompositions et recompositions.

### a) Inscription de la séance dans le projet global

Il s'agit de la séance d'introduction des nombres à quatre chiffres. Les élèves ont déjà travaillé pendant la première période de l'année sur les nombres à trois chiffres et ont rencontré quelques nombres à quatre chiffres en histoire sur une frise chronologique.

L'enjeu principal d'enseignement de la séance semble être d'apprendre à étendre les techniques connues de décomposition/recomposition (pour les nombres à trois chiffres) aux nombres à quatre chiffres.
Nous allons donc en particulier regarder comment se fait ce passage des techniques connues (pour les nombres à trois chiffres) aux techniques utilisant les nombres à quatre chiffres. Quels sont les objets nouveaux qui vont apparaître et comment ?

## b) Présentation de la situation

La situation est extraite de l'ouvrage ERMEL CE2 qui est le principal document utilisé par la maîtresse pour les mathématiques.

Le but du jeu est de renverser les quilles. On a des quilles de « 1 », des quilles de « 10 », des quilles de « 100 », des quilles de « 1000 ».

Quand on renverse des quilles on marque des points. La maîtresse a une feuille avec toutes les quilles représentées :

Les élèves doivent chercher le nombre de points marqués. Ils ont à leur disposition une feuille de recherche vierge (« fiche jaune »). Voici la fiche à compléter :

### Recherche /numération :

### Combien de points marqués avec :

- 4 quilles de 1000 ? _________

- 1 quille de 1000, 5 quilles de 100, 2 quilles de 10 et 3 quilles de 1 ? _________

- 3 quilles de 1 000, 7 quilles de 10 et 6 quilles de 1 ? _________

- 6 quilles de 1 000, 5 quilles de 100, 1 quille de 10 ? _________

- 8 quilles de 1000, 3 quilles de 1 ? _________

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

La présentation de la situation aux élèves s'est déroulée comme suit.

## Episode 1 : collectif (5 minutes)
Dans cette présentation de la situation l'enseignante s'assure que les élèves connaissent le jeu de bowling. Au cours de cette présentation elle va nommer et faire nommer par les élèves les quilles de « 1000 ». Tout se passe comme si les élèves savaient déjà lire ce nombre.

P : vous connaissez le jeu du bowling ? Comment on fait pour jouer déjà ?
(l'enseignante montre les quilles qu'elle a apportées)

[...]

P : et le but du jeu ?

[...]

P : c'est de faire tomber les quilles, c'est de les renverser.

[...]

P : Dans notre jeu mathématique nous allons avoir des quilles de un ...

Un e : des quilles de dix, des quilles de cent, des quilles de mille.

P : des quilles de dix, des quilles de cent et des quilles de mille.

[...]

P : si vous renversez certaines quilles vous allez avoir un certain nombre de points.
Bon eh bien voilà, vous allez avoir pour vous aider + Là j'ai tout ça en quilles dans
mon jeu (montre la fiche où sont dessinées les quilles). Donc j'ai neuf quilles de un
qui sont alignées, derrière j'ai neuf quilles de ?

Les e : dix

P : derrière j'ai neuf quilles de ?

Les e : cent

P : et derrière j'ai neuf quilles de ?

Les e : mille.

P : J'ai joué et je vous ai noté les quilles que j'ai renversées. La première fois j'ai renversé quatre quilles de mille. Ca va faire combien de points ? C'est ça votre activité de recherche. Deuxième fois, j'ai renversé une quille de mille, cinq quilles de cent, deux quilles de dix et trois quilles de un. Troisième fois j'ai renversé trois quilles de mille, sept quilles de dix et six quilles de un. Et ainsi de suite. J'ai fait en tout cinq parties. A vous de retrouver, par rapport à toutes mes quilles qui ont été renversées, le nombre de points à chaque fois [...] Alors bien sûr vous allez avoir la petite fiche de recherche où le nombre de quilles renversées est noté. D'accord ? [...] Pour vous aider [...] je vous donne une autre fiche jaune [...] pour calculer, pour écrire vos procédures si vous avez besoin d'écrire des choses, vous les notez sur l'autre feuille. Et là sur celle-ci sur le trait vous notez en tout le nombre de points qui correspond aux quilles renversées. Est-ce que ça va ?

Les élèves posent alors quelques questions puis l'enseignante fait reformuler la consigne par les élèves (en insistant en particulier sur le fait qu'il faut retrouver le nombre de points pour chaque partie et pas pour l'ensemble des parties).

### c) Analyse a priori de la 1ère situation :

#### L'enjeu d'enseignement :

Une variable didactique importante de la situation est la place et le nombre de zéros dans l'écriture en chiffres du nombre à obtenir : il n'y a en effet que des nombres à quatre chiffres mais avec 1, 2 ou 3 zéros, situés au rang des unités, dizaines ou centaines. On a d'abord 3 zéros, ce qui permet de mettre en évidence le rang des milliers, puis aucun ce qui demande de faire une simple juxtaposition des chiffres, puis un zéro ou deux zéros aux rangs des unités, dizaines ou centaines, ce qui demande alors de faire l'association de chaque unité au rang correspondant.
On peut ajouter également le fait que les unités soient toujours données dans l'ordre décroissant de leur valeur (toujours 1000 en premier puis 100 puis 10 et enfin 1) permet de simplifier le travail d'association unité/position dans l'écriture. On peut écrire le nombre en suivant le sens de lecture des différentes unités.

Enfin il n'y a que des nombres à un chiffre pour chaque type de quille (et aussi sur le dessin où chaque type de quille est représenté en neuf exemplaires), ce qui dispense d'avoir à utiliser les relations entre les unités de la numération. C'est donc uniquement l'aspect positionnel de la numération qui est en jeu.

L'enjeu d'enseignement est, par conséquent, en fait ici une traduction d'écriture. Le savoir nouveau visé est l'association entre l'ECPD 1000 et le rang dans le nombre en chiffres.

## Le milieu

Le milieu contient la règle du jeu de bowling, l'affiche avec les quilles représentées, les différentes décompositions données avec le mot « quille » (« 4 quilles de 1000 », etc.), à l'écrit comme à l'oral (car la maîtresse lit les différentes décompositions). En particulier la maîtresse nomme « mille » les quilles de 1000, donc le milieu contient également le mot mille (associé à l'écriture 1000). Une autre façon de voir cela serait de dire qu'ils peuvent utiliser la position du 1 dans « 1000 » pour repérer le rang qui lui est associé (comme cela est le cas pour 100, 10 ou 1).

Il contient également « la feuille jaune », la fiche de recherche donnée aux élèves. Lors de la passation de consigne la maîtresse précise : « je vous donne une autre fiche jaune [...] pour calculer, pour écrire vos procédures si vous avez besoin d'écriture des choses ». Cette incitation peut avoir pour effet d'amener les élèves à écrire des calculs (l'utilisation du mot « calculer » n'est pas anodine) alors même qu'ils n'en auraient peut-être pas eu besoin.

Chez les élèves, on peut supposer disponibles les connaissances sur la numération des nombres à trois chiffres, qui ont été travaillées en début d'année. En particulier, les élèves savent déjà décomposer et recomposer des nombres à trois chiffres. Ils utilisent pour décomposer les écritures en ECPD et en ECPDG (325 = 300 + 20 + 5 ou 325 = 3 × 100 + 2 × 10 + 5).

## Les rétroactions possibles du milieu, les interventions prévisibles de l'enseignant

Le savoir nouveau (associer 1000 au quatrième rang dans l'écriture chiffrée) est en jeu dès le premier cas à traiter. En effet, comme les élèves savent déjà recomposer des nombres à trois chiffres, ils pourront utiliser leurs connaissances anciennes pour traiter la partie « nombre à 3 chiffres » des recompositions. Mais ce premier cas ne leur permet justement pas de le faire puisqu'il ne contient que des unités de mille.

Ils peuvent alors essayer d'étendre les règles qu'ils connaissent sur les nombres à 3 chiffres : par exemple 4 quilles de 100 c'est 400 car « il faut ajouter deux zéros » (les deux zéros de 100), donc 4 quilles de 1000 c'est 4000 car « il faut ajouter trois zéros » (les trois zéros de 1000).

La situation peut alors apporter des rétroactions : si l'élève écrit un nombre qui a trois chiffres au plus, par lecture de ce nombre il peut prendre conscience d'une erreur. Par exemple, si l'élève trouve 400 (si par exemple il ne s'autorise pas à écrire plus de 3 chiffres pour un nombre) : en lisant « quatre cents » il peut prendre conscience que ce n'est pas « 4 quilles de 1000 » mais plutôt « 4 quilles de 100 ».

Par contre si l'élève écrit par exemple 41000 (en juxtaposant les deux nombres donnés dans l'énoncé), ses connaissances anciennes ne lui permettent pas d'invalider cette procédure car il ne peut pas utiliser la lecture du nombre cette fois.

En ce qui concerne les cas suivants, nous avons vu qu'une variable importante est le nombre et la place des zéros. Cela peut permettre de faire apparaître une procédure erronée chez les
élèves qui consisterait à écrire les chiffres les uns à la suite des autres sans tenir compte de la valeur des quilles.

Par exemple pour le 3ème cas (3 quilles de 1000, 7 quilles de 10 et 6 quilles de 1) : si l'élève écrit les chiffres 3, 7, 6 les uns à la suite des autres (dans le même ordre que celui donné), il obtient un résultat faux. La situation peut renvoyer une rétroaction à condition encore que l'élève sache lire ce nombre à 3 chiffres (ce que l'on peut supposer) mais aussi qu'il décide de le lire (« trois cent soixante seize »). C'est là que la lecture par la maîtresse du nombre 1000 en « mille » peut l'aider à prendre conscience de son erreur, car il peut supposer que dans le nombre à obtenir, il faudra entendre « mille ».

Néanmoins, ce comportement de retour sur son résultat (pour essayer de le lire par exemple) est assez rare chez les élèves.

On peut par contre peut-être voir là une possibilité pour le maître d'intervenir sur le milieu en demandant à l'élève de lire le nombre trouvé (pendant la recherche des élèves ou la mise en commun).

Concernant le déroulement possible, la maîtresse pourrait choisir de corriger les cas au fur et à mesure, ces corrections faisant partie du milieu pour les cas suivants ou bien de laisser chercher les élèves et de faire une correction à la fin. Elle pourrait aussi traiter le premier cas, qui contient déjà le savoir nouveau, avec eux et ensuite les laisser chercher tous les autres.

Les élèves vont-ils utiliser leurs connaissances sur les nombres à trois chiffres ? Sinon comment l'enseignante va-t-elle amener ces connaissances dans le milieu des élèves ?

## Les techniques possibles

Nous prendrons l'exemple du 3ème cas : 3 quilles de 1000, 7 quilles de 10 et 6 quilles de 1.

T : associer la valeur de chaque ECPD à la position dans l'écriture chiffrée.

Par exemple : 3 quilles de 1000 c'est « 3 » au rang des unités de mille, 7 quilles de 10 c'est « 7 » au rang des dizaines et 6 quilles de 1, c'est « 6 » au rang des unités. Finalement on obtient le nombre 3076 (on écrit « 0 » au rang où il n'y a pas d'unité) ;

Cela peut se faire également en passant par le nombre en ECPDG : 3× 1000 + 7× 10 + 6, c'est « 3 » au 4ème rang, « 7 » au 2ème rang et « 6 » au rang des unités, donc 3076.

Tz : réécrire la décomposition en ECPDG et utiliser des règles positionnelles de calcul.

Par exemple : 3 quilles de 1000, 7 quilles de 10 et 6 quilles de 1, c'est 3× 1000 + 7× 10 + 6, soit 3000 + 70 + 6 (pour multiplier par 1000 on ajoute trois 0, ...) donc 3076 (règle positionnelle d'addition).

Tz : réécrire la décomposition en ECPD et utiliser des règles positionnelles de calcul.

Par exemple : 3000 + 70 + 6 = 3076 (en posant l'addition en colonnes ou en calculant en ligne) ou même 1000 + 1000 + 1000 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 6 = 3000 + 70 + 6.

Il sera difficile de distinguer T de Tz dans la classe si les élèves utilisent les ECPDG, à moins qu'ils ne disent explicitement que pour multiplier par 1000 il faut ajouter trois zéros, c'est-à-dire s'ils donnent l'élément technologique utilisé.

Le savoir nouveau en jeu apparaît dans ces techniques de différentes manières : par une association de 1000 au 4ème rang en s'appuyant sur le mot « mille » ou sur l'écriture en chiffres « 1000 » en les associant à une position ( T ) ou sur une règle positionnelle de calcul : 3× 1000 c'est 3000 car on ajoute trois 0 ( Tz ) ou encore 1000 + 1000 +1000 = 3000 par une règle positionnelle d'addition ( Tz ).
Dans tous les cas, comme nous l'avons déjà remarqué, les relations entre les unités ne sont pas en jeu.

*Remarque :* les élèves peuvent également s'appuyer sur la numération orale. Par exemple : 7 quilles de 10 c'est « soixante dix », 6 quilles de 1 c'est « six », donc « soixante seize », puis 3 quilles de 1000 c'est « trois mille », donc « trois mille soixante seize » que l'on écrit ensuite : 3076 (en associant le nom des unités à leur rang dans l'écriture chiffrée).

Mais on peut remarquer que cette technique utilise la lecture d'un nombre (lire 1000 par exemple) et réciproquement l'écriture en chiffres d'un nombre lu (passage de « trois mille soixante seize » à 3076). Ces connaissances n'ont pas encore été travaillées pour les nombres à 4 chiffres.

Comme nous l'avons déjà précisé, le fait d'avoir une fiche de recherche (la fiche jaune) où les élèves peuvent « calculer » peut amener les élèves à écrire des justifications de leurs techniques dès la phase de recherche, ce qui pourra ensuite servir de point d'appui pour la phase de mise en commun.

On peut alors se demander comment l'enseignante va faire apparaître ces techniques dans la mise en commun ? Seront-elles justifiées ? Validées ? Comment ? Comment va apparaître le savoir nouveau qui est la relation entre l'ECPD 1000 et le rang des milliers ?

### d) Description du déroulement

#### Episode 2 : individuel (15 minutes)

Les élèves travaillent seuls (en complète autonomie). L'enseignante s'occupe des élèves de CE1. Certains élèves ont terminé avant le retour de la maîtresse : ils font un autre travail (« contrat de travail »).

#### Episode 3 : collectif (9 minutes)

Correction collective : la maîtresse demande aux élèves le nombre obtenu et « comment ils ont trouvé ». On peut remarquer que concernant cet aspect il s'agit en particulier de donner une écriture permettant de justifier le nombre obtenu. Elle passe en revue les différentes méthodes utilisées par les élèves. Par exemple pour le premier cas à traiter :

P : quatre quilles de mille ça me faisait quoi ? Raphaël.

Ra : quatre mille

P : comment tu as trouvé quatre mille alors ?

Ra : parce que + si euh tu + si comme si t'avais + euh mille plus mille plus mille plus mille

P : donc toi tu as fait ça (l'enseignante écrit au tableau : « 1000 + 1000 + 1000 + 1000 = 4000 »). Donc toi tu as trouvé quatre mille. Marie.

Ma : j'ai fait quatre fois mille

P : et tu as trouvé donc ?

Ma : quatre mille (l'enseignante écrit au tableau « (4 x 1000) = 4000 »)

P : d'accord. Vous êtes d'accord ? Est-ce que quelqu'un a trouvé autre chose ?

Un e : moi j'ai directement mis quatre mille parce que je le savais.

Des e : moi aussi, moi aussi

On retrouve dans les réponses des élèves les mêmes types de décomposition que sur les nombres à trois chiffres, mais tout se passe encore ici comme si la lecture du nombre 1000 ou
d'un nombre à quatre chiffres était un savoir ancien. On ne perçoit pas de difficulté d'ailleurs chez les élèves sur ce point.

Lors de la correction du deuxième cas (1 quille de 1000, 5 quilles de 100, 2 quilles de 10 et 3 quilles de 1) la maîtresse demande aux élèves une justification des procédures utilisées.

Pour la première procédure (utilisation des ECPDG), voici un extrait de l'échange avec les élèves :

Oc : j'ai fait une fois mille plus cinq fois cent plus deux fois dix plus trois fois un.
(la maîtresse écrit en même temps au tableau : « (1 × 1000) + (5 × 100) + (2 × 10) + (3 × 1) »)

Oc : donc ça fait mille cinq cent vingt-trois.

P : alors une fois mille ça faisait ?

Oc : non parce qu'en fait j'ai mis le un avec le cinq le deux et le trois et ça faisait mille cinq cent vingt-trois.

P : d'accord. Mais bon y'a une explication pour mettre le un, le cinq, le deux et le trois quand même.

Oc : parce que le premier chiffre une fois mille j'ai mis le un, cinq fois cent j'ai mis le cinq, deux fois dix j'ai mis le deux et trois fois un j'ai mis le trois

P : d'accord, mais ça correspond à quoi finalement ça ? L'enseignante montre au tableau le « 3 » de « 1523 ». Ce trois c'est quoi ?

Oc : trois unités

L'enseignante montre alors le « 2 »

Oc : deux dizaines

L'enseignante montre alors le « 5 »

Oc : cinq centaines

L'enseignante montre alors le « 1 »

Oc : ... (ne dit rien)

P : et c'est quoi le un ?

Les e : les mille

P : là c'est les mille. On va les appeler les unités mais cette fois-ci les unités de mille.

D'accord ? [...] Donc là vous avez le nombre des unités de mille et là les mille qui apparaissent.

(Elle écrit au tableau : « unités

de mille c d u

1 5 2 3 »)

un e : bah ils étaient déjà apparus l'an dernier.

P : oui ils sont déjà apparus un peu. Baptiste.

Ba : moi j'ai pas fait ça. J'ai directement dit que une quille de mille ça faisait mille, plus + après je savais que cinq fois cent ça faisait cinq cents, donc mille cinq cents.

Deux quilles, je savais que deux fois dix ça faisait vingt j'ai fait vingt et puis après +
bah plus trois ça fait ++ mille cinq cent vingt trois

(l'enseignante écrit en même temps au tableau : « 1000 + 500 + 20 + 3 = 1523 »)

un e : moi j'ai fait en colonnes

un autre e : moi aussi j'ai fait en colonnes

P : vous l'avez présenté comme ça. Mille, cinq, cent ; vingt, trois.

(l'enseignante écrit en même temps au tableau l'addition posée)

Un e : tu les as pas placés à leur place.

P : quoi ?

Même e : bah les nombres

Un autre e : c'est un petit peu tordu

P : ah oui oh la la la la ...

<table><tr><td></td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>+</td><td></td><td>5</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>+</td><td></td><td></td><td>2</td><td>0</td></tr><tr><td>+</td><td></td><td></td><td></td><td>3</td></tr><tr><td></td><td>1</td><td>5</td><td>2</td><td>3</td></tr></table>