# Chaînes multiples à liaisons complètes

G. Mihoc

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G. Mihoc. Chaînes multiples à liaisons complètes. Annales de l'ISUP, 1964, XIII (2), pp.109-130. hal-04085171

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# CHAINES MULTIPLES A LIAISONS COMPLETES

## G. MIHOC

La notion de chaîne à liaisons complètes a été introduite dans la théorie des probabilités en 1935 dans le travail [22] où l'on a également donné le premier théorème ergodique. Les auteurs ont cherché d'y définir un type très général de dépendance, imposée par de nombreux exemples concrets, compte tenu de toute l'histoire du processus et de la dépendance markovienne comme cas particulier.

En 1937 W. Doeblin et R. Fortet [4] reprennent la notion de chaîne à liaisons complètes, mais, supposant que la chaîne a une histoire infinie, ils sont conduits à la notion plus générale de chaîne à liaisons complètes d'ordre infini (ou chaîne à liaisons complètes au sens large). Par la suite, R. Fortet dans sa thèse [5] étudie en 1938 les transformations linéaires, dans l'intention de les appliquer à l'étude de ces chaînes, en donnant quelques théorèmes ergodiques et une analyse profonde du cas linéaire. L'étude des chaînes à liaisons complètes est continuée même par les initiateurs de la théorie concernant la direction du comportement asymptotique [23, 24].

De 1948 à 1950, C. Ionescu Tulcea et Gh. Marinescu [8, 9] ont entrepris l'étude des chaînes à liaisons complètes au sens large, en établissant un rapport étroit entre l'étude de l'ergodicité et l'étude d'une certaine classe d'opérateurs linéaires.

En partant de ce point de vue, G. Ciucu [2] a étudié en 1957 l'ergodicité et le comportement asymptotique de certaines classes de chaînes à liaisons complètes au sens large. En 1959, C. Ionescu Tulcea [7] donne un traitement général des opérateurs qui caractérisent l'évolution d'une chaîne à liaisons complètes au sens large; il retrouve ainsi des résultats déjà formulés par T. E. Harris [6]. En 1960, paraît la monographie de G. Ciucu et R. Theodorescu [3], qui présente les résultats les plus importants obtenus dans l'étude des chaînes à liaisons complètes jusqu'en 1960. Il y est, entre
autres, mis en évidence l'étroite liaison entre la théorie des chaînes à liaisons complètes et la théorie pour apprendre, telle qu'elle avait été traitée, dans leur monographie, par R.R. Bush et F. Mosteller [1]. Ainsi, la théorie pour apprendre apparaît jusqu'ici comme le domaine d'application le plus fécond, des chaînes à liaisons complètes. L'étude de cette liaison a été poursuivie par M. Iosifescu et R. Theodorescu dans leurs travaux [11, 13].

Après la parution de la monographie [3] M. Iosifescu et R. Theodorescu [12], ont donné le premier théorème d'existence et le premier théorème ergodique pour les chaînes à liaisons complètes avec un ensemble arbitraire d'états. En utilisant les méthodes de l'analyse fonctionnelle, G. Mihoc et G. Ciucu [18] ont démontré un théorème central limite. Dans sa thèse de 1963 [11] M. Iosifescu a fait une étude approfondie des chaînes à liaisons complètes avec un ensemble arbitraire d'états ; il y a démontré, entre autres, le théorème central limite et la loi des grands nombres dans des conditions très générales. Il a montré en même temps que les différents types de chaînes à liaisons complètes (simples, multiples, au sens large), ainsi que les modèles de la théorie pour apprendre pouvaient être traités de manière unitaire à l'aide des systèmes aléatoires à liaisons complètes.

L'étude des chaînes multiples à liaisons complètes a été abordée en 1962 par G. Mihoc [17] et par G. Theiler [25] lesquels ont étudié l'ergodicité et le comportement asymptotique pour le cas d'un ensemble fini d'états.

Tout ce qui a été dit ci-dessus, exception faite pour le théorème d'existence de [12], se rapporte exclusivement aux chaînes à liaisons complètes homogènes. Le premier résultat concernant l'ergodicité des chaînes à liaisons complètes non-homogènes a été obtenu en 1963 dans [20], où l'on a démontré un théorème ergodique pour le cas d'un ensemble fini d'états. En même temps, M. Iosifescu et R. Theodorescu [14] ont étudié les chaînes à liaisons complètes avec un ensemble arbitraire d'états, en mettant en lumière deux types d'ergodicité spécifiques pour le cas non-homogène, et en donnant des théorèmes correspondants.

Déjà en 1954, O. Onicescu [21] avait abordé l'étude du cas continu pour un ensemble fini d'états et écrit les équations différentielles du processus. Pour le cas d'un ensemble arbitraire d'états, R. Theodorescu [26] a écrit en 1957 les équations intégrationnelles du processus et donné un théorème d'existence et d'unicité. R. Theodorescu [27] a également écrit les équations différentielles d'une chaîne multiple à liaisons multiples.
Dans l'étude qui suit et qui représente le contenu d'une conférence donnée en mars 1964 à l'Institut de Statistique de Paris, l'auteur se propose d'exposer quelques uns des résultats qu'il a obtenus dans le domaine des chaînes multiples.

## 1. Définition et notations.

Nous considérons le cas d'une chaîne stationnaire d'ordre de multiplicité deux, avec un nombre fini d'états.

Considérons une suite de variables aléatoires $X_1, X_2, ..., X_n$... chacune pouvant prendre une des valeurs $a_1, a_2, ..., a_{m+1}$ dans les conditions suivantes (1)

$$ \text{a) } P(X_1 = a_i) = p_i \quad i = 1, 2, \dots, (m+1), \quad \sum_{i=1}^{m+1} p_i = 1; $$

$$ \text{b) } P(X_2=a_j | X_1=a_i) = \phi_{i;j}(p_1, p_2, \dots, p_{m+1}) = \phi_{i;j}(\bar{p}) \quad (i,j=1, 2, \dots, m+1) $$

où pour abréger on a noté

$$ \bar{p} = \{p_1, p_2, \dots, p_{m+1}\}, $$

$$ \sum_{j=1}^{m+1} \varphi_{i;j}(\bar{p}) = 1 $$

$\varphi_{i;j}(\bar{p})$ étant des fonctions données de $\bar{p}$, prenant pour chaque $\bar{p}$, des valeurs comprises entre 0 et 1, et vérifiant la relation précédente ;

$$ \text{c) } P(X_j = a_k | X_2 = a_j; X_1 = a_i) = \Psi_{i;j;k}(\bar{p}, \bar{\varphi}_i(\bar{p})) = \\ = \Psi_{i;j;k} (p_1, p_2, \dots, p_{m+1}, \varphi_{i;1}(p_1, \dots, p_{m+1}), \dots, \varphi_{i;m+1}(p_1, \dots, p_{m+1})) \\ (i,j,k = 1, 2, \dots, m+1) $$

où pour abréger on a noté

$$ \bar{\varphi}_i(\bar{p}) = \{\varphi_{i;1}(\bar{p}), \dots, \varphi_{i;m+1}(\bar{p})\}, $$

$\Psi_{i;j;k}$ étant des fonctions données de $\bar{p}$, et $\bar{\varphi}_i(\bar{p})$ comprises en-

(1) par $\bar{x} = \{x_1, \dots, x_m\}$ nous comprenons un vecteur ligne, et par $\bar{x} = (x_1, \dots, x_m)$ un vecteur colonne
tre 0 et 1 vérifiant pour chaque $i,j \in (1,2,..., m+1)$ la relation

$$ \sum_{k=1}^{m+1} \Psi_{i;j;k}(\bar{p}, \bar{\phi}_i(\bar{p})) = 1 $$

$$ \text{d)} \quad P(X_4 = a_l | X_3 = a_k, X_2 = a_j, X_1 = a_i) = \Psi_{j;k;l}(\bar{\phi}_i(\bar{p}), \Psi_{i,j}(\bar{p}, \bar{\phi}_i(p))) $$

où nous avons utilisé la notation :

$$ \bar{\Psi}_{i;j}(\bar{p}, \bar{\phi}_i(\bar{p})) = (\Psi_{i;j,1}(\bar{p}, \bar{\phi}_i(\bar{p})), \dots, \Psi_{i;j,m+1}(\bar{p}, \bar{\phi}_i(\bar{p}))) $$

La fonction $\Psi_{j;k;l}$ est définie au point c). D'après ce qu'on voit, elle varie seulement par rapport aux indices j, k, l dont les deux premiers se réfèrent aux valeurs $a_j, a_k$ prises par les variables $X_3, X_2$ et le dernier l à la valeur $a_l$ prise par $X_4$. La chaîne est multiple d'ordre deux parce que la fonction $\Psi_{j;k;l}$ est la même quelle que soit la valeur prise par $X_1$.

Les arguments dont dépend la fonction $\Psi_{j;k;l}$ sont, respectivement, $\bar{\phi}_i(\bar{p})$ et $\bar{\Psi}_{i;j}(\bar{p}, \bar{\phi}_i(\bar{p}))$ qui en conformité avec les points b) et c) représentent respectivement les probabilités conditionnées de ces deux variables précédentes, $X_2, X_3$;

e) Pour le cas $n > 4$ introduisons les notations

$$ P(X_n = a_{j_n} | X_{n-1} = a_{j_{n-1}}, X_{n-2} = a_{j_{n-2}}, \dots, X_1 = a_{j_1}) = p_{j_1 \dots j_{n-1}}; j_n \\ \bar{p}_{j_1 \dots j_{n-1}} = \{ p_{j_1 \dots, j_{n-1}, 1'}; \dots, p_{j_1 \dots, j_{n-1}, m+1} \} $$

Par définition, nous avons :

$$ \bar{p}_{j_1, \dots, j_n} = \Psi_{j_{n-2}; j_{n-1}; j_n} (\bar{p}_{j_1, \dots, j_{n-3}}, \bar{p}_{j_1, \dots, j_{n-2}}) \quad (1) $$

La relation (1) nous montre que la probabilité de l'égalité $X_n = a_{j_n}$ conditionnée par la suite $a_{j_{n-1}}, \dots, a_{j_1}$ prise par les variables précédentes $X_{n-1}, \dots, X_1$ est une fonction donnée qui dépend des valeurs $a_{j_{n-2}}$ et $a_{j_{n-1}}$, ayant comme argument les probabilités correspondantes aux valeurs $X_{n-2}$ et $X_{n-1}$.

Pour cette raison, la chaîne est multiple d'ordre deux.

L'extension à une chaîne multiple d'ordre k ne présente aucune difficulté.
Considérons quelques cas particuliers.

Si les fonctions $\Psi_{i;j;k}$ définies au point c) ne dépendent pas de leurs arguments, se réduisent à certaines constantes nous obtenons les chaînes de Markov d'ordre de multiplicité deux.

En particularisant les fonctions $\Psi_{i;j;k}$ nous obtenons des schémas de contagion, parmi lesquels celui de G. Pólya.

## 2. La Relation fonctionnelle fondamentale.

Notons

$$P(X_{n+1} = a_i) = P_i^{(n+1)}(\bar{p}; \bar{\varphi}(\bar{p})) \quad (2)$$

où

$$\bar{\varphi}(\bar{p}) = (\bar{\varphi}_1(\bar{p}), \bar{\varphi}_2(\bar{p}), \dots, \bar{\varphi}_{m+1}(\bar{p}))$$

Parce que la somme des éléments dans chaque colonne est égale à 1, la matrice $\bar{\varphi}(\bar{p})$ contient $m(m+1)$ éléments différents.

Etant données les fonctions fondamentales $\Psi_{i;j;k}$ la probabilité (2) dépend des conditions initiales, données aux points a, b.

On voit que $P_i^{(n+1)}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}))$ représente la probabilité qu'à l'expérience n+1 on obtienne la réponse correspondante à la variable $a_i$. Cette probabilité vérifie la relation de récurrence fondamentale.

$$P_i^{(n+1)}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p})) = \sum_{j=1}^{m+1} p_j P_i^{(n)}(\bar{\varphi}_j(\bar{p}); \bar{\Psi}_j(\bar{p}, \bar{\varphi}_j(\bar{p}))) \quad (3)$$

D'après ce qu'on voit dans le second membre entre parenthèses, à la place du vecteur $\bar{p}$ apparaît le vecteur $\bar{\varphi}_j(\bar{p})$, et à la place de la matrice $(\bar{p})$ apparaît la matrice $\Psi_j(\bar{p}, \bar{\varphi}_j(\bar{p}))$ définie par l'égalité :

$$\bar{\Psi}_j(\bar{p}; \bar{\varphi}_j(\bar{p})) = (\bar{\Psi}_{j;1}(\bar{p}, \bar{\varphi}_j(\bar{p})); \dots, \bar{\Psi}_{j;m+1}(\bar{p}, \bar{\varphi}_j(\bar{p})))$$

Cette matrice contient $m(m+1)$ éléments distincts.
### 3. Le théorème ergodique.

On peut démontrer, de même que pour les chaînes de Markov ou pour les chaînes à liaisons complètes, qu'il existe certaines propriétés d'ergodicité.

Par définition nous dirons que la chaîne est ergodique si

$$ \lim_{n \to \infty} P_i^{(n)}(\bar{\pi}, \bar{\phi}(\bar{\pi})) = P_i, $$

où $P_i$ est une constante, qui reste la même quels que soient les valeurs initiales $\bar{\pi}$ et $\bar{\phi}(\bar{\pi})$.

**THEOREME 1 :** Supposons que les conditions suivantes sont vérifiées :

1/ Les fonctions $\varphi_{i;j}(\bar{\pi})$ sont continues par rapport à chaque $p_{j_o} \le p_j \le 1(1 < j < m+1)$ et admettent des dérivées partielles continues et bornées dans ce domaine par rapport à $p_i(i=1,2,...,m)$.

2/ Le domaine $\Delta$ des points de l'espace $R^{m(m+2)}$ défini par $0 \le p_i \le 1$, $0 \le \varphi_{j;k} \le 1$, $1 \le i,j \le m+1$, $1 \le k \le m$ est un espace métrique complet avec la distance $\rho(\bar{\pi}, \bar{\pi}')$, $\bar{\pi}, \bar{\pi}' \in \Delta$, $p_i \in \bar{\pi}, \varphi_{i,j} \in \bar{\pi}'$; chaque application $f_i: \Delta \to \Delta (j=1,2,...,m+1)$ représentant le passage du point $(\bar{\pi}, \bar{\varphi}(\bar{\pi}))$ en $(\bar{\varphi}_j(\bar{\pi}), \bar{\Psi}_j(\bar{\pi}, \bar{\varphi}_j(\bar{\pi})))$ est bornée et nous avons pour tout $\bar{\pi}', \bar{\pi}'' \in \Delta$

$$ \rho(f_j(\bar{\pi}'), f_j(\bar{\pi}'')) \le \|\varphi\|; \rho(p', p'') $$

tel que

$$ \|f_j\| < 1 \qquad j = j_o $$

$$ \|f_j\| \le 1 \qquad j \ne j_o $$

3/ Les fonctions $\Psi_{i,j;k}(\bar{\pi}, \bar{\varphi}(\bar{\pi}))$ $(i,j=1,...,m+1; k=1,...,m)$ sont continues en $\Delta$ et vérifient les relations

$$ 0 < \Psi_{i,j;k}(\bar{\pi}, \bar{\varphi}(\bar{\pi})) < 1 $$

pour tout $i,j,k = 1,2,..., m+1$.

4/ Il existe un indice $i_o$, $1 < i_o < m+1$ tel que

$$ \lim_{n \to \infty} p_{i,j, \underbrace{i_o, \dots, i_o}_{n}, \kappa} = \tilde{p}_{\kappa} $$

pour tous les indices $i,j,k = 1,2,..., m+1$.
Dans ces conditions la chaîne considérée est ergodique en exceptant, peut-être, les points pour lesquels $p_{j_0} = 0$.

**Démonstration** : La démonstration consiste à montrer que la suite $P_i^{(n')}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}))$ est compacte et que nous pouvons extraire de cette suite une infinité de sous suites convergentes qui tendent vers la même limite, qui est une constante. Dans ce cas nous montrerons premièrement l'égale continuité des fonctions $P_i^{(n')}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}))$ par rapport à $p_1, p_2, \dots, p_m$.

a) L'égale continuité des fonctions $P_i^{(n')}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}))$

Les éléments de la matrice $\bar{p}, \varphi(\bar{p})$ se trouvent dans le domaine $\Delta$. Supposons que nous avons

$$|P_i^{(n')}(\bar{p}', \bar{\varphi}(\bar{p}')) - P_i^{(n')}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}))| < M \rho(\bar{p}', \bar{\varphi}(\bar{p}')); \bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p})) \quad (4)$$

pour tout $[(\bar{p}; \bar{\varphi}_i(\bar{p}')); [\bar{p}'; \bar{\varphi}_i(\bar{p}')] \in \Delta$ et pour un $n > 1$.

De la relation fonctionnelle (3) il s'ensuit :

$$|P_i^{(n+1)}(\bar{p}', \bar{\varphi}(\bar{p}')) - P_i^{(n+1)}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}))| \le \sum_{j=1}^{m+1} |p_j' - p_j| |P_i^{(n')}(\bar{\varphi}_j(\bar{p}'), \bar{\Psi}_j(\bar{p}', \varphi_j(\bar{p}'))| + \\ + \sum_{j=1}^{m+1} p_j |P_i^{(n')}(\bar{\varphi}_j(\bar{p}'), \bar{\Psi}_j(\bar{p}', \bar{\varphi}_j(\bar{p}')) - P_i^{(n')}(\bar{\varphi}_j(\bar{p}), \bar{\Psi}_j(\bar{p}, \bar{\varphi}_j(\bar{p})))| \quad (5)$$

Nous pouvons trouver une constante $h$ telle que

$$\sum_{j=1}^{m+1} |\bar{p}_j' - p_j| \quad P_i^{(n')}(\bar{\varphi}_j(\bar{p}'), \bar{\Psi}_j(\bar{p}', \bar{\varphi}_j(\bar{p}')) \le h \rho(\bar{p}', \bar{\varphi}_j(\bar{p}'); \bar{p}, \varphi_i(\bar{p})) \\ \text{d'autre part,}$$

$$\sum_{j=1}^{m+1} p_j |P_i^{(n')}[\bar{\varphi}_j(\bar{p}'), \bar{\Psi}_j(\bar{p}', \bar{\varphi}_j(\bar{p}'))] - P_i^{(n')}[\bar{\varphi}_j(\bar{p}), \bar{\Psi}_j(\bar{p}, \bar{\varphi}_j(\bar{p}))]| \le$$

$$< M \sum_{j=1}^{m+1} p_j \rho[\bar{\varphi}_j(\bar{p}'), \bar{\Psi}_j(\bar{p}', \varphi_j(\bar{p}')); \bar{\varphi}_j(\bar{p}), \bar{\Psi}_j(\bar{p}, \bar{\varphi}_j(\bar{p}))] <$$

$$< M(1 - p_{j_0} + p_{j_0} \|f_{j_0}\|) \rho[\bar{p}'; \varphi(\bar{p}'); \bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}')]$$

De la relation (5) nous déduisons :

$$|P_i^{(n+1)}[\bar{p}', \bar{\varphi}(\bar{p}')] - P_i^{(n+1)}[\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p})]| \le [h+M[1-p_{j_0}+p_{j_0} \|f_{j_0}\|]], \rho[\bar{p}', \bar{\varphi}(\bar{p}'); \bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p})]$$

Il est suffisant de prendre
$$M > \frac{h}{p_{j_o} (1 - \|f_{j_o}\|)}$$

pour que l'inégalité (4) soit vérifiée aussi pour $n+1$. En tenant compte du fait que le second membre de cette inégalité ne dépend pas de $n$, l'égale continuité des fonctions $P_i^{(n)}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}))$ par rapport à $p_1, p_2, \dots, p_m$ est démontrée.

b) *L'existence des fonctions limites pour la suite* $P_i^{(n)}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}))$

De la propriété d'égale continuité des fonctions $P_i^{(n)}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}))$ il s'ensuit que l'ensemble de ces fonctions est compact. Nous pouvons donc extraire une sous suite convergente $P_i^{(r_k)}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}))$ qui tend uniformément vers une limite continue $P_i^{(r)}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}))$. Considérons les nombres

$$\bar{P}_i^{(n)} = \sup_{\bar{p} \in \Delta} P_i^{(n)}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p})) ; \quad \underline{P}_i^{(n)} = \inf_{\bar{p} \in \Delta} P_i^{(n)}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}))$$

Tenant compte de la relation fonctionnelle (3) on voit que la suite $\bar{P}_i^{(n)}$ est monotone décroissante et la suite $\underline{P}_i^{(n)}$ est monotone croissante et que

$$\bar{P}_i^{(n)} \le \bar{P}_i^{(1)} < 1, \quad \underline{P}_i^{(n)} \ge \underline{P}_i^{(1)}, \quad \bar{P}_i^{(n)} > \underline{P}_i^{(n)}$$

Donc ces deux suites sont convergentes et nous avons

$$\lim_{n \to \infty} \bar{P}_i^{(n)} = \bar{P}_i, \quad \lim_{n \to \infty} \underline{P}_i^{(n)} = \underline{P}_i, \quad 0 \le \underline{P}_i \le \bar{P}_i \le 1$$

En vertu de la relation

$$P_i^{(r_K+1)}[\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p})] = \sum_{j=1}^{m+1} p_j P_i^{(r_K)}[\bar{\varphi}_j(\bar{p}), \bar{\Psi}_j(\bar{p}, \bar{\varphi}_j(\bar{p}))]$$

parce que chaque probabilité du second membre tend vers une limite déterminée, il résulte la même chose pour le premier membre.

La sous suite $P_i^{(r_K+1)}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}))$ est donc aussi convergente et tend vers une limite $P_i^{(r_K+1)}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}))$ satisfaisant la relation

$$P_i^{(r+1)}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p})) = \sum_{j=1}^{m+1} p_j P_i^{(r)}[\bar{\varphi}_j(\bar{p}), \bar{\Psi}_j(\bar{p}, \bar{\varphi}_j(\bar{p}))] \quad (6)$$

qu'on peut démontrer aisément.

Par analogie on peut construire une suite $P_i^{(r_K+s)}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}))$ s'étant un entier plus grand que 1, de fonctions limitées, continues en $\Delta$ et qui admettent la même borne supérieure $\bar{P}_i$ et la même borne inférieure $\underline{P}_i$.
$$P_i^{(r+s)}(\bar{p}'' , \bar{\varphi}(\bar{p}'')) = P_i^{(r)}(\bar{p}_{i,0}'' , \dots , \bar{p}_{i,0}^{(r)}, \dots , \bar{\Psi}_{i,0}(\bar{p}_{i,0}'' , \dots , \bar{p}_{i,0}^{(r)}, \dots , \bar{p}_{i,0}^{(r+s)})) \quad (11)$$

Nous savons que

$$\lim_{s \to \infty} \bar{p}_{i,0}^{l} \dots i_{0}, l = \lim_{s \to \infty} \bar{p}_{i,0}^{l''} \dots i_{0}, l = \bar{p}^{l''}$$

Les fonctions $P_i^{(r+s)}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}))$ étant également continues par rapport à $\bar{p}$, et $\varepsilon > 0$ étant donné arbitraire, il existe $\eta > 0$ tel que

$$|P_i^{(r+1)}(\bar{p}'' , \bar{\varphi}(\bar{p}'')) - P_i^{(r+1)}(\bar{p}' ; \bar{\varphi}(\bar{p}'))| < \varepsilon$$

si

$$| \bar{p}_j'' - \bar{p}_j' | < \eta \qquad 1 \le j \le m$$

Pour $s$ suffisamment grand, nous avons

$$|P_{i,0}^{l''} \dots i_{0}, l - P_{i,0}^{l'} \dots i_{0}, l| < \eta \qquad 1 \le l \le m$$

et si

$$P_i^{(r)}(\bar{p}_{j_1}'' , \dots , \bar{p}_{j_{s-1}}'' , \bar{\Psi}_{j_{s-1}}(\bar{p}_{j_1}'' , \dots , \bar{p}_{j_{s-1}}'' , \bar{p}_{j_1}' , \dots , \bar{p}_{j_s}' )) - \\ \qquad - \bar{P}_i^{(r)}(\bar{p}_{j_1}' , \dots , \bar{p}_{j_{s-1}}' , \bar{\Psi}_{j_{s-1}}(\bar{p}_{j_1}' , \dots , \bar{p}_{j_{s-1}}' , \bar{p}_{j_1}'' , \dots , \bar{p}_{j_s}'')) < \varepsilon$$

Tenant compte de (10) et (11), il résulte

$$|P_i^{(r+s)}(\bar{p}'' , \bar{\varphi}(\bar{p}'')) - P_i^{(r+s)}(\bar{p}' ; \bar{\varphi}(\bar{p}'))| < \varepsilon \quad (1 \le i \le m+1)$$

Soit maintenant $\bar{P}_i(a)$ et $\underline{P}_i(a)$ la borne supérieure (resp. inférieure) de la fonction $P_i^{(r+s)}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}))$ en $\Delta_a$. Dans ce cas il résulte :

$$\bar{P}_i(a) = P_i^{(r+s)}(\bar{p}', \bar{\varphi}(\bar{p}')) , \quad \underline{P}_i(a) = P_i^{(r+s)}(\bar{p}'' , \bar{\varphi}(\bar{p}'')) , \quad \bar{P}_i(a) - P_i(a) < \varepsilon$$

pour tout $\varepsilon > 0$ arbitraire. Ainsi, nous avons $\bar{P}_i(a) = P_i(a)$ d'où il s'ensuit que les fonctions $P_i^{(r)}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}))$ se réduisent à une constante $P_i$ dans $\Delta_a$. Parce que $\varepsilon > 0$ est arbitrairement petit, cette conclusion reste valable en $\Delta$.

Nous avons donc démontré que
$$ \lim_{n \to \infty} P_i^{(n)}(\bar{\rho}, \bar{\phi}(\bar{p})) = P_i, \quad 1 \le i \le m+1 \quad (12) $$

La limite $P_i$ ne dépend pas de $\bar{p}$. Il reste à montrer que cette limite reste la même pour n'importe quelle nature des fonctions $\bar{\phi}(\bar{p})$.

En écrivant l'équation de récurrence dans un point déterminé $\bar{p} = \bar{p}''$

$$ P_i^{(n+1)}(\bar{p}''', \bar{\phi}(\bar{p}''')) = \sum_{j=1}^{m+1} P_j''' P_i^{(n)}(\bar{\phi}_j(\bar{p}'''), \bar{\Psi}_j(\bar{p}''', \bar{\phi}_j(\bar{p}'''))) $$

Dans les conditions du théorème, en vertu de la relation (12), nous avons

$$ \lim_{n \to \infty} P_i^{(n)}[\bar{\phi}_j(\bar{p}'''), \bar{\Psi}_j(\bar{p}''', \bar{\phi}_j(\bar{p}'''))] = R_i $$

où $R_i$ est une constante qui ne dépend pas de la valeur des fonctions $\bar{\phi}_j(\bar{p}''')$, $0 \le j \le m+1$. Il résulte qu'aussi le second membre de la relation tend vers une limite qui ne dépend pas de la valeur des fonctions $\bar{\phi}_j(\bar{p})$ au point $\bar{p} = \bar{p}''$. En tenant compte de la relation (12) il résulte que cette limite ne dépend pas aussi de $\bar{p}''$ d'où il s'ensuit que le théorème est démontré.

On peut aussi démontrer que dans le cas ergodique présenté on a

$$ |P(X_n = a_i) - P_i| < \frac{M}{(1+h)^n} $$

où $M, P_i(0 \le P_i \le 1, 1 \le i \le m+1)$ et $h$ sont des constantes positives.

En ce qui concerne le comportement ergodique des chaînes à liaisons complètes stationnaires, d'ordre de multiplicité deux et avec un nombre fini d'états, nous mentionnons aussi les théorèmes suivant donnés par G. Theiler [25] :

**THEOREME 2** : Soit une chaîne à liaisons complètes stationnaire d'ordre de multiplicité deux, dont les fonctions fondamentales

$$ \Psi_{j, \kappa, i}(\bar{\rho}, \bar{\phi}_j(\bar{p})), \quad 1 \le j, k \le m+1, \quad 1 \le i \le m $$

sont définies dans un domaine $\Delta$ de points $(\bar{\rho}, \bar{\phi}(\bar{p}))$ de $\mathbb{R}^{m(m+2)}$ défini par les relations :
$$0 \le p_j \le 1, \sum_{j=1}^{m} p_j \le 1, 0 < \varphi_{j, \kappa}(\bar{p}) \le 1, \sum_{\kappa=1}^{m} \varphi_{j, \kappa}(\bar{p}) \le 1$$

et vérifient les conditions

$$(i) \quad 0 < \Psi_{j, \kappa, i} [\bar{p}, \bar{\varphi}_j(\bar{p})] < 1$$

$$(ii) \quad \sum_{\kappa=1}^{m+1} \sum_{i=1}^{m} \left| \frac{\partial \Psi_{j, \kappa, i}[\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p})]}{\partial p_u \quad \text{où} \quad \partial \varphi_{j_u}(\bar{p})} \right| < \frac{1}{2}, \quad 1 \le u \le m$$

les fonctions $\Psi_{j, \kappa, i}[\bar{p}, \varphi_j(\bar{p})]$, admettant des dérivées partielles du premier ordre continues en $\Delta$

Dans ces conditions la chaîne est ergodique.

**THEOREME 3** : Soit vérifiées les conditions suivantes

1/ Le domaine $\Delta$ est un espace métrique complet avec la distance $\rho[\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p})], [\bar{p}', \bar{\varphi}'(\bar{p}')] \le \rho[\bar{p}, \bar{p}'] + \rho[\bar{\varphi}(\bar{p}), \bar{\varphi}'(\bar{p}')]$, $[\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p})], [\bar{p}', \bar{\varphi}'(\bar{p}')] \in \Delta$

2/ $f_j$ est une application $\Delta \to \Delta$ qui transforme le point $[\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p})]$ en

$$[\bar{\varphi}_j(\bar{p}), \Psi_j[\bar{p}, \bar{\varphi}_j(\bar{p})]] \quad j = 1, 2, \dots, m+1$$

Supposons que les fonctions $F^{(n)}[\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p})]$ définies par la relation de récurrence $[[F^1[\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p})] étant donnée]]$:

$$F^{(n+1)}[\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p})] = \sum_{j=1}^{m+1} p_j F^{(n)}[f_j[\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p})]], \quad n \ge 1$$

vérifient les conditions suivantes :

(i) il existe un $B > 0$, tel que

$$|F^1(\bar{p} ; \bar{\varphi}'(\bar{p}')) - F^1(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p}))| \le B \rho([\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p})], [\bar{p}', \bar{\varphi}'(\bar{p}')])$$

pour tout

$$[\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p})], [\bar{p}', \bar{\varphi}'(\bar{p}')] \in \Delta$$

(ii) il existe une valeur $i_o$ de $i$, $1 \le i_o \le m+1$, pour laquelle $\Psi_{j, \kappa, i_o} > 0$ pour $1 \le j, k \le m+1$;

(iii) les applications $\bar{\Psi}_j$ sont bornées, et
$$ \rho[\Psi_j[\bar{\rho}, \bar{\phi}_j(\bar{\rho})], \Psi_j[\bar{\rho}', \bar{\phi}_j(\bar{\rho}')]] \le \|\Psi\|_j \rho[[\bar{\rho}, \bar{\phi}_j(\bar{\rho})], [\bar{\rho}', \bar{\phi}_j(\bar{\rho}')]], $$

où

$$ \|\Psi\|_j \le \frac{1}{2} \quad \text{si} \quad j \ne i_o \quad \text{et} \quad \|\Psi\|_{i_o} < \frac{1}{2} $$

Dans ces conditions les fonctions $F^{(n)}[\bar{\rho}, \bar{\phi}(\bar{\rho})]$ tendent quand $n \to \infty$ vers une constante $F$, en exceptant peut-être les points $[\bar{\rho}, \bar{\phi}(\bar{\rho})]$ où $p_{i_o} = 0$.

La différence essentielle entre les théorèmes 2 et 3 énoncés et le théorème 1 est que dans les cas présentés par les premières, les probabilités $p_j$ et les fonctions $\varphi_{j,\kappa}$ sont arbitraires, pendant que dans le théorème 1, les probabilités $p_j$ sont arbitraires, mais les fonctions $\varphi_{j,\kappa}(\bar{\rho})$ sont données.

### 4. Le cas linéaire.

Nous allons appliquer les résultats généraux obtenus plus haut au cas où les fonctions $\Psi_{i;j,\kappa}$ sont linéaires par rapport à leurs arguments.

Pour simplifier l'exposé nous considérons le cas $m=1$. La chaîne peut donc prendre seulement les valeurs $a_1, a_2$. La chaîne est définie par les conditions suivantes :

$$ a') \ P(X_1 = a_1) = p $$

$$ b') \ P(X_2 = a_1|X_1 = a_1) = \varphi_1(p), \ P(X_2 = a_1|X_1 = a_2) = \varphi_2(p) $$

$$ c') \ P(X_3 = a_1|X_2 = a_1, X_1 = a_1) = a_{11} + b_{11}p + c_{11}\varphi_1(p) $$

$$ P(X_3 = a_1|X_2 = a_2, X_1 = a_1) = a_{10} + b_{10}p + c_{10}\varphi_1(p) $$

$$ P(X_3 = a_1|X_2 = a_1, X_1 = a_2) = a_{01} + b_{01}p + c_{01}\varphi_2(p) $$

$$ P(X_3 = a_1|X_2 = a_2, X_1 = a_2) = a_{00} + b_{00}p + c_{00}\varphi_2(p) $$

où $a_{ij}, b_{ij}, c_{ij}$ sont considérés donnés.

d') Pour $n > 4$, nous avons

$$ p_{j_1, \dots, j_n, s} = Q_{j_{n-1} j_n} + b_{j_{n-1} j_n} p_{j_1, \dots, j_{n-2}, 1} + c_{j_{n-1} j_n} p_{j_1, \dots, j_{n-1}, 1} \quad (13) $$

pour tout $j_1, \dots, j_n = 1, 2$.
Notons par $Q_{j_{n-1},j_n}$ l'opérateur linéaire défini par la relation (13) appliqué à ces deux probabilités consécutives de la suite des probabilités $p_{j_1},...,j_n$.

Examinons en conformité avec les conditions du théorème ci-dessus, dans quel cas le principe ergodique est applicable.

Premièrement la condition 3° nous montre que pour tout $0 \le q \le 1$, $0 \le r \le 1$ nous avons

$$0 \le a_{ij} + b_{ij} q + c_{ij} r \le 1 \quad i, j = 0,1$$

d'où il s'ensuit

$$0 \le a_{ij} < 1 ; 0 \le a_{ij} + b_{ij} < 1 ; 0 \le a_{ij} + c_{ij} < 1 ; 0 \le a_{ij} + b_{ij} + c_{ij} < 1 \quad (14)$$

Le domaine $\Delta$ est cette fois inclus dans $\mathbb{R}^3$. Pour $\bar{p}, \bar{q} \in \Delta$ nous choisissons la distance

$$\rho(\bar{p}, \bar{q}) = |(p_1 - q_1)| + |p_2 - q_2| + |p_3 - q_3|$$

La condition 2° est donc satisfaite si

$$\begin{cases} |b_{11}| + |b_{10}| < K_1 \\ |c_{01}| + |c_{00}| < K_2 \end{cases} \quad (15)$$

où $K_1$ et $K_2$ sont des nombres positifs plus petits ou égaux à 1, et l'un d'entre eux est strictement plus petit que 1 et de même les fonctions $\varphi_1(p)$, $\varphi_2(p)$ admettent des dérivées de premier ordre par rapport à $p$, bornées dans l'intervalle $0 \le p \le 1$ respectivement par les nombres

$$\frac{K_1 - |b_{11}| - |b_{10}|}{1 - K_1 + |c_{11}| + |c_{10}|}, \quad \frac{K_2 - |c_{01}| - |c_{00}|}{1 - K_2 + |b_{01}| + |b_{00}|} \quad (16)$$

Enfin, la condition (4) se réduit à celle qu'une chaîne $\{u_n\}, \{v_n\}$ définie par les relations

$$U_{n+2} = a_{11} + b_{11} U_n + c_{11} U_{n+1}$$

$$V_{n+2} = a_{00} + b_{00} V_n + c_{00} V_{n+1}$$

soit convergente.

Il est nécessaire que les racines des équations
$$x^2 - c_{11} x - b_{11} = 0$$

$$x^2 - c_{00} x - b_{00} = 0$$

soient plus petites que 1, d'où il s'ensuit que

$$b_{11} + c_{11} < 1$$

$$b_{00} + c_{00} < 1$$

$$b_{11} - c_{11} < 1$$

$$b_{00} - c_{00} < 1$$

qui sont les conséquences des relations (14).

La condition 4° est vérifiée si la condition 2° se vérifie.

Le principe ergodique est par conséquent valable si l'on sa-
tisfait les relations exprimées (14), (15), (16).

*Remarque :* Considérons le problème de la réduction à une chaîne simple.

De la relation fonctionnelle (3) nous déduisons :

$$P_i^{(n+1)}(\bar{p}, \bar{\varphi}(\bar{p})) = \sum_{j=1}^{m+1} \sum_{k=1}^{m+1} p_j \varphi_{j;k} P_i^{(n-1)}(\bar{\Psi}_{jk}(\bar{p}, \bar{\varphi}_j(\bar{p})), \bar{\Psi}_k(\bar{\varphi}_j(\bar{p})))$$

Cette relation est de même nature que dans le cas d'une chaîne
simple :

$$P_i^{(n+1)}(\bar{p}) = \sum_{j=1}^{m+1} p_j P_i^{(n)}(\bar{f}(\bar{p}))$$

où

$$\bar{f}(\bar{p}) = \{ f_1(\bar{p}), f_2(\bar{p}), \dots, f_{m+1}(\bar{p}) \}$$

est une fonction donnée par $\bar{p}$.

La différence réside en ce que la relation de récurrence (16) se rapporte à deux valeurs consécutives de $n$, ce qui ne constitue point une difficulté pour démontrer le théorème ergodique. Nous pouvons donc appliquer à la relation (16) la méthode appliquée à une chaîne simple. Les conditions suffisantes que nous avons trouvées pour assurer la valabilité du théorème ergodique sont pourtant plus compliquées et plus restrictives dans le cas de la chaîne linéaire. Par conséquent la méthode directe qui utilise la relation fonctionnelle est préférable.

Passons maintenant au calcul des valeurs limites
$$P_i, 1 \le i \le m+1.$$

M. Iosifescu et R. Theodorescu [13], on réussi à faire le calcul de la valeur limite $P_i$ pour la chaîne simple, stationnaire, linéaire et alternative. Pour une chaîne qui satisfait aux conditions du théorème 1, nous pouvons faire, à l'aide de la méthode de Monte-Carlo, le plus rapide calcul de $P_i$.

Nous notons :

$$Y_{(n)} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} Y_j$$

où $Y_n$ est la variable aléatoire définie par les valeurs prises par les probabilités d'avoir $X_n = a_i$, après les diverses valeurs prises par $X_1, X_2, \dots, X_{n-1}$.

**THEOREME 4 :** Dans les conditions du théorème 1, nous avons :

$$\lim_{n \to \infty} M(Y_{(n)}) = P_i,$$

$$\lim D^2(Y_{(n)}) = 0.$$

**Démonstration :** Nous avons

$$M(Y_n) = P(X_n = a_i),$$

Le théorème 1 implique

$$\lim_{n \to \infty} M(Y_n) = \lim_{n \to \infty} P(X_n = a_i) = P_i$$

parce que

$$\lim_{n \to \infty} M(Y_{(n)}) = \lim_{n \to \infty} M(Y_n)$$

suivant un théorème de Césaro, la première relation du théorème 4 est démontrée.

Mais

$$M(Y_{(n)}^2) = \frac{1}{n^2} \sum_{h=1}^{n} M(Y_h^2) + \frac{1}{n^2} \sum_{h=1}^{n-1} M(Y_h Y_{h+1} + Y_h Y_{h+2} + \dots + Y_h Y_n) (16)$$

Le théorème 1 implique

$$P_i - u_h \le M(Y_h) \le P_i + u_h \quad (17)$$
De la même manière :

$$[M(Y_{(n)}桥)]^2 \geq P_i^2 - \frac{2A}{n} P_i + \frac{A^2}{n} \quad (19)$$

Les relations (18) et (19) impliquent :

$$M(Y_{(n)}^2) - [M(Y_{(n)}桥)]^2 \leq \frac{4A-1}{n} P_i + \frac{A}{n^2}$$

La dernière relation du théorème 4 est démontrée.

Le théorème 4 nous montre que $Y_{(n)}$ est une estimation ab-
solument correcte de $P_i$. Nous pouvons calculer $Y_{(n)}$ lorsque n
est très grand, en utilisant pour la succession $j_1, j_2, \dots, j_{n-1}$ un
diagramme de nombres aléatoires. D'où la possibilité de calculer
la probabilité limite $P_i$ par la méthode de Monte-Carlo.

Remarque : Cette méthode peut-être appliquée aussi au cas non-
linéaire, bien entendu avec les adaptations correspondantes.

5. La loi limite pour les sommes des variables aléatoires.

Considérons une chaîne à liaisons complètes, multiple d'ordre
deux qui peut prendre les valeurs $a_i(i = 1, 2, \dots, m+1)$ avec les
probabilités de passage $\Psi_{ijk}(\bar{p}_{j_1} \dots j_{n-2} \bar{p}_j \dots j_{n-2i})$ et les probabilités
initiales $\bar{p}, \varphi_{ij}(\bar{p})$. Nous nous proposons de déterminer des condi-
tions suffisantes pour $\bar{p}, \bar{\varphi}, \bar{\Psi}$ pour que la somme $\sum_{i=1}^n X_i$ conve-
nablement normée, tende, pour $n \to \infty$, vers la loi normale.

En ce qui concerne la chaîne simple, ce problème a été traité
par O. Onicescu, G. Mihoc, M. Iosifescu, G. Ciucu.

Dans l'article [23] on a employé la méthode de la fonction ca-
ractéristique, utilisée systématiquement par les auteurs dans l'étude
des chaînes de Markov. Ils ont traité le cas alternatif m = 1.
L'extension pour un ensemble fini de valeurs, m > 1, a été faite
par M. Iosifescu [10] en utilisant une autre méthode, mais toujours
à l'aide de la fonction caractéristique. G. Ciucu s'est occupé des
chaînes à liaisons complètes au sens large.

Cet article se réfère à l'extension des résultats obtenus pour
les chaînes multiples. Pour simplifier, nous considérons la chaîne
multiple d'ordre deux.
Il existe le théorème suivant :

**THEOREME 5 :** Si les conditions suivantes sont vérifiées :

1/ Les fonctions $\varphi_{ij}(\bar{p})$ sont continues par rapport à $0 \le p; \le 1$, $0 \le j \le m$ et admettent des dérivées partielles, continues et bornées dans ce domaine, par rapport à $p_i(i=1,2,...,m)$.

2/ Le domaine $\Delta$ des points de l'espace $R^{m(m+2)}$, défini par $0 \le p_i \le 1$, $0 \le \varphi_{jk} \le 1$, $1 \le i, j \le m$, $1 \le k \le m+1$, est un espace métrique complet avec la distance $\rho(\bar{p}, \bar{q})$, $\bar{p}, \bar{q} \in \Delta$, $p_i \in \bar{p}$, $\varphi_{jk} \in \bar{q}$, chaque application $f_j : \Delta \longrightarrow \Delta$ ($j=1,2,..., m+1$) représente le passage du point $\bar{p}, \bar{q}(\bar{p})$ aux $\bar{p}_j(\bar{p})$, $\bar{q}_j(\bar{p})$, $\bar{p}_j(\bar{q})$, $\bar{q}_j(\bar{q})$ est bornée, et nous avons pour tout $\bar{p}', \bar{p}'' \in \Delta$

$$ \rho[f_j(\bar{p}'), f_j(\bar{p}'')] \le \|f\|_j \rho(\bar{p}', \bar{p}'') $$

tel que

$$ \|f\|_j < 1, \quad j = j_o, $$

$$ \|f\|_j \le 1, \quad j \ne j_o. $$

3/ Les fonctions $\Psi_{i,j,\kappa}(\bar{p}, \bar{q}(\bar{p}))$ ($i,j=1,2,...,m+1$; $k=1,2,...,m$) sont continues en $\Delta$ et vérifient les relations

$$ 0 < \Psi_{i,j,\kappa}(\bar{p}, \bar{q}(\bar{p})) < 1 $$

quels que soient $i,j, k=1,2,..., m+1$.

4/ Il existe un indice $i_o$, $1 \le i_o \le m+1$ tel que

$$ \lim_{n \to \infty} P_{ij} i_o \cdots i_o \underbrace{\cdots}_{n} k = \tilde{P}_k $$

quels que soient les indices $i,j=1,2,..., m+1$; $k = 1,2,..., m$.

$$ 5/ \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} D^2 \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = K < \infty; $$

alors la variable

$$ X_{(n)} = \sum_{i=1}^{n} X_i $$

convenablement normée, tend à la limite vers la loi normale.

La démonstration repose sur un théorème démontré en [9].
où $u_h$ est plus petit que le terme correspondant d'une progression géométrique, de raison $\overline{p}, \overline{\phi}(\overline{p})$. quelle condition initiale $\overline{p}, \overline{\phi}(\overline{p})$.

Nous avons

$$ M(Y_h, Y_k) = \sum_{j_1, \dots, j_{h-1}} P_{j_1 \dots j_{h-1} i} \sum_{j_{h+1}, \dots, j_{k-1}} P_{j_1 j_2 \dots j_{k-1} i} \mid_{j_1 j_2 \dots j_{h-1} i} = \sum_{j_{h+1}, \dots, j_k} P_{j_1 j_2 \dots j_{k-1} i} \mid_{j_1 j_2 \dots j_{h-1} i} $$

où nous avons noté

$$ P_{j_1 \dots j_{h-1} i, j_{h+1} \dots j_{k-1} i} = P(X_k = a_i, X_{k-1} = a_{j_{k-1}}, \dots, X_{h+1} = a_{j_{h+1}}, X_h = a_i, X_{h-1} = a_{j_{h-1}}, \dots, X_1 = a_{j_1}) $$

Mais la relation (17) implique

$$ \sum_{j_1, \dots, j_{h-1}} p_{j_1, \dots, j_{h-1} i} \le P_i + u_h $$

$$ \sum_{j_{h+1}, \dots, j_k} p_{j_1 j_2 \dots j_{k-1} i} \mid_{j_1 j_2 \dots j_{h-1} i} \le P_i + u_{k-h} $$

c'est-à-dire

$$ M(Y_h, Y_k) < P_i^2 + (u_h + u_{k-h}) P_i + u_h u_{k-h} \quad (k > h) $$

$$ \sum_{K=h+1}^{n} M(Y_h, Y_K) < (n-h) P_i^2 + [(n-h) u_h + A] P_i + Au_h $$

où $A$ est la somme de la série convergente de terme général $u_n$. Il en résulte

$$ 2 \sum_{h=1}^{n-1} \sum_{K=h+1}^{n} M(Y_h, Y_K) \le n^2 P_i^2 + 2n(A-1)P_i + A^2 $$

parce que $Y_h^2 \le 1$,

$$ \sum_{h=1}^{n} M(Y_h^2) \le \sum_{h=1}^{n} M(Y_h) < n P_i + A $$

C'est-à-dire, la relation (16) implique

$$ M(Y_h^2) \le P_i^2 + \frac{2(A-1)}{n} P_i + \frac{A(A+1)}{n^2} \quad (18) $$
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[24] ONICESCU (O.) et MIHOC (G.) : Les chaînes de variables aléatoires. Problèmes asymptotiques. Bucureşti, Acad. Roumanie, Etudes et recherches 14 (1943).

[25] THEILER (G.) : Două teoreme ergodice privitoare la lanțurile cu legături complete staţionare de ordinul de multiplicitate 2 cu un număr finit de stări, Studii şi cercetări matematice (1963), 587-594.

[26] THEODORESCU (R.) : Stochastische kontinuerliche Prozesse mit volkommernen Verbindungen, Math. Nachr. 16 (1957), 79-84.

[27] THEODORESCU (R.) : Lanţuri cu legături complete de multiplicitate p, Com. Acad. R. P. Romîne 6 (1956), 253-257.

Academia R.P.R.

Institutul de Matematica Bucureşti, Roumanie

Reçu le 16 avril 1964
1981年7月19日

The United States Air Force Airborne Communication System (ACS) was introduced into the United States Air Force in 1967. ACS was a communications system that allowed the Air Force to communicate with other military forces and to communicate with the public. ACS consisted of two main units, the Transmitter and the Receiver. The Transmitter consisted of a set of three frequency bands, 1, 2 and 3, which were used to transmit radio signals. The Receiver consisted of a set of three frequency bands, 4, 5 and 6, which were used to receive radio signals. ACS was used to communicate with other military forces and to communicate with the public. ACS was introduced into the United States Air Force in 1967.

The Airborne Communication System (ACS) was a communications system that allowed the Air Force to communicate with other military forces and to communicate with the public. ACS consisted of two main units, the Transmitter and the Receiver. The Transmitter consisted of a set of three frequency bands, 1, 2 and 3, which were used to transmit radio signals. The Receiver consisted of a set of three frequency bands, 4, 5 and 6, which were used to receive radio signals. ACS was used to communicate with other military forces and to communicate with the public. ACS was introduced into the United States Air Force in 1967.

The Airborne Communication System (ACS) was a communications system that allowed the Air Force to communicate with other military forces and to communicate with the public. ACS consisted of two main units, the Transmitter and the Receiver. The Transmitter consisted of a set of three frequency bands, 1, 2 and 3, which were used to transmit radio signals. The Receiver consisted of a set of three frequency bands, 4, 5 and 6, which were used to receive radio signals. ACS was used to communicate with other military forces and to communicate with the public. ACS was introduced into the United States Air Force in 1967.

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